MeccContinui_ScienzadelleCostruzioni_Liro

Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. INTRODUZIONE 1

1 INTRODUZIONE

1.1 PREMESSA

La Scienza delle Costruzioni è la disciplina di base dell’ingegneria strutturale. Essa si
colloca a valle di quasi tutti gli insegnamenti fondamentali comuni a tutti i corsi di
laurea dell’ingegneria e può esser vista come lo sviluppo, in senso ingegneristico,
della meccanica razionale. Infatti la Scienza delle Costruzioni prende le mosse dalla
meccanica del continuo con i capitoli riguardanti lo studio della deformazione, dello
stato di tensione, dell’equilibrio elastico, ecc. Inoltre riprende, per evidenziarne gli
aspetti maggiormente applicativi, alcuni classici argomenti della meccanica razionale
quali la statica e la geometria delle masse.

Requisito importante, per seguire con profitto queste dispense, è una buona
conoscenza dei contenuti dei corsi di Analisi Matematica I e II, di Geometria, di Fisica
I, nonché del corso di Meccanica Razionale.

Lo scopo principale del corso è quello di fornire, con riferimento agli organi
resistenti delle costruzioni e delle macchine, gli strumenti per valutare

a) La sicurezza

b) La funzionalità

a) Verificare la sicurezza significa controllare che gli organi resistenti di una
costruzione siano in grado di sopportare, per tutta la durata della loro vita, i carichi
che su di essi graveranno, senza che si verifichino eventi traumatici quali possono
essere il crollo totale o parziale.

b) Verificare la funzionalità significa controllare che la risposta degli organi resistenti
ai carichi sia compatibile con un corretto esercizio.
Per la prima verifica occorre conoscere lo stato di cimento del materiale con cui è

realizzato l’organo resistente e confrontarlo con la resistenza dello stesso materiale.
La seconda verifica molto spesso si esaurisce controllando che la deformazione

dell’organo resistente sia compatibile con il suo corretto esercizio.
Frequentemente parleremo di strutture, intendendo con ciò riferirci ad un solido

avente la funzione di resistere alle azioni cui è assoggettato nel corso di tutta la sua
vita. Le strutture sono inserite nelle costruzioni ed hanno il compito di riportare al
terreno di fondazione, o più in generale ai vincoli, le azioni cui sono sottoposte.

Vedremo che per valutare la sicurezza e la funzionalità di una struttura occorre in
generale conoscere

• la geometria della struttura
• il materiale con cui è realizzata
• i vincoli a cui è assoggettata

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• i carichi a cui è sottoposta

Gran parte dei problemi della Scienza delle Costruzioni sono problemi di
equilibrio, ad iniziare dalla determinazione di tutte le forze agenti ivi comprese cioè le
reazioni offerte dai vincoli che non sono generalmente note. La determinazione delle
reazioni vincolari è stato oggetto di studio anche nell’ambito della statica dei corpi
rigidi dove tuttavia sono risultati evidenti alcuni limiti.

1.2 TRAVI LABILI, ISOSTATICHE ED IPERSTATICHE

Riprendiamo un argomento già trattato nel corso di meccanica razionale: la statica dei
corpi rigidi vincolati. Più in particolare riferendosi a quei solidi che per la particolare
forma sono denominati travi (1.1) . Con riferimento a questi solidi si vuole evidenziare
quali siano i limiti propri della statica dei corpi rigidi.

I vincoli che considereremo sono, salvo avviso contrario, bilaterali, indipendenti
dal tempo e privi di attrito. Essi, a seconda del numero di gradi di libertà che tolgono
alla trave cui sono applicati, si classificano in vincoli semplici o composti.

Con riferimento ai moti rigidi piani e quindi alle travi piane, il vincolo semplice o
elementare, in grado di togliere cioè un solo grado di libertà, è costituito da un’asta
incernierata alle estremità denominata biella o pendolo (v. Fig. 1.1a), equivalente al
carrello (v. Fig. 1.1b). La cerniera invece è un vincolo doppio che toglie due gradi di
libertà (v. Fig. 1.1c) e consente soltanto la rotazione attorno all’asse passante per il suo
centro e normale al piano. Il glifo, detto anche incastro scorrevole o anche bipendolo,
(v. Fig. 1.1d) è un vincolo doppio che consente una sola traslazione ed infine si cita
l’incastro (v. Fig. 1.1e) che è un vincolo che non consente alcun movimento.

Fig. 1.1a: Pendolo Fig. 1.1b: Carrello Fig. 1.1c: Cerniera

(1.1) Si definisce trave, un solido di forma allungata, ossia con una dimensione
prevalente sulle altre due, che si può pensare come generato dal movimento di una
figura piana il cui baricentro G percorre una linea che è sempre ortogonale al piano
della stessa figura.

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Fig. 1.1d: Glifo Fig. 1.1e: Incastro

I vincoli, per impedire i movimenti, reagiscono con azioni denominate reazioni
vincolari. Ad esempio il pendolo è in grado di reagire con un forza diretta secondo il
suo asse e di qualsiasi intensità, mentre la cerniera è in grado di reagire con una forza
qualsiasi passante per il centro della stessa cerniera. Nella fig. 1.2 sono indicate le
reazioni che i vincoli più comuni sono in grado di esercitare, sempre con riferimento al
caso piano.

Fig. 1.2a: V ≠ 0, H=M=0 Fig. 1.2b: V ≠ 0, H=M=0 Fig. 1.2c: V ≠ 0, H ≠ 0, M=0

Fig. 1.2d: V ≠ 0, M ≠ 0, H=0 Fig. 1.2e: V ≠ 0, H ≠ 0, M ≠ 0

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Le reazioni vincolari di un corpo rigido soggetto ad assegnate forze attive, sono in
genere incognite e devono perciò di volta in volta essere determinate imponendo
innanzi tutto l’equilibrio a tutte le forze esterne, ossia forze attive e reazioni vincolari.

Un primo problema fondamentale che la Scienza delle Costruzioni deve risolvere
è proprio quello della ricerca delle reazioni vincolari. Per fare ciò occorre stabilire per
prima cosa se i vincoli sono insufficienti, ed in tal caso la struttura è labile, ossia
cinematicamente indeterminata. L’equilibrio è allora impossibile, a meno che non si
incontrino particolari sistemi di forze attive. Non esistono in generale reazioni
vincolari in grado di assicurare l’equilibrio e perciò il corpo si metterà in movimento.

Organismi di questo tipo, detti catene cinematiche o sistemi ipostatici, sono privi
di interesse per la Scienza delle Costruzioni, mentre vengono studiati nell’ambito della
Meccanica applicata alle macchine.

Se il numero di vincoli semplici imposti al corpo rigido sono nel numero
strettamente necessario per fissarne la posizione nella varietà a cui esso appartiene, tre
nel piano e sei nello spazio, e se naturalmente tali vincoli sono “ben disposti”, ossia
sono traducibili in altrettante equazioni indipendenti nelle coordinate dei punti
vincolati, allora il problema si dice isocinematico. Le componenti di reazione vincolare
incognite corrispondenti alle condizioni di vincolo sono quindi nello stesso numero
delle equazioni d’equilibrio dei sistemi rigidi e possono perciò essere determinate in
modo univoco. E siccome esiste una ed una sola soluzione nelle incognite, le strutture
così vincolate si chiamano isostatiche o statisticamente determinate, in quanto bastano
le sole equazioni della statica dei sistemi rigidi per la loro risoluzione.

Può infine capitare che le condizioni di vincolo ed i corrispondenti parametri delle
reazioni vincolari siano in numero superiore a quello delle equazioni fornite dalla
statica dei corpi rigidi. La struttura, assimilata ad un corpo rigido, si dice allora
iperstatica o staticamente indeterminata, perché, in tal caso, esistono infiniti sistemi di
reazioni vincolari che rispettano l’equilibrio rigido. Si può pensare infatti di fissare ad
arbitrio le n componenti di reazione vincolare incognite eccedenti il numero delle
equazioni disponibili e ricavare corrispondentemente le incognite rimanenti. Il grado di
indeterminazione di una struttura è misurato dal numero n di condizioni di vincolo
eccedenti quello delle equazioni disponibili.

Con riferimento ad un insieme di travi, denominato travatura, si possono
presentare le seguenti situazioni :

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Travatura isostatica (con un numero di vincoli semplici pari al grado di libertà
posseduto) : negli esempi che seguono si giunge ad un’unica soluzione.

Esempi:

Fig. 1.3a: Soluzione grafica

Fig. 1.3b: Soluzione analitica

Ha = 0

Va + Vb = F
Va l − Fb = 0

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Travatura iperstatica (con un numero di vincoli semplici superiore al grado di libertà
posseduto).

Esempi :

Fig. 1.4a: Soluzione grafica

Per ogni arbitraria scelta di R si determinano R e R . Il problema ha allora
c a b

infinite soluzioni, corrispondenti a scelte arbitrarie per Rc , si è perciò in una

situazione indeterminata.

Fig. 1.4b: Soluzione analitica ( 3 equazioni 4 incognite)

Ha = 0
Va + Vb + Vc = F

Va (l1 + l2 ) + Va l2 − Fb = 0

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Riepilogando :

• Nel caso a), ad ogni Rc arbitrariamente scelto, corrisponde una soluzione come

indicato graficamente in figura ;
• Nel caso b) si hanno 3 equazioni algebriche lineari in 4 incognite.

In entrambi i casi la soluzione è indeterminata. Esistono ∞1 soluzioni equilibrate.

Il caso delle strutture iperstatiche è quello più frequente nella pratica e per queste
l’esperienza dimostra che l’equilibrio risulta ben definito. È perciò evidente che è
l’ipotesi di corpo rigido che rende indeterminato il problema delle strutture
iperstatiche, problema che viceversa ridiventa determinato quando si tenga conto della
deformabilità dei corpi. Per questo motivo lo studio della Scienza delle Costruzioni è
basato sulla meccanica dei solidi deformabili.

La conoscenza delle deformazioni poi è utile di per sé stessa in quanto consente
quei riscontri sperimentali che si effettuano in sede di collaudo di una struttura.

Le lezioni che seguono si concentreranno essenzialmente su di un unico tipo di
struttura : la trave. Lo studio della trave sarà tuttavia preceduto dai fondamenti della
meccanica dei solidi da cui poi deriverà quello della trave stessa. Tale impostazione
generale vuole anche costruire il presupposto per affrontare lo studio di altre tipologie
strutturali quali le piastre, le lastre, i gusci, le cupole oppure i semispazi e, più in
generale, i solidi tridimensionali.

Si tenga infine presente che il corso è direttamente propedeutico ai corsi successivi
di Tecnica delle Costruzioni, di Geotecnica e di Costruzioni di Macchine.

In questa introduzione si è spesso parlato di trave. Come già detto essa è un solido
di forma allungata, ossia con una dimensione prevalente sulle altre due, che si può
pensare come generato dal movimento di una figura piana il cui baricentro G percorre
una linea che è sempre ortogonale al piano della stessa figura.

La figura piana rappresenta la sezione della trave, mentre la linea descritta da G
rappresenta la linea d’asse o più semplicemente l’asse della trave.

Da questa definizione nascono più classificazioni per la trave a seconda che la
sezione si mantenga costante (trave prismatica) oppure vari la sua forma mentre
percorre la linea d’asse (trave a sezione variabile). In genere si ammette che la sezione
vari con continuità. Inoltre la linea d’asse può essere una curva sghemba, una curva
piana, una retta, ecc. Conseguentemente si avranno travi spaziali, travi curve ( ad es.
archi, travi ad anello, travi elicoidali, ecc), travi ad asse rettilineo, ecc.

La trave viene rappresentata disegnando semplicemente la sua linea d’asse ed a
parte, quando occorre, la sezione.

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1.3 UN CENNO SULLE AZIONI A CUI PUÒ ESSERE ASSOGGETTATA

UNA TRAVE

Le azioni che possono agire su di una struttura si possono classificare sotto diversi
aspetti :

• IN BASE ALLA LORO DURATA :

- PERMANENTI (peso proprio della trave, sovraccarico fisso, ecc)

- VARIABILI (sovraccarichi di esercizio)

• IN BASE ALLA LORO NATURA :

- STATICI (masse ferme e masse considerabili tali)

- DINAMICI (urti, esplosioni, azioni sismiche, vento, ecc)

• IN BASE A COME SONO APPLICATI :

- CONCENTRATI (idealmente)

- DISTRIBUITI(su linee, superfici, volumi, ecc)

Le azioni, più in generale, comprendono anche le variazioni termiche ed
igrometriche, i cedimenti di vincoli, ecc.
Le azioni a cui più frequentemente ci si riferisce sono forze e coppie, e queste possono
essere concentrate o distribuite, e per esse si adotta la seguente rappresentazione :

Fig. 1.5 Rappresentazione grafica di forze e coppie

Salvo diverso avviso, le azioni si intendono sempre ridotte all’asse della trave.

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 1

2 ANALISI DELLA DEFORMAZIONE

2.1 SCOPO

Si richiamano nozioni in parte già apprese nella Meccanica dei continui allo scopo di :
a. puntualizzare gli aspetti maggiormente applicativi.
b. adattare la simbologia matematica a quella più specifica dell'ingegneria.

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. STUDIO DELLA DEFORMAZIONE 1

2.2 STUDIO DELLA DEFORMAZIONE

Sia C0 la configurazione assunta da un corpo B nell'istante t = 0 e C′ quella
assunta dallo stesso corpo in un successivo istante t . Si osservi che il tempo t
interviene soltanto come parametro che ordina la successione delle configurazioni e
che consente di chiamare C0 , configurazione iniziale, o di riferimento, e C′
configurazione finale o deformata od attuale.

Senza preoccuparsi delle cause che hanno prodotto il movimento, sulle quali si
ritornerà nel prossimo capitolo, la configurazione C′ può essere individuata dalla
relazione:

Fig. 2.1

r′ = r′(r, t) (2.1)

nella quale r ed r’ rappresentano rispettivamente la posizione occupata dalla particella
materiale nella configurazione di riferimento C0 e nella configurazione attuale C’. (v.
Fig. 2.1).

La (2.1), che e' la naturale estensione della descrizione del moto di un punto
materiale, e' nota come descrizione referenziale o lagrangiana del moto.

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. STUDIO DELLA DEFORMAZIONE 2

Sulla (2.1) si fanno le ipotesi di invertibilità e di differenziabilità fino all'ordine
necessario.

La biunivocità della corrispondenza tra C0 e C′ è il requisito matematico che
assicura l'assenza di implosioni, ovvero di compenetrazione di materia, e di esplosioni,
ovvero di rotture (v. Fig. 2.2). Sotto queste ipotesi e' possibile invertire la (2.1):

Fig. 2.2

r = r(r′, t) (2.2)

ottenendo in tal modo la descrizione spaziale od euleriana del moto. Nella (2.2) la
variabile indipendente è la posizione r′ occupata dalla particella materiale nella
configurazione attuale. Questa descrizione e' usata nella meccanica dei fluidi.

Per la ipotesi di biunivocità si impone che, con riferimento alla descrizione
referenziale, sia diverso da zero il determinante Jacobiano:

( )J = det ri′,h ≠ 0

In tutte le considerazioni che seguono si farà esclusivo riferimento alla descrizione
lagrangiana e non si prenderà in considerazione, per quanto detto, la variabile tempo,
pertanto si avrà :

r′ = r′(r)

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. STUDIO DELLA DEFORMAZIONE 3

Adottando un riferimento cartesiano ortogonale (x1, x2, x3) con i versori i, j, k, i
vettori r ed r′ si possono rappresentare nel seguente modo:

r = x1i + x2 j + x3k ; r ′ = x1′i + x2′ j + x3′k (2.3)

Con tali notazioni le precedenti due relazioni si scrivono:

( ) ( )xi′ = xi′ x j J = det xi′, j i, j = 1,2,3

ed il campo di spostamento:

u(r) = r′(r) − r

può essere rappresentato dalle componenti u1 ,u2 , u3 nel riferimento assunto (v. Fig.
2.1):

u = u1i + u2 j + u3k

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.LA DEFORMAZIONE NELL'INTORNO INFINITESIMO DI UN PUNTO P 1

2.3 LA DEFORMAZIONE NELL'INTORNO INFINITESIMO DI UN PUNTO

Con riferimento alla Fig. 2.3 , ci si propone di studiare come si deforma il generico
vettore infinitesimo dl, spiccato dal punto P0 , avente la direzione individuata dal

versore n i cui coseni direttori si indicano con α1, α 2 , α 3

essendo : Fig. 2.3
inoltre:
dx1 = α1 dl
dx2 = α 2 dl
dx3 = α 3 dl

dl = dl

dl = dx1i + dx2 j + dx3k

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.LA DEFORMAZIONE NELL'INTORNO INFINITESIMO DI UN PUNTO P 2

Si suppone di conoscere in P0 la funzione spostamento u = u0 e le sue derivate e
quindi di poter calcolare il valore che essa assume nel punto P infinitamente vicino a
P0 , mediante lo sviluppo in serie di Taylor:

( )u j = u0 j + u j,i 0 dxi + .......

dove è stata introdotta la notazione tensoriale, con la sommatoria degli indici da 1 a 3
sottintesa tutte le volte che sono ripetuti nella stessa espressione monomia.

A meno di infinitesimi di ordine superiore al primo si può quindi scrivere :

u j = u0 j + u j,iα i dl (2.4)

Il punto P estremo del segmento infinitesimo di retta individuato dalla equazione
parametrica ( parametro dl ) :

x j = x0 j + α j dl
si trasforma, a deformazione avvenuta, nel punto P′ di coordinate :

x′j = x j + uj
che, tenute presenti le (2.4), diviene:

x ′j = x0 j + α j dl + u0 j + u αj,i i dl (2.5)

ossia :

( )x ′j = x0′ j + α j + u αj,i i dl

che corrisponde ancora alla equazione parametrica di una retta.
La precedente (2.5) qualora si ponga :

dxi = xi − x0i ; a0 j = u0 j − u j,i x0i ; xi = δi j x j

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.LA DEFORMAZIONE NELL'INTORNO INFINITESIMO DI UN PUNTO P 3

diviene (2.1)

( )x′j = a 0 j + δ i j + uj,i xi .

Questa relazione tra i punti P e P’, nell’ipotesi di biunivocità della corrispondenza

(J ≠ 0) è una “affinità”, ovverosia una corrispondenza che, nell’intorno infinitesimo di

P0 , trasforma rette in rette, piani in piani, circonferenze in ellissi, sfere in ellissoidi ;

inoltre conserva il parallelismo fra rette e piani ma non l’ortogonalità.
Ha poi la proprietà che almeno una terna di direzioni ortogonali conserva, nella

trasformazione l’ortogonalità. Come è noto dalla geometria si tratta della direzioni
principali della trasformazione.

È possibile quindi affermare che segmenti infinitesimi di retta si trasformano in
segmenti infinitesimi di retta.

Dalla (2.5) si ottiene :

( )dx ′j = x ′j − x0′ j = δij + u j,i αi dl (2.6)

E' ora possibile calcolare la metrica dell'elemento deformato mediante:

( ) ( )dl′2 = dxk′dxk′ = δik + uk ,i αidl δ jk + uk , j α jdl (2.7)

da cui, con facili passaggi, si ottiene :

=1+( )dl' 2 αiα j (2.8)

dl 2
ui , j + u j,i + uk ,i uk , j

La quantità:

( )1 (2.9)

eij = 2 ui , j + u j ,i + uk ,i uk , j

è un tensore doppio simmetrico, noto come tensore delle deformazioni finite o tensore

di Almansi.
In funzione di tale tensore la (2.8) assume la forma più compatta:

( ) ( )( )x′j = x0′ j + δij + u j,i dxi = x0′ j + δij + u j,i xi − x0i =

(2.1)

( )x0′ j + x j + xi u j,i − x0 j − u j,i x0i = u0 j − u j,i x0i + δij + u j,i xi

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.LA DEFORMAZIONE NELL'INTORNO INFINITESIMO DI UN PUNTO P 4

dl' 2 − 1 = 2eijα iα j (2.10)
dl 2

La conoscenza del tensore eij in ogni punto di C0 consente di effettuare una serie
di valutazioni quantitative, come si vedrà in dettaglio nei paragrafi seguenti.

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. COEFFICIENTE DI DILATAZIONE LINEARE 1

2.4 COEFFICIENTE DI DILATAZIONE LINEARE

Con riferimento ad un elemento lineare dl , preso nella configurazione C0 , ed
individuato dai coseni direttori αi si definisce coefficiente di dilatazione lineare la
quantità:

εl = dl' −dl (2.11)
dl

la cui conoscenza ci consente di valutare la variazione di lunghezza (s′ − s) di una

qualunque linea s interna al corpo nel passaggio dalla configurazione C0 alla C′ .
Infatti dalla (2.11) si ottiene immediatamente:

s′ − s = ∫ ( dl' −dl ) = ∫ εl dl (2.12)

ss

E' facile esprimere il coefficiente εl nel caso in cui la direzione dell'elemento
coincida con una delle direzioni coordinate. Infatti riferendosi all'elemento
inizialmente parallelo all'asse x1 (v. Fig. 2.4) si ottiene :

ε1 = dl1' −dx1 = dl1' −1 (2.13)
dx1 dx1

Fig. 2.4
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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. COEFFICIENTE DI DILATAZIONE LINEARE 2

ricordando la (2.10), nella quale ora i coseni direttori valgono α1 = 1,α 2 = α 3 = 0 , si
perviene a :

dl1' 2 − 1 = 2e11
dx12

da cui si deduce

(1 + )ε1 2 = 1 + 2 e11 (2.14)

e quindi:

ε1 = 1 + 2e11 − 1 (2.15)

Naturalmente per rotazione degli indici si possono ottenere i coefficienti di
dilatazione lineare nelle altre due direzioni coordinate e, ruotando il sistema di
riferimento, è possibile ottenere il coefficiente di dilatazione lineare per una qualunque
direzione.

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. COEFFICIENTE DI DILATAZIONE ANGOLARE 1

2.5 COEFFICIENTE DI DILATAZIONE ANGOLARE

Presi nella configurazione indeformata C0 due elementi lineari dl, dm formanti un
angolo ϕlm e, detto ϕ ′lm l'angolo formato dagli stessi elementi a deformazione

avvenuta, ossia nella configurazione C′ , si definisce dilatazione angolare la quantità:

γ lm = ϕ lm − ϕ l′m (2.16)

Assumendo due elementi inizialmente paralleli agli assi coordinati x1 ed x2 La
dilatazione angolare è data dalla quantità:

γ 12 = π − ϕ1′2 (2.17)
2

da cui segue :

sinγ 12 = cosϕ1′2 (2.18)

e quindi, con riferimento alla Fig. 2.5 e ricordando la relazione fra coseni direttori di
due direzioni e coseno dell’angolo compreso tra esse, è possibile esprimere il cosϕ1′2

mediante:

cosϕ1′2 = dx1′1 dx2′1 + dx1′2 dx2′2 + dx1′3 dx2′3 (2.19)
dl1′ dl2′ dl1′ dl2′ dl1′ dl2′

da cui:

dl1′dl2′cosϕ1′2 = dx1′idx2′i = (δ1i + ui,1 )dx1(δ2i + ui,2 )dx2 (2.20)
(2.21)
e, ricordando la (2.9), si ha:

dl1′ dl2′ cosϕ1′2 = 2e12
dx1 dx2

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. COEFFICIENTE DI DILATAZIONE ANGOLARE 2

Fig. 2.5

e, per la (2.13)

(1 + ε1 )(1 + ε2 )cosϕ1′2 = 2e12 (2.22)

Concludendo la dilatazione angolare tra due direzioni inizialmente parallele agli
assi x1 , x2 , uscenti dal punto P, vale:

sinγ 12 = (1 + 2e12 ε2 ) (2.23)
ε1 )(1 +

ovverosia, in termini di sole componenti del tensore di Almansi:

sinγ 12 = 2e12 (2.24)
(1 + 2e11 )(1 + 2e22 )

Per rotazione degli indici è possibile ottenere gli scorrimenti angolari γ 23 e γ 31 .

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. COEFFICIENTE DI DILATAZIONE SUPERFICIALE 1

2.6 COEFFICIENTE DI DILATAZIONE SUPERFICIALE

Siano dl e dm due elementi lineari che nella configurazione indeformata C0
individuano l'elemento di area dAlm . Siano dl′ e dm′ i corrispondenti elementi in C′ .
Essi individueranno l'elemento di area dAl′m . Si definisce coefficiente di dilatazione

superficiale la quantità:

λlm = dAl′m − dAlm (2.25)
dAlm

la cui conoscenza consente di valutare la variazione di area ( A′ − A) di una qualunque

superficie interna al corpo nel passaggio dalla configurazione C0 alla C′ . Infatti dalla
(2.25) si ottiene immediatamente:

∫ ∫A′ − A = ( dAl′m − dAlm ) = λlmdA (2.26)

AA

Con riferimento ad un elemento di area inizialmente parallelo al piano coordinato
x1 , x2 (v. Fig. 2.6) si può scrivere:

Fig. 2.6
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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. COEFFICIENTE DI DILATAZIONE SUPERFICIALE 2

λ12 = dA1′2 − dA12 = dA1′2 − dx1dx2 (2.27)
dA12 dx1dx2

da cui, ricordando che

dA1′2 = dl1′dl2′sinϕ1′2 (2.28)
e che, per i risultati conseguiti in 2.4, si può porre

dl1′ = (1 + ε1)dx1
dl2′ = (1 + ε 2 )dx2

con facili passaggi, si perviene a:

λ12 = (1 + ε1 )(1 + ε2 ) 1 − sin2γ 12 − 1
ovverosia, in termini del tensore della deformazione:

λ12 = (1+ 2e11 )(1+ 2e22 ) − 4e122 − 1 (2.29)

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. COEFFICIENTE DI DILATAZIONE CUBICA 1

2.7 COEFFICIENTE DI DILATAZIONE CUBICA

Con ovvio significato dei simboli, si definisce coefficiente di dilatazione cubica la
quantità:

Θ = dV ′ − dV (2.30)
dV

dalla cui conoscenza deriva la possibilità di calcolare la variazione di volume subita da
una qualunque porzione finita di corpo B mediante:

V ′ − V = ∫ ( dV ′ − dV ) = ∫ ΘdV (2.31)

VV

Se la corrispondenza tra C0 e C′ è assegnata mediante :

( )xi′ = xi′ x j

ricordando il significato del determinante Jacobiano, si può scrivere :

( )dV ′ = JdV = det xi′, j dV

e quindi si ottiene:

Θ =J −1 (2.32)

Si vedrà nel prossimo paragrafo che sarà possibile esprimere anche Θ in termini
di eij .

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.UNA RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA DELLA DEFORMAZIONE 1

2.8 UNA RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA DELLA DEFORMAZIONE

La deformazione nell'intorno di un punto P è suscettibile di una rappresentazione
geometrica molto efficace. Infatti, in sintesi, si è visto che, nella deformazione,
l'elemento lineare dl si trasforma nell'elemento ancora lineare dl′ e che valgono le :

dl 2 = dxidxi (2.33)

( )dl′2 = 2eij + δij dxidx j (2.34)

che rappresentano la prima, l’equazione di una sfera di centro P e raggio infinitesimo
dl nelle variabili infinitesime dxi , e la seconda, nelle stesse variabili, l'equazione di un
ellissoide. Si noti che

( )det 2eij + δij ≠ 0

Sovrapponendo la rappresentazione di (2.33) e (2.34), cioè facendo coincidere P
con P', si può avere una delle situazioni indicate in Fig. 2.7.

Fig. 2.7

L’intersezione della sfera (2.33) con l’ellissoide (2.34) individua il cono:

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.UNA RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA DELLA DEFORMAZIONE 2

2eijdxidx j = 0 (2.35)

E’ facile vedere che tale cono divide la stella di elementi lineari intorno a P in due
categorie : quella che subisce dilatazioni positive (allungamenti), quella che subisce
dilatazioni negative (accorciamenti). Tali due categorie di elementi sono separate dal
cono (2.35) che individua gli elementi lineari che non subiscono alcuna dilatazione.

Per tale motivo il cono prende il nome di cono degli scorrimenti. E’ poi evidente
che il cono può essere reale, come indicato nella Fig. 2.7a, oppure immaginario come
nei casi delle Fig. 2.7b e c. In tali casi le dilatazioni intorno a P saranno tutte positive
(Fig. 2.7b) o tutte negative (Fig. 2.7c).

Si può ora calcolare la variazione di volume nel passaggio dalla sfera
all’ellissoide :

dV = 4 π dl3
3

dV ′ = 4π dr1′ dr2′ dr3′
3

essendo dr1′ ,dr2′ ,dr3′ i semiassi dell’ellissoide. Indicando con εξ ,εη ,εζ le
dilatazioni principali, ossia quelle degli elementi lineari che andranno a coincidere con
i tre semiassi dell’ellissoide che, come è noto, sono relativi rispettivamente ad un
punto di massimo, di minimo e di stazionarietà, per la dilatazioni lineari si avranno :

( )dr1′ = 1+ εξ dl

( )dr2′ = 1+ εη dl

( )dr3′ = 1+ εζ dl

Il coefficiente di dilatazione cubica (2.29) può quindi essere espresso in termini di
dilatazioni principali mediante :

( )( )( )Θ = 1+ εξ 1+ εη 1+ εζ − 1 (2.36)

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. DEFORMAZIONI INFINITESIME 1

2.9 DEFORMAZIONI INFINITESIME

Il caso in cui gli spostamenti ui e le derivate ui, j siano delle grandezze molto piccole
rispetto alle dimensioni del corpo è quello che corrisponde alla situazione
tecnicamente più ricorrente. In tali condizioni si ottengono delle semplificazioni
rilevanti.

Infatti, potendo considerare come infinitesime del primo ordine le ui, j , le
espressioni precedentemente trovate si semplificano nel modo qui di seguito indicato.

2.9.1 Tensore delle deformazioni infinitesime

Il tensore (2.9):

( )eij=1
2 ui , j + u j ,i + uk ,iuk , j

trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo, si trasforma nel tensore delle
deformazioni infinitesime:

( )εij=1
2 ui , j + u j ,i (2.37)

2.9.2 Coefficiente di dilatazione lineare

L’espressione (2.15)

ε1 = 1 + 2e11 − 1

mediante sviluppo in serie di Mc Laurin, trascurando gli infinitesimi di ordine
superiore al primo, diviene :

ε1 = 1 + 2e11 − 1 = 1 + e11 − 1 = e11 = ε11 (2.38)

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. DEFORMAZIONI INFINITESIME 2

2.9.3. Coefficiente di dilatazione angolare (2.39)

Dall’espressione (2.23) :
(1 + ε1 )(1 + ε2 )sinγ 12 = 2e12

trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo si ottiene :
γ 12 = 2e12 = 2ε12

2.9.4 Coefficiente di dilatazione superficiale (2.40)

Dall’espressione (2.28) : (2.41)
λ12 = (1 + ε1 )(1 + ε2 )cosγ 12 − 1 (2.42)

trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo si ottiene :
λ12 = ε1 + ε2 = ε11 + ε22

2.9.5 Coefficiente di dilatazione cubica

Dall’espressione (2.36)

( ) ( )( )Θ = 1+ εξ 1+ εη 1+ εξ − 1

trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo si ottiene :

Θ = εξ + εη + εζ = εξξ + εηη + εζζ = tr εij

Il tensore delle deformazioni infinitesime:

( )εij=1
2 ui , j + u j ,i

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. TENSIONE NORMALE E TANGENZIALE 2

σ h′ k = σ i j α h i α k j (3.35)

La (3.35) conferma la natura tensoriale di σ i j . Del resto il nome di "tensore" è
stato usato per la prima volta proprio nello studio dello stato di tensione.

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