คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 3 ค 30203

5) กำหนดใหจ้ ุด A(5, 5, 0), B(2, 12, 0) และ C(2, 12, 4) เป็นจุดยอดมมุ ของสามเหล่ยี ม จงหาเส้นรอบรูป
สามเหลี่ยมรปู นี้
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ใบงานที่ 3.1 เฉลย

เรอ่ื ง ระยะทางระหวา่ งจุดสองจุดในระบบพกิ ดั ฉากสามมิติ

1) จงหาระยะทางระหวา่ งจดุ A(5, -2, 1), B(2, 4, 2)

วิธีทำ จากสตู ร AB = √(x1 - x2)2 + (y1 - y2)2+ (Z1 - Z2)2

จะได้ AB = √(2 - 5)2 + (4 - (-2))2+ (2 - 1)2

= √(-3)2 + (6)2+ (1)2

= √9 + 36 + 1

= √46

ดงั นนั้ ระยะทางระหวา่ งจุด A(5, -2, 1) และ B(2, 4, 2) เทา่ กับ √46
2) จงหาระยะทางระหวา่ งจดุ A(-1, 3, 5), B(0, 0, 0)

วิธที ำ จากสูตร AB = √(x1 - x2)2 + (y1 - y2)2+ (Z1 - Z2)2

จะได้ AB = √(0 - (-1))2 + (0 - 3)2+ (0 - 5)2

= √(1)2 + (-3)2+ (-5)2

= √1 + 9 + 25

= √35

ดังนนั้ ระยะทางระหว่างจดุ A(-1, 3, 5) และ B(0, 0, 0) เทา่ กับ √35

3) จงหาระยะทางระหว่างจดุ A(0, 0, 0), B(-1, 6, 1)

วิธที ำ จากสตู ร AB = √(x1 - x2)2 + (y1 - y2)2+ (Z1 - Z2)2

จะได้ AB = √((-1) - 0)2 + (6 - 0)2+ (1 - 0)2

= √(-1)2 + (6)2+ (1)2

= √1 + 36 + 1

= √38

ดงั นน้ั ระยะทางระหว่างจุด A(0, 0, 0) และ B(-1, 6, 1) เทา่ กบั √38
4) จงหาระยะทางระหว่างจดุ A(4, 1, -3), B(9, 1, -3)

วิธีทำ จากสูตร AB = √(x1 - x2)2 + (y1 - y2)2+ (Z1 - Z2)2

จะได้ AB = √(9 - 4)2 + (1 - 1)2+ ((-3) - (-3))2

= √(5)2 + (0)2+ (0)2

= √25 + 0 + 0

= √25
=5

ดงั น้นั ระยะทางระหว่างจุด A(4, 1, -3) และ B(9, 1, -3) เทา่ กบั 5

5) กำหนดใหจ้ ดุ A(5, 5, 0), B(2, 12, 0) และ C(2, 12, 4) เปน็ จุดยอดมมุ ของสามเหลย่ี ม จงหาเส้นรอบรปู

สามเหลย่ี มรูปน้ี (ให้ √58 ≈ 7.6 และ √92 ≈ 9.5
วิธีทำ เสน้ รอบรูปสามเหล่ียม = AB + BC + CA

จากสูตร AB = √(x1 - x2)2 + (y1 - y2)2+ (Z1 - Z2)2

จะได้ AB = √(2 - 5)2 + (12 - 5)2+ (0 - 0)2

= √(-3)2 + (7)2+ (0)2

= √9 + 49 + 0

= √58
≈ 7.6

BC = √(2 - 2)2 + (12 - 12)2+ (4 - 0)2

= √(0)2 + (0)2+ (4)2

= √0 + 0 + 16

= √16
=4

CA = √(5 - 2)2 + (5 - 12)2+ (0 - 4)2

= √(3)2 + (-7)2+ (-4)2

= √9 + 49 + 16

= √92
≈ 9.5
เส้นรอบรปู สามเหลย่ี ม = AB + BC + CA

= 7.6 + 4 + 9.5
= 21.1
ดงั นน้ั เส้นรูปสามเหลี่ยม ABC ประมาณ 21.1 หนว่ ย

บนั ทึกหลงั สอนแผนการสอนที่ ............

1. ผลการสอนระดับชนั้ ม..............................
 สอนไดต้ ามแผนการจดั การเรยี นรู้
 สอนไม่ได้ตามแผนการจัดการเรยี นรู้ เน่ืองจาก ..........................................................................

2. ผลที่เกดิ กบั ผู้เรียน
1.) การประเมนิ ผลความรหู้ ลังการเรยี น โดยใช้………………แบบทดสอบหลงั เรียน............พบวา่ นกั เรียน

ผา่ นการประเมินคิดเป็นรอ้ ยละ................……..…. ไม่ผา่ นเกณฑ์ขนั้ ตำ่ ทกี่ ำหนดไว้คิดเป็นร้อยละ.............................
ไดแ้ ก่ ....................................เลขที่ …………………………...........................................................................................

2.) การประเมินด้านทักษะกระบวนการเรียน โดยใช้…………………………………………………………...............
พบว่านกั เรียนผ่านการประเมนิ คิดเป็นรอ้ ยละ...........……. ไมผ่ า่ นเกณฑข์ น้ั ต่ำท่ีกำหนดไว้คิดเป็นร้อยละ................
ไดแ้ ก่ .......................................................................................................................................................................

3.) การประเมินดา้ นคุณลกั ษณะที่พึงประสงค์ เรียน โดยใช…้ ……..…แบบสังเกตพฤติกรรม....................
พบว่านกั เรียนผ่านการประเมนิ คิดเป็นรอ้ ยละ..…....……. ไมผ่ า่ นเกณฑข์ ัน้ ต่ำท่กี ำหนดไว้คดิ เป็นร้อยละ..................
ไดแ้ ก่ ........................................................................................................................................................................
3. ปัญหาและอปุ สรรค

 กจิ กรรมการจดั การเรียนรู้ ไม่เหมาะสมกับเวลา
 มีนกั เรยี นทำใบงาน/ใบกจิ กรรมไมท่ นั ตามกำหนดเวลา
 มนี ักเรยี นที่ไมส่ นใจเรียน
 อ่ืน ๆ .............................................................................................................................................
4. ข้อเสนอแนะ/แนวทางแก้ไข
 ควรนำแผนไปปรบั ปรุง เรื่อง ......................................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 แนวทางแกไ้ ขนักเรยี นท่ไี ม่ผา่ นการประเมิน ..................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 ไมม่ ีขอ้ เสนอแนะ

ลงชื่อ ผู้สอน
()

วนั ที่……..../................../................

ความคดิ เหน็ ของหัวหน้ากลุ่มสาระฯ ความคิดเหน็ ของหวั หน้างานวิชาการ
1.เป็นแผนการจดั การเรยี นร้ทู ่ี 1.เปน็ แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่
 ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรงุ  ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรุง
2.การจัดกจิ กรรมการเรยี นรไู้ ดน้ ำเอากระบวนการเรยี นรู้ 2.การจดั กจิ กรรมการเรยี นรไู้ ด้นำเอากระบวนการเรยี นรู้
ทีเ่ นน้ ผูเ้ รียนเป็นสำคัญมาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง  ทีเ่ น้นผ้เู รียนเปน็ สำคญั มาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง

เหมาะสมกบั ศกั ยภาพที่แตกต่างกันของผเู้ รียน เหมาะสมกับศกั ยภาพทแี่ ตกตา่ งกันของผเู้ รยี น
 ทยี่ งั ไม่เนน้ ผู้เรยี นเป็นสำคัญ ควรปรับปรุงพัฒนาต่อไป  ที่ยงั ไม่เน้นผเู้ รยี นเปน็ สำคญั ควรปรับปรุงพฒั นาตอ่ ไป
3.เปน็ แผนการจัดการเรียนรู้ 3.เปน็ แผนการจดั การเรียนรู้
 นำไปใช้ได้จริง  ควรปรับปรุงกอ่ นนำไปใช้  นำไปใช้ได้จรงิ  ควรปรบั ปรุงก่อนนำไปใช้
4.ข้อเสนอแนะอื่นๆ 4.ขอ้ เสนอแนะอน่ื ๆ
……………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………….

ลงชอ่ื ....................................................... ลงช่ือ.......................................................
(นางสาวณัฐญิ า คาโส)
(นายศภุ ชยั เรอื งเดช)

แผนการจัดการเรยี นร้ทู ี่ 20

เวกเตอร์

เวลา 5 ชว่ั โมง

1. ผลการเรียนรู้

1) หาผลลพั ธข์ องการบวก การลบเวกเตอร์ การคูณเวกเตอรด์ ว้ ยสเกลาร์ หาผลคูณเชงิ สเกลาร์ และผลคูณเชิง

เวกเตอร์

2) นำความรู้เก่ียวกับเวกเตอรใ์ นสามมิติไปใช้ในการแก้ปญั หา

2. จดุ ประสงค์การเรียนรู้

1) สามารถหาคงามยาวของเวกเตอร์ และมุมระหว่างเวกเตอร์โดยใช้กฎโคไซนไ์ ด้ (K)

2) สามารถของลักษณะของเวกเตอร์ท่ีมีทิศทางเดียวกนั และทศิ ทางตรงกนั ข้าม เวกเตอร์ทขี่ นานกัน เวกเตอร์

ทเ่ี ท่ากนั ได้ (K)

3) สามารถบอกลกั ษณะเวกเตอร์ศนู ย์ได้ (K)

4) สามารถคูณเวกเตอร์ดว้ ยสเกลาร์ได้ (K)

5) สามารถเขียนรูปแสดงทิศทางของเวกเตอรไ์ ด้ (P)

6) สามารถเขยี นรูปแสดงการบวก และการลบของเวกเตอรไ์ ด้ (P)

7) รับผดิ ชอบตอ่ หนา้ ท่ีที่ไดร้ บั มอบหมาย (A)

3. สาระการเรยี นรู้

สาระการเรยี นรู้เพ่ิมเติม สาระการเรยี นร้ทู ้องถ่ิน

เวกเตอร์ นิเสธของเวกเตอร์ พจิ ารณาตามหลกั สูตรของสถานศกึ ษา

การบวก การลบเวกเตอร์ การคณู เวกเตอร์ดว้ ยสเกลาร์

4. สาระสำคัญ/ความคดิ รวบยอด

การบอกทิศทางของเวกเตอร์ให้ใช้ทิศเหนือเป็นแกนหลัก แล้ววัดมุมไปในทิศทางตามเข็มนาฬิกาไปยัง

เวกเตอร์ โดยเขียนบอกขนาดของมุมด้วยระบบตวั เลข 3 หลัก

เวกเตอรท์ ่ีขนานกนั คือ เวกเตอรท์ ่มี ที ศิ ทางเดยี วกนั หรือทิศทางตรงกนั ข้าม

เวกเตอร์ทเี่ ทา่ กนั คอื เวกเตอรท์ มี่ ที ศิ ทางเดียวกัน และมรขนาดเท่ากนั หรอื มีความยาวเท่ากัน

การบวกเวกเตอร์ เขียนแทนดว้ ย u̅ + v̅ คือ เวกเตอร์ท่ีมีจดุ เร่ิมตน้ อยูท่ ่จี ุดเรมิ่ ต้นของ u̅ และจุดสิ้นสดุ อยู่ที่

จดุ สิ้นสุดของ v̅

การลบเวกเตอร์ เขียนแทนด้วย u̅ – v̅ คือ เวกเตอรท์ ี่มีจดุ เริ่มตน้ อยูท่ ี่จุดสน้ิ สุดของ v̅ และจดุ สน้ิ สดุ อยู่ท่ี

จดุ สิ้นสดุ ของ u̅ หรอื การหาผลบวกของ u̅ และนเิ สธของ v̅

ให้ a เป็นสเกลาร์ และ u̅ เปน็ เวกเตอร์ ผลคณู ของเวกเตอร์ u̅ ดว้ ยสเกลาร์ a เปน็ เวกเตอร์ เขยี นแทนดว้ ย

au̅ โดยท่ี

1) ถ้า a = 0 แล้ว au̅ = 0̅

2) ถ้า a > 0 แลว้ au̅ จะมีขนาดเทา่ กบั |a||u̅| และมที ศิ ทางเดียวกับ u̅

3) ถา้ a < 0 แลว้ au̅ จะมีขนาดเทา่ กับ |a||u̅| และมที ศิ ทางตรงกนั ขา้ มกบั u̅

5. สมรรถนะสำคญั ของผเู้ รียนและคุณลกั ษณะอันพึงประสงค์

สมรรถนะสำคัญของผเู้ รียน คณุ ลักษณะอนั พงึ ประสงค์

1. ความสามารถในการสื่อสาร 1. มีวนิ ยั

2. ความสามารถในการคิด 2. ใฝ่เรียนรู้

1) ทักษะการจาํ แนกประเภท 3. มุ่งม่นั ในการทำงาน

2) ทกั ษะการคิดคลอ่ ง

3. ความสามารถในการแก้ปัญหา

6. กจิ กรรมการเรียนรู้
 แนวคดิ /รปู แบบการสอน/วิธกี ารสอน/เทคนคิ : แบบอุปนยั (Inductive Method)

ช่วั โมงท่ี 1

ข้ันนำ

เตรยี ม
12. ครูยกตวั อย่างสถานการณ์เกย่ี วกบั ปรมิ าณที่ใช้บอกขนาด และปริมาณทใ่ี ชบ้ อกขนาดและทิศทาง ดังน้ี

ปริมาณทีใ่ ช้บอกขนาด วา่ มมี ากหรือน้อยเพยี งใด เช่น บ้านของนธิ ศิ มพี ้ืนท่ี 50 ตารางวา นำ้ ผลไม้ใน
ขวดมปี รมิ าตร 700 ลูกบาศก์เซนติเมตร นายธเนศหนกั 50 กิโลกรัม เปน็ ตน้ ส่วนปริมาณทใี่ ชบ้ อก
ขนาดและทศิ ทาง เชน่ นำ้ ใสเดินทางไปทิศใตเ้ ปน็ ระยะทาง 1 กิโลเมตร ตะวนั ขบั รถไปจังหวดั เชียงใหม่
ดว้ นความเร็ว 80 กิโลเมตรตอ่ ชวั่ โมง เปน็ ต้น
13. ครแู จกใบงานที่ 3.2 ปรมิ าณเวกเตอร์และปริมาณสเกลาร์ เมอ่ื นกั เรียนทำใบงานเสร็จแลว้ ครูและ
นักเรยี นรว่ มกนั เฉลยคำตอบ

ขนั้ สอน

สอนหรอื แสดง
35. ครอู ธบิ ายนกั เรียนว่า เมอื่ เราสามารถจำแนกปริมาณออกเป็น 2 ประเภทแล้ว ปรมิ าณท่มี ขี นาดเพยี ง

อยา่ งเดียว เรยี กว่า ปรมิ าณสเกลาร์ (scalar quantity) ส่วนปรมิ าณท่มี ีท้งั ขนาดและทิศทาง เรยี กว่า
ปรมิ าณเวกเตอร์ (vector quantity) หรือเรยี กส้ัน ๆ ว่า เวกเตอร์

36. ครใู ห้นกั เรยี นจับคู่ศึกษาเนอ้ื หาในหนังสอื เรียน หน้า 218 – 219 แลว้ แลกเปลยี่ นความรูก้ บั คขู่ อง
ตนเอง จากนัน้ ครูใหน้ กั เรียนแต่ละคู่ วาดรูปเวกเตอรต์ ามคำสั่ง ดงั น้ี
• u̅ กับ v̅ เปน็ เวกเตอร์ทีม่ ีทศิ ทางเดียวกัน
• a̅ กับ b̅ เปน็ เวกเตอร์ท่มี ีทิศทางตรงกนั ขา้ ม
• c̅ กับ d̅ เป็นเวกเตอรท์ ขี่ นานกนั
• e̅ กบั f̅ เปน็ เวกเตอรท์ ่ีเทา่ กนั
• จงสรา้ ง g̅ จากนัน้ สร้าง –g̅

37. เม่อื นักเรยี นวาดรปู เวกเตอร์เสรจ็ แลว้ ครูอธิบายความรู้เกี่ยวกับ เวกเตอร์ทีม่ ีทิศทางเดยี วกนั เวกเตอร์ที่
มีทศิ ทางตรงกันขา้ ม เวกเตอรท์ ีข่ นานกัน เวกเตอร์ทเี่ ท่ากัน และนิเสธของเวกเตอร์

38. ครใู หน้ ักเรียนอา่ นโจทยต์ ัวอยา่ งที่ 5 ในหนงั สอื เรียน หน้า 220 แลว้ ใหน้ ักเรยี นวาดรูป จากน้ันอธบิ าย
และแสดงวิธกี ารหาคำตอบใหนกั เรียนดูบนกระดานดำอย่างละเอียด

39. ครูให้นกั เรียนทำ “ลองทำดู” เม่อื เสร็จแลว้ ครแู ละนักเรียนร่วมกนั เฉลยคำตอบ “ลองทำดู”

ช่ัวโมงที่ 2

ข้นั สอน

สอนหรือแสดง
1. ครถู ามคำถามนกั เรยี น ดังนี้

• ดาวมีน้ำหนกั 55 กิโลกรมั และแดงผลกั โตะ๊ ทมี่ นี ำ้ หนัก 40 กิโลกรมั ไปข้างหน้าเปน็ ระยะทาง 3
เมตร ข้อความใดเป็นเวกเตอร์ เพราะอะไร
(แนวตอบ แดงผลกั โตะ๊ ทมี่ ีนำ้ หนกั 40 กโิ ลกรมั ไปข้างหน้าเป็นระยะทาง 3 เมตร เพราะการที่แดง
ผลกั โต๊ะไปขา้ งหน้านนั้ แสดงถงึ ทิศทาง ส่วนระยะทางทีแ่ ดงผลักเป็น 3 เมตรเป็นขนาด)

• เวกเตอรท์ ่มี ีทศิ ทางเดยี วกัน เวกเตอรท์ ่ีมีทิศทางตรงกันข้าม ตา่ งกนั อย่างไร
(แนวตอบ เวกเตอรท์ ี่มที ิศทางเดยี วกัน เวกเตอรท์ ่ีมที ศิ ทางตรงกนั ข้าม เปน็ เวกเตอร์ท่อี ยใู่ นแนว
เส้นตรงเดียวกัน หรืออยู่ในแนวเส้นตรงทีข่ นานกนั แต่เวกเตอร์ทม่ี ีทิศทางเดยี วกันจะมหี ัวลูกศรไป
ทางเดยี วกนั สว่ นเวกเตอรท์ ี่มที ิศทางตรงกนั ข้ามจะมหี วั ลกู ศรไปทางตรงกันขา้ ม)

• เวกเตอรท์ ่ขี นานกนั จะมีลักษณะอย่างไร
(แนวตอบ เวกเตอร์ 2 เวกเตอรจ์ ะขนานกนั กต็ อ่ เมื่อ เวกเตอรท์ ง้ั สองมีทิศทางเดียวกนั หรอื ทิศทาง
ตรงกันขา้ ม)

• เวกเตอร์ที่เท่ากันจะมีลกั ษณะอยา่ งไร
(แนวตอบ เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์จะมขี นาดเท่ากนั กต็ ่อเมือ่ เวกเตอร์ทง้ั สองมีขนาดเท่ากนั และ
ทศิ ทางเดยี วกัน)

• นเิ สธของเวกเตอร์ใด ๆ จะมีลกั ษณะอย่างไร

(แนวตอบ นิเสธของเวกเตอรใ์ ด ๆ คอื เวกเตอร์ท่ีมีขนาดเทา่ กัน แต่มที ศิ ทางตรงกันขา้ ม)
2. ครใู ห้นักเรียนจับคู่ศกึ ษาตวั อย่างท่ี 6 ในหนงั สือเรียน หนา้ 220 แล้วแลกเปลย่ี นความรกู้ ับคู่ของตนเอง

จากนน้ั ครูถามคำถามนักเรยี น ดงั นี้

• เวกเตอร์ที่มที ิศทางเดียวกนั เวกเตอรท์ มี่ ีทิศทางตรงกนั ข้าม ต่างกันอย่างไร
(แนวตอบ เวกเตอรท์ มี่ ที ิศทางเดียวกัน เวกเตอร์ที่มที ิศทางตรงกนั ข้าม เป็นเวกเตอร์ท่อี ย่ใู น
แนวเส้นตรงเดียวกัน หรืออยู่ในแนวเสน้ ตรงท่ีขนานกนั แตเ่ วกเตอร์ทีม่ ีทิศทางเดียวกนั จะมหี วั
ลกู ศรไปทางเดยี วกัน สว่ นเวกเตอรท์ ม่ี ีทิศทางตรงกนั ข้ามจะมหี วั ลกู ศรไปทางตรงกนั ข้าม)

• เวกเตอรท์ ีเ่ ทา่ กันจะมลี ักษณะอย่างไร
(แนวตอบ เวกเตอร์ 2 เวกเตอรจ์ ะมขี นาดเท่ากนั ก็ต่อเมื่อ เวกเตอร์ทง้ั สองมขี นาดเท่ากนั และ
ทิศทางเดยี วกัน)

• นิเสธของเวกเตอร์ใด ๆ จะมีลักษณะอยา่ งไร
(แนวตอบ นเิ สธของเวกเตอร์ใด ๆ คือ เวกเตอรท์ ่ีมขี นาดเทา่ กัน แตม่ ีทศิ ทางตรงกนั ขา้ ม)

หลังจากน้นั ใหน้ ักเรียนแต่ละคนทำ “ลองทำดู” ในหนังสอื เรยี น หนา้ 220 เมือ่ นกั เรียนทำเสรจ็ ครูและ
นกั เรยี นร่วมกนั เฉลยคำตอบ “ลองทำดู”
3. ครูให้นกั เรียนอ่าน “คณิตน่ารู้” จากหนงั สอื เรยี น หน้า 220 ว่า “เส้นทแยงมมุ ของรปู สีเ่ หลย่ี มขนม
เปยี กปนู ยาวไม่เท่ากนั แตแ่ บง่ ครึ่งซงึ่ กันและกัน” จากนั้นครนู ำกระดาษรปู ส่ีเหลย่ี มมาแสดงให้นักเรียน
ดูแลว้ พบั แบ่งครงึ่ ซงึ่ กนั และกนั
4. ครใู ห้นกั เรยี นจบั คู่ศกึ ษาตัวอย่างท่ี 7 ในหนังสอื เรยี น หน้า 221 แลว้ แลกเปลี่ยนความรกู้ บั คูข่ องตนเอง
จากน้นั ครูถามคำถามนกั เรียน ดังน้ี

• เวกเตอร์ที่เท่ากนั จะมลี กั ษณะอย่างไร
(แนวตอบ เวกเตอร์ 2 เวกเตอรจ์ ะมีขนาดเท่ากนั ก็ต่อเมอื่ เวกเตอร์ทง้ั สองมขี นาดเทา่ กันและ
ทศิ ทางเดียวกัน)

• นเิ สธของเวกเตอร์ใด ๆ จะมีลกั ษณะอย่างไร
(แนวตอบ นิเสธของเวกเตอรใ์ ด ๆ คอื เวกเตอรท์ ่ีมีขนาดเทา่ กนั แต่มที ศิ ทางตรงกันข้าม)

หลังจากนัน้ ใหน้ ักเรยี นแต่ละคนทำ “ลองทำดู” ในหนงั สือเรียน หนา้ 221 เมือ่ นักเรยี นทำเสร็จครแู ละ
นกั เรียนร่วมกนั เฉลยคำตอบ “ลองทำดู”
5. ครูอธิบาย “คณิตน่ารู้” จากหนงั สือเรียน หนา้ 222 วา่ การกำหนดทิศทางของเวกเตอร์ โดยใชร้ ะบบ
ตวั เลขสามตวั จะใช้ขนาดของมมุ เปน็ องศาในการบอกทิศทาง โดยเริม่ วดั จากทศิ เหนือไปตามเข็ม
นาฬกิ าตามขนาดของมุมที่กำหนด โดยขนาดของมุมท่อี ย่รู ะหวา่ ง 0 กบั 100 องศา จะเป็น 0 นำหน้า
เช่น ขนาดของมุม 60 องศา เขยี นแทนด้วย 060 องศา”
6. ใหน้ กั เรยี นทำแบบฝึกทักษะ 3.2ก ในหนังสือเรยี น หนา้ 222 – 223 เปน็ การบ้าน

ชั่วโมงท่ี 3

ขน้ั สอน

สอนหรอื แสดง
1. ครกู ำหนด u̅ และ v̅ ไว้บนกระดานดำ ดงั นี้

u̅ v̅

2. ครูใหน้ กั เรียนวาด u̅ จากนั้นให้นำจดุ เร่มิ ต้นของ v̅ มาต่อกบั จุดสิน้ สุดของ u̅ และใหน้ ักเรียนใช้สนั ตรง
ลากเส้นจากจุดเร่ิมตน้ ของ u̅ ไปยังจุดสน้ิ สุดของ v̅ และใหน้ ักเรียนกำหนดช่อื เปน็ a̅ ซ่ึงจะไดร้ ปู ดังนี้

v̅
u̅

a̅

3. ครอู ธบิ ายวา่ เราจะเรยี ก a̅ วา่ เปน็ เวกเตอรผ์ ลบวกของ u̅ และ v̅ ซึ่งเวกเตอร์ a̅ เกดิ จากการลากเสน้ จาก
จุดเริ่มต้นอยู่ท่ีจุดเรมิ่ ต้นของ u̅ จุดสิ้นสดุ อยู่ทจี่ ดุ สิน้ สดุ ของ v̅ ดังนั้น ผลบวกของ u̅ และ v̅ เขียนแทน
ด้วย u̅ + v̅ คอื เวกเตอรท์ ม่ี ีจุดเร่ิมต้นอยูท่ จ่ี ดุ เริม่ ตน้ ของ u̅ และจดุ สิ้นสุดอยทู่ ี่จุดสน้ิ สุดของ v̅

4. ครูอธิบาย“คณติ น่ารู้” จากหนังสอื เรียน หนา้ 224 วา่ “นักเรยี นสามารถหาผลบวกของ u̅ และ v̅ โดย
การนำจดุ เร่มิ ตน้ ของ v̅ มาต่อกบั จดุ ส้นิ สุดของ u̅ ผลบวกของเวกเตอร์หรอื เวกเตอรผ์ ลลพั ธ์ของ u̅ และ
v̅ คือ เวกเตอร์ทีม่ จี ุดเริ่มต้นอยู่ท่ีจุดเร่มิ ต้นของ u̅ จดุ สิน้ สุดอยู่ท่ีจดุ ส้นิ สุดของ v̅ ” จากนนั้ ครแู สดงให้
นกั เรยี นดบู นกระดาน

5. ครูใหเ้ รยี นดรู ูปท่ี 17 ในหนงั สือเรียน หนา้ 225 จากนนั้ ครูถามคำถามนักเรียน ดงั น้ี
• u̅ + v̅ เท่ากับ w̅ ใชห่ รอื ไม่ เพราะเหตุ
(แนวตอบ ไมใ่ ช่ เพราะ ผลบวกของ u̅ และ v̅ คอื เวกเตอร์ทม่ี จี ุดเรม่ิ ตน้ อยู่ท่ีจุดเร่มิ ตน้ ของ u̅
จดุ ส้ินสุดอยู่ทีจ่ ดุ สิ้นสดุ ของ v̅ แต่ w̅ มีจุดเริม่ ต้นอยู่ที่จดุ สิ้นสดุ ของ v̅ และจุดสิ้นสุดอยู่ที่จดุ เร่มิ ต้น
อยทู่ จี่ ดุ เรม่ิ ต้นของ u̅ ดังนัน้ ผลบวกของ u̅ และ v̅ เท่ากับ -w̅ ซ่ึงมีจุดเร่ิมตน้ อยทู่ ่จี ุดเรม่ิ ต้นของ u̅
จดุ สนิ้ สุดอยู่ทีจ่ ดุ สิ้นสดุ ของ v)̅
• v̅ + w̅ เท่ากบั -u̅ ใชห่ รอื ไม่ เพราะเหตุ
(แนวตอบ ใช่ เพราะ -u̅ มจี ดุ เรมิ่ ตน้ อยู่ทจ่ี ุดเร่ิมตน้ ของ v̅ จุดส้ินสุดอยู่ทจ่ี ุดส้นิ สดุ ของ w̅)

40. ครอู ธิบายนักเรียนเพิม่ เติมวา่ “เวกเตอรศ์ นู ย์ คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเป็นศนู ย์ เขยี นแทนดว้ ย 0̅ ”
จากนั้นครูถามคำถามนักเรียนเพ่ิมวา่ จากรูปท่ี 17 u̅ + v̅ + w̅ เท่ากับเท่าไร

(แนวตอบ 0̅ เพราะ ผลบวกของ u̅ + v̅ + w̅ เปน็ เวกเตอรท์ มี่ จี ดุ เริม่ ต้นและจุดส้ินสุดเป็นจุดเดยี วกนั

เรียกว่า เวกเตอรศ์ นู ย์)

เปรยี บเทียบและรวบรวม

1. ครใู ห้นักเรยี นทำ “Thinking Time” ในหนังสอื เรยี น หน้า 225

2. ครูและนกั เรยี นรว่ มกันเฉลยคำตอบ “Thinking Time” ดงั น้ี

กำหนดให้ จุด A ดังน้ี A

นักเรยี นคดิ วา่ จดุ A เปน็ เวกเตอร์ศนู ยห์ รอื ไม่
(แนวตอบ กำหนดจดุ A มีพกิ ดั เปน็ (1,2,3) และ B มพี ิกดั เปน็ (1,2,3) หาระยะทางระหวา่ ง A และ B
ไดด้ ังน้ี

AB = √(x1 – x2)2 + (y1 – y2)2+ (Z1 – Z2)2

= √(1 – 1)2 + (2 – 2)2+ (3 – 3)2

= √(0)2 + (0)2+ (0)2
=0
เพราะฉะนั้น ขนาดของ A และ B เท่ากับ 0 ซ่ึงจดุ A และ B คอื พกิ ัดจุดเดยี วกัน
ดงั น้นั จุด A เวกเตอร์ศูนย์)

ชว่ั โมงที่ 4

ข้นั สอน

สอนหรอื แสดง
1. ครกู ำหนด u̅ และ v̅ ไว้บนกระดานดำ ดงั นี้

u̅ v̅

2. ครูใหน้ ักเรยี นวาด u̅ จากน้นั ใหน้ ำจุดเรม่ิ ตน้ ของ v̅ มาตอ่ กับจุดเรม่ิ ต้นของ u̅ และให้นักเรยี นใช้สันตรง
ลากเส้นจากจดุ สน้ิ สดุ ของ v̅ ไปยังจุดสิน้ สดุ ของ u̅ และใหน้ ักเรยี นกำหนดชอ่ื เปน็ a̅ ซึ่งจะได้รปู ดังนี้
u̅ a̅

v̅

3. ครูอธบิ ายว่าเราจะเรียก a̅ วา่ เปน็ เวกเตอรผ์ ลลบของ u̅ และ v̅ ซ่งึ เวกเตอร์ a̅ เกิดจากการลากเส้นจาก
จุดส้นิ สุดของ v̅ ไปยังจดุ สิน้ สุดของ u̅ ดังน้ัน ผลลบของ u̅ และ v̅ เขียนแทนดว้ ย u̅ – v̅ คอื เวกเตอรท์ ่ี
มีจดุ เรม่ิ ต้นอยทู่ จี่ ุดสนิ้ สุดของ v̅ และจดุ ส้นิ สุดอยู่ที่จดุ ส้นิ สุดของ u̅

4. ครูอธิบาย“คณิตน่ารู้” จากหนังสอื เรียน หน้า 226 วา่ “นกั เรียนสามารถหาผลลบของ u̅ และ v̅ โดย
การผลบวกของ u̅ และนเิ สธของ v̅ ” จากน้ันครูแสดงใหน้ ักเรยี นดูบนกระดาน

5. ครูอธิบายความรเู้ พ่ิมเตมิ เกีย่ วกบั การหาผลบวกและการหาผลลบของเวกเตอร์ว่า นอกจากท่ีเราจะใช้
บทนยิ ามในการหาผลบวกและการหาผลลบของเวกเตอรแ์ ล้วเรายังใช้ “กฎของรูปสเ่ี หลีย่ มด้านขนาน”
ได้อีกด้วย โดยให้นักเรียนดรู ูปที่ 20 ประกอบ

เปรียบเทียบและรวบรวม
1. ครใู ห้นักเรียนจับคูศ่ ึกษาตวั อย่างที่ 8 ในหนงั สือเรียน หน้า 227 แลว้ แลกเปลีย่ นความรกู้ ับคูข่ องตนเอง
2. ครูวาดรูปผลลพั ธ์ของกิจกรรม “ลองทำดู” จากน้ันใหน้ ักเรียนจบั ครู่ ูปทค่ี รวู าดกบั โจทย์ ลงในสมุด
3. ครูให้นกั เรยี นจับคู่ศึกษาตวั อย่างท่ี 9 ในหนงั สือเรียน หน้า 228 แลว้ แลกเปลย่ี นความรกู้ ับคขู่ องตนเอง

หลงั จากน้นั ใหน้ กั เรยี นแต่ละคนทำ “ลองทำดู” ในหนงั สือเรียน หน้า 229 เม่ือนกั เรียนทำเสรจ็ ครแู ละ
นักเรยี นรว่ มกนั เฉลยคำตอบ “ลองทำดู”
4. ครูใหน้ ักเรียนทำแบบฝกึ ทักษะ 3.2ก ในหนงั สือเรียนหนา้ 229 – 230 เป็นการบา้ น

ชวั่ โมงท่ี 5
ขั้นสอน

สอนหรอื แสดง
1. ครูกำหนด u̅ ไว้บนกระดานดำ ดังน้ี

u̅

2. ครใู ห้นักเรยี นวาด u̅ จากนนั้ ใหน้ ำจุดเร่มิ ต้นของ u̅ มาต่อกนั ไปอกี 3 อนั ดงั นี้

u̅

u̅
u̅

3. ครูอธบิ ายวา่ จากรูปคอื การ u̅ มาบวกกัน ซง่ึ เท่ากับ u̅ + u̅ + u̅ = 3u̅

4. ครอู ธบิ ายเพ่ิมวา่ ถา้ เราให้ a เป็นสเกลาร์ และ u̅ เปน็ เวกเตอร์ ผลคูณของเวกเตอร์ u̅ ด้วยสเกลาร์ a
เปน็ เวกเตอร์ เขยี นแทนดว้ ย au̅

5. ครูกำหนด v̅ ไว้บนกระดานดำ ดังนี้

v̅

6. ครถู ามคำถามนกั เรียน ดังน้ี
• ถ้านำ 0 คูณกบั v̅ จะไดเ้ วกเตอร์ในลกั ษณะใด
(แนวตอบ 0̅ เพราะ 0 คูณจำนวนใด ๆ จะได้ผลลัพธเ์ ทา่ กับ 0 ดงั นัน้ การนำ 0 ไปคณู เวกเตอร์ใด ๆ
กเ็ ทา่ กับ เวกเตอรศ์ นู ย)์
• ถา้ นำ 3 คูณกับ v̅ จะได้เวกเตอร์ในลกั ษณะใด
(แนวตอบ 3v̅ มีขนาดสามเทา่ ของขนาด v̅ และมที ิศทางเดยี วกับ v)̅
• ถา้ นำ -2 คณู กับ v̅ จะไดเ้ วกเตอรใ์ นลกั ษณะใด
• (แนวตอบ -2v̅ มีขนาดสv’เท่าของขนาด v̅ และมที ิศทางตรางกันขา้ มกบั v)̅

7. ครูใหน้ ักเรียนจับกลมุ่ กลมุ่ ละ 3 คนศึกษาตวั อยา่ งท่ี 10, 11, 12 ในหนังสอื เรยี น หนา้ 231 – 233
แล้วแลกเปลยี่ นความรู้ภายในกลมุ่ ของตนเอง จากนน้ั ใหน้ ักเรียนแตล่ ะคนทำ “ลองทำดู” โดยท่ีทงั้ 3
คนจะได้ทำ “ลองทำดู” คนละอนั กัน เม่อื เสรจ็ แล้วครสู ่มุ ตัวแทนกลุม่ ออกมาเฉลยคำตอบหน้าชั้นเรยี น
ครแู ละนักเรียนร่วมกนั ตรวจสอบความถกู ต้อง

8. ครูอธิบายความรเู้ ก่ยี วกับการขนานกันของเวกเตอรใ์ นหนังสอื เรยี น หน้า 234
9. ครูแสดงวธิ ีการหาคำตอบตวั อยา่ งที่ 13 ในหนงั สือเรยี น หน้า 234 และแสดงวธิ กี ารบนกระดานดำ
เปรียบเทยี บและรวบรวม
1. ครูใหน้ ักเรียนแต่ละคนทำ “ลองทำดู” เมือ่ เสรจ็ แล้วครูและนกั เรยี นร่วมกนั เฉลยคำตอบ “ลองทำดู”
2. ครูใหน้ ักเรียนศึกษาแนวขอ้ สอบ PAT 1 ในหนงั สือเรยี นหน้า 235 และครูคอยตอบคำถามทนี่ กั เรียน

สงสยั จากการศึกษาแนวข้อสอบ PAT 1

ขนั้ สรุป

สรปุ
5. ครถู ามคำถามเพอ่ื สรปุ ความรู้รวบยอดของนกั เรยี น ดังนี้

• เวกเตอรท์ ่ีมที ิศทางเดียวกนั เวกเตอรท์ ม่ี ีทศิ ทางตรงกนั ขา้ ม ต่างกนั อย่างไร

• (แนวตอบ เวกเตอรท์ มี่ ีทศิ ทางเดยี วกนั เวกเตอร์ที่มที ศิ ทางตรงกันขา้ ม เป็นเวกเตอร์ทีอ่ ยู่ใน
แนวเส้นตรงเดียวกัน หรืออย่ใู นแนวเสน้ ตรงท่ขี นานกนั แตเ่ วกเตอรท์ ม่ี ที ศิ ทางเดียวกนั จะมหี ัว
ลกู ศรไปทางเดียวกนั สว่ นเวกเตอร์ทม่ี ที ิศทางตรงกนั ขา้ มจะมีหวั ลกู ศรไปทางตรงกันขา้ ม)

• เวกเตอร์ที่ขนานกนั จะมลี ักษณะอยา่ งไร

• (แนวตอบ เวกเตอร์ 2 เวกเตอรจ์ ะขนานกนั กต็ ่อเมอ่ื เวกเตอรท์ งั้ สองมีทศิ ทางเดียวกนั หรอื
ทิศทางตรงกนั ขา้ ม)

• เวกเตอร์ท่เี ท่ากันจะมีลักษณะอย่างไร

• (แนวตอบ เวกเตอร์ 2 เวกเตอรจ์ ะมขี นาดเท่ากนั กต็ อ่ เมือ่ เวกเตอรท์ ัง้ สองมขี นาดเท่ากันและ
ทศิ ทางเดยี วกัน)

• นิเสธของเวกเตอร์ใด ๆ จะมีลักษณะอยา่ งไร

• (แนวตอบ นเิ สธของเวกเตอร์ใด ๆ คอื เวกเตอรท์ ่ีมขี นาดเทา่ กัน แต่มที ศิ ทางตรงกนั ขา้ ม)
นำไปใช้
6. ให้นักเรียนทำแบบฝกึ ทกั ษะ 3.2ข ในหนังสือเรยี น หน้า 235 – 236

7. การวดั และประเมินผล วิธีการ เคร่ืองมือ เกณฑก์ ารประเมนิ
รายการวดั
- ตรวจแบบฝึกทกั ษะ 3.2 - แบบฝกึ ทักษะ 3.2 - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์
ประเมนิ ระหว่างการจัด - ตรวจ Exercise 3.2 - Exercise 3.2 - รอ้ ยละ 60 ผ่านเกณฑ์
กิจกรรมการเรยี นรู้ - ตรวจใบงานท่ี 3.2 - ใบงานท่ี 3.2 - รอ้ ยละ 60 ผ่านเกณฑ์
- สงั เกตพฤติกรรม - แบบสังเกต - ระดบั คณุ ภาพ 2
1) เวกเตอร์ การทำงานรายบคุ คล พฤติกรรม ผ่านเกณฑ์
การทำงานรายบคุ คล
2) พฤติกรรมการทำงาน - สงั เกตพฤติกรรม - แบบสังเกต - ระดับคณุ ภาพ 2
รายบคุ คล การทำงานกลมุ่ พฤตกิ รรม ผ่านเกณฑ์
การทำงานกลมุ่
3) พฤติกรรมการทำงาน - สงั เกตความมวี นิ ยั - แบบประเมิน - ระดบั คณุ ภาพ 2
กล่มุ ใฝ่เรยี นรู้ และม่งุ มนั่ คณุ ลักษณะ ผา่ นเกณฑ์
ในการทำงาน อนั พึงประสงค์
4) คุณลกั ษณะ
อนั พงึ ประสงค์

8. สือ่ /แหล่งการเรียนรู้
8.1 ส่อื การเรียนรู้
14) หนงั สือเรยี นรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 1 หนว่ ยการเรียนรทู้ ่ี 3 เวกเตอร์ในสามมติ ิ
15) หนังสือแบบฝกึ หัดรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ม.5 เล่ม 1 หน่วยการเรยี นรู้ท่ี 3 เวกเตอรใ์ นสามมิติ
16) ใบงานที่ 3.2 เรอื่ ง ปริมาณเวกเตอรแ์ ละปริมาณสเกลาร์
8.2 แหล่งการเรียนรู้
1) ห้องสมุด
2) แหลง่ ชุมชน
3) อินเทอรเ์ นต็

ใบงานท่ี 3.2

เร่อื ง ปรมิ าณเวกเตอรแ์ ละปริมาณสเกลาร์

คำชแ้ี จง : ให้นักเรียนจำแนกปรมิ าณท่กี ำหนดให้ต่อไปน้ี

ความเรว็ ปริมาตร เวลา ความสงู แรง นำ้ หนัก
อณุ หภมู ิ ความยาว พนื้ ท่ี โมเมนตมั การกระจัด

มวล ระยะทาง ความเร่ง งาน ความหนาแน่น พลังงาน

ปริมาณทม่ี ขี นาดเพียงอยา่ งเดียว ปริมาณทีม่ ีทงั้ ขนาดและทศิ ทาง
………………………………………………………………… …………………………………………………………………
………………………………………………………………… …………………………………………………………………
………………………………………………………………… …………………………………………………………………
………………………………………………………………… …………………………………………………………………
………………………………………………………………… …………………………………………………………………
………………………………………………………………… …………………………………………………………………
………………………………………………………………… …………………………………………………………………
………………………………………………………………… …………………………………………………………………
………………………………………………………………… …………………………………………………………………
………………………………………………………………… …………………………………………………………………
………………………………………………………………… …………………………………………………………………
………………………………………………………………… …………………………………………………………………

เรียกวา่ .................................................................... เรยี กวา่ ....................................................................

ใบงานท่ี 3.2 เฉลย

เรือ่ ง ปรมิ าณเวกเตอร์และปรมิ าณสเกลาร์

คำชี้แจง : ให้นักเรยี นจำแนกปริมาณท่ีกำหนดให้ตอ่ ไปน้ี

ความเรว็ ปริมาตร เวลา ความสงู แรง น้ำหนกั
อณุ หภมู ิ ความยาว พน้ื ที่ โมเมนตัม การกระจัด

มวล ระยะทาง ความเรง่ งาน ความหนาแนน่ พลังงาน

ปริมาณทมี่ ขี นาดเพียงอย่างเดยี ว ปริมาณทมี่ ีทั้งขนาดและทศิ ทาง
ความเร็ว แรง ความเรว็
ปริมาตร เวลา แรง
ความสงู นำ้ หนัก โมเมนตมั
อณุ หภูมิ ความยาว การกระจัด
พ้นื ที่ มวล ความเรง่
ระยะทาง งาน
ความหนาแน่น พลงั งาน

เรยี กว่า ปรมิ าณสเกลาร์ เรียกวา่ ปริมาณเวกเตอร์

บนั ทึกหลังสอนแผนการสอนท่ี ............

1. ผลการสอนระดบั ชั้น ม..............................
 สอนไดต้ ามแผนการจัดการเรยี นรู้
 สอนไม่ได้ตามแผนการจัดการเรยี นรู้ เนือ่ งจาก ..........................................................................

2. ผลทเ่ี กิดกับผู้เรยี น
1.) การประเมินผลความรหู้ ลังการเรยี น โดยใช้………………แบบทดสอบหลงั เรียน............พบว่านกั เรยี น

ผา่ นการประเมนิ คิดเป็นรอ้ ยละ................……..…. ไมผ่ ่านเกณฑ์ขน้ั ต่ำท่ีกำหนดไว้คดิ เป็นร้อยละ.............................
ได้แก่ ....................................เลขท่ี …………………………...........................................................................................

2.) การประเมนิ ด้านทักษะกระบวนการเรยี น โดยใช…้ ………………………………………………………...............
พบว่านักเรียนผา่ นการประเมินคดิ เป็นร้อยละ...........……. ไม่ผ่านเกณฑข์ นั้ ตำ่ ท่กี ำหนดไว้คิดเปน็ ร้อยละ................
ได้แก่ .......................................................................................................................................................................

3.) การประเมนิ ดา้ นคุณลักษณะท่ีพึงประสงค์ เรียน โดยใช…้ ……..…แบบสงั เกตพฤติกรรม....................
พบวา่ นักเรียนผ่านการประเมินคดิ เป็นรอ้ ยละ..…....……. ไม่ผา่ นเกณฑ์ข้ันต่ำทก่ี ำหนดไว้คดิ เป็นรอ้ ยละ..................
ได้แก่ ........................................................................................................................................................................
3. ปญั หาและอปุ สรรค

 กิจกรรมการจดั การเรียนรู้ ไม่เหมาะสมกบั เวลา
 มนี กั เรยี นทำใบงาน/ใบกจิ กรรมไมท่ นั ตามกำหนดเวลา
 มีนกั เรยี นที่ไมส่ นใจเรียน
 อน่ื ๆ .............................................................................................................................................
4. ข้อเสนอแนะ/แนวทางแกไ้ ข
 ควรนำแผนไปปรับปรงุ เรือ่ ง ......................................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 แนวทางแก้ไขนักเรียนท่ไี มผ่ า่ นการประเมนิ ..................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 ไมม่ ีขอ้ เสนอแนะ

ลงชื่อ ผู้สอน
()

วันท่ี……..../................../................

ความคดิ เหน็ ของหัวหน้ากลุ่มสาระฯ ความคิดเหน็ ของหวั หน้างานวิชาการ
1.เป็นแผนการจดั การเรยี นร้ทู ่ี 1.เปน็ แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่
 ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรงุ  ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรุง
2.การจัดกจิ กรรมการเรยี นรไู้ ดน้ ำเอากระบวนการเรยี นรู้ 2.การจดั กจิ กรรมการเรยี นรไู้ ด้นำเอากระบวนการเรยี นรู้
ทีเ่ นน้ ผูเ้ รียนเป็นสำคัญมาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง  ทีเ่ น้นผ้เู รียนเปน็ สำคญั มาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง

เหมาะสมกบั ศกั ยภาพที่แตกต่างกันของผเู้ รียน เหมาะสมกับศกั ยภาพทแี่ ตกตา่ งกันของผเู้ รยี น
 ทย่ี งั ไม่เนน้ ผู้เรยี นเป็นสำคัญ ควรปรับปรุงพัฒนาต่อไป  ที่ยงั ไม่เน้นผเู้ รยี นเปน็ สำคญั ควรปรับปรุงพฒั นาตอ่ ไป
3.เปน็ แผนการจัดการเรียนรู้ 3.เปน็ แผนการจดั การเรียนรู้
 นำไปใช้ได้จริง  ควรปรับปรุงกอ่ นนำไปใช้  นำไปใช้ได้จรงิ  ควรปรบั ปรุงก่อนนำไปใช้
4.ข้อเสนอแนะอื่นๆ 4.ขอ้ เสนอแนะอน่ื ๆ
……………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………….

ลงชอ่ื ....................................................... ลงช่ือ.......................................................
(นางสาวณัฐญิ า คาโส)
(นายศภุ ชยั เรอื งเดช)

แผนการจดั การเรยี นรทู้ ่ี 21

เวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉาก

เวลา 5 ช่วั โมง

1. ผลการเรยี นรู้

1) หาผลลัพธข์ องการบวก การลบเวกเตอร์ การคณู เวกเตอร์ดว้ ยสเกลาร์ หาผลคูณเชิงสเกลาร์ และผลคูณเชิง

เวกเตอร์

2) นำความรู้เกย่ี วกบั เวกเตอร์ในสามมิตไิ ปใช้ในการแกป้ ัญหา

2. จุดประสงค์การเรียนรู้

1) สามารถหาจดุ เร่ิมตน้ หรือจุดปลายของเวกเตอร์ได้ (K)

2) สามารถบวก ลบ เวกเตอรใ์ นระบบพิกดั ฉากได้ (K)

3) สามารถหาขนาดของเวกเตอรใ์ นสองมติ ิ และสามมิติได้ (K)

4) สามารถหาเวกเตอรห์ นง่ึ หนว่ ยในสองมติ ิ และสามมติ ิได้ (K)

5) สามารถหาโคไซนแ์ สดงทิศทางของเวกเตอรไ์ ด้ (K)

6) สามารถเขยี นเวกเตอรใ์ นระบบแกนมุมฉากได้ เม่ือกำหนดจุดสองจุดมาให้ (P)

7) รบั ผิดชอบตอ่ หนา้ ทีท่ ่ีได้รบั มอบหมาย (A)

3. สาระการเรยี นรู้

สาระการเรียนร้เู พม่ิ เติม สาระการเรียนรทู้ ้องถน่ิ

เวกเตอรใ์ นระบบพกิ ัดฉาก พิจารณาตามหลักสูตรของสถานศึกษา

4. สาระสำคญั /ความคิดรวบยอด

เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากเปน็ เวกเตอร์ทเ่ี ขยี นอยู่ในรปู ของผลบวกของเวกเตอรท์ ม่ี ีทิศทางในแนวแกน

อา้ งอิงในระบบพิกัดฉากสองมติ ิและสามมติ ิ

5. สมรรถนะสำคญั ของผ้เู รยี นและคุณลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์

สมรรถนะสำคญั ของผู้เรยี น คุณลกั ษณะอันพงึ ประสงค์

1. ความสามารถในการสือ่ สาร 1. มวี นิ ยั
2. ความสามารถในการคิด 2. ใฝ่เรยี นรู้
3. มุ่งมน่ั ในการทำงาน
21) ทักษะการเช่ือมโยง
22) ทกั ษะการคดิ คลอ่ ง
23) ทักษะกระบวนการคดิ แกป้ ัญหา
3. ความสามารถในการแกป้ ญั หา

6. กิจกรรมการเรยี นรู้
 แนวคดิ /รปู แบบการสอน/วิธกี ารสอน/เทคนิค : Concept Based Teaching

ชวั่ โมงที่ 1

ขั้นนำ

ขน้ั การใชค้ วามรเู้ ดิมเช่อื มโยงความร้ใู หม่ (Prior Knowledge)
ครทู บทวนความร้เู กย่ี วกบั ระบบพกิ ดั ฉาก โดยใช้คำถามถามนกั เรียน ดังนี้

• ระบบพกิ ัดฉากสองมติ ิประกอบดว้ ยแกนใดบา้ ง และแบง่ ระนาบออกเป็นกี่ส่วน และแตล่ ะส่วน
เรียกวา่ อะไร
(แนวตอบ ระบบพกิ ัดฉากสองมติ ิ ประกอบด้วยแกน X และแกน Y แบ่งระนาบออกเป็น 4 ส่วน
และแตล่ ะส่วนเรียกว่า จตภุ าค)

• ระบบพิกดั ฉากสามมติ ิประกอบด้วยแกนใดบ้าง และแบง่ ระนาบออกเปน็ ก่สี ่วน และแตล่ ะสว่ น
เรยี กว่าอะไร
(แนวตอบ ระบบพิกัดฉากสามมิติ ประกอบด้วยแกน X แกน Y และแกน Z แบง่ ระนาบออกเป็น 8
สว่ น และแตล่ ะสว่ นเรียกว่า อัฐภาค)

ขั้นสอน

ข้นั รู้ (Knowing)

41. ครใู ห้นกั เรยี นดรู ปู ที่ 21 ในหนังสือเรยี น หนา้ 237 และถามคำถามนกั เรยี น ดงั นี้

• u̅ กบั v̅ มขี นาดกีห่ น่วย และมีทิศทางขนานกบั แกนอะไร

(แนวตอบ u̅ มขี นาด 4 หน่วย ทศิ ทางขนานกับแกน X ส่วน v̅ มขี นาด 5 หนว่ ย ทศิ ทางขนานกับ

แกน Y) a
b
42. ครูอธบิ ายเพิม่ เตมิ ว่า การเขยี นเวกเตอร์ในระบบพกิ ัดฉากสองมติ ิโดยท่วั ไป เขียนแทนด้วย [ ] ซงึ่

เป็นผลบวกของเวกเตอรส์ องเวกเตอร์ คอื

เวกเตอร์ u̅ มีขนาด |a| หนว่ ย ถา้ a > 0 เวกเตอรน์ จี้ ะมีทิศทางขนานกบั แกน X ไปทางขวา ถา้ a < 0

เวกเตอรน์ จี้ ะมีทิศทางขนานกบั แกน X ไปทางซ้าย

เวกเตอร์ v̅ มีขนาด |b| หน่วย ถา้ b > 0 เวกเตอร์นจ้ี ะมที ศิ ทางขนานกบั แกน Y ไปขา้ งบน ถา้ b < 0

เวกเตอรน์ จ้ี ะมีทศิ ทางขนานกับแกน Y ไปไปดา้ นลา่ ง

43. ครูแสดงตวั อย่างที่ 14 ในหนงั สือเรียน หน้า 238 ให้นกั เรียนดูบนกระดาน จากนัน้ ให้นักเรยี นให้

นกั เรยี นทำ “ลองทำดู” เมอ่ื เสรจ็ แล้วครแู ละนักเรยี นร่วมกันเฉลยคำตอบ

44. ครใู หน้ ักเรียนอ่าน “คณิตนา่ รู้” จากหนงั สอื เรยี น หนา้ 238 วา่ “เมอ่ื [ a ] เปน็ เวกเตอร์ท่ีมจี ดุ เริม่ ตน้
b
อยู่ทีจ่ ดุ กำเนิด O จะมีจุดสน้ิ สดุ อยู่ที่จดุ (a,b)”

45. ครใู ห้นักเรียนศกึ ษาความรใู้ นหนังสอื เรียน หน้า 238 – 239 ครูอธิบายเพิ่มเติมว่า ถ้ากำหนดให้

A(x1,y1) และ B(x2,y2) เป็นจุดใด ๆ ในระบบพกิ ดั ฉากสองมติ ิ แล้วต้องการหา A⃑⃑⃑B = [ x2 – x1 ]
y2 – y1

ข้ันเข้าใจ (Understanding)

5. ครใู ห้นักเรยี นจบั คูศ่ กึ ษาตัวอย่างท่ี 15 ในหนังสอื เรยี น หน้า 239 แลว้ แลกเปลีย่ นความร้กู ับคู่ของ

ตนเอง หลังจากน้นั ให้นักเรยี นแต่ละคนทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรยี น หนา้ 240 เม่อื นักเรยี นทำเสร็จ

ครแู ละนักเรียนรว่ มกนั เฉลยคำตอบ “ลองทำดู”

6. ครูใหน้ ักเรียนจับคู่ศกึ ษาตัวอย่างท่ี 16 ในหนงั สอื เรียน หน้า 240 แลว้ แลกเปลีย่ นความรูก้ บั คู่ของ

ตนเอง หลงั จากนัน้ ให้นกั เรียนแตล่ ะคนทำ “ลองทำดู” ในหนงั สอื เรยี น หน้า 240 เมอื่ นักเรียนทำเสร็จ

ครแู ละนกั เรียนร่วมกนั เฉลยคำตอบ “ลองทำดู”

ชั่วโมงท่ี 2

ข้นั สอน

ข้นั รู้ (Knowing)

1. ครูให้นักเรียนดรู ปู ที่ 24 ในหนังสอื เรยี น หนา้ 240 และถามคำถามนักเรียน ดงั น้ี

• จากรูป เวกเตอร์ OP เกิดจากเวกเตอร์ใด a

(แนวตอบ เวกเตอร์ OP เกิดจากการบวกกนั ของ u̅ + v̅ + w̅ = [ b ])
ca

2. ครูอธบิ ายนักเรยี นเพิม่ เตมิ ว่า กำหนดให้ a, b และ c เปน็ จำนวนจรงิ เรยี ก [ b ] ว่า เวกเตอร์ในระบบ
c
พิกดั ฉากสามมติ หิ รือเวกเตอร์ในสามมิติ

3. ครแู สดงตวั อย่างที่ 17 ในหนังสอื เรยี น หน้า 241 ให้นักเรยี นดูบนกระดาน จากน้ันใหน้ กั เรยี นให้

นกั เรยี นทำ “ลองทำดู” ในหนงั สือเรียน หนา้ 241 เมอื่ เสร็จแลว้ ครูและนกั เรียนร่วมกนั เฉลยคำตอบ
a

4. ครใู หน้ กั เรียนอ่าน “คณติ น่ารู้” จากหนงั สอื เรยี น หนา้ 241 วา่ “เม่อื [ b ] เปน็ เวกเตอรท์ ่มี ี
c

จุดเร่ิมตน้ อยทู่ ีจ่ ุดกำเนิด O จะมจี ดุ สิน้ สุดอยทู่ ี่จุด (a,b,c)” และครอู ธบิ ายเพิ่มเตมิ วา่ ทัง้ เวกเตอร์ในสอง

มติ ิ และเวกเตอรใ์ นสามมติ ิ ถ้าเวกเตอรใ์ ด ๆ มีจุดเริ่มต้นอยู่ท่จี ุดกำเนดิ จดุ สิ้นสุดจะอยูท่ ี่จดุ ของ

เวกเตอร์นนั้ ๆ

5. ครใู ห้นกั เรยี นศึกษาความร้ใู นหนังสอื เรยี น หน้า 242 – 243 ครอู ธบิ ายเพม่ิ เติมว่า ถา้ กำหนดให้

x2 – x1

A(x1,y1,z1) และ B(x2,y2,z2) เป็นจดุ ใด ๆ ในระบบพิกัดฉากสามมิติ แล้วต้องการหา ⃑A⃑⃑B = [y2 – y1]

ขน้ั เข้าใจ (Understanding) z2 – z1

1. ครใู หน้ ักเรียนจับค่ศู ึกษาตวั อย่างที่ 18 ในหนงั สอื เรยี น หน้า 243 แลว้ แลกเปลย่ี นความรกู้ บั คู่ของ

ตนเอง หลังจากน้นั ให้นกั เรียนแตล่ ะคนทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรยี น หนา้ 243 เม่ือนักเรียนทำเสรจ็

ครแู ละนกั เรียนรว่ มกนั เฉลยคำตอบ “ลองทำดู”

2. ครูใหน้ กั เรียนจับคูศ่ กึ ษาตวั อย่างที่ 19 ในหนงั สอื เรียน หนา้ 243 แล้วแลกเปลีย่ นความรูก้ บั คู่ของ

ตนเอง หลังจากนั้นใหน้ กั เรียนแต่ละคนทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรียน หน้า 240 เม่อื นักเรียนทำเสร็จ

ครูและนักเรยี นร่วมกนั เฉลยคำตอบ “ลองทำดู”

3. ครูให้นักเรียนศกึ ษาความรู้ในหนงั สือเรยี น หน้า 244 จากนน้ั ครสู มุ่ นกั เรียนให้มาอธบิ ายเก่ยี วกบั การ

เทา่ กนั ของเวกเตอร์ การบวกเวกเตอร์ เวกเตอรศ์ ูนย์ นิเสธของเวกเตอร์ การลบเวกเตอร์ และการคูณ

เวกเตอร์ดว้ ยสเกลาร์ในระบบพกิ ัดฉากสองมติ ิและสามมติ ิ ตามความเขา้ ใจของตนเอง เพอ่ื เป็นการ

ทบทวนความรู้ ครูคอยเสรมิ ความรูใ้ นบางส่วนให้สมบูรณ์

7. ครูใหน้ ักเรียนจบั คศู่ กึ ษาตัวอยา่ งที่ 20 ในหนังสอื เรียน หน้า 245 แลว้ แลกเปลยี่ นความรกู้ ับคู่ของ

ตนเอง หลังจากนั้นใหน้ กั เรียนแตล่ ะคนทำ “ลองทำดู” ในหนงั สอื เรียน หนา้ 245 เม่อื นกั เรียนทำเสร็จ

ครูและนกั เรยี นรว่ มกนั เฉลยคำตอบ “ลองทำดู”

4. ใหน้ กั เรียนทำแบบฝกึ ทกั ษะ 3.3ก ในหนงั สือเรยี น หนา้ 245 – 246 เปน็ การบ้าน

ชวั่ โมงท่ี 3

ข้นั สอน
ขน้ั รู้ (Knowing)

1. ครกู ำหนดจดุ ต่าง ๆ ในพกิ ัดฉากสองมิติ ลงบนกระดาน เชน่ จดุ A(1,2), B(5,2) และจุด C(5,5) จากน้ัน
ครูถามคำถามนักเรยี นนักเรยี น ดงั น้ี
• ระยะทางระหวา่ งจุด A(1,2) กับ B(5,2) มรี ะยะทางเปน็ เท่าไร และมวี ิธกี ารหาอยา่ งไร
(แนวตอบ ระยะทางระหวา่ งจุด A(1,2) กับ B(5,2) มรี ะยะทาง 4 หน่วย หาได้โดยการนำคา่ x ของ
จดุ B คอื 5 มาลบกับค่า x จุด A คือ 1 ซง่ึ มผี ลลัพธเ์ ท่ากบั 4)
• ระยะทางระหวา่ งจดุ B(5,2) กบั C(5,5) มีระยะทางเปน็ เทา่ ไร และมีวธิ กี ารหาอยา่ งไร
(แนวตอบ ระยะทางระหวา่ งจดุ B(5,2) กับ C(5,5) มีระยะทาง 3 หน่วย หาได้โดยการนำคา่ y ของ
จดุ C คอื 5 มาลบกับคา่ y จุด B คอื 2 ซ่ึงมผี ลลัพธเ์ ทา่ กบั 4)

2. ครใู หน้ ักเรียนศกึ ษาความรู้ในหนังสือเรยี น หนา้ 247 จากนัน้ ครใู หน้ กั เรียนดรู ปู การหาขนาดของ
เวกเตอรใ์ นสองมติ ิในหนงั สอื เรยี น หน้า 247 และครอู ธิบายนกั เรยี นวา่ ขนาดของเวกเตอรส์ องมิตหิ าได้

จาก |P⃑⃑⃑Q|= √(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 การหาขนาดของเวกเตอร์ในสองมิตินนั้ เราสามารถนำความรู้

เร่อื งพที าโกรสั เขา้ มาช่วยได้ a
b
3. ครอู ธิบายเพ่มิ เติมวา่ ถา้ ให้ x2 - x1 = a และ y2 - y1 = b จะได้ P⃑⃑⃑Q = [ ]

ดงั นัน้ |P⃑⃑⃑Q|= √a2 + b2

4. ครูใหน้ กั เรยี นดูรปู การหาขนาดของเวกเตอร์ในสามมิตใิ นหนังสือเรยี น หน้า 247 และครูอธบิ ายนักเรียน

วา่ ขนาดของเวกเตอรส์ ามมิตหิ าไดจ้ าก |⃑A⃑B|= √(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2 การหาขนาด

ของเวกเตอร์ในสามมติ ินน้ั เราสามารถนำความรู้เร่ืองระยะทางระหว่างจดุ สองจดุ ในระบบพกิ ดั ฉากสาม

มติ ิเขา้ มาชว่ ยได้ a

5. ครูอธิบายเพิ่มเติมว่า ถ้าให้ x2 - x1 = a, y2 - y1 = b และ z2 - z1 = c จะได้ A⃑⃑⃑B = [ b ]
c
ดังนัน้ |A⃑⃑B|= √a2 + b2 + c2

ข้นั เข้าใจ (Understanding)

1. ครใู ห้นักเรยี นศึกษาตวั อย่างที่ 21 ในหนงั สอื เรยี น หน้า 248 แลว้ แลกเปล่ียนความรูก้ ับเพือ่ น ๆ

หลังจากนัน้ ใหน้ กั เรียนแตล่ ะคนทำ “ลองทำดู” ในหนังสอื เรยี น หนา้ 248 เม่ือนักเรยี นทำเสร็จครูและ

นักเรียนร่วมกนั เฉลยคำตอบ “ลองทำดู”

2. ครูแจกใบงานท่ี 3.3 เรือ่ ง ขนาดของเวกเตอรใ์ นระบบพกิ ัดฉากสองมติ แิ ละสามมิติ ใหน้ ักเรยี นทำ

จากนนั้ ครูและนักเรียนรว่ มกนั เฉลยคำตอบใบงานที่ 3.3

ชั่วโมงท่ี 4

ข้นั สอน

ขน้ั รู้ (Knowing)

1. ครอู ธบิ ายความรเู้ ก่ียวกับเวกเตอร์หนง่ึ หน่วยวา่ เวกเตอร์หนงึ่ หนว่ ย หมายถึง เวกเตอร์ที่มีขนาดหน่ึง

หนว่ ย

2. ครใู หน้ ักเรยี นพิจารณาเวกเตอร์ u̅ = [ 4 ], v̅ = [ - 5 ] และ w̅ = [ 7 ] ในหนังสือเรยี น หนา้
5 13 25
3 12 - 24
5 13 25
248 จากนัน้ ครูให้นกั เรียนศึกษาความรู้ในหนังสือเรียน หน้า 249 เรื่อง เวกเตอร์หนึง่ หนว่ ยในสองมติ ิ

3. ครูและนกั เรียนรว่ มกันอภปิ รายเกีย่ วกับเวกเตอร์หนงึ่ หน่วยในสองมติ ิ ดังนี้

เวกเตอร์ 1 หน่วย ทททท่ขี่่ีขมี่มี นนีทที าาิิศศนนททกกาาับับงงตเด[[รียงbabaวกกัน]]ับขใใ้าดด[มๆกbๆaับทท]ไ่ี[ี่ไใมมดba่ใ่ใชชๆ]่เ่เววทใกกดีไ่ เเมตตๆ่ใออชรรทเ่ ศ์วศ์ ี่ไกนูมูนเย่ใยตช์์ อค่เควรืออื ก์ศเูนต±ย±อ์ร√√ค์ศอืaaูน22k1ย++์√bbค22aือ2[[1+babab-2]√][a2ba1+]b2 [ a ]
เวกเตอร์ 1 หน่วย b
เวกเตอร์ 1 หน่วย
เวกเตอร์ k หน่วย

4. ครอู ธบิ ายความรเู้ ก่ยี วกบั เวกเตอรห์ น่งึ หนว่ ยในสามมิตวิ า่ เวกเตอร์หน่ึงหน่วยกับเวกเตอร์ใด ๆ ใน

ระบบพกิ ดั ฉากสามมิติมีแนวคดิ เชน่ เดียวกบั การหาเวกเตอรห์ นึ่งหน่วยในระบบพกิ ัดฉากสองมติ ิ

5. ครแู ละนักเรียนรว่ มกนั อภปิ รายเกยี่ วกบั เวกเตอรห์ น่งึ หน่วยในสามมติ ิ ดงั นี้
aa
1
เวกเตอร์ 1 หน่วย ที่มีทิศทางเดียวกับ [ b ] ใด ๆ ทไี่ ม่ใชเ่ วกเตอรศ์ นู ย์ คือ √a2 + b2 + c2 [ b ]
ca c
a
1
เวกเตอร์ 1 หน่วย ทมี่ ีทิศทางตรงกันขา้ มกับ [ b ]ใด ๆ ทีไ่ มใ่ ชเ่ วกเตอร์ศูนย์ คือ - √a2 + c2 [ b ]
a c + b2 c

1 a
+ b2
เวกเตอร์ 1 หน่วย ทข่ี นานกบั [ b ] ใด ๆ ท่ีไมใ่ ช่เวกเตอร์ศูนย์ คือ ± √a2 + c2 [ b ]
ac ac
k
เวกเตอร์ k หน่วย ที่ขนานกับ [ b ] ใด ๆ ทไ่ี ม่ใช่เวกเตอร์ศนู ย์ คือ ± √a2 + b2 + c2 [ b ]
c c
6. ครใู ห้นกั เรยี นศกึ ษาความรใู้ นหนงั สือเรียน หน้า 250 – 251 จากน้นั ครูอธบิ ายเก่ียวกบั การเขียน

เวกเตอรใ์ ด ๆ ในระบบพิกัดฉากสองมติ ิและสามมิตใิ นรูปเวกเตอร์หนงึ่ หนว่ ย i̅ , j̅ , k̅ ดังนี้
a
เวกเตอร์ใด ๆ ในระบบพกิ ัดฉากสองมิติ u̅ = [ ba ] = ai̅ + bj̅

เวกเตอร์ใด ๆ ในระบบพิกัดฉากสามมติ ิ u̅ = [ b ] = ai̅ + bj̅ + ck̅
c
ขั้นเข้าใจ (Understanding)

1. ครูให้นักเรียนศกึ ษาตวั อยา่ งท่ี 22 ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 252 แล้วแลกเปล่ียนความรกู้ บั เพอื่ น ๆ

หลงั จากนนั้ ใหน้ ักเรยี นแตล่ ะคนทำ “ลองทำดู” ในหนงั สือเรียน หน้า 252 เม่อื นักเรยี นทำเสร็จครแู ละ

นกั เรยี นรว่ มกนั เฉลยคำตอบ “ลองทำดู”

2. ครูใหน้ ักเรยี นศึกษาตัวอย่างท่ี 23 ในหนังสือเรยี น หน้า 252 แลว้ แลกเปล่ียนความรูก้ ับเพอ่ื น ๆ

หลงั จากน้นั ใหน้ กั เรียนแต่ละคนทำ “ลองทำดู” ในหนงั สือเรียน หนา้ 253 เมื่อนักเรียนทำเสรจ็ ครแู ละ

นักเรยี นร่วมกนั เฉลยคำตอบ “ลองทำดู”

ชัว่ โมงท่ี 5

ข้นั สอน

ข้นั รู้ (Knowing)

1. ครูใหน้ กั เรยี นศกึ ษาความรใู้ นหนงั สือเรียน หน้า 253 จากนัน้ ครูใหน้ กั เรียนดูรทู ี่ 27 และครูอธบิ ายว่า

การกำหนดทศิ ทางของเวกเตอร์ นอกจากกำหนดด้วยพกิ ัดของเวกเตอร์ ยงั กำหนดด้วยมุมท่เี วกเตอร์ทำ

กับแกนพิกดั ทง้ั สาม คือ แกน X แกน Y และแกน Z ทางด้านบวก (ในทิศทางทวนเขม็ นาฬิกา) ซง่ึ มุมที่

เวกเตอรท์ ำกบั แกนพกิ ัดทั้งสาม จะมขี นาดต้งั แต่ 0 ถงึ π

2. ครอู ธบิ ายความรเู้ กี่ยวกับ โคไซนแ์ สดงทิศทาง ดังน้ี
a

ให้ v̅ = [ b ] เป็นเวกเตอรท์ ไ่ี ม่ใช่เวกเตอรศ์ นู ย์ โคไซน์แสดงทศิ ทางของ v̅ เทยี บกับแกน X แกน Y
c
และแกน Z ตามลำดับ คอื จำนวนสามจำนวนซ่งึ เรยี งลำดบั ดงั นี้ |va|̅ , |bv|̅ , c
|v|̅
|av̅|, |bv|̅ , c
3. ครูถามคำถามนักเรยี นว่า ค่า |v|̅ มคี ่าเท่ากนั ได้หรือไม่

(แนวตอบ ค่า |av̅|, |bv|̅ , c อาจมคี ่าเท่ากนั หรือไม่เทา่ กันไดข้ นึ้ อยู่กบั ขนาดของมมุ ทเี่ วกเตอรท์ ำกบั แกน
|v̅|
พิกัดท้ังสาม คือ แกน X แกน Y และแกน Z ทางด้านบวก)

ขน้ั เข้าใจ (Understanding)

1. ครใู ห้นกั เรียนศกึ ษาตัวอย่างที่ 24 ในหนังสือเรยี น หนา้ 254 แล้วแลกเปลี่ยนความรู้กับเพือ่ น ๆ

หลงั จากนัน้ ใหน้ ักเรียนแต่ละคนทำ “ลองทำดู” ในหนงั สอื เรียน หน้า 254 เมอ่ื นักเรยี นทำเสรจ็ ครูและ

นักเรยี นร่วมกนั เฉลยคำตอบ “ลองทำดู”

2. ครูให้นักเรียนศึกษาตัวอย่างท่ี 25 ในหนังสอื เรียน หน้า 254 แลว้ แลกเปล่ียนความรู้กบั เพอ่ื น ๆ แล้ว

หลังจากน้ันให้นกั เรยี นแต่ละคนทำ “ลองทำดู” ในหนงั สือเรียน หนา้ 254 เมื่อนกั เรียนทำเสร็จครแู ละ

นกั เรียนร่วมกนั เฉลยคำตอบ “ลองทำดู”

3. ครูให้นกั เรียนศกึ ษาบทนิยาม ในหนงั สือเรียน หนา้ 254 แลว้ แลกเปลี่ยนความรู้กบั เพื่อน ๆ

4. ครใู ห้นกั เรยี นศึกษาตวั อย่างที่ 26 ในหนงั สือเรียน หนา้ 255 แลว้ แลกเปลี่ยนความรู้กบั เพอ่ื น ๆ

หลังจากน้ันใหน้ ักเรียนแต่ละคนทำ “ลองทำดู” ในหนงั สือเรยี น หน้า 256 เม่อื นกั เรยี นทำเสรจ็ ครูและ

นกั เรยี นรว่ มกนั เฉลยคำตอบ “ลองทำดู”

ขัน้ ลงมือทำ (Doing)

1. ครูให้นักเรยี นจดั กลุม่ กลุ่มละ 4-5 คน คละความสามารถทางคณิตศาสตร์ แลว้ ให้ทำกิจกรรม

คณิตศาสตร์ ดงั นี้

• ใหน้ ักเรยี นทำทำแบบฝกึ ทักษะ 3.3ข ในหนงั สอื เรียนหน้า 256 – 257

• ใหน้ กั เรยี นในแตล่ ะกลุม่ ทำความเข้าใจร่วมกนั หลังจากน้นั ครูลุม่ นกั เรยี นในแต่ละกล่มุ ออกมาเฉลย
คำตอบ และใหน้ กั เรยี นท้ังรว่ มกันอภิปรายแสดงความเหน็

ขัน้ สรุป

ครถู ามคำถามเพื่อสรปุ ความรรู้ วบยอดของนักเรยี น ดงั นี้
• เวกเตอรใ์ นระบบพกิ ัดฉาก คืออะไร
(แนวตอบ เวกเตอร์ทเ่ี ขียนอยู่ในรปู ของผลบวกของเวกเตอร์ทม่ี ที ิศทางในแนวแกนอ้างองิ ในระบบ
พกิ ัดฉากสองมติ ิและสามมิติ)

7. การวดั และประเมินผล

รายการวัด วธิ กี าร เครื่องมือ เกณฑ์การประเมิน

ประเมินระหวา่ งการจัด

กิจกรรมการเรยี นรู้

1) เวกเตอรใ์ นระบบพกิ ดั - ตรวจแบบฝึกทักษะ 3.3 - แบบฝึกทักษะ 3.3 - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์

ฉาก - ตรวจ Exercise 3.3 - Exercise 3.3 - รอ้ ยละ 60 ผ่านเกณฑ์

- ตรวจใบงานที่ 3.3 - ใบงานท่ี 3.3 - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์

2) พฤตกิ รรมการทำงาน - สงั เกตพฤติกรรม - แบบสังเกต - ระดับคณุ ภาพ 2

รายบุคคล การทำงานรายบุคคล พฤตกิ รรม ผา่ นเกณฑ์

การทำงานรายบคุ คล

3) พฤติกรรมการทำงาน - สังเกตพฤตกิ รรม - แบบสงั เกต - ระดบั คุณภาพ 2

กลุ่ม การทำงานกลุม่ พฤติกรรม ผา่ นเกณฑ์

การทำงานกลุม่

4) คุณลักษณะ - สังเกตความมวี นิ ยั - แบบประเมนิ - ระดับคุณภาพ 2

อันพงึ ประสงค์ ใฝ่เรียนรู้ และมุ่งมัน่ คุณลักษณะ ผา่ นเกณฑ์

ในการทำงาน อนั พึงประสงค์

8. ส่ือ/แหล่งการเรยี นรู้
8.1 สื่อการเรียนรู้
17) หนงั สอื เรยี นรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ ม.5 เลม่ 1 หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี 3 เวกเตอร์ในสามมิติ
18) หนังสอื แบบฝกึ หัดรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม.5 เลม่ 1 หน่วยการเรยี นรู้ที่ 3 เวกเตอรใ์ นสามมิติ
19) ใบงานท่ี 3.3 เรอ่ื ง ขนาดของเวกเตอร์ในระบบพกิ ัดฉากสองมิตแิ ละสามมติ ิ
8.2 แหล่งการเรียนรู้
1) ห้องสมดุ
2) แหลง่ ชุมชน
3) อินเทอร์เน็ต

ใบงานท่ี 3.3

เร่ือง ขนาดของเวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉากสองมิติและสามมิติ

คำช้แี จง : ให้นกั เรียนแสดงวิธีการหาคำตอบโดยละเอียด
1) กำหนดจุด A(-3, 10) และ B(6, 1) จงหาขนาดของเวกเตอร์ A⃑⃑B
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) จงหาขนาดของเวกเตอร์ท่เี ร่ิมต้นท่ีจุด (1, 2, 0) ไปยงั จุดก่งึ กลางของสว่ นของเส้นตรงท่ีเชอื่ มจดุ (2, 1, -3), (4,
5, 3)
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

-2 4
3) กำหนดให้ u̅ = [ 0 ], v̅ = [ 3 ] จงหา |2u̅| + |3v|̅

4 -2
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…….…………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

-2
4) ถ้า u̅ = [ 5 ] และขนาดของ |u̅| = √78 จงหาค่า a

a
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

12
5) กำหนดให้ ⃑A⃑B = [ 0 ] และ ⃑B⃑⃑C = [ -1 ] จงหาคา่ |⃑A⃑⃑C|

3 -2
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ใบงานที่ 3.3 เฉลย

เรอื่ ง ขนาดของเวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉากสองมติ แิ ละสามมติ ิ

คำชแ้ี จง : ใหน้ กั เรยี นแสดงวธิ กี ารหาคำตอบโดยละเอียด

1) กำหนดจดุ A(-3, 10) และ B(6, 1) จงหาขนาดของเวกเตอร์ ⃑A⃑B

วธิ ที ำ ⃑A⃑B = [ 6 - (-3) ]
จากสตู ร = [
91 - 10
-9 ]

|⃑A⃑B| = √a2 + b2

|⃑A⃑B| = √(9)2 + (-9)2

= √81 + 81

= √162

= 9√2

ดงั นนั้ ขนาดของเวกเตอร์ ⃑A⃑B เท่ากับ 9√2
2) จงหาขนาดของเวกเตอร์ที่เร่มิ ต้นท่ีจดุ (1, 2, 0) ไปยังจุดกง่ึ กลางของส่วนของเสน้ ตรงทเ่ี ชื่อมจดุ (2, 1, -3), (4,

5, 3)

วธิ ที ำ ให้ B เปน็ จดุ กงึ่ กลางของสว่ นของเส้นตรงทเ่ี ชอ่ื มจุด (2, 1, -3), (4, 5, 3)

จะได้ B = (2 + 4 , 1 + 5 , -3 + 3)
2 2 2
= (3, 3, 0)

3-1
เวกเตอร์ท่ีโจทย์ตอ้ งการ u̅ = [ 3 - 2 ]

20 - 0

=[1]

0
จากสูตร |u̅| = √a2 + b2 + c2

|u̅| = √(2)2 + (1)2 + (0)2

= √4 + 1 + 0

= √5

ดังน้นั ขนาดของเวกเตอร์ทโี่ จทย์ต้องการ เท่ากบั √5

-2 4
3) กำหนดให้ u̅ = [ 0 ], v̅ = [ 3 ] จงหา |2u̅| + |3v̅|
4 -2
-2 4
วิธีทำ 2u̅ = 2[ 0 ] 3v̅ = 3[ 3 ]

4 -2
-4 12
=[ 0 ] =[ 9 ]
-6
8 = √a2 + b2 + c2
จากสตู ร |2u̅| = √a2 + b2 + c2 จากสูตร |3v̅|
= √(12)2 + (9)2 + (-6)2
|2u̅| = √(-4)2 + (0)2 + (8)2 |3v̅|
= √144 + 81 + 36
= √16 + 0 + 64
= √261
= √80
= 3√29
= 4√5

ดงั น้นั |2u̅| + |3v̅| = 4√5 + 3√29

-2
4) ถ้า u̅ = [ 5 ] และขนาดของ |u̅| = √78 จงหาค่า x

x |u̅| = √a2 + b2 + c2
วิธที ำ จากสตู ร

จะได้ √78 = √(-2)2 + (5)2 + (x)2

√78 = √4 + 25 + x2

√78 = √x2+ 29
78 = x2+ 29

x2 = 49

x = √49
x = -7, 7

ดังนนั้ คา่ x ที่ทำให้ ขนาดของ u̅ เท่ากับ √78 คอื -7 หรือ 7
12

5) กำหนดให้ A⃑⃑B = [ 0 ] และ ⃑B⃑⃑C = [ -1 ] จงหาคา่ |⃑A⃑⃑C|
3 -2

วธิ ที ำ A⃑⃑⃑C = A⃑⃑⃑B + B⃑⃑⃑C
12

= [ 0 ] + [ -1 ]
3 -2

จากสูตร 1+2

= [ 0 + (-1) ]
33 + (-2)

= [ -1 ]
1

|A⃑⃑⃑C| = √a2 + b2 + c2

|⃑A⃑⃑C| = √(3)2 + (-1)2 + (1)2

= √9 + 1 + 1

= √11

ดงั น้นั ขนาดของ A⃑⃑⃑C เท่ากับ √11

บนั ทึกหลังสอนแผนการสอนท่ี ............

1. ผลการสอนระดบั ชน้ั ม..............................
 สอนไดต้ ามแผนการจดั การเรยี นรู้
 สอนไม่ได้ตามแผนการจัดการเรยี นรู้ เนือ่ งจาก ..........................................................................

2. ผลทเ่ี กิดกับผู้เรยี น
1.) การประเมนิ ผลความรหู้ ลังการเรยี น โดยใช้………………แบบทดสอบหลงั เรียน............พบว่านกั เรยี น

ผา่ นการประเมนิ คิดเป็นรอ้ ยละ................……..…. ไมผ่ ่านเกณฑ์ขน้ั ต่ำท่ีกำหนดไว้คดิ เป็นร้อยละ.............................
ได้แก่ ....................................เลขที่ …………………………...........................................................................................

2.) การประเมนิ ด้านทักษะกระบวนการเรยี น โดยใช…้ ………………………………………………………...............
พบว่านักเรียนผา่ นการประเมินคดิ เป็นร้อยละ...........……. ไม่ผ่านเกณฑข์ นั้ ตำ่ ท่กี ำหนดไว้คิดเปน็ ร้อยละ................
ได้แก่ .......................................................................................................................................................................

3.) การประเมนิ ดา้ นคุณลกั ษณะท่ีพึงประสงค์ เรียน โดยใช…้ ……..…แบบสงั เกตพฤติกรรม....................
พบวา่ นักเรียนผ่านการประเมินคดิ เป็นรอ้ ยละ..…....……. ไม่ผา่ นเกณฑ์ข้ันต่ำทก่ี ำหนดไว้คดิ เป็นรอ้ ยละ..................
ได้แก่ ........................................................................................................................................................................
3. ปญั หาและอปุ สรรค

 กิจกรรมการจดั การเรียนรู้ ไม่เหมาะสมกบั เวลา
 มนี กั เรยี นทำใบงาน/ใบกจิ กรรมไมท่ นั ตามกำหนดเวลา
 มีนกั เรยี นที่ไมส่ นใจเรียน
 อน่ื ๆ .............................................................................................................................................
4. ข้อเสนอแนะ/แนวทางแกไ้ ข
 ควรนำแผนไปปรับปรงุ เรือ่ ง ......................................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 แนวทางแก้ไขนักเรียนท่ไี มผ่ า่ นการประเมนิ ..................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 ไมม่ ีขอ้ เสนอแนะ

ลงชื่อ ผู้สอน
()

วันท่ี……..../................../................

ความคดิ เหน็ ของหัวหน้ากลุ่มสาระฯ ความคิดเหน็ ของหวั หน้างานวิชาการ
1.เป็นแผนการจดั การเรยี นร้ทู ่ี 1.เปน็ แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่
 ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรงุ  ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรุง
2.การจัดกจิ กรรมการเรยี นรไู้ ดน้ ำเอากระบวนการเรยี นรู้ 2.การจดั กจิ กรรมการเรยี นรไู้ ด้นำเอากระบวนการเรยี นรู้
ทีเ่ นน้ ผูเ้ รียนเป็นสำคัญมาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง  ทีเ่ น้นผ้เู รียนเปน็ สำคญั มาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง

เหมาะสมกบั ศกั ยภาพที่แตกต่างกันของผเู้ รียน เหมาะสมกับศกั ยภาพทแี่ ตกตา่ งกันของผเู้ รยี น
 ทยี่ งั ไม่เนน้ ผู้เรยี นเป็นสำคัญ ควรปรับปรุงพัฒนาต่อไป  ที่ยงั ไม่เน้นผเู้ รยี นเปน็ สำคญั ควรปรับปรุงพฒั นาตอ่ ไป
3.เปน็ แผนการจัดการเรียนรู้ 3.เปน็ แผนการจดั การเรียนรู้
 นำไปใช้ได้จริง  ควรปรับปรุงกอ่ นนำไปใช้  นำไปใช้ได้จรงิ  ควรปรบั ปรุงก่อนนำไปใช้
4.ข้อเสนอแนะอื่นๆ 4.ขอ้ เสนอแนะอน่ื ๆ
……………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………….

ลงชอ่ื ....................................................... ลงช่ือ.......................................................
(นางสาวณัฐญิ า คาโส)
(นายศภุ ชยั เรอื งเดช)

แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 22

ผลคณู เชงิ สเกลาร์

เวลา 3 ชั่วโมง

1. ผลการเรียนรู้

1) หาผลลพั ธข์ องการบวก การลบเวกเตอร์ การคูณเวกเตอรด์ ว้ ยสเกลาร์ หาผลคูณเชิงสเกลาร์ และผลคณู เชิง

เวกเตอร์

2) นำความรเู้ กย่ี วกับเวกเตอร์ในสามมติ ิไปใช้ในการแกป้ ญั หา

2. จุดประสงค์การเรียนรู้

1) สามารถหาผลคูณเชงิ เวกเตอร์ได้ (K)

2) สามารถนำสมบตั ขิ องผลคูณเชงิ สเกลารไ์ ปใช้ได้ (K)

3) สามารถหามมุ ระหว่างเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากได้ (K)

4) สามารถวาดรปู เวกเตอร์ในสามมิตไิ ด้ได้(P)

5) รับผิดชอบตอ่ หน้าท่ีท่ไี ด้รบั มอบหมาย (A)

3. สาระการเรยี นรู้

สาระการเรยี นรู้เพิม่ เติม สาระการเรยี นรู้ท้องถ่นิ

ผลคูณเชิงสเกลาร์ พิจารณาตามหลักสูตรของสถานศกึ ษา

4. สาระสำคัญ/ความคิดรวบยอด

ถ้าให้ u̅ = x1i̅ + y1j̅ และ v̅ = x2i̅ + y2j̅ จะไดผ้ ลคูณเชงิ สเกลาร์ของ u̅ และ v̅ คอื x1x2 + y1y2 และ ถา้
ให้ u̅ = x1i̅ + y1j̅ + z1k̅ และ v̅ = x2i̅ + y2j̅ + z2k̅ จะได้ผลคณู เชิงสเกลาร์ของ u̅ และ v̅ คือ x1x2 + y1y2 + z1z2
เขียนแทนดว้ ย u̅ · v̅

5. สมรรถนะสำคัญของผเู้ รยี นและคณุ ลักษณะอนั พงึ ประสงค์

สมรรถนะสำคัญของผ้เู รยี น คุณลักษณะอันพึงประสงค์

1. ความสามารถในการสื่อสาร 1. มวี ินยั
2. ความสามารถในการคดิ 2. ใฝเ่ รียนรู้
3. ม่งุ ม่นั ในการทำงาน
24) ทักษะกระบวนการคดิ แกป้ ัญหา
3. ความสามารถในการแก้ปัญหา

6. กิจกรรมการเรียนรู้
 แนวคดิ /รปู แบบการสอน/วิธกี ารสอน/เทคนคิ : Concept Based Teaching

ชว่ั โมงท่ี 1

ขัน้ นำ
ข้ันการใชค้ วามรเู้ ดิมเชือ่ มโยงความรใู้ หม่ (Prior Knowledge)

14. ครทู บทวนความรเู้ ก่ียวกับเร่อื งปรมิ าณสเกลาร์ วา่ ปรมิ าณสเกลาร์ คอื ปริมาณทมี่ ขี นาดเพยี งอยา่ ง
เดียว เชน่ ตู้เสอ้ื ผ้าใบหน่งึ สงู 3 เมตร สม้ หนกั 1 กโิ ลกรมั เปน็ ต้น

15. ครถู ามคำถามนกั เรียน ดังน้ี
• ชูชาติมีผลไม้อยู่ 3 ชนดิ คือ มีส้มอยู่ 5 กโิ ลกรัม มีแอปเปลิ อยู่ 4 กิโลกรัม และมีชมพูอ่ ยู่ 7 กิโลกรัม
ซ่งึ ทำใหน้ ำ้ หนกั รวมของผลไม้เป็น 16 กิโลกรัม อยากทราบวา่ นำ้ หนกั รวมของผลไม้เปน็ ปริมาณ
สเกลารห์ รือไม่ เพราะเหตุใด
(แนวตอบ นำ้ หนักรวมของผลไมเ้ ปน็ ปรมิ าณสเกลาร์ เพราะนำ้ หนักรวมของผลไมม้ เี พียงขนาด ไมม่ ี
ทศิ ทาง)
• สดุ าขับรถไปทางทิศตะวนั ตกเฉยี งใตด้ ้วยความเร็ว 90 กโิ ลเมตรต่อชวั่ โมง เป็นปรมิ าณสเกลาร์
หรือไม่ เพราะเหตุใด
(แนวตอบ ไมเ่ ปน็ ปริมาณสเกลาร์ เพราะการขับรถของสุดา มีทัง้ ขนาด คือ 90 กโิ ลเมตรตอ่ ชว่ั โมง
และยังมที ศิ ทาง จึงทำให้ไม่เป็นปริมาณสเกลาร์ แต่เป็นปริมาณเวกเตอร์)
• ภาคภมู ิมีทด่ี ินอยู่ภาคตะวันออก จำนวน 50 ไร่ เป็นปรมิ าณสเกลาร์หรอื ไม่ เพราะเหตุใด
(แนวตอบ จำนวนท่ีดินของภาคภมู เิ ปน็ ปรมิ าณสเกลาร์ เพราะจำนวนทดี่ นิ เพยี งขนาด ไม่มที ศิ ทาง)

ขนั้ สอน

ขัน้ รู้ (Knowing)

46. ครใู หน้ กั เรียนอ่านบทนยิ าม ในหนงั สอื เรียน หน้า 258 จากนั้นครูอธบิ ายความรู้ ดังนี้

ผลคูณเชงิ สเกลาร์ คือผลคูณของเวกเตอรส์ องเวกเตอร์ท่มี ีผลลพั ธ์เป็นสเกลาร์

จากบทนิยาม จะได้วา่ ถา้ ให้ u̅ = x1i̅ + y1j̅ และ v̅ = x2i̅ + y2j̅ จะได้ u̅ · v̅ = x1x2 + y1y2
และ ถา้ ให้ u̅ = x1i̅ + y1j̅ + z1k̅ และ v̅ = x2i̅ + y2j̅ + z2k̅ จะได้ u̅ · v̅ = x1x2 + y1y2 + z1z2
47. ครูถามคำถามนักเรียน ดังนี้

• กำหนดให้ u̅ = x1i̅ + y1j̅ และ v̅ = x2i̅ + y2j̅ แล้ว u̅ · v̅ จะเท่ากับ v̅· u̅ หรอื ไม่ เพระเหตุใด

(แนวตอบ จาก u̅ = x1i̅ + y1j̅ และ v̅ = x2i̅ + y2j̅

u̅ · v̅ = x1x2 + y1y2

= x2x1 + y2y2 (สมบัติการสลบั ท่ีการคูณ: ab = ba)

= u̅ · v̅

ดังนัน้ u̅ · v̅ = u̅ · v̅)

• ถา้ ให้ u̅ = x1i̅ + y1j̅ และ v̅ = x2i ̅ + y2j̅ คอื u̅ · v̅ = x1x2 + y1y2 แลว้ ให้ u̅ = [ yx11] และ
v̅ = [ yx22] u̅ · v̅ จะมีคา่ เท่าไร
(แนวตอบ = x1i̅ + y1j̅
u̅ · v̅ = x1x2 + y1y2 เพราะวา่ u̅ ดังนนั้ u̅ · v̅ = เขยี นใหอ้ ยู่ในรปู u̅ = [ yx11] และ
v̅ = x2i̅ + y2j ̅ เขยี นให้อยู่ในรปู v̅ = [ yx22] [ yx11] · [ yx22] = x1x2 + y1y2)

ขั้นเขา้ ใจ (Understanding)

7. ครใู หน้ กั เรยี นศกึ ษาตัวอย่างท่ี 27 ในหนงั สือเรยี น หน้า 258 แลว้ แลกเปลี่ยนความรกู้ ับเพือ่ น ๆ

จากนนั้ ครถู ามคำถามนักเรยี น ดงั น้ี

• ผลคูณเชิงสเกลาร์ของ u̅ และ v̅ ผลลัพธท์ ไ่ี ดจ้ ะเปน็ อย่างไร

(แนวตอบ ผลลัพธ์ท่ีได้จะเปน็ สเกลาร์)

หลงั จากนั้นให้นักเรยี นแตล่ ะคนทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรยี น หนา้ 259 เมื่อนักเรียนทำเสร็จครูและ

นักเรยี นรว่ มกนั เฉลยคำตอบ “ลองทำดู”

8. ครูใหน้ กั เรยี นศกึ ษาตัวอย่างท่ี 28 ในหนังสอื เรียน หนา้ 258 แลว้ แลกเปลี่ยนความร้กู บั เพือ่ น ๆ

จากนัน้ ครถู ามคำถามนักเรยี น ดงั นี้

• ผลคูณเชิงสเกลาร์ของ u̅ และ v̅ ผลลัพธท์ ่ีได้จะเป็นอยา่ งไร

(แนวตอบ ผลลัพธ์ที่ไดจ้ ะเปน็ สเกลาร์)

หลังจากนนั้ ให้นกั เรียนแตล่ ะคนทำ “ลองทำดู” ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 259 เมือ่ นักเรียนทำเสรจ็ ครแู ละ

นกั เรียนร่วมกนั เฉลยคำตอบ “ลองทำดู”

ขัน้ ลงมือทำ (Doing)

47. ครูใหน้ กั เรียนจัดกลุ่ม กลุม่ ละ 4-5 คน คละความสามารถทางคณติ ศาสตร์ แลว้ ให้ทำกิจกรรม

คณิตศาสตร์ ดังนี้

• ใหน้ กั เรยี นทำ “Thinking Time” ในหนังสอื เรยี น หนา้ 259

• ใหน้ ักเรยี นในแต่ละกล่มุ ทำความเข้าใจร่วมกัน หลังจากนั้นครูล่มุ นักเรียนในแต่ละกลุ่มออกมา

เฉลยคำตอบ และให้นักเรียนทง้ั ร่วมกนั อภปิ รายแสดงความเหน็

(แนวตอบ ให้ u̅ = 3i̅ + 2j̅ – 5k̅ และ v̅ = 5i̅ – 3j̅ + 4k̅

u̅ · v̅ = (3i̅ + 2j̅ – 5k)̅ · (5i̅ – 3j̅ + 4k)̅

= (3)(5) + (2)(–3) + (–5)(4)

= 15 + (–15) + (–20)

= –20 (1)

และ v̅· u̅ = (5i̅ – 3j̅ + 4k)̅ · (3i̅ + 2j̅ – 5k)̅

= (5)(3) + (–3)(2) + (4)(–5)

= 15 + (–15) + (–20) (2)
= –20
จาก (1) และ (2) มคี า่ เท่ากัน
ดงั นัน้ u̅ · v̅ และ v̅· u̅ มคี ่าเทา่ กนั )

ชว่ั โมงท่ี 2

ข้นั สอน

ขนั้ รู้ (Knowing)

1. ครใู ห้นักเรียนศกึ ษาความรู้เก่ยี วกบั สมบัตทิ ี่สำคญั ของผลคูณเชิงสเกลาร์ ในหนงั สอื เรียน หน้า 259

2. ครแู ละนักเรยี นรว่ มกับพิสจู น์สมบัตทิ ส่ี ำคญั ของผลคูณเชงิ สเกลาร์ ดงั นี้

1) u̅ · v̅ = v̅· u̅

พสิ ูจน์ ให้ u̅ = x1i̅ + y1j ̅ + z1k̅ และ v̅ = x2i̅ + y2j̅ + z2k̅
จะได้ u̅ · v̅ = (x1i̅ + y1j̅ + z1k)̅ · (x2i̅ + y2j̅ + z2k)̅
= x1x2 + y1y2 + z1z2
= x2x1 + y2y1 + z2z1
= (x2i̅ + y2j̅ + z2k)̅ · (x1i̅ + y1j̅ + z1k)̅
= v̅· u̅

2) u̅ · (v̅ + w̅) = u̅ · v̅ + u̅ · w̅

พิสจู น์ ให้ u̅ = x1i̅ + y1j ̅ + z1k̅ , v̅ = x2i̅ + y2j̅ + z2k̅ และ v̅ = x3i̅ + y3j̅ + z3k̅
จะได้ u̅ · (v̅ + w̅) = (x1i̅ + y1j̅ + z1k)̅ · {(x2i̅ + y2j̅ + z2k)̅ + (x3i̅ + y3j̅ + z3k̅)}

= (x1i̅ + y1j ̅ + z1k)̅ · {(x2+x3)i̅ + (y2+y3)j ̅ + (z2+ z3)k}̅
= (x1(x2+x3)) + (y1(y2+y3)) + (z1(z2+ z3))
= x1x2 + x1x3 + y1y2 + y1y3 + z1z2 + z1z3
= (x1x2 + y1y2 + z1z2) + (x1x3 + y1y3 + z1z3)
= {(x1i̅ + y1j̅ + z1k)̅ · (x2i̅ + y2j̅ + z2k)̅ } +

{(x1i̅ + y1j̅ + z1k)̅ · (x3i̅ + y3j̅ + z3k)̅ }
= u̅ · v̅ + u̅ · w̅

3) a(u̅ · v̅) = (au̅) · v̅ = u̅ · (av̅)

พิสจู น์ ให้ a เปน็ จำนวนจริงใด ๆ u̅ = x1i̅ + y1j̅ + z1k̅ และ v̅ = x2i̅ + y2j̅ + z2k̅
จะได้ (au̅) · v̅ = (ax1i̅ + ay1j̅ + az1k)̅ · (x2i̅ + y2j̅ + z2k)̅

= ax1x2 + ay1y2 + az1z2
= a(x1x2 + y1y2 + z1z2)

= a{(x1i̅ + y1j̅ + z1k)̅ · (x2i̅ + y2j̅ + z2k)̅ }
= a(u̅ · v̅)

4) 0̅ · u̅ = 0

พิสูจน์ ให้ u̅ = x1i̅ + y1j̅ + z1k̅ และ 0̅ = 0i̅ + 0j̅ + 0k̅
จะได้ 0̅ · u̅ = (0i̅ + 0j̅ + 0k)̅ · (x1i̅ + y1j̅ + z1k)̅
= 0x1 + 0y1 + 0z1
=0

5) u̅ · u̅ = |u̅|2

พิสูจน์ ให้ u̅ = x1i̅ + y1j̅ + z1k̅
จะได้ u̅ · u̅ = (x1i̅ + y1j̅ + z1k)̅ · (x1i̅ + y1j̅ + z1k)̅
= x21 + y21 + z12
= (√x12 + y21 + z21)2
= |u̅|2

3. ครใู ห้นักเรียนศึกษาการพิสจู น์สมบัตขิ ้อท่ี 2 และ 3 ในหนงั สอื เรยี น หน้า 260

4. ครอู ธิบายนักเรียนเพมิ่ เตมิ วา่ การหามุมระหว่างเวกเตอร์ นนั้ เราจะใช้สตู ร u̅ · v̅ = |u̅||v̅|cos θ ซึ่ง

มุมทีห่ าไดน้ ั้นจะมีขนาด 0 ํ ถึง 180 ํ

ขั้นเข้าใจ (Understanding)

1. ครใู ห้นักเรยี นศึกษาตวั อยา่ งท่ี 29 ในหนงั สอื เรยี น หน้า 261 แล้วแลกเปล่ียนความรู้กับเพอ่ื น ๆ

จากนั้นครถู ามคำถามนักเรยี น ดังนี้

• เวกเตอร์สองเวกเตอรจ์ ะตง้ั ฉากกันเม่ือใด

(แนวตอบ ผลคูณเชิงสเกลารข์ องเวกเตอรท์ ้ังสอง ไดผ้ ลลพั ธ์เปน็ 0)

หลงั จากนัน้ ให้นักเรยี นแตล่ ะคนทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรยี น หน้า 261 เมอ่ื นกั เรียนทำเสร็จครูและ

นักเรยี นรว่ มกนั เฉลยคำตอบ “ลองทำดู” x y
y -x
2. ครูใหน้ ักเรียนอา่ น “คณิตนา่ รู้” ในหนงั สอื เรียน หน้า 261 ว่า เวกเตอร์ที่ตงั้ ฉากกบั [ ] คือ [ ]

หรอื [ -y ] จากน้นั ครูยกตัวอยา่ งเวกตอร์ และให้นกั เรยี นหาเวกเตอรท์ ต่ี ้ังฉากกบั เวกเตอรท์ ่ีครยู กมา
x
และครสู ุ่มนักเรียนออกมาวาดรปู บนกระดาน

ชั่วโมงท่ี 3

ขัน้ สอน
ขัน้ เขา้ ใจ (Understanding)

1. ครใู ห้นักเรยี นศกึ ษาตัวอยา่ งที่ 30 ในหนงั สือเรียน หน้า 262 แล้วแลกเปล่ียนความรู้กบั เพอื่ น ๆ
จากนนั้ ครูถามคำถามนกั เรียน ดงั น้ี

• มุม θ ซงึ่ เปน็ มมุ ระหวา่ ง u̅ และ v̅ หาได้อยา่ งไร
(แนวตอบ หาไดจ้ ากสตู ร u̅ · v̅ = |u̅||v̅|cos θ)

หลังจากนน้ั ใหน้ กั เรยี นแต่ละคนทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรียน หน้า 262 เมื่อนักเรยี นทำเสรจ็ ครูและ
นกั เรยี นร่วมกนั เฉลยคำตอบ “ลองทำดู”
2. ครใู ห้นกั เรยี นศึกษาตวั อยา่ งที่ 31 ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 262 แลว้ แลกเปลี่ยนความรู้กบั เพื่อน ๆ
จากนน้ั ครูถามคำถามนกั เรยี น ดงั น้ี

• จะแสดงได้อย่างไรวา่ รูปสามเหลย่ี ม PQR เปน็ รูปสามเหลี่ยนมุมฉาก
(แนวตอบ จะแสดงวา่ ผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอรห์ นึง่ คู่ ได้ผลลัพธเ์ ปน็ 0)

หลงั จากนั้นให้นักเรียนแตล่ ะคนทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรียน หน้า 263 เม่อื นักเรยี นทำเสรจ็ ครูและ
นักเรียนร่วมกนั เฉลยคำตอบ “ลองทำดู”
3. ครูใหน้ กั เรียนศกึ ษาตวั อย่างที่ 32 ในหนังสือเรียน หน้า 263 แล้วแลกเปล่ียนความรู้กบั เพ่ือน ๆ
จากน้ันครูถามคำถามนกั เรยี น ดังนี้

• ในตวั อย่างท่ี 32 หา |u̅ + v̅| ได้อย่างไร
(แนวตอบ จากการกระจาย |u̅ − v̅|2 แล้วจะได้ u̅ · v̅ มาใช้ในการกระจาย |u̅ + v̅|2
และหาค่าของ √|u̅ + v̅|2 จะไดค้ า่ ของ |u̅ + v̅|)

หลงั จากน้นั ใหน้ กั เรยี นแต่ละคนทำ “ลองทำดู” ในหนังสอื เรียน หนา้ 263 เมื่อนกั เรยี นทำเสรจ็ ครูและ
นกั เรยี นรว่ มกนั เฉลยคำตอบ “ลองทำดู”
4. ครใู ห้นักเรียนอ่าน “คณิตน่ารู้” ในหนังสอื เรียน หนา้ 263 ดงั น้ี
ถา้ u̅ และ v̅ เปน็ เวกเตอร์ทไี่ มใ่ ช่เวกเตอรศ์ ูนย์ แลว้

1) |u̅ + v|̅ 2 = |u̅|2 + 2u̅ · v̅ + |v̅|2
2) |u̅ – v|̅ 2 = |u̅|2 – 2u̅ · v̅ + |v|̅ 2
5. ครใู หน้ ักเรียนพิสูจน์ “คณิตน่ารู้” เป็นจรงิ หรือไม่ โดยครกู ำหนดให้ u̅ = 4i̅ + 2j̅ – 5k̅ และ
v̅ = 5i̅ – 3j̅ + 3k̅ และใหน้ ักเรยี นรว่ มกันแสดงการพสิ จู น์

ขนั้ ลงมอื ทำ (Doing)

1. ครใู ห้นกั เรยี นจดั กลุ่ม กลมุ่ ละ 4-5 คน คละความสามารถทางคณิตศาสตร์ แล้วให้ทำกิจกรรม
คณติ ศาสตร์ ดังนี้

• ให้นักเรียนทำ “ใบงานท่ี 3.4 ผลคูณเชิงสเกลาร์”
• ให้นักเรยี นในแตล่ ะกลมุ่ ทำความเข้าใจร่วมกัน หลังจากน้ันครูล่มุ นักเรียนในแต่ละกลุ่มออกมา

เฉลยคำตอบ และให้นักเรยี นทง้ั ร่วมกันอภปิ รายแสดงความเหน็
2. ครูให้นักเรยี นทำแบบฝึกทักษะ 3.4 ในหนังสอื เรยี นหน้า 264 เป็นการบา้ น

ขั้นสรุป

ครูถามคำถามเพอ่ื สรปุ ความรู้รวบยอดของนกั เรียน ดงั น้ี
• ผลคูณเชงิ สเกลาร์ของ u̅ และ v̅ ผลลพั ธท์ ไ่ี ด้จะเป็นอยา่ งไร
(แนวตอบ ผลลพั ธ์ที่ไดจ้ ะเปน็ สเกลาร์)
• เวกเตอร์สองเวกเตอรจ์ ะตงั้ ฉากกนั เมอ่ื ใด
(แนวตอบ ผลคูณเชงิ สเกลารข์ องเวกเตอรท์ ้ังสอง ได้ผลลพั ธเ์ ปน็ 0)
• มุม θ ซง่ึ เป็นมุมระหวา่ ง u̅ และ v̅ หาไดอ้ ย่างไร
(แนวตอบ หาไดจ้ ากสตู ร u̅ · v̅ = |u̅||v̅|cos θ)

7. การวัดและประเมินผล วธิ กี าร เครอื่ งมอื เกณฑ์การประเมนิ
รายการวัด
- ตรวจแบบฝึกทักษะ 3.4 - แบบฝึกทักษะ 3.4 - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์
ประเมินระหวา่ งการจัด - ตรวจ Exercise 3.4 - Exercise 3.4 - รอ้ ยละ 60 ผ่านเกณฑ์
กจิ กรรมการเรยี นรู้ - ตรวจใบงานท่ี 3.4 - ใบงานท่ี 3.4 - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์
- สงั เกตพฤติกรรม - แบบสังเกต - ระดบั คุณภาพ 2
1) ผลคูณเชิงสเกลาร์ การทำงานรายบุคคล พฤตกิ รรม ผา่ นเกณฑ์
การทำงานรายบคุ คล
2) พฤตกิ รรมการทำงาน - สงั เกตพฤติกรรม - แบบสังเกต - ระดับคุณภาพ 2
รายบุคคล การทำงานกลุม่ พฤตกิ รรม ผา่ นเกณฑ์
การทำงานกลุ่ม
3) พฤตกิ รรมการทำงาน - สังเกตความมวี ินัย - แบบประเมนิ - ระดบั คุณภาพ 2
กลมุ่ ใฝ่เรยี นรู้ และมุ่งม่ัน คุณลกั ษณะ ผ่านเกณฑ์
ในการทำงาน อันพึงประสงค์
4) คุณลักษณะ
อนั พงึ ประสงค์

8. สอ่ื /แหลง่ การเรียนรู้
8.1 สื่อการเรียนรู้
20) หนังสอื เรยี นรายวชิ าเพ่มิ เติม คณติ ศาสตร์ ม.5 เล่ม 1 หนว่ ยการเรียนร้ทู ี่ 3 เวกเตอรใ์ นสามมติ ิ
21) หนงั สือแบบฝึกหดั รายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม.5 เล่ม 1 หนว่ ยการเรียนรู้ท่ี 3 เวกเตอร์ในสามมติ ิ
22) ใบงานท่ี 3.4 เร่ือง ผลคณู เชิงสเกลาร์
8.2 แหล่งการเรยี นรู้
1) หอ้ งสมดุ
2) แหลง่ ชมุ ชน
3) อนิ เทอรเ์ น็ต

ใบงานที่ 3.4

เรอื่ ง ผลคณู เชงิ สเกลาร์

คำชแี้ จง : ใหน้ กั เรียนแสดงวิธีการหาคำตอบโดยละเอยี ด
42 1

1) กำหนดให้ u̅ = [ -3 ], v̅ = [ -1 ] และ w̅ = [ -2 ] จงหาค่า (u̅ · v̅) w̅

0 -2 2
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2) กำหนดให้ u̅ = 2i̅ – j̅ + 3k̅ และ v̅ = 4i̅ + 3j̅ – 2k̅ จงหาคา่ u̅ · v̅

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3) จงหามมุ ระหว่างเวกเตอร์ u̅, v̅ เม่อื กำหนด u̅ = i̅ + 2j̅ – 2k̅ และ v̅ = 4i̅ + 3k̅

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..….………………

…

4) จงหาคา่ m ทท่ี ำให้ a̅ = mi̅ – 2j̅ + k̅ ตั้งฉากกบั b̅ = 2mi̅ + mj̅ – 4k̅
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5) กำหนดให้ u̅ และ v̅ เปน็ เวกเตอรใ์ ด ๆ จงแสดงวา่ |u̅ + v̅|2 + |u̅ – v|̅ 2 = 2|u̅|2 + 2|v̅|2
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ใบงานท่ี 3.4 เฉลย

เร่ือง ผลคูณเชงิ สเกลาร์

คำชแ้ี จง : ใหน้ ักเรยี นแสดงวิธีการหาคำตอบโดยละเอียด
42 1

1) กำหนดให้ u̅ = [ -3 ], v̅ = [ -1 ] และ w̅ = [ -2 ] จงหาค่า (u̅ · v̅) w̅

0 -24 2 2

วิธที ำ u̅ · v̅ = [ -3 ] · [ -1 ]

0 -2
= (4)(2) + (-3)(-1) + (0)(-2)

=8+3+0

= 11
1

(u̅ · v̅) w̅ = 11[ -2 ]
112

= [ -22 ]
2211

ดังนัน้ (u̅ · v̅) w̅ มีค่าเท่ากบั [ -22 ] หรือ 11i̅ – 22j̅ + 22k̅
22

2) กำหนดให้ u̅ = 2i̅ – j̅ + 3k̅ และ v̅ = 4i̅ + 3j̅ – 2k̅ จงหาคา่ u̅ · v̅

วิธที ำ u̅ · v̅ = (2i̅ – j̅ + 3k)̅ · (4i̅ + 3j̅ – 2k)̅

= (2)(4) + (-1)(3) + (3)(-2)

=8–3–6

= -1

ดังนั้น (u̅ · v)̅ มีค่าเท่ากบั -1

3) จงหามมุ ระหว่างเวกเตอร์ u̅, v̅ เม่อื กำหนด u̅ = i̅ + 2j̅ – 2k̅ และ v̅ = 4i̅ + 3k̅

วิธีทำ จาก u̅ · v̅ = |u̅||v̅|cos θ

u̅ · v̅ = (i̅ + 2j̅ – 2k)̅ · (4i̅ + 3k)̅

= (1)(4) + (2)(0) + (-2)(3)

=4+0–6

= -2

|u̅| = √(1)2 + (2)2 + (-2)2

= √1 + 4 + 4

= √9
=3

|u̅| = √(4)2 + (0)2 + (-3)2

= √16 + 0 + 9

= √25

=5

จะได้ cos θ = u̅ · v̅
|u̅||v̅|

= -2
(3)(5)
θ = cos-1 (- (3)2(5))
ดงั นนั้ มมุ ระหว่างเวกเตอร์ u̅, v̅ เท่ากับ cos-1 (- (3)2(5)) หรอื arccos (- (3)2(5))
4) จงหาค่า m ทีท่ ำให้ a̅ = mi̅ – 2j̅ + k̅ ตง้ั ฉากกบั b̅ = 2mi̅ + mj̅ – 4k̅

วธิ ที ำ จาก a̅ ⊥ b̅ เม่อื a̅ · b̅ = 0

จะได้ a̅ · b̅ = 0

(mi̅ – 2j̅ + k)̅ · (2mi̅ + mj̅ – 4k)̅ = 0
2m2 – 2m – 4 = 0

(2m + 2)(m – 2) = 0

m = -1, 2

ดงั น้ัน คา่ m ท่ที ำให้ a̅ ⊥ b̅ คือ -1 หรือ 2
5) กำหนดให้ u̅ และ v̅ เป็นเวกเตอร์ใด ๆ จงแสดงว่า |u̅ + v̅|2 + |u̅ – v̅|2 = 2|u̅|2 + 2|v̅|2
วิธีทำ เน่อื งจาก |u̅ + v̅|2 = (u̅ + v)̅ · (u̅ + v̅)

= u̅ · u̅ + 2u̅ · v̅ + v̅ · v̅
= |u̅|2 + 2u̅ · v̅ +|v|̅ 2 ---------- (1)
และ |u̅ – v̅|2 = (u̅ – v̅) · (u̅ – v̅)

= u̅ · u̅ – 2u̅ · v̅ + v̅ · v̅
= |u̅|2 – 2u̅ · v̅ +|v̅|2 ---------- (2)
(1) + (2); |u̅|2 + 2u̅ · v̅ +|v̅|2 + |u̅|2 – 2u̅ · v̅ +|v̅|2 = 2|u̅|2 + 2|v|̅ 2
ดังน้นั |u̅ + v̅|2 + |u̅ – v̅|2 = 2|u̅|2 + 2|v̅|2

บนั ทึกหลังสอนแผนการสอนท่ี ............

1. ผลการสอนระดบั ชน้ั ม..............................
 สอนไดต้ ามแผนการจดั การเรยี นรู้
 สอนไม่ได้ตามแผนการจัดการเรยี นรู้ เนือ่ งจาก ..........................................................................

2. ผลทเ่ี กิดกับผู้เรยี น
1.) การประเมนิ ผลความรหู้ ลังการเรยี น โดยใช้………………แบบทดสอบหลงั เรียน............พบว่านกั เรยี น

ผา่ นการประเมนิ คิดเป็นรอ้ ยละ................……..…. ไมผ่ ่านเกณฑ์ขน้ั ต่ำท่ีกำหนดไว้คดิ เป็นร้อยละ.............................
ได้แก่ ....................................เลขท่ี …………………………...........................................................................................

2.) การประเมนิ ด้านทักษะกระบวนการเรยี น โดยใช…้ ………………………………………………………...............
พบว่านักเรียนผา่ นการประเมินคดิ เป็นร้อยละ...........……. ไม่ผ่านเกณฑข์ นั้ ตำ่ ท่กี ำหนดไว้คิดเปน็ ร้อยละ................
ได้แก่ .......................................................................................................................................................................

3.) การประเมนิ ดา้ นคุณลักษณะท่ีพึงประสงค์ เรียน โดยใช…้ ……..…แบบสงั เกตพฤติกรรม....................
พบวา่ นักเรียนผ่านการประเมินคดิ เป็นรอ้ ยละ..…....……. ไม่ผา่ นเกณฑ์ข้ันต่ำทก่ี ำหนดไว้คดิ เป็นรอ้ ยละ..................
ได้แก่ ........................................................................................................................................................................
3. ปญั หาและอปุ สรรค

 กิจกรรมการจดั การเรียนรู้ ไม่เหมาะสมกบั เวลา
 มนี กั เรยี นทำใบงาน/ใบกจิ กรรมไมท่ นั ตามกำหนดเวลา
 มีนกั เรยี นที่ไมส่ นใจเรียน
 อน่ื ๆ .............................................................................................................................................
4. ข้อเสนอแนะ/แนวทางแกไ้ ข
 ควรนำแผนไปปรับปรงุ เรือ่ ง ......................................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 แนวทางแก้ไขนักเรียนท่ไี มผ่ า่ นการประเมนิ ..................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 ไมม่ ีขอ้ เสนอแนะ

ลงชื่อ ผู้สอน
()

วันท่ี……..../................../................

ความคดิ เหน็ ของหัวหน้ากลุ่มสาระฯ ความคิดเหน็ ของหวั หน้างานวิชาการ
1.เป็นแผนการจดั การเรยี นร้ทู ่ี 1.เปน็ แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่
 ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรงุ  ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรุง
2.การจัดกจิ กรรมการเรยี นรไู้ ดน้ ำเอากระบวนการเรยี นรู้ 2.การจดั กจิ กรรมการเรยี นรไู้ ด้นำเอากระบวนการเรยี นรู้
ทีเ่ นน้ ผูเ้ รียนเป็นสำคัญมาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง  ทีเ่ น้นผ้เู รียนเปน็ สำคญั มาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง

เหมาะสมกบั ศกั ยภาพที่แตกต่างกันของผเู้ รียน เหมาะสมกับศกั ยภาพทแี่ ตกตา่ งกันของผเู้ รยี น
 ทยี่ งั ไม่เนน้ ผู้เรยี นเป็นสำคัญ ควรปรับปรุงพัฒนาต่อไป  ที่ยงั ไม่เน้นผเู้ รยี นเปน็ สำคญั ควรปรับปรุงพฒั นาตอ่ ไป
3.เปน็ แผนการจัดการเรียนรู้ 3.เปน็ แผนการจดั การเรียนรู้
 นำไปใช้ได้จริง  ควรปรับปรุงกอ่ นนำไปใช้  นำไปใช้ได้จรงิ  ควรปรบั ปรุงก่อนนำไปใช้
4.ข้อเสนอแนะอื่นๆ 4.ขอ้ เสนอแนะอน่ื ๆ
……………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………….

ลงชอ่ื ....................................................... ลงช่ือ.......................................................
(นางสาวณัฐญิ า คาโส)
(นายศภุ ชยั เรอื งเดช)