คู่มือครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.1 เล่ม 1

คู่มือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 99

7. สรา้ ง

C

A aB

จากการสรา้ ง จะได้ ΔABC มี AB = a หนว่ ย AˆBC = PQˆR และ BˆAC = XˆYZ

8. สร้าง

X R
Y

PQ S

จากการสร้าง จะได้ �QX แบ่งครึ่ง PQˆR และ �QY แบง่ ครงึ่ RˆQS

1) PQˆR + RˆQS = 180o

2) 1–2 PQˆR + 1–2 RˆQS = 1–2 (PQˆR + RˆQS) = 1–2 (180o) = 90o
3) XˆQY = 90o เพราะว่า XˆQY = XˆQR + RˆQY

= –12 PQˆR + 1–2 RˆQS

= 90o

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

100 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ คู่มอื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1

แบบฝึกหัด 2.2 ค C

1.

AO B

D
1) จากการสร้าง CD แบง่ คร่ึง AB ที่จดุ O

2) CD ตงั้ ฉากกบั AB ทจ่ี ดุ O เพราะว่า AˆOC + BˆOC = 180o (ขนาดของมมุ ตรง)
ซึง่ จากการใช้วงเวยี นวดั ขนาดของ AˆOC และ BˆOC จะพบวา่ AˆOC = BˆOC
ดงั นัน้ AˆOC = BˆOC = 21– (180o) = 90o

2.

P

C

AO B

D
1) จากการสรา้ ง �CD แบ่งครง่ึ AB ทีจ่ ุด O
จากข้อ 1 จะได้วา่ �CD ตงั้ ฉากกับ AB ทีจ่ ดุ O ด้วย
2) ใหจ้ ดุ P เปน็ จุดใด ๆ บน �CD เม่อื ใช้วงเวยี นตรวจสอบความยาวของ PA และ PB จะได้วา่ PA = PB

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 101

3. A

D

G F
P
I

B HC

E

จากการสร้าง จะได้ PD, PE และ PF เป็นเส้นต้ังฉากทล่ี ากจากจดุ P ไปยงั AB, BC และ AC ตามลำ�ดับ
ข้อสงั เกตท่เี ปน็ ไปได้ เช่น ถา้ ให้จุดตดั บน AB, BC และ AC คอื จุด G จุด H และจดุ I ตามลำ�ดับ จะได้วา่
PG เปน็ ส่วนสงู เสน้ หน่ึงของ ΔAPB
PH เป็นส่วนสงู เส้นหนงึ่ ของ ΔBPC
และ PI เป็นสว่ นสงู เส้นหน่ึงของ ΔAPC
ดังนนั้ อาจหาพน้ื ที่ของ ΔABC ได้ ถา้ ทราบความยาวของดา้ นทง้ั สามและสว่ นสงู เหล่าน้ี

4.

D K
G

MJ O

LH F
EN

I
เนือ่ งจากเราทราบมาแล้ววา่ เมอ่ื ใช้การสร้างพื้นฐานทางเรขาคณติ ข้อที่ 2 ในการแบง่ ครึง่ ส่วนของเสน้ ตรง เสน้ ท่ี
แบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรงใด ๆ จะตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรงนั้นด้วย ดังนั้น เราสามารถสร้างเส้นแบ่งคร่ึงและ
ตง้ั ฉากกบั ดา้ นแต่ละดา้ นของรูปสามเหลี่ยม DEF ไดด้ งั นี้

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

102 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ คูม่ ือครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1

1. สร้าง GH แบง่ ครึ่ง DE ทจ่ี ุด M
2. สรา้ ง IJ แบ่งคร่งึ EF ที่จุด N
3. สร้าง KL แบง่ ครงึ่ FD ทจี่ ดุ O
ดังน้ัน GH, IJ และ KL จึงเป็นเสน้ แบง่ ครึ่งและตั้งฉากกบั DE, EF และ FD ซ่งึ เปน็ ด้านของรูปสามเหล่ยี ม

DEF ตามลำ�ดบั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณิต 103

2.3 การสรา้ งรูปเรขาคณิต (4 ชั่วโมง)

จุดประสงค์

นกั เรยี นสามารถ

1. อธิบายและสร้างรูปเรขาคณิตโดยการใช้การสร้างพื้นฐานทางเรขาคณติ
2. ส�ำ รวจ สังเกต และคาดการณเ์ ก่ยี วกับสมบตั ทิ างเรขาคณิต และน�ำ ไปใช้ในการแก้ปัญหา

ความเขา้ ใจที่คลาดเคลือ่ น

1. นักเรียนอาจเข้าใจคลาดเคล่ือนว่า การหาระยะห่างระหว่างเส้นตรงหรือส่วนของเส้นตรงสองเส้น สามารถหาได้จาก
การวดั ระยะหา่ งทต่ี �ำ แหนง่ ใดกไ็ ดร้ ะหวา่ งเสน้ ตรงหรอื สว่ นของเสน้ ตรงสองเสน้ นนั้ ซงึ่ ในความเปน็ จรงิ เราตอ้ งก�ำ หนด
จดุ บนเสน้ ตรงหรอื สว่ นของเสน้ ตรงหนง่ึ กอ่ น แลว้ จงึ วดั ระยะหา่ งจากจดุ นนั้ มาตงั้ ฉากกบั เสน้ ตรงหรอื สว่ นของเสน้ ตรง
อกี เสน้ หนง่ึ

2. นกั เรียนอาจเขา้ ใจคลาดเคล่อื นว่า สว่ นสูงของรูปสามเหลี่ยมต้องอยภู่ ายในรูปสามเหลยี่ มเทา่ น้นั

สือ่ ท่ีแนะนำ�ให้ใช้ในข้อเสนอแนะในการจดั กจิ กรรมการเรยี นรู้

1. วงเวียน และสันตรง
2. โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad หรือซอฟต์แวร์เรขาคณติ พลวตั อืน่ ๆ
3. ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 2.3 : สรา้ งสวนสนกุ

ข้อเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้

ในหัวข้อนี้เป็นเรื่องเกี่ยวกับการสร้างรูปเรขาคณิต โดยเน้นฝึกปฏิบัติให้นักเรียนได้ใชว้ งเวยี นและสนั ตรง หรอื โปรแกรม
The Geometer’s Sketchpad หรือซอฟต์แวร์เรขาคณิตพลวัตอ่ืน ๆ ในการสร้างรูปเรขาคณิตเก่ียวกับมุม รูปสามเหล่ียม
เสน้ ขนาน และรูปส่ีเหลีย่ ม รวมทัง้ ใหม้ ีการสังเกต สำ�รวจ และคาดการณเ์ กยี่ วกบั สมบตั ิทางเรขาคณิต ทง้ั น้ี ครคู วรจะพัฒนา
ความรสู้ ึกเชงิ ปริภูมิ และการนกึ ภาพเกยี่ วกับรูปเรขาคณติ กจิ กรรมที่ครูควรจัดมีดังน้ี
1. ในการสอนการสร้างรปู เรขาคณิต ครูควรใชค้ ำ�ถามประกอบการอธิบายและสาธิต เพ่อื ให้นักเรียนเชือ่ มโยงความรู้

เก่ยี วกบั การสร้างพืน้ ฐานทางเรขาคณิตทีเ่ รยี นมาแลว้ มาท�ำ ความเขา้ ใจเก่ียวกับการสร้างรปู เรขาคณิต ซง่ึ ไดแ้ ก่
✤ การสรา้ งมมุ ท่ีมขี นาดตา่ ง ๆ
✤ การสร้างและสำ�รวจเกีย่ วกบั รูปสามเหลี่ยม
✤ การสร้างเส้นขนาน
✤ การสร้างรูปสีเ่ หลี่ยม

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

104 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณิต คมู่ อื ครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1

2. ในการจัดกิจกรรมเพ่ือสร้างรูปเรขาคณิตเกี่ยวกับการสร้างมุมที่มีขนาดต่าง ๆ และเพ่ือให้นักเรียนได้ใช้ความรู้สึก
เชิงจ�ำ นวน ครคู วรชใ้ี หน้ ักเรียนเห็นความสัมพันธร์ ะหวา่ งมมุ ที่มขี นาดตา่ งกนั เช่น

✤ มุมท่ีมีขนาด 75 องศา 75 อาจไดม้ าจาก 60 + 15 หรือ 30 + 30 + 15 หรือ 90 – 15
✤ มมุ ที่มขี นาด 150 องศา 150 อาจได้มาจาก 120 + 30 หรือ 90 + 60 หรือ 180 – 30
✤ มมุ ทมี่ ขี นาด 210 องศา 210 อาจไดม้ าจาก 180 + 30 หรอื 270 – 60
3. ครจู ดั กจิ กรรม เพอ่ื ใหน้ กั เรยี นไดส้ �ำ รวจ สงั เกต และคาดการณเ์ กย่ี วกบั สมบตั ทิ างเรขาคณติ โดยใชก้ จิ กรรมตอ่ ไปน้ี
✤ กจิ กรรม : สำ�รวจเสน้ มธั ยฐานของรูปสามเหลี่ยม
✤ กิจกรรม : สำ�รวจเส้นแบ่งคร่งึ มุมของรปู สามเหลีย่ ม
✤ กิจกรรม : สำ�รวจส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดยอดของรูปสามเหล่ียมมาต้ังฉากกับด้านตรงข้ามหรือ

สว่ นตอ่ ของด้านตรงขา้ มกับจดุ ยอดนนั้
✤ กิจกรรม : สำ�รวจเสน้ ตรงท่ีแบ่งครึ่งและต้งั ฉากกบั ด้านของรปู สามเหลี่ยม
ท้งั น้ี นักเรียนสามารถใช้วงเวยี นและสันตรง หรือโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad หรอื ซอฟตแ์ วร์

เรขาคณติ พลวตั อ่นื ๆ ในการส�ำ รวจ โดยครคู วรใชค้ ำ�ถามกระตุน้ เพื่อนำ�ไปสกู่ ารสรา้ งขอ้ ความคาดการณ์ รวมถงึ
สำ�รวจผลทไี่ ดว้ ่าเป็นไปตามข้อความคาดการณห์ รอื ไม่
4. ครูอาจใช้ “กจิ กรรมเสนอแนะ 2.3 : สรา้ งสวนสนุก” เพือ่ ใหเ้ ห็นการน�ำ สมบตั ทิ างเรขาคณิตทีเ่ กยี่ วกับ จุดจวบ
ของเส้นแบ่งครงึ่ มุมท้ังสามของรปู สามเหลีย่ มไปใช้ในการแกป้ ญั หา

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณิต 105

กจิ กรรม : ส�ำ รวจเส้นมธั ยฐานของรปู สามเหลยี่ ม

กิจกรรมนี้ เป็นกิจกรรมสำ�หรับฝึกให้นักเรียนสืบเสาะ สังเกต และคาดการณ์เก่ียวกับสมบัติของรูปสามเหลี่ยม
เพื่อให้นักเรียนได้ฝึกใช้การสร้างพื้นฐานทางเรขาคณิตในการสร้างเส้นมัธยฐาน และสำ�รวจส่ิงที่นักเรียนค้นพบผ่านการลงมือ
ปฏบิ ัติ ซ่งึ นกั เรยี นอาจใช้ซอฟต์แวร์เรขาคณติ พลวัตช่วยในการสรา้ ง โดยมีอปุ กรณ์ และข้ันตอนการดำ�เนินกิจกรรม ดังนี้

อปุ กรณ์

ซอฟตแ์ วรเ์ รขาคณิตพลวัต

ขัน้ ตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม

1. ครูให้นกั เรยี นสร้างรปู สามเหลีย่ ม ABC
2. ครใู ห้นกั เรยี นสร้างเสน้ มัธยฐานของรปู สามเหลี่ยม ABC ใหค้ รบทั้งสามเสน้
3. ครูให้นักเรียนสังเกตผลที่ได้จากการสร้างในข้อ 2 เปรียบเทียบและอภิปรายผลท่ีได้จากการสังเกตกับเพื่อนในห้อง

เพอ่ื น�ำ ไปส่ขู ้อสรปุ ที่ค้นพบ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

106 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณติ คูม่ อื ครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1

เฉลยกจิ กรรม : ส�ำ รวจเส้นมัธยฐานของรปู สามเหลีย่ ม

A

O

B DC
จากการส�ำ รวจ จะไดว้ า่ ในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ เส้นมธั ยฐานทั้งสามตัดกันท่ีจดุ จุดหนง่ึ
หมายเหต ุ จากรปู จุด O เปน็ จดุ เซนทรอยด์ (centroid)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต 107

กจิ กรรม : สำ�รวจเส้นแบง่ ครงึ่ มุมของรูปสามเหล่ียม

กิจกรรมน้ี เป็นกิจกรรมสำ�หรับฝึกให้นักเรียนสืบเสาะ สังเกต และคาดการณ์เก่ียวกับสมบัติของรูปสามเหล่ียม เพ่ือให้
นักเรียนได้ฝึกใช้การสร้างพ้ืนฐานทางเรขาคณิตในการสร้างเส้นแบ่งคร่ึงมุมของรูปสามเหลี่ยม และสำ�รวจส่ิงท่ีนักเรียนค้นพบ
ผา่ นการลงมอื ปฏบิ ตั ิ ซง่ึ นกั เรยี นอาจใชซ้ อฟตแ์ วรเ์ รขาคณติ พลวตั ชว่ ยในการสรา้ ง โดยมอี ปุ กรณ์ และขนั้ ตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม
ดงั นี้

อุปกรณ์

ซอฟต์แวร์เรขาคณิตพลวัต

ขัน้ ตอนการดำ�เนนิ กิจกรรม

1. ครใู ห้นกั เรียนสรา้ งรปู สามเหล่ียม LMN
2. ครใู หน้ ักเรยี นสรา้ งเสน้ แบ่งครึง่ มุมของรูปสามเหล่ยี ม LMN ใหค้ รบทงั้ สามเส้น
3. ครูให้นักเรียนสังเกตผลที่ได้จากการสร้างในข้อ 2 จากนั้น เปรียบเทียบและอภิปรายผลท่ีได้จากการสังเกต

กับเพอ่ื นในหอ้ ง เพอื่ นำ�ไปสู่ข้อสรปุ ทค่ี น้ พบ
4. ครแู ละนักเรยี นรว่ มกนั สรปุ ขอ้ ค้นพบที่ไดจ้ ากข้อ 3

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

108 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ คูม่ ือครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1

เฉลยกจิ กรรม : สำ�รวจเสน้ แบง่ ครึง่ มมุ ของรปู สามเหล่ียม

N

O

LM
จากการส�ำ รวจ จะไดว้ ่า ในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ เส้นแบง่ ครงึ่ มุมภายในทัง้ สามจะตัดกนั ท่ีจดุ จุดหนึ่ง
หมายเหต ุ จากรปู จุด O เป็นศนู ย์กลางวงกลมแนบใน (incenter)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 109

กิจกรรม : สำ�รวจสว่ นของเสน้ ตรงทลี่ ากจากจดุ ยอดของ
รปู สามเหลย่ี มมาต้ังฉากกบั ดา้ นตรงขา้ มหรอื ส่วนต่อของ

ด้านตรงข้ามกบั จุดยอดนนั้

กิจกรรมน้ี เป็นกิจกรรมสำ�หรับฝึกให้นักเรียนสืบเสาะ สังเกต และคาดการณ์เกี่ยวกับสมบัติของรูปสามเหลี่ยม
เพอื่ ใหน้ กั เรยี นไดฝ้ กึ ใชก้ ารสรา้ งพน้ื ฐานทางเรขาคณติ ในการสรา้ งสว่ นของเสน้ ตรงทลี่ ากจากจดุ ยอดของรปู สามเหลย่ี มมาตง้ั ฉาก
กับด้านตรงข้ามกับจุดยอดน้ันหรือส่วนต่อของด้านตรงข้าม และสำ�รวจสิ่งท่ีนักเรียนค้นพบ ผ่านการลงมือปฏิบัติ ซึ่งนักเรียน
อาจใชซ้ อฟต์แวรเ์ รขาคณติ พลวตั ช่วยในการสร้าง โดยมอี ปุ กรณ์ และขัน้ ตอนการดำ�เนินกจิ กรรม ดงั น้ี

อุปกรณ์

ซอฟต์แวรเ์ รขาคณิตพลวัต

ขั้นตอนการดำ�เนนิ กิจกรรม

1. ครูใหน้ ักเรียนสร้างรูปสามเหลี่ยม PQR
2. ครูให้นักเรียนสร้างส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมมาต้ังฉากกับด้านตรงข้ามหรือส่วนต่อ

ของดา้ นตรงข้ามกบั จดุ ยอดน้นั ให้ครบทง้ั สามเส้น
3. ครใู ห้นักเรยี นสังเกตผลทไ่ี ดจ้ ากการสร้างในขอ้ 2 จากน้นั เปรยี บเทียบและอภปิ รายผลท่ีได้จากการสงั เกตกับเพอ่ื น

ในห้อง เพ่ือนำ�ไปสู่ข้อสรุปทคี่ ้นพบ
4. ครแู ละนกั เรียนร่วมกันสรปุ ขอ้ ค้นพบทไี่ ดจ้ ากขอ้ 3

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

110 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ คมู่ อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1

เฉลยกิจกรรม : สำ�รวจส่วนของเสน้ ตรงท่ลี ากจากจดุ ยอดของ
รูปสามเหลีย่ มมาตง้ั ฉากกับดา้ นตรงขา้ มหรอื ส่วนต่อของ
ด้านตรงขา้ มกบั จดุ ยอดน้นั

P

O
QR

จากการสำ�รวจ จะไดว้ ่า ส่วนสงู หรอื สว่ นตอ่ ของสว่ นสูงของรูปสามเหลย่ี มใด ๆ จะตัดกนั ทจ่ี ุดจุดหนึง่
หมายเหต ุ จากรูป จดุ O เปน็ จุดออร์โทเซนเตอร์ (orthocentre)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ 111

กจิ กรรม : เส้นตรงที่แบง่ ครง่ึ และตงั้ ฉากกับดา้ นของรูปสามเหลยี่ ม

กิจกรรมน้ี เป็นกิจกรรมสำ�หรับฝึกให้นักเรียนสืบเสาะ สังเกต และคาดการณ์เก่ียวกับสมบัติของรูปสามเหล่ียม
เพื่อให้นักเรียนได้ฝึกใช้การสร้างพ้ืนฐานทางเรขาคณิตในการสร้างเส้นตรงที่แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับด้านของรูปสามเหลี่ยม และ
สำ�รวจส่ิงที่นักเรียนค้นพบ ผ่านการลงมือปฏิบัติ ซึ่งนักเรียนอาจใช้ซอฟต์แวร์เรขาคณิตพลวัตช่วยในการสร้าง โดยมีอุปกรณ์
และขั้นตอนการดำ�เนนิ กิจกรรม ดังน้ี

อปุ กรณ์

ซอฟตแ์ วร์เรขาคณติ พลวตั

ขัน้ ตอนการดำ�เนินกจิ กรรม

1. ครูใหน้ ักเรียนสรา้ งรปู สามเหลี่ยม RST
2. ครูใหน้ กั เรยี นสร้างเส้นตรงที่แบ่งคร่งึ และตั้งฉากกบั ดา้ นของรูปสามเหลี่ยม RST ใหค้ รบทั้งสามเส้น
3. ครใู ห้นักเรียนสงั เกตผลที่ไดจ้ ากการสร้างในข้อ 2 จากนนั้ เปรยี บเทยี บและอภิปรายผลทีไ่ ดจ้ ากการสงั เกตกบั เพ่อื น

ในห้อง เพอื่ นำ�ไปสูข่ ้อสรปุ ท่ีคน้ พบ

หมายเหตุ ครูควรใหเ้ วลานกั เรียนสรา้ งขอ้ ความคาดการณ์ อภปิ รายและนำ�เสนอเหตผุ ล

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

112 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต ค่มู ือครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1

เฉลยกจิ กรรม : เสน้ ตรงทแี่ บง่ คร่ึงและตั้งฉากกับดา้ นของรูปสามเหล่ียม

T

O S
R

จากการสำ�รวจ จะได้วา่ เส้นแบ่งครึ่งและตั้งฉากกับดา้ นแต่ละดา้ นของรปู สามเหลย่ี ม RST จะตดั กนั ทจ่ี ดุ จดุ หนงึ่
หมายเหต ุ จากรปู จดุ O เปน็ ศูนย์กลางวงล้อม (circumcentre)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต 113

กจิ กรรมเสนอแนะ 2.3 : สรา้ งสวนสนุก

กจิ กรรมน้ี เปน็ กจิ กรรมทช่ี ว่ ยสรา้ งเสรมิ ประสบการณเ์ กย่ี วกบั การแบง่ ครง่ึ มมุ ใหเ้ หน็ วา่ ทกุ จดุ บนเสน้ แบง่ ครง่ึ มมุ จะอยหู่ า่ ง
จากแขนของมมุ ทง้ั สองเปน็ ระยะเทา่ กนั เสมอ และใหเ้ หน็ สมบตั เิ กยี่ วกบั การตดั กนั ของเสน้ แบง่ ครง่ึ มมุ ทงั้ สามของรปู สามเหลย่ี ม
ซึ่งนกั เรยี นสามารถเรียนรู้โดยการสงั เกต สบื เสาะ และหาข้อสรปุ จากการลงมือปฏิบตั ิดว้ ยการใช้วงเวียนและสนั ตรง หรืออาจ
ใชโ้ ปรแกรม The Geometer’s Sketchpad และสามารถน�ำ ความรไู้ ปใชแ้ กป้ ญั หา โดยมอี ปุ กรณแ์ ละขนั้ ตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม
ดงั นี้

อุปกรณ์

1. ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 2.3 : สรา้ งสวนสนุก
2. วงเวยี นและสนั ตรง หรอื โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad หรอื ซอฟตแ์ วรเ์ รขาคณติ พลวตั อน่ื ๆ ในการสรา้ ง

และสำ�รวจ

ข้นั ตอนการดำ�เนินกจิ กรรม

1. ครูน�ำ เสนอปัญหาที่อยู่ในใบกิจกรรมเสนอแนะ 2.3 : สร้างสวนสนุก
2. ให้นักเรียนใช้ความรูเ้ ร่ืองการแบง่ คร่งึ มมุ และการสร้างเส้นตั้งฉาก มาประกอบการคิดแก้ปัญหา ทง้ั นี้ อาจให้นักเรียน

ใชว้ งเวยี นและสนั ตรง หรอื โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad หรอื ซอฟตแ์ วรเ์ รขาคณติ พลวตั อน่ื ๆ ในการสรา้ ง
และสำ�รวจ
3. เม่ือนักเรียนได้ตำ�แหน่งท่ีจะสร้างสวนสนุก และวิธีการสร้างถนนให้มีระยะทางส้ันท่ีสุดแล้ว ครูควรใช้คำ�ถาม
ขยายความคดิ เชน่ ถ้าต�ำ แหนง่ ของหมบู่ ้านท้ังสามเปล่ยี นแปลงไป นกั เรียนยังสามารถใชแ้ นวคดิ ข้างต้น ในการหา
ต�ำ แหน่งของสวนสนกุ ได้หรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

114 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ คมู่ อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1

ใบกิจกรรมเสนอแนะ 2.3 : สร้างสวนสนกุ

ปญั หา “สรา้ งสวนสนกุ ”

หมู่บา้ นดอนหวาย ไรข่ งิ และศาลายา มีถนนสายตรงเช่ือมระหว่างหมู่บา้ นทัง้ สาม ดงั รูป

ดอนหวาย

ไรข� ิง ศาลายา

คณะกรรมการของหมบู่ า้ นทง้ั สามตกลงใจทจ่ี ะสรา้ งสวนสนกุ ใหอ้ ยหู่ า่ งจากถนนทง้ั สามสายเปน็ ระยะทางเทา่ กนั
1. จงหาต�ำ แหน่งที่จะสรา้ งสวนสนุก

2. ถ้าต้องการสร้างถนนเล็ก ๆ จากสวนสนุกไปยังถนนใหญ่แต่ละสายท่เี ช่อื มหม่บู ้าน โดยให้มีระยะทาง
สน้ั ทส่ี ดุ จะสรา้ งอยา่ งไร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ 115

เฉลยกจิ กรรมเสนอแนะ 2.3 : สร้างสวนสนกุ

1. จงหาตำ�แหนง่ ท่จี ะสรา้ งสวนสนุก
ตำ�แหนง่ ทจี่ ะสร้างสวนสนกุ คือ จุดตัดของเส้นแบง่ ครึ่งมุม ดงั รปู

ดอนหวาย

ไรข� ิง ศาลายา

2. ถ้าต้องการสร้างถนนเล็ก ๆ จากสวนสนุกไปยังถนนใหญ่แต่ละสายท่ีเช่ือมหมู่บ้าน โดยให้มีระยะทางส้ันท่ีสุด
จะสรา้ งอยา่ งไร

สร้างไดโ้ ดยใหแ้ นวของถนนเลก็ ๆ จากสวนสนุกตงั้ ฉากกบั ถนนใหญ่แต่ละสาย

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

116 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต คูม่ อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1

เฉลยชวนคดิ

ชวนคิด 2.7

การสร้างมุม 30o และ 45o ใช้แนวคิดจากการสร้างพ้ืนฐานทางเรขาคณิตข้อที่ 4 : การแบ่งครึ่งมุม
ทีก่ �ำ หนดให้ เช่น
มมุ ที่มขี นาด 30o ใชแ้ นวคดิ การแบง่ คร่ึงมุมท่ีมีขนาด 60o
มุมทมี่ ขี นาด 45o ใชแ้ นวคิดการแบง่ คร่ึงมุมท่ีมีขนาด 90o

ชวนคดิ 2.8

แนวคิดอ่นื ๆ ในการสรา้ งมุมที่มขี นาด 75o เชน่ 75 = 30 + 45 , 75 = 180 – 30
2

ชวนคิด 2.9

การสร้างมุม 120o มีแนวคิดในการสร้างไดห้ ลายแนวคดิ เช่น
✤ 120 = 60 + 60
✤ 120 = 90 + 30
✤ 120 = 180 – 60
การสร้างมมุ 150o มแี นวคดิ ในการสร้างไดห้ ลายแนวคิด เชน่
✤ 150 = 180 – 30
✤ 150 = 90 + 60
✤ 150 = 120 + 30
✤ 150 = 75 + 75

ชวนคิด 2.10

คาดวา่ รงั สนี ี้จะตดั ดา้ นท่ีเหลือของรปู สามเหล่ยี มทจี่ ดุ กงึ่ กลางของด้านน้นั

ชวนคิด 2.11

คาดว่ารังสีน้จี ะแบง่ ครึง่ มมุ ที่เหลอื

ชวนคดิ 2.12

คาดวา่ รงั สีน้ีจะตัดด้านที่เหลอื หรอื สว่ นต่อของดา้ นท่เี หลอื ของรูปสามเหล่ยี มในลกั ษณะต้งั ฉากกบั ดา้ นนน้ั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 117

ชวนคดิ 2.13

1. เสน้ ตรงนจี้ ะต้งั ฉากกบั ดา้ นทเี่ หลอื
2. เสน้ ตรงนีจ้ ะแบง่ ครงึ่ ด้านท่เี หลอื

ชวนคดิ 2.14

เสน้ แบง่ ครง่ึ มมุ สว่ นสงู และเสน้ แบง่ ครง่ึ และตงั้ ฉาก มโี อกาสทมี่ จี ดุ ตดั รว่ มกนั เพยี งจดุ เดยี ว ถา้ รปู สามเหลย่ี ม
รูปน้ันเป็นรูปสามเหลย่ี มด้านเท่า

ชวนคิด 2.15

�CD ขนานกับ �AB เพราะขนาดของมมุ ภายในท่อี ยูบ่ นข้างเดียวกันของเสน้ ตดั รวมกนั ได้ 180°

ชวนคิด 2.16

มวี ธิ กี ารสรา้ งแบบอื่นอกี เชน่ การสร้างรูปสามเหลย่ี ม DEF ให้ DE มคี วามยาวเปน็ สองเทา่ ของ AB
มุม DEF มีขนาดเท่ากับมุม ABC และมุม FDE มีขนาดเท่ากับมุม CAB โดยใช้การสร้างพ้ืนฐาน
ทางเรขาคณิตข้อท่ี 1 และ 3

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

118 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต คู่มอื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1

เฉลยมมุ เทคโนโลยี

มมุ เทคโนโลยี

รูปหลายเหล่ียมมหี ลายประเภท เชน่

รูปสามเหลี่ยมดา้ นเท่า เช่น ΔEFA รูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก เช่น ΔDGB

รูปสามเหลย่ี มหนา้ จวั่ เชน่ ΔEGA รปู ส่ีเหลี่ยมผืนผ้า เชน่ ■EFBC

รปู สี่เหล่ยี มรูปวา่ ว เชน่ ■EFGC รปู ส่ีเหลย่ี มขนมเปียกปูน เชน่ ■EACD

รปู สี่เหลีย่ มคางหมู เชน่ ■DGBC รปู หา้ เหลยี่ ม เชน่ รปู หา้ เหลย่ี ม EGBCD

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณิต 119

รปู หกเหลี่ยม เชน่ รูปหกเหล่ียม EFGBCD

เฉลยแบบฝึกหัด

แบบฝึกหัด 2.3 ก

1 . 1) แนวคิด 2212 = 45 = 90 – 45
สรา้ ง 2 2

C
D

E

22–12o B

A

1. สร้าง CˆAB ใหม้ ีขนาด 90o
2. สร้าง �AD แบง่ ครึ่ง CˆAB จะได้ DˆAB และ CˆAD แตล่ ะมุมมีขนาด 45o
3. สร้าง �AE แบง่ คร่ึง DˆAB
จะได้ DˆAE และ EˆAB แต่ละมมุ มขี นาด 221–2o

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

120 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ คูม่ ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1

2) แนวคิด 135 = 90 + 45 C
สร้าง

D

135o

A OB

1. สรา้ ง AˆOB ใหเ้ ป็นมมุ ตรง
2. สร้าง BˆOC ให้มขี นาด 90o
3. สร้าง �OD แบ่งคร่ึง AˆOC ท�ำ ให้ CˆOD และ DˆOA แต่ละมุมมขี นาด 45o

ดงั นน้ั BˆOD = BˆOC + CˆOD = 90 + 45 = 135o

3) แนวคิด 240 = 180 + 60

สรา้ ง

240o

180o

A 60o O B

C

1. สร้าง AˆOB ใหเ้ ปน็ มุมตรง
2. สรา้ ง AˆOC ใหม้ ีขนาด 60o
ดังนน้ั มุมกลับ BOC = AˆOB + AˆOC = 180 + 60 = 240o

2. แนวคดิ จากการสร้าง จะได้ BAˆD = 60o และ DAˆE = 60o

เนอ่ื งจาก AF ท่ีสร้างได้นี้ เป็นเส้นแบ่งคร่งึ มมุ DAE

จะได้ DAˆF = 30o
ดงั น้ัน FAˆB = BAˆD + DAˆF = 60 + 30 = 90o

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต 121

3. สร้าง

Y
C

ab

ลาก �AX A BX

1. ที่จุด A สร้าง �AY ใหต้ ้ังฉากกับ �AX
2. สรา้ ง AC บน �AY ใหย้ าวเท่ากบั a หนว่ ย
3. ใชจ้ ุด C เป็นจดุ ศูนยก์ ลาง รศั มียาวเทา่ กบั b หน่วย เขียนสว่ นโคง้ ให้ตดั �AX ให้จุดตดั คอื จดุ B

ลาก BC

จะได้ ΔABC เป็นรูปสามเหล่ยี มมุมฉาก ตามต้องการ

4. สร้าง D C

O

45o 45o
A B

ΔAOB เป็นรปู สามเหล่ยี มหน้าจ่วั และเปน็ รปู สามเหลย่ี มมุมฉากด้วย

เน่ืองจาก DˆAB = AˆBC = 90o และ �AO แบ่งครึ่ง DˆAB และ �BO แบ่งครึ่ง AˆBC
จะได้ OˆAB = OˆBA = 9—20 = 45o

ดงั นน้ั ΔAOB เปน็ รปู สามเหลย่ี มหนา้ จว่ั (สมบตั ขิ อ้ หนงึ่ ของรปู สามเหลยี่ มหนา้ จวั่ ทก่ี ลา่ ววา่ มมุ ทฐี่ านมขี นาด
เทา่ กนั )

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

122 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต ค่มู อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1

เนอ่ื งจาก AˆOB + OˆAB + OˆBA = 180o (ผลบวกของขนาดของมมุ ภายในของรปู สามเหลย่ี มเทา่ กบั สองมมุ ฉาก)
จะได้ AˆOB + 45o + 45o = 180o
AˆOB = 90o


ดังน้ัน ΔAOB เป็นรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก

5. สรา้ ง

C

45o a 45o
A B

จากการสร้าง จะได้ AB เปน็ ฐานของรปู สามเหลีย่ ม ABC ยาว a หน่วย

เนื่องจาก ต้องการให้ AˆCB มีขนาด 90o จะตอ้ งสร้างมุมทฐ่ี านทัง้ สองมมุ ของรูปสามเหลี่ยมใหม้ ีขนาดเทา่ กบั

45o จะได้ ΔABC เป็นรูปสามเหล่ียมหนา้ จว่ั ตามตอ้ งการ

6. สรา้ ง A

Q

B R
C

P

จากการสรา้ ง �AR และ�BP เปน็ เสน้ ทต่ี ง้ั ฉากกบั สว่ นตอ่ ของ BC และ AC ตามล�ำ ดบั และ �CQ ตง้ั ฉากกบั AB
จะได้ AR, BP และ CQ เป็นสว่ นสงู ของ ΔABC

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ 123

แบบฝึกหดั 2.3 ข A
D
1. สร้าง

B

C
1. ลาก CA

2. สร้าง CˆAD ใหม้ ีขนาดเท่ากับขนาดของ BˆCA โดยให้ BˆCA และ CˆAD เป็นมุมแยง้

จะได้ �AD เป็นแนวถนนทข่ี นานกบั แนวคลองชลประทาน �BC

2. 1) สร้าง

D F
E

a

AB
1. สร้าง �AB
2. สร้าง �AD ต้ังฉากกับ �AB ที่จดุ A และให้ AD ยาว a หน่วย
3. ที่จุด D สรา้ ง�EF ตง้ั ฉากกับ �AD
จะได้ �EF ขนานกบั �AB และอย่หู า่ งจาก �AB เท่ากับ a หนว่ ย

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

124 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต ค่มู อื ครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1

2) สรา้ ง

X

YD b C
a E

60o b B

A

1. สร้าง AB ยาว b หน่วย

2. สร้าง XˆAB ให้มีขนาด 60o

3. ตัด �AX ที่จุด D ให้ AD = a หน่วย

4. สรา้ ง �EY ใหข้ นานกบั �AB และผา่ นจดุ D โดยสรา้ ง AˆDY และ XˆAB ใหเ้ ปน็ มมุ แยง้ ทม่ี ขี นาดเทา่ กนั

5. ตดั �DE ท่จี ดุ C ให้ DC = b หนว่ ย

6. ลาก BC

จะได้ ■ABCD เป็นรปู ส่เี หลีย่ มด้านขนาน ตามต้องการ

อาจสร้างอกี วธิ หี นึ่งดงั นี้
สร้าง

P

D b C
a

60o b B

A

1. สร้าง AB ยาว b หนว่ ย

2. สร้าง PˆAB ใหม้ ีขนาดเท่ากับ 60o

3. ตดั �AP ท่จี ดุ D ให้ AD = a หน่วย

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณิต 125

4. ใช้ B และ D เป็นจดุ ศนู ย์กลางรัศมยี าวเทา่ กับ a หน่วย และ b หนว่ ย ตามล�ำ ดับ เขยี นส่วนโค้ง
ให้ตัดกนั ที่จดุ C

5. ลาก BC และ DC
จะได้ ■ABCD เป็นรปู สเ่ี หลีย่ มด้านขนาน ตามตอ้ งการ
3) สรา้ ง

P

b C

D2 b
2
b
2 135o

A b B
2

วธิ ีสรา้ งในท�ำ นองเดียวกนั กบั ขอ้ 2) โดยสร้าง DˆAB ใหม้ ีขนาดเท่ากบั 135o

และสร้าง AB = AD = DC = BC = b2– หนว่ ย
จะได้ ■ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปยี กปูน ตามตอ้ งการ

4) สรา้ ง

D 2a C
a
a B

A 2a
สรา้ งในท�ำ นองเดียวกนั กบั ข้อ 2) และข้อ 3)
จะได้ ■ABCD เป็นรูปสเี่ หลี่ยมผนื ผา้ ตามต้องการ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

126 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ คู่มอื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1

3. สรา้ ง

AB

CR D

EF

1. สรา้ ง �AB ขนานกับ �EF โดยสรา้ ง BˆEF และ AˆBE ใหเ้ ปน็ มมุ แย้งท่ีมีขนาดเท่ากนั
2. สร้าง �CD ขนานกบั �EF โดยสร้าง RˆEF และ CˆRE ใหเ้ ป็นมุมแย้งที่มขี นาดเท่ากนั

3. �AB จะขนานกับ �CD เพราะวา่
AˆBE = BˆEF จากการสร้าง ข้อ 1
RˆEF = CˆRE จากการสรา้ ง ขอ้ 2
และ BˆEF = RˆEF
จะได้ AˆBE = CˆRE สมบัตขิ องการเทา่ กัน
แต่ CˆRE = BˆRD เส้นตรงสองเสน้ ตัดกันขนาดของมมุ ตรงข้ามยอ่ มเทา่ กัน
ดงั น้ัน AˆBE = BˆRD สมบัตขิ องการเทา่ กัน

น่นั คือ �AB ขนานกบั �CD ถา้ เส้นตรงเส้นหนึ่งตดั เสน้ ตรงอีกคูห่ น่ึง ท�ำ ใหม้ ุมแยง้ มีขนาดเท่ากนั แล้ว

เสน้ ตรงคนู่ น้ั จะขนานกัน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณิต 127

กิจกรรมท้ายบท : แผนทย่ี อ่ –ขยาย

กิจกรรมน้ี มีจุดมุ่งหมายเพ่ือให้นักเรียนได้ใช้ความรู้เร่ืองการสร้างพื้นฐานทางเรขาคณิตจากสถานการณ์ท่ีกำ�หนดให้
ในการสรา้ งแผนทท่ี งั้ การขยายเสน้ ทางเดนิ และการยอ่ เสน้ ทางเดนิ ซง่ึ นกั เรยี นสามารถเรยี นรโู้ ดยการลงมอื ปฏบิ ตั ิ โดยมอี ปุ กรณ์
และขนั้ ตอนการด�ำ เนินกจิ กรรม ดังน้ี

อปุ กรณ์

1. ใบกจิ กรรม : แผนที่ย่อ–ขยาย
2. วงเวียนและสนั ตรง

ขั้นตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม

1. ครูน�ำ เสนอสถานการณ์ทอ่ี ยู่ในใบกิจกรรม : แผนที่ย่อ–ขยาย
2. ครูให้นักเรียนใช้ความรู้เรื่องการสร้างพ้ืนฐานทางเรขาคณิตในการสร้างตามภารกิจที่ได้รับมอบหมาย 2 ภารกิจ

โดยใชว้ งเวยี นและสนั ตรง
3. เมื่อนักเรียนสร้างได้ครบตามท่ีกำ�หนดแล้ว ครูอาจตรวจสอบความถูกต้องของเส้นทางเดินด้วยกระดาษลอกลาย

เพือ่ ความรวดเรว็

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

128 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณิต ค่มู อื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1

ใบกจิ กรรม : แผนทยี่ ่อ-ขยาย

ชวพงษ์และเพื่อน ๆ เตรยี มจดั กิจกรรมคา่ ยคณติ ศาสตร์ ชอื่ ฐานวา่ “ย่อกพ็ บ ขยายกเ็ จอ...ขมุ ทรพั ยล์ า่ รางวัล!”
โดยปฏบิ ตั ิภารกจิ เป็นกลมุ่ กลมุ่ ละ 4 คน ให้ตวั แทนสมาชกิ ในกลมุ่ รับแผนทางเดนิ เพอื่ ปฏิบตั ิ 2 ภารกจิ ดงั น้ี

a a 105º
2a 2
a 105º
2 60º
a
2

a

120º

30º 120º a

a
2

ภารกิจท่ี 1 : ให้สมาชกิ ในกลุ่มรว่ มกันขยายเส้นทางเดนิ แตล่ ะเส้นใหย้ าวเปน็ สองเท่าของความยาวเดมิ โดยใช้
เพียงเครื่องมือวงเวียนและสันตรงเท่าน้ัน เมื่อขยายเส้นทางเดินแล้ว ให้ส่งผลมาตรวจสอบ ถ้าถูกต้อง สมาชิกในกลุ่ม
จะได้รับจำ�นวนกา้ ว (a) เพอ่ื เดนิ หาขมุ ทรพั ยต์ ่อไป
ภารกจิ ท่ี 2 : ใหส้ มาชกิ ในกลมุ่ รว่ มกนั ยอ่ เสน้ ทางเดนิ แตล่ ะเสน้ ใหย้ าวเปน็ ครงึ่ หนงึ่ ของความยาวเดมิ โดยใชเ้ พยี ง
เครื่องมือวงเวียนและสันตรงเท่านั้น เมื่อย่อเส้นทางเดินแล้ว ให้ส่งผลมาตรวจสอบ ถ้าถูกต้อง สมาชิกในกลุ่มจะได้รับ
จำ�นวนก้าว (a) เพือ่ เดนิ หาขมุ ทรัพย์ต่อไป
สมมุติว่านักเรียนเป็นหน่ึงในผู้ร่วมรับผิดชอบฐาน จงสร้างเส้นทางเดินของท้ังสองภารกิจด้วยเคร่ืองมือวงเวียน
และสนั ตรงเพอื่ ใชต้ รวจสอบความถูกต้องของเส้นทางเดนิ แต่ละเสน้ ทีเ่ กิดจากการย่อและขยายดังกล่าวข้างต้น

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณิต 129

ภารกจิ ที่ 1

ภารกจิ ที่ 2

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

130 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณิต คมู่ อื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1

เฉลยกิจกรรมท้ายบท : แผนที่ย่อ-ขยาย

ภารกิจที่ 1 : เส้นทางเดนิ ท่เี กดิ จากการขยายเปน็ ดังนี้ a 105o

a 60o
2a
105o
4a
a

2a

120o

120o 2a

30o a

ภารกจิ ที่ 2 : เสน้ ทางเดนิ ทีเ่ กิดจากการยอ่ เป็นดงั น้ี


a a
2 4

a a
4
a
4a

2

a a
4 2

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณิต 131

เฉลยแบบฝึกหัดท้ายบท

1. สรา้ ง

D

C

b

60o a 105o
45o
B
A

จากการสร้าง จะได้ AB ยาว a หน่วย

DˆAB และ AˆBC มีขนาด 60 + 45 = 105 องศา
BC ยาว b หนว่ ย และ DˆCB มขี นาด 90o

2. สร้าง

X

C

AO B

D
Y

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

132 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ คู่มือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1

1) 1. ลากเส้นผา่ นศนู ย์กลาง AB
2. ทีจ่ ุด O สรา้ ง �XY ตงั้ ฉากกบั AB และตัดวงกลมท่จี ดุ C และจดุ D

จะได้ AˆOC = CˆOB = BˆOD = DˆOA = 90o

2) ลาก AC, CB, BD และ DA จะได้ ■ACBD เป็นรูปสี่เหลีย่ มจัตุรัส

เพราะวา่ จากการใชว้ งเวียนตรวจสอบความยาวของดา้ นท้งั ส่ีของ ■ACBD

พบวา่ AC = CB = BD = DA และใช้วงเวียนตรวจสอบขนาดของมมุ ภายในท้ังสขี่ อง ■ACBD

พบวา่ AˆCB = CˆBD = BˆDA = DˆAC

เนอ่ื งจากผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปสเ่ี หลยี่ มใด ๆ เท่ากับ 360o

ดงั น้ัน AˆCB = CˆBD = BˆDA = DˆAC = 90o

นัน่ คอื ■ACBD เปน็ รปู ส่ีเหลี่ยมจตั ุรสั เพราะมดี า้ นท้ังสี่ยาวเท่ากันและขนาด

ของมมุ ภายในแตล่ ะมุมเท่ากับ 90o

3. สร้าง

CB A

60o
60o 60o

D 60o6O0o60o

EF

รูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีขนาดเท่ากัน 6 รูป มุมภายในแต่ละมุม
มีขนาด 60o เรียงต่อกันโดยมีจุดยอดมุมของรูปสามเหลี่ยมทุกรูปร่วมกันหน่ึงจุด จะได้มุมรอบจุดน้ีมีขนาด 360o
ซ่งึ มีวิธกี ารสร้างดงั นี้

1. สรา้ งรูปวงกลมทีม่ ีจุด O เปน็ จุดศูนยก์ ลาง ก�ำ หนดรศั มยี าวเทา่ กบั OA
2. ใหจ้ ุด A เปน็ จดุ ศนู ยก์ ลาง รศั มียาวเท่ากบั OA เขียนสว่ นโคง้ ตดั เส้นรอบวง

ให้จดุ ตดั คือ จุด B สร้าง OB จะได้ AˆOB = 60o

ดังนน้ั ΔABO เปน็ รปู สามเหลยี่ มดา้ นเท่า
3. ให้จุด B เปน็ จุดศนู ย์กลาง รศั มยี าวเท่ากับ OA เขียนสว่ นโค้งตดั เส้นรอบวง

ใหจ้ ุดตดั คอื จุด C สร้าง OC จะได้ BˆOC = 60o

4. ท�ำ ต่อในท�ำ นองเดียวกนั กับข้อ 3 จะไดจ้ ุด D จดุ E และจุด F ตามล�ำ ดับ
จะได้ รปู ABCDEF เปน็ รูปหกเหลยี่ มดา้ นเทา่ มมุ เทา่

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ 133

4. สรา้ ง

C B
D

E 45o 454o 5o A
45o
45o O45o
45o 45o

FH
G

รปู แปดเหลย่ี มดา้ นเท่ามุมเทา่ ประกอบดว้ ยรปู สามเหลยี่ มหนา้ จัว่ ทมี่ ขี นาดเท่ากัน 8 รูปเรยี งตอ่ กนั โดยมจี ดุ ยอด
ของรปู สามเหลย่ี มทกุ รปู รว่ มกนั หนง่ึ จดุ ขนาดของมมุ ของรปู สามเหลยี่ มแตล่ ะรปู ทจ่ี ดุ ยอดเทา่ กบั 45o จะไดม้ มุ รอบจดุ
มขี นาด 360o จะได้ รปู ABCDEFGH เป็นรปู แปดเหลี่ยมด้านเท่ามุมเทา่

5. 1) สร้าง

S
R

PQ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

134 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณิต ค่มู อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1

2) สร้าง R

S

PQ

6. แนวคิด

จากการสรา้ งให้ AY ตง้ั ฉากกับ �BC ใหจ้ ุดตดั คอื จดุ X
จะได้ AX แทนเส้นทางท่ีตอ้ งการหา
AX แทนระยะที่สั้นที่สุดระหว่างตำ�แหน่งท่ีกวางยนื อยกู่ ับลำ�ธารรมิ ทุง่ หญ้า
จากการวัด จะได้ AX = 2.7 เซนติเมตร
ดงั นนั้ ระยะทางที่กวางอย่หู า่ งจากแนวล�ำ ธารเท่ากบั 2.7 × 1,000 = 2,700 เซนติเมตร หรือ 27 เมตร

7. แนวคดิ ใหร้ ิมฝั่งแม่นำ�้ คือ �AC และ�BD ดังรูป วิธหี าต�ำ แหน่งที่จะสรา้ งสะพานท�ำ ไดด้ งั น้ี
1. สรา้ ง AP ใหต้ ง้ั ฉากกบั �BD ทจ่ี ดุ X
2. สร้าง �RS แบ่งครงึ่ และต้งั ฉากกับ XB
จะได้ �RS เป็นแนวเสน้ ตรงทจ่ี ะสร้างสะพาน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 135

8. สร้าง

CG E FD

AB

1) สร้าง �CD ขนานกับ �AB
2) สรา้ ง ΔAEB, ΔAFB และ ΔAGB โดยใหม้ จี ุดยอด E, F และ G อย่บู น �CD
3) ΔAEB, ΔAFB และ ΔAGB มสี ว่ นสูงยาวเทา่ กัน เพราะวา่ ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันแลว้ ระยะหา่ ง

ระหว่างเส้นทั้งสองจะยาวเท่ากัน นอกจากน้ี พ้ืนที่ของรูปสามเหล่ียมท้ังสามจะเท่ากันด้วย เพราะว่า
แตล่ ะรูปมีฐานยาวเทา่ กนั (กำ�หนดให้) และส่วนสงู ยาวเท่ากนั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

136 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ คมู่ ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1

9. สร้าง G

C B
D

F
I

AE

1) สรา้ งจุด E เปน็ จุดก่งึ กลางของ AB
2) สรา้ ง �EF ให้ขนานกับ BC ให้ �EF ตัดกับ AC ใหจ้ ุดตัดคือ จดุ F
3) AF = CF
4) สร้าง �AG ใหต้ ง้ั ฉากกบั BC และใหจ้ ุดตัดของ �AG กบั EF และ BC คอื จุด I และจดุ D ตามล�ำ ดับ

จะได้ AI เป็นส่วนสูงของ ΔAEF และ AD เป็นสว่ นสงู ของ ΔABC จากการตรวจสอบโดยใชว้ งเวยี น
จะได้ AI ยาวเปน็ คร่ึงหนง่ึ ของ AD
5) จากการตรวจสอบโดยใช้วงเวียน จะได้วา่ ฐาน EF ของ ΔAEF ยาวเปน็ ครงึ่ หนึ่งของฐาน BC

6) พนื้ ทขี่ อง ΔAEF = 12– × EF × AI
[( ) ( )]= 12– × 12– × BC × 12– × AD


= 12– × 12– × 12– × BC × AD

( )= 14– 12– × BC × AD

= 14– (พืน้ ท่ีของ ΔABC)

จะได้ พ้นื ท่ขี อง ΔAEF เป็น 14– ของพืน้ ที่ของ ΔABC

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณิต 137

ตัวอยา่ งแบบทดสอบท้ายบท

1. จากรูปที่กำ�หนดให้ นกั เรยี นสามารถสรปุ เกีย่ วกับมมุ ได้อยา่ งไรบ้าง (1 คะแนน)
A

DF

B EC

2. การสร้างมุมที่มีขนาด 7.5 องศา เริ่มต้นด้วยการสร้างมุมที่มีขนาดกี่องศา และระบุขั้นตอนโดยไม่ต้องลงมือสร้าง

(1 คะแนน)

3. จากรูป �OX แบ่งครง่ึ RˆOY และ �OZ แบ่งคร่ึง YˆOS จงแสดงวิธกี ารหาขนาดของ XˆOZ (2 คะแนน)

YZ
X

ROS

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

138 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ คู่มอื ครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1

4. จากรูป จงแสดงวิธีหาขนาดของ NˆOP (1 คะแนน)
P
N
OQ
25o

130o

M

5. แต่ละขอ้ ตอ่ ไปนี้ ขอ้ ใดบา้ งทไี่ มส่ ามารถสรา้ งได้ พรอ้ มบอกเหตผุ ลประกอบ (3 คะแนน)
ก. รปู สามเหลย่ี มท่ีมีมุมแหลมทกุ มมุ
ข. รปู สามเหล่ียมทม่ี มี ุมฉากสองมมุ
ค. รูปสามเหลยี่ มที่มีความยาวด้านเป็น 3, 5 และ 8 หน่วย
ง. รปู สามเหลย่ี มที่มดี ้านประกอบมมุ ฉากแต่ละด้านส้ันกวา่ ด้านตรงข้ามมมุ ฉาก
จ. รูปสามเหลย่ี มทม่ี ีมมุ ทฐ่ี านทั้งสองเป็นมุมป้านและมขี นาดเท่ากนั
ฉ. รปู สามเหล่ียมที่มมี มุ ที่ฐานเท่ากนั และแตล่ ะมมุ มขี นาดเป็นสองเท่าของมมุ ยอด

6. จงใส่เครื่องหมาย  เมื่อขนาดของมุมในแต่ละข้อต่อไปนี้สามารถสร้างได้ด้วยวงเวียนและสันตรง และ  เมื่อขนาด

ของมมุ ไมส่ ามารถสร้างได้ด้วยวงเวยี นและสนั ตรง (4 คะแนน)

1) 18 องศา 2) 22.5 องศา

3) 37.5 องศา 4) 52.5 องศา

5) 82.5 องศา 6) 105 องศา

7) 112.5 องศา 8) 145 องศา

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณิต 139

7. วชิ ยั เลน่ กฬี าสนกุ เกอร์ ถา้ ก�ำ หนดใหก้ ารเคลอ่ื นทข่ี องลกู สนกุ เกอรม์ มี มุ ตกกระทบเทา่ กบั มมุ สะทอ้ น ดงั ภาพ จงวาดและ
อธิบายวธิ ีการสรา้ งตำ�แหนง่ ท่ลี กู สนุกเกอรก์ ระทบกบั ขอบโต๊ะจำ�นวน 2 ครง้ั โดยใชว้ งเวยี นและสันตรง (3 คะแนน)

มมุ ตกกระทบ มุมสะทอ้ น

ลกู สนกุ เกอร์

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

140 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต คู่มือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1

เฉลยตัวอย่างแบบทดสอบท้ายบท

1. จากรปู ทก่ี �ำ หนดให้ นักเรยี นสามารถสรปุ เก่ียวกับมุมไดอ้ ยา่ งไรบา้ ง (1 คะแนน)
A

DF

BE C
ค�ำ ตอบมไี ด้หลากหลาย เช่น

AˆBC มีขนาดเป็นสองเท่าของ AˆBF หรือ FˆBC
AˆBF หรอื FˆBC มีขนาดเป็นครึง่ หน่งึ ของ AˆBC
AˆBF มีขนาดเท่ากับ CˆBF

ความสอดคลอ้ งกับจุดประสงคข์ องบทเรยี น

ข้อ 1 นกั เรียนสามารถใชว้ งเวียนและสนั ตรง หรอื ซอฟต์แวรเ์ รขาคณิตพลวตั ในการสร้างพน้ื ฐานทางเรขาคณิต

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 1 คะแนน

ตอบถูกต้อง ได้ 1 คะแนน ตอบไมถ่ ูกต้องหรือไมต่ อบ ได้ 0 คะแนน

2. การสรา้ งมมุ ที่มีขนาด 7.5 องศา เร่ิมตน้ ด้วยการสร้างมุมทมี่ ขี นาดก่ีองศา และระบขุ น้ั ตอนโดยไมต่ ้องลงมือสร้าง
(1 คะแนน)
การสรา้ งมุมท่ีมีขนาด 7.5 องศา เร่มิ ตน้ ดว้ ยการสร้างมมุ ทม่ี ีขนาด 60 องศา
แบ่งครึง่ มุมครั้งทีห่ น่ึงได้มมุ ทม่ี ีขนาด 30 องศา
แบ่งครงึ่ มมุ คร้งั ที่สองไดม้ ุมทีม่ ขี นาด 15 องศา
และ แบ่งคร่ึงมุมครง้ั ทส่ี ามได้มมุ ทม่ี ขี นาด 7.5 องศา

ความสอดคลอ้ งกับจุดประสงค์ของบทเรยี น

ขอ้ 1 นกั เรยี นสามารถใช้วงเวยี นและสนั ตรง หรือซอฟตแ์ วรเ์ รขาคณิตพลวัต ในการสรา้ งพนื้ ฐานทางเรขาคณติ

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 1 คะแนน

ตอบถูกต้อง ได้ 1 คะแนน ตอบไมถ่ กู ตอ้ งหรอื ไมต่ อบ ได้ 0 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 141

3. จากรูป �OX แบง่ ครึ่ง RˆOY และ �OZ แบง่ ครึ่ง YˆOS จงแสดงวธิ ีการหาขนาดของ XˆOZ (2 คะแนน)

YZ
X

ROS

จากรูป �OX แบง่ คร่งึ RˆOY และ �OZ แบ่งคร่ึง YˆOS จะได้ XˆOZ มขี นาด 90 องศา
เนอื่ งจาก RˆOY + YˆOS = 180o
RˆOY YˆOS
ดงั น้ัน + = 180 = 90o
2 2 2
นนั่ คือ XˆOZ = 90o

ความสอดคลอ้ งกับจุดประสงค์ของบทเรียน

ขอ้ 2 นักเรียนสามารถใช้วงเวียนและสันตรง หรือซอฟต์แวร์เรขาคณิตพลวัต ในการสร้างรูปเรขาคณิตและ

นำ�ไปใชแ้ ก้ปัญหาในชวี ิตจริง

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 2 คะแนน โดยมเี กณฑก์ ารใหค้ ะแนน ดงั นี้

✤ เขยี นแสดงวิธที �ำ สมบูรณแ์ ละหาค�ำ ตอบไดถ้ กู ตอ้ ง ได ้ 2 คะแนน

✤ เขียนแสดงวธิ ีท�ำ ไมส่ มบรู ณ์ แตห่ าค�ำ ตอบไดถ้ กู ตอ้ ง

หรอื เขียนแสดงวธิ ีทำ� แตห่ าค�ำ ตอบไม่ถูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน

✤ ไม่เขียนแสดงวธิ ีทำ� และได้ค�ำ ตอบไม่ถูกตอ้ ง หรือไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน

4. จากรูป จงแสดงวิธหี าขนาดของ NˆOP (1 คะแนน)

N P
OQ
25o

130o

M

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

142 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต ค่มู อื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1

จากรปู NˆOP มีขนาด 25 องศา
เนอ่ื งจาก MˆON = 180 – OMˆN – MˆON

= 180 – 130 – 25

= 25o
และ PˆOQ = 60o
ดังนนั้ NˆOP = 180 – 25 – 60 = 95o

ความสอดคล้องกบั จุดประสงคข์ องบทเรียน

ขอ้ 2 นักเรียนสามารถใช้วงเวียนและสันตรง หรือซอฟต์แวร์เรขาคณิตพลวัต ในการสร้างรูปเรขาคณิตและ

น�ำ ไปใชแ้ กป้ ัญหาในชวี ิตจริง

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 1 คะแนน

ตอบถูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน ตอบไม่ถูกต้องหรอื ไมต่ อบ ได้ 0 คะแนน

5. แตล่ ะข้อต่อไปนี้ ข้อใดบา้ งทไ่ี มส่ ามารถสร้างได้ พรอ้ มบอกเหตุผลประกอบ (3 คะแนน)

ก. รูปสามเหลี่ยมที่มมี มุ แหลมทุกมมุ

ข. รปู สามเหลี่ยมที่มีมุมฉากสองมุม

ค. รปู สามเหลี่ยมทม่ี ีความยาวด้านเปน็ 3, 5 และ 8 หนว่ ย

ง. รูปสามเหลย่ี มทมี่ ีด้านประกอบมุมฉากแต่ละดา้ นสั้นกวา่ ดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก

จ. รูปสามเหลี่ยมทมี่ มี มุ ท่ฐี านทั้งสองเป็นมุมปา้ นและมขี นาดเทา่ กัน

ฉ. รูปสามเหลี่ยมที่มีมมุ ทฐ่ี านเทา่ กันและแตล่ ะมุมมขี นาดเป็นสองเท่าของมุมยอด

ขอ้ ข, ค และ จ ไมส่ ามารถสรา้ งเป็นรูปสามเหลี่ยมได้

ขอ้ ข เพราะผลรวมของขนาดของมมุ ภายในของรปู สามเหลี่ยมเทา่ กบั 180 องศา รปู สามเหลี่ยม จึงมสี องมุมฉาก

ไม่ได้

ขอ้ ค เพราะรปู สามเหลย่ี มจะตอ้ งมผี ลรวมของความยาวของดา้ นสองดา้ นของรปู สามเหลย่ี มมากกวา่ ความยาวดา้ น

ของอีกด้านหนึง่ ทเ่ี หลอื เสมอ

ขอ้ จ เพราะผลรวมของขนาดของมมุ ภายในของรปู สามเหล่ยี มเท่ากบั 180 องศา ดงั นน้ั มมุ ที่ฐานสองมมุ รวมกัน

จะมีขนาดมากกวา่ 180 องศา ไม่ได้

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ 143

ความสอดคลอ้ งกบั จุดประสงคข์ องบทเรยี น

ขอ้ 2 นักเรียนสามารถใช้วงเวียนและสันตรง หรือซอฟต์แวร์เรขาคณิตพลวัต ในการสร้างรูปเรขาคณิตและ

น�ำ ไปใช้แก้ปญั หาในชวี ติ จรงิ

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 3 คะแนน โดยมเี กณฑก์ ารให้คะแนน ดงั น้ี

✤ ตอบถกู ตอ้ ง และให้เหตผุ ลได้ถกู ตอ้ ง 3 ข้อ ได้ 3 คะแนน

✤ ตอบถูกตอ้ ง และใหเ้ หตุผลได้ถูกตอ้ ง 2 ข้อ ได้ 2 คะแนน

✤ ตอบถกู ต้อง และใหเ้ หตุผลไดถ้ ูกต้อง 1 ข้อ ได ้ 1 คะแนน

✤ ตอบไม่ถูกต้องทงั้ สามข้อหรือไมต่ อบ ได ้ 0 คะแนน

6. จงใส่เครื่องหมาย  เมื่อขนาดของมุมในแต่ละข้อต่อไปนี้สามารถสร้างได้ด้วยวงเวียนและสันตรง และ  เมื่อขนาด

ของมมุ ไมส่ ามารถสร้างไดด้ ้วยวงเวียนและสนั ตรง (4 คะแนน)

1) O 18 องศา 2)  22.5 องศา

3)  37.5 องศา 4)  52.5 องศา

5)  82.5 องศา 6)  105 องศา

7)  112.5 องศา 8) O 145 องศา

แนวคิด ขนาดของมุมทส่ี ามารถสรา้ งได้ดว้ ยสนั ตรงและวงเวยี น มดี งั นี้

( ) 2) 22.5 = 15 + 15 3) 37.5 = 30 + 7.5
2
60 + 45 5) 82.5 = {90 + [(90 + 60) ÷ 2]} ÷ 2
4) 52.5 = 2 7) 112.5 = {120 + [(120 + 90) ÷ 2]} ÷ 2

6) 105 = 120 + 90
2

ความสอดคล้องกบั จุดประสงค์ของบทเรียน

ข้อ 1 นกั เรยี นสามารถใช้วงเวียนและสันตรง หรอื ซอฟตแ์ วร์เรขาคณิตพลวัต ในการสรา้ งพื้นฐานทางเรขาคณิต

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 4 คะแนน ข้อละ 0.5 คะแนน

ตอบถกู ต้อง ได้ขอ้ ละ 0.5 คะแนน ตอบไมถ่ กู ต้องหรือไม่ตอบ ได้ข้อละ 0 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

144 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณิต คมู่ อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1

7. วชิ ยั เลน่ กฬี าสนกุ เกอร์ ถา้ ก�ำ หนดใหก้ ารเคลอ่ื นทข่ี องลกู สนกุ เกอรม์ มี มุ ตกกระทบเทา่ กบั มมุ สะทอ้ น ดงั ภาพ จงวาดและ
อธิบายวิธกี ารสร้างต�ำ แหนง่ ที่ลกู สนกุ เกอรก์ ระทบกับขอบโตะ๊ จำ�นวน 2 ครั้ง โดยใช้วงเวียนและสันตรง
ลักษณะต�ำ แหน่งทล่ี กู สนุกเกอร์กระทบกบั ขอบโตะ๊ จ�ำ นวน 2 ครง้ั เปน็ ดังน้ี

EC

ลกู สนุกเกอร์

A

BF D

วธิ สี รา้ ง

1. สร้าง EˆBC ให้มขี นาดเท่ากับ AˆBE โดยใช้การสรา้ งพื้นฐานทางเรขาคณิตขอ้ ท่ี 3

2. สรา้ ง BC
3. สรา้ ง CF ให้ตั้งฉากกบั EC ที่จดุ C โดยใช้การสร้างพ้ืนฐานทางเรขาคณติ ขอ้ ท่ี 6

4. สร้าง FˆCD ใหม้ ขี นาดเท่ากับ BˆCF โดยใช้การสร้างพ้ืนฐานทางเรขาคณิตขอ้ ท่ี 3

ความสอดคลอ้ งกบั จุดประสงค์ของบทเรยี น

ข้อ 1 นกั เรยี นสามารถใช้วงเวียนและสนั ตรง หรอื ซอฟตแ์ วรเ์ รขาคณติ พลวตั ในการสรา้ งพนื้ ฐานทางเรขาคณติ

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 3 คะแนน โดยมเี กณฑก์ ารใหค้ ะแนน ดังนี้

✤ สรา้ งมุมไดถ้ ูกต้อง 3 มมุ ได้ 3 คะแนน

✤ สรา้ งมมุ ไดถ้ กู ตอ้ ง 2 มมุ ได้ 2 คะแนน

✤ สร้างมมุ ได้ถกู ต้อง 1 มุม ได้ 1 คะแนน

✤ สร้างไมถ่ กู ต้อง หรอื ไม่สร้าง ได้ 0 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 3 | เลขยกก�ำ ลัง 145

บทที่ 3 เลขยกกำ�ลงั

บทเลขยกกำ�ลงั ประกอบด้วยหวั ขอ้ ย่อย ดงั ตอ่ ไปน้ี

3.1 ความหมายของเลขยกก�ำ ลัง 2 ช่วั โมง
3.2 การคูณและการหารเลขยกกำ�ลงั 5 ชัว่ โมง
3.3 สญั กรณว์ ทิ ยาศาสตร์ 2 ช่ัวโมง

สาระและมาตรฐานการเรยี นรู้

สาระ จ�ำ นวนและพีชคณติ
มาตรฐาน ค 1.1 เขา้ ใจความหลากหลายของการแสดงจำ�นวน ระบบจำ�นวน การดำ�เนนิ การของจำ�นวน ผลที่เกดิ ข้นึ
จากการด�ำ เนินการ สมบตั ิของการด�ำ เนินการ และน�ำ ไปใช้

ตวั ชวี้ ัด

เข้าใจและใช้สมบัติของเลขยกกำ�ลงั ทมี่ เี ลขชีก้ ำ�ลงั เปน็ จ�ำ นวนเต็มบวกในการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์และปญั หาในชวี ิตจรงิ

จุดประสงคข์ องบทเรยี น

นักเรียนสามารถ
1. เขียนจำ�นวนท่ีกำ�หนด ให้อยู่ในรูปเลขยกกำ�ลังที่มีเลขชี้กำ�ลังเป็นจำ�นวนเต็มบวก และหาค่าของเลขยกกำ�ลังที่มี

เลขช้กี ำ�ลงั เปน็ จ�ำ นวนเตม็ บวก
2. หาผลคูณและผลหารของเลขยกกำ�ลังเมื่อเลขช้ีกำ�ลังเป็นจำ�นวนเต็มบวก และนำ�สมบัติของเลขยกกำ�ลังไปใช้ใน

การค�ำ นวณ
3. เขียนจ�ำ นวนท่มี ีคา่ มาก ๆ ใหอ้ ยใู่ นรูปสญั กรณ์วิทยาศาสตร ์ และหาคา่ ของจำ�นวนทอี่ ยูใ่ นรปู สัญกรณ์วทิ ยาศาสตร์

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

146 บทที่ 3 | เลขยกก�ำ ลงั คู่มือครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1

ความเชื่อมโยงระหวา่ งตวั ชว้ี ดั กบั จุดประสงค์ของบทเรยี น

เน่อื งจากตัวช้วี ัดกล่าวถึงการเข้าใจและการใช้สมบัติของเลขยกกำ�ลังท่ีมีเลขชี้กำ�ลังเป็นจำ�นวนเต็มบวกในการแก้ปัญหา
คณิตศาสตร์และปัญหาในชีวิตจริง และเน้ือหาในบทนี้จะเน้นเลขยกกำ�ลังท่ีมีฐานเป็นจำ�นวนเต็ม เศษส่วน และทศนิยมท่ีเป็น
จำ�นวนบวกเท่านั้น ดังน้ัน เพ่ือให้การเรียนรู้ของนักเรียนในเร่ืองเลขยกกำ�ลังสอดคล้องกับตัวช้ีวัด ครูควรจัดประสบการณ์ให้
นักเรียนสามารถ
1. เขา้ ใจเกี่ยวกบั เลขยกกำ�ลงั ท่ีมีเลขชก้ี ำ�ลังเปน็ จำ�นวนเต็มบวก โดยนกั เรยี นควรบอกความหมายของเลขยกก�ำ ลังได ้

รวมทง้ั เขยี นจ�ำ นวนทกี่ �ำ หนด ใหอ้ ยใู่ นรปู ของเลขยกก�ำ ลงั ทมี่ เี ลขชก้ี �ำ ลงั เปน็ จ�ำ นวนเตม็ บวก และหาคา่ ของเลขยก
ก�ำ ลงั ท่ีมเี ลขชก้ี ำ�ลงั เป็นจ�ำ นวนเต็มบวก
2. เข้าใจเกี่ยวกับสมบัติของเลขยกกำ�ลัง และนำ�สมบัติของเลขยกกำ�ลังไปใช้ในการแก้ปัญหา ซ่ึงสะท้อนได้จาก
การท่ีนักเรียนสามารถนำ�ความรู้และสมบัติของเลขยกกำ�ลังไปใช้ในการหาผลคูณและผลหารของเลขยกกำ�ลัง
เมือ่ เลขชก้ี ำ�ลังเป็นจำ�นวนเตม็ บวก ตลอดจนสามารถน�ำ ไปใช้ได ้
3. เขา้ ใจเกีย่ วกับสัญกรณ์วทิ ยาศาสตร์ โดยสามารถเขยี นจ�ำ นวนทีม่ คี า่ มาก ๆ ให้อยู่ในรปู สัญกรณ์วทิ ยาศาสตร์ และ
หาค่าของจำ�นวนท่ีอยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ได้ รวมท้ังสามารถนำ�ไปใช้ในการแก้ปัญหาในชีวิตจริง
และตระหนกั ถึงความสมเหตุสมผลของค�ำ ตอบที่ได้

ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์

ทักษะและกระบวนการ 3.1 หวั ขอ้ 3.3
ทางคณติ ศาสตร์ ความหมายของ 3.2 สัญกรณ์
การคูณและการหาร วทิ ยาศาสตร์
การแกป้ ัญหา เลขยกก�ำ ลงั เลขยกกำ�ลัง
การสือ่ สารและการสอ่ื ความหมาย ✤
ทางคณติ ศาสตร์ ✤✤
การเชอื่ มโยง ✤ ✤
การใหเ้ หตผุ ล
การคิดสรา้ งสรรค์ ✤

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 3 | เลขยกกำ�ลัง 147

2+2=4 ความร้พู น้ื ฐานท่ีนักเรียนต้องมี

ครูอาจทบทวนความรู้พนื้ ฐานทีน่ กั เรยี นต้องมีก่อนเรียน ดังน้ี
1. ตัวประกอบของจ�ำ นวนนบั
2. ตวั ประกอบเฉพาะ
3. การแยกตัวประกอบ

ความคดิ รวบยอดของบทเรยี น

เลขยกก�ำ ลงั เปน็ สญั ลกั ษณแ์ ทนจ�ำ นวนทป่ี ระกอบดว้ ยฐานและเลขชกี้ �ำ ลงั เราสามารถเขยี นจ�ำ นวนทอ่ี ยใู่ นรปู การคณู ของ
จ�ำ นวนทีซ่ �ำ้ ๆ กนั ให้อยูใ่ นรปู เลขยกก�ำ ลังได้
สัญกรณ์วิทยาศาสตร์ เป็นสัญลักษณ์ท่ีใช้แทนจำ�นวนที่มีค่ามาก ๆ หรือจำ�นวนที่มีค่าน้อย ๆ มีรูปทั่วไปเป็น A × 10n
เมอื่ 1 ≤ A < 10 และ n เป็นจำ�นวนเตม็ เราใช้สญั กรณ์วทิ ยาศาสตร์ในการส่อื ความหมายให้กระชับและเขา้ ใจงา่ ยขน้ึ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

148 บทท่ี 3 | เลขยกกำ�ลัง คมู่ ือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1

3.1 ความหมายของเลขยกก�ำ ลงั (2 ชั่วโมง)

จดุ ประสงค ์

นักเรยี นสามารถ
1. บอกความหมายของเลขยกกำ�ลัง
2. เขยี นจ�ำ นวนที่กำ�หนดให้อย่ใู นรปู เลขยกก�ำ ลังท่ีมเี ลขชีก้ ำ�ลงั เปน็ จ�ำ นวนเตม็ บวก
3. หาคา่ ของเลขยกก�ำ ลังท่มี ีเลขช้ีกำ�ลงั เปน็ จ�ำ นวนเตม็ บวกที่กำ�หนดให้

ความเขา้ ใจทีค่ ลาดเคล่อื น

1. นกั เรยี นอาจเขา้ ใจคลาดเคลื่อนโดยระบฐุ านของเลขยกกำ�ลังไม่ถกู ตอ้ ง เชน่

เข้าใจคลาดเคล่อื นว่า ฐานของ -32 คือ -3 ซง่ึ ฐานทถ่ี ูกตอ้ งคือ 3

เขา้ ใจคลาดเคล่อื นว่า ฐานของ 52 3 คือ 25 ซงึ่ ฐานท่ีถูกตอ้ งคือ 2

2. นักเรียนอาจเข้าใจคลาดเคลื่อนวา่ เลขยกกำ�ลังท่ีอย่ใู นรปู (a + b)n คอื an + bn

เช่น (5 + 2)2 = 52 + 22 ซง่ึ ไม่ถกู ตอ้ ง เน่อื งจาก (5 + 2)2 = 72 = 49

แต่ 52 + 22 = 25 + 4 = 29 จงึ ทำ�ให ้ (5 + 2)2 ≠ 52 + 22



สื่อที่แนะน�ำ ให้ใชใ้ นข้อเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้

ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 3.1 : เปลี่ยนแปลงไปอย่างไร

ข้อเสนอแนะในการจดั กจิ กรรมการเรียนรู้

ในหัวข้อนี้เป็นเร่ืองเก่ียวกับความหมายของเลขยกกำ�ลัง โดยเน้นให้นักเรียนเห็นว่าเลขยกกำ�ลังเป็นจำ�นวน ซึ่งใช้แสดง
แทนจำ�นวนท่เี ขยี นในรปู การคณู ของจำ�นวนทซ่ี �ำ้ ๆ กัน ทั้งน้ี ครคู วรพฒั นาความรสู้ ึกเชงิ จำ�นวนให้กับนักเรยี น เพ่ือให้เขา้ ใจถึง
ค่าของเลขยกกำ�ลังทแี่ สดงให้เห็นถงึ การเพม่ิ ข้นึ หรือลดลงอยา่ งรวดเร็ว กจิ กรรมท่คี รูควรจดั มดี ังนี้
1. ครูแนะนำ�ความหมายของเลขยกกำ�ลังจากบทนิยาม โดยอาจชช้ี วนใหน้ กั เรยี นเชอื่ มโยงจากความรู้เดมิ เช่น พ้นื ท่ี

ของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส พ้ืนที่ของวงกลม หรือสถานการณ์ที่เกิดขึ้นในชีวิตจริง เช่น การแบ่งเซลล์ของแบคทีเรีย
และชใ้ี หเ้ หน็ ประโยชนข์ องการใชเ้ ลขยกก�ำ ลงั แทนจ�ำ นวนทอ่ี ยใู่ นรปู การคณู ของจ�ำ นวนทซี่ �ำ้ ๆ กนั ซงึ่ ครคู วรระวงั
ความหมายและการอา่ นเลขยกก�ำ ลงั กลา่ วคอื an หมายถงึ จ�ำ นวนทม่ี ี a คณู กนั n ตวั และอา่ นวา่ “a คณู กนั n ตวั ”
ไม่ใช่ “n ครัง้ ” เช่น 23 มี 2 คณู กัน 3 ตวั คือ 2 × 2 × 2 ซงึ่ ไม่เท่ากับ 2 คูณกัน 3 ครัง้ หรือ 2 × 2 × 2 × 2

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี