คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 3 ค 30203

C = [−−31 −25] = (−1)(2) 1 [−23 −−15] = −2 1 15 [−23 −−51]
− (−5)(−3) −

25
−−15] = [−317 −117],
= 1 [−23
−17

D = [42 =−36] 1 [−−46 =−23] 1 [−−46 17 17
(−6)(2)−(3)(4) −12−12 −23]

1 1

[−−46 −23] [14
== 1 8 ])
−24
−1
6 12

14. ครยู ้ำกบั นักเรยี นวา่ “1) A−1 = 1 [−dc −ab] ใช้ได้เฉพาะเมทริกซจ์ ัตรุ สั ทมี่ มี ติ ิ 2x2 เทา่ นั้น
ad−bc

2) การหา A−1 ควรตรวจสอบทุกครั้งว่า AA−1 = A−1A = I2 หรือไม่ เมอื่ A เปน็ 2x2 เมทริกซ์”

15. ครูให้นักเรยี นทำแบบฝกึ ทกั ษะท่ี 2.3 ในหนังสอื เรยี น หน้า 163

ขน้ั สรปุ

ครูถามคำถามเพอ่ื สรปุ ความรรู้ วบยอดของนักเรียน ดังน้ี

• นยิ ามของเมทริกซผ์ กผนั คืออะไร

(แนวตอบ AA−1 = A−1A = In)

• วธิ ีการหาเมทรกิ ซผ์ กผนั 2x2 มิติ หาไดอ้ ยา่ งไร

(แนวตอบ ถ้า A = [ ] และ − ≠ 0 แล้ว A มเี มทรกิ ซผ์ กผันและ


)A−1 [− − ]
= 1
−

7. การวดั และประเมินผล วธิ กี าร เครอื่ งมอื เกณฑ์การประเมนิ
รายการวัด
- ตรวจแบบฝึกทกั ษะ 2.3 - แบบฝกึ ทักษะ 2.3 - รอ้ ยละ 60 ผ่านเกณฑ์
7.1 ประเมินระหว่างการจัด - ตรวจ Exercise 2.3 - Exercise 2.3 - รอ้ ยละ 60 ผ่านเกณฑ์
กิจกรรมการเรยี นรู้

1) เมทริกซ์ผกผัน

2) พฤติกรรมการทำงาน - สังเกตพฤตกิ รรม - แบบสังเกต - ระดบั คณุ ภาพ 2
รายบุคคล การทำงานรายบคุ คล
พฤตกิ รรม ผ่านเกณฑ์

การทำงานรายบคุ คล

3) พฤติกรรมการทำงาน - สังเกตพฤติกรรม - แบบสังเกต - ระดบั คุณภาพ 2
กลุ่ม การทำงานกลุม่
พฤติกรรม ผ่านเกณฑ์

การทำงานกลุ่ม

4) คุณลักษณะ - สังเกตความมีวินัย - แบบประเมิน - ระดับคุณภาพ 2
อนั พึงประสงค์ ใฝ่เรียนรู้ และมงุ่ มนั่
ในการทำงาน คณุ ลักษณะ ผา่ นเกณฑ์

อนั พึงประสงค์

8. สื่อ/แหล่งการเรยี นรู้
8.1 สือ่ การเรยี นรู้
4) หนงั สอื เรยี นรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ ม.5 เลม่ 1 หน่วยการเรียนรู้ท่ี 2 เมทรกิ ซ์
5) หนงั สือแบบฝกึ หดั รายวิชาเพิ่มเติม คณติ ศาสตร์ ม.5 เลม่ 1 หน่วยการเรยี นรู้ท่ี 2 เมทรกิ ซ์
8.2 แหลง่ การเรยี นรู้
1) ห้องสมดุ
2) แหลง่ ชุมชน
3) อินเทอรเ์ นต็

บนั ทึกหลงั สอนแผนการสอนที่ ............

1. ผลการสอนระดบั ชัน้ ม..............................
 สอนไดต้ ามแผนการจัดการเรยี นรู้
 สอนไม่ไดต้ ามแผนการจัดการเรยี นรู้ เน่อื งจาก ..........................................................................

2. ผลทเ่ี กิดกบั ผู้เรียน
1.) การประเมินผลความรหู้ ลังการเรียน โดยใช้………………แบบทดสอบหลงั เรียน............พบว่านกั เรียน

ผา่ นการประเมินคิดเป็นร้อยละ................……..…. ไม่ผา่ นเกณฑ์ข้ันตำ่ ท่ีกำหนดไว้คิดเปน็ ร้อยละ.............................
ได้แก่ ....................................เลขท่ี …………………………...........................................................................................

2.) การประเมนิ ด้านทักษะกระบวนการเรยี น โดยใช…้ ………………………………………………………...............
พบว่านักเรยี นผ่านการประเมนิ คดิ เป็นรอ้ ยละ...........……. ไมผ่ ่านเกณฑข์ น้ั ต่ำท่ีกำหนดไว้คิดเป็นร้อยละ................
ได้แก่ .......................................................................................................................................................................

3.) การประเมนิ ดา้ นคุณลักษณะที่พึงประสงค์ เรียน โดยใช…้ ……..…แบบสังเกตพฤติกรรม....................
พบว่านกั เรียนผา่ นการประเมินคิดเป็นรอ้ ยละ..…....……. ไม่ผา่ นเกณฑข์ นั้ ต่ำท่กี ำหนดไว้คดิ เป็นร้อยละ..................
ได้แก่ ........................................................................................................................................................................
3. ปัญหาและอุปสรรค

 กจิ กรรมการจดั การเรยี นรู้ ไม่เหมาะสมกับเวลา
 มนี กั เรยี นทำใบงาน/ใบกจิ กรรมไมท่ นั ตามกำหนดเวลา
 มีนกั เรยี นที่ไมส่ นใจเรียน
 อ่นื ๆ .............................................................................................................................................
4. ข้อเสนอแนะ/แนวทางแก้ไข
 ควรนำแผนไปปรับปรุง เรือ่ ง ......................................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 แนวทางแกไ้ ขนักเรยี นท่ไี ม่ผ่านการประเมนิ ..................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 ไมม่ ขี ้อเสนอแนะ

ลงชื่อ ผู้สอน
()

วนั ท่ี……..../................../................

ความคดิ เหน็ ของหัวหน้ากลุ่มสาระฯ ความคิดเหน็ ของหวั หน้างานวิชาการ
1.เป็นแผนการจดั การเรยี นร้ทู ่ี 1.เปน็ แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่
 ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรงุ  ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรับปรุง
2.การจัดกจิ กรรมการเรยี นรไู้ ดน้ ำเอากระบวนการเรยี นรู้ 2.การจดั กจิ กรรมการเรยี นรไู้ ด้นำเอากระบวนการเรยี นรู้
ทีเ่ นน้ ผูเ้ รียนเป็นสำคัญมาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง  ทีเ่ น้นผ้เู รียนเปน็ สำคญั มาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง

เหมาะสมกบั ศกั ยภาพที่แตกต่างกันของผเู้ รียน เหมาะสมกับศกั ยภาพทแี่ ตกตา่ งกันของผเู้ รยี น
 ทยี่ งั ไม่เนน้ ผู้เรยี นเป็นสำคัญ ควรปรับปรุงพัฒนาต่อไป  ที่ยงั ไม่เน้นผเู้ รยี นเปน็ สำคญั ควรปรับปรุงพฒั นาตอ่ ไป
3.เปน็ แผนการจัดการเรียนรู้ 3.เปน็ แผนการจดั การเรียนรู้
 นำไปใช้ได้จริง  ควรปรับปรุงกอ่ นนำไปใช้  นำไปใช้ได้จรงิ  ควรปรบั ปรุงก่อนนำไปใช้
4.ข้อเสนอแนะอื่นๆ 4.ขอ้ เสนอแนะอน่ื ๆ
……………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………….

ลงชอ่ื ....................................................... ลงช่ือ.......................................................
(นางสาวณัฐญิ า คาโส)
(นายศภุ ชยั เรอื งเดช)

แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 17

ดเี ทอร์มิแนนต์ (Determinant)

เวลา 4 ช่ัวโมง

1. ผลการเรียนรู้

1) เข้าใจความหมาย หาผลลัพธ์ของการบวกเมทริกซ์ การคณู เมทริกซก์ ับจำนวนจรงิ การคูณระหว่างเมทรกิ ซ์

และหาเมทริกซ์สลบั เปลยี่ น หาดีเทอรม์ ิแนนต์ของเมทรกิ ซ์ n x n เม่อื n เปน็ จำนวนนับทีไ่ ม่เกนิ สาม

2) หาเมทริกซ์ผกผนั ของเมทริกซ์ 2 x 2

3) แก้ระบบสมการเชงิ เส้นโดยใช้เมทรกิ ซผ์ กผนั และการดำเนนิ การตามแถว

2. จุดประสงค์การเรียนรู้

1) หาดีเทอรม์ แิ นนต์ เมทรกิ ซต์ ัวประกอบรว่ มเกย่ี ว และเมทรกิ ซ์ผกู พันได้ เม่ือกำหนดเมทรกิ ซ์ n x n เมื่อ n

เปน็ จำนวนนบั ท่ีไม่เกนิ สาม

2) ให้เหตุผลในการหาดีเทอรม์ แิ นนต์ เมทริกซต์ วั ประกอบรว่ มเก่ยี ว และเมทริกซผ์ กู พนั ได้ เมอ่ื กำหนดเมทริกซ์

n x n เมื่อ n เปน็ จำนวนนับที่ไมเ่ กนิ สาม (P)

3) มคี วามรับผดิ ชอบต่องานท่ีได้รับมอบหมาย (A)

3. สาระการเรยี นรู้

สาระการเรยี นรเู้ พม่ิ เติม สาระการเรยี นรทู้ ้องถิ่น

ดีเทอรแ์ นนต์
4. สาระสำคัญ/ความคิดรวบยอด

ดีเทอร์มิแนนต์จะหาได้ 2 วิธี ได้แก่ การใช้บทนิยามโดยการกระจายตามแถว หรือกระจายตามหลัก และ

การการต่อหลักท่ี 1 และ 2 แล้วคูณทแยง สำหรับ 3 × 3 เมทริกซ์ และการหาเมทริกซ์ผูกพันหาได้โดยการหาเมท
ริกซ์สลับเปล่ยี นของเมทรกิ ซ์ตวั ประกอบร่วมเก่ียว

5. สมรรถนะสำคญั ของผเู้ รยี นและคณุ ลักษณะอนั พึงประสงค์

สมรรถนะสำคญั ของผู้เรยี น คณุ ลักษณะอนั พึงประสงค์

1. ความสามารถในการสื่อสาร 1. มวี นิ ยั

2. ความสามารถในการคดิ 2. ใฝเ่ รยี นรู้

13) ทกั ษะการปรับโครงสร้าง 3. มงุ่ มัน่ ในการทำงาน

14) ทกั ษะการตีความ

15) ทกั ษะกระบวนการคิดแกป้ ัญหา

3. ความสามารถในการแกป้ ญั หา

6. กิจกรรมการเรียนรู้
 แนวคิด/รูปแบบการสอน/วธิ กี ารสอน/เทคนิค : นิรนัย (Deductive Method)

ช่วั โมงที่ 1

ข้นั นำ

กำหนดขอบเขตขอปญั หา

4. ครูทบทวนความรู้ เร่ือง การผลลพั ธ์ของการบวกของเมทริกซ์ การคณู เมทริกซ์กบั จำนวนจรงิ การคูณ

ระหว่างเมทริกซ์ การหาเมทริกซ์สลับเปลี่ยน และหาเมทรกิ ซ์ผกผันของ 2x2 ใหน้ กั เรยี น

a. เมทรกิ ซ์สองเมทรกิ ซ์จะบวกกนั ไดอ้ ย่างไร

(แนวตอบ เมทริกซจ์ ะบวกกันได้ เมอื่ มีมิตเิ ดยี วกัน คือ เมทรกิ ซ์ท่กี ำหนดมีจำนวนแถว

เท่ากนั และมจี ำนวนหลักเท่ากัน แลว้ นำสมาชกิ ท่ีอยู่ในแถวและหลกั เดยี วกนั ของทงั้ สอง

เมทรกิ ซ์มาบวกกนั )

b. คา่ คงตวั คูณกับเมทริกซ์ ไดอ้ ย่างไร

(แนวตอบ นำค่าคงตัวไปคูณกับสมาชกิ แต่ละตัวในเมทริกซ์)

c. เมทริกซ์ A กบั เมทริกซ์ B จะคูณกันได้อย่างไร

(แนวตอบ เมทริกซ์ A คณู กบั เมทรกิ ซ์ B จะคูณกนั ได้ กต็ อ่ เมื่อ จำนวนหลักของ A เทา่ กับจำนวนแถวของ B)

• นยิ ามของเมทรกิ ซ์ผกผันคืออะไร

(แนวตอบ AA−1 = A−1A = In)

• วิธกี ารหาเมทรกิ ซ์ผกผนั 2x2 มติ ิ หาไดอ้ ยา่ งไร

(แนวตอบ ถ้า A = [ ] และ − ≠ 0 แลว้ A มเี มทรกิ ซ์ผกผันและ


)A−1 [− − ]
= 1
−

5. ครแู จ้งนกั เรยี นในหวั ขอ้ นี้ นกั เรียนจะไดศ้ กึ ษาการหาดเี ทอร์มแิ นนต์ของ n × n เมทริกซ์ เมือ่ n เป็นจำนวน

นับไมเ่ กินสาม

ขน้ั สอน

แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลักการ
16. ครูอธบิ ายบทนยิ ามของดเี ทอร์มแิ นนท์วา่

กำหนดให้ A = a11 เรียก a วา่ ดีเทอรม์ แิ นนต์ (determinant) ของ A หรอื det (A)

17. ครูบอกบทนิยามของไนเนอร์ว่า ให้ A = aij nn เมือ่ n  2 ไมเนอร์ (minor) ของ aij คอื
ดเี ทอรม์ ิแนนตข์ องเมทริกซ์ทีไ่ ดจ้ ากการตัดแถวท่ี i และหลักท่ี j ของ A เขียนแทนไมเนอรข์ อง aij
ด้วย Mij(A)

18. ครูให้นกั ศึกษาตัวอยา่ งที่ 20 ในหนังสือเรียน หน้า 164 แล้วใหน้ ักเรียนแลกเปลยี่ นความรู้กบั เพอ่ื น ๆ
จากนั้นครถู ามคำถามนักเรียน ดงั นี้
a. M11(A) ตดั แถวใด หลักใด และมีค่าเท่าใด

(แนวตอบ 11( ) ตดั แถว 1 หลัก 1 และมีคา่ 5)
b. M12(A) ตัดแถวใด หลักใด และมีค่าเท่าใด

(แนวตอบ 12( ) ตัดแถว 1 หลัก 2 และมคี ่า 0)
c. M21(A) ตัดแถวใด หลักใด และมคี า่ เทา่ ใด

(แนวตอบ 21( ) ตัดแถว 2 หลกั 1 และมีคา่ -3)
d. M22(A) ตัดแถวใด หลกั ใด และมคี ่าเทา่ ใด

(แนวตอบ 22( ) ตัดแถว 2 หลัก 2 และมคี า่ 4)
จากนัน้ ครูใหน้ กั เรียนทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรียน หน้า 165 เมอ่ื นักเรยี นทำเสร็จครูและนักเรียนร่วมกนั เฉลย
คำตอบ

19. ครูอธิบายกับนักเรียนว่า “การหาไมเนอร์ท่ีเพ่ิงไดเ้ รียนไปน้ันสามารถใชไ้ ด้กับของ n × n เมทรกิ ซ์ เมื่อ
n≥2 เทา่ นัน้ ซ่งึ การหาไมเนอรเ์ มอ่ื n > 2 จะมวี ิธกี ารหาในลำดับถดั ไป”

20. ครูอธบิ ายบทนิยามของตวั ประกอบรว่ มเกี่ยววา่ ให้ A = aijnn เม่อื n  2 ตัวประกอบรว่ มเกี่ยว
(cofactor) ของ aij คอื ผลคณู ของ (−1)i+j และ Mij(A) เขียนแทนตัวประกอบร่วมเกี่ยวของ aij
ด้วย Cij(A)

ใชท้ ฤษฎี หลกั การ
21. ครูและนักเรยี นรว่ มกนั ศกึ ษาตัวอย่างที่ 21 ในหนงั สือเรยี น หน้า 165 จากนน้ั ครูถามคำถามนักเรียน
ดังนี้
a. C11(A) หาไดอ้ ย่างไร และมคี า่ เท่าใด

(แนวตอบ หาได้ 11( ) และมคี า่ 8)
b. C12(A) หาได้อย่างไร และมีค่าเท่าใด

(แนวตอบ หาได้ − 12( ) และมีคา่ -7)
c. C21(A) หาได้อย่างไร และมีค่าเท่าใด

(แนวตอบ หาได้ − 21( ) และมีค่า -6)
d. C22(A) หาได้อยา่ งไร และมคี ่าเท่าใด

(แนวตอบ หาได้ 22( ) และมีค่า 5)
จากนน้ั ครูให้นักเรยี นทำ “ลองทำดู” ในหนงั สือเรียน หน้า 166 เม่อื นักเรยี นทำเสรจ็ ครูและนักเรียนรว่ มกันเฉลย

คำตอบ

22. ครูอธิบายนิยามการหาดีเทอมิแนนท์ของ n × n เมทริกซ์ เมื่อ n ≥ 2 ว่า ให้ A = aijnn เม่ือ
n  2 ดีเทอร์มิแนนต์ของ A คือ a11C11(A) + a12C12(A) + + a1nC1n (A) เขียนแทนดีเทอร์มิแน

a11 a12 a1n

นต์ของ A ด้วย det (A) หรือ a21 a22 a2n และครูให้นักเรียนศกึ ษารายละเอียดเพ่ิมเติมใน

a n1 a n2 a nn

หนงั สือเรียน หนา้ 166-167 จากน้นั ครูถามคำถามนักเรยี น ดงั นี้

e. การหาดีเทอร์มิแนนตข์ อง 2 × 2 เมทริกซ์ โดยกระจายตามแถวที่ i เมอื่ i = {1,2} หรือกระจาย

ตามหลกั ที่ j เมอ่ื j = {1,2} จะไดค้ า่ คงตวั เทา่ กนั คอื เทา่ ใด

(แนวตอบ a11a22 − )a21a22
23. ครูให้นักเรียนศึกษาตัวอย่างท่ี 22 ในหนังสือเรียน หน้า 168 หลังจากนั้นครูนำข้อที่ 1 ในตัวอย่างท่ี

22 จากหนังสือเรยี น หน้า 168 มาอธิบายหน้าชั้นเรียนซ้ำอีกครงั้ พร้อมทั้งอธิบาย การเขียนไมเนอร์

แต่ละตัวในการคำนวณ แล้วให้นกั เรียนทำ “ลองทำดู” ในหนงั สอื เรียน หน้า 168 เมื่อเสร็จแล้วครสู ุ่ม

นกั เรยี นออกมาเขยี นแสดงวธิ ีทำหนา้ ช้ันเรยี น โดยมีครแู ละเพ่ือน ๆ คอยตรวจสอบความถูกตอ้ ง

24. ครูให้นักเรียนแต่ละคนศึกษาตัวอย่างท่ี 23 ในหนังสอื เรยี น หน้า 169 หลังจากน้นั ครูให้นักเรยี นจับคู่

แล้วศึกษาคณิตน่ารูใ้ นหนังสือเรียนหน้า 169 แล้วทำ “ลองทำดู” โดยใช้วิธีการท่ีศกึ ษาจากคณิตน่ารู้

โดยให้นักเรยี นแต่ละคู่ พูดคุย ซักถามกนั ในเร่อื งการหาดีเทอร์มแิ นนท์ จากน้ันครูทำกิจกรรมร่วมกับ

นักเรยี น โดยครกู ับนกั เรยี นพูดคยุ ซกั ถามกนั จนได้ข้อสรปุ ว่า นักเรยี นสามารถหาคา่ ดเี ทอร์มแิ นนทไ์ ด้

โดยการให้ผลคูณในแนวทแยงจากซ้ายบนลงมาขวาล่าง ลบกับผลคูณในแนวทแยงจากซ้ายล่างขึ้นไป

ขวาบน

ช่ัวโมงที่ 2

ข้ันสอน

แสดงและอธิบายทฤษฎี หลกั การ
25. ครูอธบิ ายทฤษฎีบทท่ี 1 กับนกั เรยี นวา่ ให้ A และ B เป็น nn เมทริกซ์ det(AB) = det(A)det(B)
26. ครูให้นักเรียนศึกษาการหาดีเทอรม์ ิแนนตข์ อง 3 × 3 เมทริกซ์ ในหนังสือเรียน หน้า 170 จากน้ันครู
ถามคำถามนักเรียน ดงั นี้

f. การหาดีเทอรม์ ิแนนต์ของ A โดยใช้บทนยิ ามมกี ่ีขัน้ ตอนอะไรบา้ ง

g. (แนวตอบ การหาดีเทอรม์ ิแนนตข์ อง A โดยใช้บทนยิ ามมี 4 ข้ันตอน ดังน้ี

ขน้ั ที่ 1 นำหลักที่ 1 และหลกั ที่ 2 ของ A มาเขียนต่อจากหลักที่ 3 ของ A

ขน้ั ที่ 2 หาผลคณู ในแนวทแยงจากซา้ ยบนมาขวาล่าง

ขน้ั ท่ี 3 หาผลคณู ในแนวทแยงจากซ้ายลา่ งข้ึนไปขวาบน

ขนั้ ท่ี 4 นำผลบวกของผลคูณในแนวทแยงจากซ้ายบนลงมาขวาล่างลบด้วยผลบวกของผลคูณในแนวทแยงจากซ้าย

ลา่ งขึ้นไปขวาบน จะได้ผลลัพธเ์ ป็น det(A))

ใชท้ ฤษฎี หลกั การ

27. ครูให้นักเรียนจับคู่ศึกษาตัวอย่างที่ 24 ในหนังสือเรียนหน้า 172 แล้วแลกเปล่ียนความรู้กับคู่ของ

ตนเองพรอ้ มทง้ั ทำความเข้าใจร่วมกนั จากนัน้ ครูถามคำถามนักเรยี น ดงั นี้

h. การหาดเี ทอรม์ ิแนนต์ของ A หาไดอ้ ยา่ งไร

(แนวตอบ หาได้ 2 วิธี ได้แก่ โดยใช้บทนิยาม หรือ การตอ่ หลักท่ี 1 และ 2 แล้วคูณทแยง)

จากนั้นครูให้นักเรียนทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรียน หน้า 169 เม่ือเสร็จแลว้ ครสู ุ่มนักเรียนออกมาเขยี นแสดงวิธที ำ

หนา้ ชนั้ เรยี น โดยมีครูและเพ่อื น ๆ คอยตรวจสอบความถูกตอ้ ง

(แนวคำตอบ 0 −5 0 0 −5
[−7 11 1] −7 11

2 1 92 1
det(A) = (0-10+0) - (0+0+315) = 325)

28. ครูใหน้ กั เรียนทำ ใบงานที่ 2.2 เป็นการบ้าน

ช่วั โมงที่ 3

ขั้นสอน

แสดงและอธิบายทฤษฎี หลักการ
29. ครูกล่าวว่า นักคณิตศาสตร์ได้แบ่งประเภทของเมทริกซ์จัตุรัส โดยใชด้ ีเทอร์มิแนนต์ จากน้ันครูอธบิ าย
บทนยิ ามกบั นักเรียนว่า กำหนด A เป็น n × n เมทริกซ์
a. A เป็นเมทริกซ์เอกฐาน (singular matrix) เมื่อ det(A) = 0
b. A เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน (non-singular matrix) เมือ่ det(A) ≠ 0

ใชท้ ฤษฎี หลกั การ
30. ครูให้นักเรียนแต่ละคนศึกษาตัวอย่างที่ 25 ในหนังสือเรียน หน้า 173 หลังจากนั้นครูให้นักเรียนทำ
“ลองทำดู” โดยใหน้ ักเรียนแต่ละคู่ พูดคุย ซักถามกนั ในเร่ืองการหาดีเทอรม์ ิแนนท์และเมทริกซ์สลับ
เปล่ียนจากตัวอย่างที่ 25 จากน้ันครูทำกิจกรรมร่วมกับนักเรยี น โดยครูกับนักเรียนพูดคุย ซักถามกัน

จนได้ข้อสรปุ ว่า “จากตัวอย่างที่ 25 ข้อ ที่ จะเห็นวา่ det(A) = det(A ) และข้อ 2 จะเห็นว่าเมทริกซ์
B เกิดจากการนำ 2 คูณสมาชิกทุกตัวในแถวท่ี 2 ของเมทริกซ์ A ดีเทอร์มิแนนท์ของเมทริกซ์ B ที่ได้
เท่ากับ 2det(A) และเมทริกซ์ C เกิดจากการนำ -3 คูณสมาชิกทุกตัวในหลักท่ี 1 ของเมทริกซ์ A ดี
เทอรม์ แิ นนทข์ องเมทริกซ์ C ท่ไี ดเ้ ทา่ กบั –det(A)”
31. ครูให้นักเรียนคู่เดิมศึกษาตัวอย่างที่ 26 ในหนังสือเรียนหน้า 174 หลังจากนั้นครูอธิบายเพิ่มเติมว่า
“จากตัวอย่างท่ี 26 จะเห็นว่าเมทริกซ์ B เกิดจากการสลับแถวท่ี 1 กับ 2 ของเมทริกซ์ A และ
เมทริกซ์ C ได้มาจากการสลับหลักท่ี 2 กับ 3 ของเมทริกซ์ A ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ B และดี
เทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ C ท่ีได้เท่ากับจำนวนตรงขา้ มของดีเทอร์มแิ นนต์ของเมทรกิ ซ์ A” จากนั้นครู
ใหน้ ักเรยี นทำ “ลองทำดู” ในหนงั สือเรียนหนา้ 174 เม่อื เสร็จแลว้ ครูและนกั เรยี นร่วมกันเฉลยคำตอบ
32. ครูให้นักเรียนแต่ละคนศึกษาตัวอย่างที่ 27 หน้า 174 หลังจากน้ันครูอธิบายกับนักเรียนว่า “จาก
ตวั อย่างที่ 27 จะเห็นว่าเมทรกิ ซ์ B เกิดจากการนำ 2 คูณสมาชิกทุกตัวในแถวที่ 2 แลว้ นำผลคูณบวก
กับสมาชิกทุกตัวในแถวที่ 1 ท่ีเป็นหลักเดยี วกันของเมทริกซ์ A และเมทริกซ์ C เกิดจากการนำ -2 คูณ
สมาชิกทุกตวั ในหลักที่ 1 แล้วนำผลคูณบวกกับสมาชิกทกุ ตัวในหลกั ที่ 2 ที่เป็นแถวเดียวกันของเมทริก
A ดเี ทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A เมทริกซ์ B และเมทริกซ์ C มีค่าเท่ากัน” จากน้นั ครูให้นักเรียนคทู่ ำ
“ลองทำดู” ในหนังสอื เรียนหน้า 174 เมอ่ื เสรจ็ แล้วครูและนกั เรียนร่วมกันเฉลยคำตอบ
33. ครูและนักเรียนรว่ มกนั ศกึ ษาสมบัติของดีเทอรม์ ิแนนท์ หลังจากนั้นครูให้นักเรยี นนำสมบตั ิของดเี ทอร์
มิแนนท์มาศึกษาตัวอย่างท่ี 28 ในหนังสือเรียน หน้า 176 จากน้ันครูให้นักเรียนทำ “ลองทำดู” ใน
หนังสือเรยี นหนา้ 176 เมื่อเสรจ็ แล้วครแู ละนกั เรยี นร่วมกนั เฉลยคำตอบ
34. ครูให้นกั เรียนศึกษาแนวข้อสอบ PAT1 ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 177 เปน็ การบ้าน

ช่วั โมงท่ี 4

ขัน้ สอน

แสดงและอธิบายทฤษฎี หลกั การ
35. ครอู ธบิ ายบทนิยามของเมทริกซผ์ ูกพันกับนกั เรียนว่า ให้ A เป็น nn เมทริกซ์ เมือ่ n  2 เมทริกซ์

ผูกพัน (adjoint matrix) ของ A คือ เมทริกซ์ Cij(A)t เขียนแทนเมทริกซ์ผกพันของ A ด้วย
adj(A) และอธิบายเพิ่มเติมว่า “จากบทนิยามนักเรียนจะเห็นว่า เมทริกซ์ผูกพันเป็นเมทริกซ์สลับ
เปลี่ยนของเมทรกิ ซต์ วั ประกอบร่วมเกีย่ วของเมทริกซ์น้ัน”
ใชท้ ฤษฎี หลกั การ

36. ครูให้นักเรียนจับคู่แล้วให้นักเรียนแค่ละคู่ศึกษาตัวอย่างที่ 29 ในหนังสือเรียน หน้า 178 โดยให้
นกั เรยี นแต่ละคู่ พดู คุย ซกั ถามกนั ในเรอ่ื งการหาเมทริกซผ์ กู พนั แลว้ ถามคำถามนักเรยี น ดงั น้ี
a. เมทริกซ์ผกู พันจะหาไดอ้ ย่างไร

(แนวตอบ หาไดโ้ ดยการนำเมทริกซ์ตัวประกอบรว่ มเกี่ยวมาสลับเปล่ยี น)
หลงั จากนนั้ ครใู ห้นกั เรียนแต่ละคทู่ ำ “ลองทำดู” ในหนงั สอื เรียน หน้า 179

37. ครอู าจะบอกกนั นักเรียนวา่ “เนอื่ งจากการหาเมทริกซผ์ กู พันนนั้ คอ่ นข้างมหี ลายขั้นตอนและมโี อกาสที่
จะคิดผิดพลาดได้ ดังน้ันขอให้นักเรียนต้ังใจทำ ค่อย ๆ คิดไปทีละขั้นตอน” โดยในระหว่างการทำ
กจิ กรรมครูคอยแนะนำและดวู ่ามนี กั เรยี นคู่ไหนมีขอ้ สงสยั หรือไม่

38. เม่ือนักเรียนทุกคู่ทำกิจกรรมเสร็จแล้ว ให้นักเรียนในแต่ละกลุ่มผลัดกันพูดคำตอบของตน แล้ว
ตรวจเช็คว่าได้คำตอบตรงกับเพื่อนไหม ถ้าไม่ตรงกันให้นักเรียนคู่อื่นช่วยตรวจสอบข้อผิดพลาดของ
เพอื่ น พร้อมทงั้ อธิบายซ่ึงกนั และกันจนเป็นที่เข้าใจร่วมกนั

39. ครูสรุป จากตัวอย่างที่ 29 ในหนังสือเรียน หน้า 179 จะเห็นว่า Aadj(A) = adj(A)A = I3det(A)
ซ่ึงเป็นไปตามทฤษฎีบทท่ี 2 และ 3 ว่า ให้ A เป็น nn เมทริกซ์ เมอ่ื n  2 จะได้วา่

• Aadj(A) = adj(A)A = det (A) In
• A มีอินเวอร์สการคูณ ก็ต่อเมื่อ A เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานในกรณี det(A) ≠ 0 ได้ว่า

A−1 = 1 adj(A) ถา้ det(A) ≠ 0 แลว้ det(A−1) = 1
det(A) det(A)

หลังจากน้ัน ครูให้นักเรียนแต่ละคนศึกษาตัวอย่างที่ 30 ในหนังสือเรียน หน้า 180 โดย ครูย้ำกับนักเรียนว่า

“ตรวจสอบดเี ทอรม์ แิ นนตก์ ่อนหาเมทรกิ ซ์สลับเปลีย่ น” ตามทฤษฏีบทที่ 3

ขั้นสรุป

ตรวจสอบและสรุป
1. ครถู ามคำถามเพือ่ สรุปความร้รู วบยอดของนกั เรยี น ดังนี้
i. ดเี ทอรม์ แิ นนตห์ าได้อย่างไร

(แนวตอบ หาได้ 2 วิธี ไดแ้ ก่ ใช้บทนยิ าม หรือ การต่อหลกั ที่ 1 และ 2 แล้วคูณทแยง)
j. การหาดีเทอร์มแิ นนต์ของ A โดยใช้วิธกี ารคูณทแยงมกี ีข่ น้ั ตอนอะไรบ้าง

(แนวตอบ การหาดเี ทอรม์ ิแนนต์ของ A โดยใชว้ ธิ กี ารคูณทแยงมี 4 ขนั้ ตอน ดงั น้ี
ขน้ั ท่ี 1 นำหลักที่ 1 และหลกั ท่ี 2 ของ A มาเขยี นตอ่ จากหลกั ที่ 3 ของ A
ขั้นท่ี 2 หาผลคณู ในแนวทแยงจากซ้ายบนมาขวาลา่ ง
ขนั้ ที่ 3 หาผลคณู ในแนวทแยงจากซ้ายลา่ งขึ้นไปขวาบน

ข้นั ท่ี 4 นำผลบวกของผลคูณในแนวทแยงจากซ้ายบนลงมาขวาล่างลบด้วยผลบวกของผลคูณในแนวทแยงจากซ้าย
ล่างขนึ้ ไปขวาบน จะได้ผลลัพธเ์ ปน็ det(A))

a. เมทรกิ ซผ์ ูกพนั จะหาได้อย่างไร
(แนวตอบ หาเมทริกซ์สลบั เปล่ยี นของเมทรกิ ซต์ วั ประกอบร่วมเกี่ยว)

ฝึกปฏบิ ัติ
2. ครใู ห้นักเรยี นทำแบบฝกึ ทกั ษะท่ี 2.4 ในหนงั สอื เรียน หนา้ 181-182

7. การวดั และประเมินผล วิธีการ เคร่ืองมือ เกณฑก์ ารประเมิน
รายการวดั - ร้อยละ 60 ผ่าน
- ตรวจแบบฝกึ ทกั ษะ 2.4 - แบบฝึกทักษะ2.4 เกณฑ์
7.2 ประเมนิ ระหว่างการจัด - ตรวจ Exercise 2.4 - Exercise 2.4 - ร้อยละ 60 ผ่าน
กจิ กรรมการเรยี นรู้ - ตรวจใบงานท่ี 2.2 เรือ่ ง - ใบงานที่ 2.2 เร่อื ง ดี เกณฑ์
ดเี ทอรม์ ิแนนต์ 3x3 เทอรม์ แิ นนต์ 3x3 - ร้อยละ 60 ผ่าน
1) ดเี ทอมิแนนต์ เกณฑ์
- ระดบั คุณภาพ 2
2) พฤตกิ รรมการทำงาน - สังเกตพฤตกิ รรม - แบบสังเกตพฤติกรรม ผา่ นเกณฑ์
รายบุคคล การทำงานรายบุคคล การทำงานรายบุคคล - ระดบั คณุ ภาพ 2
- สงั เกตพฤตกิ รรม - แบบสังเกตพฤติกรรม ผ่านเกณฑ์
3) พฤตกิ รรมการทำงาน การทำงานกลมุ่ การทำงานกลมุ่ - ระดบั คุณภาพ 2
กลมุ่ - สังเกตความมีวนิ ยั - แบบประเมิน ผา่ นเกณฑ์
ใฝ่เรยี นรู้ และมุง่ มนั่ คุณลักษณะ
4) คุณลกั ษณะ ในการทำงาน อนั พงึ ประสงค์
อนั พงึ ประสงค์

8. ส่ือ/แหล่งการเรียนรู้
8.1 ส่ือการเรยี นรู้
6) หนงั สอื เรยี นรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 1 หนว่ ยการเรยี นรูท้ ่ี 2 เมทริกซ์
7) หนงั สือแบบฝกึ หดั รายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ม.5 เลม่ 1 หน่วยการเรียนร้ทู ่ี 2 เมทรกิ ซ์
8) ใบงานที่ 2.2 เรอื่ ง ดีเทอรม์ แิ นนต์ 3x3
8.2 แหล่งการเรียนรู้
1) ห้องสมุด
2) แหลง่ ชมุ ชน
3) อินเทอรเ์ นต็

ใบงานท่ี 2.2

เรื่อง ดเี ทอร์มแิ นนท์ 3x3

คำชแี้ จง : จงแสดงวิธที ำ

143 −2 −4 −1 1 02
กำหนดให้ = [2 1 3] , = [−1 −2 1 ] และ = [−2 2 1]

432 1 −2 −2 1 43

จงหา det(A), det(B) และ det(C)

.......................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................

ใบงานท่ี 2.2 เฉลย

เรื่อง ดเี ทอรม์ ิแนนท์ 3x3

คำช้แี จง : จงแสดงวิธที ำ

143 −2 −4 −1 1 02
กำหนดให้ = [2 1 3] , = [−1 −2 1 ] และ = [−2 2 1]

432 1 −2 −2 1 43

จงหา det(A), det(B) และ det(C)

143 −2 −4 −1
A = [2 1 3] B = [−1 −2 −1]

432 1 −2 −2

1 4 31 4 −2 −4 −1 −2 −4

วธิ ีทำ |2 1 3| 2 1 วิธีทำ |−1 −2 −1| −1 −2

4 3 24 3 1 −2 −2 1 −2

det(A) = (2+48+18) - (12+9+16) = 31 det(A) = (-8+4-2) - (2-4-8) = -6-10 =-16

1 02
C = [−2 2 1]

1 43

1 0 21 0

วธิ ที ำ |−2 2 1| −2 2

1 4 31 4

det(A) = (6+0+-8) - (4+4+0) = -2-8 = -10

บนั ทกึ หลังสอนแผนการสอนที่ ............

1. ผลการสอนระดับช้นั ม..............................
 สอนได้ตามแผนการจัดการเรยี นรู้
 สอนไมไ่ ด้ตามแผนการจัดการเรยี นรู้ เน่อื งจาก ..........................................................................

2. ผลทเ่ี กิดกับผเู้ รียน
1.) การประเมินผลความรหู้ ลงั การเรยี น โดยใช้………………แบบทดสอบหลงั เรียน............พบว่านกั เรยี น

ผ่านการประเมนิ คดิ เป็นร้อยละ................……..…. ไมผ่ า่ นเกณฑ์ขัน้ ตำ่ ทีก่ ำหนดไว้คิดเปน็ ร้อยละ.............................
ไดแ้ ก่ ....................................เลขท่ี …………………………...........................................................................................

2.) การประเมินดา้ นทกั ษะกระบวนการเรยี น โดยใช้…………………………………………………………...............
พบวา่ นักเรียนผา่ นการประเมินคิดเป็นรอ้ ยละ...........……. ไมผ่ ่านเกณฑ์ขั้นต่ำทกี่ ำหนดไว้คิดเปน็ ร้อยละ................
ไดแ้ ก่ .......................................................................................................................................................................

3.) การประเมินดา้ นคณุ ลักษณะทีพ่ งึ ประสงค์ เรียน โดยใช…้ ……..…แบบสังเกตพฤติกรรม....................
พบวา่ นกั เรยี นผ่านการประเมนิ คิดเป็นรอ้ ยละ..…....……. ไม่ผา่ นเกณฑข์ ั้นต่ำท่กี ำหนดไว้คดิ เป็นรอ้ ยละ..................
ไดแ้ ก่ ........................................................................................................................................................................
3. ปญั หาและอุปสรรค

 กจิ กรรมการจัดการเรยี นรู้ ไม่เหมาะสมกับเวลา
 มนี กั เรยี นทำใบงาน/ใบกจิ กรรมไม่ทันตามกำหนดเวลา
 มนี กั เรยี นท่ีไม่สนใจเรียน
 อ่นื ๆ .............................................................................................................................................
4. ข้อเสนอแนะ/แนวทางแก้ไข
 ควรนำแผนไปปรับปรงุ เรื่อง ......................................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 แนวทางแก้ไขนักเรียนท่ไี มผ่ า่ นการประเมิน ..................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 ไมม่ ีขอ้ เสนอแนะ

ลงช่อื ผู้สอน
()

วันท่ี……..../................../................

ความคดิ เหน็ ของหัวหน้ากลุ่มสาระฯ ความคิดเหน็ ของหวั หน้างานวิชาการ
1.เป็นแผนการจดั การเรยี นร้ทู ่ี 1.เปน็ แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่
 ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรงุ  ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรุง
2.การจัดกจิ กรรมการเรยี นรไู้ ดน้ ำเอากระบวนการเรยี นรู้ 2.การจดั กจิ กรรมการเรยี นรไู้ ด้นำเอากระบวนการเรยี นรู้
ทีเ่ นน้ ผูเ้ รียนเป็นสำคัญมาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง  ทีเ่ น้นผ้เู รียนเปน็ สำคญั มาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง

เหมาะสมกบั ศกั ยภาพที่แตกต่างกันของผเู้ รียน เหมาะสมกับศกั ยภาพทแี่ ตกตา่ งกันของผเู้ รยี น
 ทย่ี งั ไม่เนน้ ผู้เรยี นเป็นสำคัญ ควรปรับปรุงพัฒนาต่อไป  ที่ยงั ไม่เน้นผเู้ รยี นเปน็ สำคญั ควรปรับปรุงพฒั นาตอ่ ไป
3.เปน็ แผนการจัดการเรียนรู้ 3.เปน็ แผนการจดั การเรียนรู้
 นำไปใช้ได้จริง  ควรปรับปรุงกอ่ นนำไปใช้  นำไปใช้ได้จรงิ  ควรปรบั ปรุงก่อนนำไปใช้
4.ข้อเสนอแนะอื่นๆ 4.ขอ้ เสนอแนะอน่ื ๆ
……………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………….

ลงชอ่ื ....................................................... ลงช่ือ.......................................................
(นางสาวณัฐญิ า คาโส)
(นายศภุ ชยั เรอื งเดช)

แผนการจดั การเรยี นรูท้ ี่ 18

การใชเ้ มทริกซแ์ ก้ระบบสมการเชิงเส้น

เวลา 5 ช่วั โมง

1. ผลการเรียนรู้

1) เข้าใจความหมาย หาผลลัพธข์ องการบวกเมทรกิ ซ์ การคูณเมทรกิ ซ์กับจำนวนจรงิ การคณู ระหว่างเมทรกิ ซ์

และหาเมทริกซ์สลบั เปลย่ี นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทรกิ ซ์ n x n เม่ือ n เป็นจำนวนนบั ที่ไม่เกินสาม

2) หาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ 2 x 2

3) แกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ โดยใชเ้ มทริกซ์ผกผันและการดำเนินการตามแถว

2. จุดประสงค์การเรยี นรู้

1) ใช้เมทรกิ ซใ์ นการหาคำตอบของระบบสมการเชงิ เส้นได้ (K)

2) ใหเ้ หตุผลในการใชเ้ มทริกซห์ าคำตอบของระบบสมการเชงิ เสน้ ได้ (P)

3) มีความรับผดิ ชอบต่องานทีไ่ ดร้ บั มอบหมาย (A)

3. สาระการเรยี นรู้

สาระการเรียนรู้เพม่ิ เตมิ สาระการเรียนร้ทู อ้ งถนิ่

สมการเชงิ เส้นและระบบสมการเชงิ เสน้ พจิ ารณาตามหลกั สูตรของสถานศึกษา

4. สาระสำคญั /ความคดิ รวบยอด

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ ซึ่งมีหลายวิธี ได้แก่ การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้

เมทริกซ์ผกผัน การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้กฎของคราเมอร์ และการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้การ

ดำเนนิ การตามแถว

5. สมรรถนะสำคญั ของผ้เู รยี นและคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค์ คุณลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์
สมรรถนะสำคัญของผู้เรยี น

1. ความสามารถในการส่ือสาร 1. มีวนิ ยั
2. ความสามารถในการคดิ 2. ใฝเ่ รยี นรู้
3. ม่งุ มน่ั ในการทำงาน
16) ทักษะการปรับโครงสร้าง
17) ทกั ษะการตคี วาม
18) ทกั ษะกระบวนการคิดแก้ปัญหา
3. ความสามารถในการแก้ปัญหา

6. กจิ กรรมการเรยี นรู้
 แนวคดิ /รปู แบบการสอน/วิธกี ารสอน/เทคนคิ : แบบนิรนยั (Deduction)

ช่ัวโมงที่ 1

ขั้นนำ

กำหนดขอบเขตขอปญั หา
6. ครูทบทวนความร้เู ดมิ เร่ือง การแก้ระบบสมการเชิงเสน้ โดยถามคำถามนกั เรยี น ดังน้ี
a. การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ ทำไดอ้ ย่างไร

(แนวตอบ นกั เรียนสามารถตอบไดห้ ลากหลายแล้วแตค่ วามถนัดของนกั เรยี นแต่ละคน เชน่ การแกร้ ะบบสมการเชงิ
เสน้ โดยการแทนคา่ หรอื การกำจดั ตัวแปร เปน็ ต้น)

7. ครูนำเข้าส่บู ทเรียนโดยพูดกับนักเรยี นว่า “ในหัวข้อน้จี ะไดศ้ ึกษาการแก้ระบบสมการเชงิ เส้นโดยใช้เมทริกซ์
ซึ่งมีหลายวธิ ี ดงั นี้ 1) การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน 2) การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดย
ใชก้ ฎของคราเมอร์ และ 3) การแก้ระบบสมการเชิงเสน้ โดยใชก้ ารดำเนนิ การตามแถว”

ขน้ั สอน

แสดงและอธิบายทฤษฏี หลักการ
40. ครูใหน้ กั เรียนศึกษา การแก้สมการเชงิ เส้นโดยใชเ้ มทรกิ ซผ์ กผนั ประมาณ 5 นาที
41. ครอู ธบิ ายการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน ในหนังสือเรียน หน้า 183-184 วา่ เม่ือกำหนด

ระบบสมการเชิงเสน้ ที่มี m สมการ และ n ตัวแปร ดงั นี้

a11x1 + a12x2 + + a1n xn = b1
a21x1 + a22x2 + + a2n xn = b2

am1x1 + am2x2 + + amn xn = bm

สามารถเขียนสมการเมทรกิ ซท์ ่ีสมั พนั ธ์กับระบบสมการไดเ้ ปน็

 a11 a12 a1n   X1   b1 
 a 21 a 22 a 2n     
   X 2  =  b2 
a m2   
  
a m1 
a mn   Xn   bn 
   

A XB

ถ้า m = n และ det(A) ≠ 0 แล้ว X = A-1B

ใชท้ ฤษฎี หลักการ

42. ครใู หน้ ักเรียนศึกษาตวั อย่างที่ 31 ในหนงั สอื เรียน หน้า 184 แลว้ แลกเปลย่ี นข้อสงสัยกบั เพ่ือน ๆ

ซกั ถามจนเปน็ ที่เข้าใจร่วมกนั แลว้ ครถู ามคำถามนักเรยี น ดงั น้ี

a. สมาชิกของเมทริกซ์ A ในหลักที่ 1 มาจากทีใ่ ด

(แนวตอบ สัมประสทิ ธหิ์ น้าตวั แปร x ของระบบสมการท่กี ำหนด)

b. สมาชิกของเมทริกซ์ A ในหลกั ท่ี 2 มาจากที่ใด

(แนวตอบ สมั ประสิทธห์ิ น้าตวั แปร y ของระบบสมการท่กี ำหนด)

จากนน้ั ครูใหน้ กั เรียนทำ “ลองทำดู” ในหนงั สอื เรียน หน้า 184 เม่ือนกั เรยี นทำเสร็จครแู ละนกั เรยี นรว่ มกันเฉลย

คำตอบ

(แนวคำตอบ AXB
จากโจทย์จะได้ [−41 −32] [ ] = [−19]
จะได้ dat(A) = (-1)(3) – (-2)(4) = 5

32

นั่นคือ A−1 = 1 [−34 −21] = [−54 5 1]
5
−
55

3 2 3 − 18 − 15
[ ] [−54 +59]
จะได้ = [5 4 5 1] [−19] = = [ 5 ] = [−13]
5 55 5
− − 5
5

ดังนนั้ คำตอบของระบบสมการท่ีกำหนด คือ (-3,1))

43. ครูใหน้ กั เรยี นจับคู่ศกึ ษาตัวอย่างที่ 32 ในหนังสอื เรียน หน้า 184-185 แล้วแลกเปล่ียนขอ้ สงสัยกับคู่

ของตนเองและซักถามจนเป็นท่เี ข้าใจร่วมกัน แล้วครูถามคำถามนกั เรยี น ดงั นี้

a. สมาชิกของเมทรกิ ซ์ A ในหลักท่ี 1 มาจากท่ีใด

(แนวตอบ สัมประสทิ ธห์ิ นา้ ตัวแปร x ของระบบสมการที่กำหนด)

b. สมาชิกของเมทรกิ ซ์ A ในหลกั ท่ี 2 มาจากทใ่ี ด

(แนวตอบ สมั ประสิทธ์ิหนา้ ตัวแปร y ของระบบสมการที่กำหนด)

c. สมาชิกของเมทริกซ์ A ในหลกั ท่ี 3 มาจากที่ใด

(แนวตอบ สัมประสทิ ธ์ิหน้าตวั แปร z ของระบบสมการทีก่ ำหนด)

จากนั้นครูใหน้ กั เรยี นทำ “ลองทำดู” ในหนงั สอื เรียน หนา้ 185 เม่อื นกั เรยี นทำเสรจ็ ครูและนักเรียนร่วมกนั เฉลย

คำตอบ

ช่ัวโมงท่ี 2

ขน้ั สอน

แสดงและอธบิ ายทฤษฏี หลกั การ
44. ครูอธบิ ายกับนักเรยี นเกย่ี วกับการแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นโดยใชก้ ฎของคราเมอร์ โดยครูอธบิ ายทฤษฏี
บทท่ี 4 ในหนังสอื เรยี น หนา้ 186 ว่าเมื่อกำหนดระบบสมการเชิงเส้นท่ีมี n สมการ และ n ตวั แปร
โดย AX=B เป็นสมการเมทรกิ ซ์ท่ีสมั พนั ธ์กบั ระบบสมการนี้

 X1   b1 
   
ให้ X =  X 2  และ B=  b2 

 
  b 
 X n  n 

ถ้า det(A) ≠ 0 แล้ว X1 = det(A1) , X2 = det(A2 ) , , Xn = det(An ) เม่ือ Ai คือ เมทริกซ์ท่ีได้จากการแทน
det(A) det(A) det(A)

หลักที่ i ของ A ดว้ ยหลกั ของ B ทกุ i1,2,3,...,n

ใชท้ ฤษฎี หลักการ

45. ครูใหน้ กั เรียนศกึ ษาตัวอย่างท่ี 33 ในหนงั สือเรียน หนา้ 186 แลว้ แลกเปลีย่ นขอ้ สงสยั กับเพ่ือน ๆ

ซกั ถามจนเปน็ ทเ่ี ข้าใจรว่ มกนั แลว้ ครถู ามคำถามนักเรียน ดงั น้ี

a. สมาชกิ ของเมทริกซ์ A ในหลักที่ 1 มาจากทใ่ี ด

(แนวตอบ สัมประสทิ ธห์ิ นา้ ตัวแปร x ของระบบสมการท่ีกำหนด)

b. สมาชิกของเมทริกซ์ A ในหลกั ท่ี 2 มาจากทใี่ ด

(แนวตอบ สัมประสิทธิ์หน้าตัวแปร y ของระบบสมการที่กำหนด)

จากนัน้ ครูใหน้ ักเรยี นทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรียน หน้า 187 เม่อื นักเรียนทำเสร็จครูและนักเรยี นร่วมกันเฉลย

คำตอบ

(แนวคำตอบ

2x+y = -2

3x+y= 1

เขียนสมการเมทริกซ์ไดเ้ ปน็ AX = B เม่ือ

A = [11 23] , X = [XY] , และ B = [−12]
จาก A = [11 32] จะได้ det(A) = 1 ≠ 0
โดยกฎของคราเมอร์ จะได้วา่ y = [−12 23] = −6−2 = -8
det (A) 1

x = = = 3[11 −12] 1−(−2)
det (A) 1

ดังนน้ั คำตอบของระบบสมการท่ีกำหนด คอื (3,-8))

46. ครใู หน้ กั เรียนจับคศู่ กึ ษาตวั อย่างท่ี 34 ในหนังสือเรยี น หน้า 187-188 หลงั จากน้ันครนู ำตัวอยา่ งท่ี

34 มาอธิบายหนา้ ช้นั เรยี นซำ้ อกี คร้งั หลังจากนัน้ ครใู หน้ กั เรยี นแต่ละค่ทู ำ “ลองทำดู” ในหนงั สอื เรียน

หนา้ 188 โดยให้นักเรยี นแต่ละคู่ พดู คุย ซกั ถามกัน ในเรือ่ งการแก้สมการเชงิ เส้นโดยใชก้ ฎของครา

เมอร์ โดยศึกษาจาก ตวั อยา่ งที่ 34 โดยท่ีครูคอยดูนักเรียนแตล่ ะคูแ่ ละให้คำแนะนำหากมนี กั เรียน

สงสัย และเมอ่ื นักเรยี นทำเสร็จครูเฉลย “ลองทาดู” ในหนงั สือเรียน หน้า 188

(แนวคำตอบ

เขยี นสมการเมทริกซ์ได้เป็น AX =B เม่อื

A = 2 1 0 ] , X = และ B = 5
[0 −1 1 [ ] [−4]

1 0 −2 8

จะได้ det(A) = 4+1 = 5 ≠ 0

โดยกฎของคราเมอร์ จะไดว้ า่

510

|−4 −1 1 |

X = 8 0 −2

det (A)

= 10

5

=2

25 0

|0 −4 1 |

Y = 1 8 −2

det (A)

=5

5

=1

25 5

|0 −4 −4|

Y = 1 8 −8

det (A)

= −15

5

= -3

ดงั น้ัน คำตอบของระบบสมการที่กำหนด คอื (2,1,-3))

ชว่ั โมงท่ี 3

ข้นั สอน

แสดงและอธิบายทฤษฏี หลกั การ
47. ครูอธิบายกับนักเรียนเก่ียวกับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้การดำเนินการตามแถว ในหนังสือ
เรียน หนา้ 188 และกลา่ ววา่ ส่ิงแรกท่นี ักเรยี นตอ้ งรู้คอื เมทรกิ ซแ์ ต่งเตมิ และการดำเนนิ การตามแถว”
48. ครูให้นกั เรียนจับคูแ่ ละศกึ ษาบทนิยามของเมทริกซ์แตง่ เติมและการดำเนนิ การตามแถวด้วยตัวเอง โดย
ใหน้ กั เรยี นแต่ละคู่ พดู คุย ซักถามกัน ประมาณ 10 นาที
49. ครูอธบิ ายเมทรกิ ซแ์ ต่งเติมและการดำเนินการตามแถว ในหนงั สือเรียน หนา้ 189-190 วา่ เม่ือกำหนด
ระบบสมการเชิงเสน้ ทมี่ ี m สมการ และ n ตวั แปร ดังนี้

a11x1 + a12x2 + + a1n xn = b1 1
a21x1 + a22x2 + + a2n xn = b2
3
am1x1 + am2x2 + + amn xn = bm 2 + 3

เมทรกิ ซ์แตง่ เตมิ (augmented matrix) ของระบบสมการน้ี คอื

 a11 a12 a1n b1 
 a 21 a 22 a 2n 
 b2 
 a m2 
a m1 
a mn bn 

ให้ A เปน็ mn เมทรกิ ซ์ เรียกการดำเนินการตามแถว (row operation) กับเมทริกซ์ A

• สลับท่แี ถวท่ี i และ j ของ A เขียนแทนด้วย Rij
• คณู สมาชกิ ในแถวท่ี i ดว้ ยค่าคงตัว c โดยท่ี c ≠ 0 เขียนแทนด้วย cRi
• เปลี่ยนแถวท่ี i ของ A โดยนำค่าคงตัว c โดยท่ี c ≠ 0 คูณสมาชิกในแถวที่ j(j ≠ i) แล้ว

นำไปบวกกับสมาชิกแตล่ ะตวั ในแถวที่ i เขยี นแทนดว้ ย Ri + cR j
ให้ A เปน็ mn เมทริกซ์ กล่าววา่ A เปน็ รปู แบบขน้ั บนั ไดแบบแถว (row-echelon from) เมอ่ื

A มสี มบัติต่อไปนี้

1) ถา้ A มีแถวที่มสี มาชิกบางตัวไม่เท่ากับ 0 แล้วสมาชกิ ตัวแรกจากซ้ายในแนวขวา ที่ไมใ่ ช่ 0 ต้อง

เป็น 1 เรยี ก 1 ตวั น้ีวา่ 1 ตัวนำ (leading 1) ในแถว

2) ถา้ A มีแถวที่มีสมาชิกทุกตัวในแถวเท่ากับ 0 แลว้ แถวเหล่านตี้ ้องอยดู่ า้ นล่างของแถวที่มีสมาชิก

บางตัวไม่เท่ากบั 0

3) ถ้า aij เป็น 1 ตัวนำในแถวท่ี i และ a(i+1)k เปน็ 1 ตวั นำในแถวที่ i + 1 แล้ว j < k
ถ้าเมทริกซ์ B ได้จากเมทริกซ์ A โดยการดำเนินการตามแถวแล้วจะกล่าวว่า B สมมูลแบบแถว (row

equivalent) กบั A เขยี นแทน B สมมูลแบบแถวกับ A ด้วย A B

ใชท้ ฤษฎี หลักการ

50. ครูและนักเรียนร่วมกันศึกษาตัวอย่างที่ 35 จากน้ันให้นักเรียนทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรียน หน้า

190-191 เมอื่ นักเรยี นทำเสร็จครเู ฉลยคำตอบ “ลองทำดู”

(แนวคำตอบ จากระบบสมการข้างตน้ เขียนเมทริกซแ์ ตง่ เตมิ ได้ ดงั นี้

3 −3 −7 4 1 −1 −7 4
3 −316]
[−1 2 −1| −21] ~ [0 7 |
1
1 5 25
15 25

1 −1 −7 4 3 − 1

33

~ [0 7 1 | −16]
0 6 13 11

33

2 − 3

1 −1 −7 4 1+ 2
3 − 6 2
~0 33
3
[0 1 − 130|| −59 73 3
1 3 17
1 + 3 3
~0 6 13 11 10
2 + 3 3
[0 3 3]
1 −17 −55
~ [0 0 33
0
1 1 − 130|| −59
~ [0 3
0
0 73 365

3 3]
0 −17 −55

33
1 − 10| −59]

33

0 15
0 0 10

1 0| −3]

0 15

1 0 0 10

จะได้ [0 1 0| −3] เปน็ เมทรกิ ซ์แตง่ เตมิ ของระบบสมการ

0 0 15

ดงั น้ัน คำตอบของระบบสมการทก่ี ำหนด คอื (10,-3,5))

ชัว่ โมงที่ 4

ข้ันสอน

แสดงและอธบิ ายทฤษฏี หลักการ
51. ครูบอกนักเรียนว่า “ในหัวข้อ 2.1 นักเรียนได้ทราบมาแล้วว่า คำตอบของระบบสมการเชิงเส้นมี 3
ลักษณะ คือ 1) ระบบสมการเชิงเส้นที่มีคำตอบเดียว 2) ระบบสมการเชิงเส้นที่มีหลายคำตอบหรือ
เรียกว่ามีคำตอบอนันต์ 3) ระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่มีคำตอบ เมื่อใช้วิธีการดำเนินการตามแถวกับ
เมทริกซ์แต่งเติมของระบบสมการเชิงเส้น จะสามารถบอกได้ว่าระบบสมการเชิงเส้นท่ีกำหนดมีคำตอบ
หรือไมม่ ีคำตอบ และในกรณที ีม่ ีคำตอบ จำนวนคำตอบเปน็ อนนั ต์หรอื ไม่”

ใชท้ ฤษฎี หลักการ
52. ครูเขียนโจทย์ของตัวอยา่ งท่ี 36 ในหนังสือเรียน หน้า 192-193 บนกระดาน หลังจากน้ันครูให้นักเรียน
จัดกลุ่ม กลุ่มละ 4 คน แล้วกำหนดเลขประจำตัวนักเรียนเป็น 1, 2, 3 และ 4 ตามลำดับ ให้นักเรียน

ศึกษา ตัวอย่างท่ี 36 ในหนังสือเรียน หน้า 192 เป็นเวลา 7 นาที จากนั้นให้นักเรียนในกลุ่มช่วยกันหา
คำตอบของกิจกรรม “ลองทำดู” ในหนังสือเรียน หน้า 193 เมอื่ นักเรยี นในแต่ละกลมุ่ ทำเสรจ็ แลว้ ครูสุ่ม
เรียกเลขหมายใดก็ได้ ให้ตอบคำถาม ซ่งึ นกั เรียนทีถ่ ูกเรยี กต้องสามารถตอบได้ พร้อมท้ังอธิบายวธิ ีทำได้
(เพราะนักเรียนในกลุ่มต้องร่วมกันคิดและต้องทำความเข้าใจให้ตรงกัน) แต่จะผิดหรือถูก ครูจะยังไม่
เฉลย แต่จะสุ่มเรียกทกุ กลมุ่ ในคำถามเดียวกนั เพื่อให้นักเรยี นได้ตรวจสอบคำตอบและวิธีทำ ครูสุ่มถาม
นกั เรียนทุกกลมุ่ จนไดค้ ำตอบเดียวกัน และครูอธิบายคำตอบ ดงั น้ี
จากระบบสมการเชงิ เส้นขา้ งตน้ เขยี นเมทริกซแ์ ต่งเตมิ ไดด้ ังน้ี

 3 2 −1 −1 4   1 3 − 3 − 4 − 3 1 → 1 + 2
    2 → 2 + 3
 1 4 −2 2 19  ~  0 7 1 4 20 
2 1   0 6 0
−1 3 3 − 2 −2 1 
− 2  
1 −2 − 3 − 7 1 −2 − 3 − 7

1 3 − 3 − 4 − 3 
0 
~ 0 7 1 4 20 
6 0
 −2 −2 3 → 3 + 1
0 −11 −13 4 → 4 + 2 1
7 −8

1 3 − 3 − 4 − 3 
0 
~ 0 1 1 6 22 
6 0
 −2 −2
0 
7 −8 − 11 − 13 2 → 2 − 3
1 → 1 − 3 2
1 0 − 6 − 22 − 69 
0 
~ 0 1 1 6 22 
0 −6
 − 38 −134 3 → 3 − 6 2
0  4 → 4 − 7 2
0 −15 − 53 − 167

1 0 − 6 − 22 − 69  3
0  −6
~ 0 1 1 6 22  3 →
0 1 13 67 

 3 3
0 0 −15 − 53 −167

1 0 0 16 65 
0 
~  1 0 −1 −1  1 → 1 − 6 3
0 0 1 3 3  2 → 2 − 2

19 67 4 → 4 − 15 3

 3 3
0 0 0 − 53 −167

1 0 0 16 65 
0 −6713
~  1 0 −1 4 → 4
0 0 1 3 14

19

 3 3
0 0 0 1 4 

1 0 0 0 1  1 → 1 − 16 3
0 
~ 0 1 0 0 1  2 → 2 − 4
0 1 3
0 − 3 19 4
 3
0 0 0 1 4  3 → 3 −

ดงั นน้ั คำตอบของระบบสมการทกี่ ำหนด คือ (1,1,-3,4)

53. ครูให้นักเรียนศึกษาตัวอย่างท่ี 37 แล้วทำ “ลองทำดู” ในเรียน หน้า 194 และตัวอยา่ งที่ 38 ในหนงั สือ

เรียน หนา้ 193 แล้วทำ “ลองทำดู” ในเรียน หนา้ 195

(แนวคำตอบ จากระบบสมการขา้ งต้น เขียนเมทริกซ์แตง่ เติมได้ ดงั น้ี

−2 1 −3 3 1 7 0 2 1 + 2
[ 3 6 −3| −1] ~ [0 0 0 | −10]
2 − 3 3 )
1 2 −1 3 1 2 −1 3
54. ครูอธิบายกับนักเรียนว่า “จากตัวอย่างที่ 38 จะเห็นว่า ถ้าได้เมทริกซ์ที่มีแถวหนึ่งในรูป [0 0 0… : C]

จะได้ว่าระบบสมการเชิงเส้นไมม่ คี ำตอบ นอกจากน้ี เมทรกิ ซ์แต่งเตมิ และการดำเนนิ การตามแถวจะช่วย

แก้ระบบสมการเชิงเส้นได้แล้วยังสามารถใช้หาเมทริกซ์ผกผันได้” จากน้ันครูให้นักเรียนศึกษา

รายละเอียดเพิม่ เตมิ อยา่ งละเอียด ในหนงั สอื เรียน หนา้ 196-197

55. ครูให้นักเรียนศึกษาตัวอย่างท่ี 39 ในหนังสือเรียน หน้า 197 หลังจากน้ันครูและนักเรียนร่วมกันทำ

“ลองทำดู” ในหนงั สือเรียน หน้า 197

(แนวคำตอบ เนอ่ื งจาก det(A) = 43 ≠ 0 จะไดว้ ่าสามารถหา A−1 หาค่าได้)

[A|I2] = [−54 73| 1 10]
0
~ [ 1 10| 1 1]

−4 3 0 1
~ [1 10| 1 1]

0 43 4 5

~ [1 10| 1 1

0 4 5]

1 43 43

3 −7

~ [1 0| 43 543]
4
0 1

43 43

3 − 7

ดงั นั้น A−1 คือ [43 ]43 )
4
5

43 43

56. ครูให้นักเรยี นทำแบบฝึกทักษะ 2.5 ในหนงั สอื เรียน หน้า 198-199 เปน็ การบา้ น

ช่ัวโมงที่ 5

ข้ันสอน

ใชท้ ฤษฎี หลกั การ

57. ครูบอกกับนักเรียนว่า “นอกจากเมทริกซ์จะสามาการนำมาช่วยแก้สมการได้แล้ว ยังสามารถนำมา

วิเคราะห์วงจรไฟฟ้าได้อีกด้วย” จากน้ันครูให้นักเรียนทำกิจกรรม “คณิตศาสตร์ในชีวิตจริง” ใน

หนงั สอื เรียน หนา้ 200 เม่ือนักเรยี นทำเสร็จครูเฉลยกจิ กรรม “คณติ ศาสตร์ในชวี ิตจรงิ ”

(แนวคำตอบ จากระบบสมการข้างต้นจะได้

[46 74| 55] ~ [1 45
4
6| 6]
75

~ 1 45
[
0 266| 160]

66

~ [1 45
6
0 6| 5 ]
1
13

45

~ [10 01| 758]

13

ดังนนั้ กระแสท่ีไหลผ่าน I1 และ I2 คอื 45 และ 5 ตามลำดบั )
78 13

ขนั้ สรุป

ตรวจสอบและสรปุ
1. ครูถามคำถามเพ่อื สรุปความร้รู วบยอดของนกั เรียน ดังนี้

• การแก้ระบบสมการเชิงเส้นทำได้อย่างไร
(แนวตอบ นักเรียนสามารถตอบได้หลากหลายขึ้นอยูก่ ับความรู้พื้นฐานของนกั เรียนแต่ละคน เช่น การกำจัดตัว
แปรใดตัวแปรหนง่ึ เปน็ ตน้ )

• เมทรกิ ซท์ ่ีเท่ากนั เปน็ อยา่ งไร
(แนวตอบ มสี มาชกิ ในตำแหนง่ เดียวกนั เหมอื นกัน และมีมิตเิ ดยี วกัน)

• เมทรกิ ซ์สลบั เปลีย่ นเปน็ อย่างไร
(แนวตอบ สลับแถวและหลกั กัน)

• เมทรกิ ซ์สองเมทรกิ ซจ์ ะบวกกันได้อย่างไร
(แ น ว ต อ บ เม ท ริ ก ซ์ จ ะ บ ว ก กั น ได้ เมื่ อ มี มิ ติ เดี ย ว กั น คื อ เม ท ริ ก ซ์ ที่ ก ำ ห น ด มี จ ำ น ว น แ ถ ว
เท่ า กั น แ ล ะ มี จ ำ น ว น ห ลั ก เท่ า กั น แ ล้ ว น ำ ส ม าชิ ก ท่ี อ ยู่ ใน แ ถ ว แ ล ะ ห ลั ก เดี ย ว กั น ข อ ง ทั้ ง ส อ ง
เมทรกิ ซ์มาบวกกนั )

• คา่ คงตวั คูณกบั เมทริกซ์ ไดอ้ ยา่ งไร
(แนวตอบ นำคา่ คงตวั ไปคณู กบั สมาชิกแต่ละตัวในเมทรกิ ซ์)

• เมทริกซ์ A กบั เมทริกซ์ B จะคูณกันได้อย่างไร

• (แนวตอบ เมทรกิ ซ์ A คูณกับเมทริกซ์ B จะคูณกนั ได้ ก็ต่อเม่ือ จำนวนหลักของ A เท่ากับจำนวน

แถวของ B)

• นิยามของเมทริกซ์ผกผนั คืออะไร

(แนวตอบ AA−1 = A−1A = In)
• วิธกี ารหาเมทรกิ ซผ์ กผนั 2x2 มติ ิ หาไดอ้ ยา่ งไร

(แนวตอบ ถ้า A = [ ] และ − ≠ 0 แลว้ A มีเมทรกิ ซ์ผกผันและ


)A−1 [− − ]
= 1
−

k. ดีเทอรม์ ิแนนตห์ าไดอ้ ยา่ งไร

(แนวตอบ หาได้ 2 วิธี ได้แก่ ใชบ้ ทนยิ าม หรอื การตอ่ หลักท่ี 1 และ 2 แลว้ คณู ทแยง)

l. การหาดเี ทอร์มแิ นนต์ของ A โดยใชว้ ิธกี ารคณู ทแยงมกี ขี่ ้นั ตอนอะไรบ้าง

(แนวตอบ การหาดีเทอร์มแิ นนต์ของ A โดยใชว้ ธิ กี ารคูณทแยงมี 4 ข้ันตอน ดงั น้ี

ขั้นท่ี 1 นำหลักท่ี 1 และหลกั ที่ 2 ของ A มาเขยี นต่อจากหลกั ท่ี 3 ของ A

ข้ันที่ 2 หาผลคูณในแนวทแยงจากซ้ายบนมาขวาล่าง

ขั้นท่ี 3 หาผลคูณในแนวทแยงจากซา้ ยลา่ งข้นึ ไปขวาบน

ข้ันท่ี 4 นำผลบวกของผลคูณในแนวทแยงจากซ้ายบนลงมาขวาล่างลบด้วยผลบวกของผลคูณใน

แนวทแยงจากซา้ ยล่างขน้ึ ไปขวาบน จะไดผ้ ลลพั ธเ์ ปน็ det(A))

a. เมทรกิ ซ์ผูกพันจะหาได้อยา่ งไร

(แนวตอบ หาเมทรกิ ซส์ ลับเปลยี่ นของเมทรกิ ซ์ตัวประกอบร่วมเกี่ยว)

• การแก้ระบบสมการเชงิ เส้นโดยใชเ้ มทรกิ ซ์มีกี่วธิ ี อะไรบ้าง
(แนวคำตอบ 3 วธิ ี ไดแ้ ก่ 1) การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ โดยใช้เมทริกซผ์ กผัน 2) การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดย
ใช้กฎของคราเมอร์ และ 3) การแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ โดยใชก้ ารดำเนินการตามแถว)
ฝกึ ปฏิบัติ

2. ครูให้นกั เรียนทำแบบฝกึ ทักษะ 2.2 ในหนังสือเรียน หนา้ 205

7. การวัดและประเมินผล วธิ ีการ เคร่อื งมอื เกณฑ์การประเมิน
รายการวัด
- ตรวจแบบฝกึ ทักษะ 2.5 - แบบฝึกทกั ษะ 2.5 - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์
7.1 ประเมินระหว่างการจดั - ตรวจ Exercise 2.5 - Exercise 2.5 - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์
กิจกรรมการเรียนรู้ - สังเกตพฤติกรรม - แบบสังเกต - ระดับคุณภาพ 2
การทำงานรายบคุ คล พฤตกิ รรม ผ่านเกณฑ์
1) ระบบสมการเชงิ เส้น การทำงานรายบคุ คล
2) พฤตกิ รรมการทำงาน - สังเกตพฤตกิ รรม - แบบสังเกต - ระดับคณุ ภาพ 2
รายบุคคล การทำงานกลุ่ม พฤตกิ รรม ผา่ นเกณฑ์
การทำงานกลุ่ม
3) พฤตกิ รรมการทำงาน - สงั เกตความมวี ินัย - แบบประเมิน - ระดับคุณภาพ 2
กลุ่ม ใฝ่เรยี นรู้ และม่งุ มัน่ คณุ ลกั ษณะ ผา่ นเกณฑ์
ในการทำงาน อันพงึ ประสงค์
4) คุณลกั ษณะ
อันพึงประสงค์

8. สื่อ/แหล่งการเรียนรู้
8.1 สอ่ื การเรียนรู้
9) หนงั สอื เรียนรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ ม.5 เลม่ 1 หนว่ ยการเรยี นร้ทู ี่ 2 เมทรกิ ซ์
10) หนังสอื แบบฝกึ หัดรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ ม.5 เลม่ 1 หน่วยการเรยี นร้ทู ่ี 2 เมทริกซ์
8.2 แหลง่ การเรยี นรู้
1) ห้องสมดุ
2) แหล่งชุมชน
3) อินเทอร์เนต็

บนั ทึกหลงั สอนแผนการสอนที่ ............

1. ผลการสอนระดับชน้ั ม..............................
 สอนได้ตามแผนการจดั การเรยี นรู้
 สอนไมไ่ ดต้ ามแผนการจัดการเรียนรู้ เนือ่ งจาก ..........................................................................

2. ผลทเี่ กิดกับผูเ้ รียน
1.) การประเมนิ ผลความรูห้ ลงั การเรยี น โดยใช้………………แบบทดสอบหลงั เรียน............พบว่านกั เรียน

ผ่านการประเมินคิดเป็นร้อยละ................……..…. ไม่ผา่ นเกณฑข์ ้ันต่ำท่กี ำหนดไว้คดิ เปน็ ร้อยละ.............................
ไดแ้ ก่ ....................................เลขที่ …………………………...........................................................................................

2.) การประเมนิ ดา้ นทกั ษะกระบวนการเรียน โดยใช้…………………………………………………………...............
พบวา่ นกั เรียนผ่านการประเมนิ คดิ เป็นร้อยละ...........……. ไม่ผ่านเกณฑ์ขน้ั ต่ำที่กำหนดไว้คิดเปน็ ร้อยละ................
ได้แก่ .......................................................................................................................................................................

3.) การประเมินดา้ นคุณลกั ษณะท่พี ึงประสงค์ เรียน โดยใช…้ ……..…แบบสงั เกตพฤติกรรม....................
พบว่านักเรยี นผา่ นการประเมนิ คดิ เป็นรอ้ ยละ..…....……. ไมผ่ า่ นเกณฑ์ขั้นต่ำทีก่ ำหนดไว้คดิ เป็นรอ้ ยละ..................
ได้แก่ ........................................................................................................................................................................
3. ปัญหาและอุปสรรค

 กิจกรรมการจัดการเรียนรู้ ไม่เหมาะสมกบั เวลา
 มนี กั เรียนทำใบงาน/ใบกิจกรรมไมท่ ันตามกำหนดเวลา
 มนี ักเรยี นท่ีไมส่ นใจเรียน
 อ่นื ๆ .............................................................................................................................................
4. ขอ้ เสนอแนะ/แนวทางแกไ้ ข
 ควรนำแผนไปปรับปรงุ เรอื่ ง ......................................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 แนวทางแก้ไขนกั เรียนที่ไม่ผา่ นการประเมนิ ..................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 ไม่มขี อ้ เสนอแนะ

ลงช่ือ ผู้สอน
()

วนั ท่ี……..../................../................

ความคดิ เหน็ ของหัวหน้ากลุ่มสาระฯ ความคิดเหน็ ของหวั หน้างานวิชาการ
1.เป็นแผนการจดั การเรยี นร้ทู ่ี 1.เปน็ แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่
 ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรงุ  ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรุง
2.การจัดกจิ กรรมการเรยี นรไู้ ดน้ ำเอากระบวนการเรยี นรู้ 2.การจดั กจิ กรรมการเรยี นรไู้ ด้นำเอากระบวนการเรยี นรู้
ทีเ่ นน้ ผูเ้ รียนเป็นสำคัญมาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง  ทีเ่ น้นผ้เู รียนเปน็ สำคญั มาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง

เหมาะสมกบั ศกั ยภาพที่แตกต่างกันของผเู้ รียน เหมาะสมกับศกั ยภาพทแี่ ตกตา่ งกันของผเู้ รยี น
 ทยี่ งั ไม่เนน้ ผู้เรยี นเป็นสำคัญ ควรปรับปรุงพัฒนาต่อไป  ที่ยงั ไม่เน้นผเู้ รยี นเปน็ สำคญั ควรปรับปรุงพฒั นาตอ่ ไป
3.เปน็ แผนการจัดการเรียนรู้ 3.เปน็ แผนการจดั การเรียนรู้
 นำไปใช้ได้จริง  ควรปรับปรุงกอ่ นนำไปใช้  นำไปใช้ได้จรงิ  ควรปรบั ปรุงก่อนนำไปใช้
4.ข้อเสนอแนะอื่นๆ 4.ขอ้ เสนอแนะอน่ื ๆ
……………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………….

ลงชอ่ื ....................................................... ลงช่ือ.......................................................
(นางสาวณัฐญิ า คาโส)
(นายศภุ ชยั เรอื งเดช)

บบทดสอบกอ่ นเรียน

หนว่ ยการเรยี นรูท้ ี่ 2

คำชี้แจง ใหน้ ักเรียนเลือกคำตอบที่ถูกต้องท่ีสุดเพียงข้อเดียว

1. กำหนดให้ x และ y เปน็ คำตอบของระบบสมการ 4 −8 5  −1 0 4 
2x + 5y = 6 3. 1 
3x + 4y = 2 −1 0  4. −4 −2 −8

แล้วค่าของ x และ y ตรงกับขอ้ ใด 3 −4 −2 −8 5 4 

6. กำหนดให้ A = 4 3 และ B = 0 7
5 8 1 8
1. x = 1 , y = 1 2. x = - 2, y = 2
แลว้ B + A
2
1. 4 10 2. 4 12
3. x = 13, y = - 4 4. x = 8, y = - 2 6 16 4 16

2. กำหนดให้ A = aij 32 และ aij = −2; i  j 3. 12 4 4. 0 10
 5 j 12 8 6 8 
 2 ;i <

แลว้ ค่าของ a12 + a22 − a31 + a13 ตรงกับขอใด 7. กำหนดให้ A = 1 −2 แล้วเมทริกซ์ X ท่ี
−3 
1. 0.5 2. 1 3 

3. 5 4. 14 ทำให้ 2( A+ X ) = 3( X + A)ตรงกับข้อใด

3. กำหนดให้ A = 0 ข้อใดไมถ่ ูกต้อง 1. − 2 4 2. − 3 3 
 3   2 
1. เมทริกซ์ A เปน็ เมทริกซ์แถว  
2. เมทรกิ ซ์ A เป็นเมทริกซ์ศนู ย์ 3 9 9 
3. เมทริกซ์ A เป็นเมทริกซจ์ ัตุรสั 2 
4. เมทรกิ ซ์ A เป็นเมริกรเ์ อกลกั ษณ์  2 −2  2 −
4. ค่าของ x และ y ที่ทำให้
3. −1 2 4. 1 −2
 −3 −3 3 
 3

8. ขอ้ ใดเป็นเมทริกซ์เอกลกั ษณ์

 −11 8 −11 8 ตรงกับข้อใด 1. 0 0 2. 1 1
x + 7 y   25 x 0 0 1 1
=
1 0 0 1
1. x = 25, y = 18 2. x = 18, y = 25 3. 0 1 4. 1 0

3. x = 25, y = 25 4. x = 18, y = 18 1
 
1 −1 0  9. กำหนดให้ A = 2 −1 3 และ B =  0 

5. กำหนดให้ A = 3 −4 −2 แล้ว ((At )t )t −1

4 −8 5  แลว้ AB

ตรงกับข้อใด 1. −1 2. 2 0 −3

 0 1 −1  1 3 4  2 2 0 3
   
1. −2 3 −4 2. −1 −4 −8 3.  0  4.  0 0 0 

 5 4 −8  0 −2 5  −3 −2 0 −3

10. กำหนดให้ A = aij mn และ B = bij np ขอ้ 15. ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถกู ต้อง
ใดต่อไปนี้ถกู ต้อง
2 8 10
1. AB = BA
1. 5 7 −8 = 0
2. ( )2
00 0

A2 + 2 AI n + I 2 = A+ I −2 3 6
n
2. −1 −4 −8 = 0
3. ( A+ B)( A − B) = A2 − B2
−2 3 6
4. ถ้า AB = 0 แลว้ A = 0 หรือ B = 0

11. ถ้า A−1 = 3 −5 แลว้ A ที่ทำให้ 254
−1 
2  3. 2 6 4 = 0

AA−1 = I2 ตรงกบั ขอ้ ใด −4 −8 −8

1. 3 −1 2. 3 5 −1 2 6
−5 2  1 2
4. 0 −3 −5 = 0
3. 2 5 4. −3 1
1 3  −2 0 0 −2
 5
16. ขอ้ ใดต่อไปนี้ไม่ถูกตอ้ ง
12. กำหนดให้ A = x x − 4 , det ( A) = 68
8 4  1. ( )det At = det A

2. ( )det A−1 = 1
แลว้ ค่าของ x ตรงกับขอ้ ใด ( )det A−1

1. – 9 2. – 25 3. det(AB) = det ( A)det (B)

3. 9 4. 25 4. det (cA) = cn det ( A) เมื่อ c เป็นจำนวน

13. กำหนดให้ A = aij 33 และ จริงใด ๆ และ A เปน็ n n เมทรกิ ซ์

−2;i > j 2 0 0 

a ij =  1; i = j แลว้ ค่าของ M13 + M22 − M32 17. ถา้ A = 5 3 0  แลว้ det (adj(A))

 3;i < j 0 −1 −1

ตรงกับข้อใด มีคา่ ตรงกบั ขอ้ ใด

1. 4 2. 9 1. – 6 2. 0

3. 17 4. 22 3. 25 4. 36

1 0 4  1 2 1

14. กำหนดให้ A = 2 6 5 แลว้ C32 − C21 18. กำหนดให้ A = −1 −1 1 แลว้ A−1 ตรง

3 1 2  0 2 2

มีค่าตรงกับขอ้ ใด กบั ข้อใด

1. –9 2. 9  2 1 − 3 
 −1 2 
3. –1 4. 1 −1 
1. 1

 1 − 1 
1 
 2

 2 1 − 3 
 −1 2 
2. −1 
1
 
1 1 − 3 

 2

2 1 − 3 
 −1 2 
3. 1 
0
 
1 1 − 1 

 2

−4 −2 3 
 −2
4.  −1 1

−1 0 1 

1 1 1   x −2
19. กำหนดให้ 1 −2  y   
−2  =  1  แลว้

1 2 1   z   0 

x + 2y − z เท่ากับข้อใด

1. - 4 2. - 1

3. 0 4. 6

1 1 −2 5

20. กำหนดเมรกิ ซ์แต่งเตมิ 3 2 −3 3

2 1 −4 6

ซึ่งเขียนมาจากระบบสมการเชงิ เสน้ แลว้ คำตอบ
ของระบบสมการเชิงเสน้ น้ีมลี ักษณะคำตอบตรง
กับขอ้ ใด
1. ระบบสมการไมม่ คี ำตอบ
2. ระบบสมการมีหลายคำตอบ
3. ระบบสมการมคี ำตอบเปน็ กรณี
4. ระบบสมการมเี พยี งคำตอบเดียว

เฉลย

1. 2 2. 3 3. 4 4. 4 5. 2 6. 1 7. 4 8. 3 9. 1 10. 2
11. 3 12. 1 13. 1 14. 3 15. 4 16. 2 17. 4 18. 1 19. 4 20. 2

แบบทดสอบหลังเรยี น

หน่วยการเรยี นร้ทู ่ี 2

คำชีแ้ จง ใหน้ ักเรียนเลือกคำตอบท่ีถูกต้องท่ีสุดเพียงข้อเดียว 4. x = -5, y = 26
1. กำหนดให้ x และ y เปน็ คำตอบของระบบสมการ

x + 3y = 26 และ 5x – 2y = 4 แล้วขอ้ ใดต่อไปน้ี 5. กำหนดให้ A และ C เปน็ mn เมทรกิ ซ์ และ
B เป็น mp เมทริกซ์ แลว้ ข้อใดไมถ่ กู ตอ้ ง
2 1. (At )t = A
2. (AB)t = AtBt
ถกู ตอ้ ง 3. (A+ C)t = Ct + At
4. (c A)t = cAt เมอ่ื c เป็นค่าคงตัว
1. x = −2, y = 9

2. x = 0, y = −2

3. x = 4, y = 8

4. x = 10, y = 7

2. กำหนดให้ A = aij 33 และ aij = 1 เมือ่ i > j 6. กำหนดให้ A =  x 8 4 y และ
 + 16


, a ij =−1 เมอื่ i=j และ aij = −3 เมื่อ i<j B =  x−3 7 โดยท่ี x = 3 และ
2  10 −5

แล้วค่าของ a12 + a22 + a32 + a33 ตรงกบั ขอ้ ใด
y = 10 – x แล้ว B + A ตรงกับขอ้ ใด

1. − 5 2. − 1 1. 8 14 2. 0 14
17 11 17 11
2 2
8 17 0 7
3. –3 4. –7 14 11 7 11

3. กำหนดให้ A = 0 ข้อใดไม่ถูกตอ้ ง 3. 4.

1. เมทริกซ์ A เปน็ เมทริกซแ์ ถว 7. กำหนดให้ A = 5 −1 แล้วเมทริกซ์ X ท่ที ำ
2. เมทรกิ ซ์ A เป็นเมทรกิ ซ์ศูนย์ 3 −3
3. เมทริกซ์ A เป็นเมทริกซจ์ ตั รุ สั
4. เมทริกซ์ A เปน็ เมริกร์เอกลักษณ์ ให้ 3(A + X) = 5(X + A) ตรงกบั ขอใด
4. กำหนดให้ค่า x และ y จำนวนใด ๆ ทท่ี ำให้
1. −5 1 2. −5 1
−3 0 −3 3

−4 8− x =  −8 y ตรงกับขอ้ ใด 3. −5 1 4. −5 −3
2 13 −1   21 − −2 −3 −3  
x  1 0 

1. x = 8, y = 0

2. x = 7, y = 13

3. x = 6, y = 11

4. − 1 7 13
13 0 −1
8. กำหนดให้ A เปน็ mn เมทรกิ ซ์ และ B เปน็
nn เมทริกซ์ แลว้ ขอ้ ใดไม่ถกู ตอ้ ง 12. กำหนดให้ A = 9 x + 1 , B =  y − 3 −4
4 x   y 10 
1. ถา้ AB = A แลว้ B = In
2. ถ้า AB = BA = In แล้ว B = A−1 และ det(A) = det(B) = 26 แล้ว x + y
3. ถา้ AB = 0 แล้ว A = 0 หรอื B = 0
4. ถ้า A + B = A แล้ว B = 0 ตรงกบั ขอ้ ใด

1. 4 2. 6

3. 9 4. 10

y 13. กำหนดให้ A = aij 33 และ 1 เม่ือ
  = 2
9. กำหนดให้ A = 4 x 7และ B =  5  a ij

−2 i < j, a ij = − 1 เม่ือ i=j และ a ij =7 เม่อื i>j
2
โดยที่ x และ y เป็นจำนวนจริงใด ๆ ที่ทำให้
แลว้ ค่าของ M22 + M31 − M11 ตรงกบั ข้อใด
AB = [–9] แล้วค่าของ x และ y ตรงกบั ข้อใด

1. x = 5, y = -5 1. 0 2. 1

2

2. x = 3, y = 4 3. 7 4. 11

3. x = -4, y = 11 88

4. x = -6, y = 13 14. กำหนดให้ a, b และ c เปน็ จำนวนใด ๆ และ

10. กำหนดให้ A, B และ C เปน็ nn เมทรกิ ซ์ 3a b 2c
ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีถูกตอ้ ง
ถา้ A = 2c a 3b , C21 − C13 = 30 และ
1. (AB)2 = A2B2
2. A(B + C) = AB + AC  c 2b a 

3. (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 c −b = 6 แล้วค่าของ 2a มีค่าตรงกบั ข้อใด
4. A2 − B2 = (A + B)(A − B) 1. 5 2. 8
3. 10 4. 16
15. ข้อใดตอ่ ไปน้ีไม่ถกู ตอ้ ง

11. กำหนดให้ A =  −1 0 แลว้ ((A −1 )−1 )−1 6 −2 2
−13 7
1. 3 7 1 = 0
ตรงกบั ข้อใด
612
1. 1  −7 0
7 −13 1 −3 0 0

2. 5 4 0 = 0

8 17

2. − 1 −7 13 130
7  −1
 0 3. 5 2 0 = 0

3. 1 7 0 860
13 13 −1

8 1 −3 1 0 12 
 
4. 5 9 4 = 0  4 

8 1 −3 2.  4 −1 0 
 4 
16. ขอ้ ใดถูกต้อง  
1. ถ้า det(A) = det(B) แลว้ A = B  1 1 − 1 
2. ถ้า cdet(A) = 0 แล้ว c = 0 หรอื
 2 4 
det(A) = 0
3. ถา้ det(AB) = 0 แลว้ det(A) = 0 หรอื 1 0 16 
 
det(B) = 0  8 
4. ถ้า det(A)det(B) = 1 แลว้ det(A) = 1
3.  4 1 0 
หรือ det(B) = 1  8 
17. กำหนดให้ x เป็นจำนวนจรงิ ใด ๆ ท่ที ำให้  
 1 0 − 1 

 2 8 

1 0 12 
 
 2 

4.  4 −1 0 
 2 
 
x 9 8  1 1 − 1 

det(adj(A)) = 9 เมอื่ A = 0 1 −2 แล้วค่า  12 

0 0 1   1 −1 −2  x 20
   y  13 
ของ x ตรงกบั ข้อใด 19. กำหนดให้  3 −2 1   =  แลว้
1. –3 2. 0
3. 1 4. 9 −2 1 −4  z  13

x − y − z เทา่ กับข้อใด

1. – 8 2. 2

1 0 2 3. 4 4. 14

18. กำหนดให้ A=  2 1 0  แล้ว A−1 ตรง 20. กำหนดเมทริกซ์แต่งเตมิ จากระบบสมการเชิง
 
−1 1 −1
เสน้ ดังน้ี

กับข้อใด 1 1 1 −2

1 0 12  1 2 1 0 
 
 1 −2 −2 1 
 2 

1.  4 −1 0  แลว้ ข้อใดต่อไปนีเ้ ป็นคำตอบของระบบสมการ
 2 
 
1 1 − 1  1. (0, 0, -2) 2. (-2, 2, -2)

 2  3. (4, -3, -3) 4. (-1, 2, -3

เฉลย

1. 3 2. 3 3. 4 4. 1 5. 2 6. 1 7. 2 8. 3 9. 1 10. 2
11. 1 12. 4 13. 2 14. 3 15. 2 16. 3 17. 1 18. 2 19. 4 20. 4

การประเมินชนิ้ งาน/ภาระงาน (รวบยอด) แผนฯ ที่ 5

แบบประเมนิ ผงั มโนทศั น์
คำช้ีแจง : ให้ผู้สอนประเมินช้ินงาน/ภาระงานของนักเรยี นตามรายการท่กี ำหนด แล้วขดี ✓ ลงในชอ่ งที่ตรงกบั

ระดับคะแนน

ลำดบั ที่ รายการประเมนิ ระดบั คะแนน
4321
1 ความสอดคล้องกบั จุดประสงค์
2 ความถกู ต้องของเน้อื หา รวม
3 ความคดิ สรา้ งสรรค์
4 ความตรงตอ่ เวลา

ประเด็นทีป่ ระเมิน 4 ลงชอื่ ................................................... ผู้ประเมนิ
ผลงานสอดคลอ้ งกับ ................./................../..................
5. ความสอดคลอ้ ง จุดประสงค์ทุกประเดน็
กับจุดประสงค์ เกณฑ์การประเมนิ ผงั มโนทศั น์
เนอ้ื หาสาระของผลงาน
6. ความถูกตอ้ ง ถกู ต้องครบถว้ น ระดบั คะแนน
ของเน้อื หา
321
ผลงานสอดคล้องกับ ผลงานสอดคล้องกับ ผลงานไมส่ อดคล้องกับ
จดุ ประสงคเ์ ป็นส่วนใหญ่ จดุ ประสงค์บางประเดน็ จุดประสงค์

เน้อื หาสาระของผลงาน เนื้อหาสาระของผลงาน เน้อื หาสาระของผลงาน
ถูกต้องเปน็ ส่วนใหญ่ ถกู ต้องบางประเด็น ไม่ถกู ต้องเปน็ สว่ นใหญ่

7. ความคิด ผลงานแสดงถงึ ความคิด ผลงานแสดงถงึ ความคิด ผลงานมีความนา่ สนใจ ผลงานไมม่ คี วาม
สร้างสรรค์ นา่ สนใจ และไมแ่ สดงถงึ
สร้างสรรค์ แปลกใหม่ สรา้ งสรรค์ แปลกใหม่ แตย่ ังไมม่ ีแนวคดิ แปลก แนวคดิ แปลกใหม่
8. ความตรงตอ่
เวลา และเป็นระบบ แต่ยังไม่เปน็ ระบบ ใหม่ สง่ ชน้ิ งานช้ากวา่ เวลาท่ี
กำหนด 3 วนั ขึน้ ไป
ส่งชิ้นงานภายในเวลาท่ี ส่งช้นิ งานชา้ กว่าเวลาที่ สง่ ชนิ้ งานชา้ กวา่ เวลาท่ี

กำหนด กำหนด 1 วนั กำหนด 2 วนั

เกณฑ์การตัดสินคณุ ภาพ

ชว่ งคะแนน ระดับคณุ ภาพ

14 - 16 ดมี าก

11 - 13 ดี

8 - 10 พอใช้

ตำ่ กว่า 8 ปรบั ปรงุ

แบบประเมนิ การนำเสนอผลงาน

คำชแี้ จง : ให้ผู้สอนสงั เกตพฤติกรรมของนักเรียนในระหว่างเรยี นและนอกเวลาเรยี น แล้วขดี ✓ลงในชอ่ งท่ตี รงกบั
ระดบั คะแนน

ลำดบั ท่ี รายการประเมนิ ระดบั คะแนน
4321
1 เนือ้ หาละเอยี ดชัดเจน
2 ความถกู ต้องของเนื้อหา 
3 ภาษาท่ใี ช้เข้าใจงา่ ย 
4 ประโยชนท์ ีไ่ ดจ้ ากการนำเสนอ 
5 วธิ กี ารนำเสนอผลงาน 

รวม

เกณฑ์การให้คะแนน ลงชอื่ ...................................................ผปู้ ระเมิน
ผลงานหรอื พฤติกรรมสมบรู ณ์ชดั เจน ............/................./................
ผลงานหรือพฤติกรรมมขี อ้ บกพรอ่ งบางสว่ น
ผลงานหรอื พฤติกรรมมีข้อบกพร่องเปน็ ส่วนใหญ่ ให้ 4 คะแนน
ผลงานหรือพฤติกรรมมีขอ้ บกพร่องมาก ให้ 3 คะแนน
ให้ 2 คะแนน
ให้ 1 คะแนน

เกณฑก์ ารตดั สนิ คุณภาพ

ชว่ งคะแนน ระดับคณุ ภาพ
18 - 20 ดมี าก
14 - 17 ดี
10 - 13 พอใช้
ต่ำกว่า 10 ปรบั ปรงุ

แบบสงั เกตพฤติกรรมการทำงานรายบุคคล

คำช้แี จง : ให้ผู้สอนสงั เกตพฤตกิ รรมของนักเรยี นในระหวา่ งเรียนและนอกเวลาเรยี น แล้วขีด ✓ลงในช่องทีต่ รงกบั
ระดบั คะแนน

ลำดับที่ รายการประเมนิ ระดับคะแนน
4321
1 การแสดงความคิดเห็น
2 การยอมรบั ฟงั ความคิดเหน็ ของผอู้ ืน่ 
3 การทำงานตามหน้าท่ที ไ่ี ดร้ บั มอบหมาย 
4 ความมีน้ำใจ 
5 การตรงต่อเวลา 

รวม

เกณฑก์ ารให้คะแนน ลงชอ่ื ...................................................ผูป้ ระเมนิ
ปฏิบตั ิหรือแสดงพฤติกรรมอย่างสมำ่ เสมอ ............/................./................
ปฏบิ ัติหรอื แสดงพฤติกรรมบ่อยครงั้
ปฏิบัติหรือแสดงพฤตกิ รรมบางครั้ง ให้ 4 คะแนน
ปฏิบัติหรือแสดงพฤติกรรมนอ้ ยคร้ัง ให้ 3 คะแนน
ให้ 2 คะแนน
ให้ 1 คะแนน

เกณฑ์การตดั สนิ คณุ ภาพ

ชว่ งคะแนน ระดับคณุ ภาพ
18 - 20 ดีมาก
14 - 17 ดี
10 - 13 พอใช้
ต่ำกว่า 10 ปรบั ปรุง

แบบสังเกตพฤติกรรมการทำงานกล่มุ

คำช้ีแจง : ใหผ้ ู้สอนสังเกตพฤติกรรมของนักเรียนในระหวา่ งเรียนและนอกเวลาเรียน แล้วขดี ✓ลงในชอ่ งท่ีตรงกับ
ระดับคะแนน

ลำดบั ชอื่ – สกุล การแสดง การยอมรับฟงั การทำงาน ความมีนำ้ ใจ การมี รวม
ที่ ของนักเรยี น ความคดิ เหน็ คนอืน่ ตามทไ่ี ด้รบั ส่วนรว่ มใน 20
มอบหมาย การปรบั ปรุง คะแนน
ผลงานกลุ่ม

43214321432143214321

ลงช่อื ...................................................ผปู้ ระเมิน
............/................./................

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน ให้ 4 คะแนน
ปฏบิ ตั หิ รอื แสดงพฤตกิ รรมอยา่ งสมำ่ เสมอ ให้ 3 คะแนน
ปฏิบัติหรอื แสดงพฤติกรรมบ่อยครั้ง ให้ 2 คะแนน
ปฏิบตั ิหรอื แสดงพฤตกิ รรมบางคร้งั ให้ 1 คะแนน
ปฏบิ ัติหรือแสดงพฤตกิ รรมน้อยครั้ง

เกณฑก์ ารตัดสินคุณภาพ

ช่วงคะแนน ระดับคุณภาพ
18 - 20 ดมี าก
14 - 17 ดี
10 - 13 พอใช้
ตำ่ กว่า 10 ปรบั ปรงุ

แบบประเมินคุณลักษณะอันพงึ ประสงค์

คำชแ้ี จง : ให้ผู้สอนสงั เกตพฤตกิ รรมของนกั เรียนในระหว่างเรียนและนอกเวลาเรียน แลว้ ขดี ✓ลงในช่องท่ตี รงกบั
ระดับคะแนน

คุณลกั ษณะ รายการประเมิน ระดบั คะแนน
อนั พงึ ประสงค์ดา้ น 4321

1. รักชาติ ศาสน์ 1.1 ยนื ตรงเคารพธงชาติ และรอ้ งเพลงชาติได้

กษตั ริย์ 1.2 เขา้ ร่วมกจิ กรรมที่สร้างความสามัคคี ปรองดอง และเปน็ ประโยชนต์ อ่ โรงเรียน

1.3 เขา้ รว่ มกิจกรรมทางศาสนาทีต่ นนับถอื ปฏิบัติตามหลกั ศาสนา

1.4 เข้าร่วมกิจกรรมที่เกี่ยวกับสถาบนั พระมหากษัตริยต์ ามที่โรงเรยี นจัดขนึ้

2. ซ่ือสัตย์ สุจรติ 2.1 ใหข้ อ้ มลู ทถ่ี ูกต้อง และเป็นจรงิ

2.2 ปฏิบัติในสิ่งทีถ่ ูกตอ้ ง

3. มีวนิ ยั รับผิดชอบ 3.1 ปฏิบตั ติ ามข้อตกลง กฎเกณฑ์ ระเบยี บ ขอ้ บงั คบั ของครอบครัว มีความตรงตอ่

เวลาในการปฏบิ ตั ิกจิ กรรมตา่ ง ๆ ในชีวิตประจำวนั

4. ใฝเ่ รยี นรู้ 4.1 รจู้ ักใชเ้ วลาว่างใหเ้ ป็นประโยชน์ และนำไปปฏบิ ัติได้

4.2 รจู้ ักจดั สรรเวลาให้เหมาะสม

4.3 เช่ือฟงั คำส่งั สอนของบดิ า - มารดา โดยไม่โตแ้ ยง้

4.4 ตงั้ ใจเรียน

5. อยอู่ ยา่ งพอเพยี ง 5.1 ใช้ทรพั ย์สนิ และสง่ิ ของของโรงเรยี นอย่างประหยดั

5.2 ใช้อุปกรณก์ ารเรยี นอยา่ งประหยัดและรคู้ ณุ ค่า

5.3 ใชจ้ า่ ยอยา่ งประหยดั และมกี ารเก็บออมเงนิ

6. มุ่งมน่ั ในการทำงาน 6.1 มคี วามตั้งใจและพยายามในการทำงานท่ีได้รับมอบหมาย

6.2 มคี วามอดทนและไม่ท้อแทต้ ่ออุปสรรคเพ่อื ให้งานสำเรจ็

7. รักความเป็นไทย 7.1 มจี ิตสำนกึ ในการอนรุ กั ษ์วัฒนธรรมและภมู ปิ ัญญาไทย

7.2 เหน็ คุณคา่ และปฏิบตั ิตนตามวัฒนธรรมไทย

8. มีจิตสาธารณะ 8.1 รจู้ กั ช่วยพอ่ แม่ ผ้ปู กครอง และครูทำงาน

8.2 รจู้ ักการดูแลรักษาทรัพย์สมบตั แิ ละสง่ิ แวดล้อมของหอ้ งเรยี นและโรงเรยี น

ลงชอ่ื ...................................................ผูป้ ระเมนิ

เกณฑ์การให้คะแนน ............/................./................
พฤติกรรมที่ปฏบิ ตั ิสมำ่ เสมอ เกณฑ์การตัดสนิ คณุ ภาพ
พฤตกิ รรมทป่ี ฏบิ ตั ิบอ่ ยคร้งั
พฤตกิ รรมทป่ี ฏิบัตบิ างครง้ั ให้ 4 คะแนน ช่วงคะแนน ระดบั คุณภาพ
พฤตกิ รรมท่ปี ฏบิ ตั ิน้อยครง้ั ให้ 3 คะแนน
ให้ 2 คะแนน 68 - 80 ดีมาก
ให้ 1 คะแนน
54 - 67 ดี

40 - 53 พอใช้

ตำ่ กวา่ 40 ปรบั ปรุง

แผนการจดั การเรยี นรทู้ ่ี 19

ระบบพกิ ดั ฉากสามมติ ิ

เวลา 2 ชัว่ โมง

1. ผลการเรียนรู้

1) หาผลลพั ธ์ของการบวก การลบเวกเตอร์ การคณู เวกเตอร์ดว้ ยสเกลาร์ หาผลคูณเชิงสเกลาร์ และผลคูณเชงิ

เวกเตอร์

2) นำความร้เู กย่ี วกบั เวกเตอรใ์ นสามมิติไปใชใ้ นการแกป้ ัญหา

2. จุดประสงค์การเรยี นรู้

1) สามารถบอกพกิ ัดของจดุ ในระบบพกิ ดั ฉากสามมิตไิ ด้ (K)

2) สามารถหาระยะทางระหวา่ งจดุ สองจุดในระบบพิกดั ฉากสามมิติได้ (K)

3) สามารถวาดรปู พกิ ัดฉากสามมิตไิ ด้ (P)

4) รบั ผิดชอบตอ่ หนา้ ทีท่ ี่ไดร้ ับมอบหมาย (A)

3. สาระการเรยี นรู้

สาระการเรยี นร้เู พิ่มเตมิ สาระการเรยี นรู้ท้องถ่นิ

ระบบพกิ ดั ฉาก พจิ ารณาตามหลักสูตรของสถานศกึ ษา

4. สาระสำคญั /ความคิดรวบยอด

ระบบพิกัดฉากสามมิติ เป็นระบบท่ีมีการกำหนดให้มีเส้นตรงสามเส้น แต่ละเส้นตัดกันที่จุดกำเนิด เรียก

เส้นตรงท้งั สามเสน้ ว่า แกน X แกน Y และแกน Z โดยการกำหนดแกนในระบบพกิ ัดฉากสามมติ ิ จะเขยี นโดยยดึ หลัก

มือซา้ ย และมอื ขวา

การหาระยะทางระหวา่ งจดุ สองจุดในระบบพกิ ัดฉากสามมิติใชส้ ูตรเดียวกันกบั ระบบพกิ ัดฉากสองมิติ คอื

ระยะทางระหว่างจดุ P(x1,y1) และ Q(x2,y2) ในระบบพิกดั ฉากสองมติ ิ ใชส้ ูตร PQ = √(x1 - x2)2 + (y1 - y2)2
ระยะทางระหว่างจุด P(x1,y1,Z1) และ Q(x2,y2,Z2) ในระบบพกิ ัดฉากสามมิติ ใช้สตู ร
PQ = √(x1 - x2)2 + (y1 - y2)2+ (z1 - z2)2

5. สมรรถนะสำคัญของผูเ้ รียนและคุณลักษณะอนั พงึ ประสงค์

สมรรถนะสำคัญของผูเ้ รยี น คุณลักษณะอันพึงประสงค์

1. ความสามารถในการส่อื สาร 1. มีวินัย

2. ความสามารถในการคดิ 2. ใฝเ่ รยี นรู้
19) ทกั ษะการเชื่อมโยง 3. มงุ่ มน่ั ในการทำงาน
20) ทกั ษะการคิดคล่อง

3. ความสามารถในการแกป้ ัญหา

6. กจิ กรรมการเรยี นรู้

 แนวคิด/รูปแบบการสอน/วิธีการสอน/เทคนิค : Concept Based Teaching

ชัว่ โมงท่ี 1

นักเรียนทำแบบทดสอบก่อนเรียน หน่วยการเรียนร้ทู ี่ 1 ระบบจำนวนเต็ม

ขั้นนำ

ข้ันการใชค้ วามรเู้ ดิมเช่ือมโยงความรู้ใหม่ (Prior Knowledge)

9. ครูกล่าวทกั ทายกับนักเรยี น แลว้ แจ้งผลการเรียนรใู้ ห้นกั เรยี นทราบ
10. ครกู ระตนุ้ ความสนใจของนกั เรียน โดยให้นกั เรียนดภู าพหน้าหนว่ ย จากนั้นครูถามคำถามนักเรยี นวา่

“อยากทราบว่าวัดโพธิอ์ ยหู่ า่ งจากป้ายบอกทางเป็นระยะทางเทา่ ใด” แลว้ ใหน้ กั เรียนร่วมกันตอบ
คำถาม
(แนวตอบ วดั โพธอ์ิ ยหู่ า่ งจากปา้ ยบอกทาง 700 เมตร)
หมายเหต*ุ ครแู ละนกั เรยี นร่วมกันเฉลยคำถาม BIG QUESTION หลังเรียนหน่วยการเรียนรู้ที่ 3
11. ครูทบทวนความร้เู ดิมที่นักเรยี นควรรู้ เรือ่ ง กราฟของคอู่ ันดบั บนระบบพิกัดฉาก ดีเทอรม์ แิ นนต์ของ
เมทริกซ์ที่มีมติ ิ 2 × 2 และดีเทอร์มแิ นนต์ของเมทริกซท์ มี่ ีมิติ 3 × 3 โดยครใู ห้นักเรียนศกึ ษาควรรกู้ อ่ น
เรียน ในหนังสือเรยี น หน้า 207

ขัน้ สอน
ข้ันรู้ (Knowing)

28. ครูอธิบายความรู้เก่ียวกับระบบพิกัดฉากสามมิติ ในหนงั สือเรียน หนา้ 208
29. ครูให้นักเรยี นยกมือซ้าย และมือขวาขึน้ มา จากน้ันให้นกั เรยี นงอน้วิ เหมือนรูปที่ 1 และรูปท่ี 2 ใน

หนังสอื เรยี น หนา้ 208

30. ครใู ห้นกั เรียนจบั คู่ศึกษาเน้อื หาในหนงั สือเรียนหนา้ 209 แล้วแลกเปลีย่ นความรู้กับคู่ของตนเอง
จากนัน้ ครถู ามคำถาม ดงั นี้

• ระบบพกิ ดั ฉากสองมิติ แกน X และแกน Y แบ่งระนาบออกเปน็ ก่สี ่วน และแต่ละส่วนเรยี กว่าอะไร
(แนวตอบ ระบบพิกดั ฉากสองมิติ แกน X และแกน Y แบ่งระนาบออกเป็น 4 สว่ น และแต่ละส่วนเรียกวา่ จตภุ าค)

• ระบบพิกดั ฉากสามมิติ แกน X แกน Y และแกน Z แบ่งระนาบออกเปน็ กี่สว่ น และแตล่ ะส่วนเรยี กว่า
อะไร

(แนวตอบ ระบบพกิ ดั ฉากสามมิติ แกน X แกน Y และแกน Z แบง่ ระนาบออกเป็น 8 ส่วน และแต่ละส่วนเรยี กว่า
อฐั ภาค)

31. ครูใหน้ ักเรยี นดูรปู ท่ี 7 ในหนงั สอื เรยี น หน้า 210 จากน้ันครแู ละนักเรยี นร่วมกนั กำหนดลำดับอัฐภาค
32. ครูอธิบายความรู้เกีย่ วกบั การกำหนดพิกดั ของจดุ ในระบบพิกัดฉากสามมิติ ในหนงั สือเรยี น หน้า 210 –

212 จากน้ันครใู หน้ ักเรียนกำหนดพกิ ัดของจุดของแตล่ ะคน เม่อื เสรจ็ แล้วครูสุ่มถามนกั เรียนวา่ พิกัดของ
จุดของนกั เรยี นอยู่ในอฐั ภาคใด
33. ครใู ห้นักเรียนจับกล่มุ 5 คน ศกึ ษาตวั อยา่ งท่ี 1 ในหนงั สอื เรียน หนา้ 212 และตัวอยา่ งที่ 2 ในหนังสอื
เรียน หน้า 213 แล้วแลกเปล่ียนความรู้กนั ภายในกลมุ่ จากนนั้ ให้นักเรียนแตล่ ะคนทำ “ลองทำดู”
34. ครูขอตวั แทนนกั เรียนออกมาเฉลยคำตอบ “ลองทำดู” ครูและนักเรียนคนอ่ืน ๆ ร่วมกันตรวจสอบ
ความถกู ต้อง

ชวั่ โมงท่ี 2

ขั้นสอน

ขัน้ เข้าใจ (Understanding)

1. ครกู ลา่ วทบทวน ดังนี้

- ระบบพิกดั ฉากสามมิติ เปน็ ระบบที่มกี ารกำหนดใหม้ เี ส้นตรงสามเสน้ แต่ละเสน้ ตดั กันท่ีจดุ กำเนิด

เรยี กเส้นตรงท้ังสามเสน้ ว่า แกน X แกน Y และแกน Z

- ระบบพกิ ดั ฉากสองมิติ แกน X และแกน Y แบ่งระนาบออกเป็น 4 สว่ น และแต่ละสว่ นเรยี กวา่ จตุ

ภาค
- ระบบพิกดั ฉากสามมติ ิ แกน X แกน Y และแกน Z แบง่ ระนาบออกเปน็ 8 สว่ น และแต่ละสว่ น

เรียกวา่ อัฐภาค
- จุดในแต่ละอฐั ภาคเขยี นแทนดว้ ยจำนวนจรงิ สามจำนวน ซึ่งเป็นจำนวนบวก หรือจำนวนลบ หรทอ

จำนวนศูนย์
2. ครูวาดรปู ทรงสี่เหลี่ยมจากจุด A(2,5,4), B(0,5,4) , C(0,0,4) , D(2,0,4) , E(2,0,0) , F(2,5,0) ,

G(0,5,0) , O(0,0,0) จากนั้นครถู ามคำถามดังน้ี

• จดุ F(2,5,0) อยู่บนระนาบใด และจุดทอี่ ยู่ตรงขา้ มกบั จดุ F คอื จดุ ใด

(แนวตอบ จุด F(2,5,0) อยู่บนระนาบ XY และจุดทอ่ี ย่ตู รงขา้ มคือ จุด A(2,5,4))
3. จากคำถามครอู ธบิ ายวา่ “จดุ F(2,5,0) เปน็ ภาพฉายของจุด A บนระนาบ XY” จากน้ันครใู หน้ กั เรียน
จบั คู่หาจุดทีเ่ ปน็ ภาพฉายของจดุ A บนระนาบ YZ และ XZ ตามลำตบั

(แนวตอบ จดุ B(0,5,4) เปน็ ภาพฉายของจุด A บนระนาบ YZ และจุด D(2,0,4) เป็นภาพฉายของจุด A บนระนาบ
YZ)

4. ครใู หน้ ักเรียนอ่าน “คณติ น่ารู้” จากหนังสือเรยี น หนา้ 214 วา่ “ภาพฉายของจุดใด ๆ ในระบบพกิ ัด
ฉากสามมติ ิ เป็นเส้นตั้งฉากจากจดุ นั้นกับระนาบหน่ึง จึงทำให้จดุ ทีเ่ ปน็ ภาพฉายจะมพี ิกดั X หรอื พิกดั
Y หรอื พกิ ัด Z ค่าใดค่าหนง่ึ เท่ากบั 0” จากน้ันครยู กตวั อย่างจุด P(2,7,3) เพอ่ื ใหน้ ักเรยี นเข้าใจ

5. ครูใหน้ ักเรยี นจับค่ศู กึ ษาตวั อยา่ งท่ี 3 ในหนงั สอื เรยี นหนา้ 214 แลว้ แลกเปลยี่ นความรู้กบั คู่ของตนเอง
แล้วครถู ามคำถามนกั เรียน ดงั น้ี

• ภาพฉายของจดุ A(2, 3, 5) บนแกน X คือจุดใด
(แนวตอบ จดุ (2, 0, 0))

• ภาพฉายของจุด A(2, 3, 5) บนแกน Y คือจดุ ใด
(แนวตอบ จดุ (0, 3, 0))

• ภาพฉายของจดุ A(2, 3, 5) บนแกน Z คือจดุ ใด
(แนวตอบ จุด (0, 0, 5))

• ภาพฉายของจดุ A(2, 3, 5) บนแกน XY คอื จดุ ใด
(แนวตอบ จดุ (2, 3, 0))

• ภาพฉายของจุด A(2, 3, 5) บนแกน YZ คอื จดุ ใด
(แนวตอบ จดุ (0, 3, 5))

• ภาพฉายของจุด A(2, 3, 5) บนแกน XZ คอื จุดใด
(แนวตอบ จุด (2, 0, 5))
จากนั้นให้นกั เรียนแตล่ ะคนทำ “ลองทำดู” เมือ่ นักเรยี นทำเสรจ็ ครแู ละนกั เรยี นร่วมกนั เฉลยคำตอบ “ลองทำดู”

6. ครูอธิบายความรเู้ กยี่ วกับระยะทางระหว่างจดุ สองจุดในระบบพิกัดฉากสามมิติ ในหนงั สือเรยี น หน้า
215 – 216 และครแู สดงตวั อยา่ งที่ 4 ให้นกั เรยี นดบู นกระดานดำ จากนั้นครูและนักเรยี นรว่ มกันทำ
“ลองทำดู”

7. ครแู จกใบงานท่ี 3.1 เร่อื ง ระยะทางระหว่างจุดสองจดุ ในระบบพกิ ัดฉากสามมติ ิ ใหน้ ักเรียนทำ จากนั้น
ครแู ละนักเรียนร่วมกนั เฉลยคำตอบใบงานที่ 3.1

ขน้ั ลงมือทำ (Doing)

ครูให้นกั เรยี นจับคู่ แลว้ ทำแบบฝึกทักษะ 3.1 ในหนังสือเรียน หนา้ 217 โดยท้งั สองคนจะตอ้ งแบ่งกันทำ
จากนนั้ ครจู ะสมุ่ ตัวแทนแตล่ ะค่อู อกมาเฉลยคำตอบหน้าช้นั เรียน ครูและเพ่ือนคนอน่ื ๆ รว่ มกันตรวจสอบความ
ถกู ต้อง

ขั้นสรุป

ครถู ามคำถามเพ่ือสรปุ ความรู้รวบยอดของนกั เรยี น ดังน้ี
• การแบง่ ระนาบออกเปน็ 8 สว่ น เรียกว่าอะไร

(แนวตอบ อัฐภาค (octant))
• การหาระยะห่างระหว่างจุดในระบบพิกัดฉากสามมติ ิหาได้อยา่ งไร

(แนวตอบ หาไดจ้ ากสตู ร PQ = √(x1 - x2)2 + (y1 - y2)2+ (z1 - z2)2)

7. การวัดและประเมินผล วธิ ีการ เครอ่ื งมือ เกณฑ์การประเมนิ
รายการวัด - ประเมนิ ตามสภาพจริง
- ตรวจแบบทดสอบ - แบบทดสอบ
7.1 การประเมินกอ่ นเรยี น ก่อนเรยี น กอ่ นเรยี น - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์
- แบบทดสอบกอ่ นเรียน - รอ้ ยละ 60 ผ่านเกณฑ์
หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 3 - ตรวจแบบฝึกทักษะ 3.1 - แบบฝึกทักษะ 3.1 - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์
เรอื่ ง เวกเตอรใ์ นสาม - ตรวจ Exercise 3.1 - Exercise 3.1 - ระดบั คุณภาพ 2
มิติ - ตรวจใบงานที่ 3.1 - ใบงานท่ี 3.1 ผ่านเกณฑ์
- สังเกตพฤตกิ รรม - แบบสังเกต
7.2 ประเมินระหวา่ งการจัด การทำงานรายบคุ คล พฤตกิ รรม - ระดบั คณุ ภาพ 2
กจิ กรรมการเรียนรู้ การทำงานรายบคุ คล ผ่านเกณฑ์
- สังเกตพฤติกรรม - แบบสังเกต - ระดบั คณุ ภาพ 2
1) ระบบพกิ ัดฉากสาม การทำงานกลมุ่ พฤติกรรม ผ่านเกณฑ์
มิติ การทำงานกลุ่ม
- สงั เกตความมีวินัย - แบบประเมิน
2) พฤตกิ รรมการทำงาน ใฝ่เรยี นรู้ และมุ่งม่นั คณุ ลกั ษณะ
รายบคุ คล ในการทำงาน อันพึงประสงค์

3) พฤตกิ รรมการทำงาน
กลมุ่

4) คุณลักษณะ
อันพงึ ประสงค์

8. สอ่ื /แหล่งการเรยี นรู้
8.1 ส่ือการเรยี นรู้
11) หนงั สอื เรียนรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 1 หน่วยการเรยี นรูท้ ่ี 3 เวกเตอรใ์ นสามมติ ิ
12) หนงั สือแบบฝึกหดั รายวิชาเพ่ิมเติม คณติ ศาสตร์ ม.5 เลม่ 1 หนว่ ยการเรยี นร้ทู ่ี 2 เมทรกิ ซ์
13) ใบงานที่ 3.1 เร่ือง ระยะทางระหว่างจุดสองจดุ ในระบบพกิ ัดฉากสามมิติ
8.2 แหล่งการเรียนรู้
1) หอ้ งสมดุ
2) แหลง่ ชุมชน
3) อนิ เทอรเ์ น็ต

ใบงานที่ 3.1

เร่อื ง ระยะทางระหวา่ งจุดสองจุดในระบบพกิ ดั ฉากสามมิติ

คำช้แี จง : ใหน้ กั เรยี นแสดงวธิ ีการหาคำตอบโดยละเอยี ด
1) จงหาระยะทางระหว่างจดุ A(5, -2, 1), B(2, 4, 2)
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) จงหาระยะทางระหว่างจุด A(-1, 3, 5), B(0, 0, 0)
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3) จงหาระยะทางระหวา่ งจดุ A(0, 0, 0), B(-1, 6, 1)
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4) จงหาระยะทางระหว่างจุด A(4, 1, -3), B(9, 1, -3)
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………