คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 3 ค 30203

(แนวตอบ π เรเดียน)

• 1 องศา เท่ากบั ก่ีเรเดียน

(แนวตอบ π เรเดียน)
180

• 1 เรเดยี น เท่ากับกอ่ี งศา

(แนวตอบ 360 องศา หรอื 180 องศา)
2π π

• cos ของจำนวนจริง θ หมายถงึ อะไร

(แนวตอบ cos ของมมุ θ เรเดียน)

• sin ของจำนวนจรงิ θ หมายถงึ อะไร

(แนวตอบ sin ของมมุ θ เรเดยี น)

• sin θ เปน็ ความยาวของด้านของสามเหล่ียมมุมฉากด้านใดตอ่ ด้านใด

(แนวตอบ sin θ = ความยาวด้านตรงขา้ มมมุ θ )
ความยาวดส้ นตรงข้ามมมุ ฉาก

• cos θ เป็นความยาวของดา้ นของสามเหลี่ยมมมุ ฉากดา้ นใดตอ่ ดา้ นใด

(แนวตอบ cos θ = ความยาวดา้ นประชดิ มมุ θ )
ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก

• tan θ เป็นความยาวของด้านของสามเหล่ยี มมมุ ฉากด้านใดต่อด้านใด

(แนวตอบ tan θ = ความยาวดา้ นตรงข้ามมุม θ )
ความยาวด้านประชิดมุม θ

• ตารางคา่ ฟงั ก์ชันตรโี กณมติ ใิ ช้ประโยชน์อย่างไร

(แนวตอบ ใชห้ าคา่ ฟังกช์ ันค่าตรโี กณมติ หิ รอื ตรวจสอบคำตอบค่าของฟังกช์ ันตรีโกณมติ )ิ

• คา่ ของฟงั ก์ชันตรีโกณมิติท่ไี ม่สามารถเปดิ ตารางค่าฟงั กช์ นั ตรโี กณมิตไิ ดจ้ ะทำอยา่ งไร

(แนวตอบ จะใชค้ วามรจู้ ากการเทียบบญั ญัตไิ ตรยางศ์ หรือสดั ส่วน)

• ถ้าในตารางการหาค่าของฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ิ ไม่มีค่า cot θ , sec θ และ cosec θ จะหาค่าของ

ฟงั ก์ชนั ดงั กล่าวไดอ้ ย่างไร

(แนวตอบ cot θ จะหาไดจ้ ากสว่ นกลับของ tan θ, sec θ จะหาได้จากสว่ นกลบั ของ cos θ และ

cosec θ จะหาไดจ้ ากสว่ นกลบั ของ sin θ)

• โดเมนและเรนจ์ของกราฟ y = sin x คอื อะไร

(แนวตอบ โดเมน คอื เซตของจำนวนจริง และเรนจ์ คือ [-1,1])

• โดเมนและเรนจ์ของฟงั ก์ชนั y = cos x คอื อะไร

(แนวตอบ โดเมน คอื เซตของจำนวนจริง และเรนจ์ คือ [-1,1])

• เราจะหาค่าแอมพลจิ ูดของกราฟได้ กราฟดังกล่าวต้องมคี า่ อะไรบ้าง และค่าแอมพลิจูดหาได้จาก

สูตรใด

(แนวตอบ ค่าสงู สุด และค่าตำ่ สุด และหาคา่ แอมพลจิ ดู = คา่ สงู สุด − คา่ ตำ่ สดุ )

2

• cos(α − β) หาได้อย่างไร

(แนวตอบ cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β)

• cos(α + β) หาไดอ้ ยา่ งไร

(แนวตอบ cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β)

• sin(α + β) หาได้อย่างไร

(แนวตอบ sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β)

• sin(α − β) หาไดอ้ ย่างไร

(แนวตอบ sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β)

• tan(α + β) หาไดอ้ ย่างไร

(แนวตอบ tan(α + β) = )tan +tan
1−tan tan

• tan(α − β) หาได้อย่างไร

(แนวตอบ tan(α − β) = )tan −tan
1+tan tan

• sin(2α) หาไดอ้ ยา่ งไร

(แนวตอบ sin(2α) = 2 sin α cos α)

• cos 2α จะหาไดอ้ ย่าง

(แนวตอบ cos(2α) = cos2 α − sin2 α

= 1 − 2 sin2 α

= 2 cos2 α − 1)

• tan 2α จะหาไดอ้ ยา่ งไร

(แนวตอบ tan(2α) = )2tanα

• sin(3α) หาได้อย่างไร 1−tan2 α

(แนวตอบ sin(3α) = 3 sin α − 4 sin3 α)

• cos 3α จะหาได้อย่าง

(แนวตอบ cos(3α) = 4 cos3 α − 3cos α)

• tan 3α จะหาได้อย่างไร

(แนวตอบ tan(3α) = 3tan α+tan3 α )
1−3tan2 α
• sin α จะหาได้อยา่ งไร
2

(แนวตอบ sin (α) = )±√1−cosα
22

• cos α จะหาได้อย่างไร
2

(แนวตอบ cos (α) = )±√cosα+1
22

• ความสมั พนั ธ์ระหว่างผลบวก ผลต่าง และผลคูณของฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิมอี ะไรบา้ ง

(แนวตอบ sin(α + β) + sin(α − β) = 2sin α cos β

sin(α + β) − sin(α − β) = 2cos α sin β

cos (α + β) + cos(α − β) = 2cos α cos β

sin(α + β) − sin(α − β) = − 2cos α sin β

α+β α−β
sin α + sin β = 2sin ( 2 ) cos ( 2 )
sin α − sin β = 2cos (α+β) sin (α−β)

22

cos α + cos β = 2cos (α+β) cos (α−β)

22

sin α − sin β = −2sin (α+β) sin (α−β))
22

• ฟงั ก์ชัน arcsine คอื อะไร

(แนวตอบ เซตของค่อู นั ดบั (x, y) โดยที่ x = sin y และ − ≤ ≤ )
22

• โดเมนของฟงั กช์ นั arcsine คอื อะไร
(แนวตอบ โดเมนของฟงั ก์ชนั arcsine คอื [-1, 1])

• เรนจข์ องฟังกช์ นั arcsine คืออะไร

(แนวตอบ เรนจข์ องฟังกช์ นั arcsine คือ [− π , π])
22

• ฟังกช์ ัน arccosine คืออะไร

(แนวตอบ เซตของคู่อนั ดบั (x, y) โดยที่ x = cos y และ 0 ≤ ≤ )

• โดเมนของฟังกช์ ัน arccos คอื อะไร
(แนวตอบ โดเมนของฟงั กช์ นั arccos คอื [-1, 1])

• เรนจ์ของฟังกช์ ัน arccosine คืออะไร
(แนวตอบ เรนจ์ของฟงั ก์ชัน arccosine คอื [0, π])

• ฟงั กช์ ัน arctangent คอื อะไร

(แนวตอบ เซตของคู่อันดบั (x, y) โดยที่ x = tan y และ − < < )
22

• โดเมนของฟงั กช์ นั arctangent คอื อะไร
(แนวตอบ โดเมนของฟังกช์ นั arctangent คือ (−∞, ∞))

• เรนจข์ องฟังกช์ ัน arctangent คอื อะไร

(แนวตอบ เรนจข์ องฟงั ก์ชนั arctangent คือ (− π , π))
22

• เอกลกั ษณ์ตรโี กณมิติ คอื อะไร

(แนวตอบ สมการ cos 2θ + sin2θ = 1 เป็นจรงิ สำหรบั ทุก θ)

• โดเมนของฟังกช์ นั arcsine คืออะไร
(แนวตอบ โดเมนของฟงั กช์ ัน arcsine คอื [-1, 1])

• กฎของไซนม์ ีความสัมพันธว์ า่ อยา่ งไร

(แนวตอบ sin A = sin B = sin C)
abc

• กฎของโคไซนม์ คี วามสัมพันธ์ว่าอย่างไร

(แนวตอบ a2 = b2 + c2 − 2bccos A

b2 = a2 + c2 − 2accos B

c2 = a2 + b2 − 2abcos C)

• ในการแกป้ ัญหาเกยี่ วกบั ระยะทางและความสูงใชค้ วามรู้เรอื่ งใดบ้าง

(แนวตอบ ความรเู้ กี่ยวกับฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ กฎของไซน์ กฎของโคไซน์ มุมก้ม และมมุ เงยมา

ชว่ ยในการแก้ปญั หาเกย่ี วกบั ระยะทางและความสูง)

ขั้นฝกึ ปฏิบัติ

20. ครใู หน้ กั เรียนทำแบบฝกึ ทกั ษะประจำหนว่ ยการเรียนรูท้ ี่ 1 ในหนังสือเรียน หน้า 120-121 เปน็

การบา้ น

21. ครใู หน้ กั เรยี นทำแบบทดสอบหลงั เรียนเรอื่ ง ฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ิ

7. การวดั และประเมนิ ผล วิธกี าร เครื่องมอื เกณฑ์การประเมนิ
รายการวดั
- ตรวจแบบฝกึ ทกั ษะ 1.13 - แบบฝกึ ทกั ษะ 1.13 - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์
7.1 ประเมินระหวา่ งการจดั - ตรวจ Exercise 1.13
กจิ กรรมการเรียนรู้ - ประเมนิ การนำเสนอ - Exercise 1.13 - รอ้ ยละ 60 ผ่านเกณฑ์
1) การหาระยะและ ผลงาน
- สงั เกตพฤติกรรม - แบบประเมนิ การ - ระดบั คุณภาพ 2
ความสูง การทำงานรายบคุ คล นำเสนอผลงาน ผ่านเกณฑ์
2) การนำเสนอผลงาน
- สังเกตพฤตกิ รรม - แบบสงั เกต - ระดับคณุ ภาพ 2
3) พฤติกรรมการทำงาน การทำงานกลุ่ม
รายบคุ คล พฤติกรรม ผา่ นเกณฑ์
- ตรวจแบบทดสอบหลัง
4) พฤติกรรมการทำงาน เรียน การทำงาน
กลุ่ม
รายบคุ คล
7.2 การประเมนิ หลงั เรยี น
- แบบทดสอบหลังเรียน - แบบสงั เกต - ระดับคณุ ภาพ 2
หนว่ ยการเรยี นรูท้ ่ี 1
เวกเตอร์ในสามมิติ พฤติกรรม ผ่านเกณฑ์

การทำงานกลุ่ม

- แบบทดสอบหลัง
เรยี น - ประเมินตามสภาพจรงิ

8. สอ่ื /แหลง่ การเรยี นรู้
8.1 สอื่ การเรยี นรู้
26) หนังสอื เรียนรายวชิ าเพ่มิ เติม คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 1 หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี 2 ฟงั กช์ ันตรีโกณมิติ
27) หนังสือแบบฝกึ หดั รายวชิ าเพ่ิมเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เลม่ 1 หนว่ ยการเรยี นรู้ที่ 2 ฟงั กช์ ันตรีโกณมติ ิ
8.2 แหลง่ การเรยี นรู้
1) หอ้ งสมดุ
2) แหล่งชมุ ชน
3) อินเทอร์เนต็

แบบทดสอบก่อนเรียน

หน่วยการเรยี นรูท้ ี่ 1

คำชี้แจง ให้นักเรยี นเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงข้อเดียว

1. วงกลมหนึ่งหน่วย ทค่ี วามยาวส่วนโคง้ เทา่ กับ 3π 8. กำหนดให้ cosθ = −√3 และ tanθ < 0 สำหรบั
หน่วยในทศิ ทวนเข็มนาฬิกา จะมี θ เท่ากับขอ้ ใด 2

0 ≤ θ ≤ 2π แลว้ tanθ + secθ เทา่ กับข้อใด

1. – π 2. – 3π 1. 3 2. 3

3. π 4. 3π √3

2. กำหนด θ = 19π แลว้ sinθ มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใด 3. −√3 4. −√3
6
3

1. − 1 2. 0 9. คา่ ของ sin 2π tan 7π + cos π cot 5π เท่ากับขอ้ ใด
2 36 63

3. 1 4. √3 1. 0 2. 1
22
3. 1 4. √3
3. ค่าของ sin π + cos π ตรงกบั ข้อใด
63 22

1. − 1 2. 0 10. cos(−780°)+cot (−405°) มคี า่ ตรงกบั ขอ้ ใด
2 cosec(−390°)
1. 1 2. 1
3. 1 4. √3 42
2 3. 3 4. 1
4
4. cos(−π) มีค่าเท่ากับขอ้ ใด

1. -1 2. 0

3. 1 4. หาค่าไม่ได้

5. กำหนดให้ π < θ < 3π และ tanθ = √3 แลว้ 11. ขอ้ ใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง
2 1. sinθsecθ = tanθ

sinθ + cosθ ตรงกบั ขอ้ ใด

1. √2 2. √3 2. cosθcscθ = 1
2 tanθ

3. 1+√3 4. √3 3. cos θ sec θ = tanθ
2 cot θ

6. sin420°+cos(−810°) − cos420°+sin(−810°) 4. sin (−θ) = tanθ
sin(−450°)+cos270° cos(−450°)+sin(−270°) cos(−θ)

ตรงกับข้อใด 12. จากกราฟทีก่ ำหนดให้ ขอ้ ใดต่อไปนไี้ มถ่ ูกต้อง

1. − √3 − 1 2. − √3 + 1
22 22

3. √3 − 1 4. − √3 + 1
22 22
7. คา่ ของ sin30°tan31°sin59° มตี รงกับข้อใด
cos59°cos (−60°)
1. สมการของกราฟ คือ f(x) = 4sin2x
1. 1 2. 0 2. คาบของฟงั ก์ชนั คือ 2π
2

3. 1 4. 2

3. แอมพลิจูดของฟังกช์ ัน คือ 4 18. กำหนดให้ 0 ≤ x < 2π แลว้ เซตคำตอบของ
4. เรจน์ของฟงั ก์ชนั คือ [−4, 4]
สมการ 1 − √2 = 0 ตรงกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
cot x cosecx

13. ค่าของ sin75°sin15° ตรงกบั ข้อใด 1. {0, π , π, 74π}
4

1. √2 2. √3 2. { π , π, 3π , 5π}
2 44
2 2
3. {π , π , 3π , 5π}
3. 1 4. 1 42 2 4

4 2 4. {π , 3π , 5π , 7π}
4 444

14. 2cos3θsin2θ − 2cos4θsinθ − 2cos2θsinθ 19. ให้ ABC เป็นรปู สามเหล่ยี มดงั รูป

มคี ่าเท่ากับเท่าไร แลว้ ค่าของ sin2 B เท่ากบั ขอ้ ใด
2
1. 0 2. 1
A
3. 1 4. √3 57

22 C8 B

15. ค่าของ cos20°cos40°cos80° เทา่ กับขอ้ ใด 1. 3 2. 7

1. 0 2. 1 28 28

2 3. 12 4. 21

3. 1 4. 1 28 28

48 20. น้องพลอยยนื อยหู่ ่างจากตกึ หลังหนงึ่ 60 เมตร

16. ค่าของ sin [arctan(− 4)] เทา่ กับข้อใด มองเห็นยอดตกึ และเสาธงซง่ึ อยูบ่ นยอดตกึ เป็นมุมเงย
3
60 องศา และ 30 องศา ตามลำดับ แล้วความสงู ของ
1. 3 2. − 3
เสารับธงเท่ากับข้อใด
55
1. 60 เมตร
3. 4 4. − 4

55

17. กำหนดให้ 0 < x < 2π แล้วเซตคำตอบของ 2. 130 เมตร

สมการ 2cosx + 1 = 0 ตรงกับข้อใดตอ่ ไปนี้ 3. 60(√3 − 1) เมตร

1. {π, 2π} 2. {π , 4π}
33
3 4. 130(√3 − 1) เมตร
4. {π , 2π , 4π , 5π}
3. {2π , 4π} 33 3 3
33

เฉลย

1. 2 2. 1 3. 3 4. 1 5. 3 6. 4 7. 3 8. 2 9. 1 10. 1
11. 4 12. 2 13. 3 14. 1 15. 4 16. 4 17. 3 18. 1 19. 3 20. 3

แบบทดสอบหลงั เรยี น

หน่วยการเรยี นร้ทู ี่ 1

คำช้ีแจง ใหน้ ักเรียนเลือกคำตอบท่ีถูกต้องที่สุดเพียงข้อเดียว

1. กำหนดให้ tan θ = 2.4 และ π ≤ θ ≤ 3π แล้ว 5. sin π cos π + cos π sin π + sin 5π − tan 5π มีค่า
2 36 36 3 3

sinθ − cosθ มีคา่ เทา่ กับข้อใด ตรงกบั ข้อใด

1. 7 2. − 7 1. 2+√3 2. 1−3√3
13 13 2 3

3. 17 4. − 17 3. 1+3√2 4. 1 − √3
13 13 2 2

2. กำหนดปรซิ มึ สี่เหลย่ี มมุมฉากรปู หนึง่ มดี ้านยาว 6. คา่ ของ sin73π−cos56π+tan 31π มีตรงกับข้อใด
4
cos93π+sin116π
ยาว 24 เซนตเิ มตร มดี ้านกว้างยาว 18 เซนติเมตร
1. √3 − 1 2. 1 + √3
และมคี วามสูง 16 เซนติเมตร ดงั รูป หากลากเสน้

ทแยงมมุ จาก A ไป B และ C ไป B จะเกิดรปู 3. 2−2√3 4. 2√3−1
3 3

สามเหลี่ยม ABC ท่ีมมี มุ C เป็นมุมฉาก 7. ข้อใดต่อไปน้ีถูกต้อง

แลว้ sin A มีค่าเท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. −sin21° + sin22° − sin23° + ⋯ −

A sin289° = 1

16 ซม. 2
C
24 ซม. B 18 ซม. 2. cos21°cos22°cos23° … cos2179° = 0

3. tan21°tan22°tan23° … tan289° = √3

1. 8 2. 12 4. sin1°+sin2°+sin3°+⋯+sin44° =
15 15 sin46°+sin47°+sin48°+⋯+sin89°

3. 8 4. 15 tan1° + tan2° + tan3° + ⋯ + tan44°
17 17
8. กำหนดให้ cosθ = √3 และ tanθ < 0 สำหรบั
3. ค่าของ tan (−690°) มีคา่ เทา่ ใด 2

0 ≤ θ ≤ 2π แล้ว tanθ + secθ เท่ากบั ขอ้ ใด

1. √3 2. −√3 1. 3 2. − 3
√3

3. −1 4. 1 3. √3 4. −√3
3
√3 √3
9. cos π cot 5π sin 2π tan 17π เท่ากับขอ้ ใด
4. ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีถกู ตอ้ ง 66 3 6

1. cos (π + π) = cos π + cos π 1. 0 2. 1

23 23 3. 1 4. √3
22
2. cos2 π = sin π
46 10. cos(−600°)−cot (1,035°) มีค่าตรงกบั ขอ้ ใด
cosec(390°)
3. sin π + sin π = sin π 2 1. 1 2. 1
63 42

4. cos π + sin π = sin π
44 2

3. 3 4. 1 15. คา่ ของ cos [arccos (− √3) − arcsin (− 1)]
4 22

11. ขอ้ ใดต่อไปนี้ไมถ่ ูกตอ้ ง เท่ากับขอ้ ใด

1. sinθsecθ = tanθ 1. 0 2. 1

2. cosθcscθ = 1 3. –1 4. −3
tanθ 4

3. cos θ sec θ = tanθ 16. กำหนดให้ 0 ≤ x < 2π แล้วเซตคำตอบของ
cot θ sin θ

4. sin (−θ) = −tanθ สมการ tanx − √2sinx = 0 ตรงกับขอ้ ใดต่อไปนี้
cos(−θ)

12. ข้อใดตอ่ ไปนี้เปน็ กราฟของฟังกช์ นั 1. {0, π , π, 7π}
44
f(x) = 2 − cos (4x)
2. { π , π, 3π , 5π}
1. 2 44

2. 3. {π , π , 3π , 5π}
42 2 4

4. {π , 3π , 5π , 7π}
4 444

17. กำหนดให้ 0 < x < 2π แล้วเซตคำตอบของ

สมการ 2sin2x − 3cosx − 3 = 0

เปน็ สบั เซตของข้อใด

3. 1. { 0, π , π , π , π , 2π}
2346
4.
2. { π , 2π , 3π , 4π , 5π}
33 3 3 3

3. { π , 3π , 5π , 7π}
44 4 4

4. { π , 2π , 3π , 5π , 7π , 7π , 11π}
66 6 6 6 6 6

18. ให้ 4cos4x = (sin2x)2 และ 3π < x ≤ 2π
2

แล้ว tan2x + cos2x มคี า่ ตรงกบั ขอ้ ใดต่อไปนี้

13. 4cos3θsin2θ − 4cos4θsinθ − 4cos2θsinθ 1. 1 2. 3
22

3. 1 4. 3
34

19. ให้ ABC เป็นรปู สามเหลย่ี มดงั รูป แลว้ คา่ ของ

มคี ่าเท่ากับเท่าไร cos2A เท่ากับข้อใด

1. 0 2. 1 A
5
3. 1 4. √3 7
22
C8 B
14. sin75°−sin15° มคี า่ ตรงกบั ขอ้ ใด
cos75°+cos15°

1. tan15° 2. tan30°

3. tan45° 4. tan75°

1. -10 2. − 10 4. 600(√3 − 1) เมตร
70

3. 10 4. 10

70

20. เรอื สองลำทอดสมออยู่ในแนวเส้นตรงเดยี วกับ

ประภาคารผโู้ ดยสารในเรือแต่ละลำมองเห็นยอด

ประภาคารเป็นมุมเงย 45 องศาและ 30 องศา และ

ผ้โู ดยสารทราบว่าประภาคารนสี้ งู 600 เมตร จงหาว่า

เรอื ลำที่สองอยู่หา่ งจากประภาคารนี้เท่าไร

1. 300√3 เมตร

2. 600√3 เมตร

3. 300(√3 − 1) เมตร

เฉลย

1. 2 2. 4 3. 4 4. 2 5. 1 6. 3 7. 2 8. 4 9. 2 10. 1
11. 3 12. 3 13. 1 14. 2 15. 3 16. 1 17. 2 18. 4 19. 2 20. 2

การประเมินชนิ้ งาน/ภาระงาน (รวบยอด) แผนฯ ที่ 5

แบบประเมนิ ผงั มโนทศั น์
คำช้ีแจง : ให้ผู้สอนประเมินช้ินงาน/ภาระงานของนักเรยี นตามรายการท่กี ำหนด แล้วขดี ✓ ลงในชอ่ งที่ตรงกบั

ระดับคะแนน

ลำดับที่ รายการประเมนิ ระดบั คะแนน
4321
1 ความสอดคล้องกบั จุดประสงค์
2 ความถกู ต้องของเน้อื หา รวม
3 ความคดิ สรา้ งสรรค์
4 ความตรงตอ่ เวลา

ประเด็นทีป่ ระเมิน 4 ลงชอื่ ................................................... ผู้ประเมนิ
ผลงานสอดคลอ้ งกับ ................./................../..................
1. ความสอดคลอ้ ง จุดประสงค์ทุกประเดน็
กับจดุ ประสงค์ เกณฑ์การประเมนิ ผงั มโนทศั น์
เนอ้ื หาสาระของผลงาน
2. ความถูกตอ้ ง ถกู ต้องครบถว้ น ระดบั คะแนน
ของเน้อื หา
321
ผลงานสอดคล้องกับ ผลงานสอดคล้องกับ ผลงานไมส่ อดคล้องกับ
จดุ ประสงคเ์ ป็นส่วนใหญ่ จดุ ประสงค์บางประเดน็ จุดประสงค์

เน้อื หาสาระของผลงาน เนื้อหาสาระของผลงาน เน้อื หาสาระของผลงาน
ถูกต้องเปน็ ส่วนใหญ่ ถกู ต้องบางประเด็น ไม่ถกู ต้องเปน็ สว่ นใหญ่

3. ความคิด ผลงานแสดงถงึ ความคิด ผลงานแสดงถงึ ความคิด ผลงานมีความนา่ สนใจ ผลงานไมม่ คี วาม
สร้างสรรค์ นา่ สนใจ และไมแ่ สดงถงึ
สร้างสรรค์ แปลกใหม่ สรา้ งสรรค์ แปลกใหม่ แตย่ ังไมม่ ีแนวคดิ แปลก แนวคดิ แปลกใหม่
4. ความตรงตอ่
เวลา และเป็นระบบ แต่ยังไม่เปน็ ระบบ ใหม่ สง่ ชน้ิ งานช้ากวา่ เวลาท่ี
กำหนด 3 วนั ขึน้ ไป
ส่งชิ้นงานภายในเวลาท่ี ส่งช้นิ งานชา้ กว่าเวลาที่ สง่ ชนิ้ งานชา้ กวา่ เวลาท่ี

กำหนด กำหนด 1 วนั กำหนด 2 วนั

เกณฑ์การตัดสินคณุ ภาพ

ชว่ งคะแนน ระดับคณุ ภาพ

14 - 16 ดมี าก

11 - 13 ดี

8 - 10 พอใช้

ตำ่ กว่า 8 ปรบั ปรงุ

แบบประเมนิ การนำเสนอผลงาน

คำชแี้ จง : ให้ผู้สอนสงั เกตพฤติกรรมของนักเรียนในระหว่างเรยี นและนอกเวลาเรยี น แล้วขดี ✓ลงในชอ่ งท่ตี รงกบั
ระดบั คะแนน

ลำดบั ท่ี รายการประเมนิ ระดบั คะแนน
4321
1 เนือ้ หาละเอยี ดชัดเจน
2 ความถกู ต้องของเนื้อหา 
3 ภาษาท่ใี ช้เข้าใจงา่ ย 
4 ประโยชนท์ ีไ่ ดจ้ ากการนำเสนอ 
5 วธิ กี ารนำเสนอผลงาน 

รวม

เกณฑ์การให้คะแนน ลงชอื่ ...................................................ผปู้ ระเมิน
ผลงานหรอื พฤติกรรมสมบรู ณ์ชดั เจน ............/................./................
ผลงานหรือพฤติกรรมมขี อ้ บกพรอ่ งบางสว่ น
ผลงานหรอื พฤติกรรมมีข้อบกพร่องเปน็ ส่วนใหญ่ ให้ 4 คะแนน
ผลงานหรือพฤติกรรมมีขอ้ บกพร่องมาก ให้ 3 คะแนน
ให้ 2 คะแนน
ให้ 1 คะแนน

เกณฑก์ ารตดั สนิ คุณภาพ

ชว่ งคะแนน ระดับคณุ ภาพ
18 - 20 ดมี าก
14 - 17 ดี
10 - 13 พอใช้
ต่ำกว่า 10 ปรบั ปรงุ

แบบสงั เกตพฤติกรรมการทำงานรายบุคคล

คำช้แี จง : ให้ผู้สอนสงั เกตพฤตกิ รรมของนักเรยี นในระหวา่ งเรียนและนอกเวลาเรยี น แล้วขีด ✓ลงในช่องทีต่ รงกบั
ระดบั คะแนน

ลำดับที่ รายการประเมนิ ระดับคะแนน
4321
1 การแสดงความคิดเห็น
2 การยอมรบั ฟงั ความคิดเหน็ ของผอู้ ืน่ 
3 การทำงานตามหน้าท่ที ไ่ี ดร้ บั มอบหมาย 
4 ความมีน้ำใจ 
5 การตรงต่อเวลา 

รวม

เกณฑก์ ารให้คะแนน ลงชอ่ื ...................................................ผูป้ ระเมนิ
ปฏิบตั ิหรือแสดงพฤติกรรมอย่างสมำ่ เสมอ ............/................./................
ปฏบิ ัติหรอื แสดงพฤติกรรมบ่อยครงั้
ปฏิบัติหรือแสดงพฤตกิ รรมบางครั้ง ให้ 4 คะแนน
ปฏิบัติหรือแสดงพฤติกรรมนอ้ ยคร้ัง ให้ 3 คะแนน
ให้ 2 คะแนน
ให้ 1 คะแนน

เกณฑ์การตดั สนิ คณุ ภาพ

ชว่ งคะแนน ระดับคณุ ภาพ
18 - 20 ดีมาก
14 - 17 ดี
10 - 13 พอใช้
ต่ำกว่า 10 ปรบั ปรุง

แบบสังเกตพฤติกรรมการทำงานกล่มุ

คำช้ีแจง : ให้ผู้สอนสงั เกตพฤติกรรมของนักเรียนในระหวา่ งเรียนและนอกเวลาเรียน แล้วขดี ✓ลงในชอ่ งท่ีตรงกับ
ระดับคะแนน

ลำดบั ชือ่ – สกุล การแสดง การยอมรับฟงั การทำงาน ความมีนำ้ ใจ การมี รวม
ที่ ของนักเรียน ความคดิ เหน็ คนอืน่ ตามทไ่ี ด้รบั ส่วนรว่ มใน 20
มอบหมาย การปรบั ปรุง คะแนน
ผลงานกลุ่ม

43214321432143214321

ลงช่อื ...................................................ผปู้ ระเมิน
............/................./................

เกณฑ์การใหค้ ะแนน ให้ 4 คะแนน
ปฏบิ ตั หิ รือแสดงพฤติกรรมอยา่ งสมำ่ เสมอ ให้ 3 คะแนน
ปฏิบัตหิ รือแสดงพฤติกรรมบ่อยครั้ง ให้ 2 คะแนน
ปฏิบตั ิหรือแสดงพฤติกรรมบางคร้งั ให้ 1 คะแนน
ปฏบิ ัติหรอื แสดงพฤตกิ รรมน้อยครั้ง

เกณฑก์ ารตัดสินคุณภาพ

ช่วงคะแนน ระดับคุณภาพ
18 - 20 ดมี าก
14 - 17 ดี
10 - 13 พอใช้
ตำ่ กว่า 10 ปรบั ปรงุ

แบบประเมินคุณลักษณะอันพงึ ประสงค์

คำชแ้ี จง : ให้ผู้สอนสงั เกตพฤตกิ รรมของนกั เรียนในระหว่างเรียนและนอกเวลาเรียน แลว้ ขดี ✓ลงในช่องท่ตี รงกบั
ระดับคะแนน

คุณลกั ษณะ รายการประเมิน ระดบั คะแนน
อนั พงึ ประสงค์ดา้ น 4321

1. รักชาติ ศาสน์ 1.1 ยนื ตรงเคารพธงชาติ และรอ้ งเพลงชาติได้

กษตั ริย์ 1.2 เขา้ ร่วมกจิ กรรมที่สร้างความสามัคคี ปรองดอง และเปน็ ประโยชนต์ อ่ โรงเรียน

1.3 เขา้ รว่ มกิจกรรมทางศาสนาทีต่ นนับถอื ปฏิบัติตามหลกั ศาสนา

1.4 เข้าร่วมกิจกรรมที่เกี่ยวกับสถาบนั พระมหากษัตริยต์ ามที่โรงเรยี นจัดขนึ้

2. ซ่ือสัตย์ สุจรติ 2.1 ใหข้ อ้ มลู ทถ่ี ูกต้อง และเป็นจรงิ

2.2 ปฏิบัติในสิ่งทีถ่ ูกตอ้ ง

3. มีวนิ ยั รับผิดชอบ 3.1 ปฏิบตั ติ ามข้อตกลง กฎเกณฑ์ ระเบยี บ ขอ้ บงั คบั ของครอบครัว มีความตรงตอ่

เวลาในการปฏบิ ตั ิกจิ กรรมตา่ ง ๆ ในชีวิตประจำวนั

4. ใฝเ่ รยี นรู้ 4.1 รจู้ ักใชเ้ วลาว่างใหเ้ ป็นประโยชน์ และนำไปปฏบิ ัติได้

4.2 รจู้ ักจดั สรรเวลาให้เหมาะสม

4.3 เช่ือฟงั คำส่งั สอนของบดิ า - มารดา โดยไม่โตแ้ ยง้

4.4 ตงั้ ใจเรียน

5. อยอู่ ยา่ งพอเพยี ง 5.1 ใช้ทรพั ย์สนิ และสง่ิ ของของโรงเรยี นอย่างประหยดั

5.2 ใช้อุปกรณก์ ารเรยี นอยา่ งประหยัดและรคู้ ณุ ค่า

5.3 ใชจ้ า่ ยอยา่ งประหยดั และมกี ารเก็บออมเงนิ

6. มุ่งมน่ั ในการทำงาน 6.1 มคี วามตั้งใจและพยายามในการทำงานท่ีได้รับมอบหมาย

6.2 มคี วามอดทนและไม่ท้อแทต้ ่ออุปสรรคเพ่อื ให้งานสำเรจ็

7. รักความเป็นไทย 7.1 มจี ิตสำนกึ ในการอนรุ กั ษ์วัฒนธรรมและภมู ปิ ัญญาไทย

7.2 เหน็ คุณคา่ และปฏิบตั ิตนตามวัฒนธรรมไทย

8. มีจิตสาธารณะ 8.1 รจู้ กั ช่วยพอ่ แม่ ผ้ปู กครอง และครูทำงาน

8.2 รจู้ ักการดูแลรักษาทรัพย์สมบตั แิ ละสง่ิ แวดล้อมของหอ้ งเรยี นและโรงเรยี น

ลงชอ่ื ...................................................ผูป้ ระเมนิ

เกณฑ์การให้คะแนน ............/................./................
พฤติกรรมที่ปฏบิ ตั ิสมำ่ เสมอ เกณฑ์การตัดสนิ คณุ ภาพ
พฤตกิ รรมทป่ี ฏบิ ตั ิบอ่ ยคร้งั
พฤตกิ รรมทป่ี ฏิบัตบิ างครง้ั ให้ 4 คะแนน ช่วงคะแนน ระดบั คุณภาพ
พฤตกิ รรมท่ปี ฏบิ ตั ิน้อยครง้ั ให้ 3 คะแนน
ให้ 2 คะแนน 68 - 80 ดีมาก
ให้ 1 คะแนน
54 - 67 ดี

40 - 53 พอใช้

ตำ่ กวา่ 40 ปรบั ปรุง

บนั ทึกหลังสอนแผนการสอนท่ี ............

1. ผลการสอนระดบั ช้นั ม..............................
 สอนไดต้ ามแผนการจดั การเรยี นรู้
 สอนไมไ่ ดต้ ามแผนการจัดการเรียนรู้ เนือ่ งจาก ..........................................................................

14.ผลที่เกิดกับผู้เรยี น
1.) การประเมินผลความรู้หลังการเรียน โดยใช้………………แบบทดสอบหลงั เรยี น............พบว่านกั เรียน

ผา่ นการประเมินคิดเป็นร้อยละ................……..…. ไม่ผ่านเกณฑข์ น้ั ต่ำทกี่ ำหนดไว้คดิ เปน็ ร้อยละ.............................
ได้แก่ ....................................เลขที่ …………………………...........................................................................................

2.) การประเมินด้านทักษะกระบวนการเรียน โดยใช…้ ………………………………………………………...............
พบวา่ นกั เรยี นผ่านการประเมินคิดเป็นรอ้ ยละ...........……. ไมผ่ า่ นเกณฑข์ น้ั ต่ำทีก่ ำหนดไว้คิดเปน็ ร้อยละ................
ได้แก่ .......................................................................................................................................................................

3.) การประเมนิ ดา้ นคณุ ลกั ษณะทพี่ งึ ประสงค์ เรียน โดยใช้………..…แบบสังเกตพฤตกิ รรม....................
พบวา่ นกั เรียนผ่านการประเมินคดิ เป็นรอ้ ยละ..…....……. ไม่ผ่านเกณฑข์ ั้นต่ำท่ีกำหนดไว้คดิ เปน็ รอ้ ยละ..................
ไดแ้ ก่ ........................................................................................................................................................................
3. ปญั หาและอุปสรรค

 กิจกรรมการจัดการเรยี นรู้ ไม่เหมาะสมกับเวลา
 มีนักเรยี นทำใบงาน/ใบกจิ กรรมไมท่ ันตามกำหนดเวลา
 มีนักเรยี นทีไ่ ม่สนใจเรยี น
 อ่ืน ๆ .............................................................................................................................................
4. ขอ้ เสนอแนะ/แนวทางแกไ้ ข
 ควรนำแผนไปปรบั ปรุง เรอื่ ง ......................................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 แนวทางแก้ไขนกั เรยี นทไี่ มผ่ า่ นการประเมนิ ..................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 ไม่มีขอ้ เสนอแนะ

ลงชือ่ ผู้สอน
()

วนั ท่ี……..../................../................

ความคดิ เหน็ ของหัวหน้ากลุ่มสาระฯ ความคิดเหน็ ของหวั หน้างานวิชาการ
1.เป็นแผนการจดั การเรยี นร้ทู ่ี 1.เปน็ แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่
 ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรงุ  ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรุง
2.การจัดกจิ กรรมการเรยี นรไู้ ดน้ ำเอากระบวนการเรยี นรู้ 2.การจดั กจิ กรรมการเรยี นรไู้ ด้นำเอากระบวนการเรยี นรู้
ทีเ่ นน้ ผูเ้ รียนเป็นสำคัญมาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง  ทีเ่ น้นผ้เู รียนเปน็ สำคญั มาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง

เหมาะสมกบั ศกั ยภาพที่แตกต่างกันของผเู้ รียน เหมาะสมกับศกั ยภาพทแี่ ตกตา่ งกันของผเู้ รยี น
 ทยี่ งั ไม่เนน้ ผู้เรยี นเป็นสำคัญ ควรปรับปรุงพัฒนาต่อไป  ที่ยงั ไม่เน้นผเู้ รยี นเปน็ สำคญั ควรปรับปรุงพฒั นาตอ่ ไป
3.เปน็ แผนการจัดการเรียนรู้ 3.เปน็ แผนการจดั การเรียนรู้
 นำไปใช้ได้จริง  ควรปรับปรุงกอ่ นนำไปใช้  นำไปใช้ได้จรงิ  ควรปรบั ปรุงก่อนนำไปใช้
4.ข้อเสนอแนะอื่นๆ 4.ขอ้ เสนอแนะอน่ื ๆ
……………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………….

ลงชอ่ื ....................................................... ลงช่ือ.......................................................
(นางสาวณัฐญิ า คาโส)
(นายศภุ ชยั เรอื งเดช)

แผนการจัดการเรยี นรทู้ ี่ 14

ระบบสมการเชงิ เสน้

เวลา 2 ช่วั โมง

1. ผลการเรียนรู้

1) เขา้ ใจความหมาย หาผลลัพธ์ของการบวกเมทรกิ ซ์ การคณู เมทริกซก์ ับจำนวนจรงิ การคณู ระหวา่ งเมทริกซ์

และหาเมทรกิ ซส์ ลับเปลย่ี นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทรกิ ซ์ n x n เมอื่ n เป็นจำนวนนับท่ีไม่เกนิ สาม

2) หาเมทรกิ ซผ์ กผันของเมทรกิ ซ์ 2 x 2

3) แก้ระบบสมการเชงิ เสน้ โดยใช้เมทรกิ ซผ์ กผันและการดำเนนิ การตามแถว

2. จดุ ประสงค์การเรียนรู้

1) บอกความหมายของสมการเชิงเส้นได้ (K)

2) คำนวณหาคำตอบของระบบสมการเชงิ เส้นได้ (K)

3) เขยี นขน้ั ตอนแสดงวธิ ีการแกร้ ะบบสมการไดถ้ ูกตอ้ ง โดยใช้วธิ ีการกำจดั ตวั แปร (P)

4) มคี วามรบั ผดิ ชอบต่องานท่ีได้รบั มอบหมาย (A)

3. สาระการเรยี นรู้

สาระการเรียนรู้เพิ่มเติม สาระการเรยี นรูท้ อ้ งถ่ิน

สมการเชงิ เส้นและระบบสมการเชิงเส้น พิจารณาตามหลกั สูตรของสถานศึกษา
4. สาระสำคญั /ความคิดรวบยอด

กำหนดให้ a1,a2,...,an และ b เป็นจำนวนจริงใด ๆ โดยท่ี a1,a2,...,an ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน เรียก
สมการ a1x1 + a2x2 +...+ an xn = b ว่า สมการเชิงเส้น n ตัวแปร เม่ือ x1, x2,..., xn เป็นตัวแปร และระบบ
สมการเชิงเส้นท่ีมี x1, x2, x3,..., xn เป็นตัวแปร หมายถึง ชุดของสมการเชิงเส้นท่ีประกอบด้วยสมการเชิงเส้นที่มี
x1, x2, x3,..., xn เปน็ ตัวแปร จำนวน m สมการ โดยที่ m  2 คำตอบของระบบสมการนี้ คอื จำนวน n จำนวน
ท่ีนำไปแทนตัวแปร ในทุก ๆ สมการ ตามลำดบั แลว้ ไดส้ มการทเ่ี ปน็ จริงท้ังหมด

5. สมรรถนะสำคัญของผูเ้ รียนและคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค์

สมรรถนะสำคัญของผ้เู รียน คุณลักษณะอันพงึ ประสงค์

1. ความสามารถในการสอื่ สาร 1. มีวนิ ัย

2. ความสามารถในการคิด 2. ใฝเ่ รยี นรู้

6) ทักษะการปรบั โครงสรา้ ง 3. ม่งุ มั่นในการทำงาน

7) ทกั ษะการตีความ

8) ทกั ษะกระบวนการคดิ แกป้ ัญหา

สมรรถนะสำคัญของผู้เรียน คณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงค์
3. ความสามารถในการแก้ปญั หา

6. กจิ กรรมการเรยี นรู้
 แนวคิด/รูปแบบการสอน/วธิ ีการสอน/เทคนิค : แบบนิรนัย (Deduction)

ชว่ั โมงท่ี 1

ข้นั นำ

กำหนดขอบเขตของปญั หา
1. ครกู ระตุ้นความสนใจของนักเรียน โดยการให้นักเรยี นดูภาพหนา้ หน่วยการเรยี นรู้ที่ 2 ในหนงั สอื เรยี น หนา้

122 หลงั จากนนั้ ให้นักเรียนรว่ มกันตอบคำถามในหนังสือเรยี น หน้า 122
หมายเหตุ* ครแู ละนกั เรยี นรว่ มกนั เฉลยคำถาม BIG QUESTION หลงั เรียนหน่วยการเรยี นรทู้ ี่ 2
2. ครูแนะนำบทเรยี น พร้อมท้งั แจ้งจุดประสงค์การเรยี นรูข้ องหนว่ ยการเรียนร้ทู ี่ 2 ให้นักเรียนทราบ หลังจาก
นัน้ ครูใหน้ ักเรยี นทำแบบทดสอบกอ่ นเรียน
3. ครใู หเ้ รียนศกึ ษาควรรูก้ อ่ นเรยี นในหนงั สอื เรยี น หนา้ 123

ขนั้ สอน

แสดงและอธิบายทฤษฏี หลักการ

1. ครอู ธิบายให้นกั เรยี นฟังวา่ สมการเชิงเส้น คอื สมการที่มเี ลขช้ีกำลังของตัวแปรทุกตัวเปน็ หนึ่ง

2. ครเู ขยี นโจทยต์ อ่ ไปน้ี บนกระดาน

1) -8x + 4 = 6 2) 3x – 2y = 5 3) 2x – 3y + z = -5

หลงั จากนน้ั ครูถามคำถามนักเรยี น ดงั นี้

• สมการในข้อใดบ้างที่เป็นสมการเชิงเสน้
(แนวตอบ สมการในข้อ 1), 2) และ 3) เปน็ สมการเชิงเส้น เพราะตัวแปรทุกตวั ของทกุ สมการมเี ลข
ชีก้ ำลังเป็นหนึ่ง)

• สมการในโจทย์ข้อ 1) มกี ตี่ วั แปร
(แนวตอบ มี 1 ตวั แปร คอื ตวั แปร x)

• สมการในโจทยข์ อ้ 2) มีกต่ี วั แปร
(แนวตอบ มี 2 ตัวแปร คือตัวแปร x และ y)

• สมการในโจทยข์ อ้ 3) มีก่ตี วั แปร
(แนวตอบ มี 3 ตัวแปร คือตัวแปร x, y และ z)

3. ครแู ละนกั เรยี นร่วมกันสรุปวา่ สมการขา้ งตน้ เราจะเรียกวา่ สมการเชิงเสน้ n ตวั แปร เชน่ สมการข้อ
1) เราจะเรยี กวา่ สมการเชิงเส้นตัวแปรเดยี ว สมการข้อ 2) เราจะเรยี กว่า สมการเชงิ เส้นสองตวั แปร
และในทำนองเดียวกันสมการโจทยข์ อ้ 3) เราจะเรียกว่า สมการเชิงเส้นสามตัวแปร

4. ครอู ธบิ ายระบบสมการเชิงเส้นใหน้ กั เรียนว่า ระบบสมการเชงิ เส้น ประกอบด้วยสมการเชิงเสน้ ตงั้ แต่
สองสมการขน้ึ ไป พรอ้ มยกตัวอยา่ งว่า
1) x + 2y = 6
3x – y = 2
โดยที่ x และ y เป็นตัวแปร จะเห็นว่าข้อ 1) มสี มการเชิงเส้นสองตัวแปร 2 สมการ ดังนั้นจะ
เรยี กว่า ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร
2) 2x – y + 4z = 0
– x + 5y = 5z
y + 7z = x
โดยท่ี x, y และ z เปน็ ตวั แปร จะเหน็ ว่าข้อ 2) มีสมการเชิงเส้นสามตัวแปร 3 สมการ ดงั นั้นจะ
เรียกวา่ ระบบสมการเชิงเส้นสามตวั แปร

5. ครูและนกั เรยี นร่วมกันสรปุ ว่าระบบสมการเชิงเส้นท่ีมี x1, x2, x3,..., xn เปน็ ตัวแปร หมายถึง ชุดของ
สมการเชงิ เสน้ ที่ประกอบดว้ ยสมการเชงิ เส้นทมี่ ี x1, x2, x3,..., xn เป็นตัวแปร จำนวน m สมการ โดยท่ี
m  2 คำตอบของระบบสมการน้ี คือ จำนวน n จำนวน ท่ีนำไปแทนตัวแปร ในทุก ๆ สมการ ตามลำดับ
แลว้ ได้สมการท่ีเปน็ จรงิ ทัง้ หมด

6. ครกู ลา่ วว่า การหาค่าของตัวแปรจากการระบบสมการ เราจะเรียกว่าเปน็ การแก้ระบบสมการ ซึ่งสามารถทำ
ได้หลายวิธี เช่น การกำจัดตัวแปรใดตัวแปรหน่ึง การใช้ความรู้เร่ืองเมทริกซ์ การใช้ความรู้เรื่องดีเทอร์
มิแนนต์

ใชทั ฤษฏี หลักการ
7. ครูใหน้ ักเรียนศึกษาตวั อยา่ งท่ี 1 ในหนังสอื เรียน หน้า 126 หลังจากน้ันครูนำตวั อย่างที่ 1 มาอธบิ ายหน้าช้ัน

เรียนซ้ำอีกคร้ัง พร้อมทั้งอธิบาย การเขียนคำตอบของระบบสมการในกรอบ “คณิตน่ารู้” กับนักเรียน
เพิ่มเติม แลว้ ใหน้ กั เรยี นทำ “ลองทำดู” ในหนังสอื เรยี น หนา้ 126 เมื่อเสร็จแล้วครูสุ่มนักเรยี นออกมาเขยี น
แสดงวิธที ำหน้าชั้นเรียน โดยมีครูและเพ่อื น ๆ คอยตรวจสอบความถกู ตอ้ ง
8. ครูให้นักเรียนแต่ละคนศึกษาตัวอย่างท่ี 2 ในหนังสือเรียน หน้า 126-127 หลังจากนั้นครูให้นักเรียนจับคู่
แล้วทำกิจกรรม “ทนายช่างซัก (Rally Robin)” โดยให้นักเรียนแต่ละคู่ พูดคุย ซักถามกัน ในเร่ืองการแก้
ระบบสมการในตวั อย่างท่ี 2 จากนั้นครูทำกจิ กรรมร่วมกับนักเรียน โดยครูกบั นกั เรียนพูดคุย ซักถามกัน จน
ได้ขอ้ สรปุ ว่า ระบบสมการในตวั อยา่ งน้ีเป็นระบบสมการที่มีหลายคำตอบ

9. ครใู ห้นกั เรยี นแต่ละทำ “ลองทำด”ู ในหนังสือเรยี น หนา้ 127 หลงั จากนน้ั ครใู ห้นกั เรยี นค่เู ดิมทำกจิ กรรม
“ทนายชา่ งซกั (Rally Robin)” อีกคร้งั โดยให้นักเรยี นพดู คยุ ซักถามกัน วา่ คำตอบของระบบสมการของ
“ลองทำด”ู ตรงกันหรอื ไม่ พร้อมท้งั อธิบายซ่ึงกนั และกนั จนมีความเขา้ ใจทีต่ รงกัน

ชั่วโมงท่ี 2

10. ครูเขียนโจทย์ของตัวอย่างที่ 3 บนกระดาน โดยครูจะยังไม่ให้นักเรียนเปิดหนังสือเรียน หลังจากน้ันครูให้
นักเรียนจัดกลุ่ม กลุ่มละ 4 คน แล้วกำหนดเลขประจำตัวนักเรียนเป็น 1, 2, 3 และ 4 ตามลำดับ แล้วให้
นักเรียนในกลุ่มทำกิจกรรม “รวมหัวคิด (Numbered Heads Together)” โดยให้นักเรียนในกลุ่มช่วยกัน
หาคำตอบของระบบสมการท่ีครูเขียนบนกระดาน เมื่อนักเรียนในแต่ละกลุ่มทำเสร็จแล้ว ครูสุ่มเรียกเลข
หมายใดก็ได้ ใหต้ อบคำถาม ซึ่งนักเรยี นทถี่ ูกเรียกตอ้ งสามารถตอบได้ พร้อมท้ังอธิบายได้ (เพราะนกั เรียนใน
กลุ่มต้องร่วมกันคิดและต้องทำความเข้าใจให้ตรงกัน) แต่จะผิดหรือถูก ครูจะยังไม่เฉลย แต่จะสุ่มเรียกทุก
กลุ่มในคำถามเดียวกัน เพ่ือให้นักเรียนได้ตรวจเช็คคำตอบและวิธีทำ ครูสุ่มถามนักเรียนทุกกลุ่มจนได้
คำตอบเดยี วกันว่า ระบบสมการน้ไี มม่ ีคำตอบ

11. ครูให้นักเรียนแต่ละคนในกลุ่มทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรียน หน้า 128 เมื่อเสร็จแล้วครูให้นักเรียนทำ
กจิ กรรม “ซักไซไ้ ล่เรยี ง (Round Robin)” ใหน้ กั เรียนในแต่ละกล่มุ ผลดั กันพูดคำตอบของตน แลว้ ตรวจเช็ค
ว่าไดค้ ำตอบตรงกับเพอ่ื นไหม ถ้าไม่ตรงกันใหน้ ักเรียนในกลุ่มช่วยตรวจสอบขอ้ ผิดพลาดของเพ่ือน พร้อมท้ัง
อธบิ ายซง่ึ กันและกันจนเปน็ ทเ่ี ข้าใจรว่ มกนั

ข้ันสรุป

ตรวจสอบและสรุป
ครถู ามคำถามเพื่อสรุปความรรู้ วบยอดของนกั เรียน ดงั นี้

• สมการเชิงเสน้ เป็นอยา่ งไร
(แนวตอบ สมการทม่ี เี ลขชีก้ ำลงั ของตวั แปรทุกตวั เปน็ หน่งึ )

• สมการเชิงเส้นที่มหี ลายตัวแปร จะเรยี กวา่ อย่างไร
(แนวตอบ สมการเชงิ เส้น n ตัวแปร เม่อื n แทนจำนวนตัวแปร)

• ระบบสมการเชิงเสน้ เปน็ อยา่ งไร
(แนวตอบ สมการเชิงเสน้ ทมี่ ีมากกวา่ หนง่ึ สมการ)

• การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ ทำได้อย่างไร
(แนวตอบ นักเรียนสามารถตอบได้หลากหลายข้ึนอยู่กับความรู้พ้ืนฐานของนักเรียนแต่ละคน เช่น
การกำจดั ตัวแปรใดตัวแปรหนงึ่ เป็นต้น)

ฝกึ ปฏบิ ัติ

ครใู หน้ กั เรียนทำแบบฝึกทกั ษะ 2.1 ในหนังสือเรียน หน้า 129

7. การวัดและประเมินผล วิธกี าร เคร่อื งมือ เกณฑ์การประเมิน
รายการวัด
- ตรวจแบบทดสอบ - แบบทดสอบ - ประเมินตามสภาพจริง
7.1 การประเมินกอ่ นเรียน ก่อนเรยี น ก่อนเรยี น
- แบบทดสอบกอ่ นเรยี น - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์
หน่วยการเรียนรูท้ ี่ 2 - ตรวจแบบฝึกทักษะ 2.1 - แบบฝึกทกั ษะ 2.1 - รอ้ ยละ 60 ผ่านเกณฑ์
เร่อื ง เมทริกซ์ - ตรวจ Exercise 2.1 - Exercise 2.1 - ระดบั คณุ ภาพ 2
- สังเกตพฤตกิ รรม - แบบสงั เกต ผ่านเกณฑ์
7.2 ประเมินระหว่างการจดั การทำงานรายบคุ คล พฤตกิ รรม
กจิ กรรมการเรยี นรู้ การทำงานรายบุคคล - ระดับคณุ ภาพ 2
1) ระบบสมการเชงิ เสน้ - สังเกตพฤตกิ รรม - แบบสังเกต ผา่ นเกณฑ์
การทำงานกลมุ่ พฤติกรรม
2) พฤตกิ รรมการทำงาน การทำงานกลุ่ม - ระดบั คณุ ภาพ 2
รายบุคคล - สังเกตความมวี นิ ัย - แบบประเมนิ ผ่านเกณฑ์
ใฝ่เรยี นรู้ และม่งุ ม่ัน คณุ ลักษณะ
3) พฤติกรรมการทำงาน ในการทำงาน อันพงึ ประสงค์
กลุ่ม

4) คุณลกั ษณะ
อนั พึงประสงค์

8. ส่ือ/แหล่งการเรยี นรู้
8.1 สื่อการเรยี นรู้
28) หนังสือเรยี นรายวชิ าเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.5 เลม่ 1 หนว่ ยการเรียนร้ทู ่ี 2 เมทริกซ์
29) หนงั สอื แบบฝึกหัดรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ม.5 เลม่ 1 หนว่ ยการเรียนร้ทู ่ี 2 เมทรกิ ซ์
8.2 แหล่งการเรียนรู้
1) หอ้ งสมุด
2) แหลง่ ชมุ ชน
3) อนิ เทอรเ์ นต็

บนั ทึกหลงั สอนแผนการสอนที่ ............

1. ผลการสอนระดบั ช้นั ม..............................
 สอนไดต้ ามแผนการจดั การเรยี นรู้
 สอนไมไ่ ดต้ ามแผนการจัดการเรียนรู้ เนือ่ งจาก ..........................................................................

15.ผลที่เกิดกับผู้เรยี น
1.) การประเมินผลความรู้หลงั การเรยี น โดยใช้………………แบบทดสอบหลงั เรียน............พบว่านกั เรียน

ผา่ นการประเมินคิดเป็นร้อยละ................……..…. ไม่ผา่ นเกณฑ์ข้ันต่ำท่กี ำหนดไว้คดิ เปน็ ร้อยละ.............................
ได้แก่ ....................................เลขที่ …………………………...........................................................................................

2.) การประเมินด้านทักษะกระบวนการเรียน โดยใช้…………………………………………………………...............
พบวา่ นกั เรยี นผ่านการประเมินคิดเป็นร้อยละ...........……. ไม่ผ่านเกณฑ์ขน้ั ต่ำทีก่ ำหนดไว้คิดเปน็ ร้อยละ................
ได้แก่ .......................................................................................................................................................................

3.) การประเมนิ ดา้ นคณุ ลกั ษณะท่พี ึงประสงค์ เรียน โดยใช…้ ……..…แบบสงั เกตพฤติกรรม....................
พบวา่ นกั เรียนผ่านการประเมินคดิ เป็นรอ้ ยละ..…....……. ไมผ่ า่ นเกณฑ์ขั้นต่ำท่ีกำหนดไว้คดิ เป็นรอ้ ยละ..................
ไดแ้ ก่ ........................................................................................................................................................................
3. ปญั หาและอุปสรรค

 กิจกรรมการจัดการเรยี นรู้ ไม่เหมาะสมกบั เวลา
 มีนักเรยี นทำใบงาน/ใบกิจกรรมไมท่ ันตามกำหนดเวลา
 มีนักเรยี นทีไ่ ม่สนใจเรยี น
 อ่ืน ๆ .............................................................................................................................................
4. ขอ้ เสนอแนะ/แนวทางแกไ้ ข
 ควรนำแผนไปปรบั ปรุง เรอื่ ง ......................................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 แนวทางแก้ไขนกั เรยี นทไี่ ม่ผา่ นการประเมนิ ..................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 ไม่มีขอ้ เสนอแนะ

ลงช่ือ ผู้สอน
()

วนั ท่ี……..../................../................

ความคดิ เหน็ ของหัวหน้ากลุ่มสาระฯ ความคิดเหน็ ของหวั หน้างานวิชาการ
1.เป็นแผนการจดั การเรยี นร้ทู ่ี 1.เปน็ แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่
 ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรงุ  ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรุง
2.การจัดกจิ กรรมการเรยี นรไู้ ดน้ ำเอากระบวนการเรยี นรู้ 2.การจดั กจิ กรรมการเรยี นรไู้ ด้นำเอากระบวนการเรยี นรู้
ทีเ่ นน้ ผูเ้ รียนเป็นสำคัญมาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง  ทีเ่ น้นผ้เู รียนเปน็ สำคญั มาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง

เหมาะสมกบั ศกั ยภาพที่แตกต่างกันของผเู้ รียน เหมาะสมกับศกั ยภาพทแี่ ตกตา่ งกันของผเู้ รยี น
 ทยี่ งั ไม่เนน้ ผู้เรยี นเป็นสำคัญ ควรปรับปรุงพัฒนาต่อไป  ที่ยงั ไม่เน้นผเู้ รยี นเปน็ สำคญั ควรปรับปรุงพฒั นาตอ่ ไป
3.เปน็ แผนการจัดการเรียนรู้ 3.เปน็ แผนการจดั การเรียนรู้
 นำไปใช้ได้จริง  ควรปรับปรุงกอ่ นนำไปใช้  นำไปใช้ได้จรงิ  ควรปรบั ปรุงก่อนนำไปใช้
4.ข้อเสนอแนะอื่นๆ 4.ขอ้ เสนอแนะอน่ื ๆ
……………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………….

ลงชอ่ื ....................................................... ลงช่ือ.......................................................
(นางสาวณัฐญิ า คาโส)
(นายศภุ ชยั เรอื งเดช)

แผนการจดั การเรียนรทู้ ี่ 15

เมทรกิ ซ์

เวลา 5 ช่ัวโมง

1. ผลการเรยี นรู้

1) เขา้ ใจความหมาย หาผลลัพธข์ องการบวกเมทริกซ์ การคูณเมทริกซก์ บั จำนวนจรงิ การคูณระหว่างเมทรกิ ซ์

และหาเมทรกิ ซส์ ลับเปล่ียนหาดเี ทอรม์ แิ นนต์ของเมทรกิ ซ์ n x n เมื่อ n เป็นจำนวนนบั ทีไ่ ม่เกนิ สาม

2) หาเมทรกิ ซผ์ กผันของเมทริกซ์ 2 x 2

3) แกร้ ะบบสมการเชงิ เส้นโดยใชเ้ มทรกิ ซ์ผกผนั และการดำเนนิ การตามแถว

2. จดุ ประสงค์การเรียนรู้

1) สามารถเขยี นขอ้ มูลให้อยู่ในรูปเมทรกิ ซ์เขยี นเมทริกซ์สลบั เปลย่ี นได้ (K)

2) แสดงการเท่ากัน การบวก และการคูณเมทรกิ ซท์ ี่กำหนดให้ได้ (K)

3) ให้เหตุผลในการแสดงการเทา่ กัน การบวก และการคณู เมทรกิ ซ์ท่กี ำหนดใหไ้ ด้ได้ (P)

4) รับผดิ ชอบตอ่ หน้าท่ีท่ีได้รับมอบหมาย (A)

3. สาระการเรยี นรู้

สาระการเรียนรแู้ กนกลาง สาระการเรยี นรทู้ ้องถ่ิน

1) เมทรกิ ซแ์ ละเมทริกซ์สับเปลี่ยน พจิ ารณาตามหลักสูตรของสถานศึกษา

2) การบวกเมทรกิ ซ์ การคูณเมทริกซก์ บั จำนวนจริง

การคณู เมทรกิ ซ์ระหวา่ งเมทรกิ ซ์

4. สาระสำคญั /ความคิดรวบยอด

เมทรกิ ซ์ คือ ชดุ ของจำนวนซึง่ เขยี นเรียงกัน m แถว (row) n หลัก (column) เมอื่ m และ n เป็น
จำนวนเต็มบวกภายในเคร่ืองหมายวงเล็บ เมทริกซ์จะเท่ากัน ก็ต่อเม่ือ มีมิติเดียวกันและสมาชกิ ในตำแหน่ง
เดยี วกนั เท่ากัน และเมทริกซ์จะบวกกัน เมทรกิ ซแ์ ถวและหลักสลบั กัน จะเรยี กวา่ เมทริกซ์สลบั เปล่ียน การ
บวกเมทริกทำได้โดยพิจารณามิติของเมทรกิ ซ์ว่าเป็นมิติเดียวกัน เมื่อมีมิติเดียวกันให้นำสมาชิกในตำแหน่ง
เดียวกันมาบวกกัน การคูณกันของเมทริกซ์ด้วยค่าคงตัวทำได้โดยนำค่าคงตัวไปคูณกับสมาชิกแต่ละตัวใน
เมทรกิ ซ์ และการคูณเมทริกซ์ A เมทริกซ์ B จะคูณกันได้ ก็ต่อเมื่อ จำนวนหลักของ A เท่ากับจำนวนแถว
ของ B

5. สมรรถนะสำคญั ของผเู้ รยี นและคุณลักษณะอันพึงประสงค์

สมรรถนะสำคัญของผู้เรียน คุณลักษณะอันพงึ ประสงค์

1. ความสามารถในการส่อื สาร 1. มีวินัย

2. ความสามารถในการคิด 2. ใฝเ่ รียนรู้

1) ทักษะการเปรยี บเทยี บ 3. ม่งุ มนั่ ในการทำงาน

2) ทักษะการเชื่อมโยง

3) ทกั ษะการให้เหตผุ ล

3. ความสามารถในการแกป้ ญั หา

6. กจิ กรรมการเรยี นรู้

 แนวคิด/รปู แบบการสอน/วธิ ีการสอน/เทคนิค : แบบนิรนยั (Deduction)

ชัว่ โมงที่ 1

ขนั้ นำ

กำหนดขอบเขตขอปญั หา

1. ครกู ระตุน้ ความสนใจของนักเรยี นโดยให้นักเรียนทำกิจกรรมคณติ ศาสตร์ ในหนังสือเรยี น หนา้ 130
จากน้ันครูถามคำถามจากกจิ กรรมคณติ ศาสตร์ ในหนังสือเรียน หน้า 130 ดงั นี้
• เมทริกซ์ขา้ งต้นมจี ำนวนแถวและจำนวนหลกั เป็นเทา่ ใด
(แนวตอบ 2 แถว 3 หลกั )
• ถ้าตวั เลขแต่ละตัวอยู่ในเมทริกซเ์ รียกว่า “สมาชิกของเมทริกซ์” และสมาชิกแต่ละตวั ในแถวที่ 1 ของ
เมทริกซ์ คอื จำนวนยางลบแต่ละยี่หอ้ ในร้าน ก. แลว้ สมาชิกแตล่ ะตวั ในแถวที่ 2 คอื อะไร
(แนวตอบ ยหี่ อ้ ในรา้ น ข. )
• ถ้าสมาชิกแตล่ ะตัวในหลักที่ 1 ของเมทรกิ ซ์ คอื จำนวนยางลบย่หี อ้ A ที่ขายอยู่ในร้าน ก. และร้าน
ข. แลว้ สมาชิกแต่ละตวั ในหลักที่ 2 และหลักท่ี 3 คืออะไร
(แนวตอบ จำนวนยางลบยี่หอ้ B และ C ท่ขี ายอยูใ่ นรา้ น ก. และร้าน ข. ตามลำดับ)

ขน้ั สอน

แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลกั การ
1. ครอู ธบิ ายกับนักเรยี นว่า จากกิจกรรมคณิตศาสตร์ จะเหน็ วา่ ชุดของจำนวนท่ีเขยี นอยใู่ นวงเลบ็ [ ] หรอื
( ) เป็นการนำจำนวนที่อยใู่ นตารางมาเขียนเรยี งใหมต่ ามแถวและคอลัมน์เดมิ ในทางคณิตศาสตร์จะ
เรียกชดุ ของจำนวนท่ีเขยี นในวงเลบ็ [ ] หรอื ( ) ว่า เมทริกซ์
2. ครูอธบิ ายนิยามของเมทริกซ์ ในหนงั สอื เรียน หนา้ 131 ว่า เมทริกซ์ คอื ชุดของจำนวน mn จำนวน
(m,n I +) ซงึ่ เขียนเรียงกัน m แถว (row) n หลกั (column) ภายในเคร่อื งหมายวงเล็บ ในรปู

 a11 a12 a1n  แถวที่ 1
 a 21 a 22 a 2n  แถวที่ 2
 
 a m2 
a m1 
a mn  แถวที่ n

หลกั ที่ 1 หลักที่ 2 หลกั ท่ี m

เรยี ก aij ว่าสมาชิก (entry) ในแถวท่ี I และหลกั ที่ j ของเมทรกิ ซ์ หรอื สมาชกิ ในตำแหนง่ ท่ี
ij ของเมทริกซ์ เม่ือ i 1,2,3,...,m และ j 1,2,3,...,n เรียก เมทริกซ์ท่ีมี m แถว และ n
หลกั วา่ เมทริกซ์ท่ีมมี ติ ิ (dimension) m n

3. ครูอธบิ ายนกั เรยี นเพิ่มเตมิ วา่ จากบทนิยาม สามารถแบ่งชนดิ ของเมทรกิ ซ์สามารถแบง่ ไดโ้ ดยใชจ้ ำนวน
แถว จำนวนหลัก และสมาชกิ ของเมทรกิ ซ์ ดงั น้ี

• เมทรกิ ซ์แถว (Row Matrix) คือเมทรกิ ซ์ท่มี ี 1 แถว และ n หลกั มีมิติเปน็ 1 x n

• เมทรกิ ซ์หลกั (Columm Matrix) คอื เมทริกซท์ ี่มี n แถว และ 1 หลัก จงึ มีมิติเปน็ n x 1

• เมทรกิ ซ์จตั ุรัส (Square Matrix) คือ เมทรกิ ซท์ มี่ ีจำนวนแถวและหลกั เท่ากัน

• เมทริกซศ์ ูนย์ (Zero Matrix or ANull Matrix) คอื เมทริกซท์ ีม่ สี มาชกิ ทุกตวั เป็นศูนย์ เขยี น
แทนด้วยสัญลกั ษณ์ 0

• เมทรกิ ซเ์ อกลกั ษณ์ (Identity Matrix or Unit Matrix) คือ เมทรกิ ซ์จตั รุ สั ท่มี ีสมาชิกในแนว
ทแยงหลกั เป็น 1 ทั้งหมดและสมาชกิ ทีไ่ ม่ได้อยู่ในแนวทแยงหลักเปน็ ศูนย์ เขียนแทนด้วย
สญั ลกั ษณ์ เมือ่ n เป็นจำนวนแถวและจำนวนหลกั ของเมทรกิ ซ์ พรอ้ มทั้งครูอธิบายความรู้
ในกรอบ “คณติ นา่ รู้” ท่รี ะบุวา่ กำหนดเมทรกิ ซ์ A เป็นเมทริกซท์ ี่มีมติ ิเป็น × จะกล่าววา่
แนวทแยงหลกั ของเมทริกซ์ A ประกอบไปด้วย สมาชิกในแถวท่ี i หลกั ที่ j เม่ือ i = j สำหรับ
ทกุ
∈ {1, 2, … , } และ ∈ {1, 2, … , }

ใชท้ ฤษฎี หลกั การ

4. ครูกำหนดเมทริกซ์ให้นักเรียนจำแนกประเภท โดยใช้เกณฑ์การจำแนกตามท่ีครูได้อธิบายไว้ข้างต้น
ซ่ึงครกู ำหนดเมทริกซ์ ดังน้ี

• เมทริกซ์ A = [0] เป็นเมทรกิ ซป์ ระเภทใดบา้ ง
(แนวตอบ เมทรกิ ซแ์ ถว เมทรกิ ซห์ ลัก เมทรกิ ซ์จัตุรัส และเมทรกิ ซศ์ นู ย์)

• เมทรกิ ซ์ B = [1] เปน็ เมทริกซป์ ระเภทใดบา้ ง
(แนวตอบ เมทริกซแ์ ถว เมทริกซ์หลัก เมทรกิ ซจ์ ัตุรัส และเมทริกซ์เอกลกั ษณ์)

• เมทรกิ ซ์ C = [1 0] เป็นเมทริกซ์ประเภทใดบ้าง
(แนวตอบ เมทริกซ์แถว)

• เมทริกซ์ D = [−23] เปน็ เมทริกซ์ประเภทใดบ้าง
(แนวตอบ เมทรกิ ซห์ ลกั )

• เมทรกิ ซ์ E = [00 00] เป็นเมทริกซ์ประเภทใดบา้ ง
(แนวตอบ เมทรกิ ซจ์ ัตุรสั และเมทรกิ ซศ์ นู ย์)

• เมทริกซ์ F = [01 10] เป็นเมทรกิ ซป์ ระเภทใดบ้าง
(แนวตอบ เมทรกิ ซ์จัตรุ ัส และเมทรกิ ซ์เอกลักษณ์)

• เมทริกซ์ G = [11 11] เป็นเมทรกิ ซ์ประเภทใดบ้าง
(แนวตอบ เมทรกิ ซ์จตั ุรสั )

1 −3 4

• เมทริกซ์ H = [ 4 1 2] เปน็ เมทริกซป์ ระเภทใดบ้าง

−9 0 1

(แนวตอบ เมทริกซจ์ ัตุรัส)
เม่อื นกั เรยี นทำเสร็จ ครแู ละนักเรยี นรว่ มกันเฉลยคำตอบ โดยครูจะให้นักเรียนร่วมกนั อภปิ รายคำตอบ
5. ครใู หน้ กั เรยี นศึกษาตัวอยา่ งท่ี 4 ในหนังสือเรยี น หนา้ 133 แลว้ แลกเปลยี่ นความรู้กบั เพอื่ น จากนน้ั ครู
ถามคำถามนักเรียน ดังนี้

• a11 เท่ากับเท่าใด
(แนวตอบ a11 = 2)

• a12 เท่ากับเทา่ ใด
(แนวตอบ a12 = 3)

• a13 เท่ากับเทา่ ใด
(แนวตอบ a13 = 3)

• a21 เท่ากบั เทา่ ใด
(แนวตอบ a21 = 4)

• a22 เทา่ กับเท่าใด
(แนวตอบ a22 = 2)

• a23 เทา่ กับเท่าใด
(แนวตอบ a23 = 3)

• a21 + a22 − a13 + a11 เทา่ กบั เทา่ ใด
(แนวตอบ a21 + a22 − a13 + a11 = 4 + 2 − 3 + 2 = 5)

หลงั จากนนั้ ครใู หน้ กั เรยี นทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรียน หน้า 134 เมื่อนักเรยี นทำเสร็จแลว้

ครแู ละนักเรียนร่วมกนั เฉลยคำตอบ

6. ครใู ห้นกั เรียนศกึ ษาการเท่ากนั ของเมทรกิ ซ์ ในหนังสอื เรียน หน้า 134 จากน้นั ครูถามคำถามนกั เรียน
ดังนี้

• นกั เรยี นมีหลักการสงั เกตเมทรกิ ซ์ท่ีเทา่ กนั อยา่ งไร
(แนวตอบ นักเรียนสามารถตอบได้อย่างหลากหลายตามข้อสังเกตของนักเรียนแต่ละ เช่น
นกั เรยี นอาจตอบว่า มสี มาชิกในตำแหน่งเดียวกนั เหมือนกนั และมีมติ ิเดียวกัน)

7. ครูถามคำถามจากกรอบ “Thinking Time” ในหนังสือเรียน หน้า 134 ว่า ถ้าเมทริกซ์ A และ B
เปน็ มติ ิเดียวกนั นกั เรยี นคิดวา่ เมทริกซ์ A และ B เทา่ กันหรือไม่ เพราะเหตใุ ด
(แนวตอบ ไมเ่ ท่ากนั เพราะ สมาชิกของเมทริกซ์ A และ B ในตำแหนง่ เดยี วกนั อาจไมเ่ หมือนกนั กไ็ ด้)

8. ครูเขยี นโจทย์ในตวั อย่างที่ 5 ในหนังสือเรียน หนา้ 134 บนกระดาน ดังน้ี

กำหนด [ −−45] = [ 0 7] ให้หาคา่ ของ x และ y
+

โดยครูจะให้นักเรยี นในหอ้ งรว่ มกันทำ ดว้ ยการใช้การถามแนะ ดงั นี้

• จากการเทา่ กันของเมทรกิ ซ์เรยี นจะหาคา่ x และ y ไดอ้ ยา่ งไร
(แนวตอบ นำสมาชิกของเมทริกซใ์ นตำแหน่งเดียวกันมาเท่ากนั และแกส้ มการ)

• ความสมั พนั ธ์ของสมาชิกในแถวท่ี 1 หลกั ที่ 1 เขยี นอยา่ งไร
(แนวตอบ x – 5 = 0)

• จะไดค้ ่าของ x เปน็ เทา่ ใด
(แนวตอบ จากการแก้สมการจะได้ x = 5)

• ความสัมพนั ธ์ของสมาชกิ ในแถวที่ 2 หลักที่ 1 เขียนอย่างไร
(แนวตอบ –4 = y + 7)

• จะได้ค่าของ x เป็นเท่าใด
(แนวตอบ จากการแกส้ มการจะได้ y = –11)

• ค่าของ x และ y ทีท่ ำให้ [ −−45] = [ 0 7] เปน็ เท่าใด
+

(แนวตอบ ค่าของ x และ y ที่ทำให้เมทริกซ์ทก่ี ำหนดเท่ากัน คือ x = 5 และ y = –11)

หลงั จากนนั้ ครูให้นกั เรยี นทำ “ลองทำดู” ในหนังสอื เรยี น หน้า 135 เม่อื นักเรยี นทำเสร็จแล้ว

ครูและนักเรยี นรว่ มกนั เฉลยคำตอบ

9. ครเู ขยี นโจทย์ในตัวอย่างที่ 6 ในหนังสอื เรยี น หน้า 135 บนกระดาน ดังน้ี

กำหนด − = [−38] ใหห้ าค่าของ x และ y
[−2 + 2 ]

โดยครูจะใหน้ ักเรยี นในหอ้ งรว่ มกนั ทำ ดว้ ยการใชก้ ารถามแนะ ดงั น้ี

• จากการเทา่ กนั ของเมทริกซเ์ รยี นจะหาค่า x และ y ได้อย่างไร
(แนวตอบ นำสมาชิกของเมทริกซใ์ นตำแหนง่ เดยี วกนั มาเท่ากนั และแกร้ ะบบสมการ)

• ความสัมพันธข์ องสมาชกิ ในแถวที่ 1 หลักท่ี 1 เขียนอย่างไร
(แนวตอบ x – y = 3 …….........................…….(1))

• ความสัมพันธ์ของสมาชกิ ในแถวท่ี 2 หลกั ท่ี 1 เขยี นอยา่ งไร
(แนวตอบ –2x+2y = –8 ….........................…(2))

• คำตอบของระบบสมการมีลักษณะเป็นอย่างไร
(แนวตอบ มีหลายคำตอบ)

หลังจากนน้ั ครูให้นกั เรียนทำ “ลองทำดู” ในหนังสอื เรียน หนา้ 135 เมื่อนักเรียนทำเสร็จแลว้

ครูและนกั เรยี นร่วมกันเฉลยคำตอบ

ชัว่ โมงที่ 2

ขัน้ สอน

แสดงและอธิบายทฤษฎี หลกั การ

10. ครูกระตุ้นความสนใจของนักเรยี นโดยการให้นกั เรียนทำกิจกรรมคณิตศาสตร์ ในหนังสอื เรียน หน้า 136
จากนัน้ ครถู ามคำถามจากกิจกรรมคณติ ศาสตร์ ในหนงั สอื เรียน หนา้ 136 ดงั นี้

• เขยี นเมทริกซ์ A และ B แทนขอ้ มูลในตารางท่ี 2 และ 3 ตามลำดับ

(แนวตอบ A = [3550 52 3613] และ B = 35 50
35 [52
35])
61
33
• เมทริกซ์ A มีจำนวนแถว จำนวนหลัก และมติ เิ ป็นเท่าใด

(แนวตอบ 2 แถว 3 หลกั เขียนเปน็ มิตไิ ด้ 2x3)

• เมทรกิ ซ์ B มีจำนวนแถว จำนวนหลัก และมติ เิ ป็นเท่าใด
(แนวตอบ 3 แถว 2 หลัก เขียนเป็นมติ ไิ ด้ 3x2)

• ถ้า aij เม่ือ i ϵ {1, 2} และ i ϵ {1, 2, 3} เป็นสมาชิกของ A และ bij เม่ือ i ϵ {1, 2, 3} และ
j ϵ {1, 2} เป็นสมาชิกของ B แล้ว a11, a12, a13, a21, a22, a23, b11, b12, b21, b22,
b31 และ b32มคี ่าเป็นเท่าใด
(แนวตอบ 35, 52, 61, 50, 35, 33, 35, 50, 52, 35, 61 และ 33 ตามลำดบั )

• สมาชกิ แต่ละตัวของเมทรกิ ซ์ A และ B มคี วามสมั พันธ์กันอย่างไร

(แนวตอบ สลับแถวและหลักกัน)
11. ครูอธิบายกับนักเรยี นวา่ จากกจิ กรรมคณติ ศาสตร์ ในหนังสือเรียน หน้า 136 จะเห็นวา่ A เป็นเมทริกซ์

ทม่ี ี 2 แถว 3 หลัก และมีมิติเปน็ 2 × 3 และ B เปน็ เมทรกิ ซ์ทีม่ ี 3 แถว 2 หลกั และมมี ติ เิ ปน็ 3 × 2
ซี่งสมาชกิ ในแถวท่ี 1 จากซา้ ยไปขวาเมทรกิ ซ์ A เหมอื นกับสมาชกิ ในหลักที่ 1 ของเมทริกซ์ B จากบน
ลงลา่ ง และสมาชกิ ในแถวท่ี 2 จากซา้ ยไปขวาของเมทรกิ ซ์ A เหมอื นกบั สมาชิกในหลกั ที่ 2 ของเมท
ริกซ์ B จากบนลงลา่ ง ในทางคณิตศาสตรจ์ ะเรยี ก B ว่า เมทริกซ์สลบั เปลี่ยนของ A

12. ครูอธบิ ายบทนยิ ามของเมทริกซส์ ลบั เปลย่ี น ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 137 กำหนด A = aijmn
ถา้ B = bij nm ท่ี bij = a ji ทกุ i 1, 2,3,..., m และ j1, 2,3,..., n แลว้ จะเรยี ก B วา่
เมทรกิ ซ์สลบั เปลี่ยน (transpose of a matrix) ของ A และเขียน B ดว้ ย At (อา่ นว่า “เอ ทรานส
โพส”)

ใชท้ ฤษฎี หลักการ

17

13. ครเู ขยี นเมทริกซ์ A = [0 −7] และ B = [3 4] แลว้ ใหน้ ักเรยี นรว่ มกันหา At และ Bt

จากนัน้ ครูถามคำถาม ดงั น้ี 56

• At เท่ากับเทา่ ใด

(แนวตอบ At = [−07])
• Bt เท่ากับเทา่ ใด

(แนวตอบ At = [71 3 56]) “ถา้ ] แลว้ ”[aji
จากน้นั ครูอธิบายกรอบ 4
“คณิตนา่ รู้” ให้นักเรียนวา่ m×n
A = [aij At = ]

n×m

ช่วั โมงที่ 3

ขน้ั สอน

แสดงและอธิบายทฤษฎี หลกั การ

14. ครูกระตุน้ ความสนใจของนกั เรียนโดยการใหน้ ักเรียนทำกิจกรรมคณิตศาสตร์ ในหนังสือเรียน หนา้ 137
จากน้นั ครูถามคำถามจากกจิ กรรมคณติ ศาสตร์ ในหนังสอื เรยี น หน้า 137 ดังน้ี

• นกั เรียนคดิ ว่าเมทรกิ ซ์ X + Y จะบวกกันได้อย่างไร
(แนวตอบ นำจำนวนในตำแหนง่ เดยี วกันของเมทริกซ์ X และ Y มาบวกกัน)

• เมทรกิ ซ์ X + Y เป็นเท่าใด

(แนวตอบ X + Y = [6905 92 9686])
65

• สมาชิกแต่ละตวั ทอ่ี ยู่ในเมทรกิ ซท์ ีเ่ กิดจากเมทรกิ ซ์ X บวกกบั Y มคี วามหมายวา่ อย่างไร

(แนวตอบ สมาชิกแต่ละตัวในเมทรกิ ซ์ที่เกดิ จากเมทรกิ ซ์ X บวกกับ Y จะหมายถงึ จำนวน

ยางลบแต่ละยี่ห้อทง้ั หมดท่ีมีในรา้ น)

หลังจากน้นั ครเู ปดิ การบวกเมทริกซ์โดยใช้โปรแกรม Microsoft Excel 2016 โดยการสแกน QR Code

ในหนังสือเรียน หน้า 137 จากนั้นครูให้นักเรียนตอบคำถามในกรอบ “Thinking Time” ในหนังสือ

เรียน หน้า 137

(แนวตอบ เมทริกซ์ที่กำหนดบวกกันไม่ได้ เพราะ ไม่มีมิติเดียวกัน คือ เมทริกซ์ที่กำหนดมีจำนวนแถว

ไมเ่ ท่ากันและมีจำนวนหลกั ไม่เทา่ กัน)

15. ครูอธิบายกับนักเรียนว่า จากกิจกรรมคณิตศาสตร์ ในหนังสือเรียน หน้า 137 จะเห็น เมื่อนำเมทริกซ์

สองเมทริกซ์ท่ีมีมิติเดียวกันมาบวกกัน ผลบวกท่ีได้จะเป็นเมทริกซ์ที่สมาชิกในแต่ละแถวและหลักเกิด

จากสมาชิกทอี่ ยูใ่ นแถวและหลักเดียวกนั ของทง้ั สองเมทรกิ ซ์มาบวกกนั

16. ครอู ธิบายบทนิยามของการบวกเมทริกซ์ ในหนังสอื เรยี น หน้า 138 กำหนด A = [aij]m×n และ B =
[bij]m×nเม ท ริก ซ์ A บวกกับเมทริก ซ์ B คื อ เ มื่ อ สำหรับ ทุ ก
C = [cij ] cij = aij + bij

m×n
i1,2,3,...,m และ j1,2,3,...,n และจะเขียนสญั ลกั ษณ์ A บวกกับ B ดว้ ย A + B

ใชท้ ฤษฎี หลักการ
17. ครเู ขยี นตวั อย่างที่ 7 ในหนงั สอื เรียน หนา้ 138 บนกระดาน จากน้ันครูนักเรยี นออกมาแสดงวิธที ำหนา้
ชนั้ เรยี น โดยครคู อยถามคำถามชแ้ี นะ ดังน้ี

• เมทริกซ์ท่ีกำหนดบวกกันไดห้ รอื ไม่ เพราะเหตุใด
(แนวตอบ เมทริกซ์ท่ีกำหนดบวกกันได้ เพราะ มีมติ ิเดยี วกัน คือ เมทรกิ ซท์ กี่ ำหนดมจี ำนวน
แถว
เท่ากนั และมจี ำนวนหลกั เท่ากนั )

• เมอ่ื เมทริกซ์ทีก่ ำหนดมีมิตเิ ดยี วกนั แลว้ จะบวกกนั ไดอ้ ย่างไร
(แนวตอบ นำสมาชิกทอ่ี ยใู่ นแถวและหลกั เดยี วกันของท้งั สองเมทริกซ์มาบวกกัน)

เม่ือตวั อยา่ งเสรจ็ สิ้นครูใหน้ กั เรยี นทำ “ลองทำดู” ในหนังสอื เรียน หนา้ 138 เมื่อนกั เรียนทำเสรจ็ แล้ว
ครูและนกั เรยี นร่วมกันเฉลยคำตอบ

ชั่วโมงท่ี 4

ขน้ั สอน

แสดงและอธิบายทฤษฎี หลักการ

18. ครกู ระต้นุ ความสนใจของนกั เรยี นโดยการใหน้ ักเรียนทำกิจกรรมคณิตศาสตร์ ในหนังสือเรียน หน้า 139
จากนน้ั ครูถามคำถามจากกจิ กรรมคณิตศาสตร์ ในหนังสอื เรยี น หนา้ 139 ดังน้ี

• นักเรียนคดิ ว่าการคณู 2 กับเมทริกซ์ M ทำได้อย่างไร
(แนวตอบ นำจำนวน 2 คูณกบั สมาชกิ ทั้งหมดของเมทริกซ์ M)

• การคณู 2 กบั เมทรกิ ซ์ M เปน็ เท่าใด

(แนวตอบ 2M = [17202 120 17040])
88

• สมาชิกแต่ละตัวทอ่ี ยใู่ นเมทริกซ์ทเ่ี กิดจากการคูณ 2 กบั เมทริกซ์ M มคี วามหมายวา่ อยา่ งไร

(แนวตอบ สมาชิกแต่ละตัวในเมทริกซ์ทเ่ี กิดจากการคูณ 2 กับเมทริกซ์ M จะหมายถึง จำนวน

ยางลบแต่ละย่ีห้อท่ีต้องการสำรองให้มีจำนวนเป็น 2 เท่าของร้าน ก. และร้าน ข. ในเดือน

พฤษภาคม)

19. ครอู ธิบายกบั นักเรียนว่า จากกิจกรรมคณิตศาสตร์ ในหนงั สือเรียน หนา้ 139 จะเห็น การคูณเมทริกซ์

ด้วยค่าคงตัวทำไดโ้ ดยนำคา่ คงตัวไปคูณกบั สมาชิกแต่ละตวั ในเมทริกซ์

20. ครอู ธบิ ายบทนิยามของการคูณเมทริกซ์ด้วยคา่ คงตัว ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 139 ให้ A = aijmn และ
c เปน็ คา่ คงตัว ผลคูณของ c กับเมทริกซ์ A คือเมทริกซ์ B = bij mn เมือ่ bij = cij สำหรบั ทุก
i1,2,3,...,m และ j1,2,3,...,n และเขยี นแทนผลคูณของ c กับเมทรกิ ซ์ A ดว้ ย cA ใน

กรณที ี่ -1 จะเขียนแทนผลคณู ของ –1 กบั เมทรกซ์ A ด้วย -A

ใชท้ ฤษฎี หลักการ
21. ครเู ขียนตัวอย่างที่ 8 ในหนังสอื เรียน หนา้ 140 บนกระดาน จากนนั้ ครสู ่มุ นักเรียน 2 คน ออกมาแสดง
วิธีการดำเนนิ การหา 3A และ (-2)B ครแู ละเพอ่ื น ๆ คอยตรวจสอบความถกู ต้อง และครูจะถามคำถาม
ชี้แนะนกั เรยี น ดงั น้ี

• ค่าคงตวั คูณกับเมทรกิ ซ์ ได้อยา่ งไร
(แนวตอบ นำค่าคงตัวไปคูณกับสมาชิกแต่ละตวั ในเมทริกซ์)

• 3A + (-2)B หาไดอ้ ย่างไร
(แนวตอบ นำค่าคงตัวไปคูณกบั สมาชกิ แต่ละตวั ในเมทรกิ ซ์กอ่ นแลว้ จึงพจิ ารณาว่าเมทริกซ์ 3A
กับเมทริกซ์ (-2)B บวกกันไดห้ รอื ไม่ ถ้าเมทริกซ์ 3A กบั เมทรกิ ซ์ (-2)B มมี ิติเดยี วกนั ก็สามารถ
บวกกนั ได้ แตถ่ า้ เมทริกซ์ 3A กับเมทรกิ ซ์ (-2)B ไม่มมี ติ ิเดยี วกนั กไ็ ม่สามารถบวกกันได้)

เมื่อนักเรียนท่ีเป็นตัวแทนทำเสร็จและนักเรียนท้ังหมดทำความเข้าใจรว่ มกันแล้ว ครูให้นักเรียนแต่ละ

คนทำ “ลองทำด”ู ในหนังสือเรียนหนา้ 140 เม่ือทำเสร็จครูและนกั เรยี นร่วมกนั เฉลยคำตอบ

22. ครอู ธบิ ายกบั นักเรียนวา่ จากตวั อยา่ งบนกระดานซง่ึ เป็นตัวอย่างท่ี 8 ในหนังสอื เรียน หนา้ 140 จะเห็น

ว่า ถา้ A และ B เปน็ เมทริกซ์ทมี่ ีมติ เิ ดยี วกนั α, β เป็นค่าคงตวั แลว้ นักเรยี นสามารถหา αA + βB

ไดเ้ สมอ ในทำนองเดยี วกนั นักเรยี นยงั สามารถหา αA − βB ได้

23. ครูอธิบายบทนยิ ามการลบเมทริกซ์ ในหนงั สือเรยี น หนา้ 140 กำหนด ,[aij
A = ] B = [bij]m×n

m×n
และ α, β เป็ น ค่ าค งตั ว จะ ได้ ว่ า αA − βB = [cij]m×n เมื่ อ cij = αaij + βbij ส ำห รั บ ทุ ก
i ∈ {1, 2, 3, … , m} และ j ∈ {1, 2, 3, … , n}

24. ครใู หน้ กั เรียนศึกษาตวั อย่างที่ 9 ในหนงั สือเรียน หน้า 141 จากน้ันครถู ามคำถามนักเรยี น ดงั น้ี

• A – B หาได้อย่าง

(แนวตอบ พิจารณามิติของเมทริกซ์ A และ B ว่าเป็นมิติเดียวกัน เมื่อมีมิติเดียวกันให้นำ

สมาชกิ ท่อี ยูใ่ นแถวและหลักเดยี วกนั ของท้งั สองเมทริกซม์ าลบกนั )

• 2A – 3B หาได้อยา่ งไร

(แนวตอบ นำค่าคงตัวไปคณู กบั สมาชกิ แตล่ ะตวั ในเมทรกิ ซ์กอ่ น แลว้ จงึ พจิ ารณาว่าเมทรกิ ซ์

2A กับเมทรกิ ซ์ 3B ลบกนั ไดห้ รือไม่ ถา้ เมทริกซ์ 2A กับเมทรกิ ซ์ 3B มมี ิตเิ ดยี วกนั กส็ ามารถลบ

กนั ได้ แต่ถ้าเมทริกซ์ 2A กบั เมทริกซ์ 3B ไม่มีมิติเดียวกันก็ไมส่ ามารถลบกันได้)

หลังจากนั้นครูให้นักเรียนทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรียน หน้า 141 เม่ือนักเรียนทำเสร็จ ครูและ

นักเรียนรว่ มกันเฉลยคำตอบ

25. ครใู ห้นกั เรยี นจัดกลมุ่ กล่มุ ละ 4-5 คน คละความสามารถทางคณิตศาสตร์ แลว้ ใหท้ ำกจิ กรรม

คณิตศาสตร์ ดังนี้

• ให้นกั เรียนทำ “Thinking Time” ในหนังสอื เรียน หนา้ 141

• ใหน้ ักเรียนในแตล่ ะกลุม่ ทำความเข้าใจร่วมกนั หลังจากน้นั ครลู ุ่มนกั เรียนในแต่ละกลุม่ ออกมา

เฉลยคำตอบ และใหน้ ักเรยี นทงั้ ร่วมกันอภปิ รายแสดงความเหน็ โดยใชพ้ ้ืนฐานของ บทนิยาม

พิจารณาความมาเหตุสมผล

26. ครูให้นักเรยี นศกึ ษาและทำความเข้าใจ สมบัติของเมทริกซ์เกี่ยวกับการบวก การคูณเมทริกซ์ดว้ ยค่าคง

ตัว และเมทริกซส์ ลบั เปลี่ยน ในหนงั สือเรียน หนา้ 142

27. ครูให้นกั เรียนศกึ ษาตัวอย่างที่ 10 ในหนังสือเรียน หนา้ 142 จากน้ันครถู ามคำถามนักเรียน ดงั นี้

• หา X ที่ทำให้ 2A + X = 1 (X + A) หาได้อยา่ งไร
3

• (แนวตอบ ใชส้ มบตั ิการเท่ากัน และดำเนนิ การแนวทางเดียวกับการแกส้ มการ)

หลังจากน้ันครูให้นักเรียนทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรียน หน้า 141 เม่ือนักเรียนทำเสร็จ ครูและ

นกั เรียนรว่ มกนั เฉลยคำตอบ

ชั่วโมงที่ 5

ขน้ั สอน

แสดงและอธิบายทฤษฎี หลักการ

28. ครกู ระตนุ้ ความสนใจของนักเรียนโดยการใหน้ กั เรียนทำกิจกรรมคณติ ศาสตร์ ในหนงั สอื เรียน หนา้
143-144 จากน้ันครูถามคำถามจากกิจกรรมคณติ ศาสตร์ ในหนงั สอื เรียน หนา้ 143-144 ดงั นี้

• นักเรียนคิดว่า MN เปน็ เท่าใด
(แนวตอบ MN = [22,,025100])

• สมมติว่า P เป็นเมทริกซ์ท่ีเกิดจากเมทริกซ์ M คูณกับเมทริกซ์ N แล้วเมทริกซ์ M, N และ P
มมี ิตเิ ปน็ เท่าใด
(แนวตอบ เมทริกซ์ M มมี ิติ 2 × 3, เมทรกิ ซ์ N มมี ติ ิ 3 × 1 และเมทรกิ ซ์ M มีมติ ิ 2 × 1)

• มติ ิของเมทรกิ ซ์ M คณู กบั เมทริกซ์ N แล้วเมทริกซ์ M, N และ P มคี วามสมั พนั ธ์กนั อยา่ งไร
(แนวตอบ มิติของเมทริกซ์ P มาจากแถวของเมทรกิ ซ์ M และหลกั ของเมทรกิ ซ์ N)

• นกั เรยี นคดิ ว่าเงอ่ื นไขใดบา้ งทจี่ ะทำใหเ้ มทรกิ ซ์ 2 เมทรกิ ซใ์ ด ๆ คูณกันได้

(แนวตอบ เมทริกซ์ A คูณกับเมทริกซ์ B จะคูณกันได้ ก็ต่อเมื่อ จำนวนหลักของ A เท่ากับ

จำนวนแถวของ B)

29. ครใู ห้นักเรียนศกึ ษา การคูณเมทริกซก์ บั เมทริกซ์ จากกิจกรรมคณติ ศาสตร์ ในหนงั สอื เรยี น หน้า 144-

145 พร้อมทง้ั เน้นยำ้ กับนักเรยี นวา่ เมทริกซ์ A คูณกับเมทริกซ์ B จะคณู กนั ได้ กต็ อ่ เมื่อ จำนวนหลัก

ของ A เท่ากบั จำนวนแถวของ B

30. ครูอธิบายบทนิยามของการคูณเมทรกิ ซด์ ้วยเมทรกิ ซ์ ในหนงั สือเรียน หน้า 146 กำหนด A = [aij]m×n

และ B = [bij]n×r จะได้ว่า AB = [cij]m×r เม่ือ cij = ai1b1j + ai2b2j + … + ainbnj สำหรับทุก
i ∈ {1, 2, 3, … , m} และ j ∈ {1, 2, 3, … , n} นัน่ คอื

a11 a12 ⋯ a1n b11 b12 ⋯ b1r ∑kn=1 a1kbk1 ∑kn=1 a1kbk2 ⋯ ∑nk=1 a1kbkr
a21 a22 ⋯ a2n [ ∑nk=1 ∑kn=1 a2kbk2 ∑kn=1
[ ⋮ ⋮ ⋮ ] [b⋮21 b22 ⋯ b2r ] = a2k bk1 ⋯ a2k bkr ]
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
am1 am2 ⋯ amn bn1 bn2 ⋯ bnr ∑kn=1 amkbk2
∑kn=1 amkbk1 ⋯ ∑nk=1 amkbkr
เมอ่ื ∑nk=1 aikbkj = ai1b1j + ai2b2j + … + ainbnj

ใชท้ ฤษฎี หลักการ

31. ครูให้นักเรียนศึกษาตัวอย่างท่ี 11 ในหนังสือเรียน หน้า 146 แล้วให้นักเรียนแลกเปล่ียนความรู้กับ

เพอ่ื น ๆ จากนน้ั ครูถามคำถามนกั เรยี น ดงั น้ี

• เมทรกิ ซ์ A กับเมทริกซ์ B จะคณู กนั ได้อยา่ งไร
(แนวตอบ เมทริกซ์ A คูณกับเมทริกซ์ B จะคูณกันได้ ก็ต่อเม่ือ จำนวนหลักของ A เท่ากับ
จำนวนแถวของ B)

• เมทรกิ ซ์ A กบั เมทรกิ ซ์ B คณู กันได้หรือไม่ เพราะเหตุใด
(แนวตอบ ได้ เพราะจำนวนหลักของ A เทา่ กับจำนวนแถวของ B)

• เมทริกซ์ B กบั เมทริกซ์ A จะคณู กันได้อย่างไร
(แนวตอบ เมทริกซ์ B คูณกับเมทริกซ์ A จะคูณกันได้ ก็ต่อเมื่อ จำนวนหลักของ B เท่ากับ
จำนวนแถวของ A)

• เมทรกิ ซ์ B กับเมทริกซ์ A คูณกันไดห้ รอื ไม่ เพราะเหตใุ ด
(แนวตอบ ไมไ่ ด้ เพราะจำนวนหลกั ของ B ไม่เทา่ กบั จำนวนแถวของ A)

หลังจากน้ันครูให้นักเรียนทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรียน หน้า 146 เม่ือนักเรียนทำเสร็จ ครูและ
นกั เรยี นรว่ มกนั เฉลยคำตอบ
32. ครอู ธิบายกับนกั เรียนวา่ จากตัวอย่างท่ี 11 ในหนังสอื เรยี น หนา้ 146 จะเหน็ ว่า AB ≠ BA กลา่ วไดว้ ่า
เมทริกซ์ไมม่ ีสมบตั ิการสลับที่ของการคูณ
33. ครูให้นักเรียนศึกษาตัวอย่างที่ 12 ในหนังสือเรียน หน้า 147 แล้วให้นักเรียนแลกเปล่ียนความรู้กับ
เพอ่ื น ๆ จากนัน้ ครถู ามคำถามนกั เรยี น ดังน้ี

• เมทริกซ์ A กับเมทริกซ์ B จะคณู กนั ไดอ้ ย่างไร
(แนวตอบ เมทริกซ์ A คูณกับเมทริกซ์ B จะคูณกันได้ ก็ต่อเม่ือ จำนวนหลักของ A เท่ากับ
จำนวนแถวของ B)

• เมทรกิ ซ์ A กบั เมทรกิ ซ์ B คูณกนั ไดห้ รือไม่ เพราะเหตุใด
(แนวตอบ ได้ เพราะจำนวนหลักของ A เทา่ กับจำนวนแถวของ B)

• เมทริกซ์ B กบั เมทริกซ์ C จะคูณกันได้อย่างไร
(แนวตอบ เมทริกซ์ B คูณกับเมทริกซ์ C จะคูณกันได้ ก็ต่อเมื่อ จำนวนหลักของ B เท่ากับ
จำนวนแถวของ C)

• เมทริกซ์ B กับเมทริกซ์ C คณู กันได้หรือไม่ เพราะเหตใุ ด
(แนวตอบ ได้ เพราะจำนวนหลักของ B เทา่ กบั จำนวนแถวของ C)

• ผลคณู ของเมทรกิ ซ์ AB กับเมทรกิ ซ์ C จะคูณกันได้อย่างไร
(แนวตอบ ผลคูณของเมทริกซ์ AB คูณกับเมทริกซ์ C จะคูณกันได้ ก็ต่อเม่ือ จำนวนหลักของ
AB เทา่ กับจำนวนแถวของ C)

• ผลคูณของเมทรกิ ซ์ AB กับเมทริกซ์ C คณู กันได้หรือไม่ เพราะเหตใุ ด
(แนวตอบ ได้ เพราะจำนวนหลกั ของ AB เท่ากับจำนวนแถวของ C)

• เมทริกซ์ A กับผลคูณของเมทรกิ ซ์ BC จะคูณกันได้อย่างไร
(แนวตอบ เมทริกซ์ A คูณกบั ผลคูณของเมทริกซ์ BC จะคณู กันได้ กต็ ่อเม่ือ จำนวนหลักของ A
เท่ากบั จำนวนแถวของ BC)

• A(BC) กับ (AB)C เทา่ กนั หรือไม่
(แนวตอบ เทา่ กัน)

หลังจากน้ันครูให้นักเรียนทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรียน หน้า 147 เมื่อนักเรียนทำเสร็จ ครูและ

นักเรยี นรว่ มกนั เฉลยคำตอบ

34. ครูอธบิ ายกับนักเรยี นว่า จากตัวอย่างที่ 12 ในหนังสือเรยี น หน้า 147 จะเห็นว่า A(BC) = (AB)C กล่าว

ได้ว่า เมทรกิ ซ์มสี มบตั กิ ารเปลย่ี นหมู่ของการคูณ
35. ครูให้นักเรียนศึกษาตัวอย่างท่ี 13 ในหนังสือเรียน หน้า 148 แล้วให้นักเรียนแลกเปล่ียนความรู้กับ

เพ่อื น ๆ จากนัน้ ครูถามคำถามนักเรยี น ดงั นี้

• A(B + C) กับ AB + AC เทา่ กันหรือไม่
(แนวตอบ เท่ากนั )

• (A + B)C กับ AC + BC เท่ากันหรือไม่

(แนวตอบ เท่ากนั )

หลังจากน้ันครูให้นักเรียนทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรียน หน้า 148 เม่ือนักเรียนทำเสร็จ ครูและ

นกั เรียนรว่ มกนั เฉลยคำตอบ
36. ครูอธิบายกับนกั เรยี นว่า จากตัวอย่างท่ี 13 ในหนงั สือเรียน หนา้ 147 จะเหน็ ว่า A(B+C) = AB + AC

และ (A + B)C = AC + BC กล่าวได้ว่า เมทรกิ ซ์มสี มบตั ิการแจกแจง
37. ครูให้นักเรียนศึกษาตัวอย่างที่ 14 ในหนังสือเรียน หน้า 148 แล้วให้นักเรียนแลกเปล่ียนความรู้กับ

เพื่อน ๆ จากน้นั ครูถามคำถามนกั เรยี น ดงั น้ี

• (AB)t กับ BtAt เท่ากันหรือไม่
(แนวตอบ เทา่ กนั )

หลังจากน้ันครูให้นักเรียนทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรียน หน้า 150 เมื่อนักเรียนทำเสร็จ ครูและ

นักเรยี นรว่ มกันเฉลยคำตอบ

38. ครูอธบิ ายกับนกั เรียนว่า จากตวั อยา่ งท่ี 14 ในหนงั สือเรียน หนา้ 150 จะเหน็ วา่ (AB)t = BtAt
39. ครูอธบิ ายบทนิยามเมทริกซ์เอกลักษณ์ ในหนังสือเรียน หนา้ 150 สำหรับจำนวนเต็มบวก n ใด ๆ จะให้

In = ijk nn เมื่อ j และ k เป็นจำนวนเตม็ บวกทีน่ อ้ ยกว่าหรือเทา่ กบั n โดยที่

i jk = 1 ;j=k
0 ;j k

และเรยี ก In ว่าเมทริกซ์เอกลกั ษณ์ (identity matrix) มติ ิ nn อาจเขยี นแทน In ดว้ ย I

40. ครูให้นักเรียนศึกษาตัวอย่างที่ 15 ในหนังสือเรียน หน้า 151 แล้วให้นักเรียนแลกเปล่ียนความรู้กับ

เพ่อื น ๆ จากนั้นครถู ามคำถามนกั เรยี น ดงั น้ี

• AI กบั A เท่ากนั หรอื ไม่
(แนวตอบ เทา่ กนั )

• IA กบั A เทา่ กนั หรอื ไม่
(แนวตอบ เท่ากนั )

• AI กับ IA กับ A เทา่ กนั หรือไม่
(แนวตอบ เทา่ กัน)

หลังจากนั้นครูให้นักเรียนทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรียน หน้า 151 เม่ือนักเรียนทำเสร็จ ครูและ
นกั เรียนรว่ มกันเฉลยคำตอบ
41. ครใู ห้นักเรียนทำ “Thinking Time” ในหนังสือเรียน หน้า 151 แล้วให้นักเรียนแลกเปล่ียนความรูก้ ับ
เพอ่ื น ๆ จากนัน้ ครูถามคำถามนกั เรยี น ดังนี้

• A กับ In คณู กนั ไดห้ รือไม่
(แนวตอบ ได้ เพราะจำนวนหลกั ของ A เท่ากับจำนวนแถวของ In)

• A กบั In คูณกันไดเ้ ท่าใด
(แนวตอบ = )

• Im กบั A คณู กันไดห้ รือไม่
(แนวตอบ ได้ เพราะจำนวนหลักของ Im เทา่ กบั จำนวนแถวของ A)

• Im กับ A คูณกันได้เทา่ ใด
(แนวตอบ = )

• AIn = ImA = A เท่ากนั หรอื ไม่ เพราะเหตุใด
(แนวตอบ เท่ากัน เพราะ = และ = ดงั น้ัน = = )

หลังจากน้ันครูให้นักเรียนทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรียน หน้า 151 เมื่อนักเรียนทำเสร็จ ครูและ
นกั เรียนรว่ มกนั เฉลยคำตอบ
42. ครูให้นักเรียนศึกษาสมบัติของเมทริกซ์เก่ียวกับการคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์ และเมทรกิ ซ์สลับเปลี่ยน
ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 151-152
43. ครูให้นักเรียนศึกษาตัวอย่างท่ี 16 ในหนังสือเรียน หน้า 152 แล้วให้นักเรียนแลกเปล่ียนความรู้กับ
เพื่อน ๆ จากนัน้ ครถู ามคำถามนกั เรียน ดงั นี้

• A2 หาได้อย่างไร
(แนวตอบ นำ A คณู กบั A จะได้ 2)

• A3 หาได้อย่างไร
(แนวตอบ นำ A คูณกบั 2 จะได้ 3)

• A4 หาไดอ้ ย่างไร
(แนวตอบ นำ A คณู กบั 3 จะได้ 4)

หลังจากน้ันครูให้นักเรียนทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรียน หน้า 152 เม่ือนักเรียนทำเสร็จ ครูและ
นักเรยี นรว่ มกนั เฉลยคำตอบ

44. ครใู ห้นักเรียนศึกษาตัวอย่างที่ 17 ในหนงั สือเรยี น หน้า 153-154 แลว้ ให้นักเรยี นแลกเปล่ียนความรกู้ ับ
เพ่ือน ๆ จากนน้ั ครถู ามคำถามนักเรียน ดังนี้

• (A + B)2 กับ A2 + 2AB + B2 เทา่ กันหรอื ไม่
(แนวตอบ ไม่เท่ากัน)

• A2 − B2 กบั (A + B)(A − B) เทา่ กันหรอื ไม่
(แนวตอบ ไมเ่ ท่ากัน)

หลังจากนั้นครูให้นักเรียนทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรียน หน้า 154 เม่ือนักเรียนทำเสร็จ ครูและ
นักเรียนร่วมกนั เฉลยคำตอบ
45. ครูอธิบายกบั นกั เรยี นว่า จากตวั อยา่ งที่ 13 ในหนังสือเรียน หนา้ 147 จะเห็นว่า (A + B)2 ≠ A2 +
2AB + B2 และ A2 − B2 ≠ (A + B)(A − B) กล่าวไดว้ า่ เมทริกซ์มีสมบัตกิ ารแจกแจง
46. ครูให้นกั เรยี นจัดกลมุ่ กลมุ่ ละ 4-5 คน คละความสามารถทางคณิตศาสตร์ แล้วใหท้ ำกิจกรรม
คณิตศาสตร์ ดังน้ี

• ให้นักเรียนทำ “Thinking Time” ในหนังสอื เรยี น หนา้ 154

• ให้นักเรียนในแต่ละกลุ่มทำความเข้าใจรว่ มกัน หลังจากน้นั ครูลุ่มนักเรียนในแต่ละกล่มุ ออกมา
เฉลยคำตอบ และให้นักเรยี นทัง้ ร่วมกันอภปิ รายแสดงความเหน็

ขนั้ สรปุ

ตรวจสอบและสรปุ
1. ครถู ามคำถามเพอ่ื สรุปความร้รู วบยอดของนกั เรียน ดงั นี้

• เมทรกิ ซท์ ่เี ทา่ กันเป็นอยา่ งไร
(แนวตอบ มีสมาชกิ ในตำแหน่งเดยี วกนั เหมือนกนั และมมี ติ เิ ดียวกัน)

• เมทรกิ ซส์ ลบั เปลย่ี นเปน็ อย่างไร
(แนวตอบ สลบั แถวและหลักกนั )

• เมทรกิ ซ์สองเมทรกิ ซ์จะบวกกันไดอ้ ยา่ งไร
(แนวตอบ เมทริกซ์จะบวกกันได้ เม่ือ มีมิติเดียวกัน คือ เมทริกซ์ท่ีกำหนดมีจำนวนแถว
เท่ากันและมีจำนวนหลักเท่ากัน แล้วนำสมาชิกท่ีอยู่ในแถวและหลักเดียวกันของท้ังสอง
เมทรกิ ซม์ าบวกกนั )

• ค่าคงตวั คูณกบั เมทรกิ ซ์ ไดอ้ ยา่ งไร
(แนวตอบ นำค่าคงตวั ไปคณู กับสมาชิกแต่ละตวั ในเมทริกซ์)

• เมทรกิ ซ์ A กับเมทริกซ์ B จะคูณกันได้อย่างไร
(แนวตอบ เมทริกซ์ A คูณกับเมทริกซ์ B จะคูณกันได้ ก็ต่อเมื่อ จำนวนหลักของ A เท่ากับ
จำนวนแถวของ B)

7.การวดั และประเมนิ ผล วิธีการ เคร่อื งมอื เกณฑก์ ารประเมนิ

รายการวดั - ตรวจแบบฝกึ ทักษะ 2.2 - ตรวจแบบฝึกทกั ษะ 2.2 - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์
7.1 ประเมนิ ระหวา่ งการจดั - ตรวจ Exercise 2.2
- สังเกตพฤตกิ รรม - ตรวจ Exercise 2.2
กจิ กรรมการเรียนรู้ การทำงานรายบคุ คล
1) เมทรกิ ซ์ - สังเกตพฤติกรรม - แบบสังเกตพฤติกรรม - ระดับคณุ ภาพ 2 ผ่าน
2) พฤติกรรมการทำงาน การทำงานกล่มุ
- สังเกตความมีวนิ ยั การทำงานรายบคุ คล เกณฑ์
รายบคุ คล ใฝ่เรียนรู้ และมุง่ มั่นใน
3) พฤตกิ รรมการทำงาน การทำงาน - แบบสังเกตพฤติกรรม - ระดับคุณภาพ 2 ผ่าน

กล่มุ การทำงานกลุม่ เกณฑ์
4) คุณลกั ษณะอนั พงึ
- แบบประเมนิ คณุ ลกั ษณะ - ระดบั คุณภาพ 2 ผ่าน
ประสงค์
อนั พงึ ประสงค์ เกณฑ์

8. สอื่ /แหล่งการเรยี นรู้

8.1 สอ่ื การเรยี นรู้
1) หนงั สือเรียนรายวิชาพน้ื ฐาน คณิตศาสตร์ ม.1 เล่ม 1 หนว่ ยการเรียนรทู้ ่ี 1 ระบบจำนวนเตม็
2) แบบฝึกหดั คณิตศาสตร์ ม.1 เลม่ 1 หนว่ ยการเรียนร้ทู ี่ 1 ระบบจำนวนเตม็
3) ใบงานที่ 2.1 เรือ่ ง คณู เมทริกซ์ด้วยคูณเมทรกิ ซ์

8.2 แหลง่ การเรียนรู้
1) ห้องเรียน
2) หอ้ งสมดุ
3) อินเทอรเ์ นต็

ใบงานท่ี 2.1

เรือ่ ง คูณเมทรกิ ซ์ดว้ ยคณู เมทริกซ์

คำช้ีแจง : จงแสดงวธิ ที ำ

กำหนดให้ = [−−36 5 −32] , = −2 3 , = [−11 −01]
5 [7 −4]
−6 5

จงหา 1. −2

2. 3

ใบงานท่ี 2.1 เฉลย

เรอ่ื ง คูณเมทริกซ์ด้วยคณู เมทรกิ ซ์

คำชี้แจง : จงแสดงวิธที ำ

กำหนดให้ = [−−63 5 −32] , = −2 3 , = [−11 −01]
5 [7 −4]
−6 5

จงหา 1. −2

2. 3

1. −2 = −2 ( [−11 −01] [−−63 5 −32] )
5

= −2 ([((1−)1()−(6−)6+) +(−(01))((−−33)) (−1)(5) + 0(5) ((−11))((33))++((10))((−−22))])
(1)(5) + (−1)(5)

= −2 ([−33 0 −15])
0

= [−66 0 −210]
0

2. 3 = 3 ([−−36 5 −32] −2 3 [−11 −01]
5 [7 −4])
−6 5

= 3 (162++3355−+1128 −918−−2020−+1015) [−11 −01]

= 3 [22393 −−2231] [−11 −01]

= 3 [((−219))((2−313))++((−−211))((213)) ((02)9()2(303))++((−−2213))((−−11))]

= 3 [−−25506 2213]
= [−175608 6639]

บนั ทกึ หลงั สอนแผนการสอนท่ี ............

1. ผลการสอนระดบั ชัน้ ม..............................
 สอนได้ตามแผนการจัดการเรียนรู้
 สอนไม่ไดต้ ามแผนการจัดการเรยี นรู้ เน่ืองจาก ..........................................................................

16.ผลท่ีเกดิ กับผู้เรียน
1.) การประเมนิ ผลความรหู้ ลังการเรยี น โดยใช้………………แบบทดสอบหลงั เรียน............พบวา่ นกั เรยี น

ผา่ นการประเมินคิดเปน็ ร้อยละ................……..…. ไม่ผ่านเกณฑ์ข้ันต่ำทก่ี ำหนดไว้คดิ เปน็ ร้อยละ.............................
ไดแ้ ก่ ....................................เลขท่ี …………………………...........................................................................................

2.) การประเมินดา้ นทักษะกระบวนการเรยี น โดยใช…้ ………………………………………………………...............
พบว่านักเรียนผา่ นการประเมินคดิ เป็นรอ้ ยละ...........……. ไมผ่ ่านเกณฑ์ขนั้ ต่ำทีก่ ำหนดไว้คิดเปน็ ร้อยละ................
ไดแ้ ก่ .......................................................................................................................................................................

3.) การประเมินดา้ นคุณลักษณะที่พึงประสงค์ เรียน โดยใช…้ ……..…แบบสงั เกตพฤติกรรม....................
พบว่านกั เรียนผา่ นการประเมนิ คดิ เป็นรอ้ ยละ..…....……. ไมผ่ า่ นเกณฑ์ขน้ั ต่ำทก่ี ำหนดไว้คดิ เป็นรอ้ ยละ..................
ไดแ้ ก่ ........................................................................................................................................................................
3. ปัญหาและอปุ สรรค

 กิจกรรมการจัดการเรียนรู้ ไมเ่ หมาะสมกับเวลา
 มีนกั เรยี นทำใบงาน/ใบกิจกรรมไม่ทันตามกำหนดเวลา
 มีนักเรยี นที่ไม่สนใจเรียน
 อ่ืน ๆ .............................................................................................................................................
4. ขอ้ เสนอแนะ/แนวทางแกไ้ ข
 ควรนำแผนไปปรับปรงุ เรือ่ ง ......................................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 แนวทางแก้ไขนกั เรียนท่ไี ม่ผ่านการประเมนิ ..................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 ไมม่ ีข้อเสนอแนะ

ลงชอ่ื ผู้สอน
()

วนั ท่ี……..../................../................

ความคดิ เหน็ ของหัวหน้ากลุ่มสาระฯ ความคิดเหน็ ของหวั หน้างานวิชาการ
1.เป็นแผนการจดั การเรยี นร้ทู ่ี 1.เปน็ แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่
 ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรงุ  ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรุง
2.การจัดกจิ กรรมการเรยี นรไู้ ดน้ ำเอากระบวนการเรยี นรู้ 2.การจดั กจิ กรรมการเรยี นรไู้ ด้นำเอากระบวนการเรยี นรู้
ทีเ่ นน้ ผูเ้ รียนเป็นสำคัญมาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง  ทีเ่ น้นผ้เู รียนเปน็ สำคญั มาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง

เหมาะสมกบั ศกั ยภาพที่แตกต่างกันของผเู้ รียน เหมาะสมกับศกั ยภาพทแี่ ตกตา่ งกันของผเู้ รยี น
 ทยี่ งั ไม่เนน้ ผู้เรยี นเป็นสำคัญ ควรปรับปรุงพัฒนาต่อไป  ที่ยงั ไม่เน้นผเู้ รยี นเปน็ สำคญั ควรปรับปรุงพฒั นาตอ่ ไป
3.เปน็ แผนการจัดการเรียนรู้ 3.เปน็ แผนการจดั การเรียนรู้
 นำไปใช้ได้จริง  ควรปรับปรุงกอ่ นนำไปใช้  นำไปใช้ได้จรงิ  ควรปรบั ปรุงก่อนนำไปใช้
4.ข้อเสนอแนะอื่นๆ 4.ขอ้ เสนอแนะอน่ื ๆ
……………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………….

ลงชอ่ื ....................................................... ลงช่ือ.......................................................
(นางสาวณัฐญิ า คาโส)
(นายศภุ ชยั เรอื งเดช)

แผนการจดั การเรยี นรูท้ ี่ 16

เมทริกซผ์ กผัน (Inverse of a Matrix)

เวลา 4 ชัว่ โมง

1. ผลการเรียนรู้

1) เข้าใจความหมาย หาผลลัพธ์ของการบวกเมทริกซ์ การคณู เมทริกซ์กบั จำนวนจรงิ การคณู ระหวา่ งเมทริกซ์

และหาเมทริกซ์สลับเปล่ยี นหาดเี ทอร์มแิ นนตข์ องเมทรกิ ซ์ n x n เมื่อ n เปน็ จำนวนนบั ท่ีไม่เกนิ สาม

2) หาเมทรกิ ซ์ผกผันของเมทรกิ ซ์ 2 x 2

3) แกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ โดยใชเ้ มทริกซ์ผกผนั และการดำเนนิ การตามแถว

2. จดุ ประสงค์การเรยี นรู้
1) หาเมทรกิ ซ์ผกผนั ทมี่ มี ิติ 2 × 2 ได้ (K)
2) เช่ือมโยงความรเู้ รอ่ื งการคูณเมทริกซ์ ในการหาเมทรกิ ซ์ผกผนั ไดไ้ ดถ้ กู ตอ้ ง (P)

3) มีความรับผดิ ชอบต่องานท่ไี ดร้ ับมอบหมาย (A)

3. สาระการเรยี นรู้

สาระการเรียนรูเ้ พมิ่ เตมิ สาระการเรยี นรทู้ ้องถน่ิ

เมทรกิ ซ์ผกผัน

4. สาระสำคญั /ความคดิ รวบยอด

กำหนด A เป็น n × n เมทริกซ์ ถ้า B เป็น n × n ท่ีมีสมบัตวิ ่า AB = BA = In แลว้ จะเรยี ก B ว่าเป็น เมทริกซ์

ผกผันของ A และเขยี น B ด้วย A−1

ถา้ A = [ac db] และ ad − cb ≠ 0 แลว้ A มเี มทรกิ ซผ์ กผันและ A−1 = 1 [−dc −ab]
ad−bc

5. สมรรถนะสำคญั ของผเู้ รียนและคุณลกั ษณะอันพึงประสงค์

สมรรถนะสำคญั ของผ้เู รยี น คณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงค์

1. ความสามารถในการสอ่ื สาร 1. มีวินยั

2. ความสามารถในการคดิ 2. ใฝเ่ รียนรู้

9) ทกั ษะการเช่อื มโยง 3. มงุ่ มัน่ ในการทำงาน

10) ทกั ษะการปรบั โครงสรา้ ง

11) ทักษะการตคี วาม

12) ทกั ษะกระบวนการคิดแกป้ ัญหา

3. ความสามารถในการแกป้ ัญหา

6. กจิ กรรมการเรยี นรู้
 แนวคดิ /รูปแบบการสอน/วิธีการสอน/เทคนคิ : Concept Based Teaching

ชวั่ โมงที่ 1

ขนั้ นำ
การใชค้ วามรู้เดมิ เช่อื มโยงความรู้ใหม่ (Prior Knowledge)

1. ครทู บทวนความรเู้ ดมิ เรอ่ื ง การคณู เมทรกิ ซข์ องนกั เรยี น ดงั น้ี
i. ค่าคงตวั คูณกับเมทรกิ ซ์ ไดอ้ ย่างไร

(แนวตอบ นำค่าคงตวั ไปคณู กบั สมาชกิ แต่ละตัวในเมทริกซ์)
ii. เมทรกิ ซ์ A กบั เมทริกซ์ B จะคูณกนั ไดอ้ ย่างไร

(แนวตอบ เมทริกซ์ A คูณกับเมทริกซ์ B จะคณู กนั ได้ ก็ต่อเมอ่ื จำนวนหลกั ของ A เทา่ กบั จำนวนแถวของ B)
2. ครูกระตนุ้ ความสนใจของนกั เรียนโดยให้นกั เรยี นทำกิจกรรมคณิตศาสตร์ ในหนังสอื เรยี น หนา้ 137
จากนัน้ ครถู ามคำถามจากกจิ กรรมคณติ ศาสตร์ ในหนงั สือเรยี น หนา้ 137 ดงั นี้
i. เมทริกซ์ A กับเมทริกซ์ B จะคูณกันได้อย่างไร

(แนวตอบ เมทริกซ์ A คณู กบั เมทริกซ์ B จะคูณกันได้ กต็ อ่ เมือ่ จำนวนหลกั ของ A เท่ากบั จำนวนแถวของ B)
ii. เมทรกิ ซ์ A กบั เมทรกิ ซ์ B คูณกนั ไดห้ รือไม่ เพราะเหตใุ ด

(แนวตอบ ได้ เพราะจำนวนหลกั ของ A เท่ากับจำนวนแถวของ B)
iii. เมทรกิ ซ์ A กบั เมทริกซ์ B คูณกนั เปน็ เท่าใด

(แนวตอบ = [01 10]
iv. เมทริกซ์ B กบั เมทริกซ์ A จะคูณกนั ได้อย่างไร

(แนวตอบ เมทริกซ์ B คณู กบั เมทรกิ ซ์ A จะคูณกันได้ กต็ อ่ เม่ือ จำนวนหลกั ของ B เทา่ กับจำนวนแถวของ C)
v. เมทริกซ์ B กับเมทริกซ์ A คณู กันไดห้ รือไม่ เพราะเหตใุ ด

(แนวตอบ ได้ เพราะจำนวนหลกั ของ B เท่ากับจำนวนแถวของ A)
vi. เมทรกิ ซ์ B กบั เมทริกซ์ A คณู กนั เป็นเทา่ ใด

(แนวตอบ = [10 10]

ข้นั สอน

รู้ (Knowing)
5. ครูอธิบายกับนักเรียนว่า จากกิจกรรมคณิตศาสตร์ จะเห็นว่า A และ B เป็น 2 × 2 เมทริกซ์ ซ่ึง
AB เท่ากับ [01 10] และ BA เท่ากับ [10 10] จะเห็นว่า AB เท่ากับ BA มีค่าเท่ากันและเท่ากับ
ในเรอื่ งเมทริกซ์ จะเรียก B วา่ เปน็ เมทริกซ์ผกผันของเมทรกิ ซ์ A
6. ครอู ธิบายบทนิยามของเมทรกิ ซ์ผกผัน ในหนงั สือเรียน หน้า 157 กบั นกั เรียนวา่ กำหนด A เปน็ n × n
เมทริกซ์ ถ้า B เป็น n × n ท่ีมีสมบัติว่า AB = BA = In แล้วจะเรียก B ว่าเป็นเมทรกิ ซ์ผกผันของ
A และเขยี น B ด้วย A−1
7. ครอู ธบิ ายกบั นกั เรียนว่า จากบทนยิ าม ในหนังสอื เรยี น หนา้ 157 จะได้ AA−1 = A−1A = In

เข้าใจ (Understanding)
8. ครูใหน้ ักเรียนศกึ ษาตวั อย่างที่ 18 ในหนังสอื เรยี น หนา้ 158 แล้วแลกเปลย่ี นความรู้กับเพื่อน ๆ จากนั้น
ครูถามคำถามนกั เรยี น ดงั นี้
a. จะแสดงได้อยา่ งไรว่า A ไมม่ ีเมทริกซ์ผกผัน

(แนวตอบ แสดงใหเ้ หน็ วา่ ไม่มีเมทรกิ ซ์ใดทค่ี ูณกบั เมทริกซ์ A แลว้ ได้ 2)
หลงั จากนนั้ ครูใหน้ ักเรียนทำกิจกรรม “ลองทำดู” ในหนังสอื เรียน หน้า 158 เม่อื นักเรียนทำเสร็จครู “ลองทำ

ด”ู ดังน้ี

(แนวคำตอบ สมมติ B = [ ] เปน็ เมทรกิ ซ์ผกผนั ของ A

จากบทนยิ ามเมทริกซผ์ กผนั จะได้ว่า

AB = [01 10]

1=[−5] [ ] [10 01]
2 10

−1

1 5 1 5 ]
=[− 2 + − 2 + [01 10]

− + 10 − + 10

จากบทนิยามการเท่ากันของเมทรกิ ซ์ จะไดว้ ่า

− 1 + 5 = 1 …… (1)
2 ...... (2)

− + 10 = 0

พิจารณาสมการ (2) จะไดว้ ่า

=(1)(− + 10 ) (0)(1)
22

− 1 + 5 =0 ........... (2)

2

จากสมการ (1) จะเหน็ ว่า − 1 + 5 = 1 แต่สมการ (2) − 1 + 5 = 0
22

ดังนนั้ สมการเปน็ เทจ็
แสดงว่า (1) และ (2) ทำให้เกดิ ข้อขัดแย้ง
ทำให้ ไม่มีเมทรกิ ซ์ B ทมี่ มี ติ ิ 2x2 ซ่งึ ทำให้ AB = I2
นัน่ คอื A ไมม่ ีเมทริกซ์ผกผัน)

ชวั่ โมงท่ี 2

ขน้ั สอน

เข้าใจ (Understanding)
9. ครูใหน้ ักเรยี นจับคู่ แต่ละคู่ศกึ ษาตัวอย่างที่ 19 ในหนังสือเรียน หน้า 159-160 โดยให้นักเรียนแต่ละคู่

พูดคุย ซักถามกัน ในเรอ่ื งเมทรกิ ซผ์ กผนั หลงั จากนน้ั ครถู ามคำถามนกั เรียน ดงั น้ี

a. จะแสดงได้อยา่ งไรวา่ B เปน็ เมทริกซผ์ กผนั ของ A

(แนวตอบ แสดงให้เหน็ ว่าเมทรกิ ซ์ B คณู กบั เมทริกซ์ A แล้วได้ 3
และเมทรกิ ซ์ A คูณกบั เมทริกซ์ B แล้วได้ 3)
หลังจากนั้นครูให้นกั เรยี นทำกิจกรรม “ลองทำด”ู ในหนังสอื เรยี น หน้า 158 เมอ่ื นักเรียนทำเสร็จครู “ลองทำดู”

ดังนี้

(วิธีทำ สมมติ B เปน็ เมทริกซผ์ กผันของ A

โดยบทนิยามเมทรกิ ซผ์ กผัน จะไดว้ า่ AB = BA = I3

AB = −3 3 4 (41 1 7 4
[1 −1 0] [1 3 4])
0 1 3
−1 1 0

−3 3 4 1 7 4
= 1 ([ 1 −1 0 ] [1 3 4])

4
0 1 −1 1 3 0

−3 + 3 + 4 −21 + 9 + 12 −12 + 12 + 0
= 1 ([1 + (−1) + 0
7−3+0 4 − 4 + 0 ])
4
0+1−1 0+3−3 0+4+0

400
= 1 ([0 4 0])

4
004

= 100
([0 1 0])

001

1 7 4 −3 3 4
BA = (1 [1 3 4]) [ 1 −1 0 ]

4
130 0 1 −1

1 7 4 −3 3 4

= 1 ([1 3 4] [ 1 −1 0 ])

4

1 3 0 0 1 −1

−3 + 7 + 0 3−7+4 4+0−4
3−3+4
= 1 ([−3 + 3 + 0 3−3+0 4 + 0 − 4])

4 4+0+0

−3 + 3 + 0

400

= 1 ([0 4 0])

4

004

100

= ([0 1 0])

001

ดงั น้นั B เป็นเมทริกซ์ผกผนั ของ A)

ชวั่ โมงท่ี 3

ขัน้ สอน

เข้าใจ (Understanding)
10. ครูอธบิ ายให้นักเรียนวา่ “เนือ่ งจาก เมทรกิ ซไ์ ม่มสี มบัติสลับที่การคูณ จึงทำให้เมทริกซ์ไมม่ เี มทรกิ ซ์
ผกผัน ดังนน้ั การหาเมทรกิ ซ์ผกผันจังมคี วามยงุ่ ยากและมีวิธีหาได้หลายวธิ ี ดงั ตอ่ ไปน้ี

พิจารณาการหา A−1 เมือ่ กำหนด A = [a] และ a ≠ 0
ให้ A−1 = [x]
จะได้ AA−1 = A−1A = I1
ดังน้ัน [a][x] = [1] และ [x][a] = [1]

[ax] = [1]

จากบทนยิ ามการเทา่ กนั ของเมทรกิ ซ์ จะได้วา่

x=1

a

นำไปตรวจสอบผลคณู จะพบว่า

AA−1 = A−1A = I1

จึงได้ขอ้ สรุปวา่ ถา้ A = [a] ละ a ≠ 0 แลว้ A มเี มทริกซ์ผกผัน

และ A−1 = [1]
a

เมทริกซผ์ กผนั ของ 1x1 เมทริกซ์ จะมสี มาชกิ เปน็ ส่วนกลบั ของเมทรกิ ซ์น้นั ท่ไี มเ่ ทา่ กบั 0”
ลงมอื ทำ (Doing)
11. ครูให้นกั เรยี นจดั กลมุ่ กลมุ่ ละ 4-5 คน คละความสามารถทางคณิตศาสตร์ แลว้ ให้ทำกิจกรรม
คณติ ศาสตร์ ดงั นี้

a. ให้นักเรยี นทำ “Thinking Time” ในหนงั สอื เรียน หนา้ 161
b. ให้นักเรียนในแต่ละกลุ่มทำความเข้าใจร่วมกัน หลังจากน้ันครูลุ่มนักเรียนในแต่ละกลุ่ม

ออกมาเฉลยคำตอบ และใหน้ ักเรยี นท้ังร่วมกันอภิปรายแสดงความเห็น
(แนวคำตอบ A−1 = − 1 , B−1 = 3 และ C−1 = 2 )

2 √3

ช่ัวโมงที่ 4

ขั้นสอน

เข้าใจ (Understanding)

12. ครูให้นักเรียนศึกษาเนอ้ื หาในหนงั สอื เรยี น หน้า 161-162 แล้วแลกเปลี่ยนความรู้กบั เพ่อื น ๆ

จากนน้ั ครูถามคำถามนกั เรยี น ดงั น้ี

a. จากการศกึ ษาเน้อื หาในหนังสอื เรยี น หนา้ 161-162 นกั เรยี นไดข้ อ้ สรุปอะไร

b. (แนวตอบ −1 = 1 [− − ])
−

c. A−1 = 1 [−dc −ab] มเี ง่ือนไขสำคัญอะไรทตี่ อ้ งพจิ ารณาเสมอ
ad−bc

d. (แนวตอบ ( − ) ≠ 0)

e. ขอ้ สรปุ ท่ีได้ใชไ้ ด้กับเมทริกซ์ใด และมติ ใิ ด

f. (แนวตอบ เมทรกิ ซจ์ ัตรุ สั ที่มมี ติ ิ 2 × 2)

ลงมือทำ (Doing)

13. ครูใหน้ กั เรยี นจดั กลมุ่ กลุ่มละ 4-5 คน คละความสามารถทางคณิตศาสตร์ แล้วใหท้ ำกจิ กรรม

คณติ ศาสตร์ ดงั นี้

• ใหน้ ักเรยี นทำ “Thinking Time” ในหนังสือเรยี น หน้า 162

• ให้นักเรียนในแต่ละกลุ่มทำความเข้าใจร่วมกัน หลังจากน้ันครูลุ่มนักเรยี นในแต่ละกลุ่ม

ออกมาเฉลยคำตอบ และใหน้ กั เรียนทงั้ ร่วมกันอภิปรายแสดงความเหน็

(แนวคำตอบ A = [13 42] = 1 [−43 21] = 1 [−43 12]
(1)(4)−(2)(3) 4−6

1 [−43 21] −2 −1
2 [3 1],
= − = − 2
2

B = [50 −−27] = (0)(−7) 1 (5)(−2) [−−75 02] = 0 1 [−−75 02]
− + 10

− 7 1
[ 5],
= 1 [−−57 20] = 10 0
10 1
−2