Estadística aplicada a los negocios y la economía

Tendencia lineal 577

inició sus operaciones en 2005; este año inicial se codifica de manera Periodo Año Ventas Línea de tendencia
arbitraria como año 1. Observe que las ventas aumentaron 2 millones
de dólares en promedio cada año; es decir, con base en la recta trazada 1 2005 6 3
por los datos de ventas, estas aumentaron de 3 millones de dólares en 2 2006 2 5
2005 a 5 millones en 2006, a 7 millones en 2007, a 9 millones en 2008, 3 2007 9 7
y así sucesivamente; por lo tanto, la pendiente (b) es 2. La pendiente es 4 2008 8 9
el cambio promedio en las ventas en cada aumento de unidades en un 5 2009 16 11
periodo. Además, observe que la recta interseca el eje y (cuando t 5 0; 6 2010 10 13
es decir, el año 2004) en $ 1 millón; este punto es a. Otra manera de 7 2011 12 15
determinar b es ubicar el punto de partida de la recta en el año 1, (3, 8 2012 21 17
para 2005, en este ejemplo); luego se ubica el valor en la recta del últi- 9 2013 18 19
mo año (19, para 2013).
Ventas (en millones de dólares) 25
He aquí la ecuación de la recta de la gráfica 18.5:

yˆ 5 1 1 2t 20
15 Ventas
donde:

yˆ representa las ventas en millones de dólares; 10 Línea de tendencia
1 es la intercepción con el eje Y; también representa las ventas en 5

millones de dólares del año 0 (2004);

t es el periodo codificado para cada año. 0
2004 2006 2008 2010 2012 2014
En el capítulo 13 se trazó una recta por los puntos en un diagrama
de dispersión para aproximar la recta de regresión; sin embargo, cabe Año

observar que este método para determinar la ecuación de regresión GRÁFICA 18.5 Recta ajustada a los datos de ventas

tiene una desventaja importante: la posición de la recta depende del

criterio del individuo que la trace. Es probable que tres personas tracen tres rectas distintas de las

gráficas de dispersión; de igual forma, la recta que se traza según los datos de ventas en la gráfica

18.5 quizá no sea la de mejor ajuste. Debido al criterio subjetivo, este método solo se debe emplear

cuando se necesite una aproximación rápida de la ecuación de la recta, o para verificar si la de

mínimos cuadrados es razonable, tema que se analiza enseguida.

Método de los mínimos cuadrados

En el análisis de una regresión lineal simple, en el capítulo 13, se mostró el método de los mínimos
cuadrados para determinar la mejor relación lineal entre dos variables. En los métodos de proyec-
ción, el tiempo es la variable independiente, y el valor de la serie de tiempo, la dependiente; ade-
más, con frecuencia se codifica la variable independiente (tiempo) para facilitar la interpretación de
las ecuaciones. En otras palabras, se hace que t sea 1 en el primer año, 2 en el segundo, y así en lo
sucesivo. Si una serie de tiempo incluye las ventas de General Electric para cinco años iniciando en
2002 hasta 2006, se codifica el año 2002 como 1, 2003 como 2, y 2006 como 5.

Cuando se utiliza el método de los mínimos cuadrados para encontrar la línea de tendencia
para una serie de tiempo, los errores o residuos suelen estar correlacionados y no son independien-
tes; por lo tanto, los resultados de la prueba de hipótesis para el análisis de regresión que se pre-
sentó en el capítulo 13 pueden no ser válidos en un análisis de serie de tiempo, sin embargo, la
regresión lineal simple puede usarse aún para encontrar una línea de mejor ajuste para una línea de
tiempo.

EJEMPLO

Las ventas de Jensen Foods, una pequeña cadena de abarrotes ubicada Año Tiempo (t ) Ventas (en millones de dólares)
en el suroeste de Texas, de 2009 a 2013 se muestran a la derecha.
2009 1 7.0
Determine la ecuación de regresión. ¿Cuál es el incremento anual de 2010 2 10.0
las ventas? ¿Cuál es la proyección de las ventas para 2015? 2011 3 9.0
2012 4 11.0

SOLUCIÓN 2013 5 13.0

Para determinar la ecuación de la tendencia, puede utilizar la fórmula [13.4] para encontrar la pen-
diente (b), y la fórmula [13.5] para ubicar la intercepción (a). Se sustituye t (los valores codificados del

578 CAPÍTULO 18 Series de tiempo y proyección

año), por X en estas ecuaciones. También es posible Ventas (millones de dólares) 14

ESTADÍSTICA utilizar un paquete de software. En la gráfica 18.6 se 13
EN ACCIÓN
muestra el trazo de ventas y las ventas ajustadas o 12
Con frecuencia los in-
versionistas emplean el de tendencia para cada año. 11
análisis de regresión
para estudiar la relación A partir del análisis de regresión, la ecuación de 10
entre una acción en
particular y la condición la tendencia es yˆ 5 6.1 1 1.3t. ¿Cómo se interpreta 9 Ecuación de tendencia
general del mercado. La esta ecuación? Las ventas están en millones de dó- 8
variable dependiente es lares; por lo tanto, el valor 1.3 indica que estas au-
el cambio porcentual mentaron a una tasa de 1.3 millones de dólares por 7 yˆ = 6.1 + 1.3t
mensual del valor de la 6
acción, y la variable in- 12345
dependiente es el cam- año. El valor 6.1 es el estimado de las ventas en el
bio porcentual mensual año 0; es decir, la estimación del año base (2008); Tiempo
de un índice de mer-
cado, como el Índice por ejemplo, para determinar el punto en la recta de GRÁFICA 18.6 Ventas y recta de tendencia
Compuesto 500, de 2012, se sustituye el valor t de 4 en la ecuación. En- para Jensen Foods (2009 a 2013)
Standard & Poor’s. El va- tonces yˆ 5 6.1 1 1.3(4) 5 11.3.
lor de b en la ecuación
de regresión es el coefi- Si los datos (ventas, producción u otros) aproximan a una tendencia lineal, se emplea la ecua-
ciente beta, o solo beta,
de la acción en particu- ción desarrollada mediante la técnica de mínimos cuadrados para estimar los siguientes. Es razona-
lar. Si b es mayor que 1,
se deduce que la acción ble que las ventas de Jensen Foods sigan una trayectoria lineal; por ello se utiliza la ecuación de la
es sensible a los cam-
bios que se producen tendencia para proyectar las ventas futuras.
en el mercado; si se en-
cuentra entre 0 y 1, la En la tabla 18.4, el año 2009 se codifica como 1, 2011 como 3, y 2013 como 5; es lógico codifi-
implicación es que la
acción no es sensible a car 2015 como 7 y 2016 como 8; por lo tanto, se sustituye el 7 en la ecuación de la tendencia y se
los cambios del mer-
cado. despeja yˆ.

yˆ 5 6.1 1 1.3t 5 6.1 11.3(7) 5 15.2

De esta manera, con base en las ventas pasadas, la estimación para 2015 es 15.2 millones de dóla-
res.

TABLA 18.4 Cálculos para determinar los puntos de la recta de míni-
mos cuadrados con los valores codificados

Ventas Código

Año (millones de dólares) (t ) y Determinado por

2009 7.0 1 7.4 6.1 1 1.3(1)
2010 10.0 2 8.7 6.1 1 1.3(2)
2011 9.0 3 10.0 6.1 1 1.3(3)
2012 11.0 4 11.3 6.1 1 1.3(4)
2013 13.0 5 12.6 6.1 1 1.3(5)

En este ejemplo de serie de tiempo, había cinco años de datos de ventas; con base en esto, se
estiman las ventas de 2016. Muchos investigadores sugieren que no se proyecten ventas, produc-
ción u otras series de negocios y económicas más que n/2 periodos de tiempo a futuro, donde n es
el número de puntos de datos; por ejemplo, si hay 10 años de información, solo se estiman hasta 5
años a futuro (n/2 5 10/2 5 5). Otros sugieren que la proyección no puede ser mayor que dos años,
en especial en tiempos de rápidos cambios económicos.

A continuación se muestra la producción anual de sillas mecedoras grandes de Wood Products, Inc.,
de 2006 a 2013.

AUTOEVALUACIÓN Producción Producción
Año (miles) Año (miles)
182
2006 4 2010 11
2007 8 2011 9
2008 5 2012 11
2009 8 2013 14

(a) Trace los datos de la producción en un diagrama de dispersión.
(b) Determine la ecuación de mínimos cuadrados con un paquete de software.
(c) Utilizando la ecuación de los mínimos cuadrados, determine los puntos de la recta de 2006 y

2013. Conecte los puntos para llegar a la recta.
(d) Con base en la ecuación de la tendencia lineal, ¿cuál es la producción estimada de 2016?

Tendencias no lineales 579

3. A continuación se reporta el número de habitaciones alquiladas en Plantation Resorts, Georgia, de EJERCICIOS
los años de 2009 a 2013.
Para la BASE DE DATOS
Año Alquiladas Año Alquiladas Año Alquiladas visite www.mhhe.com/
uni/lind_ae16e
2003 6 714 2007 9 762 2011 6 162
2004 7 991 2008 10 180 2012 6 897 Para la BASE DE DATOS
2005 9 075 2009 8 334 2013 8 285 visite www.mhhe.com/
2006 9 775 2010 8 272 uni/lind_ae16e

Determine la ecuación de mínimos cuadrados. De acuerdo con esta información, ¿cuáles son los Para la BASE DE DATOS
alquileres estimados para 2014? visite www.mhhe.com/
4. En la siguiente tabla se muestran las ventas netas en millones de dólares de Home Depot, Inc., y sus uni/lind_ae16e
subsidiarias de 1993 a 2012.
Para la BASE DE DATOS
Año Ventas netas Año Ventas netas Año Ventas netas visite www.mhhe.com/
uni/lind_ae16e
1993 $ 9 239 2000 $45 738 2007 $77 349
1994 12 477 2001 53 553 2008 71 288
1995 15 470 2002 58 247 2009 66 176
1996 19 535 2003 64 816 2010 67 997
1997 24 156 2004 73 094 2011 70 395
1998 30 219 2005 81 511 2012 74 754
1999 38 434 2006 90 837

Determine la ecuación de mínimos cuadrados. Con base en esta información, ¿cuáles son las ventas
estimadas para 2014 y 2015?
5. En la siguiente tabla se registran las cantidades anuales de vidrio de desecho producido por Kimble
Glass Works, Inc., de 2009 a 2013.

Desecho Desecho

Año Código (toneladas) Año Código (toneladas)

2009 1 2 2012 4 5

2010 2 4 2013 5 6

2011 3 3

Determine la ecuación de la tendencia de mínimos cuadrados y estime la cantidad de desecho que
se generará en 2015.
6. En la siguiente tabla se muestran las ventas de Walder’s Milk and Dairy Products, en millones de
dólares, durante el periodo de 2007 a 2013.

Ventas Ventas
Año Código (en millones de dólares) Año Código (en millones de dólares)

2007 1 17.5 2011 5 24.5
2008 2 19.0 2012 6 26.7
2009 3 21.0 2013 7 27.3
2010 4 22.7

Determine la ecuación de tendencia de mínimos cuadrados y estime las ventas de 2015.

Tendencias no lineales OA18-5

En el análisis anterior la atención se centró en una serie de tiempo cuyo crecimiento o declinación Utilizar un análisis de
se aproximaban a una recta. Una ecuación de tendencia lineal se utiliza para representar la serie de regresión para ajustar
tiempo cuando se considera que los datos aumentan (o disminuyen) en cantidades iguales, en pro- una serie de tiempo no
medio, de un periodo a otro. lineal.

Los datos que aumentan (o disminuyen) en cantidades cada vez mayores durante un periodo
aparecen curvilíneos cuando se trazan en una gráfica con escala aritmética; en otras palabras, si
aumentan (o disminuyen) en porcentajes o proporciones iguales durante un periodo aparecen cur-
vilíneos sobre un papel cuadriculado (consulte la gráfica 18.7).

580 CAPÍTULO 18 Series de tiempo y proyección

La ecuación de la tendencia de una serie de tiempo que no se aproxime a una tendencia curvi-
línea, como la que se representa en la gráfica 18.7, se calcula con los logaritmos de los datos y el
método de mínimos cuadrados. La ecuación general de la ecuación de la tendencia logarítmica es:

ECUACIÓN DE TENDENCIA LOGARÍTMICA log yˆ 5 log a 1 log b(t) [18.2]

La ecuación de la tendencia logarítmica se puede determinar, con los datos de Gulf Shores
Importers que se muestran en la gráfica 18.7, utilizando Excel. El primer paso es capturar la infor-
mación y después determinar el logaritmo base 10 de cada una de las importaciones del año; por
último, se utiliza el procedimiento de regresión para encontrar la ecuación de mínimos cuadrados.
En otras palabras, se toma el logaritmo de cada uno de los datos del año, y luego se utilizan los
logaritmos como la variable dependiente y el año codificado como la variable independiente.

Ventas Ventas Ventas (miles de dólares) 20 000
Año (miles de dólares) Año (miles de dólares) 18 000
16 000
1999 124.2 2007 3 358.2 14 000
2000 175.6 2008 4 181.3 12 000
2001 306.9 2009 5 388.5 10 000
2002 524.2 2010 8 027.4 8 000
2003 714.0 2011 10 587.2 6 000
2004 1 052.0 2012 13 537.4 4 000
2005 1 638.3 2013 17 515.6 2 000
2006 2 463.2
0
GRÁFICA 18.7 Ventas de Gulf Shores Importers, 1995 2000 2005 2010 2015
1999-2013
Año

Ventas RESUMEN DE SALIDA
(en miles de dólares)
Código Año Ventas log Estadísticos de regresión 0.994
124.2 Múltiple “R” 0.988
1 1999 175.6 2.094122 “R” cuadrada 0.987
2 2000 306.9 2.244525 “R” cuadrada ajustada 0.079
3 2001 524.2 2.486997 Error estándar
4 2002 714.0 2.719497 Observaciones 15
5 2003 1 052.0 2.853698
6 2004 1 638.3 3.022016 ANOVA gl SS MS F
7 2005 2 463.2 3.214393
8 2006 3 358.2 3.391500 Regresión 1 6.585 6.585 1 065.2279
9 2007 4 181.3 3.526107 Residual
10 2008 5 388.5 3.621311 Total 13 0.080 0.006
11 2009 8 027.4 3.731468
12 2010 10 587.2 3.904575 14 6.666
13 2011 13 537.4 4.024781
14 2012 17 515.6 4.131535 Intercepción Coeficientes Ecuación de regresión
15 2013 4.243425 Código 2.053805
0.153357 ˆy 5 2.053805 1 0.153357t

La ecuación de regresión es yˆ 5 2.053805 1 0.153357t, que es la forma logarítmica. Ahora se
tiene una ecuación de la tendencia en términos del porcentaje de cambio; es decir, el valor 0.153357
es el porcentaje de cambio de yˆ por cada aumento unitario de t. Este valor es similar a la media
geométrica que se describió en el capítulo 3.

El logaritmo de b es 0.153357, y su antilogaritmo, o inverso, es 1.423498. Si a este valor se le
resta 1, como se hizo en el capítulo 3, el valor 0.423498 indica la tasa anual de incremento de la
media geométrica de 1999 a 2013. La conclusión es que las importaciones aumentaron a una tasa
de 42.35% al año durante el periodo.

También se utiliza la ecuación de la tendencia logarítmica para hacer estimaciones de valores
futuros. Suponga que desea estimar las importaciones de 2017. El primer paso es determinar el
código de ese año, que es 19; para explicar esto, 2013 tiene un código de 15 y 2017 es cuatro años
después; en consecuencia, 15 1 4 5 19. El logaritmo de las importaciones de 2017 es:

yˆ 5 2.053805 1 0.153357t 5 2.053805 1 0.153357(19) 5 4.967588

Variación estacional 581

Para encontrar las importaciones estimadas de 2017 necesita el antilogaritmo de 4.967588, que es
92 809; el cual, es la estimación del número de importaciones de 2017. Recuerde que los datos se
dieron en miles de dólares, por lo que la estimación es 92 809 000 dólares.

AUTOEVALUACIÓN Las ventas de Tomlin Manufacturing de 2009 a 2013 se mues- Año Ventas
tran a la derecha. (en millones de dólares)
183 2009
(a) Determine la ecuación de la tendencia logarítmica de los 2010 2.13
datos de ventas. 2011 18.10
2012 39.80
(b) ¿Cuál fue el porcentaje de incremento anual de las ventas 2013 81.40
de 2009 a 2013? 112.00

(c) ¿Cuáles son las ventas proyectadas para 2014?

7. Sally’s Software, Inc., es un proveedor de software en el área de Sarasota con un crecimiento rápido; EJERCICIOS
las ventas de los últimos cinco años, de 2009 a 2013, se muestran a continuación.
Para la BASE DE DATOS
Año Ventas visite www.mhhe.com/
(en millones de dólares) uni/lind_ae16e
2009
2010 1.1 Para la BASE DE DATOS
2011 1.5 visite www.mhhe.com/
2012 2.0 uni/lind_ae16e
2013 2.4
3.1

a. Determine la ecuación de la tendencia logarítmica.
b. En promedio, ¿en qué porcentaje aumentaron las ventas durante el periodo?
c. Estime las ventas de 2016.
8. Al parecer, las importaciones de carbón negro aumentaron casi 10% al año.

Importaciones Importaciones

de carbón negro de carbón negro

Año (miles de toneladas) Año (miles de toneladas)

2006 92.0 2010 135.0
2007 101.0 2011 149.0
2008 112.0 2012 163.0
2009 124.0 2013 180.0

a. Determine la ecuación de la tendencia logarítmica.
b. En promedio, ¿en qué porcentaje aumentaron las importaciones durante el periodo?
c. Estime las importaciones durante 2016.

Variación estacional OA18-6

Con anterioridad se mencionó que la variación estacional es otro com- Calcular y aplicar índi-
ponente de una serie de tiempo. Las series de negocios, como las ven- ces estacionales para
tas de automóviles, los embarques de botellas de bebidas de cola y la realizar pronósticos
construcción residencial, tienen periodos de actividad superior e inferior ajustados a la estación.
al promedio cada año. En el área de producción, una razón para analizar
las fluctuaciones estacionales es contar con un abastecimiento sufi-
ciente de materias primas que permita cumplir con la cambiante de-
manda estacional. La división de recipientes de vidrio de una compañía
importante del sector, por ejemplo, fabrica botellas de cerveza no retor-
nables, frascos para yodo, frascos para aspirina, botellas para cemento
plastificado, etcétera. El departamento de programación de producción
necesita saber cuántas botellas debe producir y cuándo debe producir

582 CAPÍTULO 18 Series de tiempo y proyección

de cada tipo porque una corrida de demasiadas botellas de un tipo puede ocasionar un problema

grave de almacenamiento; además, la producción no se puede basar por completo en los pedidos

existentes, pues muchos pedidos se hacen por teléfono para su embarque inmediato. Como la

demanda de muchas botellas varía de acuerdo con la temporada, una proyección con una anticipa-

ción de un año o dos, por mes, es esencial para lograr una programación adecuada.

Un análisis de las fluctuaciones estacionales durante un periodo de años también puede ayu-

dar para evaluar las ventas actuales. Las ventas habituales de tiendas departamentales en Estados

Unidos, salvo las ventas por correo, se muestran como índices en la tabla 18.5; cada uno represen-

ta las ventas promedio de un periodo de varios años. Las ventas reales de algunos meses estuvie-

ron arriba del promedio (representado por un índice mayor que 100), y las ventas de los demás

TABLA 18.5 Índices estacionales habituales de meses, debajo del promedio. El índice de 126.8 de diciembre indica que,
ventas en tiendas departamentales en Estados Unidos, por lo regular, las ventas de diciembre son 26.8% superiores al mes pro-
excluyendo las ventas por correo medio; el índice de 86.0 de julio indica que las ventas departamentales de
este mes casi siempre son 14% menores a las de un mes promedio.

Enero 87.0 Julio 86.0 Suponga que un gerente de tienda emprendedor, en un esfuerzo por
Febrero 83.2 Agosto 99.7 estimular las ventas durante diciembre, introdujo diversas promociones
Marzo 100.5 Septiembre 101.4 únicas, como coros de villancicos por toda la tienda, exhibiciones mecá-
Abril 106.5 Octubre 105.8 nicas y dependientes vestidos con trajes de Santa Claus. Cuando se calcu-
Mayo 101.6 Noviembre 111.9 ló el índice de ventas de ese mes, fue 150.0; en comparación con las ventas
Junio 89.6 Diciembre 126.8 de diciembre habituales de 126.8, se concluyó que el programa de pro-
moción fue un gran éxito.

Determinación de un índice estacional

Un conjunto habitual de índices mensuales consta de 12 índices representativos de los datos de un
periodo de 12 meses; es lógico que haya cuatro índices estacionales habituales para los datos que
se reportaron en el trimestre. Cada índice es un porcentaje, cuyo promedio anual es igual a 100.0;
es decir, cada índice mensual indica el nivel de ventas, producción u otra variable en relación con el
promedio anual de 100.0. Un índice habitual de 96.0 en enero indica que las ventas (o cualquier otra
variable) están, en general, 4% debajo del promedio del año; uno de 107.2 en octubre significa que
la variable está, en general, 7.2% arriba del promedio.

Hay varios métodos para medir las fluctuaciones estacionales habituales en una serie de tiem-
po; el más común para calcular el patrón estacional habitual se denomina método de la razón con
el promedio móvil. Este elimina los componentes de tendencia, cíclicos e irregulares de los datos
originales (Y). En el siguiente análisis, T se refiere a la tendencia, S a la variación estacional, C a la
variación cíclica e I a la variación irregular; los números resultantes son el índice estacional habitual.

A continuación, se estudian con detalle los pasos para obtener los índices estacionales habi-
tuales con el método de la razón con el promedio móvil; los índices de interés pueden ser mensua-
les o trimestrales. Para ilustrar este método, se eligieron las ventas trimestrales de Toys Internatio-
nal; primero, se muestran los pasos necesarios para llegar al conjunto de índices estacionales
habituales, luego se utiliza el software MegaStat de Excel para calcular los índices estacionales.

EJEMPLO

En la tabla 18.6 se registran (en millones de dólares) las ventas trimestrales de Toys International de
2008 a 2013. Determine un índice estacional trimestral con el método de la razón con el promedio
móvil.

TABLA 18.6 Ventas trimestrales de Toys International
(millones de dólares), 2008 a 2013

Año Invierno Primavera Verano Otoño

2008 6.7 4.6 10.0 12.7
2009 6.5 4.6 9.8 13.6
2010 6.9 5.0 10.4 14.1
2011 7.0 5.5 10.8 15.0
2012 7.1 5.7 11.1 14.5
2013 8.0 6.2 11.4 14.9

Variación estacional 583

SOLUCIÓN

En la gráfica 18.8 se registran las ventas trimestrales de Toys International durante el periodo de seis
años. Observe la naturaleza estacional de las ventas: en cada año, las ventas del cuarto trimestre
son las mayores, y las del segundo trimestre, las menores; además, hay un aumento moderado de
las ventas de un año al siguiente. Para detectar esta característica basta observar los valores de las
ventas de todos los cuartos trimestres; en los cuales, durante el periodo de seis años, las ventas
aumentaron; por lo tanto, se esperaría que hubiera un patrón estacional similar para 2014.

Ventas Ventas 16Ventas (millones de dólares)
(millones (millones 14
Año Trimestre de dólares) Año Trimestre de dólares) 12
10
2008 1 6.7 2011 1 7.0 8
2 4.6 2 5.5 6
3 10.0 3 10.8 4
4 12.7 4 15.0 2
6.5 7.1 0
2009 1 4.6 2012 1 5.7
2 9.8 2 11.1 0 4 8 12 16 20 24
3 13.6 3 14.5 Trimestre
4 6.9 4 8.0
5.0 6.2 GRÁFICA 18.8 Ventas trimestrales de Toys International
2010 1 10.4 2013 1 11.4 (en millones de dólares), 2008-2013
2 14.1 2 14.9
3 3
4 4

Para determinar los índices estacionales trimestrales se deben dar seis pasos.

Paso 1: Para el siguiente análisis se debe consultar la tabla 18.7. El primer paso es determinar el
total móvil de los cuatro trimestres de 2008. Inicie con el trimestre invernal de 2008, sume
$6.7, $4.6, $10.0 y $12.7; el total es $34.0 (millones). El total de los cuatro trimestres “se
desplaza” al sumar las ventas de primavera, verano y otoño de 2008 a las ventas de invier-
no de 2009. El total es 33.8 millones de dólares, determinado por 4.6 1 10.0 1 12.7 1 6.5;
este procedimiento se aplica a las ventas trimestrales de cada año. En la columna 2 de la
tabla 18.7 se muestran los totales móviles; observe que el total móvil (34.0) se coloca entre
las ventas de primavera y verano de 2008; el siguiente total móvil (33.8) se coloca entre las
ventas del verano y otoño de 2008, etcétera; verifique los totales con frecuencia para evitar
errores aritméticos.

Paso 2: Cada total móvil trimestral en la columna 2 se divide entre 4 para obtener el promedio mó-
vil trimestral (consulte la columna 3). Todos los promedios móviles aún están colocados
entre los trimestres; por ejemplo, el primer promedio móvil (8.500) se coloca entre la prima-
vera y el verano de 2008.

Paso 3: Se centran los promedios móviles. El primer promedio móvil centrado se determina me-
diante (8.500 1 8.450)/2 5 8.475, y se centra en oposición al verano de 2008; el segundo
se determina mediante (8.450 1 8.450)/2 5 8.450; los otros se determinan de manera simi-
lar. Observe en la columna 4 que cada promedio móvil centrado se coloca en un trimestre
en particular.

Paso 4: Luego calcule el índice estacional específico por cada trimestre dividiendo las ventas en la
columna 1 entre el promedio móvil centrado en la columna 4. El índice estacional específi-
co reporta la razón del valor de la serie de tiempo original con el promedio móvil; para ex-
plicar esta cuestión un poco más, si representa la serie de tiempo con TSCI y el promedio
móvil con TC, de manera algebraica, si calcula TSCI/TC, el resultado es el componente
estacional específico SI. El índice estacional específico del trimestre del verano de 2008 es
1.180, determinado por 10.0/8.475.

Paso 5: Los índices estacionales específicos se organizan en la tabla 18.8; mediante esta se ubican
los de los trimestres correspondientes. Los valores 1.180, 1.130, 1.141, 1.126 y 1.142 re-
presentan estimaciones del índice estacional habitual del trimestre de verano; un método
razonable para encontrar un índice estacional habitual es promediarlos a fin de eliminar el
componente irregular; por lo tanto, el índice habitual del trimestre de verano se determina
mediante (1.180 1 1.130 1 1.141 1 1.126 1 1.143)/5 5 1.144. Se utilizó la media aritméti-
ca, aunque también sirve la mediana o una media modificada.

584 CAPÍTULO 18 Series de tiempo y proyección

TABLA 18.7 Cálculos necesarios para índices estacionales específicos

Año Trimestre (1) (2) (3) (4) (5)
2008 Invierno Ventas Total de Promedio móvil Promedio
(millones de los cuatro Estacional
dólares) trimestres de los cuatro móvil específico
trimestres centrado
6.7

Primavera 4.6

34.0 8.500

Verano 10.0 8.475 1.180

33.8 8.450

Otoño 12.7 8.450 1.503

33.8 8.450

2009 Invierno 6.5 8.425 0.772

33.6 8.400

Primavera 4.6 8.513 0.540

34.5 8.625

Verano 9.8 8.675 1.130

34.9 8.725

Otoño 13.6 8.775 1.550

35.3 8.825

2010 Invierno 6.9 8.900 0.775

35.9 8.975

Primavera 5.0 9.038 0.553

36.4 9.100

Verano 10.4 9.113 1.141

36.5 9.125

Otoño 14.1 9.188 1.535

37.0 9.250

2011 Invierno 7.0 9.300 0.753

37.4 9.350

Primavera 5.5 9.463 0.581

38.3 9.575

Verano 10.8 9.588 1.126

38.4 9.600

Otoño 15.0 9.625 1.558

38.6 9.650

2012 Invierno 7.1 9.688 0.733

38.9 9.725

Primavera 5.7 9.663 0.590

38.4 9.600

Verano 11.1 9.713 1.143

39.3 9.825

Otoño 14.5 9.888 1.466

39.8 9.950

2013 Invierno 8.0 9.888 0.801

40.1 10.025

Primavera 6.2 10.075 0.615

40.5 10.125

Verano 11.4
Otoño 14.9

Variación estacional 585

Paso 6: En teoría, las cuatro medias trimestrales (0.767, 0.576, 1.144, y 1.522) deberán totalizar 4.00,
pues el promedio se fija en 1.0. El total de las cuatro medias trimestrales quizá no sea exac-
tamente igual a ese número debido al redondeo. En este problema, el total de las medias es
4.009; por lo tanto, se aplica un factor de corrección a cada una de las cuatro medias para
que sumen 4.00.

TABLA 18.8 Cálculos necesarios para determinar índices trimestrales
habituales

Año Invierno Primavera Verano Otoño
1.180 1.503
2008 0.772 0.540 1.130 1.550 4.009
2009 0.775 0.553 1.141 1.535 4.000
2010 0.753 0.581 1.126 1.558
2011 0.733 0.590 1.143 1.466
2012 0.801 0.615
2013 5.720 7.612
3.834 2.879 1.144 1.522
Total 0.767 0.576 1.141 1.519
Media 0.765 0.575 114.1 151.9
Ajustado 76.5 57.5
Índice

FACTOR DE CORRECCIÓN PARA MEDIAS TRIMESTRALES

Factor de corrección 5 4.00 [18.3]

Total de cuatro medias

En este ejemplo,

Factor de corrección 5 4.00 5 0.997755
4.009

Por lo tanto, el índice trimestral ajustado de invierno es 0.767(0.997755) 5 0.765. Cada una de
las medias se ajusta hacia abajo de modo que el total de nuestras medias trimestrales sea 4.00.
En general, los índices se reportan como porcentajes, por lo que cada valor en la última fila de
la tabla 18.8 se multiplica por 100; así, el índice del trimestre de invierno es 76.5, y del verano,
151.9. ¿Cómo se interpretan estos valores? Las ventas del trimestre de otoño están 51.9% por
arriba de un trimestre habitual, y del invierno, 23.5% por debajo (100 – 76.5); estos resultados
no deben sorprender porque en el periodo anterior a Navidad (el trimestre de otoño) las ventas
de juguetes se incrementan; después de Navidad (el trimestre de invierno), las ventas se redu-
cen de forma drástica.

El software estadístico puede realizar estos cálculos; por ejemplo, la salida de MegaStat para
Excel se muestra enseguida. El uso de software reducirá en gran medida el tiempo de cómputo y la
probabilidad de cometer un error en los cálculos aritméticos, pero debe comprender los pasos del
proceso; puede haber diferencias ligeras en las respuestas debido al número de dígitos manejados
en los cálculos.

Promedio móvil centrado y desestacionalización

Promedio Razón para Índices Ventas
móvil el promedio estacionales desestacionalizadas
móvil centrado
t Año Trimestre Ventas centrado 0.765 8.759
1.180 0.575 8.004
1 2008 1 6.70 8.475 1.503 1.141 8.761
2 2008 2 4.60 8.450 1.519 8.361
3 2008 3 10.00
4 2008 4 12.70

(continúa)

586 CAPÍTULO 18 Series de tiempo y proyección

(continuación)

Promedio móvil centrado y desestacionalización Razón para Índices Ventas
el promedio estacionales desestacionalizadas
Promedio móvil centrado
móvil

t Año Trimestre Ventas centrado

5 2009 1 6.50 8.425 0.772 0.765 8.498
6 2009 2 4.60 8.513 0.540 0.575 8.004
7 2009 3 9.80 8.675 1.130 1.141 8.586
8 2009 4 13.60 8.775 1.550 1.519 8.953

9 2010 1 6.90 8.900 0.775 0.765 9.021
10 2010 2 5.00 9.038 0.553 0.575 8.700
11 2010 3 10.40 9.113 1.141 1.141 9.112
12 2010 4 14.10 9.188 1.535 1.519 9.283

13 2011 1 7.00 9.300 0.753 0.765 9.151
14 2011 2 5.50 9.463 0.581 0.575 9.570
15 2011 3 10.80 9.588 1.126 1.141 9.462
16 2011 4 15.00 9.625 1.558 1.519 9.875

17 2012 1 7.10 9.688 0.733 0.765 9.282
18 2012 2 5.70 9.663 0.590 0.575 9.918
19 2012 3 11.10 9.713 1.143 1.141 9.725
20 2012 4 14.50 9.888 1.466 1.519 9.546

21 2013 1 8.00 9.988 0.801 0.765 10.459
22 2013 2 6.20 10.075 0.615 0.575 10.788
23 2013 3 11.40 1.141 9.988
24 2013 4 14.90 1.519 9.809

Cálculo de los índices estacionales

2008 1 2 3 4
2009 1.180 1.503
2010 0.772 0.540 1.130 1.550
2011 0.775 0.553 1.141 1.535
2012 0.753 0.581 1.126 1.558
2013 0.733 0.590 1.143 1.466
Media: 0.801 0.615
Ajustada: 0.767 0.576 1.144 1.522 4.009
0.765 0.575 1.141 1.519 4.000

A continuación se resume de forma breve el razonamiento de los cálculos anteriores. En los
datos originales en la columna 1 de la tabla 18.7 se incluyen los componentes de tendencia (T), cí-
clica (C), estacional (S) e irregular (I). El objetivo principal es eliminar la variación estacional (S) de la
valuación de las ventas originales.

De las columnas 2 y 3 de la tabla 18.7 se deriva el promedio móvil centrado dado en la colum-
na 4; en esencia, “quedan fuera” las fluctuaciones estacional e irregular de los datos originales en
la columna 1, por lo tanto, en la columna solo quedan las variaciones por tendencia y la cíclica (TC).

En seguida, se dividen los datos de ventas en la columna 1 (TCSI) entre el promedio móvil cen-
trado del tercer trimestre en la columna 4 (TC) para llegar a las variaciones estacionales específicas
en la columna 5 (SI). En términos de letras, TCSI/TC 5 SI; el cual se multiplica por 100.0 para ex-
presar la variación estacional típica en forma de índice.

En el último paso se toma la medida de todos los índices comunes de invierno, de todos los
índices de primavera, etcétera; este promedio elimina la mayoría de las fluctuaciones irregulares de
las variaciones estacionales específicas, y los cuatro índices resultantes indican el patrón de ventas
estacional típico.

Datos desestacionalizados 587

AUTOEVALUACIÓN En Teton Village, Wyoming, cerca del Grand Teton Park y Yellowstone Park, hay tiendas, restaurantes
y moteles; el sitio tiene dos estaciones altas, una en invierno, para esquiar en las pendientes de
184 10 000 pies de declive, y la otra en verano, para los turistas que visitan los parques. He aquí el nú-
mero de visitantes (en miles) por trimestre en cinco años, de 2009 a 2013.

Trimestre

Año Invierno Primavera Verano Otoño

2009 117.0 80.7 129.6 76.1
2010 118.6 82.5 121.4 77.0
2011 114.0 84.3 119.9 75.0
2012 120.7 79.6 130.7 69.6
2013 125.2 80.2 127.6 72.0

(a) Desarrolle el patrón estacional habitual de Teton Village con el método de la razón con promedio
móvil.

(b) Explique el índice habitual de la temporada de invierno.

9. Víctor Anderson, propietario de Anderson Belts, Inc., estudia el ausentismo entre sus empleados. Su EJERCICIOS
fuerza laboral es pequeña, de solo cinco empleados, y durante los últimos tres años, de 2011 a 2013,
registró el siguiente número de ausencias entre sus empleados, en días, por trimestre. Para la BASE DE DATOS
visite www.mhhe.com/
Trimestre uni/lind_ae16e

Año I II III IV Para la BASE DE DATOS
visite www.mhhe.com/
2011 4 10 73 uni/lind_ae16e

2012 5 12 94

2013 6 16 12 4

Determine el índice estacional habitual de cada trimestre.
10. Appliance Center vende diversos aparatos domésticos y equipo electrónico; a continuación se

muestran las ventas trimestrales de los últimos cuatro años (en millones de dólares).

Trimestre IV
Año I II III
2010 5.3 4.1 6.8 6.7
2011 4.8 3.8 5.6 6.8
2012 4.3 3.8 5.7 6.0
2013 5.6 4.6 6.4 5.9

Determine un índice estacional habitual de cada trimestre.

Datos desestacionalizados OA18-7

Un conjunto de índices habituales es muy útil para ajustar las series de ventas de fluctuaciones Desestacionalizar una se-
estacionales. La serie de ventas resultantes se denomina ventas desestacionalizadas, o estacio- rie de tempo utilizando
nalmente ajustadas. La razón para desestacionalizar la serie de ventas es eliminar las fluctuacio- índices estacionales.
nes estacionales de modo que sea posible estudiar la tendencia y el ciclo; para ilustrar el procedi-
miento, los totales de las ventas trimestrales de Toys International que se muestran en la tabla 18.6
también se registran en la columna 1 de la tabla 18.9.

Para eliminar el efecto de la variación estacional, la cantidad de ventas en cada trimestre (con
los efectos de tendencia, cíclicos, irregulares y estacionales) se divide entre el índice estacional de
ese trimestre, es decir, TSCI/S; por ejemplo, las ventas reales del primer trimestre de 2008 fueron
de 6.7 millones de dólares. El índice estacional del trimestre de invierno es 76.5%, usando los resul-
tados del ejemplo de la sección “Determinación de un índice estacional”. El índice de 76.5 indica
que las ventas del primer trimestre están habitualmente 23.5% por debajo del promedio de un tri-
mestre típico; al dividir las ventas reales de 6.7 millones de dólares entre 76.5, y multiplicar el resul-

588 CAPÍTULO 18 Series de tiempo y proyección

TABLA 18.9 Ventas reales y desestacionalizadas de Toys International

Año Trimestre (1) (2) (3) Año Trimestre (1) (2) (3)
2008 Índice Ventas Índice Ventas
Invierno Ventas estacional desestacionalizadas 2011 Invierno Ventas estacional desestacionalizadas
2009 Primavera Primavera
Verano 6.7 0.765 8.759 Verano 7.0 0.765 9.151
2010 Otoño 4.6 0.575 8.004 Otoño 5.5 0.575 9.570
Invierno 10.0 1.141 8.761 10.8 1.141 9.462
Primavera 12.7 1.519 8.361 2012 Invierno 15.0 1.519 9.875
Verano 6.5 0.765 8.498 Primavera 7.1 0.765 9.282
Otoño 4.6 0.575 8.004 Verano 5.7 0.575 9.918
Invierno 9.8 1.141 8.586 Otoño 11.1 1.141 9.725
Primavera 13.6 1.519 8.953 14.5 1.519 9.546
Verano 6.9 0.765 9.021 2013 Invierno 8.0 0.765 10.459
Otoño 5.0 0.575 8.700 Primavera 6.2 0.575 10.788
10.4 1.141 9.112 Verano 11.4 1.141 9.988
14.1 1.519 9.283 Otoño 14.9 1.519 9.809

Ventas Ventas tado por 100, se obtienen las ventas desestacionalizadas, es decir, se elimina el
efecto estacional sobre las ventas, del primer trimestre de 2008. Este es 8 758
(millones desestacionalizadas 170 dólares, determinado mediante ($6 700 000/76.5)100. Continúe este proceso
con los demás trimestres que se encuentran en la columna 3 de la tabla 18.9, con
de (millones de los resultados reportados en millones de dólares. Como ha eliminado (cancelado)
el componente estacional de las ventas trimestrales, la cifra de las ventas deses-
Año Periodo dólares) dólares) tacionalizadas solo contiene los componentes de tendencia (T), cíclica (C) e irre-
gular ( I ). Al analizar las ventas desestacionalizadas que se registran en la colum-
2008 1 6.7 8.759 na 3 de la tabla 18.9, considere que en las ventas de juguetes se mostró un
aumento moderado durante el periodo de seis años. En la gráfica 18.9 se regis-
2 4.6 8.004 tran tanto las ventas reales como las desestacionalizadas. Es claro que eliminar
el factor estacional permite enfocarse en la tendencia general de largo plazo de
3 10.0 8.761 las ventas; también puede determinar la ecuación de regresión de los datos de la
tendencia y con ella proyectar ventas futuras.
4 12.7 8.361

2009 6.5 8.498

6 4.6 8.004

7 9.8 8.586

8 13.6 8.953

2010 9 6.9 9.021

10 5.0 8.700

11 10.4 9.112

12 14.1 9.283

2011 13 7.0 9.151 16

14 5.5 9.570 Ventas (millones de dólares) 14

15 10.8 9.462 12

16 15.0 9.875 10

2012 17 7.1 9.282

18 5.7 9.918 8

19 11.1 9.725 6

20 14.5 9.546 4 Ventas Ventas
desestacionalizadas
2013 21 8.0 10.459 2 (millones de dólares) (millones de dólares)

22 6.2 10.788 0 0 4 8 12 16 20 24

23 11.4 9.988 GRÁFICA 18.9 Ventas reales y
desestacionalizadas de Toys
24 14.9 9.809 Periodo

Uso de datos desestacionalizados para proyección

El procedimiento para identificar la tendencia y los ajustes estacionales se combina para producir
proyecciones estacionalmente ajustadas; para identificar la trayectoria, determine la ecuación de la
tendencia de mínimos cuadrados en los datos históricos desestacionalizados; luego proyéctela en
periodos futuros, y después ajuste sus tendencias para calcular los factores estacionales; esto se
aclara mediante el siguiente ejemplo.

EJEMPLO

Toys International quiere proyectar sus ventas de cada trimestre de 2014. Determine la proyección
considerando la información que se muestra en la tabla 18.9.

Datos desestacionalizados 589

SOLUCIÓN

Los datos desestacionalizados, que se ilustran en la gráfica 18.9, parecen seguir una recta; de aquí ESTADÍSTICA
que, con base en estos, sea razonable desarrollar una ecuación de tendencia lineal. La ecuación de EN ACCIÓN

la tendencia desestacionalizada es: yˆ 5 a 1 bt Las proyecciones no siem-
donde: pre son correctas; en reali-
dad, una proyección

yˆ es el valor de la tendencia estimado de las ventas de Toys International durante el periodo t; puede ser solo una mejor
a es la intersección de la recta de la tendencia en el tiempo 0; suposición respecto de lo
b es la pendiente de la recta; que sucederá. ¿Por qué
t es el periodo codificado. no son correctas las pro-
yecciones? Un experto

El trimestre de invierno de 2008 es el primero, por lo cual se codifica como 1, el trimestre de prima- enumera ocho errores co-
vera de 2008 se codifica como 2, etcétera; el último trimestre de 2013 se codifica como 24. munes: 1) no examinar
con cuidado las suposicio-
Utilice Excel para encontrar la ecuación de regresión; abajo a la derecha se muestra la salida, en nes, 2) experiencia limi-
la cual, se incluye un diagrama de dispersión de los periodos de tiempo codificados y las ventas tada, 3) falta de imagina-
desestacionalizadas, así como la recta de regresión. ción, 4) olvido de las res-
tricciones, 5) optimismo
La ecuación de la recta de regresión es:

yˆ 5 8.11043 1 0.08988t excesivo, 6) dependencia
en la extrapolación mecá-
La pendiente de la recta de tendencia es 0.08988; esto indica que durante los 24 trimestres las nica, 7) cierre prematuro y
ventas desestacionalizadas aumentaron a una tasa de 0.08988 (millones de dólares) por trimestre, u 8) especificar demasiado.
88 888 dólares por trimestre. El valor de 8.11043 es la intersección de la recta de tendencia con el eje
Y (es decir, para t 5 0).

El coeficiente de determinación es 0.785; el cual sirve como una indicación Ventas (millones de dólares)Datos de ventas ajustadas y desestacionalizadas
del ajuste de los datos. Como esta no es información de la muestra, técnicamente para Toys International de 2008 a 2013
no debería utilizarse R2 para juzgar una ecuación de regresión; sin embargo, servi- 11
rá para evaluar de manera rápida el ajuste de los datos de ventas desestacionali-
zadas. En este caso, como R2 es un tanto grande, se concluye que las ventas 10.5 Datos de ventas
desestacionalizadas de Toys International se explican de manera clara mediante 10 desestacionalizadas
una ecuación de tendencia lineal. 9.5
9
Si se asume que los últimos 24 periodos son un buen indicador de las ventas 8.5 yˆ = 8.11043 + 0.08988t
futuras, utilice la ecuación de la tendencia para estimar las ventas futuras; por 8 R 2 = 0.785
ejemplo, el valor de t en el trimestre de invierno de 2014 es 25; por lo tanto, las 7.5
ventas estimadas de ese periodo son 10.35743, determinadas mediante: 0 4 8 12 16 20 24

yˆ 5 8.11043 1 0.08988t 5 8.11043 1 0.08988(25) 5 10.35743 Tiempo

Las ventas desestacionalizadas estimadas del trimestre de invierno de 2014 alcanzan 10 357 430
dólares; esta es la proyección de ventas antes de considerar los efectos de la temporada.

Para determinar la proyección de cada trimestre de 2014 se utiliza el mismo procedimiento y una
hoja de cálculo de Excel; a continuación se muestra una salida parcial en pantalla de dicho software.

Proyección por trimestre para Toys International, 2014

Trimestre Tiempo Ventas Índice Proyección
estimadas estacional trimestral

Invierno 25 10.35743 0.765 7.92343
Primavera 26 10.44731 0.575 6.00720
Verano 27 10.53719 1.141 12.02293
Otoño 28 10.62707 1.519 16.14252

Ahora que ya se tienen las predicciones de los cuatro trimestres de 2014, las puede ajustar a las
temporadas. El índice de un trimestre de invierno es 0.765; por ende, la proyección del trimestre de
invierno de 2014 se puede ajustar por temporada mediante 10.35743(0.765) 5 7.92343. Las estima-
ciones de cada trimestre de 2014 aparecen en la columna derecha de la salida en pantalla de Excel;
observe cómo los ajustes estacionales aumentan de forma drástica las estimaciones de ventas de los
dos últimos trimestres del año.

590 CAPÍTULO 18 Series de tiempo y proyección

AUTOEVALUACIÓN Westberg Electric Company vende motores eléctricos a clientes en el área de Jamestown, Nueva
Jersey. La ecuación de la tendencia mensual, con base en cinco años de datos mensuales, es
185
yˆ 5 4.4 1 0.5t

El factor estacional de enero es 120, y el de febrero, 95. Determine la proyección estacional ajustada
de enero y febrero del sexto año.

EJERCICIOS 11. El departamento de planeación de Padget and Kure Shoes, fabricante de una marca exclusiva de
zapatos para mujeres, desarrolló la siguiente ecuación de la tendencia, en millones de pares, con
base en cinco años de datos trimestrales.

yˆ 5 3.30 1 1.75t

En la siguiente tabla se muestran los factores estacionales de cada trimestre.

Índice I Trimestre IV
110.0 II III 90.0
120.0 80.0

Determine la proyección ajustada por temporada de cada trimestre de los seis años.
12. Team Sports, Inc., vende artículos deportivos a preparatorias y universidades por medio de un catá-

logo de distribución nacional, y la gerencia de la empresa estima que venderá 2 000 manoplas marca
Wilson, modelo A2000, el próximo año. Las ventas desestacionalizadas proyectadas serán iguales
en cada trimestre del año próximo; el factor estacional del segundo trimestre es 145. Determine las
ventas ajustadas por temporada en el segundo trimestre del próximo año.
13. Consulte en el ejercicio 9 las ausencias en Anderson Belts, Inc., y utilice los índices estacionales que
calculó para determinar las ausencias desestacionalizadas. Determine la ecuación de la tendencia
lineal con base en los datos trimestrales de los tres años y proyecte las ausencias de 2014 ajustadas
por temporada.
14. Consulte en el ejercicio 10 las ventas de Appliance Center, y utilice los índices estacionales que
calculó para determinar las ventas desestacionalizadas. Determine la ecuación de la tendencia li-
neal de los cuatro años con base en los datos trimestrales y proyecte las ventas de 2014 ajustadas
por temporada.

OA18-8 El estadístico de Durbin-Watson
Realizar una prueba de
hipótesis de autocorre- Los datos de series de tiempo recopiladas sucesivamente durante un periodo presentan una dificul-
lación.
tad particular cuando se utiliza la regresión. Una de las suposiciones que por tradición se emplean
e1 e2 e3 e4
(0) en la regresión es que los residuos sucesivos son independientes; lo

cual significa que estos no siguen un patrón ni están altamente co-

rrelacionados, y no hay corridas largas de residuos positivos o ne-

gativos. En la gráfica 18.10, los residuos se muestran a escala en el

Residuo e5 e6 eje vertical, y los valores yˆ, a lo largo del eje horizontal; observe que
hay “corridas” de residuos arriba y debajo de la recta 0. Si calcula la
correlación entre residuos sucesivos, es probable que la correlación

e7 e8 e9 e10 e11 sea fuerte.
Esta condición se denomina autocorrelación, o correlación en

serie.

GRÁFICA 18.10 Residuos correlacionados AUTOCORRELACIÓN Los residuos sucesivos están correla-
cionados.

Los residuos sucesivos están correlacionados en datos de series de tiempo debido a que un
evento de un periodo influye sobre el evento del siguiente; para explicar esto, el propietario de una
mueblería decide obtener una venta especial este mes y gasta una cantidad considerable de dinero
en publicidad. Esperaría una correlación entre las ventas y el gasto publicitario, pero no todos los

El estadístico de Durbin-Watson 591

resultados del aumento de publicidad se experimentarán este mes; es probable que una parte de
su efecto se observe en el mes siguiente y, en consecuencia, espere una correlación entre los resi-
duos.

La relación de regresión en una serie de tiempo se escribe:

Yt 5 a 1 b1Xt 1 et

donde el subíndice t sustituye a i para sugerir que los datos se recopilaron en el tiempo.
Si los residuos están correlacionados, se originan problemas cuando se intenta realizar alguna

prueba de hipótesis respecto de los coeficientes de regresión; asimismo, un intervalo de confianza
o un de proyección, donde se use el error estándar de estimación múltiple, quizá no produzca los
resultados correctos.

La autocorrelación, reportada como r, es la fuerza de la asociación entre residuos sucesivos;
como la r tiene el mismo significado que el coeficiente de correlación, los valores cercanos a 21.00
o 1.00 indican una asociación fuerte, y los cercanos a 0, que no hay asociación. En lugar de realizar
de manera directa una prueba de hipótesis en r, se emplea el estadístico de Durbin-Watson.

El estadístico de Durbin-Watson, identificado con la letra d, se calcula primero al determinar los
residuos por cada observación; es decir, et 5 ( yt 2 yˆt). Luego, d se calcula mediante la siguiente
relación.

ESTADÍSTICO DE DURBIN-WATSON n [18.4]

(et 2 et21)2

d 5 t52 n
(et )2

t51

Para determinar el numerador de la fórmula [18.4], se “retarda” cada residuo un periodo y luego se
eleva al cuadrado la diferencia entre residuos consecutivos; esta maniobra, a la que también se le
puede llamar determinación de las diferencias, tome en cuenta la suma de las observaciones de 2,
en lugar de 1, hasta n. En el denominador se elevan al cuadrado los residuos y se suman todas las
observaciones n.

El valor del estadístico de Durbin-Watson, que varía de 0 a 4, es 2.00 cuando no hay auto-
correlación entre los residuos; cuando el valor de d se acerca a 0, indica una autocorrelación posi-
tiva. Los valores mayores que 2 indican una autocorrelación negativa. En la práctica, la autocorre-
lación casi no se presenta; para que esto ocurra, los residuos sucesivos tenderían a ser grandes,
pero con signos opuestos.

Para realizar una prueba de autocorrelación, las hipótesis nula y alternativa son:

H0: Sin correlación residual ( r 5 0)
H1: Correlación residual positiva ( r . 0)

Recuerde, del capítulo anterior, que r se refiere a la correlación muestral, y que a es el coeficiente
de correlación entre la población. Los valores críticos de d aparecen en el apéndice B.9; para deter-
minar el valor crítico, necesita a (el nivel de significancia), n (el tamaño muestral) y k (el número de
variables independientes). La regla de decisión de la prueba de Durbin-Watson difiere de lo acos-
tumbrado y, como es común, hay un rango de valores donde la hipótesis nula se rechaza y otro
donde no se rechaza; sin embargo, también hay un rango donde la prueba no es concluyente, es
decir, en el rango no concluyente, la hipótesis nula no se rechaza ni se acepta; para expresarlo de
manera más formal:

r -PT WBMPSFT NFOPSFT RVF dl obligan a rechazar la hipótesis nula.
r -PT WBMPSFT NBZPSFT RVF du indican que la hipótesis nula no se debe rechazar.
r -PT WBMPSFT EF d entre dl y du producen resultados no concluyentes.

El subíndice l se refiere al límite inferior de d, y el subíndice u, al límite superior.
¿Cómo interpretar las diversas decisiones de la prueba de correlación residual? Si no se recha-

za la hipótesis nula, se concluye que no hay autocorrelación; si los residuos no están correlaciona-
dos, no hay autocorrelación y se cumple con la suposición de regresión; por lo tanto, no habrá
problemas con el valor estimado del error estándar de estimación. Si la hipótesis nula se rechaza,
se concluye que hay autocorrelación.

592 CAPÍTULO 18 Series de tiempo y proyección

El remedio común de la autocorrelación es incluir otra variable de predicción que capture el
orden de tiempo; por ejemplo, puede utilizar la raíz cuadrada de y en lugar de y; esta transformación
generará un cambio en la distribución de los residuos. Si el resultado aparece en el rango no con-
cluyente, será necesario recurrir a pruebas más elaboradas, o, de manera conservadora, considerar
el rechazo de la hipótesis nula.

Mediante un ejemplo se ilustran los detalles de la prueba de Durbin-Watson y la manera en que
se interpretan los resultados.

EJEMPLO

Banner Rocker Company, fabricante y comercializador de mecedoras, diseñó una mecedora espe-
cial para adultos mayores, que anuncia en la televisión. El mercado de la silla especial se encuentra

en los estados de Carolina del Norte, Carolina del Sur, Florida y Arizona, donde
viven muchos adultos mayores y jubilados. El presidente de la compañía estudia
la asociación entre sus gastos en publicidad (X) y el número de mecedoras ven-
didas en los últimos 20 meses (Y), para lo cual recopiló los siguientes datos. A él
le gustaría elaborar un modelo para proyectar las ventas, con base en la canti-
dad que la empresa gastó en publicidad, pero le preocupa que, como reunió la
información durante meses consecutivos, pueda tener problemas con la auto-
correlación.

Determine la ecuación de regresión. ¿Es la publicidad un buen factor de
proyección de las ventas? Si el propietario gastara un millón de dólares más en
publicidad, ¿cuántas sillas adicionales esperaría vender? Investigue la probabili-
dad de autocorrelación.

Publicidad Publicidad

Ventas (en millones Ventas (en millones

Mes (en miles) de dólares) Mes (en miles) de dólares)

1 153 $5.5 11 169 $6.3

2 156 5.5 12 176 5.9

3 153 5.3 13 176 6.1

4 147 5.5 14 179 6.2

5 159 5.4 15 184 6.2

6 160 5.3 16 181 6.5

7 147 5.5 17 192 6.7

8 147 5.7 18 205 6.9

9 152 5.9 19 215 6.5

10 160 6.2 20 209 6.4

SOLUCIÓN

El primer paso es determinar la ecuación de regresión.

RESUMEN DE SALIDA

Estadísticos de regresión

Múltiple R 0.828

“R” cuadrada 0.685

“R” cuadrada ajustada 0.668

Error estándar 12.347

Observaciones 20

ANOVA gl SS MS F
1 5967.731456 5967.73146 39.1430957
Regresión 18 2744.268544 152.459364
Residuo 19 8712 Valor p
Total Estadístico t 0.22
21.27 0.00
Intercepción Coeficientes Error estándar 6.256
Código 243.80 34.44
35.95 5.75

El estadístico de Durbin-Watson 593

El coeficiente de determinación es 68.5%; por lo tanto, hay una asociación positiva fuerte entre las
variables. La conclusión es que, conforme aumenta la cantidad gastada en publicidad, se venderán
más mecedoras; por supuesto, esto es lo que se esperaba.

¿Cuántas mecedoras más se venderán si los gastos en publicidad aumentan un millón de dóla-
res? Debe tener cuidado con las unidades de los datos porque las ventas están en miles de mecedo-
ras, y el gasto en publicidad, en millones de dólares. La ecuación de regresión es:

yˆ 5 243.80 1 35.95x

Esta ecuación indica que un aumento de 1 en X dará como resultado un aumento de 35.95 en y. En
consecuencia, un aumento de un millón de dólares en publicidad aumentará las ventas en 35 950
mecedoras; en otras palabras, costará 27.82 dólares en gastos publicitarios adicionales vender una
mecedora, lo cual se determina por $1 000 000/35 950.

¿Qué sucede con el problema potencial de autocorrelación? Muchos paquetes de software cal-
cularán el valor de la prueba de Durbin-Watson y darán salida a los resultados; para comprender la
naturaleza de la prueba y ver los detalles de la fórmula [18.4], se utiliza una hoja de cálculo de Excel.

ABC D EFGH

Ventas (en Publicidad

miles de (en millones Ventas Residuales

dólares) de dólares) pronosticadas Residuales retrasados

Mes y x yˆ et 5 y 2 yˆ et 2 1 (et 2 et 2 1)2 e 2
t

1 153 5.5 153.925 20.925 0.8556

2 156 5.5 153.925 2.075 20.925 9.000 4.3056

3 153 5.3 146.735 6.265 2.075 17.556 39.2502

4 147 5.5 153.925 26.925 6.265 173.976 47.9556

5 159 5.4 150.330 8.670 26.925 243.204 75.1689

6 160 5.3 146.735 13.265 8.670 21.114 175.9602

7 147 5.5 153.925 26.925 13.265 407.636 47.9556

8 147 5.7 161.115 214.115 26.925 51.696 199.2332

9 152 5.9 168.305 216.305 214.115 4.796 265.8530

10 160 6.2 179.090 219.090 216.305 7.756 364.4281

11 169 6.3 182.685 213.685 219.090 29.214 187.2792

12 176 5.9 168.305 7.695 213.685 457.104 59.2130

13 176 6.1 175.495 0.505 7.695 51.696 0.2550

14 179 6.2 179.090 20.090 0.505 0.354 0.0081

15 184 6.2 179.090 4.910 20.090 25.000 24.1081

16 181 6.5 189.875 28.875 4.910 190.026 78.7656

17 192 6.7 197.095 25.065 28.875 14.516 25.6542

18 205 6.9 204.255 0.745 25.065 33.756 0.5550

19 215 6.5 189.875 25.125 0.745 594.384 631.2656

20 209 6.4 186.280 22.720 25.125 5.784 516.1984

2338.570 2744.26858

Para investigar la probabilidad de autocorrelación es necesario determinar los residuos de cada ob-
servación y encontrar los valores ajustados (es decir, yˆ ) en cada uno de los 20 meses; esta informa-
ción aparece en la cuarta columna (D). Luego se encuentra el residuo, que es la diferencia entre el
valor real y los valores ajustados; por lo tanto, en el primer mes:

yˆ 5 243.80 1 35.950x 5 243.80 1 35.950(5.5) 5 153.925
e1 5 y1 2yˆ1 5 153 2 153.925 5 20.925

El residuo, reportado en la columna E, es un poco diferente debido al redondeo del software. Obser-
ve, en particular, la serie de cinco residuos negativos para los meses 9 a 13. En la columna F los resi-
duos se retrasan un periodo; en la columna G se determina la diferencia entre el residuo actual y el
anterior, y se la eleva al cuadrado. Con los valores del software:

(et 2 et21)2 5 (e2 2 e221)2 5 [2.075 2 (20.925)]2 5 (3.000)2 5 9.000

El resto de los valores de la columna G se determina de igual forma; los de la columna H son los
cuadrados de los de la columna E.

(e1)2 5 (20.925)2 5 0.8556

Para encontrar el valor d se necesitan las sumas de las columnas G y H; las cuales, están resaltadas
en color azul en la hoja de cálculo.

594 CAPÍTULO 18 Series de tiempo y proyección

n

(et 2 et21)2 5 2 338.570 5 0.8522
2 744.269
d 5 t52 n
(et )2

t51

Ahora, para responder si la autocorrelación es significativa, las hipótesis nula y alternativa se formu-
lan como sigue.

H0: Sin correlación residual

H1: Correlación residual positiva

El valor crítico de d aparece en el apéndice B.9, del cual se muestra una parte a la izquierda. Hay una
variable independiente, por lo que k 5 1, el nivel de significancia es 0.05 y el tamaño de la muestra,
20. En la tabla 0.05, ahora hay que desplazarse a la columna de k 5 1 y hasta la fila de 20, donde los
valores reportados son dl 5 1.20 y du 5 1.41; se rechaza la hipótesis nula si d , 1.20 y no se rechaza
si d . 1.41. No hay una conclusión si d se encuentra entre 1.20 y 1.41.

k1 2 Autocorrelación Indeterminada Sin correlación
n dl du positiva

dl du

15 1.08 1.36 0.95 1.54 0 d
16 1.10 1.37 0.98 1.54

17 1.13 1.38 1.02 1.54 dl du
18 1.16 1.39 1.05 1.53

19 1.18 1.40 1.08 1.53

20 1.20 1.41 1.10 1.54 Rechace Ho No concluyente Se acepta Ho
21 1.22 1.42 1.13 1.54
22 1.24 1.43 1.15 1.54

23 1.26 1.44 1.17 1.54

24 1.27 1.45 1.19 1.55

25 1.29 1.45 1.21 1.55 0.85 1.20 1.41

Puesto que el valor calculado de d es 0.8522, que es menor que dl, rechace la hipótesis nula y acep-
te la hipótesis alternativa; por lo tanto, se concluye que los residuos están autocorrelacionados. Se
violó una de las suposiciones de regresión. ¿Qué hacer? La existencia de autocorrelación en general
significa que el modelo de regresión no se especificó de manera correcta; es probable que necesite
agregar una o más variables independientes que tengan algunos efectos en el orden del tiempo sobre
la variable dependiente. La variable independiente más simple que aún se debe agregar es una que
represente los periodos.

EJERCICIOS 15. Retome el ejercicio 9 del capítulo 14 y la ecuación de regresión para predecir el desempeño en el
trabajo
a. Trace la gráfica de los residuos en el orden de los datos.
b. Pruebe por autocorrelación con el nivel de significancia 0.05.

16. Considere los datos del ejercicio 10 del capítulo 14 y la ecuación de regresión para predecir las co-
misiones ganadas
a. Trace la gráfica de los residuos en el orden de los datos.
b. Pruebe la autocorrelación con el nivel de significancia 0.01.

RESUMEN DEL CAPÍTULO

I. Una serie de tiempo es un conjunto de datos durante un periodo.
A. La tendencia es la dirección de largo plazo de la serie de tiempo.
B. El componente cíclico es la fluctuación por arriba y por debajo de la recta de tendencia de largo
plazo durante un periodo mayor.
C. La variación estacional es el patrón en una serie de tiempo en un año; estos patrones tienden a
repetirse año tras año en la mayoría de los negocios.
D. La variación irregular se divide en dos componentes.

Ejercicios del capítulo 595

1. Las variaciones episódicas son impredecibles, pero en general se pueden identificar; por
ejemplo, una inundación.

2. Las variaciones residuales son de naturaleza aleatoria.
II. Un promedio móvil se utiliza para suavizar la tendencia en una serie de tiempo.
III. La ecuación de la tendencia lineal es yˆ 5 a 1 bt, donde a es la intersección con el eje Y, b es la pen-

diente de la recta y t es el tiempo codificado.
A. La ecuación de la tendencia se determina mediante el principio de los mínimos cuadrados.
B. Si, en vez de que la tendencia sea lineal, los incrementos tienden a ser un porcentaje constante,

los valores y se convierten en logaritmos y con estos se determina la ecuación de mínimos cuadra-
dos.
IV. El factor estacional se estima con el método de la razón con el promedio móvil.
A. El procedimiento de seis pasos produce el índice estacional de cada periodo.
1. En general, los factores estacionales se calculan por mes o trimestre.
2. El factor estacional se utiliza para ajustar las proyecciones, tomando en cuenta los efectos de

la temporada.
V. El estadístico de Durbin-Watson [18.4] se utiliza para probar si hay autocorrelación.

n [18.4]

(et 2 et21)2

d 5 t52 n
(et )2

t51

EJERCICIOS DEL CAPÍTULO

17. Consulte el siguiente diagrama.

Producción 20 000
18 000
16 000
14 000
12 000
10 000

0
1993 1998 2003 2008 2013

a. Estime la ecuación de la tendencia lineal de la serie de producción trazando la recta que mejor
ajusta a los datos.

b. ¿Cuál es el decremento anual promedio de la producción?
c. Con base en la ecuación de la tendencia, ¿cuál es la proyección para 2019?
18. Consulte el siguiente diagrama.
a. Estime la ecuación de la tendencia lineal de la serie de ingreso personal.
b. ¿Cuál es el aumento anual promedio del ingreso personal?

Ingreso personal 18 000
(en dólares) 16 000
14 000
12 000
10 000
8 000
6 000
4 000
2 000

0
1998 2003 2008 2013

19. El movimiento de los activos, excepto inversiones en efectivo y de corto plazo, de RNC Company de Para la BASE DE DATOS
2004 a 2014 es: visite www.mhhe.com/
uni/lind_ae16e
2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
1.11 1.28 1.17 1.10 1.06 1.14 1.24 1.33 1.38 1.50 1.65

596 CAPÍTULO 18 Series de tiempo y proyección

a. Trace la gráfica de los datos.
b. Determine la ecuación de la tendencia de mínimos cuadrados.
c. Calcule los puntos de la recta de tendencia de 2007 y 2012, y trace la recta en la gráfica.
d. Estime el movimiento de los activos en 2019.
e. ¿Cuánto aumentó el movimiento de activos por año, en promedio, de 2004 a 2014?
20. Las ventas, en miles de millones de dólares, de Keller Overhead Door, Inc., de 2009 a 2014 son:

Para la BASE DE DATOS Año Ventas Año Ventas
visite www.mhhe.com/
uni/lind_ae16e 2009 7.45 2012 7.94
2010 7.83 2013 7.76
2011 8.07 2014 7.90

a. Trace la gráfica de los datos.
b. Determine la ecuación de la tendencia de mínimos cuadrados.
c. Utilice la ecuación de la tendencia para calcular los puntos de 2011 y 2014. Trace los puntos en la

gráfica y la recta de regresión.
d. Estime las ventas netas de 2017.
e. ¿Cuánto aumentaron (o disminuyeron) las ventas por año, en promedio, durante el periodo?
21. El número de empleados, en miles, de Keller Overhead Door, Inc., de 2009 a 2014 es:

Para la BASE DE DATOS Año Empleados Año Empleados
visite www.mhhe.com/
uni/lind_ae16e 2009 45.6 2012 39.3
2010 42.2 2013 34.0
2011 41.1 2014 30.0

a. Trace la gráfica de los datos.
b. Determine la ecuación de la tendencia de mínimos cuadrados.
c. Con la ecuación de la tendencia, calcule los puntos de 2011 y 2014. Trace los puntos en la gráfica

y la recta de regresión.
d. Estime el número de empleados en 2017.
e. ¿En cuánto aumentó (o disminuyó) el número de empleados por año, en promedio, durante el pe-

riodo?
22. En la siguiente tabla se muestra el precio de venta de las acciones de PepsiCo, Inc., al cierre de año.

Para la BASE DE DATOS Año Precio Año Precio Año Precio Año Precio
visite www.mhhe.com/
uni/lind_ae16e 1990 12.9135 1996 29.0581 2002 42.22 2008 54.77

1991 16.8250 1997 36.0155 2003 46.62 2009 60.80

1992 20.6125 1998 40.6111 2004 52.20 2010 65.33

1993 20.3024 1999 35.0230 2005 59.85 2011 66.35

1994 18.3160 2000 49.5625 2006 62.00 2012 68.43

1995 27.7538 2001 48.68 2007 77.51

Para la BASE DE DATOS a. Trace la gráfica de los datos.
visite www.mhhe.com/ b. Determine la ecuación de la tendencia de mínimos cuadrados.
uni/lind_ae16e c. Calcule los puntos de 1995 y 2000.
d. Calcule el precio de venta en 2016. ¿Parece una estimación razonable con base en los datos his-

tóricos?
e. ¿En cuánto aumentó o disminuyó (por año) el precio accionario, en promedio, durante el periodo?
23. Si se graficara la siguiente serie de ventas, aparecería curvilínea, lo cual indicaría que las ventas au-
mentan a una tasa (porcentaje) anual un tanto constante; en consecuencia, para ajustar las ventas se
deberá utilizar una ecuación logarítmica.

Año Ventas Ventas
(millones de dólares) Año (millones de dólares)
2004
2005 8.0 2010 39.4
2006 10.4 2011 50.5
2007 13.5 2012 65.0
2008 17.6 2013 84.1
2009 22.8 2014 109.0
29.3

Ejercicios del capítulo 597

a. Determine la ecuación logarítmica.
b. Determine las coordenadas de los puntos de la recta logarítmica de 2005 y 2011.
c. ¿Cuál es el aumento porcentual anual de las ventas, en promedio, durante el periodo de 2004 a

2014?
d. Con base en la ecuación, ¿cuáles son las ventas estimadas para 2015?

24. A la derecha se muestran las cantidades que gasta Año Cantidad Año Cantidad Para la BASE DE DATOS
en publicidad (millones de dólares) una empresa visite www.mhhe.com/
grande de 2004 a 2014. 2004 88.1 2010 132.6 uni/lind_ae16e
a. Determine la ecuación de la tendencia logarítmi- 2005 94.7 2011 141.9
ca. 2006 102.1 2012 150.9 Para la BASE DE DATOS
b. Estime los gastos en publicidad en 2017. 2007 109.8 2013 157.9 visite www.mhhe.com/
c. ¿Cuál es el aumento porcentual anual del gasto 2008 118.1 2014 162.6 uni/lind_ae16e
en publicidad durante el periodo? 2009 125.6

25. A continuación se muestran los precios de venta de las acciones de Oracle, Inc., al cierre de año
desde 1990 hasta 2012.

Año Precio Año Precio Año Precio Año Precio

1990 0.1944 1996 4.6388 2002 10.80 2008 17.73

1991 0.3580 1997 3.7188 2003 13.23 2009 24.53

1992 0.7006 1998 7.1875 2004 13.72 2010 31.30

1993 1.4197 1999 28.0156 2005 12.21 2011 26.33

1994 2.1790 2000 29.0625 2006 19.11 2012 34.08

1995 3.1389 2001 13.81 2007 20.23

a. Trace la gráfica de los datos.
b. Determine la ecuación de la tendencia de mínimos cuadrados. Utilice el precio accionario actual y

el logaritmo del precio. ¿Cuál parece producir una proyección más precisa?
c. Utilizando la ecuación con el logaritmo del precio, calcule los puntos de los años de 1993 y 1998.
d. Utilizando la ecuación con el logaritmo del precio, estime el precio de venta en 2015. ¿Parece una

estimación razonable con base en los datos históricos?
e. Utilizando la ecuación con el logaritmo del precio, ¿cuánto aumentó o disminuyó el precio accio-

nario (por año), en promedio, durante el periodo?
26. A continuación se muestra la producción de Reliable Manufacturing Company de 2012 y parte de

2013.

Mes Producción Producción Mes Producción Producción
en 2012 en 2013 en 2012 en 2013
Enero (miles) (miles) Julio (miles) (miles)
Febrero Agosto
Marzo 6 7 Septiembre 3 4
Abril 7 9 Octubre 5
Mayo 12 14 Noviembre 14
Junio 8 9 Diciembre 6
4 5 7
3 4 6

a. Con el método de razón con el promedio móvil, determine los índices específicos estacionales de
julio, agosto y septiembre de 2012.

b. Suponga que los índices específicos estacionales que se registran en la siguiente tabla son correc-
tos; inserte en esta los índices específicos estacionales que calculó en el punto a (julio, agosto y
septiembre de 2012) y determine los 12 índices estacionales habituales.

Año Ene. Feb. Mar. Abr. Mayo Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.

2012 ?? ? 92.1 106.5 92.9

2013 88.9 102.9 178.9 118.2 60.1 43.1 44.0 74.0 200.9 90.0 101.9 90.9

2014 87.6 103.7 170.2 125.9 59.4 48.6 44.2 77.2 196.5 89.6 113.2 80.6

2015 79.8 105.6 165.8 124.7 62.1 41.7 48.2 72.1 203.6 80.2 103.0 94.2

2016 89.0 112.1 182.9 115.1 57.6 56.9

c. Interprete el índice estacional habitual.

598 CAPÍTULO 18 Series de tiempo y proyección

27. Las ventas de Andre’s Boutique en 2012 y parte de 2013 son:

Mes Ventas en Ventas en Mes Ventas en Ventas en
2012 (miles) 2013 (miles) 2012 (miles) 2013 (miles)
Enero Julio
Febrero 78 65 Agosto 81 65
Marzo 72 60 Septiembre 85 61
Abril 80 72 Octubre 90 75
Mayo 110 97 Noviembre 98
Junio 92 86 Diciembre 115
86 72 130

a. Con el método de la razón con promedio móvil, determine los índices estacionales específicos de
julio, agosto, septiembre y octubre de 2012.

b. Suponga que los índices estacionales específicos que se muestran en la siguiente tabla son co-
rrectos; inserte en esta los índices estacionales específicos que calculó en el inciso punto a (julio,
agosto, septiembre y octubre de 2012) y determine los 12 índices estacionales habituales.

Año Ene. Feb. Mar. Abr. Mayo Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.

2012 ? ? ? ? 123.6 150.9
2013 83.9 77.6 86.1 118.7 99.7 92.0 87.0 91.4 97.3 105.4 124.9 140.1
2014 86.7 72.9 86.2 121.3 96.6 92.0 85.5 93.6 98.2 103.2 126.1 141.7
2015 85.6 65.8 89.2 125.6 99.6 94.4 88.9 90.2 100.2 102.7 121.6 139.6
2016 77.3 81.2 85.8 115.7 100.3 89.7

c. Interprete el índice estacional típico.
28. La producción trimestral de madera de pino, en millones de pies-tabla, de Northwest Lumber para

2010 a 2014 es:

Para la BASE DE DATOS Trimestre
visite www.mhhe.com/
uni/lind_ae16e Año Invierno Primavera Verano Otoño

2010 7.8 10.2 14.7 9.3
2011 6.9 11.6 17.5 9.3
2012 8.9 9.7 15.3 10.1
2013 10.7 12.4 16.8 10.7
2014 9.2 13.6 17.1 10.3

a. Determine el patrón estacional habitual de los datos de la producción con el método de razón con
promedio móvil.

a. Interprete el patrón.
b. Desestacionalice los datos y determine la ecuación de la tendencia lineal.
c. Proyecte la producción estacionalmente ajustada de los cuatro trimestres de 2015.
29. Work Gloves, Corp., estudia sus ventas trimestrales de Toughie, el tipo de guantes más durables que
produce; los números de pares producidos (en miles) por trimestre para 2009 a 2014 son:

Para la BASE DE DATOS Trimestre IV
visite www.mhhe.com/ Oct.-Dic.
uni/lind_ae16e I II III
Año Ene.-Mar. Abr.-Jun. Jul.-Sep. 208
212
2009 142 312 488 187
2010 146 318 512 176
2011 160 330 602 200
2012 158 338 572 205
2013 162 380 563
2014 162 362 587

a. Con el método de la razón con promedio móvil, determine los cuatro índices trimestrales habitua-
les.

b. Interprete el patrón estacional típico.

Ejercicios del capítulo 599

30. Las ventas de material para techos, por trimestre, de 2007 a 2013 de Carolina Home Construction,
Inc., se muestran en la siguiente tabla (en miles de dólares).

Trimestre Para la BASE DE DATOS
visite www.mhhe.com/
Año I II III IV uni/lind_ae16e

2007 210 180 60 246

2008 214 216 82 230

2009 246 228 91 280

2010 258 250 113 298

2011 279 267 116 304

2012 302 290 114 310

2013 321 291 120 320

a. Determine los patrones estacionales habituales de las ventas con el método de la razón con pro- Para la BASE DE DATOS
medio móvil. visite www.mhhe.com/
uni/lind_ae16e
b. Desestacionalice los datos y determine la ecuación de la tendencia.
c. Proyecte las ventas de 2014 utilizando la ecuación de la tendencia y ajuste estacionalmente cada

trimestre.
31. Blueberry Farms Golf and Fish Club de Hilton Head, Carolina del Sur, quiere encontrar los índices

estacionales mensuales del juego en paquete, juego sin paquete y juego total. El primero se refiere a
los golfistas que visitan el área como parte de un paquete para jugar golf; en general, este incluye las
tarifas del green, carrito, alojamiento, servicio al cuarto y alimentos; y el campo gana un porcentaje
de este total. Cuando es sin paquete solo se incluye el juego de los residentes locales y visitantes en
el área que deseen hacerlo. Los siguientes datos se registraron en julio de 2007 y en estos se repor-
tan los juegos en paquete y sin paquete por mes, así como la cantidad total, en miles de dólares.

Año Mes Paquete Local Total Año Mes Paquete Local Total

2010 Julio $ 18.36 $43.44 $ 61.80 2012 Enero 30.60 9.48 40.08
56.76 85.38 2013 Febrero 63.54 30.96 94.50
Agosto 28.62 34.44 135.78 Marzo 167.67 47.64 215.31
38.40 221.10 Abril 299.97 59.40 359.37
Septiembre 101.34 44.88 99.60 Mayo 173.61 40.56 214.17
12.24 48.60 Junio 64.98 63.96 128.94
Octubre 182.70 9.36 34.56 Julio 25.56 67.20 92.76
25.80 93.30 Agosto 31.14 52.20 83.34
Noviembre 54.72 34.44 213.81 Septiembre 81.09 37.44 118.53
34.32 301.98 Octubre 213.66 62.52 276.18
Diciembre 36.36 40.80 220.53 Noviembre 96.30 35.04 131.34
40.80 103.98 Diciembre 16.20 33.24 49.44
2011 Enero 25.20 77.88 94.08 Enero 26.46 15.96 42.42
76.20 99.24 Febrero 72.27 35.28 107.55
Febrero 67.50 42.96 145.29 Marzo 131.67 46.44 178.11
51.36 275.73 Abril 293.40 67.56 360.96
Marzo 179.37 25.56 90.72 Mayo 158.94 59.40 218.34
15.96 38.10 Junio 79.38 60.60 139.98
Abril 267.66

Mayo 179.73

Junio 63.18

Julio 16.20

Agosto 23.04

Septiembre 102.33

Octubre 224.37

Noviembre 65.16

Diciembre 22.14

Con software estadístico: Para la BASE DE DATOS
a. Determine el índice estacional de cada mes de las ventas de los paquetes. ¿Qué observa en el visite www.mhhe.com/
uni/lind_ae16e
transcurso del periodo?
b. Desarrolle un índice estacional de cada mes de las ventas sin paquete. ¿Qué observa en el trans-

curso del periodo?
c. Elabore un índice estacional de cada mes de las ventas totales. ¿Qué observa en el transcurso del

periodo?
d. Compare los índices de las ventas de paquetes, ventas sin paquete y ventas totales. ¿Son iguales

los meses más ocupados?
32. En la tabla de la página siguiente se muestran los números de jubilados que reciben beneficios del

State Teachers Retirement System de Ohio de 1991 a 2012.
a. Trace la gráfica de los datos.
b. Determine la ecuación de tendencia de mínimos cuadrados. Utilice una ecuación lineal.

600 CAPÍTULO 18 Series de tiempo y proyección

Año Servicio Año Servicio Año Servicio Año Servicio

1991 58 436 1997 72 601 2003 89 257 2008 106 099
1992 59 994 1998 75 482 2004 92 574 2009 109 031
1993 61 515 1999 78 341 2005 95 843 2010 112 483
1994 63 182 2000 81 111 2006 99 248 2011 117 138
1995 67 989 2001 83 918 2007 102 771 2012 112 136
1996 70 448 2002 86 666

Para la BASE DE DATOS c. Calcule los puntos de 2000 y 2010.
visite www.mhhe.com/ d. Estime el número de jubilados que recibirán beneficios en 2015. ¿Parece razonable la estimación
uni/lind_ae16e
con base en los datos históricos?
e. ¿Cuánto aumentó o disminuyó el número de jubilados (por año), en promedio, durante el periodo?
33. Ray Anderson, propietario de Anderson Ski Lodge, firma que opera en el norte de Nueva York, tiene
interés en proyectar el número de visitantes del próximo año. Él dispone de los siguientes datos, por
trimestre, desde el primero de 2007 al cuarto de 2013. Elabore el índice estacional de cada trimestre.
¿Cuántos visitantes esperaría Ray en cada trimestre de 2014, si proyecta que en 2013 el número
total de visitantes aumentará 10%? Determine la ecuación de tendencia, proyecte el número de visi-
tantes de 2011 y ajuste estacionalmente la proyección. ¿Qué proyección elegiría?

Año Trimestre Visitantes Año Trimestre Visitantes
2007 2011
I 86 I 188
2008 II 62 2012 II 172
III 28 III 128
2009 IV 94 2013 IV 198
I 106 I 208
2010 II 82 II 202
III 48 III 154
IV 114 IV 220
I 140 I 246
II 120 II 240
III 82 III 190
IV 154 IV 252
I 162
II 140
III 100
IV 174

34. Las inscripciones en la Facultad de Administración de Midwestern University, por trimestre, desde
2009 a la primavera de 2013 son:

Para la BASE DE DATOS Trimestre
visite www.mhhe.com/
uni/lind_ae16e Año Invierno Primavera Verano Otoño

2009 2 033 1 871 714 2 318
2010 2 174 2 069 840 2 413
2011 2 370 2 254 927 2 704
2012 2 625 2 478 1 136 3 001
2013 2 803 2 668 —
—

Con el método de la razón con promedio móvil:
a. Determine los cuatro índices trimestrales.
b. Interprete el patrón trimestral de las inscripciones. ¿Le sorprende la variación estacional?
c. Calcule la ecuación de tendencia y proyecte las inscripciones para 2011 por trimestre.
35. Al comienzo de este capítulo, se presentó una gráfica que muestra el precio por galón de gasolina de
1990 a 2012. En la página siguiente se dan los datos para cada año.

Determine la recta de tendencia utilizando ecuaciones lineales y no lineales. ¿Qué sugeriría y por
qué? Basándose en su recomendación de la mejor ecuación, ¿qué costo por galón estimaría para
2013 y 2014?

Ejercicios del capítulo 601

Año Costo/galón Año Costo/galón

1990 $1.30 2002 $1.35

1991 1.10 2003 1.56

1992 1.09 2004 1.85

1993 1.07 2005 2.27

1994 1.08 2006 2.57

1995 1.11 2007 2.80

1996 1.20 2008 3.25

1997 1.20 2009 2.35

1998 1.03 2010 2.78

1999 1.14 2011 3.52

2000 1.48 2012 3.62

2001 1.42

Utilice la siguiente información, obtenida de los reportes anuales de Home Depot para resolver los
ejercicios 36, 37 y 38; necesitará la ayuda de un paquete de software como Excel y tal vez un pa-
quete adicional como MegaStat; para los años 1993 a 2012, en los datos se incluye una variable de
tiempo codificado (1 a 20), el número de asociados en miles, las ventas netas en millones de dóla-
res, la cantidad media de dólares por transacción, y el Índice de Precios al Consumidor (IPC) para
cada año.

Asociados Ventas netas Cantidad media

Año Tiempo (miles) (millones de dólares) por transacción IPC

1993 1 50.6 9 239 39.13 144.500
1994 2 67.3 12 477 41.29 148.200
1995 3 80.8 15 470 41.78 152.400
1996 4 98.1 19 535 42.09 156.900
1997 5 124.4 24 156 43.63 160.500
1998 6 156.7 30 219 45.05 163.000
1999 7 201.4 38 454 47.87 166.000
2000 8 227.3 45 738 48.65 172.200
2001 9 256.3 53 553 48.64 177.100
2002 10 280.9 58 247 49.43 179.900
2003 11 298.8 64 816 51.15 184.000
2004 12 323.1 73 094 54.89 188.900
2005 13 344.8 81 511 57.98 195.300
2006 14 364.4 79 022 58.90 201.600
2007 15 331.0 77 349 57.48 207.342
2008 16 322.0 71 288 55.61 215.303
2009 17 317.0 66 176 51.76 214.537
2010 18 321.0 67 997 51.93 218.056
2011 19 331.0 70 395 53.28 224.939
2012 20 340.0 74 754 54.89 229.594

36. Desarrolle una ecuación de tendencia para las ventas netas (millones de dólares) para Home Depot.
Considere tanto una tendencia lineal como una no lineal ¿Cuál elegiría y por qué? Dada la ecuación
de tendencia que seleccionó, proyecte las ventas netas para 2014 y 2015.

37. Considere la variable cantidad media por transacción en los datos de Home Depot presentados
arriba; esta indica, por ejemplo, que el cliente promedio gastó 39.13 dólares en bienes durante una
visita a la tienda en 1993; para 2012, esta cantidad aumentó a 54.89 dólares. Durante el mismo pe-
riodo, el IPC reportado por el Buró de Estadísticas Laborales aumentó de 144.5 a 229.594. Convier-
ta el IPC a la base de 1993 como se describió en el capítulo previo, y convierta la cantidad media por
transacción a dólares de 1993. Desarrolle una ecuación de tendencia lineal para la constante “dóla-
res de 1993” de la cantidad media por transacción. ¿Es razonable que la tendencia sea lineal? ¿Es
posible concluir que el valor de la cantidad que el cliente gasta es menor?

38. Utilice las variables “cantidad media por transacción” y “número de asociados” para proyectar las
ventas netas. ¿Ambas variables independientes predicen de manera razonable las ventas netas?
(Sugerencia: ¿Cuál es el valor R2? ¿Es grande? Estudie los valores p de cada variable independiente.
¿Este valor es menos de 0.05 en cada caso?) Como todas estas variables están asociadas con el

602 CAPÍTULO 18 Series de tiempo y proyección

tiempo, puede haber una autocorrelación ahí; por lo tanto, realice la prueba de hipótesis adecuada
para determinar si existe una correlación. ¿Cuál es su conclusión? De nuevo, use el nivel de signifi-
cancia 0.05.

EJERCICIOS DE LA BASE DE DATOS

(Los datos para este ejercicio están disponibles en el sitio web del libro: www.mhhe.com/uni/lind_ae16e).
39. Consulte los datos sobre Baseball 2012 que contienen información de la temporada 2012 de las Li-

gas Mayores de Béisbol y, además, incluye el salario medio por jugador desde 1989. Trace la gráfica
de la información, elabore una ecuación de tendencia lineal y escriba un reporte breve de sus averi-
guaciones.

REPASO DE LOS CAPÍTULOS 17 y 18

En el capítulo 17 se presentaron los números índices; los cuales 5 $95 000 (100) 5 118.75
describen el cambio relativo de valor de un periodo, denomina- $80 000
do periodo base, a otro denominado periodo dado; en realidad
es un porcentaje, pero, en general, el signo de porcentaje se Observe que se utilizan las mismas cantidades del periodo base
omite. Los índices se utilizan para comparar el cambio en series como ponderaciones tanto en el numerador como en el denomi-
desiguales en el tiempo; por ejemplo, una compañía podría nador. El índice indica 18.75% de aumento del valor de las ven-
querer comparar el cambio en las ventas con el cambio en el tas durante el periodo de seis años.
número de vendedores empleados durante el mismo periodo.
Una comparación directa no es significativa porque las unida- El índice de uso y reporte más frecuente es el Índice de
des de un conjunto de datos son dólares, y las del otro, perso- Precios al Consumidor (IPC); el cual, es del tipo de Laspeyres.
nas. Los números índice también facilitan la comparación de Lo elabora cada mes el U.S. Department of Labor para reportar
valores muy grandes, donde la cantidad de cambio en los ac- la tasa de inflación de los precios de bienes y servicios en Esta-
tuales es muy grande y, por lo tanto, es difícil de interpretar. dos Unidos. El periodo base actual es 1982-1984.

Hay dos tipos de índices de precios. Un índice de precios En el capítulo 18 se estudiaron las series de tiempo y los
no ponderado no considera las cantidades; para formarlo se di- pronósticos (proyección). Una serie de tiempo es un conjunto de
vide el valor del periodo base entre el periodo actual (también datos durante un periodo; las ganancias por cada una de las
denominado periodo dado) y se reporta el cambio porcentual; acciones comunes de General Electric durante los últimos diez
por lo tanto, si las ventas fueron de 12 000 000 de dólares en años es un ejemplo de una serie de tiempo. Una serie de tiempo
2008 y de 18 600 000 dólares en 2014, el índice de precios sin consta de cuatro componentes: tendencia, efectos cíclicos,
ponderar simple de 2014 es: efectos estacionales y efectos irregulares.

p 5 pt (100) 5 $18 600 000 (100) 5 155.0 La tendencia es la dirección de largo plazo de la serie de
p0 $12 000 000 tiempo; puede aumentar o disminuir.

Se concluye que las ventas aumentaron 55% durante el pe- El componente cíclico es la fluctuación por arriba y por de-
riodo de seis años. bajo de la recta de tendencia durante un periodo de varios años;
por ejemplo, los ciclos económicos. La mayoría de los negocios
Un índice de precios ponderado considera las cantidades. cambian entre periodos de expansión relativa y reducción du-
El índice ponderado más común es el índice de precios de Las- rante un ciclo de varios años.
peyres; en él se utilizan las cantidades del periodo base como
ponderaciones para comparar cambios de precios. Se calcula al La variación estacional es el patrón recurrente de la serie de
multiplicar las cantidades del periodo base por el precio del pe- tiempo en un año. El consumo de muchos productos y servicios
riodo base por cada producto considerado, y se suma el total; se realiza por temporadas; por ejemplo, las casas de playa a lo
este resultado es el denominador de la fracción. El numerador largo de la Costa del Golfo casi no se rentan durante el invierno,
de la fracción es el producto de las cantidades del periodo base y los albergues de ski en Wyoming no se utilizan en los meses
por el precio actual; por ejemplo, una tienda de aparatos electró- de verano; de aquí que la renta de propiedades frente a la playa
nicos vendió 50 computadoras a 1 000 dólares y 200 reproduc- y los albergues de ski sean estacionales.
tores de DVD a 150 dólares cada uno en el año 2008; en 2014,
la misma tienda vendió 60 computadoras a 1 200 dólares y 230 El componente irregular incluye cualesquiera eventos impre-
reproductores de DVD a 175 dólares. El índice de precios de decibles; en otras palabras, incluye eventos que no se pueden
Laspeyres es: prever. Hay dos tipos de componentes irregulares; por ejemplo,
las variaciones episódicas son impredecibles, pero en general se
p 5 Sptq0 (100) 5 $1 200 3 50 1 $175 3 200 (100) pueden identificar, como la inundación de Nashville en el verano
Sp0q0 $1 000 3 50 1 $150 3 200 de 2010. La variación residual es de naturaleza aleatoria y no se
puede predecir ni identificar.

La tendencia lineal de una serie de tiempo se obtiene por
medio de la ecuación yˆ 5 a 1 bt, donde yˆ es el valor estimado de

Test de prácticas 603

la tendencia, a es la intersección con el eje Y, b es la pendiente minar la recta de la tendencia. Con frecuencia, la autocorrela-
de la recta de tendencia (la tasa de cambio) y t se refiere a los ción (es decir, los valores sucesivos de la serie de tiempo están
valores codificados de los periodos. El método de mínimos cua- correlacionados) es un problema cuando se utiliza la ecuación
drados que se describió en el capítulo 13 se emplea para deter- de tendencia.

PROBLEMAS

1. En la siguiente tabla se registran las ventas netas (miles de millones de euros) de Adidas Group de
2008 a 2012.

Año Ventas netas

2008 10 799
2009 10 381
2010 11 990
2011 13 332
2012 14 883

a. Determine el índice de 2012, con 2008 como periodo base.
b. Utilice el periodo 2008 a 2010 como periodo base y encuentre el índice de 2012.
c. Con 2008 como año base, utilice el método de mínimos cuadrados para encontrar la ecuación de

tendencia. ¿Cuál es el ingreso consolidado estimado para 2014? ¿Cuál es la tasa de incremento
por año?
2. En la siguiente tabla se registra la tasa de desempleo y la fuerza laboral disponible en tres condados
en el noroeste de Pennsylvania en mayo de 2010 y abril de 2013.

Mayo 2010 Abril 2013

Condado Fuerza Porcentaje Fuerza Porcentaje
laboral de desempleo laboral de desempleo
Erie
Warren 141 800 10.0 140 700 7.5
McKean 22 700 4.7 21 200 6.6
22 200 4.9 22 000 7.7

a. En mayo de 2010, el índice nacional de desempleo en Estados Unidos fue de 9.7%. Calcule, para
ese mes, el índice simple del promedio de desempleo de la región utilizando el índice nacional de
desempleo como base. Interprete el índice simple promedio.

b. En abril de 2013, el índice nacional de desempleo de Estados Unidos fue de 7.6%. Calcule, para
ese mes, el índice simple del promedio de desempleo de la región utilizando el índice nacional de
desempleo como base. Interprete el índice simple promedio.

c. Utilice los datos de esta región del noroeste de Pennsylvania para elaborar un índice ponderado de
desempleo con el método de Laspeyres. Emplee la información de mayo de 2010 como periodo
base. Interprete el índice.

3. Con base en cinco años de datos mensuales (de enero de 2008 a diciembre de 2012), la ecuación
de tendencia de una compañía pequeña es yˆ 5 3.5 1 0.7t. El índice estacional de enero es 120, y
el de junio, 90. ¿Cuál es la proyección de las ventas ajustadas por temporada de enero de 2013
y junio de 2013?

TEST DE PRÁCTICAS

Parte 1: Objetivo

1. Para calcular un índice, el periodo base es el ________ (numerador, denominador, cualquiera de los 1. ___________________
dos, siempre 100). 2. ___________________
3. ___________________
2. Un número que mide el cambio relativo de un periodo a otro se denomina ________.
4. ___________________
3. Un índice ponderado considera tanto el precio como ________. 5. ___________________

4. Un índice de Laspeyres utiliza cantidades ________ tanto en el numerador como en el denominador
(elija una: periodo base, periodo dado, las más antiguas, las más recientes).

5. El periodo base actual del Índice de Precios al Consumidor es ________.

604 CAPÍTULO 18 Series de tiempo y proyección

6. La dirección a largo plazo de una serie de tiempo se denomina ________. 6. ___________________

7. Uno de los métodos que se usan para suavizar la tendencia en una serie de tiempo es ________. 7. ___________________

8. Cuando residuos sucesivos están correlacionados, la condición se denomina ________. 8. ___________________

9. La variación irregular en una serie de tiempo, que es de naturaleza aleatoria, se denomina ________. 9. ___________________

10. En un promedio móvil de tres años, las ponderaciones dadas a cada periodo son (las mismas, el

año más lejano tiene más peso, el año más lejano tiene el menor peso). 10. ___________________

Parte 2: Problemas

1. A continuación se reportan las ventas de Roberta’s Ice Cream Stand de 2009 a 2013.

Año Ventas

2009 $130 000
2010 145 000
2011 120 000
2012 170 000
2013 190 000

a. Calcule el índice simple de cada año, usando 2009 como periodo base.
b. Calcule el índice simple de cada año, usando 2009-2010 como periodo base.
2. A continuación se muestran el precio y la cantidad de diversos artículos de golf que compraron algunos miembros de la liga
varonil de este deporte en el Indigo Creek Golf and Tennis Club durante 2009 y 2013.

2009 2013

Precio Cantidad Precio Cantidad

Driver $250.00 5 $275.00 6
Putter 60.00 12 75.00 10
Fierros 700.00 3 750.00 4

a. Determine el índice simple agregado del precio, con 2006 como periodo base.
b. Determine el índice Laspeyres del precio.
c. Determine el índice de Paasche del precio.
d. Determine el índice de valor.
3. La ecuación lineal de tendencia mensual de la Hoopes ABC Beverage Store es:

yˆ 5 5.50 1 1.25t

La ecuación se basa en cuatro años de datos mensuales, y se reporta en miles de dólares. El índice de enero es 105.0 y, el de
febrero, 98.3. Determine la proyección estacionalmente ajustada de enero y febrero en el quinto año.

Control estadístico del

19proceso y administración

de calidad

CADA DÍA, UN FABRICANTE de bicicletas OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
selecciona al azar 10 cuadros y realiza
pruebas para detectar defectos; el número Al terminar este capítulo, usted será capaz de:
de cuadros defectuosos determinado du-
rante los últimos 14 días es 3, 2, 1, 3, 2, 2, OA191 Explicar la función del control de calidad en operacio-
8, 2, 0, 3, 5, 2, 0 y 4. Elabore el diagrama de nes de producción y servicio.
control de este proceso y comente si está
“bajo control” (vea el ejercicio 11 y el OA192 Definir las dos causas de la variación de los procesos y
OA19-6). explicar cómo se usan para monitorear la calidad.

OA193 Explicar el uso de diagramas para investigar las fuentes
de la variación de los procesos.

OA194 Calcular los límites de control de gráficas medias y de
rango para una medición variable de calidad.

OA195 Evaluar los diagramas de control para determinar si un
proceso está fuera de control.

OA196 Calcular los límites de los diagramas de control para un
atributo con una medida de calidad variable.

OA197 Analizar el muestreo de aceptación.

606 CAPÍTULO 19 Control estadístico del proceso y administración de calidad

Introducción

A lo largo de este libro se han presentado muchas aplicaciones de las pruebas de hipótesis. En el
capítulo 10 se describieron métodos para probar una hipótesis respecto de un valor único de la po-
blación; en el capítulo 11 se abordaron los métodos para probar una hipótesis acerca de dos pobla-
ciones. En este se presenta otra aplicación, distinta de la prueba de hipótesis, denominada control
estadístico del proceso (statistical process control, SPC).

El control estadístico del proceso está conformado por un grupo de estrategias, técnicas y
acciones de una organización para asegurar que fabrica un producto o proporciona un servicio de
calidad. El SPC se inicia en la etapa de planeación del producto o servicio, cuando se especifican
los atributos de ambos, y continúa en la etapa de producción. Cada atributo durante el proceso
contribuye a incrementar la calidad general del producto; para un uso eficaz del control de calidad,
se desarrollan atributos y especificaciones mensurables con las cuales se comparan los atributos
reales del producto o servicio.

OA19-1 Breve historia del control de calidad

Explicar la función del Antes del siglo XX, la industria estadounidense se caracterizaba por tiendas pequeñas que hacían
control de calidad en productos relativamente simples, como velas o muebles; en estas tiendas, el trabajador era un ar-
operaciones de produc- tesano totalmente responsable de la calidad del trabajo, y podía asegurar la calidad mediante la
ción y servicio. selección personal de los materiales, su habilidad en la fabricación, colocación y ajuste selectivos.

A principios del siglo XX comenzaron a surgir las fábricas, donde se alineaban personas con
capacitación limitada en largas líneas de ensamblado. Los productos se hicieron mucho más com-
plejos, y el trabajador ya no tenía el control total de la calidad del producto. Un grupo de personal
semiprofesional, en general llamado departamento de inspección, se responsabilizaba de la calidad
del producto; en general, la responsabilidad por la calidad se lograba mediante una inspección de
todas las características importantes. Si había alguna discrepancia, el supervisor del departamento
de manufactura se encargaba del problema; en esencia, la calidad se lograba “con la inspección de
la calidad del producto”.

Durante la década de 1920, el doctor Walter A. Shewhart, de Bell Telephone Laboratories, de-
sarrolló los conceptos del control estadístico de la calidad, e introdujo la idea de “controlar” la cali-
dad de un producto a medida que se fabricaba, en lugar de inspeccionar la calidad del producto
terminado; para hacerlo, Shewhart desarrolló técnicas de representación para controlar las opera-
ciones de la manufactura en proceso. Además, introdujo el concepto de inspección estadística de
la muestra para estimar la calidad de un producto a medida que se fabricaba; mediante este enfo-
que se reemplazó el método anterior de inspeccionar cada parte después de finalizar el proceso
productivo.

El reconocimiento pleno del control estadístico de la calidad ocurrió durante la Segunda Guerra
Mundial; debido a la necesidad de producir artículos bélicos en masa, como visores de bombardeo,
radares precisos y demás equipo electrónico con el menor costo posible, se aceleró el uso del
muestreo estadístico y de las tablas de control de calidad. Desde entonces, estas técnicas estadís-
ticas se refinaron y perfeccionaron. El uso de computadoras también amplió la aplicación de dichas
técnicas.

La Segunda Guerra Mundial destruyó virtualmente la capacidad de producción japonesa; sin
embargo, en lugar de rediseñar los métodos de producción anteriores, los japoneses consiguieron
la ayuda del ahora fallecido doctor W. Edwards Deming, del Departamento de Agricultura de Esta-
dos Unidos, para elaborar un plan global. En una serie de seminarios con planificadores japoneses,
destacó la filosofía que en la actualidad se conoce como los 14 puntos de Deming; estos se presen-
tan en seguida. El doctor Edwards recalcó que la calidad tiene su origen en la mejora del proceso,
no en la inspección, y que son los clientes quienes determinan la calidad. El fabricante debe adqui-
rir capacidad por medio de una investigación de mercado y al anticipar las necesidades de los
clientes; además, la gerencia general tiene la responsabilidad de hacer mejoras de largo plazo. Otro
de sus puntos, al que los japoneses respaldan en gran medida, es que cada miembro de la compa-
ñía debe contribuir a la mejora de largo plazo; para lograr este objetivo, es necesario implementar
una educación y capacitación continuas.

Deming tenía algunas ideas que no concordaban con las filosofías contemporáneas de la ad-
ministración en Estados Unidos. Dos áreas donde sus ideas diferían de la perspectiva administrati-

Breve historia del control de calidad 607

va en ese país fueron las cuotas de producción y las clasificaciones de excelencia; afirmó que am-
bas prácticas, comunes en ese país, no eran productivas y se debían eliminar. También señaló que
en Estados Unidos los gerentes tienen mucho interés en recibir buenas noticias, pero estas no dan
oportunidad de mejorar; por otro lado, las malas noticias abren la puerta para nuevos productos y
permiten que la compañía mejore.

A continuación se resumen los 14 puntos del doctor Deming, quien afirmaba de manera cate-
górica que debían adoptarse como un paquete para tener éxito. El tema central es la cooperación,
el trabajo en equipo y la convicción de que los trabajadores quieren que su trabajo sea de calidad.

LOS 14 PUNTOS DE DEMING

1. Crear un propósito constante de mejora continua de productos y servicio para la sociedad.
2. Adoptar como filosofía que ya no es posible vivir con los niveles de retrasos, errores, materiales

defectuosos y mano de obra deficiente comúnmente aceptados.
3. Eliminar la necesidad de la inspección masiva como manera de lograr calidad; para obtenerla se

debe fabricar el producto en forma correcta desde el principio.
4. Terminar con la práctica de ganar negocios solo con base en el precio: es necesario incluir me-

didas de calidad significativas junto con este.
5. Mejorar de manera constante, y por siempre, cada proceso de planeación, producción y servi-

cio.
6. Implementar métodos modernos de capacitación en el trabajo para todos los empleados, inclu-

so para los administradores; esto generará un mejor aprovechamiento de cada empleado.
7. Adoptar e instituir un liderazgo dirigido a ayudar a que la gente haga un mejor trabajo.
8. Fomentar la comunicación bidireccional eficaz y otros medios para ahuyentar el miedo en la

organización, de modo que todos trabajen de manera más eficiente y productiva para la com-
pañía.
9. Romper las barreras entre los departamentos y las áreas de personal.
10. Eliminar el uso de lemas, carteles y exhortaciones que exijan cero defectos y nuevos niveles de
productividad sin proporcionar los métodos para lograrlos.
11. Eliminar los estándares de trabajo que fijan cuotas para la fuerza de trabajo y metas numéricas
para el personal administrativo; sustituir los apoyos y el liderazgo conveniente a fin de lograr una
mejora permanente en la calidad y la productividad.
12. Eliminar las barreras que roban a los empleados y al personal administrativo su derecho a enor-
gullecerse del fruto de su trabajo.
13. Instituir un programa educativo riguroso y fomentar la superación personal de todos; lo que una
organización necesita es buen personal que se supere con la educación. El ascenso a un pues-
to competitivo tendrá sus raíces en el conocimiento.
14. Definir con claridad el compromiso permanente de la administración para mejorar la calidad y la
productividad y aplicar todos estos principios.

Los 14 puntos de Deming no ignoraron el control estadístico de la calidad, que con frecuencia
se abrevia SQC, por sus siglas en inglés. El objetivo del control estadístico de la calidad es supervisar
la producción en muchas etapas de la manufactura; se emplean las herramientas del control estadís-
tico de la calidad, como las gráficas de barras X y R, para supervisar la calidad
de muchos procesos y servicios. Las tablas de control permiten identificar
cuándo un proceso o servicio está “fuera de control”, es decir, cuándo se
produce un número excesivo de unidades defectuosas.

El interés en la calidad se aceleró de forma impresionante en Estados
Unidos desde finales de la década de 1980. Encienda la televisión y vea los
comerciales de Ford, Nissan y GM, donde destacan el control de calidad en
sus líneas de ensamble; en la actualidad es uno de los temas “de moda” en
todas las facetas de los negocios. Daniel Hunt, un connotado asesor esta-
dounidense en control de calidad, reporta que en la actualidad, en Estados
Unidos, de 20% a 25% del costo de producción se gasta en detectar y co-
rregir errores; además, agrega que el costo adicional de reparar o reempla-
zar productos defectuosos sobre la marcha ocasiona que el costo total de la
calidad deficiente sea de casi 30%. En Japón, indicó, este costo es de ape-
nas 3%.

En años recientes, las compañías se motivaron para mejorar la calidad
en un esfuerzo por obtener reconocimiento en este renglón. El Malcolm Bal-

608 CAPÍTULO 19 Control estadístico del proceso y administración de calidad

ESTADÍSTICA drige National Quality Award, establecido en 1988, se otorga anualmente a compañías estadouni-
EN ACCIÓN denses que demuestren excelencia en el logro y administración de la calidad. Las categorías del
premio son manufactura, servicios, negocios pequeños, cuidado de la salud y educación. Los ga-
¿La excelencia en la admi- nadores de años recientes fueron, entre otros, Xerox, IBM, la University of Wisconsin-Stout, Ritz-
nistración de la calidad Carlton Hotel Corporation, Federal Express y Cadillac. Los ganadores en 2012 fueron:
permite un mejor desem-
peño financiero? En una r -PDLIFFE .BSUJO .JTTJMFT BOE 'JSF $POUSPM .'$
FT VOB FNQSFTB RVF EJTFÒB
EFTBSSPMMB
GBCSJ-
investigación reciente se ca y apoya sistemas avanzados de combate, misiles, cohetes y sensores para el ejército esta-
comparó el desempeño fi- dounidense y para el extranjero. La fuerza de trabajo de la compañía, de 10 688 empleados,
nanciero de las compañías produce y entrega más de 100 productos a través de 825 contratos en más de 60 países. La
que recibieron el Baldrige sede de MFC está en Dallas, Texas, y posee sus segundas mayores instalaciones en Orlando,
National Quality Award Florida; sus otras instalaciones se localizan en nueve estados de Estados Unidos, así como en
con compañías similares Japón y en el Reino Unido.
que no fueron premiadas;
la investigación reveló r .&4" 1SPEVDUT
*OD
FT VOB QFRVFÒB DPNQBÒÎB QSJWBEB FNQMFBEPT
RVF EJTFÒB
GBCSJDB
que las compañías que lo e instala sistemas catódicos de protección que controlan la corrosión de las superficies de
recibieron tenían un pro- metal en estructuras subterráneas y sumergidas, tales como tanques y tuberías. MESA vende
medio de 39% de ingreso productos y materiales en todo Estados Unidos, y proporciona servicios técnicos y de instala-
operativo más alto y 26% ción en forma regional. Las oficinas centrales de la compañía y sus instalaciones de producción
más ventas, y su costo por FTUÃO FO 5VMTB
0LMBIPNB QFSP QPTFF TVDVSTBMFT FO 'PSU 8PSUI
5FYBT )PVTUPO
5FYBT 5BMMB-
dólar de venta fue 1.22% IBTTFF
'MPSJEB )VOUJOHUPO #FBDI
$BMJGPSOJB 8BQBLPOFUB
0IJP $IBSMFTUPO
$BSPMJOB EFM 4VS
menor. y Freeland, Washington. Sus ganancias en 2011 fueron de 45 millones de dólares y, en ese
entonces, proyectó que serían de 55 millones en 2012. Este es el segundo premio Baldrige de
MESA; la compañía lo recibió en 2006 en la categoría de pequeñas empresas.

r /PSUI .JTTJTTJQQJ )FBMUI 4FSWJDFT /.)4
FT VO TJTUFNB EF TBMVE JOUFHSBM
OP MVDSBUJWP
QSPQJF-
dad de la comunidad, que atiende a 24 condados rurales al noreste del Mississippi y al noroes-
te de Alabama. La organización comprende seis hospitales, cuatro guarderías y 34 clínicas;
proporciona servicios preventivos y de bienestar, de hospitalización de emergencia, terapia
intensiva y post-terapia intensiva; además de una organización de proveedores preferentes. La
fuerza de trabajo de NMHS (6 226 empleados y 491 médicos) atiende en instalaciones de salud
MPDBMJ[BEBT FO TFJT DPNVOJEBEFT EF .JTTJTTJQQJ 5VQFMP
#BMEXZO
&VQPSB
-VLB
1POUPUPD Z
West Pont) y en una ciudad de Alabama (Hamilton). Sus ganancias netas en 2011 fueron de 730
millones de dólares. North Mississippi Medical Center (NNMC), el hospital principal y centro de
referencia del sistema NMHS, fue premiado con un premio Baldrige en la categoría de cuidados
a la salud en 2006.

r -B DJVEBE EF *SWJOH
MPDBMJ[BEB FOUSF %BMMBT Z 'PSU 8PSUI
FT MB USJHÊTJNB DJVEBE NÃT QPCMBEB
en Texas y la nonagésima cuarta en Estados Unidos. La ciudad, hogar de aproximadamente
217 700 habitantes, comprende un área de 68 millas cuadradas, que incluye al Aeropuerto In-
ternacional Dallas-Fort Worth; sus principales servicios incluyen aplicación y cumplimiento de
la ley, protección contra incendios y emergencias médicas, agua y alcantarillado, recolección
de basura, mantenimiento de calles y manejo de tráfico, parques, librerías, programas cultura-
les y recreativos y mejoras capitales.

Hay más información sobre estos y otros ganadores en http://www. nist.gov/baldrige.

Six Sigma

Muchas organizaciones de servicio, manufactura y no lucrativas están comprometidas con la mejo-
ra de la calidad de sus productos y servicios. “Six Sigma” es el nombre que se le dio a un programa
organizacional diseñado para mejorar la calidad y el desempeño de la totalidad de una corporación,
cuyo enfoque se concentra en reducir la variación en cualquier proceso que se utilice para producir
y entregar productos y servicios a los clientes. Los programas Six Sigma se aplican tanto a proce-
sos de producción como a procesos contables y otros de apoyo organizacional; sus resultados fi-
nales son: reducir los costos de los errores y defectos, aumentar la satisfacción del cliente y las
ventas de productos y servicios, e incrementar los rendimientos.

Six Sigma obtiene su nombre de la distribución normal; sigma significa “desviación estándar”,
y “más o menos” tres desviaciones estándar dan un rango total de seis desviaciones estándar; por
lo tanto, Six Sigma significa no tener más de 3.4 defectos por millón en cualquier proceso, produc-
to o servicio. Muchas empresas se esfuerzan por tener aún menos defectos; para lograr esta meta,
el programa Six Sigma capacita a cada miembro de la organización que participa en los procesos

Diagramas de diagnóstico 609

para que identifique las fuentes de variación que afectan significativamente la calidad. El proceso
incluye localizar y definir el problema, mejorar el proceso para reducir su variación, e implementar
procedimientos para mejorarlo.

Six Sigma utiliza muchas técnicas estadísticas para recabar y analizar los datos necesarios
para reducir la variación de un proceso. En este libro se incluyen los siguientes: histogramas, análi-
sis de variación, prueba de ji cuadrada de la independencia, regresión y correlación.

General Electric, Motorola y AlliedSignal (en la actualidad parte de Honeywell) son compañías
grandes que lograron una mejora relevante de calidad y ahorros en costos al utilizar los métodos Six
Sigma; incluso ciudades como Fort Wayne, Indiana, emplean las técnicas Six Sigma para mejorar
sus operaciones. La ciudad ahorró 10 millones de dólares desde 2000 y mejoró el servicio a sus
clientes; por ejemplo, redujo 50% la generación de basura y el tiempo de respuesta para reparar
baches (de 21 a 3 horas). Puede aprender más acerca de las ideas, métodos y capacitación Six
Sigma en http://www.6sigma.us.

Fuentes de variación OA19-2

No hay dos productos exactamente iguales; siempre hay alguna variación. El peso de cada hambur- Definir las dos causas
guesa Quarter Pounder de McDonald´s no es exactamente 0.25 libras; algunas pesan más de eso, de la variación de los
otras menos. El tiempo estándar para que el autobús de TARTA (Toledo Area Regional Transit Autho- procesos y explicar có-
rity) haga su recorrido desde el centro de Toledo, Ohio, hasta Perrysburg es de 25 minutos; sin mo se usan para moni-
embargo, no todos los recorridos duran exactamente 25 minutos; algunos tardan más y, en otras torear la calidad.
ocasiones, el conductor de TARTA debe esperar en Perrysburg antes de regresar a Toledo. En algu-
nos casos existe una razón de la demora, como un accidente en la vía rápida o una tormenta de
nieve; en otros, el conductor quizá no alcance los semáforos en verde o el tráfico esté inusualmen-
te congestionado y lento sin razón aparente. En un proceso hay dos fuentes generales de variación:
aleatoria y asignable.

VARIACIÓN ALEATORIA Variación atribuible al azar; esta no se elimina por completo a menos
que haya un cambio importante en las técnicas, tecnologías, métodos, equipamiento o materiales
propios del proceso.

Algunos ejemplos de fuentes de variación aleatoria son la fricción interna en una máquina,
cambios ligeros en las condiciones del material o del proceso (como la temperatura del molde para
hacer botellas de vidrio), condiciones atmosféricas (como temperatura, humedad y el contenido de
polvo del aire) y vibraciones transmitidas a una máquina por un montacargas que pasa a su lado.

Si el agujero taladrado en una pieza de acero es demasiado grande debido a una broca sin filo,
esta se debe afilar, o será preciso insertar una nueva. Un operador que calibra la máquina de mane-
ra incorrecta se puede reemplazar o volver a capacitar. Si el rollo de acero que se utilizará en el
proceso no tiene la resistencia a la tensión adecuada, se debe rechazar. Estos son ejemplos de
variación asignable.

VARIACIÓN ASIGNABLE Variación que no es aleatoria; esta se elimina o reduce cuando se in-
vestiga el problema y se encuentra la causa.

Hay varias razones a las que se debe poner atención respecto de la variación; dos de ellas se OA19-3
mencionan a continuación:
Explicar el uso de dia-
1. Cambiará la forma, dispersión y ubicación central de la distribución de la característica del gramas para investigar
producto que se mide. las fuentes de la varia-
ción de los procesos.
2. Por lo general, la variación asignable es corregible, en tanto que, por lo normal, la variación
aleatoria no se puede corregir o estabilizar de manera económica.

Diagramas de diagnóstico

Existen diversas técnicas de diagnóstico para investigar problemas de calidad; dos de las más re-
levantes son los diagramas de Pareto y los diagramas de esqueleto de pez.

610 CAPÍTULO 19 Control estadístico del proceso y administración de calidad

Diagramas de Pareto

El análisis de Pareto es una técnica para llevar la cuenta del número de defectos de un producto o
servicio; su nombre le fue impuesto en honor de un científico italiano del siglo XIX, Vilfredo Pareto,
quien observó que la mayor parte de la “actividad” de un proceso se debe a relativamente pocos
“factores”. Su concepto, con frecuencia denominado regla 80-20, es que 80% de la actividad se
debe a 20% de los factores; así, al concentrarse en 20% de los factores, los gerentes pueden de-
dicarse a 80% del problema, por ejemplo, Emily´s Family Restaurant, ubicado en el cruce de las
carreteras interestatales 75 y 70, investiga las “quejas de los clientes”. Las cinco quejas escuchadas
con más frecuencia son: servicio descortés, comida fría, larga espera por una mesa, pocas opcio-
nes en el menú y niños indisciplinados; suponga que el servicio descortés es lo más frecuente y la
comida fría aparece en segundo lugar. Los datos revelan que ambos factores representan más de
85% de las quejas, y de aquí que sean los que se deben atender primero, pues producirán la mayor
reducción de las quejas y el mayor incremento en la satisfacción del cliente.

Para elaborar un diagrama de Pareto, inicie con la cuenta del tipo de defectos; luego, clasifique
los defectos en términos de la frecuencia en que ocurren de mayor a menor y, por último, elabore
una tabla de barras verticales, cuya altura corresponda a la frecuencia de cada defecto. En el si-
guiente ejemplo se ilustran estas ideas.

EJEMPLO Consumo de agua Galones por día

La administradora de la ciudad de Grove City, Utah, Lavandería 24.9
está preocupada por el consumo del agua, en particu- Riego del jardín 143.7
lar en los hogares unifamiliares. Le gustaría desarrollar Baño personal 106.7
un plan para reducirlo; para investigar este problema, Cocina
selecciona una muestra de 100 hogares y determina el Alberca 5.1
consumo normal de agua diario para diversos fines; a Lavado de trastos 28.3
la derecha se muestran los resultados de la muestra. Lavado del automóvil 12.3
¿Cuál es el área con mayor consumo? ¿Dónde debe Bebida 10.4
concentrar sus esfuerzos para reducir el consumo de 7.9
agua?

SOLUCIÓN

Un diagrama de Pareto es útil para identificar las áreas principales de consumo de agua y enfocarse
en aquellas donde se pueda lograr la mayor reducción. El primer paso es convertir cada actividad en
un porcentaje y luego ordenarlas de mayor a menor; en este caso, el consumo total de agua por día
es de 339.3 galones, que se determinó al sumar el total de galones que consumen las ocho activida-
des. La actividad que consume más es el riego del jardín, que corresponde a 143.7 galones por día,
o 42.4% de la cantidad de agua. La siguiente categoría mayor es el baño personal, que representa
31.4% del agua; ambas actividades representan 73.8% del consumo.

Consumo de agua Galones por día Porcentaje

Lavandería 24.9 7.3
Riego del jardín 143.7 42.4
Baño personal 106.7 31.4
Cocina 1.5
Alberca 5.1 8.3
Lavado de trastos 28.3 3.6
Lavado del automóvil 12.3 3.1
Bebida 10.4 2.3
7.9
Total 100.0
339.3

Para trazar el diagrama de Pareto, inicie con la representación a escala del número de galones
que se consumen en el eje vertical izquierdo, y el porcentaje correspondiente en el eje vertical dere-
cho; luego trace una barra vertical con la altura de la barra correspondiente a la actividad con el nú-
mero mayor de eventos. En el ejemplo de Grove City, trace una barra vertical de la actividad de riego
a una altura de 143.7 galones (llamado conteo). Continúe este procedimiento con las demás activida-
des, como se muestra en la salida en pantalla de Minitab (gráfica 19.1, página siguiente).

Diagramas de diagnóstico 611

Consumo Galones Porcentaje Diagrama de Pareto del consumo
Lavandería
Riego del jardín Galones
Baño personal Porcentaje
Cocina
Alberca
Lavado de trastos
Lavado del automóvil
Bebida

Consumo Riego del jardín Baño personal Alberca Lavandería Lavadotrdaestos Lavaaduotodmelóvil Otros

Galones

Porcentaje

Porcentaje acumulado

GRÁFICA 19.1 Diagrama de Pareto del consumo de agua en Grove City, Utah

Debajo del diagrama enumere las actividades, su frecuencia y el porcentaje de tiempo en que se
realizan. En el último renglón liste el porcentaje acumulado; este permite determinar con rapidez qué
conjunto de actividades representa el mayor consumo de agua. Los porcentajes acumulados se
trazan arriba de las barras verticales. En el ejemplo de Grove City, las actividades de riego, baño
personal y albercas representan 82.1% del consumo de agua; entonces, la administradora de la ciu-
dad puede incrementar la ganancia si reduce el uso del agua en estas tres áreas.

Diagramas de esqueleto de pez

Otra tabla de diagnóstico es el diagrama de causa y efecto o diagrama de esqueleto de pez; su
primer nombre destaca la relación entre un efecto particular y un conjunto de causas posibles que
lo producen; además, es útil para organizar ideas e identificar relaciones, y es una herramienta que
fomenta la generación de ideas. Identificar las relaciones permite determinar factores que son cau-
sa de variabilidad en algún proceso. El nombre esqueleto de pez proviene de la manera en que se
organizan las diversas causas y efectos en el diagrama. El efecto, por lo general un problema parti-
cular, o tal vez un objetivo, se muestra a la derecha del diagrama; las causas principales se enume-
ran del lado izquierdo.

El enfoque habitual de un diagrama de esqueleto de pez es que permite considerar cuatro
áreas del problema: métodos, materiales, equipamiento y personal. El problema, o el efecto, es la
cabeza del pez (consulte la gráfica 19.2).

Métodos Materiales

Problema
o

efecto

Equipamiento Personal

GRÁFICA 19.2 Diagrama de esqueleto de pez

En cada causa posible se encuentran motivos derivados que se deben identificar e investigar,
los cuales son factores que quizás estén provocando el efecto particular. Se recopila la información
concerniente al problema y con ella se completa el diagrama de esqueleto de pez; se investiga cada
causa y se eliminan las que no son importantes, hasta identificar la causa real.

612 CAPÍTULO 19 Control estadístico del proceso y administración de calidad

Para ilustrar un diagrama de esqueleto de pez, se investigan las causas de la comida fría que
sirve Emily’s Family Restaurant (recuerde que un análisis de Pareto mostró que la comida fría era
una de las dos quejas principales). En la gráfica 19.3 se observa que cada causa derivada se enu-
mera como suposición, y cada una debe investigarse para encontrar el problema real sobre la co-
mida fría. En un diagrama de esqueleto de pez no hay ponderación de las causas derivadas.

Métodos Materiales

Comida calentada a la Comida a la temperatura
temperatura correcta inicial correcta

Comida bajo luces El empaque aísla
de calefacción lo suficiente

Termostato que trabaja Empleados operan el Quejas
de manera correcta equipo correctamente de
Luces de calefacción a Meseros entregan la
la temperatura correcta comida de manera rápida comida fría

Equipamiento Personal

GRÁFICA 19.3 Diagrama de esqueleto de pez para investigar quejas de comida
fría en un restaurante

AUTOEVALUACIÓN Rose Home, al sur de Chicago, es una institución de salud mental. Hace poco hubo quejas sobre sus
condiciones, y el administrador quiere utilizar un diagrama de Pareto para investigar la situación.
191 Cuando se queja un paciente o familiar, se le pide llenar un formato. He aquí el resumen de los for-
matos de quejas de los últimos 12 meses.

Queja Número Queja Número

Nada que hacer 45 Condiciones insalubres 63
Atención deficiente del personal 71 Mala calidad de los alimentos 84
Error en los medicamentos 2 Personal irrespetuoso 35

Elabore un diagrama de Pareto. ¿Cuáles son las causas que el administrador debe resolver primero
para lograr la mejora más significativa?

EJERCICIOS 1. 5PN 4IBSLFZ FT FM QSPQJFUBSJP EF 4IBSLFZ $IFWZ
#VJDL
(.$ " QSJODJQJPT EFM BÒP
ÊM JNQMFNFOUÓ VO
programa de opinión de los clientes a fin de determinar formas para mejorar el servicio. Una semana
después de realizar el servicio, el asistente administrativo de Tom llama al cliente para averiguar si se
efectuó de manera satisfactoria y cómo se puede mejorar. A continuación se incluye un resumen de
las quejas de los primeros seis meses. Elabore un diagrama de Pareto. ¿Cuáles son las quejas que
le sugeriría a Tom que resolviera primero para mejorar la calidad del servicio?

Queja Frecuencia Queja Frecuencia

Problema sin corregir 38 Precio demasiado alto 23
Error en la factura 8
Ambiente poco sociable 12 Mucho tiempo para prestar el servicio 10

2. En un taller de reparaciones se descubrió que de 110 motores que funcionan con diesel, 9 tenían
bombas de agua con fugas, 15 presentaban cilindros defectuosos, 4 padecían problemas de encen-
dido, 52 tenían fugas de aceite y 30 tenían bloques agrietados. Trace un diagrama de Pareto para
identificar el problema clave de los motores.

Objetivos y tipos de diagramas de control de calidad 613

Objetivo y tipos de diagramas OA19-4

de control de calidad Calcular los límites de
control de gráficas me-
Los diagramas de control identifican el momento en que entran en el proceso las causas asignables dias y de rango para
de variación o los cambios; por ejemplo, Wheeling Company fabrica ventanas de aluminio recubier- una medición variable
tas con vinilo para casas antiguas. El recubrimiento de vinilo debe tener un espesor comprendido de calidad.
entre ciertos límites; si es demasiado grueso, provocará que las ventanas se atoren, pero si es de-
masiado delgado, la ventana no sellará bien. El mecanismo que determina cuánto recubrimiento se
pone en cada ventana se desgasta y comienza a engrosarlo demasiado; por lo tanto, ocurrió un
cambio en el proceso. Los diagramas de control son útiles para detectar el cambio en las condicio-
nes del proceso, pero es importante saber cuándo se produjeron cambios en el pro-
ceso, de modo que la causa se identifique y corrija antes de que se produzca un gran
número de artículos inaceptables.

Los diagramas de control se parecen a la pizarra del marcador de un juego de
béisbol. Al ver la pizarra, los fanáticos, entrenadores y jugadores saben qué equipo va
ganando; sin embargo, esta no hace nada para ganar o perder el juego. Los diagra-
mas de control tienen una función similar: indican a los trabajadores, líderes de gru-
pos, ingenieros de control de calidad, supervisores de producción y gerentes si la
producción de la parte o el servicio está “bajo control” o “fuera de control”. En este
último caso, el diagrama de control no solucionará la situación; solo es una hoja de
papel con cifras y puntos; en cambio, la persona responsable ajustará la máquina,
fabricará la pieza o hará lo que sea necesario para poner la producción “bajo control”.

Hay dos tipos de diagramas de control. Un diagrama de control de variables
representa mediciones, como la cantidad de refresco de cola en una botella de dos
litros o el diámetro exterior de una tubería. Un diagrama de control de variables requie-
re un intervalo o escala de razón de medición. Un diagrama de control de atributos
clasifica un producto o servicio como aceptable o inaceptable; se basa en la escala de
medición nominal. A los infantes de marina estacionados en Camp Lejeune se les pide
calificar los alimentos que se les sirven como aceptables o inaceptables; los présta-
mos bancarios se pagan o se dejan de pagar.

Diagramas de control de variables

Para elaborar diagramas de control de variables se depende de la teoría de muestreo que se anali-
zó, junto con el teorema central del límite, en el capítulo 8; suponga que selecciona una muestra de
cinco piezas cada hora del proceso de producción y calcula la media de cada muestra. Las medias
de la muestra son x 1, x 2, x 3, etcétera; la media de estas medias de las muestras se denota como x .
Utilice k para indicar el número de medias de la muestra. La media general o media total se deter-
mina mediante:

MEDIA TOTAL x 5 S de las medias de las muestras 5 S xi [19.1]
Número de medias muestrales k

El error estándar de la distribución de las medias de las muestras se designa mediante sx; el cual se
determina por:

ERROR ESTÁNDAR DE LA MEDIA sx 5 s [19.2]
Vn

Estas relaciones permiten establecer límites respecto de las medias de las muestras para mos-
trar cuánta variación se espera en un tamaño determinado de la muestra; estos límites esperados
se denominan límite de control superior (LCS) y límite de control inferior (LCI). Mediante un
ejemplo se ilustrará el uso de los límites de control y la forma de determinarlos.

614 CAPÍTULO 19 Control estadístico del proceso y administración de calidad

EJEMPLO

Statistical Software, Inc., ofrece un número telefónico de larga distancia sin costo al cual los clientes
pueden llamar todos los días, de 7 a.m. a 11 p.m., para resolver problemas con sus productos; es
imposible que un representante técnico conteste de inmediato, pero es importante que los clientes
no esperen demasiado en línea para que les contesten porque los clientes se molestan cuando escu-
chan demasiadas veces el mensaje: “Su llamada es importante para nosotros; en breve le contestará
un representante”. Para comprender el proceso, Statistical Software decidió elaborar una tabla de
control con el tiempo total desde el momento en que se recibe una llamada hasta que el representan-
te la responde y soluciona el problema. El día de ayer se tomó una muestra de cinco llamadas cada
hora durante las 16 horas de operación del servicio de atención al cliente y se registró el tiempo total
para resolver el problema de un cliente, en minutos, para cada llamada. En la tabla siguiente se refle-
ja esta información.

Número de muestra

Hora 12 3 4 5

a.m. 7 8 9 15 4 11
8 8
9 7 10 7 6 10
10 12
11 11 12 10 9 11
11
p.m. 12 12 8 6 9 10
1 7
2 11 10 6 14 12
3 11
4 7 7 10 4 13
5 11
6 10 7 4 10 12
7 8
8 8 11 11 7 9
9 11
8 11 8 14
10
12 9 12 17

7 7 9 17

9944

10 12 12 12

8 11 9 6

10 13 9 4

9 11 8 5

Con base en esta información, elabore una tabla de control para determinar la duración media
de la llamada. ¿Parece existir una tendencia en las horas de las llamadas? ¿Hay algún periodo donde
parece que los clientes esperan más que en otros?

SOLUCIÓN

Una tabla para el control de la media tiene dos límites: LCS y LCI; estos se calculan mediante:

LÍMITES DE LCS 5 x 1 3 s y LCI 5 x 2 3 s [19.3]
CONTROL Vn Vn
DE LA MEDIA

donde s es una estimación de la desviación estándar de la población, s. Observe que en el cálcu-
lo de los límites de control superior e inferior aparece el número 3 representando 99.74% de los
límites de confianza. Con frecuencia, a los límites se les denomina 3-sigma; sin embargo, se pue-
den utilizar otros límites de confianza (como 90% o 95%).

Esta aplicación se desarrolló antes del extenso acceso a las computadoras y era difícil calcular
las desviaciones estándar; en vez de calcular la desviación estándar de cada muestra como una
medida de variación, es más fácil utilizar el rango. En el caso de muestras de tamaño fijo hay una
relación constante entre el rango y la desviación estándar, por lo que es apropiado que se utilicen las
fórmulas siguientes para determinar 99.74% de los límites de control de la media; se puede demos-
trar que el término 3(s/Vn ) de la fórmula [19.3] equivale a A2R en la siguiente fórmula.

LÍMITES DE LCS 5 x 1 A2R LCI 5 x 2 A2R [19.4]
CONTROL
DE LA MEDIA

Objetivos y tipos de diagramas de control de calidad 615

donde:

A2 es una constante al calcular los límites de control superior e inferior; se basa en el rango
promedio, R . Los factores de varios tamaños de muestras aparecen en el apéndice B.10
(nota: en esta tabla, n se refiere al número de elementos de la muestra). A continuación se
presenta una parte del apéndice B.8; para ubicar el factor A2 de este problema, encuentre el
tamaño de n en el margen izquierdo, que es 5. Luego continúe con un movimiento horizontal
hasta la columna A2; el factor es 0.577.

n A2 d2 D3 D4

2 1.880 1.128 0 3.267

3 1.023 1.693 0 2.575

4 0.729 2.059 0 2.282

5 0.577 2.326 0 2.115

6 0.483 2.534 0 2.004

x es la media de las medias de las muestras, que se calcula mediante Sx /k, donde k es el nú-
mero de muestras seleccionadas. En este problema se toma una muestra de cinco observa-
ciones cada hora durante 16 horas, por lo que k 5 16.

R es la media de los rangos de la muestra, que es SR/k. Recuerde que el rango es la diferencia
entre el valor mayor y el menor de cada muestra, y describe la variabilidad que ocurre en esa
muestra (consulte la tabla 19.1).

El valor de la media total x en la tabla es 9.413 minutos, determinado mediante 150.6/16. La
media de los rangos (R) es 6.375 minutos, que se determinó mediante 102/16; por lo tanto, el límite
de control superior es:

LCS 5 x 1 A2R 5 9.413 1 0.577(6.375) 5 13.091

El límite de control inferior es:

LCI 5 x 2 A2R 5 9.413 2 0.577(6.375) 5 5.735

TABLA 19.1 Dieciséis muestras de duración de llamada en Statistical
Software, Inc.

Hora 1 2 3 4 5 Media Rango

a.m. 7 8 9 15 4 11 9.4 11
8 7.6 4
9 7 10 7 6 8 10.4 3
10 9.4 6
11 11 12 10 9 10 10.4 8
7.8 7
p.m. 12 12 8 6 9 12 8.2 6
1 8.8 4
2 11 10 6 14 11 10.6 6
3 12.2 8
4 7 7 10 4 11 10.6 10
5 7.4 7
6 10 7 4 10 10 11.6 2
7 8.4 5
8 8 11 11 7 7 9.0 9
9 8.8 6
8 11 8 14 12
10
12 9 12 17 11
Total
7 7 9 17 13

9 9 4 4 11

10 12 12 12 12

8 11 9 6 8

10 13 9 4 9

9 11 8 5 11

150.6 102

x , LCS y LCI y las medias de las muestras se presentan en la gráfica 19.4 (página siguiente). La me-
dia, x , es 9.413 minutos, el límite de control superior se ubica en 13.091 minutos, y el límite de control
inferior, en 5.735 minutos. Hay una variación en la duración de las llamadas, pero todas las medias de
la muestra están dentro de los límites de control; por lo tanto, con base en 16 muestras de cinco lla-
madas, la conclusión es que 99.74% de las veces, la duración media de dicha muestra estará entre
5.735 minutos y 13.091 minutos.

616 CAPÍTULO 19 Control estadístico del proceso y administración de calidad

Duración de la llamada 13 LCS
(en minutos) 12
11
10
9x
8
7
6 LCI

7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a.m. p.m.

Hora

GRÁFICA 19.4 Diagrama de control de la duración media de las llamadas de clientes a
Statistical Software, Inc.

ESTADÍSTICA Puesto que la teoría estadística se basa en la normalidad de muestras grandes, los diagramas
EN ACCIÓN de control deben tener como base un proceso estable, es decir, una muestra muy grande tomada
durante un periodo extenso. Una regla básica es diseñar el diagrama después de seleccionar al
Con ayuda de los diagra- menos 25 muestras.
mas de control, se con-
signó a una persona que Diagrama de rangos
sobornaba a jugadores de
jai-alai para que perdie- Además de la ubicación central en una muestra, también debe supervisar la cantidad de variación
ran. En las gráficas de la de muestra en muestra. Un diagrama de rangos presenta la variación de los rangos de las mues-
media y el rango se reve- tras; si los puntos que representan los rangos se encuentran entre los límites superior e inferior,
laron patrones de apues- concluya que la operación está bajo control. De acuerdo con la casualidad, casi 997 de 1 000 veces
tas inusuales y que algu- el rango de las muestras estará dentro de los límites; si el rango cae arriba de los límites, concluya
nos jugadores no ganaron que una causa asignable afectó la operación y es necesario ajustar el proceso. ¿Por qué no intere-
cuando hicieron ciertas sa el límite de control inferior del rango? Con frecuencia, en muestras pequeñas el límite inferior es
apuestas. Un experto en cero. En realidad, en cualquier muestra de seis o menos, el límite de control inferior es 0; si tal es el
calidad “bajo control” rango, entonces por lógica todas las partes son iguales y no hay problema con la variabilidad de la
identificó las ocasiones en operación.
que cesó la variación asig-
nable y los fiscales las re- Los límites de control superior e inferior del diagrama de rangos se determinan a partir de las
lacionaron con la deten- siguientes ecuaciones.
ción del sospechoso.
DIAGRAMA DE CONTROL DE RANGOS LCS 5 D4R LCI 5 D3R [19.5]

Los valores de D3 y D4, que reflejan los límites habituales 3s (sigma) de varios tamaños de la mues-
tra, aparecen en el apéndice B.10 o después de la fórmula [19.4].

EJEMPLO

El tiempo que los clientes de Statistical Software, Inc., esperaron desde que entró su llamada hasta
que un representante técnico respondió su pregunta o resolvió su problema se encuentra registrado
en la tabla 19.1. Elabore un diagrama de control de rangos. ¿Parece que hay algún momento en el
que es demasiada la variación en la operación?

SOLUCIÓN

El primer paso es encontrar la media de los rangos de la muestra; el de las cinco llamadas de la
muestra de las 7:00 a.m. es 11 minutos. La llamada de mayor duración seleccionada en esa hora fue
de 15 minutos, y la más breve, de 4; la diferencia es 11 minutos. A las 8 a.m., el rango es de 4 minu-
tos. El total de los 16 rangos es 102 minutos, por lo que el rango promedio es de 6.375 minutos,
determinado por R 5 102/16. Con referencia al apéndice B.10 o a la tabla parcial que aparece des-
pués de la fórmula [19.4], D3 y D4 son 0 y 2.115, respectivamente. Los límites de control superior e
inferior son 0 y 13.483.

Situaciones de bajo control y fuera de control 617

LCS 5 D4R 5 2.115(6.375) 5 13.483

LCI 5 D3R 5 0(6.375) 5 0

El diagrama del trazo de los 16 rangos de las muestras se registra en la gráfica 19.5; este diagrama
indica que todos los rangos están dentro de los límites de control. De aquí, se concluye que la varia-
ción en el tiempo para atender las llamadas de los clientes está dentro de los límites normales, es
decir, “bajo control”; por supuesto, debe determinar los límites de control con base en un conjunto
de datos y luego aplicarlos para evaluar los siguientes, no los que ya conoce.

Rango de llamadas 14 LCS
(en minutos) 12
10
8
6
4
2

7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a.m. p.m.

Hora

GRÁFICA 19.5 Diagrama de control de rangos de la duración de las llamadas de los clien-
tes a Statistical Software, Inc.

Minitab presenta un diagrama de control de la media y el rango. A continuación se incluye la
salida en pantalla del ejemplo de Statistical Software. Los datos se muestran en la tabla 19.1 (las
pequeñas diferencias entre los límites de control se deben al redondeo).

Am/pm Hora Minutos

Diagramas de la media y rango de minutos

Media de la muestra

Muestra

Rango de la muestra

Muestra

Situaciones de bajo control y fuera de control OA19-5

He aquí tres ilustraciones de procesos bajo control y fuera de control: Evaluar los diagramas
de control para deter-
1. El diagrama de la media y el de rangos en conjunto que se muestran en la página siguiente, minar si un proceso es-
indican que el proceso está bajo control; observe que la media y los rangos de las muestras se tá fuera de control.
agrupan cerca de las líneas centrales. Algunos están arriba y otros debajo de las líneas centra-
les, lo que indica que el proceso es muy estable; es decir, no hay una tendencia visible para que
la media y los rangos se desplacen hacia las áreas fuera de control.

618 CAPÍTULO 19 Control estadístico del proceso y administración de calidad

Gráfica de la media
LCS

x

LCI
Gráfica de los rangos

LCS

R

LCI
2. La media de las muestras está bajo control, pero los rangos de las últimas dos muestras no lo

están; esto indica que hay una variación considerable en las muestras. Algunos rangos de las
muestras son grandes, y otros, pequeños; es probable que se requiera ajustar el proceso.

Gráfica de la media
LCS

x

LCI
Gráfica del rango

LCS

R

LCI
3. La media está bajo control en las primeras muestras, pero hay una tendencia ascendente hacia

el LCS. Las dos últimas medias de las muestras están fuera de control; probablemente sea
necesario ajustar el proceso.

Gráfica de la media
LCS

x

LCI
Gráfica de los rangos

LCS

R

LCI

Diagramas de control de atributos 619

En la gráfica anterior de la media se aprecia un ejemplo de una gráfica de control que ofrece
cierta información adicional. Observe la dirección de las últimas cinco observaciones de la media;
todas están arriba de x , y, de hecho, las últimas dos están fuera de control; es poco probable que
las medias de la muestra aumentaran durante seis observaciones consecutivas, lo cual es otra in-
dicación de que el proceso está fuera de control.

La gerente de River City McDonald’s selecciona al azar cuatro clientes durante tres horas del día: 9:00
a.m., 10:00 a.m. y 11:00 a.m. Luego, mide el tiempo, en minutos, entre la entrada de la orden que
ellos solicitan y su entrega. A continuación se incluyen los resultados.

AUTOEVALUACIÓN Hora Tiempos de la muestra

192 9 a.m. 1234
10 a.m.
11 a.m. 1452
2321
1735

(a) Calcule el tiempo medio de espera, el rango medio y determine los límites de control de la media
y el rango, y trace con ellos un diagrama.

(b) ¿Las mediciones están dentro de los límites de control? Interprete la gráfica.

3. Describa la diferencia entre variación asignable y variación aleatoria. EJERCICIOS
4. Describa la diferencia entre una gráfica de control de atributos y una de control de variables.
5. De una línea de producción se toman muestras de tamaño n 5 4. Para la BASE DE DATOS
visite www.mhhe.com/
a. ¿Cuál es el valor del factor A2 para determinar los límites de control superior e inferior de la media? uni/lind_ae16e
b. ¿Cuáles son los valores de los factores D3 y D4 para determinar los límites de control superior e

inferior de la media?
6. De un proceso de manufactura se seleccionan muestras de cinco. La media de los rangos de la

muestra es 0.50; estime la desviación estándar de la población.
7. &O 1JBUU #BLFSZ TF BDBCB EF JOTUBMBS VO OVFWP IPSOP JOEVTUSJBM QBSB DPOPDFS TV UFNQFSBUVSB
VO

inspector la lee en cuatro lugares distintos dentro del horno cada media hora, comenzando a las 8:00
a.m. La primera lectura fue de 340 grados Fahrenheit; la última fue a las 10:30 a.m., para un total de
seis muestras (para facilitar los cálculos que se encuentran en la siguiente tabla, solo se dan los
primeros dos dígitos).

Hora 1 Lectura 4

8:00 a.m. 40 23 39
8:30 a.m. 44 38
9:00 a.m. 41 50 55 43
9:30 a.m. 39 42 38 41
10:00 a.m. 37 45 47 41
10:30 a.m. 39 39 41 40
42 46
40 39

a. Con base en esta experiencia inicial, determine los límites de control de la temperatura media y la Para la BASE DE DATOS
media total. Trace la experiencia en una gráfica. visite www.mhhe.com/
uni/lind_ae16e
b. Interprete la gráfica. ¿Parece haber una hora en que la temperatura está fuera de control?
8. Consulte el ejercicio 7.

a. Con base en esta experiencia inicial, determine los límites de control del rango. Trace la experien-
cia en una gráfica.

b. ¿Parece haber una hora en la que hay demasiada variación de temperatura?

Diagramas de control de atributos OA19-6

Con frecuencia, los datos que se recopilan son el resultado de contar en vez de medir; es decir, se Calcular los límites de
observa la presencia o ausencia de algún atributo; por ejemplo, la taparrosca de un frasco de cham- los diagramas de con-
pú se ajusta sin dejar salir líquido (una condición “aceptable”) o bien no sella y deja salir líquido (una trol para un atributo
con una medida de ca-
lidad variable.

620 CAPÍTULO 19 Control estadístico del proceso y administración de calidad

condición “inaceptable”), o un banco otorga un préstamo a un cliente, quien le paga o no le paga;
en otros casos, interesa el número de defectos de una muestra. British Airways puede contar el
OÙNFSP EF TVT WVFMPT EFNPSBEPT QPS EÎB FO (BUXJDL "JSQPSU
FO -POESFT &O FTUB TFDDJÓO TF FTUV-
dian dos tipos de diagramas de atributos: la tabla p (porcentaje defectuoso) y la gráfica de barras c
(número de defectos).

Diagramas p

Si el artículo registrado es la fracción de partes inaceptables existentes en un lote grande, el diagra-
ma de control apropiado es el diagrama p, cuya base es la distribución binomial, que se analizó en
el capítulo 6, y las proporciones, en el capítulo 15. La línea central está en p, la proporción media de
defectos; p reemplaza a la x del diagrama de control de variables. La proporción media de defectos
se estima mediante:

PROPORCIÓN MEDIA p 5 Número total de defectos [19.6]
DE DEFECTOS Número total de artículos de la muestra

La variación en la proporción muestral se estima por medio del error estándar de una proporción
muestral; se determina por medio de:

ERROR ESTÁNDAR Usp 5 p(1 2 p) [19.7]
DE LA PROPORCIÓN n
MUESTRAL

Por lo tanto, el LCS y el LCI se calculan como el porcentaje medio más o menos tres veces el
error estándar de los porcentajes (proporciones). La fórmula de los límites de control es:

LÍMITES DE U p(1 2 p) [19.8]
CONTROL DE
PROPORCIONES LCI, LCS 5 p 6 3
n

Mediante un ejemplo se ilustrarán los detalles de los cálculos y las conclusiones.

EJEMPLO

Jersey Glass Company, Inc., produce espejos pequeños de mano. La compañía opera un turno diur-
no y uno vespertino cada día laboral de la semana, y el departamento de control de calidad (QA) su-
pervisa la calidad de los espejos dos veces durante cada turno. El departamento de calidad seleccio-
na e inspecciona minuciosamente una muestra aleatoria de 50 espejos cada cuatro horas. Cada
espejo se clasifica como aceptable o inaceptable; por último, se cuenta el número de espejos inclui-
dos en la muestra que no cumplen con las especificaciones de calidad. A continuación se indican los
resultados de estas verificaciones durante los últimos 10 días laborables.

Fecha Número Defectos Fecha Número Defectos
10-Oct muestreado 12-Oct muestreado
1 9
11-Oct 50 0 13-Oct 50 3
50 9 50 10
50 9 50 2
50 4 50 2
50 4 50 4
50 5 50 9
50 3 50 4
50 50
(continúa)

Diagramas de control de atributos 621

(continuación)

Fecha Número Defectos Fecha Número Defectos
14-Oct muestreado 19-Oct muestreado
6 4
17-Oct 50 9 20-Oct 50 5
50 2 50 2
18-Oct 50 4 21-Oct 50 5
50 7 50 0
50 9 50 0
50 0 50 4
50 8 50 7
50 6 50 5
50 9 50 1
50 8 50 9
50 1 50 9
50 50

Elabore el diagrama del porcentaje defectuoso de este proceso. ¿Cuáles son los límites de control
superior e inferior? Interprete los resultados. ¿Parece que el proceso está fuera de control durante el
periodo?

SOLUCIÓN

El primer paso es estimar la proporción media de defectos mediante la fórmula [19.6].

Número total de defectos 196
p 5 5 5 0.098
Número total de artículos muestreados 2 000

Por lo tanto, se estima que 0.098 de los espejos producidos durante el periodo no cumplen las espe-
cificaciones.

Fecha Número Fracción Fecha Número Defectos Fracción
10-Oct muestreado Defectos defectuosa 17-Oct muestreado defectuosa
11-Oct 18-Oct 7
50 1 0.02 19-Oct 50 9 0.14
12-Oct 50 0 0.00 20-Oct 50 0 0.18
50 9 0.18 21-Oct 50 8 0.00
13-Oct 50 9 0.18 50 6 0.16
50 4 0.08 Total 50 9 0.12
14-Oct 50 4 0.08 50 6 0.18
50 5 0.10 50 1 0.12
50 3 0.06 50 4 0.02
50 9 0.18 50 5 0.08
50 3 0.06 50 2 0.10
50 10 0.20 50 5 0.04
50 2 0.04 50 0 0.10
50 2 0.04 50 0 0.00
50 4 0.08 50 4 0.00
50 9 0.18 50 7 0.08
50 4 0.08 50 5 0.14
50 6 0.12 50 1 0.10
50 9 0.18 50 9 0.02
50 2 0.04 50 9 0.18
50 4 0.08 50 196 0.18
2 000

Los límites de control superior e inferior se calculan con la fórmula [19.8]

U ULCI, LCS 5 p 6 3 0.098(1 2 0.098)
p(1 2 p) 5 0.098 6 3 50 5 0.098 6 0.1261
n

A partir de los cálculos anteriores, el límite de control superior se determina en 0.2241, mediante
0.098 1 0.1261. El límite de control inferior se establece en 0 porque el límite inferior calculado con la

622 CAPÍTULO 19 Control estadístico del proceso y administración de calidad

fórmula es 0.098 2 0.1261 5 20.0281; sin embargo, no es posible que haya una proporción negativa
de defectos, por lo que el valor menor es 0. Entonces, los límites de control son 0 y 0.2241. Cualquier
muestra fuera de estos límites indica que cambió el nivel de calidad del proceso.

Esta información se resume en la gráfica 19.6, que es una salida del software Minitab.

Defectos Proporción de defectos Diagrama p: espejos defectuosos

Proporción

Muestra

GRÁFICA 19.6 Diagrama p de espejos en Jersey Glass

Después de establecer los límites, el proceso se supervisa durante la siguiente semana, cinco
días, dos turnos por día, con dos verificaciones de calidad por turno. He aquí los resultados.

Número Fracción Número Fracción
Fecha muestreado Defectos defectuosa Fecha muestreado Defectos defectuosa

24-Oct 50 1 0.02 27-Oct 50 2 0.04
25-Oct 50 13 0.26 28-Oct 50 1 0.02
26-Oct 50 10 0.20 50 7 0.14
50 7 0.14 50 12 0.24
50 4 0.08 50 5 0.10
50 5 0.10 50 5 0.10
50 6 0.12 50 10 0.20
50 10 0.20 50 9 0.18
50 6 0.12
50 1 0.02
50 8 0.16
50 4 0.08

El proceso estuvo fuera de control en dos ocasiones, el 24 de octubre, cuando el número de defectos
fue 13, y el 27 de octubre, cuando hubo 12 defectos. El departamento de control de calidad debe
reportar esta información al equipo de producción para tomar las medidas pertinentes. A continua-
ción se muestra la salida de Minitab.

Defectos Proporción de defectos Diagrama p: espejos defectuosos: octubre 24 a octubre 28

Proporción

Muestra

Diagramas de control de atributos 623

Diagrama de líneas c

En la gráfica de líneas c se traza el número de defectos o fallas por unidad; se basa en la distribución
de Poisson, que se estudió en el capítulo 6. El número de maletas maltratadas en un vuelo por
Southwest Airlines se puede supervisar mediante una gráfica de barras c; la “unidad” en conside-
ración es el vuelo. En la mayoría de los vuelos no hay maletas maltratadas; en otros puede haber
una, y en algunos más, dos, etcétera. El Internal Revenue Service puede contar y elaborar un dia-
grama de control del número de errores aritméticos en las declaraciones de impuestos; la mayoría
de las declaraciones de impuestos no tendrán ningún error, algunas tendrán un solo error, otras
tendrán dos, etcétera. Designe c como el número medio de defectos por unidad; así, c es el núme-
ro medio de maletas maltratadas por Southwest Airlines por vuelo o el número medio de errores
aritméticos por declaración de impuestos. Recuerde que en el capítulo 6 se vio que la desviación
estándar de una distribución de Poisson es la raíz cuadrada de la media; por lo tanto, es posible
determinar los límites de 3 sigma o 99.74% en un diagrama de barras c mediante:

LÍMITES DE CONTROL DEL NÚMERO LCI, LCS 5 c 6 3 V c [19.9]
DE DEFECTOS POR UNIDAD

EJEMPLO

El editor del Oak Harbor Daily Telegraph está preocupado por el número de palabras mal escritas en
el periódico. En un esfuerzo por controlar el problema y fomentar la buena ortografía, utilizó un dia-
grama de control; el número de palabras mal escritas que determinó en la edición final del periódico
de los últimos 10 días es: 5, 6, 3, 0, 4, 5, 1, 2, 7 y 4. Determine los límites de control apropiados e
interprete el diagrama. ¿Hubo algunos días durante el periodo en que el número de palabras mal
escritas estuvo fuera de control?

SOLUCIÓN

Durante el periodo de 10 días hubo un total de 37 palabras mal escritas. El número medio de palabras
mal escritas por edición es 3.7, y sigue la distribución de probabilidad de Poisson. La desviación
estándar es la raíz cuadrada de la media.

Sx 5 1 6 1 … 1 4 37
c5 5 5 5 3.7 s 5 V c 5 V 3.7 5 1.924
n 10 10

Para encontrar el límite de control superior utilice la fórmula [19.9]. El límite de control inferior es cero.

LCS 5 c 1 3 V c 5 3.7 1 3 V 3.7 5 3.7 1 5.77 5 9.47

El límite de control inferior calculado sería 3.7 2 3(1.924) 5 22.07; sin embargo, el número de palabras

mal escritas no puede ser menor que 0, por lo que debe emplear 0 como límite inferior; por otra par-

te, el límite superior es 9.47. Cuando se compara cada

uno de los puntos de datos con 9.47, resulta que todos

son menores que el límite de control superior; el núme- Diagrama de control c de palabras mal escritas
ro de palabras mal escritas “está bajo control”; por su-

puesto, el periódico hará un esfuerzo para eliminar to-

das las palabras mal escritas, pero las técnicas de los

diagramas de control ofrecen un medio para dar segui- Conteo de la muestra

miento a los resultados diarios y determinar si hay un

cambio; por ejemplo, si se contrata una nueva correc-

tora de pruebas, se puede comparar su trabajo con el

de otros; los resultados se resumen en la gráfica 19.7,

que es la salida del sistema Minitab.

GRÁFICA 19.7 Diagrama de control c de las palabras Muestra
mal escritas por edición del Oak Harbor Daily Telegraph

624 CAPÍTULO 19 Control estadístico del proceso y administración de calidad

AUTOEVALUACIÓN Auto-Lite Company fabrica baterías para automóviles. Al final de cada turno, el departamento de
calidad selecciona una muestra de baterías para probarlas; el número de unidades defectuosas du-
193 rante los últimos 12 turnos es 2, 1, 0, 2, 1, 1, 7, 1, 1, 2, 6 y 1. Elabore un diagrama de control del
proceso y comente si está bajo control.

EJERCICIOS 9. A continuación se registra un diagrama c de un proceso de manufactura.

Diagrama p de defectos

LCS

Proporción

LCI

Para la BASE DE DATOS a. ¿Cuál es la media del porcentaje de defectos? ¿Cuáles son los límites de control superior e infe-
visite www.mhhe.com/ rior?
uni/lind_ae16e
b. ¿Hay algunas observaciones en la muestra que indiquen que el proceso está fuera de control?
Para la BASE DE DATOS ¿Cuáles números de muestra son?
visite www.mhhe.com/
uni/lind_ae16e c. ¿Parece que hay alguna tendencia en el proceso? Es decir, ¿parece que el proceso mejora, em-
peora o permanece igual?
Para la BASE DE DATOS
visite www.mhhe.com/ 10. Inter State Moving and Storage Company establece un diagrama de control para supervisar la pro-
uni/lind_ae16e porción de mudanzas residenciales que generan quejas por escrito por tardanzas, o artículos perdi-
dos o dañados; se selecciona una muestra de 50 mudanzas de cada uno de los últimos 12 meses.
Para la BASE DE DATOS El número de quejas en cada muestra es 8, 7, 4, 8, 2, 7, 11, 6, 7, 6, 8 y 12.
visite www.mhhe.com/ a. Diseñe un diagrama p y etiquete la media del porcentaje de defectos en el rango LCS y LCI.
uni/lind_ae16e b. Grafique la proporción de quejas por escrito en los últimos 12 años.
c. Interprete el diagrama. ¿Parece que el número de quejas está fuera de control en algún mes?
Para la BASE DE DATOS
visite www.mhhe.com/ 11. Cada día, un fabricante de bicicletas selecciona al azar 10 cuadros y realiza pruebas para detectar
uni/lind_ae16e defectos; el número de cuadros defectuosos determinado durante los últimos 14 días es 3, 2, 1, 3, 2,
2, 8, 2, 0, 3, 5, 2, 0 y 4. Elabore el diagrama de control de este proceso y comente si está “bajo con-
trol”.

12. Durante el proceso de fabricar papel higiénico, Scott Paper selecciona aleatoriamente un rollo cinco
veces a lo largo del día y somete a cada uno a una prueba de resistencia para ver qué tan a menudo
se rasga. En un lapso de tres días, por medio de la prueba de 15 rollos se encontraron las siguientes
cantidades de defectos en cada rollo: 2, 3, 1, 2, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 0 y 0. Elabore el diagrama de
control del proceso y comente si está “bajo control”.

13. 4BN T 4VQFSNBSLFUT QSVFCB TVT DBKFSPT BM FYBNJOBS BM B[BS MPT SFDJCPT JNQSFTPT QBSB EFUFDUBS FSSP-
res de exploración de precios. Los siguientes números corresponden a cada recibo del 27 de octu-
bre: 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0. Elabore el diagrama de control del proceso y comente si está “bajo
control”.

14. Dave Christi dirige una cadena de autolavado con sucursales en todo Chicago y le preocupa que
algunos gerentes locales laven gratis los automóviles de sus amigos, por lo que decide recopilar
datos sobre el número de recibos de venta “anulados”; por supuesto, algunos son legítimos, pero 3,
8, 3, 4, 6, 5, 0, 1, 2, 4, ¿indicarían un número razonable de anulaciones en sus instalaciones? Elabo-
re un diagrama de control del proceso y comente si está “bajo control”.

OA19-6 Muestreo de aceptación
Analizar el muestreo de
aceptación. La sección anterior se trató acerca de mantener la calidad del producto a medida que se fabrica. En
muchas situaciones de negocios también interesa la calidad del producto terminado que se recibe.
¿Qué tienen en común los siguientes casos?

Muestreo de aceptación 625

r 4JNT 4PGUXBSF
*OD
FT DMJFOUF EF %7% *OUFSOBUJPOBM -B PSEFO EF DPNQSB OPSNBM ESTADÍSTICA
es de 100 000 DVD, empacados en lotes de 1 000. Todd Sims, el presidente, no EN ACCIÓN
espera que todos los DVD sean perfectos; en realidad, ha aceptado lotes de
1 000 hasta con 10% de defectos, y quiere desarrollar un plan para inspeccionar A finales de la década
los lotes que le llegan, para estar seguro de que se cumple con el estándar de de 1980 se informó que
calidad. El propósito del procedimiento de inspección es separar los lotes acep- una empresa cana-
tables de los inaceptables. diense ordenó algunas
partes a una compañía
r ;FOJUI &MFDUSJD DPNQSB UVCPT NBHOFUSÓO EF #POP &MFDUSPOJDT QBSB TV OVFWP IPS- japonesa con instruc-
OP EF NJDSPPOEBT -PT NBHOFUSPOFT TF FNCBSDBO B ;FOJUI FO MPUFT EF ciones de que no debe-
VOJEBEFT ;FOJUI QFSNJUF RVF MPT MPUFT RVF SFDJCF DPOUFOHBO IBTUB EF QJF[BT ría haber “más de tres
defectuosas. Le gustaría elaborar un plan de muestreo para determinar los lotes partes defectuosas por
que cumplen con el criterio y los que no lo hacen. millar”. Cuando estas
llegaron, había una
r (FOFSBM .PUPST DPNQSB QBSBCSJTBT EF NVDIPT QSPWFFEPSFT
F JOTJTUF FO RVF MPT MPUFT TFBO EF nota que decía: “Sus
1 000, y está dispuesto a aceptar 50 o menos defectos en cada lote, es decir, 5% de defectos. tres partes defectuosas
Le gustaría desarrollar un procedimiento de muestreo para verificar que los embarques que están envueltas por se-
recibe cumplan con el criterio. parado en el comparti-
miento superior iz-
El hilo conductor en estos casos es la necesidad de verificar que un producto que llega a la quierdo del embarque”.
planta cumpla con los requisitos estipulados. La situación es semejante a una puerta de mosquite- Ha pasado mucho
ro, que permite que entre el aire caliente del verano al recinto mientras mantiene afuera a los mos- tiempo desde los días
quitos. El muestreo de aceptación permite que entren los lotes con calidad aceptable al área de cuando “Hecho en Ja-
manufactura y se queden afuera los que no son aceptables. pón” significaba barato,
mas no confiable.
Por supuesto, la situación en los negocios modernos es más compleja. El comprador quiere
protección para no aceptar lotes inferiores al estándar de calidad. La mejor protección contra la
calidad inferior es una inspección de 100%; desafortunadamente, con frecuencia el costo de una
inspección de tal magnitud es prohibitivo. Otro problema con la verificación de cada artículo es que
la prueba puede ser destructiva. Si se probaran todos los focos hasta que se fundieran antes de su
embarque, no quedaría ninguno para vender; asimismo, la inspección de 100% quizá permita iden-
tificar todos los defectos, por lo tanto, en situaciones prácticas, pocas veces se lleva a cabo una
inspección completa.

El procedimiento habitual es examinar la calidad de las partes de entrada mediante un plan de
muestreo estadístico; así, se selecciona al azar una muestra de n unidades de los lotes de N unida-
des (la población); esto se denomina muestreo de aceptación. La inspección determinará el núme-
ro de defectos que hay en la muestra; este número se compara con uno predeterminado, denomina-
do número crítico o número de aceptación; por lo general, el número de aceptación se designa c.
Si el número de defectos en la muestra de tamaño n es menor o igual a c, el lote se acepta; si el
número de defectos excede c, el lote se rechaza y se regresa al proveedor, o tal vez se someta a una
inspección completa.

El muestreo de aceptación es un proceso de toma de decisiones; hay dos decisiones posibles:
aceptar o rechazar el lote. Además, hay dos situaciones en las cuales se toma la decisión: el lote es
bueno o el lote es malo. Estos son estados de la naturaleza; si el lote es bueno y la inspección de la
muestra revela que el lote es bueno, o si el lote es malo y la inspección de la muestra indica que es
malo, se toma una decisión correcta; sin embargo, hay otras dos probabilidades. El lote puede con-
tener más defectos que los aceptables, pero se acepta (a esto se denomina riesgo del consumidor).
De manera similar, el lote puede estar dentro de los límites acordados, pero se rechaza durante la
inspección de la muestra (a esto se le denomina riesgo del productor). En la siguiente tabla se re-
sumen las decisiones de aceptación presentes en estas probabilidades. Observe cómo esta decisión
es muy similar a las ideas de los errores de tipo I y tipo II que se vieron al inicio del capítulo 10.

Estados de la naturaleza

Decisión Lote bueno Lote malo

Aceptar el lote Correcto Riesgo del consumidor
Rechazar el lote
Riesgo del productor Correcto

Para evaluar un plan de muestreo y determinar que es justo tanto para el productor como para
el consumidor, el procedimiento usual es desarrollar una curva característica de operación, o
curva CO, como normalmente se denomina; esta reporta el porcentaje defectuoso en el eje hori-
zontal, y la probabilidad de aceptar ese porcentaje defectuoso, en el vertical; por lo general, se

626 CAPÍTULO 19 Control estadístico del proceso y administración de calidad

traza una curva uniforme que conecta todos los niveles de calidad posibles. Se utiliza la distribución
binomial para desarrollar las probabilidades de una curva CO.

EJEMPLO

Como se mencionó antes, Sims Software es cliente de DVD International. Los artículos se empacan
en lotes de 1 000 cada uno. Todd Sims, presidente de la empresa, está de acuerdo en aceptar lotes
con 10% o menos de DVD defectuosos. Todd indicó a su departamento de inspección que seleccio-
ne una muestra aleatoria de 20 DVD y los examine con detenimiento. Aceptará el lote si tiene dos o
menos defectos en la muestra. Desarrolle la curva CO de este plan de aceptación. ¿Cuál es la proba-
bilidad de aceptar un lote con 10% de DVD defectuosos?

SOLUCIÓN

Este tipo de muestreo se denomina muestreo de atributos, pues el artículo muestreado, en este
caso un DVD, se clasifica como aceptable o inaceptable. No se obtiene una “lectura” o “medición”
del DVD. Sea p la proporción actual defectuosa en la población.

El lote es bueno si p # 0.10.
El lote es malo si p . 0.10.

Sea x el número de defectos en la muestra. La regla de decisión es:

Aceptar el lote si x # 2.
Rechazar el lote si x $ 3.

Aquí el lote aceptable es uno con 10% o menos de DVD defectuosos; si el lote es aceptable cuando
tiene exactamente 10% de DVD defectuosos, sería aún más aceptable si contuviera menos de 10%;
por lo tanto, la práctica usual es trabajar con el límite superior del porcentaje de defectos.

Mediante la distribución binomial se calculan los diversos valores en la CO. Recuerde que para
emplear la distribución binomial hay cuatro requisitos:

1. Solo hay dos resultados posibles: el DVD es aceptable o inaceptable.
2. Hay un número fijo de ensayos; en este caso, es el tamaño de la muestra (20).
3. Existe una probabilidad constante de éxito; es decir, encontrar un DVD defectuoso. La probabi-

lidad de éxito se supone de 0.10.
4. Los ensayos son independientes, y la probabilidad de obtener un DVD defectuoso en el tercero

seleccionado no está relacionada con la probabilidad de encontrar un defecto en el cuarto.

En el apéndice B.1 se dan varias probabilidades binomiales; sin embargo, estas tablas solo lle-

gan a 15, es decir, n 5 15. En este problema n 5 20; por lo tanto, utilice Excel para calcular las varias

probabilidades binomiales. En la salida de Excel de la izquierda se muestran las probabilidades bino-

miales para n 5 20 cuando p es igual a 0.05, 0.10, 0.15, 0.20, 0.25 y 0.30.

Los términos del capítulo 6 se deben traducir al vocabulario de mues-

treo de aceptación: p representa la probabilidad de encontrar un defecto,

c el número de defectos permitidos, y n el número de artículos muestrea-

Fracción defectuosa del lote entrante dos. En este caso, permitirá hasta dos defectos, por lo que c 5 2; esto
significa que 0, 1 o 2 de los 20 artículos muestreados pueden ser defec-

Probabilidad tuosos y aun así se aceptaría el embarque de entrada de DVD.

Número Para empezar, determine la probabilidad de aceptar un lote que sea
de 5% defectuoso; esto significa que p 5 0.05, c 5 2 y n 5 20. De la salida
de Excel, la probabilidad de seleccionar una muestra de 20 artículos de
defectos

un embarque con 5% de defectos y encontrar exactamente 0 defectos es

0.358. La posibilidad de encontrar exactamente 1 defecto es 0.377, y la

de encontrar 2 es 0.189. De aquí que la probabilidad de 2 o menos defec-

tos sea 0.924, que se determina mediante 0.358 1 0.377 1 0.189; este

resultado por lo general se escribe en notación abreviada, como sigue

(recuerde que la barra “ 1 ” significa “dado que”).

P(x # 2 1 p 5 0.5 y n 5 20) 5 0.358 1 0.377 1 0.189 5 0.924

La probabilidad de aceptar un lote que en realidad tiene 10% de defectos
es 0.677; es decir,

P(x # 2 1 p 5 0.10 y n 5 20) 5 0.122 1 0.270 1 0.285 5 0.677