Arena Book

การจาลองสถานการณด์ า้ นโลจสิ ตกิ ส์

ดว้ ยโปรแกรม Arena

พิมพค์ รง้ั ท่ี 2 ฉบบั ปรบั ปรุง

อาจารยช์ ุลกี ร ชูโชติถาวร



การจำลองสถานการณ์ด้านโลจิสตกิ ส์ด้วยโปรแกรม Arena

พิมพ์ครัง้ ที่ 2
ฉบบั ปรับปรุง พ.ศ. 2564

จดั ทำโดย
อาจารย์ชุลกี ร ชูโชตถิ าวร
อาจารยป์ ระจำหลกั สตู รการจัดการโลจสิ ติกสแ์ ละซพั พลายเชน
คณะบริหารธุรกิจ มหาวิทยาลยั เทคโนโลยีราชมงคลธัญบรุ ี

หา้ มถา่ ยสำเนา (Copy) หรอื อน่ื ใด ในรปู แบบต่างๆ ไม่วา่ จะเป็นบางสว่ นหรือ
ทง้ั หมดของเลม่ เน้ือหา ทกุ กรณี



คำนำ

ในปัจจุบันภาคธุรกิจและอตุ สาหกรรมตา่ งๆ มกั ประสบปัญหาการตดั สินใจเพม่ิ
มากขึ้น ทั้งจากสภาพการแข่งขันในตลาด ต้นทุนในการดำเนนิ งาน ตลอดจนผลกระทบ
อื่นๆ ทีต่ ามมาจากการตัดสินใจการปรบั ปรุงหรือปรับเปลยี่ นกระบวนการในธุรกิจ อีกทั้ง
เวลาในการดำเนินการไม่แน่นอน เช่น เวลาการทำงานของพนักงาน เวลาในการทำงาน
ของเครอื่ งจกั ร เป็นต้น การตัดสนิ ใจกระทำการใดๆภายในองคก์ รนน้ั เปน็ สิ่งที่สำคญั อย่าง
มากต่อการบริหารองค์กรธุรกิจ ให้ประสบความสำเร็จตามวัตถุประสงค์เป้าหมายของ
ธุรกิจ ซึ่งปัจจุบันการใช้ตัวแบบทางคณติ ศาสตร์ในการจำลองแก้ไขปัญหาด้วยโปรแกรม
คอมพวิ เตอร์จะทำใหอ้ งค์กรประหยดั เวลาและมีความสะดวกในการวเิ คราะห์เพ่ือจำลอง
การเปลี่ยนแปลงของระบบ ตลอดจนสามารถสร้งแบบจำลองเพื่อเป็นแนวทางในการ
เปรียบเทยี บและปรับปรุงการทำงานในระบบแบบเดิมให้มีประสทิ ธิภาพดีย่งิ ข้ึนได้

หนังสือการจำลองสถานการณ์ด้านโลจิสติกส์ด้วยโปรแกรม Arena ได้เขียน
สรุปแนวคิดพื้นฐานของการจำลองสถานการณ์ได้สอดแทรกตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกับ
กระบวนการดำเนินงานในภาคอตุ สากรรมโลจิสติกส์ เช่น ในด้านคลังสินค้า การขนถ่าย
ลำเลียง เป็นต้น ตลอดจนวิธีการใช้โปรแกรม Arena เบื้องต้น เพื่อใช้ประกอบการเรยี น
การสอนในรายวชิ า และเพื่อให้สามารถใชค้ วามรู้พื้นฐานในหนังสอื เล่มนี้ตอ่ ยอดความรู้
ส า ม า ร ถ น ำ ไ ป ป ร ะ ย ุ ก ต์ ใ ช้ ก า ร จ ำ ล อ ง ส ถ า น ก า ร ณ์ ป ฏ ิ บ ั ต ิ ง า น ใ น ภ า ค ธ ุ ร ก ิ จ แ ล ะ
ภาคอตุ สาหกรรมอ่ืนๆได้

และขอขอบคณุ คณะบรหิ ารธรุ กิจ มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ีทไี่ ด้
ใหก้ ารสนับสนุนจัดสร้างห้องปฏิบัตกิ ารทางโ,จสิ ติกส์ ทำใหไ้ ด้ใชง้ านและศึกษาวิธีการใช้
งานโปรแกรมจำลองสถานการณน์ ี้เพิม่ เตมิ ความรใู้ นการจัดทำหนังสอื คร้ังนี้

อาจารยช์ ลุ ีกร ชโู ชติถาวร
อาจารย์ประจำหลักสูตรการจดั การโลจสิ ตกิ ส์และซัพพลายเชน

คณะบรหิ ารธรุ กิจ มหาวิทยาลยั เทคโนโลยีราชมงคลธัญบรุ ี



สารบญั

บทท่ี 1 บทนำการจำลองแบบปญั หาด้วยคอมพวิ เตอร์ 1
คำนยิ ามของการจำลองสถานการณ์ 2
วิวัฒนาการของแบบจำลอง 5
การศึกษาระบบ 6
ความเหมาะสมของการใช้แบบจำลองสถานการณ์ 10
องค์ประกอบของระบบ (System Component) 12
แนวคดิ การประยุกตใ์ ชต้ ัวแบบจำลองกบั ปญั หา 14
ประเภทของแบบจำลองสถานการณ์ 18
ขัน้ ตอนการสรา้ งแบบจำลอง 23
ข้นั ตอนการศึกษาแบบจำลองปัญหา 25
แบบฝกึ หดั ทบทวนทา้ ยบท

บทท่ี 2 การสรา้ งตวั เลขสุ่ม 26
ตัวเลขสมุ่ (Random Number) 26
วิการสร้างตัวเลขสุม่ แบบเอกรูป 27
การทดสอบวิธกี ารสรา้ งตัวเลขคลา้ ยสมุ่ 28
การทดสอบความเปน็ เอกรปู (Test of Uniformity) 29
การทดสอบแบบโคลโมโกราฟ-สเมอรน์ อฟ 29
การทดสอบแบบไค-สแควร์ 30

บทท่ี 3 การแจกแจงของขอ้ มูลนำเขา้ 32

การแจกแจงแบบตอ่ เนอ่ื ง (Continuous Distribution) 32

การแจกแจงแบบไมต่ ่อเน่อื ง (Discrete Probability Distribution) 42

บทที่ 4 การวิเคราะหข์ ้อมลู รับเขา้ 46
การเก็บขอ้ มลู 46
การวเิ คราะห์ขอ้ มูลรบั เข้า 48
ขนั้ ตอนการใช้ Input Analyzer เพ่ือทดสอบคา่ การแจกแจง 49

ขน้ั ตอนการใช้ Input Analyzer เพือ่ สรา้ งกลมุ่ ขอ้ มลู แบบสมุ่ 53
แบบฝกึ หดั ทบทวนทา้ ยบท 55

บทท่ี 5 ความรู้เบื้องต้นสำหรบั โปรแกรมอารีน่า 56
นิยามและความหมายของสว่ นประกอบสำคญั ในโปรแกรมอารีนา 57
หนา้ ต่างของโปรแกรมอารีนา 58
การสรา้ งแบบจำลอง 61
ขั้นตอนการสรา้ งแบบจำลองใน Flowchart View 61
ขนั้ ตอนการสร้างแบบจำลองใน Spreadsheet View 62
การควบคมุ การรนั แบบจำลอง 63
การใชแ้ ถบอนเิ มช่นั พน้ื ฐานในโปรแกรมอารีนา 65
การหาจำนวนรอบในการรันซ้ำ 74
การรนั ผลโปรแกรม 77
รายงานผลลพั ธ์ 81

บทท่ี 6 บัญชีโมดูลพน้ื ฐานในการสรา้ งแบบจำลอง 88

Create Module 88

Dispose Module 90

Process Module 91

Decide Module 98

ตวั อย่างที่6.1 กระบวนการรับสนิ คา้ ของบรษิ ทั ผใู้ หบ้ รกิ ารจัดสง่ สนิ คา้ 102

ตวั อยา่ งที่ 6.2 การเลือกใชป้ ระตูรบั สินค้าภายในพนื้ ทคี่ ลงั สนิ ค้า 108

Assign module 116

Batch Module 118

Adjustable Batch Module 120

Separate Module 123

Record Module 126

ตัวอยา่ งที่ 6.3 กระบวนการตรวจสอบสมั ภาระของทา่ อากาศยาน 130

แบบฝกึ หดั ทบทวนทา้ ยบท 140

บทท่ี 7 บัญชโี มดลู ข้นั สูงในการสรา้ งแบบจำลอง 141

Delay Module 141

Dropoff Module 142

Hold Module 145

Pickup Module 149

ตัวอยา่ งที่ 7.1 กระบวนการรบั สินค้าของบรษิ ัทผใู้ ห้บรกิ ารจดั สง่ 152

สินค้า

ตวั อยา่ งที่ 7.2 กระบวนการนำสนิ ค้าไปจัดเกบ็ ยงั ชน้ั วางสนิ คา้ ตาม 163

ปรมิ าณสนิ ค้า

Match Module 175

Release Module 178

Remove Module 180

Seize Module 181

Signal Module 186

ตวั อยา่ งท่ี 7.3 กระบวนการจบั คู่สินคา้ ประเภทเดยี วกันเพ่ือทำการ 188

จดั เกบ็ สินคา้

แบบฝึกหดั ทบทวนทา้ ยบท 203

บทท่ี 8 บญั ชีโมดูลในการสร้างแบบจำลองวธิ ขี นถา่ ย 205
Enter Module 205
Leave Module 210
Access Module 219
Convey Module 222
Exit Module 224
Start Module 225
Stop Module 226
Activate Module 227
Allocation Module 228
Free Module 232

Halt Module 233

Move Module 234

Request Module 236

Transport Module 240

PickStation Module 244

Route Module 247

Station Module 250

ตัวอย่างท่ี 8.1 กระบวนการเรยี กใชอ้ ุปกรณ์เคลอื่ นย้ายในการลำเลยี ง 253

สินคา้

แบบฝึกหัดทบทวนท้ายบท 267

บทที่ 9 หน่วยตารางจัดการขอ้ มูลกลุม่ Data Definition panel 268
Entity Spreadsheet Module 269
Resource Spreadsheet Module 270
Queue Spreadsheet Module 275
Variable Spreadsheet Module 277
Schedule Spreadsheet Module 281
Set Spreadsheet Module 283
Advanced Set Spreadsheet Module 285
Expression Spreadsheet Module 287
Failure Spreadsheet Module 288
Sequence Spreadsheet Module 290
Activity Area Spreadsheet Module 292
แบบฝึกหดั ทบทวนทา้ ยบท 294

บทท1่ี 0 หน่วยตารางจดั การขอ้ มลู อ่ืน 295
Conveyor Spreadsheet Module 295
Segment Spreadsheet Module 298
Transporter Spreadsheet Module 299

Distance Spreadsheet Module 303
Network Spreadsheet Module 304
Network Link Spreadsheet Module 305
File Spreadsheet Module (Input Output Panel) 307
Storage Spreadsheet Module (Animation Panel) 308

บรรณานกุ รม 311



การจำลองแบบปญั หาดว้ ยคอมพิวเตอร์ 12

การจำลองสถานการณ์ (Simulation) นั้นในวงการคอมพิวเตอร์ มักใช้หมายถึง
โปรแกรมคอมพิวเตอรท์ จี่ ำลองการทำงานอยา่ งใดอยา่ งหนึ่ง เช่น การขบั รถยนต์ หรอื การบังคับ
เครื่องบิน มักนำมาใช้ในการศึกษาหรือการฝึกต่าง ๆ โดยการเลียนแบบการทำงานของ
กระบวนการจริงหรือระบบในช่วงเวลาหนึง่ ๆ ในอดีตการจำลองสถานการณ์นิยมสร้างแบบจำลอง
โดยการวาดภาพหรือการคำนวณในกระดาษทำใหย้ ากต่อการอธิบายและการนำไปประยุกต์ใช้ใน
สถานการณ์จริง ในปจั จบุ ันมกี ารพัฒนาซอฟแวร์ทางคอมพวิ เตอร์เพ่ือชว่ ยในการจำลองระบบงาน
มากขึ้นเพื่อช่วยศึกษาระบบงานด้วยแบบจำลองสถานการณ์ด้วยรูปแบบคอมพิวเตอร์โดย
ปราศจากการรบกวนงานในระบบจริง ช่วยให้ผู้ทสี่ นใจสามารถเขา้ ถงึ วิธีการจำลองสถานการณ์ได้
สะดวกยิ่งขึ้น การออกแบบและพัฒนาระบบงานส่วนใหญ่อาศัยแบบจำลองสถานการณ์เป็น
องค์ประกอบสำคญั สำหรับชว่ ยในการพิจารณาและวเิ คราะห์กระบวนการทำงานกอ่ นจะนำไปใช้
ในระบบงานจริง เพอ่ื นำผลลัพธ์ที่ไดไ้ ปหาแนวทางในการพัฒนาการดำเนินงานของระบบงานให้
เกิดประสิทธิภาพมากยิ่งขึ้น โดยศึกษาพฤติกรรมของระบบผ่านแบบจำลองที่สร้างขึ้นตาม
สมมุติฐานในรูปแบบต่างๆ เช่น สมการคณิตศาสตร์ เงื่อนไขบังคับหรือตรรกะการทำงานของ
ระบบงาน เมื่อแบบจำลองถกู สรา้ งขึ้นและผ่านการตรวจสอบความถูกตอ้ งจะสามารถนำไปใช้ใน
การวิเคราะห์สถานการณ์ได้ อย่างไรก็ดแี บบจำลองสามารถประยุกต์ใชร้ ่วมกับทางเลือกในการ
แก้ไขปัญหาด้วยวิธีการอื่นๆได้อีกเช่น การวิเคราะห์ทางสถิติ (Statistical Analysis) การ
วิเคราะห์ระบบ (System Analysis) การคาดเดาอย่างมีความรู้ (Educated Guessing) การ
พยากรณ์ (Forecasting) ระบบสารสนเทศองค์กร (Information System) ทฤษฎีแถวคอย
(Queuing Theory) และทฤษฎีบริหารสินค้าคงคลงั (Inventory Theory) เปน็ ต้น

คำนยิ ามของการจำลองสถานการณ์ จากผู้เชยี่ วชาญหลายทา่ นได้ใหค้ ำนยิ ามไว้ ดังนี้

- การเลียนแบบการดำเนินงานของกระบวนการหรือระบบจริงตามเวลา (“The
imitation of the operation of a real world process or system over time”,
Banks, 2010, p.1)

- เทคนิคที่ใช้ในการศึกษาระบบต่อเนื่องเพื่อสร้างลำดับของเหตุการณ์ที่สามารถ
อธิบายคุณลักษณะของระบบได้ (“Application of techniques that, when

บทที่ 1 การจาลองแบบปัญหาดว้ ยคอมพวิ เตอร์

applied to the study of a discrete event dynamical system, generates
sequences called sample paths that characterize its behavior”,
Fishman, 2001, p.3)
- เทคนิคเชิงตัวเลขและโปรแกรมต่างๆที่แสดงถึงตัวแบบสุ่มและการทดลองสุ่ม
ตัวอย่างของตัวแบบคอมพิวเตอร์ (“A set of numerical and programming
techniques for representing stochastic model conducting sampling
experiments on those models using a computer”, Seila, 2003, p.8)
- เกี่ยวกับการจำลองปัญหา เป็นกระบวนการออกแบบจำลอง (Model) ของระบบ
จริง (Real System) แล้วดำเนินการทดลองเพ่ือให้เรยี นรูพ้ ฤตกิ รรมของระบบงาน
จริงภายใต้ข้อกำหนดต่าง ๆทีว่ างไว้ เพ่ือประเมินผลการดำเนนิ งานของระบบและ
วิเคราะห์ผลลัพธท์ ี่ได้จากการทดลองก่อนนำไปใช้แก้ไขปัญหาในสถานการณ์จริง
ตอ่ ไป ตวั อย่างเชน่ การจำลองระบบงานดา้ นการจราจร การจำลองระบบงานด้าน
อุตสาหกรรม การจำลองระบบงานด้านการบริการ การจำลองระบบงานภายใน
โรงพยาบาล การจำลองงานในระบบการทำงานภายในธนาคาร หรือการจำลอง
ระบบดา้ นโลจสิ ติกส์ เช่น โครงขา่ ยการขนส่งและกระจายสินคา้ การจำลองระบบ
การทำงานภายในคลงั และศูนยก์ ระจายสินค้า Shannon (1975)
- เทคนิคในการใช้คอมพิวเตอร์เพื่อเลียนแบบพฤติกรรมของระบบจริง
( “Techniques for using computers to imitate, or simulate, the
operations of various kinds of real world facilities or processes”, Law,
2007)

ววิ ฒั นาการของแบบจำลอง (Evolution of Simulation)
วิวัฒนาการของการสร้างแบบจำลองและการใช้คอมพิวเตอร์ในการจำลองสถานการณ์

นัน้ ถกู กลา่ วถงึ โดย Nance and Sargent (2003) ดงั น้ี

The Early Years (1950s-1960s)
• โปรแกรมและเครื่องมือคอมพิวเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับการสร้างตั ว
แบบจำลองเปน็ เครือ่ งมอื ทม่ี คี วามเฉพาะทางและมรี าคาท่สี งู มาก

2

บทที่ 1 การจาลองแบบปัญหาดว้ ยคอมพวิ เตอร์

• การดำเนินการสร้างตัวแบบจำลองต้องทำบนเครื่องคอมพิวเตอร์ขนาด
ใหญ่ที่ใช้ในองค์กรเพื่อประมวลผลข้อมูลจำนวนมาก (Mainframe
Computer) และ ตอ้ งดำเนินการโดยผ้เู ช่ยี วชาญพเิ ศษเทา่ น้ัน

• การสรา้ งตัวแบบจำลองสถานการณถ์ ูกนำไปใชใ้ นองคก์ รขนาดใหญท่ ี่มีเงนิ
ลงทุนสงู หรือหนว่ ยงานทางการทหารเท่านั้น

• ปี 1960s บริษัท International Business Machine (IBM) ได้พัฒนา
โปรแกรมหรือซอฟต์แวร์ General Purpose Simulation System
(GPSS) สำหรับใช้ในการวิเคราะห์การแบ่งการใช้เวลาของทรัพยากร
(Time Sharing) บนเคร่อื งคอมพิวเตอรเ์ มนเฟรม โดยเริ่มแรกถูกรวมเข้า
กบั Library มาตรฐานของเคร่ือง IBM 360s

The Formative Years (1970s-1980s)
• คอมพวิ เตอร์มีประสิทธิภาพในการประมวลผลดขี ้ึนและราคาปรบั ตวั ต่ำลง
จากสภาพการแขง่ ขนั ในตลาด
• การสร้างตัวแบบจำลองแพร่หลายไปยังอุตสาหกรรมต่างๆมากขึ้นเช่น
อุตสาหกรรมยานยนต์, อุตสาหกรรมอากาศยาน (Aerospace) หรือ
อุตสาหกรรมหนังเพือ่ ปอ้ งกันการเกดิ ภัยพิบัติทีร่ ้ายแรง
• โปรแกรมสร้างตัวแบบจำลองสถานการณ์ได้รับการปรับปรุงให้มี
ป ร ะส ิ ท ธ ิ ภ า พ ท ี ่ ด ี ข ึ ้ นโ ด ย ม ี ล ั ก ษ ณ ะเ ป ็ นก า ร ป ร ะ ม ว ล ผ ล แ บ บ ก ลุ่ ม
(Batched Process)
• ปี 1979-1980s Alan Pritsker และ David Pegden ได้พัฒนาโปรแกรม
ตัวแบบจำลองเชงิ กราฟิก โดยผู้ใช้สามารถใส่ข้อมลู นำเข้าในรูปแบบของ
แผนภาพโครงข่าย (Network Diagram) เพอื่ ทำการปรับเปล่ียนเป็นรหัส
SLAM

The Recent Past (1980s)
• คอมพวิ เตอรม์ ีขนาดที่เล็กลงแต่มปี ระสทิ ธภิ าพในการประมวลผลทสี่ งู ขน้ึ
• โปรแกรมสร้างตัวแบบจำลองได้รับการพัฒนาด้านซอฟต์แวร์ครอบคลุม
ส่วนต่อประสานกราฟกิ กับผู้ใช้ (Graphic User interfaces: GUIs) และ
การทำภาพเคลอ่ื นไหว (Animation)

3

บทท่ี 1 การจาลองแบบปัญหาดว้ ยคอมพวิ เตอร์

• เป็นที่ยอมรับในหลายวงการมากขึ้นและได้รับความนิยมกบั อุตสาหกรรม
ขนาดใหญ่

• ปี 1983 Dennis Pegden ได้มีการพัฒนาภาษาของโปรแกรมการสร้าง
แบบจำลองที่เรยี กวา่ SIMAN (Simulation Analysis)

The Present (1990s-2012)
• โปรแกรมคอมพิวเตอร์สำหรบั การตัวแบบจำลองมีการนำมาใช้ในบริษัท
ขนาดกลางและขนาดเล็กมากขึ้น โดยสามารถเริ่มทำการจำลองไดต้ ั้งแต่
ข้นั ตอนการออกแบบ (Design Phase)
• มกี ารควบคุมตวั แบบจำลองตามระยะเวลาจริง (Real-Time Control)
• SIMAN (บริษัท Rockwell Automation) พัฒนาตัวโปรแกรมจำลอง
สถานการณใ์ หส้ ามารถใชก้ ับคอมพวิ เตอร์สว่ นบคุ คลได้

The Future
• โปรแกรมคอมพิวเตอรส์ ำหรับการตวั แบบจำลองมีการพัฒนาให้สามารถ
ทำงานได้ขา้ มระบบปฏบิ ตั กิ ารหรือผา่ นรปู แบบอปุ กรณ์มอื ถอื
• สามารถใช้ร่วมกับระบบงาน (Application) อื่นๆและมีแผ่นแบบ
(Template) เฉพาะทางสำหรบั อตุ สาหกรรมต่าง
• มีระบบสนับสนุนการใชข้ อ้ มูลร่วมกันในเครือข่าย
• การทำภาพเคล่ือนไหวเสมอื นจริง (Virtual Reality Animation)
• ฟังค์ชั่นการทำงานทางสถิติชั้นสูงและโมดูลต่างๆสำหรับการวิเคราะห์
ผลลัพธ์ (Output Analysis Modules)
• ฟังคช์ ั่นการหาค่าคำตอบทีด่ ที ีส่ ดุ (Optimization) เพอื่ หาคา่ พารามิเตอร์
ทเี่ หมาะสมทสี่ ดุ ของตวั แบบจำลอง

4

บทที่ 1 การจาลองแบบปัญหาดว้ ยคอมพวิ เตอร์

การศกึ ษาระบบ

ภาพที่ 1.1 วิธีการศกึ ษาระบบ (Ways to study a system)
ท่ีมา: Law, 2007

การทดลองกับระบบจรงิ และการทดลองกับตวั แบบระบบ
การทดลองกับระบบจริงเป็นสิ่งที่ควรทำเป็นอย่างแรกโดยไม่จำเป็นต้องใช้การจำลอง

เพราะสามารถปรบั เปลยี่ นปจั จัยตา่ งๆ เพ่อื ดผู ลลัพธ์และการเปล่ียนแปรทเ่ี กิดขน้ึ กับระบบจริงได้
โดยตรง แต่อาจมีข้อจำกัดในการนำไปใช้งานเพราะการปรับเปลี่ยนแต่ละครั้งจะส่งผลกระทบ
โดยตรงกบั อาจส่งผลให้ระบบการทำงานจริงหยุดชะงักจากการปรับเปลีย่ น ส่งผลให้เกิดความ
สูญเสียโอกาสในการผลิตหรือกระทบต่อความพึงพอใจของพนักงานทีป่ ฏิบัติงาน ตัวอย่างเชน่
ศูนย์กระจายสินค้าแห่งหนึ่งมีความต้องการลดจำนวนพนักงานในกระบวนการเบิกสินค้าโดย
ปรับเปลี่ยนรอบการปฏิบัติงานของพนักงานแต่ละคน อาจส่งผลกระทบต่อปริมาณงานที่ไม่
สามารถทำไดค้ งเหลอื ในแตล่ ะชว่ งเวลาท่ีเพมิ่ สูงขึ้น พนักงานปฏิบัตงิ านไม่ทนั ตามรอบระยะเวลา
ทว่ี างไว้และกระทบต่อแผนงานทเ่ี หลืออยู่

นอกจากน้ใี นบางกรณรี ะบบจรงิ อาจยังไมเ่ กิดข้นึ หรือไม่มใี หท้ ดสอบ ทำให้ผูท้ ี่เก่ียวข้อง
จำเปน็ จะตอ้ งทดลองจำลองการทำงานท่คี าดว่าจะเกิดขนึ้ ผ่านตวั แบบของระบบเพื่อหาทางเลือก
ที่เหมาะสมที่สุดในการออกแบบและวางแผนระบบให้ได้ดีที่สุด ตัวอย่างเช่น การลงทุนระบบ
จัดเกบ็ และเบกิ จ่ายสนิ คา้ อตั โนมตั ิ (Automated Retrieval System) ภายในศูนยก์ ระจายสินคา้

ตัวแบบทางกายภาพและตัวแบบทางคณติ ศาสตร์
โมดลู (Model) หมายถึง สง่ิ ทีส่ ามารถมองเห็นและจับตอ้ งไดเ้ ปน็ รูปธรรม เช่น ตวั แบบ

รถยนตไ์ ฟฟา้ รนุ่ ใหม่ ตวั แบบของบา้ นอนุรักษ์พลังงาน เปน็ ต้น โดยสามารถเรยี กได้ว่าตวั แบบเชิง

5

บทที่ 1 การจาลองแบบปัญหาดว้ ยคอมพิวเตอร์

กายภาพ แตกต่างกับตัวแบบดำเนินการวิจัย (Operation Research) และวิเคราะห์ระบบ
(System Analysis) เปน็ ตวั แบบคณติ ศาสตรท์ ่ถี กู แสดงดว้ ยสมการ ตรรกะ และความสมั พันธเ์ ชิง
ปริมาณ (Quantitative Relationship) ที่แสดงถึงการเปลี่ยนแปลงของระบบ เช่น สมการการ
คำนวณระยะทาง d = rt เมื่อ d แทนระยะทางที่ได้, r เท่ากับความเร็ว, t เท่ากับระยะเวลา
เดนิ ทาง โดยเมอ่ื สรา้ งแบบจำลองเชงิ คณติ ศาสตร์ได้แลว้ จะสามารถตอบคำถามเก่ยี วกับระบบได้
โดยผลลัพธ์เชิงวิเคราะห์ได้จากวิธีทางคณิตศาสตร์เช่นเดียวกัน เช่น หากทราบ d และ r จะ
สามารถหากค่า t ไดจ้ ากสมการ t= d/r การใช้ทฤษฎีแถวคอยเปน็ เคร่อื งมือช่วยในการแกป้ ัญหา
การให้บริการที่ไม่มีความซับซ้อนมากได้ หรือการใช้ทฤษฎีสินค้าคงคลังในการหาปริมาณการ
จัดเกบ็ ทเ่ี หมาะสม แต่หากระบบจรงิ มีความย่งุ ยากและซับซ้อนมากอาจไม่สามารถใช้วิธีการเชิง
ปรมิ าณและวิธกี ารเชงิ วเิ คราะหแ์ ทนระบบจริงได้ การจำลองเปน็ เครอื่ งมอื ในการวิเคราะห์ตวั ชว้ี ัด
ประสทิ ธภิ าพของระบบแทนได้

ความเหมาะสมของการใช้แบบจำลองสถานการณ์
โปรแกรมจำลองสถานการณ์ในปัจจุบันถูกพัฒนาขึ้นจึงทำให้สามาถเข้าถึงการใช้

โปรแกรมจำลองสถานการณไ์ ดง้ า่ ย ทั้งยังเปน็ ที่นยิ มและไดร้ บั การยอมรบั ในงานทางการวจิ ยั และ
การวเิ คราะห์ระบบงานของภาคธุรกจิ อตุ สาหกรรมและการศกึ ษาในสายวิชาการ (Naylor,1996)
และ Shannon (1998) กลา่ วถึงตวั แบบจำลองสถานการณ์มคี วามเหมาะสมกับสถานการณ์ต่างๆ
น้ัน มกี ารเลือกใช้ ดงั น้ี

1. การจำลองสถานการณ์ชว่ ยในการศึกษาและทดลองระบบทม่ี คี วามซบั ซ้อน ไมว่ า่ จะ
เป็นการศกึ ษาทง้ั ระบบหรอื ส่วนใดส่วนหน่ึงของระบบก็ตาม

2. มคี วามต้องการทีจ่ ะศึกษาการเปล่ยี นแปลงของระบบด้วยรูปแบบวธิ ีการต่างๆและ
ตอ้ งการทราบผลลัพธ์ที่เกิดขนึ้ ในระบบและในแตล่ ะรปู แบบทไ่ี ดม้ ีการปรบั เปลยี่ น

3. ผลลพั ธ์ที่ไดจ้ ากแบบจำลองสามารถนำไปใช้ในการปรับปรงุ ระบบงานจรงิ ไดอ้ ยา่ งมี
ประสิทธิภาพมากย่ิงข้ึน

4. การเปล่ยี นข้อมลู นำเข้า (Input) ของการจำลองสถานการณ์จะส่งผลลัพธ์ให้เห็นถึง
ความเชื่องโยงและการเปลีย่ นแปลงของแตล่ ะปจั จยั ทเี่ กี่ยวขอ้ งกัน

5. ใชใ้ นการทดสอบ การออกแบบ หรอื กำหนดนโยบายใหม่ๆก่อนการนำไปใช้งานใน
ระบบจริงเพื่อคาดเดาผลลพั ธ์ทจ่ี ะเกิดขึ้น

6. การจำลองสถานการณ์สามารถยืนยนั คำตอบทีไ่ ดจ้ ากการศกึ ษาเชงิ วเิ คราะห์

6

บทที่ 1 การจาลองแบบปัญหาดว้ ยคอมพิวเตอร์

7. การสร้างและออกแบบตวั แบบจำลองสามารถชว่ ยใหผ้ ทู้ ี่เกี่ยวขอ้ งไดเ้ รยี นรู้ระบบไป
ดว้ ยในเวลาเดยี วกนั

8. ระบบกระบวนการทำงานขององค์กรสมัยใหม่ทั้งภาคการผลิตและการบริการมี
ความซับซ้อนมากขึ้นโดยเฉพาะการทำงานร่วมกันภายในขององค์กร (Internal
Interaction) จำเปน็ ต้องใช้แบบจำลองมาชว่ ยในการวิเคราะห์

9. เมื่อต้องการปรับปรุงระบบก่อนการดำเนนิ งานการปรับเปลี่ยนจริง เนื่องจากการ
ปรับเปลี่ยนกระบวนการทำงานแต่ละครั้งจำเป็นต้องใช้ระยะเวลาในการ
ปรับเปลี่ยนจำนวนมากและส่งผลกระทบโดยตรงต่อความต่อเนื่องของการ
ดำเนนิ งานในแผนกต่างๆ ดงั นั้นการปรบั เปลยี่ นกระบวนการทำงานแตล่ ะครัง้ ตอ้ งมี
การศึกษาข้อมูลองค์ประกอบรวมถงึ ความเสี่ยงท่ีจะเกิดขึ้นในการปรับเปลี่ยนมา
เป็นอย่างดกี ่อนการปรบั เปล่ียน เช่น การเพิ่มจำนวนของพนักงานหรือเครื่องจักร
เขา้ ไปในจดุ ท่ีเป็นคอขวด (Bottle Neck)

Banks และ Gibson (1997) ไดก้ ล่าวถงึ การสรา้ งตัวแบบจำลองสถานการณ์ในระบบงานจริงที่มี
โอกาสพบข้อจำกัดในการนำไปใช้หรือสถานการณ์ทไ่ี มเ่ หมาะสมจะนำตวั แบบจำลองไปใช้ ดงั นี้

1. เมื่อปญั หาไม่มีความซับซ้อนหรือสามารถแก้ไขได้ด้วยการตัดสนิ ใจด้วยเหตุและผล
ทั่วไป (Common Sense) เช่น การกำหนดจำนวนพนักงานในการทำงานเม่ือ
ทราบปริมาณสินค้าที่คงที่ ทำให้ไม่เกิดความจำเป็นในการพัฒนาตัวแบบจำลอง
เพราะสามารถหาคำตอบไดจ้ ากสมการคณิตศาสตรอ์ ยา่ งง่าย

2. เมื่อสามารถหาคำตอบได้ด้วยการตัดสินใจเชิงวิเคราะห์เพื่อแก้ไขปัญหาแถวคอย
(Queue) ในกระบวนการทำงานทำให้ไมจ่ ำเป็นตอ้ งสรา้ งแบบจำลองสำหรบั อธบิ าย
หรอื แกไ้ ขปญั หาแถวคอยข้นึ มาใหม่

3. เมอ่ื การทดลองปรบั เปลี่ยนกระบวนการทำงานจริงเกิดคา่ ใช้จา่ ยนอ้ ยกว่าการสร้าง
แบบจำลอง โดยเฉพาะในระบบงานขนาดเล็กที่มีกระบวนการทำงานไม่ซับซ้อน
การทดสอบท่ีกระบวนการทำงานจรงิ อาจไม่ส่งผลให้เกิดรายได้เพ่ิมเติมและทำได้
อย่างรวดเร็ว ไม่จำเป็นต้องเสียค่าใชจ้ ่ายในการซื้อ การพัฒนาโปรแกรมหรอื การ
จ้างทป่ี รกึ ษาเพอื่ สรา้ งแบบจำลอง

4. เมือ่ คา่ ใช้จ่ายในการพัฒนาแบบจำลองสงู กว่าผลประโยชนท์ างการเงินท่ีพึงได้ หรือ
ระบบงานปัจจุบันมี่ความเหมาะสมกับการทำงาน การปรับปรุงกระบวนการให้
ไดผ้ ลลัพธ์ทด่ี ขี ้ึนอาจเกดิ ข้ึนไดย้ ากหรือเกิดผลประโยชน์ท่ไี ดร้ ับ

7

บทท่ี 1 การจาลองแบบปัญหาดว้ ยคอมพวิ เตอร์

5. เมื่อบริษัทมีงบประมาณไม่เพียงพอ โดยเฉพาะในกรณีที่บริษัทไม่มีพนักงาน
ผู้เช่ยี วชาญหรือคณะทำงานในการสร้างแบบจำลองการทำงาน รวมถึงมแี นวโน้มจะ
ไม่ได้รับอนุมัติงบประมาณในการดำเนินงานสร้างแบบจำลอง อาจส่งผลให้เกิดการ
หยดุ การดำเนินงานกลางคัน

6. เมื่อมีระยะเวลาในการดำเนินงานที่สั้นจนเกินไปหรือมีความต้องการปรับปรุง
กระบวนการอย่างเร่งด่วน เพราะการสร้างตัวแบบจำลองที่ถูกต้องจำเป็นต้องใช้
ระยะเวลาในการพัฒนาและตรวจสอบ สง่ ผลใหต้ ้องใชร้ ะยะเวลากว่าจะสามารถนำ
ออกมาใช้งานจริงได้ ดังนั้นหากมีความเร่งด่วนไม่ควรนำแบบจำลองสถาณการม์ า
ประยกุ ตใ์ ช้

7. เม่อื องคก์ รไมม่ กี ารเก็บรวบรวมข้อมูลต่างๆ ที่เกยี่ วขอ้ ง เชน่ จำนวนลูกค้าที่เข้ามา
ใช้บริการ เวลาการปฏิบัติงานของพนักงาน หรือ รูปแบบการให้บริการที่เป็น
มาตรฐานขององค์กร โดยหากไม่มีข้อมูลทเ่ี กีย่ วขอ้ งทไี่ ดม้ กี ารรวบรวมไว้โดยบริษัท
จะสง่ ผลให้พัฒนาตวั แบบจำลองท่ถี ูกตอ้ งไดย้ าก

8. เมื่อองค์กรประเมินว่าจะไม่ได้รับความร่วมมือจากพนักงานที่เกี่ยวข้องหรือ
ผู้ปฏิบัตงิ านที่เกี่ยวข้องโดยตรงกับระบบการทำงานที่ต้องการศึกษาหรือสร้างตวั
แบบจำลอง อาจสง่ ผลใหเ้ กดิ ความเสีย่ งในการเกบ็ รวบรวมขอ้ มูลท่ีผิดพลาด

9. เมื่อการเก็บรวบรวมข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับการวัดประสิทธิภาพการทำงานของคน
อาจทำใหไ้ ด้รบั ข้อมูลที่คลาดเคลอ่ื น เนือ่ งจากสมรรถนะของคนมคี วามเกี่ยวขอ้ งกบั
ปัจจัยแวดล้อมที่หลากหลายจำนวนมาก ทำให้ได้รับข้อมูลที่มีค่าสูงหรือต่ำกว่า
ความเป็นจริง ไม่สมำ่ เสมอ อาจสง่ ผลใหไ้ ดร้ บั ผลลพั ธท์ ีค่ ลาดเคลือ่ น

10. เม่ือกระบวนการหรอื พฤตกิ รรมการทำงานของระบบมคี วามซบั ซ้อนและความเป็น
พลวัตรสูง ไม่สามารถนิยามกระบวนการได้อย่างชัดเจน อาจทำให้ผู้สร้าง
แบบจำลองไม่สามารถตั้งสมมุตฐิ านได้อย่างสอดคลอ้ งกับการทำงานจริง

จากข้อมูลข้างต้นแสดงให้เห็นถึงประโยชน์และข้อจำกัดของกระบวนการสร้างแบบจำลอง
สถานการณ์ที่ได้รับความนิยมและความสนใจจากทั้งภาคธุรกิจและภาคการศึกษาที่มากขึ้น
เพราะสามารถใช้ศึกษา วิเคราะห์ และอธิบายพฤติกรรมของระบบการทำงานที่เกิดขึ้นโดยการ
เลียนแบบระบบการทำงานจริงหรือสิง่ ที่อาจเกิดขึ้นในช่วงการออกแบบ ทั้งนี้ยังมีการทำงานที่
แตกต่างไปจากเครื่องมือการหาค่าที่ดีที่สุด (Optimization Model) เพราะการจำลอง
สถานการณ์เน้นการวิเคราะห์ผลลัพธจ์ ากการจำลองสถานการณ์ของแบบจำลองมากกว่าการหา

8

บทท่ี 1 การจาลองแบบปัญหาดว้ ยคอมพวิ เตอร์

คำตอบที่ดีที่สุด โดยเมื่อได้ตัวแบบจำลองที่สอดคล้องกับความเป็นจริงแล้ว การปรับเปลี่ยน
องค์ประกอบหรือค่าปัจจัยแวดล้อมต่าง ๆ จะสามารถทำได้โดยง่ายและนำไปสู่การปรับปรุงใน
สถานการณ์จรงิ ต่อไป

Pegden (1995) ได้กลา่ วถึงข้อดีและข้อเสยี ของการสร้างตัวแบบจำลองสถานการณ์เอาไว้ ดังน้ี
ข้อดขี องแบบจำลองสถานการณ์
1. สามารถทดลองปรับเปลี่ยนกระบวนการทำงานจากนโยบายขององค์ใหม่
กระบวนการใหม่ การไหลของข้อมูลและกระบวนการ ขั้นตอนการบริหารองค์กร
และการปรบั เปลีย่ นอื่นๆทไี่ มส่ ่งผลกระทบตอ่ ระบบงานจริง
2. สามารถทดสอบการออกแบบเครื่องมือแผนผังโรงงานและระบบการจัดส่งเพ่อื หา
ผลลัพธ์ของการออกแบบใหม่ ก่อนจัดสรรทรัพยากรหรือเครื่องมือเพิ่มเติมให้กับ
ระบบงานท่ีจะมกี ารเปลีย่ นแปลง ช่วยลดความเสีย่ งจากการลงทุนทีไ่ ม่คุ้มคา่ และไม่
จำเปน็ ในการลงทุนด้านเครือ่ งมืออุปกรณ์สำหรับการทดสอบระบบงานจรงิ
3. สามารถนำมาใช้ในการทดสอบสมมุติฐานต่างๆ กับระบบงานจริงได้โดยง่ายเพ่ือ
ตรวจสอบผลลัพธ์และความเปน็ ไปไดข้ องระบบ
4. สามารถทำความเข้าใจและอธิบายความสัมพันธข์ องตัวแปรและปจั จัยที่ส่งผลตอ่
ประสิทธิภาพของระบบไดอ้ ยา่ งละเอยี ด
5. สามารถวิเคราะห์หาจุดคับค่ังของงานหรือคอขวด (Bottleneck) ในกระบวนการ
ทำงานโดยวิเคราะหจ์ ากข้อมูลของชิน้ นงานที่อยู่ในระหวา่ งกระบวนการ (Work-in-
Process) จำนวนชิน้ งานในแถวคอยและเวลารอคอยของวัตถุ
6. สามารถวางแผนด้วยสถานการณ์ (Scenario Planning) ใหม่ๆ ภายใต้ข้อจำกัด
หรือองค์ประกอบที่ไม่เคยเกิดขึ้นในระบบจริง เพื่อตอบคำถามต่างๆ (What-if
Question) สำหรบั การออกแบบระบบใหม่
7. สามารถทดลองเงื่อนไขทุกรูปแบบที่ต้องการกับระบบงานจริง สะดวกรวดเร็วต่อ
การเปลี่ยนแปลงและกำหนดหนดแนวทางเพือ่ เปรียบเทยี บหาผลลัพธ์ที่ดีทีส่ ดุ ต่อ
การใช้งาน (Best Solution)
8. สามารถศึกษาระบบงานที่ไม่มีอยู่จริงหรือระบบงานที่ผู้ใช้งานมีความรู้และ
ประสบการณ์จำกัด โดยการออกแบบตัวแบบจำลองภายใต้แนวคิดและเงื่อนไข
ตา่ งๆ ทคี่ าดว่าจะเก่ียวขอ้ ง

9

บทท่ี 1 การจาลองแบบปัญหาดว้ ยคอมพิวเตอร์

ขอ้ เสยี ของแบบจำลองสถานการณ์
1. ผู้สร้างแบบจำลองต้องมีความรู้ความเข้าใจและได้รับการฝึกฝนเป็นพิเศษในการ

สร้างตัวแบบจำลอง ขึ้นอยู่กับโปรแกรมที่เลือกมาใช้ในการสร้างแบบจำลอง โดย
การสร้างแบบจำลองเป็นศิลปะที่ต้องใช้เวลา ประสบการณ์ และจินตนาการใน
การศึกษา ดังนั้นถึงผู้สร้างแบบจำลองหลายคนสร้างแบบจำลองของสถานการณ์
จริงเดียวกัน เป็นไปได้สูงที่แบบจำลองจะมีความคล้ายกันแต่เป็นไปได้ยากที่
แบบจำลองท่อี อกมาจะเหมอื นกนั ทกุ ประการ
2. ในบางครัง้ การวเิ คราะหผ์ ลลพั ธ์ของแบบจำลองยากต่อการเข้าใจ เนื่องจากผลลัพธ์
ที่ได้จากการจำลองเปน็ ตัวแปรสมุ่ ซึ่งขน้ึ อยกู่ บั ตวั แปรสมุ่ นำเขา้ ดงั นนั้ จึงมีโอกาสเกดิ
ความผดิ พลาดข้ึนไดจ้ ากตัวแปรสุม่ ท่ีได้มกี ารเก็บรวบรวมทไี่ มล่ ะเอยี ดเพยี งพอ
3. การสร้างและวิเคราะห์แบบจำลองที่ดีและถูกต้องจำเป็นต้องอาศัยเวลาในการ
พัฒนาและปรับแก้ไข ต้องการบคุ ลากรที่มคี วามรู้ความเชี่ยวชาญและความเข้าใจ
ในระบบงานทีซ่ บั ซ้อนที่มีโอกาสจะเปน็ พนักงานคนละแผนกกัน ส่งผลให้มีโอกาส
เกดิ ค่าใช้จา่ ยจำนวนมาก

องค์ประกอบของระบบ (System Component)
ระบบ (System) หมายถึง กลุ่มของส่วนประกอบหรือวัตถุที่มีความโต้ตอบกันไปมา

(Law, 2007) ระบบมีความสามารถในการตอบสนองต่อการเปลี่ยนแปลงจากสภาพแวดล้อม
ภายนอก (System Environment, Gordon, 1978) ในการจำลองระบบจำเป็นต้องมีการ
กำหนดขอบเขต ระหว่าง ระบบและสภาพแวดล้อมภายนอกให้สอดคล้อง และเหมาะสมกั บ
เปา้ หมายของการศกึ ษาในแตล่ ะครง้ั เชน่ กระบวนการกระจายสินคา้ ดว้ ยยานพาหนะสล่ี อ้ สภาพ
ของเส้นทางที่ใช้ในการจัดส่งสินค้านับเป็นปัจจยั ภายนอก (External Environment) และเป็น
สว่ นหนงึ่ ของสภาพแวดล้อมภายนอก (System Environment) แต่ผลลัพธข์ องการจำลองได้รับ
อทิ ธิพลจากสภาพของเสน้ ทางการจัดส่งดว้ ยถึงแมจ้ ะไม่สามารถควบคมุ ได้กต็ าม โดยระบบต่างๆ
จะประกอบดว้ ยองค์ประกอบดังตารางที่ 1.1

กลุ่มของเอนทติ ี้หรอื วัตถใุ นระบบตวั แบบจำลองหน่งึ อาจเป็นสว่ นหน่งึ (Subset) ของตัว
แบบจำลองอื่นๆ ได้อีกจำนวนมาก เช่น การให้บริการในธนาคาร ตัวแบบจำลองที่หนึ่งอาจ
ต้องการศกึ ษาจำนวนพนกั งานให้บรกิ ารทเ่ี พียงพอต่อการทำธุรกรรมทางการเงินท่ัวไป เช่น การ
ฝากเงิน การถอนเงิน การโอนเงิน โดยทีต่ ัวแบบจำลองท่ีสองเป็นการศึกษาจำนวนพนักงานทกุ

10

บทท่ี 1 การจาลองแบบปัญหาดว้ ยคอมพิวเตอร์

ประเภทที่เพียงพอต่อการให้บริการทกุ ประเภท รวมถึงธุรกรรมที่ไม่อยู่ในตัวแบบจำลองที่หนงึ่
เช่น การเปิด/ปิดบญั ชธี นาคาร การทำประกนั ชวี ิตและอ่นื ๆ โดยตวั แบบจำลองทีส่ องมขี อบเหตุที่
กว้างกว่าตัวแบบจำลองท่หี นงึ่ แตก่ ม็ ีเนอ้ื หาขอ้ มลู บางสว่ นคาบเก่ยี วระหว่างตวั แบบจำลองอยู่

ตารางที่ 1.1 องค์ประกอบของระบบ

องคป์ ระกอบ รายละเอยี ดขององคป์ ระกอบ

1. เอนทติ ้ี/วัตถุ (Entity) วตั ถุ (Object) หรอื สิง่ ที่ผศู้ ึกษาสนใจ

2. คณุ สมบตั ิ (Attribute) คณุ สมบัติของวตั ถุ (ช่ัวคราวหรือถาวร)

3. กจิ กรรม (Activity) ส ิ ่ ง ท ี ่ เ ก ิ ด ข ึ ้ น แ ล ะ ม ี ก า ร เ ร ี ย ก ใ ช้ ท ร ั พ ย า ก ร ค น ห รื อ
เครอ่ื งจักร
4. สถานะ (State) ตัวบง่ ชสี้ ถานะของระบบ
สง่ิ ทเี่ กดิ ข้ึนและสง่ ผลตอ่ การเปล่ียนสถานะของตัวแปร
5. เหตกุ ารณ์ (Event) หรือ การเกิดขึ้นอย่างกระทันหนั ของสง่ิ หน่ึงสงิ่ ใดทำให้
เกิดการเปลยี่ นแปลงสถานะของระบบ
6. ตวั แปรสถานะ (State ตัวแปรที่บ่งชีส้ ถานะของระบบท่ีสนใจใช้แทนค่าต่างๆ
Variable) ของเอนทิต้ที ่ีสนใจในระบบ

เม่ือมรี ะบบท่ีตอ้ งการศึกษาจำลองกระบวนการทำงานหรือการจำลองตวั แบบของปญั หา
ที่พบ การสร้างตัวแบบจำลอง (Modeling) เพื่อให้ได้แบบจำลองที่สามารถทดแทนการทำงาน
ของกระบวนการจริงหรือระบบในช่วงเวลาหนึ่ง โดยมีวัตถุประสงค์เพื่อวิเคราะห์หาทางเลือก
(Alternative Scenario) ในการปรบั ปรงุ ระบบตอ่ ไป

สำหรับสถานะของระบบนั้นสามารถอธิบายเพิ่มเตมิ ได้อกี นิยาม หมายถึง กลุ่มของตัว
แปรสำคญั ทใี่ ช้สำหรับการอธิบายสภาวะของระบบในเวลาหนง่ึ ๆ เชน่ พนกั งานทก่ี ำลังให้บริการ
ลูกค้า จำนวนลูกคา้ ในแถวคอย จำนวนลูกค้าที่กำลังไดร้ ับการบริการ ระยะเวลาการเขา้ มาของ
ลกู ค้า (Customer inter-arrival time) และเวลารอคอยของลูกคา้ แต่ละคน

11

บทที่ 1 การจาลองแบบปัญหาดว้ ยคอมพิวเตอร์

ตารางที่ 1.2 ส่วนประกอบในระบบ Event State
System Entity Attribute Activity Variables
เลือกพนื้ ท่ี
คลงั สนิ คา้ สนิ ค้า ประเภท การจดั เกบ็ เก็บ จำนวน
ของสินค้า สนิ ค้า เรมิ่ พนกั งาน/สนิ คา้
จำนวนชนิ้ งานใน
การผลติ ชิ้นงาน ประเภท การประกอบ ประกอบ แถวคอย/ชิน้ งาน
ของช้ินงาน การ สนิ้ สดุ การ ทีไ่ ม่ผา่ นการ
ตรวจสอบ ประกอบ
ออกจาก ตรวจ
การขนสง่ สนิ คา้ น้ำหนกั ของ การขนส่ง โรงงาน จำนวน
สินค้า/ การขนสนิ คา้ ถึงร้านคา้ รถบรรทกุ /เวลา
ประเภท ขึ้น/ลงรถ ในการขนส่ง
สินคา้

แนวคิดการประยุกตใ์ ช้ตัวแบบจำลองกบั ปัญหา (Problem Application)
การจำลองสามารถประยุกต์ใช้ได้กับโจทย์ปัญหาด้านกระบวนการได้ในหลากหลาย

สาขาวิชา เพอ่ื ศกึ ษาเอกลกั ษณ์ของพฤตกิ รรมและสะท้อนออกมาในรปู แบบของขอ้ มูลผลลัพธก์ าร
จำลองให้กับผู้ทสี่ นใจในสาขาวชิ าหรอื นอกสาขาวชิ าสามารถเข้าใจได้งา่ ยมากขึ้น โดยการประชุม
วิชาการด้านแบบจำลองสถานการณ์ Winter Simulation Conference เป็นแหล่งรวบรวม
ข้อมลู ทเ่ี ก่ียวข้องกบั ทฤษฎขี องการจำลองแบบปญั หาต่างๆได้มกี ารจดั ทำสรปุ หวั ข้อของปัญหาท่ี
เกิดขึ้นและถูกใช้เป็นหัวข้อในการศึกษาตัวแบบจำลองสถานการณ์ตั้งแตป่ ี ค.ศ. 1968 ถึง ค.ศ.
2011(Bank, 2010) ไวด้ งั นี้

Manufacturing Applications

- ระบบการผลติ ภายในโรงงานอตุ สาหกรรมเพอ่ื แกไ้ ขปญั หาคอขวด

- การเพมิ่ ประสทิ ธิภาพการทำงานภายในโรงงาน

- การออกแบบแผนการบำรุงรกั ษาเครอ่ื งจักร

- การจดั การกระบวนการผลิตภายในอตุ สาหกรรมชิน้ สว่ นรถยนต์

12

บทที่ 1 การจาลองแบบปัญหาดว้ ยคอมพวิ เตอร์

Business Processing
- ระบบงานด้านบรหิ ารธุรกิจและเศรษฐศาสตร์ เชน่ สภาวะตลาดและพฤตกิ รรม
ผู้บริโภค
- การให้บริการที่เป็นแถวคอยแบบต่างๆ เช่น โรงพยาบาล ร้านอาหารและ
ธนาคาร
- การพยากรณ์ยอดขายของร้านคา้ ปลีกขนาดเล็ก
- การจำลองการซอื้ ขายของรา้ นค้าปลกี

Construction Engineering and Project Management
- การจดั ตารางการทำงานสำหรับการก่อสร้างตึก
- เคร่ืองมอื ช่วยในการตดั สินใจสำหรับวางแผนการสร้างอุโมงค์

Logistics and Transportation Management
- ปัญหาด้านการวางแผนการจราจร
- การออกแบบและควบคุมระบบการขนส่ง เช่น อาคารสนามบิน ท่าเรือและ
รถไฟฟ้า
- การขนส่งอปุ กรณก์ ารแพทยก์ รณีที่เกิดภยั พิบัติ
- การวเิ คราะห์เครือข่ายการสง่ จดหมายของธรุ กิจไปรษณีย์
- การกระจายสนิ คา้ ภายในพ้ืนที่คลงั และศนู ย์กระจายสินค้า

Military Applications
- การทดสอบประสิทธิภาพของอาวุธและยทุ วิธที างการสงคราม

Health Care Section
- การลดระยะเวลาการรอคอยของผเู้ ข้ารบั การบรกิ ารทางการแพทย์
- การจำลองสถานการณ์และแผนการดำเนนิ งานในห้องผปู้ ว่ ยฉกุ เฉิน
- การจำลองนโยบายวิธกี ารบรหิ ารสินค้าคงคลงั ภายในโรงพยาบาล
- การจัดตารางการปฏบิ ัติงานของแพทยแ์ ละพยาบาล

Additional Applications
- ผลกระทบดา้ นเศรษฐกจิ จากนโยบายตา่ งๆ

13

บทที่ 1 การจาลองแบบปัญหาดว้ ยคอมพวิ เตอร์

- การลดระยะเวลาการรอคอยของศนู ย์ให้บรกิ ารทางโทรศัพท์ (Call Center)
- การเพ่ิมความพงึ พอใจของลูกคา้ ในธรุ กจิ บริการต่างๆ

ประเภทของแบบจำลองสถานการณ์
ตามมิติการพิจารณา ถูกจำแนกออกเป็น 3 มติ ิ ดงั น้ี

1. แบบจำลองดา้ นมติ ขิ องเวลา (สถติ และพลวัต: Static and Dynamic)
การจำลองแบบสถิต (Static Simulation) หรือการจำลองแบบมอนตคิ าร์โล

(Monte Carlo Simulation) เป็นการจำลองของระบบทีม่ ีการระบุเวลาเฉพาะเจาะจง
เพือ่ หาสเถยี รภาพของระบบถูกนำมาใชเ้ พ่ือนำเสนอระบบในลักษณะที่เวลาเคลื่อนที่ได้
โดยอิสระอยา่ งเรียบง่ายโดยไมม่ ีกฏเกณฑ์ ดังนั้นเวลาจึงไม่มีผลตอ่ ระบบ เช่น การใช้
Monte Carlo Simulation ในการหาปริพันธ์ (Integration) ของฟังก์ชั่น ส่วนการ
จำลองแบบพลวัต (Dynamic Simulation) เป็นการจำลองสถานการณ์ที่สถานะใน
ระบบที่มีการเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา เช่น ระบบขนถ่ายในโรงงาน ระบบสายพาน
ลำเลยี งสนิ คา้ ในขณะทำงาน หรือการใหบ้ รกิ ารของธนาคารอย่างต่อเนื่อง 08:30-16:30
น.
1. แบบจำลองด้านมิติความแน่นอนของข้อมูล (ดีเทอร์มินิสติกและสโตคาสติก:
Deterministic and Stochastic)

ส ำ ห ร ั บ ก า ร จ ำ ล อ ง ส ถ า น ก า ร ณ์ แ บ บ ด ี เ ท อ ร ์ ม ิ น ิ ส ต ิ ก แ ล ะ ส โ ต ค า ส ติ ก
(Deterministic Simulation) จะมกี ารกำหนดข้อมลู นำเขา้ สู่แบบจำลอง (Input Data)
ใหเ้ ปน็ ค่าคงทีท่ ้ังหมด โดยไมม่ ีข้อมูลใดเลยท่เี ปน็ ตวั แปรสมุ่ (Random Variable) หรือ
ส่วนประกอบทม่ี ีความน่าจะเป็นเข้ามาเก่ยี วข้อง ดงั นั้นจึงไดผ้ ลลัพธ์ของตวั แบบจำลองท่ี
มีคำตอบตายตัวเป็นค่าคงที่ เช่น เวลาที่แพทย์ให้บรกิ ารผูป้ ว่ ยคนสุดท้ายขึ้นอยู่กับ 1)
ตารางการมาพบแพทย์ของคนไข้และเงื่อนไขที่ว่าคนไข้มาพบแพทย์ตรงตามเวลานดั
หมายหรือไม่ และ 2) เวลาในการรักษาคนไข้แต่ละคนมคี ่าคงทต่ี ายตัว

สำหรับแบบจำลองสถานการณ์แบบสโตคาสติก (Stochastic Simulation)
เป็นการกำหนดข้อมูลนำเข้าบางตัวเป็นตัวแปรสุ่มหรือค่าการกระจายตัวของข้อมูล
ดังนั้นผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นค่าตัวแปรสุ่มเช่นเดียวกับข้อมูลนำเข้า ผลลัพธ์ที่ได้จาก
แบบจำลองจะเปน็ ค่าประมาณของระบบไม่ใช่ค่าท่แี ท้จริงตายตัวขึน้ อยู่กบั ความถูกต้อง
ของข้อมูลทน่ี ำมาใช้ในแบบจำลอง ถอื เปน็ ข้อเสยี ประเภทหนึง่ ของการจำลองแบบสโต

14

บทท่ี 1 การจาลองแบบปัญหาดว้ ยคอมพวิ เตอร์

คาสติก เช่น ระบบแถวคอย (Queuing System) ระบบสินค้าคงคลัง (Inventory
System) ระบบการให้บรกิ ารของธนาคารในช่วงเวลาการเข้ามาของลูกค้าและเวลาใน
การใหบ้ รกิ ารเป็นตวั แปรสุ่ม จะทำใหไ้ ด้ผลลพั ธ์คอื ค่าเฉล่ียของจำนวนลูกคา้ ในแถวคอย
ค่าเฉล่ยี ของเวลารอคอยของลูกคา้ เป็นต้น
2. แบบจำลองดา้ นมิตดิ า้ นความต่อเนอ่ื งของเหตกุ ารณ์ (ไมต่ อ่ เนือ่ งและตอ่ เนอื่ ง: Discrete
and Continuous)

เป็นมิติที่พิจารณาถึงสถานะของแบบจำลองว่าสถานะ (State) เกิดการ
เปลีย่ นแปลง ณ จุดหน่ึงๆอย่างไม่ต่อเน่อื งหรือต่อเนื่อง

สำหรับระบบแบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete System) เป็นระบบที่ตัวปรสถาน
ภาพมีการเปลยี่ นแปลงในช่วงพริบตาทจี่ ดุ เวลาต่างๆ เช่น ระบบใหบ้ รกิ ารของธนาคาร
เพราะตัวแปรสถานภาพ เช่น จำนวนลูกค้าในระบบเกิดการเปลี่ยนแปลงก็ต่อเมื่อมี
ลูกค้าเข้ามาถึงธนาคารหรือเมื่อลูกค้าเสร็จสิน้ การทำธรุ กรรมกับทางธนาคารและออก
จากธนาคารไปเท่านน้ั แสดงดงั ภาพที่ 1.2

ภาพที่ 1.2 จำนวนของวตั ถุ (Entity) ในการจำลองแบบไมต่ ่อเน่ือง

สำหรบั ระบบแบบตอ่ เน่ือง (Continuous System) เป็นระบบทตี่ วั แปรสถานภาพมกี าร
เปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องตลอดเวลาในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง ยกตัวอย่างเชน่ การเคลื่อนที่ใน
อากาศของเครื่องบินเพราะตวั แปรสถานภาพ เช่น ตำแหนง่ และความเร็ว สามารถเปลีย่ นแปลง
ได้อย่างต่อเนื่องทุกช่วงเวลาที่ได้ทำการศึกษา หรือการจำลองการเคลื่อนที่ของยานพาหนะใน
การจราจรทางถนน โดยสนใจอัตราการเคลือ่ นไหวของรถยนต์หรอื การจำลองการเปลีย่ นแปลง
ของอุณหภูมิในสารละลายในช่วงเวลาทีผ่ ู้ศึกษาสนใจหรือทำการศึกษาอยู่ที่มีการเปลีย่ นแปลง
อยา่ งตอ่ เนือ่ งในแต่ละวินาที แสดงดงั ภาพท่ี 1.3

15

บทที่ 1 การจาลองแบบปัญหาดว้ ยคอมพวิ เตอร์

ภาพที่ 1.3 การเปลีย่ นแปลงที่เกดิ ขน้ึ ในแบบจำลองแบบต่อเนื่อง

แบบจำลองประเภทไม่ต่อเนื่องและขับเคลื่อนด้วยเหตุการณ์ ( Discrete-Event
Simulation)

การสร้างตัวแบบจำลองประเภทไม่ต่อเนื่องและขับเคลื่อนด้วยเหตุการณ์ หรือ
Discrete-Event Simulation หมายถึง การสร้างตัวแบบจำลองโดยที่สถานะของระบบ
เปลยี่ นแปลงไปตามการเกิดข้นึ ของเหตุการณ์ทไ่ี ม่ตอ่ เน่อื งที่เกิดขึ้นไมพ่ รอ้ มกนั (Asynchronous
Discrete Event) ตัวอย่างสถานะของระบบเหตกุ ารณไ์ ม่ต่อเนอื่ งตา่ งๆ เช่น

• สถานการณ์ทำงานของเคร่อื งจกั ร {on, off}, {busy, idle, failure}
• สถานการณท์ ำงานของคอมพิวเตอรต์ ามชุดคำสั่ง {Waiting for input, Running,

Shut down}
• จำนวนหน่วยของสินคา้ ที่จดั เกบ็ ภายในคลงั สนิ ค้า {0, 1, 2, …, N}
• สถานะของผใู้ ห้บริการ {idle, busy, break}
ในแบบจำลองประเภทไม่ต่อเนื่องและขับเคลื่อนด้วยเหตุการณ์ (Discrete-Event Simulation)
การเปลี่ยนแปลงค่าสถานะของระบบจะเปล่ียนแปลงไปอย่างทันทีทนั ใด ณ จุดเวลาต่างๆ ตาม
เวลาเหตกุ ารณท์ ่ีเกิดข้นึ หรือสถานะระบบเปล่ียนแปลง ณ หน่วยเวลาที่สามารถนับไดเ้ ทา่ นัน้ เชน่
ทกุ 1 วินาที หรอื ทกุ 1 นาที หรือ ทกุ 1 ชัว่ โมง หรือ 1 หน่วยเวลาใดๆทส่ี ามารถนับได้ เมื่อเก็บ
บันทึกค่าตัวแปรต่างๆและนำมาวิเคราะหท์ างสถิติจะทำให้ทราบพฤติกรรมที่สนใจของระบบท่ี
ศึกษาได้ โปรแกรมสร้างแบบจำลองส่วนใหญ่ใช้ “เวลาจำลอง (Simulated Time)” ในการ
ควบคุมการเปลย่ี นสถานะของเหตุการณ์โดยการควบคุมจังหวะการเดนิ ของนาฬกิ าในแบบจำลอง
“Simulation Clock” โดยกลไกการควบคุมจังหวะการเดนิ ของนาฬิกาจำลองมี 2 วธิ ี ดังน้ี

16

บทท่ี 1 การจาลองแบบปัญหาดว้ ยคอมพิวเตอร์

1) เดินตามจังหวะการเกิดเหตุการณ์ถัดไป (Next-Event Time Advance) แสดงในรูปที่
1.4
โดยท่ี ti = เวลาในการมาถงึ ของลกู คา้ คนที่ i
Ci = เวลาทลี่ กู ค้าคนที่ i ออกจากระบบ
ei = เวลาท่ีเกดิ เหตุการณ์ I (e0 = 0)

เหตกุ ารณ์ (Event)
(Time)

ภาพท่ี 1.4 ตัวอยา่ งของ Next-Event Time Advance

วิธีนาฬิกาแบบจำลองจะหยุดทั้งหมด 7 ครั้งในเวลาที่ 0, t1, t2, c1, t3, c2, c3 ณ
เหตุการณ์ e0, e1, e2, e3, e4, e5, e6 ตามลำดับ โดยที่ระยะห่างของเวลาในแต่ละ
เหตุการณ์ที่นาฬิกาแบบจำลองหยุดเพื่อเก็บข้อมูลไม่จำเป็นจะต้องเท่ากัน สามารถ
เป็นได้ทั้งค่าสุ่มและค่าคงที่ แต่ใหค้ วามสำคญั กบั จุดทีร่ ะยะเวลาและเหตุการณ์เกดิ ขึน้
พร้อมๆกัน โปรแกรมการจำลองส่วนใหญ่ใชว้ ธิ นี ้ีในการควบคมุ นาฬิกาแบบจำลอง

ตัวอยา่ ง
สำหรับระบบแถวคอยทมี่ ีผูใ้ หบ้ ริการเพียงคนเดยี ว (Single-Server Queuing System)
และใหน้ าฬกิ าจำลองเดินตามจังหวะการเดินเหตการณถ์ ดั ไป การเดนิ ของนาฬิกาจำลอง
สามารถแสดงไดใ้ นรูปท่ี 1.6

โดยท่ี
ti = เวลาการมาถงึ ของลกู คา้ คนที่ i
Ai = ti - ti-1 หรอื ชว่ งเวลาการมาของลกู ค้าคนที่ i นบั จากคนที่ i-1
Si = ระยะเวลาการมาของลูกค้าคนที่ i ได้รับบริการ
Di = ระยะเวลารอคอยของลูกคา้ คนที่ i
Ci = ระยะเวลาท่ีลูกคา้ คนท่ี i ออกจากระบบ = ti + Di + Si
ei = เวลาของเหตกุ ารณ์ท่ี i (e0=0)

17

บทที่ 1 การจาลองแบบปัญหาดว้ ยคอมพิวเตอร์

ภาพท่ี 1.6 ตวั อยา่ งแถวคอยทม่ี ผี ู้ใหบ้ ริการคนเดียว
จะเหน็ ไดว้ า่

C1 = t1 + D1 + S1 = t1 + S1
C2 = t2 + D2 + S2 = A1 + A2 + A2 + S1
C3 = t3 + D3 + S3 = A2 +A2 + A3 + D3 + S3
2) เดนิ เป็นจังหวะเวลาคงที่ (Fixed-Increment Time Advance) แสดงในรปู ท่ี 1.5

วิธีการนี้นาฬิกาแบบจำลองจะหยุดทั้งหมด 6 ครั้งในเวลา 0, ∆t, 2∆t, 3∆t,
4∆t, 5∆t โดยไมต่ รงกับเวลาทเ่ี กิดเหตุการณ์ e0, e1, e2, e3, e4, e5, e6 แตร่ ะยะห่างท่ี
นาฬิกาแบบจำลองหยุดจะมีระยะห่างทีเ่ ท่ากันทุกคร้ัง เป็นวิธีการที่ใหค้ วามสำคัญกับ
เวลามากกว่าเหตกุ ารณ์ทเ่ี กดิ ข้ึน
โดยที่ ∆t = เวลาในการมาถึงของลกู ค้าดว้ ยชว่ งเวลาคงที่

เหตุการณ์ (Event)
(Time)

ภาพท่ี 1.5 ตวั อยา่ งของ Fixed-Increment Time Advance

ขน้ั ตอนการสรา้ งแบบจำลอง
ในการสร้างแบบจำลอง (Banks,et al, 2010) สำหรับผู้ใช้งานทัว่ ไปสามารถหาอ้างองิ

จาก Banks และคณะ (2010, p.35) และคำอธิบายที่คล้ายกันสามารถหาได้จาก Shannon
(1975); Gordon (1978) และ Law (2007) ได้ทำการแบ่งกระบวนการพัฒนาและสร้าง
แบบจำลองออกเปน็ 4 ช่วง แสดงดงั ภาพที่ 1.7

18

บทท่ี 1 การจาลองแบบปัญหาดว้ ยคอมพิวเตอร์

ภาพท่ี 1.7 ขน้ั ตอนการสร้างแบบจำลอง (The basic steps in the simulation-based
methodology)

ท่ีมา: Banks, et al. (2010), p.35

ช่วงที่ 1 (1st Phase)
1. การกำหนดปัญหา (Problem Formulation) การศึกษาปัญหาใดๆ นั้นจำเป็นต้อง
เข้าใจถึงปญั หาอย่างถอ่ งแท้ ต้องมีคำอธบิ ายปัญหาท่ีชัดเจนและต้องมีการตกลงระหวา่ ง
ผู้ใช้งาน (User) และนักวิเคราะห์ (analyst) เพื่อให้เข้าใจถึงปัญหาเดียวกันและ
หลีกเลี่ยงความขัดแย้งที่อาจเกิดขึ้นได้ ในที่นี้นักวิเคราะห์เป็นผู้พัฒนาและสร้าง
แบบจำลองเพอื่ ใหผ้ ู้ใชง้ านได้นำไปใชจ้ รงิ
2. การกำหนดวัตถุประสงค์และแผนการดำเนินงาน (Setting of Objectives and
Overall Project Plan) วัตถุประสงค์บ่งช้ีว่าการจำลองควรตอบคำถามใดบ้าง เช่น

19

บทที่ 1 การจาลองแบบปัญหาดว้ ยคอมพวิ เตอร์

สามารถลดค่าใชจ้ า่ ย เพมิ่ ความพึงพอใจและลดระยะเวลาการรอคอย ดว้ ยวธิ ีใดได้บ้าง
นอกไปจากนี้ควรกำหนดแผนการดำเนินงานที่ชัดเจนรวมไปถึงกำหนดเวลาของแต่ละ
ขัน้ ตอน ซ่ึงตอ้ งกำหนดผรู้ บั ผิดชอบในแต่ละฝ่าย ค่าใช้จา่ ยท่ีเกย่ี วขอ้ ง รวมถงึ ตัวช้ีวัดใน
แต่ละขั้นตอน ซึ่งผู้บริหารโครงการควรตดิ ตามอย่างใกล้ชิดเพื่อหลีกเลี่ยงความล่าชา้ ที่
อาจเกดิ ขน้ึ

ช่วงที่ 2 (2nd Phase)
3. การสรา้ งแบบจำลองทางความคดิ (Model Conceptualization) โดย Pritsker (1998)
และ Morris (1967) อธิบายว่าเป็นไปไมไ่ ด้เลยท่จี ะบอกทกุ ขั้นตอนวา่ ตอ้ งทำอย่างไรจึง
สามารถสรา้ งแบบจำลองใหป้ ระสบความสำเร็จสำหรับทุกปญั หา แต่มีแนวทางใหป้ ฏบิ ตั ิ
ตามสำหรบั ทุกปญั หาเสมอ ศิลปะสำหรับการสรา้ งแบบจำลองขึ้นอยู่กับความสามารถ
ในการแปลงปัญหาและการตั้งสมมุติฐานที่เกี่ยวข้องกับระบบ เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ท่ี
สามารถนำไปใช้ได้จริง ซึ่งควรเริ่มจากการสร้างแบบจำลองอย่างง่ายก่อนและค่อยๆ
พัฒนาปรับปรุงเพิ่มความซับซ้อนของแบบจำลอง ช่วยให้สามารถตรวจสอบความ
ถูกต้องสะดวกขึ้น นอกจากนี้ควรให้ผู้ใช้งานจริงได้ร่วมมือกับนักวิเคราะห์ในการ
ตรวจสอบการทำงานของแบบจำลองเพื่อใหแ้ บบจำลองเกิดความสอดคล้องกับเงื่อนไข
ของระบบให้ได้มากท่สี ุด หลกี เล่ยี งความผดิ พลาดทอี่ าจเกิดข้นึ
4. การเก็บรวบรวมข้อมูล (Data Collection) การเก็บรวบรวมข้อมูลและการสร้าง
แบบจำลองมคี วามเก่ยี วข้องกันมาก (Shannon, 1975) เม่อื แบบจำลองมคี วามซบั ซ้อน
ขึ้น ข้อมูลเดิมที่มีอยู่อาจเปลี่ยนแปลงไปได้ ขั้นตอนการเก็บรวบรวมข้อมูลถือเป็น
ขั้นตอนที่มีความสำคัญมากที่สุดและใช้ระยะเวลาในการดำเนินงานมากที่สุด
เช่นเดียวกัน ดังนั้นผู้พัฒนาจึงควรกำหนดแผนงานและเริ่มดำเนินการให้เร็วที่สุด
สำหรบั ปัญหาของแถวคอยของการใหบ้ ริการในธนาคาร หากต้องการทราบเวลาในการ
รอคอยเมื่อปรับเปลย่ี นจำนวนพนกั งานใหบ้ รกิ าร ผ็พัฒนาแบบจำลองจำเปน็ ต้องทราบ
1) ฟังค์ชั่นการแจกแจงของเวลาที่ลูกค้าเข้ามารับบริการ (Inter Arrival Time) 2)
ฟังค์ชัน่ การแจกแจงของเวลาในการใหบ้ รกิ าร และ 3) เวลาในการรอคอย ณ ปัจจุบัน
ภายใต้เงื่อนไขต่างๆ ซึ่งจำเป็นต่อการตรวจสอบความสมเหตุสมผลของแบบจำลอง
(Validation)
5. การสร้างแบบจำลองด้วยโปรแกรม (Computer Model Building) แบบจำลองทาง
ความคิดถูกแปลงให้เป็นแบบจำลองโปรแกรมการจำลอง โดยแตล่ ะโปรแกรมมีวธิ ีการ

20

บทท่ี 1 การจาลองแบบปัญหาดว้ ยคอมพิวเตอร์

สร้างและวากยสัมพันธ์ (Syntax) ที่แตกต่างกัน โปรแกรมสร้างแบบจำลองที่นิยมใช้
ไ ด ้ แ ก ่ AnyLogic®, ARENA®, AutomodTM, Enterprise Dynamics®, ExtendTM,
Flexsim, Promodel® และ SIMUL8®
6. การตรวจสอบความถูกต้องของโปรแกรม (Verification) เป็นการตรวจสอบว่า
แบบจำลองที่สร้างขึ้นสามารถทำงานได้หรือไม่ โดยความเข้าใจผิดที่ผู้เริ่มพัฒนาตัว
แบบจำลองมักจะพบคือแบบจำลองที่สามารถทำงานได้หรือรัน (Run) โปรแกรมได้มี
ความถูกต้องเสมอ การทำงานของแบบจำลองได้สามารถบอกได้เพียงวา่ แบบจำลองที่
สร้างขึ้นไม่ผิดสายสัมพันธ์ (Syntax) ของโปรแกรมเท่านั้น ผู้สร้างตัวแบบจำลอง
จำเป็นต้องตรวจสอบการใส่ข้อมูลนำเข้าและตรรกะของแบบจำลองใหถ้ กู ต้อง หากใส่
ข้อมลู นำเขา้ ทีไ่ มถ่ กู ตอ้ งจำเป็นตอ้ งแกไ้ ขจดุ บกพร่องท่เี กดิ ข้ึนดว้ ย
7. การตรวจสอบความสมเหตุสมผลหรือความถูกต้องของแบบจำลอง (Validation) เป็น
ขั้นตอนทีอ่ าศยั การปรับคา่ ตา่ งๆของแบบจำลองซ้ำไปซ้ำมา แลว้ เปรียบเทียบผลลัพธ์ที่
ได้จากแบบจำลองกับค่าทเ่ี กิดขึน้ กบั ระบบงานจริง จนไดค้ า่ ทใ่ี กลเ้ คียงกันและยอมรับได้
ทางสถิตเิ พอื่ ใหแ้ บบจำลองมีความน่าเชื่อถือทจ่ี ะยอมรับได้ ตัวอยา่ งเชน่ การให้บริการ
ในธนาคารเวลาในการรอคอยเฉลยี่ ของระบบจรงิ ในช่วงเวลาท่ีสนใจไม่ควรแตกต่างจาก
คา่ เฉล่ยี ที่ไดจ้ ากแบบจำลองที่สร้างขึ้นอย่างมีนยั สำคญั

ชว่ งที่ 3 (3rd Phase)
8. การออกแบบการทดลอง (Experimental Design) จากผลลัพธ์เบื้องต้นที่ได้
นักวิเคราะห์และผู้ใช้งานต้องร่วมมือกันออกแบบทางเลือกหรือวิธีการปรับปรุงแบบ
ต่างๆ (Scenarios) โดยคำนึงถึงความเป็นไปไดใ้ นทางปฏบิ ัตแิ ละระยะเวลาที่ต้องใช้ใน
การนั แบบจำลอง หากใช้เวลามากในการรันวธิ ีการปรับปรงุ อาจถูกจำกัดใหน้ ้อยลง แต่
หากใช้เวลาในการรนั น้อยกส็ ามารถสำรวจหาทางเลือกอื่นๆเพ่มิ เติมได้
9. การรายงานผลและวิเคราะห์ (Production runs and analysis) เปน็ การรันแบบจำลอง
ด้วยวิธีการปรับปรุงแบบต่างๆ เพื่อหาค่าประมาณของผลลัพธ์หรือของตัวชี้วัด
ประสิทธภิ าพการทำงานของระบบ โปรแกรมการจำลองในปัจจุบนั ได้พัฒนาตัวชว่ ยใน
การเปรยี บเทยี บแบบจำลองหลายๆแบบ ทำใหป้ ระหยดั เวลาในการเปรียบเทยี บผลลัพธ์
ได้เปน็ อยา่ งมาก
10. การตรวจสอบจำนวนครั้งในการรัน (Number of Replication) เป็นการวิเคราะห์
ผลลพั ธ์ทางสถติ ิที่ได้จากการรนั โปรแกรมเพื่อตดั สินใจว่าคำตอบที่ได้มีความแปรปรวน

21

บทที่ 1 การจาลองแบบปัญหาดว้ ยคอมพวิ เตอร์

อย่ใู นชว่ งทยี่ อมรับไดห้ รอื ไม่ หากมีค่าความแปรปรวนทสี่ ูงจนเกนิ ไปควรเพิ่มจำนวนครั้ง
ในการรันโปรแกรมเพื่อลดความแปรปรวนที่เกิดข้ึนในตัวแบจำลองแต่ต้องแลกมาด้วย
ระยะเวลาในการรันโปรแกรมทนี่ านขนึ้

ช่วงที่ 4 (4th Phase)
11. การจัดทำเอกสารและรายงาน (Documentation and Reporting) เอกสารที่จัดทำมี
อยู่สองประเภท คือ 1) เอกสารรายละเอียดของแบบจำลอง ซึ่งจำเป็นอย่างย่ิงสำหรบั
การแก้ไขในอนาคต ทำให้ผู้เข้ามาพัฒนาแบบจำลองคนใหมส่ ามารถเข้าใจการทำงาน
ของแบบจำลองได้ ทำใหอ้ งค์ความรอู้ ยู่กับองค์กรโดยไม่ยึดตดิ กับตัวผูส้ ร้างแบบจำลอง
2) เอกสารรายงานความก้าวหน้าซึ่งช่วยให้การติดตามความคืบหน้าเป็นไปได้ง่าย
(Musselman, 1998) เพราะเปน็ รายงานประวตั ิการทำงานทผ่ี ่านมา อปุ สรรคท่ีเกิดข้ึน
รวมไปถงึ ขอบเขตการทำงานท่เพม่ิ ข้ึน ในแง่ของบรษิ ทั ทปี่ รกึ ษาเองก็ต้องการใหผ้ ใู้ ชง้ าน
ตกลงขอบเขตของระบบทจ่ี ะจำลอง หากมปี ระเดน็ อน่ื เพ่มิ เตมิ ควรบันทึกไวว้ ่าเป็นการ
ทำงานเพม่ิ เตมิ ทนี่ อกเหนอื จากขอบเขตงานท่ีไดต้ กลงไวก้ ่อนหนา้ น้ี (Enhancement)
ในแต่ละรายงานควรมีกำหนดส่งตามเหตุการณ์สำคัญ (Milestone) ของ
โครงการหรือตามงวดการจ่ายเงินให้กับบริษัทที่ปรึกษาและควรมีการส่งรายงานเป็น
ระยะแทนที่จะส่งรายงานเดียวเม่ือจบโครงการเพราะเสี่ยงต่อความล้มเหลวเป็นอย่าง
มาก ในรายงานฉบบั สดุ ท้ายควรสรปุ ประเด็นที่สำคญั ดังตอ่ ไปนี้
• Executive Summary บทสรุปผู้บริหาร เพื่อใช้นำเสนอผู้บริหารโดยไม่
ต้องเจาะลกึ ข้อมลู ทางดา้ นเทคนคิ มากเกนิ ไป
• Statement of Problem อธิบายปัญหา วัตถุประสงค์ของปัญหาหรือ
ระบบทศ่ี ึกษา
• As-Is Assumption สมมุติฐานของแบบจำลองที่จะสร้างขึ้นโดยสรุป
เง่ือนไขที่สามารถจำลองไดแ้ ละไมไ่ ด้
• Initial Analysis เป็นการคำนวณเบื้องต้นวา่ ดัชนวี ดั ก่อนการปรับปรุงเปน็
อยา่ งไรเพื่อใชใ้ นการยนื ยนั ผลลัพธท์ ไ่ี ด้จากแบบจำลอง
• Data Collection and input data analysis การเก็บข้อมูลด้วยการ
วิเคราะหข์ อ้ มูลนำเข้าทัง้ หมดทีใ่ ช่ในการจำลอง

22

บทที่ 1 การจาลองแบบปัญหาดว้ ยคอมพวิ เตอร์

• Computer Model Flow Chart แผนผัง แสดง ขั้นตอนการสร้าง
แบบจำลองดว้ ยโปรแกรมจำลองทเ่ี ลือกมาใช้

• As-Is Model Building อธิบายข้อมูลเชิงลึกในการสร้างแบบจำลองและ
เงื่อนไขที่ใช้ เช่น จำนวนรอบของการรันและระยะเวลาในการรัน
แบบจำลอง

• Verification and Validation การตรวจสอบความถูกต้องและความ
สมเหตสุ มผลของแบบจำลอง

• Output Analysis การวิเคราะห์ผลลัพธ์ของตัวชี้วัดที่ได้เพื่อใช้ในการ
ปรับปรุง

• Scenarios Analysis การวิเคราะห์วิธีการปรับปรุงแบบต่างๆและควร
วเิ คราะห์คา่ ใช้จา่ ยทจี่ ะเกิดข้นึ รวมถึงความยากง่ายในการนำไปใช้งานจริง
โดยอาจต้องมีการปรับแบบจำลองให้สอดคล้องกับวิธีการต่างๆที่ได้
นำเสนอเพื่อใหไ้ ด้มาซ่ึงแบบจำลองทตี่ อ้ งการหรอื To-be Model

• Conclusion บทสรุป โดยเสนอคำแนะนำในการปรับปรุงและกลยุทธ์
ตา่ งๆ

• Appendix ภาคผนวก สำรหบั ข้อมลู และการวิเคราะหท์ างสถติ ิต่างๆ
12. การนำไปใชก้ ับระบบงานจรงิ (Implementation) ความสำเรจ็ ในการนำไปใชจ้ ริงขน้ึ อยู่

กบั การทำงานใน 11 ขอ้ ท่กี ลา่ วมาขางตน้ รวมไปถึงระดับความรว่ มมือระหว่างผู้ใช้งาน
และที่ปรึกษาในช่วงการสร้างแบบจำลอง เช่น การประชุมตั้งสมมุติฐานร่วมกัน การ
ทดสอบข้อมูลนำเข้า การทดสอบการทำงานของแบบจำลอง การตกลงยอมรับใน
แบบจำลอง และการปรกึ ษาหารือทางเลือกในการปรบั ปรุง หากแบบจำลองสร้างขึ้นบน
พื้นฐานความเขา้ ใจของนักวิเคราะห์เพียงอยา่ งเดียว การนำไปใช้จรงิ จะเกิดขึ้นได้ยาก
เพราะผูใ้ ชง้ าน (User) จะไมเ่ กดิ ความเชื่อม่ันในแบบจำลองอยา่ งเตม็ ท่ี (Pritsker, 1995)

ข้ันตอนการศกึ ษาแบบจำลองปัญหา
1. กำหนดลกั ษณะและรปู แบบของปญั หาท่พี บ
2. กำหนดวัตถุประสงค์และขอบเขตของการศึกษาท่ชี ัดเจน

23

บทท่ี 1 การจาลองแบบปัญหาดว้ ยคอมพิวเตอร์

3. การเก็บรวบรวมข้อมลู ท่ีเกีย่ วขอ้ งกบั ตวั แปรของระบบทัง้ หมด เชน่ จำนวนผู้ใช้บริการ
เวลาในการให้บริการ อัตราและความถีข่ องลูกค้า เพื่อนำมาใชเ้ ป็นข้อมูลนำเข้าระบบ
(Input Data) ให้กับแบบจำลองปัญหา โดยการเก็บรวบรวมข้อมูลนำเข้าระบบที่
ผิดพลาดจะสง่ ผลโดยตรงกับผลลัพธข์ องการจำลองปัญหาทีผ่ ิดพลาด

4. การสร้างตัวแบบจำลองสถานการณ์ (Simulation Model) ที่อธิบายพฤติกรรมของ
ระบบลงในโปรแกรมคอมพิวเตอร์

5. การตรวจสอบความถูกต้องของโปรแกรมคอมพิวเตอร์ (Verification) เพื่อหาความ
สอดคลอ้ งของตวั แบบจำลองปัญหากบั สถานการณ์จรงิ

6. การตรวจสอบความถูกต้องของแบบจำลองสถานการณ์ (Validation) เพื่อทดสอบ
ผลลัพธ์ของโปรแกรมที่ผ่านการจำลองผลลัพธ์ว่ามีความถูกต้องหรือไม่ โดยการ
เปรียบเทยี บผลลพั ธก์ บั ระบบงานจริงและการทดสอบสมมติฐานทางสถติ ิ

7. การวางแผนนำผลของแบบจำลองสถานการณ์ไปปรับใช้ในเง่ือนไขต่างๆทค่ี าดว่าจะทำ
ให้ไดผ้ ลลัพธ์ที่ดยี ิง่ ขนึ้ และการคำนวณเพื่อหาจำนวนรอบการทดลองซำ้ (Number of
Replication) เพื่อให้ไดผ้ ลลพั ธ์ทถี่ กู ตอ้ งมาใช้กับการวิเคราะห์ระบบ

8. การดำเนนิ การทดลองตามวธิ กี ารทว่ี างแผนไวก้ ับระบบงานจรงิ
9. การวิเคราะห์ผลการทดลองและการวิเคราะห์วิธีการปรับปรุงตัวแบบจำลองให้

สอดคลอ้ งกบั ระบบงานจรงิ หากมกี ารปรบั เปล่ยี น
10. การจัดทำเอกสารแสดงผลลัพธ์ที่ได้จากการจำลองสถานการณ์เพื่อแสดงข้อมูลที่

เก่ยี วข้องดา้ นต่าง ๆ ในแต่ละรปู แบบการจำลองสถานการณ์
11. นำผลลัพธท์ ดี่ ที ี่สุดท่ีได้จากการจำลองสถานการณ์ไปปรับใช้เป็นกระบวนการมาตรฐาน

ขององคก์ ร

24

บทท่ี 1 การจาลองแบบปัญหาดว้ ยคอมพวิ เตอร์

แบบฝกึ หัดทบทวนท้ายบท
1. การจำลองสถานการณ์คอื อะไร
2. เพราะเหตุใดจึงต้องมกี ารจำลองสถานการณ์
3. จงอธบิ ายถึงขอ้ ดีและขอ้ เสียของการจำลองสถานการณ์

25



การสรา้ งตวั เลขส่มุ 22

ตวั เลขสมุ่ (Random Number) เปน็ องคป์ ระกอบท่ีสำคัญในการจำลองแบบปัญหาของระบบ
ไม่ต่อเน่อื ง (Discrete System) เกือบทุกประเภทโดยในการจำลองส่วนใหญม่ ีฟังก์ชันในการสรา้ งตัวเลข
สุ่มเพื่อใช้ในการสร้างเวลาของเหตุการณ์ต่างๆ เช่น เวลาการเข้ามารับบริการของลูกค้า (Customer
Interarrival Time) เวลาในการให้บริการ (Services Time) รวมถึงข้อมูลอื่นๆเช่น ปริมาณความ
ต้องการ (Demand Quantity) เป็นตน้

คุณสมบัติของตัวเลขส่มุ
ในการสร้างตวั เลขสุ่มน้ัน ลำดับของตวั เลขทีส่ ุ่มขข้ึน R1, R2, …, Rn ตอ้ งมคี ณุ สมบัติทางสถิติ
ที่สำคญั 2 ประการคือ
1. ความเป็นเอกสารปู (Uniformity) โอกาสในการสร้างตัวเลขส่มุ แต่ละตัวต้องเท่ากัน
2. ความเป็นอิสระต่อกัน (Independence) โอกาสในการสร้างตัวเลขสุ่มก่อนหนา้ ไม่มีผล

ต่อโอกาสในการสร้างตวั เลขสุม่ ตัวถดั ไป

ตัวเลขสมุ่ Ri เป็นเพยี งตัวอยา่ ง (Sample) ที่สร้างขนึ้ จากฟังกช์ ันการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปร
สมุ่ (Random Variable) ในการสรา้ งชุดตวั เลขสุม่ (Random Number Stream) แต่ละครงั้ อาจไดค้ า่ ท่ี
ไมเ่ หมือนกัน ขึ้นอยกู่ บั วธิ ีการและค่าเร่ิมตน้ (Seed) ตวั แปรส่มุ ทีน่ ิยมใช้กันมากท่ีสุดคือตัวแปรสุ่มแบบ
เอกรูป (Uniform Random Variable) ทม่ี คี า่ ระหว่าง 0 ถึง 1 หรือ U(0,1) โดยทั่วไปตวั แปรสุ่ม (U0,1)
เปน็ พ้ืนฐานในการสรา้ งตัวเลขส่มุ ที่มกี ารแจกแจงแบบอนื่ ๆตอ่ ไป เน้อื หาในบทนจ้ี ะเกีย่ วข้องกับการสร้าง
ตัวแปรสุ่มแบบเอกรูปเท่านั้น ซึ่งเป็นตัวแปรสุ่มทีม่ ีฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็น ( Probability
Density Function) ค่าคาดหวังหรอื ค่าเฉลย่ี (Expected Value) และค่าแปรปรวน (Variance)

Probability Density Function (p.d.f.) F(x) = 0 0 1 0≤X≤1
Otherwise

ผลทไี่ ด้จากคุณสมบัตขิ ้างต้นทำให้ตัวแปรสมุ่ แบบเอกรปู มีคณุ สมบตั ิดงั นี้
1) ถ้าช่วง 0 ถึง 1 ถูกแบ่งออกเป็นช่วงย่อย n ช่วงเท่าๆ กันและมีจำนวนค่าสังเกต

ท้งั หมด N ค่า จะได้วา่ ค่าคาดหวงั ของคา่ สังเกตที่ได้ในแต่ละช่วงย่อยคือ N/n โดยท่ี
N ตอ้ งมคี ่ามากเพียงพอ

26

บทที่ 2 การสรา้ งตวั เลขส่มุ

2) ความน่าจะเป็นในการสุ่มเลขใดๆจะเป็นอิสระจากค่าต่างๆที่สุ่มได้ก่อนหน้านั้นคอื
โอกาสในการสมุ่ กอ่ นหน้าไม่มผี ลต่อโอกาสในการเกดิ ตวั เลขสุ่มตวั ถดั ไป

การสรา้ งตวั เลขคล้ายสุม่ (Random Variate Generation)

ตัวเลขคล้ายสุ่มที่ถูกสร้างขึ้นจากวิธีการหรืออัลกอริทึมต่างๆถูกเรียกว่า “ตัวเลขคล้ายสุ่ม
(Random Variate)” เนือ่ งจากวธิ ีการในการสร้างตัวแปรสุม่ (Random Number Generation: RNG)
นั้นไม่ได้ใหค้ า่ ตวั แปรผลลัพธ์ท่ีเป็นตัวแปรสุ่มท่ีแท้จริง ชุดของตัวเลขสุ่มที่ถูกสร้างขึ้นน้ันมีโอกาสท่จี ะ
เกดิ ข้นึ ซำ้ อกี (Replication) ซ่ึงในความเปน็ จริงคอมพิวเตอร์กไ็ ม่สามารถสร้างตัวเลขสุ่มได้อย่างสมบูรณ์
แบบ ขึ้นอยู่กับวิธีการสร้างตัวแปรสุ่มที่เลือกใช้ว่าสามารถสร้างตัวเลขสุ่มไดด้ ีเพียงใด แต่ตัวเลขสุ่มท่ี
สร้างขึ้นตอ้ งมีการแจกแจงทีเ่ ปน็ อิสระต่อกันและกันและมีการแจกแจงเหมอื นกัน (Independent and
Identically Distributed: IID) จึงจะสามารถนำไปใช้ในแบบจำลองได้

อย่างไรก็ดี ในจำลองปัญหาด้วยคอมพิวเตอร์ บางครั้งผู้สร้างแบบจำลองไม่ต้องการให้ได้
ตัวเลขสุ่มแท้จริง (Pure Random Number: PRN) ในทุกๆครั้งของการรันแบบจำลอง ในการรัน
แบบจำลองแต่ละครั้งจะไมต่ ้องการให้ชุดตัวเลขสุ่มเปลี่ยนไปเพราะต้องการควบคมุ ชดุ ตัวเลขสุ่มเหล่าน้ี
ให้เกดิ ขน้ึ ซำ้ ในการจำลองแตล่ ะรอบได้ (สามารถสร้างชุดตัวเลขสุ่มชุดเดมิ ) จะเปน็ ประโยชน์ในการแก้ไข
ข้อบกพร่อง (Debugging) หรือการเปรียบเทียบวิธีการปรับปรุงระบบด้วยวิธีต่างๆ (Scenario
Comparison) โดยทั่วไปสามารถทำไดโ้ ดยใช้ค่าเรม่ิ ต้นและเง่ือนไขในการสรา้ งตัวเลขสุ่มทเ่ี หมือนกันใน
ทุกๆคร้งั ทีร่ ันแบบจำลอง คุณสมบัตนิ ี้เรยี กว่า Reproducibility

การสร้างตัวเลขสุ่มมีหลายวิธีและการเลือกวิธีการ ตัวเลขสุ่มแท้จริง (Pure Random
Number: PRN) มีขอ้ ควรพจิ ารณา ดงั น้ี

- ประสทิ ธิภาพของเครอ่ื งคอมพิวเตอรท์ ่ีนำมาใช้สร้างตัวเลขสุ่ม
- ขนาดของหนว่ นความจำภายในของเคร่ืองคอมพิวเตอร์
- ความสามารถในการประยุกต์ใช้งานได้ในหลายระบบและควรได้รับผลลัพธ์ที่ใกล้เคียงกัน

ดังนั้นภาษาทางคอมพิวเตอร์ที่ใช้เขียนควรสามารถทำงานได้บนทุกแพลตฟอร์ม (Platform)
และทกุ ระบบปฏิบตั กิ าร (Operation System)
- จำนวรอบของการสร้างตัวแปรสุ่มที่ไม่ซ้ำลำดับเดิม (Cycle Number) ยกตัวอย่างเช่น
1,9,5,6,9,3,2 1,9,5,6,9,3,2 1,9,5,6,3,2, … มีจำนวนรอบเท่ากับ 7 หากต้องการจำนวนรอบ
ทสี่ ูงควรใชค้ อมพิวเตอร์ที่มปี ระสิทธิภาพสูงตามไปด้วย
แตไ่ มว่ า่ จะเลือกใชอ้ ัลกอรทิ มึ ในการสรา้ งตวั เลขคล้ายสุ่มแบบใด กจ็ ะไม่สามารถหลกี เลย่ี งการเกดิ ตัวเลข
ซ้ำหรอื การท่ลี ำดับตัวเลขทสี่ ร้างขนึ้ ใหม่เกิดข้นึ ซ้ำได้ (Cycle) หากจำนวนคาบ (Period Number) หรือ

27

บทท่ี 2 การสรา้ งตวั เลขส่มุ

จำนวนรอบ (Cycle Number) ไมม่ ากพอ จะส่งผลกระทบต่อการวิเคราะห์ประมวลผลของแบบจำลอง
ได้ เนื่องจากตวั เลขสมุ่ เกิดข้ึนซำ้ ตามจำนวนคาบ การจำลองปญั หาในทางปฏิบตั ิจำนวนคาบควรมีค่าเป็น
หลักพันล้านหรือล้านล้าน ทำให้โอกาสในการสร้างตัวเลขซ้ำลดลง ในกรณีที่การเกิดเลขซ้ำด้วยเลข
แบบเดิมๆจะเรียกว่า Degeneracy ยกตวั อยา่ งเชน่ 1,2,3,4,5,5,5, …, n ในกรณีนเ้ี มื่อตัวแปรสุ่มทำการ
สร้างคา่ ข้นึ มาเป็นเลข 5 และเลข 5 ถูกสรา้ งขน้ึ มาซ้ำๆ กนั จำนวนหลายๆครง้ั ถัดไปเรื่อยๆ เป็นส่ิงท่ีไม่
สมควรเนื่องจากจะทำให้ผลลัพธ์การจำลองไม่สมเหตุสมผลและเป็นสิ่งทีค่ วรหลีกเลี่ยงในแบบจำลอง
เหนือสงิ่ อนื่ ใดคา่ ตัวเลขสมุ่ แบบเอกรูปที่สร้างข้ึนต้องมีคุณสมบัตคิ วามเป็นเอกรปู และอิสระต่อกัน

การทดสอบวิธีการสรา้ งตัวเลขคล้ายส่มุ (Random Number Generation Test)
วิธีการสร้างตัวเลขสุ่ม (Random Number Generation: RNG) อาจก่อให้เกิดปัญหาหรือ

ความคลาดเคล่อื นบางประการ เชน่ ตวั เลขท่ไี ด้ไม่กระจายตัวพอหรอื ไมม่ กี ารแจกแจงแบบอ่ืน ตวั เลขทดี่ ้ี
ลักษณะเป็นคาไมต่ อ่ เน่ือง มคี ่าเฉลี่ยหรอื ค่าแปรปรวนสูงหรือต่ำเกนิ ไปหรือตวั เลขที่ไดไ้ ม่เป็นอสิ ระต่อกัน
เปน็ ตน้ ความคลาดเคลอื่ นดงั กล่าวอาจถูกตรวจจบั ไดโ้ ดยการทดสอบต่างๆในสว่ นนี้

ในทางสถติ ิการทดสอบว่าวิธีการสรา้ งตัวเลขสุ่ม (RNG) มีคุณสมบตั ิความเปน็ เอกรูปและความ
เป็นอิสระต่อกันหรือไม่นั้นสามารถทำได้โดยการสุ่มตัวอย่างตัวเลขสุ่มของวิธี RNG นั้นๆแล้วทำการ
ทดสอบสมมุติฐาน (Alternative Hypothesis: H1) โดยสนใจผลัลัพธ์ที่เกิดขึ้นว่าจะปฏิเสธสมมุติฐาน
หลัก (Reject H0) หรอื ไม่ หรือมเี หตุผลเพียงพอทจี่ ะปฏเิ สธสมมุตฐิ านหลัก (Fail to Reject H0) หรอื ไม่
ในการทดสอบสมมุติฐานแต่ละคร้ัง ความผิดพลาดที่อาจเกิดขน้ึ ไดจ้ ากการทดสอบสมสมตุ ิฐานไดแ้ ก่

- ความผิดพลาดประเภทท่ี 1 (Type I Error) คือ ปฏิเสธ H0 เม่ือ H0 จรงิ
- ความผิดพลาดประเภทที่ 2 (Type II Error) คอื ไมป่ ฏเิ สธ H0 เม่ือ H0 ไมจ่ ริง
ในการระบุผลลัพธ์จากการทดสอบจะต้องกำหนดระดับนัยสำคัญ α ซงึ่ แสดงถึงความน่าจะเป็นในการ
ปฏเิ สธสมมตฐิ านหลักเม่ือกำหนดให้สมมตุ ิฐานหลักเป็นจริง (Type I Error) น้นั คอื α = P(Reject H0 |
H0 True) โดยเมอื่ ต้องการใหค้ า่ ความน่าจะเป็นน้อยท่สี ดุ โดยทัว่ ไปกำหนดให้มีคา่ 0.01 (รอ้ ยละ1) หรือ
0.05 (ร้อยละ 5) อย่างไรก็ตามเมื่อลดความน่าจะเป็นของ Type I Error จะทำให้ความน่าจะเป็นของ
Type II Error เพิ่มขึ้น สำหรับการทดสอบวา่ ตวั เลขสุ่มทีส่ ร้างขึ้นมีการแจกแจงแบบเอกรูป (Uniform
Distribution) หรือไมน่ ั้นจะใช้สมมุติฐานดงั ต่อไปนี้

H0 : Xi ~U[0,1]
H1 : Xi ~U[0,1]

28

บทที่ 2 การสรา้ งตัวเลขส่มุ

โดยสามารถทดสอบสมมุติฐานดังกล่าวด้วยการทดสอบแบบโคลโมโ กราฟ -สเมอร ์น อฟ
(Kolmogorov-Smirnov Test) หรือ การทดสอบแบบไค-สแควร์ (Chi-Square Test) สำหรับการ
ทดสอบการเป็นอสิ ระต่อกัน ใช้สมมตุ ฐิ านดงั ตอ่ ไปนี้

H0 : Xi ~ Independent
H1 : Xi ~ Independent
โดยสามารถทดสอบสมมตุ ิฐานดังกล่าวดว้ ยวิธี Runs up and runs down test, Run above
and below the mean test หรอื การทดสอบอตั สหสมั พันธ์ (Autocorrelation Test) สำหรับชุดของ
ตวั เลขสุ่มท่ีได้จากวิธี RNG หน่ึง ถา้ ทำการทดสอบหลายๆแบบจะทำใหไ้ ด้ผลลพั ธ์ทถ่ี กู ต้องมากยงิ่ ขึ้น

การทดสอบความเปน็ เอกรปู (Test of Uniformity)

วธิ ีการทดสอบ Kolmogorov-Smirnov Test (K-S Test) หรอื Chi-Square เพอ่ื เปรยี บเทียบ

การแจกแจงความน่าจะเป็นของชุดตัวเลขสุ่มที่สร้างขึ้นกับตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบเอกรูปโดย

ทดสอบสมมตุ ิฐานหลกั (H0) ท่วี ่าการแจกแจงของตัวเลขสมุ่ ตัวอย่างและการแจกแจงทางทฤษฎีของตัว
แปรสุม่ แบบเอกรูปไม่มีความแตกตา่ งกันอย่างมีนยั สำคัญ

1. การทดสอบแบบโคลโมโกราฟ-สเมอร์นอฟ (Kolmogorov-Smirnov Test: K-S Test)

เป็นการทดสอบเพื่อเปรียบเทียบฟังก์ชนั การแจกแจงแบบสะสม (Cumulative Probability Density

function: c.d.f.) หรือ f(x) ของการแจกแจงแบบเอกรูปกับการแจกแจงแบบสะสมของค่าสังเกต

ตัวอย่าง N ค่า หรือ SN(x) จากนิยาม c.d.f. ของการแจกแจงแบบเอกรูปจะได้ว่า F(x)=x, 0≤x≤1
ดังนันน้ ถา้ ชุดตวั เลขสุม่ ตวั อย่างที่ได้จากวิธี RNG คือ {X1, X2, …, Xn} จะไดว้ ่า

Sn (x) = 1, 2,..., ℎ ℎ ≤


เมอื่ N มขี นาดใหญข่ ึน้ Sn (x) จะเป็นคา่ ประมาณของ f(x) ท่ีใกลเ้ คียงขึ้นถา้ H0 เป็นจริงการทดสอบ K-S
Test ขึ้นอยู่กับคา่ เบยี่ งเบนสมั บูรณท์ ่ีมากที่สดุ ระหว่าง f(x) และ Sn (x) บนคา่ พิสัยของตวั แปรสมุ่ นั้นคือ
ขนึ้ อยู่กับสถติ ิ D=Max | f(x)-Sn | ทใี่ ช้ในการทดสอบ

ขนั้ ตอนการทดสอบ K-S Test

1) เรียงลำดับข้อมูลจากน้อยไปหามาก หากกำหนดให้ Xi แทนค่าสังเกตที่น้อย
ท่ีสดุ เปน็ ลำดบั ท่ี i จะได้ X1≤X2 ≤ … ≤ Xn

2) คำนวณ D=max (D+, D-) จาก
D+ = max { − }



29

บทท่ี 2 การสรา้ งตัวเลขส่มุ

D- = max { − −1}



จากการเปรยี บเทยี บ Sn (x) กับ f(x) จะเห็นไดว้ า่ D+ คอื คา่ เบ่ียงเบนมากสดุ ของ Sn
(x) ท่ีอยูเ่ หนือ f(x) และ D- คอื ค่าเบยี่ งเบนมากสุดของ Sn (x) ท่ีอยู่ใต้ f(x)

3) หาค่าวกิ ฤต (Critical Value) Dα จากตารางในภาคผนวกทร่ี ะดบั นัยสำคัญ α
ของขนาดตวั อย่าง N

4) ถ้าค่าสถิติอย่าง D>Dα จะปฏิเสธ H0 นั้นคือ ตัวอย่างข้อมูลไม่มีการแจกแจง

แบบเอกรปู แตถ่ า้ D>Dα จะไมส่ ามารถปฏเิ สธ H0 นนั้ คือ ไม่สามารถตรวจจับ
ความแตกต่างระหว่างการแจกแจงความน่าจะเป็นที่แท้จริงของชดุ ตัวแปรสุ่ม

{X1, X2,… Xn} กบั การแจกแจงแบบเอกรปู หรือวิธี RNG ทท่ี ดสอบสามารถสร้าง
ตวั แปรสมุ่ ทมี่ กี ารแจกแจงใกล้เคยี งกับการแจกแจงแบบเอกรปู ได้

2. การทดสอบแบบไค-สแควร์ (Chi-Square Test)

การทดสอบแบบไค-สแควร์ (Pearson, 1900) แตกตา่ งจากการทดสอบแบบ K-S Test โดยปรับเปลี่ยน

รูปแบบการวัดความแตกต่างของแต่ละจุดระหวา่ งคา่ ตัวเลขสมุ่ ตัวอย่างกบั การแจกแจงความน่าจะเป็นที่

แท้จริง การทดสอบแบบไค-สแควร์ (Chi-Square Test) จะทำการตรวจสอบความเบี่ยงเบนของค่า

ตวั อย่างจากคา่ คาดหวงั โดยใช้สถิติตวั อยา่ ง ดังน้ี

X20 = ∑ =1 ( − )2


โดย n แทนจำนวนกลุ่ม/ช่วง/ระดับชั้น (Class), Oi แทนจำนวนตัวอย่างที่สังเกตได้ในช่วงที่ i แทน Ei

แทนจำนวนตัวอย่างที่คาดหวงั ในแตล่ ะช่วง สำหรับการแจกแจงแบบเอกรปู Ei = สำหรับช่วงที่แบง่

ด้วยระยะห่างเทา่ ๆกันและ N แทนจำนวนรวมของตัวอย่างค่าสงั เกตทั้งหมด การแจกแจงตวั อยา่ งของ

X20 จะเข้าใกล้การแจกแจงแบบไค-สแควร์ (Chi-Square Test) และผลสรุปจะปฏิเสธสมมุติฐานหลัก

เมื่อ X20 > X2α, n-1

Law (2007) ไดเ้ สนอวิธีการประมาณค่าวกิ ฤตโดยไม่ใช้ตาราง เมอื่ n มคี า่ มากไวด้ งั น้ี

3

02~( − 1) (1 − 2 1) + 2 1))
9( − 1−∝√9( −

30

บทที่ 2 การสรา้ งตวั เลขส่มุ

ตัวอย่างวธิ ีการทดสอบแบบไค-สแควร์
จงใช้วิธีการทดสอบแบบไค-สแควรเ์ พือ่ พิสูจน์ว่าข้อมูลตอ่ ไปน้ีมีการแจกแจงแบบเอกรปู หรือไม่

ทีร่ ะดบั นัยสำคญั
0.51 0.67 0.22 0.66 0.33 0.92 0.87 0.91 0.97 0.66
0.96 0.74 0.22 0.51 0.34 0.09 0.04 0.80 0.43 0.74
0.45 0.28 0.40 0.13 0.60 0.73 0.92 0.42 0.31 0.67
0.60 0.51 0.49 0.90 0.96 0.02 0.06 0.62 0.93 0.46
0.93 0.40 0.64 0.80 0.25 0.59 0.05 0.57 0.17 0.25
0.48 0.77 0.31 0.65 0.43 0.58 0.74 0.69 0.07 0.76
0.41 0.79 0.95 0.52 0.82 0.02 0.53 0.76 0.61 0.98
0.41 0.77 0.64 0.55 0.25 0.75 0.87 0.87 0.14 0.19

กำหนด N=80, n=10 ดังนั้น Ei =80 = 8 จากน้ันทำการนับจำนวนข้อมูลในช่วงต่างๆ ดังนี้
10
ช่วงของข้อมลู Oi Ei ( − )2



[0, 0.1] 7 8 0.125
[0.1, 0.2] 4 8 2.000
[0.2, 0.3] 6 8 0.500

[0.3, 0.4] 6 8 0.500
[0.4, 0.5] 9 8 0.125

[0.5, 0.6] 11 8 1.125

[0.6, 0.7] 10 8 0.500

[0.7, 0.8] 12 8 2.000

[0.8, 0.9] 5 8 1.125

[0.9, 1.0] 10 8 0.500

รวม 80 80 8.500

ดงั นั้น X20 = ∑ =1 ( − )2 = 8.5


เนื่องจากค่าวิกฤต X2α,n-1 = X20.01,10-1 = 21.7>X20 =8.5 ดังนั้นจึงไม่สามารถปฏิเสธนั้นคือ H0 ไม่

สามารถตรวจจับความแตกต่างระหวา่ งแจกแจงความน่าจะเป็นที่แทจ้ ริงของชุดตัวแปรสุ่ม {X1, X2,…,

Xn} กบั การแจกแจงแบบเอกรปู

31

การแจกแจงของขอ้ มลู นำเขา้ 32

การจำลองระบบจรงิ ขอ้ มลู แตล่ ะประเภทที่ใชต้ ้องมีข้อมูลทีไ่ ม่แน่นอนไมม่ ากก็น้อย ดัง
แสดงในตารางท่ี 3.1 ดังนัน้ ส่งิ ทขี่ าดไมไ่ ด้ในการสร้างแบบจำลองคือ ข้อมลู ที่มคี ่าไม่แน่นอนหรือ
ขอ้ มลู นำเข้าแบบสุม่ เช่น เวลาระหวา่ งการเขา้ มารบั บริการของลูกคา้ ปริมาณความต้องการหรือ
เวลาให้บรกิ าร ซึง่ ตัวช้วี ดั ท่ใี ชใ้ นการระบวุ ่าขอ้ มูลสุม่ ดังกล่าวมีการแจกแจงแบบใดคอื การแจกแจง
ความน่าจะเปน็ ของข้อมูลนำเข้า (Input Probability Distribution. วฒุ ชิ ัย วงษ์ทัศนียก์ ร (2556)
กลา่ วถงึ การแจกแจงแบบต่างๆ วธิ ีการสร้างตัวแปรสมุ่ แบบตา่ งๆ รวมไปถึงข้นั ตอนการแจกแจง
ความน่าจะเปน็ ใหเ้ หมาะสมกับขอ้ มลู ทเ่ี ก็บได้

ตารางที่ 3.1 ที่มาของความไมแ่ น่นอน

ระบบ ท่มี าของความไม่แน่นอนของขอ้ มูล
ระบบขนส่ง ระยะห่างของการเดินรถ เวลาในการเดินทางระหว่างสถานี
(Mass Transportation) ขนส่ง จำนวนผ้โู ดยสารในแตล่ ะสถานี
ระบบการผลิต เวลาในการทำงานของเครือ่ งจักร/ เวลาในการซ่อมแซมและ
(Manufacturing) หยุดทำงานของเครื่องจักร/ ความถี่และจำนวนครั้งท่ี
เครือ่ งจักรเสยี
ศูนย์บริการลกู คา้ เวลาระหว่างการเข้ามารับบริการของลูกค้า เวลาในการ
(Customer Services) ใหบ้ ริการลกู ค้า ประเภทของการบรกิ ารท่ีใหบ้ รกิ ารลูกค้า

ศูนย์ให้บริการทางโทรศัพท์ เวลาระหว่างการโทรข้าวของลูกค้า/เวลาในการให้บริการ

(Call Center) ลูกคา้ /เวลาในการเลือกประเภทของการบรกิ ารลูกค้า

การแจกแจงแบบตอ่ เนื่อง (Continuous Distribution)
ในส่วนการแจกแจงแบบต่อเนื่อง อาทิเช่น Uniform, Triangular, Normal,
Exponential, Gramma, Weibull, Lognormal, Beta, Pearson และ Johnson ซึ่งเป็นการ
แจกแจงทใี่ ชใ้ นปัญหารูปแบบต่างๆ (Hahn and Shapiro, 1994; Lawless, 2003) โดยมีข้อมูล
ของการใช้งานฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็น (Probability Distribution Function,

32

บทท่ี 3 การแจกแจงของข้อมูลนำเข้า

p.d.f.) ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นสะสม (Cumulative Probability Distribution
Function, c.d.f.) พารามิเตอร์ (Parameters) ช่วง (Range) ค่าเฉลี่ย (Mean) ค่าความ
แปรปรวน (Variance) ค่าฐานนิยม (Mode) และกราฟฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็น
(p.d.f. Graph)

1. การแจกแจงแบบเอกรปู ต่อเน่ือง (Continuous Uniform Distribution)

Uniform Unif(a,b) หรอื U(a,b)

การใชง้ าน 1) ใช้สำหรับโมดลู เริม่ ตน้ ในกรณีที่มีการคาดการณ์ว่าข้อมูลจะ

อยูใ่ นชว่ งระหว่างสองข้อมูล

2) ในกรณีที่ไมท่ ราบข้อมลู จรงิ แนน่ อน

3) ใช้ในการสร้างตวั แปรส่มุ แบบอ่ืนๆ

พารามเิ ตอร์ a และ b เปน็ จำนวนจรงิ โดยที่ a<b

(Parameters) a เปน็ พารามิเตอรท์ างตำแหน่ง (Location Parameter)

b-a เปน็ พารามิเตอรท์ างสเกล (Scale Parameter)

ช่วง (Range) [a,b] โดยท่ี a<b

เฉลย่ี (Mean) (a+b)/2

ค ว า ม แ ป ร ป ร ว น (b-a)2/12

(Variance)

ฐานนิยม (Mode) ไม่มี

ภาพท่ี 3.1 กราฟฟงั ก์ชันการแจกแจงความนา่ จะเป็น (p.d.f) ของ Uniform Distribution
33

บทที่ 3 การแจกแจงของข้อมูลนำเข้า

2. การแจกแจงแบบสามเหลย่ี ม (Triangular Distribution)

Triangular Triangular (a,b,m) หรอื Tri(a,b,m)

การใช้งาน 1) ใช้ในการสร้างโมดูลเริ่มต้นในกรณีที่ไม่มีข้อมูลจริง

เพราะใช้เพียงแค่สามค่าในการสร้างฟังก์ชันการแจก

แจง คือ ค่านอ้ ยทส่ี ุด คา่ มากที่สดุ และค่ากลาง

พ า ร า ม ิ เ ต อ ร์ a,b,m เป็นจำนวนจริง โดยท่ี a<x<m

(Parameters) a เป็นพารามเิ ตอร์ทางตำแหนง่ (Location Parameter)

b-a เปน็ พารามเิ ตอรท์ างสเกล (Scale Parameter)

m เป็นพารามเิ ตอรท์ างรปู ร่าง (Shape Parameter)

ช่วง (Range) [a,b]

เฉล่ยี (Mean) (a+b+m)/3

ค ว า ม แ ป ร ป ร ว น (a2+ b2+ m2+ ab+ am+ bm) /18

(Variance)

ฐานนิยม (Mode) m

ภาพท่ี 3.2 กราฟฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็น (p.d.f) ของ Triangular Distribution

3. การแจกแจงแบบปกติ (Normal Distribution)

Normal Normal (µ, ) หรือ N(µ, )

การใช้งาน 1) ค่าความผิดพลาดของกระบวนการ
2) ค่าผลรวมของข้อมูลอื่นๆ (ตาม Central Limit
พ า ร า ม ิ เ ต อ ร์
(Parameters) Theorem)
µ เปน็ พารามิเตอร์ทางตำแหนง่ (Location Parameter)
ó เปน็ พารามิเตอร์ทางสเกล (Scale Parameter)

34

บทที่ 3 การแจกแจงของข้อมูลนำเข้า

ช่วง (Range) (−∞, ∞)

เฉลีย่ (Mean) µ

ค ว า ม แ ป ร ป ร ว น 2

(Variance)

ฐานนิยม (Mode) µ

ภาพท่ี 3.3 กราฟฟงั ก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็น (p.d.f) ของ ปกติ (Normal Distribution)

ในกรณีที่ข้อมูลบางประเภทเป็นผลรวมของข้อมูลอื่นๆ หลายๆตัวบวกกันสามารถ
ประมาณให้ข้อมูลที่มีการแจกแจงแบบปกติได้ ยกตัวอย่าง เช่น จำนวนคำสั่งซื้อของลูกค้าใน
จังหวดั ตา่ งๆ ของประเทศไทย จำนวนคำสั่งซ้อื ของสินค้าทุกประเภท เป็นต้น เนอื่ งจากถ้า X เปน็
ผลรวมของตวั แปรสุม่ แบบอ่ืน X1= Y1+Y2+…+Yn ตาม Central Limit Theorem (CLT)

4. การแจกแจงแบบเอกซโ์ พแนนเชียล (Exponential Distribution)

Exponential Expo ( )
1) มีขอบเขตด้านล่าง (Lower Bound) โดยมีลักษณะรูปรา่ ง

ของ Density Function เหมือนเดิมโดยไม่ขึน้ อยกู่ ับ
โดยเรม่ิ จากค่าบวกและลดลงเร่ือยๆตามคา่ ของ x ทเี่ พม่ิ ข้นึ
2) บางครั้งถูกเรียกว่าการแจกแจงแบบเลขชี้กำลังหรือ

β = 1/

35

บทที่ 3 การแจกแจงของข้อมูลนำเข้า

การใช้งาน 1) เวลาระหว่างเหตุการณ์ที่เป็นอสิ ระต่อกันเช่น เวลาระหว่าง
การเข้า (Interarrival Time) ในทฤษฎีแถวคอยหรือเวลา
ระหวา่ งการทำงานผดิ พลาดในทฤษฎีความน่าเช่ือถือ (Law
and Kelton, 1991,p.330: et al., 1994, p.499)

2) มีคณุ สมบัติ Memoryless โดยความน่าจะเป็นไม่ขึ้นอยู่กับ
เวลาเร่มิ ตน้

พารามเิ ตอร์ หรือ 1/ เป็นพารามิเตอรท์ างสเกล (Scale Parameter)

ช่วง (Range) (0, ∞)

เฉล่ีย (Mean) หรอื 1/

ค ว า ม แ ป ร ป ร ว น 2หรอื 1/ 2

(Variance)

ฐานนยิ ม (Mode) 0

ภาพที่ 3.4 กราฟฟังก์ชนั การแจกแจงความนา่ จะเป็น (p.d.f) ของ เอกซโ์ พแนนเชียล (Exponential
Distribution)

5. การแจกแจงแบบแกรมมา่ (Gamma Distribution)

Gamma Gamma ( , )

1) มีขอบเขตด้านล่าง (Lower Bound) โดยท่ี α>0 และไม่
จำเป็นตอ้ งเป็นจำนวนเตม็ สามารถแบง่ ได้ 3 กรณี

36

บทท่ี 3 การแจกแจงของข้อมูลนำเข้า

การใชง้ าน - สำหรับ α =1 จะมีการแจกแจงแบบเอ็กโพเนนเชียล โดยความ
น่าจะเป็นจะเริ่มจากค่าคงที่สำหรับค่าต่ำสุดของ x และมีค่า
ลดลงเมอ่ื x มีค่าเพิม่ ขน้ึ

- สำหรบั α<1 ความนา่ จะเป็นจะมีคา่ เขา้ ใกล้ ∞ สำหรบั ค่าตำ่ สุด
ของ x และมีคา่ ลดลงเมื่อ x มคี ่าเพม่ิ ขึ้น

- สำหรับ α>1 ความนา่ จะเป็นจะมคี า่ เท่ากบั ศนู ยส์ ำหรบั ค่าต่ำสุด
ของ x และมคี ่าเพม่ิ ขน้ึ จนถงึ จุดๆหนึง่ และลดลงหาศนู ยอ์ ีกครงั้
1) มีความยืดหยุ่นสูง ใช้กับตัวแปรสุ่มที่เป็น non-negative
สามารถเลื่อน (Shift) ออกไปจากค่า 0 โดยการบวกด้วย
คา่ คงท่ี ใช้สำหรบั เวลาในกระบวนการใดๆ เชน่ เวลาในการ
ให้บริการ เวลาในการซ่อมเครื่องจักร ช่วงชีวิตผลิตภัณฑ์
(Products Lifetime) เวลานำ (lead time) และเวลา
ระหว่างการเขา้ (Johnson rt al., 1994, p.343)

พารามเิ ตอร์ α เปน็ พารามเิ ตอรท์ างตำแหนง่ (Location Parameter)

เปน็ พารามเิ ตอรท์ างสเกล (Scale Parameter)

ชว่ ง (Range) (0, ∞)

เฉลย่ี (Mean)

ค ว า ม แ ป ร ป ร ว น 2

(Variance)

ฐานนยิ ม (Mode) ( − 1) ถา้ α ≥ 1,0

ภาพที่ 3.5 กราฟฟงั ก์ชนั การแจกแจงความน่าจะเปน็ (p.d.f) ของ แกรมม่า (Gamma Distribution)
37