Fundamentos de Aplicaciones en Electromagnetismo - Ulaby - 5ed

4.4 LEY DE GAUSS 161
y ds ϭRˆ ds. Aplicando la ley de Gauss se obtiene
Carga total
en

Q D • ds (4.31)

Superficie gaussiana S Al resolver para DR y luego insertando el resul-
que encierra el volumen tado en la ecuación (4.30) se obtiene la siguiente
expresión para el campo eléctrico E inducido por
Figura 4-8: La ley de Gauss establece que el flu- una carga puntual aislada en un medio con permi-
jo dirigido hacia fuera de D a través de una super- tividad e:
ficie es proporcional a la carga encerrada Q.
(4.32)
R
q R^ Ésta es idéntica a la ecuación (4.13) obtenida con
la ley de Coulomb. En este caso simple de una car-
ds ga puntual aislada, no importa si se utiliza la ley
D de Coulomb o la ley de Gauss para obtener la ex-
presión de E. Sin embargo, sí importa qué método
Superficie gaussiana se siga cuando se trata de múltiples cargas puntua-
les o distribuciones de carga continuas. Aun cuando
Figura 4-9: Campo eléctrico D producido por una se puede utilizar la ley de Coulomb con el fin de
carga puntual q. determinar E para cualquier distribución de carga,
la ley de Gauss es más fácil de aplicar que la ley
la ley de Gauss para determinar D producido por una de Coulomb, pero su utilidad está limitada a dis-
sola carga aislada q construyendo una superficie tribuciones de carga simétricas.
gaussiana esférica cerrada S de radio arbitrario R
centrada en q, como se muestra en la figura 4-9. Por La ley de Gauss, como aparece en la ecuación
consideraciones de simetría, suponiendo que q es (4.29), ofrece un método conveniente para determi-
positiva, la dirección de D debe ser radialmente nar la densidad de flujo electrostático D cuando la
hacia fuera a lo largo del vector unitarioRˆ y DR, la distribución de carga posee propiedades de sime-
magnitud de D, debe ser la misma en todos los tría que permiten hacer suposiciones válidas sobre
puntos de la superficie gaussiana S. Por lo tanto, las variaciones de la magnitud y dirección de D co-
en cualquier punto de la superficie, definido por el mo una función de localización espacial. Como en
vector de posición R, todos los puntos sobre la superficie la dirección de
ds es la normal a la superficie dirigida hacia fue-
D(R) ϭ Rˆ DR, (4.30) ra, sólo el componente normal de D en la superfi-
cie contribuye a la integral en la ecuación (4.29).
Para aplicar con éxito la ley de Gauss, la superficie
S debería elegirse de forma que, por consideracio-
nes de simetría, la magnitud de D sea una constan-
te y su dirección sea normal o tangencial en todos
los puntos de cada subsuperficie de S (la superficie
de un cubo, por ejemplo, tiene seis subsuperficies).
Estos aspectos se ilustran en el ejemplo 4-4.

162 CAPÍTULO 4 ELECTROSTÁTICA

Ejemplo 4-6 Campo eléctrico de una línea lo que da por resultado
infinita de carga
(4.33)
Use la ley de Gauss para obtener una expresión
de E en el espacio libre producido por una línea Observe que la ecuación (4.33) es aplicable a cual-
infinitamente larga de carga de densidad uniforme
␳l a lo largo del eje z. quier línea infinita de carga, sin importar su ubica-

Solución: Como la línea de carga es infinita en ción y dirección, en tanto rˆ se defina apropiada-
extensión y se encuentra a lo largo del eje z, las
consideraciones de simetría dictan que D debe ser mente como el vector de distancia radial de la línea
radial a la dirección rˆ, y que no debe depender de
f o z. Por lo tanto, D ϭ rˆ Dr. En la figura 4-10, se de carga al punto de observación (es decir, rˆ es
construye una superficie gaussiana cilíndrica de
radio r, concéntrica en torno la línea de carga. La perpendicular a la línea de carga). ■
carga total contenida dentro del cilindro es Q ϭ
␳lh, donde h es la altura del cilindro. Como D PREGUNTAS DE REPASO
ocurre a lo largo de rˆ, las superficies superior e in-
ferior del cilindro no contribuyen a la integral de 4.7 Explique la ley de Gauss. ¿En qué circuns-
superficie en el lado izquierdo de la ecuación tancias es útil?
(4.29) y sólo la superficie lateral lo hace. Por con-
siguiente, 4.8 ¿Cómo se debe elegir una superficie gaus-
siana?

4.9 ¿Cuándo es razonable tratar una distribu-
ción de carga como carga puntual?

o 2πhDrr ϭ rlh, EJERCICIO 4.7 Cada una de dos líneas infinitas de C MM
h carga paralelas al eje z y localizadas en x ϭ 1 y x CCM
z ϭ ᎐1 transporta una densidad de carga rl. Deter-
línea uniforme mine E en un punto arbitrario en el espacio libre
de carga rl en torno al eje y.

r Respuesta: E ϭ yˆ rl y / [πe0( y2 ϩ 1)]. (Véase )DRO

ds EJERCICIO 4.8 Un delgado cascarón esférico de
D radio a porta una densidad de carga superficial
uniforme rs. A partir de la ley de Gauss determi-
superficie gaussiana ne E.

Figura 4-10: Superficie gaussiana alrededor de Respuesta: E ϭ 0, con R Ͻ a;
una línea de carga infinitamente larga (ejemplo 4-4). E ϭ Rˆ rs a2 ͞ (eR2) con R Ͼ a. (Véase )DRO

EJERCICIO 4.9 Un volumen esférico de radio a
contiene una densidad de carga volumétrica uni-
forme rv. A partir de la ley de Gauss determine D
con a) R Յ a y b) R Ն a.

Respuesta: a) D ϭ Rˆ rv R͞3,
b) D ϭ Rˆ rv a3͞(3R2). (Véase )DRO

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4.5 POTENCIAL ESCALAR ELÉCTRICO 163

4.5 Potencial escalar eléctrico Para mover q sin aceleración (a una velocidad cons-
tante), es necesario que la fuerza neta que actúa en
En circuitos eléctricos, se trabaja con voltajes y la carga sea cero, es decir, que Fext ϩ Fe ϭ 0, o
corrientes. El voltaje V entre dos puntos del cir-
cuito representa la cantidad de trabajo o energía Fext ϭ ϪFe ϭ ϪqE (4.34)
potencial, que se requiere para mover una carga
unitaria entre los dos puntos. En realidad, el térmi- El trabajo realizado, o energía consumida, al mo-
no “voltaje” es una versión abreviada de “potencial ver cualquier objeto una distancia diferencial vec-
de voltaje” y es lo mismo que potencial eléctrico. torial dl por la influencia de una fuerza externa
Aunque, en general, cuando se resuelve un pro- Fext es
blema de circuito no se consideran los campos
eléctricos presentes en él, en realidad es la exis- dW ϭ Fext и dl ϭ ϪqE и dl (J). (4.35)
tencia de un campo eléctrico entre dos puntos lo
que da lugar a la diferencia de voltaje entre ellos, El trabajo, o energía, se mide en joules (J). En el
tal como sucede a través de un resistor o capacitor. presente caso, si la carga se mueve una distancia
La relación entre el campo eléctrico E y el poten- dy a lo largo de yˆ, entonces
cial eléctrico V es el tema de esta sección.
dW ϭ Ϫq(ϪyˆE) и yˆ dy ϭ q E dy (4.36)

4-5.1 Potencial eléctrico en función La energía potencial eléctrica diferencial dW por
del campo eléctrico unidad de carga se llama potencial eléctrico dife-
rencial (o voltaje diferencial) dV. Esto es,
Primero se considera el caso simple de una carga
positiva q en un campo eléctrico uniforme E ϭ (4.37)
Ϫyˆ E , paralelo a la dirección ᎐y, como se ilustra
en la figura 4-11. La presencia del campo E ejer- La unidad de V es el volt (V) con 1V 1 J/C, y
ce una fuerza Fe ϭ qE sobre la carga en la direc- como V se mide en volts, el campo eléctrico se ex-
ción y negativa. Si se intenta mover la carga a lo presa en volts por metro (V/m).
largo de la dirección y positiva (contra la fuerza
Fe), se tendrá que aplicar una fuerza externa Fext La diferencia de potencial entre dos puntos P2
para contrarrestar Fe, lo que requiere consumo de y P1 (figura 4-12) se obtiene integrando la ecuación
energía. (4.37) a lo largo de cualquier trayectoria entre
ellos. Es decir,

y (4.38)
o
dy E
q x (4.39)

E

Figura 4-11: El trabajo realizado al mover una donde V1 y V2 son potenciales eléctricos en los
carga q una distancia dy en contra del campo eléc- puntos P1 y P2, respectivamente. El resultado de
trico E es dW ϭ qEdy. la integral lineal del lado derecho de la ecuación

(4.39) deberá ser independiente de la trayectoria