GEOMETRI_clone

PEMA4207/MODUL 7 7.9

c) DB = EC ⇔ DB = EC dengan
AB − DB AC − EC AD AE

menggunakan a) didapat DE // BC .

d) AD = AE ⇔ AD = AC ⇔ AD + DB = AE + EC
AB AC AB AE AD AE

⇔ 1 + DB = EC + 1 ⇔ DB = EC
AD AE AD AE

dengan menggunakan a) didapat DE // BC .

a
5) x = 20 − 8

68
x = 12
68
8x = 72
x = 9.

6) Bukti: ∆ ADE ∼ ∆ ABC

AD = AE
DB EC
DB.AE = AD.EC

DB.AE = AD.EC
AD.AE AD.AE
DB = EC .
AD AE

7) Bukti: ∆ ABC, u ∠ B = 90o, u ∠ A + u ∠ C = 90o
Misal u ∠ A = x maka u ∠ C = 90o – x.
u ∠ A + u ∠ 2 = 90o ⇒ u ∠ 2 = u ∠ C = 90o – x.
u ∠ 3 = 90o – (90o – x) = x = u ∠ A.
Pada ∆ ABC, u ∠ A = x, u ∠ B = 90o, u ∠ C = 90o – x.
Pada ∆ BDC, u ∠ 3 = u ∠ DBC = x = u ∠ A, u ∠ BDC = 90o,
u ∠ BCD = u ∠ C = 90o – x.
Pada ∆ ADB, u ∠ A = x, u ∠ ADB = 90o, u ∠ DBA = u ∠ 2 = 90o – x.

Jadi, ∆ ABC ∼ ∆ BDC ∼ ∆ ADB (Su-Su-Su).

7.10 Geometri

8) Bukti: Perhatikan ∆ ADC dan ∆ BEC.
u ∠ 1 + u ∠ C + u ∠ D = 180o,
dengan ∠ D siku-siku maka
u ∠ C + u ∠ 1 = 90o.
...............(1)

u ∠ 2 + u ∠ C + u ∠ E = 180o, dengan ∠ E siku-siku maka
u ∠ C + u ∠ 2 = 90o. ...............(2)
Dari (1) dan (2) didapat
u∠1≅u∠2
maka ∆ ADC ∼ ∆ BEC (Teorema Kesebangunan Su-Su).
Dari ∆ ADC ∼ ∆ BEC didapat perbandingan AD : AC = BE :
BC atau AD = BE sehingga AD . BC = AC . BE

AC BC

Dengan demikian AD = AC .
BE BC

9) Bukti: Buat garis tinggi CD maka

terdapat tiga segitiga, yaitu

∆ABC, ∆ACD, dan ∆ CBD.
∠CAB ≅ ∠ DAC ≅ ∠DCB;
∠ABC ≅ ∠ ACD sehingga

∆ABC ∼ ∆ACD ∼ ∆CBD.

a

Didapat perbandingan

AB : BC = CB : BD dan AD : AC = AC : AD

BC2 = AB . BD AC2 = AB . AD

a

AC2 = AB . AD

BC2 = AB . BD +

AC2 + BC2 = AB.AD + AB.BD

= AB(AD + DB)

= AB.AB

= AB2.
Jadi, AC2 + BC2 = AB2.

PEMA4207/MODUL 7 7.11

10) Bukti: T titik tengah QR
U titik tengah RS
V titik tengah QS

Sehingga QV : VS = QT : TR, jadi TV // RS
RT : TQ = RU : US, jadi UT // QS
SV : VQ = SU : UR, jadi UV // QR

Karena kesejajaran-kesejajaran tersebut maka:
∠Q≅∠1≅∠2≅∠3
∠R≅∠4≅∠5≅∠6
∠S≅∠7≅∠8≅∠9
Pada ∆UVT

∠ Q ∼ ∠ 3, ∠ R ≅ ∠ 6, dan ∠ S ≅ ∠ 9.
Jadi, ∆QRS ∼ ∆UVT.

RANGKUMAN

Pembagian a : b sebanding dengan c : d, jika a = c .
bd

Untuk mengubah perbandingan dengan yang senilai harus
memperhatikan/memperlakukan sama seperti pada kesamaan.

Jika tiga sudut dari satu segitiga kongruen dengan tiga sudut
segitiga lain maka kedua segitiga sebangun (Su-Su-Su).

TES FORMATIF 1

Pilih satu jawaban yang paling tepat!

1) Jika a = c maka pernyataan berikut ini benar, kecuali ....
bd

A. ad = bc
B. a + b = c + d

bd
C. a + b = c − d

bd

7.12 Geometri

D. a − b = c − d Agar BC // DE maka nilai x ....
bd

2)

A. 6 2
3

B. 9
C. 9 3

5
D. 14

3) Rasio emas (Golden Ratio) adalah bilangan a yang memenuhi 1+ a = 1 .
1a

Golden ratio itu adalah ....
A. −1+ 5

2
B. −1− 5

2
C. 1+ 5

2
D. 1− 5

2

4) Diketahui: ABCD trapesium EF // AB, EF // DC; AE = 1 ; BC = 30.
ED 4

Hitung BF dan FC.
A. BF = 2, FC = 8
B. BF = 3, FC = 12
C. BF = 6, FC = 24
D. BF = 10, FC = 40

PEMA4207/MODUL 7 7.13

5) Diketahui: ∠ 1 ≅ ∠ 2, EB // AD
AB = 10
AC = 15
BC = 18

Carilah: BC dan DC.
A. BD = 10; DC = 5
B. BD = 12; DC = 6
C. BD = 3,6; DC = 5,4
D. BD = 7,2; DC = 10,8

6) Tinggi sebenarnya orang pada gambar adalah 180 cm.
Tinggi pohon kira-kira ....
A. 4 m
B. 6 m
C. 14 m
D. 24 m

a
7) Dari segitiga siku-siku gambar

di samping, panjang CD
adalah ....
A. 4 3
B. 6
C. 6 2
D. 8
a
8) DE // BC . Jika ukuran-ukuran segmen
sebagaimana terlihat, maka BD = ....
A. 12
B. 18
C. 20
D. 50

9) Manakah yang merupakan perbandingan?
A. 12 = 22
13 23

7.14 Geometri

B. 2 = 2 +1
3 3 +1

C. 5 = 5× 3
17 17 × 3

D. 2 = 2
33

10) Dua segi banyak dikatakan sebangun jika terdapat korespondensi antara
titik-titik sudutnya, dan panjang sisi-sisi yang berkorespondensi
sebanding. Pernyataapnetresresgebi puat nsjaalnagh, bisa benar jika kata ”segi banyak”
diganti dengan ....
A. segi empat
B. belah ketupat
C. persegi panjang
D. jajar genjang

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.

Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar ×100%
Jumlah Soal

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang
belum dikuasai.

PEMA4207/MODUL 7 7.15

Kegiatan Belajar 2

Teorema Kesebangunan

POSTULAT KESEBANGUNAN SU-SU-SU
Dalam ∆ABC dan ∆DEF, ∠ A ≅ ∠ D, ∠ B ≅ ∠ E, dan ∠ C ≅ ∠ F.

Amati bahwa
AB = BC = CA = 8 = 7 = 6 = 2
DE EF FD 2 3,5 3

Postulat Kesebangunan Su-Su-Su
Jika tiga sudut dari satu segitiga kongruen dengan tiga sudut segitiga

lain, maka segitiga-segitiga itu sebangun.

Teorema berikut menentukan metode sederhana menunjukkan dua
segitiga sebangun.

Teorema 7.8
Teorema Kesebangunan Su-Su. Jika dua sudut dari satu segitiga

kongruen dengan dua sudut segitiga lain, maka segitiga itu sebangun.

Bukti:
Diketahui: ∆ABC dan ∆DEF dengan ∠ A ≅ ∠ D, ∠ B ≅ ∠ E.
Buktikan: ∆ABC sebangun ∆DEF.

7.16 Geometri

Pernyataan Alasan
1. Diketahui
1. ∠ A ≅ ∠ D 2. Diketahui
2. ∠ A ≅ ∠ D 3. Karena (1) dan (2)
3. ∠ A ≅ ∠ D 4. Kesebangunan Su-Su-Su

4. ∆ ABC ∼ ∆ DEF

Teorema 7.9
Dua segitiga siku-siku sebangun jika satu sudut lancip dari satu segitiga

kongruen dengan satu sudut lancip dari segitiga lainnya.

Rata-rata Geometri
Bilangan x adalah rata-rata geometri antara bilangan a dan b jika a = x
xb

x ≠ 0, b ≠ 0.

Contoh
Bilangan 8 adalah rata-rata geometri antara 4 dan 16, karena 4 = 8 .
8 16

Kesebangunan Segitiga Siku-siku

Teorema 7.10
Pada segitiga siku-siku, panjang garis tinggi ke sisi miring adalah rata-

rata geometri antara panjang dua segmen bagian dari sisi miring.

Bukti
Diketahui: ∆ ABC dengan ∠ C sudut siku-siku, CD adalah tinggi dari

titik C ke BA .

Buktikan: AD = DC .
DC DB

PEMA4207/MODUL 7 7.17

Bukti: Alasan
Pernyataan
1. CD garis tinggi
1. ∠ ADC sudut siku-siku 2. Pelurus ∠ ADC
3. Diketahui
2. ∠ BDC sudut siku-siku 4. Jumlahnya 90°
3. ∠ C sudut siku-siku 5. Jumlahnya 90°
4. ∠ BCD komplemen ∠ ACD 6. 90° − u ∠ B
5. ∠ CAD komplemen ∠ ACD 7. Karena alasan 6
6. ∠ BCD ≅ ∠ CAD 8. Bagian berkoresponden dari segitiga
7. ∆ADC ∼ ∆CDB
8. AD = DC sebangun adalah proporsional

DC DB

Teorema 7.11
Diketahui segitiga siku-siku dan garis tinggi ke sisi miring, masing-

masing sisi siku-siku adalah rata-rata geometri antara panjang sisi miring
dengan panjang segmen dari sisi miring.

Teorema Kesebangunan Si-Si-Si dan Si-Su-Si
Ketika dua segitiga dengan panjang sisinya proporsional (sebanding),

ternyata sudut-sudut yang berkoresponden kongruen.

Teorema 7.12
Teorema Kesebangunan Si-Si-Si. Jika tiga sisi dari satu segitiga

proposional dengan tiga sisi dari segitiga lain maka segitiga itu sebangun.

7.18 Geometri

Dua segitiga ini terkonstruksi sehingga DE = EF dan ∠ E ≅ ∠ H .
GH HI

Kondisi ini mengakibatkan ∠ F ≅ ∠ I, ∠ D ≅ ∠ G.

Teorema 7.13
Teorema Kesebangunan Si-Su-Si. Jika dua segitiga mempunyai satu

sudut dari satu segitiga kongruen dengan sudut dari segitiga lain, dan jika
sisi-sisi yang berkoresponden yang mengapit sudut itu proporsional
(sebanding), maka segitiga itu sebangun.

Perbandingan Trigonometri
Gambar berikut ini, ∆ABC ∼ ∆AED ∼ ∆AGF ∼ ∆AIH, rasio sisi-sisi

berkoresponden adalah sama.

Definisi 7.4 Rasio BC/AB,
Tangen segitiga DE/AE, FG/AG, dan
HI/AI adalah sama,
sudut lancip (pada siku- rasio ini mengaitkan
siku) adalah ∠A yang diberi
panjang sisi dihadapan nama tangen dari
sudut A, disingkat
panjang sisi berbatasan dengan tan A.

PEMA4207/MODUL 7 7.19

Definisi 7.5 Rasio BC/AC,
Sinus sudut lancip DE/AD, FG/AF,
dan HI/AH adalah
(pada segitiga siku-siku) sama. Rasio ini
adalah: mengaitkan ∠A
panjang sisi dihadapan yang diberi nama
sinus dari sudut A,
panjang hipotenusa disingkat dengan sin
A.
Definisi 7.6 Rasio AB/AC,
Sinus sudut lancip AE/AD AG/AF, dan
AI/AH adalah sama,
(pada segitiga siku-siku) Rasio ini
adalah: mengaitkan ∠A
panjang sisi berbatasan yang diberi nama
cosinus dari sudut
panjang hipotenusa A, disingkat dengan
cos A.

Perbandingan Trigonometri Segitiga Istimewa

Panjang sisi-sisi segitiga 45°-45°-90° Panjang sisi-sisi segitiga 30°-60°-90°
mempunyai perbandingan 1:1: 2. mempunyai perbandingan 1: 3 : 2.

7.20 Geometri

sin 45o = 1 . 2 = 2 = 1 2. sin 30o = 1 .
22 2 2 2

cos 45o = 1 . 2 = 2 =1 2. cos 30o = 3 = 1 3.
22 22 22

tg45o = 1 = 1. 1 1 =1 3.
1 tg30o = 2 = 33

13
2

sin 60o = 3 = 1 3.
22

cos 60o = 1
.
2

tg60o = 3 = 3.
1

Tabel berikut memperlihatkan Perbandingan Trigonometri Sudut
Istimewa.

Sudut 30o 45o 60o 90o
Fungsi

tan 13 1 3 Tak terdefinisi
3

sin 1 12 13 1
22 2

cos 13 12 1 0

22 2

PEMA4207/MODUL 7 7.21

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!

1) Konstruksi segitiga siku-siku yang sebangun dengan
∆ABC dengan sisi siku-siku 2 2 .

a
2) Diketahui: ∠ RST, ∠ 1, dan ∠ 2 sudut siku-siku.

Buktikan: a. ∆ RSU ∼ ∆ RTS
b. ∆ UVT ∼∆RUS

a
3) Tuliskan nama-nama segitiga yang sebangun

dari gambar di samping.

a
4) Diketahui: ABCD trapesium

Buktikan: AE. DE = BE . CE
a
5) Buatlah gambar untuk pernyataan salah berikut.

Jika dua sisi satu segitiga sebanding dengan dua sisi pada segitiga lain,
dan satu sudut dari segitiga pertama kongruen dengan satu sudut pada
segitiga kedua, maka kedua segitiga itu sebangun.

6) Berapakah

sin A cos A tan A
sin B cos B
sin C cos C tan C

7) Diketahui: u ∠ A = 30o, carilah:
a) 2 sin A; 2 sin A cos A; sin 2A.
b) 2 cos A; 1 – 2 (sin A)2; cos 2A.

7.22 Geometri

c) tan 2A; 2 tan A; 2 tan A .

1− ( tan A)2

8) Diketahui: AFDB persegi panjang dan
AD ⊥ CE .

Tunjukkan luas dari
AFDB = BC.BA.AF.FE .

9) Sepasang penggaris segitiga (penggaris 45o – 45o – 90o dan penggaris
30o – 60o – 90o) ukurannya tertentu, yaitu panjang sisi miring penggaris
45o – 45o – 90o sama dengan panjang sisi siku-siku yang lebih panjang.
Jika panjang sisi yang sama 40 cm. Hitung panjang sisi lainnya.

10) Berdasarkan gambar di samping. Jika AB
= 10, hitung keliling ABCD.

Petunjuk Jawaban Latihan

1) Untuk mengkonstruksi segitiga itu diperlukan

segmen dengan panjang 2 2 , untuk keperluan

ini digunakan sisi miring AC , karena memuat

teorema Pythagoras
AC2 = BC2 + BA2 = 22 + 22 = 8 , didapat

AC = 8 = 2 2. ∆ACD ∼ ∆ABC

Banyak cara untuk menempatkan hasil dengan sisi siku-siku

konstruksi itu, yang mudah, langsung saja AC AC = 2 2 .

dijadikan salah satu sisi siku-siku.

a

PEMA4207/MODUL 7 7.23

2) Bukti

a) Pernyataan Alasan

1. ∠ URS ≅ ∠ SRT 1. Refleksif

2. ∠ SUR ≅ ∠ TSR 2. Sama-sama sudut siku-siku

3. ∆ RSU ∼ ∆ RTS 3. Teorema Kesebangunan Su-Su

b) Pernyataan Alasan

1. ∠ UVT ≅ ∠ RUS 1. ∠ 1 ≅ ∠ 2 diketahui siku-siku
2. ∠ VTU ≅ ∠ USR 2. 180o – u ∠ R – 90o

3. ∆ UVT ∼ ∆ RUS 3. Su-Su

a

3) Tergambar 5 segitiga, dan semuanya

sebangun, yaitu ∆ABC ∼ ∆BDC ∼

∆DEC ∼ ∆ADB ∼ ∆BED.

Lihat sudut-sudut yang kongruen:

∠1≅∠4≅∠6

∠2≅∠3≅∠5

Gunakan Teorema Kesebangunan Su-

Su.

4) Bukti: ∠ 1 ≅ ∠ 2 (dalam berseberangan)
∠ 3 ≅ ∠ 4 (dalam berseberangan)
∠ 5 ≅ ∠ 6 (bertolak belakang)

∆ABE ∼ ∆CDE (Postulat Kesebangunan).
Dari ∆ABE ∼ ∆CDE di antaranya didapat perbandingan
AE : BE = CE : DE, dari perbandingan ini didapat

AE . DE = BE . CE.

5) Jelas gambar di bawah ini tidak sebangun.

7.24 Geometri

6) Untuk dapat menjawabnya semua pertanyaan, perlu dicari panjang dari
AC, dengan menggunakan teorema Pythagoras
AC2 = 152 + 82
= 225 + 64
= 289

AC = 289 = 17.
sin A = 8 ; cos A = 15 ; tan A = 8

17 17 15
sin B = 1; cos B = 0

sin C = 15 ; cos C = 8 ; tan C = 15
17 17 8

7) u ∠ A = 30o maka sin A = sin 30o = 1 .
2

a) 2 sin A = 2 . 1 = 1.
2

2 sin A cos A = 2 . sin 30o cos A = 2 . 1 . 1 3=1 3
22 2

Sin 2A = sin 2 . 30o = sin 60o = 1 3 .
2

b) 2 cos A = 2 cos 30o = 2 . 1 3 = 3 .
2

1− 2(sin A)2 = 1− 2(sin 30o )2 = 1 − 2  1 2 = 1− 2. 1 =1− 1 = 1.
 2  4 2 2

cos 2A = cos 2 . 30o = cos 60o = 1 .
2

c) tan 2A = tan 2 . 30o = tan 60o = 3 .

2 tan A = 2 tan 30o = 2 . 1 3 = 2 3 .
33

= 2.tan 30o 2. 1 3
1− tan 30o 3
2 tan A = 2
2
( ) ( )1− (tan A)2 1− 1 3
3

= 2 3 = 2 3 = 2 3 = 3.
3 3 3
2
1− 1 .3 1 − 1 3
9 3

PEMA4207/MODUL 7 7.25

8) Luas persegi panjang AFDB = BD . FD = BD2 .FD2 .
Dengan menggunakan teorema bahwa garis tinggi terhadap hipotenusa
(sisi miring) adalah rata-rata geometri dari dua segmen pada sisi miring.
Jadi BD2 = AB . BC dan DF2 = AF . FE, dengan mensubstitusikan ini ke
luas persegi panjang AFDB
= BD2 .FD2
= AB.BC.AF.FE
= BC.BA.AF.FE

9) AC = 40 cm, misal CD = x, maka AC = x 2 .
x 2 = 40, maka x = 40 2 = 20 2 .
22
Jadi, CD = AD = 20 2 .

AC = 40, misal AB = y, maka BC = 2y

AC = y 3 = 40, maka y = 40 3 = 40 3 = 13 1 3 .
33 3 3

Jadi, AB = 13 1 3 dan BC = 26 2 3.
33

a
10) AB = 10

BD = AB2 + AD2

= 102 +102

= 2.100

= 10 2.

DC = 2.10 2 = 20 2
BC = DC2 − BD2

= 800 − 200
= 600 = 10 6.

7.26 Geometri

Jadi, keliling ABCD = AB + BC + CD + AD
= 10 +10 6 + 20 2 +10
= 20 +10 6 + 20 2.

RANGKUMAN

Jika tiga sudut dari satu segitiga kongruen dengan tiga sudut
segitiga lain, maka segitiga-segitiga itu sebangun Postulat Su – Su).

Jika tiga sudut dari satu segitiga kongruen dengan dua sudut segitiga
lain, maka segitiga-segitiga itu sebangun Postulat Su – Su).

Dua segitiga siku-siku sebangun jika satu sudut lancip dari satu
segitiga kongruen dengan satu sudut lancip dari segitiga lainnya.

Pada segitiga siku-siku, panjang garis tinggi ke sisi miring adalah
rata-rata geometri antara panjang dua segmen bagian dari sisi miring.

Jika tiga sisi dari satu segitiga proporsional dengan tiga sisi dari
segitiga yang lain, maka kedua segitiga sebangun (Teorema Si-Si-Si).

Jika dua segitiga mempunyai satu sudut dari satu segitiga kongruen
dengan sudut dari segitiga lain, dan jika sisi-sisi yang berkoresponden
yang mengapit sudut itu proporsional, maka dua segitiga itu sebangun.

TES FORMATIF 2

Pilih satu jawaban yang paling tepat!

1) Tentukan x dari gambar di samping.
A. 6
B. 6 1
4
C. 7
D. 16 2
3

a
2) I Semua segitiga sama kaki yang mempunyai sudut puncak

kongruen, sebangun.
II Semua segitiga siku-siku sebangun.
A. I saja yang betul
B. II saja yang betul

PEMA4207/MODUL 7 7.27

C. I dan II betul
D. I dan II salah

3) Diketahui: u ∠ 1 ≅ ∠ 2. Untuk
menyatakan bahwa ∆ABE ∼ ∆CBD
perlu dinyatakan ....

A. ∠ ABE ≅ ∠ CBD dengan alasan dalam berseberangan
B. ∠ AEB ≅ ∠ CDB dengan alasan bertolak belakang
C. ∠ ABE ≅ ∠ CDB dengan alasan bertolak belakang
D. AB : BC = EB : BD

4) Pada gambar di samping dapat
dinyatakan bahwa ....
A. AC . CB = BE . AD
B. BC . AC = AD . BE
C. AD . BC = AC . BE
D. AC . BC = AB . AC

A
5) Pada gambar di samping, AB = 4, AC = 11.

Tentukan AD !
CE

A. 4
11

B. 4
7

C. 7
11

D. 7
4

6) Sudut A lancip pada segitiga siku-siku dan cos A = 15 .
17

Nilai sin A dan tan A berturut-turut adalah ....
A. 8 dan 15

17 17

7.28 Geometri

B. 8 dan 8
15 17
88

C. dan
17 15

D. 15 dan 15
17 8

7) Segi empat JITU adalah trapesium sama
kaki, JU = IT = 10, u ∠ ITU = 45o.
Berapakah tinggi trapesium JITU?
A. 5
B. 5 2
C. 5 3
D. 10

8) Persegi panjang ASIK mempunyai panjang tiga kali
lebarnya. Berapakah nilai sin ∠ IAS?
A. 1 10
10
B. 1
3
C. 3 10
10
D. 1
9

9) Pada gambar di samping. Bila y = 16. Maka
x = ….
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12

PEMA4207/MODUL 7 7.29

10) Pada gambar di samping. Jika
OA = 1 maka OG = ....
A. 4
B. 4 2
C. 8
D. 8 2

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.

Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar
× 100%
Jumlah Soal

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang
belum dikuasai.

7.30 Geometri

Kunci Jawaban Tes Formatif

Tes Formatif 1
1) C.
2) C. x : 6 = 8 : 5 → x = 9 3 .

5

3) A. a (1 + a) =1→ a2 + a −1 = 0 → a1,2 = −1 ± 1+ 4 ;
2

a > 0 → a = −1+ 5
2

4) C. BF = AE = 1 → BF = 1 (30) = 6; FC = 4 (30) = 24.
FC ED 4 5 5

5) D. ∠ ABE = ∠ 1, ∠AEB = ∠ 2, ∠ 1 = ∠ 2, AB = AE = 10.
AE : AC = BD : DC

10 :15 = x : (18 − x)

15x = 10(18 − x)

15x = 180 −10x

25x = 180

x = 7, 2 → BD = 7, 2, DC = 10,8.

6) C. 1 : 8 = 1,8 : x → x = 14,4.
7) D. BD : CD = CD : AD → CD2 = BD . AD

CD2 = 16.4 → CD = 64 = 8.

8) C. AD : AB = DE : BC
30 : (30 + BD) = 24 : 40

9) C. 24 BD + 720 = 1200
10) C. 24 BD = 480 → 20.
5(17 × 3) = 17 (5 × 3)

Tes Formatif 2
1) B. 5 : (5 + 3) = x : 10

5 : 8 = x : 10 → x = 50 = 6 1 .
84

2) A.

PEMA4207/MODUL 7 7.31

3) C.

4) C. ∆ADC ∼ ∆BEC

AD : AC = BE : BC

∴ AD . BC = AC . BE.

5) B. BC = AC – AB = 11 – 4 = 7

AD : AB = CE : BC

AD : 4 = CE : 7

AD = 4 .
CE 7

6) C. cos A = 15
17

8
sin A =

17

tan A = 8
15

7) B. JH = tinggi trapesium
JH = 1 IT 2 = 5 2.

2

8) A. Misal IS = x
AS = 3 IS = 3x

IA = ( x)2 + (3x)2 = x 10

sin ∠ IAS = IS = x = 1 10 .
IA x 10 10

9) A. 16 : x = x : x → x = 4.
10) C. Dari gambar kita tahu bahwa

OG2 = 2OF2 ; OF2 = 2OE2 ; OE2 = 2OD2 ; OD2 = 2OC2 ;
OC2 = 2OB2; OB2 = 2OA2 = 2.

∴ OB2 = 2; OC2 = 2(2) = 4; OD2 = 2(4) = 8; OE2 = 2(8) = 16;
OF2 = 2(16) = 32; OG2 = 2(32) = 64; OG = 8.

7.32 Geometri

Daftar Pustaka

Clemen, Stanley R., O'Daffer, Phares G., dan Cooney, Thomas J. (1984).
Geometry with Application and Problem Solving. California: Addison-
Wesley Publishing Company.

Wallace, Edward C., dan West, Stephen F. (1998). Roads to Geometry
Second Edition. New York: Prentice Hall Inc. Simon & Schuster/A
Viacom Company.

Moise, Edwin E. (1970). Elementary Geometry from an Advanced
Standpoint. Massachusett: Addisson-Wesley Publishing Company, Inc.

Rawuh. (1993). Geometri Transformasi. Jakarta: Direktorat Jenderal
Pendidikan Tinggi, Proyek Pembinaan Tenaga Kependidikan Pendidikan
Tinggi.

Ulrich, James F., Czarnec, Fred F., dan Guilbault, Dorothy. (1978).
Geometry. Third Ed. New York: Harcourt Brace Jovanovich.

Modul 8

Lingkaran

Drs. Mohamad Rahmat, M.Pd.

PENDAHULUAN

M odul ini berjudul Lingkaran, berisi 2 kegiatan belajar. Kegiatan Belajar
1 berisi tentang pengertian dasar/istilah yang ada pada lingkaran,
ukuran derajat busur (besar/kecil) berikut notasi-notasinya, teorema dasar
tentang lingkaran.

Kegiatan Belajar 2 membahas tentang garis singgung lingkaran dan
relasi lain antara garis dan lingkaran, seperti terbentuknya sudut karena garis
yang berelasi dengan lingkaran.

Secara khusus Anda diharapkan dapat:
1. menunjukkan objek/istilah pada lingkaran;
2. membuktikan teorema tentang tali busur kongruen memiliki busur

kongruen di atas konversnya;
3. membuktikan tali busur kongruen mengapit jarak yang sama, juga

membuktikan konversnya;
4. memiliki prosedur mencari pusat lingkaran;
5. membuktikan garis singgung tegak lurus dengan jari-jari yang melalui

titik singgung;
6. menentukan panjang segmen singgung dari titik di luar lingkaran;
7. mengkonstruksi/melukis garis singgung dari titik di luar lingkaran;
8. menentukan besar sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang

berpotongan di dalam lingkaran jika ukuran besar busur dihadapan sudut
yang terbentuk diketahui;
9. menyelesaikan masalah aplikatif sehari-hari dengan menggunakan
teorema tentang garis singgung.

8.2 Geometri

Kegiatan Belajar 1

Pengertian-pengertian

DEFINISI DASAR

Sudah kita ketahui lingkaran adalah himpunan (semua) titik-titik pada
bidang yang berjarak sama terhadap titik tertentu.

Definisi 8.1

Jari-jari lingkaran adalah segmen yang ujung-
ujungnya pusat dan satu titik pada lingkaran. A
adalah pusat lingkaran, B titik pada lingkaran,
AB adalah jari-jari lingkaran.
Setiap titik pada lingkaran merupakan ujung
dari suatu jari-jari.

Definisi 8.2

Tali busur lingkaran segmen yang ujung-
ujungnya pada lingkaran.
CD adalah tali busur lingkaran. Tiap dua titik
pada lingkaran menentukan tali busur lingkaran.

Definisi 8.3

Diameter (garis tengah) lingkaran adalah tali
busur yang memuat pusat lingkaran.
GH adalah diameter lingkaran. Setiap dua titik
pada lingkaran yang kolinier dengan pusat
lingkaran menentukan diameter lingkaran.

PEMA4207/MODUL 8 8.3

Jari-jari, tali busur, dan diameter adalah segmen yang berhubungan
dengan lingkaran.

Definisi berikut tentang garis dan sudut yang berhubungan dengan
lingkaran.

Definisi 8.4

Garis singgung terhadap lingkaran adalah
garis yang memotong lingkaran tepat satu
titik.
Garis g adalah garis singgung lingkaran.
Titik B adalah titik singgung.

Definisi 8.5 Garis potong lingkaran adalah garis yang
Definisi 8.6 memotong lingkaran tepat di dua titik.
Definisi 8.7 Garis m memotong lingkaran tepat di dua
titik D dan E, m garis potong lingkaran.

Sudut keliling adalah sudut dengan titik
sudutnya titik pada lingkaran, kaki sudutnya
memuat tali busur lingkaran.
H titik sudut dari ∠ GHI, H pada lingkaran.
∠ GHI susut keliling.

Sudut pusat adalah sudut dengan titik
sudutnya pada pusat lingkaran,
A pusat lingkaran, A titik sudut dari ∠ KAJ.
∠ KAJ sudut pusat lingkaran.

8.4 Geometri
Simbol dari busur LM ditulis dengan LM .

Ukuran Derajat Busur Busur kecil (minor arc) adalah
Definisi 8.8 busur yang berada pada interior
sudut pusat. Bagian busur
Definisi 8.9 lainnya disebut busur besar
(major arc).
Bila dua titik dipilih (tetapi
bukan ujung diameter) maka
dapat ditentukan dua busur, yang
satu busur kecil yang lainnya
busur besar.
Untuk membedakan notasi busur
kecil dengan busur besar

digunakan notasi AB untuk
busur kecil yang ujung-ujungnya
A dan B (kurung dari setengah

lingkaran) dan ACB untuk

busur besar yang ujung-ujungnya
A dan B serta busur itu memuat
titik C.

Ukuran dari busur kecil adalah
ukuran sudut pusat yang
menghadapinya. Ukuran busur
besar adalah 360° dikurangi
ukuran sudut pusat busur kecil.

PEMA4207/MODUL 8 8.5

u ∠ AOB = 50° maka u AB =
50°, sedangkan

u ACB = 360° - 50° = 310°.

Definisi 8.10 Jika dua busur dari satu
Definisi 8.11 lingkaran mempunyai ukuran
sama maka kedua busur itu
saling kongruen.
Jika AB kongruen CD ditulis
dengan AB ≅ CD

AB dan CD pada satu
lingkaran mempunyai ukuran
sama yaitu 70° dan 70°, jadi
AB ≅ CD

Dua lingkaran disebut kongruen
jika mempunyai panjang jari-jari
yang sama.
Panjang jari-jari sama, kedua
lingkaran kongruen.

Bagaimana jika ada dua tali busur kongruen pada satu lingkaran (atau ada
pada dua lingkaran yang kongruen) apakah busur-busurnya kongruen?

AB ≅ CD apakah AB ≅ CD PQ ≅ST , apakah PQ ≅ ST

8.6 Geometri

Teorema 8.1
Pada suatu lingkaran kongruen, jika tali busur kongruen maka busurnya

juga kongruen.

Teorema 8.2
Pada satu lingkaran atau pada lingkaran kongruen jika busur kongruen

maka tali busur juga kongruen.

Bukti Teorema 8.1
Gunakan postulat kongruensi Si-Si-Si, kemudian BBSKK, selanjutnya

sudut pusatnya kongruen.

Bukti Teorema 8.2
Jika busur kongruen maka sudut pusat kongruen selanjutnya gunakan

postulat Si-Si-Si, kemudian BBSKK.

Tali Busur Kongruen dan Jaraknya ke Pusat

Dua tali busur kongruen pada satu lingkaran apakah jaraknya sama ke
pusat?

Ini benar, dan dituangkan dalam teorema berikut.
Teorema 8.3

Pada satu lingkaran atau pada lingkaran yang kongruen, tali busur yang
kongruen berjarak sama ke pusat.

Buktinya sebagai berikut.
Diketahui: Lingkaran dengan pusat O, AB ≅ CD ,

OM ⊥ AB, OL ⊥ CD .
Buktikan: OM = OL.

PEMA4207/MODUL 8 8.7

Bukti: Alasan
1. Diketahui
a 2. Definisi lingkaran
3. Postulat Si-Si-Si
Pernyataan 4. BBSKK
1. AB ≅ CD 5. Diketahui
2. OA ≅ OB ≅ OC ≅ OD
3. ∆ OAB ≅ ∆ OCD 6. Garis tegak lurus membentuk
4. ∠ 1 ≅ ∠ 2 sudut siku-siku kongruen
5. OM ⊥ AB, OL ⊥ CD
6. ∠ OMB ≅ ∠ OLD, ∠ OMB dan 7. Definisi segitiga siku-siku

∠ OLD siku-siku 8. Teorema kongruensi sisi miring
7. ∆ OMB dan ∆ OLD segitiga – sisi siku-siku

siku-siku 9. BBSKK
8. ∆ OMB ≅ ∆ OLD
10. Definisi segmen kongruen
9. OM ≅ OL
10. OM = OL

Konvers dari Teorema 3 juga berlaku.

Teorema 8.4
Pada satu lingkaran atau pada lingkaran yang kongruen tali busur yang

berjarak sama ke pusat kongruen.

Sumbu Tali Busur
Pernahkan Anda menemukan lingkaran, tetapi tidak ada pusatnya?

Bagaimana mencari pusatnya?

Buat dua tali busur yang tidak sejajar, kemudian buat sumbu tali busur
tersebut, sumbu-sumbu itu berpotongan pada pusat lingkaran.

8.8 Geometri

Teorema 8.5
Sumbu tali busur memuat pusat lingkaran.

Bukti sebagai berikut.

Diketahui: AB tali busur lingkaran dengan pusat O,
garis m sumbu tali busur AB .

Buktikan: O titik pada garis m

Bukti: Alasan
1. Diketahui
Pernyataan 2. Jari-jari
1. Garis m sumbu dari AB 3. Teorema
2. OA = OB
3. O pada m

Teorema 8.6
Jika satu garis melalui pusat lingkaran tegak lurus pada tali busur yang

bukan diameter maka garis tersebut membagi dua (sama) tali busur tersebut
dan busur kecilnya.

Teorema 8.7
Jika satu garis melalui pusat lingkaran membagi dua (sama) tali busur

yang bukan diameter maka garis itu tegak lurus terhadap tali busur.

PEMA4207/MODUL 8 8.9

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!

1) a) Sebutkan semua tali busur pada gambar di
samping.

b) Sebutkan diameternya.
c) Sebutkan paling sedikit 4 busur.
d) Sebutkan semua jari-jari.
a
2) Sebutkan semua sudut keliling (tidak perlu kaki
sudut berupa minor).

3) a) Tentukan ukuran derajat:
(1) uAB (2) u ∠BOC
(3) uBD (4) u ∠COG
(5) uDF (6) uEG
(7) uECG

b) Sebutkan busur kecil yang memuat titik C.
c) Sebutkan 3 pasang busur kecil yang kongruen.
d) Sebutkan pasangan busur besar yang kongruen.

4) Buktikan Teorema 1

5) Diketahui: AB dan CD diameter
Buktikan: 1. AC ≅ BD dan
2. AD ≅ BC

A

8.10 Geometri

6) Diketahui: AB , BC , dan CA berjarak sama ke
titik O.

Buktikan: ∆ ABC segitiga sama sisi.

7) Diketahui: Lingkaran dengan pusat O berjari-jari
4 cm. OX ⊥ PQ
PQ berjarak 1 cm dari pusat.

Tentukan: PQ

a
8) Carilah pusat lingkaran berikut yang tergambar

hanya sebagian.

9) Lingkaran dengan pusat O mempunyai jari-jari 10 cm. Tali busur AB
dan CD berpotongan tegak lurus di titik F di dalam lingkaran. Jika
AB = 16 dan CD = 18. Tentukan DF.

10) Dua tali busur pada satu lingkaran mempunyai panjang yang sama.
Jarak-jaraknya dapat dinyatakan sebagai x2 dan 4x. Berapa jarak masing-
masing tali busur ke pusat lingkaran?

Petunjuk Jawaban Latihan

1) a) AE, BC, AD (tali busur yang merupakan diameter)
b) AD
c) AE, AB, BC, CD, DE, AC, BD, CD, CE
d) OA, OB, OC, OD, OE

2) Sudut keliling adalah sudut yang titik sudutnya terletak pada lingkaran,
yang memenuhi batasan ini adalah ∠ CAD, ∠ ADC, ∠ACD, ∠ ADB,
∠ CDB.

PEMA4207/MODUL 8 8.11

3) a) (1) uAB = 20° (2) u ∠BOC = 90° – 20° – 60° = 10°

(3) uBD = 10° + 60° = 70° (4) u ∠COG = 60° + 40° + 30° + 20° =
150°

(5) uDF = 40° + 30° = 70° (6) uEG = 30°+ 20° = 50°

(7) uECG = 360° – 50° = 310°

b) BD, AD, EB, AE, AF, BG

c) AB ≅ FG, AC ≅ EF, DF ≅ BD, AD ≅ DG

d) BAG ≅ FGA, DAG ≅ DGA, AGB ≅ FAG .

4) Teorema 8.1. Pada satu lingkaran atau pada lingkaran kongruen jika tali
busur kongruen maka busurnya juga kongruen.
Bukti:
Diketahui: AB dan PQ tali busur dengan

AB ≅ PQ .

Buktikan: AB ≅ PQ
Bukti:

Pernyataan Alasan
1. Buat OA, OB, OP, dan OQ 1. Konstruksi

2. OA ≅ OP , OB ≅ OQ 2. Jari-jari lingkaran
3. AB ≅ PQ
4. ∆AOB ≅ ∆POQ 3. Diketahui
5. ∠AOB ≅ ∠POQ
6. AB ≅ PQ 4. Postulat Si-Si-Si
5. BBSKK
6. Definisi kongruensi busur

5) Bukti Alasan
Pernyataan 1. Jari-jari lingkaran

1. AO ≅ CD, DO ≅ BO 2. Sudut pusat
2. ∠AOC ≅ ∠COB 3. Si-Si-Su
3. ∆AOC ≅ ∆COB 4. BBSKK
4. AC ≅ BD
5. ∠AOD ≅ ∠COB 5. Sudut pusat

8.12 Geometri

Pernyataan Alasan
6. ∆AOD ≅ ∆COB 6. Si-Si-Su
7. AD ≅ BC 7. BBSKK

6) Bukti: Alasan
Pernyataan 1. Berjarak sama
1. OD ≅ OE ≅ OF
2. AO ≅ BO ≅ CO 2. Jari-jari
3. OD ⊥ AC, OE ⊥ AB, OF ⊥ BC
4. Terbentuk 6 segitiga 3. Dibuat tegak lurus
5. ∆AOD, ∆AOE, ∆BOE, ∆BOF, ∆COF,
dan ∆COD saling kongruen 4. Dibuat
5. Sisi miring dan sisi
6. AE = EB = BF = FC = CD = DA
7. AB = BC = CA siku-siku pada
segitiga siku-siku
6. BBSKK
7. Penjumlahan segmen

7) OP = 4 (jari-jari)
YO = 1 (jarak PQ ke O)

Y titik tengah PQ (Teorema 6)
Kemudian dengan Teorema Pythagoras
PY2 = OP2 − YO2

= 42 −12
= 15

PY = 15
Karena Y titik tengah PQ , jadi PQ = 2× 15 = 2 15.

8) Buat 2 tali busur, kemudian buat sumbu-
sumbunya. Sumbu-sumbu itu berpotongan
pada pusat lingkaran.

PEMA4207/MODUL 8 8.13

9) Gambar lingkaran dan lainnya sesuai dengan uraian soal. Carilah jarak O
ke AB , yaitu OS.
OS2 = OA2 − AS2 (S tengah - tengah AB)
= 102 − 82
= 36
OS = 36.
T tengah-tengah CD, TF = 6

DF = CD − CT − TF
= 18 − 9 − 6 = 3

Bila letak C dan D kita tukar maka
DF = DT + TF = 9 + 6 = 15
Jadi, DF = 3 atau DF = 15.

10) Karena tali busur sama panjang maka jarak ke pusat lingkaran adalah
sama masing-masing dinyatakan dengan x2 dan 4x.
Jadi x2 = 4x
x2 − 4x = 0

x(x −4) = 0

x1 = 0
x2 = 4
Jadi, jarak tali busur O, bila tali busur itu diameter atau jarak tali busur 4
dengan syarat jari-jari lingkaran lebih dari 4.

RANGKUMAN

Pada satu lingkaran atau pada lingkaran yang kongruen, tali busur
yang kongruen mempunyai busur yang kongruen.

Pada satu lingkaran atau pada lingkaran yang kongruen, busur kecil
kongruen mempunyai tali busur yang kongruen.

Pada satu lingkaran yang sama atau pada lingkaran yang kongruen,
tali busur kongruen mempunyai jarak yang sama terhadap pusat.

Pada satu lingkaran atau pada lingkaran yang kongruen, tali busur
berjarak sama adalah kongruen.

Sumbu dari tali busur memuat pusat lingkaran.

8.14 Geometri

Jika garis melalui pusat lingkaran tegak lurus tali busur bukan garis
tengah dan membagi dua tali busur dan busur kecil.

Jika garis melalui pusat lingkaran membagi dua tali busur yang
bukan lingkaran maka garis itu tegak lurus tali busur.

TES FORMATIF 1

Pilih satu jawaban yang paling tepat!

1) AB = CD = 8
OX ⊥ AB :OY ⊥ CD
OX = 3
Jari-jari lingkaran adalah ....

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

2) OM ⊥ PQ; ON ⊥ RS , PQ = RS,
u∠MON = 160O

Tentukan u∠OMN .
A. 10°
B. 20°
C. 30°
D. 40°

3) Diameter (garis tengah) AB membagi dua (sama
panjang) CD .
Yang bukan merupakan akibat kondisi di atas
adalah ….
A. AB ⊥ CD
B. CD membagi AB
C. OC = OD
D. BC = BD

PEMA4207/MODUL 8 8.15

4) OM ⊥ AB , OM = 15, OA = 13,
AB = ....
A. 5
B. 12
C. 13
D. 24

a
5) Tentukan jarak O ke segmen BC , jika AB = 8,

u ∠ ABC = 30°.
A. 8
B. 4
C. 3
D. 2

a

6) Perhatikan gambar di samping. Sudut pusat AOB =
60°. Jika panjang jari-jari lingkaran tersebut adalah
10 maka panjang CD = ….
A. 2 1
2
B. 10 − 5 2
C. 5 − 3
D. 10 − 5 3

7) Panjang tali busur di depan sudut pusat 120° dan jari-jari lingkaran 3 cm
adalah ….
A. 3 cm

B. 3 2 cm

C. 3 3 cm
D. 5 cm

8) Jari-jari 10, AB, BC, AC tali busur sehingga ∆BC
sama sisi. Tentukan AB.
A. 5

B. 5 3
C. 10

D. 10 3

a

8.16 Geometri

9) Berapakah uACE ?

A. 60°
B. 120°
C. 240°
D. 300°

10) Segmen yang ujung-ujungnya pusat lingkaran dan salah satu titik pada
lingkaran disebut ….
A. tali busur
B. jari-jari
C. busur
D. diameter

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.

Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar × 100%

Jumlah Soal

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang
belum dikuasai.

PEMA4207/MODUL 8 8.17

Kegiatan Belajar 2

Garis Singgung Lingkaran

GARIS SINGGUNG LINGKARAN

Satu garis disebut garis singgung lingkaran jika melalui tepat satu titik
pada lingkaran.

Pada gambar di atas OA adalah jari-jari
dan g tegak lurus OA. Apakah g menjadi
garis singgung?

Teorema 8.8
Jika satu garis tegak lurus terhadap jari-jari di titik pada lingkaran maka

garis itu adalah garis singgung lingkaran.

Bukti:
Diketahui g ⊥ OA di titik A
Buktikan: g garis singgung lingkaran.

Bukti:
Bukti ini menggunakan bukti tak langsung. Andaikan g bukan garis

singgung, artinya g tidak memotong lingkaran atau g memotong lingkaran di
lebih satu titik, sederhananya g memotong di dua titik.

Selanjutnya, dari pengandaian memotong di dua titik, kita cari
kontradiksinya sebagai berikut.

8.18 Geometri

Pernyataan Alasan
1. g memotong lingkaran pada titik 1. Pengandaian bukti tak langsung

kedua B 2. Diketahui
2. OA ⊥ g 3. Definisi sisi miring
3. OB adalah sisi miring segitiga
4. Panjang sisi miring lebih besar
siku-siku dari sisi lainnya
4. OB > OA
5. Definisi lingkaran
5. OB = OA

Pernyataan 4 dan 5 kontradiksi, pengandaian salah, jadi hasilnya g garis
singgung lingkaran.

Teorema 8.9
Jika satu garis merupakan garis singgung lingkaran maka jari-jari tegak

lurus dengan garis singgung di titik perpotongan garis singgung dengan
lingkaran.

Teorema 8.10
Jika satu garis tegak lurus terhadap garis singgung di titik pada lingkaran

maka garis itu memuat pusat lingkaran.

Teorema 8.11
Segmen singgung dari satu titik di luar lingkaran terhadap lingkaran

kongruen, dan sinar yang ditarik dari titik di luar lingkaran itu melalui pusat
lingkaran membagi sudut yang dibentuk oleh kedua garis singgung.

Pembuktiannya sebagai berikut.

Diketahui: PA dan PB menyinggung
Buktikan: lingkaran di A dan B.
PA ≅ PB dan ∠1 ≅ ∠2

PEMA4207/MODUL 8 8.19

Bukti: Alasan
1. Lukisan
Pernyataan
1. Lukis jari-jari 2. Definisi jari-jari
3. Refleksif
PO dan OA dan OB 4. Jari-jari ke titik singgung
2. OA = OB 5. Kongruensi sisi miring-sisi siku-
3. PO = PO siku
4. OA ⊥ PA, OB ⊥ PB 6. BBSKK
5. ∆POA ≅ ∆POB

6. PA ≅ PB dan ∠1 ≅ ∠2

Ukuran Sudut Keliling

Definisi 8.12

Busur dihadapan sudut keliling ∠ ACB adalah
busur AB yang berada pada interior sudut itu.

Sudut keliling menentukan busur, yaitu busur
dihadapan sudut itu. Sudut keliling ACB
mempunyai busur AB sebagai busur dihadapannya.

Teorema 8.12
Ukuran sudut keliling adalah setengah dari ukuran busur dihadapannya.

Pembuktian

Diketahui: ∠ACB sudut keliling AB busur
dihadapan ∠ACB

Buktikan: u∠ACB = 1 u AB
2

8.20 Geometri

Bukti
1. Misal u AB = x
2. u∠AOB = x (sudut pusat)
3. ∆ COB sama kaki (OB = OC = jari-jari)
4. u ∠1 = u∠2 = p (dimisalkan)
5. u∠5 = 180o − 2p
6. ∆ COA sama kami (DA = OC = jari-jari)
7. u ∠3 = u∠4 = q (dimisalkan)
8. u∠6 = 180o − 2q
9. u ∠5 + u∠6 + u∠AOB = 360o

( ) ( )10. 180o − 2p + 180o − 2q + x = 360o

360o − 2p − 2q + x = 360o
x = 2p + 2q

p+q= 1x
2

( )Jadi u∠ACB = 1 u AB .
2

Mengkonstruksikan garis singgung dari titik di luar lingkaran.

Konstruksikan Garis Singgung

Diketahui lingkaran dengan pusat O dan
titik P di luar lingkaran itu lukis (konstruksi)
garis singgung melalui P.

Lukisan
1. Buat segmen OP
2. Bagi dua segmen OP tersebut titik tengah

OP dengan T.

PEMA4207/MODUL 8 8.21

3. Buat lingkaran dengan pusat T dan jari-jari
1 OP , lingkaran ini memotong lingkaran
2
pertama di dua titik, sebut titik itu dengan
A dan B.

4. Buat garis melalui A dan P. Buat garis
melalui B dan P. Dua garis ini adalah garis
singgung.

Teorema 8.13
Sudut keliling pada setengah lingkaran adalah sudut siku-siku.

∠ACB sudut keliling, AB diameter
∠ACB sudut keliling, besar ∠ACB = 90°.

∠ADB sudut keliling, AB diameter ∠ADB
adalah sudut siku-siku.

Sudut yang dibentuk oleh tali busur

Dapatkah Anda menduga berapa nilai x, y, dan z pada gambar di atas?
Apakah jawaban Anda sesuai dengan teorema berikut.

Teorema 8.14
Sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang berpotongan di dalam

lingkaran ukurannya sama dengan setengah jumlah ukuran busur-busur
dihadapan sudut yang terbentuk.

8.22 Geometri

Pembuktiannya sebagai berikut.

Diketahui: Tali busur AD dan BC berpotongan di

titik E.

( ( ) ( )Buktikan: u∠AEB = 1 u AB + u CD
)2

Bukti:

a

Pernyataan Alasan

1. Lukis BD 1. Lukisan segmen melalui B dan D

( )2. u∠2 = 1 u CD 2. Ukuran sudut keliling = 1
2 2

ukuran sudut pusat = 1 ukuran
2

(CD)

( )3. u∠3 = 1 u AB 3. Ukuran sudut keliling = 1
2 2

ukuran sudut pusat = 1 ukuran
2

(AB)

4. u ∠ AEB = u ∠ 2 + u ∠ 3 4. ∠ 1 sudut luar ∆ OBD
5. Substitusi
( ) ( )5. u∠AEB = 1 u CD + 1 u AB
22 6. Sifat distributif

( ( ) ( )6. u∠AEB = 1 u AB + u CD
)2

Kita dapat menggunakan Teorema 8.14 untuk mengukur pada segi
banyak bintang berikut.

( ( ) ( ))u∠AXB = 1 u AB + u GE
2
( )= 1 40O + 80O = 60O
2

( ) ( )u∠AYH = 1 u AH + u FC
2
( )= 1 80O +120O = 100O
2

PEMA4207/MODUL 8 8.23

( ) ( )u∠HZE = 1 u HE + u DI
2
( )= 1 120O +160O = 140O
2

Teorema 8.15
Ukuran sudut yang terbentuk oleh garis singgung dan tali busur yang

berpotongan pada titik singgung adalah setengah dari ukuran busur
dihadapan sudut tersebut.

Bukti:

( )Akan dibuktikan bahwa u∠A1 = u AB

u∠A1 + u∠A2 + u∠A3 = 180o (sudut lurus)
∆ ABO sama kaki (BA = OB = jari-jari)
u∠A2 + u∠ABO + u∠AOB = 180o
u∠A2 + u∠A2 + u∠AAOB = 180o

2u∠A2 + u∠AOB = 180o

( )u∠A1 + u∠A2 = 90o u∠A3 = 90o

u∠A1 + u∠A2 + 90o = 2u∠A2 + u∠AOB

u∠A1 + 90o = u∠A2 + u∠AOB

( )u∠A1 + 90o = 90o − u∠A1 + u∠AOB

2u∠A1 = u∠AOB

( )u∠A1 1 = 1 (∠AOB = sudut pusat )
= 2 u∠AOB 2 u AB

Teorema 8.16
Ukuran sudut yang dibentuk oleh dua garis singgung ke satu lingkaran

adalah setengah dari selisih ukuran busur besar (busur major) dengan busur
kecil (busur minor) yang dihadapi sudut itu.

8.24 Geometri

Pembuktian

Diketahui: TA dan TB sinar singgung

terhadap satu lingkaran

( ) ( )u AB = x dan u ACB = y

Buktikan: u∠ATB = 1 ( y − x)

2

Bukti:

Pernyataan Alasan
1. u∠2 = 1 x 1. Teorema 8.15

2 2. Teorema 8.15
2. u∠3 = 1 y 3. ∠3 sudut luar ∆ATB
4. ∠ 1 dinyatakan dalam u ∠ 2
2
3. u∠3 = u∠1+ u∠2 dan u ∠ 3
4. u∠1 = u∠3 − u∠2 5. Substitusi

5. u∠1 = 1 y − 1 x 6. Sifat distributif
22
7. ∠ 1 nama lain dari ∠ ATB
6. u∠1 = 1 ( y − x)

2

7. u∠ATB = 1 ( y − x)

2

Selanjutnya perhatikan kasus berikut.

Kasus 1

( ) ( )u AB = yo dan u BC = xo

Berapakah u ∠ BTA?
u∠BAC = 1 x

2
u∠TBC = 1 y

2

PEMA4207/MODUL 8 8.25

u∠CBU = 1 x
2

u∠TBA = 1 y
2

u∠BAC = u∠ABT + u∠ATB

1 x = 1 y + u∠ATB
22
u∠ATB = 1 x − 1 y

22

= 1 (x − y).

2

Kasus 2 ( )u BD = xo
( )u AC = yo
u∠DCB = 1 x, u∠DAB = 1 x
22 Berapa u∠ATC ?
u∠ABC = 1 y, u∠CDA = 1 y
u∠DAB = u∠ATC + 1 y
2 22

1 x = u∠ATC + 1 y
22
u∠ATC = 1 x − 1 y

22

= 1 (x − y).

2

Dengan kasus di atas nampaknya Teorema 8.16 dapat berlaku bukan
hanya terhadap garis singgung saja, tetapi bisa antara garis singgung dengan
garis singgung, garis singgung dengan garis potong, atau garis potong dengan
garis potong seperti yang tertulis pada teorema berikut.

8.26 Geometri

Teorema 8.17
Ukuran sudut yang dibentuk oleh garis singgung dan garis potong dari

titik di luar lingkaran terhadap lingkaran adalah setengah dari selisih ukuran
busur di depan sudut itu.

Hubungan antara segmen singgung, segmen potong, dan segmen potong
luar

Kita coba lihat hubungan antara segmen singgung, segmen potong,
segmen potong luar.

Segmen singgung: PT
Segmen potong : PR

Segmen potong luar : PS
Perhatikan ∆PTS dan ∆PRT

∠ TPS ≅ ∠ RPT (Re fleksif )

( )∠ ≅  = 1u 
PTS ∠ PRT  u∠PTS = u∠PRT 2 TS 

Jadi ∆PTS ∼ ∆PRT maka didapat perbandingan PR : PT = PT : PS

didapat (PT)2 = PS.PR

Hubungan ini dinyatakan dalam teorema berikut.

Teorema 8.18
Jika segmen singgung dan segmen potong dibuat terhadap satu lingkaran

dari titik di luar lingkaran maka kuadrat panjang segmen singgung sama
dengan perkalian dari panjang segmen potong dengan segmen potong luar.

Adakah perbandingan dari tali busur yang berpotongan, lihatlah yang
berikut.

Diketahui: Tali busur AB dan CD berpotongan di T.