Fundamentos de Aplicaciones en Electromagnetismo - Ulaby - 5ed

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1.3 ONDAS VIAJERAS 25

Ejemplo 1-1 Onda sonora en el agua Ejemplo 1-2 Pérdida de potencia
Una onda acústica que viaja en la dirección x en Un haz de luz láser que se propaga a través de la
un fluido (líquido o gas) está caracterizada por atmósfera está caracterizado por una intensidad
una presión diferencial p(x, t). La unidad de pre- de campo eléctrico dada por
sión es el newton por metro cuadrado (N/m2). En-
cuentre una expresión para p(x, t) de una onda so- donde x es la distancia a la fuente en metros. La
nora sinusoidal que viaja en la dirección x posi- atenuación se debe a la absorción por gases at-
tiva en agua, dado que la frecuencia de onda es de mosféricos. Determine a) la dirección de recorri-
1 kHz, la velocidad del sonido en agua es de 1.5 do de la onda, b) la velocidad de la onda y c) la
km/s, la amplitud de onda es de 10 N/m2 y se ob- amplitud de la onda a una distancia de 200 m.
servó que p(x, t) alcanza su valor máximo cuando Solución: a) Como los coeficientes de t y x en el
t ϭ 0 y x ϭ 0.25 m. Considere el agua como un argumento de la función coseno tienen signos
medio sin pérdidas. opuestos, la onda debe estar viajando en la direc-
Solución: De acuerdo con la forma general de ción ϩx.
la ecuación (1.17) para una onda que viaja en la
dirección x positiva, b)

La amplitud A ϭ 10 N/m2, T ϭ 1͞f ϭ 10Ϫ3 s y co- que es igual a c, la velocidad de la luz en el espa-
mo up ϭ f λ, cio libre.
c) Con x ϭ 200 m, la amplitud de E(x, t) es
Por consiguiente,
■

Como cuando t ϭ 0 y x ϭ 0.25 m, p(0.25,0) ϭ 10 EJERCICIO 1.1 El campo eléctrico de una ondaCM
N/m2, electromagnética viajera está dado por

que da el resultado (f0 Ϫ π͞3) ϭ cosϪ1(1) o f0 ϭ E(z, t) ϭ 10 cos(π ϫ 107t ϩ πz͞15 ϩ π͞6) (V/m).
π͞3. Por lo tanto,
Determine a) la dirección de propagación de la
(N/m2). onda, b) la frecuencia de la onda f, c) su longitud
de onda λ y d) su velocidad de fase, up.
■
Respuestas: a) dirección Ϫz, b) f ϭ 5 MHz, c)
λ ϭ 30 m, d) up ϭ 1.5 ϫ 108 m/s. (Véase )DRO

EJERCICIO 1.2 Una onda electromagnética se
propaga en la dirección z en un medio con pérdi-
das con constante de atenuación a ϭ 0.5 Np/m. Si
la amplitud del campo eléctrico de la onda es de
100 V/m con z ϭ 0, ¿qué tan lejos viajará la onda

26 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN: ONDAS Y FASORES

Cantes de que su amplitud se reduzca a a) 10 V/m,M rroja y luego la región de radio. Por la relación en-
b) 1 V/m, c) 1 mV/m? tre λ y f en la ecuación (1.34), cada uno de estos
rangos espectrales puede especificarse en función
Respuestas: a) 4.6 m, b) 9.2 m, c) 37 m. de su rango de longitud de onda o, de forma alter-
(Véase )DRO nativa, en función de su rango de frecuencia. En
la práctica, sin embargo, una onda se especifica en
1-4 El espectro electromagnético función de su longitud de onda λ si λ Ͻ 1 mm,
que comprende todas las partes del espectro EM
La luz visible pertenece a una familia de ondas con excepción de la región de radio, y la onda se
llamada espectro electromagnético (figura 1-15). especifica en función de su frecuencia f si λ Ͼ 1
Otros miembros de esta familia incluyen los rayos mm (es decir, en la región de radio). Una longitud
gamma, los rayos X, las ondas infrarrojas y las on- de onda de 1 mm corresponde a una frecuencia de
das de radio. Genéricamente, todas se llaman 3 ϫ 1011 Hz ϭ 300 GHz en el espacio libre.
ondas electromagnéticas (EM) porque comparten
las siguientes propiedades fundamentales: El espectro de radio se compone de varias ban-
das individuales, como se observa en la tabla de la
• Una onda EM se compone de intensidades figura 1-16. Cada banda abarca una decena del es-
de campo eléctrico y magnético que osci- pectro de radio y tiene una designación de letra ba-
lan a la misma frecuencia f. sada en una nomenclatura definida por la Interna-
tional Telecommunication Union. Diferentes fre-
• La velocidad de fase de una onda EM que se cuencias tienen diferentes aplicaciones porque son
propaga en el vacío es una constante uni- provocadas por diferentes mecanismos, y las pro-
versal dada por la velocidad de la luz c, de- piedades de una onda EM que se propaga en un ma-
finida por la ecuación (1.14). terial varían considerablemente de una banda a
otra. La banda de frecuencia extremadamente baja
• En el vacío, la longitud de onda λ de una (extremely low frequency, ELF) de 3 a 30 Hz se uti-
onda EM está relacionada con su frecuencia liza principalmente para la detección de objetos de
de oscilación f mediante metal enterrados. Las frecuencias más bajas, hasta
0.1 Hz, se utilizan en la detección magnetotelúrica
(1.34) de la estructura de la Tierra y las frecuencias en el
rango de 1 Hz a 1 kHz en ocasiones se utilizan pa-
Si bien todas las ondas EM comparten estas pro- ra comunicaciones con submarinos sumergidos y
piedades, cada una se distingue por su propia lon- para ciertos estudios de detección de la ionosfera
gitud de onda λ o, de forma equivalente, por su de la Tierra. La región de muy baja frecuencia
propia frecuencia de oscilación f. (very low frequency, VLF) de 3 a 30 kHz se utiliza
para algunas formas de comunicación de los sub-
La parte visible del espectro EM que se aprecia marinos y para el sistema de navegación localiza-
en la figura 1-15 abarca un rango de longitud de dor de posiciones Omega. La banda de baja fre-
onda muy angosto que se extiende entre λ ϭ 0.4 cuencia (low frequency, LF), de 30 a 300 kHz, se
mm (violeta) y λ ϭ 0.7 mm (rojo). Conforme se utiliza para algunas formas de comunicación y pa-
avanza progresivamente hacia longitudes de onda ra el sistema localizador de posiciones Loran C. Al-
más cortas, se encuentran las bandas ultravioleta, gunos radiofaros y estaciones para transmitir infor-
de rayos X y rayos gamma, nombradas así por ra- mación climatológica utilizada en la navegación
zones históricas asociadas con el descubrimiento aérea operan a frecuencias en el extremo más alto
de ondas con esas longitudes de onda. Del otro la- de la banda LF. La región de mediana frecuencia
do del espectro visible se encuentra la banda infra- (MF), de 300 kHz a 3 MHz, contiene la banda difu-
sora de AM estándar de 0.5 a 1.5 MHz.

1.4 EL ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO 27

Ventana Ventajas Ventana de radio
óptica infrarrojas

100% Atmósfera opaca Ionosfera opaca
Opacidad atmosférica

0

Rayos X

Diagnóstico médico v
i
Rayos gamma Ultravioleta s Infrarrojo
i Espectro de radio
Terapia del cáncer Esterilización b Calefacción, Comunicación, radar, difusión de radio y TV

l ‘visión nocturna’ y radioastronomía
e

1 fm 1 pm 1 Å 1 nm 1 μm 1 mm 1m 1 km 1 Mm Longitud de onda (m)

10–15 10–12 10–10 10–9 10–6 10–3 1 103 106 108

1023 1021 1 EHz 1 PHz 1 THz 1 GHz 1 MHz 1 kHz 1 Hz Frecuencia (Hz)
1018 1015 1012 109 106 103 1

Figura 1-15: El espectro electromagnético.

Las comunicaciones de larga distancia y emisión de frecuencia súper alta (superhigh frequency, SHF),
de onda corta a largas distancias utilizan frecuencias de 3 a 30 GHz. Algunos sistemas de navegación
en la banda de alta frecuencia (high frequency, HF), aérea también operan en este rango.
de 3 a 30 MHz, porque las ondas en esta banda re-
sultan fuertemente afectadas por reflexiones en la La mayor parte de la banda de frecuencia ex-
ionosfera y menos afectadas por absorción en esta tremadamente alta (extremely high frequency,
última. La siguiente región de frecuencia, la banda EHF), de 30 a 300 GHz, se utiliza poco, porque la
de muy alta frecuencia (very high frequency, VHF), tecnología no está bien desarrollada y por la exce-
de 30 a 300 MHz, se utiliza principalmente para siva absorción de la atmósfera en algunas partes
emisiones de televisión y FM a distancias en la lí- de esta banda. En la actualidad algunos sistemas de
nea de mira y también para comunicación con ae- comunicación avanzados están en proceso de desa-
ronaves y otros vehículos. También se realizaron rrollo para operar a frecuencias en las “ventanas
algunas investigaciones de radioastronomía en es- atmosféricas”, donde la absorción atmosférica no
te rango. La región de ultra-alta frecuencia (ultra es un problema serio; ejemplos de estos sistemas
high frequency, UHF), de 300 MHz a 3 GHz, está son los radares para evitar choques entre automó-
extensamente poblada por radares, aunque una viles y radares militares que permiten formar imá-
parte de esta banda también se utiliza para emisio- genes. Estas ventanas atmosféricas incluyen los
nes de televisión y comunicaciones móviles con rangos de 30 a 35 GHz, 70 a 75 GHz, 90 a 95 GHz
aviones y vehículos terrestres. Los radares en esta y 135 a 145 GHz.
región del espectro normalmente se utilizan para
detección y rastreo de aviones. Algunas zonas de Aun cuando no existe una definición precisa
esta región están reservadas para la observación para la extensión de la banda de microondas,
radioastronómica. convencionalmente se considera que comprende
los rangos de las bandas de UHF, SHF y EHF. La
Muchos sistemas de comunicación de radio banda de EHF se conoce también como banda de
punto a punto y varias clases de radares terrestres y ondas milimétricas, porque el rango de longitud
de los que se utilizan en buques operan en el rango de onda que cubre va de 1 mm (300 GHz) a 1 cm
(30 GHz).

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28 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN: ONDAS Y FASORES

Frecuencia (Hz)

1012 Banda Aplicaciones
300 GHz Radar, sistemas de comunicación avanzados,
Microondas Frecuencia extremadamente detección remota, radioastronomía
alta EHF (30 - 300 GHz) Radar, sistemas de comunicación satelitales,
1 GHz 109 navegación aérea, raadioastronomía, detección
Frecuencia súper alta remota
1 MHz 106 SHF (3 - 30 GHz) Difusión de TV, radar, radioastronomía, hornos
de microondas, teléfonos celulares
1 kHz 103 Frecuencia ultra alta Difusión de TV y FM, comunicación vía radio
UHF (300 MHz - 3 GHz) móvil, control de tráfico aéreo
1 Hz Radiodifusión de onda corta
Frecuencia muy alta
VHF (30 - 300 MHz) Radiodifusión de AM

Frecuencia alta Radio faros, estaciones emisoras metereológicas
HF (3 - 30 MHz) para navegación aérea
Navegación y localización de posiciones
Frecuencia mediana
MF (300 kHz - 3 MHz) Señales de audio en teléfonos

Frecuencia baja Detección ionosférica, distribución de energía
LF (30 - 300 kHz) eléctrica, comunicación submarina
Detección de objetos metálicos enterrados
Frecuencia muy baja
VLF (3 - 30 kHz) Detección magnetotelúrica de la estructura
terrestre
Frecuencia ultra baja
ULF (300 Hz - 3 kHz)

Frecuencia súper baja
SLF (30 - 300 Hz)

Frecuencia extremadamente
baja ELF (3 - 30 Hz)

f < 3 Hz)

Figura 1-16: Bandas individuales del espectro de radio y sus principales aplicaciones.

PREGUNTAS DE REPASO 1-5 Repaso de números complejos

1.9 ¿Cuáles son las tres propiedades fundamen- Un número complejo z se escribe en la forma
tales de las ondas EM?
z ϭ x ϩ jy, (1.35)
1.10 ¿Cuál es el rango de frecuencias que cubre
la banda de microondas? donde x y y son las partes real ᑬᒂ e imaginaria
(Iᒊ) de z, respectivamente y j ϭ 1 Ϫ1. Es decir,
1.11 ¿Cuál es el rango de longitudes de onda del
espectro visible? ¿Cuáles son algunas de las apli-
caciones de la banda infrarroja?

(1.36)

1.5 REPASO DE NÚMEROS COMPLEJOS 29

I m(z) x = |z| cos u raíz positiva en la ecuación (1.41) es aplicable.
y z y = |z| sen u Esto se denota con el signo ϩ sobre el signo de
raíz cuadrada.
|z| |z| = + x2 + y2
El conjugado complejo de z, denotado con un
u = tan–1 (y/x) superíndice de estrella (o asterisco), se obtiene
reemplazando j (siempre que aparezca) con Ϫj, de
manera que

u (1.42)
x Re(z)
La magnitud de |z| es igual a la raíz cuadrada po-
Figura 1-17: Relación entre representaciones sitiva del producto de z y su conjugado complejo:
rectangulares y polares de un número complejo
z ϭ x ϩ jy ϭ ͉z͉e ju.

(1.43)

De forma alternativa, z se escribe en forma polar A continuación repasaremos algunas de las pro-
como piedades del álgebra compleja que aparecerán en
capítulos posteriores.
(1.37)
Igualdad: Si dos números complejos z1 y z2 están
donde ͉z͉ es la magnitud de z y u es su ángulo de dados por
fase y la forma lu_ es una útil representación abre-
viada comúnmente utilizada en cálculos numéri- (1.44)
cos. Aplicando la identidad de Euler,

(1.45)

se puede convertir z de forma polar, como en la entonces z1 ϭ z2 si y sólo si x1 ϭ x2 y y1 ϭ y2 o,
ecuación (1.37), a forma rectangular, como en de forma equivalente, |z1| ϭ |z2| y u1 ϭ u2.
la ecuación (1.35),
Adición:

(1.39) (1.46)

la que conduce a las relaciones Multiplicación:

o (1.47a)
(1.47b)
Las dos formas se ilustran gráficamente en la fi-
gura 1-17. Cuando se utilice la ecuación (1.41), se
deberá tener cuidado para garantizar que u se en-
cuentra en el cuadrante apropiado. Observe ade-
más que, como |z| es una cantidad positiva, sólo la

30 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN: ONDAS Y FASORES
División: Con z2 ϶ 0,
Dados dos números complejos
o
(1.48a) a) Exprese V e I en forma polar y determine b) V I,
c) V I*, d) V͞I y e) 1 I .
Solución

a)

(1.48b) Como I ϭ (Ϫ2 Ϫ j3) está en el tercer cuadrante
Potencias: Con cualquier entero positivo n, en el plano complejo [figura 1-18],

(1.49) b)

(1.50) Im

Relaciones útiles:

(1.51) –2 uI 3 Re
(1.52)
(1.53) uV
(1.54)
|I| V
Ejemplo 1-3 Trabajo con números complejos |V|

I –3
–4

Figura 1-18: Números complejos V e I en el pla-
no complejo (ejemplo 1-5).

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1.6 REPASO DE FASORES 31

c) R

d) + C
i
e) vs(t)

EJERCICIO 1.3 Exprese las siguientes funciones –
complejas en forma polar:
CC MM Figura 1-19: Circuito RC conectado a una fuen-
Respuesta: z1 ϭ 25 l_Ϫ_73_.7_°, z2 ϭ ; 1 5 lϪ__18_.4_° te de voltaje vs(t).
(Véase )DRO
Expandiendo la función forzadora en una serie
EJERCICIO 1.4 Demuestre que 1 2j ϭ ; 11 ϩ j 2 de Fourier de componentes sinusoidales, es po-
(Véase )DRO sible resolver la variable deseada utilizando análi-
sis fasorial para cada componente de Fourier de
1-6 Repaso de fasores la función forzadora por separado. De acuerdo
con el principio de superposición, la suma de
El análisis fasorial es una herramienta matemática soluciones de todos los componentes de Fourier
útil para resolver problemas que implican sistemas da el mismo resultado que el que se obtendría si
lineales en los cuales la excitación es una función de el problema se resolviera por completo en el do-
tiempo periódica. Muchos problemas de ingeniería minio del tiempo sin la ayuda de la representación
se plantean en la forma de ecuaciones íntegro-dife- de Fourier. La ventaja obvia del método de fasorial-
renciales lineales. Si la excitación, más comúnmen- Fourier es la simplicidad. Además, en el caso de
te conocida como función forzadora, varía de for- funciones de fuente no periódicas, tales como un
ma sinusoidal con el tiempo, el uso de notación fa- pulso único, las funciones pueden expresarse co-
sorial para representar variables dependientes del mo integrales de Fourier y también es posible uti-
tiempo permite convertir la ecuación íntegro-dife- lizar una aplicación similar del principio de super-
rencial en una ecuación lineal sin funciones sinusoi- posición.
dales, con lo cual se simplifica el método de solu-
ción. Luego de resolver para la variable deseada, tal El circuito RC simple que se ilustra en la figu-
como voltaje o corriente en un circuito, la conver- ra 1-19 contiene una fuente de voltaje que varía de
sión del dominio fasorial de regreso al dominio del forma sinusoidal con el tiempo determinada por
tiempo da el resultado deseado.
(1.55)
La técnica fasorial también se emplea para anali-
zar sistemas lineales cuando la función forzadora es donde V0 es la amplitud, v es la frecuencia angu-
cualquier función de tiempo periódica (no sinusoi- lar y f0 es una fase de referencia. La aplicación de
dal) arbitraria, como una onda cuadrada o una se- la ley del voltaje de Kirchhoff da la siguiente
cuencia de pulsos. ecuación para una trayectoria cerrada:

dominio del tiempo
(1.56)

El objetivo es obtener una expresión para la co-
rriente i(t). Esto se podría hacer resolviendo la
ecuación (1.56) en el dominio del tiempo, lo cual

32 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN: ONDAS Y FASORES

es un tanto tedioso porque la función forzadora pero es independiente de la variable de tiempo t.
vs(t) es una sinusoide. De forma alternativa, se A continuación se define la variable desconocida
puede aprovechar la técnica fasorial, como sigue. i(t) en función de un fasor I~

Paso 1: Adopte una referencia coseno (1.61)

Esto significa que se deberá expresar la función y si la ecuación que se está tratando de resolver
forzadora como un coseno, si aún no está en esa for- contiene derivadas o integrales, se utilizan las dos
ma; por consiguiente, todas las funciones que va- siguientes propiedades:
rían con el tiempo, como la corriente presente en
el circuito y el voltaje a través de R y C, también
tendrán una referencia coseno. Así,

(1.57) (1.62)
y
donde se utilizan las propiedades sen x ϭ cos(π͞2
Ϫ x) y cos(Ϫx) ϭ cos x. (1.63)

Paso 2: Exprese las variables dependientes del Por tanto, la diferenciación de la función de tiem-
tiempo como fasores po i(t) equivale a multiplicar su fasor I~ por jv, y
la integración equivale a dividir entre jv.
Cualquier función que varía con el tiempo de for- Paso 3: Reescriba la ecuación diferencial/inte-
ma cosenoidal z(t) se expresa como gral en forma fasorial
Al utilizar las ecuaciones (1.59), (1.61) y (1.63)
(1.58) en la ecuación (1.56), se tiene

donde ϳZ es una función independiente del tiempo
llamada fasor de la función instantánea z(t). Para
distinguir las cantidades instantáneas de sus con-
trapartes fasoriales, a la letra que denota un fasor
se le coloca una tilde (ϳ) encima. El voltaje vs(t)
de la ecuación (1.57) se escribe en la forma

(1.59) (1.64)

donde Como tanto R como C son cantidades reales y la
operación ᑬᒂ( ) es distributiva, la ecuación (1.64)
(1.60) se simplifica a

El fasor Vϳs, correspondiente a la función de tiem- (dominio fasorial). (1.65)
po vs(t), contiene información de amplitud y fase

1.6 REPASO DE FASORES 33

El factor de tiempo ejvt desapareció porque se en- Tabla 1-5: Funciones sinusoidales en el dominio del
contraba en los tres términos. La ecuación (1.65)
es el equivalente en el dominio fasorial de la ecua- tiempo z(t) yfassuosrieaql ϳuZiv, adloenndteeszc(ot)seϭnoᑬdee[ϳZreefejvrte].ncia en
ción (1.56). el dominio

Paso 4: Resuelva la ecuación en el dominio faso- z(t) Z
rial
↔A cos vt A
Dsoeriaacl u~Ieredsotácdoandlaa ecuación (1.65) la corriente fa- ↔A cos(vt + f0) Ae j f0
por ↔A cos(vt + bx + f0) Ae j (bx +f0)
↔Ae ax cos(vt + bx + f0) Ae ax ej (bx +f0)
(1.66) ↔A sen vt Ae jπ/ 2
↔A sen(vt + f0) Ae j (f 0 π/ 2)
Antes de aplicar el siguiente paso, hay que con-
vertir el lado derecho de la ecuación (1.66) en la d ↔ jf Z1
forma I0eju con I0 como cantidad real. Por tanto, dt (z 1(t))

d ↔ j vAe jf0
dt [A cos(vt + f0)]

z1(t) dt ↔1
jv Z1

A sen(vt + f0) dt ↔ 1 Ae j (f0 π/ 2)
jv

(1.67) deseada i(t) y luego se transforman de regreso al
dominio del tiempo con el fin de obtener una ex-
donde se ha utilizado la identidad j ϭ e jπ͞2. El án- presión para i(t). La tabla 1-5 da un resumen de al-
gulo de fase f1 ϭ tanϪ1(vRC) y se encuentra en gunas funciones en el dominio del tiempo y sus
el primer cuadrante del plano complejo. equivalentes en el dominio fasorial.

Paso 5: Determine el valor instantáneo Ejemplo 1-4 Circuito RL

Para determinar i(t), simplemente se aplica lI~a La fuente de voltaje del circuito que se ilustra
ecuación (1.61). Es decir, se multiplica el fasor en la figura 1-20 está dada por

de la ecuación (1.67) por ejvt y luego se toma la (1.69)

parte real:

(1.68) Obtenga una expresión para el voltaje del induc-
tor.
En resumen, todas las cantidades que varían con Solución: La ecuación del voltaje para la trayec-
toria cerrada en el circuito RL es
seul etilevmenpopasreatrealnfsafsoorrmI~andael dominio fasorial, se re-
la corriente instantánea (1.70)

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34 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN: ONDAS Y FASORES

i R=6Ω y el voltaje instantáneo correspondiente vL(t) es,
por consiguiente,

+ +
vL L = 0.2 mH
vs(t)
–
–

■

Figura 1-20: Circuito RL (ejemplo 1-6).

Antes de convertir la ecuación (1.70) al dominio PREGUNTAS DE REPASO
fasorial, se tiene que expresar la ecuación (1.69)
en términos de una referencia coseno: 1.12 ¿Por qué es útil la técnica fasorial? ¿Cuán-
do se utiliza? Describa el proceso.
(1.71)
1.13 ¿Cómo se utiliza la técnica fasorial cuando
El coeficiente de t especifica la frecuencia angu- la función forzadora es una forma de onda perió-
lar como v ϭ 4 ϫ 104 (rad/s). El fasor de voltaje dica no sinusoidal, como un tren de pulsos?
correspondiente a vs(t) es
EJERCICIO 1.5 Un circuito RL en serie está co-

nectado a una fuente de voltaje vfas(sto) rϭial1I5~0ycobs) vt
(V). Determine a) la corriente la

corriente instantánea i(t) con R ϭ 400 ⍀, L ϭ 3

mH y v ϭ 105 rad/s.

y la ecuación fasorial correspondiente a la ecua- Respuestas: a) ~I ϭ 150͞(R ϩ jvL) ϭ 0.3
ción (1.70) es
l_Ϫ_36_.9_° (A), b) i(t) ϭ 0.3 cos(vt Ϫ 36.9°)(A).
(1.72)
Resolviendo para el fasor de corriente I~, se tiene (Véase )DRO M
C M
VEϳJEϭRCjI5CIVO. C1.6 Un voltaje fasorial está dado por
Determine v(t).

Respuesta: v(t) ϭ 5 cos(vt ϩ π͞2) ϭ Ϫ5 sen vt
(V) (Véase )DRO

El fasor cdoenvI~oltpaojer a través del inductor está rela- RESUMEN
cionado
• La teoría electromagnética es el estudio de
los fenómenos eléctricos y magnéticos y sus
aplicaciones en ingeniería.

• El Sistema Internacional de Unidades se com-
pone de las seis dimensiones fundamentales
que se listan en la tabla 1-1. Las unidades de
todas las demás cantidades físicas se expresan
en función de esas seis unidades fundamen-
tales.

GLOSARIO 35

• Las cuatro fuerzas fundamentales de la natu- Sistema de unidades SI
raleza son la nuclear, la de interacción débil, dimensiones fundamentales
la electromagnética y la gravitacional. Ley de Coulomb
intensidad de campo eléctrico E
• El origen de las cantidades de campo eléctri- ley de la conservación de la carga eléctrica
principio de superposición lineal
co E y D es la carga eléctrica q. En un mate- dipolo eléctrico
rial, E y D están relacionadas por D ϭ eE, polarización eléctrica
permitividad eléctrica e
donde e es la permitividad eléctrica del ma- permitividad relativa o constante dieléctrica er
terial. En el espacio libre, e ϭ e0 Ӎ (1͞36π) densidad de flujo eléctrico D
ϫ 10Ϫ9 (F/m). electrostática
magnetostática
• El origen de las cantidades de campo magné- densidad de flujo magnético B
permeabilidad magnética m
tico B y H es la corriente eléctrica I. En un velocidad de la luz c
material, B y H están relacionadas por B ϭ materiales no magnéticos
intensidad de campo magnético H
mH, donde m es la permeabilidad magnética electrodinámica
del medio. En el espacio libre, m ϭ m0 ϭ 4π conductividad s
ϫ 10Ϫ7 (H/m). dieléctrico perfecto
conductor perfecto
• La teoría electromagnética consta de tres ra- parámetros constitutivos
mas: 1. electrostática, que se encarga del es- onda transitoria
tudio de las cargas estacionarias, 2. magne- onda armónica continua
tostática, que estudia las corrientes constan- amplitud de onda
tes y 3. la electrodinámica, que estudia las periodo de onda T
corrientes variables con el tiempo. longitud de onda λ
fase de referencia f0
• Una onda viajera está caracterizada por una velocidad de fase (velocidad de propagación) up
longitud de onda espacial λ, un periodo T y frecuencia de onda f
una velocidad de fase up ϭ λ͞T. velocidad angular v
constante de fase (número de onda) b
• Una onda electromagnética (EM) se compone retraso y adelanto de fase
factor de atenuación
de intensidades de campo eléctrico y magné- constante de atenuación a
espectro EM
tico oscilante y viaja en el espacio libre a la banda de microondas
número complejo
velocidad de la luz . El espec- identidad de Euler
conjugado complejo
tro EM comprende los rayos gamma, los ra- función forzadora
fasor
yos X, la luz visible, las ondas infrarrojas y función instantánea

las ondas de radio.

• El análisis fasorial es una herramienta mate-
mática útil para resolver problemas que im-
plican fuentes periódicas con respecto al
tiempo.

GLOSARIO

Defina o explique el significado de los siguientes
términos:

36 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN: ONDAS Y FASORES

PROBLEMAS DRO 1.6 Una onda que viaja a lo largo de una cuerda
en la dirección ϩx está determinada por
Sección 1-3: Ondas viajeras
C M
1.1* Se observa que una onda sonora de 2 kHz, CM donde x ϭ 0 es el extremo de la cuerda sujeto rí-
que viaja por el aire en la dirección x, tiene una pre-
sión diferencial p(x, t) ϭ 10 N/m2 cuando x ϭ 0 y gidamente a una pared, como se ilustra en la figu-
t ϭ 50 ms. Si la fase de referencia de p(x, t) es de
36°, encuentre una expresión completa para p(x, t). ra 1-21. Cuando la onda y1(x, t) llega a la pared, se
La velocidad del sonido en el aire es de 330 m/s. genera una onda reflejada y2(x, t). Por consiguien-
te, en cualquier lugar de la cuerda, el desplaza-
1.2 Para la onda descrita en el ejemplo 1-3.2,
trace gráficas para: miento vertical ys es la suma de las ondas inciden-
te y reflejada:
a) p(x, t) contra x con t ϭ 0
a) Escriba una expresión para y2(x, t), teniendo
b) p(x, t) contra t con x ϭ 0 en cuenta su dirección de recorrido y el hecho
de que el extremo de la cuerda no se puede
Asegúrese de utilizar escalas apropiadas para x y mover.
t de manera que cada una de sus curvas cubra por
lo menos dos ciclos. b) Genere curvas de y1(x, t), y2(x, t) y ys(x, t)
contra x a lo largo del intervalo Ϫ2λ Յ x Յ 0
1.3* Una onda armónica que viaja a lo largo de con vt ϭ π͞4 y con vt ϭ π͞2.
una cuerda es generada por un oscilador que com-
pleta 180 vibraciones por minuto. Si se observa Onda incidente y
que una cresta dada, o máximo, recorre 300 cm en x
10 s, ¿cuál es la longitud de onda?

1.4 Dos ondas, y1(t) y y2(t), tienen amplitudes
idénticas y oscilan a la misma frecuencia, pero y2(t)
va delante de y1(t) por un ángulo de fase de 60°. Si

escriba la expresión apropiada para y2(t) y grafique x=0
ambas funciones a lo largo del lapso de 0 a 2 ms. Figura 1-21: Onda en una cuerda atada a un
1.5* La altura de una ola oceánica está descrita muro en x ϭ 0 (problema 1.6).
por la función
1.7* Dos ondas en una cuerda están dadas por
Determine la velocidad de fase y la longitud de las siguientes funciones:
onda y luego trace y(x, t) con t ϭ 2s a lo largo del
intervalo desde x ϭ 0 hasta x ϭ 2λ.

* La(s) respuesta(s) aparece(n) en el apéndice D.
DRO Solución disponible en el CD-ROM.

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PROBLEMAS 37

donde x está en centímetros. Se dice que las dos on- 1.12 El voltaje de una onda electromagnética
das interfieren constructivamente cuando su super- que viaja por una línea de transmisión está deter-
posición ͉ys͉ ϭ ͉y1 ϩ y2͉ es un máximo e interfieren minada por
destructivamente cuando ͉ys͉ es un mínimo.
donde z es la distancia en metros al generador.
a) ¿Cuáles son las direcciones de propagación
de las ondas y1(x, t) y y2(x, t)? a) Determine la frecuencia, la longitud de onda
y la velocidad de fase de la onda.
b) Con t ϭ (π/50) s, ¿en qué lugar x dos ondas
interfieren constructivamente y cuál es el va- b) Con z ϭ 2 m, la amplitud de la onda fue de
lor correspondiente de ͉ys͉? 1 V. Determine a.

c) Con t ϭ (π/50) s, ¿en qué lugar x las dos on- 1.13* Se observó que una cierta onda electro-
das interfieren destructivamente y cuál es el magnética que viaja en agua de mar tiene una am-
valor correspondiente de ͉ys͉? plitud de 98.02 (V/m) a una profundidad de 10 m, y
una amplitud de 81.87 (V/m) a una profundidad de
1.8 Dé expresiones para y(x, t) para una onda si- 100 m. ¿Cuál es la constante de atenuación del agua
nusoidal que viaja a lo largo de una cuerda en la de mar?
dirección x negativa, dado que ymáx ϭ 40 cm, λ ϭ
30 cm, f ϭ 10 Hz y Sección 1-5: Números complejos

a) y(x, 0) ϭ 0 en x ϭ 0 1.14 Evalúe cada uno de los siguientes números
complejos y exprese el resultado en forma rectan-
b) y(x, 0) ϭ 0 en x ϭ 7.5 cm gular:

1.9* Un oscilador que genera una onda sinusoi- a) z1 ϭ 4ejπ͞3
dal en una cuerda completa 20 vibraciones en 50 s.
Se observa que la cresta de la onda recorre una b) z2 ϭ 1 3 e j3π͞4
distancia de 2.8 m a lo largo de la cuerda en 5 s. c) z3 ϭ 6eϪjπ͞2
¿Cuál es la longitud de onda? d) z4 ϭ j3
e) z5 ϭ jϪ4
1.10 El desplazamiento vertical de una cuerda f) z6 ϭ (1 Ϫ j)3
está dado por la función armónica: g) z7 ϭ (1 Ϫ j)1͞3

donde x es la distancia horizontal a lo largo de la 1.15* Los números complejos z1 y z2 están da-
cuerda en metros. Suponga que se adhiere una dos por las siguientes expresiones:
partícula minúscula a la cuerda en x ϭ 5 cm. Ob-
tenga una expresión para la velocidad vertical de
la partícula como una función del tiempo.

1.11* Dadas dos ondas caracterizadas por las si-
guientes funciones:

¿y2(t) se adelanta o se retrasa con respecto a y1(t)
y con qué ángulo de fase?

38 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN: ONDAS Y FASORES

a) Exprese z1 y z2 en forma polar. d) Determine la razón z1*͞z2* en forma polar.
b) Determine ͉z1͉ aplicando primero la ecuación e) Determine √ළzළ1 en forma polar.
1.19* Si z ϭ 3 Ϫ j5, determine el valor de ln(z).
(1.41) y luego aplicando la ecuación (1.43). 1.20 Si z ϭ 3 Ϫ j4, determine el valor de ez.

c) Determine el producto z1z2 en forma polar. Sección 1-6: Fasores
d) Determine la razón z1͞z2 en forma polar.
e) Determine z13 en forma polar.

1.16 Si z ϭ Ϫ2ϩj4, determine las siguientes 1.21* Una fuente de voltaje
cantidades en forma polar:

a) 1͞z

b) z3 está conectada a una carga RC en serie como se
c) ͉ z ͉2 ilustra en la figura 1-19. Si R ϭ 1 MΩ y C ϭ 200
d) Iᒊ{z} pF, obtenga una expresión para vC(t), el voltaje a
través del capacitor.

e) Iᒊ{z*} 1.22 Encuentre los fasores de las siguientes fun-
1.17* Encuentre los números complejos t ϭ z1 ciones de tiempo:
ϩ z2 y s ϭ z1 Ϫ z2, ambos en forma polar, con ca-
da uno de los siguientes pares: a) v(t) ϭ 3 cos(vt Ϫ π͞3) (V)
a) z1 ϭ 2 ϩ j3 y z2 ϭ 1 Ϫ j2
b) z1 ϭ 3 y z2 ϭ Ϫ j3 b) v(t) ϭ 12 sen(vt ϩ π͞4) (V)
c) z1 ϭ 3l_3_0_° y z2 ϭ 3lϪ_3_0_°
d)DRO z1 ϭ 3l_3_0_° y z2 ϭ 3lϪ_1_50_° c) i(x, t) ϭ 2eϪ3x sen(vt ϩ π͞6) (A)

1.18 Los números complejos z1 y z2 están dados d)DRO i(t) ϭ Ϫ2 cos(vt ϩ 3π͞4) (A)
por las siguientes expresiones:
e) i(t) ϭ 4sen(vt ϩ π͞3) ϩ 3cos(vt Ϫ π͞6) (A)
a) Determine el producto z1z2 en forma polar.
b) Determine el producto z1z2* en forma polar. 1.23* Encuentre las funciones sinusoidales de
c)DRO Determine el producto z1͞z2 en forma polar. tiempo instantáneas correspondientes a los siguien-
MM tes fasores:
MM a) Vϳ ϭ Ϫ5e jπ͞3 (V)
CC b) Vϳ ϭ j6e Ϫjπ͞4 (V)
CC c) ~I ϭ (6 ϩ j8) (A)
d)DRO ~I ϭ Ϫ3 ϩ j2 (A)
e) ~I ϭ j (A)
f) ~I ϭ 2e jπ͞6 (V)

PROBLEMAS 39

1.24 Un circuito RLC en serie está conectado a

un generador con un voltaje vs(t) ϭ V0 cos(vt ϩ
π͞3) (V).

a) Escriba la ecuación de voltaje para la
trayectoria cerrada en función de la corriente
i(t), R, L, C y vs(t).

b) Obtenga la ecuación en dominio fasorial co-
rrespondiente.

c) Resuelva la ecuación pfaasroaroiablte~In. er una expre-
sión para la corriente

1.25-1.29 Problemas adicionales resueltos y so-CM
luciones completas en .DRO

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0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15
0.38 0.37 0.35
0.09 0.4 0.39 0.36 0.16
100 90 80 70 0.34
0.7
0.08 0.41 110 0.8 0.2 1.2 60 0.17
0.9 1.4 0.33
1.0 0.4
(+jB/Yo)
0.07 CAPA0C.4I2TIVE12S0USCEPTANCE0.6 1.6 0.18
0.41330 0.5 0.4 1.8 0.32
o), OR 0.3 2.0 50

0.44 0.06 0.19 0.31 2C a p í t u l o

0.1 0.46 0.2 Líneas
0.2 REACTANCE1C50OMPONEN0T.4(5+0j.X10/450Z 0.3 de transmisión
0.3
0.4 40
3.0
0.6
4.0
0.04 5.0 0.21
0.29
> SWR Circle 0.8
30
1.0
ó

1G6E0N0.E4R7ATOR INDUCTIVE 1.2 0.22
1.4 0.28 20
1.6 1.0
TOWARD 0.2 1.8 0.27 0.23 0.26 0.25 0.24 0.27
0.48 0.4 2.0 ANGLE
0.6
WAVELENGTHS 0.8 10 OF 0.24 0.25 0.26
0.49 20
170 50 REFLECTION

> 0.287

ó 0.1 0.5 3.0 10
0.2 0.6 4.0 20
0.0 0.7 5.0 50 COEFFICIENT
0.0 0.8
± 180 0.9
1.0

<ó RESISTANCE COMPONENT (R/Zo), OR CONDUCTANCE COMPONENT (G/Yo) 10
0.2
LOAD 20
0.49 50 IN
TOWARD
-170 0.1 0.4 A DEGREE0S.23
0.2 0.6
0.48 0.3 (-jB/Yo) 0.8 0.28
<ó0.4W7A -V1E6L0ENGTHS -20 0.22
SUSCEPTANCE B 1.0 3.0

0.46 0.04 0.8 4.0 0.29
-150 1.0 5.0 0.21
INDUCTIVE
-30

0.45 0.6
0.05
0.3
-140 0.2
X/Zo), OR
0.4 0.08 -40
0.43
0.44 0.06 0.37 0.38 0.19 0.31
COMPONEN-T13(0-.0j07 0.13 0.12
0.5 -120 1.6 0.32
REACTANCE -90 1.8 0.18
0.6 CAPACITIVE 2.0 -50
0.2
-110 0.09 0.42 0.7 1.2 0.34 0.33
0.8 0.4 1.4 0.16 0.17
0.9
1.0 0.35 -60
0.1 0.41 0.39 0.36 0.15
0.11 0.14
0.4 -100 -70 0.100
-80

0.387

1.8
2.0

2-1 Consideraciones generales
2-2 Modelo de elemento concentrado
2-3 Ecuaciones de línea de transmisión
2-4 Propagación de ondas en una línea de transmisión

A 2-5 Línea de transmisión sin pérdidas

2-6 Impedancia de entrada de la línea sin pérdidas
2-7 Casos especiales de la línea sin pérdidas
2-8 Flujo de potencia en una línea de transmisión sin pérdidas
2-9 La carta de Smith
2-10 Acoplamiento de impedancia
2-11 Transitorios en líneas de transmisión

1.6

2-1 Consideraciones generales magnéticas. Tales líneas de transmisión incluyen
cables telefónicos, cables coaxiales que transportan
En la mayoría de los planes de estudio de inge- audio e información de video en aparatos de TV o
niería eléctrica, el estudio de la teoría electromagné- datos digitales a monitores de computadora y fibras
tica tiene por requisito uno o más cursos de circui- ópticas que transportan ondas luminosas para la
tos eléctricos. En este libro utilizaremos este ante- transmisión de datos a muy altas velocidades. En
cedente para construir un puente entre la teoría de esencia, una línea de transmisión es una red de
circuitos y la teoría electromagnética. El puente dos puertos, cada uno de los cuales se compone
está integrado por las líneas de transmisión, el tema de dos terminales, como se ilustra en la figura 2-1.
de este capítulo. Modelando la línea de transmisión Uno de los puertos es el extremo emisor y el otro
en la forma de un circuito equivalente, se pueden es el extremo receptor. La fuente conectada a su
utilizar las leyes del voltaje y corriente de Kirch- extremo emisor puede ser cualquier circuito con un
hoff para desarrollar ecuaciones de onda cuyas so- voltaje de salida, tal como un transmisor de radar,
luciones permiten comprender la propagación de un amplificador o una terminal de computadora
ondas, las ondas estacionarias y la transferencia que opera en el modo de transmisión. Según la
de potencia. El conocimiento de estos conceptos fa- teoría de circuitos, cualquier fuente como ésa puede
cilita la presentación del material en capítulos pos- representarse por un circuito generador y su equi-
teriores. valente de Thévenin, que consiste en un voltaje
de generador Vg en serie con una resistencia de
Aunque la familia de líneas de transmisión generador Rg, como se muestra en la figura 2-1.
abarca todas las estructuras y medios que sirven El voltaje de generador puede consistir en pulsos
para transferir energía o información entre dos digitales, una señal sinusoidal variable con el
puntos, incluidas las fibras nerviosas en el cuerpo tiempo modulada, o cualquier otra forma de onda
humano, las ondas acústicas en los fluidos y las de señal. En el caso de señales de CA, el circuito
ondas de presión mecánicas en los sólidos, el trata- generador está representado por un fasor de voltaje
miento en este capítulo se enfocará en las líneas de ϳVg y una impedancia Zg.
transmisión utilizadas para guiar señales electro-

Rg A B

+ Puerto de Línea de transmisión Puerto de RL
extremo extremo
Vg emisor receptor

– AЈ

Circuito generador BЈ
Circuito de carga

Figura 2-1: Una línea de transmisión es una red de dos puertos que conecta un circuito generador en el extre-
mo emisor a una carga en el extremo receptor.

42 CAPÍTULO 2 LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

El circuito conectado al extremo receptor de la lante, el factor determinante es la razón entre la
línea de transmisión se llama circuito de carga, o longitud l y la longitud de onda λ de la onda que
simplemente carga. Ésta puede ser una antena en se propaga por la línea de transmisión entre AAЈ y
el caso de un radar, una terminal de computadora BBЈ). Si el voltaje del generador es cosenoidal en
operando en el modo receptor, las terminales de el tiempo, entonces el voltaje a través de las ter-
entrada de un amplificador o cualquier circuito minales de entrada AAЈ es
de salida cuyas terminales de entrada se represen-
ten por una resistencia de carga equivalente RL o VAAЈ ϭ Vg(t) ϭ V0 cos vt (V), (2.1)
una impedancia de carga ZL en el caso de CA.
donde v ϭ 2πf es la frecuencia angular y si se su-
2-1.1 La función de la longitud de onda pone que la corriente que fluye a través de los
alambres viaja a la velocidad de la luz, c ϭ 3 ϫ
En circuitos eléctricos de baja frecuencia, en ge- 108 m/s, entonces el voltaje entre las terminales de
neral se utilizan alambres para conectar los ele- salida BBЈ tendrá que estar retrasado con respecto
mentos del circuito en la configuración deseada. a aquél entre AAЈ con un tiempo de retraso l͞c.
En el circuito que se ilustra en la figura 2-2, por
ejemplo, el generador está conectado a una carga Por lo tanto, suponiendo que no hay pérdidas óh-
RC simple mediante un par de alambres. En vista
de la definición expuesta en los párrafos prece- micas significativas en la línea de transmisión,
dentes de lo que constituye una línea de transmi-
sión, se plantea la siguiente pregunta: ¿El par de VBBЈ(t) ϭ VAAЈ(t Ϫ l͞c)
alambres entre las terminales AAЈ y las terminales
BBЈ es una línea de transmisión? Si lo es, ¿por qué ϭ V0 cos[v(t Ϫ l͞c)] (V). (2.2)
es importante? Después de todo, casi siempre se
resuelve para la corriente presente en el circuito y Compare VBBЈ con VAAЈ cuando t ϭ 0 en un circui-
el voltaje a través de sus elementos sin atender a to electrónico de ultra baja frecuencia que opera a
los alambres que los conectan. La respuesta a es- una frecuencia f ϭ 1 kHz. Para una longitud de
ta pregunta es sí; en realidad el par de alambres alambre típica l ϭ 5 cm, las ecuaciones (2.1) y
constituye una línea de transmisión, pero el im- (2.2) dan VAAЈ ϭ V0 y VBBЈ ϭ V0 cos(2 π f l͞c) ϭ
pacto de ésta en la corriente y en los voltajes pre- 0.999999999998 V0. Por lo tanto, en la práctica, la
sentes en el circuito depende de la longitud de la longitud de la línea de transmisión puede ignorarse
línea l y la frecuencia f de la interrupción de señal y la terminal AAЈ se trata como idéntica a BBЈ. Por
provista por el generador. (Como se verá más ade- otra parte, si la línea hubiera sido un cable telefó-
nico de 20 km de largo que transporta una señal
Ai B de voz de 1 kHz, entonces el mismo cálculo habría
conducido a VBBЈ ϭ 0.91V0. El factor determinante
+ + es la magnitud de vl͞c. A partir de la ecuación
(1.27), la velocidad de propagación up de una onda
viajera está relacionada con la frecuencia de osci-
lación f y la longitud de onda λ mediante

+ R up ϭ f λ (m/s). (2.3)
Vg C
VAAЈ Línea de transmisión VBBЈ En el caso presente, up ϭ c. Por consiguiente, el
– factor de fase es

– –
BЈ
AЈ
radianes (2.4)
l
Cuando l͞λ es muy pequeña, los efectos de la lí-
Figura 2-2: Generador conectado a un circuito RC nea de transmisión pueden ignorarse, pero cuando
mediante una línea de transmisión de longitud l. l͞λ տ 0.01, será necesario tener en cuenta no sólo

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2.1 CONSIDERACIONES GENERALES 43

Línea sin dispersión nificativos y tienen que incorporarse en el diseño
global del circuito.
Línea dispersora corta
2-1.2 Modos de propagación
Línea dispersora larga
En la figura 2-4 aparecen algunos ejemplos de ti-
Figura 2-3: Una línea no dispersora no distorsio- pos comunes de líneas de transmisión. Las líneas
na las señales que pasan a través de ella sin importar de transmisión se clasifican en dos tipos básicos:
su longitud, en tanto que una línea dispersora dis-
torsiona la forma de los pulsos de entrada porque • Líneas de transmisión transversales electro-
los diferentes componentes de frecuencia se pro- magnéticas (TEM, por sus siglas en inglés):
pagan a diferentes velocidades. El grado de distor- Las ondas que se propagan a lo largo de estas
sión es proporcional a la longitud de la línea dis- líneas se caracterizan por campos eléctricos
persora. y magnéticos que son totalmente transversa-
les a la dirección de propagación. Este modo
el desplazamiento de fase asociado con el retraso, de propagación se conoce como modo TEM.
sino también la presencia de señales reflejadas Un buen ejemplo es la línea coaxial que se
que la carga hizo rebotar hacia el generador. Tam- ilustra en la figura 2-5; las líneas de campo
bién habrá que considerar la pérdida de potencia y eléctrico están en la dirección radial entre
los efectos dispersores. Una línea de transmisión los conductores interno y externo, el campo
dispersora es una en la cual la velocidad de onda magnético forma círculos alrededor del con-
no es constante como una función de la frecuencia ductor interno y, por consiguiente, ninguno
f. Esto significa que la forma de un pulso rectan- tiene componentes a lo largo de la línea (la
gular, que, según el análisis de Fourier se compo- dirección de propagación de la onda). Otras lí-
ne de muchas ondas de diferentes frecuencias, se neas de transmisión TEM incluyen la línea de
distorsionará conforme viaja por la línea porque dos conductores y la línea de placas paralelas,
sus diferentes componentes de frecuencia no se que se representan en la figura 2-4. Aunque
propagarán a la misma velocidad (figura 2-3). La los campos presentes en una línea de micro-
preservación de la forma del pulso es muy impor- franja no se apegan a la definición exacta de
tante en la transmisión de datos de alta veloci- un modo TEM, los componentes de campo no
dad, tanto entre las terminales como en circuitos transversales son suficientemente pequeños
integrados de alta velocidad en los que los proce- en comparación con los componentes trans-
sos de diseño y fabricación de la línea de transmi- versales como para ignorarse, lo cual permi-
sión son una parte integral del proceso de diseño te la inclusión de líneas de microfranja en la
de circuitos integrados. A 10 GHz, por ejemplo, la clase TEM. Una característica sobresaliente
longitud de onda λ ϭ 3 cm en el aire es del orden común entre las líneas TEM es que se compo-
de 1 cm en un material semiconductor. Por consi- nen de dos superficies conductoras paralelas.
guiente, incluso los tramos de conexión entre dis-
positivos del orden de milímetros llegan a ser sig- • Líneas de transmisión de alto orden: Las
ondas que se propagan a lo largo de estas lí-
neas tienen por lo menos un componente de
campo significativo en la dirección de propa-
gación. Las guías de ondas conductoras hue-
cas, las barras dieléctricas y las fibras ópticas
pertenecen a esta clase de líneas.

En este capítulo sólo se tratarán las líneas de
transmisión en modo TEM. Esto es porque se re-

44 CAPÍTULO 2 LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

metal metal

2b w
2a
2a
separador dieléctrico d d
(a) Línea coaxial separador dieléctrico
(b) Línea de dos alambres
(c) Línea de placas paralelas

metal conductor de tira de metal
w

separador dieléctrico d
(d) Línea de tiras
plano de tierra metálico
separador dieléctrico
(e) Línea de microtiras

Líneas de transmisión TEM

metal

metal

(f) Guía de onda rectangular Capas plano de tierra metálico
dieléctricas separador dieléctrico
concéntricas
(h) Guía de onda coplanar
(g) Fibra óptica

Líneas de transmisión de alto orden

Figura 2-4: Algunos ejemplos de líneas de transmisión transversales electromagnéticas (TEM) y de alto orden.

quiere menos rigor matemático en el tratamiento dos ecuaciones rectoras conocidas como las ecua-
de esta clase de líneas que el que se requiere en el ciones del telegrafista. Al combinarlas, se obtie-
tratamiento de ondas caracterizadas por modos de nen ecuaciones de onda para el voltaje y la co-
alto orden y, además, porque las líneas TEM se uti- rriente en cualquier punto de la línea. La solución
lizan con mayor frecuencia en la práctica. El tra- de las ecuaciones de onda en el caso de estado es-
tamiento se inicia representando la línea de trans- table sinusoidal conduce a un conjunto de fórmu-
misión en función de un modelo de circuito de las que sirven para resolver una amplia variedad
elemento concentrado y luego se aplican las leyes de problemas prácticos. En la parte final de este
del voltaje y corriente de Kirchhoff para obtener capítulo se introduce una técnica gráfica conocida

2.2 MODELO DE ELEMENTO CONCENTRADO 45

Líneas de campo magnético
Líneas de campo eléctrico

Rg Línea coaxial RL
Carga
+
Vg

–
Generador

Sección transversal

Figura 2-5: En una línea coaxial, las líneas de campo eléctrico están en la dirección radial entre los conducto-
res interno y externo, y el campo magnético forma círculos alrededor del conductor interno.

como carta de Smith, la cual facilita la resolución con una longitud ¢z [figura 2-6(b)] y luego repre-
de muchos problemas de líneas de transmisión sin sentando cada sección por un circuito equivalente,
tener que realizar cálculos laboriosos que impli- como se ilustra en la figura 2-6(c). Esta represen-
can números complejos. tación, que se conoce como modelo de circuito de
elementos concentrados, consta de cuatro elemen-
2-2 Modelo de elemento concentrado tos básicos, que de aquí en adelante se llamarán
parámetros de línea de transmisión y que son:
Cuando se traza un esquema de un circuito electró-
nico, se utilizan símbolos específicos para represen- RЈ: La resistencia combinada de ambos conduc-
tar resistores, capacitores, inductores y elementos tores por unidad de longitud, en Ω/m.
similares. En cada caso, el símbolo representa la
funcionalidad del dispositivo, en lugar de su for- LЈ: La inductancia combinada de ambos conduc-
ma, tamaño u otros atributos. Se hará lo mismo tores por unidad de longitud, en H/m.
con respecto a las líneas de transmisión; una lí-
nea de transmisión se representará mediante una GЈ: La conductancia del medio aislante por uni-
configuración de alambres paralelos, como se dad de longitud, en S/m, y
muestra en la figura 2-6(a), sin importar la forma
específica de la línea considerada. Así, la figura CЈ: La capacitancia de los dos conductores por
2-6(a) podría representar una línea coaxial, una lí- unidad de longitud, en F/m.
nea de dos alambres o cualquier otra línea TEM.
Si bien los cuatro parámetros de línea tienen expre-
Recurriendo de nuevo a nuestro conocimiento siones diferentes para distintos tipos y dimensiones
de circuitos electrónicos, cuando se analiza un cir- de líneas de transmisión, el modelo equivalente
cuito que contiene un transistor, la funcionalidad representado en la figura 2-6(c) es igualmente
de éste se representa con un circuito equivalente aplicable a todas las líneas de transmisión carac-
compuesto de fuentes, resistores y capacitores. Se terizadas por propagación de ondas en modo TEM.
aplicará el mismo método a la línea de transmi- El superíndice marcado con el signo (Ј) se utiliza
sión orientándola a lo largo de la dirección z, sub- como recordatorio de que los parámetros de línea
dividiéndola en secciones diferenciales, cada una son cantidades diferenciales cuyas unidades se
dan por unidad de longitud.

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46 CAPÍTULO 2 LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

(a) Representación de alambres paralelos
Δz Δz Δz Δz

(b) Secciones diferenciales, cada una de Δz de largo

RЈΔz LЈΔz RЈΔz LЈΔz RЈΔz LЈΔz RЈΔz LЈΔz

GЈΔz CЈΔz GЈΔz CЈΔz GЈΔz CЈΔz GЈΔz CЈΔz

Δz Δz Δz Δz

(c) Cada sección está representada por un circuito equivalente

Figura 2-6: Sin atender a su forma real, una línea de transmisión está representada por la configuración de dos
alambres paralelos que se ilustra en a). Para analizar las relaciones de voltaje y corriente, la línea se subdivide
en secciones diferenciales pequeñas en b), cada una de las cuales está representada entonces por un circuito
equivalente en c).

En la tabla 2-1 se dan expresiones para los pa- Línea coaxial [figura 2-4(a)]:
rámetros de línea RЈ, LЈ, GЈ y CЈ para los tres ti-
pos de líneas de transmisión TEM ilustradas en los a ϭ radio externo del conductor interno, m
incisos a) a c) de la figura 2-4. Para cada una de b ϭ radio interno del conductor externo, m
estas líneas, las expresiones son funciones de dos
juegos de parámetros: 1. parámetros geométricos Línea de dos alambres [figura 2-4(b)]:
que definen las dimensiones de sección transver-
sal de la línea dada y 2. parámetros constitutivos a ϭ radio de cada alambre, m
electromagnéticos característicos de los materia- d ϭ separación entre los centros de los alam-
les de los cuales están hechos los conductores y el
material aislante entre ellos. Los parámetros geo- bres, m
métricos pertinentes son los siguientes:
Línea de placas paralelas [figura 2-4(c)]:

w ϭ ancho de cada placa, m
d ϭ espesor del aislante entre las placas, m

2.2 MODELO DE ELEMENTO CONCENTRADO 47

Tabla 2-1: Parámetros de línea de transmisión RЈ, LЈ, GЈ y CЈ para tres tipos de líneas.

Parámetro Coaxial Dos alambres Placas paralelas Unidad

R Rs 1ϩ1 Rs 2R s /m
2π ab πa w H/m
S/m
L m m (d/2a) ϩ (d/ 2a)2 1 md
2π ln(b/a) π ln w

G 2πs πs sw
d
ln(b/a) ln (d/ 2a) ϩ (d/ 2a)2 1

C 2πe πe ew F/m

ln(b/a) ln (d/ 2a) ϩ (d/ 2a)2 1 d

Notas: 1. Remítase a la figura 2.4 para definiciones de dimensiones. 2. m, e y s pertenecen al ma-

terial aislante entre los conductores. 3. 4. mc y sc pertenecen a los conductores.

5. Si (d͞2a)2 1, entonces C(d͞2a) ϩ D Ӎ ln(d͞a).

Los parámetros constitutivos son válidos para disponibles otros modelos equivalentes y son igual-
las tres líneas y consisten en dos grupos: mc y sc mente aplicables. Sin embargo, todos estos mode-
son la permeabilidad magnética y la conductivi- los conducen exactamente al mismo conjunto de
dad eléctrica de los conductores y e, m y s son la ecuaciones del telegrafista, a partir de las cuales
permitividad eléctrica, la permeabilidad magnéti- se obtendrán todos los resultados posteriores. Por
ca y la conductividad eléctrica del material aislan- consiguiente, sólo se examinará el modelo descri-
te que separa los conductores. El apéndice B con- to en la figura 2-6(c) en el presente tratamiento. El
tiene valores tabulados de estos parámetros cons- modelo consiste en dos series de elementos, RЈ y
titutivos para varios tipos de materiales. Para los LЈ y dos elementos en derivación, GЈ y CЈ. Con el
propósitos del presente capítulo, no hay que preo- fin de dar una explicación física del modelo de
cuparse de las derivaciones responsables de las elementos concentrados, consideremos una peque-
expresiones incluidas en la tabla 2-1. Las formu- ña sección de una línea coaxial, como la que se ob-
laciones necesarias para calcular RЈ, LЈ, GЈ y CЈ serva en la figura 2-7. La línea consiste en un con-
estarán disponibles en capítulos posteriores para ductor interno de radio a separado de un cilindro
el caso general de cualquier configuración de dos conductor externo de radio b por un material con
conductores. permitividad e, permeabilidad m y conductividad
s. Los dos conductores metálicos están hechos de
El modelo de elementos concentrados que se un material con conductividad sc y permeabilidad
ilustra en la figura 2-6(c) representa los procesos mc. Cuando se conecta una fuente de voltaje entre
físicos asociados con las corrientes y voltajes en los dos conductores en el extremo emisor de la lí-
cualquier línea de transmisión TEM. También están

48 CAPÍTULO 2 LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

Conductores sc ϭ q o un material de alta conductividad de
(mc, sc) manera que (f mc͞sc) 1, Rs tiende a cero, al
igual que RЈ.
b
A continuación, se examina la inductancia por
a unidad de longitud LЈ. La aplicación de la ley de
Material aislante Ampere en el capítulo 5 a la definición de induc-
tancia conduce a la siguiente expresión [ecuación
(e, m, s) (5.99)] para la inductancia por unidad de longitud
de una línea coaxial:
Figura 2-7: Sección transversal de una línea coa-
(2.7)
xial con un conductor interno de radio a y un con-
La conductancia en derivación por unidad de
ductor externo de radio b. Los conductores tienen longitud GЈ explica el flujo de corriente entre los
permeabilidad magnética mc y conductividad sc, conductores externo e interno, que es posible gra-
y el material de separación entre ellos tiene una cias a la conductividad del material s del aislante.
permitividad e, permeabilidad m y conductividad s. Precisamente porque el flujo de corriente es de un
conductor al otro que GЈ es un elemento en deriva-
nea, fluirán corrientes a través de los conductores, ción en el modelo de elementos concentrados. Su
principalmente a lo largo de la superficie externa expresión está dada por la ecuación (4.76) como
del conductor interno y la superficie interna del
conductor externo. (2.8)

La resistencia de la línea RЈ da cuenta de la re- Si el material que separa los conductores interno
sistencia combinada por unidad de longitud de los y externo es un dieléctrico perfecto con s ϭ 0,
conductores interno y externo. La expresión para entonces GЈ ϭ 0.
RЈ se obtiene en el capítulo 7, en la ecuación
(7.96): El parámetro en el último renglón de la lista es
la capacitancia por unidad de longitud CЈ. Cuando
(2.5) se colocan cargas iguales y opuestas en dos con-
ductores cualesquiera que no están en contacto, se
donde Rs representa la resistencia superficial de inducirá una diferencia de voltaje entre ellos. La
los conductores y se conoce como resistencia in- capacitancia se define como la razón entre la car-
trínseca y está dada por la ecuación (7.92a) como ga y la diferencia de voltaje. Para la línea coaxial,
CЈ está dada por la ecuación (4.117) como
(2.6)
(2.9)
La resistencia intrínseca depende no sólo de las
propiedades del material de los conductores (sc y Todas las líneas de transmisión TEM comparten
mc), sino también de la frecuencia f de la onda que las siguientes relaciones útiles:
viaja por la línea. Para un conductor perfecto con
LЈCЈ ϭ me, (2.10)

y

(2.11)

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2.3 ECUACIONES DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN 49

Si el medio aislante entre los conductores es ai- 2-3 Ecuaciones de línea de transmisión
re, la línea de transmisión se llama línea aérea
(por ejemplo, línea aérea coaxial o línea aérea de En general, una línea de transmisión se conecta a
dos conductores). Para una línea aérea, e ϭ e0 ϭ una fuente en uno de sus extremos y a una carga
8.854 ϫ 10Ϫ12 F/m, m ϭ m0 ϭ 4π ϫ 10Ϫ7 H/m, en el otro. Sin embargo, antes de considerar el cir-
s ϭ 0 y GЈ ϭ 0. cuito completo habrá que desarrollar ecuaciones
que describan el voltaje a través de la línea de
PREGUNTAS DE REPASO transmisión y la corriente transportada por ésta
como una función del tiempo t y la posición espa-
2.1 ¿Qué es una línea de transmisión? ¿Cuándo cial z. Con el modelo de elementos concentrados
se deberán considerar los efectos de la línea de descrito en la figura 2-6(c), se inicia considerando
transmisión? una longitud diferencial ¢z como se muestra en la
figura 2-8. Las cantidades v(z, t) e i(z, t) denotan
2.2 ¿Cuál es la diferencia entre líneas de trans- el voltaje y la corriente instantáneos en el extremo
misión dispersoras y no dispersoras? ¿Cuál es su izquierdo de la sección diferencial (nodo N) y, de
importancia práctica? forma similar, v(z ϩ ¢z, t) e i(z ϩ ¢z, t) denotan
las mismas cantidades en el extremo derecho (no-
2.3 ¿Qué constituye una línea de transmisión do N ϩ 1). La aplicación de la ley del voltaje de
TEM? Kirchhoff explica la caída de voltaje a través de la
resistencia en serie RЈ¢z e inductancia LЈ¢z:
2.4 ¿Para qué sirve un modelo de circuito de
elementos concentrados? ¿Cómo están relaciona- (2.12)
dos los parámetros de línea RЈ, LЈ, GЈ y CЈ con las
propiedades físicas y electromagnéticas constitu-
tivas de la línea de transmisión?

EJERCICIO 2.1 Utilice la tabla 2-1 para calcular N i(z, t) N+1 i(z+Δz, t)
los parámetros de línea de una línea aérea de dos + L'Δz +
conductores que están separados por una distan-
cia de 2 cm; cada uno mide 1 mm de radio. Los R'Δz
alambres se consideran conductores perfectos con
sc ϭ q. C M v(z , t) G'Δz C'Δz v(z + Δz, t)
CM
Respuesta: RЈ ϭ 0, LЈ ϭ 1.20 (mH/m), GЈ ϭ 0, ––
CЈ ϭ 9.29 (pF/m). (Véase )DRO Δz

EJERCICIO 2.2 Calcule los parámetros de línea de Figura 2-8: Circuito equivalente de una longitud
transmisión a 1 MHz para una línea aérea coaxial diferencial ¢z de una línea de transmisión de dos
rígida; el diámetro del conductor interno es de 0.6 conductores.
cm y el diámetro del conductor externo, de 1.2
cm. Los conductores son de cobre [véase el apén-
dice B para mc y sc de cobre].

Respuesta: RЈ ϭ 2.08 ϫ 10Ϫ2 (Ω/m), LЈ ϭ 0.14
(mH/m), GЈ ϭ 0, CЈ ϭ 80.3 (pF/m). (Véase )DRO

50 CAPÍTULO 2 LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

Al dividir todos los términos entre ¢z y reorde- (2.14) y (2.16) y al utilizar la propiedad de la ecua-
nándolos, se obtiene ción (1.62) de que Ѩ͞Ѩt en el dominio del tiempo
equivale a multiplicar por jv en el dominio faso-
rial, se obtiene el siguiente par de ecuaciones:

(2.13) (2.18a)

En el límite ¢z S 0, la ecuación (2.13) llega a ser (2.18b)
una ecuación diferencial:
Éstas son las ecuaciones del telegrafista en forma
(2.14) fasorial.

De igual forma, la aplicación de la ley de la co- 2-4 Propagación de ondas
rriente de Kirchhoff en el nodo N ϩ 1 en la figu- en una línea de transmisión
ra 2-8 conduce a
Las dos ecuaciones acopladas de primer orden de
(2.15) las ecuaciones (2.18a) y (2.18b) se combinan para
dar dos ecuaciones de onda no acopladas de segun-
Al dividir todos los términos entre ¢z y al tomar do orden, una para ϳV(z) y otra para I˜(z). La ecuación
el límite conforme ¢z S 0, la ecuación (2.15) da de onda para ϳV(z) se deriva diferenciando ambos
una segunda ecuación diferencial, lados de la ecuación (2.18a) con respecto a z, lo
que da

(2.16) (2.19)

Las ecuaciones diferenciales de primer orden de las y al sustituir la ecuación (2.18b) en la ecuación
ecuaciones (2.14) y (2.16) son la forma del dominio (2.19) para dI˜(z)͞dz, la ecuación (2.19) se vuelve
del tiempo de las ecuaciones de línea de transmi-
sión, llamadas ecuaciones del telegrafista. (2.20)

Con excepción de la última sección, el interés o
primordial en este capítulo radica en las condicio-
nes de estado estable sinusoidal. Con esta finalidad, (2.21)
se utilizarán fasores con la notación de referencia
coseno como se describió en la sección 1-6. Por lo
tanto, se definen

v(z, t) ϭ Re[ϳV(z)e jvt], (2.17a)

i(z, t) ϭ Re[I˜(z)e jvt], (2.17b) donde

donde ϳV(z) e I˜(z) son cantidades fasoriales, cada una (2.22)
de las cuales puede ser real o compleja. Al sustituir
las ecuaciones (2.17a) y (2.17b) en las ecuaciones

2.4 PROPAGACIÓN DE ONDAS EN UNA LÍNEA DE TRANSMISIÓN 51

La aplicación de los mismos pasos a las ecuacio- donde, como se demostrará más adelante, el tér-
nes (2.18a) y (2.18b), pero en orden inverso, con- mino eϪgz representa propagación de onda en la
duce a dirección ϩz y el término egz representa propaga-
ción de onda en la dirección Ϫz. La verificación
(2.23) de que éstas son en realidad soluciones válidas es
fácil de realizar sustituyendo las expresiones de
Las ecuaciones (2.21) y (2.23) son las ecuaciones las ecuaciones (2.26a) y (2.26b), así como tam-
de onda para ϳV(z) e I˜(z), respectivamente y g es bién sus segundas derivadas, en las ecuaciones
la constante de propagación compleja de la línea (2.21) y (2.23). En su forma presente, las solucio-
de transmisión. Como tal, g consta de una parte nes de las ecuaciones (2.26a) y (2.26b) contienen
real a, llamada constante de atenuación de la lí- cuatro incógnitas, las amplitudes (V0ϩ, I0ϩ) de la
nea con unidades de Np/m, y una parte imaginaria onda que se propaga en la dirección ϩz y (V0Ϫ, I0Ϫ)
b, llamada constante de fase de la línea con uni- de la onda que se propaga en la dirección Ϫz. Las
dades de rad/m. Por lo tanto, amplitudes de onda de corriente I0ϩ e I0Ϫ son fáci-
les de relacionar con las amplitudes de onda de
g ϭ a ϩ jb (2.24) voltaje V0ϩ y V0Ϫ, respectivamente, utilizando la
ecuación (2.26a) en la ecuación (2.18a) y luego
con resolviendo para la corriente I˜(z) para obtener el
resultado
(Np/m).
(2.25a) (2.27)

(rad/m). La comparación de cada término con el término
(2.25b) correspondiente en la expresión de la ecuación
(2.26b) permite concluir que
En las ecuaciones (2.25a) y (2.25b) se eligen los
valores de la raíz cuadrada que den valores positi- (2.28)
vos para a y b. Para líneas de transmisión pasivas,
a es cero o positiva. La mayoría de las líneas de donde
transmisión, y todas las demás consideradas en
este capítulo, son del tipo pasivo. La región acti- (2.29)
va de un láser es un ejemplo de una línea de trans-
misión activa con a negativa. se define como la impedancia característica de la
línea. Hay que hacer notar que Z0 es igual a la ra-
Las ecuaciones de onda presentadas como las zón entre la amplitud de voltaje y la amplitud de
ecuaciones (2.21) y (2.23) tienen soluciones de corriente para cada una de las ondas viajeras in-
onda viajera de la siguiente forma: dividualmente (añadiendo un signo menos en el
caso de la onda que se propaga en la dirección
ϳV(z) ϭ V0ϩeϪgz ϩ V0Ϫegz (V), (2.26a) Ϫz), pero no es igual a la razón entre el voltaje
I˜(z) ϭ I0ϩeϪgz ϩ I0Ϫegz (A), (2.26b) total ϳV(z) y la corriente total I˜(z), a menos que
una de las dos ondas esté ausente. En función de
Z0, la ecuación (2.27) se reescribe en la forma

(2.30)

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52 CAPÍTULO 2 LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

En secciones posteriores, se aplicarán condiciones (a ϭ 0) y luego extenderán los resultados al caso
límite en la carga y en extremo emisor de la línea más general de líneas de transmisión con pérdi-
de transmisión con el fin de obtener expresiones das (a 0). De hecho, se dedicarán las siguientes
para las amplitudes de onda restantes V0ϩ y V0Ϫ. En secciones al estudio de las líneas de transmisión
general, cada una será una cantidad compleja com- sin pérdidas porque en la práctica es posible dise-
puesta de una magnitud y un ángulo de fase. Por ñar muchas líneas para que exhiban característi-
lo tanto, cas de pérdida muy baja.

V0ϩ ϭ ͉V0ϩ͉e jfϩ, (2.31a) Ejemplo 2-1 Línea aérea
V0Ϫ ϭ ͉V0Ϫ͉e jfϪ. (2.31b) Una línea aérea es una línea de transmisión en

Al sustituir estas definiciones en la ecuación la cual el aire es el material dieléctrico presente
(2.26a) y reemplazando g con la ecuación (2.24), entre los dos conductores, por lo que GЈ ϭ 0. Ade-
se regresa al dominio del tiempo para obtener una más, los conductores están hechos de un material
expresión para v(z, t), el voltaje instantáneo en la con alta conductividad, de manera que RЈ Ӎ 0. Pa-
línea: ra una línea aérea con impedancia característica
de 50 Ω y constante de fase de 20 rad/m a 700
v(z, t) ϭ Re(ϳV (z)e jvt MHz, determine la inductancia y la capacitancia
por metro de la línea.
ϭ Re[(V0ϩeϪgz ϩ V0Ϫegz)e jvt] (2.32)
ϭ Re[͉V0ϩ͉e jfϩe jvteϪ(a ϩ jb)z Solución: Se dan las siguientes cantidades:
Z0 ϭ 50 Ω, b ϭ 20 rad/m
ϩ ͉V0Ϫ͉e jfϪe jvte(a ϩ jb)z] f ϭ 700 MHz ϭ 7 ϫ 108 Hz.
ϭ ͉V0ϩ͉eϪaz cos(vt Ϫ bz ϩ fϩ)
Con RЈ ϭ GЈ ϭ 0, las ecuaciones (2.25b) y (2.29)
ϩ ͉V0Ϫ͉eaz cos(vt ϩ bz ϩ fϪ) se reducen a

Por el repaso de ondas viajeras en la sección 1-3, La razón está dada por
se reconoce el primer término de la ecuación (2.32)
como una onda que viaja en la dirección ϩz (los o
coeficientes de t y z tienen signos opuestos) y el
segundo término como una onda que viaja en la
dirección Ϫz (los coeficientes de t y z son positi-
vos), y ambas se propagan con una velocidad de
fase up determinada mediante la ecuación (1.30):

(2.33)

El factor eϪaz explica la atenuación de la onda
que se propaga en la dirección ϩz y el factor eaz
da cuenta de la atenuación de la onda que se propa-
ga en la dirección Ϫz. La presencia de dos ondas
en la línea que se propagan en direcciones opues-
tas produce una onda estacionaria. Para compren-
der desde el punto de vista físico lo que esto signi-
fica, primero se examinará el caso relativamente
simple pero importante de una línea sin pérdidas

2.5 LÍNEA DE TRANSMISIÓN CON PÉRDIDAS 53

Como lo que significa que

■ aϭ0 (línea sin pérdidas),
(línea sin pérdidas). (2.35)
EJERCICIO 2.3 Verifique que la ecuación (2.26 a)
sí es una solución de la ecuación de onda presen- La aplicación de las condiciones de línea sin pér-
tada como la ecuación (2.21). (Véase )DRO didas a la ecuación (2.29) da la impedancia carac-
terística como
EJERCICIO 2.4 Una línea aérea de dos conducto-
Cres tiene los siguientes parámetros: RЈ ϭ 0.404 M (línea sin pérdidas) (2.36)
C(mΩ/m), LЈ ϭ 2.0 (mHm), GЈ ϭ 0 y CЈ ϭ 5.56M
(pF/m). Para operación a 5 kHz, determine a) la que ahora es un número real. Con la expresión de
constante de atenuación a, b) la constante de fase línea sin pérdidas para b de la ecuación (2.35), se
b, c) la velocidad de fase up y d) la impedancia ca- obtienen las siguientes relaciones para la longitud
racterística Z0. (Véase )DRO de onda λ y la velocidad de fase up:
Respuestas: a) a ϭ 3.37 ϫ 10Ϫ7 (Np/m), b) b ϭ
1.05 ϫ 10Ϫ4 (rad/m), c) up ϭ 3.0 ϫ 108 (m/s), d) (2.37)
Z0 ϭ (600 Ϫ j2.0) Ω ϭ 600 lϪ__0._19_° Ω.
(2.38)

2-5 Línea de transmisión con pérdidas Al utilizar la relación de la ecuación (2.10), com-
partida por todas las líneas de transmisión TEM,
De acuerdo con la sección precedente, una línea las ecuaciones (2.35) y (2.38) se reescriben como
de transmisión se caracteriza por dos propiedades
fundamentales, su constante de propagación g y (2.39)
su impedancia característica Z0, ambas especifica-
das por la frecuencia angular v y los parámetros (2.40)
RЈ, LЈ, GЈ y CЈ. En muchas situaciones prácticas,
la línea de transmisión se diseña para reducir al donde u y e son, respectivamente, la permeabi-
mínimo las pérdidas óhmicas seleccionando
conductores con conductividades muy altas y ma- lidad magnética y la permitividad eléctrica del
teriales dieléctricos (que separan los conductores)
con conductividades insignificantes. Por consi- material aislante que separa los conductores. Los
guiente, RЈ y GЈ asumen valores muy pequeños
de tal forma que RЈ vLЈ y GЈ vCЈ. Estas materiales utilizados para este propósito, en gene-
condiciones de línea sin pérdidas permiten hacer ral, se caracterizan por una permeabilidad m ϭ m0,
RЈ ϭ GЈ ϭ 0 en la ecuación (2.22), la cual da en- donde m0 ϭ 4π ϫ 10Ϫ7 H/m es la permeabilidad
tonces el resultado del espacio libre y la permitividad casi siempre se

(2.34) especifica en función de la permitividad relativa

er definida como

er ϭ e͞e0, (2.41)

54 CAPÍTULO 2 LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

donde e0 ϭ 8.854 ϫ 10Ϫ12 F/m Ӎ (1͞36π) ϫ 10Ϫ9 didas y para varios tipos de líneas sin pérdidas.
F/m es la permitividad de espacio libre. Por con- Las expresiones para las líneas sin pérdidas se ba-
siguiente, la ecuación (2.40) se transforma en san en las ecuaciones para LЈ y CЈ de la tabla 2-1.

(2.42) EJERCICIO 2.5 Para una línea de transmisión sin C M
pérdidas, λ ϭ 20.7 cm a 1 GHz. Determine el va- CM
donde c ϭ 1͞√mෆ0ෆe0 ϭ 3 ϫ 108 m/s es la veloci- lor de er del material aislante.
dad de la luz en el vacío. Si el material aislante en-
tre los conductores es aire, entonces er ϭ 1 y up ϭ Respuesta: er ϭ 2.1 (Véase )DRO
c. En vista de la ecuación (2.41) y de la relación
entre λ y up establecida en la ecuación (2.33), la EJERCICIO 2.6 Una línea de transmisión sin pér-
longitud de onda será didas utiliza un material dieléctrico aislante con er
ϭ 4. Si su capacitancia es CЈ ϭ 10 (pF/m), en-
(2.43) cuentre a) la velocidad de fase up, b) la inductan-
cia de línea LЈ y c) la impedancia característica Z0.
donde λ0 ϭ c͞f es la longitud de onda en aire co-
rrespondiente a una frecuencia f. Observe que Respuestas: a) up ϭ 1.5 ϫ 108 (m/s), b) LЈ ϭ
debido a que tanto up como λ dependen de er, la 4.45 (mH/m), c) Z0 ϭ 667.1 Ω.(Véase )DRO
selección del tipo de material aislante utilizado
en una línea de transmisión dependerá no sólo de 2-5.1 Coeficiente de reflexión de voltaje
sus propiedades mecánicas, sino también de sus
propiedades eléctricas. Con g ϭ jb para la línea sin pérdidas, las expre-
siones de las ecuaciones (2.26a) y (2.30) para el
Cuando la velocidad de fase de un medio es in- voltaje y corriente totales en la línea son
dependiente de la frecuencia, el medio se conoce
como no dispersor, que claramente es el caso para ϳV (z) ϭ V0ϩeϪjbz ϩ V0Ϫe jbz, (2.44a)
una línea de transmisión TEM sin pérdidas. Ésta
es una característica importante para la transmisión (2.44b)
de datos digitales en forma de pulsos. Un pulso
rectangular o una serie de pulsos consta de muchos Estas expresiones contienen dos incógnitas, V0ϩ
componentes de Fourier con diferentes frecuencias. y V0Ϫ, las amplitudes de voltaje de las ondas inci-
Si la velocidad de fase es la misma para todos dente y reflejada, respectivamente. Para determi-
los componentes de frecuencia (o al menos, para los nar V0ϩ y V0Ϫ se tiene que considerar la línea de
dominantes), la forma de los pulsos no cambiará transmisión sin pérdidas en el contexto del cir-
conforme éstos viajan por la línea. En contraste, la
forma de un pulso que se propaga en un medio cuito completo, incluido un circuito generador,
dispersor se distorsiona progresivamente y la lon-
gitud de los pulsos se incrementa (se alarga) como en sus terminales de entrada y una carga en sus
una función de la distancia en el medio, con lo
cual se impone una limitación en la velocidad de terminales de salida, como se muestra en la fi-
transferencia de datos máxima (relacionada con la
longitud de los pulsos individuales y la separación gura 2-9. La línea, de longitud l, termina en una
entre pulsos adyacentes) que es posible transmitir
a través del medio sin pérdida de información. impedancia de carga arbitraria ZL. Por conve-
niencia, la referencia de la coordenada espa-
La tabla 2-2 da una lista de expresiones para g, cial z se elige de manera que z ϭ 0 corresponda
Z0 y up para el caso general de una línea con pér-
a la ubicación de la carga. En el extremo emi-
sor con z ϭ Ϫl, la línea está conectada a una
fuente de voltaje sinusoidal con fasor Vϳg y una
impedancia interna Zg. En la carga, el voltaje

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2.5 LÍNEA DE TRANSMISIÓN CON PÉRDIDAS

Tabla 2-2: Parámetros característicos de líneas de transmisión.

Constante Velocidad Impedancia
de propagación de fase característica
up
g ϭ a ϩ jb Z0

Caso general

Sin pérdidas

Coaxial sin pérdidas

Dos conductores
sin pérdidas

Placas paralela
sin pérdidas

Notas: 1. m ϭ m0, e ϭ ere0, c ϭ 1͞√mෆ0ෆe0 y √mෆ0͞ෆe0 Ӎ (120p) Ω, donde er es la permitividad relativa del material ais-
lante. 2. Para línea coaxial, a y b son los radios de los conductores interno y externo. 3. Para una línea de dos con-
ductores, a ϭ radio del conductor y d ϭ separación entre los centros de los conductores. 4. Para línea de placas pa-
ralelas, w ϭ ancho de placas y d ϭ separación entre placas.

fasorial a través de ella, ϳV L y la corriente faso- Al utilizar estas expresiones en la ecuación (2.45),
rial, I˜L, están relacionados por la impedancia de se obtiene el resultado:
carga ZL como sigue:
(2.47)
(2.45)

El voltaje ϳV L es igual al voltaje total en la línea Resolviendo para V0Ϫ se obtiene
ϳV(z) dado por la ecuación (2.44a), e I˜L es igual a

I˜(z) de acuerdo con la ecuación (2.44b), ambos

evaluados con z ϭ 0: (2.48)

ϳV L ϭ ϳV (zϭ0) ϭ V0ϩ ϩ V0Ϫ, (2.46a)

(2.46b) La razón de la amplitud entre la onda de voltaje
reflejada y la amplitud de la onda de voltaje inci-
dente en la carga se conoce como coeficiente de

56 CAPÍTULO 2 LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

I~i Línea de cual ZL ϭ R ϩ jvL. Por consiguiente, en general,
ϩ transmisión ≠ también es complejo:

Zg ϩ I~L
ZL
ϩ ≠ ϭ ͉≠͉e jur, (2.50)
V~g
V~i Z0 V~L donde ͉≠͉ es la magnitud de ≠ y ur es su ángulo de
Ϫ fase. Observe que ͉≠͉ Յ 1.

ϪϪ Se dice que una carga está acoplada a la línea

Generador Carga si ZL ϭ Z0 porque en ese caso no habrá reflexión
z ϭ Ϫl zϭ0 por parte de la carga (≠ ϭ 0 y V0Ϫ ϭ 0). Por otra
parte, cuando la carga es un circuito abierto (ZL ϭ
Figura 2-9: Línea de transmisión de longitud l q), ≠ ϭ 1 y V0Ϫ ϭ V0ϩ y cuando está en cortocir-
cuito (ZL ϭ 0), ≠ ϭ Ϫ1 y V0Ϫ ϭ ϪV0ϩ.
conectada por un extremo a un circuito generador
Ejemplo 2-2 Coeficiente de reflexión
y por el otro a una carga ZL. La carga se localiza de una carga RC en serie
en z ϭ 0 y las terminales del generador están en
z ϭ Ϫl. Una línea de transmisión de 100 Ω está conec-
tada a una carga compuesta de un resistor de 50 Ω
reflexión de voltaje ≠. Con la ecuación (2.48), es- en serie con un capacitor de 10 pF. Determine el
ta definición da el resultado coeficiente de reflexión en la carga para una señal
de 100 MHz.

Solución: Las siguientes cantidades se dan en la
[figura 2.10]:

(sin dimensión), (2.49a) RL ϭ 50 Ω, CL ϭ 10 pF ϭ 10Ϫ11 F,
Z0 ϭ 100 Ω, f ϭ 100 MHz ϭ 108 Hz.
y en vista de la ecuación (2.28), la razón de las
amplitudes de corriente es La impedancia de carga es

ZL ϭ RL Ϫ j͞vCL

(2.49b) Línea de transmisión A

Se observa que ≠ está regido por un solo paráme- Z0 = 100 Ω RL 50 Ω
tro, la impedancia de carga ZL, normalizada a la CL 10 pF
impedancia característica de la línea Z0. Como A'
indica la ecuación (2.36), Z0 de una línea sin pér-
didas es un número real. Sin embargo, ZL es, en Figura 2-10: Carga RC (ejemplo 2.5.1).
general, una cantidad compleja, como en el caso
de un circuito RL en serie, por ejemplo, para el