Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 99 Untuk perhitungan , nilai n yang dinyatakan dalam waktu detik ( s) harus digunakan. Ingat bahwa 1s (detik waktu) berkorelasi dengan 15" (detik busur). Dalam kasus bintang, efek gerak harus ditambahkan ke nilai yang dihasilkan rumus (20.1). Contoh 20.a — Koordinat Regulus ( Leonis) untuk epoch dan ekuinoks mengacu pada 2000.0: = 10h08m22s .3 = +111°58'02" dan gerakan tahunan yang tepat adalah -0s .0169 pada askensio rekta, +0".006 pada deklinasi. Reduksi koordinat tersebut ke epoch dan ekuinoks tahun 1978.0. Maka akan kita dapatkan: = 152°.093 m = 3s .075 = +11°.967 n = 1s .336 = 20".04 Dari rumus (20.1), dapat disimpulkan: = +3s .208, = -17".71 ke hasil tersebut masih harus ditambahkan gerak tahunan yang tepat, untuk mendapatkan variasi +3s .191 pada askensio rekta dan 17".70 pada deklinasi. Variasi selama -22 tahun (dari 2000.0 sampai 1978.0): dalam : +3s .191 x (-22) = -70s .2 = -1m10s .2 dalam : -17".70 x (-22) = 389" = +6'29" askensio rekta yang dicari adalah - 1m10s .2 = 10h07m12s .1 deklinasi yang dicari adalah + 6'29"= 12°04'31" Tahun Besselian dan Julian International Astronomical Union telah memutuskan bahwa dari 1984 dan seterusnya ephemerides astronomi harus menggunakan sistem berikut. Standar baru adalah 1 Januari 2000 pada jam 12h TD, bersesuaian dengan JDE 2451545.0. Epoch ini dirancang sebagai J2000.0. Untuk tujuan menghitung posisi bintang, awal 'tahun' berbeda dengan epoch standar J2000.0 dilipatkan dengan tahun Julian, atau 365.25 hari. Sebagai contoh, epoch J1986.0 adalah 14 x 365.25 hari sebelum J2000.0, dan karenanya JDE yang sesuai adalah 2 451 545.0 - 14 x 365.25 = 2446 431.50. Huruf J, dalam catatan-catatan seperti J2000.0 atau J1986.0, menunjukkan bahwa satuan waktu (untuk katalog bintang) adalah tahun Julian. Sebelumnya, katalog posisi bintang digunakan standar epoch permulaan tahun Besselian. Awal tahun Besselian Matahari merupakan saat ketika bujur rata-rata Matahari, yang dipengaruhi oleh aberasi (-20".5) dan diukur dari ekuinoks rata-rata pada tanggal tertentu, adalah tepat 280°. Saat tersebut selalu mendekati awal tahun sipil Gregorian. Panjang tahun Besselian, sama dengan tahun tropis, adalah 365.242 1988 hari pada tahun 1900M, menurut Newcomb. Untuk membedakan zaman kuno, berdasarkan tahun Besselian, dari sistem baru, huruf B digunakan. Sebagai contoh, B1900.0 = JDE 2415 020.3135 = 0.8135 Januari 1900 B1950.0 = JDE 2433 282.4235 = 0.9235 Januari 1950 tetapi
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 100 J2000.0 = JDE 2451 545.00 tepat J2050.0 = JDE 2469 807.50 tepat dan seterusnya. Notasi 0 setelah bilangan tahun (seperti pada 1986.0 atau 2000.0) menandakan bahwa awal tahun yang dimaksud. Metode teliti Misalkan T interval waktu, dalam Julian abad, antara J2000.0 dan permulaan epoch, dan biarkan t adalah interval, dengan satuan yang sama, antara permulaan epoch dan akhir epoch. Dengan kata lain, jika (JD)o dan (JD) adalah Hari Julian Hari berkorelasi masing-masing dengan inisialisasi epoch dan akhir epoch, maka akan kita dapatkan: Kemudian kita dapatkan rumus numerik berikut untuk kuantitas , z dan yang dibutuhkan untuk mereduksi posisi secara akurat dari satu ekuinoks ke ekuinoks yang lain [1]: = (2306".2181 + 1".39656 T - 0".000 139 T2) t + 0".30188 - 0".000 344 T) t 2 + 0".017 998 t 3 z = (2306".2181 + 1".39656 T - 0".000 139 T2) t , + (1".09468 + 0".000 066 T) t 2 + 0".018 203 t 3 = (2004".3109 - 0".85330T - 0".000 217 T2) t - (0".42665 + 0".000 217 T) t 2 - 0".041833 t 3 (20.2) Jika awal epoch adalah J2000.0 itu sendiri, kita mendapatkan T = 0 dan rumus-rumus (20.2) dapat disederhanakan menjadi = 2306".2181 t + 0".30188 t 2 + 0".017 998 t 3 z = 2306".2181 t + 1".09468 t 2 + 0".018 203 t 3 = 2004".3109 t - 0".42665 t2 - 0".041833 t 3 (20.3) Kemudian, rumus teliti untuk mereduksi koordinat ekuator dan pada awal epoch ke koordinat dan pada akhir epoch adalah: (20.4) Sudut - z diperoleh dengan fungsi arctangent 'kedua' ATN2 untuk memperoleh kuadran yang benar, pada kuantitas A dan B, atau dengan prosedur lain - lihat 'kuadran yang benar' di Bab 1. Jika bintang dekat kutub langit, seseorang harus menggunakan rumus sebagai pengganti Sebelum melakukan reduksi dai , ke dan , harus diperhitungkan pengaruh gerakan bintang yang tepat.
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 101 Contoh 20.b — Bintang Persei memiliki koordinat rata-rata berikut ini untuk epoch dan ekuinoks J2000.0: = 2h44m11s .986 = +49°13'42".48 dan gerak diri tahunan mengacu pada ekuinoks yang sama adalah: +0s .03425 pada askensio rekta -0".0895 pada deklinasi. Reduksi koordinat ke epoch dan ekuinoks rata-rata 13.19 TD November tahun 2028. Epoch inisial J2000.0 atau JD 2451 545.0, dan epoch akhir JD 2462 088.69. Oleh karenanya, t = +0.288 670 500 abad Julian atau 28.867 0500 tahun Julian. Mula-mula kita hitung pengaruh gerak diri. Variasi dalam kurun 28.86705 tahun adalah: +0s .03425 28.86705 = +0s .989 pada askensio rekta -0".0895 28.86705 = -2".58 pada deklinasi Jadi Koordinat bintang, untuk ekuinoks rata-rata pada J2000.0, namun untuk 13.19 November 2028 adalah = 2h44m11s .986 + 0s .989 = 2h44m12s .975 = +41°.054 063 = +49°13'42".48 - 2".58 = +49°13'39".90 = +49°.227 750 Karena ekuinoks inisial adalah J2000.0, maka kita dapat menggunakan rumus (20.3). Dengan nilai t = +0.288 670 500, kita memperoleh: = +665".7627 = +0°.184 9341 z = +665".8288 = +0°.184 9524 = +578".5489 = +0°.160 7080 A = +0.430 494 05 B = +0.488 948 49 C = +0.758 685 86 = +41°.362 262 = +41°.547 214 = 2h46m11s .331 = +49°.348 483 = +49°20'54".54 L a t i h a n — Koordinat ekuator Ursae Minoris, untuk epoch dan ekuinoks rata-rata J2000.0, adalah = 2h31m48s .704, = +89°15'50".72 dan gerak diri tahunan untuk ekuinoks yang sama adalah +0s .19877 pada askensio rekta -0".0152 pada deklinasi. Hitung koordinat bintang pada epoch dan ekuinoks rata-rata B1900.0, J2050.0 dan J2100.0 Jawab : B1900.0 = 1h22m33s90 = +88°46'26".18 J2050.0 3 48 16.43 +89 27 15.38 J2100.0 5 53 29.17 +89 32 22.18
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 102 Perlu dicatat bahwa rumus (20.2) dan (20.3) valid hanya untuk jangka waktu terbatas. Jika kita menggunakannya untuk tahun 32 700, misalnya, kita menemukan untuk epoch itu bahwa UMi berada pada deklinasi -87°, hasil yang sepenuhnya salah! Penggunaan koordinat ekliptika Jika, sebagai pengganti koordinat ekuator bintang (askensio rekta dan deklinasi), kita menggunakan koordinat ekliptika (bujur, lintang), metode teliti berikut ini dapat digunakan [2]. T dan t memiliki arti yang sama seperti sebelumnya, lalu hitunglah = (47".0029 - 0".06603 T + 0".000 598 T2) t + (-0".03302 + 0".000 598 T) t 2 + 0".000 060 t 3 = 174°.876 384 + 3289".4789 T + 0".60622 T2 - (869".8089 + 0".50491 T) t + 0".03536 t 2 p = (5029".0966 + 2".22226 T - 0".000 042 T2) t +(1".11113 - 0".000 042 T) t 2 - 0".000 006 t 3 (20.5) Kuantitas adalah sudut antara ekliptika di awal epoch dan ekliptika di akhir epoch. Jika awal epoch adalah J2000.0, kita memiliki T = 0 dan di rumus di atas dapat direduksi menjadi: = 47".0029 t - 0".03302 t 2 + 0".000 060 t 3 = 174°.876 384 - 869".8089 t + 0".03536 t 2 p = 5029".0966t + 1".11113t 2 - 0".000 006 t 3 (20.6) Kemudian, Rumus teliti untuk mereduksi koordinat ekliptika, dan dari awal epoch ke dan pada akhir epoch adalah: Unsur-unsur presesi lama Seperti yang telah dikatakan sebelumnya, untuk katalog bintang dan untuk tujuan penghitungan posisi bintang, epoch standar sekarang J2000.0 dan satuan waktu sekarang adalah tahun julian (365.25 hari) atau Abad julian (36525 hari). Sebelumnya, awal tahun Besselian diambil sebagai referensi waktu dan satuan waktu adalah tahun tropis atau abad tropis. Namun, ini bukan satu-satunya perbedaan antara yang sistem lama (FK4) dan yang baru (FK5). ['FK' berarti Katalog Fundamental]. Pertama, ada kesalahan kecil ('koreksi ekuinoks') di titik nol pada askensio rekta dari FK4 tersebut. Kedua, seperti yang kita lihat di Bab 22, perpindahan bujur ( ) dan lintang ( ) bintang karena aberasi menghasilkan gerakan Bumi dalam orbit elips yang dirumuskan sebagai berikut:
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 103 di mana adalah bujur Matahari, bujur dari perihelion orbit Bumi, e eksentrisitas orbit ini, dan konstanta aberasi. Sekarang, komponen kedua di sisi sebelah kanan dari rumus-rumus ini hampir konstan untuk bintang tertentu, karena e, dan berubah secara perlahan seiring dengan waktu. Untuk alasan ini, astronomi-praktis telah meninggalkan bagian dari aberasi tersebut (yang disebut komponen E) di posisi rata-rata dari bintang-bintang dimaksud. Saat ini, komponen-komponen itu tergantung pada eliptisitas orbit Bumi yang tidak lagi termasuk bagian dari tempat rata-rata bintang, sebagai gantinya komponen itu dihitung dengan mereduksi dari rata-rata ke tempat tampak (lihat Bab 22). Prosedur untuk melakukan konversi posisi rata-rata dan gerak diri dari bintang mengacu ekuinoks rata-rata dan ekuator B1950.0 dan berdasarkan rumus Newcomb untuk presesi (sistem FK4) ke semua sistem IAU pada J2000.0 (sistem FK5) dapat ditemukan, misalnya dalam Almanak Astronomi tahun 1984 [3]. Rumus perhitungan presesi (20.2) dan (20.3) hanya dapat digunakan untuk bintang-bintang mengacu pada sistem FK5. Jika hanya FK4 posisi dan gerak diri tersedia, maka kita harus mempersiapkan perhitungan posisi bintang tampak (apparent) dalam sistem FK5: 1. harus digunakan presesi rumus karya Newcomb (lihat di bawah); 2. dalam mereduksi dari rata-rata tempat tampak, komponen E dari aberasi harus dibuang. 3. untuk hasil akhir askensio rekta dari bintang, tambahkan koreksi ekuinoks. 0s .0775 + 0s .0850 T dimana T adalah waktu dalam abad Julian dari J2000.0. Berikut ini adalah Rumus presesi Newcomb: (JD)o dan (JD) adalah hari Julian berkorelasi masing-masing dengan epoch inisial dan epoch akhir. Selanjutnya: = (2304".250 + 1".396 T) t + 0".302 t 2 + 0".018 t 3 z = + 0".791 t 2 + 0".001 t 3 = (2004".682 - 0".853 T) t - 0".426 t 2 - 0".042 t 3 Jika epoch awal adalah B1950.0, kita mempunyai T = 0.5, dan rumus di atas menjadi: = 2304".948 t + 0".302 t 2 + 0".018 t 3 z = 2304".948 t + 1".093 t 2 + 0".019 t 3 = 2004".255 t - 0".426 t 2 - 0".042 t 3 Daftar Pustaka 1. Astronomical Almanac for the year 1984 (Washington, D.C.; 1983), halaman S19. 2. Connaissance des Temps pour 1984 (Paris, 1983), halaman XXX dan XL. 3. Astronomical Almanac for the year 1984 (Washington, D.C.; 1983), halaman S34 - S35.
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 104 Bab 21. Nutasi dan Kemiringan Ekliptik Nutasi ditemukan oleh ahli astronomi dari Inggris bernama James Bradley (1693-1762), adalah oskilasi periodik dari sumbu rotasi Bumi di sekitar posisi rata-ratanya. Akibat Nutasi, Kutub Rotasi Bumi seketika itu juga ber-oskilasi di sekitar Kutub rata-rata yang dibarengi dengan presesi di sekitar Kutub ekliptik. Secara prinsip, Nutasi ini adalah akibat pengaruh Bulan dan didiskripsikan dengan penjumlahan komponen-komponen periodik. Komponen yang terpenting mempunyai periode 6798.4 hari (18.6 tahun), namun untuk komponen-komponen yang lain mempunyai periode yang sangat pendek (kurang dari 10 hari). Nutasi dapat dengan mudah dibagi menjadi komponen paralel komponen, dan satu komponen yang tegak lurus terhadap ekliptika. Komponen yang pararel dengan ekliptika dilambangkan dengan dan disebut Nutasi pada Bujur; hal ini mempengaruhi koordinat bujur dari semua benda-benda langit. Komponen tegak lurus terhadap ekliptika dilambangkan oleh dan disebut Nutasi pada kemiringan ekliptik, karena mempengaruhi arah kemiringan ekuator terhadap bidang ekliptika. Kuantitas dan diperlukan untuk perhitungan Tempat tampak dari benda-benda langit dan untuk perhitungan waktu sideris tampak. Untuk waktu kapanpun yang diinginkan, dan dapat dihitung dengan cara sebagai berikut. Carilah waktu T, diukur dalam Abad Julian dari Epoch J2000.0 (JDE 2451545.0). (21.1) dimana JDE adalah Hari Julian Ephemeris, hal itu berbeda dari Hari Julian (JD) dengan perbedaan adanya kuantitas yang nilainya relatif T (lihat Bab 7). Kemudian menghitung sudut berikut yang dinyatakan dalam derajat desimal. Rumusan-rumusan berikut ini disediakan oleh International Astronomical Union [1], yang sedikit berbeda dengan yang digunakan dalam teori Lunar karya Chapront ini (Bab 45). Rata-rata Elongasi Bulan dari Matahari: D = 297.85036 + 445 267.111 480 T - 0.001 9142 T2 + T3/189 474 Anomali Rata-rata Matahari (Bumi) : M = 357.52772 + 35 999.050 340 T - 0.000 1603 T2 - T3/300 000 Anomali Rata-rata Bulan: M' = 134.96298 + 477 198.867 398 T + 0.008 6972 T2 + T3/56 250 Argumen Lintang Bulan : F = 93.27191 + 483 202.017 538 T - 0.003 6825 T2 + T3/327 270 Bujur dari titik daki (ascending node) dari Orbit rata-rata Bulan pada ekliptika, diukur dari ekuinoks rata-rata pada tanggal tertentu: = 125.04452 - 1934.136 261 T + 0.0020708 T2 + T3/450 000
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 105 Nutasi pada Bujur () dan Nutasi pada kemiringan Ekliptik () yang kemudian diperoleh dengan menjumlahkan komponen yang diberikan pada Tabel 21.A, di mana koefisien diberikan dalam satuan 0".0001. Komponen-komponen ini dipublikasikan dalam Teori Nutasi IAU tahun 1980 (the 1980 IAU Theory of Nutation [2]), namun kita dapat mengabaikan komponen-komponen dengan koefisien kurang dari 0".0003. Argumen masing-masing sinus (untuk ) dan cosinus (untuk ) adalah Kombinasi linier dari lima argumen mendasar D, M, M', F dan Q. Misalnya, argumen pada baris kedua adalah -2D + 2F + 2. Tentu saja, jika tidak diperlukan akurasi tinggi, hanya komponen-komponen periodik yang mempunyai koefisien terbesar dapat digunakan. Jika akurasi 0".5 untuk dan 0".1 untuk dianggap memadai, maka kita dapat mengabaikan komponen-komponen di T2 dan T3 di dalam rumus di atas untuk , dan kemudian menggunakan rumus yang disederhanakan sebagai berikut: = -17".20 sin - 1".32 sin 2L - 0".23 sin 2L' + 0".21 sin 2 = +9".20 cos + 0".57 cos 2L + 0".10 cos 2L' - 0".09 cos 2 dimana L dan L' masing-masing adalah Bujur rata-rata Matahari dan Bulan: L = 280°.4665 + 36 000°.7698 T L' = 218°.3165 + 481 267°.8813 T TABEL 21.A Komponen-komponen Periodik untuk perhitungan Nutasi pada Bujur ( ) dan pada Kemiringan Ekliptik ( ) . Satuannya adalah 0".0001 Perkalian pada komponen Koefisien pada argumen sinus Koefisien pada argumen cosinus D M M' F 0 0 0 0 1 -171996 -174.2 T +92025 +8.9 T -2 0 0 2 2 -13187 -1.6 T +5736 -3.1 T 0 0 0 2 2 -2274 -0.2 T +977 -0.5 T 0 0 0 0 2 +2062 +0.2 T -895 +0.5 T 0 1 0 0 0 +1426 -3.4 T +54 -0.1 T 0 0 1 0 0 +712 +0.1 T -7 -2 1 0 2 2 -517 +1.2 T +224 -0.6 T 0 0 0 2 1 -386 -0.4 T +200 0 0 1 2 2 -301 +129 -2 -1 0 2 2 +217 -0.5 T -95 -2 0 1 0 0 -158 -2 0 0 2 1 +129 +0.1 T -70 0 0 -1 2 2 +123 -53
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 106 Perkalian pada komponen Koefisien pada argumen sinus Koefisien pada argumen cosinus D M M' F 2 0 0 0 0 +63 0 0 1 0 1 +63 +0.1 T -33 2 0 -1 2 2 -59 +26 0 0 -1 0 1 -58 -0.1 T +32 0 0 1 2 1 -51 +27 -2 0 2 0 0 +48 0 0 -2 2 1 +46 -24 2 0 0 2 2 -38 +16 0 0 2 2 2 -31 +13 0 0 2 0 0 +29 -2 0 1 2 2 +29 -12 0 0 0 2 0 +26 -2 0 0 2 0 -22 0 0 -1 2 1 +21 -10 0 2 0 0 0 +17 -0.1 T 2 0 -1 0 1 +16 -8 -2 2 0 2 2 -16 +0.1 T +7 0 1 0 0 1 -15 +9 -2 0 1 0 1 -13 +7 0 -1 0 0 1 -12 +6 0 0 2 -2 0 +11 2 0 -1 2 1 -10 +5 2 0 1 2 2 -8 +3 0 1 0 2 2 +7 -3 -2 1 1 0 0 -7 0 -1 0 2 2 -7 +3 2 0 0 2 1 -7 +3 2 0 1 0 0 +6 -2 0 2 2 2 +6 -3 -2 0 1 2 1 +6 -3
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 107 Perkalian pada komponen Koefisien pada argumen sinus Koefisien pada argumen cosinus D M M' F 2 0 -2 0 1 -6 +3 2 0 0 0 1 -6 +3 0 -1 1 0 0 +5 -2 -1 0 2 1 -5 +3 -2 0 0 0 1 -5 +3 0 0 2 2 1 -5 +3 -2 0 2 0 1 +4 -2 1 0 2 1 +4 0 0 1 -2 0 +4 -1 0 1 0 0 -4 -2 1 0 0 0 -4 1 0 0 0 0 -4 0 0 1 2 0 +3 0 0 -2 2 2 -3 -1 -1 1 0 0 -3 0 1 1 0 0 -3 0 -1 1 2 2 -3 2 -1 -1 2 2 -3 0 0 3 2 2 -3 2 -1 0 2 2 -3 Kemiringan ekliptika (The Obliquity of the Ecliptic) Kemiringan ekliptika, atau kemiringan rotasi sumbu Bumi, adalah sudut antara ekuator dan ekliptika. Hal yang membedakan kemiringan rata-rata sejati adalah sudut-sudut yang terbentuk masing-masing antara ekliptika dengan ekuator rata-rata dan ekuator sejati pada saat tertentu. Kemiringan ekliptika rata-rata dinyatakan dalam rumus berikut ini, yang diadopsi oleh International Astronomical Union [1]: = 23°26'21".448 - 46".8150 T - 0".00059 T2 + 0".001 813 T3 (21.2) dimana, sekali lagi, T adalah waktu yang diukur dalam Abad Julian dari epoch J2000.0. Keakuratan rumus (21.2) tidak memadai untuk jangka waktu yang panjang: kesalahan pada o dapat mencapai 1" selama jangka waktu 2000 tahun, dan sekitar 10" selama jangka waktu 4000
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 108 tahun. Rumus yang lebih baik dipresentasikan oleh Laskar [2]. Dalam hal ini, U adalah waktu diukur dalam satuan 10 000 tahun Julian dari J2300.0, atau U = T/100. = 23°26'2l'.'448 - 4680".93 U - 1.55 U2 + 1999.25 U3 - 51.38 U4 - 249.67 U5 - 39.05 U6 + 7.12 U7 + 27.87 U8 + 5.79 U9 + 2.45 U10 (21.3) Keakuratan rumus ini diperkirakan mencapai 0".01 setelah 1000 tahun (yaitu, antara tahun 1000 M dan 3000 M), dan menjadi beberapa detik busur setelah 10 000 tahun. Penting untuk dicatat bahwa rumus (21.3) hanya berlaku untuk jangka waktu 10 000 tahun sebelum dan sesudah epoch J2000.0, yaitu, untuk <1. Untuk U = 2.834, misalnya, rumus tersebut akan menghasilkan = 90°, suatu hasil yang dapat dipastikan salah!. Gambar di halaman berikut menunjukkan variasi o dari 10 000 tahun sebelumnya sampai 10 000 tahun setelah tahun 2000 M. Menurut rumus Laskar, inklinasi sumbu rotasi Bumi adalah maksimum (24°14'07") sekitar tahun -7530. Dan mendekati tahun +12 030 akan mencapai minimum (22°36'41") akan tercapai. Karena kebetulan kita saat ini sekitar di tengah antara nilainilai ekstrim tersebut, di dekat tengah kurva pada Gambar tersebut. Di sini, kurva itu hampir linier yang merupakan alasan mengapa dalam rumus (21.3) koefisien U2 sangat kecil. Kemiringan ekliptika sejati adalah , di mana adalah Nutasi pada kemiringan ekliptika. dalam satuan Abad sejak tahun 2000
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 109 Contoh 21.a — Hitung dan kemiringan ekliptik sejati pada tanggal 10 April 1987 jam 0h Waktu Dinamis. Tanggal ini berkorelasi dengan JDE 2446 895.5, dan kita dapatkan: T = -0.127 296 372 348 D = -56383°.0377 = 136°.9623 = -3".788 M = -4225°.0208 = 94°.9792 ".443 M' = -60610°.7216 = 229°.2784 F = -61416°.5921 = 143°.4079 23°26'27".407 = 371°.2531 = 11°.2531 23°26'36".850 Daftar Pustaka: 1. Astronomical Almanac for the year 1984 (Washington, D.C.; 1983), halaman S26. 2. Ibid., halaman S23. 3. J. Laskar, Astronomy and Astrophysics, Vol. 157, halaman 68 (1986).
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 110 Bab 22. Tempat Tampak sebuah Bintang Tempat rata-rata sebuah bintang setiap saat adalah posisi ketampakannya pada bola langit, karena akan dilihat oleh pengamat yang diam di Matahari (atau, lebih tepatnya, di titik pusat sistem tata surya), dan mengacu pada ekliptika dan ekuinoks rata-rata pada tanggal tertentu (atau ke ekuator dan ekuinoks rata-rata pada tanggal tertentu). Tempat kenampakan bintang pada saat kapanpun posisinya di bola langit seperti yang benar-benar terlihat dari pusat Bumi yang bergerak, dan mengacu pada ekuator, ekliptik dan ekuinoks pada saat tertentu. Perlu dicatat bahwa: - Ekuinoks rata-rata adalah perpotongan ekliptika pada tanggal tertentu dengan ekuator rata-rata pada tanggal tertentu. - Ekuinoks sejati adalah perpotongan antara ekliptika dengan ekuator sejati (sesaat); yaitu, ekuatoryang dipengaruhi oleh nutasi. - tidak ada istilah ekliptika rata-rata,karena ekliptika bergerak beraturan. Masalah reduksi tempat sebuah bintang dari tempat rata-rata pada suatu waktu (misalnya, dari epoch standar dan ekuinoks) ke tempat kenampakannya pada waktu yang lain, melibatkan koreksi-koreksi berikut: (A) Gerak yang tepat dari bintang antara dua epoch. Kita boleh menganggap bahwa gerak yang tepat setiap bintang bergerak pada lingkaran besar dengan kecepatan sudut berubah-ubah. Kecuali bila gerak yang tepat merupakan bagian penting jarak kutub bintang, tidak hanya gerakannya sendiri, tetapi juga komponen-komponennya dalam askensio rekta dan deklinasi mengacu pada ekuinoks tetap yang dianggap sebagai konstan selama beberapa abad. Oleh karena itu, kita mulai dengan mencari pengaruh gerak ketika sumbu acuan tetap, seperti dalam Contoh 20.b; (B) Pengaruh presesi. Hal ini telah dijelaskan dalam Bab 20; (C) Pengaruh Nutasi (lihat di bawah); (D) Pengaruh aberasi tahunan (lihat di bawah); (E) Pengaruh paralaks tahunan. Tentu saja, paralaks bintang sangat penting dalam astronomi. Seperti George tuliskan [1]: "Paralaks adalah satu-satunya penghubung geometris yang benar antara kita dan tetangga dekat kita dalam ruang kosong yang demikian luas. Hal ini memungkinkan para astronom membuat dan mengkalibrasi prosedur untuk membawa kita lebih jauh keluar. "
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 111 Namun, bagi orang yang ingin menghitung posisi bintang dengan akurat, paralaks bintang merupakan gangguan. Untungnya, paralaks bintang tidak pernah melebihi 0".8 dan koreksi tersebut dapat diabaikan dalam kebanyakan kasus. Menurut R. Burnham [2], hanya 13 bintang lebih terang dari magnitudo 9.0 lebih dekat dari 13 tahun cahaya (4 parsecs) dan memiliki paralaks melebihi 0".25. Bintang-bintang tersebut adalah Centauri, Lalande 21185 (di Ursa Major), Sirius, Eridani, 61 Cygni, Procyon, Indi, 2398 (di Draco), Groombridge 34 (di Andromeda), Ceti, Lacaille 9352 (di Piscis Austrinus), Cordoba 29191 (dalam Microscopium), dan Bintang Kapteyn (di Pictor). Tak satu pun dari bintang-bintang ini berada dekat ekliptika, sehingga tidak ada yang terlibat dalam okultasi oleh Bulan atau konjungsi dekat dengan planet-planet. Untuk alasan ini, apa yang akan dibahas berikut ini, kita akan mengabaikan efek dari paralaks tahunan dalam perhitungan posisi kenampakan bintang. Pengaruh Nutasi Metode yang paling sederhana dan paling langsung untuk menerapkan efek Nutasi pada posisi rata-rata adalah dengan menambahkan posisi adalah dengan menambahkan ke bujur ekliptika dari obyek. Ekliptika dan lintang benda langit tidak berubah oleh Nutasi. Prosedur ini dapat digunakan dalam perhitungan posisi tampak dari planet-planet, yang mana koordinat ekliptika dihitung terlebih dahulu. Tetapi posisi bintang-bintang umumnya dinyatakan dalam sistem koordinat ekuator, jadi kita lebih memilih untuk menghitung koreksi pada askensio rekta dan deklinasi secara langsung. Order Pertama, pada askensio rekta dan deklinasi sebuah bintang akibat Nutasi adalah: (22.1) Rumus ini tidak valid jika bintang dekat dengan salah satu kutub langit. Jika hal ini terjadi, lebih baik untuk menghitung koreksi di koordinat ekliptika dan hanya menambahkan pada bujur, seperti yang disebutkan atas. Kuantitas dan dapat dihitung dengan cara metode yang dijelaskan dalam Bab 21, selama kemiringan ekliptika dinyatakan dengan rumus (21.2). Pengaruh Aberasi Misalkan saja dan masing-masing bujur dan lintang langit dari bintang tertentu, konstanta aberasi (20".49552), adalah Bujur (geometris) sejati Matahari, eksentrisitas orbit Bumi, dan bujur dari perihelion orbit ini. dapat dihitung dengan metode yang diuraikan dalam Bab 24, sementara dimana T adalah waktu dalam abad Julian epoch J2000.0, seperti pada rumus (21.1). Kemudian perubahan bujur dan lintang dari bintang karena aberasi tahunan adalah: (22.2)
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 112 Dalam koordinat ekuator, perubahan pada askensio rekta dan deklinasi dari bintang akibat aberasi tahunan adalah: (22.3) Total koreksi untuk dan , akibat pengaruh Nutasi dan aberasi masing-masing adalah dan . Dihitung dari rumus di atas, keduanya dinyatakan dalam detik busur(jika , dan adalah dinyatakan dalam satuan yang sama). Catatan penting. - Rumus (22.2) dan (22.3) adalah rumus lengkap untuk komponen aberasi. Dalam rumus tersebut sudah termasuk komponen E, dan harus digunakan untuk posisi bintang yang disajikan dalam FK5 [3] dan dalam semua katalog berdasarkan hal itu. Namun, jika posisi FK4 yang digunakan, bagian-bagian dari rumus (22.2) dan (22.3) yang berisi eksentrisitas orbit Bumi e harus dihilangkan, seperti dijelaskan pada Bab 20. Contoh 22.a — Hitung tempat tampak dari Persei pada 13.19 TD November 2028. Posisi rata-rata bintang ini pada saat tertentu, termasuk efek gerak diri dapat dilihat pada contoh 20.b, yaitu: = 2h46m11s .331 = 41°.5472 = +49°20'54".54 = +49°.3485 Nutasi pada Bujur dan pada kemiringan di saat yang sama, dapat diperoleh dengan metode yang diberikan di Bab 21. Kita peroleh: = +14". 861 = +2".705 Rumus (21.2) menghasilkan = 23°.436, sedangkan Bujur sejati Matahari, dihitung dengan metode ('ketelitian rendah') yang diberikan pada 24 adalah = 231°.328. (ketelitian 0.01 derajat cukup memadai untuk kasus ini), selanjutnya kita mendapatkan: T = +0.288 6705 e = 0.016 696 47 =103°.434 Dengan memasukkan nila dan dalam rumus (22.1) dan (22.3), orang akan dapatkan : = +15". 843 = +6". 218 = +30". 047 = +6". 696 dan koreksi total pada askensio rekta dan deklinasi adalah: = +15".843 + 30". 047 = +45".890 = +3s .059 = +6". 218 + 6". 696 = +12". 91 Oleh karena itu, koordinat tampak dari bintang adalah: = 2h46m11s .331 + 3s .059 = 2h46m14s .390 = +49°20'54".54 + 12".91 = +49°21'07".45 Rumus (22.2) dan (22.3) mengandung efek eksentrisitas orbit Bumi dan akan memberikan hasil yang cukup akurat. Namun demikian, hasil ini tidak eksak karena rumus tersebut didasarkan
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 113 pada gerakan Bumi tanpa gangguan dalam orbit elips. Sebenarnya, gerakan Bumi agak terganggu gaya tarik bulan dan planet-planet. Dan Matahari sendiri perlahan-lahan bergerak di sekitar pusat massa sistem tata surya, terutama akibat pengaruh Jupiter dan Saturnus yang berukuran besar. Jika kita menginginkan hasil yang sangat akurat, aberasi bintang harus dihitung dari total kecepatan Bumi mengacu pada barycenter ini. Salah satu metode untuk melakukan perhitungan ini telah dituliskan oleh Ron dan Vondrak [4]. Jika T = (JD - 2451545)/36525, seperti sebelumnya adalah waktu abad Julian sejak J2000.0, Selajutnya hitung untuk saat yang diinginkan; sudut dalam rumus berikut dinyatakan dalam radian: L2 = 3.176 146 7 + 1021.328 5546 T L3 = 1.753 470 3 + 628.307 584 9 T L4 = 6.203 480 9 + 334.061 243 1 T L5 = 0.599 546 5 + 52.969 096 5 T L6 = 0.874 016 8 + 21.329 909 5 T L7 = 5.481 293 9 + 7.478 159 9 T L8 = 5.311 886 3 + 3.813 303 6 T L' = 3.810 344 4 + 8 399.684 733 7 T D = 5.198 466 7 + 7 771.377 148 6 T M' = 2.355 555 9 + 8 328.691 428 9 T F = 1.627 905 2 + 8 433.466 160 1 T Kuantitas L2 sampai dengan L8 adalah bujur rata-rata dari planet Venus sampai Neptunus mengacu pada ekuinoks J2000.0 (efek Merkurius dan Pluto diabaikan), sedangkan L' adalah bujur Bulan rata-rata. TABEL 22.A Komponen Kecepatan Bumi mengacu pada pusat massa sistem tata surya No. Argumen X' Y' Z' sin Cos sin cos sin Cos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 L3 2L3 L5 L' 3L3 L6 F L' + M' 2L5 2L3 - L5 3L3 - 8L4 + 3L5 5L3 - 8L4 + 3L5 2L2 - L3 L2 L7 L3 - 2L5 L8 L3 + L5 2L2 - 2L3 -1719914 - 2T 6434 + 141T 715 715 486 - 5T 159 0 39 33 31 8 8 21 -19 17 16 16 11 0 -25 28007 - 107T 0 0 -236 - 4T 0 0 0 -10 1 -28 -28 0 0 0 0 0 -1 -11 25 - 13T 25697 - 95T 6 0 -216 - 4T 2 0 0 -9 1 25 -25 0 0 0 0 1 -1 -10 1578089 + 156T -5904 - 130 T -657 -656 -446 + 5T -147 26 -36 -30 -28 8 -8 -19 17 -16 15 -15 -10 0 10 + 32T 11141 - 48T -15 0 -94 -6 0 0 -5 0 11 -11 0 0 0 1 -3 -1 -4 684185 - 358T -2559 - 55T -282 -285 -193 -61 -59 -16 -13 -12 3 -3 -8 8 -7 7 -6 -5 0
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 114 No. Argumen X' Y' Z' sin Cos sin cos sin Cos 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 L3 - L5 4L3 3L3 -2L5 L2 - 2L3 2L2 - 3L3 2L6 2L2 - 4L3 3L3 - 2L4 L' + 2D - M' 8L2 - 12L3 8L2 - 14L3 2L4 3L2 - 4L3 2L3 - 2L5 3L2 - 3L3 2L3 - 2L4 L' - 2D -11 -7 -10 -9 -9 0 0 8 8 -4 -4 -6 -1 4 0 5 5 -2 -8 0 0 0 -9 -9 0 0 -7 -7 -5 -1 -6 -7 -5 0 -2 -8 0 0 0 -8 8 0 0 -6 6 -4 -2 -5 -6 -4 0 9 6 9 -9 -8 0 0 -8 -7 4 -4 5 -7 -4 0 -5 -5 -1 -3 0 0 0 -3 3 0 0 -3 3 -2 1 -2 -3 -2 0 4 3 4 -4 -4 0 0 -3 -3 2 -2 2 -4 -2 0 -2 -2 Kemudian komponen X', Y', Z' dari kecepatan Bumi mengacu pada barycenter dari sistem tata surya, di kerangka referensi ekuator J2000.0. adalah sama dengan jumlah dari komponen yang diberikan pada Tabel 22.A. Di sini, argumen masing-masing sinus dan cosinus adalah kombinasi-linear dari beberapa sudut L2, L3, dst. Misalnya, komponen pada baris 12 pada tabel mempunyai argumen sudut: A = 5L3 - 8L4 + 3L5 dan kontribusi kepada komponen kecepatan adalah: ke X' : +8 sin A - 28 cos A ke Y ' : -25 sin A - 8 cos A ke Z' : -11 sin A - 3 cos A Jadi nilai-nilai X', Y', Z' yang diperoleh dinyatakan dalam satuan dari 10-8 satuan astronomi per hari. Misalkan c adalah kecepatan cahaya dalam satuan yang sama, yaitu: c = 17 314 463 350. Kemudian perubahan askensio rekta bintang dan deklinasi akibat aberasi taunan dalam radian, dinyatakan dalam rumus (22.4). (22.4) Penting untuk dicatat bahwa komponen kecepatan bumi, seperti yang dihitung dengan Tabel 22.A, diberikan dalam sistem koordinat kartesian berdasarkan ekuator tetap dan ekuinoks dari FK5 untuk epoch J2000.0, bukan mengacu pada ekuinoks rata-rata pada tanggal tertentu. Akibatnya, jika metode Ron-Vondrak untuk perhitungan aberasi lebih disukai dibandingkan rumus (22.3), selanjutnya koreksi (22.4) harus dilakukan sebelum perhitungan efek Presesi dan Nutasi. Dengan
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 115 kata lain, urutan perhitungan adalah sebagai berikut: Posisi FK5 (J2000.0), gerak diri, aberasi (Tabel 22.A dan rumus 22.4), presesi (ekspresi 20.3 dan 20.4), nutasi (Bab 21 dan rumus 22.1). Contoh 22.b — Mari kita hitung lagi tempat tampak dari Persei pada 13.19 TD November 2028, tetapi sekarang dengan algoritmaRon-Vondrak. Seperti pada contoh 20.b, kita dapatkan koordinat bintang untuk epoch 13.19 November 2028, tetapi mengacu pada ekuinoks rata-rata J2000.0, adalah (diperbolehkan untuk gerak diri). = 2h44m12s .9747 = +41°.054 0613 = +49°13'39".896 = +49°. 227 7489 Kita pertahankan desimal di sini, dalam rangka menghindari kesalahan pembulatan. T = +0.288 670 500 L2 = 298.003 5712 rad. L3 = 183.127 3350 L4 = 102.637 1070 L5 = 15.890 1621 L6 = 7.031 3324 L7 = 7.640 0181 L8 = 6.412 6746 L' = 2428.5515363 rad D = 2248.565 7939 M' = 2406.603 0750 F = 2436.120 7984 X' = -1363 700 Y' = + 990 286 Z' = + 429 285 Rumus (22.4) kemudian menghasilkan: sehingga nilai baru untuk , dikoreksi Aberasi, tetapi masih menacu pada kerangka referensi J2000.0, adalah: = 41°.054 0613 + 0°.008 3223 = +41°.062 3836 = 49°.227 7489 + 0°.001 8749 = +49°.229 6238 Efek Presesi diperoleh dengan rumus (20.4). Nilai , z, dn untuk waktu yang sama, yang diperoleh dari contoh 20.b. Sekarang kita dapatkan: A = +0.430 549 036 B = +0.488 867 290 C = +0.758 706 993 baru = +41°.555 5635 baru = +49°. 350 3415 Akhirnya, koreksi Nutasi dirumuskan dengan (22.1) Seperti dalam contoh 22.a, kita dapatkan =+14".861, = +2".705,dan = 23°.436. Kita proleh: = +15".844 = -0°.004 4011 = +6".217 = +0°.0017270 Oleh karena itu askensio rekto tampak dan deklinasi tampak adalah: = 41°.555 563 5 + 0°.004 401 1 = 41°.559 964 6 = 2h46m14s .392
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 116 = 49°.350 341 5 + 0°.001 727 0 = +49°.352 068 5 = +49°21'07". 45 Bandingkan hasil ini dengan yang dari contoh 22.a. Daftar Pustaka 1. Sky and Telescope, Vol. 77, halaman 288 (Maret 1989). 2. Robert Burnham, Burnham's Celestial Handbook, Vol. Ill, halaman 2126 (Dover Publications, New "York; 1978). 3. Fifth Fundamental Catalogue (FK5), Veroffentlichungen Astronomisches Rechen-Institut Heidelberg, No. 32 (Karlsruhe, 1988). 4. C. Ron, J. Vondrak, "Expansion of Annual Aberration into Trigonometric Series", Bull. Astjron. Inst. Czechosl., Vol. 37, halaman 96-103 (1986).
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 117 Bab 23. Reduksi Elemen Ekliptika dari Satu Ekuinoks ke ekuinoks lainnya Untuk beberapa kasus, kadang diperlukan mereduksi Elemen orbit sebuah planet, planet minor, atau komet dari satu ekuinoks ke ekuinoks lainnya. Tentu saja, sumbu semimajor a dan eksentrisitas e tidak berubah ketika orbitnya mengacu ke ekuinoks lain, dan karenanya hanya tiga elemen: i = inklinasi, = argumen perihelion, = bujur titik daki, harus dipertimbangkan di sini. Misalkan io, , menjadi nilai yang diketahui dari unsur-unsur di epoch awal, dan i, , nilai-nilainya (tidak diketahui) di epoch akhir. Dalam Gambar pada halaman 135, Eo dan adalah ekliptika dan vernal ekuinoks pada epoch awal, dan E dan ekliptika dan ekuinoks di epoch akhir. Sudut antara dua ekliptika dinotasikan dengan , dan orbit perihelion dengan P. Seperti dalam Bab 20, misalkan T adalah interval waktu, dalam abad Julian antara J2000.0 dan epoch awal, dan interval t, dalam satuan yang sama, antara epoch awal dan epoch akhir. Kemudian hitunglah sudut dengan cara rumus (20.5) atau, jika epoch awal adalah J2000.0, dengan rumus (20.6). Cari . Kemudian kuantitas i dan , dan karenanya dapat dihitung dari: cos i = cos cos + sin sin cos ( ) (23.1) (23.2) Rumus (23.1) tidak harus digunakan bila sudut inklinasinya kecil. Kemudian , dimana dapat dihitung dari rumus: (23.3) Jika , maka tidak dapat ditentukan, dan kita mempunyai dan . Penting untuk dicatat bahwa metode yang dijelaskan di sini mereduksi elemen-elemen orbit dari satu ekuinoks ke ekuinoks lainnya, tetapi elemen orbit baru tetap berlaku untuk epoch yang sama dengan elemen-elemen awal. Hal ini, pada kenyataannya, orbitnya sama. Perhitungan elemen orbit untuk epoch lain sama sekali berbeda kasus (mekanika langit!) yang tidak bisa kita bahas di sini.
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 118 Contoh 23.a — Dalam Catalogue General des Orbites de Cometes de l'an -466 a 1952 [Observatoire de Paris, Section d'Astrophysique de Meudon (1952)], F. Baldet dan G. De Obaldia memberikan elemen-elemen orbit berikut untuk komet Klinkenberg (1744), mengacu pada ekuinoks rata-rata B1744.0: = 47°.1220 = 151°.4486 = 45°.7481 Reduksi elemen-elemen ini ke ekuinoks standar B1950.0. Epoch terakhir adalah B1950.0, atau (JD) = 2433 282.4235 (lihat Bab 20), dan epoch awal adalah 206 tahun tropis lebih awal (karena kedua epoch berkorelasi dengan permulaan tahun Besselian), pleh karenanya: (JD)o = 2433 282.4235 - 206 x 365.242 1988) = 2358 042.5305. Kemudian kita akan peroleh: T = -2.559 958 097 t = 2.059 956 002 = 97".0341 = 0°.026 954 = 174°.876 384 - 10205".9108 = 172°.041409 p = +10 352". 7137 = +2°.875 754 = 174°.917 163 Kemudian rumus (23.2) menghasilkan: sin i sin ( = -0.5906 3831 = A sin i cos ( ) = -0.4340 8084 = B dari persamaan tersebut didapatkan =0.7329 9372, = ATN2 (A, B) = -126°.313 473 = 48°. 6037 Rumus (23.3) menghasilkan: = 0.0003 7917 = +0.7329 9362 oleh karena itu dan = 151°.4782. Dalam katalog tentang Orbit komet (edisi keenam, 1989), Marsden memberikan nilai i = 47°. 1378, = 151°.4783, = 48°.6030. Perbedaan dari 0°.0007 antara nilai-nilai dari fakta baru rumus presesi IAU menghasilkan untuk presesi umum dalam nilai bujur yang sedikit lebih besar (+1".1 per abad) daripada yang diadopsi oleh Newcomb. Efeknya lebih 206 tahun (1744-1950) sebesar 0.0006 derajat. Jika ekuinoks awal B1950.0, dan ekuinoks akhir J2000.0, maka rumus untuk menyederhanakannya sebagai berikut:
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 119 (23.4) Diperlukan kehati-hatian untuk kuadran benar dari sudut x dan . Untuk keamanan, sebaiknya dihitung dengan fungsi ATN2, jika fungsi ini tersedia dalam bahasa pemrograman komputer, misalnya x = ATN2 (A, B). Kecuali jika inklinasi orbit sangat kecil, nilai baru diperkirakan sekitar 0°.7 lebih besar dari nilai awal dan harus berada di dekat 0°, tidak dekat 180°. Contoh 23.b —-S. Nakano menghitung elemen orbit berikut untuk tahun 1990 kembalinya komet Encke secara periodik (Planet Minor Sirkular 12577): Epoch = 5.0 TD November 1990 = JDE 2448 200.5 T = 28.545 02 TD Oktober 1990 Kita ingin mereduksi i, , dan ke ekuinoks J2000.0, dan kita dapatkan berturut-turut: W = 159°.742 178 A = +0.071 628 446 5 B = -0.194 187 314 9 Kemudian kita mempunyai: sin i = 0.206 9767 = 334°.750 06 i = 11°. 94.524 = -0°.010 92 x = 159°. 752 866 = 186°.233 52 Elemen-elemen orbit lainnya (T, q, a, e) tetap tidak berubah, dan Epochnya masih 5.0 November 1990. Namun, rumus (23.4) menganggap bahwa elemen-elemen , , dan diberikan dalam sistem FK5. Untuk mengkonversi elemen-elemen dari B1950.0/FK4 ke J2000.0/FK5, orang bisa menggunakan algoritma berikut menurut Yeomans (Catatan dari D.K. Yeomans, Ketua Komite Peralihan Sistem IAU System Transition Commitee, ke Richard West, Presiden Komisi IAU 20; 10 Agustus 1990).
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 120 Misalkan, L' = 4.500 016 88 derajat L = 5.198 562 09 derajat J = 0.006 519 66 derajat W = L + Kemudian kita mempunyai: sin ( sin i = sin J sin W cos ( ) sin i = sin cos J + cos sin J cos W cos i = cos cos J - sin sin J cos W sin ( ) sin i = sin sin W cos ( ) sin i = cos sin J + sin cos J cos W yang mana i, dan dapat dihitung. Contoh 23.c - nilai awal yang sama , dan seperti pada contoh 23.b. Kita memperoleh:
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 121 Bab 24. Koordinat Matahari Akurasi rendah Jika akurasi 0.01 derajat dianggap memadai, posisi Matahari dapat dihitung dengan asumsi gerakan Bumi murni berbentuk elipsoid, yang mana gangguan disebabkan oleh Bulan dan planetplanet dapat diabaikan. Perhitungan dapat dilakukan sebagai berikut. Sebut saja JD adalah Hari Julian (Ephemeris), yang dapat dihitung dengan menggunakan metode yang dijelaskan dalam Bab 7. Maka waktu T, diukur dalam abad Julian berdurasi 36.525 hari ephemeris dihitung dari epoch J2000.0 (Tanggal 1.59 Januari Waktu Dinamis tahun 2000), dirumuskan dengan: (24.1) Kuantitas ini harus dihitung dengan jumlah desimal yang memadai. Misalnya, lima desimal tidak cukup (kecuali Bujur Matahari tidak diperlukan dengan akurasi lebih baik dari satu derajat): ingat bahwa T dinyatakan dalam satuan abad, sehingga kesalahan 0.00001 di dalam T berarti kesalahan waktu 0.37 hari. Selanjutnya bujur geometrik rata-rata Matahari, mengacu pada ekuinoks pada saat tanggal tertentu, dinyatakan dengan: Lo = 280°.46645 + 36 000°.769 83 T + 0°.0003032 T2 (24.2) Anomali rata-rata Matahari adalah M = 357°52910 + 35 999°.050 30 T - 0°.000 1559 T2 - 0°.000 000 48 T3 (24.3) Eksentrisitas orbit Bumi adalah e = 0.016 708 617 - 0.000 042 037 T - 0.000 000 1236 T2 (24.4) Kemudian cari persamaan Matahari dari pusat C sebagai berikut: C = + (1°.914 600 - 0°.004817 T - 0°.000014 T2) sin M + (0°.019 993 - 0°.000 101 T) sin 2M + 0°.000 290 sin 3M Selanjutnya Bujur Matahari sejati adalah dan anomali Matahari sejati adalah v = M + C. Vektor radius Matahari atau jarak Bumi ke Matahari diekspresikan dalam unit astronomi (Astronomical Unit), dirumuskan sebagai berikut: (24.5) Fraksi pembilang adalah sebuah kuantitas yang bergerak sangat pelan seiring dengan perjalanan waktu. Kuantitas ini sama dengan 9 1.5 berarti tanggal 1 jam 12:00
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 122 0.999 7190 di tahun 1800 0.999 7204 1900 0.999 7218 2000 0.999 7232 2100 Bujur Matahari , diperoleh dengan metode yang dijelaskan di atas, adalah bujur geometris sejati mengacu pada ekuinoks rata-rata pada tanggal tertentu. Bujur ini adalah kuantitas yang dibutuhkan misalnya dalam perhitungan posisi-posisi geosentrik planet. Jika bujur Matahari tampak , mengacu pada ekuinoks pada tanggal tertentu, yang ingin dihitung, maka perlu untuk mengkoreksi dengan nutasi dan aberasi. Kecuali kalau diinginkan akurasi tinggi, hal ini dapat dilakukan sebagai berikut: = 125°.04 - 1934°.136 T = - 0°.00569 - 0°.00478 sin Dalam beberapa kasus, misalnya dalam kasus meteor, perlu menghitung bujur Matahari yang mengacu pada ekuinoks standar J2000.0. Antara tahun 1900 dan 2100, perhitungan ini dapat dilakukan dengan akurasi yang memadai dengan rumus berikut ini: 2000 = - 0°.01 397 (tahun -2000) Jika bujur Matahari, mengacu pada ekuinoks standar J2000.0, harus diperoleh dengan akurasi yang lebih tinggi dari 0.01 derajat, maka metode yang diberikan dalam Bab 25 dapat digunakan. Lintang Matahari, mengacu pada ekliptika pada tanggal tertentu, tidak pernah melebihi 1".2. Kecuali kalau akurasi yang tinggi diperlukan, lintang ini boleh dianggap sama dengan nol. Dalam hal ini, kenaikan yang askensio rekta dan deklinasi Matahari dapat dihitung dengan rumus (24.6) dan (24.7), di mana , adalah kemiringan ekliptika (obliquity of the ecliptic), diberikan dalam persamaan (21.2). (24.6) (24.7) Jika posisi Matahari tampak yang diperlukan, maka dalam rumus (24.6) dan (24.7), maka seseorang harus menggunakan bukan , dan harus dikoreksi dengan kuantitas + 0°.00256 cos Rumus(24.6) tentu saja dapat ditransformasikan dengan tan = cos tan dan kemudian harus diingat bahwa harus berada dalam kuadran yang sama seperti . Namun, jika fungsi ATN2 tersedia dalam bahasa pemrograman komputer, sebaiknya tidak merubah rumus (24.6), dan untuk menerapkan fungsi ATN2 dengan pembilang dan penyebut dari fraksi: = ATN2 (cos sin , cos ). Contoh 24.a — Hitung Posisi Matahari pada tanggal 13 Oktober 1992 jam 0h Waktu Dinamis = JDE 244 908.5. Kita dapatkan berturut-turut sebagai berikut:
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 123 T = -0.072 183 436 Lo = -2318°.19281 = 201°.807 19 M = -2241°.00604 = 278°.99396 e = 0.016 711 651 C = -1°.897 32 = 199°.90987 = 199°54'36" R = 0.99766 = 264°.65 = 199°.90894 = 199°54'32" = 23°26'24".83 = 23°.440 23 [dengan rumus (21.2)] = 23°.43999 tampak = -161°.61918 = +198°.38082 = 13h .225 388 = tampak = -7°.78507 = -7°47'06" Nilai yang benar, dihitung dengan cara lengkap VSOP87 teori (lihat Bab 31), adalah: Bujur geometris, ekuinoks rata pada tanggal tertentu: = 199° 54' 26".18 Bujur tampak : = 199° 54' 21".56 Lintang tampak : = + 0".72 Vektor radius : R = 0.997 608 53 Askensio Rekta tampak : = 13h13m30s .749 Deklinasi tampak : = -7°47'01".74 Akurasi lebih tinggi Dalam buku mereka [1], Bretagnon dan Simon memberikan metode untuk menghitung bujur Matahari dengan akurasi yang memadai untuk banyak terapan. Metode mereka menghasilkan akurasi 0.0006 derajat (2".2) antara tahun 0 dan +2800, dan 0.0009 derajat (3".2) antara tahun - 4000 dan +8000, hanya dengan menggunakan 49 komponen periodik. Akurasi yang sangat tinggi, lebih baik dari 0.01 detik busur, dapat diperoleh bila menggunakan teori VSOP87 secara lengkap (lihat Bab 31), tetapi untuk perhitungan posisi Bumi teori ini mengandung 2425 komponen periodik yang disediakan dalam pita magnetik oleh 'Bureau des Longitudes', yaitu 1080 komponen untuk bujur Bumi, 348 untuk Lintang dan 997 untuk vektor radius. Oleh karena jumlah datanya besar, maka data numerik tidak bisa disertakan dalam buku ini. Sebaliknya, kita berikan dalam Lampiran II data-data komponen yang paling penting dari VSOP87, yang memungkinkan kita menghitung posisi Matahari dengan kesalahan tidak melebihi 1" antara tahun -2000 dan +6000. Prosedur perhitungannya adalah sebagai berikut. Berdasarkan Data komponen periodik Bumi pada Lampiran II, kita dapat menghitung Bujur heliosentris L, lintang B dan vektor radius R untuk waktu tertentu, seperti dijelaskan pada Bab 31. Jangan lupa bahwa waktu diukur dari JDE 2451545.0 dalam Julian milenia (365 250 hari), bukan dalam satuan abad, dan nilai-nilai akhir yang diperoleh untuk L dan B dinyatakan dalam radian. Untuk memperoleh Bujur geosentrik Matahari dan Lintang geosentrik Matahari , tambahkan 180° (atau radian) pada L, dan merubah tanda B menjadi:
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 124 = L + 180°, = -B Pengkonversian ke sistem FK5. - Bujur Matahari dan Lintang yang diperoleh sejauh ini mengacu pada ekliptika dinamis rata-rata dan ekuinoks pada tanggal tertentu didefinisikan dalam "VSOP Planetary theory" karya P. Bretagnon. Kerangka acuan ini berbeda sedikit sekali dari sistem FK5 standar yang disebutkan dalam Bab 20. Konversi koordinat dan ke sistem FK5 dapat dilakukan sebagai berikut, di mana T adalah waktu dalam satuan abad dari 2.000.0, atau T = 10 . Hitung: = - 1°.397 T - 0°.00031 T2 Selanjutnya terapkan koreksi untuk dan sebagai berikut: = -0".09033 = +0".03916 (cos - sin ) (24.9) Koreksi-koreksi ini diperlukan hanya untuk perhitungan dengan akurasi sangat tinggi. Koreksian tersebut dapat diabaikan jika menggunakan versi VSOP87 yang diberikan dalam Lampiran II. Tempat Matahari tampak. - Bujur Matahari diperoleh sejauh ini adalah Bujur Matahari ('geometrik') sejati mengacu pada ekuinoks pada tanggal tertentu. Untuk mendapatkan bujur tampak , efek nutasi dan aberasi harus diperhitungkan. Untuk nutasi, cukup menambah koreksi nutasi pada bujur , pada (lihat Bab 21). Untuk memperhitungkan koreksi aberasi pada Bujur geometrik Matahari dengan rumus (24.10) dimana R adalah vektor radius Bumi dalam satuan astronomi (astronomical unit). Fraksi pembilang untuk koreksi aberasi sama dengan konstan ( = 20".49552) dikalikan dengan a (1 - e 2), sama seperti pembilang dalam rumus (24.5). Oleh karena itu, pembilang pada rumus (24.10) sebenarnya bervariasi sangat lambat seiring dengan waktu, yang sama dengan 20".4893 pada tahun 0, dan 20".4904 pada tahun 4000. Tapi yang lebih penting, rumus (24.10) tidak akan memberikan hasil yang tepat, karena mengasumsikan lintasan Bumi tidak ada gangguan dalam lintasan berbentuk elips. Dengan alasan gangguan-gangguan yang mempengaruhi lintasan Bumi, terutama karena Bulan, hasilnya bisa berketelitian sampai 0".01. Jika diperlukan hasil hitungan dengan akurasi yang sangat tinggi, maka tidak cukup dengan menggunakan data dari Lampiran II untuk dipakai dalam proses perhitungan - yang mana koreksi aberasi untuk bujur Matahari dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut. Cari variasi dari Bujur Matahari , dalam satuan detik busur per hari, seperti yang dijelaskan di bawah ini. Koreksi aberasi kemudian dapat dihitung sebagai berikut: - 0.005 775 518 R (24.11) dimana R adalah, seperti sebelumnya, vektor radius Matahari radius vektor dalam satuan astronomi unit. Konstanta numerik dalam rumus di atas adalah waktu yang diperlukan cahaya menempuh jarak dari Matahari ke Bumi dalam satuan hari (= 8.3 menit). Setelah bujur Matahari dikoreksi dengan koreksi nutasi dan aberasi, kita akan dapatkan Bujur Matahari tampak (Sun's apparent longitude), .
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 125 Bujur ( ) dan lintang ( ) Matahari tampak dapat ditransformasikan ke Askensio Rekta tampak, dan deklinasi tampak dengan menggunakan rumus (12.3) dan (12.4), di mana adalah kemiringan ekliptika sejati, yaitu, dipengaruhi oleh nutasi pada kemiringan . Variasi bujur geosentrik Matahari, dalam detik busur per hari, dalam kerangka acuan tetap J2000.0, dapat diperoleh dengan rumus yang diberikan pada halaman berikutnya, di mana adalah waktu dalam millenia (ribuan tahun) dari J2000.0 (seperti dalam Bab 31), dan argumen dari sinus dalam derajat desimal. Dalam rumus yang diberikan di sini, hanya komponen periodik yang penting saja yang disajikan. Akibatnya, hasilnya tidak akan sangat teliti, namun untuk kesalahannya tidak akan lebih dari 0".1. Jika hasil perhitungan nilai digunakan untuk menghitung aberasi Matahari dengan cara pada rumus (24.11), kesalahan akan kurang dari 0".001. Jika, untuk beberapa aplikasi lain, nilai diperlukan dengan mengacu pada ekuinoks ratarata pada tanggal tertentu, bukan dengan kerangka referensi yang tetap, komponen konstanta 3548.193 harus diganti dengan 3548.330. Variasi harian, dalam detik busur, garis bujur geosentrik Matahari dalam kerangka acuan tetap Waktu diukur dari epoch J2000.0 (JDE 2451 545.0) di Julian millenia (ribuan tahun). Argumen dari sinus dalam derajat. = 3548.193 + 118.568 sin ( 87.5287 + 359 993.7286 ) + 2.476 sin ( 85.0561 + 719 987.4571 ) + 1.376 sin ( 27.8502 + 4 452 671.1152 ) + 0.119 sin ( 73.1375 + 450 368.8564 ) + 0.114 sin (337.2264 + 329 644.6718 ) + 0.086 sin (222.5400 + 659 289.3436 ) + 0.078 sin (162.8136 + 9 224 659.7915 ) + 0.054 sin ( 82.5823 + 1 079 981.1857 ) + 0.052 sin (171.5189 + 225 184.4282 ) + 0.034 sin ( 30.3214 + 4 092 677.3866 ) + 0.033 sin (119.8105 + 337 181.4711 ) + 0.023 sin (247.5418 + 299 295.6151 ) + 0.023 sin (325.1526 + 315 559.5560 ) + 0.021 sin (155.1241 + 675 553.2846 ) + 7.311 sin (333.4515 + 359 993.7286 ) + 0.305 sin (330.9814 + 719 987.4571 ) + 0.010 sin (328.5170 + 1 079 981.1857 ) + 0.309 sin (241.4518 + 359 993.7286 ) + 0.021 sin (205.0482 + 719 987.4571 ) + 0.004 sin (297.8610 + 4 452 671.1152 ) + 0.010 sin (154.7066 + 359 993.7286 ) Komponen periodik di mana memiliki koefisien 359 993.7, 719 987, atau 1079 981, disebabkan oleh eksentrisitas Orbit Bumi. komponen dengan 4452 671, 9224 660, atau 4092 677
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 126 adalah karena aksi Bulan; komponen dengan 450 369, 225 184, 315 560, atau 675 553 adalah karena Venus; komponen dengan 329 645, 659 289, atau 299.296 disebabkan Jupiter, akhirnya, komponen dengan 337 181 adalah karena aksi Mars. Contoh 24.b. — Seperti pada contoh 24.a, hitunglah posisi Matahari pada tanggal 13.0 Oktober 1992 waktu dinamis= JDE 2448 908.5. Dengan menggunakan data Bumi pada lampiran II, dengan metode seperti yang dijelaskan pada Bab 31, kita mendapatkan hasil sebagai berikut: L = -43.634 847 96 radian = -2500.092 628 derajat +19.907 372 derajat B = -0.000 003 12 radian = -0°.000179 = -0".644 R = 0.997 607 75 Oleh karenanya: = L + 180° = 199°.907 372 = +0".644 Penkonversian ke sistem FK5, kita mendapatkan = 200°.01 = -0".09033 = -0°.000 025 = -0".023 Oleh karenanya: = 199°.907 347 = 199°54'26".449 = +0".62 Koreksi Nutasi dihitung dengan menggunakan metode yang dijelaskan pada bab 21. Kita mendapatkan hasil: = +15".908 = -0".308 sejati = 23°.440 1443 dan dengan rumus (24.10) koreksi aberasi adalah -20".539. Selanjutnya, Bujur Matahari tampak adalah: = + 15".908 - 20".539 = 199° 54' 21".818 Kemudian, dengan rumus (12.3) dan (12.4) = 198°.378 178 = 13h13m30s . 763 = -7°.783871 = -7°47'01".94 Ringkasan hasil yang diperoleh adalah: = 199°54'26".45 R = 0.997 607 75 = 199°54'21".82 = 13h13m30s .763 +0".62 = -7°47'01".94 Hasil tersebut di atas, dibandingkan dengan hasil yang lebih akurat seperti yang disebutkan pada akhir contoh 24.a. Hasil perhitungan kita sekarang jauh lebih baik dari yang diperoleh dengan metode akurasi rendah. Daftar Pustaka 1. P. Bretagnon and J.-L. Simon, Planetary Programs and Tables from -4000 to +2800 (WillmannBell, Richmond, 1986).
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 127 Bab 25. Koordinat Kartesian Matahari Koordinat kartesian geosentrik ekuatorial Matahari X, Y, Z diperlukan untuk perhitungan ephemeris dari seuah planet minor (lihat Bab 32) atau komet. Pusat koordinat ini adalah pusat bumi. Sumbu X diarahkan pada vernal ekuinoks (bujur 0°), sumbu Y terletak pada bidang ekuator juga dan diarahkan pada bujur 90°, sedangkan sumbu Z diarahkan menuju kutub utara langit. Nilai-nilai X, Y, Z disajikan setiap hari di 0h TD di almanak astronomi besar, yang disajikan dalam satua astronomi. Umumnya mereka tidak megacu ke ekuator rata-rata dan ekuinoks ratarata pada tanggal tertentu, tetapi mengacu ke ekuinoks standar, misalnya referensi J2000.0. Mereferensi ke Ekuinoks rata-rata pada tanggal tertentu Hitung koordinat geometris Matahari dengan Metode ('akurasi tinggi') dijelaskan pada Bab 24, yaitu, dengan koreksi (24.9) untuk reduksi ke sistem FK5, tetapi tanpa koreksi Nutasi dan Aberasi. Jika dan adalah bujur dan lintang geometris Matahari, dan R vektor radius dalam satuan astronomi, maka koordinat kartesian Matahari yang dikehendaki, mengacu pada rata-rata ekuator dan ekuinoks pada tanggal tertentu, dirumuskan sebagai berikut: X = R cos cos Y = R (cos sin cos - sin sin ) Z = R (cos sin sin + sin cos ) (25.1) dimana adalah kemiringan rata-rata ekliptika dirumuskan pada (21.2). Karena lintang Matahari mengacu ekliptika pada tanggal tertentu, tidak pernah melebihi 1.2 detik busur, maka dapat dianggap cos = 1 di rumus (25.1). Contoh 25.a — Untuk 13.0 TD Oktober 1992 = JDE 2448 908.5, lihat Contoh 24.b: = 199°. 907 347 = +0".62 R = 0.997 607 75 Untuk waktu tertentu yang diberikan, rumus (21.2) menghasilkan: = 23°26'24".827 = 23°.440 229 7 oleh karena itu dengan rumus (25.1), X = -0.937 995 2 Y = -0.311 654 4 Z = -0.135 121 5 Mereferensi ke Ekuinoks Standar J 2000.0 Sebagaimana dijelaskan dalam Bab 31, menghitung pada waktu yang diberikan, Bujur heliosentris Bumi L dan lintang B mengacu pada ekuinoks dari J2000.0, dan vektor radius. Untuk tujuan ini, gunakan dari Lampiran II data untuk Bumi, dengan pengecualian berikut ini: - Pada bagian L1, koefisien pertama 'A', yaitu 628 331 966 747, ganti dengan 628 307 584 999; - Bagian L2, L3 dan L4 harus diganti dengan yang diberikan pada Tabel 25. A;
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 128 - Buang bagian L5; - Untuk perhitungan lintang B, gunakanlah bagian B0 dari Lampiran II, Tetapi bagian B1 ke B4 dari Tabel 25.A. Untuk memperoleh Bujur geosentrik Matahari dengan menambahkan 180° (atau radian) ke L, dan lintang Matahari B dengan mengubah tanda B. Yaitu, = L + 180°, = -B [Pada tahap ini, jika hanya Bujur geometris Matahari mengacu ekuinoks standar J2000.0 yang diinginkan,maka kurangkan 0".090 33 dari untuk mengubah bujur dari VSOP ekuinoks dinamik keekuinoks FK5, seperti dalam (24.9). - Jika tidak, jangan melakukan koreksi ini dan lanjutkan sebagai berikut.] Hitung: X = R cos cos Y = R cos sin Z = R sin (25.2) TABEL 25.A Bumi J2000.0 (Beberapa komponen saja) No A B C L2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8 722 991 295 27 16 16 9 9 7 5 4 4 3 3 3 3 3 3 2 2 1.0725 3.1416 0 437 0 05 5 19 3.69 0.30 2 06 0.83 4 66 1.03 3.44 5 14 6.05 1 19 6 12 0.30 2 28 4.38 3.75 6 283.075 8 0.000 0 12 566.152 0 3.520 0 26 .300v 155.420 0 18 849.230 0 77 713.770 0 775.520 0 1 577.340 0 7.110 0 5 573.140 0 796.300 0 5 507.550 0 242 730 0 529.690 0 398.150 0 553.570 0 5 223.690 0 0.980 0 L3 1 2 3 289 21 3 5.842 6.05 5.20 6 283.076 0 12 566.150 0 155.420 0
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 129 4 5 6 7 3 1 1 1 3.14 4.72 5 97 5 54 0.000 0 3.520 0 242.730 0 18 849.230 0 L4 1 2 8 1 4.14 3.28 6 283.080 0 12 566.150 0 B1 1 2 3 4 5 6 7 227 778 3 806 3 620 72 8 8 6 3.413 766 3.370 6 0 3.33 3.89 1.79 5.20 6 283.075 850 12566.151 7 0.000 0 18 849.230 0 5 507.550 0 5 223.690 0 2 352.870 0 B2 1 2 3 4 9 721 233 134 7 5.151 9 3.141 6 0.644 1.07 6 283.075 850 0 0.000 0 12566.152 0 18 849.230 0 B3 1 2 3 276 17 4 0.595 3.14 0.12 6 283.076 0 0.000 0 12 566.150 0 B4 1 2 6 1 2.27 0 6 283.080 0 0.000 0 (Ungkapan ini sama dengan X = - R cos B cos L, Y =-R cos B sin L, dan Z = R sin-B). Koordinat Kartesian X, Y, Z, dihitung dengan cara rumus (25.2), yang masih didefinisikan dalam kerangka referensi ekliptika dinamis (VSOP) dari J2000.0. Hasilnya dapat dirubah menjadi kerangka referensi FK5 J2000.0 sebagai berikut: Xo = X + 0.000 000 440 360 Y - 0.000 000 190 919 Z Yo = -0.000 000 479 966 X + 0.917 482 137 087 Y - 0.397 776 982 902 Z Zo = 0.397 776 982 902 Y + 0.917 482 137 087 Z (25.3) Mereferensi ke Ekuinoks rata-rata B1950.0 Lanjutkan seperti di atas untuk J2000.0, kecuali bahwa rumus (25.3) harus diganti dengan yang berikut ini: Xo = 0.999 925 702 634 X + 0.012 189 716 217 Y + 0.000 011 134 016 Z Yo = -0.011 179 418 036 X + 0. 917 413 998 946 Y - 0.397 777 041 885 Z Zo = -0.004 859 003 787 X + 0. 397 747 363 646 Y + 0.917 482 111 428 Z
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 130 Perlu dicatat bahwa koordinat kartesian yang diperoleh dengan cara ini mengacu pada ekuator rata-rata dan ekuinoks epoch B1950.0 dalam sistem FK5, tidak dalam sistem FK4 yang dipengaruhi oleh 'kesalahan ekuinoks' sebagaimana disebutkan dalam Bab 20. Mereferesi ke setiap ekuinoks rata-rata lain Pertama, hitunglah koordinat kartesian ekuatorial Matahari Xo, Yo, Zo mengacu pada ekuinoks standar J2000.0 seperti dijelaskan di atas, yaitu dengan rumus (25.2) dan (25.3). Kemudian, jika JD adalah Hari Julian sesuai dengan epoch ekuinoks yang diberikan, hitunglah: dan kemudian sudut , z dan dari rumus (20.3). Kemudian koordinat kartesian Matahari yang ingin dihitung diberikan oleh: dimana Perlu dicatat bahwa koordinat X', Y', Z' merujuk ekuinoks rata-rata dari suatu epoch yang berbeda dari tanggal pada saat nilai tersebut dihitung. Contoh 25.b — Untuk 13.0 TD Oktober 1992 = JDE 2448 908.5, hitunglah koordinat kartesian Matahari mengacu pada: (a) Ekuinoks standar J2000.0; (b) B1950.0; (c) Ekuinoks rata-rata J2044.0. kita akan dapatkan berturut-turut: = -0.007 218 343 600 3 L = -43.633 088 03 radian = -2 499.991 791 derajat + 20.008 209 derajat B = +0.000 003 86 radian = +0°.000221 = +0".796 R = 0.997 607 75 (tentu saja seperti pada contoh 24.b)
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 131 Ekliptika, Ekuinoks dinamik, J2000.0 Sistem FK5 ekuatorial, kerangka J2000.0 Nilai yang benar, yang diperoleh dengan cara perhitungan yang akurat menggunakan teori VSOP87 yang utuh, masing-masing -0.937 397 07, -0.313 167 25 dan -0.135 778 42, Sistem FK5 ekuatorial, kerangka B1950.0 JD = 2467 616.0 (sejak epoch J2044.0 adalah 44 365.25 hari setelah epoch J2000.0). t = +0.440 000 = +1014".7959 = +0°.281 8878 z = +1014".9494 = +0°.281 9304 = + 881".8106 = +0°.244 9474 Xx = +0.999 9424 Xy = +0.009 8403 Xz = +0.004 2751 Yx = -0.009 8403 Yy = +0.999 9516 Yz = -0.000 0210 Zx = -0.004 2751 Zy = -0.000 0210 Zz = +0.999 9909 Sistem FK5 ekuatorial, kerangka B2044.0
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 132 Bab 26. Ekuinoks dan Solstice Epoch ekuinoks dan solstices adalah waktu ketika bujur geosentris tampak Matahari (yaitu, dihitung dengan menyertakan dampak dari aberasi dan nutasi) merupakan kelipatan 90 derajat. (Karena lintang Matahari tidak persis nol, deklinasi matahari tidak persis nol pada waktu sebuah equinox.) Perkiraan waktu dapat diperoleh sebagai berikut. Pertama, temukan waktu ekuinoks atau solstice (titik balik Matahari), dengan menggunakan rumus yang relevan dalam Tabel 26.A atau pada Tabel 26.B. Perhatikan bahwa Tabel 26.A. harus digunakan untuk tahun -1.000 sampai +1000 saja, dan Tabel 26.B untuk tahun +1000 sampai +3000. Bahkan, Tabel 26.A dapat digunakan untuk beberapa abad sebelum tahun -1000, dan Tabel 26.B untuk beberapa abad setelah 3000, kesalahan masih cukup kecil. Dalam rumus untuk Y, diberikan pada bagian atas setiap tabel, 'tahun' adalah bilangan bulat; nilai lainnya untuk 'tahun' akan memberikan hasil yang kurang berarti! Kemudian cari: W = 35 999°.373 T - 2°.47 = 1 + 0.0334 cos W + 0.0007 cos 2W TABEL 26.A Untuk Tahun -1000 sampai +1000 Ekuinoks Maret (Permulaan musim semi secara astronomi) : JDEO = 1721 139.29189 + 365 242.13740 Y + 0.06134 Y2 + 0.00111 Y3 - 0.00071 Y4 Solstice Juni (Permulaan musim panas secara astronomi) : JDEO = 1721 233.25401 + 365 241.72562 Y + 0.05323 Y2 + 0.00907 Y3 - 0.00025 Y4 Ekuinoks September (Permulaan musim gugur secara astronomi) : JDEO = 1721 325.70455 + 365 242.49558 Y + 0.11677 Y2 + 0.00297 Y3 - 0.00074 Y4 Solstice Desember (Permulaan musim dingin secara astronomi) : JDEO = 1721 414.39987 + 365 242.88257 Y + 0.00769 Y2 + 0.00933 Y3 - 0.00006 Y4 Hitung jumlah S dari 24 komponen periodik diberikan dalam Tabel 26.C. Masing-masing komponen dalam bentuk A cos (B + CT), dan argumen setiap cosinus dinyatakan dalam derajat. Dengan kata lain, S = 485 cos (324°.96 + 1934°. 136 T) + 203 cos (337°.23 + 32964°.467 T) + ... Waktu yang dikehendaki, dinyatakan dengan Hari Julian Ephemeris (oleh karena itu, satuannya adalah Waktu Dinamis), kemudian:
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 133 Tabel 26.B Untuk Tahun +1000 sampai 3000 Ekuinoks Maret (Permulaan musim semi secara astronomi) : JDEO = 2451 623.80984 + 365 242.37404 Y + 0.05169 Y2 + 0.00411 Y3 - 0.00057 Y4 Solstice Juni (Permulaan musim panas secara astronomi) : JDEO = 2451 716.56767 + 365 241.62603 Y + 0.00325 Y2 + 0.00888 Y3 - 0.00030 Y4 Ekuinoks September (Permulaan musim gugur secara astronomi) : JDEO = 2451 810.21715 + 365 242.01767 Y + 0.11575 Y2 + 0.00337 Y3 - 0.00078 Y4 Solstice Desember (Permulaan musim dingin secara astronomi) : JDEO = 2451 900.05952 + 365 242.74049 Y + 0.06223 Y2 + 0.00823 Y3 - 0.00032 Y4 TABEL 26.C B dan C dalam derajat A 485 203 199 182 156 136 77 74 70 58 52 50 B 324.96 337.23 342.08 27.85 73.14 171.52 222.54 296.72 243.58 119.81 297.17 21.02 C 1934.136 32964.467 20.186 445267.112 45036.886 22518.443 65928.934 3034.906 9037.513 33718.147 150.678 2281.226 A 45 44 29 18 17 16 14 12 12 12 9 8 B 247.54 325.15 60.93 155.12 288.79 198.04 199.76 95.39 287.11 320.81 227.73 15.45 C 29929.562 31555.956 4443.417 67555.328 4562.452 62894.029 31436.921 14577.848 31931.756 34777.259 1222.114 16859.074 JDE akhir ini dapat diubah menjadi tanggal kalender biasa dengan cara metode yang dijelaskan dalam Bab 7. Hasilnya dapat dinyatakan dalam Waktu dinamis. Untuk tahun 1951-2050, akurasi metode ini terlihat dari Tabel 26.D. TABEL 26.D Jumlah kesalahan < 20 detik Jumlah kesalahan < 40 detik Jumlah kesalahan (detik) Ekuinoks Maret Solstice Juni Ekuinoks September Solstice Desember 76 80 78 68 97 100 99 99 51 39 44 4l
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 134 Contoh 26.a — Carilah waktu terjadinya solstice Juni 1962 M. Kita temukan berturut-turut: Y = -0.038 JDEo = 2437 837.38589 T = -0.375 294 021 = 0.9681 S = +635 yang mana bersesuaian dengan 21 Juni 1962 jam 21h25m08s Waktu Dinamis. Waktu yang tepat seperti yang dihitung dengan teori VSOP adalah 21h24m42s TD. Tentu saja, akurasi lebih tinggi dapat diperoleh dengan benar-benar menghitung nilai bujur tampak Matahari selama dua atau tiga saat, dan kemudian menemukan dengan interpolasi waktu ketika itu bujur tepat 0°, atau 90°, atau 180°, atau 270°. Harus diingat bahwa gerak Matahari sepanjang ekliptika hanya sekitar 3548 detik busur per hari. Oleh karena itu, kesalahan 1" pada bujur Matahari dihitung dalam sebuah kesalahan sekitar 24 detik di saat ekuinoks atau solstices. Sebagai alternatif, dapat dimulai dengan waktu perkiraan kapan saja. Nilai yang diperoleh dari Tabel 26.A atau 26.B atau lebih dari cukup. Untuk waktu tersebut, hitung bujur tampak Matahari seperti dijelaskan dalam Bab 24, termasuk koreksi reduksi ke sistem FK5, untuk aberasi dan Nutasi. Kemudian koreksi waktu yang diasumsikan, dalam satuan hari, diberikan dengan rumus: ) dimana k = 0 untuk ekuinoks Maret 1 untuk solstice Juni 2 untuk ekuinoks September 3 untuk solstice Desember Perhitungan diulang sampai koreksi teraru sangat kecil atau ekivalen, sampai nilai terbaru untuk bujur tampak Matahari eksak k.90°. Contoh 26.b — Mari kita hitung lagi waktu terjadinya solstice Juni pada tahun 1962. Pada contoh 26.a, ditemukan bahwa solstice rata-rata terjadi pada JDEO = 2437 837.38589 (dari Tabel 26.A). Mulailah dari perkiraan waktu ini, dan hitung bujur tampak Matahari pada waktu tersebut, menggunakan cara 'ketelitian tinggi' (bab 24). Kita peroleh: L = -234.048 595 59 radian = 270°.003 272 R = 1.0163018 Nutasi pada Bujur : = -12".965 (bab 22) Koreksi FK5 : - 0".09033 (rumus 24.9)) Aberasi : -20". 161 (rumus 24.10))
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 135 Bujur tampak Matahari : = 270°.003 272 - 180° - 12".965 - 0".09033 - 20".161 = 89°.994 045 Kemudian rumus (26.1) memberikan koreski pada nilai yang diasumsikan JDEO: Koreksi = +58 sin (90° - ) = +0.00603 dan oleh karena itu waktu terkoreksi adalah: JDE = 2437 837.38589 + 0.00603 = 2437 837.39192 Ulangi perhitungan dengan waktu baru ini, kita dapatkan: = 89°.999 797, dan koreksi lebih kecil dari 0.000 005 hari. Oleh karena itu, waktu akhir yang dicari adalah JDE = 2437 837.39213, yang bersesuaian dengan 21 Juni 1962 jam 21h24m40s Waktu Dinamis. [Hanya berbeda dua detik dari waktu sebenarnya seperti pada akhir contoh 26.a]. Pada tahun 1962, perbedaan TD - UT adalah 34 detik (lihat tabel 9.A), sehingga hasilnya dibulatkan menjasi 21h24m Waktu Universal. TABEL 26.E Ekuinoks dan Solstice, 1991-2000, dihitung dengan teori VSOP87 komplit. Waktu yang dipakai dalam waktu dinamis. Tahun Ekuinoks Maret Solstice Juni Ekuinoks Sept. Solstice Des. 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 d 21 20 20 20 21 20 20 20 21 20 h 3 8 14 20 2 8 13 19 1 7 m 02 49 41 29 15 04 55 55 46 36 s 54 02 38 01 27 07 42 35 53 19 d 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 h 21 3 9 14 20 2 8 14 19 1 m 19 15 00 48 35 24 20 03 50 48 s 46 08 44 33 24 46 59 38 11 46 d 23 22 23 23 23 22 22 23 23 22 h 12 18 0 6 12 18 23 5 11 17 m 49 43 23 20 14 01 56 38 32 28 s 04 46 29 14 01 08 49 15 34 40 d 22 21 21 22 22 21 21 22 22 21 h 8 14 20 2 8 14 20 1 7 13 m 54 44 26 23 17 06 08 57 44 38 s 38 14 49 44 50 56 05 31 52 30
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 136 TABEL 26.F Durasi Musim Astronomi dalam satuan hari Tahun -4000 -3500 -3000 -2500 -2000 -1500 -1000 - 500 0 + 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 Musim Semi 93.54 93.82 94.04 94.19 94.28 94.30 94.25 94.14 93.96 93.73 93.44 93.12 92.76 92.37 91.97 91.57 91.17 90.79 90.44 90.11 89.82 89.58 Musim Panas 89.18 89.53 89.92 90.33 90.76 91.20 91.63 92.05 92.45 92.82 93.15 93.42 93.65 93.81 93.92 93.96 93.93 93.84 93.70 93.50 93.25 92.97 Musim Gugur 89.08 88.82 88.62 88.48 88.40 88.38 88.42 88.53 88.70 88.92 89.18 89.50 89.84 90.22 90.61 91.01 91.40 91.79 92.15 92.49 92.79 93.04 Musim Dingin 93.43 93.07 92.67 92.24 91.81 91.37 90.94 90.52 90.14 89.78 89.47 89.20 88.99 88.84 88.74 88.71 88.73 88.82 88.96 89.14 89.38 89.65 Tabel 26.E memberikan waktu ekuinoks dan solstices untuk tahun 1991 sampai 2000, untuk detik terdekat dari waktu. Tabel 26.F memberikan durasi empat musim astronomi untuk beberapa epoch. Sekitar tahun -4080, Bumi berada di perihelion pada awal musim gugur, kemudian musim panas memiliki durasi sama seperti musim gugur, dan musim dingin durasi sama seperti musim semi. Pada 1246 M, Bumi berada di perihelion pada saat musim dingin solstice, kemudian musim semi memiliki durasi sama seperti musim panas, dan musim gugur durasi sama seperti musim dingin. Sejak tahun 1246, musim dingin adalah musim terpendek, akan mencapai nilai minimum sekitar tahun 3500 M, dan tetap musim terpendek sampai sekitar 6427 M, ketika Bumi berada di perihelion pada ekuinoks Maret.
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 137 Bab 27. Perata (Persamaan) Waktu Akibat eksentrisitas orbitnya, dan kadar tertentu karena gangguan oleh Bulan dan planetplanet, bujur heliosentris Bumi tidak bervariasi secara merata. Oleh karena itu Matahari berperan menggambarkan ekliptika pada kecepatan yang tidak merata. Karena hal ini, dan juga karena kenyataan bahwa Matahari bergerak di ekliptika dan bukan di sepanjang ekuator langit, askensio rekta Matahari tidak meningkat secara merata. Andaikan saja, Matahari fiktif berjalan sepanjang ekliptika dengan kecepatan konstan dan berhimpit dengan Matahari sejati di perigee dan apogee (ketika Bumi berada masing-masing di perihelion dan aphelion). Kemudian, andaikan Matahari fiktif kedua bergerak bersama ekuator langit pada kecepatan konstan dan berhimpit dengan Matahari fiktif pertama di ekuinoks. Matahari fiktif yang kedua ini adalah Matahari rata-rata, dan menurut definisi, askensio rekta meningkat secara merata. [Artinya, tidak ada komponen periodik, namun rumus perhitungannya berisi komponen sekuler kecil di 2, 3, ...]. Ketika Matahari melintasi meridian pengamat, berarti siang di sana. Siang sejati adalah saat tertentu ketika Matahari sejati melintasi meridian. Persamaan waktu adalah perbedaan antara waktu tampak dan waktu rata-rata, atau, dengan kata lain, hal itu adalah perbedaan antara sudut jam Matahari sejati dan Matahari rata-rata. Perata atau persamaan waktu E, pada saat tertentu, dirumuskan dengan: E = Lo - 0°.005 7183 - (27.1) Dalam rumus ini, Lo adalah bujur rata-rata Matahari. Menurut teori VSOP87 (lihat Bab 31) kita mendapatkan, dalam derajat, Lo = 280.466 4567 + 360 007.698 2779 + 0.030 320 28 + /49931 - /15299 - /1988 000 (27.2) dimana adalah waktu yang diukur dalam Julian milenia (365 250 hari ephemeris) dari epoch J2000.0 = JDE 2451545.0. Lo harus direduksi menjadi kurang dari 360° dengan cara menambah atau mengurangi secara mudah dengan kelipatan 360°. Dalam almanak Perancis dan dalam buku-buku lama, persamaan Waktu didefinisikan dengan tanda yang berlawanan, oleh karenanya menjadi sama dengan waktu rata-rata dikurangi waktu nampak. Dalam rumus (27.1), konstanta 0°.005 7183 adalah jumlah nilai rata-rata aberasi pada bujur (-20".49552) dan koreksi untuk mereduksi ke sistem FK5 (-0".09 033); adalah askensio rekta Matahari, ditentukan dengan memperhitungkan Aberasi dan Nutasi. Kuantitas , di mana adalah Nutasi dalam bujur dan adalah kemiringan ekliptika, diperlukan untuk mereferensikan askensio rekta Matahari tampak ke rata-rata ekuinoks pada tanggal tertentu, seperti bujur rata Lo. Dalam rumus (27.1), jumlah Lo, dan harus dinyatakan dalam derajat. Kemudian persamaan waktu E dinyatakan dalam derajat juga, yang kemudian bisa dikonversikan ke waktu menit dengan mengalikan dengan 4. Persamaan waktu E bisa positif atau negatif. Jika E > 0, Matahari sejati melintasi meridian pengamat sebelum Matahari rata-rata. Persamaan waktu selalu kurang dari 20 menit dalam nilai absolut. Jika | E | yang didapatkan terlalu besar, maka tambahkan atau kurangkan dengan 24 jam pada hasil anda dapatkan.
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 138 Contoh 27.a — Tentukan persamaan waktu pada tanggal 13 Oktober 1992 pada jam 0h Waktu dinamis. Tanggal ini bersesuaian dengan JDE = 2448 908.5, yang mana kita menyimpulkan Lo = -2318°192 807 = +201° .807 193 Untuk saat yang sama kita dapatkan, dari contoh 24.b, = 198°.378 178 = +15".908 = 0°.004 419 = 23° .440 1443 dari mana, dengan rumus (27.1), E = +3° .427351 = 13.70940 menit = +13m42s .6 Sebagai alternatif, persamaan waktu dapat diperoleh, dengan akurasi agak kurang, melalui cara rumus berikut yang ditulis oleh Smart [1]: (27.3) dimana , adalah kemiringan ekliptika, Lo = Bujur rata-rata Matahari e = eksentrisitas orbit Bumi, M = Anomali Rata-rata Matahari Nilai-nilai , Lo, e dan M masing-masing dapat ditentukan dengan cara rumus (21.2), (27.2) atau (24.2), (24.4), dan (24.3). Nilai E yang diberikan rumus (27.3) dinyatakan dalam radian. Hasilnya dikonversi menjadi derajat, dan kemudian ke jam dan desimal dengan membagi dengan 15. Contoh 27.b — Tentukan, sekali lagi, persamaan waktu pada tanggal 13 Oktober 1992 pada jam 13.0 TD = JDE 2448 908.5. Kita dapatkan berturut-turut: T = -0.072183436 e = 0.016711651 = 23°.44023 M = 278°.99396 Lo = 201°.80720 y = 0.043 0381 Rumus (27.3) kemudian menghasilkan E = +0.059 825 557 radian = +3.427 752 derajat = +13 minutes 42.7 detik Gambar grafik kurva mempresentasikan variasi perata waktu selama tahun tertentu diketahui dengan baik dan dapat ditemukan dalam banyak buku astronomi. Saat ini, kurva ini
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 139 memiliki nilai minimal sekitar 11 Februari, nilai maksimum sekitar 3 November dan maksimum sekunder dan minimum sekunder masing-masing sekitar 14 Mei dan 26 Juli. Kurva Persamaan Waktu atau Perata Waktu, dari tahun -3000 sampai +4000 Namun, kurva perata waktu secara bertahap berubah dalam masa waktu berabad-abad, karena arah miring yang ekliptika, eksentrisitas orbit Bumi, dan bujur perihelion orbit, ini semua perlahan-lahan berubah. Gambar pada halaman berikut menunjukkan kurva perata waktu pada interval 1000 tahun, dari 3000 SM sampai 4000 M. Pada sumbu vertikal, diberikan tik pada interval waktu lima menit; garis horizontal mewakili nilai E = nol. Pada garis horisontal, diberikan tik yang membagi tahun dalam empat periode tiga bulan masing-masing, mulai dari 1 Januari di sebelah kiri. Kita lihat, misalnya, bahwa minimum Februari akan sangat berkurang di masa depan. Antara 1600 M dan 2100 M, nilai-nilai ekstrim perata waktu bervariasi seperti ditunjukkan pada Tabel 27.A. Ini adalah nilai 'rata-rata': yang perhitungannya didasarkan pada gerakan elips Bumi yang tidak terganggu, dan Nutasi belum diperhitungkan. Pada tahun 1246 M, saat perigee Matahari bertepatan dengan titik balik Matahari pada musim dingin, kurva mempresentasikan variasi tahunan perata waktu yang persis simetris
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 140 terhadap garis nol: minimum Februari adalah persis sama besar dengan maksimum November, dan maksimum Mei kecil persis sebesar nilai minimum Juli - lihat baris terakhir Tabel. TABLE 27.A Nilai Ekstrem perata waktu di masa kini Tahun Minimum Februari Maksimum Mei Minimum Juli Maksimum November 1600 1700 1800 1900 2000 2100 1246 m s -15 01 -14 50 -14 38 -14 27 -14 15 -14 03 -15 39 m s +4 19 +4 09 +3 59 +3 50 +3 41 +3 32 +4 58 m s -5 40 -5 53 -6 05 -6 18 -6 31 -6 44 -4 58 m s + 16 03 +16 09 +16 15 + 16 20 + 16 25 + 16 30 +15 39 Daftar Pustaka 1. W.M. Smart, Text-Book on Spherical Astronomy; Cambridge (Engl.), University Press (1956); halaman 149.
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 141 Bab 28. Ephemeris untuk Observasi Fisik Matahari Rumus yang diberikan dalam Bab ini didasarkan pada elemen-elemen yang ditentukan oleh Carrington (1863), yang telah digunakan selama bertahun-tahun. Untuk waktu yang diberikan, kuantitas yang diperlukan adalah: P = Sudut posisi bagian utara sumbu rotasi, diukur ke arah timur dari titik Utara piringan Matahari; Bo = Lintang heliografik pusat piringan Matahari; Lo = Bujur heliografik titik yang sama. Meskipun sudut posisi umumnya dihitung dari 0° sampai 360° (ini adalah kasus untuk Bulan, planet-planet, bintang ganda, dll), dalam kasus Matahari biasanya untuk menjaga P, dalam nilai absolut, kurang dari 90°, dan menetapkan tanda plus atau minus: P positif ketika bagian utara sumbu rotasi Matahari dimiringkan ke arah Timur, negatif jika arah Barat. Utara langit dan Matahari dapat bervariasi hingga 26 derajat. P mencapai minimal -26°.3 sekitar 7 April, maksimal +26°.3 sekitar 11 Oktober, dan nol dekat 5 Januari dan 7 Juli. Bo merupakan kemiringan Matahari kutub utara menuju (+) atau menjauh (-) dari Bumi, nilainya sama dengan nol sekitar tanggal 6 dan 7 Desember dan mencapai nilai maksimum sekitar 6 Maret (-7°.25) dan 8 September (7°.25). Lo berkurang sekitar 13.2 derajat per hari. Periode sinodis rata-rata adalah 27.2752 hari. Setiap awal 'Rotasi sinodis' adalah waktu di mana Lo melewati 0°. Rotasi No 1 dimulai pada 1853 9 November. Biarkan JD menjadi Hari Ephemeris Julian, yang dapat dihitung dengan menggunakan metode yang dijelaskan dalam Bab 7. Jika instan yang diberikan adalah di Universal Time, tambahkan ke JD nilai T = TD - UT dinyatakan dalam hari (lihat Bab 9). Jika T dinyatakan dalam detik waktu, koreksi ke JD menjadi . Kemudian hitunglah kuantitas sebagai berikut: I = 7°.25 = 7°15' dimana I adalah inklinasi dari ekuator Matahari pada ekliptika, dan K adalah bujur titik daki ekuator Matahari pada ekliptika. Dalam rumus untuk , 25.38 adalah Periode Rotasi sideris dalam satuan hari. Nilai ini telah diperbaiki secara konvensional oleh Carrington. Ini mendefinisikan meridian nol bujur heliografik dan karena itu harus diperlakukan sama persis. Hitung bujur tampak Matahari (termasuk efek aberasi, tetapi tidak termasuk nutasi) dengan metode seperti dijelaskan dalam Bab 24, dan kemiringan ekliptika (termasuk efek nutasi) seperti dijelaskan pada Bab 21. Misalkan ' menjadi dikoreksi untuk nutasi pada bujur. Kemudian hitung sudut x dan y dengan cara : tan x = - cos ' tan tan y = - cos ( - K) tan I jika x dan y harus diambil antara -90° dan +90°. Kemudian kuantitas yang dibutuhkan P, Bo dan Lo ditemukan sebagai berikut:
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 142 berada pada kuadran yang sama dengan , , direduksi sampai interval 0 - 360 derajat. Contoh 28.a — Hitung P, BO dan LO untuk 13 Oktober 1992 jam 0h Waktu Universal = JD = 2448 908.5. Kita akan menggunakan nilai detik = +0.000 68 hari. Sebagai konsekwensinya JD terkoreksi atau Hari Julian Ephemeris adalah 2448 908.50068 dan kita dapatkan berturut-turut: Dari bab 24 dan 21: L (Earth) = -43.634 836 22 radian = +19°.908O45 R = 0.997 608 = +15".9O8 = +0°.004 419 = 23°.440 144 Oleh karena itu: = L + 180° - 0°. 005 705 = 199°. 902 340 ' = + = 199°. 906 759 tan x = +0.407 664 x = +22°.1790 tan y = +0.071584 y = + 4°.0945 P = 26°.27 sin BO = +0.104 324 BO = +5°.99 LO = -121°.3683 = 238°.63 Seperti disebutkan di atas, 'rotasi sinodis' Matahari dimulai ketika LOsama dengan 0°. Perkiraan waktu untuk awal rotasi sinodis Carrington No. C diberikan dengan: Hari Ephemeris Julian = 2398140.2270 + 27.2752316 C (28.1) di mana, C adalah bilangan bulat. Waktu yang diperoleh mempunyai kesalahan tidak akan lebih dari 0.16 hari. Namun, waktu yang diperoleh dari rumus di atas dapat dikoreksi sebagai berikut. Hitung sudut M, dalam derajat, dari: M = 281.96 + 26.882 476 C
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 143 Kemudian koreksi dalam hari adalah: 0.1454 sin M -0.0085 sin 2M (28.2) -0.0141 Cos 2M Antara tahun 1850 dan 2100, waktu yang dihasilkan akan mengandung kesalahan kurang dari 0.002 hari. Tentu saja, nilai yang benar untuk saat awal rotasi sinodis dapat diperoleh dengan menghitung LO untuk dua waktu berdekatan dengan waktu yang diberikan oleh rumus di atas, dan kemudian melakukan interpolasi inverse untuk mendapatkan kapan LO adalah nol. Contoh 28.a — Carilah waktu awal rotasi Matahari No 1699. Untuk C = 1699, rumus (28.1) memberikan JDE = 2 444 480.8455. Selanjutnya kita menemukan M = 45 955°.287 = 235°.287, dan koreksi seperti pada rumus (28.2) adalah -0.1225. Untuk mengkonversi dari Waktu Dinamis ke Waktu Universal, ada koreksi lanjutan -0.0006 hari (pada tahun 1980, nilai = TD - UT adalah 51 detik). Oleh karena itu, waktu akhir adalah JD = 2444 480.8455 - 0.1225 - 0.0006 = 2444 480.7224 yang bersesuaian dengan 29.22 Agustus 1980. Ephemeris Astronomi tahun 1980, halaman 359, memberikan nilai sama. Hal ini merupakan kebiasaan untuk memberikan waktu dimulainya rotasi synodis Matahari ke terdekat 0.01 hari, dalam desimal hari desimal, bukan dalam jam dan menit.
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 144 Bab 29. Persamaan Kepler Ada beberapa metode untuk menghitung posisi benda langit (planet, planet minor, atau komet periodik) pada orbit elips sekitar Matahari pada suatu saat tertentu: - Dengan integrasi numerik, subjek yang berada di luar ruang lingkup buku ini; - Memperoleh Koordinat heliosentrik benda langit (bujur, lintang, vektor jari-jari) dengan menghitung jumlah komponen periodik, seperti yang akan dijelaskan dalam Bab 31; - Dari elemen orbit benda langit, seperti dijelaskan pada Bab 32. Dalam kasus terakhir, kita perlu menemukan anomali sebenarnya dari obyek. Hal ini dapat dicapai secara baik dengan memecahkan persamaan Kepler atau, jika eksentrisitas orbit tidak terlalu besar, dengan menggunakan rangkaian rumus (lihat "Persamaan dari Pusat' dalam Bab 32). Gambar 1 Dalam Gambar 1 menunjukkan setengah dari orbit elips (PKA). Matahari terletak di fokus S, fokus yang lain yang kosong dari elips adalah F. Garis lurus AP adalah sumbu utama orbit. Pusat elips C adalah persis pertengahan antara perihelion P dan aphelion A, serta pertengahan antara fokus F dan S. isalkan, pada suatu saat tertentu, benda langit bergerak di K. Jarak SK adalah vektor radius benda langit pada saat itu, jarak ini r dinyatakan dalam satuan astronomi. Anomali sejati (v) pada saat yang sama adalah sudut antara arah SP dan SK; itu adalah sudut di mana obyek bergerak, seperti yang terlihat dari Matahari, karena bagian sebelumnya melalui perihelion P. Sumbu semimajor, CP pada Gambar 1, umumnya dirancang dan dinyatakan dalam satuan astronomi. Menurut definisi, eksentrisitas orbit e sama dengan rasio dari jarak CS dan CP, atau e = CS/CP. Untuk elips, e adalah antara 0 dan 1. Perihelion dan aphelion masing-masing adalah jarak yang ditunjuk oleh q dan Q. Dalam perihelion, v = 0° dan r = q, sedangkan di aphelion tersebut kami memiliki v = 180° dan r = Q. Hal tersebut mengikuti bahwa jarak CS = ae jarak SP = q = a (1 - e) = jarak perihelion jarak SA = Q = a (1 + e) = jarak aphelion Jarak PA = 2a = q + Q Sekarang mari kita bahas (Gambar 2) sebuah planet fiktif atau komet K' menggambarkan sekitar Matahari dengan orbit melingkar, dengan kecepatan konstan, dengan periode sama dengan planet nyata atau komet K. Selain itu, mari kita anggap bahwa benda langit tersebut adalah fiktif di
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 145 P', pada garis SP, di saat ketika benda langit sebenarnya adalah di perihelion P. Beberapa waktu kemudian, ketika benda langit sejati di K, benda langit fiktif di K'. Sebagaimana telah kita lihat, sudut v = sudut PSK adalah Anomali sejati benda lanhit (pada saat tertentu). Sudut PSK 'pada saat yang sama disebut anomali rata-rata dan umumnya diberikan dengan simbol M. Dengan kata lain, anomali rata-rata adalah jarak sudut dari perihelion planet yang akan ditempatinya jika bergerak di sekitar Matahari dengan kecepatan sudut konstan. Menurut definisi, sudut M meningkat secara linear (seragam) seiring dengan waktu. Nilai M pada waktu tertentu mudah ditemukan, untuk M = 0° saat planet berada pada perihelion, dan meningkatkan dengan persis 360° dalam lintasan satu revolusi penuh planet ini. Masalahnya, dalam menemukan anomali sejati v ketika Anomali rata-rata M dan eksentrisitas orbit e diketahui. Kecuali kalau digunakan rangkaian rumus seperti yang diberikan dalam Bab 32, bagaimana seseorang harus menyelesaikan persamaan Kepler. Dalam hubungan ini, perlu untuk memperkenalkan sudut pembantu E, anomali eksentrik, yang definisi geometrisnya diberikan dalam gambar 1. Eksterior, lingkaran putus-putus memiliki diameter AP. Kita tarik garis KQ tegak lurus dengan AP. Sudut PCQ adalah anomali eksentrik. Gambar 2 Ketika planet berada di perihelion, sudut v, E dan M adalah nol. Dekat perihelion itu, planet sejati bergerak dengan kecepatan yang lebih besar daripada rata-rata, planet fiktif. Oleh karena itu, antara perihelion dan aphelion, ketika planet bergerak menjauh dari Matahari, kita memiliki v > M dan, karena E selalu antara v dan M, kemudian kita memiliki 0° <M <E <v <180°. Di aphelion tersebut, v = E = M = 180°, dan setelah melewati aphelion, dalam perjalanan kembali ke perihelion, planet sejati tetap di belakang planet rata-rata. Jika E diketahui, v dapat diperoleh dengan: (29.1) selama vektor radius dapat dihitung dengan rumus-rumus sebagai berikut: (29.2) (29.3) (29.4) Tetapi permasalahannya adalah bagaimana menghitung anomali eksentrisitas E. Persamaan Kepler adalah: E = M + e sin E (29.5) Persamaan ini harus dipecahkan untuk E. Hal ini, bagaimanapun, persamaan transendental yang tidak dapat diselesaikan secara langsung. Kita akan jelaskan tiga metode iterasi untuk mencari E, dan akhirnya memberikan rumus yang menghasilkan hasil perkiraan.
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 146 Metode Pertama Dalam rumus (29.5) sudut M dan E harus dinyatakan dalam radian. Oleh karena itu perhitungan harus dilakukan dalam 'radian mode', yang merupakan kasus untuk banyak bahasa pemrograman. Jika perhitungan dibuat dalam 'mode derajat', maka dalam (29.5) salah satu harus kalikan e oleh 180/ , faktor untuk mengkonversi radian ke derajat. Biarkan eo menjadi eksentrisitas demikian 'dimodifikasi'. Persamaan Kepler kemudian E = M + eO sin E (29.6) dan sekarang kita dapat menghitung dengan satuan derajat. Untuk menyelesaikan persamaan (29.6), memberikan nilai perkiraan untuk E pada sisi kanan rumus. Maka rumus akan memberikan pendekatan untuk E. Proses ini diulang sampai diperoleh akurasi yang dinginkan, proses ini dapat dilakukan secara otomatis di komputer Program. Untuk pendekatan pertama, kita dapat menggunakan E = M. Dengan demikian kita memiliki: E0 = M E1 = M + e sin E0 E2 = M + e sin E1 E3 = M + e sin E2 dst. E1, E2, E3 dst berturut-turut dan pendekatan lebih baik bagi anomali eksentrik E. Gambar 3
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 147 Contoh 29.a — Penyelesaian persamaan Kepler untuk e = 0.100 dan M = 5°, dengan akurasi dari 0.000 001 derajat. Kita dapatkan: e0 = 0.100 x 180/ = 5°.729 577 95, dan persamaan Kepler menjadi: E = 5 + 5.729 577 95 sin E dimana semua kuantitas dinyatakan dalam derajat. Mulai dengan E = M = 5°,kita peroleh berturutturut: 5.499 366 5.549 093 5.554 042 5.554 535 5.554 584 5.554 589 5.554 589 Oleh karena itu, nilai yang dikehendaki adalah E = 5°.554 589. Metode ini sangat sederhana dan tidak selalu konvergen. Tidak akan ada masalah kalau e kecil. Namun, jumlah Iterasi yang dibutuhkan umumnya meningkat dengan e. Sebagai contoh, untuk e = 0.990 dan M = 2°, nilai-nilai berurutan dari prosedur iterasi adalah sebagai berikut: 2.000 000 15.168 909 24.924 579 29.813 009 3.979 598 16.842 404 25.904 408 30.200 940 5.936 635 18.434 883 26.780 556 30.533 515 7.866 758 19.937 269 27.557 863 30.817 592 9.763 644 21.341 978 28.242 483 . 11.619 294 22.643 349 28.841 471 . 13.424 417 23.837 929 29.362 399 . Setelah iterasi ke-50, hasilnya (32°.345 452) masih berbeda dari hasil yang benar (32.361 007) lebih dari 0.01 derajat. Gambar 3, akibat kalkulator Belgia Edwin Goffin, represntasi tiga dimensi jumlah iterasi yang diperlukan untuk memperoleh akurasi 10-9 derajat, sebagai fungsi eksentrisitas orbit dan anomali rata-rata. Kita melihat bahwa jumlah yang dibutuhkan untuk iterasi menjadi besar ketika eksentrisitas mendekati 1 dan ketika anomali rata-rata mendekati 0° atau 180°. [Catatan bahwa 10- 9 derajat (seperjuta dari satu detik busur) adalah akurasi terlalu tinggi; di sini dibiarkan hanya sebagai latihan matematika.] Di bawah gambar, kita dapat mencatat 'Lembah' horisontal lurus. Lembah ini memanjang dari titik e = 0, M = 90° ke titik e = 1, M = 32° 42'. (nilai yang terakhir ini sama dengan / 2 - 1 radian). Ini berarti bahwa, untuk setiap eksentrisitas e, ada nilai MO dari anomali rata-rata yang jumlah iterasi (untuk memecahkan Kepler persamaan dengan metode yang dijelaskan di atas) adalah minimum. Anomali rata-rata 'khusus' ini diberikan oleh:
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 148 dan bersesuaian dengan solusi E = / 2 radian = 90° persis. Jumlah yang dibutuhkan iterasi meningkat seiring M berbeda lebih dari MO, di kedua sisi dari 'lembah'. Misalnya, untuk e = 0.75 kita memiliki MO = 47.03 derajat, dan jumlah langkah yang diperlukan untuk memperoleh E dengan akurasi 0.000 001 derajat sebagai berikut: M 5° 10° 20° 30° 40° 47° 55° iter. 51 37 23 15 9 5 8 M 60° 70° 90° 110° 130° 150° 170° iter 11 12 21 32 43 54 59 Fakta yang menarik, bahwa ketika M antara MO dan 180°, hasil iterasi berturut berosilasi konvergen ke nilai yang tepat: mereka tidak terus-menerus bervariasi dalam arah yang sama seperti yang terjadi dalam Contoh 29.a. Untuk e = 0.75 dan M = 70°, hasil iterasinya berturut-turut adalah: 70°.000 000 nilai awal 110°.380 316 lebih besar 110°.281870 lebih kecil 110°.307 524 lebih besar 110°.300 850 lebih kecil 110°.302 587 lebih besar 110.302 135 lebih kecil dst . .. Metode kedua Ketika eksentrisitas orbit e lebih besar dari 0.4 atau 0.5, metode konvergensi yang dijelaskan di atas bisa jadi lambat, karenanya dianjurkan untuk menggunakan rumus iterasi yang lebih baik. Nilai awal yang lebih baik E1 untuk E adalah: (29.7) di mana EO nilai terakhir yang diperoleh untuk E. Dalam rumus ini, sudut M, EO dan E1 semua dinyatakan dalam radian. Jika kita ingin memproses dalam 'mode derajat', maka dalam pembilang hanya fraksi eksentrisitas e harus diganti dengan eksentrisitas yang 'dimodifikasi' eO = 180 e/ . Di sini, sekali lagi, proses harus diulang sesering yang diperlukan. Catatan perbedaan antara rumus (29.6) dan (29.7). Hal pertama langsung memberikan pendekatan baru untuk E. Sementara rumus (29.7) juga memberikan pendekatan baru E1 untuk eksentrik anomali, yang fraksi di anggota kedua sebenarnya merupakan koreksi terhadap nilai EO sebelumnya. Contoh 29.b — Permasalahan sama seperti contoh 29.a, tetapi dengan menggunakan rumus (29.7).