Física para ciencias e ingeniería Volumen II, 4ta Edición – Douglas C. Giancoli

ilustra en el problema 19.) La ecuación de Schrödinger para la energía potencial OAS Número Energía
da soluciones para energía que están cuantizadas de acuerdo con cuántico vibracional
vibracional v
Evib = A␯ + 1 B hf ␯ = 0, 1, 2, p , (40–6) 11hf
2 5
2
donde f está dada por la ecuación 40-5 y n es un entero llamado número cuántico vi-
bracional. El estado energético más bajo (n 5 0) no es cero (como en el caso de la ro-
tación), sino que tiene 1 hf. A esto se le llama energía punto cero.† Los estados 4 9 h f
energéticos más E = 2 indica en la figura ⌬E 2

altos tienen energía 3 hf, 5 hf, etcétera, como se 3
2 2
40-19. Las transiciones están sujetas a la regla de selección
7 hf
¢␯ = &1,
2

así que las transiciones permitidas sólo ocurren entre estados adyacentes y todas emi- 2 5 hf
ten fotones de energía Energía ⌬E
2
¢Evib = hf. (40–7) 1
3 hf
Esto está muy cerca de los valores experimentales para n pequeña; pero para energías
más altas, la curva de energía potencial (figura 40-18) comienza a desviarse de una cur- 2

va OAS perfecta, lo que afecta a las longitudes de onda y frecuencias de las transicio- 0 1 h f
nes. Las energías de transición típicas son del orden de 1021 eV, alrededor de 10 a 100 2

veces mayores que para transiciones rotacionales, con longitudes de onda en la región FIGURA 40–19 Energías
infrarroja del espectro (L 1025 m).‡ vibracionales permitidas de una
molécula diatómica, donde f es la
EJEMPLO 40–6 ESTIMACIÓN Longitud de onda para H2. a) Con base en la frecuencia fundamental de vibración,
curva de la figura 40-18, estime el valor de la constante de rigidez k para la molécula H2, dada por la ecuación 40-5. Los niveles
y luego b) estime la longitud de onda fundamental para transiciones vibracionales. de energía están igualmente
espaciados. Las transiciones sólo se
PLANTEAMIENTO Para encontrar k, se elige arbitrariamente una altura de energía permiten entre niveles adyacentes
de 0.50 eV que se indica en la figura 40-18. Al medir directamente sobre la gráfica, se (Dn 5 61).
encuentra que esta energía corresponde a una vibración a cada lado de r0 5 0.074 nm
de aproximadamente x 5 60.017 nm.

SOLUCIÓN a) Para OAS, UOAS = 1 kx2 y UOAS = 0 en x = 0 Ar = r0B; así,
2

k = 2UOAS 2(0.50 eV)A1.6 * 10–19 J͞eVB L 550 N͞m.
x2 L

A1.7 * 10–11 mB2

NOTA Este valor de k también sería razonable para un resorte macroscópico.
1
b) La masa reducida es m = m1 m2͞Am1 + m2B = m1͞2 = 2 (1.0 u)A1.66 * 10–27 kgB 5

0.83 * 10–27 kg. En consecuencia, al usar la ecuación 40-5,

l = c = 2pc m = 2pA3.0 * 108 m͞sB 0.83 * 10–27 kg = 2300 nm,
f k 550 N͞m
B B

que se localiza en la región infrarroja del espectro.

Experimentalmente, se hace el proceso inverso: se miden las longitudes de onda de
transiciones vibracionales para una molécula dada, y a partir de esto se calcula la constan-
te de rigidez k. Los valores de k calculados de esta forma son una medida de la intensi-
dad del enlace molecular.

EJEMPLO 40–7 Niveles de energía vibracional en el hidrógeno. Las vibracio-
nes de la molécula de hidrógeno emiten radiación infrarroja con longitud de onda
aproximada de 2300 nm. a) ¿Cuál es la separación en términos de energía entre nive-
les vibracionales adyacentes? b) ¿Cuál es el estado energético vibracional más bajo?

PLANTEAMIENTO La separación de energía entre niveles vibracionales adyacentes
es ¢Evib = hf = hc͞l. La energía más baja (ecuación 40-6) tiene n 5 0.
SOLUCIÓN (a)

¢Evib = hf = hc = A6.63 * 10–34 J и sB A3.00 * 108 m͞sB = 0.54 eV,
l A2300 * 10–9 mB A1.60 * 10–19 J͞eVB

donde el denominador incluye el factor de conversión de joules a eV.
b) La energía vibracional más baja tiene n 5 0 en la ecuación 40-6:

Evib = A␯ + 1 Bhf = 1 hf = 0.27 eV.
2 2

†Recuerde este fenómeno para un pozo cuadrado, figura 38-8. SECCIÓN 40–4 1083
‡Las transiciones prohibidas con Dn 5 2 se emiten un poco más débilmente, pero su observación resul-
ta importante en algunos casos, como en astronomía.

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lv Nivel rotacional más nivel vibracional
41
ϫ 31 Cuando se adiciona energía a una molécula, los modos rotacional y vibracional se pue-
den excitar. Puesto que las energías rotacionales son más o menos de un orden de mag-
012 111 estado nitud menor que las energías vibracionales, las cuales a la vez son menores que los
Estados electrónico niveles energéticos electrónicos, el agrupamiento de niveles se puede representar como
ϫ vibracionales se muestra en la figura 40-20. Las transiciones entre niveles energéticos, con emisión de
“3p” un fotón, están sujetas a las reglas de selección:

Estados 40
rotacionales
30
21 000
0 ¢␯ = &1 y ¢ l = &1.

E En la figura 40-20 se indican algunas transiciones permitidas y prohibidas (marcadas co-
mo 3). No se muestran todas las transiciones ni todos los niveles, y se exageró la separa-
ción entre niveles vibracionales así como entre niveles rotacionales (incluso más). Pero se
distingue claramente el origen de las líneas muy cercanas entre sí que originan los espec-
tros de banda, como se mencionó con referencia a la figura 40-15 antes en esta sección.

Los espectros son bastante complicados, así que brevemente sólo se consideran transi-
ciones dentro del mismo nivel electrónico, como las de la parte superior de la figura 40-20.
Una transición desde un estado con números cuánticos n y l, a uno con números cuánticos
n 1 1 y l 6 1 (véanse las reglas de selección anteriores), absorberᆠun fotón de energía:

41 ¢E = ¢Evib + ¢Erot

31 U2 lSl + 1 d , l = 0, 1, 2, p (40–8a)
= hf + (l + 1) I c(¢l = + 1)
210 111 estado
electrónico U2 lSl - 1 d , l = 1, 2, 3, p , (40–8b)
= hf - l I c (¢l = - 1)
4 0 “2s”
donde se usaron las ecuaciones 40-3 y 40-7. Note que, para transiciones l S l 2 1, l no
30 puede ser cero porque entonces no hay estado con l 5 2 1. Las ecuaciones 40-8 predi-
20 cen un espectro de absorción como el que se muestra de manera esquemática en la
10 figura 40-21, con transiciones l S l 2 1 a la izquierda y l S l 1 1 a la derecha. La fi-
00 gura 40-22 ilustra el espectro de absorción molecular del HCl, que sigue muy bien este
lv
†Las ecuaciones 40-8 son para absorción; para emisión de un fotón, la transición sería
FIGURA 40–20 Niveles energéticos ␯ S ␯ - 1, l S l61.
electrónico, vibracional y rotacional
combinados. Las transiciones
marcadas con una 3 no están
permitidas de acuerdo con las reglas
de selección.

⌬l ⌬l ⌬l ⌬l ⌬l ⌬l ⌬l
ϭϪ1 ϭϪ1 ϭϪ1 ϭϩ1 ϭϩ1 ϭϩ1 ϭϩ1

FIGURA 40–21 Espectro esperado para h2
transiciones entre estados rotacional y I

vibracional combinados.

l=2 l=1 hf l=0 l=1 Energía del fotón

aa aa
l=1 l=0 l=1 l=2

FIGURA 40–22 Espectro de [ ]l lϪ1 [ ]l lϩ1
absorción para moléculas HCl. Las
líneas a la izquierda corresponden a (⌬l ϭ Ϫ 1) (⌬l ϭ ϩ 1)
transiciones donde l S l 2 1; las que
están a la derecha son para l S l 1 1. Absorción relativa
Cada línea tiene un pico doble porque
el cloro tiene dos isótopos de diferente
masa y diferente momento de inercia.

0.330 0.340 0.350 0.360 0.370 0.380

1084 CAPÍTULO 40 Energía (eV)

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patrón. (Cada línea en el espectro de la figura 40-22 se divide en dos porque el Cl con-
siste en dos isótopos de diferente masa; por lo tanto, existen dos tipos de molécula HCl
con diferentes momentos de inercia I).

EJEMPLO 40–8 ESTIMACIÓN La molécula de HCl. Estime el momento de
inercia de la molécula de HCl utilizando el espectro de absorción que se muestra en
la figura 40-22. Para propósitos de una estimación aproximada, ignore la diferencia
entre los dos isótopos.

PLANTEAMIENTO Las ubicaciones de los picos en la figura 40-22 deben correspon- a)
der a las ecuaciones 40-8. No se sabe a qué valor de l corresponde cada pico en la fi-
gura 40-22, pero se puede estimar la diferencia de energía entre picos como de b)
aproximadamente DE9 5 0.0025 eV.
SOLUCIÓN De acuerdo con las ecuaciones 40-8, la diferencia de energía entre dos c)
picos está dada por FIGURA 40–23 Ordenamiento de
átomos en a) un cristal cúbico simple,
¢E¿ = ¢El +1 - ¢El = U2 . b) un cristal cúbico centrado en las
I caras (observe el átomo en el centro
Así, de cada cara) y c) un cristal cúbico
U2 A6.626 * 10–34 J и s͞2pB2 centrado en el cuerpo. Cada uno
I = ¢E¿ = (0.0025 eV)A1.6 * 10–19 J͞eVB = 2.8 * 10–47 kg и m2. muestra la relación de los enlaces.
Cada una de estas “celdas” se repite en
NOTA Para tener una idea de lo que significa este número, escriba I 5 mr2 (ecuación tres dimensiones en los bordes del
40-4), donde m es la masa reducida (ejemplo 40-4); luego, se calcula m: cristal macroscópico.
FIGURA 40–24 Diagrama de un
m = m1 m2 = (1.0 u)(35 u) A1.66 * 10–27 kg͞uB = 1.6 * 10–27 kg ; cristal NaCl, que revela el
m1 + m2 36 u “empaquetado” de los átomos.

la longitud de enlace está dada por (ecuación 40-4) Naϩ ClϪ Naϩ
ClϪ Naϩ ClϪ
r = a I b 1 = ¢ 2.8 * 10–47 kg и m2 ≤ 1 = 1.3 * 10–10 m, Naϩ ClϪ Naϩ
m 2 1.6 * 10–27 kg 2
SECCIÓN 40–5 1085
que es el orden de magnitud esperado para una longitud de enlace.

40–5 Enlaces en sólidos

La mecánica cuántica es una gran herramienta para comprender la estructura de los
sólidos. Este campo activo de investigación en la actualidad se llama física de estado
sólido o física de materia condensada para incluir también a los líquidos. El resto de es-
te capítulo se dedica a este tema, y comenzaremos con un breve vistazo a la estructura
de los sólidos y los enlaces que los mantienen unidos.
Aunque algunos materiales sólidos son amorfos en estructura, en tanto que los
átomos y las moléculas no presentan orden de largo alcance, el texto se enfocará en la
gran clase de sustancias cristalinas cuyos átomos, iones o moléculas por lo general for-
man un arreglo ordenado conocido como red. La figura 40-23 muestra tres posibles or-
denamientos de átomos en un cristal: cúbico simple, cúbico centrado en las caras y
cúbico centrado en el cuerpo. El cristal NaCl es cúbico centrado en las caras (véase la
figura 40-24), con un ion Na1 o un ion Cl2 en cada punto de la red (es decir, conside-
rando el Na y el Cl por separado).

Las moléculas de un sólido se mantienen unidas en varias formas. La más común
es la de los enlaces covalentes (como entre los átomos de carbono del cristal de dia-
mante) o los enlaces iónicos (como en un cristal de NaCl). Con frecuencia los enlaces
son parcialmente covalentes y parcialmente iónicos. El estudio de estos enlaces para
moléculas, que se realizó antes en este capítulo, se aplica igualmente bien a los sólidos.
Observe por un momento el cristal de NaCl de la figura 40-24. Cada ion de Na1
siente un potencial de Coulomb de atracción debido a cada uno de los seis iones de Cl2
que son los “vecinos más cercanos” que lo rodean. Advierta que un Na1 no “pertenece”
exclusivamente a un Cl2, así que no se debe pensar en los sólidos iónicos como consti-
tuidos por moléculas individuales. Cada Na1 también siente un potencial de Coulomb
repulsivo que se debe a otros iones Na1, aunque éste es más débil pues los otros iones
de Na1 están más alejados. Por consiguiente, se espera un potencial de atracción neto

U = –a 1 e2 .
4p⑀ 0 r

El factor a se llama constante de Madelung. Si cada Na1 estuviera rodeado sólo por los

seis iones Cl2, a sería 6, pero la influencia de todos los otros iones lo reduce a un valor
a 5 1.75 para el cristal NaCl. El potencial también debe incluir un término que repre-
sente la fuerza de repulsión cuando las funciones de onda de los niveles y subniveles

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internos se traslapan, y tiene la forma U 5 Byrm, donde m es un entero pequeño. La su-
ma de estos dos términos sugiere una energía potencial

U = – a e2 + B, (40–9)
4p⑀ 0 r rm

que tiene la misma forma que la ecuación 40-1 para moléculas (sección 40-2). Es posi-
ble demostrar (problema 25) que, a la distancia de equilibrio r0,

U = U0 = – a e2 a1 - 1 b .
4p⑀ 0 r0 m

Esta U0 se conoce como la energía de cohesión; es una especie de “energía de enlace”,
la energía (por ion) necesaria para dividir el sólido en iones separados, uno por uno.

Un tipo diferente de enlace se presenta en los metales. Los átomos metálicos tienen
electrones externos que se mantienen relativamente holgados. Las teorías actuales de
enlace metálico proponen que, en un sólido metálico, estos electrones externos vagan
de manera más bien libre entre todos los átomos metálicos que, sin sus electrones exter-
nos, actuarían como iones positivos. La atracción electrostática entre los iones metálicos
y este “gas” electrónico negativo es lo que se cree que, al menos en parte, mantiene uni-
do al sólido. La energía de enlace de los enlaces metálicos por lo general es de 1 a 3 eV,
un poco más débil que los enlaces iónicos o covalentes (de 5 a 10 eV en sólidos). Los
“electrones libres”, de acuerdo con esta teoría, son responsables de la alta conductivi-
dad eléctrica y térmica de los metales (véanse las secciones 40-6 y 40-7). Esta teoría tam-
bién explica bastante bien el brillo de las superficies metálicas lisas: los electrones están
libres y pueden vibrar a cualquier frecuencia, de manera que, cuando luz de un rango de
frecuencias incide sobre un metal, los electrones vibran en respuesta y vuelven a emitir
luz de estas mismas frecuencias. Así, la luz reflejada consistirá principalmente en las
mismas frecuencias que la luz incidente. Compare esto con los materiales no metálicos
que tienen un color distintivo: los electrones atómicos sólo existen en ciertos estados de
energía y, cuando sobre ellos incide luz blanca, los átomos absorben a ciertas frecuencias
mientras reflejan otras frecuencias que constituyen el color que se ve.

He aquí un breve resumen de importantes enlaces fuertes:

• iónico: un átomo roba un electrón de otro átomo;
• covalente: los átomos dentro de una sola molécula comparten electrones;
• metálico: todos los átomos en el metal comparten los electrones.

Los átomos o las moléculas de algunos materiales, como los gases nobles, sólo pue-
den formar enlaces débiles unos con otros. Como se vio en la sección 40-3, los enla-
ces débiles tienen energías de enlace muy bajas y no se esperaría que los átomos se
mantuvieran unidos como líquidos o sólidos a temperatura ambiente. Los gases nobles
sólo se condensan a temperaturas muy bajas, donde la energía cinética atómica es pe-
queña y la atracción débil entonces puede mantener unidos a los átomos.

40–6 Teoría de los electrones libres

en los metales; energía de Fermi

Examinemos con más detenimiento la teoría de electrones libres en los metales men-
cionada en la sección anterior. Imagine a los electrones atrapados dentro del metal como
si estuvieran en un pozo de potencial: dentro del metal, la energía potencial es cero, pe-
ro en los bordes del metal hay paredes de alto potencial. Como muy pocos electrones
salen del metal a temperatura ambiente, es posible imaginar las paredes como infinita-
mente altas (como en la sección 38-8). A temperaturas más altas, los electrones sí salen
del metal (se sabe que ocurre emisión termoiónica, sección 23-9), así que se debe reco-
nocer que el pozo es de profundidad finita. En este modelo simple, los electrones están
atrapados dentro del metal, pero tienen libertad de moverse dentro del pozo cuyo ta-
maño es macroscópico, el tamaño del trozo de metal. La energía estará cuantizada, pero
la separación entre niveles de energía será muy pequeña (véase la ecuación 38-13) por-
que el ancho del pozo de potencial l es muy grande. De hecho, para un cubo de 1 cm
de lado, el número de estados con energía entre 5.0 y 5.5 eV, por ejemplo, es del orden de
1022 (véase el ejemplo 40-9).

1086 CAPÍTULO 40 Moléculas y sólidos

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Para lidiar con un número tan grande de estados, que están tan cercanos entre sí g(E)
como para parecer continuos, es necesario usar métodos estadísticos. Se define una g(E) ␣ E1⁄2
cantidad conocida como densidad de estados, g(E), cuyo significado es similar a la dis-
tribución de Maxwell, ecuación 18-6 (véase la sección 18-2). Esto es, la cantidad g(E)
dE representa el número de estados por unidad de volumen que tienen energía entre
E y E 1 dE. Un cálculo cuidadoso (véase el problema 41), que debe considerar el po-
zo de potencial como tridimensional, demuestra que

g(E) = 8 22 pm3͞2 E1͞2 (40–10)
h3

donde m es la masa del electrón. Esta función se grafica en la figura 40-25.

EJEMPLO 40–9 ESTIMACIÓN Estados electrónicos en el cobre. Estime el 0 E
número de estados en el intervalo de 5.0 a 5.5 eV disponible para los electrones en un
cubo de cobre de 1.0 cm. FIGURA 40–25 Densidad de
estados g(E) como función de la
PLANTEAMIENTO Puesto que g(E) es el número de estados por unidad de volumen energía E (ecuación 40-10).
por unidad de intervalo de energía, el número N de estados es aproximadamente (es
aproximado porque DE no es pequeño)

N L g(E)V ¢E,

donde el volumen V = 1.0 cm3 = 1.0 * 10–6 m3 y ¢E = 0.50 eV.
SOLUCIÓN Evalúe g(E) en 5.25 eV y encuentre (ecuación 40-10):

N L g(E)V ¢E = 8 22 pA9.1 * 10–31 kgB 3
2
A6.63 * 10–34 J и sB3 3(5.25 eV)A1.6 * 10–19 J͞eVB

* A1.0 * 10–6 m3B(0.50 eV)A1.6 * 10–19 J͞eVB

L 8 * 1021

estados en 1.0 cm3. Advierta que el tipo de metal no entró en el cálculo.

La ecuación 40-10 da la densidad de estados. Ahora debe preguntarse: ¿cómo se
pueblan realmente los estados disponibles en un gas de electrones? Considere primero
la situación con cero absoluto, T 5 0 K. Para un gas ideal clásico, todas las partículas
estarían en el estado más bajo, con energía cinética cero 3 0B. Pero la situa-
A= 2 kT =

ción es enormemente diferente para un gas de electrones porque los electrones obede-
cen el principio de exclusión. Los electrones no obedecen la estadística clásica, sino
más bien una estadística cuántica llamada estadística de Fermi-Dirac† que toma en
cuenta eenl tperrion:cip23i,o52d, eeetcxéctleursaió),nc. oTmodoaselleacstproanrteísc,uplaros tqouneestieynneenuetrsopnínes21, (u otro espín de
medio obedecen la es-
tadística de Fermi-Dirac y se conocen como fermiones.‡ El gas de electrones en un me-
tal con frecuencia se llama gas de Fermi. De acuerdo con el principio de exclusión, no
hay dos electrones en el metal que tengan el mismo conjunto de números cuánticos. FIGURA 40–26 A T 5 0 K, todos
Por lo tanto, en cada uno de los estados del pozo de potencial, puede haber cuando mu- los estados hasta la energía EF,
cho dos electrones: uno con espín hacia arriba 1 y uno con espín hacia abajo llamada energía de Fermi,
Ams = ± 2 B
están llenos.
Ams = – 1 B . (Este factor de 2 ya se incluyó en la ecuación 40-10). Por lo tanto, a T 5 0
2
K, los posibles niveles de energía estarán llenos, dos electrones cada uno, hasta un nivel
máximo llamado nivel de Fermi. Esto se ilustra en la figura 40-26, donde el eje vertical
se denota como n0(E) para “densidad de estados ocupados”. La energía del estado en no(E )
el nivel de Fermi se llama energía de Fermi, EF. Para determinar EF, se integra la ecua-
ción 40-10 desde E 5 0 hasta E 5 EF (todos los estados hasta EF están llenos a T 5 0 K): Tϭ0K Nivel de Fermi

ΎN EF (40–11)

V= g(E) dE,

0

†Desarrollada de manera independiente por Enrico Fermi (figuras 41-8, 38-2, 37-10) a principios de Energía
1926, y por P. A. M. Dirac pocos meses después. de Fermi

‡Las partículas con espín entero (0, 1, 2, etcétera), como los fotones, obedecen la estadística de Bose- 0 246 E (eV)
Einstein y se llaman bosones, como se mencionó en la sección 39-4.

SECCIÓN 40–6 Teoría de los electrones libres en los metales; energía de Fermi 1087

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donde NyV es el número de electrones de conducción por unidad de volumen en el
metal. Entonces, al despejar EF, el resultado (véase el ejemplo 40-10 más adelante) es

EF = h2 3 N b 2 (40–12)
8m ap V
3.

La energía promedio en esta distribución (véase el problema 35) es

E = 3 EF . (40–13)
5

Para el cobre, EF 5 7.0 eV (véase el ejemplo 40-10) y E = 4.2 eV. Esto es mucho ma-
yor que la energía del movimiento térmico a temperatura ambiente 3 L 0.04 eVB.
Tϭ0K Claramente, no todo movimiento cesa a cero absoluto. A 2 kT
T ϭ 1200 K
1.0 Por ende, a T 5 0, todos los estados con energía por debajo de EF están ocupados,
f (E) y todos los estados por arriba de EF están vacíos. ¿Qué ocurre para T . 0? Se espera
que (al menos) algunos de los electrones aumenten en energía a causa del movimiento
térmico. De manera clásica, la distribución de estados ocupados estaría dada por el fac-
tor de Boltzmann, e–E͞kT (véanse las ecuaciones 39-16). Pero para el gas de electrones,
un sistema mecánico-cuántico que obedece el principio de exclusión, la probabilidad
de que un determinado estado de energía E se encuentre ocupado está dada por la
función de probabilidad de Fermi-Dirac (o factor de Fermi):

0 EF E f(E) = 1, (40–14)
eAE -EFB͞kT + 1
FIGURA 40–27 Función de
probabilidad de Fermi-Dirac para dos donde EF es la energía de Fermi. Esta función se grafica en la figura 40-27 para dos
temperaturas, T 5 0 K (línea negra) y temperaturas, T 5 0 K y T 5 1200 K (justo abajo del punto de fusión del cobre). A
T 5 1200 K (curva naranja). Para f(E) T 5 0 (o conforme T tiende a cero) el factor eAE-EFB͞kT en la ecuación 40-14 es cero
5 1, un estado con energía E, desde si E , EF, y es q si E . EF. Por lo tanto,
luego, está ocupado. Para f(E) 5 0.5,
que ocurre a E 5 EF, el estado con 1 E 6 EF en T = 0.
EF tiene un 50% de probabilidad de f(E) = b 0 E 7 EF
estar ocupado.
Esto es lo que se grafica en negro en la figura 40-27 y es congruente con la figura 40-26:
todos los estados hasta el nivel de Fermi están ocupados [probabilidad f(E) 5 1] y to-
dos los estados por arriba están desocupados. Para T 5 1200 K, el factor de Fermi cam-
bia sólo un poco, lo que se indica en la figura 40-27 como la curva naranja. Note que, a
cualquier temperatura T, cuando E 5 EF, entonces la ecuación 40-14 da f(E) 5 0.50, lo
que significa que el estado en E 5 EF tiene un 50% de probabilidad de estar ocupado.
Para ver cómo f(E) afecta la distribución real de electrones en los estados de energía,
se debe ponderar la densidad de los posibles estados, g(E), por la probabilidad de que
esos estados estén ocupados, f(E). El producto de estas dos funciones da la densidad
de estados ocupados,

no(E) = g(E)f(E) = 8 22 pm3͞2 E1͞2 . (40–15)

h3 eAE -EFB͞kT + 1

FIGURA 40–28 Densidad de Así, no(E)dE representa el número de electrones por unidad de volumen con energía
estados ocupados para el gas de entre E y E 1 dE en equilibrio térmico a temperatura T. Esto se grafica en la figura
electrones en el cobre. El ancho kT 40-28 para T 5 1200 K, una temperatura a la cual un metal se encontraría tan caliente
que se muestra arriba de la gráfica que brillaría. Inmediatamente se ve que la distribución difiere muy poco de la de T 5 0.
representa energía térmica a También se ve que los cambios que ocurren se concentran en torno al nivel de Fermi.
T 5 1200 K. Algunos electrones ligeramente abajo del nivel de Fermi se mueven a estados de ener-

kT gía ligeramente arriba de él. La energía promedio de los electrones aumenta sólo muy
T ϭ 1200 K levemente cuando la temperatura aumenta de T 5 0 K a T 5 1200 K. Esto es muy di-
no(E) ferente del comportamiento de un gas ideal, para el cual la energía cinética aumenta
desocupado
directamente con T. No obstante, este comportamiento se entiende fácilmente del mo-
do siguiente. La energía del movimiento térmico a T 5 1200 K es aproximadamente
3 0.1 eV. El nivel de Fermi, por otra parte, está en el orden de varios eV: en el
2 kT L

caso del cobre, es EF L 7.0 eV. Un electrón a T 5 1200 K puede tener 7 eV de energía,
pero puede adquirir cuando mucho sólo unas cuantas veces 0.1 eV de energía mediante
una colisión (térmica) con la red. Sólo electrones muy cerca del nivel de Fermi encon-
ocupado trarían estados vacantes suficientemente cercanos para hacer tal transición. En esencia,
0 2 4 6 7 8 E (eV) ninguno de los electrones podría aumentar en energía, por ejemplo, en 3 eV, de manera
que los electrones mucho más abajo en el gas de electrones no resultan afectados. Sólo
los electrones cerca de la parte superior de la distribución de energía pueden excitarse
térmicamente hacia estados superiores. Y su nueva energía está en promedio sólo lige-
ramente más arriba que sus antiguas energías.

1088 CAPÍTULO 40 Moléculas y sólidos

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EJERCICIO B Regrese a la pregunta de inicio de capítulo, página 1071, y respóndala de
nuevo ahora. Trate de explicar por qué quizás usted la respondió de manera diferente la
primera vez.

EJEMPLO 40–10 El nivel de Fermi. Para el cobre metálico, determine a) la
energía de Fermi, b) la energía promedio de los electrones y c) la rapidez de los elec-
trones en el nivel de Fermi (lo que se conoce como rapidez de Fermi).

PLANTEAMIENTO Primero se deduce la ecuación 40-12, al combinar las ecuaciones
40-10 y 40-12:

8 22 pm3͞2 EF 8 22 pm3͞2 2
h3 h3 3
ΎN = E 1͞2 dE = E F3͞2.

V 0

Al despejar EF se obtiene

EF = h2 3 N b 2
8m ap V 3

[advierta que: A 2 12 B 2 = A 2 3 B 2 = 2], y esto es la ecuación 40-12. En el ejemplo 25-14
3 2 3

se calculó NyV, el número de electrones de conducción por unidad de volumen en el
cobre, como NyV 5 8.4 3 1028 m23.

SOLUCIÓN a) Por lo tanto, la energía de Fermi para el cobre es

A6.63 * 10–34 J и sB2 3A8.4 * 1028 m–3B 2 1 7.0 eV.
8A9.1 * 10–31 kgB c p 3 10–19 J͞eV
EF = d =
1.6 *

b) De acuerdo con la ecuación 40-13,

E = 3 EF = 4.2 eV.
5

c) En el modelo, se tomó U 5 0 dentro del metal (suponiendo un pozo de potencial
infinito tridimensional, sección 38-8, ecuación 40-10 y problema 41). Entonces E sólo
es energía cinética 5 1 mv2. Por lo tanto, en el nivel de Fermi, la rapidez de Fermi es
2

vF = 2EF = 2(7.0 eV)A1.6 * 10–19 J͞eVB = 1.6 * 106 m͞s,
Bm C 9.1 * 10–31 kg

una rapidez muy alta. La temperatura de un gas clásico tendría que ser extremada-
mente alta para producir una rapidez promedio de partícula de esa magnitud.

EJEMPLO 40–11 Cálculo clásico incorrecto. Veamos qué resultado se obtiene
si los electrones se tratan como un gas ideal clásico. Esto es, estime la energía cinéti-
ca promedio de los electrones a temperatura ambiente empleando la teoría cinética
de los gases, capítulo 18.

PLANTEAMIENTO La energía cinética promedio de las partículas en un gas ideal es-
tá dada por la ecuación 18-4, del capítulo 18, como

K = 3 kT,
2

donde k es la constante de Boltzmann y T L 300 K.
SOLUCIÓN El modelo de gas ideal da

K = 3 (1.38 * 10 -23 J͞K)(300 K) ¢ 1.6 * 1 = 0.039 eV.
2 10–19 J͞eV ≤

Este resultado está lejos de ser correcto. Está corrido por un factor de 100: el ejemplo
40-10 dio como resultado 4.2 eV. El modelo de gas ideal no funciona para electrones
que obedecen el principio de exclusión. De hecho, aquí se ve cuán importante y pode-
roso es el principio de exclusión.

EJERCICIO C Determine la energía de Fermi para el oro (densidad 5 19,300 kgym3).
a) 5.5 eV, b) 6.2 eV, c) 7.2 eV, d) 8.1 eV, e) 8.4 eV.

SECCIÓN 40–6 Teoría de los electrones libres en los metales; energía de Fermi 1089

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Energía de Fermi eW0 Uϭ0

FIGURA 40–29 Energía potencial Energía Bandas
para un electrón en un cristal metálico, Brechas de energías prohibidas Posiciones de iones
con pozos de potencial profundos en la metálicos en la red
cercanía de cada ion en la red del
cristal.

Posición

El modelo sencillo de un gas de electrones que se presentó aquí ofrece una buena
explicación para las propiedades eléctricas y térmicas de los conductores, pero no expli-
ca por qué algunos materiales son buenos conductores y otros son buenos aislantes. Pa-
ra dar una explicación, el modelo de electrones dentro de un metal que se mueven en
un pozo de potencial uniforme necesita refinarse para incluir el efecto de la red. La fi-
gura 40-29 muestra un potencial “periódico” que toma en cuenta la atracción de los
electrones para cada ion atómico en la red. Aquí se tomó U 5 0 para un electrón libre
del metal; así que, dentro del metal, las energías de los electrones son menores que cero
(tal como para moléculas o para el átomo H en el que el estado fundamental tiene E 5
2 13.6 eV). La cantidad eW0 representa la energía mínima para remover un electrón del
metal, donde W0 es la función trabajo (véase la sección 37-2). El resultado crucial de po-
ner un potencial periódico (que se aproxima más fácilmente con pozos cuadrados estre-
chos) en la ecuación de Schrödinger es que los estados de energía permitidos se dividen
en bandas, con brechas de energías prohibidas entre ellos. Sólo los electrones en la ban-
da más alta, cerca del nivel de Fermi, son capaces de moverse libremente dentro del
cristal metálico. En la siguiente sección se verá físicamente por qué hay bandas y cómo
éstas explican las propiedades de conductores, aislantes y semiconductores.

40–7 Teoría de bandas en sólidos

En la sección 40-1 se vio que, cuando dos átomos de hidrógeno se aproximan uno al
otro, las funciones de onda se traslapan, y los dos estados 1s (uno para cada átomo) se
dividen en dos estados de diferente energía. (Como se vio, sólo uno de esos estados,
S 5 0, tiene energía suficientemente baja para enlazar una molécula de H2). La figura
40-30a ilustra esta situación para los estados 1s y 2s de dos átomos: conforme los dos
átomos se acercan más (hacia la izquierda en la figura 40-30a), los estados 1s y 2s se di-
viden en dos niveles. Si seis átomos se acercan, como en la figura 40-30b, cada uno de
los estados se divide en seis niveles. Si un gran número de átomos se unen para formar
un sólido, entonces cada uno de los niveles atómicos originales se convierte en una
banda, como se muestra en la figura 40-30c. Los niveles de energía están tan cercanos
en cada banda que, en esencia, parecen continuos. Por esa razón, el espectro de los só-
lidos que se calientan (sección 37-1) parece continuo. (Véase también la figura 40-15 y
su explicación al principio de la sección 40-4).

molécula átomos

FIGURA 40–30 La división de los 2s Bandas
niveles de energía atómicos 1s y 2s 1s de energía
conforme a) dos átomos se permitidas
aproximan uno al otro (la Separación atómica Brecha
separación atómica disminuye hacia a) de energía
la izquierda en la gráfica), b) lo Energía prohibida
mismo para seis átomos y c) para Energía
muchos átomos cuando se unen Energía Separación atómica
para formar un sólido. c)

Separación atómica
b)

1090 CAPÍTULO 40 Moléculas y sólidos

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El aspecto crucial de un buen conductor es que la banda de energía más alta que 3s
contiene electrones sólo está parcialmente llena. Considere el metal sodio, por ejemplo, 2p
cuyas bandas de energía se representan en la figura 40-31. Las bandas 1s, 2s y 2p están 2s
llenas (justo como en un átomo de sodio) y no son de interés. Sin embargo, la banda 3s 1s
sólo está medio llena. Para ver por qué, recuerde que el principio de exclusión estable- FIGURA 40–31 Bandas de energía
ce que, en un átomo, sólo dos electrones pueden estar en el estado 3s, uno con espín para el sodio (Na).
hacia arriba y uno con espín hacia abajo. Estos dos estados tienen energía ligeramente
diferente. Para un sólido que consiste en N átomos, la banda 3s contendrá 2N posibles FIGURA 40–32 Bandas de energía
estados de energía. Un átomo de sodio tiene un solo electrón 3s, así que, en una mues- para a) un conductor, b) un aislante,
tra de metal sodio que contenga N átomos, habrá N electrones en la banda 3s, y N esta- que tiene una brecha de energía
dos desocupados. Cuando a través del metal se aplica una diferencia de potencial, los prohibida grande Eg, y c) un
electrones pueden responder al acelerar y aumentar sus energías, ya que están disponi- semiconductor, que tiene una brecha
bles muchos estados desocupados de energía ligeramente más elevada. Por lo tanto, de energía prohibida pequeña Eg. Los
una corriente fluye con facilidad y el sodio es un buen conductor. La característica de sombreados representan estados
todo buen conductor es que la banda de energía más alta sólo está parcialmente llena, ocupados. El sombreado pálido en
o dos bandas se traslapan de manera que están disponibles estados desocupados. Un c) representa electrones que pueden
ejemplo de lo último es el magnesio, que tiene dos electrones 3s, de manera que su pasar desde la parte superior de la
banda 3s está llena. Pero la banda no llena 3p se traslapa con la banda 3s en energía, banda de valencia hacia la parte
así que habrá muchos estados disponibles para que los electrones se muden. Por consi- inferior de la banda de conducción
guiente, el magnesio también es un buen conductor. debido a agitación térmica a
Por otra parte, en un material que es buen aislante, la banda más alta que contiene temperatura ambiente (exagerado).
electrones, llamada banda de valencia, está completamente llena. La siguiente banda
más alta de energía, llamada banda de conducción, está separada de la banda de valen-
cia por una brecha de energía (o brecha de banda) “prohibida”, Eg, por lo general de
5 a 10 eV. De manera que a temperatura ambiente (300 K), donde las energías tér-
micas (esto es, la energía cinética promedio; véase el capítulo 18) son del orden de
3 0.04 eV, casi ningún electrón puede adquirir los 5 eV necesarios para llegar a
2 kT L

la banda de conducción. Cuando a través del material se aplica una diferencia de po-
tencial, ningún estado disponible es accesible a los electrones, y no fluye corriente. En
tal caso, el material es un buen aislante.
La figura 40-32 compara las bandas de energía relevantes a) para conductores,
b) para aislantes y c) para la importante clase de materiales conocidos como semicon-
ductores. Las bandas para un semiconductor puro (o intrínseco), como silicio o germa-
nio, son como las de un aislante, excepto que la banda de conducción no llena está
separada de la banda de valencia llena por una brecha de energía prohibida mucho
más pequeña, Eg, por lo general del orden de 1 eV. A temperatura ambiente, algunos
electrones adquieren suficiente energía térmica para llegar a la banda de conducción, y
por lo tanto puede fluir una corriente muy pequeña cuando se aplica un voltaje. A tem-
peraturas más altas, más electrones tienen suficiente energía para saltar la brecha. Con
frecuencia, este efecto logra más que compensar los efectos de colisiones más frecuentes
debidas a un desorden creciente a temperatura más alta, de manera que la resistividad de
los semiconductores disminuye con temperatura creciente (véase la tabla 25-1). Pero
ésta no es toda la historia de la conducción en semiconductores. Cuando a un semicon-
ductor se le aplica una diferencia de potencial, los pocos electrones en la banda de conduc-
ción se mueven hacia el electrodo positivo. Los electrones en la banda de valencia
intentan hacer lo mismo, y algunos pueden hacerlo porque hay un pequeño número de
estados desocupados que quedan vacíos por los electrones que llegan a la banda de con-
ducción. Tales estados electrónicos no llenos se llaman huecos. Cada electrón en la banda
de valencia que llena un hueco de esta forma conforme se mueve hacia el electrodo
positivo deja tras de sí su propio hueco, de manera que los huecos migran hacia el elec-
trodo negativo. Conforme los electrones tienden a acumularse en un lado del material,
los huecos tienden a acumularse en el lado opuesto. En la siguiente sección se observa-
rá este fenómeno con más detalle.

a) Conductor Banda de conducción Banda de conducción
Eg
Eg
Banda de valencia Banda de valencia
b) Aislante
c) Semiconductor

SECCIÓN 40–7 Teoría de bandas en sólidos 1091

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EJEMPLO 40–12 Cálculo de la brecha de energía prohibida. Se encontró
que la conductividad de cierto semiconductor aumenta cuando luz con longitud de
onda de 345 nm o menor incide sobre él, lo que sugiere que los electrones pasan de la
banda de valencia hacia la banda de conducción. ¿Cuál es la brecha de energía prohi-
bida, Eg, de este semiconductor?

PLANTEAMIENTO El fotón con longitud de onda más larga (energía más baja) que
causa un aumento en la conductividad tiene l 5 345 nm, y su energía (5 hf) es igual
a la brecha de energía prohibida.
SOLUCIÓN La brecha de energía prohibida es igual a la energía de un fotón l 5 345 nm:

Eg = hf = hc = A6.63 * 10–34 J и sB A3.00 * 108 m͞sB = 3.6 eV.
l A345 * 10–9 mB A1.60 * 10–19 J͞eVB

Banda de conducción EJEMPLO 40–13 ESTIMACIÓN Electrones libres en semiconductores y ais-
lantes. Con base en la función de probabilidad de Fermi-Dirac, ecuación 40-14, estime
Eg EF el orden de magnitud de los números de electrones libres en la banda de conducción
de un sólido que contiene 1021 átomos, suponiendo que el sólido está a temperatura
Banda de valencia ambiente (T 5 300 K) y es a) un semiconductor con Eg L 1.1 eV, b) un aislante con Eg
L 5 eV. Compare con un conductor.
FIGURA 40–33 La energía de Fermi
está a medio camino entre la banda de PLANTEAMIENTO A T 5 0, todos los estados por arriba de la energía de Fermi EF
valencia y la banda de conducción. están vacíos, y todos los que están debajo están llenos. De manera que para los semi-
conductores y aislantes se puede considerar EF como aproximadamente a la mitad
del camino entre las bandas de valencia y de conducción, figura 40-33, y esto no cam-
bia significativamente conforme se pasa a temperatura ambiente. Por ende, se utiliza
la ecuación 40-14 para encontrar la fracción de electrones en la banda de conducción
a temperatura ambiente para los dos casos.
SOLUCIÓN a) Para el semiconductor, la brecha Eg L 1.1 eV, de manera que E 2 EF L
0.55 eV para los estados más bajos en la banda de conducción. Puesto que a temperatura
ambiente se tiene kT L 0.026 eV, entonces AE - EFB͞kT L 0.55 eV͞0.026 eV L 21 y

f(E) = 1 L 1 L 10–9.
eAE -EFB͞kT + 1 e21

Por lo tanto, aproximadamente 1 átomo en 109 aporta un electrón a la conductividad.

b) Para el aislante con E - EF L 5.0 eV - 1 (5.0 eV) = 2.5 eV, se tiene
2

f(E) L 1 L 1 L 10–42.
e2.5͞0.026 + 1 e96

Por lo tanto, en una muestra ordinaria que contiene 1021 átomos, no habría electrones
libres en un aislante (1021 3 10242 5 10221), aproximadamente 1012 (1021 3 1029) elec-
trones libres en un semiconductor, y alrededor de 1021 electrones libres en un buen
conductor.

FÍSICA APLICADA EJEMPLO CONCEPTUAL 40–14 ¿Cuál es transparente? La brecha de energía pro-
Transparencia hibida para el silicio es de 1.14 eV a temperatura ambiente, mientras que para el sulfuro de
cinc (ZnS) es de 3.6 eV. ¿Cuál de éstos es opaco a la luz visible y cuál es transparente?
RESPUESTA Los fotones de luz visible abarcan energías que van aproximadamente
de 1.8 eV a 3.1 eV (E 5 hf 5 hcyl, donde l 5 400 nm a 700 nm y 1 eV 5 1.6 3 10219 J).
Los electrones en un material absorben luz. La brecha de energía prohibida del silicio
es suficientemente pequeña para absorber estos fotones, y por ende bombea electro-
nes hacia la banda de conducción, de manera que el silicio es opaco. Por otra parte, la
brecha de energía prohibida del sulfuro de cinc es tan grande que ningún fotón de luz
visible podría absorberse; los fotones pasarían directamente a través del material que,
por consiguiente, sería transparente.

1092 CAPÍTULO 40 Moléculas y sólidos

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40–8 Semiconductores y dopado

Casi todos los dispositivos electrónicos actuales usan semiconductores. Los más comu-
nes son el silicio (Si) y el germanio (Ge). Un átomo de silicio o germanio tiene cuatro
electrones externos que actúan para mantener a los átomos en la estructura cristalina
regular, que se muestra de manera esquemática en la figura 40-34a. El germanio y el si-
licio adquieren propiedades útiles para la electrónica cuando una pequeña cantidad de
impurezas se introducen en la estructura cristalina (quizás 1 parte en 106 o 107). A esto
se le llama dopar el semiconductor. Es posible hacer dos tipos de semiconductor dopa-
do, dependiendo del tipo de impureza que se utilice. Si la impureza es un elemento cu-
yos átomos tienen cinco electrones exteriores, como el arsénico, se presenta la situación
que se ilustra en la figura 40-34b, con los átomos de arsénico manteniendo las posicio-
nes en la red cristalina donde normalmente estarían átomos de silicio. Sólo cuatro elec-
trones de arsénico encajan en la estructura enlazada. El quinto no encaja y se puede
mover con relativa libertad, un poco como los electrones en un conductor. Debido a es-
te pequeño número de electrones adicionales, un semiconductor dopado se vuelve lige-

Átomo de silicio Átomo de silicio Átomo de FIGURA 40–34 Representación
Electrón b) arsénico bidimensional de un cristal de silicio.
Electrón a) Cuatro electrones (externos)
a) adicional rodean a cada átomo de silicio.
b) Cristal de silicio dopado con un
pequeño porcentaje de átomos de
arsénico: el electrón adicional no
encaja en la red cristalina y, por lo
tanto, tiene libertad para moverse.
Éste es un semiconductor tipo n.

ramente conductor. La densidad de los electrones de conducción en un semiconductor
intrínseco (no dopado) a temperatura ambiente es muy baja, generalmente menor que
1 por 109 átomos. Con una concentración de impurezas de 1 en 106 o 107 cuando está
dopado, la conductividad será mucho mayor y se puede controlar con gran precisión.
Un cristal de silicio dopado con arsénico se llama semiconductor tipo n, porque cargas
negativas (electrones) portan la corriente eléctrica.

En un semiconductor tipo p, un pequeño porcentaje de átomos de los semiconducto-
res se sustituyen por átomos con tres electrones exteriores, como el galio. Como se mues-
tra en la figura 40-35a, hay un “hueco” en la estructura de la red cerca de un átomo de
galio, pues sólo tiene tres electrones exteriores. Los electrones de los átomos de silicio
cercanos pueden saltar hacia este hueco y llenarlo. Pero esto deja un hueco donde ese
electrón estuvo anteriormente, figura 40-35b. La gran mayoría de los átomos son de sili-
cio, de manera que los huecos casi siempre están junto a un átomo de silicio. Como los
átomos de silicio requieren cuatro electrones externos para ser neutros, esto significa que
hay una carga positiva neta en el hueco. Siempre que un electrón se mueve para llenar
un hueco, entonces el hueco positivo está en la posición previa de ese electrón. Entonces
otro electrón puede llenar ese hueco, y por lo tanto el hueco se mueve hacia una nueva
ubicación; y así sucesivamente. Este tipo de semiconductor se llama tipo p porque los
huecos positivos son los que parecen conducir la corriente eléctrica. Sin embargo, note
que ni los semiconductores tipo p ni los semiconductores tipo n tienen carga neta en ellos.

Átomo Átomo
de galio de silicio

Hueco FIGURA 40–35 Un semiconductor tipo p, silicio
dopado con galio. a) El galio sólo tiene tres electrones
exteriores, así que hay una mancha vacía, o hueco, en
la estructura. b) Los electrones de los átomos de
silicio pueden saltar hacia el hueco y llenarlo. Como
resultado, el hueco se mueve hacia una nueva
ubicación (hacia la derecha en esta figura), hacia
donde el electrón solía estar.

a) b)

SECCIÓN 40–8 Semiconductores y dopado 1093

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Banda de conducción Banda de conducción

Nivel Nivel
donador aceptor

Banda de valencia Banda de valencia

a) Tipo n Tipo p

FIGURA 40–36 Niveles de energía de impureza en semiconductores dopados.

De acuerdo con la teoría de bandas (sección 40-7), en un semiconductor dopado la
impureza ofrece estados de energía adicionales entre las bandas, como se aprecia en la
figura 40-36. En un semiconductor tipo n, el nivel de energía de la impureza se encuen-
tra justo debajo de la banda de conducción, figura 40-36a. Los electrones en este nivel
de energía sólo necesitan alrededor de 0.05 eV en el Si (incluso menos en el Ge) para
llegar a la banda de conducción; esto se encuentra en el orden de la energía térmica,
3 0.04 eV a 300 K), así que las transiciones ocurren fácilmente a temperatura
2 kT (=
ambiente. Por lo tanto, este nivel de energía puede suministrar electrones a la banda de
conducción, por lo que se le llama nivel donador. En los semiconductores tipo p, el ni-
vel de energía de impureza está justo arriba de la banda de valencia (figura 40-36b). Se
llama nivel aceptor porque los electrones de la banda de valencia pueden saltar fácil-
mente hacia ella. Los huecos positivos se quedan detrás en la banda de valencia y, con-
forme otros electrones se mueven hacia los huecos, éstos se mueven como se explicó
anteriormente.

C d EJERCICIO D ¿Cuál de los siguientes átomos impuros produciría un semiconductor tipo p?
a) Ge; b) Ne; c) Al; d) As; e) ninguno de los anteriores.
++++++
EJEMPLO CONCEPTUAL 40–15 Determinación de la carga de conductores.
– EB H ¿Cómo se podría determinar si un semiconductor tipo p tiene una corriente que en rea-
lidad se debe al movimiento de huecos? ¿O es éste sólo un modelo conveniente?
––––––
RESPUESTA Recuerde de la sección 27-8 que el efecto Hall permite distinguir el sig-
D no de las cargas implicadas en una corriente. Cuando se coloca en un campo magné-
a) tico, la corriente en una dirección particular puede dar por resultado un voltaje
perpendicular a esa corriente debido a la fuerza magnética sobre las cargas en movi-
C miento (figura 27-32, aquí repetida). La dirección de este voltaje Hall depende del
signo de las cargas que conducen la corriente. De esta forma, se demostró que los
–––––– huecos en movimiento realmente son responsables de la corriente en un semiconduc-
tor tipo p.
EB H
+d 40–9 Diodos semiconductores

++++++ Los diodos y transistores semiconductores son componentes esenciales de los moder-
nos dispositivos electrónicos. La miniaturización lograda en la actualidad permite que
D muchos miles de diodos, transistores, resistores, etcétera, se coloquen en un solo chip
que mide menos de un milímetro por lado. Ahora se estudiará, brevemente y en térmi-
b) nos cualitativos, la operación de diodos y transistores.

FIGURA 27–32 (Repetida.) El efecto Cuando un semiconductor tipo n se une a uno tipo p, se forma un diodo de unión
Hall. a) Cargas negativas se mueven pn. Por separado, los dos semiconductores son eléctricamente neutros. Cuando se unen,
hacia la derecha como la corriente. algunos electrones cerca de la unión se difunden desde el semiconductor tipo n hacia el
b) La misma corriente, pero conforme tipo p, donde llenan algunos de los huecos. El tipo n queda con carga positiva y el tipo
cargas positivas se mueven hacia la p adquiere una carga negativa neta. Por consiguiente, se establece una diferencia de
izquierda. potencial, con el lado n positivo en relación con el lado p, y esto evita mayor difusión
de electrones.

1094 CAPÍTULO 40 Moléculas y sólidos

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Si una batería se conecta a un diodo con la terminal positiva en el lado p y la termi- ؉ ؉؉؉ p Flujo de
nal negativa en el lado n, como en la figura 40-37a, el voltaje aplicado externamente se Fuente ؉؉
opone a la diferencia de potencial interno y se dice que el diodo tiene polarización di- de voltaje
recta. Si el voltaje es suficientemente grande (alrededor de 0.3 V para el Ge, 0.6 V para ؉ ؉ ؉ corriente
el Si a temperatura ambiente), fluirá una corriente. Los huecos positivos en el semicon- ؊ (convencional)
ductor tipo p se repelen mediante la terminal positiva de la batería, y los electrones en ؊؊؊ n
el tipo n se repelen por la terminal negativa de la batería. Los huecos y electrones se ؊؊
encuentran en la unión, y los electrones cruzan y llenan los huecos. Fluye una corriente.
Mientras tanto, la terminal positiva de la batería continuamente atrae electrones del ex- ؊؊؊
tremo p, lo que forma nuevos huecos, y la terminal negativa en el extremo n suministra
electrones. En consecuencia, una gran corriente fluye a través del diodo. a)

Cuando el diodo tiene polarización invertida, como en la figura 40-37b, los huecos ؊ ؉؉؉ p
en el extremo p son atraídos hacia la terminal negativa de la batería y los electrones en Fuente No hay
el extremo n son atraídos hacia la terminal positiva. Los portadores de corriente no se de voltaje flujo de
encuentran cerca de la unión e idealmente no fluye corriente. corriente
؉
En la figura 40-38 se presenta una gráfica de la corriente contra el voltaje para un ؊؊؊ n
diodo común. Como se observa, un diodo real sí permite el flujo de una pequeña can-
tidad de corriente inversa. Para la mayoría de los propósitos prácticos, es insignificante. b)
(A temperatura ambiente, la corriente inversa es de unos cuantos mA en el Ge y de
unos cuantos pA en el Si; pero aumenta rápidamente con la temperatura, y puede vol- FIGURA 40–37 Diagrama que
ver ineficaz un diodo arriba de 200ºC). muestra cómo opera un diodo
semiconductor. Cuando el voltaje se
I (mA) conecta en polarización directa, como
30 en a), fluye corriente, pero no cuando
se conecta en polarización invertida,
20 como en b).

Polarización 10 Polarización

invertida directa FIGURA 40–38 Corriente a través de un
diodo pn de silicio, como función del voltaje
0 0.2 0.4 0.6 0.8
V (volts) aplicado.

EJEMPLO 40–16 Un diodo. El diodo cuyas características de corriente y voltaje
se muestran en la figura 40-38 se conecta en serie con una batería de 4.0 V en polari-
zación directa y un resistor. Si a través del diodo pasará una corriente de 15 mA, ¿qué
resistencia debe tener el resistor?

PLANTEAMIENTO Empleamos la figura 40-38, donde se ve que la caída de voltaje a
través del diodo es de aproximadamente 0.7 V cuando la corriente es de 15 mA. Lue-
go se hace un análisis de circuito simple y se utiliza la ley de Ohm (capítulos 25 y 26).
SOLUCIÓN La caída de voltaje a través del resistor es 4.0 V 2 0.7 V 5 3.3 V, de ma-
nera que R = V͞I = (3.3 V)͞A1.5 * 10–2 AB = 220 ⍀.

El símbolo para diodo es
[diodo]

donde la flecha representa la dirección convencional (1) en que fluye la corriente con
facilidad.

Si el voltaje a través de un diodo conectado en polarización invertida aumenta rá-
pidamente, se llega a un punto donde ocurre ruptura. El campo eléctrico a través de la
unión se vuelve tan grande que se produce ionización de los átomos. En consecuencia,
los electrones que se retiran de sus átomos contribuyen a una corriente cada vez más
grande conforme continúa la ruptura. El voltaje permanece constante sobre un amplio
rango de corrientes. Esto se demuestra en el extremo izquierdo de la figura 40-38. Esta
propiedad de los diodos se utiliza para regular con exactitud una fuente de voltaje. Un
diodo diseñado para este propósito se llama diodo Zener. Cuando se coloca a través de
la salida de una fuente de poder no regulada, un diodo Zener permite mantener el vol-
taje a su propio voltaje de ruptura en tanto el suministro de voltaje siempre esté por
arriba de ese punto. Es posible obtener diodos Zener correspondientes a voltajes que
van desde algunos volts hasta cientos de volts.

SECCIÓN 40–9 Diodos semiconductores 1095

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Puesto que un diodo de unión pn permite el flujo de corriente sólo en una dirección
a (en tanto el voltaje no sea muy alto), sirve como rectificador, para cambiar ca a cd. En la
figura 40-39a se ilustra un circuito rectificador sencillo. La fuente de ca aplica un voltaje
Diodo R a través del diodo, alternativamente positivo y negativo. Sólo durante la mitad de cada ci-

b clo pasará corriente a través del diodo; sólo entonces habrá una corriente a través del re-
sistor R. Por lo tanto, una gráfica del voltaje Vab a través de R como función del tiempo
Fuente CA (Vent) se parece al voltaje de salida que se muestra en la figura 40-39b. Esta rectificación de me-
a) dia onda no es exactamente cd, pero es unidireccional. Más útil aún es un rectificador de
onda completa, que utiliza dos diodos (o en ocasiones cuatro) como se aprecia en la figu-
ra 40-40a. En cualquier instante dado, ya sea un diodo o el otro conducirá corriente hacia
Vent Voltaje la derecha. Por lo tanto, la salida a través del resistor de carga R será como se muestra en
de entrada la figura 40-40b. En realidad éste es el voltaje si el capacitor C no estuviera en el circuito.

El capacitor tiende a almacenar carga y, si la constante de tiempo RC es suficientemente
Voltaje larga, ayuda a suavizar la corriente como se muestra en la figura 40-40c. (La variación en
Vab de salida la salida que se indica en la figura 40-40c se llama voltaje de rizado).
Los circuitos rectificadores son importantes porque la mayoría de las líneas de vol-
Tiempo

b) taje en edificios es ca, y la mayoría de los dispositivos electrónicos requieren un volta-
je de cd para su operación. En consecuencia, los diodos se encuentran casi en todos los
FIGURA 40–39 a) Circuito dispositivos electrónicos, incluidos radios y televisores, calculadoras y computadoras.
rectificador simple (de media onda)

que utiliza un diodo semiconductor.

b) Voltaje de entrada de fuente CA y

voltaje de salida a través de R, como

funciones del tiempo.

Salida

CR

FIGURA 40–40 a) Circuito a)
rectificador de onda completa (incluido
un transformador de manera que la Vsalida Vsalida
magnitud del voltaje se pueda cambiar).
b) Voltaje de salida en ausencia de un Tiempo Tiempo
capacitor C. c) Voltaje de salida con el b) Sin capacitor c) Con capacitor
capacitor en el circuito.

FÍSICA APLICADA Otro dispositivo útil es el diodo emisor de luz (LED, por las siglas de light-emitting
LED y aplicaciones diode), que se inventó en la década de 1960. Cuando una unión pn tiene polarización di-
recta, comienza a fluir una corriente. Los electrones cruzan de la región n a la región p y se
Seguridad de automóviles (frenos) combinan con los huecos, y se puede emitir un fotón con una energía aproximadamente
igual a la brecha de banda prohibida, Eg (véanse las figuras 40-32c y 40-36). Con frecuen-
FIGURA 40–41 Semáforo LED. cia, la energía y, por lo tanto, la longitud de onda están en la región roja del espectro vi-
sible, lo que produce las conocidas pantallas LED en los dispositivos electrónicos,
paneles de instrumentos automotores, relojes digitales, etcétera. Los LED infrarrojos (es-
to es, no visibles) se utilizan en controles remotos para televisores, reproductores de
DVD y estéreos. Nuevos tipos de LED emiten otros colores, y las “bombillas” LED co-
mienzan a sustituir otros tipos de iluminación en aplicaciones como linternas, señales de
tránsito, luces de frenos en automóviles y señales exteriores, anuncios espectaculares y
pantallas de cine. Las bombillas LED, en ocasiones llamadas luces de estado sólido, son
costosas, pero ofrecen ventajas: son de larga duración, eficientes y resistentes. Las luces
de los semáforos de LED, por ejemplo (figura 40-41), duran de 5 a 10 veces más que las
bombillas incandescentes tradicionales, y requieren sólo el 20% de la energía que utilizan
estas últimas para entregar la misma salida de luz. Como luces de frenos en los automó-
viles, encienden una fracción de segundo más pronto, lo que ofrece a un conductor 5 o 6
metros adicionales de distancia de frenado cuando conduce a rapidez de autopista.

Las celdas solares y los fotodiodos (sección 37-2) son uniones pn que se usan en el sen-
tido inverso: absorben fotones, lo que crea pares electrón-hueco si la energía del fotón es
mayor que la brecha de energía prohibida, Eg. Los electrones y huecos que se crean produ-
cen una corriente que, cuando se conecta a un circuito externo, se convierte en una fuente
de fem y potencia. Los detectores de partículas (sección 41-11) operan de manera similar.

Un diodo se llama dispositivo no lineal porque la corriente no es proporcional al
voltaje. Esto es, una gráfica de corriente contra voltaje (figura 40-38) no es una línea
recta, como lo es para un resistor (que idealmente es lineal). Los transistores también
son dispositivos no lineales.

1096 CAPÍTULO 40 Moléculas y sólidos

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40–10 Transistores y

circuitos integrados (chips)

Un transistor de unión simple consiste en un cristal de un tipo de semiconductor dopa-
do colocado entre dos cristales del tipo opuesto. Se fabrican transistores tanto npn como
pnp, y ambos se ilustran de manera esquemática en la figura 40-42a. Los tres semicon-
ductores reciben los nombres de colector, base y emisor. En la figura 40-42b se presentan
los símbolos para los transistores npn y pnp. La flecha siempre se coloca en el emisor e
indica la dirección de flujo de corriente (convencional) en operación normal.

n Colector p Colector IC ϩ iC
p Base n Base
n Emisor p Emisor IB ϩ iB B C RC Salida
(grande)

Señal de RB E VCE
entrada VBE
Transistor npn a) Transistor pnp (pequeña)

Colector Colector ϩ ϩ
Base Base BϪ ϪC

Emisor b) Emisor FIGURA 40–43 Un transistor npn que se utiliza como
npn pnp amplificador. IB es la corriente producida por eB (en ausencia
de una señal), iB es la corriente señal de ca (5 cambios en IB).
FIGURA 40–42 a) Diagrama de transistores npn y pnp.
b) Símbolos para los transistores npn y pnp.

La operación de un transistor se puede analizar cualitativamente, de manera muy
breve, del modo siguiente. Considere un transistor npn conectado como se indica en la
figura 40-43. Entre el colector y el emisor se mantiene un voltaje VCE que suministra la
batería eC . El voltaje que se aplica a la base se llama voltaje de polarización de la ba-
se, VBE. Si VBE es positivo, la base atrae electrones de conducción en el emisor. Como la
región de la base es muy pequeña (menos de 1 mm, mucho menos si está en un chip),
la mayoría de estos electrones fluyen cruzando en línea recta hacia el colector, que se
mantiene a un voltaje positivo. Una gran corriente, IC, fluye entre colector y emisor, y
una corriente mucho menor, IB, fluye a través de la base. En el estado en equilibrio, IA
e IB se pueden considerar cd. Una pequeña variación en el voltaje de la base debida a
una señal de entrada provoca un gran cambio en la corriente del colector y, por lo tan-
to, un gran cambio en la caída de voltaje a través del resistor de salida RC. En conse-
cuencia, un transistor es capaz de amplificar una pequeña señal.
Por lo general, una pequeña señal de ca (llamada iB) se amplificará y, cuando se
agrega a la corriente y el voltaje de polarización de la base, hace que el voltaje y la co-
rriente en el colector varíen a la misma tasa, pero amplificada. Por ende, lo que es im-
portante para la amplificación es el cambio en la corriente del colector para un cambio
de entrada dado en la corriente de la base. Estas corrientes de señal de ca (5 cambios
en IC e IB) se denotan como iC e iB. La ganancia de corriente se define como la razón

bI = corriente ca de salida (colector) = iC .
corriente ca de entrada (base) iB

b1 por lo general es del orden de 10 a 100. De igual modo, la ganancia de voltaje es

bV = voltaje de ca de salida (collector) .
voltaje de ca de entrada (base)

Los transistores son los elementos básicos en los modernos amplificadores electrónicos
de todo tipo.

Un transistor pnp opera como uno npn, excepto que los huecos se mueven en lu-
gar de los electrones. El voltaje del colector es negativo, al igual que el voltaje de la ba-
se en operación normal.

En los circuitos digitales, incluidas las computadoras, donde “apagado” y “encendi-
do” (o cero y uno) constituyen el código binario, los transistores actúan como compuerta
o interruptor. Esto es, dejan pasar corriente (“encendido”) o la bloquean (“apagado”).

SECCIÓN 40–10 Transistores y circuitos integrados (chips) 1097

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Los transistores fueron un gran avance en la miniaturización de los circuitos elec-
trónicos. Aunque los transistores individuales son muy pequeños en comparación con
los tubos de vacío alguna vez utilizados, son enormes comparados con los circuitos in-
tegrados o chips (véase la fotografía al inicio de este capítulo). Pequeñas cantidades de
impurezas se pueden colocar en ubicaciones particulares dentro de un solo cristal de si-
licio. Éstos se ordenan para formar diodos, transistores y resistores (semiconductores
no dopados). También es posible formar capacitores e inductores, aunque con frecuen-
cia se conectan por separado. Un pequeño chip, de algunos milímetros por lado, contie-
ne millones de transistores y otros elementos de circuito. Los circuitos integrados son
el corazón de computadoras, televisores, calculadoras, cámaras e instrumentos electró-
nicos que controlan aviones, vehículos espaciales y automóviles. La “miniaturización”
producto de los circuitos integrados no sólo permite que circuitos extremadamente
complicados se coloquen en un pequeño espacio, sino que también permite un gran au-
mento en la rapidez de operación de las computadoras, entre otros dispositivos, pues
las distancias que recorren las señales electrónicas son muy pequeñas.

Resumen

La mecánica cuántica explica el enlace de átomos para formar mo- por arriba de EF están vacantes a T 5 0 K. A temperaturas normales
léculas. En un enlace covalente, las nubes de electrones de dos o (300 K), la distribución de estados ocupados sólo se altera ligeramente
más átomos se traslapan debido a interferencia constructiva entre
las ondas de electrones. Los núcleos positivos son atraídos a esta y está dada por la función de probabilidad de Fermi-Dirac
concentración de carga negativa entre ellos, lo que forma el enlace.
f(E) = 1. (40–14)
Un enlace iónico es un caso extremo de enlace covalente en el eAE -EFB͞kT + 1
que uno o más electrones de un átomo pasan mucho más tiempo al- En un sólido cristalino, los posibles estados de energía para los
rededor del otro átomo que alrededor del propio. Así, los átomos
actúan como iones con carga opuesta que se atraen mutuamente, lo electrones están ordenados en bandas. Dentro de cada banda los ni-
que forma el enlace.
veles están muy cercanos, pero entre las bandas puede haber brechas
Estos enlaces fuertes mantienen a las moléculas unidas, y tam-
bién mantienen a los átomos y las moléculas unidos en los sólidos. de energía prohibidas. Los buenos conductores se caracterizan por-
También son importantes los enlaces débiles (o enlaces de van der
Waals), que por lo general son atracciones dipolares entre moléculas. que la banda ocupada más alta (la banda de conducción) está par-

Cuando los átomos se combinan para formar moléculas, los ni- cialmente llena, de manera que hay muchos estados accesibles
veles energéticos de los electrones exteriores se alteran porque aho-
ra interactúan unos con otros. También se vuelven posibles niveles disponibles a los electrones para que se muevan y aceleren cuando
de energía adicionales, porque los átomos pueden vibrar unos con
respecto a otros, y la molécula como un todo puede girar. Los nive- se aplica un voltaje. En un buen aislante, la banda de energía ocupa-
les de energía para movimiento vibracional y rotacional están cuan-
tizados, y están muy juntos (por lo general, separados de 1021 eV a da más alta (la banda de valencia) está completamente llena y hay
1023 eV). Por lo tanto, cada nivel atómico de energía se convierte en
un conjunto de niveles muy cercanos que corresponden a los movi- una gran brecha de energía prohibida (de 5 a 10 eV) hacia la siguien-
mientos vibracional y rotacional. Las transiciones de un nivel a otro
aparecen como muchas líneas muy cercanas entre sí. Los espectros te banda más alta, la banda de conducción. A temperatura ambiente,
resultantes se llaman espectros de bandas.
la energía cinética molecular (energía térmica) disponible debido a
Los niveles de energía rotacional cuantizados están dados por
colisiones sólo es de aproximadamente 0.04 eV, así que casi ningún

electrón logra saltar desde la banda de valencia hacia la banda de

conducción. En un semiconductor, la brecha entre bandas de valen-

cia y de conducción es mucho menor, del orden de 1 eV, de manera

que algunos electrones logran hacer la transición desde la banda de

valencia en esencia llena, hacia la banda de conducción casi vacía.

En un semiconductor dopado, un pequeño porcentaje de áto-

mos de impurezas, con cinco o tres electrones de valencia, sustituyen

a algunos de los átomos de silicio normales con sus cuatro electrones

de valencia. Una impureza de cinco electrones produce un semicon-

U2 , ductor tipo n con electrones negativos como portadores de corriente.
2I
Erot = l(l + 1) l = 0, 1, 2, p , (40–2) Una impureza de tres electrones produce un semiconductor tipo p,

en el que huecos positivos conducen la corriente. El nivel energético

donde I es el momento de inercia de la molécula. de los átomos de impurezas se encuentra ligeramente abajo de la
Los niveles de energía para el movimiento vibracional están
banda de conducción en un semiconductor tipo n, y actúa como un
dados por
donador por el cual los electrones pasan fácilmente hacia la banda

1 ␯ = 0, 1, 2, p , (40–6) de conducción. El nivel energético de los átomos de impurezas en un
2
Evib = A␯ + B hf, semiconductor tipo p se encuentra ligeramente arriba de la banda de

donde f es la frecuencia natural clásica de vibración para la molécu- valencia y actúa como un nivel aceptor, pues los electrones prove-
la. Las transiciones entre niveles de energía están sujetas a las reglas
nientes de la banda de valencia fácilmente llegan a ella, dejando huecos
de selección Dl 5 61 y Dn 5 61.
Algunos sólidos se enlazan mediante enlaces covalentes y ióni- tras de sí que actúan como portadores de carga.

cos, tal como las moléculas. En los metales, la fuerza electrostática Un diodo semiconductor consiste en una unión pn y permite
entre electrones libres y iones positivos ayuda a formar el enlace
metálico. que la corriente fluya sólo en una dirección; se puede usar como

En la teoría de electrones libres en los metales, los electrones rectificador para cambiar ca a cd. Los transistores comunes consis-

ocupan los posibles estados de energía de acuerdo con el principio ten en tres secciones de semiconductores, ya sea como pnp o como

de exclusión. A T 5 0 K, todos los posibles estados se encuentran npn. Los transistores permiten amplificar señales eléctricas y en
llenos hasta un nivel máximo de energía llamado energía de Fermi, EF,
cuya magnitud es generalmente de unos cuantos eV. Todos los estados computadoras sirven como interruptores o compuertas para los 1 y

0. Un circuito integrado consiste en un pequeño cristal semiconduc-

tor o chip sobre el cual se pueden instalar muchos transistores, dio-

dos, resistores y otros elementos de circuito, colocando impurezas

con cuidado.

1098 CAPÍTULO 40 Moléculas y sólidos

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Preguntas 12. Discuta las diferencias entre un gas ideal y un gas de electrones
de Fermi.
1. ¿Qué tipo de enlace esperaría para a) la molécula N2, b) la mo-
lécula HCl, c) átomos Fe en un sólido? 13. Compare la resistencia de un diodo de unión pn conectado en
polarización directa con su resistencia cuando se conecta en po-
2. Describa cómo se podría formar la molécula CaCl2. larización invertida.
3. ¿La molécula H2 tiene un momento dipolar permanente? ¿Lo
14. ¿Qué aspectos de la figura 40-28 son peculiares al cobre, y cuá-
tiene O2? ¿Lo tiene H2O? Explique. les son válidos en general para otros metales?
4. Aunque la molécula H3 no es estable, el ion H31 sí lo es. Expli-
15. Explique cómo un transistor se puede usar como interruptor.
que esto mediante el principio de exclusión de Pauli.
16. ¿Cuál es la principal diferencia entre los semiconductores tipo
5. La energía de una molécula se puede dividir en cuatro catego- n y tipo p?
rías. ¿Cuáles son?
17. Dibuje un diagrama de circuito que indique cómo un transistor
6. ¿Usted esperaría que la molécula H21 fuera estable? Si es así, pnp puede operar como amplificador.
¿dónde pasaría más tiempo el electrón solo?
18. En un transistor, la unión base-emisor y la unión base-colector
7. Explique por qué el átomo de carbono (Z 5 6) generalmente en esencia son diodos. ¿Estas uniones tienen polarización inver-
forma cuatro enlaces con átomos hidrogenoides. tida o directa en la aplicación que se ilustra en la figura 40-43?

8. Explique, sobre la base de las bandas de energía, por qué el 19. Un transistor es capaz de amplificar una señal electrónica, lo cual
cristal de cloruro de sodio es un buen aislante. [Sugerencia: significa que puede aumentar la potencia de una señal de entra-
Considere los niveles de los iones Na1 y Cl2]. da. ¿De dónde obtiene la energía para aumentar la potencia?

9. Si los electrones de conducción tienen libertad de “deambular” 20. Un semiconductor de silicio se dopa con fósforo. ¿Estos átomos
en un metal, ¿por qué no abandonan el metal por completo? serán donadores o aceptores? ¿Qué tipo de semiconductor será
éste?
10. Explique por qué la resistividad de los metales aumenta cuando
la temperatura aumenta, mientras que la resistividad de los se- 21. ¿Los diodos y transistores cumplen la ley de Ohm? Explique.
miconductores puede disminuir con la temperatura creciente.
22. ¿Es posible utilizar un diodo para amplificar una señal? Expli-
11. La figura 40-44 ilustra un rectificador de onda completa “tipo que.
puente”. Explique cómo se rectifica la corriente y cómo fluye la
corriente durante cada 23. Si eC se invierte en la figura 40-43, ¿cómo se alteraría la ampli-
medio ciclo. ficación?

Entrada Salida

FIGURA 40–44
Pregunta 11.

Problemas

40–1 a 40–3 Enlaces moleculares energía de ionización del litio es 5.39 eV y se requieren 3.41 eV
para remover el electrón adicional de un ion F2. La longitud de
1. (I) Estime la energía de enlace de una molécula de KCl al enlace es 0.156 nm y la energía de enlace del LiF es 5.95 eV.
calcular la energía potencial electrostática cuando los iones K1 6. (II) Con frecuencia, las energías de enlace se miden experimen-
y Cl2 están a su separación estable de 0.28 nm. Suponga que ca- talmente en kcal por mol, y luego, a partir de este resultado, se
da uno tiene una carga de 1.0e de magnitud. calcula la energía de enlace en eV por molécula. ¿Cuál es el
factor de conversión al convertir de kcal por mol a eV por mo-
2. (II) La energía de enlace medida del KCl es 4.43 eV. A partir lécula? ¿Cuál es la energía de enlace del KCl (5 4.43 eV) en
del resultado del problema 1, estime la contribución a la ener- kcal por mol?
gía de enlace de las nubes de electrones a la distancia de equili-
brio r0 5 0.28 nm. 7. (III) a) Aplique un razonamiento similar al del texto para los
estados S 5 0 y S 5 1 en la formación de la molécula H2, para
3. (II) Estime la energía de enlace de la molécula H2, suponiendo demostrar por qué no se forma la molécula He2. b) Explique
que los dos núcleos H están separados 0.074 nm y que los dos elec- por qué se podría formar el ion molecular He21. (Los experi-
trones pasan el 33% de su tiempo a medio camino entre ellos. mentos indican que tiene una energía de enlace de 3.1 eV a r0
5 0.11 nm).
4. (II) La distancia de equilibrio r0 entre dos átomos en una mo-
lécula se llama longitud de enlace. Con las longitudes de enlace 40–4 Espectros moleculares
8. (I) Demuestre que la cantidad U 2͞I tiene unidades de energía.
de moléculas homogéneas (como H2, O2 y N2), es posible esti- 9. (I) ¿Cuál es la masa reducida de las moléculas a) KCl; b) O2;
mar la longitud de enlace de moléculas heterogéneas (como
c) HCl?
CO, CN y NO). Esto se hace al sumar la mitad de cada longitud de 10. (II) a) Calcule la “energía rotacional característica”, U 2͞2I,

enlace de las moléculas homogéneas para estimar la de las mo- para la molécula de O2 cuya longitud de enlace es 0.121 nm.
b) ¿Cuáles son la energía y longitud de onda de los fotones
léculas heterogéneas. Dadas las siguientes longitudes de enlace: emitidos en una transición de l 5 2 a l 5 1?

H2 (= 74 pm), N2 (= 145 pm), pOa2r(a=: H12N1, pm), C2 (= 154 pm), Problemas 1099
estime las longitudes de enlace CN y NO.

5. (II) Estime la energía asociada con la repulsión de los niveles

de electrones de una molécula de fluoruro de litio (LiF). La

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11. (II) La “energía rotacional característica”, U 2͞2I, para N2 es 25. (III) a) A partir de la ecuación 40-9, demuestre que la energía
2.48 3 1024 eV. Calcule la longitud de enlace del N2. de cohesión está dada por U0 = –Aae2͞4p⑀ 0 r0B(1 - 1͞m). De-
termine U0 para b) NaI (r0 5 0.33 nm) y c) MgO (r0 5 0.21
12. (II) Estime la longitud de onda más larga emitida por una mo- nm). Suponga que m 5 10. d) Si en vez de ello considera que
lécula de hidruro de litio (LiH) para un cambio en su estado ro- m 5 8, ¿cómo diferiría su respuesta? Suponga que a 5 1.75.
tacional, si su separación de equilibrio es 0.16 nm.

13. (II) La separación de equilibrio de los átomos H en la molécu- 40–6 Teoría de electrones libres en los metales
la H2 es 0.074 nm (figura 40-8). Calcule las energías y longitu-
des de onda de los fotones para las transiciones rotacionales 26. (II) Estime el número de posibles estados electrónicos en un
a) l 5 1 a l 5 0, b) l 5 2 a l 5 1, y c) l 5 3 a l 5 2. cubo de plata de 1.00 cm3, entre 0.985EF y EF (5 5.48 eV).

14. (II) Explique por qué no hay transición para DE 5 hf en la fi- 27. (II) Estime el número de estados entre 7.00 eV y 7.05 eV que es-
gura 40-21 (y la figura 40-22). Véase las ecuaciones 40-8. tán disponibles para electrones en un cubo de cobre de 1.0 cm3.

15. (II) La frecuencia de vibración fundamental para la molécula 28. (II) ¿Cuál, aproximadamente, es la razón de la densidad de las
CO es 6.42 3 1013 Hz. Determine a) la masa reducida y b) el moléculas en un gas ideal a 285 K y 1 atm (por ejemplo, O2) a la
valor efectivo de la constante de “rigidez” k. Compare con k pa- densidad de electrones libres (suponga uno por átomo) en un
ra la molécula H2. metal (cobre) también a 285 K?

16. (II) Li y Br forman una molécula para la cual la frecuencia vi- 29. (II) Calcule la energía que tiene el 85.0% de probabilidad de
bracional más baja es 1.7 3 1013 Hz. ¿Cuál es la constante de ri- ocupación para el cobre a a) T 5 295 K, b) T 5 750 K.
gidez efectiva k?
30. (II) Calcule la energía que tiene el 15.0% de probabilidad de
17. (II) Calcule la longitud de enlace para la molécula de NaCl, si ocupación para el cobre a a) T 5 295 K, b) T 5 950 K.
tres longitudes de onda sucesivas para transiciones rotacionales
son 23.1 mm, 11.6 mm y 7.71 mm. 31. (II) ¿Cuál es la probabilidad de ocupación para un electrón de
conducción en cobre a T 5 295 K para una energía E 5
18. (II) a) Con base en la curva de la figura 40-18, estime la cons- 1.015EF?

tante 1 de rigidez k para la molécula H2. (Recuerde que 32. (II) Los átomos en metal cinc (r 5 7.1 3 103 kgym3) tienen, ca-
U= 2 kx2.) b) Luego estime la longitud de onda fundamental da uno, dos electrones libres. Calcule a) la densidad de electro-
nes de conducción, b) su energía de Fermi y c) su rapidez de
para transiciones vibracionales, a partir de la fórmula clásica Fermi.
1
(capítulo 14), pero use sólo 2 de la masa de un átomo H (por-

que ambos átomos de H se mueven).

19. (III) Imagine los dos átomos de una molécula diatómica como 33. (II) Calcule la energía de Fermi y la rapidez de Fermi para el
sodio, que tiene una densidad de 0.97 3 103 kgym3 y tiene un
si estuvieran conectados mediante un resorte, figura 40-45. De- electrón de conducción por átomo.

muestre que la frecuencia de vibración clásica está dada por la

ecuación 40-5. [Sugerencia: Sean x1 y x2 los desplazamientos de 34. (II) La energía de Fermi del aluminio es 11.63 eV. a) Calcule la
cada masa desde posiciones de equilibrio iniciales; enton-
ces m1 d2x1͞dt2 = –kx, y m2 d2x2͞dt2 = –kx, donde x 5 x1 densidad de electrones libres con la ecuación 40-12, y b) estime
1 x2. Encuentre otra relación entre x1 y x2, suponiendo que el
centro de masa del siste- la valencia del aluminio usando este modelo y la densidad (2.70
3 103 kgym3) y masa atómica (27.0) conocidas del aluminio.

ma permanece en reposo, 35. (II) Demuestre que la energía promedio de los electrones de
y luego demuestre que 3
m d2x͞dt2 = –kx]. x1 x2 conducción en un metal a T 5 0 K es E = 5 E F (ecuación

40-13) al calcular

FIGURA 40–45 m1 m2 Ύ E no(E) dE
Problema 19.
E= Ύ no(E) dE .

40–5 Enlace en sólidos 36. (II) Los neutrones en una estrella de neutrones (capítulo 44) se
20. (I) Estime la energía de cohesión para NaCl considerando que pueden tratar como un gas de Fermi con neutrones en lugar de
los electrones en el modelo de un gas de electrones. Determine
a 5 1.75, m 5 8 y r0 5 0.28 nm. la energía de Fermi para una estrella de neutrones de 12 km de
21. (II) La sal común, NaCl, tiene una densidad de 2.165 gycm3. El radio y 2.5 veces la masa del Sol. Suponga que la estrella está
hecha por completo de neutrones y es de densidad uniforme.
peso molecular de NaCl es 58.44. Estime la distancia entre io-
nes Na y Cl que son vecinos más cercanos. [Sugerencia: Se pue- 37. (II) Para un pozo de potencial unidimensional de ancho l, co-
de considerar que cada ion tiene asociado un “cubo” o “celda” mience con la ecuación 38-13 y demuestre que el número de es-
de lado s (la incógnita)]. tados por intervalo de unidad de energía para un gas de
electrones está dado por
22. (II) Repita el problema anterior para KCl, cuya densidad es
1.99 gycm3. gl(E) = 8ml2 .
B h2E
23. (II) La separación entre iones Na y Cl “vecinos más cercanos”
en un cristal de NaCl es 0.24 nm. ¿Cuál es la separación entre Recuerde que puede haber dos electrones (espín hacia arriba
dos iones Na que son vecinos más cercanos? y espín hacia abajo) para cada valor de n. [Sugerencia: Escri-
ba el número cuántico n en términos de E. Entonces gl(E) 5
24. (III) Para una larga cadena unidimensional de iones positivos y 2 dnydE donde dn es el número de niveles de energía entre E y
negativos alternados, demuestre que la constante de Madelung E 1 dE.]
sería a 5 2 ln 2. [Sugerencia: Use una serie de expansión para
ln (1 1 x)].

1100 CAPÍTULO 40 Moléculas y sólidos

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38. (II) Demuestre que la probabilidad para que el estado a la 40–8 Semiconductores y dopado
1
energía de Fermi esté ocupado es exactamente 2 , independiente 47. (II) Suponga que un semiconductor de silicio se dopa con fósfo-
ro, de manera que un átomo de silicio en 1.2 3 106 se sustituye
de la temperatura. con un átomo de fósforo. Suponiendo que el electrón “adicio-
nal” en cada átomo de fósforo se dona a la banda de conduc-
39. (II) Un modelo muy sencillo de un metal “unidimensional” ción, ¿en qué factor aumenta la densidad de los electrones de
consiste en N electrones confinados a una caja rígida de ancho conducción? La densidad del silicio es 2330 kgym3 y la densidad
l. Desprecie la interacción de Coulomb entre los electrones. de los electrones de conducción en silicio puro es de aproxima-
a) Calcule la energía de Fermi para este metal unidimensional damente 1016 m23 a temperatura ambiente.
(EF 5 la energía del electrón más energético a T 5 0 K), to-
mando en cuenta el principio de exclusión de Pauli. Por simpli- 40–9 Diodos
cidad, suponga que N es par. b) ¿Cuál es la menor cantidad de
energía, DE, que puede absorber este metal unidimensional? c) 48. (I) ¿A qué longitud de onda irradiará un LED si se elabora con
Encuentre el límite de DEyEF para N grande. ¿Qué dice este un material cuya brecha de energía prohibida es Eg 5 1.6 eV?
resultado acerca de la eficiencia de conducción de los metales?
49. (I) Si un LED emite luz con longitud de onda l 5 680 nm,
40. (II) a) Para cobre a temperatura ambiente (T 5 293 K), calcule ¿cuál es la brecha de energía (en eV) entre bandas de valencia
el factor de Fermi, ecuación 40-14, para un electrón con energía y de conducción?
de 0.12 eV sobre la energía de Fermi. Esto representa la proba-
bilidad de que ese estado esté ocupado. ¿Es razonable? b) ¿Cuál 50. (II) Un diodo de silicio, cuyas características de corriente y vol-
es la probabilidad de que esté ocupado un estado 0.12 eV por taje se presentan en la figura 40-38, se conecta en serie con una
debajo de la energía de Fermi? c) ¿Cuál es la probabilidad de batería y un resistor de 860 V. ¿Qué voltaje de batería se nece-
que el estado en el inciso b) esté desocupado? sita para producir una corriente de 12 mA?

41. (III) Proceda del modo siguiente para derivar la densidad de 51. (II) Suponga que el diodo de la figura 40-38 se conecta en serie
estados, g(E), el número de estados por unidad de volumen por con un resistor de 150 V y una batería de 2.0 V. ¿Qué corriente
unidad de intervalo de energía, ecuación 40-10. Sea el metal un fluye en el circuito? [Sugerencia: Dibuje una línea en la figura
cubo de lado l. Extienda la discusión de la sección 38-8 para 40-38 que represente la corriente en el resistor como función
un pozo infinito a tres dimensiones, dados los niveles de energía del voltaje a través del diodo; la intersección de esta línea con la
curva característica dará la respuesta].
E = h2 An21 + n22 + n23B.
8ml2 52. (II) Bosqueje la resistencia como función de la corriente, si V .
0, para el diodo que se muestra en la figura 40-38.
(Explique el significado de n1, n2, n3.) Cada conjunto de valores
para los números cuánticos n1, n2, n3 corresponde a un estado. 53. (II) Es necesario rectificar un voltaje de ca de 120 V rms. Esti-
Imagine un espacio donde n1, n2, n3 son los ejes, y cada estado me de manera aproximada la corriente promedio en el resistor
se representa mediante un punto sobre una red cúbica en este de salida R (35 kV) para a) un rectificador de media onda (figu-
ra 40-39) y b) un rectificador de onda completa (figura 40-40)
espacio, cada uno separado por 1 unidad a lo largo de un eje. sin capacitor.

Considere el octante n1 . 0, n2 . 0, n3 . 0. Demuestre que el 54. (II) Un láser de diodo semiconductor emite luz de 1.3 mm.
número de estados N dentro de un radio R = An12 + n22 1 Suponiendo que la luz proviene de electrones y huecos en re-
+ n32 B 2 combinación, ¿cuál es la brecha de banda prohibida en este ma-
terial láser?
es 2 A 1 B A 4 pR 3 B . Luego, para obtener la ecuación 40-10, se esta-
8 3 55. (II) Un diodo de silicio pasa corriente significativa sólo si el
blece que g(E) = (1͞V)(dN͞dE), donde V 5 l3 es el volu- voltaje de polarización directa supera aproximadamente 0.6 V.
Realice una estimación de la corriente promedio en el resistor
men del metal. de salida R de a) un rectificador de media onda (figura 40-39) y
b) un rectificador de onda completa (figura 40-40) sin un capa-
40–7 Teoría de bandas de sólidos citor. Suponga que R 5 120 V en cada caso y que el voltaje de
ca es 9.0 V rms en cada caso.
42. (I) Luz con frecuencia ligeramente creciente incide sobre un se-
miconductor y éste comienza a conducir cuando la longitud 56. (III) Un voltaje 120 V rms y 60 Hz se rectificará con un rectifi-
de onda de la luz es 580 nm; estime el tamaño de la brecha de cador de onda completa como en la figura 40-40, donde R 5 28
energía prohibida, Eg. kV y C 5 37 mF. a) Realice una estimación de la corriente pro-
medio. b) ¿Qué ocurre si C 5 0.10 mF? [Sugerencia: Consulte la
43. (I) Calcule el fotón con longitud de onda más larga que pueda sección 26-5].
hacer que un electrón en silicio (Eg 5 1.14 eV) salte desde la
banda de valencia hasta la banda de conducción. 40–10 Transistores

44. (II) La brecha de energía entre bandas de valencia y de con- 57. (II) Si la ganancia de corriente del amplificador transistor en la
ducción en germanio es 0.72 eV. ¿Qué rango de longitudes de figura 40-43 es b 5 iCyiB 5 95, ¿qué valor debe tener RC si una
onda puede tener un fotón para excitar un electrón desde la corriente base de ca de 1.0 mA producirá un voltaje de salida de
parte superior de la banda de valencia hacia la banda de con- ca de 0.35 V?
ducción?
58. (II) Suponga que la ganancia de corriente del transistor en la fi-
45. (II) Se vio que hay 2N estados electrónicos posibles en la banda gura 40-43 es b 5 iCyiB 5 85. Si RC 5 4.3 kV, calcule el voltaje
3s de Na, donde N es el número total de átomos. ¿Cuántos esta- de salida de ca para una corriente de entrada ca de 2.0 mA.
dos electrónicos posibles hay en a) la banda 2s, b) la banda 2p, y
c) la banda 3p? d) Establezca una fórmula general para el núme- 59. (II) Un amplificador tiene una ganancia de voltaje de 65 y una
ro total de estados posibles en cualquier banda electrónica dada. resistencia de carga (salida) de 25 kV. ¿Cuál es la corriente de
salida pico a través del resistor de carga si el voltaje de entrada
46. (II) La brecha de energía prohibida Eg en germanio es 0.72 eV. es una señal de ca con un pico de 0.080 V?
Cuando se usa como detector de fotones, ¿aproximadamen-
te cuántos electrones pueden saltar desde la banda de valencia
hasta la banda de conducción, mediante el paso de un fotón de
730 keV que pierde toda su energía de esta forma?

Problemas 1101

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60. (II) Un transistor, cuya ganancia de corriente b 5 iCyiB 5 75, se 61. (II) A partir de la figura 40-43, escriba una ecuación para la re-
conecta como en la figura 40-43, con RB 5 3.8 kV y RC 5 7.8 lación entre la corriente de la base (IB), la corriente del colector
kV. Calcule a) la ganancia de voltaje y b) la amplificación de (IC) y la corriente del emisor (IE, no marcada en la figura 40-43).
potencia Suponga que iB 5 iC 5 0.

Problemas generales

62. Con base en el principio de incertidumbre, estime la energía de 72. ¿Es necesario considerar efectos cuánticos para objetos cotidia-
nos en rotación? Estime las diferencias entre niveles energéti-
enlace de la molécula H2 calculando la diferencia en energía ci- cos rotacionales para un bastón que gira, comparado con la
nética de los electrones cuando están en átomos separados y energía del bastón. Suponga que el bastón consiste en una ba-
rra larga uniforme de 32 cm, con una masa de 260 g y dos pe-
cuando están en la molécula. Considere que Dx para los electro- queñas masas terminales, cada una de 380 g de masa, y que gira
a 1.6 revys en torno al centro de la barra.
nes en los átomos separados como el radio de la primera órbita
73. Considere un sólido monoatómico con una red cúbica enlazada
de Bohr, 0.053 nm, y para la molécula considere Dx como la se- débilmente, con cada átomo conectado a seis vecinos, y donde
cada enlace tiene una energía de enlace de 3.9 3 1023 eV.
paración de los núcleos, 0.074 nm. [Sugerencia: Sea Dp L Dpx]. Cuando este sólido se funde, su calor latente de fusión se ocupa
directamente en romper los enlaces entre los átomos. Estime el
63. La energía cinética traslacional promedio de un átomo o una calor latente de fusión para este sólido, en Jymol. [Sugerencia:
3 Demuestre que, en una red cúbica simple (figura 40-46), existen
molécula es de aproximadamente K = 2 kT (véase el capítulo tres veces tantos enlaces como átomos, cuando el número de
átomos es grande].
18), donde k 5 1.38 3 10223 JyK es la constante de Boltzmann.

¿A qué temperatura T K será del orden de la energía de enlace

(y, por lo tanto, el enlace se rompe fácilmente mediante movi-

miento térmico) para a) un enlace covalente (por ejemplo, H2)
con 4.0 eV de energía de enlace y b) un puente de hidrógeno

“débil” con 0.12 eV de energía de enlace?

64. En la sal iónica KF, la distancia de separación entre iones es de
aproximadamente de 0.27 nm. a) Estime la energía potencial
electrostática entre los iones, suponiendo que son cargas puntua-
les (magnitud 1e). b) Cuando el F “atrapa” un electrón, libera
3.41 eV de energía, mientras que se requieren 4.34 eV para ioni-
zar K. Encuentre la energía de enlace de KF en relación con los
átomos de K y F libres, y desprecie la energía de repulsión.

65. Una molécula diatómica tiene una energía de activación de 1.4
eV. Cuando la molécula se disocia, se liberan 1.6 eV de energía.
Dibuje una curva de energía potencial para esta molécula.

66. Una posible forma para la energía potencial (U) de una mo-
lécula diatómica (figura 40-8) se llama potencial de Morse:

U = U0 C 1 - e–a Ar -r0B D 2.

a) Demuestre que r0 representa la distancia de equilibrio y U0 FIGURA 40–46
la energía de disociación. b) Grafique U desde r 5 0 hasta r 5 Problema 73.
4r0, suponiendo que a 5 18 nm21, U0 5 4.6 eV y r0 5 0.13 nm.
74. La brecha de energía entre bandas de valencia y conducción en
67. La frecuencia de vibración fundamental para la molécula HCl el sulfuro de cinc es 3.6 eV. ¿Qué rango de longitudes de onda
es 8.66 3 1013 Hz. Determine a) la masa reducida y b) el valor puede tener un fotón para excitar un electrón desde la parte su-
efectivo de la constante de rigidez k. Compare con la k para la perior de la banda de valencia hacia la banda de conducción?
molécula H2.
75. Cuando radiación EM incide sobre diamante, se descubre que
68. Para H2, estime cuántos estados rotacionales hay entre estados luz con longitudes de onda más cortas que 226 nm hará que el
vibracionales. diamante sea conductor. ¿Cuál es la brecha de energía entre la
banda de valencia y la banda de conducción para el diamante?
69. Explique, con el factor de Boltzmann (ecuación 39-16), por qué
las alturas de los picos en la figura 40-22 son diferentes entre sí. 76. rLaaatelamcpuearlaltaureanderegFíaertmérimTicFasekTde(fsiinnelocosm32 )oeasqiugeulalal temperatu-
Explique también por qué las líneas no están igualmente sepa- a la energía
radas. [Sugerencia: ¿El momento de inercia necesariamente
permanece constante?] de Fermi: kTF 5 EF. a) Determine la temperatura de Fermi pa-
ra el cobre. b) Demuestre que, para T W TF, el factor de Fermi
70. El espectro de absorción rotacional de una molécula muestra (ecuación 40-14) tiende al factor de Boltzmann. (Nota: Este úl-
picos separados aproximadamente 8.4 3 1011 Hz. Determine el
momento de inercia de esta molécula. timo resultado no es muy útil para comprender los conductores.

71. Un control remoto de televisión emite luz IR. Si el detector en ¿Por qué?)
el televisor no debe reaccionar a la luz visible, ¿podría utilizar-
se silicio como “ventana”, con su brecha de energía prohibida 77. Estime el número de estados, desde 4.0 eV hasta 6.2 eV, dispo-
Eg 5 1.14 eV? ¿Cuál es la luz con longitud de onda más corta nibles a los electrones en un cubo de hierro de 10 cm.
que puede incidir sobre el silicio sin hacer que los electrones
salten desde la banda de valencia hacia la banda de conduc-
ción?

1102 CAPÍTULO 40 Moléculas y sólidos

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78. La brecha de banda del silicio es 1.14 eV. a) ¿Para qué rango de 85. En la figura 40-48 se muestra un regulador de voltaje de diodo
longitudes de onda el silicio será transparente? (Véase el ejem-
plo 40-14.) ¿En qué región del espectro electromagnético co- Zener. Suponga que R 5 2.80 kV y que el diodo descompone
mienza este rango transparente? b) Si el vidrio de las ventanas
es transparente para todas las longitudes de onda visibles, ¿cuál es un voltaje inverso de 130 V. (La corriente aumenta rápidamen-
la mínima brecha de banda posible para el vidrio? (Suponga
que l 5 450 nm a 750 nm.) [Sugerencia: Considere que si el fo- te en este punto, como se muestra en el lado izquierdo de la fi-
tón tiene menos energía que la brecha de banda prohibida, el
fotón pasará a través del sólido sin que éste lo absorba]. gura 40-38, a un voltaje de 212 V en ese diagrama.) El diodo se

79. Para cierto semiconductor, la radiación con longitud de onda clasifica a una corriente máxima de 120 mA. A) Si Rcarga 5 18.0
más larga que se puede absorber es 1.92 mm. ¿Cuál es la brecha kV, ¿en qué rango de voltajes de suministro el circuito manten-
de energía prohibida en este semiconductor?
drá el voltaje de salida a 130 V? b) Si el voltaje de suministro es
80. Suponga que los electrones de conducción en un semiconductor
se comportan como un gas ideal. (Esto no es cierto para elec- de 245 V, ¿en qué R
trones de conducción en un metal). a) Si se considera que la rango de resisten-
masa m 5 9 3 10231 kg y la temperatura T 5 300 K, determine
la longitud de onda de De Broglie de los electrones de conduc- cia de carga se re-
ción de un semiconductor. b) Si la separación entre átomos en gulará el voltaje? +
la red atómica de un semiconductor está en el orden de 0.3 nm,
¿esperaría usted que electrones de conducción a temperatura Vsuministro Vsalida Rcarga
ambiente viajaran en líneas rectas o se difractaran al viajar a
través de esta red? Explique. FIGURA 40–48 -
Problema 85.
81. La mayor parte de la radiación del Sol tiene longitudes de onda
más cortas que 1100 nm. Para que una celda solar absorba todo 86. Un rectificador de onda completa (figura 40-40) usa dos diodos
esto, ¿qué brecha de energía prohibida debe tener el material? para rectificar un voltaje de ca de 95 V rms y 60 Hz. Si R 5 7.8
kV y C 5 36 mF, ¿cuál será la variación porcentual aproximada
82. LED de color verde y azul estuvieron disponibles muchos años en el voltaje de salida? La variación en el voltaje de salida (fi-
después de que se desarrollara por primera ocasión el LED ro- gura 40-40c) se llama voltaje de rizado. [Sugerencia: Consulte la
jo. ¿Aproximadamente qué brechas de energía prohibida espe- sección 26-5 y suponga que la descarga del capacitor es aproxi-
raría encontrar en LED verde (525 nm) y azul (465 nm)? madamente lineal].

83. Para un átomo donador de arsénico en un semiconductor de si- *Problemas numéricos/por computadora
licio dopado, suponga que el electrón “adicional” se mueve en
una órbita de Bohr alrededor del ion arsénico. Para este elec- * 87. (II) Escriba un programa que determine la función de probabi-
trón en el estado fundamental, tome en cuenta la constante die- lidad de Fermi-Dirac (ecuación 40-14). Realice gráficas separa-
léctrica K 5 12 de la red de silicio (que representa la debilidad das de esta función contra EyEF para cobre a a) T 5 500 K,
de la fuerza de Coulomb debida a todos los otros átomos o io- b) T 5 1000 K, c) T 5 5000 K, y d) T 5 10,000 K. Para el cobre,
nes en la red) y estime a) la energía de enlace y b) el radio de la EF 5 7.0 eV. Interprete cada gráfica en concordancia.
órbita para este electrón adicional. [Sugerencia: Sustituya P 5 KP0
en la ley de Coulomb; véase la sección 24-5]. * 88. (III) En la figura 40-49 se presenta una imagen sencilla de una
molécula H2 que comparte dos electrones. Suponga que los elec-
84. Una tira de silicio de 1.8 cm de ancho y 1.0 mm de grosor se trones se ubican simétricamente entre los dos protones, que están
introduce en un campo magnético de 1.3 T de intensidad, per- separados por r0 5 0.074 nm. A) Cuando los electrones se sepa-
pendicular a la tira (figura 40-47). Cuando una corriente de 0.28 ran una distancia d, escriba la energía potencial total U en térmi-
mA corre a través de la tira, hay un voltaje de efecto Hall resul- nos de d y r0. B) Elabore una gráfica de U en eV como función
tante de 18 mV a través de la tira (sección 27-8). ¿Cuántos elec- de d en nm y establezca en su gráfica dónde tiene U un mínimo,
trones por átomo de silicio hay en la banda de conducción? La y para qué rango de valores d, U es negativa. C) Determine ana-
densidad del silicio es 2330 kgym3. líticamente el valor de d que da la U mínima (mayor estabilidad).

BB Ϫe

I ϩe d ϩe
núcleo núcleo
FIGURA 40–47 Problema 84. r0

Ϫe

FIGURA 40–49 Problema 88.

* 89. (III) Estime la corriente que se produce por cm2 de área en un
semiconductor de silicio plano, que se coloca en forma perpen-
dicular a la luz solar. Suponga que la luz solar tiene una intensi-
dad de 1000 Wym2 y que sólo los fotones que tengan más
energía que la brecha de banda prohibida pueden crear un par
electrón-hueco en el semiconductor. Suponga que el Sol es un
emisor de cuerpo negro (a 6000 K), y encuentre la fracción de
fotones que tienen energía por arriba de la brecha de banda
prohibida (1.14 eV). Consulte la sección 37-1 e integre numéri-
camente la fórmula de Planck.

Respuestas a los ejercicios

A: 0, 5.00 * 10–4 eV, 1.50 * 10–3 eV. C: a).
B: e). D: c).

Problemas generales 1103

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Esta arqueóloga desentierra los restos
de una tortuga marina dentro de un
antiguo círculo de piedra hecho por el
hombre. El fechamiento con carbono
de los restos puede decirle cuándo ha-
bitaron los humanos ese sitio.

En este capítulo comienza el estu-
dio de la física nuclear. Se estudiarán
las propiedades de los núcleos, las di-
versas formas de radiactividad y cómo
se utiliza el decaimiento radiactivo en
varios campos para determinar la edad
de objetos antiguos, desde huesos y ár-
boles hasta rocas y otras sustancias mi-
nerales, para así obtener información
acerca de la historia de la Tierra.

ÍTULO

41PCA Física nuclear
y radiactividad
CONTENIDO
PREGUNTA DE INICIO DE CAPÍTULO: ¡Adivine ahora!
41–1 Estructura y propiedades del Si la mitad de una muestra de 80 mg de 6270Co decae en 5.3 años, ¿cuánto 2607Co quedará
núcleo en 15.9 años?

41–2 Energía de enlace y fuerzas a) 10 mg.
nucleares b) 20 mg.
c) 30 mg.
41–3 Radiactividad d) 40 mg.
41–4 Decaimiento alfa e) 0 mg.
41–5 Decaimiento beta
41–6 Decaimiento gamma E n la primera parte del siglo XX, los experimentos de Rutherford condujeron a
41–7 Conservación del número la idea de que, en el centro de un átomo, había un pequeño núcleo masivo. Al
mismo tiempo que la teoría cuántica se desarrollaba y los científicos intenta-
de nucleones y otras leyes de ban comprender la estructura del átomo y sus electrones, también comenzaron
conservación las investigaciones del núcleo mismo. En este capítulo y el siguiente, se dará un breve
41–8 Vida media y tasa de vistazo a la física nuclear.
decaimiento
41–9 Series de decaimiento www.FreeLibros.me
41–10 Fechamiento radiactivo
41–11 Detección de radiación

1104

41–1 Estructura y propiedades SECCIÓN 41–1 1105

del núcleo

Una importante pregunta para los físicos era si el núcleo tenía una estructura, y cuál
podría ser ésta. Ahora se sabe que el núcleo es una entidad complicada que aún no se
comprende por completo. Hacia principios de la década de 1930 se desarrolló un mo-
delo del núcleo que todavía es útil. De acuerdo con ese modelo, un núcleo se considera
como un agregado de dos tipos de partículas: protones y neutrones. (Estas “partículas”
también tienen propiedades ondulatorias, pero para facilitar su visualización y su men-
ción, con frecuencia se les llama simplemente “partículas”.) Un protón es el núcleo del
átomo más simple, el hidrógeno. Tiene una carga positiva (5 1e 5 11.60 3 10219 C, la
misma magnitud que para el electrón) y una masa

mp = 1.67262 * 10–27 kg.
En 1932 el físico inglés James Chadwick (1891-1974) determinó la existencia del neu-
trón, que es eléctricamente neutro (q 5 0), como indica su nombre. Su masa es apenas
ligeramente mayor que la del protón:

mn = 1.67493 * 10–27 kg.
Estos dos constituyentes de un núcleo, neutrones y protones, se conocen de manera co-
lectiva como nucleones.

Aunque el núcleo de hidrógeno consiste en un solo protón, los núcleos de todos
los demás elementos constan tanto de neutrones como de protones. Los diferentes nú-
cleos con frecuencia se conocen como núclidos. El número de protones en un núcleo (o
núclido) se llama número atómico y se designa mediante el símbolo Z. El número total
de nucleones, neutrones más protones, se designa mediante el símbolo A y se llama nú-
mero de masa atómica, o en ocasiones simplemente número de masa. Se utiliza este
nombre porque la masa de un núcleo es muy cercano a A veces la masa de un nucleón.
Así, un núclido con 7 protones y 8 neutrones tiene Z 5 7 y A 5 15. El número de neu-
trones N es N 5 A 2 Z.

Para especificar un núclido dado, sólo es necesario indicar A y Z. Generalmente se
usa un símbolo especial que tiene la forma

ZAX,
donde X es el símbolo químico para el elemento (véase el Apéndice F y la tabla perió-
dica en la tercera de forros), A es el número de masa atómica y Z es el número atómi-
co. Por ejemplo, 175N significa un núcleo de nitrógeno que contiene 7 protones y 8
neutrones para dar un total de 15 nucleones. En un átomo neutro, el número de elec-
trones que giran en torno al núcleo es igual al número atómico Z (pues la carga en un
electrón tiene la misma magnitud pero signo opuesto que la de un protón). Las propie-
dades fundamentales de un átomo y la forma como interactúa con otros átomos están
determinadas en gran medida por el número de electrones en el átomo neutro. En con-
secuencia, Z determina de qué tipo de átomo se trata: carbono, oxígeno, oro o cual-
quier otro. Es redundante especificar tanto el símbolo de un núcleo como su número
atómico Z, como se describió líneas arriba. Si el núcleo es nitrógeno, por ejemplo, in-
mediatamente se sabe que Z 5 7. Por lo tanto, en ocasiones se elimina el subíndice Z y
entonces 175N se escribe simplemente como 15N y se lee “nitrógeno quince”.

Para un tipo particular de átomo (por ejemplo, carbono), los núcleos contienen di-
ferentes números de neutrones, aunque todos tienen el mismo número de protones. Por
ejemplo, los núcleos de carbono siempre tienen 6 protones, pero pueden tener 5, 6, 7, 8,
9 o 10 neutrones. Los núcleos que contienen el mismo número de protones pero dife-
rente número de neutrones se llaman isótopos. Así, 161C, 162C, 163C, 164C, 165C y 166C son to-
dos isótopos del carbono. Los isótopos de un elemento dado no son todos igualmente
comunes. Por ejemplo, el 98.9% del carbono que existe en la naturaleza (sobre la Tie-
rra) es el isótopo 162C, y aproximadamente el 1.1% es 163C. Estos porcentajes se conocen
como abundancias naturales.† Incluso el hidrógeno tiene isótopos: el 99.99% del hidró-
geno natural es 11H, un protón simple, como el núcleo; también existe 12H, llamado deu-
terio, y 13H, tritio, que además del protón contienen 1 o 2 neutrones, respectivamente.

†El valor de masa para cada elemento que se menciona en la tabla periódica (en la tercera de forros) es
un promedio ponderado de acuerdo con las abundancias naturales de sus isótopos.

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Muchos isótopos que no se presentan de manera natural se pueden producir en el

laboratorio mediante reacciones nucleares (esto se tratará más adelante). De hecho, to-

dos los elementos más allá del uranio (Z . 92) no se presentan naturalmente en la Tie-

rra y sólo se producen de manera artificial (esto es, en el laboratorio), como muchos

núclidos con Z # 92.

El tamaño aproximado de los núcleos lo determinó originalmente Rutherford a

partir de la dispersión de partículas cargadas mediante delgadas hojas metálicas (figu-

ra 37-17). No se puede hablar acerca de un tamaño definido para los núcleos debido a

la dualidad onda-partícula: su extensión espacial es indefinida. No obstante, es posible

medir un “tamaño” aproximado al dispersar electrones de alta rapidez de los núcleos.

Se encontró que los núcleos tienen una forma más o menos esférica, con un radio que

aumenta con A de acuerdo con la fórmula aproximada

r L A1.2 * 10–15 m B A 1 B . (41–1)

A3

Puesto que el volumen de una esfera es V = 4 pr3, se ve que el volumen de un núcleo
3
es aproximadamente proporcional al número de nucleones, V r A. Esto es lo que se es-

peraría si los nucleones fueran como bolas de billar impenetrables: si se duplica el nú-

mero de bolas, se duplica el volumen total. Por lo tanto, todos los núcleos tienen casi la

misma densidad y ésta es enorme (véase el ejemplo 41-1).
La abreviatura métrica para 10215 m es el fermi (en honor a Enrico Fermi) o el
femtómetro, fm (tabla 1-4 o en la segunda de forros de este libro). Por consiguiente, 1.2
3 10215 m 5 1.2 fm o 1.2 fermis.
1
Puesto que los radios nucleares varían como A3, los núcleos más grandes, como el
uranio, con A 5 238, tienen un radio de sólo aproximadamente 13 238 L 6 veces el del
más pequeño, hidrógeno (A 5 1).

EJEMPLO 41–1 ESTIMACIÓN Densidad nuclear y atómica. Compare la den-
sidad de la materia nuclear con la densidad de los sólidos normales.

PLANTEAMIENTO La densidad de los líquidos y sólidos normales está en el orden
de 103 a 104 kgym3 (véase la tabla 13-1), y puesto que los átomos están cercanamente
empacados, los átomos también tienen aproximadamente esta densidad. Por lo tanto,
se compara la densidad (masa por volumen) de un núcleo con la de su átomo como
un todo.

SOLUCIÓN La masa de un protón es mayor que la masa de un electrón por un factor

1.7 * 10–27 kg L 2 * 103.
9.1 * 10–31 kg

De esta forma, más del 99.9% de la masa de un átomo está en el núcleo, y para la es-
timación se puede decir que la masa del átomo es igual a la masa del núcleo, mnúcleoy
mátomo 5 1. Los átomos tienen un radio aproximado de 10210 m (capítulo 37) y los nú-
cleos están en el orden de 10215 m (ecuación 41-1). Por lo tanto, la razón entre la den-
sidad nuclear y la densidad atómica es aproximadamente

r3núcleo = A mn3 úcleo͞Vn3 úcleo B = ¢ m3núcleo ≤ 4 pr3átomo L (1) A10–10B3 = 1015.
rátomo Amátomo͞VátomoB mátomo 3 A10–15B3

4 pr3núcleo
3

El núcleo es 1015 veces más denso que la materia ordinaria.

CUIDADO Las masas de los núcleos se pueden determinar a partir del radio de curvatura de
núcleos con movimiento rápido (como iones) en un campo magnético conocido me-
Las masas son para átomo diante un espectrómetro de masas, como se estudió en la sección 27-9. De hecho, la
neutro (núcleo más existencia de diferentes isótopos del mismo elemento (diferente número de neutrones)
electrones) se descubrió con este dispositivo. Las masas nucleares se especifican en unidades de
masa atómica (u). En esta escala, a un átomo 162C neutro se le asigna el valor exacto
de 12.000000 u. Entonces, un neutrón tiene una masa medida de 1.008665 u, un protón
1.007276 u, y un átomo de hidrógeno neutro 11H (protón más electrón) 1.007825 u. Las
masas de muchos núclidos se especifican en el Apéndice F. Se debe notar que las ma-
sas en esta tabla, como es costumbre, son para el átomo neutro (incluyendo electrones)
y no para un núcleo solo.

1106 CAPÍTULO 41 Física nuclear y radiactividad

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Con frecuencia, las masas se especifican en la unidad de energía electrón volt. Es-
to es posible porque masa y energía se relacionan, y la relación precisa está dada por la
ecuación de Einstein E 5 mc2 (capítulo 36). Puesto que la masa de un protón es
1.67262 * 10–27 kg, o 1.007276 u, entonces

1.0000 u = A1.0000 u B a 1.67262 * 10–27 kg b = 1.66054 * 10–27 kg;
1.007276 u

esto es equivalente a una energía (véase tabla en la segunda de forros) en MeV (5 106
eV) de

E = mc2 = A1.66054 * 10–27 kgB A2.9979 * 108 m͞sB2 = 931.5 MeV.
A1.6022 * 10–19 J͞eVB

Por lo tanto,
1 u = 1.6605 * 10–27 kg = 931.5 MeV͞c2.

En la tabla 41-1 se presentan las masas de algunas de las partículas básicas.

TABLA 41–1 Masas en kilogramos, unidades de masa, y MeV/c2

Objeto kg Masa MeV͞c2
u
0.51100
Electrón 9.1094 * 10–31 0.00054858 938.27
1.67262 * 10–27 1.007276 938.78
Protón 1.67353 * 10–27 1.007825 939.57
Átomo 11H 1.67493 * 10–27 1.008665
Neutrón

Tal como un electrón tiene números cuánticos de cantidad de movimiento angular
orbital y de espín (momento angular intrínseco), también los tienen los núcleos y sus
constituyentes, el protón y el neutrón. Protón y neutrón son partículas de espín 21, como el
electrón. Un núcleo, hecho de protones y neutrones, tiene un número cuántico de espín
nuclear I que es la suma vectorial de los espines de todos sus nucleones (más cualquier
cantidad de movimiento angular orbital) y puede ser entero o semientero, dependien-
do de si está hecho de un número par o impar de nucleones. [La cantidad de movi-
miento angular orbital es un entero y no afecta el semientero o el entero de I.] La
cantidad de movimiento angular nuclear total de un núcleo está dada, como se espera-
ría (véanse la sección 39-2 y la ecuación 39-15), por 1I(I + 1) U .

Los momentos magnéticos nucleares se miden en términos del magnetón nuclear

␮N = eU , (41–2)
2mp

que se define por analogía con el magnetón de Bohr para electrones (␮B = e U ͞2me ,
sección 39-7). Puesto que ␮N contiene la masa del protón, mp, en lugar de la masa del
electrón, es aproximadamente 2000 veces menor. El momento magnético de espín del elec-
trón es aproximadamente de 2 magnetones de Bohr. El momento magnético del protón
␮p se midió en

␮p = 2.7928 ␮N .

No hay una explicación satisfactoria para este gran factor. El neutrón tiene un momento
magnético

␮n = –1.9135 ␮N ,

que sugiere que, aunque el neutrón no porta carga neta, puede tener estructura interna
(quarks, como se estudiará más adelante). El signo menos para ␮n indica que su mo-
mento magnético es opuesto a su espín.

Importantes aplicaciones que se basan en el espín nuclear son la resonancia mag-
nética nuclear (RMN) y la formación de imágenes por resonancia magnética (IRM),
que se estudiarán en el siguiente capítulo (sección 42-10).

SECCIÓN 41–1 Estructura y propiedades del núcleo 1107

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41–2 Energía de enlace

y fuerzas nucleares

Energías de enlace

La masa total de un núcleo estable siempre es menor que la suma de las masas de sus
protones y neutrones separados, como muestra el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 41–2 Masa del 42He comparada con sus constituyente. Compare la
masa de un átomo 42He con la masa total de sus partículas constituyentes.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS PLANTEAMIENTO El núcleo del 42He contiene 2 protones y 2 neutrones. Las tablas
por lo general dan las masas de átomos neutros; esto es, el núcleo más sus Z electro-
Rastreo de las masas
de los electrones nes, pues es así como se miden las masas. Así que debemos asegurarnos de balancear
11H en lugar de la de un
los electrones al comparar masas. Por ende, se usa la masa de F (incluye la masa de 2
protón solo. Busque la masa del átomo 24He en el Apéndice

electrones), así como la masa para los 2 neutrones y 2 átomos de hidrógeno (5 2 pro-

tones 1 2 electrones).

SOLUCIÓN La masa de un átomo 24He neutro, según el Apéndice F, es 4.002603 u. La
masa de dos neutrones y dos átomos H (2 protones que incluyen 2 electrones) es

2mn = 2(1.008665 u) = 2.017330 u
2m(11H) = 2(1.007825 u) = 2.015650 u

suma = 4.032980 u.

Por lo tanto, la masa de 42He al medirse, resulta ser menor que las masas de sus cons-
tituyentes por una cantidad 4.032980 u - 4.002603 u = 0.030377 u.

¿A dónde se fue esta masa perdida de 0.030377 u? Debe ser E 5 mc2.
Si los cuatro nucleones súbitamente se juntan para formar un núcleo 24He la masa

“perdida” aparecería como energía de otro tipo (como radiación g, o energía cinética).
La diferencia de masa (o energía) en el caso del 42He, dada en unidades de energía, es
(0.030377 u)(931.5 MeV͞u) = 28.30 MeV. A esta diferencia se le conoce como ener-
gía de enlace del núcleo y representa la cantidad de energía que se debe poner en el
núcleo para descomponerlo en sus constituyentes. Si, por ejemplo, la masa de un nú-
cleo de 42He fuera exactamente igual a la masa de dos neutrones más dos protones, el
núcleo podría separarse sin entrada alguna de energía. Para ser estable, la masa de un
núcleo debe ser menor que la de sus nucleones constituyentes, de manera que la entra-
da de energía es necesaria para separarlo. Note que la energía de enlace no es algo que
tenga el núcleo: lo que “falta” es energía relativa a la masa total de sus constituyentes
separados.

En el capítulo 37 se vio que la energía de enlace de un electrón en el átomo de hi-
drógeno es 13.6 eV; de manera que la masa de un átomo 11H es menor que la de un so-
lo protón más un solo electrón por 13.6 eVyc2. Comparada con la masa total del átomo
de hidrógeno (939 MeVyc2), esto es un valor increíblemente pequeño, 1 parte en 108.
Las energías de enlace de los núcleos están en el orden de MeV, de manera que las
energías de enlace eV de electrones se pueden ignorar. Note que las energías de enla-
ce nuclear, comparadas con las masas nucleares, están en el orden de (28 MeVy4000
MeV) L 1 3 1022, donde se usó la energía de enlace (véase líneas arriba) y la masa L 4
3 940 MeV L 4000 MeV del helio.

EJERCICIO A Determine cuánto menor es la masa del núcleo de 73Li, en comparación con
la de sus constituyentes.

La energía de enlace por nucleón se define como la energía de enlace de un nú-
cleo, dividida entre A, el número total de nucleones. Anteriormente se calculó que la
energía de enlace del 42He es 28.3 MeV, de manera que su energía de enlace por nu-
cleón es 28.3 MeVy4 5 7.1 MeV. La figura 41-1 muestra la energía de enlace por nucleón
como función de A para núcleos estables. La curva se eleva conforme A aumenta y
describe una especie de meseta a aproximadamente a 8.7 MeV por nucleón, arriba de
A ≈ 40. Más allá de A ≈ 80, la curva disminuye lentamente, lo que indica que los nú-
cleos más grandes se mantienen unidos con un poco menos de firmeza que aquellos
que están a mitad de la tabla periódica. Más adelante se verá que estas características
permiten la liberación de energía nuclear en los procesos de fisión y fusión.

1108 CAPÍTULO 41 Física nuclear y radiactividad

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10 16 O 56 Fe 120 Sn
42He 8 26 50

Energía de enlace por nucleón (MeV) 8 29328U

6

FIGURA 41–1 Energía de enlace

por nucleón para los núclidos más

4 estables, como función del número
de masa A.

32He
2

21H

00 50 100 150 200 250
Número de nucleones, A (número de masa)

EJEMPLO 41–3 Energía de enlace para el hierro. Calcule la energía de enlace
y la energía de enlace por nucleón para 5266Fe, el isótopo estable más común del hierro.

PLANTEAMIENTO Se resta la masa de un átomo de 5266Fe de la masa total de 26 áto-
mos de hidrógeno y 30 neutrones; todo se encuentra en el Apéndice F. Luego, con-
vierta unidades de masa a unidades de energía; finalmente, divida entre A 5 56, el
número total de nucleones.
SOLUCIÓN 5266Fe tiene 26 protones y 30 neutrones, cuyas masas separadas son

26 m(11H) = (26)(1.007825 u) = 26.20345 u (incluye 26 electrones)

30 mn = (30)(1.008665 u) = 30.25995 u

sum = 56.46340 u.

Se resta la masa de 2566Fe: = –55.93494 u (Apéndice F)

¢m = 0.52846 u.
Por lo tanto, la energía de enlace es

(0.52846 u)(931.5 MeV͞u) = 492.26 MeV

y la energía de enlace por nucleón es

492.26 MeV = 8.79 MeV.
56 nucleones

NOTA La gráfica de energía de enlace por nucleón (figura 41-1) tiene un pico más o
menos aquí, para el hierro, de manera que el núcleo de hierro (y sus vecinos) es el
más estable de los núcleos.

EJERCICIO B Determine la energía de enlace por nucleón para 186O.

EJEMPLO 41–4 Energía de enlace del último neutrón. ¿Cuál es la energía de
enlace del último neutrón en 163C?

PLANTEAMIENTO Si 163C perdió un neutrón, sería 126C. Restamos la masa de 163C de
las masas de 162C y un neutrón libre.

SOLUCIÓN Al obtener las masas del Apéndice F, se obtiene

Masa 126C = 12.000000 u
Masa 10n = 1.008665 u

Total = 13.008665 u.
Se resta la masa de 136C: –13.003355 u

¢m = 0.005310 u

que en energía es (931.5 MeV͞u)(0.005310 u) = 4.95 MeV. Esto es, se requerirían SECCIÓN 41–2 1109
4.95 MeV de entrada de energía para remover un neutrón de 163C.

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Número de neutrones (NϭAϪZ ) 120 Fuerzas nucleares

Núcleos Los núcleos se pueden analizar no sólo desde el punto de vista de la energía, sino tam-
100 estables bién desde el punto de vista de las fuerzas que los mantienen unidos. No se esperaría
que una colección de protones y neutrones se juntara de manera espontánea, pues to-
80 dos los protones tienen carga positiva y, por consiguiente, ejercen fuerzas eléctricas de
repulsión unos sobre otros. Como los núcleos estables sí permanecen unidos, es claro
60 que debe actuar otra fuerza. Puesto que esta nueva fuerza es más fuerte que la fuerza
NϭZ eléctrica, se le llamó fuerza nuclear fuerte. La fuerza nuclear fuerte es una fuerza de
atracción que actúa entre todos los nucleones, protones y neutrones por igual. Así, los
40 protones se atraen mutuamente mediante la fuerza nuclear fuerte al mismo tiempo que
se repelen unos a otros mediante la fuerza eléctrica. Los neutrones, en virtud de que son
20 eléctricamente neutros, sólo atraen a otros neutrones o protones mediante la fuerza
nuclear fuerte.
0 0 20 40 60 80
Número de protones (Z) La fuerza nuclear fuerte resulta ser mucho más complicada que la fuerza gravita-
cional y la electromagnética. Un aspecto importante de la fuerza nuclear fuerte es que
FIGURA 41–2 Número de es una fuerza de corto alcance: sólo actúa sobre una distancia muy corta. Es muy fuer-
neutrones contra número de protones te entre dos nucleones si están separados menos de aproximadamente 10215 m, pero en
para núclidos estables, que se esencia es cero si están separados por una distancia mayor que ésta. Compare esto con
representan mediante puntos. La línea las fuerzas eléctrica y gravitacional, que disminuyen como 1yr2 pero continúan actuan-
recta representa N 5 Z. do a través de cualquier distancia, por lo que se llaman fuerzas de largo alcance.

La fuerza nuclear fuerte tiene algunas características extrañas. Por ejemplo, si un
núclido contiene demasiados o muy pocos neutrones en relación con el número de pro-
tones, el enlace de los nucleones se reduce; los núclidos que están muy desequilibrados
en este aspecto son inestables. Como se muestra en la figura 41-2, los núcleos estables
tienden a tener el mismo número de protones y neutrones (N 5 Z) hasta aproximada-
mente A 5 30. Más allá de esto, los núcleos estables contienen más neutrones que pro-
tones. Esto tiene sentido pues, conforme Z aumenta, la repulsión eléctrica aumenta, de
manera que se requiere un mayor número de neutrones, que sólo ejercen la fuerza nu-
clear fuerte de atracción, para mantener estabilidad. Para Z muy grande, ningún núme-
ro de neutrones logra superar la repulsión eléctrica enormemente aumentada. De
hecho, arriba de Z 5 82 no hay núclidos completamente estables.

Un núcleo estable es aquel que permanece unido de manera indefinida. Entonces,
¿qué es un núcleo inestable? Es aquel que se separa; y esto da por resultado decaimien-
to radiactivo. Antes de estudiar el importante tema de la radiactividad (siguiente sec-
ción), cabe mencionar que hay un segundo tipo de fuerza nuclear que es mucho más
débil que la fuerza nuclear fuerte. Se llama fuerza nuclear débil, y uno está al tanto de
su existencia sólo porque se manifiesta en ciertos tipos de decaimiento radiactivo. Es-
tas dos fuerzas nucleares, la fuerte y la débil, junto con las fuerzas gravitacional y elec-
tromagnética, comprenden las cuatro fuerzas básicas de la naturaleza.

FIGURA 41–3 Marie y Pierre Curie 41–3 Radiactividad
en su laboratorio (alrededor de 1906),
La física nuclear comenzó en 1896. En ese año, Henri Becquerel (1852-1908) hizo un
donde descubrieron el radio. importante descubrimiento: en sus estudios de fosforescencia, encontró que cierto ma-
terial (que resultó contener uranio) oscurecía una placa fotográfica aun cuando la pla-
ca se envolviera para evitar la luz. Era claro que el mineral emitía algún tipo de
radiación que, a diferencia de los rayos X, se producía sin ningún estímulo externo. Es-
te nuevo fenómeno se llamó radiactividad.

Poco después del descubrimiento de Becquerel, Marie Curie (1867-1934) y su es-
poso, Pierre Curie (1859-1906), aislaron dos elementos para entonces desconocidos
que eran enormemente radiactivos (figura 41-3). Estos elementos se llamaron polonio
y radio. Pronto también se descubrieron otros elementos radiactivos. Se descubrió que
la radiactividad en cada caso no se veía afectada por los más fuertes tratamientos físi-
cos y químicos, incluidos el calentamiento o enfriamiento excesivos, o la acción de
fuertes reactivos químicos. Se sospechaba que la fuente de radiactividad debía estar
en las profundidades del átomo y que emanaba del núcleo. Se hizo evidente que la ra-
diactividad era resultado de la desintegración o el decaimiento de un núcleo inestable.
Ciertos isótopos no son estables y decaen con la emisión de algún tipo de radiación o
“rayos”.

1110 CAPÍTULO 41 Física nuclear y radiactividad

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En la naturaleza existen muchos isótopos inestables y tal radiactividad se llama g
“radiactividad natural”. Es posible producir otros isótopos inestables en el laboratorio
mediante reacciones nucleares (sección 42-1); se dice que éstos se producen “artificialmen- Campo magnético
te” y que tienen “radiactividad artificial”. Los isótopos radiactivos en ocasiones se co-
nocen como radioisótopos o radionúclidos. a (hacia la página)
b
Rutherford y otros investigadores comenzaron a estudiar la naturaleza de los ra-
yos emitidos en el fenómeno de la radiactividad alrededor de 1898. Clasificaron los rayos Bloque de plomo
en tres tipos distintos, de acuerdo con su poder de penetración. Un tipo de radiación
apenas lograba penetrar un trozo de papel. El segundo tipo era capaz de pasar a través Muestra
de hasta 3 mm de aluminio. El tercero era extremadamente penetrante: podía pasar a radiactiva (radio)
través de varios centímetros de plomo y todavía detectarse en el otro lado. Llamaron
a estos tres tipos de radiación alfa (a), beta (b) y gamma (g), respectivamente, como FIGURA 41–4 Los rayos alfa y beta
las tres primeras letras del alfabeto griego. se desvían en direcciones opuestas
mediante un campo magnético,
Descubrieron que cada tipo de rayo tenía una carga diferente y, por lo tanto, se mientras que los rayos gamma no se
desviaba de manera diferente en un campo magnético, figura 41-4; los rayos a tenían desvían en absoluto.
carga positiva, los rayos b tenían carga negativa y los rayos g eran neutros. Pronto se
descubrió que los tres tipos de radiación consistían en tipos conocidos de partículas.
Los rayos gamma son fotones de muy alta energía, la cual incluso era mayor que la
de los rayos X. Los rayos beta son electrones, idénticos a los que giran en torno al nú-
cleo, pero se crean dentro del mismo núcleo. Los rayos alfa (o partículas a) simplemen-
te son núcleos de átomos de helio, 42He; esto es, un rayo a consiste en dos protones y
dos neutrones enlazados.

Ahora se estudiará cada uno de estos tres tipos de radiactividad, o decaimiento,
con más detalle.

41–4 Decaimiento alfa

Los experimentos demuestran que, cuando un núcleo decae, se conserva el número de

nucleones (5 número de masa A), así como la carga eléctrica (5 Ze). Cuando un nú-
dpoasrtníceuultaroan(e24sH. Eel)r,aedlionú2c2l6eo(2r82e86Rstaan)t,eposerreájedmifeprloe,netes
cleo emite una del original: perdió
dos protones y un emisor a. Decae

a un núcleo con Z 5 88 – 2 5 86 y A 5 226 – 4 5 222. El núcleo con Z 5 86 es radón

(Rn), véase el Apéndice F o la tabla periódica. Así, el radio decae a radón con la emi-

sión de una partícula a. Esto se escribe FIGURA 41–5 Decaimiento
radiactivo de radio a radón con
22868Ra S 22826Rn + 24He.
emisión de una partícula alfa.

Véase la figura 41-5. 138 n 136 n 2n
Cuando ocurre un decaimiento a, se forma un elemento diferente. El núcleo hijo o 88 p 86 p + 2p

núcleo derivado (22826Rn en este caso) es diferente del núcleo padre o núcleo precursor 226 Ra 222 Rn 4 He
(22868Ra en este caso). Esta transformación de un elemento en otro se llama transmu- 88 86 2
tación.

El decaimiento alfa se expresa en general como

AZN S A --24N¿ + 24He [decaimiento a]
Z

donde N es el padre, N9 el hijo, y Z y A son el número atómico y el número de masa
atómica, respectivamente, del padre.

EJERCICIO C ¿A qué elemento decae el 16564Dy mediante emisión a? a) Pb, b) Gd, c) Sm,
d) Er, e) Yb.

El decaimiento alfa ocurre porque la fuerza nuclear fuerte no es capaz de mante-
ner juntos núcleos muy grandes. La fuerza nuclear es una fuerza de corto alcance: sólo
actúa entre nucleones vecinos. Pero la fuerza eléctrica actúa siempre a través de un nú-
cleo grande. Para núcleos muy grandes, Z grande significa que la fuerza eléctrica de re-
pulsión se vuelve tan grande (ley de Coulomb) que la fuerza nuclear fuerte es incapaz
de mantener unido al núcleo.

SECCIÓN 41–4 Decaimiento alfa 1111

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La inestabilidad del núcleo padre se expresa en términos de energía (o masa): la
masa del núcleo padre es mayor que la masa del núcleo hijo más la masa de la partícu-
la a. La diferencia de masa aparece como la energía cinética, que se lleva la partícula a
y el núcleo hijo que retrocede. La energía total liberada se llama energía de desintegra-
ción, Q, o valor Q, del decaimiento. De acuerdo con la conservación de la energía

MP c2 = MD c2 + ma c2 + Q ,
donde Q es igual a la energía cinética del núcleo hijo y la partícula a, y MP, MD y ma
son las masas del núcleo padre, núcleo hijo y partícula a, respectivamente. Por ende,

Q = MP c2 - AMD + maB c2. (41–3)

Si el padre tiene menos masa que el hijo más la partícula a (de manera que Q , 0), el
decaimiento no podría ocurrir de manera espontánea, pues se violaría la ley de conser-
vación de la energía.

EJEMPLO 41–5 Energía liberada en el decaimiento del uranio. Calcule la ener-
gía de desintegración cuando 29322U (masa = 232.037156 u) decae a 29208Th (228.028741 u)
con la emisión de una partícula a. (Como siempre, las masas se dan para átomos
neutros.)

PLANTEAMIENTO Se utiliza la conservación de la energía que se expresa en la ecua-
ción 41-3. 29322U es el padre, 22980Th es el hijo.
SOLUCIÓN Dado que la masa del 24He es 4.002603 u (Apéndice F), la masa total en
el estado final es

228.028741 u + 4.002603 u = 232.031344 u.
La pérdida de masa cuando el 23922U decae es

232.037156 u - 232.031344 u = 0.005812 u.
Puesto que 1 u 5 931.5 MeV, la energía Q que se libera es

Q = (0.005812 u)(931.5 MeV͞u) = 5.4 MeV
y esta energía aparece como energía cinética de la partícula a y del núcleo hijo o de-
rivado.

EJEMPLO 41–6 Energía cinética de la a en decaimiento del 29322U. Para el de-
caimiento del 23922U del ejemplo 41-5, ¿cuánto de los 5.4 MeV de la energía de desin-
tegración se llevará la partícula a?

Núcleo PLANTEAMIENTO En cualquier reacción, la cantidad de movimiento se debe conser-
␣ hijo var, al igual que la energía.
SOLUCIÓN Antes de la desintegración, se puede suponer que el núcleo está en repo-
m␣vB␣ mDvBD so, de manera que la cantidad de movimiento total era cero. Después de la desinte-
gración, la cantidad de movimiento vectorial total todavía debe ser cero, de manera
FIGURA 41–6 Conservación de que la magnitud de la cantidad de movimiento de la partícula a debe ser igual a la
la cantidad de movimiento en el magnitud de la cantidad de movimiento del núcleo hijo (figura 41-6):

ejemplo 41-6. ma va = mD vD .

Por lo tanto, va = mD vD͞ma y la energía cinética de a es

1 v2a 1 mD vD 2 1 v2D mD mD
2 2 ma 2 ma ma
Ka = ma = ma ¢ ≤ = mD ¢ ≤ = ¢ ≤ KD

= 228.028741 u = 57KD .
a 4.002603 u b KD

La energía de desintegración total es Q = Ka + KD = 57KD + KD = 58KD . En
consecuencia,

Ka = 57 = 5.3 MeV.
58 Q

La partícula a más ligera se lleva (57y58) o el 98% de la energía cinética total.

1112 CAPÍTULO 41 Física nuclear y radiactividad

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Teoría del decaimiento a: Tunelamiento

Si la masa del núcleo hijo más la masa de la partícula a es menor que la masa del nú-
cleo padre (de manera que energéticamente se permite decaer a este último), ¿por qué
existen aún núcleos padres? Esto es, ¿por qué no todos los núcleos radiactivos decaye-
ron hace tiempo, justo después de que se formaron (en supernovas)? El decaimiento se
puede entender si se usa el modelo de un núcleo que tenga una partícula alfa atrapada
dentro de él. La energía potencial que “ve” la partícula a tendría una forma parecida a
lo que muestra la figura 41-7. El pozo de energía potencial (aproximadamente cuadra-
do) entre r 5 0 y r 5 R0 representa la fuerza nuclear atractiva de corto alcance. Más

U
Atracción nuclear
Repulsión de Coulomb

A B Energía de a

0 Q
R0 RB r

Uin

FIGURA 41–7 Energía potencial para partícula alfa y
núcleo (hijo o derivado), que muestra la barrera de
Coulomb a través de la cual la partícula a debe hacer
tunelamiento para escapar. También se muestra el valor
Q de la reacción. Esta gráfica supone simetría esférica, de
manera que el pozo central tiene diámetro 2R0.

allá del radio nuclear, R0, la repulsión de Coulomb domina (pues la fuerza nuclear cae a
cero) y se ve la característica dependencia 1yr del potencial de Coulomb. La partícula
a, atrapada dentro del núcleo, se puede considerar como en movimiento de ida y vuel-
ta entre las paredes de potencial. Puesto que la energía potencial justo más allá de r 5
R0 es mayor que la energía de la partícula a (línea punteada), la partícula a no podría
escapar del núcleo si estuviera gobernada por la física clásica. Pero, de acuerdo con la
mecánica cuántica, existe una probabilidad distinta de cero de que la partícula a puede
realizar tunelamiento a través de la barrera de Coulomb, desde el punto A hasta el
punto B en la figura 41-7, como se estudió en la sección 38-10. La altura y el ancho de la
barrera afectan la tasa a la que decaen los núcleos (sección 41-8). Debido a esta barrera,
los tiempos de vida de los núcleos inestables a pueden ser bastante largos, desde una
fracción de microsegundo hasta aproximadamente 1010 años. Note en la figura 41-7 que el
valor Q representa la energía cinética total cuando la partícula a está lejos del núcleo.

Una forma simple de observar el tunelamiento es mediante el principio de incerti-
dumbre, el cual dice que la conservación de la energía se puede violar por una cantidad
DE para una longitud de tiempo Dt dada por

(¢E)(¢t) L h.
2p

En consecuencia, la mecánica cuántica permite que se viole la conservación de la energía
durante breves periodos que pueden ser suficientemente largos para que una partícu-
la a efectúe tunelamiento a través de la barrera. DE representaría la diferencia de
energía entre la altura promedio de la barrera y la energía de la partícula, y Dt el tiem-
po para pasar a través de la barrera. Cuanto más alta y ancha sea la barrera, menos
tiempo tendrá la partícula a para escapar y menos probabilidad tendrá de hacerlo. De
esta forma, la altura y el ancho de esta barrera controlan la tasa de decaimiento y la vi-
da media de un isótopo.

SECCIÓN 41–4 Decaimiento alfa 1113

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¿Por qué partículas a?

Tal vez se pregunte por qué los núcleos emiten esta combinación de cuatro nucleones

que se conoce como partícula a. ¿Por qué no sólo cuatro nucleones separados, o inclu-

so uno? La respuesta es que la partícula a está muy firmemente unida, de manera que

su masa es significativamente menor que la de cuatro nucleones separados. Como se

vio en el ejemplo 41-2, dos protones y dos neutrones por separado tienen una masa to-

tal de aproximadamente 4.032980 u (electrones incluidos). Para el decaimiento del
29322U que se estudió en el ejemplo 41-5, la masa total del hijo 2p2980aTdhrem293á22sUcu(2a3tr2o.0n3u71cl5e6o)-.
nes separados es 232.061721 u, que es mayor que la masa del

Tal decaimiento podría no ocurrir porque violaría la conservación de la energía. De he-
cho, nunca se ha visto que 29322U 228
S 90 Th + 2n + 2p. De igual modo, casi siempre es

cierto que la emisión de un solo nucleón es energéticamente imposible.

FÍSICA APLICADA Una aplicación: Detectores de humo
Detector de humo
Una aplicación muy difundida de la física nuclear está presente en muchos hogares en
la forma de un ordinario detector de humo. El tipo más común de detector contiene al-
rededor de 0.2 mg del isótopo radiactivo de americio, 29451Am, en la forma de AmO2. La
radiación continuamente ioniza las moléculas de nitrógeno y oxígeno en el espacio de
aire entre dos placas con carga positiva. La conductividad resultante permite una pe-
queña corriente eléctrica estable. Si entra humo, las partículas de humo, y no las molécu-
las del aire, absorben la radiación, por lo que se reduce la corriente. La electrónica del
dispositivo detecta la caída de corriente y activa la alarma. La dosis de radiación que
escapa de un detector de humo de americio intacto es mucho menor que el entorno ra-
diactivo natural, y por ende se puede considerar relativamente inocua. No hay duda de
que los detectores de humo salvan vidas y reducen el daño a los inmuebles.

41–5 Decaimiento beta

Decaimiento b2

La transmutación de los elementos también ocurre cuando un núcleo decae mediante
decaimiento b; esto es, con la emisión de un electrón o partícula b2. El núcleo 164C, por
ejemplo, emite un electrón cuando decae:

164C S 147N + e– + neutrino,

CUIDADO donde e2 es el símbolo para el electrón. La partícula conocida como neutrino, cuya car-
El e2 del decaimiento b ga q 5 0 y cuya masa es muy pequeña o cero, inicialmente no se detectó y sólo más tarde
proviene del núcleo se supuso su existencia, como se estudiará más adelante en esta sección. Cuando se
emite un electrón no se pierden nucleones, y el número total de nucleones, A, es el mis-
(no es un electrón orbital) mo en el núcleo hijo que en el padre. Pero, puesto que se emite un electrón del núcleo
en sí, la carga en el núcleo hijo es 11e mayor que el del padre. El núcleo padre en el
decaimiento descrito anteriormente tiene Z 5 16, de manera que, a partir de la con-
servación de la carga, el núcleo restante debe tener una carga 17e. Así que el núcleo
hijo tiene Z 5 7, que es nitrógeno.

Se debe notar cuidadosamente que el electrón emitido en el decaimiento b no es un
electrón orbital. En vez de ello, el electrón se crea dentro del mismo núcleo. Lo que ocu-
rre es que uno de los neutrones cambia a un protón y en el proceso (para conservar car-
ga) emite un electrón. De hecho, los neutrones libres en realidad decaen de esta forma:

n S p + e– + neutrino.

Para recordar su origen en el núcleo, los electrones que se emiten en el decaimiento b
con frecuencia se conocen como “partículas b”. No obstante, son indistinguibles de los
electrones orbitales.

1114 CAPÍTULO 41 Física nuclear y radiactividad

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EJEMPLO 41–7 Liberación de energía en decaimiento de 164C. ¿Cuánta ener-
gía se libera cuando el 164C decae a 174N por emisión b?

PLANTEAMIENTO Encuentre la diferencia de masa antes y después del decaimiento, CUIDADO
Dm. La energía liberada es E 5 (Dm)c2. Las masas que se proporcionan en el Apén-
dice F son las del átomo neutro, y se debe seguir la pista de los electrones implicados. Tenga cuidado con las masas
Suponga que el núcleo padre tiene seis electrones en órbita, de manera que es neutro; atómicas y del electrón en el
su masa es 14.003242 u. El hijo en este decaimiento, 174N, no es neutro pues tiene los decaimiento b
mismos seis electrones orbitales que giran en torno a él, pero el núcleo tiene una car-
ga de 17e. Sin embargo, la masa de este hijo con sus seis electrones, más la masa del
electrón emitido (que hace un total de siete electrones), es justo la masa de un átomo
de nitrógeno neutro.
SOLUCIÓN La masa total en el estado final es

Amasa de núcleo 174N + 6 electronesB + (masa de 1 electrón),

y esto es igual a

masa de 174N neutro(incluye 7 electrones),

que, de acuerdo con el Apéndice F, es una masa de 14.003074 u. De manera que la di-
ferencia de masa es 14.003242 u - 14.003074 u = 0.000168 u, lo cual es equivalente a
un cambio en energía ¢m c2 = (0.000168 u)(931.5 MeV͞u) = 0.156 MeV o 156 keV.
NOTA El neutrino no contribuye a la masa ni al equilibrio de carga, pues tiene q 5 0,
y m L 0.

De acuerdo con el ejemplo 41-7, se esperaría que el electrón emitido tuviera una
energía cinética de 156 keV. (El núcleo hijo, en virtud de su masa mucho mayor que la
del electrón, retrocede con velocidad muy baja y, por lo tanto, obtiene muy poco de
la energía cinética; véase el ejemplo 41-6.) De hecho, mediciones muy cuidadosas indi-
can que algunas partículas b emitidas sí tienen energía cinética cercana a este valor
calculado. Pero la gran mayoría de los electrones emitidos tienen un poco menos de
energía. De hecho, la energía del electrón emitido puede estar en alguna parte entre
cero y el valor máximo que se calculó anteriormente. Este rango de energía cinética del
electrón se encontró para cualquier decaimiento b. Fue como si se violara la ley de
conservación de la energía, y de hecho Bohr realmente consideró esta posibilidad. Ex-
perimentos cuidadosos indicaban que la cantidad de movimiento lineal y la cantidad de
movimiento angular tampoco parecen conservarse. Los físicos tenían problemas ante la
posibilidad de renunciar a estas leyes, que funcionaron tan bien en todas las situaciones
anteriores.
En 1930 Wolfgang Pauli propuso una solución alternativa: durante el decaimiento
b, además del electrón, quizá se emitía una nueva partícula que era muy difícil de de-
tectar. Esta partícula hipotética tal vez tenía la energía, cantidad de movimiento lineal
y cantidad de movimiento angular requeridos para mantener vigentes las leyes de con-
servación. El gran físico italiano Enrico Fermi (1901-1954; figura 41-8) llamó neutrino
(que significa “el pequeño neutro”) a esta nueva partícula. En 1934 Fermi elaboró una
detallada teoría del decaimiento b. (Fue Fermi quien, en esta teoría, postuló la existen-
cia de la cuarta fuerza en la naturaleza, que se llama fuerza nuclear débil.) El neutrino FIGURA 41–8 Enrico Fermi, como
del electrón tiene carga cero, espín de 1 U, y durante mucho tiempo se consideró que se le retrata en una estampilla postal
2 estadounidense. Fermi contribuyó
tenía masa cero, aunque en la actualidad se tiene la certeza de que su masa es muy pe- significativamente tanto a la física
queña (, 0.14 eVyc2). Si su masa fuera cero, se parecería mucho a un fotón, en tanto teórica como a la física experimental,
que sería neutro y viajaría a la rapidez de la luz. Pero el neutrino es muy difícil de de- una hazaña casi única en los tiempos
tectar. En 1956 experimentos complejos produjeron mayor evidencia para la existencia modernos.

del neutrino; pero para entonces, la mayoría de los físicos ya aceptaban su existencia.
El símbolo para el neutrino es la letra griega nu (n). La forma correcta de escribir
el decaimiento del 164C es entonces

146C S 147N + e– + R.

La barra A–B sobre el símbolo del neutrino es para indicar que es un “antineutrino”.
(La razón por la que se llama antineutrino en lugar de simplemente neutrino no tiene
que preocuparle por ahora; se estudiará en el capítulo 43.)

SECCIÓN 41–5 Decaimiento beta 1115

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Número de neutrones (NϭAϪZ ) 120 Decaimiento b1

Núcleos Muchos isótopos decaen mediante emisión de electrones. Siempre son isótopos que tie-
100 estables nen demasiados neutrones en comparación con el número de protones. Esto es, son
isótopos que se encuentran arriba de los isótopos estables que se grafican en la figura
80 41-2. Pero, ¿qué hay de los isótopos inestables que tienen muy pocos neutrones en
comparación con su número de protones, aquellos que caen por debajo de los isótopos
60 estables de la figura 41-2? Resulta que éstos decaen por emisión de un positrón en lugar
NϭZ de un electrón. Un positrón (en ocasiones llamado partícula e+ y b+) tiene la misma masa
que el electrón, pero tiene una carga positiva de 11e. Como es tan parecido a un elec-
40 trón, excepto por su carga, el positrón se llama antipartícula† del electrón. Un ejemplo
de decaimiento b+ es el de 1190Ne:
20
1109Ne S 199F + e± + n,
0 0 20 40 60 80
Número de protones (Z) donde e+ representa un positrón. Note que el n emitido aquí es un neutrino, mientras
que el emitido en el decaimiento b2 se llama antineutrino. Por ende, se emite un antie-
FIGURA 41–2 (Repetida.) Número lectrón (5 positrón) con un neutrino, mientras que un antineutrino se emite con un
de neutrones contra número de electrón; esto da cierto equilibrio, como se estudiará en el capítulo 43.
protones para núclidos estables, que se
representan mediante puntos. La línea Los decaimientos b2 y b+, en general, se pueden expresar del modo siguiente:
recta representa N 5 Z.
AZN S A +1N ¿ + e– + R [decaimiento b2]
Z [decaimiento b+]

AZN S A -1N ¿ + e± + n,
Z

donde N es el núcleo padre y N9 es el hijo.

Captura electrónica

Además de la emisión b2 y b+, existe un tercer proceso relacionado. Es la captura elec-
trónica (abreviado CE en el Apéndice F) y ocurre cuando un núcleo absorbe uno de
sus electrones en órbita. Un ejemplo es el 74Be, que como resultado se convierte en 37Li.
El proceso se escribe

47Be + e– S 73Li + n,
o, en general,

AZN + e– S A -1N¿ + n. [captura electrónica]
Z

Por lo general, se captura un electrón del nivel más interno (K), en cuyo caso el proceso
se llama captura K. El electrón desaparece en el proceso, y un protón en el núcleo se
convierte en neutrón; como resultado, se emite un neutrino. Este proceso se infiere ex-
perimentalmente mediante la detección de los rayos X emitidos (debido a otros elec-
trones que saltan hacia abajo para llenar el estado vacío) justo de la energía adecuada.
En el decaimiento b, la fuerza nuclear débil desempeña un papel crucial. El neutrino
es único en que interactúa con la materia sólo mediante la fuerza débil, por lo que es
muy difícil de detectar.
FIGURA 41–9 Diagrama de niveles
116252CB
de energía que muestra cómo el 41–6 Decaimiento gamma
decae al estado fundamental de
Los rayos gamma son fotones que poseen muy alta energía. Tienen su origen en el decai-
mediante decaimiento b (energía total miento de un núcleo, en forma muy parecida a la emisión de fotones mediante átomos
excitados. Al igual que un átomo, un núcleo puede encontrarse en un estado excitado.
liberada 5 13.4 MeV), o, en vez de Cuando salta hacia un estado de energía inferior, o hacia el estado fundamental, emite un
fotón que se llama rayo g. Los posibles niveles de energía de un núcleo están mucho más
ello, puede experimentar un separados que los de un átomo: en el orden de keV o MeV, en comparación con unos
cuantos eV en el caso de los electrones en un átomo. Así, los fotones emitidos tienen
decaimiento b hacia un estado energías que pueden variar desde unos cuantos keV hasta varios MeV. Para un decai-
excitado del 126C (que se indica miento dado, el rayo g siempre tiene la misma energía. Puesto que un rayo g no conduce
mediante *), que posteriormente decae carga, no hay cambio en el elemento como resultado de un decaimiento g.

a su estado fundamental al emitir un ¿Cómo es que llega un núcleo a un estado excitado? En ocasiones, por una coli-
sión violenta con otra partícula. De manera más común, el núcleo que permanece des-
rayo g de 4.4 MeV. pués de un decaimiento radiactivo previo, puede estar en un estado excitado. En el
diagrama de niveles de energía de la figura 41-9 se presenta un ejemplo típico. El 152B
125 B

bϪ bϪ (9.0 MeV)
(13.4 MeV)
126 C*
g (4.4 MeV)

126 C

1116 CAPÍTULO 41 †Este concepto se estudia en el capítulo 43. Brevemente, una antipartícula tiene la misma masa que su
partícula correspondiente, pero carga opuesta. Una partícula y su antipartícula pueden aniquilarse una
a otra rápidamente, lo que libera energía (rayos g).

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puede decaer mediante decaimiento b directamente al estado fundamental del 162C; o
sufrir decaimiento b hacia un estado excitado del 162C, que entonces decae mediante
emisión de un rayo g de 4.4 MeV al estado fundamental.

El decaimiento g se expresa como

ZAN* S ZAN + g, [decaimiento g]

donde el asterisco significa “estado excitado” de ese núcleo.
Tal vez usted se pregunte cuál es la diferencia entre un rayo g y un rayo X. Ambos

son radiación electromagnética (fotones) y, aunque los rayos g por lo general tienen
mayor energía que los rayos X, su rango de energías se traslapa en cierta medida. La
diferencia no es intrínseca. El término rayo X se usa si el fotón se produce mediante
una interacción electrón-átomo, y rayo g si el fotón se produce en un proceso nuclear.

Isómeros; conversión interna

En algunos casos, un núcleo permanece en un estado excitado durante algún tiempo
antes de emitir un rayo g. Se dice entonces que el núcleo está en un estado metaesta-
ble y se llama isómero.

En ocasiones, un núcleo excitado puede regresar al estado fundamental mediante
otro proceso conocido como conversión interna, sin rayo g emitido. En este proceso, el
núcleo excitado interactúa con uno de los electrones orbitales y expulsa este electrón
del átomo con la misma energía cinética (menos la energía de enlace del electrón) que
tendría un rayo g emitido.

41–7 Conservación del número TABLA 41–2 Los tres tipos
de decaimiento radiactivo
de nucleones y otras
leyes de conservación Decaimiento a:

ZAN S A --24N¿ + 42He
Z

En los tres tipos de decaimiento radiactivo, las leyes de conservación clásicas se sostie- Decaimiento b:
nen. Energía, cantidad de movimiento lineal, cantidad de movimiento angular y carga
eléctrica se conservan. Estas cantidades son las mismas antes y después del decaimien- ZAN S A +1N¿ + e– +R
to. Pero también se revela una nueva ley de conservación, la ley de conservación de nú- Z
mero de nucleones. De acuerdo con esta ley, el número total de nucleones (A) ZAN A
permanece constante en cualquier proceso, aunque un tipo puede cambiar en el otro tipo S Z -1N¿ + e± +n
(protones en neutrones o viceversa). Esta ley se sostiene en los tres tipos de decaimien-
to. La tabla 41-2 brinda un resumen de los decaimientos a, b y g. [En el capítulo 43 se ZAN + e– S ZA-1N¿ + n [EC]†
generalizará esto y se le llamará conservación de número bariónico.]
Decaimiento g:
41–8 Vida media y tasa de decaimiento
ZAN* S AZN + g

† Captura electrónica.
*Indica el estado excitado de un núcleo.

Una muestra macroscópica de cualquier isótopo radiactivo consiste en un gran núme-
ro de núcleos radiactivos. Estos núcleos no decaen todos al mismo tiempo. En vez de
ello, decaen uno por uno a lo largo de cierto periodo. Éste es un proceso aleatorio: no
es posible predecir exactamente cuándo decaerá un núcleo determinado. Pero sí se
puede determinar, sobre una base probabilística, aproximadamente cuántos núcleos en
una muestra decaerán en un periodo dado, suponiendo que cada núcleo tiene la misma
probabilidad de decaer en cada segundo de su existencia.

De esta forma, el número de decaimientos DN que ocurren en un intervalo de
tiempo muy corto Dt es proporcional a Dt y al número total N de núcleos radiactivos
presentes:

¢N = –lN ¢t (41–4a)

donde el signo menos significa que N disminuye. Esto se rescribe para obtener la tasa
de decaimiento:

¢N = –lN. (41–4b)
¢t

En estas ecuaciones, l es una constante de proporcionalidad llamada constante de
decaimiento, que es diferente para distintos isótopos. Cuanto más grande sea l, mayor
será la tasa de decaimiento y se dice que ese isótopo es más “radiactivo”. El número

SECCIÓN 41–8 Vida media y tasa de decaimiento 1117

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FIGURA 41–10 Los núcleos radiactivos e- Leyenda
decaen uno por uno. De esta forma, el número 146(CpaÁdrteo)mo
e-
de núcleos padres en una muestra disminuye b) c) 147(NhijÁo)tomo
continuamente. Cuando un núcleo de 164C
emite un electrón, el núcleo se convierte en
un núcleo 147N.

a)

de decaimientos que ocurren en el corto intervalo de tiempo Dt se designa DN porque ca-
da decaimiento que ocurre corresponde a una disminución de uno en el número N de nú-
cleos presentes. Esto es, el decaimiento radiactivo es un proceso de “un tiro”, figura 41-10.
Una vez que un núcleo padre particular decae en el núcleo hijo, no puede hacerlo de nuevo.

Si se toma el límite Dt S 0 en la ecuación 41-4, DN será pequeño en comparación
con N, y se puede escribir la ecuación en forma infinitesimal como

dN = –lN dt. (41–5)

Es posible determinar N como función de t al reordenar esta ecuación como

dN = –l dt
N
y luego integrar desde t 5 0 hasta t 5 t:

Ύ ΎN dN = t

N0 N – l dt,

0

donde N0 es el número de núcleos padres presentes en t 5 0, y N es el número que
queda en el tiempo t. La integración da

ln N = –lt
N0
o
N = N0 e–lt.
(41–6)

La ecuación 41-6 se llama ley de decaimiento radiactivo, y establece que el número de
núcleos radiactivos en una muestra dada disminuye exponencialmente en el tiempo.
Esto se muestra en la figura 41-11a para el caso del 164C cuya constante de decaimiento
es l 5 3.83 3 10212 s21.
La tasa de decaimiento en una muestra pura, o número de decaimientos por se-
gundo, es

` dN ` ,
dt

que también se llama actividad de la muestra. Se usan signos de valor absoluto para
convertir la actividad en un número positivo (dNydt es negativo porque el número de
núcleos padres N disminuye). El símbolo R también se usa para actividad, R 5 udNydtu.

FIGURA 41–11 a) El número N de núcleos padres en una muestra dada de 164C disminuye exponencialmente.
Aquí se establece que N0 5 1.00 3 1022, como se verá en el texto dentro de poco. b) El número de decaimientos por
segundo también disminuye exponencialmente. La vida media (ecuación 41-8) del 146C es de aproximadamente

5730 años, lo que significa que el número de núcleos padres, N, y la tasa de decaimiento, udNydtu, disminuyen a la

mitad cada 5730 años.

Número de núcleos padres, NN0 (ϭ1.0 ϫ 1022) 4.0 ϫ 1010

Decaimientos por segundo, ԽdN/dtԽ1N02.0 ϫ 1010
2 0
0
1 N0
4
1
8 N0
0
0 5730 11,460 17,190 5730 11,460 17,190
Tiempo, t (años) Tiempo, t (años)

a) b)

1118 CAPÍTULO 41 Física nuclear y radiactividad

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A partir de las ecuaciones 41-5 y 41-6,

dN = lN = lN0 e–lt. (41–7a)
` dt `

En t 5 0, la actividad es

dN lN0 . (41–7b)
` dt ` =

0
Por lo tanto, a cualquier otro tiempo t, la actividad es

dN = ` dN ` e–lt, (41–7c)
` dt ` dt
0
de manera que la actividad disminuye exponencialmente en el tiempo a la misma tasa
que para N (figura 41-11b). La ecuación 41-7c a veces se conoce como ley de decai-
miento radiactivo (al igual que la ecuación 41-6), y se puede escribir con R para repre-
sentar la actividad, R 5 udNydtu, como

R = R0 e -lt. (41–7d)

La tasa de decaimiento de cualquier isótopo con frecuencia se especifica al indicar
su vida media en vez de la constante de decaimiento l. La vida media de un isótopo se
define como el tiempo que tarda en decaer la mitad de la cantidad original de isótopo
en una muestra dada. Por ejemplo, la vida media del 164C es de aproximadamente 5730
años. Si en algún tiempo un trozo de madera petrificada contiene, por ejemplo, 1.00 3
1022 núcleos de 164C entonces 5730 años después contendrá sólo 0.50 3 1022 núcleos.
Después de otros 5730 años contendrá 0.25 3 1022 núcleos, y así sucesivamente. Esto es
característico de la función exponencial, y se muestra en la figura 41-11a. Puesto que la
tasa de decaimiento udNydtu es proporcional a N, también disminuye en un factor de 2
cada vida media, figura 41-11b.

EJERCICIO D La vida media del 1212Na es de 2.6 años. ¿Cuánto quedará de una muestra de
1.0 mg de 1221Na después de 5.2 años? a) Nada. b) 1 mg. c) 1 mg. d) 1 mg. e) 0.693 mg.
8 4 2

EJERCICIO E Regrese a la pregunta de inicio de capítulo, página 1104, y respóndala de
nuevo ahora. Trate de explicar por qué quizás usted la respondió de manera diferente la
primera vez.

Las vidas medias de los isótopos radiactivos conocidos varían desde un lapso tan
corto como 10222 s hasta alrededor de 1028 s (aproximadamente 1021 años). En el Apén-
dice F se indican las vidas medias de muchos isótopos. Debe quedar claro que la vida
media (que se designa T1) tiene una relación inversa con la constante de decaimiento.
Cuanto más larga es la vi2da media de un isótopo, más lentamente decaerá y, por lo tan-
to, l será menor. La relación precisa se obtiene a partir de la ecuación 41-6 al estable-
cer que N 5 N0y2 en = T1 :
t 2

N0 = N0 e –lT1 o elT1 = 2.
2 2 2

Obtenemos los logaritmos naturales de ambos lados [“ln” y “e” son operaciones inver-
sas, lo que significa que ln(ex) 5 x] y resulta

ln A elT1 B = ln 2, de manera que lT1 = ln 2
2 2

y

T1 = ln 2 = 0.693 . (41–8)
2l l

Entonces la ecuación 41-6 se puede escribir como

N = N0 e –0.693 t͞T1 .
2

En ocasiones se cita la vida media t de un isótopo, que se define como t 5 1yl
(véase también el problema 80); de este modo, la ecuación 41-6 se expresa como

N = N0 e–t͞t

tal como para los circuitos RC y LR (capítulos 26 y 30, donde t se llama constante de
tiempo). Puesto que

1 T1 (41–9a)
t = =2
l 0.693

la vida promedio y la vida media difieren en un factor de 0.693; confundirlas conduce a se-

rios errores. La ley de decaimiento radiactivo, ecuación 41-7d, se escribe simplemente como

R = R0 e–t͞t. (41–9b) SECCIÓN 41–8 1119

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EJEMPLO 41–8 Actividad de una muestra. El isótopo 164C tiene una vida media
de 5730 años. Si una muestra contiene 1.00 3 1022 núcleos de carbono 14, ¿cuál es la
actividad de la muestra?

PLANTEAMIENTO Primero nos basamos en la vida media para encontrar la constan-
te de decaimiento (ecuación 41-8) y esto nos permite encontrar la actividad, ecuación
41-7b o 41-5. El número de segundos en un año es (60 symin)(60 minyh)(24 hydíad
A365 1 d͞año 3.156 107 s.
4 B = *

SOLUCIÓN La constante de decaimiento l es, a partir de la ecuación 41-8,

l = 0.693 = 0.693 = 3.83 * 10–12 s–1.
T1 (5730 año)A3.156 * 107 s͞añoB
2

De acuerdo con la ecuación 41-7b, la actividad o tasa de decaimiento es

dN lN0 A3.83 * 10–12 s–1B A1.00 * 1022B 3.83 * 1010 decaimientos͞s.
` dt ` = = =

0

Observe que la gráfica de la figura 41-11b comienza en este valor, que corresponde al
valor original de N 5 1.0 3 1022 núcleos en la figura 41-11a.

NOTA La unidad “decaimientosys” con frecuencia se escribe simplemente como s21
pues “decaimientos” no es una unidad, sino que se refiere solamente al número. Esta
unidad simple de actividad se llama becquerel: 1 Bq 5 1 decaimientoys, como se estu-
diará en el capítulo 42.

EJERCICIO F Determine la constante de decaimiento para el radio AT1 = 1600 añosB.
2

EJEMPLO CONCEPTUAL 41–9 Seguridad: actividad frente a vida media. Uno
podría pensar que un material con vida media corta es más seguro que un material con vi-
da media larga, porque no durará tanto. ¿Es cierto esto?
RESPUESTA No. Una vida media más corta significa que la actividad es más alta y que,
por ende, el material es más “radiactivo” y puede causar más daño biológico. Por otra
parte, una vida media más larga para la misma muestra de tamaño N significa una acti-
vidad más baja, pero uno tiene que preocuparse por tal muestra más tiempo y encontrar
un almacenamiento adecuado hasta que se llegue a un nivel de actividad seguro (bajo).

EJEMPLO 41–10 Una muestra de 173N radiactivo. Un laboratorio tiene 1.49 mg
de 173N, puro, con una vida media de 10.0 min (600 s). a) ¿Cuántos núcleos están pre-
sentes inicialmente? b) ¿Cuál es la actividad inicialmente? c) ¿Cuál es la actividad
después de 1.00 h? d) ¿Después de aproximadamente cuánto tiempo la actividad dis-
minuye a menos de uno por segundo (5 1 s21)?

PLANTEAMIENTO Empleamos la definición de mol y el número de Avogadro (sec-
ciones 17-7 y 17-9) para encontrar el número de núcleos. Para b), l se obtiene a par-
tir de la vida media dada y se utiliza la ecuación 41-7b para la actividad. Para c) y d),
empleamos la ecuación 41-7c yyo elaboramos una tabla de los tiempos.

SOLUCIÓN a) La masa atómica es 13.0, de manera que 13.0 g contendrán 6.02 3 1023
núcleos (número de Avogadro). Sólo se tiene 1.49 3 1026 g, de manera que el núme-
ro de núcleos N0 que se tienen inicialmente está dado por la razón
1.49 * 10–6 g .
N0 = 13.0 g
6.02 * 1023

Al resolver, se encuentra que N0 5 6.90 3 1016 núcleos.
b) A partir de la ecuación 41-8,

l = 0.693͞T12 = (0.693)͞(600 s) = 1.155 * 10–3 s–1.

Así, en t 5 0 (ecuación 41-7b),

dN A1.155 * 10–3 s–1B A6.90 * 1016B 7.97 * 1013 decaimientos͞s.
` dt ` = lN0 = =

0

c) Después de 1.00 h 5 3600 s, la magnitud de la actividad será (ecuación 41-7c)

dN = ` dN ` e–lt = A7.97 * 1013 s B e–1 –A1.155 *10–3 s–1B(3600 s) = 1.25 * 1012 s–1.
` dt ` dt
0

d) Se quiere determinar el tiempo t cuando udNydtu 5 1.00 s21. A partir de la ecuación
41-7c, se tiene

1120 CAPÍTULO 41 e–lt = ∑dN͞dt∑ = 1.00 s–1 = 1.25 * 10–14.
∑dN͞dt∑0 7.97 * 1013 s–1

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Se obtiene el logaritmo natural (ln) de ambos lados (ln e–lt = –lt) y se divide entre

l para encontrar

t = lnA1.25 * 10–14B = 2.77 * 104 s = 7.70 h.
–
l

Solución alternativa sencilla para c) 1.00 h 5 60.0 minutos representa 6 vidas me-
dias, de manera que la actividad disminuirá a A21B A12B A12B A12B A21B A21B 1 6 1 de su valor
= A 2 B = 64

original, o (7.97 3 1013)y(64) 5 1.25 3 1012 por segundo.

EJERCICIO G El tecnecio 98 Tc tiene una vida media de 4.2 3 106 años. El estroncio 9308Sr
43

tiene una vida media de 28.79 años. ¿Cuáles enunciados son verdaderos?

a) La constante de decaimiento del Sr es mayor que la constante de decaimiento del Tc.
b) La actividad de 100 g de Sr es menor que la actividad de 100 g de Tc.
c) La larga vida media del Tc significa que experimenta decaimiento alfa.
d) Un átomo de Tc tiene una mayor probabilidad de decaer en 1 año que un átomo Sr.
e) 28.79 g de Sr tienen la misma actividad que 4.2 3 106 g de Tc.

41–9 Series de decaimiento

Con frecuencia se presenta el caso de que un isótopo radiactivo decae a otro isótopo
que también es radiactivo. En ocasiones este núcleo hijo decae a un tercer isótopo que
también es radiactivo. Se dice que tales decaimientos sucesivos forman una serie de de-
caimiento. En la figura 41-12 se presenta un ejemplo importante. Como se observa, el,
29328U decae por emisión a a 29304Th, el cual a su vez sufre un decaimiento b para conver-
tirse en 29314Pa. La serie continúa como se indica, con muchas posibles ramificaciones
cerca de la parte inferior, para terminar en un isótopo de plomo estable, 28026Pb. Los úl-
timos dos decaimientos pueden ser

20861Tl S 20862Pb + e– + R, (T21 = 4.2 min)
o (T12 = 138 días)

21804Po S 28026Pb + a. 238U
También existen otras series radiactivas.
234Th 234P4a.52ϫ3410U9 años
A 230Th
238 24 d 6.7 haños
2.5 ϫ105
LEYENDA
234 Decaimiento b 7.5 ϫ104 años

230 Decaimiento a

226 226Ra FIGURA 41–12 Series de decaimiento
1600 años que comienzan con 23982U. Los núcleos en la
222 222Rn serie se especifican mediante un punto que
representa valores A y Z. Las vidas medias
3.8 d están dadas en segundos (s), minutos (min),
horas (h), días (d) o años (a). Observe
218 218Po 218At 218Rn que una flecha horizontal representa
decaimiento b (A no cambia), mientras que
214Pb 21B4i 3.11m2.41insP4o 0.04 s una línea diagonal representa decaimiento a
(A cambia por 4, Z cambia por 2). Para los
214 27 min 20 min s cuatro núclidos mostrados que pueden
decaer mediante decaimientos a y b, el
210Tl 1.6 ϫ10Ϫ4 decaimiento más prominente (en estos
21P0b 210Bi 210Po cuatro casos, . 99.9%) se indica como una
210 flecha sólida y el decaimiento menos común
1.3 min 22 yr 5 d (, 0.1%) como una flecha punteada.

206Tl 20P6b 138 d 85 86 87 88 89 90 91 92Z SECCIÓN 41–9 1121
Rn Fr Ra Ac Th Pa U
206814.2 min 82 83 84

Tl Pb Bi Po At

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FÍSICA APLICADA A causa de tales series de decaimientos, en la naturaleza se encuentran ciertos ele-
Fechamiento con carbono 14 mentos radiactivos que, de otro modo, no existirían. Cuando el Sistema Solar (incluida
la Tierra) se formó hace aproximadamente 5 mil millones de años, se cree que casi to-
1122 CAPÍTULO 41 dos los núclidos estaban presentes, y que se formaron (mediante fusión y captura de
neutrones, secciones 42-4 y 44-2) en una explosión supernova cercana (sección 44-2).
Muchos isótopos con vidas medias cortas decayeron rápidamente y ya no se detectan
en la naturaleza en la actualidad. Pero los isótopos de larga vida, como el
29328U con una vida media de 4.5 3 109 años, aún existen en la naturaleza actualmente.
De hecho, casi la mitad del 29328U original todavía permanece. Sin embargo, se podría es-
perar que el radio A28286RaB, con una vida media de 1600 años, hubiera desaparecido de
la Tierra hace mucho. De hecho, los núcleos originales de 28286Ra habrían decaído todos pa-
ra los tiempos actuales. No obstante, puesto que 29328U decae (en muchos pasos) a 28286Ra,
el suministro de 28286Ra se reabastece continuamente, por lo que aún se encuentra en la
Tierra en la actualidad. Lo mismo puede decirse de muchos otros núclidos radiactivos.

EJEMPLO CONCEPTUAL 41–11 Cadena de decaimiento. En la cadena de decai-
miento de la figura 41-12, si comenzamos por observar abajo de 23942U, se ven cuatro nú-
clidos sucesivos con vidas medias de 250,000 años, 75,000 años, 1600 años y un poco aba-
jo de 4 días. Cada decaimiento en la cadena tiene una partícula alfa de una energía
característica, y por lo tanto se puede rastrear la tasa de decaimiento radiactivo de cada
núclido. Dada una muestra que fue puro 23942U hace millones de años, ¿cuál decaimiento
alfa esperaría que tuviera la mayor actividad en la muestra?
RESPUESTA El primer impulso es decir que el proceso con la vida media más corta
mostrará la mayor actividad. De manera sorprendente, las actividades de los cuatro
núclidos en esta muestra son todas iguales. La razón es que, en cada caso, el decai-
miento del núcleo padre actúa como un cuello de botella para el decaimiento del nú-
cleo hijo. En comparación con la vida media de 1600 años del 28286Ra, por ejemplo, su
hijo 28262Rn decae casi de inmediato, pero no puede decaer sino hasta que se produce.
(Es como una línea de ensamblaje de automóviles: si el trabajador A tarda 20 mi-
nutos en terminar una tarea y luego el trabajador B tarda sólo 1 minuto en hacer la
siguiente tarea, el trabajador B fabrica sólo un automóvil cada 20 minutos.)

41–10 Fechamiento radiactivo

El decaimiento radiactivo tiene muchas aplicaciones interesantes. Una es la técnica de fe-
chamiento radiactivo mediante la cual se puede determinar la edad de materiales antiguos.

La edad de cualquier objeto hecho a partir de materia alguna vez viva, como la
madera, se puede determinar mediante la radiactividad natural del 164C. Todas las plan-
lfmttarraeasislcev1oc46siriCvógdanáeysn, aaai1cñ26blarCosesos.de,rLenabdaeplonagerrsdadaatinerómxd1ómie.ds3alfoeyh3rodearec1íhha0coa2ad1rpd2eb,eeoclronqomsourareá(enCtseeoplcOmoi1d264no)Codsdemddeeaeláclsaaciiosaeróermcbtyoooepnnlnooouournssasaocadnovniani1dcps26ttaaCiavrmn,aotpees1edi46ndrCioatue.rdtuLaienznaaatarerpapmrmzeoóqouxnulicémehecñonuaas---
damente 5730 años. Por esa razón, los núcleos energéticos en la radiación cósmica, que
incide sobre la Tierra desde el espacio exterior, chocan con los núcleos de los átomos
en la atmósfera y los rompen en trozos, lo que desprende neutrones libres. Esos neu-
trones pueden chocar con núcleos de nitrógeno en la atmósfera para producir la trans-
formación nuclear n + 174N S 164C + p. Esto es, un neutrón choca con un núcleo de
174N y éste lo absorbe, y en el proceso se desprende un protón. El núcleo restante es
164C. Esta producción continua de 164C en la atmósfera equilibra más o menos la pérdi-
da de 164C por decaimiento radiactivo.

Mientras una planta o un árbol están vivos, utilizan continuamente el carbono del
dióxido de carbono en el aire para construir nuevo tejido y sustituir el viejo. Los ani-
males comen plantas, así que de manera continua también reciben un suministro fresco
de carbono para sus tejidos. Los organismos no pueden distinguir† el 164C del 162C, y
puesto que la proporción de 164C a 162C en la atmósfera permanece casi constante, la
proporción de los dos isótopos dentro de los organismos vivos también permanece ca-
si constante. Cuando un organismo muere, ya no absorbe ni utiliza el dióxido de carbo-
no. Puesto que el 164C decae radiactivamente, la proporción de 164C a 162C en un
organismo muerto disminuye con el tiempo. Como la vida media del 164C es de aproximada-

†Los organismos operan casi exclusivamente mediante reacciones químicas, que sólo implican los elec-
trones orbitales externos del átomo; los neutrones adicionales en el núcleo, en esencia, no tienen efecto.

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mente r5a7z3ó0na1ñ64Cos͞, 1l62aCradzeóunn1a46Ch͞e1r62rCamdiiesnmtaindueyemaadlaerma iatandtigcuada aes57la30maitñaods.dSei,lapoqrueejehmay-
plo, la

en los árboles vivos, entonces el objeto se fabricó de un árbol que cayó hace aproxima-

damente 5730 años.
En realidad, se deben hacer correcciones por el hecho de que la razón 146C͞162C en la
atmósfera no permaneció precisamente constante con el tiempo. La determinación de có-

mo fue esta proporción en siglos pasados requiere técnicas tales como la comparación de

la proporción esperada con la proporción real para objetos cuya antigüedad se conoce, co-

mo árboles muy viejos cuyos anillos anuales se pueden contar con razonable precisión.

EJEMPLO 41–12 Un animal antiguo. La masa del carbono en un fragmento de FÍSICA APLICADA
hueso animal, que se encontró en un sitio arqueológico, es de 200 g. Si el hueso regis- Fechamiento arqueológico
tra una actividad de 16 decaimientosys, ¿cuál es su antigüedad?
FÍSICA APLICADA
PLANTEAMIENTO Primero determinamos lcauáfrnatcocsióántocmoonsocdieda164Cdeh1a46bCí,a en la mues- Fechamiento geológico
tra de 200 g cuando vivía el animal, dada 1.3 * 10–12.

Luego utilizamos la ecuación 41-7b para encontrar la actividad de ese entonces, y la

ecuación 41-7c para encontrar hace cuánto tiempo fue así, despejando el tiempo t.

SOLUCIÓN Los 200 g de carbono son casi todos 162C; 12.0 g de 126C contienen 6.02 3
1023 átomos, de manera que 200 g contienen

6.02 * 1023 átomos͞mol ≤ (200 g) 1.00 * 1025 átomos.
¢ 12 g͞mol
=

Cuando el animal vivía, la proporción de 146C a 126C en el hueso era 1.3 3 10212. El nú-
mero de núcleos de 164C en esa época era

N0 = A1.00 * 1025 átomosB A1.3 * 10–12B = 1.3 * 1013 átomos.
A partir de la ecuación 41-7b, con l = 3.83 * 10–12 s–1 para 164C (ejemplo 41-8), la
magnitud de la actividad cuando el animal estaba vivo (t 5 0) era

dN A3.83 * 10–12 s–1B A1.3 * 1013B 50 s–1.
` dt ` = lN0 = =

0

De acuerdo con la ecuación 41-7c,

dN = ` dN ` e–lt,
` dt ` dt
0

donde udNydtu está dada como 16 s21. Así,

elt = ∑dN͞dt∑0 = 50 s–1 .
∑dN͞dt∑ 16 s–1

Sacamos el logaritmo natural (ln) de ambos lados (y dividimos entre l) para obtener

t = 1 ln B ∑dN͞dt∑0 R = 3.83 1 ln B 50 s–1 R
l ∑dN͞dt∑ * 10–12 s–1 16 s–1

= 2.98 * 1011 s = 9400 años,
que es el tiempo transcurrido desde la muerte del animal.

Fechamiento en escala de tiempo geológico

El fechamiento con carbono es útil sólo para determinar la edad de los objetos meno-
res de aproximadamente 60,000 años de antigüedad. La cantidad de 164C que permane-
ce en los objetos aún más antiguos por lo general es muy pequeña para medirse con
precisión, aunque nuevas técnicas permiten la detección de cantidades de 164C, todavía
menores, lo que extiende el marco temporal hacia atrás. Por otra parte, los isótopos ra-
diactivos con vidas medias más largas se pueden usar en ciertas circunstancias para co-
nocer la edad de objetos más antiguos. Por ejemplo, el decaimiento del 23982U, en virtud
de su larga vida media de 4.5 3 109 años, es útil para determinar la edad de las rocas en
una escala de tiempo geológico. Cuando el material fundido de la Tierra hace mucho
tiempo se solidificó en roca conforme disminuyó la temperatura, diferentes compues-
tos se solidificaron de acuerdo con los puntos de fusión y, por consiguiente, diferentes
compuestos se separaron en alguna medida. El uranio presente en un material quedó

SECCIÓN 41–10 Fechamiento radiactivo 1123

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FÍSICA APLICADA fijado en su posición y los núcleos hijos que resultaron del decaimiento del uranio tam-
Las rocas más antiguas bién quedaron fijados en esa posición. De esta forma, al medir la cantidad de 29328U res-
de la Tierra y la vida tante en el material en relación con la cantidad de núcleos hijos, es posible determinar
más temprana el momento en que la roca se solidificó.

Los métodos de fechamiento radiactivo mediante 23982U y otros isótopos mostraron
que la antigüedad de las rocas más antiguas de la Tierra es de aproximadamente 4 3
109 años. La edad de las rocas más antiguas donde quedaron incrustados organismos
fosilizados indica que la vida apareció hace más de 3500 millones de años. Los restos de
mamíferos fosilizados más tempranos se encuentran en rocas con 200 millones de años
de antigüedad, y parece que los homínidos aparecieron hace aproximadamente 2 millo-
nes de años. El fechamiento radiactivo es indispensable para la reconstrucción de la
historia de la Tierra.

Ventana delgada

Gas en el tubo 41–11 Detección de radiación
ϩ
Las partículas individuales como electrones, protones, partículas a, neutrones y rayos g
ϩ Alambre electrodo no se detectan directamente mediante los sentidos. En consecuencia, se desarrollaron
(ánodo 5 1) muchos instrumentos para detectarlas.

ϩ Tubo metálico Contadores

ϩ (cátodo 5 2) Uno de los más comunes es el contador Geiger. Como se muestra en la figura 41-13,
Aislante consiste en un tubo metálico cilíndrico lleno con cierto tipo de gas. Un largo alambre co-
Ϫ rre por el centro y se mantiene a un alto voltaje positivo (L 103 V) con respecto al cilin-
dro exterior. El voltaje apenas es ligeramente menor que el requerido para ionizar los
ϩ 103 V átomos de gas. Cuando una partícula cargada entra a través de la delgada “ventana” en
ϩϪ un extremo del tubo, ioniza algunos átomos del gas. El alambre positivo atrae los elec-
trones liberados y, conforme éstos se aceleran, chocan con átomos adicionales y los io-
Hacia el contador nizan. Rápidamente se produce una “avalancha” de electrones que, cuando llega al
alambre ánodo, produce un pulso de voltaje. El pulso, luego de amplificarse, se puede
FIGURA 41–13 Diagrama de un enviar hacia un contador electrónico, que cuenta cuántas partículas se detectaron. O
contador Geiger. bien, los pulsos se envían a un altavoz y cada detección de una partícula se escucha co-
mo un “clic”. Sólo una fracción de la radiación emitida por una muestra se detecta me-
FIGURA 41–14 Contador diante cualquier dispositivo.
de centelleo con un tubo
Un contador de centelleo utiliza un sólido, líquido o gas conocido como centellea-
fotomultiplicador. dor, cuyos átomos se excitan fácilmente cuando los golpea una partícula entrante y
emiten luz visible cuando regresan a su estado fundamental. Los centelleadores comu-
Partícula Cristal de nes son cristales de NaI y ciertos plásticos. Una cara de un centelleador sólido se pega
entrante centelleo a un tubo fotomultiplicador y el conjunto se envuelve con material opaco para evitar
que entre luz (en la oscuridad) o se coloca dentro de un contenedor a prueba de luz. El
Fotón Fotocátodo tubo fotomultiplicador (FM) convierte la energía del fotón emitido por el centelleador
0V en una señal eléctrica. Un tubo FM es un tubo al vacío que contiene muchos electrodos
+ 200 V (por lo general de 8 a 14), llamados dinodos, que se mantienen a voltajes sucesivamen-
+ 400 V + 600 V te más altos, como se muestra en la figura 41-14. En su superficie superior hay una su-
+ 800 V + 1000 V perficie fotoeléctrica, llamada fotocátodo, cuya función trabajo (sección 37-2) es
+ 1200 V + 1400 V suficientemente baja como para que un electrón se libere con facilidad cuando un fo-
+ 1600 V tón, proveniente del centelleador, incide sobre él. Tal electrón se acelera hacia el volta-
je positivo del primer dinodo. Cuando incide sobre el primer dinodo, el electrón
Pulso Tubo adquiere suficiente energía cinética como para expulsar de dos a cinco electrones más.
de salida fotomultiplicador Éstos, a la vez, se aceleran hacia el segundo dinodo de voltaje más alto, y comienza un
proceso de multiplicación. El número de electrones que golpean el último dinodo pue-
(hacia el contador) de ser de 106 o más. Por ende, el paso de una partícula a través de un centelleador da
por resultado una señal eléctrica en la salida del tubo FM, que se puede enviar a un
contador electrónico al igual que en un tubo Geiger. Los centelleadores sólidos son
mucho más densos que el gas de un contador Geiger, y por lo tanto son detectores mu-
cho más eficientes, en especial para rayos g, que interactúan menos con la materia que
las partículas a o b. En la actualidad se usan mucho los centelleadores que permiten
medir la energía total depositada y se llaman calorímetros.

1124 CAPÍTULO 41 Física nuclear y radiactividad

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En las funciones de rastreo (sección 42-8), con frecuencia se usan centelleadores lí-
quidos. Las muestras radiactivas tomadas en diferentes momentos o de diferentes par-
tes de un organismo se colocan directamente en pequeñas botellas que contienen el
centelleador líquido. Esto es particularmente conveniente para la detección de rayos b
de 13H y 146C, que tienen energías muy bajas y presentan dificultad para pasar a través de
la cubierta exterior de un cristal centelleador o tubo Geiger. Se utiliza un tubo FM para
producir la señal eléctrica del centelleador líquido.

Un detector semiconductor consiste en un diodo de unión pn con polarización in-
vertida (secciones 40-8 y 40-9). Una partícula que pasa a través de la unión puede exci-
tar electrones en la banda de conducción, lo que deja huecos en la banda de valencia.
Las cargas liberadas producen un breve pulso eléctrico que se pueden contar al igual
que en el caso de contadores Geiger y de centelleo.

Es recomendable que las personas que trabajan en hospitales y quienes trabajan
alrededor de radiación porten dosímetros de película que detectan la acumulación de la
exposición a la radiación. La película interna se sustituye y revela periódicamente, y
la oscuridad se relaciona con la exposición total (véase la sección 42-6).

Visualización Trayectoria de la partícula

Los dispositivos estudiados hasta el momento se usan para contar el número de par- FIGURA 41–15 En una cámara de
tículas (o decaimientos de un isótopo radiactivo). También existen dispositivos que niebla o cámara de burbujas, alrededor
permiten ver la trayectoria de las partículas cargadas. Son muy importantes los detecto- de los iones producidos por el paso de
res semiconductores. Los semiconductores de oblea de silicio tienen su superficie gra- una partícula cargada se forman
bada en pequeños pixeles separados, y cada uno da información de la posición de la gotitas o burbujas.
partícula. Se usan mucho en física de partículas elementales (capítulo 43) para rastrear
las posiciones de las partículas producidas y determinar su punto de origen yyo su can- FIGURA 41–16 Cámara de arrastre
tidad de movimiento (con la ayuda de un campo magnético). El ordenamiento de pixe- por alambre dentro del Colisionador-
les puede ser CCD o CMOS (sección 33-5); este último permite incorporar electrónica Detector en el Fermilab (CDF). La
en su interior, lo que facilita una lectura rápida. fotografía al inicio del capítulo 43
(página 1164) se tomó con este
Uno de los dispositivos rastreadores más antiguos es la emulsión fotográfica, que detector.
puede ser pequeña y portátil, y que ahora se usa particularmente para estudios de rayos
cósmicos desde globos. Una partícula cargada que pasa a través de una emulsión ioniza
los átomos a lo largo de su trayectoria. Estos puntos experimentan un cambio químico y,
cuando la emulsión se revela (como película), se distingue la trayectoria de la partícula.

En una cámara de niebla, que se usó en los primeros días de la física nuclear, un
gas se enfría a una temperatura ligeramente por debajo de su punto de condensación
habitual (“se superenfría”) y moléculas de gas se condensan sobre cualquier molécula
ionizada presente. Cuando pasa una partícula cargada, alrededor de los iones produci-
dos se forman gotitas (figura 41-15). La luz que se dispersa en estas gotitas exhibe la
trayectoria de la partícula.

La cámara de burbujas, que inventó en 1952 D. A. Glaser (n. 1926), emplea un lí-
quido supercalentado que se mantiene cerca de su punto de ebullición normal. Alrede-
dor de los iones, producidos por el paso de una partícula cargada, se forman las
burbujas características de ebullición, las cuales indican las trayectorias de las partícu-
las que recientemente pasaron por ahí. Puesto que una cámara de burbujas usa un lí-
quido, con frecuencia hidrógeno líquido, pueden ocurrir muchas más interacciones que
en una cámara de niebla. Por lo general se aplica un campo magnético a través de la
cámara, de manera que es posible determinar la cantidad de movimiento de las par-
tículas a partir del radio de curvatura de sus trayectorias.

Una cámara de arrastre por alambre consiste en un conjunto de finos alambres
muy cercanos entre sí que se introducen en un gas (figura 41-16). Muchos alambres es-
tán conectados a tierra y los demás se mantienen a muy alto voltaje. Una partícula
cargada que pase a través de la cámara produce iones en el gas. Los electrones libera-
dos se mueven hacia el alambre de alto voltaje más cercano, lo que crea una “avalan-
cha” de muchos más iones y produce un pulso o una señal eléctrica en ese alambre. Las
posiciones de las partículas se determinan electrónicamente mediante la posición del
alambre y por el tiempo que el pulso tarda en llegar a la electrónica “de lectura” en los
extremos de los alambres. Las trayectorias de las partículas se reconstruyen electróni-
camente mediante computadoras que pueden “dibujar” una imagen de las rutas, como
se aprecia en la fotografía al inicio del capítulo 43. Un campo magnético externo curva
las trayectorias, lo que permite medir la cantidad de movimiento de las partículas.

En muchos detectores, la energía de las partículas se mide mediante la intensidad de la
señal electrónica; a tales detectores se les conoce como calorímetros, como ya se mencionó.

SECCIÓN 41–11 Detección de radiación 1125

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Resumen

La física nuclear es el estudio de los núcleos atómicos. Los núcleos Estas dos fuerzas, más las fuerzas gravitacional y electromagnética,
contienen protones y neutrones, que colectivamente se conocen co-
mo nucleones. El número total de nucleones, A, es el número de son los cuatro tipos de fuerzas conocidos.
masa atómica del núcleo. El número de protones, Z, es el número
atómico. El número de neutrones es igual a A 2 Z. Los isótopos son La carga eléctrica, las cantidades de movimiento lineal y angu-
núcleos con el mismo Z, pero con diferente número de neutrones.
Para un elemento X, un isótopo de Z y A dados se representa como lar, la masa-energía y el número de nucleones se conservan en todos

AZX. los decaimientos.
1
El decaimiento radiactivo es un proceso estadístico. Para un ti-
El radio nuclear es aproximadamente proporcional a A 3, lo
que indica que todos los núcleos tienen más o menos la misma den- po dado de núcleo radiactivo, el número de núcleos que decaen
sidad. Las masas nucleares se especifican en unidades de masa ató-
mica(u), donde la masa de 162C (incluidos sus 6 electrones) se define (DN) en un tiempo Dt es proporcional al número de N de núcleos
como exactamente 12.000000 u. En términos del equivalente de
energía (puesto que E 5 mc2), padres presentes:

1 u = 931.5 MeV͞c2 = 1.66 * 10–27 kg. ¢N = –lN ¢t; (41–4a)

La masa de un núcleo estable es menor que la suma de las ma- El signo menos significa que N disminuye con el tiempo.
sas de sus nucleones constituyentes. La diferencia en masa (por c2) La constante de proporcionalidad l se llama constante de
es la energía de enlace. Representa la energía necesaria para rom-
per el núcleo en sus nucleones constituyentes. La energía de enlace decaimiento y es característica del núcleo dado. El número N de nú-
por nucleón promedia alrededor de 8 MeV por nucleón, y es la más cleos que permanecen después de un tiempo t disminuye exponen-
baja para núcleos de masa baja y masa elevada. cialmente

Los núcleos inestables experimentan decaimiento radiactivo; N = N0 e–lt, (41–6)
cambian a otros núcleos con la emisión de una partícula a, b o g.
Una partícula a es un núcleo de 42He; una partícula b es un electrón como lo hace la actividad, R 5 udNydtu:
o positrón; y un rayo g es un fotón de alta energía. En el decaimien-
to b, también se emite un neutrino. La transformación del núcleo dN = ` dN ` 0 e–lt. (41–7c)
padre (o precursor) al núcleo hijo (o derivado) se llama transmuta- ` dt ` dt
ción de los elementos. El decaimiento radiactivo ocurre de mane-
ra espontánea sólo cuando la masa de los productos es menor que La vida media, T1 , es el tiempo que se requiere para que decaiga la
la masa del núcleo padre. La pérdida en masa aparece como energía mitad de los núc2leos de una muestra radiactiva. Se relaciona con
cinética de los productos. la constante de decaimiento mediante

El decaimiento alfa ocurre mediante el proceso meramente T1 = 0.693 . (41–8)
mecánico-cuántico de tunelamiento a través de una barrera. 2l

Los núcleos se mantienen unidos mediante la fuerza nuclear El decaimiento radiactivo permite determinar la antigüedad de
fuerte. La fuerza nuclear débil se hace evidente en el decaimiento b. (164C)
ciertos objetos, como el material biológico alguna vez vivo o
Preguntas formaciones geológicas (23982U).
Los detectores de partículas incluyen contadores Geiger, de

centelleo o centelleadores con tubos fotomultiplicadores unidos, y

los detectores semiconductores. Los detectores que pueden mostrar

imágenes de las trayectorias de partículas incluyen semiconducto-

res, emulsiones fotográficas, cámaras de burbujas y cámaras de

arrastre por alambre.

1. ¿Qué tienen en común diferentes isótopos de un elemento da- 11. Describa, en tantas formas como sea posible, la diferencia entre
do? ¿En qué son diferentes?
rayos a, b y g.
2. ¿Cuáles son los elementos representados por la X en las si-
guientes notaciones? a) 23922X; b) 187X; c) 11X; d) 8328X; e) 24977X? 12. ¿Qué elemento se forma mediante el decaimiento radiactivo de
a) 1241Na Ab–B; b) 1221Na Ab±B; c) 28140Po (a)?
3. ¿Cuántos protones y cuántos neutrones tiene cada uno de los 1325P
isótopos de la pregunta 2? 13. ¿Qué elemento se forma mediante el decaimiento de Ab–B;
b) 3156S Ab–B; c) 21813Bi (a)?
4. Identifique el elemento que tiene 88 nucleones y 50 neutrones.
5. ¿Por qué las masas atómicas de muchos elementos (véase la ta- 14. Encuentre la partícula o núcleo faltante:

bla periódica) no se acercan a números enteros? a) 4250Ca S ? + e– + R
6. ¿Cómo se sabe que existe la fuerza nuclear fuerte? b) 5298Cu* S ? + g
7. ¿Cuáles son las semejanzas y las diferencias entre la fuerza nu- c) 2446Cr S 2463V + ?
d) 29344Pu S ? + a
clear fuerte y la fuerza eléctrica? e) 29339Np S 29349Pu + ?
8. ¿Cuál es la evidencia experimental en favor de que la radiacti-
15. Inmediatamente después de que un núcleo de 29328U decae a
vidad es un proceso nuclear? 23940Th + 42He, el núcleo hijo torio aún puede tener 92 electro-
9. El isótopo 6294Cu es inusual en cuanto a que puede decaer me-
nes a su alrededor. Como el torio normalmente tiene sólo 90
diante emisión g, b2 y b1. ¿Cuál es el núclido resultante para
cada caso? electrones, ¿qué supone que ocurre con los dos adicionales?
10. Un núcleo de 29328U experimenta decaimiento a hacia un núcleo
que contiene, ¿cuántos neutrones? 16. Cuando un núcleo experimenta decaimiento o b2 o b1, ¿qué

1126 CAPÍTULO 41 Física nuclear y radiactividad sucede con los niveles de energía de los electrones atómicos?

¿Qué es probable que ocurra con estos electrones después del

decaimiento?

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17. Las partículas alfa de un núclido dado que emite partículas alfa 22. ¿Por qué ninguno de los elementos con Z . 92 es estable?
por lo general son monoenergéticas; esto es, todas tienen la mis- 23. Un protón choca con un núcleo de 36Li. Como resultado, se libe-
ma energía cinética. Pero las partículas beta provenientes de un
núclido que emite partículas beta tiene un espectro de energías. ran una partícula a y otra partícula. ¿Cuál es esa otra partícula?
Explique la diferencia entre estos dos casos. 24. ¿El fechamiento con 164C se podría usar para medir la antigüe-

18. Los isótopos que experimentan captura electrónica por lo gene- dad de las paredes y los tableros de piedra de civilizaciones an-
ral se encuentran, ¿arriba o abajo de los núclidos estables de la tiguas? Explique.
figura 41-2? 25. Tanto en la conversión interna como en el decaimiento b, se
emite un electrón. ¿Cómo podría determinar cuál proceso de
19. ¿El hidrógeno o el deuterio pueden emitir una partícula a? Ex- decaimiento ocurrió?
plique. 26. Describa cómo difiere la curva de energía potencial para una
partícula a en un núcleo que emite a de la de un núcleo estable.
20. ¿Por qué muchos isótopos radiactivos producidos artificialmen- 27. Explique la ausencia de emisores b1 en la serie de decaimiento
te son raros en la naturaleza? radiactivo de la figura 41-12.
28. Conforme el 28262Rn decae en 20826Pb, ¿cuántas partículas alfa y
21. Un isótopo tiene una vida media de un mes. Después de dos beta se emiten? ¿Importa cuál trayectoria se elija en la serie de
meses, ¿una muestra dada de este isótopo decaerá por comple- decaimiento? ¿Por qué?
to? Si no, ¿cuánto permanece?

Problemas

41–1 Propiedades nucleares 16. (II) Calcule la energía de enlace, y la energía de enlace por nu-
cleón, para a) 37Li, b) 19779Au. Consulte el Apéndice F.
1. (I) Un mesón pi tiene una masa de 139 MeV/c2. ¿Cuánto es es-
to en unidades de masa atómica? 17. (II) Compare la energía de enlace promedio de un nucleón en
el 1231Na con uno en el 2114Na.
2. (I) ¿Cuál es el radio aproximado de una partícula alfa A42HeB?
18. (III) ¿Cuánta energía se requiere para remover a) un protón,
3. (I) ¿En qué porcentaje el radio de 29328U es mayor que el radio b) un neutrón de 157N? Explique la diferencia en sus respuestas.
de 29322U?
núcleo 84Be (masa =
4. (II) a) ¿Cuál es el radio aproximado de un núcleo 11428Cd? b) ¿Apro- 19. (III) a) Demuestre que el partículas a. b) ¿El 8.005305 u) es
inestable y decaerá en dos 162C es estable
ximadamente cuál es el valor de A para un núcleo cuyo radio es
3.7 3 10215 m? contra el decaimiento en tres partículas a? Demuestre por qué.

5. (II) ¿Cuál es la masa de una partícula a sola (sin electrones) en 41–3 a 41–7 Decaimiento radiactivo
MeV/c2? 20. (I) ¿Cuánta energía se libera cuando el tritio, 13H, decae me-

6. (II) Suponga que dos partículas alfa se mantienen unidas de diante emisión b2?
manera que apenas se tocan. Estime la fuerza electrostática
de repulsión que cada una ejercería sobre la otra. ¿Cuál sería la 21. (I) ¿Cuál es la máxima energía cinética de un electrón emitido
aceleración de una partícula alfa sometida a esta fuerza? en el decaimiento b de un neutrón libre?

7. (II) a) Demuestre que la densidad de la materia nuclear es 22. (I) Demuestre que el decaimiento 116C S 150B + p no es po-
esencialmente la misma para todos los núcleos. b) ¿Cuál sería el sible porque no se conservaría la energía.
radio de la Tierra si tuviera su masa actual pero la densidad de
los núcleos? c) ¿Cuál sería el radio de un núcleo de 29328U si tu- 23. (I) El núcleo de 73Li tiene un estado excitado 0.48 MeV arriba
viera la densidad de la Tierra? del estado fundamental. ¿Qué longitud de onda de fotón gam-
ma se emite cuando el núcleo decae desde el estado excitado
8. (II) ¿Qué núcleo estable tiene aproximadamente la mitad del hasta el estado fundamental?
radio de un núcleo de uranio? [Sugerencia: Encuentre A y use
el Apéndice F para obtener Z.] 24. (II) Dé el resultado de un cálculo que demuestre si los siguien-
tes decaimientos son posibles o no:
9. (II) Si una partícula alfa se liberara desde el reposo cerca de la a) 29323U S 29322U + n;
superficie de un núcleo 215070Fm, ¿cuál sería su energía cinética b) 174N S 173N + n;
cuando esté lejos? c) 1490K S 3199K + n.

10. (II) a) ¿Cuál es la fracción de la masa del átomo de hidrógeno 25. (II) El 1241Na es radiactivo. a) ¿Es un emisor b2 o b1? b) Escriba
que está en el núcleo? b) ¿Cuál es la fracción del volumen del la reacción de decaimiento y estime la máxima energía cinética
átomo de hidrógeno que ocupa el núcleo? de la b emitida.

11. (II) ¿Aproximadamente cuántos nucleones hay en un objeto de 26. (II) Cuando el 2103Ne (masa = 22.9945 u) decae a 1213Na (masa =
1.0 kg? ¿Importa de qué esté hecho el objeto? ¿Por qué? 22.9898 u), ¿cuál es la máxima energía cinética del electrón
emitido? ¿Cuál es su energía cinética mínima? ¿Cuál es la ener-
12. (II) ¿Cuánta energía cinética debe tener una partícula a para gía del neutrino en cada caso? Ignore el retroceso del núcleo
apenas “tocar” la superficie de un núcleo de 29328U? hijo.

41–2 Energía de enlace 27. (II) Un núcleo 29328U emite una partícula a con energía cinética
13. (I) Estime la energía de enlace para el 2639Cu, a partir de la figu- = 4.20 MeV. a) ¿Cuál es el núcleo hijo y b) cuál es la masa ató-
mica aproximada (en u) del átomo hijo? Ignore el retroceso del
ra 41-1 núcleo hijo.

14. (II) Consulte el Apéndice F para calcular la energía de enlace 28. (II) ¿Cuál es la máxima energía cinética de la partícula b emiti-
del 12H (deuterio). da durante el decaimiento del 2607Co?

15. (II) Determine la energía de enlace del último neutrón en un
núcleo 1352P.

Problemas 1127

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29. (II) Un núcleo de 256 u de masa, inicialmente en reposo, emite 48. (II)El 15254Cs tiene una vida media de 30.8 s. a) Si inicialmente se
tienen 7.8 mg, ¿cuántos núcleos de Cs están presentes? b) ¿Cuán-
una partícula a con una energía cinética de 5.0 MeV. ¿Cuál es la tos están presentes 2.6 min después? c) ¿Cuál es la actividad en
este tiempo? d) ¿Después de cuánto tiempo la actividad dismi-
energía cinética del núcleo hijo que retrocede? nuirá a menos de aproximadamente 1 por segundo?

30. (II) El isótopo 21884Po puede decaer por emisión a o b2. ¿Cuál
es la energía que se libera en cada caso? La masa del 28148Po es

218.008965. 49. (II) Calcule la masa de una muestra de 4109K puro con una tasa
de decaimiento inicial de 2.0 3 105 s21. La vida media del 1490K
31. (II) El núclido 1352P decae por emisión de un electrón cuya máxi- es de 1.265 3 109 años.
ma energía cinética puede ser 1.71 MeV. a) ¿Cuál es el núcleo

hijo? b) Calcule la masa atómica (en u) del núcleo hijo. 50. (II) Calcule la actividad de una muestra pura de 8.7 mg de

32. (II) Un átomo expulsa un fotón con longitud de onda de 1.00 3 1352P AT1 = 1.23 * 106 sB.
10213 m. Calcule su energía y explique por qué es un rayo g des- 2
de el núcleo o un fotón desde el átomo.
51. (II) La actividad de una muestra de 3156S AT1 = 87.32 díasB es
3.65 3 104 decaimientos 2 es la masa de la
33. (II) ¿Cuánta energía se libera en la captura electrónica por be- por segundo. ¿Cuál
rilio: 47Be + e– S 73Li + n?
muestra?
34. (II) ¿Cuánta energía de retroceso obtiene un núcleo de 4109K
cuando emite un rayo gamma de 1.46 MeV? 52. (II) Una muestra de 29323U A T1 = 1.59 * 105 añosB contiene
5.50 3 1018 núcleos. a) ¿Cuál 2 la constante de decaimiento?
35. (II) Determine la máxima energía cinética de las partículas b1
que se liberan cuando 116C decae a 115B. ¿Cuál es la máxima es
energía que puede tener el neutrino? ¿Cuál es la mínima ener-
gía de cada uno? b) ¿Aproximadamente cuántas desintegraciones ocurrirán por

36. (III) La partícula a que se emite cuando el 29328U decae tiene minuto?
4.20 MeV de energía cinética. Calcule la energía cinética de re-
troceso del núcleo hijo y el valor Q del decaimiento. 53. (II) La actividad de una muestra cae en un factor 4.0 en 8.6 mi-
nutos. ¿Cuál es su vida media?

37. (III) ¿Cuál es la energía de la partícula a que se emite en el de- 54. (II) Una muestra de 385 g de carbono puro contiene 1.3 partes
caimiento 28140Po S 20862Pb + a? Tome en cuenta el retroceso en 1012 (átomos) de 164C. ¿Cuántas desintegraciones ocurren
del núcleo hijo. por segundo?

38. (III) Demuestre que, cuando un núcleo experimenta decai- 55. (II) Una muestra de 29328U decae a una tasa de 3.70 3 102 decai-
miento b1, la energía total liberada es igual a mientos/s. ¿Cuál es la masa de la muestra?

56. (II) Fechamiento con rubidio-estroncio. El isótopo rubidio
3877Rb, un emisor b con una vida media de 4.75 3 1010 años, se
AMP - MD - 2meB c2, usa para determinar la edad de rocas y fósiles. Las rocas con fó-

donde MP y MD son las masas de los átomos padre e hijo (neu- siles de animales antiguos contienen una p8387rSorpocurcainódnodleas38r87oScraas
tro), y me es la masa de un electrón o positrón. 3877Rb de 0.0260. Suponiendo que no había

se formaron, estime la edad de estos fósiles.

41–8 a 41–10 Vida media, tasas de decaimiento, 57. (II) La actividad de una fuente radiactiva disminuye en 2.5%
series de decaimiento, fechamiento en 31.0 horas. ¿Cuál es la vida media de esta fuente?

39. (I) a) ¿Cuál es la constante de decaimiento del 23982U cuya vida 58. (II) El 47Be decae con una vida media de aproximadamente 53
media es 4.5 3 109 años? b) La constante de decaimiento de un días. Se produce en la atmósfera superior y se filtra hacia la su-
núcleo dado es 3.2 3 1025 s21. ¿Cuál es su vida media? perficie de la Tierra. Si se detecta que una hoja de planta expe-
rimenta 350 decaimientos/s de 74Be, a) ¿cuánto se tendrá que
40. (I) Un material radiactivo produce 1280 decaimientos por mi- esperar para que la tasa de decaimiento caiga a 15 por segun-
do? b) Estime la masa inicial del 47Be en la hoja.
nuto en un momento, y 3.6 h después produce 320 decaimientos
59. (II) Dos de las cadenas de decaimiento radiactivo que ocurren
por minuto. ¿Cuál es su vida media? en la naturaleza comienzan con 29302Th y con 23952U. Los primeros
cinco decaimientos de estas secuencias son:
41. (I) ¿Qué fracción de una muestra de 6328Ge, cuya vida media es
de aproximadamente 9 meses, permanecerá después de 2.0

años?

42. (I) ¿Cuál es la actividad de una muestra de 164C que contiene a, b, b, a, a
8.1 3 1020 núcleos? y

43. (I) ¿Qué fracción de una muestra queda después de exactamen- a, b, a, b, a.

te 6 vidas medias?

44. (II) Tanto una muestra de 2670Co como una muestra de 15331I tie- Determine los núcleos hijos intermedios resultantes en cada
nen N0 átomos en t 5 0. ¿Cuánto tiempo transcurrirá hasta que caso.
ambas tengan la misma actividad? (Consulte los datos de la vida
60. (II) Un antiguo mazo de madera contiene 85 g de carbono y
media en el Apéndice F). tiene una actividad de 7.0 decaimientos por segundo. Determi-
ne su antigüedad suponiendo que, en los árboles vivos, la pro-
45. (II) ¿Cuántos núcleos de 23982U permanecen en una roca si la ac- porción de átomos 14C/12C es aproximadamente 1.3 3 10212.
tividad registra 340 decaimientos por segundo?
61. (III) En t = 0, una muestra pura de núcleos radiactivos contiene
46. (II) En una serie de decaimientos, el núclido 29325U se convierte núcleos N0 cuya constante de decaimiento es l. Determine una
en 28027Pb. ¿Cuántas partículas a y b2 se emiten en esta serie? fórmula para el número de núcleos hijos, ND, como función del
tiempo; suponga que el núcleo hijo es estable y que ND = 0 en
47. (II) El isótopo yodo 15331I se usa en hospitales para diagnóstico t = 0.
del funcionamiento de la tiroides. Si un paciente ingiere 782 mg,

determine la actividad a) inmediatamente, b) 1.00 h después,

cuando la tiroides se examina y c) 4.0 meses después. Consulte

el Apéndice F.

1128 CAPÍTULO 41 Física nuclear y radiactividad

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Problemas generales

62. ¿Cuál isótopo radiactivo de plomo se produce si la actividad 74. a) Calcule la energía cinética de la partícula a emitida cuando
decae el 23962U. b) Con base en la ecuación 41-1, estime el radio de
medida de una muestra disminuye al 1.050% de su actividad ori- una partícula a y un núcleo de 29302Th. Con base en esto, estime
c) la máxima altura de la barrera de Coulomb y d) su ancho AB
ginal en 4.00 h? en la figura 41-7.

63. Una antigua herramienta de madera contiene sólo el 6.0% del 75. El núclido 17961Os decae con energía b2 de 0.14 MeV acompañado
146C que tendría una masa igual de madera fresca. ¿Cuál es la por rayos g con 0.042 MeV y 0.129 MeV de energía. a) ¿Cuál es
antigüedad de la herramienta?

64. Una estrella de neutrones consiste en neutrones aproximada-

mente a la densidad nuclear. Para una estrella de neutrones de el núcleo hijo? b) Dibuje un diagrama de nivel de energía que

10 km de diámetro, estime a) su número de masa, b) su masa muestre los estados fundamentales del núcleo padre y del

(en kg) y c) la aceleración de la gravedad en su superficie. núcleo hijo, así como estados excitados de este último. c) ¿A
cuáles estados del núcleo hijo ocurre decaimiento b2 de 19716Os?
65. Fechamiento con tritio. El isótopo de hidrógeno 31H que se lla-
ma tritio (porque contiene tres nucleones), tiene una vida me- 76. Determine las actividades de a) 1.0 g de 15331I AT1 = 8.02 díasB
2
dia de 12.3 años. Se emplea para medir la antigüedad de objetos y b) 1.0 g de 29328U AT1 = 4.47 * 109 añosB.
2
de hasta aproximadamente 100 años. Se produce en la atmósfe-
77. Con base en la figura 41-1 estime la energía de enlace para el
ra superior mediante rayos cósmicos y llega a la Tierra con la

lluvia. Como aplicación, determine aproximadamente la anti- cobre y luego estime la energía, en joules, necesaria para desin-
31H
güedad de una botella de vino cuya radiación es de aproxi- tegrar una moneda de cobre de 3.0 g en sus nucleones constitu-
1
madamente 10 de la presente en vino nuevo. yentes.

66. Algunas teorías de partículas elementales (sección 43-11) sugieren 78. En vez de dar las masas atómicas para núclidos, como en el
que el protón puede ser inestable, con una vida media $ 1033 Apéndice F, algunas tablas mencionan el exceso de masa, D, que
se define como D = M – A, donde A es el número de masa ató-
años. ¿Cuánto tiempo habría que esperar para que un protón mica y M es la masa en u. Determine el exceso de masa en u y
en MeV/c2 para: a) 24He; b) 162C; c) 8386Sr; d) 23952U. e) A partir de
en su cuerpo decayera (aproxime su cuerpo como si estuviera un vistazo al Apéndice F, ¿podría hacer una generalización
acerca del signo de D como función de Z o A?
todo formado de agua)?

67. Demuestre, con los decaimientos dados en la sección 41-5, que
1 3 .
el neutrino tiene espín 2 o 2

68. Los experimentos originales que establecieron que un átomo 79. Cuando se coloca agua cerca de una intensa fuente de neu-
trones, estos últimos pueden frenarse mediante colisiones con
tenía un pesado núcleo positivo se realizaron mediante el dispa- las moléculas de agua y finalmente quedar atrapados por un
núcleo de hidrógeno para formar el isótopo estable llamado
ro de partículas alfa a través de una hoja de oro. Las partículas deuterio, 21H, y emitir un rayo gamma. ¿Cuál es la energía del
rayo gamma?
alfa utilizadas tenían una energía cinética de 7.7 MeV. ¿Cuál es

la distancia más cercana a la que podían llegar a un núcleo de

oro? ¿Cómo se compara esto con el tamaño del núcleo?

69. ¿Cuánto habrá que esperar (en vidas medias) para que una mues- 80. a) Demuestre que la vida media de un núclido radiactivo, que
tra radiactiva caiga al 1.00% de su actividad original? se define como

70. Si el isótopo edsetimpoetacsuiáon41t09oK1409eKfecytú1399aK45redgeuclaarimhiaeynteons/usnenlituron li- Ύq
tro de leche, de t N(t) dt

leche. Consulte el Apéndice F. Ύt = 0 ,
q
71. núcleo de 28286Ra
a) En un decaimiento a de un una fracción 1͞ por ejemplo, de- N(t) dt
muestre que el núcleo se lleva 1
A1 + 4 ADB de la 0

energía total disponible, donde AD es el número de masa del es t = 1/l. b) ¿Qué fracción del número original de núcleos per-
núcleo hijo. [Sugerencia: Considere la conservación de la canti- manece después de una vida media?

dad de movimiento , así como la conservación de la energía.] 81. a) Una muestra de 72 gramos de carbono natural contiene la
fterascdcieónquheabsiótluoalqdueed164eCu.nEnstúimcleeocudáent1o46Cti.ebm)p¿oCtóramnosccuarmrirbáiaanla-
b) ¿Aproximadamente qué porcentaje de la energía disponible respuesta en a) si la muestra es de 270 gramos? ¿Qué dice esto
se lleva la partícula a cuando decae el 22868Ra? acerca de los límites de fechamiento con carbono?

72. El estroncio 90 es producto de la fisión nuclear del uranio tanto 82. Si la masa del protón estuviera apenas un poco más cerca de la
masa del neutrón, la siguiente reacción sería posible incluso a
en reactores como en bombas atómicas. Busque su ubicación en bajas energías de colisión:

la tabla periódica para ver qué otros elementos son química-

mente similares, y diga por qué cree que resulta peligroso inge-

rirlo. Tiene muchos neutrones y decae con una vida media de

aproximadamente 29 años. ¿Cuánto tiempo tendrá que esperar e– + p S n + n.
para que la cantidad de 9308Sr sobre la superficie de la Tierra lle-
gue al 1% de su nivel actual, suponiendo que no se esparce a) ¿Por qué esta situación podría ser catastrófica? b) ¿En qué
porcentaje tendría que aumentar la masa del protón para hacer
nuevo material? Escriba la reacción de decaimiento, incluido el posible esta reacción?

núcleo hijo que es radiactivo: escriba su decaimiento. 83. ¿Cuál es la proporción de las energías cinéticas para una par-
tícula alfa y una partícula beta, si ambas describen trayectorias
73. Con el principio de incertidumbre y el radio de un núcleo, esti- con el mismo radio de curvatura en un campo magnético, con
me, por ejemplo, la mínima energía cinética posible de un nu- orientación perpendicular a las trayectorias de las partículas?
cleón en hierro. Ignore correcciones relativistas. [Sugerencia:
Una partícula puede tener una cantidad de movimiento al me-
nos tan grande como su incertidumbre de cantidad de movi-
miento .]

Problemas generales 1129

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84. Una muestra de 1.00 g de samario natural emite partículas a a *Problemas numéricos/por computadora
una tasa de 120 s21 debido a la presencia de 16427Sm. La abun-
dancia natural del 16427Sm es del 15%. Calcule la vida media pa- * 89. (I) Un laboratorio tiene una muestra d1e0–13.8s0–1m. Cg adlceu1le73Nelcunyúa-
constante de decaimiento l = 1.16 *
ra este proceso de decaimiento.

85. Casi todo el uranio que existe en la naturaleza es 29328U con una mero inicial de núcleos, N0, presente en la muestra. Con base en
vida media de 4.468 3 109 años. La mayoría del resto del uranio la ley de decaimiento radiactivo, N = N0 e–lt, determine el
natural es 23925U 3 108 número de núcleos N presentes en el momento t para t = 0 a 30
actualidad, una con una vida media de 7.04 29325U. años. En la
muestra contiene 0.720% de a) ¿Cuánto minutos (1800 s) en incrementos de 0.5 min (30 s). Elabore una

fue este porcentaje hace mil millones de años? b) ¿Qué porcenta- gráfica de N contra t y a partir de ésta determine la vida media

je de 23952U permanecerá dentro de 100 millones de años? de la muestra.

86. En general, un plátano contiene 400 mg de potasio, de los cua- * 90. (II) Construya una hoja de cálculo (u otra herramienta numéri-
les una pequeña fracción es el isótopo radiactivo 4190K (véase el ca) que reproduzca la figura 41-1, la gráfica de energía de enlace
Apéndice F). Estime la actividad de un plátano promedio que
se debe al 4109K. por nucleón (en MeV) contra el número de masa A. Con ayuda

del Apéndice F, calcule la energía de enlace por nucleón para el

87. Algunos isótopos radiactivos tienen vidas medias que son ma- isótopo más estable de cada posible número de masa A $ 2.
yores que la edad del Universo (como el gadolinio o el sama- para 21H, 32He estable que 13H),
rio). La única forma de determinar estas vidas medias es [Los primeros valores serán estable que el es más Para reducir la
monitorear la tasa de decaimiento de una muestra que conten- 42He, 63Li, y 37Li (pues es más 74Be).]
ga estos isótopos. Por ejemplo, suponga que se encuentra un as- cantidad de datos, para A $ 20 grafique sólo puntos para valo-
teroide que en la actualidad contiene aproximadamente 15,000
kg de 15624Gd (gadolinio) y se detecta una actividad de 1 decai- res pares de A, y grafique hasta un máximo de A = 142.
miento/s. ¿Cuál es la vida media del gadolinio (en años)?

88. Las series de decaimiento, como la que se muestra en la figura
41-12, se pueden clasificar en cuatro familias, dependiendo de si
los números de masa tienen la forma 4n, 4n + 1, 4n + 2, o 4n
1 3, donde n es un entero. Justifique este enunciado y demues-

tre que, para un núclido en cualquier familia, todos sus núcleos

hijos estarán en la misma familia.

Respuestas a los ejercicios E: a).
F: 1.37 * 10–11 s–1.
A: 0.042130 u.
B: 7.98 MeV͞nucleón. G: a).
C: b).
D: c).

1130 CAPÍTULO 41 Física nuclear y radiactividad

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Diagrama del Reactor Experimental Termonuclear In-
ternacional (ITER), que comenzará a operar alrede-
dor de 2016. Dentro de su cavidad, de más de 12 m de
diámetro, un plasma de electrones y núcleos ligeros se
calentará a altas temperaturas que rivalizarán con las
del Sol. Confinar un plasma mediante campos magné-
ticos resulta difícil, y se requiere intensa investigación
para que la fusión de los núcleos ligeros cumpla su
promesa de ser una fuente de energía en abundancia y
relativamente limpia.

Este capítulo cubre los temas básicos de la física
de las reacciones nucleares, fisión y fusión nucleares, y
cómo obtener energía nuclear. También se estudian
los aspectos de salud de la dosimetría, la terapia con
radiación, y la visualización de imágenes mediante
TAC, TEP, SPET e IRM.

42Í T U L O
P
Energía nuclear; efectos CA
y usos de la radiación

PREGUNTA DE INICIO DE CAPÍTULO: ¡Adivine ahora! CONTENIDO
1. El Sol obtiene su energía a partir de
42–1 Reacciones nucleares y la
a) decaimiento nuclear alfa. transmutación de los
b) decaimiento nuclear beta. elementos
c) decaimiento nuclear gamma.
d) fisión nuclear. 42–2 Sección eficaz
e) fusión nuclear.
42–3 Fisión nuclear; reactores
2. ¿Cuál radiación induce más daño biológico con una cantidad dada de energía depo- nucleares
sitada en el tejido?
a) Partículas alfa. 42–4 Fusión nuclear
b) Radiación gamma.
c) Radiación beta. 42–5 Paso de la radiación a través
d) Todas causan el mismo daño con la misma energía depositada. de la materia; daño por
e) Depende del tipo de tejido. radiación

E n este capítulo continuaremos el estudio de la física nuclear. Comenzaremos 42–6 Medición de la radiación:
con una discusión de las reacciones nucleares y luego examinaremos los im- Dosimetría
portantes procesos de fisión y fusión que liberan gran cantidad de energía. Es-
te capítulo también examina los efectos de la radiación nuclear que pasa a * 42–7 Terapia con radiación
través de la materia, en particular la materia biológica, y cómo se usa la radiación en * 42–8 Trazadores en investigación
el área médica para terapia, diagnóstico y técnicas para obtener imágenes del cuerpo
humano. y medicina

* 42–9 Formación de imágenes
mediante tomografía:
Exploración TAC y tomografía
por emisión

* 42–10 Resonancia magnética nuclear
(RMN); formación de
imágenes mediante resonancia
magnética (IRM)

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42–1 Reacciones nucleares y la

transmutación de los elementos

Cuando un núcleo experimenta un decaimiento a o b, el núcleo hijo (o derivado) es un
elemento diferente del núcleo padre (o precursor). La transformación de un elemento
en otro, llamada transmutación, también se realiza mediante reacciones nucleares. Se
dice que una reacción nuclear ocurre cuando un núcleo dado es golpeado por otro nú-
cleo, o por una partícula más simple como un rayo g o un neutrón, y tiene lugar una in-
teracción. Ernest Rutherford fue el primero que reportó haber presenciado una
reacción nuclear. En 1919 observó que algunas partículas a, al pasar a través de gas de
nitrógeno, eran absorbidas y emitían protones. Concluyó que los núcleos de nitrógeno
se transformaban en núcleos de oxígeno mediante la reacción

42He + 174N S 178O + 11H,

donde 24He es una partícula a y 11H es un protón.
Desde entonces se han observado muchas reacciones nucleares. De hecho, muchos de

los isótopos radiactivos que se usan en el laboratorio se obtienen mediante reacciones
nucleares. Las reacciones nucleares se pueden generar en el laboratorio, pero también
ocurren regularmente en la naturaleza. En el capítulo 41 se vio un ejemplo: el 146C se
elabora de manera continua en la atmósfera mediante la reacción n + 174N S 164C + p.

En ocasiones las reacciones nucleares se escriben en forma abreviada: por ejem-
plo, la reacción

n + 147N S 164C + p

se puede escribir

174N (n, p) 146C.

Los símbolos afuera de los paréntesis a la izquierda y derecha representan el núcleo
inicial y final, respectivamente. Los símbolos adentro de los paréntesis representan
(el primero) la partícula que bombardea y (el segundo) la pequeña partícula emitida.

En cualquier reacción nuclear se conservan tanto la carga eléctrica como el núme-
ro de nucleones. Estas leyes de conservación con frecuencia son útiles, como se verá en
el siguiente ejemplo.

EJEMPLO CONCEPTUAL 42–1 Reacción de deuterio. Se observa que un neutrón
hgoidlpróegaeunnonqúucelecoondteie1n86Oe uyncperdoetóunnyduenutneeróuntr.ó(nU, n21Hd;eeunteorcóans,ioondeesusteerleioa,seigsneal isótopo de
el símbolo

d o D.) ¿Cuál es el núcleo que resulta?

RESPUESTA Se tiene la reacción n + 186O S ? + 12H. El número total de nucleones
inicialmente es 1 + 16 5 17, y la carga total es 0 + 8 = 8. Los mismos totales se aplican
después de la reacción. Por lo tanto, el núcleo producto debe tener Z 5 7 y A 5 15. A
partir de la tabla periódica, se encuentra que el nitrógeno es el que tiene Z 5 7, de
manera que el núcleo producido es 175N.

EJERCICIO A Determine el núcleo resultante en la reacción n + 15367Ba S ? + g.

En las reacciones nucleares también se conservan la energía y la cantidad de movi-
miento (o momento lineal) y sirven como indicio para determinar si una reacción dada
puede o no ocurrir. Por ejemplo, si la masa total de los productos finales es menor que
la masa total de las partículas iniciales, esta disminución en masa (recuerde DE 5 Dmc2)
se convierte en energía cinética (K) de las partículas resultantes. Pero si la masa total de
los productos es mayor que la masa total de los reactantes iniciales, la reacción requiere
energía. Entonces la reacción no ocurrirá a menos que la partícula que bombardea ten-
ga suficiente energía cinética. Considere una reacción nuclear de la forma general

a + X S Y + b, (42–1)

donde a representa una partícula proyectil (o núcleo pequeño) que choca con el núcleo
X, lo que produce el núcleo Y y la partícula b (por lo general, p, n, a, g). La energía de
reacción, o valor Q, se define en términos de las masas implicadas, como

1132 CAPÍTULO 42 Energía nuclear; efectos y usos de la radiación

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