GEOMETRI_clone

4.6 Geometri

Berikut ini sekilas perkembangan postulat kesejajaran
Euclid (330-270 SM) mengemukakan postulat kesejajaran sebagai

berikut.
Bahwa jika satu garis memotong dua garis lain membentuk dua sudut

dalam pada sisi yang sama lebih kecil dari dua sudut siku-siku dua garis itu
jika diperpanjang tak hingga akan bertemu pada sisi dimana dua sudut yang
kurang dari dua sudut siku-siku (perhatikan gambar berikut).

Garis a memotong garis b dan c
membentuk 2 sudut dalam yaitu ∠ 1
dan ∠ 2 pada sisi yang sama (dari
garis a, yaitu sama-sama di sebelah
kanan garis a, jumlah ukurannya
kurang dari 2 × 90o = 180o.

Maka dua garis itu (garis b dan c) akan bertemu (berpotongan) juga pada
sisi di mana 2 sudut yang kurang dari 180o, yakni bertemunya garis b dan c
itu juga di sebelah kanan garis a.

Postulat kesejajaran ini bertahan selama 2000 tahun, baru pada abad 18,
seorang matematikawan John Playfair menemukan postulat yang ekivalen
dengan postulat kesejajaran Euclid. Postulat ini disebut postulat Playfair.

Dengan postulat Playfair ini, bermunulan postulat-postulat baru yang
tadinya mau menyalahkan Euclid, tetapi malah melahirkan geometri lain,
seperti Geometri Eliptik, dan Geometri Hiperbolik serta Geometri Netral.

Teorema 4.5
Diketahui garis p, q, dan r. Jika p//q dan q//r maka p//r.

Bukti:
Diketahui: garis p, q, dan r. Tiga garis berbeda. p//q dan q//r.

Buktikan: p//r.

Bukti: Alasan
Pernyataan 1. Pengandaian bukti tak

1. Andaikan p // r langsung.
2. Pernyataan ulang 1.
2. Terdapat persekutuan antara p dan r,
sebut saja A.

PEMA4207/MODUL 4 4.7

Pernyataan Alasan

3. p//q. 3. Diketahui.

4. r//q. 4. Diketahui.

5. Garis p dan r dua garis berbeda melalui 5. Pernyataan 3 dan 4.

A sejajar q (kontradiksi dengan

Postulat Kesejajaran yang menyatakan

hanya ada satu garis melalui A dan

sejajar dengan q.

6. Oleh karena itu p//r. 6. Logika bukti tak

langsung.

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!

1) Perhatikan gambar di samping, garis mana
yang dapat disimpulkan sejajar, teorema
yang membenarkan hanya untuk keadaan
berikut.
a) ∠ 1 ≅ ∠ 9
b) ∠ 4 ≅ ∠ 6
c) u ∠ 7 + u ∠ 10 = 180o
d) ∠ 3 ≅ ∠ 9
e) ∠ 1 ≅ ∠ 11
f) ∠ 1 ≅ ∠ 7

a
2) Tuliskan 4 cara untuk membuktikan bahwa dua garis sejajar.
a
3) Pasangan sudut mana yang

kongruen yang dapat menunjukkan
bahwa AB // CD pada gambar di
samping?

a

4.8 Geometri

4) Diketahui: AB ≅ DC
AD ≅ BC

Buktikan: AB // DC

A
5) Diketahui: ∠ ABC ≅ ∠ BCD

BF garis bagi ∠ ABC
CG garis bagi ∠ BCD.

Buktikan: BF // CG

A
6) Diketahui: ∠ BCD ≅ ∠ D

u ∠ B + u ∠ D = 180o

Buktikan: AB // DC

A
7) Diketahui: u ∠ 1 + u ∠ 2 = 180o

u ∠ 3 + u ∠ 4 = 180o

Buktikan: p//r

A
8) Diketahui: ∠ 1 ≅ ∠ 2

∠3≅∠4

Buktikan: p//r

A

PEMA4207/MODUL 4 4.9

9) Diketahui: Garis g dan titik P di luar garis g.
Lukis garis m melalui P sejajar
dengan g.

AA
10) Jika AB , CD , dan EF adalah rusuk-rusuk

kubus.
Tunjukkan EF // AB .

Petunjuk Jawaban Latihan

1) a) a) ∠ 1 ≅ ∠ 9, terbentuk karena adanya garis a dan c dipotong
transfersal oleh garis d, sudut 1 dan sudut 9 sehadap jadi a//c.
(menggunakan Teorema 4.1).

b) ∠ 4 ≅ ∠ 6, terbentuk karena adanya garis a dan b dipotong oleh
transversal, ∠ 4 dengan ∠ 6 adalah sudut dalam berseberangan.
Jadi, a//b. (menggunakan Teorema 4.2).

c) u ∠ 7 + u ∠ 10 = 180o, terbentuk ∠ 7 dan ∠ 8 karena adanya
garis b dan c, ∠ 7 dan ∠ 10 adalah sudut dalam pada sisi yang
sama dari transversal saling suplemen, jadi b//c. (menggunakan
Teorema 4.4).

d) ∠ 3 ≅ ∠ 9, terbentuknya ∠ 3 dan ∠ 9 karena adanya garis a
dan c dipotong oleh transversal, ∠ 3 dan ∠ 9 adalah sudut
dalam berseberangan, jadi a//c. (menggunakan Teorema 4.2).

e) ∠ 1 ≅ ∠ 11, terbentuk karena adanya garis b dan c, ∠ 7 dan
∠ 11 adalah sudut-sudut yang sehadap jadi b//c. (Teorema 4.1).

f) ∠ 1 ≅ ∠ 7, terbentuk karena adanya garis a dan b, ∠ 1 dan ∠ 7
adalah sudut luar berseberangan jadi a//b (Teorema 4.3).

a
2) Jika dua garis dipotong oleh transversal

sehingga terbentuk:

4.10 Geometri
a) Sudut sehadap kongruen.

b) Sudut dalam berseberangan kongruen.

c) Sudut luar berseberangan kongruen.

d) Sudut dalam pada sisi yang sama dari
transversal saling suplemen.

3) ∠ 1 ≅ ∠ 8 maka AB // CD (sehadap)
∠ 3 ≅ ∠ 7 maka AB // CD (sehadap)
∠ 4 ≅ ∠ 8 maka AB // CD (dalam berseberangan)
∠ 6 ≅ ∠ 7 maka AB // CD (dalam berseberangan).

4) Bukti:

Pernyataan Alasan
1. Diketahui.
1. AD ≅ CB 2. Diketahui.
2. AB ≅ CD 3. Refleksif.
3. AC ≅ CA 4. Si-Si-Si.
4. ∆ ABC ≅ ∆CDA 5. BSKK.
5. ∠ 2 ≅ ∠ 3 6. Sudut dalam berseberangan.
6. AB // DC

PEMA4207/MODUL 4 4.11

5) Bukti: Alasan
1. Diketahui.
Pernyataan 2. Definisi garis bagi.
1. ∠ ABC ≅ ∠ BCD 3. Definisi garis bagi.
2. ∠ 1 ≅ ∠ 2 4. Definisi sudut kongruen.
3. ∠ 3 ≅ ∠ 4 5. Definisi sudut kongruen.
4. u ∠ 1 = u ∠ 2 6. Definisi sudut kongruen.
5. u ∠ 3 = u ∠ 4 7. Penjumlahan sudut.
6. u ∠ ABC = u ∠ BCD 8. Diketahui.
7. u ∠ ABC = u ∠ 1 + u ∠ 2 9. Penjumlahan sudut.
8. u ∠ ABC = u ∠ BCD 10. Masing-masing setengah dari
9. u ∠ BCD = u ∠ 3 + u ∠ 4
10. u ∠ 3 ≅ ∠ 2 sudut yang kongruen.
11. Teorema 4.2, berseberangan
11. BF // CG
dalam.
6) Bukti:
Alasan
Pernyataan 1. Diketahui.
1. ∠ BCD ≅ ∠ D 2. Diketahui.
2. u ∠ B + u ∠ D = 180o 3. Definisi kongruen.
3. u ∠ BCD = u ∠ D 4. Substitusi.
4. u ∠ B + u ∠ BCD =180o 5. Definisi suplemen.
5. ∠ B suplemen ∠ BCD 6. Teorema 4.4.
6. AB // DC
Alasan
7) Bukti: 1. Diketahui.
2. Teorema 4.4.
Pernyataan 3. Diketahui.
1. u ∠ 1 + u ∠ 2 = 180o 4. Teorema 4.4.
2. p//q 5. Teorema 4.5.
3. u ∠ 3 + u ∠ 4 = 180o
4. q//r
5. p//r

4.12 Geometri

8) Bukti:

Pernyataan Alasan

1. ∠ 1 ≅ ∠ 2 1. Diketahui.

2. p//q 2. Teorema 4.2 berseberangan

dalam.

3. ∠ 3 ≅ ∠ 4 3. Diketahui.

4. q//r 4. Teorema 4.4. berseberangan

luar.

5. p//r 5. Teorema 4.5.

a

9) a) Buat garis m melalui P memotong g

misal di A.

b) Buat lingkaran dengan pusat A
sehingga memotong g dan m di titik
B dan C.

c) Dengan jari-jari yang sama, buat
lingkaran dengan pusat P sehingga
memotong g di E.

d) Ukurkan BC dengan jangka, buat
lingkaran dengan pusat E dengan

jari-jari ukuran BC sehingga
memotong lingkaran yang dibuat
pada c di titik F.
e) Buat garis FP, garis FP ini adalah n.

10) ABCD adalah persegi sehingga AB // CD . CDEF adalah persegi
sehingga CD // EF . Dengan menggunakan Teorema 4.5 disimpulkan
bahwa AB // EF .

RANGKUMAN

Jika dua garis dipotong oleh transversal dan terbentuk sepasang
sudut yang sehadap kongruen maka kedua garis sejajar.

PEMA4207/MODUL 4 4.13

Jika dua garis dipotong oleh transversal dan terbentuk sudut dalam
berseberangan kongruen maka dua garis itu sejajar.

Jika dua garis dipotong oleh transversal dan terbentuk sudut luar
berseberangan kongruen maka dua garis itu sejajar.

Jika dua garis dipotong oleh transversal dan terbentuk sudut dalam
pada sisi yang sama dari transversal saling suplemen maka dua garis itu
sejajar.

Postulat kesejajaran Euclid: diketahui garis g dan titik P di luar g
terdapat hanya satu garis yang melalui P sejajar g.

TES FORMATIF 1

Pilih satu jawaban yang paling tepat!

1) Pasangan sudut luar berseberangan pada
gambar di samping adalah ....
A. ∠ 2 dan ∠ 7
B. ∠ 2 dan ∠ 8
C. ∠ 7 dan ∠ 8
D. ∠ 1 dan ∠ 6

a
2) Pasangan sudut dalam berseberangan pada

gambar di samping adalah ....
A. ∠ 1 dan ∠ 7
B. ∠ 2 dan ∠ 8
C. ∠ 3 dan ∠ 6
D. ∠ 3 dan ∠ 5

a
3) BC dengan EF ....

A. berpotongan
B. sejajar
C. bersinggungan
D. berseberangan

a

4.14 Geometri

4) Berdasarkan gambar di samping ini
pernyataan berikut benar, kecuali ....
A. ∠ 1 ≅ ∠ 7
B. ∠ 2 > ∠ 5
C. ∠ 2 ≅ ∠ 4
D. ∠ 3 > ∠ 4

a

5) ∠ 1 ≅ ∠ 2 maka a//b. Teorema yang
membenarkan adalah ....
A. jika dua garis dipotong oleh
transversal dan pasangan sudut
sehadap kongruen maka dua garis
tersebut sejajar
B. jika dua garis dipotong oleh transversal dan pasangan sudut dalam
berseberangan kongruen maka kedua garis tersebut sejajar
C. jika dua garis dipotong oleh transversal dan pasangan sudut luar
berseberangan kongruen maka kedua garis tersebut sejajar
D. jika dua garis dipotong oleh transversal dan pasangan sudut-sudut
dalam pada sisi yang sama dari transversal saling suplemen

6) Diketahui ∠ 1 ≅ ∠ 2
Buktikan p/q
Bukti : ....

a Alasan
1. Diketaui
Pernyataan 2. Bertolak belakang
3. Sifat transitif
1. ∠ 1 ≅ ∠ 2 4. ….
2. ∠ 2 ≅ ∠ 3
3. ∠ 1 ≅ ∠ 3
4. p // q

aA jika dua garis dipotong oleh transversal dan pasangan sudut
4. A. sehadap kongruen maka dua garis tersebut sejajar
jika dua garis dipotong oleh transversal dan pasangan sudut dalam
B. berseberangan kongruen maka kedua garis tersebut sejajar
jika dua garis dipotong oleh transversal dan pasangan sudut luar
C. berseberangan kongruen maka kedua garis tersebut sejajar

PEMA4207/MODUL 4 4.15

D. jika dua garis dipotong oleh transversal dan pasangan sudut-sudut
dalam pada sisi yang sama dari transversal saling suplemen

7) Pada segi tiga ABC di samping ini

berlaku ....

A. ∠ 4 > ∠ 3
B. ∠ 7 > ∠ 4
C. ∠ 5 > ∠ 4
D. ∠ 6 > ∠ 2
a
8) Melalui garis g dan titik T tidak pada g ....

A. terdapat hanya satu garis melalui T memotong g

B. terdapat hanya satu garis melalui T sejajar g

C. terdapat dua garis melalui T sejajar g

D. terdapat lebih satu garis melalui T tegak lurus g
a
9) Yang bisa menyimpulkan p//r adalah ....

A. ∠ 4 ≅ ∠ 3
B. ∠ 1 ≅ ∠ 2
C. ∠ 1 ≅ ∠ 2 dan ∠ 3 ≅ ∠ 4
D. ∠ 1 ≅ ∠ 3 dan ∠ 2 ≅ ∠ 4

A

10) Gambar yang menyatakan garis m sejajar garis n adalah ....

a

10) A. B.

C. D.

4.16 Geometri

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.

Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar × 100%

Jumlah Soal

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang
belum dikuasai.

PEMA4207/MODUL 4 4.17

Kegiatan Belajar 2

Teorema Selanjutnya tentang Kesejajaran
Garis

Diketahui: p//q Diketahui: p//q Diketahui: p//q
Apakah ∠ 1 ≅ ∠ 2 Apakah ∠ 1 ≅ ∠2 Apakah ∠ 1 ≅ ∠2

Teorema 6
Jika dua garis sejajar dipotong oleh transversal, maka sudut dalam

berseberangannya kongruen.

Bukti
Diketahui: Garis p dan q dengan transversal r.

∠ 1 dan ∠ 2 sudut dalam berseberangan

Buktikan: ∠ 1 ≅ ∠ 2
Rencana: Andaikan ∠ 1 tidak kongruen ∠ 2, cari kontradiksi.

Pernyataan Alasan
1. Andaikan ∠ 1 tidak kongruen ∠ 2 1. Pengandaian Bukti TL.
2. Konstruksi garis melalui A 2. Konstruksi.

sehingga ∠1 kongruen ∠3 dan ∠1
dengan ∠3 berseberangan dalam

4.18 Geometri

Pernyataan Alasan

3. q//s, A pada s 3. Jika sudut dalam

berseberangan kongruen

maka garis sejajar.

4. p//q, A pada p 4. Diketahui.

5. Terdapat dua garis melalui A 5. Pernyataan 3 dan 4.

sejajar q (kontradiksi dengan

Postulat Kesejajaran)

6. ∠ 1 ≅ ∠ 2 6. Logika Bukti TL.

A

Teorema 7: Jika dua garis sejajar dipotong transversal, maka sudut luar

berseberangan kongruen.

Teorema 8: Jika dua garis sejajar dipotong transversal, maka sudut

sehadap kongruen.

Teorema 9: Jika dua garis sejajar dipotong transversal, maka sudut alam

pada sisi yang sama dari transversal saling suplemen.

Untuk membuktikan teorema-teorema ini, saudara bisa menggunakan
kondisi pada teorema yang sudah dibuktikan, yaitu apakah dari sudut dalam
berseberangan yang kongruen (Teorema 6) dapat diperoleh sudut luar
berseberangan yang kongruen (Teorema 7), sudut sehadap kongruen
(Teorema 8), dan sudut dalam pada sisi yang sama dari transversal saling
suplemen.

Silakan Anda coba.

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!

1) Pada gambar di samping diketahui p
dan q sejajar dan u ∠ 3 = 125o.
Tentukan
a. u ∠ 1 = ….
b. u ∠ 2 = ….
c. u ∠ 4 = ….

PEMA4207/MODUL 4 4.19

d. u ∠ 5 = ….
e. u ∠ 6 = ….
f. u ∠ 7 = ….
g. u ∠ 8 = ….

2) Buktikan dengan lengkap Teorema 7!

3) Pada gambar di

samping diketahui p//q
dan u ∠ 1 = 120o,
u ∠ 4 = 145o.

Tentukan:

a. u ∠ 2 = ….
b. u ∠ 3 = ….
c. u ∠ 5 = ….
d. u ∠ 6 = ….
e. u ∠ 7 = ….

a m//n
4) Diketahui:
u ∠ 1 = 2x + 4
u ∠ 5 = 3y + 6
u ∠ 2 = 4y + 6

Cari ukuran ∠ 1, ∠ 2, dan ∠ 5
a
5) Diketahui: AO ≅ OD

BO ≅ OC

Buktikan: AB // CD
a
6) Buktikan Teorema 8.

Teorema 8: Jika dua garis sejajar dipotong transversal, maka sudut
sehadap kongruen.

4.20 Geometri

a
7) Tuliskan pasangan sudut:

a. Dalam berseberangan.
b. Luar berseberangan.
c. Sehadap.

a
8) Tuliskan:

a. Pasangan bidang yang sejajar.
b. Pasangan garis yang bersilangan.

a
9) Diketahui: a // b; c //d

u ∠ 1 = 8x – 2
u ∠ 11 = 7x + 11

Hitunglah: x dan u 12

a
10) Diketahui: ∠ 1 ≅ ∠ 2

∠ 2 dan ∠ 3
suplemen

Buktikan: AB // ED

Petunjuk Jawaban Latihan

1) a. u ∠ 1 = 125o (bertolak belakang, kongruen)
b. u ∠ 2 = 55o (pasangan segaris, suplemen)
c. u ∠ 4 = 55o (pasangan segaris, suplemen)
d. u ∠ 5 = 125o (dalam berseberangan, kongruen)
e. u ∠ 6 = 55o (alam sepihak, suplemen)
f. u ∠ 7 = 125o (sehadap, kongruen)
g. u ∠ 8 = 125o (suplemen)

A

PEMA4207/MODUL 4 4.21

2) Teorema: Jika dua garis sejajar dipotong transversal, maka sudut luar
berseberangan kongruen.

Diketahui: Dua garis p
dan q sejajar.

Buktikan: ∠ 1 ≅ ∠ 2

Bukti:

Pernyataan Alasan

1. p//q 1. Diketahui.

2. ∠ 3 ≅ ∠ 4 2. Teorema 6.

3. ∠ 1 ≅ ∠ 3 3. Bertolak belakang.

4. ∠ 2 ≅ ∠ 4 4. Bertolak belakang.

5. ∠ 1 ≅ ∠ 2 5. Sifat transitif.

A

3) a. u ∠ 2 = 180o -120o = 60o
b. u ∠ 3 = 180o -145o = 35o
c. u ∠ 5 = u ∠ 2 = 60o
d. u ∠ 6 = u ∠ 4 = 145o
e. u ∠ 7 = u ∠ 3 = 35o

a

4) Karena m//n maka sudut sehadap kongruen, ∠ 1 ≅ ∠ 5 atau
u ∠ 1 ≅ u ∠ 5 atau 2x + 4 = 3y + 6

2x – 3y = 6 – 4

2x – 3y = 2 …………………. (1)

∠ 1 dan ∠ 2 pasangan segaris maka u ∠ 1 + ∠ 2 = 180o (suplemen)
2x + 4 + 4y +6 = 180o

2x + 4y + 10 =180o

2x + 4y = 170o …………………….(2)

(1) – (2) =
2x – 3y = 2
2x + 4y = 170
7y = 168
y = 24 …………………….....(3)

Substitusi (3) ke (1)

4.22 Geometri

2x – 3y =2
2x – 3. 24 = 2
2x – 72 = 2
2x = 74

x = 37.

a

Jadi: u ∠ 1 = 2x + 4 = 2 . 37 + 4 = 78o
u ∠ 2 = 4y + 6 = 4 . 24 + 6 = 102o
u ∠ 5 = 3y + 6 = 3 . 24 + 6 = 78o

a

5) Bukti:

a

Pernyataan Alasan

1. AO ≅ DO 1. Diketahui.

2. ∠AOB ≅ ∠DOC 2. Bertolak belakang.

3. BD ≅ CD 3. Diketahui.

4. ∆AOB ≅ ∆DOC 4. Si-Su-Si.

5. ∠1 ≅ ∠ 2 5. BBSKK.

6. AB // CD 6. ∠1 dan ∠ 2 berseberangan dalam

kongruen.

A

6) Diketahui Garis m dan n sejajar

dipotong transversal.

Buktikan ∠ 1 ≅ ∠ 2

Bukti: Alasan
Pernyataan 1. Diketahui.
1. m // n 2. Teorema 6 (sudut dalam berseberangan).
2. ∠ 2 ≅ ∠3 3. Bertolak belakang.
3. ∠3 ≅ ∠1 4. Sifat transitif.
4. ∠1 ≅ ∠ 2

PEMA4207/MODUL 4 4.23

7) Jawab
a. ∠ 3 dengan ∠ 5; ∠ 4 dengan ∠ 6
b. ∠ 1 dengan ∠ 7; ∠ 2 dengan ∠ 8.
c. ∠ 1 dengan ∠ 5; ∠ 2 dengan ∠ 6; ∠ 3 dengan ∠ 7; ∠ 4 dengan ∠ 8.

8) Jawab:

a. Bidang ABC dengan bidang DEF.

b. Garis AB dengan DF; garis AB dengan garis EF; garis BC dengan

garis DF; garis BC dengan garis DF; garis AC dengan garis DE; dan

garis AC dengan garis EF.

a
9) a // b maka ∠ 1 ≅ ∠ 3

c // d maka ∠ 3 ≅ ∠ 11
Dengan sifat transitif didapat ∠ 1 ≅ ∠ 11, atau u ∠ 1 ≅ u ∠ 11
u ∠ 1 = 8x – 2 (Diketahui)
u ∠ 11 = 7x + 11 (Diketahui)
Jadi, 8x – 2 = 7x + 11

8x – 7x = 11 + 2
x = 13o

∠ 12 pasangan segari dengan ∠ 11. Jadi ∠ 11 dengan ∠ 12 suplemen,

sehingga
u ∠ 11 + u ∠ 12 = 180o
u ∠ 11 = 7 x + 11o = 7 . 13° + 11o = 91o + 11o = 102o
u ∠ 12 = 180o - 102o = 78o.

a

10) Bukti

Pernyataan Alasan
1. ∠ 1 ≅ ∠ 2 1. Diketahui.
2. AB // FC 2. ∠ 1 dan ∠ 2 sehadap.
3. ∠ 2 dan ∠ 3 suplemen 3. Diketahui.

4. FC // ED 4. Teorema 4.
5. AB // ED 5. Teorema 4.

4.24 Geometri

RANGKUMAN

Jika dua garis sejajar dipotong oleh transversal maka sudut dalam
berseberangan kongruen.

Jika dua garis sejajar dipotong oleh transversal maka sudut luar
berseberangan kongruen.

Jika dua garis sejajar dipotong oleh transversal maka sudut
sehadapnya kongruen.

Jika dua garis sejajar dipotong oleh transversal maka sudut dalam
pada sisi yang sama dari transversal saling suplemen.

TES FORMATIF 2

Pilih satu jawaban yang paling tepat!

1) I. Jika dua garis sejajar dipotong oleh transversal maka sudut dalam
berseberangan kongruen, maka kedua garis tersebut sejajar.

II Jika dua garis sejajar dengan garis ketiga, maka kedua garis tersebut
sejajar.

A. I saja yang benar
B. II saja yang benar
C. I dan II benar
D. I dan II salah

2) Jika a memotong b pada gambar di
samping maka ....
A. u ∠ 1 + u ∠ 2 = 180o
B. ∠ 1 ≅ ∠ 2
C. u ∠ 1 + u ∠ 2 ≠ 180o
D. ∠ 1 ≅ ∠ 3

PEMA4207/MODUL 4 4.25

3) Diketahui: m//n (perhatikan gambar di
samping)
u ∠ 1 = 8x – 8
u ∠ 3 = 10x + 8
u ∠ 2 dan u ∠ 4 berturut-
turut ....

A. 72o dan 108o
B. 108o dan 72o
C. 72o dan 72o
D. 108o dan 108o

4) Pada gambar di samping yang salah
adalah ....
A. u ∠ 1 = 117o
B. u ∠ 2 = 117o
C. u ∠ 3 = 77o
D. u ∠ 4 = 117o

5) Gambar yang menyatakan g // h adalah ....
A. B.

C. D.

6) Gambar yang menyatakan AD // BC adalah .... D.
A. B. C.

a

4.26 Geometri

7) Dari gambar di samping
A. u ∠ 1 = 101o; u ∠ 2 = 69o;
u ∠ 3 = 101o
B. u ∠ 3 = 79o; u ∠ 4 = 101o;
u ∠ 5 = 79o
C. u ∠ 5 = 79o; u ∠ 6 = 101o
D. u ∠ 6 = 101o; u ∠ 7 = 111o
a

8) Jika a//b dan c//d (gambar di
samping)
u ∠ 1 = 6x + 13
u ∠ 2= 2x + 7
Maka ....
A. x = 10o
B. u ∠ 3 = 20o
C. u ∠ 4 = 133o
D. u ∠ 5 = 57o

9) Dari gambar di samping
A. u ∠ 2 = u ∠ 6 + u ∠ 5
B. u ∠ 1 = u ∠ 5 + u ∠ 3
C. u ∠ 2 = u ∠ 3 + u ∠ 4
D. u ∠ 4 = u ∠ 5 + u ∠ 6

10) Jika dua garis sejajar dipotong oleh transversal, maka pernyataan berikut
benar, kecuali ....
A. sudut dalam berseberangan kongruen dengan sudut luar
berseberangan
B. sudut dalam berseberangan kongruen
C. sudut luar berseberangan kongruen
D. sudut sehadap yang terbentuk kongruen

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.

PEMA4207/MODUL 4 4.27

Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar × 100%

Jumlah Soal

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang
belum dikuasai.

4.28 Geometri

Kunci Jawaban Tes Formatif

Tes Formatif 1
1) B. Definisi.
2) D. Definisi.
3) C. Jelas.
4) C. Perhatikan gambar.
5) B. Sesuai teorema.
6) A. Sesuai teorema.
7) B. Sifat-sifat sudut pada segi tiga.
8) B. Postulat kesejajaran.
9) D. Sifat-sifat kesejajaran.
10) B. Perhatikan ukuran sudutnya.

Tes Formatif 2
1) C. Postulat kesejajaran.
2) C. Jelas.
3) D. u ∠ 1 = 180° – u ∠ 3, 8x – 8 (10x + 8), x = 10, u ∠2 = u ∠4 = 108o.
4) B. Konsep suplemen dan konsep sudut bertolak belakang.
5) C. Perhatikan ukuran sudut.
6) D. Postulat kesejajaran.
7) C. Konsep sudut suplemen dan sudut bertolak belakang.
8) C. x = 20o, u ∠ 2 = 2(20) + 7 = 47o, u ∠ 4 = 180o – u ∠ 2 = 180o – 47o

= 113o.
9) D. Sudut luar segitiga.
10) A. Konsep sudut pada kesejajaran.

PEMA4207/MODUL 4 4.29

Daftar Pustaka

Clemen, Stanley R., O'Daffer, Phares G., dan Cooney, Thomas J. (1984).
Geometry with Application and Problem Solving. California: Addison-
Wesley Publishing Company.

Wallace, Edward C., dan West, Stephen F. (1998). Roads to Geometry
Second Edition, New York: Prentice Hall Inc. Simon & Schuster/A
Viacom Company.

Moise, Edwin E. (1970). Elementary Geometry from an Advanced
Standpoint. Massachusetts: Addisson-Wesley Publishing Company, Inc.

Rawuh (1993). Geometri Transformasi. Jakarta: Direktorat Jenderal
Pendidikan Tinggi, Proyek Pembinaan Tenaga Kependidikan Pendidikan
Tinggi.

Ulrich, James F., Czarnec, Fred F., dan Guilbault, Dorothy. (1978).
Geometry, Third Ed. New York: Harcourt Brace Jovanovich.

Modul 5

Segitiga

Drs. Mohamad Rahmat, M.Pd.

PENDAHULUAN

M odul 5 ini berjudul Segitiga, terdiri atas dua kegiatan belajar. Kegiatan
Belajar 1 berjudul Segitiga yang berisi tentang pengelompokan
segitiga berdasarkan sisinya dan berdasarkan sudut, teorema jumlah ukuran
sudut penurunan beberapa teorema kongruensi. Pada Kegiatan Belajar 2
berisi tentang Teorema Pythagoras dan pembuktiannya, kongruensi segitiga,
ketidaksamaan segitiga, ketidaksamaan dalam segitiga.

Adapun tujuan pembelajaran khusus dari modul ini adalah Anda
diharapkan dapat:
1. membuktikan bahwa sudut alas segitiga sama kaki adalah kongruen;
2. membuktikan bahwa jumlah ukuran sudut segitiga adalah 180o;
3. menurunkan bukti Teorema kongruensi Su-Su-Si;
4. membuktikan teorema tentang garis sumbu;
5. membuktikan Teorema Pythagoras;
6. menunjukkan perbandingan panjang sisi segitiga istimewa;
7. menunjukkan syarat panjang sisi suatu segitiga agar segitiga itu ada;
8. dapat menyusun sisi segitiga berdasarkan panjang sisinya.

5.2 Geometri

Kegiatan Belajar 1

Segitiga (Bagian 1)

P engelompokan Segitiga
Pengelompokan segitiga ditentukan oleh panjang sisi-sisinya atau
ukuran sudutnya.

Definisi 5.1
Segitiga sembarang adalah

segitiga dengan sisi-sisinya tidak
sama panjang satu sama lain
(tidak ada sisi yang kongruen
satu sama lain.

Sisi-sisi AGHI tidak ada yang sama
panjang, jadi AGHI adalah segitiga

sembarang.

Definisi 5.2
Segitiga lancip adalah

segitiga dengan ketiga sudutnya
lancip (ukurannya kurang dari
90°)

Semua sudut ∆ABC lancip, jadi
∆ABC adalah segitiga lancip.

Definisi 5.3
Segitiga siku-siku adalah

segitiga dengan satu sudutnya
siku-siku.

∠ D sudut siku-siku

∆DEF adalah segitiga siku-siku. Sisi EF adalah hipotenusa (sisi miring). DE
dan DF adalah kaki siku-siku.

PEMA4207/MODUL 5 5.3

Definisi 5.4 ∠G sudut tumpul
Segitiga tumpul adalah

segitiga dengan satu sudutnya
tumpul.
∆GHI adalah segitiga tumpul.

Definisi 5
Segitiga ‘sama sudut’

segitiga (equiangular triangle)
dengan tiga sudutnya kongruen.

∆JKL adalah segitiga sama
sudut.

Catatan:
Istilah segitiga sama sudut tidak ada di kita, karena akhirnya dapat dibuktikan
sama dengan segitiga sama sisi, padahal ini dua istilah berbeda.

Definisi 5.6
Garis tinggi segitiga adalah

segmen dari titik sudut ke titik di
sisi di hadapannya (atau
perpanjangannya) dengan tegak
lurus.

Untuk segitiga siku-siku dua garis tingginya berimpit dengan sisi
segitiga. Pada segitiga tumpul, dua garis tingginya di luar segitiga dan tegak
lurus pada perpanjangan sisi dihadapannya.

5.4 Geometri

Segitiga Samakaki
Kita pelajari sifat penting dari segitiga samakaki.

Apakah u ∠ B = u ∠ C? Apakah u ∠ A = u ∠ B? Apakah u ∠ A = u ∠ C?

Teorema 5.1
Jika segitiga sama kaki, maka sudut alasnya kongruen.

Bukti: Misal ∆ABC samakaki dengan AB ≅ AC.
Diketahui: ∠ B ≅ ∠ C.
Buktikan: Misal D titik tengah BC.
Rencana: Buat AD dan buktikan bahwa ∆ABD ≅ ∆ACD.

Pernyataan Alasan
1. ∆ABC samakaki dengan 1. Diketahui.

AB ≅ AC 2. Setiap segmen mempunyai
2. D titik tengah BC satu titik tengah.
3. ∆ABD ≅ ∆ACD
3. Segmen yang ditarik dari titik
4. ∠ B ≅ ∠ C puncak ke titik tengah sisi di
hadapannya membentuk dua
segitiga yang kongruen.

4. BBSKK.

Teorema 5.2
Jika segitiga sama sisi, maka segitiga itu segitiga sama sudut.

Teorema 5.3
Jika dua sudut suatu segitiga kongruen, maka segitiga itu samakaki.

PEMA4207/MODUL 5 5.5

Ukuran Sudut Segitiga

Teorema 5.4
Jumlah ukuran sudut segitiga adalah 180o.

Bukti:

Diketahui: Segitiga ABC

Buktikan : u ∠ A + u ∠ B + u ∠ C = 180°

Rencana: Konstruksi garis g melalui A sejajar BC, dan gunakan teorema

relasi garis dan transversal. Garis g adalah garis bantu.

a

Pernyataan Alasan

1. Misal g garis melalui A sejajar 1. Konstruksi.

BC.

2. ∠ 1 ≅ ∠ B, ∠ 2 ≅ ∠ C. 2. Jika dua garis sejajar, maka

sudut dalam berseberangan

kongruen.

3. u ∠ 1 + u ∠ A + u ∠ 2 = 180°. 3. Definisi Keantaraan sinar dan

Postulat Pasangan segaris.

4. u ∠ B + u ∠A + u ∠ C = 180°. 4. Substitusi.

Teorema 5.5
Sudut segitiga sama sisi masing-masing berukuran 60°.

Teorema 5.6
Ukuran sudut luar segitiga sama dengan jumlah ukuran sudut dalam

yang berjauhan.

Teorema Kongruensi Sudut-Sudut-Sisi
Pada segitiga-segitiga yang berkorespondensi berikut, dua sudut dan

salah satu sisi di hadapan salah satu sudut itu kongruen. Apakah segitiga-
segitiga tersebut kongruen satu sama lain?

5.6 Geometri

Apakah ∆ABC ≅ ∆XYZ? Apakah ∆MNO ≅ ∆STU?

Jawabannya adalah teorema berikut.

Teorema 5.7
Teorema Su-Su-Si. Jika dua sudut dan satu sisi dihadapan satu sudut itu

kongruen dengan dua sudut dan sisi yang berkorespondensi dari segitiga
kedua, maka kedua segitiga itu kongruen.

Berikut adalah buktinya.
Diketahui: ∆ABC dan ∆DEF

∠ A ≅ ∠ D,
∠B≅∠E
BC ≅ EF

Buktikan: ∆ABC ≅ ∆DEF
Rencana: Akan digunakan informasi yang diketahui.

Gunakan teorema jumlah ukuran sudut segitiga, kemudian untuk
menunjukkan bahwa ∠ C ≅ ∠ F gunakan sifat pengurangan pada kesamaan,
dan gunakan postulat Su-Si-Su.

Pernyataan Alasan
1. Diketahui.
1. ∠ A ≅ ∠ D, ∠ B ≅ ∠ E 2. Jumlah ukuran
2. u ∠ A + u ∠ B + u ∠ C = 180°
sudut segitiga.
u ∠ D + u ∠ E + u ∠ F = 180° 3. Subsitusi.
3. u∠A + u∠B + u∠C = u∠D + u∠E + u∠F. 4. Sifat
4. u ∠ C = u ∠ F
Pengurangan
pada kesamaan.

PEMA4207/MODUL 5 5.7

Pernyataan Alasan
5. ∠ C ≅ ∠ F 5. Definisi

6. BC ≅ EF Kongruensi
7. ∆ABC ≅ ∆DEF Sudut.
6. Definisi
Kongruensi sudut.
7. Su-Si-Si.

Teorema Hipotenusa-Kaki Siku-siku
Apakah pasangan segitiga berikut merupakan pasangan segitiga yang

kongruen?

AC ≅ DF GI ≅ JL
BC ≅ EF GH ≅ JK

Teorema 5.8
Teorema Hipotenusa sisi-siku-siku.
Jika hipotenusa dan satu kaki siku-siku kongruen dengan hipotenusa dan

satu kaki siku-siku dari segitiga kedua, maka kedua segitiga kongruen.

Bukti ∆ABC dan ∆DEF, dengan ∠B dan
Diketahui: ∠E siku-siku BC ≅ EF , dan
AC ≅ DF .
Buktikan: ∆ABC ≅ ∆DEF.

5.8 Geometri

Bukti: Alasan
Pernyataan 1. Konstruksi.
2. Pilih G.
1. Buat sinar DE.
2. Pilih G pada DE sehingga 3. Diketahui.
4. Jika satu sudut pada pasangan
EG ≅ AB.
3. ∠ ABC dan ∠ DEF siku-siku. segaris siku-siku, maka sudut
4. ∠ GEF siku-siku. pasangannya siku-siku.
5. Definisi Sudut siku-siku.
5. u ∠ ABC = u ∠ DEF =
u ∠ GEF = 90°. 6. Definisi Sudut kongruen.
7. Diketahui.
6. ∠ ABC ≅ ∠ DEF ≅ ∠ GEF. 8. Su-Su-Si.
7. BC ≅ EF. 9. BBSKK.
8. ∆ABC ≅ ∆GEF. 10. Diketahui.
9. AC ≅ GF. 11. Sifat transitif kongruensi
10. AC ≅ DF.
11. GF ≅ DF. segmen.
12. Sudut alas segitiga.
12. ∠ FDE ≅ ∠ FGE. 13. Refleksif
13. EF ≅ EF. 14. Su-Su-Si.
14. ∆DEF ≅ ∆GEF. 15. Sifat transitif kongruen segitiga.
15. ∆ABC ≅ ∆DEF.

Teorema 5.9
Jika titik P berjarak sama terhadap titik A dan B, maka P terletak pada

garis sumbu dari AB. Kebalikannya (konversnya) satu titik pada garis sumbu
AB berjarak sama terhadap A dan terhadap B.

PEMA4207/MODUL 5 5.9

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!

1) Apakah masing-masing segitiga berikut
lancip, siku-siku, atau tumpul?
a. ∆ABD
b. ∆ABC
c. ∆ADE
d. ∆BCD
e. ∆ACE
f. ∆DCE

a
2) Beri nama bagian dari segitiga siku-

siku PQR di samping.
a. Sudut siku-siku
b. Sisi-sisi siku-siku
c. Sisi miring (hipotenusa)
d. Tinggi
a
3) Pada ∆ABC, ∠ A ≅ ∠ C. Jika AB = 4x + 25; BC =2x + 45, dan
AC = 3x – 15. Cari panjang ketiga sisi segitiga!a

4) Buktikan bahwa sudut alas segitiga samakaki adalah
kongruen. Bukti sebagai berikut.
Misal ∆ABC segitiga samakaki dengan AB ≅ BC .
Buktikan ∠ A ≅ ∠ C.

5) Bila ditinjau dari sudut segitiga bisa lancip, siku-siku, atau tumpul,
sedangkan bila ditinjau dari sisinya bisa sama sisi, sama kaki, atau
sembarang. Bila tinjauan kita satukan maka ada 9 (sembilan) macam
keadaan seperti tertera dalam tabel berikut.

5.10 Geometri

Sudut Sama sisi Sama kaki Sembarang

Lancip Sama sisi dan Sama kaki dan Sembarang dan
lancip lancip lancip

Siku- Sama sisi dan Sama kaki dan Sembarang dan
siku siku-siku siku-siku siku-siku

Tumpul Sama sisi dan Sama kaki dan Sembarang dan

tumpul tumpul tumpul

a

6) Pada ∆ABC, AB ≅ AC . X titik tengah AB , Y

titik tengah AC . XW ⊥ AB , YZ ⊥ AC . W dan

Z pada BC .

Buktikan: XW ≅ YZ .

a

7) Segi empat PQRS.
Buktikan: u ∠ P + u ∠ Q + u ∠ R + u ∠ S = 360°

a

8) Perhatikan gambar di samping.

Buktikan: u ∠ 1 + u ∠ 2 = u ∠ B + u ∠ C.

a

9) Diketahui: DE ⊥ AE
DB ⊥ AB

Buktikan: u ∠ CAB = u ∠ CDE

a

10) BE ≅ CD , BD dan CE garis tinggi.
Buktikan: ∆ AED sama kaki.

PEMA4207/MODUL 5 5.11

Petunjuk Jawaban Latihan

1) a. ∆ABD, u ∠ A = 29° + 39° = 68°
u ∠ B = 44°
u ∠ D = 68°

Semua sudutnya lancip, maka ∆ABD lancip.
b. ∆ABC, u ∠ A = 29° + 39° = 68°

u ∠ B = 44° + 39° = 78°
u ∠ C = 34°
Semua sudutnya lancip, maka ∆ABC lancip.
c. ∆ADE, u ∠ D = 68° + 67° = 135° (tumpul)
Ada sudutnya yang tumpul, maka ∆ADE tumpul.
d. ∆BCD, u ∠ D = 67° + 45° = 122° (tumpul)
Ada sudutnya yang tumpul, maka ∆BCD tumpul.
e. ∆ACE, u ∠ C = 56° + 34° = 90°
Ada sudutnya yang merupakan sudut siku-siku. Jadi, ∆ACE segitiga
siku-siku.
f. ∆DCE, u ∠ C = 56° + 34° = 90°
Ada sudutnya yang siku-siku. Jadi, ∆DCE segitiga siku-siku.
a
2) a. ∠ P atau ∠ RPQ atau ∠ QPR
b. PR dan PQ

c. QR

d. PQ bila alasnya PR

PR bila alasnya PQ

q

3) ∆ABC dengan ∠ A ≅ ∠ C, dengan teorema 3
maka atau BC = AB.
Diketahui: AB = 4x + 25 dan BC = 2x + 45
sehingga
4x + 25 = 2x + 45
4x – 2x = 45 – 25
2x = 20
x = 10.

5.12 Geometri

Panjang ketiga sisi segitiga ABC adalah:
AB = 4 . 10° + 25° = 65°.
BC = AB = 65°.
AC = 3x – 15° = 3 . 10° – 15° = 15°.

4) Bukti

Pernyataan Alasan

1. AB ≅ BC 1. Diketahui.
2. ABC ≅ ∠ CBA 2. Refleksif.
3. Simetris.
3. BC ≅ AB 4. Si-Su-Si.
4. ∆ABC ≅ ∆CBA 5. BBSKK.
5. ∠ A ≅ ∠ C

a

5) a. segitiga sama sisi dan lancip: segitiga sama sisi pasti lancip, segitiga

sama sisi semua sudutnya lancip.

b. segitiga sama sisi dan siku-siku: segitiga sama sisi tidak bisa salah

satu sudutnya siku-siku. Jadi, tidak ada segitiga sama sisi dan siku-

siku.

c. segitiga sama sisi dan tumpul: segitiga sama sisi tidak bisa salah

satu sudutnya tumpul. Jadi, tidak ada segitiga sama sisi dan tumpul.

d. segitiga sama kaki dan lancip:

yaitu segitiga sama kaki yang

sudut puncaknya lancip.

e. segitiga sama kaki dan siku-siku: segitiga siku-siku yang siku-
sikunya sama panjang atau segitiga sama kaki yang sudut
puncaknya siku-siku.

f. segitiga sama kaki dan tumpul: segitiga sama kaki dengan sudut
puncaknya tumpul.

PEMA4207/MODUL 5 5.13

g. segitiga sembarang dan lancip: sisi-sisi segitiga tidak ada yang

kongruen dan semua sudutnya lancip.

h. segitiga sembarang dan siku-siku: segitiga siku-siku dengan sisi-

sisinya tidak ada yang kongruen.

i. segitiga sembarang dan tumpul: segitiga tumpul dengan sisi-sisinya

tidak ada yang kongruen.

a

6) Bukti

Pernyataan Alasan

1. AB ≅ AC 1. Diketahui.

2. ∠ XBW ≅ ∠ YCZ 2. Sudut alas segitiga sama kaki.

3. AX ≅ XB 3. X titik tengah AB .

4. AY ≅ YC 4. Y titik tengah AC .

5. XB ≅ YC 5. Karena 1, 3, dan 4.

6. ∠ BXW ≅ ∠ BYZ 6. XW ⊥ AB dan YZ ⊥ AC .

7. ∆ BXW ≅ ∆ BYZ 7. Si-Su-Si dari 6, 5, dan 2.

8. XW ≅ YZ 8. BBSKK.

a

7) Bukti: Buat PR sehingga

u ∠ P = u ∠ 1 + u ∠ 2 dan

u∠R=u∠3+u∠4

Menurut teorema jumlah ukuran sudut

segitiga:

u ∠ S + u ∠ 2 + u ∠ 4 = 180°

u ∠ Q + u ∠ 1 + u ∠ 3 = 180° +

u ∠ S + u ∠ Q + u ∠ 1 + u ∠ 2 + u ∠ 3 + u ∠ 4 = 180° + 180°.

u ∠ S + u ∠ Q + u ∠ P + u ∠ R = 360°

atau

u ∠ P + u ∠ Q + u ∠ R + u ∠ S = 360°.

8) Bukti:
Buat segmen BD beri nama sudut
yang terbentuk dengan
∠ 3, ∠ 4, dan ∠ 5.
E titik pada CD sehingga C – D – E.

5.14 Geometri

∠ BDE adalah sudut luar ∆ BCD sehingga u ∠ BDE = u ∠ C + u ∠ 5

karena u ∠ BDE = u ∠ 2 + u ∠ 3 maka u ∠ 2 + u ∠ 3 = u ∠ C + u ∠ 5

atau dengan mengurangi dengan u ∠ 3 di kedua ruas didapat:

u∠2=u∠C+u∠5−u∠3 …… (1)

∠ 1 adalah sudut luar ABD sehingga u ∠ 1 = u ∠ 3 + u ∠ 4 …… (2)

(2) u ∠ 1 = u ∠ 3 + u ∠ 4
(1) u ∠ 2 = u ∠ C + u ∠ 5 − u ∠ 3 +
u∠1+u∠2=u∠3+u∠4+u∠C +u∠5−u∠3

=u∠4+u∠C +u∠5
=u∠4+u∠5 +u∠C
=u∠B+u∠C
Jadi, u ∠ 1 + u ∠ 2 = u ∠ B + u ∠ C.

9) ∠ 1 adalah sudut luar ∆ DCE, sehingga
u ∠ 1 = u ∠ EDC + u ∠ DCE ………………(1)
∠ 2 adalah sudut luar ∆ ABC, sehingga
u ∠ 2 = u ∠ CAB + u ∠ BCA ………………(2)

Dari (1) karena DE ⊥ AE maka 90° = u ∠ EDC + u ∠ DCE

Dari (2) karena DB ⊥ AB maka 90° = u ∠ CAB + u ∠ BCA
∠ DCE bertolak belakang ∠ BCA sehingga u ∠ DCE = u ∠ BCA.
Jadi didapat: 90° = u ∠ EDC + u ∠ DCE

90° = u ∠ CAB + u ∠ DCE -
0 = u ∠ EDC – u ∠ CAB + u ∠ DCE – u ∠ DCE
0 = u ∠ EDC – u ∠ CAB

atau
u ∠ EDC = u ∠ CAB
atau
u ∠ CAB = u ∠ EDC.
atau
u ∠ CAB = u ∠ CDE.

10) Bukti: BE ≅ CD , ∠ BEC ≅ ∠ CDB (siku-siku)

BC ≅ CB
∆ BEC ≅ ∆ CDB
CE ≅ BD
∠ ADB ≅ ∠ AEC (siku-siku)

PEMA4207/MODUL 5 5.15

∠ CAE ≅ ∠ BAD
∆ AEC ≅ ∆ ADB
AE ≅ AD
∴ ∆ AED sama kaki.

RANGKUMAN

Pengelompokan segitiga dapat didasarkan pada sisinya dan
didasarkan pada sudutnya.

Sudut alas segitiga sama kaki kongruen; jika dua sudut segitiga
kongruen maka sisi-sisi dihadapan sudut itu kongruen.

Jumlah ukuran sudut segitiga adalah 180o. Ukuran sudut luar sama
dengan jumlah ukuran 2 sudut dalam segitiga yang berjauhan dengan
sudut luar tersebut.

Jika dua sudut dan salah satu sisi dihadapan sudut itu dalam satu
segitiga kongruen dengan dua sudut dan satu sisi yang berkoresponden
dari segitiga kedua maka dua segitiga itu kongruen (Teorema Su-Su-Si).

Jika sisi miring dan satu sudut lancip dari segitiga siku-siku
kongruen dengan sisi miring dan satu sudut lancip dan segitiga lancip
maka dua segitiga itu kongruen (Teorema Sisi miring-sudut lancip).

Jika sisi miring dan satu sisi siku-siku dari segitiga siku-siku
kongruen dengan sisi miring dan satu sisi siku-siku dari segitiga siku-
siku kedua maka dua segitiga itu kongruen (Teorema Sisi miring-sisi
siku-siku).

Jika titik P berjarak sama dari sepasang titik A dan B maka P berada
pada sumbu dari segmen AB. Konversnya, jika satu titik terletak pada

sumbu dari AB maka titik itu berjarak sama terhadap A dan B.

TES FORMATIF 1

Pilih satu jawaban yang paling tepat!

1) Ukuran dua sudut suatu segitiga adalah 50° dan 30°. Segitiga itu
adalah segitiga ....
A. lancip
B. siku-siku
C. tumpul
D. siku-siku sama kaki

5.16 Geometri

2) Yang merupakan segitiga lancip sama kaki adalah segitiga dengan
ukuran dua sudutnya ....
A. 70° dan 55°
B. 20° dan 20°
C. 35° dan 45°
D. 45° dan 45°

3) Bentuk-bentuk segitiga berikut yang tidak mungkin adalah ....
A. segitiga lancip sama kaki
B. segitiga tumpul sama sisi
C. segitiga siku-siku sama kaki
D. segitiga dengan salah satu sudut lancip dengan ketiga sisinya tidak
kongruen

4) Manakah yang tidak ada ....
A. segitiga siku-siku sama kaki
B. segitiga siku-siku yang semua sisinya tidak ada yang kongruen
C. segitiga tumpul tetapi ada sudutnya yang lancip
D. segitiga lancip tetapi ada sudutnya yang tumpul

5) Pada ∆DEF, DE ≅ EF . Jika DE = 4x + 15, EF = 2x + 45, dan
DF = 3x + 15. Panjang sisi segitiga DEF adalah ....
A. DE = 15, EF = 75, DF = 60
B. DE = EF = 15, DF = 60
C. DE = EF = 60, DF = 75
D. DE = EF = 75, DF = 60

6) Berdasarkan gambar di samping,
pernyataan berikut benar,
kecuali ....
A. u ∠ 4 = u ∠ 1 + u ∠ 5
B. u ∠ 8 = u ∠ 1 + u ∠ 3
C. u ∠ 6 = u ∠ 7 + u ∠ 8
D. u ∠ 2 = u ∠ 8 + u ∠ 3

7) AB // DE
u ∠ B =120°
u ∠ D =170°

Tentukan u ∠ C

PEMA4207/MODUL 5 5.17

A. 20°
B. 40°
C. 60°
D. 70°

8) Misal AB ≅ DE an AC ≅ DF

Jika BC = 2x - 3 dan EF = x + 5 maka BC = ....
A. 8
B. 11
C. 13
D. 16

9) u ∠ BEC = 100°, u ∠ BAE = 65°,
u ∠ ABE = ....
A. 35°
B. 65°
C. 80°
D. 100°

10) Jika u ∠ 1 = x
u ∠ 3 = 2x + 7
u ∠ 4 = 5x

Maka u ∠ 2 adalah
….
A. 3,5°
B. 14,5°
C. 17,5°
D. 162,5°

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.

5.18 Geometri

Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar × 100%

Jumlah Soal

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang
belum dikuasai.

PEMA4207/MODUL 5 5.19

Kegiatan Belajar 2

Segitiga (Bagian 2)

Teorema Pythagoras
Contoh 1 sampai dengan 3, bagaimana cara membilang persegi satuan

kecil untuk memperlihatkan bahwa luas persegi A bersama persegi B sama
dengan luas persegi C.

Contoh 1 Contoh 2 Contoh 3

Teorema 5.10
Teorema Pythagoras. Jika suatu segitiga siku-siku maka kuadrat panjang

sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi-sisi siku-siku segitiga
tersebut.

Bukti: Segitiga siku-siku ACB dengan panjang sisi miring c dan
Diketahui:
panjang sisi siku-sikunya a dan b.
Buktikan: c2 = a2 + b2

Buatlah persegi pada segitiga ABC seperti terlihat pada Contoh 3.
Persegi pada a mempunyai luas a2, Persegi pada b mempunyai luas b2,
Persegi pada c mempunyai luas c2. Persegi pada sisi c memuat 4 segitiga

kongruen dengan ∆ABC dengan masing-masing luasnya adalah 1 a b, dan
2

sebuah persegi yang panjang sisinya adalah a-b, luasnya adalah (a-b)2, oleh

karena itu:

5.20 Geometri

c2 = 4( 1 ab) + (a − b)2
2

= 2ab + (a2 − 2ab + b2 )

= a2 + b2.

Konvers dari teorema Pythagoras juga benar

Teorema 5.11
Jika ∆ABC mempunyai panjang sisi-sisinya a, b, dan c sehingga c2= a2 +

b2, maka segitiga ABC siku-siku.

Contoh
Segitiga dengan panjang sisinya 2 2 , 7 , dan 1.
Karena ( 7 )2 + 12 = 7 + 1 = 8 = ( 2 2 )2, jadi segitiga ABC
siku-siku di A.

Segitiga Istimewa

bbb

Segitiga 45-45-90 terbentuk Segitiga 30-60-90 terbentuk
dua sisi dari persegi dan oleh garis tinggi dari segitiga
diagonalnya. sama sisi.

PEMA4207/MODUL 5 5.21

Teorema 5.12
Panjang sisi miring segitiga 45-45-90 adalah 2 kali panjang sisi siku.

Teorema 5.13
Panjang sisi siku-siku segitiga 30-60-90 berturut-turut 1 3 kali
2

panjang sisi miring, dan 1 kali panjang sisi miringnya sikunya.
2

Teorema 3 silakan buktikan, berikut bukti Teorema 4, dengan
menggunakan Teorema Pythagoras pada ∆ACD di atas:

x2 = ( AC )2 +  1 2
 2 x 

( AC )2 = x2 − x2 = x 2  − 1
4 1 4 

AC = 3x = 3  x  = 3 (x)
4  2 
2

Dua teorema di atas dapat digunakan untuk mencari panjang sisi-sisi
segitiga istimewa.

Contoh 1 Contoh 2

Bila AC = 12, berapa x? Bila EF = 16, berapa e dan f?
x 2 = 12
x = 12 2 = 12 2 = 6 2 f = 1 .16 = 8
2
22 2
e = 3.f

= 3.8

= 8 3.

5.22 Geometri

Teorema Konkurensi Segitiga
Konstruksi sumbu tiap sisi, segitiga, kemudian dugalah bagaimana jarak

titik sudut ke perpotongan sumbu.

Bagaimana OA, OB, dan OC?

Teorema 5.14
Sumbu sisi-sisi segitiga berpotongan di satu titik dan berjarak sama

terhadap tiga titik sudut segitiga.

Bukti:
Diketahui: Segitiga ABC, dengan ketiga

sumbu sisi-sisinya g1, g2, dan g3.

Buktikan: g1, g2, dan g3 kongkuren di titik
O, dan OA = OB = OC.

a

Pernyataan Alasan

1. g1 adalah sumbu sisi AB 1. Diketahui

2. g2 adalah sumbu sisi BC 2. Diketahui

3. g1dan g2 berpotongan di 3. AB tidak sejajar BC, g1 tidak sejajar

O g2

4. OA = OB 4. Titik pada sumbu berjarak sama

terhadap ujung segmen.

5. OB = OC 5. ∆ ADA ≅ ∆DBD

6. OA = OC 6. Sifat transitif kesamaan

7. O terletak pada sumbu 7. Titik berjarak sama terhadap dua

sisi AC titik adalah sumbu segmen yang
ditentukan oleh titik itu.

8. O pada g1, g2, g3, dan 8. 4 – 7

OA = OB = OC.

PEMA4207/MODUL 5 5.23

Pada ∆ABC tiga garis bagi sudut telah terkonstruksi.

Bagaimana IX, IY, dan IZ, bandingkan!

Teorema 5.15
Garis bagi sudut pada segitiga konkuren pada titik I yang berjarak sama

terhadap tiga sisinya.

Titik yang ditentukan oleh
sumbu sisinya dan garis bagi
merupakan pusat lingkaran yang
berkoresponden dengan segitiga.
Lingkaran O memuat tiga titik
sudut ∆ABC. Pusatnya adalah titik
potong sumbu. Jari-jari OA.
Lingkaran O disebut lingkaran
luar segitiga.

a

Lingkaran I menyinggung
setiap sisi ∆RST tepat pada
satu titik. Pusatnya adalah
perpotongan garis bagi sudut
segitiga. Jari-jarinya adalah
IW. Lingkaran I disebut
lingkaran dalam segitiga.

5.24 Geometri

Bila kita konstruksi satu segitiga dan ketiga garis tingginya, kita lihat
bahwa garis itu konkuren.

Teorema 5.16
Ketiga garis tinggi segitiga konkuren.

Untuk setiap segitiga terdapat tiga segmen yang disebut garis berat
(median).

Definisi 5.7
Median atau garis berat segitiga adalah

segmen yang menghubungkan titik sudut ke
titik tengah sisi di hadapannya.

a
Terdapat hubungan garis berat, seperti terlihat
pada gambar di samping.
Bagaimana panjang garis berat terpotong garis
berat lainnya?

Inilah teoremanya,

Teorema 5.17
Garis berat segitiga berpotongan di satu titik yang membagi garis berat

tersebut dengan perbandingan 2:1.

PEMA4207/MODUL 5 5.25

Ketidaksamaan Segitiga
Berikut ini tiga contoh tentang panjang sisi-sisi segitiga, yang

menghendaki perlunya ada postulat.
Amati segitiga-segitiga berikut.

Postulat Ketidaksamaan Segitiga. Jumlah panjang dua sisi segitiga lebih
besar dari panjang sisi yang ketiga.

u∠Z<u∠X u∠J<u∠K u∠P<u∠Q

Mana yang lebih pendek Mana yang lebih Mana yang lebih

XY atau YZ? pendek JL atau LK? pendek PR atau QR?

Teorema 5.18
Jika dua ukuran dua sudut segitiga tidak sama, maka panjang sisi di

hadapan sudut yang lebih kecil juga lebih kecil dari sisi di hadapan sudut
yang lebih besar.

Bukti
Diketahui: ∆ABC dengan u ∠ B < u ∠ B.
Buktikan: AC < BC.

5.26 Geometri

Pernyataan Alasan
1. u ∠ B < u ∠ A 1. Diketahui.
2. Ada D pada BC sehingga 2. Postulat busur derajat.

u ∠ BAD ≅ u ∠ B 3. Jika dua sudut segitiga kongruen,
3. AD ≅ BD sisi dihadapan kongruen.

4. AD = BD 4. Akibat dari 3.
5. AC < AD + DC 5. Postulat ketidaksamaan segitiga.
6. AD + DC = BD +DC 6. Sifat penambahan kesamaan.
7. BD + DC = BC 7. Definisi keantaraan titik.
8. AC < BC 8. Prinsip substitusi.

Teorema 5.19
Jika panjang dua sisi segitiga tidak sama, maka ukuran sudut dihadapan

sisi lebih pendek, lebih kecil dari ukuran sudut dihadapan sisi yang lebih
panjang.

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!

1) Sebuah tangga yang panjangnya 3 m bersandar di dinding, jarak pangkal
tangga (bagian bawah tangga) ke dinding 1 m. Berapa tinggi ujung
tangga dari bawah?

2) Dengan dua persegi di bawah ini panjang sisinya a + b tunjukkan
kebenaran Teorema Pythagoras!