วงจรไฟฟ้ากระแสตรง (พว)

เฉลยแบบทดสอบ

1. ตอบ 5. ทุกข้อเปน็ หลกั การของเคอรช์ อฟฟ์
2. ตอบ 4. 5I1 + 4I2 = 20
3I1 + 5I2 = 10
Det = 5 4 = 25 – 12
3 5 = 13
NI1 = 20 4 = 100 – 40
1 0 5 = 60
NI2 = 5 20 = (5 × 10) – (3 × 20)
3 1 0 = 50 – 60
= –10
4D61N.03e6I1t2
I1 =
=
=
D–N11eI320t
3. ตอบ 3. I2 =
=

= –0.7692
4. ตอบ 4. 2x + 3y + 4z = 10
x + 2y + 5z = 5
2x + y + 2z = 10
Det = 2 3 4 2 3 = (8 + 30 + 4) – (16 + 10 + 6)
1 2 5 1 2 = 42 – 32
2 1 2 2 1 = 10
Nx = 10 3 4 10 3 = (40 + 150 + 20) – (80 + 50 + 30)
5 2 5 5 2 = 210 – 160
1 0 1 2 10 1 = 50
Ny = 2 10 4 2 10 = (20 + 100 + 40) – (40 + 100 + 20)
1 5 5 1 5 = 160 – 160
2 1 0 2 2 1 0 = 0
Nz = 2 3 10 2 3 = (40 + 30 + 10) – (40 + 10 + 30)
1 2 5 1 2 = 80 – 80
 x ==2 D51N00 e1xt 10 2 1 = 0
y = D1N00eyt z = D1N00ezt
= =

= 5 = 0 = 0

สุดยอดคมู่ อื ครู 299

5. ตอบ 1. 0
6. ตอบ 5.

20I1 + 15I2 = 20 เมื่อ (R1 + R2)I1 + R2I2 = E1
15I1 + 25I2 = 10 (5 + 15)I1 + 15I2 = 20
20I1 + 15I2 = 20
R2I1 + (R2 + R3)I2 = E2
15I1 + (15 + 10)I2 = 10
15I1 + 25I2 = 10

Det = 20 15 = (20 × 25) – (15 × 15)
1 5 25 = 500 – 225
= 275
NI1 = 20 15 = (20 × 25) – (10 × 15)
1 0 25 = 500 – 150
= 350

NI2 = 20 20 = (20 × 10) – (15 × 20)
1 5 10 = 200 – 300

= –100

เมอื่ I1 = D23N57eI105t I2 = D–N21eI701t50
= =

= 1.2727 A = – 0.3636 A

7. ตอบ 1. IR2 คือ = I1 + I2
= 1.2727 + (–0.3636)
= 0.9091
IR3 คอื I2 = –0.3636 A
8. ตอบ 3. VR2 = IR2 × R2
= 0.9091 × 15
= 13.64
9. ตอบ 5. 2.3913

6I1 + 2I2 + 0I3 = 10
2I1 + 12I2 – 6I3 = 20
0I1 – 6I2 + 14I3 = 10

Det = 6 2 0 6 2 = (1,008 + 0 + 0) – (0 + 216 + 56)
2 1 2 –6 2 1 2 = 1,008 – 272
0 – 6 14 0 – 6 = 736

300 สุดยอดคมู่ ือครู

NI1 = 10 2 0 10 2 = (1,680 – 120 + 0) – (0 + 360 + 560)
2 0 1 2 –6 20 1 2 = 1,560 – 920
1 0 – 6 14 10 – 6 = 640
NI2 = 6 10 0 6 10 = (1,680 + 0 + 0) – (0 – 360 + 280)
2 2 0 –6 2 2 0 = 1,680 – (–80)
0 1 0 14 0 1 0 = 1,760
NI3 = 6 2 10 6 2 = (720 + 0 – 120) – (0 – 720 + 40)
2 1 2 20 2 1 2 = 600 – (–680)
0 –6 10 0 – 6 = 1,280

I1 = DNeI1t I2 = DNeI2t I3 = DNeI3t
= 764360 = 17,73660 = 17,23860
= 0.8696 = 2.3913 = 1.7391

ดังนนั้ IR1 คือ I1 = 0.8696 A
IR2 คอื I1 + I2 = 3.2609 A
IR3 คอื I2 = 2.3913 A
IR4 คอื I2 – I3 = 0.6522 A
IR5 คอื I3 = 1.7391 A
1 0. ตอบ 3. 0.6522

สุดยอดคมู่ ือครู 301

หนว่ ยการเรียนรูท้ ี่ 6
เฉลยกิจกรรมตรวจสอบความเข้าใจ

1. แนวทางการตอบ ทฤษฎกี ระแสไฟฟา้ ของเมชจะก�ำ หนดทศิ ทางกระแสยงั ไงกไ็ ด้ แตจ่ ะตอ้ งมคี วามสมั พนั ธก์ นั ของ
กระแสไฟฟา้ ทีไ่ หลวนในวงจร เมื่อก�ำ หนดให้กระแสไหลผ่ายอุปกรณ์ตัวใด ตวั ต้านทานน้ันๆ จะต้องมผี ลเกี่ยวข้อง
กบั สมการ ตวั ตา้ นทานบางตวั ทม่ี คี วามเชอื่ มโยงกนั อาจมสี ว่ นเกยี่ วขอ้ งกบั สมการเพยี งครงั้ เดยี วหรอื หลายครง้ั กไ็ ด้
ในขณะเดียวกันตัวต้านทานที่ไม่ได้มีส่วนเกี่ยวข้องกับวงจรปิดอ่ืน ก็อาจมีส่วนเก่ียวข้องกับสมการ ทั้งน้ีขึ้นอยู่กับ
วธิ ีการก�ำ หนดทศิ ทางการไหลของกระแสไฟฟา้ ในวงจร หรอื อนื่ ๆ ขึ้นอยูก่ ับดลุ ยพินจิ ของผู้สอน

2. แนวทางการตอบ หากวงจรไฟฟ้าประกอบด้วยประกอบด้วยวงจรปดิ หลายวงจรและเปน็ วงจรทตี่ ่อเชอ่ื มกัน จะมี
การพิจารณาวงจรโดยการกำ�หนดให้เป็นวงจรปิดทีละวงจรปิด และพิจารณาการไหลของกระแสไฟฟ้าที่ไหลวน
ในแต่ละวงจร แล้วจะได้เป็นสมการแรงดันที่อยู่ในรูปสมการเชิงซ้อนหลายตัวแปร การพิจารณากระแสไฟฟ้าท่ี
ไหลวนในวงจรปิดแต่ละวงหรือท่ีเรียกว่าวนรอบ เม่ือกำ�หนดให้กระแสไฟฟ้าไหลผ่านตัวต้านทานตัวใดจะต้อง
มีการนำ�เอาค่าความตา้ นทานมาคณู กบั ค่ากระแสไฟฟ้าทไ่ี หลผ่าน เพอื่ ใหไ้ ด้คา่ แรงดันไฟฟ้าทีว่ งจรปดิ น้ันๆ โดยมี
วิธีการคือ

1) พจิ ารณาการไหลวนของกระแสไฟฟา้ ตามการกำ�หนดกระแส
2) จัดสมการให้อยใู่ นรปู ของเมทริกซ์โดยแยกสมั ประสทิ ธ์ิของตวั แปร และผลลัพธ์ออกจากกนั
3) หาค่าตัวหารร่วมหรือค่าดีเทอร์มิแนนต์ โดยการนำ�เอาสัมประสิทธิ์ของตัวแปรแต่ละสมการมาใช้วิธีการ

คณู ทแยงลงและการคูณทแยงขึน้ แลว้ น�ำ เอาคา่ การคูณลงตงั้ ลบดว้ ยค่าการคูณขึ้น
หรอื อน่ื ๆ ขนึ้ อย่กู ับดลุ ยพนิ จิ ของผู้สอน

302 สุดยอดคู่มือครู

1. R1 = 4 เฉลยกิจกรรมส่งเสริมการเรยี นรู้
R3 = 5
E1 = 10 V R2 = 2
E2 = 10 V

พิจารณาการไหลของกระแสไฟฟา้ ในแต่ละวง ➀
Loop 1; (R1 + R3)I1 + R3I2 = E1 ➁
Loop 2; R3I1 + (R2 + R3)I2 = E2
 (4 + 5)I1 + 5I2 = 10
5I1 + (2 + 5)I2 = 10
จะได้ 9I1 + 5I2 = 10
5I1 + 7I2 = 10
แกส้ มการหาค่า I1 และ I2
Det = 9 5 = (9 × 7) – (5 × 5)
5 7 = 63 – 25
= 38
NI1 = 10 5 = (10 × 7) – (10 × 5)
1 0 7 = 70 – 50
= 20
NI2 = 9 10 = (9 × 10) – (5 × 10)
5 10 = 90 – 50
= 40
 I1 = DNeI1t = 3208 = 0.5263
I2 = DNeI2t = 3408 = 1.0526
 IR1 คือ I1 = 0.5263 A
IR2 คอื I2 = 1.0526 A
IR3 คอื I1 + I2 = 1.5789 A


สดุ ยอดคมู่ อื ครู 303

2. R1 = 10 R2 = 20
R3 = 5 E2 = 10 V
E1 = 20 V

พิจารณาการไหลของกระแสไฟฟา้ ในแต่ละวง
Loop 1; (R1 + R3)I1 + R1I2 = E1
Loop 2; R1I1 + (R1 + R2)I2 = E1 + E2
แทนค่า (10 + 5)I1 + 10I2 = 20
15I1 + 10I2 = 20 ➀
10I1 + (10 + 20)I2 = 20 + 10
10I1 + 20I2 = 30 ➁
แกส้ มการหาคา่ I1 และ I2
Det = 15 10 = (15 × 30) – (10 × 10)
1 0 30 = 450 – 100
= 350
NI1 = 20 10 = (20 × 30) – (30 × 10)
3 0 30 = 600 – 300
= 300
NI2 = 15 20 = (15 × 30) – (10 × 20)
1 0 30 = 450 – 200
= 250
 I1 = DNeI1t = 330500 = 0.8571
I2 = DNeI2t = 235500 = 0.7143
 IR1 คือ I1 + I2 = 1.5714 A
IR2 คอื I2 = 0.7143 A
IR3 คือ I1 = 0.8571 A


304 สดุ ยอดคมู่ อื ครู

3. R1 = 4 R2 =R23 = 6 R4 = 6 R5 = 10

E1 = 10 V E2 = 10 V E4 = 20 V E5 = 10 V

E3 = 20 V

พจิ ารณาการไหลของกระแสไฟฟา้ ในแตล่ ะลปู
Loop 1; (R1 + R2)I1 + R2I2 + R2I3 = E1 – E2
(4 + 2)I1 + 2I2 + 2I3 = 10 – 10
6I1 + 2I2 + 2I3 = 0 ➀
Loop 2; R2I1 + (R2 + R3 + R4)I2 + R3I3 = E3 + E4 – E2
2I1 + (2 + 6 + 6)I2 + 6I3 = 20 + 20 – 10
2I1 + 4I2 + 6I3 = 30 ➁
Loop 3; R2I1 + R2I2 + (R2 + R3 + R5)I3 = E3 + E5 – E2
2I1 + 2I2 + (2 + 6 + 10)I3 = 20 + 10 – 10
2I1 + 2I2 + 18I3 = 20 ➂
แก้สมการหาคา่ I1, I2 และ I3
Det = 6 2 2 6 2 = (1,512 + 24 + 8) – (56 + 72 + 72)
2 14 6 2 13 = 1,544 – 200
2 2 18 2 2 = 1,344
NI1 = 0 2 2 0 2 = (0 + 240 + 120) – (560 + 0 + 1,080)
3 0 14 6 3 0 14 = 360 – 1,640
2 0 2 18 2 0 2 = –1,280
NI2 = 6 0 2 6 0 = (3,240 + 0 + 80) – (120 + 720 + 0)
2 30 6 2 30 = 3,320 – 840
2 20 18 2 20 = 2,480
NI3 = 6 2 0 6 2 = (1,680 + 120 + 0) – (0 + 360 + 80)
2 14 30 2 14 = 1,800 – 440
2 2 20 2 2 = 1,360

 I1 = DNeI1t = –11,,324840 = –0.9524 A  IR1 คอื I1 = –0.9524 A
I2 = DNeI2t = 12,,344840 = 1.8452 A IR2 คอื I1 + I2 + I3 = 3.8095 A
I3 = DNeI3t = 11,,336440 = 1.0119 A IR3 คอื I2 + I3 = 2.8571 A
IR4 คอื I2 = 1.8452 A
IR5 คอื I3 = 1.0119 A

สดุ ยอดคูม่ อื ครู 305

4. E2 = 10 V R2 = 10

R1 = 7 R3 = 5 R5 = 8 R6 = 10
E1 = 20 V R4 = 8 E3 = 10 V

พิจารณาการไหลของกระแสไฟฟา้ ในแตล่ ะลูป ➀
Loop 1; (R1 + R3 + R4)I1 + R4I2 + R1I3 = E1 ➁
(7 + 5 + 8)I1 + 8I2 + 7I3 = 20 ➂
20I1 + 8I2 + 7I3 = 20
Loop 2; R4I1 + (R4 + R5 + R6)I2 – R6I3 = E2
8I1 + (8 + 8 + 10)I2 – 10I3 = 10
8I1 + 26I2 – 10I3 = 10
Loop 3; R1I1 – R6I2 + (R1 + R2 + R6)I3 = E2 – E1
7I1 – 10I2 + (7 + 10 + 10)I3 = 20 – 10
7I1 – 10I2 + 27I3 = 10
แก้สมการหาคา่ I1, I2 และ I3

Det = 20 8 7 20 8 = (14,040 – 560 – 560) – (1,274 + 2,000 + 1,728)
8 2 6 –10 8 2 6 = 12,920 – 5,002
7 – 10 27 7 – 10 = 7,918

NI1 = 20 8 7 20 8 = (14,040 – 800 – 700) – (1,820 + 2,000 + 2,160)
1 0 2 6 –10 1 0 2 6 = 12,540 – 5,980
1 0 – 10 27 10 – 10 = 6,560

NI2 = 20 20 7 20 20 = (5,400 – 1,400 + 560) – (490 – 2,000 + 4,320)
8 1 0 –10 8 10 = 4,560 – 2,810
7 1 0 27 7 10 = 1,750

NI3 = 20 8 20 20 8 = (5,200 + 560 – 1,600) – (3,640 – 2,000 + 640)
8 2 6 10 8 2 6 = 4,160 – 2,280
7 – 10 10 7 – 10 = 1,880
 I1 = DNeI1t = 76,,591608 = 0.8285 A  IR1 คือ I1 + I3 = 1.0659 A
IR2 คือ I3 = 0.2374 A
IR3 คอื I1 = 0.8285 A
I2 = DNeI2t = 71,,971580 = 0.2210 A IR4 คือ I1 + I2 = 1.0495 A
I3 = DNeI3t = 71,,898180 = 0.2374 A IR5 คอื I2 = 0.2210 A
IR6 คอื I3 – I2 = 0.0164 A

306 สดุ ยอดคู่มือครู

5. R1 = 6 R2 = 10 R3 = 5 R4 = 8

E1 = 10 V E2 =20 V E3 = 20 V E4 = 10 V

พิจารณาการไหลของกระแสไฟฟา้ ในแต่ละลูป

Loop 1; (R1 + R2)I1 + R2I2 + 0I3 = E2 – E1

(6 + 10)I1 + 10I2 + 0I3 = 20 – 10

16I1 + 10I2 + 0I3 = 10 ➀
➁
Loop 2; R1I1 + (R1 + R3)I2 – R3I3 = E3 – E1 ➂

6I1 + (6 + 5)I2 – 5I3 = 20 – 10

6I1 + 11I2 – 5I3 = 10

Loop 3; 0I1 – R3I2 + (R3 + R4)I3 = E3 – E4

0I1 – 5I2 + (5 + 8)I3 = 20 – 10

0I1 – 5I2 + 13I3 = 10

แกส้ ม การหาคา่ I1, I2 และ I3
Det = 16 10 0 16 10 = (2,288 + 0 + 0) – (0 + 400 + 780)
6 11 –5 6 11 = 2,288 – 1,180
0 –5 13 0 –5 = 1,108

NI1 = 10 10 0 10 10 = (1,430 –­­ 500 + 0) – (0 + 250 + 1,300)
1 0 11 –5 1 0 11 = 930 – 1,550
1 0 –5 13 1 0 –5 = –620

NI2 = 16 10 0 16 10 = (2,080 + 0 + 0) – (0 – 800 + 780)
6 10 –5 6 10 = 2,080 – (–20)
0 10 13 0 10 = 2,100

NI3 = 16 10 10 16 10 = (1,760 + 0 – 300) – (0 – 800 + 600)
6 11 10 6 11 = 1,460 – (–200)
0 –5 10 0 –5 = 1,660

 I1 = DNeI1t = 1–,612008 = –0.5596 A ดงั นนั้ IR1 คือ I1 + I2 = 1.3357 A
I2 = DNeI2t = 21,,110080 = 1.8953 A IR2 คอื I1 = –0.5596 A
I3 = DNeI3t = 11,,610680 = 1.4982 A IR3 คือ I2 + I3 = 3.3935 A
IR4 คือ I3 = 1.4982 A

สดุ ยอดคู่มือครู 307

6. R1 = 6 R3 = 8

E1 = 10 V R2 = 10 R5 = 5 R4 = 8

พจิ ารณาการไหลของกระแสไฟฟา้ ในแตล่ ะลปู

Loop 1; (R1 + R2)I1 – R1I2 – R2I3 = E1 ➀
(6 + 10)I1 – 6I2 – 10I3 = 10 ➁
16I1 – 6I2 – 10I3 = 10 ➂
Loop 2; –R1I1 + (R1 + R3 + R5)I2 – R5I3 = 0
–6I1 + (6 + 8 + 5)I2 – 5I3 = 0
–6I1 + 19I2 – 5I3 = 0
Loop 3; –R2I1 – R5I2 + (R2 + R4 + R5)I3 = 0
–10I1 – 5I2 + (10 + 8 + 5)I3 = 0
–10I1 – 5I2 + 23I3 = 0
แกส้ มการหาค่า I1, I2 และ I3

Det = 16 –6 –10 16 –6 = (6,992 – 300 – 300) – (1,900 + 400 + 828)
–6 19 –5 – 6 19 = 6,392 – 3,128
–1 0 –5 23 – 10 –5 = 3,264

NI1 = 10 –6 –10 10 –6 = (4,370 ­+­ 0 + 0) – (0 + 250 + 0)
0 19 –5 0 19 = 4,370 – 250
0 –5 23 0 –5 = 4,120

NI2 = 16 10 –10 16 10 = (0 + 500 + 0) – (0 + 0 – 1,380)
–6 0 –5 – 6 0 = 500 – (–1,380)
–1 0 0 23 – 10 0 = 1,880

NI3 = 16 –6 10 16 –6 = (0 + 0 + 300) – (1,900 + 0 + 0)
–6 19 0 – 6 19 = 300 – (–1,900)
–1 0 –5 0 – 10 –5 = 2,200

 I1 = DNeI1t = 34,,126204 = 1.2623 A ดังนั้น IR1 คือ I1 – I2 = 0.6863 A
I2 = DNeI2t = 13,,288604 = 0.5760 A IR2 คอื I1 – I3 = 0.5883 A
I3 = DNeI3t = 23,,226040 = 0.6740 A IR3 คอื I2 = 0.5760 A
IR4 คือ I3 = 0.6740 A
IR5 คือ I3 – I2 = 0.0980 A

308 สุดยอดคู่มือครู

7.

E1 = 10 V R1 = 6 R2 = 10 R4 = 8

E2 = 10 V R3 = 5 E3 = 10 V

พจิ ารณาการไหลของกระแสไฟฟ้าในแตล่ ะลูป

Loop 1; (R2 + R3)I1 + R3I2 + (R2 + R3)I3 = E1 + E2

(10 + 5)I1 + 5I2 + (10 + 5)I3 = 10 + 10

15I1 + 5I2 + 15I3 = 20 ➀

Loop 2; R3I1 + (R1 + R3)I2 + R3I3 = E2

5I1 + (6 + 5)I2 + 5I3 = 10

5I1 + 11I2 + 5I3 = 10 ➁

Loop 3; R2I1 + R3I2 + (R2 + R3 + R4)I3 = E3

10I1 + 5I2 + (10 + 5 + 8)I3 = 10

10I1 + 5I2 + 23I3 = 10 ➂

แกส้ มการหาคา่ I1, I2 และ I3

Det = 15 5 15 15 5 = (3,795 + 250 + 375) – (1,650 + 375 + 575)
5 11 5 5 11 = 4,420 – 2,600
1 0 5 23 1 0 5 = 1,820

NI1 = 20 5 15 20 5 = (5,060 ­+­ 250 + 750) – (1,650 + 500 + 1,150)
1 0 11 5 1 0 11 = 6,060 – 3,300
1 0 5 23 1 0 5 = 2,760

NI2 = 15 20 15 15 20 = (3,450 + 1,000 + 750) – (1,500 + 750 + 2,300)
5 10 5 5 10 = 5,200 – 4,550
1 0 10 23 1 0 10 = 650

NI3 = 15 5 20 15 5 = (1,650 + 500 + 500) – (2,200 + 750 + 250)
5 11 10 5 11 = 2,650 – 3,200
1 0 5 10 1 0 5 = –550

 I1 = DNeI1t = 12,,872600 = 1.5165 A ดังน้ัน IR1 คือ I2 = 0.3571 A
I2 = DNeI2t = 16,85200 = 0.3571 A IR2 คอื I1 + I3 = 1.2143 A
I3 = DNeI3t = 1–,585200 = –0.3022 A IR3 คอื I1 + I2 + I3 = 1.5714 A
IR4 คอื I3 = –0.3022 A
หรอื = 0.3022 A ในทิศตรงขา้ ม

สุดยอดคมู่ อื ครู 309

8. R2 = 10 R3 = 5

E1 = 10 V R4 = 8

E2 = 10 V R1 = 6 E3 = 20 V

พจิ ารณาการไหลของกระแสไฟฟา้ ในแตล่ ะลูป

Loop 1; (R1 + R2)I1 + R2I2 + R1I3 = E1

(6 + 10)I1 + 10I2 + 6I3 = 10

16I1 + 10I2 + 6I3 = 10 ➀
➁
Loop 2; R2I1 + (R2 + R3)I2 – R3I3 = 0 ➂

10I1 + (10 + 5)I2 – 5I3 = 0

10I1 + 15I2 – 5I3 = 0

Loop 3; R1I1 – R3I2 + (R1 + R3 + R4)I3 = E3 – E2

6I1 – 5I2 + (6 + 5 + 8)I3 = 20 – 10

6I1 – 5I2 + 19I3 = 10

แกส้ มการหาคา่ I1, I2 และ I3

Det = 16 10 6 16 10 = (4,560 – 300 – 300) – (540 + 400 + 1,900)
1 0 15 –5 1 0 15 = 3,960 – 2,840
6 –5 19 6 –5 = 1,120

NI1 = 10 10 6 10 10 = (2,850 ­–­ 500 + 0) – (900 + 250 + 0)
0 15 –5 0 15 = 2,350 – 1,150
1 0 –5 19 1 0 –5 = 1,200

NI2 = 16 10 6 16 10 = (0 + 300 + 600) – (0 – 800 + 1,900)
10 0 –5 1 0 0 = 300 – 1,100
6 1 0 19 6 10 = –800

NI3 = 16 10 10 16 10 = (2,400 + 0 – 500) – (900 + 0 + 1,000)
1 0 15 0 1 0 15 = 1,900 – 1,900
6 –5 10 1 6 –5 = 0

 I1 = DNeI1t = 11,,210200 = 1.0714 A ดงั นั้น IR1 คอื I1 + I3 = 1.0714 A
I2 = DNeI2t = 1–,810200 = –0.7143 A IR2 คือ I1 + I2 = 0.3571 A
I3 = DNeI3t = 1,1020 = 0 A IR3 คอื I2 – I3 = –0.7143 A
IR4 คอื I3 = 0 A

310 สดุ ยอดคู่มือครู

9. R2 = 10 R3 = 5

E1 = 10 V R7 = 2 R4 = 8 R6 = 5
R1 = 6 E3 = 10 V
E2 = 10 V
R5 = 10

พจิ ารณาการไหลของกระแสไฟฟา้ ในแต่ละวง

Loop 1; (R1 + R2 + R7)I1 + R7I2 = E2 – E1 ➀
(6 + 10 + 2)I1 + 2I2 = 10 – 10 ➁
18I1 + 2I2 = 0
Loop 2; R7I1 + (R7 + R5 + R6 + (R3 // R4))I2 = E3 + E2
2I1 + (2 + 10 + 5 + 3.0769)I2 = 10 + 10
2I1 + 20.08I2 = 20
แกส้ มการหาคา่ I1 และ I2
Det = 18 2 = 361.44 – 4
2 20. 08 = 357.44

NI1 = 0 2 = 0 – 40
2 0 20. 08 = –40

NI2 = 18 0 = 360 – 0
2 20 = 360
 I1 = DNeI1t = 35–74.044 = –0.1119
I2 = DNeI2t = 35376.044 = 1.0072
ดังนนั้ IR1 คือ I1 = –0.1119 A ในทิศตรงข้าม
IR2 คือ I1 = –0.1119 A ในทศิ ตรงข้าม
IR5 คือ I2 = 1.0072 A
IR6 คือ I2 = 1.0072 A

IR7 คือ I1 + I2 = 0.8953 A

IR4 คือ การแบง่ กระแสของ IR6 ออกตามสภาพ

= I1RR.30650+×7+R2R483× 5 จะได ้ IR3 = IR6 – IR4
= = 1.0072 – 0.3874
= 0.6198 A
= 5.013360
= 0.3874 A


สดุ ยอดคมู่ ือครู 311

10. R2 = 10

E1 = 10 V R3 = 5

R1 = 6 R4 = 10 R7 = 10
E2 = 20 V R8 = 2
E3 = 10 V

R5 = 8

R6 = 10 E4 = 10 V

พจิ ารณาการไหลของกระแสไฟฟ้าในแตล่ ะลปู

ก�ำ หนดให้ Ra = R3 // R4
= 5 // 10

= 3.33

Loop 1; (R1 + R2 + Ra)I1 + RaI2 + 0I3 = E2 – E1

(6 + 10 + 3.33)I1 + 3.33I2 + 0I3 = 20 – 10

19.33I1 + 3.33I2 + 0I3 = 10 ➀
➁
Loop 2; RaI1 + (Ra + R5 + R7)I2 + (R5 + R7)I3 = E2 + E3 ➂

3.33I1 + (3.33 + 8 + 10)I2 + (8 + 10)I3 = 10 + 20

3.33I1 + 21.33I2 + 18I3 = 30

Loop 3; 0I1 + (R5 + R7)I2 + (R5 + R6 + R7 + R8)I3 = E3 + E4

0I1 + (8 + 10)I2 + (8 + 10 + 10 + 2)I3 = 10 + 10

0I1 + 18I2 + 30I3 = 20

แก้สมการหาคา่ I1, I2 และ I3

Det = 19.33 3.33 0 19.33 3.33 = (12,369.27 + 0 + 0) – (0 + 6,262.92 + 332.67)
3. 33 2 1.3 3 1 8 3.3 3 2 1.33 = 12,369.27 – 6,595.59
0 1 8 3 0 0 1 8 = 5,773.68

NI1 = 10 3.33 0 10 3.33 = (6,399 ­+­ 1,198.8 + 0) – (0 + 3,240 + 2,997)
30 21.3 3 18 30 2 1.33 = 7,597.8 – 6,237
20 18 30 20 1 8 = 1,360.8

NI2 = 19.33 10 0 19.33 10 = (17,397 + 0 + 0) – (0 + 6,958.8 + 999)
3. 33 30 1 8 3. 33 30 = 17,397 – 7,957.8
0 20 3 0 0 20 = 9,439.2

312 สุดยอดค่มู อื ครู

NI3 = 19.33 3.33 10 19.33 3.33 = (8,246.18 + 0 + 599.4) – (0 + 10,438.2 + 221.78)
3. 33 2 1.3 3 30 3. 33 2 1.3 3 = 8,845.58 – 10,659.98
0 1 8 20 0 1 8 = –1,814.4

 I1 = DNeI1t = 51,,737630.6.88 = 0.24 A
I2 = DNeI2t = 59,,747339..628 = 1.63 A
I3 = DNeI3t = 5–1,7,87134.6.48 = –0.31 A

ดงั นนั้ IR1 คอื I1 = 0.24 A
IR2 คอื I1 = 0.24 A
IR5 คอื I2 + I3 = 1.94 A
IR6 คือ I3 = –0.31A
IR7 คือ I2 + I3 = 1.94 A
IR8 คือ I3 = –0.31 A

IR3 คอื การแบง่ กระแสของ I2 ระหว่าง R3 กับ R4

ดังนนั้ IR3 = RI23 ×+ RR44
= 1.563+×1010
= 1165.3
= 1.09 A
IR4 = I2 – IR3
= 1.63 – 1.09
= 0.54 A

สดุ ยอดคมู่ ือครู 313

เฉลยแบบทดสอบ

1. ตอบ 5. ทกุ ขอ้ เปน็ หลกั การของทฤษฎกี ระแสไฟฟ้าของเมช
2. ตอบ 2.
R1 = 5 R3 = 4

E1 = 20 V R2 = 10 E2 = 10 V

15I1 + 10I2 = 20
10I1 + 14I2 = 10

Det = 15 10 = (15 × 14) – (10 × 10)
1 0 14 = 210 – 100
= 110
NI1 = 20 10 = (20 × 14) – (10 × 10)
1 0 14 = 280 – 100
= 180
NI2 = 15 20 = (15 × 10) – (10 × 20)
1 0 10 = 150 – 200
= –50
 I1 = DNeI1t IR1 คือ I1 = 1.6363 A
= 111800 IR2 คือ I1 + I2 = 1.1818 A
= 1.6363 A IR3 คือ I2 = –0.4545 A
I2 = DNeI2t VR3 = IR3 × R3
= 1–5100 = 0.4545 × 4
= –0.4545 A = 1.8181 V

3. ตอบ 4. IR2 คือ I1 + I2 = 1.6363 + (–0.4545) = 1.1818 A
4. ตอบ 5.
R1 = 4 R2 = 3

R3 = 10

E1 = 10 V E2 = 20 V E3 = 20 V

7I1 + 3I2 = 30
3I1 + 13I2 = 40
Det = 7 13 = (7 × 13) – (3 × 3)
3 13 = 91 – 9
= 82

314 สุดยอดคมู่ อื ครู

NI1 = 30 3 = (30 × 13) – (40 × 3)
4 0 13 = 390 – 120
= 270
NI2 = 7 30 = (7 × 40) – (3 × 30)
3 40 = 280 – 90
= 190

I1 = DNeI1t IR1 คือ I1 = 3.2926 A
= 28720 IR2 คือ I1 + I2 = 5.6096 A
= 3.2926 IR3 คือ I2 = 2.3170 A
I2 = DNeI2t
= 18920
= 2.3170

5. ตอบ 2. IR3 คอื I2 = 2.3170 A R3 = 4
ขอ้ 6-8
R1 = 4 R2 = 2 R5 = 8

E1 = 20 V R4 = 6 E3 = 10 V
E2 = 20 V

6I1 + 2I2 + 0I3 = 10
2I1 + 12I2 – 6I3 = 20
0I1 – 6I2 + 14I3 = 10

Det = 6 2 0 6 2 = (1,008 + 0 + 0) – (0 + 216 + 56)
2 1 2 –6 2 1 2 = 1,008 – 272
0 –6 14 0 – 6 = 736

NI1 = 10 2 0 10 2 = (1,680 – 120 + 0) – (0 + 360 + 560)
2 0 1 2 –6 20 1 2 = 1,560 – 920
1 0 –6 14 10 – 6 = 640

NI2 = 6 10 0 6 10 = (1,680 + 0 + 0) – (0 – 360 + 280)
2 2 0 –6 2 2 0 = 1,680 – (–80)
0 1 0 14 0 1 0 = 1,760

NI3 = 6 2 10 6 2 = (720 + 0 – 120) – (0 – 720 + 40)
2 12 20 2 1 2 = 600 – (–680)
0 –6 10 0 – 6 = 1,280

สุดยอดค่มู อื ครู 315

I1 = DNeI1t IR1 คอื I1 = 0.8695
= 764306 IR2 คือ I1 + I2 = 3.2608
= 0.8695 IR3 คอื I2 = 2.3913
I2 = DNeI2t IR4 คือ I2 – I3 = 0.6519
= 17,73660 IR5 คือ I3 = 1.7391
= 2.3913 VR3 = IR3 × R3
I3 = DNeI3t = 2.391 × 4
= 17,23860 = 9.564 V
= 1.7391

6. ตอบ 4. 3.2608 A R1 = 6 R2 = 10 R3 = 5
7. ตอบ 1. 9.564 V
8. ตอบ 1. 0.6519 A
ข้อ 9-10

R4 = 8

E1 = 10 V E2 = 20 V E3 = 20 V E4 = 10 V

16I1 + 10I2 + 0I3 = 30
10I1 + 15I2 + 5I3 = 40
0I1 + 5I2 + 13I3 = 30

Det = 16 10 0 16 10 = (3,120 + 0 +0) – (0 + 400 + 1,300)
1 0 1 5 5 10 1 5 = 3,120 – 1,700
0 5 13 0 5 = 1,420

NI1 = 30 10 0 30 10 = (5,850 + 1,500 +0) – (0 + 750 + 5,200)
4 0 1 5 5 40 1 5 = 7,350 – 5,950
3 0 5 13 30 5 = 1,400

NI2 = 16 30 0 16 30 = (8,320 + 0 +0) – (0 + 2,400 + 3,900)
1 0 4 0 5 10 4 0 = 8,320 – 6,300
0 3 0 13 0 3 0 = 2,020

NI3 16 10 30 16 10 = (7,200 + 0 + 1,500) – (0 + 3,200 + 3,000)
1 0 1 5 40 10 1 5 = 8,700 – 5,200
0 5 30 0 5 = 3,500

316 สดุ ยอดค่มู ือครู

I1 = DNeI1t IR1 คือ I1 = 0.9859
= 11,,442000 IR2 คอื I1 + I2 = 2.4084
= 0.9859 IR3 คือ I2 + I3 = 3.8873
I2 = DNeI2t IR4 คอื I3 = 2.4648 A
= 12,,402200 VR2 = IR2 × R2
= 1.4225 = 2.4084 × 10
I3 = DNeI3t = 24.08 V
= 13,,540200
= 2.4648

9. ตอบ 5. 24.0 V
10. ตอบ 5. 3.89 A

สุดยอดคู่มือครู 317

หน่วยการเรียนรทู้ ี่ 7
เฉลยกิจกรรมตรวจสอบความเขา้ ใจ

1. แนวทางการตอบ ทฤษฎีแรงดันไฟฟ้าโนดใช้สำ�หรับการวิเคราะห์วงจรโครงข่ายที่มีความซับซ้อนและมีจำ�นวน
สาขาท่ีต่ออปุ กรณ์และแหลง่ จ่ายจำ�นวนมากๆ นอกจากใชท้ ฤษฎีของเมชหรือของเคอร์ชอฟฟ์แล้ว ทฤษฎขี องโนด
ก็เป็นอีกแนวทางหน่ึงท่ีจะช่วยในการแก้ปัญหาโจทย์ สำ�หรับทฤษฎีแรงดันของโนดจะเป็นการกำ�หนดจุดเพ่ือ
การหาค่าแรงดันไฟฟ้า ณ จุดนั้นๆ ซ่ึงจะเลือกเอาตำ�แหน่งที่เป็นจุดเชื่อมของสาขาต่างของวงจร โดยจะเทียบ
ค่าแรงดนั ไฟฟา้ ทก่ี ราวดข์ องแหล่งจา่ ย เม่ือค�ำ นวณคา่ แรงดนั ไฟฟ้า ณ ต�ำ แหน่งทีก่ ำ�หนดได้แลว้ ก็สามารถค�ำ นวณ
หาค่ากระแสไฟฟ้าท่ีไหลเข้าหรือไหลออกจากจุดได้ หรือถ้าหากต้องการคำ�นวณค่ากระแสท่ีไหลผ่านตัวต้านทาน
ที่ต่ออยู่ในสาขาน้ันๆ ก็สามารถใช้กฎของโอห์มได้ เม่ือมีการกำ�หนดให้ค่ากระแสไฟฟ้าไหลเข้าโนด แสดงว่า
แรงดันไฟฟ้าหรือศักย์ไฟฟ้าที่ต่อเช่ือมระหว่างโนดมีค่าน้อยกว่าแหล่งจ่ายเหนือโนดอื่นๆ ที่ต่อเชื่อมกับโนดท่ีกำ�หนด
แต่ถ้ามีการกำ�หนดให้ค่ากระแสไฟฟ้าไหลออกโนด แสดงว่าแรงดันไฟฟ้าหรือศักย์ไฟฟ้าที่ต่อเชื่อมระหว่างโนด
มคี า่ มากกวา่ แหล่งจา่ ยเหนือโนดอืน่ ๆ ท่ตี ่อเช่อื มกับโนดทีก่ �ำ หนด หรอื อืน่ ๆ ข้นึ อย่กู ับดลุ ยพนิ จิ ของผ้สู อน

2. แนวทางการตอบ เพื่อให้การวิเคราะห์ปัญหาโจทย์มีความรวดเร็วและถูกต้องให้ดำ�เนินการตามข้ันตอน
ดังต่อไปน ี้

1) กรณีท่ีเป็นแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้าให้เปล่ียนเป็นแหล่งจ่ายกระแสไฟฟ้าโดยใช้กฎของโอห์ม ในกรณีเป็น
แหล่งจ่ายกระแสก็สามารถกำ�หนดทศิ ทางได้เลย

2) ก�ำ หนดโนดโดยเลอื กเอาตำ�แหนง่ ทเ่ี ปน็ จุดตอ่ เช่อื มของสาขา
3) ให้กำ�หนดทิศทางการไหลของกระแสไฟฟ้าโดยการกำ�หนดทิศทางของแหล่งจ่ายกระแสไฟฟ้าเป็นหลักก่อน

สว่ นกระแสท่ีไหลผ่านสาขาอ่ืนๆ ท่ีมใิ ชแ่ หล่งจ่าย ขึ้นอยกู่ ับการก�ำ หนดวา่ ใหไ้ หลเขา้ หรือไหลออกจดุ
4) ไหลเขา้ แสดงว่าแรงดนั โนดน้อยกวา่ สาขาท่ีตอ่ เชื่อม
5) พจิ ารณาคา่ กระแสไฟฟา้ ของจุด
6) แกส้ มการเพ่อื หาคา่ แรงดนั ไฟฟ้าทจี่ ดุ ก�ำ หนด
7) หาค่ากระแสไฟฟ้าไหลผา่ นตวั ตา้ นทาน หรืออืน่ ๆ ขึ้นอยกู่ ับดลุ ยพินจิ ของผู้สอน
3. แนวทางการตอบ การต่อวงจรและคำ�นวณค่าทางไฟฟ้าด้วยทฤษฎีแรงดันไฟฟ้าของโนดมีวิธีโดยก�ำ หนดสมการ

ตัวแปรร่วมเพ่ือทำ�าการวิเคราะห์หาค่าแรงดันไฟฟ้าแต่ละโนด จะใช้วิธีการของเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ เมื่อ
วเิ คราะหค์ า่ แรงดนั ไฟฟา้ ทต่ี กครอ่ มโนดกบั จดุ อา้ งองิ สามารถแทนคา่ ในสมการทก่ี ำ�หนดการไหลของกระแสไฟฟา้
ทีไ่ หลผ่านอปุ กรณไ์ ฟฟ้าแตล่ ะตวั ได้ หรอื อืน่ ๆ ข้นึ อยูก่ ับดุลยพินจิ ของผสู้ อน

318 สุดยอดค่มู อื ครู

เฉลยกจิ กรรมส่งเสรมิ การเรยี นรู้

1. R1 = 4 R3 = 5

E1 = 12 V R2 = 10 E2 = 10 V

พจิ ารณาโนด A I2 = I1 + I3

เมือ่ I1 = ERV1a2R–1 Va
I2 =

I3 = E2R–3Va

จะได ้ RVa2 = E1R–1Va + E2R–2Va

( ) 110Va = 142 – 14Va + 150 – 15 Va

110 + 14 + 15 Va = 142 + 150
(0.1 + 0.25 + 0.2)Va = 3 + 2
0.55Va = 5
 Va = 0.555
= 9.0909 V

 I1 = 12 – 94.0909
= 0.7273 A

I2 = 9.019009
= 0.9091 A

I3 = 10 – 95.0909
= 0.1818 A

สุดยอดคมู่ อื ครู 319

2.

R1 = 4 R2 = 2 R3 = 1
E1 = 10 V E2 = 20 V E3 = 10 V

ทโี่ นด A ก�ำ หนดให้ I1 = I2 + I3
เมอื่ I1 = VaR–1E1
I2 = E2R–2Va
I3 = E3R–3Va
จะได ้ Va –4 10 = 20 2– Va + 10 1– Va

( ) 41Va – 140 = 220 – 21Va + 110 – 110Va

41 + 21 + 11 Va = 220 + 110 + 140
(0.25 + 0.5 + 1)Va = 10 + 10 + 2.5
1.75Va = 22.5
 Va = 212.7.55
= 12.8571 V
จะได ้ I1 = 12.85741 – 10
= 0.7143 A
I2 = 20 – 122.8571
= 3.5715 A
I3 = 10 – 112.8571
= –2.8571 A
หรือ I3 = 2.8571 ในทศิ ตรงข้าม

320 สดุ ยอดคมู่ ือครู

3. R3 = 2

R1 = 5 R2 = 10 R4 = 5 R5 = 10

E1 = 25 V E2 = 20 V

Node A I1 = I2 + I3 Node; = I3 = I4 + I5
VERVa1a2RR–– 13 Va RVVb4b R+5 E2
I1 = I4 =
I2 = I5 =
I3 = Vb

25 5– Va = 1V0a + Va 2– Vb
255 – 51Va = 110Va + 12 Va – 12Vb

( ) 255 = 15 + 110 + 21 Va – 21Vb
( ) 15 + 110 + 21 Va – 12Vb = 255
(0.2 + 0.1 + 0.5)Va – 0.5Vb = 5
0.8Va – 0.5Vb = 5 ➀

Va 2– Vb = V5b + Vb 1+020
21 Va – 21 Vb = 51Vb + 110Vb + 1200

( ) 12 Va – 21 + 15 + 110 Vb = 2100
0.5Va – (0.5 + 0.2 + 0.1)Vb = 2
0.5Va – 0.8Vb = 2
แก้สมการหาคา่ Va และ Vb ➁
0.8Va – 0.5Vb = 5
0.5Va – 0.8Vb = 2
Det = 5 –0.5 = (–0.64) – (–0.25)
2 –0 .8 = –0.64 + 0.25
= –0.39
NVa = 5 –0.5 = –4.0 – (–1)
2 –0 .8 = –4 + 1
= –3
NVb = 0.8 5 = 1.6 – 2.5
0.5 2 = –0.9

สุดยอดคูม่ อื ครู 321

 Va = NDVeta = –0–.339 = 7.6923 V
Vb = NDVetb = ––00.3.99 = 2.3077 V
จะได ้ I1 = 25 – 75.6923 = 17.35077 = 3.4615 A
I2 = 7.619023 = 0.7692 A
I3 = 7.6923 2– 2.3077 = 5.32846 = 2.6923 A
I4 = 2.35077 = 0.4615 A
I5 = 2.307170+ 20 = 22.130077 = 2.2308 A
พสิ จู น์กระแสไฟฟ้าของแต่ละสาขา


3.4615 A 2.6923 A 0.4615 A
0.7692 A 2.2308 A

3.4615 A 2.6923 A 2.2308 A

4. R1 = 2 R2 = 4 R3 = 3

Ia = 2 A Ib = 4 A

ที่ Node A; I1 = Ia + I2 Node B; I2 + I3 = Ib
2–V–RRVVa3+1Rba–2VVab 4– Vb
I1 = Va 4– Vb + (–3Vb) = 4

I2 = ( ) 14Va – 14Vb – 31Vb = 4

I3 = 41Va – 41 + 31 Vb = 4
–2Va = 0.25Va – (0.25 + 0.33)Vb = 4
( ) –12Va = 2 + 41Va – 41Vb 0.25Va – 0.58Vb = 4
แกส้ มการหาค่า Va และ Vb ➁
– 21 + 14 Va + 14Vb = 2 –0.75Va + 0.25Vb = 2
–(0.5 + 0.25)Va + 0.25Vb = 2 0.25Va – 0.58Vb = 4

–0.75Va + 0.25Vb = 2 ➀

322 สดุ ยอดคมู่ อื ครู

Det = –0.75 0.25 = 0.435 – 0.0625
0.2 5 –0.5 8 = 0.3725
NVa = 2 0.25 = –1.16 – 1
4 –0 .58 = –2.16

NVb = –0.75 2 = –3 – 0.5
0.2 5 4 = –3.5
Va = NDVeta = 0–.23.71265 = –5.7987
Vb = NDVetb = 0.–337.525 = –9.3969
 I1 = –(–5.27986) = 2.8994 A
I2 = –5.7987 –4(–9.3969) = 0.8993 A
I3 = –(–­9.33959) = 3.132 A

5. R1 = 2 R2 = 4 R3 = 3

E1 = 10 V Ia = 2 A Ib = 4 A

Node A; I1 + Ia = I2 Node B; I2 = Ib + I3

เมอ่ื I1 = E1 RR4–––21 Va เมือ่ I3 = RVb3 V3b
= Va Vb Va 4– Vb = 4+
I2 = Va Vb
10 2– Va + 2 14Va – 14Vb – 31Vb = 4
120 – 21Va + 2 41Va – 14Vb 0.25Va – (0.25 + 0.33)Vb = 4
120 + 2 = 12 + 14 Va – 41Vb 4
5 + 2 = (0.5 + 0.25)Va – 0.25Vb 0.25Va – 0.58Vb =
( ) = แกส้ มการหาคา่ Va และ Vb 7 ➁
0.75Va – 0.25Vb =



0.75Va – 0.25Vb = 7 ➀ 0.25Va – 0.58Vb = 4

Det = 0.75 –0.25 = –0.435 – (–0.0625)
0.2 5 –0.5 8 = –0.435 + 0.0625
= –0.3725

สุดยอดคู่มอื ครู 323

NVa = 7 –0.25 = –4.06 – (–1)
4 –0 .58 = –3.06

NVb = 0.75 7 = 3 – 1.75
0.2 5 4 = 1.25

 Va = NDVeta = –0–.33.70265 = 8.2148 V
Vb = NDVetb = –01.3.27525 = –3.3557 V

I1 = 10 – 82.2148 = 1.72852 = 0.8926 A
I2 = 8.2147 –4(–3.3557) = 11.54704 = 2.8926 A
I3 = –3.33557 = –1.1186 A

R1 = 2 R2 = 4 R3 = 3

0.8926 A 0.8926 A 1.1185 A

E1 = 10 V I1 = 2 A I2 = 4 A

6. R1 = 2 R4 = 10

E1 = 20 V R2 = 4 R5 = 20 I1 = 4 A
R3 = 6

Node A; I1 = I2 + I3 + I4 Node B; I4 + I5 = I3 + Ia
VVERVaa1a2RRR –––451 Va I3 = RVb3
I1 =
I2 = Vb
I4 = Vb
I5 =

 Node A; 10 2– Va = 4Va + Va1–0Vb + Va2–0Vb
120 – 12Va = 14Va + 110Va – 110Vb + 210Va – 210Vb

( ) ( ) 120 = 12 + 41 + 110 + 210 Va – 110 + 210 Vb

324 สุดยอดคมู่ ือครู

(0.5 + 0.25 + 0.1 + 0.05)Va – (0.1 + 0.05)Vb = 5 ➀
0.9Va – 0.15Vb = 5
Node B; Va1–0Vb + Va2–0Vb = V6b + 4
110Va – 110Vb + 210Va – 210Vb – 61Vb = 4

( ) ( ) 110 + 210 Va – 110 + 210 + 61 Vb = 4
(0.1 + 0.05)Va – (0.1 + 0.05 + 0.1667)Vb = 4
0.15Va – 0.3167Vb = 4 ➁
แก้สมการหาคา่ Va และ Vb

Det = 0.9 –0.15 = –0.2850 – (–0.0225)
0.1 5 – 0.3 167 = –0.2625

NVa = 5 –0.15 = –1.5835 – (–0.6)
4 –0 .31 67 = –0.9835

NVb = 0.9 5 = 3.6 – 0.75
0.1 5 4 = 2.85
NNDDVVeettba
Va = = ––00..29682355 = 3.7467 V
Vb = = –02.2.86525 = –10.8571 V

ดังน้นั
I1 = 20 – 32.7467 = 16.22533 = 8.1267 A
I2 = 3.74467 = 0.9367 A
I3 = –10.68571 = –1.8095 A
I4 = 3.7467 ––12((00––1100..88557711)) = 14.160038 = 1.4604 A
I5 = 3.7467 = 14.260038 = 0.7302 A

พิสูจน์กระแสไฟฟา้ 1.4604 A

8.1267 A 0.7302 A 1.8095 A
0.9367 A

2.1905 A

สุดยอดคมู่ อื ครู 325

7. R4 = 2

R2 = 4 E1 = 20 V R6 = 5

R1 = 2 E3 = 10 V R8 = 2
E4 = 20 V

R3 =E120= 10 V R5 = 20 = 10
R7

Node A; I1 + I4 = I2
เม่ือ I1 = RVa1
VEE24a011 RRR––––223 VVV41baa Va
I2
( ) =
I4 =
=
+ 12 V12 a +R+Va11421+VVaaV––a R–12213VVVbbb =

= 240
12

(0.5 + 0.5 + 0.25)Va – 0.5Vb = 5
1.25Va – 0.5Vb = 5
➀

Node B; I4 + I8 = I6

เม่อื I8 = –RV8b และ I6 = Vb + RE63 – Vc
พจิ ารณากระแสไฟฟา้ ในแตล่ ะโนด
Node A; I1 + I4 = I2
Node B; I4 + I8 = I6
Node C; I6 = I2 + I3 + I5 + I7
VEVRVa1c1aRR–+ +43VRVEb2c2 – Va RVVbc5
เม่ือ I1 = I5 = ERE4L3 – Vc
I2 = I6 = +
I3 = I7 =
I4 = I8 = V–RVc8R5– 7

ดงั นนั้ V2a + Va 2– Vb = 10 + V4c – Va
12Va + 21Va – 21Vb = 140 + 14Vc – 41Va

326 สดุ ยอดคู่มือครู

( ) 12 + 12 + 14 Va – 12Vb – 14Vc = 240

(0.5 + 0.5 + 0.25)Va – 0.5Vb – 0.25Vc = 5

1.25Va – 0.5Vb – 0.25Vc = 5 ➀

Node B; Va 2– Vb + –2Vb = Vb + E53 – Vc
12Va – 21Vb – 12Vb = 15150Vb + 150 15Vc
12Va – 21 + 12 + 51 Vb + 15Vc =
( ) –


0.5Va – (0.5 + 0.5 + 0.2)Vb + 0.2Vc = 2
0.5Va – 1.2Vb + 0.2Vc = 2 ➁

Node C; Vb + E53 – Vc = Vc + E41 – Va + Vc1+0E2 + 2V0c + Vc1+0E4

( ) 15Vb + 150 – 15Vc = 14Vc + 240 – 14Va + 110Vc + 1100 + 210Vc + 110Vc + 2100

41Va + 15Vb – 15 + 41 + 110 + 210 + 110 Vc = – 150 + 240 + 1100 + 2100
0.25Va + 0.2Vb – (0.2 + 0.25 + 0.1 + 0.05 + 0.1)Va = –2 + 5 + 1 + 2
0.25Va + 0.2Vb – 0.7Vc = 6 ➂

แก้สมการหาคา่ Va, Vb และ Vc
1.25Va – 0.5Vb – 0.25Vc = 5
0.5Va – 1.2Vb + 0.2Vc = 2
0.25Va + 0.2Vb – 0.7Vc = 6

Det = 1.25 –0.5 –0.25 1.25 –0.5 = (1.05 – 0.025 – 0.025) – (0.075 + 0.05 + 0.175)
0.5 – 1.2 0 .2 0 .5 –1 .2 = 1 – 0.3
0.2 5 0 .2 – 0.7 0 .25 0.2 = 0.7

NVa = 5 –0.5 –0.25 5 –0.5 = (4.2 – 0.6 – 0.1) – (1.8 + 0.2 + 0.7)
2 –1.2 0.2 2 –1.2 = 3.5 – 2.7
6 0.2 –0. 7 6 0.2 = 0.8

NVb = 1.25 5 –0.25 1.25 5 = (–1.8 + 0.25 – 0.75) – (–0.125 + 1.5 – 1.75)
0.5 2 0.2 0.5 2 = –2.3 – (–0.375)
0.2 5 6 –0.7 0.25 6 = –1.925

NVc = 1.25 –0.5 5 1.25 –0.5 = (–9 – 0.25 + 0.5) – (–1.5 + 0.5 – 1.5)
0.5 –1.2 2 0 .5 –1 .2 = –9.25 – (–2.5)
0.2 5 0.2 6 0 .25 0. 2 = –6.75

สดุ ยอดคมู่ ือครู 327

Va = NDVeta = 00..78 = 1.1429 V
Vb = NDVetb = –10.9.775 = –2.75 V
Vc = NDVetc = –60..775 = –9.6429 V
ดังน้ัน I1 = 1.12429 = 0.5715 A
I2 = 20 – 9.64249 – 1.1429 = 9.24142 = 2.3036 A
I3 = –9.641209 + 10 = 0.319028 = 0.0393 A
I4 = 1.1429 2– (–2.75) = 3.82929 = 1.9465 A
I5 = –9.260429 = –0.4821 A
I6 = –2.75 + 105– (–9.6429) = 16.85929 = 3.3786 A
I7 = –9.641209 + 20 = 10.130571 = 1.0357 A
I8 = –(–22.75) = 1.3750 A
พิสจู น์ทิศทางการไหลของกระแสไฟฟ้า

0.5715 A 1.9465 A

2.3036 A 3.3786 A 1.3750 A

1.0357 A
0.0393 A 0.4821 A

328 สดุ ยอดค่มู ือครู

8. R4 = 10

R3 = 10 R6 = 5

R1 = 4 R2 = 10 R5 = 2 R7 = 5 R8 = 10
E2 = 20 V E3 = 10 V
E1 = 10 V

พิจารณากระแสไฟฟ้าในแต่ละโนด
Node A; I1 + I3 = I2 + I4
Node B; I3 + I6 = I5
Node C; I7 + I8 = I6 + I4

เมอื่ I1 = VVERVac11aRRR––– 342VVVbaa I5 = EERVV23cb5RRR –––786VVVccb
I2 = I6 =
I3 = I7 =
I4 = I8 =

ดงั นั้น Node A; V4a + Va1–0Vb = E11–0Va + Vc1–0Va
( ) + 11 0014 Va + 111100VVab – 111100VVbc = 11110000 – 110Va + 110Vc – 110 Va
41 + 110 + 110 Va – – =

(0.25 + 0.1 + 0.1 + 1)Va – 0.1Vb – 0.1Vc = 1

1.45Va – 0.1Vb – 0.1Vc = 1 ➀

Node B; Va1–0Vb + Vc 5– Vb = V2b ➁
110Va – 110Vb + 15Vc – 51 Vb – 12Vb = 0

( ) 110Va – 110 + 51 + 12 Vb + 51Vc = 0

0.1Va – (0.1 + 0.2 + 0.5)Vb + 0.2Vc = 0
0.1Va – 0.8Vb + 0.2Vc = 0

Node C; 101–0 Vc + 20 5– Vc = Vc 5– Vb + Vc1–0Va

( ) 1100 – 110Vc + 250 – 15Vc = 51Vc – 15Vb + 110Vc – 110Va

110Va + 51Vb – 110 + 51 + 51 + 110 Vc = – 2100 – 250

สุดยอดคมู่ อื ครู 329

–0.1Va – 0.2Vb + (0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.1)Vc = 1 + 4
–0.1Va – 0.2Vb + 0.6Vc = 5 ➂
แกส้ มการหาคา่ Va, Vb และ Vc
1.45Va – 0.1Vb – 0.1Vc = 1
0.1Va – 0.8Vb + 0.2Vc = 0
–0.1Va – 0.2Vb + 0.6Vc = 5
Det = 1.45 –0.1 –0.1 1.45 –0.1 = (–0.696 – 0.002 – 0.002) – (–0.008 – 0.058 – 0.006)
0.1 – 0.8 0 .2 0 .1 –0 .8 = –0.7 – (–0.072)
–0. 1 – 0.2 0 .6 – 0.1 –0 .2 = –0.628
NVa = 1 –0.1 –0.1 1 –0.1 = (–0.48 – 0.1 + 0) – (0.4 – 0.04 + 0)
0 –0.8 0.2 0 –0.8 = –0.58 – 0.36
5 –0.2 0.6 5 –0.2 = –0.94
NVb = 1.45 1 –0.1 1.45 1 = (0 – 0.02 – 0.05) – (0 + 1.45 + 0.06)
0.1 0 0.2 0.1 0 = –0.07 – 1.51
–0. 1 5 0.6 –0.1 5 = –1.58
NVc = 1.45 –0.1 1 1.45 –0.1 = (–5.8 + 0 – 0.02) – (0.08 + 0 – 0.05)
0.1 –0.8 0 0 .1 –0 .8 = –5.82 – 0.03
–0. 1 –0.2 5 – 0.1 –0 .2 = –5.85
Va = NDVeta = ––00.6.9248 = 1.4968 V
Vb = NDVetb = ––01.6.5288 = 2.5159 V
Vc = NDVetc = ––05..68258 = 9.3153 V
ดงั นนั้ I1 = 1.44968 = 0.3742 A
I2 = 10 – 110.4968 = 8.510032 = 0.8053 A
I3 = 1.49681–02.5159 = –1.100191 = 0.1019 A
I4 = 9.31531–01.4968 = 7.811085 = 0.7819 A
I5 = 2.52159 = 1.258 A
I6 = 9.3153 5– 2.5159 = 6.75994 = 1.3599 A

330 สดุ ยอดคมู่ ือครู

I7 = 20 – 95.3153 = 10.65847 = 2.1369 A
I8 = 10 – 190.3153 = 0.618047 = –0.0685 A

0.7819 A
0.1019 A

0.3742 A 0.8053 A 1.258 A 1.3599 A 1.3599 A
2.1369 A

9. R1 = 2 R2 = 10 R3 = 3

E1 = 20 V Ia = 8 A Ib = 4 A E2 = 10 V

Node การไหลของกระแสไฟฟา้ Node B ; I2 + I3 = Ib
I1 = E1R–1Va Va1–0Vb + 10 3– Vb = 4
I2 = VaR–2Vb
I3 = E2R–3Vb ( ) 110Va – 110Vb + 130 – 13Vb = 4
Node A ; I1 = Ia + I2
20 2– Va = 8 + Va1–0Vb 110Va – 110 + 31 Vb = 4 – 130
0.1Va – (0.1 + 0.3333)Vb = 0.6667
( ) – 12Va – 110Va + 110Vb = 8 – 220
0.1Va – 0.4333Vb = 0.6667
– 12 + 110 Va + 110Vb = 8 – 10
–(0.5 + 0.1)Va + 0.1Vb = –2 แก้สมการหาคา่ Va และ Vb

หรือ 0.6Va – 0.1 Vb = 2 0.6Va – 0.1Vb = 2

0.1Va – 0.4333Vb = 0.6667


สุดยอดคู่มือครู 331

Va = NDVeta = 2 –0.1 Vb = NDVetb = 0.6 2
0.6667 –0.4333 0.1 0.6667
0.6 –0.1 0.6 –0.1

0.1 –0.4333 0.1 –0.4333

= (–0(.–806.6266)) –– ((––00..00616) 7) = (–(0–.02.46)) –– ((––00..02)1)
= ––00.2.65
= –0–.07.29959
= 2.4 V
= 3.1996 V

I1 = 1310.019––36132260..14–9 92 6.4 = 8.4002 A
I2 = = 2.9596 A
I3 = = 9.2 A

10. R4 = 10

Ia = 10 A R3 = 10 R6 = 5

R1 = 4 R2 = 10 R5 = 2 R7 = 5 R8 = 10
E2 = 20 V E3 = 10 V
E1 = 10 V

พิจารณากระแสไฟฟ้าในแตล่ ะสาขา
I1 = RV1a I2 = E1R–2Va I3 = VaR–3Vb
I4 = VcR–4Va I5 = RV5b I6 = VcR–6Vb
I7 = E2R–7Vc I8 = E3R–8Vc

Node A ; I1 + I3 = I4 + I2

( ) R1V110a V+a –Va1R1–03VVbb = V11c0R–V4cV–a +110EV1aR–+2 Va – 110Va
14Va + = 1100

41 + 110 + 110 + 110 Va – 110Vb – 110Vc = 1100

(0.25 + 0.1 + 0.1 + 0.1)Va – 0.1Vb – 0.1Vc = 1

0.55Va – 0.1Vb – 0.1Vc = 1 ➀

332 สุดยอดคูม่ อื ครู

Node B ; I3 + I6 = I5

1 1 0 V a – 1 1V0aVRb–3+Vb15+VcV–c R–516VVbb = R12V5Vb b
=
( ) 110Va – 110 + 51 + 12 Vb + 51 Vc = 0
0.1Va – (0.1 + 0.2 + 0.5)Vb + 0.2Vc = 0

0.1Va – 0.8Vb + 0.2Vc = 0 ➁

Node C ; I4 + I6 = I7 + I8
VcR–4Va + VcR–6Vb = E2R–7Vc + E3R–8Vc
110Vc – 110Va + 15Vc – 51Vb = 250 – 15Vc + 1100 – 110Vc

( ) – 110Va – 51Vb + 110 + 51 + 51 + 110 Vc = 250 + 1100

–0.1Va – 0.2Vb + (0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.1)Vc = 4 + 1

–0.1Va – 0.2Vb + 0.6Vc = 5 ➂
แก้สมการ 0.55Va – 0.1Vb + 0.1Vc = 1
0.1Va – 0.8Vb + 0.2Vc = 0
–0.1Va – 0.2Vb + 0.6Vc = 5

Det = 0.55 –0.1 –0.1 0.55 –0.1 = (–0.264 + 0.002 + 0.002) – (–0.008 – 0.022 – 0.006)
0.1 –0.8 0.2 0 .1 –0 .8 = –0.26 + 0.036
–0. 1 –0.2 0.6 –0 .1 –0 .2 = –0.224

NVa = 1 –0.1 –0.1 1 –0.1 = (–0.48 – 0.1 + 0) – (0.4 – 0.04 + 0)
0 –0 .8 0.2 0 –0.8 = –0.58 – 0.36
5 –0 .2 0.6 5 –0.2 = –0.94

NVb = 0.55 1 –0.1 0.55 1 = (0 – 0.02 – 0.05) – (0 + 0.55 + 0.06)
0.1 0 0.2 0 .1 0 = –0.07 – 0.61
–0. 1 5 0.6 – 0.1 5 = –0.68

NVc = 0.55 –0.1 1 0.55 –0.1 = (–2.2 + 0 – 0.02) – (0.08 + 0 – 0.05)
0.1 –0.8 0 0 .1 –0 .8 = –2.22 – 0.03
–0. 1 –0.2 5 – 0.1 –0 .2 = –2.25

สดุ ยอดคมู่ อื ครู 333

Va = NDVeta = ––00..29244 = 4.1964 V

Vb = NDVetb = ––00.2.6284 = 3.0357 V

Vc = NDVetc = ––02..22254 = 10.0046 V

I1 = RV1a = 4.14964 = 1.0491 A

I2 = E1R–2Vb = 10 – 130.0357 = 0.6964 A

I3 = VaR–3Vb = 4.19641–03.0357 = 0.1161 A

I4 = VcR–4Va = 10.004610– 4.1964 = 0.5808 A

I5 = RV5b = 3.02357 = 1.5179 A

I6 = VcR–6Vb = 10.00465– 3.0357 = 1.3938 A

I7 = E2R–7Vc = 20 – 1100.0046 = 1.9991 A

I8 = E3R–8Vc = 10 – 1100.0046 = –0.0005 A


334 สดุ ยอดค่มู อื ครู

เฉลยแบบทดสอบ

1. ตอบ 5. ทกุ ขอ้ ท่กี ลา่ วมาเป็นหลักของทฤษฎีแรงดันไฟฟ้าโนด
2. ตอบ 3. 12.72 V
R1 = 4 I1 I2 R3 = 5

R2 = 10 E2 = 10 V

E1 = 20 V I3

กำ�หนดโนดที่จุด A
I1 + I2 = I3
+===+ 1 E0EER2VR215A2––RR3––VV13VVAA AA––
เม่อื I1 1VRV0AA2 = 0
I2 = 0
I3
2E014–R–1VVAA
จะได้



240 – V4A + 150 – V5A – 1V0A = 0

( ) 41 + 51 + 110 VA = 240 + 150
(0.25 + 0.2 + 0.1)VA = 5 + 2
0.55VA = 7
 VA = 0.755
3. ต อบ 1 . = 12.73
RV12A21.072
 IR2 =
=

= 1.272 A

4. ตอบ 5. A R2

R1 = 12 R2 = 8 IR1 R3
E1 = 20 V Ix Ia
R3 = 10
Ia = 10 V

ที่ Node A; Ix + Ia = I1 + I2
เมือ่ Iy = Ix + Ia
= 1.67 + 10
= 11.67

สดุ ยอดคูม่ อื ครู 335

จะได ้ I1 = (RIy1×+(RR22 ++ R R33) )
= 111.627+×8(8++1010)
= 21300.06
= 7.00 A
และ I2 = I3 = Iy – I1
= 11.67 – 7
= 4.67 A
VA = I1 × R1
= 7 × 12
= 84 V
หรอื VA = I2 × (R2 + R3)
= 4.67 × (18)
= 84.06 V
5. ตอบ 2. I2 = – = 11.67 – 7 = 4.67 A
ข้อ 6-8. Iy I1 I3 VB
VA

I1 I2 I4

E1 = 20 V I5
E2 = 10 V

Node A I1 = I2 + I3 I3 = VRVAB4 R–3 VB
Node B I4 = I3 + I5 I4 =
E1 R–1 VA
เม่อื I1 = RVA2 I5 = E2 R–5VB
I2 =

Node A E1 – VA – RVA2 – VA – VB = 0
R1 R3
20 5– VA – V8A – VA2–0VB = 0

( ) 51 + 18 + 210 VA – 210VB = 250
(0.2 + 0.125 + 0.05)VA – 0.05VB = 4

0.375VA – 0.05VB = 4 ➀

Node B –RVV54BB – VVAA2R––03VVBB – E1 – VB = 0
– – 10 R–5 VB = 0
20

336 สดุ ยอดคู่มือครู

( ) 2–10VA + 51 + 210 + 210 VB = 2100
–0.05VA + (0.2 + 0.05 + 0.05)VB = 0.5
–0.05VA + 0.3VB = 0.5 ➁
 0.375VA – 0.05VB = 4
–0.05VA + 0.3VB = 0.5

Det = 0.375 –0.05 = (0.375 × 0.3) – (–0.05 × (–0.05))
–0.0 5 0.3 = 0.1125 – 0.0025
= 0.11
NVA = 4 –0.05 = (4 × 0.3) – (0.5 × (–0.05))
0.5 0.3 = 1.2 – (–0.025)
= 1.225
NVB = 0.375 4 = (0.375 × 0.5) – (–0.05 × 4)
–0.0 5 0.5 = 0.1875 – (–0.2)
= 0.3875

 VA = NDVeAt VB = NDVetB IR4 = 3RV.B1552
= 10.2.1215 = 00.3.18715 =
= 11.14 V = 3.52 V
= 0.70 V

6. ตอบ 4. 11.14 V
7. ตอบ 1. 3.52 V
8. ตอบ 1. 0.70 V
ขอ้ 9-10
R4 = 10

R1 = 4 R5 = 20 Ia = 4 A
E1 = 10 V R2 = 20 R3 = 10

Node A I1 = I2 + I4 + I5
Node B I4 + I5 = I3 + Ia
VVERVRVAA2A2B3RRR–––145 VA
I1 =
I2 = VB
I4 = VB
I5 =
I3 = สุดยอดคู่มอื ครู 337

Node A; E2 4– VA = VV22AA + 1VV0AA1––0V1VB0B + V2VA0A2–0–V2VB0B
110 – V4A = + +
( ) ( ) 2.5 = 21 + 41 + 110 + 210 VA – 110 + 210 VB
= (0.5 + 0.25 + 0.1 + 0.05)VA – (0.1 + 0.05)VB

2.5 = 0.9VA – 0.15VB

หรือ 0.9VA – 0.15VB = 2.5 ➀

Node B; VA1–0VB + VA2–0VB = V6B + 4
110 VA – 110 VB + 210 VA – 210 VB – 16VB = 4

( ) ( ) 110 + 210 VA – 110 + 210 + 61 VB = 4
(0.1 + 0.05)VA – (0.1 + 0.05 + 0.1667)VB = 4

0.15VA – 0.3167VB = 4 ➁

Det = 0.9 –0.15 = (0.9 × (–0.3167)) – (0.15 × (–0.15))
0.1 5 – 0.3 167 = –0.2850 – (–0.0225)
= –0.2625

NVA = 2.5 –0.15 = (2.5 × (–0.3167)) – (4 × (0.15 2.5))
4 –0 .31 67 = –0.7918 – (–0.6)

= –0.1918

NI2 = 0.9 2.5 = (0.9 × 4) – (0.15 × 2.5)
0.1 5 4 = 3.6 – 0.375
= 3.225

VA = NDVeAt VB = NDVeBt I3 = RV–1B3 2.62857
= ––00..12961285 = –03..2262255 =
= 0.7307 = –12.2857
= –2.0476 ≈ 2.05 A

9. ตอบ 2. 0.73 V
10. ตอบ 3. 2.05 A

338 สุดยอดคมู่ ือครู

หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 8
เฉลยกจิ กรรมตรวจสอบความเข้าใจ

1. แนวทางการตอบ ทฤษฎีแรงดันไฟฟ้าของเทวินิน คือการพิจารณาวงจรโครงข่ายท่ีมีความซับซ้อน แล้วแปลง
ใหเ้ ปน็ วงจรลเิ นยี รท์ ป่ี ระกอบดว้ ยแหลง่ จา่ ยแรงดนั ไฟฟา้ ไฟฟา้ และคา่ ความตา้ นทานไฟฟา้ สมมตุ ิ โดยทต่ี วั ตา้ นทาน
ไฟฟา้ จะตอ่ อนกุ รมกบั แหลง่ จา่ ยแรงดนั ไฟฟา้ เรยี กวา่ ตวั ตา้ นทานเทยี บเทา่ เทวนิ นิ ไดจ้ ากการหาคา่ ความตา้ นทาน
รวมของวงจรโดยวิธีของเทวินิน ส่วนค่าแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้าท่ีต่ออนุกรมกับตัวต้านทานเรียกว่า แหล่งจ่าย
แรงดันไฟฟ้าเทียบเทา่ เทวนิ ิน หรอื อ่นื ๆ ข้นึ อยกู่ ับดุลยพนิ ิจของผู้สอน

2. แนวทางการตอบ การพจิ ารณาคา่ กระแสและค่าความตา้ นทานเทียบเทา่ ของเทวนิ ินมขี นั้ ตอนดงั ต่อไปนี้
1) เม่ือต้องการหาค่ากระแสไหลผ่านตัวต้านทานใดๆ หรือที่เรียกว่าโหลดไฟฟ้า ให้ทำ�การปลดโหลดดังกล่าว

ออกจากวงจรก่อน
2) คำ�นวณหาค่าความต้านทานเทียบเท่าของเทวินินโดยถ้าเป็นแหล่งจ่ายกระแสไฟฟ้าให้ท�ำ การเปิดวงจรของ

แหลง่ จ่ายกระแสไฟฟา้ ส่วนถา้ เป็นแหลง่ จา่ ยแรงดนั ไฟฟา้ ให้ทำ�การลัดวงจรของแหลง่ จ่ายแรงดันไฟฟ้า
3) ค�ำ นวณหาคา่ แรงดนั ไฟฟา้ เทยี บเทา่ เทวินิน โดยให้เปดิ วงจรทต่ี ำ�แหนง่ โหลดทป่ี ลดออกแลว้ ค�ำ นวณคา่ แรงดัน

ไฟฟ้าท่ตี กคร่อมขวั้ ซ่งึ จะมคี า่ เท่ากบั แรงดันไฟฟ้าเทียบเท่าเทวนิ นิ
4) นำ�ค่าแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้าเทียบเท่าและความต้านทานเทียบเท่าของเทวินินมาเขียนให้อยู่ในรูปของ

แหล่งจ่ายแรงดนั ไฟฟ้าและตวั ตา้ นทานแบ่งแรงดนั ไฟฟ้า
5) นำ�เอาตัวต้านทานโหลดท่ีปลดออกมาต่ออนุกรมกับตัวต้านทานแบ่งแรงดันเพื่อหาค่าแรงดันไฟฟ้าท่ีตกคร่อม

ตวั ตา้ นทานโหลด หรอื อ่นื ๆ ขนึ้ อย่กู ับดุลยพินิจของผสู้ อน
3. แนวทางการตอบ โดยการปลดโหลดไฟฟา้ ทต่ี อ้ งการวเิ คราะหก์ ารไหลของกระแสไฟฟา้ คา่ แรงดนั ไฟฟา้ เทยี บเทา่

เทวินินได้จากการคำ�นวณค่าแรงดันไฟฟ้าตกคร่อมที่ข้ัวท่ีปลดโหลด การหาค่าความต้านทานเทียบเท่าเทวินิน
ได้จากการวิเคราะห์หาค่าความต้านทานรวมที่ข้ัวท่ีปลดโหลด โดยหลักการกรณีท่ีเป็นแหล่งจ่ายแรงดันให้ปลด
แหล่งจ่ายออกแล้วทำ�การลัดวงจร กรณีที่เป็นแหล่งจ่ายกระแสให้ปลดแหล่งจ่ายออกแล้วทำ�การเปิดวงจร
คำ�านวณค่าความต้านทานรวมท่ีขั้วจะได้ค่าความต้านทานเทียบเท่าเทวินิน นำ�ค่าตัวต้านทานท่ีปลดออกมาต่อ
อนุกรมกับตัวต้านทานเทียบเท่าเทวินิน สามารถวิเคราะห์ค่ากระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านโหลดด้วยหลักการของวงจร
อนกุ รม หรืออ่นื ๆ ขึ้นอยู่กับดุลยพินิจของผ้สู อน

สดุ ยอดคมู่ ือครู 339

เฉลยกจิ กรรมสง่ เสริมการเรยี นรู้

1. R1 = 2 R1 = 2
R2 = 4
R2 = 4 RL = 10 Rth
E1 = 20 V

พิจารณาคา่ Rth โดยปลดโหลดและลัดวงจรแหล่งจา่ ย
 Rth = R1 // R2
= 2 // 4 Rth = 1.333
= 1.3333 Erh = 13.333 V RL = 10
Eth = VR2
R2E2011 ×+ 4RR422
 VR2 = +×
=

= 860
= 13.3333 V

2. R1 = 12 R2 = 8 R2
R1 RL
E1 = 10 V RL = 4 Ix Ia
Ia = 10 A

จากรูปเปลีย่ นแหลง่ จา่ ยแรงดันในแหลง่ จ่ายกระแส Ix
11RE2011
Ix = Rth = 20 IL
= Eth = 129.999 V RL = 4

= 0.8333 A
Rth = R1 + R2
= 12 + 8
= 20 IL = RthE+th RL
Eth คอื ค่าแรงดันไฟฟ้าตกครอ่ ม R1 = 12209.+9949
= R1 × (Ix + Ia) = 5.4166 A
= 12 × (0.8333 + 10)
= 129.999 V

340 สดุ ยอดคูม่ ือครู

3.

E1 = 20 V

Ia = 8 A R1 = 2 R2 = 8 RL = 8

ปลดโหลด RL แล้วเปิดวงจรแหล่งจา่ ยกระแสลัดวงจรแหล่งจา่ ยแรงดัน แล้วหาค่า Rth ท่ีข้วั RL
ได ้ Rth = R1 // R2
= 2 // 8
= 1.6
หาค่า Eth คือ คา่ แรงดนั ไฟฟา้ ตกครอ่ ม R2

R1 = 2 E1 = 20 V R2 = 8 Rth
Ea = 16 V Eth

Eth = I2 × R2  Eth = 3.6 × 8
เมอื่ I2 = Ix = 28.8 V
= RE1a ++ ER12 1R.2t6hE8++.th8R8L
= 126 ++ 820 IL =
= 1360 =
= 3.6 A
= 3 A

4. RL = 4 R1 = 4 R2 = 1 Rth R1 R2
R3 = 2 R1 R3
Ia = 5 A
Ix Ia R2
E1 = 20 V R3

Rt = R1 // (R2 + R3)
= 4 // (1 + 2)
= 1.7143
เปล่ียนแหล่งจ่ายแรงดันเป็นแหลง่ จา่ ยกระแส จะได้
RE24011 Ix

I1 =
=

= 5 A

สุดยอดคู่มอื ครู 341

Eth คอื VR1 = IR1 × R1 Rth = 1.7143
เมอื่ IR1 = (Ix +R1Ix+) ×R2(R+2 R+3R3)
= (5 +45+) ×1 +(12+ 2) Eth = 17.1428 V RL = 4

= 317007× 3 IL = 1R.1t7hE71+.t4h1R34L2+8 4
= =

= 4.2857 = 157.7.1144238
 VR1 = 4.2857 × 4
= 17.1428 V = 3 A

5. R2 = 1 R1 = 4 RL = 8 Rth
R3 = 3 E1 = 20 V
Ia = 10 A

จากรปู Rth = (R2 + R3) // R1
= (1 + 3) // 4
= 2
เปลี่ยนคา่ แหลง่ จา่ ยแรงดันเป็นแหลง่ จ่ายกระแส

R2 = 1 R1 = 4 Ia = 10 A Ix = 5 A R2 = 1 R1 = 4
Ia = 10 A R3 = 3
Ix = 5 A
R3 = 3

เม่อื Ia + Ix = 10 + 5
= 15 A
จะได้ IR1 = 7.5 A
ดงั น้นั Eth = VR1 = 7.5 × 4
= 30 V
IL = RthE+th RL
= 23+08
Rth = 2 = 1300
Eth = 30 V
RL = 8



= 3 A

342 สุดยอดคู่มอื ครู

6. Rth

RL = 5

E1 = 10 V R1 = 8 R2 = 5
R3 = 4 E2 = 10 V

จากรูปจะเหน็ ว่าคา่ Rth จะมีค่าเทา่ กบั 0
Eth คือ แรงดนั ตกครอ่ มท่ขี ว้ั V1 และ V2

R1 = 8 R2 = 5 (8 + 4)I1 + 4I2 = 10 ➀
E1 = 10 V R3 = 4 ➁
12I1 + 4I2 = 10

4I1 + (4 + 5)I2 = 10
E2 = 10 V 4I1 + 9I2 = 10

Det = 12 4 = 108 – 16 I1 = DNeI1t = 5920 = 0.5435 A
4 9 = 92 I2 = DNeI2t = 9802 = 0.8696 A
NI1 = 10 4 = 90 – 40
10 9 = 50  V1 = I1 × R1
NI2 = 12 10 = 120 – 40 = 0.5435 × 8
4 10 = 80 = 4.348 V
V2 = I2 × R2
Rth = 0 = 0.8696 × 5
Eth = 0 V = 4.348 V
Eth = V1 – V2
= 4.348 – 4.348
= 0 V


สุดยอดคมู่ อื ครู 343

7.

R1 = 5 Ib = 5 A R3 = 8
Ia = 20 A RL = 10
Rth
R2 = 2

Rth = R1 + R2 + R3 Ia = 20 A Ib = 5 A
= 5 + 2 + 8
= 15

Eth คือแรงดันไฟฟา้ ตกครอ่ มที่ R2 IL = 1R5thE4++0th RL
Eth = Ia × R2 = 10

= 20 × 2 = 2450
= 40 V = 1.6 A



8. R1 = 5 Ib = 10 A R3 = 8 R1 = 5 R3 = 8
R2 = 2 RL = 10 R2 = 2
E1 = 20 V

จากรูป Rth = R3 I1
= 8 20 V I2
Eth คือแรงดนั ตกครอ่ ม R2
เมอื่ I1 = I2 = R512+E0+12R2 I3
=

= 227.08571 A
=
I3 = 0 A
I1′ = 0 A I2 = 10 A I3
I2′ = 10 A 10 A
I3′ = 10 A
 IR2 = I2′ – I2
= 10 – 2.8571
= 7.1429 A
 Eth = 7.1429 × 2
= 14.2858 V

344 สุดยอดคู่มือครู

Rth = 8 RL = 10 IL = RthE+th RL
Eth = 14.2858 V = 184.+281508
= 14.128858
= 0.7937 A

9. R3 = 10 R3 A
R2 = 2
R1 = 4 R4 = 6 RL = 8 R1 R2 R4
E1 = 20 V E2 = 10 V E3 = 10 V

B

ปลดโหลด RL ออก เพ่อื ค�ำ นวณหาคา่ Eth Rth = Rb // R4
กำ�หนดให้ Ra = R1 // R2 = 11.33 // 6
= 4 // 2 = 6177..3938
= 1.33 = 3.923
Rb = Ra + R3 Eth = VR4 คือแรงดนั ตกครอ่ มที่ R4
= 1.33 + 10
= 11.33

R1 = 4 R3 = 10 R4 = 6
E1 = 20 V R2 = 2 Eth
I1 I2
E3 = 10 V

E2 = 10 V

6I1 + 2I2 = 10 I1 = DNeI1t = 19220 = 1.3043 A
2I1 + 16I2 = 20 I2 = DNeI2t = 19020 = 1.087 A
ดงั นัน้ กระแสผา่ น R3 คอื I2
Det = 6 2 = 96 – 4 มคี ่าเท่ากบั 1.087 A
2 16 = 92 VR3 = 1.087 × 6
NI1 = 10 2 = 160 – 40 = 6.522 V
20 16 = 120
NI2 = 6 10 = 120 – 20
2 20 = 100

สดุ ยอดคู่มือครู 345

Rth = 3.923 RL = 8 ดงั น้ัน IL = REt3h –+ ERthL
Eth = 6.522 V = 130.9–263.5+2187
E3 = 10 V = 13.14.978203
= 0.2917 A

10.

R1 = 10 R2 = 2 R3 = 5 RL = 15
E1 = 10 V E2 = 10 V

ปลดโหลด RL ออก แลว้ หาคา่ ความต้านทาน Rth

R1 = 10 R2 = 2 R3 = 5 Rth = R1 // R2 // R3
= 10 // 2 // 5
= 1.25

หาคา่ Eth คอื แรงดันไฟฟ้าตกครอ่ มทข่ี ้ัว

R1 = 10 R2 = 2 R3 = 5 Eth คอื VR3 + E2 หรอื VR2 ➀
I1 I2 Eth 12I1 – 2I2 = 10 ➁
–2I1 + 7I2 = 10
E1 = 10 V E2 = 20 V

Det = 12 –2 = (12 × 7) – (–2 × (–2))
–2 7 = 84 – 4
= 80
NI1 = 10 –2 = (10 × 7) – (10 × (–2))
10 7 = 70 – (–20)
= 90
NI2 = 12 10 = (12 × 10) – (–2 × 10)
–2 10 = 120 – (–20)
= 140
I1 = DNeI1t = 9800 = 1.125 A
I2 = DNeI2t = 18400 = 1.75 A

346 สุดยอดคู่มอื ครู

IR1 คือ I1 = 1.125 A VR1 = I1 × R1
IR2 คอื I2 – I1 = 0.625 A = 1.125 × 10
IR3 คือ I2 = 1.75 A = 11.25 V
VR3 = I3 × R3
ดงั นั้น Eth = IR2 × R2 = 1.75 × 5
= 0.625 × 2 = 8.75 V
= 1.25 V  Eth = VR1 – E1
= 11.25 – 10
Rth = 1.25 RL = 15 = 1.25 V
Eth = 1.25 V หรอื = E2 – VR3
= 10 – 8.75 V
IL = RthE+th RL = 1.25 V
= 1.215.2+515
= 116.2.255
= 0.0769 A

สดุ ยอดคูม่ อื ครู 347

เฉลยแบบทดสอบ

1. ตอบ 5. ทกุ ขอ้ ทก่ี ล่าวมาเปน็ ปลกั การของทฤษฎแี รงดนั ไฟฟ้าของเทวนิ นิ
2. ตอบ 2.

R1 = 5 RL = 10 RL
R2 = 8
R2
E1 = 10 V Ia

ปลด RL ออก และท�ำ การลัดวงจรแหลง่ จา่ ยเพือ่ หา Rth

จะได้ Rth = R1 // R2

= 5 // 8

= 3.0769

3. ตอบ 1. Eth คือ ค่าแรงดนั ไฟฟ้าตกครอ่ มทีข่ ว้ั
1RE5011 +×+×8RR822
จะได้ Eth =
=

= 1830
= 6.1538 V

R1 = 12 R2 = 8 RL Ix R1
E1 = 20 V Ia = 10 A

4. ตอบ 4. Rth = R1 + R2
= 12 + 8
= 20
5. ตอบ 5. Eth คือ คา่ แรงดันไฟฟ้าตกครอ่ ม R1
Eth = V1 = (Ix + Ia)R1
= (1.67 + 10) × 12
= 140 V

348 สุดยอดคู่มือครู