GEOMETRI_clone

PEMA4207/MODUL 5 5.27

3) Hitung panjang AC, AD, AE.AF, dan AG !

4) Segitiga sama sisi mempunyai panjang sisi S. Hitung berapa tingginya
dan luasnya!

5) Buktikan bahwa panjang diagonal segi
empat lebih kecil dari setengah keliling
segi empat tersebut, yakni:
BD < AB + BC + CD + AD
2

6) Tiap pasangan bilangan berikut adalah bilangan-bilangan yang
menyatukan panjang sisi-sisi segitiga, pasangan mana yang tidak bisa
menyatakan panjang sisi segitiga?
a. 4, 5, 7 b. 4, 5, 17 c. 6, 13, 7 d. 9, 13, 17
e. 7, 7, 13 f. j, k, j + k g. a, 3a, 3a

7) Segitiga ABC dengan panjang sisi di hadapan ∠ A adalah a cm, di
hadapan ∠ B adalah b cm, dan panjang sisi di hadapan ∠ C adalah c cm.
Bagaimana memeriksa/menyimpulkan segitiga ABC lancip, siku-siku,
atau tumpul dilihat dari panjang sisi-sisinya?

8) Lukis lingkaran luar ∆ ABC dengan AB = 5, BC = 6, dan AC = 7!
9) Buktikan bahwa segmen yang ditarik tegak lurus dari suatu titik ke suatu

garis adalah segmen terpendek dibanding segmen lain yang ditarik ke
titik lain pada garis tersebut!
10) Diketahui: YZ adalah sisi terpanjang segi empat XYZW.

XW adalah sisi terpendek.
Buktikan: u ∠ X > u ∠ Z.

5.28 Geometri

Petunjuk Jawaban Latihan

1) Menurut Teorema Pythagoras
t2 = 32 −12
= 9−1
= 8.
t = 2 2 m.

2) Luas kedua persegi panjang sama.

Yang pertama : c2 + (4) 1 ab = c2 + 2ab
2

Yang kedua: a2 + b2 + 2ab

c2 + 2ab = a2 + b2 + 2ab kurangi kedua ruas dengan 2ab didapat

c2 = a2 + b2 .

Jadi kedua kuadrat sisi miring (pada segitiga siku-siku) sama dengan

jumlah kuadrat sisi-sisi siku-sikunya.

3) Dengan Teorema Pythagoras
AC2 = 12 + 12
=2

AC = 2
AD2 = AC2 + DC2

= 2+1
=3

AD = 3
AE2 = AD2 + ED2

= 3 +12
=4

AE = 4 = 2
AF2 = AE2 + FE2

= 4 +12
=5

AF = 5

PEMA4207/MODUL 5 5.29

AG2 = AF2 + GF2
= 5 +12
=6

AG = 6

( )4) 2 + t2
S2 = 1 S2
2

( )t2 = S2 − 1 S 2
2

= S2 − 1 S2
4

= 3 S2
4

t= 3 S2 = 1 S 3
4 2

Luas ∆ sama sisi = 1 .S.t
2

= 1 .S. 1 S 3
2 2

= 1 S2 3.
4

5) Menurut ketidaksamaan segitiga pada ∆ABD:
BD < BA + AD
dan menurut ketidaksamaan segitiga pada ∆BCD:
BD < BC + CD
BD < BA + AD
BD < BC + CD +

2BD < BA + AD + BC + CD

2BD < AB + BC + CD + AD

didapat BD < AB + BC + CD + AD .
2

6) a) 4, 5, 7
4<5+7
5<4+7
7<4+5
Bisa menyatakan sebagai panjang sisi segitiga.

5.30 Geometri

b) 4, 5, 17
Ada yang tidak memenuhi ketidaksamaan segitiga, yaitu 17 < 4 + 5,
ini salah karena 17 > 4 + 5.
Tidak akan terjadi segitiga jika salah satu sisinya 17 dan dua sisi
lainnya 4 dan 5.

c) 6, 13, 7
13 < 6 + 7, ini salah karena 13 = 6 + 7.
Hanya akan terjadi tiga titik segaris.

d) 9, 13, 17
9 < 13 + 17
13 < 9 + 17
17 < 9 + 13
Bisa menyatakan panjang sisi-sisi segitiga.

e) 7, 7, 13
7 < 7 + 13
13 < 7 + 7
7 < 7 + 13
Bisa menyatakan panjang sisi-sisi segitiga.

f) j, k, j + k
j < k + (j + k)
k < j + (j + k)
j+k<j+k
Ini salah karena j + k = j + k.
Hanya akan terjadi tiga titik segaris.

g) a, 3a, 3a
a < 3a + 3a
3a < a + 3a
3a < 3a + a
Bisa menyatakan panjang sisi-sisi segitiga.

7) Pilih sisi mana yang paling panjang, misal yang paling panjang c,
kemudian a, dan b.
Periksa hubungan antara c2 dengan a2 + b2.
a) Bila c2 < a2 + b2 artinya sudut dihadapan sisi c yaitu ∠ C lancip,
karena c terpanjang maka sudut yang lain juga lancip (∠ B dan ∠ C
lancip). Jadi, ∆ABC segitiga lancip.

PEMA4207/MODUL 5 5.31

b) Bila c2 = a2 + b2 artinya sudut dihadapan sisi c yaitu ∠ C siku-siku
karena c terpanjang maka sudut yang lain lancip. Jadi, ∆ABC

segitiga siku-siku.
c) Bila c2 > a2 + b2 artinya sudut dihadapan sisi c yaitu ∠ C tumpul.

Jadi, ∆ABC segitiga tumpul.

8) Langkah-langkah pelukisan: PQ segmen tegal lurus
1. Lukis ∆ABC dengan AB = 5, BC = 6 dari P ke g.
dan AC = 7.
2. Lukis garis bagi sisi BC dan garis
bagi AB.
3. Tarik garis bagi sisi BC dan AC,
berpotongan di titik O.
4. Lukis lingkaran dengan pusat O dan
jari-jari OA atau OB atau OC.

a

9) Ambil titik S pada g kemudian buat segmen
PS tidak tegak lurus terhadap g kemudian
terjadi ∆ PQS dengan ∠ Q > ∠ S maka
PQ < PS, ini berlaku untuk setiap S pada g
dengan S ≠ Q, jadi PQ segmen terpendek
dibanding dengan segmen lain yang
menghubungkan P ke g tidak tegak lurus.

a

10) Bukti: Buatlah XZ, terbentuk
∠ 1, ∠ 2, ∠ 3, dan ∠ 4.
YZ terpanjang maka YZ > YX
akibatnya u ∠ 1 > u ∠ 2.
XW terpendek maka XW < ZW
akibatnya u ∠ 3 > u ∠ 4.

a

u∠1>u∠2
u∠3>u∠4 +
u∠1+u∠3>u∠2+u∠4
u∠X>u∠Z

5.32 Geometri

RANGKUMAN

Teorema Pythagoras. Jika ∆ABC segitiga siku-siku di C maka
kuadrat panjang sisi dihadapan ∠ C sama dengan jumlah kuadrat sisi
dihadapan ∠ A dan kuadrat panjang sisi dihadapan ∠ B.

Konvers Teorema Pythagoras. Jika ∆ABC mempunyai sisi-sisi a, b,
dan c dengan c2 = a2 + b2 maka ∆ABC segitiga siku-siku di C.

Panjang sisi miring segitiga 45-45-90 adalah 2 dikalikan dengan
panjang sisi siku-siku.

Panjang sisi siku-siku segitiga 30-60-90 adalah 3 dari panjang
3

sisi miring atau 3 dari panjang sisi terpendek.
Sumbu sisi segitiga, garis bagi sudut segitiga, dan garis yang

memuat garis tinggi pada segitiga berpotongan di satu titik.
Garis berat segitiga berpotongan di satu titik dan membagi masing-

masing garis berat dengan perbandingan 2:1.
Jika ukuran dua sudut segitiga tidak sama maka panjang sisi

dihadapan sudut lebih kecil adalah lebih pendek dari sisi dihadapan
sudut lebih besar.

Jika panjang dua sisi segitiga tidak sama maka ukuran sudut
dihadapan sisi lebih pendek adalah lebih kecil dari ukuran sudut
dihadapan sisi lebih panjang.

TES FORMATIF 2

Pilih satu jawaban yang paling tepat!

1) Pada segitiga siku-siku ABC dengan ∠ A siku-siku berlaku ....
A. BC2 = AC2 – AB2
B. AC2 = AB2 + BC2
C. BC2 = AB2 – AC2
D. AB2 = BC2 – AC2

2) Pada ∆PQR, PQ = 17, QR = 8, dan RP = 15 maka ....
A. ∆PQR segitiga lancip
B. ∆PQR segitiga siku-siku dengan ∠ R siku-siku
C. ∆PQR segitiga tumpul dengan ∠ R tumpul
D. ∆PQR tidak ada

PEMA4207/MODUL 5 5.33

3) Perhatikan gambar di samping, ∆ABD
segitiga sama sisi dengan AB = 5, maka
AE = ....
A. 5 2
B. 5 3
C. 10 2
D. 10 3

4) Perhatikan gambar di samping, bila
OB = 12, maka OC = ....
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13

5) Dua sisi satu segitiga mempunyai panjang 3 dan 4 maka panjang sisi
ketiga lebih besar ... lebih kecil ....
A. 3 dan 4
B. 1 dan 4
C. 1 dan 7
D. 1 dan 3

6) Daftarkan semua segmen dari yang terpendek ke
yang terpanjang dari ....
A. AC, AB, BC, BD
B. AB, BD, BC, AC
C. BD, BC, AB, AC
D. AC, BC, BD, AB

7) Pada gambar di samping BD = ....
A. 13

B. 13
C. 17

D. 17

5.34 Geometri

8) Segitiga dengan panjang sisi 16, 8, dan 15 adalah ....
A. segitiga lancip
B. segitiga siku-siku
C. segitiga tumpul
D. segitiga tumpul sama kaki

9) Dari gambar di samping u ∠ ADB,
u ∠ BDC, u ∠ ADC berturut-
turut ....
A. 78, 65, 143
B. 78, 75, 153
C. 88, 75, 163
D. 98, 65, 163

10) Dua panjang sisi satu segitiga 8 dan 3. Yang tidak mungkin merupakan
panjang sisi ketiga adalah ....
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.

Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar × 100%

Jumlah Soal

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang
belum dikuasai.

PEMA4207/MODUL 5 5.35

Kunci Jawaban Tes Formatif

Tes Formatif 1
1) C. Sudut yang ketiga 180o – (50o + 30o) = 100o; segitiga tumpul.
2) A. Sudut yang ketiga 180o – (70o + 55o) = 55o; segitiga lancip sama

kaki.

3) B. Jelas.

4) D. Penamaan segitiga ditentukan oleh sudut yang terbesar.

5) D. x = 15 sehingga DE = EF = 75; DF = 60.
6) D. u ∠ 2 = u ∠ 5 + u ∠ 7.
7) D. (180o – 120o) + (180o – 170o) = 70o.

8) C. x = 8 sehingga BC = 13.
9) A. u ∠ ABE = 180o – (65o + (180o – 100o)) = 35o.
10) D. x = 3,5; u ∠ 4 = 17,5o; u ∠ 2 = 180o – 17,5o = 162,5o.

Tes Formatif 2

1) D. Dalil Pythagoras.
2) B. 172 = 289 = 64 + 225; 172 = 82 + 152; PQ2 = QR2 + RP2.
3) B. pada ∆ABE, ∠ B = 60o, panjang AB = 5 sehingga AE = 5 3 .
4) C. OB = 12, OC = OB = 12; (jari-jari lingkaran luar ∆ABC).
5) C. 4 – 3 < p < 4 + 3; 1 < p < 7, p = panjang sisi yang ketiga.

6) A. Perhatikan besar sudut di depannya.
7) D. BD2 = CD2 + BC2 = 4 + AB2 + AC2 = 4 + 9 + 4 = 17 →

8) A. BD = 17 .
9) C. 162 < 82 + 152.
u ∠ ADB = 180o – (20o + 72o) = 88o; u ∠ BDC = 180o – (20o + 85o)
10) A. = 75o; u ∠ ADC = 88o + 75o = 163o.

8 – 3 < p < 8 + 3; 5 < p < 11; p = panjang sisi ketiga.

5.36 Geometri

Daftar Pustaka

Clemen, Stanley R., O'Daffer, Phares G., dan Cooney, Thomas J. (1984).
Geometry with Application and Problem Solving. California: Addison-
Wesley Publishing Company.

Wallace, Edward C., dan West, Stephen F. (1998). Roads to Geometry
Second Edition, New York: Prentice Hall Inc. Simon & Schuster/A
Viacom Company.

Moise, Edwin E. (1970). Elementary Geometry from an Advanced
Standpoint. Massachusetts: Addisson-Wesley Publishing Company, Inc.

Rawuh (1993). Geometri Transformasi. Jakarta: Direktorat Jenderal
Pendidikan Tinggi, Proyek Pembinaan Tenaga Kependidikan Pendidikan
Tinggi.

Ulrich, James F., Czarnec, Fred F., dan Guilbault, Dorothy. (1978).
Geometry, Third Ed. New York: Harcourt Brace Jovanovich.

Modul 6

Segi Banyak

Drs. Mohamad Rahmat, M.Pd.

PENDAHULUAN

M odul ini berjudul Segi Banyak, berisi dua kegiatan belajar. Kegitanan
Belajar 1, berisi segi empat, yang dibahas jajaran genjang, segi empat
yang merupakan jajaran genjang, persegi panjang, belah ketupat, dan persegi
serta trapesium.

Pada Kegiatan Belajar 2 sudut Segi Banyak, dibicarakan tentang
menyusun segi banyak beraturan untuk menutupi daerah (pengubinan) dan
jumlah ukuran sudut segi banyak termasuk besar sudut masing-masing sudut
pada segi banyak beraturan.

Tujuan pembelajaran khusus dari modul ini, diharapkan Anda dapat:
1. membuat diagram garis dan venn untuk himpunan segi empat sesuai

dengan nama dan definisi jenis segi empat;
2. menamakan jenis segi empat yang diberi tambahan kondisi;
3. membuktikan sifat dari segi empat yang timbul karena pendefinisian;
4. membuktikan teorema jajar tengah, dan teorema yang dapat diturunkan

dari teorema itu;
5. menurunkan teorema jumlah ukuran sudut dari segi banyak konveks;
6. menurunkan teorema ukuran satu sudut segi banyak beraturan;
7. menurunkan teorema jumlah ukuran sudut luar segi banyak.

6.2 Geometri

Kegiatan Belajar 1

Segi Empat

S egi empat adalah gabungan empat segmen yang ditentukan oleh empat
titik yang tiap tiga titiknya tidak segaris.
Gambar berikut mengilustrasikan istilah penting pada segi empat.

Sisi BC dan sisi AD tidak mempunyai titik persekutuan. Sisi BC dan sisi
AD disebut sisi-sisi berhadapan. Sisi AB dan DC juga sisi-sisi berhadapan.

Sisi AB dan AD mempunyai satu titik persekutuan, disebut sisi-sisi
berbatasan. Pasangan sisi berbatasan lainnya, AB dengan BC, BC dengan
CD, DC dengan AD.

Sudut B dan sudut D tidak punya sisi persekutuan, disebut sudut
berhadapan. Sudut A dan C juga sudut berhadapan. Sudut A dan B
mempunyai satu sisi persekutuan, yaitu sisi AB, disebut sudut berbatasan.
Sudut berbatasan yang lainnya adalah Sudut B dan C, sudut C dan D, dan
sudut D dan A.

Jenis-jenis Segi empat

Definisi 6.1 ABCD adalah
Trapesium adalah trapesium. BC
dan AD alas
segi empat dengan trapesium.
tepat sepasang sisi
sejajar.

Definisi 6.2 EDGF jajaran Satu pasang sisi sejajar
Jajaran genjang genjang
Dua pasang sisi sejajar
adalah segi empat berhadapan
dengan kedua pasang
sisinya sejajar.

PEMA4207/MODUL 6 6.3

Definisi 6.3 PQRS adalah
Persegi panjang persegi panjang

adalah jajaran genjang
dengan empat sudutnya
siku-siku.

Definisi 6.4 HIJK adalah Semua sudut kongruen
Belah ketupat belah ketupat
(juga jajaran Semua sisi kongruen
(rhombus) adalah genjang)
jajaran genjang dengan Semua sudut, dan sisi
empat sisinya kongruen
kongruen.

Definisi 6.5 TUVW adalah
Persegi adalah segi persegi (persegi
panjang, belah
empat persegi panjang ketupat, juga
dengan empat sisinya jajaran genjang)
kongruen

Jajaran Genjang
Pada jajaran genjang di bawah ini, ukuran pasangan. sudut, dan sisi

berhadapan diketahui.

Teorema 6.1
Sudut berhadapan pada jajaran genjang kongruen.

Teorema 6.2
Sisi berhadapan pada jajaran genjang kongruen.

6.4 Geometri

Bukti

Diketahui: ABCD adalah jajaran genjang

Buktikan: ∠ A ≅ ∠ C, ∠ B ≅ ∠ D

AB ≅ CD, AD ≅ BC

Rencana: Buat diagonal BD dan buktikan ∆ ABD ≅ ∆ CDB
a

Pernyataan Alasan

1. ABCD jajaran genjang 1. Diketahui

2. AB // CD 2. Akibat 1

3. BC // AD 3 Akibat 1

4. ∠ CDB ≅ ∠ ADB 4. Dalam berseberangan

5. ∠ CDB ≅ ∠ ABD 5. Dalam berseberangan

6. BD = BD 6. Refleksif

7. ∆ABD ≅ ∆CDB 7. Su-Su-Si

8. AB ≅ CD 8. BBSKK

9. ∠ A ≅ ∠ C 9. BBSKK

Dengan mengulangi bukti untuk diagonal AC, dapat dibuktikan bahwa
AD ≅ BC dan ∠ B ≅ ∠ D.

Teorema 6.3
Setiap pasang sudut berbatasan pada jajaran genjang adalah suplemen.

Jajaran genjang

Teorema 6.4
Jika sisi-sisi segi empat kongruen maka segi empat itu jajaran genjang.

Bukti: Segi empat ABCD dengan
Diketahui: AD ≅ BC dan
AB ≅ CD
Buktikan: ABCD jajaran genjang
Rencana:
Buat segmen bantuan AC dan buktikan ∆ ABC ≅ ∆ CDA

PEMA4207/MODUL 6 6.5

Pernyataan Alasan
1. Diketahui
1. AB ≅ CD 2. Diketahui
2. BC ≅ DA 3. Sifat Refleksif
3. AC ≅ AC 4. Postulat Si-Si-Si
4. ∆ABC ≅ ∆CDA 5. Dalam berseberangan
5. ∠1 ≅ ∠2 6. BBSKK
6. AB // CD 7. Dalam berseberangan
7. ∠3 ≅ ∠4 8. BBSKK
9. Definisi Jajaran genjang
8. AD // BC
9. ABCD

Teorema 6.5
Jika segi empat mempunyai sepasang sisi yang berhadapan kongruen

maka segi empat tersebut adalah jajaran genjang.

Teorema 6.6
Jika-sudut-sudut berhadapan segi empat kongruen maka segi empat

tersebut adalah jajaran genjang.

Jajar Tengah

Teorema 6.7
Teorema Jajar Tengah. Segmen yang dihubungkan dari dua titik tengah

sisi segitiga adalah sejajar dengan sisi yang ketiga, dan panjangnya setengah
dari panjang sisi ketiga.

6.6 Geometri

Bukti:

Diketahui: Segitiga ABC
Buktikan:
Rencana: X titik tengah AB

Y titik tengah AC

XY // BC dan

XY = 1 BC
2

Buat garis melalui C sejajar

AB.

Kemudian perpanjang XY

sampai memotong g di Z.

Tunjukkan dua segitiga

kongruen. Selanjutnya

tunjukkan BCZX jajaran

genjang.

a

Pernyataan Alasan
1. Diketahui
1. X titik Tengah AB
2. Konstruksi
Y titik tengah AC
3. Definisi Titik Tengah
2. Garis g melalui C dan sejajar AB, 4. Dalam berseberangan
5. Bertolak belakang
dan XY adalah perpanjangan 6. Si-Su-Su
7. BBSKK
sehingga membentuk ∆CYZ. 8. Definisi Titik Tengah
9. Definisi
3. AY = YC
10. BBSKK
4. ∠ l ≅ ∠ 2 11. Definisi Titik Tengah
12. Sifat transitif
5. ∠ 3 ≅ ∠ 4 13. CZ pada garis g
14. Definisi Jajaran genjang
6. ∆ AXY ≅ ∆CZY 15. Definisi Jajaran genjang
16. Sisi berhadapan dari Jajaran
7. XY = ZY
genjang kongruen
8. Y titik tengah XZ 17. Substitusi 9 dan 15

9. XY = 1 XZ
2

10. CZ = AX

11. AX = XB

12. CZ = XB

13. CZ // AB
14. BCZX jajaran genjang

15. XY // BC

16. XZ ≅ BC

17. XY = 1 BC
2

PEMA4207/MODUL 6 6.7

Teorema 6.8
Titik tengah sisi-sisi segi empat adalah titik-titik sudut jajaran genjang.

Persegi panjang, Persegi, Belah ketupat, dan Trapesium

Teorema 6.9
Jajaran genjang adalah persegi panjang jika dan hanya jika diagonalnya

kongruen.
Persegi panjang yang keempat sisinya sama panjang dinamakan persegi.

Teorema 6.10
Jajaran genjang adalah belah ketupat jika dan hanya jika diagonalnya

tegak lurus satu sama lain.

Teorema 6.11
Jajaran genjang adalah belah ketupat jika dan hanya jika masing-masing

diagonalnya membagi sudut-sudut yang berhadapan.

Trapesium
Trapesium adalah segi empat yang sepasang sisinya sejajar.

E dan F titik tengah AD dan BC

EF = 1 (AB + DC) dan EF // AB // CD
2

Teorema 6.12
Segmen yang menghubungkan titik tengah sisi yang tidak sejajar dari

trapesium, adalah sejajar dengan alas-alasnya dan panjangnya adalah
setengah jumlah panjang alas-alasnya.

6.8 Geometri

Bukti:

Diketahui: ABCD adalah trapesium dengan DC//AB
Buktikan: E titik tengah AD dan F titik tengah BC
EF // AB, EF // DC
dan
EF = 1 (AB + CD)

2

Rencana: Perpanjang AB dan DF sehingga berpotongan di G. Kemudian

buktikan bahwa F titik tengah DG dan gunakan Teorema Titik

Tengah segmen.

a

Pernyataan Alasan

1. Perpanjang AB 1. Konstruksi

2. Buat DF sehingga memotong AB 2. Konstruksi

di G

3. DC // AB 3. Definisi Trapesium

4. ∠ BGF ≅ ∠ CDF 4. Dalam berseberangan

5. CF ≅ BF 5. Definisi titik tengah

6. ∠ BFG ≅ ∠ DFC 6. Bertolak belakang

7. ∆ BFG ≅ ∆ CFD 7. Su-Si-Su

8. DF ≅ GF 8. BBSKK

9. F titik tengah DG 9. Definisi titik tengah

10. EF // AB // DC 10. Teorema Titik Tengah
Segmen
( )11. = 1
EF 2 AB + BG 11. Jajar tengah

12. BG = CD 12. BBSKK
13. Substitusi
( )13. = 1
EF 2 AB + BG

PEMA4207/MODUL 6 6.9

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!

1) Gambarkan segi empat yang memenuhi syarat berikut.
a) Paling sedikit ada satu pasang sisi yang berbatasan kongruen, paling
sedikit ada satu pasang sisi yang berhadapan kongruen, dan tidak
ada sudut siku-siku.
b) Paling sedikit mempunyai satu pasang sisi yang sejajar, tidak ada
sisi yang berbatasan kongruen, dan tepat satu pasang sisi berhadapan
kongruen.

2) Keliling jajaran genjang ABCD adalah 32 cm. Hitung panjang masing-
masing sisinya!

3) Perhatikan diagram panah di
samping!

Buatlah diagram Venn dari
diagram di samping.

4) ABCD jajaran genjang. Jika AB = 2x, CD = 3y + 4, BC = x + 7, dan
AC = 2y. Tentukan panjang sisi-sisi jajaran genjang!

5) Perhatikan gambar di samping.
CD = 6
DE = 4
AD = 5
Tentukan GH!

a

6) Diketahui: ABCD jajaran genjang
AECF jajaran genjang

Buktikan: ∆ CDF ≅ ∆ ABE

A

6.10 Geometri

7) Perhatikan gambar di samping.
Gambar daerah segi 12 beraturan
yang terbagi menjadi daerah jajaran
genjang. Berapa jumlah daerah
persegi dan berapa jumlah belah
ketupat?

a
8) Diketahui: ABCD segi empat W,X,Y,

dan Z adalah titik tengah sisi-
sisi ABCD.
Buktikan: WXYZ Jajaran genjang.
Rencana: Buat segmen bantu DB ,
ZW , WX, dan YZ .

Gunakan Teorema Jajar
Tengah.

9) ABCD adalah Jajaran genjang AB = 4x – 5, AC = 3x -2, CD = 2x +23,
BD = 2x + 12.
Tunjukkan ABCD persegi panjang!

10) ABCD dan PQRS dua persegi
panjang yang saling bertumpuk.
Hitunglah
u ∠ 1 + u ∠ 2 + u ∠ 3 + u ∠ 4.

PEMA4207/MODUL 6 6.11

Petunjuk Jawaban Latihan

1) a) (1) AB ≅ BC (sisi berbatasan

kongruen satu pasang) dibuat tidak

tegak lurus.

(2) Pasangan sisi berhadapan

kongruen, dibuat AD ≅ BC .

(3) Buat DC ≅ AD .

b) (1) Buat pasangan sisi sejajar.

(2) Tentukan panjang sisi yang

melebihi jarak dua sisi pada (1) dan

tidak kongruen dengan sisi-sisi

pada (1) itu.

(3) Buat sisi yang keempat kongruen

dengan sisi pada (2).

a

2) Keliling jajaran genjang ABCD = 2  6x −1 + x  = 32
 3 

2  6x −1 + 3x  = 32
 3 

2  9x − 1  = 32
 3 

9x −1 = 16
3

9x −1 = 3.16

9x −1 = 48

9x = 49

x =54.
9

Jadi, panjang sisi AD = panjang sisi BC = 5 4 cm.
9

6 . 5 4 −1 5
9
panjang sisi AB = panjang sisi DC = = 10 cm.
39

6.12 Geometri

3) 1. Persegi
2. Persegi panjang
3. Belah ketupat
4. Jajaran genjang
5. Trapesium

a

4) AB = 2x, harus sama dengan CD = 3y + 4
BC = x + 7, harus sama dengan AD = 2y
Jadi 2x = 3y + 4 atau 2x – 3y = 4 …….(1)
x + 7 = 2y atau x – 2y = – 7 …….(2)
(1) … 2x – 3y = 4
2× (2) … 2x – 3y = – 14 –
y = 18
(2) … x – 2y = –7
x – 2 . 18 = –7
x = –7 + 36
x = 29
Jadi, AB = DC = 2 . 29 = 58
BC = AD = 2 . 18 = 36.

5) AE = D2 − DE2 = 52 − 42 = 3

GH = 1 (AB + DC) = 1 (AE + EF + FB + DC)

22
AE = FB = 3
EF = DC = 6

GH = 1 (3 + 6 + 3 + 6) = 9.

2

6) Bukti: Alasan
1. Sisi berhadapan pada jajaran genjang kongruen
a 2. Sisi berhadapan pada jajaran genjang kongruen
3. Sisi berhadapan pada jajaran genjang kongruen
Pernyataan 4. Sisi berhadapan pada jajaran genjang kongruen
5. Pengurangan segmen
1. CD ≅ AB 6. Postulat Si-Si-Si
2. CF ≅ AF
3. CE ≅ AF
4. BC ≅ DA
5. DF ≅ BE
6. ∆CDF ≅ ∆ABE

PEMA4207/MODUL 6 6.13

7) Jumlah daerah belah ketupat yang bukan persegi adalah 12 buah.
Jumlah daerah yang berbentuk belah ketupat adalah 3 buah.

8) Bukti: Alasan
A 1. DB dibuat
2. Diketahui
Pernyataan
1. Terdapat ∆ DBC 3. Jajar tengah

2. Y tengah-tengah DC , X tengah- 4. Panjang Jajar tengah
5. DB dibuat
tengah BC 6. Diketahui

3. YX // DB 7. Jajar tengah
4. YX = 1 DB
8. Panjang Jajar tengah
2 9. Transitif kesejajaran
5. Terdapat ∆ DBA 10. Transitif Sama dengan
6. Z tengah-tengah AD , W tengah- 11. Sifat jajaran genjang

tengah AB
7. ZW // DB
8. ZW = 1 DB

2
9. YX // ZW
10. YX = ZW
11. WXYZ jajaran genjang

9) ABCD jajaran genjang, maka AB = CD
4x – 5 = 2x + 23
2x = 28
x = 14
AB = 51, AC = 40, CD = 51, BD = 40.

CD dan BD diagonal, bila diagonal sama panjang maka jajaran
genjang itu berupa persegi panjang.

6.14 Geometri

10) Garis DC // AB dan PS // QR ,

u∠1+u∠2+u∠3+u∠4=

u ∠ 1 + u ∠ 3 + u ∠ 2 + u ∠ 4 karena

u ∠ 1 = p, dan p suplemen ∠ 3, jadi
p + u ∠ 3 = 180o atau u ∠ 1 + u ∠ 3 =
180o.

Jadi, u ∠ 1 + u ∠ 3 + u ∠ 2 + u ∠ 4 =
180o + u ∠ 2 + u ∠ 4,

Karena q + u ∠ 2 = 180o

u∠4=r +

u ∠ 2 + u ∠ 4 + q = 180o + r

Tetapi q = r, jadi u ∠ 2 + u ∠ 4 = 180o

Jadi, u ∠ 1 + u ∠ 3 + u ∠ 2 + u ∠ 4 =
180o + 180o = 360o.

RANGKUMAN

Sisi dan sudut berhadapan jajaran genjang kongruen. Sudut yang

berbatasan pada jajaran genjang saling suplemen.

Jika sisi berhadapan pada segi empat kongruen maka segi empat itu

jajaran genjang.

Jika sudut berhadapan pada segi empat kongruen maka segi empat

itu jajaran genjang.

Segmen jajar tengah sejajar dengan sisi ketiga dan panjangnya 1
2

dari panjang sisi ketiga.

Titik tengah sisi segi empat merupakan titik sudut jajaran genjang.

Jajaran genjang adalah persegi panjang jika dan hanya jika diagonalnya

kongruen.

Jajaran genjang adalah belah ketupat jika dan hanya jika

diagonalnya masing-masing membagi sudut yang berhadapan.

Segmen yang menghubungkan titik tengah sisi yang tidak sejajar

dari trapesium adalah sejajar alas dan panjangnya 1 dari jumlah panjang
2

sisi-sisi sejajar.

Pada trapesium sama kaki sudut alasnya kongruen dan diagonalnya

juga kongruen.

PEMA4207/MODUL 6 6.15

TES FORMATIF 1

Pilih satu jawaban yang paling tepat!

1) Pada suatu trapesium, panjang salah satu alas sejajar adalah kuadrat alas
lainnya. Sisi-sisi yang tak sejajar kongruen. Sisi yang tak sejajar adalah 3
lebih panjang dari sisi sejajar yang terpendek. Jika keliling trapesium itu
adalah 24 maka sisi-sisinya adalah ....
A. 2, 3, 4, dan 3
B. 3, 6, 9, dan 6
C. 2, 9, 4, dan 9
D. 2, 10, 2, 10

2) Segi empat ABCD berikut adalah jajaran genjang, kecuali ....
A. AB = 12; BC = 5; CD = 12; AD = 5
B. AB = 5; BC = 12; CD = 5; AD = 12
C. AB = 5; BC = 5; CD = 5; AD = 12
D. AB = 10; BC = 10; CD = 10; AD = 10

3) Segi empat di samping adalah jajaran genjang
nilai p = ....
A. 3
B. 17
C. 87
D. 163

4) Agar segi empat di samping jajaran genjang
maka nilai x = ....
A. 23
B. 30
C. 60
D. 120

5) Jika AM = x + 5; MC = 2y + 6; MN = 2x – 5, dan AB =
y + 8. Nilai MN dan AB berturut-turut ....
A. 2 dan 5
B. 3 dan 6
C. 5 dan 10
D. 7 dan 14

6.16 Geometri

6) ABCD adalah belah ketupat. u ∠ DEC = 4x + 10;
u ∠ DAB = 3x + 4. Tentukan u ∠ ABD.

A. 14o
B. 32o
C. 58o
D. 64o

7) Gambar di samping adalah trapesium.

Hubungan yang benar antara p, q, dan r

adalah .... rI=da2nq I–I spalah

A. p = 2q – r
B. p = 2q + r
C. r = 2q – p
D. q = p + r

8) Manakah jajaran genjang yang tidak mungkin terjadi ....
A. semua sudut kongruen
B. diagonalnya saling membagi sama panjang
C. semua sisi kongruen dengan diagonal tidak saling tegak lurus
D. diagonal yang kongruen dan saling tegak lurus

9) I Setiap belah ketupat adalah persegi panjang.
II Ada belah ketupat yang merupakan persegi.
A. I saja yang benar
B. II saja yang benar
C. I dan II benar
D. I dan II salah

10 I Persegi adalah persegi panjang.
II Trapesium adalah jajaran genjang.
A. I saja yang benar
B. II saja yang benar
C. I dan II benar
D. I dan II salah

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.

PEMA4207/MODUL 6 6.17

Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar × 100%

Jumlah Soal

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang
belum dikuasai.

6.18 Geometri

Kegiatan Belajar 2

Sudut Segi Banyak

U mumnya lembaran ubin/keramik pada lantai terdiri atas lembaran yang
berbentuk persegi yang kongruen dengan susunan seperti berikut.

Bisa juga susunan itu berupa segitiga yang kongruen dengan susunan
seperti berikut.

Bisa juga susunan itu berupa segi enam yang kongruen dengan susunan
seperti berikut.

Susunan yang semua seginya kongruen tidak ada lagi, tetapi yang
campuran masih ada, antara persegi dengan segi delapan beraturan seperti
berikut.

PEMA4207/MODUL 6 6.19

Antara segitiga sama sisi dengan segi dua belas beraturan.

Masih adakah kombinasi antara dua macam Segi Banyak beraturan
dengan Segi Banyak beraturan dengan susunan “pas”?

Mungkin dengan mempelajari bahasan ini kita dapat menjawab
pertanyaan tersebut.

Pertama-tama masalah kita adalah berapa jumlah ukuran suatu Segi
Banyak (kita sudah tahu untuk segitiga adalah 180o), untuk menjawab
pertama buat diagonal dari satu titik sudut (untuk segitiga tidak ada
diagonalnya) sehingga terbentuk segitiga-segitiga.

Segi empat Segi lima Segi enam Segi tujuh

Pada masing-masing segi banyak, jumlah ukuran sudut dari Segi Banyak
adalah jumlah ukuran sudut segitiga yang terbentuk.

Pernyataan ini dapat dituliskan pada tabel berikut.

6.20 Geometri

Segi Banyak Banyak Banyak Jumlah
sisi segitiga ukuran
Segi empat sudut
Segi lima (pentagon) 4 2 2.180 = 360
Segi enam (heksagon) 5 3 3.180 = 540
6 4 4.180 = 720
⋮ ⋮ ⋮
Segi n n n-2 ⋮
(n - 2) . 180o

Dengan permukaan induksi (yang lengkap) dapat dinyatakan kebenaran
itu sebagai teorema berikut.

Teorema 6.14
Jumlah ukuran sudut Segi Banyak dengan n sisi adalah (n – 2) (180o).

Teorema 6.15
Berlaku untuk segi n beraturan maupun yang tidak beraturan.

Teorema 6.16
Ukuran satu sudut segi n beraturan adalah (n – 2) (180o) : n.

Berapa jumlah ukuran sudut luar suatu segi n? Seperti untuk segitujuh
berikut.

Masing-masing sudut luar merupakan

pasangan segmen dengan sudut-sudut

dalamnya sehingga
u ∠ A1 + u ∠ A2 = 180°
u ∠ B1 + u ∠ B2 = 180°
u ∠ C1 + u ∠ C2 = 180°
u ∠ D1 + u ∠ D2 = 180°
u ∠ E1 + u ∠ E2 = 180°
u ∠ F1 + u ∠ F2 = 180°
u ∠ G1 + u ∠ G2 = 180°

PEMA4207/MODUL 6 6.21

Jumlah sudut dalam
u ∠ A1 + u ∠ B1 + u ∠ C1 + u ∠ D1 + u ∠ E1 + u ∠ F1 + u ∠ G1 = (7 – 2)
180°.

Misalnya jumlah sudut luar adalah x maka
x = u ∠ A2 + u ∠ B2 + u ∠ C2 + u ∠ D2 + u ∠ E2 + u ∠ F2 + u ∠ G2.

Jumlah sudut dalam dan sudut luar adalah (7 – 2) 180° + x = 7 . 180° maka
x = 7 . 180° – (7 – 2) . 180°
x = 2 . 180° = 360°.

Secara umum dapat ditulis (n – 2) . 180° + x = n . 180°.
Sehingga x = n . 180° – n . 180° + 2 . 180°

= 2 . 180° = 360°.
Jadi nampak di sini jumlah ukuran sudut luar segi n tidak bergantung dari n
(n > 3, n bilangan asli), yaitu 360°.

Teorema 6.17
Jumlah ukuran sudut luar segi n adalah 360°.

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!

1) Banyak segitiga yang membagi segi n adalah n – 2. Amatilah untuk
segitiga sampai segi sepuluh!

2) Berikut adalah banyaknya sisi dari Segi Banyak. Carilah jumlah ukuran
sudut Segi Banyak tersebut untuk:
a) 36
b) 100
c) n

3) Berapa jumlah semua diagonal segi n jika n adalah:
a) 5
b) 20
c) n

6.22 Geometri

4) Berikut ini adalah jumlah sudut dalam dari segi n. Tentukan banyak sisi
segi n jika jumlah sudutnya masing-masing adalah:
a) 6120°
b) 7020°
c) 3420°

5) Berikut ini banyak sisi Segi Banyak beraturan. Cari ukuran sudut untuk
satu titik sudut
a) 7
b) 15
c) 100

6) Jumlah ukuran dari tujuh sudut dari segi delapan adalah 1000. Berapa
besar ukuran sudut kedelapan?

7) Cari banyak sisi Segi Banyak jika jumlah ukuran sudut dalamnya dua
kali jumlah ukuran sudut luarnya.

8) Berapa banyak sisi segi banyak beraturan jika masing-masing sudut
luarnya mempunyai ukuran:
a) 15
b) 18

9) Tunjukkan bahwa jumlah ukuran satu sudut segitiga sama sisi, satu sudut
segi 7 beraturan dan satu sudut segi 42 beraturan adalah satu putaran
penuh (360°), artinya ketiga Segi Banyak itu dapat menutup daerah
sekitar satu titik sudutnya.

10) Diketahui:
Segi 8 beraturan dan
bintang 8 yang bersesuaian
seperti gambar di samping.
Hitung u ∠ AFC.

PEMA4207/MODUL 6 6.23

Petunjuk Jawaban Latihan
1)

a : 3 – 2 = 1 segitiga

Segitiga

Segi empat : 4 – 2 = 2 segitiga

Segi lima : 5 – 2 = 3 segitiga

Segi enam : 6 – 2 = 4 segitiga

Segi tujuh : 7 – 2 = 5 segitiga

Segi delapan : 8 – 2 = 6 segitiga

Segi sembilan : 9 – 2 = 7 segitiga

Segi sepuluh : 10 – 2 = 8 segitiga
a

2) a) Untuk banyak sisi 36 maka jumlah ukuran sudut adalah
(36 – 2) . 180° = 34 . 180° = 6.120°.

b) Untuk banyak sisi 100 maka jumlah ukuran sudut adalah

(100 – 2) . 180° = 98 . 180° = 17.640°.

c) Untuk banyak sisi n maka jumlah ukuran sudut adalah (n – 2) . 180°

a

3) a)  5  − 5 = 5! − 5 = 5.4 − 5 = 10 − 5 = 5
 
 2  2!3! 2

b)  20 20! − 20 = 20.19 − 20 = 190 − 20 = 170
  − 20 =
2 2!18! 2

c)  n − n = n! − n = n (n −1)(n − 2) − n
  2!(n − 2)!
 2!(n − 2)!
2

= n(n −1) − n = n(n −1) − 2n = n2 − 3n = n(n − 3)

.
2 2 22

A

6.24 Geometri

4) a) 6120° = (n – 2) . 180°
6120° = 180°n – 360°
180°n = 6120° + 360°
180°n = 6480°
n = 36.
Banyak sisi ada 36.

b) 7020° = (n – 2) . 180°
7020° = 180°n – 360°
180°n = 7020° + 360°
n = 41.
Banyak sisi ada 41.

c) 3420° = (n – 2) . 180°
3420° = 180°n – 360°
180°n = 3420° + 360°
n = 21.
Banyak sisi ada 21.

5) Gunakan teorema 6.15
a) 7 − 2 .180o = 5 .180o = 128, 57o
77
b) 15 − 2 .180o = 13 .180o = 156o
15 15
c) 100 − 2 .180o = 98 .180o = 176, 4o
100 100

6) Jumlah ukuran sudut segi 8 (ada dalam sudut) adalah

= (n − 2).180o
= (8 − 2).180o

= 6.180o
= 1080o.
Jumlah ukuran 7 sudut 1000o.
Jadi, ukuran sudut kedelapan adalah 1080o-1000o = 80o.

PEMA4207/MODUL 6 6.25

7) Jumlah ukuran sudut luar segi n (berapa pun banyak sisinya) adalah
360°. Suatu segi n jumlah ukuran sudut dalamnya adalah 2 kali 360° atau
720°. Menurut teorema jumlah ukuran sudut dalam segi n adalah (n – 2)
. 180°.

(n − 2).180o = 720o

n − 2 = 720o
180o

n−2 = 4

n =4+2

= 6.
Jadi, banyak sisi segi n itu adalah 6.

8) Misal P adalah titik sudut ∠ 1 adalah sudut luar
dan ∠ 2 adalah sudut dalam.

a) u ∠ 1 = 15 maka u ∠ 2 = 180° - 15° = 165°.
Menurut teorema
n − 2 .180o = 165o
n

(n − 2).180o = 165o n

180o n − 360o = 165o n

15o n = 360o
n = 24.

Jadi banyak sisi segi banyak beraturan yang sudut luarnya 15°
adalah 24 sisi.
b) u ∠ 1 = 18° maka u ∠ 2 = 180° - 18° = 162°.
Menurut teorema

n − 2 .180o = 162o
n

(n − 2).180o = 162o n

180o n − 360o = 162o n

18o n = 360o
n = 20.

6.26 Geometri

Jadi banyak sisi segi banyak beraturan yang sudut luarnya 18°
adalah 20 sisi.

9) Ukuran satu sudut segitiga sama sisi adalah 60°. = 128 4o
Ukuran satu sudut 7 beraturan adalah 7 − 2 .180o 7
7 3o

Ukuran satu sudut segi 42 beraturan adalah 42 − 2 .180o = 171
42 7

359 7 = 360o.
7

10) FGHA ≅ DEFG
GI tinggi dari FGHA

FI tinggi dari DEFG
GI ≅ FI
GI ⊥ FA
∆ FGI siku-siku sama kaki.
u ∠ GFI = 45°.
CDEF ≅ EFGH
EJ tinggi dari CDEF

FJ tinggi dari EFGH
EJ ≅ FJ
EJ ⊥ CF
∆ EFJ siku-siku sama kaki.
u ∠ EFJ = 45°
u ∠ EFG = 135° (sudut segi 8 beraturan)
u ∠ EFG = u ∠ GFI + u ∠ AFG + u ∠ EFJ
u ∠ AFG = u ∠ EFG - u ∠ GFI - u ∠ EFJ
= 135° - 45° - 45° =45°.

PEMA4207/MODUL 6 6.27

RANGKUMAN

Jumlah ukuran sudut segi n adalah (n – 2) . 180°. Ukuran satu sudut

segi n beraturan adalah (n − 2) .180o. Jumlah ukuran sudut luar Segi

n
Banyak (yang masing-masing satu setiap titik sudut) adalah 360°.

Banyak diagonal segi n adalah 1 n (n − 3).

2

TES FORMATIF 2

Pilih satu jawaban yang paling tepat!

1) Bila hadir di suatu ruangan sebanyak 2 orang maka terdapat 1 salaman,
hadir 3 orang maka terdapat 3 salaman, hadir 4 orang terdapat 6 salaman.
Bila yang hadir ada 7 orang maka salaman yang terjadi ….
A. 7
B. 14
C. 21
D. 28

2) Berapa besar satu sudut dari segi 12 beraturan?
A. 30
B. 75
C. 108
D. 150

3) Jumlah ukuran sudut segi n adalah 1980, berapakah n?
A. 7
B. 9
C. 11
D. 13

4) Berapa banyak diagonal dari segi 25?
A. 50
B. 125
C. 275
D. 355

6.28 Geometri

5) Carilah banyak sisi segi n, jika jumlah ukuran sudut dalamnya sama
dengan 10 kali jumlah ukuran sudut lancip.
A. 20
B. 22
C. 24
D. 27

6) Jumlah ukuran sebelas sudut dari segi 12 adalah 1745°. Berapa ukuran
sudut yang ke 12?
A. 1800°
B. 1500°
C. 150°
D. 55°

7) Berapa besar masing-masing sudut luar segi 30 beraturan?
A. 12°
B. 15°
C. 18°
D. 24°

8) Besar sudut DOA adalah ….
A. 80°
B. 90°
C. 120°
D. 150°

9) Besar sudut FJE (dari gambar soal nomor 8) adalah ….

A. 90°
B. 100°
C. 120°
D. 180°

PEMA4207/MODUL 6 6.29

10) Dua daerah segi 5 beraturan dan satu
daerah segi n beraturan menutup daerah
sekitar P. Nilai n adalah ….
A. 8
B. 9
C. 10
D. 12

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.

Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar ×100%
Jumlah Soal

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang
belum dikuasai.

6.30 Geometri

Kunci Jawaban Tes Formatif

Tes Formatif 1
1) B. Keliling trapesium = 24

a2 + a + 3 + a + a + 3 = 24
a2 + 3a – 18 = 0
(a – 3) (a + 6) = 0

a = 3.
Sisi-sisi trapesium 3, 6, 9, dan 6.
2) C. Definisi jajaran genjang.
3) D. 4x + 5 + p = 180° → 4x + p = 175°
6x – 1 + p = 180° → 6x + p = 181°
2x = 6 → x = 3.
p = 180° - 6x + 1 = 180° - 18 + 1 = 163°.
4) C. x + 120 = 180° → x = 60°.
5) C. x + 5 = 2y + 6, y + 8 = 2(2x – 5)

x – y = 1; 4x – y = 18
x = 5, y = 2 → MN = 5; AB = 10.
6) C. BD ⊥ AC, u∠DEC = 90°, 4x + 18 = 90°, x = 20°.
u ∠ DAB = 3x + 4 = 64°; u∠EAB = 32°; u∠EBA = 90° - 32° = 58°.
u ∠ ABD = u∠EBA = 58°.

7) A. q = 1 (p + r) → 2q = p + r → p = 2q − r.

2
8) C. Definisi jajaran genjang.

9) B. Definisi belah ketupat.
10) A. Definisi persegi.

Tes Formatif 2

1) C. 7 7! = 7.6.5! = 7.6 = 21.
 =
 2 2!5! 2!5! 2

2) D. (n − 2) .180o , n = 12 → 10 .180o = 150o.

n 12

3) D. (n − 2).180o = 1980o

PEMA4207/MODUL 6 6.31

180o n = 1980o + 360o = 2340o

n = 2340o = 13.
180o

4) C. n (n − 3) , n = 25 → 25.22 = 275.

22

5) B. Jumlah sudut luar adalah 360°. Jumlah sudut segitiga n = 10 ×
jumlah sudut luar.

(n − 2).180o = 3600o → n = 22.

6) D. (n – 2) . 180°; n = 12 → (10) (180°) = 1800°.
Sudut ke-12 = 1800° - 1745° = 55°.

7) A. 360o = 12o.
30

8) C. u ∠ DOA = u ∠ DOC + u ∠ COB + u ∠ BOA.

∆ DOC ≅ ∆ COB ≅ ∆ BOA.

Ketiga segitiga tersebut sama kaki.

∠ ODC = ∠ OCD = ∠ OCB = ∠ OBC = ∠ OBA = ∠ OAB

Satu sudut segi 9 besarnya  9 − 2  .180o = 7 .180o = 140o
 9  9

∠ OCB + ∠ OCD = ∠ C = 140°

u ∠ OCB = u ∠ OBC = 70°

u ∠ COB = 180° – 70° -70° = 40°

u ∠ DOA = u ∠ DOC + u ∠ COB + u ∠ BOA
= 40° + 40° + 40° = 120°.

9) B. u ∠ FJE =180° – u ∠ JEF – u ∠ JEF = 180° – 40° – 40° = 100°.

10) C. Satu sudut segi 5 besarnya 5 − 2 .180o = 108o.
5

u ∠ UPQ = u ∠ KPQ = 108° maka
u ∠ KPU = 360° – 108° – 108° = 144°.

(n − 2) .180o = 144o → n = 10.

n

6.32 Geometri

Daftar Pustaka

Clemen, Stanley R., O'Daffer, Phares G., dan Cooney, Thomas J. (1984).
Geometry with Application and Problem Solving. California: Addison-
Wesley Publishing Company.

Wallace, Edward C., dan West, Stephen F. (1998). Roads to Geometry
Second Edition. New York: Prentice Hall Inc. Simon & Schuster/A
Viacom Company.

Moise, Edwin E. (1970). Elementary Geometry from an Advanced
Standpoint. Massachusett: Addisson-Wesley Publishing Company, Inc.

Rawuh. (1993). Geometri Transformasi. Jakarta: Direktorat Jenderal
Pendidikan Tinggi, Proyek Pembinaan Tenaga Kependidikan Pendidikan
Tinggi.

Ulrich, James F., Czarnec, Fred F., dan Guilbault, Dorothy. (1978).
Geometry. Third Ed. New York: Harcourt Brace Jovanovich.

Modul 7

Kesebangunan

Drs. Mohamad Rahmat, M.Pd.

PENDAHULUAN

M odul 1 ini berjudul Kesebangunan, berisi dua kegiatan belajar.
Kegiatan Belajar 1, Perbandingan berisi pengertian perbandingan,
pembagian sisi dengan perbandingan, kesebangunan segi banyak, postulat
kesebangunan, kesebangunan segitiga siku-siku.

Sedangkan pada Kegiatan Belajar 2 berisi teorema kesebangunan,
penggunaan kesebangunan dalam perbandingan trigonometri, dan
perbandingan trigonometri pada sudut-sudut istimewa.

Adapun tujuan khusus dari modul ini adalah diharapkan Anda dapat:
1. mengubah perbandingan dengan bentuk lain yang ekuivalen;
2. membagi sisi/segmen dalam beberapa segmen dengan perbandingan

tertentu;
3. menyimpulkan dua poligon/segi banyak sebangun;
4. menggunakan postulat kesebangunan;
5. membuktikan teorema-teorema kesebangunan;
6. membuktikan dan menggunakan teorema kesebangunan Si-Si-Si dan Si-

Su-Si;
7. menyelesaikan masalah yang menggunakan perbandingan trigonometri.

7.2 Geometri

Kegiatan Belajar 1

Perbandingan

P erhatikan tiga gambar berikut, Anda setuju bila ada yang mengatakan itu
adalah tiga gambar yang sama, hanya ukurannya saja yang berbeda.
Sama dalam pengertian bentuk, tetapi ukurannya berbeda, besar-kecil, lebih
besar, lebih kecil. Ide ini yang akan dibahas pada bagian ini.

Berikut akan dibahas, dan diingatkan tentang sifat-sifat aljabar dari
perbandingan.
Definisi 7.1

Perbandingan adalah kesamaan antara ratio. Ratio a/b dan c/d adalah
perbandingan jika a/b = c/d, dengan b ≠ 0 dan d ≠ 0.

Kita sering menuliskannya dengan a : b = c : d.
Menurut definisi ini a : b = c : d jika a × d = b × c.
Teorema 7.1
Jika a : b = c : d maka a × d = b × c.
Contoh
3 = 2 didapat 6× 2 = 3× 4 .
64
Teorema 7.2
Jika a : b = c : d maka (a + b) : b = (c + d) : d.

PEMA4207/MODUL 7 7.3

Bukti:

Dari a : b = c : d dapat ditulis a/b = c/d masing-masing ruas ditambah 1,

yaitu a + b = c + d maka a + b = c + d atau (a + b) : b = (c + d) : d.
bb dd bd

Teorema 7.3
Jika a : b = c : d maka (a + b) : b = (c + d) : d.

Bukti:

a : b = c : d dapat ditulis a/b = c/d masing-masing ruas dikurangi 1, yaitu

a − b = c − d maka a − b = c − d atau (a - b) : b = (c - d) : d.
bb dd bd

Teorema 7.4
Jika a : b = c : d maka a : c = b : d.

Bukti:

a : b = c : d dapat ditulis a/b = c/d kalikan masing-masing dengan b/c,

a . b = c . b didapat ab = bc atau a = b .
bc dc bc dc cd

Teorema 7.5
Jika ad = bc maka a: b = c : d.

Bukti:
ad = bc bagilah dengan bd di kedua ruas, didapat
ad = bc ⇔ a = c .
bd bd b d

Pembagian Segmen dengan Perbandingan

Pada segitiga berikut, segmen sejajar dengan salah satu sisi segitiga.

AB = AE = 1 1 =2 atau AB = AE
2

BC ED 3 4 BC ED

7.4 Geometri

Teorema 7.6
Teorema Pembagian Sisi dengan Perbandingan. Jika garis sejajar dengan

satu sisi segitiga dan memotong sisi kedua, maka sisi kedua itu terbagi
dengan proporsional.

Contoh 1
Tentukan nilai x dari gambar di samping!

Penyelesaian:
CM = CN
MD NE

11 2 1
2 10
21 = x

2

11 x = 51
24

x = 5 1 × 2 = 21× 2
43 4 3

x = 7 =31.
22

Contoh 2
Tentukan nilai x dari gambar di samping!

Penyelesaian:
2 : 3 = x : (6 – x)
3x = 2 (6 – x)
3x = 12 – 2x
5x = 12
x = 12 = 2 2 .
55

Konvers Teorema 7.6 juga berlaku.

PEMA4207/MODUL 7 7.5

Teorema 7.7
Jika satu garis memotong dua sisi segitiga dan membaginya dengan

proposional, maka garis itu sejajar dengan sisi ketiga.

Kesebangunan Segi Banyak - Segi lima PQRST sebangun
Perhatikan dua gambar berikut. - dengan segi lima P′ Q′ R′ S′ T′.

Segi tujuh ABCDEFG sebangun
dengan segi tujuh A′ B′ C′ D′ E′ F′ G′.

∠ A ≅ ∠ A′; ∠ B ≅ ∠ B′; ∠ C ≅ ∠ C′; ∠ P ≅ ∠ P′; ∠ Q ≅ ∠ Q′;
∠ D ≅ ∠ D′; ∠ E ≅ ∠ E′; ∠ F ≅ ∠ F′; ∠ R ≅ ∠ R′; ∠ S ≅ ∠ S′;
∠ G ≅ ∠ G′, dan ∠ T ≅ ∠ T′, dan

AB = BC = CD = DE = EF = PQ = QR = RS = ST =
A'B' B'C' C'D' D'E' E'F' P'Q' Q'R ' R 'S' S'T'

FG = GA = 2 TP = 2
F'G' G'A' T'P'

Ternyata bahwa semua sudut yang berkorespondensi kongruen dan
bahwa perbandingan sisi-sisi yang berkoresponden adalah sama.

Definisi 7.2
Dua Segi Banyak disebut

sebangun jika ada korespondensi
antara titik sudut sehingga sudut-
sudut berkoresponden kongruen,
dan sisi-sisi yang berkoresponden
sebanding.

7.6 Geometri

Contoh 1

Jika diketahui bahwa ABCD ∼ A'B'C'D' maka dapat disimpulkan:

1. ∠ A ≅ ∠ A′; ∠ B ≅ ∠ B′; ∠ C ≅ ∠ C′; ∠ D ≅ ∠ D′.
2. AB = BC = CD = DA .

A'B' B'C' C'D' D'A'

Contoh 2
Jika diketahui bahwa
1. ∠ A ≅ ∠ A′; ∠ B ≅ ∠ B′; ∠ C ≅ ∠ C′; ∠ D ≅ ∠ D′.
2. AB = BC = CD = AD .
A'B' B'C' C'D' A'D'

maka dapat disimpulkan bahwa ABCD ∼ A'B'C'D'.

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!

1) Misalkan AD = AE . Buktikan AD + DB = AE + EC .
DB EC DB EC

2) Suatu perbandingan ditulis dengan −3 = x − 8 . Hitung x.
x5

3) Luas daerah dua segitiga mempunyai perbandingan 4 : 9. Segitiga yang
lebih kecil mempunyai luas 50 cm2. Hitung luas dari segitiga yang lebih

besar.

4) Apakah pernyataan-pernyataan berikut benar atau salah?

a) Jika DB = EC maka DE // BC .
AD AE

b) Jika AB = AC maka DE // BC .
AD AE

c) Jika maka DB = EC maka DE // BC .
AB − DB AC − EC

d) Jika maka AD = AC maka DE // BC .
AB AE

a

PEMA4207/MODUL 7 7.7

5) Dari gambar di samping tentukan nilai x!

a

6) Diketahui: ∆ADE ∼ ∆ABC

Buktikan: DB = EC
AD AE

7) ∆ABC siku-siku di titik B, BD garis
tinggi.

Buktikan: ∆ ABC ∼ ∆ BDC ∼ ∆ ADB

a
8) Diketahui: AD ⊥ BC, BE ⊥ AC.

Buktikan: AD = AC
BE BC

a
9) Buktikan: teorema Pythagoras dengan

kesebangunan, yakni buktikan
bahwa pada segitiga siku-siku
ABC siku-siku di C, buktikan
AB2 = CB2 + CA2.

10) Diketahui: ∆ QRS, titik T, U, dan
V berturut-turut titik
tengah QR, RS, dan
QS.

Buktikan: ∆ QRS ∼ ∆ UVT

7.8 Geometri

Petunjuk Jawaban Latihan

1) AD = AE , tambahkan masing-masing dengan 1.
DB EC
AD +1 = AE +1
DB EC
AD + DB = AE + AC
DB DB EC EC
AD + DB = AE + EC
DB EC

2) −3 = x − 8
x5

5 . (-3) = x (x – 8)
-15 = x2 – 8x
x2 – 8x + 15 = 0

(x – 5)(x – 3) = 0

x1 = 5 atau x2 = 3.
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 5 atau 3.

3) Misal luas daerah segitiga yang lebih besar adalah x maka:

4 : 9 = 50 : x

4x = 450

x = 112 1 .
2

Jadi, luas segitiga yang lebih besar adalah 112 1 cm2.
2

4) a) DB = EC atau AC = AD , dua sisi suatu segitiga terpotong oleh
AD AE EC DB

segmen dengan proporsional maka segmen itu sejajar dengan sisi

ketiga atau DE // BC .

b) AB = AC ⇔ AD + DB = AE + EC ⇔ 1+ DB = 1+ EC
AD AE AD AE AD AE

⇔ DB = EC dengan menggunakan a) didapat DE // BC .
AD AE