GEOMETRI_clone

2.34 Geometri

Daftar Pustaka

Clemen, Stanley R., O'Daffer, Phares G., dan Cooney, Thomas J. (1984).
Geometry with Application and Problem Solving. California: Addison-
Wesley Publishing Company.

Wallace, Edward C., dan West, Stephen F. (1998). Roads to Geometry
Second Edition. New York: Prentice Hall Inc. Simon & Schuster/A
Viacom Company.

Moise, Edwin E. (1970). Elementary Geometry from an Advanced
Standpoint. Massachusett: Addisson-Wesley Publishing Company, Inc.

Rawuh. (1993). Geometri Transformasi. Jakarta: Direktorat Jenderal
Pendidikan Tinggi, Proyek Pembinaan Tenaga Kependidikan Pendidikan
Tinggi.

Ulrich, James F., Czarnec, Fred F., dan Guilbault, Dorothy. (1978).
Geometry. Third Ed. New York: Harcourt Brace Jovanovich.

Modul 3

Pembuktian Teorema

Drs. Mohamad Rahmat, M.Pd.

PENDAHULUAN

M odul ini berjudul Pembuktian Teorema, berisi tiga kegiatan belajar.
Kegiatan Belajar 1, Langkah Pembuktian Teorema, Kegiatan Belajar
2, Bukti Langsung, dan Kegiatan Belajar 3, Bukti Tak Langsung.

Kegiatan Belajar 1, berisi bahasan relasi pada geometri yang sejalan
dengan geometri, yaitu sifat relasi ekivalen pada kongruensi (refleksi,
simetris, dan transitif). Kemudian dibahas bagaimana prosedur pembuktian,
langkah-langkah pembuktian teorema. Pada Kegiatan Belajar 2, dibahas bukti
langsung yang sebenarnya bukti-bukti yang selama ini dibahas merupakan
bukti langsung, yaitu menemukan suatu kesimpulan yang diminta bila
kondisi teorema diketahui, diolah beserta definisi, postulat, teorema lain,
dengan logika yang benar. Sedangkan Kegiatan Belajar 3, membahas tentang
bukti tak langsung, yaitu pembuktian dengan mengandaikan bahwa yang
harus di simpulkan tidak benar, kemudian dicari kontradiksi (dalam logika,
suatu kontradiksi tidak boleh terjadi), bila terjadi kontradiksi berarti ada
kesalahan, kesalahan terjadi pada saat pengandaian, jadi pengandaian yang
salah, haruslah pengandaian tidak seperti itu, tetapi sebagaimana yang harus
disimpulkan.

Tujuan khusus dari modul ini sebagai berikut, Anda diharapkan dapat:
1. menguraikan langkah-langkah pembuktian;
2. menyatakan teorema dalam bentuk “jika ..., maka “;
3. membuat gambar dari yang diketahui dan apa yang harus ditunjukkan

dari gambar tersebut;
4. menggunakan sifat relasi ekivalen (refleksi, simetris, dan transitif) dari

suatu relasi.

3.2 Geometri

Kegiatan Belajar 1

Langkah Pembuktian Teorema

P ada Modul 2 kita menyatakan bahwa satu teorema adalah satu
perumuman yang dapat dibuktikan menggunakan definisi, postulat, dan
logika dari penalaran deduktif.

Pada Kegiatan Belajar 3 kita gunakan penalaran deduktif untuk
menuliskan bukti tentang segitiga kongruen. Bagian ini membahas proses
penalaran untuk membuktikan teorema. Teorema pertama sejalan dengan
sifat bilangan, yaitu sifat refleksif, simetri, dan transitif, yang juga berlaku
pada kongruensi segmen dan sudut.

Kongruensi Refleksif Simetrik Transitif
sudut Jika ∠ A ≅ ∠ B, Jika ∠ A ≅ ∠ B, dan ∠ B ≅ ∠ C
∠A≅∠A maka ∠ B ≅ ∠ A. maka ∠ C ≅ ∠ A.

Kongruensi AB ≅ AB Jika AB ≅ CD , Jika, AB ≅ CD dan CD ≅ EF
segmen
maka CD ≅ AB . maka AB ≅ EF .

Enam langkah proses untuk membuktikan teorema akan digambarkan
dengan beberapa contoh.

Enam Langkah pembuktian Teorema:
1. Jika teorema tidak dalam bentuk jika maka, tulis kembali dalam bentuk

jika-maka.
2. Gambar dan beri nama diagram untuk memperlihatkan kondisi/syarat

teorema.
3. Tulis "Diketahui" dari hipotesis dari pernyataan jika-maka.
4. Tulis "Buktikan" dari konklusif dari pernyataan jika-maka.
5. Analisis apa yang harus dibuktikan dan pikirkan rencana.
6. Tulis bukti, nyatakan definisi, postulat, atau teorema yang sudah

buktikan sebagai alasan.

Contoh pembuktian teorema dengan enam langkah pembuktian disajikan
berikut ini.

PEMA4207/MODUL 3 3.3

Teorema:
Jika ∠ A kongruen dengan ∠ B, dan ∠ B kongruen dengan ∠ C, maka

∠ A kongruen dengan ∠ C.

Bukti:
Langkah 1 : Jika ∠ A kongruen dengan ∠ B dan ∠ B kongruen dengan

∠ C, maka ∠ A kongruen dengan ∠ C.

Langkah 2 :

Langkah 3: Diketahui: ∠ A ≅ ∠ B, ∠ B ≅ ∠ C
Langkah 4: Buktikan ∠ A ≅ ∠ C.
Langkah 5: Rencana.
Yang diketahui adalah pernyataan tentang ukuran sudut, maka
Langkah 6: dapat digunakan sifat transitif dari bilangan. Dan kita tahu
bahwa sudut kongruen pengertiannya adalah ukuran yang
a sama berdasarkan definisi sudut kongruen.

Pernyataan Alasan
1. Diketahui
1. ∠ A ≅ ∠ B 2. Definisi Sudut kongruen
2. u ∠ A ≅ u ∠ B 3. Diketahui
3. ∠ B ≅ ∠ C 4. Kongruen
4. u ∠ B ≅ u ∠ C 5. Sifat transitif bilangan
5. u ∠ A ≅ u ∠ C 6. Kongruen
6. ∠ A ≅ ∠ C

Teorema 3.1
Sifat refleksif, simetrik, dan transitif berlaku untuk kongruensi sudut dan

segmen.

Teorema 3.2
Jika titik A, B. C, dan D pada satu garis sehingga B titik tengah AC dan

C titik tengah BD maka AB ≅ CD .

3.4 Geometri

Bukti: Teorema sudah berbentuk “Jika-maka”
Langkah 1:
Langkah 2:

Langkah 3: Diketahui: B titik tengah AC , C titik tengah BD
Langkah 4:
Langkah 5: Buktikan AB ≅ CD
Rencana
Langkah 6: Interpretasi dari masing-masing pernyataan yang diketahui
sebagai kongruensi segmen, maka kita gunakan fakta bahwa
a kongruensi segmen memenuhi sifat transitif.

Pernyataan Alasan

1. B titik tengah AC 1. Diketahui

2. C titik tengah BD 2. Diketahui

3. AB ≅ BC 3. Definisi titik tengah

4. BC ≅ CD 4. Definisi titik tengah

5. AB ≅ CD 5. Sifat transitif

Teorema 3.3
Pada segitiga sama kaki segmen dari titik puncak ke titik tengah sisi

dihadapannya membentuk sepasang segitiga kongruen.

Pernyataan teorema ini cukup rumit untuk diilustrasikan pada langkah
penting 1 dan 2 dari enam langkah proses.

Bukti: Jika ∆ ABC segitiga sama kaki dengan AB ≅ AC dan jika D
Langkah 1: titik tengah BC . maka ∆ ABD ≅ ∆ ACD.

Langkah 2:

PEMA4207/MODUL 3 3.5

Langkah 3: Diketahui: AB ≅ AC , D titik tengah BC .

Langkah 4: Buktikan: ∆ ABD ≅ ∆ ACD.

Langkah 5: Rencana

Akan digunakan informasi yang diketahui, definisi titik

tengah, sifat refleksif segmen bersama dengan Postulat

kongruensi Si-Si-Si.

Langkah 6:

a

Pernyataan Alasan

1. AB ≅ AC 1. Diketahui

2. D titik tengah segmen 2. Diketahui

3. BD ≅ CD 3. Definisi titik tengah

4. AD ≅ AD 4. Sifat refleksif kongruensi segmen

5. ∆ ABD ≅ ∆ ACD 5. Postulat Kongruensi Si-Si-Si

Menggunakan Penambahan dan Pengurangan pada Sifat Kesamaan
Sifat bilangan

Penambahan pada kesamaan: Jika a = b dan c = d, maka a + c = b + d.
Pengurangan pada kesamaan: Jika a = b dan c = d, a > c, maka a – c = b – d.
Perkalian pada kesamaan: Jika a = b dan c = d maka a . c = b . d.
Prinsip substitusi: Jika a = b, maka a dapat diganti oleh b pada kesamaan
maupun ketidaksamaan.

Teorema 3.4
Penambahan Sudut. Jika u ∠ APB = u ∠ DQE, u ∠ BPC = u ∠ EQF, PB

di antara PA dan PC, dan QE antara QD dan QF, maka u ∠ APC = u ∠ DQF.

Bukti: u ∠ APB = u ∠ DQE,
Diketahui: u ∠ BPC = u ∠ EQF.
u ∠ APC = u ∠ DQF
Buktikan:

A

3.6 Geometri

Pernyataan Alasan
1. Diketahui
1. u ∠ APB = u ∠ DQE 2. Diketahui
2. u ∠ BPC = u ∠ EQF 3. Sifat penambahan pada
3. u ∠ APB + u ∠ BPC = u ∠ DQE
persamaan
+ u ∠ EQF 4. Definisi keantaraan sinar
4. u ∠ APB + u ∠ BPC = u ∠ APC 5. Penjumlahan sudut
5. u ∠ DQE + u ∠ EQF = u ∠ DQF 6. Prinsip substitusi
6. u ∠ APC = u ∠ DQF

Secara umum. informasi yang menyatakan bahwa sinar di antara yang
lainnya tidak dituliskan pada “Diketahui”. Ini cukup disiratkan pada gambar.
Sama juga untuk titik, seperti yang diilustrasikan pada teorema berikut.

Teorema 3.5
Pengurangan Segmen. Jika AC = DF, BC = EF, B di antara A dan C, dan

E di antara D dan F, maka AB = DE.

Diketahui: AC = DF, BC = EF
Buktikan: AB = DE.

a Alasan
1. Diketahui
Pernyataan 2. Diketahui
1. AC = DF 3. Definisi keantaraan titik
2. BC = EF 4. Definisi keantaraan titik
3. AC = AB + BC 5. Prinsip Substitusi
4. DF = DE + EF 6. Sifat Pengurangan kesamaan
5. AB + BC = DE + EF 7. Sifat Aljabar
6. AB + BC – BC = DE + EF – EF 8. Sifat Aljabar
7. AB + BC – BC = AB 9. Prinsip substitusi
8. DE + EF – EF = DE
9. AB = DE

Teorema 3.6
Penambahan kesamaan Segmen. Jika AB = DE, B antara A dan C dan E

antara D dan F, maka AC = DF.

PEMA4207/MODUL 3 3.7

Teorema 3.7
Pengurangan kesamaan Sudut. Jika u ∠ APC = u ∠ DQF, u ∠ BPC =

u ∠ EQF, PB antara PA dan PC, dan QE antara QD dan QF maka u ∠ APB =
u ∠ DQE.

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!

1) Teorema berikut sudah ditulis dalam bentuk “jika-maka”. Buatlah
gambar dan beri nama kemudian tulis bagian diketahui dan apa yang
harus dibuktikan (tidak usah membuktikan).
Teorema: Jika ∆ ABC segitiga sama kaki maka ∆ ABC mempunyai
pasangan sudut yang kongruen.

2) Teorema: Jika X dan Y adalah titik tengah dua sisi satu segitiga maka
XY sama dengan setengah dari panjang sisi ketiga.

3) Dengan menggunakan “Diketahui” dan “Buktikan” dari soal berikut,
buatlah gambarnya (tidak perlu dibuktikan) Tuliskan teoremanya secara
umum.
Diketahui: ∆ ABC adalah segitiga sama kaki dengan AB ≅ AC.
Buktikan: ∠ B ≅ ∠ C.

4) Buktikan dengan lengkap dua kolom.
Diketahui: ∠ 1 ≅ ∠ 2,
∠3≅∠4
Buktikan: ∆ ABD ≅ ∆
CBD

A

5) Buktikan dengan bukti dua kolom.
Diketahui: AB = CD, BD = DE

Buktikan: AC = DE

A

3.8 Geometri

6) Diketahui: ABCDE segi lima beraturan
∠1≅∠2

Buktikan: ∆ FGE segitiga sama kaki

A

7) Diketahui: B titik tengah AF
E titik tengah BC
E titik tengah DF
AB ≅ CD.

Buktikan: ∆ BEF ≅ ∆ CED

A

8) Diketahui: ∆ AEC ≅ ∆ DFB

Buktikan: ∆ ABE ≅ ∆ DCF

A

9) Diketahui: u ∠ AOD = u ∠ FOC
u ∠ 3 = u ∠4

Buktikan: u ∠ 1 = u ∠ 2

a

10) Jika AB ≅ BC dan BC ≅ CD . Mengapa
AB ≅ CD ?

Petunjuk Jawaban Latihan

1) Diketahui: ∆ ABC segitiga sama kaki dengan
AB ≅ AC.

Buktikan: ∠ B = ∠ C.

A

PEMA4207/MODUL 3 3.9

2) Diketahui: Suatu segitiga (misal ∆ PQR) x titik

tengah PQ dan y titik tengah QR .

Buktikan: XY = 1 PR
2

a

3) Teorema Segitiga sama kaki mempunyai dua

secara umum sudut (dihadapkan sisi-sisi yang

kongruen) yang kongruen.

a

4) Bukti:

Pernyataan Alasan

1. ∠ 1 ≅ ∠ 2 1. Diketahui

2. DB ≅ BD 2. Sifat refleksi
3. ∠ 3 ≅ ∠ 4 3. Diketahui

4. ∆ ABD ≅ ∠ CBD 4. Postulat Su-Si-Su

a

5) Bukti:

Pernyataan Alasan

1. AB = CD 1. Diketahui

2. BD = DE 2. Diketahui

3. BC = BC 3. Sifat refleksi

4. AC = BD 4. Penjelasan segmen

5. AC = DE 5. Sifat transitif

a

6) Jawab:

Pernyataan Alasan

1. AE ≅ DE 1. Definisi segi lima beraturan

2. ∠ EAB ≅ ∠ EDC 2. Definisi segi lima beraturan

3. AB ≅ DC 3. Definisi segi lima beraturan

4. ∆ EAB ≅ ∆ EDC 4. Postulat Si-Su-Si

5. ∠ AEF ≅ ∠ DEG 5. BBSKK

6. ∠ 1 ≅ ∠ 2 6. Diketahui

7. ∆ AEF ≅ ∆ DEG 7. Postulat Su-Si-Su (dari 5, 1, dan

6)

8. FE ≅ GE 8. BBSKK

9. ∆ FGE segitiga sama kaki 9. Definisi segitiga sama kaki

a

3.10 Geometri

7) Bukti: Alasan
1. Diketahui
Pernyataan 2. Definisi titik tengah
1. E titik tengah BC 3. Diketahui
2. BE ≅ CE 4. Definisi titik tengah
3. B titik tengah AF 5. Diketahui
4. AB ≅ FB 6. Prinsip substitusi
5. AB ≅ CD 7. Diketahui
6. FB ≅ CD 8. Definisi titik tengah
7. E titik tengah DF 9. Postulat Si-Si-Si dari 2, 6 dan 8
8. FE ≅ DE
9. ∆ BEF ≅ ∆ CED

8) Bukti:

Pernyataan Alasan

1. ∆ AEC ≅ ∆ DFB 1. Diketahui

2. AE ≅ DF 2. BBSKK

3. EC ≅ FB 3. BBSKK

4. AC ≅ DB 4. BBSKK

5. AC = AB + BC 5. Penjumlahan segmen

6. DB = BD + BC 6. Penjumlahan segmen

7. AB + BC = CD + BC 7. Substitusi

8. AB = CD 8. Pengurangan segmen

9. AB ≅ CD 9. Definisi kongruensi segmen

10. ∠ EAB ≅ ∠ FDC 10. BBSKK

11. ∆ BEF ≅ ∆ CED 11. Postulat Si-Su-Si dari 1, 10 dan 9

a

9) Bukti:

Pernyataan Alasan

1. u ∠ AOD = u ∠ FOC 1. Diketahui

2. u ∠ COD = u ∠ COD 2. Refleksi

3. u ∠ AOD = u ∠ FOD 3. Penjumlahan Sudut

4. u ∠ 3 = u ∠ 4 4. Diketahui

5. u ∠ 2 = u ∠ 1 5. Pengurangan Sudut

PEMA4207/MODUL 3 3.11

10) dengan menggunakan sifat transitif AB ≅ BC dan BC ≅ CD maka
AB ≅ CD .

RANGKUMAN

Sifat kongruensi sudut dan segmen:
Sifat refleksi: ∠ A ≅ ∠ A (sudut kongruen dengan dirinya).

PQ ≅ PQ (Segmen kongruen dengan dirinya).
Sifat simetris: ∠ A ≅ ∠ B maka ∠ B ≅ ∠ A.

PQ ≅ XY maka XY ≅ PQ .
Sifat transitif: ∠ A ≅ ∠ B dan ∠ B ≅ ∠ C maka ∠ A ≅ ∠ C.

AB ≅ CD dan CD ≅ EF maka AB ≅ EF .

TES FORMATIF 1

Pilih satu jawaban yang paling tepat!

1) Sudut A kongruen dengan sudut A.
A. sifat refleksif
B. sifat simetris
C. sifat transitif
D. sifat segitiga sama kaki

2) Titik X tengah-tengah segmen PQ maka PX = XQ.
A. definisi titik tengah
B. sifat refleksif
C. sifat simetris
D. garis berat segitiga

3) PQ ≅ ST maka ST ≅ PQ .
A. sifat refleksif
B. sifat simetris
C. sifat transitif
D. sifat komutatif

3.12 Geometri

4) Manakah yang benar?
A. Pada segitiga sama kaki sudut yang diapit oleh dua sisi yang
kongruen, kongruen dengan salah satu sudut lainnya.
B. Pada segitiga sama kaki sudut yang diapit oleh dua sisi yang
kongruen, kongruen dengan salah satu sudut dihadapkan salah satu
sisi yang kongruen.
C. Pada segitiga sama kaki sudut-sudut dihadapkan sisi-sisi yang
kongruen, kongruen juga.
D. Pada segitiga sama kaki, semua sudutnya kongruen.

5) Jika AB ≅ ED dan ED ≅ BC maka

A. EA ≅ EB Diketahui: ∠ 1 ≅ ∠ 2, ∠ 3 ≅ ∠
B. B titik tengah AC 4
C. DE ≅ DC
D. BE ≅ BD Buktikan: ∆ ABD ≅ ∆CDB

6)

Bukti:

Pernyataan Alasan

1. ∠ 1 ≅ ∠ 2 1. Diketahui

2. DB ≅ BD 2. (1) ....

3. ∠ 3 ≅ ∠ 4 3. Diketahui

4. ∆ ABD ≅ 4. (2) ....

∆CDB

Pengisi (1) dan (2) berturut-turut.
A. refleksif dan Postulat Su-Si-Su
B. transitif dan Postulat Su-Si-Su
C. simetris dan Postulat Si-Su-Si
D. refleksif dan Postulat Si-Su-Si

7) ∠ PQR ≅ ∠ XYZ dan ∠ XYZ ≅ ∠ STU maka ∠ PQR ≅ ∠ STU.

PEMA4207/MODUL 3 3.13

A. refleksif
B. simetris
C. transitif
D. definisi titik tengah

8) Amin adik Rudi, Rudi adik Siska. Disimpulkan bahwa Amin adik Siska.
Relasi “adik” pada himpunan manusia mempunyai sifat ....
A. refleksi
B. simetris
C. transitif
D. ekivalen

9) Relasi berikut yang mempunyai sifat simetris dan refleksi adalah ....
A. “seumur” pada himpunan orang
B. “kenal” pada himpunan orang
C. “sayang” pada himpunan orang
D. “lebih kecil” pada himpunan bilangan

10) Diketahui: ∠ APB ≅ ∠ DPC

Dapat disimpulkan ....

A. ∠ BPC ≅ ∠ APB
B. ∠ BPC ≅ ∠ DPC
C. ∠ DPB ≅ ∠ APC
D. ∠ APC ≅ ∠ APD

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.

Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar × 100%

Jumlah Soal

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup

3.14 Geometri

< 70% = kurang

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang
belum dikuasai.

PEMA4207/MODUL 3 3.15

Kegiatan Belajar 2

Bukti Langsung

M etode bukti langsung mulai bekerja dengan kondisi yang diketahui,
kemudian diturunkan ke kesimpulan (konklusi) benar.

Pembuktian Teorema Menggunakan Suplemen dan Komplemen

Definisi 3.1
Sudut (saling) komplemen adalah dua sudut yang jumlah ukurannya 90o.

Definisi 3.2
Sudut (saling) suplemen adalah dua sudut yang jumlah ukurannya 180o.

Pasangan sudut dengan jumlah 180o mempunyai titik sudut yang sama,
satu kaki bersama, dan tidak ada titik interior yang berpotongan disebut
pasangan segaris.

Definisi 3.3
Sudut pasangan segaris adalah sepasang

sudut dengan satu sisi bersekutu sehingga
gabungan dengan sudut lainnya adalah garis.

∠ POR pasangan segaris
dengan ∠ RQS

Gunakan busur derajat untuk menjawab pertanyaan tentang komplemen.

Apakah ∠ A komplemen ∠ C? Apakah ∠ P komplemen ∠ R?
Apakah ∠ B komplemen ∠ C? Apakah u ∠ Q komplemen ∠ S?

Bandingkan u ∠ A dengan u ∠ B? Bandingkan u ∠ P dengan u ∠ Q?

3.16 Geometri

Teorema 3.8
Teorema Komplemen Kongruen. Dua sudut yang komplemen pada dua

sudut sama (atau sudut kongruen) adalah kongruen.

Bukti: ∠ A komplemen ∠ C
Diketahui: ∠ B komplemen ∠ C
∠A≅∠B
Buktikan:

Pernyataan Alasan

1. ∠ A komplemen ∠ C 1. Diketahui

u ∠ A + u ∠ C = 90o 2. Definisi komplemen

3. ∠ B komplemen ∠ C 3. Diketahui

4. u ∠ B + u ∠ C = 90o 4. Definisi

5. u ∠ A + u ∠ C = u ∠ B + u ∠C 5. Prinsip Substitusi

6. u ∠ A = u ∠ B 6. Sifat pengurangan

7. ∠ A ≅ ∠ B 7. Definisi sudut kongruen

Teorema 3.9
Teorema Suplemen Kongruen. Dua sudut yang suplemen pada dua sudut

sama (atau sudut kongruen) adalah kongruen.

Contoh 1
Diketahui: ∠ A ≅ ∠ D, ∠ 1 ≅ ∠ 2, AB ≅ CD .

Buktikan: BE ≅ CE

A

Pernyataan Alasan

1. ∠ A ≅ ∠ D 1. Diketahui

2. AB ≅ CD 2. Diketahui

3. ∠ 1 ≅ ∠ 2 3. Diketahui

4. ∠ 1 dan ∠ 3 suplemen 4. Pasangan segaris

5. ∠ 2 dan ∠ 4 suplemen 5. Pasangan segaris

6. ∠ 3 ≅ ∠ 4 6. Teorema Suplemen Kongruen

7 ∆ ABE ≅ ∆ DCE 7. Su-Si-Su

8. BE ≅ CE 8. BBSKK

PEMA4207/MODUL 3 3.17

Contoh 2
Diketahui: ∠ FGH dan ∠ IHG dua sudut siku-siku ∠ 1 ≅ ∠ 2
Buktikan: ∆ IHG ≅ ∆ FGH

Pernyataan Alasan

1. ∠ FGH dan ∠ IHG sudut siku-siku 1. Diketahui

2. ∠ FGH ≅ ∠ IHG 2. Sudut siku-siku kongruen

3. u ∠ FGH = u ∠ IHG = 90o 3. Sudut siku-siku

4. ∠ 1 ≅ ∠ 2 4. Diketahui

5. ∠ 1 dan ∠ IHG komplemen 5. Definisi komplemen

6. ∠ 2 dan ∠ FGH komplemen 6. Definisi komplemen

7. ∠ IGH ≅ ∠ FHG 7. Teorema Komplemen Kongruen

8. GH ≅ HG 8. Refleksif

9. ∆ IHG ≅ ∆ FGH 9. Su-Su-Si

Pembuktian Teorema Menggunakan Sudut Bertolak Belakang

Definisi 3.4
Sudut bertolak belakang adalah dua sudut yang terbentuk oleh dua garis

berpotongan.

∠ AOB dan ∠ COD bertolak belakang.

BC dan AD berpotongan di O.

Dapatkah Anda meyakinkan seseorang bahwa lima pernyataan ini benar,
tentang sudut yang terbentuk oleh garis g dan m yang berpotongan.

1. ∠ 1 dan ∠ 2 suplemen
2. ∠ 3 dan ∠ 2 suplemen
3. ∠ 1 dan ∠ 3 kongruen
4. ∠ 3 dan ∠ 4 suplemen
5. ∠ 2 dan ∠ 4 kongruen

3.18 Geometri

Teorema 3.10
Teorema Sudut Bertolak Belakang. Jika dua garis berpotongan, sudut

bertolak belakang adalah kongruen.

Bukti:
Langkah 1 Sudah tertulis dalam bentuk 'Jika-Maka'

Langkah 2

Langkah 3 Diketahui: Dua pasang sudut bertolak belakang ∠ 1 dan ∠ 3,
Langkah 4 ∠ 2 dan ∠ 4
Buktikan: ∠ 1 ≅ ∠ 3, ∠ 2 ≅ ∠ 4

Langkah 5 Akan dibuktikan bahwa ∠ 1 ≅ ∠ 3 dengan menggunakan fakta
bahwa ∠ 1 dan ∠ 2 membentuk pasangan segaris. dan bahwa
∠ 2 dan ∠ 3 membentuk pasangan segaris. Dengan
menggunakan Postulat Pasangan Segaris dan Teorema

Suplemen Kongruen.
Membuktikan bahwa ∠ 2 ≅ ∠ 4 bisa dengan cara yang sama.

Langkah 6 Alasan
1. Diketahui
a 2. Definisi pasangan segaris

Pernyataan 3. Postulat pasangan segaris
4. Definisi
1. ∠ 1 dan ∠ 3 bertolak belakang 5. Postulat
2. ∠ 1 dan ∠ 2 membentuk 6. Teorema suplemen

pasangan segaris kongruen
3. ∠ 1 suplemen ∠ 2
4. ∠ 3 dan ∠ 2 pasangan segaris
5. ∠ 3 suplemen ∠ 2
6. ∠ 1 ≅ ∠ 3

Teorema 3.11
Jika satu dari pasangan segaris adalah sudut siku-siku, maka sudut

lainnya juga siku-siku.

PEMA4207/MODUL 3 3.19

Pembuktian Teorema Menggunakan Sudut Luar
Beberapa sifat Ketidaksamaan Bilangan Real

Definisi Lebih dari: Sifat Penambahan: Jika a > b, maka

a > b artinya a = b + c dan c adalah a + c > b + c.

bilangan positif.

Sifat Transitif Sifat Perkalian: Jika a > b dan c > 0,
Jika a > b dan b > c, maka a > c. ac > bc. Jika a > b dan c < 0, ac < bc.

Sifat Trikhotomi: Untuk bilangan
real a dan b, satu dan hanya satu
yang berikut benar: a = b, a > b, atau
a < b.

Sifat Bilangan di atas akan digunakan dalam bahasan berikut.

Definisi 3.5 adalah sudut yang
Sudut luar segitiga segaris dengan satu
membentuk pasangan
sudut segitiga.

Definisi 3.6
Sudut dalam berjauhan terhadap sudut luar
segitiga adalah sudut segitiga yang tidak
berbatasan dengan sudut luar itu.
Setiap segitiga mempunyai enam sudut luar,
seperti gambar di samping

Untuk masing-masing segitiga berikut, jiplaklah sudut 1 dan bandingkan
dengan sudut-sudut dalamnya.

Kenyataan ini menuntun kita pada teorema berikut.

3.20 Geometri

Teorema 3.12
Teorema Sudut Luar. Ukuran sudut luar segitiga lebih besar dari ukuran

sudut dalam yang berjauhan.

Bukti:
Diketahui: ∆ ABC dengan sudut luar ∠ 1.
Buktikan: u ∠ 1 > u ∠ 2

Rencana: (Anda coba boat rencana
kerjanya)

A

Pernyataan Alasan
1. ∠ 1 sudut luar ∆ ABC 1. Diketahui

2. Misal M titik tengah AC 2. Pilih M

3. Pada BM pilih D sehingga BM ≅ MD 3. Postulat titik-garis, pilih D

4. AM ≅ MC 4. Definisi titik tengah

5. ∠ BMA ≅ ∠ DMC 5. Kongruen

6. ∆ AMB ≅ ∆ CMD 6. Si-Si-Su
7. ∠ MCD ≅ ∠ 2 7. BBSKK
8. u ∠ MCD = u ∠ 2 8. Definisi kongruensi sudut
9. u ∠ MCD + u ∠ DCE = u ∠ 3 9. Definisi keantaraan sinar
10. u ∠ 2 + u ∠ DCE = u ∠ 3 10. Substitusi
11. u ∠ 3 > u ∠ 2 11. Definisi lebih besar
12. u ∠ 1 = u ∠ 3 12. Sudut bertolak belakang
13. u ∠ 1 > u ∠ 2 13. Substitusi

PEMA4207/MODUL 3 3.21

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,

kerjakanlah latihan berikut!

1) Perhatikan gambar di samping
AB ⊥ OD dan ∠ 1 ≅ ∠ 2
a. Sebutkan suplemen dari ∠ 1
b. Sebutkan suplemen dari ∠ COB
c. Sebutkan komplemen dari ∠ COD
d. Sebutkan komplemen dari ∠ 2
e. Mengapa ∠ COD ≅ ∠ EOD?
f. Mengapa ∠ COB ≅ ∠ AOE?

a

2) Gunakan gambar di samping dengan
AB ⊥ EF, CD ⊥ HG, AH ⊥ HG,

EG ⊥ HG
a. Sebutkan dua sudut yang

merupakan suplemen dari ∠ COE.
b. Sebutkan dua sudut yang

merupakan komplemen dari ∠ 3.
c. Sebutkan dua sudut yang

merupakan komplemen dari
∠ HOF.
d. Mengapa ∠ COE ≅ ∠ BOG?
e. Mengapa ∠ AOH ≅ ∠ COE?
f. Mengapa ∠ AOG ≅ ∠ EOD?
g. Mengapa ∠ 3 ≅ ∠ AOC?
h. Mengapa ∠ 3 ≅ ∠ AOD
suplemen?

a

3) Dua sudut saling suplemen. Ukuran yang pertama empat kali ukuran
yang lainnya. Cari ukuran kedua sudut tersebut!

a

4) Dua buah sudut saling suplemen. Ukuran sudut yang satu lebih kecil 20o
dari tiga kali ukuran sudut lainnya. Cari ukuran kedua sudut tersebut!

A

3.22 Geometri

5) Diketahui:
AD ≅ CD, BD ⊥ AC, ∠1 ≅ ∠2

Buktikan:
∆ABD ≅ ∆CBD

A

6) Diketahui: ABCD segi empat dengan semua
sisi sama panjang ∠ 1 ≅ ∠ 2, W,
X, dan Z titik tengah sisi-sisi.

Buktikan: ∆ BWX ≅ ∆ DZY

A

7) Diketahui: a) u ∠ RVQ = 4x
u ∠ SVT = 2x + 20
u ∠ RVQ = ....

b) u ∠ RVQ = 2x + 30
u ∠ SVT = 3x + 20
u ∠ SVT = ....

c) u ∠ QVT = 5x
u ∠ RVS = 8x – 45
u ∠ RVS = ....

8) Diketahui: AE ≅ DE
BE ≅ CE

Buktikan: ∆ABC ≅ ∆DCB

9) Diketahui: ∆ ABC

Buktikan: u ∠ 1 > u ∠ 3

PEMA4207/MODUL 3 3.23

10) Diketahui: Dari gambar di samping
Buktikan: u ∠ ABP > u ∠ QPR

Petunjuk Jawaban Latihan

1) a. Suplemen dari ∠ 1 adalah ∠ COB atau ∠ BOC.
b. Suplemen dari ∠ COB adalah ∠ AOC atau ∠ COA.
c. Komplemen dari ∠ COD adalah ∠ AOC atau ∠ COA.
d. Komplemen dari ∠ 2 adalah ∠ DOE atau ∠ EOD.
e. Baik ∠ COD maupun ∠ EOD komplemen dengan sudut yang
kongruen (yaitu ∠ 1 ≅ ∠ 2).
f. Baik ∠ COB maupun ∠ AOE suplemen dengan sudut yang
kongruen (yaitu ∠ 1 ≅ ∠ 2).

2) a. Dua sudut yang merupakan suplemen dari ∠ COE adalah ∠ EOD

dan ∠ COF.

b. Dua sudut yang merupakan komplemen dari ∠ 3 adalah ∠ GOB

dan ∠ EOC.

c. Dua sudut yang merupakan komplemen dari ∠ HOF adalah ∠ FOD

dan ∠ HOA.

d. ∠ COE dan ∠ BOG komplemen dengan ∠ 3.

e. ∠ AOH dan ∠ CDE komplemen dengan ∠ AOC.

f. u ∠ AOG = u ∠ AOC + u ∠ COG, u ∠ EOD = u ∠ DOB +

u ∠ EOB, karena ∠ AOC bertolak belakang dengan ∠ DOB. Jadi

∠ AOC ≅ ∠ DOB, ∠ COB dan ∠ EOB siku-siku jadi ∠ AOG ≅

∠ EOD.

g. ∠ 3 komplemen ∠ COE, ∠ AOC komplemen ∠ COE, jadi

∠ 3 ≅ ∠ AOC.

∠3 komplemen dengan ∠ EOC Jadi ∠ 3 ≅ ∠ COA, ∠ COA
∠ COA komplemen ∠ EOC suplemen ∠ AOD, maka ∠ 3
suplemen ∠ AOD.

3) Misalkan ukuran sudut yang pertama 4x dan yang kedua x. Karena
kedua sudut saling suplemen maka jumlah ukurannya 180o, jadi

3.24 Geometri

4x + x = 180o

5x = 180o

x = 36o.
Jadi, ukuran sudut yang pertama 144o dan yang kedua 36o .

a

4) Ukuran sudut yang satu 3x – 20 dengan x ukuran sudut yang lainnya.
Karena saling suplemen maka

( )3x − 20o + x = 180o

4x − 20o = 180o

4x = 200o

x = 50o

5) Bukti: Alasan
Pernyataan 1. Teorema komplemen kongruen

1. ∠ BAD ≅ ∠ BCD (∠ 1 ≅ ∠ 2)
2. Diketahui
2. AD ≅ CD
3. BD ⊥ AC 3. Diketahui
4. ∠ BDA ≅ ∠ BDC
5. ∆ ABD ≅ ∆ CBD 4. Semua sudut siku-siku kongruen
5. Postulat Su-Si-Su

6) Bukti:

Pernyataan Alasan

1. W, X, Y dan Z titik tengah 1. Diketahui

AB, BC, CD, dan DA

2. BW = BX = YD = DZ 2. Definisi titik tengah
3. ∠ WBX ≅ ∠ ZDY 3. Suplemen sudut kongruen
4. ∆ BWX ≅ ∆ DZY 4. Postulat Su-Si-Su

7) a) u ∠ RVQ = 4x
u ∠ SVT = 2x + 20 karena ∠ RVQ bertolak belakang ∠ SVT maka
u ∠ RVQ = u ∠ SVT.

PEMA4207/MODUL 3 3.25

4x = 2x + 20

2x = 20

x = 10
Jadi, u ∠ RVQ = 4 . 10 = 40.
b) u ∠ RVQ = 2x + 30
u ∠ SVT = 3x + 20 karena ∠ RVQ bertolak belakang ∠ SVT maka
u ∠ RVQ = u ∠ SVT.
2x + 30 = 3x + 20

30 = x + 20

10 = x
Jadi, u ∠ SVT = 3 . 10 + 20 = 50.
c) u ∠ QVT = 5x
u ∠ RVS = 8x – 45 karena ∠ QVT bertolak belakang ∠ RVS maka
u ∠ QVT = u ∠ RVS.

5x = 8x − 45

5x − 8x = −45

−3x = −45

x = 15.
Jadi, u ∠ RVS = 8 . 15 – 45 = 120 – 45 = 75.

8) Bukti:

Pernyataan Alasan
1. Diketahui
1. AE ≅ DE 2. Sudut bertolak belakang
2. ∠AEB ≅ ∠DEC 3. Diketahui

3. EB ≅ EC 4. Postulat Si-Su-Si
4. ∆ AEB ≅ ∆ DEC 5. BBSKK
5. AB ≅ DC

6. BC ≅ BC 6. Refleksif

7. AE + EC = DE + EB 7. Penambahan yang sama

8. m AC = m DB 8. Penjumlahan segmen

9. AC ≅ DB 9. Definisi kongruen segmen
10. ∆ ABC ≅ ∆ DCB 10. Postulat Si-Si-Si

3.26 Geometri

9) Buat M titik tengah BC , buat pada AM titik N
sehingga M titik tengah AN . Buat CN .

A

Pernyataan Alasan

1. ∠ 1 adalah sudut luar ∆ ABC 1. Diketahui

2. M titik tengah BC 2. M dipilih

3. M titik tengah AN 3. N dipilih sehingga M titik

tengah AN

4. AM ≅ NM 4. Definisi titik tengah

5. ∠ AMN ≅ ∠ NMC 5. Bertolak belakang

6. MB ≅ MC 6. Definisi titik tengah

7. ∆ AMB ≅ ∆ NMB 7. Postulat Si-Su-Si

8. ∠ 3 ≅ ∠ MCN 8. BBSKK

9. u ∠ 3 = u ∠ MCN 9. Definisi kongruen sudut

10. u ∠ 1 = u ∠ MCN + u ∠ NCD 10. Penjumlahan sudut

11. u ∠ 1 > u ∠ 3 11. Definisi lebih besar

10) Bukti: Alasan

A 1. Lihat gambar
Pernyataan 2. Ukuran sudut luar lebih

1. ∠ ABP adalah sudut luar ∆ BPC besar dari sudut luar
2. u ∠ ABP > u ∠ BPC yang berjauhan
3. Bertolak belakang
3. u ∠ BPC = u ∠ QPR 4. Substitusi
4. u ∠ ABP > u ∠ QPR

PEMA4207/MODUL 3 3.27

RANGKUMAN

Dua sudut komplemen bila jumlah ukurannya 90o.
Dua sudut suplemen bila jumlah ukurannya 180o.
Dua sudut dengan jumlah ukuran 180o mempunyai titik sudut sama,
satu kaki bersama, tidak ada interior yang berpotongan disebut pasangan
segaris.
Dua sudut yang komplemen/suplemen pada dua sudut sama (atau
kongruen) adalah kongruen.
Dua sudut bertolak belakang adalah dua sudut yang terbentuk oleh
dua garis berpotongan.
Dua sudut bertolak belakang kongruen.
Sudut luar segitiga lebih besar dari sudut yang berjauhan.

TES FORMATIF 2

Pilih satu jawaban yang paling tepat!

1) Dua sudut saling suplemen, beda ukuran antara kedua sudut tersebut 40o.
Ukuran sudut-sudut itu ....
A. 50o dan 130o
B. 60o dan 100o
C. 70o dan 110o
D. 25o dan 65o

2) I. Jika dua sudut pasangan segaris maka sudut-sudut itu saling
suplemen.

II. Jika dua sudut saling suplemen maka sudut-sudut itu pasangan
segaris.

A. I dan II benar
B. hanya I benar
C. hanya II benar
D. I dan II tidak benar

3) Dua sudut saling komplemen, perbandingan ukurannya adalah 1:8.
Ukuran sudut-sudut itu ....
A. 20o dan 160o
B. 10o dan 80o
C. 20o dan 70o
D. 20o dan 110o

3.28 Geometri

4) u ∠ XYB = 7x – 30o
u ∠ BYZ = 3x + 10o
u ∠ AYZ = ....
A. 20o
B. 47o
C. 70o
D. 110o

5) Diketahui: u ∠ 1 < u ∠ 2. Urutan dari
kecil ke besar ....
A. ∠ 3, ∠ 1, ∠ 2, dan ∠ 4
B. ∠ 1, ∠ 2, ∠ 4, dan ∠ 3
C. ∠ 1, ∠ 2, ∠ 3, dan ∠ 4
D. ∠ 4, ∠ 3, ∠ 2, dan ∠ 1

6) Manakah yang tak mungkin?
A. Segitiga dengan satu sudut tumpul dan dua sudut lancip.
B. Segitiga dengan satu sudut siku-siku dan dua sudut lancip.
C. Segitiga dengan semua sudut lancip.
D. Segitiga dengan dua sudut tumpul dan satu sudut lancip.

7) Sudut yang terbesar adalah ....

A. ∠ 1
B. ∠ 2
C. ∠ 3
D. ∠ 4

8) Diketahui ABC jika perbandingan ukuran sudut antara ∠ A, ∠ B, dan
∠ C adalah 1:2:3. Berapa besar sudut luar yang berbatasan dengan ∠ C?
A. 30o
B. 60o
C. 90o
D. 150o

9) I. Ukuran sudut luar segitiga lebih besar dari ukuran sudut dari
segitiga.

II. Jika dua sudut saling suplemen dan juga kongruen maka kedua
sudut tersebut siku-siku.

A. I dan II benar
B. hanya I benar

PEMA4207/MODUL 3 3.29

C. hanya II benar
D. I dan II salah

10) Nilai x adalah ....

A. 47 1
2

B. 37 1
2

C. 142 1
2

D. 25

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.

Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar × 100%

Jumlah Soal

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan Kegiatan Belajar 3. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang
belum dikuasai.

3.30 Geometri

Kegiatan Belajar 3

Bukti Tak Langsung

B erikut ini ilustrasi untuk bukti tak langsung (indirect proof).
Pernyataan ini benar: “Jengkol bukan racun” dalam bentuk jika
maka: Jika x jengkol, maka x bukan racun. Misal ada orang yang meragukan
pernyataan ini, jangan-jangan jengkol itu racun. Langkahnya berikut:
Andaikan jengkol itu bukan (bukan racun), artinya mengandaikan jengkol
adalah racun. Jengkol dimakan seseorang, ternyata orang itu tidak apa-apa.
Ini bertentangan dengan fakta, bila seseorang makan racun, maka seseorang
ini akan meninggal atau sakit. Karena bertentangan dengan fakta itu,
disimpulkan bahwa jengkol bukan racun. Itulah gambaran Pembuktian
dengan Menggunakan metode indirect proof (bukti tak langsung).

Langkah-langkah Pembuktian Teorema Menggunakan Bukti Tak
Langsung (Indirect Proof/Reductio Ad Absordum).
1. Tulis “Diketahui” dan “Buktikan” dari hipotesis dan konklusi pernyataan

“jika-maka”.
2. Andaikan negasi dari “Buktikan”.
3. Tulis langkah pembuktian yang menuntun pada suatu kontradiksi dengan

fakta (teorema, definisi, informasi yang diketahui, dan sebagainya).
4. Simpulkan bahwa pengandaian salah, haruslah “Buktikan” itu yang

benar.

Berikut ilustrasi Bukti Tak Langsung dalam pembuktian teorema.

Teorema:
Jika dua garis berpotongan, maka perpotongannya satu titik.

Diketahui: Garis g dan m berpotongan di
titik P.
Buktikan: P hanya satu titik perpotongan.
Analisis:
Langkah 2 bukti tak langsung adalah mengandaikan negasi
a pernyataan “Buktikan”.

PEMA4207/MODUL 3 3.31

Negasi dari P hanya satu titik perpotongan
adalah P bukan hanya satu titik perpotongan.
Artinya ada titik perpotongan kedua.
Kemudian tunjukkan bahwa mempunyai dua
titik potong menuntun pada satu kontradiksi
dengan satu postulat.

a

Pernyataan Alasan

Langkah 1 1. Andaikan P bukan hanya satu 1. Pengandaian
Langkah 2
titik perpotongan antara garis g Bukti tak
Langkah 3
dan m. Langsung.

2. Sebut titik perpotongan lain 2. Pernyataan

dengan Q. ulang dari 1.

3. g memuat P dan Q, m memuat P 3. Gabungan 1

dan Q. dan 2.

4. P dan Q dimuat pada dua garis 4. Pernyataan

(kontradiksi dengan Postulat ulang dari 3.

Titik-garis).

5. Jadi, P adalah hanya satu titik 5. Logika Bukti

perpotongan g dan m. Tak

Langsung.

Teorema:
Jika dua garis tegak lurus pada garis yang sama, maka dua garis sejajar.

Langkah 1 Pernyataan Alasan
Langkah 2
Diketahui: k ⊥ m, g ⊥ m Merumuskan
Buktikan: k // g pernyataan
1. Andaikan k tidak sejajar g. 1. Pengandaian bukti

2. K memotong g di C. Tidak Langsung
3. Terbentuk segitiga ABC.
4. m ∠ DAC > m ∠ABC. 2. Pernyataan ulang 1
3. Definisi segitiga
5. k ⊥ m, g ⊥ m. 4. Teorema sudut

luar
5. Diketahui

3.32 Geometri

Pernyataan Alasan

6. DAC dan ∠ ABC siku-siku 6. Definisi garis

tegak lurus

7. m ∠ DAC = m ∠ ABC, 7. Setiap sudut siku-

kontradiksi dengan siku ukurannya
m ∠ DAC > m ∠ ABC. sama
8. Jadi k // g 8. Logika bukti tidak

langsung.

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!

1) Untuk setiap pernyataan ”Buktikan” pada soal berikut, tuliskan
pengandaian bukti tak langsung, yakni pengandaian tidak benar (negasi)
dari yang harus dibuktikan, kemudian ikuti dengan pernyataan kedua
yang merupakan interpretasi dari pengandaian tersebut!
Contoh:
1. Buktikan: g // m
Pengandaian untuk bukti tak langsung: Andaikan g // m.
Pernyataan kedua: g memotong m.
2. Buktikan: ∠ A suplemen ∠ B.
Pengandaian untuk bukti tak langsung: Andaikan ∠ A bukan
suplemen ∠ B.
Pernyataan kedua: u ∠ A + u ∠ B ≠ 180.
a) Buktikan: ∠ A bukan sudut siku-siku.
b) Buktikan: ∠ X sudut lancip.
c) Buktikan: ∆ ABC segitiga sama kaki.
d) Buktikan: AB ≅ CD .

2) Perhatikan pasangan pernyataan yang berbentuk pasangan yang
kontradiksi dan yang tidak kontradiksi.
Contoh pasangan kontradiksi:
AB lebih panjang dari CD dan CD lebih panjang dari AB .

PEMA4207/MODUL 3 3.33

Jika AB lebih panjang dari CD , tidak mungkin CD lebih panjang dari
AB .
Contoh pasangan tidak kontradiksi:
∆ ABC segitiga sama sisi dan ∆ ABC segitiga sama kaki.
Jika ∆ ABC segitiga sama sisi, pasti ∆ ABC sama kaki.
Cari manakah yang merupakan pasangan kontradiksi dan tidak
kontradiksi.
a) p // q dan p ∩ q = φ
b) ∠ A ≅ ∠ B dan u ∠ A > u ∠ B
c) g ⊥ m dan g ⊥ m
d) ∠ A sudut lancip dan ∠ A sudut tumpul.
e) ∠ A dan ∠ B membentuk pasangan segaris u ∠ A < 90° dan

u ∠ B < 90°.

3) Manakah yang kontradiksi dengan pernyataan ∠ A dan ∠ B suplemen.
a) u ∠ A + u ∠ B = 180o
b) ∠ A dan ∠ B pasangan segaris.
c) ∠ A dan ∠ B dua-duanya lancip.
d) ∠ A dan ∠ B sudut bertolak belakang.

4) Tuliskan pernyataan yang kontradiksi dengan pernyataan berikut.
a) ∠ A dan ∠ B komplemen.
b) Garis p dan garis q berpotongan.
c) ∆ ABC sama sisi.

5) Diketahui: Pada ∆ ABC, AC ≅ AB .
D titik tengah BC .

Buktikan: AD tidak tegak lurus BC

6) Diketahui: AD ⊥ BC , AB ≅ AC .
Buktikan: BD ≅ DC

3.34 Geometri

7) Diketahui: ∠ A dan ∠ B lancip.
Buktikan: ∠ A dan ∠ B tidak suplemen.

8) Misal x, y dan z adalah bilangan riil. Jika x ≠ y, buktikan x + z = y + z.

9) Diketahui: ∠ 1 dan ∠ 4 tidak suplemen

Buktikan: ∠ 2 dan ∠ 3 tidak suplemen

A
10) Diketahui: Dua segitiga

∆ ABC dan ∆ PQR,
AB ≅ PQ, AC ≅ PR ,

dan ∠ A ≅ ∠ P.
Buktikan: BC ≅ QR .

Petunjuk Jawaban Latihan

1) a) Pengandaian: Andaikan ∠ A sudut siku-siku.
Pernyataan kedua: u ∠ A = 90°.

b) Pengandaian: Andaikan ∠ X bukan sudut lancip.
Pernyataan kedua: ∠ X tumpul atau sudut siku-siku.

c) Pengandaian: Andaikan ∆ ABC bukan segitiga sama kaki.
Pernyataan kedua: ∆ ABC tidak mempunyai pasangan sisi yang
kongruen

d) Pengandaian: Andaikan AB ≅ CD .
Pernyataan kedua: uAB < uCD atau uAB > uCD .

a

2) a) p // q dan p ∩ q = φ tidak kontradiksi karena p // q dapat
disimpulkan p tidak beririsan dengan q atau p ∩ q = φ.

b) ∠ A ≅ ∠ B menurut definisi artinya dan u ∠ A = u ∠ B kontradiksi
dengan u ∠ A > u ∠ B.

c) g ⊥ m tidak mungkin g ⊥ m, jadi g ⊥ m dan g ⊥ m kontradiksi.
d) ∠ A sudut lancip artinya u ∠ A < 90o bertentangan dengan

u ∠ A > 90o yang menurut definisi ∠ A sudut tumpul.

PEMA4207/MODUL 3 3.35

e) ∠ A pasangan segaris ∠ B disimpulkan u ∠ A = 180o – u ∠ B, jadi
bila u ∠ A < 90o maka u ∠ B > 90o. Jadi, itu suatu kontradiksi.

a
3) a) ∠ A dan ∠ B suplemen artinya u ∠ A + u ∠ B = 180o. Jadi, dengan

u ∠ A + u ∠ B = 180o. tidak bertentangan.
b) Dari u ∠ A + u ∠ B = 180o, mungkin saja ∠ A dan ∠ B pasangan

segaris, jadi tidak bertentangan.

c) ∠ A dan ∠ B suplemen, jika bila ∠ A lancip maka ∠ B tumpul, bila
∠ A siku-siku mana ∠ B siku-siku, bila ∠ A tumpul maka ∠ B
lancip. Jadi, ∠ A dan ∠ B tidak mungkin dua-duanya lancip.

d) ∠ A dan ∠ B bisa saja sama, yaitu bila ∠ A dan ∠ B siku-siku.

A
4) a) ∠ A dan ∠ B komplemen artinya u ∠ A = 90o – u ∠ B yang

kontradiksi u ∠ A ≠ 90o – u ∠ B, misalnya u ∠ A = 100o dan u ∠ B
= 50o.

b) Garis p dan q tidak berpotongan.

c) ∆ ABC bukan segitiga sama sisi.

5) Bukti:

Pernyataan Alasan
1. Andaikan AD ⊥ BC 1. Pengandaian bukti tak

2. ∠ ADC ≅ ∠ ADB langsung.
2. Karena pengandaian ∠ ADC
3. D titik tengah BC
4. CD ≅ BD dan ∠ ADB siku-siku.
5. AD ≅ AD 3. Diketahui.
6. ∆ ADC ≅ ∆ ADB
7. AC ≅ AB 4. Definisi titik tengah.
8. AC ≅ AB
9. 8 dan 7 kontradiksi, jadi 5. Refleksif.
6. Postulat Si-Su-Si.
haruslah AD tidak tegak 7. BBSKK.
lurus BC .
8. Diketahui.

9. Logika bukti tak langsung.

3.36 Geometri

6) Bukti:

Pernyataan Alasan
1. Andaikan BD ≅ DC
1. Pengandaian bukti tak
2. AD ⊥ BC langsung.
3. ∠ BDA ≅ ∠ ADC
4. AD ≅ AD 2. Diketahui.
5. ∆ ADB ≅ ∆ ADC
3. Definisi tegak lurus.

4. Refleksif.

5. Postulat Si-Su-Si.

6. AB ≅ AC 6. BBSKK.

7. AB ≅ AC 7. Diketahui.

8. 7 dan 6 kontradiksi, jadi 8. Logika bukti tak langsung.

BD ≅ DC .

7) Bukti:

Pernyataan Alasan
1. Andaikan ∠ A dan ∠ B 1. Pengandaian bukti tak

suplemen. langsung.
2. u ∠ A + u ∠ B = 180o 2. Definisi suplemen.
3. u ∠ A < 90o , u ∠ B < 90o
3. Diketahui definisi sudut
4. u ∠ A + u ∠ B < 180o lancip.

5. 2 dan 4 kontradiksi, jadi ∠ A 4. Sifat pengandaian bukti
dan ∠ B tidak suplemen. ketaksamaan.

5. Logika bukti tak langsung.

8) Bukti:
Andaikan x + z = y + z ( pengandaian bukti tak langsung).
Dari x + z = y + z kurangi kedua ruas dengan z, didapat
x + z – z = y + z – z terjadi x = y.
Pada hal diketahui x ≠ y, ini kontradiksi.
Jadi, pengandaian x + z = y + z salah haruslah x + z ≠ y + z.

PEMA4207/MODUL 3 3.37

9) Bukti:

Pernyataan Alasan

1. Andaikan ∠ 2 dan ∠ 3 1. Pengandaian bukti tak
suplemen. langsung.

2. u ∠ 2 + u ∠ 3 = 180o 2. Definisi suplemen.

3. u ∠ 1 = u ∠ 2 dan u ∠ 4 = 3. Sudut bertolak belakang.
u∠3
4. Substitusi.
4. u ∠ 1 + u ∠ 4 = 180o
5. Definisi suplemen.
5. ∠ 1 dan ∠ 4 suplemen 6. Diketahui.
6. ∠ 1 dan ∠ 4 tidak suplemen 7. Logika bukti tak langsung.
7. 5 dan 6 kontradiksi, jadi ∠ 2

dan ∠ 3 tidak suplemen.

10) Bukti:

Pernyataan Alasan

1. Andaikan BC ≅ QR . 1. Pengandaian bukti tak
2. AB ≅ PQ langsung.

2. Diketahui.

3. AC ≅ PR 3. Diketahui.

4. ∆ ABC ≅ ∆ PQR 4. Postulat Si-Si-Si.

5. ∠ A ≅ ∠ P 5. BBSKK.

6. ∠ A ≠ ∠ P 6. Diketahui.

7. 5 dan 7 kontradiksi, jadi 7. Logika bukti tak langsung.

BC ≅ QR .

RANGKUMAN

Prosedur bukti tak langsung dimulai dengan mengandaikan apa
yang harus dibuktikan salah, artinya negasinya apa yang harus
dibuktikan benar. Pengandaian ini digunakan sebagai alat untuk mencari
suatu kontradiksi (bisa berupa dua pernyataan yang saling bertentangan)
bersama dengan definisi, postulat, teorema, atau yang diketahui lainnya.

3.38 Geometri

Bila ditemukan kontradiksi (dalam matematika atau bidang apapun
kontradiksi itu tidak boleh terjadi) artinya dalam proses ada suatu
kesalahan, pada hal kita sudah bekerja dengan benar menggunakan
definisi, teorema, postulat, dan hal-hal yang diketahui, akhirnya kita
menyalahkan langkah awal, yaitu pengandaian, pengandaian yang salah,
jadi haruslah apa yang harus dibuktikan itu yang benar.

TES FORMATIF 3

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!

1) Bila harus dibuktikan p ⊥ g maka pengandaian untuk bukti tak langsung
adalah ....
A. andaikan p sejajar g
B. andaikan p berpotongan dengan g
C. andaikan p tidak tegak lurus g
D. andaikan p bersilangan dengan g

2) Pasangan pernyataan yang kontradiksi adalah ....
A. Amin orang Bandung, Amin orang Jawa Barat.
B. Amin lahir di Bandung, Amin tinggal di Surabaya.
C. Amin lahir di Bandung, dan meninggal di Jakarta.
D. Amin lahir tanggal 30 di suatu bulan Masehi, Amin lahir bulan
Februari.

3) Diyakini bahwa hanya salah seorang di antara A dan B adalah pencuri.
Dilakukan pemeriksaan terhadap B, hasil pemeriksaan diyakini juga
bahwa B bukan pencuri.
A. dapat disimpulkan bahwa pencuri itu A.
B. tidak dapat disimpulkan bahwa pencuri itu A.
C. harus diperiksa juga A.
D. A belum tentu pencuri.

4) Pernyataan yang kontradiksi dengan pernyataan ∠ A dan ∠ B
komplemen adalah ....
A. u ∠ A > 60o, u ∠ B < 30o
B. ∠ A dan ∠ B sudut tumpul
C. ∠ A dan ∠ B lancip
D. u ∠ A = 50o, u ∠ B = 40o

PEMA4207/MODUL 3 3.39

5) Jika AB ≠ CD maka AB + EF ≠ CD + EF. Pengandaian bukti tak
langsung teorema di atas adalah ....
A. Andaikan AB = CD
B. Andaikan AB ≠ CD
C. Andaikan AB + EF = CD + EF
D. Andaikan AB + EF ≠ CD + EF

6) Jika ∠ A ≅ ∠ B maka ∠ A dan ∠ B tidak bertolak belakang. Bukti tak

langsung soal di atas Alasan
A. Pernyataan

1. Andaikan ∠ A dan ∠ B tidak 1. Pengandaian bukti tak

bertolak belakang. langsung.

2. ∠ A ≅ ∠ B 2. ∠ A tidak bertolak
belakang

3. ∠ A ≅ ∠ B 3. Diketahui

4. 2 dan 3 tidak bertolak belakang. 4. Logika bukti tak

Jadi terbukti ∠ A dan ∠ B langsung.

bertolak belakang.

B. Pernyataan Alasan

1. Andaikan ∠ A ≅ ∠ B 1. Pengandaian bukti tak

langsung.

2. ∠ A ≅ ∠ B 2. Diketahui

3. 1 dan 2 kontradiksi. Jadi ∠ A 3. Logika bukti tak

dan ∠ B bertolak belakang. langsung.

C. Pernyataan Alasan

1. Andaikan ∠ A dan ∠ B 1. Pengandaian bukti tak

bertolak belakang. langsung.

2. ∠ A ≅ ∠ B 2. ∠ A dan ∠ B bertolak

belakang.

3. ∠ A ≅ ∠ B 3. Diketahui.

4. 2 dan 3 tidak kontradiksi. Jadi 4. Logika bukti tak

benar ∠ A dan ∠ B tidak langsung.

bertolak belakang.

3.40 Geometri

D. Pernyataan Alasan

1. Andaikan ∠ A ≅ ∠ B. 1. Pengandaian bukti tak
langsung.

2. ∠ A dan ∠ B tidak bertolak 2. Konstruksi teorema.

belakang.

3. 1 dan 2 tidak kontradiksi. Jadi 3. Logika bukti tak

benar ∠ A dan ∠ B tidak langsung.

bertolak belakang.

7) Diketahui: u ∠ A < 45o dan u ∠ B < 45o. Buktikan: ∠ A dan ∠ B tidak

komplemen. Pengandaian untuk bukti tak langsung adalah ....
A. Andaikan u ∠ A < 45o
B. Andaikan u ∠ B > 45o

C. Andaikan ∠ A dan ∠ B komplemen

D. Andaikan ∠ A dan ∠ B tidak komplemen

8) Misal p, q, dan r bilangan. Jika p ≠ q, dengan r ≠ 0. Buktikan pr ≠ qr.
Langkah pertama pembuktian tak langsung adalah ....

A. Andaikan pr ≠ qr dan r ≠ 0
B. Andaikan pr = qr dan r ≠ 0
C. Andaikan p ≠ q dan r ≠ 0
D. Andaikan p = q dan r ≠ 0

9) Yang kontradiksi dengan ∠ DEF bukan siku-siku adalah ....

A. ∠ DEF sudut lancip

B. ∠ DEF sudut tumpul
C. u ∠ DEF adalah 90o
D. u ∠ DEF di antara 60o dan 120o

10) Dua pernyataan ini benar.
1. Umur kakek sekarang sudah lebih dari 80 tahun.
2. Waktu ayah berumur 10 tahun, kakek menyatakan bahwa umurnya
belum 50 tahun, sekarang ayah berumur 45 tahun.
Pernyataan yang tidak menyalahi kedua pernyataan di atas adalah ….
A. umur kakek 74 tahun
B. umur kakek 79 tahun
C. umur kakek 84 tahun
D. umur kakek 89 tahun

PEMA4207/MODUL 3 3.41

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 4 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 4.

Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar ×100%
Jumlah Soal

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 4, terutama bagian yang
belum dikuasai.

3.42 Geometri

Kunci Jawaban Tes Formatif

Tes Formatif 1
1) A. Definisi refleksif.
2) A. Definisi titik tengah.
3) B. Definisi simetri.
4) C. Definisi segitiga sama kaki.
5) B. Karena AB = BC.
6) A. Konsep kongruen 2 segitiga.
7) C. Definisi transitif.
8) C. Definisi transitif.
9) A. Definisi refleksif.
10) C. Konsep sudut.

Tes Formatif 2

1) C. Sesuai definisi.
2) B. Dua sudut yang jumlahnya 180o.

3) B. Sesuai definisi.

4) D. 7 x – 30 + 3x +10 = 180. 10x = 200, x = 20,
∠ XYB = 7 . 20 – 30 = 100o → ∠ AYZ = 110o.

5) C. Sifat sudut dalam dan sudut luar segitiga.

6) D. Definisi.

7) C. Sifat sudut dalam dan sudut luar segitiga.

8) C. 3 ×180o = 90o.
6

9) C. Definisi.

10) A. 4x -10 = 180o → x = 190o = 47, 5o.
4

Tes Formatif 3
1) C. Definisi.
2) D. Jelas.
3) A. Jelas.
4) B. Jumlah sudutnya 90o.
5) C. Jelas.
6) C. Aturan bukti tak langsung.
7) C. Jelas.

PEMA4207/MODUL 3 3.43

8) B. Jelas.
9) C. Jelas.
10) C. Selisih usia ayah dan kakek 45 tahun.

3.44 Geometri

Daftar Pustaka

Clemen, Stanley R., O'Daffer, Phares G., dan Cooney, Thomas J. (1984).
Geometry with Application and Problem Solving. California: Addison-
Wesley Publishing Company.

Wallace, Edward C., dan West, Stephen F. (1998). Roads to Geometry
Second Edition. New York: Prentice Hall Inc. Simon & Schuster/A
Viacom Company.

Moise, Edwin E. (1970). Elementary Geometry from an Advanced
Standpoint. Massachusett: Addisson-Wesley Publishing Company, Inc.

Rawuh. (1993). Geometri Transformasi. Jakarta: Direktorat Jenderal
Pendidikan Tinggi, Proyek Pembinaan Tenaga Kependidikan Pendidikan
Tinggi.

Ulrich, James F., Czarnec, Fred F., dan Guilbault, Dorothy. (1978).
Geometry. Third Ed. New York: Harcourt Brace Jovanovich.

Modul 4

Kesejajaran

Drs. Mohamad Rahmat, M.Pd.

PENDAHULUAN

M odul ini berjudul Kesejajaran, terdiri atas dua kegiatan belajar.
Kegiatan Belajar 1 berjudul Pengertian Dasar dan Teorema Tentang
Kesejajaran; dan Kegiatan Belajar 2 berjudul Postulat Kesejajaran, dan
Teorema Lanjut Tentang Kesejajaran.

Kegiatan Belajar 1 berisi tentang definisi dasar hubungan garis dengan
garis seperti bersilangan, berpotongan, sejajar, transversal serta teorema-
teorema dasar tentang kesejajaran. Selanjutnya dikemukakan postulat
kesejajaran Euclid. Sedangkan pada Kegiatan Belajar 2 berisi tentang
teorema-teorema lanjut tentang kesejajaran.

Tujuan pembelajaran khusus, Anda diharapkan dapat:
1. mengetahui dan menunjukkan istilah/konsep transversal, sudut dalam

berseberangan, sudut luar berseberangan dan sudut sehadap;
2. menggunakan teorema-teorema kesejajaran untuk menunjukkan garis

sejajar, atau sudut kongruen;
3. mengungkapkan dengan kata-kata sendiri postulat paralel;
4. menyadari adanya perbedaan antara postulat kesejajaran geometri

(Euclid) dengan geometri non Euclid;
5. menjelaskan syarat yang cukup untuk menyatakan dua garis sejajar;
6. mengetahui sifat transitif pada kesejajaran dalam garis sejajar.

4.2 Geometri

Kegiatan Belajar 1

Pengertian Dasar dan Teorema Kesejajaran

Definisi Dasar
Definisi 4.1

Dua garis sejajar jika terletak satu bidang dan tidak berpotongan.

Garis g dan m terletak satu bidang.
Definisi 4.2

Garis sejajar bidang jika tidak mempunyai titik persekutuan

Garis g sejajar bidang A
Definisi 4.3

Dua bidang sejajar jika tidak mempunyai titik persekutuan

Bidang A dan bidang B tidak punya titik persekutuan.

PEMA4207/MODUL 4 4.3

Definisi 4.4
Transversal adalah garis yang memotong dua garis koplanar di dua titik.

Sudut dalam: ∠ 1, ∠ 2, ∠ 3, dan ∠ 4.
Sudut luar: ∠ 5, ∠ 6, ∠ 7, dan ∠ 8.

Garis g memotong garis m dan n di dua titik berbeda membentuk sudut-
sudut dalam, dan sudut-sudut luar, g disebut transversal.

Dua garis dipotong transversal membentuk pasangan sudut dengan nama
khusus.
Sudut dalam berseberangan adalah
dua sudut dalam dengan dua titik
sudut berbeda pada sisi berbeda dari
transversal.

Sudut luar berseberangan adalah ∠ 1 dan ∠ 4 adalah sudut dalam
dua sudut luar dengan dua titik sudut berseberangan.
berbeda pada sisi berbeda dari
transversal. ∠ 2 dan ∠ 3 adalah sudut dalam
berseberangan.
Sudut sehadap adalah sudut pada
sisi yang sama dari transversal. Satu ∠ 5 dan ∠ 8 adalah sudut luar
pasangan adalah sudut dalam. Satu berseberangan.
pasang adalah sudut luar.
∠ 6 dan ∠ 7 adalah sudut luar
berseberangan.

Ada 4 pasang sudut sehadap, ∠ 1
dan ∠ 7, ∠ 6 dan ∠ 4, ∠ 5 dan ∠ 3,
dan ∠ 2 dan ∠ 8.

4.4 Geometri

Teorema Garis Sejajar
Sepasang sudut terbentuk oleh sepasang garis dan satu transversal,

penting dalam mengkonstruksi garis sejajar.

Diketahui: ∠ 1 ≅ ∠ 2 Diketahui: ∠ 1 ≅ ∠ 2 Diketahui: ∠ 1 ≅ ∠ 2

Apakah p//q? Apakah p//q? Apakah p//q?

Teorema 4.1
Jika dua garis dipotong oleh transversal dan terbentuk sepasang sudut

yang sehadap kongruen, maka dua garis itu sejajar.

Bukti:
Diketahui: Garis p, q, dan r,
dengan ∠ 1 ≅ ∠ 2

Buktikan: p//q ?

Rencana: Kita gunakan bukti tak
langsung. Andaikan p tidak sejajar q,
maka terdapat segitiga yang
terbentuk, cari kontradiksi.

PEMA4207/MODUL 4 4.5

Pernyataan Alasan

1. Andaikan p tidak sejajar q. 1. Pengandaian bukti tak

langsung.

2. Maka p dan q berpotongan, sebut di C, 2. Pernyataan ulang 1.

dan ∆ ABC terbentuk.

3. ∠ 2 sudut luar ∆ ABC. 3. Definisi sudut luar.

4. ∠ 1 sudut dalam yang berjauhan dari 4. Definisi sudut

∠ 2. berjauhan.
5. m ∠ 2 > m ∠ 1. 5. Teorema sudut luar
6. m ∠ l = m ∠ 2 (bertentangan dengan 6. Diketahui.

5).

7 Jadi p//q. 7. Logika bukti tak

langsung.

Gambar-gambar berikut menghubungkan teorema-teorema di bawah ini.

Teorema 4.2
Jika dua garis dipotong oleh transversal dan terbentuk sudut dalam

berseberangannya kongruen, maka dua garis itu sejajar.

Teorema 4.3
Jika dua garis dipotong oleh transversal dan terbentuk sudut luar

berseberangannya kongruen, maka dua garis itu sejajar.

Teorema 4.4
Jika dua garis dipotong oleh transversal dan terbentuk sudut dalam pada

sisi yang lama dari transversal saling suplemen, maka dua garis itu sejajar.

Postulat Kesejajaran:
Melalui garis g dan titik P tidak pada g, terdapat hanya satu garis yang

melalui P dan sejajar g.