Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 149 Mulai denan EO = M = 5°, kita memperoleh nilai sebagai berikut: EO 5.000 000 000 5.554 616 193 5.554 589 254 koreksi +0.554 616 193 -0.000 026 939 -0.000 000 001 E1 5.554 616 193 5.554 589 254 5.554 589 253 Dalam hal ini, akurasi 0.000 000 001derajat diperoleh setelah hanya tiga iterasi. Kita pecahkan persamaan Kepler untuk beberapa nilai e dan M, lihat Tabel 29.A, dimana nilai dalam kolom berturut-turut memberikan eksentrisitas orbit e, anomali rata-rata M, nilai dari E, dan jumlah langkah yang diperlukan dengan menggunakan metode pertama (1) dan metode kedua (2), dimulai dengan E = M sebagai pendekatan pertama. Sebuah komputer bekerja dengan dua belas digit signifikan, dan iterasi yang dilakukan sampai nilai baru dari E berbeda dari yang sebelumnya kurang dari 0.000 001 derajat. Tampaknya, secara umum, nilai yang lebih besar dari e membutuhkan sejumlah besar iterasi, untuk metode pertama maupun pada Metode ke dua. e M E (1) (2) Tetapi dengan Metode kedua nomor iterasi ini jauh lebih sedikit. Untuk nilai kecil eksentrisitas, katakanlah untuk e < 0.3, metode pertama masih tampaknya yang terbaik: kita dapat memilih untuk melakukan 5 atau 10 mudah iterasi bukannya dua iterasi dengan rumus yang lebih rumit (29.7). Hanya untuk yang lebih besar nilai-nilai eksentrisitas adalah rumus (29.7) lebih disukai untuk Metode pertama. 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.99 0.99 0.99 5° 5 5 5 5 5° 5 5 5 5 1° 33 5°.554589 6.246908 7.134960 8.313903 9.950063 12.356653 16.167990 22.656579 33.344447 45.361023 24.725822 89.722155 6 9 12 16 21 28 39 52 58 50 150 6 2 2 2 2 2 3 3 4 5 11 8 5 Dalam beberapa kasus, Metode pertama adalah sulit direalisasikan. Lihat baris awal sampai terakhir pada tabel: tidak kurang dari 150 iterasi yang diperlukan untuk mendapatkan E untuk nilai e = 0.99 dan M = 1°. Akhirnya, Tabel 29.A menunjukkan bahwa jumlah langkah yang diperlukan untuk mendapatkan akurasi yang diberikan tidak hanya tergantung pada nilai e, tetapi pada M juga. Lihat baris terakhir dari tabel, di mana metode pertama hanya membutuhkan enam iterasi, terlepas nilai eksentrisitas orbit yang besar, yaitu e = 0.99. Meskipun untuk nilai-nilai besar rumus eksentrisitas (29.7) lebih unggul dari (29.6), masih menjadi masalah. Kita lakukan beberapa perhitungan dengan rumus (29.7) pada HP-85 mikro, setiap kali mengambil M sebagai awal nilai E. Tabel 29.B memberikan nilai hasil berturut-turut 'lebih baik' dari E (dalam derajat) untuk tiga kasus.
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 150 TABEL 29.B e = 0.99 M = 2° e = 0.999 M = 6° e = 0.999 M = 7° 188.700250865 90.0043959725 58.7251974236 41.762008288 34.1821261793 32.4485414136 32.361223124 32.3610074734 32.3610074722 32.3610074722 930.362114752 418.384869795 -345.064633754 10182.3247508 1840.68260539 -5573.41581953 -2776.37618814 -478.97469399 -185.902957505 -86.6958017962 -48.9711628749 -14.7148241705 168.189220986 92.1098260913 64.2252288664 52.4123211568 49.7106850572 49.5699983807 49.5696248567 49.5696248539 832.86912333 275.954959759 -87.610596019 -48.5623921307 -11.225108839 340.962715254 -5996.93473678 -2079.96780001 511.49423506 257.391360843 5.969894505 1094.05946279 -33606.763133 -12599.3759885 11889243.763 3642203.90477 -432120.48862 -145379.711482 142691.415319 56806.8295471 . . . . . . . . . . . Gambar 4
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 151 Dalam contoh pertama (e = 0.99, M = 2°) kita mulai dengan E = 2°. Iterasi pertama memberikan E = 188°.7, yang bahkan masih jauh dari hasil akhir yang diharapkan! Tetapi setelah diperoleh nilai 90°, 59°, 42°, maka prosedur konvergen cepat: setelah iterasi kedelapan tercapai dengan akurasi 0.000 004 detik busur. Dalam kasus kedua (e = 0.999, M = 6°), iterasi pertama memberikan nilai yang sangat aneh, seolah-olah diproduksi generator nomor acak! Tidak ada konvergensi sama sekali, sampai setelah 13 iterasi Nilai 168° diperoleh, tujuh langkah selanjutnya memberi kita solusi yang benar. Kasus ketiga: eksentrisitas sama, Tetapi sekarang M = 7°. Di sini juga hasil yang brturutan melompat bolak-balik dengan tidak teratur, dan setelah 20 langkah tidak ada nilai wajar yang tercapai. Tidak sebelum iterasi ke 47 (tidak diberikan dalam tabel) kita mendapatkan solusi yang tepat, yaitu 52°270 2615. Ini benar-benar luar biasa bahwa untuk eksentrisitas yang sama 0.999, namun untuk M = 7°.01 bukannya 7°.00, nilai yang benar E tercapai setelah hanya dua belas iterasi. Gambar 5 HP-85 bekerja dengan 12 angka signifikan. Jika Anda menggunakan lain komputer, jumlah iterasi kadang-kadang dapat berbeda lumayan dari yang kita sebutkan di sini. Ketika seseorang menghitung kasus keduav(e = 0,999, M = 6 °) dengan HP-67 kalkulator saku, yang bekerja dengan 10 angka signifikan, hasil berturut-turut (dalam derajat) yang 00930.3621195 00418.3848584 0-345.0649049 10182.69391 01883.665232
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 152 0-162.6729360 00-85.06198931 00-47.82386405 00-13.18454655 00211.0527629 00084.65261970 00060.76546811 00051.35803706 00049.62703439 00049.56968687 00049.56962485 00049.56962485 Sangat menarik untuk membandingkan nilai ini dengan orang-orang dari Tabel 29.B. Setelah iterasi ketiga, perbedaan dengan nilai diperoleh dengan HP-85 masih 0.00027 derajat saja, setelah iterasi berikutnya, perbedaannya adalah 0°.37, dan yang berikutnya adalah 43 derajat! Namun demikian, konvergensi nilai yang tepat akhirnya dicapai. Jelaslah bahwa, bila e besar, rumus (29.7) menjamin hanya konvergensi lokal. Hasil berturut-turut melompat teratur bolak-balik, dan hanya jika secara kebetulan hasilnya jatuh ke dalam 'domain yang tepat' hasil berikutnya konvergen dengan cepat. Gambar 4, karena Edwin Goffin, adalah perwakilan tiga dimensi representasi dari jumlah langkah yang diperlukan untuk memperoleh E dengan akurasi 10-9 derajat, sebagai fungsi dari eksentrisitas orbit dan anomali rata-rata, ketika rumus (29.7) digunakan. Seperti sebelumnya, M digunakan sebagai nilai awal E. Sebelah kiri, dekat e = 1 dan M = 0°, adalah 'zona berbahaya'. Gambar 5 menunjukkan perbesaran zona itu: kita melihat sejumlah besar puncak yang berdekatan; jumlah iterasi yang diperlukan untuk mendapatkan akurasi yang diinginkan berbeda jauh bahkan ketika e atau M berubah sangat sedikit. Akibatnya, rumus (29.7) agak mengkhawatirkan untuk nilai-nilai besar e dan nilai-nilai kecil M. Dalam beberapa kasus, komputer berisiko overflow karena penyebut dari fraksi menjadi hampir nol. Masalah ini dapat dihindari dengan memilih, sebagai nilai awal untuk E, nilai yang lebih baik daripada M. Mikkola [1] menemukan nilai awal yang baik sebagai berikut. Jika M dinyatakan dalam radian, hitung: Tanda akar kuadrat adalah dipilih sebagai tanda . Perhatian: jumlah di bawah akar kubik dapat negatif, mengakibatkan kesalahan komputer! Kemudian hitung: Kemudian nilai awal yang baik untuk rumus (29.7) adalah: E = M + e (3 s - 4 s 3)
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 153 Prosedur ini hanya berguna di 'wilayah berbahaya', yaitu, ketika kedua < 30° dan 0.975 < e < 1. Jika tidak, hanya dapat diggunakan M sebagai nilai awal untuk E. Gambar 6, sekali lagi karya Goffin, menggambarkan jumlah iterasi yang diperlukan untuk memperoleh akurasi 10"9 derajat ketika rumus (29.7) digunakan dengan nilai awal yang diberikan oleh (29.8). Gambar 6 Metode ketiga Roger Sinnott [2] menemukan metode menggunakan pencarian biner untuk menemukan nilai E yang benar. Pencarian biner yang sudah disebutkan pada akhir Bab 5. Prosedur ini benarbenar sangat mudah, selalu mengerucut ke nilai paling tepat yang Mesin mampu mendeteksinya, dan bekerja untuk setiap eksentrisitas antara 0 dan 1. Bagian yang relevan dari Program Sinnott, di BASIC, diberikan di bawah ini. Di sini, E adalah eksentrisitas orbit, dan M anomali rata-rata dalam radian. Hasil dari program ini adalah anomali eksentrisitas EO dinyatakan dalam radian juga. Untuk bahasa komputer dengan akurasi 10 digit, 33 langkah ini dibutuhkan dalam pencarian biner. Jumlah loop pada baris 180 harus meningkat menjadi 53 jika anda menggunakan BASIC 16 digit. Jumlah langkah yang diperlukan 3.32 x jumlah digit yang dibutuhkan, dimana 3,32 adalah sama dengan 1/ log10 2. 100 PI = 3.14159265359 110 F = SGN (M) : M = ABS (M) /B*P1) 120 M = (M-INT(M))*2*I*F 130 IF M<0 THEN M = M + 2*PI
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 154 140 F = 1 150 IF M > PI THEN F = -1 160 IF M > PI THEN M = 2*P1 -M 170 E0 = PI/2 : D = Pl/4 180 FOR J = 1 TO 33 190 M1 = EO-E*SIN(EO) 200 E0 = E0 + D*SGN(M-M1) : D = D/2 210 NEXT J 220 E0 = EO*F Metode Ke empat Rumusnya: (29.9) memberikan nilai perkiraan, dan valid hanya untuk nilai eksentrisitas yang kecil . Untuk data yang sama dalam contoh 29.a, rumus (29.9) memberikan: Oleh karena E = 5°.554 599, nilai eksaknya adalah 5°.554 589, sehingga dalam hal ini kesalahannya hanya 0".035. Tetapi eksentrisitas yang sama x = 82°, kesalahannya sekitar 35". Kesalahan terbesar karena penggunaan rumus (29.9) adalah 0°.0327 untuk e = 0.15 0°.0783 untuk e = 0.20 0,1552 untuk e = 0.25 1°.42 untuk e = 0.50 24°.7 untuk e = 0.99 Untuk orbit Bumi (e = 0.0167), kesalahan kurang dari 0".2. Dalam hal ini, rumus (29.9) dapat dengan aman digunakan kecuali diinginkan akurasi sangat tinggi. Daftar Pustaka 1. Seppo Mikkola, 'A cubic approximation for Kepler's Equation', Celestial Mechanics, Vol. 40, halaman 329 - 334 (1987). 2. Roger W. Sinnott, Sky and Telescope, Vol. 70, halaman 159 (Agustus 1985).
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 155 Bab 30. Elemen-elemen Orbit Planet Meskipun Lampiran II menyajikan komponen periodik utama yang diperlukan untuk menghitung posisi heliosentris planet (dengan penjelasan yang diberikan dalam Bab 31), itu mungkin menarik untuk memiliki informasi informasi tentang orbit rata-rata benda-benda langit ini. Elemen orbit planet utama dapat dinyatakan dalam bentuk polinomial sbb: a0 + a1 T + a2 T2 + a3 T3 dimana T adalah waktu yang diukur dalamabad Julian 36525 hari ephemeris dari epoch: J2000.0 = 1.5 Januari 2000 = JDE 2451 545.0. Dengan kata lain: (30.1) Kuantitas ini negatif sebelum awal tahun 2000, dan positif setelahnya. Elemen-elemen orbit adalah: L : Bujur rata-rata planet a : setengah sumbu utama orbit ; e : eksentrisitas orbit; i : inklinasi pada bidang ekliptika; : Bujur titik daki : Bujur perihelion. Bujur perihelion sering dinotasikan dengan . Tetapi hal ini sangat membingungkan, karena argumen perihelion mempunyai simbol . Untuk alasan ini, kita lebih suka menggunakan untuk bujur perihelion dan kita mempunyai . Busur NX"adalah bagian dari ekliptika seperti yang terlihat dari Matahari, dan NPXX' adalah bagian dari orbit planet (persimpangan bidang orbit planet dengan bola langit), adalah vernal ekuinoks (bujur 0°), N titik daki orbit tersebut, P perihelion planet. Pada suatu saat tertentu, planet rata-rata berada di X, planet yang benar di X'. Lalu kita memiliki: = busur = bujur titik daki, = busur NP = argumen perihelion,
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 156 = busur N + busur NP = = bujur perihelion, L = busur N + busur NX = + M = bujur rata-rata planet, M = busur PX = anomali rata-rata planet, C = busur XX ' = persamaan pusat, v = busur PX '= M + C = anomali sejati planet. i = kemiringan orbit = sudut antara busur NP dan NX". Harus dicatat bahwa kuantitas L dan diukur pada dua bidang yang berbeda, yaitu dari vernal ekuinoks sepanjang ekliptika ke titik daki orbit, dan kemudian dari titik daki tersebut sepanjang orbitnya. Lihat Gambar di atas. Anomali rata-rata planet dinyatakan dengan rumus: M = L - Tabel 30.A menyajikan koefisien a0 sampai a3 untuk elemen-elemen orbit planet Merkurius sampai Neptunus. Nilai-nilai untuk setengah sumbu utama dalam unit astronomi. Untuk kuantitas sudut: L, i, dan dinyatakan dalam derajat dan desimal, mengacu pada ekuinoks rata-rata ekliptika pada tanggal tertentu. Nilai-nilai tabel telah dihitung dari teori planet VSOP82 karya P. Bretagnon [1]. Lihat Bab 31 untuk informasi lebih lanjut tentang teori VSOP82 dan VSOP87. Elemen-elemen L, i, dan sebenarnya mengacu pada ekliptika rata-rata dinamis dan ekuinoks pada tanggal tertentu, yang berbeda sangat sedikit dari sistem FK5 (lihat Bab 24). Dalam beberapa kasus, mungkin diinginkan untuk mengacu elemen L, i, dan ke equinox standar. Hal ini terjadi, misalnya, ketika seseorang ingin menghitung setidaknya jarak antara orbit sebuah komet dan sebuah planet besar, apabila elemen-elemen pertama orbit mengacu ke ekuinoks standar. Melalui Tabel 30.B, dimungkinkan untuk menghitung elemen ini untuk planet utama, disebut ekuinoks standar J2000.0. Elemen-elemen a dan e tentu saja tidak berubah oleh perubahan kerangka acuan,. Elemen-elemen itu harus dihitung dengan cara Tabel 30.A. Untuk Bumi, menghindari diskontinuitas dalam variasi inklinasi dan lompatan 180° dalam bujur dari titik daki pada epoch J2000.0, inklinasi (pada ekliptika epoch 2000.0) dianggap negatif sebelum tahun 2000 Masehi. Contoh 30.a — Hitung elemen rata-rata orbit Merkurius pada 24 Juni 2065 jam 0h TD. Kita mempunyai (lihat bab 7): 24.0 Juni 2065 = JDE 2475 460.5 oleh karenanya dengan rumus (30.1) T = +0.654 770 704 997 Sebagai konsekwensinya, dari Table 30.A kita dapatkan: L = 252°.250 906 + (149 474°.072 249 1 x 0.654 770 704 997) + (0.000 303 97) (0.654 770 704 997)2 + (0.000 000 018) (0.654 770 704 997)3 = 98 123°.494 702 = 203°.494 702 a = 0.387 098 310 = 78°.475 382
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 157 e = 0.205 645 10 dari situ kita dapatkan: i = 7°.006 171 = 125°.019 320 = 49°.107 650 = 29°.367 732 Dari Tabel 30.A dan 30.B, muncul bahwa inklinasi orbit Merkurius pada ekliptika tanggal tertentu semakin meningkat, tetapi menurun sehubungan dengan ekliptika epoch 2000.0. Sebaliknya terjadi untuk Saturnus dan Neptunus. Antara T = -30 dan T = 30, Venus inklinasi orbit Venus pada ekliptika tanggal tertentu terus meningkat, tetapi sehubungan dengan ekliptika tetap epoch 2000.0 inklinasi Venus mencapai maksimum sekitar tahun +690. Inklinasi Orbit Uranius pada ekliptika tanggal tertentu mencapai Minimal sekitar tahun +1000, tetapi sehubungan dengan ekuinoks tetap 2000.0 nilainya terus menurun selama periode yang disebutkan di sini. TABEL 30.A Elemen Orbit untuk ekuinoks rata-rata pada tanggal tertentu a0 a1 a2 a3 MERKURIUS L a e i 252.250 906 0.387 098 310 0.205 63175 7.004 986 48.330 893 77.456 119 +149 474.072 2491 +0.000 020 406 +0.001 821 5 +1.186 189 0 +1.556 477 5 +0.000 303 97 -0.000 000 028 4 -0.000 018 09 +0.000 175 87 +0.000 295 89 +0.000 000 018 -0.000 000 000 17 +0.000 000 053 +0.000 000 211 +0.000 000 056 VENUS L a e i 181.979 801 000.723 329 820 000.006 77188 003.394 662 076.679 920 131.563 707 +58519.213 0302 -0.000 047 766 +0.001 003 7 +0.901 119 0 +1.402 218 8 +0.000 310 60 +0.000 000 0975 -0.000 000 88 +0.000 406 65 -0.001 073 37 +0.000 000015 +0.000 000 000 44 -0.000 000 007 -0.000 000 080 -0.000 005 315 BUMI L a e i 100.466 449 001.000 001 018 000.016708 62 000 102.937 348 +36000.769 823 1 0000-0.000 042 037 0000+1.719 526 9 +0 .000 303 68 -0 .000 000 1236 +0 .000 459 62 +0 .000 000 021 +0 .000 000 000 04 +0 .000 000 499
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 158 MARS L a e i 355.433 275 001.523 679 342 000.093 400 62 001.849 726 049.558 093 336.060 234 +19141.6964746 +0.000 090 483 -0.000 6010 +0.772 0923 +1.8410331 +0.000 310 97 -0.000 000 0806 +0.000 012 76 +0.00001605 +0.000 135 15 +0.000 000 015 -0.000 000 000 35 -0.000 000 006 +0.000 002 325 +0.000 000 318 JUPITER L a e i 034.351484 005.202 603 191 000.048 494 85 001.303 270 100.464 441 0014.331309 +3036.302 788 9 000+0.000 000 19 13 000+0.000 163 244 000-0.005 4966 000+1.020 9550 000+1.612 6668 +0.000 223 74 -0.000 000 471 9 +0.000 004 65 +0.000 401 17 +0.001031 27 +0.000 000 025 -0.000 000 001 97 -0.000 000 004 +0.000 000 569 -0.000 004 569 SATURNUS L a e i 050.077 471 009.554 909 596 000.055 508 62 002.488 878 113.665 524 093.056 787 +1223.511 014 1 000-0.000 002 138 9 000-0.000 346 818 000-0.003 736 3 000+0.877 097 9 000+1.963 769 4 +0.000 519 52 -0.000 000 645 6 -0.000015 16 -0.000 120 67 +0.000 837 57 -0.000 000 003 +0.000 000 003 38 +0.000 000 089 -0.000 002 380 +0.000 004 899 URANUS L a e i 314.055 005 019.218 446 062 000.046 295 90 000.773 196 074.005 947 173.005 159 +429.864 056 1 00-0.000 000 037 2 00-0.000 027 337 00+0.000 774 4 00+0.521 125 8 00+1.486 378 4 +0.000 304 34 +0.000 000 000 98 +0.000 000 079 0 +0.000 037 49 +0.001 339 82 +0.000 214 50 +0.000 000 026 +0.000 000 000 25 -0.000 000 092 +0.000 018 516 +0.000 000 433 NEPTUNE L a e i 304.348 665 030.110 386 869 000.008 988 09 001.769952 +219.883 3092 00-0.000 000 1663 00+0.000 006408 00-0.009 3082 +0.000 309 26 +0.000 000 000 69 -0.000 000 000 8 -0.000 007 08 +0.000 000 018 -0.000 000 000 05 +0.000 000 028
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 159 131.784 057 048.123 691 00+1.102 2057 00+1.426 2677 +0.000 260 06 +0.000 379 18 -0.000 000 636 -0.000 000 003 Para bujur dari node, disebut equinox dari tanggal, meningkat untuk semua planet. Tetapi sehubungan dengan tetap ekuinoks dari 2000.0 bujur ini menurun, kecuali untuk Jupiter dan Saturnus. Daftar Pustaka 1. P. Bretagnon, 'Theorie du mouvement de l'ensemble des planetes. Solution VSOP82', Astronomy and Astrophysics, Vol. 114, halaman 278-288 A(1982).
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 160 TABEL 30.B Elemen Orbit untuk Ekuinoks Standar J2000.0 a0 a1 a2 a3 MERKURIUS L i Ω 252.250 906 007.004 986 048.330 893 077.456 119 +149 472.674 635 8 -0.005 951 6 -0.125 422 9 +0.158 864 3 -0.000 005 35 +0.000 000 81 -0.000 088 33 -0.000 013 43 +0.000 000 002 +0.000 000 041 -0.000 000 196 +0.000 000 039 VENUS L i Ω 181.979 801 003.394 662 076.679 920 131.563 707 +58 517.815 676 0 -0.000 856 8 -0.278 008 0 +0.004 864 6 +0.000 00165 -0.000 032 44 -0.000 142 56 -0.001 382 32 -0.000 000 002 +0.000 000 010 -0.000 000 198 -0.000 005 332 BUMI L i Ω 100 .466 449 0 174 .873 174 102 .937 348 +35 999.372 851 9 +0. 013 054 6 -0 . 241 090 8 +0 .322 555 7 -0 .000 005 68 -0 .000 009 31 +0 .000 040 67 +0 .000 150 26 +0.000 000 000 -0.000 000 034 -0.000 001327 +0.000 000 478 MARS L i 355.433 275 001.849 726 049.558 093 336.060 234 +19 140.299 331 3 -0.008 147 9 -0.294 984 6 +0.443 889 8 +0.000 002 61 -0.000 022 55 -0.000 639 93 -0.000 173 21 -0.000 000 003 -0.000 000 027 -0.000 002 143 +0.000 000 300 JUPITER L i 034.351484 001.303 270 100.464 441 014.331309 +3034.905 674 6 -0 . 001 987 2 +0 .176 682 8 +0 .215 552 5 -0.000 085 01 +0.000 033 18 +0.000 903 87 +0.000 722 52 +0.000 000 004 +0.000 000 092 -0.000 007 032 -0.000 004 590
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 161 SATURNUS L i 050.077 471 002.488 878 113.665 524 093.056 787 +1 222.113 794 3 +0.002 551 5 -0.256 664 9 +0.566 549 6 +0.000 210 04 -0.000 049 03 -0.000 183 45 +0.000 528 09 -0.000 000 019 +0.000 000 018 +0.000 000 357 +0.000 004 882 URANIUS L i 314.055 005 000.773 196 074.005 947 173.005 159 +428.466 998 3 -0.001 686 9 +0.074 146 1 +0.089 320 6 -0.000 004 86 +0.000 003 49 +0.000 405 40 -0.000 094 70 +0.000 000 006 +0.000 000 016 +0.000 000 104 +0.000 000 413 NEPTUNUS L i 304.348 665 001.769 952 131.784 057 048.123 691 +218.486 200 2 00+0.000 225 7 00-0.006 165 1 00+0.029 158 7 +0.000 000 59 +0.000 000 23 -0.000 002 19 +0.000 070 51 -0.000 000 002 -0.000 000 000 -0.000 000 078 -0.000 000 023
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 162 Bab 31. Posisi Planet-planet Pada tahun 1982, P. Bretagnon dari the Bureau des Longitudes of Paris mempublikasikan teori planetnya VS0P82. VSOP merupakan singkatan dari 'Variations Seculaires des Orbites Planetaires'. VSOP82 terdiri dari serangkaian komponen periodik yang panjang untuk masingmasing planet utama dari Merkurius sampai Neptunus. Jika, untuk planet yang diketahui, jumlah dari serangkaian komponen periodik ini dievaluasi untuk suatu saat tertentu, diperoleh nilai-nilai komponen berikut untuk orbit oskulasi. [Orbit oskulasi adalah orbit planet 'sesaat', lihat catatan lebih banyak tentang hal ini dalam Bab 32.] a = sumbu semimajor orbit = bujur rata-rata planet h = e sin k = e cos p = sin sin q = sin cos dimana e adalah eksentrisitas orbit, n bujur perihelion, i inklinasi, dan bujur titik daki (ascending node). Sekali, a, , e dan (dari h dan k), i dan (dari p dan q) adalah diketahui, posisi sejati planet di ruang angkasa dapat diperoleh untuk saat tertentu yang diberikan. Solusi VSOP82 yang tidak mudah adalah ketika seseorang tidak tahu di mana rangkaian komponen yang panjang harus dipotong saat tidak diperlukan penuh. Untungnya, pada tahun 1987 Bretagnon dan Francou menyusun versi yang disebut VSOP87, yang memberikan komponen periodik untuk menghitung koordinat heliosentris planet secara langsung, yaitu L, bujur ekliptik B, lintang ekliptik R, vektor radius (= jarak ke Matahari) Perlu dicatat bahwa L adalah benar-benar bujur ekliptik planet, bukan bujur orbit. Pada gambar halaman 198, bujur orbit planet adalah jumlah busur N dan NX' (dalam dua bidang yang berbeda). Melalui posisi planet X', lingkaran besar X'X"ditarik tegak lurus terhadap ekliptika. Kemudian bujur ekliptik planet diukur dari busur X". Meskipun metode yang digunakan untuk mengkonstruksi VSOP82 dan VSOP87 telah dijelaskan dalam literatur astronomi (lihat Referensi 1 dan 2), teori-teori ini sendiri hanya tersedia pada pita magnetik. Dengan ijin dari Bretagnon dan Francou, kita berikan dalam Lampiran II komponen periodik paling penting dari teori VSOP87. Untuk setiap planet, disediakan seri berlabel L0, LI, L2, ... , B0, B1, ... , R0, R1, .... Seri L0, L1, ... diperlukan untuk menghitung bujur heliosentris ekliptik planet L; seri B0, B1, ... dibutuhkan untuk lintang ekliptik B, dan seri R0, R1, ... adalah untuk vektor radius R. Setiap garis horizontal dalam daftar merupakan satu komponen periodik dan berisi empat angka: - No adalah komponen dalam seri yang tidak diperlukan dalam perhitungan sesungguhnya dan dicantumkan dalam daftar dengan tujuan referensi saja; - Tiga nomor yang akan kita sebut di sini masing-masing A, B, dan C.
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 163 Jika JDE adalah Julian Day Ephemeris sesuai dengan waktu yang diberikan, hitunglah waktu diukur dalam ribuan tahun Julian dari epoch 2000.0 (31.1) Nilai setiap komponen yang diberikan dengan A cos (B + C ) Misalnya, komponen ke sembilan dari seri L0 untuk Merkurius sama dengan 1803 cos (4.1033 + 5661.3320 ). Dalam daftar Lampiran II, kuantitas B dan C disajikan dalam radian. Koefisien A dalam satuan 10-8 radian dalam kasus bujur dan lintang, dalam satuan 10-8 satuan astronomi untuk vektor radius. Ketika koefisien A memiliki desimal lebih sedikit, maka desimal lebih sedikit juga diberikan untuk B dan C. Hal ini semata-mata dilakukan untuk menghindari pengaruh dijit asing yang tidak berpengaruh pada hasil. Untuk mendapatkan bujur heliosentris ekliptik planet L di suatu saat tertentu, mengacu ke ekuinoks rata-rata tanggal tertentu, lanjutkan sebagai berikut. Hitunglah jumlah L0 dari komponen seri L0, jumlah L1 dari komponen seri L1, dll Kemudian bujur yang diinginkan dalam radian dirumuskan oleh (31.2) Lanjutkan dengan cara yang sama untuk lintang heliosentris B dan vektor radius R. Bujur heliosentris Planet L dan lintang B, diperoleh sejauh ini, mengacu pada ekliptik dinamis rata-rata dan ekuinoks pada tanggal yang ditetapkan oleh teori planet VSOP karya Bretagnon. Kerangka acuan berbeda sangat sedikit dari sistem standar FK5 yang disebutkan dalam Bab 20. Konversi L dan B ke sistem FK5 dapat dilakukan sebagai berikut, di mana T adalah waktu dalam abad dari 2000.0, atau T = 10 . Hitung L' = L - 1°.397 T - 0.00031 T2 Kemudian koreksi ke L dan B adalah: = -0".09O33 + 0".03916 (cos L' + sin L') tan B = + 0".03916 (cos L' - sin L') (31.1) Koreksi ini diperlukan hanya untuk perhitungan yang sangat akurat. koreksi tersebut dapat diabaikan jika perhitungan menggunakan versi pendek dari VSOP87 diberikan dalam Lampiran II. Cara mendapatkan posisi geosentris planet-planet akan dijelaskan dalam Bab 32. Contoh 30.a — Hitung koordinat heliosentris Venus pada 20 Desember 1992 jam 0h TD. Tanggal ini bersesuaian dengan JDE 2448 976,5, dari mana = -0.007 032 169 747. Untuk Venus, seri L0 memiliki 24 komponen dalam Lampiran II (ada lebih banyak komponen dalam teori VSOP87 asli), L1 memiliki 12 komponen, L2 memiliki 8 komponen, L3 dan L4 keduanya memiliki 3 komponen, sementara L5 mengandung hanya komponen tunggal. Untuk jumlah dari seri ini, kita menemukan L0 = 316 402 122 L3 = -56 L1 = +1 021 353 038 718 L4 = -109 L2 = +50 055 L5 = -1
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 164 Oleh karena itu, dengan rumus (31.2), kita menemukan bahwa bujur heliosentris Venus, untuk waktu yang diberikan dan mengacu pada ekuinoks rata-rata tanggal tertentu, adalah L = -68.659 2582 radian = -3933°.88572 = +26°.11428 Kita menghitung lintang heliosentris B dan vektor radius R dengan cara yang sama. Perlu dicatat bahwa, dalam kasus Venus, seri B5 dan R5 tidak ada. Hasilnya B = -0.045 7399 radian = - 2°.62070, R = 0.724 603 AU Keakuratan hasil Jika diinginkan akurasi tinggi, tampak bahwa komponen periodik dalam solusi VSOP87 mengerucut agak lambat. Besarnya kesalahan dalam koordinat jika daftar komponen dipotong pada titik manapun? Aturan empiris berikut telah diberikan oleh Bretagnon dan Francou [3]: Jika n adalah jumlah komponen yang dipertahankan, dan A amplitudo terkecil komponen yang dipertahankan, akurasi seri yang terpotong tentang , dimana adalah angka lebih kecil dari 2. Sebagai contoh, mari kita perhatikan bujur heliosentris Merkurius. Dalam Lampiran II, seri L0 untuk planet ini memiliki 38 komponen, dan koefisien komponen terkecil yang ditahankan adalah 100 x 10-8 radian. Oleh karena itu, kita dapat berharap bahwa kemungkinan terbesar kesalahan dalam bujur heliosentris Merkurius adalah sekitar 2 100 10-8 radian = 2". 54. Tentu saja, seri L1, L2, dll, yang dipotong juga, yang memberikan ketidakpastian tambahan orde 0".41 , 0".08 2, dan lain-lain Daftar Pustaka 1. P. Bretagnon, 'Theorie du mouvement de 1'ensemble des planetes. Solution VSOP821, Astronomy and Astrophysics, Vol. 114, halaman 278-288 (1982). 2. P. Bretagnon, G. Francou, 'Planetary theories in rectangular and spherical variables. VSOP87 solutions', Astronomy and Astrophysics, Vol. 202, halaman 309-315 (1988). 3. Ibid., halaman 314.
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 165 Bab 32. Gerak Eliptik Dalam Bab ini kita akan menjelaskan dua metode untuk perhitungan posisi geosentris dalam kasus orbit elips. Pada bagian metode pertama, bujur dan lintang geosentrik ekliptika sebuah planet mayor (Merkurius sampai Neptunus) yang diperoleh dari Koordinat ekliptika heliosentris planet dan Bumi. Dalam metode kedua, yang lebih cocok untuk planet minor dan komet periodik, askensio rekta dan deklinasi benda langit, mengacu pada ekuinoks standar, diperoleh secara langsung, menggunakan koordinat kartesian geosentris Matahari. Metode pertama Akan dijelaskan bagaimana askensio rekta dan deklinasi sebuah planet besar dapat dihitung pada saat tertentu. Untuk saat yang dikehendaki, dengan serangkaian data yang dicantumkan dalam Lampiran II (menggunakan metode yang dijelaskan dalam Bab 31), koordinat heliosentris planet L, B, R, dan koordinat heliosentris Bumi Lo, Bo, Ro. Jangan mengkonversi dari ekliptika dinamis dan ekuinoks ke ekliptika dan ekuinoks FK5 pada tahap ini. Kemudian cari (32.1) Bujur geosentrik dan Lintang dari planet dirumuskan sebagai berikut: (32.2) Carilah kuadran yang tepat untuk .. Kita dapat menggunakan Fungsi 'kedua' arctangent, = ATN2 (y, x), atau melihat pelajaran yang diberikan dalam Bab 1 tentang 'kuadran yang benar'. Namun, koordinat geosentris , diperoleh dengan cara ini adalah koordinat geometrik planet tersebut mengacu pada ekuinoks rata-rata pada tanggal tertentu. Jika diperlukan akurasi tinggi, perlu untuk memperhitungkan perpindahan tampak dari planet ini dari posisi yang benar karena kecepatan cahaya yang terbatas. Perpindahan Ini meliputi: (a) efek waktu-cahaya, planet ini terlihat di mana ketika cahaya meninggalkannya; (b) pengaruh gerakan Bumi yang dikombinasikan dengan kecepatan cahaya, menyebabkan perpindahan tampak dari obyek, seperti aberasi tahunan dalam kasus bintang. Kombinasi dari kedua efek ini sering disebut 'aberasi planet'. Namun, kita lebih memilih untuk menyebut dengan terminologi aberasi untuk efek (b) saja, karena efek ini mempunyai sifat yang sama seperti aberasi bintang-bintang. Selain itu, untuk beberapa aplikasi tidak perlu untuk memperhitungkan efek (b) ini. Misalkan kita ingin menghitung okultasi bintang oleh planet. Maka efek waktu cahaya harus diikut-sertakan dalam perhitungan posisi planet, tetapi kita boleh mengabaikan efek (b) pada kondisi bahwa efek aberasi pada posisi bintang diabaikan juga. Demikian pula, efek nutasi dapat diabaikan untuk kedua benda langit pada dalam kasus tertentu. Alasannya jelas: karena planet dan bintang yang berdekatan pada bola langit, efek aberasi dan nutasi akan mengubah posisi relatif mereka. (a) efek waktu-cahaya: pada waktu t, planet yang terlihat adalah pada waktu t - , maka dalam arah diperoleh kombinasi posisi Bumi pada waktu t dengan planet di waktu t - , dimana
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 166 adalah waktu yang dibutuhkan oleh cahaya untuk mencapai Bumi dari planet ini. Kali ini diberikan oleh (32.3) dimana adalah jarak planet ke Bumi dalam satuan astronomi, dinyatakan dengan: (32.4) (b) efek penyimpangan dapat dihitung seperti untuk bintang-bintang, yaitu dengan cara rumus (22.2), di mana adalah sama dengan Lo ± 180°. Namun, kedua efek dapat dihitung secara bersamaan. untuk urutan akurasi bahwa gerakan Bumi selama waktu-cahaya, secara linear dan seragam pada waktu t adalah sama seperti posisi geometris tampak pada waktu t - . Dengan kata lain, dalam metode ini posisi Bumi pada waktu t - harus dikombinasikan dengan posisi planet pada saat yang sama t - . Tentu saja, nilai dari waktu-cahaya tidak diketahui di muka karena jarak planet ke Bumi tidak diketahui. Tetapi Jarak ini dapat ditemukan dengan iterasi, menggunakan misalnya nilai = 0 (dan karenanya = 0) dalam perhitungan pertama. Untuk perhitungan yang sangat akurat, bujur geosentris planet dan lintang dapat dikonversi dari ekliptika dinamis dan ekuinoks ke ekliptika dan ekuinoks FK5 melalui rumus (31.3), menggantikan L dengan , dan B dengan . Untuk menyelesaikan perhitungan posisi tampak dari planet tertentu, koreksi untuk nutasi harus diterapkan. Hal ini dicapai dengan menghitung nutasi pada bujur ( ) dan kemiringan ( ), seperti dijelaskan pada Bab 21. Tambahkan pada bujur geosentris planet, dan ke kemiringan rata-rata ekliptika . Askensio rekta tampak dan deklinasi tampak dari planet kemudian dapat diperoleh dengan cara rumus (12.3) dan (12.4). Elongasi planet , yaitu jarak sudut ke Matahari, dapat dihitung dari (32.5) di mana , adalah bujur dan lintang tampak planet dan bujur tampak Matahari. Lintang Matahari, yang selalu lebih kecil dari 1.2 detik busur, dapat diabaikan di sini. Contoh 32.a — Hitung posisi tampak Venus di 20 Desember 1992 jam 0h TD = JDE 2448976.5. Karena jarak planet ke Bumi tidak diketahui sebelumnya, nilai waktu-cahaya juga tidak diketahui. Oleh karena itu, kita mulai dengan perhitungan posisi (geometris) sejati planet pada waktu tertentu. kita menemukan nilai posisi berikut untuk koordinat heliosentris (lihat Contoh 31.a): L = 26°.11428 B = -2°.62070 R = 0.724603 Koordinat Bumi dihitung dengan cara yang sama: = 88°.35704 = +0°.00014 = 0.983 824 (A) oleh karena itu, dengan rumus (32.1), (32.4) dan (32.3), x = +0.621 746 = 0.910 845 y = -0.664 810 = 0.005 2606 hari z = -0.033134 jarak sejati Venus ke Bumi pada 20.0 Desember 1992. Sekarang ulangi kalkulasi koordinat heliosentris Venus untuk waktu t - , JDE = 2448 976.5 - 0.005 2606. Kita menemukan
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 167 L = 26°.10588, B = -2°.62102, R = 0.724 604 (B) Menggabungkan nilai-nilai baru dengan nilai-nilai (A) dari Lo, Bo, Ro, dapatkan: x = 0.621 794 = 0.910947 y = -0.664 905 (C) = 0.005 2612 hari z = -0.033 138 Jika kita ulangi perhitungan dengan nilai baru dari , kita menemukan nilai yang sama (B) untuk L, B dan R lagi, dengan akurasi yang dikehendaki. Oleh karena itu, nilai akhir untuk waktu-cahaya = 0.005 2612 hari, dan = 0.910 947 adalah jarak tampak dari planet pada 20 Desember 1992 jam 0h TD. Jarak ini adalah di mana kita 'melihat' planet pada saat itu, dengan kata lain, itu adalah jarak tempuh oleh cahaya yang meninggalkan planet ini pada waktu t - untuk mencapai Bumi pada waktu t. Mari kita sekarang menghitung bujur dan lintang geosentris Venus. Jika kita menempatkan nilai-nilai (C) x, y, z dalam rumus (32.2), kita memperoleh = 313°.08102 = -2°.08474 yang dikoreksi waktu-cahaya, tetapi belum untuk aberasi. Dari Bab 22, didapatkan: e = 0.016 711 573 = 102°.88675 dan Rumus (22.2) memberi, untuk = 268°.35704, = -14". 868 = -0°.00413 = -0".531 = -0°.00015 dan bujur dan lintang tampak Venus (belum dikoreksi nutasi) adalah: = 313°.08102 - 0°.00413 = 313°.076 89 = -2°.08474 - 0°.00015 = -2°.084 89 [Alternatifnya, kita dapat mengkoreksi waktu-cahaya dan aberasi bersama-sama sekaligus dengan menghitung koordinat Bumi pada saat t - , yang memberikan Lo = 88°. 35.168, Bo = +0°.000 14, Ro = 0.983 825. Kita sekarang menggabungkan nilai-nilai ini dengan koordinat Venus (B). Rumus (32.1) dan (32.2) kemudian memberikan x = +0.621 702 = 313°.07687 y = -0.664 903 = -2°.08489 atau nilai yang hampir sama seperti sebelumnya. ] Koreksi reduksi ke sistem FK5 adalah, dari (3 1.3), = -0".09027 = -0°.00003 = 0".05535 = 0°.00001 sehingga nilai-nilai terkoreksi adalah: = 313°.07689 - 0°.00003 = 313°.07686 = -2°.08489 + 0°.00001 = -2°.08488 Dari Bab 21, kita menemukan = +16".749, = -1".933, = 23°.439 669 dan nilai dikoreksi nutasi adalah
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 168 = 313°.07686 + 16 ".749 = 313°.08151 Akhirnya, dengan (12.3) dan (12.4), askensio rekta tampak, = 316°. 17291 = 21h.078 194 = 21h04m41s .50 deklinasi tampak: = -18°.88802 = -18°53'16".9 Nilai yang tepat, diperoleh dengan perhitungan yang akurat menggunakan teori VSOP87, adalah = 21h04m41s .454, = -18°53'16".84, jarak sejati = 0.910 845 96. Metode kedua Di sini kita menggunakan elemen orbit mengacu pada ekuinoks standar, misalnya 2000.0, dan koordinat kartesian geosentris ekuator Matahari X, Y, Z mengacu pada ekuinoks yang sama. Koordinat kartesian ini dapat diambil dari almanak astronomi, atau dapat dihitung dengan metode yang diuraikan dalam Bab 25. Dalam metode ini, bujur dan lintang heliosentrik dari benda langit (planet minor atau komet periodik) tidak dihitung. Sebaliknya, kita menghitung koordinat kartesian heliosentris ekuator x, y, z, setelah askensio rekta, deklinasi dan kuantitas lainnya diperoleh dengan cara rumus sederhana. Elemen-elemen orbit berikut yang seharusnya diketahui. Dapat diambil, misalnya, dari Surat Edaran I.A.U., dari Peredaran Planet Kecil dari Pusat Planet Minor, dll a = sumbu semimajor, di AU e = eksentrisitas i = inklinasi = Argumen perihelion = bujur titik daki n = gerak rata-rata, dalam derajat/hari di mana i, dan yang mengacu ke ekuinoks standar. Jika a atau n tidak diketahui, mereka dapat dihitung dari di mana q adalah jarak perihelion di AU. Pembilang dari fraksi kedua adalah konstanta Gaussian gravitasi 0.017 202 098 95 dikonversi dari radian ke derajat. Sebenarnya, semua elemen ini berlaku hanya untuk satu waktu yang diberikan, yang disebut Epoch. Mereka bervariasi dengan waktu di bawah pengaruh gangguan planet. (Lihat, kemudian dalam Bab ini, catatan tentang elemen oskulasi). Jika tidak diperlukan akurasi tinggi, elemen tersebut dapat dianggap berubah-ubah selama beberapa minggu atau bahkan berbulan-bulan, misalnya selama waktu kemunculan komet. Selain elemen orbit yang disebutkan di atas, baik nilai Mo dari anomali rata-rata pada epoch, atau waktu T dari perjalanan melalui perihelion, diberikan. Hal ini memungkinkan perhitungan anomali rata-rata M pada suatu saat. Anomali rata-rata meningkat dengan n derajat per hari, dan nol pada saat T. Elemen orbit dari planet minor atau komet periodik diketahui, posisi geosentris untuk tanggal tertentu bisa dihitung sebagai berikut. Pertama, kita harus menghitung jumlah a, b, c dan sudut A, B, C, yang merupakan konstanta untuk orbit tertentu. Misalkan kemiringan ekliptika. Jika elemen orbit mengacu ke ekuinoks standar 2000.0, seseorang harus menggunakan nilai 2000 = 23°26'21". 448, yang mana
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 169 sin = 0.397 777 16 cos = 0.917 482 06 Kemudian hitung: (32.7) Sebagai kontrol, kita dapat mengguakan persamaan berikut: tetapi tentu saja perhitungan ini tidak diperlukan dalam sebuah program. Kemudian kuantitas a, b, c, A, B, C diberikan dengan (32.8) Kuantitas a, b, c harus positif, sedangkan sudut A, B, C harus ditempatkan di kuadran yang tepat, sesuai dengan aturan berikut: sin A memiliki tanda yang sama dengan cos , sin B sin C memiliki tanda yang sama dengan sin . Namun, sekali lagi, kita bisa menggunakan fungsi arctangent 'kedua' jika tersedia dalam bahasa Pemrograman: A = ATN2 (F, P), dst. Perhatian: jangan bingung dengan kuantitas a sumbu semimajor sebuah orbit! Untuk setiap posisi yang diinginkan, hitung anomali rata-rata benda langit M, maka anomali eksentrisitas E (lihat Bab 29), anomali sejati v dengan cara rumus (29.1), dan vektor radius r dengan cara (29.2). Kemudian koordinat kartesian heliosentris ekuator benda langit diberikan oleh: (32.9) Kemudahan rumus ini terlihat ketika koordinat kartesian diperlukan untuk posisi benda langit. Komponen tambahan a, b, c, A, B, C adalah fungsi , i dan , dan dengan demikian konstanta untuk seluruh ephemeris, karena masing-masing posisi hanya nilai-nilai v dan r yang harus dihitung. Namun, perlu dicatat bahwa , i dan adalah konstan hanya jika benda langit dalam orbit tanpa gangguan. Untuk saat yang sama, menghitung koordinat kartesian Matahari X, Y, Z (Bab 25), atau mengambilnya dari almanak astronomi. Kemudian askensio rekta dan deklinasi geosentris dari planet atau komet dihitung dari:
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 170 (32.10) dimana adalah jarak ke Bumi dan dengan demikian positif. Kuadran yang benar dari diindikasikan dengan fakta bahwa sin memiliki tanda yang sama seperti (Y + y), namun, sekali lagi fungsi, arctangent kedua dapat digunakan: = ATN2 (Y + y, X + x). Jika negatif, tambahkan 360 derajat. Kemudian konversikan dari derajat menjadi jam dengan membaginya dengan 15. Koordinat ekuator dan benda langit mengacu ke ekuinoks standar yang sama dengan elemen orbit dan koordinat kartesian Matahari X, Y, Z. Namun, nilai-nilai dan diperoleh dengan cara seperti yang dijelaskan di atas merujuk pada posisi geometrik (yang benar) benda langit di ruang angkasa. Sama seperti pada 'Metode Pertama' dalam Bab ini, efek waktu-cahaya harus diperhitungkan. Hal ini dilakukan sebagai berikut. Untuk waktu yang diberikan t, hitunglah jarak dari benda langit ke Bumi seperti dijelaskan di atas, dan kemudian waktu-cahaya dengan cara rumus (32.3). Kemudian ulangi perhitungan M, E, v, x, y, z untuk waktu t - , tetapi biarkan koordinat Matahari X, Y, Z tidak berubah. Dengan nilainilai baru x, y, z, rumus (32.10) akan memberikan nilai-nilai terkoreksi dan . Jika dibuat kelonggaran untuk waktu-cahaya, yaitu, jika tidak ada koreksi aberasi dan nutasi, kemudian diperoleh nilai untuk dan yang disebut dengan askensio rekta astrometrik dan deklinasi astrometrik benda langit pada saat tertentu. Posisi astrometrik sebuah planet minor atau komet secara langsung sebanding dengan tempat rata-rata bintang seperti yang diberikan dalam katalog bintang (perlu dikoreksi untuk gerak diri dan paralaks tahunan, jika signifikan). Tentu saja, dan adalah geosentris. Elongasi ke Matahari, dan P sudut fase (sudut Matahari - benda langit - Bumi), dapat dihitung dari: (32.11) (32.12) dimana = jarak Bumi dan Matahari. Sudut dan keduanya antara 0 dan +180 derajat. Jangan dicampuradukkan dengan R dengan kuantitas R pada rumus )32.1) ataupun pada rumus (32.7). Magnitudo benda-benda langit dihitung sebagai berikut. Dalam kasus komet, magnitudo secara umum dihitung dari: (32.13) dimana g adalah magnitudo absolut, dan nilainya konstan dimana berbeda dari satu komet ke komet yang lainnya. Secara umum, adalah nilai antara 5 dan 15.
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 171 Untuk planet minor, sistem magnitudo baru diadopsi oleh Komisi 20 dari International Astronomical Union (New Delhi, November 1985). Rumus untuk prediksi magnitudo tampak sebuah planet kecil (minor) adalah: (32.14) dengan dimana adalah sudut fase dan 'exp' adalah fungsi eksponensial, EXP (x) = e x . Rumus (32.14) berlaku untuk . H dan G parameter magbitudo, yang nilainya berbeda untuk setiap planet minor. H adalah magnitudo visual rata-rata mutlak, sedangkan G disebut 'paramater kemiringan'. Berikut adalah nilai-nilai H dan G untuk planet minor terang dan beberapa obyek yang tidak umum [1]: H G H G 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ceres Pallas Juno Vesta Astraea Hebe IHs Flora Metis 3.34 4.13 5.33 3.20 6.85 5.71 5.51 6.49 6.28 0.12 0.11 0.32 0.32 0.15 0.24 0.15 0.28 0.17 15 18 20 433 1566 1620 1862 2060 2062 Eunomia Melpomene Massalia Eros Icarus Geographos Apollo Chiron Aten 5.28 6.51 6.50 11.16 16.4 15.60 16.25 6.0 16.80 0.23 0.25 0.25 0.46 0.15 0.15 0.09 0.15 0.15 Pada rumus (32.13) dan (32.14), Jarak ke Matahari (r) dan jarak ke Bumi ( ) dalam satuan astronomi, dan semua algoritma berbasis 10. Contoh 32.b — Hitung posisi geosentrik komet Enke Periodik untuk 6 Oktober 1990 jam 0h TD, menggunakan elemen orbit berikut ini (lihat contoh 23.b): T = 28.54502 TD Oktober 1990 a = 2.209 1404 AU (satuan astronomi) = 0.850 2196 Ekliptika dan Ekuinoks 2000.0 Pertama hitung konstanta bantu dari orbit: F = +0.904 455 59 P = +0.417 330 84 G = -0.391 368 30 Q = +0.729 522 09 H = -0.169 678 93 R = +0.541 878 67 oleh karena itu, dengan rumus (32.8), A = 65°.230 615 a = 0.996 094 85 B = 331°.787 680 b = 0.827 871 74
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 172 C = 342°.613 052 c = 0.567 823 42 Dari nilai 2.209 1404 untuk sumbu semimajor orbit, rumus kedua (32.6) menghasilkan n = 0.300 171.252 derajat/hari. Untuk tanggal yang diberikan (6.0 Oktober 1990), waktu sejak perihelion adalah -22.545 02 hari. Oleh karena itu, anomali rata-rata adalah: M = -22.54502 x 0°.300 171 252 = -6°.767 367 Lalu kita dapatkan, E = -34°.026 714 x = +0.250 8066 v = -94°. 163 310 y = +0.484 9175 r = 0.652 4867 z = +0.357 3373 Koordinat kartesian ekuator geosentrik Matahari untuk waktu yang sama, dan mengacu pada ekuinoks standar yang sama (2000.0), dihitung dengan menggunakan teori VSOP87, adalah: X = -0.975 6732, Y = -0.200 3254, Z = -0.086 8566 yang mana = 0.824 3689, dan waktu cahaya adalah = 0.004 76 hari. Ulangi perhitungan posisi komet untuk t - , berlaku 5.99524 Oktober 1990, didapatkan: M = -6°.768 796 E = -34°.031 552 x = +0.250 931 0 v = -94°. 171 933 y = +0.484 947 7 r = 0.652 5755 z = +0.357 371 2 X + x = -0.724 7422 Y + y = +0.284 6223 Z + z = +0.270 5146 = 0.824 2811 dari situ disimpulkan askensio rekta dan deklinasi astrometrik dan elongasi Matahari: = 158°.558 965 = 10h34m14s .2 = +19°. 158 496 = +19°09'31" = 40°.51 Catatan pada elemen-elemen oskulasi Elemen orbit rata-rata, seperti yang dijelaskan dalam Bab 30 untuk planet besar, mewakili elemen-elemen orbit rata-rata. Mereka merujuk ke orbit yang berubah secara lambat. Untuk komet periodik dan ribuan planet minor, tidak ada elemen orbit rata-rata yang dihitung. Sebaliknya, elemen-elemen orbit dihitung untuk orbit 'sesaat' orbit pada suatu waktu tertentu (Epoch), yang disebut elemen oskulasi, dan waktu yang valid adalah Epoch oskulasi. "Elemen oskulasi pada epoch tertentu didefinisikan sebagai elemen orbit elips tanpa gangguan, disebut orbit oskulasi, di mana posisi dan kecepatan planet pada saat epoch adalah identik dengan posisi sebenarnya dan kecepatan planet di orbit dengan gangguan pada saat yang sama. Elemen-elemen oskulasi karena mengandung efek gangguan karena planet-planet lain, sehingga, tidak seperti elemen rata-rata, mengkuti variasi periodik.,, [2] Sementara elemen rata-rata bervariasi perlahan dengan waktu (misalnya, eksentrisitas orbit rata-rata Mars adalah 0.09331 pada tahun 1900 dan akan 0.09340 pada tahun 2000), elemenelemen oskulasi bervariasi agak cepat. Perubahan ini umumnya tidak mencerminkan perubahan nyata orbit rata-rata. Sebagai contoh, mari kita ambil elemen oskulasi berikut planet minor Ceres
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 173 selama dua epoch yang dipisahkan hanya 200 hari. Elemen ini diambil dari Ephemerides tahunan Planet Kecil (Leningrad), elemen i, dan mengacu ke ekuinoks standar 1.950,0. Epoch (TD): 27.0 Desember 1980 15.0 Juli 1981 Sumbu Semimajor (AU): a = 2.7663951 a = 2.767 1238 Eksentrisitas: e = 0.077 2343 e = 0.077 4937 Inklinasi (derajat): i = 10.598 78 i = 10.598 15 Argumen perihelion (derajat): = 73.895 55 = 73.901 89 Panjang, titik daki (derajat): = 80.102 59 = 80.096 60 Anomali rata-rata (derajat): M = 319.239 14 M = 2.081 33 Gerak rata-rata (derajat/ hari): n = 0.214 206 55 n = 0.214 121 94 Dari 27 Desember 1980 sampai 15 Juli 1981 sumbu semimajor dari orbit 'sesaat' meningkat sebesar 0.000 73 AU, tetapi kita dapat tidak dapat menyimpulkan bahwa selama 200 hari jarak rata-rata Ceres ke Matahari meningkat sebesar 109 000 kilometer! Pada 27 Desember 1980, periode revolusi 'sesaat' Ceres adalah 1680.62 hari (yang diperoleh dengan membagi 360° dengan n); 200 hari kemudian telah meningkat menjadi 1681.28 hari. Neptunus memberi gambaran lebih baik. Sementara eksentrisitas orbit rata-rata adalah 0.0090 saat ini, yaitu orbit oskulasinya mencapai maksimum 0.0124 pada bulan November 1964, minimal 0.0039 pada bulan Oktober 1970, maksimum lain (0.0122) pada Desember 1976, dan sebagainya. Variasi yang agak besar ini tidak mengherankan: oskulasi orbit Neptunus mengacu pada posisi sesaat dan kecepatan Matahari, yang dengan sendirinya berosilasi sekitar pusat tata surya, terutama karena pengaruh planet besar yaitu Jupiter dan Saturnus. Elemen orbit Neptunus mengacu pada barycenter (bukan ke Matahari) menunjukkan variasi yang jauh lebih kecil. Ephemerides yang akurat dari komet periodik dan planet-planet minor diperoleh dengan integrasi numerik, dan untuk perhitungan ini elemen orbit oskulasi memberikan nilai awal. Elemen oskulasi dapat digunakan untuk memberikan posisi sebenarnya dan gerak benda langit pada epoch oskilasi, dan memberikan nilai pendekatan yang baik untuk orbit sebenarnya selama periode singkat sekitar Epoch. Bagaimanapun, nilai itu tidak digunakan sebagai orbit tanpa gangguan selama periode yang lama!. Dalam rangka untuk memiliki gagasan tentang kesalahan yang membesar dari ephemeris dihitung dengan menggunakan orbit oskulasi tanpa gangguan, kita menggunakan elemen oskulasi tersebut di atas dari Ceres memadai untuk 15 Juli. 1981. Bujur heliosentris Ceres, dihitung dengan cara ini, kemudian dibandingkan dengan persis seperti yang dihasilkan dari karya Duncombe [3]. Ternyata sampai 280 hari setelah Epoch, kesalahan lebih kecil dari 9". Selama 40 hari pertama, kesalahan lebih kecil dari 1". Kesalahan dalam perhitungan heliosentris bujur mencapai maksimum (+8") 180 hari setelah Epoch, Tetapi setelah beberapa bulan kesalahan dengan cepat mencapai nilai negatif yang besar: Jumlah hari setalah 15 Juli 1981 : 0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 (detik busur) : 0 +1 +3 +5 +7 +7 +3 -8 -26 -52 -86 Evolusi lebih lanjut dari ditunjukkan pada Gambar pada halaman berikut. Kurva berosilasi menunjukkan variasi kesalahan sebagai fungsi dari waktu. Jadi, dalam kasus ini, kesalahan tidak tidak membesar terus menerus dengan waktu. Kita menemukan ekstrim berikut nilai untuk kesalahan dalam Bujur heliosentris Ceres: +8" pada Januari 1982
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 174 -708" pada pertengahan Maret 1984 +864" pada pertengahan Mei 1986 -825" pada Juli 1988 +1754" pada Agustus 1990 Kesalahan dalam bujur heliosentrik yang dihitung dari Ceres, ketikakomponen oskulasi yang digunakan dan gangguan oleh planet diabaikan. Vertikal : dalam detik busur. Horizontal : hari-hari berlalu sejak Epoch, 15.0 .Juli 1981. Titik-titik dipresentasikan pada interval 40 hari. Persamaan Pusat Jika eksentrisitas orbit yang kecil, maka sebagai ganti pemecahan persamaan Kepler (Bab 29) dan kemudian menggunakan rumus (29.1), persamaan pusat C, atau perbedaan v - M, komponen e dan M dapat ditemukan langsung melalui rumus berikut. Hasilnya dinyatakan dalam radian, dan dengan demikian harus dikalikan dengan 180/ atau 57.295 779 51 agar dapat dikonversi menjadi derajat. Rumus ini berasal dari serangkaian ekspansi [4], dan telah dipotong setelah komponen e 5. Oleh karena itu hanya cocok untuk nilai eksentrisitas kecil. Jika eksentrisitas sangat kecil, komponen dalam e 4 dan e 5 dapat diabaikan. Kesalahan terbesar adalah: Untuk e = 0.03 0.05 Rumus sampai komponen e5 0".0003 0.007 Rumus dengan mengabaikan e4 dan e5 0'.'24 1.8
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 175 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.45 5 29 111 331 30 152 483 1183 2456 Terdapat serangkaian ekspansi untuk vektor radius juga. Komponennya hingga pangkat kelima eksentrisitasnya adalah sebagai berikut: Kecepatan pada orbit Eliptik Orbit eliptik yang tidak terganggu, kecepatan sesaat benda langit yang bergerak, dalam kilometer per detik, diberikan dengan: dimana r adalah jarak benda langit ke Matahari, dan a adalah setengah sumbu utama orbit, keduanya dinyatakan dalam satuan astronomi. Jika e adalah eksentresitas, selanjutnya kecepatan pada perihelion dan pada aphelion, dinyatakan dalam km/detik, masing-masing adalah: Contoh 32.c — Untuk Komet Halley secara Periodik kembali ke semula tahun 1986, kita mempunyai [5] a = 17.9400782 e = 0.96727426 nilai-nilai oskulasi sah untuk Epoch 19.0 TD Februari 1986. Untuk orbit semacam ini, kecepatan di perihelion dan aphelion masing-masing adalah Vp = 54.52 km/detik dan Va = 0.91 km / detik. Pada jarak r = 1 AU dari Matahari, kecepatan komet itu V = 41.53 km/detik. Panjang elips
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 176 Sementara ada rumus yang tepat menghitung area elips (area = ), tidak ada rumus yang tepat dengan jumlah komponen terbatas dan fungsi biasa untuk panjang L (perimeter) dari elips. Berikut ini, e adalah eksentrisitas elips, a sumbu semimajornya, dan b sumbu semiminor yang dinyatakan dengan . 1. Sebuah rumus perkiraan yang diberikan oleh Ramanujan pada tahun 1914 adalah: Kesalahan nol untuk a = b (yaitu untuk lingkaran), meningkat iampao 0.4155% untuk e = 1, yaitu, untuk elips datar tak terhingga. 2. Metode lain yang menarik untuk menemukan panjang elips adalah sebagai berikut. Misalkan A, G dan H masing-masing merupakan cara aritmatika, geometrik, dan harmonik, dari setengah-sumbu elips a dan b. Artinya, Kemudian kita mempunyai dengan kesalahan kurang dari 0.001% jika e < 0.88,dan kurang dari 0.01% jika e < -.95. Tetapi kesalahan sampai 1% untuk e = 0.9997,dan sampai 30% untuk e = 1. 3. Rumus dengan rangkaian ekspansi tak terbatas adalah: Rumus di antara kurung bernilai 0.99937 untuk e = 0.05, nilainya 0.99750 untuk e = 0.10, an sama dengan 0.63662 = 2/ untuk e =1. 4. Cara untk lebih cepat mengerucut diperoleh dengan ruus berikut, dimana m= (a - b)/(a + b), Contoh 32.d — Peeriode komet Halley. Menggunakan elemen untuk kembali tahun 1986 (lihat Contoh 32.c), kita menemukan bahwa panjang orbit adalah 77.07 AU = 11530 juta kilometer. Daftar Pustaka 1. Minor Planet Circulars 17256-17264 (2 Desember 1990). 2. Explanatory Supplement to the Astronomical Ephemeris (London, 1961); halaman 114. 3. R.L. Duncombe, 'Heliocentric Coordinates of Ceres, Pallas, Juno, Vesta, 1928-2000", Astron. Papers, XX, II (Washington, 1969). 4. Annales de l'Observatoire de Paris, Vol. I, halaman 202-204. 5. Minor Planet Circular 10634 (24 April 1986).
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 177 Bab 33. Gerak Parabolik Dalam Bab ini akan dijelaskan rumus untuk perhitungan posisi komet yang bergerak mengelilingi Matahari dalam orbit parabola. Kita akan asumsikan bahwa elemen orbit ini tidak berubah-ubah (tidak ada gangguan planet) dan mengacu ke ekuinoks standar, contoh 2000.0. Kita berasumsi bahwa elemen orbit berikut: T = waktu saat melewati perihelion q = jarak perihelion jarak, dalam satuan AU i = inklinasi = argumen perihelion = bujur titik daki Pertama, menghitung konstanta tambahan A, B, C, a, b, c seperti untuk orbit eliptik: lihat rumus (32.7) dan (32.8). Kemudian, untuk masing-masing posisi komet yang dikehendaki, lanjutkan sebagai berikut. Misalkan t - adalah waktu sejak perihelion, dalam satuan hari. Kuantitas ini adalah negatif sesaat sebelum waktu perihelion. Hitung: (33.1) Konstanta dalam pembilang sama dengan 3k/ , dimana k adalah konstanta gravitasi Gaussian 0.017 202 098 95. Kemudian anomali sejati v dan vektor radius r komet dirumuskan dengan: dimana s adalah akar persamaan: (33.3) Perlu dicatat bahwa, sesaat sebelum waktu perihelion, s negatif dan v antara -180° dan 0°; setelah perihelion, s > 0 dan v adalah antara 0° dan 180°. Pada saat melintasi perihelion, s = 0, v = 0°, dan r = q. Ada beberapa cara untuk memecahkan persamaan (33.3), yang dikenal dengan Persamaan Barker. 1. Persamaan dengan mudah dapat diselesaikan dengan iterasi, algoritma ini dianjurkan penulis, karena rumus iterasi sederhana, konvergensinya cepat, tidak ada fungsi trigonometri atau akar kubik yang terlibat, dan prosedur yang berlaku untuk nilai-nilai positif ataupun negatif (t - ), dan t = (atau s = 0).
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 178 Kita dapat mulai dari setiap nilai s, pilihan yang baik adalah s = 0. Pilihan nilai yang lebih baik untuk s adalah: (33.4) Perhitungan ini diulang sampai diperoleh nilai yang tepat untuk s. Perlu dicatat bahwa dalam rumus (33.4) pang tiga dari s harus dihitung, jika s adalah negatif, operasi ini tidak dimungkinkan pada beberapa mesin penghitung, ketika hal ini terjadi, menghitung bukan . 2. Daripada memecahkan persamaan (33.3) dengan iterasi, s dapat diperoleh langsung sebagai berikut (J. Bauschinger, Tafeln zur Theoretischen Astronomie, halaman 9, Leipzig, 1934): (33.5) Konstanta 54.807 791 sama dengan di mana k adalah konstan gravitasi Gaussian. Dalam metode ini, tidak ada iterasi yang dilakukan, Tetapi dua masalah dapat terjadi: - Pada saat perjalanan melintasi perihelion, t - adalah nol, maka W adalah nol, dan 2/W menjadi tak terhingga. Namun, dalam kasus yang kita miliki segera v = 0° dan r = q, namun kemungkinan terjadinya kasus ini harus diantisipasi dalam program komputer; - Sebelum perihelion yang kita memiliki W < 0, dari mana tan adalah negatif. Tetapi dalam kasus itu, tan / 2 juga negatif, dan komputer tidak dapat menghitung akar pangkat besaran negatif. Kesulitan ini dapat dihindari dengan mengganti W dengan nilai mutlak dalam rumus (33.5). Pada akhir perhitungan, tanda s harus kemudian disesuaikan. Misalnya, dalam BASIC rumus (33.1) dan (33.3) dapat diprogram sebagai berikut, di mana T adalah singkatan dari jumlah hari t - T sejak perihelion: IF T = 0 THEN .... W= .03649116245 * T/(Q*SQR(Q)) B = ATNB/ABS(W)) S = 2/TANB*ATN(TAN(B/2)^(l/3))) IF T < 0 THEN S = -S
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 179 3. Metode berikut lebih mudah dan tidak menggunakan fungsi trigonometri. Semua ekspresi di bawah tanda akar adalah positif. (33.6) Ketika s diperoleh, v dan r dapat ditemukan dengan cara (33.2), setelah perhitungan berlanjut seperti pada gerak elips, rumus (32.9) dan (32.10), dengan cara yang sama perhitungkan juga Efek waktu-cahaya. Rumus pertama (33.2) akan memberikan v/2 antara -90 dan +90 derajat, berbagai fungsi arctangent dalam bahasa komputer. Itu akan memberikan v di kuadran yang benar, antara -180° dan 180°, sehingga tidak diperlukan pemeriksaan tambahan. Dalam gerak parabola, e = 1 sementara a dan periode revolusi yang tak terbatas, gerak harian rata-rata adalah nol, dan karena itu tidak ada anomali dan eksentrisitas ratarata (pada kenyataannya, mereka nol). Contoh 33.a — Hitung anomali sejati dan jarak ke Matahari, komet Helin-Romawi (1989s = 1989 IX) pada 31.0 TD Oktober 1989, menggunakan nilai T = 20.29104 TD Agustus 1989 q = 1.324 5017 dari orbit parabola dihitung dengan cara B.G. Marsden (Minor Planet Circular No. 16001, 11 Maret 1990) Untuk tanggal yang dikehendaki (31.0 Oktober 1989), waktu dari perihelion adalah t - T = 71.70896 hari. Oleh karena itu, dengan rumus (33.1), W = 1.716 65.231. Mulai dari nilai s = 0, kita memperoleh pendekatan berturut-turut dengan cara rumus iterasi (33.4): 0.000 0000 0.572 2174 0.525 1685 0.524 2029 0.524 2025 Oleh karenanya, s = +0.5242025, dan konsekwensinya: v = +55°. 32728 r = 1.688 459 Jika, bukan dengan prosedur iterasi tetapi dengan menggunakan rumus (33.6), kita memperoleh berturut-turut: G = 0.858 326 155 Y = 1.295 879 323
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 180 s = Y - 1/Y = 0.524 2025, sama seperti sebelumnya. Bab 34. Gerak mendekati Parabolik Eksentrisitas tepat 1 berarti bahwa orbit parabola, dalam kasus itu, mudah untuk menghitung posisi benda langit pada waktu yang diinginkan (lihat Bab 33). Jika orbit memiliki eksentrisitas (katakanlah, 0.98 sampai 1.1), tetapi berbeda dari 1, itu lebih sulit untuk menanganinya. Eksentrisitas yang lebih besar dari 1 berarti orbit adalah hiperbolik. Astronom Jerman Werner Landgraf telah membuat program BASIC yang menarik [1], berdasarkan mekanika langit karya Karl Stumpff, Vol. I (Berlin, 1959). Selanjutnya kita memberikan Program Landgraf, dalam bentuk yang sedikit dimodifikasi. Pertama, hitung: di mana, seperti sebelumnya, k adalah gravitasi konstanta Gaussian, e adalah eksentrisitas orbit, dan q adalah jarak perihelion dalam unit astronomi. Kemudian memecahkan persamaan iteratif berikut untuk s: (34.1) di mana t adalah jumlah hari sebelum (-) atau setelah (+) melintasi perihelion. Mulailah dengan memasukkan ke sisi kanan dari persamaan nilai s diperoleh untuk orbit yang justru parabola [dengan nilai W dari rumus (33.1) menempatkan sama dengan Qt/3]. Evaluasi ini mengarah ke perbaikan s, yang digunakan pada iterasi lain, dan seterusnya sampai nilai s tidak lagi berubah. Setelah nilai akhir s ditemukan, anomali sejati v dan jarak ke Matahari r ditemukan dari Perhitungan tempat geosentris, kemudian dapat dilakukan seperti untuk gerak elips dan gerak parabola. Berikut ini adalah program Landgraf di BASIC, dengan sedikit dimodifikasi. Program berlaku untuk orbit elips yang sangat eksentrik (e sedikit kurang dari 1), untuk orbit sedikit hiperbolik (e sedikit lebih besar dari 1), serta untuk orbit yang persis parabola. Komputer diasumsikan bekerja dalam radian. 10 P1 = 4*ATN(1) : R1 = 180/P1 12 K =0.01720209895 14 D1 = 10000 : C= 1/3 : D = 1E-9 16 INPUT "PERIHELION DISTANCE = "; Q 18 INPUT "ECCENTRICITY = "; E0
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 181 20 Q1 = K*SQR((1 + E0)/Q)/(2*Q) : G = (1 - E0)/(1 + E0) 22 INPUT "DAYS FROM PERIHELION = "; T 24 IF T<>0 THEN 28 26 R = Q : V = 0 : GOTO 72 28 Q2 = Q1*T 30 S = 2/(3*ABS(Q2)) 32 S = 2/TAN(2*ATN(TAN(ATN(S)/2)^C)) 34 IF T<0 THEN S = -S 36 IF E0 = 1 THEN 66 38 L = 0 40 S0 = S : Z = 1 : Y = S*S : G1 = -Y*S 42 Q3 = Q2 + 2*G*S*Y/3 44 Z = Z + 1 46 G1 = -G1*G*Y 48 Z1 = (Z-(Z + 1)*G)/(2*Z + 1) 50 F = Z1*G1 52 Q3 = Q3 + F 54 IF Z > 50 OR ABS(F) > D1 THEN 78 56 IF ABS(F) > D THEN 44 58 L = L + 1 : IF L > 50 THEN 78 60 S1 = S : S = B*S*S*S/3 + Q3)/(S*S + 1) 62 IF ABS(S-S1) >D THEN 60 64 IF ABS(S-S0) > D THEN 40 66 V = 2*ATN(S) 68 R = Q*(1 + E0)/(1 + E0*COS(V)) 70 IF V<0 THEN V = V + 2*P1 72 PRINT "TRUE ANOMALY = "; V*R1 74 PRINT "RADIUS VECTOR (A.U.) = "; R 76 PRINT : GOTO 22 78 PRINT "NO CONVERGENCE" 80 PRINT : GOTO 22 Beberapa komentar tentang program ini: Baris 10 : rumus pertama adalah trik untuk mendapatkan nilai . Baris 12 : konstan gravitasi Gaussian k. Baris 14 : nilai D = 10-9 menyesuaikan dengan komputer presisi. Jika perlu, kita bisa menggunakan 10-8 atau 10-10. Baris 26 : saat t = 0 (benda langit berada persis di perihelion), kita memiliki r = q dan v = 0°. Baris 36 : jika orbit adalah persis parabola, nilai s telah ditemukan. Baris 54 : jika dalam rumus (34.1) lebih dari 50 komponen yang diperlukan, atau jika komponen-komponen ini terlalu besar, tidak ada konvergensi. Baris 56 : sepanjang komponen rumus (34.1) tidak cukup kecil, komponen berikutnya harus dihitung. Baris 58 : jika setelah 50 iterasi tidak ada hasil yang ditemukan, perhitungan harus dihentikan.
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 182 Baris 60 dan 62 : memecahkan persamaan (34.1) dengan iterasi. Ini merupakan iterasi dalam iterasi! Sebagai latihan, cobalah untuk menghitung kasus berikut: Data Hasil Jarak Perihelion q (AU) Eksentrisitas e Hari T Anamali sejati v (°) Jarak ke Matahari r (AU) 0.921326 0.100 000 0.123 456 3.363 943 0.587 1018 0.5871018 1.000 00 0.987 00 0.999 97 1.057 31 0.967 2746 0.967 2746 138.4783 254.9000 -30.4700 1237.1000 20.0000 0.0000 102.744 26 164.500 29 221.91190 109.405 98 52.853 31 0.000 00 2.364 192 4.063 777 0.965 053 10.668 551 0.729 116 0.5871018 Setelah dihitung beberapa kasus, anda akan melihat bahwa waktu perhitungan menjadi lebih lama jika |t| lebih besar, yaitu, seperti benda langit sangat jauh dari perihelion. Waktu perhitungan mejadi lebih lama juga jika e berbeda lebih dari kesatuan. Tabel di halaman berikut menyebutkan berapa waktu perhitungan pada mikro komputer HP-85, bersama-sama dengan nilai yang dibulatkan dari anomali sejati v, dan jumlah iterasi L. q 0.1 e 0.9 t 10 20 30 Waktu Perhitungan dalam detik 14 47 no convergence v 126° 142° _ L 17 30 — O.I 0.987 10 20 30 60 100 200 400 500 4 5 6 9 14 28 87 no convergence 123° 137° 143° 152° 157° 163° 167° — 7 8 10 12 16 23 38 — 0.1 0.999 100 200 500 1000 5 000 3 4 5 7 18 156° 161° 166° 169° 174° 6 7 8 10 18 1 0.999 99 100 000 10 000 000 14 000 000 2 5 6 172°. 5 178°.41 178°. 58 4 8 9
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 183 17 000 000 18 000 000 7 no convergence 178°. 68 — 9 — Untuk q = 0.1 dan e = 0.9, perhitungan memerlukan waktu 47 detik untuk t = 20 hari, dan tidak ada konvergensi untuk t = 30 hari. Untuk q = 0.1 dan e = 0.999, tidak ada masalah sampai dengan t = 5000 hari. Untuk q = 1 dan e = 0.999 99, tidak ada masalah bahkan untuk t = 17 juta hari. Ini adalah 465 abad setelah waktu perihelion; kemudian jarak benda dari Matahari 7220 satuan astronomi - setidaknya dalam teori! Daftar Referensi 1. Sky and Telescope, Vol. 73, halaman 535-536 (Mei 1987).
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 184 Bab 35. Perhitungan fenomena Planet Ada dua metode yang pada dasarnya berbeda untuk menghitung fenomena planet seperti elongasi terbesar Venus, atau waktu oposisi Mars: (i) baik dengan membandingkan posisi akurat planet dengan Matahari; (ii) atau dengan menggunakan rumus di mana nilai rata-rata dikoreksi oleh penjumlahan komponen periodik. Metode pertama memiliki keuntungan memberikan hasil sangat akurat hasil, karena menggunakan posisi benda langit yang dihitung dengan sangat akurat. Tetapi ada tidak mudah untuk menyediakan atau menghitung ephemerides secara akurat. Dengan metode kedua, perhitungan dapat dilakukan dengan mudah dan cepat untuk setiap tahun. Tetapi hasilnya tidak begitu akurat dibandingkan dengan metode pertama, namin sudah cukup baik unutuk berbagai terapan, seperti penelitian sejarah, atau bahkan sebagai pendekatan pertama untuk perhitungan yang lebih akurat. Dalam Bab ini, kita sediakan rumus untuk menghitung beberapa konfigurasi yang melibatkan planet Merkurius sampai Neptunus: oposisi dan konjungsi dengan Matahari, dan elongasi terbesar. Oposisi dan konjungsi dengan Matahari Dari baris utama dalam Tabel 35.A, ambillah nilai A, B, Mo dan M1. Misalkan Y menjadi waktu perkiraan fenomena yang dikehendaki, dinyatakan sebagai tahun desimal. Misalnya, 1993.0 berarti awal tahun 1993, 2028.5 menunjukkan pertengahan tahun 2028, dst. Kemudian temukan bilangan bulat k terdekat (35.1) Penting untuk dicatat bahwa k harus bilangan bulat. Bilangan pecahan untuk nilai k akan membuahkan hasil yang tidak berarti. Nilai berturut-turut k akan memberikan data untuk kejadian yang beruntun, nilai k = 0 sesuai dengan yang pertama setelah tahun 2000 tanggal 1 Januari. Selama bertahun-tahun sebelum tahun 2000 Masehi, k mengambil nilai negatif. Kemudian hitung
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 185 JDEO adalah hari Julian Ephemeris sesuai dengan waktu konfigurasi planet rata-rata (yaitu, dihitung dari lintasan orbit dan gerakan planet yang seragam), dan M adalah anomali rata-rata Bumi pada saat itu. TABEL 35.A Planet Peristiwa A B M0 M1 Merkurius Merkurius Venus Venus Mars Mars Jupiter Jupiter Saturnus Saturnus Uranius Uranius Neptunus Neptunus Konj. Inferior Konj. Superior Konj. Inferior Konj. Superior Oposisi Konjungsi Oposisi Konjungsi Oposisi Konjungsi Oposisi Konjungsi Oposisi Konjungsi 2451612.023 2451554.084 2451996.706 2451704.746 2452097.382 2451707.414 2451870.628 2451671.186 2451870.170 2451681.124 2451764.317 2451579.489 2451753.122 2451569.379 115.8774771 115.8774771 583.921361 583.921361 779.936104 779.936 104 398.884 046 398.884046 378.091904 378.091904 369.656035 369.656035 367.486703 367.486 703 63.5867 6.4822 82.7311 154.9745 181.9573 157.6047 318.4681 121.8980 318.0172 131.6934 213.6884 31.5219 202.6544 21.5569 114.208 8742 114.208 8742 215.513 058 215.513 058 48.705 244 48.705 244 33.140 229 33.140 229 12.647 487 12.647 487 4.333 093 4.333 093 2.194 998 2.194 998 JDE0 = A+ kB M = M0 + k M1 (dalam derajat) M adalah sudut dinyatakan dalam derajat dan desimal. tergantung pada jenis mesin hitung atau bahasa pemrograman, diperlukan atau diharapkan untuk mengurangi sudut ke kisaran 0-360 derajat, dengan menambah atau mengurangi kelipatan 360 derajat, dan untuk mengubah hasilnya ke dalam radian. Carilah waktu T, dinyatakan dalam abad dari awal Tahun 2000, dari rumus: T positif setelah awal 2000 M, negatif sebelum tahun tersebut. Untuk planet Jupiter sampai Neptunus, diperlukan sudut tambahan. Disajikan dalam derajat, sudut-sudut ini adalah: untuk Jupiter : a = 82.74 + 40.76 T Untuk Saturnus : a = 82.74 + 40.76 T b = 29.86 + 1181.36 T c = 14.13 + 590.68 T d = 220.02 + 1262.87 T
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 186 Untuk Uranius : e = 207.83 + 8.51 T f = 108.84 + 419.96 T Untuk Neptunus: e = 207.83 + 8.51 T g = 276.74 + 209.98 T Waktu JDE dari konfigurasi yang benar diperoleh dengan menambah koreksi JDEO yang disajikan pada Tabel 35.B sebagai jumlah komponen periodik yang fungsi sudut M. Dengan alasan variasi sekuler orbit planet, koefisien ini komponen periodik secara perlahan bervariasi dengan waktu, dari mana kehadiran komponen T dan T2 pada Tabel 35.B. Sebagai contoh, untuk konjungsi inferior Merkurius, koreksi (dalam hari) adalah: + 0.0545 + 0.0002 T + (-6.2008 + 0.0074 T + 0.00003 T2) sin M + (-3.2750 - 0.0197 T + 0.00001 T2) cos M + (0.4737 - 0.0052 T - 0.00001 T2) sin 2M + etc ... Ephemeris Day (JDE), maka dalam skala waktu dinamis. Ini dapat direduksi dengan hari Julian standar, JD, berdasarkan Waktu Universal, dengan mengurangi kuantitas dinyatakan dalam hari (lihat Bab 9). Namun, antara tahun 1500 dan 2100, koreksi - dapat diabaikan untuk tujuan kita. Akhirnya, dari JD tanggal kalender terkait dapat diperoleh dengan prosedur standar (lihat Bab 7). Contoh 35.a — Hitung konjungsi inferior Merkurius yang terdekat 1 Oktober1993. Dari Tabel 35.A, untuk Merkurius, konjungsi inferior, kita memiliki A = 2451612.023 B = 115.8774771 M0 = 63.5867 M1 = 114.208 8742 1 Oktober adalah tiga perempat dari satu tahun sejak tanggal 1 Januari, maka 1 Oktober 1993 = 1993,75 = Y, dan rumus (35.1) menghasilkan nilai -20.28, dari mana k = - 20. (Ingat bahwa k harus bilangan bulat).Kemudian JDEO = 2449 294.473 M = -2220°. 5908 = 299°.4092 T = -0.06162 Jumlah komponen dalam bagian yang relevan dari Tabel 35.B (Konjungsi inferior Merkurius) adalah 3.171, dari mana JDE = JDEO + 3.171 = 2449 297.644,
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 187 yang bersesuaian dengan 6 November 1993 jam 3h TD. Dibulatkan ke jam terdekat, ini menunjukkan waktu yang benar. Contoh 35.b — Cari waktu terjadinya konjungsi Saturnus dengan Matahari di tahun 2125. Dari Tabel 35.A, untuk Saturnus, Konjungsi, kita memiliki A = 2451 681.124 B = 378.091 904 M0 = 131.6934 M1 = 12.647 487 Untuk Y = 2125.0 (yaitu, awal tahun 2125), rumus (35.1) memberikan nilai +120.39. Karena kita mencari konjungsi pertama Saturnus-Matahari setelah awal tahun 2125, mengambil k = +121, bukan +120. Kemudian JDEO = 2497 430.244 M = 1662°.0393 = 222°.0393 T = +1.25627 dan untuk Saturnus kita harus menghitung sudut tambahan berikut: a = 133°.95, b = 73°.97, c = 36°.18, d = 6°.53 Jumlah komponen dalam bagian yang relevan dari Tabel 35.B (Saturnus, konjungsinya dengan Matahari) adalah +7.659, dari mana JDE = JDEO + 7.659 = 2497 437.903, yang bersesuaian dengan 26 Agustus 2125, jam 10h TD. Waktu yang benar, dihitung dengan metode yang lebih akurat, adalah 26 Agustus 2125 jam 11h TD. Elongasi Terbesar Merkurius dan Venus Untuk menghitung waktu dan nilai-nilai elongasi terbesar Merkurius atau Venus, kita mulai dari konjungsi inferior (inferior conjunction) terdekat. Jadi kita menghitung k, JDEo, M dan T seperti yang dijelaskan sebelumnya. Kita tidak perlu menghitung waktu konjungsi inferior sejati, sebaliknya, kami menggunakan komponen periodik yang diberikan dalam Tabel 35.C untuk menemukan koreksi (dalam hari) konjungsi inferior rata-rata Merkurius atau Venus, untuk mendapatkan waktu elongasi timur atau barat terbesar. Di tabel yang sama, komponen periodik disediakan untuk menemukan nilai elongasi terbesar. Jangan lupa bahwa, jika planet di timur Matahari, akan terlihat di malam hari di barat, jika elongasi tersebut di barat, maka planet terlihat di pagi hari di timur. Nilai dari elongasi terbesar dari Matahari dinyatakan dalam derajat dan desimal. Ini menyangkut jarak sudut maksimum planet ke pusat piringan Matahari, bukan perbedaan
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 188 terbesar antara bujur ekliptika geosentrik dari dua benda langit. Tidak ada definisi resmi untuk elongasi planet ke Matahari, dan dua definisi yang berbeda dapat dipertimbangkan: (a) jarak sudut antara obyek dan pusat piringan Matahari; (b) perbedaan antara bujur geosentris Obyek dan pusat piringan Matahari. Keduanya merupakan definisi yang digunakan dalam literatur astronomi. Definisi (a) telah digunakan dalam Ephemeris astronomi sejak tahun I960, dan dari tahun 1981 dan seterusnya oleh penerusnya, Almanak astronomi. Ini adalah definisi yang kita inginkan. Sebagai contoh, untuk visibilitas Venus dekat konjungsi inferiornya, Faktor terpentingnya adalah bukanlah perbedaan bujur dengan Matahari, tetapi sudut pemisahnya. Tetapi para astronom Prancis menggunakan definisi (b), misalnya di Annuaire du Bureau des Longitudes mereka. Pada Volume tersebut halaman 275 untuk tahun 1990 kita membaca: "Elongasi terbesar dari planet yang lebih rendah yaitu perbedaan bujur geosentris planet dan Matahari tertinggi." Akibatnya, hasilnya akan berbeda sesuai dengan definisi (a) atau (b) yang digunakan. Sebagai contoh, untuk Merkurius elongasi terbesar 11 Agustus 1990: perbedaan antara geosentris yang bujur ecliptika Matahari dan Merkurius mencapai maksimum nilai (27°22') jam 15h UT, seperti yang disebutkan pada halaman 277 dari Annuaire du Biro des Longitudes untuk tahun 1990, namun pemisahan sudut maksimum berlangsung jam 21h dan sama dengan 27° 25'. Contoh 35.c — Cari waktu dan nilai elongasi barat terbesar dari Merkurius pada bulan November 1993. Kita mulai dari konjungsi inferior November 1993, untuk yang kita temukan dalam Contoh 35.a: JDE0 = 2449 294.473, M = 299°.4092, T = -0.06162. Dengan nilai M dan T, kita temukan bagian yang relevan dengan Tabel 35, (Elongasi barat terbesar Merkurius): Koreksi = +19.665 hari, elongasi = 19°.7506. Oleh karena itu, waktu elongasi Barat terbesar Merkurius JDE = JDEO + 19.665 = 2449314.14 yang bersesuaian dengan 22 November 1993 jam 15h TD. Nilai elongasi maksimum adalah 19°.7506 = 19°45 '. Keakuratan hasil Sebagai bukti rumus-rumus yang diberikan dalam Tabel 35.B dan 35.C hanya berlaku untuk jangka waktu terbatas, yaitu untuk beberapa ribuan tahun sebelum dan sesudah tahun 2000 Masehi, dan bukan untuk jutaan tahun! Akibatnya, jangan
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 189 menggunakan metode yang diberikan dalam Bab ini sebelum tahun -2000, atau setelah Masehi 4000. Untuk waktu terkini, katakanlah antara tahun 1800 dan 2200 M, waktu yang diperoleh untuk fenomena yang melibatkan Merkurius dan Venus mempunyai kesalahan kurang dari 1 jam. Kesalahan bisa mencapai 2 jam dalam kasus Saturnus, Uranus dan Neptunus, 3 jam untuk Mars, dan 4 jam untuk Jupiter. Diharapkan bahwa kemungkinan kesalahan maksimum akan sedikit membesar mendekati tahun -2000 dan +4000 M. Di sisi lain, jika perhitungan dilakukan untuk epoch yang mendekati 2000 M, misalnya antara 1900 dan 2100 M, maka komponen dalam T2 dapat diabaikan. Latihan Periksa program anda dengan kasus-kasus berikut, semua waktu dalam waktu dinamis Merkurius Venus Mars Jupiter Saturnus Uranius Neptunus Konjungsi inferior Konjungsi inferior Oposisi Oposisi Oposisi Oposisi oposisi 7 6 9 15 14 17 20 November Desember September September September Desember Agustus 1631 1882 2729 -6 -6 1780 1846 7h 17h 3h 7h 9h 14h 4h (a) (b) (c) (d) (d) (e) (f) (a) Pengamatan transit Merkurius pertama melintasi piringan Matahari (oleh Gassendi, di Paris). (b) transit Venus terakhir sebelum tahun 2004 M. (c) oposisi perihelik Mars. (d) karena Jupiter dan Saturnus berada di oposisi Matahari dengan selisih waktu kurang dari satu hari, terjadi konjungsi 'triple' antara dua planet pada tahun itu. (e) tiga bulan sebelum penemuan Uranius oleh William HerSchel. (f) satu bulan sebelum penemuan Neptunus. MERKURIUS Konjungsi inferior MERKURIUS Konjungsi Superior sin M cos M sin 2M cos 2M sin 3M +0.0545 + 0.0002 T -6.2008 + 0.0074 T + 0.00003 T2 -3.2750 - 0.0197 T + 0.00001 T2 +0.4737 - 0.0052 T - 0.00001 T2 +0.8111 + 0.0033 T - 0.00002 T2 +0.0037 + 0.0018 T -0.0548 - 0.0002 T +7.3894 - 0.0100 T - 0.00003 T2 +3.2200 + 0.0197 T - 0.00001 T2 +0.8383 - 0.0064 T - 0.00001 T2 +0.9666 + 0.0039 T - 0.00003 T2 +0.0770 - 0.0026 T
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 190 cos 3M sin 4M cos 4M sin 5M cos 5M -0.1768 + 0.00001 T2 -0.0211 - 0.0004 T +0.0326 - 0.0003 T +0.0083 + 0.0001 T -0.0040 + 0.0001 T +0.2758 + 0.0002 T - 0.00002 T2 -0.0128 - 0.0008 T +0.0734 - 0.0004 T - 0.00001 T2 -0.0122 - 0.0002 T +0.0173 - 0.0002 T VENUS Konjungsi inferior VENUS Konjungsi Superior sin M cos M sin 2M cos 2M sin 3M cos 3M -0.0096 + 0.0002 T - 0.00001 T2 +2.0009 - 0.0033 T - 0.00001 T2 +0.5980 - 0.0104 T + 0.00001 T2 +0.0967 - 0.0018 T - 0.00003 T2 +0.0913 + 0.0009 T - 0.00002 T2 +0.0046 - 0.0002 T +0.0079 + 0.0001 T +0.0099 - 0.0002 T - 0.00001 T2 +4.1991 - 0.0121 T - 0.00003 T2 -0.6095 + 0.0102 T - 0.00002 T2 +0.2500 - 0.0028 T - 0.00003 T2 +0.0063 + 0.0025 T - 0.00002 T2 +0.0232 - 0.0005 T - 0.00001 T2 +0.0031 + 0.0004 T MARS Konjungsi inferior MARS Konjungsi Superior sin M cos M sin 2M cos 2M sin 3M cos 3M sin 4M cos 4M sin 5M cos 5M -0.3088 + 0.00002 T2 -17.6965 + 0.0363 T + 0.00005 T2 +18.3131 + 0.0467 T - 0.00006 T2 -0.2162 - 0.0198 T - 0.00001 T2 -4.5028 - 0.0019 T + 0.00007 T2 +0.8987 + 0.0058 T - 0.00002 T2 +0.7666 - 0.0050 T - 0.00003 T2 -0.3636 - 0.0001 T + 0.00002 T2 +0.0402 + 0.0032 T +0.0737 - 0.0008 T -0.0980 - 0.0011 T +0.3102 - 0.0001 T + 0.00001 T2 +9.7273 - 0.0156 T + 0.00001 T2 -18.3195 - 0.0467 T + 0.00009 T2 -1.6488 - 0.0133 T + 0.00001 T2 -2.6117 - 0.0020 T + 0.00004 T2 -0.6827 - 0.0026 T + 0.00001 T2 +0.0281 + 0.0035 T + 0.00001 T2 -0.0823 + 0.0006 T + 0.00001 T2 +0.1584 + 0.0013 T +0.0270 + 0.0005 T +0.0433 JUPITER Konjungsi inferior JUPITER Konjungsi Superior sin M cos M sin 2M cos 2M sin 3M cos 3M sin a cos a -0.1029 - 0.00009 T2 -1.9658 - 0.0056 T + 0.00007 T2 +6.1537 + 0.0210 T - 0.00006 T2 -0.2081 - 0.0013 T -0.1116 - 0.0010 T +0.0074 + 0.0001 T -0.0097 - 0.0001 T 0 + 0.0144 T - 0.00008 T2 +0.3642 - 0.0019 T - 0.00029 T2 +0.1027 + 0.0002 T - 0.00009 T2 -2.2637 + 0.0163 T - 0.00003 T2 -6.1540 - 0.0210 T + 0.00008 T2 -0.2021 - 0.0017 T + 0.00001 T2 +0.1310 - 0.0008 T +0.0086 +0.0087 + 0.0002 T 0 + 0.0144 T - 0.00008 T2 +0.3642 - 0.0019 T - 0.00029 T2 SATURNUS Konjungsi inferior SATURNUS Konjungsi Superior
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 191 sin M cos M sin 2M cos 2M sin 3M cos 3M sin a cos a sin b cos b sin c cos c sin d cos d -0.0209 + 0.0006 T + 0.00023 T2 +4.5795 - 0.0312 T - 0.00017 T2 +1.1462 - 0.0351 T + 0.00011 T2 +0.0985 - 0.0015 T +0.0733 - 0.0031 T + 0.00001 T2 +0.0025 - 0.0001 T +0.0050 - 0.0002 T 0 - 0.0337 T + 0.00018 T2 -0.8510 + 0.0044 T + 0.00068 T2 0 - 0.0064 T + 0.00004 T2 +0.2397 - 0.0012 T - 0.00008 T2 0 - 0.0010 T +0.1245 + 0.0006 T 0 + 0.0024 T - 0.00003 T2 +0.0477 - 0.0005 T - 0.00006 T2 +0.0172 - 0.0006 T + 0.00023 T2 -8.5885 + 0.0411 T + 0.00020 T2 -1.1470 + 0.0352 T - 0.00011 T2 +0.3331 - 0.0034 T - 0.00001 T2 +0.1145 - 0.0045 T + 0.00002 T2 -0.0169 + 0.0002 T -0.0109 + 0.0004 T 0 - 0.0337 T + 0.00018 T2 -0.8510 + 0.0044 T + 0.00068 T2 0 - 0.0064 T + 0.00004 T2 +0.2397 - 0.0012 T - 0.00008 T2 0 - 0.0010 T +0.1245 + 0.0006 T 0 + 0.0024T - 0.00003 T2 +0.0477 - 0.0005T - 0.00006 T2 URANIUS Konjungsi inferior URANIUS Konjungsi Superior sin M cos M sin 2M cos 2M sin 3M cos 3M cos e cos f +0.0844 - 0.0006 T -0.1048 + 0.0246 T -5.1221 + 0.0104 T + 0.00003 T2 -0.1428 + 0.0005 T -0.0148 - 0.0013 T 0 +0.0055 +0.8850 +0.2153 -0.0859 + 0.0003 T -3.8179 - 0.0148 T + 0.00003 T2 +5.1228 - 0.0105 T - 0.00002 T2 -0.0803 + 0.0011 T -0.1905 - 0.0006 T +0.0088 + 0.0001 T 0 +0.8850 +0.2153 NEPTUNUS Konjungsi inferior NEPTUNUS Konjungsi Superior sin M cos M sin 2M cos 2M cos e cos g -0.0140 + 0.00001 T2 -1.3486 + 0.0010 T + 0.00001 T2 +0.8597 + 0.0037 T -0.0082 - 0.0002 T + 0.00001 T2 +0.0037 - 0.0003 T -0.5964 +0.0728 +0.0168 -2.5606 + 0.0088 T + 0.00002 T2 -0.8611 - 0.0037 T + 0.00002 T2 +0.0118 - 0.0004 T + 0.00001 T2 +0.0307 - 0.0003 T -0.5964 +0.0728 TABEL 35.C Komponen Periodik untuk Elongasi Terbesar MERKURIUS, Elongasi Timur Terbesar (Ketampakan Sore Hari) Koreksi (Hari) pada waktu terjadinya Elongasi (derajat)
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 192 Konjungsi inferior sin M cos M sin 2M cos 2M sin 3M cos 3M sin 4M cos 4M sin 5M cos 5M -21.6101 + 0.0002 T -1.9803 - 0.0060 T + 0.00001 T2 +1.4151 - 0.0072 T - 0.00001 T2 +0.5528 - 0.0005 T - 0.00001 T2 +0.2905 + 0.0034 T + 0.00001 T2 -0.1121 - 0.0001 T + 0.00001 T2 -0.0098 - 0.0015 T +0.0192 +0.0111 + 0.0004 T -0.0061 -0.0032 - 0.0001 T 22.4697 -4.2666 + 0.0054 T + 0.00002 T2 -1.8537 - 0.0137 T +0.3598 + 0.0008 T - 0.00001 T2 -0.0680 + 0.0026 T -0.0524 - 0.0003 T +0.0052 - 0.0006 T +0.0107 + 0.0001 T -0.0013 + 0.0001 T -0.0021 +0.0003 MERKURIUS, Elongasi Barat Terbesar (Ketampakan Pagi Hari) Koreksi (Hari) pada waktu terjadinya Konjungsi inferior Elongasi (derajat) sin M cos M sin 2M cos 2M sin 3M cos 3M sin 4M cos 4M sin 5M cos 5M +21.6249 - 0.0002 T +0.1306 + 0.0065 T -2.7661 - 0.0011 T + 0.00001 T2 +0.2438 - 0.0024 T - 0.00001 T2 +0.5767 + 0.0023 T +0.1041 -0.0184 + 0.0007 T -0.0051 - 0.0001 T +0.0048 + 0.0001 T +0.0026 +0.0037 22.4143 - 0.0001 T +4.3651 - 0.0048 T - 0.00002 T2 +2.3787 + 0.0121 T - 0.00001 T2 +0.2674 + 0.0022 T -0.3873 + 0.0008 T + 0.00001 T2 -0.0369 - 0.0001 T +0.0017 - 0.0001 T +0.0059 +0.0061 + 0.0001 T +0.0007 -0.0011 VENUS, Elongasi Timur Terbesar (Ketampakan Sore Hari) Koreksi (Hari) pada waktu terjadinya Konjungsi inferior Elongasi (derajat) sin M cos M sin 2M cos 2M sin 3M cos 3M -70.7600 + 0.0002 T - 0.00001 T2 +1.0282 - 0.0010 T - 0.00001 T2 +0.2761 - 0.0060 T -0.0438 - 0.0023 T + 0.00002 T2 +0.1660 - 0.0037 T - 0.00004 T2 +0.0036 + 0.0001 T -0.0011 + 0.00001 T2 46.3173 + 0.0001 T +0.6916 - 0.0024 T +0.6676 - 0.0045 T +0.0309 - 0.0002 T +0.0036 - 0.0001 T VENUS, Elongasi Barat Terbesar (Ketampakan Pagi Hari) Koreksi (Hari) pada waktu terjadinya Konjungsi inferior Elongasi (derajat) +70.7462 - 0.0000 T2 46.3245
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 193 sin M cos M sin 2M cos 2M sin 3M cos 3M +1.1218 - 0.0025 T - 0.00001 T2 +0.4538 - 0.0066 T +0.1320 + 0.0020 T - 0.00003 T2 -0.0702 + 0.0022 T + 0.00004 T2 +0.0062 - 0.0001 T +0.0015 - 0.0000lr2 -0.5366 - 0.0003 T + 0.00001 T2 +0.3097 + 0.0016 T - 0.00001 T2 -0.0163 -0.0075 + 0.0001 T
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 194 Bab 36. Pluto Seperti kebanyaan planet minor (lihat Bab 32), tidak ada teori analisis untuk gerakan Pluto. Namun, rumus merepresentasikan gerak planet secara akurat (koordinat 1950.0) untuk tahun 1885-2099 telah dimodelkan oleh Goffin, Meeus dan Steyaert [1]. Koefisien komponen periodik ditentukan dengan metode kuadrat-terkecil, atas dasar integrasi numerik gerak heliosentrik Pluto dilakukan oleh E. Goffin. Gangguan delapan planet besar pertama juga masuk dalam perhitungan. Integrasi itu sendiri didasarkan pada elemen-elemen oskulasi oleh Seidelmann et al. [2] yang diperoleh melalui integrasi numerik untuk semua pengamatan posisi Pluto yang tersedia, dalam rentangwaktu antara tahun 1914 sampai 1979. Menggunakan integrasi numerik Goffin lagi, kita mengulangi perhitungan komponen periodik, Tetapi sekarang merujuk bujur dan lintang heliosentris Pluto pada standar baru ekuinoks J2000.0 sebagai pengganti B1950.0. Hasilnya diberikan pada Tabel 36.A. Metode perhitungan Hitung, dengan cara rumus (21.1), waktu T adalah abad Julian abad dari epoch J2000.0, dan kemudian sudut berikut (dalam derajat): J = 34.35 + 3034.9057 T S = 50.08 + 1222.1138 T P = 238.96 + 144.9600 T Kemudian menghitung komponen periodik seperti yang diberikan oleh Tabel 36.A. Di sini, setiap argumen adalah kombinasi linear dari sudut J, S, P, yaitu = i J + j S + k P dan kontribusi masing-masing argumen A sin + B cos Misalnya, pada baris 13 kita membaca angka 0, 2, -1, sehingga di sini argumen adalah = 2 S - P, dan pada lintang kontribusinya adalah -94 sin + 210 cos . Pada Tabel 36.A, nilai-nilai numerik dari koefisien A dan B disajikan dalam satuan derajat desimal keenam dalam kasus bujur dan lintang, dan dalam satuan desimal ketujuh (satuan astronomi) untuk vektor radius. Bujur heliosentris l, lintang b (dalam derajat), dan radius vektor r Pluto kemudian diberikan oleh l = 238.956 785 + 144.96 T + jumlah komponen periodik dalam bujur b = -3.908 202 + jumlah komponen periodik dalam lintang r = 40.724 7248 + jumlah komponen periodik dalam radius vektor
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 195 Bujur dan lintang yang diperoleh dengan metode ini adalah heliosentrik, bukan barycentrik, dan mengacu ke ekuinoks standar J2000.0. TABEL 36.A Komponen Periodik untuk Koordinat heliosentrik Pluto No Argumen Bujur Lintang Vektor Radius J S P A B A B A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 -1 0 1 2 3 -2 -1 0 0 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -3 -2 -1 0 1 3 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -19798886 897499 610820 -341639 129027 -38215 20349 -4045 -5885 -3812 -601 1237 1086 595 2484 839 -964 -2303 7049 1179 393 111 -52 -78 -34 -43 -15 -1 4 1 8 -3 6 10 -57 157 12 -4 19848454 -4955707 1210521 -189719 -34863 31061 -9886 -4904 -3238 3011 3468 463 -911 -1229 -485 -1414 1059 -1038 747 -358 -63 -268 -154 -30 -26 1 21 15 7 5 3 6 -13 22 -32 -46 -18 8 -5453098 3527363 -1050939 178691 18763 -30594 4965 310 2036 -2 -329 -64 -94 -8 -177 17 582 -298 157 304 -124 15 7 2 4 3 1 0 1 1 -2 1 -8 10 0 8 13 -2 -14974876 1672673 327763 -291925 100448 -25838 11263 -132 -947 -674 -563 39 210 -160 259 234 -285 692 201 825 -29 8 15 2 2 0 -1 -2 0 -1 -3 2 2 -7 21 5 16 -3 66867334 -11826086 1593657 -18948 -66634 30841 -6140 4434 -1518 -5 518 -13 837 -281 260 -191 -3218 8019 105 8623 -896 208 -133 -16 -22 -8 2 12 1 1 9 2 14 -65 126 270 254 -26 68955876 -333765 -1439953 482443 -85576 -5765 22254 4443 641 792 518 -221 -494 616 -395 -396 370 -7869 45637 8444 -801 -122 65 1 7 16 9 5 — 3 0 5 -1 10 12 -233 1068 155 -2
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 196 39 40 41 42 43 2 2 3 3 3 0 0 0 0 0 2 3 -2 -1 0 -5 3 -1 6 -1 0 4 -1 -3 -2 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 7 -11 4 18 13 0 4 -14 35 3 Dihitung dengan cara ini, kesalahan dalam l akan kurang dari 0".6, b kurang dari 0".2, dan vektor radius kurang dari 0.000 02 AU, dengan menggunakan integrasi numerik didasarkan pada representasi gerak Pluto. Hal ini penting untuk dicatat, seperti yang telah dikatakan, bahwa Metode yang diberikan di sini tidak berlaku di luar periode 1885-2099. Untuk menemukan koordinat ekuatorial geosentrik astrometrik 2000.0 Pluto, dan : - Hitung koordinat ekuatorial kartesian geosentrik 2000.0, X, Y, Z dari Matahari (lihat Bab 25); - Hitung juga koordinat Pluto x = r cos l cos b y = r (sin l cos b cos - sin b sin ) (36.1) z = r (sin l cos b sin + sin b cos ) di mana adalah kemiringan rata-rata ekliptika pada epoch J2000.0. Kita mempunyai: sin = 0.397 777 156 cos = 0.917 482 062 - Hitung dan dan jarak Pluto ke Bumi, dengan cara rumus (32.10). Namun, efek waktu-cahaya harus diperhitungkan. Lihat Bab 32 dan rumus (32.3). Oleh karena itu, untuk mendapatkan geosentris yang dan , nilai-nilai l, b, r harus dihitung untuk sesaat lebih awal dari waktu yang diberikan oleh waktu-cahaya . Ini mungkin tampak aneh, bahwa dalam solusi kita bujur rata-rata Uranus dan Neptunus tidak diperlukan. Alasannya adalah bahwa gerak Uranus rata-rata hampir persis dua kali lipat dari Neptunus, atau tiga kali dari Pluto. Untuk alasan ini, misalnya argumen 2N - P, di mana N adalah bujur rata-rata Neptunus, periodenya hampir persis sama 2P. Perbedaan kecil tidak mungkin terdeteksi oleh penyelidikan kita yang mendasarkan interval lebih pendek, yakni 214 tahun. Oleh karena itu, Tabel 36.A tidak mengandung argumen 2N - P; efek komponen dengan argumen ini termasuk dalam komponen dengan argumen 2P. Untuk alasan yang sama, tidak ada komponen di S - 4P, S - 3P, S - 2P, J - 5P, J - 4P, dan 2S - 3P: mereka masing-masing memiliki periode yang hampir sama 4P, 5P, 6P, 2S - P, 2S, dan J - S + P. Contoh 36.a — Untuk 13.0 TD Oktober 1992 = JDE 2448 908.5, cari (1) koordinat heliosentrik geometrik Pluto; (2) koordinat geosentrik astrometrik koordinat dan . (1) Kita mendapatkan:
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 197 T = -0.072 183 4360 J = -184°.719921 S = -38°.136 373 P = 228°.496 289 Jumlah komponen periodik dalam bujur : + 4 247 019 dalam lintang : + 18 495 889 dalam radius vektor : -110 133 423 dari mana l = 228°.493 074 + 4°.247 019 = 232°.740 09 b = -3°.908 202 + 18°.495 889 = +14°.587 69 r = 40.724 7.248 - 11.013 3423 = 29.711 383 AU (2) Untuk saat yang diberikan, koordinat ekuatorial kartesian Matahari 2000.0 (dari Contoh 25.b) X = -0.937 3959 Y = -0.313 1679 Z = -0.135 7792 Menggunakan koordinat Pluto l, b, r yang didapatkan di atas, rumus (36.1) memberikan x = -17.408 3314 y = -23.9731135 z = - 2.237 4336 dari mana, dengan rumus (32.10) dan (32.3), = 30.529 024 AU dan = 0.17632 hari. (Nilai ini adalah jarak sejati Pluto ke bumi). Kita sekarang mengulang perhitungan koordinat heliosentris planet untuk 13.0 - 0.17632 Oktober 1992 = 12.82368 Oktober. Hasilnya l = 232°.73.887 b = +14°.58788 r = 29.711 366 dari mana x = -17.408 7937 = 30.529 017 y = -23.972 7795 = 0.176 32 hari z = -2.237 1895 Kita dapatkan untuk nilai yang sama seperti sebelumnya, sehingga tidak dibutuhkan iterasi baru. Koordinat astrometri Pluto 2000.0 pada 13.0 TD Oktober 1992, kemudian ditemukan dengan cara (32.10):
Astronomical Algorithm (Algoritma Astronomi) Jean Meeus 198 = 232°.93172 = 15h31m43s .6 = -4°.45800 = -4°27'29" Elemen orbit rata-rata Pluto, mendekati tahun 2000 M : a = 39.543 AU e = 0.2490 Daftar Pustaka 1. E. Goffin, J. Meeus, and C. Steyaert, 'An accurate representation of the motion of Pluto1, Astronomy and Astrophysics, Vol. 155, halaman 323-325 (1986). 2. P.K. Seidelmann, G.H. Kaplan, K.F. Pulkkinen, E.J. Santoro, and T.C. Van Flandern, Icarus, Vol. kk, halaman 20 (1980).