คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 3 ค 30203

ขั้นเขา้ ใจ (Understanding)

7. ครูให้นกั เรียนศกึ ษาตวั อยา่ งที่ 37 ในหนงั สือเรียน หน้า 69 ครอู ธบิ ายเพิม่ เตมิ และใหน้ ักเรียนทำ “ลอง
ทำดู” ในหนังสอื เรียน หนา้ 70 ไปพร้อม ๆ กนั

8. ครูใหน้ ักเรียนจบั ค่ศู กึ ษาตัวอยา่ งท่ี 38 – 40 ในหนงั สอื เรียน หน้า 70 และทำ “ลองทำดู” ในหนังสอื
เรยี น หน้า 70 เมอื่ นักเรยี นทำ “ลองทำด”ู เสร็จ ครแู ละนกั เรียนรว่ มกันเฉลยคำตอบ

9. ครใู ห้นักเรียนทำแบบฝึกทกั ษะ 1.7 ในหนงั สอื เรียน หน้า 72 ขอ้ 1.-4. เปน็ การบา้ น
ขน้ั ลงมอื ทำ (Doing)
ครใู ห้นักเรียนจัดกลุ่ม กลมุ่ ละ 4 คน คละความสามารถทางคณิตศาสตร์ แล้วทำกิจกรรม ดังน้ี

• ให้นกั เรยี นแต่ละกลมุ่ ทำแบบทกั ษะ 1.7 ในหนงั สือเรยี น หนา้ 60 ขอ้ 5.-11.

• เมอื่ นักเรียนทกุ กลุ่มทำเสรจ็ แล้วครูสมุ่ ตวั แทนนักเรยี น 18 คน ออกมาแสดงทำโดยละเอียดหนา้ ช้นั
เรียน โดยมคี รแู ละเพอ่ื น ๆ คอยตรวจสอบความถูกตอ้ ง

ขั้นสรปุ

ครถู ามคำถามเพ่อื ประเมนิ ความร้รู วบยอดของนกั เรียน ดังน้ี

• cos(α − β) หาได้อยา่ งไร
(แนวตอบ cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β)

• cos(α + β) หาได้อย่างไร
(แนวตอบ cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β)

• sin(α + β) หาได้อยา่ งไร
(แนวตอบ sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β)

• sin(α − β) หาไดอ้ ยา่ งไร
(แนวตอบ sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β)

• tan(α + β) หาได้อยา่ งไร
(แนวตอบ tan(α + β) = )tan +tan

1−tan tan

• tan(α − β) หาไดอ้ ย่างไร
(แนวตอบ tan(α − β) = )tan −tan

1+tan tan

7. การวดั และประเมินผล วธิ กี าร เคร่อื งมือ เกณฑ์การประเมนิ
รายการวัด

7.1 ประเมนิ ระหวา่ งการจดั

กิจกรรมการเรยี นรู้

1) ฟังก์ชันตรโี กณมิตขิ อง - ตรวจแบบฝึกทกั ษะ 1.7 - แบบฝกึ ทักษะ 1.7 - รอ้ ยละ 60 ผ่านเกณฑ์

ผลบวกและผลต่างของ - ตรวจ Exercise 1.7 - Exercise 1.7 - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์

จำนวนจรงิ หรอื มมุ

2) การนำเสนอผลงาน - ประเมินการนำเสนอ - แบบประเมนิ การ - ระดับคุณภาพ 2
ผลงาน นำเสนอผลงาน ผ่านเกณฑ์

3) พฤตกิ รรมการทำงาน - สังเกตพฤตกิ รรม - แบบสงั เกต - ระดบั คณุ ภาพ 2

รายบคุ คล การทำงานรายบุคคล พฤติกรรม ผา่ นเกณฑ์

การทำงานรายบคุ คล

4) พฤตกิ รรมการทำงาน - สงั เกตพฤติกรรม - แบบสังเกต - ระดับคุณภาพ 2

กลมุ่ การทำงานกลุ่ม พฤตกิ รรม ผ่านเกณฑ์

การทำงานกลมุ่

5) คุณลกั ษณะ - สงั เกตความมีวินยั - แบบประเมิน - ระดับคุณภาพ 2

อนั พึงประสงค์ ใฝ่เรียนรู้ และมงุ่ ม่ัน คณุ ลกั ษณะ ผา่ นเกณฑ์

ในการทำงาน อันพึงประสงค์

8. สอ่ื /แหลง่ การเรยี นรู้
8.1 สื่อการเรยี นรู้
14) หนังสือเรียนรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ ม.5 เลม่ 1 หนว่ ยการเรียนรู้ท่ี 2 ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ
15) หนงั สือแบบฝกึ หัดรายวิชาเพมิ่ เติม คณิตศาสตร์ ม.5 เลม่ 1 หน่วยการเรียนร้ทู ่ี 2 ฟงั กช์ ันตรโี กณมิติ
8.2 แหล่งการเรียนรู้
1) หอ้ งสมดุ
2) แหลง่ ชมุ ชน
3) อนิ เทอรเ์ น็ต

บนั ทึกหลงั สอนแผนการสอนที่ ............

1. ผลการสอนระดบั ชนั้ ม..............................
 สอนไดต้ ามแผนการจดั การเรยี นรู้
 สอนไมไ่ ดต้ ามแผนการจัดการเรยี นรู้ เน่อื งจาก ..........................................................................

8. ผลท่ีเกิดกับผู้เรียน
1.) การประเมนิ ผลความรหู้ ลังการเรียน โดยใช้………………แบบทดสอบหลงั เรียน............พบวา่ นกั เรยี น

ผา่ นการประเมินคดิ เป็นรอ้ ยละ................……..…. ไม่ผา่ นเกณฑข์ นั้ ตำ่ ทีก่ ำหนดไว้คิดเปน็ ร้อยละ.............................
ได้แก่ ....................................เลขที่ …………………………...........................................................................................

2.) การประเมินดา้ นทกั ษะกระบวนการเรยี น โดยใช้…………………………………………………………...............
พบวา่ นักเรยี นผา่ นการประเมินคดิ เป็นรอ้ ยละ...........……. ไมผ่ า่ นเกณฑข์ ้ันตำ่ ท่ีกำหนดไว้คิดเป็นร้อยละ................
ได้แก่ .......................................................................................................................................................................

3.) การประเมนิ ดา้ นคณุ ลกั ษณะที่พึงประสงค์ เรียน โดยใช…้ ……..…แบบสังเกตพฤติกรรม....................
พบว่านักเรียนผา่ นการประเมนิ คดิ เป็นรอ้ ยละ..…....……. ไม่ผา่ นเกณฑข์ นั้ ต่ำท่กี ำหนดไว้คดิ เป็นร้อยละ..................
ได้แก่ ........................................................................................................................................................................
3. ปัญหาและอุปสรรค

 กิจกรรมการจัดการเรียนรู้ ไม่เหมาะสมกับเวลา
 มีนกั เรยี นทำใบงาน/ใบกจิ กรรมไมท่ นั ตามกำหนดเวลา
 มนี ักเรยี นท่ไี มส่ นใจเรียน
 อื่น ๆ .............................................................................................................................................
4. ขอ้ เสนอแนะ/แนวทางแกไ้ ข
 ควรนำแผนไปปรับปรุง เรือ่ ง ......................................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 แนวทางแกไ้ ขนักเรยี นท่ไี ม่ผ่านการประเมิน ..................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 ไม่มขี ้อเสนอแนะ

ลงชื่อ ผู้สอน
()

วนั ท่ี……..../................../................

ความคดิ เหน็ ของหัวหนา้ กลุ่มสาระฯ ความคิดเหน็ ของหวั หน้างานวิชาการ
1.เป็นแผนการจดั การเรียนรทู้ ี่ 1.เปน็ แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่
 ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรงุ  ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรุง
2.การจัดกจิ กรรมการเรยี นร้ไู ดน้ ำเอากระบวนการเรยี นรู้ 2.การจดั กจิ กรรมการเรยี นรไู้ ด้นำเอากระบวนการเรยี นรู้
ทีเ่ นน้ ผูเ้ รียนเป็นสำคญั มาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง  ทีเ่ น้นผ้เู รียนเปน็ สำคญั มาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง

เหมาะสมกบั ศกั ยภาพที่แตกต่างกันของผเู้ รียน เหมาะสมกับศกั ยภาพทแี่ ตกตา่ งกันของผเู้ รยี น
 ทยี่ งั ไม่เนน้ ผู้เรยี นเป็นสำคัญ ควรปรบั ปรุงพัฒนาต่อไป  ที่ยงั ไม่เน้นผเู้ รยี นเปน็ สำคญั ควรปรับปรุงพฒั นาตอ่ ไป
3.เปน็ แผนการจัดการเรียนรู้ 3.เปน็ แผนการจดั การเรียนรู้
 นำไปใช้ได้จริง  ควรปรับปรุงก่อนนำไปใช้  นำไปใช้ได้จรงิ  ควรปรบั ปรุงก่อนนำไปใช้
4.ข้อเสนอแนะอื่นๆ 4.ขอ้ เสนอแนะอน่ื ๆ
……………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………….

ลงชอ่ื ....................................................... ลงช่ือ.......................................................
(นางสาวณัฐญิ า คาโส)
(นายศุภชยั เรอื งเดช)

แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 8

ฟังก์ชนั ตรโี กณมิติของสองเท่า สามเทา่ และครึง่ เท่าของจำนวนจรงิ

เวลา 3 ช่วั โมง

1. ผลการเรยี นรู้

1) เข้าใจฟังก์ชันตรโี กณมิติและลกั ษณะกราฟของฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิตแิ ละ นำไปใช้ในการแก้ปญั หา

2) แก้สมการตรีโกณมติ แิ ละนำไปใช้ในการแกป้ ัญหา

3) ใชก้ ฎของโคไซน์และกฎของไซน์ในการแก้ปญั หา

2. จุดประสงค์การเรียนรู้

1) คำนวณคา่ ของฟังกช์ ันตรโี กณมติ ิสองเทา่ สามเทา่ และครึ่งเทา่ ของจำนวนจริงหรอื มุมได้ (K)

2) แกป้ ญั หาคา่ ของฟังก์ชนั ตรโี กณมิตสิ องเทา่ สามเทา่ และครึ่งเท่าของจำนวนจริงหรอื มุมได้ (P)

3) มีความรับผิดชอบตอ่ งานทไ่ี ด้รับมอบหมาย (A)

3. สาระการเรยี นรู้

สาระการเรียนรู้เพิม่ เตมิ สาระการเรยี นรู้ท้องถิ่น

ฟงั ก์ชันตรโี กณมติ ขิ องสองเทา่ สามเทา่ และคร่งึ เท่าของ พิจารณาตามหลักสูตรของสถานศึกษา

จำนวนจรงิ หรอื มมุ

4. สาระสำคัญ/ความคดิ รวบยอด

sin 2 = 2sin α cos α

cos(2α) = cos2 α − sin2 α

= 1 − 2 sin2 α

= 2 cos2 α − 1

tan(2α) = 2tanα
1−tan2 α
sin(3α) = 3 sin α − 4 sin3 α

cos(3α) = 4 cos3 α − 3cos α

tan(3α) = 3tan α+tan3 α
1−3tan2 α

sin (α) = ±√1−cos α

22

cos (α) = ±√cosα+1

22

5. สมรรถนะสำคญั ของผเู้ รียนและคณุ ลักษณะอนั พึงประสงค์

สมรรถนะสำคัญของผ้เู รยี น คณุ ลกั ษณะอันพึงประสงค์

1. ความสามารถในการสื่อสาร 1. มวี ินัย

2. ความสามารถในการคิด 2. ใฝเ่ รียนรู้
1) ทักษะการสำรวจคน้ หา 3. มุง่ มัน่ ในการทำงาน

3. ความสามารถในการแกป้ ัญหา

6. กิจกรรมการเรียนรู้
 แนวคิด/รูปแบบการสอน/วิธีการสอน/เทคนิค : Concept Based Teaching

ชวั่ โมงท่ี 1

ขน้ั นำ

ข้นั ทบทวนความรเู้ ดิมเชื่องโยงความร้ใู หม่
8. ครูทบทวนความรู้เดิมเรอื่ ง ฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิติของผลบวกของจำนวนจรงิ หรือมมุ ด้วยการถามคำถาม

ดังนี้
• sin(A + B) หาไดอ้ ย่างไร
(แนวตอบ sin(A + B) = sin A cos B + cosA sinB)

ขนั้ สอน

ขัน้ รู้ (Knowing)
1. ครูใหเ้ ขยี น sin 2α แลว้ ถามนักเรยี นวา่ จะหาได้อย่างไร โดยครยู ังไมใ่ ห้นักเรยี นเปดิ หนงั สอื เรยี น

(แนวตอบ ครูต้องการใหน้ กั เรยี นตอบโดยอาศัยความรู้ของเรื่องทีเ่ รยี นไปก่อนหนา้ นี้ นน่ั คือ ใหน้ กั เรียน
ตอบวา่ แยก 2α เปน็ α + α จะไดว้ า่ sin 2α = sin(α + α))
เมื่อนกั เรียนตอบไดเ้ ชน่ น้ีครูถามนกั เรียนตอ่ ไปว่า sin(α + α) หาไดอ้ ยา่ งไร
(แนวตอบ sin(α + α) หาได้จากสูตร sin(A + B) = sin A cosB + cosA sinB
ซงึ่ จะไดว้ ่า sin(α + α) = sin α cos α + cos α sin α

= sin α cos α + sin α cos α

= 2 sin α cos α)
2. ในทำนองเดยี วกันครูถามนกั เรยี นว่า cos 2α จะหาได้อย่างไร โดยครยู ังไมใ่ หน้ กั เรียนเปิดหนงั สือ

เรียนเชน่ เดมิ
(แนวตอบ cos 2α จะหาได้จาก cos(A + B) = cos A cosB − sinA sinB ซง่ึ จะได้วา่

cos(2α) = cos(α + α)
= cos α cosα − sinα sinα

= cos2 α − sin2 α)

3. เมอื่ นักเรียนหา cos 2α = cos2 α − sin2 α ไดแ้ ลว้ cos 2α = cos2 α − sin2 α ครูเขียนลงบน

กระดานและกำหนดให้เป็นสมการท่ี 1 จากน้ันครูบอกกับนักเรียนว่า sin2 θ + cos2 θ = 1 เสมอ

เพราะเป็นเอกลกั ษณต์ รีโกณมิติ หลังจากนน้ั ครถู ามคำถามนกั เรยี น ดงั นี้

• ถา้ นักเรียนแทนค่า cos2 α = 1 − sin2 α ลงในสมการที่ 1 จะได้ cos 2α เทา่ กับเท่าไร

(แนวตอบ cos 2α = (1 − sin2 α) − sin2 α

= 1 − 2 sin2 α)

• ถา้ นกั เรียนแทนค่า sin2 α = 1 − cos2α ลงในสมการที่ 1 จะได้ cos 2α เท่ากับเทา่ ไร

(แนวตอบ cos 2α = cos2 α − (1 − cos2α)

= 2 cos2 α − 1)

4. หลงั จากน้ันครถู ามนักเรียนตอ่ ไปอีกว่า tan 2α จะหาไดอ้ ยา่ งไร โดยครยู ังไมใ่ ห้นกั เรียนเปดิ หนงั สอื

เรียนเช่นเดมิ

(แนวตอบ tan 2α จะหาไดจ้ าก tan(A + B) = tanA+tanB ซึง่ จะไดว้ ่า
1−tan A tan B

tan(2α) = tan(α + α)

= tan α+tanα

1−tan α tan α
2tanα
1−tan2 α
)=

5. ครูให้นกั เรียนศกึ ษาตัวอยา่ งที่ 41 ในหนงั สอื เรียน หนา้ 75 เม่อื นักเรยี นศึกษาเสร็จครถู ามคำถาม

นักเรยี น ดังนี้

• ในตวั อยา่ งท่ี 41 cos θ เท่ากบั เท่าไร

(แนวตอบ cos θ = − 3)
5

• sin 2θ, cos 2θ และ tan 2θ เท่ากับเท่าไร

(แนวตอบ sin 2θ = − 24 , cos 2θ = − 7 และ tan 2θ = 24)
25 25 7
6. ครใู หน้ กั เรียนจบั คศู่ กึ ษาตวั อย่างที่ 42 ในหนังสือเรียน หน้า 76 แลว้ แลกเปลี่ยนความรกู้ ับคู่ของ

ตนเอง

ขน้ั เข้าใจ (Understanding)

7. ครูให้นกั เรียนทำ “ลองทำดู” ของตวั อย่างที่ 41 ในหนังสือเรียน หน้า 75 และ “ลองทำด”ู ของ

ตวั อยา่ งที่ 42 ในหนงั สือเรยี น หน้า 76 เมอ่ื นักเรยี นทุกคนทำเสรจ็ แลว้ ครแู ละนักเรยี นรว่ มกนั เฉลย

คำตอบ

8. ครใู ห้นกั เรยี นทำแบบฝกึ ทกั ษะ 1.8 ข้อ 1., ขอ้ 4. และข้อ 5.

ช่วั โมงท่ี 2

ข้นั สอน

ขน้ั รู้ (Knowing)

9. ครถู ามนกั เรยี นวา่ sin 3α จะหาไดอ้ ย่างไร

(แนวตอบ 3α เป็น 2α + α จะไดว้ า่ sin 3α = sin(2α + α))

เม่ือนักเรยี นตอบไดเ้ ชน่ น้คี รูถามนกั เรยี นตอ่ ไปวา่ sin(2α + α) หาได้อย่างไร

(แนวตอบ sin(2α + α) = sin 2α cos α + cos 2α sin α

= sin 2α cos α + cos 2α sin α

= 3 sin α − 4 sin3 α)

10. ในทำนองเดียวกนั ครูถามนักเรยี นวา่ cos 3α จะหาไดอ้ ย่าง โดยครยู งั ไม่ให้นักเรยี นเปิดหนงั สือเรยี น

เชน่ เดมิ

(แนวตอบ cos(3α) = cos(2α + α)

= cos 2α cosα − sin2α sinα

= 4 cos3 α − 3cos α)

11. หลงั จากนั้นครูถามนกั เรียนต่อไปอีกว่า tan 3α จะหาได้อยา่ ง โดยครยู งั ไม่ใหน้ ักเรียนเปิดหนงั สอื

เรยี น เช่นเดิม

(แนวตอบ tan(3α) = 3tan α+tan3 α)
1−3tan2 α
ข้ันเขา้ ใจ (Understanding)

10. ครใู ห้นักเรียนจับคู่และรว่ มกนั ศกึ ษาตัวอย่างที่ 43 และตัวอยา่ งที่ 44 ในหนงั สือเรยี น หน้า 78

หลงั จากน้นั ครสู ่มุ ถามคำถามนกั เรียน ดังนี้

• ในตวั อย่างท่ี 43 โจทย์ให้อะไรมา

(แนวตอบ cos17° = 0.9563)

• ในตวั อยา่ งท่ี 43 cos 51° จะหาไดอ้ ยา่ งไร และมีค่าเท่ากับเท่าไร

(แนวตอบ cos 51° จะหาไดจ้ าก cos 3(17°) และ cos 51° ≈ 0.6293)

• ในตวั อย่างท่ี 44 โจทย์ใหอ้ ะไรมา

(แนวตอบ tan A = 3 เมอ่ื 0 < A < π)
42

• ในตัวอย่างที่ 44 tan A จะหาได้อยา่ งไร และมคี ่าเทา่ กับเทา่ ไร

(แนวตอบ tan 3A เมือ่ 0 < A < π จะหาไดจ้ าก tan 3A = 3tan A+tan3 A และ
2 1−3tan2 A
tan 3A = − )117
44
11. ครใู หน้ กั เรียนทำ “ลองทำดู” ของตวั อย่างที่ 43 และ “ลองทำดู” ของตัวอยา่ งที่ 44 ในหนงั สือเรยี น

หน้า 78 เมอ่ื นักเรียนทกุ คนทำเสรจ็ แล้ว ครแู ละนกั เรยี นร่วมกนั เฉลยคำตอบ

12. ครูใหน้ กั เรยี นทำแบบฝึกทักษะ 1.8 ขอ้ 2. และข้อ 6.

ชัว่ โมงที่ 3

ข้นั สอน

ข้ันรู้ (Knowing)
13. ครถู ามนกั เรียนวา่ cos α จะหาไดอ้ ยา่ งไร

2

(แนวตอบ cos α = cos 2 (α)
2
cos α = 2cos2 (α) − 1
2
2cos2 (α) = cos α + 1
2
cos2 (α) = cos α+1
22

cos (α) = ±√cos α+1 )
22

14. ในทำนองเดยี วกันครถู ามนกั เรยี นว่า sin α จะหาไดอ้ ยา่ งไร โดยครูยังไมใ่ ห้นักเรยี นเปดิ หนงั สือเรียน
2
เชน่ เดิม

(แนวตอบ ตอบ cos α = cos 2 (α)
2
cos α = 1−2sin2 (α)
2
2sin2 (α) = 1 − cos α
2
sin2 (α) = 1−cos α
22

sin (α) = ±√1−cos α )
22

ขน้ั เขา้ ใจ (Understanding)

15. ครูให้นกั เรยี นจับคแู่ ละร่วมกันศกึ ษาตัวอยา่ งที่ 45 ในหนังสอื เรียน หนา้ 79 หลงั จากนน้ั ครสู ุม่ ถาม

คำถามนกั เรียน ดังน้ี

• sin15° จะหาได้อย่างไร

(แนวตอบ sin15° จะหาไดจ้ าก sin 30° = ±√1−cos30° )
22

• sin15° เทา่ กบั เทา่ ไร

(แนวตอบ sin15° = )√2−√3
2

16. ครใู หน้ กั เรยี นทำ “ลองทำดู” ในหนังสอื เรียน หนา้ 80 เมื่อทำเสร็จแล้วครูและนกั เรียนร่วมกนั เฉลย

คำตอบ หลงั จากน้นั ครใู หน้ กั เรียนทำแบบฝกึ ทกั ษะ 1.8 ขอ้ 3) เป็นการบา้ น

ขัน้ ลงมือทำ (Doing)

17. ครใู หน้ กั เรยี นจัดกลุ่ม กลุ่มละ 4-5 คน คละความสามารถทางคณติ ศาสตร์ แล้วใหท้ ำกิจกรรม

คณติ ศาสตร์ ดงั นี้

• ให้นักเรียนทำแบบฝกึ ทักษะ 1.8 ข้อ 7. - ข้อ 10.

• ให้นักเรียนในแต่ละกลมุ่ ทำความเขา้ ใจร่วมกัน หลังจากน้นั ครูล่มุ นักเรียนในแต่ละกล่มุ ออกมา
เฉลยคำตอบ อย่างละเอยี ด

ขั้นสรุป

ครถู ามคำถามเพ่อื สรุปความรู้รอบยอดของนักเรยี น ดังน้ี

• sin(2α) หาไดอ้ ยา่ งไร

(แนวตอบ sin(2α) = 2 sin α cos α)

• cos 2α จะหาได้อยา่ ง

(แนวตอบ cos(2α) = cos2 α − sin2 α

= 1 − 2 sin2 α

= 2 cos2 α − 1)

• tan 2α จะหาไดอ้ ย่างไร

(แนวตอบ tan(2α) = )2tanα

• sin(3α) หาไดอ้ ย่างไร 1−tan2 α

(แนวตอบ sin(3α) = 3 sin α − 4 sin3 α)

• cos 3α จะหาไดอ้ ยา่ ง

(แนวตอบ cos(3α) = 4 cos3 α − 3cos α)

• tan 3α จะหาไดอ้ ย่างไร

(แนวตอบ tan(3α) = 3tan α+tan3 α )
1−3tan2 α
• sin α จะหาไดอ้ ยา่ งไร
2

(แนวตอบ sin (α) = )±√1−cosα
22

• cos α จะหาได้อย่างไร
2

(แนวตอบ cos (α) = )±√cosα+1
22

7. การวดั และประเมินผล

รายการวัด วธิ กี าร เครอ่ื งมือ เกณฑ์การประเมิน

7.1 ประเมินระหวา่ งการจดั - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์
- ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์
กิจกรรมการเรยี นรู้
- ระดับคณุ ภาพ 2
1) ฟงั กช์ นั ตรีโกณมิติของ - ตรวจแบบฝกึ ทกั ษะ 1.8 - แบบฝกึ ทักษะ 1.8 ผ่านเกณฑ์

สองเทา่ สามเทา่ และคร่งึ - ตรวจ Exercise 1.8 - Exercise 1.8

เท่าชองจำนวนจรงิ

2) การนำเสนอผลงาน - ประเมนิ การนำเสนอ - แบบประเมินการ

ผลงาน นำเสนอผลงาน

3) พฤติกรรมการทำงาน - สังเกตพฤตกิ รรม - แบบสงั เกต - ระดบั คณุ ภาพ 2

รายบุคคล การทำงานรายบุคคล พฤตกิ รรม ผา่ นเกณฑ์

การทำงานรายบคุ คล

4) พฤติกรรมการทำงาน - สังเกตพฤติกรรม - แบบสงั เกต - ระดับคุณภาพ 2
กล่มุ การทำงานกลุ่ม
พฤตกิ รรม ผา่ นเกณฑ์

การทำงานกลุ่ม

5) คุณลกั ษณะ - สังเกตความมีวินัย - แบบประเมนิ - ระดบั คุณภาพ 2
อนั พึงประสงค์ ใฝ่เรียนรู้ และมุง่ มนั่
ในการทำงาน คณุ ลักษณะ ผ่านเกณฑ์

อันพงึ ประสงค์

8. สื่อ/แหล่งการเรยี นรู้
8.1 สอื่ การเรยี นรู้
16) หนงั สือเรยี นรายวชิ าเพมิ่ เติม คณติ ศาสตร์ ม.5 เล่ม 1 หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี 1 ฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิ
17) หนงั สอื แบบฝกึ หดั รายวิชาเพม่ิ เติม คณติ ศาสตร์ ม.5 เล่ม 1 หน่วยการเรยี นรู้ท่ี 1 ฟงั กข์ ันตรโี กณมติ ิ
8.2 แหล่งการเรยี นรู้
1) หอ้ งสมดุ
2) แหล่งชมุ ชน
3) อนิ เทอรเ์ นต็

บนั ทกึ หลังสอนแผนการสอนท่ี ............

1. ผลการสอนระดับชัน้ ม..............................
 สอนได้ตามแผนการจัดการเรียนรู้
 สอนไม่ไดต้ ามแผนการจัดการเรียนรู้ เน่อื งจาก ..........................................................................

9. ผลที่เกดิ กับผู้เรียน
1.) การประเมนิ ผลความรหู้ ลังการเรยี น โดยใช้………………แบบทดสอบหลงั เรยี น............พบว่านกั เรียน

ผ่านการประเมินคิดเปน็ ร้อยละ................……..…. ไม่ผา่ นเกณฑ์ขนั้ ตำ่ ที่กำหนดไว้คดิ เปน็ ร้อยละ.............................
ไดแ้ ก่ ....................................เลขท่ี …………………………...........................................................................................

2.) การประเมินดา้ นทักษะกระบวนการเรียน โดยใช…้ ………………………………………………………...............
พบวา่ นักเรยี นผ่านการประเมินคดิ เป็นรอ้ ยละ...........……. ไม่ผ่านเกณฑข์ ้ันต่ำที่กำหนดไว้คิดเปน็ ร้อยละ................
ไดแ้ ก่ .......................................................................................................................................................................

3.) การประเมินดา้ นคุณลักษณะที่พึงประสงค์ เรียน โดยใช้………..…แบบสงั เกตพฤตกิ รรม....................
พบวา่ นักเรียนผ่านการประเมนิ คดิ เป็นรอ้ ยละ..…....……. ไมผ่ า่ นเกณฑ์ข้นั ต่ำทีก่ ำหนดไว้คดิ เปน็ รอ้ ยละ..................
ได้แก่ ........................................................................................................................................................................
3. ปัญหาและอปุ สรรค

 กจิ กรรมการจัดการเรียนรู้ ไมเ่ หมาะสมกับเวลา
 มนี กั เรยี นทำใบงาน/ใบกิจกรรมไม่ทันตามกำหนดเวลา
 มีนักเรยี นที่ไม่สนใจเรียน
 อืน่ ๆ .............................................................................................................................................
4. ข้อเสนอแนะ/แนวทางแกไ้ ข
 ควรนำแผนไปปรับปรงุ เรือ่ ง ......................................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 แนวทางแก้ไขนกั เรียนท่ไี ม่ผ่านการประเมนิ ..................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 ไมม่ ีข้อเสนอแนะ

ลงชอื่ ผู้สอน
()

วันท่ี……..../................../................

ความคดิ เหน็ ของหัวหน้ากลุ่มสาระฯ ความคิดเหน็ ของหวั หน้างานวิชาการ
1.เป็นแผนการจดั การเรยี นร้ทู ่ี 1.เปน็ แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่
 ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรงุ  ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรุง
2.การจัดกจิ กรรมการเรยี นรไู้ ดน้ ำเอากระบวนการเรยี นรู้ 2.การจดั กจิ กรรมการเรยี นรไู้ ด้นำเอากระบวนการเรยี นรู้
ทีเ่ นน้ ผูเ้ รียนเป็นสำคัญมาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง  ทีเ่ น้นผ้เู รียนเปน็ สำคญั มาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง

เหมาะสมกบั ศกั ยภาพที่แตกต่างกันของผเู้ รียน เหมาะสมกับศกั ยภาพทแี่ ตกตา่ งกันของผเู้ รยี น
 ทยี่ งั ไม่เนน้ ผู้เรยี นเป็นสำคัญ ควรปรับปรุงพัฒนาต่อไป  ที่ยงั ไม่เน้นผเู้ รยี นเปน็ สำคญั ควรปรับปรุงพฒั นาตอ่ ไป
3.เปน็ แผนการจัดการเรียนรู้ 3.เปน็ แผนการจดั การเรียนรู้
 นำไปใช้ได้จริง  ควรปรับปรุงกอ่ นนำไปใช้  นำไปใช้ได้จรงิ  ควรปรบั ปรุงก่อนนำไปใช้
4.ข้อเสนอแนะอื่นๆ 4.ขอ้ เสนอแนะอน่ื ๆ
……………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………….

ลงชอ่ื ....................................................... ลงช่ือ.......................................................
(นางสาวณัฐญิ า คาโส)
(นายศภุ ชยั เรอื งเดช)

แผนการจดั การเรียนรูท้ ่ี 9

ความสมั พันธร์ ะหวา่ งผลบวก ผลต่าง และผลคูณของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ

เวลา 3 ชั่วโมง

1. ผลการเรียนรู้

1) เข้าใจฟงั กช์ ันตรโี กณมิติและลกั ษณะกราฟของฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ แิ ละ นำไปใชใ้ นการแกป้ ัญหา

2) แก้สมการตรโี กณมิตแิ ละนำไปใช้ในการแก้ปัญหา

3) ใช้กฎของโคไซน์และกฎของไซนใ์ นการแกป้ ญั หา

2. จุดประสงค์การเรียนรู้

1) หาความสัมพันธ์ระหว่างผลบวก ผลตา่ ง และผลคูณของฟงั ก์ชันตรโี กณมิได้ (K)

2) ใช้ความสมั พันธ์ระหวา่ งผลบวก ผลต่าง และผลคูณของฟงั กช์ ันตรโี กณมิได้แกป้ ญั หาได้ (P)

3) มีความรบั ผดิ ชอบตอ่ งานที่ได้รับมอบหมาย (A)

3. สาระการเรียนรู้

สาระการเรยี นรูเ้ พ่ิมเตมิ สาระการเรียนรทู้ ้องถ่ิน

ฟังกช์ ันตรีโกณมติ ิของสองเท่า สามเทา่ และคร่งึ เทา่ ของ พจิ ารณาตามหลกั สูตรของสถานศึกษา

จำนวนจริงหรอื มุม

4. สาระสำคญั /ความคดิ รวบยอด

ความสัมพนั ธ์ระหว่างผลบวก ผลต่าง และผลคูณของฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ิมอี ะไรบ้าง

sin(α + β) + sin(α − β) = 2sin α cos β

sin(α + β) − sin(α − β) = 2cos α sin β

cos (α + β) + cos(α − β) = 2cos α cos β

sin(α + β) − sin(α − β) = − 2cos α sin β

α+β α−β
sin α + sin β = 2sin ( 2 ) cos ( 2 )
α+β α−β
sin α − sin β = 2cos ( 2 ) sin ( 2 )
α+β α−β
cos α + cos β = 2cos ( 2 ) cos ( 2 )
(α + β) sin (α − β)
sin α − sin β = −2sin 2 2

5. สมรรถนะสำคญั ของผ้เู รยี นและคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค์

สมรรถนะสำคญั ของผู้เรยี น คุณลักษณะอนั พงึ ประสงค์

1. ความสามารถในการสอื่ สาร 1. มีวนิ ัย

2. ความสามารถในการคดิ 2. ใฝเ่ รียนรู้
2) ทกั ษะการสำรวจค้นหา 3. มุ่งมน่ั ในการทำงาน

3. ความสามารถในการแกป้ ญั หา

6. กจิ กรรมการเรียนรู้
 แนวคดิ /รปู แบบการสอน/วิธกี ารสอน/เทคนิค : Concept Based Teaching

ช่ัวโมงที่ 1

ขนั้ นำ

ขน้ั ทบทวนความรู้เดมิ เช่อื งโยงความรใู้ หม่
ครทู บทวนความรเู้ ดิมเร่อื ง ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ขิ องผลบวกของจำนวนจรงิ หรอื มมุ ด้วยการถามคำถาม
ดงั น้ี
a. sin(A + B) หาไดอ้ ยา่ งไร
(แนวตอบ sin(A + B) = sin A cos B + cosA sinB)
• sin(A − B) หาได้อยา่ งไร
(แนวตอบ sin(A − B) = sin A cos B − cosA sinB)

• cos(α − β) หาไดอ้ ยา่ งไร
(แนวตอบ cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β)

• cos(α + β) หาได้อย่างไร
(แนวตอบ cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β)

ขนั้ สอน

ขั้นรู้ (Knowing)
1. ครูให้นักเรยี นจัดกลุ่ม กลุ่มละ 4-5 คน คละความสามารถทางคณิตศาสตร์ แล้วทำกิจกรรม

คณิตศาสตร์ ในหนังสอื เรยี น หนา้ 81 ดงั น้ี

• ใหน้ ักเรียนแตก่ ลุ่มร่วมกนั ตอบคำถามในกิจกรรมคณิตศาสตร์ ในหนังสือเรยี น หน้า 81
• ใหน้ ักเรยี นในกลุ่มแลกเปลย่ี นความรกู้ ับเพ่ือนสมาชิกในกลมุ่ จนเป็นทเ่ี ข้าในรว่ มกนั
• ครูสุ่มนกั เรียนออกมาตอบคำถามของกจิ กรรมคณิตศาสตร์ โดยมคี รูและเพ่อื น ๆ คอย

ตรวจสอบความถกู ตอ้ ง

ขัน้ เข้าใจ (Understanding)
1. จากการทำกิจกรรมคณติ ศาสตร์ ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 81 ครถู ามคำถามนกั เรยี น ดงั น้ี

• sin(α + β) หาได้อย่างไร
(แนวตอบ sin(α + β) = sin α cos β + cosα sinβ)

• sin(α − β) หาได้อยา่ งไร
(แนวตอบ sin(α − β) = sin α cos β − cosα sinβ)

• sin(α + β) + sin(α − β) เท่ากบั เท่าไร
(แนวตอบ 2sin α cos β = sin(α + β) + sin(α − β))

• sin(α + β) − sin(α − β) เท่ากบั เทา่ ไร
(แนวตอบ 2cos α sin β = sin(α + β) − sin(α − β))

ชว่ั โมงที่ 2

ข้นั สอน

ขน้ั เข้าใจ (Understanding)
2. ครูใหน้ กั เรยี นกลุ่มเดมิ หาค่าของ 2cos α cos β และ 2sin α sin β โดยให้นกั เรียนในแตล่ ะกลมุ่

รว่ มกันแลกเปล่ียนความร้จู นเปน็ ทเี่ ข้าใจรว่ มกนั จากน้นั ครสู มุ่ นักเรียนให้มานำเสนอคำตอบ แต่ในการ
นำเสนอนี้ครูจะยงั ไม่บอกคำตอบที่ถูกตอ้ งใหน้ ักเรยี นทราบ แตค่ รูจะถามคำถามกบั นกั เรยี น ดงั น้ี

• cos(α − β) หาได้อย่างไร
(แนวตอบ cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β)

• cos(α + β) หาไดอ้ ย่างไร
(แนวตอบ cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β)

• cos (α + β) + cos (α − β) เทา่ กบั เท่าไร
(แนวตอบ cos (α + β) + cos(α − β) = 2cos α cos β)

• cos (α + β) − cos (α − β) เท่ากบั เท่าไร
(แนวตอบ sin(α + β) − sin(α − β) = − 2cos α sin β)

3. จากนัน้ ครูเขยี นความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งผลบวก ผลต่าง และผลคณู ของฟังกช์ ันตรโี กณมติ ิอน่ื ๆ อกี ดังนี้
โดยครูกำหนด x + y = α …….(1)
x − y = β …….(2)
และถามคำถามนักเรยี น ดังน้ี

• คำตอบของระบบสมการข้างตน้ เทา่ กับเทา่ ไร
(แนวตอบ x = α+β และ = )α−β

22

• หาคำตอบของระบบสมการมาไดอ้ ยา่ งไร

(แนวตอบ นกั เรียนสามารถตอบได้หลากหลายข้นึ กับความถนดั ในการแก้ระบบสมการของ

นักเรียน โดยนกั เรียนอาจตอบว่า ใช้สมบัติการเท่ากันและแกส้ มการหาค่า x แลว้ นำค่า x ท่ไี ด้

ไปแทนคา่ เพือ่ หาค่า y ตอ่ ไป)

เมือ่ นักเรียนตอบคำถามไดเ้ ช่นนี้ ครูเขยี นความสัมพนั ธ์ระหว่างผลบวก ผลตา่ ง และผลคูณของฟังกช์ ัน

ตรโี กณมิตอิ ่ืน ๆ อกี ดังนี้

sin(x + y) + sin(x − y) = 2sin x cos y

และครูถามคำถามนกั เรียน ดงั น้ี

• แทนค่า x และ y ในความสัมพันธข์ า้ งตน้ จะได้ผลลัพธเ์ ป็นอย่างไร

(แนวตอบ sin (α+β + α−β) + sin (α+β − α−β) = 2sin (α+β) cos (α−β)
22 22 22

ซงึ่ จะไดว้ า่ sin α + sin β = 2sin (α+β) cos (α−β))
22

• ถ้าแทนคา่ x และ y ในความสมั พนั ธ์ sin(α + β) − sin(α − β) จะได้ผลลพั ธ์เปน็ อยา่ งไร

(แนวตอบ sin (α+β + α−β) − sin (α+β − α−β) = 2sin (α+β) cos (α−β)
22 22 22

ซ่งึ จะได้ว่า sin α − sin β = 2cos (α+β) sin (α−β))
22

• ถ้าแทนคา่ x และ y ในความสัมพนั ธ์ cos(α + β) + cos(α − β) จะได้ผลลัพธเ์ ปน็ อยา่ งไร

(แนวตอบ cos (α+β + α−β) + cos (α+β − α−β) = 2cos (α+β) cos (α−β)
22 22 22

ซงึ่ จะได้ว่า cos α + cos β = 2cos (α+β) cos (α−β))
22

• ถา้ แทนค่า x และ y ในความสมั พนั ธ์ cos (α + β) − cos (α − β) จะไดผ้ ลลัพธ์เป็นอยา่ งไร

(แนวตอบ cos (α+β + α−β) − cos (α+β − α−β) = 2sin (α+β) cos (α−β)
22 22 22

ซงึ่ จะได้ว่า sin α − sin β = −2sin (α+β) sin (α−β))
22

ชั่วโมงท่ี 3

ขั้นสอน

ขั้นรู้ (Knowing)

4. ครูให้นักเรียนจบั คู่และรว่ มกันศึกษาตวั อยา่ งท่ี 46-48 ในหนังสือเรียน หนา้ 83-84 จากน้ันแลกเปล่ียน

ความรู้กบั ค่ขู องตนเองจนเป็นท่ีเข้าใจร่วมกนั จากนั้นครถู ามคำถามนักเรยี น ดงั นี้

• 2 cos 55° cos 5° หาได้อย่างไร

(แนวตอบ 2 cos 55° cos 5° = cos(55° + 5°) + cos(55° − 5°)

ซ่ึงจะได้วา่ 2 cos 55° cos 5° = cos 60° + cos 50°)

• sin (5π − θ) + sin (5π + θ) เทา่ กับเทา่ ไร
66
(แนวตอบ sin (5π − θ) + sin (5π + θ) = 2 sin [(56π−θ)+(56π+θ)] cos [(56π−θ)−(56π+θ)]
66 22

ซง่ึ จะไดว้ ่า sin (5π − θ) + sin (5π + θ) = 2 sin 5π cos(−θ) = cos θ)
66 6

• sin 40° + cos 10° หาได้อยา่ งไร

(แนวตอบ sin 40° + cos 10° = sin 40° + sin 80° = 2 sin 40°+80° cos 40°−80°
22
ซ่ึงจะไดว้ า่ sin 40° + cos 10° = 2 sin 60° cos(−20°))

5. จากตวั อยา่ งท่ี 48 ในหนังสือเรียน หนา้ 84 ครอู ธิบายกรอบ “แนะแนวคดิ ” ให้นกั เรียนฟังวา่
cos 10° = sin 80° และ sin 70° = cos 20° นัน้ เป็น co-function ตรโี กณมิติ
และ cos(−θ) = cos θ นนั้ มาจากบทพิสจู น์ในหนังสือ หน้า 17

ขน้ั เข้าใจ (Understanding)
6. จากนั้นครใู ห้นกั เรียนแต่ละคนทำ “ลองทำด”ู ทา้ ยตวั อย่างที่ 46-48 ในหนงั สอื เรยี น หน้า 83-84 เมื่อ

ทำเสร็จแล้วครแู ละนกั เรยี นรว่ มกนั เฉลยคำตอบ
7. ครูให้นักเรยี นทำแบบฝกึ ทกั ษะ 1.9 ขอ้ 1.-6. ในหนังสือเรียน หน้า 85 เป็นการบ้าน
ขน้ั ลงมอื ทำ (Doing)
8. ครใู หน้ กั เรยี นจัดกลมุ่ กลมุ่ ละ 4-5 คน คละความสามารถทางคณิตศาสตร์ แล้วใหท้ ำกิจกรรม

คณติ ศาสตร์ ดงั นี้
• ให้นกั เรียนทำแบบฝกึ ทกั ษะ 1.9 ข้อ 7. และขอ้ 8. ในหนงั สือเรียน หนา้ 85
• ใหน้ กั เรียนในแต่ละกลุ่มทำความเขา้ ใจร่วมกนั หลังจากนัน้ ครลู ุ่มนักเรียนในแตล่ ะกลุ่มออกมา
เฉลยคำตอบ อย่างละเอียด โดยครแู ละเพือ่ น ๆ คอยตรวจสอบความถกู ต้อง

ข้นั สรุป

ครถู ามคำถามเพื่อสรุปความร้รู อบยอดของนกั เรียน ดงั นี้

• ความสัมพันธ์ระหวา่ งผลบวก ผลตา่ ง และผลคูณของฟังกช์ ันตรีโกณมิติมีอะไรบา้ ง

(แนวตอบ sin(α + β) + sin(α − β) = 2sin α cos β

sin(α + β) − sin(α − β) = 2cos α sin β

cos (α + β) + cos(α − β) = 2cos α cos β

sin(α + β) − sin(α − β) = − 2cos α sin β

α+β α−β
sin α + sin β = 2sin ( 2 ) cos ( 2 )
sin α − sin β = 2cos (α+β) sin (α−β)

22

cos α + cos β = 2cos (α+β) cos (α−β)

22

sin α − sin β = −2sin (α+β) sin (α−β))
22

7. การวัดและประเมนิ ผล วธิ กี าร เครื่องมือ เกณฑ์การประเมนิ
รายการวดั
- ตรวจแบบฝึกทักษะ 1.9 - แบบฝึกทักษะ 1.9 - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์
7.1 ประเมนิ ระหว่างการจัด - ตรวจ Exercise 1.9 - Exercise 1.9 - รอ้ ยละ 60 ผ่านเกณฑ์
กิจกรรมการเรยี นรู้
1) ความสัมพนั ธร์ ะหว่าง - ประเมินการนำเสนอ - แบบประเมินการ - ระดับคุณภาพ 2
ผลงาน นำเสนอผลงาน ผ่านเกณฑ์
ผลบวก ผลต่าง และผลคูณ - สังเกตพฤติกรรม - แบบสงั เกต
ของฟังก์ชันตรโี กณมิติ การทำงานรายบคุ คล พฤติกรรม - ระดับคุณภาพ 2
การทำงานรายบุคคล ผา่ นเกณฑ์
2) การนำเสนอผลงาน - สังเกตพฤติกรรม - แบบสังเกต
การทำงานกลุ่ม พฤตกิ รรม - ระดบั คณุ ภาพ 2
3) พฤตกิ รรมการทำงาน การทำงานกลุ่ม ผ่านเกณฑ์
รายบุคคล - สังเกตความมีวนิ ัย - แบบประเมนิ
ใฝ่เรียนรู้ และมงุ่ มั่น คณุ ลกั ษณะ - ระดบั คณุ ภาพ 2
4) พฤตกิ รรมการทำงาน ในการทำงาน อันพงึ ประสงค์ ผา่ นเกณฑ์
กล่มุ

5) คุณลักษณะ
อนั พงึ ประสงค์

8. สือ่ /แหล่งการเรียนรู้
8.1 สื่อการเรยี นรู้
18) หนังสือเรียนรายวิชาเพิม่ เติม คณติ ศาสตร์ ม.5 เล่ม 1 หนว่ ยการเรียนรทู้ ่ี 1 ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ
19) หนงั สือแบบฝกึ หดั รายวิชาเพมิ่ เติม คณิตศาสตร์ ม.5 เลม่ 1 หน่วยการเรยี นรทู้ ี่ 1 ฟังก์ขันตรโี กณมิติ
8.2 แหลง่ การเรียนรู้
1) หอ้ งสมดุ
2) แหล่งชุมชน
3) อนิ เทอร์เน็ต

บนั ทกึ หลงั สอนแผนการสอนท่ี ............

1. ผลการสอนระดับช้ัน ม..............................
 สอนไดต้ ามแผนการจัดการเรียนรู้
 สอนไมไ่ ดต้ ามแผนการจัดการเรียนรู้ เนื่องจาก ..........................................................................

10.ผลท่ีเกดิ กบั ผู้เรียน
1.) การประเมนิ ผลความรหู้ ลังการเรียน โดยใช้………………แบบทดสอบหลงั เรียน............พบว่านกั เรียน

ผา่ นการประเมนิ คดิ เปน็ ร้อยละ................……..…. ไม่ผ่านเกณฑ์ขัน้ ต่ำที่กำหนดไว้คดิ เปน็ ร้อยละ.............................
ได้แก่ ....................................เลขท่ี …………………………...........................................................................................

2.) การประเมนิ ด้านทักษะกระบวนการเรยี น โดยใช้…………………………………………………………...............
พบว่านักเรยี นผา่ นการประเมนิ คิดเป็นรอ้ ยละ...........……. ไม่ผา่ นเกณฑข์ ้ันตำ่ ทีก่ ำหนดไว้คิดเปน็ ร้อยละ................
ได้แก่ .......................................................................................................................................................................

3.) การประเมนิ ด้านคณุ ลักษณะที่พึงประสงค์ เรียน โดยใช้………..…แบบสงั เกตพฤติกรรม....................
พบวา่ นักเรียนผา่ นการประเมนิ คดิ เป็นรอ้ ยละ..…....……. ไมผ่ า่ นเกณฑข์ ัน้ ต่ำที่กำหนดไว้คดิ เป็นรอ้ ยละ..................
ได้แก่ ........................................................................................................................................................................
3. ปัญหาและอปุ สรรค

 กิจกรรมการจดั การเรียนรู้ ไมเ่ หมาะสมกับเวลา
 มีนกั เรยี นทำใบงาน/ใบกิจกรรมไมท่ นั ตามกำหนดเวลา
 มนี กั เรยี นท่ไี มส่ นใจเรียน
 อ่นื ๆ .............................................................................................................................................
4. ข้อเสนอแนะ/แนวทางแก้ไข
 ควรนำแผนไปปรับปรงุ เรือ่ ง ......................................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 แนวทางแกไ้ ขนักเรียนท่ไี ม่ผ่านการประเมนิ ..................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 ไมม่ ขี ้อเสนอแนะ

ลงชอ่ื ผู้สอน
()

วนั ที่……..../................../................

ความคดิ เหน็ ของหัวหน้ากลุ่มสาระฯ ความคิดเหน็ ของหวั หน้างานวิชาการ
1.เป็นแผนการจดั การเรยี นร้ทู ่ี 1.เปน็ แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่
 ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรงุ  ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรุง
2.การจัดกจิ กรรมการเรยี นรไู้ ดน้ ำเอากระบวนการเรยี นรู้ 2.การจดั กจิ กรรมการเรยี นรไู้ ด้นำเอากระบวนการเรยี นรู้
ทีเ่ นน้ ผูเ้ รียนเป็นสำคัญมาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง  ทีเ่ น้นผ้เู รียนเปน็ สำคญั มาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง

เหมาะสมกบั ศกั ยภาพที่แตกต่างกันของผเู้ รียน เหมาะสมกับศกั ยภาพทแี่ ตกตา่ งกันของผเู้ รยี น
 ทยี่ งั ไม่เนน้ ผู้เรยี นเป็นสำคัญ ควรปรับปรุงพัฒนาต่อไป  ที่ยงั ไม่เน้นผเู้ รยี นเปน็ สำคญั ควรปรับปรุงพฒั นาตอ่ ไป
3.เปน็ แผนการจัดการเรียนรู้ 3.เปน็ แผนการจดั การเรียนรู้
 นำไปใช้ได้จริง  ควรปรับปรุงกอ่ นนำไปใช้  นำไปใช้ได้จรงิ  ควรปรบั ปรุงก่อนนำไปใช้
4.ข้อเสนอแนะอื่นๆ 4.ขอ้ เสนอแนะอน่ื ๆ
……………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………….

ลงชอ่ื ....................................................... ลงช่ือ.......................................................
(นางสาวณัฐญิ า คาโส)
(นายศภุ ชยั เรอื งเดช)

แผนการจดั การเรียนรูท้ ี่ 10

ตัวผกผนั ของฟงั กช์ ันตรีโกณมิติ

เวลา 4 ชัว่ โมง

1. ผลการเรยี นรู้

1) เข้าใจฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ิและลักษณะกราฟของฟงั ก์ชันตรีโกณมิติและ นำไปใชใ้ นการแก้ปญั หา

2) แก้สมการตรีโกณมติ แิ ละนำไปใชใ้ นการแก้ปัญหา

3) ใชก้ ฎของโคไซนแ์ ละกฎของไซน์ในการแกป้ ญั หา

2. จดุ ประสงค์การเรยี นรู้

1) คำนวณหาตวั ผกผันของฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิติทกี่ ำหนดให้ได้ (K)

2) เขียนขน้ั ตอนแสดงวธิ กี ารหาตวั ผกผนั ของฟังก์ชันตรีโกณมิติทีก่ ำหนดให้ พรอ้ มให้เหตุผลประกอบได้อย่าง

สมเหตุสมผล (P)

3) รับผิดชอบต่อหน้าทที่ ไ่ี ดร้ บั มอบหมาย (A)

3. สาระการเรยี นรู้

สาระการเรียนร้เู พมิ่ เติม สาระการเรียนรู้ทอ้ งถน่ิ

ฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิผกผัน พจิ ารณาตามหลักสูตรของสถานศกึ ษา

4. สาระสำคญั /ความคดิ รวบยอด

ฟงั ก์ชนั arcsine คอื เซตของคูอ่ ันดบั (x, y) โดยที่ x = sin y และ − ≤ ≤
22

ฟงั ก์ชัน arccosine คือ เซตของคอู่ ันดบั (x, y) โดยท่ี x = cos y และ 0 ≤ ≤

ฟงั กช์ ัน arctangent คือ เซตของคู่อนั ดับ (x, y) โดยท่ี x = tan y และ − < <
22

5. สมรรถนะสำคญั ของผเู้ รียนและคณุ ลักษณะอันพงึ ประสงค์

สมรรถนะสำคัญของผูเ้ รียน คณุ ลักษณะอนั พงึ ประสงค์

1. ความสามารถในการส่อื สาร 1. มีวินัย

2. ความสามารถในการคดิ 2. ใฝเ่ รียนรู้
3) ทักษะการเช่ือมโยง 3. มุง่ มนั่ ในการทำงาน
4) ทกั ษะการประยกุ ต์ใช้ความรู้

3. ความสามารถในการแกป้ ญั หา

6. กจิ กรรมการเรียนรู้

 แนวคิด/รปู แบบการสอน/วิธีการสอน/เทคนคิ : นิรนยั (Deductive Method)

ชว่ั โมงที่ 1

ขั้นนำ

ขั้นกำหนดขอบเขตของปัญหา
1. ครูทบทวนความร้เู ดมิ เรอ่ื งฟงั กช์ ันผกผัน โดยการถามคำถามนกั เรยี น ดงั น้ี
• ตามความเข้าใจของนักเรียนฟังก์ชันผกผันเป็นอยา่ งไร
(แนวตอบ นักเรียนสามารถตอบหลากหลายข้นึ อยกู่ ับความเข้าใจของนกั เรยี น)
2. ครูถามคำถามเพ่อื กระต้นุ ความสนใจของนักเรยี น ดงั น้ี
• ตัวผกผนั ของฟงั ก์ชนั ตรีโกณมติ ิ หาไดห้ รือไม่
(แนวตอบ นักเรียนตอบไดห้ ลากหลาย เพราะคำถามน้เี ป็นเพียงคำถามจดุ ประเดน็ ให้นกั เรียน
สนใจ)

ข้นั สอน

ขัน้ แสดงและอธบิ ายทฤษฏี หลักการ
1. ครูอธิบายกับนักเรยี นว่าการหาตวั ผกผันของฟงั กช์ ันตรโี กณมติ ทิ ำไดโ้ ดยการสลับที่ระหวา่ งสมาชิกตัว
หน้าและสมาชกิ ตวั หลงั ของแตล่ ะค่อู ันดบั ทเ่ี ป็นสมาชิกชองฟงั กช์ นั แตเ่ น่อื งจากฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิติทุก
ฟงั กช์ นั ไมเ่ ป็นฟงั กช์ ันหนง่ึ ตอ่ หนึง่ และตวั ผกผนั ของฟังก์ชันหนงึ่ ต่อหนึ่งเทา่ น้นั ที่เปน็ ฟงั ก์ชัน ดงั นน้ั
ตัวผกผันของฟงั กช์ นั ตรีโกณมิตจิ งึ ไม่เปน็ ฟังก์ชัน จากน้ันครถู ามคำถามกระต้นุ ให้นกั เรียนคดิ ต่อว่าจะ
ทำอยา่ งไรให้ตัวผกผนั ของฟงั กช์ ันตรโี กณมติ เิ ป็นฟงั กช์ นั
(แนวตอบ กำหนดโดเมนของฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ)
2. ครเู ขียนกราฟของ y = sin x บนกระดานหน้าช้ันเรียน จากนั้นครูอธิบายบทนิยามของ ฟังก์ชนั
arcsine คือ เซตของคอู่ ันดบั (x, y) โดยท่ี x = sin y และ − ≤ ≤ และครอู ธิบายความรู้ใน

22

กรอบ “คณติ นา่ ร้”ู ใหน้ กั เรียนฟังว่า “y = arcsine x จะเขยี นส้ันๆ ว่า y = arcsin x”
3. หลงั จากนนั้ ครูเขยี นกราฟของ y = arcsin x ให้นักเรียนดูอย่างละเอยี ดบนกระดานหน้าชน้ั เรียนบน

แกนของกราฟ y = sin x และใหน้ ักเรียนสงั เกตวา่ โดเมนและเรนจข์ องฟงั กช์ นั arcsine คืออะไร
จากนัน้ ครูถามคำถามนกั เรียน ดงั น้ี

• โดเมนของฟังกช์ ัน arcsine คืออะไร
(แนวตอบ โดเมนของฟังกช์ นั arcsine คอื [-1, 1])

• เรนจ์ของฟงั กช์ ัน arcsine คืออะไร
(แนวตอบ เรนจ์ของฟังกช์ ัน arcsine คือ [− π , π])

22

ข้ันใชัทฤษฏี หลักการ
4. ครใู หน้ ักเรียนศึกษาตัวอย่างท่ี 49 ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 87-88 หลงั จากนนั้ ครูถามคำถามนักเรียน
ดงั น้ี

• sin อะไรท่มี ีมมุ อยรู่ ะหว่าง − π ถึง π แล้วมีค่า √2
22 2
(แนวตอบ sin π )
4

• ดงั น้นั arcsin √2 เท่ากับเท่าไร
2

(แนวตอบ arcsin √2 = π)
24

• sin อะไรทมี่ มี มุ อยู่ระหวา่ ง − π ถงึ π แลว้ มคี ่า − √3
22 2

(แนวตอบ sin (− π) )
3

• ดังนั้น arcsin (− √3) เทา่ กับเท่าไร
2

(แนวตอบ arcsin (− √3) = − π)
23

5. ครใู หน้ ักเรยี นทำ “ลองทำด”ู ในหนังสอื เรียน หนา้ 88 เม่อื นกั เรียนทำเสร็จแล้ว ครูและนักเรยี น

ร่วมกนั เฉลยคำตอบ

ชวั่ โมงที่ 2

ข้ันสอน

ข้นั แสดงและอธิบายทฤษฏี หลักการ
6. ครเู ขียนกราฟของ y = cos x บนกระดานหน้าชนั้ เรียน จากนน้ั ครอู ธบิ ายบทนยิ ามของฟังก์ชนั

arccosine คอื เซตของคูอ่ นั ดบั (x, y) โดยที่ x = cos y และ 0 ≤ ≤ จากนั้นครอู ธิบายความรู้
ในกรอบ “คณติ นา่ รู”้ ใหน้ กั เรียนฟังวา่ “y = arccosine x จะเขียนสนั้ ๆ ว่า y = arccos x”
7. หลังจากนั้นครูเขยี นกราฟของ y = arccos x ใหน้ ักเรยี นดอู ยา่ งละเอียดบนกระดานหน้าชัน้ เรยี นบน
แกนของกราฟ y = cos x และให้นกั เรียนสังเกตวา่ โดเมนและเรนจข์ องฟงั กช์ ัน arccosine คืออะไร
จากน้นั ครูถามคำถามนักเรยี น ดงั น้ี

• โดเมนของฟงั ก์ชนั arccos คืออะไร
(แนวตอบ โดเมนของฟงั ก์ชัน arccos คอื [-1, 1])

• เรนจ์ของฟังกช์ นั arccosine คอื อะไร
(แนวตอบ เรนจข์ องฟังก์ชัน arccosine คอื [0, π])

ข้ันใชัทฤษฏี หลกั การ
8. ครใู ห้นกั เรียนศกึ ษาตวั อยา่ งท่ี 50 ในหนงั สือเรยี น หน้า 88-89 หลังจากนั้นครถู ามคำถามนักเรยี น
ดงั นี้

• cos อะไรทีม่ มี มุ อยูร่ ะหว่าง 0 ถึง π แล้วมคี ่า 1

(แนวตอบ cos 0 )

• ดังนัน้ arccos 1 เทา่ กับเท่าไร
(แนวตอบ arccos 1 = 0)

• cos อะไรที่มีมุมอยูร่ ะหว่าง 0 ถึง π แล้วมคี ่า − 1
2
(แนวตอบ cos (2π) )
3

• ดังนั้น arccos (− 1) เท่ากับเท่าไร
2
(แนวตอบ arccos (− 1) = 2π)
23

9. ครใู ห้นกั เรียนทำ “ลองทำดู” ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 90 เมื่อนกั เรยี นทำเสร็จแลว้ ครูและนกั เรียน
รว่ มกนั เฉลยคำตอบ

ช่ัวโมงที่ 3

ข้นั สอน

ข้นั แสดงและอธบิ ายทฤษฏี หลักการ
10. ครเู ขยี นกราฟของ y = tan x บนกระดานหนา้ ช้ันเรียน จากนน้ั ครอู ธิบายบทนยิ ามของฟังกช์ นั

arctangent คอื เซตของค่อู นั ดับ (x, y) โดยที่ x = tan y และ − < < จากน้นั ครอู ธบิ าย
22

ความรู้ในกรอบ “คณิตน่าร”ู้ ใหน้ กั เรยี นฟังว่า “y = arctangent x จะเขียนส้ันๆ วา่ y = arctan x”
11. หลังจากนน้ั ครูเขยี นกราฟของฟั y = arctan x ให้นกั เรยี นดูอย่างละเอยี ดบนกระดานหน้าชัน้ เรยี นบน

แกนของกราฟ y = tan x และใหน้ กั เรียนสงั เกตว่า โดเมนและเรนจ์ของฟงั กช์ นั arctangent คอื อะไร
จากน้ันครถู ามคำถามนกั เรยี น ดังนี้

• โดเมนของฟังก์ชนั arctangent คอื อะไร
(แนวตอบ โดเมนของฟงั กช์ นั arctangent คอื (−∞, ∞))

• เรนจข์ องฟงั กช์ ัน arctangent คืออะไร
(แนวตอบ เรนจ์ของฟังก์ชนั arctangent คือ (− π , π))

22

ขน้ั ใชัทฤษฏี หลักการ
12. ครูให้นักเรียนศกึ ษาตวั อยา่ งท่ี 51 ในหนงั สือเรยี น หนา้ 91 หลังจากนนั้ ครูถามคำถามนักเรียน ดังน้ี

• tan มุมเท่าไรมคี า่ √3
3
(แนวตอบ tan π )
6

• ดังน้นั arctan √3 เท่ากับเท่าไร
3
(แนวตอบ arccos √3 = π)
36

• tan มมุ เทา่ ไรมีคา่ -1
(แนวตอบ tan (− π) )

4

• ดังน้นั arctan(−1) เทา่ กับเท่าไร
(แนวตอบ arccos(−1) = − π)

4

13. ครูให้นักเรียนทำ “ลองทำดู” ในหนงั สือเรียน หนา้ 92 เม่ือนกั เรียนทำเสร็จแล้ว ครแู ละนักเรยี น
ร่วมกันเฉลยคำตอบ

ช่วั โมงท่ี 4

ข้นั สอน

ขั้นแสดงและอธบิ ายทฤษฏี หลักการ
14. ครูใหน้ ักเรียนศกึ ษาความสมั พันธร์ ะหว่างโดเมนและเรนจ์ท่ีทำใหแ้ ต่ละฟงั ก์ชันมฟี งั ก์ชนั ผกผันได้ ใน

หนังสอื เรียน หนา้ 92 และศกึ ษากราฟของฟังกช์ นั sine, cosine, tangent และกราฟของฟังกช์ ัน
arcsine, arccosine และ arctangent ในหนงั สือเรยี น หน้า 92-93
ขน้ั ใชัทฤษฏี หลักการ
15. ครูใหน้ ักเรียนจับคู่และร่วมกนั ศกึ ษาตัวอย่างที่ 52-56 ในหนังสือเรยี น หนา้ 93-95 เม่อื นกั เรียน
แลกเปลยี่ นความรกู้ ับคขู่ องตนเองจนเป็นทเ่ี ขา้ ใจร่วมกันแล้วครูสุ่มนักเรยี น 4 คน ออกมาแสดงทำ
อย่างละเอียดพร้อมกับถามคำถามนักเรยี นในหอ้ งใหร้ ่วมกันตรวจสอบพร้อมแสดงแนวคดิ ที่ต่างหรอื
วิธีการที่หลากหลาย
16. ครูใหน้ กั เรียนแตล่ ะคนทำ “ลองทำด”ู ทา้ ยตัวอยา่ งที่ 52-56 ในหนังสือเรยี น หน้า 93-96 เม่อื
นักเรยี นแต่ละคนทำเสรจ็ ครูและนกั เรยี นร่วมกนั เฉลยคำตอบโดยละเอียด

ข้ันสรปุ

ข้นั ตรวจสอบและสรปุ
17. ครถู ามคำถามเพอ่ื สรุปความรู้รวบยอดของนักเรยี น ดังน้ี

• ฟังกช์ ัน arcsine คืออะไร
(แนวตอบ เซตของคอู่ ันดบั (x, y) โดยที่ x = sin y และ − ≤ ≤ )

22

• โดเมนของฟังก์ชนั arcsine คอื อะไร
(แนวตอบ โดเมนของฟังกช์ ัน arcsine คือ [-1, 1])

• เรนจข์ องฟังกช์ นั arcsine คอื อะไร
(แนวตอบ เรนจ์ของฟงั กช์ ัน arcsine คือ [− π , π])

22

• ฟงั กช์ ัน arccosine คืออะไร
(แนวตอบ เซตของค่อู ันดบั (x, y) โดยท่ี x = cos y และ 0 ≤ ≤ )

• โดเมนของฟงั กช์ นั arccos คืออะไร

(แนวตอบ โดเมนของฟังกช์ นั arccos คอื [-1, 1])
• เรนจ์ของฟงั กช์ ัน arccosine คอื อะไร

(แนวตอบ เรนจข์ องฟังกช์ นั arccosine คือ [0, π])
• ฟังกช์ นั arctangent คืออะไร

(แนวตอบ เซตของคู่อันดบั (x, y) โดยที่ x = tan y และ − < < )
22

• โดเมนของฟงั กช์ นั arctangent คอื อะไร
(แนวตอบ โดเมนของฟงั ก์ชนั arctangent คือ (−∞, ∞))

• เรนจข์ องฟงั ก์ชัน arctangent คอื อะไร
(แนวตอบ เรนจ์ของฟงั ก์ชนั arctangent คอื (− π , π))

22

ข้นั ฝกึ ปฏบิ ัติ
18. ครูให้นกั เรยี นจัดกลุ่ม กลุ่มละ 4-5 คน คละความสามารถทางคณติ ศาสตร์ แล้วใหท้ ำกิจกรรม

คณติ ศาสตร์ ดังน้ี
• ใหน้ กั เรยี นทำแบบฝึกทักษะ 1.10 ในหนงั สือเรยี น หนา้ 96
• ใหน้ กั เรียนในแตล่ ะกล่มุ ทำความเขา้ ใจรว่ มกัน หลังจากน้นั ครูลุ่มนกั เรียนในแต่ละกลุ่มออกมา
เฉลยคำตอบ อย่างละเอยี ด โดยครูและเพือ่ น ๆ คอยตรวจสอบความถูกตอ้ ง

7. การวดั และประเมนิ ผล วิธีการ เครอ่ื งมอื เกณฑก์ ารประเมิน
รายการวัด
- ตรวจแบบฝึกทักษะ 1.10 - แบบฝึกทักษะ 1.10 - รอ้ ยละ 60 ผ่านเกณฑ์
7.1 ประเมนิ ระหวา่ งการจัด - ตรวจ Exercise 1.10
กิจกรรมการเรียนรู้ - ประเมนิ การนำเสนอ - Exercise 1.10 - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์
1) ตวั ผกผันของฟังกช์ นั ผลงาน
- สังเกตพฤตกิ รรม - แบบประเมนิ การ - ระดบั คุณภาพ 2
ตรโี กณมติ ิ การทำงานรายบุคคล นำเสนอผลงาน ผ่านเกณฑ์
2) การนำเสนอผลงาน
- สังเกตพฤติกรรม - แบบสังเกต - ระดบั คณุ ภาพ 2
3) พฤติกรรมการทำงาน การทำงานกลุ่ม
รายบุคคล พฤติกรรม ผา่ นเกณฑ์
- สังเกตความมีวนิ ัย
4) พฤตกิ รรมการทำงาน ใฝ่เรียนรู้ และม่งุ มน่ั การทำงาน
กลุม่ ในการทำงาน รายบุคคล

5) คุณลักษณะ - แบบสงั เกต - ระดับคุณภาพ 2
อันพงึ ประสงค์ พฤติกรรม ผ่านเกณฑ์
การทำงานกล่มุ

- แบบประเมนิ - ระดบั คณุ ภาพ 2
คุณลักษณะ ผา่ นเกณฑ์

อนั พึงประสงค์

8. สอื่ /แหล่งการเรียนรู้
8.1 ส่ือการเรียนรู้
20) หนังสอื เรียนรายวชิ าเพ่มิ เติม คณติ ศาสตร์ ม.5 เล่ม 1 หนว่ ยการเรียนรูท้ ี่ 2 ฟังกช์ ันตรีโกณมติ ิ
21) หนงั สอื แบบฝกึ หดั รายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 1 หนว่ ยการเรยี นร้ทู ี่ 2 ฟงั ก์ชันตรีโกณมติ ิ
8.2 แหลง่ การเรียนรู้
1) ห้องสมุด
2) แหล่งชมุ ชน
3) อนิ เทอร์เนต็

บนั ทกึ หลงั สอนแผนการสอนที่ ............

1. ผลการสอนระดบั ชัน้ ม..............................
 สอนได้ตามแผนการจดั การเรยี นรู้
 สอนไม่ไดต้ ามแผนการจัดการเรยี นรู้ เน่อื งจาก ..........................................................................

11.ผลท่ีเกดิ กับผู้เรียน
1.) การประเมนิ ผลความรหู้ ลังการเรียน โดยใช้………………แบบทดสอบหลงั เรียน............พบวา่ นกั เรียน

ผา่ นการประเมินคิดเปน็ ร้อยละ................……..…. ไม่ผา่ นเกณฑข์ น้ั ตำ่ ท่ีกำหนดไว้คิดเป็นร้อยละ.............................
ไดแ้ ก่ ....................................เลขท่ี …………………………...........................................................................................

2.) การประเมินดา้ นทักษะกระบวนการเรยี น โดยใช…้ ………………………………………………………...............
พบว่านักเรียนผา่ นการประเมินคดิ เป็นรอ้ ยละ...........……. ไมผ่ ่านเกณฑข์ น้ั ต่ำทกี่ ำหนดไว้คิดเปน็ ร้อยละ................
ไดแ้ ก่ .......................................................................................................................................................................

3.) การประเมินดา้ นคณุ ลักษณะท่ีพึงประสงค์ เรียน โดยใช…้ ……..…แบบสังเกตพฤติกรรม....................
พบว่านกั เรียนผา่ นการประเมนิ คดิ เป็นรอ้ ยละ..…....……. ไม่ผา่ นเกณฑข์ นั้ ต่ำทก่ี ำหนดไว้คดิ เป็นรอ้ ยละ..................
ไดแ้ ก่ ........................................................................................................................................................................
3. ปัญหาและอปุ สรรค

 กิจกรรมการจัดการเรียนรู้ ไม่เหมาะสมกับเวลา
 มีนกั เรยี นทำใบงาน/ใบกจิ กรรมไมท่ นั ตามกำหนดเวลา
 มีนักเรยี นที่ไม่สนใจเรียน
 อ่ืน ๆ .............................................................................................................................................
4. ขอ้ เสนอแนะ/แนวทางแกไ้ ข
 ควรนำแผนไปปรับปรงุ เรือ่ ง ......................................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 แนวทางแก้ไขนกั เรียนท่ไี ม่ผ่านการประเมนิ ..................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 ไมม่ ีข้อเสนอแนะ

ลงชื่อ ผู้สอน
()

วนั ที่……..../................../................

ความคดิ เหน็ ของหัวหน้ากลุ่มสาระฯ ความคิดเหน็ ของหวั หน้างานวิชาการ
1.เป็นแผนการจดั การเรยี นร้ทู ่ี 1.เปน็ แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่
 ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรงุ  ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรับปรุง
2.การจัดกจิ กรรมการเรยี นรไู้ ดน้ ำเอากระบวนการเรยี นรู้ 2.การจดั กจิ กรรมการเรยี นรไู้ ด้นำเอากระบวนการเรยี นรู้
ทีเ่ นน้ ผูเ้ รียนเป็นสำคัญมาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง  ทีเ่ น้นผ้เู รียนเปน็ สำคญั มาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง

เหมาะสมกบั ศกั ยภาพที่แตกต่างกันของผเู้ รียน เหมาะสมกับศกั ยภาพทแี่ ตกตา่ งกันของผเู้ รยี น
 ทยี่ งั ไม่เนน้ ผู้เรยี นเป็นสำคัญ ควรปรับปรุงพัฒนาต่อไป  ที่ยงั ไม่เน้นผเู้ รยี นเปน็ สำคญั ควรปรับปรุงพฒั นาตอ่ ไป
3.เปน็ แผนการจัดการเรียนรู้ 3.เปน็ แผนการจดั การเรียนรู้
 นำไปใช้ได้จริง  ควรปรับปรุงกอ่ นนำไปใช้  นำไปใช้ได้จรงิ  ควรปรบั ปรุงก่อนนำไปใช้
4.ข้อเสนอแนะอื่นๆ 4.ขอ้ เสนอแนะอน่ื ๆ
……………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………….

ลงชอ่ื ....................................................... ลงช่ือ.......................................................
(นางสาวณัฐญิ า คาโส)
(นายศภุ ชยั เรอื งเดช)

แผนการจดั การเรยี นร้ทู ่ี 11

เอกลกั ษณ์ตรโี กณมติ ิ และสมการตรโี กณมติ ิ

เวลา 3 ชั่วโมง

1. ผลการเรยี นรู้

1) เข้าใจฟงั ก์ชันตรีโกณมติ แิ ละลกั ษณะกราฟของฟงั กช์ ันตรโี กณมิตแิ ละ นำไปใชใ้ นการแกป้ ัญหา

2) แก้สมการตรีโกณมติ แิ ละนำไปใชใ้ นการแกป้ ัญหา

3) ใชก้ ฎของโคไซน์และกฎของไซน์ในการแกป้ ญั หา

2. จุดประสงค์การเรียนรู้

1) แก้สมการตรโี กณมติ ิและนำไปใชใ้ นการแกป้ ัญหาได้ (K)

2) ใชเ้ อกลักษณต์ รโี กณมิติในการแกส้ มการตรโี กณมิตไิ ดอ้ ย่างเหมาะสม (K)

3) ให้เหตุผลประกอบการพิสจู น์สมการตรีโกณมิติทกี่ ำหนดให้ดอ้ ย่างสมเหตุสมผล (P)

4) รบั ผิดชอบต่อหน้าท่ที ไี่ ด้รบั มอบหมาย (A)

3. สาระการเรียนรู้

สาระการเรียนร้เู พม่ิ เตมิ สาระการเรยี นรูท้ ้องถ่ิน

เอกลักษณ์และสมการตรโี กณมติ ิ พจิ ารณาตามหลักสูตรของสถานศกึ ษา

4. สาระสำคัญ/ความคดิ รวบยอด

สมการทมี่ ฟี ังกช์ ันตรีโกณมติ ปิ รากฎอยู่ เรยี กวา่ สมการตรีโกณมติ ิ

สมการ cos 2θ + sin2θ = 1 เป็นจริงสำหรับทุก θ เรียกสมการตรโี กณมติ ิท่ีเป็นจริงสำหรับทุกค่าของ θ

วา่ เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

5. สมรรถนะสำคญั ของผเู้ รียนและคุณลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์

สมรรถนะสำคญั ของผเู้ รยี น คณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์

1. ความสามารถในการสื่อสาร 1. มีวนิ ยั

2. ความสามารถในการคิด 2. ใฝ่เรียนรู้
5) ทกั ษะการเชื่อมโยง 3. มุ่งมั่นในการทำงาน
6) ทักษะการประยุกตใ์ ช้ความรู้

3. ความสามารถในการแก้ปญั หา

6. กิจกรรมการเรยี นรู้
 แนวคิด/รปู แบบการสอน/วิธกี ารสอน/เทคนคิ : Concept Based Teaching

ช่ัวโมงท่ี 1

ขั้นนำ

ขน้ั ทบทวนความร้เู ดมิ เชอ่ื งโยงความร้ใู หม่
3. ครกู ลา่ วกบั นกั เรียนวา่ สำหรับหัวขอ้ น้ี นกั เรียนจะไดน้ ำความสมั พันธต์ ่าง ๆ ทีเ่ กย่ี วกบั ฟังกช์ ัน
ตรีโกณมติ ิมาใช้เพอ่ื แสดงความเทา่ กันทกุ ประการระหวา่ งฟงั ก์ชันตรโี กณมิติท่แี ตกตา่ งกันตั้งแต่ 2
ฟังก์ชนั ขน้ึ ไป ซง่ึ จะเรียกว่า “การพิสจู นเ์ อกลกั ษณต์ รโี กณมิติ”
4. ครูทบทวนความรู้เดมิ เรื่องเอกลกั ษณ์ตรีโกณมติ ิ โดยการถามคำถามนักเรยี น ดงั นี้

• ตามความเข้าใจของนกั เรยี น “เอกลกั ษณต์ รีโกณมติ ิ” คอื อะไร
(แนวตอบ นกั เรียนสามารถตอบหลากหลายขึ้นอย่กู บั ความเขา้ ใจพืน้ ฐานของนักเรยี น)

ข้นั สอน

ขั้นรู้ (Knowing)

1. ครเู ขยี นสมการ cos 2θ + sin2θ = 1 เปน็ จริงสำหรบั ทกุ θ เรยี กสมการตรีโกณมิตทิ ่เี ปน็ จรงิ สำหรับ

ทกุ ค่าของ θ วา่ เอกลกั ษณ์ตรโี กณมิติ จากนัน้ ครูกำหนด cos 2θ + sin2θ = 1 ให้เปน็ สมการท่ี 1

จะไดล้ ักษณะ ดงั น้ี

cos 2θ + sin2θ = 1 ...............(1)

ครูถามคำถามนกั เรยี นว่า ถ้าครูนำ cos 2θ หารสมการ (1) จะได้ผลลัพธ์เช่นไร ครใู ห้นักเรยี นคิดกอ่ น

ครูจะเฉลยบทกระดานหนา้ ช้นั เรียน ดงั นี้

(1) ÷ cos 2θ จะได้ cos 2θ + sin2θ = 1
cos 2θ cos 2θ cos 2θ

1 + tan2θ = sec 2θ ………………..(2)

จากนน้ั ครูถามคำถามนักเรียนต่อไปอีกวา่ ถ้าครูนำ sin 2θ หารสมการ (1) จะได้ผลลัพธ์เช่นไร ครใู ห้

นักเรยี นคดิ ก่อนครจู ะเฉลยบทกระดานหน้าชั้นเรยี น ดังนี้

(1) ÷ sin 2θ จะได้ cos 2θ + sin2θ = 1
sin 2θ sin 2θ sin 2θ
cot2θ + 1 = cosec 2θ ………………..(2)

2. ครใู ห้นกั เรยี นจับคศู่ ึกษาตัวอย่างที่ 57-60 ในหนังสอื เรียน หนา้ 97-99 แลว้ แลกเปลีย่ นความร้กู ับคู่

ของตนเอง จนเปน็ ทเี่ ข้าใจร่วมกนั

ขั้นเขา้ ใจ (Understanding)

3. เมือ่ นกั เรยี นแตล่ ะค่ศู ึกษาตวั อยา่ งที่ 57-60 ในหนังสือเรียน หน้า 97-99 เสรจ็ ครูถามคำถามเพ่ือให้

นักเรียนแสดงความเข้าใจจากตัวอยา่ งที่ศึกษา โดยครถู ามคำถามนักเรียน ดังน้ี

• จากตัวอยา่ งที่ 57 ทำไมถงึ แทนคา่ 1 + tan2θ = sec 2θ

(แนวตอบ นำ cos 2θ หารตลอดสมการ cos 2θ + sin2θ = 1 จะได้ 1 + tan2θ = sec 2θ)

• จากตัวอย่างที่ 58 ทำไมถึงแทนค่า 1 − cos 2θ = sin2θ

(แนวตอบ นำ cos 2θ ลบตลอดสมการ cos 2θ + sin2θ = 1 จะได้ 1 − cos 2θ = sin2θ )

• จากตวั อยา่ งที่ 59 ใช้ความสมั พันธใ์ ดของฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิ
(แนวตอบ ความสัมพนั ธร์ ะหว่างผลบวก ผลตา่ ง และผลคูณของฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ิ
ที่วา่ sin α − sin β = 2cos (α+β) sin (α−β))

22

• จากตัวอย่างท่ี 60 ใชค้ วามสัมพันธ์ใดของฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ
(แนวตอบ ความสัมพนั ธ์ระหวา่ งผลบวก ผลต่าง และผลคูณของฟังก์ชนั ตรโี กณมิติ
ท่ีวา่ cos α + cos β = 2cos (α+β) cos (α−β))

22

4. หลังจากน้ันครใู หน้ ักเรียนแตล่ ะคนทำ “ลองทำด”ู ท้ายตวั อยา่ งท่ี 57-60 ในหนงั สือเรียน หนา้ 97-99
เมือ่ นกั เรยี นทุกคนทำเสรจ็ ครสู ุม่ นักเรียนออกมาเฉลยคำตอบ โดยใหน้ ักเรียนแสดงวธิ ีทำอยา่ งละเอียด
โดยครูและเพื่อน ๆ คอยตรวจสอบความถกู ตอ้ ง

ช่วั โมงที่ 2

ขั้นสอน

ขน้ั รู้ (Knowing)

5. ครูอธบิ ายนักเรยี นวา่ “ฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ิโดยทัว่ ไปไม่เปน็ ฟังก์ชนั หนงึ่ ตอ่ หน่งึ ทำให้คา่ ของฟังกช์ นั

ตรีโกณมติ ิของจำนวนจรงิ หรือมมุ ใด ๆ อาจจะมคี ่าซำ้ กันได้ ดังนนั้ ในการหาคำตอบของสมการ

ตรโี กณมติ ิ ถา้ โจทยไ์ ม่ได้กำหนดให้คำตอบอยู่ในช่วงใดชว่ งหนึง่ คำตอบจะอยูใ่ นรปู ของค่าทวั่ ไป”

6. ครใู หน้ ักเรียนจบั คู่ศกึ ษาตัวอยา่ งท่ี 61-64 ในหนงั สอื เรียน หน้า 100-101 แล้วแลกเปล่ียนความรกู้ ับคู่

ของตนเอง จนเปน็ ที่เขา้ ใจรว่ มกัน

ขน้ั เขา้ ใจ (Understanding)

7. เม่ือนักเรยี นแต่ละคศู่ ึกษาตวั อย่างท่ี 61-64 ในหนงั สือเรียน หน้า 100-101 เสรจ็ ครูถามคำถามเพอ่ื ให้

นักเรียนแสดงความเขา้ ใจจากตวั อยา่ งท่ีศึกษา โดยครูถามคำถามนกั เรยี น ดงั น้ี

• จากตัวอย่างที่ 61 cosine มุมเทา่ ไรในจตภุ าคที่ 1 ทีเ่ ท่ากบั √3
2

(แนวตอบ cos = √3 ดังน้นั เซตคำตอบ คอื { })
62 6

• จากตวั อยา่ งท่ี 62 tangent มมุ เทา่ ไรในวงกลมหน่ึงหน่วย ทีเ่ ทา่ กบั 1
√3
(แนวตอบ tan θ = 1 คอื และ 7 ดังนั้น เซตคำตอบ คือ { , 7 })
√3 6 6 66

• จากตัวอย่างท่ี 62 tangent มมุ เทา่ ไร ทีเ่ ท่ากับ 1
√3
(แนวตอบ tan θ = 1 คือ และ 7 ดงั น้ัน ค่าทั่วไปของ ท่ที ำให้สมการเปน็ จริง คือ 2nπ + π
√3 6 6 6
และ 2nπ + 7π เมอ่ื n ∈ I)
6

• จากตัวอย่างที่ 63 สมการ cos 2θ + 3 sin θ = 2 จะแก้สมการอยา่ งไร

(แนวตอบ เปลย่ี น cos 2θ เปน็ 1 − 2 sin2 θ จะได้ (1 − 2 sin2 θ) + 3 sin θ = 2

จากนนั้ แกส้ มการ 2 sin2 θ − 3 sin θ + 1 = 0 โดยการแยกตัวประกอบ)
• จากตวั อยา่ งท่ี 64 สมการ 2 cos2 x + 2 cos2 x = 1 จะแก้สมการอย่างไร

(แนวตอบ เปลยี่ น cos 2x เปน็ 2 cos2 x − 1 จะได้ 2 cos2 x + 2(2 cos2 x − 1) = 1
จากนั้นแกส้ มการ 6 cos2 x = 3)
8. หลังจากนน้ั ครูให้นกั เรยี นแต่ละคนทำ “ลองทำดู” ทา้ ยตวั อยา่ งท่ี 61-64 ในหนงั สือเรียน หน้า 100-
101 เมอ่ื นกั เรยี นทุกคนทำเสร็จ ครสู ุม่ นักเรียนออกมาเฉลยคำตอบ โดยให้นกั เรยี นแสดงวิธีทำอยา่ ง
ละเอยี ด โดยครแู ละเพ่ือน ๆ คอยตรวจสอบความถูกต้อง

ช่วั โมงที่ 3

ขน้ั สอน

ข้นั เข้าใจ (Understanding)
9. ครูให้นักเรยี นแตล่ ะคนทำแบบฝึกทกั ษะ 1.11 ขอ้ 1.-4. ในหนังสือเรยี น หนา้ 102 เมอื่ นักเรยี นแตล่ ะ

คนทำเสร็จครสู ุม่ นักเรียนออกมาแสดงวิธีทำธีละคนไมซ่ ำ้ กนั โดยครูและเพื่อน ๆ คอยตรวจสอบความ
ถูกต้อง
ขน้ั ลงมอื ทำ (Doing)
10. ครูให้นกั เรียนจดั กลมุ่ กล่มุ ละ 4-5 คน คละความสามารถทางคณติ ศาสตร์ แลว้ ใหท้ ำกิจกรรม
คณิตศาสตร์ ดงั นี้

• ให้นักเรียนทำแบบฝึกทกั ษะ 1.11 ข้อ 5. และข้อ 6. ในหนังสอื เรียน หนา้ 102
• ให้นกั เรียนในแตล่ ะกลมุ่ ทำความเขา้ ใจรว่ มกัน หลังจากนั้นครลู ุ่มนกั เรยี นในแตล่ ะกล่มุ ออกมา

เฉลยคำตอบ อย่างละเอียด โดยครแู ละเพ่อื น ๆ คอยตรวจสอบความถกู ต้อง

ขน้ั สรุป

ขั้นตรวจสอบและสรปุ
19. ครถู ามคำถามเพอ่ื สรุปความร้รู วบยอดของนักเรียน ดังนี้

• เอกลักษณต์ รโี กณมิติ คอื อะไร
(แนวตอบ สมการ cos 2θ + sin2θ = 1 เปน็ จรงิ สำหรับทุก θ)

• โดเมนของฟังก์ชัน arcsine คืออะไร
(แนวตอบ โดเมนของฟงั ก์ชนั arcsine คือ [-1, 1])

7. การวัดและประเมนิ ผล วธิ ีการ เครอ่ื งมอื เกณฑก์ ารประเมิน
รายการวดั
- ตรวจแบบฝึกทกั ษะ 1.11 - แบบฝึกทักษะ 1.11 - รอ้ ยละ 60 ผ่านเกณฑ์
7.1 ประเมินระหวา่ งการจัด - ตรวจ Exercise 1.11
กจิ กรรมการเรยี นรู้ - ประเมนิ การนำเสนอ - Exercise 1.11 - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์
1) เอกลกั ษณ์ตรีโกณมิติ ผลงาน
- สงั เกตพฤตกิ รรม - แบบประเมนิ การ - ระดบั คุณภาพ 2
และสมการตรโี กณมติ ิ การทำงานรายบุคคล นำเสนอผลงาน ผ่านเกณฑ์
2) การนำเสนอผลงาน
- สงั เกตพฤติกรรม - แบบสังเกต - ระดบั คณุ ภาพ 2
3) พฤติกรรมการทำงาน การทำงานกลุ่ม
รายบคุ คล พฤตกิ รรม ผา่ นเกณฑ์
- สังเกตความมีวินยั
4) พฤติกรรมการทำงาน ใฝ่เรียนรู้ และม่งุ มัน่ การทำงาน
กลุ่ม ในการทำงาน
รายบคุ คล
5) คุณลกั ษณะ
อนั พงึ ประสงค์ - แบบสงั เกต - ระดับคุณภาพ 2

พฤตกิ รรม ผ่านเกณฑ์

การทำงานกล่มุ

- แบบประเมนิ - ระดบั คณุ ภาพ 2

คุณลักษณะ ผา่ นเกณฑ์

อนั พึงประสงค์

8. ส่อื /แหล่งการเรียนรู้
8.1 สอ่ื การเรยี นรู้
22) หนงั สือเรยี นรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 1 หนว่ ยการเรียนรูท้ ี่ 2 ฟังกช์ ันตรีโกณมติ ิ
23) หนงั สอื แบบฝึกหัดรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร์ ม.5 เลม่ 1 หนว่ ยการเรยี นร้ทู ี่ 2 ฟงั ก์ชันตรีโกณมติ ิ
8.2 แหล่งการเรยี นรู้
1) หอ้ งสมดุ
2) แหล่งชุมชน
3) อนิ เทอรเ์ นต็

บนั ทกึ หลงั สอนแผนการสอนท่ี ............

1. ผลการสอนระดบั ชัน้ ม..............................
 สอนได้ตามแผนการจัดการเรียนรู้
 สอนไม่ไดต้ ามแผนการจัดการเรยี นรู้ เน่ืองจาก ..........................................................................

12.ผลท่ีเกดิ กับผู้เรียน
1.) การประเมนิ ผลความรหู้ ลังการเรยี น โดยใช้………………แบบทดสอบหลงั เรียน............พบวา่ นกั เรยี น

ผา่ นการประเมินคิดเปน็ ร้อยละ................……..…. ไม่ผ่านเกณฑ์ข้ันต่ำทก่ี ำหนดไว้คดิ เปน็ ร้อยละ.............................
ไดแ้ ก่ ....................................เลขท่ี …………………………...........................................................................................

2.) การประเมินดา้ นทักษะกระบวนการเรยี น โดยใช…้ ………………………………………………………...............
พบว่านักเรียนผา่ นการประเมินคดิ เป็นรอ้ ยละ...........……. ไมผ่ ่านเกณฑ์ขนั้ ต่ำทีก่ ำหนดไว้คิดเปน็ ร้อยละ................
ไดแ้ ก่ .......................................................................................................................................................................

3.) การประเมินดา้ นคุณลักษณะที่พึงประสงค์ เรียน โดยใช…้ ……..…แบบสงั เกตพฤติกรรม....................
พบว่านกั เรียนผา่ นการประเมนิ คดิ เป็นรอ้ ยละ..…....……. ไมผ่ า่ นเกณฑ์ขน้ั ต่ำทก่ี ำหนดไว้คดิ เป็นรอ้ ยละ..................
ไดแ้ ก่ ........................................................................................................................................................................
3. ปัญหาและอปุ สรรค

 กิจกรรมการจัดการเรียนรู้ ไมเ่ หมาะสมกับเวลา
 มีนกั เรยี นทำใบงาน/ใบกิจกรรมไม่ทันตามกำหนดเวลา
 มีนักเรยี นที่ไม่สนใจเรียน
 อ่ืน ๆ .............................................................................................................................................
4. ขอ้ เสนอแนะ/แนวทางแกไ้ ข
 ควรนำแผนไปปรับปรงุ เรือ่ ง ......................................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 แนวทางแก้ไขนกั เรียนท่ไี ม่ผ่านการประเมนิ ..................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 ไมม่ ีข้อเสนอแนะ

ลงชอ่ื ผู้สอน
()

วนั ท่ี……..../................../................

ความคดิ เหน็ ของหัวหน้ากลุ่มสาระฯ ความคิดเหน็ ของหวั หน้างานวิชาการ
1.เป็นแผนการจดั การเรยี นร้ทู ่ี 1.เปน็ แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่
 ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรงุ  ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรุง
2.การจัดกจิ กรรมการเรยี นรไู้ ดน้ ำเอากระบวนการเรยี นรู้ 2.การจดั กจิ กรรมการเรยี นรไู้ ด้นำเอากระบวนการเรยี นรู้
ทีเ่ นน้ ผูเ้ รียนเป็นสำคัญมาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง  ทีเ่ น้นผ้เู รียนเปน็ สำคญั มาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง

เหมาะสมกบั ศกั ยภาพที่แตกต่างกันของผเู้ รียน เหมาะสมกับศกั ยภาพทแี่ ตกตา่ งกันของผเู้ รยี น
 ทยี่ งั ไม่เนน้ ผู้เรยี นเป็นสำคัญ ควรปรับปรุงพัฒนาต่อไป  ที่ยงั ไม่เน้นผเู้ รยี นเปน็ สำคญั ควรปรับปรุงพฒั นาตอ่ ไป
3.เปน็ แผนการจัดการเรียนรู้ 3.เปน็ แผนการจดั การเรียนรู้
 นำไปใช้ได้จริง  ควรปรับปรุงกอ่ นนำไปใช้  นำไปใช้ได้จรงิ  ควรปรบั ปรุงก่อนนำไปใช้
4.ข้อเสนอแนะอื่นๆ 4.ขอ้ เสนอแนะอน่ื ๆ
……………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………….

ลงชอ่ื ....................................................... ลงช่ือ.......................................................
(นางสาวณัฐญิ า คาโส)
(นายศภุ ชยั เรอื งเดช)

แผนการจดั การเรยี นรทู้ ่ี 12

กฎของไซน์และโคไซน์

เวลา 3 ช่วั โมง

1. ผลการเรียนรู้

1) เข้าใจฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิและลักษณะกราฟของฟังก์ชนั ตรีโกณมติ แิ ละ นำไปใชใ้ นการแกป้ ัญหา

2) แก้สมการตรีโกณมติ แิ ละนำไปใช้ในการแก้ปัญหา

3) ใช้กฎของโคไซนแ์ ละกฎของไซนใ์ นการแกป้ ญั หา

2. จุดประสงค์การเรยี นรู้

1) หาความสัมพนั ธข์ องกฎของโคไซน์และกฎของไซน์ได้ (K)

2) ใหเ้ หตุผลประกอบการพสิ ูจน์กฎของโคไซน์และกฎของไซน์ไดอ้ ยา่ งสมเหตสุ มผล (P)

3) รบั ผิดชอบต่อหนา้ ที่ที่ไดร้ บั มอบหมาย (A)

3. สาระการเรยี นรู้

สาระการเรยี นรเู้ พ่ิมเติม สาระการเรยี นรูท้ อ้ งถิน่

กฎของโคไซนแ์ ละกฎของไซน์ พจิ ารณาตามหลกั สูตรของสถานศกึ ษา

4. สาระสำคัญ/ความคดิ รวบยอด

กฎของไซน์ คือ ในรูปสามเหล่ยี ม ABC ใด ๆ

ถ้า a, b และ c เป็นความยาวของด้านตรงขา้ มมุม A, B และ C ตามลำดบั จะได้ว่า

sin A sin B sin C
a=b=c

กฎของโคไซน์ คือ ในรูปสามเหลยี่ ม ABC ใด ๆ

ถ้า a, b และ c เป็นความยาวของด้านตรงขา้ มมมุ A, B และ C ตามลำดบั จะไดว้ ่า

a2 = b2 + c2 − 2bccos A
b2 = a2 + c2 − 2accos B
c2 = a2 + b2 − 2abcos C

5. สมรรถนะสำคญั ของผู้เรยี นและคณุ ลักษณะอันพึงประสงค์

สมรรถนะสำคัญของผู้เรียน คุณลักษณะอนั พึงประสงค์

1. ความสามารถในการส่อื สาร 1. มวี ินัย

2. ความสามารถในการคดิ 2. ใฝเ่ รยี นรู้
7) ทกั ษะการเชอ่ื มโยง 3. มุ่งมัน่ ในการทำงาน
8) ทักษะการประยกุ ต์ใชค้ วามรู้

3. ความสามารถในการแกป้ ัญหา

6. กจิ กรรมการเรียนรู้
 แนวคดิ /รปู แบบการสอน/วธิ กี ารสอน/เทคนคิ : Concept Based Teaching

ชว่ั โมงที่ 1
ขั้นนำ

ข้นั ทบทวนความร้เู ดิมเชือ่ งโยงความรู้ใหม่
5. ครเู ขียนรูปสามเหล่ียมมุมฉาก ABC ทีม่ มี ุม C เป็นมุมฉาก บนกระดาน ดังนี้

6. จากนั้นครถู ามคำถามนกั เรยี นว่า อัตราส่วนตรโี กณมิตจิ ากรูปสามเหลย่ี ม ABC มอี ะไรบา้ ง
(แนวตอบ จากรูปสามเหลยี่ ม ABC ทีม่ ีมุม C เปน็ มมุ ฉาก จะไดว้ ่า

1. sin A = BC 4. cosec A = AB = 1

AB BC sin A

2. cos A = AC 5. sec A = AB = 1

AB AC cos A

3. tan A = BC = sin A 6. cot A = AC = 1 )

AC cos A BC tan A

ขั้นสอน

ขนั้ รู้ (Knowing)
11. ครเู ขยี นรปู สามเหล่ียมเช่นเดียวกบั รปู สามเหล่ียมมมุ แหลม ในหนงั สอื เรียน หน้า 103 จากนั้นครูให้

นักเรยี นพจิ ารณาภาพทค่ี รเู ขยี นบนกระดานท่มี ดี า้ น AB เป็นฐาน จากนั้นครถู ามคำถามนกั เรยี น ดงั น้ี

• จากรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก ADC จะไดอ้ ัตราสว่ น sin A คือเท่าใด

(แนวตอบ sin A = CD)
b

• ความยาวของด้าน CD เท่ากบั เทา่ ใด
(แนวตอบ CD = b sin A)

• พนื้ ท่ีของรูปสามเหลยี่ ม ABC จะหาไดอ้ ย่างไร
(แนวตอบ พ้ืนท่ขี องรูปสามเหลย่ี ม ABC = 1 × AB × CD

2

= 1 × (c) × (bsinA)
2
= 1 bcsinA)
2

12. ครูจงึ สรปุ ว่า พื้นทข่ี องรูปสามเหล่ียม ABC = 1 bcsinA .....................(1)
2

ขั้นเข้าใจ (Understanding)

13. ครูให้นกั เรยี นพิจารณาภาพท่ีครเู ขยี นบนกระดานท่มี ดี า้ น BC เป็นฐาน จากนน้ั ครูถามคำถามนักเรียน

ดงั นี้

• จากรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก AEB จะได้อัตราส่วน sin B คือเทา่ ใด

(แนวตอบ sin B = AE)
c

• ความยาวของดา้ น CD เท่ากบั เทา่ ใด

(แนวตอบ AE = c sin B)

• พื้นท่ีของรปู สามเหล่ียม ABC จะหาได้อยา่ งไร

(แนวตอบ พืน้ ท่ีของรปู สามเหล่ียม ABC = 1 × BC × AE
2

= 1 × (a) × (csinA)
2
= 1 acsinA)
2
14. ครจู ึงสรปุ ว่า พนื้ ทข่ี องรปู สามเหล่ียม ABC = 1 acsinA .....................(2)
2
ขนั้ ลงมอื ทำ (Doing)

15. ครใู ห้นักเรยี นจดั กล่มุ กลุ่มละ 4 คน คละความสามารถทางคณิตศาสตร์ แลว้ ให้ทำกจิ กรรม

คณิตศาสตร์ ดงั นี้

• ให้นักเรยี นพิจารณาภาพทีค่ รูเขยี นบนกระดานทม่ี ดี า้ น CA เปน็ ฐาน จากน้ันแตล่ ะกลมุ่ รว่ มกนั

แสดงการพิสูจนก์ ารหาพน้ื ท่ขี องรูปสามเหลีย่ ม ABC ท่ีมีด้าน CA เปน็ ฐาน

• ให้นักเรยี นทำกจิ กรรม “Thinking Time” ในหนงั สือเรียน หนา้ 103 โดยแสดงการพิสูจน์รปู

สามเหลย่ี มมมุ ป้านดว้ ย

• จากใหน้ ักเรียนในแต่ละกลุม่ ทำความเข้าใจรว่ มกัน หลังจากนัน้ ครูลุ่มนักเรยี นในแต่ละกลุ่ม

ออกมาแสดงการพิสจู น์อยา่ งละเอียด โดยครแู ละเพอื่ น ๆ คอยตรวจสอบความสมเหตสุ มผล

16. เม่อื นกั เรียนทำการแสดงการพิสจู นจ์ นครบแลว้ ครจู ึงใหน้ กั เรยี นจับทกุ สมการให้เทา่ กันแลว้ ใหน้ กั เรียน

สงั เกตใหเ้ หน็ ความสัมพันธ์ sinA = sinB = sinC ครูจึงกลา่ ววา่ เราจะเรยี กความสัมพันธน์ ี้ ว่า “กฎ
abc

ของไซน”์

ชว่ั โมงท่ี 2

ขน้ั สอน

ขน้ั รู้ (Knowing)

17. ครใู ห้นกั เรียนศกึ ษาตัวอย่างท่ี 65-66 ในหนงั สอื เรียน หนา้ 104-105 เมือ่ นกั เรียนศึกษาตัวอยา่ งเสร็จ

ครูถามคำถามนกั เรียน ดังนี้

• จากตัวอย่างท่ี 65 ใช้ความสมั พันธ์คใู่ ดของกฎของไซนใ์ นการหาความยาวดา้ น c

(แนวตอบ ใชค้ วามสมั พันธ์ของ sin B = sinC ซง่ึ จะได้ว่า sin75° = )sin 60°
bc 4c

• จากตัวอยา่ งท่ี 66 ใชค้ วามสมั พนั ธ์ค่ใู ดของกฎของไซน์ในการขนาดของมมุ B

(แนวตอบ ใช้ความสมั พันธข์ อง sin B = sinC ซึ่งจะไดว้ า่ sin ° = )sin60°
bc 6 10
หลงั จากนน้ั ครใู ห้นกั เรียนทำ “ลองทำดู” ในหนงั สือเรียน หนา้ 105-106 เมื่อนักเรยี นทำเสร็จแลว้ ครู

และนักเรียนรว่ มกนั เฉลยคำตอบ

18. ครูให้นกั เรียนจับคศู่ ึกษาบทพิสูจน์กฎของโคไซน์ ในหนังสอื เรียน หนา้ 106 แล้วแลกเปลี่ยนความรู้กับ

คู่ของตนเองจนเปน็ ทีเ่ ข้าใจรว่ มกนั จากน้ันครถู ามคำถามนักเรยี น ดังน้ี

• การพิสจู นก์ ฎของโคไซน์ในหนงั สือเรียน หนา้ 106 พิสจู น์ไดอ้ ย่างไร

(แนวตอบ พิสูจน์โดยอาศยั ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั )

ขนั้ เข้าใจ (Understanding)

19. ครใู หน้ กั เรยี นค่เู ดิมชว่ ยกนั พิสจู นก์ ฎของโคไซน์ทีใ่ นหนังสือละการพสิ ูจนไ์ ว้ให้เสร็จ จากนน้ั สุ่มนักเรียน

2 คน ออกมาแสดงการพิสูจน์หน้าชั้นเรียน โดยครูแล้วเพอื่ น ๆ คอยตรวจสอบความสมเหตุสมผลของ

การพิสูจน์

ขั้นลงมือทำ (Doing)

20. ครูให้นกั เรยี นจัดกลุ่ม กล่มุ ละ 4 คน คละความสามารถทางคณิตศาสตร์ แล้วให้ทำกิจกรรม

คณิตศาสตร์ ดงั น้ี

• ใหน้ กั เรยี นทำกิจกรรม “Thinking Time” ในหนงั สอื เรยี น หน้า 106 โดยใหแ้ สดงการพิสจู น์

กฎของโคไซน์ โดยใชร้ ปู สามเหลยี่ มมุมป้าน

• จากให้นักเรียนในแต่ละกลุม่ ทำความเขา้ ใจร่วมกัน หลงั จากน้ันครูลมุ่ นกั เรียนในแตล่ ะกลุม่

ออกมาแสดงการพสิ ูจน์อยา่ งละเอียด โดยครูและเพื่อน ๆ คอยตรวจสอบความสมเหตสุ มผล

21. เมอ่ื นกั เรยี นทำการแสดงการพิสูจน์จนครบแลว้ ครูจึงกลา่ ววา่ เราจะเรียกความสมั พนั ธ์นี้ วา่

“กฎของโคไซน”์ ซึง่ ก็คอื ในรปู สามเหลี่ยม ABC ใด ๆ

ถ้า a, b และ c เป็นความยาวของดา้ นตรงข้ามมุม A, B และ C ตามลำดับ จะไดว้ า่

a2 = b2 + c2 − 2bccos A
b2 = a2 + c2 − 2accos B
c2 = a2 + b2 − 2abcos C

ชัว่ โมงที่ 3

ข้นั สอน

ขัน้ รู้ (Knowing)
22. เมอื่ นักเรยี นแต่ละคศู่ ึกษาตวั อย่างที่ 67-68 ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 107-108 เสร็จ ครูถามคำถามเพ่ือให้

นักเรียนแสดงความเข้าใจจากตัวอยา่ งที่ศึกษา โดยครูถามคำถามนักเรยี น ดังน้ี

• จากตวั อย่างที่ 67 ใช้ความสัมพนั ธใ์ ดของกฎของโคไซน์ในการหาความยาวดา้ น a
(แนวตอบ ใชค้ วามสมั พนั ธ์ของ a2 = b2 + c2 − 2bccos A
ซ่ึงจะไดว้ ่า a2 = 62 + 102 − 2(6)(10)cos 30° )

• จากตวั อย่างที่ 68 ใชค้ วามสัมพนั ธใ์ ดของกฎของโคไซน์ในการขนาดของมมุ A
(แนวตอบ ใช้ความสัมพันธข์ อง a2 = b2 + c2 − 2bccos A
ซึ่งจะได้ว่า (√10)2 = 22 + (√2)2 − 2(2)(√2)cos A )

ข้นั เข้าใจ (Understanding)
23. หลงั จากนัน้ ครูใหน้ กั เรียนแต่ละคนทำ “ลองทำด”ู ท้ายตวั อย่างที่ 67-68 ในหนังสอื เรียน หน้า 107-

108 เมื่อนักเรียนทุกคนทำเสร็จ ครสู มุ่ นกั เรียนออกมาเฉลยคำตอบ โดยใหน้ กั เรียนแสดงวธิ ีทำอย่าง
ละเอยี ด โดยครแู ละเพื่อน ๆ คอยตรวจสอบความถกู ตอ้ ง
24. ครูให้นกั เรียนแต่ละคนทำแบบฝกึ ทักษะ 1.12 ข้อ 1.-3. ในหนังสอื เรียน หนา้ 108-109 เม่อื นักเรยี น
แต่ละคนทำเสร็จครูสุ่มนกั เรยี นออกมาแสดงวธิ ีทำธลี ะคนไม่ซ้ำกัน โดยครแู ละเพ่ือน ๆ คอยตรวจสอบ
ความถกู ตอ้ ง
ขัน้ ลงมือทำ (Doing)
25. ครูให้นกั เรยี นจัดกลมุ่ กลมุ่ ละ 4-5 คน คละความสามารถทางคณติ ศาสตร์ แล้วให้ทำกจิ กรรม
คณิตศาสตร์ ดงั น้ี

• ใหน้ กั เรยี นทำแบบฝกึ ทักษะ 1.12 ขอ้ 4.-8. ในหนังสอื เรียน หนา้ 108-109
• ให้นกั เรยี นในแต่ละกลมุ่ ทำความเขา้ ใจร่วมกนั หลังจากนนั้ ครูลุ่มนกั เรยี นในแต่ละกลุ่มออกมา

เฉลยคำตอบอย่างละเอยี ด โดยครแู ละเพอื่ น ๆ คอยตรวจสอบความถูกตอ้ ง

ข้นั สรุป

ข้นั ตรวจสอบและสรุป
ครถู ามคำถามเพือ่ สรุปความรู้รวบยอดของนักเรียน ดังน้ี

• กฎของไซน์มคี วามสัมพันธว์ า่ อย่างไร

(แนวตอบ sin A = sin B = sin C)
abc

• กฎของโคไซน์มคี วามสมั พนั ธว์ า่ อย่างไร

(แนวตอบ a2 = b2 + c2 − 2bccos A

b2 = a2 + c2 − 2accos B

c2 = a2 + b2 − 2abcos C)

7. การวัดและประเมินผล วธิ กี าร เคร่ืองมือ เกณฑก์ ารประเมนิ
รายการวดั
- ตรวจแบบฝกึ ทักษะ 1.12 - แบบฝกึ ทกั ษะ 1.12 - รอ้ ยละ 60 ผ่านเกณฑ์
7.1 ประเมนิ ระหว่างการจดั - ตรวจ Exercise 1.12 - Exercise 1.12 - รอ้ ยละ 60 ผ่านเกณฑ์
กจิ กรรมการเรยี นรู้ - ประเมินการนำเสนอ - แบบประเมินการ - ระดบั คุณภาพ 2
1) กฎของไซนแ์ ละ ผลงาน นำเสนอผลงาน ผ่านเกณฑ์

โคไซน์
2) การนำเสนอผลงาน

3) พฤติกรรมการทำงาน - สังเกตพฤตกิ รรม - แบบสงั เกต - ระดับคุณภาพ 2
พฤติกรรม ผา่ นเกณฑ์
รายบุคคล การทำงานรายบคุ คล การทำงาน
รายบุคคล - ระดบั คุณภาพ 2
4) พฤติกรรมการทำงาน - สังเกตพฤติกรรม - แบบสงั เกต ผ่านเกณฑ์
กลมุ่ การทำงานกลุ่ม พฤติกรรม
การทำงานกลุ่ม - ระดับคุณภาพ 2
5) คุณลกั ษณะ - สงั เกตความมวี นิ ัย - แบบประเมนิ ผา่ นเกณฑ์
อนั พึงประสงค์ ใฝ่เรยี นรู้ และม่งุ มน่ั คณุ ลกั ษณะ
ในการทำงาน อันพึงประสงค์

8. ส่อื /แหลง่ การเรียนรู้
8.1 สอื่ การเรียนรู้
24) หนงั สอื เรียนรายวชิ าเพ่มิ เติม คณติ ศาสตร์ ม.5 เล่ม 1 หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
25) หนังสอื แบบฝึกหดั รายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ม.5 เล่ม 1 หน่วยการเรียนรู้ท่ี 2 ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ
8.2 แหลง่ การเรยี นรู้
1) ห้องสมดุ
2) แหล่งชมุ ชน
3) อินเทอรเ์ น็ต

บนั ทกึ หลังสอนแผนการสอนท่ี ............

1. ผลการสอนระดบั ชัน้ ม..............................
 สอนได้ตามแผนการจัดการเรียนรู้
 สอนไม่ไดต้ ามแผนการจัดการเรียนรู้ เนื่องจาก ..........................................................................

13.ผลท่ีเกดิ กับผู้เรียน
1.) การประเมนิ ผลความรหู้ ลังการเรยี น โดยใช้………………แบบทดสอบหลงั เรยี น............พบว่านกั เรียน

ผา่ นการประเมินคิดเปน็ ร้อยละ................……..…. ไม่ผา่ นเกณฑ์ขนั้ ตำ่ ที่กำหนดไว้คดิ เปน็ ร้อยละ.............................
ไดแ้ ก่ ....................................เลขท่ี …………………………...........................................................................................

2.) การประเมินดา้ นทักษะกระบวนการเรียน โดยใช…้ ………………………………………………………...............
พบว่านักเรียนผา่ นการประเมินคดิ เป็นรอ้ ยละ...........……. ไม่ผ่านเกณฑข์ ้ันต่ำทีก่ ำหนดไว้คิดเปน็ ร้อยละ................
ไดแ้ ก่ .......................................................................................................................................................................

3.) การประเมินดา้ นคุณลักษณะที่พึงประสงค์ เรียน โดยใช้………..…แบบสงั เกตพฤตกิ รรม....................
พบว่านกั เรียนผา่ นการประเมนิ คดิ เป็นรอ้ ยละ..…....……. ไมผ่ า่ นเกณฑ์ข้นั ต่ำที่กำหนดไว้คดิ เปน็ รอ้ ยละ..................
ไดแ้ ก่ ........................................................................................................................................................................
3. ปัญหาและอปุ สรรค

 กิจกรรมการจัดการเรียนรู้ ไมเ่ หมาะสมกับเวลา
 มีนกั เรยี นทำใบงาน/ใบกิจกรรมไม่ทันตามกำหนดเวลา
 มีนักเรยี นที่ไม่สนใจเรียน
 อ่ืน ๆ .............................................................................................................................................
4. ขอ้ เสนอแนะ/แนวทางแกไ้ ข
 ควรนำแผนไปปรับปรงุ เรือ่ ง ......................................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 แนวทางแก้ไขนกั เรียนท่ไี ม่ผ่านการประเมนิ ..................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 ไมม่ ีข้อเสนอแนะ

ลงชอื่ ผู้สอน
()

วันที่……..../................../................

ความคดิ เหน็ ของหัวหน้ากลุ่มสาระฯ ความคิดเหน็ ของหวั หน้างานวิชาการ
1.เป็นแผนการจดั การเรยี นร้ทู ่ี 1.เปน็ แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่
 ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรงุ  ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรุง
2.การจัดกจิ กรรมการเรยี นรไู้ ดน้ ำเอากระบวนการเรยี นรู้ 2.การจดั กจิ กรรมการเรยี นรไู้ ด้นำเอากระบวนการเรยี นรู้
ทีเ่ นน้ ผูเ้ รียนเป็นสำคัญมาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง  ทีเ่ น้นผ้เู รียนเปน็ สำคญั มาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง

เหมาะสมกบั ศกั ยภาพที่แตกต่างกันของผเู้ รียน เหมาะสมกับศกั ยภาพทแี่ ตกตา่ งกันของผเู้ รยี น
 ทยี่ งั ไม่เนน้ ผู้เรยี นเป็นสำคัญ ควรปรับปรุงพัฒนาต่อไป  ที่ยงั ไม่เน้นผเู้ รยี นเปน็ สำคญั ควรปรับปรุงพฒั นาตอ่ ไป
3.เปน็ แผนการจัดการเรียนรู้ 3.เปน็ แผนการจดั การเรียนรู้
 นำไปใช้ได้จริง  ควรปรับปรุงกอ่ นนำไปใช้  นำไปใช้ได้จรงิ  ควรปรบั ปรุงก่อนนำไปใช้
4.ข้อเสนอแนะอื่นๆ 4.ขอ้ เสนอแนะอน่ื ๆ
……………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………….

ลงชอ่ื ....................................................... ลงช่ือ.......................................................
(นางสาวณัฐญิ า คาโส)
(นายศภุ ชยั เรอื งเดช)

แผนการจดั การเรยี นรทู้ ี่ 13

การหาระยะและความสงู

เวลา 3 ชว่ั โมง

1. ผลการเรยี นรู้

1) เข้าใจฟังก์ชนั ตรโี กณมิตแิ ละลักษณะกราฟของฟังก์ชนั ตรีโกณมิตแิ ละ นำไปใชใ้ นการแกป้ ญั หา

2) แก้สมการตรโี กณมิติและนำไปใช้ในการแกป้ ัญหา

3) ใช้กฎของโคไซน์และกฎของไซนใ์ นการแกป้ ญั หา

2. จดุ ประสงค์การเรียนรู้

1) นำความรู้เร่อื งฟังก์ชันตรโี กณมิติไปแกป้ ัญหาระยะและความสูงที่กำหนดใหไ้ ด้ (K)

2) เขยี นขน้ั ตอนแสดงวธิ กี ารแกป้ ัญหาระยะและความสูงทกี่ ำหนดให้ พร้อมให้เหตผุ ลประกอบไดอ้ ยา่ ง

สมเหตุสมผล (P)

3) รบั ผิดชอบตอ่ หนา้ ทีท่ ไี่ ด้รับมอบหมาย (A)

3. สาระการเรยี นรู้

สาระการเรยี นร้เู พ่ิมเติม สาระการเรียนรู้ท้องถ่ิน

ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ พจิ ารณาตามหลักสูตรของสถานศึกษา

4. สาระสำคญั /ความคดิ รวบยอด

ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับระยะทางและความสูงโดยความรู้เก่ียวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ กฎของไซน์ กฎของ

โคไซน์ มุมก้ม และมุมเงยมาช่วยในการแกป้ ัญหาเกีย่ วกบั ระยะทางและความสงู

5. สมรรถนะสำคัญของผ้เู รียนและคุณลักษณะอันพึงประสงค์

สมรรถนะสำคัญของผู้เรยี น คณุ ลักษณะอันพึงประสงค์

1. ความสามารถในการสือ่ สาร 1. มีวินัย

2. ความสามารถในการคดิ 2. ใฝ่เรยี นรู้
3) ทกั ษะการเชอื่ มโยง 3. มุ่งมน่ั ในการทำงาน
4) ทกั ษะกระบวนการคดิ แกป้ ญั หา

5) ทกั ษะการประยกุ ต์ใช้ความรู้
3. ความสามารถในการแกป้ ัญหา

6. กจิ กรรมการเรียนรู้

 แนวคิด/รปู แบบการสอน/วิธกี ารสอน/เทคนคิ : นิรนยั (Deductive Method)

ชว่ั โมงท่ี 1

ขั้นนำ

ขน้ั กำหนดขอบเขตของปัญหา
7. ครูทบทวนความรู้เดมิ เรอ่ื งอัตราส่วนตรโี กณมติ ิ โดยครเู ขียนรปู สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ทม่ี ีมุม C
เป็นมมุ ฉาก บนกระดาน ดังน้ี

8. จากนน้ั ครถู ามคำถามนกั เรยี นว่า อัตราสว่ นตรโี กณมติ ิจากรปู สามเหล่ียม ABC มอี ะไรบา้ ง

(แนวตอบ จากรปู สามเหล่ียม ABC ท่มี มี ุม C เปน็ มุมฉาก จะได้วา่

1. sin A = BC 4. cosec A = AB = 1
AB
BC sin A

2. cos A = AC 5. sec A = AB = 1
AB
AC cos A

3. tan A = BC = sin A 6. cot A = AC = 1 )
AC cos A BC tan A

9. ครูถามคำถามเพอื่ สรปุ ความรรู้ วบยอดของนกั เรยี น ดังน้ี

• กฎของไซนม์ คี วามสมั พันธ์วา่ อยา่ งไร

(แนวตอบ sin A = sin B = sin C)
abc

• กฎของโคไซน์มคี วามสัมพนั ธ์ว่าอยา่ งไร

(แนวตอบ a2 = b2 + c2 − 2bccos A

b2 = a2 + c2 − 2accos B

c2 = a2 + b2 − 2abcos C)

10. ครูถามคำถามเพื่อกระตุ้นความสนใจของนกั เรียน ดงั น้ี

• ตัวผกผันของฟงั กช์ ันตรีโกณมติ ิ หาไดห้ รือไม่

(แนวตอบ นักเรยี นตอบได้หลากหลาย เพราะคำถามนเี้ ป็นเพยี งคำถามจุดประเดน็ ใหน้ ักเรยี น

สนใจ)

11. ในการแกป้ ัญหาเกีย่ วกบั ระยะทางและความสงู ใช้ความรเู้ รอ่ื งใดบา้ ง

(แนวตอบ นกั เรียนสามารถตอบได้หลากหลายขึน้ กบั ความเขา้ ใจของนกั เรยี น)

ข้นั สอน

ขน้ั แสดงและอธิบายทฤษฏี หลักการ
1. ครูอธิบายนักเรียนวา่ ในการแกป้ ญั หาเก่ยี วกบั ระยะทางและความสงู โดยความรู้เกยี่ วกับฟงั กช์ นั
ตรีโกณมติ ิ กฎของไซน์ กฎของโคไซน์ มมุ กม้ และมมุ เงยมาช่วยในการแกป้ ญั หาเกยี่ วกบั ระยะทางและ
ความสงู

ขัน้ ใชัทฤษฏี หลกั การ
2. ครูให้นกั เรยี นศึกษาตัวอยา่ งที่ 69-71 ในหนงั สอื เรียน หนา้ 110-113 หลงั จากน้นั ครถู ามคำถาม
นกั เรยี น ดงั นี้

• จากตวั อยา่ งท่ี 69 ความสูงของตึกจะหาไดอ้ ย่างไร
(แนวตอบ ใช้กฎของไซน์และความสัมพนั ธ์ของมมุ สองเท่า)

• จากตัวอย่างที่ 70 ระยะหา่ งของเรือสองลำจะหาได้อยา่ งไร
(แนวตอบ ใชก้ ฎของโคไซน์)

• จากตวั อยา่ งที่ 71 ระยะทางทสี่ ุชาติอยู่ห่างจากจดุ เริม่ ต้นจะหาได้อยา่ งไร
(แนวตอบ ใชก้ ฎของไซน์และใช้กฎของโคไซน์)

3. ครใู ห้นักเรยี นทำ “ลองทำด”ู ตัวอยา่ งที่ 69-71 ในหนงั สือเรียน หน้า 11-113 เม่อื นักเรยี นทำเสร็จ
แลว้ ครแู ละนกั เรยี นรว่ มกนั เฉลยคำตอบ

ชัว่ โมงที่ 2

ข้นั สอน

ขน้ั ใชทั ฤษฏี หลักการ
4. ครใู หน้ ักเรียนทำแบบฝึกทักษะ 1.13 ในหนังสอื เรียน หน้า 113-114 เม่อื นกั เรยี นทำเสรจ็ แลว้ ครูและ
นกั เรียนรว่ มกนั เฉลยคำตอบ โดยครจู ะสุ่มนกั เรียนออกมาแสดงวิธีทำอยา่ งละเอียด
5. หลังจากนกั เรียนเรยี นจบหน่วยการเรียนนี้แลว้ ครใู ห้ตรวจสอบตนเองโดยใหน้ กั เรยี นบอกสัญลกั ษณ์ท่ี
ตรงกับระดับความสามารถของตนเอง
6. ครใู ห้นักเรียนจัดกลุม่ กลมุ่ ละ 4-5 คน คละความสามารถทางคณติ ศาสตร์ แล้วให้ทำกจิ กรรม
คณติ ศาสตร์ ดงั น้ี
• ใหน้ กั เรยี นแตล่ ะกล่มุ ช่วยกนั ทำกิจกรรม “คณิตศาสตรใ์ นชวี ิตจรงิ ” ในหนงั สือเรยี น หนา้ 115
• ใหน้ ักเรยี นในแต่ละกลมุ่ ทำความเข้าใจร่วมกัน หลังจากนัน้ ครลู มุ่ นักเรียนในแตล่ ะกลมุ่ ออกมา
เฉลยคำตอบอยา่ งละเอียด โดยครแู ละเพื่อน ๆ คอยตรวจสอบความถูกตอ้ ง

ชัว่ โมงท่ี 3

ข้นั สรุป

ขั้นตรวจสอบและสรุป
1. ครถู ามคำถามเพ่อื สรปุ ความรู้รวบยอดของนักเรยี น ดังน้ี

• คา่ ของฟงั ก์ชนั ไซนแ์ ละฟงั กช์ นั โคไซน์ของ 0, π , π, π , π , π หาได้อย่างไร
2 436
(แนวตอบ สามารถหาได้โดยการใชว้ งกลมหนึ่งหนว่ ย หรือการพจิ ารณากราฟของฟงั ก์ชนั ไซน์และ
ฟงั กช์ นั โคไซน)์

• คา่ ของฟังก์ชันไซนแ์ ละฟังกช์ นั โคไซนข์ องจำนวนจรงิ ใด ๆ หาไดอ้ ยา่ งไร
(แนวตอบ
9) การหาค่าของ sinθ และ cosθ เม่อื π < θ < π

2

sin (π − α) = sinα และ cos (π − α) = −cosα เม่อื 0 < α < π
2

10) การหาค่าของ sinθ และ cosθ เม่ือ π < θ < 3π
2
sin (π + α) = −sinθ และ cos (π + α) = −cosθ เมอ่ื 0 < α < π
2

11) การหาคา่ ของ sinθ และ cosθ เมื่อ 3π < θ < 2π
2
sin (2π − α) = −sinα และ cos (2π − α) = cosα เมือ่ 0 < α < π
2

12) การหาคา่ sinθ และ cosθ เม่ือ θ > 2π
θ = 2nπ + α เมื่อ n เป็นจำนวนเตม็ บวก และ 0 ≤ α < 2π จะไดว้ ่า

sin (2nπ + α) = sinα

cos (2nπ + α) = cosα)

• ในจตุภาคท่ี 1 ฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ิใดมีคา่ เปน็ จำนวนบวก

(แนวตอบ ฟงั กช์ ันตรีโกณมติ ทิ กุ ค่ามคี ่าเป็นจำนวนบวก)

• ในจตภุ าคท่ี 2 ฟงั กช์ ันตรีโกณมิติใดมคี า่ เป็นจำนวนบวก

(แนวตอบ ฟงั ก์ชันไซน์และฟงั กช์ นั โคเซแคนตจ์ ะเปน็ จำนวนบวก)

• ในจตภุ าคที่ 3 ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิใดมคี า่ เป็นจำนวนบวก

(แนวตอบ ฟังกช์ นั แทนเจนต์และฟังก์ชนั โคแทนเจนต์จะเป็นจำนวนบวก)

• ในจตุภาคที่ 4 ฟงั กช์ ันตรโี กณมิตใิ ดมีคา่ เป็นจำนวนบวก

(แนวตอบ ฟงั กช์ ันโคไซนแ์ ละฟงั กช์ นั เซแคนตจ์ ะเปน็ จำนวนบวก)

• 360 องศา เท่ากบั กีเ่ รเดยี น
(แนวตอบ 2π เรเดียน)

• 180 องศา เทา่ กบั กี่เรเดยี น