MeccContinui_ScienzadelleCostruzioni_Liro

Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. PIANI, DIREZIONI E TENSIONI PRINCIPALI 1

3.7 PIANI, DIREZIONI E TENSIONI PRINCIPALI

Nella stella di piani intorno al punto P, è possibile individuarne alcuni che

godono di particolari proprietà. Fra questi, i più interessanti sono i piani per i quali il

vettore tensione risulta parallelo alla normale n al medesimo piano e, di conseguenza,

sui quali la tensione tangenziale τ n è nulla.

Questi piani sono detti piani principali e le direzioni normali da essi individuate
sono dette direzioni principali.

Se n è una direzione principale vuol dire che, per la definizione sopra data, si può
porre :

t = σn (3.36)
n

in cui σ è il modulo di t e, con notazione ormai consueta e ricordando la (3.21) :
n

tnj = σij αi = σ αj (i, j = 1, 2, 3) (3.37)
Kronecker
da cui, ricordando il significato del simbolo di
δ i j , (δ i j = 1 quando i = j e δ i j = 0 quando i ≠ j) , si perviene a :

σ ij α i − σ α i δij = 0 (i, j = 1, 2, 3)

ossia

( )σ i j − σ δ i j α i = 0 (i, j = 1, 2, 3) (3.38)

Si è così pervenuti ad un sistema omogeneo di 3 equazioni nelle 3 incognite
α1 ,α 2 ,α 3 , le quali, per essere dei coseni direttori, non possono essere tutti nulli e di

conseguenza ciò porta ad escludere la soluzione banale e dovrà perciò risultare
soddisfatta la condizione:

( )Det σ i j − σ δi j = 0

che, scritta esplicitamente, fornisce:

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. PIANI, DIREZIONI E TENSIONI PRINCIPALI 2

σ 11 − σ σ 21 σ 31 =0 (3.39)
σ 12 σ 22 − σ σ 32
σ 13 σ 33 − σ
σ 23

che è l'equazione caratteristica del tensore σ i j . Si tratta, come è noto, di

un'equazione di terzo grado in σ, che, introdotta da Lagrange (3.1) , conosciuta anche
col nome di equazione secolare, possiede sempre radici reali σ I ,σ II ,σ III , che
rappresentano le tensioni principali.

Se si sviluppa la (3.39) si ottiene la forma esplicita dell'equazione caratteristica del
tensore σ i j :

σ 3 − I1 σ 2 − I2 σ − I3 = 0 (3.40)
(3.41)
in cui

I1 = σ 11 + σ 22 + σ 33

I2 = σ 11 σ 22 − σ2 + σ 22 σ 33 − σ2 + σ 33 σ 11 − σ2
12 23 31

I 3 = Det σ i j

sono, rispettivamente, gli invarianti (3.2) di primo, secondo e terzo ordine.

(3.1) Giuseppe Luigi Lagrange (1736-1813), nato a Torino, matematico; ebbe alte cariche scientifiche a Berlino
e a Parigi; grande studioso della meccanica, di cui fornì importanti e definitivi contributi.

(3.2) I valori di queste grandezze rimangono inalterati qualunque sia il sistema di riferimento adottato.
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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. RICERCA DELLE DIREZIONI PRINCIPALI 1

3.7.1 Ricerca delle Direzioni Principali

Sostituendo, una alla volta, le tensioni principali σ I ,σ II ,σ III , in (3.38), si
ottengono 3 terne di coseni direttori che individuano le 3 direzioni principali e cioè:

a σI corrisponde la direzione α I ,α I ,α I
1 2 3

a σ II corrisponde la direzione α II ,α II ,α II
1 2 3

a σ III corrisponde la direzione α III ,α III ,α III
1 2 3

Si dimostra facilmente che le 3 direzioni principali formano una terna ortogonale.
Inoltre si vede subito che:

- se le 3 radici di (3.39) sono distinte la terna principale sarà univocamente
determinata;

- se si hanno due radici coincidenti risulteranno indeterminate le due direzioni
principali nel piano ortogonale alla terza direzione;

- se tutte le radici coincidono rimangono indeterminate tutte e tre le direzioni
principali. Di conseguenza ogni direzione è principale e ciò significa che su qualunque
elemento piano si esercita la stessa tensione, sempre diretta secondo n, come accade
nei fluidi perfetti (principio di Pascal).

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. PROPRIETÀ DI ESTREMO DELLE TENSIONI PRINCIPALI 1

3.7.2 Proprietà di Estremo delle Tensioni Principali

Una strada alternativa per la ricerca delle tensioni principali σ I ,σ II ,σ III , discende

dalla circostanza che, tra tutte le componenti di tensione, quelle principali godono di
una proprietà di estremo.

Infatti se interpretiamo la legge di trasformazione delle componenti del tensore
σ i j (3.35) come funzione dei coseni direttori α h i e se ricordiamo la condizione di

ortogonalità:

α hi α kj δ ij = δ hk

la condizione di stazionarietà per la σ h′k può ricondursi ad un problema di
stazionarietà libero per la funzione

( ) ( )f α h i , λ = σ i j α h i α k j − λ α h i α k j δ i j − δ h k (3.42)

in cui λ rappresenta un opportuno moltiplicatore di Lagrange. Supposte verificate tutte
le condizioni di continuità richieste, la condizione di estremo è facilmente ottenuta

annullando le derivate della f (α h i , λ ) rispetto agli α h i supposti indipendenti e

rispetto al moltiplicatore λ.
Si ottiene:

( )∂ f

∂α h i
= σ ij α kj − λ α kj δ ij = σ ij − λ δ ij α kj = 0 (3.43)

∂f = δ hk − α hi α kj δ ij (3.44)
∂λ

E' immediato osservare che la (3.43) coincide con la (3.38), mentre la (3.44)
esprime la condizione di ortogonalità.

In particolare i 3 valori λ I , λ II , λ III che rendono stazionaria la

f (α h i , λ ) coincidono con le 3 tensioni principali σ I ,σ II ,σ III .

Delle 3 tensioni principali una è massima, una è minima ed una è semplicemente
stazionaria. Di solito le 3 tensioni principali vengono ordinate nel seguente modo:

σ I ≥ σ II ≥ σ III .

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. STATI DI TENSIONE MONO, BI E TRI-ASSIALI 1

3.8 STATI DI TENSIONE MONO, BI E TRI-ASSIALI

Gli stati di tensione possono essere classificati in base al numero di tensioni
principali diverse da zero. Più precisamente uno stato di tensione si definisce
monoassiale, biassiale oppure triassiale a seconda che vi siano due, una, oppure
nessuna tensione principale diversa da zero. È evidente che tale classificazione
discende immediatamente dall’esame dei coefficienti dell’equazione secolare :

σ 3 − I1 σ 2 − I2 σ − I3 = 0 (3.45)

senza che sia necessario risolverla. Infatti è facile verificare che :

se I3 ≠ 0 lo stato di tensione è triassiale ;

se I3 = 0 & I2 ≠ 0 , lo stato di tensione è biassiale ;
e infine se I2 = 0 & I3 = 0 & I1 ≠ 0, lo stato di tensione è monoassiale.

Si può infine osservare che nel caso monoassiale il vettore tensione tn relativo a
qualunque elemento piano risulta sempre parallelo ad una medesima direzione, mentre
nel caso biassiale risulta appartenente sempre ad una medesimo piano, che prende il
nome di piano delle tensioni. Se in tutti i punti di un solido i piani delle tensioni sono
paralleli ad una medesima giacitura, si dirà che il solido è soggetto ad uno stato piano
di tensione.

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. LINEE ISOSTATICHE 1

3.9 LINEE ISOSTATICHE

Escludendo i casi di indeterminazione ricordati al paragrafo 3.7.1. , in ogni punto
del continuo si individua una terna di direzioni principali relativa ad altrettanti piani
principali sui quali agiscono soltanto tensioni normali. In generale da punto a punto del
continuo la terna sarà diversamente orientata. E' così possibile individuare tre famiglie
di curve inviluppo delle tre direzioni principali in ogni punto che sono dette linee
isostatiche.

Ne discende che, lungo le direzioni individuate dalle linee isostatiche, si hanno,
per definizione, soltanto tensioni normali e la materia risulta perciò semplicemente
tesa o compressa. Se si potesse concentrare la materia che costituisce il continuo lungo
le linee isostatiche si realizzerebbe una specie di tessuto fibroso sollecitato
esclusivamente da trazioni o da compressioni, senza tensioni tangenziali che di solito,
impegnano il materiale in modo più sfavorevole.

In natura esistono esempi interessanti di strutture nelle quali la materia è proprio
disposta lungo le linee isostatiche.

Ad esempio il tessuto spugnoso che costituisce le ossa (trabecole ossee) presenta
un'architettura tutt'altro che casuale; essa è infatti conformata all'andamento delle linee
isostatiche corrispondenti alla sollecitazione prevalente a cui sono assoggettate (v. Fig.
3.11). A ciò va indubbiamente attribuita la notevole resistenza da esse posseduta in
rapporto al peso di materiale che le costituisce.

Fig. 3.11: Trabecole ossee: "disposizione ottimale della materia".
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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. LINEE ISOSTATICHE 2

Anche nel campo dell'ingegneria strutturale vi sono alcune importanti applicazioni
nelle quali, disponendo la materia il più possibile lungo le traiettorie isostatiche, si
cerca di realizzare quanto la natura fa spontaneamente: individuazione di schemi
reticolari all'interno di strutture complesse, forme particolari di gusci che richiamano
quelle di alcuni animali, disposizione della armature all'interno delle strutture in
cemento armato.

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. DEVIATORE DI TENSIONE 1

3.10 DEVIATORE DI TENSIONE

Il tensore delle tensioni, come tutti i tensori del secondo ordine, può essere
scomposto additivamente i due parti, rispettivamente denominate parte sferica e parte
deviatorica nel seguente modo:

σ i j = σm δ i j + s i j (3.46)
(3.47)
dove si j , per definizione, è tale che
si jδi j = s11 + s22 + s33 = 0 .

Risulta pertanto :

σ i jδi j = σ mδi jδi j

( )σ 11 + σ 22 + σ 33 = 3σ m

da cui :

( )σ 1
m = 3 σ 11 + σ 22 + σ 33

ossia σ m è la media delle tensioni normali.
Dalle (3.46) si deduce immediatamente:

sij = σ i j −σm δ ij (3.48)

che, in forma esplicita, si può scrivere:

sij = σ 11 − σ m σ 12 σ 13 (3.49)
σ 21 σ 22 − σ m σ 23
σ 31 σ 33 − σ m
σ 32

da cui, essendo s i j = σ i j per i ≠ j , si deduce che le direzioni principali del deviatore

coincidono con quelle del tensore, mentre è facile verificare, che i valori principali di
s i j sono dati da:

sI = σ I − σ m ; sII = σ II − σ m ; sIII = σ III − σ m (3.50)

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. DEVIATORE DI TENSIONE 2

Inoltre, con facili passaggi, si perviene ai seguenti valori per gli invarianti secondo
e terzo del deviatore:

1 -1
2 sij sij 2
-( )J2 = = s 2 + s 2 + s 2 + 2 s 2 + 2 s 2 + 2 s 2 (3.51)
11 22 33 12 23 31

J3 = Det s i j (3.52)
(3.53)
ed alle loro espressioni in termini di componenti principali: (3.54)

( )J2 =-1 s 2 + s 2 + s2
2 I II III

( )J3 =1 s 3 + s 3 + s3
3 I II III

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. RAPPRESENTAZIONE DELLO STATO DI TENSIONE 1

3.11 RAPPRESENTAZIONE DELLO STATO DI TENSIONE

Lo stato di tensione, in quanto individuato da un tensore doppio simmetrico, è
suscettibile di alcune rappresentazioni geometriche fra le quali presenta un particolare
interesse applicativo quella introdotta da Otto Mohr (3.1) , che ora ci si accinge a
descrivere, con riferimento agli elementi piani appartenenti ad un medesimo fascio di

sostegno una qualsiasi retta x3 (v. Fig.3). Il generico piano πn di questo fascio è

individuato dall'angolo φ che n forma con l'asse x1.

ν

Fig. 3.12. - Fascio di piani di sostegno x3.

Se α1 , α2 e α3 sono i coseni direttori di n sussistono le seguenti relazioni:

(3.1) Otto Mohr (1835-1918) nasce a Wesselburen (Holstein). Studia e si diploma al Politecnico di Hannover. In
seguito si dedica alla ricerca e all'attività professionale in un campo, quello delle costruzioni metalliche, che
rappresenta una novità nella Germania di questo periodo. Ben presto, all'età di 32 anni, viene chiamato
all'insegnamento al Politecnico di Stoccarda dove ricopre l'incarico dal 1868 al 1873 quando passa a Dresda; qui
rimane sino alla fine della sua carriera. E' un professore molto ammirato ed è per anni un vero pilastro della
cultura scientifico-tecnica tedesca, egemone in Europa, sino alla prima guerra mondiale. Si può dire che i suoi
Beiträge, pubblicati solitamente nella "Zeitschrift des Architekten und Ingenieur Vereins" di Hannover, formano
la moderna Scienza delle Costruzioni.

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. RAPPRESENTAZIONE DELLO STATO DI TENSIONE 2

α1 = c os φ ; α 2 = s i nφ; α3 = 0

Se si sceglie il versore tangente v , individuato dai coseni direttori (β1 , β2 , β3 ) ,

in maniera che la coppia d'assi ortogonali (n , v) sia sovrapponibile agli assi del

riferimento (x1 , x2 ) , è facile verificare che:

β1 = c o s(9 0 + φ) = -s i nφ; β2 = c o s φ; β3 = 0

Con tali posizioni, le componenti normali e tangenziali del vettore tensione su

πn , ricordando le formule (3.31), risultano:

σ n n = σ i j α i α j = σ 11 cos2 φ + σ 22 sin2 φ + 2 σ 12 sin φ cos φ =

( )= 1 1 1
2 σ 11 cos2 φ + 2 σ 11 1 − sin2 φ + 2 σ 22 sin 2 φ +

( )+ 1
2 σ 22 1 − cos2 φ + σ 12 sin 2 φ =

( )( )= 1 1
2 σ 11 + σ 22 + 2 σ 11 cos2 φ − sin2 φ −

( )- 1
2
σ 22 cos2 φ − sin2 φ + σ 12 sin 2 φ

da cui

( ) ( )σ nn =1 1 + σ 12 sin 2 φ
2 σ 11 + σ 22 + 2 σ 11 − σ 22 cos 2 φ (3.55)

Inoltre = σi j α i β j = -σ11s i n φ c o s φ + σ 22s i n φ c o s φ +
+ σ12 c o s 2 φ - σ 21s i n 2 φ
τn v

da cui :

( )τ nv = 1 + σ 12 cos 2 φ
− 2 σ 11 − σ 22 sin 2 φ (3.56)

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. COSTRUZIONE GRAFICA DELLA CIRCONFERENZA DI MOHR 1

3.11.1 Costruzione grafica della circonferenza di Mohr
E' facile provare che le espressioni trovate nel paragrafo precedente per σ n n e per

τ n ν sono le equazioni parametriche di una circonferenza nel piano (σ n n , τn ν ) .

Infatti, eliminando il parametro φ dalle (3.55) e (3.56), si perviene all'equazione:

2 2
 + σ 11 − σ 22 
 1 σ 11 + σ 22 τ2 = 1 + σ2 (3.57)
2 nν  2 12
( ) ( )σ n n −

che nel, riferimento (σ n n , τ n ν ) , è appunto l'equazione di una circonferenza di

centro C e raggio R , dati da:

1

C ≡ 21 (σ 11 + σ 22 ) ,  R =  1 (σ 11 − σ ) 2 + σ 2  2 (3.58)
0 ;  2 12 
22 

Questa circonferenza è nota come circonferenza di Mohr ed il piano

(σ n n , τ n ν ) viene più sinteticamente indicato con (σ, τ).

Si ricorda che nel linguaggio tecnico σ è sinonimo di tensione normale, mentre τ
lo è di tensione tangenziale.

La costruzione di questo cerchio nel piano (σ, τ) è immediata (v. Fig. 3.13). Basta
infatti riportare sull'asse delle ascisse σ i punti rappresentativi di σ 11 e σ 22 e
sull'asse delle ordinate τ il punto rappresentativo di σ 12 ed eseguire la costruzione
indicata nella stessa figura.

Ricordando che le espressioni (3.55) e (3.56) sono la versione parametrica della
circonferenza (3.57), si può affermare che il punto rappresentativo delle componenti

σ n n , τ n ν descrive una circonferenza al variare di φ da 0 a 2π. Si è stabilita così una

corrispondenza tra gli elementi piani del fascio di sostegno x3 ed i punti della
circonferenza di Mohr.

Per dimostrare che questa corrispondenza è biunivoca, basta far vedere che il
generico punto S della circonferenza di Mohr, individuato mandando da

P ≡ (σ 11 , − σ 12 ) , detto polo della rappresentazione, la parallela alla traccia del
piano πn , ha proprio come coordinate (σ n n , τn ν ) . Infatti, moltiplicando

l'espressione (3.55) di σ n n per cos φ e la (3.56) di τ n ν per sin φ si ottiene:

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. COSTRUZIONE GRAFICA DELLA CIRCONFERENZA DI MOHR 2

Fig. 3.13: Costruzione del cerchio di Mohr.

σ n n cos φ = σ 11 cos3 φ + σ 22 sin 2φ cos φ + 2 σ 12 sin φ cos2φ

τn ν sin φ = − σ 11 sin2φ cos φ + σ 22 sin 2φ cos φ +

+ σ 12 sin φ cos2φ − σ 21 sin3φ

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. COSTRUZIONE GRAFICA DELLA CIRCONFERENZA DI MOHR 3

e, sottraendo membro a membro e dividendo il risultato per cos φ , si perviene
all'espressione:

σ n n − τn ν tg φ = σ 11 + σ 12 tg φ (3.59)

la quale dimostra, come si può dedurre dalla Fig. 3.13, che le coordinate di S sono

proprio la tensione normale σ n n e tangenziale τ n ν dell'elemento piano πn .

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. CIRCONFERENZE PRINCIPALI DI MOHR 1

3.11.2 Circonferenze principali di Mohr

E' importante osservare, a questo punto, che se la direzione x3 è principale, ed in

tal caso la indichiamo con ζ, la tensione tangenziale τ n ν è la tensione tangenziale

totale su πn ; il fascio di piani si chiamerà fascio principale e la circonferenza di

Mohr associata prende il nome di circonferenza principale relativa alla direzione
principale ζ.

E' facile ora, dopo aver costruito la circonferenza principale associata a ζ, con gli
elementi base σ 11 , σ 22 , σ 12 , individuare le altre due direzioni principali (ξ, η) e le
relative tensioni principali σ ξ ≡ σ I e σ η ≡ σ II .

Basta infatti proiettare dal polo della rappresentazione P i punti S I e S II (v.
Fig. 3.14) per individuare i piani principali e quindi le direzioni principali e misurare le
ascisse OS I e OS II per ottenere le espressioni delle tensioni principali:

1

OC + R ≡ 1 (σ 11 )σ 22  21 (σ 11 )σ 2  2
2  
σξ ≡σ I = + + − 22 + σ 2
12

(3.60)

1

OC − R ≡ 1  1  2  2
2 2  
( () )σ η 2
≡ σ II = σ 11 + σ 22 − σ 11 − σ 22 + σ 12

Inoltre, annullando la espressione (3.56) di τ n ν si trova che la direzione

principale ξ è individuata dall'angolo φ 0 dato da:

tg 2φ 0 = 2σ 12 (3.61)
σ 11 − σ 22

Le tensioni tangenziali massime, rappresentate dai punti T1 e T2 (v. Fig. 3.15),
valgono:

τ1  = ± σI − σ II = ±1 ( )σ 11 − σ 22 2 + 4σ 12 (3.62)
τ2  2
2

e gli elementi piani su cui agiscono sono individuati dall'angolo:

tg 2φ T = − σ 11 − σ 22 (3.63)
2σ 12

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. CIRCONFERENZE PRINCIPALI DI MOHR 2

Fig. 3.14: Tensione normale e tensione tangenziale sul piano di Mohr.

che è ottenuto imponendo, nella (3.55), a σ n n il valore

σnn = σ 11 + σ 22
2

e risolvendo quindi rispetto a φ.

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. CIRCONFERENZE PRINCIPALI DI MOHR 3
Fig. 3.15

Si noti che questi piani, su cui la τ è massima e minima, risultano ruotati di (π/4)
rispetto ai piani principali.

Resta infine del tutto evidente che quanto detto per il fascio principale di sostegno
ζ può ripetersi identicamente per gli altri due fasci principali relativi alle altre due
direzioni ξ ed η. Si giunge così al tracciamento delle tre circonferenze principali di
Mohr, che risultano mutuamente tangenti (Fig. 3.16). Da questa si può anche
constatare che, se le tensioni principale vengono ordinate nel seguente modo:

σ I ≥ σ II ≥ σ III

allora la τ max ha l'espressione:

τ max = σ III − σ I (3.64)
2

Fig. 3.16: Circonferenze principali di Mohr.
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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. INTRODUZIONE 1

4. IL PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI

4.1 INTRODUZIONE

Fino ad ora si è condotto lo studio del problema della deformazione e di quello della
tensione per un corpo continuo giungendo alla formulazione di importanti relazioni,
che sono le equazioni di congruenza, per il primo, e le equazioni indefinite di
equilibrio e le equazioni ai limiti per il secondo. In entrambi i casi si è giunti a tali
risultati considerando i due problemi indipendentemente l’uno dall’altro.

Utilizzando le equazioni ottenute fino ad ora, si possono ottenere alcune relazioni
formali che, pur non rappresentando nulla di concettualmente nuovo rispetto alle
equazioni sopra ricordate, forniscono uno strumento analitico molto potente per
affrontare una gran quantità di problemi diversi. Tali relazioni hanno quindi un
notevole interesse e sono di assoluta generalità essendo valide per qualsiasi continuo
deformabile a prescindere dalle sue proprietà fisiche.

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. IL PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI 1

4.2 IL PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI

Nello studio del problema della deformazione sono state scritte le equazioni di

congruenza che, per un generico sistema di spostamenti e deformazioni u*i e ε*
ij

infinitesimi, assumono la forma:

=1( )ε* u* + u * , i in V (4.1)
2ij i, j j

Fig. 4.1

Mentre lo studio dello stato di tensione ha portato alle equazioni di equilibrio:

σ i j, i + b j = 0 in V (4.2)

σ i j ni = f i su ∂ V (4.3)

Abbiamo anche mostrato che è σ i j = σ j i .

Un campo di spostamenti e deformazioni infinitesimi che soddisfa gli evetuali
vincoli cinematici esterni e le (4.1) è detto congruente, mentre un campo di forze e
tensioni che soddisfa (4.2) e (4.3) è detto equilibrato.

Moltiplicando la (4.2) per il campo di spostamenti u*j ed integrando sul volume V

si ottiene :

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. IL PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI 2

∫ ∫σ i j, i u*j dV + b j u*j dV = 0 (4.4)

VV

Con riferimento alla identità :

∫ ( ) ∫ ∫σ u* u*
i j j ,i j ,i
dV = σ i j ,i u*j dV + σ ij dV

V VV

ed al teorema della divergenza :

∫ ( ) ∫σ i j u*j ,i dV = σ i j αi u*j dA

V ∂V

si perviene alla seguente uguaglianza:

∫ ∫ ∫σ i j αi u*j dA =
σ i j ,i u*j dV + σ ij u* dV (4.5)
j ,i (4.6)

∂V V V

Partendo dalla scomposizione del gradiente di spostamento :

( ) ( )u*=1 +1
j, i2 2
u* + ui*, j u* − ui*, j ,
j, i j, i

per la congruenza (4.1) si può scrivere :

( )ε* =1 u* + u * , i
ij 2 i, j j

mentre è facile riconoscere che :

( )ω* =1 u*
j ,i 2 j, i
− ui*, j

è il tensore anti-simmetrico della rotazione infinitesima.
Alla luce di queste posizioni, la (4.4), avuto riguardo alla (4.5), e ricordando che il

prodotto σij ω*ji di un tensore simmetrico per uno emisimmetrico è nullo, si perviene
alla relazione :

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. IL PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI 3

∫ ∫ ∫f j u*j dA + ε*
b j u*j dV = σ ij ij dV (4.7)

∂V V V

che rappresenta l’equazione dei lavori virtuali.
Il primo membro della (4.7) è il lavoro che la forze esterne f i o bj compiono in

corrispondenza del campo di spostamenti ui* , del tutto indipendente dalle medesime
forze esterne e che perciò prende il nome di lavoro virtuale esterno :

∫ ∫Le* = f j u*j dA + b j u*j dV

∂V V

Il secondo membro della (4.7) rappresenta il lavoro che le tensioni σ i j compiono

in corrispondenza delle deformazioni ε* , anch’esse del tutto indipendenti dalle
ij

medesime σ i j , e che perciò prende il nome di lavoro virtuale interno. Infatti , se si

suppone di associare ad un assegnato campo di tensioni σ i j , un campo di deformazioni

indipendente ε* è immediato verificare, con riferimento alla faccia dx1dx3 in Fig. 4.2
ij

che :

Fig. 4.2
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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. IL PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI 4

• per la dilatazione lungo la direzione x2 la forza è σ 22 dx1dx3 e quindi, se lo

spostamento èε * dx2 , il lavoro che viene compiuto è σ 22ε * ,dx1dx2dx3 ossia
22 22

σ 22ε * dV ;
22

• per lo scorrimento tra gli assi (x2, x3,) la forza è ,σ23dx1dx3 lo spostamento

( )vale ε* ε* ε*
2 23 dx2 23 = γ1 * e quindi il lavoro sarà 2 σ 23 23 dV .

2 23

Per estensione resta provato che l’espressione

∫L*= σ i jε * dV .
i ij

V

a secondo membro della (4.7) rappresenta proprio il lavoro che le σ i j compiono in

corrispondenza delle ε* e che perciò prende il nome di lavoro virtuale interno :
ij

Si può quindi enunciare il seguente teorema :

Dato un continuo deformabile V sul quale siano assegnati un campo di
spostamenti e deformazioni infinitesimi qualsiasi purché congruente ed un campo di
forze e tensioni qualsiasi purché equilibrate, allora vale l’uguaglianza :

L*e = L*i (4.8)

Questa uguaglianza, nonostante sia stata dimostrata, è spesso nota come principio

dei lavori virtuali.

Se il corpo continuo è rigido si ha che ε* =0 e quindi la relazione precedente si
ij

scrive semplicemente

L*e = 0

L’equazione (4.7) è anche nota come principio degli spostamenti virtuali o come
principio dei lavori virtuali nella forma diretta quando si considera un sistema di
spostamenti e deformazioni virtuale; mentre invece quando si considera il sistema di
forze e tensioni come virtuali la (4.7) è nota come principio delle forze virtuali,
ovverosia come principio dei lavori virtuali nella forma inversa .

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. RELAZIONI TRA EQUILIBRIO, CONGRUENZA E P.L.V. 1

4.3 RELAZIONI TRA EQUILIBRIO, CONGRUENZA E LAVORI

VIRTUALI

Si può dimostrare che se, con riferimento al solido di Fig. 4.1., due delle seguenti
proposizioni sono vere, la terza è anch’essa vera:

– “il campo di spostamenti e deformazioni è congruente” Congruenza

– “il campo di forze e tensioni è equilibrato” Equilibrio

– “il principio dei lavori virtuali è verificato” P.L.V.

Si è già dimostrato nel paragrafo precedente che le prime due affermazioni
(congruenza ed equilibrio) portano alla formulazione del teorema dei lavori virtuali. Si
dimostreranno ora le altre due affermazioni.

1 ) [P.L.V. + Congruenza] ⇒ [Equilibrio]

Si è già visto che vale la :

u* = ε* + ω * j
j, i ij i

e quindi, per sostituzione nell’espressione (4.7) del principio dei lavori virtuali, si ha :

∫ ∫ ∫ ∫f j u*j dA + u* ω*
b j u*j dV = σ ij j, i dV − σ ij ij dV

∂V V V V

e, per l’identità (4.6) si ha :

∫ ∫ ∫ ∫ ∫f j u*j dA + bj u*j dV =
σ i j ni u*j dA − σ i j , i u*j dV − σ ij ω* dV
ij

∂V V ∂V VV

Quest’ultima si può scrivere :

∫ ( ) ∫ ( ) ∫f j − σ i j ni* ω*
u j dA + bj + σ ij,i u*j dV + σ ij ij dV = 0 (4.9)

∂V V V

Ora, per l’arbitrarietà con cui si possono scegliere i campi di spostamento, pur nel
rispetto della congruenza, discende che, affinché la relazione precedente sia vera, sotto

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. RELAZIONI TRA EQUILIBRIO, CONGRUENZA E P.L.V. 2

ipotesi di continuità per le funzioni integrande, è necessario che l’argomento di ciascun
integrale sia nullo:

f j = σ ij nj ; bj + σ ij,i = 0 ; σ ij ω* = 0⇒σ ij =σ ji
ij

Si ottengono così proprio le condizioni di equilibrio (4.3), (4.4) e la simmetria del
tensore della tensione.

2 ) [P.L.V. + Equilibrio] ⇒ [Congruenza]

Dal P.L.V. :

∫ ∫ ∫f j u*j dA + ε*
b j u*j dV = σij ij dV

∂V V V

che, per l’equilibrio, assume la forma :

∫ ∫ ∫σ i j ni u*j dA −
σ i j , i u*j dV = σ ij ε* dV
ij

∂V V V

e, per il teorema della divergenza, si riduce a :

ij∫ ∫σ u* dV = σ ij ε* dV
j, i ij

VV

per la (4.8), diviene :

∫ [ ( ) ( )] ∫σ ij u*
1 u* + u*j , i +1 j, i − ui*, j dV = σ ij ε* dV
2 i, j 2 ij

VV

Per la simmetria di σ i j si ottiene :

∫ [ ( )] ∫σ u + u1 * * σ ε*
i j 2 i, j j, i ij
dV = ij dV

VV

Per l’arbitrarietà del campo di tensioni, purché equilibrato, dovrà necessariamente
essere

( )ε =* 1 u*
ij 2 i, j
+ u*j , i

che è il risultato cercato.

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. INTRODUZIONE 1

5.1 INTRODUZIONE

Da quanto discusso fino ad ora si comprende che il problema matematico tipico
della meccanica dei solidi è così impostato :

DATI : V = Volume occupato dal solido
bj = forze di volume assegnate in V

Condizioni al contorno :
f$j forze assegnate sulla superficie ∂ V ′
u$ j spostamenti assegnati sulla superficie ∂ V ′′

TROVARE in ogni punto di V ( x1 ,x2 ,x3 ) i campi di spostamenti, deformazioni e
tensioni :

u j = u j ( x1 , x2 , x3 ) (5.1)
ε i j = ε i j ( x1 , x2 , x3 )
σ i j = σ i j ( x1 , x2 , x3 )

che siano soluzione del seguente problema al contorno :

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. INTRODUZIONE 2

Equilibrio σ ij,i + bj = 0 in V (5.2)
σ i j ni = f$j in ∂ V ′

( )ε i j
Congruenza = 1 u i, j + u j,i in V (5.3)
2 su ∂ V ′′

ui = u$i

Come si vede, a fronte di 9 equazioni differenziali alle derivate parziali, occorre
determinare le 15 funzioni incognite (5.1). In alcuni casi particolari il numero delle
funzioni incognite da determinare si riduce tanto da consentire la risoluzione del
problema (5.2),(5.3). Si tratta dei problemi così detti staticamente determinati,
mutando il linguaggio della statica dei corpi rigidi. In generale però il problema non si
può risolvere se non si tiene conto della particolare natura che costituisce il solido.

In altri termini, mentre le equazioni (5.2) e (5.3) valgono in ogni continuo a
prescindere dal particolare materiale di cui è costituito, per poter risolvere problemi
concreti occorre descrivere il comportamento dei singoli materiali attraverso opportune
relazioni che siano in grado di individuare le particolari classi di processi che ciascuno
di essi è in grado di subire.

Tali relazioni prendono il nome di equazioni costitutive che, nella formulazione
più semplice, legano il tensore della tensione con quello della deformazione :

( )σ ij = σ ij εhk (i, j,h,k = 1,2,3) (5.4)

Le (5.4), che in generale sono non-lineari, rappresentano la più generale relazione
per descrivere il comportamento di un materiale elastico. Esso perciò ha la proprietà
che la generica componente di tensione σij è determinata dal valore che assumono

tutte le 9 componenti εhk di deformazione.

Si noti che per un materiale elastico non ha alcuna influenza la storia deformativa
subita dal materiale prima che esso venga sottoposto alla nostra osservazione.

Particolare importanza riveste per le applicazioni nell’ingegneria il caso in cui le
equazioni costitutive (5.4) siano lineari, ossia quando sia possibile scrivere le (5.4)
nella forma :

σ = C[ε ] (5.5)

essendo C una applicazione lineare che trasforma lo spazio dei tensori ε in quello dei
tensori σ ossia, lo spazio dei tensori del secondo ordine in se stesso ; C è quindi un

tensore del 4° ordine. La (5.5), scritta in componenti con riferimento ad una base

ortonormale [e1,e2 ,e3] , diviene :

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. INTRODUZIONE 3

σ ij = εCijhk hk (5.6)

La (5.6) è una generalizzazione della famosa legge di R.Hooke il quale nel 1676
diede il primo contributo in tema di equazioni costitutive. Egli condensò le sue
esperienze sulle molle di orologi nella relazione di proporzionalità ( ut tensio sic vis ) :

F = ku ossia σ = Eε

Questa relazione, che oggi può apparire del tutto scontata, ha avuto una notevole
importanza metodologica in quanto dimostrò la possibilità di misurare la forza, ossia la
tensione, attraverso misure di spostamenti, ossia di deformazioni. Inoltre provò
l’invarianza della legge costitutiva dal particolare riferimento nella quale si scrive.

La (5.6) descrive pertanto il comportamento di un materiale elastico lineare, e
deve la sua estesa fortuna alla circostanza che quasi tutti i materiali da costruzione, se
poco sollecitati, sono riconducibili ad esso. La (5.6) tuttavia è pur sempre la
descrizione di un materiale ideale che non esiste a rigore in natura ed in tal senso
sarebbe più corretto parlare di stato elastico anziché di solido elastico o di materiale
elastico.

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. IL SOLIDO ELASTICO LINEARE 1

5.2 IL SOLIDO ELASTICO LINEARE

Il solido o, per meglio dire, lo stato elastico lineare è descritto da una relazione
che è la generalizzazione della legge di Hooke

σ ij = Cijhk εhk (i, j = 1,2,3) (5.7)

in cui Cijhk sono le componenti, in un riferimento ortonormale, di un tensore del 4°
ordine, detto tensore elasticità.

Si ha, ad esempio, ricordando la usuale convenzione di sommatoria sugli indici
ripetuti :

σ 23 = εC2311 11 + C2312 ε12 + C2313 ε13 +
+ C2321 ε21 + C2322 ε22 + C2323 ε23 +
+ C2331 ε31 + C2332 ε32 + C2333 ε33

Essendo un tensore del 4° ordine le componenti Ci j h k di C sono 34 = 81 . Le

componenti effettivamente distinte si riducono però a 36 per la simmetria di σ ed ε

che, come è noto, presentano ciascuno solo sei componenti distinte.
I coefficienti Ci j h k non dipendono dalla deformazione ma, eventualmente, dalla

posizione della particella materiale. Quando ciò accade si parlerà di materiali
eterogenei. Quando viceversa le Ci j h k non dipendono dal punto diremo che il

materiale è omogeneo, le componenti Ci j h k sono quindi delle costanti per tutto il

corpo.
Anche il comportamento più semplice, ossia quello elastico lineare, implica quindi

la conoscenza di ben 36 costanti materiali che sono evidentemente difficili da valutare
soprattutto quando si pensi che ciò può esser fatto solo sperimentalmente.

Il numero di tali costanti che descrivono il legame può però essere ridotto se il
materiale presenta particolari proprietà di simmetria nella risposta, ossia delle
simmetrie nel suo comportamento. Questa eventualità, che viene considerata nella
maggior parte dei casi di interesse tecnico (5.1), verrà analizzata in maniera più
approfondita nel paragrafo seguente.

(5.1) Accade spesso in pratica di poter considerare l’ipotesi di comportamenti simmetrici viste le proprietà di
simmetria della natura cristallina del materiale e la possibilità di modificare, attraverso una lavorazione
dall’avanzato rilievo tecnologico, il comportamento dei materiali stessi nelle varie direzioni.

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.PROPRIETÀ DI SIMMETRIA NELLA RISPOSTA DI UN MATERIALE 1

5.2.1 Proprietà di simmetria nella risposta di un materiale

Al fine di descrivere eventuali simmetrie nella risposta di un materiale si vuole ora
studiare (v. Fig.5.1) quello che accade nell’intorno infinitesimo di un punto

( )individuato dal vettore posizione x nel riferimento cartesiano O, x1 , x2 , x3 .

Fig. 5.1

Si supponga di applicare un campo di spostamenti u( y) in un punto y a distanza

infinitesima da x . Si consideri poi il punto y* individuato da :

(y*− x)= Q (y − x) (5.8)

essendo Q un tensore ortogonale, ed il campo di spostamenti u* ( y *) legato ad
u( y) dallo stesso tensore ortogonale Q :

u*( y*) = Q u( y) (5.9)

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.IPERELASTICITÀ E DISUGUAGLIANZE A PRIORI SULLE COSTANTI ELASTICHE

5.3.4 Iperelasticità e disuguaglianze a priori sulle costanti elastiche

La forma quadratica per l’energia potenziale elastica espressa dalla (5.28) deve
essere definita positiva in quanto rappresenta l’energia necessaria per deformare il
solido.

Sfruttando questa proprietà è possibile dedurre alcune limitazioni sulle costanti
elastiche. Infatti la densità di energia di deformazione Φ scritta nel caso isotropo
(5.32) e facendo uso della scomposizione :

εij = ε o j + 1 Iε δ i j
i 3

dà luogo alla seguente espressione :

=[ ][ ]Φµεi jεi j + 1 λ I 2 = µ εo + 1 I ε δi j εo + 1 I ε δi j + 1 λ I 2 =
2 ε ij 3 ij 3 2 ε

=µ ε εo o +0+0+ µ 3 I 2 + 1 λ I 2 = µ ε εo o + 2 µ + 3 λ I 2 >0
ij ij 9 ε 2 ε ij ij 6 ε

che deve risultare positiva per qualunque εi j ≠ 0 . Pertanto, se assumiamo ε i j = ε i j0 la
precedente disequazione diventa :

Φ = µ εijεij >0 ⇒ µ >0 (a)

mentre, se si considera una dilatazione uniforme, si ha

Φ = 2µ + 3λ I 2 > 0 ⇒ 2µ + 3λ > 0 (b)
6 ε

Riconsiderando poi lo stato di tensione monoassiale (prova di trazione) del §
5.2.3, la densità di energia vale :

( )Φ ε i j = 1 σ 11 ε 11 = 1 E ε2
2 2 11

da cui si ritrova la condizione

E>0 (c)

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Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.IPERELASTICITÀ E DISUGUAGLIANZE A PRIORI SULLE COSTANTI ELASTICHE

Ricordando ora le espressioni di E e ν in funzione di µ e λ

E = µ (2µ + 3λ) ν = λ λ)

µ+λ 2(µ +

e osservando che

1− 2ν = 1− λ = µ + λ − λ = µ
µ+λ µ+λ µ+λ

e che perciò

1+ν = 2µ + 3λ
2(µ + λ)

si può scrivere

E =1+ν (2µ E 3λ ) = (1 − 2ν )
2µ +

per cui, in virtù delle (a), (b) e (c), risulta

(1+ ν ) > 0 (1 − 2ν ) > 0

ossia

− 1 < ν < 1 (5.33)
2

che rappresentano i limiti teorici per il coefficiente di Poisson ν.
Se si ricorda però il tensore della deformazione :

 ε 11 0 0 
 
εij = 0 − νε 11 0
 0 0 − νε 11

corrispondente allo stato di tensione monoassiale (prova di trazione) del § 5.2.3,

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