Física para ciencias e ingeniería Volumen II, 4ta Edición – Douglas C. Giancoli

TABLA 43–4 Lista parcial de hadrones pesados, con encanto y fondo o belleza (Le ‫ ؍‬LM ‫ ؍‬LT ‫ ؍‬0)

Número

Anti- Masa bariónico Extrañeza Encanto Fondo o belleza Vida media Principales modos de
Categoría Partícula partícula Espín S c b (s) decaimiento
(MeV͞c2) B
0 ±1 0 10.6 * 10–13 K + otros, e + otros
Mesones D± D– 0 1869.4 0 0 ±1 0 4.1 * 10–13 K + otros, m ó e + otros
D0 °0 0 1864.5 0 ±1 ±1 0 5.0 * 10–13 K + otros
0 1968 0 0 Hadrones, e±e–, m±m–
DS± DS– 1 3096.9 0 0 0 0 L 10–20 Hadrones, m±m–, e±e–, t±t–
J͞c (3097) Mismo 1 9460 0 0 0 0 L 10–20 D0 + otros
⌼ (9460) 0 5279 0 0 0 –1 1.6 * 10–12 D0 + otros
Mismo 0 5279 0 0 –1 1.5 * 10–12
B– 0 Hadrones (por ejemplo,
B0 B± ±1 0 2.0 * 10–13 ¶ + otros)
•0
¶c±p±
Bariones ¶c± ¶c– 1 2286 ±1
2 ¶c±p0
¶c±p–
©c±+ ©c- - 1 2454 ±1 0 ±1 0 L 10–21
2
©c± ©c– 2453 ±1 0 ±1 0 L 10–21
©0c †c0 1 2454 ±1 0 ±1 0 L 10–21
2
1
2

Todos los quarks tienen espín 1 y una carga eléctrica ya sea de ± 2 e o – 1 e
2 3 3
(esto es, una fracción de lo que anteriormente se consideraba la carga más pequeña e).
Los antiquarks tienen signo opuesto de carga eléctrica Q, número bariónico B, extra-
ñeza S, encanto c, belleza b y verdad t . En la tabla 43-3 se mencionan otras propieda- FIGURA 43–15 Composiciones de
des de los quarks. quarks para varias partículas. (Véase el
Todos los hadrones se consideran como constituidos por combinaciones de quarks
pliego a color al final del libro).

(más los gluones que los mantienen unidos) y sus propiedades se describen al observar + 2 e u u + 2 e
su contenido de quarks. Los mesones consisten en un par quark-antiquark. Pro ejem- 3 3

plo, un mesón p1 es una combinación um: Note que para el par um (tabla 43-3), d Protón

Q= 2 e + 13uez, = ±1e, B = 1 - 1 = 0, S =0 + 0 = 0, como debe ser para un p1; – 1 e
y un 3 = con Q = ±1, 3 3 0, S = ±1. 3
K± B=
Los bariones, por otra parte, consisten en tres quarks. Por ejemplo, un neutrón es
n 5 ddu, mientras que un antiprotón es o = u u m. Véase la figura 43-15. Todas las par- + 2 e u d – 1 e
3 3
Neutrón
tículas extrañas contienen un quark s ó z mientras que las partículas encantadas contie-
nen un quark c o l. En la tabla 43-4 se mencionan algunos de estos hadrones. d

Después de que se propuso la teoría de los quarks, los físicos comenzaron a buscar – 1 e
3

estas partículas con carga fraccional, pero la detección directa no ha tenido éxito. Los + 2 + 1
modelos actuales sugieren que los quarks podrían estar tan firmemente enlazados que 3 3
e u d- e p+

es posible que no existan de manera individual en el estado libre. Pero las observacio-
nes de electrones de muy alta energía dispersados a partir de protones sugieren que los
protones, de hecho, están conformados por partículas constituyentes.
En la actualidad, se considera que las verdaderas partículas elementales son los
seis quarks, los seis leptones y los bosones de norma que conducen las fuerzas funda- - 2 e – 1 e
3 -u d 3 p-

mentales. Véase la tabla 43-5, donde los quarks y los leptones se ordenan en tres “fami-
lias” o “generaciones”. La materia ordinaria (átomos hechos de protones, neutrones y
electrones) se incluye en la “primera generación”. Se piensa que los otros existieron en
los inicios del Universo, y actualmente sólo se ven mediante poderosos aceleradores o 2 1
+ 3 e -s + 3 e K+

en rayos cósmicos. Todos los cientos de hadrones se pueden explicar mediante combi- u
naciones de los seis quarks y los seis antiquarks.

EJERCICIO D Regrese a las preguntas de inicio de capítulo, página 1164, y respóndalas de
nuevo ahora. Trate de explicar por qué quizá usted las respondió de manera diferente la
primera vez.

TABLA 43–5 Las partículas fundamentales† como se ven hoy

Bosones Fuerza Primera Segunda Tercera
de norma generación generación generación

Gluones Fuerte Quarks u, d s, c b, t
W&, Z0 Débil Leptones e, ne m, nm t, nt
EM
g(fotón)

†Tanto los quarks como los leptones se ordenan en tres generaciones.

SECCIÓN 43–9 Quarks 1183

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EJEMPLO CONCEPTUAL 43–9 Combinaciones de quarks. Determine el núme-
ro bariónico, la carga y la extrañeza de las siguientes combinaciones de quarks e iden-
tifique la partícula hadrón que se constituye con estas combinaciones de quarks:
a) udd, b) uu, (c) uss, d) sdd y e) bu.

RESPUESTA Con base en la tabla 43-3 determine las propiedades de los quarks, luego
utilice la tabla 43-2 o la 43-4 para encontrar la partícula que tiene estas propiedades.

a) udd tiene

Q = ± 2 e - 1 e - 1 e = 0,
3 3 3
1 1 1
B = 3 + 3 + 3 = 1,

S = 0 + 0 + 0 = 0,

así como c 5 0, belleza 5 0, verdad 5 0. El único barión (B 5 11) que tiene Q 5 0,
S 5 0, etcétera, es el neutrón (tabla 43-2).

b) uu tiene Q = 2 e - 32(edm=ta0m, Bbié=n 1 - 1 = 0, y todos los otros números cuánticos
5 0. Suena como 3 p0 3 3 p0).
un da un

c) uss tiene Q 5 0, B 5 11, S 5 22, otros 5 0. Éste es un ⌶0.

d) sdd tiene Q 5 21, B 5 11, S 5 21, de manera que debe ser un S2.

e) bu tiene Q 5 21, B 5 0, S 5 0, c 5 0, belleza 5 21, verdad 5 0. Éste debe ser un
mesón B2 (tabla 43-4).

EJERCICIO E ¿Cuál es la composición de quarks de un mesón K2?

43–10 El “modelo estándar”:

Cromodinámica cuántica (QCD)
y la teoría electrodébil

No mucho tiempo después de que se propuso la teoría de los quarks, se sugirió que és-
tos tenían otra propiedad (o cualidad) llamada color, o “carga de color” (análoga a la
carga eléctrica). La distinción entre los seis tipos de quarks (u, d, s, c, b, t) se designó
como sabor. De acuerdo con la teoría, cada uno de los sabores de quark puede tener
tres colores, por lo general designados rojo, verde y azul. (Éstos son los tres colores pri-
marios que, cuando se suman en cantidades adecuadas, como en una pantalla de tele-
visión, producen blanco). Advierta que los términos “color” y “sabor” no tienen nada
que ver con los sentidos, sino que son meramente caprichosos, como otros nombres
—como el de encanto— en este nuevo campo. (Sin embargo, en la figura 43-15 sí se
“colorearon” los quarks; véase el pliego a color al final del libro.) Los antiquarks tie-
nen colores antirrojo, antiverde y antiazul. Los bariones están constituidos por tres
quarks, uno de cada color. Los mesones consisten en un par quark-antiquark de un color
particular y su anticolor. Por consiguiente, bariones y mesones son incoloros o blancos.
Originalmente, la idea del color del quark se propuso para preservar el principio
de exclusión de Pauli (sección 39-4). No todas las partículas obedecen el principio de
exclusión. Las que lo hacen, como electrones, protones y neutrones, se llaman fermio-
nes. Las que no lo obedecen se llaman bosones. Estas dos categorías se distinguen tam-
bién por su espín (sección 39-2): los bosones tienen espín entero (0, 1, 2, etcétera),
mientras que los fermiones tienen espín de mfeerdmioionenestetrioen, epnorelsopígne32n,e52r,alet21céctoemrao. en
el caso de electrones y nucleones, pero otros La
materia se constituye principalmente de fermiones, pero los portadores de las fuerzas
(g, W, Z y gluones) son todos bosones. Los quarks son fermiones (tienen espín 1 ) y, por
2
lo tanto, deben obedecer el principio de exclusión. Aunque para tres bariones particu-
lares (uuu, ddd y sss) los tres quarks tendrían los mismos números cuánticos, y al me-
nos dos quarks tendrían su espín en la misma dirección (pues sólo hay dos elecciones,
espín hacia arriba 1 o espín hacia abajo 1 ). Esto parecería violar el
C ms = ± 2 D C ms = – 2 D

principio de exclusión; pero si los quarks tienen un número cuántico adicional (color),
que es diferente para cada quark, esto serviría para distinguirlos y permitir que el prin-
cipio de exclusión se cumpla. Aunque el color de quark, y el resultante aumento triple
en el número de quarks, originalmente fue una idea ad hoc, también sirvió para hacer
que la teoría tuviera mayor concordancia con los experimentos, como los de predecir el
tiempo de vida correcto del mesón p0 y la tasa medida de producción de hadrones en
las colisiones e1e2 observadas en los aceleradores. La idea de color pronto se convirtió
en una característica central de la teoría, pues determina la fuerza de enlace que man-
tiene unidos a los quarks en un hadrón.
1184 CAPÍTULO 43

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p n
du d
u
du

u (azul) d (rojo) pn

p± udd u ud

Gluón

u (rojo) d (azul) np np
b) c)
a)

FIGURA 43–16 a) La fuerza entre dos quarks que los mantiene unidos como parte de un protón, por ejemplo, es
conducida por un gluón, que en este caso implica un cambio en color. b) Interacción fuerte n + p S n + p con el

intercambio de un mesón p con carga (1 o 2, dependiendo de si se considera en movimiento hacia la izquierda o
hacia la derecha). c) Representación de quarks de la misma interacción n + p S n + p. Las espirales entre quarks

representan intercambios de gluón que mantienen unidos a los hadrones. (El mesón de intercambio se puede
considerar como ud emitido por el n y absorbido por el p, o como ud emitido por p y absorbido por n, porque un
quark u (o d) que va hacia la izquierda en el diagrama es equivalente a un u (o d) que va hacia la derecha).

Se supone que cada quark porta una carga de color, análoga a la carga eléctrica, y FIGURA 43–17 Representación de
la fuerza fuerte entre quarks se conoce como fuerza de color. Esta teoría de la fuerza quarks del diagrama de Feynmann
fuerte se llama cromodinámica cuántica (croma 5 color en griego), o QCD (por las si- para decaimiento b de un neutrón en
glas de quantum chromodynamics), para indicar que la fuerza actúa entre cargas de co- un protón.
lor (y no entre cargas eléctricas, por ejemplo). La fuerza fuerte entre dos hadrones se
considera como una fuerza entre los quarks que los constituyen, como se sugiere en la
figura 43-16. Las partículas que transmiten la fuerza de color (análoga a los fotones para
la fuerza EM) se llaman gluones (por la palabra en inglés “glue”, que significa pegamen-
to). Se incluyen en las tablas 43-2 y 43-5. Existen ocho gluones, de acuerdo con la teo-
ría, todos sin masa y todos con carga de color.†

Tal vez usted se pregunte qué ocurriría si intentáramos ver un solo quark con color,
llegando a las profundidades de un hadrón para extraer un solo quark. Los quarks están
tan firmemente enlazados a otros quarks que extraer uno requeriría una tremenda can-
tidad de energía, tanta que sería suficiente para crear más quarks (E 5 mc2). De hecho,
tales experimentos se llevan a cabo en los modernos colisionadores de partículas y todo
lo que se obtiene son más hadrones (pares quark-antiquark, o tripletes, que se observan
como mesones o bariones), pero nunca un quark aislado. Esta propiedad de los quarks,
que siempre se enlazan en grupos que no tienen color, se llama confinamiento.

La fuerza de color tiene la interesante propiedad de que, conforme dos quarks se
aproximan mucho uno hacia el otro (de manera equivalente, tienen alta energía), la
fuerza entre ellos se reduce. Este aspecto se conoce como libertad asintótica.

Como hemos visto, la fuerza débil se considera mediada por las partículas W1, W2
y Z0. Actúa entre las “cargas débiles” que tiene cada partícula. En consecuencia, cada
partícula elemental puede tener carga eléctrica, carga débil, carga de color y masa gravi-
tacional, aunque una o más de éstas podrían ser cero. Por ejemplo, todos los leptones
tienen una carga de color igual a cero, así que no interactúan mediante la fuerza fuerte.

EJEMPLO CONCEPTUAL 43–10 Decaimiento beta. Dibuje un diagrama de Feyn-
mann que muestre lo que ocurre en un decaimiento beta utilizando quarks.

RESPUESTA El decaimiento beta es resultado de la interacción débil, y el mediador p
es una partícula W6 o una Z0. Lo que ocurre, en parte, es que un neutrón (quarks udu
udd) decae en un protón (uud). Aparentemente un quark d (carga 1 e) se convierte e-
en un quark u (carga 2 e). Conservación de carga significa que – 3quark d emitió ␯e
3 un
±
una partícula con carga negativa, a saber, una W2. Dado que un electrón y un anti-
neutrino aparecen en el estado final, deben provenir del decaimiento del W2 virtual, W-

como se muestra en la figura 43-17.

†Compare con la interacción EM, donde el fotón no tiene carga eléctrica. Puesto que los gluones tienen udd
carga de color, podrían atraerse mutuamente y formar partículas compuestas (los fotones no pueden). n
En la actualidad se buscan tales “glueballs” (bolas de pegamento).

SECCIÓN 43–10 El “modelo estándar”: Cromodinámica cuántica (QCD) y la teoría electrodébil 1185

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Para resumir, el modelo estándar dice que las verdaderas partículas fundamentales
(tabla 43-5) son los leptones, los quarks y los bosones de norma (fotón, W y Z, y los
gluones). El fotón, los leptones, y las partículas W1, W2 y Z0 se han observado en expe-
rimentos. Pero hasta el momento sólo se han observado combinaciones de quarks (ba-
riones y mesones), y parece probable que los quarks libres y los gluones sean
inobservables.

Un aspecto importante del trabajo teórico es el intento por encontrar una base
unificada para las diferentes fuerzas en la naturaleza. Éste fue un ferviente deseo de
Einstein, que nunca pudo satisfacer. S. Weinberg, S. Glashow y A. Salam propusieron
en la década de 1960 una llamada teoría de norma que unifica las interacciones débil y
electromagnética. En esta teoría electrodébil, las fuerzas débil y electromagnética se ven
como dos manifestaciones diferentes de una sola interacción más fundamental, la elec-
trodébil. La teoría electrodébil ha tenido muchos éxitos, incluida la predicción de las
partículas W6 como portadoras de la fuerza débil, con masas de 80.3860.02 GeV͞c2
en excelente concordancia con los valores medidos de 80.40360.029 GeV͞c2 (y simi-
lar exactitud para la Z0).

La combinación de la teoría electrodébil más QCD para la interacción fuerte con
frecuencia se conoce en la actualidad como modelo estándar.

EJEMPLO 43–11 ESTIMACIÓN Rango de la fuerza débil. La fuerza nuclear
débil es de muy corto alcance, lo que significa que sólo actúa sobre una distancia muy
corta. Estime su rango empleando las masas (tabla 43-2) de W6 y Z: m L 80 o
90 GeV͞c2 L 102 GeV͞c2.

PLANTEAMIENTO Suponemos que las partículas de intercambio W± o Z0 pueden
existir durante un tiempo Dt dado por el principio de incertidumbre, ¢t L U ͞¢E,
donde DE L mc2 es la energía necesaria para crear la partícula virtual (W6, Z) que
conduce la fuerza débil.

SOLUCIÓN Sea Dx la distancia que puede recorrer la partícula virtual W o Z antes
de que se reabsorba dentro del tiempo ¢t L U ͞¢E. Para encontrar un límite supe-
rior sobre Dx, y por lo tanto el rango máximo de la fuerza débil, dejamos que W o
Z viajen cerca de la rapidez de la luz, de manera que ¢x f c ¢t. Al recordar que
1 GeV 5 1.6 3 10210 J, entonces

¢x f c ¢t L cU L A3 * 108 m͞sB A10–34 J и sB L 10–18 m.
¢E A102 GeVB A1.6 * 10–10 J͞GeVB

De hecho, éste es un rango muy pequeño.

NOTA Compare esto con la fuerza electromagnética cuyo rango es infinito (1yr2 nun-
ca se vuelve cero para cualquier r finito), lo cual tiene sentido porque la masa de su
partícula virtual de intercambio, el fotón, es cero (en el denominador de la ecuación
anterior).

En la sección 43-2 se hizo un cálculo similar para la fuerza fuerte, y se estimó la
masa del mesón p como partícula de intercambio entre nucleones, con base en el ran-
go aparente de 10215 m (tamaño de núcleos). Éste es sólo un aspecto de la fuerza fuer-
te. En la visión más profunda, esto es, la fuerza de color entre quarks dentro de un
nucleón, los gluones tienen masa cero, lo que implica (véase la fórmula anterior en el
ejemplo 43-11) un rango infinito. Podría esperarse un rango de aproximadamente 10215
m; pero de acuerdo con el modelo estándar, la fuerza de color es débil a distancias muy
cortas y aumenta considerablemente con la distancia (lo que causa confinamiento de
quarks). Por consiguiente, su rango podría ser infinito.

Los teóricos se preguntan por qué W y Z tienen masas tan grandes en lugar de no
tener masa, como el fotón. La teoría electrodébil sugiere una explicación mediante un
hipotético campo de Higgs y su partícula, el bosón de Higgs, que interactúa con W y Z
para “frenarlas”. Al verse forzadas a viajar más lentamente que la rapidez de la luz, de-
berían tener masa (m 5 0 sólo si v 5 c). De hecho, se cree que el Higgs permea el va-
cío (“espacio vacío”) y quizá confiere masa a todas las partículas con masa al frenarlas.
La búsqueda del bosón de Higgs será una prioridad para los físicos de partículas ele-
mentales que realicen experimentos en el Gran Colisionador de Hadrones del CERN
(sección 43-1). Hasta el momento, la investigación sugiere que la masa del Higgs es ma-
yor que 115 GeVyc2, aunque se espera tenga una masa no mayor de 1 TeVyc2. Habrá
que estar pendientes de ello.

1186 CAPÍTULO 43 Partículas elementales

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43–11 Teorías de la gran unificación FIGURA 43–18 Simetría en torno
a una mesa. Ejemplo 43-12.
El modelo estándar, a pesar de todo su éxito, no puede explicar algunos temas impor-
tantes, como por qué la carga en el electrón tiene exactamente la misma magnitud que
la carga del protón. Esto es crucial, porque si las magnitudes de carga fueran apenas li-
geramente diferentes, los átomos no serían neutros y las grandes fuerzas eléctricas re-
sultantes seguramente habrían impedido toda posibilidad de vida. De hecho, el modelo
estándar ahora se considera como una aproximación de baja energía de una teoría más
completa.

Con el éxito de la teoría electrodébil unificada, los teóricos intentan incorporarla,
junto con la QCD, para la fuerza fuerte (de color), en una llamada teoría de la gran
unificación (TGU).

Una de esas teorías de la gran unificación ha trabajado con las fuerzas electromag-
nética, débil y fuerte en la que sólo hay una clase de partícula (leptones y quarks per-
tenecen a la misma familia y son capaces de cambiar libremente de un tipo al otro) y
las tres fuerzas son diferentes aspectos de una sola fuerza fundamental. Sin embargo, se
predice que la unidad sólo ocurrirá a una escala menor a aproximadamente 10231 m, lo
que corresponde a una energía de partícula de alrededor de 1016 GeV. Si dos partículas
elementales (leptones o quarks) se aproximan una hacia otra dentro de esta escala de
unificación, la distinción aparentemente fundamental entre ellas no existiría a este ni-
vel, y un quark fácilmente podría transformarse en un leptón, o viceversa. Los números
bariónico y leptónico no se conservarían. Las fuerzas débil, electromagnética y fuerte
(de color) se mezclarían en una fuerza de una sola intensidad.

Lo que ocurre entre la distancia de unificación de 10231 m y las distancias más nor-
males (que son mayores) se conoce como rompimiento de simetría. Como analogía,
considere un átomo de un cristal. Dentro del átomo hay mucha simetría: en las regiones
más internas la nube de electrones tiene simetría esférica (capítulo 39). Más lejos, esta
simetría se rompe: las nubes de electrones se distribuyen preferentemente a lo largo de
las líneas (enlaces) que unen los átomos en el cristal. En forma similar, a 10231 m, se
teoriza que la fuerza entre partículas elementales es una sola fuerza, es simétrica y no
singulariza un tipo de “carga” sobre otro. Pero a distancias mayores, esa simetría se
rompe y se observan tres fuerzas diferentes. (En el “modelo estándar” de interacciones
electrodébiles, sección 43-10, el rompimiento de simetría entre las interacciones elec-
tromagnética y débil ocurre aproximadamente a 10218 m).

EJEMPLO CONCEPTUAL 43–12 Simetría. La mesa en la figura 43-18 tiene cuatro
servicios idénticos disponibles. Cuatro personas se sientan a comer. Describa la simetría
de esta mesa y qué le sucede cuando alguien comienza a comer.

RESPUESTA La mesa tiene varios tipos de simetría. Es simétrica a rotaciones de 90º:
esto es, la mesa parecerá la misma si todos los comensales se recorren una silla hacia
la izquierda o hacia la derecha. También es simétrica en dirección norte-sur y este-
oeste, de manera que si los comensales cambian de lugar con quien está enfrente, la
forma como se ve la mesa no resulta afectada. Tampoco importa si cualquiera de ellos
toma el tenedor a la izquierda del plato o el tenedor a la derecha. Pero una vez que
la primera persona toma un tenedor, se impone la opción para todo el resto de la me-
sa. La simetría se rompe. La simetría fundamental todavía está ahí (los vasos aún se
podrían elegir de cualquier forma), pero se tiene que hacer alguna elección y en ese
momento la simetría de los comensales se rompe.

Otro ejemplo de rompimiento de simetría es un lápiz colocado verticalmente so-
bre su punta antes de caer. Al estar en posición vertical, parece igual desde cualquier
dirección horizontal. Desde arriba, es un pequeño círculo. Pero cuando cae a la mesa,
apunta en una dirección particular: la simetría se rompe.

Decaimiento de protones

Puesto que la unificación se considera que ocurre a distancias tan pequeñas y enormes
energías, la teoría es difícil de poner a prueba de manera experimental. Pero no es del
todo imposible. Una predicción comprobable es la idea de que el protón puede decaer
(mediante, por ejemplo, p S p0 + e±) y violar la conservación del número bariónico.
Esto podría ocurrir si dos quarks se aproximan a menos de 10231 m uno de otro. Pero
es muy improbable a temperatura y energía normales, así que el decaimiento de un
protón sólo puede ser un proceso improbable. En la forma más simple de la TGU, la

SECCIÓN 43–11 Teorías de la gran unificación 1187

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estimación teórica de la vida media del protón para el modo de decaimiento
p S p0 + e± es aproximadamente 1031 años, y ahora está dentro del terreno de lo ve-
rificable.† Los decaimientos de protón todavía no se han visto, y los experimentos colocan
el límite inferior de la vida media del protón para el modo anterior en alrededor de
1033 años, un poco mayor que esta predicción. Esto parece ser una desilusión, pero por otra
parte supone un reto. De hecho, este resultado no afecta a las TGU más complejas.

EJEMPLO 43–13 ESTIMACIÓN Decaimiento de protón. Un experimento usa
3300 toneladas de agua con la esperanza de ver un decaimiento de protón del tipo
p S p0 + e±. Si el experimento se realiza durante 4 años sin detectar un decai-
miento, estime el límite inferior de la vida media del protón.
PLANTEAMIENTO Al igual que sucede con el decaimiento radiactivo, el número
de decaimientos es proporcional al número de especies precursoras (N), el interva-
lo de tiempo (Dt) y la constante de decaimiento (l) que se relaciona con la vida me-
dia t mediante (véanse las ecuaciones 41-4 y 41-9a):

¢N = –lN ¢t = – N ¢t .
t

SOLUCIÓN Al tratar sólo con magnitudes, despejamos t:

t = N ¢t .
¢N

Por lo tanto, para DN , 1 durante el ensayo de cuatro años,

t 7 N (4 años),

donde N es el número de protones en 3300 toneladas de agua. Para determinar N, note
que cada molécula de H2O contiene 2 1 8 5 10 protones. Así que un mol de agua (18
g, 6 3 1023 moléculas) contiene 10 3 6 3 1023 protones en 18 g de agua, o aproximada-
mente 3 3 1026 protones por kilogramo. Una tonelada es 103 kg, así que la cámara con-
tiene (3 3 1026 kg)(3 3 1026 protonesykg) L 1 3 1033. Entonces la estimación para un
límite inferior de la vida media del protón es t . (1033)(4 años) L 4 3 1033 años.

FIGURA 43–19 Gráfica de tiempo TGU y cosmología
y energía de las cuatro fuerzas
fundamentales, unificada al tiempo de Una interesante predicción de las teorías de la unificación se relaciona con la cosmolo-
Planck, y cómo se condensa cada una. gía (capítulo 44). Se cree que durante los primeros 10235 s después de la Gran Explo-
El símbolo tabu significa tiempo sión (Big Bang) que, de acuerdo con la teoría, creó el Universo, la temperatura fue tan
después (after) del nacimiento (birth) extremadamente alta que las partículas tenían energías correspondientes a la escala de
del universo. Note que la energía de unificación. Entonces el número bariónico no se habría conservado, lo que tal vez per-
partícula típica (y la temperatura mitió un desequilibrio que podría explicar el predominio observado de la materia (B . 0)
promedio del Universo) disminuye sobre la antimateria (B , 0) en el Universo. El hecho de que estemos rodeados por
hacia la derecha, conforme aumenta el materia, sin antimateria significativa a la vista, se considera un problema en búsqueda
tiempo después de la Gran Explosión. de una explicación (que no brinda el modelo estándar). Véase también el capítulo 44.
En el siguiente capítulo se estudiará la A esto se le llama el problema materia-antimateria. Para comprenderlo tal vez habría
Gran Explosión. que recurrir a fenómenos aún sin descubrir, quizá relacionados con quarks o neutrinos,
o el bosón de Higgs o la supersimetría (próxima sección).
Intensidad relativa Tiempo Gran
de unificación Este último ejemplo es interesante, porque ilustra una profunda conexión entre in-
Planck TGU Fuerte vestigaciones en cualquier extremo de la escala de tamaño: teorías acerca de los obje-
tos más pequeños (partículas elementales) que tienen una fuerte relación con la
Electrodébil EyM comprensión del Universo a gran escala. En el siguiente capítulo se tratará esto con
Gravedad Débil más detalle.

Energía (GeV) 1018 1014 1010 106 102 1 La figura 43-19 es un diagrama que indica cómo se “condensaron” las cuatro fuer-
zas fundamentales de la naturaleza (se rompió una simetría) conforme transcurrió el
1013 tiempo después de la Gran Explosión (capítulo 44), y cómo disminuyó la temperatura
10Ϫ11 s media del Universo y la energía de partícula típica.

T (K) 1033 1025

tabu (s) 10Ϫ43 s

†Esto es mucho mayor que la edad del Universo (L 14 3 109 años). Pero no es necesario esperar 1031
años para verlo. En vez de ello se puede esperar un decaimiento entre 1031 protones durante un año

(véanse las ecuaciones 41-4 y 41-9a, ¢N = lN ¢t = N ¢t͞t ).

1188 CAPÍTULO 43 Partículas elementales

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43–12 Cuerdas y supersimetría

Hemos visto que el modelo estándar es incapaz de enfrentar importantes temas expe-
rimentales, y que los teóricos atacan el problema como experimentadores en busca de
nuevos datos, partículas y conceptos.

Aun más ambiciosos que las teorías de la gran unificación son los intentos por in-
corporar también la gravedad, que, por lo tanto, reunirían a las cuatro fuerzas en la na-
turaleza en una sola teoría. (Tales teorías a veces se conocen engañosamente como
teorías del todo). Existen teorías consistentes que intentan unificar las cuatro fuerzas
llamadas teorías de cuerdas, en las que cada partícula fundamental (tabla 43-5) se ima-
gina no como un punto, sino como una cuerda unidimensional, de quizá 10235 m de lar-
go, que vibra en un patrón de onda estacionaria particular. (Podríamos decir que cada
partícula es una nota diferente sobre una pequeña cuerda estirada). Las teorías más
complejas proponen las entidades fundamentales como branas multidimensionales (el
vocablo brana proviene de membranas bidimensionales).

Una idea relacionada que también va más allá del modelo estándar es la supersime-
tría, que aplicada a las cuerdas se conoce como teoría de supercuerdas. La supersimetría,
que desarrollaron Bruno Zumino (n. 1923) y Julius Wess (1934-2007), predice que existen
interacciones que transformarían fermiones en bosones y viceversa, y que cada fermión
conocido tendría un compañero bosón supersimétrico de la misma masa. Así, para cada
quark (un fermión), habría un squark (un bosón) o quark “supersimétrico”. Para ca-
da leptón habría un sleptón. Del mismo modo, para cada bosón conocido (fotones y
gluones, por ejemplo), habría un fermión supersimétrico (fotinos y gluinos). La supersi-
metría también predice que un gravitón, que transmite la fuerza de gravedad, tiene un
compañero, el gravitino. Las partículas supersimétricas en ocasiones se llaman “SUSY”
(por supersymmetric en inglés) para abreviar, y son candidatas para la “materia oscura”
del Universo (que se estudia en el capítulo 44). Pero, ¿por qué no se ha detectado esta
“parte perdida” del Universo? La mejor suposición es que las partículas supersimétricas
pueden ser más pesadas que sus contrapartes convencionales, tal vez demasiado pesadas
para producirse en los aceleradores actuales. Una búsqueda de partículas supersimétricas
ya está en la agenda de trabajo del Gran Colisionador de Hadrones del CERN.

Las versiones de la supersimetría predicen otras propiedades interesantes, por
ejemplo, que el espacio tiene 11 dimensiones, pero 7 de ellas están “enrolladas” de ma-
nera que normalmente sólo se aprecian las cuatro dimensiones del espacio-tiempo. Los
científicos quisieran saber si existen dimensiones adicionales y cuántas son, además de
cómo y por qué se esconden. Esperan tener algunas respuestas a partir del nuevo LHC
y del futuro ILC (sección 43-1).

El mundo de las partículas elementales está abierto a nuevos panoramas. Lo que
ocurra en el futuro promete ser emocionante.

Resumen Las propiedades encanto, belleza y verdad también se conservan
mediante la fuerza fuerte, pero no por la fuerza débil.
Los aceleradores de partículas se usan para acelerar partículas con
carga, como electrones y protones, a muy alta energía. Las partícu- Así como se puede decir que la fuerza electromagnética se de-
las de alta energía tienen longitud de onda corta y, por lo tanto, se be a un intercambio de fotones, la fuerza nuclear fuerte es transpor-
pueden usar para sondear la estructura de la materia con más deta- tada por los gluones sin masa. Las partículas W y Z conducen la
lle (a distancias muy pequeñas). La alta energía cinética también fuerza débil. Estos portadores de fuerza fundamental (fotón, W y Z,
permite la creación de nuevas partículas a través de colisiones (me- gluones) se llaman bosones de norma.
diante E 5 mc2).
Otras partículas se pueden clasificar ya sea como leptones o como
Los ciclotrones y sincrotrones usan un campo magnético para hadrones. Los leptones participan sólo en las interacciones gravita-
mantener las partículas en una trayectoria circular y acelerarlas a cional, débil y electromagnética. Los hadrones, que en la actualidad se
intervalos mediante alto voltaje. Los aceleradores lineales aceleran consideran constituidos por quarks, participan en las cuatro interac-
partículas a lo largo de una línea. Los haces colisionantes permiten ciones, incluida la interacción fuerte. Los hadrones se clasifican en
mayor energía de interacción. mesones, con número bariónico cero, y bariones, con número barió-
nico distinto de cero.
Una antipartícula tiene la misma masa que una partícula, pero
carga opuesta. Otras propiedades también son opuestas: por ejem- Todas las partículas, excepto los fotones, electrones, neutrinos y
plo, el antiprotón tiene número bariónico (número de nucleón) protones, decaen con vidas medias medibles que varían de 10225 a 103 s.
opuesto (B 5 21) al del protón (B 5 11). La vida media depende de cuál fuerza es predominante. Los decaimien-
tos débiles por lo general tienen vidas medias mayores que aproximada-
En todas las reacciones nucleares y de partículas se cumplen mente 10213 s. Los decaimientos electromagnéticos generalmente tienen
las siguientes leyes de conservación: cantidad de movimiento, canti- vidas medias del orden de 10216 a 10219 s. Las partículas con vidas más
dad de movimiento angular, masa-energía, carga eléctrica, número cortas, llamadas resonancias, decaen mediante la interacción fuerte y
bariónico y números leptónicos. por lo general viven sólo durante aproximadamente 10223 s.

Ciertas partículas tienen una propiedad llamada extrañeza, que Resumen 1189
se conserva mediante la fuerza fuerte, pero no por la fuerza débil.

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El modelo estándar actual de las partículas elementales consi- mental. La QCD más la teoría electrodébil se conocen como mode-
dera a los quarks como los bloques constructores básicos de los ha- lo estándar.
drones. Los seis “sabores” de quark se llaman arriba, abajo, extraño,
encanto, fondo o belleza y cima o verdad. Se espera que haya el Las teorías de la gran unificación de las fuerzas sugieren que, a
mismo número de quarks que de leptones (seis de cada uno) y que distancia muy corta (10231 m) y energía muy alta, las fuerzas débil,
quarks y leptones sean las verdaderas partículas elementales junto electromagnética y fuerte aparecen como una sola fuerza, y que la
con los bosones de norma (g, W, Z, gluones). Se dice que los quarks diferencia fundamental entre quarks y leptones desaparece.
tienen color y, de acuerdo con la cromodinámica cuántica (QCD), la
fuerza de color fuerte actúa entre sus cargas de color y se transmite De acuerdo con la teoría de cuerdas, las partículas fundamen-
mediante gluones. La teoría electrodébil ve a las fuerzas débil y tales podrían ser pequeñas cuerdas, de 10235 m de largo, que se dis-
electromagnética como dos aspectos de una sola interacción funda- tinguen mediante su patrón de onda estacionaria. La supersimetría
sostiene que cada fermión (o bosón) tiene un compañero bosón (o
Preguntas fermión) correspondiente.

1. Indique una reacción entre dos nucleones, similar a la ecuación 10. ¿Cuál de los decaimientos de partícula que se mencionan en la
43-4, que pueda producir un p2.
tabla 43-2 ocurre por la interacción débil?
2. Si un protón se desplaza a rapidez muy alta, de manera que su ,
energía cinética es mucho mayor que su energía en reposo 11. El barión D tiene espín 3 número bariónico 1 y carga Q 5 12,
(mc2), ¿podría decaer mediante p S n + p±? 2
11, 0 o 21. ¿Por qué no hay estado de carga Q 5 22?
3. ¿En qué consistiría un “antiátomo”, formado por las antipartícu-
las de los constituyentes de los átomos normales? ¿Qué ocurri- 12. ¿Cuál de los decaimientos de partícula en la tabla 43-4 ocurre
ría si antimateria, hecha de tales antiátomos, entrara en contacto
con el mundo de materia normal? mediante la interacción electromagnética?

4. ¿Qué partícula en un decaimiento señala la interacción electro- 13. ¿Cuál de los decaimientos de partícula en la tabla 43-4 ocurre
magnética?
mediante la interacción débil?
5. a) ¿La presencia de un neutrino entre los productos de decaimien- Lbaorsioqnueasrktesntgieanneenspeísnpí21nó21 .
to de una partícula necesariamente significa que el decaimiento 14. ¿Cómo explica el hecho de que los
ocurre mediante la interacción débil? b) ¿Todos los decaimientos 3 , y los mesones tengan espín 0o 1?
mediante la interacción débil producen un neutrino? Explique. 2

6. ¿Por qué un neutrón decae mediante la interacción débil aun 15. Suponga que hay un tipo de “neutrinito” que no tiene masa, no
cuando el neutrón y uno de sus productos de decaimiento (pro-
tón) interactúan fuertemente? tiene carga de color ni carga eléctrica, y que no siente la fuerza

7. ¿En cuál de las cuatro interacciones (fuerte, electromagnética, débil. ¿Podría decir que esta partícula incluso existe?
débil, gravitacional) toma parte un electrón? ¿Un neutrino?
¿Un protón? 16. ¿Es posible que una partícula sea tanto a) leptón como barión?

8. Compruebe que la carga y el número bariónico se conservan en b) ¿Barión y hadrón? c) ¿Mesón y quark? d) ¿Hadrón y lep-
cada uno de los decaimientos de la tabla 43-2.
tón? Explique.
9. ¿Cuál de los decaimientos de partícula que se mencionan en la
tabla 43-2 ocurre mediante la interacción electromagnética? 17. Con base en las ideas de la cromodinámica cuántica, ¿sería po-

Problemas sible encontrar partículas constituidas con dos quarks y ningún

antiquark? ¿Y dos quarks y dos antiquarks?

18. ¿Por qué los neutrones pueden decaer cuando son libres, pero

no cuando están dentro de un núcleo estable?

19. ¿Es posible la reacción e– + p S n + Re? Explique.
20. Ocasionalmente, L decaerá mediante la siguiente reacción:

¶0 S p± + e– + Re . ¿Cuál de las cuatro fuerzas en la natu-
raleza es responsable de este decaimiento? ¿Cómo lo sabe?

43–1 Partículas y aceleradores 9. (II) ¿Qué campo magnético se requiere para los protones de
1. (I) ¿Cuál es la energía total de un protón cuya energía cinética 7.0 TeV en el Gran Colisionador de Hadrones (LHC) de 4.25
km de radio?
es 4.65 GeV?
10. (II) Un ciclotrón con un radio de 1.0 m acelerará deuterones
2. (I) Calcule la longitud de onda de electrones de 28 GeV. A12HB a una energía de 12 MeV. a) ¿Cuál es el campo magnético
requerido? b) ¿Qué frecuencia se necesita para el voltaje entre
3. (I) ¿Qué intensidad de campo magnético se usa en un ciclotrón las “des”? c) Si la diferencia de potencial entre las “des” prome-
donde los protones realizan 3.1 3 107 revoluciones por segundo? dia 22 kV, ¿cuántas revoluciones darán las partículas antes de
salir? d) ¿Cuánto tiempo tarda un deuterón en ir desde el inicio
4. (I) ¿Cuál es el tiempo para una revolución completa de un pro- hasta la salida? e) Estime cuánto recorre durante este tiempo.
tón de muy alta energía en el acelerador Fermilab de 1.0 km de
radio? 11. (II) ¿Cuál es la longitud de onda (5 tamaño mínimo resoluble)
de protones de 7.0 TeV?
5. (I) Si partículas a se aceleran mediante el ciclotrón del ejemplo
43-2, ¿cuál debe ser la frecuencia del voltaje aplicado a las “des”? 12. (II) El Tevatrón Fermilab de 1.0 km de radio tarda aproximada-
mente 20 segundos en llevar las energías de los protones alma-
6. (II) a) Si el ciclotrón del ejemplo 43-2 acelera partículas a, cenados de 150 GeV a 1.0 TeV. La aceleración se realiza una
¿qué energía máxima podría lograr? ¿Cuál sería su rapidez? vez por vuelta. Estime la energía impartida a los protones en
b) Repita el cálculo para deuterones A21HB. c) En cada caso, cada vuelta. (Puede suponer que la rapidez de los protones
¿qué frecuencia de voltaje se requiere? en esencia es c todo el tiempo).

7. (II) ¿Qué es mejor para conocer detalles del núcleo: partículas al- 13. (II) Demuestre que la energía de una partícula (carga e) en un
fa de 25 MeV o protones de 25 MeV? Compare cada una de sus sincrotrón, en el límite relativista (v L c), está dada por E (en
longitudes de onda con el tamaño de un nucleón en un núcleo. eV) 5 Brc, donde B es el campo magnético y r es el radio de la
órbita (unidades del SI).
8. (II) ¿Qué intensidad de campo magnético se necesita en el sin-
crotrón Fermilab de 1.0 km de radio para protones de 1 TeV?

1190 CAPÍTULO 43 Partículas elementales

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43–2 a 43–6 Interacciones de partículas, 29. (II) Calcule la energía cinética de cada uno de los dos produc-
intercambio de partículas tos en el decaimiento ⌶– S ¶0 + p–. Suponga que ⌶– decae
14. (I) ¿Aproximadamente cuánta energía se libera cuando una L0 desde el reposo.

decae a n 1 p0? (Véase la tabla 43-2). 30. (II) Es posible producir antiprotones cuando un protón con sufi-
ciente energía choca con un protón estacionario. ¿Cuál de las si-
15. (I) ¿Cuánta energía se libera en el decaimiento guientes reacciones no ocurrirá incluso si hay suficiente energía?
p± S m± + nm? p +p S p +o
p +p S p +p +o
Véase la tabla 43-2. p +p S p +p +p +o
16. (I) Estime el rango de la fuerza fuerte si la partícula mediadora p + p S p + e± + e± + o

fuera un kaón en lugar de un pión. 31. (III) Calcule la máxima energía cinética del electrón cuando un
muón decae desde el reposo mediante m– S e– + Re + nm .
17. (I) ¿Cuánta energía se requiere para producir un par neutrón- [Sugerencia: ¿En qué dirección se mueven los dos neutrinos en
antineutrón? relación con el electrón para impartir a este último la máxima
energía cinética? Tanto la energía como la cantidad de movi-
18. (II) Determine la energía que se libera cuando S0 decae a L0 y miento se conservan; use fórmulas relativistas].
luego a un protón.
32. (III) ¿Se produciría un mesón p1 si un protón de 110 MeV cho-
19. (II) Dos protones se dirigen uno hacia otro con igual rapidez. ca con un protón en reposo? ¿Qué energía cinética mínima de-
¿Qué energía cinética mínima debe tener cada uno si en el pro- be tener el protón entrante?
ceso se debe crear un mesón p0? (Véase la tabla 43-2).
43–7 a 43–11 Resonancias, modelo estándar,
20. (II) ¿Qué energía cinética mínima debe tener cada uno de dos neu- quarks, QCD, TGU
trones, si viajan con la misma rapidez uno hacia otro, chocan y pro-
ducen un par K1K2 además de ellos mismos? (Véase la tabla 43-2.) 33. (I) La vida media de la partícula S0 es 7 3 10220 s. ¿Cuál es la incer-
tidumbre en su energía en reposo? Exprese su respuesta en MeV.
21. (II) Para el decaimiento K0 S p– + e± + ne , determine la
máxima energía cinética de a) el positrón y b) el p2. Suponga 34. (I) El ancho medido del mesón c (3686) es aproximadamente
que K0 está en reposo. 300 keV. Estime su vida media.

22. (II) ¿Cuáles son las longitudes de onda de los dos fotones que se 35. (I) El ancho medido del mesón Jyc es 88 keV. Estime su vida
producen cuando se aniquilan un protón y un antiprotón en reposo? media.

23. (II) La L0 no puede decaer mediante las siguientes reacciones. 36. (I) El mesón B2 es una combinación bu de quarks. a) Demues-
¿Cuáles leyes de conservación se violan en cada una de las tre que esto es consistente para todos los números cuánticos.
reacciones? b) ¿Cuáles son las combinaciones de quarks par B±, B0, •0?
a) ¶0 S n + p–
b) ¶0 S p + K– 37. (I) ¿Cuál es el ancho de energía (o incertidumbre) de a) h0 y
c) ¶0 S p± + p– b) r1? Consulte la tabla 43-2.

24. (II) Para el decaimiento ¶0 S p + p–, calcule a) el valor Q 38. (II) ¿Cuáles de los siguientes decaimientos son posibles? Para
(energía liberada) y b) la energía cinética de p y p2, suponien- aquellos que son prohibidos, explique cuáles leyes se violan.
do que L0 decae desde el reposo. (Use fórmulas relativistas). a) ⌶0 S ©± + p–
b) ⍀– S ©0 + p– + n
25. (II) a) Demuestre, mediante conservación de cantidad de movi- c) ©0 S ¶0 + g + g
miento y de energía, que es imposible que un electrón aislado
irradie únicamente un fotón. b) Con este resultado en mente, 39. (II) ¿Cuáles combinaciones de quarks producen a) un barión
¿cómo podría defender el diagrama de intercambio de fotones ⌶0 un barión ⌶–?
de la figura 43-8?
40. (II) ¿Cuáles son las combinaciones de quark que pueden for-
26. (II) ¿Cuáles serían las longitudes de onda de los dos fotones que mar a) un neutrón, b) un antineutrón, c) una L0, d) una †0?
se producen cuando un electrón y un positrón, cada uno con 420
keV de energía cinética, se aniquilan en una colisión frontal? 41. (II) ¿Qué partículas producen las siguientes combinaciones de
quarks: a) uud, b) u u z, c) us, d) du, e) ls?
27. (II) En el raro decaimiento p± S e± + ne , ¿cuál es la energía
cinética del positrón? Suponga decaimientos p1 desde el reposo. 42. (II) ¿Cuál es la combinación de quarks necesaria para producir
un mesón D0 (Q 5 B 5 S 5 0, c 5 11)?
28. (II) ¿Cuáles de las siguientes reacciones y decaimientos son po-
sibles? Para aquellos que son prohibidos, explique cuáles leyes 43. (II) El mesón DS± tiene S 5 c 5 11, B 5 0. ¿Qué combinación
se violan. de quarks lo produciría?
a) p– + p S n + h0
b) p± + p S n + p0 44. (II) Dibuje un posible diagrama de Feynman empleando quarks
(como en la figura 43-16c) para la reacción p– + p S p0 + n.
c) p± + p S p + e±
45. (II) Dibuje un diagrama de Feynman para la reacción
d) p S e± + ne n + nm S p + m–.
e) m± S e± + Rm
f) p S n + e± + ne 47. Suponga que hay 5.0 3 1013 protones de 1.0 TeV almacenados
en el anillo de 1.0 km de radio del Tevatrón. a) ¿Cuánta co-
Problemas generales rriente (en amperes) transporta este haz? b) ¿Con qué rapidez
tendría que desplazarse un automóvil de 1500 kg para portar la
46. Los tiempos de vida media que se mencionan en la tabla 43-2 misma energía cinética que este haz?
están en términos de tiempo propio, medido en un marco de re-
ferencia donde la partícula está en reposo. Si un leptón tau se Problemas generales 1191
crea con una energía cinética de 950 MeV, ¿de qué longitud
sería su trayectoria, medida en el laboratorio, en promedio, ig-
norando cualquier colisión?

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48. a) ¿Cuánta energía se libera cuando un electrón y un positrón 59. Un protón y un antiprotón se aniquilan mutuamente en reposo
se aniquilan mutuamente? b) ¿Cuánta energía se libera cuando y producen dos piones, p2 y p1. ¿Cuál es la energía cinética de
un protón y un antiprotón se aniquilan mutuamente? (Todas las cada pión?
partículas tienen K L 0.)
60. Para la reacción p + p S 3p + o, donde uno de los protones
49. En el Tevatrón de 1.0 km de radio del Fermilab se inyectan pro- iniciales está en reposo, use fórmulas relativistas para demos-
tones con una energía de 150 GeV. Si se aceleran mediante 2.5 trar que la energía umbral es 6mpc2, igual a tres veces la magni-
MV cada revolución, ¿cuánto recorren y aproximadamente tud del valor Q de la reacción, donde mp es la masa del protón.
cuánto tardan en alcanzar 1.0 TeV? [Sugerencia: Suponga que todas las partículas finales tienen la
misma velocidad.]
50. ¿Cuáles de las siguientes reacciones son posibles y mediante
cuál interacción podrían ocurrir? En el caso de aquellas que 61. ¿Cuál es la energía total de un protón cuya energía cinética es
son prohibidas, explique por qué. 15 GeV? ¿Cuál es su longitud de onda?
a) p– + p S K0 + p + p0
b) K– + p S ¶0 + p0 62. ¿Aproximadamente a qué energía cinética (en eV) la energía
c) K± + n S ©± + p0 + g en reposo de un protón se puede ignorar cuando se calcula su
d) K± S p0 + p0 + p± longitud de onda, si la longitud de onda estará dentro del 1.0%
de su valor verdadero? ¿Cuáles son la longitud de onda y la ra-
e) p± S e± + ne pidez del protón correspondientes?
51. ¿Cuáles de las siguientes reacciones son posibles y mediante
63. Use el modelo de quarks para describir la reacción
cuál interacción podrían ocurrir? En el caso de aquellas que
son prohibidas, explique por qué. o + n S p– + p0.
64. Identifique la partícula faltante en las siguientes reacciones.
a) p– + p S K± + ©–
a) p + p S p + n + p± + ?
b) p± + p S K± + ©± b) p + ? S n + m±
c) p– + p S ¶0 + K0 + p0
d) p± + p S ©0 + p0 65. ¿Qué fracción de la rapidez de la luz c es la rapidez de un pro-
tón de 7.0 TeV?
e) p– + p S p + e– + Re
66. Una partícula en reposo, con una energía en reposo de mc2, de-
52. Un modo de decaimiento para un p1 es p± S m± + nm . ¿Cuál cae en dos fragmentos con energías en reposo de m1c2 y m2c2.
sería el decaimiento equivalente para un p2? Revise las leyes Demuestre que la energía cinética del fragmento 1 es
de conservación.
K1 = 1 C Amc2 - m1 c2B2 - Am2 c2B2D.
53. El rompimiento de simetría ocurre en la teoría electrodébil 2mc2
aproximadamente a 10218 m. Demuestre que esto corresponde
a una energía que está en el orden de la masa de la W6. *Problemas numéricos/por computadora

54. Calcule el valor Q para cada una de las reacciones, ecuación 43-4, * 67. (II) En un experimento de física de partículas para determinar
para producir un pión. el tiempo de vida media de los muones, éstos se hacen entrar a
un centelleador y se observa que decaen. Los estudiantes mues-
55. ¿Cuántos fermiones fundamentales hay en una molécula de trearon los tiempos de vida individuales de los muones que decaen
agua? dentro de un intervalo de tiempo entre 1 ms y 10 ms después de
detenerse en el centelleador. Se supone que los muones obede-
56. La masa de un p0 se puede medir al observar la reacción cen la ley de decaimiento radiactivo R = R0 e–t͞t donde R0 es
p– + p S p0 + n en energía cinética p2 incidente muy baja la actividad desconocida en t 5 0 y R es la actividad (con-
(suponga que es cero). Se observa que el neutrón se emite con teosyms) en el tiempo t. He aquí sus datos:
una energía cinética de 0.60 MeV. Con base en la conservación
de la energía y de la cantidad de movimiento, determine la ma- Tiempo (ms) 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5
sa de p0.
R(t) 55 35 23 18 12 5
57. a) Demuestre que la llamada distancia de unificación de 10231 m
en la teoría de la gran unificación es equivalente a una energía Elabore una gráfica de ln (RyR0) contra tiempo t (ms), y a par-
de aproximadamente 1016 GeV. Use el principio de incertidum- tir del mejor ajuste de la gráfica a una línea recta encuentre la
bre y también la fórmula de la longitud de onda de De Broglie,
y explique cómo se aplican. b) Calcule la temperatura corres- vida media t. El valor aceptado de la vida media del muón es
pondiente a 1016 GeV. t = 2.19703 ms60.00004 ms. ¿Cuál es el error porcentual del

58. Calcule el valor Q para la reacción p– + p S ¶0 + K0, resultado de los estudiantes con respecto al valor aceptado?
cuando piones negativos inciden sobre protones estacionarios.
Estime la energía cinética mínima necesaria del pión para pro-
ducir esta reacción. [Sugerencia: Suponga que L0 y K0 se despla-
zan con la misma velocidad.]

Respuestas a los ejercicios D: c); d).
E: su.
A: 1.24 * 10–18 m = 1.24 am.
B: L 2 * 103 m͞0.1 m L 104.
C: a).

1192 CAPÍTULO 43 Partículas elementales

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Este mapa de todo el cielo (de la sonda WMAP) tiene código de color para representar ligeras variaciones de tem-
peratura en la radiación del fondo de microondas de 2.7 kelvin casi perfectamente uniforme que llega a la Tierra
desde todas direcciones en el cielo. Esta última versión (2006) ofrece información detallada acerca de los orígenes del
Universo y sus estructuras. Las pequeñas variaciones de temperatura, rojo ligeramente más caliente, azul ligeramen-
te más azul (en el orden de 1 parte en 104) son “fluctuaciones cuánticas” que son las semillas a partir de las cuales,
con el tiempo, se formaron las galaxias y los cúmulos de galaxias. (Véase el pliego a color al final del libro.)

En este capítulo, para discutir la naturaleza del Universo como se entiende en la actualidad, se examinan las
últimas teorías acerca de cómo se forman y evolucionan las estrellas y galaxias, incluido el papel de la nucleosíntesis.

Se estudia brevemente la teoría general de la relatividad de Eins-
tein, que trata de la gravedad y la curvatura del es-
pacio. Se da un amplio vistazo a la eviden-
cia para la expansión del Universo
y el modelo estándar que su-
pone que el Universo evo-
lucionó a partir de una
Gran Explosión ini-
cial. Finalmente, se
puntualizan algu-
nos problemas sin
resolver, incluida
la naturaleza de la
materia oscura y la
energía oscura que
constituye la mayor par-
te del Universo.

ÍTUL
P
44Astrofísica O

y cosmología CA

PREGUNTA DE INICIO DE CAPÍTULO: ¡Adivine ahora! CONTENIDO
Hasta hace poco, los astrónomos esperaban que la tasa de expansión del Universo dis-
minuyera. ¿Por qué? 44–1 Estrellas y galaxias
44–2 Evolución estelar:
a) Por la fricción.
b) Por la segunda ley de la termodinámica. nucleosíntesis, y nacimiento
c) Por la gravedad. y muerte de las estrellas
d) Por la fuerza electromagnética. 44–3 Mediciones de distancia
44–4 Relatividad general: Gravedad
E n el capítulo anterior se estudiaron los objetos más pequeños en el Universo: y curvatura del espacio
las partículas elementales. Ahora se dará un salto hacia los objetos más gran- 44–5 El Universo en expansión:
des en el Universo: estrellas, galaxias y cúmulos de galaxias. Estos reinos extre- Corrimiento al rojo y ley de
mos, partículas elementales y el cosmos, están entre los temas más intrigantes y Hubble
excitantes de la ciencia. Y, sorprendentemente, estos dos reinos extremos se relacionan 44–6 La Gran Explosión (Big Bang)
en una forma fundamental, como ya se sugirió en el capítulo 43. y la radiación cósmica de
fondo
El uso de las técnicas e ideas de la física para estudiar los cielos con frecuencia se 44–7 El modelo cosmológico
conoce como astrofísica. Fundamental para la comprensión teórica presente del Uni- estándar: Historia temprana
verso (o cosmos) es la teoría general de la relatividad de Einstein que representa la del Universo
comprensión más completa de la gravitación. Muchos otros aspectos de la física están 44–8 Inflación: Explicación de la
implicados, desde el electromagnetismo y la termodinámica a la física atómica y nu- naturaleza plana, la
clear, así como las partículas elementales. La relatividad general sirve también como el uniformidad y la estructura
cimiento para la cosmología moderna, que es el estudio del Universo como un todo. La 44–9 Materia oscura y energía
cosmología se dedica especialmente a la búsqueda de un marco teórico para compren- oscura
der el Universo observado, su origen y su futuro. Las preguntas que plantea la cosmo- 44–10 Estructura a gran escala del
logía son profundas y difíciles; las posibles respuestas extienden la imaginación. Son Universo
44–11 Finalmente…
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1193

preguntas como: ¿El Universo siempre ha existido o tuvo un comienzo en el tiempo?
Cualquier alternativa es difícil de imaginar: tanto la idea de que el tiempo va hacia
atrás indefinidamente hacia el pasado, como la idea de un momento real cuando co-
menzó el Universo (y en este último caso, ¿qué había antes?). ¿Y qué hay acerca del
tamaño del Universo? ¿Tiene tamaño infinito? Es difícil de imaginar el infinito. ¿O tie-
ne tamaño finito? Esto también es difícil de imaginar, porque si el Universo es finito, no
tiene sentido preguntar qué hay más allá, porque el Universo es todo lo que hay.

En los últimos años, ocurrió tanto progreso en astrofísica y cosmología, que mu-
chos científicos llaman al trabajo reciente una “época dorada” de la cosmología. Nuestra
inspección será cualitativa; sin embargo, se tocarán las principales ideas. Comencemos,
pues, con una mirada a lo que se puede ver más allá de la Tierra.

44–1 Estrellas y galaxias

De acuerdo con los antiguos, los astros, excepto por los pocos que parecían moverse en
relación con los otros (los planetas), estaban fijos en una esfera que llegaba más allá
del último planeta. El Universo estaba cuidadosamente autocontenido, y nosotros en la
Tierra estábamos en su centro o cerca de él. Pero en los siglos posteriores a las primeras
observaciones telescópicas que hizo Galileo del cielo nocturno en 1610, la visión del
Universo cambió drásticamente. Los humanos ya no se colocaban en el centro, y el Uni-
verso se vio como enormemente más grande. Las distancias implicadas son tan grandes
que se les especifica en términos del tiempo que tarda la luz en recorrer la distancia dada:
por ejemplo, 1 segundo luz 5 A3.0 * 108 m͞sB(1.0 s) = 3.0 * 108 m = 300,000 km;
1 minuto luz 5 18 3 106 km; y 1 año luz es

1 año luz = A2.998 * 108 m͞sB A3.156 * 107 s͞añoB
= 9.46 * 1015 m L 1013 km.

Para especificar distancias hacia el Sol y la Luna por lo general se usan metros o kiló-
metros, pero se les podría especificar en términos de luz. La distancia entre la Tierra y
la Luna es de 384,000 km, que es 1.28 segundos luz. La distancia entre la Tierra y el Sol
es 1.50 3 1011 m, o 150,000,000 km; esto es igual a 8.3 minutos luz. Lejos en el Sistema
Solar, Plutón está aproximadamente a 6 3 109 km del Sol, o 6 3 1024 años luz. La es-
trella más cercana a la Tierra, después del Sol, es Proxima Centauri, ubicada a 4.3 años
luz de distancia.

En una noche clara sin Luna, se pueden ver miles de estrellas con grados variables
de brillo, así como la larga franja nubosa conocida como Vía Láctea (figura 44-1). Ga-
lileo fue el primero en observar, con su telescopio, que la Vía Láctea se compone de in-
contables estrellas individuales. Siglo y medio más tarde (alrededor de 1750), Thomas
Wright sugirió que la Vía Láctea era un disco plano de estrellas que se extiende a gran-
des distancias en un plano, a lo que se llama galaxia (término griego que significa “vía
láctea”).

FIGURA 44–1 Secciones de la Vía b)
Láctea. En a) la delgada línea es el
rastro de un satélite artificial de la Tierra
en esta larga exposición de tiempo. El
área diagonal oscura se debe a que el
polvo absorbe luz visible, lo que bloquea
la vista. En b) la vista es hacia el centro
de la galaxia; fotografía tomada en
verano desde Arizona. (Véase el pliego
a color al final del libro.)

a)

1194 CAPÍTULO 44 Astrofísica y cosmología

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La Vía Láctea tiene un diámetro de casi 100,000 años luz y un grosor de aproxima-
damente 2000 años luz. Tiene un “núcleo” central protuberante y brazos en espiral (figu-
ra 44-2). El Sol, que es una estrella como muchas otras, se ubica casi a la mitad desde el
centro galáctico hacia el borde, a unos 26,000 al del centro. Nuestra galaxia contiene
aproximadamente 100 mil millones (1011) de estrellas. El Sol completa su órbita en torno
al centro de la galaxia aproximadamente una vez cada 250 millones de años, de manera
que su rapidez es de alrededor de 200 km/s en relación con el centro de la galaxia. La
masa total de todas las estrellas en nuestra galaxia se estima en aproximadamente 3 3
1041 kg, que es materia ordinaria. Además, hay fuerte evidencia de que la galaxia está ro-
deada por un “halo” invisible de “materia oscura”, que se estudiará en la sección 44-9.

FIGURA 44–2 La Vía Láctea, como aparecería desde el exterior: El Sol 100,000 al
a) “vista lateral” en el plano del disco; b) “vista superior”, viendo b)
hacia abajo sobre el disco. (¡Como si se pudiera ver así, desde el
exterior!) c) Fotografía infrarroja del interior de la Vía Láctea, que
muestra la protuberancia central y el disco de la galaxia. Esta
fotografía con ángulo muy ancho, tomada desde el satélite COBE
(sección 44-6) se extiende sobre 180º del cielo, y para verse de
manera adecuada tendría que enrollarse en un semicírculo con los
ojos del observador en el centro. Los puntos claros son estrellas
cercanas.

El Sol

2000 al

a)

c)

EJEMPLO 44–1 ESTIMACIÓN Masa de nuestra galaxia. Estime la masa total de
la Vía Láctea con los datos orbitales anteriores para el Sol en torno al centro de la gala-
xia. Suponga que la mayor parte de la masa de la galaxia se concentra cerca de su centro.

PLANTEAMIENTO Suponemos que el Sol (incluido el Sistema Solar) tiene masa to-
tal m y se mueve en una órbita circular en torno al centro de la galaxia (masa total
M) y que la masa M se puede considerar como ubicada en el centro de la galaxia.
Luego aplique la segunda ley de Newton, F 5 ma, con a como la aceleración centrí-
peta, a 5 v2yr, y F la ley de gravitación universal (capítulo 6).
SOLUCIÓN El Sol y el Sistema Solar orbitan el centro de la galaxia, de acuerdo con
las mejores mediciones mencionadas anteriormente, con una rapidez aproximada de
v 5 200 kmys a una distancia del centro de la galaxia de aproximadamente r 5 26 000
años luz. Empleamos la segunda ley de Newton:

F = ma

G Mm = m v2
r2 r

donde M es la masa de la galaxia y m es la masa del Sol y el Sistema Solar. Al resol-
ver esto se obtiene

M = rv2 L (26,000 años luz)A1016 m͞años luzB A2 * 105 m͞sB2 L 2 * 1041 kg.
G 6.67 * 10–11 N и m2͞kg2

NOTA En términos de números de estrellas, si son como el Sol (m 5 2.0 3 1030 kg),
habría alrededor de A2 * 1041 kgB͞A2 * 1030 kgB L 1011 o en el orden de 100 mil
millones de estrellas.

SECCIÓN 44–1 Estrellas y galaxias 1195

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FIGURA 44–3 Este cúmulo estelar Además de estrellas tanto dentro como afuera de la Vía Láctea, por el telescopio
globular se localiza en la constelación se pueden ver muchos parches nubosos apenas perceptibles en el cielo conocidos algu-
Hércules. (Véase el pliego a color al na vez como “nebulosas” (vocablo tomado del latín nebulae que significa “nubes”). Al-
final del libro.) gunas de éstas, como las que están en las constelaciones Andrómeda y Orión, en
realidad se pueden distinguir a simple vista en una noche despejada. Algunas son cú-
FIGURA 44–4 Esta nebulosa mulos estelares (figura 44-3), grupos de estrellas tan numerosos que parecen una nube.
gaseosa, que se encuentra en la Otras son nubes brillantes de gas o polvo (figura 44-4), para las cuales ahora se reserva
constelación Carina, está a la palabra nebulosa. Las más fascinantes son las que pertenecen a una tercera catego-
aproximadamente 9000 años luz de la ría: con frecuencia tienen formas elípticas bastante regulares y parecen estar a una gran
Tierra. (Véase el pliego a color al final distancia más allá de la galaxia. Emmanuel Kant (alrededor de 1755) parece haber sido
del libro.) el primero en sugerir que las nebulosas en realidad podrían ser discos circulares, pero
que parecían elípticos porque se les vía en ángulo, y apenas son perceptibles porque es-
tán muy distantes. Al principio no se aceptaba de manera general que estos objetos
fueran extragalácticos, esto es, que estuvieran afuera de la galaxia. Los telescopios muy
grandes, construidos en el siglo XX, revelaron que estrellas individuales podían distin-
guirse dentro de estos objetos extragalácticos y que muchos contienen brazos espirales.
Edwin Hubble (1889-1953) realizó buena parte de este trabajo de observación en la
década de 1920, con el telescopio† de 2.5 m del monte Wilson cerca de Los Ángeles,
California, entonces el más grande del mundo. Hubble demostró que estos objetos, de
hecho, eran extragalácticos en virtud de sus grandes distancias. La distancia a la galaxia
cercana más grande,‡ Andrómeda, es de más de 2 millones de años luz, una distancia 20
veces mayor que el diámetro de nuestra galaxia. Parece lógico que estas nebulosas sean
galaxias similares a la Vía Láctea. En la actualidad se cree que hay aproximadamente
1011 galaxias en el Universo observable; esto es, hay aproximadamente tantas galaxias
como estrellas en una galaxia. Véase la figura 44-5.

Muchas galaxias tienden a agruparse en cúmulos de galaxias que se mantienen
unidas mediante su atracción gravitacional mutua. En cada cúmulo puede haber desde
unas cuantas galaxias hasta miles de ellas. Más aún, los cúmulos mismos parecen estar
organizados en agregados incluso más grandes: cúmulos de cúmulos de galaxias, o su-

†2.5 m se refieren al diámetro del espejo objetivo curvo. Cuanto más grande sea el espejo, más luz co-
lecta (mayor intensidad) y menos difracción hay (y, por lo tanto, hay mejor resolución), así que se pue-
den ver más estrellas y más tenues. Véanse los capítulos 33 y 35. Hasta hace poco se usaban películas o
placas fotográficas para tomar largas exposiciones de tiempo. Ahora se dispone de grandes sensores
CCD o CMOS de estado sólido (sección 33-5) que contienen cientos de millones de pixeles (en compa-
ración con 10 millones de pixeles en una cámara digital de buena calidad).
‡Las nubes magallánicas están mucho más cerca que Andrómeda, pero son pequeñas y por lo general
se consideran pequeñas galaxias satélite de la Vía Láctea.

FIGURA 44–5 Fotografías de galaxias. a) Galaxia espiral en la constelación Hidra. b) Dos galaxias: la más
grande y más asombrosa se conoce como galaxia Remolino. c) Imagen infrarroja (con “falso” color) de las mismas
galaxias que en b); aquí los brazos de la espiral aparentan tener más sustancia que en la fotografía de luz visible
b); los diferentes colores corresponden a diferentes intensidades luminosas. (Véase el pliego a color al final del
libro.) La luz visible se dispersa y se absorbe mediante polvo interestelar mucho más que la infrarroja, de manera
que la infrarroja proporciona una imagen más nítida.

a) b) c)

1196 CAPÍTULO 44 Astrofísica y cosmología

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percúmulos. Las galaxias detectables más alejadas están a más de 1010 años luz de dis- TABLA 44–1 Distancias astronómicas
tancia. Véase la tabla 44-1.

EJEMPLO CONCEPTUAL 44–2 Un vistazo al pasado. Los astrónomos con frecuen- Objeto Distancia aproximada
cia piensan que sus telescopios son máquinas del tiempo, pues les permiten mirar hacia desde la tierra
atrás, a los orígenes del Universo. ¿Qué tan remotamente observan en el pasado? (en años luz)

RESPUESTA La distancia en años luz revela cuánto tiempo en años ha recorrido la Luna 4 * 10–8
luz para llegar a un observador, de manera que la tabla 44-1 indica también qué tan Sol 1.6 * 10–5
atrás en el tiempo es posible mirar. Por ejemplo, si en el presente se ve a Proxima
Centauri estallar en una supernova, entonces ese hecho realmente ocurrió hace 4.3 Tamaño del Sistema Solar 6 * 10–4
años. Las galaxias más distantes emitieron la luz que hoy vemos hace aproximada-
mente 1010 años. Se ven como eran entonces, hace 1010 años, o aproximadamente 109 (distancia a Plutón)
años después de que el Universo nació con la Gran Explosión.
Estrella más cercana 4.3
(Proxima Centauri) 2.6 * 104

Centro de la Vía Láctea

EJERCICIO A Suponga que se pudiera colocar un gran espejo a 1 año luz de distancia de Galaxia grande más 2.4 * 106
nosotros. ¿Qué veríamos en este espejo si diera de frente a la Tierra? ¿De cuándo proce- cercana 1010
de esa imagen? (A esto se le puede llamar “máquina del tiempo”.)
Galaxias más lejanas
Además de las estrellas, cúmulos de estrellas, galaxias y cúmulos y supercúmulos
de galaxias, el Universo contiene muchos otros objetos interesantes. Entre ellos están
las estrellas conocidas como gigantes rojas, enanas blancas, estrellas de neutrones, estre-
llas que explotan llamadas novas y supernovas, y agujeros negros cuya gravedad es tan
fuerte que ni siquiera la luz logra escapar de ellos. Además, hay radiación electromag-
nética que llega a la Tierra pero que no emana de los objetos puntuales brillantes que
se llaman estrellas: particularmente importante es la radiación del fondo de microon-
das que llega de manera casi uniforme desde todas direcciones en el Universo. Se estu-
diarán todos estos fenómenos.

Finalmente, hay núcleos galácticos activos (AGN, por las siglas de active galactic
nuclei), que son fuentes puntuales muy luminosas en los centros de galaxias distantes.
Los ejemplos más interesantes de AGN son los quásares (“objetos cuasiestelares” o
QSO), que son tan luminosos que la luz estelar circundante de la galaxia se pierde. Se
considera que su luminosidad proviene de materia que cae en un agujero negro gigan-
te en el centro de una galaxia.

44–2 Evolución estelar:

Nucleosíntesis, y nacimiento
y muerte de las estrellas

Las estrellas parecen invariables. Noche tras noche el cielo nocturno no revela variacio-
nes. De hecho, en una escala de tiempo humana, la enorme mayoría de las estrellas cam-
bian muy poco (excepto por las novas, supernovas y ciertas estrellas variables). Aunque
las estrellas parecen fijas unas en relación con otras, muchas se mueven lo suficiente pa-
ra que el movimiento se detecte. La rapidez de las estrellas en relación con estrellas ve-
cinas puede ser de cientos de km/s, pero a sus grandes distancias de la Tierra, este
movimiento sólo se detecta mediante cuidadosas mediciones. Más aún, hay un gran ran-
go de brillo entre las estrellas. Las diferencias en brillo se deben tanto a diferencias en
la tasa a la que las estrellas emiten energía como a sus diversas distancias de la Tierra.

Luminosidad y brillo de las estrellas

Un parámetro útil para una estrella o galaxia es su luminosidad intrínseca, L (o simple-
mente luminosidad), que se refiere a la potencia total irradiada en watts. También es
importante el brillo aparente, b, que se define como la potencia a través de una unidad
de área en la Tierra perpendicular a la trayectoria de la luz. Puesto que la energía se
conserva, y si se ignora cualquier absorción en el espacio, la potencia total emitida L
cuando llega a una distancia d desde la estrella se distribuirá sobre la superficie de una
esfera cuya área es 4pd2. Si d es la distancia desde la estrella a la Tierra, entonces L de-
be ser igual a 4pd2 por b (potencia por unidad de área en la Tierra). Esto es,

b = L. (44–1)
4pd2

SECCIÓN 44–2 Evolución estelar: Nucleosíntesis, y nacimiento y muerte de las estrellas 1197

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EJEMPLO 44–3 Brillo aparente. Suponga que una estrella particular tiene lumi-
nosidad intrínseca igual a la del Sol, pero está a 10 años luz de la Tierra. ¿En qué fac-
tor aparecerá más tenue que el Sol?

PLANTEAMIENTO La luminosidad L es la misma para ambas estrellas, de manera que
el brillo aparente sólo depende de sus distancias relativas. Empleamos la ley del cua-
drado inverso como se establece en la ecuación 44-1 para determinar el brillo relativo.

SOLUCIÓN Con la ley del cuadrado inverso, la estrella parece más tenue por un factor

bestrella = dS2ol = A1.5 * 108 kmB2 L 2 * 10–12.
bSol d2estrella (10 años luz)2A1013 km͞años luzB2

El estudio cuidadoso de las estrellas cercanas indica que la luminosidad para la
mayoría de las estrellas depende de la masa: cuanto más masiva sea la estrella, mayor es
su luminosidad.† De hecho, se puede esperar que las estrellas más masivas tengan tem-
peratura y presión de núcleo más altas para contrarrestar la mayor atracción gravita-
cional, y que, por consiguiente, sean más luminosas. Otro parámetro importante de una
estrella es su temperatura superficial, que puede determinarse a partir del espectro de
frecuencias electromagnéticas que emite (las estrellas son “buenos” cuerpos negros;
véase la sección 37-1). Como se vio en el capítulo 37, conforme la temperatura de un
cuerpo aumenta, el espectro se corre desde las frecuencias predominantemente más
bajas (y longitudes de onda más largas, como el rojo) hacia las frecuencias más altas (y
longitudes de onda más cortas, como el azul). De manera cuantitativa, la relación está
dada por la ley de Wien (ecuación 37-1): la longitud de onda pico lP en el espectro de
luz emitido por un cuerpo negro (con frecuencia las estrellas se aproximan como cuer-
pos negros) es inversamente proporcional a su temperatura Kelvin T; esto es, lPT 5
2.90 3 1023 m?K. Las temperaturas superficiales de las estrellas generalmente varían
desde unos 3000 K (rojizo) a aproximadamente 50,000 K (UV).

EJEMPLO 44–4 Determinación de la temperatura y el tamaño de una estre-
lla. Suponga que las distancias a la Tierra de dos estrellas cercanas se pueden estimar
razonablemente, y que su brillo aparente medido sugiere que las dos estrellas tienen
aproximadamente la misma luminosidad L. El espectro de una de las estrellas regis-
tra un máximo alrededor de 700 nm (de manera que es rojiza). El espectro de la otra
tiene un máximo alrededor de 350 nm (azulosa). Use la ley de Wien (ecuación 37-1) y
la ecuación de Stefan-Boltzmann (sección 19-10) para determinar a) la temperatura
superficial de cada estrella y b) por cuánto excede la estrella más grande a la otra.

PLANTEAMIENTO Determinamos la temperatura superficial T de cada estrella con
la ley de Wien y la longitud de onda pico de cada estrella. Luego, con la ecuación de
Stefan-Boltzmann (salida de potencia o luminosidad r AT 4, donde A 5 área superfi-
cial del emisor), podemos encontrar la razón de áreas superficiales y los tamaños re-
lativos de las dos estrellas.
SOLUCIÓN a) La ley de Wien (ecuación 37-1) establece que lP T = 2.90 * 10–3 m и K.
De manera que la temperatura de la estrella rojiza es

Tr = 2.90 * 10–3 m и K = 4140 K.
700 * 10–9 m

La temperatura de la estrella azulosa será el doble, puesto que su longitud de onda
pico es la mitad (350 nm contra 700 nm):

Tb = 8280 K.

b) La ecuación de Stefan-Boltzmann, ecuación 19-17, afirma que la potencia irradiada
por unidad de área de superficie desde un cuerpo negro es proporcional a la cuarta
potencia de la temperatura Kelvin, T4. La temperatura de la estrella azulosa es el do-
ble que la de la estrella rojiza, de manera que la azulosa debe irradiar (24) 5 16 veces
más energía por unidad de área. Pero se indica que tienen la misma luminosidad (la
misma salida de potencia total); así que el área superficial de la estrella azul debe ser
1 del área superficial de la roja. El área superficial de una esfera es 4pr2, de manera
16
que el radio de la estrella rojiza es 116 = 4 veces mayor que el radio de la estrella
azulosa (o 43 5 64 veces el volumen).

1198 CAPÍTULO 44 †Se aplica a estrellas de “secuencia principal” (véase la siguiente página). La masa de una estrella se
puede determinar al observar sus efectos gravitacionales. Muchas estrellas son parte de un cúmulo,
siendo la más simple una estrella binaria en la que dos estrellas orbitan una alrededor de la otra, lo que
permite determinar sus masas empleando la mecánica rotacional.

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1029

Luminosidad intrínseca L (watts) 1028 Gigantes
rojas
El Sol

1027

1026 Secuencia principal FIGURA 44–6 El diagrama de Hertzsprung-
1025 Russell (H-R) es una gráfica logarítmica de
luminosidad contra temperatura superficial T de
1024 estrellas (observe que T aumenta hacia la
izquierda).

Enanas blancas
1023

10,000 7000 5000 3500
Temperatura superficial T (K)

Diagrama H-R

Un importante descubrimiento astronómico, hecho alrededor de 1900, fue que, para la
mayoría de las estrellas, el color se relaciona con la luminosidad intrínseca y, por lo tan-
to, con la masa. Una forma útil de presentar esta relación es mediante el llamado dia-
grama Hertzsprung-Russell (H-R). En el diagrama H-R, el eje horizontal representa la
temperatura superficial T mientras que el eje vertical es la luminosidad L; cada estrella se
representa mediante un punto sobre el diagrama, figura 44-6. La mayoría de las estre-
llas caen a lo largo de la banda diagonal llamada secuencia principal. A partir de la es-
quina inferior derecha se encuentran las estrellas más frías, de color rojizo; son las
menos luminosas y, por lo tanto, con menor masa. Más lejos hacia arriba a la izquierda
se encuentran estrellas más calientes y más luminosas que son blanquecinas, como el
Sol. Todavía más lejos hacia arriba se encuentran estrellas aún más masivas y más lumi-
nosas, de color azuloso. Las estrellas que caen sobre esta banda diagonal se llaman es-
trellas de secuencia principal. También existen estrellas que caen fuera de la secuencia
principal. Arriba y a la derecha se encuentran estrellas extremadamente grandes, con
altas luminosidades pero con baja temperatura de color (rojizo): éstas se llaman gigan-
tes rojas. Abajo a la izquierda, existen unas cuantas estrellas de baja luminosidad pero
con alta temperatura: son las enanas blancas.

EJEMPLO 44–5 ESTIMACIÓN Determinación de la distancia a una estrella
usando el diagrama H-R y color. Suponga que el estudio detallado de cierta estre-
lla sugiere que lo más probable es que encaje en la secuencia principal de un diagra-
ma H-R. Su brillo aparente medido es b 5 1.0 3 10212 W/m2 y la longitud de onda
pico de su espectro es lP L 600 nm. Estime su distancia a la Tierra.

PLANTEAMIENTO Podemos determinar la temperatura a partir de la ley de Wien,
ecuación 37-1. Estimamos la luminosidad para una estrella de secuencia principal con
el diagrama H-R de la figura 44-6 y luego determinamos la distancia usando la rela-
ción entre brillo y luminosidad, ecuación 44-1.

SOLUCIÓN La temperatura de la estrella, a partir de la ley de Wien (ecuación 37-1), es

T L 2.90 * 10–3 m и K L 4800 K.
600 * 10–9 m

Una estrella en la secuencia principal de un diagrama H-R a esta temperatura tiene
luminosidad intrínseca de aproximadamente L L 1 3 1026 W, que se lee a partir de la
figura 44-6. Así, de acuerdo con la ecuación 44-1,

d = L L 1 * 1026 W L 3 * 1018 m.
B 4pb B 4(3.14)A1.0 * 10–12 W͞m2B

Su distancia desde la Tierra en años luz es

d = 3 * 1018 m L 300 años luz.
1016 m͞años luz

EJERCICIO B Estime la distancia a una estrella de secuencia principal de 6000 K, con un SECCIÓN 44–2 1199
brillo aparente de 2.0 3 10212 W/m2.

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FIGURA 44–7 Cascarón de Evolución estelar; nucleosíntesis
hidrógeno en “combustión” (se fusiona
para convertirse en helio) que rodea al ¿Por qué existen diferentes tipos de estrellas, como gigantes rojas y enanas blancas, así
núcleo donde gravita el helio recién como estrellas de secuencia principal? ¿Desde el comienzo todas nacieron de esta for-
formado. ma? ¿O cada tipo diferente puede representar una diferente edad en el ciclo de vida de
una estrella? Los astrónomos y astrofísicos de hoy creen que esto último es el caso. Sin
Fusión de Envoltura exterior que no embargo, note que en realidad no se puede seguir más que una minúscula parte del ci-
hidrógeno se quema (no hay fusión clo de vida de cualquier estrella dada, pues éstas tienen vidas enormemente mayores
en comparación con las de los seres humanos, en el orden de millones o miles de millo-
del hidrógeno) nes de años. No obstante, sigamos el proceso de evolución estelar desde el nacimiento
hasta la muerte de una estrella, de acuerdo con la reconstrucción teórica que hacen los
astrofísicos en la actualidad.

Se cree que las estrellas nacen cuando nubes gaseosas (principalmente de hidróge-
no) se contraen debido al tirón gravitacional. Una enorme nube de gas puede fragmen-
tarse en numerosas masas que se contraen, y cada masa se centra en una área donde la
densidad sólo era ligeramente mayor que la de los puntos cercanos. Una vez que se
forman tales “glóbulos”, la gravedad haría que cada una se contraiga hacia su centro de
masa. Conforme las partículas de tal protoestrella se aceleran hacia dentro, su energía
cinética aumenta. Cuando la energía cinética es suficientemente alta, la repulsión de
Coulomb entre las cargas positivas no es suficientemente fuerte como para mantener
separados los núcleos de hidrógeno, y puede ocurrir fusión nuclear.

En una estrella como el Sol, la fusión del hidrógeno (en ocasiones conocida como
“combustión”†) ocurre mediante el ciclo protón-protón (sección 42-4, ecuaciones 42-7),
en la que cuatro protones se fusionan para formar un núcleo de 42He con la liberación
de rayos g, positrones y neutrinos: 4 11H S 24He + 2 e± + 2ne + 2g. Estas reacciones
requieren una temperatura de alrededor de 107 K, que corresponde a una energía ciné-
tica promedio (L kT) de aproximadamente 1 keV (ecuación 18-4). En las estrellas más
masivas, el ciclo de carbono produce el mismo efecto neto: cuatro 11H producen un
24He; véase la sección 42-4. Las reacciones de fusión tienen lugar principalmente en el
núcleo de una estrella, donde T puede estar en el orden de 107 a 108 K. (La tempera-
tura superficial es mucho menor, en el orden de algunos miles de kelvin.) La enorme li-
beración de energía en estas reacciones de fusión produce una presión hacia fuera
suficiente para detener la contracción gravitacional hacia dentro. La protoestrella, ahora
en realidad una estrella joven, se estabiliza en la secuencia principal. El lugar exacto
donde la estrella cae a lo largo de la secuencia principal depende de su masa. Cuan-
to más masiva sea una estrella, más alejada (hacia la izquierda) caerá en el diagrama
H-R de la figura 44-6. El Sol requirió quizá 30 millones de años para llegar a la secuen-
cia principal, y se espera que permanezca ahí alrededor de 10 mil millones de años
(1010 años). Aunque la mayoría de las estrellas tienen miles de millones de años de an-
tigüedad, hay fuerte evidencia de que en este momento realmente nacen estrellas. Las
estrellas más masivas tienen vidas más cortas, porque son más calientes y la repulsión
de Coulomb es más fácil de superar, de manera que agotan su combustible más rápido.
Si el Sol permanece en la secuencia principal durante 1010 años, una estrella diez veces
más masiva puede residir ahí durante solamente 107 años.

Conforme el hidrógeno se fusiona para formar helio, el helio que se forma es más
denso y tiende a acumularse en el núcleo central donde se formó. Conforme el núcleo de
helio crece, el hidrógeno continúa fusionándose en un cascarón alrededor de él: véase
la figura 44-7. Cuando se consume mucho del hidrógeno dentro del núcleo, la produc-
ción de energía disminuye en el centro y ya no es suficiente para evitar que las enormes
fuerzas gravitacionales nuevamente hagan que el núcleo se contraiga y se caliente. En-
tonces el hidrógeno en el cascarón alrededor del núcleo se fusiona aún más intensa-
mente debido a este aumento en temperatura, lo que permite que la envoltura exterior
de la estrella se expanda y se enfríe. La temperatura de la superficie, reducida en con-
secuencia, produce un espectro de luz que alcanza su máximo en longitudes de onda
más largas (tonalidad rojiza).

Helio †La palabra “combustión” se pone entre comillas porque estas reacciones de fusión de alta temperatu-
ra ocurren mediante un proceso nuclear y no se debe confundir con la combustión ordinaria (de papel,
madera o carbón, por ejemplo) en el aire, la cual es una reacción química que ocurre al nivel atómico
(y a una temperatura mucho más baja).

1200 CAPÍTULO 44 Astrofísica y cosmología

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Para este momento, la estrella deja la secuencia principal. Se vuelve más roja y, Luminosidad
conforme crece en tamaño, se vuelve más luminosa. De manera que tendrá que mover- rGoijgaante
se hacia la derecha y hacia arriba sobre el diagrama H-R, como se muestra en la figura Rama
44-8. Conforme se mueve hacia arriba, entra a la etapa de gigante roja. Así, la teoría horizontal
explica el origen de las gigantes rojas como un paso natural en la evolución de una es-
trella. El Sol, por ejemplo, ha estado en la secuencia principal durante aproximadamen- Secuencia principal
te 4,500 millones de años. Probablemente permanecerá ahí otros 4 o 5 mil millones de
años. Cuando el Sol salga de la secuencia principal, se espera que crezca en diámetro Enana
(conforme se convierte en gigante roja) por un factor de 100 o más, y posiblemente en- blanca
gullirá planetas interiores como Mercurio. Temperatura superficial

Si la estrella es como el Sol, o más grande, puede ocurrir más fusión. Conforme se FIGURA 44–8 “Ruta” evolutiva de
expande la envoltura exterior de la estrella, su núcleo continúa encogiéndose y calen- una estrella como el Sol, representada
tándose. Cuando la temperatura alcanza aproximadamente 108 K, incluso los núcleos en un diagrama H-R.
de helio, a pesar de su mayor carga y, por consiguiente, mayor repulsión eléctrica, pueden
acercarse entre sí lo suficiente como para experimentar fusión. Las reacciones son

42He + 24He S 84Be (44–2)
42He + 84Be S 126C

con la emisión de dos rayos g. Estas dos reacciones deben ocurrir en rápida sucesión
(porque el 84Be es muy inestable), y el efecto neto es

3 42He S 162C. (Q = 7.3 MeV)

Esta fusión de helio causa un cambio en la estrella que se mueve rápidamente hacia la

“rama horizontal” en el diagrama H-R (figura 44-8). Son posibles más reacciones de
fusión, con 24He que se funde con 126C gpraarnadfeorcmomaro18621O00N.eEon
pueden formar elementos con Z más las estrellas más masivas, se
2124Mg. Este proceso de crear
núcleos más pesados a partir de unos más ligeros (o por absorción de neutrones que
tiende a ocurrir a Z más altos) se llama nucleosíntesis.

El destino final de una estrella depende de su masa. Las estrellas pueden perder ma-

sa conforme partes de su envoltura exterior salen hacia el espacio. Las estrellas que

nacen con una masa menor que aproximadamente 8 (o quizá 10) masas solares que con

el tiempo terminan con una masa residual menor que aproximadamente 1.4 masas sola-
res, lo que se conoce como límite de Chandrasekhar. Para ellas, no es posible obtener

más energía de fusión. El núcleo de tales estrellas de “masa baja” (masa original & 8-10

masas solares) se contrae bajo la acción de la gravedad; la envoltura exterior se expande

de nuevo y la estrella se convierte en una gigante roja incluso más grande. Con el tiem-

po, las capas exteriores escapan hacia el espacio, el núcleo se contrae, la estrella se enfría

y por lo general sigue la ruta punteada que se indica en la figura 44-8, y se dirige hacia
abajo para convertirse en una enana blanca. Una enana blanca con una masa residual

igual a la del Sol tendría aproximadamente el tamaño de la Tierra. Una enana blanca se

contrae hasta el punto donde las nubes de electrones comienzan a traslaparse, pero ya no

más porque, por el principio de exclusión de Pauli, no es posible que dos electrones estén

en el mismo estado cuántico. Esta presión de degeneración electrónica impide que el co-

lapso de la estrella continúe. Una enana blanca continúa perdiendo energía interna por

radiación, disminuye en temperatura y se vuelve más tenue hasta que ya no brilla más.

Entonces se convierte en un trozo oscuro frío de material extremadamente denso.

Se considera que las estrellas cuya masa residual es mayor que el límite de Chandra-

sekhar de 1.4 masas solares (masa original mayor que aproximadamente 8 a 10 masas so-

lares) siguen un escenario muy diferente. Una estrella con esta gran masa puede

contraerse bajo la acción de la gravedad y calentarse todavía más. En el rango de T 5
(2.5-5) 3 109 K, se pueden formar núcleos tan pesados como 5266Fe y 5286Ni. Pero aquí termi-
na la formación por fusión de núcleos pesados a partir de otros más ligeros. Como se vio

en la figura 41-1, la energía de enlace promedio por nucleón comienza a disminuir para

A mayor que aproximadamente 60. Más fusiones requerirían energía, antes que liberarla.

Se cree que los elementos más pesados que el Ni se forman principalmente me-

diante captura de neutrones, en particular en estrellas que estallan llamadas superno-

vas. Gran número de neutrones libres, que resultan de reacciones nucleares, se

encuentran dentro de estas estrellas enormemente evolucionadas y fácilmente pueden
Enúl c52l97eCoodpeu52e66Fdee por ejemplo, para formar (si se capturan tres) 5296Fe,
combinarse con un capturar neutrones, que también se vuelve rico en
que decae a 2579Co.
neutrones y decae por b2 hacia el siguiente elemento con Z más alto, y así hasta los

elementos de mayor Z.

SECCIÓN 44–2 Evolución estelar: Nucleosíntesis, y nacimiento y muerte de las estrellas 1201

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FIGURA 44–9 La estrella que se Aunque a estas temperaturas extremadamente elevadas, muy por encima de 109 K,
indica mediante la flecha en a) estalló la energía cinética de los núcleos es tan alta que la fusión de elementos más pesados que
en 1987 como una supernova el hierro todavía es posible aun cuando las reacciones requieran entrada de energía. Pe-
(SN1987a), como se muestra en b). La ro las colisiones de alta energía también pueden provocar el rompimiento de los núcleos
mancha brillante en b) no representa de hierro y níquel para obtener núcleos de He, y finalmente protones y neutrones:
el tamaño físico. El inciso c) es una
fotografía que se tomó algunos años 5266Fe S 13 42He + 4n
después, la cual muestra las ondas de 24He S 2p + 2n.
choque que se expanden desde el lugar Estas reacciones requieren energía (son endotérmicas), pero a temperatura y presión ex-
donde estaba la SN1987a (ampliado en tremadamente altas como ésas existe mucha energía disponible, suficiente incluso para
la esquina). El inciso c) se amplificó en forzar la unión de electrones y protones para formar neutrones en decaimiento b inverso:
relación con a) y b). (Véase el pliego a e– + p S n + n.
color al final del
libro). Como resultado de estas reacciones, la presión en el núcleo cae precipitadamente. Con-
forme el núcleo colapsa bajo las enormes fuerzas gravitacionales, la tremenda masa en
esencia se convierte en un núcleo enorme constituido casi exclusivamente de neutro-
nes. El tamaño de la estrella ya no está limitado por el principio de exclusión aplicado
a electrones, sino por presión de degeneración neutrónica, y la estrella se contrae con
rapidez para formar una estrella de neutrones sumamente densa. El núcleo de una es-
trella de neutrones se contrae hasta el punto en el que todos los neutrones están tan
juntos como lo están en un núcleo atómico. Esto es, la densidad de una estrella de neu-
trones está en el orden de 1014 veces mayor que en el caso de los sólidos y líquidos en
la Tierra. Una taza de tal materia densa pesaría miles de millones de toneladas. Una es-
trella de neutrones con una masa 1.5 veces la del Sol tendría un diámetro de sólo alre-
dedor de 20 km. (Compare esto con una enana blanca con 1 masa solar cuyo diámetro
sería L 104 km, como ya se mencionó.)

La contracción del núcleo de una estrella masiva significaría una gran reducción
en energía potencial gravitacional. De alguna manera tendría que liberarse esta ener-
gía. De hecho, en la década de 1930 se sugirió que el colapso final del núcleo en una es-
trella de neutrones podría acompañarse con una explosión catastrófica (una
supernova; véase la página anterior) cuya tremenda energía virtualmente podría for-
mar todos los elementos de la tabla periódica y hacer estallar toda la envoltura exte-
rior de la estrella (figura 44-9), dispersando su contenido en el espacio interestelar. La
presencia de elementos pesados en la Tierra y el Sistema Solar sugiere que este último
se formó a partir de desechos de tales explosiones de supernovas.

a) b) c)

1202 CAPÍTULO 44 Si la masa final de una estrella de neutrones es menor que aproximadamente dos
o tres masas solares, se cree que su evolución posterior se parece a la de una enana
blanca. Si la masa es mayor que esto, la estrella colapsa bajo la acción de la gravedad,
y supera incluso el principio de exclusión del neutrón. Entonces la gravedad sería tan
fuerte que incluso la luz emitida por la estrella no podría escapar, se regresaría en vir-
tud de la fuerza de gravedad. Como ninguna radiación podría escapar de tal estrella,
no se le podría ver: sería negra. Un objeto puede pasar junto a ella y desviarse por su
campo gravitacional, pero si se acerca demasiado lo engulliría y nunca podría escapar.
Éste es un agujero negro.

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Novas y supernovas Compañera de Enana
secuencia principal blanca
Las novas (el término nova significa nuevo en latín) son estrellas más débiles que súbi-
tamente aumentan su brillo hasta por un factor de 104 y duran de uno a dos meses an- Transferencia
tes de apagarse. Se considera que las novas son enanas blancas apenas perceptibles que de masa
atraen masa de una compañera cercana (constituyen un sistema binario), como se ilus-
tra en la figura 44-10. La masa de hidrógeno capturada súbitamente se fusiona para FIGURA 44–10 Modelo hipotético
convertirse en helio a una elevada tasa durante algunas semanas. Muchas novas (o qui- de una estrella nova y una supernova
zá todas) son recurrentes: recuperan su brillo años después. tipo Ia, que muestra cómo una enana
blanca podría obtener masa a partir de
Las supernovas también son breves eventos explosivos, pero liberan millones de su compañera normal.
veces más energía que las novas: son hasta 1010 veces más luminosas que el Sol. El nivel
máximo de brillo puede superar el de toda la galaxia en la que se ubiquen, pero dura
sólo unos cuantos días o semanas. Lentamente se apagan a lo largo de algunos meses.
Muchas supernovas se forman mediante colapso del núcleo para convertirse en una es-
trella de neutrones, como se describió anteriormente. Véase la figura 44-9.

Las supernovas tipo Ia son diferentes. Todas parecen tener casi la misma luminosi-
dad. Se cree que son estrellas binarias, una de las cuales es una enana blanca que atrae
masa de su compañera, en forma muy parecida a una nova, figura 44-10. La masa es ma-
yor y, conforme se captura masa y la masa total se aproxima al límite de Chandrasekhar
de 1.4 masas solares, estalla como una supernova al experimentar una titánica explosión
termonuclear, una cadena incontrolada de reacciones nucleares. Lo que queda es una
estrella de neutrones o (si la masa es suficientemente grande) un agujero negro.

44–3 Mediciones de distancia

Ya se habló acerca de las enormes distancias que separan a los objetos en el Universo.
¿Pero cómo se miden estas distancias? Una técnica básica emplea geometría simple
para medir el paralaje de una estrella. Por paralaje se entiende el movimiento aparen-
te de una estrella —contra el fondo de estrellas mucho más distantes—, que se debe al
movimiento de la Tierra en torno al Sol. Como se muestra en la figura 44-11, el ángulo
de visión de una estrella en relación con el plano de órbita de la Tierra (ángulo u) se
puede determinar en diferentes momentos del año. Puesto que se conoce la distancia d
de la Tierra al Sol, es posible reconstruir los triángulos rectos que se ilustran en la figu-
ra 44-11 y así determinar† la distancia D hasta la estrella.

†Ésta es, en esencia, la forma como se determina la altura de las montañas, mediante “triangulación”.
Véase el ejemplo 1-7.

Ángulo de visión en eneroEstrellas distantes Ángulo de visión en julioFIGURA 44–11 a) Ejemplo sencillo para determinar la distancia
Estrella D hasta una estrella relativamente cercana utilizando paralaje. Las
cercana distancias horizontales están enormemente exageradas; en realidad
f es un ángulo muy pequeño. b) Diagrama del cielo que muestra la
ff posición aparente de la estrella “cercana” en relación con estrellas
más distantes, en dos momentos diferentes (enero y julio). El ángulo
D de visión en enero coloca a la estrella más a la derecha en relación
con las estrellas distantes, mientras que en julio está más hacia la
izquierda (el círculo con línea punteada señala la ubicación en
enero).

Cielo
visto
desde
la Tierra
en enero

q d Sol q Visto
Tierra d Tierra desde
(enero) la Tierra
(julio) en julio
a) Órbita de la Tierra
b)

SECCIÓN 44–3 Mediciones de distancia 1203

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EJEMPLO 44–6 ESTIMACIÓN Determinación de la distancia a una estrella
usando paralaje. Estime la distancia D a una estrella, si el ángulo u en la figura 44-11
se mide en 89.99994º.

PLANTEAMIENTO A partir de trigonometría, tan f 5 dyD en la figura 44-11. La
distancia entre el Sol y la Tierra es d 5 1.5 3 108 km.
SOLUCIÓN El ángulo f = 90° - 89.99994° = 0.00006°, o aproximadamente 1.0 3
1026 radianes. Podemos considerar que tan f L f, pues f es muy pequeño. Se despe-
ja D en tan f 5 dyD. La distancia D hasta la estrella es

D = d L d = 1.5 * 108 km = 1.5 * 1014 km,
tan f f 1.0 * 10–6 rad

o aproximadamente 15 años luz.

Las distancias a las estrellas con frecuencia se especifican en términos de ángulo
1
de paralaje (f en la figura 44-11a) dado en segundos de arco: 1 segundo (10) es 60 de un
1 1
minuto (19) de arco, que es 60 de un grado, de manera que 1– = 3600 de un grado. En-

tonces la distancia se especifica en parsecs (pc) (que significa ángulo de paralaje en
segundos de arco): D 5 1/f con f en segundos de arco. En el ejemplo 44-6,
f = A6 * 10–5B°(3600) = 0.22– de arco, así que se diría que la estrella está a una dis-
tancia de 1/0.220 5 4.5 pc. Un parsec está dado por [recuerde que D 5 d/f, y la distan-
cia entre la Tierra y el Sol (figura 44-11a) se establece como d 5 1.496 3 1011 m]:

1 pc = d = 1.496 * 1011 m = 3.086 * 1016 m
1–
(1–) ¢ 1¿ ≤ ¢ 1° ≤ ¢ 2p rad ≤
60– 60¿ 360°

1 pc = A3.086 * 1016 mB ¢ 1 año luz m ≤ = 3.26 años luz.
9.46 * 1015

El paralaje permite determinar la distancia hasta estrellas tan lejanas como 100 años
luz (L 30 parsecs) desde la Tierra, y quizá 5 o 10 veces más lejanas desde una nave espa-
cial en órbita. Más allá de esa distancia, los ángulos de paralaje son muy pequeños para
medirse. En el caso de distancias mayores, se deben emplear técnicas más sutiles. Es po-
sible comparar el brillo aparente de dos estrellas, o galaxias, y usar la ley del cuadrado in-
verso (el brillo aparente disminuye como el cuadrado de la distancia) para estimar sus
distancias relativas. Sin embargo, esta técnica no es muy precisa, porque no se espera que
dos estrellas, o dos galaxias, tengan la misma luminosidad intrínseca. Cuando se compa-
ran galaxias, quizás una mejor estimación suponga que las estrellas más brillantes en to-
das las galaxias (o las galaxias más brillantes en cúmulos de galaxias) son similares y que
tienen aproximadamente la misma luminosidad intrínseca. En consecuencia, su brillo
aparente sería una medida de la distancia que las separa de la Tierra.

Otra técnica utiliza el diagrama H-R. La medición de la temperatura superficial de
una estrella (a partir de su espectro) la coloca en cierto punto (dentro del 20%) sobre
el diagrama H-R, suponiendo que es una estrella de secuencia principal, y entonces su
luminosidad se puede estimar en el eje vertical (figura 44-6). Su brillo aparente y la
ecuación 44-1 indican su distancia aproximada; véase el ejemplo 44-5.

Una mejor estimación proviene de comparar estrellas variables, en especial varia-
bles Cefeidas, cuya luminosidad varía en el tiempo con un periodo que, según las inves-
tigaciones, se relaciona con su luminosidad promedio. De esta forma, a partir de su
periodo y brillo aparente se obtiene su distancia.

Las distancias más grandes se estiman al comparar el brillo aparente de superno-
vas tipo Ia (SNIa). Las supernovas tipo Ia tienen todas un origen similar (como se des-
cribe en la página anterior, figura 44-10) y se espera que su breve ráfaga explosiva de
luz sea casi de la misma luminosidad. Por eso, en ocasiones se les conoce como ”velas
patrón”, ya que son el mejor patrón para fuentes luminosas.

Otra técnica importante para estimar la distancia de estrellas muy distantes es a
partir del ”corrimiento al rojo” en los espectros de líneas de elementos y compuestos.
El corrimiento al rojo se relaciona con la expansión del Universo, como se estudiará en
la sección 44-5. Es útil para ubicar objetos más alejados que 107 a 108 años luz.

Conforme se observa cada vez más lejos, las técnicas de medición son menos con-
fiables, de manera que cada vez hay más incertidumbre en las mediciones de grandes
distancias.

1204 CAPÍTULO 44 Astrofísica y cosmología

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44–4 Relatividad general: Gravedad FIGURA 44–12 En un elevador que
cae libremente bajo la acción de la
y curvatura del espacio gravedad, a) una persona libera un
libro; b) el libro liberado flota junto a
Como hemos visto, la fuerza de gravedad desempeña un importante papel en los pro- la mano del propietario. El inciso b)
cesos que ocurren en las estrellas. La gravedad también es importante para la evolu- ilustra una escena pocos momentos
ción del Universo como un todo. Las razones por las que la gravedad desempeña un después de a).
papel dominante en el Universo —a diferencia de las otras tres fuerzas que, junto con
la gravedad, constituyen las cuatro fuerzas de la naturaleza— son: 1. es de largo alcan-
ce y 2. siempre ejerce atracción. Las fuerzas nucleares fuerte y débil sólo actúan sobre
distancias muy cortas, en el orden del tamaño de un núcleo; en consecuencia, no actúan
sobre distancias astronómicas (actúan entre núcleos y nucleones en las estrellas para
producir reacciones nucleares). La fuerza electromagnética, como la gravedad, actúa a
través de grandes distancias, pero puede ser de atracción o de repulsión. Y puesto que
el Universo no parece contener grandes áreas de carga eléctrica neta, no ocurre una
gran fuerza neta. Pero la gravedad actúa como una fuerza de atracción entre todas las
masas, y en el Universo existen grandes acumulaciones de masa de un solo “signo” (no
1 y 2, como con la carga eléctrica). Einstein modificó la descripción que hizo Newton
de la fuerza de gravedad en su ley de gravitación universal. En su teoría general de la
relatividad, Einstein desarrolló una teoría de gravedad que ahora constituye la base de
la dinámica cosmológica.

En la teoría especial de la relatividad (capítulo 36), Einstein concluyó que no hay
forma de que un observador determine si un marco de referencia dado está en reposo
o se mueve con velocidad constante en línea recta. Por ende, las leyes de la física deben
ser las mismas en diferentes marcos de referencia inerciales. ¿Pero qué sucede en el caso
más general del movimiento donde los marcos de referencia pueden acelerar?

Einstein consideró el problema de los marcos de referencia acelerados en su teoría
general de la relatividad y en ella también desarrolló una teoría de la gravedad. Las
matemáticas de la relatividad general son complejas, de manera que en este texto la
discusión se hará en términos cualitativos.

Comencemos con el principio de equivalencia de Einstein, el cual afirma que

no se puede realizar experimento alguno que pueda distinguir entre un campo gra- g
a)
vitacional uniforme y una aceleración uniforme equivalente.
g
Si los observadores sienten que están en aceleración (como en un vehículo que aumen- b)
ta su rapidez en torno a una curva pronunciada), no podrán probar mediante un expe-
rimento que, de hecho, simplemente experimentan el tirón de un campo gravitacional.
Por el contrario, podrían pensar que reciben un tirón de la gravedad cuando de hecho
experimentan una aceleración que no tiene nada que ver con la gravedad.

Como experimento mental, considere a una persona en un elevador que cae libre-
mente cerca de la superficie de la Tierra. Si el observador sostiene un libro y lo suelta,
¿qué ocurriría? La gravedad tiraría de éste hacia abajo, hacia la Tierra, pero a la misma
tasa (g 5 9.8 m/s2) a la que la persona y el elevador caen. De manera que el libro flo-
taría justo junto a la mano de la persona (figura 44-12). El efecto es exactamente el
mismo que si este marco de referencia estuviera en reposo y no actuara fuerza alguna.
Por otra parte, si el elevador estuviera afuera en el espacio, donde el campo gravitacio-
nal en esencia es cero, el libro liberado flotaría, tal como lo hace en la figura 44-12. A
continuación, si el elevador (afuera en el espacio) acelera hacia arriba con una acelera-
ción de 9.8 m/s2, el libro, como lo ve el observador, caería hacia el suelo con una acele-
ración de 9.8 m/s2, tal como si cayera debido a la gravedad en la superficie de la Tierra.
De acuerdo con el principio de equivalencia, el observador no podría determinar si el
libro cayó porque el elevador aceleraba hacia arriba, o porque un campo gravitacional
actuaba hacia abajo mientras el elevador estaba en reposo. Las dos descripciones son
equivalentes.

El principio de equivalencia se relaciona con el concepto de que existen dos tipos
de masa. La segunda ley de Newton, F 5 ma, usa masa inercial. Se puede decir que
la masa inercial representa “resistencia” a cualquier tipo de fuerza. El segundo tipo de
masa es la masa gravitacional. Cuando un objeto atrae a otro mediante la fuerza gravi-
tacional (ley de gravitación universal de Newton, F = Gm1 m2͞r2, capítulo 6), la inten-
sidad de la fuerza es proporcional al producto de las masas gravitacionales de los dos
objetos. Esto es similar a la ley de Coulomb para la fuerza eléctrica entre dos objetos,

SECCIÓN 44–4 Relatividad general: Gravedad y curvatura del espacio 1205

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que es proporcional al producto de sus cargas eléctricas. La carga eléctrica sobre un
objeto no se relaciona con su masa inercial; así que, ¿por qué se esperaría que la masa
gravitacional de un objeto (llámela carga gravitacional si lo desea) se relacionara con
su masa inercial? Todo el tiempo se supuso que eran lo mismo. ¿Por qué? Porque nin-
gún experimento, ni siquiera de alta precisión, ha podido discernir alguna diferencia
mensurable entre masa inercial y masa gravitacional. (Por ejemplo, en ausencia de re-
sistencia del aire, todos los objetos caen con la misma aceleración, g, sobre la Tierra.)
Ésta es otra forma de enunciar el principio de equivalencia: la masa gravitacional es
equivalente a la masa inercial.

FIGURA 44–13 a) Haz de luz que pasa en línea Lin-
recta a través de un elevador que no acelera. b) El terna
haz de luz se dobla (exagerado) en un elevador en
aceleración cuya rapidez aumenta en la dirección Lin- Haz de luz
hacia arriba. Ambas vistas son como las percibe un terna
observador externo en un marco de referencia
inercial.

Haz de luz

FIGURA 44–14 a) Tres estrellas en el a) b)
cielo observadas desde la Tierra. b) Si la
luz de una de estas estrellas pasa muy El principio de equivalencia permite demostrar que la luz debe desviarse debido a
cerca del Sol, cuya gravedad desviará la fuerza gravitacional de un objeto masivo. Considere otro experimento mental, en el
los rayos, la estrella parecerá estar a que un elevador está en espacio libre donde virtualmente no actúa la gravedad. Si una
mayor altura de lo que en realidad está linterna sujeta al costado del elevador emite un haz de luz, el haz viajará en línea recta
(siga el rayo hacia atrás). a través del elevador y formará una mancha en el lado opuesto si el elevador está en
reposo o en movimiento con velocidad constante (figura 44-13a). Si en vez de ello el
1 Estrellas elevador acelera hacia arriba, como en la figura 44-13b, el haz de luz viajaría en línea
2 recta a través en un marco de referencia en reposo. Sin embargo, en el elevador que se
mueve hacia arriba, se observa que el haz se curva hacia abajo. ¿Por qué? Porque du-
3 rante el tiempo en que la luz viaja de un lado del elevador al otro, el elevador se mue-
ve hacia arriba con una rapidez vertical que aumenta en relación con la luz. A
Observador a) continuación, note que, de acuerdo con el principio de equivalencia, un marco de refe-
en la Tierra rencia que acelera hacia arriba es equivalente a un campo gravitacional que actúa ha-
cia abajo. Por lo tanto, la trayectoria curva de la luz en la figura 44-13b se puede
Posición representar como debida al efecto de un campo gravitacional. De esta forma, a partir
aparente del principio de equivalencia, ¡se espera que la gravedad ejerza una fuerza sobre un
q de la haz de luz y que lo desvíe de su trayectoria en línea recta!
estrella
El hecho de que la gravedad afecte a la luz es una importante predicción de la teo-
Sol ría general de la relatividad de Einstein. Y se puede poner a prueba. La cantidad que el
haz de luz se desvía de una trayectoria en línea recta debe ser pequeña aun cuando pa-
Observador b) se por un objeto masivo. (Por ejemplo, se predice que la luz cerca de la superficie de la
en la Tierra Tierra, después de recorrer 1 km, caerá sólo aproximadamente 10210 m, que es igual al
diámetro de un pequeño átomo y no es detectable.) El objeto más masivo cerca de la
Tierra es el Sol, y se calculó que la luz de una estrella distante se desviaría 1.750 de ar-
co (una desviación pequeña pero detectable) conforme pasara cerca del borde del Sol
(figura 44-14). Sin embargo, tal medición sólo se podría realizar durante un eclipse to-
tal de Sol, de manera que el enorme brillo del Sol no oscureciera la luz estelar que pa-
saría cerca de su borde. Un oportuno eclipse ocurrió en 1919, y los científicos viajaron
al Atlántico sur para observarlo. En esa ocasión, las fotografías de las estrellas alrede-

1206 CAPÍTULO 44 Astrofísica y cosmología

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Galaxia Imagen
Luz proveniente del quasar falsa

Quasar

Imagen
falsa

a) b)

FIGURA 44–15 a) Fotografía del Telescopio Espacial Hubble de la llamada ”cruz de Einstein”, que se cree representa
“lentes gravitacionales”: la mancha central es una galaxia relativamente cercana, mientras que las otras cuatro manchas se
consideran imágenes de un solo quasar detrás de la galaxia. b) Diagrama que muestra cómo la galaxia podría desviar la luz
proveniente del quasar detrás de ella para producir las cuatro imágenes. Véase también la figura 44-14. [Si la forma de la
galaxia cercana y el quasar distante fueran esferas perfectas, se esperaría que la ”imagen” del quasar distante fuera un anillo
circular o halo en lugar de las cuatro imágenes separadas que se ven aquí. Tal anillo se llama ”anillo de Einstein”.]

dor del Sol revelaron corrimientos, en concordancia con la predicción de Einstein. Otro FIGURA 44–16 En una superficie
ejemplo son los lentes gravitacionales, como se muestra en la figura 44-15. bidimensional curva, la suma de los
ángulos de un triángulo puede no
Fermat demostró que los fenómenos ópticos, incluidos reflexión, refracción y efec- ser 180º.
tos de lentes, se pueden deducir a partir de un principio simple: la luz que viaja entre
dos puntos sigue la trayectoria más corta en el espacio. Por ende, si la gravedad curva “Polo norte”
la trayectoria de la luz, entonces la gravedad debe curvar el espacio en sí. Esto es, el es- 90r
pacio en sí se puede curvar, y la masa gravitacional es la que causa la curvatura. De he-
cho, la curvatura del espacio, o mejor dicho del espacio-tiempo tetradimensional, es un 90r 90r
aspecto básico de la Relatividad General de Einstein (RG). Ecuador

¿Qué se entiende por espacio curvo? Para comprender esto, recuerde que el méto- Tierra
do normal de ver el mundo es a través de la geometría plana euclidiana. En la geome-
tría euclidiana, existen muchos axiomas y teoremas que se dan por hecho, como el que
la suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180º. Los matemáticos también han
imaginado geometrías no euclidianas, que implican espacio curvo. Es bastante difícil
imaginar espacio curvo tridimensional, y todavía más imaginar el espacio-tiempo curvo
tetradimensional. Así que se intentará comprender la idea de espacio curvo empleando
superficies bidimensionales.

Considere, por ejemplo, la superficie bidimensional de una esfera. Claramente es
curva, figura 44-16, al menos para quienes la ven desde el exterior, desde el mundo tri-
dimensional. Pero, ¿cómo hipotéticas criaturas bidimensionales determinarían si su es-
pacio bidimensional es plano o curvo? Una forma sería medir la suma de los ángulos
de un triángulo. Si la superficie es un plano, la suma de los ángulos es 180º, como se
aprende en geometría plana. Pero si el espacio es curvo, y se construye un triángulo su-
ficientemente grande, la suma de los ángulos no será 180º. Para construir un triángulo
sobre una superficie curva, por ejemplo, la esfera de la figura 44-16, debemos usar el
equivalente de una línea recta: esto es, la distancia más corta entre dos puntos, que se
llama geodésica. En una esfera, una geodésica es un arco de un gran círculo (un arco
en un plano que pasa a través del centro de la esfera) como el ecuador y las líneas de
la coordenada de longitud o meridianos de la Tierra. Considere, por ejemplo, el gran
triángulo de la figura 44-16: sus lados son dos líneas que van desde el polo norte hasta
el ecuador, y el tercer lado es una sección del ecuador, como se observa. Las dos líneas
de la coordenada de longitud forman ángulos de 90º con el ecuador (observe un globo
terráqueo para ver esto más claramente). Forman un ángulo en el polo norte, que po-
dría ser de 90º como se muestra; la suma de estos ángulos es 90° 1 90° 1 90° 5 270°.
Éste claramente no es un espacio euclidiano. Sin embargo, note que, si el triángulo es
pequeño en comparación con el radio de la esfera, los ángulos sumarán casi 180º y el
triángulo (y el espacio) parecerá plano.

SECCIÓN 44–4 Relatividad general: Gravedad y curvatura del espacio 1207

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O
r

C
a

C

FIGURA 44–17 En una superficie esférica (un mundo FIGURA 44–18 Ejemplo de una
bidimensional) se dibuja un círculo (línea punteada) con superficie bidimensional con
circunferencia C en torno al punto O como el centro. El radio
del círculo (no de la esfera) es la distancia r a lo largo de la curvatura negativa.
superficie. (Note que en la vista tridimensional se puede decir
que C 5 2pa. Puesto que r . a, entonces C , 2pr.)

FIGURA 44–19 Analogía de hoja de Otra forma de poner a prueba la curvatura del espacio es medir el radio r y la cir-
caucho para visualizar el espacio-tiempo cunferencia C de un gran círculo. Sobre una superficie plana, C 5 2pr. Pero sobre una
superficie esférica bidimensional, C es menor que 2pr, como se aprecia en la figura
curvo por la materia. 44-17. La proporcionalidad entre C y r es menor que 2p. Se dice que tal superficie tie-
ne curvatura positiva. En la superficie con forma de silla de montar de la figura 44-18,
la circunferencia de un círculo es mayor que 2pr y la suma de los ángulos de un trián-
gulo es menor que 180º. Se dice que tal superficie tiene curvatura negativa.

Curvatura del Universo

¿Y qué sucede en el caso del Universo? A gran escala (no sólo cerca de una gran ma-
sa), ¿cuál es la curvatura global del Universo? ¿Tiene curvatura positiva, curvatura ne-
gativa o es plano (curvatura cero)? Los humanos percibimos nuestro mundo como
euclidiano (plano), pero no se puede excluir la posibilidad de que el espacio tenga una
curvatura tan ligera que normalmente no se le aprecie. Ésta es una pregunta crucial en
cosmología y sólo se puede responder mediante experimentación precisa.

Si el Universo tuviera una curvatura positiva, sería cerrado o finito en volumen. Es-
to no significaría que las estrellas y galaxias se extenderían hasta cierta frontera, más
allá de la cual habría espacio vacío. No hay frontera o borde en tal Universo. El Univer-
so es todo lo que hay. Si una partícula se moviera en línea recta en una dirección par-
ticular, con el tiempo regresaría al punto de partida, acaso eones de tiempo más tarde.

Por otra parte, si la curvatura del espacio fuera cero o negativa, sería abierto. Po-
dría continuar por siempre. Un Universo abierto podría ser infinito; pero de acuerdo
con investigación reciente, esto no necesariamente tendría que ser así.

En la actualidad hay evidencia muy fuerte de que el Universo a gran escala está
muy cerca de ser plano. De hecho, está tan cerca de ser plano que no es posible decir si
tiene curvatura ligeramente positiva o ligeramente negativa.

Agujeros negros

De acuerdo con la teoría de Einstein, el espacio-tiempo es curvo cerca de los objetos
masivos. Se podría pensar que el espacio es como una delgada hoja de caucho: si un ob-
jeto pesado cuelga de él, se curva como se muestra en la figura 44-19. El peso corres-
ponde a una enorme masa que hace que el espacio (¡el espacio en sí!) se curve. Por eso, en
la teoría de Einstein† no se habla de la “fuerza” de gravedad que actúa sobre los obje-
tos. En vez de ello, se dice que los objetos y los rayos de luz se mueven como lo hacen
porque el espacio-tiempo es curvo. Un objeto que parte del reposo o que se mueve lenta-
mente cerca de la gran masa de la figura 44-19 seguiría una geodésica (el equivalente
de una línea recta en geometría plana) hacia esa gran masa.

Peso †Alexander Pope (1688-1744) escribió un epitafio para Newton:

1208 CAPÍTULO 44 “La naturaleza y las leyes de la naturaleza se ocultaban en la noche.
Dios dijo, ¡Sea Newton!, y todo fue luz”.

Sir John Squire (1884-1958), quizás incómodo con los profundos pensamientos de Einstein, agregó:

“Pero esto no duró. El Diablo gritó, ¡Ah!
¡Sea Einstein!, y restauró el statu quo”.

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La curvatura extrema del espacio-tiempo que se ilustra en la figura 44-19 se podría
formar mediante un agujero negro. Un agujero negro, como se mencionó en la sección
44-2, es tan denso que ni siquiera la luz puede escapar de él. Para convertirse en agujero
negro, un objeto de masa M debe experimentar colapso gravitacional, y contraerse me-
diante autoatracción gravitacional a menos de un radio llamado radio de Schwarzschild:

R = 2GM ,
c2

donde G es la constante gravitacional y c la rapidez de la luz. Si un objeto colapsa hasta
dentro de este radio, la relatividad general predice que rápidamente (L 1025 s) colapsa-
rá a un punto en r 5 0, formando una singularidad infinitamente densa. Sin embargo, esta
predicción es incierta, porque en este ámbito es necesario combinar mecánica cuántica
con gravedad, una unificación de teorías que aún no se logra (sección 43-12).

EJERCICIO C ¿Cuál es el radio de Schwartzschild para un objeto con 2 masas solares?

El radio de Schwartzschild también representa el horizonte de eventos de un agu-
jero negro. Por horizonte de eventos se entiende la superficie más allá de la cual ninguna
señal emitida puede llegar a la Tierra, y por ende no es posible recibir información de
los hechos que ocurren más allá de esa superficie. Conforme una estrella colapsa hacia
un agujero negro, la gravedad atrae cada vez con más fuerza la luz que emite, pero to-
davía se le puede ver. Una vez que la materia rebasa el horizonte de eventos, la luz
emitida no puede escapar, sino que se regresa por acción de la gravedad.

Todo lo que se puede conocer acerca de un agujero negro es su masa, su cantidad
de movimiento angular (podría haber agujeros negros giratorios) y su carga eléctrica.
Ninguna otra información, ningún detalle de su estructura o del tipo de materia de la
que está formado se puede conocer porque ninguna información logra escapar.

¿Cómo se observan los agujeros negros? Es imposible verlos porque ninguna luz
escapa de ellos. Serían objetos negros contra un cielo negro. Pero ejercen una fuerza
gravitacional sobre los objetos cercanos. El agujero negro que se cree está en el centro
de la Vía Láctea (M L 2 3 106 MSol) se descubrió al examinar el movimiento de la ma-
teria en sus alrededores. Otra técnica es examinar estrellas que parecen moverse como
si fueran un miembro de un sistema binario (dos estrellas que giran en torno a su cen-
tro de masa común), pero sin un compañero visible. Si la estrella no vista es un aguje-
ro negro, se esperaría que atrajera material gaseoso de su compañera visible (como en
la figura 44-10). Conforme esta materia se aproxima al agujero negro, se aceleraría
enormemente y debería emitir rayos X de un tipo característico antes de sucumbir den-
tro del horizonte de eventos. Tales rayos X, más la estimación de una masa suficiente-
mente elevada a partir del movimiento rotacional, dan evidencia para inferir la
existencia de un agujero negro. Uno de los muchos candidatos para un agujero negro
está en el sistema de estrellas binarias Cisne X-1 (Cygnus X-1). Se cree que el centro de
la mayoría de las galaxias está ocupado por un agujero negro con una masa de 106 a 109
veces la masa de una estrella común como el Sol.

EJERCICIO D Un agujero negro tiene un radio R. Su masa es proporcional a a) R, b) R2,
c) R3. Justifique su respuesta.

44–5 El Universo en expansión:

Corrimiento al rojo
y ley de Hubble

En la sección 44-2 se describió cómo las estrellas individuales evolucionan desde su na-
cimiento hasta su muerte como enanas blancas, estrellas de neutrones y agujeros negros.
¿Pero qué sucede con el Universo como un todo: es estático o cambia? Uno de los des-
cubrimientos científicos más importantes del siglo XX fue que las galaxias distantes se
alejan rápidamente de la Tierra, y que, cuanto más lejos están, con mayor rapidez se ale-
jan. La forma como los astrónomos llegaron a esta asombrosa idea y qué significa para
la historia pasada del Universo, así como para su futuro, ocuparán el resto del libro.

SECCIÓN 44–5 El Universo en expansión: Corrimiento al rojo y ley de Hubble 1209

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FIGURA 44–20 Átomos y Intensidad Espectro de galaxia con
moléculas emiten y absorben luz de corrimiento bajo a rojo
frecuencias particulares dependiendo
del espaciamiento de sus niveles de z ϭ 0.004
energía, como se vio en los capítulos
37 a 40. a) Espectro de luz recibido de 500 600 700
una galaxia con movimiento a) Longitud de onda (nm)
relativamente lento. b) Espectro de
una galaxia que se aleja de la Tierra Espectro de galaxia con
con una rapidez mucho mayor. Note corrimiento más alto a rojo
cómo los picos (o líneas) en el espectro
se movieron hacia longitudes de onda z ϭ 0.104
más largas. El corrimiento hacia el rojo Intensidad
es z = Alobs - lreposoB͞lreposo .

500 600 700
b) Longitud de onda (nm)

Fue Edwin Hubble quien, en 1929, planteó por primera vez que el Universo está
en expansión. Esta idea se basó en mediciones de distancia de galaxias (sección 44-3) y
la determinación de sus velocidades mediante el corrimiento Doppler de las líneas es-
pectrales en la luz que se recibía de ellas (figura 44-20). En el capítulo 16 se vio cómo
la frecuencia del sonido es más alta y la longitud de onda más corta si la fuente y el ob-
servador se desplazan uno hacia el otro. Si la fuente se aleja del observador, la frecuen-
cia es más baja y la longitud de onda más larga. El efecto Doppler también ocurre para
la luz, y en la sección 36-12 (ecuación 36-15) se vio que, de acuerdo con la relatividad
especial, el corrimiento Doppler está dado por

lobs = 1 + v͞c , B fuente y observador R (44–3)
lreposo B 1 - v͞c se alejan entre sí

donde lreposo es la longitud de onda emitida como se ve en un marco de referencia en
reposo con respecto a la fuente, y lobs es la longitud de onda observada en un marco
en movimiento con velocidad v que se aleja de la fuente a lo largo de la línea de visión.
(Para movimiento relativo de uno hacia el otro, v , 0 en esta fórmula.) Cuando una
fuente distante emite luz de una longitud de onda particular, y la fuente se aleja de un
observador en la Tierra, la longitud de onda parece más larga al observador: el color de
la luz (si es visible) se corre hacia el extremo rojo del espectro visible, un efecto cono-
cido como corrimiento hacia el rojo. (Si la fuente se mueve hacia el observador, el color
se corre hacia el azul, el cual tiene una longitud de onda más corta.)

En los espectros de las estrellas en otras galaxias, se observa que las líneas corres-
ponden a líneas en los espectros conocidos de átomos particulares (véanse la sección
37-10 y las figuras 35-22 y 37-20). Lo que Hubble descubrió fue que las líneas que se
ven en los espectros de las galaxias distantes por lo general corrían hacia el rojo, y que
la cantidad de corrimiento parecía ser aproximadamente proporcional a la distancia
de la galaxia desde la Tierra. Esto es, la velocidad v de una galaxia que se aleja de la
Tierra es proporcional a su distancia d desde la Tierra:

LEY DE HUBBLE v = Hd. (44–4)

1210 CAPÍTULO 44 Ésta es la ley de Hubble, una de las ideas fundamentales en astronomía. La constante
H se llama parámetro de Hubble.

El valor de H era incierto en más de un 20% hasta hace poco, y se creía que esta-
ba entre 50 y 80 km/s/Mpc. Pero mediciones recientes ubican su valor con mayor exac-
titud en

H = 71 km͞s͞Mpc

(esto es, 71 kmys por megaparsec de distancia). La incertidumbre actual es de alrede-
dor del 5%, o 64 kmysyMpc. Si se usan años luz para distancia, entonces H 5 22 kmys
por millón de años luz de distancia:

H 5 22 kmysyMillones de años luz

con una incertidumbre estimada de 61 kmysyMillones de años luz.

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Orígenes del corrimiento hacia el rojo

Las galaxias muy cercanas a la Tierra parecen moverse de manera aleatoria en relación con FIGURA 44–21 Modelo
nuestro planeta: algunas se mueven hacia la Tierra (corrimiento al azul), otras se alejan de simplificado de un Universo
ella (corrimiento hacia el rojo); sus rapideces están en el orden de 0.001c. Pero, en el caso bidimensional, imaginado como un
de galaxias más distantes, la velocidad de recesión es mucho mayor que la velocidad del globo. Conforme el globo se infla
movimiento aleatorio local y, por lo tanto, es dominante y la ley de Hubble (ecuación 44.4) (5 Universo en expansión), la longitud
se cumple muy bien. Las galaxias más distantes tienen velocidad de recesión más alta y un de onda de una onda sobre su
mayor corrimiento hacia el rojo, el cual se llama corrimiento hacia el rojo cosmológico. En superficie se hace más larga.
la actualidad ese corrimiento al rojo se interpreta como debido a la expansión del espacio
mismo. La longitud de onda emitida originalmente lreposo se puede considerar como estira- FIGURA 44–22 Fotografía de
da (se hace más larga) junto con el espacio en expansión que la rodea, como se sugiere en Campo Hubble Ultra Profundo que
la figura 44-21. Aunque Hubble consideró al corrimiento al rojo como un corrimiento Dop- muestra qué puede estar entre las
pler, ahora se le entiende en este sentido de espacio en expansión. galaxias más distantes de la Tierra
(pequeños puntos rojos, que se
A diferencia del corrimiento al rojo cosmológico, que se debe a la expansión del destacan mediante cuadrados), con
espacio en sí, el corrimiento al rojo Doppler ordinario se debe al movimiento relativo z L 5 o 6, que existían cuando el
del emisor y el observador en un espacio que se puede considerar fijo sobre el interva- Universo sólo tenía aproximadamente
lo de tiempo de observación. 800 millones de años de antigüedad.
Las dos galaxias distantes en esta
Existe una tercera forma de producir un corrimiento al rojo, que se menciona pa- fotografía se muestran agrandadas
ra completar el tema: un corrimiento al rojo gravitacional. La luz que sale de una estre- abajo. (Véase el pliego a color al final
lla masiva gana energía potencial gravitacional (como una piedra que se lanza hacia del libro).
arriba desde la Tierra). De manera que la energía cinética de cada fotón, hf, se debe
volver menor (para conservar energía). Una frecuencia f menor significa una longitud
de onda más larga l (5 cyf), que es un corrimiento al rojo.

La cantidad de un corrimiento al rojo se especifica mediante el parámetro de co-
rrimiento al rojo, z, que se define como

lobs - lreposo ¢l , (44–5a)
z= =
lreposo lreposo

donde flureepnostoe,eys una longitud de onda como la ve un observador en reposo en relación
con la lobs es la longitud de onda medida por un observador en movimiento.
La ecuación 44-5a también se puede escribir como

z = lobs - 1 (44–5b)
lreposo

y

z + 1 = lobs . (44–5c)
lreposo

En el caso de rapidez baja, no cercana a la rapidez de la luz (v f 0.1 c), la fórmula de
Dopler (ecuación 44-3) se puede usar para demostrar (problema 29) que z es propor-
cional a la rapidez de la fuente hacia o desde el observador:

z = lobs - lreposo L v. [v V c] (44–6)
lreposo c

Pero los corrimientos hacia el rojo no siempre son pequeños, en cuyo caso la aproxima-
ción de la ecuación 44-6 no es válida. Los telescopios modernos por lo general obser-
van galaxias con z L 5 (figura 44-22); para galaxias con z grande, ni siquiera la ecuación
44-3 se aplica porque el corrimiento hacia el rojo se debe a la expansión del espacio
(corrimiento hacia el rojo cosmológico), no al efecto Doppler.

Factor de escala

La expansión del espacio se puede describir como un simple escalamiento de la distan-
cia común entre dos puntos u objetos en el Universo. Si dos galaxias distantes está a
ruandaads ipstoarnucinaadm0 eanyoarlgdúinstamnocmiaedn(tto).inEilcifaalc,teonrtodneceesscualna tiempo t posterior estarán sepa-
expresa en la ecuación 44-5a. Esto es, es el mismo para la luz, que se

d(t) - d0 = ¢l = z
d0 l
o

d(t) = 1 + z.
d0
De esta forma, por ejemplo, si una galaxia tiene z 5 3, entonces el factor de escala aho-
ra es (1 1 3) 5 4 veces mayor que cuando la luz se emitió desde esa galaxia. Esto es, la
distancia promedio entre las galaxias se volvió 4 veces mayor. Por lo tanto, el factor por
el que aumenta la longitud de onda desde que se emitió nos indica en qué factor au-
mentó en tamaño el Universo (o la distancia común entre los objetos).

SECCIÓN 44–5 El Universo en expansión: Corrimiento al rojo y ley de Hubble 1211

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A A
vBA
Tierra Tierra

a) b)

FIGURA 44–23 La expansión del Universo parece igual desde cualquier punto en el Universo. Si un observador
está en la Tierra, como se muestra en el inciso a), o en el punto A [que está en reposo en el marco de referencia que
se representa en b)], todas las otras galaxias parecen alejarse de él.

Expansión y el principio cosmológico

¿Qué significa que las galaxias distantes se alejen del observador, y con rapidez cada
vez mayor cuanto más lejos están de él? Parece sugerir algún tipo de expansión explo-
siva que comenzó en algún tiempo muy distante en el pasado. Y a primera vista parece
que uno está en medio de todo. Pero no lo está. La expansión parece igual desde cual-
quier otro punto en el Universo. Para entender por qué, observe la figura 44-23. En la
figura 44-23a se tiene la vista desde la Tierra (o desde la Vía Láctea). Las velocidades
de las galaxias vecinas se indican mediante flechas, que apuntan alejándose de uno, y
las flechas son más largas para las galaxias más distantes de uno. Pero, ¿y si estuviéra-
mos en la galaxia marcada A en la figura 44-23a? Desde la Tierra, la galaxia A parece
moverse hacia la derecha con una velocidad, llamémosla vBA , representada mediante la
flecha que apunta hacia la derecha. Si estuviéramos en la galaxia A, la Tierra parecería
moverse hacia la izquierda con velocidad –vBA . Para determinar las velocidades de las
otras galaxias en relación con A, sume vectorialmente el vector de velocidad, –vBA , a
todas las flechas de velocidad que se muestran en la figura 44-23a. Esto produce la fi-
gura 44-23b, donde claramente se ve que el Universo se expande alejándose también
de la galaxia A; y las velocidades de las galaxias que retroceden desde A son propor-
cionales a su distancia actual desde A. El Universo se ve bastante igual desde diferen-
tes puntos.

Así, la expansión del Universo se puede enunciar del modo siguiente: todas las ga-
laxias se alejan unas de otras a una tasa promedio de aproximadamente 22 kmys por
millón de años luz de distancia entre ellas. Las ramificaciones de esta idea son profun-
das y se les discutirá en un momento.

Una suposición básica en cosmología es que, a gran escala, el Universo parecería el
mismo para observadores en diferentes lugares al mismo tiempo. En otras palabras,
el Universo es tanto isotrópico (parece igual en todas direcciones) como homogéneo
(parecería igual si nos ubicáramos en cualquier lugar, por ejemplo, en otra galaxia). Es-
ta suposición se llama el principio cosmológico. A una escala local, por ejemplo, en el
Sistema Solar o dentro de nuestra galaxia, este principio claramente no se aplica (el cie-
lo parece distinto en diferentes direcciones). Pero desde hace mucho se cree que es vá-
lido si se mira a una escala suficientemente grande, de manera que la densidad de
población promedio de las galaxias y cúmulos de galaxias debe ser igual en diferentes
áreas del cielo. Esto parece ser válido a distancias más grandes que aproximadamente
200 Mpc (700 millones de años luz). La expansión del Universo (figura 44-23) es con-
gruente con el principio cosmológico; y la casi uniformidad de la radiación cósmica de
fondo (que se estudiará en la sección 44-6) lo apoya. Otra forma de enunciar el princi-
pio cosmológico es decir que el lugar de la humanidad en el Universo no es especial.

La expansión del Universo, como la describe la ley de Hubble, sugiere con insis-
tencia que las galaxias debieron estar más juntas en el pasado de lo que están ahora.
Esta es, de hecho, la base de la teoría de la Gran Explosión (Big Bang) del origen del
Universo, que representa al Universo como una expansión sin descanso que comenzó a
partir de un momento en el que había mucho calor y gran compresión. Dentro de po-
co se analizará la Gran Explosión con detalle, pero primero veamos lo que se puede
decir acerca de la edad del Universo.

1212 CAPÍTULO 44 Astrofísica y cosmología

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Una forma de estimar la edad del Universo se basa en el parámetro de Hubble.
Con H L 22 kmys por 106 años luz, el tiempo que se requiere para que las galaxias lle-
guen a sus separaciones presentes sería aproximadamente (comenzando con v 5 dyt y
con la ley de Hubble, ecuación 44-4),

t= d d 1 L A106 años luzB A0.95 * 1013 km͞años luzB L 14 * 109 años,
v= Hd = H (22 km͞s)A3.16 * 107 s͞añosB

o 14 mil millones de años. La edad del Universo que se calcula de esta forma se llama
tiempo de expansión característico o “edad de Hubble”. Es tan sólo una estimación y
supone que la tasa de expansión del Universo era constante (en la actualidad hay bas-
tante certeza de que esto no es cierto). Las mejores mediciones actuales indican que la
edad del Universo es de 13.7 3 109 años, en notable concordancia con la estimación de
la edad que hizo Hubble.

*Modelo de estado estable

Antes de explicar la Gran Explosión en detalle, mencionaremos una alternativa a la
Gran Explosión, el modelo de estado estable, que supone que el Universo es infinita-
mente antiguo y, en promedio, parece el mismo ahora de lo que fue siempre. (Esta su-
puesta uniformidad en el tiempo, así como en el espacio, se llamó principio
cosmológico perfecto.) De acuerdo con el modelo de estado estable, en el Universo co-
mo un todo no ha ocurrido ningún cambio a gran escala, en particular ninguna Gran
Explosión. Para mantener esta visión ante la recesión de las galaxias unas de otras, la
materia se debe crear de manera continua para mantener la suposición de la uniformi-
dad. La tasa de creación de masa requerida es muy pequeña, aproximadamente un nu-
cleón por metro cúbico cada 109 años.

El modelo de estado estable representó una saludable competencia para el mode-
lo de la Gran Explosión a mediados del siglo XX. Pero el descubrimiento de la radia-
ción cósmica de fondo (siguiente sección), así como otras observaciones del Universo,
hicieron que el modelo de la Gran Explosión se aceptara de manera universal.

44–6 La Gran Explosión (Big Bang)

y la radiación cósmica de fondo

La expansión del Universo sugiere que los objetos en el Universo alguna vez estuvie- FIGURA 44–24 Arno Penzias
ron mucho más cercanos entre sí de lo que están ahora. Ésta es la base de la idea de (izquierda) y Robert Wilson, y detrás
que el Universo comenzó hace aproximadamente 14 mil millones de años como una
expansión desde un estado de muy alta densidad y temperatura conocido afectuosa- de ellos su gran antena.
mente como la Gran Explosión (o Big Bang).

El nacimiento del Universo no fue exactamente una explosión, porque una explosión
expulsa trozos hacia el espacio circundante. En vez de ello, la Gran Explosión fue el co-
mienzo de una expansión del espacio en sí. El Universo observable era muy pequeño al
principio y desde entonces se expande. El pequeño Universo inicial de materia extrema-
damente densa no se considera como una masa concentrada en medio de un espacio mu-
cho más grande alrededor de ella. El pequeño pero denso Universo inicial era el Universo
entero. No habría nada más. Cuando se dice que el Universo alguna vez fue más pequeño
de lo que es ahora, se entiende que la separación promedio entre los objetos (como las ga-
laxias) era menor. Se cree que el Universo tenía extensión infinita entonces, y todavía la
tiene (sólo que es más grande). Sin embargo, el Universo observable es finito.

Una gran pieza de evidencia que apoya a la Gran Explosión es la radiación cósmi-
ca de fondo en la región de microondas, a veces también llamada radiación del fondo
cósmico de microondas (o radiación CMB, por las siglas de cosmic microwave back-
ground) cuyo descubrimiento se produjo del modo siguiente.

En 1964 Arno Penzias y Robert Wilson apuntaron su radiotelescopio (un dispositi-
vo con una gran antena para detectar ondas de radio) hacia el cielo nocturno (figura
44-24). Con él detectaron emisión de amplia dispersión y se convencieron de que pro-
venía del exterior de la galaxia. Realizaron mediciones precisas a una longitud de onda
l 5 7.35 cm, en la región de microondas del espectro electromagnético (figura 31-12).
Inicialmente se descubrió que la intensidad de esta radiación no variaba de día o de
noche ni tampoco con la época del año, ni dependía de la dirección. Provenía de todas
direcciones en el Universo con igual intensidad, hasta una precisión mayor que el 1%.
Sólo se podía concluir que esta radiación provenía del Universo como un todo.

SECCIÓN 44–6 La Gran Explosión (Big Bang) y la radiación cósmica de fondo 1213

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FIGURA 44–25 Espectro de la radiación cósmica Intensidad Longitud de onda (cm)
de fondo, que muestra la curva de cuerpo negro y 10 1.0 0.1
mediciones experimentales incluidas en la Espectro de cuerpo negro
frecuencia detectada por Penzias y Wilson. (Gracias (T=2.725 K)
a G. F. Smoot y D. Scott. Las barras verticales
representan la incertidumbre experimental más Penzias y
reciente en una medición.) Wilson

FIGURA 44–26 Los científicos del 1 10 100 1000
COBE, John Mather (izquierda, Frecuencia (GHz)
científico jefe y responsable de la
medición de la forma de cuerpo negro Ellos midieron esta radiación cósmica de fondo en l 5 7.35 cm, que corresponde a
del espectro) y George Smoot la región de microondas, y su intensidad corresponde a radiación de cuerpo negro (véa-
(investigador jefe para el experimento se la sección 37-1) a una temperatura aproximada de 3 K. Cuando el satélite COBE
de anisotropía) aparecen aquí durante (Cosmic Background Explorer, explorador de la radiación cósmica de fondo) midió ra-
la celebración de su Premio Nobel en diación a otras longitudes de onda, se descubrió que las intensidades caían en una curva
diciembre de 2006, otorgado por su de cuerpo negro casi perfecta, como se observa en la figura 44-25, lo que corresponde
descubrimiento del espectro y la a una temperatura de 2.725 K (6 0.002 K).
anisotropía del CMB con el
instrumento del COBE. La notable uniformidad de la radiación cósmica de fondo estuvo en concordancia con el
principio cosmológico. Pero los teóricos creyeron que eran necesarias algunas pequeñas
variaciones en la homogeneidad, o “anisotropías”, en el CMB que darían las “semillas” a
partir de las cuales pudo comenzar la formación de las galaxias. De hecho se encontraron
pequeñas áreas de densidad ligeramente más alta, que se habrían contraído bajo la acción
de la gravedad para formar estrellas y galaxias. Estas pequeñas variaciones de homogenei-
dad en densidad y temperatura se detectaron primero mediante el experimento del satéli-
te COBE en 1992, que dirigieron John Mather y George Smoot (figura 44-26).

Este descubrimiento de la anisotropía del CMB figura, junto con el descubrimien-
to del CMB en sí, en la historia de la cosmología. Fue la culminación de décadas de in-
vestigación por pioneros como Paul Richards y David Wilkinson. Experimentos
posteriores con mayor detalle culminaron en 2003 con los resultados de la sonda de
anisotropía de microondas Wilkinson (WMAP, (Wilkinson Microwave Anisotropy Pro-
be). Observe la figura 44-27, que presenta los resultados más recientes (2006).

El CMB aporta fuerte evidencia que apoya la Gran Explosión, y ofrece informa-
ción acerca de las condiciones en el Universo primigenio. De hecho, a finales de la dé-
cada de 1940, George Gamow y sus colaboradores calcularon que un origen como la
Gran Explosión del Universo generaría tal radiación de fondo de microondas.

Para entender por qué, veamos cómo pudo haber sido una Gran Explosión. (En la
actualidad generalmente se usa el término “Gran Explosión” para referirse al proceso,
que comienza con el nacimiento del Universo y continúa a través de su expansión pos-
terior.) La temperatura debió ser extremadamente elevada al principio, tanto que no
podría haber átomo alguno en las primeras etapas del Universo. En vez de ello, el Uni-

FIGURA 44–27 Mediciones de la radiación
cósmica de fondo sobre todo el cielo, con código de
color para representar diferencias en temperatura
desde el promedio de 2.725 K: la escala de color
varía de 1200 mK (rojo) hasta 2200 mK (azul
oscuro), que representan manchas ligeramente más
calientes y más frías (asociadas con variaciones en la
densidad). (Véase el pliego a color al final del libro.)
Los resultados son del satélite WMAP en 2006: la
resolución angular es de 0.2º. Las líneas blancas se
agregaron para mostrar la dirección de polarización
medida de la luz primigenia, que brinda mayores
pistas del Universo temprano.

1214 CAPÍTULO 44 Astrofísica y cosmología

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verso habría consistido exclusivamente en radiación (fotones) y un plasma de electrones
cargados y otras partículas elementales. El Universo habría sido opaco: los fotones en un
sentido “atrapados”, recorrían distancias muy cortas antes de dispersarse de nuevo, princi-
palmente por electrones. De hecho, los detalles de la radiación del fondo de microondas es
fuerte evidencia de que la materia y la radiación alguna vez estuvieron en equilibrio a una
temperatura muy alta. Conforme el Universo se expandió, la energía se dispersó sobre un
volumen cada vez más grande y la temperatura disminuyó. Sólo cuando la temperatura ha-
bía disminuido a alrededor de 3000 K, unos 380,000 años después, los núcleos y electrones
se pudieron combinar para formar átomos. Con la desaparición de electrones libres, confor-
me se combinaban con núcleos para formar átomos, la radiación se liberaría: se desacopló
de la materia, como se dice. El Universo se volvió transparente porque los fotones ahora
eran libres para viajar en línea recta casi sin impedimento a través del Universo.

Es esta radiación, de 380,000 años después del nacimiento del Universo, la que
ahora se ve como CMB. Conforme el Universo se expandió, las longitudes de onda de
la radiación se alargaron y, por ende, el corrimiento hacia el rojo se dio hacia longitu-
des de onda más largas que corresponden a temperaturas más bajas (recuerde la ley de
Wien, lPT 5 constante, sección 37-1), hasta llegar a la radiación de fondo de 2.7 K que
se observa en la actualidad.

Una mirada hacia atrás a la Gran Explosión: Tiempo retrospectivo

La figura 44-28 ilustra el punto de vista de un observador en la Tierra, que se asoma en
todas direcciones en busca de la Gran Explosión y del breve periodo (380,000 años de
duración) cuando la radiación estaba atrapada en el plasma primigenio (indicado en
forma de banda). El tiempo que la luz tarda en llegar a la Tierra desde un evento se lla-
ma tiempo retrospectivo. El cuadro de “acercamiento” en la figura 44-28 muestra un
fotón que se dispersa repetidamente dentro de este plasma primigenio y luego sale del
plasma en línea recta. Sin importar en cuál dirección se observe, la visión del Universo
inicial se bloquea por este muro de plasma. Es como intentar ver a través de una nie-
bla muy espesa o en la superficie del Sol; sólo se puede ver su superficie, llamada su-
perficie de última dispersión, pero no dentro de ella. Las longitudes de onda desde ahí
tienen corrimiento al rojo z L 1100. El tiempo Δt9 en la figura 44-28 es el tiempo retros-
pectivo (no el tiempo real que transcurre hacia delante).

Recuerde que cuando se observa un objeto lejano, se le ve como era entonces,
cuando la luz se emitió, no como aparecería hoy.

Nacimiento Nacimiento FIGURA 44–28 Cuando se observa desde la Tierra, se mira
del Universo del Universo hacia atrás en el tiempo. Cualquier otro observador en el
Universo vería más o menos lo mismo. Cuanto más alejado esté
r0 ϭ c ⌬tЈ0 Plasma el objeto de un observador, más tiempo hace que la luz salió de
Tierra Nacimiento él. No podemos ver tan lejos como la Gran Explosión; sólo se
del Universo puede ver hasta la “superficie de la última dispersión”, que
El irradió el CMB. La imagen en la esquina inferior derecha
Universo representa los 380,000 años iniciales del Universo, cuando era
observable opaco: se muestra un fotón que se dispersó muchas veces y luego
(al desacoplarse, 380,000 años después del nacimiento del
Borde del Universo) quedó libre para viajar en línea recta. Si este fotón no
Universo observable se dirigiera hacia el observador cuando se “liberó”, muchos otros
lo harían. No se muestran las galaxias, sino que este diagrama se
(desacoplado) concentra cerca de la Tierra porque las galaxias fueron de
5 superficie de última dispersión creación relativamente reciente. Nota: Este diagrama no es un
mapa normal. Los mapas muestran una sección del mundo como
se podría ver en un tiempo dado. Este diagrama muestra espacio
(como un mapa), pero cada punto no está en el mismo tiempo. La
luz que proviene de un punto a una distancia r de la Tierra tarda
un tiempo Dt9 5 ryc en llegar a nuestro planeta, y por ende revela
un evento que tuvo lugar hace mucho tiempo, un tiempo Dt9 5
ryc en el pasado, al que llamamos su “tiempo retrospectivo”. El
Universo comenzó hace ¢t0œ 5 13.7 Giga-años.

El Universo observable SECCIÓN 44–6 1215

La figura 44-28 entraña cierto riesgo: no es una imagen del Universo en un instante da-
do, sino que tiene la intención de sugerir cómo vemos en todas direcciones desde nues-
tro punto de observación (la Tierra, o cerca de ella). Tenga cuidado y no piense que el
nacimiento del Universo tuvo lugar en un círculo o una esfera que rodea a la Tierra,
como si la figura 44-28 fuera una fotografía tomada en un momento dado. Lo que la fi-
gura 44-28 muestra es lo que se puede ver, el Universo observable. Mejor aún, muestra
lo más que se puede ver.

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r 0 ϭ ctЈ0 ctЈ0 Sin duda seríamos arrogantes al creer que es posible ver todo el Universo. De he-
r0ϭ cho, las teorías suponen que es imposible ver todo, que todo el Universo es más grande
que el Universo observable, el cual es una esfera de radio r0 5 ct0 con centro en el ob-
Él Nosotros servador, donde t0 es la edad del Universo. Nunca se puede ver más atrás del tiempo
que tarda la luz en llegar a uno.
FIGURA 44–29 Dos observadores,
en galaxias enormemente separadas, Considere, por ejemplo, que hay un observador en otra galaxia, muy lejana de us-
tienen diferentes horizontes y ted, ubicada a la izquierda del punto de observación en la figura 44-28. Ese observador
diferentes Universos observables. ni siquiera habría visto todavía la luz que llega desde el extremo derecho del círculo
grande en la figura 44-28 que usted ve: tardaría algo de tiempo para que la luz llegara
a él. Pero ese observador ya habrá visto, hace algún tiempo, la luz que viene desde la
izquierda que usted ve ahora. De hecho, su Universo observable, superpuesto con el de
usted, se sugiere mediante la figura 44-29.

El borde del Universo observable se llama horizonte. En principio, podríamos ver
tan lejos como el horizonte, pero no más allá. Un observador en otra galaxia, lejos de
usted, tendrá un horizonte diferente.

44–7 El modelo cosmológico

estándar: Historia temprana
del Universo

En los últimos 20 años se desarrolló una teoría convincente del origen y la evolución
del Universo, que ahora se llama modelo cosmológico estándar o (en ocasiones) mode-
lo de concordancia. Parte de esta teoría se basa en recientes avances teóricos y experi-
mentales en física de partículas elementales, y parte en las observaciones del Universo,
incluidas las de los satélites COBE y WMAP. De hecho, la cosmología y la física de
partículas elementales se han nutrido de forma recíproca en sorprendente medida.
Remontémonos al principio de los tiempos, tan cerca como sea posible de la Gran
Explosión, y sigamos un escenario de modelo estándar de acontecimientos conforme el
Universo se expandió y enfrió después de la Gran Explosión. Al principio se habla de
intervalos de tiempo extremadamente pequeños, así como de temperaturas extremada-
mente altas, más allá de cualquier objeto en el Universo actual. La figura 44-30 es una
representación gráfica comprimida de los acontecimientos y será útil consultarla con-
forme avancemos.

FIGURA 44–30 Representación gráfica comprimida del desarrollo del Desacoplamiento 3K

Universo después de la Gran Explosión, de acuerdo con la cosmología 3000K

moderna. [La escala de tiempo es principalmente logarítmica (cada factor Temperatur1a010 K Estrellas
de 10 en el tiempo recibe igual tratamiento), excepto al comienzo (no puede y
haber t 5 0 en una escala log) y justo después de t 5 10235 s (para ahorrar galaxias
Dominado por materia
espacio). La altura vertical es tan sólo una indicación aproximada del 1013 K Era de radiación Escala de distancia

tamaño del Universo, principalmente Inflación Universo
para sugerir su expansión.] 1027 K transpa-
Era de Universo opaco rente
Era Energía
Nacimiento Planck Era leptónica oscura
del Universo 1032 K hadrónica
Era de
TGU Nucleosíntesis

0 10Ϫ43 s 10Ϫ35 s 10Ϫ6 s 10Ϫ4 s 1s 10s 102s 103s 380,000 1010 años
años [ahora]
(Tiempo Tiempo
de Planck)

1216 CAPÍTULO 44 La historia

Comenzaremos en un tiempo apenas una minúscula fracción de segundo después del
nacimiento del Universo, 10243 s. Este tiempo a veces se conoce como tiempo de
Planck, que es un valor determinado por las constantes fundamentales. Se relaciona
con la longitud de Planck lP que se obtuvo en el capítulo 1 (ejemplo 1-10) mediante
análisis dimensional: lP = 3Gh͞c3 L 4 * 10–35 m. El tiempo de Planck es el tiempo
que tarda la luz en recorrer la longitud de Planck: tp 5 lpyc L (4 3 10235 m)y(3 3 108
mys) L 10243 s. Éste es un tiempo inimaginablemente corto, y las predicciones pueden
ser tan sólo especulativas. Antes de ello, no es posible decir nada porque no se tiene
una teoría de gravedad cuántica que se necesitaría para las increíblemente altas densi-
dades y temperaturas durante esta “era de Planck”. Se cree que quizá tan temprano co-
mo 10243 s, las cuatro fuerzas de la naturaleza estaban unificadas: sólo existía una

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fuerza (capítulo 43, figura 43-19). La temperatura habría sido aproximadamente de 1032
K, que corresponde a partículas en movimiento aleatorio con una energía cinética pro-
medio K de 1019 GeV (véase la ecuación 18-4):

K L kT L A1.4 * 10–23 J͞KB A1032 KB L 1028 eV = 1019 GeV.
1.6 * 10–19 J͞eV

(Note que el factor 3 en la ecuación 18-4 generalmente se ignora en cálculos de tal or-
2 que en t 5 10243 s ocurrió una “transición de fase” durante
den de magnitud.) Se cree
la cual la fuerza gravitacional, en efecto, se “condensó” como una fuerza separada. És-
ta y posteriores transiciones de fase son análogas a las transiciones de fase que experi-
menta el agua conforme se enfría desde un estado gaseoso, se condensa en un líquido
y, con mayor enfriamiento, se congela para convertirse en hielo.† La simetría de las cua-
tro fuerzas se rompió, pero las fuerzas fuerte, débil y electromagnética todavía estaban
unificadas, y el Universo entró en la era de la gran unificación (TGU, véase el capítulo
43). No había distinción entre quarks y leptones; los números bariónico y leptónico no
se conservaban. Muy poco tiempo después, conforme el Universo se expandió conside-
rablemente y la temperatura disminuyó a alrededor de 1027 K, hubo otra transición de
fase y la fuerza fuerte se separó aproximadamente 10235 s después de la Gran Explo-
sión. Ahora el Universo estaba lleno con una “sopa” de leptones y quarks. Los quarks
inicialmente estaban libres, pero pronto comenzaron a “condensarse” en partículas más
normales: nucleones y los otros hadrones y sus antipartículas. Con este confinamiento
de quarks el Universo entró a la era hadrónica.
Aproximadamente por ese tiempo, cuando el Universo sólo tenía 10235 s de edad,
habría ocurrido algo extraño, de acuerdo con los teóricos. Una brillante idea, propues-
ta alrededor de 1980, sugiere que el Universo experimentó una increíble expansión ex-
ponencial, y aumentó en tamaño por un factor de 1040 o tal vez mucho más, en una
pequeña fracción de segundo, quizá 10235 s. La utilidad de este escenario inflacionario
es que resolvía grandes problemas con los modelos de la Gran Explosión anteriores,
como la explicación de por qué el Universo es plano, así como el equilibrio térmico pa-
ra obtener el CMB casi uniforme, como se discute más adelante.
Después del muy breve periodo inflacionario, el Universo se asentó en su expan-
sión más regular. El Universo ahora era una “sopa” de leptones y hadrones. Se puede
considerar esta “sopa” como un plasma de partículas y antipartículas, así como de foto-
nes —todos en números aproximadamente iguales—, que chocaban frecuentemente
unos con otros e intercambiaban energía.
Para cuando el Universo tenía sólo un microsegundo (1026 s) de edad, se había en-
friado aproximadamente a 1013 K, que corresponde a una energía cinética promedio de
1 GeV, y la gran mayoría de los hadrones desaparecieron. Para ver por qué, vamos a
enfocarnos en los hadrones más conocidos: nucleones y sus antipartículas. Cuando la
energía cinética promedio de las partículas era un poco mayor que 1 GeV, protones,
neutrones y sus antipartículas se creaban de manera continua a partir de las energías
de las colisiones que implicaban fotones y otras partículas, como

fotones S p + o
S n + n.

Pero igualmente rápido, partículas y antipartículas se aniquilaban: por ejemplo
p + o S fotones o leptones.

De manera que los procesos de creación y aniquilación de nucleones estaban en equi-
librio. El número de nucleones y antinucleones era alto, aproximadamente había tantos
como electrones, positrones o fotones. Pero conforme el Universo se expandió y enfrió,
y la energía cinética promedio de las partículas cayó por debajo de 1 GeV, que es la
energía mínima necesaria en una colisión común para crear nucleones y antinucleones
(aproximadamente 940 MeV cada uno), el proceso de creación de nucleones no podía
continuar. Sin embargo, el proceso de aniquilación podía continuar, y los antinucleones
aniquilaban nucleones, hasta que casi no quedaron nucleones. Pero no se redujeron a
cero. De algún modo es necesario explicar el mundo de materia actual (nucleones y
electrones) con muy poca antimateria a la vista.

†Es interesante hacer notar que la historia de los orígenes aquí tiene cierto parecido con las antiguas SECCIÓN 44–7 1217
explicaciones que mencionan “vacío”, “páramo sin forma” (o “la oscuridad sobre la profundidad”),
“abismo”, “dividir las aguas” (¿posiblemente una transición de fase?), por no mencionar la súbita apa-
rición de la luz.

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Para explicar el mundo de la materia, podemos suponer que anteriormente en el
Universo, quizás alrededor de 10235 s después de la Gran Explosión, se formó un ligero
exceso de quarks con respecto a los antiquarks.† Esto habría dado por resultado un lige-
ro exceso de nucleones sobre antinucleones. Y son estos nucleones “sobrantes” de los
que están hechas las cosas actuales. El exceso de nucleones sobre los antinucleones pro-
bablemente fue de una parte en 109. Durante la era hadrónica, debieron existir tantos nu-
cleones como fotones. Así, después de que terminó, los nucleones “sobrantes” existían
aproximadamente en razón de un nucleón por 109 fotones, y esta proporción persiste
hasta la época actual. En consecuencia, protones, neutrones y todas las otras partículas
más pesadas se redujeron tremendamente en número unos 1026 s después de la Gran
Explosión. Los hadrones más ligeros, los piones, pronto desaparecieron, alrededor de
1024 s después de la Gran Explosión; puesto que son los hadrones con masa más ligera
(140 MeV), fueron los últimos hadrones en crearse conforme la temperatura (y la ener-
gía cinética promedio) disminuía. Las partículas más ligeras, incluyendo electrones y neu-
trinos, fueron la forma dominante de materia, y el Universo entró en la era leptónica.

Para cuando transcurrió el primer segundo completo (¡sin duda el segundo más col-
mado de acontecimientos en la historia!), el Universo se había enfriado alrededor de
10 mil millones de grados, 1010 K. La energía cinética promedio era de aproximadamen-
te 1 MeV. Sin embargo, ésta fue energía suficiente para crear electrones y positrones, así
como para equilibrar sus reacciones de aniquilación, pues sus masas corresponden a
aproximadamente 0.5 MeV. De manera que había más o menos tantos e1 y e2 como fo-
tones. Pero dentro de algunos segundos más, la temperatura cayó lo suficiente como para
que e1 y e2 ya no se pudieran formar. Continuó la aniquilación (e1 1 e2 S fotones). Y,
al igual que sucedió antes con los nucleones, los electrones y los positrones desaparecie-
ron del Universo, excepto por un ligero exceso de electrones sobre positrones (que más
tarde se unieron con núcleos para formar átomos). De esta forma, alrededor de t 5 10 s
después de la Gran Explosión, el Universo entró en la era de la radiación (figura 44-30).
Sus principales constituyentes fueron fotones y neutrinos. Pero los neutrinos, que sólo
participan en la fuerza débil, rara vez interactuaban. Así que el Universo, que hasta en-
tonces experimentaba cantidades significativas de energía en materia y en radiación,
ahora quedó dominado por radiación: en la radiación se contenía mucha más energía
que en la materia, una situación que duraría más de 50,000 años.

Desacoplamiento 3K

FIGURA 44–30 (Repetida). Representación 3000K

gráfica comprimida del desarrollo del Universo Temperatur1a010 K Estrellas
después de la Gran Explosión, de acuerdo con y
la cosmología moderna. galaxias
Dominado por materia
1013 K Era de radiación Escala de distancia

Inflación Universo
1027 K transpa-
Era de Universo opaco rente
Era Energía
Nacimiento Planck Era leptónica oscura
del Universo 1032 K hadrónica
Era de
TGU Nucleosíntesis

0 10Ϫ43 s 10Ϫ35 s 10Ϫ6 s 10Ϫ4 s 1s 10s 102s 103s 380,000 1010 años
años [ahora]
(Tiempo Tiempo
de Planck)

Mientras tanto, durante los siguientes pocos minutos, tuvieron lugar aconteci-
mientos cruciales. Al comenzar aproximadamente los minutos 2 o 3 después de la
Gran Explosión, comenzó a ocurrir la fusión nuclear. La temperatura había disminuido
a aproximadamente 109 K, lo que corresponde a una energía cinética promedio
† L 100 keV, donde los nucleones podían chocar entre sí y fusionarse (sección 42-4),
pero ahora suficientemente fríos de manera que los núcleos recién formados no se
romperían inmediatamente por colisiones posteriores. Se constituyeron deuterio, helio
y cantidades muy pequeñas de núcleos de litio. Pero el Universo se enfriaba muy rápi-
damente, y no se formaron núcleos más grandes. Después de sólo algunos minutos, pro-
bablemente incluso ni siquiera un cuarto de hora después de la Gran Explosión, la
temperatura cayó lo suficiente como para que se detuviera la nucleosíntesis, que se rea-
nudaría millones de años después (en las estrellas). En consecuencia, después de más o
menos el primer cuarto de hora del Universo, la materia consistía principalmente en

†Por qué pudo ocurrir esto es una pregunta para la cual en la actualidad se busca una respuesta.

1218 CAPÍTULO 44 Astrofísica y cosmología

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núcleos solos de hidrógeno (alrededor del 75%) y helio (aproximadamente el 25%)† y
electrones. Pero continuó dominando la radiación (los fotones).
La historia casi está completa. Se cree que el siguiente acontecimiento importante
ocurrió 380,000 años después. El Universo se expandió a más o menos 1 de su escala
1000
actual, y la temperatura bajó a alrededor de 3000 K. La energía cinética promedio de
núcleos, electrones y fotones era menor que un electrón-volt. Puesto que las energías
de ionización de los átomos están en el orden de eV, entonces, conforme la temperatura
cayó por debajo de este punto, los electrones podían orbitar los núcleos solos y perma-
necer ahí (sin ser expulsados por colisiones), lo que en consecuencia formó átomos. Este
periodo se llama con frecuencia época de recombinación (un nombre inadecuado, pues
nunca antes los electrones se habían combinado con núcleos para formar átomos). Con
la desaparición de los electrones libres y el nacimiento de los átomos, los fotones, que
continuamente se dispersaban a partir de los electrones libres, ahora tuvieron libertad
para dispersarse a lo largo del Universo. Como se mencionó en la sección anterior, se
dice que los fotones quedaron desacoplados de la materia. Por ende, en la recombina-
ción ocurrió desacoplamiento. La energía total contenida en la radiación había dismi-
nuido (lo que alargó la longitud de onda conforme el Universo se expandía), y
aproximadamente en t 5 56,000 años (incluso antes del desacoplamiento) la energía
total contenida en la materia se volvió dominante sobre la radiación. Se dice que el
Universo quedó dominado por la materia (como se observa en la figura 44-30). Con-
forme el Universo continuó expandiéndose, la radiación electromagnética se enfrió
aún más, hasta llegar a 2.7 K en la actualidad, lo que formó la radiación cósmica de
fondo que se detecta desde todas partes en el Universo.
Después del nacimiento de los átomos, estrellas y galaxias pudieron comenzar a
formarse: mediante autogravitación en torno a concentraciones de masa (variaciones
de homogeneidad). Las estrellas comenzaron a formarse aproximadamente 200 millo-
nes de años después de la Gran Explosión, las galaxias después de casi 109 años. El
Universo continuó evolucionando hasta la actualidad, unos 14 mil millones de años
después de que comenzó.

***
No es posible decir que este escenario, al igual que sucede con otros modelos cien-
tíficos, esté “probado”. Sin embargo, este modelo es notablemente efectivo para expli-
car la evolución del Universo donde vivimos y hace predicciones que se pueden poner
a prueba contra la siguiente generación de observaciones.
Un gran acontecimiento, y algo que sólo se descubrió muy recientemente, es que,
cuando el Universo tenía más de la mitad de su edad actual (aproximadamente hace 5
Giga-años), su expansión comenzó a acelerarse. Ésta fue una gran sorpresa, porque se
suponía que la expansión del Universo se frenaría en virtud de la atracción gravitacio-
nal de todos los objetos entre sí. Otro gran descubrimiento reciente es que la materia
ordinaria constituye muy poco de la masa-energía total del Universo (L 5%). En vez
de ello, como se discute en la sección 44-9, los principales contribuyentes a la densidad de
energía del Universo son la materia oscura y la energía oscura. A la derecha de la figu-
ra 44-30 hay una angosta tira vertical que representa los últimos 5 mil millones de años
del Universo, durante los cuales parece dominar la materia oscura.

44–8 Inflación: Explicación de la

naturaleza plana, la uniformidad
y la estructura

La idea de que el Universo experimentó un periodo de inflación exponencial temprano
en su vida y de que se expandió por un factor de 1040 o más (sección anterior), la plan-
teó por primera ocasión Alan Guth en 1981. Desde entonces se han propuesto modelos
mucho más complejos. La energía requerida para esta expansión desbocada pudo libe-
rarse cuando la fuerza electrodébil se separó de la fuerza fuerte (fin de la era TGU), fi-
gura 43-19). Hasta el momento, la evidencia para la inflación es indirecta; aunque es una
característica de la mayoría de los modelos cosmológicos viables, porque es capaz de
ofrecer explicaciones naturales para muchas características notables del Universo.

†Esta predicción del modelo estándar de un 25% de producción primordial de helio concuerda con lo que
se observa en la actualidad, el Universo sí contiene alrededor de un 25% de He, y es una evidencia fuerte
en apoyo del modelo estándar de la Gran Explosión. Más aún, la teoría dice que la abundancia de un 25%
de He es completamente congruente con la existencia de tres tipos de neutrino, que es el número que se
observa. Y establece un límite superior de cuatro para el número máximo de posibles tipos de neutrinos.
Éste es un ejemplo sorprendente de la excitante interfaz entre la física de partículas y la cosmología.

SECCIÓN 44–8 Inflación: Explicación de la naturaleza plana, la uniformidad y la estructura 1219

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FIGURA 44–31 a) Modelo Todo
bidimensional simple de todo el el Universo
Universo; el Universo observable se
sugiere mediante el pequeño círculo antes de
con centro en la Tierra (representada la inflación
como un punto). b) El borde del
Universo en esencia es plano después después de
de una expansión de 1040 veces la inflación
durante la inflación. Borde
del Universo
observable

a) Antes de la inflación b) Después de la inflación

Naturaleza plana

Antes que todo, las mejores mediciones sugieren que el Universo es plano; esto es, tie-
ne curvatura cero. Como científicos, sería deseable tener alguna razón para este nota-
ble resultado. Para ver cómo la inflación explica la naturaleza plana, considere un
modelo bidimensional simple del Universo (como se hizo anteriormente en las figuras
44-16 y 44-21). Un círculo sobre la superficie de este Universo bidimensional (una es-
fera, figura 44-31) representa el Universo observable como lo ve un observador en el
centro del círculo. Una posible hipótesis es que la inflación ocurrió durante un interva-
lo de tiempo que muy aproximadamente duplicó la edad del Universo, digamos, de t 5 1
3 10235 s hasta t 5 2 3 10235 s. El tamaño del Universo observable (r 5 ct) habría au-
mentado por un factor de dos durante la inflación, mientras que el radio de curvatura
de todo el Universo aumentó por un enorme factor de 1040 o más. En consecuencia, el
borde de la esfera bidimensional que representa a todo el Universo parecería plano
con un alto grado de precisión, figura 44-31b. Incluso si el tiempo de inflación fuera un
factor de 10 o 100 (en lugar de 2), el factor de expansión de 1040 o más habría borrado
cualquier posibilidad de observar algo más que un Universo plano.

Uniformidad del CMB

La inflación también explica por qué el CMB es tan uniforme. Sin inflación, el pequeño
Universo en t 5 10235 s era muy grande como para que todas sus partes estuvieran en
contacto hasta alcanzar la misma temperatura (la información no puede viajar más rá-
pido que c). Imagine un Universo de aproximadamente 1 cm de diámetro en t 5 10236
s, como plantea la teoría original de la Gran Explosión. En este tiempo de 10236 s, la luz
podría recorrer d = ct = A3 * 108 m͞sB A10–36 sB = 10–27 m, una distancia muy pequeña
para que lados opuestos de un Universo de 1 cm de ancho estuvieran en comunicación. Pe-
ro si el Universo hubiera sido 1040 veces más pequeño (5 10242 m), como propone el
modelo de inflación, podría haber estado en contacto y equilibrio térmico para produ-
cir el CMB que se observa casi uniforme.La inflación, al hacer al Universo temprano
muy pequeño, aseguró que todas las partes pudieran haber estado en equilibrio térmi-
co; y después de la inflación el Universo podría ser suficientemente grande para dar
por resultado el Universo observable de hoy.

1220 CAPÍTULO 44 Semillas de galaxias, fluctuaciones, monopolos magnéticos

La inflación también brinda una pista de cómo surgió la estructura actual del Universo
(galaxias y cúmulos de galaxias). Anteriormente se vio que, de acuerdo con el principio de
incertidumbre, la energía puede no conservarse por una cantidad DE durante un tiempo

¢t L U ͞¢E. Las fuerzas, ya sea electromagnéticas o de otro tipo, pueden experimentar

tales pequeñas fluctuaciones cuánticas de acuerdo con la teoría cuántica, pero son tan pe-
queñas que no son detectables a menos que se amplifiquen de alguna manera. Esto es
lo que pudo haber hecho la inflación: amplificar esas fluctuaciones quizá 1040 veces en ta-
maño, lo que produciría las irregularidades de densidad que se ven en la radiación cósmica
de fondo (WMAP, figura 44-27). Esto sería muy bueno, pues las variaciones de densidad
que se ven en el CMB son lo que se cree fueron las semillas que más tarde se unieron ba-
jo la acción de la gravedad en galaxias y cúmulos de galaxias, incluidas sus subestructuras
(estrellas y planetas) y los modelos coinciden con los datos extremadamente bien.

En ocasiones se dice que las fluctuaciones cuánticas ocurrieron en el estado vacío
o energía de vacío. Esto sería posible porque el vacío ya no se considera como tal, co-
mo se estudió en la sección 43-3 en relación con los positrones y un mar de electrones
de energía negativa. De hecho, se cree que el vacío está lleno con campos y partículas
que ocupan todos los estados de energía negativa posibles. Además, las partículas de
intercambio virtuales que conducen las fuerzas, como se estudió en el capítulo 43, pu-
dieron abandonar sus breves estados virtuales para volverse reales como resultado de
la amplificación de 1040 veces del espacio (de acuerdo con la inflación) y el breve tiem-

po durante el cual ocurrió (¢t = U ͞¢E).

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La inflación ayuda también con el enigma de por qué nunca se han observado los
monopolos magnéticos, aunque al principio bien pudieron producirse polos magnéti-
cos aislados de manera cuantiosa. Después de la inflación, se habrían alejado tanto que
nunca nos hemos encontrado con uno.

Algunos teóricos propusieron que la inflación pudo no haber ocurrido en todo el
Universo. Tal vez sólo algunas regiones de ese pequeño Universo primigenio se volvie-
ron inestables (quizá fue una fluctuación cuántica) y se inflaron en “burbujas” cósmi-
cas. Si así fue, estaríamos viviendo en una de las burbujas. El Universo afuera de la
burbuja sería irremediablemente inobservable para la humanidad.

La inflación puede resolver problemas sorprendentes, pero necesita confirmarse y
es posible que se necesite nueva física sólo para entender cómo ocurrió la inflación.

44–9 Materia oscura y energía oscura

De acuerdo con el modelo estándar de la Gran Explosión, el Universo evoluciona y
cambia. Se crean estrellas individuales, que evolucionan y luego mueren para convertir-
se en enanas blancas, estrellas de neutrones y agujeros negros. Al mismo tiempo, el
Universo como un todo se expande. Una pregunta importante es si el Universo conti-
nuará expandiéndose por siempre. Hasta finales de la década de 1990, el Universo se
consideraba dominado por materia que interactúa mediante gravedad, y esta cuestión
se vinculó con la curvatura del espacio-tiempo (sección 44-4). Si el Universo tuviera
curvatura negativa, su expansión nunca se detendría, si bien la tasa de expansión dismi-
nuiría debido a la atracción gravitacional de sus partes. Tal Universo sería abierto e in-
finito. Si el Universo es plano (sin curvatura), también sería abierto e infinito, pero su
expansión lentamente tendería a una tasa cero. Finalmente, si el Universo tuviera cur-
vatura positiva, sería cerrado y finito; el efecto de la gravedad sería suficientemente
fuerte como para que, con el tiempo, la expansión se detuviera y el Universo comenza-
ra a contraerse para colapsar de nuevo en sí mismo en una gran implosión (también
conocida como el big crunch).

EJERCICIO E Regrese a la pregunta de apertura del capítulo, página 1193, y respóndala de
nuevo. Trate de explicar por qué quizás usted la respondió de manera diferente la primera vez.

Densidad crítica

De acuerdo con el escenario anterior (que no incluye inflación o la recientemente des-
cubierta aceleración del Universo), el destino del Universo dependería de la densidad
masa-energía promedio en el Universo. Para una densidad de masa promedio mayor
que un valor crítico conocido como densidad crítica, que se estima en alrededor de

rc L 10–26 kg͞m3
(esto es, algunos nucleonesym3 en promedio a lo largo del Universo), la gravedad evita-
ría que la expansión continuara por siempre. Con el tiempo (si r . rc) la gravedad con-
duciría al Universo de regreso en una gran implosión y el espacio-tiempo tendría una
curvatura positiva. Si, en vez de ello, la densidad real fuera igual a la densidad crítica,
r 5 rc, el Universo sería plano y abierto. Si la densidad real fuera menor que la densidad
crítica, r , rc, el Universo tendría curvatura negativa. Véase la figura 44-32. En la actua-
lidad se cree que el Universo está muy cerca de ser plano. Pero evidencia reciente sugie-
re que el Universo se expande a una tasa acelerada, como se discute a continuación.

Tamaño relativo del Universo 2 FIGURA 44–32 Tres futuras posibilidades
(o distancia intergaláctica promedio) 1 para el Universo, dependiendo de la
densidad r de la materia ordinaria, más una
0 –10 Ahora 10 20 30 cuarta posibilidad que incluye energía
Gran Explosión “Gran implosión” oscura. Advierta que todas las curvas se
(el tiempo retrospectivo eligieron para tener la misma pendiente
depende del modelo) (5 H, el parámetro de Hubble) justo ahora.
Al mirar hacia atrás en el tiempo, la Gran
Explosión ocurre donde cada curva toca el
eje horizontal (tiempo).

Miles de millones
de años

SECCIÓN 44–9 Materia oscura y energía oscura 1221

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EJEMPLO 44–7 ESTIMACIÓN Densidad crítica del Universo. Con base en la
conservación de energía y la velocidad de escape (sección 8-7), estime la densidad crí-
tica del Universo.

PLANTEAMIENTO A la densidad crítica, rc, cualquier galaxia dada de masa m ape-
nas podrá “escapar” de nuestra galaxia. Como se vio en la sección 8-7, el escape ape-
nas podría ocurrir si la energía total E de la galaxia satisface

E = K + U = 1 mv2 - G mM = 0.
2 R

Aquí, R es la distancia de esa galaxia m desde la Tierra. La masa total M que tira de m
hacia dentro se aproxima como la masa total dentro de una esfera de radio R alrede-
dor de nosotros (Apéndice D). Si suponemos que la densidad de las galaxias es apro-
ximadamente constante, entonces M 4 prc R3.
= 3

SOLUCIÓN Al sustituir esta M en la ecuación anterior, y establecer que v 5 HR (ley
de Hubble, ecuación 44-4), se obtiene

GM = 1 v2
R 2

o GA43 prc R3B
R
= 12(HR)2.

Despejamos rc:

rc = 3H2 L 3C A22 km͞s͞Millones de años luzB A1 Millón de año luz͞1019 kmB D 2
8pG 8(3.14)A6.67 * 10–11 Nи m2͞kg2B

L 10–26 kg͞m3.

Materia oscura

Los análisis del WMAP y otros experimentos convencieron a los científicos de que el
Universo es plano y de que r 5 rc. Pero esta r no puede ser sólo materia bariónica
normal (los átomos son 99.9% bariones —protones y neutrones— por peso). Estos ex-
perimentos recientes ubican la cantidad de materia bariónica normal en el Universo en
sólo aproximadamente el 5% de la densidad crítica. ¿A qué corresponde el otro 95%?
Hay fuerte evidencia para una cantidad significativa de materia no luminosa en el Uni-
verso, conocida como materia oscura, la cual normalmente actúa bajo la acción de la
gravedad, pero que no absorbe ni irradia luz. Por ejemplo, las observaciones de la rota-
ción de las galaxias sugieren que éstas giran como si tuvieran considerablemente más
masa de la que se puede ver. Recuerde del capítulo 6 (ecuación 6-5) que para un saté-
lite de masa m que gira alrededor de la Tierra (masa M)

m v2 = G mM
r r2

Y, por lo tanto, v = 1GM͞r . Si aplicamos esta ecuación a las estrellas en una galaxia, ve-
mos que su rapidez depende de la masa galáctica. Las observaciones indican que las estre-
llas más alejadas del centro galáctico giran mucho más rápido que lo esperado si sólo se
presenta el tirón de la materia visible, lo que sugiere una gran cantidad de materia invisi-
ble. De igual modo, observaciones del movimiento de las galaxias dentro de los cúmulos
también sugieren que tienen considerablemente más masa que la que se puede ver. Sin
materia oscura, las galaxias y estrellas probablemente no se habrían formado y no existi-
rían; parecería que mantiene unido al Universo. Pero, ¿qué puede ser esta materia no lu-
minosa en el Universo? No se sabe todavía, aunque se espera descubrirlo pronto. No
puede estar hecha de materia ordinaria (bariónica), así que debe consistir en algún otro ti-
po de partícula elemental, tal vez creada en un tiempo muy temprano. Tal vez es una par-
tícula supersimétrica (sección 43-12), acaso la más ligera de todas. Los científicos están
ansiosos esperando detalles tanto de los aceleradores de partículas como del cosmos.

La materia oscura constituye aproximadamente el 20% de la masa-energía del
Universo, de acuerdo con las observaciones y los modelos más recientes. Por lo tanto,
la masa-energía total es 20% materia oscura más 5% bariones para un total de aproxi-
madamente el 25%, que no lleva r a rc. ¿En qué consiste el otro 75%? Tampoco se tie-
ne seguridad acerca de ello, pero se le dio un nombre: “energía oscura”.

1222 CAPÍTULO 44 Astrofísica y cosmología

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Energía oscura: Aceleración cósmica FIGURA 44–33 Porciones de
masa-energía total en el Universo.
En 1998, poco antes de iniciar un nuevo milenio, los cosmólogos recibieron una enor-
me sorpresa. Se suponía que la gravedad era la fuerza predominante a gran escala en el
Universo, y se creía que la expansión del Universo debía frenarse en el tiempo porque
la gravedad actúa como una fuerza de atracción entre objetos. Pero las mediciones de
supernovas tipo IA (SNIa, las cuales son el mejor patrón para las fuentes luminosas o
velas patrón; véase la sección 44-3) inesperadamente mostraron que las SNIa muy dis-
tantes (con z elevado) eran más tenues de lo esperado. Esto es, dada su gran distancia
d, determinada a partir de su poco brillo, su rapidez v, determinada a partir de las me-
diciones de z, era menor de lo esperado de acuerdo con la ley de Hubble. Este resulta-
do sugiere que las galaxias más cercanas se mueven alejándose de nosotros
relativamente más rápido que las más distantes, lo que significa que la expansión del
Universo en épocas más recientes se ha acelerado. Esta aceleración en la expansión
del Universo (en lugar de la esperada desaceleración debida a atracción gravitacional
entre masas) parece haber comenzado hace aproximadamente 5 mil millones de años
(5 Giga-años, lo que representaría de 8 a 9 Giga-años después de la Gran Explosión).

¿Qué podría causar que el Universo se acelere en su expansión, en contra de la
fuerza de atracción de la gravedad? ¿Acaso nuestra comprensión de la gravedad nece-
sita revisarse? No se conocen las respuestas a estas preguntas. Muchos científicos afir-
man que la energía oscura es el misterio más grande que enfrenta la ciencia física de
hoy. Existen muchas especulaciones. Pero de algún modo parece tener un efecto de re-
pulsión de gran alcance sobre el espacio, como una gravedad negativa, que hace que
los objetos aceleren para alejarse unos de otros cada vez más rápido. Sea lo que fuere,
se le dio el nombre de energía oscura.

Una idea al respecto es una especie de campo cuántico al que se le dio el nombre
de quintaesencia. Otra posibilidad sugiere una energía latente en el espacio en sí (ener-
gía de vacío) y se relaciona con un aspecto de la relatividad general conocido como
constante cosmológica (símbolo L). Cuando Einstein desarrolló sus ecuaciones, descu-
brió que no ofrecían soluciones para un Universo estático. En aquellos días (1917) se
creía que el Universo era estático: invariable y eterno. Einstein agregó una constante
arbitraria a sus ecuaciones con la finalidad de dar soluciones para un Universo estáti-
co. Una década después, cuando Hubble mostró un Universo en expansión, Einstein
descartó su constante cosmológica por considerarla innecesaria (L 5 0). Pero en la ac-
tualidad, las mediciones son congruentes con una energía oscura que se debe a una
constante cosmológica distinta de cero, aunque se necesitan más mediciones para per-
cibir diferencias sutiles entre las teorías.

Existe creciente evidencia de que los efectos de alguna forma de energía oscura
son muy reales. Las observaciones de CMB, supernovas y estructura a gran escala (sec-
ción 44-10) concuerdan bien con las teorías y los modelos computacionales cuando se
considera que la energía oscura es proveedora del 75% de la masa-energía en el Uni-
verso, y cuando la densidad de masa-energía total es igual a la densidad crítica rc.

La mejor estimación actual de cómo se distribuye la masa-energía en el Universo
es aproximadamente (figura 44-33):

75% energía oscura Materia normal 5 5% Estrellas y galaxias

25% materia, sujeta a la fuerza gravitacional conocida. Materia
oscura
De este 25%, aproximadamente 20%

20% es materia oscura

5% lo constituyen bariones (de lo que están hechos los átomos); de este 5%
1
sólo 10 es materia fácilmente visible: estrellas y galaxias (esto es, el 0.5% Energía
9 que no es visible, es princi-
del total); los otros 10 de la materia ordinaria, oscura
75%
palmente plasma gaseoso.

Es notable que sólo el 0.5% de toda la masa-energía del Universo sea visible como es-
trellas y galaxias.

La idea de que el Universo está dominado por formas completamente desconoci-
das de energía parece extraña. No obstante, la habilidad del modelo actual para explicar
con precisión observaciones de la anisotropía del CMB, la expansión cósmica y la es-
tructura a gran escala (próxima sección) presenta un caso convincente.

SECCIÓN 44–9 Materia oscura y energía oscura 1223

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FIGURA 44–34 Distribución de unas 3.8 Giga-años luz
55,000 galaxias en un arco de 2.5º a través de 3.0 Giga-años luz
casi la mitad del cielo sobre el ecuador,
según mediciones del Sloan Digital Sky 2.0 Giga-años luz
Survey (SDSS). Cada punto representa una
galaxia. La distancia desde la Tierra se 1.0 Giga-años luz
obtiene a partir del corrimiento al rojo y la
ley de Hubble, y está dada en unidades de 0
109 años luz (Giga-años luz). A distancias (Vía Láctea)
más grandes, menos galaxias son
suficientemente brillantes para detectarse,
por lo que pareciera que hay una
disminución de galaxias. El punto 0
representa la Tierra, el punto de
observación. Note las “paredes” y “vacíos”
de galaxias.

44–10 Estructura a gran escala

del Universo

Las hermosas imágenes del cielo de la sonda WMAP (figura 44-27 y fotografía de
apertura del capítulo) revelan pequeñas pero significativas variaciones de homogenei-
dad en la temperatura del CMB. Estas anisotropías reflejan compresiones y expansio-
nes en el plasma primordial justo después del desacoplamiento, a partir del cual se
formaron estrellas, galaxias y cúmulos de galaxias. El análisis de las irregularidades en
el CMB empleando simulaciones de computadoras gigantescas predice una distribu-
ción de galaxias a gran escala, muy similar a lo que se ve en la actualidad (figura 44-34).
Estas simulaciones tienen gran éxito si contienen energía oscura y materia oscura; y la
materia oscura necesita estar fría (lo que significa baja rapidez; piense en la ecuación
18-4, 1 mO 3 donde T es temperatura) y no “caliente” como los neutrinos que se
2 = 2 kT

mueven con la rapidez de la luz o cercana a ésta. De hecho, el modelo cosmológico mo-
derno se llama modelo LCDM, donde lambda (L) representa la constante cosmológica
y CDM es materia oscura fría (por las siglas de cold dark matter).
Los cosmólogos obtuvieron sustancial confianza en este modelo cosmológico a partir
de un ajuste preciso entre observaciones y teoría. También pueden extraer valores muy
exactos para parámetros cosmológicos que anteriormente sólo se conocían con escasa
exactitud. El CMB es un observable cosmológico tan importante que se dedica un gran es-
fuerzo por extraer toda la información que contiene. Una nueva generación de experimen-
tos en tierra, globos y satélites observarán el CMB con mayor resolución y sensibilidad.
Tales experimentos permiten detectar la interacción de las ondas de gravedad (producto
del periodo inflacionario) con el CMB y, de esta forma, obtener evidencia directa de la in-
flación cósmica, así como información acerca de la física de partículas elementales a ener-
gías mucho más allá del ámbito de los aceleradores fabricados por el hombre.

44–11 Finalmente . . .

1224 CAPÍTULO 44 Cuando observamos el cielo nocturno, vemos estrellas; y con los mejores telescopios, es
posible ver galaxias y los exóticos objetos que se estudiaron anteriormente, incluidas
las extrañas supernovas. Pero incluso con los mejores instrumentos no podemos ver los
procesos que ocurren en el interior de las estrellas y supernovas sobre los que se han
formulado hipótesis (y en los que se cree). El conocimiento humano depende de cientí-
ficos brillantes que encuentran teorías viables y modelos verificables. Depende de com-
plicados modelos de computadora cuyos parámetros varían hasta que los resultados se
comparan favorablemente con las observaciones y los análisis de la sonda WMAP y
otros experimentos. Y ahora se tiene una idea sorprendentemente precisa acerca de al-
gunos aspectos del Universo: es plano, tiene aproximadamente 14 mil millones de años
de edad, contiene sólo un 5% de materia bariónica “normal” (para átomos), etcétera.

Las preguntas planteadas por la cosmología son difíciles y profundas, y pueden pa-
recer alejadas de la “realidad” cotidiana. Siempre se puede decir: “el Sol brilla, va a se-
guir alumbrándonos durante un tiempo inimaginablemente largo y todo está bien”. No
obstante, las preguntas de la cosmología son profundas y fascinan al intelecto humano.

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Un aspecto especialmente intrigante es el siguiente: se han realizado cálculos acerca de
la formación y evolución del Universo que de forma deliberada variaron los valores
(sólo ligeramente) de ciertas constantes físicas fundamentales. ¿El resultado? Un Uni-
verso en el cual la vida, como se conoce, no podría existir. [Por ejemplo, si la diferencia
en masa entre protón y neutrón fuera cero, o pequeña (menor que la masa del elec-
trón, 0.511 MeVyc2), no habría átomos: los protones capturarían electrones para nunca
más liberarlos.] Tales resultados contribuyen a una idea filosófica llamada principio an-
trópico, que afirma que si el Universo fuera apenas un poco diferente de lo que es, la
humanidad no podría estar aquí. Los físicos intentan descubrir si existen algunas leyes
fundamentes no descubiertas que determinaron tales condiciones que permitieron la
existencia del Homo sapiens. Un poeta diría que el Universo está exquisitamente sinto-
nizado, casi como si se acomodara a la humanidad.

Resumen

El cielo nocturno contiene miríadas de estrellas, incluidas las de la rrimiento Doppler. El Universo parece expandirse, pues sus galaxias
Vía Láctea, que es una “vista lateral” de nuestra galaxia vista a lo lar-
go del plano del disco. Nuestra galaxia incluye más de 1011 estrellas. se alejan rápidamente unas de otras con rapidez (v) proporcional a
Más allá de la Vía Láctea hay miles de millones de otras galaxias. la distancia (d) entre ellas:

Las distancias astronómicas se miden en años luz (1 año luz v = Hd, (44–4)
L 1013 km). La estrella más cercana está aproximadamente a 4 años
luz de distancia y la galaxia grande más cercana está a 2 millones de que se conoce como ley de Hubble (H es el parámetro de Hubble).
años luz de distancia. El disco de nuestra galaxia tiene un diámetro Esta expansión del Universo sugiere un origen explosivo, la Gran
de aproximadamente 100,000 años luz. Con frecuencia, las distan- Explosión (o Big Bang), que ocurrió hace aproximadamente 13,700
cias se especifican en parsecs, donde 1 parsec 5 3.26 años luz. millones de años. No es como una explosión ordinaria, sino más
bien una expansión del espacio en sí.
Se cree que las estrellas iniciaron su vida como masas de gas
(protoestrellas) que colapsaron, formadas principalmente por hidró- El principio cosmológico supone que el Universo, a gran esca-
geno. Conforme se contraen, se calientan (la energía potencial se la, es homogéneo e isotrópico.
transforma en energía cinética). Cuando la temperatura alcanza
aproximadamente 10 millones de grados, se inicia un proceso de Importante evidencia para el modelo de la Gran Explosión del
fusión nuclear y se forman elementos más pesados (nucleosíntesis), Universo fue el descubrimiento de la radiación cósmica de fondo,
sobre todo helio en una primera instancia. La energía liberada du- a veces llamada radiación del fondo cósmico de microondas (o ra-
rante estas reacciones calienta el gas de manera que su presión ha- diación CMB), que conforma una curva de radiación de cuerpo ne-
cia fuera se equilibra con la fuerza gravitacional hacia dentro, y la gro a una temperatura de 2.725 K.
estrella joven se estabiliza como una estrella de secuencia principal.
La gran luminosidad de las estrellas proviene de la energía liberada El modelo estándar de la Gran Explosión describe un posible
durante estas reacciones termonucleares. Después de miles de mi- escenario de cómo se desarrolló el Universo conforme se expandía y
llones de años, conforme el helio se concentra en el núcleo y el enfriaba después de aquel instante. A partir de los 10243 segundos
hidrógeno se agota, el núcleo se contrae y se calienta aún más. La después de la Gran Explosión, de acuerdo con este modelo, hubo
envoltura se expande y se enfría, y la estrella se convierte en una gi- una serie de transiciones de fase durante las cuales las fuerzas de la
gante roja (de mayor diámetro y de color rojizo). naturaleza previamente unificadas se separaron una a una. El esce-
nario inflacionario supone que durante una de estas transiciones de
La siguiente etapa de evolución estelar depende de la masa de la fase, el Universo experimentó una breve pero rápida expansión ex-
estrella, la cual pierde buena parte de su masa original conforme su ponencial. Hasta alrededor de 10235 s, no hubo distinción entre
envoltura exterior escapa al espacio. Las estrellas de masa residual quarks y leptones. Poco después, los quarks se confinaron en hadro-
menor que aproximadamente 1.4 masas solares se enfrían aún más y nes (la era hadrónica). Aproximadamente 1024 s después de la Gran
se convierten en enanas blancas, que con el tiempo languidecen y se Explosión, la mayoría de los hadrones desaparecieron, al combinarse
extinguen por completo. Las estrellas más pesadas se contraen aún con anti-hadrones, lo que produjo fotones, leptones y energía; esto
más debido a su mayor gravedad: la densidad se aproxima a la densi- dejó principalmente fotones y leptones con libertad para moverse, lo
dad nuclear, la enorme presión fuerza a los electrones a combinarse que dio inicio a la era leptónica. Para cuando el Universo tenía alre-
con protones para formar neutrones, y la estrella se convierte en dedor de 10 s de edad, la mayoría de los electrones también desapa-
esencia en un enorme núcleo de neutrones. Ésta es una estrella de recieron, al combinarse con sus antipartículas; el Universo estuvo
neutrones y se cree que la energía liberada por el colapso final de su dominado por la radiación. Un par de minutos después comenzó la
núcleo produce explosiones supernova. Si la estrella es muy masiva, nucleosíntesis, pero sólo duró algunos minutos. Luego transcurrieron
puede contraerse aún más y formar un agujero negro, que es tan den- casi 400,000 años antes de que el Universo se enfriara lo suficiente
so que ninguna materia, ni siquiera la luz, puede escapar de ella. para que los electrones se combinaran con núcleos para formar áto-
mos (recombinación). Los fotones, hasta entonces dispersados de
En la teoría general de la relatividad, el principio de equivalen- manera continua a partir de los electrones libres, ahora podían mo-
cia afirma que un observador no puede distinguir la aceleración de verse libremente: se desacoplaron de la materia y el Universo se vol-
un campo gravitacional. Dicho de otra forma, las masas gravitacional vió transparente. La radiación de fondo se expandió y se enfrió tanto
e inercial son iguales. La teoría predice que la gravedad desvía los ra- que su energía total se volvió menor que la energía en la materia, y
yos de luz hasta un grado que concuerda con los experimentos. La el dominio de la materia aumentó sobre la radiación. Luego se for-
gravedad se trata como una curvatura en espacio y tiempo, donde maron estrellas y galaxias, lo que produjo un Universo no muy dife-
la curvatura es mayor cerca de objetos masivos. El Universo como un rente al actual, unos 14 mil millones de años después.
todo puede ser curvo. Con suficiente masa, la curvatura del Universo
sería positiva, y el Universo sería cerrado y finito; de otro modo, sería Observaciones recientes indican que el Universo es plano, que
abierto e infinito. En la actualidad se cree que el Universo es plano. contiene un tipo todavía desconocido de materia oscura y que está
dominado por una misteriosa energía oscura que ejerce una especie
Las galaxias distantes manifiestan un corrimiento hacia el rojo de gravedad negativa que hace que la expansión del Universo se
en sus líneas espectrales, que originalmente se interpretó como co- acelere. Las aportaciones totales de materia bariónica (normal), ma-
teria oscura y energía oscura se suman a la densidad crítica.

Resumen 1225

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Preguntas 14. Compare una explosión en la Tierra con la Gran Explosión.
Considere preguntas tales como: ¿los desechos se dispersarían
1. En alguna ocasión se consideró que la Vía Láctea era “turbia” o con mayor rapidez para partículas más distantes, como en la
“lechosa”, pero ahora se considera constituida de fuentes pun- Gran Explosión? ¿Los desechos llegarían al reposo? ¿A qué ti-
tuales. Explique. po de Universo correspondería esto, abierto o cerrado?

2. Una estrella está en equilibrio cuando irradia en su superficie 15. Si nada, ni siquiera la luz, escapa de un agujero negro, ¿cómo se
toda la energía generada en su núcleo. ¿Qué ocurre cuando co- puede decir si hay uno ahí?
mienza a generar más energía de la que irradia? ¿Menos ener-
gía? Explique. 16. ¿Qué masa dará un radio de Schwarzschild igual al del átomo
de hidrógeno en su estado fundamental?
3. Describa una estrella gigante roja. Mencione algunas de sus
propiedades. 17. La edad de la Tierra con frecuencia se cita como aproximada-
mente 4 mil millones de años. Localice ese momento en la figura
4. Seleccione un punto en el diagrama H-R. Marque varias direc- 44-30. La humanidad ha vivido en la Tierra por aproximada-
ciones que se alejen desde este punto. Ahora describa los cam- mente un millón de años. ¿Dónde está esto en la figura 44-30?
bios que tendrían lugar en una estrella que se mueve en cada
una de estas direcciones. 18. Explique qué es la radiación cósmica de fondo de 2.7 K. ¿De
dónde viene? ¿Por qué su temperatura ahora es tan baja?
5. ¿El diagrama H-R revela algo acerca del núcleo de una estrella?
19. ¿Por qué los átomos, en oposición a los núcleos aislados, sólo
6. ¿Por qué algunas estrellas terminan como enanas blancas y otras pudieron existir cientos de miles de años después de la Gran
como estrellas de neutrones o agujeros negros? Explosión?

7. ¿Puede decir, al mirar la población en el diagrama H-R, que las 20. a) ¿Por qué las supernovas de tipo Ia son tan útiles para deter-
estrellas más calientes de secuencia principal tienen vidas más minar las distancias de las galaxias? b) ¿Cómo se miden actual-
cortas? Explique. mente sus distancias?

8. Si usted fuera a medir paralajes de estrella desde la Luna y no 21. Explique por qué la radiación cósmica de fondo (radiación
desde la Tierra, ¿qué correcciones tendría que hacer? ¿Qué CMB) no debe ser la de un cuerpo negro perfecto. (Las desvia-
cambios ocurrirían si se midieran paralajes desde Marte? ciones de un espectro de cuerpo negro son ligeramente meno-
res que una parte en 104).
9. Las estrellas variables Cefeidas cambian en luminosidad en un pe-
riodo de muchos días. Se sabe que el periodo tiene una relación 22. ¿En qué circunstancias el Universo terminaría por colapsar so-
definida con la luminosidad intrínseca de la estrella. ¿Cómo se bre sí mismo?
podrían usar estas estrellas para medir la distancia a las galaxias?
23. Cuando se formaron por primera vez núcleos estables, más o me-
10. ¿Qué es una geodésica? ¿Cuál es su papel en relatividad general? nos 3 minutos después de la Gran Explosión, había casi 7 veces más
protones que neutrones. Explique cómo condujo esto a una razón
11. Si se descubriera que el corrimiento hacia el rojo de las líneas de la masa del hidrógeno a la masa del helio, de 3:1. Esto es aproxi-
espectrales de las galaxias se debe a algo más que expansión, madamente la razón existente que se observa en el Universo.
¿cómo cambiaría la visión del Universo? ¿Habría evidencia
conflictiva? Discuta. 24. a) ¿Por qué los astrónomos esperaban que la tasa de expansión del
Universo disminuyera (se desacelerara) con el tiempo? b) ¿Có-
12. Todas las galaxias parecen moverse alejándose de la Tierra. Por mo, en principio, los astrónomos esperaban determinar si el Uni-
lo tanto, ¿la Tierra está en el centro del Universo? Explique. verso solía expandirse más rápido de lo que lo hace ahora?

13. Si usted se ubica en una galaxia cerca de la frontera del Univer-
so observable, ¿las galaxias en la dirección de la Vía Láctea pa-
recerían acercarse a usted o alejarse de usted? Explique.

Problemas 8. (II) Anteriormente se vio (capítulo 19) que la tasa de energía
que llega a la Tierra desde el Sol (la ”constante solar”) es apro-
44–1 a 44–3 Estrellas, galaxias, evolución estelar, ximadamente 1.3 3 103 Wym2. ¿Cuál es a) el brillo aparente b
distancias del Sol y b) la luminosidad intrínseca L del Sol?
1. (I) El ángulo de paralaje de una estrella es 0.00029º. ¿A qué
9. (II) Cuando el Sol se convierta en gigante roja, ¿cuál será su
distancia está la estrella? densidad promedio si se expande hasta la órbita de Mercurio
(6 3 1010 m, desde el Sol)?
2. (I) Una estrella muestra un paralaje de 0.27 segundos de arco.
¿A qué distancia está? 10. (II) Estime el ancho angular que subtendería nuestra galaxia si
se observa desde la galaxia más cercana a la Tierra (tabla 44-1).
3. (I) ¿Cuál es el ángulo de paralaje de una estrella que está a 65 Compare con el ancho angular de la Luna desde la Tierra.
años luz de distancia? ¿Cuántos parsecs es esto?
11. (II) Calcule los valores Q para las reacciones de combustión de
4. (I) Una estrella está a 56 pc de distancia. ¿Cuál es su ángulo de pa- He de la ecuación 44-2. (La masa del 48Be muy inestable es
ralaje? Exprese su respuesta en a) segundos de arco y b) grados. 8.005305 u),

5. (I) Si una estrella está al doble de distancia de la Tierra que una 12. (II) Cuando el Sol se convierta en una enana blanca, se espera
segunda estrella, ¿el ángulo de paralaje de la estrella más aleja- que tenga aproximadamente el tamaño de la Luna. ¿Qué ancho
da será mayor o menor que el de la estrella más cercana? ¿En angular subtendería desde la actual distancia a la Tierra?
qué factor?
13. (II) Calcule la densidad de una enana blanca cuya masa es igual
6. (II) Una estrella está a 85 pc de distancia. ¿Cuánto tarda su luz a la del Sol y cuyo radio es igual al de la Tierra. ¿Cuántas veces
en llegar a la Tierra? más grande que la densidad de la Tierra es esto?

7. (II) ¿Cuál es el brillo relativo del Sol, visto desde Júpiter, en
comparación con su brillo desde la Tierra? (Júpiter está 5.2 ve-
ces más lejos del Sol que la Tierra).

1226 CAPÍTULO 44 Astrofísica y cosmología

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14. (II) Una estrella de neutrones cuya masa es 1.5 masas solares 26. (II) Si una línea de absorción de calcio normalmente se encuen-
tiene una radio de aproximadamente 11 km. Calcule su densi- tra a una longitud de onda de 393.4 nm en un gas de laborato-
dad promedio y compárela con la de una enana blanca (proble- rio, y usted la mide en 423.4 nm en el espectro de una galaxia,
ma 13) y con la de materia nuclear. ¿cuál es la distancia aproximada a la galaxia?

15. (III) Se cree que las estrellas ubicadas en cierto cúmulo están 27. (II) ¿Cuál es la rapidez de una galaxia con z 5 0.060?
aproximadamente a la misma distancia de la Tierra. Dos de ta- 28. (II) ¿Cuál sería el parámetro de corrimiento hacia el rojo z pa-
les estrellas tienen espectros que alcanzan su máximo en l1 5
470 nm y l2 5 720 nm, y la razón de sus brillos aparentes es ra una galaxia que se aleja de la Tierra con v 5 0.075c?
b1yb2 5 0.091. Estime sus tamaños relativos (dada la razón de 29. (II) A partir de la ecuación 44-3, demuestre que el corrimiento
sus diámetros) con la ley de Wien y la ecuación de Stefan-
Boltzmann, ecuación 19-17. Doppler en longitud de onda es Dlylreposo L vyc (ecuación
44-6) para v V c. [Sugerencia: Use el desarrollo binomial].
16. (III) Suponga que dos estrellas tienen el mismo brillo aparente 30. (II) Los radiotelescopios se diseñan para observar ondas de 21
b y se cree que tienen la misma masa. El espectro de una estre- cm emitidas por gas hidrógeno atómico. Una señal proveniente
lla alcanza su máximo en 750 nm, mientras que el de la otra lo de una galaxia distante que emite ondas de radio tiene una lon-
alcanza en 450 nm. Use la ley de Wien y la ecuación de Stefan- gitud de onda que es 0.10 cm más larga que la longitud de onda
Boltzmann (ecuación 19-17) para estimar sus distancias relati- normal de 21 cm. Estime la distancia a esta galaxia.
vas a la Tierra.
44–6 a 44–8 La Gran Explosión, CMB y expansión
44–4 Relatividad general, gravedad y espacio curvo del Universo
17. (I) Demuestre que el radio de Schwarzschild para una estrella 31. (I) Calcule la longitud de onda en el punto máximo de la distri-

con masa igual a la de la Tierra es 8.9 mm. bución de radiación de cuerpo negro a 2.7 K, con la ley de Wien.
18. (II) ¿Cuál es el radio de Schwarzschild para una galaxia común 32. (II) Calcule la longitud de onda pico del CMB 1.0 s después del

(como la Vía Láctea)? nacimiento del Universo. ¿En qué parte del espectro EM se en-
19. (II) ¿Cuál es la máxima suma de los ángulos para un triángulo cuentra esta radiación?
33. (II) La densidad crítica para la finalización del Universo es rc L
sobre una esfera? 10226 kgym3. Establezca rc en términos del número promedio
20. (II) Calcule la velocidad de escape, de acuerdo con la mecánica de nucleones por metro cúbico.
34. (II) Se cree que el factor de escala del Universo (distancia pro-
newtoniana, de un objeto que colapsó a su radio de Schwarzschild. medio entre galaxias) en cualquier tiempo dado es inversamen-
21. (II) ¿Cuál es la desviación aparente de un haz de luz en un ele- te proporcional a la temperatura absoluta. Estime el tamaño
del Universo, en comparación con la actualidad, en a) t 5 106
vador (figura 44-13) que tiene 2.4 m de ancho, si el elevador años, b) t 5 1 s, c) t 5 1026 s, y d) t 5 10235 s.
acelera hacia abajo a 9.8 mys2? 35. (II) ¿Aproximadamente en qué tiempo el Universo se enfrió
por debajo de la temperatura umbral para producir a) kao-
44–5 Corrimiento hacia el rojo, ley de Hubble nes (M L 500 MeVyc2), b) ⌼ AM L 9500 MeV͞c2B, y c) muones
22. (I) El corrimiento hacia el rojo de una galaxia indica una velo- (M L 100 MeVyc2)?

cidad de 1850 kmys. ¿A qué distancia se encuentra? 44–9 Materia oscura, energía oscura
23. (I) Si una galaxia viaja alejándose de la Tierra al 1.5% de la ra- 36. (II) Sólo alrededor del 5% de la energía en el Universo está

pidez de la luz, ¿aproximadamente a qué distancia se encuentra? compuesta de materia bariónica. a) Estime la densidad prome-
24. (II) Una galaxia se mueve alejándose de la Tierra. La línea dio de la materia bariónica en el Universo observable con un
radio de 14 mil millones de años luz que contiene 1011 galaxias, ca-
“azul” de hidrógeno en 434 nm, emitida desde la galaxia, se mi- da una con aproximadamente 1011 estrellas como el Sol. b) Esti-
de en la Tierra en 455 nm. a) ¿Con qué rapidez se mueve la ga- me la densidad de la materia oscura en el Universo.
laxia? b) ¿A qué distancia está de la Tierra?
25. (II) Estime el corrimiento de la longitud de onda para la línea 41. Suponga que tres estrellas de secuencia principal pueden expe-
de 656 nm en la serie de Balmer del hidrógeno emitido desde rimentar los tres cambios que se representan mediante las tres
una galaxia cuya distancia desde la Tierra es a) 7.0 3 106 años flechas, A, B y C, en el diagrama H-R de la figura 44-35. Para
luz, b) 7.0 3 107 años luz. cada caso, describa los cambios en temperatura, luminosidad in-
trínseca y tamaño.
Problemas generales
CLuminosidad intrínseca
37. La evolución de las estrellas, como se estudió en la sección 44-2, A
puede conducir a una enana blanca, una estrella de neutrones o 1227
incluso un agujero negro, dependiendo de la masa. a) Con refe- B
rencia a las secciones 44-2 y 44-4, proporcione el radio de: i. una
enana blanca de 1 masa solar, ii. una estrella de neutrones de Temperatura superficial
1.5 masas solares y iii. un agujero negro de 3 masas solares. FIGURA 44–35 Problema 41.
b) Exprese estos tres radios como razones (ri:rii:riii).

38. Con base en la conservación de cantidad de movimiento angu-
lar, estime la velocidad angular de una estrella de neutrones
que colapsó a un diámetro de 16 km, a partir de una estrella cu-
yo radio era igual al del Sol (7 3 108 m). Suponga que su masa
es 1.5 veces la del Sol y que gira (como el Sol) aproximadamen-
te una vez al mes.

39. ¿En qué factor cambia la energía cinética rotacional cuando la
estrella del problema 38 colapsa a una estrella de neutrones?

40. Suponga que las estrellas más cercanas a la Tierra tienen una
luminosidad intrínseca más o menos igual a la del Sol. Sin em-
bargo, su brillo aparente es aproximadamente 1011 veces más
tenue que el del Sol. A partir de esto, estime la distancia a las
estrellas más cercanas. (Newton hizo este cálculo, aunque come-
tió un error numérico de un factor de 100).

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42. Cierto pulsar, que se cree es una estrella de neutrones con ma- 53. El Gran Colisionador de Hadrones en Ginebra, Suiza, puede hacer
sa 1.5 veces la del Sol, con 16 km de diámetro, se observa que chocar dos haces de protones a una energía de 14 TeV. Estime el
tiene una rapidez de rotación de 1.0 revys. Si pierde energía ci- tiempo después de la Gran Explosión que representa esta energía.
nética rotacional a la tasa de 1 parte en 109 por día, que se
transforma toda en radiación, ¿cuál es la salida de potencia de 54. a) Con base en la relatividad especial y la ley de gravitación de
la estrella? Newton, demuestre que un fotón de masa m 5 Eyc2 que apenas
roza al Sol se desviará por un ángulo Du dado por
43. La galaxia grande más cercana a la Vía Láctea está aproxima-
damente a 2 3 106 años luz de distancia. Si ambas galaxias tie- ¢u = 2GM
nen una masa de 3 3 1041 kg, ¿con qué fuerza gravitacional c2R
cada galaxia atrae a la otra?
donde G es la constante gravitacional, R y M son el radio y
44. Estime qué masa de neutrino (en eVyc2) suministraría la densi-
dad crítica para cerrar el Universo. Suponga que la densidad del la masa del Sol, respectivamente, y c es la rapidez de la luz.
neutrino es, al igual que la de los fotones, aproximadamente 109
veces la de los nucleones, y que los nucleones constituyen sólo b) Ponga valores y demuestre que Du 5 0.870. (La relatividad
a) el 2% de la masa necesaria o b) el 5% de la masa necesaria.
general predice un ángulo el doble de grande, 1.740.)
45. Dos estrellas, cuyos espectros alcanzan sus puntos máximos en
660 nm y 480 nm, respectivamente, se encuentran ambas en la 55. Los astrónomos usan una escala de magnitud aparente (m) pa-
secuencia principal. Con base en la ley de Wien, la ecuación de
Stefan-Boltzmann y el diagrama H-R (figura 44-6), estime la ra- ra describir el brillo aparente. Usan una escala logarítmica, don-
zón de sus diámetros.
de un número mayor corresponde a una estrella menos
46. a) Para medir las distancias con paralaje a 100 parsecs, ¿qué re-
solución angular mínima (en grados) se necesita? b) ¿Qué diá- brillante. (Por ejemplo, el Sol tiene magnitud 227, mientras que
metro de espejo o lente se necesitaría?
la mayoría de las estrellas tienen magnitudes positivas). En esta
47. ¿Cuál es la temperatura que corresponde a colisiones de 1.96 TeV
en el colisionador Fermilab? ¿A qué era en la historia cosmológi- escala, un cambio de 15 en magnitud aparente corresponde a
ca corresponde esto? [Sugerencia: Consulte la figura 44-30.]
una disminución en brillo aparente por un factor de 100. Si
48. Los astrónomos midieron la rotación del gas alrededor de un
posible agujero negro supermasivo de aproximadamente 2 mil Venus tiene una magnitud aparente de 24.4, mientras que Sirio
millones de masas solares en el centro de una galaxia. Si el ra-
dio desde el centro galáctico hasta las nubes de gas es de 68 tiene una magnitud aparente de 21.4, ¿cuál es más brillante?
años luz, estime el valor medido de z.
¿Cuál es la razón del brillo aparente de estos dos objetos?
49. En las etapas finales de la evolución estelar, una estrella (si es
suficientemente masiva) comenzará a fusionar núcleos de car- 56. Mediante el siguiente método, estime el radio de una enana
bono para formar, por ejemplo, magnesio:
blanca cuya masa es igual a la del Sol, suponiendo que existen
162C + 126C S 1242Mg + g. 1 1 ?):
N nucleones y 2 N electrones (¿por qué 2 a) Con base en
a) ¿Cuánta energía se libera en esta reacción (véase el Apéndi-
ce F)? b) ¿Cuánta energía cinética debe tener cada núcleo de la estadística de Fermi-Dirac (sección 40-6), demuestre que la
carbono (suponga que tienen la misma) en una colisión frontal,
si apenas se “tocan” (use la ecuación 41-1), de manera que la energía total de todos los electrones es
fuerza fuerte pueda entrar en juego? c) ¿A qué temperatura co-
rresponde esta energía cinética? 3 1 h2 3 2
5 a2 8me a 3.
50. Considere la reacción Ee = Nb N b
p 2V
186O + 168O S 1284Si + 42He,
[Sugerencia: Véanse las ecuaciones 40-12 y 40-13; suponga que
y responda las mismas preguntas que en el problema 49.
los electrones llenan los niveles de energía desde 0 hasta la ener-
51. Determine el radio de Schwartzshild con la teoría gravitacional
semi-clásica (newtoniana), calculando el radio mínimo R para gía de Fermi]. b) Los nucleones contribuyen con la energía total
una esfera de masa M tal que un fotón pueda escapar de la su-
perficie. (La relatividad general da R 5 2GMyc2.) principalmente mediante la fuerza gravitacional (note que la

52. ¿Qué tan grande sería el Sol si su densidad se igualara con la energía de Fermi para nucleones es despreciable en comparación
densidad crítica del Universo, rc L 10226 kgym3? Exprese su res-
puesta en años luz y compare con la distancia entre la Tierra y con la de los electrones; ¿por qué?). Use una forma gravitacional
el Sol y con el diámetro de la Vía Láctea.
de la ley de Gauss para demostrar que la energía potencial gravi-

tacional total de una esfera uniforme de radio R es

– 3 GM2 ,
5 R

al considerar la energía potencial de un cascarón esférico de ra-

dio r debida sólo a la masa dentro de éste (¿por qué?) e integre

desde r 5 0 hasta r 5 R. (Véase también el Apéndice D.) c) Es-

criba la energía total como una suma de estos dos términos y

establezca que dEydR 5 0 para encontrar el radio de equili-
brio, y evalúelo para una masa igual a la del Sol (2.0 3 1030 kg).

57. Determine el radio de una estrella de neutrones empleando el

mismo argumento que en el problema 56, pero sólo para N neu-

trones. Demuestre que el radio de una estrella de neutrones, de

1.5 masas solares, es de alrededor de 11 km.

58. Use análisis dimensional con las constantes fundamentales c, G

y U para estimar el valor del llamado tiempo de Planck. Se cree

que la física, como se conoce ahora, no puede decir nada acerca

del Universo antes de este tiempo.

Respuestas a los ejercicios C: 6 km.

A: A nosotros mismos, hace 2 años. D: a); no es el R3 habitual, sino R; véase la fórmula para el radio
B: 600 años luz (al estimar L a partir de la figura 44-6 como L L 8 de Schwartzschild.

3 1026 W; note que, en escala log, 6000 K está más cerca de E: c).
7000 K que de 5000 K).

1228 CAPÍTULO 44 Astrofísica y cosmología

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AP ÉND IC E

A Fórmulas matemáticas
A–1 Fórmula cuadrática

Si ax2 + bx + c = 0

entonces –b & 3b2 - 4ac
x = 2a

A–2 Expansión binomial

(1 & x)n 16nx + n(n - 1) x26n(n - 1)(n - 2) x3 + p
2! 3!
=

(x + y)n = xn a 1 + yn = xn ¢ 1 + y + n(n - 1) y2 + p≤
xb nx 2! x2

A–3 Otras expansiones

ex = 1 + x + x2 + x3 +p
2! 3!

ln(1 + x) = x - x2 + x3 - x4 +p
2 3 4

sen u = u - u3 + u5 -p
3! 5!

cos u = 1 - u2 + u4 -p
2! 4!

tan u = u + u3 + 2 u5 + p ∑u∑ 6 p
3 15 2

En general: f(x) = f(0) + df ¢ d2f ≤ x2 +p
a dx b 0 x + dx2 2!
0

A–4 Exponentes

AanBAamB = an+m 1 = a–n
AanB AbnB = (ab)n an

AanBm = anm ana–n = a0 = 1
1

a2 = 1a

A–5 Áreas y volúmenes

Objeto Área superficial Volumen

Círculo, radio r pr2 —
Esfera, radio r 4pr2
Cilindro circular recto, radio r, altura h 2pr2 + 2prh 4 pr3
Cono circular recto, radio r, altura h pr2 + pr3r2 + h2 3
pr2h

1 pr2h A-1
3

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A–6 Geometría plana

1. Ángulos 2. Ángulos a2 b2
iguales: iguales:
θ1 θ2 b1
θ2
a1
a2 θ1 a1
FIGURA A–2 Si a1 ⊥ a2
FIGURA A–1 Si la línea a1 es paralela y b1 ⊥ b2, entonces u1 ϭ u2.
a la línea a2, entonces u1 = u2.

3. La suma de los ángulos en cualquier triángulo plano es 180°.

4. Teorema de Pitágoras:
En cualquier triángulo recto (un ángulo = 90°) de lados a, b y c:

θ2 cb a2 + b2 = c2
a3 a1 90°
donde c es la longitud de la hipotenusa (opuesta al ángulo de
a 90°).

FIGURA A–3

θ1 θ3 5. Triángulos similares: Se dice que dos triángulos son similares si sus tres ángulos
a2 son iguales (en la figura A-4, u1 = f1, u2 = f2, u3 = f3). Los triángulos similares pue-
b3 den tener diferentes tamaños y diferentes orientaciones.
a) Dos triángulos son similares si dos de sus ángulos son iguales. (De esto se de-
φ1 φ2
b1 FIGURA A–4 duce que los terceros ángulos también deben ser iguales, porque la suma de los án-
b2 φ3
gulos de un triángulo es 180°).
b) Las razones de los lados correspondientes de dos triángulos similares son

iguales (figura A-4):

a1 = a2 = a3 .
b1 b2 b3

6. Triángulos congruentes: Dos triángulos son congruentes si uno se puede colocar

exactamente encima del otro. Esto es, son triángulos similares y tienen el mismo

tamaño. Dos triángulos son congruentes si se cumple alguno de los siguientes

enunciados:
a) Los tres lados correspondientes son iguales.
b) Dos lados y el ángulo entre ellos son iguales (“lado-ángulo-lado”).
c) Dos ángulos y el lado entre ellos son iguales (“ángulo-lado-ángulo”).

A–7 Logaritmos

Los logaritmos se definen en la forma siguiente:

si y = Ax, entonces x = logA y.

Esto es, el logaritmo de un número y a la base A es aquel número que, como exponente de
A, permite obtener el número y. Para logaritmos comunes, la base es 10, de manera que

si y = 10x, entonces x = log y.

El subíndice 10 en log10 por lo general se omite cuando se trata con logaritmos comu-
nes. Otra base importante es la base exponencial e 5 2.718…, un número natural. Tales
logaritmos se llaman logaritmos naturales y se escriben ln. Por lo tanto,

si y = ex, entonces x = ln y.

Para cualquier número y, los dos tipos de logaritmo se relacionan mediante

ln y = 2.3026 log y.

Algunas reglas simples para logaritmos son las siguientes:

log(ab) = log a + log b, (i)

A-2 APÉNDICE A que es cierto porque, si a 5 10n y b 5 10m, entonces ab 5 10n1m. A partir de la defini-
ción de logaritmo, log a 5 n, log b 5 m, y log (ab) 5 n 1 m; por lo tanto, log(ab) ϭ n
ϩ m ϭ log a ϩ log b. En forma similar, se puede demostrar que

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log a a b = log a - log b (ii)
b (iii)
y
log an = n log a.

Estas tres reglas se aplican a cualquier tipo de logaritmo.
Si no tiene una calculadora que calcule logaritmos, puede usar fácilmente una ta-

bla de logaritmos, como la pequeña que se muestra aquí (tabla A-1): el número N cuyo
logaritmo se busca está dado con dos dígitos. El primer dígito está en la columna verti-
cal a la izquierda, el segundo dígito está en la hilera horizontal a lo largo de la parte su-
perior. Por ejemplo, la tabla A-1 dice que log 1.0 5 0.000, log 1.1 5 0.041 y log 4.1 5
0.613. La tabla A-1 no incluye el punto decimal. La tabla da los logaritmos para núme-
ros entre 1.0 y 9.9. Para números más grandes o más pequeños, se emplea la regla (i)
anterior, log(ab) ϭ log a ϩ log b. Por ejemplo, log(380) ϭ log(3.8 ϫ 102) ϭ log(3.8) ϩ
log(102). De la tabla, log 3.8 5 0.580; y a partir de la regla (iii) anterior, log(102) 5
2 log(10) 5 2, pues log(10) 5 1. [Esto se deduce de la definición de logaritmo: si 10 5 101,
entonces 1 5 log(10).] Por consiguiente,

log(380) = log(3.8) + logA102B

= 0.580 + 2
= 2.580.
De igual modo,
log(0.081) = log(8.1) + logA10–2B

= 0.908 - 2 = –1.092.

El proceso inverso para encontrar el número N cuyo logaritmo es, digamos, 2.670,
se llama “sacar el antilogaritmo”. Para hacerlo, separe el número 2.670 en dos partes de
acuerdo con el punto decimal:

log N = 2.670 = 2 + 0.670
= log 102 + 0.670.

Ahora observe la tabla A-1 para ver cuál número tiene su logaritmo igual a 0.670; nin-
guno lo tiene, así que se debe interpolar: vemos que log 4.6 5 0.663 y log 4.7 5 0.672.
Así que el número que se quiere está entre 4.6 y 4.7, y más cerca del último por . Apro-
ximadamente, se puede decir que log 4.68 5 0.670. Por lo tanto, 7
9

log N = 2 + 0.670
= logA102B + log(4.68) = logA4.68 * 102B,

así que N = 4.68 * 102 = 468.
Si el logaritmo dado es negativo, por ejemplo, 22.180, se procede del modo si-

guiente:

log N = –2.180 = –3 + 0.820
= log 10–3 + log 6.6 = log 6.6 * 10–3,

así que N 5 6.6 3 1023. Note que al logaritmo dado se agregó el siguiente entero más
grande (3 en este caso) de manera que se obtuviera un entero, más un número decimal
entre 0 y 1.0 cuyo antilogaritmo se puede buscar en la tabla.

TABLA A–1 Tabla abreviada de una tabla de logaritmos comunes 0.9

N 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 279
462
1 000 041 079 114 146 176 204 230 255 591
2 301 322 342 362 380 398 415 431 447 690
3 477 491 505 519 531 544 556 568 580 771
4 602 613 623 633 643 653 663 672 681 839
5 699 708 716 724 732 740 748 756 763 898
6 778 785 792 799 806 813 820 826 833 949
7 845 851 857 863 869 875 881 886 892 996
8 903 908 914 919 924 929 935 940 944
9 954 959 964 968 973 978 982 987 991

SECCIÓN A–7 Logaritmos A-3

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A–8 Vectores

La suma vectorial se estudió en las secciones 3-2 a 3-5.
La multiplicación vectorial se estudió en las secciones 3-3, 7-2 y 11-2.

h o A–9 Funciones e identidades
90°
trigonométricas

θ Las funciones trigonométricas se definen del modo siguiente (véase la figura A-5, o 5 ca-
FIGURA A–5 teto opuesto, a 5 cateto adyacente, h 5 hipotenusa. Los valores están en la tabla A-2):

a sen u o csc u 1 h
h sen u o
= = =

cos u = a sec u = 1 = h
h cos u a

tan u = o = sen u cot u = 1 = a
a cos u tan u o
y recuerde que

FIGURA A–6 a2 + o2 = h2 [teorema de Pitágoras].

Primer cuadrante Segundo cuadrante La figura A-6 muestra los signos (1 ó 2) que toman el coseno, el seno y la tangente pa-
(0° a 90°) (90° a 180°) ra ángulos u en los cuatro cuadrantes (0° a 360°). Note que los ángulos se miden en sen-
x> 0 x< 0 tido antihorario desde el eje x, como se muestra; los ángulos negativos se miden desde
y> 0 y> 0 abajo del eje x, en sentido horario: por ejemplo, 230° 5 1330°, y así sucesivamente.

yr ry Las siguientes son algunas identidades útiles entre las funciones trigonométricas:
θ
x θ sen2 u + cos2 u = 1
x
sec2 u - tan2 u = 1, csc2 u - cot2 u = 1

sen 2u = 2 sen u cos u

cos 2u = cos2 u - sen2 u = 2 cos2 u - 1 = 1 - 2 sen2 u

senθ = y/r> 0 sen θ > 0 tan 2u = 2 tan u
cosθ = x/r> 0 cosθ < 0 1 - tan2 u
tanθ = y/x> 0 tan θ < 0
sen(A&B) = sen A cos B&cos A sen B
Tercer cuadrante Cuarto cuadrante
(180° a 270°) (270° a 360°) cos(A&B) = cos A cos B7sen A sen B
x< 0 x> 0
y< 0 y< 0 tan(A&B) = tan A&tan B
17tan A tan B

sen(180° - u) = sen u

θ x cos(180° - u) = –cos u
x r
θ sen(90° - u) = cos u
ry y
cos(90° - u) = sen u

sen(–u) = –sen u

sen θ < 0 senθ < 0 cos(–u) = cos u
cos θ < 0 cosθ >0
tan θ > 0 tanθ <0 tan(–u) = –tan u

sen 1 u = 1 - cos u , cos 1 u = 1 + cos u , tan 1 u = 1 - cos u
2 B2 2 B2 2 B 1 + cos u

FIGURA A–7 sen A& sen B = 2 sen a A&B b cos a A7B b.
2 2
cβ a
αγ Para cualquier triángulo (véase la figura A-7):

b sen a sen b sen g [ley de senos]
a=b=c
A-4 APÉNDICE A
c2 = a2 + b2 - 2ab cos g. [ley de cosenos]

Los valores de seno, coseno y tangente aparecen en la tabla A-2.

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