MeccContinui_ScienzadelleCostruzioni_Liro

Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.IPERELASTICITÀ E DISUGUAGLIANZE A PRIORI SULLE COSTANTI ELASTICHE

σij =  σ 11 0 0
 0 0 00
 0
0

si osserva che almeno nei materiali da costruzione risulta :

ε 11 > 0 ⇒ − νε 11 < 0
ε 11 < 0 ⇒ − νε 11 > 0

da cui si deduce, per il coefficiente di Poisson ν , il limite inferiore, fisicamente
accettabile, ν > 0.

I limiti pratici di ν risultano perciò :

0 < ν < 0,5 (5.34)

Si osserva infine che il valore limite n = 0,5 non può essere raggiunto. In tal caso
infatti non sarebbe possibile invertire la (5.15) nella forma (5.19).

F.Angotti, A.Borri - Lezioni di scienza delle costruzioni, a.a. 1997-98

Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. IL PROBLEMA DELL’EQUILIBRIO ELASTICO LINEARE 1

5.4 IL PROBLEMA DELL’EQUILIBRIO ELASTICO LINEARE

Con riferimento al solido elastico-lineare che inizialmente occupa il volume V
(v.fig. 5.4) siano dati :

− il tensore elasticità C[ε ]
− le forze di volume b = b(x)

− le forze di superficie f$ su ∂ V ′

− gli spostamenti di superficie u$ su ∂ V ′′

Fig. 5.4

∂ V ′ e ∂ V ′′ sono parti complementari della superficie ∂ V che racchiude il volume V.

La soluzione del problema dell’equilibrio elastico consiste nel determinare, in
corrispondenza dei dati assegnati, per ogni punto x di V, lo spostamento u, la
deformazione ε , la tensione σ tali che risultino soddisfatte le seguenti equazioni :

• Equazioni di congruenza

( )ε = 1
ij 2
ui, j + u j,i in V (5.35)

• Equazioni costitutive

F.Angotti, A.Borri - Lezioni di scienza delle costruzioni, a.a. 1997-98

Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. IL PROBLEMA DELL’EQUILIBRIO ELASTICO LINEARE 2

σ i j = 2 µ ε i j + λ Iεδ i j (5.36)

• Equazioni indefinite di equilibrio (Cauchy)

σ i j,i + b j = 0 in V (5.37)

• Condizioni al contorno : su ∂ V ′ (5.38)
σ i j ni = f$j

ui = u$i su ∂ V ′′ (5.39)

Si tratta quindi di risolvere un problema al contorno di tipo lineare misto, dacché
le equazioni sono lineari e le condizioni al contorno riguardano sia le forze sia gli
spostamenti. Risultano poi interessanti i due casi particolari, ∂ V = ∂ V ′ e ∂ V = ∂ V ′′ ,

in cui rispettivamente il problema è ricondotto alle sole forze (non sono assegnati gli
spostamenti) ed ai soli spostamenti (non sono assegnate le forze); nei prossimi due
paragrafi esprimeremo le equazioni date rispettivamente in termini di sole componenti
di spostamento e di sole tensioni.

Si noti che le forze di volume b = b(x) e le forze di superficie f$ = f$ (x) sono

assegnate sulla configurazione iniziale V del solido, mentre l’equilibrio sotto queste
forze è raggiunto nella configurazione deformata. Poiché però gli spostamenti sono,
per ipotesi, piccoli, l’errore che si introduce con questa approssimazione è da ritenersi
trascurabile.

Del resto, a proposito delle equazioni costitutive :

σ i j = Ci j k l ε k l

si deve a rigore sottolineare una certa inconsistenza. Infatti nella definizione del
tensore di deformazione ε i j è stato assunto che le componenti di spostamento ui sono

funzioni delle coordinate (x1 ,x2 ,x3 ) del solido nella configurazione iniziale

indeformata.
Viceversa nella definizione del tensore degli sforzi σ i j si è fatto riferimento alla

configurazione equilibrata e quindi alle coordinate (x1′, x2′ , x3′ ) del solido nella

configurazione deformata.

F.Angotti, A.Borri - Lezioni di scienza delle costruzioni, a.a. 1997-98

Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. IL PROBLEMA DELL’EQUILIBRIO ELASTICO LINEARE 3

Naturalmente se gli spostamenti ui e le derivate ui, j sono piccoli allora i valori

σ i j ( x1′, x2′ , x3′ ) e σ i (j x1 , x2 , x3 ) differiscono di una quantità trascurabile.

Per avere un’idea della approssimazione operata si può osservare che, posto :

xh′ = xh + uh

si ha :

∂σ i j = ∂σ i j ⋅ ∂ xh′ = ∂σ i j  + ∂ uh  = ∂σ i j δ hk + ∂σ i j ∂ uh = ∂σ i j + ∂σ i j ∂ uh
∂ xk ∂ xh′ ∂ xk ∂ xh′ δ hk ∂ xk′  ∂ xh′ ∂ xh′ ∂ xk′ ∂ xk′ ∂ xh′ ∂ xk′

e perciò, l’approssimazione :

∂σ i j = ∂σ i j
∂ xk ∂ xh′

significa ritenere trascurabili le derivate dello spostamento rispetto all’unità.

F.Angotti, A.Borri - Lezioni di scienza delle costruzioni, a.a. 1997-98

Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.IL PROBLEMA ELASTOSTATICO IN TERMINI DI SPOSTAMENTI 1

5.4.1 Il problema elastostatico in termini di spostamenti

Per giungere alle equazioni del problema elastico in termini di spostamenti ui , si
sostituisce alla tensione, nell’equazione indefinita di equilibrio (5.37), la sua
espressione proveniente dall’equazione costitutiva (5.36), si ottiene così :

2 µ ε i j,i + λ I ε,i δ i j + bj = 0

sfruttando anche l’equazione di congruenza e notando che :

Iε = ε kk = 1 ( u k , k + u k,k ) = u k,k
2

si ottiene :

µ u i, ji + µ u j,ii + λ u k ,k i δ i j + bj = 0

Osservando che

u i, j i = u i, i j = u k,k j

e che inoltre

u j,i i = ∇ 2 u j

essendo ∇ 2 l’operatore di Laplace, si ottiene la formulazione del problema
elastostatico in termini di soli spostamenti :

µ ∇2 u j + ( λ + µ )u i,i j + bj = 0 (5.40)

Le tre equazioni così ottenute sono note come equazioni di Navier (Louis Marie
Henri ) (1827).

Alle equazioni di Navier occorre associare le corrispondenti condizioni al
contorno costituite solo dalle (5.38), nel caso di ∂ V = ∂ V ′′ , oppure da queste insieme

alle

( )µ u i, j + u j,i ni + λ u k ,k n j = f$j su ∂V ′ (5.41)

nel caso più generale del problema misto.

F.Angotti, A.Borri - Lezioni di scienza delle costruzioni, a.a. 1997-98

Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.IL PROBLEMA ELASTOSTATICO IN TERMINI DI SPOSTAMENTI 2

Integrando il sistema di equazioni differenziali si arriva alla soluzione in termini di

( )spostamenti u i = u i x j dai quali è facile ottenere sia il tensore della deformazione

che quello della tensione.
Derivando le equazioni di Navier (5.40) rispetto alla variabile x j si otteniene:

µ u j,ii j + ( λ + µ ) u i,i j j + bj, j = 0

e quindi

( λ + 2µ ) u i,i j j + bj, j = 0 ⇒ (λ + 2µ ) Iε, j j + bj, j = 0

in quanto u j ,i i j = u i ,i j j = I ε , j j .
Proseguendo, si può scrivere

(λ + 2µ )∇2 Iε + bj, j = 0 (5.42)

che, ove risulti bj, j = 0 ed ammettendo ( λ + 2 µ ) ≠ 0 , diventa

∇2Iε = 0 (5.43a)
e, se si ricorda che Iσ = ( 2µ + 3λ )Iε , anche

∇2Iσ = 0 (5.43b)

Resta così provato che Iε e Iσ quando bj = cos t , sono funzioni armoniche.

F.Angotti, A.Borri - Lezioni di scienza delle costruzioni, a.a. 1997-98

Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. IL PROBLEMA ELASTOSTATICO IN TERMINI DI TENSIONI 1

5.4.2 Il problema elastostatico in termini di tensioni

Si parte dalle equazioni esplicite di congruenza

ε ε ε ε+ = +i j,hk (a)
hk,i j ih, j k jk,ih

per arrivare, in modo concettualmente analogo a quanto visto nel paragrafo precedente,
alle equazioni del problema elastostatico in termini di sole componenti di tensione.

Sostituendo infatti nelle (a) alle deformazioni la loro espressione data
dall’equazione di legame nella forma (5.18)

[ ]ε i j 1 1 +ν  σ −ν 
= E (1 + ν )σ i j − ν Iσ δ i j =  E  i j 1+ν Iσ δ i j 

si ottengono le seguenti equazioni :

σ i j,h k −ν Iσ ,h k δ ij +σ h k ,i j − ν δIσ , i j h k =
1+ν 1+ν

= σ ih, jk −ν Iσ , j k δ ih +σ j k ,i h − ν δIσ ,i h j k
1+ν 1+ν

Come già osservato di tali 81 equazioni solamente 6 sono indipendenti.
Un modo per ottenerle consiste nel contrarre la prima coppia di indici (ponendo i

= j ) pervenendo così, dopo aver riorganizzato i termini, a :

( )σ ν
ii,h k + σ h k ,i i − σ i h,i k − σ i k ,i h = 1+ν δIσ ,h k i i + Iσ ,i i δ h k − δIσ ,i k i h − Iσ ,i h δ i k

o anche

=ν
1+ν
( )Iσ ,h k
+ ∇2σ hk − σ i h,i k − σ i k ,i h Iσ, hk + ∇2 Iσ δ hk (5.44)

avendo utilizzato le seguenti uguaglianze

σ = Ii i ,h k σ ,h k ; Iσ ,h k δ i i = 3 Iσ ,h k ; δIσ ,i k i h = δIσ ,i h i k = Iσ ,h k

F.Angotti, A.Borri - Lezioni di scienza delle costruzioni, a.a. 1997-98

Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. IL PROBLEMA ELASTOSTATICO IN TERMINI DI TENSIONI 2

Fin qui si è tenuto conto delle equazioni di congruenza e di quelle costitutive; ora
è facile controllare che le (5.44) possono essere ulteriormente semplificate utilizzando
le equazioni di equilibrio scritte per le coppie di indici i,h ed i,k come qui di seguito
riportate :

σ i h,i + bh = 0 σ i k ,i + bk = 0

Queste derivate rispettivamente rispetto a k ed h, si traducono nelle :

σ i h,i k = −bh,k σ i k ,i h = −bk ,h

che, sostituite nelle (5.44) e poi riordinando, portano alle :

=ν
1+ν
( )Iσ ,hk
+ ∇2σ hk + bh,k + bk ,h Iσ ,hk + ∇2 Iσ δ hk

∇2σ hk +1 Iσ ,h k = −bh,k + bk ,h −ν ∇ 2 Iσ ,h k  (5.45)
1+ν 1+ν

Ricordando poi :

Iσ = ( 2 µ + 3λ )Iε ⇒ ∇2Iε = ∇2Iσ / ( 2 µ + 3λ )

e che, per la (5.42), si può scrivere :

( λ + 2µ )∇2 Iε = λ + 2µ ∇2 Iσ = −b j, j
2µ + 3λ

da cui :

∇2 Iσ = − 2µ + 3λ b j , j
λ + 2µ

e quindi, ricordando le relazioni tra costanti elastiche, con facili passaggi si trova :

ν ∇2 Iσ = −λ 2µ + 3λ =− λ = − 1 ν ν b j , j
1+ν 2µ + 3λ λ + 2µ bj, j λ + 2µ bj, j −

F.Angotti, A.Borri - Lezioni di scienza delle costruzioni, a.a. 1997-98

Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. IL PROBLEMA ELASTOSTATICO IN TERMINI DI TENSIONI 3

Sostituendo quest’ultimo risultato nella (5.45) si ottengono le equazioni di
Beltrami, Donati, Michell (5.6) :

∇2σ h k +1 Iσ ,h k = − bh , k + bk ,h + 1 ν ν b j , j δ h k  (5.46)
1+ν −

che, nel caso particolare di forze di volume costanti diventano:

∇2σ h k +1 Iσ ,h k =0 (5.47)
1+ν

Le equazioni (5.47) sono quelle che verranno maggiormente utilizzate in quanto le
forze di volume, quando non sono costanti o assumibili tali, in molti casi possono
essere considerate come forze di superficie. La liceità di questa assunzione, che il
rigore analitico vorrebbe negata, è però dimostrata dalle applicazioni tecniche.

Le (5.46) scritte per esteso divengono :

1  ν 
1+ν − 2b1,1 1−ν 
+( )∇2σ 11 = +
Iσ ,11 b1,1 + b2,2 + b3,3

1  ν 
1+ν − 2b2 ,2 1−ν 
( )∇2σ 22 +
+ Iσ ,22 = b1,1 + b2,2 + b3,3

1  ν 
1+ν − 2b3,3 1−ν 
+( )∇2σ 33 = +
Iσ ,33 b1,1 + b2,2 + b3,3

+1
1+ν
( )∇2σ 12
Iσ ,12 = − b1,2 + b2,1

+( )∇2σ 23 1 = −
1+ν Iσ ,23 b2 ,3 + b3,2

+1
1+ν
( )∇2σ 13
Iσ ,13 = − b1,3 + b3,1

Per determinare lo stato di tensione in un corpo elastico occorre pertanto risolvere
il sistema di equazioni (5.46) soggette alle condizioni al contorno (5.38).

(5.6) Queste equazioni furono ottenute da Eugenio Beltrami (1892) nel caso bj = 0 ; da Donati (1894) e J. H.
Michell (1900) nella loro forma generale. Esse sono note come equazioni di Beltrami-Michell, sebbene Donati le
abbia scoperte sei anni prima di Michell.

F.Angotti, A.Borri - Lezioni di scienza delle costruzioni, a.a. 1997-98

Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. I TEOREMI CLASSICI DELLA ELASTICITÀ LINEARE 1

5.5 I TEOREMI CLASSICI DELLA ELASTICITÀ LINEARE

In virtù della linearità delle equazioni indefinite di equilibrio (5.37), di quelle ai limiti
(5.38), delle equazioni di congruenza (5.35), di quelle di vincolo (5.39) e delle
equazioni costitutive in una qualsiasi delle forme viste in precedenza, è possibile
formulare alcuni teoremi classici di notevole interesse applicativo.

In particolare ci soffermiamo su:

1) Principio di sovrapposizione degli effetti

2) Teorema di Clapeyron (o del lavoro di deformazione)

3) Teorema di unicità (o teorema di Kirchhoff)

4) Teorema di Betti (o principio di reciprocità)

5) Teorema di Maxwell

L’ipotesi di linearità, fondamentale nella formulazione di questi teoremi, si basa
sull’assunzione di domini indipendenti dalle soluzioni (&5.4), ossia si accetta l’ipotesi
semplificativa che sia possibile scrivere le relazioni di equilibrio facendo riferimento
alla configurazione iniziale, anziché, come dovrebbe essere, a quella finale in cui la
deformazione altererebbe lo stato di tensione. Qualora ciò non fosse possibile si
incorrerebbe inevitabilmente in equazioni non lineari.

F.Angotti, A.Borri - Lezioni di scienza delle costruzioni, a.a. 1997-98

Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI 1

5.5.1 Principio di sovrapposizione degli effetti

[ ]Si dice che un campo di spostamenti, deformazioni e tensioni ui ,εij ,σ ij definiti

in V (v.fig.5.4) costituiscono uno stato elastico se, oltre ad essere sufficientemente
regolari (ammissibili), soddisfano le equazioni :

=1( )εi j
2 ui , j + u j ,i

σ i j = Ci j k l ε k l in V

σ i j ,i + b j = 0

inoltre :

f j = σ i j αi su ∂V

[ ]Come si vede allo stato elastico ui ,εij ,σ ij così definito restano associate le forze

di volume bj e le forze f j agenti su tutta la superficie che racchiude V. Si può quindi

[ ] [ ]dire che bj , f j sono le forze esterne associate allo stato elastico ui ,εij ,σ ij definito

in V.
Il principio di sovrapposizione degli effetti, ovverosia il principio di

sovrapposizione degli stati elastici, può essere dimostrato (5.7) considerando due
distinti stati elastici e le corrispondenti forze esterne :

{u, ε ,σ} {b, f }
{u1 , ε1 , σ 1} {b1 , f1}

se α e β sono due scalari, allora :

{α u + β u1 , α ε + β ε1 , α σ + β σ 1}

è uno stato elastico a cui corrispondono le forze esterne

{α b + β b1 , α f + β f1}

(5.7) Notare che quando, come in questo caso, qualche asserzione viene dimostrata cessa di essere un principio ed
assume più propriamente la dizione di “teorema”.

F.Angotti, A.Borri - Lezioni di scienza delle costruzioni, a.a. 1997-98

Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI 2

come si verifica facilmente attraverso la sostituzione delle grandezze nelle equazioni di
equilibrio, congruenza e legame.

E’ importante notare che il principio di sovrapposizione degli effetti non è applicabile
a qualsiasi grandezza; occorre fare attenzione, ad esempio, nel ricorrervi quando si
opera con l’energia di deformazione. Infatti, ricordando l’espressione (5.27) per la
densità di energia elastica, si può definire l’energia elastica posseduta dal corpo che
occupa il volume V mediante:

{ } ∫ ∫U ε i j = Φ [ ε i j ] dV = ε εC1 dV (5.48)

2 i jhk i j hk

VV

Se ε i j è ottenuta come somma di due deformazioni ε i j = ε i j + ε~i j : l’energia
elastica di deformazione risulta

{ } ∫U ε i j + ε~i j = 1 Ci jhk (ε i j + ε~i j )(ε hk + ε~h k ) dV =
2

V

∫ ∫= Ci j h k ε~i j ε~h k dV +
1 Ci jhk ε i j ε hk dV + 1
2 2

VV

C i j h k ε~i j ε h k Ci j h k ε i j ε~h k dV
∫ ∫+1 dV + 1
2 2

VV

che, sfruttando la simmetria del tensore C , diventa :

{ } [ ] [ ] ∫U ε i j + ε~i j = U ε i j + U ε~i j + ε εC ~i j h k i j h k dV (5.49)

V

{ }La (5.49) prova che per l’energia elastica U ε i j non vale la sovrapposizione degli

effetti:

{ } { [ ] [ ]}U ε i j + ε~i j ≠ U ε i j + U ε~i j

Se si raddoppia la deformazione non è detto quindi che raddoppi anche l’energia
di deformazione: occorre tenere conto di un “termine di accoppiamento tra i due stati
di deformazione” che è proprio l’integrale che compare nella (5.49).

F.Angotti, A.Borri - Lezioni di scienza delle costruzioni, a.a. 1997-98

Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI 3

Esiste solo un caso in cui vale il principio di sovrapposizione degli effetti per
l’energia elastica e cioè quello in cui gli stati di deformazione sono tra loro
energeticamente ortogonali come accade, ad esempio, quando i due tensori della
deformazione sono uno deviatorico e l’altro sferico. I tal caso infatti il termine di
accoppiamento è nullo.

In conclusione si può enunciare il principio di sovrapposizione degli effetti come
segue:

applicando contemporaneamente ad uno stesso sistema elastico lineare vari sistemi di
forze, si producono spostamenti , deformazioni e tensioni uguali alla somma di quelle
prodotte separatamente da ciascun sistema di forze o anche, in altre parole, ad una
combinazione lineare di stati elastici si associa una combinazione lineare delle
corrispondenti forze.

F.Angotti, A.Borri - Lezioni di scienza delle costruzioni, a.a. 1997-98

Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. TEOREMA DI CLAPEYRON 1

5.5.2 Teorema di Clapeyron (o del lavoro di deformazione)

Si è visto che il lavoro interno per unità di volume ϕ(sε ) , che è stato chiamato lavoro
specifico, in un processo di deformazione εi j = εi j (α ) con α0 ≤ α ≤ α1 , è dato dalla

(5.21) :

( ) ∫ϕ sε = σα1 i j dε i j dα
dα
α0

Partendo da questa espressione è facile esprimere il lavoro di deformazione Ld

che si compie quando il solido di volume V viene sottoposto ad un processo di

[ ]deformazione conseguente all’applicazione di forze esterne bj , f j mediante :

Ld = ∫ ϕ(sε ) dV

V

( )Ammettendo l’esistenza di una densità di energia di deformazione Φ εi j , si può

scrivere (5.24) :

[ ( ) ( )]∫Ld =Φ ε1 −Φ ε0 dV
ij ij

V

( ) ( )essendoε1 ε 0 .
ij = εi j α1 , ij = εi j α0

Supponendo ora che il processo di deformazione abbia inizio in ε0 = 0 (stato
ij

indeformato) e si concluda quando ε1 = εi j (deformazione finale) e che sia
ij

Φ(0) = 0 , la precedente espressione del lavoro di deformazione Ld diviene :

∫ ( ) ∫ ∫ { }Ld = Φ εi j dV = 1 εi ε 1 σi jεi εi j a)
2 Ci j k l j k l dV = 2 j dV =U

VV V

In queste uguaglianze si è fatto uso delle (5.48) e (5.30).

Ld rappresenta quindi il lavoro necessario per deformare un solido elastico dallo

( )stato naturaleε0 = σ 0 = 0 ad un certo stato finale individuato dal tensore di
ij ij

[ ]deformazione εi j . Questo lavoro è ovviamente compiuto dalle forze esterne bj , f j

applicate al solido.

F.Angotti, A.Borri - Lezioni di scienza delle costruzioni, a.a. 1997-98

Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. TEOREMA DI CLAPEYRON 2

Avendo implicitamente supposto che il processo di deformazione a cui è
sottoposto il solido è puramente meccanico, ossia che tutto il lavoro delle forze esterne
Lf si trasformi in energia di deformazione, si può scrivere il bilancio energetico :

Lf = Ld b)

Questo bilancio presuppone che le forze esterne siano applicate “staticamente”
ossia in maniera tale che si possano escludere effetti dinamici che, a causa degli
inevitabili smorzamenti provocherebbero una dissipazione di energia.

Consideriamo ora un corpo elastico che occupi il volume V , in equilibrio sotto le
bj , f j . Siano ui ,εij ,σ ij gli spostamenti, le deformazioni e le tensioni corrispondenti

alla soluzione dell’equilibrio elastico. Proprio con riferimento al sistema di forze e
tensioni certamente equilibrato :

bj , f j , σi j
ed al sistema di spostamenti e deformazioni certamente congruente :

ui , εij
si scrive l’equazione dei lavori virtuali :

∫ ∫ ∫b j u j dV + f j u j dA = σ i j ε i j dV

V ∂V V

Il secondo membro esprime, per la a), il doppio del lavoro di deformazione Ld , e
per la b) possiamo scrivere :

1 1  
∫ ∫ ∫Lf 2 2  dA
= Ld = σ i j ε i j dV = V bj u j dV + f j u j 

V ∂V

essendo L f il lavoro delle forze esterne.

F.Angotti, A.Borri - Lezioni di scienza delle costruzioni, a.a. 1997-98

Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. TEOREMA DI CLAPEYRON 3

Risulta così immediata l’enunciazione del teorema di Clapeyron (Paolo Emilio)
(1852):

∫ ∫Lf1  (5.50)
2  dA
= V bj u j dV + f j u j 

∂V

“il lavoro compiuto dal sistema di forze applicate ad un corpo elastico lineare è uguale
alla metà del lavoro che le forze stesse compirebbero se agissero fin dall’inizio con la
loro intensità finale”.

È ovvio che il risultato acquisito è riferito ai solidi elastici dotati di energia di
deformazione (solidi iperelastici).

Un semplice esempio di applicazione del teorema di Clapeyron è rappresentato
nella figura seguente

Il diagramma P-u rappresenta la relazione di proporzionalità carico-freccia. Da
questo grafico discende immediatamente che il lavoro compiuto da P per deformare la
trave è rappresentato dall’area tratteggiata. Si noti che il carico raggiunge il suo valore
finale P solo quando la freccia ha raggiunto il suo valore finale u.

F.Angotti, A.Borri - Lezioni di scienza delle costruzioni, a.a. 1997-98

Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. TEOREMA DI KIRCHHOFF 1

5.5.3 Teorema di Kirchhoff (o teorema di unicità) (1859)

La dimostrazione di questo teorema viene condotta per assurdo. Supponiamo
infatti che alle medesime forze esterne bj , f$j assegnate rispettivamente in V e su
∂ V ′′ ed ai medesimi vincoli cinematici u$ j assegnati su ∂ V ′ corrispondano due distinte
soluzioni.

[ u1, ε 1, σ 1 ] [ u2, ε2, σ 2 ]

allora le funzioni :

u = u1 − u2
ε = ε1 − ε2 a)

σ = σ1 − σ 2

la differenza tra le due soluzioni , per il principio di sovrapposizione degli effetti, deve
essere la soluzione corrispondente a dati omogenei, ossia :

u$ = 0 su ∂ V ′
 su ∂ V ′′
 f$ = 0 in V b)

 b = 0


Il teorema di Clapeyron (5.50), applicato alla soluzione differenza a) e b) fornisce :

[ ] ∫Lf = 0 ⇒ εij ε hk
Ld = U ε i j = C1 dV = 0

2 i jhk

V

e cioè si annulla il lavoro di deformazione: l’unico caso che permette tale circostanza,

essendo la densità di energia per ipotesi, una funzione quadratica definita positiva, è la
condizione ε i j = 0 , vale a dire

ε =ε1 −ε2 = 0 ⇒ ε1 =ε2

da cui discende immediatamente:

σ1 =σ2

F.Angotti, A.Borri - Lezioni di scienza delle costruzioni, a.a. 1997-98

Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. TEOREMA DI KIRCHHOFF 2

Per quanto attiene agli spostamenti, è noto che essi sono determinati a meno di
eventuali moti rigidi del solido ; ovverosia alla deformazione ε 1 = ε 2 corisponderà il

campo di spostamenti :

u1 = u2 + u0

( )essendo u0 un campo di spostamenti rigidi ε 0 = 0 . Se il solido è sufficientemente

vincolato su ∂ V ′ in maniera tale da impedire moti rigidi, avremo u0 = 0 e quindi :

u1 = u2
Resta così provata l’unicità del problema misto elastostatico.

F.Angotti, A.Borri - Lezioni di scienza delle costruzioni, a.a. 1997-98

Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. TEOREMA DI BETTI 1

5.5.4 Teorema di Betti (o teorema di reciprocità)

Sia [ u′j , ε ′i j , σ ′i j ] la soluzione del problema elastostatico, in un solido
iperelastico di volume V, corrispondente al sistema di forze equilibrate [ f j′, b′j ] e
[ u′′j , ε ′i′j , σ ′i′j ] quella relativa a [ f j′′, b′j′ ] anch’esse equilibrate. Il principio dei

lavori virtuali scritto associando al primo sistema di forze e tensioni il sistema di
spostamenti e deformazioni del secondo è

∫ ∫ ∫b′j u′j′ dV + f j′ u′j′ dA = σ ′i j ε ′i′j dV a)

V ∂V V

mentre se si associa al secondo sistema di forze e tensioni il sistema di spostamenti e
deformazioni del primo si ha

∫ ∫ ∫b′j′ u′j dV + f j′′ u′j dA = σ ′i′j ε ′i j dV b)

V ∂V V

entrambi validi in quanto i due sistemi di forze e i due di spostamento rispettano
equilibrio e congruenza per essere soluzioni del problema elastostatico.

La simmetria del tensore C assicura che

σ ′i j ε ′i′j = C [ε ′] ε ′′ = ε ′ C [ε ′′] = σ ′i′j ε ′i j

e quindi sono uguali i secondi membri da a) e b) e per conseguenza dovranno esserlo
anche i primi :

∫ ∫ ∫ ∫b′j u′j′ dV + f j′ u′j′ dA = b′j′ u′j dV + f j′′ u′j dA (5.51)

V ∂V V ∂V

Questa equazione esprime il teorema di Betti (1872), noto anche come I° Teorema
di Reciprocità per cui il lavoro che un sistema di forze equilibrate (a) compie per
effetto degli spostamenti causati da un secondo sistema di forze equilibrate (b),
coincide con il lavoro del sistema di forze (b) per effetto degli spostamenti dovuti al
sistema di forze (a), cioè

Lab = Lba

I due termini della (5.51) prendono anche il nome di lavoro mutuo (o indiretto).

F.Angotti, A.Borri - Lezioni di scienza delle costruzioni, a.a. 1997-98

Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. TEOREMA DI BETTI 2

Se supponiamo di applicare il sistema di forze (b) quando il solido ha già
raggiunto l’equilibrio sotto il sistema di forze (a), è evidente che il lavoro delle forze
(a) è proprio espresso dal primo membro della (5.51) in quanto queste hanno già
raggiunto la loro intensità finale quando si producono gli spostamenti corrispondenti al
secondo sistema di forze. Si può quindi enunciare il teorema di Betti nel seguente
modo : “il lavoro eseguito dalle forze (a) durante l’applicazione delle forze (b) è
uguale al lavoro che le forze (b) compiono durante l’applicazione delle forze (a)”.

Vale la pena di annotare che le deformazioni prodotte dalle forze esterne si
sovrappongono a quelle eventuali proprie dello stato naturale (coazioni) senza ricevere
alcuna influenza e pertanto il teorema di Betti mantiene la sua validità anche in
presenza di coazioni.

F.Angotti, A.Borri - Lezioni di scienza delle costruzioni, a.a. 1997-98

Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. TEOREMA DI MAXWELL 1

5.5.5 Teorema di Maxwell

Nel caso particolare in cui i due sistemi di forze (a) e (b) considerati nel paragrafo
precedente sono ridotti a due sole forze concentrate Fa e Fb applicate rispettivamente
nei punti A e B, il teorema di Betti si riduce a :

Fa u Ab = Fb u Ba

in cui con u Ab e u B a si sono indicati rispettivamente lo spostamento di A prodotto da
Fb lungo la direzione di Fa e lo spostamento di B prodotto da Fa lungo la direzione
di Fb (v. Fig. 5.5).

Fig.5.5

Assumendo Fa = Fb = 1 ed indicando con α e β le direzioni di Fa e Fb si ha

allora

u Ab = u Ba (5.52)

che rappresenta il teorema di Maxwell (1864): "lo spostamento di un punto A, valutato
in una direzione arbitraria α , provocato da una forza unitaria agente in un punto B
secondo una qualsiasi direzione β , è uguale allo spostamento di B, valutato nella
direzione β , provocato da una forza unitaria agente in A secondo la direzione α ".

F.Angotti, A.Borri - Lezioni di scienza delle costruzioni, a.a. 1997-98

Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. TEOREMA DI MAXWELL 2

Applicando il teorema di Maxwell ad una trave in cui A e B siano due punti
qualsiasi del suo asse (v. fig. 5.6) ed α e β coincidono con j versore dell’asse y, si ha :

u Ab = u Ba ; u Ca = u Ac

Nella fig. 5.6 sono indicati gli assi della trave nella configurazione iniziale
rettilinea e nella configurazione deformata, nota come linea elastica.

Fig. 5.6

E’ quindi immediata conseguenza che gli spostamenti prodotti da una forza

unitaria viaggiante (Fb = 1,Fc = 1,.....) sulla trave in una determinata sezione A, si

possono leggere direttamente sulla linea elastica prodotta dalla Fa = 1, ossia da una
forza unitaria applicata proprio nella sezione A.

Per tale motivo la linea elastica in a) coincide con la linea di influenza(5.8) dello
spostamento uA .

E’ facile dimostrare che il teorema di Maxwell continua a valere se si considerano
coppie e rotazioni in luogo di forze e spostamenti.

(5.8) Se la trave è percorsa da un carico concentrato unitario verticale, si chiama linea di influenza di un
determinato effetto (ad es. lo spostamento verticale) un diagramma tale che la sua ordinata letta sotto le varie
posizioni del carico misuri il valore dell’effetto provocato dal carico unitario viaggiante.

F.Angotti, A.Borri - Lezioni di scienza delle costruzioni, a.a. 1997-98

Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. PRINCIPI VARIAZIONALI 1

5.6 PRINCIPI VARIAZIONALI

5.6.1 Principio di stazionarietà per l’energia potenziale

In questo e nel successivo punto si vuole caratterizzare, con due classici principi di
minimo, la soluzione dei problemi di equilibrio elastico lineare impostati nel punto 5.4.
in forma differenziale. Si tratta del principio della minima energia potenziale e della
minima energia complementare. Attraverso di essi si apre la strada per la ricerca di
soluzioni numeriche dei problemi al contorno misti dell’elastostatica.

Incominciamo col dimostrare due principi di stazionarietà.

Sia dato un solido elastico lineare con tensore elasticità C simmetrico ed
assegnate

− le forze di volume b = b(x) nel volume V,

− le forze di superficie f$ su ∂ V ′

− gli spostamenti di superficie u$ su ∂ V ′′

x3 f

O V ∂V’
x2
b
x

∂V’’

x1

Come già assunto in 5.4., ∂ V ′ e ∂ V ′′ siano parti complementari della superficie ∂ V

che racchiude il volume V.
Siano [ ui , εij ] un campo di spostamenti e deformazioni congruenti definiti in V.

Risultano pertanto soddisfatte le equazioni di congruenza (5.35) e le condizioni al
contorno (5.39) :

( )ε = 1
ij 2
ui, j + u j,i in V (5.35)
(5.39)
ui = u$i su ∂ V ′′

F.Angotti, A.Borri - Lezioni di scienza delle costruzioni, a.a. 1997-98

Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. PRINCIPI VARIAZIONALI 2

Inoltre al campo di deformazione resta associato, attraverso il tensore di elasticità C il
campo di tensione dato dalla relazione :

σij = εCijhk hk (5.6)

Il campo s = [ ui , εij , σij ] che soddisfa oltre alla congruenza anche l’equazione

costitutiva (5.6) viene chiamato stato elastico cinematicamente ammissibile.
Con queste premesse e supponendo inoltre che le forze esterne siano

conservative, possiamo definire il seguente funzionale :

[ ] { } ∫ ∫) (5.53)

J u j , ε i j = U ε i j − b j u j dV − f j u j dA

V144442∂4V2 4443
Ψ

{ }dove U εij e Ψ sono rispettivamente l’energia di deformazione, il potenziale dei

carichi(5.9).

[ ]Il funzionale J ui ,εij prende il nome di “energia potenziale” e, come si evince

dalla definizione (5.53), è espresso come somma dell’energia di deformazione e del
potenziale delle forze esterne, supposte conservative.

[ ]La variazione prima di J ui ,εij può essere espressa mediante :

[ ] [ ] [ ]δ J u j , εi j = J uj + δ ui , εi j + δεi j − J u j , εi j (5.54)

dove δui e δεij sono variazioni del campo congruente [ ui , εij ] sul quale è definito il

funzionale J e perciò geometricamente ammissibili nel senso che sono soddisfatte le
relazioni :

( )δε i j1
= 2 δu i, j + δu j,i in V (a)
(b)
δui = δu$i = 0 su ∂ V ′′

(5.9) Anziché al funzionale J ci si può riferire alla “energia potenziale totale” :

)
f j u j dA −
[ ] { } ∫ ∫ ∫EC u j , ε i j = U ε i j − b j u j dV − f j u) j dA

V144442∂4V2 4443 ∂1V14243

Infatti per la (b) è immediato verificare che δ EC = δ J .

F.Angotti, A.Borri - Lezioni di scienza delle costruzioni, a.a. 1997-98

Cap. Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. PRINCIPI VARIAZIONALI 3

Sviluppando l’espressione di δ J si ottiene :

[ ] { } ( ) ( )∫ ∫ )

δ J u j , ε i j = U ε i j + δε i j − bj u j + δ u j dV − f j u j + δ u j dA −

V ∂ V2

{ } ∫ ∫) (5.55)

− U ε i j + b j u j dV + f j u j dA

V ∂ V2

In virtù della (5.49), per un solido elastico lineare di Green, si può scrivere :

{ } { } { } ∫U εij + δεij = U εij + U δεij + Cijhk εhkδεij dV

V

{ }e, assumendo di poter trascurare il termine U δ εij , in quanto infinitesimo del secondo

ordine e, posto

σ i j = Ci j hk εhkj

si perviene a

{ } { } ∫U ε σ δε
ε +δε =U ij + ij ij dV
ij ij

V

Sostituendo l’espressione così ottenuta nella (5.55), sviluppando e semplificando le
operazioni ivi contenute si giunge a :

[ ] ∫ ∫ ∫) (5.56)

δ J u j , ε i j = σ i j δε i j dV − b j δ u j dV − f j δ u j dA

V V ∂ V2

Appare così evidente che la condizione di stazionarietà per l’energia potenziale

[ ]J ui ,εij

[ ]δ J u j , εi j = 0 (5.57)

coincide con il principio dei lavori virtuali :

F.Angotti, A.Borri - Lezioni di scienza delle costruzioni, a.a. 1997-98













































Cap. VI I QUATTRO CASI FONDAMENTALI DI SOLLECITAZIONE 1

6.4 I QUATTRO CASI FONDAMENTALI DI SOLLECITAZIONE

6.4.1 Risultante e momento risultante delle forze superficiali f$j applicate alle basi

Con riferimento alla base x3 = l del cilindro, possiamo esprimere la risultante R$
ed il momento risultante M$ , rispetto al baricentro G della stessa base. Le componenti

( ) ( )di R$ ed M$ nel riferimento (x1 ,x2 ,x3 ) , R$ ≡ T$1 ,T$2 , N$ e M$ ≡ M$ 1 , M$ 2 , M$ 3 ,

valgono :

N$ = ∫ f$3 dA ∫T$1 = f$1 dA ∫T$2 = f$2 dA

A A A

(6.10.a)

∫M$ 1 = f$3 x2 dA ∫M$ 2 = − f$3 x1 dA ( )∫M$ 3 = f$2 x1 − f$1 x2 dA

A A A

dove ci si è riferiti alla figura 6.3 ed alla convenzione sui segni in essa indicata.(6.1)

Fig. 6.3

(6.1) Nella letteratura tecnica si trova spesso la seguente notazione : R$ = (V$ 1 , V$ 2 , N$ ), M$ = (M$ 1 , M$ 2 , T)

F. Angotti, A. Borri - Lezioni di scienza delle costruzioni, a.a. 1997-98

Cap. VI I QUATTRO CASI FONDAMENTALI DI SOLLECITAZIONE 2

È noto che molto spesso ciò che si conosce sono proprio R$ ed M$ piuttosto che le
effettive azioni superficiali f$ . Vedremo che tale questione sarà brillantemente risolta

da Saint-Venant. Inoltre è evidente che, dovendo essere equilibrate le forze superficiali
applicate alle basi, il sistema di forze applicate alla base x3 = 0 deve ammettere una

risultante − R$ ed un momento risultante, rispetto al baricentro, pari a − M$ , cioè
uguali e contrari a quelli ora calcolati per la base x3 = l .

In una generica sezione di ascissa x3 possiamo esprimere le caratteristiche della
sollecitazione (6.1) nel seguente modo :

N = N$ T1 = T$1 T2 = T$2

M1 = M$ 1 − T$2 (l − x3) M2 = M$ 2 + T$1(l − x3) M3 = M$ 3

Inoltre se σ i j è il tensore degli sforzi nella sezione di ascissa x3 sussistono le
relazioni :

∫N$ = σ 33 dA ∫T$1 = σ 31 dA ∫T$2 = σ 32 dA

A A A

∫M$ 1 = σ 33 x2 dA ∫M$ 2 = − σ 33 x1 dA ∫ ( )M$ 3 = σ 32 x1 − σ 31 x2 dA

A A A

(6.1) In generale gli assi x1 e x2 non sono assi principali d’inerzia e quindi a rigore T1 ,T2 , M1 , M 2 non

sono caratteristiche della sollecitazione.

F. Angotti, A. Borri - Lezioni di scienza delle costruzioni, a.a. 1997-98

Cap. VI I QUATTRO CASI FONDAMENTALI DI SOLLECITAZIONE 1

6.4.2. I quattro casi fondamentali

Valori particolari delle componenti T$ , T$ , N$ , M$ , M$ 2 , M$ 3 danno luogo ai seguenti
1 2 1

4 casi fondamentali :

1) FORZA NORMALE SEMPLICE

In tal caso si ha :

T$ = T$ = M$ = M$ = M$ = 0 N$ ≠ 0
1 2 1 2 3

e quindi in ogni sezione N = N$ .
L’unica caratteristica di sollecitazione non nulla è la forza normale.

2) FLESSIONE SEMPLICE

In tal caso si ha:

N$ = T$ = T$ = M$ = 0 M$ = M$ i + M$ j ≠ 0
1 2 3 1 2

e quindi in ogni sezione M = M$ e M = M$ 2 .
1 1 2

L’unica caratteristica di sollecitazione non nulla è il momento flettente.

3) TORSIONE

F. Angotti, A. Borri - Lezioni di scienza delle costruzioni, a.a. 1997-98