GEOMETRI_clone

PEMA4207/MODUL 1 1.41
Ilustrasi
Postulat Penjelasan

Postulat Perpotong- Untuk menjamin
an Bidang bidang rata. Kita
menghendaki
Jika dua bidang Perpotongan hanya
berpotongan maka satu garis, bukan dua.
perpotongannya tepat
satu garis.

Postulat Dua Titik, Untuk menjamin
Garis, Bidang
bahwa bidang rata,
Jika dua titik
pada bidang, maka kita menghendaki satu
garis yang memuat
kedua titik itu terletak bidang memuat semua
pada bidang.
titik dari garis bila
Postulat Pemisah
Bidang diketahui bahwa itu

Misalkan N memuat dua titik dari
adalah bidang dan g
adalah garis pada N. garis.
Titik dari bidang Dikehendaki garis
tidak pada g
membentuk setengah memisahkan bidang
bidang sedemikian menjadi dua setengah
sehingga: bidang. Ini digunakan
a. Masing-masing untuk memutuskan
bilamana dua titik
setengah bidang terletak pada sisi yang
adalah himpunan sama dari garis atau di
cembung seberangnya.
(konveks).
b. Jika P di salah
satu setengah
bidang dan Q
pada setengah
bidang lain, maka
segmen PQ
memotong g.

1.42 Geometri

Postulat Penjelasan Ilustrasi

Postulat Pemisah Kita menghendaki
Ruang bidang membagi
ruang ke dalam
Misal N adalah setengah ruang.
bidang. Semua titik Postulat ini digunakan
pada ruang tidak pada untuk memutuskan
N terbagi menjadi bilamana dua titik
setengah ruang berada pada setengah
sedemikian sehingga: bidang yang sama,
a. Masing-masing atau berseberangan.

setengah ruang Kita menghendaki
adalah himpunan hanya satu garis yang
konveks. melalui titik yang
b. Jika titik A pada diketahui tegak lurus
salah satu garis yang diketahui.
setengah ruang,
dan B di setengah
ruang lainnya,
maka segmen AB
memotong
(menembus)
bidang N.
Postulat Tegak lurus
Diketahui satu
titik dan garis pada
bidang, terdapat tepat
satu garis yang
melalui titik dan legak
lurus pada garis yang
diketahui.

Postulat penting lainnya akan disajikan pada bahasan berikutnya.

PEMA4207/MODUL 1 1.43

Postulat Contoh dan Ilustrasi

Postulat Penggaris AB = |3 - 10| = |10 - 3| = 7
a. Setiap pasang titik
AB = |10 - 17| = |17 - 10| = 7
berkorespondensi dengan satu
bilangan positif yang unik, Contoh di atas menyarankan bahwa
bilangan itu dinamakan jarak
antara dua titik. tidak apa-apa dimanapun
b. Titik pada garis berpasangan
satu-satu dengan bilangan
real sehingga jarak antara dua
titik adalah nilai mutlak
selisih bilangan yang
bersesuaian

menempatkan penggaris karena

panjang segmen adalah nilai mutlak

dari selisih dua bilangan yang

bersesuaian dengan titik ujung

segmen.

Contoh:

AB = | 3 – (-2) | = 5

BC = | 18 – 3 | = 15

AC = | -2 – 19 | = 20

Definisi 2-6:
Titik B di antara A dan C jika dan
hanya jika A, B, dan C segaris dan
AB + BC = AC.

Postulat Busur Derajat Contoh: Tentukan u ∠ ABC, u
a. Setiap sudut berkorespon- ∠ CBD, dan u ∠ ABD

densi dengan bilangan antara u ∠ ABC = |42 - 20| = 22
0 sampai dengan 180 secara
unik, yang disebut ukuran
sudut.
b. Misal P adalah satu titik pada
tepi setengah bidang H. Tiap
sinar pada setengah bidang

1.44 Geometri

Postulat Contoh dan Ilustrasi
itu atau dengan pangkal P
dapat dipasangkan satu-satu u ∠ CBD = |77 - 42| = 35
dengan 0 < n < 180, u ∠ ABD = |77 - 20| = 57
sedemikian sehingga ukuran
sudut yang terbentuk oleh
pasangan sinar tak segaris
dengan titik sudut P adalah
nilai mutlak selisih bilangan
yang bersesuaian.

Definisi 2.7
BC di antara BA dan BD jika

dan hanya jika BA, BC , dan BD
sebidang dan u ∠ ABC + u ∠
CBD = u ∠ ABD

Ada dua versi postulat yang didaftarkan di sini yang pertama postulat
yang sebagian sudah tertuliskan terdahulu yang selanjutnya akan dipakai
dalam rangka penyelesaian masalah dan soal buku ini, yang kedua adalah
postulat SMSG (School Mathematics Study Group, diambil dari buku Road
To Geometry, karangan Wallace.

Kumpulan Postulat Geometri Stanley R Clemen:
1. Postulat Keberadaan titik. Ruang itu ada dan paling sedikit memuat

empat titik tak sebidang (nonkoplanar), tak segaris (noncollinear).
Bidang memuat paling sedikit tiga titik noncollinear. Garis memuat
paling sedikit dua titik.
2. Postulat Titik-Garis. Dua titik dimuat oleh satu dan hanya satu garis.
3. Postulat Titik-Bidang. Tiga titik noncollinear (tak segaris) dimuat oleh
satu dan hanya satu bidang.
4. Postulat Perpotongan Bidang. Jika dua bidang berpotongan, maka
perpotongannya satu garis.
5. Postulat dua Titik, garis, bidang. Jika dua titik pada bidang maka garis
yang memuat kedua titik itu juga pada bidang.

PEMA4207/MODUL 1 1.45

6. Postulat Pemisahan Bidang. Misal N adalah bidang dan g adalah garis
pada N. Suatu titik pada N tidak pada g membentuk dua setengah bidang
sedemikian sehingga,
a. masing-masing setengah bidang merupakan himpunan cembung.
b. jika P pada salah satu setengah bidang dan Q pada setengah bidang
lainnya, maka PQ memotong g.

7. Postulat Pemisahan Ruang. Misal N adalah bidang dalam ruang.
Suatu titik di dalam ruang tidak pada bidang N membentuk setengah
ruang, sedemikian sehingga:
a. masing-masing setengah ruang merupakan himpunan cembung.
b. jika A pada suatu setengah ruang, dan B di setengah-ruang lainnya,
maka AB memotong (menembus) bidang N.

8. Postulat Tegak lurus. Diketahui titik dan garis pada bidang, terdapat
tepat satu garis melalui titik tegak lurus terhadap garis yang diketahui.
Diketahui bidang dan titik tidak pada bidang itu, terdapat tepat satu garis
melalui titik dan tegak lurus terhadap garis yang diketahui.

9. Postulat Penggaris.
a. Untuk setiap pasang titik berkorespondensi secara unik satu
bilangan positif yang disebut jarak antara titik.
b. Titik pada garis dapat dipasangkan satu-satu dengan bilangan real
sehingga jarak antara dua titik adalah nilai mutlak selisih antara
bilangan yang berhubungan.

10. Postulat Busur derajat. Masing-masing sudut berkorespondensi secara
unik bilangan antara 0 dan 180 yang disebut ukuran sudut. Misal P
adalah titik pada tepi dari setengah bidang H. Tiap sinar pada setengah
bidang atau sisi dengan titik pangkal P terpasangkan satu-satu dengan
bilangan real n dengan 0 < n < 180, sedemikian sehingga ukuran sudut
yang terbentuk pasangan sinar yang tidak segaris (nonkolinier) adalah
nilai mutlak selisih bilangan yang terpasangkan.

11. Postulat Kongruensi Si-Su-Si. Jika dua sisi dan sudut yang diapitnya
dari segitiga pertama kongruen berturut-turut dengan dua sisi dan satu
sudut yang diapitnya dari segitiga kedua maka dua segitiga itu kongruen.

12. Postulat Su-Si-Su. Jika dua sudut dan satu sisi yang diapitnya dari
segitiga pertama kongruen berturut-turut dengan dua sudut dan satu sisi
yang diapitnya dari segitiga kedua maka dua segitiga itu kongruen.

1.46 Geometri

13. Postulat Si-Si-Si. Jika semua sisi dari satu segitiga kongruen berturut-
turut dengan semua sisi dari segitiga kedua, maka dua segitiga itu
kongruen.

14. Postulat Pasangan Segaris. Jika dua sudut membentuk pasangan
segaris, kedua sudut saling suplemen.

15. Postulat Kesejajaran. Diketahui garis g, dan titik P tidak pada g
terdapat hanya satu garis melalui P sejajar g.

16. Postulat Ketidaksamaan Segitiga. Jumlah dari panjang dari dua sisi
suatu segitiga lebih besar dari panjang sisi yang ketiga.

17. Postulat Kesebangunan Su-Su-Su. Jika tiga sudut dari satu segitiga
kongruen dengan sudut dari segitiga kedua, maka dua segitiga itu
kongruen.

18. Postulat Penambahan Busur. Jika titik C pada AB, maka u AC + u CB
= u AB.

19. Postulat Luas. Bilangan positif yang unik disebut luas dapat dikaitkan
dengan daerah poligon. Luas daerah dinotasikan dengan A (R).

20. Postulat Luas Daerah Kongruen. Jika dua persegi panjang atau dua
segitiga kongruen, maka daerah yang dibatasinya mempunyai luas yang
sama.

21. Postulat Penambahan Luas. Jika daerah segi banyak merupakan
gabungan dari n daerah poligon yang tidak bertumpuk, maka luasnya
adalah jumlah luas dari n daerah tersebut.

22. Postulat Luas Persegi Panjang. Luas persegi panjang dengan panjang p
dan lebar g adalah pg.

23. Postulat Volum. Setiap benda ruang terkait dengan unik satu bilangan
positif yang disebut volum.

24. Postulat Volum Balok. Volum balok sama dengan perkalian antara
panjang, lebar, dan tingginya.

25. Postulat Penambahan Volum. Jika benda ruang merupakan gabungan
dua benda ruang yang tidak beririsan di interiornya, maka volumnya
adalah jumlah dari volum dua benda tersebut.

26. Postulat Cavalieri. Misal S dan T dua benda ruang dan X adalah
bidang. Jika setiap bidang sejajar X yang memotong S juga T dengan
penampang dengan luas yang sama, maka volum S = volum T.

Untuk pembanding, di sini ditulis postulat geometri versi lain. yaitu
Postulat Geometri Euclid model SMSG (School Mathematics Study Group):

PEMA4207/MODUL 1 1.47

Postulat 1. Diberikan dua titik berbeda, terdapat tepat satu garis yang
memuat titik itu.

Postulat 2. (Postulat jarak). Setiap dua titik berbeda berkorespondensi
dengan satu bilangan real positif.

Postulat 3. (Postulat penggaris). 1) Setiap titik pada garis dapat
berkorespondensi 1-1 dengan satu bilangan real; 2) Setiap
bilangan real dapat berkorespondensi 1-1 dengan titik pada
garis; 3) Jarak antara dua titik berbeda adalah nilai mutlak
selisih dua bilangan yang berkorespondensi (dengan kedua titik
itu).

Postulat 4. (Postulat penempatan penggaris). Diketahui dua titik P dan Q
pada garis, sistem koordinat dapat dipilih dengan P
berkoordinat nol dan Q berkoordinat positif.

Postulat 5. a) Setiap bidang memuat paling sedikit tiga titik yang tidak
kolinier, b) Ruang memuat paling sedikit empat titik yang tidak
sebidang.

Postulat 6. Jika dua titik pada bidang, maka garis yang memuat titik itu
terletak pada bidang tersebut.

Postulat 7. Setiap tiga titik berada paling sedikit di satu bidang, dan setiap
tiga titik yang tak segaris berada tepat pada satu bidang.

Postulat 8. Jika dua bidang berpotongan, perpotongannya berupa garis.
Postulat 9. (Pemisahan bidang) Diketahui satu garis dan bidang yang

memuatnya, titik-titik pada bidang tidak terletak pada garis
membentuk dua himpunan sehingga,
1) masing-masing himpunan cembung.
2) jika P di suatu himpunan dan Q di himpunan yang lain.

maka segmen PQ memotong garis.
Postulat 10. (Pemisahan ruang). Titik-titik di ruang yang tidak terletak pada

bidang yang diketahui membentuk dua himpunan sehingga.
1) masing-masing himpunan cembung.
2) jika P di suatu himpunan dan Q di himpunan yang lain,

maka segmen PQ menembus bidang.
Postulat 11. (Postulat ukuran sudut) Setiap sudut berkorespondensi dengan

bilangan real antara 0o dan 180o.
Postulat 12. (Postulat konstruksi sudut) Misal AB adalah sinar pada sisi

setengah bidang H. Untuk setiap r antara 0o dan 180o terdapat

1.48 Geometri

tepat satu sinar AP dengan P di H sedemikian sehingga
m ∠ PAB = r
Postulat 13. (Postulat penjumlahan sudut). Jika D adalah titik di interior
∠ BAC. maka u ∠ BAC= u ∠ BAD + u ∠ DAC.
Postulat 14. (Postulat suplemen) Jika dua sudut merupakan pasangan
segaris, kedua sudut itu saling suplemen.
Postulat 15. (Postulat Sisi-Sudut-Sisi). Diberikan korespondensi antara dua
segitiga (atau antara suatu segitiga dengan dirinya). Jika dua sisi
dan satu sudut yang diapitnya pada segitiga ke satu masing-
masing kongruen dengan bagian yang berkorespondensi pada
segitiga kedua. maka korespondensi tersebut merupakan
kongruensi.
Postulat 16. (Postulat kesejajaran) Melalui titik di luar garis yang diketahui
terdapat paling banyak satu garis yang sejajar dengan garis yang
diketahui.
Postulat 17. Setiap daerah poligon (segi banyak) berkorespondensi dengan
satu bilangan positif yang disebut luas.
Postulat 18. Jika dua segitiga kongruen, maka luasnya sama.
Postulat 19. Misal daerah R merupakan gabungan dari daerah Rl dan R2 yang
pemotongannya di berhingga segmen dan titik maka luas R
adalah jumlah dari luas R1 dan R2.
Postulat 20. Luas persegi panjang adalah panjang kali lebar.
Postulat 21. Volume paralelepipidum adalah perkalian antara luas dan
tingginya.
Postulat 22. (Prinsip Cavalieri). Diberikan dua benda (pejal) dan bidang.
Jika setiap bidang yang sejajar dengan bidang yang diketahui
memotong benda membentuk daerah dengan luas yang sama
maka kedua benda tersebut mempunyai volume yang sama.

Dari dua kelompok postulat geometri ini nampak kelompok pertama
lebih mudah dipahami dibanding postulat di kelompok kedua. Ada
kemudahan seperti postulat kongruensi Si-Si-Si dan postulat kongruensi Su-
Si-Su dikelompok pertama dinyatakan postulat namun dikelompok dua tidak
ada dan itu dinyatakan sebagai teorema dan tentu dituntut dibuktikan.
Nampaknya itu yang mengakibatkan jumlah postulat lebih banyak (kelompok
satu ada 26 postulat. kelompok dua ada 22 postulat).

PEMA4207/MODUL 1 1.49

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!

Lengkapilah pernyataan berikut dengan kata: titik, garis, bidang, atau
ruang. Tuliskan nomor postulat yang menyiratkan hal tersebut. (Dari daftar
postulat pertama/postulat geometri Stanley R. Clemen).
1) Jika dua titik pada bidang maka ... yang memuatnya terletak pada

bidang.
2) Jika dua bidang berpotongan maka perpotongannya tepat satu ....
3) Pada bidang terdapat tepat satu .... melalui titik yang diketahui dan tegak

lurus terhadap garis yang diketahui.

Untuk nomor 4 sampai dengan 6 jawablah pertanyaan kemudian
sebutkan postulat mana (nomor postulat daftar pertama) yang digunakan
untuk menjawab pertanyaan itu.
4) Ada berapa garis dapat dibuat melalui empat titik tak kolinier? Lima titik

tak kolinier? Enam titik dan n titik?
5) Jika A dan B titik pada bidang α maka AB tidak mempunyai titik yang

tidak terletak pada α.
6) Dua bidang β dan γ yang berpotongan tidak dapat memuat dua garis

potong berbeda g dan m.

Untuk nomor 7 sampai dengan nomor 10, carilah yang sesuai dengan
yang ditanyakan!

7) Setelah dipasangkan busur derajat dengan benar sinar AB menunjuk
67o, besar ∠ BAC = 30o. Bilangan berapa yang ditunjukkan sinar AC ?

8) Jika m AB = 12, koordinat A adalah 30 berapa koordinat B?
9) Jika titik A, B, dan C kolinier (segaris). Jika koordinat A lebih kecil dari

koordinat B. Koordinat B lebih kecil dari koordinat C. Apakah B berada
di antara A dan C?
10) Jika S di antara R dan T, ST = 6, RS = 10. Carilah RT!

1.50 Geometri

Petunjuk Jawaban Latihan

1) Postulat 5. Jika dua titik pada bidang maka garis yang memuat kedua
titik itu juga pada bidang.

2) Postulat 4. Jika dua bidang berpotongan, maka perpotongannya satu
garis.

3) Postulat 8. Diketahui titik dan garis pada bidang, terdapat tepat satu
garis melalui titik tegak lurus terhadap garis yang diketahui. Diketahui
bidang dan titik tidak pada bidang itu. Terdapat tepat satu garis melalui
titik dan tegak lurus terhadap garis yang diketahui.

4) Postulat 2.

2 titik terdapat satu garis (yaitu 2.1 = 1)
2

3 titik terdapat satu garis (yaitu 3.2 = 3)
2

4 titik terdapat satu garis (yaitu 4.3 = 6)
2

5 titik terdapat satu garis (yaitu 5.4 = 10)
2

6 titik terdapat satu garis (yaitu 6.5 = 15)
2

N titik terdapat n (n −1) garis.

2

PEMA4207/MODUL 1 1.51

5) Maksud AB tidak mempunyai titik yang tidak terletak pada α adalah
semua titik pada AB terletak pada α ini tidak lain dari postulat 5.

6) Jika bidang β dan γ bidang memuat garis g artinya garis merupakan
perpotongan antara bidang β dan γ. Tidak ada perpotongan yang lain
selain satu garis, jadi g dan m merupakan garis yang sama.

7) Misalkan selisih antara c dengan 67 adalah 30 maka
67 – c = 30 → c = 47
67 – c = –30 → c = 97
Jadi sinar AC menunjukkan ke bilangan 37 atau 97.

8) Misalkan selisih antara B dengan 30 adalah 12 maka
| 30 – B | = 12
30 – B = 12 → B = 42
30 – B = 12 → B = 18
Jadi koordinat B adalah 18 atau 42.

9) Koordinat A < Koordinat B
Koordinat B < Koordinat C
Dapat disimpulkan bahwa koordinat A < koordinat B < koordinat C
maka titik B di antara A dan C.

10) S di antara R dan T dapat digambarkan

Dari diagram didapat RT = 10.

RANGKUMAN

Postulat geometri adalah titik tolak kebenaran dari geometri,
merupakan aturan main. Postulat adalah kebenaran yang disepakati,
tidak perlu dibuktikan. Kita terima postulat suatu kebenaran dan
digunakan untuk membuktikan teorema.

1.52 Geometri

TES FORMATIF 3

Pilih satu jawaban yang paling tepat!

1) Diketahui ∆ ABC dan ∆ SPT dengan CA ≅ TS , ∠ A ≅ ∠ S, AB ≅ SP
dapat disimpulkan ∆ ABC ≅ ∆ SPT dengan ....
A. postulat Si-Su-Si
B. postulat Su-Si-Su
C. postulat Si-Si-Si
D. postulat Penggaris

2) Terdapat tepat satu .... melalui titik yang diketahui dan tegak lurus
terhadap bidang yang diketahui.
A. titik
B. garis
C. bidang
D. ruang

3) Bidang memisahkan .... menjadikan dua setengah ruang.
A. titik
B. garis
C. bidang
D. ruang

4) Berapa garis dapat dibuat melalui enam titik yang tiap tiga titik tidak
kolinier?
A. 6
B. 10
C. 15
D. 21

5) Titik A, B, dan C kolinier (segaris) jika AB = 23, BC = 7, dan AC = 16.
A. A di antara B dan C
B. B di antara A dan C
C. C di antara A dan B
D. tidak dapat ditentukan

6) Jika u ∠ ABC = 40o pada busur derajat sinar BA menunjukkan 90o
maka sinar BA menunjuk ....
A. 70o atau 110o

PEMA4207/MODUL 1 1.53

B. 50o atau 130o
C. 50o
D. 130o

7) PR di antara PQ , dan PS jika dan hanya jika PR , PQ , dan PS
komplanor (sebidang) dan ....
A. u ∠ QPR + u ∠ QPS = u ∠ RPS
B. u ∠ RPS + u ∠ QPS = u ∠ QPR
C. u ∠ QPR + u ∠ RPS = u ∠ QPS
D. u ∠ QPS + u ∠ QPR = u ∠ RPS

8) I. Jika A, B, dan C kolinier (segaris) AB = 17, AC = 5, BC =12 maka
C di antara A dan B.

II. Jika S, R, dan T kolinier, SR = 3, RT = 3, ST = 8 maka S di antara R
dan T.

A. I dan II benar
B. I saja yang benar
C. II saja yang benar
D. I dan II salah

9) I. Melalui dua titik terdapat tepat satu garis.
II. Ruang memuat paling sedikit empat titik.
A. I dan II benar
B. I saja yang benar
C. II saja yang benar
D. I dan II salah

10)

A. DC memotong (menembus) bidang EFGH
B. EF memotong (menembus) bidang ABCD
C. DF memotong (menembus) bidang EBCH
D. AH memotong (menembus) bidang BFGC

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 3 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 3.

1.54 Geometri

Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar × 100%

Jumlah Soal

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 3, terutama bagian yang
belum dikuasai.

PEMA4207/MODUL 1 1.55

Kunci Jawaban Tes Formatif

Tes Formatif 1

1) B Konsep sudut.

2) D Titik D di luar garis.

3) C ∆ ADE, ∆ CDE, ∆ BCD, ∆ ABC, ∆ ACD.

4) C Jelas.

5) D 2(20o + 30o) = 100o.

6) A 90o + 1 (90o) = 135o.
2

7) D 12  = 12! = 12.11 = 66 .
 
 2  2!10! 2

8) C Jelas.
9) C Jelas.
10) C Jarak maksimum 12 km, coba analisis dengan 2 lingkaran masing-

masing berjari-jari 5 km dan 7 km.

Tes Formatif 2
1) C Jelas.
2) C Konsep negasi dari pernyataan.
3) C Invers suatu pernyataan.
4) C Sifat garis berat segitiga.
5) C Jelas.
6) C Jelas.
7) B Negasi pernyataan.
8) A Kontra positif suatu pernyataan.
9) A Penarikan kesimpulan.
10) D Sifat sudut pada segitiga.

Tes Formatif 3

1) A Dua sisi, satu sudut.

2) C Postulat tegak lurus.

3) D Postulat pemisahan ruang.

4) C 6 6! = 6.5 = 15 .
 =
 2 9!2! 2

5) C Postulat titik, garis.

1.56 Geometri

6) B | 90 – c | = 40 → c = 50 atau c = 130.
7) D Penjumlahan sudut.
8) B Postulat titik, garis.
9) A Postulat keberadaan titik.
10) C Jelas berdasarkan gambar.

PEMA4207/MODUL 1 1.57

Daftar Pustaka

Clemen, Stanley R., O'Daffer, Phares G., dan Cooney, Thomas J. (1984).
Geometry with Application and Problem Solving. California: Addison-
Wesley Publishing Company.

Wallace, Edward C., dan West, Stephen F. (1998). Roads to Geometry
Second Edition. New York: Prentice Hall Inc. Simon & Schuster/A
Viacom Company.

Moise, Edwin E. (1970). Elementary Geometry from an Advanced
Standpoint. Massachusett: Addisson-Wesley Publishing Company, Inc.

Rawuh. (1993). Geometri Transformasi. Jakarta: Direktorat Jenderal
Pendidikan Tinggi, Proyek Pembinaan Tenaga Kependidikan Pendidikan
Tinggi.

Ulrich, James F., Czarnec, Fred F., dan Guilbault, Dorothy. (1978).
Geometry. Third Ed. New York: Harcourt Brace Jovanovich.

Modul 2

Kongruensi Segitiga

Drs. Mohamad Rahmat, M.Pd.

PENDAHULUAN

M odul ini membahas kongruensi segitiga, terdiri atas dua kegiatan
belajar. Pertama berjudul Pengertian Kongruensi berisi pengertian
kongruensi antara dua segitiga dan postulat-postulat kongruensi segitiga.
Kedua berjudul Alat pembuktian Kongruensi, yakni apa saja yang dapat
digunakan untuk menyimpulkan dua segitiga kongruen, yaitu postulat,
definisi, kongruensi segmen, dan kongruensi sudut. Kemudian bagaimana
membuktikan kongruensi secara bertahap.

Dengan modul ini Anda diharapkan mengetahui dan memahami konsep
kongruensi. Adapun tujuan pembelajaran khusus modul ini Anda diharapkan
dapat:
1. memahami definisi dua segitiga kongruen;
2. menyimpulkan dua segitiga kongruen berdasarkan postulat kongruen (Si-

Su-Si, Su-Si-Su, Si-Si-Si);
3. menyimpulkan dua segitiga kongruen berdasarkan definisi dan postulat;
4. menyimpulkan dua sudut/segmen kongruen yang merupakan komponen

dari segitiga-segitiga kongruen;
5. menyimpulkan kongruensi antara segmen, sudut atau segitiga yang

berpadu pada bentuk-bentuk lain;
6. menyimpulkan kongruensi antara segmen, sudut atau segitiga secara

bertahap.

2.2 Geometri

Kegiatan Belajar 1

Pengertian Kongruen

SEGITIGA KONGRUEN

Secara intuitif dua segitiga kongruen jika kedua bentuk segitiga tersebut
dapat dihimpitkan satu sama lain, pengujiannya bisa dilakukan dengan
mengusahakan menghimpitkan kedua bentuk tersebut, caranya bisa dengan
penjiplakan. Intuisi ini mengarahkan kita pada definisi berikut.

Definisi 2.1
Dua segitiga kongruen jika

terdapat korespondensi antara titik-
titik sudut sehingga tiap pasang sisi
dan sudut yang berkorespondensi
kongruen.

Gambar 2.1
Terdapat koresponden antara titik sudut yaitu A ↔ B, B ↔ E, dan
C ↔ F sehingga AB ≃ DE, BC ≃ EF, AC ≃ DF, dan ∠A ≃ ∠D, ∠B ≃ ∠E,
∠C ≃ ∠F .
Jadi, ∆ABC ≃ ∆DEF

POSTULAT KONGRUENSI

Jika kita mengkonstruksi segitiga dengan diberi tiga dari enam bagian
segitiga, kita akan mendapatkan satu ukuran dan bentuk segitiga secara
lengkap.
1. Dua sisi dan satu sudut yang diapit.
2. Dua sudut dan satu sisi yang diapit.
3. Tiga sisi

PEMA4207/MODUL 2 2.3

Dari sini kita dapatkan tiga postulat kongruensi segitiga berikut.

Postulat Penjelasan Ilustrasi

Postulat Kongruensi Kita yakin bahwa
Si-Su-Si hanya satu bentuk dan
Jika dua sisi dan satu ukuran segitiga yang
sudut yang diapit dari terjadi, bila dua sisi
satu segitiga kongruen dan sudut yang
berturut-turut dengan diapitnya ditentukan.
dua sisi dan sudut
yang diapit pada Kita yakin bahwa
segitiga kedua, maka hanya satu bentuk dan
kedua segitiga itu ukuran segitiga yang
kongruen. terjadi, bila dua sudut
Postulat Kongruensi dan sisi yang
Su-Si-Su diapitnya ditentukan.
Jika dua sudut dan
satu sisi yang Kita yakin bahwa
diapitnya dari satu hanya satu bentuk dan
segitiga kongruen ukuran segitiga yang
berturut-turut dengan terjadi, bila ketiga sisi
dua sudut dan satu sisi ditentukan.
yang diapitnya pada
segitiga lainnya, maka
kedua segitiga itu
kongruen.
Postulat Kongruensi
Si-Si-Si
Jika semua sisi dari
satu segitiga kongruen
berturut-turut dengan
semua sisi dan
segitiga yang lain,
maka dua segitiga itu
kongruen.

2.4 Geometri

Pembuktian: Menggunakan Postulat Kongruensi

Postulat Si-Si-Si mempunyai bentuk umum:

Semua sisi dari satu segitiga kongruen maka Dua segitiga itu
Jika berturut-turut dengan semua sisi dari → kongruen

segitiga lain q
p

A
Kita lihat aplikasi khusus dari
pernyataan ini.

Kita amati bahwa semua kondisi (syarat) yang ditentukan di p dipenuhi,
sehingga p benar. Dengan modus ponens, jadi kita dapat menyimpulkan: q
benar. Dalam hal ini kita simpulkan, ∆ ABC ≅ ∆ XYZ.

Untuk memudahkan pengorganisasian berpikir, kita tuliskan bukti di atas
dalam bentuk kolom. Kolom kiri digunakan untuk pernyataan yang
menuntun kepada kesimpulan, Kolom kanan untuk alasan mengapa
pernyataan benar.

Diketahui: AB ≅ XY
BC ≅ YZ
AC ≅ XZ

Buktikan: ∆ ABC ≅ ∆ XYZ.

Bukti:

Pernyataan Alasan

1. AB ≅ XY 1. Diketahui

2. BC ≅ YZ 2. Diketahui

3. AC ≅ XZ 3. Diketahui

4. ∆ ABC ≅ ∆ XYZ 4. Postulat Si-Si-Si

PEMA4207/MODUL 2 2.5

Berikut ini dua contoh bukti sederhana dua segitiga kongruen.

Contoh 2.1

Diketahui: AB ≅ XY
∠A ≅ ∠X
∠B ≅ ∠Y

Buktikan: ∆ ABC ≅ ∆ XYZ

Bukti:

Pernyataan Alasan

1. AB ≅ XY 1. Diketahui

2. ∠A ≅ ∠X 2. Diketahui

3. ∠B ≅ ∠Y 3. Diketahui

4. ∆ ABC ≅ ∆ XYZ 4. Postulat Su-Si-Su

Contoh 2.2
Diketahui: MN ≅ MP

∠1 ≅ ∠2

Buktikan: ∆MNQ ≅ ∆MPQ

Bukti:

Pernyataan Alasan

1. MN ≅ MP 1. Diketahui

2. ∠1 ≅ ∠2 2. Diketahui

3. MQ ≅ MQ 3. Segmen kongruen dengan dirinya

(sifat refleksi)

4. ∆MNQ ≅ ∆MPQ 4. Postulat kongruensi Si-Su-Si

2.6 Geometri

Pembuktian: Menggunakan Definisi
Definisi dua garis tegak lurus, garis bagi sudut, titik tengah, pembagi

segmen, dan sumbu segmen sering digunakan dalam membuktikan.
Mengingat contoh berikut dari modus ponens.

p→q Jika sinar membagi sudut, maka dua
sudut yang terbentuk adalah kongruen
p AC membagi ∠BAD
Jadi q: ∠1 ≅ ∠2

Bukti singkat di atas disusun dalam bentuk dua kolom
sebagai berikut.

Diketahui: AC membagi ∠BAD .

Buktikan: ∠1 ≅ ∠2

Bukti:

Pernyataan Alasan

1. AC membagi ∠BAD 1. Diketahui

2. ∠1 ≅ ∠2 2. Definisi garis bagi

Berikut ini bukti singkat memperlihatkan bagaimana definisi titik tengah,
garis bagi, dan garis tegak lurus digunakan dalam pembuktian.

Contoh 2.3
Diketahui: C titik tengah BD

Buktikan: BC ≅ CD

Bukti:

Pernyataan Alasan

1. C titik tengah BD 1. Diketahui

2. BC ≅ CD 2. Definisi titik tengah

PEMA4207/MODUL 2 2.7

Contoh 2.4
Diketahui: AC sumbu BD
Buktikan: C titik tengah BD

Bukti:

Pernyataan Alasan

1. AC sumbu BD 1. Diketahui

2. C titik tengah BD 2. Definisi sumbu

Contoh 2.5
Diketahui: AC ⊥ BD

Buktikan: ∠ACD ≅ ∠ACB

Bukti:

c

Pernyataan Alasan
1. Diketahui
1. AC ⊥ BD 2. Definisi garis tegak lurus
2. ∠ACD ≅ ∠ACB

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!

1) Jika diketahui ∆ABC ≅ ∆DEF dengan gambar seperti berikut.

Periksa dengan mengukurnya.
Manakah pernyataan berikut
yang salah.

2.8 Geometri

a) AC ≅ DF; ∠B ≅ ∠E; BC ≅ DE; ∠C ≅ ∠F
b) AB ≅ ED; ∠A ≅ ∠D; ∠C ≅ ∠F; AB ≅ EF
c) AB ≅ DE; BC ≅ FE; ∠C ≅ ∠D; AC ≅ DF

2) Diketahui ∆PRS ≅ ∆JKL, tulis pasangan sisi yang kongruen dan
pasangan sudut yang kongruen dari kongruensi itu!

3) Jika ∆ABC adalah segitiga sama sisi, dapat ditulis ∆ABC ≅ ∆BCA.
Masih ada lima pernyataan kongruensi ini yang dapat ditulis. Tuliskan!

4) Tuliskan pasangan segitiga yang kongruen,
nyatakan alasannya!

5) Diketahui bahwa ∆ ABC ≅ ∆ DEF, manakah pernyataan berikut yang
benar/salah?
a) ∆ BCA ≅ ∆ EFD
b) ∆ ACB ≅ ∆ EFD
c) ∆ CBA ≅ ∆ FDE
d) ∆ CAB ≅ ∆ FDE

6) Gambar berikut memuat satu pasang (atau lebih) irisan yang kongruen.

Kadang mereka saling tumpang tindih. Tuliskan pasangan yang

kongruen tersebut!

a. b. c.

∆ ADB dengan 1. ∆ ACB dengan ∆ ABD dengan
∆ DAC. ∆ ABC. ∆ CDB.

2. ∆ ABE dengan

PEMA4207/MODUL 2 2.9

∆ ACD.

7) Apakah kedua segitiga berikut kongruen, postulat mana yang digunakan
untuk menyimpulkan itu?

a) PQ ≅ XY, QR ≅ YZ, PR ≅ XZ
b) ∠ P ≅ ∠ X, ∠ R ≅ ∠ Z, PQ ≅ XY
c) ∠ P ≅ ∠ X, ∠ Q ≅ ∠ Y, ∠ R ≅ ∠ Z

8) Diketahui ∠ A ≅ ∠ C, AB ≅ CB
Buktikan: ∆ CBE ≅ ∆ ABD

9) Diketahui: AB ≅ CD
∠1=∠2

Buktikan: ∆ ABD ≅ ∆ CDB

10) Diketahui AC ≅ AD
AB ≅ AE
BC ≅ ED

Buktikan: ∆ABC ≅ ∆AED

Petunjuk Jawaban Latihan

1) ∆ABC ≅ ∆DEF maka terdapat korespondensi A dengan D, B dengan E,
dan C dengan F sebagai
Sisi-sisi: AB ≅ DE; BC ≅ EF; dan AC ≅ DF
Sudut-sudut: ∠A ≅ ∠D; ∠B ≅ ∠E; dan ∠C ≅ ∠F

a) AC ≅ DF (benar); ∠B ≅ ∠E (benar); BC ≅ DE (salah,sekarang

)BC ≅ EF ;∠C ≅ ∠F (benar)

2.10 Geometri

( )b) AB ≅ ED benar, karena ED ≃ DE ; ∠A ≅ ∠D (benar); ∠C ≅ ∠F

( )(benar); AB ≅ EF salah, AB ≅ ED

( )c) AB ≅ DE (benar); BC ≅ FE benar, FE = EF ; ∠C ≅ ∠D (salah

seharusnya ∠C ≅ ∠F)

a

2) Pasangan sisi : PR ≅ JK

RS ≅ KL

Pasangan sudut: PS ≅ JL
∠PRS ≅ ∠JKL

∠RSP ≅ ∠KLJ

∠SPR ≅ ∠LJK

a

3) ∆ABC ≅ ∆BCA, selain itu
∆ABC ≅ ∆BAC,
∆ABC ≅ ∆CAB,
∆ABC ≅ ∆CBA,
∆ABC ≅ ∆ACB, dan
∆ABC ≅ ∆ABC.

a

4) ∆ ABD ≅ ∆ CBE (penulisan bisa ditukar asal sama misalnya menjadi
∆ DBA ≅ ∆ EBC).
Alasan: 1. ∠ABD ≅ ∠CBE (∠ ABD disebut juga ∠ CBE).

2. BD ≅ BE (diketahui, lihat gambar dengan tanda sama).
3. ∠BDA ≅ ∠BEC (diketahui).
Jadi, ∆DBA ≅ ∆EBC (dengan postulat Su-Si-Su).
5) ∆ ABC ≅ ∆ DEF terdapat korespondensi sesuai dengan urutan:
1. A ↔ D
2. B ↔ E
3. C ↔ F

Bila ditulis BCA urutannya 2, 3, 1 bersesuaian dengan urutan 2, 3, 1

pada DEF, yaitu EFD.

Jadi, ∆ BCA ≅ ∆ EFD.
a) ∆ BCA ≅ ∆ EFD benar.
b) ∆ ABC urutannya 1, 3, 2 yang sesuai dengan ∆ DFE.

Jadi, ∆ ACB ≅ ∆ DFE bukan dengan ∆ EFD.

PEMA4207/MODUL 2 2.11

c) ∆ CBA urutannya 3, 2, 1 yang sesuai dengan ∆ FED.
Jadi, ∆ CBA ≅ ∆ FED bukan dengan ∆ FDE.

d) ∆ CAB urutannya 3, 1, 2 yang sesuai dengan ∆ FDE.
Jadi, ∆ CAB ≅ ∆ FDE benar.

6) a) ∆ ADB dengan ∆ DAC, AD ≅ DA
b) (1) ∆ ACB dengan ∆ ABC, ∠ BAC ≅ ∠ CAB, BC ≅ CB
(2) ∆ ABE dengan ∆ ACD, ∠ EAB ≅ ∠ DAC
c) ∆ ABD dengan ∆ CDB, BD ≅ DB

7) a) PQ ≅ XY, QR ≅ YZ, PR ≅ XZ semua sisi yang berkorespondensi

kongruen, korespondensinya PQR dengan XYZ.
Jadi, ∆ PQR ≅ ∆ XYZ (alasan postulat Si-Si-Si).
b) ∠ P ≅ ∠ X, ∠ R ≅ ∠ Z, PQ ≅ XY dua pasang sudut dan satu

pasang sisi kongruen, tetapi sudut-sudut tidak mengapit sisi tersebut
(bukan Su-Si-Su, tetapi Su-Su-Si). Jadi, ∆ PQR tak dapat
disimpulkan dengan postulat yang kita punya, yaitu Si-Si-Si, Si-Su-
Si, Su-Si-Su. Tetapi bila sudah kita ketahui (bahasan bahwa jumlah
ukuran sudut segitiga 180o maka Su-Su-Si dapat dijadikan teorema
kongruensi segitiga).
Kesimpulan ∆ PQR ≅ ∆ XYZ dengan menggunakan teorema
Su-Su-Si.
c) ∠ P ≅ ∠ X, ∠ Q ≅ ∠ Y, ∠ R ≅ ∠ Z semua sudut yang
berkorespondensi kongruen. Tetapi Su-Su-Su bukan jaminan dua
sudut segitiga kongruen.

8) Bukti:

Pernyataan Alasan

1. ∠ A ≅ ∠ C 1. Diketahui

2. AB ≅ CB 2. Diketahui

3. ∠ B ≅ ∠ B 3. Refleksi sudut

kongruen dengan

dirinya.

4. ∆ CBE ≅ ∆ ABD. 4. Postulat Su-Si-Su.

2.12 Geometri

9) Bukti: Alasan
1. Diketahui
Pernyataan 2. Diketahui
3. Refleksi
1. AB ≅ CD
2. ∠ 1 ≅ ∠ 2 4. Postulat Si-Su-Si.
3. BD ≅ DB
4. ∆ ABD ≅ ∆

CDB

10) Bukti:

Pernyataan Alasan

1. AB ≅ AE 1. Diketahui

2. BC ≅ ED 2. Diketahui

3. AC ≅ AD 3. Diketahui

4. ABC ≅ AED 4. Postulat

Si-Si-Si

RANGKUMAN

Dua segitiga kongruen jika terdapat korespondensi antara titik-titik
sudut sehingga tiap pasang sisi dan sudut yang berkorespondensi
kongruen.

Ada tiga postulat kongruensi segitiga, yaitu postulat Si-Su-Si,
postulat Su-Si-Su, dan postulat Si-Si-Si.

Penggunaan postulat-postulat dengan struktur modus ponnens
apakah kondisi yang diharapkan pada postulat itu sudah dipenuhi. Untuk
melihat apakah kondisi itu sudah dipenuhi digunakan definisi,
selanjutnya dapat digunakan kebenaran lain.

TES FORMATIF 1

Pilih satu jawaban yang paling tepat!

1) Misal ∆ PQR ≅ ∆ XYZ maka penulisan yang benar adalah ....
A. ∆ QPR ≅ ∆ ZXY
B. ∆ XYZ ≅ ∆ QPR
C. ∆ PRQ ≅ ∆ XZY

PEMA4207/MODUL 2 2.13

D. ∆ XYZ ≅ ∆ RQP
2) Terdapat korespondensi antara ∆ MNO dengan ∆ ABC. Dari

korespondensi itu dapat disimpulkan ....

A. MN berkorespondensi dengan AB

B. MO berkorespondensi dengan BC
C. ∠ ONM berkorespondensi dengan ∠BAC
D. ∠ OMN berkorespondensi dengan ∠CBA

3) Tergambar dua segitiga, sudut atau segmen
yang ukurannya sama diberi tanda sama.
Kedua segitiga ini kongruen, alasannya
dengan postulat ....
A. Si-Si-Si
B. Si-Su-Si
C. Su-Si-Su
D. Su-Su-Su

4) Diketahui dua segitiga ∆ ABC dan ∆ DEF. ∠A ≅ ∠F, AC ≅ FE , ∠C
≅ ∠E, maka ....
A. ∆ ABC ≅ ∆ EFD
B. ∆ DEF ≅ ∆ CBA
C. ∆ DEF ≅ ∆ BCA
D. ∆ ABC ≅ ∆ DEF

5) Manakah yang kongruen ....
A. Dua segitiga sama kaki yang luasnya sama
B. Dua persegi panjang yang luasnya sama
C. Dua persegi yang luasnya sama
D. Dua segitiga yang luasnya sama

6) LQ sumbu dari JN dapat disimpulkan
JQ ≅ QN dengan alasan ....
A. LQ memotong JN
B. LQ memotong sama panjang dan tegak
lurus JN
C. LQ memotong tegak lurus JN
D. LQ dan JN sama-sama garis

2.14 Geometri

7) Diketahui BD membagi dua sama panjang
AC .
Buktikan: AE ≅ EC

Bukti: Alasan
A. Pernyataan 1. Diketahui

1. BD membagi dua sama panjang 2. Definisi membagi
AC . dua

2. AE ≅ EC

B. Pernyataan Alasan
1. BD tegak lurus AC . 1. Diketahui
2. AE ≅ EC
2. Definisi

C. Pernyataan Alasan
1. BD // AC . 1. Diketahui
2. AE ≅ EC
2. Definisi sejajar

D. Pernyataan Alasan
1. ∆AEC sama sisi. 1. Diketahui
2. Definisi ∆ sama sisi
2. AE ≅ EC
A
8) Diketahui AB ≅ XY

BC ≅ YZ

AC ≅ XZ
Buktikan: ∆ ABC ≅ ∆ XYZ.

Bukti: Alasan
A. Pernyataan 1. Diketahui
2. Diketahui
1. AB ≅ XY 3. Diketahui
2. BC ≅ YZ 4. Postulat Si-Su-Si

3. AC ≅ XZ
4. ∆ ABC ≅ ∆ XYZ

B. Pernyataan Alasan
1. AB ≅ XY 1. Diketahui

PEMA4207/MODUL 2 2.15

2. BC ≅ YZ 2. Diketahui

3. AC ≅ XZ 3. Diketahui

4. ∆ ABC ≅ ∆ XYZ 4. Postulat Si-Si-Si

C. Pernyataan Alasan

1. AB ≅ XY 1. Diketahui

2. BC ≅ YZ 2. Diketahui

3. AC ≅ XZ 3. Diketahui

4. ∆ ABC ≅ ∆ XYZ 4. Postulat Su-Si-Su

D. Pernyataan Alasan

1. AB ≅ XY 1. Diketahui

2. BC ≅ YZ 2. Diketahui

3. AC ≅ XZ 3. Diketahui

4. ∆ ABC ≅ ∆ XYZ 4. Postulat Su-Su-Su

9) Alasan penyimpulan ∆ ABD ≅ ∆ CBD adalah ....

A. postulat Si-Si-Si
B. postulat Su-Si-Su
C. postulat Si-Su-Si
D. postulat Su-Su-Si

10) Yang menggunakan alasan postulat Si-Su-Si
dari gambar di samping adalah ....

a

A. CD ≅ CB; DA ≅ BE, AC ≅ EC maka ∆ CDA ≅ ∆ CBE
B. ∠CBE ≅ ∠CDA; BC ≅ DC; BE ≅ DA maka ∆ CDA ≅ ∆ CBE
C. CD ≅ CB; CA ≅ CE maka ∆ CDA ≅ ∆ CBE
D. ∠A ≅ ∠E; ∠CDA ≅ ∠CBE maka ∆ CDA ≅ ∆ CBE

2.16 Geometri

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.

Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar × 100%

Jumlah Soal

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang
belum dikuasai.

PEMA4207/MODUL 2 2.17

Kegiatan Belajar 2

Alat Pembuktian Kongruen

PEMBUKTIAN: MENGGUNAKAN POSTULAT DAN DEFINISI

Definisi garis bagi, pembagi segmen, sumbu, dan titik tengah dapat
bersama-sama digunakan dengan postulat kongruensi untuk membuktikan
bahwa dua segitiga kongruen. Untuk memahami bagaimana membuktikan
bahwa dua segitiga kongruen sering membantu menganalisis situasi dengan
berpikir mundur.

Masalah: Membuktikan bahwa dua segitiga kongruen.

Contoh 2.6 AB ≅ AD .
Diketahui: AC membagi ∠ BAD

Buktikan: ∆ ABC ≅ ∆ ADC

Analisis: Akan dibuktikan ∆ ABC ≅ ∆ ADC, ini dapat dilakukan dengan
menggunakan Postulat Kongruensi Si-Si-Si, Si-Su-Si, atau Su-Si-
Su, yang mana? Dari informasi yang diketahui bahwa AB ≅ AD .
Jika dapat ditunjukkan bahwa ∠ 1 ≅ ∠ 2 dan AC ≅ AC , dapat
digunakan Si-Su-Si. AC adalah garis bagi ∠ BAD, jadi ∠1 ≅ ∠2,
juga segmen kongruen dengan dirinya.
Jadi, ∆ ABC ≅ ∆ ADC dapat dibuktikan.

Bukti:

Pernyataan Alasan

1. AB ≅ AD 1. Diketahui

2. AC membagi ∠ BAD 2. Diketahui

3. ∠1 ≅ ∠2 3. AC sumbu BD.

4. AC ≅ AC 4. Segmen kongruen dirinya

5. ∆ ABC ≅ ∆ ADC 5. Postulat Kongruensi Si-Su-Si

2.18 Geometri

Contoh 2.7
Diketahui: AC pada sumbu BD
Buktikan: ∆ ACB ≅ ∆ ACD

Analisis: Dapat dibuktikan bahwa ∆ ACB ≅ ∆ ACD dengan Postulat
Kongruensi. Dicoba dengan postulat Kongruensi Si-Su-Si, Kita
tahu bahwa AC ≅ AC . Karena AC sumbu BD , maka
∠ ACB ≅ ∠ ACD, dan BC ≅ CD . Dapat dibuktikan!

Bukti:

Pernyataan Alasan
1. AC membagi BD 1. Diketahui.
2. Definisi pembagi segmen.
2. BC ≅ CD 3. Diketahui.
3 AC ⊥ BD 4. AC sumbu BD.
4. ∠ ACB ≅ ∠ ACD 5. Refleksi.
5. AC ≅ AC 6. Postulat Si-Su-Si.
6. ∆ ACB ≅ ∆ ACD

Pembuktian Segmen dan Sudut Kongruen
Kita sering membuktikan bahwa pasangan dari segmen atau sudut

kongruen dengan terlebih dahulu membuktikan bahwa pasangan segitiga
kongruen. Kemudian kita dapat menggunakan definisi segitiga kongruen
untuk menyimpulkan bahwa bagian dari segitiga yang berkorespondensi
kongruen. Kemudian gunakan CPCTC (Corresponding Parts of Congruent
Triangle are Congruent-Bagian yang Berkorespondensi dari Segitiga yang
Kongruen adalah Kongruen-BBSKK).

Contoh 2.8 AB ≅ AD , ∠ 1 ≅ ∠
Diketahui: 2

Buktikan: BE ≅ DE

PEMA4207/MODUL 2 2.19

Analisis: Dapat dibuktikan BE ≅ DE jika dapat ditemukan pasangan
segitiga kongruen yang memuat segmen itu. Dengan postulat
kongruensi Si-Su-Si, ∆ ABE kongruen ∆ ADE, karena diketahui
∠1 ≅ ∠2 , AB ≅ AD , dan AE ≅ AE . Dapat dibuktikan
BE ≅ DE .

Bukti:

Pernyataan Alasan

1. AB ≅ AD 1. Diketahui.

2. ∠1 ≅ ∠2 2. Diketahui.

3. AE ≅ AE 3. Refleksi.

4. ∆ ABE ≅ ∆ ADE 4 Postulat Si-Su-Si.

5. BE ≅ DE 5. BBSKK.

Contoh 2.9
Diketahui: AC dan BD saling membagi dua.

∠1≅∠2

Buktikan: ∠ 3 ≅ ∠ 4
Analisis: ∠ 3 dan ∠ 4 berturut-turut berada di ∆ AOD dan ∆ BOC dan pada

∆ ADC dan ∆ ABC. Dari informasi yang diketahui nampak dapat
terbukti bahwa ∆ AOD kongruen ∆ COB, kemudian dapat
disimpulkan bahwa ∠ 3 ≅ ∠ 4 dapat dibuktikan.
Bukti:

Pernyataan Alasan

1. AC dan BD saling membagi 1. Diketahui

2. AO ≅ CO, OB ≅ OD 2. Definisi pembagi segmen

3. ∠1 ≅ ∠2 3. Diketahui
4. ∆ AOD ≅ ∆ COB 4. Postulat Si-Su-Si
5. ∠ 3 ≅ ∠ 4 5. BBSKK

Pembuktian: Segitiga-segitiga Overlap/Bertumpuk
Pada pembuktian beberapa segitiga, bentuknya sering bertumpuk satu

sama lain sehingga menyulitkan, akan memudahkan bila bentuk itu uraikan
untuk menganalisis pembuktian, seperti yang ditampilkan contoh berikut.

2.20 Geometri

Contoh 2.10 ∠ 1 ≅ ∠ 2, AC ≅ DF
Diketahui: ∠3≅∠4
EF ≅ BC
Buktikan:

Analisis: Harus dipilih pasangan segitiga yang memuat EF dan BC . Coba

∆ EFD dan ∆ BCA, dengan postulat Su-Si-Su ternyata kongruen,
dan dapat menyimpulkan bahwa EF ≅ BC .

Contoh 2.11
Diketahui: ∠ 1 ≅ ∠ 6

∠3≅∠4
AE ≅ CD
Buktikan: ∠ ABE ≅ ∠ CBD
Analisis: Segitiga bertumpuk ∆ ABE dan ∆ CBD memuat dua pasang sudut
yang kongruen, sisi yang diapitnya juga kongruen. Dengan Si-Su-
Si dapat dibuktikan.

Kadang-kadang kita perlu
memberi tanda-tanda khusus (warna,
dan sebagainya) untuk menegaskan
segitiga yang bertumpuk.

Contoh 2.12
Diketahui: ∆ LJN adalah segitiga sama sisi dengan

JL ≅ LN
∠1≅∠2
Buktikan: LK ≅ LM

PEMA4207/MODUL 2 2.21

Analisis: Dapat dibuktikan LK ≅ LM jika segmen itu bagian
berkorespondensi dari segitiga kongruen. Kita coba ∆ LKN dan ∆
LMJ. Kita tahu bahwa ∠ 1 ≅ ∠ 2, dan bahwa ∠ LJN kongruen
dengan dirinya. Ya betul ternyata ∆ JLN sama kaki. Jadi, segitiga
kongruen dengan Su-Si-Su. Kita dapat membuktikan.

Contoh 2.13 JK ≅ NM
Diketahui: ∠KJN ≅ ∠MNJ

Buktikan: KN ≅ MJ

Analisis: KN dan MJ adalah bagian berkorespondensi pada ∆ LKN dan
∆ LMJ seperti Contoh 2.12. Tetapi informasi yang diketahui
adalah bagian dari ∆ KJN dan ∆ MNJ. Karena JN kongruen
dengan dirinya, sehingga dapat dibuktikan ∆ KJN kongruen ∆
MNJ dengan Si-Su-Si.

Pembuktian: Rantai Kongruensi
Menuliskan pembuktian tertentu, satu pasang segitiga harus dibuktikan

terlebih dahulu untuk memberikan informasi yang diperlukan untuk
membuktikan pasangan segitiga yang kongruen. Ikuti contoh berikut.

Contoh 2.14
Diketahui: AB ≅ CB

Buktikan: ED ≅ EF
∠1≅∠2
∠3≅∠4

AD ≅ CF

Analisis: AD ≅ CF dapat dibuktikan jika dapat dibuktikan
∆ AED ≅ ∆ CEF , tetapi tidak ada informasi yang cukup untuk

membuktikan ini. Jika diketahui bahwa AE ≅ CE dapat
dibuktikan segitiga ini kongruen dengan Si-Su-Si. Tetapi

AE dan CE adalah bagian yang berkorespondensi dari ∆ABE

dan ∆CBE dan dapat dibuktikan segitiga ini kongruen.

2.22 Geometri

Bukti:

Pernyataan Alasan

1. AB ≅ CB 1. Diketahui.

2. ∠ 1 ≅ ∠ 2 2. Diketahui.

3. BE ≅ BE 3. Refleksi.

4. ∆ ABE ≅ ∆ CBE 4. Postulat Si-Su-Si.

5. AE ≅ CE 5. ∆ ABE ≅ ∆ CBE.

6. ∠ 3 ≅ ∠ 4 6. Diketahui.

7. DE ≅ FE 7. Diketahui.

8. ∆ AED ≅ ∆ CEF 8. Postulat Si-Su-Si.

9. AD ≅ CF 9. ∆ AED ≅ ∆ CEF .

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!

1) Dua segitiga di samping
kongruen, tuliskan korespon-
densi antara titik sudut, sudut,
dan sisi. Kemudian tuliskan
segitiga yang kongruen!

2) Tuliskan pasangan yang
saling kongruen dari gambar
di samping!
∆ STU = ....
∆ SUT = ....
∆ TSU = ....
∆ TUS = ....
∆ UST = ....
∆ UTS = ....

A

PEMA4207/MODUL 2 2.23

3) Isilah korespondensi antartitik sudut
berikut!
A ↔ ....
B ↔ ....
C ↔ ....
D ↔ ....

Isilah pasangan yang saling
kongruen!
□ ABCD ≅ ....
□ BADC ≅ ....
□ CBAD ≅ ....
□ CDAB ≅ ....
□ BCDA ≅ ....
□ DCBA ≅ ....

A

4) Konstruksi tiga segitiga yang
kongruen dengan segitiga PQR di
samping dengan menggunakan
cara berikut:
a) satu sudut dan dua sisi yang
mengapitnya (∠ P, q, dan r).
b) tiga sisinya (p, q, dan r).
c) dua sudut dan satu sisi yang
diapit sudut itu (∠ R, q, ∠ P).

A

5) Diketahui : ∠ A ≅ ∠ C, AB ≅ CB .

Buktikan : ∆ CBE ≅ ∆ ABD

A

6) Diketahui: ∠ E ≅ ∠ N, S membagi
EN , AE ≅ NY .

Buktikan: ∆ EAS ≅ ∆ NYS

2.24 Geometri

7) Gantilah tanda “?” dengan pernyataan atau alasan yang sesuai.
Diketahui: ABCDEF segi enam beraturan.

Buktikan: AC ≅ BP

Bukti: 1. Alasan
Pernyataan 2. Diketahui.
3. ?
1. ABCDEF segi enam beraturan
2. AF ≅ BC Segmen kongruen dengan
3. ? segmen itu sendiri (refleksif).
?
4. ∠ FAB ≅ ∠ ABC 4. ?
BBSKK.
5. ∆ FAB ≅ ∆ CBA 5.

6. ? 6.

a

8) Diketahui: HF ⊥ BD, HG ⊥ AC

HF ≅ HG
Buktikan: AG ≅ DF

a

9) Diketahui: ABCDEF segi enam beraturan

Buktikan: ∆ ABD ≅ ∆ AFD

a

10) Diketahui: EH ≅ BH
AH ≅ DH
AC ≅ DF
∠1≅∠2

Buktikan: EF ≅ BC

PEMA4207/MODUL 2 2.25

Petunjuk Jawaban Latihan

1) Setelah diamati ternyata

∠ P ≅ ∠ A, ∠ Q ≅ ∠ C, ∠ R ≅ ∠ B, dan PQ ≅ AC, QR ≅ CB, RP ≅ BA

Korespondensi titik sudut P ↔ A, Q ↔ C, R ↔ B

Korespondensi sudut ∠ P ↔ ∠ A, ∠ Q ↔ ∠ C, ∠ R ↔ ∠ B

Korespondensi sisi PQ ↔ AC, QR ≅ CB, RP ≅ BA

a

Jadi, ∆PQR ≅ ∆ACB; ∆PRQ ≅ ∆ABC

∆QPR ≅ ∆CAB; ∆QRP ≅ ∆CBA

∆RPQ ≅ ∆BAC; ∆RQP ≅ ∆BCA

a

2) Korespondensi antara titik sudut:

S ↔ Y, T ↔ X, dan U ↔ Z
Sehingga ∆ STU ≅ ∆ YXZ

∆ SUT ≅ ∆ YZX
∆ TSU ≅ ∆ XYZ
∆ TUS ≅ ∆ XZY
∆ UST ≅ ∆ ZYX
∆ UTS ≅ ∆ ZXY

a

3) Setelah diamati korespondensi antara titik sudut didapat:
A ↔ H, B ↔ G, C ↔ F, D ↔ E

Maka □ ABCD ≅ □ HGFE
□ BADC ≅ □ GHEF
□ CBAD ≅ □ FGHE
□ CDAB ≅ □ FEHG
□ BCDA ≅ □ GFEH
□ DCBA ≅ □ EFGH

a

4) a) (1) Konstruksi sudut yang

kongruen di ∠ P.
(2) Pada salah satu kaki sudut

P konstruksi segmen yang

kongruen dengan q.
(3) Pada kaki yang lain dari

sudut P konstruksi segmen

2.26 Geometri

yang kongruen dengan r.
(4) Hubungkan ujung segmen.

b) (1) Buat segmen r = PQ
(2) Buat lingkaran dengan
jari-jari p dengan pusat Q.
(3) Buat lingkaran dengan
jari-jari q dengan pusat P.
(4) Langkah (2) berpotongan
dengan langkah (3) di R.

c) (1) Konstruksi q = PR .
(2) Konstruksi ∠ R dengan
kaki PR .
(3) Konstruksi ∠ P dengan
kaki PQ .
(4) (2) dan (3) berpotongan di
Q.

5) Bukti:

Pernyataan Alasan

1. ∠ A ≅ ∠ C 1. Diketahui

2. AB ≅ CB 2. Diketahui

3. ∠ C ≅ ∠ A 3. Diketahui

4. ∆ CBE ≅ ∆ ABD 4. Definisi Su-Si-Su

6) Bukti:

Pernyataan Alasan

1. ES ≅ NS 1. Definisi S membagi EN .

2. ∠ E ≅ ∠ N 2. Diketahui.

3. EA ≅ NY 3. Diketahui.

4. ∆ EAS ≅ ∆ NYS 4. Si-Su-Si.

PEMA4207/MODUL 2 2.27

7) Pada kolom pernyataan Pada kolom alasan

2. Definisi segi enam beraturan.

3. AB ≅ BA 3. Definisi segi enam beraturan.

6. AC ≅ BF 5. Postulat Si-Su-Si.

8) Bukti:

Pernyataan Alasan

1. ∠ AHG ≅ ∠ DHF 1. Sudut yang sama.

2. HG ≅ HF 2. Diketahui.

3. ∠ HGA ≅ ∠ HFD 3. HF ⊥ BD, HG ⊥ AC .

4. ∆ AHG ≅ ∆ DHF 4. Definisi Su-Si-Su.

5. AG ≅ DF 5. BBSKK.

9) Analisis: Untuk membuktikan ∆ ABD ≅ ∆ AFD harus ditemukan

BD ≅ FD untuk menunjukkan harus ditunjukkan

∆ BCD ≅ ∆ FED (dengan Si-Su-Si).

Bukti:

Pernyataan Alasan

1. BC ≅ FE 1. Definisi segi enam beraturan.

2. ∠ BCD ≅ ∠ FED 2. Definisi segi enam beraturan.

3. CD ≅ ED 3. Definisi segi enam beraturan.

4. ∆ BCD ≅ ∆ FED 4. Si-Su-Si.

5. AB ≅ AF 5. Definisi segi enam beraturan.

6. BD ≅ FD 6. BBSKK (dari 4).

7. DA ≅ DA 7. Segmen kongruen dengan dirinya
sendiri (refleksi).

8. ∆ ABD ≅ ∆ AFD 8. Si-Si-Si.

10) Analisis: Pertama-tama buktikan bahwa ∆ AHB ≅ ∆ DHE dengan
Su-Si-Su didapat ∠ 4 ≅ ∠ 3, kemudian diketahui bahwa
∠ 4 ≅ ∠ 1 dan AC ≅ DF maka ∆ ACB ≅ ∆ DEF dapatlah

dibuktikan EF ≅ BC .

2.28 Geometri

Bukti:

Pernyataan Alasan

1. AH ≅ DH 1. Diketahui.

2. ∠ AHB ≅ ∠ DHE 2. Sudut yang sama.

3. HB ≅ HE 3. Diketahui.

4. ∆ AHB ≅ ∆ DHE 4. Su-Si-Su.

5. ∠ 4 ≅ ∠ 3 5. BBSKK.

6. AC ≅ DF 6. Diketahui.

7. ∠ 2 ≅ ∠ 1 7. Diketahui.

8. ∆ ABC ≅ ∆ DEF 8. Si-Si-Si.

9. EF ≅ BC 9. BBSKK.

RANGKUMAN

Kongruensi antara dua segitiga adalah korespondensi antara titik-
titik sudut sehingga sudut-sudut yang berkorespondensi dan sisi-sisi
yang berkorespondensi kongruen.

Terdapat tiga postulat kongruensi, yaitu postulat Si-Su-Si, Su-Si-Su,
dan postulat Si-Si-Si, dengan postulat ini kita tidak perlu
mengkorespondensikan tiga sudut dan tiga sisi, tetapi cukup tiga saja,
yaitu sisi-sudut-sisi (Si-Su-Si), sudut-sisi-sudut (Su-Si-Su), dan sisi-sisi-
sisi (Si-Si-Si) untuk memeriksa kongruensi segitiga.

TES FORMATIF 2

Pilih satu jawaban yang paling tepat!

1)

∆ ABC ≅ ∆ PQR atau ....
A. ∆ BAC ≅ ∆ RQP
B. ∆ CBA ≅ ∆ RQP
C. ∆ BCA ≅ ∆ RPQ
D. ∆ ABC ≅ ∆ RPQ

PEMA4207/MODUL 2 2.29

2) Diketahui ∆ PQR ≅ ∆ UST, ∠ P ≅ ∠ U, UT ≅ PR, PQ ≅ US . Dapat
disimpulkan ∆ PQR ≅ ∆ UST dengan ....
A. postulat Su-Si-Su
B. postulat Si-Su-Si
C. postulat Si-Si-Si
D. postulat Su-Si-Si

3)

Manakah yang benar?
A. ∆ ABC ≅ ∆ CDA dengan postulat Su-Si-Su
B. ∆ BAC ≅ ∆ DAC dengan postulat Si-Si-Si
C. ∆ ADC ≅ ∆ ABC dengan postulat Su-Si-Su
D. ∆ ABC ≅ ∆ CDA dengan postulat Si-Si-Si

4) ∆ ABC dengan u ∠ A = 15o, AB = 12, BC = 10
∆ PQR dengan u ∠ P = 15o, PQ = 12, QR = 10
A. ∆ ABC ≅ ∆ PQR
B. ∆ ABC ≅ ∆ PQR
C. ∆ ABC belum tentu kongruen ∆ PQR
D. tidak ada kesimpulan

5) Diketahui: DB membagi ∠ EDF

Konklusi (kesimpulan) yang benar
adalah ....
A. DE ≅ DF
B. ∠ DEB ≅ ∠ DFE
C. ∠ EDB ≅ ∠ FDB
D. EB ≅ FB

2.30 Geometri

6) Diketahui: XM ⊥ YZ
YM ≅ MZ

Buktikan ∆ XYM ≅ ∆ XZM. Alasan
A. Pernyataan 1. Segmen kongruen dirinya
2. Diketahui
1. XM ≅ XM 3. XM ⊥ YZ

2. XM ⊥ YZ 4. Definisi sudut kongruen
3. u ∠ XMY = 90o 5. Diketahui
6. Postulat Si-Su-Si
u ∠ XMZ = 90o
4. ∠ XMY ≅ ∠ XMZ

5. YM ≅ MZ
6. ∆ XYM ≅ ∆ XZM

B. Pernyataan Alasan
1. Segmen kongruen dirinya
1. XM ≅ XM 2. Diketahui
2. YM ≅ ZM 3. Diketahui
3. XY ≅ XZ 4. Postulat Si-Si-Si
4. ∆ XYM ≅ ∆ XZM

C. Pernyataan Alasan

1. XM ≅ XM Segmen kongruen dirinya

2. ∠ YXM ≅ ∠ ZXM Definisi XM ⊥ YZ

3. ∠ YMX ≅ ∠ ZMX XM membagi ∠ XYZ

4. ∆ XYM ≅ ∆ XZM Postulat Su-Su-Si

D. Pernyataan Alasan
1. ∆ XYM ≅ ∆ XZM Diketahui
2. XM ≅ YZ Diketahui

3. XM ⊥ YZ Diketahui
4. ∆ XYM ≅ ∆ XZM
Postulat Si-Su-Si

PEMA4207/MODUL 2 2.31

7) Diketahui: XO sumbu segmen MP yang dapat
disimpulkan dari yang diketahui ….

A. ∆ XMP kongruen
B. ∆ XMP segitiga sama sisi
C. ∆ XMP segitiga sama kaki
D. XM ≅ MP
a
8) Diketahui: ABCDEF segi lima beraturan.

AG garis bagi EAB dan
merupakan sumbu DC .

Kesimpulan yang salah adalah ....
A. ∆ BCF ≅ ∆ EDF
B. BD ≅ EC
C. EF ≅ FC
D. AF ⊥ DC
a
9) Diketahui: FE ≅ FD , ∠ E ≅ ∠ D

Buktikan: EY ≅ DR

Bukti:

a

Pernyataan Alasan
1. ∠ EFY ≅ ∠ DFR 1. Sudut yang sama
2. Diketahui
2. EF ≅ DF
3. ∠ E ≅ ∠ D 3. Diketahui
4. ∆ EFY ≅ ∆ DFR 4. .....
5. BBSKK
5. EY ≅ DR

Alasan nomor 4 diisi dengan ....
A. Si-Si-Si
B. Su-Si-Su
C. Si-Su-Si
D. BBSKK

2.32 Geometri

10) Diketahui: AB ≅ AC
Buktikan: ∠ B ≅ ∠ C
Bukti: Perhatikan ∆ CAB dan ∆ BAC.
1. AB ≅ AC (diketahui simetris)
2. ∠ A ≅ ∠ A (sudut kongruen dengan dirinya)
3. .... ≅ .... (diketahui)
4. ∆ CAB dan ∆ BAC (Si-Su-Si)
5. ∠ B ≅ ∠ C (..................)

Pengisi titik-titik berturut-turut adalah ....
A. ∠ B ≅ ∠ C dan Si-Si-Si
B. ∠ B ≅ ∠ C dan Si-Su-Si
C. AB ≅ AC dan diketahui
D. AB ≅ AC dan BBSKK

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.

Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar × 100%

Jumlah Soal

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang
belum dikuasai.

PEMA4207/MODUL 2 2.33

Kunci Jawaban Tes Formatif

Tes Formatif 1
1) C. Bisa diperiksa dengan gambar.
2) A. Periksa dengan gambar.
3) B. Konsep kongruensi 2 segitiga.
4) C. Periksa dengan gambar.
5) C. Konsep kongruensi 2 bangun datar.
6) B. Konsep kongruensi 2 segmen garis.
7) A. Konsep pembagian garis.
8) B. Konsep kongruensi 2 segitiga.
9) B. ∠ 1 ≅ ∠ 2, ∠ 3 ≅ ∠ 4, BD ≅ BD .
10) C. Konsep kongruensi 2 segitiga.

Tes Formatif 2
1) B. Periksa korespondensi titik.
2) B. Aturan penulisan satu sudut dan dua sisi.
3) C. Sudut-sisi-sudut.
4) C. Bisa dicoba dengan gambar.
5) C. Konsep garis bagi membagi sudut menjadi 2 sama besar.
6) A. Bukan 2 segitiga kongruen.
7) C. Konsep sumbu garis.
8) A. Kongruensi 2 segitiga.
9) B. Sudut-sisi-sudut.
10) D. Ada di dalam segitiga yang kongruen.