MeccContinui_ScienzadelleCostruzioni_Liro

Cap. VI FLESSIONE COMPOSTA 3

Fig. 6.37

nel sistema di riferimento (G, x, y) , asse neutro, asse di flessione, la (6.132) si riduce

alla formula di Navier (6.20):

σ 33 = σ zz = Mx y = − Ty (l − z) = Ty (z − l) (6.133)
Jx Jx Jx

F. Angotti, A. Borri - Lezioni di scienza delle costruzioni, a.a. 1997-98

Cap. VI FLESSIONE COMPOSTA 1

6.10.3 Stato di tensione : tensioni tangenziali

Dalla terza equazione di Cauchy (6.4) scritta nel riferimento (x, y) asse neutro,

asse di flessione, tenendo conto dell’espressione (6.133) per la σzz si perviene a :

σ xz, x + σ yz, y + Ty y = 0 (6.134)
Jx

da cui trae la condizione :

− σxz,x  Ty y2 
= σyz + Jx 2 
,y

che può essere interpretata, con ragionamento analogo a quello che ci ha portato, nel

caso della torsione, alla (6.41), come condizione di esistenza di una funzione f * (x, y)

tale che :

( )df *  + Ty y2  (6.135)
x, y = σ yz Jx 2  dx − σ xz dy


L’esistenza di tale primitiva f *(x, y) implica le relazioni :

σ xz = −f *
,y

 * 1 Ty y2 (6.136)
σ ,x 2 Jx
 yz = f −

Come per la torsione, anche in questo caso di sollecitazione, la determinazione
delle due funzioni incognite σxz , σyz , è ricondotta alla ricerca di una sola funzione

f *(x, y) risultando con ciò così automaticamente verificata l’equazione di Cauchy

(6.134).

Per determinare la f *(x, y) sono ancora disponibili le equazioni di Beltrami (6.8)

che, tenuta presente la (6.133), divengono :

∇2σ xz = 0

(1 + ν )∇2σyz Ty (6.137)
+ Jx =0

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Cap. VI FLESSIONE COMPOSTA 2

mentre dalle (6.136) è possibile ricavare : (6.138)
(6.139)
∇2 f * = σ yz,x − σxz, y

e successivamente da quest’ultima, tenuta presente la (6.134), si ottiene :

( )∇2 f * ,x = σ yz,xx − σ xz,yx 1 Ty − σ yz,yy − σ xz,yx
= −1+ν Jx

( )∇ 2 f * σ σ σ σ= − = +,y yz,xy xz,yy yz,xy xz,xx

Le (6.138), per la (6.134) danno luogo a :

1 Ty 1 Ty + Ty ν Ty
,x = − 1 + ν Jx = −1+ν Jx Jx 1+ν Jx
( ) ( )∇2 f *
− σ xz,x + σ yz,y ,y =

( ) ( )∇2 f * =0
= σ xz,x − σ yz, y
,x
,y

e, integrando, portano all’equazione differenziale :

∇2 f *(x, y) = ν Ty x + K in A (6.140)
1+ν Jx

dove K è una costante di integrazione.
All’equazione di campo ora trovata si associa la condizione al contorno :

σ xzα x + σ yzα y = 0 (6.141)

che, con riferimento alle notazioni della figura 6.38, dove, come già fatto in
precedenza, si usa per semplicità, lo stesso simbolo per indicare l’angolo ed il coseno
dello stesso angolo, avuto riguardo alle (6.136), si riduce a :

− f β* − f β* = − 1 Ty y 2 βx
2 Jx
,x x ,x y

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Cap. VI FLESSIONE COMPOSTA 3

Fig. 6.38

e, posto βx = dx , dà luogo a :
ds

− grad f * × t = − 1 Ty y2 dx
2 Jx ds

ossia :

df* = 1 Ty y2 dx
ds −2 Jx ds

che, integrata lungo il contorno s della sezione, sulla quale si prende un punto
arbitrario come origine delle ascisse, dà :

( ) ∫f * 1 Ty s y2dx + k (6.142)
x, y = 2 Jx 0 su∂ A

con k costante arbitraria.
In conclusione, il problema, della flessione composta implica la determinazione

delle tre funzioni σzz ,σxz ,σyz .

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Cap. VI FLESSIONE COMPOSTA 4

Per quanto riguarda la σzz la soluzione è disponibile in forma chiusa ed è data
dalla (6.133) ; per quanto riguarda invece la determinazione delle tensioni tangenziali
σxz ,σyz , occorre risolvere il problema di Dirichelet generalizzato (6.140) e (6.142)

nella funzione incognita f *(x, y) :

 f * ( x, y ) = ν Ty x+ K in A
∇ 2 + Jx su ∂ A
 1 ν

 (6.143)
∫( )
 f * x, y = 1 Ty s
 2 Jx
y 2dx + k

0

È immediato constatare che il problema al contorno (6.143) così ottenuto, può

essere scisso nei due problemi nelle funzioni f *(x, y) e f T (x, y) :

∇2 f *(x, y) = K in A

 (6.144)

 f * = k su∂ A

 f T (x, y) = ν x in A
∇ 2 1+ su ∂ A
ν

 (6.145)
∫
f T (x, y) = 1 s y 2dx
 2 0


essendo chiaro che risulta :

f *(x, y) = f *(x, y) + Ty f T (x, y) (6.146)

Jx

Emerge così chiaramente che il problema della flessione composta, per quanto
attiene alla determinazione delle tensioni tangenziali, consta della somma dei due
contributi secondo la (6.146) ciascuno dei quali è ricondotto alla soluzione di un
problema di Dirichelet generalizzato. Si può poi prendere atto che il primo dei due
problemi, il (6.144), è identico a quello della torsione (6.48) e pertanto può essere

anche convertito in termini di funzione degli sforzi f (x, y) ovverosia di funzione di

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Cap. VI FLESSIONE COMPOSTA 5

ingobbamento ψ (x, y) secondo le (6.50) o le (6.59), pervenendo così allo stato di

tensione tangenziale che può essere espresso ad es. mediante le (6.57) :

( ) ( )τ M0 K ; K (6.147)
xz 2 2
= − ψ,x + y τ M0 = − ψ,y − x
yz

in cui sono stati adottati i simboli τ M0 e τ M0 per le tensioni tangenziali associate alla
xz yz

torsione, mentre si indicano con τT e τ T quelle associate al taglio che chiaramente
xz yz

saranno date dalle relazioni :

τT = − Ty f , T ; τT = Ty  f , T − 1 y2  (6.148)
xz Jx y yz Jx x 2

dedotte dalle (6.136) ove si tenga conto della posizione (6.146).
Le tensioni tangenziali (6.136) si otterranno semplicemente come somma delle

(6.147) e (6.148):

τ xz τ= M0 + τT (6.149)
xz yz

τ yz τ= M0 + τT
yz yz

ovverosia :

( )τxz K − Ty T
= − 2 ψ,x + y Jx f , y

K Ty  1 y2  (6.150)
2 Jx 2
( )τyz T
= − ψ,y − x + f , x −

Dalla torsione sappiamo che le tensioni tangenziali (6.147) hanno come unica

risultante un momento torcente, che ora indichiamo con M 0 e che per la (6.61) vale :
z

M 0 = K J0 (6.151)
z 2 q

Le tensioni tangenziali (6.148), associate al solo taglio, ammettono anch’esse,

come risultante oltre al taglio T1 un momento torcente M T , che si può calcolare
z

mediante :

∫( ) ∫ ( )MT= τ T − τT Ty  T + T 1 xy2  (6.152)
z yz x xz y dA = Jx  xf , x yf , y − 2  dA

A A

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Cap. VI FLESSIONE COMPOSTA 6

Per l’equilibrio della trave, essendo sulle basi M$ 3 = 0 , deve essere :

M 0 + M T = 0 (6.153)
z z

Questa relazione consente di determinare la costante K che compare sulla (6.151) :

∫ ( )K=−2J0M T = −2 J0 Ty  xf , T + yf , T − 1 xy 2  (6.154)
q z q Jx  x y 2  dA

A

Se, una volta risolto il problema al contorno (6.145) nella f T (x, y) , si assume per

la costante K proprio il valore dedotto dalla precedente (6.154), allora il momento
torcente risultante dalle tensioni tangenziali τxz e τyz date dalle (6.149) è nullo.

È interessante infine notare che in questo caso, unico fra quelli in cui è stato diviso
il problema di Saint-Venant, la soluzione (6.145) e quindi la distribuzione delle
tensioni tangenziali, dipende dal coefficiente di Poisson.

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Cap. VI FLESSIONE COMPOSTA 1

6.10.4 Centro di taglio

Da quanto esposto nel precedente punto 6.10.3, emerge che il problema del taglio
è rappresentato dalle (6.145) a cui resta associato lo stato di tensione tangenziale
(6.148).

Supponiamo che gli assi (x, y) siano assi principali di inerzia e perciò li

indicheremo con (ξ,η) e limitiamoci al caso in cui il taglio T , baricentrico, sia diretto

secondo l’asse η e quindi sia T = Tη (nella Fig. 6.39 è indicato anche il caso T=Tξ).

È facile provare che possiamo ricondurre questo caso alla somma dei due effetti
suggeriti dalle (6.149), come indicato nella figura 6.39.

Fig. 6.39

1° effetto

Se poniamo K=0 nelle (6.150), per la (6.151), risulta M 0 = 0. Lo stato di
z

tensione tangenziale, in tal caso, sarà quello corrispondente alle (6.148), che, come

abbiamo visto, ammette il momento torcente risultante M T dato dalla (6.152). Ciò
z

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Cap. VI FLESSIONE COMPOSTA 2

implica che il taglio Tη non passa per il baricentro ma presenta una eccentricità ξT (v.
fig. 6.39) data da :

ξT = M T (6.155)
z

Tη

2° effetto

Al 1° effetto occorre sommare quello torsionale prodotto dal momento torcente

M 0 dato dalla (6.151) che, per la (6.153) e la (6.155), vale :
z

M 0 = − M T = −Tη ξT
z z

a questo momento torcente resta associato lo stato di tensione tangenziale, tipico della
torsione, espresso dalle (6.147). Se ripetiamo lo stesso ragionamento con riferimento al
taglio baricentrico agente lungo l’altra direzione principale T = Tξ , giungeremo a

definire l’eccentricità ηT e quindi ad individuare il punto :

( )CT ≡ ξT ,ηT (6.156)

che prende il nome di centro di taglio.

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Cap. VI TEORIA APPROSSIMATA DEL TAGLIO 1

6.10.5 Teoria approssimata del taglio

Abbiamo visto che la ricerca delle tensioni tangenziali condotta, in via rigorosa,
attraverso la soluzione del problema al contorno (6.143) nella funzione incognita

f * (x, y) , avuto riguardo alle (6.136), presenta qualche difficoltà, anche per sezioni di

forma semplice.
Fortunatamente si dispone di una trattazione semplice, approssimata, dovuta a

D.J.Jourawski e perciò nota anche col nome di teoria di Jourawski, che rappresenta la
strada normalmente utilizzata nelle applicazioni per la determinazione delle tensioni
tangenziali.

Consideriamo una generica sezione della trave di Saint-Venant ed una corda BC
che la divida in due parti A1 e A2 .

Fig. 6.40

Assumiamo il riferimento intrinseco alla corda costituito dagli assi coordinati
ortogonali l, r con r rivolto verso A1 (v. fig. 6.40), ed esprimiamo l’equilibrio alla
traslazione lungo z del concio elementare di trave delimitato dai piani z, z + dz e
dall’elemento piano b dz (v. fig. 6.41).

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Cap. VI TEORIA APPROSSIMATA DEL TAGLIO 2

Fig. 6.41

A tale scopo si dovranno considerare le azioni dirette secondo l’asse z che si
esplicano sul concio elementare attraverso le superfici che lo delimitano e cioè le

superfici verticali A1(z), A1(z + dz) e quella staccata dalla corda b (bdz ).

Scriveremo perciò :

∫ ( ) ∫ ∫σzz + σzz,zdz dA − σzzdA − τrzdldz = 0

A1 A1 b

da cui segue :

∫ ∫τrzdl = σzz,zdA (6.157)
(6.158)
b A1

Dalla (6.133) segue che :

σ zz , z = Ty y
Jx

e quindi :

∫ ∫τrzdl = Ty ydA = Ty S1x
Jx Jx
b A1

in cui S1x indica il momento statico dell’area A1 rispetto all’asse neutro x .

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Cap. VI TEORIA APPROSSIMATA DEL TAGLIO 3

È immediato verificare che il primo membro della (6.157) rappresenta il flusso
ϕ (b) del vettore τz attraverso la corda BC , assunto positivo se entrante in A1 . Infatti
risulta :

ϕ(b) = ∫ (τz ⋅ r)dl = ∫ τzrdl (6.159)

bb

Se indichiamo con τzr il valor medio di τzr sulla corda BC , per definizione, si ha :

τ zr = ∫1 τ zr dl (6.160)
b
b

Sostituendo la (6.160) nella (6.158)), in virtù della reciprocità delle tensioni
tangenziali τzr = τrz , si ottiene la seguente formula di Jourawski:

τ zr = Ty S1x (6.161)
Jxb

nella quale i simboli riportati hanno il seguente significato :

Ty = componente del taglio T lungo l’asse di flessione ;

S1x = momento statico dell’area A1 rispetto all’asse neutro ;
Jx = momento di inerzia dell’intera sezione rispetto all’asse neutro ;
b = lunghezza della corda BC .

La (6.161) esprime, in una qualunque sezione retta del cilindro di Saint-Venant, la

media delle tensioni tangenziali che si esercitano sulla corda BC nella direzione r,
ortogonale alla medesima corda. Il metodo per giungere alla formula di Jourawski
(6.161) è del tutto indipendente dalla particolare corda prescelta, fermo restando che
essa deve essere tale da dividere in due parti la sezione della trave. Essa può perciò
essere costituita da più parti indipendenti ed avere forma poligonale o curvilinea. La
particolare forma della sezione potrà richiedere il ricorso a qualunque di queste corde.
Ad es. nel caso di sezioni a connessione multipla può risultare necessario tagliare la
sezione in più punti per dividerla in due parti.

La teoria di Jourawski è perfettamente lecita per determinare la tensione
tangenziale media τzr sulla corda b, diventa invece più o meno approssimata quando si

ipotizza di poter confondere, come si fa nelle applicazioni, tale media con il valore
locale :

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Cap. VI TEORIA APPROSSIMATA DEL TAGLIO 4

τzr = τzr (6.162)

Questa ipotesi è ammissibile nei casi in cui la lunghezza b sia tanto piccola da
poter ritenere che i valori di τzr alle estremità della corda differiscono di poco. Quando

invece si assume che :

τzr = τz = τz (6.163)

occorre accertarsi che, oltre all’ipotesi precedente sulla lunghezza della corda, le
tangenti al contorno alle estremità della corda siano ortogonali alla corda stessa. In tal
caso infatti risulta rigorosamente τzr = τz alle estremità di b, potendo ritenere che tale

uguaglianza sia sufficientemente verificata anche nei punti interni della corda, data la
sua piccolezza.

Tali osservazioni suggeriscono di scegliere, tra il fascio di corde passanti per il
punto P della sezione, quella che ottimizza la condizione di relativa piccolezza di b e
di ortogonalità delle tangenti al contorno alle estremità di b.

Si noti che, se anziché all’area A1 , ci si riferisce all’area complementare A2 , nella
(6.50) cambia il segno del momento statico S1x dal momento che :

S1x + S2x = 0 ⇒ S2x = −S1x (6.164)

e contemporaneamente cambia il verso di r che, per ipotesi, è entrante nell’area che si
considera.

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Cap. VI TEORIA APPROSSIMATA DEL TAGLIO 5

Il risultato è che il valore di τzr fornito dalla (6.161) è indifferente rispetto alla

scelta di una delle due aree in cui la corda b divide la sezione.
Merita infine rilevare che lo stato di tensione tangenziale ottenuto con la teoria

approssimata del taglio non dipende dal coefficiente di Poisson, contrariamente a
quanto richiesto dalla soluzione rigorosa.

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Cap. VI TEORIA APPROSSIMATA DEL TAGLIO 1

6.10.6 Teoria approssimata del taglio : sezioni simmetriche

Supponiamo che il taglio T agisca secondo un asse di simmetria della sezione che
perciò darà luogo ad una sollecitazione di taglio retto ; asse di sollecitazione ed asse di
flessione risultano coincidenti (v. fig. 6.42) .

Considerando corde parallele all’asse neutro x, la (6.161) e l’approssimazione
(6.162) forniscono :

τ zy = Ty S1x (6.164)
Jxb

Fig. 6.42

Sulla tensione tangenziale τzy espressa dalla (6.164) si osserva facilmente che :

1) τzy = τzy ( y) ovverosia la τzy non dipende da x ;

2) per Ty ≥ 0 risulta τzy ≥ 0 ;

3) τ (y1) = τ ( y2 ) = 0 ossia la τzy è nulla ai lembi della sezione ;

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Cap. VI TEORIA APPROSSIMATA DEL TAGLIO 2

4) il prodotto τzyb = Ty S1x attinge il valore massimo in corrispondenza della corda
Jx

baricentrica ;

5) La τzy raggiunge il valore massimo là dove risulta :

τzy, y = 0
ossia dove è verificata la condizione :

bS1x, y − S1xb, y = 0 (6.165)

dedotta dalla (6.164).
Dato che per y = 0 risulta S1x,y = 0 , se risulta anche b,y = 0 , allora è verificata la

(6.165) e possiamo concludere che la τzy prende il valore massimo sulla corda

baricentrica.

Va da sé che se b = b( y) presenta un massimo od un minimo in y = 0 , oppure è

costante nel suo intorno siamo nel caso ora descritto e la tensione tangenziale
raggiunge il valore massimo proprio sull’asse neutro. È questo il caso più frequente

nelle applicazioni. Ove però si tenga conto che b = b( y) può presentare degli

andamenti del tutto arbitrari, occorre confrontare il valore τzy(0) con eventuali altri

punti di massimo interni al dominio (− y2 ≤ )y ≤ y1 o eventuali punti di discontinuità

della funzione b = b( y) , come capita ad es. nella sezione di figura 6.43 dove si vede

chiaramente che il valore massimo della τzy non è raggiunto sulla corda baricentrica

che è sede invece di un massimo relativo.

Fig. 6.43
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Cap. VI TEORIA APPROSSIMATA DEL TAGLIO 3

Per le sezioni simmetriche sollecitate da T = Ty , come nel caso che stiamo qui

studiando, è anche possibile, con sole considerazioni di equilibrio, determinare, sui
punti delle corde b parallele all’asse neutro x, anche la τzx (v. fig. 6.44).

Infatti, scrivendo la terza equazione di Cauchy :

τzx,x + τzy, y + σzz,z = 0

derivando rispetto ad x e ricordando che gli ultimi 2 termini del primo membro sono
indipendenti da x , si ottiene :

τzx,xx = 0

da cui, integrando, si trova :

τzx = Ax + B (6.166)

Questo risultato mostra che il diagramma delle tensioni tangenziali τzx lungo la
corda b, ha andamento lineare.

CB

Fig. 6.44
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Cap. VI TEORIA APPROSSIMATA DEL TAGLIO 4

Le condizioni al contorno :

τzx  ± b  = mτzy tgβ
2

come si deduce immediatamente dal particolare riportato nella figura 6.44, permettono

poi di determinare le costanti di integrazione A e B e quindi di giungere alla seguente

espressione :

2tgβ (6.167)
τzx = − b τzy x

È immediato verificare che la tensione tangenziale totale τz nel generico punto P

della corda b è diretta secondo la congiungente PD , essendo D il punto di incontro
delle due tangenti al contorno nei punti di estremità della corda medesima, come
risulta dal particolare della figura 6.44. Per la supposta simmetria della sezione, il
punto D si troverà sull’asse y.

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Cap. VI FLESSIONE COMPOSTA 1

6.10.7 Caratteristiche di deformazione

Rinunciando allo studio puntuale della deformazione, che richiederebbe la
conoscenza del tensore della deformazione εij , limitiamoci a descrivere la
deformazione globale della sezione mediante le caratteristiche della deformazione.

La deformazione globale può vedersi come somma degli effetti deformativi
derivanti dal solo taglio e dalla sola flessione operando la separazione delle due
sollecitazioni, così come abbiamo già fatto nello studio tensionale.

Caratteristica di deformazione flessionale

Il momento flettente, per quanto visto al punto 6.10.2 induce una σ33, che, nel

riferimento principale (ξ,η) ha l’espressione (6.132) :

σ33 = Mξ η − Mη ξ
Jξ Jη

e nel riferimento, asse neutro-asse di flessione (x, y) ha l’espressione monomia

(6.133) :

σ33 = Mx y
Jx

dove, a differenza delle corrispondenti espressioni della flessione pura (6.16) e (6.20)
ora i momenti flettenti non sono costanti per tutta la trave.

È immediato da qui concludere che la σ33 indurrà una rotazione relativa fra due

sezioni a distanza dz , che può essere valutata mediante la (6.30) :

dϕx = Mx dz
EJ x

in cui però si deve tener presente che Mx non è costante ma variabile da sezione a
sezione secondo la relazione :

Mx = −Ty (l − z)

Si deduce così la seguente espressione della caratteristica della deformazione
flessionale :

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Cap. VI FLESSIONE COMPOSTA 2

kx = dϕx = Mx = Ty ( z − l) (6.168)
dz EJ x
EJ x

Caratteristica di deformazione tagliante

Per quanto riguarda il taglio T, ovvero le tensioni tangenziali τz , si può osservare
che esse inducono, in un concio elementare di trave dz, uno scorrimento relativo fra le
due facce, in direzione ortogonale all’asse z, di entità dvγ , accompagnato da
ingobbamento della sezione (le sezioni quindi non restano piane).

Essendo interessati al movimento globale della sezione, descriveremo tale
movimento di traslazione mediante la caratteristica della deformazione tagliante ρy

definita come la traslazione relativa di due sezioni poste a distanza unitaria, ossia :

ρy = dvγ (6.169)
dz

In maniera perfettamente analoga e con ovvio significato dei simboli si

definiscono le caratteristiche di deformazione tagliante nel riferimento principale

(ξ,η) :

ρξ = duξγ ρη = duηγ (6.170)
dz dz

D’altra parte, il lavoro di deformazione associato alle tensioni tangenziali nel
concio elementare della figura precedente è dato da :

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Cap. VI FLESSIONE COMPOSTA 3

1 1  τ zx τ zy 
2 σijεijdA 2  2G 2G 
∫ ∫ ∫dLd = = 2τ + 2τzy
= dz ΦdA dz dz zx dA =

A A A

∫( )=dz τ2 + τ2 dA
2G zx zy

A

Se la geometria della sezione supposta simmetrica e sollecitata, per semplicità, da
T = Ty con y asse di flessione (v. punto 6.10.5) è tale per cui sia lecito assumere

τ zx = 0 , sostituendo nella precedente espressione la τzy ottenuta ricorrendo alla

formula di Jourawski (6.164) si perviene a :

∫dLd = dz τ S2 2 dA (6.171)
2G zy 1x

A Jx2b2

In virtù del teorema di Clapeyron si ha anche (vedi figura precedente) :

dLd = 1 Ty ρ y dz (6.172)
2

e quindi, uguagliando le due espressioni di dLd così ottenute, si trova la seguente
espressione di ρy :

∫ ∫1 dz Ty2 S2 ⇒ Ty S2
2G 1x 1x
2
Ty ρydz = J 2 b2 dA ρy = GJ 2 b2 dA
x x
A A

che, con la posizione :

∫χ y = A S2 dA (6.173)
1x
J 2 A
x b2

assume la forma semplificata :

ρy = χy Ty (6.174)
GA

La quantità adimensionale χ y prende il nome di fattore di taglio nella direzione y
e si può dimostrare che dipende unicamente dalla forma della sezione.

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Cap. VI FLESSIONE COMPOSTA 4

Inoltre si dimostra che :
χy ≥1.

Se, ferma restando l’ipotesi di simmetria della sezione e di T = Ty con y asse di

flessione, si rimuove invece l’ipotesi semplificativa τzx = 0, l’espressione del lavoro di
deformazione (6.171), per la (6.167), diviene :

∫dLd = dz τ 2 1 + 4 tg2β x2  dA
2G zy b2

A

che, con facili passaggi, porta a :

dz Ty y1 1 + 1  S2
∫dLd= 2G 3 tg 2 β 1x dy
− y2 b
J 2
x

e, dal confronto con la (6.172) si giunge alla medesima espressione (6.174) per la
ρy , dove però il fattore di taglio χ y ha ora l’espressione :

A y1 1 1  S2
∫χ y= − y2 + 3 tg 2β 1x dy (6.175)
J 2 b
x

Si noti che la ipotizzata simmetria ortogonale della sezione e dell’azione tagliante
rispetto all’asse y, che è asse di sollecitazione e di flessione, implica che siano nulli gli
scorrimenti nella direzione dell’asse x.

È bene ricordare che l’espressione (6.174) della caratteristica di deformazione
tagliante :

ρy = χy Ty
GA

è stata determinata nell’ipotesi che y sia un asse di simmetria ortogonale e che l’asse di
sollecitazione coincida con esso, ossia che T = Ty .

Ove ciò non fosse, l’espressione della caratteristica di deformazione tagliante si

modifica e, nel riferimento principale di inerzia (ξ,η) si dimostra che essa si esprime

mediante le due componenti nelle direzioni principali ρξ e ρη date da :

ρξ = χξ Tξ + χξη Tη ; ρη = χη Tη + χξη Tξ (6.176)
GA GA GA GA

dove i fattori adimensionali χξ , χη , χξη dipendono dalla forma della sezione.

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Cap. VI FLESSIONE COMPOSTA 1

6.10.8 Lavoro di deformazione

Con riferimento al caso di sezione simmetrica, con y asse di simmetria e di

( )sollecitazione T = Ty , possiamo esprimere il lavoro di deformazione, per il teorema di

Clapeyron, come somma di due contributi :

Ldfl = 1 fM Ltdg = 1 fT (6.177)
2 Ty 2 Ty

essendo f M la freccia prodotta dal momento flettente ed fT quella prodotta dal taglio,
pensando, come abbiamo già detto di poter idealmente separare le due sollecitazioni.

È poi evidente che il primo contributo Ldfl potrà calcolarsi mediante :

1 1 σ zz
2 σ zzεzz dV 2 σ zz E

V V
∫ ∫Ldfl= = dV =

∫ ∫ ∫1 1 M 2 1 Ty2 (l − z)2
2E x 2E
= 2E
σ 2 dV = J 2 y 2dV = J 2 y2dAdz =
zz x x

VV V

67J x 8

Ty2 l Ty2  1 z)3  l Ty2 l3 Ty2l3
2 EJ x  3  0 2 EJ x 3 6 EJ x
y2dA (l − z)2 dz

A0
2∫ ∫= 2 = (l − = = (6.178)
EJ x

mentre il secondo contributo, per la (6.172) e la (6.174) si potrà esprimere mediante :

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Cap. 6.11 LA TEORIA TECNICA DELLE TRAVI 6

A questa deformazione non si associa alcuno stato di tensione. In altri termini la deformazione
termica si esplica liberamente, producendo soltanto un effetto deformativo descritto dalla
(6.210).

Ammettendo che eϑ sia funzione della sola variazione di temperatura, ossia

eϑ = eϑ (ϑ ) (6.211)
e che, se la deformazione termica è reversibile, dovrà risultare

eϑ (0) = 0 . (6.212)

nell'ipotesi che la variazione di temperatura ϑ sia piccola rispetto alla temperatura iniziale
Tini (in pratica dell'ordine di qualche decina di °C), si può porre

eϑ = eϑ (ϑ ) = αϑ (6.213)

dove α prende il nome di coefficiente di dilatazione termica (lineare) ed è una grandezza
caratteristica di ogni materiale.

Qui di seguito vengono riportati alcuni valori di α riferiti ai materiali più noti nelle
costruzioni.

Come si può notare, le deformazioni termiche sono molto piccole e, nell'ambito di validità
della (6.213), risultano dello stesso ordine di grandezza di quelle elastiche.

Acciaio α = 12 x 10-6 °C-1

Alluminio α = 24 x 10-6 °C-1

Calcestruzzo α = 10 x 10-6 °C-1

Laterizio α = 6 x 10-6 °C-1

In presenza di deformazioni elastiche e termiche possiamo, sovrapponendo gli effetti,
esprimere la deformazione totale mediante:

ε ij = eϑδ ij + ε e = εϑδ ij + K σijhl hl (6.214)
ij

dove la seconda eguaglianza trae origine dalla circostanza che lo stato di tensione σ ij è

prodotto dalle sole deformazioni elastiche εe e dove K ijhl è il tensore inverso d'elasticità.
ij

Se dall'elemento infinitesimo di materiale passiamo a considerare un corpo di dimensioni
finite, ammettiamo che, per variazioni termiche ϑ di modesta entità, si possa ritenere che non
ci sia interazione tra deformazioni elastiche e termiche. Facciamo cioè l'ipotesi che la
deformazione non influenzi la distribuzione delle temperature del corpo stesso e che in

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Cap. 6.11 LA TEORIA TECNICA DELLE TRAVI 7

sostanza i due fenomeni, elastico e termico, siano disaccoppiati. In tal caso possiamo ritenere
che la le costanti elastiche non dipendano da ϑ .

Supponiamo inoltre che sul corpo non agiscano né forze di volume né forze superficiali allo
stato naturale.

Si possono presentare due casi:

(a) le deformazioni termiche ε ϑ ( x h ) sono congruenti sia internamente sia esternamente
ij

(b) le deformazioni termiche ε ϑ (xh ) non sono congruenti.
ij

Nel caso (a) il corpo subisce una semplice deformazione non accompagnata da tensioni. È
questo il caso delle strutture isostatiche.

Nel caso (b) è evidente che la deformazione totale non può coincidere con ε ϑ ( x h ) e perciò
ij

dovrà nascere nel corpo uno stato di tensione σ ij che a sua volta produrrà una εij tale che la

deformazione totale

ε ij = ε ϑ + ε ij (6.215)
ij

sia rispettosa della congruenza. La deformazione εij è di natura elastica e pertanto sarà legata
alla σ ij dalla ben nota relazione

σ ij = Cijhl ε hl (6.216)

dove Cijhl rappresenta il tensore d'elasticità. Si noti che le σ ij , come tutte le autotensioni,

sono autoequilibrate. Questa condizione insieme con la (6.216) rendono determinato il
problema della ricerca della coazioni termiche.

Alcuni esempi valgono a chiarire i concetti qui espressi.

Trave semplicemente appoggiata con variazione termica uniforme:

Esempio 1 (trave isostatica)
ϑ >0

La variazione termica comporta un semplice
allungamento della trave pari a ∆l = α lϑ

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Cap. 6.11 LA TEORIA TECNICA DELLE TRAVI 8

Esempio 2 (trave iperstatica) Il libero allungamento dell’asta (2), la
sola interessata dalla variazione termica
1 ϑ >0, è impedito dalla presenza delle
2 ϑ >0 aste (1) e (3), ossia non rispetta la
3 congruenza, quindi nasceranno delle
coazioni σ ij che ristabiliranno la

congruenza della deformazione totale.

6.11.5. Caratteristiche della deformazione termica nelle travi.

Consideriamo un concio elementare di trave soggetto a variazione termica ϑ e
supponiamo che all'interno della trave la variazione termica assuma valori linearmente
compresi tra quelli, noti, in superficie.

a) Variazione termica uniforme

z+ dw = αϑ0ds ρz = dw = αϑ0 (6.217)
ϑ0 ds

ds dw

b) Variazione termica con valore nullo al baricentro
(ξ , η assi principali centrali di inerzia della sezione)

La rotazione relativa fra le due sezioni estreme del concio elementare è data da :

dϕξ ϑ2η dϕξ = αϑ1η ds − αϑ2η ds = α ϑ1η −ϑ2η ds
hη hη hη

z

ds dw ϑ1η
η

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Cap. 6.11 LA TEORIA TECNICA DELLE TRAVI 9

e di conseguenza la caratteristica della deformazione vale:

kξ = α ϑ1η − ϑ2η (6.218)
hη

ed analogamente, con riferimento alla rotazione intorno all’altro asse principaleη , con ovvio

significato dei simboli, si trova:

kη = α ϑ1ξ −ϑ2ξ (6.219)
hξ

I due a) e b) casi ora studiati coprono tutte le situazioni in quanto una qualunque variazione
termica lineare si può sempre scomporre nella somma di due variazioni tipo a) e b) come
schematicamente indicato nella seguente figura:

ϑ1 ϑ1η

ϑ0 z = ϑ0 +

ϑ2 ϑ2η

In conclusione, le caratteristiche di deformazione, tenendo conto delle sollecitazioni termiche,
valgono:

ρz = N + αϑ0 ρξ = χξ Tξ ρη = χη Tη
EA GA GA

(6.220)

kξ = Mξ + α ϑ1η −ϑ2η kη = Mη + α ϑ1ξ −ϑ2ξ kz =q Mz
EJ ξ hη EJ η hξ GJ 0

6.11.6. Il lavoro virtuale esterno nelle travi

A questo punto è immediato scrivere l'espressione del lavoro virtuale esterno nel caso delle
travi, ricordando di annoverare fra le forze esterne anche le reazioni vincolari che possono
compiere un lavoro nel caso siano sede di cedimento. Con ovvio significato dei simboli e con
riferimento alla Fig. 6.52 si perviene alla seguente espressione:

∑ ∑ ∑ ∑L*e = F iu*i + M ϕi *i + Riu*iC + M iϕ *iC (6.221)

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Cap.7 SPOSTAMENTI E ROTAZIONI NELLE TRAVATURE - LE TRAVI INFLESSE 1

7. SPOSTAMENTI E ROTAZIONI NELLE TRAVATURE.
LE TRAVI INFLESSE

INDICE

7.1. Ricerca di spostamenti e rotazioni.
7.1.1. Caso soli carichi espliciti.
7.1.2. Caso sole variazioni termiche.
7.1.3. Caso soli cedimenti vincolari.

7.2. Travi inflesse
7.2.1. Generalità
7.2.2. Equazioni indefinite di equilibrio
7.2.3. Linea elastica
7.2.4. Linea elastica in presenza di discontinuità
7.2.5. Il teorema ed il corollario di Mohr
7.2.6. Influenza del taglio sulla deformazione

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Cap.7 SPOSTAMENTI E ROTAZIONI NELLE TRAVATURE - LE TRAVI INFLESSE 2

7. RICERCA DI SPOSTAMENTI E ROTAZIONI NELLE TRAVATURE.

Abbiamo visto, nel paragrafo 6.11., che, nel caso delle travi, il lavoro virtuale esterno è
espresso da (v. 6.221):

∑ ∑ ∑ ∑L*e = F iu*i + M iϕ *i + Riu*iC + M iϕ *iC

e quello interno da (vedi 6.207):

∫L*i = Nρ * + Mξ kξ* + Mη kη* + Tξ ρξ* + Tη ρη* + M z k * )ds
z z

s

dove Fi , Mi , Ri , MI indicano sinteticamente tutte le forze applicate sulla trave, u*i , u*i ,

ϕ *i , u*iC , ϕ *iC i movimenti dei punti di applicazione delle predette forze, N , Tξ , Tη , Mξ ,

Mη , Mz le caratteristiche della sollecitazione, ed infine ρ * , ρξ* , ρη* , kξ* , kη* , k * le
z z

caratteristiche di deformazione. Inoltre ξ,η sono gli assi principali centrali di inerzia della

sezione ed s è la linea d'asse della trave.

Se, con riferimento alla trave di fig. 7.1, il sistema di forze Fi , Mi , Ri , MI , e di

sollecitazioni N , Tξ , Tη , Mξ , Mη , M z ,

Ri

R1 Fi Mi
f F1
s Rj

η

R2

Fig. 7.1. Trave genericamente caricata e vincolata

risulta equilibrato e, se il generico sistema di spostamenti u*i , u*i , ϕ *i , u*iC , ϕ *iC e

deformazioni ρ * , ρξ* , ρη* , kξ* , kη* , k * riferito alla medesima trave, è congruente, come è
z z

noto, vale l'uguaglianza:

∑ ∑ ∑ ∑F iu*i + M ϕi *i + Riu*iC + M iϕ *iC =

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