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Cap. VI TORSIONE 2

ϖ (x1 , x2 ) = A(x1 , x2 )dx1 + B(x1 , x2 )dx2

definita in un campo semplicemente connesso e soddisfacente la condizione A,2=B,1 è
esatta.

Ponendo allora :

ϖ ( x1 , x2 ) = σ 32 ( x1 , x2 )dx1 − σ 31( x1 , x2 )dx2

ed osservando che per l’equilibrio risulta σ32,2 = −σ 31,1 si ha che ϖ è una forma
differenziale integrabile. Esiste pertanto una funzione f* tale che :

df * ( x1 , x2 ) = σ 32 ( x1 , x2 )dx1 − σ 31( x1 , x2 )dx2 (6.41)

e quindi

σ 32 = f ,1 * σ 31 = − f ,2 * (6.42)

Naturalmente la f* deve soddisfare le equazioni di Beltrami (6.39) che
forniscono :

( )∇2 f,1* = 0∇2f*,1= 0

⇒  ⇒ ∇2 f * (x1, x2 ) = K = cost (6.43)

( )∇2 f,2* = 0∇2f*,2= 0


per la linearità dell’operatore di Laplace e della derivazione.
Restano infine da soddisfare le condizioni al contorno (6.40) che, con riferimento

alla figura 6.21, in virtù delle (6.42) divengono :

− f,2 *α1 + f,1 *α2 = 0 (6.44)

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Cap. VI TORSIONE 3

α1 = cosδ1
α2 = cosδ2

β1 = cosγ 1
β2 = cosγ 2

Fig. 6.21

in cui α1,α2 sono i coseni direttori del versore normale esterno n.

Se, nel generico punto P del contorno della sezione A, si introduce il riferimento
ortogonale intrinseco (n , t) essendo t il vettore tangente, orientato in maniera tale che
(n,t) sia sovrapponibile con (x1,x2). Posto :

( ) ( )n = α1,α2 t = β1,β2 (6.45)

la (6.44), osservando che β 1 = −α 2 , β 2 = α1, diviene :

f ,2 * β 2 + f ,1 * β 1 = 0 (6.46)
od anche, in notazione assoluta :

gradf * × t = 0

e quindi in definitiva :

∂f * = 0 (6.47)
∂t

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Cap. VI TORSIONE 4

che esprime l’annullarsi della derivata direzionale lungo t (derivata tangenziale) della
funzione f * ; ciò implica naturalmente che f * è costante sul contorno della sezione.

La determinazione della funzione f * è così ricondotta alla soluzione del problema
al contorno :

∇2 f * (x1, x2 ) = K in A (6.48)
 su ∂ A

 f * = k

Siccome a noi interessa conoscere le funzioni σ31 e σ32, dalle (6.42) si deduce
immediatamente che si può porre, per semplicità, k = 0.

Rimane comunque la difficoltà della determinazione della costante K che può

tuttavia essere rimossa, almeno a questo livello, introducendo la funzione f ( x1, x2 ) tale

che :

f *( x1, x2 ) = K f ( x1, x2 ) . (6.49)
2

Con tale posizione si ha infatti

∇2 f * = K ∇2 f = K ⇒ ∇2 f = 2
2

ed il problema al contorno (6.48) si trasforma nel seguente :

∇2 f ( x1, x2 ) = 2 in A
 su ∂ A
 (6.50)

 f =0

la funzione f , che gioca un ruolo importante nella torsione, prende il nome di funzione
degli sforzi o di Prandtl.

Una volta risolto il problema (6.50) e determinata la funzione ( )f x1, x2 , dalle

(6.42) e (6.49) si ricavano le tensioni tangenziali :

σ 31 = − K2 f ,2 , σ 32 = K2 f ,1 (6.51)

Come si vede il problema di determinare la costante K introdotta in (6.48) si è
semplicemente spostato ad un passo successivo.

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Cap. VI TORSIONE 5

Il problema al contorno (6.50) può ricondursi ad un problema di Dirichelet
classico, per funzioni armoniche, osservando che :

f = x12 + x 2
2

2

è un integrale particolare, per cui, posto :

f =ϕ+ x12 + x22 (6.52)
2

e quindi constatato che :

∇2 f = ∇2ϕ + 2

si perviene al seguente problema al contorno per la funzione ( )ϕ x1, x2 :


∇2ϕ (x1, x2 ) = 0
 in A (6.53)
 su ∂ A
ϕ = − x12 + x22
2

Si tratta del ben noto problema di Dirichlet (Peter Gustav Lejeune) che consiste
nel trovare una funzione armonica nel dominio A che assuma valori prefissati sulla sua
frontiera. È evidente poi che le tensioni tangenziali (6.51) in termini della nuova

funzione ϕ ( )x1, x2 soluzione del problema (6.53), in virtù della (6.52), valgono:

σ31 = − K (ϕ ,2 + x2 ) σ 32 = K (ϕ ,1 + x1 ) (6.54)
2 2

Come è noto il problema di Dirichlet ammette anche una formulazione duale,

relativa cioè ad una funzione ψ (x1, x2 ), che nel caso della torsione prende il nome di
funzione d’ingobbamento, tale che :

ψ,1 = ϕ,2 (6.55)

ψ ,2 = −ϕ,1

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Cap. VI TORSIONE 6

relazioni che, derivate, portano a

ψ,11 = ϕ ,21 (6.56)
 ⇒ ∇2ψ = 0
ψ ,22 = −ϕ ,12

e quindi anche ψ (x1, x2 ) è una funzione armonica.
Si possono allora riscrivere le (6.54) in termini di ψ (x1, x2 ) come segue:

σ 31 = − K2 (ψ ,1 + x2 ) σ 32 = − K2 (ψ ,2 − x1 ) (6.57)

che originano, valendo σ31α 1 + σ32α 2 = 0, sul contorno della sezione, la seguente :

( ) ( )−K K =0
2 ψ,1 + x2 α1 − 2 ψ ,2 − x1 α 2

da cui :

ψ,1α 1 + ψ ,2α 2 = x1α 2 − x2α 1
relazione che si può esprimere anche come :

gradψ × n = x1α2 − x2α1

ossia

∂ψ (6.58)
∂ n = x1α 2 − x2α 1

che rappresenta il valore della derivata direzionale lungo n (derivata normale).
Si giunge così in virtù della (6.56) e (6.58) al seguente problema al contorno:


∇2ψ = 0
 in A (6.59)
∂ψ su ∂ A
 ∂n = − x2α1 + x1α2

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Cap. VI TORSIONE 7

che come è noto prende il nome di problema di Neumann (F. E.) che consiste nel
trovare una funzione armonica nel dominio A tale che la sua derivata nella direzione
della normale si riduca, sulla frontiera di A, ad una funzione assegnata.

La soluzione dei problemi al contorno (6.50) e (6.59), ai quali è stato ricondotto il
problema della torsione, dipende esclusivamente dalla forma della sezione retta del
cilindro di Saint-Venant. Per forme circolari, ellittiche o triangolari equilatere si può
trovare la soluzione completa in forma chiusa. Per altre forme, come la rettangolare, si
può risalire alla soluzione mediante sviluppi in serie di Fourier.

Dando per scontato di sapere risolvere ad es. il problema al contorno (6.59) e di

aver quindi determinato la funzione ingobbamento ψ (x1, x2 ), resta ancora da
determinare la costante K, senza la cui conoscenza non è possibile risalire allo stato di

tensione mediante le (6.57). Si deve osservare tuttavia che ancora restano da verificare

la (6.36). Dalla prima di esse ed in virtù delle (6.57) si deduce:

∫ ( ) ∫ ( )Mζ = f$2 x1 − f$1 x2 dA = σ 32 x1 − σ 31 x2 dA =

AA

[ ( ) ( ) ]∫=K K
− 2 ψ ,2 − x1 x1 + 2 ψ ,1 + x2 x2 dA =

A


∫( ) ∫( )=
K ψ,1 x2 − ψ ,2 x1 + x12 + x22 dA = K  J 0 − ψ ,2 x1 − ψ ,1 x2 dA
2 2 

A A

essendo J0 il momento di inerzia polare della sezione.
Ponendo :

q = J0 (6.60)

∫( )J0 − ψ,2 x1 − ψ,1x2 dA

A

la precedente espressione di M3 diviene :

M3 = K J0
2 q

e da qui, infine :

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Cap. VI TORSIONE 8

K = 2 qM3 . (6.61)

J0

Il rapporto q fornito dalla (6.60) prende il nome di fattore di torsione e si può

dimostrare che dipende solo dalla forma della sezione e non dalle sue dimensioni, in
più è anche possibile dimostrare che :

q ≥1

Sostituendo il valore di K dato dalla (6.61) nelle espressioni (6.57) si conclude
che le tensioni tangenziali sono fornite dalle seguenti espressioni :

( )σ31qM3
J0

= − ψ,1 + x2

= − qM3 (6.62)
J0
( )σ32
ψ,2 − x1

che determinano completamente il tensore delle tensioni, una volta che si sia risolto il
problema di Neumann (6.59).

Resta infine da verificare che la soluzione (6.62) è tale da soddisfare le ultime 2
delle (6.36) ossia :

∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ( )T$1 = f$1dA = σ31 x1, x2 dA = 0 ; T$2 = f$2dA = σ32 x1, x2 dA = 0

AA AA

che, per le (6.62), con facili passaggi portano a :

∫ ∫ψ ,1dA = 0 ; ψ ,2dA = 0 (6.63)

AA

Trasformando questi integrali sull’area A in integrali estesi sul contorno ∂ A e

sfruttando un lemma di Green sulle funzioni armoniche si dimostra agevolmente che le
(6.63) sono effettivamente verificate.

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Cap. VI TORSIONE 1

6.9.3 Stato di deformazione e di spostamento

È immediato verificare, tramite le equazioni costitutive (6.7), che il tensore delle
deformazioni diviene :

 0 0 σ31 
2G 
0 0 ε 31  =  0 0 σ32  (6.64)
εij = ε013 0 ε 32   σ31 σ32 2G 
ε 23 0   2G 

 0 
 2G

e da questo, integrando le equazioni di congruenza, che ora si riducono a :

u1,1 = u2,2 = u3,3 = 0
u1,2 + u2,1 = 0

( )u1,3 K (6.65)
+ u3,1 = − 2G ψ ,1 + x2

( )K

u2,3 + u3,2 = − 2G ψ ,2 − x1

con il procedimento già utilizzato al punto 6.6.4, si perviene al seguente campo di
spostamenti :

( ) K =− + ψ ,1  [ ] K
u1 2G x3 x2 0 u1 = − 2G x3 x2 +a
 

 
( ) 
= K  − ψ,2  [ ]= u2 K (6.66)
u2 2G x3 x1 0 = 2G x3 x1 − b



( ) ( )K   [ ] K
2G   2G
u3 u3
= ψ ,1 0 x1 + ψ,2 0 x2 − ψ = ax1 + bx2 − ψ

( ) ( )una volta che si sia posto, per semplicità, a = ψ,1 , ψ,2 .
b=
0 0

Dalle (6.64) si osserva facilmente che le εij , così come le σ ij , non dipendono da

x3 e quindi sono identiche in tutte le sezioni della trave. Inoltre essendo

ε11 = ε22 = ε33 = 0 non si avranno, nella deformazione, variazioni di lunghezza degli

elementi lineari paralleli agli assi coordinati, in particolare l’asse della trave resterà

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Cap. VI TORSIONE 2

della medesima lunghezza, ed inoltre saranno nulle le variazioni di area della sezione
retta della trave e le variazioni di volume.

Dall’esame del campo di spostamenti (6.66) è possibile trarre le seguenti
considerazioni.

a) Dalla terza delle (6.66) si deduce che, essendo :

K[ ( )]u3 =
2G ax1 + bx2 − ψ x1, x2

risulta :

( )u3 = u3 x1, x2

e, dovendo essere, in virtù della (6.1), u3(0,0) = 0 segue che ψ (0,0) = 0. Inoltre dalla

relazione :

( )x3′ − x3 = u3 x1, x2

si deduce che tutti i punti appartenenti al medesimo segmento parallelo all’asse della
trave si spostano della medesima quantità. In particolare i punti dell’asse della trave
non subiranno spostamenti lungo x3 .

Se si esclude il caso in cui ψ (x1, x2 ) sia lineare, o nulla, le sezioni rette del cilindro

non restano piane, ma si ingobbano e la misura dell’ingobbamento è proprio data dalla
funzione ψ che da ciò prende appunto il nome di funzione ingobbamento. Per quanto
più sopra osservato gli unici punti che rimangono nel piano della sezione retta sono i
baricentri.

b) Prescindendo dalla componente u3 , dall’esame delle altre due componenti :

( )K (6.67)

u1 = − 2G x3 x2 + a

( )K

u2 = 2G x3 x1 − b

che esprimono la deformazione della generica sezione x3 = cost nel proprio piano, si
evince che si tratta di una rotazione rigida intorno al punto :

Ct ≡ (b,−a)

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Cap. VI TORSIONE 3

che perciò prende il nome di centro di torsione.
Infatti, per provare che la generica sezione ruota attorno a Ct è sufficiente

considerare un generico punto P di una sezione qualunque (v. fig. 6.22)e far vedere che
lo spostamento che esso compie ha direzione ortogonale a quella della congiungente il
punto stesso con il centro di torsione ed entità direttamente proporzionale alla distanza
tra tali 2 punti.

La suddetta proporzionalità risulta subito da :

u12 + u22 K x2 + a 2 + 2 K ( MCt )2 + ( PM )2
( () )u = = 2G 2G
x3 x1 −b = x3

u = K x3 PCt (6.68)
2G

Fig. 6.22

Circa poi la direzione di u = u1 i + u2 j , si ha, detti β 1 e β 2 i coseni direttori del
vettore u rispetto alle direzioni coordinate x1 e x2 e ϑ1 e ϑ 2 quelli del segmento PCt :

β1 = u1 = − x2 + a = −ϑ2
u
(x2 + a)2 + (x1 − b)2

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Cap. VI TORSIONE 4

β2 = u2 = x1 − b = ϑ1
u
(x2 + a)2 + (x1 − b)2

e quindi l’ortogonalità tra u e PCt .

Si è visto che nel piano ( x1 , x2 ) il campo di spostamenti trovato descrive una

rotazione rigida attorno al punto Ct ; di tale rotazione se ne può calcolare il valore
mediante :

=( )ϕ31 ( u) = 1 = 1  K + K x3
2 rot 2 u2,1 − u1,2 2 2G x3 2G =

3

= K x3 = q M3 x3 = M3 x3 (6.69)
2G GJ0 GJt (6.70)

dove si è indicato con :

Jt = J0
q

il momento di inerzia ridotto.
La quantità :

GJ0 = GJt (6.71)
q

prende il nome di rigidezza torsionale.
Si noti che partendo dalla (6.68) si perviene per la ϕ3 al medesimo risultato ;

infatti :

ϕ3 = u K
PCt = 2G x3

Abbiamo visto che le coordinate del centro di torsione Ct non dipendono da x3 e
quindi possiamo definire l’asse di torsione parallelo a x3 , come il luogo dei punti
Ct delle sezioni della trave.

Quest’asse, nella deformazione, rimane rettilineo, mentre tutte le altre rette
parallele all’asse dei baricentri x3 , si portano su eliche cilindriche, il cui passo lp si

ricava dalla (6.69), ponendo ϕ3 = 2π e vale :

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Cap. VI TORSIONE 5

In genere risulta lp >> l . lp = 2π GJt (6.72)
M3

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Cap. VI TORSIONE 1

6.9.4 Caratteristica di deformazione torsionale e lavoro di deformazione

Nel caso della forza normale semplice e della flessione pura si sono definite
rispettivamente la caratteristica di deformazione assiale e flessionale; analogamente,
nel caso della torsione, si definisce caratteristica di deformazione torsionale la
rotazione relativa tra 2 sezioni poste a distanza unitaria, ossia il rapporto, fornito dalla
(6.69) :

k3 = dϕ3 = M3 (6.73)
dx3 GJt

che, come si vede, risulta costante.
Si noterà la stretta analogia formale nelle espressioni fino ad ora trovate per le

caratteristiche di deformazione :

N kx = Mx k3 = M3
ρ3 = EA EJ x GJ t

rispettivamente nei casi di forza normale, flessione e torsione. Si tratta in ogni caso del
rapporto tra la caratteristica di sollecitazione ed una grandezza che prende il nome di
“rigidezza”. Parleremo perciò in ognuno dei tre casi di :

EA = rigidezza a forza normale ;
EJx = rigidezza flessionale ;
GJt = rigidezza torsionale.
Con procedimento identico a quello seguito nei casi della forza normale semplice
e della flessione pura, si può adesso calcolare il lavoro di deformazione nel caso della
torsione. Ricorrendo al teorema di Clapeyron, si perviene a :

Ld 1 M3 ϕ3 (l) 1 M3 M3 l 1 M 2 l (6.74)
2 2 GJt 2 3
= = =
GJt

così come ricorrendo alla nozione di caratteristica di deformazione si perviene
parimenti a :

∫Ld = 1 M3 k3 dz 1 M 2 l
2 2 3
=
GJt

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Cap. VI TORSIONE 1

6.9.5 Sezione circolare

A questo punto si hanno gli strumenti necessari per studiare la torsione in alcuni
casi particolari, a partire da quello della sezione circolare, che è uno dei più semplici
poiché presenta la maggiore simmetria possibile.

In riferimento alla sezione circolare piena di raggio R (v. fig. 6.23) per ogni punto

P = ( x1 , x2 ) del contorno della sezione, il versore normale n sarà diretto come il raggio

R ed avrà coseni direttori :

α1 = x1 α2 = x2
R R

da cui segue :

dψ = −x2 x1 + x1 x2 =0
dn R R

e quindi il problema al contorno da risolvere si riduce a :


∇2ψ = 0
 in A
 dψ su ∂ A
 d n = 0

che ha soluzione :

ψ = cos t

Questo risultato è valido anche per sezioni a corona circolare, dal momento che
anche in tale situazione la derivata normale continua ad essere nulla in ogni punto; il
ragionamento che si svilupperà adesso per la sezione circolare è quindi
immediatamente estensibile, a meno di qualche ovvio adattamento, al caso della
sezione a corona circolare.

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Cap. VI TORSIONE 2

Fig. 6.23

• STATO DI TENSIONE

Le tensioni tangenziali si deducono immediatamente dalle (6.62) e valgono :

 Mz Mz
σ J0 J0
 31 = −q x2 =− x2

 (6.75)

σ 32 =q Mz x1 = Mz x1
J0 J0

dove si è assunto :

q = J0 = J0 = 1

∫( )J0 − ψ,2 x1 − ψ ,1x2 dA J0

A

che implica anche J0 = Jt .
La tensione tangenziale risultante τ 3 data da :

τ 3 = σ 31i + σ 31 j (6.76)

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Cap. VI TORSIONE 3

ha come modulo l’espressione :

τ3 = M3 r (6.77)
J0

come si deduce immediatamente dalla (6.75) ed avendo indicato con r la distanza del
punto generico dal baricentro G. Si noti l’identità formale della (6.77) con la formula
di Navier (6.20).

La direzione di τ 3 , è individuata dai coseni direttori :

 = σ 31 = − x2 = −α 2
β1 τ3 r



β2 = σ 32 = x1 = α1
τ3 r

e ciò mostra che tale direzione è ortogonale al raggio.
L’andamento delle tensioni lungo un diametro qualunque, è rappresentato in

figura 6.24:

Fig. 6.24

Ricordando che per la sezione circolare di raggio R è :

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Cap. VI TORSIONE 4

J0 = π R4
2

ne deriva per la tensione tangenziale massima l’espressione :

τ 3 max = 2M3
π R3

Nel baricentro G lo stato di tensione è identicamente nullo.

• SPOSTAMENTI E DEFORMAZIONI

Essendo ψ=cost. dalle (6.66) si deduce che il campo di spostamenti è il seguente :

K
u1 = − x2 x3
 2G



u2 = K x1 x3 (6.78)
2G



u3 = 0

da cui segue che il centro di torsione Ct coincide con il baricentro, che le sezioni rette
si mantengono piane, ruotando rigidamente intorno al baricentro, essendo la rotazione :

ϕ3 = M3 x3 (6.79)
GJ 0

Riguardo, in ultimo, allo stato di deformazione, è facile provare che le componenti
εij valgono :

 M3 
0 0 − 2GJ 0 
 x 2 

 M3 
εij =  0 0 2GJ 0 x1  (6.80)

 M3 M3 0 
 − 2GJ 0 2GJ 0
x2 x1

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Cap. VI TORSIONE 1

6.9.6 Sezione rettangolare

Si consideri una sezione rettangolare di lati 2a e 2b con a ≥ b (v. fig. 6.25) .

Fig. 6.25

Nel riferimento (x, y) il problema al contorno (6.59), essendo :

sui lati x = ±a ⇒ n = (±1, 0)

sui lati y = ±b ⇒ n = (0, ± 1)

Si riduce a :

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Cap. VI TORSIONE 2

 (6.81)
∇2ψ = 0
 in A
dψ = m y su x = ±a
 dn su y = ±b


 dψ
 d n = ±x

Tale problema al contorno non ammette soluzione in forma chiusa, ma è possibile

tuttavia determinarla mediante uno sviluppo in serie di Fourier. Omettendo per
semplicità i passaggi matematici, facilmente reperibili nei trattati classici (6.8), nel
riferimento della figura 6.26 , si perviene a (a > b) :

4 2  3 ∞ (− 1)k −1 sinh (K1x) sin (K1y)
( ) ∑ψ π k =1 (2k − 1)3 cosh (K1a)
x, y = − xy + b2 (6.82)

dove :

2k −1 π
K1 = 2 b

Fig. 6.26

(6.8) ad es. R.Baldacci - Scienza delle Costruzioni - vol.1°,1970 UTET

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Cap. VI TORSIONE 3

Sostituendo la (6.82) nella (6.60), tenendo inoltre presente che per la sezione
rettangolare di lati 2a e 2b si ha :

J0 = 4 (ab3 + a3b) = 4 ab(a2 + b2 )

3 3

si perviene alla seguente espressione del fattore di torsione q :

 a  2
b
q=4 1 +

∑3 16   5 ∞1    (6.83)
3 
− 4 b k =1 (2k − 1)5 tgh 2k − 1 πa 
π a 2 b

Si noti che q dipende soltanto dal rapporto a/b e, in funzione di questo rapporto di
allungamento si forniscono nella seguente tabella alcuni valori numerici :

a/b 1.0 1.2 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0 10.0 → ∞

q 1.185 1.224 1.382 1.820 2.454 3.167 5.037 7.445 28.32 → ∞
60

Se l’allungamento del rettangolo a/b è sufficientemente grande, la Σ nella (6.83)
può arrestarsi al primo termine, ottenendo per la q la seguente espressione
approssimata :

 a  2  a  2
b b
1 + 1 +

q ≅ 3  4  5 b = b
4 π a
4 − 4 − 2.5 a

Tralasciando le espressioni complete della σz x e σz y possiamo limitarci ad

osservare che il loro andamento lungo le mediane del rettangolo è messo in evidenza
nella figura seguente.

La simmetria della sezione comporta G = Ct , quindi il baricentro è anche il centro
di torsione.

L’andamento delle tensioni lungo segmenti paralleli ai lati più corti del rettangolo
non è propriamente lineare, però l’errore che si commette con tale approssimazione è
generalmente trascurabile.

Nei punti A e B (v. fig. 6.27) ossia al centro dei lati più lunghi, si hanno le
massime tensioni tangenziali il cui valore è fornito dalla seguente espressione :

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Cap. VI TORSIONE 4

Fig. 6.27

∑σ max Mzb  8 ∞1 1
zx J0 1 π2 k=1 (2k − 1) 2 cosh(K1a) 
= τ max = 2q − (6.84)

e, per la sezione quadrata, con buona approssimazione, si può assumere :

τmax = 1.605 Mz b (6.85)
J0

Quando il rapporto b/a è piccolo (sezione molto allungata), la sommatoria che

compare nella relazione precedente è trascurabile e quindi si ha una buona valutazione

della τmax mediante :

τmax = 2q Mz b = Mz 2b (6.86)
J0 Jt

in cui si è posto Jt = J0 .
q

Dalla (6.84), raggruppando tutti i termini che dipendono dal rapporto di

allungamento che, con riferimento alla figura successiva, ora si esprime mediante h/b

(con b≤h), si perviene alla seguente espressione compatta della tensione tangenziale

massima :

τmax = 1 Mz b (6.87)
α b3h

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Cap. VI TORSIONE 5

in cui il coefficiente α = α bh può essere facilmente calcolato.

Analogamente si può esprimere la caratteristica di deformazione torsionale
mediante :

kz 1 Mz (6.88)
=β Gb3h

in cui è facile verificare che β = β  h  .
b

Nella tabella seguente sono indicati alcuni valori di α e β :

h/b 1.0 1.2 1.5 2.0 3.0 10.0 → ∞
α 0.208 0.219 0.231 0.246 0.263 0.312 1/3
β 0.141 0.166 0.196 0.229 0.263 0.312 1/3

Si può vedere che a partire da un certo punto in poi i valori di α e β tendono al
valore di 1/3. Per quelle sezioni per cui è h/b > 10 si può assumere α = β = 1 e le

3
(6.87) e (6.88) divengono :

τ max = Mz b kz = Mz (6.89)

1 b 3 h 1 Gb 3h
3 3

da cui si deduce dal confronto con la (6.86), che il momento di inerzia per le sezioni
rettangolari allungate è semplicemente :

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Cap. VI TORSIONE 6

Jt = J0 = 1 b3h (6.90)
q 3

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Cap. VI TORSIONE 1

6.9.7 La teoria di Bredt per sezioni chiuse in parete sottile

La teoria di Bredt ha il suo fondamento nelle sole equazioni di equilibrio. Infatti
dalla terza equazione indefinita di equilibrio σ13,1 + σ23,2 = 0, si deduce che il vettore
tensione tangenziale τ z = τ 3 = σ 31i + σ 32 j , ha divergenza nulla :

divτ z = 0 (6.91)

Pertanto, se s è una qualunque linea chiusa contenuta nella sezione A ed As è
l’area da essa racchiusa, dal teorema della divergenza si ottiene :

∫ divτ zdA = ∫ (τ z ⋅ n)ds = 0 (6.92)

As s

Risulta quindi nullo il flusso di τ z attraverso una qualunque linea chiusa s.

Se consideriamo due linee di flusso s1 ed s2 del vettore tensione tangenziale τ z ed
applichiamo il risultato (6.92) alla linea chiusa ABCD (v. fig. 6.28), in cui i segmenti
AB = t1 e CD = t2 sono ortogonali alla linea media s tracciata fra le s1 ed s2 , e
conveniamo di considerare positivo il flusso entrante e negativo quello uscente,
otteniamo :

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Cap. VI TORSIONE 5

Fig. 6.37 b

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Cap. VI FLESSIONE COMPOSTA 1

6.10 FLESSIONE COMPOSTA

6.10.1 Azioni sulle basi

In tale caso, come già visto al punto 6.4.2, sono verificate le seguenti condizioni sulle
basi x3 = l :

N$ = M$ 1 = M$ 2 = M$ 3 = 0 T$1 ≠ 0 T$2 ≠ 0

e quindi in ogni sezione avremo al più le seguenti caratteristiche di sollecitazione
diverse da zero :

T1 = T$1 (6.124)
T2 = T$2

( )M$ 1 = −T$2 l − x3
( )M$ 2 = T$1 l − x3

Si ha presenza di momento flettente e di taglio e perciò questo quarto caso di
sollecitazione prende il nome di flessione composta.

Sulla base x3 = 0 , per l’equilibrio, le azioni applicate devono risultare equivalenti
a:

− T$1 ; − T$2 ; M$ 1 = T$2l ; M$ 2 = −T$1l (6.125)
Avuto riguardo alle (6.10.a) possiamo porre sulla base x3 = l :

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Cap. VI FLESSIONE COMPOSTA 2

f$1 ≠ 0 f$2 ≠ 0 f$3 = 0 (6.126)

con f$1 e f$2 tali da verificare le condizioni : (6.127)

∫ ∫ ∫T$1 = f$1dA; T$2 = f$2 dA; M$ 3 = ( f$2 x1 − f$1x2 )dA = 0

AA A

mentre sulla base x3 = 0 :

f$1 ≠ 0 f$2 ≠ 0 f$3 ≠ 0

e tali da ammettere le risultanti (6.125).

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Cap. VI FLESSIONE COMPOSTA 1

6.10.2 Stato di tensione : tensione normale

Abbiamo visto che la più generale espressione della tensione normale σ 33 nella
trave di Saint Venant è data dalla (6.9) :

σ33 = a + bx1 + cx2 + (a1 + b1x1 + c1x2 ) x3

nella quale compaiono ben 6 costanti di integrazione, che si riducono subito a 3 dal
momento che in x3 = l si ha σ33 = f$3 = 0 , ossia :

a + bx1 + cx2 + (a1 + b1x1 + c1x2 )l = 0

Questa espressione introdotta nella precedente (6.9), fornisce la tensione normale
σ 33 a meno di 3 sole costanti :

σ 33 = (a1 + b1x1 + c1x2 )( x3 − l) (6.128)

Sfruttando poi il fatto che in x3 = 0 deve risultare :

N = 0

 M1 = −T$2(l − x3) = −T2(l − x3 )= −T2l
 M2 = T$1(l − x3) = T1(l − x3) =
 T1l

si perviene al seguente sistema di 3 equazioni algebriche nelle 3 incognite a1,b1 ,c1 :


∫ ( )−


a1 + b1x1 + c1x2 ldA = 0 a1lA = 0

A b1lJ12 + c1lJ1 = T2l
∫ ( ) 
− a1 + b1x1 + c1x2 lx2dA = −T2l b1lJ2 + c1lJ12 = T1l (6.129)

 A

∫( ) ( )

 A
a1 + b1x1 + c1x2 l x1 dA = T1l

Risolvendo il sistema ottenuto e sostituendo i valori di a1,b1 ,c1 così determinati
nella (6.128) siamo in grado di conoscere l’espressione della tensione σ 33 .

Tuttavia se come assi di riferimento si scelgono quelli principali centrali di
inerzia, portando x1 in ξ e x2 in η , il sistema (6.129) si riduce a forma canonica :

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Cap. VI FLESSIONE COMPOSTA 2

a1 = 0 ⇒ a1 = 0
c1 Jξ = Tη b1 = Tξ Jη
b1 Jη = Tξ c1 = Tη Jξ

dando così luogo, per sostituzione dei valori trovati nella (6.128), alla espressione :

 Tξ Tη  ( l)
σ 33 =  Jη ξ + Jξ η −
  x3 (6.130)

che si semplifica ulteriormente, quando si tenga conto che, nel riferimento (ξ,η) le

ultime due delle (6.124) forniscono :

 Mξ = −Tη (l − x3 ) = (Tη x3 − l)

 (6.131)

 Mη = Tξ (l − x3 ) = −Tξ ( x3 − l)


Infatti, sostituendo le (6.131) nella (6.130) si perviene a :

σ 33 = Mξ η− Mη ξ (6.132)
Jξ Jη

che è un’espressione formalmente identica a quella della flessione pura, (6.16) con la
differenza che in questo caso Mξ , Mη sono variabili da sezione a sezione e non più

costanti.
L’identità formale delle (6.132) con la (6.16) consente di utilizzare, sezione per

sezione, i risultati già ricavati nel caso della flessione semplice, in particolare per
quanto riguarda la ricerca dell’asse neutro e dell’asse di flessione.

Se s è l’asse di sollecitazione, individuato dalla direzione del taglio risultante :

T = T1 i + T2 j
come si può constatare dalla figura 6.37,

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