Fundamentos de Aplicaciones en Electromagnetismo - Ulaby - 5ed

3.5 REFLECTIVIDAD Y TRANSMISIVIDAD 347

Pi La reflectividad R (llamada también reflectancia
Medio 1 (e1, m1) Pr en óptica) se define como la razón entre la poten-
ui ur
A cos u r cia reflejada y la potencia incidente. La reflectivi-

⇒ dad en el caso de polarización perpendicular es
A cos u
entonces
i

⇒

A (8.76)
ut
donde se utilizó el hecho de que ur ϭ uI, de acuer-
⇒ do con la ley de reflexión de Snell. La razón de las
amplitudes de campo eléctrico incidente y refleja-
Medio 2 (e2, m2) A cos u t do, ͉E r›0͞E i›0͉, es simplemente igual a la magni-
Pt tud del coeficiente de reflexión Ω›. Por consi-
guiente,
Figura 8-18: Reflexión y transmisión de un haz
circular incidente que ilumina un área A localizada R› ϭ ͉Ω›͉2, (8.77)
en la superficie de contacto.
y, asimismo, en el caso de polarización paralela

(8.78)

sección transversal de los haces incidente, refleja- La transmisividad T (o transmitancia en óptica)
do y transmitido son se define como la razón entre la potencia transmi-
tida y la potencia incidente:
Ai ϭ cos ui, (8.74a)
Ar ϭ cos ur, (8.74b) (8.79a)
At ϭ cos ut, (8.74c) (8.79b)

y las potencias promedio correspondientes trans-
portadas por los haces son

(8.73a) Las ondas incidente, reflejada y transmitida no
(8.73b) tienen que obedecer las leyes de conservación de
(8.73c) campo eléctrico, campo magnético o densidad
de potencia, pero sí tienen que obedecer la ley de
conservación de potencia. En realidad, en mu-
chos casos el campo eléctrico transmitido es más

348 CAPÍTULO 8 REFLEXIÓN, TRANSMISIÓN Y GUÍAS DE ONDA

Tabla 8-2: Expresiones para Γ, t, R, y T en el caso de una onda que incide desde un medio
con impedancia intrínseca h1 en un medio con impedancia intrínseca h2. Los ángulos ui y ut
son los ángulos de incidencia y transmisión, respectivamente.

Incidencia normal Polarización Polarización

Propiedad ui = ut = 0 perpendicular paralela

Coeficiente de Γ ϭ h2 Ϫ h1 Γ⊥ ϭ h2 cos ui Ϫ h1 cos ut Γ|| ϭ h2 cos utϪ h 1 cos ui
reflexión h2 ϩ h1 h2 cos ui ϩ h1 cos ut h2 cos ut ϩ h1 cos ui

Coeficiente de t ϭ 2h2 t⊥ ϭ 2h2 cos ui t || ϭ h2 2h2 cos ui ui
transmisión h2 ϩ h1 h2 cos ui ϩ h1 cos ut cos ut ϩ h1 cos
Relación entre
Γy t t ϭ1ϩΓ t⊥ ϭ 1 ϩ Γ ⊥ t || ϭ (1 ϩ Γ ||) cos ui
cos ut

Reflectividad R ϭ |Γ|2 R⊥ ϭ | Γ⊥|2 R || ϭ | Γ|| |2

T ϭ | t|2 h1 h1 cos ut h1 cos ut
h2 h2 cos ui h2 cos ui
( )Transmisividad T⊥ ϭ | t⊥ | 2 T || ϭ | t ||| 2

Relación entre R y T T ϭ 1 Ϫ R T⊥ ϭ 1 Ϫ R⊥ T || ϭ 1 Ϫ R ||

Notas: (1) sen ut = Ί m1e1͞m2e2 sen ui; (2) h1 = Ί m1͞e1; (3) h2 = Ίm2͞e2; (4) para medios no mag-
néticos, h2͞h1 = n1͞n2.

grande que el incidente. La conservación de po- o
tencia requiere que la potencia incidente sea
igual a la suma de las potencias reflejada y trans- (8.83a)
mitida. Es decir, para polarización perpendicu- (8.83b)
lar, por ejemplo,

Pi ϭ Pr ϩ P›t , (8.80)
› ›

o

(8.81) La figura 8-19 muestra curvas de (R‘, T‘) en fun-
ción de ui para una superficie de contacto aire-vi-
El uso de las ecuaciones (8.76), (8.79a) y (8.79b) drio. Observe que la suma de R‘ y T‘ siempre es
conduce a igual a 1, como establece la ecuación (8.82b).

R› ϩ T› ϭ 1, (8.82a) También se observa que, al ángulo de Brewster
uB, R‘ ϭ 0 y T‘ ϭ 1.
R‘ ϩ T‘ ϭ 1, (8.82b)
La tabla 8-2 ofrece un resumen de las expresio-
nes generales para Ω, τ, R y T tanto para inciden-
cia normal como oblicua.

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8.6 GUÍA DE ONDAS 349

Reflectividad R|| y 1 T| | Entonces, las potencias reflejada y transmitida
transmisividad T|| son
ui
Aire ■
0.5 Vidrio n = 1.5
8-6 Guía de ondas
uB R||
En el examen de la propagación de ondas a lo
0 0 30 60 90 largo de líneas de transmisión en el capítulo 2, las
líneas de transmisión se dividieron en dos grupos:
ui (grados) aquellas que soportan modos transversales elec-
tromagnéticos (TEM) y aquellas que no. Las inte-
Figura 8-19: Curvas angulares para (R‘ y T‘) en una grantes del grupo TEM (figura 2-1.2), que incluyen
superficie de contacto aire-vidrio. la línea coaxial, la línea de dos alambres y la línea
de placas paralelas, entre otras, satisfacen el re-
Ejemplo 8-7 Haz de luz querimiento TEM de que E, H y la dirección de
propagación siempre son ortogonales entre sí.
Un haz de luz de 5 W con sección transversal Para el otro grupo, que se conoce como líneas de
circular viaja a través del aire e incide en una fron- transmisión de alto orden, ya sea E o H puede
tera plana de un medio dieléctrico con índice de ser ortogonal a la dirección de propagación kˆ, pe-
refracción de 5. Si el ángulo de incidencia es de 60° ro no ambos al mismo tiempo. Así, por lo menos
y la onda incidente está paralelamente polarizada, un componente de E o H siempre apunta en la di-
determine el ángulo de transmisión y las potencias rección de kˆ. Si E es transversal a kˆ, entonces se
contenidas en los haces reflejado y transmitido. conoce como modo transversal eléctrico (TE) y si
H es transversal a kˆ, se conoce como modo trans-
Solución: De acuerdo con la ecuación (8.56), versal magnético (TM).

o Entre las líneas de transmisión de alto orden,
las dos más comúnmente utilizadas son la fibra
ut ϭ 10°. óptica y la guía de onda metálica. Como se seña-
ló en la sección 8-3, una onda óptica viaja a lo lar-
Con e2͞e1 ϭ n22͞n12 ϭ (5)2 ϭ 25, los coeficientes go de la fibra en zigzag aprovechando la reflexión
de reflexión para polarización paralela se calculan total interna en la frontera entre el núcleo (inter-
con la ecuación (8.68) como sigue: no) y el revestimiento (externo), como se ilustra
en la figura 8-20(a). Otra forma de obtener re-
flexión interna en la frontera del núcleo es que la
superficie esté hecha de un material conductor. En
las condiciones apropiadas, sobre las cuales nos
detendremos más adelante, una onda excitada en
el interior de un tubo conductor hueco, como las
guías de onda circulares o rectangulares mostra-
das en las figuras 8-20(b) y (c), experimentará el
mismo mecanismo que en la fibra óptica, y el re-
sultado será una propagación exitosa a lo largo del

350 CAPÍTULO 8 REFLEXIÓN, TRANSMISIÓN Y GUÍAS DE ONDA

u2u3 nc Guía de onda
ui
nf Núcleo ui y
nc Revestimiento x
n0
a
(a) Fibra óptica b

Metal Sensor

Hueca o rellena 0z
de dieléctrico

Línea coaxial
(a) Acoplador coaxial a guía de onda

y=b Campo eléctrico
Onda EM
Hueca o rellena
Metal de dieléctrico

y=0 z

(c) Guía de onda rectangular (b) Vista de sección transversal en x = a͞2

Figura 8-20: La onda viaja gracias a reflexiones su- Figura 8-21: El conductor interno un cable coaxial
cesivas en a) una fibra óptica, b) una guía de onda puede excitar una onda EM en la guía de onda.
metálica circular y c) una guía de onda metálica rec-
tangular. conductor externo conectado a la guía de onda
metálica, el conductor interno del cable coaxial
tubo. La mayoría de las aplicaciones de guía de sale por un pequeño agujero en el espacio interno
ondas demandan guías llenas de aire, pero en al- de la guía de onda (sin tocar la superficie conduc-
gunos casos, la guía de onda puede estar rellena tora). Las líneas de campo eléctrico variante en el
de un material dieléctrico para modificar su ve- tiempo que se extienden entre el conductor inter-
locidad de propagación de onda, o bien, puede no saliente y la superficie interna de la guía pro-
bombearse al vacío para eliminar las moléculas veen la excitación necesaria para la generación de
de aire e incrementar así su capacidad de mane- ondas, con lo cual se transfiere una señal de la lí-
jo de potencia. nea coaxial a la guía. A la inversa, el conductor
central actúa como sensor, al acoplar una señal de
La figura 8-21 ilustra cómo se conecta un cable la guía de onda al cable coaxial.
coaxial a una guía de onda rectangular. Con su
Para formas de transmisión guiadas a frecuen-
cias por debajo de 30 GHz, el cable coaxial es, sin
duda, el medio más ampliamente utilizado. Sin
embargo, a frecuencias más altas, el cable coaxial
tiene varias limitaciones: a) para mantener la res-

8.7 RELACIONES GENERALES PARA E Y H 351

tricción del modo TEM, se tiene que reducir el ta- go de xˆ y yˆ, mas no a lo largo de zˆ. En contraste,
maño de sus conductores interno y externo para H tendrá un componente en la dirección de zˆ y
satisfacer un cierto requerimiento de tamaño con puede tener componentes a lo largo de xˆ o yˆ, o am-
respecto a la longitud de onda, lo que los hace bos. Lo inverso es cierto en el caso TM, o sea, que
más difíciles de fabricar; b) la sección transver- sólo E tiene un componente a lo largo de zˆ.
sal más pequeña corresponde a un menor nivel de
capacidad de manejo de potencia (limitada por la El procedimiento de solución constará de cua-
ruptura dieléctrica) y c) la atenuación provocada tro pasos:
por pérdidas dieléctricas se incrementa al aumen-
tar la frecuencia. Por todas estas razones, se han 1. Se manipularán las ecuaciones de Maxwell
utilizado guías de onda metálicas como estructura
de guía alternativas de las líneas coaxiales para para desarrollar expresiones generales para
muchas aplicaciones de radar y comunicación que
operan a frecuencias dentro del intervalo de 5-100 los componentes de campo tangenciales en
GHz, en particular aquellas que requieren la trans- yfasHϳozr.iaCl uϳEaxn,dϳEoys,eHϳexspyeHϳciyaleinzafnuna-l
misión de altos niveles de potencia de radiofre- el dominio
cuencia (RF). Aun cuando se han utilizado guías ción de ϳE z
de onda con secciones transversales circulares en
algunos sistemas de microondas, la forma rectan- caso TE, las expresiones se volverán funcio-
gular ha sido la geometría predominante. nes de Hϳz únicamente y lo inverso es cierto

8-7 Relaciones generales para E y H en el caso TM.

El propósito de las dos secciones siguientes es de- 2. Se resolverán las ecuaciones de onda homo-
ducir expresiones para E y H para los modos TE y
TM en una guía de onda rectangular y examinar géneas que se presentan con los números
sus propiedades. Se elegirá el sistema de coorde-
nadas que se ilustra en la figura 8-22, donde la di- (7.15) y (7.16) para obtener formas funcio-
rección de propagación se definió a lo largo de zˆ. nales para ϳE z (caso TM) y Hϳz (caso TE).
En el modo TE, la dirección de campo eléctrico es
transversal a la dirección de propagación. Por 3. Se utilizarán entonces las expresiones deri-
consiguiente, E puede tener componentes a lo lar- ϳE x, ϳE y,
vadas en el paso 1 para determinar
a0 Hϳx y Hϳy.

Figura 8-22: Sistema de coordenadas para guía 4. Se analizará la solución obtenida en el paso
de onda.
3 para determinar la velocidad de fase y

otras propiedades de las ondas TE y TM.

La intención de la presente sección es alcanzar
los objetivos del paso 1. Se empieza con una for-
ma general para los campos E y H en el dominio
fasorial:

(8.84a)
(8.84b)

En general, los seis componentes de ϳE y ϳH pue-

den depender de (x, y, z) y mientras aún no se co-

nozca la forma funcional de su dependencia en (x,
y), la experiencia previa sugiere que ϳE y ϳH de una

onda que viaja a lo largo de la dirección ϩz debe-
rá exhibir una dependencia en z de la forma eϪjbz,

donde b es una constante de propagación aún no

determinada de la onda en el interior de la guía.

Por consiguiente, se adoptará la forma

ϳEx(x, y, z) ϭ ϳe x(x, y) eϪjbz, (8.85)

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352 CAPÍTULO 8 REFLEXIÓN, TRANSMISIÓN Y GUÍAS DE ONDA

donde ϳe x(x, y) describe la dependencia de ϳEx(x, y, nes algebraicamente, se obtienen expresiones pa-
ra los componentes x y y de ϳE y ϳH en función de
z) en (x, y) údneicϳEamyeϳHntes.e Para todos los demás sus componentes z. Estas expresiones son
componentes implica la forma de la

ecuación (8.85). Por lo tanto,

(8.86a) (8.88a)
(8.86b) (8.88b)
(8.88c)
La notación pretende distinguir entre ϳE y Hϳ ymϳha-, (8.88d)
yúsculas, que pueden variar con (x, y, z) y ϳe

que podrán variar con (x, y) únicamente.

En un medio sin fuentes (es decir, el volumen

interno de la guía de onda) caracterizado por la

permititivad e y permeabilidad m (y conductividad

s ϭ 0), las ecuaciones del rotacional de Maxwell

se presentan como las ecuaciones (7.2b y d) con donde

J ϭ 0.

(8.87a) (8.90)
(8.87b)
y k es el número de onda de propagación sin
Al insertar las ecuaciones (8.86a y b) en las ecua- frontera antes definido como
ciones (8.87a y b), y recordando que cada una de
las ecuaciones para el rotacional en realidad se (8.91)
compone de tres ecuaciones distintas —cada una
para xˆ, yˆ y zˆ, se obtienen las siguientes relaciones: Por razones que más adelante se volverán eviden-

(8.88a) tes (en la sección 8-8), la constante kc se llama nú-

(8.88b) mero de onda de corte. De acuerdo cyoyn dlaesϳEecyuϳHa-
ciones (8.89a-d), los componentes x
(8.88c)
ahora son fáciles de determinar, mientras se co-
funcionales de ϳE z y Hϳz. En el
nozcan las formas así que todo lo que se requiere
cmoondooceTrEe, sϳEHϳz zϭy
0, inverso es cierto en el caso TM.
lo

(8.88d) 8-8 Modos TM en guías
de onda rectangulares
(8.88e)
En la sección anterior se desarrollaron expresio-
(8.88f) ncHϳeezs.aCpaoorbmateϳoEnHϳxe,rϳzEuϭyn, a0HϳesxonyleuHϳlcmiyótonoddpoaasTrMaen,ϳElfauz.ntaEcrileóanpsudenetroϳeEdzduye-
partida será la ecuación de onda homogénea pa-
Las ecuaciones (8.88a-f) incorporan el hecho de ra ϳE. Para un medio sin pérdidas caracterizado
que la diferenciación con respecto a z equivale a por una constante de propagación sin frontera k, la
multiplicar por Ϫjb. Manipulando estas ecuacio-

8.8 MODOS TM EN GUÍAS DE ONDA RECTANGULARES 353

ecuación de onda está determinada por la ecua- y

ción (7.19) como kc2 ϭ kx2 ϩ ky2 (8.99)

¥2ϳE ϩ k2ϳE ϭ 0. (8.92) Antes de proponer soluciones para las ecuaciones
(8.98a y b), se deberán considerar las restriccio-
Para satisfacer la ecuación (8.92), cada uno de sus nes que las soluciones deben satisfacer. El campo
componentes xˆ, yˆ y zˆ tiene que satisfacerse de for- eléctrico ϳE z es paralelo a las cuatro paredes de la
ma independiente. Su componente zˆ se determina guía de onda. Como E ϭ 0 en las paredes conduc-
así: toras, las condiciones de frontera requieren que
ϳE z en la cavidad de la guía de onda tienda a cero
(8.93) conforme x se aproxime a 0 y a, y conforme y tien-

Adoptando la forma funcional de la ecuación da a 0 y b (figura 8-22). Para satisfacer estas con-
(8.85), esto es, diciones de frontera, se eligen soluciones sinusoi-
dales para X(x) y Y(y) como sigue:

ϳE z(x, y, z) ϭ ϳez(x, y)eϪjbz, (8.94) ϳez ϭ (A cos kx x ϩ B sen kx x)
(C cos kyy ϩ D sen kyy)
La ecuación (8.93) se reduce a (8.100)

Las condiciones de frontera para ϳez son:

(8.95) ϳez ϭ 0 con x ϭ 0 y a, (8.101a)
ϳez ϭ 0 con y ϭ 0 y b, (8.101b)
donde k 2 es como lo define la ecuación (8.90).
c

La forma de la ecuación diferencial parcial (de- 0yA,ϭl ysa0dtiersefiqagucueiaerlrϳeefzoqϭrume0aC,enlϭaxs0ϭa.tLis0af,asscaectriisóefqnaucdiceeiróϳeenzqdϭueeϳe0Az ϭ
en
rivadas no acopladas distintas con respecto a x y ϭ

y) permite adoptar una solución producto de la

forma 0 en x ϭ a requiere:

ϳez(x, y) ϭ X(x) Y(y). (8.96)

Sustituyendo la ecuación (8.96) en la (8.95) y lue- (8.102a)
go dividiendo todos los términos entre X(x) Y(y),
se llega a: y asimismo, la satisfacción de ϳez ϭ 0 en y ϭ b re-
quiere

(8.97) (8.102b)

Para satisfacer la ecuación (8.97), cada uno de los Por consiguiente,
dos primeros términos tiene que ser igual a una
constante. Por consiguiente, las constantes de se- (8.103a)
paración kx y ky se definen de manera que donde E0 ϭ BD es una amplitud relacionada con
la intensidad de la onda en la guía. Teniendo en
(8.98a) cuenta que ϳE z ϭ 0 en el modo TM, los componen-

(8.98b)

354 CAPÍTULO 8 REFLEXIÓN, TRANSMISIÓN Y GUÍAS DE ONDA

tes transversales de ϳE y ϳH ahora pueden obtener- Vista lateral
se aplicando las ecuaciones (8.89a-d) a la ecua- Vista frontal
ción (8.103),

(8.104a) b

(8.104b) a
(a) Planos de sección transversal
(8.104c)
Campo H Campo E y
(8.104d) b

Cada combinación de los enteros m y n representa x
una solución viable, o un modo, denotado TMmn. a0
Las distribuciones de campo específicas para la (b) Vista frontal de líneas de campo
región en el interior de la guía están asociadas con
cada modo mn. La figura 8-23 ilustra las líneas de y Campo H hacia
campo E y H en el modo TM11 a través de dos sec- dentro de la página Campo E
ciones transversales diferentes de la guía.
b
De acuerdo con la solución de las ecuaciones
(8.103) y (8.104), una guía de onda rectangular z
con sección transversal (a ϫ b) puede soportar la
propagación de ondas con muchas configuracio- Campo H hacia fuera de la página
nes de campo diferentes, pero cuantizadas, que se (c) Vista lateral de líneas de campo
especifican mediante las cantidades (mπ͞a) y
(nπ͞b). La única cantidad en las expresiones de Figura 8-23: Líneas de campo eléctrico y magnético
campo que aún no se ha determinado es la cons-
tante de propagación b, contenida en la función en modo TM11 a través de dos planos de sección trans-
de propagación exponencial eϪjbz. Combinando versal.
las ecuaciones (8.90), (8.99) y (8.102), se obtiene
la siguiente expresión para b:

(TE y TM)
(8.105)

Aun cuando la expresión para b se derivó para
modos TM, es igualmente aplicable a modos TE.

El exponencial eϪjbz describe una onda que via-
ja en la dirección ϩz, pero sólo si b es real, lo

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8.8 MODOS TM EN GUÍAS DE ONDA RECTANGULARES 355

que corresponde a k Ͼ kc. Si k Ͻ kc, b se vuelve El campo eléctrico transversal está integrado
imaginaria: b ϭ Ϫja con a real, en cuyo caso por componentes ϳE x y ϳE y, de acuerdo con las
eϪjbz ϭ eϪaz. Tal condición representa una onda
evanescente, caracterizada por una amplitud que ecuaciones (8.104a y b). Para una onda que viaja
decae rápidamente con z a causa de la función de ϳE x es
atenuación eϪaz. Correspondiente a cada modo, en la dirección ϩz, el campo asociado con ecua-
especificada por valores enteros de m y n, existe Hϳy (según la regla de la mano derecha de la
una frecuencia de corte fmn a la cual b ϭ 0. Con
b ϭ 0 en la ecuación (8.105) y luego resolviendo ción (7.39a), y asimismo, el campo magnético
para f, se tiene asociado con ϳE y es ϪHϳx. Las razones obtenidas con

(TE y TM) la ecuación (8.104), constituyen la impedancia de
(8.106)
onda en la guía,

(8.109)

donde es la velocidad de fase de donde es la impedancia intrínseca

una onda TEM en un medio sin fronteras con pa- del material dieléctrico que llena la guía.

rámetros constitutivos m y e. Una onda, en un

modo dado, puede propagarse a través de la guía Ejemplo 8-8 Propiedades de modo

sólo si su frecuencia f Ͼ fmn. Una onda TM, que se propaga en una guía de
El modo con la frecuencia de corte más baja se onda rellena de un dieléctrico con permitividad
desconocida, tiene un componente de campo
conoce como el modo dominante. El modo domi- magnético que se define como

nante es TM11 entre los modos TM, y TE10 entre los
modos TE (cuya solución se presenta en la sección

8-8). Mientras que en los modos TE se permite un

valor de cero para m o n, en los modos TM no (por- Si las dimensiones de la guía son a ϭ 2b ϭ 4 cm,
que si m o n es cero, ϳE z en la ecuación (8.103) determine: a) el número de modo, b) la permitivi-
llega a ser cero y todos los demás componentes de dad relativa del material en la guía, c) la velocidad
de fase y d) la expresión para Ex.
campo también se desvanecerán).
Solución: a) Por comparación con la expresión
Combinando las ecuaciones (8.105) y (8.106), para Hϳy de la ecuación (8.104d), se deduce que el
argumento de x es (mπ/a) y que el argumento de y
b se expresa en función de fmn, es (nπ/b). Por consiguiente,

(TE y TM) (8.107)

La velocidad de fase de una onda TE o TM en
una guía de onda se determina como

(TE y TM) (8.108) las cuales dan m ϭ 1 y n ϭ 2. Por lo tanto, el mo-
do es TM12.

356 CAPÍTULO 8 REFLEXIÓN, TRANSMISIÓN Y GUÍAS DE ONDA

b) La segunda función seno en la expresión para y , se obtiene
Hy representa sen(vt Ϫ bz), lo que significa que ZTM ϭ 91.3 Ω

De ahí,

Se reformula la ecuación (8.105) con la finalidad

de obtener una expresión para er ϭ e͞e0 en fun-
ción de las otras cantidades, y se tiene

donde c es la velocidad de la luz. Insertando los PREGUNTAS DE REPASO
valores disponibles,
8.8 ¿Cuáles son las limitaciones principales pa-
c) ra los cables coaxiales a frecuencias mayores de
30 GHz?

8.9 ¿Es posible que un modo TE no tenga un
componente de campo magnético a lo largo de la
dirección de propagación?

8.10 ¿Cuál es el razonamiento para seleccionar
una solución para ϳez que implique funciones seno
y coseno?

8.11 ¿Qué es una onda evanescente?

¡que es más rápida que la velocidad de la luz! Co- EJERCICIO 8.10 Para una guía de onda ϳEcux͞aϳEdryadena
mo se explicará más adelante en la sección 8-10, con a ϭ b, ¿cuál es el valor de la razón
la velocidad de fase en una guía de onda sí puede
ser mayor que c, pero la velocidad con la cual la el modo TM11?
energía es transportada por la guía es la velocidad
de grupo ug, que nunca es mayor que c. Respuesta: 1.

d) De acuerdo con la ecuación (8.109), EJERCICIO 8.11 ¿Cuál es la frecuencia de corte
en el modo TM dominante en una guía de onda re-
La aplicación de la ecuación (8.106) da f12 ϭ 5.15 llena de un material con er ϭ 4? Las dimensiones
GHz en el modo TM12. Si se utiliza esa frecuencia de la guía de onda son a ϭ 2b ϭ 5 cm.
en la expresión para ZTM, además de f ϭ 7.5 GHz
Respuesta: Para TM11, f11 ϭ 3.35 GHz.

EJERCICIO 8.12 ¿Cuál es la magnitud de la velo-
cidad de fase de un modo TE o TM con f ϭ fmn?

Respuesta: ¡up ϭ q! [Véase la explicación en la
sección 8-10.]

8.9 MODOS TE EN UNA GUÍA DE ONDA RECTANGULAR 357

8-9 Modos TE en una guía de onda Otra diferencia entre los modos TE y TM está
rectangular asociado con la expresión para la impedancia de
onda. Para TE,
En el caso TM, en el cual la onda no tiene compo-
(8.111)
nente de campo magnético a lo largo de la direc-
ción z (es decir Hϳz ϭ 0), el tratamiento se inició En la tabla 8-3 se presenta un resumen de las ex-
presiones para varios atributos de onda de los
en la sección anterior obteniendo una solución pa- modos TE y TM. Como referencia, también se in-
ra ϳEz y luego se le utilizó cluyen las expresiones correspondientes al modo
nes para los componentes para deducir expresio- TEM.
tangenciales de ϳE y ϳH.

El caso TE sigue el mismo procedimiento básico,
ϳE z
con excepción de la inversión de los roles de y
Hϳz. Tal proceso conduce a:

(8.110a) Ejemplo 8-9 Frecuencias de corte

(8.110b) Para una guía de onda rectangular hueca con
dimensiones a ϭ 3 cm y b ϭ 2 cm, determine las
(8.110c) frecuencias de corte en todos los modos, hasta 20
GHz. ¿Dentro de qué intervalo de frecuencia so-
(8.110d) portará la guía la propagación de un solo modo
(8.110e) dominante?

y, desde luego, ϳEz ϭ 0. Las expresiones para fmn, Solución: Una guía hueca tiene m ϭ m0 y e ϭ e0.
b y uP de las ecuaciones (8.106), (8.107) y
(8.108), respectivamente, no cambian. Sin em- Por consiguiente, . La apli-
bargo, como no todos los campos se desvanecen
si m o n adopta un valor de cero, el modo TE de cación de la ecuación (8.106) da las frecuencias
menor grado es TE10 si a Ͼ b o TE01 si a Ͻ b. Se
acostumbra asignar a a la dimensión más larga, de corte mostradas en la figura 8-24, que comien-
en cuyo caso el modo TE10 siempre es el modo
dominante. zan en 5 GHz en el modo TE10. Para evitar todos
los demás modos, la frecuencia de operación de-

berá restringirse al intervalo 5-7.5 GHz.

TE11 TE02

TE10 TE01 TE20 TE21 TE30 TE31

TE12

fmn (GHz)
0 5 10 15 20

TM11 TM21 TM12 TM31

Figura 8-24: Frecuencias de corte para modos TE
y TM en una guía de onda rectangular hueca con
a ϭ 3 cm y b ϭ 2 cm (ejemplo 8-9).

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358 CAPÍTULO 8 REFLEXIÓN, TRANSMISIÓN Y GUÍAS DE ONDA

Tabla 8-3: Propiedades de onda para modos TE y TM en una guía de onda rectangular con dimensiones
a ϫ b, rellena con un material dieléctrico con parámetros constitutivos e y m. El caso TEM, mostrado
como referencia, corresponde a la propagación de ondas planas en un medio sin fronteras.

Guías de onda rectangulares Onda plana

Modos TE Modos TM Modo TEM
E~ x ϭ Ex 0eϪjbz
( ) ( ) ( )E~xϭjvmnp mp x npy eϪjb z ϭ( ) ( ) ( )E~xϪjbmp mp x np y eϪjb z
kc2 b H 0 cos a sen b kc2 a E0 cos a sen b E~ y ϭ Ey 0eϪjbz
E~z ϭ 0
ϭ( ) ( ) ( )E~yϪj v mmpH 0 senmp xcos npy eϪjb z ϭ( ) ( ) ( )E~yϪjbnpE0 sen mpx cos np y eϪjb z H~x ϭ Ϫh E~y
kc2 a a b ϭ( ) ( )E~zkc2b sen a b H~y ϭ h E~x
E~z H~z ϭ 0
ϭ0 E0 sen mp x np y eϪjbz
a b h ϭ ͱm/e
H~x ϭ ϪZ TEE~y H~x ϭ ϪZ TME~y

H~y ϭ Z TEE~x H~y ϭ Z TME~x

( ) ( )H~z ϭ H 0 cosmp x npy eϪjb z H~z ϭ 0
a cos b

Z TE ϭ h/ ͱ1 Ϫ (f c / f )2 Z TM ϭ h ͱ1 Ϫ ( f c / f )2

Propiedades comunes a los modos TE y TM

ͱ( ) ( )fcϭup0m 2ϩ n2 f c ϭ no aplicable
2 a b k ϭ vͱme
u p0 ϭ 1 /ͱme
b ϭ kͱ1 Ϫ (f c /f )2

u p ϭ Ϫvb ϭ u p0 /ͱ1 Ϫ ( f c / f )2

8-10 Velocidades de propagación puede requerir un número grande o infinito de
componentes de frecuencia, pero en la práctica,
Cuando se utiliza una onda como portadora para casi siempre es posible representar la forma de
transmitir información a través de un cierto medio onda modulada, con un alto grado de fidelidad,
o lo largo de una línea de transmisión, el mensaje con un grupo de ondas que se extienden a lo largo
de interés se codifica en la amplitud, frecuencia o de un ancho de banda relativamente angosto que
fase de la onda. Un ejemplo simple se muestra en rodea la portadora de alta frecuencia f. La veloci-
la figura 8-25, donde una onda sinusoidal de alta dad con la que la envolvente —o, de forma equi-
frecuencia f es modulada en amplitud por un pul- valente, el grupo de ondas— viaja a través del
so de forma gaussiana. La forma de la onda en c) medio se llama velocidad de grupo ug. Como tal,
es el resultado de multiplicar la forma del pulso en ug es la velocidad de la energía transportada por el
a) por la forma de la onda portadora en b). grupo de ondas y la información codificada pre-
sente en él. Dependiendo de si el medio de propa-
Mediante un análisis de Fourier, la forma de gación es dispersor o no, ug puede o no ser igual a
onda en c) equivale a la superposición de un la velocidad de fase up. En la sección 2-1.1, se
grupo de ondas sinusoidales con amplitudes y describió una “línea de transmisión dispersiva co-
frecuencias específicas. La equivalencia exacta

8.10 VELOCIDADES DE PROPAGACIÓN 359

Pulso gaussiano Portadora de función de la dependencia en la frecuencia de la
alta frecuencia velocidad de fase.

A continuación se examinarán up y ug con más
detalle. La velocidad de fase, definida como la ve-
locidad del patrón sinusoidal de la onda, se deter-
mina mediante

(8.112)

y la velocidad de grupo ug es

(a) (8.13)

Forma Aun cuando en este libro no se deducirá la ecua-
de onda de ción (8.113), es importante que se conozcan sus
amplitud propiedades en los modos TE y TM en una guía de
modulada onda metálica. Utilizando las expresiones para b
de la ecuación (8.107),
(b)
(8.114)
Figura 8-25: La forma de onda de alta frecuencia
de amplitud modulada en b) es el producto del pul- donde, como antes, up0 es la velocidad de fase
so gaussiano por la portadora de alta frecuencia si- en un medio dieléctrico sin fronteras. De acuer-
nusoidal en a). do con la ecuación (8.108) para la velocidad de
fase up,
mo una en la que la velocidad de fase no es una
función constante de frecuencia”; la consecuencia (8.115)
de ello es que la forma de un pulso transmitido a
través de ella se distorsionará progresivamente Por encima del corte (f Ͼ fmn), up Ն up0 y ug Յ up0.
conforme avanza por la línea. Los medios que so- Conforme f S q, o más precisamente, conforme
portan ondas TEM no son dispersivos. Por otra par- (fmn͞f) S 0, los modos TE y TM se aproximan al
te, una guía de onda rectangular no califica como caso TEM, en el cual up ϭ ug ϭ up0.
línea de transmisión dispersiva porque la veloci-
dad de fase de un modo TE o TM que se propaga a Una herramienta gráfica útil para describir las
través de ella es una fuerte función de frecuencia
[según la ecuación (8.108)], particularmente a fre- propiedades de propagación de un medio o línea de
cuencias próximas a la de corte fmn. Como se verá
dentro de poco, si f fmn, los modos TE y TM se transmisión es el diagrama v-b. En la figura 8-26,
vuelven aproximadamente de carácter TEM, no só-
lo en función de la disposición direccional de los la línea recta que parte del origen representa la
campos eléctrico y magnético, sino también en
relación v-b para una onda TEM que se propaga en

un medio sin fronteras (o por una línea de trans-

misión TEM). La línea TEM da una referencia con

la cual las curvas v-b de los modos TE/TM pueden

360 CAPÍTULO 8 REFLEXIÓN, TRANSMISIÓN Y GUÍAS DE ONDA

v (rad/s) de la luz, pero ug no lo hará, y puesto que ug es la
que representa el transporte real de energía, no se
TE21 y TM21 viola la afirmación de Einstein.
f21
Hasta aquí, se han descrito los campos presen-
TE11 y TM11 tes en la guía, pero aún no se ha explicado cómo
f11 zigzaguea la onda a lo largo de ella mediante re-
flexiones sucesivas. Para tal efecto, considere el
TE01 caso relativamente simple del modo TE10. Con m
f01 ϭ 1 y n ϭ 0, el único componente no cero del
campo eléctrico de la ecuación (8.110) es ϳEy.
TE10
f10 (8.116)

TEM

Utilizando la identidad sen u ϭ (e ju Ϫ eϪju)͞2j,
con cualquier argumento u, se tiene

b (rad/m)

Figura 8-26: Diagrama w-b para modos TE y TM en (8.117)
una guía de onda rectangular hueca. La línea recta co-
rresponde a la propagación en un medio sin fronteras donde se consolidaron las cantidades al multipli-
o por una línea de transmisión TEM. car los dos términos exponenciales por la constan-
te EЈ0. El primer término exponencial representa
compararse. En un lugar dado sobre la línea o cur- una onda con constante de propagación b que via-
va v-b, la razón del valor de v con el de b define ja en la dirección zЈ, donde
up ϭ v͞b, mientras que la pendiente dv͞db de la
curva en ese punto define la velocidad de grupo (8.118a)
ug. Para la línea TEM, la razón y la pendiente tie-
nen valores idénticos (por lo tanto, up ϭ ug) y la y el segundo término representa una onda que via-
línea se inicia en v ϭ 0. En contraste, la curva de ja en la dirección zЉ con
cada uno de los modos TE/TM indicados se inicia
en una frecuencia de corte propia de ese modo, (8.118b)
por debajo de la cual la guía de onda no puede so-
portar la propagación de una onda en ese modo. A En el diagrama mostrado en la figura 8-27(a), es
frecuencias próximas a la de corte, up y ug adop- evidente que la dirección zЈ forma un ángulo uЈ
tan valores muy diferentes; de hecho, en el corte con respecto a z, y que la dirección zЉ forma un
up ϭ q y ug ϭ 0. En el otro extremo del espectro ángulo uЉ ϭ ϪuЈ. Esto significa que el campo
de frecuencia, a frecuencias mucho más altas que eléctrico ϳEy (y su campo magnético asociado ϳH)
fmn, las curvas v-b de los modos TE/TM se aproxi- del modo TE10 se compone de dos ondas TEM, co-
man a la línea TEM. Es de hacerse notar que en los mo se muestra en la figura 8-27(b), que viajan en
modos TE y TM, es fácil que up exceda la rapidez la dirección ϩz zigzagueando entre las paredes