Física para ciencias e ingeniería Volumen II, 4ta Edición – Douglas C. Giancoli

TABLA A–2 Tabla trigonométrica: Valores numéricos de sen, cos, tan

Ángulo Ángulo Seno Coseno Tangente Ángulo Ángulo Seno Coseno Tangente
en en en en
0.719
grados radianes grados radianes 0.731
0.743
0° 0.000 0.000 1.000 0.000 0.803 0.755
0.820 0.766
1° 0.017 0.017 1.000 0.017 46° 0.838 0.695 1.036
47° 0.855 0.777 0.682 1.072
2° 0.035 0.035 0.999 0.035 48° 0.873 0.788 0.669 1.111
49° 0.799 0.656 1.150
3° 0.052 0.052 0.999 0.052 50° 0.890 0.809 0.643 1.192
0.908 0.819
4° 0.070 0.070 0.998 0.070 0.925 0.629 1.235
0.942 0.829 0.616 1.280
5° 0.087 0.087 0.996 0.087 0.960 0.839 0.602 1.327
0.848 0.588 1.376
6° 0.105 0.105 0.995 0.105 51° 0.977 0.857 0.574 1.428
52° 0.995 0.866
7° 0.122 0.122 0.993 0.123 53° 1.012 0.559 1.483
54° 1.030 0.875 0.545 1.540
8° 0.140 0.139 0.990 0.141 55° 1.047 0.883 0.530 1.600
0.891 0.515 1.664
9° 0.157 0.156 0.988 0.158 1.065 0.899 0.500 1.732
1.082 0.906
10° 0.175 0.174 0.985 0.176 1.100 0.485 1.804
1.117 0.914 0.469 1.881
11° 0.192 0.191 0.982 0.194 56° 1.134 0.921 0.454 1.963
57° 0.927 0.438 2.050
12° 0.209 0.208 0.978 0.213 58° 1.152 0.934 0.423 2.145
59° 1.169 0.940
13° 0.227 0.225 0.974 0.231 60° 1.187 0.407 2.246
1.204 0.946 0.391 2.356
14° 0.244 0.242 0.970 0.249 1.222 0.951 0.375 2.475
0.956 0.358 2.605
15° 0.262 0.259 0.966 0.268 1.239 0.961 0.342 2.747
1.257 0.966
16° 0.279 0.276 0.961 0.287 61° 1.274 0.326 2.904
62° 1.292 0.970 0.309 3.078
17° 0.297 0.292 0.956 0.306 63° 1.309 0.974 0.292 3.271
64° 0.978 0.276 3.487
18° 0.314 0.309 0.951 0.325 65° 1.326 0.982 0.259 3.732
1.344 0.985
19° 0.332 0.326 0.946 0.344 1.361 0.242 4.011
1.379 0.988 0.225 4.331
20° 0.349 0.342 0.940 0.364 1.396 0.990 0.208 4.705
0.993 0.191 5.145
21° 0.367 0.358 0.934 0.384 66° 1.414 0.995 0.174 5.671
67° 1.431 0.996
22° 0.384 0.375 0.927 0.404 68° 1.449 0.156 6.314
69° 1.466 0.998 0.139 7.115
23° 0.401 0.391 0.921 0.424 70° 1.484 0.999 0.122 8.144
0.999 0.105 9.514
24° 0.419 0.407 0.914 0.445 1.501 1.000 0.087 11.43
1.518 1.000
25° 0.436 0.423 0.906 0.466 1.536 0.070 14.301
1.553 0.052 19.081
26° 0.454 0.438 0.899 0.488 71° 1.571 0.035 28.636
72° 0.017 57.290
27° 0.471 0.454 0.891 0.510 73° 0.000
74° q
28° 0.489 0.469 0.883 0.532 75°

29° 0.506 0.485 0.875 0.554

30° 0.524 0.500 0.866 0.577

31° 0.541 0.515 0.857 0.601 76°
77°
32° 0.559 0.530 0.848 0.625 78°
79°
33° 0.576 0.545 0.839 0.649 80°

34° 0.593 0.559 0.829 0.675

35° 0.611 0.574 0.819 0.700

36° 0.628 0.588 0.809 0.727 81°
82°
37° 0.646 0.602 0.799 0.754 83°
84°
38° 0.663 0.616 0.788 0.781 85°

39° 0.681 0.629 0.777 0.810

40° 0.698 0.643 0.766 0.839

41° 0.716 0.656 0.755 0.869 86°
87°
42° 0.733 0.669 0.743 0.900 88°
89°
43° 0.750 0.682 0.731 0.933 90°

44° 0.768 0.695 0.719 0.966

45° 0.785 0.707 0.707 1.000

SECCIÓN A–9 Funciones e identidades trigonométricas A-5

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AP EÉND IC

B Derivadas e integrales
B–1 Derivadas: Reglas generales

(Véase también la sección 2-3).

dx = 1
dx

d [af(x)] = df (a ϭ constante)
dx a dx

d [f(x) + g(x)] = df dg
dx dx + dx

d [f(x)g(x)] = df + dg
dx dx g f dx

d [f(y)] = df dy [regla de la cadena]
dx dy dx

dx 1 si dy Z 0.
dy = dy dx

a dx b

B–2 Derivadas: Funciones particulares

da = 0 (a ϭ constante)
dx

d xn = nxn -1
dx

d sen ax = a cos ax
dx

d cos ax = –a sen ax
dx

d tan ax = a sec2 ax
dx

d ln ax = 1
dx x

d eax = aeax
dx
B–3 Integrales indefinidas:
Reglas generales

(Véase también la sección 7-3).

Ύdx = x
Ύ Ύa f(x) dx = a f(x) dx (a ϭ constante)
Ύ Ύ Ύ[f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx

A-6

Ύ Ύu dv = uv - v du (integración por partes: véase también B-6)

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B–4 Integrales indefinidas: Funciones particulares

(Se puede agregar una constante arbitraria al lado derecho de cada ecuación.)

Ύa dx = ax (a ϭ constante) Ύ dx &x 3 =
Ax2 & a2 a23x2 & a2
1 B2
+
Ύxm dx = m 1 xm +1 (m Z –1) Ύ x dx –1 3 =

Ύ sen ax dx 1 Ax2 & a2 B2 3x2 & a2
a
= – cos ax Ύsen2 ax dx x sen 2ax
2 4a
= -

Ύ cos ax dx = 1 sen ax Ύ xe–ax dx e–ax
a – a2 (ax
= + 1)
1
Ύ tan ax dx = a ln∑sec ax∑ Ύ x2e–ax dx e–ax
a3
Ύ1 = – Aa2x2 + 2ax + 2B
x
dx = ln x Ύ dx 1 tan–1 x
x2 + a2 aa
Ύeax dx 1 =
a
= eax Ύ dx 1 x - a
x2 - a2 2a x + a
Ύ dx = ln a b Ax2 7 a2B
3x2 & a2
= lnAx + 3x2 & a2B 1 a + x
2a a - x
Ύ dx = – ln a b Ax2 6 a2B
3a2 - x2
= sen–1 a x b = –cos–1 a x b si x2 Յ a2
a a

B–5 Algunas integrales definidas

Ύq = n! Ύq = p
xne–ax dx an +1 x2e–ax2 dx A 16a3

0 0

Ύq = p Ύq = 1
e–ax2 dx A 4a x3e–ax2 dx 2a2

0 0 1и 3и 5 p (2n - 1) p

Ύq = 1 Ύq = 2n +1an Aa
xe–ax2 dx 2a x2ne–ax2 dx

0 0

B–6 Integración por partes

En ocasiones una integral difícil se puede simplificar mediante la elección cuidadosa de las funciones u y v en la identidad:

Ύ Ύu dv = uv - v du. [Integración por partes]

Esta identidad se deduce a partir de la propiedad de las derivadas

d (uv) = u dv + v du
dx dx dx

como diferenciales: d(uv) = u dv + v du.

Por ejemplo, ͐xe -x dx se puede integrar al elegir u 5 x y dv = e -x dx en la anterior ecuación de “integración por partes”:

Ύ Ύxe–x dx = (x)( –e -x) + e -x dx

= –xe -x - e -x = -(x + 1)e -x.

SECCIÓN B–6 A-7

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A PÉ D I CE
N

Más acerca del análisis

C dimensional
Un uso importante del análisis dimensional (sección 1-7) es obtener la forma de una
ecuación; es decir, cómo una cantidad depende de otras. Para tener un ejemplo concre-
to, intente encontrar una expresión para el periodo T de un péndulo simple. Primero,
intente averiguar de qué podría depender T y haga una lista de esas variables. Puede
depender de su longitud l, de la masa m de la pesa del péndulo, del ángulo de balanceo
u y de la aceleración debida a la gravedad g. También puede depender de la resistencia
del aire (se usaría la viscosidad del aire), el tirón gravitacional de la Luna, etcétera; pe-
ro la experiencia cotidiana sugiere que la gravedad de la Tierra es la principal fuerza
implicada, de manera que se ignoran las otras fuerzas posibles. Así pues, supongamos
que T es una función de l, m, u y g, y que cada uno de estos factores está presente a al-
guna potencia:

T = Clwmxuygz.

C es una constante adimensional, y v, x, y y z son exponentes que se quieren determi-
nar. Ahora escribimos la ecuación dimensional (sección 1-7) para esta relación:

[T] = [L]w[M]x[L͞T2]z.

Puesto que u no tiene dimensiones (un radián es una longitud dividida por una longi-
tud; véase la ecuación 10-1a), no aparece. Simplificamos y obtenemos

[T] = [L]w +z[M]x[T]–2z

Para tener consistencia dimensional, debemos tener

1 = –2z

0 = w +z

0 = x. 1 1
2 2
Al resolver estas ecuaciones se encuentra que z = – , w = , yx = 0. Por tanto, la

ecuación deseada debe ser

T = C2l͞g f(u), (C–1)

donde f(u) es alguna función de u que no se puede determinar empleando esta técnica.
Tampoco se puede determinar de esta forma la constante adimensional C. (Para obte-
ner C y f, tendría que hacerse un análisis como el del capítulo 14 que usa las leyes de
Newton, lo que revela que C 5 2p y f L 1 para u pequeño.) Pero observe lo que se en-
contró usando sólo la consistencia dimensional. Se obtuvo la forma de la expresión que
relaciona el periodo de un péndulo simple con las principales variables de la situación,
l y g (véase la ecuación 14-12c), y se vio que no depende de la masa m.

¿Cómo se hizo esto? ¿Y qué tan útil es esta técnica? Básicamente, tuvimos que
usar la intuición acerca de cuáles variables eran importantes y cuáles no lo eran. Esto
no siempre es fácil y con frecuencia requiere mucha intuición. El resultado final en el
ejemplo se podía obtener a partir de las leyes de Newton, como en el capítulo 14. Pero
en muchas situaciones físicas, no se puede realizar tal deducción a partir de otras leyes.
En tales situaciones, el análisis dimensional es una poderosa herramienta.

Al final, cualquier expresión deducida empleando el análisis dimensional (o por
cualquier otro medio) se debe cotejar con los experimentos. Por ejemplo, en la deduc-
ción de la ecuación C-1, se pueden comparar los periodos de dos péndulos de diferentes
longitudes, l1 y l2, cuyas amplitudes (u) sean iguales. Así, con la ecuación C-1, se tendría

T1 = C2l1͞g f(u) = l1 .
T2 C2l2͞g f(u) B l2

Puesto que C y f(u) son iguales para ambos péndulos, se cancelan, así que experimental-
mente se puede determinar si la razón de los periodos varía como la razón de las raíces cua-
dradas de las longitudes. Esta comparación con el experimento comprueba la deducción, al
menos en parte; C y f(u) se podrían determinar mediante experimentos posteriores.

A-8 APÉNDICE C Más acerca del análisis dimensional

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A PÉ D I CE

N Fuerza gravitacional
debida a una distribución

D esférica de masa
En el capítulo 6 se afirmó que la fuerza gravitacional ejercida por o sobre una esfera unifor-
me actúa como si toda la masa de la esfera se concentrara en su centro, si el otro objeto (que
ejerce o siente la fuerza) está afuera de la esfera. En otras palabras, la fuerza gravitacional
que una esfera uniforme ejerce sobre una partícula que se encuentra afuera de ella es

F = G mM , [m afuera de esfera de masa M]
r2

donde m es la masa de la partícula, M la masa de la esfera y r la distancia de m desde
el centro de la esfera. Ahora se deducirá este resultado. Se usarán los conceptos de
cantidades infinitesimalmente pequeñas e integración.

Primero considere un cascarón esférico uniforme muy delgado (como un balón de

básquetbol de pared delgada) de masa M cuyo grosor t es pequeño en comparación

con su radio R (figura D-1). La fuerza sobre una partícula de masa m a una distancia r

desde el centro del cascarón se puede calcular como la suma vectorial de las fuerzas

debidas a todas las partículas del cascarón. Imagine el cascarón dividido en delgadas

(infinitesimales) tiras circulares de forma que todos los puntos sobre una tira sean

equidistantes a la partícula m. Una de estas tiras circulares, marcada como AB, se

muestra en la figura D-1. Tiene ancho R du, grosor t y un radio R sen u. La fuerza so-

bre la partícula m debida a un pequeño trozo de la tira en el punto A se representa

mediante el vector FBA que se muestra. La fuerza debida a un pequeño trozo de la tira
en el punto B, que es diametralmente opuesto a A, es la fuerza FBB. Considere que los
dos trozos en A y B tienen igual masa, así que FA 5 FB. Las componentes horizontales
de FBA y FBB son, cada una, igual a

FA cos f
y apuntan hacia el centro del cascarón. Las componentes verticales de FBA y FBB son de
igual magnitud y apuntan en sentidos opuestos, así que se cancelan. Como para cada
punto en la tira hay un punto correspondiente diametralmente opuesto (como con A y
B), se ve que la fuerza neta debida a toda la tira apunta hacia el centro del cascarón. Su
magnitud será

dF = G m dM cos f,
l2

donde dM es la masa de toda la tira circular y l es la distancia desde todos los puntos
en la tira hasta m, como se muestra. Se escribe dM en términos de la densidad r; por
densidad se entiende la masa por unidad de volumen (sección 13-2). Por lo tanto, dM
5 r dV, donde dV es el volumen de la tira y es igual a (2pR sen u)(t)(R du). Entonces
la fuerza dF debida a la tira circular que se muestra es

dF = G mr2pR2t sen u du cos f. (D–1)
l2

Rdθ

A
dθ
t l FIGURA D–1 Cálculo de la fuerza
R R senθ r gravitacional sobre una partícula de
θ f FA masa m debida a un cascarón esférico
m uniforme de radio R y masa M.
C f
FB
l

B A-9

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Rdθ

FIGURA D–1 (repetida) A
Cálculo de la fuerza gravitacional dθ
sobre una partícula de masa m debida
a un cascarón esférico uniforme de t R R senθ l
radio R y masa M. r
θ f FA
C m
f
FB
l

B

Para obtener la fuerza total F que ejerce todo el cascarón sobre la partícula m, de-
bemos integrar sobre todas las tiras circulares; esto es, se integra

dF = G mr2pR2t sen u du cos f (D–1)
l2

desde u 5 0° hasta u 5 180°. Pero la expresión para dF contiene l y f, que son funcio-
nes de u. A partir de la figura D-1 se puede ver que

l cos f = r - R cos u.

Más aún, se puede escribir la ley de cosenos para el triángulo CmA:

cos u = r2 + R2 - l2 . (D–2)
2rR

Con estas dos expresiones, las tres variables (l, u, f) se pueden reducir a una sola, que
será l. Con la ecuación D-2 se hacen dos cosas: 1. se pone en la ecuación anterior para
l cos f:

cos f = 1 - R cos u) = r2 + l2 - R2 .
l (r 2rl

y 2. se saca la diferencial de ambos lados de la ecuación D-2 (porque sen u du aparece
en la expresión para dF, ecuación D-1), al considerar que r y R son constantes cuando
se suman sobre las tiras:

–sen u du = – 2l dl o sen u du = l dl .
2rR rR

Esto se inserta en la ecuación D-1 para dF y se encuentra

dF = R ¢1 + r2 - R2 dl.
Gmrpt r2 l2 ≤

Ahora se integra para obtener la fuerza neta sobre el cascarón delgado de radio R. Pa-
ra integrar sobre todas las tiras (u 5 0° a 180°), se debe ir de l 5 r 2 R a l 5 r 1 R
(véase la figura D-1). Por lo tanto,

F = Gmrpt R Bl - r2 - R2 R l = r +R
r2 l l = r -R

= Gmrpt R (4R).
r2

El volumen V del cascarón esférico es su área (4pR2) por el grosor t. Por lo tanto, la
masa M ϭ rV ϭ r4pR2t y finalmente

F = G mM . c partícula de masa m afuera de un delgado d
r2 cascarón esférico uniforme de masa M

Este resultado indica la fuerza que ejerce un delgado cascarón sobre una partícula de
masa m a una distancia r del centro del cascarón, y afuera del cascarón. Se ve que la
fuerza es la misma que la que existe entre m y una partícula de masa M en el centro
del cascarón. En otras palabras, para propósitos de calcular la fuerza gravitacional ejer-
cida sobre o por un cascarón esférico uniforme, se puede considerar que toda su masa
se concentra en su centro.

Lo que se dedujo para un cascarón también se cumple para una esfera sólida, pues
una esfera sólida se puede considerar como constituida por muchos cascarones concén-
tricos, desde R 5 0 hasta R 5 R0, donde R0 es el radio de la esfera sólida. ¿Por qué?
Porque si cada cascarón tiene masa dM, para cada cascarón se escribe dF ϭ Gm dM/r2,

A-10 APÉNDICE D

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donde r es la distancia desde el centro C hasta la masa m y es la misma para todos los
cascarones. Así, la fuerza total es igual a la suma o integral sobre dM, que da la masa
total M. Por lo tanto, el resultado

mM c partícula de masa m afuera de d (D–3)
F = G r2 una esfera sólida de masa M

es válido para una esfera sólida de masa M, incluso si la densidad varía con la distancia
a partir del centro. (No es válida si la densidad varía dentro de cada cascarón; esto es,
no depende sólo de R.) Por lo tanto, se puede considerar que la fuerza gravitacional
ejercida sobre o por objetos esféricos, incluidos objetos casi esféricos como la Tierra, el
Sol y la Luna, actúa como si los objetos fueran partículas puntuales.

Este resultado, ecuación D-3, es verdadero sólo si la masa m está afuera de la esfe-
ra. Ahora consideremos una masa puntual m que se ubica adentro del cascarón es-
férico de la figura D-1. Aquí, r sería menor que R, y la integración sobre l sería
desde l 5 R 2 r hasta l 5 R 1 r, así que

cl - r2 - R2 R +r = 0.
l d

R -r

Por lo tanto, la fuerza sobre cualquier masa dentro del cascarón sería cero. Este resul-
tado tiene particular importancia para la fuerza electrostática, que también es una ley
de cuadrado inverso. Para la situación gravitacional, se ve que, en puntos dentro de una
esfera sólida, por ejemplo, 1000 km por debajo de la superficie de la Tierra, sólo la ma-
sa hasta ese radio contribuye a la fuerza neta. Los cascarones exteriores más allá del
punto en cuestión no aportan ningún efecto gravitacional neto.

Los resultados aquí obtenidos también se pueden alcanzar usando la analogía gra-
vitacional de la ley de Gauss para electrostática (capítulo 22).

APÉNDICE D Fuerza gravitacional debida a una distribución esférica de masa A-11

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AP EÉND IC

Forma diferencial de las

E ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir en otra forma que con frecuencia es más
conveniente que las ecuaciones 31-5. Este material por lo general se cubre en cursos
más avanzados y aquí se incluye simplemente como complemento.

Se citan dos teoremas, sin prueba, que se deducen en textos de análisis vectorial. El
primero se llama teorema de Gauss o teorema de la divergencia. Relaciona la integral
sobre una superficie de cualquier función vectorial FB con una integral de volumen so-
bre el volumen encerrado por la superficie:

§ ΎFB иdAB = ١B и FB dV.
Área A
Volumen V

El operador ١B es el operador nabla (también llamado operador del), que en coordena-
das cartesianas se define como

١B = ˆi 0 + jˆ 0 + kˆ 0.
0x 0y 0z

La cantidad

١B и FB = 0Fx + 0Fy + 0Fz
0x 0y 0z

se llama la divergencia de FB. El segundo teorema es el teorema de Stokes, y relaciona
una integral de línea alrededor de una trayectoria cerrada con una integral de superfi-
cie sobre cualquier superficie encerrada por esa trayectoria:

§ ΎFB иdBL = ١B * FB и dAB .
Línea
Área A

La cantidad ١B * FB se llama rotacional de FB. (Véase la sección 11-2 acerca del produc-
to vectorial).

Ahora se usarán estos dos teoremas para obtener la forma diferencial de las ecua-
ciones de Maxwell en el espacio libre. Aplicamos el teorema de Gauss a la ecuación 31-5a
(ley de Gauss):

§ ΎEB иdAB = ١B и EB dV = Q.
A ⑀0

Ahora la carga Q se puede expresar como una integral de volumen sobre la densidad

de carga r: Q = ͐r dV. De esta forma,

Ύ Ύ١B иEB dV = 1 r dV.
⑀0

Ambos lados contienen integrales de volumen sobre el mismo volumen, y para que esto
sea cierto sobre cualquier volumen, sea cual fuere su tamaño o forma, los integrandos
deben ser iguales:

١B и EB = r. (E–1)
⑀0

Ésta es la forma diferencial de la ley de Gauss. La segunda de las ecuaciones de Max-
well, ͛BB и dAB = 0, se trata de la misma forma y se obtiene

١B и BB = 0. (E–2)

A-12

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A continuación, se aplica el teorema de Stokes a la tercera de las ecuaciones de Maxwell,

§ ΎEB иdBL = ١B * EB и dAB = – d£B .
dt

Puesto que el flujo magnético £B = ͐BB и dAB , se tiene

Ύ Ύ١B * EB иdAB = 0 BB и dAB
– 0t

donde se usa la derivada parcial, 0BB ͞0t, pues B también puede depender de la posi-

ción. Éstas son integrales de superficie sobre la misma área, y para que sea cierto sobre
cualquier área, incluso una muy pequeña, se debe tener

١B * EB = – 0BB . (E–3)
0t

Ésta es la tercera de las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial. Finalmente, para
la última de las ecuaciones de Maxwell,

§ BB и dBL = m0 I + m0 ⑀0 d£E ,
dt

se aplica el teorema de Stokes y se escribe £E = ͐EB и dAB :

0
m0 I + m0 ⑀ 0 0t
Ύ Ύ١B * BB иdAB = EB и dAB .

La corriente de conducción I se puede escribir en términos de la densidad de corriente
Bj, empleando la ecuación 25-12:

ΎI = Bj и dAB .

De esta forma, la cuarta ecuación de Maxwell se convierte en:

0
m0 ⑀ 0 0t
Ύ Ύ Ύ١B * BB иdAB
= m0 Bj и dAB + EB и dAB .

Para que esto sea cierto sobre cualquier área A, sea cual fuere su tamaño o forma, los
integrandos en cada lado de la ecuación deben ser iguales:

١B * BB = m0 Bj + m0 ⑀0 0EB . (E–4)
0t

Las ecuaciones E-1, 2, 3 y 4 son las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial para
espacio libre. Se resumen en la tabla E-1.

TABLA E–1 Ecuaciones de Maxwell en espacio libre†

Forma integral Forma diferencial

§EB и dAB = Q ١B и EB = r
⑀0 ⑀0

§BB и dAB = 0 ١B и BB = 0

§ EB и dBL = – d£B ١B * EB = – 0BB
dt 0t

§ BB и dBL = m0 I + m0 ⑀ 0 d£E ١B * BB = m0 Bj + m0 ⑀ 0 0EB
dt 0t

†١B representa al operador nabla ١B = ˆi 0 + jˆ 0 + kˆ 0 en coordenadas
cartesianas. 0x 0y 0z

APÉNDICE E Forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell A-13

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AP ÉND ICE

F Isótopos seleccionados

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
Número Número % de abundancia Vida media
atómico Elemento Símbolo de masa Masa (o modo de decaimiento‡ (si es radiactivo)
(Neutrón) n atómica† 10.23 min
Z Hidrógeno H A radiactivo) 12.312 años
0 Deuterio doD 1.008665
1 Tritio toT 1 1.007825 b– 53.22 días
Helio He 1 2.014102 99.9885%
2 Li 2 3.016049 0.0115% 20.370 min
Litio Be 3 3.016029 5730 años
3 B 3 4.002603 b–
Berilio C 4 6.015123 0.000137% 9.9670 min
4 6 7.016005 99.999863% 122.5 s
Boro N 7 7.016930 7.59%
5 7 9.012182 92.41% 2.6027 años
Carbono O 9 10.012937 14.9574 h
6 10 11.009305 CE, g
F 11 11.011434 100% 157.3 min
7 Nitrógeno Ne 11 12.000000 14.284 días
Na 12 13.003355 19.9%
8 Oxígeno 13 14.003242 80.1%
Mg 14 13.005739
9 Flúor Al 13 14.003074 b±, CE
10 Neón Si 14 15.000109 98.93%
11 Sodio P 15 15.003066 1.07%
15 15.994915
12 Magnesio 16 17.999161 b–
13 Aluminio 18 18.998403 b±, CE
14 Silicio 19 19.992440 99.632%
15 Fósforo 20 21.991385 0.368%
22 21.994436 b±, CE
22 22.989769 99.757%
23 23.990963 0.205%
24 23.985042 100%
24 26.981539 90.48%
27 27.976927 9.25%
28 30.975363 b±, CE, g
31 30.973762 100%
31 31.973907 b–, g
32 78.99%
100%
92.2297%
b–, g
100%

b–

† Las masas en la columna (5) son las del átomo neutro, incluidos los Z electrones
‡ Capítulo 41; CE ϭ captura de electrón.

A-14

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(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
Número Número % de abundancia Vida media
atómico Elemento Símbolo de masa Masa (o modo de decaimiento (si es radiactivo)
Azufre atómica 87.32 días
Z Cloro S A radiactivo) 1.265 ϫ 109 años
Argón 31.972071
16 Potasio Cl 32 34.969032 94.9% 5.27110 años
35 34.968853 b–
17 Ar 35 36.965903 28.80 años
K 37 39.962383 75.78% 4.2 ϫ 106 años
18 40 38.963707 24.22% 4.41 ϫ 1014 años
19 Ca 39 39.963998 99.600%
Sc 40 93.258%
20 Calcio Ti 39.962591
21 Escandio V 40 44.955912 0.0117%
22 Titanio Cr 45 47.947946
23 Vanadio Mn 48 50.943960 b–, CE, g, b±
24 Cromo Fe 51 51.940508
25 Manganeso Co 52 54.938045 96.94%
26 Hierro 55 55.934938 100%
27 Cobalto Ni 56 58.933195
59 59.933817 73.72%
28 Níquel Cu 60 57.935343 99.750%
58 59.930786 83.789%
29 Cobre Zn 60 62.929598 100%
63 64.927790 91.75%
30 Cinc Ga 65 63.929142 100%
Ge 64 65.926033
31 Galio 66 68.925574 b–, g
32 Germanio As 69 71.922076 68.077%
Se 72 73.921178 26.223%
33 Arsénico Br 74 74.921596 69.17%
34 Selenio Kr 75 79.916521 30.83%
35 Bromo Rb 80 78.918337 48.6%
36 Kriptón Sr 79 83.911507 27.9%
37 Rubidio 84 84.911790 60.108%
38 Estroncio Y 85 85.909260 27.5%
Zr 86 87.905612 36.3%
39 Itrio Nb 88 89.907738 100%
40 Zirconio Mo 90 88.905848 49.6%
41 Niobio Tc 89 89.904704 50.69%
42 Molibdeno Ru 90 92.906378 57.00%
43 Tecnecio Rh 93 97.905408 72.17%
44 Rutenio Pd 98 97.907216 9.86%
45 Rodio Ag 98 101.904349 82.58%
46 Paladio 102 102.905504
47 Plata Cd 103 105.903486 b–
In 106 106.905097 100%
48 Cadmio Sn 107 108.904752 51.4%
49 Indio Sb 109 113.903359 100%
50 Estaño 114 114.903878 24.1%
51 Antimonio 115 119.902195
120 120.903816 b–, g
121 31.55%
100%
27.33%
51.839%
48.161%
28.7%
95.71%; b–
32.58%
57.21%

APÉNDICE F Isótopos seleccionados A-15

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(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
Número Número % de abundancia Vida media
atómico Elemento Símbolo de masa Masa (o modo de decaimiento (si es radiactivo)
atómica 7 9.7 * 1022 años
Z Telurio Te A radiactivo) 8.0233 días
Yodo I 129.906224
52 130 34.1%; b–b– . 8.5 3 1021
53 Xenón Xe 126.904473
127 130.906125 100% 17.7 años
54 Cesio Cs 131 131.904154 b–, g
Bario Ba 132 . 8.9 3 1021
55 135.907219 26.89% 4.35 * 1010 años
56 Lantano La 136 132.905452 15.4 días
133 136.905827 8.87%; b–b–
57 Cerio Ce 137 137.905247 100% 22.23 años
58 138 138.906353 11.232% 36.1 min
59 Praseodimio Pr 139 139.905439 71.70% 10.64 h
60 140 140.907653 99.910% 26.8 min
61 Neodimio Nd 141 141.907723 88.45% 2.14 min
62 142 144.912749 100% 138.376 días
63 Prometio Pm 145 151.919732 27.2% 162.3 ms
64 152 152.921230
65 Samario Sm 153 157.924104 CE, a 1.4 s
66 158 158.925347 26.75%
67 Europio Eu 159 163.929175 52.19%
68 164 164.930322 24.84%
69 Gadolinio Gd 165 165.930293 100%
70 166 168.934213 28.2%
71 Terbio Tb 169 173.938862 100%
72 174 174.940772 33.6%
73 Disprosio Dy 175 179.946550 100%
74 180 180.947996 31.8%
75 Holmio Ho 181 97.41%
76 183.950931 35.08%
Erbio Er 184 186.955753 99.988%
77 187 190.960930
Tulio Tm 191 191.961481 30.64%; a
78 192 190.960594 62.60%; b–
79 Iterbio Yb 191 192.962926
80 193 194.964791 b–, g
Lutecio Lu 195 196.966569 40.78%
81 197 198.968280 37.3%
82 Hafnio Hf 199 201.970643 62.7%
202 204.974428 33.832%
83 Tántalo Ta 205 205.974465 100%
206 206.975897 16.87%
84 Tungsteno (wolframio) W 207 207.976652 29.9%
208 209.984188 70.476%
85 Renio Re 210 210.988737 24.1%
211 211.991898 22.1%
Osmio Os 212 213.999805 52.4%
214 208.980399
Iridio Ir 209 210.987269 b–, g, a
211 209.982874 b–, g
Platino Pt 210 213.995201 b–, g
Oro Au 214 218.008694 b–, g
Mercurio Hg 218
100%
Talio Tl a, g, b–
Plomo Pb a, g, CE
a, g
Bismuto Bi a, b–
Polonio Po
Astatino At

A-16 APÉNDICE F Isótopos seleccionados

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(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
Número Elemento Símbolo Número % de abundancia
atómico de masa Masa (o modo de decaimiento Vida media
atómica (si es radiactivo)
Z A radiactivo)

86 Radón Rn 222 222.017578 a, g 3.8232 días
87 Francio Fr 223 223.019736 b–, g, a 22.00 min
88 Radio Ra 226 226.025410 1600 años
89 Actinio Ac 227 227.027752 a, g 21.772 años
90 Torio Th 228 228.028741 b–, g, a 698.60 días
1.405 * 1010 años
232 232.038055 a, g 3.276 * 104 años
100%; a, g 68.9 años
91 Protactinio Pa 231 231.035884 1.592 * 105 años
a, g 7.04 * 108 años
92 Uranio U 232 232.037156 a, g 2.342 * 107 años
a, g 4.468 * 109 años
233 233.039635 0.720%; a, g 23.46 min
a, g 2.144 * 106 años
235 235.043930 99.274%; a, g 2.356 días
b–, g 24,100 años
236 236.045568 a, g 8.00 * 107 años
b–, g 7370 años
238 238.050788 a, g 1.56 * 107 años
239 239.054293 1380 años
a 898 años
93 Neptunio Np 237 237.048173 a, g
94 Plutonio 239 239.052939 a, g 471.7 días
a, g 100.5 días
Pu 239 239.052163 a, g 51.5 días
a, CE, g 58 min
95 Americio 244 244.064204 a, g L4 h
Am 243 243.061381 a, g 10 min
a,CE 35 s
96 Curio Cm 247 247.070354 a, CE, fisión L 21 s
fisión L 0.44 s
97 Berkelio Bk 247 247.070307 a, fisión, CE L 10 s
a, fisión 21 ms
98 Californio Cf 251 251.079587 L 70 ms
a
99 Einsteinio Es 252 252.082980 3.8 ms
a
100 Fermio Fm 257 257.095105 L 0.7 ms
a
101 Mendelevio Md 258 258.098431
a
102 Nobelio No 259 259.10103
a
103 Lawrencio Lr 262 262.10963
a
104 Rutherfordio Rf 263 263.11255

105 Dubnio Db 262 262.11408

106 Seaborgio Sg 266 266.12210

107 Bohrio Bh 264 264.12460

108 Hasio Hs 269 269.13406

109 Meitnerio Mt 268 268.13870

110 Darmstadtio Ds 271 271.14606

111 Roentgenio Rg 272 272.15360

112 Uub 277 277.16394

Se ha reportado evidencia preliminar (sin confirmar) para los elementos 113, 114, 115, 116 y 118.

APÉNDICE F Isótopos seleccionados A-17

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Respuestas a problemas con número impar

CAPÍTULO 21 39. 79. 1.08 * 107 N͞C (hacia
[3.00 - cos(13.9t)]2
1. 2.7 * 10–3 N.
arriba).
3. 7200 N.
5. A4.9 * 10–14B%. 81. 5 * 10–9 C.

83. 8.0 * 10–9 C.

7. 4.88 cm. ؉؉؉؉؉ 85. 18°.

9. –5.8 * 108 C, 0. 87. EA = 3.4 * 104 N͞C, a la derecha;
EB = 2.3 * 104 N͞C, a la izquierda;
11. a) q1 = q2 = 1 QT; EC = 5.6 * 103 N͞C, a la derecha:
2
ED = 3.4 * 103 N͞C, a la izquierda.
b) q1 = 0, q2 = QT . 89. –7.66 * 10–6 C, inestable.
41. 1 .
13. F1 = 0.53 N a 265°, 4
F2 = 0.33 N a 112°, 91. a) 9.18 * 106 N͞C, hacia abajo;
F3 = 0.26 N a 53°. 43. a) Qy .
2pe0Ay2 + l2B3͞2 b) 1.63 * 10–4 C͞m2.
15. F = 2.96 * 107 N, alejándose del 93. a) a = 7.07 cm;
45. 1.8 * 106 N͞C, alejándose del
alambre. 22
b) sí;
centro del cuadrado
8llz , Campo eléctrico (106 N/C)
17. 1.0 * 1012 electrones. 47. pe0Al2 + 4z2B 24z2 + 2l2 vertical. 2.5
2.0
19. a) pC md3 ; 49. – 2l sen u0 ˆi. 1.5
kQq 4pe0 R 1.0

b) 0.2 ps. 51. a) l 0.5
21. 3.08 * 10–16 N hacia el oeste. 4pe0 xAx2 + l2B1͞2 0.0
23. 1.10 * 107 N͞C hacia arriba. 2 4 6 8 10 12
25. (172 jˆ)N͞C. * Alˆi + C x - (x2 + l2B1͞2 D jˆ B. 0 x (cm)
27. 1.01 * 1014 m͞s2, es opuesta al
Q . c) y d)
campo. 4pe0 x(x l)
53. + Campo eléctrico (106 N/C)

55. Q(xiˆ - 2a jˆ) . 6.0 Anillo
p 4.5 Punto
3.0
29. 4pe0Ax2 + a2B3͞2 1.5 40 50
0.0
57. a) A–3.5 * 1015 m͞s2B ˆi
– A1.41 * 1016 m͞s2B jˆ; 0
10 20 30
b) 166° en sentido antihorario con x (cm)
respecto a la dirección inicial.
ϩQ ؉+ ؊؊؊– Ϫ3Q e) 37 cm.
59. –23°.

31. A–4.7 * 1011 iˆB N͞C 61. b) 2p 4pe0 mR3 . CAPÍTULO 22
– A1.6 * 1011 jˆ B N͞C ; C qQ
1. a) 31 N и m2͞C;
o 63. a) 3.4 * 10–20 C; b) 22 N и m2͞C;
5.0 * 1011 N͞C a 199°.
b) no; c) 0.
c) 8.5 * 10–26 m и N;
d) 2.5 * 10–26 J. 3. a) 0;
b) 0, 0, 0, 0, E0l2, –E0l2.
65. a) u muy pequeño;
5. 1.63 * 10–8 C.
33. E = 2.60 * 104 N͞C, alejándose del b) 1 pE . 7. a) –1.1 * 105 N и m2͞C;
2p B I
b) 0.
centro. 67. a) En la dirección del dipolo. 9. –8.3 * 10–7 C.
11. 4.3 * 10–5 C͞m.
4kQxa , 69. 3.5 * 109 C. 13. –8.52 * 10–11 C.
Ax2 - a2B2 15. a) –2.6 * 104 N͞C (hacia el
35. a la izquierda 71. 6.8 * 105 C, negativo.
alambre);
73. 1.0 * 107 electrones. b) –8.6 * 104 N͞C (hacia el

37. l 1 + 1 , tan–1 x. 75. 5.71 * 1013 C. alambre).
2pe0 B x2 y2 y
77. 1.6 m desde Q2 , 3.6 m desde Q1 .

A-18 Respuestas a problemas con número impar

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17. a) –A1.9 * 1011 N͞C и mB r; 33. a) sR0, radialmente hacia afuera; 65. a) Sobre la superficie interior del
b) –A1.1 * 108 N и m2͞CB͞r2 e0R cascarón.
± A3.0 * 1011 N͞C и mB r;
c) A4.1 * 108 N и m2͞CB͞r2; b) 0; b) r 6 0.10 m,

d) sí. c) igual para R 7 R0 si l = 2pR0s. E = 2.7 * 104 N͞C;
a r2 b
35. a) 0;

Campo eléctrico (1010 N/C) b) 1 (Q΋l); r 7 0.10 m, E = 0.
2pe0 r
3.0 67. –46 N и m2͞C, –4.0 * 10–10 C.

2.0 c) 0; CAPÍTULO 23

1.0 d) e Q . 1. – 0.71 V.
4pe0 l
0.0 ¢ ≤ 3. 3280 V, la placa B tiene un mayor
0 potencial.
10 20 30 40 50 37. a) 1.9 * 107 m͞s;
Ϫ1.0 r (cm) 5. 30 m.
Ϫ2.0 b) 5.5 * 105 m͞s. 7. 1.4 mC.

19. 39. a) rE r ; 9. 1.2 cm, 46 nC.
3e0
Campo eléctrico (106 N/C) 11. a) 0;
4.0 rE r03
3e0 r2 b) –29.4 V;
3.0 b) ;
c) –29.4 V.
2.0 c) 0; 13. a) –9.6 * 108 V;

1.0 d) ¢ rE r03 + Q 1. b) 9.6 * 108 V.
3e0 4pe0 ≤ r2
0.0 15. a) Son iguales;
0 5 10 15 20 25 30 41. a) 0;
r (cm) r2
b) Q. b) Q¢ r1 + r2 ≤ .
21. a) 5.5 * 107 N͞C (hacia afuera); 2500pe0 R20
b) 0; 17. a) 10–20 kV;
c) 5.5 * 105 N͞C (hacia afuera). rE d
43. a) 2e0 alejándose de la superficie. b) 30 mC͞m2.
23. a) –8.00 mC;
b) ±1.90 mC. 45. a) 13 N (de atracción); 19. a) Q r ;
4pe0
25. a) 0; b) 0.064 J. r2
b) Q ¢3 - r02 ≤ ;
b) s (hacia afuera, si ambas placas 47. a) 0; 8pe0 r0
e0
son positivas); b) – r0(d - x) iˆ; c) Sea V0 = V a r = r0, y
e0 E0 = E a r = r0:

c) igual c) – r0(d + x) ˆi. 1.50
e0 1.25
V/V0
27. a) 0; 49. Q r2 , radialmente hacia afuera. 1.00
4pe0 r40 0.75
b) re210sr21; 0.50
51. £ = ͛gB и dAB = –4pGMenc .
0.25
A r12 s1 + r22 s2B 53. al3e0 . 0.00 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
e0 r2 r/r0
0

c) ; 55. 475 N и m2͞C, 475 N и m2͞C.

57. a) 0; 1.0

d) s1 = – ¢ r2 ≤ 2 ; Q Q 0.8
r1 pe0 r02 25pe0
s2 b) Emáx = , Emín = r20; E/E0 0.6

e) s1 = 0, o colocar Q = –4ps1 r12 0.4
dentro de r1 .
c) no; 0.2

29. a) 0; d) no. 0.0
59. a) 1.1 * 10–19 C;
b) Q ¢ r30 1 r31 ≤ r3 - r13 ≤ ; 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
4pe0 - ¢ r2 b) 3.5 * 1011 N͞C. r/r0

kQ . 61. a) rE r0 , a la derecha; 21. r0 ¢ r20 - r2 + r4 ≤ .
r2 6e0 e0 4 6 20r02
c)

31. a) –q; b) 17 rE r0 , a la izquierda. 23. a) R0 s ln ¢ R0 ≤ + V0 ;
54 e0 e0 R
b) Q + q;
b) V0 ;
kq 63. a) 0;
c) r2 ; c) no, del inciso a) V S –q
b) 5.65 * 105 N͞C, a la derecha;
c) 5.65 * 105 N͞C, a la derecha; debido a la longitud del alambre.
d) –5.00 * 10–6 C͞m3;
d) 0; e) ±5.00 * 10–6 C͞m3. 25. a) 29 V;
b) –4.6 * 10–18 J.
e) k(q + Q) .
r2 27. 0.34 J.

Respuestas a problemas con número impar A-19

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