Estadística aplicada a los negocios y la economía

Construcción de distribuciones de frecuencias: datos cuantitativos 27

QPSDFOUBKF EF MPT QSFDJPT EF WFIÎDVMPT TF FODVFOUSB FO MB DMBTF RVF WB EF IBTUB EÓMBSFT
&O PUSP FTUVEJP
UBM WF[ JNQPSUF TBCFS RVÊ QPSDFOUBKF EF FNQMFBEPT UPNÓ EF IBTUB EÎBT MJCSFT
FM BÒP BOUFSJPS 1BSB DPOWFSUJS VOB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJB FO VOB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJB rela-
tiva, cada una se divide entre el número total de observaciones. En el caso de la distribución de
HBOBODJBT QPS WFOUBT EF WFIÎDVMPT UBCMB

MB GSFDVFODJB SFMBUJWB EF MB DMBTF EF IBTUB
EÓMBSFT FT EF
Z TF EFUFSNJOB EJWJEJFOEP FOUSF &T EFDJS
MBT HBOBODJBT EF EF MPT
WFIÎDVMPT RVF WFOEJÓ "QQMFXPPE "VUP (SPVQ TF FODVFOUSBO FOUSF Z EÓMBSFT -BT GSF-
DVFODJBT SFMBUJWBT EFM SFTUP EF MBT DMBTFT BQBSFDFO FO MB UBCMB

TABLA 2.7 Distribución de frecuencias relativas de las ganancias por los vehículos vendi-
dos el mes anterior en Applewood Auto Group

Ganancia Frecuencia Frecuencia relativa Determinada por

$ 200 hasta $ 600 8 .044 8y180
600 hasta 1 000 11 .061 11y180
23 .128 23y180
1 000 hasta 1 400 38 .211 38y180
1 400 hasta 1 800 45 .250 45y180
1 800 hasta 2 200 32 .178 32y180
2 200 hasta 2 600 19 .106 19y180
2 600 hasta 3 000 4 .022 4y180
3 000 hasta 3 400
180 1.000
Total

$PNP TF JOEJDÓ FO FM DBQÎUVMP
FYJTUFO EJWFSTPT QBRVFUFT EF TPGUXBSF RVF QFSNJUFO
MMFWBS B DBCP DÃMDVMPT FTUBEÎTUJDPT " MP MBSHP EFM MJCSP NPTUSBNPT MPT SFTVMUBEPT EF
.JDSPTPGU &YDFM
EF .FHB4UBU VO DPNQMFNFOUP EF &YDFM
Z EF .JOJUBC -PT QBTPT
OFDFTBSJPT QBSB HFOFSBS MB UBCMB EF FTUB QÃHJOB BQBSFDFO FO MB TFDDJÓO i$PNBOEPT EF
TPGUXBSFu FO FM BQÊOEJDF $

AUTOEVALUACIÓN #BSSZ #POET
KVHBEPS EF MPT (JHBOUFT EF 4BO 'SBODJTDP
FTUBCMFDJÓ VOB OVFWB NBSDB EF DVBESBOHV-
MBSFT FO VOB TPMB UFNQPSBEB BM DPOFDUBS EVSBOUF MB UFNQPSBEB " DPOUJOVBDJÓO TF FOMJTUB MB
23 EJTUBODJB FO QJFT
EF DBEB DVBESBOHVMBS

320 320 347 350 360 360 360 361 365 370
370 375 375 375 375 380 380 380 380 380
380 390 390 391 394 396 400 400 400 400
405 410 410 410 410 410 410 410 410 410
410 410 411 415 415 416 417 417 420 420
420 420 420 420 420 420 429 430 430 430
430 430 435 435 436 440 440 440 440 440
450 480 488

B
1BSB FTUPT EBUPT
NVFTUSF MBT TJFUF DMBTFT RVF QPESÎBO VTBSTF QBSB DSFBS MB EJTUSJCVDJÓO EF GSF-
cuencias utilizando la regla 2k.

C
%FNVFTUSF RVF VO JOUFSWBMP EF DMBTF EF SFTVNJSÎB MPT EBUPT FO TJFUF DMBTFT
D
$PO TJFUF DMBTFT Z VO JOUFSWBMP EF DMBTF EF
DPOTUSVZB EJTUSJCVDJPOFT EF GSFDVFODJBT Z EF

GSFDVFODJBT SFMBUJWBT B QBSUJS EF MPT EBUPT $PNJFODF MB QSJNFSB DMBTF DPO VO MÎNJUF JOGFSJPS B
E
y$VÃOUPT DVBESBOHVMBSFT SFDPSSJFSPO VOB EJTUBODJB EF IBTUB QJFT
F
y2VÊ QPSDFOUBKF EF DVBESBOHVMBSFT BUSBWFTÓ VOB EJTUBODJB EF IBTUB QJFT
G
y2VÊ QPSDFOUBKF EF DVBESBOHVMBSFT SFDPSSJÓ VOB EJTUBODJB EF QJFT P NÃT

7. 6O DPOKVOUP EF EBUPT DPOTUB EF PCTFSWBDJPOFT y$VÃOUBT DMBTFT SFDPNFOEBSÎB QBSB MB EJTUSJCV- EJERCICIOS
DJÓO EF GSFDVFODJBT

8. 6O DPOKVOUP EF EBUPT DPOTUB EF PCTFSWBDJPOFT FOUSF Z EÓMBSFT y2VÊ UBNBÒP SFDPNFOEBSÎB
VTUFE QBSB FM JOUFSWBMP EF DMBTF

9 6O DPOKVOUP EF EBUPT DPOTUB EF PCTFSWBDJPOFT FOUSF Z EÓMBSFT y2VÊ JOUFSWBMP EF DMBTF
SFDPNFOEBSÎB

28 CAPÍTULO 2 Descripción de datos: tablas de frecuencias

&TUF ÎDPOP JOEJDB RVF MPT 10. 6O DPOKVOUP EF EBUPT DPOUJFOF PCTFSWBDJPOFT &M WBMPS NÃT CBKP FT Z FM NÃT BMUP
-PT
EBUPT FTUÃO EJTQPOJCMFT FO datos se van a organizar en una distribución de frecuencias.
el sitio web del libro, www. a. y$VÃOUBT DMBTFT TVHFSJSÎB
mhhe.com/uni/lind_ae16e. b. y2VÊ DBOUJEBE TVHFSJSÎB DPNP MÎNJUF JOGFSJPS EF MB QSJNFSB DMBTF
6TUFE QPESÃ EFTDBSHBSMPT
directamente en Excel o en 11. 8BDIFTBX .BOVGBDUVSJOH
*OD QSPEVKP MB TJHVJFOUF DBOUJEBE EF VOJEBEFT EVSBOUF MPT QBTBEPT
.JOJUBC EFTEF FTUF TJUJP EÎBT

Para la BASE DE DATOS 27 27 27 28 27 25 25 28
visite www.mhhe.com/ 26 28 26 28 31 30 26 26
uni/lind_ae16e
-B JOGPSNBDJÓO TF PSHBOJ[BSÃ FO VOB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT
Para la BASE DE DATOS a. y$VÃOUBT DMBTFT SFDPNFOEBSÎB
visite www.mhhe.com/ b. y2VÊ JOUFSWBMP EF DMBTF TVHFSJSÎB
uni/lind_ae16e c. y2VÊ MÎNJUF JOGFSJPS SFDPNFOEBSÎB QBSB MB QSJNFSB DMBTF
d. 0SHBOJDF MB JOGPSNBDJÓO FO VOB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT Z EFUFSNJOF MB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFO-
cias relativas.
e. Comente la forma de la distribución.

12. -B DPNQBÒÎB 2VJDL $IBOHF 0JM DVFOUB DPO WBSJPT UBMMFSFT FO FM ÃSFB NFUSPQPMJUBOB EF 4FBUUMF -BT
DBOUJEBEFT EJBSJBT EF DBNCJPT EF BDFJUF RVF TF SFBMJ[BSPO FO FM UBMMFS EF 0BL 4USFFU EVSBOUF MPT QBTB-
EPT WFJOUF EÎBT TPO MBT TJHVJFOUFT

65 98 55 62 79 59 51 90 72 56
70 62 66 80 94 79 63 73 71 85

Para la BASE DE DATOS -PT EBUPT TF PSHBOJ[BSÃO FO VOB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT
visite www.mhhe.com/ a. y$VÃOUBT DMBTFT SFDPNFOEBSÎB
uni/lind_ae16e b. y2VÊ JOUFSWBMP EF DMBTF TVHFSJSÎB
c. y2VÊ MÎNJUF JOGFSJPS SFDPNFOEBSÎB QBSB MB QSJNFSB DMBTF
d. 0SHBOJDF FM OÙNFSP EF DBNCJPT EF BDFJUF DPNP EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT
e. $PNFOUF MB GPSNB EF MB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT %FUFSNJOF
BTJNJTNP
MB EJTUSJCVDJÓO EF GSF-

cuencias relativas.
13. &M HFSFOUF EF #JMP 4VQFSNBSLFU
FO .U 1MFBTBOU
3IPEF *TMBOE
SFVOJÓ MB TJHVJFOUF JOGPSNBDJÓO BDFSDB

EF MB DBOUJEBE EF WFDFT RVF VO DMJFOUF WJTJUB MB UJFOEB EVSBOUF VO NFT -BT SFTQVFTUBT EF DMJFOUFT
fueron las siguientes:

5 33144564266671
1 14 1 2 4 4 4 5 6 3 5 3 4 5 6
8 4 7 6 5 9 11 3 12 4 7 6 5 15 1
1 10 8 9 2 12

Para la BASE DE DATOS a. $PNJFODF B QBSUJS EF DPNP MÎNJUF JOGFSJPS EF MB QSJNFSB DMBTF
VUJMJDF VO JOUFSWBMP EF DMBTF EF Z
visite www.mhhe.com/ organice los datos en una distribución de frecuencias.
uni/lind_ae16e
b. %FTDSJCB MB EJTUSJCVDJÓO y%ÓOEF UJFOEFO B BDVNVMBSTF MPT EBUPT
c. Convierta la distribución en una distribución de frecuencias relativas.
14. -B EJWJTJÓO EF TFSWJDJPT BMJNFOUBSJPT EF $FEBS 3JWFS "NVTFNFOU 1BSL
*OD
FTUVEJB MB DBOUJEBE RVF
HBTUBO BM EÎB FO BMJNFOUP Z CFCJEB MBT GBNJMJBT RVF WJTJUBO FM QBSRVF EF EJWFSTJPOFT 6OB NVFTUSB EF
GBNJMJBT RVF WJTJUÓ FM QBSRVF FM EÎB BOUFSJPS SFWFMB RVF FTUBT HBTUBSPO MBT TJHVJFOUFT DBOUJEBEFT

$77 $18 $63 $84 $38 $54 $50 $59 $54 $56 $36 $26 $50 $34 $44
41 58 58 53 51 62 43 52 53 63 62 62 65 61 52
60 60 45 66 83 71 63 58 61 71

a. 0SHBOJDF MPT EBUPT DPNP EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT VUJMJ[BOEP TJFUF DMBTFT Z FM DPNP MÎNJUF
JOGFSJPS EF MB QSJNFSB DMBTF y2VÊ JOUFSWBMP EF DMBTF FMJHJÓ

b. y%ÓOEF UJFOEFO B BDVNVMBSTF MPT EBUPT
c. %FTDSJCB MB EJTUSJCVDJÓO
d. %FUFSNJOF MB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT SFMBUJWBT

Representación gráfica de una distribución de frecuencias 29

Representación gráfica de una distribución OA2-4
de frecuencias
Desplegar una frecuen-
&T GSFDVFOUF RVF MPT HFSFOUFT EF WFOUBT
BOBMJTUBT EF CPMTB
BENJOJTUSBEPSFT EF IPTQJUBMFT Z PUSPT cia de distribución utili-
FKFDVUJWPT PDVQBEPT OFDFTJUFO VOB WJTUB SÃQJEB EF MBT UFOEFODJBT EF MBT WFOUBT
MPT QSFDJPT EF MBT zando un histograma
BDDJPOFT P MPT DPTUPT EF IPTQJUBMJ[BDJÓO " NFOVEP
FTUBT UFOEFODJBT QVFEFO EFTDSJCJSTF QPS NFEJP o un polígono de fre-
EF UBCMBT Z HSÃGJDBT 5SFT IFSSBNJFOUBT RVF TFSÃO EF VUJMJEBE QBSB SFQSFTFOUBS HSÃGJDBNFOUF VOB EJT- cuencia.
USJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT TPO FM IJTUPHSBNB
FM QPMÎHPOP EF GSFDVFODJBT Z FM QPMÎHPOP EF GSFDVFODJBT
acumuladas.

Histograma

Un histograma EF VOB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT CBTBEB FO EBUPT DVBOUJUBUJWPT TF BTFNFKB NVDIP
B MB HSÃGJDB EF CBSSBT
RVF NVFTUSB MB EJTUSJCVDJÓO EF EBUPT DVBMJUBUJWPT -BT DMBTFT TF TFÒBMBO FO FM
FKF IPSJ[POUBM Z MBT GSFDVFODJBT EF DMBTF
FO FM WFSUJDBM -BT GSFDVFODJBT EF DMBTF TF SFQSFTFOUBO QPS
NFEJP EF MBT BMUVSBT EF MBT CBSSBT "IPSB CJFO
B SBÎ[ EF MB OBUVSBMF[B EF MPT EBUPT
TVSHF VOB JNQPS-
tante diferencia: por lo general, los datos cuantitativos se miden con escalas continuas, no discretas.
1PS DPOTJHVJFOUF
FM FKF IPSJ[POUBM SFQSFTFOUB UPEPT MPT WBMPSFT QPTJCMFT
Z MBT CBSSBT TF DPMPDBO EF
GPSNB BEZBDFOUF QBSB RVF NVFTUSFO MB OBUVSBMF[B DPOUJOVB EF MPT EBUPT

HISTOGRAMA (SÃGJDB FO MB RVF MBT DMBTFT TF TFÒBMBO FO FM FKF IPSJ[POUBM Z MBT GSFDVFODJBT EF
DMBTF
FO FM WFSUJDBM -BT GSFDVFODJBT EF DMBTF TF SFQSFTFOUBO QPS NFEJP EF MBT BMUVSBT EF MBT CBSSBT

RVF TF EJCVKBO EF NBOFSB BEZBDFOUF

EJEMPLO

&OTFHVJEB BQBSFDF MB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT EF MBT HBOBODJBT QPS WFOUBT EF WFIÎDVMPT FM NFT
BOUFSJPS FO "QQMFXPPE "VUP (SPVQ

Ganancia Frecuencia ESTADÍSTICA
EN ACCIÓN
$ 200 hasta $ 600 8
600 hasta 1 000 11 A Florence Nightingale se
23 le conoce como la funda-
1 000 hasta 1 400 38 dora de la profesión de
1 400 hasta 1 800 45 enfermería. Sin embargo,
1 800 hasta 2 200 32 también salvó muchas vi-
2 200 hasta 2 600 19 das con la ayuda del aná-
2 600 hasta 3 000 4 lisis estadístico. Cuando
3 000 hasta 3 400 se encontraba en condi-
180 ciones poco higiénicas o
Total en un hospital sin sufi-
cientes provisiones, me-
$POTUSVZB VO IJTUPHSBNB y2VÊ DPODMVTJPOFT PCUJFOF EF MB JOGPSNBDJÓO RVF TF QSFTFOUB FO FM IJTUP- joraba las condiciones y,
HSBNB enseguida, empleaba los
datos estadísticos para
SOLUCIÓN documentar las mejoras.
De esta manera conven-
-BT GSFDVFODJBT EF DMBTF TF DPMPDBO FO VOB FTDBMB VCJDBEB FO FM FKF WFSUJDBM FKF Y

NJFOUSBT RVF B MP ció a otros de la necesi-
MBSHP EFM FKF IPSJ[POUBM TF DPMPDBO MPT MÎNJUFT EF DMBTF P MPT QVOUPT NFEJPT EF DMBTF 1BSB JMVTUSBS MB dad de una reforma mé-
DPOTUSVDDJÓO EFM IJTUPHSBNB
TF QSFTFOUBO MBT QSJNFSBT USFT DMBTFT FO MB HSÃGJDB
QÃHJOB dica, en particular en el
área de salubridad. Di-
0CTFSWF RVF
FO MB HSÃGJDB
MB HBOBODJB RVF QSPEVKFSPO WFIÎDVMPT GVF EF IBTUB señó gráficas originales
EÓMBSFT 1PS DPOTJHVJFOUF
MB BMUVSB EF MB DPMVNOB EF EJDIB DMBTF FT )BZ WFIÎDVMPT FO MPT RVF MB para demostrar que, du-
HBOBODJB GVF EF IBTUB EÓMBSFT 1PS DPOTJHVJFOUF
FT MÓHJDP RVF MB BMUVSB EF EJDIB DPMVNOB rante la guerra de Crimea,
TFB -B BMUVSB EF MB CBSSB SFQSFTFOUB FM OÙNFSP EF PCTFSWBDJPOFT FO MB DMBTF murieron más soldados a
causa de las condiciones
&TUF QSPDFEJNJFOUP TF BQMJDB FO UPEBT MBT DMBTFT &M IJTUPHSBNB DPNQMFUP TF NVFTUSB FO MB HSÃ- insalubres que en com-
GJDB
QÃHJOB "EWJFSUB RVF OP IBZ FTQBDJP FOUSF MBT CBSSBT
MP DVBM FT VOB DBSBDUFSÎTUJDB EFM bate.
IJTUPHSBNB y1PS RVÊ 1PSRVF RVF MB WBSJBCMF NBSDBEB FO FM FKF IPSJ[POUBM FT DPOUJOVB &O VOB HSÃGJ-
DB EF CBSSBT
MB FTDBMB EF NFEJDJÓO FT OPNJOBM Z MBT CBSSBT WFSUJDBMFT FTUÃO TFQBSBEBT &TUBT TPO
EJGFSFODJBT JNQPSUBOUFT FOUSF FM IJTUPHSBNB Z MB HSÃGJDB EF CBSSBT

30 CAPÍTULO 2 Descripción de datos: tablas de frecuencias

Número de vehículos 32
(frecuencia de clase) 24 23
16 11
88

200 600 1 000 1 400
Ganancia (en dólares)

GRÁFICA 2.3 Construcción de un histograma

Frecuencia 50 45
40
30 38
20 32
10 8
0 23 19
11

4

200-600 000
400
800
200
600
000
400

600-1
000-1
400-1
800-2
200-2
600-3
000-3

1
1
1
2
2
3

Ganancia (en dólares)

GRÁFICA 2.4 Histograma de ganancias sobre 180 vehículos que vendió
Applewood Auto Group

" QBSUJS EFM IJTUPHSBNB EF MB HSÃGJDB
FT QPTJCMF DPODMVJS MP TJHVJFOUF 4PO MBT NJTNBT PCTFS-
WBDJPOFT CBTBEBT FO MB UBCMB

1. -B HBOBODJB RVF TF PCUVWP QPS MB WFOUB EF VO WFIÎDVMP FTUÃ FO VO SBOHP EF IBTUB
dólares.

2. -BT HBOBODJBT QPS WFIÎDVMP TF DMBTJGJDBO VUJMJ[BOEP VO JOUFSWBMP EF DMBTF EF EÓMBSFT &M JOUFS-
WBMP EF DMBTF TF EFUFSNJOB TVTUSBZFOEP MPT MÎNJUFT EF MBT DMBTFT JOGFSJPS P TVQFSJPS DPOTFDVUJWPT
1PS FKFNQMP
FM MÎNJUF JOGFSJPS EF MB QSJNFSB DMBTF FT EÓMBSFT
Z FM JOGFSJPS EF MB TFHVOEB DMBTF
FT EÓMBSFT -B EJGFSFODJB FT FM JOUFSWBMP EF DMBTF
P EÓMBSFT

3. -BT HBOBODJBT TF DPODFOUSBO FOUSF Z EÓMBSFT -BT HBOBODJBT TPCSF WFIÎDVMPT
V

FOUSBO FO FTUF SBOHP

4. 1BSB DBEB DMBTF FT QPTJCMF EFUFSNJOBS MB HBOBODJB UÎQJDB P QVOUP NFEJP EF MB DMBTF. &TUÃ B NF-
EJP DBNJOP FOUSF MPT MÎNJUFT JOGFSJPS Z TVQFSJPS EF EPT DMBTFT DPOTFDVUJWBT 4F EFUFSNJOB BM TV-
NBS FM MÎNJUF JOGFSJPS P TVQFSJPS EF DMBTFT DPOTFDVUJWBT Z EJWJEJS FOUSF &O SFGFSFODJB B MB HSÃGJDB

FM MÎNJUF JOGFSJPS EF MB QSJNFSB DMBTF FT EÓMBSFT Z FM EF MB TJHVJFOUF FT EÓMBSFT &M
QVOUP NFEJP EF MB DMBTF FT EÓMBSFT
RVF TF EFUFSNJOB QPS 1
&M QVOUP NFEJP
SFQSFTFOUB NFKPS P FT UÎQJDP EF
MBT HBOBODJBT QSPWFOJFOUFT EF MPT WFIÎDVMPT FO FTB DMBTF
"QQMFXPPE WFOEJÓ WFIÎDVMPT DPO VOB HBOBODJB UÎQJDB EF EÓMBSFT

5. -B NÃYJNB DPODFOUSBDJÓO
P GSFDVFODJB NÃT BMUB
TF FODVFOUSB FO MB DMBTF RVF WB EF IBT-
UB EÓMBSFT )BZ WFIÎDVMPT FO FTUB DMBTF Z TV QVOUP NFEJP TF VCJDB FO EÓMBSFT

DBOUJEBE RVF SFQSFTFOUB MB HBOBODJB UÎQJDB FO MB DMBTF DPO MB GSFDVFODJB NÃT BMUB

1PS DPOTJHVJFOUF
FM IJTUPHSBNB QSPQPSDJPOB VOB SFQSFTFOUBDJÓO WJTVBM EF VOB EJTUSJCVDJÓO EF
GSFDVFODJBT EF GÃDJM JOUFSQSFUBDJÓO $BCF TFÒBMBS RVF MBT DPODMVTJPOFT Z MB GPSNB EFM IJTUPHSBNB IV-
bieran sido las mismas en caso de haber empleado una distribución de frecuencias relativas en lugar
EF MBT GSFDVFODJBT SFBMFT &T EFDJS
FM IJTUPHSBNB UFOESÎB MB NJTNB GPSNB RVF MB HSÃGJDB TJ TF IV-
CJFSBO FNQMFBEP MBT GSFDVFODJBT SFMBUJWBT EF MB UBCMB -B ÙOJDB EJGFSFODJB DPOTJTUF FO RVF FM FKF
WFSUJDBM SFQSFTFOUBSÎB FM QPSDFOUBKF FO MVHBS EF MB DBOUJEBE EF WFIÎDVMPT -PT DPNBOEPT EF &YDFM QBSB
PCUFOFS FTUF SFTVMUBEP TF JODMVZFO FO FM BQÊOEJDF $

Representación gráfica de una distribución de frecuencias 31

Polígono de frecuencias Ganancia Punto medio Frecuencia
8
Un polígono de frecuencias UBNCJÊO NVFTUSB MB GPSNB RVF UJFOF VOB $ 200 hasta $ 600 $ 400 11
distribución y es similar a un histograma. Consiste en segmentos de 600 hasta 1 000 800 23
SFDUB RVF DPOFDUBO MPT QVOUPT RVF GPSNBO MBT JOUFSTFDDJPOFT EF MPT 38
QVOUPT NFEJPT EF DMBTF Z MBT GSFDVFODJBT EF DMBTF &O MB HSÃGJDB TF 1 000 hasta 1 400 1 200 45
JMVTUSB MB DPOTUSVDDJÓO EF VO QPMÎHPOP EF GSFDVFODJBT 4F FNQMFBSPO MBT 1 400 hasta 1 800 1 600 32
HBOBODJBT TPCSF MPT WFIÎDVMPT WFOEJEPT FM NFT QSFWJP FO "QQMFXPPE 1 800 hasta 2 200 2 000 19
"VUP (SPVQ &M QVOUP NFEJP EF DBEB DMBTF TF JOEJDB FO VOB FTDBMB FO FM 2 200 hasta 2 600 2 400 4
FKF X Z MBT GSFDVFODJBT EF DMBTF
FO FM FKF Y. 3FDVFSEF RVF FM QVOUP NF- 2 600 hasta 3 000 2 800
dio de clase es el valor localizado en el centro de una clase y represen- 3 000 hasta 3 400 3 200 180
UB MPT WBMPSFT UÎQJDPT EF FMMB -B GSFDVFODJB EF DMBTF FT FM OÙNFSP EF Total
PCTFSWBDJPOFT RVF IBZ FO VOB DMBTF QBSUJDVMBS -BT HBOBODJBT RVF TF
PCUVWJFSPO QPS MB WFOUB EF WFIÎDVMPT FO "QQMFXPPE "VUP (SPVQ FM NFT
anterior se repiten a la derecha.

Frecuencia 48
40
32
24
16
8

0 400 800 1 200 1 600 2 000 2 400 2 800 3 200 3 600
Ganancia (en dólares)

GRÁFICA 2.5 Polígono de frecuencias de las ganancias sobre 180 vehículos que vendió
Applewood Auto Group

$PNP TF TFÒBMÓ BOUFT
MB DMBTF RVF WB EF IBTUB EÓMBSFT TF SFQSFTFOUB QPS FM QVOUP
NFEJP EÓMBSFT
1BSB DPOTUSVJS VO QPMÎHPOP EF GSFDVFODJBT
IBZ RVF EFTQMB[BSTF IPSJ[POUBMNFO-
UF TPCSF MB HSÃGJDB BM QVOUP NFEJP Z FOTFHVJEB EF NBOFSB WFSUJDBM BM MB GSFDVFODJB EF DMBTF

EPOEF
TF DPMPDB VO QVOUP -PT WBMPSFT EF x y de y de este punto reciben el nombre de coordenadas. -BT
coordenadas del siguiente punto son x 5 Z y 5 &M QSPDFTP DPOUJOÙB DPO UPEBT MBT DMBTFT
1PTUFSJPSNFOUF
MPT QVOUPT TF DPOFDUBO EF NBOFSB PSEFOBEB &T EFDJS
FM QVOUP RVF SFQSFTFOUB MB
DMBTF NÃT CBKB TF VOF BM RVF SFQSFTFOUB MB TFHVOEB DMBTF Z BTÎ FO MP TVDFTJWP 0CTFSWF RVF
QBSB
DPNQMFUBS FM QPMÎHPOP EF GSFDVFODJBT FO MB HSÃGJDB
TF BÒBEFO MPT QVOUPT NFEJPT EF Z
EÓMBSFT QBSB iBODMBSu FM QPMÎHPOP FO MB GSFDVFODJB DFSP "NCPT WBMPSFT Z
TF PCUVWJFSPO BM
SFTUBS FM JOUFSWBMP EF DMBTF BM QVOUP NFEJP NÃT CBKP EÓMBSFT
Z BM TVNBSMP BM QVOUP NFEJP NÃT
BMUP EÓMBSFT
FO MB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT

5BOUP FM IJTUPHSBNB DPNP FM QPMÎHPOP EF GSFDVFODJBT QFSNJUFO UFOFS VOB WJTUB SÃQJEB EF MBT
QSJODJQBMFT DBSBDUFSÎTUJDBT EF MPT EBUPT NÃYJNPT
NÎOJNPT
QVOUPT EF DPODFOUSBDJÓO
FUD
"VORVF
BNCBT SFQSFTFOUBDJPOFT UJFOFO VO QSPQÓTJUP TJNJMBS
FM IJTUPHSBNB QPTFF MB WFOUBKB EF EFTDSJCJS
DBEB DMBTF DPNP VO SFDUÃOHVMP DVZB CBSSB EF BMUVSB SFQSFTFOUB FM OÙNFSP EF FMFNFOUPT RVF IBZ FO
DBEB DMBTF &M QPMÎHPOP EF GSFDVFODJBT
FO DBNCJP
UJFOF VOB WFOUBKB DPO SFTQFDUP BM IJTUPHSBNB
QFSNJUF DPNQBSBS EJSFDUBNFOUF EPT P NÃT EJTUSJCVDJPOFT EF GSFDVFODJBT 4VQPOHB RVF MB TFÒPSB
#BMM EFTFB DPNQBSBS MBT HBOBODJBT QPS WFIÎDVMP WFOEJEP FO "QQMFXPPE "VUP (SPVQ DPO MBT RVF
PCUVWP VO HSVQP TJNJMBS
'PXMFS .PUPST
VCJDBEP FO (SBZMJOH
.JDIJHBO 1BSB IBDFSMP
EFCF DPOTUSVJS
EPT QPMÎHPOPT EF GSFDVFODJBT
VOP TPCSF FM PUSP
DPNP MP NVFTUSB MB HSÃGJDB
QÃHJOB " QBSUJS
EF MB HSÃGJDB
EPT BTQFDUPT SFTVMUBO FWJEFOUFT

r 2VF MB HBOBODJB UÎQJDB RVF PCUJFOF 'PXMFS FT NÃT BMUB DFSDBOB B EÓMBSFT QBSB "QQMFXPPE
"VUP (SPVQ Z EF DBTJ EÓMBSFT QBSB 'PXMFS

r &YJTUF NFOPT EJTQFSTJÓO FO MBT HBOBODJBT FO 'PXMFS .PUPST RVF FO "QQMFXPPE &M MÎNJUF JOGFSJPS
EF MB QSJNFSB DMBTF EF "QQMFXPPE FT Z FM TVQFSJPS
EÓMBSFT &O FM DBTP EF 'PXMFS .P-
UPST
FM MÎNJUF JOGFSJPS FT EÓMBSFT Z FM TVQFSJPS FT FM NJTNP EÓMBSFT

32 CAPÍTULO 2 Descripción de datos: tablas de frecuenciasFrecuencia

56 Fowler Motors
48 Applewood
40
32
24
16
8

0 400 800 1 200 1 600 2 000 2 400 2 800 3 200 3 600
Ganancia (en dólares)

GRÁFICA 2.6 Distribución de ganancias de vehículos en Applewood Auto Group y en Fowler
Motors

&M OÙNFSP UPUBM EF BVUPT WFOEJEPT FO BNCBT DPODFTJPOBSJBT FT BQSPYJNBEBNFOUF FM NJTNP
BTÎ
RVF FT QPTJCMF MMFWBS B DBCP VOB DPNQBSBDJÓO EJSFDUB 4J MB EJGFSFODJB FOUSF FM OÙNFSP UPUBM EF BVUPT
vendidos es mayor, convertir las frecuencias en frecuencias relativas y representar enseguida las
EPT EJTUSJCVDJPOFT QFSNJUJSÎB PCUFOFS VOB DPNQBSBDJÓO NÃT DMBSB

-BT JNQPSUBDJPOFT BOVBMFT EF VO HSVQP EF QSPWFFEPSFT EFM TFDUPS FMFDUSÓOJDP BQBSFDFO FO MB TJ-
guiente distribución de frecuencias.

AUTOEVALUACIÓN Importaciones Número
(millones de dólares) de proveedores
24
2 hasta 5 6
5 hasta 8 13
8 hasta 11 20
11 hasta 14 10
14 hasta 17
1

B
3FQSFTFOUF MBT JNQPSUBDJPOFT QPS NFEJP EF VO IJTUPHSBNB
C
.VFTUSF MBT JNQPSUBDJPOFT QPS NFEJP EF VO QPMÎHPOP EF GSFDVFODJBT SFMBUJWBT
D
3FTVNB MBT GBDFUBT JNQPSUBOUFT EF MB EJTUSJCVDJÓO DPNP DMBTFT
JODMVZFOEP MBT GSFDVFODJBT NÃT

BMUB Z NÃT CBKB


EJERCICIOS 15. .PMMZ T $BOEMF 4IPQ UJFOF EJWFSTBT UJFOEBT EF WFOUB EF NFOVEFP FO MBT ÃSFBT DPTUFSBT EF $BSPMJOB
EFM /PSUF Z $BSPMJOB EFM 4VS .VDIPT EF MPT DMJFOUFT EF .PMMZ T IBO TPMJDJUBEP RVF TF MFT FOWÎFO TVT
DPNQSBT -B TJHVJFOUF HSÃGJDB NVFTUSB FM OÙNFSP EF QBRVFUFT FOWJBEPT QPS EÎB EVSBOUF MPT QBTBEPT
EÎBT

Frecuencia 30 28
20 23
10 5 18

13 10

3

0 5 10 15 20 25 30 35

Número de paquetes

a. y2VÊ OPNCSF SFDJCF MB HSÃGJDB
b. y$VÃM FT FM OÙNFSP UPUBM EF GSFDVFODJBT
c. y$VÃM FT FM JOUFSWBMP EF DMBTF
d. y$VÃM FT MB GSFDVFODJB EF DMBTF FO MBT DMBTFT IBTUB
e. y$VÃM FT MB GSFDVFODJB SFMBUJWB FO MBT DMBTFT IBTUB

Representación gráfica de una distribución de frecuencias 33

f. y$VÃM FT FM QVOUP NFEJP EF MBT DMBTFT IBTUB Frecuencia
g. y&O DVÃOUPT EÎBT TF FOWJBSPO P NÃT QBRVFUFT
16. -B TJHVJFOUF HSÃGJDB NVFTUSB FM OÙNFSP EF QBDJFOUFT RVF BENJUF EJBSJBNFOUF FM .FNPSJBM )PTQJUBM FO
la sala de urgencias.

30

20

10

0 2 4 6 8 10 12
Número de pacientes

a. y$VÃM FT FM QVOUP NFEJP EF MB DMBTF RVF WB EF IBTUB
b. y$VÃOUPT EÎBT TF BENJUJFSPO FOUSF IBTUB QBDJFOUFT
c. y"QSPYJNBEBNFOUF DVÃOUPT EÎBT GVFSPO FTUVEJBEPT
d. y$VÃM FT FM JOUFSWBMP EF DMBTF
e. y2VÊ OPNCSF SFDJCF FTUB HSÃGJDB
17. -B TJHVJFOUF EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT NVFTUSB FM OÙNFSP EF NJMMBT EF WJBKFSP GSFDVFOUF
FYQSFTBEP
FO NJMFT EF NJMMBT
EF FNQMFBEPT EF #SVNMFZ 4UBUJTUJDBM $POTVMUJOH
*OD
EVSBOUF FM USJNFTUSF NÃT
reciente.

Millas de viajero frecuente Número

(en miles) de empleados

0 hasta 3 5
3 hasta 6 12
6 hasta 9 23
9 hasta 12 8
12 hasta 15 2

Total 50

a. y$VÃOUPT FNQMFBEPT TF FTUVEJBSPO
b. y$VÃM FT FM QVOUP NFEJP EF MB QSJNFSB DMBTF
c. Construya un histograma.
d. %JCVKF VO QPMÎHPOP EF GSFDVFODJBT y$VÃMFT TPO MBT DPPSEFOBEBT EF MB NBSDB DPSSFTQPOEJFOUFT B

MB QSJNFSB DMBTF
e. $POTUSVZB VO QPMÎHPOP EF GSFDVFODJBT
f. *OUFSQSFUF MBT NJMMBT EF WJBKFSP GSFDVFOUF BDVNVMBEBT VUJMJ[BOEP BNCBT HSÃGJDBT
18. &DPNNFSDF DPN
VO HSBO NJOPSJTUB EF JOUFSOFU
FTUVEJB FM UJFNQP EF FOUSFHB FM QFSJPEP RVF USBOTDV-
SSF EFTEF RVF TF IBDF VO QFEJEP IBTUB RVF TF FOUSFHB
FO VOB NVFTUSB EF QFEJEPT SFDJFOUFT -PT
UJFNQPT EF FTQFSB TF FYQSFTBO FO EÎBT

Tiempo de espera (días) Frecuencia

0 hasta 5 6
5 hasta 10 7
10 hasta 15 12
15 hasta 20 8
20 hasta 25 7
Total 40

a. y$VÃOUPT QFEJEPT TF FTUVEJBSPO
b. y$VÃM FT FM QVOUP NFEJP EF MB QSJNFSB DMBTF
c. y$VÃMFT TPO MBT DPPSEFOBEBT EF MB QSJNFSB DMBTF FO VO QPMÎHPOP EF GSFDVFODJBT
d. Trace un histograma.
e. %JCVKF VO QPMÎHPOP EF GSFDVFODJBT
f. *OUFSQSFUF MPT UJFNQPT EF FTQFSB NFEJBOUF BNCBT HSÃGJDBT

Distribuciones de frecuencia acumulativas

$POTJEFSF OVFWBNFOUF MB EJTUSJCVDJÓO EF MBT HBOBODJBT TPCSF WFIÎDVMPT RVF WFOEJÓ "QQMFXPPE "V-
UP (SPVQ 4VQPOHB RVF FM JOUFSÊT SBEJDB FO MB DBOUJEBE EF WFIÎDVMPT RVF TF WFOEJFSPO DPO VOB HB-

34 CAPÍTULO 2 Descripción de datos: tablas de frecuencias

OBODJB NFOPS B EÓMBSFT P MB HBOBODJB RVF TF PCUVWP FO FM WBMPS EFCBKP EFM DVBM TF WFOEJÓ
EF MPT WFIÎDVMPT &TUBT DBOUJEBEFT TF BQSPYJNBO NFEJBOUF VOB distribución de frecuencias acu-
mulativas DPO SFQSFTFOUBDJÓO HSÃGJDB EF VO polígono de frecuencias acumulativas.

EJEMPLO

-B EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT EF MBT HBOBODJBT RVF PCUVWP "QQMFXPPE "VUP (SPVQ TF UPNB EF MB
UBCMB

Ganancia Frecuencia

$ 200 hasta $ 600 8
600 hasta 1 000 11
23
1 000 hasta 1 400 38
1 400 hasta 1 800 45
1 800 hasta 2 200 32
2 200 hasta 2 600 19
2 600 hasta 3 000 4
3 000 hasta 3 400
180
Total

$POTUSVZB VO QPMÎHPOP EF GSFDVFODJBT BDVNVMBUJWBT QBSB SFTQPOEFS MBT TJHVJFOUFT EPT QSFHVOUBT
yFO NFOPT EF RVÊ DBOUJEBE TF TJUÙB MB HBOBODJB RVF TF PCUVWP QPS EF MPT WFIÎDVMPT Z yFO
NFOPT EF RVÊ DBOUJEBE TF TJUÙB MB HBOBODJB RVF TF PCUVWP QPS WFIÎDVMPT

SOLUCIÓN

$PNP TV OPNCSF MP JOEJDB
VOB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT BDVNVMBUJWBT Z VO QPMÎHPOP EF GSFDVFODJBT
acumulativas implican frecuencias acumulativas. 1BSB DPOTUSVJS VOB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT BDV-
NVMBUJWBT
DPOTVMUF MB UBCMB BOUFSJPS Z PCTFSWF RVF WFIÎDVMPT TF WFOEJFSPO DPO VOB HBOBODJB NFOPS
B EÓMBSFT EJDIPT WFIÎDVMPT
NÃT EF MB DMBTF JONFEJBUBNFOUF TVQFSJPS
RVF TVNBO
SJOEJFSPO
VOB HBOBODJB NFOPS B EÓMBSFT -B GSFDVFODJB BDVNVMBUJWB EF MB TJHVJFOUF DMBTF TVQFSJPS DPOTF-
DVUJWB FT EF
DBMDVMBEB NFEJBOUF MB PQFSBDJÓO 1 1 &TUF QSPDFTP TF SFQJUF FO UPEBT MBT
DMBTFT 5PEPT MPT WFIÎDVMPT QSPEVKFSPO VOB HBOBODJB NFOPS B EÓMBSFT WFB MB UBCMB


TABLA 2.8 Distribución de frecuencias acumulativas de las ganancias obtenidas por vehículos
vendidos el mes anterior en Applewood Auto Group

Ganancia Frecuencia acumulativa Calculada así

Menos de $ 600 8 8
Menos de 1 000 19 8 1 11
Menos de 1 400 42 8 1 11 1 23
Menos de 1 800 80 8 1 11 1 23 1 38
Menos de 2 200 125 8 1 11 1 23 1 38 1 45
Menos de 2 600 157 8 1 11 1 23 1 38 1 45 1 32
Menos de 3 000 176 8 1 11 1 23 1 38 1 45 1 32 1 19
Menos de 3 400 180 8 1 11 1 23 1 38 1 45 1 32 1 19 1 4

1BSB USB[BS VOB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT BDVNVMBUJWBT
VCJRVF FM MÎNJUF TVQFSJPS EF DBEB DMBTF
FO VOB FTDBMB B MP MBSHP EFM FKF X, Z MBT DPSSFTQPOEJFOUFT GSFDVFODJBT BDVNVMBUJWBT B MP MBSHP EFM FKF
Y. 1BSB JODMVJS JOGPSNBDJÓO BEJDJPOBM
HSBEÙF FM FKF WFSUJDBM B MB J[RVJFSEB FO VOJEBEFT Z FM FKF WFSUJDBM
B MB EFSFDIB
FO QPSDFOUBKFT &O FM FKFNQMP EF "QQMFXPPE "VUP (SPVQ
FM FKF WFSUJDBM RVF TF MPDBMJ[B
B MB J[RVJFSEB TF HSBEÙB EFTEF IBTUB Z
B MB EFSFDIB
EF B &M WBMPS EF DPSSFT-
QPOEF B WFIÎDVMPT

1BSB DPNFO[BS
MB QSJNFSB NBSDB TF DPMPDB FO x 5 200 y y 5 /JOHVOP EF MPT WFIÎDVMPT TF
WFOEJÓ DPO VOB HBOBODJB NFOPS B EÓMBSFT -B HBOBODJB EF WFIÎDVMPT GVF NFOPS EF EÓMBSFT

BTÎ RVF MB TJHVJFOUF NBSDB FT x 5 Z y 5 " DPOUJOVBDJÓO
MB QSÓYJNB NBSDB FT x 5 Z

Representación gráfica de una distribución de frecuencias 35

180 100Número de vehículos vendidos
Porcentaje de vehículos vendidos
160

140 75
120

100
50

80

60
40 25

20

0
200 600 1 000 1 400 1 800 2 200 2 600 3 000 3 400
Ganancia (en dólares)

GRÁFICA 2.7 Distribución de frecuencias acumulativas por ganancia en
vehículos que el mes anterior vendió Applewood Auto Group

y 5 4F SFHJTUSBSPO WFIÎDVMPT WFOEJEPT DPO VOB HBOBODJB NFOPS B EÓMBSFT 4F EJCVKB FM
SFTUP EF MPT QVOUPT Z FOTFHVJEB TF DPOFDUBO QBSB GPSNBS MB HSÃGJDB

6UJMJDF MB HSÃGJDB QBSB EFUFSNJOBS FM NPOUP EF MB HBOBODJB RVF TF PCUVWP FO EF MPT BVUPT
WFOEJEPT
USBDF VOB MÎOFB IPSJ[POUBM FO MB NBSDB EF
VCJDBEB FO FM FKF WFSUJDBM EF MB EFSFDIB

IBTUB FM QPMÎHPOP FOTFHVJEB CBKF BM FKF X Z MFB FM NPOUP EF HBOBODJBT &M WBMPS TPCSF FM FKF X es de
BQSPYJNBEBNFOUF EÓMBSFT
BTÎ RVF TF FTUJNB RVF EF MPT WFIÎDVMPT SJOEJFSPO VOB HBOBODJB
EF EÓMBSFT P NFOPT QBSB "QQMFXPPE (SPVQ

1BSB EFUFSNJOBS MB HBOBODJB RVF PCUVWP FO EF MPT WFIÎDVMPT
WFIÎDVMPT
VUJMJDF MB NJTNB
HSÃGJDB QBSB MPDBMJ[BS FM WBMPS EF FO FM FKF WFSUJDBM EF MB EFSFDIB -VFHP
USBDF VOB MÎOFB IPSJ[POUBM B
QBSUJS EF EJDIP WBMPS IBTUB FM QPMÎHPOP Z EFTQVÊT CBKF BM FKF X y lea el monto. Este es de aproximada-
NFOUF EÓMBSFT
BTÎ RVF TF FTUJNB RVF WFIÎDVMPT TF WFOEJFSPO DPO VOB HBOBODJB NFOPS B FTB
DBOUJEBE 5BNCJÊO FT QPTJCMF IBDFS BQSPYJNBDJPOFT EFM QPSDFOUBKF EF WFIÎDVMPT WFOEJEPT FO NFOPT
EF DJFSUB DBOUJEBE 1PS FKFNQMP
TVQPOHB RVF EFTFB DBMDVMBS FM QPSDFOUBKF EF WFIÎDVMPT RVF TF WFO-
EJFSPO DPO VOB HBOBODJB NFOPS B EÓMBSFT 1BSB DPNFO[BS
MPDBMJDF FM WBMPS EF FTF NPOUP FO FM
FKF X, EFTQMÃDFTF QPS MB WFSUJDBM IBTUB FM QPMÎHPOP Z FOTFHVJEB QPS MB IPSJ[POUBM IBTUB FM FKF WFSUJDBM EF
MB EFSFDIB &M WBMPS FT DFSDBOP B
BTÎ RVF TF DPODMVZF RVF EF MPT WFIÎDVMPT TF WFOEJFSPO
con una ganancia menor a 2 000 dólares.

&O MB TJHVJFOUF UBCMB TF PSHBOJ[Ó VOB NVFTUSB EF TBMBSJPT QPS IPSB EF FNQMFBEPT EF )PNF %FQPU

VCJDBEB FO #SVOTXJDL
(FPSHJB

AUTOEVALUACIÓN Salario por hora Número de empleados

25 $ 8 hasta $10 3
10 hasta 12 7
12 hasta 14 4
14 hasta 16 1

B
y2VÊ OPNCSF SFDJCF MB UBCMB
C
&MBCPSF VOB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT BDVNVMBUJWBT Z SFQSFTFOUF MB EJTUSJCVDJÓO FO VO QPMÎHP-

no de frecuencias acumulativas.
D
%F BDVFSEP DPO FM QPMÎHPOP EF GSFDVFODJBT BDVNVMBUJWBT
yDVÃOUPT FNQMFBEPT HBOBO EÓMB-

SFT P NFOPT QPS IPSB

36 CAPÍTULO 2 Descripción de datos: tablas de frecuencias
EJERCICIOS
19. &M TJHVJFOUF QPMÎHPOP EF GSFDVFODJBT NVFTUSB MPT TBMBSJPT QPS IPSB RVF QFSDJCF VOB NVFTUSB EF TPMEB-
EPSFT FO FM ÃSFB EF "UMBOUB
(FPSHJB Frecuencia Porcentaje

40 100Frecuencia Porcentaje

30 75

20 50

10 25

0 5 10 15 20 25 30
Salario por hora

a. y" DVÃOUPT TPMEBEPSFT TF FTUVEJÓ
b. y$VÃM FT FM JOUFSWBMP EF DMBTF
c. y"QSPYJNBEBNFOUF DVÃOUPT TPMEBEPSFT HBOBO NFOPT EF EÓMBSFT QPS IPSB
d. "MSFEFEPS EF EF MPT TPMEBEPSFT HBOBO NFOPT EF DJFSUB DBOUJEBE y2VÊ DBOUJEBE FT FTUB
e. %JF[ EF MPT TPMEBEPSFT FTUVEJBEPT HBOBO NFOPT EF DJFSUB DBOUJEBE y2VÊ DBOUJEBE FT FTUB
f. y2VÊ QPSDFOUBKF EF TPMEBEPSFT HBOB NFOPT EF EÓMBSFT QPS IPSB
20. &M TJHVJFOUF QPMÎHPOP EF GSFDVFODJBT BDVNVMBUJWBT NVFTUSB MPT QSFDJPT EF WFOUB FO NJMFT EF EÓMBSFT

EF DBTBT RVF TF WFOEJFSPO FO MB [POB EF #JMMJOHT
.POUBOB

200 100

150 75

100 50

50 25

0 50 100 150 200 250 300 350

Precio de venta (en miles de dólares)

a. y$VÃOUBT DBTBT TF FTUVEJBSPO
b. y$VÃM FT FM JOUFSWBMP EF DMBTF
c. y&O NFOPT EF RVÊ DBOUJEBE TF WFOEJFSPO DBTBT
d. y&O NFOPT EF RVÊ DBOUJEBE TF WFOEJÓ BMSFEFEPS EF EF MBT DBTBT
e. $BMDVMF FM OÙNFSP EF DBTBT RVF TF WFOEJFSPO FO MB DMBTF RVF WB EF IBTUB EÓMBSFT
f. y$VÃOUBT DBTBT TF WFOEJFSPO FO NFOPT EF EÓMBSFT
21. $POTJEFSF MB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT EFM FKFSDJDJP
RVF SFQSFTFOUB FM OÙNFSP EF NJMMBT EF WJBKF-
SP GSFDVFOUF BDVNVMBEBT QPS FNQMFBEPT EF #SVNMFZ 4UBUJTUJDBM $POTVMUJOH $PNQBOZ

Millas de viajero frecuente Frecuencia
(miles)
5
0 hasta 3 12
3 hasta 6 23
6 hasta 9 8
9 hasta 12 2
12 hasta 15 50
Total

a. y$VÃOUPT FNQMFBEPT BDVNVMBSPO NFOPT EF NJMMBT
b. Convierta la distribución en una distribución de frecuencias acumulativas.
c. 3FQSFTFOUF MB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT BDVNVMBUJWB FO GPSNB EF QPMÎHPOP EF GSFDVFODJBT BDV-

mulativas.
d. %F BDVFSEP DPO FM QPMÎHPOP EF GSFDVFODJBT
yDVÃOUBT NJMMBT BDVNVMÓ EF MPT FNQMFBEPT
22. -B EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT EF MPT UJFNQPT EF FTQFSB FO &DPNNFSDF DPN
FO FM FKFSDJDJP
TF
repite a continuación.

Ejercicios del capítulo 37

Tiempo de espera (días) Frecuencia

0 hasta 5 6
5 hasta 10 7
10 hasta 15 12
15 hasta 20 8
20 hasta 25 7
Total 40

a. y$VÃOUPT QFEJEPT TF EFTQBDIBSPO FO NFOPT EF EÎBT y&O NFOPT EF EÎBT
b. Convierta la distribución de frecuencias en una distribución de frecuencias acumulativas.
c. %JTFÒF VO QPMÎHPOP EF GSFDVFODJBT BDVNVMBUJWBT
d. y&O NFOPT EF DVÃOUPT EÎBT TF EFTQBDIÓ BMSFEFEPS EF EF MPT QFEJEPT

RESUMEN DEL CAPÍTULO

I. Una tabla de frecuencias es una agrupación de datos cualitativos en clases mutuamente excluyentes
Z DPMFDUJWBNFOUF FYIBVTUJWBT RVF NVFTUSB FM OÙNFSP EF PCTFSWBDJPOFT RVF IBZ FO DBEB DMBTF

II. Una tabla de frecuencias relativas muestra la fracción del número de frecuencias en cada clase.
III. 6OB HSÃGJDB EF CBSSBT FT VOB SFQSFTFOUBDJÓO EF VOB UBCMB EF GSFDVFODJBT
IV. 6OB HSÃGJDB EF QBTUFM NVFTUSB MB QBSUF RVF DBEB DMBTF SFQSFTFOUB EFM OÙNFSP UPUBM EF PCTFSWBDJPOFT
V. Una distribución de frecuencias es una agrupación de datos en clases mutuamente excluyentes y

DPMFDUJWBNFOUF FYIBVTUJWBT RVF NVFTUSB FM OÙNFSP EF PCTFSWBDJPOFT RVF IBZ FO DBEB DMBTF
A. -PT QBTPT QBSB DPOTUSVJS VOB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT TPO MPT TJHVJFOUFT

1. %FDJEJS FM OÙNFSP EF DMBTFT
2. %FUFSNJOBS FM JOUFSWBMP EF DMBTF
3. &TUBCMFDFS MPT MÎNJUFT EF DBEB DMBTF
4. "OPUBS MPT EBUPT FO CSVUP EF MBT DMBTFT
5. Enumerar los elementos en cada clase.
B. -B GSFDVFODJB EF DMBTF FT FM OÙNFSP EF PCTFSWBDJPOFT RVF IBZ FO DBEB DMBTF
C. &M JOUFSWBMP EF DMBTF FT MB EJGFSFODJB FOUSF MPT MÎNJUFT EF EPT DMBTFT DPOTFDVUJWBT
D. &M QVOUP NFEJP EF DMBTF TF FODVFOUSB B MB NJUBE EF MPT MÎNJUFT EF DMBTFT DPOTFDVUJWBT
VI. 6OB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT SFMBUJWBT NVFTUSB FM QPSDFOUBKF EF PCTFSWBDJPOFT EF DBEB DMBTF
VII. &YJTUFO USFT NÊUPEPT QBSB IBDFS VOB SFQSFTFOUBDJÓO HSÃGJDB EF VOB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT
A. 6O IJTUPHSBNB SFQSFTFOUB
FO GPSNB EF SFDUÃOHVMP
FM OÙNFSP EF GSFDVFODJBT FO DBEB DMBTF
B. 6O QPMÎHPOP EF GSFDVFODJBT DPOTJTUF FO TFHNFOUPT EF SFDUB RVF VOFO MPT QVOUPT GPSNBEPT QPS MB
intersección entre el punto medio de clase y la frecuencia de clase.
C. 6OB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT BDVNVMBUJWBT NVFTUSB FM OÙNFSP P QPSDFOUBKF EF PCTFSWBDJPOFT
QPS EFCBKP EF WBMPSFT EBEPT

EJERCICIOS DEL CAPÍTULO

23. %FTDSJCB MBT TJNJMJUVEFT Z EJGFSFODJBT FOUSF MBT WBSJBCMFT DVBMJUBUJWBT Z DVBOUJUBUJWBT "TFHÙSFTF EF
considerar lo siguiente:
a. &M OJWFM EF NFEJDJÓO RVF TF SFRVJFSF QBSB DBEB UJQP EF WBSJBCMF
b. Si ambos tipos sirven para describir muestras y poblaciones.

24. %FTDSJCB MBT TJNJMJUVEFT Z EJGFSFODJBT FOUSF VOB UBCMB EF GSFDVFODJBT Z VOB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFO-
DJBT "TFHÙSFTF EF BDMBSBS DVÃM SFRVJFSF EBUPT DVBMJUBUJWPT Z DVÃM
EBUPT DVBOUJUBUJWPT

25. "MFYBOESB %BNPOUF DPOTUSVJSÃ VO OVFWP DFOUSP WBDBDJPOBM FO .ZSUMF #FBDI
$BSPMJOB EFM 4VS %FCF
EFDJEJS MB NBOFSB EF EJTFÒBS MB PCSB DPO CBTF FO FM UJQP EF BDUJWJEBEFT RVF FM DFOUSP WBDBDJPOBM
PGSFDFSÃ B TVT DMJFOUFT 6OB FODVFTUB SFDJFOUF EF QPTJCMFT DMJFOUFT NPTUSÓ MPT TJHVJFOUFT SFTVM-
UBEPT SFMBDJPOBEPT DPO MBT QSFGFSFODJBT EF MPT DPOTVNJEPSFT FO MP RVF TF SFGJFSF B BDUJWJEBEFT SF-
creativas:

Les gustan las actividades planeadas 63
No les gustan las actividades planeadas 135
No están seguros 78
No respondieron 24

38 CAPÍTULO 2 Descripción de datos: tablas de frecuencias

Para la BASE DE DATOS a. y2VÊ OPNCSF SFDJCF MB UBCMB
visite www.mhhe.com/ b. %JTFÒF VOB HSÃGJDB EF CBSSBT QBSB SFQSFTFOUBS MPT SFTVMUBEPT EF MB FODVFTUB
uni/lind_ae16e c. 5SBDF VOB HSÃGJDB EF QBTUFM RVF NVFTUSF MPT SFTVMUBEPT EF MB FODVFTUB
d. 4J VTUFE TF FTUÃ QSFQBSBOEP QBSB QSFTFOUBSMF MPT SFTVMUBEPT B MB TFÒPSB %BNPOUF DPNP QBSUF EF

VO JOGPSNF
yRVÊ HSÃGJDB QSFGFSJSÎB NPTUSBS y1PS RVÊ
26. Speedy Swift FT VO TFSWJDJP EF SFQBSUP EF NFSDBODÎB RVF BUJFOEF MB [POB NFUSPQPMJUBOB NÃT HSBOEF

EF "UMBOUB
(FPSHJB 6OP EF TVT PCKFUJWPT EF EFTFNQFÒP QBSB DPOTFSWBS MB MFBMUBE EFM DPOTVNJEPS
es la entrega a tiempo. Con el fin de supervisar su desempeño, cada entrega se mide de acuerdo con
MB TJHVJFOUF FTDBMB BOUJDJQBEB NFSDBODÎB FOUSFHBEB BOUFT EFM UJFNQP QSFTDSJUP
B UJFNQP NFSDBODÎB
FOUSFHBEB DPO VOB EJGFSFODJB EF DJODP NJOVUPT FO SFMBDJÓO DPO FM UJFNQP QSFTDSJUP
UBSEF NFSDBODÎB
FOUSFHBEB NÃT EF DJODP NJOVUPT EFTQVÊT EFM UJFNQP QSFTDSJUP
FYUSBWJBEB NFSDBODÎB OP FOUSFHB-
EB
&M PCKFUJWP EF 4QFFEZ 4XJGU DPOTJTUF FO FOUSFHBS EF MB NFSDBODÎB FO GPSNB BOUJDJQBEB P B
UJFNQP 0USP PCKFUJWP FT KBNÃT QFSEFS VO QBRVFUF

Speedy recogió los siguientes datos de desempeño del mes anterior:

A tiempo A tiempo Anticipada Tarde A tiempo A tiempo A tiempo A tiempo Tarde A tiempo
Anticipada A tiempo A tiempo Anticipada A tiempo A tiempo A tiempo A tiempo A tiempo A tiempo
Anticipada A tiempo Anticipada A tiempo A tiempo A tiempo Anticipada A tiempo A tiempo A tiempo
Anticipada A tiempo A tiempo Tarde Anticipada Anticipada A tiempo A tiempo A tiempo Anticipada
A tiempo Tarde Tarde A tiempo A tiempo A tiempo A tiempo A tiempo A tiempo A tiempo
A tiempo Tarde Anticipada A tiempo Anticipada A tiempo Extraviada A tiempo A tiempo A tiempo
Anticipada Anticipada A tiempo A tiempo Tarde Anticipada Extraviada A tiempo A tiempo A tiempo
A tiempo A tiempo Anticipada A tiempo Anticipada A tiempo Anticipada A tiempo Tarde A tiempo
A tiempo Anticipada A tiempo A tiempo A tiempo Tarde A tiempo Anticipada A tiempo A tiempo
A tiempo A tiempo A tiempo A tiempo A tiempo Anticipada Anticipada A tiempo A tiempo A tiempo

Para la BASE DE DATOS a. y2VÊ FTDBMB TF FNQMFÓ QBSB NFEJS FM EFTFNQFÒP EFM SFQBSUP y2VÊ DMBTF EF WBSJBCMF FT EJDIP
visite www.mhhe.com/ EFTFNQFÒP
uni/lind_ae16e
b. $POTUSVZB VOB UBCMB EF GSFDVFODJBT RVF NVFTUSF TV EFTFNQFÒP EVSBOUF FM NFT BOUFSJPS
c. Construya una tabla de frecuencias relativas del desempeño de la empresa durante el mes anterior.
d. %JCVKF VOB HSÃGJDB EF CBSSBT EF MB UBCMB EF GSFDVFODJBT EFM EFTFNQFÒP EVSBOUF FM NFT BOUFSJPS
e. $POTUSVZB VOB HSÃGJDB EF QBTUFM EF MBT FOUSFHBT B UJFNQP EVSBOUF FM NFT BOUFSJPS
f. "OBMJDF MPT SFTÙNFOFT EF EBUPT Z SFEBDUF VOB FWBMVBDJÓO EFM EFTFNQFÒP EF MB FNQSFTB EVSBOUF

FM NFT BOUFSJPS FO SFMBDJÓO DPO TVT PCKFUJWPT &MBCPSF VOB SFDPNFOEBDJÓO HFOFSBM QBSB SFBMJ[BS VO
BOÃMJTJT QPTUFSJPS
27. 6O DPOKVOUP EF EBUPT JODMVZF PCTFSWBDJPOFT y$VÃOUBT DMBTFT SFDPNFOEBSÎB QBSB FMBCPSBS VOB
EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT
28. 6O DPOKVOUP EF EBUPT DPOTUB EF PCTFSWBDJPOFT RVF WBO EF B y2VÊ UBNBÒP EF JOUFSWBMP
EF DMBTF SFDPNFOEBSÎB
29. " DPOUJOVBDJÓO TF NVFTUSB FM OÙNFSP EF NJOVUPT RVF FNQMFB VO HSVQP EF FKFDVUJWPT QBSB WJBKBS FO
BVUPNÓWJM EF TV DBTB BM USBCBKP

28 25 48 37 41 19 32 26 16 23 23 29 36
31 26 21 32 25 31 43 35 42 38 33 28

Para la BASE DE DATOS a. y$VÃOUBT DMBTFT SFDPNFOEBSÎB
visite www.mhhe.com/ b. y$VÃOUPT JOUFSWBMPT EF DMBTF TVHFSJSÎB
uni/lind_ae16e c. y2VÊ JOUFSWBMP EF DMBTF TVHFSJSÎB DPNP MÎNJUF JOGFSJPS EF MB QSJNFSB DMBTF
d. 0SHBOJDF MPT EBUPT FO VOB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT
e. +VTUJGJRVF MB GPSNB EF MB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT
30. -PT TJHVJFOUFT EBUPT QSPQPSDJPOBO MBT DBOUJEBEFT TFNBOBMFT RVF HBTUB FO BCBSSPUFT VOB NVFTUSB EF
hogares.

$271 $363 $159 $ 76 $227 $337 $295 $319 $250
279 205 279 266 199 177 162 232 303
192 181 321 309 246 278 50 41 335
116 100 151 240 474 297 170 188 320
429 294 570 342 279 235 434 123 325

a. y$VÃOUBT DMBTFT SFDPNFOEBSÎB
b. y2VÊ JOUFSWBMP EF DMBTF TVHFSJSÎB

Ejercicios del capítulo 39

c. y$VÃM TFSÎB FM MÎNJUF JOGFSJPS EF MB QSJNFSB DMBTF RVF VTUFE SFDPNFOEBSÎB
d. 0SHBOJDF MPT EBUPT FO VOB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT
31. 6O DJFOUÎGJDP TPDJBM JOWFTUJHB FM VTP EF J1PET FOUSF FTUVEJBOUFT VOJWFSTJUBSJPT 6OB NVFTUSB EF
FTUVEJBOUFT SFWFMÓ RVF FM EÎB BOUFSJPS FTDVDIBSPO FM TJHVJFOUF OÙNFSP EF DBODJPOFT

468 796 377 67 1 4 7 7 Para la BASE DE DATOS
visite www.mhhe.com/
4 6 4 10 2 4 6 3 4 6 8 4 3 3 6 uni/lind_ae16e

884 6 4 6 5 5 9 6 8 8 6 5 10

0SHBOJDF FTB JOGPSNBDJÓO FO VOB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT Para la BASE DE DATOS
a. y$VÃOUBT DMBTFT TVHJFSF visite www.mhhe.com/
b. y$VÃM FT FM JOUFSWBMP EF DMBTF NÃT BQSPQJBEP uni/lind_ae16e
c. y$VÃM FT FM MÎNJUF JOGFSJPS EF MB DMBTF JOJDJBM
d. Elabore la distribución de frecuencias.
e. %FTDSJCB FM QFSGJM EF MB EJTUSJCVDJÓO

32. %BWJE 8JTF IB NBOFKBEP TV QSPQJP QPSUBGPMJP EF JOWFSTJPOFT EVSBOUF NVDIPT BÒPT "CBKP TF FOMJTUB
FM QFSJPEP EF UFOFODJB SFHJTUSBEP BM ÙMUJNP BÒP DPNQMFUP
FOUSF MB DPNQSB Z MB WFOUB EF TV DPMFDDJÓO
de acciones.

8 8 6 11 11 9 8 5 11 4 8 5 14 7 12 8 6 11 9 7
9 15 8 8 12 5 9 8 5 9 10 11 3 9 8 6

a. y$VÃOUBT DMBTFT QSPQPOF Para la BASE DE DATOS
b. y2VÊ JOUFSWBMP EF DMBTF TVHJFSF visite www.mhhe.com/
c. y2VÊ DBOUJEBE VUJMJ[BSÎB QBSB FM MÎNJUF JOGFSJPS EF MB DMBTF JOJDJBM uni/lind_ae16e
d. Con base en sus respuestas a los puntos a, b y c, construya una distribución de frecuencias.
e. *EFOUJGJRVF MB BQBSJFODJB EF MB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT
33. &TUÃ VTUFE FTDVDIBOEP MB NÙTJDB FO TV MJCSFSÎB EF J5VOFT &M OÙNFSP UPUBM EF SFQSPEVDDJPOFT EF MBT
DBODJPOFT RVF FTUÃO FO TV MJTUB EF iGBWPSJUBTu EVSBOUF FM ÙMUJNP BÒP TF NVFTUSB B DPOUJOVBDJÓO
&MBCPSF VOB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT EF MBT SFQSPEVDDJPOFT Z EFTDSJCB TV GPSNB " NFOVEP TF
EJDF RVF VOB QFRVFÒB GSBDDJÓO EF MBT DBODJPOFT EF VOB QFSTPOB SFQSFTFOUB MB NBZPSÎB EF TVT SFQSP-
EVDDJPOFT UPUBMFT y&TUF FT FM DBTP BRVÎ

128 56 54 91 190 23 160 298 445 50
578 494 37 677 18 74 70 868 108 71
466 23 84 38 26 814 17

34. " QBSUJS EF KVMJP EF
FM Journal of Finance puso su contenido a disposición de los lectores en Para la BASE DE DATOS
JOUFSOFU -B TJHVJFOUF UBCMB NVFTUSB FM OÙNFSP EF WFDFT RVF TF EFTDBSHÓ VOB WFSTJÓO NFOTVBM
Z FM visite www.mhhe.com/
OÙNFSP EF BSUÎDVMPT RVF TF MFZFSPO DBEB NFT 4VQPOHB RVF EFTFB IBDFS VOB EJTUSJCVDJÓO EF GSF- uni/lind_ae16e
cuencias del número de descargas.

312 2 753 2 595 6 057 7 624 6 624 6 362 6 575 7 760 7 085 7 272
5 967 5 256 6 160 6 238 6 709 7 193 5 631 6 490 6 682 7 829 7 091
6 871 6 230 7 253 5 507 5 676 6 974 6 915 4 999 5 689 6 143 7 086

a. y$VÃOUBT DMBTFT QSPQPOESÎB
b. Sugiera un intervalo de clase.
c. y2VÊ DBOUJEBE VTBSÎB QBSB FM MÎNJUF JOGFSJPS EF MB DMBTF JOJDJBM
d. Con base en sus respuestas a los puntos a, b y c, cree una distribución de frecuencias.
e. *EFOUJGJRVF MB BQBSJFODJB EF MB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT
35. &M TJHVJFOUF IJTUPHSBNB NVFTUSB MPT SFTVMUBEPT EFM QSJNFS FYBNFO EF VOB DMBTF EF FTUBEÎTUJDB

Frecuencia 25 21
20

15 14 12
10 6
53

0
50 60 70 80 90 100

Resultado

40 CAPÍTULO 2 Descripción de datos: tablas de frecuencias

a. y$VÃOUPT FTUVEJBOUFT QSFTFOUBSPO FM FYBNFO
b. y$VÃM FT FM JOUFSWBMP EF DMBTF
c. y$VÃM FT FM QVOUP NFEJP EF MB QSJNFSB DMBTF
d. y$VÃOUPT FTUVEJBOUFT PCUVWJFSPO VO SFTVMUBEP JOGFSJPS B
36. -B TJHVJFOUF HSÃGJDB SFTVNF FM QSFDJP EF WFOUB EF DBTBT WFOEJEBT FM NFT BOUFSJPS FO MB [POB EF 4BSB-
TPUB
'MPSJEB

250 100

Frecuencia
Porcentaje
200 75
150
100 50

50 25

0 50 100 150 200 250 300 350
Precio de venta (en miles de dólares)

Para la BASE DE DATOS a. y2VÊ OPNCSF SFDJCF MB HSÃGJDB
visite www.mhhe.com/ b. y$VÃOUBT DBTBT TF WFOEJFSPO FM NFT BOUFSJPS
uni/lind_ae16e c. y$VÃM FT FM JOUFSWBMP EF DMBTF
d. y&O NFOPT EF RVÊ DBOUJEBE TF WFOEJÓ EF MBT DBTBT
e. y&O NFOPT EF RVÊ QSFDJP TF WFOEJFSPO DBTBT
37. 6OB DBEFOB EF UJFOEBT EFQPSUJWBT RVF TBUJTGBDF MBT OFDFTJEBEFT EF MPT FTRVJBEPSFT QSJODJQJBOUFT

DPO NBUSJ[ FO "TQFO
$PMPSBEP
QMBOFB MMFWBS B DBCP VO FTUVEJP BDFSDB EF MB DBOUJEBE EF EJOFSP RVF
VO FTRVJBEPS OPWBUP HBTUB FO TV DPNQSB JOJDJBM EF FRVJQP Z QSPWJTJPOFT $PO CBTF FO FTUBT DBOUJEB-
EFT
EFTFB BOBMJ[BS MB QPTJCJMJEBE EF PGSFDFS FRVJQP
DPNP VO QBS EF CPUBT Z VO QBS EF FTRVÎFT
QBSB
JOEVDJS B MPT DMJFOUFT B DPNQSBS NÃT 6OB NVFTUSB EF DPNQSPCBOUFT EF MB DBKB SFHJTUSBEPSB SFWF-
ló las siguientes compras iniciales:

$140 $ 82 $265 $168 $ 90 $114 $172 $230 $142

86 125 235 212 171 149 156 162 118

139 149 132 105 162 126 216 195 127

161 135 172 220 229 129 87 128 126

175 127 149 126 121 118 172 126

a. 0CUFOHB FM JOUFSWBMP EF DMBTF TVHFSJEP
b. 0SHBOJDF MPT EBUPT FO VOB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT VUJMJ[BOEP VO MÎNJUF JOGFSJPS EF EÓMBSFT
c. *OUFSQSFUF TVT IBMMB[HPT
38. -BT TJHVJFOUFT TPO MBT DBOUJEBEFT EF BDDJPOFT FNJUJEBT EF VO HSVQP TFMFDUP EF DPNQBÒÎBT

Para la BASE DE DATOS Cantidad de Cantidad de
visite www.mhhe.com/ acciones acciones
uni/lind_ae16e emitidas emitidas
(millones) (millones)
Compañía Compañía
738 436
Southwest Airlines 418 Costco 1 495
FIRSTENERGY 226 Home Depot
Harley Davidson 178 DTE Energy 172
Entergy 1 957 Dow Chemical 1 199
Chevron 430 Eastman Kodak
Pacific Gas and Electric 932 American Electric Power 272
DuPont 22 ITT Corporation 485
Westinghouse Solar 314 Ameren 93
Northeast Utilities 1 067 Virginia Electric and Power 243
Facebook 64 Public Service Electric & Gas 575
Google, Inc. 941 Consumers Energy 506
Apple Starbucks 265
744

a. 6UJMJ[BOEP FM OÙNFSP EF BDDJPOFT FNJUJEBT
SFTVNB MBT DPNQBÒÎBT DPO VOB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFO-
cias.

b. %FTQMJFHVF MB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT DPO VO QPMÎHPOP EF GSFDVFODJBT
c. $SFF VOB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT BDVNVMBUJWBT EF MBT DPNQBÒÎBT

Ejercicios del capítulo 41

d. %FTQMJFHVF MB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT BDVNVMBUJWBT DPO VO QPMÎHPOP EF GSFDVFODJBT BDVNVMB-
tivas.

e. #BTÃOEPTF FO MB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT BDVNVMBUJWBT
y EF MBT DPNQBÒÎBT UJFOFO NFOPT
EF iRVÊ OÙNFSPu EF BDDJPOFT FNJUJEBT

f. $PO CBTF FO TVT SFTÙNFOFT FTUBEÎTUJDPT EFM iOÙNFSP EF BDDJPOFT FNJUJEBTu
SFEBDUF VO CSFWF
BOÃMJTJT EF FTUF HSVQP EF DPNQBÒÎBT

39. 6OB FODVFTUB SFDJFOUF NPTUSÓ RVF FM FTUBEPVOJEFOTF UÎQJDP RVF QPTFF BVUPNÓWJM JOWJFSUF EÓ-
lares anuales en gastos operativos. En seguida aparece un desglose detallado de los gastos en
BSUÎDVMPT %JTFÒF VOB HSÃGJDB BEFDVBEB RVF SFQSFTFOUF MPT EBUPT Z SFTVNB TVT IBMMB[HPT FO VO CSFWF
informe.

Artículo que genera el gasto Gasto

Gasolina $ 603
Intereses de crédito del automóvil 279
Reparaciones 930
Seguro y licencia 646
Depreciación 492

Total $2 950

40. .JEMBOE /BUJPOBM #BOL TFMFDDJPOÓ VOB NVFTUSB EF DVFOUBT EF DIFRVFT EF FTUVEJBOUFT " DPOUJ-
nuación aparecen sus saldos de fin de mes.

$404 $ 74 $234 $149 $279 $215 $123 $ 55 $ 43 $321 Para la BASE DE DATOS
visite www.mhhe.com/
87 234 68 489 57 185 141 758 72 863 uni/lind_ae16e

703 125 350 440 37 252 27 521 302 127

968 712 503 489 327 608 358 425 303 203

a. 0SHBOJDF MPT EBUPT FO VOB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT VUJMJ[BOEP EÓMBSFT DPNP JOUFSWBMP EF Para la BASE DE DATOS
clase y cero como punto de partida. visite www.mhhe.com/
uni/lind_ae16e
b. &MBCPSF VO QPMÎHPOP EF GSFDVFODJBT BDVNVMBUJWBT
c. &M CBODP DPOTJEFSB B DVBMRVJFS FTUVEJBOUF DPO VO TBMEP GJOBM EF EÓMBSFT P NÃT DPNP iDMJFOUF

QSFGFSFOUFu. $BMDVMF FM QPSDFOUBKF EF DMJFOUFT QSFGFSFOUFT
d. &M CBODP IBDF VO DBSHP QPS TFSWJDJP EF B MPT TBMEPT GJOBMFT NÃT CBKPT y2VÊ DBOUJEBE SFDP-

NFOEBSÎB DPNP QVOUP MÎNJUF FOUSF MPT RVF QBHBO VO DBSHP QPS TFSWJDJP Z MPT RVF OP MP IBDFO
41. -PT SFTJEFOUFT EF $BSPMJOB EFM 4VS HBOBSPO VO UPUBM EF NJMMPOFT EF EÓMBSFT QPS DPODFQUP EF

JOHSFTP CSVUP BKVTUBEP %FM UPUBM
DPSSFTQPOEÎB B TVFMEPT Z TBMBSJPT B EJWJEFOEPT
JOUFSF-
TFT Z VUJMJEBEFT TPCSF DBQJUBM B GPOEPT QBSB FM SFUJSP Z QFOTJPOFT TVKFUBT B JNQVFTUPT B
QFOTJPOFT EF JOHSFTPT QPS OFHPDJP B TFHVSJEBE TPDJBM Z B PUSBT GVFOUFT (FOFSF VOB HSÃGJ-
DB EF QBTUFM RVF EFTDSJCB FM EFTHMPTF EFM JOHSFTP CSVUP BKVTUBEP 3FEBDUF VO QÃSSBGP RVF SFTVNB
la información.
42. 6O FTUVEJP SFDJFOUF EF UFDOPMPHÎBT EPNÊTUJDBT JOGPSNÓ FM OÙNFSP EF IPSBT EF VTP TFNBOBM EF MBT
DPNQVUBEPSBT QFSTPOBMFT FO VOB NVFTUSB EF QFSTPOBT &M FTUVEJP FYDMVZÓ B MBT QFSTPOBT RVF
MBCPSBO GVFSB EFM IPHBS Z FNQMFBO MB DPNQVUBEPSB DPNP QBSUF EF TV USBCBKP

9.3 5.3 6.3 8.8 6.5 0.6 5.2 6.6 9.3 4.3
6.3 2.1 2.7 0.4 3.7 3.3 1.1 2.7 6.7 6.5
4.3 9.7 7.7 5.2 1.7 8.5 4.2 5.5 5.1 5.6
5.4 4.8 2.1 10.1 1.3 5.6 2.4 2.4 4.7 1.7
2.0 6.7 1.1 6.7 2.2 2.6 9.8 6.4 4.9 5.2
4.5 9.3 7.9 4.6 4.3 4.5 9.2 8.5 6.0 8.1

a. 0SHBOJDF MPT EBUPT FO VOB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT y$VÃOUBT DMBTFT TVHFSJSÎB y2VÊ WBMPS TV- Para la BASE DE DATOS
HFSJSÎB QBSB VO JOUFSWBMP EF DMBTF visite www.mhhe.com/
uni/lind_ae16e
b. &MBCPSF VO IJTUPHSBNB F JOUFSQSFUF FM SFTVMUBEP RVF PCUFOHB
43. .FSSJMM -ZODI DPODMVZÓ VO FTUVEJP SFMBDJPOBEP DPO FM UBNBÒP EF MBT DBSUFSBT EF JOWFSTJÓO FO MÎOFB

BDDJPOFT
CPOPT
GPOEPT NVUVPT Z DFSUJGJDBEPT EF EFQÓTJUP
FO VOB NVFTUSB EF DMJFOUFT EFM HSVQP
EF IBTUB BÒPT EF FEBE &O MB QÃHJOB BQBSFDF FM WBMPS EF MBT JOWFSTJPOFT FO NJMFT EF EÓMBSFT
EF MPT QBSUJDJQBOUFT

42 CAPÍTULO 2 Descripción de datos: tablas de frecuencias

$669.9 $ 7.5 $ 77.2 $ 7.5 $125.7 $516.9 $ 219.9 $645.2
301.9 235.4 716.4 145.3 26.6 187.2 315.5 89.2
136.4 616.9 440.6 408.2 34.4 296.1 185.4 526.3
380.7 363.2 51.9 52.2 107.5 82.9 63.0
228.6 3.3 126.7 430.3 82.0 227.0 321.1 403.4
39.5 308.7 118.1 23.9 352.8 156.7 276.3 23.5
31.3 124.3 35.7 154.9 174.3 100.6 236.7 171.9
221.1 301.2 212.3 243.3 315.4 171.7
295.7 43.4 87.8 302.1 268.1 5.9 1 002.2
437.0 899.5

a. 0SHBOJDF MPT EBUPT FO VOB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT y$VÃOUBT DMBTFT TVHFSJSÎB y2VÊ WBMPS QSP-
QPOESÎB QBSB VO JOUFSWBMP EF DMBTF

b. %JTFÒF VO IJTUPHSBNB F JOUFSQSFUF FM SFTVMUBEP RVF PCUFOHB
44. 6O UPUBM EF EFM QÙCMJDP RVF WJP MB UFMFWJTJÓO EVSBOUF MBT IPSBT EF NBZPS BVEJFODJB TF DPODFOUSÓ

FO QSPHSBNBT EF MB "#$
EF MB $#4
EF 'PY
EF MB /#$
EF 8BSOFS
#SPUIFST Z
EF 61/ 6O UPUBM EF EF MB BVEJFODJB WJP QSPHSBNBT EF PUSBT DBEFOBT UFMFWJ-
sivas de cable, como CNN Z &41/. El siguiente sitio web contiene información reciente sobre la
audiencia televisiva: http://tv.zap2it.com/news/ratings %JTFÒF VOB HSÃGJDB EF QBTUFM P EF CBSSBT
QBSB EFTDSJCJS FTUB JOGPSNBDJÓO 3FEBDUF VO QÃSSBGP RVF SFTVNB TVT IBMMB[HPT
45. 3FNÎUBTF B MB TJHVJFOUF HSÃGJDB

Contacto para obtención de empleo en la Universidad Wake Forest

Reclutamiento
en campus

10%

Redes y A través
conexiones de sitios web

70% 20%

a. y$VÃM FT FM OPNCSF EF FTUF UJQP EF HSÃGJDB
b. 4VQPOHB RVF HSBEVBEPT DPNFO[BSÃO FO VO OVFWP FNQMFP QPDP EFTQVÊT EF UJUVMBSTF &TUJ-

NF FM OÙNFSP EF HSBEVBEPT DVZP QSJNFS DPOUBDUP QBSB FNQMFBSFT PDVSSJÓ B USBWÊT EF SFEFT Z PUSBT
conexiones.
c. y4FSÎB SB[POBCMF DPODMVJS RVF DBTJ EF MPT FNQMFPT TF SFBMJ[BSPO B USBWÊT EF SFEFT
DPOFYJPOFT
Z TJUJPT XFC 1SPQPSDJPOF FWJEFODJB
46. -B TJHVJFOUF HSÃGJDB SFQSFTFOUB MPT JOHSFTPT BOVBMFT
QPS UJQP EF JNQVFTUP
EFM FTUBEP EF (FPSHJB -B
HSÃGJDB TF EFTBSSPMMÓ VTBOEP ,JET ;POF
VO QSPZFDUP EF /$&4 $FOUSP /BDJPOBM EF &TUBEÎTUJDBT EF MB
&EVDBDJÓO
. Su sitio web es: nces.ed.gov/nceskids/creategraph/.

Ingresos anuales del estado de Georgia

Corporativo Otros
8.31% 0.9%

Licencias
2.9%

Ingresos Ventas
43.34% 44.54%

Ejercicios de la base de datos 43

a. y2VÊ QPSDFOUBKF EF MPT JOHSFTPT FTUBUBMFT SFQSFTFOUB FM JNQVFTUP B MB WFOUB Z FM JNQVFTUP BM JOHSF-
TP JOEJWJEVBM

b. y2VÊ DBUFHPSÎB HFOFSB NÃT JOHSFTPT MPT JNQVFTUPT DPSQPSBUJWPT P MBT MJDFODJBT
c. &M JOHSFTP BOVBM UPUBM EFM FTUBEP EF (FPSHJB FT EF NJMMPOFT EF EÓMBSFT &TUJNF FM JOHSFTP FO

NJMFT EF NJMMPOFT EF EÓMBSFT RVF HFOFSBSPO MPT JNQVFTUPT B MB WFOUB Z BM JOHSFTP JOEJWJEVBM
47. &O
&TUBEPT 6OJEPT FYQPSUÓ QSPEVDUPT B $BOBEÃ QPS VO WBMPS EF NJMMPOFT EF EÓMBSFT

-PT DJODP QSPEVDUPT QSJODJQBMFT GVFSPO

Producto Cantidad

Vehiculos $46.9
Maquinaria 44.2
Maquinaria eléctrica 27.1
Combustible y aceite mineral 18.4
Plásticos 12.6

a. 6UJMJDF VO QBRVFUF EF TPGUXBSF QBSB EFTBSSPMMBS VOB HSÃGJDB EF CBSSBT Para la BASE DE DATOS
b. y2VÊ QPSDFOUBKF EF MBT FYQPSUBDJPOFT UPUBMFT EF &TUBEPT 6OJEPT B $BOBEÃ SFQSFTFOUBO MBT DBUF- visite www.mhhe.com/
uni/lind_ae16e
HPSÎBT i$PNCVTUJCMF Z BDFJUF NJOFSBMu Z i7FIÎDVMPTu
c. %F MPT DJODP QSJODJQBMFT QSPEVDUPT EF FYQPSUBDJÓO
yRVÊ QPSDFOUBKF EFM UPUBM SFQSFTFOUBO i$PN-

CVTUJCMF Z BDFJUF NJOFSBMu Z i7FIÎDVMPTu
48. -B SFWPMVDJÓO JOEVTUSJBM DBNCJÓ MB WJEB FO MBT HSBOKBT EF &TUBEPT 6OJEPT
IBDJÊOEPMB NÃT FGJDJFOUF

desde principios del siglo XX 1PS FKFNQMP
FO MBT HSBOKBT EF &TUBEPT 6OJEPT FNQMFBSPO
NJMMPOFT EF DBCBMMPT Z NVMBT
Z TPMP BMSFEFEPS EF USBDUPSFT &O TF FNQMFBCBO NJMMPOFT
EF USBDUPSFT Z TPMP NJMMPOFT EF DBCBMMPT Z NVMBT &O IBCÎB NÃT EF NJMMPOFT EF HSBOKBT FO
&TUBEPT 6OJEPT )PZ IBZ NFOPT EF NJMMPOFT &O MB MJTUB RVF TJHVF BQBSFDF FM OÙNFSP EF HSBOKBT

FO NJMFT
FO DBEB VOP EF MPT FTUBEPT 3FEBDUF VO QÃSSBGP FO FM RVF SFTVNB TVT IBMMB[HPT

49 1 16 49 82 36 5 2 48 47

8 26 76 62 92 66 86 30 8 13

8 55 81 42 108 29 47 3 4 10

21 36 52 32 75 87 39 63 1 27

32 78 248 17 7 47 40 23 78 11

49. -BT MVOFUBT EF . .
GBCSJDBEBT QPS .BST $PNQBOZ
TPO VOP EF MPT EVMDFT NÃT QPQVMBSFT FO &TUB-
EPT 6OJEPT "M QSJODJQJP
UPEBT FSBO DBGÊT BIPSB TF GBCSJDBO FO SPKP
WFSEF
B[VM
OBSBOKB
DBGÊ Z
amarillo. Si desea leer la historia del producto, obtener ideas para preparar pasteles con lunetas,
DPNQSBSMBT FO MPT EJGFSFOUFT DPMPSFT EF TV FTDVFMB P FRVJQP GBWPSJUP Z DPOPDFS FM QPSDFOUBKF EF DBEB
DPMPS RVF DPOUJFOFO MBT CPMTBT OPSNBMFT
WJTJUF www.m-ms.com )BDF QPDP
VOB CPMTB EF PO[BT
EF . . FO TV QSFTFOUBDJÓO SFHVMBS DPOUFOÎB EVMDFT EJTUSJCVJEPT QPS DPMPSFT EF MB TJHVJFOUF
NBOFSB DBGÊT
BNBSJMMPT
SPKPT
BOBSBOKBEPT
B[VMFT Z WFSEFT &MBCPSF VOB HSÃGJDB
RVF EFTDSJCB FTUB JOGPSNBDJÓO Z SFEBDUF VO QÃSSBGP FO FM RVF SFTVNB MPT SFTVMUBEPT

50. %VSBOUF VO QFSJPEP EF EÎBT TF SFHJTUSÓ FM OÙNFSP EF GBNJMJBT RVF VTBSPO FM TFSWJDJP EF HVBSEFSÎB
EF MB :8$" EF .JOOFÃQPMJT -PT SFTVMUBEPT TPO MPT TJHVJFOUFT

31 49 19 62 24 45 23 51 55 60 Para la BASE DE DATOS
40 35 54 26 57 37 43 65 18 41 visite www.mhhe.com/
50 56 4 54 39 52 35 51 63 42 uni/lind_ae16e

a. Construya una distribución de frecuencias acumulativas.
b. %JTFÒF VOB HSÃGJDB EFM QPMÎHPOP EF GSFDVFODJBT BDVNVMBUJWBT
c. y$VÃOUPT EÎBT TF SFHJTUSÓ RVF NFOPT EF GBNJMJBT VUJMJ[BSPO FM TFSWJDJP EF HVBSEFSÎB
d. y$VÃM GVF FM OJWFM EF PDVQBDJÓO EF EF MPT EÎBT NÃT DPODVSSJEPT

EJERCICIOS DE LA BASE DE DATOS

-PT EBUPT QBSB FTUPT FKFSDJDJPT FTUÃO EJTQPOJCMFT FO FM TJUJP XFC EFM MJCSP
www.mhhe.com/uni/lind_ae16e


51. $POTVMUF MPT EBUPT EF JONPCJMJBSJBT RVF DPOUJFOFO JOGPSNBDJÓO BDFSDB EF MBT DBTBT WFOEJEBT FO FM
ÃSFB EF (PPEZFBS
"SJ[POB
FM BÒP BOUFSJPS 4FMFDDJPOF VO JOUFSWBMP EF DMBTF BQSPQJBEP Z PSHBOJDF MPT

44 CAPÍTULO 2 Descripción de datos: tablas de frecuencias

QSFDJPT EF WFOUB FO VOB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT &TDSJCB VO CSFWF SFQPSUF RVF SFTVNB TVT SFTVM-
UBEPT "TFHÙSFTF EF DPOUFTUBS MBT TJHVJFOUFT QSFHVOUBT FO EJDIP SFQPSUF
a. y"MSFEFEPS EF DVÃMFT WBMPSFT UJFOEFO B BDVNVMBSTF MPT EBUPT
b. #BTÃOEPTF FO MB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT
yDVÃM FT FM QSFDJP EF WFOUB UÎQJDP FO MB QSJNFSB DMBTF

Z FO MB ÙMUJNB DMBTF
c. &MBCPSF VOB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT BDVNVMBUJWBT y$VÃOUBT DBTBT TF WFOEJFSPO FO NFOPT EF

EÓMBSFT $BMDVMF FM QPSDFOUBKF EF DBTBT RVF TF WFOEJFSPO FO NÃT EF EÓMBSFT
y2VÊ QPSDFOUBKF EF DBTBT TF WFOEJÓ FO NFOPT EF EÓMBSFT
d. 3FNÎUBTF B MB WBSJBCMF DPO SFTQFDUP B MPT NVOJDJQJPT &MBCPSF VOB HSÃGJDB EF CBSSBT RVF NVFTUSF FM
OÙNFSP EF DBTBT WFOEJEBT FO DBEB NVOJDJQJP y&YJTUFO EJGFSFODJBT P FM OÙNFSP EF DBTBT RVF TF
WFOEJFSPO FO DBEB NVOJDJQJP FT TJNJMBS
52. $POTVMUF MPT EBUPT TPCSF #BTFCBMM RVF DPOUJFOFO JOGPSNBDJÓO EF MPT FRVJQPT EF MBT -JHBT
.BZPSFT EF #ÊJTCPM EVSBOUF MB UFNQPSBEB $SFF VOB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT QBSB MB WBSJBCMF
iOÓNJOBu Z SFTQPOEB MBT TJHVJFOUFT QSFHVOUBT
a. y$VÃM FT MB OÓNJOB UÎQJDB EF VO FRVJQP y$VÃM FT FM SBOHP EF OÓNJOBT
b. $PNFOUF MB GPSNB EF MB EJTUSJCVDJÓO y1BSFDF RVF BMHVOB EF MBT OÓNJOBT EF MPT FRVJQPT OP TF
FODVFOUSB FO MÎOFB DPO MBT EFNÃT
c. %JTFÒF VOB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT BDVNVMBUJWBT. y5SFJOUB QPS DJFOUP EF MPT FRVJQPT QBHBO
NFOPT RVF DVÃM DBOUJEBE EF MB OÓNJOB UPUBM EFM FRVJQP y$VÃOUPT FRVJQPT BQSPYJNBEBNFOUF
UJFOFO OÓNJOBT UPUBMFT JOGFSJPSFT B EÓMBSFT
53. $POTVMUF MPT EBUPT EF MPT BVUPCVTFT EFM %JTUSJUP &TDPMBS #VFOB 4FMFDDJPOF MB WBSJBCMF RVF TF SFGJFSF
BM OÙNFSP EF NJMMBT RVF SFDPSSJFSPO FM NFT BOUFSJPS Z PSHBOJDF FTUPT EBUPT FO VOB EJTUSJCVDJÓO EF
frecuencias.
a. y$VÃM FT MB DBOUJEBE UÎQJDB EF NJMMBT SFDPSSJEBT y$VÃM FT FM SBOHP
b. $PNFOUF MB GPSNB EF MB EJTUSJCVDJÓO y&YJTUFO WBMPSFT BUÎQJDPT FO UÊSNJOPT EF NJMMBT DPOEVDJEBT
c. %JTFÒF VOB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT BDVNVMBUJWBT y$VBSFOUB QPS DJFOUP EF MPT BVUPCVTFT GVF-
SPO DPOEVDJEPT EVSBOUF NFOPT EF DVÃOUBT NJMMBT y$VÃOUPT BVUPCVTFT GVFSPO DPOEVDJEPT NFOPT
EF NJMMBT
d. Consulte las variables con respecto al tipo de autobús y al número de asientos en cada uno. Ela-
CPSF VOB HSÃGJDB EF QBTUFM EF DBEB WBSJBCMF Z DPNFOUF TVT IBMMB[HPT

Descripción de datos: 3

MEDIDAS NUMÉRICAS

EL DERBY DE KENTUCKY se celebra el pri- OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
mer sábado de mayo en Churchill Downs,
Louisville, Kentucky. La pista mide una mi- Al terminar este capítulo, usted será capaz de:
lla y cuarto. En la tabla del ejercicio 82 se
muestran los ganadores desde 1990, su OA3-1 Calcular e interpretar la media, la mediana y la moda.
margen de victoria, el tiempo del ganador
y las ganancias sobre una apuesta de dos OA3-2 Calcular la media ponderada.
dólares. Determine la media y la mediana
de estas dos últimas variables (vea el ejer- OA3-3 Calcular e interpretar la media geométrica.
cicio 82 y el objetivo de aprendizaje
OA3-1). OA3-4 Calcular e interpretar el rango, la varianza y la desvia-
ción estándar.

OA3-5 Explicar y aplicar el teorema de Chebyshev y la regla
empírica.

OA3-6 Calcular la media y la desviación estándar de datos
agrupados.

46 CAPÍTULO 3 Descripción de datos: medidas numéricas

ESTADÍSTICA Introducción
EN ACCIÓN
En el capítulo 2 se inició el estudio de la estadística descriptiva. Para transformar un cúmulo de da-
¿Alguna vez ha conocido tos en bruto en algo con significado, los datos cuantitativos se organizaron en una distribución de
a un estadounidense pro- frecuencias y, después, los resultados se representaron en una gráfica de barras. De manera similar,
medio? Pues bien, se los datos cuantitativos se organizaron en una distribución de frecuencias y se presentaron gráfica-
llama Robert (nivel nomi- mente en un histograma. Se mostraron otras técnicas para graficar, como las gráficas de pastel
nal de la medición); tiene para representar datos cualitativos, y polígonos de frecuencias para representar datos cuantitativos.
31 años (nivel de razón);
mide 1.77 metros (otro En este capítulo se presentan dos formas numéricas de describir datos cuantitativos: las medi-
nivel de razón de la medi- das de ubicación o medidas de localización y las medidas de dispersión. A las medidas de
ción); pesa 78 kilogramos; ubicación a menudo se les llama promedios. El propósito de una medida de ubicación consiste en
calza del 9½; su cintura señalar el centro de un conjunto de valores. Los promedios
mide 85 cm de diámetro aparecen a diario en televisión, en el periódico y otras publi-
y viste trajes talla 40. caciones. He aquí algunos ejemplos:
Además, cada año, Ro-
bert come 1.8 kg de pa- r -B DBTB QSPNFEJP FO &TUBEPT 6OJEPT DBNCJB EF EVFÒP
pas fritas; mira 2 567 ho- cada 11.8 años.
ras el televisor y se come
11.77 kg de plátanos; r 6O FTUBEPVOJEFOTF SFDJCF VO QSPNFEJP EF QJF[BT
también duerme 7.7 ho- de correspondencia cada año.
ras por noche.
r &M IPHBS FTUBEPVOJEFOTF QSPNFEJP UJFOF NÃT UFMFWJTP-
Una estadounidense SFT RVF QFSTPOBT )BZ UFMFWJTPSFT Z QFSTPOBT
promedio mide 1.64 me- en el hogar típico.
tros de estatura y pesa 64
kg, mientras que una mo- r -B QBSFKB FTUBEPVOJEFOTF QSPNFEJP HBTUB EÓMB-
delo estadounidense pro- SFT FO TV CPEB
NJFOUSBT RVF TV QSFTVQVFTUP FT
medio mide 1.65 metros menor. Esta cifra no incluye el costo de la luna de miel
y pesa 53 kg. Un día cual- ni del anillo de compromiso.
quiera, casi la mitad de
las mujeres en Estados r &M QSFDJP QSPNFEJP EF VO CPMFUP EF UFBUSP FO &TUBEPT
Unidos está a dieta. Ma- 6OJEPT FT EF EÓMBSFT
TFHÙO MB "TPDJBDJÓO /BDJP-
rilyn Monroe, idolatrada nal de Propietarios de Teatros.
en la década de 1950, se
consideraría con sobre- Si únicamente toma en cuenta las medidas de ubicación de un conjunto de datos o si compara
peso según los estánda- varios conjuntos de datos utilizando valores centrales, llegará a una conclusión incorrecta. Además
res actuales; ella usaba de las medidas de ubicación, debe tomar en cuenta la dispersión —denominada con frecuencia
vestidos de las tallas 14 a variación o propagación— de los datos. Por ejemplo, suponga que el ingreso anual promedio de los
la 18, y era una mujer sa- FKFDVUJWPT EF DPNQBÒÎBT SFMBDJPOBEBT DPO JOUFSOFU FT EF EÓMBSFT
JHVBM RVF FM JOHSFTP QSPNF-
ludable y atractiva. dio de ejecutivos de compañías farmacéuticas. Si solo atiende a los ingresos promedio, podría
DPODMVJS
FRVJWPDBEBNFOUF
RVF BNCBT EJTUSJCVDJPOFT EF TBMBSJPT TPO JEÊOUJDBT 6O WJTUB[P B MPT
rangos salariales indica que esta conclusión no es correcta. Los salarios de los ejecutivos de las
FNQSFTBT EF JOUFSOFU PTDJMBO FOUSF Z EÓMBSFT FO DBNCJP
MPT TBMBSJPT EF MPT FKFDVUJWPT
EF NBSLFUJOH EF MB JOEVTUSJB GBSNBDÊVUJDB WBO EF B EÓMBSFT 1PS DPOTJHVJFOUF
BVO-
que los salarios promedios son los mismos en ambas industrias, hay más propagación o dispersión
en los que perciben los ejecutivos de la industria farmacéutica. Para describir la dispersión, consi-
dere el rango, la desviación media, la varianza y la desviación estándar.

OA3-1 Medidas de ubicación

Calcular e interpretar la &O QSJODJQJP TF FYQMJDBO MBT NFEJEBT EF VCJDBDJÓO /P FYJTUF VOB ÙOJDB NFEJEB EF VCJDBDJÓO EF
media, la mediana y la hecho, existen varias. Se considerarán cinco: 1) la media aritmética, la media ponderada, la media-
moda. na, la moda y la media geométrica. La media aritmética es la medida de ubicación que más se utili-
za y que se publica con mayor frecuencia, por lo cual se le considerará como parámetro para una
población y como estadístico para una muestra.

La media poblacional

Muchos estudios incluyen todos los valores que hay en una población. Por ejemplo, la tienda de
menudeo Reynolds Road Carpet tiene 12 empleados. El monto promedio de comisiones que gana-
SPO FM NFT BOUFSJPS GVF EF EÓMBSFT &TUF FT FM WBMPS QPCMBDJPOBM
QVFTUP RVF DPOTJEFSB MB DPNJ-
sión de todos los asociados de ventas. Otros ejemplos de media poblacional serían los siguientes:

Medidas de ubicación 47

r &M QSFDJP EF DJFSSF QSPNFEJP EF MBT BDDJPOFT EF +PIOTPO +PIOTPO EVSBOUF MPT ÙMUJNPT DJODP
EÎBT GVF EF EÓMBSFT

r -B TFNBOB QBTBEB
MPT TFJT TPMEBEPSFT EFM EFQBSUBNFOUP EF TPMEBEVSB EF #VUUT 8FMEJOH
*OD
USBCBKBSPO
FO QSPNFEJP
IPSBT FYUSBT

r $BSZO 5JTSDI JOJDJÓ FM NFT BOUFSJPS VO TJUJP XFC EFEJDBEP B MB KBSEJOFSÎB PSHÃOJDB -B NFEJB
BSJUNÊUJDB EF WJTJUBT B TV TJUJP EVSBOUF MPT EÎBT EF KVMJP GVF EF

En el caso de los datos en bruto, que no están agrupados en una distribución de frecuencias, la
media poblacional es la suma de todos los valores observados en la población dividida entre el nú-
mero de valores de la población. Para determinar la media poblacional, aplique la siguiente fórmula:

Suma de todos los valores observados en la población
Media poblacional 5
/ÙNFSP EF WBMPSFT FO MB QPCMBDJÓO

En lugar de escribir las instrucciones completas para calcular la media poblacional (o cualquier
otra medida), resulta más conveniente utilizar símbolos matemáticos adecuados. La media de una
población con símbolos matemáticos es:

MEDIA POBLACIONAL m 5 Sx [3.1]
N

en la cual:

m es la letra minúscula griega mu, y representa la media poblacional;
N FT FM OÙNFSP EF WBMPSFT FO MB QPCMBDJÓO
x SFQSFTFOUB DVBMRVJFS WBMPS QBSUJDVMBS
S es la letra mayúscula griega sigma, F JOEJDB MB PQFSBDJÓO EF TVNB
S x es la suma de C valores en la población.

Cualquier característica medible de una población recibe el nombre de parámetro. 6OB NFEJB EF
una población es un parámetro.

PARÁMETRO Característica de una población.

EJEMPLO

)BZ TBMJEBT FO MB BVUPQJTUB *
RVF BUSBWJFTB FM FTUBEP EF ,FOUVDLZ " DPOUJOVBDJÓO BQBSFDF MB
lista de distancias entre salidas (en millas).

11 4 10 4 9 3 8 10 3 14 1 10 3 5
2 2 5 6 1 2 2 3 7 1 3 7 8 10
14 75225 11 33 12 1

¿Por qué esta información representa una población? ¿Cuál es la media aritmética de millas entre
salidas?

SOLUCIÓN

&T VOB QPCMBDJÓO QPSRVF TF UPNBO FO DVFOUB B UPEBT MBT TBMJEBT FO MB BVUPQJTUB * EF ,FOUVDLZ
4VNF MBT EJTUBODJBT FOUSF DBEB VOB EF MBT TBMJEBT -B EJTUBODJB UPUBM FT EF NJMMBT 1BSB EFUFS-
NJOBS MB NFEJB BSJUNÊUJDB
EJWJEB FTUF UPUBM FOUSF "TÎ
MB NFEJB BSJUNÊUJDB FT NJMMBT
DBMDVMBEB
NFEJBOUF MB PQFSBDJÓO %F BDVFSEP DPO MB GÓSNVMB < >

m 5 Sx 5 11 1 4 1 10 1 … 1 1 5 192 5 4.57
N 42 42

y$ÓNP TF JOUFSQSFUB FM WBMPS &T FM OÙNFSP UÎQJDP EF NJMMBT FOUSF TBMJEBT $PNP TF IBO UP-
NBEP FO DVFOUB UPEBT MBT TBMJEBT EF MB BVUPQJTUB * EF ,FOUVDLZ
FTUF WBMPS FT VO QBSÃNFUSP QPCMB-
cional.

48 CAPÍTULO 3 Descripción de datos: medidas numéricas

Media muestral

Como se explicó en el capítulo 1, con frecuencia se selecciona una muestra de la
población para estimar una característica específica de ésta. Por ejemplo, el depar-
tamento de control de calidad de Smucker’s necesita garantizar que la cantidad de
mermelada de fresa en un recipiente cuya etiqueta indica que contiene 12 onzas,
realmente contenga dicha cantidad. Sería muy costoso y lento revisar el peso de
DBEB SFDJQJFOUF QPS UBOUP
TF TFMFDDJPOB VOB NVFTUSB EF SFDJQJFOUFT
TF EFUFS-
mina la media de ella y se utiliza ese valor para estimar la cantidad de mermelada
que hay en cada uno.
&O FM DBTP EF MPT EBUPT FO CSVUP FT EFDJS
MPT EBUPT OP BHSVQBEPT
la media es la suma de los
valores de la muestra dividida entre el número total de valores de esta. La media de una muestra se
determina así:
Media de la muestra 5 Suma de todos los valores de la muestra
/ÙNFSP EF WBMPSFT EF MB NVFTUSB

La media de una muestra y la media de una población se calculan de la misma forma pero la
notación abreviada que se utiliza es diferente. La fórmula de la media de una muestra es:

MEDIA MUESTRAL x 5 Sx [3.2]
n

donde:

x FT MB NFEJB EF MB NVFTUSB TF MFF ix CBSSBu
n FT FM OÙNFSP EF WBMPSFT EF MB NVFTUSB
X SFQSFTFOUB DVBMRVJFS WBMPS QBSUJDVMBS
S es la letra mayúscula griega sigma, F JOEJDB MB PQFSBDJÓO EF TVNB
S x es la suma de C valores de la muestra.

La media de una muestra o cualquier otra medición basada en una muestra de datos recibe el
nombre de estadístico. 4J FM QFTP QSPNFEJP EF VOB NVFTUSB EF DPOUFOFEPSFT EF NFSNFMBEB EF
OBSBOKB 4NVDLFS T FT EF PO[BT
TF USBUB EF VO FKFNQMP EF FTUBEÎTUJDP

ESTADÍSTICO Característica de una muestra.

EJEMPLO

Verizon estudia la cantidad de minutos que consumen sus clientes que cuentan con un plan tarifario
QBSB UFMÊGPOP DFMVMBS 6OB NVFTUSB BMFBUPSJB EF DMJFOUFT BSSPKB MB TJHVJFOUF DBOUJEBE EF NJOVUPT
empleados el mes anterior.

90 77 94 89 119 112

91 110 92 100 113 83

¿Cuál es valor de la media aritmética de los minutos consumidos?

SOLUCIÓN

%F BDVFSEP DPO MB GÓSNVMB < >
MB NFEJB NVFTUSBM FT

Media muestral 5 Suma de todos los valores en la muestra
/ÙNFSP EF WBMPSFT FO MB NVFTUSB

x 5 Sx 5 90 1 77 1 … 1 83 5 1 170 5 97.5
n 12 12

El valor de la media aritmética de los minutos consumidos el mes anterior por los usuarios de
UFMÊGPOPT DFMVMBSFT EF MB NVFTUSB FT EF NJOVUPT

Medidas de ubicación 49

Propiedades de la media aritmética

La media aritmética es una medida de ubicación muy utilizada. Cuenta con algunas propiedades
importantes:

1. Para calcular una media, los datos deben pertenecer al nivel de intervalo o de razón. Re-
cuerde, del capítulo 1, que los datos del nivel de razón incluyen información como edades, in-
gresos y pesos, y que la distancia entre los números es constante.

2. Todos los valores se incluyen en el cálculo de la media.
3. La media es única. Solo existe una media para un conjunto de datos. Más adelante en este

capítulo descubriremos un promedio que podría aparecer dos o más veces en un conjunto de
datos.
4. La suma de las desviaciones de cada valor a la media es cero. Expresado simbólicamente:

S( x 2 x ) 5
$PNP FKFNQMP
MB NFEJB EF
Z FT %F FTUB NBOFSB

S( x 2 x ) 5 (3 2
1 (8 2
1 (4 2

5 22 1 3 2 1
5

De esta manera, la media es un punto de equilibrio de un conjunto de datos. Para ilustrarlo,
JNBHJOF VOB SFHMB DPO MPT OÙNFSPT


w
VOJGPSNFNFOUF FTQBDJBEPT 4VQPOHB RVF TF DPMPDBO
tres barras del mismo peso sobre la regla en los números 3, 4 y 8 y que el punto de equilibrio se
DPMPDBSB FO FM
MB NFEJB EF MPT USFT OÙNFSPT %FTDVCSJSÎB RVF MB SFHMB TF FRVJMJCSB QFSGFDUBNFOUF
Las desviaciones debajo de la media (23) son iguales a las desviaciones por encima de la media
(13). El esquema es:

22

21 +3

1 2 34 56 7 8 9

_
x

-B NFEJB UJFOF VO QVOUP EÊCJM SFDVFSEF RVF FM WBMPS EF DBEB EF VOB NVFTUSB
P QPCMBDJÓO
TF
utiliza al calcularla. Si uno o dos de estos valores son extremadamente grandes o pequeños en
comparación con la mayoría de los datos, la media podría no ser un promedio adecuado para repre-
sentar los datos. Por ejemplo, suponga que los ingresos anuales de un pequeño grupo de corredo-
SFT EF CPMTB FO .FSSJMM -ZODI TPO EF


Z EÓMBSFT &M JOHSFTP
NFEJP FT EF EÓMBSFT DMBSP
OP FT SFQSFTFOUBUJWP EFM HSVQP
ZB RVF UPEPT
TBMWP VO DPSSFEPS

UJFOFO JOHSFTPT FOUSF Z EÓMBSFT 6O JOHSFTP NJMMPOFT EF EÓMBSFT
BGFDUB FO FY-
ceso la media.

AUTOEVALUACIÓN 1. -PT JOHSFTPT BOVBMFT EF VOB NVFTUSB EF FNQMFBEPT EF BENJOJTUSBDJÓO NFEJB FO 8FTUJOHIPVTF
TPO

Z EÓMBSFT
31 (a) Proporcione la fórmula de la media muestral.
(b) Determine la media muestral.
(c) ¿Es la media que calculó en el inciso anterior un estadístico o un parámetro? ¿Por qué razón?
(d) ¿Cuál es su mejor aproximación de la media de la población?

2. Todos los estudiantes de la clase 411 del curso de ciencias avanzadas de la computación cons-
UJUVZFO VOB QPCMBDJÓO 4VT DBMJGJDBDJPOFT FO FM DVSTP TPO



Z
(a) Proporcione la fórmula de la media poblacional.
(b) Calcule la calificación media del curso.
(c) ¿Es la media que calculó en el inciso anterior un estadístico o un parámetro? ¿Por qué razón?

50 CAPÍTULO 3 Descripción de datos: medidas numéricas

EJERCICIOS Las respuestas a los ejercicios impares se encuentran en el apéndice D.

Para la BASE DE DATOS 1. $BMDVMF MB NFEJB EF MB TJHVJFOUF QPCMBDJÓO EF WBMPSFT




visite www.mhhe.com/ 2. $BMDVMF MB NFEJB EF MB TJHVJFOUF QPCMBDJÓO EF WBMPSFT





uni/lind_ae16e 3. a. $BMDVMF MB NFEJB EF MPT TJHVJFOUFT WBMPSFT NVFTUSBMFT



Para la BASE DE DATOS
visite www.mhhe.com/ b. Demuestre que S( x 2 x ) 5
uni/lind_ae16e 4. a. $BMDVMF MB NFEJB EF MPT TJHVJFOUFT WBMPSFT NVFTUSBMFT





b. Demuestre que S( x 2 x ) 5 .
5. $BMDVMF MB NFEJB EF MPT TJHVJFOUFT WBMPSFT NVFTUSBMFT


6. 4VQPOHB RVF WB B MB UJFOEB Z HBTUB EÓMBSFT FO BSUÎDVMPT y$VÃM FT FM QSFDJP QSPNFEJP QPS

artículo?

&O MPT FKFSDJDJPT B
B
DBMDVMF MB NFEJB BSJUNÊUJDB Z C
TFÒBMF TJ TF USBUB EF VO FTUBEÎTUJDP P EF VO
parámetro.

7. .JEUPXO 'PSE FNQMFB B WFOEFEPSFT &M OÙNFSP EF BVUPNÓWJMFT OVFWPT RVF DBEB VOP WFOEJÓ FM
NFT BOUFSJPS GVF










8. El departamento de contabilidad en una compañía de ventas por catálogo contó las siguientes can-
tidades de llamadas recibidas por día en el número gratuito de la empresa durante los primeros siete
EÎBT EF NBZP EF







9. $BNCSJEHF 1PXFS BOE -JHIU $PNQBOZ TFMFDDJPOÓ VOB NVFTUSB BMFBUPSJB EF DMJFOUFT SFTJEFODJBMFT
Enseguida aparecen las sumas, redondeadas al dólar más próximo, que se cobraron a los clientes
por el servicio de luz el mes anterior:

54 48 58 50 25 47 75 46 60 70
67 68 39 35 56 66 33 62 65 67

10. &M EJSFDUPS EF SFMBDJPOFT IVNBOBT EF 'PSE JOJDJÓ VO FTUVEJP EF MBT IPSBT EF USBCBKP FYUSB FO FM EFQBS-
UBNFOUP EF JOTQFDDJÓO 6OB NVFTUSB EF USBCBKBEPSFT SFWFMÓ RVF FTUPT MBCPSBSPO MB TJHVJFOUF DBO-
tidad de horas extras el mes anterior:

13 13 12 15 7 15 5 12

6 7 12 10 9 13 12

11. """ )FBUJOH BOE "JS $POEJUJPOJOH DPODMVZÓ USBCBKPT FM NFT BOUFSJPS DPO VO JOHSFTP NFEJP EF
dólares por trabajo. El presidente desea conocer el ingreso total del mes. Con base en la información
limitada que se proporciona, ¿puede calcular el ingreso total? ¿A cuánto asciende?

12. 6OB HSBO DPNQBÒÎB GBSNBDÊVUJDB DPOUSBUB HSBEVBEPT EF BENJOJTUSBDJÓO EF FNQSFTBT QBSB WFOEFS
sus productos. La compañía se expande con rapidez y dedica un día a capacitar a los nuevos ven-
EFEPSFT &M PCKFUJWP RVF MB DPNQBÒÎB GJKB B DBEB OVFWP WFOEFEPS FT EF EÓMBSFT NFOTVBMFT

cifra que refleja las ventas promedio actuales por mes de la empresa. Después de revisar las reten-
DJPOFT EF JNQVFTUPT EF MPT OVFWPT FNQMFBEPT
MB DPNQBÒÎB FODVFOUSB RVF TPMP VOP EF DBEB
permanece más de tres meses en la empresa. Comente la utilización de las ventas promedio actua-
les mensuales como objetivo de ventas para los nuevos empleados. ¿Por qué abandonan los em-
pleados la compañía?

La mediana

Se ha enfatizado que si los datos contienen uno o dos valores muy grandes o muy pequeños, la
media aritmética no resulta representativa. Es posible describir el centro de dichos datos a partir de
una medida de ubicación denominada mediana.

Para ilustrar la necesidad de una medida de ubicación diferente de la media aritmética, suponga
que busca un condominio en Palm Aire. Su agente de bienes raíces le dice que el precio típico de
MBT VOJEBEFT EJTQPOJCMFT FO FTUF NPNFOUP FT EF EÓMBSFT y"ÙO JOTJTUF FO TFHVJS CVTDBOEP
4J VTUFE UJFOF VO QSFTVQVFTUP NÃYJNP EF EÓMBSFT
QPESÎB QFOTBS RVF MPT DPOEPNJOJPT TF
encuentran fuera de su presupuesto. Sin embargo, la verificación de los precios de las unidades in-
EJWJEVBMFT QPESÎB IBDFSMF DBNCJBS EF QBSFDFS -PT DPTUPT TPO EF


Z

en el caso de un lujoso penthouse
EÓMBSFT &M JNQPSUF QSPNFEJP BSJUNÊUJDP FT EF
EÓMBSFT
DPNP MF JOGPSNÓ FM BHFOUF EF CJFOFT SBÎDFT
QFSP VO QSFDJP EÓMBSFT
FMFWB MB NFEJB
aritmética y lo convierte en un promedio no representativo. Parece que un precio de más o menos
EÓMBSFT FT VO QSPNFEJP NÃT UÎQJDP P SFQSFTFOUBUJWP
Z BTÎ FT &O DBTPT DPNP FTUF
MB NFEJB-
na proporciona una medida de ubicación más válida.

Medidas de ubicación 51

MEDIANA Punto medio de los valores una vez que se han ordenado de menor a mayor o de ma-
yor a menor.

-B NFEJBOB EFM QSFDJP EF MBT VOJEBEFT EJTQPOJCMFT FT EF Precios ordenados Precios ordenados
EÓMBSFT 1BSB EFUFSNJOBSMB
PSEFOF MPT QSFDJPT EF NFOPS EÓMB- de menor a mayor de mayor a menor
SFT
B NBZPS EÓMBSFT
Z TFMFDDJPOF FM WBMPS NFEJP EÓMB-
res). En el caso de la mediana, los datos deben ser por lo menos de un $ 60 000 ← Mediana → $275 000
nivel ordinal de medición. 65 000 80 000
70 000 70 000
Observe que existe el mismo número de precios bajo la mediana de 80 000 65 000
EÓMBSFT RVF TPCSF FMMB 1PS DPOTJHVJFOUF
B MB NFEJBOB OP MF BGFD- 275 000 60 000
UBO QSFDJPT CBKPT P BMUPT 4J FM QSFDJP NÃT BMUP GVFSB EF



o incluso de un millón de dólares, la mediana del precio aún sería de

EÓMBSFT "TJNJTNP
TJ FM QSFDJP NÃT CBKP GVFSB EF P EÓMBSFT
TV NFEJBOB UPEB-

WÎB TFSÎB EF EÓMBSFT

En el ejemplo anterior hay un número impar de observaciones (cinco). ¿Cómo se determina la

mediana en el caso de un número par de observaciones? Como antes, se ordenan las observacio-

nes. Enseguida, con el fin de obtener un único valor por convención, calcule la media de las dos

observaciones medias. Así, en el caso de un número par de observaciones, la mediana quizá no sea

uno de los valores dados.

EJEMPLO

'BDFCPPL FT VOB QPQVMBS SFE TPDJBM FO JOUFSOFU -PT VTVBSJPT QVFEFO BHSFHBS BNJHPT Z FOWJBSMFT
mensajes, así como actualizar sus perfiles personales para informar a sus amigos sobre sí mismos y
TVT BDUJWJEBEFT 6OB NVFTUSB EF BEVMUPT SFWFMÓ RVF QBTBSPO MBT TJHVJFOUFT DBOUJEBEFT EF IPSBT
VUJMJ[BOEP 'BDFCPPL FM NFT BOUFSJPS

3 5 7 5 9 1 3 9 17 10

Encuentre la media aritmética de horas.

SOLUCIÓN

0CTFSWF RVF FM OÙNFSP EF BEVMUPT NVFTUSFBEPT FT QBS
$PNP BOUFT
FM QSJNFS QBTP FT PSEFOBS
MBT IPSBT EVSBOUF MBT DVBMFT TF VTÓ 'BDFCPPL EF NFOPS B NBZPS *EFOUJGJRVF MPT EPT UJFNQPT NFEJPT
La media aritmética de las dos observaciones del medio proporciona la mediana de horas. Si organi-
za los valores de menor a mayor tendrá que:

1 3 3 5 5 7 9 9 10 17

1BSB FODPOUSBS MB NFEJB TF QSPNFEJBO MPT EPT WBMPSFT DFOUSBMFT
RVF FO FTUF DBTP TPO Z IPSBT MB
NFEJB EF FTUPT EPT WBMPSFT FT 4F DPODMVZF RVF FM VTVBSJP EF 'BDFCPPL UÎQJDP QBTB TFJT IPSBT BM
mes en el sitio. Observe que la mediana no es uno de los valores. Asimismo, la mitad de los tiempos
se encuentran por debajo de la mediana y la mitad, sobre ella.

Las principales propiedades de la mediana son las siguientes:
1. Los valores extremadamente grandes o pequeños no la afectan. Por consiguiente, la me-

diana es una valiosa medida de ubicación cuando dichos valores se presentan.
2. Es calculable en el caso de datos de nivel ordinal o mayor. Recuerde, del capítulo 1, que los

datos de nivel ordinal pueden ordenarse de menor a mayor.

La moda

La moda es otra medida de ubicación.

MODA Valor de la observación que aparece con mayor frecuencia.

Número de encuestados52 CAPÍTULO 3 Descripción de datos: medidas numéricas

-B NPEB FT EF FTQFDJBM VUJMJEBE QBSB SFTVNJS EBUPT EF OJWFM OPNJOBM 6O FKFNQMP EF TV BQMJDB-
ción en este tipo de datos es: una compañía creó cinco aceites para baño. En la gráfica 3.1 se mues-
tran los resultados de una encuesta de mercado que se diseñó para determinar qué aceite para baño
prefieren los consumidores. La mayoría de los encuestados se inclinó por Lamoure, según lo eviden-
cia la barra más grande. Por consiguiente, Lamoure representa la moda.

400

300

200

100

0
Amor Lamoure Soothing Smell Nice Far Out

Moda Aceite
para baño

GRÁFICA 3.1 Número de encuestados que prefieren ciertos aceites para
baño

EJEMPLO

3FDVFSEF MPT EBUPT DPO SFTQFDUP B MB EJTUBODJB FO NJMMBT FOUSF MBT TBMJEBT FO MB BVUPQJTUB * RVF
BUSBWJFTB ,FOUVDLZ &TB JOGPSNBDJÓO TF SFQJUF B DPOUJOVBDJÓO

11 4 10 4 9 3 8 10 3 14 1 10 3 5
2 2 5 6 1 2 2 3 7 1 3 7 8 10
14 75225 11 33 12 1

¿Cuál es la distancia modal?

SOLUCIÓN

El primer paso es organizar las distancias en una tabla de frecuencias para determinar la distancia
que se presenta más a menudo.

Distancia en millas entre salidas Frecuencia

1 8
2 7
3 7
4 3
5 4
6 1
7 3
8 2
9 1
10 4
11 1
14 1
Total 42

La distancia que se presenta con mayor frecuencia es una milla. Se repite ocho veces, es decir,
hay ocho salidas separadas por una milla. Así que la distancia modal entre salidas es una milla.

¿Cuál de estas tres medidas de ubicación (media, mediana o moda) representa mejor la ubica-
ción central de estos datos? ¿Es la moda la mejor medida de ubicación para representar los datos de

Medidas de ubicación 53

,FOUVDLZ /P -B NPEB TPMP UPNB FO DVFOUB MB FTDBMB OPNJOBM EF NFEJDJÓO
Z MB WBSJBCMF iNJMMBTu TF
NJEF VUJMJ[BOEP MB FTDBMB EF SB[ÓO 4F IB DBMDVMBEP RVF MB NFEJB FT EF NJMMBT y&T MB NFEJB MB
mejor medida de ubicación para representar estos datos? Probablemente no. Hay muchos casos en
que la distancia entre salidas es larga. Estos valores afectan la media, pues hacen que sea demasia-
do grande y no es representativa de las distancias entre salidas. ¿Y qué hay de la mediana? La dis-
tancia mediana es de tres millas. Esto es, la mitad de las distancias entre salidas es de tres millas o
menos. En este caso, la mediana de tres millas entre salidas probablemente es una medida más re-
presentativa.

En resumen, es posible determinar la moda para todos los niveles de datos —nominal, ordinal,
de intervalo y de razón—. La moda también tiene la ventaja de no verse afectada por valores extre-
madamente grandes o pequeños.

/P PCTUBOUF
MB NPEB UJFOF TVT EFTWFOUBKBT
QPS MBT DVBMFT TF MF VUJMJ[B DPO NFOPS GSFDVFODJB
que a la media o la mediana. En muchos conjuntos de datos no existe la moda, porque ningún valor
se presenta más de una vez. Por ejemplo, no hay moda en el siguiente conjunto de datos de precios
QPSRVF DBEB WBMPS TPMP BQBSFDF FO VOB PDBTJÓO


Z EÓMBSFT 4JO FNCBSHP
DPNP
cada valor es diferente, podría argumentar que cada valor es la moda. Por el contrario, en el caso de
algunos conjuntos de datos hay más de una moda. Suponga que las edades de los miembros de un
DMVC EF JOWFSTJPOJTUBT TPO




Z BÒPT -BT FEBEFT Z TPO NPEBT "TÎ
FTUF
agrupamiento de edades se denomina bimodal (tiene dos modas). Alguien podría cuestionar la utili-
zación de dos modas para representar la ubicación de este conjunto de datos de edades.

AUTOEVALUACIÓN 1. 6OB NVFTUSB EF QFSTPOBT TPMUFSBT
SFTJEFOUFT FO 5PXTPO
5FYBT
RVF SFDJCFO QBHPT QPS TFHVSJ-
EBE TPDJBM SFWFMÓ MPT TJHVJFOUFT TVCTJEJPT NFOTVBMFT




Z EÓ-
32 lares.
(a) ¿Cuál es la mediana del subsidio mensual?
(b) ¿Cuántas observaciones se encuentran debajo de la mediana? ¿Por encima de ella?

2. El número de interrupciones de trabajo en la industria del automóvil en meses muestreados son
EF



Z
(a) ¿Cuál es la mediana del número de interrupciones?
(b) ¿Cuántas observaciones se encuentran por debajo de la mediana? ¿Por encima de ella?
(c) ¿Cuál es el número modal de interrupciones de trabajo?

13. ¿Qué informaría usted como valor modal de un conjunto de observaciones si hubiera un total de: EJERCICIOS
a. %JF[ PCTFSWBDJPOFT Z OP IVCJFSB EPT WBMPSFT JHVBMFT
b. 4FJT PCTFSWBDJPOFT
UPEBT JHVBMFT
c. Seis observaciones con valores de 1, 2, 3, 3, 4 y 4?

&O MPT FKFSDJDJPT B
EFUFSNJOF B
MB NFEJB
C
MB NFEJBOB Z D
MB NPEB
14. -PT TJHVJFOUFT TPO MPT OÙNFSPT EF DBNCJPT EF BDFJUF EF MPT ÙMUJNPT TJFUF EÎBT FO +JGGZ -VCF
RVF TF

ubica en la esquina de Elm Street y Pennsylvania Avenue.

41 15 39 54 31 15 33

15. El siguiente es el cambio porcentual en el ingreso neto del año anterior al presente en una muestra
de 12 compañías constructoras de Denver.

5 1 210 26 5 12 7 8 6 5 21 11

16. -BT TJHVJFOUFT TPO MBT FEBEFT EF QFSTPOBT RVF TF FODVFOUSBO FO MB TBMB EF WJEFPKVFHPT EFM
4PVUIXZDL 4IPQQJOH .BMM B MBT EF MB NBÒBOB

12 8 17 6 11 14 8 17 10 8

54 CAPÍTULO 3 Descripción de datos: medidas numéricas

17. "CBKP TF FOMJTUBO EJWFSTPT JOEJDBEPSFT EFM DSFDJNJFOUP FDPOÓNJDP B MBSHP QMB[P EF &TUBEPT 6OJEPT

Para la BASE DE DATOS Indicador económico Cambio porcentual Indicador económico Cambio porcentual
visite www.mhhe.com/
uni/lind_ae16e Inflación 4.5% PIB real 2.9%
Exportaciones 4.7 Inversión (residencial) 3.6
Importacioness 2.3 Inversión (no residencial) 2.1
Ingreso 2.9 Productividad (total) 1.4
Consumo 2.7 Productividad (fabricación) 5.2

Para la BASE DE DATOS a. ¿Cuál es la mediana del cambio porcentual?
visite www.mhhe.com/ b. ¿Cuál es el cambio porcentual modal?
uni/lind_ae16e 18. Sally Reynolds vende bienes raíces en el área costera del norte de California. Enseguida se muestra
MB DBOUJEBE UPUBM EF MBT DPNJTJPOFT RVF IB HBOBEP FOUSF Z &ODVFOUSF MB NFEJB
MB NFEJB-
na y la moda de las comisiones que ha ganado en esos años.

Cantidad
Año (miles de dólares)

2002 $237.51
2003 233.80
2004 206.97
2005 248.14
2006 164.69
2007 292.16
2008 269.11
2009 225.57
2010 255.33
2011 202.67
2012 206.53

Para la BASE DE DATOS 19. -B FNQSFTB EF DPOUBCJMJEBE EF 3PXBUUJ Z ,PQQFM TF FTQFDJBMJ[B FO MB FMBCPSBDJÓO EF EFDMBSBDJPOFT
visite www.mhhe.com/ del impuesto sobre la renta de profesionales independientes, como médicos, dentistas, arquitectos
uni/lind_ae16e y abogados. La firma emplea a 11 contadores que preparan declaraciones. El año previo, el número
de declaraciones que elaboró cada contador fue la siguiente:
Para la BASE DE DATOS
visite www.mhhe.com/ 58 75 31 58 46 65 60 71 45 58 80
uni/lind_ae16e
Determine la media, la mediana y la moda de las cantidades de declaraciones que cada contador
elaboró. Si usted elaborara una, ¿qué medida de ubicación recomendaría?
20. -B EFNBOEB EF WJEFPKVFHPT RVF TVNJOJTUSB .JE 5FDI 7JEFP (BNFT
*OD
TF IB EJTQBSBEP FO MPT ÙM-
timos siete años. De ahí que el propietario requiera técnicos que se mantengan a la par con la de-
NBOEB .JE 5FDI QSPQPSDJPOB B DBEB TPMJDJUBOUF VOB QSVFCB RVF FM EPDUPS .D(SBX
EJTFÒBEPS EF MB
prueba, cree que se relaciona estrechamente con la habilidad para crear videojuegos. Para la pobla-
DJÓO FO HFOFSBM
MB NFEJB EF FTUB QSVFCB FT EF &OTFHVJEB BQBSFDFO MPT SFTVMUBEPT EF MB QSVFCB
en el caso de los aspirantes.

95 105 120 81 90 115 99 100 130 10

Con base en la prueba, el presidente se encuentra interesado en las cualidades generales de los as-
QJSBOUFT BM QVFTUP $BMDVMF MB NFEJB Z MB NFEJBOB EF MPT SFTVMUBEPT EF MPT BTQJSBOUFT y2VÊ JOGPS-
maría usted al presidente? ¿Le parece que los aspirantes son mejores que el resto de la población?

Posiciones relativas de la media, la mediana y la moda

0CTFSWF FM IJTUPHSBNB EF MB GJHVSB QÃHJOB TJHVJFOUF
TF USBUB EF VOB EJTUSJCVDJÓO TJNÊUSJDB RVF
también tiene forma de campana. Esta distribución posee la misma forma en cualquier lado desde el
centro. Si el histograma estuviera doblado a la mitad, las dos mitades serían idénticas. En cualquier
distribución simétrica, la moda, la mediana y la media siempre son iguales. Se consideran equivalen-
UFT B BÒPT FO MB HSÃGJDB $BCF NFODJPOBS RVF IBZ EJTUSJCVDJPOFT TJNÊUSJDBT RVF OP UJFOFO GPSNB
de campana.

Medidas de ubicación 55

Frecuencia
Frecuencia

Media = 30 Años Ingreso semanal
Mediana = 30 Moda = 25 Mediana = 29 Media = 60
GRÁFICA 3.3 Distribución con sesgo positivo
Moda = 30

GRÁFICA 3.2 Distribución simétrica

El número de años correspondiente al punto más alto de la curva es la moda BÒPT
$PNP

la distribución es simétrica, la mediana corresponde al punto en el que la distribución se divide a la

NJUBE BÒPT
"TJNJTNP
Z EBEP RVF MB NFEJB BSJUNÊUJDB FT FM QVOUP EF FRVJMJCSJP EF VOB EJTUSJCV-

DJÓO
Z MB EJTUSJCVDJÓO FT TJNÊUSJDB
MB NFEJB BSJUNÊUJDB FT -ÓHJDBNFOUF
DVBMRVJFSB EF MBT USFT

medidas sería apropiada para representar el centro de la distribución.

Si una distribución es asimétrica o sesgada, la relación entre las tres

medidas cambia. En una distribución con sesgo positivo, como la distribu-

ción del ingreso semanal de la gráfica 3.3, la media aritmética es la mayor de

las tres medidas. ¿Por qué? Porque en ella influyen, más que sobre la media-

na o la moda, unos cuantos valores extremadamente altos. Por lo general, la Frecuencia

mediana es la siguiente medida más grande en una distribución de frecuen-

cias con sesgo positivo. La moda es la menor de las tres medidas.

Si la distribución tiene un sesgo muy pronunciado, como en el caso de los

ingresos semanales de la gráfica 3.4, la media no sería una medida adecuada.

La mediana y la moda serían más representativas.

Por el contrario, si una distribución tiene un sesgo negativo, la media es

la menor medida de las tres. Por supuesto, la media es sensible a la influencia Media = 45 Mediana = 76 Resistencia a
de una cantidad extremadamente pequeña de observaciones. La mediana es la tracción
mayor que la media aritmética y la moda es la más grande de las tres medidas.
De nuevo, si la distribución tiene un sesgo muy pronunciado, la media no se Moda = 80

utilizaría para representar a los datos. GRÁFICA 3.4 Distribución con sesgo negativo

AUTOEVALUACIÓN Las ventas semanales de una muestra de tiendas de suministros electrónicos de alta tecnología se
organizaron en una distribución de frecuencias. La media de las ventas semanales que se calculó fue
33 EF EÓMBSFT MB NFEJBOB
EF EÓMBSFT Z MB NPEB
EF EÓMBSFT
(a) Trace una gráfica de las ventas por medio de un polígono de frecuencias suavizado. Observe la

ubicación de la media, la mediana y la moda sobre el eje X.
(b) ¿La distribución es simétrica, tiene un sesgo positivo o negativo? Explique su respuesta.

21. La tasa de desempleo en el estado de Alaska por mes aparece en la siguiente tabla: EJERCICIOS

Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic
8.7 8.8 8.7 7.8 7.3 7.8 6.6 6.5 6.5 6.8 7.3 7.6

a. ¿Cuál es la media aritmética de la tasa de desempleo en Alaska? Para la BASE DE DATOS
b. Encuentre la media y la moda de la tasa de desempleo. visite www.mhhe.com/
c. Calcule la media aritmética y la mediana solo de los meses de invierno (de diciembre a marzo). ¿Es uni/lind_ae16e

muy diferente?

56 CAPÍTULO 3 Descripción de datos: medidas numéricas

Para la BASE DE DATOS 22. #JH 0SBOHF 5SVDLJOH EJTFÒB VO TJTUFNB EF JOGPSNBDJÓO RVF TF VUJMJ[B QBSB DPNVOJDBDJPOFT FO DBCJOB
visite www.mhhe.com/ Debe resumir datos de ocho sitios de cierta zona para describir condiciones típicas. Calcule una
uni/lind_ae16e medida adecuada de ubicación central de cada una de las tres variables que aparecen en la siguien-
te tabla:

Ciudad Dirección del viento Temperatura Pavimento

Anniston, AL Oeste 89 Seco
Atlanta, GA Noreste 86 Mojado
Augusta, GA Suroeste 92 Mojado
Birmingham, AL Sur 91 Seco
Jackson, MS Suroeste 92 Seco
Meridian, MS Sur 92 Sendero
Monroe, LA Suroeste 93 Seco
Tuscaloosa, AL Suroeste 93 Sendero

Solución con software

&T QPTJCMF VUJMJ[BS VO QBRVFUF EF TPGUXBSF EF FTUBEÎTUJDB QBSB EFUFSNJOBS WBSJBT NFEJEBT EF VCJDB-
ción.

EJEMPLO

&O MB UBCMB QÃHJOB
TF NVFTUSB MB HBOBODJB RVF PCUVWP "QQMFXPPE "VUP (SPVQ FM NFT BOUFSJPS
QPS MB WFOUB EF WFIÎDVMPT %FUFSNJOF MB NFEJB Z MB NFEJBOB EF MPT QSFDJPT EF WFOUB

SOLUCIÓN

La media, la mediana y la moda del monto de las ganancias se presentan en el informe de la siguiente
TBMJEB EF &YDFM SFTBMUBEPT FO MB UPNB EF QBOUBMMB SFDVFSEF RVF MBT JOTUSVDDJPOFT QBSB DSFBS MB TBMJEB
BQBSFDFO FO MB TFDDJÓO i$PNBOEPT EF TPGUXBSF” localizada en el apéndice C). En el estudio se inclu-
ZFO WFIÎDVMPT
BTÎ RVF MPT DÃMDVMPT DPO VOB DBMDVMBEPSB SFTVMUBSÎBO UFEJPTPT Z QSPQFOTPT B FSSPS

-B HBOBODJB QSPNFEJP FT EF EÓMBSFT Z MB NFEJBOB
EF EÓMBSFT -B EJGFSFODJB
FOUSF FTUPT WBMPSFT FT NFOPS B EÓMBSFT
BTÎ RVF DVBMRVJFSB EF FMMPT FT SB[POBCMF &O MB TBMJEB EF
&YDFM UBNCJÊO FT QPTJCMF WFS RVF TF WFOEJFSPO WFIÎDVMPT Z RVF MB HBOBODJB UPUBM GVF EF
dólares. Más adelante (en este y en otros capítulos) se explicará el significado de error estándar, des-

viación estándar y otras medidas reportadas en esta salida.
y$VÃM FT MB DPODMVTJÓO -B HBOBODJB UÎQJDB EF VO WFIÎDVMP FT EF BQSPYJNBEBNFOUF EÓMB-

SFT -B HFSFODJB EF "QQMFXPPE QVFEF VTBS FTUF WBMPS QBSB SFBMJ[BS MB QSPZFDDJÓO EF TVT JOHSFTPT 1PS
FKFNQMP
TJ MB EJTUSJCVJEPSB JODSFNFOUB FM OÙNFSP EF WFOUBT FO VO NFT
EF B
PCUJFOF VOB
FTUJNBDJÓO BEJDJPOBM EF EÓMBSFT EF HBOBODJB
DBMDVMBEB NFEJBOUF

La media ponderada 57

La media ponderada OA3-2
Calcular la media pon-
La media ponderada, que constituye un caso especial de la media aritmética, se presenta cuando derada.
hay varias observaciones con el mismo valor. Para entender este tema, suponga que el restaurante
8FOEZ{T WFOEF SFGSFTDPT NFEJBOPT
HSBOEFT Z HJHBOUFT B
Z EÓMBSFT
SFTQFDUJWBNFO-
UF %F MBT ÙMUJNBT CFCJEBT RVF TF WFOEJFSPO FSBO NFEJBOBT
FSBO HSBOEFT Z FSBO HJHBOUFT
1BSB EFUFSNJOBS FM QSFDJP QSPNFEJP EF MBT ÙMUJNBT CFCJEBT WFOEJEBT SFDVSSB B MB GÓSNVMB < >

x 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1


x 5 5


&M QSFDJP QSPNFEJP EF WFOUB EF MBT ÙMUJNBT CFCJEBT FT EF EÓMBSFT
6OB GPSNB NÃT GÃDJM EF DBMDVMBS FM QSFDJP QSPNFEJP EF WFOUB DPOTJTUF FO EFUFSNJOBS MB NFEJB

ponderada: multiplique cada observación por el número de veces que aparece. La media ponderada
se representa como xw
RVF TF MFF ix barra subíndice w”.

x 5
1 1
5 5


En este caso, las ponderaciones son conteos de frecuencias. Sin embargo, cualquier medida de
importancia podría utilizarse como una ponderación. En general, la media ponderada del conjunto
de números representados como x1, x2, x3,…, xn, con las ponderaciones correspondientes w1, w2,
w3,…, wn, se calcula de la siguiente manera:

MEDIA PONDERADA xw 5 —w—1—x1w—11—1—w—2wx—22—11—w—w—33x1—3 —1…—…—1—1w——nw—nx—n [3.3]

que se abrevia de la siguiente manera:

xw 5 S (wx)
Sw

Observe que el denominador de una media ponderada siempre es la suma de las ponderaciones.

EJEMPLO

$BSUFS $POTUSVDUJPO $PNQBOZ QBHB B TVT FNQMFBEPT RVF USBCBKBO QPS IPSB
P
EÓMBSFT QPS IPSB )BZ FNQMFBEPT DPOUSBUBEPT QBSB USBCBKBS QPS IPSB
EF MPT DVBMFT SFDJCFO MB
UBSJGB EF EÓMBSFT
MB UBSJGB EF EÓMBSFT Z
MB EF EÓMBSFT y$VÃM FT MB UBSJGB QSPNF-
EJP QPS IPSB RVF TF QBHB B MPT FNQMFBEPT

SOLUCIÓN

Para determinar la tarifa media por hora, multiplique cada una de las tarifas por hora por el número
EF FNQMFBEPT RVF HBOBO EJDIB UBSJGB %F BDVFSEP DPO MB GÓSNVMB < >
MB UBSJGB NFEJB QPS IPSB FT

xw 5
1 1
5 5


El salario promedio ponderado por hora se redondea a 18.12 dólares.

AUTOEVALUACIÓN 4QSJOHFST WFOEJÓ USBKFT QBSB DBCBMMFSP "OUPOFMMJ B VO QSFDJP OPSNBM EF EÓMBSFT %VSBOUF MB
WFOUB EF QSJNBWFSB SFCBKBSPO MPT USBKFT B EÓMBSFT Z WFOEJFSPO "M GJOBM EF MB WFOUB EF MJRVJEB-
34 DJÓO
SFEVKFSPO FM QSFDJP B EÓMBSFT Z TF WFOEJFSPO MPT SFTUBOUFT USBKFT
(a) ¿Cuál fue el precio promedio ponderado de un traje Antonelli?
(b) 4QSJOHFST QBHÓ EÓMBSFT QPS DBEB VOP EF MPT USBKFT )BHB BMHÙO DPNFOUBSJP TPCSF MB

HBOBODJB EF MB UJFOEB QPS USBKF
TJ VO WFOEFEPS SFDJCF EÓMBSFT EF DPNJTJÓO QPS DBEB VOJEBE
que vende.

58 CAPÍTULO 3 Descripción de datos: medidas numéricas
EJERCICIOS
23. &O KVOJP
VOB JOWFSTJPOJTUB DPNQSÓ BDDJPOFT EF 0SBDMF VOB DPNQBÒÎB EF UFDOPMPHÎB EF MB JOGPS-
NBDJÓO
B EÓMBSFT DBEB VOB &O BHPTUP DPNQSÓ BDDJPOFT NÃT B EÓMBSFT &O OPWJFNCSF
DPNQSÓ PUSBT BDDJPOFT
QFSP FM QSFDJP CBKÓ B EÓMBSFT QPS UÎUVMP y$VÃM FT FM QSFDJP QSPNFEJP
ponderado de cada acción?

24. #PPLTUBMM
*OD , es una librería especializada que se dedica a la venta de libros usados por internet.
-PT MJCSPT EF QBTUB CMBOEB DVFTUBO VO EÓMBS DBEB VOP Z MPT EF QBTUB EVSB
EÓMBSFT DBEB VOP %F
MPT MJCSPT RVF TF WFOEJFSPO FM QBTBEP NBSUFT QPS MB NBÒBOB
FSBO EF QBTUB CMBOEB Z FM SFTUP

de pasta dura. ¿Cuál fue el precio promedio ponderado por libro?

25. -PSJT )FBMUIDBSF 4ZTUFN UJFOF FNQMFBEPT FO TV QFSTPOBM EF FOGFSNFSÎB TPO BVYJMJBSFT EF
FOGFSNFSÎB
TPO FOGFSNFSBT QSBDUJDBOUFT Z TPO FOGFSNFSBT UJUVMBEBT -BT BVYJMJBSFT EF FOGFS-
NFSÎB HBOBO EÓMBSFT QPS IPSB MBT FOGFSNFSBT QSBDUJDBOUFT
Z MBT UJUVMBEBT
y$VÃM FT FM TBMB-
rio promedio ponderado por hora?

26. "OESFXT BOE "TTPDJBUFT TF FTQFDJBMJ[B FO MFZFT FNQSFTBSJBMFT $PCSBO EÓMBSFT QPS IPSB EF JO-
WFTUJHBDJÓO EF VO DBTP EÓMBSFT QPS IPSB EF BTFTPSÎB Z EÓMBSFT QPS IPSB EF SFEBDDJÓO EF VO
FYQFEJFOUF -B TFNBOB QBTBEB VOP EF MPT TPDJPT EFEJDÓ IPSBT B EBS BTFTPSÎB B VOB DMJFOUB

IPSBT B JOWFTUJHBS FM DBTP Z IPSBT B SFEBDUBS FM FYQFEJFOUF y$VÃM GVF FM NPOUP NFEJP QPOEFSBEP
por hora de honorarios por servicios legales?

OA3-3 La media geométrica
Calcular e interpretar la
media geométrica. La media geométrica es útil para determinar el cambio promedio de porcentajes, razones, índices o
tasas de crecimiento. Posee amplias aplicaciones en la administración y la economía, ya que con
frecuencia hay interés en determinar los cambios porcentuales de ventas, salarios o cifras económi-
cas, como el producto interno bruto, los cuales se combinan o son la base de otros. La media
geométrica de un conjunto de n números positivos se define como la raíz enésima de un producto
de n valores. La fórmula de la media geométrica se escribe de la siguiente manera:

MEDIA GEOMÉTRICA GM 5 #n (x1)(x2) … (xn) [3.4]

La media geométrica siempre es menor o igual (nunca mayor) que la media aritmética. Todos los
datos deben ser positivos.

$PNP FKFNQMP EF NFEJB HFPNÊUSJDB
TVQPOHB RVF VTUFE SFDJCF EF JODSFNFOUP TBMBSJBM FTUF
BÒP Z EF JODSFNFOUP FM TJHVJFOUF &M JODSFNFOUP QPSDFOUVBM BOVBM QSPNFEJP FT EF
OP EF
y1PS RVÊ SB[ÓO $PNJFODF DBMDVMBOEP MB NFEJB HFPNÊUSJDB 3FDVFSEF
QPS FKFNQMP
RVF
EF JODSFNFOUP TBMBSJBM FRVJWBMF B
RVF FYQSFTB DPNP

GM 5 #(1.05) (1.15) 5

&TUF SFTVMUBEP QVFEF WFSJGJDBSTF TVQPOJFOEP RVF TV JOHSFTP NFOTVBM GVF EF EÓMBSFT BM DPNJFO-
[P Z RVF SFDJCJÓ EPT JODSFNFOUPT EF Z

*ODSFNFOUP 5
5

*ODSFNFOUP 5
5

5PUBM

&M JODSFNFOUP UPUBM EF TV TBMBSJP FT EF EÓMBSFT &TUP FRVJWBMF B


5

5
RVF FT BMSFEFEPS EF EÓMBSFT

El siguiente ejemplo muestra la media geométrica de diversos porcentajes.

EJEMPLO

La recuperación de una inversión que realizó Atkins Construction Company durante cuatro años
DPOTFDVUJWPT GVF EF

2 Z y$VÃM FT MB NFEJB HFPNÊUSJDB EF MB SFDVQFSBDJÓO EF
la inversión?

La media geométrica 59

SOLUCIÓN

&M OÙNFSP SFQSFTFOUB EF MB SFDVQFSBDJÓO EF MB JOWFSTJÓO
RVF FT MB JOWFSTJÓO original EF
más la recuperación EF 1PS PUSB QBSUF
FM OÙNFSP SFQSFTFOUB MB QÊSEJEB EF
RVF FT MB
JOWFSTJÓO PSJHJOBM EF NFOPT MB QÊSEJEB EF &TUF DÃMDVMP TVQPOF RVF FM UPUBM EF MB JOWFSTJÓO EF
cada periodo se reinvierte o se convierte en la base de la siguiente. En otras palabras, la base del
segundo periodo es 1.3 y la base del tercer periodo es (1.3)(1.2) y así sucesivamente.

&O DPOTFDVFODJB
MB NFEJB HFPNÊUSJDB EF MB UBTB EF SFDVQFSBDJÓO FT EF
EFUFSNJOBEB QPS
medio del siguiente cálculo:

GM 5 #n (x1)(x2) … (xn) 5 #4 (1.3)(1.2)(0.6)(3.0) 5 #4 2.808 5 1.294

%F FTUB NBOFSB
MB NFEJB HFPNÊUSJDB FT MB SBÎ[ DVBSUB EF "TÎ
MB UBTB QSPNFEJP EF SFDVQFSBDJÓO
UBTB EF DSFDJNJFOUP BOVBM DPNQVFTUB
FT EF

0CTFSWF
BTJNJTNP
RVF TJ DBMDVMB MB NFEJB BSJUNÊUJDB < 1 2 1
5 >

obtendrá un número mucho más grande, lo que dispararía la tasa de recuperación real.

Otro modelo de aplicación de la media geométrica se relaciona con la determinación de un
DBNCJP QPSDFOUVBM QSPNFEJP EVSBOUF DJFSUP QFSJPEP 1PS FKFNQMP
TJ VTUFE HBOÓ EÓMBSFT FO
FM BÒP Z EÓMBSFT FO
yDVÃM FT MB UBTB BOVBM EF JODSFNFOUP EVSBOUF FM QFSJPEP
&TUB FT EF -B UBTB EF JODSFNFOUP TF EFUFSNJOB B QBSUJS EF MB TJHVJFOUF GÓSNVMB

TASA DE INCREMENTO GM 5 n Valor al final del periodo 2 1 [3.5]
CON EL TIEMPO ÅValor al inicio del periodo

En el recuadro anterior, n FT FM OÙNFSP EF QFSJPEPT 6O FKFNQMP NPTUSBSÃ MPT EFUBMMFT QBSB EFUFSNJ-
nar el incremento porcentual anual.

EJEMPLO

%VSBOUF MB EÊDBEB EF Z IBTUB MPT QSJNFSPT BÒPT EFM TJHVJFOUF EFDFOJP
-BT 7FHBT
/FWBEB
GVF
MB DJVEBE EF NBZPS DSFDJNJFOUP FO &TUBEPT 6OJEPT -B QPCMBDJÓO TF JODSFNFOUÓ EF FO
B FO
P EVSBOUF FM QFSJPEP -B QPCMBDJÓO FT NÃT EFM EPCMF y$VÃM FT FM JODSF-
mento anual promedio?

SOLUCIÓN

)BZ BÒPT FOUSF Z
BTÎ RVF n 5 %F FTUB NBOFSB
MB GÓSNVMB < > EF MB NFEJB HFPNÊ-
trica, aplicada a este problema, se transforma en:

GM 5 21 Valor al final del periodo 2 5 21 584 539 2 5 2 5
Å Valor al inicio del periodo Å 258 295

Para resumir, los pasos para calcular una media geométrica son:

1. Dividir el valor al final del periodo entre el valor al comienzo del periodo.
2. Encontrar la enésima del rango, donde n es el número de periodos.
3. Restar uno.

&M WBMPS EF JOEJDB RVF FM DSFDJNJFOUP BOVBM QSPNFEJP EVSBOUF FM QFSJPEP GVF EF
&YQSFTBEP FO PUSPT UÊSNJOPT
MB QPCMBDJÓO EF -BT 7FHBT DSFDJÓ B VOB UBTB EF QPS BÒP EF
B

AUTOEVALUACIÓN 1. El incremento porcentual de ventas de los últimos cuatro años en Combs Cosmetics fue de


Z
35 (a) Determine la media geométrica del incremento porcentual.
(b) Determine la media aritmética del incremento porcentual.
(c) ¿La media aritmética es igual o mayor que la media geométrica?

2. -B QSPEVDDJÓO EF DBNJPOFT $BCMPT TF FMFWÓ EF VOJEBEFT FO FM BÒP B
VOJEBEFT FO $BMDVMF MB NFEJB HFPNÊUSJDB EFM JODSFNFOUP QPSDFOUVBM BOVBM

60 CAPÍTULO 3 Descripción de datos: medidas numéricas
EJERCICIOS
27. $BMDVMF MB NFEJB HFPNÊUSJDB EF MPT TJHVJFOUFT JODSFNFOUPT QPSDFOUVBMFT


Z
28. &TUJNF MB NFEJB HFPNÊUSJDB EF MPT TJHVJFOUFT JODSFNFOUPT QPSDFOUVBMFT





Z
29. A continuación se enlista el incremento porcentual de ventas de MG Corporation durante los últimos

cinco años. Determine la media geométrica del incremento porcentual de ventas en ese periodo.

9.4 13.8 11.7 11.9 14.7

30. &O
FO &TUBEPT 6OJEPT
VO UPUBM EF DPOUSJCVZFOUFT QSFTFOUBSPO FO GPSNB FMFDUSÓOJDB
TVT EFDMBSBDJPOFT EF JNQVFTUPT &O FM BÒP FM OÙNFSP TF IBCÎB JODSFNFOUBEP B
¿Cuál es la media geométrica del incremento anual del periodo?

31. &M 6 4 #VSFBV PG -BCPS 4UBUJTUJDT QVCMJDB NFOTVBMNFOUF FM ÎOEJDF EF QSFDJPT BM DPOTVNJEPS F JOGPSNB
el cambio de precios de una canasta de artículos en el mercado de un periodo a otro. El índice del
BÒP GVF EF 1BSB TF JODSFNFOUÓ B y$VÃM FT MB NFEJB HFPNÊUSJDB EFM JODSF-
mento anual de dicho periodo?

32. +FU#MVF "JSXBZT FT VOB BFSPMÎOFB FTUBEPVOJEFOTF EF CBKP DPTUP DPO TFEF FO MB DJVEBE EF /VFWB
:PSL 4V CBTF QSJODJQBM FTUÃ FO FM "FSPQVFSUP *OUFSOBDJPOBM +PIO ' ,FOOFEZ -B HBOBODJB EF +FU#MVF
FO GVF EF NJMMPOFT EF EÓMBSFT &O TF JODSFNFOUÓ B NJMMPOFT EF EÓMBSFT y$VÃM
es la media geométrica del incremento anual en dicho periodo?

33. &O IBCÎB TVTDSJQUPSFT B DPNQBÒÎBT EF UFMFGPOÎB DFMVMBS FO &TUBEPT 6OJEPT &O
FM
OÙNFSP EF TVTDSJQUPSFT BVNFOUÓ B y$VÃM FT MB NFEJB HFPNÊUSJDB EFM JODSFNFOUP BOVBM
en dicho periodo?

34. La siguiente información muestra el costo de un año de estudios en universidades públicas y priva-
EBT FOUSF Z y$VÃM FT MB NFEJB HFPNÊUSJDB EFM JODSFNFOUP BOVBM FO EJDIP QFSJPEP
en el caso de ambos tipos de escuelas? Compare las tasas de incremento.

Tipo de universidad 2002-03 2012-13

Pública $ 4 960 $ 8 655
Privada 18 056 29 056

OA3-4 ¿Por qué estudiar la dispersión?
Calcular e interpretar el
rango, la varianza y la 6OB NFEJEB EF VCJDBDJÓO
DPNP MB NFEJB
MB NFEJBOB P MB NPEB
TPMP EFTDSJCF FM DFOUSP EF MPT EB-

desviación estándar. tos. Desde este punto de vista resulta valiosa, pero no revela nada acerca de la dispersión de los

datos. Por ejemplo, si un guía de turismo ecológico dice que el río que se encuentra a pocos pasos

tiene en promedio tres pies de profundidad, ¿querría usted cruzarlo a pie sin más información? Qui-

[Ã OP 6TUFE EFTFBSÎB TBCFS BMHP TPCSF MB WBSJBDJÓO EF MB QSPGVOEJEBE y-B NÃYJNB QSPGVOEJEBE FT

EF QJFT Z MB NÎOJNB
EF QJFT &O EJDIP DBTP
VTUFE FTUBSÎB EF BDVFSEP FO DSV[BS y2VÊ IBZ

TJ VTUFE TVQP RVF MB QSPGVOEJEBE EFM SÎP WBSÎB EF B QJFT 4V EFDJTJÓO QSPCBCMFNFOUF TFSÎB

no cruzar. Antes de decidir, usted desea información tanto de la profundidad típica como de la dis-

persión de la profundidad del río.

6OB NFEJEB QFRVFÒB EF EJTQFSTJÓO JOEJDB RVF MPT EBUPT TF BDVNVMBO DPO QSPYJNJEBE BMSFEFEPS

de la media aritmética. Por consiguiente, la media se considera representativa de los datos. Por el

DPOUSBSJP
VOB NFEJEB HSBOEF EF EJTQFSTJÓO JOEJDB RVF MB NFEJB OP FT DPOGJBCMF WFB MB HSÃGJDB


-PT FNQMFBEPT EF )BNNPOE *SPO 8PSLT
*OD
VOB DPNQBÒÎB

que fabrica acero, se organizan en un histograma basado en el núme-
20 ro de años que cada uno ha laborado en la compañía. La media es de

BÒPT
QFSP MB EJTQFSTJÓO EF MPT EBUPT FT EF NFTFT B BÒPT

Empleados -B NFEJB EF BÒPT OP FT SFQSFTFOUBUJWB EF UPEPT MPT FNQMFBEPT

10 6OB TFHVOEB SB[ÓO QBSB FTUVEJBS MB EJTQFSTJÓO FO VO DPOKVOUP EF
datos consiste en comparar la propagación en dos o más distribucio-

nes. Por ejemplo, suponga que el nuevo monitor de computadora

7JTJPO 2VFTU -$% TF BSNB FO #BUPO 3PVHF Z UBNCJÊO FO 5VDTPO -B

0 10 QSPEVDDJÓO NFEJB BSJUNÊUJDB QPS IPSB
FO BNCBT QMBOUBT
FT EF
0 Años Con base en estas dos medias, podría concluir que las distribu-

20 ciones de las producciones por hora son idénticas. Sin embargo, los
SFHJTUSPT EF QSPEVDDJÓO EF IPSBT FO MBT EPT QMBOUBT SFWFMBO RVF

GRÁFICA 3.5 Histograma de los años laborados para FTUB DPODMVTJÓO OP FT DPSSFDUB WFB MB HSÃGJDB FO MB QÃHJOB
-B

Hammond Iron Works, Inc. QSPEVDDJÓO EF #BUPO 3PVHF WBSÎB EF B NPOUBKFT QPS IPSB

¿Por qué estudiar la dispersión? 61

Baton Rouge ESTADÍSTICA
EN ACCIÓN

48 49 5_0 51 52 El servicio postal de Esta-
X dos Unidos ha intentado
ser “más amigable con el
Tucson usuario” durante los últi-
mos años. Una encuesta
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50_ 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 reciente mostró que los
X consumidores estaban in-
teresados en que hubiera
Producción diaria más regularidad en los
tiempos de entrega. An-
GRÁFICA 3.6 Producción por hora de monitores de computadora en las plantas tes, una carta local podría
de Baton Rouge y Tucson tardar en llegar uno o va-
rios días. “Solo díganme
NJFOUSBT RVF MB QSPEVDDJÓO FO MB QMBOUB EF 5VDTPO FT NÃT FSSÃUJDB
ZB RVF WBSÎB EF B QPS con cuántos días de anti-
IPSB 1PS MP UBOUP
MB QSPEVDDJÓO QPS IPSB FO #BUPO 3PVHF TF BDVNVMB DFSDB EF MB NFEJB
MB cipación tengo que en-
producción por hora de Tucson es más dispersa. viar una tarjeta de felici-
tación a mi mamá para
Se considerarán diversas medidas de dispersión. El rango se sustenta en los valores máximo y que llegue el día de su
mínimo del conjunto de datos, es decir, solo se consideran dos valores. La desviación media, la cumpleaños, ni antes ni
varianza y la desviación estándar se basan en desviaciones de la media aritmética. después”, era una queja
común. El nivel de regula-
Rango ridad se mide a partir de
la desviación estándar de
los tiempos de entrega.

La medida más simple de dispersión es el rango. Representa la diferencia entre los valores máximo
y mínimo de un conjunto de datos. En forma de ecuación:

RANGO Rango 5 valor máximo 2 valor mínimo [3.6]

El rango se emplea mucho en aplicaciones de control de procesos estadísticos (CPE) debido a que
es fácil calcularlo y entenderlo.

EJEMPLO

$POTVMUF MB HSÃGJDB %FUFSNJOF FM SBOHP EFM OÙNFSP EF NPOJUPSFT EF DPNQVUBEPSB RVF TF QSPEV-
DFO QPS IPSB FO MBT QMBOUBT EF #BUPO 3PVHF Z 5VDTPO *OUFSQSFUF BNCPT SBOHPT

SOLUCIÓN

&M SBOHP EF MB QSPEVDDJÓO QPS IPSB EF NPOJUPSFT EF DPNQVUBEPSB FO MB QMBOUB EF #BUPO 3PVHF FT EF

FM DVBM TF EFUFSNJOB QPS MB EJGFSFODJB FOUSF MB QSPEVDDJÓO NÃYJNB QPS IPSB
Z MB NÎOJNB
&M
SBOHP EF MB QSPEVDDJÓO QPS IPSB FO MB QMBOUB EF 5VDTPO FT EF NPOJUPSFT
RVF TF PCUJFOF DPO FM
DÃMDVMP 2 1PS UBOUP
FYJTUF NFOPT EJTQFSTJÓO FO MB QSPEVDDJÓO QPS IPSB FO MB QMBOUB EF
#BUPO 3PVHF RVF FO MB EF 5VDTPO
QPSRVF FM SBOHP EF NPOJUPSFT FT NFOPS RVF FM EF
MB QSP-
EVDDJÓO TF BDVNVMB NÃT BMSFEFEPS EF MB NFEJB EF FO MB QMBOUB EF #BUPO 3PVHF RVF FO MB QMBOUB
EF 5VDTPO ZB RVF VO SBOHP EF FT NFOPS RVF VO SBOHP EF
1PS FMMP
MB QSPEVDDJÓO NFEJB FO
MB QMBOUB EF #BUPO 3PVHF NPOJUPSFT
SFTVMUB VOB NFEJEB EF VCJDBDJÓO NÃT SFQSFTFOUBUJWB RVF MB
NFEJB EF NPOJUPSFT FO MB QMBOUB EF 5VDTPO

Varianza

6O QSPCMFNB RVF QSFTFOUB FM SBOHP FTUSJCB FO RVF QBSUF EF EPT WBMPSFT
FM NÃYJNP Z FM NÎOJNP
FT
decir, no los toma en cuenta a todos. La varianza TÎ MP IBDF NJEF MB DBOUJEBE NFEJB SFTQFDUP EF MB
cual los valores de una población o muestra varían. Expresado en forma de definición:

62 CAPÍTULO 3 Descripción de datos: medidas numéricas

VARIANZA Media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones con respecto a la me-
dia aritmética.

El siguiente ejemplo ilustra cómo se usa la varianza para medir la dispersión.

EJEMPLO

La siguiente tabla muestra el número de capuchinos que se vendieron
en los locales de Starbucks de los aeropuertos de Orange County y
0OUBSJP
$BMJGPSOJB
FOUSF MBT Z MBT IPSBT
EF VOB NVFTUSB
de cinco días el mes anterior.

Determine la media, la mediana, el rango y la desviación media de
cada local. Compare las similitudes y las diferencias.

SOLUCIÓN

La media, la mediana y el rango de cada aeropuerto se reportan a continuación como parte de una
hoja de cálculo de Excel.

0CTFSWF RVF MBT USFT NFEJEBT TPO FYBDUBNFOUF JHVBMFT y*OEJDB FTUP RVF OP IBZ EJGFSFODJBT FOUSF
ambos grupos de datos? Calculando las desviaciones medias se obtiene un panorama más claro.
Primero, Orange County:

S(x 2 m)2 (2 2) 1 (2 2) 1 2 1 2 1 2
Varianza 5 —————— 5 ————————————————————— 5 ———— 5

N

¿Por qué estudiar la dispersión? 63

-B WBSJBO[B FT &TUP FT
MB EFTWJBDJÓO DVBESBEB QSPNFEJP EFTEF MB NFEJB FT
La siguiente tabla muestra los detalles para determinar la varianza para el número de capuchinos
vendidos en el aeropuerto de Ontario.

S(x 2 m)2 (2 2) 1 (2 2) 1 2 1 2 1 2
Varianza 5 —————— 5 ———————————————————— 5 ———— 5

N

Así que la media, la mediana y el rango de los capuchinos que se vendieron en ambos aeropuer-
UPT TPO MPT NJTNPT
QFSP MBT WBSJBO[BT TPO EJTUJOUBT -B WBSJBO[B EF 0SBOHF $PVOUZ FT
MB EF
0OUBSJP FT

*OUFSQSFUF Z DPNQBSF MPT SFTVMUBEPT EF MBT NFEJEBT FO FM DBTP EF MBT UJFOEBT EF 4UBSCVDLT -B
NFEJB Z MB NFEJBOB EF BNCBT UJFOEBT TPO FYBDUBNFOUF MBT NJTNBT
DBQVDIJOPT BM EÎB 1PS DPO-
siguiente, la ubicación de ambas distribuciones es la misma. El rango en ambas tiendas también es
JHVBM 4JO FNCBSHP
SFDVFSEF RVF FM SBOHP QSPQPSDJPOB JOGPSNBDJÓO MJNJUBEB TPCSF MB EJTQFSTJÓO
de la distribución, porque se basa solo en dos observaciones.

Las varianzas no son las mismas en ambos aeropuertos porque se basan en las diferencias
entre todas las observaciones y la media aritmética, que muestra la relativa proximidad o acumula-
ción de los datos concerniente a la media o centro de la distribución. Compare la varianza de Orange
$PVOUZ
DPO MB EF 0OUBSJP
$PO CBTF FO MB WBSJBO[B
FT QPTJCMF EFDJS RVF MB EJTQFSTJÓO EF
la distribución de ventas de Starbucks Ontario se encuentra más concentrada, cerca de la media de

RVF FO MB UJFOEB EF 0SBOHF $PVOUZ

La varianza tiene una importante ventaja sobre el rango: utiliza todos los valores en el cálculo.
Recuerde que el rango solo incluye los valores más alto y más bajo.

-PT QFTPT EF MPT DPOUFOFEPSFT FOWJBEPT B *SMBOEB TPO FO NJMFT EF MJCSBT


95 103 105 110 104 105 112 90

AUTOEVALUACIÓN

(a) ¿Cuál es el rango de los pesos?

36 (b) Calcule el peso medio aritmético.

(c) Estime la desviación media de los pesos.

&O MPT FKFSDJDJPT B
DBMDVMF B
FM SBOHP
C
MB NFEJB BSJUNÊUJDB
D
MB WBSJBO[B Z E
BOBMJDF MPT WBMPSFT EJERCICIOS
que obtenga.
Para la BASE DE DATOS
35. Hubo cinco representantes de servicio al cliente que trabajaron en Electronic Super Store durante la visite www.mhhe.com/
pasada venta de fin de semana. Las cantidades de HDTV que vendieron estos representantes son: uni/lind_ae16e



Z

36. &M %FQBSUBNFOUP EF &TUBEÎTUJDB EF MB 8FTUFSO 4UBUF 6OJWFSTJUZ PGSFDF PDIP TFDDJPOFT EF FTUBEÎTUJDB
CÃTJDB &OTFHVJEB BQBSFDFO MPT OÙNFSPT EF FTUVEJBOUFT NBUSJDVMBEPT FO FTUBT TFDDJPOFT






Z

37. Dave’s Automatic Door instala puertas automáticas para cocheras. La siguiente lista indica el núme-
SP EF NJOVUPT RVF TF SFRVJFSFO QBSB JOTUBMBS QVFSUBT BVUPNÃUJDBT








32 y 42.

38. Las ocho compañías de la industria aeronáutica participaron en una encuesta sobre la recuperación
EF MB JOWFSTJÓO RVF UVWJFSPO FM BÒP BOUFSJPS -PT SFTVMUBEPT FO QPSDFOUBKF
TPO MPT TJHVJFOUFT






Z

39. Diez adultos jóvenes que viven en California, elegidos al azar, calificaron el sabor de una nueva pizza
EF TVTIJ DPO BUÙO
BSSP[ Z BMHBT FO VOB FTDBMB EF B
FO MB RVF JOEJDB RVF OP MFT HVTUB FM TBCPS
Z
RVF TÎ MFT HVTUB -BT DBMJGJDBDJPOFT GVFSPO MBT TJHVJFOUFT

34 39 40 46 33 31 34 14 15 45

64 CAPÍTULO 3 Descripción de datos: medidas numéricas

Para la BASE DE DATOS &O VO FTUVEJP QBSBMFMP
BEVMUPT KÓWFOFT EF *PXB
FMFHJEPT BM B[BS
DBMJGJDBSPO FM TBCPS EF MB NJTNB
visite www.mhhe.com/ pizza. Las calificaciones fueron las siguientes:
uni/lind_ae16e
28 25 35 16 25 29 24 26 17 20

Como investigador de mercado, compare los mercados potenciales para la pizza de sushi.
40. -PT BSDIJWPT EF QFSTPOBM EF PDIP FNQMFBEPT FO MBT JOTUBMBDJPOFT EF 1BXOFF EF "DNF $BSQFU $MFB-

OFST
*OD
SFWFMBSPO RVF EVSBOUF FM ÙMUJNP TFNFTUSF FTUPT QFSEJFSPO MBT TJHVJFOUFT DBOUJEBEFT EF EÎBT
por enfermedad:

2 0 6 3 10 4 1 2

Durante el mismo periodo, los archivos revelaron que los ocho empleados que trabajaron en la plan-
ta de Chickpee de Acme Carpets perdieron las siguientes cantidades de días por enfermedad:

20105010

Como director de relaciones humanas, compare las ausencias en las dos plantas. ¿Qué recomen-
daría?

Varianza de la población

En el ejemplo anterior se desarrolló el concepto de varianza como una medida de dispersión. En
forma similar a como se hace con la media, es posible calcular la varianza de una población o de una
muestra. La varianza de la población se determina de la siguiente manera:

VARIANZA DE LA POBLACIÓN s2 5 S ( x 2 m)2 [3.7]
N

En esta fórmula:

s2 es la varianza de la población (s FT MB MFUSB NJOÙTDVMB HSJFHB TJHNB
TF MFF sigma al cua-
drado;

x FT FM WBMPS EF VOB PCTFSWBDJÓO EF MB QPCMBDJÓO
m FT MB NFEJB BSJUNÊUJDB EF MB QPCMBDJÓO
N es el número de observaciones de la población.

Observe el proceso de cálculo de la varianza, implícito en la fórmula:

1. Comience por determinar la media.
2. Calcule la diferencia entre cada observación y la media, y eleve al cuadrado dicha diferencia.
3. Sume todas las diferencias elevadas al cuadrado.
4. Divida la suma de las diferencias elevadas al cuadrado entre el número de elementos de la po-

blación.

Así, la varianza de la población es la media de las diferencias elevadas al cuadrado entre cada valor y
la media. En poblaciones cuyos valores son cercanos a la media, la varianza puede ser pequeña. En
poblaciones cuyos valores se apartan de la media, la varianza de la población puede ser grande.

La varianza compensa el inconveniente que presenta el rango al utilizar todos los valores de
la población, mientras que el rango incluye solo los valores máximo y mínimo. El problema de que
S ( x 2 m) 5
TF DPSSJHF FMFWBOEP BM DVBESBEP MBT EJGFSFODJBT
MP RVF TJFNQSF EBSÃ DPNP SFTVMUBEP
valores no negativos. He aquí otro ejemplo que ilustra el cálculo e interpretación de la varianza.

EJEMPLO

&M OÙNFSP EF NVMUBT EF USÃOTJUP RVF TF BQMJDBSPO FM BÒP BOUFSJPS
QPS NFT
FO #FBVGPSU $PVOUZ
$BSP-
lina del Sur, se reporta en la siguiente tabla.

¿Por qué estudiar la dispersión? 65

Multas por mes

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

19 17 22 18 28 34 45 39 38 44 34 10

Determine la varianza de la población.

SOLUCIÓN

Dado que el objetivo es estudiar todas las multas que se aplicaron en un año, los datos integran una
QPCMBDJÓO 1BSB EFUFSNJOBS MB WBSJBO[B EF MB QPCMBDJÓO TF VUJMJ[B MB GÓSNVMB < > -B TJHVJFOUF UBCMB
detalla los cálculos.

Mes Multas x2m (x 2 m)2
(x)
Enero 210 100
Febrero 19 212 144
Marzo 17 27 49
Abril 22 211 121
Mayo 18 21
Junio 28 1
Julio 34 5 25
Agosto 45 16 256
Septiembre 39 10 100
Octubre 38 9 81
Noviembre 44 15 225
Diciembre 34 5 25
10 219 361
Total
348 0 1 488

1. Para comenzar, es necesario determinar la media aritmética de la población. El número total de
NVMUBT BQMJDBEBT FO FM BÒP FT EF
BTÎ RVF MB NFEJB BSJUNÊUJDB QPS NFT FT

S x 1 17 1 … 1 348
m 5 —— 5 ————————————— 5 ——— 5

N 12 12

2. Enseguida se calcula la diferencia entre la media y cada observación. Esta se muestra en la
tercera columna de la tabla. Recuerde que previamente en este capítulo se indicó que la suma
EF MBT EJGFSFODJBT FOUSF DBEB WBMPS Z MB NFEJB FT &O MB IPKB EF DÃMDVMP
MB TVNB EF MBT EJGFSFO-
DJBT FOUSF MB NFEJB Z FM OÙNFSP EF NVMUBT EF DBEB NFT FT

3. El siguiente paso es elevar al cuadrado la diferencia entre cada valor mensual. Todas las dife-
rencias elevadas al cuadrado serán positivas. Observe que al elevar al cuadrado un valor nega-
tivo, o multiplicar un valor negativo por sí mismo, siempre resulta en un valor positivo.

4. Se suman las diferencias elevadas al cuadrado. El total de la cuarta columna es 1 488. A esto
se refiere la ecuación S ( x 2 m)2.

5. 'JOBMNFOUF
MBT EJGFSFODJBT FMFWBEBT BM DVBESBEP TF EJWJEFO FOUSF N FT EFDJS
FM OÙNFSP EF PC-
servaciones que se realizaron.

S(x 2 m)2 1 488
s2 5 —————— 5 ———— 5 124

N 12

Así, la varianza de la población con respecto al número de multas es de 124.
Como en el caso del rango, la varianza se emplea para comparar la dispersión entre dos o más
conjuntos de observaciones. Por ejemplo, se calculó que la varianza del número de multas levanta-
EBT FO #FBVGPSU $PVOUZ GVF EF 4J MB WBSJBO[B EFM OÙNFSP EF NVMUBT BQMJDBEBT FO .BSMCPSP
$PVOUZ
$BSPMJOB EFM 4VS
FT EF
TF DPODMVZF RVF
IBZ NFOPT EJTQFSTJÓO FO MB EJTUSJCVDJÓO
EFM OÙNFSP EF NVMUBT MFWBOUBEBT FO #FBVGPSU ZB RVF FT NFOPS RVF
Z
FM OÙNFSP EF
JOGSBDDJPOFT FO #FBVGPSU $PVOUZ TF FODVFOUSB NÃT BQJÒBEP FO UPSOP B MB NFEJB
RVF FM OÙNFSP
EF NVMUBT MFWBOUBEBT FO .BSMCPSP $PVOUZ 1PS DPOTJHVJFOUF
MB NFEJB EF NVMUBT BQMJDBEBT FO #FBV-
fort County constituye una medida de ubicación más representativa que la media de multas en
Marlboro County.

66 CAPÍTULO 3 Descripción de datos: medidas numéricas

Desviación estándar de la población

Al calcular la varianza es importante entender la unidad de medida y lo que ocurre cuando las dife-
rencias en el numerador se elevan al cuadrado. Esto implica, en el ejemplo anterior, que el número
de multas mensuales es la variable. Al calcular la varianza, las multas al cuadrado representan la
VOJEBE EF NFEJEB QPS MB WBSJBO[B 1FSP VUJMJ[BS iNVMUBT BM DVBESBEPu DPNP VOJEBE EF NFEJEB FT BMHP
torpe.

Existe una forma de salir del problema. Si extrae la raíz cuadrada de la varianza de la población
puede convertirla a las mismas unidades de medición que emplean los datos originales. La raíz
cuadrada de 124 multas elevadas al cuadrado es de 11.4 multas. Las unidades ahora son, sencilla-
mente, multas. La raíz cuadrada de la varianza de la población es la desviación estándar de la
población.

DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE LA POBLACIÓN S ( x 2 m)2 [3.8]
s5

N

AUTOEVALUACIÓN &TUF BÒP MB PGJDJOB FO 'JMBEFMGJB EF 1SJDFXBUFSIPVTF$PPQFST --1 DPOUSBUÓ B DJODP DPOUBEPSFT RVF
FTUÃO IBDJFOEP QSÃDUJDBT 4VT TBMBSJPT NFOTVBMFT JOJDJBMFT GVFSPO EF


Z
37 EÓMBSFT
(a) Calcule la media de la población.
(b) Estime la varianza de la población.
(c) Aproxime la desviación estándar de la población.
(d) La oficina de Pittsburgh contrató a cinco empleados que están haciendo prácticas. El salario

NFOTVBM QSPNFEJP GVF EF EÓMBSFT Z MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS
EF EÓMBSFT $PNQBSF
ambos grupos.

EJERCICIOS 41. Considere en una población los siguientes cinco valores: 8, 3, 7, 3 y 4.
a. Determine la media de la población.
b. Determine la varianza.

42. $POTJEFSF B MPT TJHVJFOUFT TFJT WBMPSFT DPNP VOB QPCMBDJÓO



Z
a. Determine la media de la población.
b. Determine la varianza.

43. &M JOGPSNF BOVBM EF %FOOJT *OEVTUSJFT JODMVZÓ MBT TJHVJFOUFT HBOBODJBT QSJNBSJBT QPS BDDJÓO DPNÙO
EVSBOUF MPT ÙMUJNPT DJODP BÒPT


Z EÓMBSFT 4J TVQPOF RVF FTUPT TPO MPT
valores poblacionales:
a. ¿Cuáles son las medias aritméticas de las ganancias primarias por acción común?
b. ¿Cuál es la varianza?

44. $PO SFTQFDUP BM FKFSDJDJP BOUFSJPS
FM JOGPSNF BOVBM EF %FOOJT *OEVTUSJFT UBNCJÊO BSSPKÓ FTUPT SFOEJ-
mientos sobre valores de renta variable durante el mismo periodo de cinco años (en porcentaje):



Z
a. ¿Cuál es la media aritmética del rendimiento?
b. ¿Cuál es la varianza?

45. 1MZXPPE
*OD EJP B DPOPDFS MBT TJHVJFOUFT VUJMJEBEFT TPCSF WBMPSFT EF SFOUB WBSJBCMF EVSBOUF MPT ÙMUJ-
NPT DJODP BÒPT


Z $POTJEFSF FTUPT WBMPSFT DPNP QPCMBDJPOBMFT
a. Calcule el rango, la media aritmética, la varianza y la desviación estándar.
b. $PNQBSF MBT VUJMJEBEFT TPCSF WBMPSFT EF SFOUB WBSJBCMF EF 1MBZXPPE
*OD
DPO MBT EF %FOOJT *OEVT-
tries que se citaron en el ejercicio 44.

46. -PT JOHSFTPT BOVBMFT EF DJODP WJDFQSFTJEFOUFT EF 5.7 *OEVTUSJFT TPO



Z EÓMBSFT $POTJEFSF FTUPT WBMPSFT DPNP VOB QPCMBDJÓO
a. ¿Cuál es el rango?
b. ¿Cuál es el ingreso medio aritmético?
c. ¿Cuál es la varianza poblacional y la desviación estándar?
d. También se estudiaron los ingresos anuales del personal de otra empresa similar a TMV. La media
GVF EF EÓMBSFT Z MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS
EF EÓMBSFT $PNQBSF MBT NFEJBT Z EJTQFS-
siones de ambas firmas.

¿Por qué estudiar la dispersión? 67

Varianza muestral y desviación estándar

La fórmula para determinar la media poblacional es m 5 Sx N. Sencillamente, cambie los símbolos
EF MB NFEJB EF MB NVFTUSB FT EFDJS
x 5 Sx N. Por desgracia, la conversión de una varianza pobla-
cional en una varianza muestral no es tan directa. Requiere un cambio en el denominador. En lugar
de sustituir n (el número de la muestra) por N (el número de la población), el denominador es n 2 1.
Así, la fórmula de la varianza muestral es:

VARIANZA MUESTRAL s2 5 S ( x 2 x )2 [3.9]
n21

donde:

s2 FT MB WBSJBO[B NVFTUSBM
x FT FM WBMPS EF DBEB PCTFSWBDJÓO EF MB NVFTUSB
x FT MB NFEJB EF MB NVFTUSB
n es el número de observaciones realizadas.

¿Por qué se hizo este cambio en el denominador? Aunque el empleo de n se entiende en virtud
del uso de x para calcular m, esto tiende a subestimar la varianza poblacional, s2. La inclusión de
(n 2 1) en el denominador proporciona la corrección adecuada para esta tendencia. Como la aplica-
ción fundamental de estadísticos muestrales como s2 es calcular parámetros de población como s2,
se prefiere (n 2 1) en lugar de n para definir la varianza muestral. También se emplea esta convención
al calcular la desviación estándar de una muestra.

EJEMPLO

-PT TBMBSJPT QPS IPSB EF VOB NVFTUSB EF FNQMFBEPT EF NFEJP UJFNQP EF )PNF %FQPU TPO



Z EÓMBSFT y$VÃM FT MB WBSJBO[B EF MB NVFTUSB

SOLUCIÓN

-B WBSJBO[B EF MB NVFTUSB TF DBMDVMB DPO MB GÓSNVMB < >
S x

x 5 —— 5 ——— 5
n

Salario por hora x2x (x 2 x )2
(x )
2$5 25
$12 3 9
20 1
16 21 1
18 1 4
19 2
40
$85 0

S(x 2 x )2
s2 5 —————— 5 ————
n21 21

5 FO EÓMBSFT BM DVBESBEP

La desviación estándar de la muestra se utiliza para estimar la desviación estándar de la pobla-
ción. Como se hizo notar, la desviación estándar de la población es la raíz cuadrada de la varianza de
la población. Asimismo, la desviación estándar de la muestra es la raíz cuadrada de la varianza de la
muestra. La desviación estándar de la muestra se calcula con mayor facilidad de la siguiente manera:

DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE LA MUESTRA s 5 S ( x 2 x )2 [3.10]
n21

68 CAPÍTULO 3 Descripción de datos: medidas numéricas

EJEMPLO

-B WBSJBO[B EF MB NVFTUSB FO FM FKFNQMP BOUFSJPS
RVF JODMVZF TBMBSJPT QPS IPSB
TF DBMDVMÓ FO y$VÃM
es la desviación estándar?

SOLUCIÓN

-B EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB NVFTUSB FT EÓMBSFT
RVF TF EFUFSNJOB DPO 1 . Observe nueva-
mente que la varianza de la muestra se expresa en términos de dólares al cuadrado, pero al extraer
MB SBÎ[ DVBESBEB B TF PCUJFOF
RVF TF FODVFOUSB FO MBT NJTNBT VOJEBEFT EÓMBSFT
RVF MPT
datos originales.

Solución con software

&O FM FKFNQMP EF MB TFDDJÓO i4PMVDJÓO DPO TPGUXBSFu TF VUJMJ[Ó &YDFM QBSB EFUFSNJOBS MB NFEJB Z MB
NFEJBOB EF MPT EBUPT EF "QQMFXPPE "VUP (SPVQ Z QBSB QSFTFOUBS MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB NVFT-
USB $PNP MB NBZPSÎB EF MPT QBRVFUFT EF TPGUXBSF EF FTUBEÎTUJDB
&YDFM TVQPOF RVF MPT EBUPT DPSSFT-
ponden a una muestra.

-PT BÒPT EF TFSWJDJP EF VOB NVFTUSB EF TJFUF FNQMFBEPT FO MB PGJDJOB EF RVFKBT EF 4UBUF 'BSN *OTV-
SBODF
EF $MFWFMBOE
0IJP
TPO




Z y$VÃM FT MB WBSJBO[B EF MB NVFTUSB $BMDVMF MB
desviación estándar de la muestra.

AUTOEVALUACIÓN

38

EJERCICIOS &O MPT FKFSDJDJPT B
FGFDUÙF MP TJHVJFOUF

a. Calcule la varianza de la muestra.
b. Determine la desviación estándar de la muestra.

47. $POTJEFSF MPT TJHVJFOUFT WBMPSFT DPNP VOB NVFTUSB


Z
48. -PT TJHVJFOUFT DJODP WBMPSFT TPO VOB NVFTUSB


Z
49. Dave’s Automatic Door, que se mencionó en el ejercicio 37, instala puertas automáticas para coche-

ras. Con base en una muestra, los siguientes son los tiempos, en minutos, que se requieren para
JOTUBMBS QVFSUBT BVUPNÃUJDBT







Z
50. A la muestra de ocho compañías en la industria aeronáutica (ejercicio 38), se le aplicó una encuesta
SFGFSFOUF B TV SFDVQFSBDJÓO EF JOWFSTJÓO EFM BÒP BOUFSJPS -PT SFTVMUBEPT TPO MPT TJHVJFOUFT






Z

Interpretación y usos de la desviación estándar 69

51. La Asociación de Propietarios de Moteles de Houston, Texas, llevó a cabo una encuesta relativa a las Para la BASE DE DATOS
tarifas de los moteles entre semana en el área. Enseguida aparece la tarifa por cuarto para huéspe- visite www.mhhe.com/
EFT EF OFHPDJPT FO VOB NVFTUSB EF NPUFMFT uni/lind_ae16e

$101 $97 $103 $110 $78 $87 $101 $80 $106 $88

52. 6OB PSHBOJ[BDJÓO EF QSPUFDDJÓO BM DPOTVNJEPS TF PDVQB EF MBT EFVEBT EF MBT UBSKFUBT EF DSÊEJUP 6OB Para la BASE DE DATOS
FODVFTUB FOUSF BEVMUPT KÓWFOFT DPO VOB EFVEB FO TV MB UBSKFUB EF DSÊEJUP NBZPS B EÓMBSFT visite www.mhhe.com/
NPTUSÓ RVF FTUPT QBHBO FO QSPNFEJP VO QPDP NÃT EF EÓMBSFT NFOTVBMFT DPNP BCPOP B TVT uni/lind_ae16e
saldos. En la siguiente lista aparecen las sumas que cada adulto joven pagó el mes anterior.

$101 $97 $103 $110 $78 $87 $101 $80 $106 $88

Interpretación y usos de la desviación estándar

La desviación estándar normalmente se utiliza como medida para comparar la dispersión de dos o
más conjuntos de observaciones. Por ejemplo, se calcula que la desviación estándar de las sumas
RVJODFOBMFT JOWFSUJEBT FO FM QMBO EF SFQBSUP EF VUJMJEBEFT EF %VQSFF 4BJOU $PNQBOZ FT EF EÓ-
lares. Suponga que estos empleados se ubican en Georgia. Si la desviación estándar de un grupo de
FNQMFBEPT FO 5FYBT FT EF EÓMBSFT Z MBT NFEJBT TPO DBTJ MBT NJTNBT
FTUP JOEJDB RVF MBT TVNBT
invertidas por los empleados de Georgia no se encuentran tan dispersas como las de los empleados
FO 5FYBT ZB RVF ,
$PNP MBT TVNBT JOWFSUJEBT QPS MPT FNQMFBEPT EF (FPSHJB TF
acumulan más cerca de la media, su media es una medida más confiable que la del grupo de Texas.

Teorema de Chebyshev OA3-5
Explicar y aplicar el teo-
Ya se ha insistido en el hecho de que una desviación estándar pequeña de un conjunto de valores rema de Chebyshev y la
indica que estos se localizan cerca de la media. Por lo contrario, una desviación grande revela que regla empírica.
las observaciones se encuentran muy dispersas con respecto a la media. El matemático ruso P. L.
$IFCZTIFW
FTUBCMFDJÓ VO UFPSFNB RVF QFSNJUF EFUFSNJOBS MB NÎOJNB QPSDJÓO EF WBMPSFT ESTADÍSTICA
que se encuentran a cierta cantidad de desviaciones estándares de la media. Por ejemplo, de EN ACCIÓN
acuerdo con el teorema de Chebyshev, QPS MP NFOPT USFT EF DVBUSP WBMPSFT
P
EFCFO FODPO-
trarse entre la media más dos desviaciones estándares y la media menos dos desviaciones están- La mayoría de las univer-
dares. Esta relación se cumple independientemente de la forma de la distribución. Además, por lo sidades informan el ta-
NFOPT PDIP EF MPT OVFWF WBMPSFT

TF FODPOUSBSÃO B NÃT EF USFT EFTWJBDJPOFT FTUÃOEBSFT Z maño promedio de los
NFOPT USFT EFTWJBDJPOFT FTUÃOEBSFT EF MB NFEJB 1PS MP NFOPT EF WBMPSFT
P
TF FODPO- grupos. Esta información
trará entre más y menos cinco desviaciones estándares de la media. puede inducir a error por-
que el tamaño promedio
El teorema de Chebyshev establece lo siguiente: se determina de diversas
formas. Si calcula la canti-
TEOREMA DE CHEBYSHEV En cualquier conjunto de observaciones (muestra o población), la dad de estudiantes en
proporción de valores que se encuentran a k desviaciones estándares de la media es, por lo menos, cada clase en cierta uni-
de 1 2 k2, siendo k cualquier constante mayor que 1. versidad, el resultado es
la cantidad promedio de
EJEMPLO estudiantes por clase. Si
recaba una lista de tama-
La media aritmética de la suma quincenal que aportan los empleados de Dupree Saint al plan de re- ños de grupos y calcula el
QBSUP EF VUJMJEBEFT EF MB DPNQBÒÎB FT EF EÓMBSFT Z MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS
EF EÓMBSFT y1PS tamaño de grupo prome-
MP NFOPT RVÊ QPSDFOUBKF EF MBT BQPSUBDJPOFT TF FODVFOUSB B NÃT EF EFTWJBDJPOFT FTUÃOEBSFT Z B dio, podría hallar que la
NFOPT EFTWJBDJPOFT EF MB NFEJB media es muy diferente.
Una escuela descubrió
SOLUCIÓN que el promedio de estu-
diantes en cada una de
"MSFEFEPS EF
RVF TF EFUFSNJOB EF MB TJHVJFOUF NBOFSB sus 747 clases era de 40.

5 11 5 1 5 (continúa)
1 —k—2 5 1 2 — — — —
2 1 2 ————

70 CAPÍTULO 3 Descripción de datos: medidas numéricas

(continuación) La regla empírica

Pero cuando calculó la &M UFPSFNB EF $IFCZTIFW TF SFMBDJPOB DPO DVBMRVJFS DPOKVOUP EF WBMPSFT FT EFDJS
MB EJTUSJCVDJÓO EF
media a partir de una lista valores puede tener cierta forma. Sin embargo, en cualquier distribución simétrica con forma de cam-
de tamaños de grupo, pana, como se muestra en la gráfica 3.7, es posible ser más precisos al explicar la dispersión en torno
esta resultó ser de 147. a la media. Estas relaciones implican la desviación estándar y la media, y se encuentran descritas
¿Por qué la discrepancia? en la regla empírica, a veces denominada regla normal.
Hay menos estudiantes
en los grupos pequeños y REGLA EMPÍRICA En cualquier distribución de frecuencias simétrica con forma de campana,
una gran cantidad de es- BQSPYJNBEBNFOUF EF MBT PCTFSWBDJPOFT TF FODPOUSBSÃO FOUSF NÃT Z NFOPT VOB EFTWJBDJÓO FT-
tudiantes en los grupos UÃOEBS EF MB NFEJB DFSDB EF EF MBT PCTFSWBDJPOFT TF FODPOUSBSÃO FOUSF NÃT Z NFOPT EPT EFT-
grandes, lo cual tiene el WJBDJPOFT FTUÃOEBSFT EF MB NFEJB Z
EF IFDIP
UPEBT
FTUBSÃO FOUSF NÃT Z NFOPT USFT EFTWJB-
efecto de incrementar el ciones estándares de la media.
tamaño promedio de los
grupos cuando se calcula Estas relaciones se representan en la gráfica 3.7 en el
de esta manera. Una uni- caso de una distribución con forma de campana con
versidad podría reducir su VOB NFEJB EF Z VOB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF
tamaño promedio de
grupo si reduce el nú- Aplicando la regla empírica, si una distribución es
mero de estudiantes en simétrica y tiene forma de campana, todas las observa-
cada grupo. Esto significa ciones se encuentran entre la media más y menos tres
eliminar las cátedras en desviaciones estándares. Por consiguiente, si x 5 Z
las que hay muchos estu- s 5
UPEBT MBT PCTFSWBDJPOFT TF FODVFOUSBO FOUSF
diantes de primer grado. 1
Z 2

P Z 1PS UBOUP
FM SBO-
HP FT EF
RVF TF DBMDVMB SFTUBOEP 2
70 80 90 100 110 120 130
68% 1PS FM DPOUSBSJP
TJ TBCF RVF FM SBOHP FT EF
QVF-
95% de aproximar la desviación estándar dividiendo el rango
99.7% FOUSF &O FTUF DBTP SBOHP 4 5 4 5 FT
decir, la desviación estándar.
GRÁFICA 3.7 Curva simétrica con forma de
campana que muestra las relaciones entre la
desviación estándar y las observaciones

EJEMPLO

6OB NVFTUSB EF UBSJGBT EF SFOUB EF MPT EFQBSUBNFOUPT EF 6OJWFSTJUZ 1BSL TF BTFNFKB B VOB EJTUSJCV-
DJÓO TJNÊUSJDB DPO GPSNB EF DBNQBOB -B NFEJB EF MB NVFTUSB FT EF EÓMBSFT MB EFTWJBDJÓO FT-
UÃOEBS
EF %F BDVFSEP DPO MB SFHMB FNQÎSJDB DPOUFTUF MBT TJHVJFOUFT QSFHVOUBT

1. y&OUSF RVÊ EPT DBOUJEBEFT TF FODVFOUSB BQSPYJNBEBNFOUF EF MPT HBTUPT NFOTVBMFT FO
alimentos?

2. y&OUSF RVÊ EPT DBOUJEBEFT TF FODVFOUSB BMSFEFEPS EF EF MPT HBTUPT NFOTVBMFT FO BMJNFO-
tos?

3. ¿Entre qué dos cantidades se encuentran casi todos los gastos mensuales en alimentos?

SOLUCIÓN

1. $FSDB EF TF FODVFOUSB FOUSF Z EÓMBSFT
DBMDVMBEP EF MB TJHVJFOUF NBOFSB x 6 1s
5 6


2. "QSPYJNBEBNFOUF TF FODVFOUSB FOUSF Z EÓMBSFT
DBMDVMBEP EF MB TJHVJFOUF NBOFSB
x 6 2s 5 6


3. $BTJ UPEBT
TF FODVFOUSB FOUSF Z EÓMBSFT
DBMDVMBEP EF MB TJHVJFOUF NBOFSB x 6
3s 5 6


AUTOEVALUACIÓN Pitney Pipe Company es un fabricante estadounidense de tubos de PVC. El departamento de control
EF DBMJEBE UPNÓ VOB NVFTUSB EF UVCPT EF QJFT EF MPOHJUVE " VOB EJTUBODJB EF VO QJF EFM
39 FYUSFNP EFM UVCP
TF NJEJÓ FM EJÃNFUSP FYUFSOP -B NFEJB GVF EF QVMHBEBT Z MB EFTWJBDJÓO FTUÃO-
EBS
EF QVMHBEBT
(a) Si no conoce la forma de la distribución, ¿por lo menos qué porcentaje de las observaciones se

FODPOUSBSÃ FOUSF Z QVMHBEBT
(b) Si supone que la distribución de los diámetros es simétrica y tiene forma de campana, ¿entre

RVÊ EPT WBMPSFT TF FODPOUSBSÃ BQSPYJNBEBNFOUF EF MBT PCTFSWBDJPOFT

Media y desviación estándar de datos agrupados 71
EJERCICIOS
53. De acuerdo con el teorema de Chebyshev, ¿por lo menos qué porcentaje de cualquier conjunto de
observaciones se encontrará a 1.8 desviaciones estándares de la media?

54. &M JOHSFTP NFEJP EF VO HSVQP EF PCTFSWBDJPOFT EF VOB NVFTUSB FT EF EÓMBSFT MB EFTWJBDJÓO
FTUÃOEBS FT EF EÓMBSFT %F BDVFSEP DPO FM UFPSFNB EF $IFCZTIFW
yQPS MP NFOPT RVÊ QPSDFOUBKF
EF JOHSFTPT TF FODPOUSBSÃ FOUSF Z EÓMBSFT

55. -B EJTUSJCVDJÓO EF QFTPT EF VOB NVFTUSB EF DPOUFOFEPSFT EF DBSHB FT TJNÊUSJDB Z UJFOF GPSNB
de campana. Considere la regla empírica para determinar qué porcentaje de pesos se encontrará entre:
a. x 2 2s y x 1 2s
b. x y x 1 2s; debajo de x 2 2s.

56. La siguiente gráfica representa la distribución del número de refrescos tamaño gigante que vendió un
SFTUBVSBOUF 8FOEZ T MPT ÙMUJNPT EÎBT -B DBOUJEBE QSPNFEJP EF SFGSFTDPT WFOEJEPT QPS EÎB FT EF
Z MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS
EF

90 100
Ventas

4J VUJMJ[B MB SFHMB FNQÎSJDB
yFOUSF DVÃMFT EPT WBMPSFT EF EF MPT EÎBT TF FODPOUSBSÃO MBT WFOUBT
y&OUSF DVÃMFT EPT WBMPSFT EF EF MPT EÎBT TF FODPOUSBSÃO MBT WFOUBT

Media y desviación estándar de datos agrupados OA3-6
Calcular la media y la
La mayoría de las medidas de ubicación, como la media, y las medidas de dispersión, como la des- desviación estándar de
WJBDJÓO FTUÃOEBS
TF EFUFSNJOBO VUJMJ[BOEP WBMPSFT JOEJWJEVBMFT -PT QBRVFUFT EF TPGUXBSF EF FTUB- datos agrupados.
dística facilitan el cálculo de estos valores, incluso en el caso de conjuntos grandes de datos. Sin
embargo, algunas veces solo se cuenta con la distribución de frecuencias y se desea calcular la ESTADÍSTICA
media o la desviación estándar. A continuación se le explicará cómo calcular la media y la desviación EN ACCIÓN
estándar a partir de datos organizados en una distribución de frecuencias. Hay que insistir en que
una media o una desviación estándar de datos agrupados es una estimación de los valores reales Buster Posey, de los Gi-
correspondientes. gantes de San Francisco,
ostentó el máximo pro-
Media aritmética de datos agrupados medio de bateo (0.336)
durante la temporada
Para aproximar la media aritmética de datos organizados en una distribución de frecuencia, comien- 2012 de las Ligas Mayores
ce suponiendo que las observaciones en cada clase se representan a través del punto medio de la de Béisbol. Tony Gwynn
clase. La media de una muestra de datos organizados en una distribución de frecuencias se calcula bateó 0.394 en la tempo-
de la siguiente manera: rada 1994, en la que
hubo pocos strikes, y Ted
MEDIA ARITMÉTICA x 5 S fM [3.11] Williams bateó 0.406 en
DE DATOS AGRUPADOS n 1941. Nadie ha bateado
arriba de 0.400 desde
donde: 1941. El promedio de
bateo se ha mantenido
x EFTJHOB MB NFEJB NVFTUSBM constante alrededor de
M FT FM QVOUP NFEJP EF DBEB DMBTF 0.260 durante más de
f FT MB GSFDVFODJB FO DBEB DMBTF 100 años, pero la des-
fM FT MB GSFDVFODJB FO DBEB DMBTF NVMUJQMJDBEB QPS FM QVOUP NFEJP EF MB DMBTF viación estándar se re-
SfM FT MB TVNB EF FTUPT QSPEVDUPT dujo de 0.049 a 0.031.
n es el número total de frecuencias. Esto indica que hay me-
nos dispersión en el

(continúa)

72 CAPÍTULO 3 Descripción de datos: medidas numéricas

(continuación) EJEMPLO

promedio de bateo de Los cálculos de la media aritmética de datos agrupados en una distribución de frecuencias que apa-
hoy y permite explicar SFDFO FOTFHVJEB TF CBTBO FO MPT EBUPT EF MBT HBOBODJBT EF "QQMFXPPE "VUP (SPVQ 3FDVFSEF RVF
que no haya bateadores en el capítulo 2, tabla 2.7, página 27, construyó una distribución de frecuencias de precios de venta
con promedio de 0.400 de vehículos. La información se repite abajo. Determine la ganancia media aritmética por vehículo.
recientemente.
Ganancia Frecuencia

$ 200 hasta $ 600 8
600 hasta 1 000 11
23
1 000 hasta 1 400 38
1 400 hasta 1 800 45
1 800 hasta 2 200 32
2 200 hasta 2 600 19
2 600 hasta 3 000 4
3 000 hasta 3 400
180
Total

SOLUCIÓN

La ganancia media de los vehículos se calcula a partir de datos agrupados en una distribución de
frecuencias. Para calcular la media, suponga que el punto medio de cada clase es representativo
de los valores incluidos en dicha clase. Recuerde que el punto medio de una clase se encuentra a la
mitad de los límites de dos clases consecutivas. Para determinar el punto medio de una clase en
particular, sume los límites de clase superior e inferior y divida entre 2. Por consiguiente, el punto
NFEJP EF MB QSJNFSB DMBTF FT EÓMBSFT
RVF TF DBMDVMB DPO MB PQFSBDJÓO 1
4VQPOHB
RVF FM WBMPS EF EÓMBSFT FT SFQSFTFOUBUJWP EF MPT PDIP WBMPSFT JODMVJEPT FO EJDIB DMBTF &O PUSBT
QBMBCSBT
TF BTVNF RVF MB TVNB EF MPT PDIP WBMPSFT FO FTUB DMBTF FT EF EÓMBSFT
RVF TF DBMDV-
MB QPS NFEJP EFM QSPEVDUP
$POUJOÙF DPO FM QSPDFTP EF NVMUJQMJDBDJÓO EFM QVOUP NFEJP EF
clase por la frecuencia de clase de cada clase y enseguida sume estos productos. Los resultados se
resumen en la tabla 3.1.

TABLA 3.1 Ganancia sobre los 180 vehículos que se vendieron el mes anterior en Applewood Auto Group

Ganancia Frecuencia (f ) Punto medio (M ) fM

$ 200 hasta $ 600 8 $ 400 $ 3 200
600 hasta 1 000 11 800 8 800
23 27 600
1 000 hasta 1 400 38 1 200 60 800
1 400 hasta 1 800 45 1 600 90 000
1 800 hasta 2 200 32 2 000 76 800
2 200 hasta 2 600 19 2 400 53 200
2 600 hasta 3 000 4 2 800 12 800
3 000 hasta 3 400 3 200
180 $333 200
Total

"M EFTQFKBS MB NFEJB BSJUNÊUJDB EF MB GÓSNVMB < > TF PCUJFOF
S fM

x 5 ——— 5 ——————— 5
n

"TÎ
TF DPODMVZF RVF MB HBOBODJB NFEJB QPS WFIÎDVMP FT EF BQSPYJNBEBNFOUF EÓMBSFT

Desviación estándar de datos agrupados

Para calcular la desviación estándar de datos agrupados en una distribución de frecuencias es ne-
DFTBSJP BKVTUBS MJHFSBNFOUF MB GÓSNVMB < > 1POEFSF DBEB VOB EF MBT EJGFSFODJBT DVBESBEBT QPS FM
número de frecuencias en cada clase. La fórmula es:

Media y desviación estándar de datos agrupados 73

DESVIACIÓN ESTÁNDAR, DATOS AGRUPADOS s 5 Sf(M 2x )2 [3.12]
n21

donde:

s FT FM TÎNCPMP EF MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB NVFTUSB
M FT FM QVOUP NFEJP EF MB DMBTF
f FT MB GSFDVFODJB EF DMBTF
n FT FM OÙNFSP EF PCTFSWBDJPOFT FO MB NVFTUSB
x designa la media muestral.

EJEMPLO

$POTVMUF MB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT EF MPT EBUPT EF MB HBOBODJB EF "QQMFXPPE "VUP (SPVQ RVF TF
muestran en la tabla 3.1, página 72. Calcule la desviación estándar de las ganancias que generó cada
vehículo.

SOLUCIÓN

De acuerdo con la misma técnica que se empleó para calcular la media de los datos agrupados en
una distribución de frecuencias, f es la frecuencia de clase, M es el punto medio de clase y n es el
número de observaciones.

Ganancia Frecuencia (f ) Punto medio (M ) fM (M 2 x ) (M 2 x )2 f (M 2 x )2

$ 200 hasta $ 600 8 400 3 200 21 451 2 105 401 16 843 208
600 hasta 1 000 11 800 8 800 21 051 1 104 601 12 150 611
23 1 200 27 600 9 747 423
1 000 hasta 1 400 38 1 600 60 800 2651 423 801 2 394 038
1 400 hasta 1 800 45 2 000 90 000 2251 63 001
1 800 hasta 2 200 32 2 400 76 800 22 201 999 045
2 200 hasta 2 600 19 2 800 53 200 149 301 401 9 644 832
2 600 hasta 3 000 4 3 200 12 800 549 900 601 17 111 419
3 000 hasta 3 400 949 1 819 801 7 279 204
1 349
76 169 780
Total 180 333 200

Para determinar la desviación estándar:

Paso 1: reste la media del punto medio de clase. Es decir, encuentre (M 2 x ). Para la primera clase
2 5 2
QBSB MB TFHVOEB 2 5 2

Z BTÎ FO MP TVDF-
sivo.

Paso 2: eleve al cuadrado la diferencia entre el punto medio de clase y la media. En el caso de la
QSJNFSB DMBTF TFSÎB 2
2 5 FO FM EF MB TFHVOEB 2
2 5

Z BTÎ FO MP TVDFTJWP

Paso 3: multiplique la diferencia al cuadrado entre el punto medio de clase y la media por la frecuen-
DJB EF DMBTF &O FM DBTP EF MB QSJNFSB DMBTF FM WBMPS FT 2
2 5 FO
FM EF MB TFHVOEB 2
2 5
Z BTÎ TVDFTJWBNFOUF

Paso 4: sume f (M 2 x )2 &M UPUBM FT 1BSB EFUFSNJOBS MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS
JOTFSUF FTUPT
WBMPSFT FO MB GÓSNVMB < >

s 5 S f(M 2x )2 5 76 169 780 5 652.33
n21 180 2 1

Por lo general, la media y la desviación estándar que se calculan a partir de datos agrupados en
una distribución de frecuencias se encuentran cerca de los valores calculados a partir de los datos en
bruto. Los datos agrupados originan la pérdida de alguna información. En el ejemplo de la ganancia
QPS WFIÎDVMP
MB HBOBODJB NFEJB RVF BQBSFDF FO MB IPKB EF &YDFM EFM FKFNQMP EF MB TFDDJÓO i4PMVDJÓO
DPO TPGUXBSFu FT EF EÓMBSFT Z MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS
EF EÓMBSFT -PT WBMPSFT SFT-
QFDUJWPT DBMDVMBEPT B QBSUJS EF EBUPT BHSVQBEPT FO VOB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT TPO Z
EÓMBSFT -B EJGFSFODJB FOUSF MBT NFEJBT FT EF EÓMBSFT P
BQSPYJNBEBNFOUF
-BT
EFTWJBDJPOFT FTUÃOEBSFT EJGJFSFO FO EÓMBSFT P $PO CBTF FO MB EJGFSFODJB QPSDFOUVBM
MBT
aproximaciones se acercan mucho a los valores reales.

74 CAPÍTULO 3 Descripción de datos: medidas numéricas

Los ingresos netos de una muestra de grandes importadores de antigüedades se organizaron en la
siguiente tabla:

AUTOEVALUACIÓN Ingreso neto Número
(millones de dólares) de importadores
310
2 hasta 6 1
6 hasta 10 4
10 hasta 14 10
14 hasta 18 3
18 hasta 22 2

(a) ¿Qué nombre recibe la tabla?
(b) Con base en la distribución, ¿cuál es el cálculo aproximado del ingreso neto medio aritmético?
(c) Con base en la distribución, ¿cuál es el cálculo aproximado de la desviación estándar?

EJERCICIOS 57. Al calcular la media de una distribución de frecuencia, ¿por qué se hace referencia a esta como una
media aproximada?

58. Determine la media y la desviación estándar de la siguiente distribución de frecuencias.

Clase Frecuencia

0 hasta 5 2
5 hasta 10 7
10 hasta 15 12
15 hasta 20 6
20 hasta 25 3

59. Determine la media y la desviación estándar de la siguiente distribución de frecuencias.

Clase Frecuencia

20 hasta 30 7
30 hasta 40 12
40 hasta 50 21
50 hasta 60 18
60 hasta 70 12

60. 4$$PBTU
VO QSPWFFEPS EF JOUFSOFU EFM TVSFTUF EF &TUBEPT 6OJEPT
FMBCPSÓ VOB EJTUSJCVDJÓO EF GSF-
cuencias sobre la edad de los usuarios de internet. Determine la media y la desviación estándar.

Edad (años) Frecuencia

10 hasta 20 3
20 hasta 30 7
30 hasta 40 18
40 hasta 50 20
50 hasta 60 12

61. &M *34 *OUFSOBM 3FWFOVF 4FSWJDF
estaba interesado en el número de formas fiscales individuales que
QSFQBSBO MBT QFRVFÒBT FNQSFTBT EF DPOUBCJMJEBE &M *34 UPNÓ VOB NVFTUSB BMFBUPSJB EF FNQSFTBT
EF DPOUBCJMJEBE QÙCMJDB DPO P NÃT FNQMFBEPT RVF PQFSBO FO MB [POB EF %BMMBT 'PSU 8PSUI &O MB
siguiente tabla de frecuencias se muestran los resultados del estudio. Calcule la media y la desvia-
ción estándar.

Cantidad Frecuencia
de clientes

20 hasta 30 1
30 hasta 40 15
40 hasta 50 22
50 hasta 60 8
60 hasta 70 4

Resumen del capítulo 75

62. Los gastos en publicidad constituyen un elemento significativo del costo de los artículos vendidos.
&OTFHVJEB BQBSFDF VOB EJTUSJCVDJÓO EF GSFDVFODJBT RVF NVFTUSB MPT HBTUPT FO QVCMJDJEBE EF
DPNQBÒÎBT NBOVGBDUVSFSBT VCJDBEBT FO FM TVSPFTUF EF &TUBEPT 6OJEPT $BMDVMF MB NFEJB Z MB EFTWJB-
ción estándar de los gastos en publicidad.

Gastos en publicidad Número de
(millones de dólares) compañías

25 hasta 35 5
35 hasta 45 10
45 hasta 55 21
55 hasta 65 16
65 hasta 75
8
Total
60

Ética e informe de resultados

En el capítulo 1 se analizó la manera de informar resultados estadísticos con ética e imparcialidad.
Aunque usted está aprendiendo a organizar, resumir e interpretar datos mediante la estadística,
también es importante que comprenda esta disciplina para que se convierta en un consumidor in-
teligente de información.

En este capítulo se demostró la forma de calcular estadísticas descriptivas de naturaleza nu-
mérica. En particular, la manera de calcular e interpretar medidas de ubicación de un conjunto de
datos: la media, la mediana y la moda. También se estudiaron las ventajas y desventajas de cada
estadístico. Por ejemplo, si un agente de bienes raíces le dice a un cliente que la casa promedio de
EFUFSNJOBEB QBSDFMB TF WFOEJÓ FO EÓMBSFT
RVJ[Ã TVQPOHB RVF EÓMBSFT FT VO QSFDJP
de venta representativo de todas las casas. Pero si el cliente pregunta, además, cuál es la mediana
EFM QSFDJP EF WFOUB Z SFTVMUB TFS EÓMBSFT
yQPS RVÊ FM BHFOUF JOGPSNÓ TPMP FM QSFDJP QSPNF-
dio? Esta información es de suma importancia cuando una persona toma la decisión de comprar
una casa. Conocer las ventajas y desventajas de la media, la mediana y la moda es importante al
dar un informe estadístico y cuando se emplea información estadística para tomar decisiones.

También se expuso cómo calcular medidas de dispersión: el rango, la desviación media y la
desviación estándar. Cada uno de estos estadísticos tiene ventajas y desventajas. Recuerde que el
rango proporciona información sobre la dispersión total de una distribución. Sin embargo, no apor-
ta información acerca de la forma en que se acumulan los datos o se concentran en torno al centro
de la distribución. Conforme aprenda más estadística, necesitará recordar que cuando emplee esta
disciplina deberá mantener un punto de vista independiente y basado en principios. Cualquier infor-
me estadístico requiere la comunicación honesta y objetiva de los resultados.

RESUMEN DEL CAPÍTULO

I. 6OB NFEJEB EF VCJDBDJÓO FT VO WBMPS RVF TJSWF QBSB EFTDSJCJS FM DFOUSP EF VO DPOKVOUP EF EBUPT
A. La media aritmética es la medida de ubicación que más se informa.
1. Se calcula mediante la suma de los valores de las observaciones, que luego se divide entre el
número total de observaciones.
a. La fórmula de una media poblacional de datos no agrupados o en bruto es:

Sx [3.1]
m 5 ——

N

b. La fórmula de la media muestral es

Sx [3.2]
x 5 ———

n

c. La fórmula de la media muestral en una distribución de frecuencias es

S fM [3.11]
x 5 ———

n

76 CAPÍTULO 3 Descripción de datos: medidas numéricas

2. Las principales características de la media aritmética son:
a. Por lo menos se requiere la escala de medición de intervalo.
b. Todos los valores de los datos se incluyen en el cálculo.
c. 6O DPOKVOUP EF EBUPT TPMP QPTFF VOB NFEJB &T EFDJS
FT ÙOJDB
d. -B TVNB EF MBT EFTWJBDJPOFT EF MB NFEJB FT JHVBM B

B. La mediana es el valor que se encuentra al centro de un conjunto de datos ordenados.
1. Para determinar la mediana se ordenan las observaciones de menor a mayor y se identifica el
valor intermedio.
2. Las principales características de la mediana son:
a. Se requiere al menos la escala ordinal de medición.
b. /P JOGMVZFO TPCSF FTUB WBMPSFT FYUSFNPT
c. Cincuenta por ciento de las observaciones son más grandes que la mediana.
d. Es única de un conjunto de datos.

C. La moda es el valor que se presenta con mayor frecuencia en un conjunto de datos.
1. La moda se determina en el caso de datos de nivel nominal.
2. 6O DPOKVOUP EF EBUPT QVFEF UFOFS NÃT EF VOB NPEB

D. La media ponderada se encuentra al multiplicar cada observación por su correspondiente ponde-
ración.
1. La fórmula para determinar la media ponderada es:

xw 5 —w—1—x1w—11—1—w—2wx—22—11——ww—33x1—3 —1…—…—1—1w——nw—nx—n [3.3]

E. La media geométrica es la enésima raíz del producto de n valores positivos.
1. La fórmula de la media geométrica es:

GM 5 #n (x1)(x2)(x3) … (xn) [3.4]

2. La media geométrica también se emplea para determinar la razón de cambio de un periodo a
otro.

GM 5 n Valor al final del periodo 21 [3.5]
Å Valor al principio del periodo

3. La media geométrica siempre es igual o menor que la media aritmética.
II. La dispersión es la variación o propagación en un conjunto de datos.

A. El rango es la diferencia entre el valor máximo y el mínimo en un conjunto de datos.
1. La fórmula del rango es la siguiente:

Rango 5 valor máximo 2 valor mínimo [3.6]

2. Las principales características del rango son:
a. Solo se emplean dos valores en su cálculo.
b. Recibe la influencia de los valores extremos.
c. Es fácil de calcular y definir.

B. La varianza es la media de las desviaciones al cuadrado de la media aritmética.
1. La fórmula de la varianza de la población es:

s2 5 S(x 2 m )2 [3.7]
—————— [3.9]
N

2. La fórmula de la varianza muestral es:

S(x 2 x )2
s2 5 ——————

n21

3. Las principales características de la varianza son:
a. Todas las observaciones se utilizan para realizar el cálculo.
b. Resulta de alguna manera difícil trabajar con las unidades, pues son las unidades originales
elevadas al cuadrado.

C. La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza.
1. Las principales características de la desviación estándar son:
a. Se expresa en las mismas unidades de los datos originales.
b. Es la raíz cuadrada de la distancia promedio al cuadrado de la media.
c. /P QVFEF TFS OFHBUJWB
d. Es la medida de dispersión que se informa con más frecuencia.