GEOMETRI_clone

PEMA4207/MODUL 8 8.27

Buat AD dan BC didapat ∠1 ≅ ∠ 2 , ∠ 3 ≅ ∠ 4 .
Maka ∆ TAD ∼ ∆ TCB .
Didapat perbandingan
TA : TD = TC : TB
TA . TB = TD . TC
atau
AT . TB = CT . TD.

Kebenaran ini tertuang pada teorema berikut.

Teorema 8.19
Jika dua tali busur berpotongan di dalam lingkaran maka perkalian

panjang dari segmen satu tali busur sama dengan perkalian dari panjang
segmen tali busur lainnya.

Bagaimana dengan segmen potong?

Diketahui: AP dan BP segmen potong berpotongan di P di luar lingkaran.
Buat AD dan BC , ∠1 ≅ ∠ 2 , ∠ P ≅ ∠ P ,
jadi ∆APD ∼ ∆BPC dari sini didapat
perbandingan:
AP : PD = BP : PC atau
PD . PB = PC . PA

Kebenaran ini kita tuangkan dalam teorema berikut.

Teorema 8.20
Jika dua segmen potong terbentuk terhadap satu lingkaran dari titik di

luar lingkaran maka perkalian dari panjang satu segmen potong dengan
segmen potong luarnya sama dengan perkalian dari panjang segmen potong
dengan segmen potong luar dari segmen potong lainnya.

8.28 Geometri

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!

1) Satu lingkaran dengan k dan m garis singgung,
titik P dan Q adalah titik singgung untuk
masing-masing garis singgung. Titik pusat
lingkaran tidak nampak. Tuliskan langkah-
langkah untuk mencari pusat lingkaran.

a
2) AX garis singgung lingkaran:

a) Jika u∠AOX = 51o berapa u∠AXO ?
b) Jika AO = 10 dan AX = 24. Carilah

OX!

a
3) Tiga lempengan logam berbentuk lingkaran

dengan jari-jari 10 cm disimpan saling
bersinggungan. Dibuat bingkai yang juga
bersinggungan dengan lempengan logam
tersebut seperti tampak pada gambar di
samping. Berapa keliling segitiga ABC?

( ) ( )4) Diketahui: u AC = 160o , u AB = 75o ,

( )u CD = 45o .

Tentukan : b) u ∠ ADC
d) u ∠ BAD
a) u ∠ ABC

( )c) u BD

e) u ∠ BCD f) u ∠ AFB

PEMA4207/MODUL 8 8.29

5) Sisi-sisi segi empat ABCD menyinggung
lingkaran, tunjukkan bahwa AB + DC = BC +
AD.

6) Dua lingkaran dengan pusat A dengan jari-jari 6 dan lingkaran dengan
pusat B dengan jari-jari 9, AB = 17.
Hitung panjang segmen singgung dalam antara dua lingkaran tersebut.

( )7) AC membagi dua ∠ BAD , u CD = 60o ,
( )u AD = 120o .

Tentukan: a) u∠ BAC b) u∠ BDC
c) u∠ AEB d) u∠ ADB

8) Diketahui: ABCD segi empat tali busur
AD ≅ BC .

Buktikan: ABCD trapesium

a
9) ∆ ABC menyinggung lingkaran di

D, E, dan F.
CE = 3, AF = 5, dan BC = 7.
Hitung keliling ∆ ABC .

a

8.30 Geometri

10) FH menyinggung lingkaran dengan
ukuran yang tercantum.
Tentukan JI dan FH.

Petunjuk Jawaban Latihan

1) Karena jari-jari yang melalui titik
singgung tegak lurus dengan garis
singgung maka buat garis melalui titik
singgung P tegak lurus juga melalui titik
singgung Q tegak lurus m. Caranya buat
lingkaran dengan pusat P dengan jari-
jari tertentu, lingkaran tersebut
memotong k di dua titik sebut A dan B.
Buat sumbu AB sebut garis sumbu itu
dengan k′.
Ulangi dengan membuat lingkaran dengan pusat Q dengan jari-jari
tertentu, lingkaran itu memotong m di dua titik sebut C dan D. Buat
sumbu dari CD sebut garis sumbu itu dengan m′. Garis k′ dan m′
berpotongan di satu titik O inilah pusat lingkaran.
Perhatikan gambar di atas.

2) a) Karena AX garis singgung maka ∠ OAX siku-siku.
Jadi
u∠AXO = 180o − 90o − u∠AOX
= 180o − 90o − 51o
= 39o.

b) Karena ∠ OAX siku-siku maka berlaku Teorema Pythagoras
OA2 + AX2 = OX2
102 + 242 = OX2
100 + 576 = OX2

OX = 676 = 26.

a

PEMA4207/MODUL 8 8.31

3) DF = r = 10
AD = 2 r = 20
AD2 = AF2 + DF2
202 = AF2 +102
400 = AF2 +102

AF2 = 300
AF = 10 3 dengan cara sama GB = 10 3

AB = AF + FG + GB

= 10 3 + 20 +10 3

= 20 3 + 20

( )= 2 10 +10 3

( )Jadi keliling ∆ABC = 3× 2 10 +10 3

( )= 6 10 +10 3 .

4) a) ∠ ABC sudut keliling menghadap AC , jadi
u∠ABC = 1 u AC = 1 .160o = 80o.
22

b) ∠ ADC sudut keliling menghadap AC , jadi
u∠ADC = 1 .160o = 80o.
2

( )c) u BD = 360o − 75o −160o − 45o = 80o.
( )d) ∠ BAD sudut keliling, jadi u∠BAD = 1 u BD = 1 .80o = 40o.

22
e) ∠ BCD sudut keliling menghadap BD , jadi

u∠BCD = 1 .80o = 40o.
2

f) ∠ AFB sudut yang terbentuk karena dua tali busur, jadi

( )u∠AFB = 1 75o + 45o = 60o.
2

8.32 Geometri

5) Gunakan Teorema 8.11, dengan memisalkan
titik-titik singgung tersebut adalah P, Q, R, dan
S.
Panjang segmen-segmen singgung (titik ke titik
singgung) adalah sama.
Jadi AS = AP, BP = BQ, CQ = CR, DR = DS.
AB + DC = AP + PB + CR + DR
= AS + BQ + CQ + DS
= AS + DS + CQ + BQ
= AD + BC
Jadi AB + DC = BC + AD.

6) Panjang segmen singgung adalah
PQ = AY.
AY2 = AB2 − YB2
= 172 −152
= 289 − 225
= 64
AY = PQ = 8.
Panjang segmen singgung = 8.

a
7) a) ∠ BAC terbagi dua oleh AC , jadi

u∠BAC = u∠DAC

( )= 1 u CD
2

( )= 1 60o
2
= 30o
b) ∠BDC menghadap BC sama dengan ∠ BAC, jadi u ∠BDC = 30°.
c) u ∠ AEB = 180° – u ∠ BAC – u ∠ ABD
= 180° – 30° – u ∠ ABD
= 150° – u ∠ ABD

( ) ( )u∠ABD = 1 u AD = 1 120o = 60o.
22
Jadi u ∠ AEB = 150° – 60° = 90°.

PEMA4207/MODUL 8 8.33

( )d) ∠ ADB adalah sudut keliling menghadap AB .
( ) ( ) ( ) ( )u AB = 360o − u AD − u DC − u BC
( )= 360o −120o − 60o − u BC
( ) ( )Sedang u BC = 2.u∠BDC = 2 30o = 60o.
( )Jadi u AB = 360o −120o − 60o − 60o = 120o.
( ) ( )Jadi u∠ADB = 1 u AB = 1 120o = 60o.

22

8) Bukti:

Buat segmen AC .
AD ≅ BC pada lingkaran yang sama, jadi

AD ≅ BC

u (AD) = u (BC)

∠ 1 sudut keliling menghadap BC , dan
∠ 2 sudut keliling menghadap AD , sedangkan AD ≅ BC ,
jadi ∠ 1 ≅ ∠ 2.
∠ 1 dan ∠ 2 dalam berseberangan maka AB // DC.
Jadi ABCD trapesium dengan AB // DC.

9) FA = 5 = AE
CE = 3 = CD
BC = 7
BC = BD + CD
7 = BD + 3
BD = 4.
BD = BF = 4.
Keliling ∆ ABC = AB + BC + CA
= AF + FB + BD + DC + CE + EA
=5+4+4+3+3+5
= 24.

8.34 Geometri

10) JI : IL = GI : IK
JI : 6 = 5 : 3
3 JI = 30
JI = 10.
Dengan teorema:
FH2 = FL.FG

= 4(4 +11)
= 4(15)

= 60
FH = 60 = 2 15.

RANGKUMAN

Jika satu garis tegak lurus jari-jari di titik pada lingkaran maka garis
itu menyinggung lingkaran.

Jika garis menyinggung lingkaran maka jari-jari yang dibuat ke titik
singgung tegak lurus.

Jika garis tegak lurus pada garis singgung di titik pada lingkaran
maka garis itu memuat pusat lingkaran.

Segmen singgung terhadap lingkaran dari titik di luar lingkaran
adalah kongruen dan membentuk sudut kongruen dengan garis yang
menghubungkan pusat dan titik itu.

Ukuran sudut keliling adalah setengah ukuran busur dihadapannya.
Sudut keliling dihadapan setengah lingkaran adalah sudut siku-siku.
Sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang berpotongan di dalam
lingkaran mempunyai ukuran setengah dari jumlah ukuran busur-busur
dihadapan sudut yang terbentuk.
Ukuran sudut yang terbentuk oleh garis singgung dan tali busur
yang berpotongan pada titik singgung adalah setengah dari ukuran busur
dihadapan sudut tersebut.
Ukuran sudut yang dibentuk oleh dua garis singgung ke satu
lingkaran adalah setengah selisih ukuran busur besar dengan busur kecil
yang dihadapan sudut itu.
Ukuran sudut yang dibentuk oleh garis singgung dan garis potong
dari titik di luar lingkaran terhadap lingkaran adalah setengah selisih
ukuran busur di depan sudut itu.

PEMA4207/MODUL 8 8.35

Jika segmen singgung dan segmen potong dibuat terhadap satu
lingkaran dari titik di luar lingkaran maka kuadrat panjang segmen
singgung sama dengan perkalian dari segmen potong dengan segmen
luar.

Jika dua tali busur berpotongan di dalam lingkaran maka perkalian
panjang segmen satu tali busur sama dengan perkalian dari panjang
segmen-segmen tali busur lainnya.

Jika dua segmen potong terbentuk terhadap satu lingkaran titik di
luar lingkaran maka perkalian dari panjang satu segmen potong dengan
segmen potong lainnya sama dengan perkalian dari panjang segmen
potong dengan segmen potong luar lainnya.

TES FORMATIF 2

Pilih satu jawaban yang paling tepat!

1) OA = Jari-jari
AX = garis singgung
Berdasarkan gambar di samping maka
pernyataan berikut yang benar adalah ….
A. OX2 = AX2 − OA2
B. OX2 = AO2 − AX2
C. AX2 = OA2 + OX2
D. OX2 = AO2 + AX2

2) Dari gambar di samping dapat diketahui bahwa:
A. u ∠ A = u ∠ C dan u ∠ B = u ∠ D
B. u ∠ A + u ∠ C = 180° dan u ∠ B + u ∠ D = 180°
C. u ∠ A = u ∠ B dan u ∠ C = u ∠ D
D. u ∠ A + u ∠ B = 180° dan u ∠ C + u ∠ D = 180°

3) A. AB . CD = BC . AD
B. AB . AD = BC . CD
C. AB + CD = BC + AD
D. AB + BC = CD + AD

A

8.36 Geometri

4) Diketahui: ∆ ABC dengan
AC = 3, AB = 4, BC = 5.
Hitung jari-jari lingkaran dalam
(OX).
A. 1

B. 1 1
2

C. 2

D. 2 1
2

a

5) u ∠ A = 3x + 50°, u ∠ B = 4x + 25°, dan
u ∠ C = 7x + 30°.

Tentukan u ∠ D.
A. 5°
B. 20°

C. 45° Segi 7 bintang beraturan seperti gambar di samping.
D. 65°

a

6)

Hitung u ∠ ABC.
A. 25 5o

7
3o
B. 51
7
1o
C. 77
7
D. 102 6o
7

a

PEMA4207/MODUL 8 8.37

7) Diketahui: AD = 4, AC = 9.

Tentukan AB.
A. 5
B. 6
C. 6 1

2
D. 13

8) Dua lingkaran berpusat di O dan P. AB
segmen singgung persekutuan OA = 4,
PB = 2, OP = 12, AB = ….

A. 130

B. 140
C. 12
D. 13

a

9) Roda dengan jari-jari 1 meter
menggelinding satu putaran sehingga

meninggalkan jejak PA , berapa PA? ( )u∠E = 40o; u BC = 120o;

A. 1 meter

B. 2 meter
C. π meter
D. 2π meter

a

10)

( )u BF = 80o; u∠A = ….

A. 20°
B. 40°
C. 60°
D. 80°

8.38 Geometri

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.

Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar × 100%

Jumlah Soal

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang
belum dikuasai.

PEMA4207/MODUL 8 8.39

Kunci Jawaban Tes Formatif

Tes Formatif 1

1). C. r= 2 + 2 = 32 + 42 = 5.

OX XB

( )2) A. u∠OMN = 1 180o −160o = 10o.
2

3) B. Jelas.

4) D. AB = 2 OA2 − OM2 = 2 169 − 25 = 24.
5) D. Ambil D pada BC dan OD ⊥ BC ; ∠ BOD = 60°; jadi

OD = 1 OB = 1 .4 = 2.
22

6) D. OA = OB = OD = 10 (jari-jari lingkaran)
∆OAB sama sisi sehingga AB = OA = OB =
10.
AC = CB = 1 AB = 5.
2

OC = OA2 − AC2 = 100 − 25 = 5 3

CD = OD − OC = 10 − 5 3

7) C. u∠POQ = 120O
u∠POR = u∠QOR = 60O
OP = OQ = 3cm
OR = 3 cm

2
QR = OQ2 − OR2 = 9 − 9 = 3 3

42

Panjang tali busur PQ = 3 3 cm.

8.40 Geometri

8) D. Pada ∆ABC, ∠A = ∠B = ∠C = 60O.
Perhatikan ∆OAB , ∠OAB = ∠OBA = 30O ;
∠AOP = ∠BOP = 60O.
OA = 10 (jari-jari lingkaran) maka AP = 5 3

sehingga AB = 2AP = 10 3 .

9) C. Perhatikan kedudukan titik-titik A, B, C, D, E, dan F pada lingkaran
10) B.
( )u ACE = 4 × 360o = 240o.
6
Jelas.

Tes Formatif 2
1) D. Jelas.

( ) ( )2) B. u∠A = 1 BCD ; u∠C = 1 BAD
22
( )u∠A + u∠C = 1 360o = 180o
2
( ) ( )u∠B = 1 CDA , u∠D = 1 ABC
22
( )u∠B + u∠D = 1 360o = 180o
2
3) C. Perhatikan titik-titik singgung segmen-segmen garis maka akan

diperoleh 4 pasang segmen garis yang masing-masing sama
panjang.
4) A. Segitiga ABC siku-siku di titik A.

AP = AR, CQ = CR,
BP = BQ.
Misalkan AR = x, CR = y,
BP = z, AB = 4.
AP + PB = 4
x + z = 4 …….. (1)
AC = 3
AR + CR = 3
x + y = 3 …….. (2)

PEMA4207/MODUL 8 8.41

BC = 5

CQ + BQ = 5

y + z = 5 …….. (3)

Dari (1), (2), dan (3) diperoleh x = 1, y = 2, z = 3.

APOR merupakan persegi dengan panjang sisi = 1.
Jadi jari-jari lingkaran dalam ∆ ABC adalah 1.

( ) ( )5) C. u∠A = 1 BD ; u∠C = 1 BD maka u∠A = u∠C
22
3x + 50o = 7x + 30o → x = 5o

u∠D = u∠B = 4x + 25o = 45o.

u∠ABC = 1 1  1  5 o
2 2  7  7
( ) ( )6)
A. AC = 360o = 25 .

7) B. (AB)2 = AC.AD = 36 → AB = 6.

8) A. OA = 4, PB = 2, OP = 12.
OB2 = OP2 + PB2
=144 + 4 = 146.
AB2 = OB2 – OA2
=146 – 16 = 130

AB = 130.
9) D. 1 putaran = 1 keliling lingkaran = 2π meter.

( )10) A. u∠A = 1 CD − BF
2
( )u∠E = 1 BC − DF = 40o
2
BC − DF = 80o
( ) ( )u BC = 120o maka u DF = 40o

( )u BF = 80o

CD = 360o − BC − BF − DF = 360o −120o − 80o − 40o = 120o.

( )u∠A = 1 120o − 80o = 20o.
2

8.42 Geometri

Daftar Pustaka

Clemen, Stanley R., O'Daffer, Phares G., dan Cooney, Thomas J. (1984).
Geometry with Application and Problem Solving. California: Addison-
Wesley Publishing Company.

Wallace, Edward C., dan West, Stephen F. (1998). Roads to Geometry
Second Edition. New York: Prentice Hall Inc. Simon & Schuster/A
Viacom Company.

Moise, Edwin E. (1970). Elementary Geometry from an Advanced
Standpoint. Massachusett: Addisson-Wesley Publishing Company, Inc.

Rawuh. (1993). Geometri Transformasi. Jakarta: Direktorat Jenderal
Pendidikan Tinggi, Proyek Pembinaan Tenaga Kependidikan Pendidikan
Tinggi.

Ulrich, James F., Czarnec, Fred F., dan Guilbault, Dorothy. (1978).
Geometry. Third Ed. New York: Harcourt Brace Jovanovich.

Modul 9

Luas dan Volum

Drs. Mohamad Rahmat, M.Pd.

PENDAHULUAN

M odul ini berjudul Luas dan Volum terdiri atas dua kegiatan belajar.
Kegiatan Belajar 1 berisi tentang luas, yaitu postulat tentang luas,
peletakan dasar-dasar dari pengertian luas dan dasar untuk perhitungan luas,
mencari rumusan luas untuk bentuk-bentuk lain seperti segitiga, jajargenjang,
trapesium, dan lainnya sampai kepada pendekatan luas dari daerah lingkaran.
Sedangkan pada Kegiatan Belajar 2 berisi tentang Volum, membahas tentang
benda-benda ruang (objek geometri dimensi tiga/objek geometri ruang) sisi
datar dan sisi lengkung, luas permukaannya dan volumenya.

Dengan modul ini Anda diharapkan lebih memahami konsep-konsep
tentang luas dan volum yang mungkin selama ini menjadi pertanyaan Anda.

Tujuan pembelajaran khusus modul ini adalah Anda diharapkan dapat:
1. mengungkapkan postulat-postulat tentang luas dengan bahasa sendiri;
2. menuliskan prosedur mencari rumusan luas jajargenjang, trapesium,

segitiga, dan bentuk lain ke dalam rumusan luas persegi panjang;
3. menggunakan dan menurunkan rumus luas segi banyak beraturan;
4. menurunkan pendekatan nilai π;
5. menurunkan rumus luas lingkaran;
6. menyebutkan batasan/pengertian limas dan prisma;
7. mencari luas permukaan dan volum dari limas dan prisma;
8. memahami prinsip Cavalieri;
9. menunjukkan bahwa rumusan volum bola dengan menggunakan prinsip

Cavalieri;
10. menurunkan bahwa sisi-sisi bidang banyak hanya berupa segitiga sama

sisi, persegi, dan segi lima beraturan.

9.2 Geometri

Kegiatan Belajar 1

Luas Bangun Datar

P ernahkah Anda mengecat, apa yang dicat? Permukaan dinding,
permukaan pintu, dan sebagainya. Besaran permukaan yang akan dicat
adalah luas. Luas adalah besaran yang menyatakan ukuran permukaan, kita
mengenalnya seperti 20 cm2, 4 m2, 5 ha (hekto are), tembok persegi dan
sebagainya.

Definisi 9.1
Daerah segi banyak adalah bagian

dari bidang yang dibatasi oleh segi
banyak.

Postulat luas adalah bilangan positif yang disebut luas untuk
menyatakan tiap daerah segi banyak luas dari daerah R dinotasikan dengan
L(R).

Postulat luas dua daerah kongruen: jika dua persegi panjang atau
segitiga kongruen maka daerah yang dibatasinya mempunyai luas yang sama.

Postulat penjumlahan luas: jika daerah segi banyak adalah gabungan n
daerah yang tidak overlapping maka luasnya adalah jumlah dari luas n
daerah. A adalah gabungan dari S1, S2, S3, dan S4 yang tidak overlapping
maka L (A) = L (S1) + L (S2) + L (S3) + L (S4).

Postulat luas persegi panjang: luas dari persegi panjang dengan
panjang p dan lebar l adalah perkalian panjang (p) dan lebar (l) yaitu pl.

Definisi 9.2
Persegi satuan (bujur sangkar satuan) adalah daerah persegi dengan

panjang sisi satuan panjang.

Luas suatu daerah dapat ditentukan
dengan membagi daerah tersebut
menjadi persegi-persegi satuan yang
tepat menutupinya.

PEMA4207/MODUL 9 9.3

Contoh
Jajargenjang di atas mempunyai luas 10 cm2. Kita lihat bahwa

jajargenjang itu tepat ditutup oleh 8 × 1 cm2, 2 × 3 cm2, dan 2 × 1 cm2
4 4

sehingga luas seluruhnya adalah 8 cm2 + 3 cm2 + 1 cm2 = 10 cm2.
2 2

Cara lain untuk mencari luas jajargenjang, yaitu membayangkan daerah

jajargenjang, kemudian menggunting bagian daerah segi tiga di satu ujung

dan memindahkan ke ujung lainnya sehingga terbentuk daerah persegi

panjang. Dengan menggunakan postulat luas daerah kongruen kemudian

postulat penjumlahan luas dan postulat luas persegi panjang didapat bahwa

luas jajargenjang sama dengan luas persegi panjang, seperti yang

digambarkan di bawah ini.

Perhatikan ∆AED dan ∆BFC, DE

dibuat dari D tegak lurus AB , CF
dibuat dari C tegak lurus perpanjangan

AB dapat dibuktikan bahwa

∆AED ≅ ∆BFC (dengan AD ≅ BC ,
∠ADE ≅ ∠BCF dan DE ≅ CF,
Si-Su-Si) didapat L (AED) = L (BFC).

L (ABCD) = L (AED) + L (EBCD)
= L (BFC) + L (EBCD)
= L (EFCD)
= at (a = alas jajar genjang, t = tinggi jajar genjang)

Teorema 9.1
Diketahui jajargenjang dengan panjang alas a dan tingginya t maka

luasnya adalah at.

Luas Segi Tiga dan Luas Trapesium

Sering kita dihadapkan pada perhitungan
luas dari segi banyak yang tidak beraturan,
seperti bentuk daerah segi banyak pada
gambar di samping.

9.4 Geometri

Untuk mengukur daerah yang seperti itu, kita harus membagi daerah
tersebut menjadi beberapa daerah segitiga seperti berikut.

Usahakan segitiga yang terjadi sesedikit
mungkin karena setiap segitiga memerlukan
perhitungan masing-masing. Sekarang tinggal
bagaimana mencari luas segitiga?

Luas Segitiga
Luas segitiga dapat ditentukan bila alas dan tinggi segitiga tersebut

diketahui.

Alas adalah salah satu sisi dari segitiga dan tinggi adalah tinggi yang
bersesuaian dengan sisi yang dinyatakan sebagai alas.
Misal diketahui segitiga ABC
seperti berikut, di sisi yang
dipandang sebagai alas adalah sisi
AB.
Lukis segitiga ∆ABC dengan
CD = AB dan BD = AC (gunakan
jangka dan berdasarkan lukisan
segitiga, Sisi-Sisi-Sisi).

Maka terjadi jajargenjang ABDC, ingat ∆ABC ≅ ∆DCB (dengan postulat
Si-Si-Si) maka L (DCB) = L (ABC).

L(ABCD) = L(ABC) + L(DCB)
= L (ABC) + L (ABC) karena L (ABC) = L (CDCB)
= 2L (ABC) maka dapat ditulis
= L (ABC) = 1 L (ABDC), sudah diketahui bahwa

2

PEMA4207/MODUL 9 9.5

L (ABDC) = alas × tinggi maka
L (ABC) = 1 alas × tinggi

2
= 1 AB× t.

2

Teorema 9.2
Luas segitiga dengan alas a dan tinggi (yang bersesuaian dengan

alasnya) t adalah 1 at.
2

Sering ditemukan segitiga tidak dinyatakan alas dan tingginya tetapi
diketahui panjang semua sisi-sisinya, seperti gambar berikut.

Untuk menghitung luas segitiga ini
digunakan rumus Heron (orang
Alexanderia Mesir, hidup sekitar tahun
100 SM).

Teorema 9.3
Rumus Heron. Jika ABC mempunyai panjang sisi-sisinya a, b, dan c

maka luas ∆ABC = L (ABC) = s(s − a )(s − b)(s − c) dengan

s = 1 (a + b + c) .

2

Luas Trapesium
Untuk menghitung luas trapesium, kita akan gunakan luas jajargenjang.

ABCD trapesium dengan
AB // CD. Untuk mencari
luasnya buat (lukis) segi
empat FCBE yang kongruen
dengan trapesium ABCD
(tentu FCBE trapesium juga).

9.6 Geometri

L (AEFD) = L (ABCD) + L (FCBE)

=L (ABCD) + L (ABCD) karena L (ABCD) = L (FCBE)

= 2L (ABCD)

Sedangkan L (AEFD) = (AB + BE) . t = (AB + DC) t = b1 + b2 . t

Jadi, L (ABCD) = 1 ( b1 + b2 ) t (b1 = sisi alas; b2 = sisi atas)
2

Luas Segi banyak beraturan

Definisi 9.3
Keliling (k) segi banyak adalah jumlah panjang sisi-sisi segi banyak.

ooo

Keliling segi lima ABCDE, Keliling segi empat ABCD,
k = AB + BC + CD + DE + EA k = AB + BC + CD + DA

Definisi 9.4
Apotema (a) segi banyak beraturan adalah jarak dari pusat ke sisi segi

banyak.
aaa

Dua definisi di atas digunakan untuk mengembangkan luas dari segi
banyak beraturan dengan n sisi.

Segi enam beraturan Luas ∆ABO = 1 as .
2

Keliling segi enam, k = 6s.
Luas segi enam = 6× 1 as = 3as

2

= 1 a (6s) = 1 a .k.

22

PEMA4207/MODUL 9 9.7

Segi delapan beraturan Luas ∆ABD = 1 as .
Segi empat beraturan (persegi) 2

Keliling segi delapan, k = 8s.
Luas segi delapan = 8× 1 as = 4 as

2

= 1 a (8s) = 1 a .k.

22

Luas ∆ABO = 1 as .
2

Keliling segi empat, k = 4s.
Luas segi empat = 4× 1 as = 2as

2

= 1 a (4s) = 1 a .k.

22

Teorema 9.4
Diketahui: Segi n beraturan dengan panjang sisi n dan Apotema a, luas

segi n tersebut adalah L = 1 ans = 1 ak dengan keliling k, k = ns.
22

Contoh
Suatu segi empat beraturan (persegi) mempunyai sisi 5. Berapakah

luasnya?

Jawab:
Luas segi empat beraturan = luas persegi = 5 × 5 = 25. Dengan

menggunakan rumus luas segi n beraturan

L = 1 ans = 1 .2 1 .4.5 = 5× 5 = 25
2 22

atau

L = 1 ak = 1 .2 1 .4.5 = 1 × 50 = 25 .
2 22 2

9.8 Geometri

Perbandingan Keliling dan Luas Segi Banyak yang Sebangun

Jika dua polygon sebangun dengan perbandingan tertentu, bagaimana

perbandingan luas antara kedua polygon tersebut?

Misal ada dua persegi panjang yang pertama panjang 8 cm, lebar 6 cm,

yang kedua panjang 6 cm, lebar 4 1 cm.
2

Keliling persegi panjang 1 = 2 × (8 + 6) cm = 28 cm.
Keliling persegi panjang 2 = 2 × (6 + 4,5) cm = 21 cm.
Luas persegi panjang 1 = 8 cm × 6 cm = 48 cm.
Luas persegi panjang 2 = 6 cm × 4,5 cm = 27 cm.

Perbandingan keliling = 28 = 4 .
21 3

Perbandingan luas = 48 = 16 =  4 2 .
27 9  3 

Contoh berikut, seperti ini

Keliling ABCDE = 5 + 5 + 2 2 perbandingannya =
Keliling PQRST = 7 1 + 3 5 + 3 2

22

3 ( )5 + 5 + 2 2 = 25+ 3
2 5+2 2

Luas ( ABCDE ) = 3 +  1 .3.2  = 3 + 3 = 6
 2 
perbandingannya =

Luas (PQRST) = 4 1 .1 1 + 1 .4 1 .3 = 6 3 + 6 3 = 13 1

2222 4 4 2

PEMA4207/MODUL 9 9.9

6 = 12 = 4.
13 1 27 9

2

Contoh-contoh itu menguatkan kebenaran dari teorema berikut.

Teorema 9.5
Perbandingan keliling dua segi banyak sebangun sama dengan

perbandingan potongan sisi yang berkorespondensi.

Teorema 9.6
Perbandingan luas segi banyak sama dengan kuadrat perbandingan

panjang sisi-sisi berkorespondensi.

Nilai π (pi)

Gunakan pita meteran, ukurlah benda yang berbentuk
lingkaran, seperti kaleng biskuit. Ukurlah berapa kelilingnya,
dan berapa diameter (garis tengahnya).

Buatlah pembagian antara keliling dan diameternya (coba gunakan
kalkulator), hasilnya selalu 3, … sesuai dengan definisi berikut.

Definisi 9.5
Perbandingan keliling lingkaran c dengan diameter lingkaran d yaitu c
d

adalah bilangan real yang sama untuk setiap lingkaran dan dinotasikan
dengan π (huruf Yunani dibaca pi).

Nilai c adalah bilangan irasional, tidak dapat dinyatakan secara eksak
d

sebagai desimal. Beberapa pendekatan untuk c adalah 3,14; 22 ; 3,14159.
d7

Teorema 9.7
Lingkaran dengan jari-jari r atau diameter d maka keliling C = πd = 2πr.

9.10 Geometri

Luas Lingkaran
Luas lingkaran dihitung dengan pendekatan luas segi n beraturan yang

mempunyai lingkaran luar, bila n bernilai besar.

Definisi 9.6
Luas lingkaran adalah bilangan yang didekati oleh luas segi n beraturan

dalam lingkaran dengan mengambil n besar.

Luas = π r2

Teorema 9.8
Diketahui lingkaran dengan jari-jari r maka luas lingkarannya diberikan

dengan formula A = π r.

Definisi 9.7
Sektor lingkaran/juring lingkaran daerah lingkaran yang dibatasi sudut

pusat dan busur dihadapannya.

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!

1) ABIH, IDEF, dan ACEG semuanya
adalah persegi panjang. Jelaskan
mengapa luas R1 sama dengan R2?

PEMA4207/MODUL 9 9.11

2) ABCD dan BMXN persegi panjang
luas BMLN adalah 1 luas ABCD,
3
AM = 1 AB. Bagaimana
3
perbandingan CN : NB?

A

3) Carilah luas jajargenjang ABCD jika
AD = 5 dan EF = 11 dengan gambar
di samping.

4) Buktikan teorema Heron, yakni jika suatu segitiga ABC dengan BC = a,

AC = b, dan AB = c maka L (ABC) = s(s − a )(s − b)(s − c) dengan
s = 1 (a + b + c) .

2

A

5) Segitiga sama sisi dengan segi enam beraturan mempunyai ukuran
keliling yang sama. Tentukan perbandingan luasnya!

6) Roda gigi depan mempunyai jari-jari 15 cm.
Roda gigi belakang mempunyai jari-jari 5
cm. Bila roda gigi depan berputar satu
putaran penuh, berapa putaran roda gigi
belakang berputar?

7) Panjang sisi-sisi segitiga adalah 12, 5, dan 13. Tentukan luas segitiga
tersebut!

8) Segiempat ABCD tergambar.
Hasil pengukuran = AB = 5 cm,
BC = 4 cm, CD = 3 cm, AD = 6
cm, BD = 3 cm, AC = 8,5 cm.

9.12 Geometri

ABCD terbagi menjadi dua segitiga, jika dipotong oleh BD atau AC .
a) Dipotong BD ⇒ L (ABCD) = L (ABD) + L (BCD).
b) Dipotong AC ⇒ L (ABCD) = L (ADC) + L (ABC).
A
9) Daerah yang tergambar dibatasi oleh 3

setengah lingkaran yang jari-jarinya masing-
masing 1, 2, dan 3 satuan panjang. Berapa
luasnya?

10) Diketahui segitiga ABC adalah
segitiga siku-siku dengan sisi
miring c dan sisi-sisi siku-siku a
dan b. Lukis segitiga sama sisi
pada sisi-sisi ∆ABC seperti
tergambar. Jika luas segitiga itu
adalah L1, L2, dan L3 seperti yang
nampak. Buktikan L2 + L3 = 1 .
L1 L1

Petunjuk Jawaban Latihan

1) ACEG persegi panjang, AE diagonal.
∆ACE ≅ ∆AGE (Si-Si-Si) maka L (ACE) = L (AGE).
Sedangkan L (ACE) = L (ABI) + L (R2) + L (IDE) dan
L (AGE) = L (IHA) + L (R1) + L (EFI).
Jadi, L (ABI) + L (R2) + L (IDE) = L (IHA) + L (R1) + L (EFI).
ABIH adalah persegi panjang maka ∆ABI ≅ ∆IHA.
IDEF adalah persegi panjang maka ∆IDE ≅ ∆EFI
didapat L (ABI) = L (IHA) dan L (IDE) = L (EFI).
Jadi, L (ABI) + L (R2) + L (IDE) = L (IHA) + L (R1) + L (EFI)
L (ABI) − L (IHA) + L (IDE) − L (EFI) = 0.
Jadi, L (R2) = L (R1).
Terbukti.

PEMA4207/MODUL 9 9.13

2) Misal AB = p, BC = q, dan CN = x. Akan dicari NC : NB.

AM = 1 AB = 1 p maka MB = p – 1 p = 2 p
33 33

CN = x maka NB = q – x

L (MBLN) = 1 L (ABCD)
3

2 p . (q – x) = 1 p . q
3 3 ×3

2p (q – x) = pq :p

2 (q – x) = q

2q – 2x = q

2x = q

x = 1 q.
2

CN : NB = x : (q – x) = x : (2x – x) = x : x atau

CN = NB atau N titik tengah BC.

3) Pandang jajargenjang itu dengan alas BC , jelas BC = AD = 5 dan
tingginya adalah EF = 11.
Jadi luasnya adalah alas × tinggi = BC × EF = 5 × 11 = 55.

4) Untuk membuktikan rumus Heron, kita
gunakan fungsi trigonometri.
Luas segitiga ABC = 1 ab sin c
2
L (ABC) = 1 ab sin c
2

sin2C + cos2 C = 1 ...... (1)

a2 + b2 − c2 = 2ab cos C ...... (2)

Dari (1) didapat sin2 C = 1− cos2 C
Dari (2) didapat cos C = a2 + b2 − c2

2ab
1− cos2 C = (1+ cos C) (1− cos C)

9.14 Geometri

(L (ABC))2 = 1 a2b2 sin2 C = 1 a2b2 (1− cos2 C)

44

= 1 a2b2 (1+ cos C)(1− cos C)
4

=  1 ab(1 + cos C)   1 ab(1 − cos C) 
 2   2 

=  1 ab  a2 + b2 − c2   1  a2 + b2 − c2 
 1 + 2ab   ab 1− 2ab 
 2  2

( )=   
 1  2ab + a2 + b2 − c2  1  2ab − a2 + b2 − c2 
  2ab   2ab 
 2 ab  2 ab 



( )=  c2 
 a 2 + 2ab + b2 − c2   − a2 − 2ab + b2 
 4  4 
   


=  ( a + b)2 − c2   c2 − (a − b)2 
   
 4   4 

Misalkan x2 = (a + b)2 ; y2 = (a − b)2

( L ( ABC) )2  x 2 − c2   c2 − y2 
   
=  4  4 

=  x + c   x − c   c + y   c − y 
 2   2   2   2 

=  a + b + c   a + b − c   c + a − b   c − a + b 
 2   2   2   2 

s= a+b+c
2

s − a = a + b + c − a = a + b + c − 2a = c − a + b
2 22

s − b = a + b + c − b = a + b + c − 2b = c + a − b
2 22

s − c = a + b + c − c = a + b + c − 2c = a + b − c
2 22

PEMA4207/MODUL 9 9.15

(L(ABC))2 = s (s − c)(s − b)(s − a) = s (s − a)(s − b)(s − c)

Jadi L(ABC) = s (s − a)(s − b)(s − c).

5) Misalkan sisi segitiga sama sisi sama dengan s maka sisi segi enam
beraturan sama dengan 1 s .
2

Apotema segitiga a1 = 1s 3
6

Apotema segi enam beraturan a2 = 1 s2 3
4

Luas segitiga sama sisi 1 a1n1s1 = 1  1 s 3  ( 3) s
2 2  6 

= 1 s2 3.
4

Luas segi enam beraturan 1 = 1  1 s 3  ( 6)  1 s 
2 a2n2s2 2  4   2 

= 6 s2 3 = 3 s2 3.
16 8

Luas segitiga sama sisi : luas segi enam beraturan

= 1 s2 3 : 3 s2 3 = 2 : 3.
48

6) Menjawab pertanyaan ini artinya menjawab pertanyaan berikut. Satu

keliling roda gigi depan sama dengan berapa keliling roda belakang?

Keliling roda gigi depan = 2π r1 = 2π 15 cm = 30 π cm.

Keliling roda gigi belakang = 2π r2 = 2π 5 cm = 10 π cm.

30π = 3.
10π

Jadi bila roda gigi depan berputar 1 putaran roda gigi belakang berputar

3 putaran.

9.16 Geometri

7) s = (5 +12 +13) : 2 = 15
L(∆) = 15(15 −13)(15 −12)(15 − 5)

= 15.2.3.10
= 3.5.2.3.5.2 = 2.3.5 = 30.

8) a) L (ABCD) = L ( ABD) + L (BCD)

= 7(7 − 3)(7 − 5)(7 − 6) + 5(5 − 3)(5 − 3)(5 − 4)

= 7.4.2.1 + 5.2.2.1

= 56 + 20

= 2 14 + 2 5 ≈ 7, 483 + 4, 472 = 11,955.

b) L (ABCD) = L ( ABC) + L (ACD)

= 8 3  8 3 − 8 1   8 3 − 5   8 3 − 4  +
4  4 2   4   4 

8 3  8 3 − 8 1   8 3 − 6   8 3 − 3 
4  4 2   4   4 

= 8 3 . 1 .3 3 .4 3 + 8 3 . 1 .2 3 .5 3
44 4 4 44 4 4

= 35 . 1 .15 .19 + 35 . 1 .11. 23
444 4 444 4

= 5.7.1.5.3.19 + 5.7.1.11.23
44 44

= 5 7.1.3.19 + 1 5.7.1.11.23
16 16

= 5 399 + 1 8855 ≈ 6, 242 + 5,881 = 12,123.
16 16

Perbedaan yang didapat karena pengukuran bukan nilai yang tepat.

9) Bagian 1 adalah daerah 1 lingkaran dengan jari-
2

jari 1, luasnya = 1 π12 = 1 π.
22

PEMA4207/MODUL 9 9.17

Bagian 2 adalah daerah 1 lingkaran dengan jari-jari 3, dikurangi daerah
2

1 lingkaran dengan jari-jari 2 luasnya
2

= 1 π 32 = 1 π 22 = 4 1 π − 2π = 2 1 π .
22 2 2

Jadi, luas gambar tersebut adalah 1 π + 2 1 π = 3π satuan luas.
22

10) L1 = 1 alas× tinggi = 1 . c . 1c 3
2 2 2

= 1 c2 3
4

Dengan cara yang sama didapat

L2 = 1 b2 3
4

L3 = 1 a2 3
4

L2 L3 1 .b2 3 1 a2 3
L1 L1 4 4 3
+ = 1 .c2 + 1

3 c2
44

= b2 + a2 = a2 + b2 .
c2 c2 c2

Menurut Teorema Pythagoras bahwa a2 + b2 = c2 .

Jadi, a2 + b2 = c2 = 1.
c2 c2

RANGKUMAN

Luas adalah bilangan positif yang menyatakan ukuran daerah segi
banyak. Luas jajargenjang dengan alas a dan tinggi t dinyatakan dengan
L = at . Luas segitiga dengan alas a dan tinggi t dinyatakan dengan

9.18 Geometri

L = 1 at . Luas segitiga dengan sisi-sisi a, b, dan c adalah
2

L = s (s − a )(s − b)(s − c) dengan s = 1 (a + b + c) . Luas trapesium

2

dengan alas a1 dan atas a2 serta tinggi t adalah L = 1 t (a1 + a2 ).
2

Perbandingan keliling dua segi banyak sebangun sama dengan kuadrat

dari perbandingan panjang pasangan sisi yang berkorespondensi. Nilai π

(pi) adalah perbandingan keliling dengan garis tengah (diameter).

Keliling lingkaran dengan jari-jari r (atau diameter d) adalah π d atau
2π r. Luas lingkaran dengan jari-jari r adalah πr2.

TES FORMATIF 1

Pilih satu jawaban yang paling tepat!

1) Segitiga dengan alas 10 dan tinggi 8 luasnya sama dengan ….
A. persegi panjang dengan panjang 10 dan lebar 8
B. persegi dengan sisi 8
C. trapesium sisi bawah 12, sisi atas 8, dan tinggi 4
D. segitiga dengan alas 5 dan tinggi 8

2) Diketahui ∆ABC ∼ ∆DEF

AB = 6, DG = GE = 4, FG = 3. Keliling ∆ABC adalah ....

A. 2 1
4

B. 7 1
2

C. 13 1
2

D. 18

PEMA4207/MODUL 9 9.19

3) Setiap sisi suatu polygon diperpanjang menjadi dua kali semula maka
keliling dan luasnya berturut-turut menjadi ….
A. 2 kali dan juga 2 kali semula
B. 2 kali dan 4 kali semula
C. 4 kali dan 2 kali semula
D. 1 kali dan 2 kali semula

4) Dua segi enam beraturan yang
pertama jari-jari lingkaran luarnya 4
A. 2 : 3 dan yang kedua panjang
B. 2 3 : 3 apotemanya 4. Berapa perbandingan
C. 3 : 4 luasnya?
D. 3 : 4 3

5) Luas daerah yang diarsir adalah ….

A. 4 π cm2

B. (20 – 16 π) cm2

C.  20 − 6 1 π  cm2
 4 

D. (20 − 4π ) cm2

6) Suatu persegi panjang sisinya 10 cm. Sisi-sisi mendatar ditambah 10%,
sedang sisi-sisi tegak dikurang 10%. Maka luasnya ….
A. tetap
B. berkurang 1% dari luas semula
C. bertambah 1% dari luas semula
D. berkurang 5% dari luas semula

7) Persegi dan lingkaran mempunyai luas yang sama. Tentukan
perbandingan sisi persegi dengan jari-jari lingkaran!

A. 1: π
B. 1: π
C. π :1
D. π :1

9.20 Geometri

8) Hitunglah jari-jari lingkaran yang luasnya 1 satuan luas.
A. π
B. 1
π
C. 1
π
1
D.
π2

9) Berapa keliling kurva di
samping?

A. 12 cm
B. 12 2 cm

( )C. 10 2 + 2 cm
( )D. 2 2 +10 cm

10) Segitiga ABC, AB = 7, BC = 5, AC = 6. Jika t1, t2, dan t3 adalah ukuran
tinggi segitiga tersebut untuk alas BC, AC, dan AB maka t1, t2, dan t3
masing-masing berukuran ….
A. 2 6, 7 6, dan 6 6
55
B. 2 6,12 6, dan 12 6
57
C. 12 6,12 6, dan 2 6
75
D. 12 6, 2 6, dan 12 6
57

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.

PEMA4207/MODUL 9 9.21

Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar × 100%

Jumlah Soal

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang
belum dikuasai.

9.22 Geometri

Kegiatan Belajar 2

Luas dan Volum Bangun Ruang

B idang banyak (polyhedron) adalah objek geometri ruang (objek dimensi-
3) terbuat dari daerah segi banyak yang disebut sisi atau permukaan. Sisi
dari permukaan disebut rusuk bidang banyak, sedangkan titik sudut
permukaan disebut titik sudut bidang banyak.

Definisi 9.8
Bidang banyak memuat sejauh berhingga daerah segi banyak. Setiap sisi

dari daerah segi banyak merupakan tepat sisi dari daerah lainnya. Jika satu
daerah berpotongan maka perpotongan itu berupa rusuk atau titik sudut.

Prisma segitiga merupakan bentuk dari bidang
banyak. Prisma ABC, DEF memuat 5 daerah
segi banyak, yaitu ∆ABC, ∆DEF, segi empat
ADCF, segi empat ABED, dan segi empat
BEFC yang disebut sisi prisma.

Ada sisi yang tak beririsan, yaitu sisi ABC dengan sisi DEF. Tidak ada
sisi yang irisannya hanya berupa titik. Sisi-sisi yang irisannya berupa rusuk
di antaranya sisi ABC dengan sisi ADFC, yaitu berupa rusuk AC. Silakan
cari yang lainnya. Ada 9 rusuk.

Limas dan Prisma
Definisi 9.9

Limas adalah bidang banyak yang (kecuali
satu sisinya) semua sisinya mempunyai satu titik
persekutuan. Titik persekutuan itu diberi nama
puncak limas, dan sisi yang tidak memuat puncak
disebut alas limas.

Definisi 9.10
Prisma adalah bidang banyak yang

memenuhi sifat:
1. Dua pasang sisi kongruen dan sejajar

(disebut alas);
2. Semua sisi yang lain berupa jajaran genjang.

PEMA4207/MODUL 9 9.23

Baik pada limas maupun prisma
yang bukan alas disebut sisi tegak
dan rusuk yang bukan rusuk alas
disebut rusuk tegak. Satu segmen
yang ditarik tegak lurus antara dua
alas disebut tinggi. Satu segmen yang
ditarik tegak lurus dari puncak limas
ke alas disebut tinggi.

Limas beraturan adalah limas
dengan alas berupa segi banyak
beraturan dan rusuk tegaknya
kongruen.

Prisma tegak adalah prisma yang rusuk tegaknya tegak lurus alas.

Teorema 9.9
Rusuk tegak lurus prisma sejajar dan kongruen.

Luas Permukaan Prisma dan Limas
Luas permukaan prisma dan limas dapat dicari dengan menggunakan

aturan:

Luas Permukaan = Jumlah luas sisi tegak + Luas alasnya

Misal satu prisma dengan tinggi h dan sisi tegak berupa persegi panjang
serta alasnya segi lima.

Jika luas masing-masing asas B dan sisi alasnya mempunyai panjang e1,
e2, e3, e4, dan e5 maka

luas sisi tegaknya = e1h + e2h + e3h + e4h + e5h
= h (e1 + e2 + e3 + e4 + e5)
= hp, dengan p keliling alas.

Teorema 9.10
Diketahui sebuah prisma dengan sisi tegaknya berupa persegi panjang.

Jika tinggi prisma h dan luas alas-alasnya B dan kelilingnya p maka luas
permukaan S dapat dicari dengan rumus S = hp + 2B.

9.24 Geometri

Luas permukaan suatu limas sama dengan jumlah dari luas sisi-sisi
tegaknya ditambah luas alas.

Misal limas beraturan segi lima, tinggi sisi tegaknya g dan sisi-sisi
alasnya mempunyai panjang e1, e2, e3, e4, dan e5.

Jumlah luas sisi tegak

= 1 e1g + 1 e2g + 1 e3g + 1 e4g + 1 e5g
2 2 2 2 2

= 1 g (e1 + e2 + e3 + e4 + e5 )
2

= 1 gp, dimana p adalah keliling alas
2

Dengan informasi itu kita simpulkan teorema.

Teorema 9.11
Diketahui limas beraturan dengan tinggi sisi tegak g, dan luas alasnya B

serta keliling alas p, luas permukaan S dicari dengan rumus

S = 1 gp + B
2

Volum Prisma
Postulat volum. Setiap benda berhubungan dengan satu bilangan positif

yang disebut volum.

Definisi 9.11
Balok adalah prisma dengan alas persegi panjang dan rusuk tegaknya

tegak lurus terhadap alas-alasnya.

Postulat Volum Balok: Volume balok
sama dengan perkalian antara panjang k
dan lebar w dan tinggi h.
Postulat Penjumlahan Volum: Jika satu
benda merupakan gabungan dari dua
benda yang tidak beririsan di titik bagian
dalamnya maka volum benda itu adalah
jumlah volum dari dua benda tersebut.

PEMA4207/MODUL 9 9.25

Bayangkan bahwa balok merupakan tumpukan lembaran-lembaran tipis,
dan tumpukan itu dapat berubah bentuk dengan volum yang tetap.

Demikian juga, misal dua benda terjadi dari lembaran-lembaran tipis, di
mana tiap lembaran yang bersesuaian dari benda itu mempunyai luas yang
sama maka volum kedua benda tersebut sama.

Gambaran tadi mengantarkan kita pada postulat yang dikenal sebagai
Prinsip Cavalieri, nama matematikawan Itali Bonaventura Cavalieri (1598-
1647).

Definisi 9.12
Penampang melintang (cross section) dari satu benda adalah satu daerah

yang merupakan irisan benda dan bidang yang memotong benda.

Postulat Cavalieri: Jika S
dan T dua benda dan X adalah
bidang. Jika setiap bidang yang
sejajar dengan X memotong S
maupun T dengan penampang
melintang (cross section)
mempunyai luas yang sama
maka Volum S = Volum T.

Postulat ini dapat membuktikan teorema berikut.

Teorema 9.12
Volum sembarang prisma adalah perkalian antara ukuran tinggi dengan

luas alas.

Volum Limas
Sebelum mencari rumusan volum limas, pertama mesti dibentuk teorema

yang dapat digunakan untuk mengembangkan rumusan volum limas.

9.26 Geometri

Teorema 9.13

Diketahui limas dengan alas B dan tinggi h.
Jika A penampang melintang (cross section) yang
sejajar dengan alas dan jarak dari puncak ke
penampang melintang k maka:

Luas A =  k 2
Luas B  h 

a

Teorema 9.14
Dua limas dengan tinggi sama dan
luas alas sama mempunyai volum
yang sama.

Luas A = Luas B
a

Misal akan dicari volum limas
WXYZ, akan dicari melalui limas
tegak ABCD dengan luas alas sama
dengan luas alas limas WXYZ (yaitu
∆XYZ) dan tinggi yang sama dengan
limas WXYZ (yaitu h).
Dengan Teorema 6, didapat bahwa volum limas WXYZ sama dengan
volum limas ABCD.
Kemudian buat prisma tegak dengan alas dan tinggi seperti limas ABCD.
Buat dua potongan pada prisma:
1. melalui A, B, dan D;
2. melalui A, E, dan D.

Maka:
1. Volum ABCD = volum ADEF.

Karena alas ∆BCD dan ∆AEF
mempunyai luas yang sama dan
tinggi AC dan DF sama.
2. Volum ADEF = volum ABDE. Ini adalah dua limas dengan alas ∆BDE
dan ∆ FDE mempunyai luas yang sama. Karena masing-masing setengah

PEMA4207/MODUL 9 9.27

persegi panjang BDFE. Tinggi terbentuk oleh segmen tegak lurus dari A
ke alas dihadapan, dan juga tinggi sama dengan teorema mengatakan
bahwa volumenya sama.

Oleh karena itu, volum limas ABCD = 1 volum prisma ABCDEF
3

= 1 h.B
3

Teorema 9.15
Limas dengan tinggi h dan luas alas B mempunyai volum 1 h . B .
3

Luas Permukaan dan Luas Tabung
Tabung mirip prisma, mempunyai sepasang alas yang kongruen dan

sejajar. Alas tersebut merupakan daerah lingkaran. Segmen yang
menghubungkan pusat dua alas disebut sumbu tabung. Suatu tabung disebut
tabung tegak jika sumbunya tegak lurus dengan alas. Tinggi tabung adalah
panjang sumbunya.

Suatu tabung dapat dibayangkan sebagai
prisma dengan tak hingga banyak sisinya.
Sisi tegak dan lingkaran alas tabung
berkorespondensi dengan sisi tegak dan
keliling prisma.

Teorema 9.16
Diketahui tabung tegak dengan tinggi h. Jika keliling alasnya C dan luas

alasnya B maka luas permukaan S dicari dengan rumus

S = Ch + 2B = 2π rh + 2π r2

9.28 Geometri

Teorema 9.17
Diketahui tabung lingkaran tegak dengan luas alas B dan tinggi h, volum

V dapat dicari dengan rumus

V = Bh = π r2h

Luas Permukaan dan Volum Kerucut

Kerucut lingkaran tegak adalah
kerucut yang tingginya dinyatakan
dengan segmen yang ditarik dari puncak
ke titik pusat lingkaran alasnya.

Kerucut dapat dipandang sebagai
limas dengan banyak sisi tegak tak
hingga. Sisi tegak pada kerucut
berkoresponden dengan sisi tegak limas.
Garis pelukis kerucut berkoresponden
dengan tinggi sisi tegak limas, keliling
alas kerucut berkoresponden dengan
keliling alas limas.

Teorema berikut menentukan luas permukaan kerucut.

Teorema 9.18
Kerucut lingkaran tegak dengan

panjang garis pelukis g, keliling alas
C dan luas alas B maka luas
permukaan S diberikan dengan
rumusan

S = 1 gC + B = π r t + π r2
2

PEMA4207/MODUL 9 9.29

Teorema 9.19

Diketahui kerucut lingkaran tegak dengan tinggi h dan
luas alas B, volumenya dapat dicari dengan rumus:

V = 1 h B = 1 πr2 h
33

Luas Permukaan Bola dan Volum Bola

Definisi 9.13
Bola adalah himpunan semua titik yang jaraknya tertentu dari titik yang

diketahui.
Titik O disebut pusat bola. Jari-jari bola dinyatakan dengan segmen yang

ditarik dari pusat dan satu titik pada bola.
Irisan antara bola dan bidang yang memuat pusat bola disebut lingkaran

terbesar bola.
Untuk menjelaskan bagaimana

rumus volum bola, digunakan
perbandingan antara bola dengan
tabung yang memuat dua kerucut
di dalamnya seperti gambar di
samping.

Buat penampang melintang baik pada bola maupun pada bagian luar
kerucut.

Dengan Teorema Pythagoras, a2 = r2 − b2.

9.30 Geometri

Penampang pada bola Penampang di luar tabung, tetapi masih
dalam bola

Luas penampang pad bola Luas penampang

= πa2. = π r2 −π b2

( )= π r2 − b2

= πa2

Karena kedua penampang mempunyai luas yang sama, kita gunakan
prinsip Cavalieri, disimpulkan bahwa volum bola sama dengan volum benda
di luar kerucut masih di dalam tabung:

π r2 2r −  1 π r2  . r = 2π r3 − 2 π r3 = 4 π r3.
2  3  3 3

Maka volum bola dengan jari-jari r, juga 4 π r3.
3

Teorema 9.20
Diketahui bola dengan jari-jari r, volum bola didapat dengan rumus

V = 4 π r3.
3

Teorema 9.21
Diketahui bola dengan jari-jari r, luas permukaan bola didapat dengan

rumus

S = 4π r2

PEMA4207/MODUL 9 9.31

Bidang Banyak Beraturan

Definisi 9.14
Bidang banyak beraturan adalah bidang banyak yang permukaannya

(sisi-sisi) semuanya berupa daerah segi banyak beraturan.
Kubus adalah salah satu contoh bidang banyak beraturan, kubus atau

bidang enam beraturan (hexahedron) sisi-sisinya berupa daerah persegi, ada
enam persegi.

Teorema 9.22
Ada tepat lima macam bidang banyak beraturan.

Pada setiap titik sudut (puncak) suatu bidang banyak
bertemu n sisi/permukaan.

Jika bidang banyak itu beraturan maka sisi/permukaan itu harus berupa
segi banyak beraturan, supaya titik itu menjadi puncak maka jumlah ukuran n
sudut segi banyak itu harus kurang dari 360°, misal untuk kubus pada suatu
titik sudut P bertemu 3 daerah persegi.

Jika ukuran sudut yang bertemu adalah
90° + 90° + 90° = 270°, jelas ini kurang 360°.

Secara umum harus dicari segi banyak
beraturan yang jumlah ukuran n sudutnya
kurang dari satu sudutnya kurang dari 120°.

Berapakah nilai n? Artinya ada berapa sisi/permukaan yang berupa
daerah segi banyak beraturan bertemu pada satu titik puncak. Kita misalkan
besar sudut segi banyak tersebut dengan x°

nx < 360o atau x <  360 o
 n 

Kita cari dulu x yang merupakan besar sudut segi banyak.

Segitiga sama sisi x = 60°, cari n segitiga n . 60° < 360°
n = 3 karena 3 . 60° = 180° < 360°
n = 4 karena 4 . 60° = 240° < 360°
n = 5 karena 5 . 60° = 300° < 360°

n = 6, 7, 8, dan seterusnya tidak memenuhi
karena > 360°.

9.32 Geometri

a x = 90°, n . 90° < 360° didapat n = 3, tidak ada n
yang lain.
Persegi,

Segi lima beraturan x = 108°, n . 108° < 360° didapat n = 3, tidak ada n
Selanjutnya dapat disimpulkan pada tabel berikut. yang lain.

Banyak sisi pada Atap Bentuk dan nama
Sisi segi banyak bidang banyak

satu titik puncak

Segitiga sama sisi Bidang 4 (tetrahedron) beraturan

Segitiga sama sisi Bidang 8 (oktahedron) beraturan

Segitiga sama sisi Bidang 20 (icosahedron)

persegi Kubus
Segi lima beraturan Bidang 12 (dodecahedron)

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!

1) ABCDEFGH adalah balok AB = p;
AD = g; dan AE = t.

Hitung AF; AC; AH; dan AG.

a

PEMA4207/MODUL 9 9.33

2) Suatu tempat terbuat dari lembaran seng
berbentuk limas beraturan yang terbuka bagian
atasnya. Bagian atas berupa segi enam beraturan.
Ukuran seperti pada gambar di samping. Bila 100
tempat seperti itu akan dicat bagian dalam
maupun bagian luarnya dengan cat yang dapat
mengecat 6 m2 setiap liternya. Berapa liter cat
yang diperlukan?

a
3) Luas alas 64, penampang A

sejajar dengan alas.

Berapa luas penampang A?
Berapa volum terpancung?

a
4) Onggokan pasir membentuk kerucut,

dengan ukuran seperti tergambar. Akan
dipindahkan dengan gerobak berbentuk
balok dengan panjang 70 cm, lebar 40
cm, dan tinggi 50 cm.
Berapa kali gerobak itu harus memin-
dahkan pasir itu? (π ≈ 3,14).

5) Bentuk bumi tidak persis bola, jari-jari bumi di kutub adalah 6357 km,
sedangkan di khatulistiwa 6378 km. Dengan menganggap bumi sebagai
bola dengan jari-jarinya rata-rata jari-jari di kutub dan di khatulistiwa.
Tentukan volum dalam km2.

6) Buat jaring-jaring untuk bidang empat beraturan (tetrahedron) bidang 6
beraturan (kubus, heksahedron), bidang 8 beraturan (octahedron), bidang
12 beraturan (docekahedron), dan bidang 20 beratruan (isosahedron).

7) Volum kubus yang panjang sisi-sisinya 2 cm sama dengan volum tabung
yang jari-jari alasnya sama dengan tingginya. Berapa panjang jari-jari
tabung tersebut?

9.34 Geometri

8) Satu kubus dengan ukuran sisi 1, berada pada bola sedemikian sehingga
titik-titik sudutnya pada bola. Hitung:
a. jari-jari bola.
b. volum bola.
c. perbandingan volum kubus dengan volum bola.

9) Suatu kubus mempunyai luas permukaan A (satuan luas), dan
mempunyai volum A (satuan isi). Berapa panjang rusuk kubus?

10) Selembar seng berbentuk setengah lingkaran
21 cm, akan dijadikan selimut kerucut dengan
menempelkan diameter, kemudian dipatri.
Berapa volum kerucut yang terjadi (π = 22 ).
7

Petunjuk Jawaban Latihan

1) ABFE persegi panjang AB = p; BF = AE = t.
AF = p2 + t2
ABCD persegi panjang
AC = p2 + g2
ADHE persegi panjang
AH = g2 + t2
ACGE persegi panjang dengan AC = p2 + g2 dan lebar AE = t.
AG = AC2 + CG2
= p2 + g2 + t2