คู่มือครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.1 เล่ม 1

คมู่ อื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 1 | จำ�นวนเตม็ 49

เฉลยใบกจิ กรรมเสนอแนะ 1.5 : ปรศิ นาจ�ำ นวนเต็ม

ปริศนาการบวก – ปริศนาการลบ 3
5 -2 6
+ 0 -3 1 4
4 -1 6 -2 1
5 5 2 6 9
2 2 -1 3 6 -6 -11 -4 -12 -9
-1 -1 -4 0 3
-3 -3 -6 -2 1 -3 -8 -1 -9 -6

ปรศิ นาการคูณ 1 -4 3 -5 -2

x -5 4 -9 2 ÷ ปริศนาการหาร -4
2 4 -2
-2 10 -8 18 -4
-3 15 -12 27 -6 4 2 1 -2 -1
-7 35 -28 63 -14
6 -30 24 -54 12 8 4 2 -4 -2

-4 -2 -1 2 1

-8 -4 -2 4 2

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

50 บทที่ 1 | จ�ำ นวนเต็ม คู่มือครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1

เฉลยชวนคิด

ชวนคิด 1.16

จำ�นวนคู่ ได้แก่ 440, -50 และ 0
จ�ำ นวนคี่ ได้แก ่ 5 และ -3

ชวนคิด 1.17 2) 8 3) -95 4) 55

1) 28

เฉลยแบบฝกึ หดั

แบบฝกึ หัด 1.5

1. 1) 15 2) 40 3) 0 4) -10
8) -100
5) 150 6) -3 7) -7

9) 14 10) 90

11) [(-100) ÷ (-2)] ÷ 10 = 50 ÷ 10 = 5
12) (-25 ÷ 5) ÷ 5 = (-5) ÷ 5 = -1

13) -300 ÷ (-35 ÷ 7) = -300 ÷ (-5) = 60

14) (-450) ÷ [(-90) ÷ (-3)] = (-450) ÷ 30 = -15
15) [(-144) ÷ 3] ÷ [(-78) ÷ (-13)] = (-48) ÷ 6 = -8

2. 1) [10 × (-6)] ÷ 4 = (-60) ÷ 4 = -15
2) [(-54) + (-9)] ÷ 7 = (-63) ÷ 7 = -9

3) (-200) ÷ (13 – 53) = (-200) ÷ (-40) = 5

4) 169 ÷ [47 + (-60)] = 169 ÷ (-13) = -13
5) [225 ÷ (-15)]∙(-3) = (-15)∙(-3) = 45
6) [(-81) ÷ (-3)] – (-23) = 27 – (-23) = 50

7) -21 + (-440 ÷ 11) = -21 + (-40) = -61

8) -1[(-322) ÷ (-14)] = -1(23) = -23

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเตม็ 51

■ 3. แนวคดิ ใช้การลองแทนค่าลงใน เพอ่ื ทำ�ให้ประโยคเป็นจรงิ

1) 28 2) 25 3) 1 4) -17

5) -1 6) -1 7) 10 8) -800

9) -144 10) 25



4. แนวคิด อาจสมมุตจิ ำ�นวนเต็มใด ๆ แทน a และ b แลว้ คำ�นวณหาค่า c

จากนน้ั จงึ พจิ ารณา c ทกี่ �ำ หนดให้บนเสน้ จ�ำ นวน วา่ อยใู่ นต�ำ แหน่งท่สี มเหตสุ มผลหรือไม่

1) ไมอ่ ยู่ในต�ำ แหน่งท่สี มเหตุสมผล เนอ่ื งจาก a และ b เป็นจ�ำ นวนเตม็ บวก และ a > b

ดงั นั้น c ควรจะอยู่ที่ a หรอื อยู่ระหวา่ ง 0 กบั a

2) ไม่อยใู่ นตำ�แหนง่ ทส่ี มเหตุสมผล เน่อื งจาก a และ b เป็นจำ�นวนเตม็ ลบท้ังคู ่

ดังน้ัน c ควรจะอยูท่ างขวาของ 0

3) ไมอ่ ยใู่ นต�ำ แหนง่ ท่ีสมเหตสุ มผล เนอ่ื งจากมบี างกรณที ่ี c สามารถอยรู่ ะหวา่ ง 0 กับ b ได ้ เช่น

b มีค่าน้อยมาก ๆ เช่น -80 และ a เปน็ 320 จะทำ�ให้ c อยูร่ ะหวา่ ง 0 กบั b

4) ไม่อยใู่ นต�ำ แหน่งท่ีสมเหตสุ มผล เนื่องจากไมม่ ีจ�ำ นวนเต็ม c ทเี่ ทา่ กบั a ÷ b

5) ไม่อยูใ่ นต�ำ แหน่งทสี่ มเหตสุ มผล เน่อื งจาก a เปน็ จ�ำ นวนเตม็ ลบทีม่ ีคา่ สัมบรู ณ์มากกวา่ ค่าสัมบรู ณ์

ของ b ซง่ึ เป็นจำ�นวนเต็มบวก

ดงั นน้ั c ควรจะอยู่ที่ a หรือ อยทู่ างขวาของ a และทางซ้ายของ 0

5. แนวคดิ โดยเฉลยี่ แล้วนำ้�ทะเลเปลี่ยนแปลงไป (-6) ÷ 6 = -1 เมตรต่อช่วั โมง
นนั่ คอื ในชว่ งเวลา 9 นาฬิกา ถงึ 15 นาฬกิ า น้�ำ ทะเลลดลงเฉลยี่ 1 เมตรต่อชั่วโมง

6. แนวคดิ เนือ่ งจาก ต้องการแบ่งสม้ ออกเปน็ กอง กองละเท่า ๆ กัน ให้แตล่ ะกองมีจ�ำ นวนมากทส่ี ุด

และไมเ่ หลือเศษ โดยทส่ี ้มแตล่ ะสายพนั ธุไ์ มป่ นกัน

จ�ำ นวนส้มแตล่ ะกองตามเง่ือนไขขา้ งต้น จะตอ้ งเป็นจำ�นวนเตม็ ท่มี ากทีส่ ดุ ท่หี าร 48, 60 และ 84

ไดโ้ ดยไมเ่ หลอื เศษ ซ่งึ คือ ห.ร.ม. ของทั้งสามจำ�นวน ไดแ้ ก่ 12

ดังนั้น ตอ้ งแบง่ ส้มแต่ละสายพนั ธุ์ออกเป็นกองละ 12 ผล

นน่ั คอื เราแบ่งสม้ สายพันธ์ทุ ห่ี นึ่งได้ 4 กอง สายพันธุ์ทส่ี องได้ 5 กอง และสายพนั ธทุ์ ส่ี ามได้ 7 กอง

ดงั น้ัน จะแบง่ สม้ ไดท้ ้งั หมด 16 กอง กองละ 12 ผล

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

52 บทท่ี 1 | จำ�นวนเตม็ คู่มือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1

7. แนวคดิ เส้นทางที่ 1 รถออกทุก 30 นาที

จะได้ว่า หลังจากเวลา 07:30 น. นายทา่ จะปล่อยรถโดยสารของเสน้ ทางท่ี 1 เมือ่ เวลาผ่านไป

(นาท)ี 30, 60, 90, 120, 150, ... ซึ่งจำ�นวนเหล่าน้เี ป็นพหุคณู ของ 30

เส้นทางท่ี 2 รถออกทุก 40 นาที

จะได้วา่ หลังจากเวลา 07:30 น. นายทา่ จะปลอ่ ยรถโดยสารของเสน้ ทางที่ 2 เม่ือเวลาผ่านไป

(นาที) 40, 80, 120, 160, 200, ... ซ่งึ จำ�นวนเหล่านี้เปน็ พหุคูณของ 40

เส้นทางที่ 3 รถออกทกุ 50 นาที

จะไดว้ ่า หลังจากเวลา 07:30 น. นายท่าจะปล่อยรถโดยสารของเสน้ ทางที่ 3 เมอื่ เวลาผ่านไป

(นาท)ี 50, 100, 150, 200, 250, ... ซ่งึ จ�ำ นวนเหลา่ น้ีเป็นพหุคูณของ 50

ดังน้ัน ถา้ ปล่อยรถโดยสารท้งั สามเสน้ ทางพร้อมกนั ครง้ั แรก แลว้ นายทา่ จะปลอ่ ยรถโดยสาร

ทั้งสามเส้นทางพรอ้ มกันครง้ั ต่อไป เม่ือเวลาผา่ นไปเท่ากับพหคุ ณู ร่วมที่น้อยทีส่ ดุ ของ 30,

40 และ 50 หรือ ค.ร.น. ของ 30, 40 และ 50 นนั่ เอง

เนอ่ื งจาก ค.ร.น. ของ 30, 40 และ 50 คือ 600

แสดงว่า นายทา่ จะปล่อยรถโดยสารทัง้ สามเส้นทางพร้อมกันครงั้ ต่อไป เมอื่ เวลาผา่ นไป

600 นาที หรือ 10 ชว่ั โมง

เนือ่ งจาก นายทา่ ปลอ่ ยรถโดยสารออกท้งั สามเสน้ ทางครัง้ แรกเมือ่ เวลา 07:30 น.

ดังนัน้ นายท่าจะปลอ่ ยรถโดยสารท้งั สามเสน้ ทางพรอ้ มกนั ครง้ั ต่อไปเวลา 17:30 น.

8. 1) ในสัปดาหน์ ้ี มอี ุณหภูมิสงู สุดเฉล่ียเปน็ [4 + 3 + 2 + 3 + 3 + (-1) + 0] ÷ 7 = 2 องศาเซลเซียส
2) ในสัปดาหน์ ้ี มีอุณหภมู ิต�ำ่ สดุ เฉลี่ยเปน็ [2 + (-1) + (-2) + (-1) + (-3) + (-5) + (-4)] ÷ 7 = -2 องศาเซลเซยี ส
3) ในวันศกุ ร์มอี ณุ หภมู ิเฉลี่ยเปน็ [(-1) + (-5)] ÷ 2 = -3 องศาเซลเซยี ส

4) แนวคิด อาจวิเคราะห์ขอ้ มูลโดยใช้ตาราง เพ่ือใหก้ ารหาและเปรียบเทียบอุณหภมู ิเฉลย่ี ง่ายข้ึน ดังนี้

วัน อาทิตย์ จนั ทร์ องั คาร พุธ พฤหสั บดี ศกุ ร์ เสาร์

อณุ หภูมิสงู สุด (°C) 4 3 2 3 3 -1 0

อณุ หภมู ิตำ�่ สดุ (°C) 2 -1 -2 -1 -3 -5 -4

อณุ หภมู เิ ฉล่ยี (°C) 3 1 0 1 0 -3 -2

ดังนั้น วนั ทมี่ อี ณุ หภมู ิเฉลยี่ สูงสุด คอื วนั อาทิตย์

5) แนวคดิ เนื่องจากอุณหภูมิเฉล่ียของท้ังสัปดาห์หาได้จากการนำ�อุณหภูมิเฉลี่ยในแต่ละวันของสัปดาห์นั้น ๆ

มารวมกัน แล้วหารด้วยจำ�นวนวนั ในสปั ดาห ์ ซง่ึ จากขอ้ 4) จะได้วา่ อณุ หภมู เิ ฉล่ียของสปั ดาหน์ เี้ ปน็

[3 + 1 + 0 + 1 + 0 + (-3) + (-2)] ÷ 7 = 0 องศาเซลเซียส



สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเต็ม 53

1.6 สมบตั ขิ องการบวกและการคูณจ�ำ นวนเตม็ (3 ช่วั โมง)

จดุ ประสงค์

นกั เรยี นสามารถน�ำ ความรแู้ ละสมบัตกิ ารด�ำ เนินการของจำ�นวนเตม็ ไปใช้ในการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์

ความเข้าใจทค่ี ลาดเคลือ่ น

นักเรียนอาจเข้าใจว่าสมบัติการสลับที่และสมบัติการเปล่ียนหมู่เป็นจริงสำ�หรับทุกการดำ�เนินการ แต่ในความเป็นจริง
สมบัตกิ ารสลับทีแ่ ละสมบัติการเปลยี่ นหมเู่ ปน็ จริงสำ�หรับการบวกและการคณู เท่านัน้

สอ่ื ทแี่ นะนำ�ให้ใชใ้ นขอ้ เสนอแนะในการจดั กจิ กรรมการเรียนรู้

ใบกิจกรรมเสนอแนะ 1.6 : จัตรุ ัสกล

ขอ้ เสนอแนะในการจัดกจิ กรรมการเรียนรู้

ในหวั ขอ้ นเี้ ปน็ เรอื่ งเกย่ี วกบั สมบตั ขิ องการบวกและการคณู จ�ำ นวนเตม็ โดยเนน้ ใหน้ กั เรยี นเขา้ ใจสมบตั กิ ารสลบั ท ี่ สมบตั ิ

การเปลยี่ นหม่ ู สมบัติการแจกแจง และสมบตั ิของศนู ย์และหนึ่ง เพอื่ นำ�สมบัตเิ หลา่ นี้ ไปช่วยใหก้ ารคิดคำ�นวณงา่ ยข้นึ กิจกรรม

ที่ครูควรจดั มดี งั น้ี

1. ครแู นะน�ำ สมบตั ขิ องการบวกและการคณู จำ�นวนเตม็ ได้แก่ สมบตั ิการสลับที่ สมบัติการเปลย่ี นหม ู่ สมบตั กิ าร

แจกแจง และสมบตั ิของศูนยแ์ ละหนงึ่ โดยยกตัวอย่างให้นักเรียนไดส้ งั เกตก่อนที่จะสรปุ สมบตั ิแต่ละข้อ สำ�หรับ

เนื้อหาในชั้นนี้ จะขยายความเข้าใจเกี่ยวกับสมบัติให้ครอบคลุมในส่วนของจำ�นวนเต็มลบ ซึ่งเพิ่มขึ้นจากระดับ

ประถมศกึ ษา

2. ครูควรให้นักเรียนได้ฝึกการคิดคำ�นวณในใจ โดยใช้ความรู้สึกเชิงจำ�นวน และสมบัติของการบวกและการคูณ

จำ�นวนเต็ม เชน่ (-20) + 78 + (-80) + 22 ซ่ึงครอู าจใชช้ วนคิด 1.18 ในการฝกึ ฝนเพ่มิ เตมิ

3. ครูอาจใช้ “กิจกรรมเสนอแนะ 1.6 : จัตุรัสกล” เพื่อตรวจสอบความเข้าใจเกี่ยวกับสมบัติของหน่ึง นอกจากน้ี

ครอู าจหาโจทยเ์ พิ่มเติม เพอื่ ใหน้ ักเรียนไดฝ้ กึ ใชส้ มบัติต่าง ๆ ในการหาค�ำ ตอบ และฝกึ ทักษะการคดิ คำ�นวณ เช่น

■ จงเตมิ เคร่อื งหมาย > , < หรอื = ลงใน เพ่อื ท�ำ ใหป้ ระโยคตอ่ ไปนีเ้ ปน็ จริง

1) 745 + 435 + 603 ■ 747 + 437 + 606
2) 350 + 350 + 350 + 350 + 350 ■ (-5) × 350

3) 70 + 71 + 72 ■ -3 × 71

4) 50 × 15 ■ 51 × 15

5) 350 ÷ 8 ■ 350 ÷ 9

6) -1,500 ÷ 56 ■ -1,499 ÷ 56

7) 2,000 ÷ (-10) ■ (-2,000) ÷ 10

8) (-15) × 16 × (-2) ■ (-2) × 16 × (-15)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

54 บทที่ 1 | จำ�นวนเตม็ คมู่ ือครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1

กจิ กรรมเสนอแนะ 1.6 : จตั ุรัสกล

กจิ กรรมจตั รุ สั กล เปน็ กจิ กรรมทส่ี ง่ เสรมิ ความรคู้ วามเขา้ ใจเกย่ี วกบั สมบตั ขิ องหนงึ่ และชว่ ยพฒั นาทกั ษะและกระบวนการ
ทางคณติ ศาสตรใ์ นดา้ นการให้เหตุผล โดยมีอุปกรณ์และขัน้ ตอนการดำ�เนินกิจกรรม ดงั น้ี

อุปกรณ์

ใบกิจกรรมเสนอแนะ 1.6 : จตั ุรัสกล

ข้นั ตอนการดำ�เนนิ กิจกรรม

1. ครูให้นักเรียนแต่ละคนท�ำ ใบกิจกรรมเสนอแนะ 1.6 : จตั ุรัสกล
2. ครแู ละนกั เรยี นรว่ มกนั อภปิ รายเกย่ี วกบั แนวคดิ ทใ่ี ชใ้ นการท�ำ จตั รุ สั กล เชน่ นกั เรยี นมแี นวคดิ อยา่ งไรในการแกป้ ญั หา

และรว่ มกันเฉลยใบกจิ กรรมดังกล่าว

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 1 | จำ�นวนเต็ม 55

ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 1.6 : จัตรุ ัสกล

1. จงเตมิ 1 หา้ จ�ำ นวน และ -1 อกี สจ่ี �ำ นวนลงในชอ่ งตารางแตล่ ะชอ่ ง เพอ่ื ท�ำ ใหผ้ ลคณู ของจ�ำ นวนในแนวนอน
แนวตั้ง และแนวเสน้ ทแยงมมุ เทา่ กบั 1

2. จงเตมิ 1 สจ่ี �ำ นวน และ -1 อกี หา้ จ�ำ นวนลงในชอ่ งตารางแตล่ ะชอ่ ง เพอ่ื ท�ำ ใหผ้ ลคณู ของจ�ำ นวนในแนวนอน
แนวตั้ง และแนวเสน้ ทแยงมมุ เทา่ กับ -1

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

56 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเต็ม คู่มอื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1

เฉลยใบกิจกรรมเสนอแนะ 1.6 : จัตรุ ัสกล

1. จงเตมิ 1 หา้ จ�ำ นวน และ -1 อกี สจ่ี �ำ นวนลงในชอ่ งตารางแตล่ ะชอ่ ง เพอ่ื ท�ำ ใหผ้ ลคณู ของจ�ำ นวนในแนวนอน แนวตง้ั
และแนวเส้นทแยงมุม เทา่ กับ 1

-1 1 -1
11 1
-1 1 -1

2. จงเตมิ 1 สจ่ี �ำ นวน และ -1 อกี หา้ จ�ำ นวนลงในชอ่ งตารางแตล่ ะชอ่ ง เพอ่ื ท�ำ ใหผ้ ลคณู ของจ�ำ นวนในแนวนอน แนวตง้ั
และแนวเส้นทแยงมมุ เทา่ กบั -1

1 -1 1
-1 -1 -1
1 -1 1

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 1 | จำ�นวนเต็ม 57

เฉลยชวนคดิ

ชวนคดิ 1.18 2) 501 3) -713 4) 90
6) -220
1) 400
5) -90

ชวนคดิ 1.19

6

ชวนคิด 1.20

1) 0 = 0 × a

2) a เปน็ จำ�นวนเต็มใด ๆ

3) a ท่ีได้จากข้อ 2) มีมากกว่าหน่งึ จำ�นวน

4) หา a ท่แี นน่ อนไม่ได้ เพราะ a แทนจ�ำ นวนเตม็ ได้ทุกจำ�นวน ซ่ึงลว้ นแต่ทำ�ใหป้ ระโยค

0 = 0 × a เป็นจริง

5) ไมม่ ีจำ�นวนเตม็ b ใด ๆ ทที่ �ำ ให้ 0 × b = 8

ดังน้นั เราจงึ หา 8 ÷ 0 ไมไ่ ด้

6) ไมม่ ีค�ำ ตอบส�ำ หรับ 8 ÷ 0 เพราะไมส่ ามารถหาจ�ำ นวนมาคูณกับ 0 แลว้ ไดผ้ ลลัพธเ์ ท่ากับ 8

7) การหารจ�ำ นวนใด ๆ ดว้ ย 0 มีคำ�ตอบทีห่ ลากหลาย จงึ ไมม่ ีค�ำ ตอบที่แน่นอน

หมายเหตุ : จากชวนคดิ นี้ ครอู าจขยายความคดิ เพื่อใหไ้ ด้ขอ้ สรุปว่า

“ในทางคณิตศาสตร์ จะไม่ใช้ 0 เป็นตวั หาร”

ชวนคดิ 1.21

การลบจำ�นวนใด ๆ อาจทำ�ไดอ้ กี วิธีหนึ่ง คอื หาจ�ำ นวนทม่ี าบวกกับตัวลบแล้วเทา่ กบั ตัวต้ัง ซง่ึ ในท่ีน้แี มค่ า้

มลี �ำ ดับการคดิ เพอ่ื หาค่าของ 500 – 234 โดยเริ่มจากการบวกเพ่ิมให้เปน็ จำ�นวนเตม็ สบิ เตม็ ร้อย จนถงึ

จำ�นวนที่ตอ้ งการ ดังน้ี

234 + 6 = 240

240 + 60 = 300

300 + 200 = 500

ดังน้นั แมค่ า้ ทอนเงนิ ให้พชร 266 บาท

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

58 บทที่ 1 | จ�ำ นวนเต็ม คูม่ อื ครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1

เฉลยแบบฝกึ หดั

แบบฝึกหดั 1.6

1. 1) (-420)∙[39 + (-40)] = (-420)∙(-1) = 420
2) [(-27) – (-27)] × (-582) = 0 × (-582) = 0
3) [(-24) – (-24)] ÷ (-50) = 0 ÷ (-50) = 0
4) 199 ÷ [17 + (-18)] = 199 ÷ (-1) = -199

5) (-23 × 10) + (22 × 10) = (-23 + 22) × 10 = -1 × 10 = -10
6) (-4 × 13) – (9 × 13) = (-4 – 9) × 13 = -13 × 13 = -169

7) [(-9)(-5)] – [(-9)(-12)] = (-9)[-5 – (-12)] = (-9)7 = -63

8) 97 × 15 = (100 – 3) × 15 = (100 × 15) – (3 × 15) = 1,455
9) -12 × 198 = -12 × (200 – 2) = (-12 × 200) – (-12 × 2) = -2,376
10) (-496) × (-25) = 496 × 25 = (500 – 4) × 25 = (500 × 25) – (4 × 25) = 12,400

2. แนวคิด แบบฝึกหดั ขอ้ นีเ้ น้นให้นักเรยี นใช้สมบัติการด�ำ เนินการในการแกป้ ญั หา

ดงั นนั้ จงึ ควรใหน้ ักเรียนสังเกตประโยคทใ่ี ห้มาก่อน และวิเคราะห์วา่ ต้องใช้สมบตั ใิ ด

ซึง่ ครอู าจใชก้ ารถามตอบในชนั้ เรียน เพือ่ พฒั นาทกั ษะการใหเ้ หตผุ ลควบคไู่ ปดว้ ย

1) 33 (สมบตั ิการสลับทสี่ ำ�หรับการบวก)

2) 20 (สมบัติการสลับทีส่ ำ�หรับการคณู )

3) -17 (สมบัตกิ ารเปล่ียนหม่สู ำ�หรบั การบวก)

4) 1 (สมบัตขิ องหน่ึง)

5) -11 (สมบัติการเปลี่ยนหม่สู �ำ หรบั การคณู )

6) 0 (สมบตั ิของศูนย)์

7) -100 (สมบตั ิของศูนย)์

8) -104 (สมบัตขิ องหนงึ่ )

9) -7 (สมบัตกิ ารสลบั ท่ีส�ำ หรบั การบวก และสมบัตกิ ารเปลีย่ นหมสู่ ำ�หรับการบวก)

10) -20 (สมบัตกิ ารแจกแจง และสมบตั กิ ารสลบั ท่ีส�ำ หรับการคูณ)

11) -90 (สมบัติการแจกแจง)

12) 9 (สมบัติการแจกแจง)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 1 | จำ�นวนเต็ม 59

3. คำ�ตอบมีได้หลากหลาย เชน่
วธิ ีท่ี 1 คิดจากกงุ้ ฝอยน้ำ�หนกั 3 กิโลกรมั 4 ขีด ซ่ึงเทา่ กบั 34 ขดี แลว้ จงึ น�ำ ราคากงุ้ ฝอยขีดละ 10 บาท คณู กับ
นำ�้ หนกั
วิธีที่ 2 คิดโดยแบ่งนำ้�หนักกุ้งฝอยออกเป็นสองส่วน คือ 3 กิโลกรัม และ 4 ขีด แล้วนำ�เงินค่ากุ้งฝอยแต่ละส่วน
มารวมกัน
วิธที ี่ 3 คดิ โดยน�ำ เงินค่ากุ้งฝอยน�ำ้ หนัก 3 กโิ ลกรัมคร่งึ หักออกด้วยเงินคา่ กุ้งฝอยน้ำ�หนัก 1 ขดี
ซง่ึ คิดราคากุ้งฝอยได้เป็น 340 บาท

4. ค�ำ ตอบมีไดห้ ลากหลาย เชน่
วธิ ที ี่ 1 คิดจากจ�ำ นวนเสือ้ 3 ตวั และกางเกง 4 ตัว คูณกับราคาเสือ้ และราคากางเกง ตามล�ำ ดับ
วธิ ที ี่ 2 คดิ จากราคาเส้อื ตัวละ 100 บาท 3 ตวั รวมกับราคากางเกงตัวละ 200 บาท 4 ตวั แล้วนำ�มาหกั ออกดว้ ย
ราคาท่ีคิดเกินไป คือ ตัวละ 1 บาท
ซง่ึ คิดราคาเสื้อและกางเกงไดเ้ ปน็ 1,093 บาท

5. ค�ำ ตอบมีไดห้ ลากหลาย เชน่
วธิ ีท่ี 1 คดิ จากราคานม จ�ำ นวน 18 ลัง น�ำ มาคูณกับราคาตอ่ ลัง
วธิ ที ่ี 2 คดิ โดยแบง่ จำ�นวนลงั ของนมออกเป็นสามส่วน คอื 10 ลัง 4 ลัง และ 4 ลงั แลว้ น�ำ มาคณู กับราคาตอ่ ลงั
วิธที ี่ 3 คิดโดยน�ำ ราคานม จำ�นวน 20 ลงั หกั ออกด้วยราคานม จ�ำ นวน 2 ลงั
ซ่ึงคิดราคานมไดเ้ ป็น 4,500 บาท

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

60 บทที่ 1 | จำ�นวนเตม็ คูม่ อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1

กจิ กรรมท้ายบท : นกั ขดุ เพชร

กจิ กรรมน้ี เนน้ ใหน้ กั เรยี นไดต้ รวจสอบความเขา้ ใจของตนเองในเรอ่ื งของการบวก การลบ การคณู และการหารจ�ำ นวนเตม็
และพฒั นาความรสู้ กึ เชงิ จ�ำ นวนเกยี่ วกบั การด�ำ เนนิ การของจ�ำ นวนเตม็ ซง่ึ เปน็ เปา้ หมายหลกั ส�ำ หรบั การเรยี นในบทเรยี นน ี้ ทงั้ นี้
ครูอาจใหน้ กั เรียนทำ�กิจกรรมน้ีนอกเวลาเรยี น โดยมขี น้ั ตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม ดงั น้ี

อุปกรณ์

-

ขั้นตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม

1. ครูให้นักเรียนแต่ละคนทำ�กิจกรรมท้ายบท : นักขุดเพชร ในหนังสือเรยี น
2. ครูให้นักเรยี นช่วยกันเฉลยคำ�ตอบ พร้อมทั้งอธบิ ายวิธีคิดและการไดม้ าซึ่งคำ�ตอบ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 1 | จ�ำ นวนเต็ม 61

เฉลยกจิ กรรมทา้ ยบท : นักขดุ เพชร

ข้อความแทนความในใจจากผม คือ “กดลิฟต์ 1 ครั้ง เทา่ กับเปดิ ไฟนีออน 500 ดวง”

หมายเหต ุ ขอ้ ความดังกล่าวเป็นข้อความเพื่อรณรงค์ใหล้ ดการใชพ้ ลงั งาน โดยกระทรวงพลงั งาน
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

62 บทที่ 1 | จำ�นวนเตม็ คู่มอื ครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1

เฉลยแบบฝกึ หัดทา้ ยบท

1. 1) (-35) – [(-14) + (-82)] = (-35) – (-96) = 61

2) 99 + (-33) – (-66) = 66 – (-66) = 132

3) (-21)∙[(-22) + 23] = (-21)∙1 = -21

4) [(-30) – (-90)] ÷ (-12) = 60 ÷ (-12) = -5
5) -10[54 ÷ (-27)](-1) = -10(-2)(-1) = 20(-1) = -20
6) [22∙(-4)] ÷ [24 + (-16)] = (-88) ÷ 8 = -11
7) [5 – (-3)] × [(-8) ÷ 2] = 8 × (-4) = -32
8) 5 – (-3) × (-8) ÷ 2 = 5 – 24 ÷ 2 = 5 – 12 = -7

9) [(8 – 5) × (-2)] + [(-27) ÷ (-3)] = [3 × (-2)] + 9 = -6 + 9 = 3

10) 8 – 5 × (-2) + (-27) ÷ (-3) = 8 – (-10) + 9 = 18 + 9 = 27



2. 1) -10 2) 14 3) -46 4) 12
8) 3
5) -4 6) 1 7) -99

9) 88 10) 7

3. แนวคิด 1 ครูอาจใหน้ ักเรียนใช้ปฏิทนิ ประกอบการหาคำ�ตอบ เพ่ือชว่ ยให้นักเรียนแก้ปญั หาไดง้ ่ายขนึ้
เน่ืองจาก ขา้ วกลอ้ งมาเยยี่ มแม่ทกุ 4 วัน ขา้ วเปลอื กมาเยย่ี มแม่ทกุ 5 วนั และขา้ วปัน้ มาเยีย่ มแม่ทกุ 6 วนั
ดงั นั้น วนั ทแ่ี มพ่ บกับลูกท้ังสาม เป็นดังนี้

เดือน วันที่แมพ่ บกับลกู ข้อสรปุ

เมษายน ขา้ วกล้อง ขา้ วเปลือก ข้าวปั้น แม่จะได้พบข้าวกล้องและข้าวป้ันพร้อมกัน
ครง้ั ต่อไปวันท่ี 26 เมษายน
14 14 14
18 19 20
22 24 26
26 29
30

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 1 | จำ�นวนเต็ม 63

เดือน วันทแี่ มพ่ บกบั ลกู ขอ้ สรุป

พฤษภาคม ขา้ วกลอ้ ง ขา้ วเปลอื ก ข้าวป้ัน ✤ แม่จะได้พบข้าวกลอ้ งและข้าวเปลือก
พรอ้ มกันครั้งต่อไปวนั ท่ี 4 พฤษภาคม
มถิ ุนายน 442
898 ✤ แมจ่ ะได้พบขา้ วเปลือกและขา้ วป้ัน
12 14 14 พรอ้ มกันครัง้ ต่อไปวนั ท่ี 14 พฤษภาคม
16 19 20
20 24 26 แมจ่ ะได้พบลูกทัง้ สามคน
24 29 พร้อมกันคร้ังต่อไปวันท่ี 13 มิถนุ ายน
28
131
587
9 13 13
13 18 19
17 23 25
21 28
25
29

แนวคิด 2 ใช้ ค.ร.น. ในการแกป้ ัญหาดังกล่าว ได้ดังนี้
✤ ถา้ ตอ้ งการหาวันท่ีแม่จะไดพ้ บข้าวกล้องและข้าวเปลอื กพร้อมกันครง้ั ตอ่ ไป
ต้องหา ค.ร.น. ของ 4 และ 5 ซ่ึงได้ 20
และเม่ือนับตอ่ ไป 20 วนั จะตรงกับวนั ที่ 4 พฤษภาคม
✤ ถ้าตอ้ งการหาวันท่แี ม่จะไดพ้ บขา้ วกลอ้ งและข้าวป้ันพร้อมกนั คร้ังตอ่ ไป
ต้องหา ค.ร.น. ของ 4 และ 6 ซง่ึ ได้ 12
และเมอ่ื นบั ตอ่ ไป 12 วนั จะตรงกับวันท่ี 26 เมษายน
✤ ถา้ ต้องการหาวันทีแ่ มจ่ ะไดพ้ บข้าวเปลือกและขา้ วปนั้ พร้อมกันครง้ั ตอ่ ไป
ตอ้ งหา ค.ร.น. ของ 5 และ 6 ซ่งึ ได้ 30
และเมอื่ นบั ตอ่ ไป 30 วัน จะตรงกบั วนั ท่ี 14 พฤษภาคม
✤ ถ้าต้องการหาวนั ที่แมจ่ ะไดพ้ บลกู ทัง้ สามคนพร้อมกนั ครัง้ ต่อไป
ต้องหา ค.ร.น. ของ 4, 5 และ 6 ซง่ึ ได้ 60
และเมอ่ื นับตอ่ ไป 60 วนั จะตรงกับวนั ท่ี 13 มถิ ุนายน


สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

64 บทที่ 1 | จ�ำ นวนเต็ม คู่มอื ครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1

4. แนวคดิ เนอื่ งจาก ต้องการจัดแถวนักเรียนชายและนักเรียนหญิงให้ได้แถวละเท่า ๆ กัน และให้ได้แถวยาวท่ีสุด
โดยไมใ่ ห้นักเรยี นชายและนักเรยี นหญิงอยใู่ นแถวเดียวกัน
จ�ำ นวนนักเรียนในแต่ละแถวตามเงื่อนไขข้างตน้ จะตอ้ งเปน็ จ�ำ นวนนับที่มากทีส่ ุดที่หาร 64 และ 96 ลงตัว
ซึ่งเป็น ห.ร.ม. ของทั้งสองจ�ำ นวน นน่ั คอื 32
ดงั นน้ั ต้องจัดแถวนักเรียนชายและนักเรียนหญิงแถวละ 32 คน ซึ่งจะได้นักเรียนชาย 2 แถว และ
นักเรยี นหญิง 3 แถว
น่นั คือ จะจดั แถวนกั เรยี นได ้ 2 + 3 = 5 แถว แถวละ 32 คน

5. 1) อุณหภมู ขิ องอาหารกอ่ นทจี่ ะนำ�ไปแชแ่ ขง็ แบบเร็ว เท่ากับ 5 + 120 = 125 องศาเซลเซียส
2) อาหารท่ตี ม้ สุกแลว้ ถกู ลดอุณหภมู ิลง 125 – (-25) = 150 องศาเซลเซยี ส
3) เมอ่ื เวลาผ่านไป 1 นาท ี อณุ หภูมขิ องอาหารแชแ่ ข็งเปลย่ี นแปลงไปโดยเฉล่ยี (-150) ÷ 30 = -5 องศาเซลเซยี ส

6. แนวคิด เน่อื งจาก ความสงู ท่เี พิม่ ขนึ้ ทุก ๆ 1,000 ฟุต จากระดับนำ้�ทะเล อุณหภูมิจะลดลง 2 องศาเซลเซียส
จะได้วา่ ทค่ี วามสูงประมาณ 29,000 ฟตุ จากระดับน้ำ�ทะเล อณุ หภูมิจะเปล่ยี นแปลงไป
(29,000 ÷ 1,000) × (-2) = -58 องศาเซลเซยี ส
และจากท่ีโจทย์ก�ำ หนดใหว้ ่า อณุ หภูมิที่ระดับน้�ำ ทะเลเปน็ 15 องศาเซลเซยี ส
ดังนั้น อุณหภูมทิ ี่ยอดเขาเอเวอเรสตป์ ระมาณ 15 + (-58) หรอื -43 องศาเซลเซยี ส

7. 1) ดาวศกุ ร ์ และมีอุณหภูมิประมาณ 470 องศาเซลเซยี ส

2) ดาวเนปจนู และมอี ณุ หภมู ิประมาณ -200 องศาเซลเซยี ส

3) ดาวพฤหัสบดมี ีอณุ หภมู ิเฉล่ยี บนพ้นื ผวิ มากกว่าดาวเนปจนู อยปู่ ระมาณ -110 – (-200) = 90 องศาเซลเซียส

4) แนวคดิ ผลรวมของอุณหภูมิเฉล่ียบนพ้ืนผิวของดาวพฤหัสบดีและดาวเสาร์ต่างจากอุณหภูมิเฉลี่ยบนพื้นผิว

ของดาวเนปจูนอยู่ประมาณ -250 – (-200) = -50 องศาเซลเซยี ส

นน่ั คือ ผลรวมของอุณหภูมิเฉลี่ยบนพ้ืนผิวของดาวพฤหัสบดีและดาวเสาร์ตำ่�กว่าอุณหภูมิเฉล่ีย

บนพืน้ ผิวของดาวเนปจนู อยปู่ ระมาณ 50 องศาเซลเซียส

5) แนวคดิ เนื่องจาก โลกมอี ุณหภมู เิ ฉลยี่ บนพ้ืนผวิ ประมาณ 15 องศาเซลเซียส

ดงั นน้ั อณุ หภมู ทิ เ่ี ปน็ สามเทา่ ของอณุ หภมู เิ ฉลย่ี บนพน้ื ผวิ ของโลก คอื 3 × 15 = 45 องศาเซลเซยี ส

จะไดว้ ่า ดาวเคราะห์ท่ีมีอุณหภูมิเฉลี่ยบนพ้ืนผิวน้อยกว่าอุณหภูมิเฉลี่ยบนพื้นผิวโลกอยู่ประมาณ

3 เท่า จะมีอณุ หภูมเิ ป็น 15 – 45 = -30 องศาเซลเซียส

จากภาพ จงึ ไดว้ า่ ดาวองั คารมอี ณุ หภมู เิ ฉลยี่ บนพนื้ ผวิ นอ้ ยกวา่ อณุ หภมู เิ ฉลยี่ บนพนื้ ผวิ โลกอยปู่ ระมาณ

3 เทา่

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเต็ม 65

6) แนวคดิ เนื่องจาก ดาวอังคารมีอณุ หภูมเิ ฉลีย่ บนพน้ื ผิวประมาณ -30 องศาเซลเซยี ส

จะได้ว่า ถา้ อณุ หภมู ิเฉลี่ยบนพ้ืนผิวของดาวองั คารลดลง 6 เทา่ จะมีอุณหภูมปิ ระมาณ

6 × (-30) = -180 องศาเซลเซยี ส

และดาวยเู รนสั มอี ุณหภมู เิ ฉลีย่ บนพื้นผิวประมาณ -195 องศาเซลเซยี ส

ดงั น้นั ถ้าอุณหภูมิเฉล่ียบนพื้นผิวของดาวอังคารลดลงไปอีก 6 เท่า แล้วอุณหภูมิเฉลี่ยบนพ้ืนผิวของ

ดาวองั คารจะตา่ งจากอณุ หภมู เิ ฉลย่ี บนพน้ื ผวิ ของดาวยเู รนสั อยปู่ ระมาณ -180 – (-195) = 15

องศาเซลเซียส

นั่นคอื ถา้ อณุ หภมู เิ ฉลย่ี บนพน้ื ผวิ ของดาวองั คารลดลงไปอกี 6 เทา่ แลว้ จะมอี ณุ หภมู เิ ฉลย่ี สงู กวา่ อณุ หภมู ิ

เฉลี่ยบนพน้ื ผิวของดาวยูเรนัสอย่ปู ระมาณ 15 องศาเซลเซยี ส

7) แนวคิด เน่อื งจาก ระบบสุริยะเป็นระบบท่ีมีดวงอาทิตย์เป็นศูนย์กลาง และมีดาวเคราะห์เป็นบริวาร 8 ดวง

โดยอย่หู ่างจากดวงอาทิตยต์ ามล�ำ ดบั ต่อไปน้ี ดาวพุธ ดาวศกุ ร์ โลก ดาวองั คาร ดาวพฤหสั บดี

ดาวเสาร ์ ดาวยเู รนัส และดาวเนปจนู

จากภาพ จะเห็นว่าดาวเคราะห์ส่วนใหญ่ถ้ามีระยะห่างจากดาวเคราะห์น้ัน ๆ ถึงดวงอาทิตย์ย่ิงมาก

อณุ หภมู ิเฉลย่ี บนพืน้ ผิวของดาวเคราะหน์ น้ั ๆ จะยิง่ ต�ำ่ ยกเวน้ ดาวศุกร์ท่ีอยู่หา่ งจากดวงอาทติ ย์

มากกว่าดาวพุธ แต่กลับมีอุณหภูมิเฉล่ีย บนพื้นผิวสูงกว่าดาวพุธ ท้ังนี้เนื่องจากดาวศุกร์มี

บรรยากาศที่หนาทึบ และเต็มไปด้วยก๊าซคาร์บอนไดออกไซด์ ทำ�ให้เกิดภาวะเรือนกระจก

จึงเปน็ สาเหตุให้อณุ หภมู เิ ฉลี่ยบนพื้นผิวของดาวศกุ รส์ งู กวา่ ดาวพุธ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

66 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเต็ม คมู่ ือครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1

ตวั อยา่ งแบบทดสอบทา้ ยบท

1. ให้นักเรียนพิจารณาว่า ข้อความในแต่ละข้อต่อไปน้ีถูกหรือผิด โดยไม่ต้องคำ�นวณหาผลลัพธ์ แล้วทำ�เคร่ืองหมาย

■ P หรือ  ลงใน หน้าขอ้ ความ พร้อมทั้งแสดงเหตผุ ลประกอบ (16 คะแนน)

■ 1) -719 + 305 มากกวา่ -719 + (-305)

เพราะ

■ 2) -836 น้อยกวา่ -836
4 -4

เพราะ

■ 3) (-93)(-125) น้อยกวา่ 93 × 125

เพราะ

■ 4) (-65)(13) เท่ากบั 65 × (-13)

เพราะ

■ 5) 0 – (-218) น้อยกวา่ 0 + 218

เพราะ

■ 6) 1,350 – 110 มากกว่า 1,350 – 110
5 -5

เพราะ

■ 7) ถา้ a = -65 และ b = -56 แล้ว a < b

เพราะ

■ 8) ถ้า a = 87, b = -12 และ c = -11 แลว้ a + b > a + c

เพราะ

2. จงหาผลลัพธ์ในแต่ละขอ้ ต่อไปนี้ (5 คะแนน)

1) [12 ÷ (-3)] × 2 =

2) (-7) × [3 – (-7)] =

3) 24 ÷ (-3 – 3) =

4) [5 × (-2)] ÷ [3 – (4 – 6)] =

5) จ�ำ นวนเตม็ จ�ำ นวนหนงึ่ เมอ่ื บวกกับ -40 แลว้ มีผลบวกเป็น 45 จำ�นวนเตม็ จำ�นวนนนั้ คือ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเตม็ 67

3. เมื่อกำ�หนดให ้ a เป็นจ�ำ นวนเตม็ บวก และ b เป็นจ�ำ นวนเตม็ ลบ จงพจิ ารณาวา่ ข้อความในแต่ละขอ้ เปน็ จรงิ หรือไม่

พร้อมทง้ั ให้เหตผุ ลประกอบ (12 คะแนน)

1) a + b เปน็ จ�ำ นวนเตม็ บวก เปน็ จรงิ / ไม่เป็นจริง / สรุปไมไ่ ด้

เพราะ



2) a – a เปน็ จำ�นวนเตม็ ลบ เป็นจรงิ / ไม่เป็นจริง / สรุปไม่ได้
เพราะ


3) b – a เปน็ จำ�นวนเต็มลบ เปน็ จริง / ไม่เปน็ จรงิ / สรุปไมไ่ ด้
เพราะ


4) a × b เป็นจำ�นวนเต็มบวก เปน็ จริง / ไม่เปน็ จริง / สรุปไมไ่ ด้
เพราะ


5) b × a เปน็ จ�ำ นวนเต็มลบ เปน็ จริง / ไม่เปน็ จรงิ / สรปุ ไม่ได้
เพราะ


6) a × (b + b) เป็นจำ�นวนเตม็ บวก เป็นจริง / ไมเ่ ปน็ จรงิ / สรุปไมไ่ ด้
เพราะ


สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

68 บทท่ี 1 | จำ�นวนเต็ม คูม่ อื ครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1

เฉลยตวั อยา่ งแบบทดสอบท้ายบท

1. ให้นักเรียนพิจารณาว่า ข้อความในแต่ละข้อต่อไปน้ีถูกหรือผิด โดยไม่ต้องคำ�นวณหาผลลัพธ์ แล้วทำ�เครื่องหมาย

■ P หรอื  ลงใน หนา้ ขอ้ ความ พรอ้ มท้ังแสดงเหตผุ ลประกอบ (16 คะแนน)

■P 1) -719 + 305 มากกว่า -719 + (-305)
■P 2) เพราะ ตัวต้ัง -719 เท่ากนั แตต่ วั บวก 305 มากกว่า -305
■ 3)
■P 4) -836 นอ้ ยกวา่ -836
■ 5) 4 -4
■P 6) เ พราะ -8436 มีผลหารเป็นจำ�นวนลบ แต่ -8-436 มีผลหารเป็นจ�ำ นวนบวก

■P 7) (-93)(-125) น้อยกวา่ 93 × 125
■ 8) เพราะ -93 กบั 93 และ -125 กบั 125 แต่ละคู่ ตา่ งก็มคี า่ สมั บรู ณเ์ ทา่ กนั และผลคณู ของ
ทงั้ สองจำ�นวนตา่ งก็เป็นจ�ำ นวนเต็มบวก จงึ ท�ำ ให้ (-93)(-125) เท่ากับ 93 × 125

(-65)(13) เทา่ กบั 65 × (-13)
เพราะ -65 กับ 65 มีคา่ สัมบรู ณ์เท่ากัน 13 กับ -13 มีค่าสัมบรู ณเ์ ทา่ กัน และผลคูณของ

ทัง้ สองจ�ำ นวนต่างก็เป็นจำ�นวนเตม็ ลบ

0 – (-218) น้อยกว่า 0 + 218

เพราะ 0 – (-218) เขียนในรปู การบวกไดเ้ ปน็ 0 + 218

1,350 – 110 มากกว่า 1,350 – 110
5 -5
เ พราะ 1,3505– 110 มผี ลลัพธ์เป็นจำ�นวนบวก
แต ่ 1,350-5– 110 มผี ลลพั ธ์เปน็ จ�ำ นวนลบ
ด งั นน้ั 1,3505– 110 มากกวา่ 1,350-5– 110

ถา้ a = -65 และ b = -56 แลว้ a < b
เพราะ -65 < -56

ถา้ a = 87, b = -12 และ c = -11 แลว้ a + b > a + c
เพราะ -12 < -11 หรอื b < c ดังน้ัน a + b < a + c

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 1 | จ�ำ นวนเต็ม 69

ความสอดคลอ้ งกบั จุดประสงคข์ องบทเรยี น

ขอ้ 1 นกั เรียนสามารถเปรียบเทยี บจ�ำ นวนเต็ม

ข้อ 2 นักเรียนสามารถหาผลบวก ผลลบ ผลคณู และผลหารของจ�ำ นวนเต็ม

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 16 คะแนน ข้อละ 2 คะแนน

ส่วนที่ 1 เลือกตอบ ตอบถกู ตอ้ ง ได ้ 1 คะแนน ตอบไม่ถูกต้องหรือไม่ตอบ ได ้ 0 คะแนน

ส่วนที่ 2 ใหเ้ หตุผล ให้เหตุผลไดส้ มเหตุสมผล ได้ 1 คะแนน

ใหเ้ หตผุ ลไมส่ มเหตสุ มผล หรอื ไมใ่ หเ้ หตุผล ได้ 0 คะแนน

2. จงหาผลลัพธ์ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปน ี้ (5 คะแนน)

1) [12 ÷ (-3)] × 2 = -8

2) (-7) × [3 – (-7)] = -70

3) 24 ÷ (-3 – 3) = -4

4) [5 × (-2)] ÷ [3 – (4 – 6)] = -2

5) จ�ำ นวนเตม็ จ�ำ นวนหน่ึง เมื่อบวกกบั -40 จะมผี ลบวกเปน็ 45 จ�ำ นวนจ�ำ นวนนน้ั คือ 85

ความสอดคล้องกับจุดประสงคข์ องบทเรียน

ขอ้ 2 นกั เรยี นสามารถหาผลบวก ผลลบ ผลคณู และผลหารของจ�ำ นวนเตม็

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 5 คะแนน ข้อละ 1 คะแนน

ตอบถูกต้อง ได ้ 1 คะแนน ตอบไม่ถกู ต้องหรอื ไมต่ อบ ได้ 0 คะแนน

3. เมอื่ ก�ำ หนดให้ a เปน็ จำ�นวนเตม็ บวก และ b เป็นจ�ำ นวนเต็มลบ จงพจิ ารณาวา่ ข้อความในแตล่ ะข้อเป็นจริงหรือไม่

พรอ้ มทั้งใหเ้ หตผุ ลประกอบ (12 คะแนน)

1) a + b เป็นจ�ำ นวนเตม็ บวก เป็นจริง / ไมเ่ ปน็ จริง / สรุปไม่ได้

เพราะ เราไม่ทราบว่าค่าสมั บูรณ์ของ a มากกวา่ b หรอื ไม่ ถ้ามากกว่า จึงจะได้ว่า a + b เปน็ จ�ำ นวนเตม็ บวก

2) a – a เปน็ จ�ำ นวนเต็มลบ เปน็ จรงิ / ไม่เปน็ จรงิ / สรุปไมไ่ ด้
เพราะ a – a = 0

3) b – a เปน็ จำ�นวนเต็มลบ เป็นจรงิ / ไมเ่ ปน็ จรงิ / สรุปไม่ได้

เพราะ เม่ือน�ำ จำ�นวนเต็มลบ ลบด้วยจำ�นวนเต็มบวก จะได้ผลลบเปน็ จำ�นวนเตม็ ลบเสมอ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

70 บทที่ 1 | จำ�นวนเตม็ คมู่ อื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1

4) a × b เปน็ จำ�นวนเต็มบวก เปน็ จรงิ / ไมเ่ ปน็ จรงิ / สรุปไม่ได้

เพราะ เมื่อนำ�จ�ำ นวนเตม็ บวก คูณดว้ ยจำ�นวนเต็มลบ จะไดผ้ ลคณู เปน็ จ�ำ นวนเต็มลบเสมอ

5) b ÷ a เป็นจ�ำ นวนเตม็ ลบ เปน็ จริง / ไมเ่ ป็นจรงิ / สรุปไม่ได้

เพราะ เราไม่ทราบวา่ b ÷ a จะมีผลหารเป็นจ�ำ นวนเต็มหรือไม่

6) a × (b + b) เป็นจ�ำ นวนเตม็ บวก เป็นจรงิ / ไม่เป็นจรงิ / สรปุ ไม่ได้

เพราะ b + b เป็นจำ�นวนเต็มลบ ดังนั้น จำ�นวนเต็มบวกคูณด้วยจำ�นวนเต็มลบ จะได้ผลคูณเป็นจำ�นวน

เตม็ ลบเสมอ

ความสอดคล้องกบั จดุ ประสงค์ของบทเรียน

ขอ้ 3 นักเรียนสามารถน�ำ ความร้เู รื่องจำ�นวนเต็มไปใช้ในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 12 คะแนน ขอ้ ละ 2 คะแนน

ส่วนท่ี 1 เลอื กตอบ ตอบถูกต้อง ได ้ 1 คะแนน ตอบไม่ถกู ต้องหรอื ไมต่ อบ ได ้ 0 คะแนน

สว่ นที่ 2 ใหเ้ หตุผล ให้เหตุผลได้สมเหตุสมผล ได้ 1 คะแนน

ให้เหตผุ ลไมส่ มเหตสุ มผล หรอื ไม่ใหเ้ หตผุ ล ได้ 0 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณิต 71

บทที่ 2 การสรา้ งทางเรขาคณิต

บทการสร้างทางเรขาคณิตประกอบด้วยหัวขอ้ ย่อย ดังต่อไปนี้

2.1 รปู เรขาคณติ พืน้ ฐาน 1 ชั่วโมง
2.2 การสร้างพ้นื ฐานทางเรขาคณติ 6 ชัว่ โมง
2.3 การสร้างรูปเรขาคณิต 4 ชว่ั โมง

สาระและมาตรฐานการเรยี นรู้

สาระ การวัดและเรขาคณติ
มาตรฐาน ค 2.2 เข้าใจและวิเคราะหร์ ูปเรขาคณิต สมบัตขิ องรูปเรขาคณิต ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งรปู เรขาคณติ และ
ทฤษฎีบททางเรขาคณติ และนำ�ไปใช้

ตวั ชีว้ ัด

ใช้ความรู้ทางเรขาคณิตและเครื่องมือ เช่น วงเวียนและสันตรง รวมทั้งโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
หรือโปรแกรมเรขาคณิตพลวัตอ่ืน ๆ เพ่ือสร้างรูปเรขาคณิต ตลอดจนนำ�ความรู้เก่ียวกับการสร้างน้ีไปประยุกต์ใช้
ในการแก้ปัญหาในชวี ิตจรงิ


จุดประสงคข์ องบทเรียน

นกั เรยี นสามารถ
1. ใชว้ งเวยี นและสันตรง หรอื ซอฟตแ์ วรเ์ รขาคณิตพลวตั ในการสรา้ งพนื้ ฐานทางเรขาคณติ
2. ใชว้ งเวยี นและสนั ตรง หรือซอฟตแ์ วรเ์ รขาคณิตพลวัต ในการสร้างรูปเรขาคณิตและนำ�ไปใช้แก้ปญั หาในชวี ติ จรงิ

ความเชอื่ มโยงระหวา่ งตวั ช้ีวดั กับจดุ ประสงค์ของบทเรยี น

เนื่องจากตัวช้ีวัดกล่าวถึงการใช้ความรู้ทางเรขาคณิตและเครื่องมือในการสร้างรูปเรขาคณิต และการนำ�ความรู้เกี่ยวกับ
การสร้างดังกล่าวไปใช้ในการแก้ปัญหา เพ่ือให้การเรียนรู้ของนักเรียนในเรื่องการสร้างทางเรขาคณิตสอดคล้องกับตัวช้ีวัด
ครคู วรจัดประสบการณ์ให้นกั เรียนสามารถ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

72 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต คู่มือครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1

1. ใช้ความรู้ทางเรขาคณติ และเคร่อื งมือ เช่น วงเวยี นและสันตรง รวมทัง้ โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
หรอื ซอฟตแ์ วรเ์ รขาคณติ พลวตั อน่ื ๆ เพอื่ สรา้ งรปู เรขาคณติ ซงึ่ สะทอ้ นไดจ้ ากการทนี่ กั เรยี นสามารถอธบิ ายลกั ษณะ
และสมบัติของรูปเรขาคณิตพื้นฐาน รวมท้ัง สามารถใช้วงเวียนและสันตรง หรือซอฟต์แวร์เรขาคณิตพลวัต
ในการสร้างพน้ื ฐานทางเรขาคณติ และบอกขั้นตอนการสร้างได้

2. นำ�ความรู้เกย่ี วกบั การสรา้ งพื้นฐานทางเรขาคณิตไปประยกุ ต์ใช้ในการแกป้ ญั หาในชีวติ จรงิ ซงึ่ สะท้อนได้จากการ
ที่นักเรียนสามารถใช้วงเวียนและสันตรง หรือซอฟต์แวร์เรขาคณิตพลวัตในการสร้าง และบอกข้ันตอนการสร้าง
รปู เรขาคณติ รวมทง้ั ส�ำ รวจ สงั เกต และคาดการณเ์ กย่ี วกบั สมบตั ทิ างเรขาคณติ และน�ำ ไปใชแ้ กป้ ญั หาในชวี ติ จรงิ ได้

ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์

ทกั ษะและกระบวนการ 2.1 หวั ขอ้ 2.3
ทางคณติ ศาสตร์ รูปเรขาคณิต 2.2 การสรา้ ง การสรา้ ง
พืน้ ฐานทาง รปู เรขาคณิต
การแกป้ ญั หา พนื้ ฐาน
การส่อื สารและการสอ่ื ความหมาย เรขาคณิต
ทางคณิตศาสตร์
การเช่อื มโยง ✤
การใหเ้ หตผุ ล
การคิดสรา้ งสรรค์ ✤

✤✤
✤✤

2+2=4 ความรู้พนื้ ฐานทน่ี ักเรยี นตอ้ งมี

ครูอาจทบทวนความรพู้ ื้นฐานทน่ี ักเรยี นต้องมีกอ่ นเรียน ดังนี้
1. รปู เรขาคณติ และสมบตั ขิ องรปู เรขาคณติ เชน่ รปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ รปู สามเหลย่ี มหนา้ จวั่ รปู สเ่ี หลย่ี มจตั รุ สั และ

รปู สเ่ี หล่ยี มดา้ นขนาน
2. เสน้ ขนาน

ความคิดรวบยอดของบทเรยี น

การสร้างพ้ืนฐานทางเรขาคณิต เป็นการสร้างเก่ียวกับส่วนของเส้นตรง มุม และเส้นตั้งฉาก โดยใช้เคร่ืองมือที่สำ�คัญ
เพียงสองชนิด ได้แก่ วงเวยี นและสนั ตรง การสร้างดงั กลา่ วน�ำ ไปส่กู ารสร้างรูปเรขาคณิต และน�ำ ไปประยกุ ต์ใช้ในการแกป้ ัญหา
ในชวี ิตจริง

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณิต 73

2.1 รปู เรขาคณติ พ้นื ฐาน (1 ชวั่ โมง)

จดุ ประสงค์

นกั เรียนสามารถ
1. อธบิ ายลกั ษณะและสมบตั ขิ องจดุ เสน้ ตรง สว่ นของเส้นตรง รงั สี และมุม
2. เปรียบเทียบความยาวของส่วนของเส้นตรง และขนาดของมมุ โดยใช้วงเวยี น

ความเขา้ ใจทคี่ ลาดเคลอื่ น

1. นกั เรยี นอาจเขา้ ใจคลาดเคลอ่ื นวา่ เสน้ ตรงและรงั สสี ามารถหาความยาวได้ เนอ่ื งจากนกั เรยี นพจิ ารณาเฉพาะความยาว
ของเส้นตรงและรงั สีที่ปรากฏ

2. นักเรียนอาจเข้าใจคลาดเคลื่อนว่าขนาดของมุมขึ้นอยู่กับความยาวแขนของมุม เช่น จากรูปด้านล่าง นักเรียนเข้าใจ
คลาดเคลื่อนว่า มุม ABC มีขนาดเล็กกว่ามุม DEF เพราะแขนของมุม ABC สั้นกว่า ทำ�ให้มีมุมขนาดเล็กกว่า
ซึ่งแทจ้ รงิ แล้ว มุมทง้ั สองมขี นาดเทา่ กัน

F

C

B A E D

สอ่ื ท่แี นะน�ำ ใหใ้ ช้ในข้อเสนอแนะในการจดั กิจกรรมการเรียนรู้

1. วงเวียน และสันตรง
2. โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad หรือซอฟต์แวร์เรขาคณิตพลวัตอื่น ๆ
3. ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 2.1 ก : นับจำ�นวนเส้นตรง
4. ใบกิจกรรมเสนอแนะ 2.1 ข : นับจำ�นวนจุดตัด

ขอ้ เสนอแนะในการจดั กจิ กรรมการเรียนรู้

ในหวั ขอ้ นเ้ี ปน็ เรอ่ื งเกยี่ วกบั รปู เรขาคณติ พนื้ ฐาน ซง่ึ ครคู วรแนะน�ำ อนยิ ามและนยิ ามเกยี่ วกบั จดุ เสน้ ตรง สว่ นของเสน้ ตรง
รังสี และมมุ ซึ่งเป็นพืน้ ฐานในการสรา้ งรูปเรขาคณติ ทง้ั น้ี ครูควรพฒั นาความรสู้ กึ เชงิ ปริภูมิ (spatial sense) และการนกึ ภาพ
(visualization) เกีย่ วกับรูปเรขาคณิตใหก้ ับนักเรยี น กิจกรรมท่ีครคู วรจดั มีดงั น้ี
1. ครูควรเช่อื มโยงความร้เู ร่อื งรูปเรขาคณิต และสมบัติของรูปเรขาคณิต ท่นี ักเรียนเคยเรียนมาแล้ว มาแนะนำ�จุด

และเสน้ ตรง ซง่ึ จะน�ำ ไปสกู่ ารนยิ ามสว่ นของเสน้ ตรง รงั สี และมมุ รวมทง้ั แนะน�ำ สมบตั ขิ องจดุ และเสน้ ตรง

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

74 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ ค่มู ือครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1

2. ครูอาจให้นักเรียนเชื่อมโยงความรู้พ้ืนฐานทางเรขาคณิตกับส่ิงท่ีพบเห็นท่ัวไปในชีวิตจริง โดยการสำ�รวจและ
ยกตวั อย่างส่ิงต่าง ๆ ท่มี สี ว่ นประกอบของจุด ส่วนของเสน้ ตรง รงั สี และมมุ หรอื ดูรูปภาพประกอบ เช่น

จุดแสดงต�ำ แหน่งบนแผนท ่ี ส่วนของเสน้ ตรงจากขอบไมบ้ รรทดั

รงั สจี ากลำ�แสงเลเซอร์ มุมท่ีเกดิ จากการพับกระดาษ

3. ครูอาจใชโ้ ปรแกรม The Geometer’s Sketchpad หรอื ซอฟตแ์ วร์เรขาคณติ พลวตั อ่ืน ๆ แสดงให้นกั เรยี นเข้าใจ
ลักษณะและสมบัติของรูปเรขาคณิตพ้ืนฐาน ซ่ึงจะช่วยพัฒนาความรู้สึกเชิงปริภูมิ และการนึกภาพเก่ียวกับ
รปู เรขาคณิตพ้ืนฐาน

4. ครอู าจใช้ “กจิ กรรมเสนอแนะ 2.1 ก : นบั จ�ำ นวนเสน้ ตรง” และ “กจิ กรรมเสนอแนะ 2.1 ข : นับจ�ำ นวนจดุ ตัด”
เพอื่ ใหไ้ ดข้ อ้ สรปุ เก่ียวกับความสัมพนั ธ์ของจำ�นวนจุดและจำ�นวนเส้นตรงทสี่ งั เกตพบจากการท�ำ กจิ กรรม

5. ครคู วรอธบิ ายและสาธติ การเปรยี บเทยี บความยาวของสว่ นของเสน้ ตรง และขนาดของมมุ โดยใชว้ งเวยี น จากนน้ั
ก�ำ หนดสว่ นของเสน้ ตรงทม่ี คี วามยาวแตกตา่ งกนั และมมุ ทมี่ ขี นาดหลากหลาย แลว้ ใหน้ กั เรยี นลงมอื ปฏบิ ตั โิ ดยใช้
วงเวียนในการเปรียบเทียบความยาวของส่วนของเส้นตรงและขนาดของมุม ทั้งนี้ ครูอาจช้ีให้นักเรียนเห็นว่า
เมอ่ื ตอ่ แขนของมุมทง้ั สองข้างออกไปเร่ือย ๆ ขนาดของมุมจะไม่เปลี่ยนแปลง

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 75

กิจกรรมเสนอแนะ 2.1 ก : นับจ�ำ นวนเสน้ ตรง

กจิ กรรมน้ี เปน็ กจิ กรรมทชี่ ว่ ยสรา้ งเสรมิ ความเขา้ ใจเกยี่ วกบั สมบตั ขิ องจดุ และเสน้ ตรง ฝกึ ใหน้ กั เรยี นคนุ้ เคยกบั การคน้ หา
แบบรูปจากการสังเกตและสืบเสาะ สามารถบอกจำ�นวนเส้นตรงท่ีลากผ่านจุดครั้งละสองจุด เมื่อกำ�หนดจุดหลาย ๆ จุดให้
โดยมอี ปุ กรณ์และขั้นตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม ดงั นี้

อปุ กรณ์

ใบกิจกรรมเสนอแนะ 2.1 ก : นบั จำ�นวนเส้นตรง

ขน้ั ตอนการดำ�เนินกิจกรรม

1. ครูให้นักเรียนทำ�ใบกิจกรรมเสนอแนะ 2.1 ก : นับจำ�นวนเสน้ ตรง โดยลากเส้นตรงผ่านจุดคร้ังละสองจุด แล้วเติม
จำ�นวนเส้นตรง และเขยี นจ�ำ นวนเส้นตรงในรปู ผลบวกของจำ�นวนนบั

2. ครูใหน้ กั เรยี นสังเกตความสัมพันธ์ระหว่างจำ�นวนเสน้ ตรงกับจ�ำ นวนจดุ ในข้อน้นั แล้วตอบค�ำ ถามตอนที่ 2 ข้อ 1)
3. ครูให้นักเรียนใชค้ วามสมั พันธ์ที่ได้จากการตอบค�ำ ถามตอนที่ 2 ขอ้ 1) ในการตอบค�ำ ถามข้อที่ 2) ของตอนเดยี วกนั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

76 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณติ คู่มอื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1

ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 2.1 ก : นบั จ�ำ นวนเส้นตรง

ตอนท่ี 1

ให้นักเรียนลากเส้นตรงผ่านจุดครั้งละสองจุด แล้วบันทึกจำ�นวนเส้นตรง พร้อมท้ังเขียนจำ�นวนเส้นตรงในรูป
ผลบวกของจำ�นวนนบั

ขอ้ จำ�นวนจดุ รูปทสี่ รา้ ง จ�ำ นวน จ�ำ นวนเส้นตรงในรูป
เส้นตรง ผลบวกของจำ�นวนนับ
ก2
1 1

ข3 3 1+2

ค4

ง5

จ6

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 77

ตอนท่ี 2

จากตารางข้างต้น จงตอบคำ�ถามตอ่ ไปนี้
1) ในแต่ละข้อ จำ�นวนเส้นตรงท่ีได้ สัมพันธ์กับจำ�นวนจดุ ในขอ้ นนั้ อยา่ งไร

2) ถา้ ก�ำ หนดจำ�นวนจดุ เป็น 7, 8 และ 9 จดุ โดยไมม่ สี ามจดุ ใดอย่บู นเสน้ ตรงเดียวกัน จ�ำ นวนเส้นตรง
ทีล่ ากผ่านจุดเหลา่ นี้ คร้ังละสองจุดมีก่ีเสน้

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

78 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ คูม่ อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1

เฉลยใบกิจกรรมเสนอแนะ 2.1 ก : นับจ�ำ นวนเสน้ ตรง

ตอนท่ี 1 รูปท่ีสร้าง จ�ำ นวน จ�ำ นวนเสน้ ตรงในรูป
เส้นตรง ผลบวกของจ�ำ นวนนบั

1 1
ขอ้ จ�ำ นวนจุด

ก2

ข3 3 1+2

ค4 6 1+2+3

ง5 10 1 + 2 + 3 + 4

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณิต 79

ขอ้ จ�ำ นวนจุด รูปทีส่ รา้ ง จ�ำ นวน จ�ำ นวนเส้นตรงในรปู
เสน้ ตรง ผลบวกของจ�ำ นวนนบั

จ6 15 1 + 2 + 3 + 4 + 5

ตอนที่ 2


1) ในแตล่ ะข้อ จ�ำ นวนเสน้ ตรงทไี่ ด้ สมั พันธก์ ับจำ�นวนจุดในขอ้ นน้ั อย่างไร

จ�ำ นวนเสน้ ตรงเทา่ กับผลบวกของจ�ำ นวนนับ ตัง้ แตห่ นึ่งจนถงึ จำ�นวนจดุ ลบด้วยหนงึ่ เช่น เม่ือจ�ำ นวนจดุ
เท่ากับ 4 จ�ำ นวนเสน้ ตรงเทา่ กับ 1 + 2 + 3 หรอื 6 เส้น

2) ถ้าก�ำ หนดจ�ำ นวนจุดเปน็ 7, 8 และ 9 จดุ โดยไมม่ ีสามจุดใดอยูบ่ นเส้นตรงเดียวกัน จ�ำ นวนเส้นตรงทล่ี ากผ่าน
จุดเหล่าน้ี ครัง้ ละสองจุดมีก่ีเสน้

21, 28 และ 36 เส้น ตามลำ�ดับ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

80 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณิต คมู่ อื ครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1

กิจกรรมเสนอแนะ 2.1 ข : นบั จ�ำ นวนจุดตดั

กจิ กรรมนี้ เปน็ กจิ กรรมทชี่ ว่ ยสรา้ งเสรมิ ความเขา้ ใจเกยี่ วกบั สมบตั ขิ องจดุ และเสน้ ตรง ฝกึ ใหน้ กั เรยี นคนุ้ เคยกบั การคน้ หา
แบบรูปจากการสังเกตและสืบเสาะ รวมท้งั สามารถบอกจำ�นวนจดุ ตดั ของเส้นตรงเมื่อก�ำ หนดเสน้ ตรงหลาย ๆ เสน้ ให้ โดยมี
อปุ กรณ์และขั้นตอนการด�ำ เนินกจิ กรรม ดงั นี้

อุปกรณ์

ใบกิจกรรมเสนอแนะ 2.1 ข : นับจ�ำ นวนจุดตัด

ขั้นตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม

1. ครใู หน้ กั เรียนทำ�ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 2.1 ข : นับจำ�นวนจุดตดั โดยใหน้ ักเรียนเขียนเสน้ ตรงและเตมิ จำ�นวนจดุ ตัด
พร้อมท้งั เขยี นจำ�นวนจดุ ตดั ในรูปผลบวกของจ�ำ นวนนบั

2. ครูใหน้ ักเรียนสังเกตความสมั พันธ์ระหวา่ งจ�ำ นวนจุดตัดกับจำ�นวนเสน้ ตรงในข้อนน้ั แล้วตอบค�ำ ถามตอนท่ี 2 ข้อ 1)
3. ครใู ห้นกั เรยี นใช้ความสัมพนั ธ์ที่ได้จากการตอบค�ำ ถามตอนที่ 2 ข้อ 1) ในการตอบคำ�ถามข้อ 2) ของตอนเดียวกัน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 81

ใบกิจกรรมเสนอแนะ 2.1 ข : นบั จำ�นวนจุดตดั

ตอนท่ี 1

ใหน้ ักเรียนเขียนเส้นตรงโดยให้เส้นตรงสองเสน้ ใด ๆ ตอ้ งตัดกนั เสมอ แล้วบนั ทึกจ�ำ นวนจดุ ตดั พร้อมท้ังเขียน

จำ�นวนจุดตัดในรูปของผลบวกของจำ�นวนนับ

ข้อ จ�ำ นวน รูปที่สรา้ ง จ�ำ นวนจุดตดั จ�ำ นวนจุดตัดในรูป
เสน้ ตรง ผลบวกของจ�ำ นวนนับ

ก2 11

ข3 3 1+2

ค4

ง5

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

82 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณิต คมู่ อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1

ตอนที่ 2

จากตารางขา้ งต้น จงตอบคำ�ถามตอ่ ไปน้ี
1. ในแตล่ ะข้อ จ�ำ นวนจดุ ตัดที่ได้ สัมพนั ธ์กบั จ�ำ นวนเส้นตรงในข้อน้นั อย่างไร

2. ถา้ ก�ำ หนดจำ�นวนเสน้ ตรงเป็น 6, 7 และ 8 เสน้ โดยที่ไม่มีเส้นตรงคใู่ ดขนานกนั และไม่มเี สน้ ตรง
สามเสน้ ใด ๆ ตัดกนั ท่จี ุดจดุ เดยี วกนั จุดตัดท่ีเกดิ ขึ้นทัง้ หมดมีก่จี ุด

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณิต 83

เฉลยใบกจิ กรรมเสนอแนะ 2.1 ข : นบั จำ�นวนจุดตัด

ตอนท่ี 1

ขอ้ จำ�นวน รปู ทสี่ ร้าง จำ�นวนจดุ ตัด จ�ำ นวนจุดตัดในรปู
เส้นตรง ผลบวกของจ�ำ นวนนบั

ก2 11

ข3 3 1+2

ค4 6 1+2+3

ง5 10 1 + 2 + 3 + 4

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

84 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต คู่มอื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1

ตอนท่ี 2


1. ในแต่ละขอ้ จ�ำ นวนจุดตดั ท่ีได้ สมั พนั ธก์ ับจำ�นวนเส้นตรงในข้อน้ันอยา่ งไร

จำ�นวนจุดตัดเทา่ กับผลบวกของจ�ำ นวนนบั ตง้ั แต่หนึ่งจนถงึ จ�ำ นวนเส้นตรงลบด้วยหนงึ่ เชน่ เม่ือจำ�นวนเสน้ ตรง
เทา่ กับ 3 จ�ำ นวนจดุ ตัดเท่ากบั 1 + 2 หรือ 3 จดุ

2. ถา้ ก�ำ หนดจ�ำ นวนเสน้ ตรงเปน็ 6, 7 และ 8 เสน้ โดยทไ่ี มม่ เี สน้ ตรงคใู่ ดขนานกนั และไมม่ เี สน้ ตรงสามเสน้ ใด ๆ
ตัดกนั ทจ่ี ุดจุดเดียวกัน จุดตัดท่ีเกิดขนึ้ ท้งั หมดมกี จ่ี ุด

15, 21 และ 28 จุด ตามล�ำ ดับ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต 85

เฉลยชวนคดิ

ชวนคิด 2.1

มมุ ระหวา่ งเขม็ สน้ั และเขม็ ยาวของนาฬกิ าทห่ี อนาฬกิ าแหง่ หนง่ึ กบั นาฬกิ าขอ้ มอื ของตนเอง ในเวลาเดยี วกนั
มขี นาดเท่ากนั เพราะขนาดของมุมไม่ไดข้ ้นึ อยูก่ ับความยาวของแขนของมุม

เฉลยแบบฝึกหัด

แบบฝกึ หดั 2.1

1. บอกไม่ได้วา่ มีรงั สกี ี่เส้น เพราะเราสามารถเขียนรังสีท่มี จี ดุ A เป็นจดุ ปลาย ไปได้ทุกทศิ ทาง จึงมรี งั สจี �ำ นวนไม่จ�ำ กดั
ทม่ี จี ุด A เปน็ จดุ ปลาย เช่น

E
F

A B
D

C

2. ส่วนของเสน้ ตรงส้นั ท่สี ดุ

3. ชื่อมมุ ทัง้ หมดมีดังนี้ BˆAC, BˆAD, BˆAE, CˆAD, CˆAE, DˆAE, มุมกลับ BAC, มมุ กลบั BAD, มุมกลบั BAE,

มมุ กลับ CAD, มุมกลับ CAE และมุมกลบั DAE

C D
B

AE

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

86 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ คู่มือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1

4. ชือ่ มมุ มดี งั น้ี P AQ

1) PˆAB และ CˆAQ

P AQ

C B C B
X S X S

Y T Y T

2) BˆAC, AˆCB และ CˆBA
3) PˆAQ, QˆAB, BˆAC, CˆAP, มมุ กลับ PAQ, มมุ กลบั QAB, มมุ กลับ BAC, มมุ กลับ CAP และมมุ รอบจุด A

5. เมอ่ื ใชว้ งเวียนตรวจสอบ พบวา่ a = d

6. ΔABC เปน็ รปู สามเหลยี่ มหน้าจ่ัว
ΔDEF เป็นรปู สามเหลยี่ มด้านไม่เทา่
ΔPQR เป็นรปู สามเหล่ียมด้านเท่า

7. 1) แนวคดิ อาจเขียนรังสีและสร้างส่วนของเส้นตรงที่ยาวเท่ากับระยะทางแต่ละช่วงให้ต่อเนื่องกันบนรังสีน้ัน

แลว้ วดั ความยาวครัง้ เดยี ว ดงั นี้

11 เซนตเิ มตร

จะได้ ระยะทางตามเส้นทางในแผนทีย่ าว 11 เซนติเมตร

ดงั นนั้ ระยะทางจรงิ เปน็ 11 × 1,000 เมตร หรอื 11 กโิ ลเมตร

2) ระยะห่างในแผนทย่ี าว 9.5 เซนติเมตร

ดังนน้ั ระยะหา่ งจริงเป็น 9.5 × 1,000 เมตร หรือ 9.5 กิโลเมตร

8. ขนาดของมมุ เปน็ ดังนี้ 2) 120o 3) 180o
1) 30o 5) 270o 6) 300o
4) 210o

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ 87

9. จากการส�ำ รวจสามารถสรา้ งเข็มนาฬิกาทที่ ำ�มุม 90o ได้ เช่น

00:16 นาฬิกา 00:49 นาฬิกา 01:21 นาฬิกา 01:54 นาฬกิ า

02:27 นาฬกิ า 03:32 นาฬกิ า 07:21 นาฬิกา 09:00 นาฬกิ า

หมายเหต ุ ตัวอย่างเฉลยข้างต้นเป็นเพียงเวลาโดยประมาณ หากต้องการคำ�นวณให้เท่ียงตรงจะต้องคิดจนถึงระดับวินาที ดังน้ันในการสำ�รวจ

จงึ แนะนำ�ใหส้ �ำ รวจโดยใชโ้ ปรแกรม GSP

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

88 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ คมู่ ือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1

2.2 การสร้างพนื้ ฐานทางเรขาคณติ (6 ชัว่ โมง)

จดุ ประสงค์

นักเรียนสามารถสร้างและบอกขั้นตอนการสร้างพื้นฐานทางเรขาคณิตเก่ียวกับส่วนของเส้นตรง มุม และเส้นต้ังฉาก
ที่กำ�หนดให้ โดยใช้วงเวียนและสันตรง หรือโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad หรอื ซอฟตแ์ วร์เรขาคณติ พลวตั อน่ื ๆ

ความเข้าใจที่คลาดเคล่อื น

นักเรียนอาจเข้าใจคลาดเคลื่อนว่าเม่ือเขียนส่วนโค้งด้วยวงเวียนแล้ว จะสร้างส่วนของเส้นตรงจากปลายเหล็กแหลมของ
วงเวยี นไปยงั สว่ นโค้งได้เพียงเส้นเดยี วเท่านนั้ ดังรูป

B
A

ซงึ่ ทีจ่ รงิ แลว้ จะสร้างสว่ นของเสน้ ตรงจากปลายเหล็กแหลมของวงเวียนไปยังสว่ นโคง้ ไดเ้ ปน็ จ�ำ นวนไม่จำ�กัด ดงั รูป

B
A

ส่ือทแ่ี นะน�ำ ใหใ้ ชใ้ นข้อเสนอแนะในการจัดกจิ กรรมการเรยี นรู้

1. วงเวียน และสันตรง
2. โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad หรอื ซอฟตแ์ วร์เรขาคณติ พลวตั อืน่ ๆ

ข้อเสนอแนะในการจดั กิจกรรมการเรียนรู้

ในหัวข้อนเ้ี ป็นเร่ืองเกย่ี วกบั การสร้างพ้นื ฐานทางเรขาคณติ ครูควรเนน้ การฝกึ ปฏบิ ัติให้นักเรยี นได้ใช้วงเวยี นและสันตรง
หรือโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad หรอื ซอฟต์แวร์เรขาคณติ พลวตั อื่น ๆ ในการสรา้ งพน้ื ฐานทางเรขาคณติ เก่ียวกบั
ส่วนของเส้นตรง มุม และเส้นตงั้ ฉาก รวมทงั้ จัดกิจกรรมใหน้ กั เรียนไดส้ งั เกต ส�ำ รวจ และคาดการณเ์ กย่ี วกบั การสร้าง เพ่ือเป็น
พ้ืนฐานในการสร้างรูปเรขาคณิตอย่างง่าย ท้ังน้ี ครูควรจะพัฒนาความรู้สึกเชิงปริภูมิ และการนึกภาพเกี่ยวกับรูปเรขาคณิต
กจิ กรรมทค่ี รูควรจดั มีดังน้ี

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 89

1. ครูควรจัดกิจกรรมให้นักเรียนได้ฝึกปฏิบัติ สังเกต สำ�รวจ และคาดการณ์ในการสร้างพื้นฐานทางเรขาคณิต เกี่ยวกับ
ส่วนของเสน้ ตรง มมุ และเสน้ ตั้งฉาก ดงั นี้

✤ การสร้างพื้นฐานทางเรขาคณิตเกี่ยวกับส่วนของเส้นตรง ได้แก่ การสร้างส่วนของเส้นตรงให้ยาวเท่ากับ
ความยาวของส่วนของเส้นตรงท่กี ำ�หนดให้ และการแบง่ ครึ่งสว่ นของเส้นตรงที่ก�ำ หนดให้

✤ การสรา้ งพน้ื ฐานทางเรขาคณติ เกยี่ วกบั มมุ ไดแ้ ก่ การสรา้ งมมุ ใหม้ ขี นาดเทา่ กบั ขนาดของมมุ ทกี่ �ำ หนดให้ และ
การแบ่งครึง่ มุมท่ีก�ำ หนดให้

✤ การสรา้ งพื้นฐานทางเรขาคณิตเก่ียวกับเสน้ ตัง้ ฉาก ได้แก่ การสรา้ งเสน้ ตัง้ ฉากจากจุดภายนอกมายงั เสน้ ตรง
ท่ีกำ�หนดให้ และการสรา้ งเส้นตั้งฉากทจ่ี ุดจุดหนึง่ ทอ่ี ยบู่ นเส้นตรงทกี่ ำ�หนดให้

2. ครคู วรใช้คำ�ถามขยายความคดิ เพอื่ ใหน้ กั เรยี นใช้การนึกภาพและความรู้สกึ เชงิ ปริภมู ิในการคาดการณ์ เช่น
✤ ในการแบง่ ครง่ึ สว่ นของเสน้ ตรง เหตใุ ดจงึ ตอ้ งกางวงเวยี นมากกวา่ ครง่ึ หนงึ่ ของความยาวของสว่ นของเสน้ ตรง
✤ การแบ่งคร่ึงมุม และการสร้างเส้นตง้ั ฉาก มีความเกย่ี วขอ้ งกันอยา่ งไร
✤ เปน็ ไปได้หรอื ไม่ ท่ีจะแบ่ง AB ออกเปน็ 3 สว่ น หรือ 5 ส่วน ทเ่ี ท่ากัน โดยใชก้ ารสร้างพ้ืนฐาน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

90 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณติ คมู่ ือครูรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1

เฉลยชวนคดิ

ชวนคิด 2.2

ไมส่ ามารถสรา้ งรปู สามเหลย่ี มหนา้ จว่ั ได้ เพราะเมอื่ ก�ำ หนดดา้ นทย่ี าว q หนว่ ย เปน็ ฐาน ดา้ นทย่ี าว p หนว่ ย
ซึ่งเปน็ ดา้ นประกอบมมุ ยอดจะต้องมคี วามยาวมากกว่าครงึ่ หนงึ่ ของดา้ นที่ยาว q หนว่ ย จงึ จะสามารถสรา้ ง
รูปสามเหล่ียมหน้าจ่ัวได้ เน่ืองจากผลบวกของความยาวด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมต้องมากกว่า
ความยาวของดา้ นทีเ่ หลือเสมอ ดังภาพ

pp

q

ชวนคิด 2.3

ถ้าส่วนของเส้นตรงที่กำ�หนดให้อยู่บนกระดาษหรือวัสดุท่ีสามารถพับได้ สามารถทำ�ได้โดยพับให้จุดปลาย
ของส่วนของเส้นตรงท่ีกำ�หนดให้ทับกันสนิทพอดี รอยพับท่ีเกิดข้ึนคือเส้นแบ่งคร่ึงส่วนของเส้นตรงนั้น
หากส่วนของเสน้ ตรงน้นั อยบู่ นวสั ดุท่ีพบั ไมไ่ ด้ ยงั จำ�เปน็ ตอ้ งใช้วงเวียนในการแบง่ คร่งึ ส่วนของเส้นตรงนั้น

ชวนคดิ 2.4

ตวั อยา่ งการสร้างมุมกลับขนาด 300 องศา อาจทำ�ไดโ้ ดยสร้างมมุ แหลมขนาด 60 องศา ก่อน ซ่ึงจะได้
มมุ กลับขนาด 300 องศา ดังรปู

300º
60º

ชวนคดิ 2.5

รูปสามเหลย่ี มหนา้ จ่วั

ชวนคิด 2.6

ไม่เสมอไป เชน่ ไม่สามารถสร้างเส้นตรงจากจุด P ไปต้ังฉากกับส่วนของเส้นตรง AB ได้ ดงั รูป

p

A B

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 91

เฉลยแบบฝกึ หัด

แบบฝึกหัด 2.2 ก

1. สรา้ ง

Aa aB T

จากการสรา้ ง จะได้ AB ยาวเทา่ กับ 2a หนว่ ย

2. สรา้ ง

Aa bB T

จากการสร้าง จะได้ AB ยาวเท่ากบั a + b หนว่ ย

สร้าง

a T
P RbQ

จากการสรา้ ง จะได้ PR ยาวเท่ากบั a – b หน่วย
(สร้าง PQ ใหย้ าวเท่ากับ a หน่วย แลว้ ใช้จดุ Q เป็นจุดศนู ยก์ ลาง รศั มียาวเท่ากบั b หนว่ ย เขียนสว่ นโคง้ ตัด
PQ ให้จุดตัดคอื จดุ R)

3. สรา้ ง C

ab

Ac B

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

92 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณิต คมู่ ือครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1

1. สรา้ ง AB ยาวเท่ากบั c หนว่ ย
2. ใชจ้ ดุ A เปน็ จุดศูนยก์ ลาง รศั มียาวเทา่ กับ a หนว่ ย และใชจ้ ุด B เปน็ จุดศนู ย์กลาง รัศมียาวเท่ากับ

b หนว่ ย เขียนสว่ นโคง้ ตดั กัน ใหจ้ ุดตัดคอื จดุ C
3. ลาก AC และ BC
จะได้ ΔABC เป็นรูปสามเหล่ยี มตามตอ้ งการ

4. สรา้ ง A

bb

Ba CT

1. สรา้ ง BC ยาวเท่ากบั a หนว่ ย
2. ใชจ้ ดุ B และจุด C เป็นจดุ ศนู ย์กลาง รัศมยี าวเทา่ กับ b หนว่ ย เขยี นส่วนโค้งตัดกัน ให้จดุ ตัดคือ จดุ A
3. ลาก AB และ AC
จะได้ ΔABC เปน็ รปู สามเหลีย่ มหน้าจ่ัว

5. สรา้ ง แบ่งครึง่ ส่วนของเส้นตรงท่ยี าว b หนว่ ย จะได้ สว่ นแบง่ แตล่ ะสว่ นยาว 2b– หน่วย

bb
22

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 93

A

C

a b aa
2

Aa B T B bC T
2
รูปที่ 1 รูปที่ 2

วิธีสรา้ งรูปที่ 1
1. สร้าง AB ยาวเทา่ กับ a หน่วย
2. ใช้จดุ A เป็นจุดศนู ยก์ ลาง รัศมยี าวเท่ากบั a หน่วย และใชจ้ ดุ B เป็นจดุ ศูนย์กลาง รัศมียาวเทา่ กบั

2b– หนว่ ย เขียนส่วนโค้งตดั กัน ให้จดุ ตดั คอื จดุ C
3. ลาก BC และ AC
จะได้ ΔABC เป็นรูปสามเหล่ยี มหน้าจ่วั ตามตอ้ งการ
วิธีสร้างรูปที่ 2
1. สร้าง BC ยาวเท่ากบั 2b– หนว่ ย
2. ใช้จดุ B และจุด C เป็นจดุ ศูนย์กลาง รัศมยี าวเทา่ กบั a หน่วย เขียนส่วนโค้งตัดกนั ให้จดุ ตดั คอื จุด A
3. ลาก AB และ AC
จะได้ ΔABC เปน็ รูปสามเหลย่ี มหน้าจั่วตามตอ้ งการ

6. 1) สร้าง

C

2a 3a

A 2a BT
3a

จากการสรา้ ง จะได้ ΔABC ทมี่ ีด้านยาว 2a, 3a และ 4a หนว่ ย ตามต้องการ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

94 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต คมู่ ือครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1

2) ผลบวกของความยาวด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมต้องมากกว่าความยาวของด้านท่ีเหลือเสมอ เพราะถ้า
สร้างฐานของรูปสามเหลี่ยมให้ยาวเท่ากับ 3a หน่วย แล้ว ผลบวกของความยาวของด้านอีกสองด้านเท่ากับ
a + 2a = 3a พอดี จะเห็นวา่ รปู ทสี่ รา้ งไดน้ น้ั สว่ นของเส้นตรงทย่ี าว a และ 2a ไมช่ นกนั จึงไม่เกดิ เป็น
รูปสามเหลยี่ มได้ ดังภาพ

a 2a B
Aa 2a

3) ไมส่ ามารถสร้างได้ เพราะใช้แนวคิดเดียวกบั ข้อ 2)
7. สร้าง

A E C FB

1. แบ่งครง่ึ AB จะได้ AC = CB
2. แบ่งครง่ึ AC จะได้ AE = EC
3. แบง่ ครึง่ CB จะได้ CF = FB
จะได้ AE, EF, CF และ FB เปน็ สว่ นของเส้นตรง 4 สว่ น ที่แตล่ ะสว่ นยาวเทา่ กนั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต 95

8. เราสามารถแบ่งเป็นสว่ นทยี่ าวเทา่ กัน ได้ดงั นี้

1) เราสามารถแบง่ ได้ 2 สว่ น 4 ส่วน 8 สว่ น 16 สว่ น … หรือมแี บบรูปเป็น

ครง้ั ท่ี 1 แบ่งได้ 2 = 2 สว่ น

ครั้งที่ 2 แบ่งได้ 2 × 2 = 4 ส่วน

ครงั้ ที่ 3 แบง่ ได้ 2 × 2 × 2 = 8 สว่ น
⋮

ซง่ึ จะแบง่ ได้ตามแบบรปู นี้ไปเรอื่ ย ๆ กลา่ วคือ ในกรณีทั่วไปจะแบ่งได้ 2 × 2 × 2 × . . . × 2 ส่วน เม่ือ n แทน

จำ�นวนคร้งั ของการแบง่ n ตัว

2) เราไม่สามารถแบ่งส่วนของเส้นตรงออกเป็น 10 ส่วน ท่ียาวเท่ากันได้ เพราะการแบ่งคร่ึงส่วนของเส้นตรง

แตล่ ะสว่ น จะได้จำ�นวนส่วนแบง่ เป็น 2, 4, 8, 16, … เทา่ น้ัน

9. แนวคดิ ใหจ้ ุด A และ B แทนต�ำ แหนง่ บา้ นของเสรแี ละสันติ ตามล�ำ ดับ

บ้านของเสรี บา้ นของสนั ติ
A
O
B

มาตราสว่ น 1 : 500

หาต�ำ แหนง่ ของบ่อนำ้�โดยการแบ่งครงึ่ AB
จากการสรา้ ง จะได้จุด O เป็นตำ�แหน่งของบ่อน�ำ้
จากการวดั จะได้ AO = OB = 3.5 เซนตเิ มตร
บา้ นของเสรแี ละสนั ตอิ ยหู่ า่ งจากบอ่ น�ำ้ 3.5 × 500 = 1,750 เซนตเิ มตร หรอื เทา่ กบั 17.50 เมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

96 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต ค่มู ือครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1

10. การแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวมาก ๆ สามารถทำ�ได้โดยกางวงเวียนรัศมียาวเท่ากันแบ่งส่วนของเส้นตรง
จากจุดปลายทั้งสองเข้ามาหาจุดก่ึงกลางของส่วนของเส้นตรงนี้ จนกว่าจะเหลือส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวส้ันพอ
ท่ีจะใชว้ งเวียนแบง่ คร่ึงสว่ นของเส้นตรงได้ ดงั ตัวอย่าง

A CO D B

จากรูป กางวงเวยี นรศั มียาวเทา่ กนั แบง่ ส่วนของเส้นตรงจากจดุ ปลาย A และ B ใหจ้ ำ�นวนครั้งท่แี บ่งจากปลายทั้งสอง
เท่ากนั จนได้จดุ C และจุด D ซึ่ง CD มีความยาวพอที่จะใชว้ งเวียนแบ่งครง่ึ ได้ แล้วใชก้ ารแบ่งครง่ึ CD จะไดจ้ ุด O
เปน็ จุดกึ่งกลางของ AB

แบบฝกึ หัด 2.2 ข

1. สร้าง

A

2. สรา้ ง BC

จากการสร้าง จะได้ AˆBC มีขนาดเท่ากบั ขนาดของมุมที่ก�ำ หนดให้

Z

YX

จากการสรา้ ง จะได้ XˆYZ มีขนาดเท่ากบั ขนาดของมมุ กลับท่ีก�ำ หนดให้

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 97

3. สร้าง

R

PQ

จากการสรา้ ง จะได้ RˆPQ มีขนาดเทา่ กับสองเท่าของขนาดของ AˆBC ที่กำ�หนดให้

4. สรา้ ง

C

D

AB

จากการสรา้ ง CˆAB ให้มขี นาดเท่ากับขนาดของ PˆQR และสร้าง DˆAB ใหม้ ขี นาดเท่ากบั ขนาดของ MˆON
จากรูป จะได้ CˆAD = CˆAB – DˆAB
ดังน้ัน CˆAD = PˆQR – MˆON
5. สรา้ ง AˆBC ให้มีขนาดนอ้ ยกวา่ 180°

AD

BC

E

1) จากการสรา้ ง �BD เป็นเส้นแบง่ ครึง่ AˆBC และ �BE เปน็ เส้นแบง่ ครึ่งมุมกลับ ABC

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

98 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ คู่มือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1

2) จะไดข้ ้อความคาดการณว์ ่า �BD และ �BE ซงึ่ เป็นเส้นแบง่ ครึง่ มมุ ในข้อ 1) ตอ่ เป็นเสน้ ตรงเดยี วกัน ซึ่งสามารถ

แสดงให้เห็นว่าเป็นจรงิ ไดด้ งั น้ี

เน่ืองจาก DˆBA + AˆBE = 21– AˆBC + 21– (ขนาดของมมุ กลับ ABC)
= 21– (AˆBC + ขนาดของมมุ กลบั ABC)

= 21– (360o)
= 180o
ดังนนั้ �BD และ �BE ตอ่ เปน็ เสน้ ตรงเดียวกัน ซึ่งเป็นขนาดของมุมตรง

6. สร้าง

E
D

C

F

AB

จากการสรา้ ง จะได้ CˆAB มีขนาดเทา่ กบั ขนาดของ XˆYZ
�AD แบง่ ครึ่ง CˆAB
�AE แบ่งครง่ึ CˆAD
และ �AF แบ่งครึ่ง DˆAB
ดงั นนั้ CˆAE = EˆAD = DˆAF = FˆAB
1) ไม่สามารถแบ่ง XˆYZ ออกเป็น 3 มมุ 5 มมุ หรือ 6 มุม ทแี่ ตล่ ะมมุ มขี นาดเทา่ กันดว้ ยวธิ ีการข้างตน้ ได้
2) โดยใช้การแบ่งครึง่ มมุ เราสามารถแบง่ XˆYZ ออกเปน็ มุมทม่ี ีขนาดเทา่ กนั 2 มมุ 4 มมุ 8 มมุ 16 มมุ …

หรอื มีแบบรปู เปน็ ดังน้ี

ครงั้ ที่ 1 แบง่ ได้ 2 = 2 มมุ

ครั้งที่ 2 แบ่งได้ 2 × 2 = 4 มุม

ครั้งที่ 3 แบ่งได้ 2 × 2 × 2 = 8 มมุ
⋮

ซ่งึ จะแบง่ ได้ตามแบบรปู นี้ไปเรือ่ ย ๆ กล่าวคอื ในกรณที ่ัวไปจะแบง่ ได้ 2 × 2 × 2 × . . . × 2 มมุ เมื่อ n แทน

จำ�นวนครง้ั ของการแบ่ง n

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี