Física para ciencias e ingeniería Volumen II, 4ta Edición – Douglas C. Giancoli

24–2 Cálculo de la capacitancia

d La capacitancia de un capacitor dado puede determinarse en forma experimental di-
rectamente de la ecuación 24-1, si se mide la carga Q en cualquiera de los conductores
؉؊ para una diferencia de potencial dada V.

؉؊ Para un capacitor con una geometría sencilla, es posible calcular C de manera ana-
lítica. En esta sección consideraremos que los conductores están separados por vacío o
؉؊ por aire. Primero determinamos C para un capacitor de placas paralelas (véase la figura
24-4). Cada uno de los dos conductores tiene una área A y están separados entre sí por
؉؊ una distancia d. Consideramos que d es pequeña en comparación con las dimensiones
de cada placa, así que el campo eléctrico EB es uniforme entre las placas y nos permite
؉؊ ignorar efectos de borde en las orillas (es decir, desconocemos si las líneas de EB son
rectas). Ya vimos (en el ejemplo 21-13) que el campo eléctrico entre dos placas planas
؉ EB ؊ cercanas tiene una magnitud E 5 syP0 y que su dirección es perpendicular a las placas.
؉ ؊ Ya que s es la carga por unidad de área, s 5 Q/A, así que el campo entre las placas es

؉؊
A؉ ؊ A
؉؊

؉؊

؉؊

؉؊

؉؊

؉؊

؉؊

؉؊ Q.
⑀0A
؉؊ E =

؉؊

ba La relación entre el campo eléctrico y el potencial eléctrico, dada por la ecuación 23-4a, es

FIGURA 24–4 Capacitor de placas Ύb
paralelas cuyas placas tienen área A.
Ignoramos la curvatura del campo V = Vba = Vb - Va = – EB и dBL.
cercano a los bordes. a

Podemos realizar la integral de línea a lo largo de una trayectoria que sea antiparalela a las
líneas del campo, de la placa a a la placa b, así que u 5 180° y cos 180° 5 21. Por lo tanto,

b b Q b Qd .
⑀0A ⑀0A
– E dl cos 180° ± E dl dl

a a a
Ύ Ύ ΎV
= Vb - Va = = = =

Esta ecuación relaciona Q con V; a partir de ella, es posible obtener la capacitancia C
en términos de la geometría de las placas.

C = Q = ⑀0 A . [capacitor de placas paralelas] (24–2)
V d

Observe, a partir de la ecuación 24-2, que el valor de C no depende de Q ni de V; por lo
mismo, predecimos que Q es proporcional a V, tal como se encuentra experimentalmente.

EJEMPLO 24–1 Cálculos para un capacitor. a) Calcule la capacitancia de un ca-
pacitor de placas paralelas cuyas placas miden 20 cm 3 3.0 cm y están separadas por
un hueco de aire de 1.0 mm de espesor. b) ¿Cuál es la carga en cada placa si se conec-
ta una batería de 12 V a través de las dos placas? c) ¿Cuál es el campo eléctrico entre
las placas? d) Estime el área requerida de las placas para conseguir una capacitancia
de 1 F, dada la misma separación de aire d.

PLANTEAMIENTO Encontramos la capacitancia usando la ecuación 24-2, C 5 P0A/d. La
carga en cada placa se obtiene a partir de la definición de capacitancia (ecuación 24-1):
Q = CV. El campo eléctrico es uniforme, así que podemos usar la ecuación 23-4b para calcu-
lar la magnitud del campo eléctrico, E = Vyd. En d) empleamos de nuevo la ecuación 24-2.
SOLUCIÓN a) El área es A = A20 * 10–2 mB A3.0 * 10–2 mB = 6.0 * 10–3 m2. Por
lo tanto, la capacitancia C es

C = ⑀0 A = A8.85 * 10–12 C2͞N и m2B 6.0 * 10–3 m2 = 53 pF.
d 1.0 * 10–3 m

b) La carga en cada placa es

Q = CV = A53 * 10–12 FB(12 V) = 6.4 * 10–10 C.

c) De acuerdo con la ecuación 23-4b para un campo eléctrico uniforme, la magnitud de E es

E = V = 12 V = 1.2 * 104 V͞m.
d 1.0 * 10–3 m

d) Podemos despejar A en la ecuación 24-2, así como sustituir C 5 1.0 F y d 5 1.0 mm;
encontramos que es necesario que las placas tengan una área de

A = Cd L (1 F)A1.0 * 10–3 mB L 108 m2.
⑀0 A9 * 10–12 C2͞N и m2B

NOTA Ésta es el área de un cuadrado de 104 m o 10 km de lado. ¡Lo anterior equiva-
le al tamaño de una ciudad como San Francisco o Boston! Los capacitores de grandes
capacitancias no serán simples placas paralelas.
630 CAPÍTULO 24

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EJERCICIO B Dos placas circulares de 5.0 cm de radio están separadas por un hueco de aire FÍSICA APLICADA
de 0.10 mm. ¿Cuál es la magnitud de la carga en cada una de las placas cuando se conecta Capacitancia muy alta
el capacitor a una batería de 12 V?
Tecla
No hace mucho tiempo era inusual encontrar capacitancias mayores que unos cuan-
tos mF. Actualmente se pueden conseguir capacitores con 1 o 2 F, que, sin embargo, tie- Placa Capacitor
nen apenas unos cuantos centímetros de lado. Estos capacitores se usan para almacenar móvil
energía, por ejemplo, en la memoria de las computadoras y de los aparatos electrónicos
donde se mantienen la hora y la fecha a través de un flujo de carga muy pequeño. [Los Aislante Placa
capacitores son superiores a las baterías recargables en este sentido, porque pueden re- (flexible) fija
cargarse más de 105 veces sin sufrir degradación.] Tales capacitores de alta capacitancia
se fabrican usando carbón “activado”, el cual tiene una alta porosidad, así que su área FIGURA 24–5 Tecla del teclado de
superficial es muy grande. Un décimo de gramo de carbón activado puede tener una una computadora. Al apretar la tecla
área superficial de 100 m2. Más aún, las cargas iguales y opuestas existen en una “capa se reduce el espacio entre las placas
doble” de carga de 1029 m de espesor. Así que una capacitancia de 0.1 g de carbón acti- del capacitor, incrementando la
vado, cuya área interna puede ser de 102 m2, es equivalente a un capacitor de placas pa- capacitancia, lo cual puede detectarse
ralelas con C L ⑀ 0 A͞d = A8.85 * 10–12 C2͞N и m2B A102 m2B͞A10–9 m B L 1 F. electrónicamente.

Algunos teclados de computadora operan con capacitores. Como se ilustra en la figura FÍSICA APLICADA
24-5, cada tecla está conectada a la placa superior de un capacitor. Cuando se presiona la Tecla de computadora
tecla, la placa superior se mueve hacia abajo, lo que reduce la separación entre capacitores de
placas e incrementa la capacitancia (ecuación 24-2; menor d, mayor C). El cambio en la ca-
pacitancia da por resultado una señal eléctrica que es detectada por un circuito electrónico.

La proporcionalidad, C r Ayd en la ecuación 24-2, también es válida para un ca-
pacitor de placas paralelas enrollado en un cilindro, como el de la figura 24-1b. Sin
embargo, el factor constante, P0, debe sustituirse si hay un aislante que separa las placas
—como papel, por ejemplo—, factor que se analiza en la sección 24-5. Para un capaci-
tor cilíndrico verdadero —que consiste en dos cilindros largos coaxiales—, el resultado
es algo diferente, como veremos en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 24–2 Capacitor cilíndrico. Un capacitor cilíndrico consiste en un ci- FIGURA 24–6 a) Un capacitor
lindro (o alambre) de radio Rb rodeado de un cascarón cilíndrico coaxial de radio in- cilíndrico consiste en dos conductores
terior Ra (figura 24-6a). Ambos cilindros tienen longitud l, la cual se considera mucho cilíndricos coaxiales. b) Se muestran
más grande que la separación entre los cilindros Ra 2 Rb, así que podemos ignorar los las líneas de campo en la vista de
efectos de borde. Se carga el capacitor (conectándolo a una batería), de manera que corte transversal.
un cilindro adquiere una carga 1Q (digamos, el cilindro interior) y el otro, una carga
–Q. Calcule una expresión para la capacitancia.

PLANTEAMIENTO Para obtener C = QyV, necesitamos determinar la diferencia de
potencial V entre los cilindros en términos de Q. Podemos usar nuestro resultado
(ejemplos 21-11 o 22-6) para el campo eléctrico afuera de un alambre largo, el cual
está dirigido radialmente hacia fuera y tiene una magnitud E = A1͞2p⑀0B(l͞R), Ra
donde R es la distancia desde el eje y l es la carga por unidad de longitud, Q/l. En- Rb
tonces, E = A1͞2p⑀0B(Q͞lR) para puntos entre los cilindros.
l
SOLUCIÓN Para obtener la diferencia del potencial V en términos de Q, usamos este a)
resultado para en la ecuación 23-4a, eVxte=rioVrbha-stVa ael=int–er͐iaboEBr и dBL, luego, escribi-
mos la integral E línea desde el cilindro (así que V . 0) a lo
de
largo de una línea radial:†

b Q Rb dR
– 2p⑀ 0 l Ra R
– EB и dBL

a
Ύ ΎV ؊
= Vb - Va = = ؊ ؊ ؊Q

= – Q l ln Rb = Q l ln Ra . ؊ ؊
2p⑀ 0 Ra 2p⑀ 0 Rb EB Ra
Q y V son proporcionales, mientras que la capacitancia es ؉؉؉
؊ ؊
C = Q = 2p⑀ 0 l . [capacitor cilíndrico] ؉ Rb ؉ EB
V ln A Ra͞Rb B ؊ ؉؉
؉ +Q ؉ ؊

؉؉؉

NOTA Si el espacio entre los cilindros Ra 2 Rb 5 DR es pequeño, tenemos ln ARa͞RbB ؊؊
5 ln C ARb + ¢RB͞Rb D = ln C 1 + ¢R͞Rb D L ¢R͞Rb (véase el apéndice A-3), así que ؊
C L 2p⑀ 0 lRb͞¢R = ⑀ 0 A͞¢R porque el área del cilindro b es A = 2pRbl. Ésta es
precisamente la ecuación 24-2 (d 5 DR), lo cual confirma nuestro resultado. b)

EJERCICIO C ¿Cuál es la capacitancia por unidad de longitud de un capacitor cilíndrico
con radios Ra 5 2.5 mm y Rb 5 0.40 mm? a) 30 pFym; b) –30 pF/m; c) 56 pFym; d) –56
pFym; e) 100 pFym; f) –100 pFym.

†Observe que EB apunta hacia fuera en la figura 24-6b, pero dBL apunta hacia dentro para la dirección de SECCIÓN 24–2 631
integración que hemos elegido; el ángulo entre EB y dBL es de 180° y cos 180° = –1. También, dl = –dr, por-
que dr aumenta hacia fuera. Estos dos signos menos se cancelan.

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؊ ؊Q EJEMPLO 24–3 Capacitor esférico. Un capacitor esférico consiste en dos casca-
؊؊ rones conductores esféricos concéntricos delgados, de radios ra y rb, como se muestra
en la figura 24-7. El capacitor interior tiene una carga Q distribuida de manera uni-
؊ EB ra ؊ forme sobre su superficie; el cascarón exterior tiene una carga igual, pero de signo
EB contrario, –Q. Determine la capacitancia de los dos cascarones.
؉Q

؉؉؉ PLANTEAMIENTO En el ejemplo 22-3 usamos la ley de Gauss para mostrar que el cam-
؉؉ po eléctrico afuera de una esfera conductora cargada uniformemente es E = Q͞4p⑀ 0 r2
r como si toda la carga estuviera concentrada en su centro. Ahora utilizaremos la ecua-
؊ ؉ ؉ ؊
؉ rb ؉ ción 23-4a, V = – ͐abEB и dBL.

؉؉؉ SOLUCIÓN Integramos la ecuación 23-4a a lo largo de una línea radial para obtener
la diferencia de potencial entre los dos cascarones conductores.
؊ ؊
؊
EB b Q rb 1
؊ – 4p⑀ 0 ra r2
– EB и dBL
؊
a
Ύ ΎVba= = dr

FIGURA 24–7 Corte transversal a = Q 1 - 1 = Q ¢ ra - rb ≤ .
través del centro de un capacitor 4p⑀ 0 ¢ rb ra ≤ 4p⑀ 0 ra rb
esférico. El cascarón interior delgado Por último,
tiene radio rb; el cascarón exterior
delgado tiene radio ra. Q 4p⑀ ra rb .
Vba - rb
C = = 0 ¢ ra ≤

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS NOTA Si la separación Dr 5 ra 2 rb es muy pequeña, entonces C 5 4pP0r2/Dr L P0 A/Dr
Concordancia en un caso límite (dado que A 5 4pr2), que es la ecuación para las placas paralelas (ecuación 24-2).

Es posible también considerar la capacitancia C de un conductor aislado sencillo.
En este caso, C también puede definirse como la razón de la carga al potencial absolu-
to V sobre el conductor (con respecto a V 5 0 en r 5 q), así que la relación

Q = CV

sigue siendo válida. Por ejemplo, el potencial de una esfera conductora sencilla de ra-
dio rb puede obtenerse de nuestros resultados en el ejemplo 24-3, haciendo que ra sea
infinitamente grande. Conforme ra S q, entonces

V = Q 1 - 1 = 1 Q ;
4p⑀ 0 ¢ rb ra ≤ 4p⑀ 0 rb

de manera que su capacitancia es

C = Q = 4p⑀ 0 rb .
V

En algunos casos prácticos, un conductor sencillo puede estar cerca de otros conducto-
res o de la Tierra (que se pensaría como la otra “placa” del capacitor), los cuales afec-
tarán el valor de la capacitancia.

FIGURA 24–8 Ejemplo 24–4. EJEMPLO 24–4 Capacitancia de dos alambres largos paralelos. Estime la ca-
pacitancia por unidad de longitud de dos alambre rectos muy largos, cada uno de radio
a b R, con cargas uniformes 1Q y –Q, que están separados una distancia d, la cual es
d grande en comparación con R (d W R) (figura 24-8).

x PLANTEAMIENTO Calculamos la diferencia de potencial entre los alambres conside-
rando el campo eléctrico en cualquier punto entre ellos como la superposición de los
–Q EB +Q dos campos creados por cada uno de los alambres. (El campo eléctrico dentro de ca-
da alambre conductor es 0).
SOLUCIÓN El campo eléctrico afuera de un conductor largo y recto lo dedujimos en los
ejemplos 21-11 y 22-6; además, vimos que es radial y está dado por E = l͞(2p⑀ 0 x)
donde l es la carga por unidad de longitud, l 5 Qyl. El campo eléctrico total a una
distancia x del alambre izquierdo en la figura 24-8 tiene una magnitud

E = l + l ,
2p⑀ 0 x 2p⑀ 0(d - x)

y apunta a la izquierda (de 1 a –). Ahora encontramos la diferencia de potencial en-
tre los dos alambres usando la ecuación 23-4a e integrando a lo largo de una línea

632 CAPÍTULO 24 Capacitancia, dieléctricos y almacenamiento de energía eléctrica

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