Métodos de muestreo 227
Número de Dirección Tipo Número de Dirección Tipo
identificación Nombre M/Q identificación Nombre
10500 Montgomery M/Q
00 Bethesda North Cincinnati, Ohio 45242 M/Q 15 Providence Hospital 2446 Kipling Avenue M/Q
630 Eaton Avenue M/Q
01 Ft. Hamilton–Hughes Hamilton, Ohio 45013 M/Q Cincinnati, Ohio 45239
4700 East Galbraith Rd. M/Q
02 Jewish Hospital– Cincinnati, Ohio 45236 M/Q 16 St. Francis– 3131 Queen City Avenue M/Q
Kenwood 3000 Mack Road M/Q
Fairfield, Ohio 45014 M/Q St. George Hospital Cincinnati, Ohio 45238
03 Mercy Hospital– 100 Riverfront Plaza M/Q
Fairfield Hamilton, Ohio 45011 M/Q 17 St. Elizabeth Medical 401 E. 20th Street M/Q
105 McKnight Drive M/Q
04 Mercy Hospital– Middletown, Ohio 45044 M/Q Center, North Unit Covington, Kentucky 41014
Hamilton 3000 Hospital Drive M/Q
Batavia, Ohio 45103 M/Q 18 St. Elizabeth Medical One Medical Village M/Q
05 Middletown 7500 State Road
Regional Cincinnati, Ohio 45255 Center, South Unit Edgewood, Kentucky 41017
619 Oak Street
06 Clermont Mercy Cincinnati, Ohio 45206 19 St. Luke’s Hospital 7380 Turfway Drive M/Q
Hospital 3333 Burnet Avenue
Cincinnati, Ohio 45229 West Florence, Kentucky 41075
07 Mercy Hospital– 2139 Auburn Avenue
Anderson Cincinnati, Ohio 45219 20 St. Luke’s Hospital 85 North Grand Avenue M/Q
311 Straight Street
08 Bethesda Oak Cincinnati, Ohio 45219 East Ft. Thomas, Kentucky 41042
Hospital 375 Dixmyth Avenue
Cincinnati, Ohio 45220 21 Care Unit Hospital 3156 Glenmore Avenue E
09 Children’s Hospital 3200 Burnet Avenue
Medical Center Cincinnati, Ohio 45229 Cincinnati, Ohio 45211
234 Goodman Street
10 Christ Hospital Cincinnati, Ohio 45267 22 Emerson Behavioral 2446 Kipling Avenue E
11 Deaconess Science Cincinnati, Ohio 45239
Hospital
23 Pauline Warfield 1101 Summit Road E
12 Good Samaritan
Hospital Lewis Center for Cincinnati, Ohio 45237
13 Jewish Hospital Psychiatric Treat.
14 University Hospital 24 Children’s Psychiatric 502 Farrell Drive E
No. Kentucky Covington, Kentucky 41011
25 Drake Center Rehab— 151 W. Galbraith Road E
Long Term Cincinnati, Ohio 45216
26 No. Kentucky Rehab 201 Medical Village E
Hospital—Short Term Edgewood, Kentucky
27 Shriners Burns 3229 Burnet Avenue E
Institute Cincinnati, Ohio 45229
28 VA Medical Center 3200 Vine E
Cincinnati, Ohio 45220
c. Una muestra consta de cada quinto establecimiento, y el número 02 se selecciona como punto de
partida, ¿qué hospitales se incluirán en la muestra?
d. Una muestra consta de cuatro hospitales médicos y quirúrgicos, y uno de especialidades. Selec-
cione una muestra adecuada.
3. Abajo se muestra una lista de los 35 miembros de la Metro Toledo Automobile Dealers Association.
Calcule el ingreso medio de los departamentos de servicios de los distribuidores. Los miembros se
identifican con números 00 hasta 34.
a. Seleccione una muestra aleatoria de doce distribuidores. Los números aleatorios son: 05, 20, 59,
21, 31, 28, 49, 38, 66, 08, 29 y 02, ¿qué distribuidores se incluirán en la muestra?
b. Utilice una tabla de números aleatorios para seleccionar su propia muestra de cinco distribuidores.
Número de Distribuidor Número de Número de
identificación identificación Distribuidor identificación Distribuidor
Dave White Acura
00 Autofair Nissan 11 Thayer Chevrolet/Toyota 23 Kistler Ford, Inc.
01 Autofair Toyota-Suzuki 12 Spurgeon Chevrolet Motor Sales, Inc. 24 Lexus of Toledo
02 George Ball’s Buick GMC Truck 13 Dunn Chevrolet 25 Mathews Ford Oregon, Inc.
03 Yark Automotive Group 14 Don Scott Chevrolet 26 Northtowne Chevrolet
04 Bob Schmidt Chevrolet 15 Dave White Chevrolet Co. 27 Quality Ford Sales, Inc.
05 Bowling Green Lincoln Mercury 16 Dick Wilson Infinity 28 Rouen Chrysler Jeep Eagle
06 Jeep Eagle 17 Doyle Buick 29 Saturn of Toledo
Brondes Ford 18 Franklin Park Lincoln Mercury 30 Ed Schmidt Jeep Eagle
07 Brown Honda 19 Genoa Motors 31 Southside Lincoln Mercury
08 Brown Mazda 20 Great Lakes Ford Nissan 32 Valiton Chrysler
09 Charlie’s Dodge 21 Grogan Towne Chrysler 33 Vin Divers
10 22 Hatfield Motor Sales 34 Whitman Ford
228 CAPÍTULO 8 Métodos de muestreo y teorema central del límite
c. Una muestra consta de cada séptimo distribuidor, y el número 04 se selecciona como punto de
partida, ¿qué distribuidores se incluirán en la muestra?
4. Enseguida se enumeran los 27 agentes de seguros de Nationwide Insurance en el área metropolitana
de Toledo, Ohio. Los agentes se identifican con los números 00 hasta 26. Calcule el promedio de
años que han laborado en Nationwide.
Número de Número de Número de
identificación Agente identificación Agente identificación Agente
00 Bly Scott 3332 W Laskey Rd 10 Heini Bernie 7110 W Centra 19 Riker Craig 2621 N Reynolds Rd
20 Schwab Dave 572 W Dussel Dr
01 Coyle Mike 5432 W Central Av 11 Hinckley Dave 21 Seibert John H 201 S Main
22 Smithers Bob 229 Superior St
02 Denker Brett 7445 Airport Hwy 14 N Holland Sylvania Rd 23 Smithers Jerry 229 Superior St
24 Wright Steve 105 S Third St
03 Denker Rollie 7445 Airport Hwy 12 Joehlin Bob 3358 Navarre Av 25 Wood Tom 112 Louisiana Av
26 Yoder Scott 6 Willoughby Av
04 Farley Ron 1837 W Alexis Rd 13 Keisser David 3030 W Sylvania Av
05 George Mark 7247 W Central Av 14 Keisser Keith 5902 Sylvania Av
06 Gibellato Carlo 6616 Monroe St 15 Lawrence Grant 342 W Dussel Dr
07 Glemser Cathy 5602 Woodville Rd 16 Miller Ken 2427 Woodville Rd
08 Green Mike 4149 Holland Sylvania Rd 17 O’Donnell Jim 7247 W Central Av
09 Harris Ev 2026 Albon Rd 18 Priest Harvey 5113 N Summit St
a. Seleccione una muestra aleatoria de nueve agentes. Los números aleatorios son: 02, 59, 51, 25,
14, 29, 77, 69 y 18, ¿qué agentes se incluirán en la muestra?
b. Utilice una tabla de números aleatorios para seleccionar su propia muestra de cuatro agentes.
c. Una muestra consta de cada séptimo distribuidor, y el número 04 se selecciona como punto de
partida, ¿qué agentes se incluirán en la muestra?
OA8-2 “Error” de muestreo
Definir un error de
muestreo. En la sección anterior se estudiaron métodos de muestreo útiles para seleccionar una muestra que
constituya una representación imparcial, o sin sesgos, de la población. Es importante señalar que, en
cada método, la selección de cualquier posible muestra de determinado tamaño de una población
tiene una posibilidad conocida que constituye otra forma de describir un método de muestreo sin
sesgo.
Las muestras se emplean para determinar características de la población. Por ejemplo, con la
media de una muestra se calcula la media de la población; no obstante, como la muestra forma
parte o es una porción representativa de la población, es poco probable que su media sea exacta-
mente igual a la de la población. Asimismo, es poco factible que la desviación estándar de la mues-
tra sea exactamente igual a la de la población; por lo tanto, se puede esperar una diferencia entre
un estadístico de la muestra y el parámetro de la población correspondiente; la cual recibe el nom-
bre de error de muestreo.
ERROR DE MUESTREO Diferencia entre el estadístico de una muestra y el parámetro de la po-
blación correspondiente.
En el siguiente ejemplo se aclara el concepto de error de muestreo.
EJEMPLO
Revise el ejemplo anterior de la sección “Muestreo aleatorio simple”, en el que se estudió el número
de habitaciones rentadas en Foxtrot Inn, en Tryon, Carolina del Norte. La población se refiere al nú-
mero de habitaciones rentadas durante cada uno de los 30 días de junio de 2013. Determine la media
de la población. Utilice Excel u otro software de estadística para seleccionar tres muestras aleatorias
de cinco días. Calcule la media de cada muestra y compárela con la media poblacional. ¿Cuál es el
error de muestreo en cada caso?
Distribución muestral de la media 229
SOLUCIÓN
Durante el mes se rentaron un total de 94 habitaciones. Por lo tanto, la media de las unidades que se
rentaron por noche es de 3.13. Esta es la media de la población cuyo valor se designa con la letra
griega m. m 5 Sx 5 0 1 2 1 3 1 … 1 3 5 94 5 3.13
N 30 30
La primera muestra aleatoria de cinco noches dio como resultado el siguiente número de habitacio-
nes rentadas: 4, 7, 4, 3 y 1. La media de esta muestra de cinco noches es de 3.8 habitaciones, que
se representa como x1. La barra sobre la x recuerda que se trata de una media muestral, y el subín-
dice 1 indica que se trata de la media de la primera muestra.
x1 5 Sx 5 417141311 5 19 5 3.80
n 5 5
El error de muestreo de la primera muestra es la diferencia entre la media poblacional (3.13) y la media
muestral (3.80). De ahí que el error muestral sea ( x1 5 m) 5 3.80 2 3.13 5 0.67. La segunda muestra
aleatoria de cinco días de la población de 30 días de junio arrojó el siguiente número de habitaciones
rentadas: 3, 3, 2, 3 y 6. La media de estos cinco valores es de 3.4, que se calcula de esta manera:
x2 5 Sx 5 313121316 5 3.40
n 5
El error de muestreo es ( x2 5 m) 5 3.4 2 3.13 5 0.27. En la tercera muestra aleatoria, la media fue de
1.80, y el error de muestro fue de 21.33.
Cada una de estas diferencias, 0.67, 0.27 y 21.33, representa el error de muestreo cometido al
calcular la media de la población. A veces estos errores son valores positivos, lo cual indica que
la media muestral sobreexcedió la media poblacional; otras veces son negativos, lo cual indica
que la media muestral es inferior a la media poblacional.
En este caso, con una población de 30 valores y muestras de cinco, existe una gran cantidad de
muestras posibles (exactamente 142 506). Para calcular este valor se aplica la fórmula de las combi-
naciones [5.10]. Cada una de las muestras cuenta con las mismas posibilidades de que se le selec-
cione y puede tener una media muestral diferente; es decir, un error de muestreo distinto. El valor del
error de muestreo se basa en el valor particular de las 142 506 muestras posibles seleccionadas; por
consiguiente, los errores de muestreo son aleatorios y se presentan al azar. Si se determinara la suma
de estos errores en una gran cantidad de muestras, el resultado se aproximaría mucho a cero porque
la media de la muestra constituye un estimador sin sesgo de la media de la población.
Distribución muestral de la media OA8-3
En la sección anterior se definió el error de muestreo y se presentaron los resultados de comparar Definir la construcción
un estadístico para una muestra (como la media de la muestra) con la media de la población; en de una distribución
otras palabras, cuando se usa la media muestral para estudiar la media de la población, ¿cómo se muestral de la media
determina la exactitud de la estimación? Determine cómo: de la muestra.
230 CAPÍTULO 8 Métodos de muestreo y teorema central del límite
r 6O TVQFSWJTPS EF DBMJEBE EFDJEF TJ VOB NÃRVJOB FTUÃ MMFOBOEP CPUFMMBT EF PO[BT DPO FTB
cantidad de refresco de cola basándose solamente en una muestra de 10 botellas llenas.
r $///USA Today o ABC News-Washington Post hacen pronósticos precisos sobre los años
promedio de estudio de los votantes en una elección presidencial con base en una muestra de
1 200 electores registrados de una población de casi 90 millones.
Para responder estas preguntas, primero hay que precisar el concepto de distribución muestral de
la media.
Las medias muestrales del ejemplo anterior varían de una muestra a la siguiente. La media de
la primera muestra de 5 días fue de 3.80 habitaciones, y la de la segunda fue de 3.40 habitaciones.
La media poblacional fue de 3.13 habitaciones. Si se organizan las medias de todas las muestras
posibles de 5 días en una distribución de probabilidad, el resultado recibe el nombre de distribu-
ción muestral de la media.
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA Distribución de probabilidad de todas las posi-
bles medias de las muestras de un determinado tamaño muestral de la población.
En el siguiente ejemplo se ilustra la construcción de una distribución muestral de la media. Se
utiliza intencionalmente una población pequeña para resaltar la relación entre la media de la pobla-
ción y las diversas medias muestrales.
EJEMPLO
Tartus Industries cuenta con siete empleados de producción (a quienes se les considera la pobla-
ción). En la tabla 8.2 se incluyen los ingresos por hora de cada uno.
TABLA 8.2 Ingresos por hora de los empleados de producción en Tartus Industries
Empleado Ingresos por hora Empleado Ingresos por hora
Joe $7 Jan $7
Sam 7 Art 8
Sue 8 Ted 9
Bob 8
1. ¿Cuál es la media de la población?
2. ¿Cuál es la distribución muestral de la media de muestras de tamaño 2?
3. ¿Cuál es la media de la distribución muestral?
4. ¿Qué observaciones es posible hacer sobre la población y la distribución muestral?
SOLUCIÓN
He aquí las respuestas.
1. La media de la población es de 7.71 dólares, que se determina de la siguiente manera:
m 5 Sx 5 $7 1 $7 1 $8 1 $8 1 $7 1 $8 1 $9 5 $7.71
N7
Identificamos la media de la población por medio de la letra griega m. Recuerde que en capítulos
anteriores se mencionó que las letras griegas representan parámetros poblacionales.
2. Para obtener la distribución muestral de la media se seleccionaron, sin reemplazos de la pobla-
ción, todas las muestras posibles de tamaño 2 y se calcularon las medias de cada una. Hay 21
muestras posibles, que se calcularon con la fórmula [5.10].
N! 7!
Cn 5 ————— 5 ——————— 5 21
N n!(N 2 n)! 2!(7 2 2)!
donde N 5 7 es el número de elementos de la población, y n 5 2, el número de elementos de la
muestra.
Distribución muestral de la media 231
TABLA 8.3 Medias muestrales de todas las muestras posibles de dos empleados
Muestra Empleados Ingresos Suma Media Muestra Empleados Ingresos
por hora por hora Suma Media
1 Joe, Sam $14 $7.00 12 Sue, Bob
2 Joe, Sue $7 $7 15 7.50 13 Sue, Jan $8 $8 $16 $8.00
3 Joe, Bob 78 15 7.50 14 Sue, Art 87 15 7.50
4 Joe, Jan 78 14 7.00 15 Sue, Ted 88 16 8.00
5 Joe, Art 77 15 7.50 16 Bob, Jan 89 17 8.50
6 Joe, Ted 78 16 8.00 17 Bob, Art 87 15 7.50
7 Sam, Sue 79 15 7.50 18 Bob, Ted 88 16 8.00
8 Sam, Bob 78 15 7.50 19 Jan, Art 89 17 8.50
9 Sam, Jan 78 14 7.00 20 Jan, Ted 78 15 7.50
10 Sam, Art 77 15 7.50 21 Art, Ted 79 16 8.00
11 Sam, Ted 78 16 8.00 89 17 8.50
79
En la tabla 8.3 se ilustran las 21 medias muestrales de todas las muestras posibles de tamaño 2
que pueden tomarse de la población; estas se utilizan para construir la distribución de probabilidad
(distribución muestral de la media) que se resume en la tabla 8.4.
TABLA 8.4 Distribución muestral de la media con n 5 2
Media muestral Número de medias Probabilidad
$7.00 3 0.1429
7.50 9 0.4285
8.00 6 0.2857
8.50 3 0.1429
21 1.0000
3. Usando los datos de la tabla 8.3, la media de la distribución muestral de la media se obtiene al
sumar las medias muestrales y dividir el resultado entre el número de muestras. La media de
todas las medias muestrales se representa mediante mx. La m recuerda que se trata de un valor
poblacional, pues se tomaron en cuenta todas las muestras posibles de dos empleados de la
población de ocho. El subíndice x indica que se trata de la distribución muestral de la media.
mx 5 Suma de todas las medias muestrales 5 $7.00 1 $7.50 1 $7.50 1 ∙∙∙ 1 $8.00 1 $8.50
Total de muestras 21
5 $162 5 $7.71
21
4. Consulte la gráfica 8.2, donde se muestra la distribución poblacional basada en los datos de la
tabla 8.2 y la distribución muestral de la media basada en los de la tabla 8.4; considere lo si-
guiente:
a. La media de la distribución muestral de la media ($7.71) es igual a la media de la población:
m 5 mx.
b. La dispersión de la distribución muestral de las medias (varía de $7.00 hasta $8.50) es menor
que la dispersión de los valores de población (van de $7.00 hasta $9.00). Observe que, con-
forme se incrementa el tamaño de la muestra, se reduce la dispersión de la distribución mues-
tral de las medias.
c. La forma de la distribución muestral de la media y la forma de la distribución de frecuencias
de los valores de población son diferentes. La primera tiende a adoptar más forma de cam-
pana y a aproximarse a la distribución de probabilidad normal.
Distribución de población Distribución muestral de las medias
m 8 9 Ingresos 0.40
por hora 0.30
0.40Probabilidad 0.20
0.30 Probabilidad 0.10
0.20
0.10 7 7.5 8 8.5 9 x Media de la muestras
mx o ingresos por hora
7
GRÁFICA 8.2 Distribución de los valores de población y distribución muestral de las medias
232 CAPÍTULO 8 Métodos de muestreo y teorema central del límite
En resumen, se toman todas las posibles muestras aleatorias de una población y se calcula el
estadístico muestral (la media de los ingresos percibidos) de cada una. Este ejemplo ilustra las im-
portantes relaciones entre la distribución poblacional y la distribución muestral de la media:
1. La media de las medias de las muestras es exactamente igual a la media de la población.
2. La dispersión de la distribución muestral de la media es más estrecha que la distribución po-
blacional.
3. La distribución muestral de la media suele tener forma de campana y se aproxima a la distribu-
ción de probabilidad normal.
Dada una distribución de probabilidad normal (forma de campana), se aplican los conceptos
del capítulo 7 para determinar la probabilidad de seleccionar una muestra con una media muestral
específica. En la siguiente sección se resalta la importancia del tamaño de una muestra en relación
con la distribución muestral de la media.
AUTOEVALUACIÓN Los años de servicio de los ejecutivos que laboran en Standard Chemi- Nombre Años
cals son los que aparecen a la derecha.
83 (a) De acuerdo con la fórmula de las combinaciones, ¿cuántas mues- Señor Snow 20
Señora Tolson 22
tras de tamaño 2 son posibles? Señor Kraft 26
(b) Elabore una lista de todas las muestras posibles de dos ejecutivos Señora Irwin 24
Señor Jones 28
de la población y calcule las medias.
(c) Organice las medias en una distribución muestral. 1
(d) Compare la media poblacional y la media de las medias de las
Frecuencia
muestras.
(e) Compare la dispersión en la población con la dispersión de la dis- 0
20 22 24 26 28
tribución muestral de la media. Tiempo de servicio
(f ) A la derecha se muestra una gráfica con los valores de la pobla-
ción, ¿tienen estos una distribución normal (en forma de cam-
pana)?
(g) ¿Tiende la distribución muestral de la media que se calculó en el
inciso (c) a adoptar forma de campana?
EJERCICIOS 5. Una población consta de los siguientes cuatro valores: 12, 12, 14 y 16.
a. Enumere todas las muestras de tamaño 2 y calcule la media de cada muestra.
b. Calcule la media de la distribución muestral de la media y la media de la población; compare am-
bos valores.
c. Compare la dispersión en la población con la de las medias de las muestras.
6. Una población consta de los siguientes cinco valores: 2, 2, 4, 4 y 8.
a. Enumere todas las muestras de tamaño 2 y calcule la media de cada muestra.
b. Calcule la media de la distribución muestral de las medias y la media de la población; compare
ambos valores.
c. Compare la dispersión en la población con la de las medias de las muestras.
7. Una población consta de los siguientes cinco valores: 12, 12, 14, 15 y 20.
a. Enumere todas las muestras de tamaño 3 y calcule la media de cada muestra.
b. Calcule la media de la distribución muestral de las medias y la media de la población; compare
ambos valores.
c. Compare la dispersión de la población con la de las medias de las muestras.
8. Una población consta de los siguientes cinco valores: 0, 0, 1, 3 y 6.
a. Enumere todas las muestras de tamaño 3 y calcule la media de cada muestra.
b. Calcule la media de la distribución muestral de las medias y la media de la población; compare
ambos valores.
c. Compare la dispersión de la población con la de las me- Socio Número de casos
dias de las muestras.
9. El despacho de abogados Tybo and Associates consta de Ruud 3
seis socios. En la siguiente tabla se incluye el número de Wu 6
casos que en realidad atendió cada socio en los tribunales Sass 3
durante el mes previo. Flores 3
a. ¿Cuántas muestras de tamaño 3 son posibles? Wilhelms 0
b. Enumere todas las muestras posibles de tamaño 3 y cal- Schueller 1
cule el número medio de casos en cada muestra.
Teorema central del límite 233
c. Compare la media de la distribución muestral de las medias con la de la media poblacional.
d. En una gráfica similar a la 8.2, compare la dispersión en la población con la de las medias mues-
trales.
10. Mid-Motors Ford tiene cinco vendedores. Los cinco represen- Representantes Autos
tantes de ventas y el número de automóviles que se vendieron de ventas vendidos
la semana pasada aparecen a la derecha:
a. ¿Cuántas muestras de tamaño 2 son posibles? Peter Hankish 8
b. Enumere todas las muestras posibles de tamaño 2 y calcule Connie Stallter 6
la media en cada muestra. Juan Lopez 4
c. Compare la media de la distribución muestral de la media Ted Barnes 10
Peggy Chu 6
con la de la media poblacional.
d. En una gráfica similar a la 8.2, compare la dispersión de la
población con la de la media de la muestra.
Teorema central del límite OA8-4
En esta sección se estudia el teorema central del límite. Su aplicación a la distribución muestral Enunciar el teorema
de medias se introdujo en la sección anterior; esta permite utilizar la distribución de probabilidad central del límite y defi-
normal para crear intervalos de confianza de la media poblacional (vea el capítulo 9) y llevar a cabo nir el error estándar de
pruebas de hipótesis (vea el capítulo 10). El teorema central del límite hace hincapié en que, en el la distribución muestral
caso de muestras aleatorias grandes, la forma de la distribución muestral de la media se aproxima de la media.
a la distribución de probabilidad normal. La aproximación es más exacta en el caso de muestras
grandes que en el de muestras pequeñas; lo cual es una de las conclusiones más útiles de la esta-
dística porque permite razonar sobre la distribución de las medias muestrales sin ninguna informa-
ción acerca de la forma de la distribución de la población de la que se toma la muestra. En otras
palabras, el teorema central del límite se cumple en el caso de todas las distribuciones.
He aquí el enunciado formal del teorema central del límite.
TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Si todas las muestras de un tamaño en particular se selec-
cionan de cualquier población, la distribución muestral de la media se aproxima a una distribución
normal; esta mejora con muestras más grandes.
Si la población obedece a una distribución normal, entonces, en el caso de cualquier tamaño
de muestra, la distribución muestral de las medias también será de naturaleza normal. Si la distribu-
ción poblacional es simétrica (pero no normal), la forma normal de la distribución muestral de las
medias se presenta con muestras tan pequeñas como 10. Por otra parte, si se comienza con una
distribución sesgada o con colas anchas, quizá se requieran muestras de 30 o más para registrar la
característica de normalidad. Este concepto se resume en la gráfica 8.3 para diversas formas de
población; observe la convergencia hacia una distribución normal sin que importe la forma de la
distribución de la población. La mayoría de los especialistas en estadística consideran que una
muestra de 30 o mayor es lo bastante grande para aplicar el teorema central del límite.
La idea de que la distribución muestral de las medias de una población que no es normal con-
verge hacia la normalidad se ilustra en las gráficas 8.4, 8.5 y 8.6. En breve se analizará este ejemplo
con más detalles; mientras tanto, en la gráfica 8.4 se muestra una distribución de probabilidad dis-
creta con sesgo positivo. Hay varias muestras posibles de tamaño 5 que pueden seleccionarse de la
población de esta gráfica; suponga que selecciona al azar 25 muestras de tamaño 5 cada una y
calcula la media de cada muestra, los resultados se indican en la gráfica 8.5. Considere que la forma
de la distribución muestral de las medias cambió la forma de la población original aunque solo selec-
cionó 25 de las diversas muestras posibles. En otras palabras, eligió 25 muestras al azar de tamaño
5 de una población positivamente sesgada, y encontró que la distribución muestral de las medias
cambió en lo que se refiere a la forma de la población. A medida que toma muestras más grandes,
es decir, n 5 20 en lugar de n 5 5, la distribución muestral de las medias se aproximará a la distribu-
ción normal. En la gráfica 8.6 se muestran los resultados de 25 muestras aleatorias de 20 observa-
ciones cada una tomadas de la misma población. Observe la clara tendencia hacia la distribución de
probabilidad normal; esta es la esencia del teorema central del límite. En el siguiente ejemplo se
pone de relieve dicha condición.
234 CAPÍTULO 8 Métodos de muestreo y teorema central del límite
Poblaciones
x xxx
Distribuciones muestrales
n52 n52 n52
n52 _ _
_ x x _
x x
n56 n56
n56 _ _ n56
_ x x _
x x
n 5 30 n 5 30 n 5 30 n 5 30
___ _
xxx x
GRÁFICA 8.3 Resultados del teorema central del límite para diversas poblaciones
EJEMPLO
Ed Spence fundó su negocio de engranes hace 20 años; este creció a lo largo del tiempo y ahora
cuenta con 40 empleados. Spence Sprockets, Inc., encara algunas decisiones importantes relaciona-
das con la atención médica de su personal. Antes de tomar una decisión definitiva sobre el programa
de atención médica que va a comprar, Ed decide formar un comité de cinco trabajadores y pedirle
que estudie el tema del cuidado de la salud y haga alguna recomendación sobre el plan que mejor
convenga al personal. Ed cree que el punto de vista de los empleados más recientes en relación con
el cuidado de la salud difiere de quienes tienen más experiencia. Si Ed selecciona al azar este comité,
¿qué puede esperar en términos del promedio de años que sus miembros llevan con Spence Sproc-
kets? ¿Cuál es la forma de la distribución de los años de experiencia de todos el personal (la pobla-
ción) en comparación con la forma de la distribución muestral de la media? Los años de servicio
(redondeados al año más cercano) de los 40 trabajadores que actualmente están en nómina en
Spence Sprockers, Inc., son los siguientes:
11 4 18 2 1 2 0 22 4
3 4 1 2 2 3 3 19 8 3
71 0 27 04 5 1 14
16 8 9 1 1 2 5 10 2 3
Teorema central del límite 235
SOLUCIÓN
En la gráfica 8.4 se muestra la distribución de frecuencias de los años de servicio de la población de
los 40 empleados. ¿Por qué la distribución tiene un sesgo positivo? Como el negocio ha crecido en
años recientes, la distribución indica que 29 de los 40 empleados han estado en la compañía durante
menos de seis años. También hay 11 empleados que han trabajado en Spence Sprockers por más de
seis años. En particular, cuatro de ellos han laborado en la compañía 12 años o más (cuente las fre-
cuencias por arriba de 12). Así, existe una larga cola en la distribución de los años de servicio a la
izquierda, esto es, la distribución tiene un sesgo positivo.
Sin embargo, como el negocio creció, el número de empleados se incrementó en los últimos
cinco años. De los 40 empleados, 18 han laborado en la compañía dos años o menos.
Frecuencia
Años de servicio
GRÁFICA 8.4 Años de servicio de los empleados en Spence
Sprockets, Inc.
Considere el primer problema de Ed Spence; a él le gustaría formar un comité de cinco emplea-
dos para que estudien la cuestión del cuidado de la salud y sugieran la cobertura de gastos médicos
más adecuada para la mayoría de ellos. ¿Cómo elegiría al comité? Si lo selecciona al azar, ¿qué
puede esperar respecto del tiempo medio de servicio de quienes lo integren?
Para comenzar, Ed registra en papeletas el tiempo de servicio de cada empleado y las coloca en
una gorra de béisbol. Después las revuelve y selecciona cinco al azar. Los tiempos de servicio de estos
empleados son: 1, 9, 0, 19 y 14 años. Por lo tanto, el tiempo medio de servicio de esta muestra es de
8.60 años. ¿Cómo se compara este resultado con la media de la población? En este momento, Ed no
conoce la media de la población, aunque el número de empleados de la población es de solo 40, así
que decide calcular la media del tiempo de servicio de todos sus empleados; la cual es de 4.8 años y
se determina al sumar los tiempos de servicio de todos los empleados y dividir el total entre 40.
m 5 11 1 4 1 18 1 ∙∙∙ 1 2 1 3 5 4.80
40
La diferencia entre la media de la muestra ( x ) y la media de la población ( m) se llama error de
muestreo. En otras palabras, la diferencia de 3.80 años entre la media poblacional de 4.80 y la media
muestral de 8.60 es el error de muestreo. Este se debe al azar; por consiguiente, si Ed selecciona a
estos cinco empleados para formar el comité, el tiempo medio de servicio de estos sería mayor que
el de la media de la población.
¿Qué sucedería si Ed colocara de nuevo los papeles en la gorra y tomara otra muestra? ¿Espe-
raría que la media de esta segunda muestra fuera exactamente la misma que la anterior? Suponga
que selecciona otra muestra de cinco empleados y encuentra que los tiempos de servicio de esta son
de 7, 4, 4, 1 y 3. La media muestral es de 3.80 años. El resultado de seleccionar 25 muestras de cinco
empleados cada una se registra en la tabla 8.5 y en la gráfica 8.5. En realidad hay 658 008 muestras
de tamaño 5 que se pueden tomar de la población de 40 empleados, las cuales se determinan con la
fórmula de las combinaciones [5.9] con 40 objetos tomados de 5 en 5. Observe la diferencia de forma
de las distribuciones poblacional y muestral de medias; la población de tiempos de servicio de los
empleados (gráfica 8.4) tiene un sesgo positivo, y la distribución de estas 25 medias muestrales no
refleja el mismo sesgo positivo. También existe una diferencia en el rango de las medias muestrales
236 CAPÍTULO 8 Métodos de muestreo y teorema central del límite
en comparación con el rango de la población; esta varía de 0 a 19 años, mientras que las medias
muestrales varían de 1.6 a 8.6 años.
TABLA 8.5 Veinticinco muestras aleatorias de cinco empleados
Datos muestra
Muestra Obs 1 Obs 2 Obs 3 Obs 4 Obs 5 Suma Media
A 1 9 0 19 14 43 8.6
B 7 4 41 3 19 3.8
C 8 19 82 1 38 7.6
D 4 18 20 11 35 7.0
E 4 2 47 18 35 7.0
F 1 2 03 2 8 1.6
G 2 3 20 2 9 1.8
H 11 2 92 4 28 5.6
I 9 0 42 7 22 4.4
J 1 1 1 11 1 15 3.0
K 2 0 0 10 2 14 2.8
L 0 2 32 16 23 4.6
M 2 3 11 1 8 1.6
N 3 7 34 3 20 4.0
O 1 2 31 4 11 2.2
P 19 0 13 8 31 6.2
Q 5 1 7 14 9 36 7.2
R 5 4 23 4 18 3.6
S 14 5 22 5 28 5.6
T 2 1 14 7 15 3.0
U 3 7 12 1 14 2.8
V 0 1 51 2 9 1.8
W 0 3 19 4 2 28 5.6
X 4 2 34 0 13 2.6
Y 1 1 23 2 9 1.8
Frecuencia
Tiempo medio de servicio
GRÁFICA 8.5 Histograma de tiempos de servi-
cio medio de 25 muestras de cinco empleados
Cambiemos ahora el ejemplo aumentando el tamaño de la muestra de cinco empleados a 20. En
la tabla 8.6 se indican los resultados de seleccionar 25 muestras de 20 empleados cada una y el
cálculo de las medias muestrales. Estas medias muestrales se representan en la gráfica 8.6; compa-
re la forma de esta distribución con la población (gráfica 8.4) y con la distribución muestral de medias
cuando la muestra es de n 5 5 (gráfica 8.5). Observe dos características importantes:
1. La forma de la distribución muestral de las medias es diferente a la de la población. La distribu-
ción de empleados que se muestra en la gráfica 8.4 tiene un sesgo positivo; no obstante, confor-
me se seleccionan muestras aleatorias de la población, cambia la forma de la distribución mues-
tral de las medias. A medida que incrementa el tamaño de la muestra, la distribución muestral de
las medias se aproxima a la distribución de probabilidad normal; este hecho se ilustra con el
teorema central del límite.
Teorema central del límite 237
TABLA 8.6 Muestras aleatorias y medias muestrales de 25 muestras de 20 empleados
Muestra Obs 1 Obs 2 Obs 3 Datos muestra Obs 20 Suma Media
A 3 8 3 – Obs 19 16 79 3.95
B 2 3 8 1 65 3.25
C 14 5 0 –4 8 119 5.95
D 9 2 1 –3 3 87 4.35
E 18 1 2 – 19 14 107 5.35
F 10 4 4 –1 1 80 4.00
G 5 7 11 –3 4 131 6.55
H 3 0 2 –2 5 85 4.25
I 0 0 18 –2 3 80 4.00
J 2 7 2 – 16 2 81 4.05
K 7 4 5 –2 2 84 4.20
L 0 3 10 –3 4 81 4.05
M 4 1 2 –1 2 88 4.40
N 3 16 1 –0 1 95 4.75
O 2 19 2 –1 2 102 5.10
P 2 18 16 – 11 3 100 5.00
Q 3 2 3 –2 1 102 5.10
R 2 3 1 –4 2 73 3.65
S 2 14 19 –3 7 142 7.10
T 0 1 3 –0 0 61 3.05
U 1 0 1 –0 3 65 3.25
V 1 9 4 –2 11 137 6.85
W 8 1 9 –9 7 107 5.35
X 4 2 0 –2 5 86 4.30
Y 1 2 1 –8 18 101 5.05
–2
–1
2. Hay menos dispersión en la distribución muestral de las medias que en la distribución de la
población. En la población, los periodos de servicio variaron de 0 a 19 años. Cuando se selec-
cionaron muestras de tamaño 5, las medias de las muestras variaron de 1.6 a 8.6 años, y cuan-
do seleccionaron muestras de 20, estas variaron de 3.05 a 7.10 años.
Frecuencia
Tiempo medio de servicio
GRÁFICA 8.6 Histograma del tiempo medio
de servicio de 25 muestras de 20 empleados
También es posible comparar la media de las medias de la muestra con la media de la población.
La media de las 25 muestras de los 20 empleados de la tabla 8.6 es de 4.676 años.
mx 5 3.95 1 3.25 1 ∙∙∙ 1 4.30 1 5.05 5 4.676
25
Se emplea el símbolo mx para identificar la media de la distribución muestral de las medias. El subín-
dice recuerda que la distribución se refiere a la media muestral (se lee “mu subíndice X barra”); ob-
serve que la media de las medias muestrales (4.676 años) se encuentra muy próxima a la media de
la población (4.80).
238 CAPÍTULO 8 Métodos de muestreo y teorema central del límite
¿Qué concluye de este ejemplo? El teorema central del límite indica que, sin importar la forma
de la distribución de la población, la distribución muestral de la media se aproximará a la distribución
de probabilidad normal; cuanto mayor sea el número de observaciones en cada muestra, más evi-
dente será la convergencia. El ejemplo de Spence Sprockets, Inc., demuestra el mecanismo del
teorema central del límite. Comenzó con una población con sesgo positivo (gráfica 8.4). Después
seleccionó 25 muestras aleatorias de cinco observaciones; calculó la media de cada muestra y, por
último, organizó las 25 medias de muestra en una gráfica (8.5), registrando un cambio en la forma de
la distribución muestral de las medias respecto de la de la población. El desplazamiento va de una
distribución con sesgo positivo a una que tiene la forma de la distribución de probabilidad normal.
Para aclarar más los efectos del teorema central del límite, se incrementa el número de obser-
vaciones en cada muestra de 5 a 20; de estas, se seleccionan 25 muestras y se calcula la media de
cada una; por último, estas medias muestrales se organizan en una gráfica (8.6). La forma del his-
tograma de la gráfica 8.6 se desplaza claramente hacia la distribución de probabilidad normal.
En la gráfica 6.3 del capítulo 6 se muestran diversas distribuciones binomiales con una propor-
ción de “éxitos” de 0.10, lo cual es otra demostración del teorema central del límite. Observe que,
conforme n se incrementa de 7 hasta 12 y de 20 hasta 40, el perfil de las distribuciones de proba-
bilidad se desplaza para acercarse cada vez más a una distribución de probabilidad normal. En la
gráfica 8.6 también se muestra la convergencia hacia la normalidad conforme n se incrementa; esto
confirma de nuevo el hecho de que, a medida que se incluyen más observaciones de la muestra de
cualquier distribución poblacional, la forma de la distribución muestral de las medias se aproxima
cada vez más a la distribución normal.
El teorema central del límite mismo (relea la definición que se proporcionó antes) no dice nada
sobre la dispersión de la distribución muestral de medias ni sobre la comparación entre la media de
la distribución muestral de medias y la media de la población; sin embargo, en el ejemplo de Spen-
ce Sprockets hay menor dispersión en la distribución de la media muestral que en la distribución de
la población, lo cual indica la diferencia entre los rangos de la población y los de las medias mues-
trales. Advierta que la media de las medias de las muestras se encuentra cerca de la de la pobla-
ción; es posible demostrar que la media de la distribución muestral es la media poblacional (es
decir, que mx 5 m), y si la desviación estándar de la población es s, la de las medias muestrales es
syVn , en la que n es el número de observaciones de cada muestra. Entonces, syVn es el error
estándar de la media. En realidad, el nombre completo es desviación estándar de la distribución
muestral de la media.
ERROR ESTÁNDAR DE LA MEDIA s [8.1]
sx 5
Vn
En esta sección llegamos a otras conclusiones importantes.
1. La media de la distribución muestral de medias será exactamente igual a la media poblacional
si se seleccionan todas las muestras posibles del mismo tamaño de cualquier población; es
decir,
m 5 mx
Aunque no se seleccionen todas las muestras, es de esperar que la media de la distribución
muestral de medias se aproxime a la media poblacional.
2. Hay menos dispersión en la distribución muestral de las medias que en la población. Si la des-
viación estándar de la población es s, la de la distribución muestral de medias es syVn . Ob-
serve que, cuando se incrementa el tamaño de la muestra, disminuye el error estándar de la
media.
AUTOEVALUACIÓN Repase los datos de Spence Sprockets, Inc. que aparecen en la gráfica 8.4 y seleccione al azar 10
muestras de 5 empleados cada una. Utilice los métodos descritos en el capítulo y la tabla de núme-
84 ros aleatorios (apéndice B.6) para determinar los empleados que se incluirán en la muestra. Calcule
la media de cada muestra y trace un esquema de las medias muestrales en una gráfica similar a la
8.4. ¿Cuál es la media de las 10 medias muestrales?
Uso de la distribución muestral de la media 239
11. El apéndice B.4 es una tabla de números aleatorios uniformemente distribuidos. De ahí que cada EJERCICIOS
dígito tenga la misma probabilidad de presentarse.
a. Trace una gráfica que muestre la distribución de la población. ¿Cuál es la media de la población? Para la BASE DE DATOS
b. A continuación se registran los 10 primeros renglones de cinco dígitos del apéndice B.4; suponga visite www.mhhe.com/
que se trata de 10 muestras aleatorias de cinco valores cada una. Determine la media de cada uni/lind_ae16e
muestra y trace una gráfica similar a la 8.4; compare la media de la distribución muestral de las
medias con la media poblacional.
02 7 1 1
94 8 7 3
54 9 2 1
77 6 4 0
61 5 4 5
17 1 4 7
13 7 4 8
87 4 5 5
08 9 9 9
78 8 0 4
12. Scrapper Elevator Company tiene 20 representantes de ventas que distribuyen su producto en Esta- Para la BASE DE DATOS
dos Unidos y Canadá. La cantidad de unidades que el mes anterior vendió cada representante se visite www.mhhe.com/
incluye a continuación. Suponga que estas cifras representan los valores la población. uni/lind_ae16e
23233424322734533335
a. Trace una gráfica que muestre la distribución de la población.
b. Calcule la media de la población.
c. Seleccione cinco muestras aleatorias de tamaño 5 cada una y calcule la media de cada muestra.
Utilice los métodos descritos en el capítulo y en el apéndice B.4 para determinar los elementos
que deben incluirse en la muestra.
d. Compare la media de la distribución muestral de medias con la media poblacional. ¿Esperaría que
ambos valores fueran aproximadamente iguales?
e. Trace un histograma de las medias muestrales. ¿Observa alguna diferencia en la forma de la dis-
tribución muestral de las medias en comparación con la forma de la distribución de la población?
13. Considere que todas las monedas (un centavo de dólar, 25 centavos de dólar, etc.) que tenga en el
bolsillo o monedero constituyen una población. Elabore una tabla de frecuencias, comience por el
año en curso y cuente de manera regresiva, para registrar la antigüedad (en años) de las monedas.
Por ejemplo, si el año en curso fuera 2013, una moneda que tiene impreso el año 2011 tendría dos
años de antigüedad.
a. Trace un histograma u otro tipo de gráfica que muestre la distribución de la población.
b. Seleccione de manera aleatoria cinco monedas y registre su antigüedad media; repita el proceso
20 veces. Ahora trace un histograma u otro tipo de gráfica que muestre la distribución muestral de
las medias.
c. Compare la forma de ambos histogramas.
14. Considere los dígitos de los números telefónicos de una página seleccionada al azar del directorio
telefónico local como una población. Elabore una tabla de frecuencias con el último dígito de 30
números telefónicos seleccionados al azar. Por ejemplo, si el número telefónico es 55-55-97-04, re-
gistre un 4.
a. Trace un histograma u otro tipo de gráfica que muestre la distribución de la población. Con la
distribución uniforme, calcule la media y la desviación estándar de la población.
b. Registre, asimismo, la media de la muestra de los últimos cuatro dígitos (97-04 resultaría una me-
dia de 5). Ahora elabore un histograma u otro tipo de gráfica que muestre la distribución muestral
de las medias.
c. Compare la forma de ambos histogramas.
Uso de la distribución muestral de la media OA8-5
El análisis anterior reviste importancia, pues la mayoría de las decisiones que se toman en los nego- Aplicar el teorema cen-
cios tienen como fundamento los resultados de un muestreo. He aquí algunos ejemplos. tral del límite para cal-
cular probabilidades.
240 CAPÍTULO 8 Métodos de muestreo y teorema central del límite
1. Arm and Hammer Company desea comprobar que su detergente para lavandería realmente
contiene 100 onzas líquidas, como indica la etiqueta. Los registros históricos de los procesos
de llenado indican que la cantidad media por recipiente es de 100 onzas líquidas y que la des-
viación estándar es de dos onzas líquidas. A las diez de la mañana el técnico de calidad verifi-
ca 40 recipientes y encuentra que la cantidad media por recipiente es de 99.8 onzas líquidas.
¿Debe el técnico interrumpir el proceso de llenado?
2. A.C. Nielsen Company proporciona información a las empresas que se anuncian en televisión.
Las investigaciones indican que, en promedio, los adultos estadounidenses ven televisión 6.0
horas al día y la desviación estándar es de 1.5 horas. En el caso de una muestra de 50 adultos
que viven en el área más poblada de Boston, ¿sería razonable seleccionar al azar una muestra
y encontrar que sus individuos ven un promedio de 6.5 horas al día?
3. Haughton Elevator Company pretende formular especificaciones relacionadas con el número
de personas que pueden desplazarse en un elevador nuevo de gran capacidad. Suponga que
el peso medio de un adulto es de 160 libras, y que la desviación estándar es de 15 libras. Aho-
ra bien, los pesos no siguen una distribución de probabilidad normal porque tienen un sesgo
positivo. ¿Cuál es la probabilidad de que, en una muestra de 30 adultos, el peso medio sea de
170 libras o más?
Es posible responder las preguntas en cada una de estas situaciones utilizando las ideas que se
analizaron en la sección anterior. En cada caso hay una población con información acerca de su
media y su desviación estándar. Usando esta información y el tamaño de la muestra se determina
la distribución de las medias muestrales y se calcula la probabilidad de que una media muestral
caiga dentro de cierto rango. La distribución de muestreo sigue a la distribución de probabilidad
normal con dos condiciones:
1. Cuando se sabe que las muestras se toman de poblaciones regidas por la distribución normal;
en este caso, el tamaño de la muestra no constituye un factor.
2. El tamaño de la muestra es importante cuando se desconoce la forma de la distribución de la
población o se sabe que no es normal. En general, la distribución muestral estaría normalmen-
te distribuida a medida que el tamaño de la muestra se aproxima al infinito; en la práctica, una
distribución de muestreo estaría cerca de una distribución normal con muestras de al menos
30 observaciones.
Se aplica la fórmula [7.5] del capítulo anterior para convertir cualquier distribución normal en
una distribución normal estándar y calcular los valores z. Se puede usar la tabla de la distribución
normal estándar, del apéndice B.3, para determinar la probabilidad de seleccionar un valor z que
caerá dentro de un rango específico; la fórmula que se emplea para establecerlo es:
z5 x2m
s
En esta fórmula, x es el valor de la variable aleatoria; m es la media de la población y s es la desvia-
ción estándar de la población.
Sin embargo, la mayor parte de las decisiones de negocios se refiere a una muestra, no a una
sola observación. Así, lo importante es la distribución de X (la media muestral), en lugar de X (el
valor de una observación). Este es el primer cambio que se aplica a la fórmula [7.5]. El segundo
consiste en emplear el error estándar de la media de n observaciones en lugar de la desviación
estándar de la población. Es decir, se usa syVn en el denominador en vez de s. Por consiguiente,
para determinar la probabilidad de una media muestral con rango específico primero aplique la
fórmula para determinar el valor z correspondiente. Después, consulte el apéndice B.3 o un soft-
ware estadístico para determinar la probabilidad.
CÁLCULO DEL VALOR z DE x CUANDO SE CONOCE z5 x2m [8.2]
LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE LA POBLACIÓN syVn
En el siguiente ejemplo se muestra la aplicación.
Uso de la distribución muestral de la media 241
EJEMPLO
El departamento de control de calidad de Cola, Inc., conserva registros sobre la cantidad de bebida
de cola en su botella gigante; la cantidad real en cada botella es de primordial importancia, pero varía
en una mínima cantidad entre estas. La empresa no desea llenar botellas con menos líquido del de-
bido, pues tendría problemas en lo que se refiere a la confiabilidad de la marca. Por otra parte, no
puede colocar producto de más en las botellas porque lo regalaría, lo cual reduciría sus utilidades.
Los registros del departamento de control de calidad indican que la cantidad de bebida de cola tiene
una distribución de probabilidad normal, la media por botella es de 31.2 onzas y la desviación están-
dar de la población es de 0.4 onzas. Hoy, a las 8:00 horas, el técnico de control de calidad seleccionó
al azar 16 botellas de la línea de llenado; la cantidad media de bebida en las botellas es de 31.38
onzas. ¿Es un resultado poco probable? ¿Es probable que el proceso permita colocar demasiada
bebida en las botellas? En otras palabras, ¿es poco común el error de muestreo de 0.18 onzas?
SOLUCIÓN
Utilice los resultados de la sección anterior para determinar la probabilidad de seleccionar una mues-
tra de 16 (n) botellas de una población normal con una media de 31.2 ( m) onzas y una desviación
estándar de la población de 0.4 (s) onzas, y encontrar que la media muestral es de 31.38 ( x ) o supe-
rior. Mediante la fórmula [8.2] se determina el valor de z.
z 5 x 2 m 5 31.38 2 31.20 5 1.80
syVn 0.4yV16
El numerador de esta ecuación, x 5 m 5 31.38 2 31.20 5 0.18, es el error muestral. El denominador,
syVn 5 0.4yV16 5 0.1, es el error estándar de la distribución muestral de la media; así, los valores
z expresan el error muestral en unidades estándar; en otras palabras, el error estándar.
Después, calcule la probabilidad de un valor z mayor que 1.80. En el apéndice B.3 localice la
probabilidad correspondiente a un valor z de 1.80; este valor es de 0.4641. La probabilidad de un
valor z mayor que 1.80 es de 0.0359, el cual se calcula con la resta 0.5000 2 0.4641.
En conclusión, no es probable —menos de 4% de probabilidad— seleccionar una muestra de
16 observaciones de una población normal con una media de 31.2 onzas y una desviación estándar
poblacional de 0.4 onzas, ni determinar que la media de la muestra es igual o mayor que 31.38 onzas;
por tanto, en el proceso se vierte demasiada bebida en las botellas. El técnico de control de calidad
debe entrevistarse con el supervisor de producción para sugerir la reducción de la cantidad de líquido
en cada botella. La información se resume en la gráfica 8.7.
0.0359
0.4641
31.20 31.38 Onzas (x–)
0 1.80 Valor z
GRÁFICA 8.7 Distribución muestral de la cantidad media de bebida de cola
en una botella gigante
Consulte la información relativa a Cola, Inc., y suponga que el técnico de control de calidad seleccio-
nó una muestra de 16 botellas gigantes con un promedio de 31.08 onzas. ¿Qué concluye sobre el
proceso de llenado?
AUTOEVALUACIÓN
85
242 CAPÍTULO 8 Métodos de muestreo y teorema central del límite
EJERCICIOS
15. Una población normal tiene una media de 60 y una desviación estándar de 12; seleccione una mues-
tra aleatoria de 9 y calcule la probabilidad de que la media muestral:
a. Sea mayor que 63.
b. Sea menor que 56.
c. Se encuentre entre 56 y 63.
16. Una población normal tiene una media de 75 y una desviación estándar de 5; seleccione una mues-
tra de 40 y calcule la probabilidad de que la media muestral:
a. Sea menor que 74.
b. Se encuentre entre 74 y 76.
c. Se encuentre entre 76 y 77.
d. Sea mayor que 77.
17. En el sur de California, la renta de un departamento con una recámara tiene una distribución normal,
una media de 2 200 dólares mensuales y una desviación estándar de 250 dólares. La distribución del
costo mensual no se rige por la distribución normal; de hecho, tiene un sesgo positivo. ¿Cuál es la
probabilidad de seleccionar una muestra de 50 departamentos de una recámara y hallar que la media
mínima es de 1 950 dólares mensuales?
18. De acuerdo con un estudio del Internal Revenue Service, los contribuyentes tardan 330 minutos en
promedio en preparar, copiar y archivar en un medio electrónico la forma fiscal 1040. Esta es una
distribución normal de tiempos, y la desviación estándar es de 80 minutos. Un organismo de control
selecciona una muestra aleatoria de 40 personas.
a. ¿Cuál es el error estándar de la media de este ejemplo?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra sea mayor que 320 minutos?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra se encuentre entre 320 y 350 minutos?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra sea superior que 350 minutos?
RESUMEN DEL CAPÍTULO
I. Hay muchas razones para realizar el muestreo de una población.
A. Los resultados de una muestra permiten calcular adecuadamente el valor del parámetro poblacio-
nal, con lo cual se ahorra tiempo y dinero.
B. Entrar en contacto con todos los miembros de la población consume demasiado tiempo.
C. Resulta imposible verificar y localizar a todos los miembros de la población.
D. El costo de estudiar a todos los elementos de la población resulta prohibitivo.
E. En una prueba con frecuencia se destruye el elemento de la muestra y no se puede regresar a la
población.
II. En una muestra sin sesgo, todos los miembros de la población tienen la posibilidad de ser seleccio-
nados para la muestra. Existen diversos métodos de muestreo de probabilidad.
A. En una muestra aleatoria simple, todos los miembros de la población tienen la misma posibilidad
de ser seleccionados para la muestra.
B. En una muestra sistemática, se selecciona un punto de partida aleatorio y después se selecciona
cada k-ésimo elemento subsiguiente de la población para formar la muestra.
C. En una muestra estratificada, la población se divide en varios grupos, a los que se denomina es-
tratos, y enseguida se selecciona una muestra aleatoria de cada uno.
D. En el muestreo por conglomerados, la población se divide en unidades primarias y después se
toman las muestras de las unidades primarias.
III. El error de muestreo es la diferencia entre un parámetro poblacional y un estadístico de la muestra.
IV. La distribución muestral de la media es una distribución de probabilidad de todas las posibles medias
muestrales del mismo tamaño de muestra.
A. Para un tamaño de muestra dado, la media de todas las posibles medias muestrales tomadas de
una población es igual a la media de la población.
B. Existe una menor variación en la distribución de las medias muestrales que en la distribución de la
población.
C. El error estándar de la media mide la variación de la distribución muestral de las medias. El error
estándar se calcula de la siguiente manera:
s [8.1]
sx 5 Vn
D. Si la población se rige por una distribución normal, la distribución muestral de la media también se
regirá por la distribución normal con muestras de cualquier tamaño. Si la población no está nor-
malmente distribuida, la distribución del muestreo de la media muestral se aproximará a una dis-
Ejercicios del capítulo 243
tribución normal cuando el tamaño de la muestra sea de al menos 30. Asuma que conoce la des-
viación estándar de la población; para determinar la probabilidad de que una media muestral caiga
dentro de determinada región, se aplica la fórmula:
z5 x2m [8.2]
syVn
CLAVE DE PRONUNCIACIÓN
Símbolo Significado Pronunciación
mx mu subíndice x barra
Media de la distribución muestral de
sx la media sigma subíndice x barra
Error estándar de la población de
la media muestral
EJERCICIOS DEL CAPÍTULO
19. Las tiendas de venta al menudeo en el centro comercial de North Towne Square numeradas desde
00 hasta 24 son las siguientes:
00 Elder-Beerman 09 Lion Store 18 County Seat
01 Sears 10 Bootleggers 19 Kid Mart
02 Deb Shop 11 Formal Man 20 Lerner
03 Frederick’s of Hollywood 12 Leather Ltd. 21 Coach House Gifts
04 Petries 13 B Dalton Bookseller 22 Spencer Gifts
05 Easy Dreams 14 Pat’s Hallmark 23 CPI Photo Finish
06 Summit Stationers 15 Things Remembered 24 Regis Hairstylists
07 E. B. Brown Opticians 16 Pearle Vision Express
08 Kay-Bee Toy & Hobby 17 Dollar Tree
a. Si selecciona los números aleatorios 11, 65, 86, 62, 06, 10, 12, 77 y 04, ¿con qué tiendas es nece-
sario ponerse en contacto para realizar una encuesta?
b. Utilice el apéndice B.6 para seleccionar una muestra aleatoria de cuatro tiendas.
c. Debe aplicar un procedimiento de muestreo sistemático; es necesario ponerse en contacto con la
primera tienda y después con cada tercer establecimiento. ¿Con qué tiendas entrará en contacto?
20. Medical Mutual Insurance investiga el costo de una visita de rutina a consultorios de médicos fami-
liares en el área de Rochester, Nueva York. La siguiente lista constituye una muestra de 39 médicos
familiares de la región. Es preciso seleccionar a los médicos de forma aleatoria y establecer comuni-
cación con ellos para conocer el monto de sus honorarios. Los 39 médicos se codificaron desde 00
hasta 38; también se indica si el médico trabaja solo en su consultorio (S), participa con un socio (P)
o tiene un consultorio en grupo (G).
Número Médico Tipo de Número Médico Tipo de
consultorio consultorio
00 R. E. Scherbarth, M.D. 11 Wendy Martin, M.D.
01 Crystal R. Goveia, M.D. S 12 Denny Mauricio, M.D. S
02 Mark D. Hillard, M.D. P 13 Hasmukh Parmar, M.D. P
03 Jeanine S. Huttner, M.D. P 14 Ricardo Pena, M.D. P
04 Francis Aona, M.D. P 15 David Reames, M.D. P
05 Janet Arrowsmith, M.D. P 16 Ronald Reynolds, M.D. P
06 David DeFrance, M.D. P 17 Mark Steinmetz, M.D. G
07 Judith Furlong, M.D. S 18 Geza Torok, M.D. G
08 Leslie Jackson, M.D. S 19 Mark Young, M.D. S
09 Paul Langenkamp, M.D. G 20 Gregory Yost, M.D. P
10 Philip Lepkowski, M.D. S 21 J. Christian Zona, M.D. P
S P
(continúa)
244 CAPÍTULO 8 Métodos de muestreo y teorema central del límite
(continuación)
Número Médico Tipo de Número Médico Tipo de
consultorio consultorio
22 Larry Johnson, M.D. 31 Jeanne Fiorito, M.D.
23 Sanford Kimmel, M.D. P 32 Michael Fitzpatrick, M.D. P
24 Harry Mayhew, M.D. P 33 Charles Holt, D.O. P
25 Leroy Rodgers, M.D. S 34 Richard Koby, M.D. P
26 Thomas Tafelski, M.D. S 35 John Meier, M.D. P
27 Mark Zilkoski, M.D. S 36 Douglas Smucker, M.D. P
28 Ken Bertka, M.D. G 37 David Weldy, M.D. S
29 Mark DeMichiei, M.D. G 38 Cheryl Zaborowski, M.D. P
30 John Eggert, M.D. G P
P
a. Los números aleatorios que se obtuvieron del apéndice B.6 son 31, 94, 43, 36, 03, 24, 17 y 09,
¿con qué médicos se debe establecer comunicación?
b. Seleccione una muestra aleatoria con los números aleatorios del apéndice B.6.
c. La muestra debe incluir a cada quinto médico. El número 04 se selecciona como punto de partida,
¿con qué médicos se debe establecer contacto?
d. Una muestra debe constar de dos médicos que trabajan solos (S), dos que participan con un socio
(P) y uno con consultorio en grupo (G). Seleccione la muestra correspondiente. Explique su proce-
dimiento.
21. Una población consiste en los siguientes tres valores: 1, 2 y 3.
a. Muestreando con reemplazos, enumere todas las muestras posibles de tamaño 2 y calcule la
media de cada muestra.
b. Encuentre las medias de la distribución de la media muestral y la media poblacional; compare
ambos valores.
c. Compare la dispersión de la población con la de la media muestral.
d. Describa las formas de ambas distribuciones.
22. En el departamento de educación de la UR University, los registros de los estudiantes sugieren que
la población estudiantil pasa un promedio de 5.5 horas a la semana practicando deportes organiza-
dos. La desviación estándar de la población es 2.2 horas a la semana. Basándose en una muestra
de 121 estudiantes, Healthy Lifestyles Incorporated (HLI) desea aplicar el teorema central del límite
para realizar varias estimaciones.
a. Calcule el error estándar de la media muestral.
b. ¿Cuál es la probabilidad de que HLI encuentre una media muestral entre 5.0 y 6.0 horas?
c. Calcule la probabilidad de que la media muestral esté entre 5.3 y 5.7 horas.
d. ¿Qué tan extraño sería obtener una media muestral mayor a 6.5 horas?
23. El fabricante de eComputers, que manufactura una computadora económica, concluyó el diseño de
un nuevo modelo portátil. A los altos ejecutivos de eComputers les gustaría obtener ayuda para
poner precio al nuevo dispositivo. Se solicitaron los servicios de empresas de investigación de mer-
cados y se le pidió preparar una estrategia de precios. Marketing-Gets-Results probó la nueva
computadora portátil de eComputers con 50 consumidores elegidos al azar, quienes indicaron que
tenían planes de adquirir la computadora el año entrante. Una segunda empresa de investigación de
mercados, llamada Marketing-Reaps-Profits, probó en el mercado el mismo artículo con 200 propie-
tarios de computadoras portátiles. ¿Cuál de las pruebas de las empresas de investigación de mer-
cados resulta más útil? Explique las razones.
24. Responda las siguientes preguntas en uno o dos enunciados bien construidos.
a. ¿Qué sucede con el error estándar de la media si aumenta el tamaño de la muestra?
b. ¿Qué sucede con la distribución muestral de la media si aumenta el tamaño de la muestra?
c. Cuando se utiliza la distribución de la media muestral para aproximar la media poblacional, ¿cuál
es el beneficio de utilizar tamaños muestrales más grandes?
25. Hay 25 moteles en Goshen, Indiana; el número de habitaciones en cada uno es el siguiente:
90 72 75 60 75 72 84 72 88 74 105 115 68 74 80 64 104 82 48 58 60 80 48 58 100
a. Utilice la tabla de números aleatorios (apéndice B.6) para seleccionar una muestra aleatoria de
cinco moteles de esta población.
b. Obtenga una muestra sistemática seleccionando un punto de partida aleatorio entre los primeros
cinco moteles y después elija cada quinto motel.
c. Suponga que los últimos cinco moteles son de tarifas rebajadas. Describa la forma en que selec-
cionaría una muestra aleatoria de tres moteles normales y dos de tarifas rebajadas.
Ejercicios del capítulo 245
26. Como parte de su programa de servicio al cliente, United Airlines seleccionó de forma aleatoria a 10
pasajeros de un vuelo que parte de Chicago a Tampa a las 9:00 horas. A cada pasajero de la muestra
se le hará una entrevista a fondo en relación con las instalaciones, servicios, alimentos, etcétera, en
los aeropuertos. Para identificar la muestra, a cada pasajero se le proporcionó un número al abordar
la nave. El primer número fue 001 y el último, 250.
a. Seleccione al azar 10 números con ayuda del apéndice B.4.
b. La muestra de 10 pudo seleccionarse con una muestra sistemática. Elija el primer número con
ayuda del apéndice B.4 y, después, mencione los números de las personas a las que entrevistará.
c. Evalúe ambos métodos; señale las ventajas y posibles desventajas.
d. ¿De qué otra forma se puede seleccionar una muestra aleatoria de los 250 pasajeros?
27. Suponga que el profesor de estadística le aplicó seis exámenes durante el semestre. Usted obtuvo
las siguientes calificaciones (porcentaje corregido): 79, 64, 84, 82, 92 y 77. En lugar de promediar las
seis calificaciones, el profesor le indicó que escogería dos al azar y calcularía el porcentaje final con
base en estos datos.
a. ¿Cuántas muestras de dos calificaciones se pueden tomar?
b. Enumere todas las muestras posibles de tamaño 2 y calcule la media de cada una.
c. Calcule la media de la distribución muestral y compárela con la media de la población.
d. Si usted fuera estudiante, ¿le gustaría este sistema? ¿Sería diferente el resultado si se eliminara la
calificación más baja? Redacte un breve informe.
28. En la oficina del First National Bank, ubicada en el centro de la ciudad, hay cinco cajeros automáticos.
La semana pasada cada uno de los cajeros incurrió en el siguiente número de errores: 2, 3, 5, 3 y 5.
a. ¿Cuántas muestras de dos cajeros se pueden seleccionar?
b. Escriba todas las muestras posibles de tamaño 2 y calcule la media de cada una.
c. Calcule la media de la distribución muestral y compárela con la media de la población.
29. El departamento de control de calidad tiene cinco empleados técnicos en el turno matutino. A con-
tinuación se indica el número de veces que cada técnico indicó al supervisor de producción que in-
terrumpiera el proceso durante la última semana.
Técnico Interrupciones Técnico Interrupciones
Taylor 4 Rousche 3
Hurley 3 Huang 2
Gupta 5
a. ¿Cuántas muestras de dos técnicos se forman con esta población?
b. Enumere todas las muestras de dos observaciones que se pueden tomar y calcule la media de
cada muestra.
c. Compare la media de la distribución muestral con la media de la población.
d. Compare la forma de la distribución de la población con la forma de la distribución muestral de la
media.
30. The Appliance Center cuenta con seis representantes de ventas en su sucursal del norte de Jackson-
ville. A continuación se indica el número de refrigeradores que vendió cada uno durante el último
mes.
Vendedor Refrigeradores Vendedor Refrigeradores
vendidos vendidos
Zina Craft 54 Jan Niles 48
Woon Junge 50 Molly Camp 50
Ernie DeBrul 52 Rachel Myak 52
a. ¿Cuántas muestras de tamaño 2 se pueden tomar?
b. Seleccione todas las muestras posibles de tamaño 2 y calcule la cantidad media de refrigeradores
vendidos.
c. Organice las medias de las muestras en una distribución de frecuencias.
d. ¿Cuál es la media de la población? ¿Cuál es la media de las medias de la muestra?
e. ¿Cuál es la forma de la distribución de la población?
f. ¿Cuál es la forma de la distribución muestral de la media?
31. Power 1, Inc., produce baterías AA que se usan en autos de control remoto. La vida media de estas
sigue una distribución normal de probabilidades con una media de 35.0 horas y una desviación es-
tándar de 5.5 horas. Como parte de su programa de control de calidad, Power 1, Inc., prueba mues-
tras de 25 baterías.
a. ¿Qué se puede decir sobre la forma de la distribución muestral de la media?
b. ¿Cuál es el error estándar de la distribución muestral de la media?
246 CAPÍTULO 8 Métodos de muestreo y teorema central del límite
Para la BASE DE DATOS c. ¿Qué proporción de las muestras tendrá una media de vida útil superior a 36 horas?
visite www.mhhe.com/ d. ¿Qué proporción de la muestra tendrá una media de vida útil mayor que 34.5 horas?
uni/lind_ae16e e. ¿Qué proporción de la muestra tendrá una media de vida útil entre 34.5 y 36 horas?
32. CRA CDs, Inc., desea que las extensiones medias de los “cortes” de un CD sean de 135 segundos
(2:15 minutos). Esto permitirá a los disc jockeys contar con tiempo de sobra para incluir comerciales
entre cada segmento de 10 minutos. Suponga que la distribución de la extensión de los cortes sigue
una distribución normal con una desviación estándar de la población de ocho segundos, y que se-
lecciona una muestra de 16 cortes de varios CD vendidos por CRA CDs, Inc.
a. ¿Qué puede decir sobre la forma de la distribución muestral de la media?
b. ¿Cuál es el error estándar de la media?
c. ¿Qué porcentaje de las medias muestrales será superior a 140 segundos?
d. ¿Qué porcentaje de las medias muestrales será superior a 128 segundos?
e. ¿Qué porcentaje de las medias muestrales será superior a 128 segundos e inferior a 140?
33. Estudios recientes indican que la mujer común de 50 años de edad gasta 350 dólares anuales en
productos de cuidado personal. La distribución de las sumas que se gastan se rige por una distribu-
ción normal con una desviación estándar de 45 dólares anuales. Se selecciona una muestra aleatoria
de 40 mujeres. La cantidad media que gasta dicha muestra es de 335 dólares. ¿Cuál es la probabili-
dad de hallar una media muestral igual o superior a la de la población indicada?
34. Información en poder del American Institute of Insurance indica que la cantidad media de seguros de
vida por familia en Estados Unidos asciende a 110 000 dólares. Esta es una distribución normal y su
desviación estándar es de 40 000 dólares.
a. Si selecciona una muestra aleatoria de 50 familias, ¿cuál es el error estándar de la media?
b. ¿Cuál es la forma de la distribución muestral de la media?
c. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una muestra con una media mínima de 112 000 dólares?
d. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una muestra con una media superior a 100 000 dólares?
e. Determine la probabilidad de seleccionar una muestra con una media superior a 100 000 dólares
e inferior a 112 000.
35. La edad media a la que los hombres se casan por primera vez en Estados Unidos se rige por la dis-
tribución normal, con una media de 24.8 años. La desviación estándar de la distribución es de 2.5
años. En el caso de una muestra aleatoria de 60 hombres, ¿cuál es la probabilidad de que la edad a
la que se casaran por primera vez sea menor de 25.1 años?
36. Un estudio reciente que llevó a cabo la Greater Los Angeles Taxi Drivers Association mostró que la
tarifa media por servicio de Hermosa Beach al Aeropuerto Internacional de Los Ángeles es de 18.00
dólares, y la desviación estándar, de 3.50 dólares. Seleccione una muestra de 15 tarifas.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra se encuentre entre 17.00 y 20.00 dólares?
b. ¿Qué debe suponer para llevar a cabo el cálculo anterior?
37. Crosset Trucking Company afirma que el peso medio de sus camiones cuando se encuentran com-
pletamente cargados es de 6 000 libras, y la desviación estándar, de 150 libras. Considerando que
la población se rige por la distribución normal, se seleccionan al azar 40 camiones y se pesan. ¿Den-
tro de qué límites se presentará 95% de las medias de la muestra?
38. La cantidad media de abarrotes que compra cada cliente en Churchill Grocery Store es de 23.50
dólares, con una desviación estándar de 5.00 dólares. Suponga que la distribución de cantidades
compradas sigue la distribución normal. Considere una muestra de 50 clientes y conteste las si-
guientes preguntas.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra sea de de al menos 25.00 dólares?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra sea superior a 22.50 dólares e inferior a
25.00?
c. ¿Dentro de qué límites se presentará 90% de las medias muestrales?
39. El desempeño medio en una prueba de condición física a estudiantes atletas de la División I es de
947, con una desviación estándar de 205. Si selecciona una muestra aleatoria de 60 estudiantes,
¿cuál es la probabilidad de que la media se encuentre por debajo de 900?
40. Suponga que lanza un dado dos veces.
a. ¿Cuántas muestras se pueden seleccionar?
b. Enumere cada una de las muestras posibles y calcule la media.
c. En un esquema similar al de la gráfica 8.2, compare la distribución muestral de la media con la
distribución de la población.
d. Calcule la media y la desviación estándar de cada distribución y compárelas.
41. En la tabla de la página siguiente se muestra una lista de los 50 estados asignados con los números
0 hasta 49.
a. Usted pretende seleccionar una muestra de 12 elementos de la lista. Los números aleatorios se-
leccionados son 45, 15, 81, 09, 39, 43, 90, 26, 06, 45, 01 y 42. ¿Qué estados se incluyen en la
muestra?
Ejercicios del capítulo 247
Número Estado Número Estado
0 Alabama 25 Montana
1 Alaska 26 Nebraska
2 Arizona 27 Nevada
3 Arkansas 28 New Hampshire
4 California 29 New Jersey
5 Colorado 30 New Mexico
6 Connecticut 31 New York
7 Delaware 32 North Carolina
8 Florida 33 North Dakota
9 Georgia 34 Ohio
10 Hawaii 35 Oklahoma
11 Idaho 36 Oregon
12 Illinois 37 Pennsylvania
13 Indiana 38 Rhode Island
14 Iowa 39 South Carolina
15 Kansas 40 South Dakota
16 Kentucky 41 Tennessee
17 Louisiana 42 Texas
18 Maine 43 Utah
19 Maryland 44 Vermont
20 Massachusetts 45 Virginia
21 Michigan 46 Washington
22 Minnesota 47 West Virginia
23 Mississippi 48 Wisconsin
24 Missouri 49 Wyoming
b. Usted desea utilizar una muestra sistemática de cada sexto elemento y elige el dígito 02 como
punto de partida. ¿Qué estados incluirá?
42. Human Resource Consulting (HRC) lleva a cabo un sondeo con una muestra de 60 empresas de Twin
Cities, Minnesota, con el fin de estudiar los costos del cuidado de la salud del cliente. Uno de los
elementos que se estudia es el deducible anual que deben pagar los empleados. El Minnesota De-
partment of Labor informa que la media de esta distribución es de 502 dólares, con una desviación
estándar de 100 dólares.
a. Calcule el error estándar de la media muestral de HRC.
b. ¿Cuál es la probabilidad de que HRC encuentre una media muestral entre 477 y 527 dólares?
c. Calcule la probabilidad de que la media muestral oscile entre 492 y 512 dólares.
d. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea superior a 550 dólares?
43. La década pasada, el número medio de ataques de hackers a miembros de la Information Systems
Security Association fue de 510 por año, con una desviación estándar de 14.28 ataques; el número
de ataques por año está normalmente distribuido. Suponga que nada cambia en este ambiente.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que este grupo sufra un promedio superior a 600 ataques los próximos
10 años?
b. Calcule la probabilidad de que experimenten un promedio de entre 500 y 600 ataques durante los
próximos 10 años.
c. ¿Cuál es la probabilidad de que experimenten un promedio inferior a 500 ataques durante los
próximos 10 años?
44. Un economista utiliza el precio de un galón de leche como medida para la inflación, y descubre que
el precio promedio es de 3.50 dólares por galón, con una desviación estándar de la población de
0.33 dólares. Usted decide muestrear 40 tiendas de abarrotes, recabar los precios del galón de leche
y calcular el precio medio de la muestra.
a. ¿Cuál es el error estándar de la media de este experimento?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra oscile entre 3.46 y 3.54 dólares?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia entre la media muestral y la media poblacional sea
inferior a un centavo de dólar?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra sea superior a 3.60 dólares?
45. El informe anual de Nike indica que el estadounidense promedio compra 6.5 pares de zapatos de-
portivos al año. Suponga que la desviación estándar de la población es de 2.1 y que se analizará una
muestra de 81 clientes el próximo año.
248 CAPÍTULO 8 Métodos de muestreo y teorema central del límite
a. ¿Cuál es el error estándar de la media en este experimento?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra se encuentre entre 6.0 y 7.0 pares de za-
patos deportivos?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia entre la media muestral y la media poblacional sea
inferior a 0.25 pares?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea superior a 7.0 pares?
EJERCICIOS DE LA BASE DE DATOS
(Los datos para estos ejercicios están disponibles en el sitio web del libro: www.mhhe.com/uni/lind_
ae16e).
46. Consulte los datos sobre Real Estate, que contienen información acerca de casas que se vendieron
en Goodyear, Arizona, el año anterior.
Utilice un software estadístico para calcular la media y la desviación estándar de la distribución de
los precios de venta de las casas. Suponga que esta es la población; calcule la media y la desviación
estándar de la muestra. Determine la probabilidad de encontrar una media de la muestra de este
tamaño o más grande de la población.
47. Consulte los datos sobre béisbol 2012 que contienen información de los 30 equipos de las Ligas
Mayores de Béisbol durante la temporada 2012. En la última década, la asistencia media por equipo
siguió una distribución normal, con una media de 2.25 millones por equipo y una desviación estándar
de 0.70 millones. Utilice un software estadístico para calcular la asistencia media por equipo durante
la temporada 2012. Determine la probabilidad de una media muestral de este tamaño o mayor de la
población.
48. Consulte los datos de los autobuses del Distrito Escolar Buena. La información que proporciona el
fabricante de autobuses escolares sugiere que el costo medio de mantenimiento mensual es de 455
dólares por unidad. Utilice un software estadístico para encontrar la media y la desviación estándar
de los autobuses de Buena; ¿esta información concuerda con la reportada por el fabricante? Espe-
cíficamente, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral sea menor que la de Buena, dados
los datos del fabricante?
Estimación e intervalos 9
de confianza
LA AMERICAN RESTAURANT ASSOCIA OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
TION recopiló información sobre las veces
que los matrimonios jóvenes comen fuera Al terminar este capítulo, usted será capaz de:
de casa cada semana. Una encuesta de 60
parejas demostró que la cantidad media OA91 Calcular e interpretar un estimador puntual de la media
de comidas fuera de casa era de 2.76 por poblacional.
semana, con una desviación estándar de
0.75; construya el intervalo de confianza OA92 Calcular e interpretar un intervalo de confianza para
de 99% para la media de la población (vea una media poblacional.
el ejercicio 36 y el objetivo de aprendizaje
OA9-2). OA93 Calcular e interpretar un intervalo de confianza para
una proporción de la población.
OA94 Calcular el tamaño de la muestra necesario para esti-
mar una proporción de la población o una media po-
blacional.
OA95 Ajustar un intervalo de confianza para poblaciones fini-
tas.
250 CAPÍTULO 9 Estimación e intervalos de confianza
ESTADÍSTICA Introducción
EN ACCIÓN
En el capítulo anterior se inició el estudio de la estadística inferencial y se presentaron las razones
En un lugar visible de la para el muestreo y los métodos para hacerlo. Las razones del muestreo son las siguientes:
ventanilla de todos los au-
tomóviles nuevos de Esta- r $POUBDUBS B UPEB MB QPCMBDJÓO DPOTVNF EFNBTJBEP UJFNQP
dos Unidos aparece una r &M DPTUP EF FTUVEJBS UPEPT MPT FMFNFOUPT EF MB QPCMBDJÓO FT NVZ BMUP
calcomanía con un cálculo r 1PS MP HFOFSBM
MPT SFTVMUBEPT EF MB NVFTUSB SFTVMUBO BEFDVBEPT
aproximado del ahorro r "MHVOBT QSVFCBT SFTVMUBO EFTUSVDUJWBT
de gasolina, según lo re- r &T JNQPTJCMF SFWJTBS UPEPT MPT FMFNFOUPT
quiere la Environmental
Protection Agency (EPA). &YJTUFO WBSJPT NÊUPEPT EF NVFTUSFP FM BMFBUPSJP TJNQMF FT FM RVF NÃT TF VUJMJ[B &O FTUF
DBEB
Con frecuencia, el ahorro NJFNCSP EF MB QPCMBDJÓO QPTFF MBT NJTNBT QPTJCJMJEBEFT EF TFS TFMFDDJPOBEP DPNP QBSUF EF MB
de gasolina constituye un NVFTUSB 0USPT NÊUPEPT EF NVFTUSFP TPO FM TJTUFNÃUJDP
FM FTUSBUJGJDBEP Z FM NVFTUSFP QPS DPOHMP-
factor importante para merados.
que el consumidor elija
un automóvil nuevo de- &O FM DBQÎUVMP TF BTVNF RVF TF DPOPDF MB JOGPSNBDJÓO SFMBDJPOBEB DPO MB NFEJB
MB EFTWJBDJÓO
bido a los costos del com- FTUÃOEBS P MB GPSNB EF MB QPCMBDJÓO %JDIB JOGPSNBDJÓO OP TF FODVFOUSB EJTQPOJCMF FO MB NBZPSÎB EF
bustible o a cuestiones MBT TJUVBDJPOFT EF OFHPDJPT &O SFBMJEBE
FM QSPQÓTJUP EFM NVFTUSFP FT DBMDVMBS EF GPSNB BQSPYJNBEB
ambientales. Por ejemplo, BMHVOPT EF FTUPT WBMPSFT 1PS FKFNQMP
TF TFMFDDJPOB VOB NVFTUSB EF VOB QPCMBDJÓO Z TF VUJMJ[B MB
los cálculos aproximados NFEJB EF FTUB QBSB BQSPYJNBS MB NFEJB EF MB QPCMBDJÓO
del rendimiento de com- &O FTUF DBQÎUVMP TF FTUVEJBO EJWFSTPT BTQFDUPT JNQPSUBOUFT EFM NVFTUSFP &M QSJNFS QBTP
bustible de un BMW 3281 es el estudio del estimador puntual
FM DVBM DPOTJTUF FO VO TPMP WBMPS QVOUP
EFEVDJEP EF VOB
Sedán 2010 (automático, NVFTUSB QBSB FTUJNBS FM EF VOB QPCMBDJÓO 1PS FKFNQMP
TVQPOHB RVF TF FMJHF VOB NVFTUSB EF
de 6 cilindros) son de 18 FKFDVUJWPT EF OJWFM NFEJP Z B DBEB VOP MFT QSFHVOUB DVÃOUBT IPSBT MBCPSÓ MB TFNBOB QBTBEB 4F
millas por galón (mpg) en DBMDVMB MB NFEJB EF FTUB NVFTUSB EF Z TF VUJMJ[B FM WBMPS EF MB NFEJB NVFTUSBM DPNP FTUJNBEPS
la ciudad y de 28 mpg en QVOUVBM EF MB NFEJB QPCMBDJPOBM EFTDPOPDJEB TJO FNCBSHP
VO FTUJNBEPS QVOUVBM FT VO TPMP EBUP
carretera. La EPA reconoce 6O FOGPRVF RVF BSSPKB NÃT JOGPSNBDJÓO DPOTJTUF FO QSFTFOUBS VO JOUFSWBMP EF WBMPSFT EFM DVBM TF FT-
que el verdadero ahorro QFSB FTUJNBS FM QBSÃNFUSP QPCMBDJPOBM %JDIP JOUFSWBMP SFDJCF FM OPNCSF EF PU[LY]HSV KL JVUÄHUaH.
de gasolina puede diferir &O MPT OFHPDJPT
B NFOVEP FT OFDFTBSJP EFUFSNJOBS FM UBNBÒP EF VOB NVFTUSB y" DVÃOUPT FMFDUP-
de los cálculos aproxima- SFT EFCF DPOUBDUBS VOB DPNQBÒÎB EFEJDBEB B SFBMJ[BS FODVFTUBT DPO FM àO EF QSFEFDJS MPT SFTVMUBEPT
dos: “Ninguna prueba EF MBT FMFDDJPOFT y$VÃOUPT QSPEVDUPT TF OFDFTJUBO BOBMJ[BS QBSB HBSBOUJ[BS FM OJWFM EF DBMJEBE &O
puede simular todas las FTUF DBQÎUVMP UBNCJÊO TF FYQMJDB VOB FTUSBUFHJB QBSB EFUFSNJOBS FM UBNBÒP BEFDVBEP EF MB NVFTUSB
combinaciones de condi-
ciones y climas posibles, Estimadores puntuales e intervalos
del comportamiento del de confianza de una media
conductor y hábitos en el
cuidado del automóvil. El 6O FTUJNBEPS QVOUVBM FT VO FTUBEÎTUJDP ÙOJDP QBSB DBMDVMBS VO QBSÃNFUSP QPCMBDJPOBM 4VQPOHB RVF
rendimiento real depende #FTU #VZ
*OD
EFTFB FTUJNBS MB FEBE NFEJB EF MPT DPNQSBEPSFT EF UFMFWJTPSFT MFE EF BMUB EFGJOJ-
de cómo, cuándo y dónde DJÓO TFMFDDJPOB VOB NVFTUSB BMFBUPSJB EF DMJFOUFT SFDJFOUFT
EFUFSNJOB MB FEBE EF DBEB VOP Z
se maneje el vehículo. La calcula la edad media de estos. La media de esta muestra es un estimador puntual de la media de
EPA descubrió que las MB QPCMBDJÓO
mpg que obtiene la ma-
yoría de los conductores ESTIMADOR PUNTUAL Estadístico calculado a partir de información de la muestra para estimar
difieren de los cálculos FM QBSÃNFUSP QPCMBDJPOBM
aproximados por muy
poco”. De hecho, la calco- &O MPT TJHVJFOUFT FKFNQMPT TF JMVTUSBO MPT FTUJNBEPSFT QVOUVBMFT EF NFEJBT QPCMBDJPOBMFT
manía del parabrisas tam-
bién incluye una estima- 1. &M UVSJTNP DPOTUJUVZF VOB GVFOUF JNQPSUBOUF EF JOHSFTPT QBSB NVDIPT QBÎTFT DBSJCFÒPT
DPNP
ción del intervalo relativo #BSCBEPT 4VQPOHB RVF MB 0GJDJOB EF 5VSJTNP EF #BSCBEPT EFTFB VO DÃMDVMP BQSPYJNBEP EF MB
al ahorro de combustible; DBOUJEBE NFEJB RVF HBTUBO MPT UVSJTUBT RVF WJTJUBO FM QBÎT /P SFTVMUBSÎB WJBCMF QPOFSTF FO DPO-
por ejemplo, 14 a 22 mpg UBDUP DPO DBEB UVSJTUB QPS DPOTJHVJFOUF
TF TFMFDDJPOBO UVSJTUBT BM B[BS FO FM NPNFOUP FO
en ciudad y de 23 a 33 RVF TBMFO EFM QBÎT Z TF MFT QSFHVOUBO EFUBMMFT EF MPT HBTUPT RVF SFBMJ[BSPO EVSBOUF TV WJTJUB B MB
mpg en carretera. JTMB -B DBOUJEBE NFEJB RVF HBTUÓ MB NVFTUSB EF UVSJTUBT DPOTUJUVZF VO DÃMDVMP BQSPYJNBEP
EFM QBSÃNFUSP QPCMBDJPOBM EFTDPOPDJEP &T EFDJS
zMB NFEJB NVFTUSBM FT FM FTUJNBEPS QVOUVBM EF
OA9-1 MB NFEJB QPCMBDJPOBM
Calcular e interpretar
un estimador puntual 2. -JUDIGJFME )PNF #VJMEFST
*OD
DPOTUSVZF DBTBT FO MB [POB TVSFTUF EF &TUBEPT 6OJEPT 6OB EF
de la media poblacio- MBT QSJODJQBMFT QSFPDVQBDJPOFT EF MPT DPNQSBEPSFT FT MB GFDIB FO RVF DPODMVJSÃO MBT PCSBT
nal.
Intervalos de confianza de una media poblacional 251
)BDF QPDP -JUDIGJFME DPNVOJDÓ B TVT DMJFOUFT i4V DBTB RVFEBSÃ UFSNJOBEB FO EÎBT B QBSUJS
de la fecha de instalación de los muros”. El departamento de atención a clientes de Litchfield
EFTFB DPNQBSBS FTUF PGSFDJNJFOUP DPO FYQFSJFODJBT SFDJFOUFT 6OB NVFTUSB EF DBTBT UFSNJ-
OBEBT FTUF BÒP SFWFMÓ RVF FM OÙNFSP NFEJP EF EÎBT EF USBCBKP P IÃCJMFT
B QBSUJS EFM JOJDJP EF
MB DPOTUSVDDJÓO EF MPT NVSPT B MB UFSNJOBDJÓO EF MB DBTB GVF EF y&T SB[POBCMF DPODMVJS
RVF MB NFEJB QPCMBDJPOBM BÙO FT EF EÎBT Z RVF MB EJGFSFODJB FOUSF MB NFEJB NVFTUSBM
EÎBT
Z MB NFEJB EF QPCMBDJÓO QSPQVFTUB FT VO FSSPS EF NVFTUSFP &O PUSBT QBMBCSBT
yMB NFEJB
NVFTUSBM EJGJFSF FO GPSNB TJHOJGJDBUJWB EF MB NFEJB QPCMBDJPOBM
3. &TUVEJPT NÊEJDPT SFDJFOUFT JOEJDBO RVF FM FKFSDJDJP DPOTUJUVZF VOB QBSUF
importante de la salud general de una persona. El director de recursos hu-
NBOPT EF 0$'
GBCSJDBOUF JNQPSUBOUF EF WJESJP
EFTFB DBMDVMBS MB DBOUJEBE
EF IPSBT TFNBOBMFT RVF MPT FNQMFBEPT EFEJDBO BM FKFSDJDJP 6OB NVFTUSB
EF FNQMFBEPT SFWFMB RVF MB DBOUJEBE NFEJB EF IPSBT EF FKFSDJDJP EVSBO-
UF MB TFNBOB QBTBEB GVF EF &TUF WBMPS FT VO FTUJNBEPS QVOUVBM EF MB
NFEJB QPCMBDJPOBM EFTDPOPDJEB
-B NFEJB NVFTUSBM
x, OP FT FM ÙOJDP FTUJNBEPS QVOUVBM EF VO QBSÃNFUSP QP-
CMBDJPOBM 1PS FKFNQMP
p VOB QSPQPSDJÓO NVFTUSBM
FT VO FTUJNBEPS QVOUVBM EF p
MB QSPQPSDJÓO QPCMBDJPOBM
Z s MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS NVFTUSBM
FT VO FTUJNBEPS
puntual de s MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS QPCMBDJPOBM
Intervalos de confianza de una media poblacional OA9-2
"IPSB CJFO
VO FTUJNBEPS QVOUVBM TPMP DVFOUB QBSUF EF MB IJTUPSJB "VORVF TF FTQFSB RVF FTUF TF Calcular e interpretar
BQSPYJNF BM QBSÃNFUSP QPCMBDJPOBM
TFSÎB DPOWFOJFOUF NFEJS TV WFSEBEFSB QSPYJNJEBE 6O JOUFSWBMP un intervalo de con-
EF DPOGJBO[B TJSWF QBSB FTUF QSPQÓTJUP 1PS FKFNQMP
TF FTUJNB RVF FM JOHSFTP BOVBM NFEJP EF MPT fianza para una media
USBCBKBEPSFT EF MB DPOTUSVDDJÓO FO FM ÃSFB EF /VFWB :PSL B /VFWB +FSTFZ FT EF EÓMBSFT 6O poblacional.
JOUFSWBMP EF FTUF WBMPS BQSPYJNBEP QVFEF PTDJMBS FOUSF Z EÓMBSFT &T QSFDJTP HFOFSBS
VO FOVODJBEP QSPCBCJMÎTUJDP QBSB EFTDSJCJS DVÃOUP FT QPTJCMF DPOGJBS FO RVF FM QBSÃNFUSP QPCMBDJPOBM
TF FODVFOUSF FO FM JOUFSWBMP QPS FKFNQMP
TF DVFOUB DPO EF DPOGJBO[B EF RVF FM JOHSFTP BOVBM
NFEJP EF MPT USBCBKBEPSFT EF MB DPOTUSVDDJÓO FO FM ÃSFB EF /VFWB :PSL B /VFWB +FSTFZ TF FODVFOUSB
FOUSF Z EÓMBSFT
INTERVALO DE CONFIANZA $POKVOUP EF WBMPSFT RVF TF GPSNB B QBSUJS EF VOB NVFTUSB EF GPSNB
RVF FYJTUB MB QSPCBCJMJEBE EF RVF FM QBSÃNFUSP QPCMBDJPOBM PDVSSB EFOUSP EF EJDIP DPOKVOUP DPO
VOB QSPCBCJMJEBE FTQFDÎGJDB -B QSPCBCJMJEBE FTQFDÎGJDB TF MMBNB nivel de confianza.
1BSB DBMDVMBS FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B QBSB VOB NFEJB QPCMBDJPOBM TF DPOTJEFSBO EPT TJUVBDJPOFT
r -PT EBUPT EF MB NVFTUSB TF VUJMJ[BO QBSB DBMDVMBS m con x
NJFOUSBT RVF MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS
EF MB QPCMBDJÓO s
FT DPOPDJEB
r -PT EBUPT EF MB NVFTUSB TF VUJMJ[BO QBSB DBMDVMBS m con x
NJFOUSBT RVF MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS
EF MB QPCMBDJÓO s
FT EFTDPOPDJEB
&YJTUFO EJGFSFODJBT JNQPSUBOUFT FO MBT TVQPTJDJPOFT FOUSF BNCBT TJUVBDJPOFT $POTJEFSF QSJNFSP FM
caso donde se conoce s.
Desviación estándar de la población conocida (s)
6O JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B TF DBMDVMB DPO FM FNQMFP EF EPT FTUBEÎTUJDPT MB NFEJB NVFTUSBM
x
Z MB
EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS %F MPT DBQÎUVMPT BOUFSJPSFT VTUFE TBCF RVF MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS FT VO FTUB-
EÎTUJDP JNQPSUBOUF QPSRVF NJEF MB EJTQFSTJÓO
P WBSJBDJÓO
EF VOB QPCMBDJÓO P VOB EJTUSJCVDJÓO NVFT-
USBM $VBOEP TF DBMDVMB VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B
TF VUJMJ[B MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS QBSB FTUJNBS FM
SBOHP EFM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B
1BSB EFNPTUSBS MB JEFB EFM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B
FT QSFDJTP DPNFO[BS DPO VOB TVQPTJDJÓO
TJNQMF TF DPOPDF FM WBMPS EF MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB QPCMBDJÓO
s &O HFOFSBM
TF UJFOF MB EFT-
WJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB QPCMBDJÓO FO TJUVBDJPOFT DPO VOB MBSHB IJTUPSJB EF SFDPMFDDJÓO EF EBUPT QPS
252 CAPÍTULO 9 Estimación e intervalos de confianza
FKFNQMPT
4PCSB MB s FM NPOJUPSFP EF MPT QSPDFTPT EF MMFOBEP EF CPUFMMBT EF SFGSFTDP P EF DBKBT EF
DFSFBM
Z MPT SFTVMUBEPT EF MB QSVFCB EF SB[POBNJFOUP 4"5 QBSB BENJTJÓO B MB VOJWFSTJEBE
$POPDFS
s QFSNJUF TJNQMJGJDBS FM EFTBSSPMMP EFM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B QPSRVF FT QPTJCMF VUJMJ[BS MB EJTUSJCVDJÓO
OPSNBM FTUÃOEBS RVF TF FTUVEJÓ FO FM DBQÎUVMP
3FDVFSEF RVF MB EJTUSJCVDJÓO NVFTUSBM EF MB NFEJB FT MB EJTUSJCVDJÓO EF UPEBT MBT NFEJBT NVFT-
USBMFT
x
DPO UBNBÒP EF MB NVFTUSB
n
EF VOB QPCMBDJÓO
Z RVF TF DPOPDF MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF
MB QPCMBDJÓO
s " QBSUJS EF FTUB JOGPSNBDJÓO
Z EFM UFPSFNB DFOUSBM EFM MÎNJUF
TF TBCF RVF MB EJTUSJCV-
DJÓO NVFTUSBM TJHVFO VOB EJTUSJCVDJÓO EF QSPCBCJMJEBE OPSNBM DPO VOB NFEJB m Z VOB EFTWJBDJÓO
FTUÃOEBS syVn 3FDVFSEF RVF FTUF WBMPS SFDJCF FM OPNCSF EF FSSPS FTUÃOEBS
Los resultados del teorema central del límite permiten afirmar lo siguiente con respecto a los
JOUFSWBMPT EF DPOGJBO[B VUJMJ[BOEP FM FTUBEÎTUJDP z:
1. %F UPEPT MPT JOUFSWBMPT EF DPOGJBO[B DBMDVMBEPT B QBSUJS EF NVFTUSBT BMFBUPSJBT TFMFDDJPOBEBT
EF VOB QPCMBDJÓO
DPOUFOESÃ MB NFEJB QPCMBDJPOBM &TUPT JOUFSWBMPT TF DBMDVMBO VUJMJ[BOEP
un estadístico-z JHVBM B
2. %F UPEPT MPT JOUFSWBMPT EF DPOGJBO[B DBMDVMBEPT B QBSUJS EF NVFTUSBT BMFBUPSJBT TFMFDDJPOBEBT
EF VOB QPCMBDJÓO
DPOUFOESÃ MB NFEJB QPCMBDJPOBM &TUPT JOUFSWBMPT EF DPOGJBO[B TF DBM-
culan utilizando un estadístico-z JHVBM B
-PT JOUFSWBMPT EF DPOGJBO[B DBMDVMBEPT EF FTUB NBOFSB QSPQPSDJPOBO FKFNQMPT EF MPT niveles de
confianza Z SFDJCFO FM OPNCSF EF PU[LY]HSV KL JVUMPHUaH KL e PU[LY]HSV KL JVUMPHUaH KL
1PS MP UBOUP
Z TPO MPT OJWFMFT EF DPOGJBO[B Z TF SFGJFSFO BM QPSDFOUBKF EF JOUFSWBMPT TJNJ-
MBSNFOUF DPOTUSVJEPT RVF JODMVJSÎBO FM QBSÃNFUSP B DBMDVMBS
FO FTUF DBTP
m
MB NFEJB QPCMBDJPOBM
y$ÓNP TF PCUJFOFO Z 1SJNFSP
CVTRVF FM WBMPS z QBSB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B
&M TJHVJFOUF EJBHSBNB Z MB UBCMB QÃHJOB TJHVJFOUF
TPO EF VUJMJEBE FO EJDIB UBCMB TF NVFTUSB VOB
SFQSPEVDDJÓO EFM BQÊOEJDF #
MB UBCMB EF WBMPSFT FTUÃOEBS OPSNBMFT 4JO FNCBSHP
TF FMJNJOBO
WBSJBT GJMBT Z DPMVNOBT QBSB VCJDBS NFKPS MBT RVF JOUFSFTBO
0.025 0.4750 0.4750 0.025
–1.96 Valor de z 1.96
1. 1SJNFSP
TF EJWJEF FM OJWFM EF DPOGJBO[B B MB NJUBE
BTÎ RVF 5
2. %FTQVÊT TF VCJDB FO FM DVFSQP EF MB UBCMB PCTFSWF RVF FTUB DBOUJEBE TF FODVFOUSB
en la intersección de una fila y una columna.
3. -PDBMJDF FM WBMPS EF MB GJMB DPSSFTQPOEJFOUF FO FM NBSHFO J[RVJFSEP
RVF FT
Z FM EF MB DPMVN-
OB FO FM NBSHFO TVQFSJPS
RVF FT 4VNÃOEPMPT TF PCUJFOF VO WBMPS z EF
4. "TÎ
MB QSPCBCJMJEBE EF FODPOUSBS VO WBMPS z FOUSF Z FT
5. %F MB NJTNB GPSNB
Z EBEP RVF MB EJTUSJCVDJÓO OPSNBM FT TJNÊUSJDB
MB QSPCBCJMJEBE EF FODPOUSBS
VO WBMPS z entre 2 Z UBNCJÊO FT
6. $VBOEP TF TVNBO BNCBT DBOUJEBEFT
MB QSPCBCJMJEBE EF RVF VO WBMPS z esté entre 2 Z
FT
1BSB FM OJWFM EF DPOGJBO[B TF TJHVFO MPT NJTNPT QBTPT 1SJNFSP
MB NJUBE EFM JOUFSWBMP EF
DPOGJBO[B EFTFBEP FT FTUB DBOUJEBE OP TF SFWFMB EF NBOFSB FYBDUB FO MB UBCMB TJO FN-
CBSHP
FTUÃ FOUSF EPT WBMPSFT Z
FOUPODFT
UBM DPNP FO FM QBTP USFT
TF MPDBM[BO FO
MB UBCMB &M QSJNFSP
DPSSFTQPOEF B VO WBMPS z EF
Z FM TFHVOEP
B VOP EF
1BSB TFS DPOTFSWBEPSFT
TFMFDDJPOF FM NBZPS EF FTUPT
FM OJWFM FYBDUP EF DPOGJBO[B FT
P
&OTFHVJEB
MB QSPCBCJMJEBE EF IBMMBS VO WBMPS z entre 2 Z FT
Z MB QSPCBCJ-
MJEBE EF RVF FTUF TF VCJRVF FOUSF 2 Z FT
y$ÓNP TF EFUFSNJOB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF -B BNQMJUVE EFM JOUFSWBMP TF EFUFSNJOB
QPS NFEJP EF EPT GBDUPSFT
FM OJWFM EF DPOGJBO[B
DPNP TF EFTDSJCF FO MB TFDDJÓO BOUFSJPS Z
FM
Intervalos de confianza de una media poblacional 253
TABLA 9.1 Tabla de valores estándar normales para valores seleccionados
z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
o oo oo ooo o
1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418
1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525
1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616
1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693
1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756
2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808
2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850
2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884
UBNBÒP EFM FSSPS FTUÃOEBS EF MB NFEJB 1BSB FODPOUSBS FM FSSPS FTUÃOEBS EF MB NFEJB
SFDVFSEF EFM
DBQÎUVMP BOUFSJPS WFB MB GÓSNVMB < >
RVF FM FSSPS FTUÃOEBS EF MB NFEJB JOEJDB MB WBSJBDJÓO EF MB EJT-
USJCVDJÓO EF MBT NFEJBT NVFTUSBMFT 4F USBUB
FO SFBMJEBE
EF MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB EJTUSJCVDJÓO
muestral de medias. La fórmula se repite enseguida:
donde: s
sx 5
Vn
sx TÎNCPMP FT FM TÎNCPMP EFM FSSPS FTUÃOEBS EF MB NFEJB TF VUJMJ[B MB MFUSB HSJFHB QPSRVF TF
USBUB EF VO WBMPS QPCMBDJPOBM
Z FM TVCÎOEJDF x SFDVFSEB RVF TF SFGJFSF B MB EJTUSJCVDJÓO EF
NFEJBT NVFTUSBMFT
s FT MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS QPCMBDJPOBM
n FT FM OÙNFSP EF PCTFSWBDJPOFT FO MB NVFTUSB
%PT WBMPSFT JOGMVZFO FO FM UBNBÒP EFM FSSPS FTUÃOEBS &M QSJNFSP FT MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF
MB QPCMBDJÓO NJFOUSBT NBZPS TFB MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB QPCMBDJÓO
s, NBZPS TFSÃ syVn 4J MB
QPCMBDJÓO FT IPNPHÊOFB
EF NPEP RVF HFOFSF VOB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS QPCMBDJPOBM QFRVFÒB
FM
FSSPS FTUÃOEBS UBNCJÊO TFSÃ QFRVFÒP 4JO FNCBSHP
MB DBOUJEBE EF WBMPSFT EF MB NVFTUSB UBNCJÊO
BGFDUB BM FSSPS FTUÃOEBS VOB NVFTUSB HSBOEF HFOFSBSÃ VO FSSPS FTUÃOEBS QFRVFÒP FO MB FTUJNBDJÓO
MP RVF JOEJDBSÃ RVF IBZ NFOPT WBSJBCJMJEBE FO MBT NFEJBT NVFTUSBMFT
-PT DÃMDVMPT FO FM DBTP EF VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF TF SFTVNFO DPO MB TJHVJFOUF
fórmula: s
x 6
Vn
%F NBOFSB TJNJMBS
VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF TF DBMDVMB EF MB TJHVJFOUF NBOFSB
s
x 6
Vn
$POTJEFSF RVF Z TPO WBMPSFT z DPSSFTQPOEJFOUFT B MPT JOUFSWBMPT EF DPOGJBO[B
Z
SFTQFDUJWBNFOUF TJO FNCBSHP
OP TPO FYDMVTJWPT &T QPTJCMF TFMFDDJPOBS DVBMRVJFS OJWFM
EF DPOGJBO[B FOUSF Z Z FODPOUSBS FM WBMPS DPSSFTQPOEJFOUF B z. &O HFOFSBM
VO JOUFSWBMP EF
DPOGJBO[B EF MB NFEJB QPCMBDJPOBM
DVBOEP TF DPOPDF MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS QPCMBDJPOBM
TF DBMDV-
la de la siguiente manera:
INTERVALO DE CONFIANZA DE LA MEDIA s [9.1]
POBLACIONAL CON UNA s CONOCIDA x 6z
Vn
1BSB FYQMJDBS FTUPT DPODFQUPT
DPOTJEFSF FM TJHVJFOUF FKFNQMP %FM .POUF 'PPET
*OD
EJTUSJCVZF
EVSB[OPT FO USP[P FO MBUBT EF PO[BT 1BSB HBSBOUJ[BS RVF DBEB MBUB DPOUFOHB QPS MP NFOPT MB
DBOUJEBE RVF TF SFRVJFSF
%FM .POUF FTUBCMFDF RVF FM QSPDFTP EF MMFOBEP EFCF WFSUFS PO[BT EF
EVSB[OPT Z BMNÎCBS FO DBEB MBUB "TÎ
FT MB NFEJB QPCMBDJPOBM 1PS TVQVFTUP
OP UPEBT MBT MBUBT
DPOUFOESÃO FYBDUBNFOUF PO[BT EF EVSB[OPT Z BMNÎCBS
BMHVOBT MBUBT UFOESÃO NÃT Z PUSBT
NF-
OPT " QBSUJS EF EBUPT IJTUÓSJDPT
%FM .POUF TBCF RVF PO[BT FT MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EFM QSP-
254 CAPÍTULO 9 Estimación e intervalos de confianza
DFTP EF MMFOBEP Z RVF MB DBOUJEBE
FO PO[BT
TJHVF VOB EJTUSJCVDJÓO EF QSPCBCJMJ-
EBE OPSNBM &M UÊDOJDP FO DPOUSPM EF DBMJEBE TFMFDDJPOB VOB NVFTUSB EF MBUBT
EF DBEB UVSOP
NJEF MB DBOUJEBE FO DBEB VOB
DBMDVMB MB DBOUJEBE NFEJB EF MMFOBEP
Z EFTBSSPMMB VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF QBSB MB NFEJB QPCMBDJPOBM 6UJMJ[BO-
EP FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B
yFM QSPDFTP FTUÃ MMFOBOEP MBT MBUBT DPO MB DBOUJEBE
EFTFBEB -B ÙMUJNB NVFTUSB EF MBUBT UVWP VOB NFEJB NVFTUSBM EF PO[BT
#BTÃOEPTF FO FTUB JOGPSNBDJÓO
FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF FT
s 5 6
x 6 5 6
Vn V
&M JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF FTUJNB RVF MB NFEJB QPCMBDJPOBM FTUÃ FOUSF Z
PO[BT EF EVSB[OPT Z BMNÎCBS 3FDVFSEF RVF FM QSPDFTP FTUÃ QSPHSBNBEP QBSB MMFOBS DBEB MBUB DPO
PO[BT DPNP MB DBOUJEBE EFTFBEB EF MMFOBEP FTUÃ FO FTUF JOUFSWBMP
TF DPODMVZF RVF FM QSPDFTP
EF MMFOBEP MPHSB MPT SFTVMUBEPT FTQFSBEPT &O PUSBT QBMBCSBT
FT SB[POBCMF DPODMVJS RVF MB NFEJB
NVFTUSBM EF QVEP QSPWFOJS EF VOB EJTUSJCVDJÓO QPCMBDJPOBM DPO VOB NFEJB EF PO[BT
&O FTUF FKFNQMP TF PCTFSWB RVF MB NFEJB QPCMBDJPOBM EF PO[BT FTUÃ FO FM JOUFSWBMP EF DPO-
GJBO[B QFSP FTUF OP TJFNQSF FT BTÎ 4J TF TFMFDDJPOBO NVFTUSBT EF MBUBT EF MB QPCMBDJÓO
TF
DBMDVMB MB NFEJB NVFTUSBM Z TF EFTBSSPMMB VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B CBTBEP FO DBEB NVFTUSB
TFSÎB
GBDUJCMF FODPOUSBS MB NFEJB QPCMBDJPOBM FO BQSPYJNBEBNFOUF EF MPT JOUFSWBMPT P
QPS FM DPO-
USBSJP
DFSDB EF DJODP EF MPT JOUFSWBMPT OP DPOUFOESÃO MB NFEJB QPCMBDJPOBM 3FDVFSEF
EFM DBQÎUVMP
RVF FTUP TF MMBNB FSSPS NVFTUSBM &O FM TJHVJFOUF FKFNQMP TF EFUBMMBO MPT NVFTUSFPT SFQFUJEPT EF
VOB QPCMBDJÓO
EJEMPLO
-B "NFSJDBO .BOBHFNFOU "TTPDJBUJPO estudia el ingreso medio de los gerentes de tiendas de la in-
EVTUSJB EFM NFOVEFP 6OB NVFTUSB BMFBUPSJB EF HFSFOUFT SFWFMB VOB NFEJB NVFTUSBM EF
EÓMBSFT Z VOB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF EÓMBSFT " MB BTPDJBDJÓO MF HVTUBSÎB SFTQPOEFS MBT TJHVJFO-
tes preguntas:
1. y$VÃM FT MB NFEJB EF MB QPCMBDJÓO
2. y$VÃM FT VO SBOHP EF WBMPSFT SB[POBCMF QBSB MB NFEJB QPCMBDJPOBM
3. y$ÓNP TF EFCFO JOUFSQSFUBS FTUPT SFTVMUBEPT
SOLUCIÓN
&O HFOFSBM
MBT EJTUSJCVDJPOFT EF MPT TBMBSJPT F JOHSFTPT UJFOFO VO TFTHP QPTJUJWP
QVFT VOPT DVBOUPT
JOEJWJEVPT HBOBO DPOTJEFSBCMFNFOUF NÃT RVF PUSPT
MP DVBM TFTHB MB EJTUSJCVDJÓO FO EJSFDDJÓO QPTJUJ-
WB 1PS GPSUVOB
FM UFPSFNB DFOUSBM EFM MÎNJUF FTUJQVMB RVF
TJ TF TFMFDDJPOB VOB NVFTUSB HSBOEF
MB
EJTUSJCVDJÓO EF MBT NFEJBT NVFTUSBMFT UFOEFSÃ B TFHVJS MB EJTUSJCVDJÓO OPSNBM FO FTUF DBTP
VOB
NVFTUSB EF HFSFOUFT FT MP CBTUBOUF HSBOEF QBSB TVQPOFS RVF MB EJTUSJCVDJÓO QSFTFOUBSÃ EJDIB
UFOEFODJB " DPOUJOVBDJÓO TF SFTQPOEFO MBT QSFHVOUBT QMBOUFBEBT FO FM FKFNQMP
1. ¿Cuál es la media de la población? &O FTUF DBTP TF JHOPSB
QFSP TF TBCF RVF MB NFEJB EF MB
NVFTUSB FT EF EÓMBSFT %F BIÎ RVF MB NFKPS FTUJNBDJÓO EFM WBMPS EF QPCMBDJÓO TFB FM FT-
UBEÎTUJDP EF MB NVFTUSB DPSSFTQPOEJFOUF QPS DPOTJHVJFOUF
MB NFEJB EF MB NVFTUSB EF
dólares constituye un estimador puntual EF MB NFEJB QPCMBDJPOBM EFTDPOPDJEB
2. ¦*\mS LZ LS YHUNV KL ]HSVYLZ YHaVUHISL WHYH SH TLKPH WVISHJPVUHS& La asociación decide
VUJMJ[BS VO OJWFM EF DPOGJBO[B EF 1BSB EFUFSNJOBS FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B DPSSFTQPOEJFOUF
TF BQMJDB MB GÓSNVMB < >
x 6z s
5 6 5 6
Vn V
-PT MÎNJUFT EFM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B TPO Z EÓMBSFT &M HSBEP P OJWFM EF DPOGJBO[B
FT EF
Z FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B BCBSDB EF IBTUB EÓMBSFT " 6 TF MF
llama margen de error.
3. ¿Cómo se deben interpretar estos resultados? 4VQPOHB RVF VTUFE TFMFDDJPOB WBSJBT NVFT-
USBT EF HFSFOUFT
UBM WF[ WBSJPT DJFOUPT 1BSB DBEB NVFTUSB
DBMDVMB MB NFEJB Z EFTQVÊT
DPOTUSVZF VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF
DPNP FO MB TFDDJÓO BOUFSJPS 1VFEF FTQFSBS RVF
BMSFEFEPS EF EF FTUPT JOUFSWBMPT EF DPOGJBO[B DPOUFOHB MB NFEJB EF MB población. $FSDB EF
Intervalos de confianza de una media poblacional 255
EF MPT JOUFSWBMPT OP DPOUFOESÃO FM JOHSFTP BOVBM NFEJP QPCMBDJPOBM
m OP PCTUBOUF
VO JO-
UFSWBMP EF DPOGJBO[B QBSUJDVMBS DPOUJFOF FM QBSÃNFUSP QPCMBDJPOBM P OP MP DPOUJFOF &O FM TJHVJFO-
UF EJBHSBNB TF NVFTUSBO MPT SFTVMUBEPT EF TFMFDDJPOBS NVFTUSBT EF MB QPCMBDJÓO EF HFSFOUFT EF
MB JOEVTUSJB EFM NFOVEFP TF DBMDVMB MB NFEJB EF DBEB VOB Z
QPTUFSJPSNFOUF
DPO MB GÓSNVMB < >
TF EFUFSNJOB VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB NFEJB QPCMBDJPOBM 0CTFSWF RVF OP UPEPT
MPT JOUFSWBMPT JODMVZFO MB NFEJB QPCMBDJPOBM MPT EPT QVOUPT FYUSFNPT EF MB RVJOUB NVFTUSB TPO
JOGFSJPSFT B MB NFEJB QPCMBDJPOBM &TUP TF EFCF BM FSSPS EF NVFTUSFP
RVF DPOTUJUVZF FM SJFTHP
RVF TF BTVNF DVBOEP TF TFMFDDJPOB FM OJWFM EF DPOGJBO[B
m – 1.96 s m m + 1.96 s Escala de x
3n 3n
Muestra 1 de tamaño 49 (incluye
x2 x1 la media de la población)
x3 x4
Muestra 2 de tamaño 49 (incluye
x5 la media de la población)
Muestra 3 de tamaño 49 (incluye
x6 la media de la población)
Media de la población Muestra 4 de tamaño 49 (incluye
la media de la población)
Muestra 5 de tamaño 49 (no incluye
la media de la población)
Muestra 6 de tamaño 49 (incluye
la media de la población)
Simulación por computadora
$PO BZVEB EF VOB DPNQVUBEPSB FT QPTJCMF DSFBS GÃDJMNFOUF NVFTUSBT BMFBUPSJBT EFM UBNBÒP EFTFB-
EP
n
EF VOB QPCMBDJÓO Z DBMDVMBS MB NFEJB QBSB DBEB NVFTUSB EF n WBMPSFT
DPO TVT DPSSFTQPOEJFO-
UFT OVNÊSJDPT " QBSUJS EF MB NFEJB NVFTUSBM
MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB QPCMBDJÓO Z FM OJWFM EF
DPOGJBO[B
TF EFUFSNJOB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF DBEB NVFTUSB %FTQVÊT
VTBOEP UPEBT MBT
NVFTUSBT Z MPT JOUFSWBMPT EF DPOGJBO[B
TF FODVFOUSB MB GSFDVFODJB DPO MB RVF MB NFEJB QPCMBDJPOBM
FTUÃ JODMVJEB FO MPT JOUFSWBMPT EF DPOGJBO[B &O FM TJHVJFOUF FKFNQMP TF NVFTUSB QSFDJTBNFOUF FTP
EJEMPLO
5SBT WBSJPT BÒPT FO FM OFHPDJP EF SFOUB EF BVUPNÓWJMFT
5PXO #BOL TBCF RVF MB EJTUBODJB NFEJB SF-
DPSSJEB FO VO DPOUSBUP EF DVBUSP BÒPT FT EF NJMMBT
Z MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS
EF &TUPT
TPO MPT WBMPSFT QPCMBDJPOBMFT 4VQPOHB RVF 5PXO #BOL RVJFSF FYQFSJNFOUBS DPO MB JEFB EF IBDFS VO
NVFTUSFP QBSB FTUJNBS MB NFEJB QPCMBDJPOBM EF NJMMBT FOUPODFT EFDJEF FMFHJS VO UBNBÒP EF
NVFTUSB EF PCTFSWBDJPOFT Z VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF QBSB FTUJNBS MB NFEJB QPCMBDJPOBM
$PO CBTF FO FM FYQFSJNFOUP
FODVFOUSF MB QSPQPSDJÓO EF JOUFSWBMPT EF DPOGJBO[B EF RVF JODMVJSÃO
MB NFEJB QPCMBDJPOBM EF 4F FTQFSB RVF DFSDB EF
P EF JOUFSWBMPT
JODMVZBO MB NFEJB
QPCMBDJPOBM 1BSB GBDJMJUBS MPT DÃMDVMPT
USBCBKF FO NJMFT EF NJMMBT
FO MVHBS EF VOJEBEFT EF NJMMB
SOLUCIÓN
.FEJBOUF VO TPGUXBSF FTUBEÎTUJDP TF HFOFSBO NVFTUSBT BMFBUPSJBT EF Z TF DBMDVMBO MBT NFEJBT
NVFTUSBMFT EF DBEB VOB %FTQVÊT
VUJMJ[BOEP MB n EF Z VO FSSPS FTUÃOEBS EF syVn 5 yV
TF DBMDVMB VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B QBSB DBEB NVFTUSB " DPOUJOVBDJÓO TF NVFTUSBO MPT SFTVMUBEPT
del experimento.
256 CAPÍTULO 9 Estimación e intervalos de confianza
Observaciones muestrales Media Límites de confianza 95%
Muestra 1 2 3 4 5 – – – 26 27 28 29 30 muestral Límite inferior Límite superior
1 56 47 47 48 58 – – – 55 62 48 61 57 51.6 49.811 53.389
2 55 51 52 40 53 – – – 47 54 55 55 45 50.77 48.981 52.559
3 42 46 48 46 41 – – – 50 52 50 47 45 48.63 46.841 50.419
4 52 49 55 47 49 – – – 46 56 49 43 50 49.9 48.111 51.689
5 48 50 53 48 45 – – – 46 51 61 49 47 49.03 47.241 50.819
6 49 44 47 46 48 – – – 51 44 51 52 43 47.73 45.941 49.519
7 50 53 39 50 46 – – – 55 47 43 50 57 50.2 48.411 51.989
8 47 51 49 58 44 – – – 49 57 54 48 48 51.17 49.381 52.959
9 51 44 47 56 45 – – – 45 51 49 49 52 50.33 48.541 52.119
10 45 44 52 52 56 – – – 52 51 52 50 48 48.211 51.789
11 43 52 54 46 54 – – – 43 46 49 52 52 50 49.411 52.989
12 57 53 48 42 55 – – – 49 44 46 46 48 51.2 48.011 51.589
13 53 39 47 51 53 – – – 42 44 44 55 58 49.8 47.811 51.389
14 56 55 45 43 57 – – – 48 51 52 55 47 49.6 47.241 50.819
15 49 50 39 45 44 – – – 49 43 44 51 51 49.03 47.581 51.159
16 46 44 55 53 55 – – – 44 53 53 43 44 49.37 48.341 51.919
17 64 52 55 55 43 – – – 58 46 52 58 55 50.13 50.681 54.259
18 57 51 60 40 53 – – – 50 51 53 46 52 52.47 48.311 51.889
19 50 49 51 57 45 – – – 53 52 40 45 52 50.1 47.811 51.389
20 45 46 53 57 49 – – – 49 43 43 53 48 49.6 47.681 51.259
21 52 45 51 52 45 – – – 43 49 49 58 53 49.47 48.641 52.219
22 48 48 52 49 40 – – – 50 47 54 51 45 50.43 45.741 49.319
23 48 50 50 53 44 – – – 48 57 52 44 39 47.53 47.311 50.889
24 51 51 40 54 52 – – – 54 45 50 57 48 49.1 48.341 51.919
25 48 63 41 52 41 – – – 48 50 48 44 53 50.13 47.541 51.119
26 47 45 48 59 49 – – – 44 47 49 55 42 49.33 47.841 51.419
27 52 45 60 51 52 – – – 52 50 54 46 52 49.63 47.611 51.189
28 46 48 46 57 51 – – – 51 50 51 41 52 49.4 47.541 51.119
29 46 48 45 42 48 – – – 49 43 59 46 50 49.33 46.481 50.059
30 55 48 47 48 48 – – – 47 59 54 51 42 48.27 48.741 52.319
31 58 49 56 46 46 – – – 44 51 47 51 46 50.53 48.981 52.559
32 53 54 52 58 55 – – – 53 52 45 44 51 50.77 48.211 51.789
33 50 57 56 51 51 – – – 58 47 50 56 46 50 47.911 51.489
34 61 48 49 53 54 – – – 46 46 56 45 54 49.7 48.241 51.819
35 43 42 43 46 49 – – – 49 49 56 51 45 50.03 47.641 51.219
36 39 48 48 51 44 – – – 54 52 47 50 52 49.43 48.281 51.859
37 48 43 57 42 54 – – – 52 50 59 50 52 50.07 48.381 51.959
38 55 43 49 57 45 – – – 41 51 51 52 52 50.17 47.711 51.289
39 47 49 58 54 54 – – – 50 56 51 56 58 49.5 48.581 52.159
40 47 56 41 50 54 – – – 46 56 61 61 45 50.37 49.811 53.389
41 48 47 42 47 62 – – – 44 47 49 55 43 51.6 47.641 51.219
42 46 49 43 36 52 – – – 45 51 46 51 43 49.43 45.881 49.459
43 44 48 49 48 51 – – – 47 52 51 48 49 47.67 47.841 51.419
44 45 52 54 54 49 – – – 49 45 53 50 52 49.63 47.281 50.859
45 54 46 54 45 48 – – – 55 38 56 50 62 49.07 47.741 51.319
46 48 50 49 52 51 – – – 53 57 58 46 50 49.53 48.111 51.689
47 54 55 46 55 50 – – – 56 54 50 55 51 49.9 48.711 52.289
48 45 47 47 63 44 – – – 45 53 42 53 50 50.5 48.311 51.889
49 47 47 48 54 56 – – – 50 48 54 49 51 50.1 48.141 51.719
50 45 61 51 45 54 – – – 55 52 47 45 53 49.93 49.241 52.819
51 49 62 43 49 48 – – – 49 58 42 58 52 51.03 49.281 52.859
52 54 52 62 43 54 – – – 51 57 49 58 55 51.07 48.381 51.959
53 46 50 59 56 46 – – – 50 51 52 54 53 50.17 48.681 52.259
54 52 50 48 48 58 – – – 58 52 43 61 54 50.47 49.981 53.559
51.77
(continúa)
Intervalos de confianza de una media poblacional 257
(continuación)
Observaciones muestrales Media Límites de confianza 95%
Muestra 1 2 3 4 5 – – – 26 27 28 29 30 muestral Límite inferior Límite superior
55 45 44 46 56 46 – – – 43 45 63 48 56 49.37 47.581 51.159
56 60 50 56 51 43 – – – 45 43 49 59 54 50.37 48.581 52.159
57 59 56 43 47 52 – – – 49 54 50 50 57 49.53 47.741 51.319
58 52 55 48 51 40 – – – 53 51 51 52 47 49.77 47.981 51.559
59 53 50 44 53 52 – – – 47 50 55 46 51 50.07 48.281 51.859
60 55 54 50 52 43 – – – 57 50 48 47 53 52.07 50.281 53.859
1BSB FYQMJDBS
FO MB QSJNFSB GJMB
FM TPGUXBSF FTUBEÎTUJDP DBMDVMÓ PCTFSWBDJPOFT BMFBUPSJBT CB-
TBEBT FO VOB EJTUSJCVDJÓO DPO VOB NFEJB EF Z VOB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF 1PS SB[POFT EF FT-
QBDJP
TPMP TF NVFTUSBO MBT RVF WBO EF IBTUB Z EF IBTUB -B NFEJB EF MB QSJNFSB NVFTUSB
TF DBMDVMB Z TF SFHJTUSB DPNP &O MBT DPMVNOBT TJHVJFOUFT TF NVFTUSBO MPT MÎNJUFT JOGFSJPS Z TV-
QFSJPS EFM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF QBSB MB QSJNFSB NVFTUSB " DPOUJOVBDJÓO TF NVFTUSB FM DÃMDV-
MP EFM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B QBSB MB QSJNFSB NVFTUSB
x 6 s 5 6
5 6
Vn V
&TUF DÃMDVMP TF SFQJUF QBSB UPEBT MBT EFNÃT NVFTUSBT -PT SFTVMUBEPT EFM FYQFSJNFOUP JOEJDBO
RVF
P
EF MPT JOUFSWBMPT EF DPOGJBO[B EF JODMVZFO MB NFEJB QPCMBDJPOBM EF
$VBUSP
P
OP JODMVJSÃO MB NFEJB QPCMBDJPOBM &TF FTUÃ NÃT DFSDBOP BM FTUJNBEP EF RVF
EF MPT JOUFSWBMPT OP JODMVJSÎBO MB NFEJB QPCMBDJPOBM -PT JOUFSWBMPT QBSUJDVMBSFT TPO MBT NVFTUSBT
Z
Z FTUÃO TPNCSFBEPT &TUF FT PUSP FKFNQMP EF FSSPS NVFTUSBM
P MB QPTJCJMJEBE EF RVF
VOB NVFTUSB BMFBUPSJB FO QBSUJDVMBS QVFEF OP TFS VOB CVFOB SFQSFTFOUBDJÓO EF MB QPCMBDJÓO
Z RVF FM
JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B CBTBEP FO MB NVFTUSB OP JODMVZF FM WBMPS EFM QBSÃNFUSP EF MB QPCMBDJÓO
AUTOEVALUACIÓN #VO BOE 3VO FT VOB GSBORVJDJB EF DPNJEB SÃQJEB EF MB [POB OPSFTUF
MB DVBM TF FTQFDJBMJ[B FO IBN-
CVSHVFTBT EF NFEJB PO[B
Z TÃOEXJDIFT EF QFTDBEP Z QPMMP UBNCJÊO PGSFDF SFGSFTDPT Z QBQBT B MB
91 GSBODFTB &M EFQBSUBNFOUP EF QMBOFBDJÓO EF MB GJSNB JOGPSNB RVF MB EJTUSJCVDJÓO EF WFOUBT EJBSJBT EF
MPT SFTUBVSBOUFT UJFOEF B TFHVJS VOB EJTUSJCVDJÓO OPSNBM Z RVF MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB EJTUSJCV-
DJÓO EF WFOUBT EJBSJBT FT EF EÓMBSFT 6OB NVFTUSB EF NPTUSÓ RVF MBT WFOUBT NFEJBT EJBSJBT
TVNBO EÓMBSFT
B
y$VÃM FT MB NFEJB EF MB QPCMBDJÓO
C
y$VÃM FT FM NFKPS FTUJNBEPS EF MB NFEJB EF MB QPCMBDJÓO y2VÊ OPNCSF SFDJCF FTUF WBMPS
D
$POTUSVZB VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB NFEJB QPCMBDJPOBM
E
*OUFSQSFUF FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B
1. 4F UPNB VOB NVFTUSB EF PCTFSWBDJPOFT EF VOB QPCMBDJÓO OPSNBM DPO VOB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF EJERCICIOS
MB NFEJB EF MB NVFTUSB FT EF %FUFSNJOF FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB NFEJB QPCMB-
cional.
2. 4F UPNB VOB NVFTUSB EF PCTFSWBDJPOFT EF VOB QPCMBDJÓO OPSNBM DPO VOB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF
MB NFEJB EF MB NVFTUSB FT EF %FUFSNJOF FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB NFEJB QPCMB-
cional.
3. 4F TFMFDDJPOB VOB NVFTUSB EF PCTFSWBDJPOFT EF VOB QPCMBDJÓO OPSNBM FO MB DVBM MB EFTWJBDJÓO
FTUÃOEBS QPCMBDJPOBM FT EF Z MB NFEJB EF MB NVFTUSB FT EF
a. %FUFSNJOF FM FSSPS FTUÃOEBS EF MB NFEJB
b. &YQMJRVF QPS RVÊ TF EFCF VUJMJ[BS MB GÓSNVMB < > QBSB EFUFSNJOBS FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF
c. %FUFSNJOF FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB NFEJB EF MB QPCMBDJÓO
4. 4VQPOHB RVF EFTFB VO OJWFM EF DPOGJBO[B EF y2VÊ WBMPS VUJMJ[BSÎB DPNP z FO MB GÓSNVMB < >
5. 6OB FNQSFTB EF JOWFTUJHBDJÓO MMFWÓ B DBCP VOB FODVFTUB QBSB EFUFSNJOBS MB DBOUJEBE NFEJB RVF MPT
GVNBEPSFT HBTUBO FO DJHBSSJMMPT EVSBOUF VOB TFNBOB -B FNQSFTB EFTDVCSJÓ RVF MB EJTUSJCVDJÓO EF
EJDIBT DBOUJEBEFT UFOEÎB B TFHVJS VOB EJTUSJCVDJÓO OPSNBM
DPO VOB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF
EÓMBSFT 6OB NVFTUSB EF GVNBEPSFT SFWFMÓ RVF x 5
a. y$VÃM FT FM FTUJNBEPS QVOUVBM EF MB NFEJB EF MB QPCMBDJÓO y2VÊ JOEJDB FTUP
b. $PO FM OJWFM EF DPOGJBO[B EF
EFUFSNJOF FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF m y2VÊ TJHOJGJDB FTUP
258 CAPÍTULO 9 Estimación e intervalos de confianza
6. 3FQBTF FM FKFSDJDJP BOUFSJPS 4VQPOHB RVF TF UPNÓ VOB NVFTUSB EF GVNBEPSFT FO MVHBS EF
Z RVF MB NFEJB NVFTUSBM FT MB NJTNB
a. y$VÃM FT FM FTUJNBEPS EFM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF m?
b. y1PS RVÊ FTUF JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B FT NÃT SFEVDJEP RVF FM RVF TF EFUFSNJOÓ FO FM FKFSDJDJP BO-
terior?
7. #PC /BMF FT QSPQJFUBSJP EF /BMF T 5FYBDP (BT5PXO B ÊM MF HVTUBSÎB FTUJNBS MB DBOUJEBE EF HBMPOFT EF
HBTPMJOB RVF WFOEJÓ 4VQPOHB RVF MB DBOUJEBE EF HBMPOFT WFOEJEPT UJFOEF B TFHVJS VOB EJTUSJCVDJÓO
OPSNBM
DPO VOB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF HBMPOFT %F BDVFSEP DPO TVT SFHJTUSPT
TFMFDDJPOB VOB
NVFTUSB BMFBUPSJB EF WFOUBT Z EFTDVCSF RVF MB DBOUJEBE NFEJB EF HBMPOFT WFOEJEPT FT EF
a. y$VÃM FT FM FTUJNBEPS QVOUVBM EF MB NFEJB QPCMBDJPOBM
b. &TUBCMF[DB VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF QBSB MB NFEJB QPCMBDJPOBM
c. *OUFSQSFUF FM TJHOJGJDBEP EFM QVOUP BOUFSJPS.
8. -B EPDUPSB 1BUUPO FT QSPGFTPSB EF JOHMÊT )BDF QPDP DPOUÓ FM OÙNFSP EF GBMUBT EF PSUPHSBGÎB RVF
DPNFUJÓ VO HSVQP EF FTUVEJBOUFT FO TVT FOTBZPT 0CTFSWÓ RVF MB EJTUSJCVDJÓO EF MBT GBMUBT EF PSUP-
HSBGÎB QPS FOTBZP TF SFHÎB QPS MB EJTUSJCVDJÓO OPSNBM DPO VOB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF QBMBCSBT
QPS FOTBZP &O TV DMBTF EF BMVNOPT EF MBT IPSBT
FM OÙNFSP NFEJP EF QBMBCSBT DPO GBMUBT
EF PSUPHSBGÎB GVF EF DPOTUSVZB VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EFM OÙNFSP NFEJP EF QBMBCSBT
DPO GBMUBT EF PSUPHSBGÎB FO MB QPCMBDJÓO EF FOTBZPT
ESTADÍSTICA Desviación estándar poblacional s desconocida
EN ACCIÓN
&O MB TFDDJÓO BOUFSJPS TF TVQVTP RVF TF DPOPDÎB MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB QPCMBDJÓO &O FM DBTP
William Gosset nació en EF MBT MBUBT EF EVSB[OPT EF PO[BT EF %FM .POUF
RVJ[Ã IBCÎB VOB HSBO DBOUJEBE EF NFEJDJPOFT
Inglaterra en 1876 y mu- EFM QSPDFTP EF MMFOBEP 1PS DPOTJHVJFOUF
SFTVMUB SB[POBCMF TVQPOFS RVF TF EJTQPOF EF MB EFTWJBDJÓO
rió allí en 1937. Trabajó FTUÃOEBS EF MB QPCMBDJÓO TJO FNCBSHP
FO MB NBZPSÎB EF MPT DBTPT EF NVFTUSFP OP TF DPOPDF MB
muchos años en Arthur EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB QPCMBDJÓO s
)F BRVÎ BMHVOPT FKFNQMPT FO MPT RVF TF QSFUFOEF FTUJNBS
Guinness, Sons and Com- MBT NFEJBT QPCMBDJPOBMFT Z OP TF DPOPDFO MBT EFTWJBDJPOFT FTUÃOEBSFT 4VQPOHB RVF DBEB VOP EF
pany. En realidad, en sus MPT TJHVJFOUFT FTUVEJPT TF SFMBDJPOB DPO FTUVEJBOUFT EF MB 8FTU 7JSHJOJB 6OJWFSTJUZ
últimos años estuvo a
cargo de Guiness Brewery r &M EFDBOP EF MB 'BDVMUBE EF "ENJOJTUSBDJÓO EFTFB FTUJNBS MB DBOUJEBE NFEJB EF IPSBT EF FTUV-
en Londres; esta empresa EJBOUFT EF UJFNQP DPNQMFUP DPO USBCBKPT SFNVOFSBUJWPT DBEB TFNBOB 4FMFDDJPOB VOB NVFTUSB
prefería que sus emplea- EF FTUVEJBOUFT
TF QPOF FO DPOUBDUP DPO DBEB VOP EF FMMPT Z MFT QSFHVOUB DVÃOUBT IPSBT MB-
dos utilizaran seudóni- CPSBSPO MB TFNBOB QBTBEB %F BDVFSEP DPO MB JOGPSNBDJÓO EF MB NVFTUSB
QVFEF DBMDVMBS MB NFEJB
mos cuando publicaban NVFTUSBM
QFSP OP FT QSPCBCMF RVF DPOP[DB P QVFEB EFUFSNJOBS MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS poblacio-
trabajos, de modo que, nal s
RVF TF SFRVJFSF FO MB GÓSNVMB < > 1VFEF DBMDVMBS MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB NVFTUSB Z
en 1908, cuando Gosset VUJMJ[BSMB DPNP FTUJNBEPS
QFSP RVJ[Ã OP DPOP[DB MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB QPCMBDJÓO
escribió “The Probable
Error of a Mean”, utilizó el r -B EPDFOUF B DBSHP EFM BTFTPSBNJFOUP EF MPT FTUVEJBOUFT EFTFB FTUJNBS MB EJTUBODJB RVF FM
nombre de Student. En FTUVEJBOUF DPNÙO WJBKB DBEB EÎB EF TV DBTB B MB FTDVFMB &MMB TFMFDDJPOB VOB NVFTUSB EF
este artículo describió FTUVEJBOUFT
MPT DPOUBDUB Z EFUFSNJOB MB EJTUBODJB RVF SFDPSSF DBEB VOP
EF TV DBTB BM DFOUSP
por primera vez las pro- VOJWFSTJUBSJP %F BDVFSEP DPO MPT EBUPT EF MB NVFTUSB
DBMDVMB MB EJTUBODJB NFEJB EF WJBKF
FT
piedades de la distribu- EFDJS
x . /P FT QSPCBCMF RVF DPOP[DB MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB QPCMBDJÓO
MP DVBM
OVFWB-
ción t. NFOUF
UPSOB PCTPMFUB MB GÓSNVMB < >
r &M EJSFDUPS EF DSÊEJUPT FTUVEJBOUJMFT EFTFB DPOPDFS FM NPOUP NFEJP EF DSÊEJUPT FTUVEJBOUJMFT FO
FM NPNFOUP EF MB HSBEVBDJÓO M TFMFDDJPOB VOB NVFTUSB EF FTUVEJBOUFT HSBEVBEPT Z TF
QPOF FO DPOUBDUP DPO DBEB VOP QBSB PCUFOFS MB JOGPSNBDJÓO DPO CBTF FO FTUB
FTUJNB MB DBO-
UJEBE NFEJB 4JO FNCBSHP
QBSB FTUBCMFDFS VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B DPO MB GÓSNVMB < > FT
OFDFTBSJB MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB QPCMBDJÓO
Z OP FT QSPCBCMF RVF FTUB JOGPSNBDJÓO TF
FODVFOUSF EJTQPOJCMF
1PS GPSUVOB
TF VUJMJ[B MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB NVFTUSB QBSB FTUJNBS MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS
QPCMBDJPOBM &T EFDJS
TF VUJMJ[B s MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB NVFTUSB
QBSB FTUJNBS s MB EFTWJBDJÓO
FTUÃOEBS EF MB QPCMBDJÓO
OP PCTUBOUF
BM IBDFSMP OP FT QPTJCMF VUJMJ[BS MB GÓSNVMB < > "M EFTDPOP-
cer s
OP TF QVFEF VUJMJ[BS MB EJTUSJCVDJÓO z TJO FNCBSHP
IBZ VOB TPMVDJÓO VUJMJ[BS MB EFTWJBDJÓO FT-
UÃOEBS EF MB NFEJB Z TVTUJUVJS MB EJTUSJCVDJÓO z DPO MB EJTUSJCVDJÓO t.
-B EJTUSJCVDJÓO t FT VOB EJTUSJCVDJÓO EF QSPCBCJMJEBE DPOUJOVB
DPO NVDIBT DBSBDUFSÎTUJDBT TJNJ-
MBSFT B MBT EF MB EJTUSJCVDJÓO z. 8JMMJBN (PTTFU
FYQFSUP DFSWFDFSP
GVF FM QSJNFSP FO FTUVEJBS MB EJT-
USJCVDJÓO t.
&TUBCB FTQFDJBMNFOUF JOUFSFTBEP FO FM DPNQPSUBNJFOUP FYBDUP EF MB EJTUSJCVDJÓO EFM TJHVJFOUF
estadístico:
Intervalos de confianza de una media poblacional 259
t5 x 2m Distribución z
syVn
"RVÎ
s es un estimador de s -F QSFPDVQBCB FO QBSUJDVMBS MB EJTDSFQBO- Distribución t
cia entre s y s cuando s TF DBMDVMBCB B QBSUJS EF VOB NVFTUSB NVZ QF-
RVFÒB -B EJTUSJCVDJÓO t Z MB EJTUSJCVDJÓO OPSNBM FTUÃOEBS TF NVFTUSBO
FO MB HSÃGJDB PCTFSWF RVF MB EJTUSJCVDJÓO t FT NÃT QMBOB Z RVF TF
FYUJFOEF NÃT RVF MB EJTUSJCVDJÓO OPSNBM FTUÃOEBS &TUP TF EFCF B RVF MB 0
EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB EJTUSJCVDJÓO t FT NÃT MBSHB RVF MB EJTUSJCVDJÓO
GRÁFICA 9.1 Distribución normal estándar y distri-
OPSNBM FTUÃOEBS bución t de Student
-BT TJHVJFOUFT DBSBDUFSÎTUJDBT EF MB EJTUSJCVDJÓO t TF CBTBO FO FM
TVQVFTUP EF RVF MB QPCMBDJÓO EF JOUFSÊT FT EF OBUVSBMF[B OPSNBM
P DBTJ
normal.
r $PNP FO FM DBTP EF MB EJTUSJCVDJÓO z, es continua.
r $PNP FO FM DBTP EF MB EJTUSJCVDJÓO z, tiene forma de campana y es simétrica.
r /P FYJTUF VOB EJTUSJCVDJÓO t, TJOP VOB GBNJMJB EF EJTUSJCVDJPOFT t. 5PEBT FTUBT UJFOFO VOB NFEJB
EF
Z TVT EFTWJBDJPOFT FTUÃOEBSFT EJGJFSFO EF BDVFSEP DPO FM UBNBÒP EF MB NVFTUSB
n. Existe
VOB EJTUSJCVDJÓO t QBSB VO UBNBÒP EF NVFTUSB EF
PUSP QB-
SB VO UBNBÒP EF NVFTUSB EF
FUD -B EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS Distribución de z
EF VOB EJTUSJCVDJÓO t DPO DJODP PCTFSWBDJPOFT FT NBZPS RVF 0.025 0.95 0.025
FO FM DBTP EF VOB EJTUSJCVDJÓO t DPO
r -B EJTUSJCVDJÓO t TF FYUJFOEF NÃT Z FT NÃT QMBOB QPS FM DFOUSP
RVF MB EJTUSJCVDJÓO OPSNBM FTUÃOEBS WFB MB HSÃGJDB
TJO
FNCBSHP
DPOGPSNF TF JODSFNFOUB FM UBNBÒP EF MB NVFTUSB
MB
EJTUSJCVDJÓO t TF BQSPYJNB B MB EJTUSJCVDJÓO OPSNBM FTUÃOEBS
QPSRVF MPT FSSPSFT RVF TF DPNFUFO BM VUJMJ[BS s para estimar s
disminuyen con muestras mayores. 1.96 1.96 Escala de z
0.025 Distribución de t
$PNP MB EJTUSJCVDJÓO t EF 4UVEFOU QPTFF NBZPS EJTQFSTJÓO RVF MB
EJTUSJCVDJÓO z, t FO VO OJWFM EF DPOGJBO[B EBEP UJFOF VOB NBHOJUVE n=5
NBZPS RVF FM WBMPS z correspondiente. &O MB HSÃGJDB TF NVFT-
USBO MPT WBMPSFT EF z QBSB VO OJWFM EF DPOGJBO[B EF Z EF t para 0.025
0.95
FM NJTNP OJWFM EF DPOGJBO[B DVBOEP FM UBNBÒP EF MB NVFTUSB FT EF
n 5 &O CSFWF TF FYQMJDBSÃ DÓNP TF PCUVWP FM WBMPS SFBM EF t QPS 2.776 2.776 Escala de t
FM NPNFOUP
PCTFSWF RVF
DPO FM NJTNP OJWFM EF DPOGJBO[B
MB EJT- GRÁFICA 9.2 Valores de z y t para el nivel de confianza de
USJCVDJÓO t FT NÃT QMBOB P NÃT BNQMJB RVF MB EJTUSJCVDJÓO OPSNBM 95%
FTUÃOEBS
1BSB DSFBS VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF MB NFEJB QPCMBDJPOBM
DPO MB EJTUSJCVDJÓO t, TF BKVTUB MB GÓSNVMB < > EF MB TJHVJFOUF NB-
nera.
INTERVALO DE CONFIANZA DE LA MEDIA s [9.2] Se supone que
POBLACIONAL CON UNA s DESCONOCIDA x 6t la población
es normal
Vn
1BSB DSFBS VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF MB NFEJB QPCMBDJPOBM DPO VOB EFTWJBDJÓO ¿Se conoce
FTUÃOEBS EFTDPOPDJEB la desviación
1. 4VQPOHB RVF MB QPCMBDJÓO NVFTUSFBEB FT OPSNBM P BQSPYJNBEBNFOUF OPSNBM %F estándar
BDVFSEP DPO FM UFPSFNB DFOUSBM EFM MÎNJUF
TF TBCF RVF FTUF TVQVFTUP QVFEF TFS de la población?
DVFTUJPOBCMF FO FM DBTP EF NVFTUSBT QFRVFÒBT
Z FT NÃT WÃMJEB FO FM EF NVFTUSBT
mayores. No Sí
2. &TUJNF MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB QPCMBDJÓO s
DPO MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB Utilice la Utilice la
NVFTUSB s
distribución t distribución z
3. 6UJMJDF MB EJTUSJCVDJÓO t FO MVHBS EF MB EJTUSJCVDJÓO z. GRÁFICA 9.3 Cómo determinar
cuándo usar la distribución z o la distri-
Es preciso hacer una aclaración en este momento: la decisión de utilizar t o z TF CBTB FO bución t
FM IFDIP EF RVF TF DPOP[DB s MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS QPCMBDJPOBM
4J TF DPOPDF
TF
utiliza z FO DBTP DPOUSBSJP
TF EFCF VUJMJ[BS t. &O MB HSÃGJDB TF SFTVNF FM QSPDFTP EF
toma de decisión.
260 CAPÍTULO 9 Estimación e intervalos de confianza
&O FM TJHVJFOUF FKFNQMP TF JMVTUSB VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF VOB NFEJB QPCMBDJPOBM DVBOEP OP
TF DPOPDF MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB QPCMBDJÓO Z TJSWF QBSB EFUFSNJOBS FM WBMPS BQSPQJBEP EF t en
VOB UBCMB
EJEMPLO
6O GBCSJDBOUF EF MMBOUBT EFTFB JOWFTUJHBS MB EVSBCJMJEBE EF TVT QSPEVDUPT 6OB NVFTUSB EF MMBOUBT
RVF SFDPSSJFSPO NJMMBT SFWFMÓ VOB NFEJB NVFTUSBM EF QVMHBEBT EF DVFSEB SFTUBOUF DPO VOB
EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF QVMHBEBT DPOTUSVZB VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF QBSB MB NFEJB
QPCMBDJPOBM y4FSÎB SB[POBCMF RVF FM GBCSJDBOUF DPODMVZFSB RVF EFTQVÊT EF NJMMBT FM HSPTPS
NFEJP QPCMBDJPOBM EF DVFSEB SFTUBOUF FT EF QVMHBEBT
SOLUCIÓN
1BSB DPNFO[BS
TVQPOHB RVF MB EJTUSJCVDJÓO EF MB QPCMBDJÓO FT OPSNBM &O FTUF DBTP OP IBZ NVDIBT
FWJEFODJBT
QFSP UBM WF[ MB IJQÓUFTJT FT SB[POBCMF /P TF DPOPDF MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB QPCMB-
DJÓO
QFSP TÎ MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB NVFTUSB QVMHBEBT
4F BQMJDB MB GÓSNVMB < >
s
x 6t
Vn
%F BDVFSEP DPO MB JOGPSNBDJÓO EBEB
x 5
s 5 Z n 5 1BSB IBMMBS FM WBMPS EF t, utilice el
BQÊOEJDF # VOB QBSUF EFM DVBM TF SFQSPEVDF FO MB UBCMB
TABLA 9.2 Una parte de la distribución t
Intervalos de confianza
80% 90% 95% 98% 99%
Nivel de significancia de una prueba de una cola
gl 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
Nivel de significancia de una prueba de dos colas
0.20 0.10 0.05 0.02 0.01
1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657
2 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925
3 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841
4 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604
5 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032
6 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707
7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499
8 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355
9 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250
10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169
El primer paso para localizar t DPOTJTUF FO EFTQMB[BSTF B MP MBSHP EF MBT DPMVNOBT i*OUFSWBMPT EF DPO-
fianza” IBTUB FM OJWFM EF DPOGJBO[B RVF TF SFRVJFSF &O FTUF DBTP
TF CVTDB FM OJWFM EF DPOGJBO[B EF
BTÎ RVF WBZB B MB DPMVNOB DPO FM FODBCF[BNJFOUP i u. -B DPMVNOB EFM NBSHFO J[RVJFSEP TF
JEFOUJGJDB DPNP iHMu
QBMBCSBT RVF TF SFGJFSFO BM OÙNFSP EF HSBEPT EF MJCFSUBE
FTUP FT
FM OÙNFSP EF
PCTFSWBDJPOFT JODMVJEBT FO MB NVFTUSB NFOPT FM OÙNFSP EF NVFTUSBT
FM DVBM TF FTDSJCF n 2 &O
FTUF DBTP FT EF 2 5 y1PS RVÊ TF EFDJEJÓ RVF IBCÎB OVFWF HSBEPT EF MJCFSUBE $VBOEP TF
VUJMJ[BO FTUBEÎTUJDBT EF MB NVFTUSB
FT OFDFTBSJP EFUFSNJOBS FM OÙNFSP EF WBMPSFT RVF TF FODVFOUSBO
libres para variar.
1BSB JMVTUSBSMP
TVQPOHB RVF MB NFEJB EF DVBUSP OÙNFSPT FT -PT DVBUSP OÙNFSPT TPO
Z
-BT EFTWJBDJPOFT SFTQFDUP EF MB NFEJB EF FTUPT OÙNFSPT EFCFO TVNBS -BT EFTWJBDJPOFT EF 1
2
2 Z 1 TVNBO TJ TF DPOPDFO MBT EFTWJBDJPOFT EF 1
2 Z 2
FM WBMPS EF 1 TF GJKB TF
SFTUSJOHF
DPO FM GJO EF TBUJTGBDFS MB DPOEJDJÓO EF RVF MB TVNB EF MBT EFTWJBDJPOFT EFCF UPUBMJ[BS 1PS
DPOTJHVJFOUF
VO HSBEP EF MJCFSUBE TF QJFSEF FO VO QSPCMFNB EF NVFTUSFP RVF JNQMJRVF MB EFTWJBDJÓO
FTUÃOEBS EF MB NVFTUSB
QVFT TF DPOPDF VO OÙNFSP MB NFEJB BSJUNÊUJDB
&O FM DBTP EF VO OJWFM EF
DPOGJBO[B EF Z OVFWF HSBEPT EF MJCFSUBE
TFMFDDJPOF MB GJMB DPO FTB DBOUJEBE EF HSBEPT EF MJCFS-
UBE &M WBMPS EF t FT
Intervalos de confianza de una media poblacional 261
1BSB EFUFSNJOBS FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B TF TVTUJUVZFO MPT WBMPSFT FO MB GÓSNVMB < >
s 5 6
x 6t 5 6
Vn V
-PT QVOUPT FYUSFNPT EFM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B TPO Z y$ÓNP TF JOUFSQSFUB FTUF SFTVMUB-
EP 4J TF SFQJUJÊSB FTUF FTUVEJP WFDFT
DBMDVMBOEP FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF DPO DBEB
NFEJB EF MB NVFTUSB Z MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS
JOUFSWBMPT JODMVJSÎBO MB NFEJB QPCMBDJPOBM JOUFS-
WBMPT OP MB JODMVJSÎBO FTUF FT FM FGFDUP EFM FSSPS NVFTUSBM 0USB JOUFSQSFUBDJÓO FT DPODMVJS RVF MB NFEJB
QPCMBDJPOBM TF FODVFOUSB FO FTUF JOUFSWBMP &M GBCSJDBOUF QVFEF FTUBS TFHVSP TFHVSP
EF RVF MB
QSPGVOEJEBE NFEJB EF MBT DVFSEBT PTDJMB FOUSF Z QVMHBEBT $PNP FM WBMPS EF TF
FODVFOUSB FO FTUF JOUFSWBMP
FT QPTJCMF RVF MB NFEJB EF MB QPCMBDJÓO TFB EF QVMHBEBT
)F BRVÎ PUSP FKFNQMP QBSB FYQMJDBS FM VTP EF MPT JOUFSWBMPT EF DPOGJBO[B 4VQPOHB RVF VO BS-
UÎDVMP QVCMJDBEP FO FM QFSJÓEJDP MPDBM JOEJDB RVF FM UJFNQP NFEJP QBSB WFOEFS VOB SFTJEFODJB EF MB
[POB FT EF EÎBT 6TUFE TFMFDDJPOB VOB NVFTUSB BMFBUPSJB EF SFTJEFODJBT RVF TF WFOEJFSPO FO
FM ÙMUJNP BÒP Z FODVFOUSB RVF FM UJFNQP NFEJP EF WFOUB FT EF EÎBT %F BDVFSEP DPO MPT EBUPT EF
MB NVFTUSB
DSFB VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB NFEJB EF MB QPCMBDJÓO Z EFTDVCSF RVF MPT
QVOUPT FYUSFNPT TPO Z EÎBT y$ÓNP JOUFSQSFUB FTUF SFTVMUBEP 1VFEF DPOGJBS EF NBOFSB SB[P-
OBCMF FO RVF MB NFEJB QPCMBDJPOBM TF FODVFOUSF EFOUSP EF FTUF JOUFSWBMP &M WBMPS QSPQVFTUP QBSB
MB NFEJB QPCMBDJPOBM
FT EFDJS
EÎBT
OP TF JODMVZF FO FM JOUFSWBMP QPS UBOUP
OP FT QSPCBCMF RVF MB
NFEJB QPCMBDJPOBM TFB EF EÎBT -B FWJEFODJB JOEJDB RVF MB BGJSNBDJÓO EFM QFSJÓEJDP MPDBM QVFEF OP
TFS DPSSFDUB FO PUSBT QBMBCSBT
QBSFDF QPDP SB[POBCMF PCUFOFS MB NVFTUSB RVF VTUFE UPNÓ EF VOB
QPCMBDJÓO RVF UFOÎB VO UJFNQP EF WFOUB NFEJP EF EÎBT
&O FM TJHVJFOUF FKFNQMP TF JOEJDBO EFUBMMFT BEJDJPOBMFT QBSB EFUFSNJOBS F JOUFSQSFUBS FM JOUFSWBMP
EF DPOGJBO[B 4F VTÓ .JOJUBC QBSB SFBMJ[BS MPT DÃMDVMPT
EJEMPLO
&M HFSFOUF EF *OMFU 4RVBSF .BMM
DFSDB EF 'U .ZFST
'MPSJEB
EFTFB FTUJNBS MB DBOUJEBE NFEJB RVF
HBTUBO MPT DMJFOUFT RVF WJTJUBO FM DFOUSP DPNFSDJBM 6OB NVFTUSB EF DMJFOUFT SFWFMB MBT TJHVJFOUFT
cantidades.
$48.16 $42.22 $46.82 $51.45 $23.78 $41.86 $54.86
37.92 52.64 48.59 50.82 46.94 61.83 61.69
49.17 61.46 51.35 52.68 58.84 43.88
y$VÃM FT MB NFKPS FTUJNBDJÓO EF MB NFEJB QPCMBDJPOBM %FUFSNJOF VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF
F JOUFSQSFUF FM SFTVMUBEP y$PODMVJSÎB EF GPSNB SB[POBCMF RVF MB NFEJB QPCMBDJPOBM FT EF P EÓ-
lares?
SOLUCIÓN
&M HFSFOUF EFM DFOUSP DPNFSDJBM TVQPOF RVF MB QPCMBDJÓO EF MBT DBOUJEBEFT HBTUBEBT TJHVF
MB EJTUSJCVDJÓO OPSNBM &O FTUF DBTP FT VOB TVQPTJDJÓO SB[POBCMF BEFNÃT
MB UÊDOJDB EFM
JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B SFTVMUB NVZ QPEFSPTB Z UJFOEF B DPOTJHOBS DVBMRVJFS FSSPS EFM MBEP
DPOTFSWBEPS TJ MB QPCMBDJÓO OP FT OPSNBM /P DBCF TVQPOFS VOB DPOEJDJÓO OPSNBM DVBOEP
MB QPCMBDJÓO TF FODVFOUSB QSPOVODJBEBNFOUF TFTHBEB P MB EJTUSJCVDJÓO UJFOF DPMBT grue-
sas. &O FM DBQÎUVMP TF FYQPOFO NÊUPEPT QBSB NBOFKBS FTUF QSPCMFNB DVBOEP OP FT
QPTJCMF TVQPOFS VOB DPOEJDJÓO OPSNBM &O FTUF DBTP
SFTVMUB SB[POBCMF TVQPOFS VOB DPO-
dición normal.
/P TF DPOPDF MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB QPCMBDJÓO EF BIÎ RVF SFTVMUF BEFDVBEP
VUJMJ[BS MB EJTUSJCVDJÓO t Z MB GÓSNVMB < > QBSB FODPOUSBS FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B 4F VUJMJ[B
FM TPGUXBSF .JOJUBC QBSB IBMMBS MB NFEJB Z MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF FTUB NVFTUSB -PT SF-
TVMUBEPT TF JOEJDBO FO MB QÃHJOB TJHVJFOUF
&M HFSFOUF EFM DFOUSP DPNFSDJBM OP DPOPDF MB NFEJB QPCMBDJPOBM -B NFEJB NVFTUSBM DPOTUJUVZF
MB NFKPS BQSPYJNBDJÓO EF EJDIP WBMPS %F BDVFSEP DPO FM SFTVMUBEP EF .JOJUBC
MB NFEJB FT EF
262 CAPÍTULO 9 Estimación e intervalos de confianza
EÓMBSFT
RVF DPOTUJUVZF MB NFKPS BQSPYJNBDJÓO
MB estimación puntual, EF MB NFEJB QPCMBDJPOBM EFTDP-
nocida.
4F BQMJDB MB GÓSNVMB < > QBSB EFUFSNJOBS FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B FM WBMPS EF t se localiza en el
BQÊOEJDF # )BZ n 2 5 2 5 HSBEPT EF MJCFSUBE "M EFTQMB[BSTF QPS FM SFOHMÓO DPO
HSBEPT EF MJCFSUBE B MB DPMVNOB EFM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF
FM WBMPS EF FTUB JOUFSTFDDJÓO FT EF
FTUPT TF TVTUJUVZFO FO MB GÓSNVMB < > QBSB FODPOUSBS FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B
s 5 6
x 6t 5 6
Vn V
-PT QVOUPT FYUSFNPT EFM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B TPO Z 3FTVMUB SB[POBCMF DPODMVJS RVF
MB NFEJB QPCMBDJPOBM TF FODVFOUSB FO EJDIP JOUFSWBMP
&M HFSFOUF EF *OMFU 4RVBSF TF QSFHVOUBCB TJ MB NFEJB QPCMBDJPOBM QPESÎB IBCFS TJEP P EÓ-
MBSFT $PNP FM WBMPS TF FODVFOUSB EFOUSP EFM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B
SFTVMUB SB[POBCMF RVF MB
NFEJB QPCMBDJPOBM TFB EF EÓMBSFT %BEP RVF FM WBMPS OP TF FODVFOUSB FO FM JOUFSWBMP EF DPO-
GJBO[B
TF DPODMVZF RVF OP FT QSPCBCMF RVF MB NFEJB QPCMBDJPOBM TFB EF EÓMBSFT
-PT DÃMDVMPT QBSB DPOTUSVJS VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B UBNCJÊO TF
FODVFOUSBO EJTQPOJCMFT FO &YDFM MB TBMJEB TF JOEJDB B MB J[RVJFSEB 0C-
Cantidad Cantidad TFSWF RVF MB NFEJB EF MB NVFTUSB
Z MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF
MB NVFTUSB
TPO MBT NJTNBT RVF FO MPT DÃMDVMPT EF .JOJUBC &O MB
Media JOGPSNBDJÓO EF &YDFM
FM ÙMUJNP SFOHMÓO EF MB TBMJEB UBNCJÊO JODMVZF FM
Error estándar NBSHFO EF FSSPS
RVF FT MB DBOUJEBE RVF TF TVNB
Z TF SFTUB EF MB NFEJB
NVFTUSBM QBSB GPSNBS MPT QVOUPT FYUSFNPT EFM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B
Mediana FTUF WBMPS TF EFUFSNJOB B QBSUJS EF MB FYQSFTJÓO
Moda
Desviación estándar t s 5 5
Varianza de la muestra Vn V
Curtosis
Sesgo "OUFT EF SFTPMWFS MPT FKFSDJDJPT EFM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B
FT QSF-
Rango DJTP TFÒBMBS VOB ÙUJM DBSBDUFSÎTUJDB EF MB EJTUSJCVDJÓO t: esta permite
Mínimo VUJMJ[BS MB UBCMB t QBSB FODPOUSBS DPO SBQJEF[ UBOUP MPT WBMPSFT z como los
Máximo t 1SFWJBNFOUF FO FTUB TFDDJÓO
TF EFUBMMBSPO MBT DBSBDUFSÎTUJDBT EF MB
Suma EJTUSJCVDJÓO t &M ÙMUJNP QVOUP GVF RVF B NFEJEB RVF DSFDF FM UBNBÒP EF
Cuenta MB NVFTUSB
MB EJTUSJCVDJÓO t TF BQSPYJNB B MB EJTUSJCVDJÓO z EF IFDIP
Nivel de confianza (95.0%) DVBOEP TF BMDBO[B VOB NVFTUSB JOGJOJUBNFOUF HSBOEF
MB EJTUSJCVDJÓO t
FT FYBDUBNFOUF JHVBM B MB EJTUSJCVDJÓO z.
1BSB FYQMJDBS
FO MB UBCMB TF NVFTUSB VOB QPSDJÓO EFM BQÊOEJDF
#
PNJUJFOEP MPT HSBEPT EF MJCFSUBE FOUSF Z 1BSB FODPOUSBS FM
WBMPS z BEFDVBEP QBSB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF
DPNJFODF VCJ-
DÃOEPTF FO MB TFDDJÓO EF JOUFSWBMPT EF DPOGJBO[B Z TFMFDDJPOBOEP MB
DPMVNOB FODBCF[BEB QPS i u %FTQMÃDFTF IBDJB BCBKP QPS FTB DP-
MVNOB IBTUB MB ÙMUJNB GJMB
FUJRVFUBEB q P HSBEPT JOGJOJUPT EF MJCFSUBE &M WBMPS SFQPSUBEP FT
FM
NJTNP RVF TF FODPOUSÓ VUJMJ[BOEP MB EJTUSJCVDJÓO OPSNBM FTUÃOEBS FO FM BQÊOEJDF # &TUP DPOGJSNB
MB DPOWFSHFODJB EF MB EJTUSJCVDJÓO t DPO MB EJTUSJCVDJÓO z.
Intervalos de confianza de una media poblacional 263
y2VÊ TJHOJGJDB FTUP 2VF FO WF[ EF CVTDBS FO FM DVFSQP EF MB UBCMB EF WBMPSFT z
TF QVFEF JS B
MB ÙMUJNB GJMB EF MB UBCMB t Z FODPOUSBS FM WBMPS BEFDVBEP QBSB DPOTUSVJS VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B 6O
CFOFGJDJP BEJDJPOBM FT RVF MPT WBMPSFT UJFOFO USFT MVHBSFT EFDJNBMFT "TÎ
VUJMJ[BOEP FTUB UBCMB QBSB
VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF
CBKF QPS MB DPMVNOB i u Z WFB FO
RVF FT VO WBMPS z NÃT
QSFDJTP RVF QVFEF VTBSTF QBSB EJDIP OJWFM EF DPOGJBO[B 5BNCJÊO IBZ PUSPT DPO USFT MVHBSFT EFDJ-
NBMFT EJTQPOJCMFT QBSB MPT JOUFSWBMPT EF DPOGJBO[B EF Z 0CTFSWF RVF TF VTBSÃ MB UBCMB
t
RVF TF SFTVNF FO MB UBCMB
QBSB FODPOUSBS MPT WBMPSFT z con tres decimales para todos los
FKFSDJDJPT Z QSPCMFNBT TJHVJFOUFT
TABLA 9.3 Distribución de la t de Student
Intervalo de confianza
gl 80% 90% 95% 98% 99% 99.9%
(grados
0.1 Nivel de significancia para una prueba de una cola, a 0.0005
de
libertad) 0.2 0.05 0.02 0.01 0.001 0.001
3.078 636.619
1 1.886 Nivel de significancia para una prueba de dos colas, a 31.599
2 1.638 12.924
3 0.1 0.05 0.02 0.01
o o o
100 1.290 6.314 12.706 31.821 63.657 3.390
120 1.289 2.920 4.303 6.965 9.925 3.373
140 1.288 2.353 3.182 4.541 5.841 3.361
160 1.287 3.352
180 1.286 o o o o 3.345
200 1.286 1.660 1.984 2.364 2.626 3.340
q 1.282 1.658 1.980 2.358 2.617 3.291
1.656 1.977 2.353 2.611
1.654 1.975 2.350 2.607
1.653 1.973 2.347 2.603
1.653 1.972 2.345 2.601
1.645 1.960 2.326 2.576
AUTOEVALUACIÓN %PUUJF ,MFNBO FT MB i$PPLJF -BEZu FMMB IPSOFB Z WFOEF HBMMFUBT FO MVHBSFT EFM ÃSFB EF 'JMBEFMGJB
-B TFÒPSB ,MFNBO FTUÃ JOUFSFTBEB FO FM BVTFOUJTNP EF TVT USBCBKBEPSBT MB TJHVJFOUF JOGPSNBDJÓO TF
92 SFGJFSF BM OÙNFSP EF EÎBT EF BVTFODJBT EF VOB NVFTUSB EF USBCBKBEPSBT EVSBOUF FM ÙMUJNP QFSJPEP
de pago de dos semanas.
B
%FUFSNJOF MB NFEJB Z MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB NVFTUSB
C
y$VÃM FT MB NFEJB EF MB QPCMBDJÓO y$VÃM FT MB NFKPS FTUJNBDJÓO EF EJDIP WBMPS
D
$POTUSVZB VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF QBSB MB NFEJB QPCMBDJPOBM
E
&YQMJRVF MB SB[ÓO QPS MB RVF TF VUJMJ[B MB EJTUSJCVDJÓO t DPNP QBSUF EFM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B
F
y&T SB[POBCMF DPODMVJS RVF MB USBCBKBEPSB DPNÙO OP GBMUB OJOHÙO EÎB EVSBOUF VO QFSJPEP EF
pago?
9. 6UJMJDF FM BQÊOEJDF # QBSB MPDBMJ[BS FM WBMPS t en las siguientes condiciones. EJERCICIOS
a. &M UBNBÒP EF MB NVFTUSB FT EF
Z FM OJWFM EF DPOGJBO[B
EF
b. &M UBNBÒP EF MB NVFTUSB FT EF
Z FM OJWFM EF DPOGJBO[B
EF
c. &M UBNBÒP EF MB NVFTUSB FT EF
Z FM OJWFM EF DPOGJBO[B
EF
10. 6UJMJDF FM BQÊOEJDF # QBSB MPDBMJ[BS FM WBMPS EF t en las siguientes condiciones.
a. &M UBNBÒP EF MB NVFTUSB FT EF
Z FM OJWFM EF DPOGJBO[B
EF
b. &M UBNBÒP EF MB NVFTUSB FT EF
Z FM OJWFM EF DPOGJBO[B
EF
c. &M UBNBÒP EF MB NVFTUSB FT EF
Z FM OJWFM EF DPOGJBO[B
EF
11. &M QSPQJFUBSJP EF #SJUUFO T &HH 'BSN EFTFB DBMDVMBS MB DBOUJEBE NFEJB EF IVFWPT RVF QPOF DBEB HB-
MMJOB VOB NVFTUSB EF BWFT JOEJDB RVF QPOFO VO QSPNFEJP EF IVFWPT BM NFT
DPO VOB EFTWJB-
DJÓO FTUÃOEBS EF IVFWPT BM NFT
a. y$VÃM FT FM WBMPS EF MB NFEJB EF MB QPCMBDJÓO y$VÃM FT FM NFKPS FTUJNBEPS EF FTUF
b. &YQMJRVF QPS RVÊ OFDFTJUB VUJMJ[BS MB EJTUSJCVDJÓO t. y2VÊ TVQPTJDJPOFT OFDFTJUB IBDFS
264 CAPÍTULO 9 Estimación e intervalos de confianza
Para la BASE DE DATOS c. y$VÃM FT FM WBMPS EF t FO VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF
visite www.mhhe.com/ d. $POTUSVZB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB NFEJB EF QPCMBDJÓO
uni/lind_ae16e e. y&T SB[POBCMF DPODMVJS RVF MB NFEJB QPCMBDJPOBM FT EF IVFWPT y: EF IVFWPT
12. -B JOEVTUSJB FTUBEPVOJEFOTF EF MÃDUFPT EFTFB DBMDVMBS FM DPOTVNP NFEJP EF MFDIF QPS BÒP 6OB
Para la BASE DE DATOS NVFTUSB EF QFSTPOBT SFWFMB RVF FM DPOTVNP NFEJP BOVBM FT EF HBMPOFT
DPO VOB EFTWJBDJÓO
visite www.mhhe.com/ FTUÃOEBS EF HBMPOFT "TVNB RVF MB EJTUSJCVDJÓO EF MB QPCMBDJÓO FT OPSNBM
uni/lind_ae16e a. y$VÃM FT FM WBMPS EF MB NFEJB QPCMBDJPOBM y$VÃM FT FM NFKPS FTUJNBEPS EF FTUF
b. &YQMJRVF QPS RVÊ OFDFTJUB VUJMJ[BS MB EJTUSJCVDJÓO t. y2VÊ TVQPTJDJPOFT OFDFTJUB IBDFS
c. y$VÃM FT FM WBMPS EF t FO VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF
d. $POTUSVZB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB NFEJB EF QPCMBDJÓO
e. y&T SB[POBCMF DPODMVJS RVF MB NFEJB QPCMBDJPOBM FT EF HBMPOFT
13. .FSSJMM -ZODI 4FDVSJUJFT Z )FBMUI $BSF 3FUJSFNFOU
*OD
TPO EPT HSBOEFT FNQSFTBT VCJDBEBT FO FM
DFOUSP EF 5PMFEP
0IJP $POUFNQMBO PGSFDFS EF GPSNB DPOKVOUB TFSWJDJP EF HVBSEFSÎB QBSB TVT FN-
QMFBEPT Z
DPNP QBSUF EFM FTUVEJP EF WJBCJMJEBE EFM QSPZFDUP
EFTFBO DBMDVMBS FM DPTUP NFEJP TFNB-
OBM QPS FM DVJEBEP EF MPT OJÒPT 6OB NVFTUSB EF FNQMFBEPT RVF SFDVSSFO BM TFSWJDJP EF HVBSEFSÎB
SFWFMB MBT TJHVJFOUFT DBOUJEBEFT HBTUBEBT MB TFNBOB BOUFSJPS
$107 $92 $97 $95 $105 $101 $91 $99 $95 $104
$POTUSVZB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB NFEJB QPCMBDJPOBM F JOUFSQSFUF FM SFTVMUBEP
14. (SFBUFS 1JUUTCVSHI "SFB $IBNCFS PG $PNNFSDF EFTFB DBMDVMBS FM UJFNQP NFEJP RVF MPT USBCBKBEPSFT
RVF MBCPSBO FO FM DFOUSP EF MB DJVEBE OFDFTJUBO QBSB MMFHBS BM USBCBKP 6OB NVFTUSB EF USBCBKBEP-
SFT SFWFMB MBT TJHVJFOUFT DBOUJEBEFT EF NJOVUPT EF WJBKF
29 38 38 33 38 21 45 34
40 37 37 42 30 29 35
$POTUSVZB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB NFEJB QPCMBDJPOBM F JOUFSQSFUF FM SFTVMUBEP
OA9.3 Intervalo de confianza de una proporción
Calcular e interpretar &O FM NBUFSJBM FYQVFTUP IBTUB BIPSB FO FTUF DBQÎUVMP TF VUJMJ[B MB FTDBMB EF NFEJDJÓO EF SB[ÓO FT
un intervalo de con- EFDJS
TF FNQMFBO WBSJBCMFT DPNP JOHSFTPT
QFTPT
EJTUBODJBT Z FEBEFT "IPSB TF DPOTJEFSBSÃO DB-
fianza para una propor- sos como los siguientes:
ción de la población.
r &M EJSFDUPS EF TFSWJDJPT QSPGFTJPOBMFT EF 4PVUIFSO 5FDIOJDBM *OTUJUVUF JOGPSNB RVF EF TVT
HSBEVBEPT FOUSB FO FM NFSDBEP MBCPSBM FO VO QVFTUP SFMBDJPOBEP DPO TV ÃSFB EF FTUVEJP
r 6O SFQSFTFOUBOUF EF WFOUBT BGJSNB RVF EF MBT WFOUBT EF #VSHFS ,JOH TF MMFWB B DBCP FO MB
WFOUBOB EF TFSWJDJP QBSB BVUPNÓWJMFT
r 6O FTUVEJP EF MBT DBTBT EFM ÃSFB EF $IJDBHP JOEJDÓ RVF EF MBT DPOTUSVDDJP-
OFT OVFWBT DVFOUB DPO TJTUFNB EF BJSF BDPOEJDJPOBEP DFOUSBM
r 6OB FODVFTUB SFDJFOUF FOUSF IPNCSFT DBTBEPT EF FOUSF Z BÒPT EF FEBE
FODPOUSÓ RVF DSFÎB RVF BNCPT DÓOZVHFT EFCFO BQPSUBS EJOFSP
&TUPT FKFNQMPT JMVTUSBO MB FTDBMB EF NFEJDJÓO OPNJOBM DVBOEP FM SFTVMUBEP TF MJNJ-
UB B EPT WBMPSFT FO UBMFT DBTPT
VOP EF FTUBT PCTFSWBDJPOFT TF DMBTJGJDB FO VOP P NÃT
HSVQPT NVUVBNFOUF FYDMVZFOUFT 1PS FKFNQMP
VO HSBEVBEP EF 4PVUIFSO 5FDI FOUSB BM
NFSDBEP MBCPSBM FO VO QVFTUP SFMBDJPOBEP DPO TV DBNQP EF FTUVEJP P OP MP IBDF 6O
DPOTVNJEPS EF #VSHFS ,JOH DPNQSB FO MB WFOUBOB EF TFSWJDJP QBSB BVUPNÓWJMFT P OP MP
IBDF 4F QVFEF IBCMBS EF MPT HSVQPT FO UÊSNJOPT EF QSPQPSDJPOFT
PROPORCIÓN 'SBDDJÓO
SB[ÓO P QPSDFOUBKF RVF JOEJDB MB QBSUF EF MB NVFTUSB EF
MB QPCMBDJÓO RVF QPTFF VO SBTHP EF JOUFSÊT QBSUJDVMBS
$PNP FKFNQMP EF QSPQPSDJÓO
VOB FODVFTUB SFDJFOUF JOEJDÓ RVF EF DBEB
FOUSFWJTUBEPT FTUBCBO EF BDVFSEP DPO FM IPSBSJP EF WFSBOP QBSB BIPSSBS FOFSHÎB -B
QSPQPSDJÓO EF MB NVFTUSB FT EF
P 4J p representa la proporción de
MB NVFTUSB
x es el número de éxitos y n FT FM OÙNFSP EF FMFNFOUPT EF MB NVFTUSB
FT
QPTJCMF EFUFSNJOBS VOB QSPQPSDJÓO NVFTUSBM EF MB TJHVJFOUF NBOFSB
Intervalo de confianza de una proporción 265
PROPORCIÓN MUESTRAL p5 x [9.3]
n
ESTADÍSTICA
-B QSPQPSDJÓO EF MB QPCMBDJÓO TF EFGJOF QPS NFEJP EF p FT EFDJS
FM QPSDFOUBKF EF ÊYJUPT FO MB EN ACCIÓN
QPCMBDJÓO 3FDVFSEF
EFM DBQÎUVMP
RVF p es la proporción de éxitos FO VOB EJTUSJCVDJÓO CJOPNJBM
MP DVBM QFSNJUF DPOUJOVBS MB QSÃDUJDB EF VUJMJ[BS MFUSBT HSJFHBT QBSB JEFOUJGJDBS QBSÃNFUSPT EF QPCMB- Los resultados de muchas
DJÓO
Z MFUSBT MBUJOBT QBSB JEFOUJGJDBS FTUBEÎTUJDBT NVFTUSBMFT encuestas que aparecen
en periódicos, revistas de
1BSB DSFBS FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF VOB QSPQPSDJÓO
FT OFDFTBSJP DVNQMJS DPO MPT TJHVJFOUFT noticias y televisión utili-
supuestos: zan intervalos de con-
fianza; por ejemplo, una
1. -BT DPOEJDJPOFT CJOPNJBMFT
FTUVEJBEBT FO FM DBQÎUVMP
IBO RVFEBEP TBUJTGFDIBT FO SFTV- encuesta reciente de 800
NFO
FTUBT DPOEJDJPOFT TPO televidentes de Toledo,
a. Los datos de la muestra son el número de éxitos en n ensayos. Ohio, reveló que 44% ob-
b. 4PMP IBZ EPT QPTJCMFT SFTVMUBEPT MP OPSNBM FT SFGFSJSTF B VOP EF FTUPT DPNP iÊYJUPu y al otro servaba las noticias de la
DPNP iGSBDBTPu
noche en la estación local
c. -B QSPCBCJMJEBE EF VO ÊYJUP QFSNBOFDF JHVBM FOUSF VO FOTBZP Z FM TJHVJFOUF afiliada a CBS. El artículo
d. -PT FOTBZPT TPO JOEFQFOEJFOUFT FT EFDJS
FM SFTVMUBEP OP JOGMVZF FO FM SFTVMUBEP EF PUSB también indicó que el
margen de error fue de
2. -PT WBMPSFT np y n 2 p
EFCFO TFS NBZPSFT P JHVBMFT RVF DJODP &TUB DPOEJDJÓO QFSNJUF SF- 3.4%; el cual es, en reali-
DVSSJS BM UFPSFNB DFOUSBM EFM MÎNJUF Z FNQMFBS MB EJTUSJCVDJÓO OPSNBM FTUÃOEBS
FT EFDJS
z, para dad, la cantidad que se
DPNQMFUBS VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B suma y resta del estima-
dor puntual para deter-
&M EFTBSSPMMP EFM FTUJNBEPS QVOUVBM EF MB QSPQPSDJÓO EF MB QPCMBDJÓO Z FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B minar los puntos extre-
EF VOB QSPQPSDJÓO EF QPCMBDJÓO FT TJNJMBS B IBDFSMP QBSB VOB NFEJB QBSB JMVTUSBSMP DPOTJEFSF MP TJ- mos de un intervalo de
HVJFOUF +PIO (BJM FT DBOEJEBUP QBSB SFQSFTFOUBS BM UFSDFS EJTUSJUP EF /FCSBTLB BOUF FM $POHSFTP %F confianza. De acuerdo
VOB NVFTUSB BMFBUPSJB EF FMFDUPSFT FO FM EJTUSJUP
JOEJDBO RVF QMBOFBO WPUBS QPS ÊM FO MBT con la fórmula [9.4] y el
QSÓYJNBT FMFDDJPOFT -B QSPQPSDJÓO EF MB NVFTUSB FT EF
QFSP OP TF DPOPDF MB QSPQPSDJÓO QP- nivel de confianza de
CMBDJPOBM FT EFDJS
OP TF DPOPDF RVÊ QSPQPSDJÓO EF FMFDUPSFT EF MB población WPUBSÃ QPS (BJM &M 95%:
WBMPS EF MB NVFTUSB
FT FM NFKPS FTUJNBEPS EFM QBSÃNFUSP QPCMBDJPOBM EFTDPOPDJEP BTÎ
p, RVF
FT EF
DPOTUJUVZF VO FTUJNBEPS EF p
RVF OP TF DPOPDF Uz p(1 2 p)
n
1BSB DSFBS FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF VOB QSPQPSDJÓO EF QPCMBDJÓO TF BQMJDB MB GÓSNVMB
U5 1.96 0.44(1 2 0.44)
INTERVALO DE CONFIANZA DE LA Up 6 z p 2 p
[9.4] 800
PROPORCIÓN DE UNA POBLACIÓN n
5 0.034
6O FKFNQMP BZVEBSÃ B FYQMJDBS MPT EFUBMMFT QBSB EFUFSNJOBS VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B Z FM SFTVM-
tado.
EJEMPLO
&M TJOEJDBUP RVF SFQSFTFOUB B #PUUMF #MPXFST PG "NFSJDB ##"
DPOTJEFSB MB QSPQVFTUB EF GVTJÓO DPO
5FBNTUFST 6OJPO %F BDVFSEP DPO FM SFHMBNFOUP EFM TJOEJDBUP EF ##"
QPS MP NFOPT USFT DVBSUBT
QBSUFT EF MPT NJFNCSPT EFM TJOEJDBUP EFCFO BQSPCBS DVBMRVJFS GVTJÓO 6OB NVFTUSB BMFBUPSJB EF
NJFNCSPT BDUVBMFT EF ##" SFWFMB RVF QMBOFBO BQPZBS MB QSPQVFTUB %FUFSNJOF FM FTUJNBEPS EF
MB QSPQPSDJÓO QPCMBDJPOBM Z FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB QSPQPSDJÓO QPCMBDJPOBM 4J GVOEB-
NFOUB TV EFDJTJÓO FO FTUB JOGPSNBDJÓO EF MB NVFTUSB
yQVFEF DPODMVJS RVF MB QSPQPSDJÓO OFDFTBSJB EF
NJFNCSPT EFM ##" GBWPSFDF MB GVTJÓO y1PS RVÊ
SOLUCIÓN
1SJNFSP FTUJNF MB QSPQPSDJÓO EF MB NVFTUSB EF BDVFSEP DPO MB GÓSNVMB < > MB DVBM FT EF
Z TF
calcula de la siguiente manera:
p 5 x 5 5
n
1PS DPOTJHVJFOUF
TF DBMDVMB RVF EF MB QPCMBDJÓO GBWPSFDF MB QSPQVFTUB EF GVTJÓO %FUFSNJOF FM
JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF DPO BZVEB EF MB GÓSNVMB < > FM WBMPS z DPSSFTQPOEJFOUF BM OJWFM EF
DPOGJBO[B EF FT EF
266 CAPÍTULO 9 Estimación e intervalos de confianza
U Up 6 z
p 2 p
5 6 2
5 6
n
-PT QVOUPT FYUSFNPT EFM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B TPO Z &M QVOUP FYUSFNP NÃT CBKP FT
NBZPS RVF BTÎ
FT QSPCBCMF RVF TF BQSVFCF MB QSPQVFTUB EF GVTJÓO
QVFT FM FTUJNBEPS EFM JOUFS-
WBMP JODMVZF WBMPSFT TVQFSJPSFT B EF MPT NJFNCSPT EFM TJOEJDBUP
)F BRVÎ VO SFQBTP EF MB JOUFSQSFUBDJÓO EFM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B TJ MB FODVFTUB TF BQMJDÓ WFDFT
DPO NVFTUSBT EJTUJOUBT
MPT JOUFSWBMPT EF DPOGJBO[B DPOTUSVJEPT B QBSUJS EF EF MBT NVFTUSBT
DPOUFOESÃO MB WFSEBEFSB QSPQPSDJÓO EF MB QPCMBDJÓO BEFNÃT
MB JOUFSQSFUBDJÓO EF VO JOUFSWBMP EF
DPOGJBO[B SFTVMUB EF NVDIB VUJMJEBE FO MB UPNB EF EFDJTJPOFT Z EFTFNQFÒB VO QBQFM NVZ JNQPSUBO-
UF
FO FTQFDJBM MB OPDIF EF MBT FMFDDJPOFT 1PS FKFNQMP
$MJGG 0CFSNFZFS TF QPTUVMB QBSB SFQSFTFOUBS
BOUF FM $POHSFTP BM P EJTUSJUP EF /VFWB +FSTFZ 4VQPOHB RVF TF FOUSFWJTUB B MPT FMFDUPSFT RVF
BDBCBO EF WPUBS Z JOEJDBO RVF WPUBSPO QPS ÊM $POTJEFSF RVF FMFDUPSFT FT VOB NVFTUSB BMFB-
UPSJB EF RVJFOFT WPUBO FO FM P EJTUSJUP FTUP TJHOJGJDB RVF EF MPT FMFDUPSFT EF MB NVFTUSB WPUÓ
QPS 0CFSNFZFS %F BDVFSEP DPO MB GÓSNVMB < >
p 5 x 5 5
n
"IPSB
QBSB FTUBS TFHVSP EF TV USJVOGP
0CFSNFZFS EFCF HBOBS más de EF MPT WPUPT EF MB
QPCMBDJÓO EF FMFDUPSFT &O FTUF NPNFOUP TF DPOPDF VO FTUJNBEPS QVOUVBM
EF MB QPCMBDJÓO EF
FMFDUPSFT RVF WPUBSÃO QPS ÊM
QFSP OP TF DPOPDF FM QPSDFOUBKF UPUBM EF MB QPCMBDJÓO &O FTUBT DJSDVOT-
UBODJBT
MB QSFHVOUB FT yFT QPTJCMF UPNBS VOB NVFTUSB EF FMFDUPSFT EF VOB QPCMBDJÓO FO MB RVF
P NFOPT BQPZF B 0CFSNFZFS QBSB FODPOUSBS RVF EF MB NVFTUSB MP GBWPSFDF &O PUSBT
QBMBCSBT
yFM FSSPS EF NVFTUSFP
RVF FT p 2 p 5 2 5
TF EFCF BM B[BS
P MB QPCMBDJÓO
EF FMFDUPSFT RVF BQPZB B 0CFSNFZFS FT TVQFSJPS B "M FTUBCMFDFS VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF
MB QSPQPSDJÓO EF MB NVFTUSB Z IBMMBS RVF FM QVOUP JOGFSJPS FT NBZPS B
TF DPODMVZF RVF MB QSPQPS-
DJÓO EF FMFDUPSFT RVF BQPZB B 0CFSNFZFS FT NBZPS RVF &TUP TJHOJGJDB RVF
EF IFDIP
QVFEF
SFTVMUBS FMFDUP y2VÊ QBTB TJ QFSUFOFDF BM JOUFSWBMP &OUPODFT TF DPODMVZF RVF OP FT TFHVSP
UFOFS NBZPSÎB OJ FT QPTJCMF BTFHVSBS RVF TFSÃ FMFDUP &O FTUF DBTP
TJ TF VUJMJ[B FM OJWFM EF TJHOJGJDBO-
DJB EF Z MB GÓSNVMB < >
TF UJFOF RVF
U Up 2 p
2
p6z 5 6 5 6
n
"TÎ
MPT QVOUPT FYUSFNPT EFM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B TPO 2 5 Z 1 5
&M WBMPS OP QFSUFOFDF BM JOUFSWBMP QPS MP UBOUP
TF DPODMVZF RVF QSPCBCMFNFOUF más de
50% EF MPT FMFDUPSFT BQPZB B 0CFSNFZFS
MP DVBM FT TVGJDJFOUF QBSB RVF TFB FMFHJEP
y"MHVOB WF[ TF VUJMJ[B FTUF QSPDFEJNJFOUP 4Î
FT FYBDUBNFOUF FM QSPDFEJNJFOUP RVF VUJMJ[BO MBT
DBEFOBT EF UFMFWJTJÓO
SFWJTUBT EF OPUJDJBT Z FODVFTUBT EF TBMJEB FO MB OPDIF EF MBT FMFDDJPOFT
AUTOEVALUACIÓN 4F MMFWÓ B DBCP VOB FODVFTUB EF NFSDBEP QBSB DBMDVMBS MB QSPQPSDJÓO EF BNBT EF DBTB RVF SFDPOP-
DFSÎBO FM OPNCSF EF MB NBSDB EF VO MJNQJBEPS B QBSUJS EF MB GPSNB Z DPMPS EFM FOWBTF %F MBT
93 BNBT EF DBTB EF MB NVFTUSB
JEFOUJGJDBSPO MB NBSDB QPS TV OPNCSF
B
&TUJNF FM WBMPS EF MB QSPQPSDJÓO EF MB QPCMBDJÓO
C
$POTUSVZB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB QSPQPSDJÓO QPCMBDJPOBM
D
*OUFSQSFUF TVT DPODMVTJPOFT
EJERCICIOS &M QSPQJFUBSJP EF 8FTU &OE ,XJDL 'JMM (BT 4UBUJPO EFTFB EFUFSNJOBS MB QSPQPSDJÓO EF DMJFOUFT RVF
VUJMJ[BO UBSKFUB EF DSÊEJUP P EÊCJUP QBSB QBHBS MB HBTPMJOB FO FM ÃSFB EF MBT CPNCBT &OUSFWJTUB B
DMJFOUFT Z EFTDVCSF RVF QBHBSPO EF FTUB NBOFSB
a. &TUJNF FM WBMPS EF MB QSPQPSDJÓO EF MB QPCMBDJÓO
b. $POTUSVZB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB QSPQPSDJÓO QPCMBDJPOBM
c. *OUFSQSFUF TVT DPODMVTJPOFT
Elección del tamaño adecuado de una muestra 267
16. .BSÎB 8JMTPO DPOTJEFSB QPTUVMBSTF QBSB MB BMDBMEÎB EF MB DJVEBE EF #FBS (VMDI
.POUBOB QFSP BOUFT
EF TPMJDJUBS MB QPTUVMBDJÓO EFDJEF SFBMJ[BS VOB FODVFTUB FOUSF MPT FMFDUPSFT EF #FBS (VMDI 6OB NVFT-
USB EF FMFDUPSFT SFWFMB RVF MB BQPZBSÎBO FO MBT FMFDDJPOFT EF OPWJFNCSF
a. &TUJNF FM WBMPS EF MB QSPQPSDJÓO EF MB QPCMBDJÓO
b. $BMDVMF FM FSSPS FTUÃOEBS EF MB QSPQPSDJÓO
c. $POTUSVZB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB QSPQPSDJÓO QPCMBDJPOBM
d. *OUFSQSFUF TVT SFTVMUBEPT
17. -B UFMFWJTPSB 'PY 57 DPOTJEFSB SFFNQMB[BS VOP EF TVT QSPHSBNBT EF JOWFTUJHBDJÓO DJNJOBM
RVF TF
USBOTNJUF EVSBOUF MBT IPSBT EF NBZPS BVEJFODJB
QPS VOB OVFWB DPNFEJB PSJFOUBEB B MB GBNJMJB "OUFT
EF UPNBS VOB EFDJTJÓO EFGJOJUJWB
MPT FKFDVUJWPT FTUVEJBO VOB NVFTUSB EF UFMFTQFDUBEPSFT %FT-
QVÊT EF WFS MB DPNFEJB
BGJSNBSPO RVF MB WFSÎBO Z TVHJSJFSPO SFFNQMB[BS FM QSPHSBNB EF JOWFTUJ-
gación criminal.
a. &TUJNF FM WBMPS EF MB QSPQPSDJÓO EF MB QPCMBDJÓO
b. $POTUSVZB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB QSPQPSDJÓO QPCMBDJPOBM
c. *OUFSQSFUF MPT SFTVMUBEPT RVF PCUVWP
18. 4DIBEFL 4JMLTDSFFO 1SJOUJOH
*OD
DPNQSB UB[BT EF QMÃTUJDP QBSB JNQSJNJS FO FMMBT MPHPUJQPT EF FWFO-
UPT EFQPSUJWPT
HSBEVBDJPOFT
DVNQMFBÒPT V PUSBT PDBTJPOFT JNQPSUBOUFT ;BDL 4DIBEFL
FM QSPQJF-
UBSJP
SFDJCJÓ VO FOWÎP HSBOEF FTUB NBÒBOB 1BSB BTFHVSBSTF EF MB DBMJEBE EFM FOWÎP
TFMFDDJPOÓ VOB
NVFTUSB BMFBUPSJB EF UB[BT Z IBMMÓ RVF FTUBCBO EFGFDUVPTBT
a. y$VÃM FT MB QSPQPSDJÓO BQSPYJNBEB EF UB[BT EFGFDUVPTBT FO MB QPCMBDJÓO
b. $POTUSVZB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB QSPQPSDJÓO EF UB[BT EFGFDUVPTBT
c. ;BDL BDPSEÓ DPO TV QSPWFFEPS RVF EFWPMWFSÃ MPUFT DPO P NÃT EF BSUÎDVMPT EFGFDUVPTPT
y%FCF EFWPMWFS FTUF MPUF &YQMJRVF TV SFTQVFTUB
Elección del tamaño adecuado de una muestra OA9-4
6OB WBSJBCMF JNQPSUBOUF DVBOEP TF USBCBKB DPO JOUFSWBMPT EF DPOGJBO[B FT FM UBNBÒP EF MB NVFTUSB Calcular el tamaño de
TJO FNCBSHP
FO MB QSÃDUJDB
OP FT VOB WBSJBCMF
TJOP VOB EFDJTJÓO RVF TF UPNB QBSB RVF MB FTUJNB- la muestra necesario
DJÓO EFM QBSÃNFUSP EF QPCMBDJÓO TFB CVFOP &TUB EFDJTJÓO TF CBTB FO USFT WBSJBCMFT para estimar una pro-
porción de la población
1. &M NBSHFO EF FSSPS RVF UPMFSBSÃ FM JOWFTUJHBEPS o una media poblacio-
2. &M OJWFM EF DPOGJBO[B EFTFBEP nal.
3. -B WBSJBDJÓO P EJTQFSTJÓO EF MB QPCMBDJÓO RVF TF FTUVEJB
-B QSJNFSB WBSJBCMF FT FM margen de error. &M NÃYJNP FSSPS BENJTJCMF
EFTJHOBEP E, es la magni-
UVE RVF TF TVNB Z SFTUB EF MB NFEJB NVFTUSBM P QSPQPSDJÓO NVFTUSBM
QBSB EFUFSNJOBS MPT QVOUPT
FYUSFNPT EFM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B 1PS FKFNQMP
FO VO FTUVEJP EF TBMBSJPT TF EFTFB FTUJNBS FM
TVFMEP QSPNFEJP EF MB QPCMBDJÓO DPO VO NBSHFO EF FSSPS EF NÃT P NFOPT EÓMBSFT 0 FO VOB
FODVFTUB EF PQJOJÓO TF EFTFB DBMDVMBS MB QSPQPSDJÓO EF MB QPCMBDJÓO DPO VO NBSHFO EF FSSPS EF NÃT
P NFOPT FTUP FT
MB NBHOJUVE EFM FSSPS RVF TF UPMFSBSÃ BM FTUJNBS VO QBSÃNFUSP QPCMBDJPOBM
2VJ[ÃT TF QSFHVOUF QPS RVÊ OP FMFHJS NÃSHFOFT QFRVFÒPT EF FSSPS &YJTUF VOB DPNQFOTBDJÓO FOUSF
FM NBSHFO EF FSSPS Z FM UBNBÒP EF MB NVFTUSB VO NBSHFO EF FSSPS QFRVFÒP SFRVJFSF VOB NVFTUSB NÃT
HSBOEF Z NÃT UJFNQP Z EJOFSP QBSB SFDPMFDUBSMB 6O NBSHFO EF FSSPS NÃT HSBOEF HFOFSB VOB NVFTUSB
NÃT QFRVFÒB Z VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B NÃT BNQMJP
La segunda elección es el nivel de confianza. "M USBCBKBS DPO VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B
MÓHJDB-
NFOUF TF FMFHJSÃO OJWFMFT EF DPOGJBO[B SFMBUJWBNFOUF BMUPT
DPNP EF Z
RVF TPO MPT NÃT
DPNVOFT 1BSB DBMDVMBS FM UBNBÒP EF MB NVFTUSB TF OFDFTJUB VO FTUBEÎTUJDP z RVF DPSSFTQPOEB BM
OJWFM EF DPOGJBO[B FMFHJEP &M OJWFM EF DPOGJBO[B EF DPSSFTQPOEF BM WBMPS z EF
Z FM OJWFM EF
DPOGJBO[B EF
B VOP EF TF VTB MB UBCMB EF WBMPSFT t
0CTFSWF RVF MBT NVFTUSBT NÃT
HSBOEFT DPO TV DPOTFDVFOUF SFRVFSJNJFOUP EF NÃT UJFNQP Z EJOFSP QBSB SFDPMFDUBSMBT
DPSSFTQPO-
EFO B OJWFMFT EF DPOGJBO[B NÃT BMUPT
Z RVF TF VUJMJ[B VO FTUBEÎTUJDP z.
&M UFSDFS GBDUPS FO MB EFUFSNJOBDJÓO EFM UBNBÒP EF VOB NVFTUSB FT MB desviación estándar de la
población TJ FTUB TF FODVFOUSB NVZ EJTQFSTB
TF SFRVFSJSÃ VOB NVFTUSB HSBOEF 1PS FM DPOUSBSJP
TJ
TF FODVFOUSB DPODFOUSBEB IPNPHÊOFB
FM UBNBÒP EF NVFTUSB RVF TF SFRVJFSF TFSÃ NFOPS OP PCT-
UBOUF
QVFEF TFS OFDFTBSJP VUJMJ[BS VO FTUJNBEPS EF MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB QPCMBDJÓO )F BRVÎ
algunas sugerencias para determinar dicho estimador.
1. Realice un estudio piloto. &TUF FT FM NÊUPEP NÃT DPNÙO 4VQPOHB RVF EFTFB VO DÃMDVMP
BQSPYJNBEP EF MB DBOUJEBE EF IPSBT RVF USBCBKBO B MB TFNBOB MPT FTUVEJBOUFT NBUSJDVMBEPT FO
MB 'BDVMUBE EF "ENJOJTUSBDJÓO EF MB 6OJWFSTJEBE EF 5FYBT 1BSB QSPCBS MB WBMJEF[ EFM DVFTUJPOB-
268 CAPÍTULO 9 Estimación e intervalos de confianza
SJP
TF BQMJDB B VOB QFRVFÒB NVFTUSB EF FTUVEJBOUFT B QBSUJS EF FTUB QFRVFÒB NVFTUSB TF
DBMDVMB MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB DBOUJEBE EF IPSBT RVF USBCBKBO Z TF VUJMJ[B FTUF WBMPS DPNP
MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB QPCMBDJÓO
2. Utilice un estudio comparativo. "QMJRVF FTUF FOGPRVF DVBOEP TF FODVFOUSF EJTQPOJCMF VO
FTUJNBEPS EF MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF PUSP FTUVEJP 4VQPOHB RVF RVJFSF DBMDVMBS MB DBOUJEBE
EF IPSBT TFNBOBMFT RVF USBCBKBO MPT SFDPMFDUPSFT EF CBTVSB -B JOGPSNBDJÓO EF DJFSUBT EFQFO-
EFODJBT FTUBUBMFT P GFEFSBMFT RVF OPSNBMNFOUF FTUVEJBO MB GVFS[B EF USBCBKP QVFEF TFS ÙUJM
QBSB PCUFOFS VO DÃMDVMP BQSPYJNBEP EF MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS
3. Emplee un enfoque basado en el intervalo. 1BSB BQMJDBS FTUF FOGPRVF FT QSFDJTP DPOPDFS P
DPOUBS DPO VO DÃMDVMP EF MPT WBMPSFT NÃYJNP Z NÎOJNP EF MB QPCMBDJÓO SFDVFSEF
EFM DBQÎUVMP
FO FM RVF TF FYQMJDÓ MB SFHMB FNQÎSJDB
RVF TF QPEÎB FTQFSBS RVF DBTJ UPEPT FTUPT TF FODPO-
USBSBO B NÃT P NFOPT USFT EFTWJBDJPOFT FTUÃOEBSFT EF MB NFEJB TJ MB EJTUSJCVDJÓO TFHVÎB MB
EJTUSJCVDJÓO OPSNBM
1PS DPOTJHVJFOUF
MB EJTUBODJB FOUSF MPT WBMPSFT NÃYJNP Z NÎOJNP FT EF
TFJT EFTWJBDJPOFT FTUÃOEBS 1VFEF DBMDVMBS MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS DPNP VO TFYUP EFM SBOHP
QPS FKFNQMP
MB EJSFDUPSB EF PQFSBDJPOFT EFM 6OJWFSTJUZ #BOL EFTFB VO DÃMDVMP BQSPYJNBEP EFM
OÙNFSP EF DIFRVFT RVF FYQJEFO DBEB NFT MPT FTUVEJBOUFT VOJWFSTJUBSJPT &MMB DSFF RVF MB EJT-
USJCVDJÓO EFM OÙNFSP EF DIFRVFT FT OPSNBM -B DBOUJEBE NÎOJNB EF DIFRVFT FYQFEJEPT DBEB
NFT FT
Z MB NÃYJNB
&M SBOHP EF MB DBOUJEBE EF DIFRVFT RVF TF FYQJEFO QPS NFT FT
RVF TF EFUFSNJOB BM SFTUBS 2 &M FTUJNBEPS EF MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS FT FOUPODFT EF PDIP
DIFRVFT NFOTVBMFT
Tamaño de la muestra para calcular una media poblacional
1BSB DBMDVMBS VOB NFEJB QPCMBDJPOBM TF FYQSFTB MB JOUFSBDDJÓO FOUSF FTUPT USFT GBDUPSFT Z FM UBNBÒP
EF MB NVFTUSB NFEJBOUF MB GÓSNVMB TJHVJFOUF PCTFSWF RVF FTUB FT FM NBSHFO EF FSSPS RVF TF VUJMJ[B
QBSB DBMDVMBS MPT QVOUPT FYUSFNPT EF MPT JOUFSWBMPT EF DPOGJBO[B QBSB FTUJNBS VOB NFEJB QPCMBDJPOBM
E5z s
Vn
"M EFTQFKBS n en esta ecuación TF PCUJFOF FM TJHVJFOUF SFTVMUBEP
TAMAÑO DE LA MUESTRA PARA ESTIMAR _ +n 5zs [9.5]
LA MEDIA DE LA POBLACIÓN E
donde:
n FT FM UBNBÒP EF MB NVFTUSB
z FT FM WBMPS OPSNBM FTUÃOEBS DPSSFTQPOEJFOUF BM OJWFM EF DPOàBO[B EFTFBEP
s FT MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB QPCMBDJÓO
E FT FM FSSPS NÃYJNP BENJTJCMF
&M SFTVMUBEP EF FTUF DÃMDVMP OP TJFNQSF FT VO OÙNFSP FOUFSP FO UBM DBTP
TF BDPTUVNCSB SFEPO-
dear cualquier SFTVMUBEP GSBDDJPOBSJP 1PS FKFNQMP
TF SFEPOEFB B
EJEMPLO
6O FTUVEJBOUF EF BENJOJTUSBDJÓO QÙCMJDB EFTFB EFUFSNJOBS MB DBOUJEBE NFEJB RVF HBOBO BM NFT MPT
NJFNCSPT EF MPT DPOTFKPT DJVEBEBOPT EF MBT HSBOEFT DJVEBEFT &M FSSPS BM DBMDVMBS MB NFEJB EFCF TFS
JOGFSJPS B EÓMBSFT
DPO VO OJWFM EF DPOGJBO[B EF &M FTUVEJBOUF FODPOUSÓ VO JOGPSNF EFM %F-
QBSUBNFOUP EFM 5SBCBKP FO FM RVF MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS FT EF EÓMBSFT y$VÃM FT FM UBNBÒP EF
MB NVFTUSB RVF TF SFRVJFSF
SOLUCIÓN
&M FSSPS NÃYJNP BENJTJCMF
E, FT EF EÓMBSFT &M WBMPS z EF VO OJWFM EF DPOGJBO[B EF FT EF
Z FM FTUJNBEPS EF MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS
EF EÓMBSFT "M TVTUJUVJS FTUPT WBMPSFT FO MB GÓSNVMB < >
TF PCUJFOF FM UBNBÒP EF MB NVFTUSB RVF TF SFRVJFSF
Elección del tamaño adecuado de una muestra 269
zs
5 5
5
_ + _ +n 5
E
&M WBMPS DBMDVMBEP EF TF SFEPOEFB B 4F SFRVJFSF VOB NVFTUSB EF QBSB TBUJTGBDFS MBT
FTQFDJGJDBDJPOFT TJ FM FTUVEJBOUF EFTFB JODSFNFOUBS FM OJWFM EF DPOGJBO[B
QPS FKFNQMP
B
TF
SFRVFSJSÃ VOB NVFTUSB NÃT HSBOEF &M WBMPS z DPSSFTQPOEJFOUF BM OJWFM EF DPOGJBO[B EF FT
zs
5 5
5
_ + _ +n 5
E
4F SFDPNJFOEB VOB NVFTUSB EF 0CTFSWF DVÃOUP NPEJGJDÓ FM UBNBÒP EF MB NVFTUSB FM DBNCJP FO
FM OJWFM EF DPOGJBO[B 6O JODSFNFOUP EFM OJWFM EF DPOGJBO[B EF BM EF EJP DPNP SFTVMUBEP VO
JODSFNFOUP EF WBMPSFT P <
3 > FTUP QVFEF JODSFNFOUBS NVDIP FM DPTUP EFM
FTUVEJP
FO UÊSNJOPT EF UJFNQP Z EJOFSP %F BIÎ RVF EFCB DPOTJEFSBSTF DPO DVJEBEP FM OJWFM EF DPO-
fianza.
Tamaño de la muestra para calcular la proporción
de una población
1BSB EFUFSNJOBS FM UBNBÒP EF MB NVFTUSB FO FM DBTP EF VOB QSPQPSDJÓO FT OFDFTBSJP FTQFDJGJDBS FTUBT
NJTNBT USFT WBSJBCMFT
1. El margen de error.
2. &M OJWFM EF DPOGJBO[B EFTFBEP
3. -B WBSJBDJÓO P EJTQFSTJÓO EF MB QPCMBDJÓO B FTUVEJBS
&O FM DBTP EF MB EJTUSJCVDJÓO CJOPNJBM
FM NBSHFO EF FSSPS FT
UE 5 z p 2 p
n
4J MB FDVBDJÓO TF SFTVFMWF QBSB EFTQFKBS n TF PCUJFOF MP TJHVJFOUF
TAMAÑO DE LA MUESTRA DE LA _ +n 5 p 2 p
z
PROPORCIÓN DE LA POBLACIÓN E
[9.6]
donde:
n FT FM UBNBÒP EF MB NVFTUSB
z FT FM WBMPS OPSNBM FTUÃOEBS DPSSFTQPOEJFOUF BM OJWFM EF DPOàBO[B EFTFBEP
p FT MB QSPQPSDJÓO EF MB QPCMBDJÓO
E FT FM NÃYJNP FSSPS UPMFSBCMF
Las elecciones del estadístico-z y el margen de error E TPO MBT NJTNBT RVF QBSB DBMDVMBS MB
NFEJB QPCMBDJPOBM TJO FNCBSHP
MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB QPCMBDJÓO EF VOB EJTUSJCVDJÓO OPSNBM
FTUÃ SFQSFTFOUBEB QPS p 2 p
1BSB FODPOUSBS FM WBMPS EF VOB QSPQPSDJÓO EF MB QPCMBDJÓO
IBMMF VO
FTUVEJP TJNJMBS P DPOEV[DB VO FTUVEJP QJMPUP TJ OP TF QVFEF FODPOUSBS VOP DPOGJBCMF
FOUPODFT VTF
VO WBMPS EF p EF 0CTFSWF RVF p 2 p
FT NBZPS DVBOEP TF VUJMJ[B Z
QPS MP UBOUP
TJO VOB
CVFOB FTUJNBDJÓO EF MB QSPQPSDJÓO EF MB QPCMBDJÓO
TF TPCSFTUJNB FM UBNBÒP EF MB NVFTUSB &TUB
EJGFSFODJB OP BGFDUB BM FTUJNBEPS EF MB QSPQPSDJÓO EF MB QPCMBDJÓO
EJEMPLO
&O FM FTUVEJP EFM FKFNQMP BOUFSJPS UBNCJÊO TF DBMDVMB MB QSPQPSDJÓO EF DJVEBEFT RVF DVFOUBO DPO
SFDPMFDUPSFT EF CBTVSB QSJWBEPT &M FTUVEJBOUF EFTFB RVF FM NBSHFO EF FSSPS TF FODVFOUSF B EF
MB QSPQPSDJÓO EF MB QPCMBDJÓO FM OJWFM EF DPOGJBO[B EFTFBEP FT EF
Z OP TF FODVFOUSB EJTQPOJCMF
OJOHÙO FTUJNBEPS EF MB QSPQPSDJÓO EF MB QPCMBDJÓO y$VÃM FT FM UBNBÒP EF MB NVFTUSB RVF TF SFRVJFSF
270 CAPÍTULO 9 Estimación e intervalos de confianza
SOLUCIÓN
&M FTUJNBEPS EF MB QSPQPSDJÓO EF MB QPCMBDJÓO TF FODVFOUSB B
QPS MP RVF E 5 &M OJWFM EF
DPOGJBO[B EFTFBEP FT EF
RVF DPSSFTQPOEF B VO WBMPS z EF $PNP OP TF FODVFOUSB EJTQP-
OJCMF OJOHÙO FTUJNBEPS EF MB QPCMBDJÓO
TF VUJMJ[B MB DBOUJEBE EF WBMPSFT RVF TF TVHJFSF FT
_ +n 5
2
5
&M JOWFTUJHBEPS OFDFTJUB VOB NVFTUSB BMFBUPSJB EF DJVEBEFT
AUTOEVALUACIÓN &M TFDSFUBSJP BDBEÊNJDP EF MB VOJWFSTJEBE EFTFB DBMDVMBS FM QSPNFEJP BSJUNÊUJDP EF MBT DBMJGJDBDJPOFT
EF MPT FTUVEJBOUFT RVF TF HSBEVBSPO EVSBOUF MPT ÙMUJNPT BÒPT -PT QSPNFEJPT PTDJMBO FOUSF Z
94 FM QSPNFEJP TF WB B DBMDVMBS B NÃT P NFOPT EF MB NFEJB QPCMBDJPOBM
Z TF DBMDVMB RVF MB
EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS FT EF 6UJMJDF FM OJWFM EF DPOGJBO[B EF y"ZVEBSÎB BM TFDSFUBSJP B EF-
UFSNJOBS DVÃOUBT CPMFUBT UJFOF RVF FTUVEJBS
EJERCICIOS 4F DBMDVMB RVF VOB QPCMBDJÓO UJFOF VOB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF %FTFB FTUJNBS MB NFEJB EF MB
QPCMBDJÓO B NFOPT EF VOJEBEFT EFM FSSPS NÃYJNP BENJTJCMF
DPO VO OJWFM EF DPOGJBO[B EF
y%F RVÊ UBNBÒP EFCF TFS MB NVFTUSB
2VJFSF FTUJNBS MB NFEJB EF MB QPCMBDJÓO B NFOPT EF
DPO VO OJWFM EF DPOGJBO[B EF 4F
DBMDVMB RVF MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS FT EF y%F RVÊ UBNBÒP EFCF TFS MB NVFTUSB
21. &M FTUJNBEPS EF MB QSPQPSDJÓO QPCMBDJPOBM EFCF FTUBS B NÃT P NFOPT
DPO VO OJWFM EF DPOGJBO[B
EF &M NFKPS FTUJNBEPS EF MB QSPQPSDJÓO QPCMBDJPOBM FT EF y%F RVÊ UBNBÒP EFCF TFS MB
NVFTUSB RVF TF SFRVJFSF
22. &M FTUJNBEPS EF MB QSPQPSDJÓO QPCMBDJPOBM EFCF FTUBS B NÃT P NFOPT EF
DPO VO OJWFM EF DPO-
GJBO[B EF &M NFKPS FTUJNBEPS EF MB QSPQPSDJÓO QPCMBDJPOBM FT EF y%F RVÊ UBNBÒP EFCF
TFS MB NVFTUSB RVF TF SFRVJFSF
23. 4F QMBOFB MMFWBS B DBCP VOB FODVFTUB QBSB EFUFSNJOBS FM UJFNQP NFEJP RVF WFO UFMFWJTJÓO MPT FKFDV-
UJWPT DPSQPSBUJWPT 6OB FODVFTUB QJMPUP JOEJDÓ FTUF FT EF IPSBT TFNBOBMFT
DPO VOB EFTWJBDJÓO
FTUÃOEBS EF IPSBT 4F EFTFB RVF FM FTUJNBEPS EF MB NFEJB EF RVJFOFT WFO UFMFWJTJÓO FTUÊ B
NFOPT EF VO DVBSUP EF IPSB 4F VUJMJ[BSÃ FM OJWFM EF DPOGJBO[B EF y" DVÃOUPT FKFDVUJWPT EFCF
FOUSFWJTUBSTF
24. 6O QSPDFTBEPS EF [BOBIPSJBT DPSUB MBT IPKBT
MBWB MPT WFHFUBMFT Z MPT JOTFSUB FO VO QBRVFUF &O VOB
DBKB TF HVBSEBO QBRVFUFT QBSB FOWJBSTF 1BSB DPOUSPMBS FM QFTP EF MBT DBKBT TF SFWJTBSPO VOBT
DVBOUBT FM QFTP NFEJP GVF EF MJCSBT
Z MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS
EF MJCSBT y$VÃOUBT DBKBT
EFCF UFOFS MB NVFTUSB QBSB DPOTFHVJS VOB DPOGJBO[B EF EF RVF MB NFEJB EF MB NVFTUSB OP EJGJF-
SF EF MB NFEJB EF MB QPCMBDJÓO QPS NÃT EF MJCSBT
4VQPOHB RVF FM QSFTJEFOUF EF &TUBEPT 6OJEPT EFTFB VO DÃMDVMP EF MB QSPQPSDJÓO EF MB QPCMBDJÓO RVF
BQPZB TV BDUVBM QPMÎUJDB SFMBDJPOBEB DPO MBT SFWJTJPOFT EFM TJTUFNB EF TFHVSJEBE TPDJBM ÊM RVJFSF RVF FM
DÃMDVMP TF FODVFOUSF B NFOPT EF EF MB QSPQPSDJÓO SFBM 4VQPOHB VO OJWFM EF DPOGJBO[B EF
-PT BTFTPSFT QPMÎUJDPT EFM QSFTJEFOUF DBMDVMBO RVF MB QSPQPSDJÓO RVF BQPZB MB BDUVBM QPMÎUJDB FT EF
a. y%F RVÊ UBNBÒP EFCF TFS MB NVFTUSB RVF TF SFRVJFSF
b. y%F RVÊ UBNBÒP EFCF TFS VOB NVFTUSB TJ OP IVCJFSB EJTQPOJCMF OJOHÙO FTUJNBEPS EF MB QSPQPSDJÓO
RVF BQPZB MB BDUVBM QPMÎUJDB
26. -BT FODVFTUBT BOUFSJPSFT SFWFMBO RVF EF MPT UVSJTUBT RVF WBO B -BT 7FHBT B KVHBS EVSBOUF FM GJO
EF TFNBOB HBTUB NÃT EF EÓMBSFT DBEB VOP -B HFSFODJB EFTFB BDUVBMJ[BS FTUF QPSDFOUBKF
a. &M OVFWP FTUVEJP VUJMJ[BSÃ FM OJWFM EF DPOGJBO[B EF &M FTUJNBEPS FTUBSÃ B NFOPT EF EF MB
QSPQPSDJÓO EF MB QPCMBDJÓO y$VÃM FT FM UBNBÒP OFDFTBSJP EF MB NVFTUSB
b. -B HFSFODJB JOEJDÓ RVF FM UBNBÒP EF MB NVFTUSB EFUFSNJOBEP FT EFNBTJBEP HSBOEF y2VÊ TF QVF-
EF IBDFS QBSB SFEVDJS MB NVFTUSB $PO CBTF FO TV TVHFSFODJB
WVFMWB B DBMDVMBS FM UBNBÒP EF MB
muestra.
OA9-5 Factor de corrección de una población finita
Ajustar un intervalo de -BT QPCMBDJPOFT EF MBT RVF TF IBO UPNBEP NVFTUSBT IBTUB BIPSB IBO TJEP NVZ HSBOEFT P JOGJOJUBT
confianza para pobla- y2VÊ TVDFEFSÎB TJ MB QPCMBDJÓO EF MB RVF TF UPNB MB NVFTUSB OP GVFSB UBO HSBOEF &T OFDFTBSJP
ciones finitas.
Factor de corrección de una población finita 271
SFBMJ[BS BMHVOPT BKVTUFT FO MB GPSNB EF DBMDVMBS FM FSSPS FTUÃOEBS EF MBT NFEJBT NVFTUSBMFT Z FO FM
FSSPS FTUÃOEBS EF TVT QSPQPSDJPOFT
6OB QPCMBDJÓO DPO VO MÎNJUF TVQFSJPS FT finita. 1PS FKFNQMP
IBZ FTUVEJBOUFT FO MB NBUSÎ-
DVMB EF MB &BTUFSO *MMJOPJT 6OJWFSTJUZ IBZ FNQMFBEPT FO 4QFODF 4QSPDLFUT $ISZTMFS FOTBNCMÓ
+FFQT 8SBOHMFS FO MB QMBOUB EF "MFYJT "WFOVF FM EÎB EF BZFS P IBCÎB QBDJFOUFT QSPHSBNBEPT
QBSB DJSVHÎB FO 4U 3PTF .FNPSJBM )PTQJUBM FO 4BSBTPUB FM EÎB EF BZFS 6OB QPCMBDJÓO GJOJUB UBM WF[
TFB NVZ QFRVFÒB QVFT QVFEF DPOTUBS EF UPEPT MPT FTUVEJBOUFT SFHJTUSBEPT QBSB FTUF DVSTP UBNCJÊO
FT QPTJCMF RVF TFB NVZ HSBOEF
DPNP UPEBT MBT QFSTPOBT EF MB UFSDFSB FEBE RVF WJWFO FO 'MPSJEB
&O FM DBTP EF VOB QPCMBDJÓO GJOJUB
FO MB RVF FM OÙNFSP UPUBM EF PCKFUPT P JOEJWJEVPT FT N y el
OÙNFSP EF PCKFUPT P JOEJWJEVPT JODMVJEPT FO MB NVFTUSB FT n, FT OFDFTBSJP BKVTUBS MPT FSSPSFT NVFT-
USBMFT FO MBT GÓSNVMBT EF MPT JOUFSWBMPT EF DPOGJBO[B &O PUSBT QBMBCSBT
QBSB EFUFSNJOBS FM JOUFSWBMP
EF DPOGJBO[B EF MB NFEJB
TF BKVTUB FM FSSPS FTUÃOEBS EF MB NFEJB FO MBT GÓSNVMBT < > Z < > 4J RVJF-
SF EFUFSNJOBS FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF VOB QSPQPSDJÓO
BKVTUF FM FSSPS FTUÃOEBS EF MB QSPQPSDJÓO
FO MB GÓSNVMB < >
&TUF BKVTUF SFDJCF FM OPNCSF EF factor de corrección de una población finita RVF DPO GSFDVFO-
DJB TF BCSFWJB FCP, el cual es:
UN2n
FPC 5 N 2
y1PS RVÊ FT OFDFTBSJP BQMJDBS VO GBDUPS Z DVÃM FT FM FGFDUP EF IBDFSMP 1PS MÓHJDB
TJ MB NVFTUSB
FT VO QPSDFOUBKF TJHOJGJDBUJWP EF MB QPCMBDJÓO
FM FTUJNBEPS FT NÃT QSFDJTP 0CTFSWF FM FGFDUP EFM
UÊSNJOP N 2 n
y N 2
4VQPOHB RVF MB QPCMBDJÓO FT EF
Z MB TABLA 9.4 Factor de corrección de una población fi-
nita de muestras seleccionadas cuando la población es
NVFTUSB
EF &OUPODFT FTUB SB[ÓO FT EF 2
y 2
de 1 000
P "M FYUSBFS MB SBÎ[ DVBESBEB TF PCUJFOF FM GBDUPS EF DPSSFDDJÓO
TJ EJDIP GBDUPS TF NVMUJQMJDB QPS FM FSSPS FTUÃOEBS
FTUF TF reduce
BQSPYJNBEBNFOUF 2 5
3FEVDJS MB NBHOJUVE EFM Tamaño de Fracción de Factor
FSSPS FTUÃOEBS EB DPNP SFTVMUBEP VO JOUFSWBMP NFOPS EF WBMPSFT BM DBMDV- la muestra la población de corrección
MBS MB NFEJB QPCMBDJPOBM P MB QSPQPSDJÓO QPCMBDJPOBM 4J MB NVFTUSB FT EF
FM GBDUPS EF DPSSFDDJÓO FT EF
MP DVBM TJHOJGJDB RVF FM FSSPS 10 0.010 0.9955
FTUÃOEBS TF SFEVKP NÃT EF &O MB UBCMB TF NVFTUSBO MPT FGFDUPT 25 0.025 0.9879
EF EJWFSTPT UBNBÒPT EF NVFTUSBT 50 0.050 0.9752
100 0.100 0.9492
"TÎ
TJ RVJTJFSB DPOTUSVJS VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF VOB NFEJB B 200 0.200 0.8949
QBSUJS EF VOB QPCMBDJÓO GJOJUB TJO DPOPDFS MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB 500 0.500 0.7075
QPCMBDJÓO
MB GÓSNVMB < > TF BKVTUB EF MB TJHVJFOUF NBOFSB
N2n_U +s
N2
x 6t
Vn
)BSÎB VO BKVTUF TJNJMBS FO MB GÓSNVMB < >
FO DBTP EF VOB QSPQPSDJÓO
&O FM TJHVJFOUF FKFNQMP TF SFTVNFO MPT QBTPT QBSB EFUFSNJOBS VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF VOB
media.
EJEMPLO
)BZ GBNJMJBT FO 4DBOEJB
1FOOTZMWBOJB 6OB NVFTUSB BMFBUPSJB EF EF FTUBT GBNJMJBT SFWFMB RVF
MB DPOUSJCVDJÓO BOVBM NFEJB B MB JHMFTJB GVF EF EÓMBSFT
Z MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS
EF EÓMBSFT
1. y$VÃM FT MB NFEJB EF MB QPCMBDJÓO y$VÃM FT FM NFKPS FTUJNBEPS EF MB NFEJB QPCMBDJPOBM
2. $POTUSVZB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB NFEJB EF MB QPCMBDJÓO y$VÃMFT TPO MPT QVOUPT
FYUSFNPT EFM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B
3. 6UJMJ[BOEP FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B
FYQMJRVF QPS RVÊ MB NFEJB QPCMBDJPOBM QPESÎB TFS EF
EÓMBSFT y1PESÎB TFS EF EÓMBSFT y1PS RVÊ
SOLUCIÓN
1SJNFSP PCTFSWF RVF MB QPCMBDJÓO FT àOJUB &T EFDJS
FYJTUF VO MÎNJUF QBSB FM OÙNFSP EF GBNJMJBT
RVF WJWFO FO 4DBOEJB
FO FTUF DBTP
272 CAPÍTULO 9 Estimación e intervalos de confianza
1. /P DPOPDF MB NFEJB QPCMBDJPOBM
RVF FT FM WBMPS RVF RVJFSF DBMDVMBS &M NFKPS FTUJNBEPS EF MB
NFEJB QPCMBDJPOBM FT MB NFEJB EF MB NVFTUSB
RVF FT EF EÓMBSFT
2. -B GÓSNVMB QBSB EFUFSNJOBS FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B QBSB MB NFEJB EF MB QPCMBDJÓO FT MB TJ-
guiente: _U +s
x 6t N2n
Vn N2
&O FTUF DBTP
TBCF RVF x 5
s 5
N 5 Z n 5 $PNP OP DPOPDF MB EFTWJBDJÓO
FTUÃOEBS EF MB QPCMBDJÓO
VUJMJ[B MB EJTUSJCVDJÓO t. 1BSB IBMMBS FM WBMPS BQSPQJBEP EF t recurra al
BQÊOEJDF #
SFDPSSB MB QBSUF TVQFSJPS EFM SFOHMÓO IBTUB MB DPMVNOB DPO FM FODBCF[BNJFOUP
EF MPT HSBEPT EF MJCFSUBE TPO gl 5 n 2 5 2 5 BTÎ
WBZB B MB DFMEB FO MB RVF FM
renglón de gl EF JOUFSTFDB MB DPMVNOB DPO FM FODBCF[BNJFOUP EF FM WBMPS FT EF
Z
BM TVTUJUVJSMPT FO MB GÓSNVMB
PCUJFOF
_U +s N2n
N2
x 6t
Vn
_U +
5 6
V
2
2 5 6 V 6 6
-PT QVOUPT FYUSFNPT EFM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B TPO Z
3. &T QSPCBCMF RVF MB NFEJB QPCMBDJPOBM TFB TVQFSJPS B EÓMBSFT F JOGFSJPS B &O PUSBT
QBMBCSBT
yMB NFEJB EF MB QPCMBDJÓO QVFEF TFS EF EÓMBSFT 4Î
QFSP OP FT QSPCBCMF RVF TFB
EF EÓMBSFT y1PS RVÊ 1PSRVF FM WBMPS TF FODVFOUSB EFOUSP EFM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B
Z OP QFSUFOFDF BM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B
&M NJTNP FTUVEJP SFMBDJPOBEP DPO MBT DPOUSJCVDJPOFT QBSB MB JHMFTJB FO 4DBOEJB SFWFMÓ RVF EF MBT
GBNJMJBT UPNBEBT EF MB NVFTUSB BTJTUF SFHVMBSNFOUF B MB JHMFTJB DPOTUSVZB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO-
[B EF EF MB QPCMBDJÓO EF GBNJMJBT RVF BTJTUF DPO SFHVMBSJEBE
AUTOEVALUACIÓN
95
EJERCICIOS 27. 4F TFMFDDJPOBO BM B[BS BSUÎDVMPT EF VOB QPCMBDJÓO EF MB NFEJB EF MB NVFTUSB FT EF
Z MB
EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS
EF DPOTUSVZB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB NFEJB QPCMBDJPOBM
28. 4F TFMFDDJPOBO BM B[BS FMFNFOUPT EF VOB QPCMBDJÓO EF MB NFEJB EF MB NVFTUSB FT EF
Z MB
EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS
EF DPOTUSVZB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB NFEJB QPCMBDJPOBM
-B BTJTUFODJB BM KVFHP EF CÊJTCPM EFM FRVJQP EF -BT -JHBT .FOPSFT
4BWBOOBI $PMUT
MB OPDIF BOUFSJPS
GVF EF VOB NVFTUSB BMFBUPSJB EF BTJTUFOUFT SFWFMÓ RVF MB DBOUJEBE NFEJB EF SFGSFTDPT DPOTV-
NJEPT QPS QFSTPOB GVF EF
DPO VOB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF DPOTUSVZB FM JOUFSWBMP EF DPO-
GJBO[B EF EF MB DBOUJEBE NFEJB EF SFGSFTDPT DPOTVNJEPT QPS QFSTPOB
)BZ TPMEBEPSFT FO .BJOF 4IJQZBSET $PSQPSBUJPO VOB NVFTUSB EF EF FMMPT SFWFMÓ RVF TF
HSBEVBSPO FO VO DVSTP EF TPMEBEVSB DFSUJGJDBEP DPOTUSVZB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB
proporción de soldadores graduados en un curso de soldadura certificado.
RESUMEN DEL CAPÍTULO
I. 6O FTUJNBEPS QVOUVBM FT VO TPMP WBMPS FTUBEÎTUJDP
QBSB FTUJNBS FM EF MB QPCMBDJÓO QBSÃNFUSP
II. 6O JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B FT VO DPOKVOUP EF WBMPSFT FOUSF MPT DVBMFT TF FTQFSB RVF PDVSSB FM QBSÃNF-
USP EF MB QPCMBDJÓO
A. -PT GBDUPSFT RVF EFUFSNJOBO MB NBHOJUVE EF VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF VOB NFEJB TPO
1. &M OÙNFSP EF PCTFSWBDJPOFT FO MB NVFTUSB
n.
2. -B WBSJBCJMJEBE FO MB QPCMBDJÓO
OPSNBMNFOUF DBMDVMBEB QPS MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB NVFT-
USB
s.
3. &M OJWFM EF DPOGJBO[B
Ejercicios del capítulo 273
a. 1BSB EFUFSNJOBS MPT MÎNJUFT EF DPOGJBO[B DVBOEP TF DPOPDF MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB QPCMBDJÓO
TF VUJMJ[B MB EJTUSJCVDJÓO z DVZB GÓSNVMB FT
s B D
x 6z
Vn
b. 1BSB EFUFSNJOBS MPT MÎNJUFT EF DPOGJBO[B DVBOEP OP TF DPOPDF MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB QPCMB-
DJÓO TF VUJMJ[B MB EJTUSJCVDJÓO t DVZB GÓSNVMB FT
s B D
x 6t
Vn
III. -BT QSJODJQBMFT DBSBDUFSÎTUJDBT EF MB EJTUSJCVDJÓO t son:
A. &T VOB EJTUSJCVDJÓO DPOUJOVB
B. 5JFOF GPSNB EF DBNQBOB Z FT TJNÊUSJDB
C. &T QMBOB
P NÃT BNQMJB
RVF MB EJTUSJCVDJÓO OPSNBM FTUÃOEBS
D. &YJTUF VOB GBNJMJB EF EJTUSJCVDJPOFT t, TFHÙO FM OÙNFSP EF HSBEPT EF MJCFSUBE
IV. 6OB QSPQPSDJÓO FT VOB SB[ÓO
GSBDDJÓO P QPSDFOUBKF RVF JOEJDB MB QBSUF EF MB NVFTUSB P QPCMBDJÓO RVF
posee una característica particular.
A. 6OB QSPQPSDJÓO NVFTUSBM TF EFUFSNJOB BM EJWJEJS x FM OÙNFSP EF ÊYJUPT
FOUSF n FM OÙNFSP EF PC-
TFSWBDJPOFT
B. 4F DPOTUSVZÓ VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF VOB QSPQPSDJÓO NVFTUSBM DPO MB TJHVJFOUF GÓSNVMB
Up 6 z p 2 p
B D
n
V. &T QPTJCMF EFUFSNJOBS VO UBNBÒP BQSPQJBEP EF NVFTUSB QBSB DBMDVMBS UBOUP NFEJBT DPNP QSPQPSDJP-
nes.
A. )BZ USFT GBDUPSFT RVF EFUFSNJOBO FM UBNBÒP EF VOB NVFTUSB DVBOEP EFTFB DBMDVMBS MB NFEJB
1. &M NBSHFO EF FSSPS NÃYJNP
E.
2. &M OJWFM EF DPOGJBO[B EFTFBEP
3. -B WBSJBDJÓO FO MB QPCMBDJÓO.
4. -B GÓSNVMB QBSB EFUFSNJOBS FM UBNBÒP NVFTUSBM EF MB NFEJB FT
_ +n 5 zs B D
E
B. )BZ USFT GBDUPSFT RVF EFUFSNJOBO FM UBNBÒP EF VOB NVFTUSB DVBOEP TF EFTFB DBMDVMBS VOB QSPQPS-
ción.
1. &M NBSHFO EF FSSPS
E.
2. &M OJWFM EF DPOGJBO[B EFTFBEP.
3. 6O WBMPS EF p QBSB DBMDVMBS MB WBSJBDJÓO FO MB QPCMBDJÓO
4. -B GÓSNVMB QBSB EFUFSNJOBS FM UBNBÒP NVFTUSBM EF VOB QSPQPSDJÓO FT
n 5 p 2 p
z B D
_ +E N2n
N2 .
UVI. &O FM DBTP EF VOB QPCMBDJÓO GJOJUB
FM FSSPS FTUÃOEBS TF BKVTUB DPO FM GBDUPS GÓSNVMB
EJERCICIOS DEL CAPÍTULO
31. 6OB NVFTUSB BMFBUPSJB EF MÎEFSFT EF HSVQP
TVQFSWJTPSFT Z QFSTPOBM TJNJMBS EF (FOFSBM .PUPST SFWFMÓ
RVF
FO QSPNFEJP
QBTBO BÒPT FO TV USBCBKP BOUFT EF BTDFOEFS -B EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB
NVFTUSB GVF EF BÒPT DPOTUSVZB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF
32. " VO JOTQFDUPS EF DBSOF EFM FTUBEP EF *PXB TF MF FODBSHÓ DBMDVMBS FM QFTP OFUP NFEJP EF MPT QBRVF-
UFT EF DBSOF NPMJEB DPO MB FUJRVFUB i5SFT MJCSBTu 1PS TVQVFTUP
TF EB DVFOUB EF RVF MPT QBRVFUFT OP
QFTBO QSFDJTBNFOUF USFT MJCSBT 6OB NVFTUSB EF QBRVFUFT SFWFMB RVF FM QFTP NFEJP FT EF
MJCSBT
DPO VOB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MJCSBT
a y$VÃM FT FM FTUJNBEPS EF MB NFEJB QPCMBDJPOBM
b %FUFSNJOF FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB NFEJB QPCMBDJPOBM
33. $PNP QBSUF EF TV QBRVFUF QSPNPDJPOBM
MB $ÃNBSB EF $PNFSDJP EF .JMXBVLFF EFTFB UFOFS VOB
FTUJNBDJÓO EFM DPTUP NFEJP NFOTVBM EF VO BQBSUBNFOUP EF VOB SFDÃNBSB 6OB NVFTUSB BMFBUPSJB EF
BQBSUBNFOUPT EJTQPOJCMFT QBSB SFOUB SFWFMÓ RVF FM DPTUP NFEJP NFOTVBM FSB EF EÓMBSFT
Z MB
EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB NVFTUSB
EF EÓMBSFT
274 CAPÍTULO 9 Estimación e intervalos de confianza
Para la BASE DE DATOS a. $POTUSVZB VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF QBSB MB NFEJB QPCMBDJPOBM
visite www.mhhe.com/ b. y4FSÎB SB[POBCMF DPODMVJS RVF MB NFEJB QPCMBDJPOBM FT EF EÓMBSFT NFOTVBMFT
uni/lind_ae16e 34. 6OB FODVFTUB SFDJFOUF B FKFDVUJWPT EFTQFEJEPT SFWFMÓ RVF UBSEBSPO TFNBOBT FO DPOTFHVJS PUSP
FNQMFP -B EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB NVFTUSB GVF EF TFNBOBT DPOTUSVZB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO-
[B EF EF MB NFEJB EF QPCMBDJÓO y&T SB[POBCMF RVF MB NFEJB QPCMBDJPOBM TFB EF TFNBOBT
+VTUJGJRVF TV SFTQVFTUB
35. .BSUZ 3PXBUUJ SFDJÊO BTVNJÓ FM QVFTUP EF EJSFDUPS EF MB :.$" EF 4PVUI +FSTFZ -F HVTUBSÎB DPOUBS
DPO EBUPT SFDJFOUFT TPCSF FM UJFNQP RVF TVT NJFNCSPT BDUVBMFT IBO QFSUFOFDJEP B MB JOTUJUVDJÓO
1BSB JOWFTUJHBSMP
TVQPOHB RVF TFMFDDJPOB VOB NVFTUSB BMFBUPSJB EF NJFNCSPT BDUVBMFT FM UJFNQP
NFEJP EF NFNCSFTÎB EF RVJFOFT TF FODVFOUSBO FO MB NVFTUSB FT EF BÒPT
Z MB EFTWJBDJÓO FTUÃO-
EBS
EF BÒPT
a. y$VÃM FT MB NFEJB EF MB QPCMBDJÓO
b. $POTUSVZB VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF QBSB MB NFEJB QPCMBDJPOBM
c. -B EJSFDUPSB BOUFSJPS
FO FM CSFWF JOGPSNF RVF QSFQBSÓ BM SFUJSBSTF
JOEJDÓ RVF BIPSB FM UJFNQP NFEJP
EF NFNCSFTÎB FSB EF iDBTJ BÒPTu y$POGJSNB MB JOGPSNBDJÓO FTUB BTFWFSBDJÓO $JUF FWJEFODJBT
36. -B "NFSJDBO 3FTUBVSBOU "TTPDJBUJPO SFDPQJMÓ JOGPSNBDJÓO TPCSF MBT WFDFT RVF MPT NBUSJNPOJPT KÓWF-
OFT DPNFO GVFSB EF DBTB DBEB TFNBOB 6OB FODVFTUB EF QBSFKBT EFNPTUSÓ RVF MB DBOUJEBE NFEJB
EF DPNJEBT GVFSB EF DBTB FSB EF QPS TFNBOB
DPO VOB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF DPOTUSVZB
FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF QBSB MB NFEJB EF MB QPCMBDJÓO
37. -B /BUJPOBM $PMMFHJBUF "UIMFUJD "TTPDJBUJPO /$""
JOGPSNÓ RVF MB DBOUJEBE NFEJB EF IPSBT TFNBOB-
MFT RVF MPT BTJTUFOUFT EF MPT FOUSFOBEPSFT EF GVUCPM JOWJFSUFO FO FOUSFOBNJFOUP Z SFDMVUBNJFOUP EV-
SBOUF MB UFNQPSBEB FT EF 6OB NVFTUSB BMFBUPSJB EF BTJTUFOUFT JOEJDÓ RVF MB NFEJB EF MB
NVFTUSB FT EF IPSBT
DPO VOB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF IPSBT
a. %F BDVFSEP DPO MPT EBUPT EF MB NVFTUSB
DPOTUSVZB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB NFEJB
EF MB QPCMBDJÓO
b. y*ODMVZF FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B FM WBMPS RVF TVHJFSF MB /$"" *OUFSQSFUF FTUF SFTVMUBEP
c. 4VQPOHB RVF EFDJEJÓ DBNCJBS FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF B 4JO SFBMJ[BS DÃMDVMPT
yBV-
NFOUBSÃ FM JOUFSWBMP
TF SFEVDJSÃ P QFSNBOFDFSÃ JHVBM y2VÊ WBMPSFT EF MB GÓSNVMB DBNCJBSÃO
38. &M %FQBSUBNFOUP EF 3FDVSTPT )VNBOPT EF &MFDUSPOJDT
*OD
EFTFB JODMVJS VO QMBO EFOUBM DPNP QBSUF
EFM QBRVFUF EF QSFTUBDJPOFT -B QSFHVOUB RVF TF QMBOUFB FT yDVÃOUP JOWJFSUF VO FNQMFBEP DPNÙO Z
TV GBNJMJB FO HBTUPT EFOUBMFT BM BÒP 6OB NVFTUSB EF FNQMFBEPT SFWFMB RVF MB DBOUJEBE NFEJB
RVF TF JOWJSUJÓ FM BÒP QSFWJP GVF EF EÓMBSFT
DPO VOB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF EÓMBSFT
a. $POTUSVZB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB NFEJB QPCMBDJPOBM
b. "M QSFTJEFOUF EF &MFDUSPOJDT
*OD
TF MF QSPQPSDJPOÓ MB JOGPSNBDJÓO EFM QVOUP BOUFSJPS. Este indicó
RVF QPEÎB QBHBS EÓMBSFT EF HBTUPT EFOUBMFT QPS FNQMFBEP y&T QPTJCMF RVF MB NFEJB QPCMB-
DJPOBM QVEJFSB TFS EF EÓMBSFT +VTUJGJRVF TV SFTQVFTUB
39. 6O FTUVEJBOUF MMFWÓ B DBCP VO FTUVEJP F JOGPSNÓ RVF FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB NFEJB
WBSJBCB FOUSF Z Z BTFHVSÓ RVF MB NFEJB EF MB NVFTUSB FSB EF MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS
EF
Z RVF MB NVFTUSB FSB EF QPS MP NFOPT FMFNFOUPT QFSP OP SFDPSEÓ FM OÙNFSP FYBDUP y1VFEF VTUFE
ayudarle?
40. 6O FTUVEJP SFDJFOUF MMFWBEP B DBCP QPS MB "NFSJDBO "VUPNPCJMF %FBMFST "TTPDJBUJPO SFWFMÓ RVF MB
DBOUJEBE NFEJB EF VUJMJEBEFT QPS BVUPNÓWJM WFOEJEP FO VOB NVFTUSB EF DPODFTJPOBSJBT GVF EF
EÓMBSFT
DPO VOB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF EÓMBSFT DPOTUSVZB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF
MB NFEJB QPCMBDJPOBM
41. 6O FTUVEJP EF HSBEVBEPT EF VOJWFSTJEBEFT EF DVBUSP BÒPT MMFWBEP B DBCP QPS MB "NFSJDBO #BOLFS{T
"TTPDJBUJPO SFWFMÓ RVF MB DBOUJEBE NFEJB RVF EFCÎB VO FTUVEJBOUF QPS DPODFQUP EF DSÊEJUP FTUVEJBO-
UJM FSB EF EÓMBSFT -B EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB NVFTUSB GVF EF EÓMBSFT DPOTUSVZB FM
JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB NFEJB QPCMBDJPOBM y&T SB[POBCMF DPODMVJS RVF MB NFEJB EF MB
QPCMBDJÓO FO SFBMJEBE FT EF EÓMBSFT *OEJRVF QPS RVÊ
42. 6O GBDUPS JNQPSUBOUF FO MB WFOUB EF QSPQJFEBEFT SFTJEFODJBMFT FT MB DBOUJEBE EF QFSTPOBT RVF MF
FDIBO VO WJTUB[P B MBT DBTBT 6OB NVFTUSB EF DBTBT WFOEJEBT SFDJFOUFNFOUF FO FM ÃSFB EF #VGGB-
MP
/VFWB :PSL
SFWFMÓ RVF FM OÙNFSP NFEJP EF QFSTPOBT RVF WFO MBT DBTBT GVF EF
Z MB EFTWJBDJÓO
FTUÃOEBS EF MB NVFTUSB
EF QFSTPOBT DPOTUSVZB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB NFEJB QP-
CMBDJPOBM
43. 8BSSFO $PVOUZ 5FMFQIPOF $PNQBOZ BGJSNB FO TV JOGPSNF BOVBM RVF iFM DPOTVNJEPS IBCJUVBM HBTUB
EÓMBSFT NFOTVBMFT FO FM TFSWJDJP MPDBM Z EF MBSHB EJTUBODJBu 6OB NVFTUSB EF DMJFOUFT SFWFMÓ MBT
DBOUJEBEFT RVF HBTUBSPO FM NFT BOUFSJPS
$64 $66 $64 $66 $59 $62 $67 $61 $64 $58 $54 $66
a. y$VÃM FT FM FTUJNBEPS QVOUVBM EF MB NFEJB QPCMBDJPOBM
b. $POTUSVZB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB NFEJB QPCMBDJPOBM
Ejercicios del capítulo 275
c. y&T SB[POBCMF MB BGJSNBDJÓO EF MB DPNQBÒÎB EF RVF FM iDPOTVNJEPS IBCJUVBMu HBTUB EÓMBSFT Para la BASE DE DATOS
NFOTVBMFT +VTUJGJRVF TV SFTQVFTUB visite www.mhhe.com/
uni/lind_ae16e
44. &M GBCSJDBOUF EF VOB OVFWB MÎOFB EF JNQSFTPSBT EF JOZFDDJÓO EF UJOUB EFTFB JODMVJS
DPNP QBSUF EF TV
QVCMJDJEBE
FM OÙNFSP EF QÃHJOBT RVF FM VTVBSJP QVFEF JNQSJNJS DPO VO DBSUVDIP 6OB NVFTUSB EF
DBSUVDIPT SFWFMÓ FM TJHVJFOUF OÙNFSP EF QÃHJOBT JNQSFTBT
2 698 2 028 2 474 2 395 2 372 2 475 1 927 3 006 2 334 2 379
a. y$VÃM FT FM FTUJNBEPS QVOUVBM EF MB NFEJB QPCMBDJPOBM Para la BASE DE DATOS
b. $POTUSVZB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB NFEJB QPCMBDJPOBM visite www.mhhe.com/
45. -B EPDUPSB 4VTBO #FOOFS FT QTJDÓMPHB JOEVTUSJBM &O FTUF NPNFOUP FTUVEJB FM FTUSÊT FO MPT FKFDVUJWPT uni/lind_ae16e
EF MBT DPNQBÒÎBT EF JOUFSOFU QPS UBOUP
FMBCPSÓ VO DVFTUJPOBSJP RVF DSFF RVF NJEF FM FTUSÊT 6O
SFTVMUBEP EF JOEJDB VO OJWFM EF FTUSÊT QFMJHSPTP 6OB NVFTUSB BMFBUPSJB EF FKFDVUJWPT SFWFMÓ MPT
TJHVJFOUFT OJWFMFT EF FTUSÊT
94 78 83 90 78 99 97 90 97 90 93 94 100 75 84
a. %FUFSNJOF FM OJWFM NFEJP EF FTUSÊT EF FTUB NVFTUSB y$VÃM FT FM FTUJNBEPS QVOUVBM EF MB NFEJB
QPCMBDJPOBM
b. $POTUSVZB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB NFEJB QPCMBDJPOBM
c. %F BDVFSEP DPO MB EPDUPSB
#FOOFS
yFT SB[POBCMF DPODMVJS RVF FM OJWFM NFEJP EF FTUÊT EF MPT FKF-
DVUJWPT EF JOUFSOFU FT EF &YQMJRVF
46. $PNP SFRVJTJUP QBSB PCUFOFS FM FNQMFP
MPT DBOEJEBUPT EF 'BTIJPO *OEVTUSJFT EFCFO QBTBS QPS VOB
QSVFCB EF ESPHBT %F MPT ÙMUJNPT TPMJDJUBOUFT
SFQSPCBSPO DPOTUSVZB FM OJWFM EF DPOGJBO[B
EF EF MB QSPQPSDJÓO EF TPMJDJUBOUFT RVF OP QBTBO MB QSVFCB y&T SB[POBCMF DPODMVJS RVF NÃT EF
EF MPT TPMJDJUBOUFT OP MB TVQFSBO
47. 'BTIJPO *OEVTUSJFT BQMJDB QSVFCBT BMFBUPSJBT B TVT FNQMFBEPT B MP MBSHP EFM BÒP EVSBOUF FM DJDMP
BOUFSJPS
EF MBT QSVFCBT BMFBUPSJBT BQMJDBEBT
OP QBTBSPO %FTBSSPMMF VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B
EF QBSB MB QSPQPSDJÓO EF TVKFUPT RVF GBMMBSPO FO MB QSVFCB y&T SB[POBCMF DPODMVJS RVF NFOPT
EF EF MPT FNQMFBEPT OP QBTBO MB QSVFCB BMFBUPSJB EF ESPHBT &YQMJRVF TV SFTQVFTUB
48. %VSBOUF VO EFCBUF OBDJPOBM TPCSF DBNCJPT FO FM TJTUFNB EF TBMVE
VO TFSWJDJP EF OPUJDJBT QPS DBCMF
SFBMJ[Ó VOB FODVFTUB EF PQJOJÓO FOUSF QFRVFÒPT QSPQJFUBSJPT EF FNQSFTBT 4F SFWFMÓ RVF
EF FTUPT OP BQSVFCBO MPT DBNCJPT DPOTUSVZB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB QSPQPSDJÓO RVF
TF PQPOF B EJDIPT DBNCJPT FO FM TJTUFNB EF TBMVE $PNFOUF MPT SFTVMUBEPT
49. &O :PSL $PVOUZ
$BSPMJOB EFM 4VS
IBZ WPUBOUFT 6OB NVFTUSB BMFBUPSJB EF FMFDUPSFT EF FTB
MPDBMJEBE SFWFMÓ RVF QMBOFBO BQPZBS FM SFHSFTP BM TFOBEP EF -PVFMMB .JMMFS DPOTUSVZB FM JOUFSWB-
MP EF DPOGJBO[B EF EF MB QSPQPSDJÓO EF WPUBOUFT FO FM DPOEBEP RVF QMBOFB GBWPSFDFS B .JMMBS "
QBSUJS EF MB JOGPSNBDJÓO EF FTUB NVFTUSB
yFT SB[POBCMF DPODMVJS RVF MB TFÒPSB .JMMFS SFDJCJSÃ VOB
NBZPSÎB EF WPUPT
50. &O VOB FODVFTUB QBSB NFEJS MB QPQVMBSJEBE EFM QSFTJEFOUF
TF QJEJÓ B VOB NVFTUSB BMFBUPSJB EF
FMFDUPSFT RVF NBSDBSB VOB EF MBT TJHVJFOUFT BGJSNBDJPOFT
1. &M QSFTJEFOUF IBDF VO CVFO USBCBKP
2. &M QSFTJEFOUF SFBMJ[B VO USBCBKP EFGJDJFOUF
3. 1SFGJFSP OP PQJOBS
6O UPUBM EF FOUSFWJTUBEPT FMJHJÓ MB QSJNFSB BGJSNBDJÓO F JOEJDÓ RVF DPOTJEFSB RVF FM QSFTJEFOUF
SFBMJ[B VO CVFO USBCBKP
a. $POTUSVZB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB QSPQPSDJÓO EF FOUSFWJTUBEPT RVF QJFOTBO RVF FM
QSFTJEFOUF IBDF VO CVFO USBCBKP
b. $PO CBTF FO FM JOUFSWBMP EFM QVOUP BOUFSJPS, yFT SB[POBCMF DPODMVJS RVF MB NBZPSÎB NÃT EF MB NJUBE
EF MB QPCMBDJÓO DPOTJEFSB RVF FM QSFTJEFOUF SFBMJ[B VO CVFO USBCBKP
51. &EXBSE 8JMLJO
KFGF EF MB QPMJDÎB EF 3JWFS $JUZ
JOGPSNB RVF IVCP JOGSBDDJPOFT EF USÃOTJUP FM NFT
BOUFSJPS 6OB NVFTUSB EF EF FTUBT JOGSBDDJPOFT NPTUSÓ RVF MB TVNB NFEJB EF FTUBT GVF EF
EÓMBSFT
DPO VOB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF EÓMBSFT DPOTUSVZB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF
MB TVNB NFEJB EF VOB NVMUB FO 3JWFS $JUZ
52. &M 'JSTU /BUJPOBM #BOL EF 8JMTPO UJFOF DMJFOUFT DPO DVFOUBT EF DIFRVFT 6OB FODVFTUB SFDJFOUF
B EF FMMPT NPTUSÓ RVF UFOÎBO VOB UBSKFUB 7JTB DPO FM CBODP DPOTUSVZB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B
EF EF MB QSPQPSDJÓO EF DMJFOUFT DPO DVFOUB EF DIFRVFT RVF UJFOFO VOB UBSKFUB 7JTB DPO FM CBODP
53. 4F FTUJNB RVF EF MPT IPHBSFT FO &TUBEPT 6OJEPT DPOUSBUB UFMFWJTJÓO QPS DBCMF " VTUFE MF HVT-
UBSÎB WFSJGJDBS FTUB BGJSNBDJÓO QBSB TV DMBTF EF DPNVOJDBDJÓO NBTJWB TJ EFTFB RVF TV FTUJNBEPS TF
FODVFOUSF B NFOPT EF DJODP QVOUPT QPSDFOUVBMFT DPO VO OJWFM EF DPOGJBO[B EF
yRVÊ UBNBÒP
EF NVFTUSB SFRVJFSF
276 CAPÍTULO 9 Estimación e intervalos de confianza
54. 6TUFE OFDFTJUB DBMDVMBS MB DBOUJEBE NFEJB EF EÎBT RVF WJBKBO BM BÒP MPT WFOEFEPSFT -B NFEJB EF VO
QFRVFÒP FTUVEJP QJMPUP GVF EF EÎBT
DPO VOB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF EÎBT 4J VTUFE EFCF DBM-
DVMBS MB NFEJB QPCMBDJPOBM B NFOPT EF EPT EÎBT
yB DVÃOUPT WFOEFEPSFT EFCF JODMVJS FO MB NVFTUSB
6UJMJDF VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF
55. 6TUFE WB B MMFWBS B DBCP FM TPOEFP EF VOB NVFTUSB QBSB EFUFSNJOBS FM JOHSFTP NFEJP GBNJMJBS FO VO
ÃSFB SVSBM EFM DFOUSP EF 'MPSJEB -B QSFHVOUB FT yB DVÃOUBT GBNJMJBT TF EFCF JODMVJS FO MB NVFTUSB &O
VOB NVFTUSB QJMPUP EF GBNJMJBT
MB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS GVF EF EÓMBSFT &M QBUSPDJOBEPS EF MB
FODVFTUB EFTFB RVF VTUFE VUJMJDF VO OJWFM EF DPOGJBO[B EF &M FTUJNBEPS EFCF FTUBS EFOUSP EF
VO NBSHFO EF EÓMBSFT y" DVÃOUBT GBNJMJBT EFCF FOUSFWJTUBS
56. Families USA, SFWJTUB NFOTVBM RVF USBUB UFNBT SFMBDJPOBEPT DPO MB TBMVE Z TVT DPTUPT
FODVFTUÓ B
EF TVT TVTDSJQUPSFT &ODPOUSÓ RVF MBT QSJNBT BOVBMFT EF TFHVSPT EF TBMVE QBSB VOB GBNJMJB DPO DP-
CFSUVSB EF VOB FNQSFTB QSPNFEJBSPO EÓMBSFT -B EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF MB NVFTUSB GVF EF
EÓMBSFT
a. $PO CBTF FO MB JOGPSNBDJÓO EF FTUB NVFTUSB
DPOTUSVZB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB
QSJNB BOVBM NFEJB EF MB QPCMBDJÓO
b. y%F RVÊ UBNBÒP EFCF TFS MB NVFTUSB QBSB RVF MB NFEJB QPCMBDJPOBM TF FODVFOUSF EFOUSP EF VO
NBSHFO NFOPS B EÓMBSFT
DPO EF DPOGJBO[B
57. -B QSFTVSJ[BDJÓO FO MB DBCJOB EFM BWJÓO JOGMVZF FO MB DPNPEJEBE EF MPT QBTBKFSPT VOB QSFTVSJ[BDJÓO
NÃT BMUB QFSNJUF VO BNCJFOUF NÃT DFSDBOP B MP OPSNBM Z VO WVFMP NÃT SFMBKBEP 6O FTUVEJP RVF MMFWÓ
B DBCP VO HSVQP EF VTVBSJPT EF BFSPMÎOFBT SFHJTUSÓ MB QSFTJÓO EF BJSF DPSSFTQPOEJFOUF B WVFMPT
FMFHJEPT EF GPSNB BMFBUPSJB
Z SFWFMÓ VOB QSFTJÓO FRVJWBMFOUF NFEJB EF QJFT
DPO VOB EFTWJB-
DJÓO FTUÃOEBS EF QJFT
a. &TUBCMF[DB VO JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF QBSB MB QSFTJÓO FRVJWBMFOUF EF MB NFEJB QPCMBDJPOBM
b. y%F RVÊ UBNBÒP OFDFTJUB TFS MB NVFTUSB QBSB RVF MB NFEJB EF MB QPCMBDJÓO TF FODVFOUSF EFOUSP EF
VO NBSHFO EF QJFT
DPO VOB DPOGJBO[B EF
58. 6OB NVFTUSB BMFBUPSJB EF QFSTPOBT FNQMFBEBT QPS MBT BVUPSJEBEFT EFM FTUBEP EF 'MPSJEB FTUBCMF-
DJÓ RVF HBOBCBO VO TBMBSJP QSPNFEJP DPO QSFTUBDJPOFT
EF EÓMBSFT QPS IPSB MB EFTWJBDJÓO
FTUÃOEBS FT EF EÓMBSFT QPS IPSB
a. y$VÃM FT MB NFEJB EF MB QPCMBDJÓO y$VÃM FT FM NFKPS FTUJNBEPS EF MB NFEJB QPCMBDJPOBM
b. $POTUSVZB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EFM TBMBSJP NFEJP EF MB QPCMBDJÓO DPO QSFTUBDJPOFT
de estos empleados.
c. y%F RVÊ UBNBÒP EFCF TFS MB NVFTUSB QBSB DBMDVMBS MB NFEJB EF MB QPCMBDJÓO DPO VO FSSPS BENJTJCMF
EF VO EÓMBS
DPO VOB DPOGJBO[B EF
59. 6OB BMJBO[B DJOFNBUPHSÃGJDB VUJMJ[Ó VOB NVFTUSB BMFBUPSJB EF DJVEBEBOPT FTUBEPVOJEFOTFT QBSB
DBMDVMBS RVF FM FTUBEPVOJEFOTF DPNÙO WJP WJEFPT Z QFMÎDVMBT FO %7% IPSBT FM BÒP QSFWJP -B EFT-
WJBDJÓO FTUÃOEBS EF FTUB NVFTUSB GVF EF OVFWF IPSBT
a. $POTUSVZB FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB DBOUJEBE NFEJB QPCMBDJPOBM EF IPSBT FNQMFBEBT
FO WFS WJEFPT Z QFMÎDVMBT FO %7% FM BÒP BOUFSJPS
b. y%F RVÊ UBNBÒP EFCF TFS MB NVFTUSB QBSB RVF SFTVMUF DPOGJBCMF EF RVF MB NFEJB EF MB NVFT-
USB TF FODVFOUSB EFOUSP EF VO NBSHFO EF IPSBT EF MB NFEJB EF MB QPCMBDJÓO
60. %ZMBO +POFT MMFWB SFHJTUSPT NFUJDVMPTPT EF MB FGJDJFODJB FO FM HBTUP EF DPNCVTUJCMF EF TV OVFWP BVUP
%FTQVÊT EF MBT QSJNFSBT OVFWF WFDFT RVF MMFOÓ FM UBORVF
FODPOUSÓ RVF FM SFOEJNJFOUP NFEJP FSB EF
NJMMBT QPS HBMÓO NQH
DPO VOB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS NVFTUSBM EF NQH
a. $BMDVMF FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EFM QBSB TV SFOEJNJFOUP
b. y$VÃOUBT WFDFT EFCF MMFOBS FM UBORVF EF HBTPMJOB QBSB PCUFOFS VO NBSHFO EF FSSPS QPS EFCBKP EF
NQH
61. 6OB FODVFTUB B QSPQJFUBSJPT EF J1IPOF TFMFDDJPOBEPT BM B[BS NPTUSÓ RVF FM QSFDJP EF DPNQSB
UJFOF VOB NFEJB EF EÓMBSFT
DPO VOB EFTWJBDJÓO FTUÃOEBS EF EÓMBSFT
a. $BMDVMF FM FSSPS FTUÃOEBS EF MB NFEJB NVFTUSBM
b. $BMDVMF FM JOUFSWBMP EF DPOGJBO[B EF EF MB NFEJB
c. y%F RVÊ UBNBÒP EFCF TFS MB NVFTUSB QBSB FTUJNBS MB NFEJB QPCMBDJPOBM EFOUSP EF EÓMBSFT
62. 6TUFE QMBOFB MMFWBS B DBCP VOB FODVFTUB QBSB IBMMBS MB QSPQPSDJÓO EF GVFS[B MBCPSBM DPO EPT P NÃT
USBCBKPT %FDJEF CBTBSTF FO VO OJWFM EF DPOGJBO[B EF
Z FTUBCMFDF RVF MB QSPQPSDJÓO FTUJNBEB
EFCF FODPOUSBSTF FO VO NBSHFO EF NFOPT EF EF MB QSPQPSDJÓO QPCMBDJPOBM 6OB FODVFTUB QJMPUP
SFWFMB RVF EF MPT FOUSFWJTUBEPT UFOÎBO EPT P NÃT USBCBKPT y" DVÃOUPT USBCBKBEPSFT EFCF
FOUSFWJTUBS QBSB TBUJTGBDFS MPT SFRVJTJUPT
63. -B QSPQPSDJÓO EF DPOUBEPSFT QÙCMJDPT RVF DBNCJBSPO EF FNQSFTB FO MPT ÙMUJNPT USFT BÒPT TF EFCF
DBMDVMBS DPO VO NBSHFO EF &T OFDFTBSJP VUJMJ[BS FM OJWFM EF DPOGJBO[B EF BEFNÃT
VO FTUV-
EJP RVF TF SFBMJ[Ó IBDF WBSJPT BÒPT SFWFMÓ RVF FM QPSDFOUBKF EF DPOUBEPSFT QÙCMJDPT RVF DBNCJÓ EF
DPNQBÒÎB FO USFT BÒPT GVF EF
a. 1BSB BDUVBMJ[BS FM FTUVEJP
yDVÃM FT FM OÙNFSP EF FYQFEJFOUFT EF DPOUBEPSFT QÙCMJDPT RVF TF EF-
CFO FTUVEJBS
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Lind, Marchal, 16 edición
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