Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 249 Kemudian koreksi l dan b untuk aberasi Matahari seperti yang terlihat dari Saturn: l' = l - 0°.01759 / r 8. 9. Untuk perhitungan besarnya Saturnus (lihat Bab 40), kita perlu kuantitas U, perbedaan antara Saturnisentrik yang bujur Matahari dan Bumi, diukur pada bidang cincin. , dinyatakan dalam derajat. U adalah sebuah sudut kecil, kira-kira paling besar sama dengan 7°. 10. Hitung nutasi pada bujur ( ) dan kemiringan ( ) dan kemudian kemiringan sejati ekliptika (lihat Bab 21). Untuk nutasi, hanya komponen yang paling penting dapat digunakan, karena tidak diperlukan akurasi 0".01. 11. Cari bujur dan lintang ekliptika dan dari kutub utara dari bidang cincin dari: 12. Koreksi dan untuk aberasi Saturnus: 13. Tambahkan ke dan ke . 14. Transformasikan ( ) dan ( ) ke koordinat ekuatorial ( ) dan ( ), dengan cara rumus (12.3) dan (12.4), gunakan untuk arah kemiringan sejati diperoleh pada Langkah 10. 15. Posisi sudut P diberikan oleh Contoh 44.a — Hitung kuantitas terkait cincin tampak Saturnus pada 16 Desember 1992, jam 0h UT.
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 250 Waktu yang bersesuaian dengan JD = 2448 972.5. Untuk perbedaan antara waktu dinamis dan waktu universal, kita menggunakan nilai T = +59 detik = +0.00068 hari, sehingga waktu yang bersesuaian dengan 16.00068 TD Desember 1992 = JDE 2448 972.50068. Langkah 1. T = -0.070431 193 i = 28°.076 131 = 169°.410 243 Langkah 2. Dari ephemeris yang akurat, dihitung dengan menggunakan teori VSOP87 penuh, kita simpulkan lo = 84°17'08".53 = 84°.285 703 bo = 0".71 = 0°.000 197 R = 0.984 123 16 Langkah 3. Koordinat heliosentris geometris Saturnus berikut, mengacu ke ekliptika dan ekuinoks rata-rata pada tanggal tertentu, diambil dari ephemeris akurat: TD l b r 15.0 Desember 1992 319°09'44".23 -1°04'26".52 9.868 0846 16.0 319°11'36".61 -1°04'30".92 9.867 8690 17.0 319°13'28".99 -1°04'35".31 9.867 6534 Menggunakan = 9 sebagai pendekatan pertama untuk jarak Saturnus, rumus (32.3) menghasilkan = 0.05198. Oleh karena itu, t - = 16.00068 - 0.05198 Desember 1992 = 15.94870 TD Desember 1992 Untuk waktu yang dimaksud ini kita menemukan, dengan interpolasi dari nilai-nilai yang ditabulasikan di atas, l = 319°.191 900, b = -l°. 075 192, r = 9.867 8801. Langkah 4. x = 7.369 7225 = 10.464 6006 y = -7.427 0295 z = -0.185 1696 Langkah 3. Dengan nilai ini untuk , kita memperoleh nilai baru = 0.06044 hari untuk waktu-cahaya, maka t - = 16.00068 - 0.06044 Desember 1992 = 15.94024 TD Desember 1992. Untuk waktu yang dimaksud ini kita menemukan, dengan interpolasi dari nilai-nilai yang ditabulasikan,
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 251 l = 319°.191 636, b = - 1°.075 183, r = 9.867 8819. Langkah 4. x = 7.369 6942 = 10.464 6059 y = -7.427 0651 z = -0.185 1681 Ini nilai baru memberikan T = 0.06044 lagi, sehingga tidak ada iterasi baru diperlukan. Langkah 5. = 314°.777 850 = -1°.013 885 Langkah 6. B = +16°.442 a = 35". 87 b = 10". 15 Langkah 7. N = 113°.6037 l' = 319°.189 853 b' = -1°.075 113 Langkah 8. B' = +14°.679 Langkah 9. U1 = 153°.2645 U2 = 149°.0663 = 4°.198 Langkah 10. = +16".86 = -1".79 = 23°26'22".96 = 23°.43971 Langkah 11. = 79°.410 243 = 61°.923 869 Langkah 12. terkoreksi = 314°.774 228 terkoreksi = -1°.013 963 Langkah 13. terkoreksi = 79°.414 926 terkoreksi = 314°.778 911 Langkah 14. = 40°.36365 317°.55421 = 83°.48.486 = -17°.37056 Langkah 15. P = +6°.741
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 252 Daftar Pustaka 1. Gerard Dourneau, 'Observations et etude du mouvement des huit premiers satellites de Saturne1, These de doctorat d'Etat, Universite de Bordeaux I (1987).
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 253 Bab 45. Posisi Bulan Dalam rangka untuk menghitung posisi Bulan secara akurat pada saat tertentu, perlu memperhitungkan ratusan komponen yang berpengaruh pada perhitungan bujur Bulan, lintang Bulan dan jarak dari pusat Bumi ke pusat Bulan. Oleh karena bahasan secara detil mengenai hal ini adalah di luar cakupan buku ini, maka kita akan membatasi diri dengan komponen-komponen periodik yang paling penting saja; keakuratan hasil yang akan didapatkan masih berkisar 10" untuk perhitungan bujur Bulan, dan 4" dalam perhitungan lintang Bulan. Dengan menggunakan algoritma yang dijelaskan dalam Bab ini, kita dapat memperoleh bujur geosentrik Bulan () dan lintang geosentrik Bulan (), mengacu pada ekuinoks ratarata pada saat tanggal tertentu. Demikian juga kita dapat memperoleh Jarak () dalam satuan kilometer (km) antara titik pusat Bumi dan titik pusat Bulan. Horizontal Paralaks ekuator Bulan () dapat diperoleh dengan rumus: Komponen-komponen periodik yang disertakan dalam bab ini didasarkan pada "Lunar Theory" yang dikenal dengan ELP-2000/82 yang ditulis oleh Chapront[1]. Namun, untuk argumen rata-rata L', D, M, M', F yang ada dalam buku ini diambil dari tulisan Chapront [2] yang dipublikasikan setelah " Lunar Theory". Untuk perhitungan pada saat tertentu (Waktu dinamis), terlebih dahulu kita harus menghitung T dengan cara seperti yang ditunjukkan dalam rumus (21.1). Ingat bahwa T dinyatakan dalam satuan abad, oleh karena itu harus diperhitungkan dengan jumlah desimal yang memadai (setidaknya sembilan angka di belakang koma, karena angka 0.000 000 001 abad, Bulan akan bergerak lebih dari 1.7 detik busur). Selanjutnya menghitung sudut-sudut L', D, M, M', dan F dengan cara mengikuti rumus-rumus yang diberikan berikut. Semua sudut hasil hitungan dinyatakan dalam derajat. Untuk menghindari perhitungan dengan sudut yang besar, maka setiap sudut direduksi dengan nilai antara 0° dan 360°. Bujur Bulan Rata-rata mengacu pada ekuinoks rata-rata pada tanggal tertentu dan dengan memasukkan perhitungan komponen yang bersifat konstan dari efek waktu perjalanan cahaya: (45.1)
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 254 Rata-rata Elongasi Bulan: (45.2) Rata-rata Anomali Matahari: (45.3) Rata-rata Anomali Bulan: (45.4) Komponen Lintang Bulan (Jarak Rata-rata dari titik pendakiannya: (45.5) Masih diperlukan tiga komponen (satuan dalam derajat), yaitu: A1 = 119°.75 + 131°.849 T A2 = 53°.09 + 479 264°.290 T A3 = 313°.45 + 481 266°.484 T Hitung jumlah/somasi dari dan pada komponen seperti yang diberikan pada Tabel 45.A, dan jumlah/somasi pada komponen seperti yang diberikan pada tabel 45.B. Argumen setiap sinus (untuk dan ) dan cosinus (untuk ) adalah kombinasi linear dari empat argumen dasar D, M, M' dan F. Sebagai contoh, argumen pada baris ke delapan pada Tabel 45.A adalah 2D-M-M', dan kontribusi dan masing-masing adalah +57066 sin (2D-M-M') dan -152138 cos (2D-M-M'). Namun demikian, untuk komponen yang berisi argumen sudut M tergantung pada eksentrisitas orbit Bumi mengelilingi Matahari, yang semakin melambat seiring dengan perjalanan waktu. Karena alasan ini, amplitudo komponen ini sebenarnya bervariasi (berubah-ubah). Untuk memperhitungkan pengaruh efek tersebut, maka kalikan komponen yang mengandung M (atau -M) dengan E, dan yang mengandung 2M (atau -2M) dengan E2, di mana: E = 1 - 0.002 516 T - 0.000 0074 T2 (45.6) Selain itu, tambahkan aditif komponen berikut untuk dan . Komponen yang dimaksud berisikan A1 disebabkan pengaruh Venus, A2 disebabkan pengaruh Jupiter, sementara yang berisikan L' adalah sebagai akibat pegepengan Bumi.
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 255 TABEL 45.A Komponen Periodik dari Bujur Bulan ( ) dan jarak Bulan dari Pusat Bumi ( . Satuan yang dipakai dalam tabel adalah 0.000 001 (10-6) derajat untuk dan 0.001 km atau meter untuk . Komponen perkalian l r D M M' F Koefisien untuk sinus Koefisien untuk cosinus 0 0 1 0 6 288 774 -20 905 355 2 0 -1 0 1 274 027 -3 699 111 2 0 0 0 658 314 -2 955 968 0 0 2 0 213 618 -569 925 0 1 0 0 -185 116 48 808 0 0 0 2 -114 332 -3 149 2 0 -2 0 58 793 246 158 2 -1 -1 0 57 066 -152 138 2 0 1 0 53 322 -170 733 2 -1 0 0 45 758 -204 586 0 1 -1 0 -40 923 -129 620 1 0 0 0 -34 720 108 743 0 1 1 0 -30 383 104 755 2 0 0 -2 15 327 10 321 0 0 1 2 -12 528 0 0 1 2 10 980 79 661 4 0 -1 -2 10 675 -34 782 0 0 3 0 10 034 -23 210 4 0 -2 0 8 548 -21 636 2 1 -1 0 -7 888 24 208 2 1 0 0 -6 766 30 824 1 0 -1 0 -5 163 -8 379 1 1 0 0 4 987 -16 675 2 -1 1 0 4 036 -12 831 2 0 2 0 3 994 -10 445 4 0 0 0 3 861 -11 650 2 0 -3 0 3 665 14 403 0 1 -2 0 -2 689 -7 003 2 0 -1 2 -2 602 2 -1 -2 0 2 390 10 056 1 0 1 0 -2 348 6 322 2 -2 0 0 2 236 -9 884
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 256 TABEL 45.A (Lanjutan) Komponen perkalian l r D M M' F Koefisien untuk sinus Koefisien untuk cosinus 0 1 2 0 -2 120 5 751 0 2 0 0 -2 069 2 -2 -1 0 2 048 -4 950 2 0 1 -2 -1 773 4 130 2 0 0 2 -1 595 4 -1 -1 0 1 215 0 0 2 2 -1 110 3 0 -1 0 -892 -3 258 2 1 1 0 -810 2 616 4 -1 -2 0 759 -1 897 0 2 -1 0 -713 -2 117 2 2 -1 0 -700 2 354 2 1 -2 0 691 2 -1 0 -2 596 4 0 1 0 549 -1 423 0 0 4 0 537 -1 117 4 -1 0 0 520 -1 571 1 0 -2 0 -487 -1739 2 1 0 -2 -399 0 0 2 -2 -381 -4 421 1 1 1 0 351 3 0 -2 0 -340 4 0 -3 0 330 2 -1 2 0 327 0 2 1 0 -323 1165 1 1 -1 0 299 2 0 3 0 294
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 257 2 0 -1 -2 8 752 TABEL 45.B Komponen Periodik untuk perhitungan Lintang Bulan ( ) dengan satuan dalam perhitungan 0.000 001 (10-6) derajat. Komponen perkalian b Komponen perkalian b D M M' F Koefisien untuk sinus D M M' F Koefisien untuk sinus 0 0 0 1 5 128 122 0 0 1 -3 777 0 0 1 1 280 602 4 0 -2 1 671 0 0 1 -1 277 693 2 0 0 -3 607 2 0 0 -1 173 237 2 0 2 -1 596 2 0 -1 1 55 413 2 -1 1 -1 491 2 0 -1 -1 46 271 2 0 -2 1 -451 2 0 0 1 32 573 0 0 3 -1 439 0 0 2 1 17 198 2 0 2 1 422 2 0 1 -1 8 266 2 0 -3 -1 421 0 0 2 -1 8 822 2 1 -1 1 -366 2 -1 0 -1 8 216 2 1 0 1 -351 2 0 -2 -1 4 324 4 0 0 1 331 2 0 1 1 4 200 2 -1 1 1 315 2 1 0 -1 -3 359 2 -2 0 -1 302 2 -1 -1 1 2 463 0 0 1 3 -283 2 -1 0 1 2 211 2 1 1 -1 -229 2 -1 -1 -1 2 065 1 1 0 -1 223 0 1 -1 -1 -1 870 1 1 0 1 223 4 0 -1 -1 1 828 0 1 -2 -1 -220 0 1 0 1 -1 794 2 1 -1 -1 -220 0 0 0 3 -1 749 1 0 1 1 -185 0 1 -1 1 -1 565 2 -1 -2 -1 181 1 0 0 1 -1 491 0 1 2 1 -177 0 1 1 1 -1 475 4 0 -2 -1 176 0 1 1 -1 -1 410 4 -1 -1 -1 166 0 1 0 -1 -1 344 1 0 1 -1 -164 1 0 0 -1 -1 335 4 0 1 -1 132 0 0 3 1 1 107 1 0 -1 -1 -119 4 0 0 -1 1 021 4 -1 0 -1 115
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 258 4 0 -1 1 833 2 -2 0 1 107 Tambahan Koreksi untuk ( ) adalah: +3958 sin A1 +1962 sin (L' - F) + 318 sin A2 Tambahan Koreksi untuk ( ) adalah: - 2235 sin L' + 382 sin A3 + 175 sin (A1 - F) + 175 sin (A1 + F) + 127 sin (L' - M') - 115 sin (L' + M') Selanjutnya koordinat Bulan dinyatakan dengan rumus sebagai berikut: Hasilnya harus dibagi dengan 106 atau dengan 103 karena di dalam tabel 45.A dan 45.B koefisien-koefisien perhitungan diberikan dalam satuan 10-6 derajat dalam perhitungan lintang dan bujur atau 10-3 kilometer dalam perhitungan jarak. Contoh 45.a. — Hitunglah Bujur dan Lintang Geosentrik Bulan, dan jaraknya terhadap pusat Bumi, serta Paralaks Bulan di ekuator pada tanggal 12 April jam 0h waktu dinamis pada tahun 1992. Kita akan dapatkan proses hitungan, berturut-turut sebagai berikut: JDE = 2448 724.25 T = 0.077 221 081 451 L' = 134°.290 186 D = 113°.842 309 M = 97°.643 514 M' = 5°.150 839 F = 219°.889 726 A1 = 109°.57 A2 = 123°.78 A3 = 229°.53 E = 1.000 194 l = -1 127 527 b = -3 229 127 = -16 590 879 dari hasil tersebut di atas, selanjutnya kita dapatkan: = 134°.290 186 - 1°.127 527 = 133°.162 659 Dengan komponen Tambahan
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 259 = -3°.229 127 = -3°13'45" = 385 000.56 - 16 590.875 = 386 409.7 km = arcsin (6378.14/368 409.7) = 0°.991 990 = 0°59'31".2 Bujur Bulan Tampak (Apparent Moon Longitude) diperoleh dengan menambahkan pengaruh nutasi pada bujur () pada , yang mana besarnya sama dengan +16".595 = +0.004610 (bab 21). Sebagai konsekwensi hasilnya Bujur Bulan Tampak (apparent ) adalah: apparent = 133°.162 659 + 0°.004 610 = 133°.167 269 = 133°10'02" Untuk saat tertentu, Kemiringan Ekliptik sejati seperti yang dipaparkan pada (bab 21) adalah: = o + = 23°26'26".29 = 23°.440 636 Askensio Rekta dan Deklinasi Bulan, selanjutnya diperoleh dengan menggunakan rumus (12.3) dan (12.4), dengan hasil hitungan sebagai berikut: = 134°.688 473 = 8h58m45s .2 = +13°.768 366 = +13° 46' 06" Hasil perhitungan dengan ketelitian lebih tinggi, yang diperoleh dengan menggunakan Teori ELP-2000/82 secara komplit adalah: = 133° 10' 00" = -3° 13' 45" = 368 405.6 km = 8h58m45s .1 = +13°46'06" = 0°59'31".2 Titik daki/turun (Lunar Node) dan jarak terdekat Bulan dari Bumi (Lunar Perigee) Menurut Chapront [2], Bujur dari (rata-rata) Titik daki (ascending node) Bulan () dan Bujur dari (rata-rata) jarak terdekat Bulan () dari peredaran Bulan mengelilingi Bumi, dinyatakan dalam derajat, dirumuskan sebagai berikut: Ω (45.7)
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 260 Dimana T mempunyai arti yang sama dengan yang telah disebutkan sebelumnya. Bujur-bujur yang dimaksud adalah tropikal artinya diukur mengacu pada ekuinoks ratarata pada tanggal tertentu. Dari rumus untuk perhitungan Kita dapat menghitung pada saat-saat tertentu ketika (rata-rata) titik daki (ascending node) atau titik turun (descending node) dari peredaran Bulan berhimpit dengan Vernal Equinox, artinya jika masing-masing sama dengan 0o atau 180o. Selama periode 1910-2110, Hal ini terjadi pada tanggal-tanggal sebagai berikut: = 0o = 180o 27 Mei 1913 16 September 1922 6 Juni 1932 27 April 1941 17 Agustus 1950 7 Desember 1959 29 Maret 1969 19 Juli 1978 8 November 1987 27 Februari 1997 19 Juni 2006 10 Oktober 2015 29 Januari 2025 21 Mei 2034 10 September 2043 30 Desember 2052 22April 2062 12 Agustus 2090 1 Desember 2080 23 Maret 2090 13 Juli 2099 3 November 2108 Daftar Pustaka 1. M. Chapront-Touze and J. Chapront, 'The lunar ephemeris ELP 2000', Astronomy and Astrophysics, Vol. 124, halaman 50-62 (1983). — Artikel ini mendiskripsikan teori peredaran Bulan yang baru (new lunar theory) dan menjabarkan keakuratan perhitungannya. Tetapi makalah ini tidak memuat daftar komponen-komponen periodik yang diperlukan dalam perhitungan. "ELP" adalah singkatan dari Ephemerides Lunaires Parisiennes, walaupun karya ini bukanlah sebuah ephemeris (Daftar dari hasil perhitungan posisi Bulan), tetapi lebih merupakan sebuah teori analitis (an analytic theory) yakni berisikan daftar dari kumpulan komponenkomponen periodik (a series of periodic terms). 2. M. Chapront-Touze and J. Chapront, Astronomy and Astrophysics, Vol. 190, halaman 346 (1988).
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 261 Bab 46. Kecerlangan Bulan Fraksi Iluminasi atau kecerlangan (k) dari piringan Bulan bergantung pada elongasi Bumi dan Matahari dengan mengacu pada titik pusat Bulan (selenocentric). Selenosentrik berarti "seperti terlihat dari titik pusat Bulan". Rumus perhitungannya adalah: ( (46.1) dan hal ini merupakan nilai dari kedua rasio luas bagian piringan yang bercahaya dibandingkan dengan luas keseluruhan, dan rasio panjang garis bercahaya dari garis tengah yang tegak lurus terhadap garis kutub/katup dengan diameter penuh (lihat Gambar di bawah ini). Sudut fase i dari Bulan, dilihat dari pengamat di pusat Bumi dapat dirumuskan sebagai berikut. Pertama, hitung elongasi geosentrik dari Bulan ke Matahari, yang mana dapat dihitung dengan salah satu rumus elongasi berikut ini: atau (46.2) dimana danadalah askesio rekta geosentrik, deklinasi geosentrik dan Bujur geosentrik masing-masing dari Matahari dan Bulan. Sedangkan adalah Lintang geosentrik dari Bulan. Selanjutnya, kita mempunyai persamaan sebagai berikut: (46.3) Dimana R adalah jarak antara Bumi dan Matahari, dan adalah jarak antara Bumi dan Bulan, yang mana keduanya harus mempunyai satuan ukur yang sama, misalnya dinyatakan dalam kilometer. Nilai sudut dan i selalu antara 0 dan 180 derajat. Jika sudut i diketahui, maka Fraksi Iluminasi/Kecerlangan dapat diperoleh dengan menggunakan rumus (46.1).
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 262 Tentu saja, perhitungan kecerlangan k tidak diperlukan menghitung posisi geosentrik Bulan dan Matahari dengan ketelitian tinggi. Akurasi 1' (satu menit busur) sudah dianggap memenuhi syarat. Jika tidak diperlukan ketelitian tinggi, maka hal ini sudah cukup memadai untuk menghitung dengan cos i = - cos. Kesalahan dalam perhitungan kecerlangan k tidak akan pernah melebihi 0.0014. Untuk perhitungan akurasi rendah yang masih dianggap hasil yang bagus adalah dengan mengabaikan lintang Bulan dan perhitungan nilai pendekatan dari sudut i dapat dilakukan sebagai berikut: i = 180° - D - 6°.289 sin M' + 2°.00 sin M - 1°.274 sin (2D-M') - 0°.658 sin 2D - 0°.214 sin 2M' - 0°.110 sin D (46.4) dimana sudut D, M dan M' dapat diperoleh dengan menggunakan rumus (45.2) sampai (45.4). Dalam hal ini, posisi geosentrik Matahari dan Bulan tidak diperlukan. Posisi Sudut Bagian Bulan yang bercahaya (Angle of the Moon's bright limb) Posisi sudut bagian Bulan yang bercahaya atau sudut kemiringan hilal adalah posisi sudut dari titik tengah lengkungan Bulan yang bercahaya (titik C pada gambar di halaman 315), dihitung ke arah timur dari titik Utara piringan tersebut (bukan dari sumbu rotasi globe Bulan). Hal ini dapat diperoleh dari persamaan berikut ini: (46.5) dimana mempunyai arti yang sama seperti yang disebutkan sebelumnya. Sudut mempunyai nilai sekitar 270° pada saat mendekati perempat pertama (First Quarter), dan mendekati 90° setelah Bulan purnama (Full Moon). Sudut diperoleh pada kwadran yang tepat dengan menggunakan fungsi ATN2 dengan memasukkan fraksi pembilang dan penyebut seperti dalam (46.5). - lihat "kwadran yang tepat" di Bab 1. Jika adalah posisi sudut titik tengah lengkungan Bulan yang bercahaya, maka posisi sudut katup-katupnya adalah dan °.
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 263 Sudut mempunyai kelebihan bahwa sudut tersebut mendefinisikan lengkungan Bulan yang bercahaya secara jelas. Perlu dicatat bahwa Sudut tidak diukur dari arah zenith pengamat. Sudut zenith lengkungan bercahaya adalah dimana q adalah sudut paralaktik (lihat bab 13). Akhirnya, perlu ditekankan di sini bahwa rumus (46.5) berlaku juga dalam hal sebuah planet. Contoh 46.a — Bulan pada tanggal 12 April 1992 jam 0h waktu dinamis. Dari contoh 45.a, kita mempunyai data untuk saat tersebut, = 134°.6885 = +13°.7684 = 368 408 km Posisi Tampak dan Jarak Matahari pada saat tersebut adalah: o = 1h22m37s .9 = 20o.6579 o = +8o41'47" = +8.6964 R = 1.002 4977 AU = 149 971 520 km Rumus pertama (46.2) memberikan hasil , maka Kemudian tan i = +2.615403 dengan rumus (46.3) i = 69°.0756 dan, dengan rumus (46.1), k = 0.6786, yang mana dapat dibulatkan menjadi 0.68. Jika kita menggunakan relasi pendekatan cos i = - cos kita memperoleh k = 0.6775, yang mana dapat dibulatkan menjadi 0.68. Mari kita menggunakan rumus pendekatan (46.4). Dalam contoh 45.a, kita dapatkan untuk saat yang dimaksudkan, D = 113°.8423 M = 97°.6435 M' = 5°.1508 Kemudian rumus (46.4) menghasilkan i = 68°.88, selanjutnya diterapkan pada rumus (46.1), menghasilkan k = 0.6802, yang mana dibulatkan menjadi 0.68. Akhirnya, rumus (46.5) memberikan
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 264
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 265 Bab 47. Fase-fase Bulan Secara definisi, waktu Bulan Baru (New Moon) atau Ijtima'/Konjungsi, Seperempat Pertama (First Quarter), Bulan Purnama (Full Moon) dan Seperempat Terakhir (Last Quarter) adalah waktu di mana perbedaan bujur Bulan tampak (Apparent) dan bujur Matahari tampak masing-masing 0°, 90°, 180°, dan 270°. Oleh karena itu, untuk menghitung fase-fase Bulan pada waktu tertentu diperlukan perhitungan bujur Bulan tampak dan bujur Matahari tampak secara terpisah. (Namun, dalam hal ini efek nutasi dapat diabaikan, karena nutasi sepanjang bujur () tidak berpengaruh pada perbedaan bujur Bulan dan Matahari). Namun, jika tidak diperlukan perhitungan dengan akurasi tinggi, fase-fase Bulan pada waktu tertentu dapat dihitung dengan metode yang dijelaskan dalam Bab ini. Pemaparan Bab ini didasarkan pada teori ELP-2000/82 karya Chapront untuk perhitungan posisi Bulan (dengan formulasi yang telah diperbaiki untuk perhitungan komponen M, M', dll, seperti yang disebutkan dalam Bab 45), dan Teori VSOP87 karya Bretagnon dan Francou untuk perhitungan posisi Matahari. Dalam proses perhitungan, waktu yang dihasilkan, akan disajikan dalam Hari Julian Ephemeris/Julian Ephemeris Days (JDE), berdasarkan waktu dinamis. Waktu-waktu terjadinya rata-rata fase-fase Bulan, sudah dengan memperhitungkan pengaruh aberasi Bulan dan Matahari dan waktu perjalanan Bulan sampai pada pengamat (Moon's light time), diformulasikan sebagai berikut: JDE = 2451 550.09765 + 29.530 588 853 k + 0.000 1337 T2 - 0.000 000 150 T3 + 0.000 000 000 73 T4 (47.1) dimana bilangan bulat k berarti untuk perhitungan Bulan Baru, selanjutnya penambahan bilangan bulat tersebut dengan bilangan pecahan berikut untuk fase-fase Bulan lainnya: 0.25 berarti untuk Perempat Pertama 0.50 berarti untuk Bulan Purnama 0.75 berarti untuk Perempat Terakhir Nilai lain untuk k akan memberikan hasil yang tidak berarti. Nilai k = 0 berkorelasi dengan Bulan Baru pada tanggal 6 Januari 2000. Nilai-nilai negatif untuk k memberikan fase-fase Bulan sebelum tahun 2000. Sebagai Contoh, +479.00 dan -2793.00 berkorelasi dengan Bulan Baru +479.25 dan -2792.75 berkorelasi dengan Perempat Pertama +479.50 dan -2792.50 berkorelasi dengan Bulan Purnama
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 266 +479.75 dan -2792.25 berkorelasi dengan Perempat terakhir Rumus perkiraan nilai untuk k dinyatakan sebagai berikut: k (tahun - 2000) x 12.3685 (47.2) di mana tahun harus dinyatakan dengan angka desimal, misalnya 1987.25 untuk akhir Maret 1987 (karena ini adalah 0.25 tahun dihitung sejak awal tahun 1987). Tanda berarti "kira-kira sama dengan". Akhirnya, dengan rumus (47.1) dimana T adalah waktu dalam abad Julian sejak tahun (epoch) 2000.0, dapat diperoleh dengan akurasi yang memadai dengan pendekatan sebagai berikut: (47.3) dan nila T adalah negatif sebelum tahun (epoch) 2000.0. Hitung E dengan cara seperti yang disajikan dalam rumus (45.6), dan kemudian sudut-sudut berikut ini dinyatakan dalam derajat dapat direduksi menjadi sudut dalam interval 0°-360°, dan jika diperlukan dapat dikonversikan dalam radian sebelum diperlukan untuk perhitungan selanjutnya. Rata-rata anomali Matahari pada saat JDE: M = 2.5534 + 29.105 356 69 k - 0.0000218 T2 - 0.000 000 11 T3 (47.4) Rata-rata anomali Bulan, M' = 201.5643 + 385.816 935 28 k + 0.010 7438 T2 + 0.000 012 39 T3 - 0.000 000 058 T4 (47.5) Lintang argumen Bulan, F = 160.7108 + 390.670 502 74 k + 0.001 6341 T2 + 0.000 002 27 T3 - 0.000 000 011 T4 (47.6) Bujur titik daki (ascending node) peredaran Bulan: = 124.7746 - 1.563 75580 k + 0.0020691 T2 + 0.000 002 15 T3 (47.7) Argumen (komponen) sebagai pengaruh planet-planet (Planetary Arguments): A1 = 299.77 + 0.107 408 k - 0.009 173 T2
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 267 A2 = 251.88 + 0.016 321 k A3 = 251.83 + 26.651 886 k A4 = 349.42 + 36.412 478 k A5 = 84.66 + 18.206 239 k A6 = 141.74 + 53.303 771 k A7 = 207.14 + 2.453 732 k A8 = 154.84 + 7.306 860 k A9 = 34.52 + 27.261 239 k A10 = 207.19 + 0.121 824 k A11 = 291.34 + 1.844 379 k A12 = 161.72 + 24.198 154 k A13 = 239.56 + 25.513 099 k A14 = 331.55 + 3.592 518 k Untuk mendapatkan saat-saat fase-fase tampak sejati, tambahkan koreksi berikut (dalam hari) ke JDE yang diperoleh di atas. Bulan Baru Bulan Purnama -0.40720 -0.40614 x sin M' +0.17241 x E +0.17302 x E M +0.01608 +0.01614 2M' +0.01039 +0.01043 2F +0.00739 x E +0.00734 x E M' - M -0.00514 x E -0.00515 x E M' + M +0.00208 x E2 +0.00209 x E 2M -0.00111 -0.00111 M' - 2F -0.00057 -0.00057 M' + 2F +0.00056 x E +0.00056 x E 2M' + M -0.00042 -0.00042 3M' +0.00042 x E +0.00042 x E M + 2F +0.00038 x E +0.00038 x E M - 2F -0.00024 x E -0.00024 x E 2M' - M -0.00017 -0.00017 -0.00007 -0.00007 M' + 2M +0.00004 +0.00004 2M' - 2F +0.00004 +0.00004 3M +0.00003 +0.00003 M' + M - 2F +0.00003 +0.00003 2M' + 2F +0.00003 +0.00003 M' + M + 2F +0.00003 +0.00003 M' - M + 2F
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 268 -0.00002 -0.00002 M' - M - 2F -0.00002 -0.00002 3M' + M +0.00002 +0.00002 4M' Perempat Pertama dan Terakhir -0.62801 x sin M' +0.17172 x E M -0.01183 x E M' + M +0.00862 2M' +0.00804 2F +0.00454 x E M' - M +0.00204 x E 2M -0.00180 M' - 2F -0.00070 M' + 2F -0.00040 3M' -0.00034 x E 2M' - M +0.00032 x E M + 2F +0.00032 x E M - 2F -0.00028 x E2 M' + 2M +0.00027 x E 2M'+ M -0.00017 -0.00005 M' - M - 2F +0.00004 2M' + 2F -0.00004 M' + M + 2F +0.00004 M' - 2M +0.00003 M' + M - 2F +0.00003 3M +0.00002 2M' - 2F +0.00002 M' - M + 2F -0.00002 3M' + M Berikut ini hanya untuk perhitungan Perempat Pertama dan Perempat terakhir saja: W = 0.00306 - 0.00038 E cos M + 0.00026 cos M' - 0.00002 cos (M' - M) + 0.00002 cos (M' + M) + 0.00002 cos 2F Koreksi-koreksi tambahan: untuk Perempat Pertama : +W untuk Perempat Terakhir : -W
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 269 Koreksi-koreksi tambahan untuk semua perhitungan Fase-fase Bulan: +0.000325 sin A1 +0.000056 sin A8 165 A2 047 A9 164 A3 042 A10 126 A4 040 A11 110 A5 037 A12 062 A6 035 A13 060 A7 023 A14 Contoh 47.a — Hitung Bulan Baru (New Moon) pada saat tertentu yang terjadi pada bulan Februari 1977. Pertengahan Februari 1977 berkorelasi dengan 1977.13, dengan menggunakan rumus (47.2) kita temukan: k (1977.13 - 2000) 12.3685 = -282.87 dimana k = -283, karena k harus bilangan bulat untuk fase Bulan Baru. Kemudian dengan rumus (47.3), T = -0.22881 dan dengan rumus (47.1) memberikan hasil: JDE = 2443 192.94101 Dengan k = -283 dan T = -0.22881, kita selanjutnya mendapatkan hasil: E = 1.000 5753 M = -8 234°.2625 = 45°.7375 M' = -108 984°.6278 = 95°.3722 F = -110 399°.0416 = 120°.9584 = 567°.3176 = 207°.3176 Jumlah kelompok pertama dari komponen periodik (untuk Bulan Baru) adalah - 0.28916, dan kelompok dengan 14 koreksi tambahan adalah -0.00068. Sehingga sebagai konsekwensinya, waktu terjadinya Bulan Baru sejati adalah: JDE = 2443 192.94101 - 0.28916 - 0.00068 = 2443 192.65117, yang mana berkorelasi dengan Tanggal 18.15117 Waktu Dinamis bulan Februari tahun 1977, yang berarti tanggal 18 Februari 1977 jam 3h37m51s waktu dinamis. Nilai yang lebih tepat jika dihitung dengan Teori ELP-2000/82 adalah 3h37m40s waktu dinamis. Pada bulan Februari 1977, kuantitas T = TD - UT adalah sama dengan 48 detik. Oleh karena itu, Bulan Baru pada 18 Februari 1977 terjadi pada jam 3h37m waktu Universal. Lihat juga contoh 9.a, halaman 74. Contoh 47.b — Hitung waktu terjadinya Perempat terakhir yang pertama pada tahun 2044 M.
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 270 Untuk tahun = 2044, rumus (47.2) memberikan nilai k +544.21, sehingga kita harus menggunakan nilai k = +544.75. Kemudian dengan rumus (47.1), JDE = 2467 636.88595 Jumlah dari kelompok pertama dari komponen periodik (untuk Perempat Terakhir) = -0.39153. Koreksi tambahan untuk Perempat Terakhir = -W = -0.00251. Jumlah dari 14 koreksi tambahan = -0.00007. Sebagai konsekwensinya, waktu terjadinya Perempat Terakhir adalah 2467 636.88595 - 0.39153 - 0.00251 - 0.00007 = 2467 636.49184 yang mana berkorelasi dengan tanggal 21 Januari tahun 2044 jam 23h48m15s Waktu Dinamis. Untuk periode 1980 sampai pertengahan tahun 2020, kita bandingkan hasil metode yang dijelaskan dalam Bab ini dengan waktu yang akurat yang diperoleh dengan ELP2000/82 dan VSOP87 teori. Kesalahan Rata-rata Kesalahan Maksimal Bulan Baru : 3.6 detik 16.4 detik Perempat Pertama : 3.8 15.3 Bulan Purnama : 3.8 17.4 Perempat Terakhir : 3.8 13.0 Kesalahan rata-rata untuk semua fase = 3.72 detik. Jika kesalahan sebesar beberapa menit dianggap tidak terlalu penting, seseorang mungkin, tentu saja, boleh mengesampingkan komponen periodik terkecil dan empat belas komponen tambahan. Interval waktu rata-rata antara terjadinya Bulan Baru secara berturut-turut adalah 29.530 589 hari, atau 29 hari 12 jam 44 menit 03 detik. Angka ini adalah panjang periode Bulan sinodik. Namun, terutama akibat aksi gangguan Matahari, waktu interval terjadinya Bulan Baru secara berturut-turut atau Lunasi pada kenyataannya sangat bervariasi. Lihat Tabel 47.A, diambil dari referensi nomor [1]. TABEL 47.A Lunasi Terpendek dan Terpanjang tahun 1900 sampai 2100 Dari Bulan Baru pada tanggal sampai tanggal Lamanya Lunasi 25 Juni 1903 24 Juli 1903 29 hari 06 jam 35 menit 06 Juni 2035 05 Juli 2035 29 - 06 - 39 -
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 271 16 Juni 2053 15 Juli 2053 29 - 06 - 35 - 27 Juni 2071 27 Juli 2071 29 - 06 - 36 - 14 Desember 1955 13 januari 1956 29 hari 19 jam 54 menit. 24 Desember 1973 23 Januari 1974 29 - 19 - 55 - Daftar Pusaka 1. J. Meeus, 'Les durees extremes de la lunaison', l'Astronomie (Societe Astronomique de France), Vol. 102, halaman 288-289 (Juli-Agustus 1988).
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 272 Bab 48. Perigee dan Apogee Bulan Dalam Bab ini diberikan metode untuk perhitungan perkiraan waktu ketika jarak antara Bumi dan Bulan adalah minimum (perigee) atau maksimal (apogee). Waktu yang dihasilkan akan dinyatakan dalam Hari Julian Ephemeris (JDE), dalam skala waktu yang sama, yakni Waktu dinamis. Rumus-rumus ini didasarkan pada Teori Bulan karya Chapront ELP-2000/82, dengan memperbaiki rumus untuk argumen D, M, dll, seperti yang disebutkan dalam Bab 45. Pertama, hitungah waktu rata-rata perigee atau apogee dengan rumus JDE = 2451534.6698 + 27 .554 549 88 k - 0.0006886 T2 - 0.000 001098 T3 + 0.000 000 0052 T4 (48.1) di mana nilai k bilangan bulat akan memberikan perigee, dan sebuah bilangan bulat ditambah sebesar 0.5 merupakan apogee. P e n t i n g : nilai lain untuk k akan memberikan hasil yang tidak berarti! Nilai k = 0 bersesuaian dengan perigee 22 Desember tahun 1999. Maka untuk contoh, k = +318 dan k = -25 akan memberikan perigee, k = +429.5 dan k = -1209.5 akan memberikan apogee, k = +224.87 adalah nilai yang tidak tepat. Pendekatan nilai k diberikan dengan rumus: k (tahun - 1999.97) 13.2555 (48.2) di mana 'tahun' harus dinyatakan dengan desimal, misalnya 2041.33 merupakan akhir April tahun 2041. Akhirnya, dalam rumus (48.1) T adalah waktu dalam abad Julian sejak epoch 2000.0. Hal ini diperoleh dengan akurasi yang cukup memadai dengan rumus: (48.3)
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 273 Hitung sudut berikut, mereka dinyatakan dalam derajat dan harus direduksi dalam interval 0-360 derajat, dan jika perlu, konversikan ke radian sebelum menghitung lebih lanjut. Elongasi rata-rata Bulan pada waktu JDE: D = 171.9179 + 335.9106046 k - 0.0100250 T2 - 0.000 011 56 T3 + 0.000 000 055 T4 Anomali Rata-rata Matahari: M = 347.3477 + 27.157 7721 k - 0.000 8323 T2 - 0.000 0010 T3 Argumen Bulan dari Lintang: F = 316.6109 + 364.528 7911 k - 0.012 5131 T2 - 0.000 0148 T3 Untuk JDE diberikan oleh rumus (48.1), tambahkan jumlah dari komponen periodik Tabel 48.A, ambil nilai itu baik untuk perigee atau apogee, berdasarkan untuk kasus berikut ini. Paralaks horisontal ekuator Bulan diperoleh dengan menghitung jumlah komponen yang diberikan pada Tabel 48.B. Dari Tabel 48.A dan 48.b diperoleh bahwa: - Untuk komponen periodik untuk waktu tertentu, argumen sinus harus diambil, sedangkan untuk nilai paralaks bersesuaian kosinus harus digunakan; - Sampai nilai koefisien tertentu, untuk perigee diperlukan komponen periodik yang lebih banyak daripada untuk apogee; - Koefisien berturut-turut dalam seri "2D" yang sama (misalnya komponen dalam 2DM, 4D-M, 6D-M, dll) memiliki tanda-tanda alternatif untuk perigee, sementara untuk apogee semua memiliki tanda yang sama; - Koefisien komponen periodik terbesar (komponen dengan Argumen 2D) jauh lebih besar dalam kasus perigee daripada untuk apogee. Sebagai konsekuensinya, kemungkinan perbedaan terbesar antara waktu rata-rata dan waktu sejati dapat mencapai 45 jam untuk perigee, tetapi hanya 13 jam untuk apogee. Demikian juga, jarak perigee Bulan bervariasi dalam interval yang lebih besar (berkisar antara 356 370 dan 370 350 kilometer) daripada jarak apogee (404 050 sampai 406 720 km).
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 274 Contoh 48.a — Apogee Bulan dari Oktober 1988 Karena awal Oktober bersesuaian dengan 0.75 tahun sejak awal tahun kalender, kita ambil nilai tahun = 1988.75 dalam rumus (48.2). Ini memberikan . Oleh karena itu, kita ambil nilai k = -148.5 (apogee!) Kemudian rumus (48.3) dan (48.1) memberikan: T = -0.112 029 JDE = 2447 442.8191 Kemudian kita dapatkan: D = -49 710°.8070 = 329°.1930 M = -3 685°.5815 = 274°.4185 F = -53 815°.9147 = 184°.0853 Jumlah komponen dalam tabel 48.A (apogee) = -0.4654 hari Jumlah komponen dalam tabel 48.B (apogee) = 3240.679 Oleh karena itu, waktu apogee adalah JDE = 2447 442.8191 - 0.4654 = 2447 442.3537 yang mana bersesuaian dengan 7 Oktober 1988 pada 20h29m TD. Nilai yang bersesuaian paralaks horizontal ekuator Bulan adalah 3240".679 atau 0°54'00".679. Nilai eksak adalah 20h30m TD dan 0°54'00".671. TABEL 48.A Komponen Periodik untuk waktu, dalam hari Untuk perigee Argumen sinus 2D 4D 6D 8D 2D - M M 10D 4D - M 6D - M 12D D 8D - M Koefisien -1.6769 +0.4589 -0.1856 +0.0883 -0.0773 + 0.00019 T +0.0502 - 0.00013 T -0.0460 +0.0422 - 0.00011 T -0.0256 +0.0253 +0.0237 +0.0162 Argumen sinus 2D - 2M 4D - 2M 6D - 2M 22D 18D - M 6D + M 11D 8D + M 4D - 2F 6D + 2F 3D + M 5D + M Koefisien -0.0027 +0.0024 -0.0021 -0.0021 -0.0021 +0.0019 -0.0018 -0.0014 -0.0014 -0.0014 +0.0014 -0.0014
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 275 14D 2F 3D 10D - M 16D 12D - M 5D 2D + 2F 18D 14D - M 7D 2D + M 20D D + M 16D - M 4D + M 9D 4D + 2F 2D 4D M 2D - M 2F D 6D 4D - M 2D + 2F D + M 8D 6D - M 2D - 2F 2D - 2M 3D 4D + 2F -0.0145 +0.0129 -0.0112 -0.0104 +0.0086 +0.0069 +0.0066 -0.0053 -0.0052 -0.0046 -0.0041 +0.0040 +0.0032 -0.0032 +0.0031 -0.0029 +0.0027 +0.0027 +0.4392 +0.0684 +0.0456 - 0.00011 T +0.0426 - 0.00011 T +0.0212 -0.0189 +0.0144 +0.0113 +0.0047 +0.0036 +0.0035 +0.0034 -0.0034 +0.0022 -0.0017 +0.0013 13D 20D - M 3D + 2M 4D + 2F - 2M D + 2M 22D - M 4F 6D - 2F 2D - 2F + M 2M 2F - M 2D + 4F 2F - 2M 2D - 2F + 2M 24D 4D - 4F 2D + 2M D - M 8D - M 4D - 2M 10D 3D + M 2M 2D + M 2D + 2M 6D + 2F 6D - 2M 10D - M 5D 4D - 2F 2F + M 12D 2D + 2F - M D - M +0.0013 +0.0013 +0.0011 -0.0011 -0.0010 -0.0009 -0.0008 +0.0008 +0.0008 +0.0007 +0.0007 +0.0007 -0.0006 -0.0006 +0.0006 +0.0005 +0.0005 -0.0004 +0.0011 +0.0010 +0.0009 +0.0007 +0.0006 +0.0005 +0.0005 +0.0004 +0.0004 +0.0004 -0.0004 -0.0004 +0.0003 +0.0003 +0.0003 -0.0003 TABEL48.B Komponen Paralaks, dalam detik busur Untuk Perigee
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 276 3629".215 +63".224 -6".990 +2".834 -0".0071 T +1".927 -1".263 -0".702 +0".696 -0".0017 T -0".690 -0".629 +0".0016 T -0".392 +0".297 +0".260 +0".201 -0".161 +0".157 -0".138 -0".127 +0".104 +0".104 -0".079 +0".068 cos 2D 4D 2D - M 6D D 8D M 2F 4D - M 2D - 2F 10D 6D - M 3D 2D + M D + M 12D 8D - M 2D + 2F 2D - 2M 5D 14D +0".067 +0".054 -0".038 -0".038 +0".037 -0".037 -0".035 -0".030 +0".029 -0".025 +0".023 +0".023 -0".023 +0".022 -0".021 -0".020 +0".019 +0".017 +0".014 -0".014 +0".013 +0".012 +0".011 +0".010 -0".010 cos 10D - M 4D + M 12D - M 4D - 2M 7D 4D + 2F 16D 3D + M D - M 6D + M 2M 14D - M 2D + 2M 6D - 2M 2D - 2F - M 9D 18D 6D + 2F 2F - M 16D - M 4D - 2F 8D + M 11D 5D + M 20D Untuk Apogee 3245.251 -9.147 -0.841 +0.697 -0.656 +0.0016 T +0.355 +0.159 +0.127 +0.065 cos 2D D 2F M 4D 2D - M D + M 4D - M +0".052 +0".043 +0".031 -0".023 +0".022 +0".019 -0".016 +0".014 +0".010 cos 6D 2D + M 2D + 2F 2D - 2F 2D - 2M 2D + 2M 2M 6D - M 8D
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 277 Menggunakan metode yang dijelaskan dalam Bab ini, 600 perigee dan 600 apogee lintasan Bulan yang dihitung, yaitu dari Juni 1977sampai Agustus 2022. Hasilnya dibandingkan dengan nilai-nilai yang akurat diperoleh dari teori ELP-2000/82. Kesalahan terbesar adalah: Untuk waktu: 31 menit untuk perigee, 3 menit untuk apogee; untuk paralaks.: 0"124 untuk perigee; 0 ".051 untuk apogee. Kesalahan yang terakhir masing-masing bersesuaian dengan kesalahan jarak 12 dan 6 kilometer,. Distribusi kesalahan dari 600 kali perhitungan adalah sebagai berikut: Jumlah kesalahan kurang dari Perigee Apogee 1 menit 2 menit 3 menit 4 menit 5 menit 10 menit 151 264 385 460 492 572 478 589 599 Waktu rata-rata interval antara dua lintasan Bulan yang berurutan melalui perigee adalah 27.55455 hari, atau 27 hari 13 jam 19 menit, ini adalah panjang periode anomalistik Bulan. Namun, terutama dengan alasan aksi gangguan Matahari, interval waktu yang sebenarnya antara perigees berturut-turut bervariasi, antara yang ekstrim 24 hari 16 jam dan 28 hari 13 jam. Contoh: Interval waktu antara dua apogees berturut-turut, bagaimanapun, bervariasi antara batas yang sempit, yaitu antara 26.98 dan 27.90 hari (26 hari 23 Jam dan 27 hari 21 jam). Ekstrim perigee dan apogee jarak Bulan Antara tahun 1500 dan 2500, empat belas kali Bulan mendekati Bumi sampai kurang dari 356 425 kilometer, dan jumlah waktu yang sama untuk jarak lebih besar dari
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 278 406 710 km. Kasus-kasus ini disebutkan dalam Tabel 48.C. Tanggal yang dimaksudkan adalah tanggal dalam UT. Untuk perhitungan dalam tabel, dilakukan dengan menggunakan teori Lunar karya Chapront, yakni ELP-2000/82, dengan pengecualian bahwa kita mengabaikan semua persyaratan periodik dengan koefisien kurang dari 0.0005 km (50 cm). Tampaknya, selama selang waktu sepuluh abad yang dipertimbangkan di sini, jarak yang ekstrim antara pusat Bumi dan Bulan adalah 356 371 km pada 1 Januari 2257 406 720 km pada 7 Januari 2266 Jarak terkecil perigee dari abad ke-20 adalah pada 4 januari 1912 , seperti yang sudah ditemukan sebelumnya oleh Roger W. Sinnott, Associate Editor Sky dan Telescope [1]. Selanjutnya, kita melihat bahwa perigees ekstrim dan apogees, semuanya terjadi selama musim dingin di belahan bumi utara, periode tahunan ketika Bumi paling dekat dengan Matahari. Jelaslah bahwa variabel jarak Bumi-Matahari sepertinya berpengaruh pada jarak Bumi-Bulan. TABEL 48.C : Perigee dan apogee ekstrim, 1500 sampai 2500 M Perigee < 356 425 km Apogee > 406 710 km 15 26 30 23 4 15 6 29 9 22 1 12 26 7 Des 1548 Des 1566 Jan 1771 Des 1893 Jan 1912 Jan 1930 Des 2052 Jan 2116 Feb 2134 Des 2238 Jan 2257 Jan 2275 Jan 2461 Feb 2479 356 407 km 356 399 356 422 356 396 356 375 356 397 356 421 356 403 356 416 356 406 356 371 356 378 356 408 356 404 9 2 23 3 14 27 7 18 29 11 21 21 1 12 Jan 1921 Mar 1984 Jan 2107 Feb 2125 Feb 2143 Des 2247 Jan 2266 Jan 2284 Nov 2388 Des 2406 Des 2424 Jan 2452 Feb 2470 Feb 2488 406 710 km 406 712 406 716 406 720 406 713 406 715 406 720 406 714 406 715 406 718 406 712 406 710 406 714 406 711 Daftar Pustaka 1. Roger W. Sinnott, surat 4 Maret 1981 ke Jean Meeus.
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 279 2. J. Meeus, 'Extreme Perigees and Apogees of the Moon', Sky and Telescope, Vol. 62, halaman 110-111 (Agustus 1981).
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 280 Bab 49. Lintasan Bulan melalui Titik Simpul Ketika pusat Bulan melewati titik daki atau titik turun orbitnya, lintang geosentriknya sama dengan nol. Perkiraan waktu lintasan Bulan melalui titik simpul dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut. Hasilnya akan dinyatakan dalam Hari Julian Ephemeris, JDE, sedangkan waktu dinyatakan dalam waktu dinamis. Untuk lintasan melalui titik daki, pastikan k = bilangan bulat. Untuk lintasan di titik menurun, pastikan k bilangan bulat ditambah dengan 0.5. P e n t i n g : nilai k selain itu akan memberikan hasil yang tidak berarti! Nilai k berturut-turut akan memberikan lintasan Bulan secara berturut-turut melalui titik simpul, nilai k = nol bersesuaian dengan lintasan di titik daki pada 21 Januari 2000. Nilai k negatif menghasilkan lintasan-lintasan sebelum tanggal tersebut. Misalnya, k = +223.0 dan -147.0 bersesuaian dengan titik daki, dan 223.5 dan -146.5 bersesuaian dengan titik turun, sedangkan +144.76 adalah bukan nilai yang valid untuk k. Perkiraan nilai k diberikan oleh (49.1) dimana 'tahun' dimungkinkan bilangan desimal. Kemudian hitung, dan sudut berikut dalam derajat: D = 183.6380 + 331.737 356 91 k + 0.001 5057 T2 + 0.000 002 09 T3 - 0.000 000 010 T4 M = 17.4006 + 26.820 372 50 k + 0.000 0999 T2 + 0.000 000 06 T3 M' = 38.3776 + 355.527 473 22 k + 0.0123577 T2 + 0.000 014 628 T3 - 0.000 000 069 T4 = 123.9767 - 1.440 989 49 k + 0.0020625 T2 + 0.000 002 14 T3 - 0.000 000 016 T4 V = 299.75 + 132.85 T - 0.009173 T2 P = + 272.75 - 2.3 T Kemudian waktu lintasan Bulan melalui titik simpul diberikan dengan mengikuti rumus, dimana komponen-komponennya melibatkan M (anomali rata-rata Matahari) harus dikalikan dengan kuantitas E seperti yang diberikan oleh rumus (45.6). Komponenkomponen ini ditandai dengan tanda bintang.
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 281 JDE = 2451565.1619 + 27.212 220 817 k + 0.000 2572 T2 + 0.000 000 021 T3 - 0.000 000 000 088 T4 - 0.4721 sin M' - 0.1649 sin 2D - 0.0868 sin (2D - M') + 0.0084 sin (2D + M') * - 0.0083 sin (2D - M) * - 0.0039 sin (2D - M - M') + 0.0034 sin 2M' - 0.0031 sin (2D - 2M') * + 0.0030 sin (2D + M) * + 0.0028 sin (M - M') * + 0.0026 sin M + 0.0025 sin 4D + 0.0024 sin D * + 0.0022 sin (M + M') + 0.0017 sin + 0.0014 sin (4D - M') * + 0.0005 sin (2D + M - M') * + 0.0004 sin (2D - M + M') * - 0.0003 sin (2D - 2M) * + 0.0003 sin (4D - M) + 0.0003 sin V + 0.0003 sin P Contoh 49.a - Hitung waktu lintasan Bulan melalui titik daki pada Mei 1987. Karena pertengahan Mei bersesuaian dengan 0.37 tahun dihitung sejak awal tahun, kita dapatkan tahun = 1987.37 dalam rumus (49.1), yang menghasilkan nilai perkiraan - 170.19 untuk k. Untuk lintasan melalui titik daki, k harus bilangan bulat, sehingga kita ambil k = -170.
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 282 Kemudian kita menemukan T = -0.126 655 D = -56211°.71265 = 308°.28735 M = -4542°.06272 = 137°.93728 M' = -60401°.29265 = 78°. 70735 = 368°.9449 = 8°. 9449 V = 282°.92 P = 641°.99 = 281°.99 E = 1.000 319 Hasil akhir adalah JDE = 2446 938.76803, yang bersesuaian dengan 23.26803 Mei 1987 = 23 Mei 1987 jam 6h26m.0 TD. Nilai yang benar adalah 23 Mei jam 6h25m.6 TD. Tabel di bawah ini memberikan gambaran tentang keakuratan hasil yang diperoleh dengan algoritma yang diberikan dalam Bab ini, dibandingkan dengan waktu diperoleh perhitungan yang akurat. Tahun (M) Titik Simpul Jumlah Waktu Kesalahan terbesar dalam detik Jumlah kesalahan < 60 detik Jumlah kesalahan > 120 detik 1980 sampai 2020 1980 samapai 2020 0 sampai 40 0 sampai 40 Naik Turun Naik Turun 551 551 551 551 142 132 144 135 487 469 444 478 3 2 5 2
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 283 Bab 50. Deklinasi Bulan Maksimum Bidang orbit Bulan membentuk sudut 5° dengan bidang ekliptika. Oleh karena itu, di langit Bulan bergerak kira-kira sepanjang ekliptika, dan selama setiap revolusi (27 hari) mencapai deklinasi utara terbesarnya (di Taurus, di Gemini, atau di Orion utara), dan dua minggu kemudian mencapai deklinasi selatan terbesarnya (di Sagitarius atau Ophiuchus). Karena bentuk orbit Bulan dengan ekliptika sudut 5°, dan ekliptika sudut 23° dengan ekuator langit, deklinasi ekstrim Bulan kira=kira antara 18° dan 28° (Utara atau Selatan). Ketika, seperti pada tahun 1987, titik daki orbit Bulan di sekitar vernal ekuinoks (lihat halaman 314), Bulan mencapai deklinasi utara dan selatan yang tinggi, sekitar +28 derajat dan -28 . Situasi ini diulang pada interval 18.6 tahun, periode revolusi node Bulan. Dalam Bab ini diberikan metode untuk perhitungan perkiraan deklinasi maksimum Bulan, dan nilai-nilai deklinasi maksimal. Data ini geosentrik dan merujuk ke pusat piringan Bulan. Misalkan k bilangan bulat, negatif sebelum awal tahun 2000. Berturutturut nilai k akan berturut-turut memberikan maksimum Utara atau deklinasi selatan Bulan. Nilai k = 0 bersesuaian dengan Januari 2000. Penting: nilai non-integer k akan memberikan hasil yang tidak berarti! Perkiraan nilai k diberikan oleh (50.1) di mana 'tahun' dapat diambil dengan desimal. kemudian menghitung TABEL 50.A Komponen periodik (hari) untuk waktu deklinasi Bulan maksimum Koefisien untuk Koefisien untuk Deklinasi Utara Deklinasi Selatan Deklinasi Utara Deklinasi Selatan d +0.8975 -0.A726 -0.1030 -0.0976 -0.0462 -0.0461 -0.0438 +0.0162 -0.0157 +0.0145 d -0.8975 -0.4726 -0.1030 -0.0976 +0.0541 +0.0516 -0.0438 +0.0112 +0.0157 +0.0023 cos F sin M' sin 2F sin (2D - M') cos (M' - F) cos (M' + F) sin 2D sin M * cos 3F sin (M' + 2F) d +0.0030 -0.0029 -0.0029 -0.0027 +0.0024 -0.0021 +0.0019 +0.0018 +0.0018 +0.0017 d +0.0030 +0.0029 -0.0029 -0.0027 +0.0024 -0.0021 -0.0019 -0.0006 -0.0018 -0.0017 sin (2D + M') cos (M' + 2F) sin (2D - M) * sin (M' + F) sin (M - M') * sin (M' - 3F) sin (2M' + F) cos (2D - 2M' - F) sin 3F cos (M' + 3F)
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 284 +0.0136 -0.0095 -0.0091 -0.0089 +0.0075 -0.0068 +0.0061 -0.0047 -0.0043 -0.0040 -0.0037 +0.0031 -0.0136 +0.0110 +0.0091 +0.0089 +0.0075 -0.0030 -0.0061 -0.0047 -0.0043 +0.0040 -0.0037 -0.0031 cos (2D - F) cos (2D -M' - F) cos (2D -M' + F) cos ((2D + F) sin 2M' sin (M' - 2F) cos (2M'- F) sin (M' + 3F) s in (2D - M - M') * cos (M' - 2F) sin (2D - 2M') sin F +0.0017 -0.0014 +0.0013 +0.0013 +0.0012 +0.0011 -0.0011 +0.0010 +0.0010 -0.0009 +0.0007 -0.0007 +0.0017 +0.0014 -0.0013 -0.0013 +0.0012 +0.0011 +0.0011 +0.0010 +0.0010 -0.0009 -0.0007 -0.0007 cos 2M' cos (2D - M') cos (2D + M'+ F) cos M' sin (3M' + F) sin (2D - M' +F) cos (2D - 2M') cos (D + F) sin (M + M') * sin (2D - 2F) cos (2M' + F) cos (3M' + F) dan sudut berikut, dalam derajat, jumlah antara persegi kurung harus digunakan untuk declinations selatan. D = 152.2029 + 333.070 5546 k - 0.000 4025 T2 + 0.000 000 11 T3 [345.6676] M = 14.8591 + 26.928 1592 k - 0.000 0544 T2 - 0.000 000 10 T3 [1.3951] M' = 4.6881 + 356.956 2795 k + 0.010 3126 T2 + 0.000 012 51 T3 [186.2100] F = 325.8867 + 1.446 7806 k - 0.002 0708 T2 - 0.000 002 15 T3 [145.1633] TABEL 50.B Komponen Periodik (derajat) untuk nilai deklinasi Bulan Maksimum Koefisien untuk Koefisien untuk Deklinasi Utara Deklinasi Selatan Deklinasi Utara Deklinasi Selatan ° +5.1093 +0.2658 +0.1A48 -0.0322 +0.0133 +0.0125 -0.0124 -0.0101 +0.0097 -0.0087 +0.0074 +0.0067 +0.0063 ° -5.1093 +0.2658 -0.1448 +0.0322 +0.0133 +0.0125 -0.0015 +0.0101 -0.0097 +0.0087 +0.0074 +0.0067 -0.0063 Sin F cos 2F sin (2D - F) sin 3F cos (2D - F) cos 2D sin (M' - F) sin (M' + 2F) cos F sin (2D + M - F) * sin (M' + 3F) sin (D + F) sin (M' -2F) ° +0.0038 -0.0034 -0.0029 +0.0029 -0.0028 -0.0028 -0.0023 -0.0021 +0.0019 +0.0018 +0.0017 +0.0015 +0.0014 ° -0.0038 +0.0034 -0.0029 +0.0029 +0.0028 -0.0028 +0.0023 +0.0021 +0.0019 +0.0018 -0.0017 +0.0015 +0.0014 cos (2M' - F) cos (M' - 2F) sin 2M' sin (3M' + F) cos (2D + M - F) * cos (M' - F) cos 3F sin (2D + F) cos (M' + 3F) cos (D + F) sin (2M' - F) cos (3M' + F) cos (2D + 2M' + F)
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 285 +0.0060 -0.0057 -0.0056 +0.0052 +0.0041 -0.0040 -0.0060 +0.0057 -0.0056 -0.0052 -0.0041 -0.0040 sin (2D - M - F) * sin (2D - M' - F) cos (M' + F) cos (M' + 2F) cos (2M'+ F) cos(M' - 3F) -0.0012 -0.0012 -0.0010 -0.0010 +0.0006 +0.0012 -0.0012 +0.0010 -0.0010 +0.0037 sin (2D - 2M' - F) cos 2M' cos M' sin 2F sin (M'+ F) Saat terjadinya deklinasi paling Maksimum di bagian Utara dan Selatan adalah: JDE = 2451562.5897 + 27.321582 241 k + 0.000 100 695 T2 [2451548.9289] - 0.000 000 141 T3 + komponen periodik dari tabel 50.A Pada Tabel 50.A, omponen yang melibatkan M, Anomali Matahari rata-rata, harus dikalikan dengan kuantitas E seperti pada rumus (45.6). Komponen-komponen ini ditandai dengan tanda bintang. Nilai deklinasi terbesar, dalam derajat, adalah = 23.6961 - 0.013 004 T + komponen periodik dari tabel 50.B Pada Tabel 50.B, sekali lagi, komponen yang ditandai dengan tanda bintang (*) harus dikalikan dengan E. Perlu dicatat bahwa nilai absolut deklinasi maksimum diperoleh, dalam kasus deklinasi paling maksimum di bagian selatan, deklinasi ini tidak terpengaruh oleh tanda minus. Contoh 50.a — deklinasi utara terbesar dari Bulan di Desember 1988. Masukkan nilai tahun = 1988.95 dalam rumus (50.1), kita memperoleh , sehingga kita ambil k = -148. Kemudian kita menemukan: T = -0.110 707 M' = -52 824°.8411 = 95°.1589 D = -49 142°.2392 = 177°.7608 F = 111°.7631 M = -3 970°.5085 = 349°.4915 E = 1.000 278 Kita peroleh JDE = 2447 518.3347, yang bersesuaian dengan 22.8347 Desember 1988 = 22 Desember 1988 jam 20h02m TD. Nilai yang benar adalah 22 Desember jam 20h01m TD. Untuk nilai deklinasi Utara maksimum, kita peroleh 28°.1562 = +28°09'22". Nilai yang benar adalah +28° 09'13". Contoh 50.a — Jika kita menghitung deklinasi selatan maksimum untuk k = 659, kita memperoleh JDE = 2469 553.0834, yang sesuai dengan 21 April 2049 jam 14h TD, dan = 22".1384, sehingga deklinasi selatan terbesar adalah -22° 08'. Contoh 50.c — Untuk menghitung deklinasi Bulan paling maksimum di utara pada pertengahan Maret tahun -4, maka 'tahun' = 0.20 setelah permulaan tahun -4, sehingga 'tahun' = -4 + 0.20 = -3.80, dan bukan -4.20!.
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 286 Hal ini memberikan perkiraan nilai k adalah -26 788.40, dimana k = -26 788 (bilangan bulat atau integer!). Kemudian kita mendapatkan JDE = 1719 672.1337, yang sesuai dengan 16 Maret tahun -4 jam 15h TD; deklinasi terbesar di utara = 28°.9739 = +28°58'. Dengan metode yang dijelaskan dalam Bab ini, dihitung 600 deklinasi maksimum utara dan 600 deklinasi maksimum selatan, yaitu dari Agustus 1977 sampai Juni 2022. Kesalahan maksimum adalah 10 menit waktu, dan 26" untuk nilai deklinasi maksimum. Untuk 69% kasus, waktu hasil perhitungan mempunyai kesalahan kurang dari 3 menit, dan 74% dari kasus deklinasi yang dihitung mempunyai kesalahan kurang dari 10". Koefisien periodik pada tabel 50.A dan 50.B telah dihitung dengan menggunakan kemiringan ekliptika untuk epoch 2000.0. Akibatnya, kesalahan yang dihasilkan dari menggunakan komponen-komponen ini akan meningkat seiring dengan waktu, tetapi antara tahun -1000 dan +5000 kesalahan maksimal tidak akan melebihi setengah jam.
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 287 Bab 51. Ephemeris untuk Pengamatan Fisik Bulan Librasi optik Rata-rata periode rotasi Bulan sama dengan periode sideris rata-rata dari revolusi mengelilingi Bumi, dan bidang rata-rata ekuator bulan memotong ekliptika dengan kemiringan konstan, I, di garis node dari orbit Bulan, dengan titik menurun (descending node) dari ekuator pada titik daki (ascending node) orbit. Karena itu, secara rata-rata, belahan Bumi yang sama dari Bulan adalah selalu berpaling ke arah Bumi. Namun, karena oskilasi tampak yang dikenal dengan librasi optik, disebabkan oleh variasi dalam posisi geometris Bumi relatif terhadap permukaan Bulan selama gerak orbit sekitar ### persen dari permukaan yang dapat diamati. Pusat piringan Bulan tampak Rata-rata adalah pusat dari sistem koordinat selenografik di permukaan Bulan. Bujur Selenografik diukur dari meridian Bulan yang melewati rata-rata pusat piringan tampak, positif dalam arah menuju Mare Crisium, yaitu, ke arah barat pada geosentrik bola langit. Lintang selenographic diukur dari ekuator Bulan, positif ke arah utara, yaitu, positif di belahan Bumi yang mengandung Mare Serenitatis. Perpindahan, setiap saat, dari pusat piringan rata-rata dari pusat tampak, merupakan jumlah librasi, dan diukur dengan koordinat selenografik dari pusat tampak piringan pada saat itu. The bujur dan lintang selenografik Bumi, seperti yang disajikan dalam almanak, adalah koordinat selenografik geosentrik titik pusat tampak piringan, pada titik ini pada permukaan Bulan, Bumi berada di zenit. Ketika librasi pada bujur, yaitu bujur selenografik Bumi, adalah positif, titik pusat rata-rata piringan dipindahkan ke arah timur pada bola langit, mengekspos untuk melihat wilayah bagian barat. ketika librasi pada lintang, atau lintang selenografik Bumi, positif, titik pusat rata-rata piringan dipindahkan ke arah selatan, dan wilayah pada bagian utara terkena dapat dilihat. Librasi optik pada bujur (l') dan lintang (b') dapat diperoleh sebagai berikut: I = kemiringan ekuator Bulan rata-rata terhadap ekliptika, yaitu 1°32'32".7 = 1°.54242. Ini adalah nilai yang diadopsi oleh International Astronomical Union; = Bujur geosentrik Bulan tampak; = Lintang Bulan geosentrik tampak; = Nutas pada bujur (lihat Bab 21); F = argumen lintang Bulan, yang diperoleh dari (45.5); = bujur rata=rata titik daki orbit Bulan, diperoleh dari rumus (45.7). Lalu kita dapatkan:
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 288 (51.1) Dalam perhitungan , efek Nutasi dianggap sudah termasuk di dalamnya, sehingga mewakili dalam kenyataannya 'bujur bulan tampak tanpa efek Nutasi'. Librasi Fisik Ada gerak rotasi aktual Bulan sekitar rotasi rata-ratanya, hal ini disebut librasi fisik. Librasi fisik jauh lebih kecil daripada librasi optik, dan tidak pernah lebih besar dari 0.04 derajat baik pada bujur maupun lintang. Para Librasi fisik pada bujur (l") dan lintang (b") dapat dihitung sebagai berikut, dan total librasi adalah jumlah librasi optik dan fisik: l = l'+ l", b = b' + b". Hitung jumlah , dan (dalam derajat) dengan cara mengikuti rumus karya D.H. Eckhardt [1], di mana sudut D, M dan M' diperoleh dengan rumus (45.2) sampai (45.4); Dapatkan E dengan rumus (45.6), dan sudut K1 dan K2 (dalam derajat) dari: K1 = 119.75 + 131.849 T K2 = 72.56 + 20.186 T di mana, seperti di bagian lain dalam buku ini, T adalah waktu yang diukur dalam abad Julian 36 525 hari dari Epoch J2000.0 = JDE 2451545.0. = -0.02752 cos M' -0.02245 sin F +0.00684 cos (M' - 2F) -0.00293 cos 2F -0.00085 cos (2F - 2D) -0.00054 cos (M' - 2D) -0.00020 sin (M' + F) -0.00020 cos (M' + 2F) -0.00020 cos (M' - F) +0.00014 cos (M' + 2F - 2D) = +0.02520 E sin M +0.00473 sin(2M' - 2F) -0.00467 sin M' +0.00396 sin K1 +0.00276 sin (2M' - 2D) +0.00196 sin -0.00183 cos(M' - F) +0.00115 sin (M' - 2D) -0.00096 sin(M' - D) +0.00046 sin (2F - 2D) -0.00039 sin(M' - F) -0.00032 sin (M'- M - D) = -0.02816 sin M'
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 289 +0.02244 cos F -0.00682 sin (M' - 2F) -0.00279 sin 2F -0.00083 sin (2F - 2D) +0.00069 sin(M' - 2D) +0.00040 cos (M' + F) -0.00025 sin 2M' -0.00023 sin (M' + 2F) +0.00020 cos (M' - F) +0.00019 sin (M' - F) +0.00013 sin (M' + 2F - 2D) -0.00010 cos(M' - 3F) +0.00027 sin (2M - M - 2D) +0.00023 sin K2 -0.00014 sin 2D +0.00014 cos (2M' - 2F) -0.00012 sin (M' - 2F) -0.00012 sin 2M' +0.00011 sin (2M' - 2M - 2D) Kemudian kita mempunyai: Posisi Sudut Axis Sudut posisi sumbu rotasi Bulan, P, didefinisikan seperti untuk planet (lihat Bab 41 dan 42). Hal ini dapat dihitung sebagai berikut; efek dari librasi fisik harus ikut diperhitungkan. I, , , , dan b memiliki arti yang sama seperti sebelumnya, dan adalah askensio rekta geosentrik tampak Bulan, dan adalah kemiringansejati ekliptika. Kemudian: Sudut dapat diperoleh di kuadran yang benar dengan menggunakan Fungsi arctangent 'kedua': = ATN2 (X, Y). Jika fungsi ini tidak tersedia, membagi X dengan Y, kemudian menerapkan arctangent biasa. Hasilnya, tambahkan 180° jika Y < 0. Sudut P harus diambil dalam kuadran pertama atau keempat. Contoh 51.a — Bulan pada 12 April 1992 jam 0h TD.
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 290 untuk waktu yang diberikan tersebut kita mempunyai (lihat contoh 45.a): D = 113°.842 309 M = 97°.643 514 M' = 5°.150 839 F = 219°.889 726 = +0°.004 610 E = 1.000 194 = 133°. 167 269 = -3°.229 127 = 133°. 162 659 = 23°.440 636 = 134°. 688 473 Kemudian kita peroleh: = 274°.400 655 W = 218°.762 004 A = 218°.683 937 l' = -1°.2O6 b' = +4°. 194 K1 = 109°.57 K2 = 71°. 00 = -0.01042 = -0.01574 = +0.02673 l" = -0°.025 b" = + 0°.006 l = -1°.23 b = + 4°. 20 V = 273°.820 506 I + = 1°.532 00 X = -0.026 676 Y = -0.396 022 = 183°.8536 P = 15-.08 Librasi Toposentrik Untuk mengkoreksi pengamatan dengan akurat, nilai geosentrik librasi dan sudut posisi sumbu harus direduksi dengan nilai-nilai di tempat pengamat di permukaan Bumi. Untuk librasi, perbedaannya dapat mencapai 1°, dan memiliki efek penting pada bagian kontur. Librasi toposentrik pada bujur dan lintang, dan posisi sudut toposentrik dari sumbu, dapat dikalkulasi baik dengan perhitungan langsung ataupun dengan koreksi diferensial nilai-nilai geosentrik. a. Perhitungan langsung. - Rumus yang sudah diberikan sebelumnya dapat digunakan, tetapi koordinat geosentrik Bulan , , digantikan dengan toposentrik. Untuk tujuan ini, askensio rekta toposentrik dan deklinasi Bulan diperoleh dengan cara rumus (39.2) dan (39.3), kemudian dirubah ke koordinat ekliptika dan dengan rumus konversi biasa (12.1) dan (12.2) untuk mendapatkan bujur dan lintang toposentrik. b. Koreksi Diferensial. - Anggaplah adalah lintang pengamat, deklinasi geosentrik Bulan , sudut jam lokal Bulan H (dihitung dari waktu sidereal lokal dan askensio rekta geosentrik), dan paralaks horisontal geosentrik Bulan. Kemudian hitunglah:
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 291 Kemudian koreksi terhadap librasi geosentrik (l, b) dan sudut posisi (P) adalah: Rumus ini diberikan dalam Daftar Pustaka [2]. Posisi Selenografik Matahari Koordinat Selenografik Matahari menentukan daerah permukaan bulan yang diterangi. Bujur lo dan lintang bo selenografik dari titik subsolar di permukaan bulan - titik di mana Matahari berada di zenith - diperoleh dengan mengganti, dalam rumus (51.1) untuk Koordinat selenografik Bumi, yakni koordinat geosentrik ekliptik Bulan , dengan koordinat heliosentrik ekliptik Bulan , . Dengan akurasi yang memadai kita miliki: mana adalah geosentrik bujur tampak Matahari. Fraksi adalah rasio jarak Bumi-Bulan terhadap jarak Bumi-Matahari, maka, dan R harus dinyatakan dalam satuan yang sama, misalnya kilometer. Jika, sebaliknya, R dinyatakan sebagai unit astronomi, dan adalah horisontal ekuator paralaks Bulan dinyatakan dalam detik busur ("). Fraksi sama dengan: Oleh karena itu, untuk menemukan lo dan bo, pertama-tama hitunglah dan , kemudian gunakan rumus (51.1) dengan mengganti dengan , dan dengan , hal ini akan memberikan dan . Kuantitas didapatkan dengan rumus yang tidak berubah, dan akhirnya dan dengan (51.2), menggunakan sebagai pengganti b'. Kemudian
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 292 Kurangkan dari 90° atau 450° memberikan colongitude-selenografik Matahari ( , yang ditabulasikan dalam ephemerides. Kuantitas (atau ) dan menentukan posisi eksak dari terminator pada permukaan Bulan. Titik subsolar di , adalah kutub lingkaran besar di permukaan bulan yang membatasi belahan Bulan yang diterangi. Terminator pagi, dimana Matahari terbit di Bulan, adalah di bujur selenografik - 90°, atau 360° - . Terminator Malam di bujur + 90°, atau 180° - . Ketika = 0°, Matahari terbit di selenografik bujur 0°, ini terjadi di dekat perempat pertama (First Quarter). Pada Bulan Purnama, seperempat terakhir (Last Quarter), dan konjungsi (New Moon), masing-masing, adalah sekitar 90°, 180°, dan 270°, dan terminator pagi kira-kira pada bujur selenografik 270°, 180°, dan 90°. Perlu dicatat bahwa, sementara menurun seiring dengan waktu, colongitude meningkat. Gerak harian rata-rata mereka adalah sama dengan Elongasi Bulan rata-rata D, yaitu 12.190 749 derajat. Pada titik di permukaan Bulan pada bujur selenografik dan lintang , Matahari terbit terjadi kira-kira ketika = 360° - , siang ketika = 90° - , dan Matahari terbenam ketika = 180° - . Ketinggian Matahari eksak h di atas ufuk Bulan setiap saat mungkin dapat dihitung dari: sin h = sin sin + cos cos sin ( ) Contoh 51.b — Bulan pada 12 April 1992 jam 0h TD. Untuk waktu yang diberikan ini, kita dapatkan (dari perhitungan akurat menggunakan Teori VSOP87 dan ELP-2000/82): 22°.33978 368 406 kilometer R = 1.002 497 69 AU = 149 971 500 km Kuantitas lain yang relevan telah dilakukan dalam contoh 51.a. Kemudian kita tentukan: 202°.208 438 = -0°.026 -0°.007 932 = -0°.015 W = 287°.803 173 = 67°.89 A = 287°.809 284 = 1°.46 = 67°.920 = 22°.11 = +1°.476 Daftar Pustaka 1. D.H. Eckhardt, 'Theory of the Libration of the Moon', Moon and Planets, Vol. 25, halaman 3 (1981).
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 293 2. Explanatory Supplement to the Astronomical Ephemeris (London, 1961), halaman 324.
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 294 Bab 52. Gerhana Tanpa terlalu banyak perhitungan, karakteristik utama gerhana Matahari atau gerhana Bulan dimungkinkan untuk menghitung dengan akurasi yang baik. Faktanya, untuk gerhana Matahari, situasi menjadi rumit bahwa kejadian fase-fase berbeda untuk pengamat yang berlainan di permukaan Bumi, sedangkan kasus gerhana Bulan semua pengamat melihat fase yang sama pada saat yang sama. Untuk alasan ini, di sini kita tidak akan membahas perhitungan situasi lokal gerhana Matahari. Para pembaca yang berminat dapat menghitung keadaan ini dari Elemen Besselian dipublikasikan tahunan di Ephemeris astronomi atau Astronomical ephemeris (diganti namanya Astronomical Almanac pada tahun 1981). Elemen Besselian untuk semua gerhana Matahari untuk tahun -2003 sampai +2526 dapat ditemukan dalam the Canon karya Mucke dan Meeus [1]. Untuk zaman modern, elemen Besselian akurat telah diterbitkan oleh Meeus [2]. Selain elemen-elemen itu, kedua karya tersebut memberikan rumus untuk digunakan, bersama dengan contoh-contoh numerik. Espenak dipublikasikan Canon [3] memberikan data tentang jalur gerhana Matahari tahunan dan total dari tahun 1986 sampai 2035, dengan peta dunia untuk semua gerhana di periode itu. Karya tersebut tidak mengandung unsur Besselian, sehingga tidak memberikan kemungkinan untuk menghitung data tambahan, seperti keadaan lokal tempat di luar jalur fase total atau annular/tahunan. Sebut saja karya Stephenson dan Houlden [4], yang berisi data dan grafik untuk gerhana total dan annular terlihat di Asia Timur dari 1500 SM sampai 1900 M. Data umum Pertama, hitung saat tertentu (JDE) Bulan Baru dan Bulan Purnama rata-rata, dengan (47.1) sampai (47.3). Ingat, k harus bilangan bulat untuk Bulan Baru (gerhana Matahari), dan bilangan bulat ditambah 0.5 untuk Bulan Purnama (gerhana Bulan). Kemudian, hitung nilai sudut M, M', F dan untuk saat tertentu, dengan rumus (47.4) sampai (47.7), dan nilai E dengan rumus (45.6). Nilai F akan memberikan informasi pertama tentang terjadinya gerhana Matahari atau Bulan. Jika F berbeda dari kelipatan terdekat dari 180° yakni kurang dari 13°.9, maka pasti ada gerhana, jika perbedaan lebih besar dari 21°0, maka tidak ada gerhana; antara kedua nilai tersebut, gerhana belum bisa dipastikan pada tahap ini dan kasus harus diselidiki lebih lanjut. Penyelidikan lebih lanjut dapat memakai aturan berikut: tidak ada gerhana jika | sin F |> 0.36. Perhatikan bahwa, setelah satu lunasi, nilai F meningkat sebesar 30°.6705. Jika F mendekati 0° atau 360°, gerhana terjadi di dekat titik daki Bulan. Jika F nilainya dekat 180°, gerhana terjadi di dekat titik turun orbit Bulan.
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 295 Hitung: Kemudian, untuk mendapatkan waktu maksimum gerhana (untuk Bumi secara umum dalam kasus gerhana Matahari), koreksi-koreksi berikut (dalam hari) harus ditambahkan dengan waktu konjungsi rata-rata diberikan dengan rumus (47.1). -0.4075 +0.1721 x E +0.0161 -0.0097 +0.0073 x E -0.0050 x E -0.0023 +0.0021 x E +0.0012 +0.0006 x E -0.0004 -0.0003 x E +0.0003 -0.0002 x E -0.0002 x E -0.0002 x sin M' M 2M' 2F1 M' - M M' + M M' - 2F1 2M M' + 2F1 2M' + M 3M' M + 2F1 A1 M - 2F1 2M' - M (52.1) Tentu saja, algoritma ini tidak boleh digunakan, jika diperlukan akurasi tinggi. Untuk gerhana Matahari 221, tahun 1951 M sampai 2050 M, metode ini memberikan kesalahan rata-rata 0.36 menit, dan kesalahan terbesar 1.1 menit pada saat gerhana maksimum. Kemudian, hitunglah: P = +0.2070 x E x sin M +0.0024 x E sin 2M -0.0392 sin M' +0.0116 sin 2M' +0.0073 x E sin (M' + M) +0.0067 x E sin (M' - M) +0.0118 sin 2F1 Q = +5.2207 -0.0048 x E x cos M +0.0020 cos 2M +0.3299 cos M' -0.0060 x E cos (M' + M) +0.0041 x E cos (M' - M) W = | cos F1 | = (p cos Fl + Q sin Fl) (1 - 0.0048 W) u = 0.0059 + 0.0046 E cos M - 0.0182 cos M' + 0.0004 cos 2M' - 0.0005 cos (M + M') Untuk Gerhana Bulan, rubahlah konstanta menjadi -0.4065 dan +0.1727
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 296 Gerhana Matahari Dalam kasus gerhana Matahari, merepresentasikan jarak terdekat dari sumbu bayangan Bulan ke pusat Bumi, dalam satuan radius ekuator Bumi. Kuantitas , nilainya dapat positif atau negatif, tergantung pada sumbu jalur bayangan utara atau selatan dari pusat Bumi. Jika nilai antara +0.9972 dan -0.9972, gerhana Matahari adalah sentral: ada terdapat garis gerhana sentral di permukaan Bumi. Kuantitas u merupakan jari-jari kerucut umbra Bulan di bidang dasar, sekali lagi dalam satuan radius ekuator Bumi. (Bidang dasar adalah sebuah bidang yang melalui pusat Bumi dan tegak lurus terhadap sumbu bayangan Bulan). Jari-jari kerucut penumbra pada bidang dasar ini adalah u + 0.5461 Jika | | nilainya antara 0.9972 dan 1.5433 + u, gerhana bukan sentral. Dalam kebanyakan kasus, hal itu adalah gerhana parsial. Namun, ketika | | nilainya antara 0.9972 dan 1.0260, bagian kerucut umbra mungkin menyentuh permukaan Bumi (di daerah kutub), sementara sumbu kerucut tidak menyentuh Bumi. Gerhana annular atau total non-sentral terjadi ketika 0.9972 < | | < 0.9972 + |u|. Antara tahun 1950 dan 2100, ada tujuh gerhana termasuk dalam jenis ini: 18 Maret 1950 annular, non-sentral 30 April 1957 annular, non-sentral 23 Oktober 1957 total, non-sentral 2 November 1967 total, non-sentral 29 April 2014 annular, non-sentral 9 April 2043 total, non-sentral 3 Oktober 2043 annular, non-sentral Jika | |> 1.5433 + u, gerhana tidak terlihat dari permukaan Bumi. Dalam kasus gerhana sentral, jenis gerhana dapat ditentukan dengan aturan berikut: jika u < 0, maka gerhana total; jika u > 0.0047, maka gerhana annular; jika u antara 0 dan +0.0047, bisa gerhana annular atau annular-total. Dalam kasus terakhir ini, ambiguitas dapat dihapuskan sebagai berikut. Hitung: Kemudian, jika , gerhana annular-total; jika tidak maka gerhana annular. Dalam kasus gerhana Matahari parsial, besarnya magnitudo dicapai pada titik permukaan Bumi akan berada paling dekat dengan sumbu bayangan. Magnitudo gerhana pada titik tersebut:
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 297 (52.2) Gerhana Bulan Dalam kasus gerhana Bulan, merepresentasikan jarak terdekat dari pusat Bulan ke sumbu bayangan Bumi, dalam satuan radius ekuator Bumi. Kuantitas nilainya positif atau negatif tergantung pada pusat Bulan melewati utara atau selatan sumbu bayangan. Jari-jari, pada jarak Bulan, sekali lagi jari-jari ekuator Bumi, adalah: untuk penumbra : = 1.2848 + u untuk umbra : = 0.7403 - u sedangkan magnitudo gerhana dapat ditentukan sebagai berikut: untuk gerhana penumbra untuk gerhana umbral Jika magnitudo-nya negatif menunjukkan bahwa tidak ada gerhana. Semi-durasi fase parsial dan total dalam umbra dapat ditemukan sebagai berikut. Hitung: P = 1.0128 - u T = 0.4678 - u n = 0.5458 + 0.0400 cos M' Kemudian semi-durasi dalam menit adalah: Fase parsial : Fase total : Untuk semi-durasi fase parsial dalam penumbra, cari H = 1.5573 + u, dan kemudian semi-durasi dalam menit adalah: Harus dicatat bahwa Bulan ketika menyentuh penumbra tidak dapat diamati, dan gerhana penumbra (di mana Bulan hanya masuk penumbra Bumi) tidak bisa dibedakan secara visual. Hanya pada gerhana yang terjadi masuk jauh di dalam penumbra, bayangan samar-samar di utara atau selatan lengkungan Bulan dapat terlihat. Dalam rumus yang diberikan di atas, peningkatan jari-jari teoritis kerucut bayangan pada atmosfer Bumi harus ikut diperhitungkan. Namun, sebagai pengganti aturan tradisional yang mengatakan peningkatan 1/50 jari-jari teoritis, kita menggunakan metode yang sejak 1951 oleh Connaissance des Temps - lihat misalnya Referensi [5].
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 298 Dibandingkan dengan hasil 'aturan Perancis' atau 'French Rule', magnitudo gerhana Bulan dihitung dengan menggunakan aturan tradisional terlalu besar sekitar 0.005 untuk gerhana umbra, dan sekitar 0.026 untuk gerhana penumbra. Untuk mendapatkan hasil yang sesuai dengan aturan tradisional (1/50), perubahan berikut harus dilakukan untuk konstanta di dalam rumus-rumus yang diberikan di atas: ganti 1.2848 dengan 1.2985 0.7403 dengan 0.7432 1.5573 dengan 1.5710 1.0128 dengan 1.0157 0.4678 dengan 0.4707 Untuk prediksi gerhana Bulan, seperti yang dipublikasikan dalam berbagai almanak, adalah kebiasaan untuk mengasumsikan penumbra dan umbra merupakan lingkaran persis, dan menggunakan jari-jari rata-rata Bumi. Kenyataannya, bayangan agak berbeda dari kerucut lingkaran akibat Bumi bukan berbentuk bola sempurna. Dengan pertimbangan geometri yang sederhana, ditemukan bahwa bayangan Bumi pada jarak Bulan, harus lebih rata dibandingkan kenyataan terestris, nilai rata-rata pegepengan umbra adalah 1/214 [6]. Pegepengan umbra sebenarnya mungkin lebih besar lagi. Soulsby [7] menemukan pegepengan 1/102 dari pengamatan yang dilakukan pada 18 gerhana Bulan pada periode 1974-1989. Contoh 52.a — Gerhana Matahari 21 Mei tahun 1993. Karena 21 Mei adalah hari ke 141 pada tahun tersebut, tanggal yang diberikan berkorelasi dengan 1993.38. Rumus (47.2), akan memberikan: k -81.88, oleh karenanya k = -82. Kemudian, dengan rumus (47.3) dan (47.1), JDE = 2449 128.5894 Kita menemukan lebih lanjut M = 135° .9142 M' = 244° .5757 F = 165° .7296 = 253°.0026 F1 = 165° .7551 Karena 180° - F antara 13°.9 dan 21°.0, gerhana tidak pasti. Selanjutnya, kita dapatkan: P = 0.1842 Q = 5.3589 = 1.1348 u = 0.0097 Karena | | adalah antara 0.9972 dan 1.5433 + u, berarti gerhana parsial. Menggunakan rumus (52.2), kita dapatkan bahwa maksimum magnitudo adalah: