MeccContinui_ScienzadelleCostruzioni_Liro

Cap. VI I QUATTRO CASI FONDAMENTALI DI SOLLECITAZIONE 2

In questo caso si ha:

N$ = T$ = T$ = M$ = M$ = 0 M = M$ ≠ 0
1 2 1 2 3 3

e quindi in ogni sezione M = M$ 3 .
3

L’unica caratteristica di sollecitazione non nulla è il momento torcente.

4) FLESSIONE COMPOSTA

In questo caso si ha:

N$ = M$ = M$ = M$ = 0 T$ = T$ i + T$ j ≠ 0
1 2 3 1 2

e quindi in ogni sezione avremo al più le seguenti caratteristiche di sollecitazione :

T = T$ T = T$
1 1 2 2

M = − T$ ( l − x ) M = T$ ( l − x3)
1 2 3 2 1

Si tratta perciò di un caso di sollecitazione composta per la concomitanza di taglio
e momento flettente.

F. Angotti, A. Borri - Lezioni di scienza delle costruzioni, a.a. 1997-98

Cap. VI IL PRINCIPIO DI SAINT-VENANT 1

6.5 IL PRINCIPIO DI SAINT-VENANT

Abbiamo già osservato che molto spesso ciò che si conosce delle azioni
superficiali applicate sulle travi sono semplicemente dei sistemi di forze staticamente
equivalenti, in genere ridotti ad una risultante R e ad un momento risultante M.

Anche nel modello di Saint-Venant non sono generalmente note le effettive
distribuzioni delle forze superficiali f$ applicate sulle basi, ma piuttosto R$ e M$ e le
cui componenti sono date dalle 6.4.1 a).

Si tenga poi presente che la soluzione di problemi al contorno dell’elasticità è resa
difficile dalla forma complicata che assumono le equazioni ai limiti. Molto spesso è
possibile ottenere la soluzione di un problema se in qualche modo vengono modificate
le condizioni al contorno.

Su questo punto Saint-Venant, con riferimento al suo modello di trave, propose un
principio che può essere così enunciato: se una certa distribuzione di forze superficiali
agenti su una porzione della superficie di un corpo è sostituita da un’altra agente sulla
stessa porzione di superficie, allora gli effetti prodotti dalle due distribuzioni in punti
sufficientemente distanti dalla zona di applicazione della forza sono essenzialmente gli
stessi purché le due distribuzioni di forze siano staticamente equivalenti, ossia
abbiamo la stessa risultante e lo stesso momento risultante.

In base a questo principio, pur di escludere un certo volume di trave in prossimità
della base caricata, gli effetti prodotti dai sistemi di forze staticamente equivalenti sono
praticamente gli stessi. Nella figura sono riportati alcuni sistemi di forze staticamente
equivalenti ed è tratteggiato il volume che risente della particolare distribuzione di
forze superficiali.

1) N$ = ∫ f$3 dA

A

∫2) M$ = F$ ⋅ e = f$3x2 dA

A

3) Analogo per la torsione

4) Analogo per la flessione e taglio

Il principio di Saint-Venant ha una portata che va ben al di là del solido di forma
cilindrica per il quale fu enunciato e, poiché la teoria lineare dell’elasticità alla quale il
principio si riferisce è di per se un modello matematico ipotetico-deduttivo coerente e
completo, è evidente che lo stesso principio non può essere accettato come postulato,
ma deve essere dimostrato come una conseguenza logica di tutte le ipotesi poste a base

F. Angotti, A. Borri - Lezioni di scienza delle costruzioni, a.a. 1997-98

Cap. VI IL PRINCIPIO DI SAINT-VENANT 2

della stessa teoria lineare dell’elasticità. Su questa dimostrazione, la cui prima
difficoltà risiede proprio nella formulazione matematica della stesso principio, si sono
cimentati numerosi ricercatori.

Il primo tentativo di formulazione e dimostrazione del principio risale a
J.V.Boussinesq (1885) il quale diede la seguente formulazione : un sistema equilibrato
di forze esterne applicate ad un solido elastico, i cui punti d’applicazione stanno entro
una sfera assegnata, produce deformazioni trascurabili a distanza dalla sfera sufficiente
in rapporto al suo raggio. In questa formulazione che è riferita ad un generico solido
tridimensionale e quindi ad un problema più ampio di quello di Saint-Venant, permane
una certa vaghezza. Fu per primo Zanaboni a porre l’accento su un aspetto essenziale,
osservando che per la verifica del principio, la trascurabilità della deformazione

ε ij (x) non è da intendersi punto per punto bensì con riferimento al valore integrale :

∫2 a)

εi j dV

V*

dove

2

εi j = εi jεi j

L’integrale è esteso a porzioni V* del cilindro lontane dalle basi. In tal modo
Zanaboni ha superato alcune questioni legate alla singolarità che si presenta nei
cilindri aventi degli spigoli rientranti (v. Fig. 6.4) come il punto A, dove la
deformazione ε i j raggiunge valori infinitamente grandi, mentre ha invece senso

considerare l’integrale a) esteso ad un volume V* di cilindro di altezza assegnata e
dimostrare che tale integrale tende a zero quanto più V* si allontana dalle basi dello
stesso cilindro.

Fig. 6.4
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Cap. VI FORZA NORMALE SEMPLICE 1

6.6 FORZA NORMALE SEMPLICE

6.6.1 Azioni sulle basi
Abbiamo visto che questo caso corrisponde alla seguente situazione :

N$ ≠ 0
T$1 = T$2 = M$ 3 = M$ 2 = M$ 1 = 0

Pertanto in ogni sezione della trave avremo la sola presenza di forza normale N = N$ .
Le condizioni al contorno (6.10.a) sulla base x3 = l che realizzano tale situazione

sono :

f$1 = f$2 = 0 , f$3 ≠ 0

con :

∫ ∫ ∫N$ = f$3dA ; M$ 1 = f$3 x2dA = 0 ; M$ 2 = − f$3 x1dA = 0 .

AA A

Inoltre, dalle (6.6) si deduce, sempre sulla base x3 = l :

σ = σ 32 = 0 σ = f$3 .
31 33

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Cap. VI FORZA NORMALE SEMPLICE 1

6.6.2 Stato di tensione

Avendo trovato che σ 31 = σ 32 = 0 nella sezione x3 = l , allora le tensioni tangenziali
saranno nulle in tutta la trave, mentre, l’unica componente non nulla del tensore degli
sforzi avrà l’espressione (6.10) :

σ 33 = a + b x1 + c x2 (a)

La soluzione è così ricondotta alla ricerca delle costanti a, b, c, la cui
determinazione è presto fatta ricordando che, in ogni sezione, si dovrà verificare che
risulti :

N = N$ ; M1 = M$ 1 = 0; M$ 2 = 0

Dalla prima, scritta tenendo presente la (a),

N$ = ∫ σ 33 dA = ∫ (a + bx1 + cx2 ) dA = ∫ a dA + b ∫ x1 dA + c ∫ x2 dA = a A

AA 1A 23 14A 243 14A 243

=aA =0 =0

( mom.stat ) ( m om.stat )

segue che :

a = N$ = N .

AA

Dalle rimanenti due :

∫ ∫M$ 1 = σ 33 x2 dA = 0 = (a + bx1 + cx2 ) x2 dA =

AA

∫ ∫ ∫= a x2 dA + b x1x2 dA + c x22 dA = b J12 + c J2 = 0

1A 23 1A 4243 14A 243

=0 m om ento mom ento
(m om.stat .) centrifugo di inerzia

∫ ∫M$ 2 = − σ 33x1 dA = 0 = (a + bx1 + cx2 ) x1 dA =

AA

∫ ∫ ∫= a x1 dA + x12 dA + x2 x1 dA = b J2 + c J21 = 0

1A 23 1A 23 1A 4243

=0 mom ento m om ento
(m om.stat .) di inerzia centrifugo

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Cap. VI FORZA NORMALE SEMPLICE 2

si perviene al sistema nelle incognite b, c :
bJ12 + cJ2 = 0
bJ1 + cJ21 = 0

che, essendo :
J12 J2 ≠ 0
J1 J21

per le ben note proprietà del tensore di inerzia, ha la sola soluzione banale :

b = c = 0.
Nel caso della forza normale semplice si ha allora, dalla (a)

N (6.11)
σ 33 = a = A

Il tensore σij si riduce a :

 0 0 0 
 
σ =  0 0 0
ij  0 0

N$
A

e lo stato di tensione risulta essere monoassiale.

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Cap. VI FORZA NORMALE SEMPLICE 1

6.6.3 Stato di deformazione

Dalle (6.7) si ottiene immediatamente, per il tensore delle deformazioni la seguente
espressione :

 − ν N 0 
 −ν N 0
 EA 
 EA 
ε ij =  0 0 0  (6.12)

 0 N 
EA

Le componenti ε i j sono quindi costanti ed in particolare gli scorrimenti sono tutti

nulli.
Facendo riferimento alle espressioni generali già considerate in precedenza

(Cap.II) si ottiene quindi, in ordine :

∫∆l = l ε 33 dx3 = Nl
0 EA

=∫∆A(ε11 + )ε 22 dA = −2ν N A = −2ν N (6.13)
EA E
A

∫∆V = (ε11 + ε22 + ε33 ) dV = (1 − 2ν ) N V = (1 − 2ν) Nl
E
V EA

Si vede quindi che ad una forza di trazione (N > 0) corrisponde un aumento della
lunghezza della trave, del volume della stessa ed una riduzione di area della sezione,
l’opposto si verifica nel caso di compressione (N < 0).

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Cap. VI FORZA NORMALE SEMPLICE 1

6.6.4 Stato di spostamento

Per determinare gli spostamenti ( )ui = ui x1 ,x2 ,x3 abbiamo a disposizione le sei

relazioni differenziali (in cui i termini a primo membro sono noti) :

( )ε ij=1
2 u i, j + u j,i

alle quali vanno aggiunte le condizioni di vincolo (6.1). Ponendo ε = N , per esteso
EA

le precedenti relazioni divengono :

u 1,1 = ε 11 = −ν ε u 1,2 + u 2 ,1 = 0
 
 
u 2,2 = ε 22 = −ν ε u 1,3 + u 3,1 = 0
 
 
u 3,3 = ε 33 = ε u 2,3 + u 3,2 = 0

Questo sistema di 6 equazioni differenziali va integrato e, a tale scopo, si nota che
le prime 3 (prima parentesi) forniscono ciascuna un integrale generale per u1 ,u2 ,u3,

che dovrà poi soddisfare le ultime 3 relazioni (seconda parentesi). Si ha così, dalle
prime 3 equazioni :

u 1 = −νε x1 + a ′ (x2 , x3 )


(*) u 2 = −νε x2 + a ′′ (x1 , x3 )


u 3 = ε x3 + a ′′′ ( x1 , x2 )

in cui a ′(x2 , x3 ),a ′′(x1 , x3 ),a ′′′(x1 , x2 ) sono funzioni arbitrarie. Sostituendo queste

espressioni nelle ultime 3 equazioni si perviene a :

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Cap. VI FORZA NORMALE SEMPLICE 2

a ,′2 + a ′,′1 = 0


(* *) a,′3 + a ′,′1′ = 0


a ′,′3 + a ′,′2′ = 0

Per derivazione, dalle (**), si ottiene :

a ,′22 =0 a ,′1′1 =0 a ,′1′1′ = 0
  
a,′33 = 0 a,′3′3 = 0 a,′2′′2 = 0

da cui si deduce la seguente forma generale per le tre funzioni

a ′(x2 , x3 ),a ′′(x1 , x3 ),a ′′′(x1 , x2 ) :

a ′ = A′ + B ′x2 + C ′x3 + D′x2 x3


a ′′ = A′′ + B ′′x1 + C′′x3 + D ′′x1 x3 ,


a′′′ = A′′′ + B′′′x1 + C′′′x2 + D′′′x1x2

con A,B,C,D costanti arbitrarie.
Queste espressioni, per sostituzione nelle (**), danno luogo a :

B′ + B ′′ + (D′ + D′′) x3 = 0 B′ + B′′ = 0 D′ + D′′ = 0
 
  
C′ +  ∧ D′ + D′′′ = 0
 B′′′ + (D′ + D′′′) x2 = 0 ⇒ C′ + B′′′ = 0 


 
C′′ + C′′′ + (D′′ + D′′′) x1 = 0 C′′ + C′′′ = 0 D′′ + D′′′ = 0

da dove si vede che D′ = D′′ = D′′′ = 0 , e quindi :

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Cap. VI FORZA NORMALE SEMPLICE 3

a ′ = A′ + B′ x2 + C′ x3 u 1 = −νε x1 + A′ + B′ x2 + C′ x3
 
 
a′′ = A′′ − B′ x1 + C′′ x3 da cui u 2 = −νε x2 + A′′ − B′ x1 + C′′ x3


a′′′ = A′′′ − C′ x1 − C′′ x2 u 3 = ε x3 + A′′′ − C′ x1 − C′′ x2

Rimangono ancora da soddisfare le condizioni di vincolo (6.1) che consentono di
determinare le rimanenti costanti :

u 1 = 0 ⇒ A′ = 0 u 3,1 = 0 ⇒ C′ = 0
 

 ⇒ u ⇒
u = 0 A′′ = 0  =0 C′′ = 0
 2 3,2

 
u 3 = 0 ⇒ A′′′ = 0 u 2,1 = 0 ⇒ B′ = 0

e così, infine, si perviene al seguente campo di spostamenti:

 1 = −νε x1 = −ν N x1
u EA



u 2 = −νε x2 = −ν N x2 (6.14)
 EA



u 3 = ε x3 = N x3
EA

Conoscendo il campo di spostamenti è immediato ottenere la relazione fra
coordinate iniziali e finali :

 x '1 = x1 + u 1 = (1 − νε ) x1


x'2 = x2 +u 2 = (1− νε) x2



x'3 = x3 + u 3 = (1 + ε) x3

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Cap. VI FORZA NORMALE SEMPLICE 4

da cui si nota che, poiché u 3 dipende solo da x3 , il luogo dei punti x3 = cos t si porta
nel luogo dei punti x3′ = cos t , ciò vuol dire che, nel caso della forza normale
semplice, le sezioni inizialmente piane restano piane, compiendo una semplice
traslazione nella direzione x3 .
Si osservi invece cosa accade per i punti a x3 costante, non più nella direzione
dell’asse x3 , bensì nel piano x1 x2 . In riferimento alla figura 6.5, dove è rappresentata
la generica sezione della trave, consideriamo il vettore spostamento u limitato alle due
componenti u1 e u2 sul piano della sezione :

u = u1i + u2 j

Fig. 6.5

Dalle (6.14), con riferimento al generico punto P ≡ (x1 ,x2 ) si trova :

u2 = x2 = tgα .
u1 x1

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Cap. VI FORZA NORMALE SEMPLICE 5

Si può quindi dire che ogni punto P della sezione A si sposta, nella deformazione,
in direzione del baricentro G e verso di esso se N>0 (trazione). L’entità dello
spostamento sarà misurato dal modulo di u :

u= u 2 + u 2 =νε x12 + x 2 = νε r
1 2 2

e questo dimostra che le sezioni del cilindro si trasformano omoteticamente.
Nella figura 6.6 è data una rappresentazione della configurazione deformata.

Fig. 6.6
F. Angotti, A. Borri - Lezioni di scienza delle costruzioni, a.a. 1997-98

Cap. VI FORZA NORMALE SEMPLICE 1

6.6.5 Caratteristica di deformazione assiale

Abbiamo visto, nel precedente punto 6.6.4 che le sezioni della trave, nel caso della
sollecitazione a forza normale restano piane e compiono una semplice traslazione nella
direzione dell’asse x3 .

Questo risultato consente di descrivere il movimento della generica sezione retta
attraverso la caratteristica di deformazione assiale, che si indica con ρ3, ovverosia con
ρz e che è definita come lo spostamento relativo tra due sezioni poste a distanza

unitaria, ossia :

6sp4ost4am7ento4rela4tivo8

ρz = ρ3 = (u 3 + du 3 ) − u 3 = du 3 =ε = N (6.15)
dx3 EA
d{x3

dis tan za tra

le sezioni

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Cap. VI FORZA NORMALE SEMPLICE 1

6.6.6 Lavoro di deformazione

Si vuole a questo punto calcolare il lavoro di deformazione; a tale scopo si possono
seguire più strade a seconda che si faccia riferimento al lavoro compiuto dalle forze
esterne, alla energia elastica totale, oppure al lavoro compiuto dalle azioni interne :

• Lavoro compiuto dalle forze esterne

Per il teorema di Clapeyron si può scrivere :

Ld = 1 N$ ∆l = 1 N$ N$l = 1 N$ 2l
2 2 EA 2 EA

• Energia elastica totale

,Essendo 1σ 1 1 N N 1 N2
Φ = 2 ij ε ij = 2 σ 33 ε 33 = 2 A EA = 2 EA2

risulta :

∫Ld = ΦV = 1 N2 = 1 N2 Al = 1 N 2l
= Φ dV 2 EA2 V 2 EA2 2 EA

V

• Lavoro compiuto dalle azioni interne
Dalla figura e dalla definizione di ρ3 si ottiene :

dLd = 1 N du3 = 1 Nρ3 dx3
2 2

che è il lavoro di deformazione riferito al concio elementare di trave compreso fra le

ascisse ( x3 ,x3 + dx3 ) .

Sostituendo a ρ3 l’espressione (6.15) ed integrando si ottiene :

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Cap. VI FORZA NORMALE SEMPLICE 2

=∫Ldl 1 Nρ3 dx3 = 1 N 2l
0 2 2 EA

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Cap. VI FLESSIONE SEMPLICE 1

6.7 FLESSIONE SEMPLICE (PURA)

6.7.1. Azioni sulle basi
Si ha flessione semplice (v. 6.4.2) quando :

N$ = T$1 = T$2 = M$ 3 = 0
M$ = M$ 1i + M$ 2 j ≠ 0

Pertanto in ogni sezione avremo la presenza di un momento flettente costante
M = M$ ossia M1 = M$ 1 , M 2 = M$ 2 nel riferimento x1 ,x2 (6.2) .

Si noti che, dato il vettore M$ , resta individuato il piano su cui agisce la coppia,
che perciò chiameremo piano di sollecitazione. Si definisce asse di sollecitazione s ( v.
Fig. 6.7) la traccia di questo piano sulla sezione retta della trave.

Fig. 6.7

(6.2) Si può osservare che a rigore non si tratta di caratteristiche della sollecitazione in quanto gli assi x1 , x2 in

genere non coincidono con gli assi principali centrali d’inerzia della sezione.
F. Angotti, A. Borri - Lezioni di scienza delle costruzioni, a.a. 1997-98

Cap. VI FLESSIONE SEMPLICE 2

Le condizioni al contorno (6.10.a) sulla base x3 = l che realizzano le azioni
ipotizzate sono :

f$1 = f$2 = 0 , f$3 ≠ 0
con

∫M$ 1 = f$3x2 dA ∫M$ 2 = − f$3x1 dA N$ = ∫ f$3 dA = 0

A A A

Inoltre dalle (6.6) si trova che sulla medesima base x3 = l dovrà essere :
σ 31 = σ 32 = 0 , σ 33 = f$3

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Cap. VI FLESSIONE SEMPLICE 1

6.7.2 Stato di tensione

Procedendo come nel caso della forza normale semplice, anche qui si trova che, per la
(6.5’), l’unica componente non nulla di σ i j avrà la forma (6.10) :

σ 33 = a + bx1 + cx2

La determinazione delle tre costanti a,b,c sarà fatta risolvendo il sistema di tre
equazioni algebriche :

∫ ∫ ∫σ 33dA = N$ = 0 ; σ 33 x2 dA = M$ 1 ; − σ 33 x1 dA = M$ 2

AA A

che, sostituendo l’espressione trovata per la σ 33 , ed integrando, si riducono a :

 Aa = 0

−J12Jb2b+−J 1c = M$ 1
J 12 c = M$ 2

La prima equazione fornisce :

a=0

mentre le rimanenti due, scritte nel riferimento principale centrale d’inerzia (ξ,η) , si
riducono a forma canonica. Ruotando infatti gli assi ( x1 ,x2 ) fino a farli coincidere con
(ξ,η) , con ovvio significato dei simboli (v. Fig. 6.8) si ottiene :

Fig. 6.8
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Cap. VI FLESSIONE SEMPLICE 2

 = M$ ξ
b
cJ = M$ ξ  Jξ
 ξ 

 ⇒

 = − M$ η  = − M$ η
bJη c Jη

ed allora, ricordando che Mξ = M$ ξ , Mη = M$ η si trova :

σ 33 = Mξ η− Mη ξ (6.16)
Jξ Jη

che è la soluzione del problema della flessione semplice in termini di tensione.
Introducendo i raggi principali d’inerzia ρξ ,ρη e ponendo, nella espressione di

σ 33 :

Jξ = Aρη2 Jη = Aρξ2

dove A è l’asse della sezione. La (6.16) si riduce a :

σ 33 = 1  Mξ η− Mη 
A  ρξ2 ρη2 ξ

Il luogo dei punti in cui si ha tensione nulla è perciò la retta baricentrica, detta
asse neutro della flessione, di equazione :

Mξ η− Mη ξ = 0 (6.17)
ρξ2 ρη2

Se indichiamo con α l’angolo che il vettore M forma con l’asseξ , risulta :

Mη = Mξ tgα
e quindi il coefficiente angolare dell’asse neutro (6.17) :

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Cap. VI FLESSIONE SEMPLICE 3

( )tg ξ n = Mη ρξ2 (6.18)

Mξ ρη2

si può esprimere mediante :

tg (ξ n) = tg α ρξ2 = − tg 1 s) ρξ2
ρη2 ρη2
(ξ

in cui si è posto :

tg α = − tg 1 s)

(ξ

essendo :

ξ s = π + α ⇒ tg(ξ s) = − cot g α

2

La precedente relazione (6.18), dà luogo, in definitiva, alla equazione :

tg(ξ s) tg(ξ n) = − ρξ2 (6.19)
ρη2

che è la ben nota equazione dei diametri coniugati, rispetto all’ellisse centrale di
inerzia della sezione.

Si può perciò concludere che l’asse di sollecitazione e l’asse neutro sono
coniugati rispetto all’ellisse centrale di inerzia della sezione. Tale risultato riconduce la
determinazione dell’asse neutro, partendo dall’asse di sollecitazione, nell’ambito della
polarità di inerzia delle figure piane.

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Cap. VI FLESSIONE SEMPLICE 1

6.7.3 Stato di deformazione

Si prosegue ora con lo studio della deformazione nel sistema di riferimento

(G, ξ, η, z ≡ x3 ) . Ricordando le equazioni costitutive, noto σ i j , si ricava il tensore

delle deformazioni, che nel riferimento adottato è descritto dalle componenti :

εξ ξ = εη η = − ν σ z z εz z = σ zz εξ η = εξ z = εη z = 0
E E

in cui σ z z è data dalle (6.16).

E’ possibile scegliere un altro sistema di riferimento in cui le componenti di σ e

quindi di ε risultino più semplici: è il riferimento costituito dalla coppia di assi

ortogonali asse neutro-asse di flessione (G, n, f ) che, in seguito, verrà indicato con

(G, x, y). L’asse di flessione, ortogonale all’asse neutro, è il terzo asse notevole della
flessione. Al successivo punto 6.7.4 sarà reso chiaro il significato della denominazione
adottata.

In tale sistema la (6.16) si riduce all’espressione monomia :

σzz = k y
Per determinare k basta considerare che

∫ ∫M x = σ z z y dA = k y2 dA = k J x ⇒ k = Mx
Jx
AA

da cui allora

σzz = Mx y (6.20)
Jx

che prende il nome di formula di Navier. Si noti che Mx è la coppia attiva nel piano di
flessione (y,z).

Posto : (a)
c = Mx
EJ x

il tensore degli sforzi e quello della deformazione sono così rappresentati :

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Cap. VI FLESSIONE SEMPLICE 2

  (6.21)
 0 0 0
 0   
 0   − ν c y 0 0 
σ ij = 
 0 0 ε i j =  0 −νcy 0 
 0  0 0 cy
Mx y
Jx

Possiamo ora calcolare la variazione di area della sezione :

∆ A = ∫ (ε x + ε y ) dA = −2ν c∫ y dA = 0

AA

e la variazione di volume della trave :

l

∆ V = ∫ (ε x + ε y )+ ε z dV = c(1 − 2ν)∫ dz∫ y dA = 0

V 0A

Si può quindi affermare che, nella flessione, l’area della sezione ed il volume della
trave rimangono inalterati.

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Cap. VI FLESSIONE SEMPLICE 1

6.7.4 Stato di spostamento

Si è visto che per la flessione semplice conviene studiare la deformazione nel sistema
di riferimento asse neutro-asse di flessione; tale sistema di riferimento risulta
conveniente anche per lo studio del campo di spostamenti, cui adesso ci si dedicherà
partendo dal porre, al fine di operare una distinzione con le notazioni proprie del
sistema di riferimento x i :

u1 =u ; u2 =v ; u3 =w

( )Le εij =1
equazioni di congruenza 2 ui , j + u j ,i scritte per esteso, con le notazioni

attuali, divengono :

u,x = ε x = −νcy u,y + v ,x = 0
 
v,y = ε y = −νcy u,z + w,x = 0
 
w,z = ε z = cy v ,z + w,y = 0

queste 6 equazioni differenziali, nelle tre funzioni incognite u, v, w, con le condizioni
al contorno (6.1), possono essere integrate e, seguendo un procedimento simile a
quello descritto al punto 6.6.4, forniscono la soluzione seguente :

u = −ν c x y


[ ]( )
c
v
= − z2 −ν x2 − y2 (6.22)
2

w = c y z

in cui si è posto (v. 6.7.3) :

c = Mx (6.23)
EJ x

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Cap. VI FLESSIONE SEMPLICE 2

Si noti che c nell’ipotesi adottata di teoria infinitesima, può essere considerato
come una quantità molto piccola.(6.3)

Dalle (6.22) si deducono immediatamente le relazioni fra le coordinate nella
configurazione deformata e quelle nella configurazione indeformata :

x'= x −ν c x y
[ ( )]
c
y'=
y − z2 −ν x2 − y2 (6.24)
2
z' = z + c y z

Se si considera c infinitesimo, dalla seconda delle (6.24) a meno di infinitesimi del
2° ordine si ottiene :

c y' = c y (6.25)

e di conseguenza, sostituendo nella terza delle precedenti equazioni, si ottiene :

z' = z + c y' z = z (1+ c y') (6.26)

dalla quale è facile dedurre che il piano z = zc si trasforma nel luogo dei punti
z' = zc (1+ c y') che è ancora l’equazione di un piano. Ossia le sezioni rette si
mantengono piane. Tale piano deformato è parallelo all’asse x ed è inclinato di c zc
rispetto al piano xy. Inoltre, per qualunque zc ossia per qualunque sezione, quando
(1+ c y') = 0 , ossia y' = − 1 , si ha z' = 0 ; ciò significa che tutte le sezioni rette

c
deformate si collocano in piani che contengono tutti la retta di equazione :

z′ = 0

1+ c y′ = 0

Si può perciò affermare che, nella deformazione, i piani, inizialmente paralleli,
delle sezioni rette della trave si trasformano nei piani del fascio avente per sostengno
la rette del piano z′ = 0 parallela all’asse x e distante da questo della quantità :

y' = − 1 = − EJx
c Mx

(6.3) Vedremo con la (6.27a) che c ha il significato di curvatura della linea deformata dell’asse della trave
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Cap. VI FLESSIONE SEMPLICE 3

Essendo poi nulli gli scorrimenti γ x z eγ y z ne deriva che le rette inizialmente

parallele all’asse del solido (cioè le traiettorie ortogonali ai piani delle sezioni rette) si
trasformano nelle traiettorie ortogonali ai piani del fascio di sostegno A, ossia in archi
di circonferenza di centro A (v. Fig. 6.9). In particolare l’asse della trave si trasforma
in un arco di circonferenza di raggio :

R = 1 = E Jx (6.27)
c Mx

La deformata dell’asse della trave, denominata linea elastica, è contenuta nel
piano y-z che, proprio per questo motivo, prende il nome di piano di flessione e rivolge
la concavità verso le y < 0 se Mx > 0 .

Al precedente punto 6.7.3 abbiamo già anticipato che la traccia di questo piano sul
piano della sezione retta generica prende il nome di asse di flessione.

La precedente relazione mostra che la costante (6.23) :

c = 1 = Mx (6.27.a)
R EJ x

è proprio la curvatura della linea elastica. La quantità EJx prende il nome di rigidezza
flessionale.

Fig. 6.9
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Cap. VI FLESSIONE SEMPLICE 4

La sezioni trasversali, pur restando piane, si deformano; considerando poi che il
tensore delle deformazioni non dipende da z si conclude che tutte le sezioni si
deformano allo stesso modo. Dalla prima delle relazioni (6.24), avuto riguardo della
(6.25), si ottiene :

x' = x − ν x c y' = x (1 − ν c y' )

dalla quale si vede che le rette parallele a y, x = xc , si trasformano nelle rette

x' = xc (1− ν c y') che incontrano tutte l’asse y nel punto B ≡ y' = 1 = E Jx ,
ν c ν Mx

costituendo quindi un fascio di rette di centro B (v. Fig. 6.10) .

Essendo γ x y = 0 , le rette inizialmente parallele ad x (ortogonali alle x = xc ) si

mantengono ortogonali con le rette del fascio trasformandosi di conseguenza in archi

di circonferenza di centro B. Gli archi sono più lunghi dei segmenti da cui provengono

se εx > 0 (y < 0); sono più corti se εx < 0 (y > 0); mantengono la medesima

lunghezza se εx = 0 (y = 0).

Si noti che il punto A della fig. 6.9 ed il punto B della fig. 6.10 stanno da parte

opposta rispetto all’origine degli assi di riferimento.

Fig. 6.10
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Cap. VI FLESSIONE SEMPLICE 5

L’espressione di :

εx = −ν Mx y
EJ x

fornita dalla (6.21) indica che, per M x > 0 , le corde y = yc , subiscono dilatazioni
proporzionali alla loro distanza dall’asse neutro. Inoltre per y > 0 le corde si
accorciano, per y < 0 si allungano, mentre la corda inizialmente distesa sull’asse

neutro ( y = 0) non subisce alcuna dilatazione.

Nella Fig. 6.11 è rappresentato il caso di una sezione rettangolare :

Fig. 6.11

L’equazione della configurazione deformata dell’asse della trave, ossia della linea
elastica, è facilmente ottenuta dalla (6.24) ponendovi x = y = 0 , ossia :

u = 0

v = − c z 2 (6.28)

2
w = 0

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Cap. VI FORZA NORMALE ECCENTRICA 1

6.8.4. Sezione rettangolare

Nel caso di trave a sezione rettangolare con centro di sollecitazione X
appartenente ad una mediana, sianoξ , η gli assi principali di inerzia e siano b, h le

dimensioni della sezione (v. fig. 6.22). Inoltre N sia positiva.

Fig. 6.22

Sapendo che l’asse neutro n è parallelo a ξ e che la sua distanza da esso vale:

X ′G = d = − ρξ2 = − 1 h2
e 12 e

Inoltre risulta:

A′G = λA′ = − h ; GB ′ = λB′ = h
6 6

e quindi dalle (6.47) si traggono i valori estremi delle σ 33 :

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Cap. VI FORZA NORMALE ECCENTRICA 2

max σ 33 = N 1 + 6e 
bh h

min σ 33 = N 1 − 6e 
bh h

Volendo utilizzare le (6.48) e (6.49) per calcolare le tensioni σ 33 massime e
minime, si osserva che i moduli di resistenza relativi all’asse x0 ≡ ξ , in questo caso
coincidono in quanto sA = −sB e quindi risulta:

Wx′0 = −Wx′0′ = J x0 = 1 bh2
h2 6

e, in virtù delle espressioni richiamate, risulta:

max σ 33 = 6 M A′ ; min σ 33 = 6M B′
bh 2 bh 2

nelle quali si porrà, ricordando la definizione di momento di nocciolo (6.50):

M A′ = N  e + h6 ; M B′ = N  e − h6

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Cap. VI TORSIONE 1

6.9 TORSIONE

6.9.1 Azioni sulle basi

Al punto 6.4.2. abbiamo visto che, nel caso della torsione, le azioni sulla base
x3 = l si riducono a :

N$ = M$ 1 = M$ 2 = T$1 = T$2 = 0 M$ 3 ≠ 0

per cui l’unica caratteristica di sollecitazione diversa da zero, in ogni sezione della
trave è un momento torcente costante M3 = M$ 3 .
In virtù delle (6.10.a) possiamo riferirci alla seguente condizione di carico sulla base
x3 = l :

f$1 ≠ 0 f$2 ≠ 0 f$3 = 0

con f1 ed f 2 tali che: ∫T$1 = A f$1dA = 0 ∫T$2 = A f$2dA = 0 (6.36)

∫ ( )M$ 3 = A f$2 x1 − f$1x2 dA

inoltre dalle condizioni al contorno (6.6) sulla base x3 = l deriva:

σ31 = f$1 σ32 = f$2 σ33 = f$3 = 0 (6.37)

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Cap. VI TORSIONE 1

6.9.2 Stato di tensione

Preliminarmente si osserva che, in virtù delle (6.37), risulta :

( ) ( )σ33 x1 , x2 ,0 = σ33 x1 , x2 ,l = 0

e quindi dalla (6.9) si deduce che dovrà essere :

( )σ33 x1 , x2 , x3 = 0

Ricordando poi le ipotesi generali sullo stato di tensione, ossia σ11 = σ22 = σ12 = 0,
dalle equazioni indefinite di equilibrio di Cauchy, in assenza di forze di volume,
assumendo σ33 = 0 , si perviene a :

σ31,3 = 0
σ =0 (6.38)
 32 ,3 + σ23,2

σ13,1 = 0

da cui, ripetendo quanto già osservato con le (6.5), segue :

( )σ


31 = σ31 x1 , x2 (6.38.a)

( )σ32 = σ32 x1 , x2

e che pertanto in tutte le sezioni si ha la medesima distribuzione delle tensioni

tangenziali.

( )Le equazioni di Beltrami (6.8), essendo Iσ = 0 σ11 = σ22 = σ33 = 0 , si riducono alle:

∇2σ 31 = σ31,11 + σ31,22 =0 (6.39)
∇2σ 32 = σ32,11 + σ32,22 =0

Il problema della torsione è così ricondotto alla ricerca delle due funzioni(6.38.a),
definite nel dominio A della sezione retta della trave, che soddisfino le due equazioni
(6.39), la terza equazione di Cauchy (6.38) e la condizione al contorno (6.6.a):

σ31 α1 + σ32 α2 = 0 (6.40)
Infatti è noto che ogni forma differenziale ϖ di classe C1 :

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