EJEMPLO 38–7 ESTIMACIÓN Probabilidad cerca del centro de una caja rígi-
da. Un electrón está en un pozo cuadrado de potencial con profundidad infinita de
ancho l 5 1.00 3 10210 m. Si el electrón está en el estado fundamental, ¿cuál es la
probabilidad de encontrarlo en una región de ancho Dx 5 1.0 3 10212 m en el centro
del pozo (en x 5 0.50 3 10210 m)?
PLANTEAMIENTO La probabilidad de encontrar una partícula en una pequeña re-
gión de ancho dx es ucu2 dx (ecuación 38-6b). Con la A del ejemplo 38-6, la función de
onda para el estado fundamental es
c(x) = 2 sen px.
Bl l
SOLUCIÓN La curva n 5 1 en la figura 38-9 muestra que c es aproximadamente
constante cerca del centro del pozo. Así que se puede evitar una integral sobre dx y
sólo establecer dx L Dx para encontrar
∑c∑2 ¢x = 2 sen2 c px d ¢x
ll
= A1.00 2 sen2 pA0.50 * 10–10 mB d A1.0 * 10–12 mB = 0.02.
* 10–10 mB c A1.00 * 10–10 mB
Por lo tanto, la probabilidad de encontrar al electrón en esta región en el centro del
pozo es del 2%.
NOTA Puesto que Dx 5 1.0 3 10212 m es el 1% del ancho del pozo de 1.00 3 10210 m,
el resultado de la probabilidad del 2% no es lo que se esperaría de manera clásica. Des-
de el punto de vista clásico, el electrón tendría la misma probabilidad de estar en cual-
quier parte en la caja, y se esperaría que la probabilidad fuera del 1% en vez del 2%.
EJEMPLO 38–8 Probabilidad de e2 en 1 de caja. Determine la probabilidad de
4
encontrar un electrón en el cuarto izquierdo de una caja rígida, es decir, entre una pa-
red en x 5 0 y la posición x 5 ly4. Suponga que el electrón está en el estado funda-
mental.
ԽcԽ2
PLANTEAMIENTO No se puede hacer la suposición que se hizo en el ejemplo 38-7,
de que ucu2 L constante y que Dx es pequeño. Aquí se necesita integrar ucu2 dx desde
x 5 0 hasta x 5 ly4, que es igual al área bajo la curva que se muestra sombreada en
la figura 38-11.
SOLUCIÓN La función de onda en el estado fundamental es c1 = 22͞l sen(px͞l). xϭ0 x ϭ l x ϭ l x ϭ 3l x ϭl
Para encontrar la probabilidad del electrón en el cuarto izquierdo de la caja, integre 4 2 4
tal como en el ejemplo 38-6, pero con diferentes límites en la integral (y ahora se sabe que FIGURA 38–11 Distribución de
A = 22͞l ). Esto es, se establece que u 5 pxyl (entonces, x 5 ly4 correspondea u 5 probabilidad de estado fundamental
py4) y se utiliza la identidad sen2 1 1 cos 2uB. Por lo tanto, con (lyp)du, ucu2 para un electrón en una caja rígida.
u = 2 A - dx 5 Igual que la gráfica n 5 1 de la figura
38-10, pero aquí se muestra el área
Ύ Ύl͞4 = 2 l͞4 sen2 a p xb dx bajo la curva, desde x 5 0 hasta
∑c∑2 dx x 5 ly4, que representa la
0 l0 l probabilidad de encontrar el
electrón en esa región.
Ύ= 1 p͞4 - cos 2u) a l b du
l p
(1
0
= 1 - 1 sen 2u b 2 p͞4
pau 2 0
= 1 - 1 = 0.091.
4 2p
NOTA El electrón sólo pasa el 9.1% de su tiempo en el cuarto izquierdo de la caja.
Desde el punto de vista clásico, pasaría el 25%.
EJERCICIO C ¿Cuál es la probabilidad de encontrar al electrón entre x 5 ly4 y x 5 ly2?
(¿Necesita integrar?) a) 9.1%, b) 18.2%, c) 25%, d) 33%, e) 40.9%.
SECCIÓN 38–8 Partícula en un pozo cuadrado de potencial con profundidad infinita (una caja rígida) 1033
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EJEMPLO 38–9 Posición más probable y posición promedio. Dos interesan-
tes cantidades son las posiciones más probable y promedio de la partícula. Considere
un electrón en una caja rígida de ancho 1.00 3 10210 m en el primer estado excitado
n 5 2. a) ¿Cuál es la posición más probable? b) ¿Cuál es su posición promedio?
PLANTEAMIENTO Para encontrar a), la posición (o posiciones) más probable(s), en-
contramos el valor (o valores) máximo(s) de la distribución de probabilidad ucu2 al tomar
su derivada e igualarla a cero. Para b), la posición promedio, se integra x = ͐0l x ∑c∑2 dx.
SOLUCIÓN a) La función de onda para n 5 2 es c(x) = 2 sen a 2p xb , de manera
Bl l
que∑c(x)∑2 ϭ 2 sen2 a 2p xb . Para encontrar máximos y mínimos, se establece que
ll
ducu2ydx 5 0:
d ∑c∑2 = 2 (2) 2p sen a 2lpx b cos a 2lpx b .
dx l l
Esta cantidad es cero cuando el seno es cero (2px͞l = 0, p, 2p, p ), o el coseno es
cero (2px͞l = p͞2, 3p͞2, p ). Los máximos y mínimos se presentan en x 5 0, ly2,
l y x 5 ly4, 3ly4. Los últimos (ly4, 3ly4) son los máximos (véase la curva n 5 2 de la
figura 38-10); los otros son mínimos. [Para confirmar, se puede tomar la segunda deri-
vada, d2ucu2ydx2, que es . 0 para mínimos y , 0 para máximos].
b) La posición promedio es (de nuevo empleamos sen2 u = 12(1 - cos 2u)):
Ύ Ύ Ύl l2 x sen2 a 2p xb dx = 1 l - cos a 4p xb d dx,
0l l l l
x = x∑c∑2 dx = xc1
0 0
que da por resultado (al integrar por partes, Apéndice B: u 5 x, dv = cos (4px͞l) dx):
x= 1 x2 - xl sen a 4lpx b l2 cos a 4p x b d l = l.
l c2 4p - 16p2 l 0 2
Puesto que las curvas para ucu2 son simétricas en torno al centro de la caja, se espera
esta respuesta. Pero advierta que, para n 5 2, la probabilidad de encontrar la partícu-
la en el punto x 5 ly2 en realidad es cero (figura 38-10).
EJEMPLO 38–10 ESTIMACIÓN Bacteria confinada. Una pequeña bacteria,
con una masa de aproximadamente 10214 kg, está confinada entre dos paredes rígidas
separadas 0.1 mm. a) Estime su rapidez mínima. b) Si, en vez de ello, su rapidez es de
aproximadamente 1 mm en 100 s, estime el número cuántico de su estado.
PLANTEAMIENTO Suponemos que U 5 0 dentro del pozo de potencial, de manera
1 mv2.
que E = 2 En a) la rapidez mínima se presenta en el estado fundamental, n 5 1,
de manera que v = 22E͞m donde E es la energía del estado fundamental. En
b), despeje n en la ecuación 38-13.
SOLUCIÓN a) Con n 5 1, la ecuación 38-13 da E = h2͞8 ml2 de manera que
v = 2E = h2 = h = 6.6 * 10–34 J и s L 3 * 10–16 m͞s.
Bm B 4m2l2 2ml 2A10–14 kgB A10–4 mB
Ésta es una rapidez tan pequeña, que no se podría medir y el objeto parecería en re-
poso, en congruencia con la física clásica.
b) Dada v = 10–3 m͞100 s = 10–5 m͞s, la energía cinética de la bacteria es
E = 1 mv2 = 1 A10–14 kgB A10–5 m͞sB2 = 0.5 * 10–24 J.
2 2
A partir de la ecuación 38-13, el número cuántico de ese estado es
n = 8ml2 = A0.5 * 10–24 JB(8)A10–14 kgB A10–4 mB2 L 3 * 1010.
BE ¢ h2 ≤ C A6.6 * 10–34 J и sB2
1034 CAPÍTULO 38 NOTA Este número es tan grande que nunca se podría distinguir entre estados de
energía adyacentes (entre n 5 3 3 1010 y 3 3 1010 1 1). Los estados energéticos pa-
recerían formar un continuo. Por ende, aun cuando las energías implicadas aquí son
pequeñas (V 1 eV), todavía se lidia con un objeto macroscópico (aunque visible sólo
bajo un microscopio) y el resultado cuántico no es distinguible de uno clásico. Esto
está en concordancia con el principio de correspondencia.
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38–9 Pozo de potencial finito I II III
U U = U0
Ahora examinemos una partícula en una caja cuyas paredes no son perfectamente rígi- U0
das. Esto es, la energía potencial afuera de la caja o del pozo no es infinita, sino que se
eleva a cierto nivel U0, como se ilustra en la figura 38-12. A esto se le llama pozo de po-
tencial finito. Puede servir como una aproximación para un neutrón en un núcleo, por
ejemplo. Existen algunas nuevas características significativas que surgen para el pozo
finito en comparación con el pozo infinito. Dividimos el pozo en tres regiones, como se
muestra en la figura 38-12. En la región II, dentro del pozo, la ecuación de Schrödinger
es la misma que antes (U 5 0), aunque las condiciones de frontera serán diferentes. De
manera que la solución para la región II se escribe como
cII = A sen kx + B cos kx (0 6 x 6 l) U=0 x
pero no establecemos inmediatamente que B 5 0 ni suponemos que k está dada por la
ecuación 38-12. x=0 x=l
En las regiones I y III, la ecuación de Shcrödinger, ahora con U(x) 5 U0, es
U 2 d2c + U0 c = Ec. FIGURA 38–12 Energía potencial
– 2m dx2 U contra x para un pozo cuadrado
Esto se rescribe como unidimensional finito.
d2c - c 2m AU0 - EB dc = 0.
dx2 U
2
Suponga que E es menor que U0, de manera que la partícula está “atrapada” en el po-
zo (al menos desde el punto de vista clásico). Puede haber sólo uno de tales estados li-
gados, o muchos, o incluso ninguno, como se estudiará más tarde. La constante G se
define como
G2 = 2mAU0 - EB (38–16)
U2
y la ecuación de Schrödinger se rescribe como
d2c - G2c = 0.
dx2
Esta ecuación tiene la solución general
cI, III = CeGx + De–Gx,
que se confirma mediante sustitución directa, ya que
d2 Ae&GxB = G2e&Gx.
dx2
En la región I, x siempre es negativa, de manera que D debe ser cero (de otro modo,
c S q conforme x S 2q, lo que da un resultado inaceptable). De igual modo, en la
región III, donde x siempre es positiva, C debe ser cero. Por lo tanto,
cI = CeGx (x 6 0)
cIII = De–Gx (x 7 l).
En las regiones I y III, la función de onda disminuye exponencialmente con la distan-
cia desde el pozo. Las formas matemáticas de la función de onda adentro y afuera del
pozo son diferentes, pero se insiste en que la función de onda es continua incluso en las
dos paredes. También se insiste en que la pendiente de c, que es su primera derivada,
es continua en las paredes. Por lo tanto, se tienen las condiciones de frontera:
cI = cII y dcI = dcII en x = 0
dx dx
cII = cIII y dcII = dcIII en x = l.
dx dx
En la pared izquierda (x 5 0) estas condiciones de frontera se convierten en
Ce0 = A sen 0 + B cos 0 o C=B
y
GCe0 = kA cos 0 - kB sen 0 o GC = kA.
Éstas son dos de las relaciones que vinculan las constantes A, B, C, D y la energía E.
SECCIÓN 38–9 Pozo de potencial finito 1035
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c3 Se obtienen dos relaciones más a partir de las condiciones de frontera en x 5 l, y una
c2 quinta relación a partir de la normalización de las funciones de onda sobre todo el es-
pacio, ͐la–qqe∑cne∑2rgdíxa = 1. Estas cinco relaciones permiten resolver las cinco incógnitas, in-
cluida E. No se estudiarán las matemáticas detalladas, pero se estudiarán
algunos de los resultados.
La figura 38-13a muestra la función de onda c para los tres mínimos estados posi-
bles y la figura 38-13b muestra las distribuciones de probabilidad ucu2. Se ve que las
funciones de onda tienen un comportamiento suave en las paredes del pozo. Dentro
c1 del pozo, c tiene la forma de una onda sinusoidal; para el estado fundamental, hay me-
nos de media longitud de onda. Compare esto con el pozo infinito (figura 38-9), donde
x=0 x=l x la función de onda del estado fundamental es exactamente media longitud de onda:
a) l 5 2l. Para el pozo infinito, l . 2l. Por ende, para un pozo finito, la cantidad de mo-
vimiento de una partícula (p 5 hyl) y, en consecuencia, su energía de estado funda-
mental, será menor que para un pozo infinito del mismo ancho l.
Afuera del pozo finito se ve que la función de onda cae exponencialmente en cual-
quier lado de las paredes. El hecho de que c no sea cero más allá de las paredes signi-
fica que la partícula a veces puede encontrarse afuera del pozo. Esto contradice por
|c3|2 completo las ideas clásicas. Afuera del pozo, la energía potencial de la partícula es ma-
|c2|2 yor que su energía total: U0 . E. Esto viola la conservación de la energía. Pero en la fi-
|c1|2 gura 38-13b se ve claramente que la partícula puede pasar parte del tiempo afuera
del pozo, donde U0 . E (aunque la penetración dentro de esta región prohibida desde
el punto de vista clásico por lo general no es mucha, pues ucu2 disminuye exponencial-
mente con la distancia desde cualquier pared). La penetración de una partícula en una
región prohibida desde el punto de vista clásico es un resultado muy importante de la
mecánica cuántica. Pero, ¿cómo es posible? ¿Cómo se puede aceptar esta no conser-
vación de la energía? Podemos mirar el principio de incertidumbre en la forma
x
x=0 x=l ¢E ¢t g U.
b) Nos dice que la energía puede ser incierta, e incluso podría no conservarse, por una
FIGURA 38–13 a) Funciones cantidad DE para tiempos muy cortos ¢t ' U ͞¢E.
de onda y b) distribuciones de
probabilidad para los tres mínimos Ahora considere la situación cuando la energía total E de la partícula es mayor que
estados posibles de una partícula en un U0. En este caso, la partícula es una partícula libre y en todas partes su función de onda es
pozo de potencial infinito. Cada una de sinusoidal, figura 38-14. Su longitud de onda es diferente afuera del pozo y adentro, como
las curvas c y ucu2 se superpusieron se muestra. Puesto que K = 1 mv2 p2͞2m, la longitud de onda en la región II (U 5 0) es
sobre su nivel de energía (líneas 2 =
punteadas) por conveniencia.
hh 0 6 x 6 l,
l = p = 22mE
mientras que en las regiones I y III, donde p2͞2m = K = E - U0 , la longitud de on-
da es más grande y está dada por
FIGURA 38–14 Función de onda de
una partícula con energía E que viaja hh x 6 0 y x 7 l.
sobre un pozo de potencial cuya l = p = 32mAE - U0B
profundidad U0 es menor que E
(medida en el pozo). Para E . U0, cualquier energía E es posible. Pero para E , U0, como se vio anterior-
mente, la energía está cuantizada y sólo son posibles ciertos estados.
I II III EJERCICIO D Un electrón con energía E 5 6.0 eV está cerca de un pozo de potencial de
U = U0 profundidad U0 5 4.5 eV y ancho l 5 10.0 nm. ¿Cuál es la longitud de onda del electrón
E cuando está dentro del pozo? a) 0.50 nm; b) 0.58 nm; c) 1.0 nm; d) 10 nm; e) 20 nm.
U=0 [Otro pozo muy interesante, pero más complicado, es el oscilador armónico sim-
x=0 x=l ple, que tiene U(x) 1 Cx2 como se estudió en el capítulo 14. Algunos resultados de la
mecánica cuántica, = 2 ser cero), se tra-
x como una energía punto cero de 1 Uv (E no puede
2
tan brevemente en el problema 52].
38–10 Tunelamiento a través
de una barrera
En la sección 38-9 se vio que, de acuerdo con la mecánica cuántica, una partícula como
un electrón puede penetrar una barrera en una región prohibida por la mecánica clási-
ca. Existen algunas aplicaciones interesantes de este fenómeno, en particular como se
aplica a la penetración de una barrera delgada.
Considere una partícula de masa m y energía E que viaja hacia la derecha a lo lar-
go del eje x en el espacio libre, donde la energía potencial U 5 0, de manera que toda
1036 CAPÍTULO 38 Mecánica cuántica
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la energía es cinética (E 5 K). La partícula encuentra una estrecha barrera de poten- U x
cial cuya altura U0 (en unidades de energía) es mayor que E, y cuyo grosor es l (unida-
des de distancia); véase la figura 38-15a. Puesto que E , U0, de acuerdo con la física U = U0
clásica, se esperaría que la partícula no lograra penetrar la barrera, sino que simple-
mente se reflejaría y regresaría en el sentido opuesto. De hecho, esto es lo que ocurre E
en el caso de objetos macroscópicos. Pero la mecánica cuántica predice una probabili-
dad distinta de cero para encontrar la partícula en el otro lado de la barrera. Se puede E
ver cómo ocurre esto en el inciso b) de la figura 38-15, que muestra la función de onda. U=0
La partícula que se aproxima tiene una función de onda sinusoidal. Dentro de la barre- x=0 x=l
ra, la solución a la ecuación de Schrödinger es un decaimiento exponencial tal como a)
para el pozo finito de la sección 38-9. Sin embargo, antes de que el exponencial llegue
a cero, la barrera termina (en x 5 l) y para x . l de nuevo hay una función de onda si- c
nusoidal, pues U 5 0 y E 5 K . 0. Pero es una función seno con amplitud enormemen-
te reducida. No obstante, puesto que ucu2 es distinta de cero más allá de la barrera, se ve x=0 x=l x
que hay una probabilidad distinta de cero de que la partícula penetre la barrera. Este
proceso se llama tunelamiento a través de la barrera, o penetración de barrera. Aunque b)
no es posible observar la partícula dentro de la barrera (esto violaría la conservación
de la energía), se le puede detectar después de que penetró la barrera. FIGURA 38–15 a) Barrera de
potencial de altura U0 y grosor l. b)
Cuantitativamente, la probabilidad de tunelamiento se describe con un coeficiente Función de onda para una partícula
de transmisión, T, y un coeficiente de reflexión, R. Suponga, por ejemplo, que T 5 0.03 de energía E (, U0) que se aproxima
y R 5 0.97; entonces, si 100 partículas inciden sobre la barrera, en promedio, tres de desde la izquierda. La curva para c
ellas harían tunelamiento y 97 se reflejarían. Note que T 1 R 5 1, pues una partícula se superpone, por conveniencia, sobre
incidente debe reflejarse o realizar tunelamiento. El coeficiente de transmisión se pue- la línea del nivel de energía (línea
de determinar al escribir la función de onda para cada una de las tres regiones, tal co- punteada).
mo se hizo para el pozo finito, y luego aplicar las condiciones de frontera de que c y
dcydx deben ser continuas en los bordes de la barrera (x 5 0 y x 5 l). El cálculo indi-
ca (véase el problema 44) que, si T es pequeña (V 1), entonces
T L e–2Gl, (38–17a)
donde
G = 2mAU0 - EB . (38–17b)
C U2
(Ésta es la misma G que la de la sección 38-9, ecuación 38-16.) Advierta que al aumen-
tar la altura de la barrera U0 o al aumentar su grosor l, se reducirá drásticamente T. De
hecho, para situaciones macroscópicas, T es extremadamente pequeña, en concordan-
cia con la física clásica, que predice que no habrá tunelamiento (de nuevo, el principio
de correspondencia).
EJEMPLO 38–11 Penetración de barrera. Un electrón de 50 eV se aproxima a
una barrera cuadrada de 70 eV de alto y a) 1.0 nm de grosor, b) 0.10 nm de grosor.
¿Cuál es la probabilidad de que el electrón efectúe tunelamiento?
PLANTEAMIENTO Los eV se convierten a joules y se emplean las ecuaciones 38-17.
SOLUCIÓN a) Adentro de la barrera, U0 2 E 5 (70 eV 2 50 eV)(1.6 3 10219 JyeV)
5 3.2 3 10218 J.Así, al usar las ecuaciones 38-17, se tiene
2Gl = 2 2A9.11 * 10–31 kgB A3.2 * 10–18 JB A1.0 * 10–9 mB = 46
C A1.055 * 10–34 J иsB2
y
T = e–2Gl = e–46 L 1 * 10–20,
que es un valor extremadamente pequeño.
b) Para l 5 0.10 nm, 2Gl 5 4.6 y
T = e–4.6 = 0.010.
Por consiguiente, el electrón tiene un 1% de probabilidad de penetrar una barrera de
0.1 nm de grosor, pero sólo una oportunidad en 1020 de penetrar una barrera de 1 nm.
Al reducir el grosor de la barrera en un factor de 10, ¡la probabilidad de tunelamien-
to aumenta 1018 veces! Como es evidente, el coeficiente de transmisión es extremada-
mente sensible a los valores de l, U0 2 E y m.
SECCIÓN 38–10 Tunelamiento a través de una barrera 1037
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Vidrio Aire Tunelamiento de onda de luz
Luz El tunelamiento es resultado de las propiedades ondulatorias de las partículas materia-
incidente les, y también ocurre para ondas clásicas. Por ejemplo, en la sección 32-7 se vio que,
Luz cuando la luz que viaja en vidrio llega a una frontera vidrio-aire a un ángulo mayor
reflejada que el ángulo crítico, la luz se refleja al 100%. Este fenómeno de la reflexión total in-
totalmente terna se estudió desde el punto de vista de la óptica de rayos, y aquí se demostró en la
de manera figura 38-16a. Sin embargo, la teoría ondulatoria predice que las ondas en realidad pe-
a) interna netran el aire en el caso de algunas longitudes de onda, casi como si “necesitaran” pa-
sar la interfaz para descubrir que hay aire más allá y por eso necesitan reflejarse
Vidrio Vidrio totalmente. De hecho, si una segunda pieza de vidrio se coloca cerca de la primera, co-
Luz Luz mo se ilustra en la figura 38-16b, se puede observar experimentalmente una onda
transmitida que realiza tunelamiento en la brecha de aire. En realidad, uno puede ob-
incidente transmitida servar esto al mirar un vaso de agua a un ángulo tal que la luz que entra al ojo se refle-
je totalmente de manera interna desde la superficie (exterior) del vaso (que parecerá
Luz plateada). Si usted presiona la yema de su dedo humedecida contra el vidrio, podrá ver
reflejada las espiras de los surcos de sus huellas digitales, porque en los surcos usted interfirió
b) con la reflexión total interna en la superficie exterior del vidrio. De manera que ve luz
que penetra la brecha y se refleja en los surcos de su dedo.
FIGURA 38–16 a) Luz que viaja en
vidrio llega a la interfaz con aire a un Aplicaciones del tunelamiento
ángulo mayor que el ángulo crítico y se
refleja totalmente de manera interna. El tunelamiento ocurre incluso para ondas clásicas. Lo que es novedoso en la mecáni-
b) Una pequeña cantidad de luz ca cuántica es que las partículas materiales tienen propiedades ondulatorias y, por lo
realiza tunelamiento a través de una tanto, pueden hacer tunelamiento. El tunelamiento dio la base para algunos dispositi-
delgada brecha de aire entre dos vos útiles, y también ayudó a explicar algunos fenómenos importantes, algunos de los
piezas de vidrio. cuales se mencionan brevemente a continuación.
FIGURA 38–17 Energía potencial Algunos núcleos atómicos experimentan decaimiento radiactivo mediante la emi-
vista por una partícula alfa (carga q) sión de una partícula alfa (a), que consiste en dos protones y dos neutrones. Podemos
en presencia del núcleo (carga Q) que imaginar que, en el interior de un núcleo radiactivo, los protones y neutrones se mue-
muestra la función de onda para ven por ahí, y en ocasiones dos de cada uno se juntan y forman esa entidad estable, la
tunelamiento de salida. partícula alfa. En el capítulo 41 se estudiará con más detalle el decaimiento alfa, pero
por ahora advierta que el diagrama de energía potencial para la partícula alfa adentro
U qQ de este tipo de núcleo es algo parecido a la figura 38-17. El pozo cuadrado representa
4p⑀0r la fuerza nuclear atractiva que mantiene unido al núcleo. A esto se agrega la energía
potencial de repulsión de Coulomb 1yr entre la partícula alfa positiva y el núcleo res-
Energía tante con carga negativa. La barrera que resulta se llama barrera de Coulomb. La fun-
ción de onda para la partícula en tunelamiento que se ilustra debe tener energía mayor
de a que cero (o la barrera sería infinitamente ancha y no ocurriría tunelamiento), pero me-
nos que la altura de la barrera. Si la partícula alfa tuviera mayor energía que la barre-
0 r ra, siempre estaría libre y no existiría el núcleo original. De esta forma, la barrera
mantiene al núcleo unido, pero ocasionalmente un núcleo de este tipo puede decaer
Potencial Superficie mediante tunelamiento de una partícula alfa. La probabilidad de que una partícula a
nuclear del núcleo escape (y, por lo tanto, la “vida” de un núcleo) depende de la altura y el ancho de la ba-
rrera, y puede tomar un rango muy amplio de valores sólo para un cambio limitado en
ancho de barrera, como se vio en el ejemplo 38-11. Las vidas de los núcleos radiactivos
que experimentan decaimiento a varían de menos de 1 ms a 1010 años.
Un llamado diodo túnel es un dispositivo electrónico hecho de dos tipos de semi-
conductor que llevan portadores de carga de signo opuesto, separados por una región
neutra muy delgada. La corriente puede hacer tunelamiento a través de esta delgada
barrera y puede controlarse mediante el voltaje que se le aplique, lo cual afecta la altu-
ra de la barrera.
El microscopio de barrido y tunelamiento (STM, por las siglas de scanning tunne-
ling electron microscope), que se desarrolló en la década de 1980, utiliza el tunelamien-
to a través de un vacío. Una pequeña sonda, cuya punta puede ser de sólo un átomo (o
algunos átomos) de ancho, se mueve a través del espécimen a examinar en una serie de
barridos lineales, como los que se realizan mediante el haz de electrones en un cinesco-
pio o TRC de televisión. La punta, conforme explora, permanece muy cerca de la su-
perficie del espécimen, aproximadamente 1 nm sobre él, figura 38-18. Un pequeño
voltaje aplicado entre la sonda y la superficie provoca que los electrones realicen tune-
lamiento a través del vacío entre ellos. Esta corriente de tunelamiento es muy sensible
al ancho de la brecha (véase el ejemplo 38-11), de manera que se puede usar un meca-
1038 CAPÍTULO 38 Mecánica cuántica
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nismo de retroalimentación para elevar o bajar la sonda y mantener una corriente de Sonda de
tunelamiento electrónica constante. El movimiento vertical de la sonda, que sigue la exploración
superficie del espécimen, se grafica como función de la posición, exploración tras ex-
ploración, lo que produce una imagen tridimensional de la superficie. Es posible resol- Vacío Corriente de
ver características superficiales tan finas como el tamaño de un átomo: una resolución tunelamiento
mejor que 0.1 nm lateralmente y 1022 a 1023 nm verticalmente. Este tipo de resolución no electrónico
estaba disponible con anterioridad, de manera que representó un mayor impulso al es-
tudio de la estructura superficial de los materiales. La imagen “topográfica” de una su- Superficie del espécimen
perficie en realidad representa la distribución de la carga de electrones (distribuciones
de probabilidad de onda de electrones) sobre la superficie. FIGURA 38–18 La punta de la
sonda de un microscopio de barrido y
El nuevo microscopio de fuerza atómica (AFM, por las siglas de atomic force mi- tunelamiento, conforme se desplaza de
croscope) es en muchas formas similar a un STM, pero se puede usar con una gama manera horizontal, automáticamente
más amplia de materiales muestra. En vez de detectar una corriente eléctrica, el AFM se mueve arriba y abajo para mantener
mide la fuerza entre una punta voladiza y la muestra, una fuerza que depende notoria- una corriente de tunelamiento
mente de la separación entre punta y muestra en cada punto. La punta se mueve como constante, lo que produce una imagen
en el caso del STM. de la superficie.
Resumen
En 1925 Schrödinger y Heisenberg trabajaron por separado una Una partícula libre, no sujeta a fuerzas, tiene una función de
onda sinusoidal c = A sen kx + B cos kx con k = p͞ U y p es la
nueva teoría, la mecánica cuántica, que ahora se considera la teoría cantidad de movimiento de la partícula. Tal onda con cantidad de
fundamental a nivel atómico. Es una teoría estadística más que de- movimiento fija se dispersa indefinidamente en el espacio como una
terminista. onda plana.
Un paquete de ondas, ubicado en el espacio, es una superposi-
Un importante aspecto de la mecánica cuántica es el principio
ción de ondas sinusoidales con un rango de cantidades de movi-
de incertidumbre de Heisenberg, el cual resulta de la dualidad on-
miento.
da-partícula y de la inevitable interacción entre el objeto observado Para una partícula confinada en un pozo cuadrado de potencial
y el observador. con profundidad infinita, o caja rígida, la ecuación de Schrödinger
Una forma del principio de incertidumbre afirma que la posi- da las funciones de onda como
ción x y la cantidad de movimiento px de un objeto no se pueden
medir con precisión al mismo tiempo. Los productos de las incerti-
dumbres, (Dx)(Dpx), no pueden ser menores que U (= h͞2p):
A ¢xB(¢px) g U . (38–1) c = A sen kl,
Otra forma establece que la energía puede ser incierta, o no donde l es el ancho de la caja, A = 22͞l , y k = np͞l con n ente-
ro, como soluciones dentro del pozo. La energía está cuantizada,
conservarse, en una cantidad DE para un tiempo Dt donde
(¢E)(¢t) g U. (38–2)
Una partícula, como un electrón, se representa mediante una E = U 2k2 = n2h2 . (38–13)
función de onda c. El cuadrado de la función de onda, ucu2, en cual- 2m 8ml2
quier punto del espacio representa la probabilidad de encontrar la
partícula en ese punto. La función de onda se debe normalizar, lo En un pozo de potencial finito, la función de onda se extiende
hacia la región prohibida desde el punto de vista clásico, donde la
cual significa que ͐∑c∑2 dV sobre todo el espacio debe ser igual a 1, energía total es menor que la energía potencial. El hecho de que es-
to sea posible es congruente con el principio de incertidumbre. Las
pues la partícula debe encontrarse en un lugar u otro. soluciones a la ecuación de Schrödinger en estas áreas decaen de
En la mecánica cuántica no relativista, c satisface la ecuación manera exponencial.
de Schrödinger: Puesto que las partículas mecánico-cuánticas logran penetrar
tales áreas prohibidas desde el punto de vista clásico, pueden reali-
U 2 d2c + Uc = Ec, (38–5) zar tunelamiento a través de delgadas barreras aun cuando la ener-
– 2m dx2 gía potencial en la barrera sea mayor que la energía total de la
partícula.
aquí en su forma unidimensional independiente del tiempo, donde
U es la energía potencial como función de la posición y E es la ener-
gía total de la partícula.
Preguntas 3. Explique por qué, cuanto más masivo es un objeto, más fácil es
predecir su posición futura.
1. Compare una onda de materia c con a) una onda en una cuer-
da, b) una onda EM. Discuta las semejanzas y diferencias. 4. En vista del principio de incertidumbre, ¿por qué una pelota de
béisbol tiene posición y rapidez bien definidas, mientras que un
2. Explique por qué la teoría del átomo de Bohr no es compatible electrón no las tiene?
con la mecánica cuántica, en particular con el principio de in-
certidumbre. Preguntas 1039
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5. ¿Alguna vez sería posible equilibrar una aguja muy aguda exac- 14. La función de onda para una partícula en una caja rígida es ce-
tamente sobre su punta? Explique. ro en puntos dentro de la caja (excepto para n 5 1). ¿Significa
esto que la probabilidad de encontrar la partícula en estos pun-
6. Cuando usted mide la presión en una llanta, ¿acaso no escapa tos es cero? ¿Significa que la partícula no puede pasar por estos
algo de aire inevitablemente? ¿Es posible evitar este escape de puntos? Explique.
aire? ¿Cuál es la relación con el principio de incertidumbre?
15. ¿Cómo será la densidad de probabilidad para una partícula en
7. Se dice que la energía del estado fundamental en el átomo de un pozo de potencial infinito con grandes valores de n, por
hidrógeno se puede conocer con precisión, pero que los estados ejemplo, n 5 100 o n 5 1000? Conforme n se vuelve muy gran-
excitados tienen cierta incertidumbre en sus valores (un “ancho de, ¿sus predicciones se aproximan a las predicciones clásicas
de energía”). ¿Es esto congruente con el principio de incerti- en concordancia con el principio de correspondencia?
dumbre en su forma de energía? Explique.
16. Para una partícula en un pozo de potencial infinito, la separa-
8. Si la constante de Planck fuera mucho más grande de lo que es, ción entre estados de energía aumenta conforme n aumenta
¿cómo afectaría esto nuestra vida diaria? (véase la ecuación 38-13). Pero, ¿el principio de corresponden-
cia no requiere espaciamiento cercano entre estados conforme
9. ¿En qué formas la mecánica cuántica contradice a la mecánica n aumenta para que se aproxime a una situación clásica (no
newtoniana? cuantizada)? Explique.
10. Si se conoce con exactitud la posición de un objeto, sin incerti- 17. Una partícula queda atrapada en un pozo de potencial infinito.
dumbre, ¿qué tan bien se conocería su cantidad de movimiento? Describa lo que ocurre a la energía del estado fundamental y a
la función de onda de la partícula conforme las paredes de po-
11. Se coloca un termómetro frío dentro de un tazón de sopa ca- tencial se vuelven finitas y se reducen cada vez más hasta que
liente. ¿La lectura de temperatura del termómetro será la mis- finalmente llegan a cero (U 5 0 en todas partes).
ma que la temperatura de la sopa caliente antes de realizar la
medición? Explique. 18. Un átomo de hidrógeno y un átomo de helio, cada uno con 4 eV de
energía cinética, se aproximan a una delgada barrera de 6 MeV
12. ¿El principio de incertidumbre establece un límite a qué tan de alto. ¿Cuál tiene la mayor probabilidad de tunelamiento?
bien se puede realizar alguna medición de posición?
13. Discuta la vinculación entre la energía punto cero para una par-
tícula en una caja rígida y el principio de incertidumbre.
Problemas 8. (II) Una bala de 12 g sale horizontalmente de un rifle con una
rapidez de 180 mys. a) ¿Cuál es la longitud de onda de esta ba-
38–2 Función de onda, doble rendija la? b) Si la posición de la bala se conoce con una precisión de
1. (II) Los neutrones en un haz paralelo, cada uno con 0.030 eV 0.65 cm (radio del cañón), ¿cuál es la incertidumbre mínima en
su cantidad de movimiento vertical?
de energía cinética, se dirigen a través de dos rendijas separa-
das 0.60 mm. ¿Qué tan separados estarán los picos de interfe- 9. (II) Un electrón y una pelota de béisbol de 140 g viajan, cada
rencia sobre una pantalla a 1.0 m de distancia? [Sugerencia: una, a 95 mys, una rapidez medida con una precisión del
Primero encuentre la longitud de onda del neutrón]. 0.085%. Calcule y compare la incertidumbre en la posición de
cada uno.
2. (II) Se disparan municiones de 3.0 g de masa en trayectorias
paralelas con rapidez de 150 mys a través de un orificio de 3.0 mm 10. (II) ¿Cuál es la incertidumbre en la masa de un muón (m 5
de diámetro. ¿A qué distancia del orificio debe detectarse una 105.7 MeVyc2), especificada en eVyc2, dada su vida de 2.20 ms?
dispersión de 1.0 cm de diámetro en el haz de municiones?
11. (II) Un neutrón libre (m 5 1.67 3 10227 kg) tiene una vida me-
38–3 Principio de incertidumbre dia de 900 s. ¿Cuál es la incertidumbre en su masa (en kg)?
3. (I) Un protón viaja con una rapidez de (7.560 6 0.012) 3 105
12. (II) Con base en el principio de incertidumbre, demuestre que,
mys. ¿Con qué precisión máxima se puede determinar su po- si un electrón estuviera presente en el núcleo (r L 10215 m), su
sición? energía cinética (use relatividad) sería de cientos de MeV.
(Puesto que tales energías de electrón no se observan, se con-
4. (I) Por lo general, un electrón permanece en un estado excitado cluye que los electrones no están presentes en el núcleo). [Suge-
de un átomo durante 1028 s. ¿Cuál es la mínima incertidumbre rencia: Suponga que una partícula puede tener energía tan
en la energía del estado (en eV)? grande como su incertidumbre].
5. (I) Si la posición de un electrón se puede medir hasta una pre- 13. (II) Un electrón en el estado n 5 2 del hidrógeno permanece
cisión de 2.6 3 1028 m, ¿con cuánta precisión se puede conocer ahí en promedio aproximadamente 1028 s antes de saltar al es-
su rapidez? tado n 5 1. a) Estime la incertidumbre en la energía del estado
n 5 2. b) ¿Qué fracción de la energía de transición es ésta?
6. (I) La vida de un estado excitado típico en un átomo es de c) ¿Cuál es la longitud de onda, y el ancho (en nm), de esta lí-
aproximadamente 10 ns. Suponga que un átomo cae desde uno nea en el espectro del hidrógeno?
de tales estados excitados y emite un fotón con longitud de
onda de aproximadamente 500 nm. Determine la incertidum- 14. (II) ¿Con cuánta precisión se puede medir la posición de un
bre de la energía fraccional DEyE y la incertidumbre en la lon- electrón de 3.50 keV, suponiendo que su energía se conoce al
gitud de onda Dlyl de ese fotón. 1.00%?
7. (I) Un elemento radiactivo experimenta un decaimiento alfa
con una vida de 12 ms. Si se emiten partículas alfa con 5.5 keV
de energía cinética, determine la incertidumbre DEyE en la
energía de la partícula.
1040 CAPÍTULO 38 Mecánica cuántica
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15. (III) En un experimento de doble rendija con electrones (o fo- 23. (II) Un electrón atrapado en un pozo cuadrado de profundidad in-
finita tiene una energía de estado fundamental E 5 9.0 eV. a)
tones), suponga que se usan indicadores para determinar por ¿Cuál es la longitud de onda más larga del fotón que puede emitir
un estado excitado de este sistema? b) ¿Cuál es el ancho del pozo?
cuál rendija pasó cada electrón (sección 38-2). Estos indicado-
24. (II) Una transición de n 5 4 a n 5 1 para un electrón atrapado
res deben señalar la coordenada y dentro de dy2, donde d es la en una caja rígida produce un fotón de 340 nm. ¿Cuál es el an-
cho de la caja?
distancia entre rendijas. Con base en el principio de incertidum-
25. (II) Para una partícula en una caja con paredes rígidas, determi-
bre, demuestre que el patrón de interferencia se destruirá. [Nota: ne si los resultados para el estado fundamental son congruentes
con el principio de incertidumbre al calcular el producto Dp Dx.
Demuestre primero que el ángulo u entre máximos y mínimos Considere que Dx L l, puesto que la partícula está en algún lu-
1 gar dentro de la caja. Para Dp, note que, aunque se conozca p
del patrón de interferencia está dado por 2 l͞d, figura 38-19]. (= U k), la dirección de pB no se conoce, de manera que el com-
ponente x podría variar de 2p a 1p; por lo tanto, considere que
du Dp L 2p.
FIGURA 38–19 Problema 15. 26. (II) La línea con longitud de onda más larga en el espectro emi-
tido por un electrón atrapado en un pozo cuadrado con profun-
* 38–6 Ecuación de Schrödinger dependiente el tiempo didad infinita es 610 nm. ¿Cuál es el ancho del pozo?
* 16. (II) Demuestre que el principio de superposición se sostiene 27. (II) Determine los cuatro niveles energéticos menores y las fun-
para la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. Esto ciones de onda para un electrón atrapado en un pozo de poten-
es, demuestre que, si C1(x, t) y C2(x, t) son soluciones, entonces cial con profundidad infinita de 2.0 nm de ancho.
A°1(x, t) + B°2(x, t) también es una solución, donde A y B
son constantes arbitrarias. 28. (II) Escriba una fórmula para las posiciones de a) los máximos
y b) los mínimos en ucu2 para una partícula en el n-ésimo estado
* 17. (III) a) Demuestre que °(x, t) = Aei(kx -vt) es una solución en un pozo cuadrado infinito.
a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para
una partícula libre [U(x) 5 U0 5 constante], pero que 29. (II) Considere un núcleo atómico que se encuentra en un caja
°(x, t) = A cos(kx - vt) y °(x, t) = A sen(kx - vt) no lo rígida de ancho 2.0 3 10214 m. ¿Cuál sería la energía del estado
son. b) Demuestre que la solución válida del inciso a) satisface fundamental para a) un electrón, b) un neutrón y c) un protón
la conservación de la energía si se sostienen las relaciones de en este núcleo?
De Broglie; l = h͞p, v = E͞ U . Esto es, demuestre que la
sustitución directa en la ecuación 38-7 da 30. (II) Un protón en un núcleo se puede modelar aproximada-
mente como una partícula en una caja de dimensiones nuclea-
res. Calcule la energía liberada cuando un protón confinado en
un núcleo de 1.0 3 10214 m de ancho realiza una transición des-
de el primer estado excitado hasta el estado fundamental.
31. (II) Considere una sola molécula de oxígeno confinada en una
caja rígida unidimensional de 4.0 mm de ancho. a) Considérela
U 2k2 como una partícula en una caja rígida, y determine la energía del
2m
Uv = + U0 . estado fundamental. b) Si la molécula tiene una energía igual a
1
la energía térmica promedio unidimensional 2 kT a T 5 300 K,
¿cuál es el número cuántico n? c) ¿Cuál es la diferencia de ener-
38–7 Partículas libres; ondas planas; paquetes de ondas gía entre el n-ésimo estado y el siguiente estado más alto?
18. (I) Un electrón libre tiene una función de onda c(x) 5 A 32. (II) Un electrón está atrapado en una caja rígida de 1.00 nm de
sen(2.0 2 1010 x), donde x está dada en metros. Determine la
a) longitud de onda, b) cantidad de movimiento, c) rapidez y ancho. Determine la probabilidad de encontrar el electrón a
d) energía cinética del electrón.
menos de 0.15 nm desde el centro de la caja (a cualquier lado
19. (I) Escriba la función de onda para a) un electrón libre y b) un
protón libre, cada uno con una velocidad constante v 5 3.0 3 del centro) para a) n 5 1, b) n 5 5 y c) n 5 20. d) Compare con
105 mys.
la predicción clásica.
20. (III) Demuestre que el principio de incertidumbre se sostiene
para un “paquete de ondas” que se forma mediante dos ondas 33. (III) Si un pozo de profundidad infinita y ancho l se redefine
de similar longitud de onda l1 y l2. Para ello, siga el argumento 1 1
que conduce a la ecuación 16-8, pero use como las dos ondas como ubicado de x = – 2 l hasta x = 2 l (en oposición a x 5 0
c1 5 A sen k1x y c2 5 A sen k2x. Luego, demuestre que el ancho
de cada “paquete de ondas” es ¢x = 2p͞Ak1 - k2B = 2p͞¢k a x 5 l), especule cómo cambiará esto la función de onda para
(de t 5 0.05 s a t 5 0.15 s en la figura 16-17). Por último, de-
muestre que Dx Dp 5 h para esta situación sencilla. una partícula en ese pozo. Analice su especulación determinan-
do las funciones de onda y los niveles de energía para este pozo
recién definido. [Sugerencia: Intente c 5 A sen (kx 1 f)].
38–8 Pozo cuadrado infinito 38–9 Pozo de potencial finito
34. (II) Un electrón, con 180 eV de energía cinética en espacio li-
21. (II) ¿Cuál es la mínima rapidez de un electrón atrapado en un
pozo cuadrado con profundidad infinita de 0.20 nm de ancho? bre, pasa sobre un pozo de potencial finito de 56 eV de profun-
didad que se extiende desde x 5 0 hasta x 5 0.50 nm. ¿Cuál es
22. (II) Demuestre que, para una partícula en una caja perfecta- la longitud de onda del electrón a) en espacio libre, b) cuando
mente rígida, la longitud de onda de la función de onda para está sobre el pozo? c) Dibuje un diagrama que muestre la ener-
cualquier estado es la longitud de onda de De Broglie. gía potencial y la energía total como función de x, y sobre el
diagrama bosqueje una posible función de onda.
35. (II) Bosqueje las funciones de onda y las distribuciones de pro-
babilidad para los estados n 5 4 y n 5 5 en el caso de una par-
tícula atrapada en un pozo cuadrado finito.
Problemas 1041
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36. (II) Suponga que una partícula de masa m está atrapada en un 41. (II) Un electrón con una energía de 8.0 eV incide sobre una ba-
pozo de potencial finito que tiene una pared rígida en x 5 0 (U rrera de potencial que tiene 9.2 eV de alto y 0.25 nm de ancho.
5 q para x , 0) y una a) ¿Cuál es la probabilidad de que el electrón pase a través de
la barrera? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el electrón se
pared finita de altura u • refleje?
5 U0 en x 5 l, figura U 42. (II) Una corriente de 1.0 mA de protones de 1.6 MeV golpea
38-20. a) Bosqueje las una barrera de potencial de 2.6 MeV de alto y 2.8 3 10213 m de
funciones de onda para
los tres estados inferio- grosor. Estime la corriente transmitida.
res. b) ¿Cuál es la forma U0 43. (II) Para el inciso b) del ejemplo 38-11, ¿qué efecto habrá sobre
de la función de onda en el coeficiente de transmisión si a) la altura de la barrera se ele-
va 2.0%, b) el grosor de la barrera aumenta en 2.0%?
el estado fundamental en
las tres regiones x , 0, 44. (II) Demuestre que el coeficiente de transmisión está dado
0 , x , l, x . l? aproximadamente por las ecuaciones 38-17 para una barrera al-
ta o gruesa, al calcular ∑c(x = l)∑2͞∑c(0)∑2. [Sugerencia: Supon-
FIGURA 38–20 x=0 x=l x ga que c es un decaimiento exponencial dentro de la barrera].
Problema 36.
45. (III) Un núcleo de uranio 238 (Q 5 192e) dura aproximada-
37. (II) Un electrón está atrapado en un pozo cuadrado finito de mente 4.5 3 109 años antes de que decaiga por emisión de una
0.16 nm de ancho U0 5 2.0 keV. Estime a qué distancia afuera
de las paredes del pozo la función de onda del estado funda- partícula alfa (q 5 12e, M 5 4Mprotón). a) Suponiendo que la
mental cae al 1.0% de su valor en las paredes. partícula a es un punto, y el núcleo tiene aproximadamente
38–10 Tunelamiento 8 fm de radio, estime la altura de la barrera de Coulomb (el pi-
38. (II) Una barrera de potencial tiene una altura U0 5 14 eV y
co en la figura 38-17). b) La partícula alfa, cuando está libre, tie-
grosor l 5 0.85 nm. Si el coeficiente de transmisión para un ne energía cinética L 4 MeV. Estime el ancho de la barrera.
electrón incidente es 0.00050, ¿cuál es la energía del electrón?
c) Suponiendo que el pozo cuadrado tiene U 5 0 en el interior
39. (II) Un electrón se aproxima a una barrera de potencial de 18 eV (y U 5 0 lejos del núcleo), calcule la rapidez de la partícula alfa
de alto y 0.55 nm de ancho. Si el electrón tiene una probabili- y con cuánta frecuencia golpea el interior de la barrera, y a par-
dad del 1.0% de efectuar tunelamiento a través de la barrera,
¿cuál es la energía del electrón? tir de esto (y de las ecuaciones 38-17) estime la vida del uranio.
40. (II) Un protón y un núcleo de helio se aproximan a una barrera [Sugerencia: Sustituya la barrera de Coulomb 1yr con una ba-
de energía potencial de 25 MeV. Si cada uno tiene una energía
cinética de 5.0 MeV, ¿cuál es la probabilidad de cada uno para rrera rectangular “promediada” (como en la figura 38-15) de
realizar tunelamiento a través de la barrera, suponiendo que és- 1
ta es rectangular y mide 3.6 fm de grosor? ancho igual a 3 del calculado en b)].
Problemas generales 51. Con base en el principio de incertidumbre, estime la incerti-
dumbre de posición para el electrón en el estado fundamental
46. El bosón Z0, descubierto en 1985, es el mediador de la fuerza del átomo de hidrógeno. [Sugerencia: Determine la cantidad de
nuclear débil, y por lo general decae muy rápidamente. Su ener- movimiento con base en el modelo de Bohr de la sección 37-11
gía en reposo promedio es de 91.19 GeV, pero su corta vida se y suponga que la cantidad de movimiento puede estar en cual-
manifiesta como un ancho intrínseco de 2.5 GeV. ¿Cuál es el quier parte entre este valor y cero]. ¿Cómo se compara esto con
tiempo de vida de esta partícula? el radio de Bohr?
47. Estime la menor energía posible de un neutrón contenido en un 52. Oscilador armónico simple. Suponga que una partícula de masa
núcleo típico de 1.2 3 10215 m de radio. [Sugerencia: Considere
que una partícula puede tener una energía al menos tan grande m está atrapada no en un pozo cuadrado, sino en uno cuya
como su incertidumbre].
energía potencial es la de un oscilador armónico simple:
48. Un neutrón está atrapado en un pozo de potencial con profundi- 1 Cx2.
dad infinita de 2.5 fm de ancho. Determine a) los cuatro estados U(x) = 2 Esto es, si la partícula se desplaza desde x 5 0,
energéticos más bajos posibles y b) sus funciones de onda. c) ¿Cuá-
les son la longitud de onda y la energía de un fotón emitido cuando sobre ella actúa una fuerza restauradora F 5 2Cx, donde C es
el neutrón realiza una transición entre los dos estados más bajos?
¿En qué región del espectro EM se encuentra este fotón? [Nota: constante. b) Bosqueje esta energía potencial. b) Demuestre
Éste es un modelo aproximado de un núcleo atómico]. que c = Ae–Bx2 es una solución a la ecuación de Schrödinger y
1
49. Protones se aceleran desde el reposo a través de 650 V. Luego que la energía de este estado es E = 2 U v, donde v = 2C ͞m
se dirigen hacia dos rendijas separadas 0.80 mm. ¿Qué tan sepa-
rados estarán los picos de interferencia sobre una pantalla a 18 (como sucede de manera clásica, ecuación 14-5) y B = mv͞2 U .
m de distancia? 1
[Nota: Éste es el estado fundamental y esta energía 2 Uv es
50. Un electrón y un protón, ambos inicialmente en reposo, se ace-
leran a través del mismo voltaje. Suponiendo que la incertidum- la energía punto cero para un oscilador armónico. Las energías
bre en su posición está dada por su longitud de onda de De 1
Broglie, encuentre la razón de la incertidumbre en su cantidad de estados superiores son En = An + 2 B U v, donde n es un
de movimiento.
entero].
1042 CAPÍTULO 38 Mecánica cuántica
53. Estime la energía cinética y la rapidez de una partícula alfa
(q 5 12e, M 5 4Mprotón) atrapada en un núcleo de 1.5 3 10214 m
de ancho. Suponga un pozo cuadrado de potencial con profun-
didad infinita.
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54. Una pequeña pelota de 3.0 3 1026 kg de masa se deja caer so- * 61. (III) Considere una partícula de masa m y energía E que viaja
hacia la derecha, donde encuentra una estrecha barrera de po-
bre una mesa desde una altura de 2.0 m. Después de cada rebo- tencial de altura U0 y ancho l, como se ilustra en la figura 38-21.
Se puede demostrar que:
te, la pelota se eleva al 65% de su altura antes del rebote, como
(i) para E , U0, la probabilidad de transmisión es
resultado de su colisión inelástica con la mesa. Estime cuántos
rebotes ocurren antes de que el principio de incertidumbre de-
sempeñe un papel en el problema. [Sugerencia: Determine cuán- AeGl - e -GlB2 –1
do la incertidumbre en la rapidez de la pelota es comparable
con su rapidez de impacto sobre la mesa]. T = c1 + 16AE͞U0B A1 - E͞U0B d
55. ¿En cuánto cambia la corriente de tunelamiento a través de la
punta de un STM, si la punta se eleva 0.020 nm desde alguna al-
tura inicial sobre una superficie de sodio con una función traba- donde
jo W0 5 2.28 eV? [Sugerencia: Deje que la función trabajo 2m (U0 - E)
(véase la sección 37-2) iguale la energía necesaria para elevar el B U2
electrón a la parte superior de la barrera]. G =
56. Demuestre que la función c(x) = Aeikx, donde A es una cons- y la probabilidad de reflexión es R 5 1 2 T.
tante y k está dada por la ecuación 38-11, es una solución de la (ii) Para E . U0, la probabilidad de transmisión es
ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para el caso
U 5 0.
57. Demuestre que el valor promedio del cuadrado de la posición x
de una partícula en el estado n dentro de un pozo infinito de
ancho l es x2 = ͐x2∑cn∑2 dx 2 1 1 (np)-2 D .
= l C 3 - 2 gráfica de Calcule los sen2 AG¿lB –1
valores de x2 para n 5 1 a 20 y x2 contra n. 4AE͞U0B AE͞U0
elabore una T = c1 + - 1B d
[Sugerencia: Puede consultar una tabla de integrales detallada]. donde
58. Considere una partícula que pueda existir en cualquier lugar
del espacio, con una función de onda dada por c(x) 5 2m(E - U0)
1 ͞b∑21 e ,–(x͞b)2͞2 B U2
b – 2 ∑ x donde b 5 1.0 nm. a) Compruebe que la G¿ =
función de onda está normalizada. b) ¿Cuál es la posición
más probable para la partícula en la región x . 0? c) ¿Cuál es
la probabilidad de encontrar la partícula entre x 5 0 nm y x 5 y R 5 1 2 T. Considere que la partícula es un electrón e incide
sobre una barrera rectangular de altura U0 5 10 eV y ancho
0.50 nm? l 5 1.0 3 10210 m. a) Calcule T y R para el electrón a partir de
EyU0 5 0 a 10, en incrementos de 0.1. Elabore una gráfica sen-
59. Un lápiz de 7.0 gramos y 18 cm de largo se equilibra sobre su cilla que incluya las dos curvas de T y R como función de EyU0.
b) A partir de la gráfica, determine las energías (EyU0) a las
punta. Desde el punto de vista clásico, ésta es una configuración que el electrón tendrá probabilidades de transmisión del 10%,
20%, 50% y 80%.
de equilibrio (inestable), de manera que el lápiz podría perma-
necer así por siempre si se coloca de manera perfecta. Un análi-
sis mecánico-cuántico indica que el lápiz debe caer. a) ¿Por qué
es éste el caso? b) Estime (dentro de un factor de 2) cuánto
tiempo tardará el lápiz en golpear la mesa, si inicialmente se le
coloca tan bien como sea posible. [Sugerencia: Con base en el U(x)
principio de incertidumbre en su forma angular, obtenga una E
expresión para el ángulo inicial f0 L ¢f].
*Problemas numéricos/por computadora U0 E
* 60. (III) Un electrón está atrapado en el estado fundamental de un U(x) = 0 x=l x
pozo de potencial infinito de ancho l 5 0.10 nm. En el ejemplo x=0
38-7 la probabilidad de que el electrón se encuentre en el 1%
central del pozo se estimó en ucu2Dx. Use métodos numéricos FIGURA 38–21 Problema 61.
para determinar qué tan grande podría ser Dx para causar me-
nos del 10% de error en tal estimación.
Respuestas a los ejercicios C: e).
D: a).
A: c).
B: e). www.FreeLibros.me
Problemas generales 1043
Un tubo de neón es un delgado tubo
de vidrio, moldeable en varias formas,
lleno con gas neón (u otro gas) que
brilla con un color particular cuando a
través de él pasa una corriente de alto
voltaje. Los átomos del gas, excitados a
niveles superiores de energía, saltan
hacia niveles de energía inferiores y
emiten luz (fotones) cuyas longitudes
de onda (color) son características del
tipo de gas.
En este capítulo se estudiarán, des-
de el punto de vista de la mecánica
cuántica, los átomos, sus funciones de
onda y niveles de energía, incluido el
efecto del principio de exclusión. Tam-
bién se estudiarán interesantes aplica-
ciones, como los láseres y la holografía.
ÍTULO
CA39P Mecánica cuántica
de los átomos
CONTENIDO PREGUNTA DE INICIO DE CAPÍTULO: ¡Adivine ahora!
1. Miles de átomos de hidrógeno están todos en su estado fundamental. ¿Cuál de los
39–1 Visión mecánico-cuántica
de los átomos siguientes enunciados es verdadero?
a) Todos los átomos tienen al electrón en una órbita circular en el radio de Bohr.
39–2 El átomo de hidrógeno: La b) Todos los átomos tienen al electrón en la misma órbita, pero no es la misma ór-
ecuación de Schrödinger
y los números cuánticos bita para el estado fundamental en el modelo de Bohr.
c) El electrón no está en una órbita real, pero la distancia entre el núcleo y el elec-
39–3 Funciones de onda del
átomo de hidrógeno trón es la misma en todos los átomos.
d) Si se pudiera medir la distancia desde el núcleo al electrón, éste se encontraría
39–4 Átomos complejos; el
principio de exclusión en diferentes posiciones en diferentes átomos. La distancia más probable sería
el radio de Bohr.
39–5 Tabla periódica de los 2. El estado de un electrón en un átomo se puede especificar mediante un conjunto de
elementos números cuánticos. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son válidos?
a) No hay dos electrones en el Universo que sean idénticos.
39–6 Espectros de rayos X y el b) Todos los electrones en el Universo son idénticos.
número atómico c) No hay dos electrones en un átomo que ocupen el mismo estado cuántico.
d) No puede haber más de un electrón en una órbita electrónica dada.
*39–7 Momento dipolar e) Los electrones se deben excluir del núcleo porque ahí sólo se permiten cargas
positivas para originar órbitas electrónicas estables de acuerdo con el modelo
magnético; cantidad de
movimiento angular total Ade Bohr.
39–8 Fluorescencia y l inicio del capítulo 38 se analizaron las limitaciones de la teoría de Bohr refe-
fosforescencia rente a la estructura atómica y se explicó por qué se necesitaba una nueva
39–9 Láseres teoría. Aunque la teoría de Bohr tuvo gran éxito para predecir las longitudes
de onda de la luz emitida y absorbida por el átomo de hidrógeno, no podía
*39–10 Holografía hacerlo para átomos más complejos. Tampoco logró explicar la estructura fina, la divi-
sión de las líneas de emisión en dos o más líneas muy cercanas entre sí. Y, como teoría,
1044 era una incómoda mezcla de ideas clásicas y cuánticas.
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La mecánica cuántica llegó al rescate en 1925 y 1926. En este capítulo se examina
la teoría mecánico-cuántica de la estructura atómica, que es mucho más completa que la
antigua teoría de Bohr.
39–1 Visión mecánico-cuántica
de los átomos
Aunque el modelo de Bohr se descartó como una descripción exacta de la naturaleza, Núcleo
la mecánica cuántica reafirmó ciertos aspectos de la antigua teoría, como el que los
electrones en un átomo sólo existen en estados discretos de energía definida, y que r0
cuando un electrón realiza una transición de un estado a otro, se emite (o se absorbe)
un fotón de luz. Pero la mecánica cuántica es una teoría mucho más profunda y ofrece FIGURA 39–1 Nube de electrones o
una visión muy diferente del átomo. De acuerdo con la mecánica cuántica, los electro- “distribución de probabilidad” |c|2
nes no existen en órbitas circulares bien definidas como en la teoría de Bohr. Más bien, para el estado fundamental del átomo
los electrones (en virtud de su naturaleza ondulatoria) se pueden considerar como dis- de hidrógeno, visto desde lejos. El
persos en el espacio, como si fueran una “nube”. Es posible calcular el tamaño y la for- círculo representa el radio de Bohr r0.
ma de la nube de electrones para un estado determinado de un átomo. Para el estado Los puntos representan una detección
fundamental en el átomo de hidrógeno, la solución de la ecuación de Schrödinger, co- hipotética de un electrón en ese punto:
mo se estudiará con más detalle en la sección 39-3, da los puntos más cercanos representan
una mayor probabilidad de la
c(r) = 1 e– r . presencia de un electrón (nube más
r0 densa).
3pr03
Aquí, c(r) es la función de onda como función de la posición, y depende solamente de
la distancia radial r desde el centro, y no de la posición angular u o f. (La constante r0
resulta ser igual al primer radio de Bohr). Por ende, la nube de electrones, cuya densi-
dad es |c|2, para el estado fundamental del hidrógeno tiene simetría esférica, como se
ilustra en la figura 39-1. La extensión de la nube de electrones a sus densidades más al-
tas indica aproximadamente el “tamaño” de un átomo, pero, así como una nube carece
de una frontera distintiva, los átomos tampoco tienen una frontera precisa o un tama-
ño bien definido. No todas las nubes de electrones tienen una forma esférica, como se
verá más tarde en este capítulo. Observe que c(r), aunque se vuelve extremadamente
pequeña para grandes r (véase la ecuación anterior), no es igual a cero en cualquier re-
gión finita. Así que la mecánica cuántica sugiere que un átomo no es en su mayor par-
te espacio vacío. (De hecho, como c S 0 sólo para r S q, es cuestionable la idea de
que haya algún espacio verdaderamente vacío en el Universo).
La nube de electrones se puede interpretar desde el punto de vista de una partícu-
la o de una onda. Recuerde que por partícula se entiende algo que se ubica en el espa-
cio: tiene una posición definida en cualquier instante dado. En contraste, una onda se
dispersa hacia el espacio. La nube de electrones, dispersa en el espacio como en la figu-
ra 39-1, es resultado de la naturaleza ondulatoria de los electrones. La nube de electro-
nes también puede interpretarse como distribuciones de probabilidad (o densidad de
probabilidad) para una partícula. Como se vio en la sección 38-3, es imposible predecir
la trayectoria que seguirá un electrón. Después de una medición de su posición no se
puede predecir con exactitud dónde estará en un tiempo posterior. Sólo es posible
calcular la probabilidad de que se encontrará en diferentes puntos. Si usted tuviera que
realizar 500 mediciones distintas de la posición de un electrón, considerado como par-
tícula, la mayoría de los resultados mostrarían al electrón en puntos donde la probabi-
lidad es alta (área más oscura en la figura 39-1). Sólo ocasionalmente los electrones se
encontrarían ahí donde la probabilidad es baja.
39–2 El átomo de hidrógeno:
La ecuación de Schrödinger
y los números cuánticos
El átomo de hidrógeno es el más simple de todos los átomos, y consiste en un solo elec-
trón de carga 2e que gira alrededor de un núcleo central (un solo protón) de carga 1e.
El estudio de la estructura atómica debe comenzar con el hidrógeno.
SECCIÓN 39–2 El átomo de hidrógeno: La ecuación de Schrödinger y los números cuánticos 1045
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U La ecuación de Schrödinger (véase la ecuación 38-5) incluye un término que con-
tiene la energía potencial. Para el átomo de hidrógeno (H), la energía potencial se de-
r0 2r0 3r0 4r0 r be a la fuerza de Coulomb entre electrón y protón:
0 1 e2
Ϫ10eV U = – 4p⑀ 0 r
donde r es la distancia radial desde el protón (situado en r 5 0) hasta el electrón. Véa-
Ϫ20eV se la figura 39-2. La ecuación de Schrödinger (independiente del tiempo), que ahora se
debe escribir en tres dimensiones, es entonces
Ϫ30eV U 2 02c 02c 02c 1 e2 Ec,
– 2m ¢ 0x2 0y2 0z2 ≤ 4p⑀ 0 rc
+ + - = (39–1)
FIGURA 39–2 Energía potencial dondee 02c͞0x2, 02c͞0y2 y 02c͞0z2 son derivadas parciales con respecto a x, y y z. Pa-
U(r) para el átomo de hidrógeno. La ra resolver la ecuación de Schrödinger para el átomo H, es común escribirla en térmi-
distancia radial r del electrón desde el nos de coordenadas esféricas (r, u, f). Sin embargo, no la resolveremos. En vez de ello,
núcleo está dada en términos del radio se observarán las propiedades de las soluciones y (en la siguiente sección) las funciones
de Bohr r0. de onda en sí.
Recuerde del capítulo 38 que las soluciones de la ecuación de Schrödinger en una
dimensión para el pozo cuadrado infinito se caracterizaban por un solo número cuánti-
co, que se llamó n, el cual surge de aplicar las condiciones de frontera. En el problema
tridimensional del átomo H, las soluciones de la ecuación de Schrödinger se caracteri-
zan por tres números cuánticos que corresponden a condiciones de frontera aplicadas
en las tres dimensiones. Sin embargo, en realidad se necesitan cuatro números cuánti-
cos para especificar cada estado en el átomo H, y el cuarto proviene de un tratamiento
relativista. Ahora se estudiarán cada uno de estos números cuánticos. Gran parte del
análisis también se aplicará a átomos más complejos; a ello se procederá al inicio de la
sección 39-4.
La mecánica cuántica predice los mismos niveles de energía (figura 37-26) para el
átomo H que la teoría de Bohr. Esto es,
13.6 eV n = 1, 2, 3, p , (39–2)
En = – n2
donde n es un entero. En la teoría de Bohr, sólo había un número cuántico, n. En la
mecánica cuántica se necesitan cuatro números cuánticos para especificar cada estado
en el átomo:
FIGURA 39–3 Cuantización (1) El número cuántico n de la teoría de Bohr también se encuentra en la mecánica
de la dirección de la cantidad de cuántica y se llama número cuántico principal. Puede tener cualquier valor entero
movimiento angular para l 5 2. de 1 a q. La energía total de un estado en el átomo de hidrógeno depende de n,
(La magnitud de LB es 16 ប). como se vio anteriormente.
Lz (2) El número cuántico orbital, l, se relaciona con la magnitud de la cantidad de mo-
vimiento (o momento) angular del electrón; l puede tomar valores enteros desde 0
2 ml = 2 hasta (n 2 1). Para el estado fundamental (n 5 1), l sólo puede ser cero.† Para n 5
3, l puede ser 0, 1 o 2. La magnitud real de la cantidad de movimiento angular L se
1 ml = 1 relaciona con el número cuántico l mediante
0 ml = 0 L = 2l(l + 1) U . (39–3)
-1 ml = -1 El valor de l casi no tiene efecto sobre la energía total en el átomo de hidrógeno;
sólo n lo tiene en algún grado apreciable (pero véase la estructura fina a continua-
ción). En átomos con dos o más electrones, la energía sí depende de l, así como de
n, como se verá.
(3) El número cuántico magnético, ml, se relaciona con la dirección de la cantidad de
movimiento angular del electrón, y puede tomar valores enteros que van de 2l a
1l. Por ejemplo, si l 5 2, entonces ml puede ser 22, 21, 0, 11 o 12. Como la can-
tidad de movimiento angular es un vector, no es de sorprender que tanto la magni-
tud como la dirección estén cuantizadas. Para l 5 2, las cinco diferentes
direcciones permitidas se representan mediante el diagrama de la figura 39-3. Esta
limitación en la dirección de LB con frecuencia se llama cuantización espacial. En
-2 ml = -2
†Esto sustituye a la teoría de Bohr, que tiene l 5 1 para el estado fundamental (ecuación 37-10).
1046 CAPÍTULO 39 Mecánica cuántica de los átomos
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mecánica cuántica, la dirección de la cantidad de movimiento angular por lo gene- n = 3, ml = 2
ral se especifica al dar su componente a lo largo del eje z (esta elección es arbitra- l =2 1
ria). Entonces Lz se relaciona con ml mediante la ecuación 0
1
Lz = ml U. (39–4) 2
Sin embargo, los valores de Lx y Ly no están definidos. El nombre de ml se deriva
no de la teoría (que lo relaciona con Lz), sino de los experimentos. Se encontró
que cuando un tubo de descarga de gas se colocaba en un campo magnético, las lí-
neas espectrales se dividían en muchas líneas muy cercanas entre sí. Esta división,
conocida como efecto Zeeman, implica que los niveles de energía se deben dividir
(figura 39-4) y, por lo tanto, que la energía de un estado depende no sólo de n, si- n = 2,
no también de ml cuando se aplica un campo magnético; de ahí el nombre de “nú- l =1 ml = 1
mero cuántico magnético”. 0
1
(4) Finalmente, está el número cuántico de espín, ms, que para un electrón puede tener
sólo dos valores, 1 y ms 1 La existencia de este número cuántico no
ms = ± 2 = – 2 . FIGURA 39–4 Cuando se aplica un
campo magnético, un nivel de energía
resultó de la teoría original de Schrödinger, como n, l y ml. En vez de ello, una mo- n 5 3, l 5 2 se divide en cinco niveles
dificación posterior de P. A. M. Dirac (1902-1984) explicó su presencia como efec- separados (que se muestran
to relativista. Sin embargo, el primer indicio de que se necesitaba ms provino de los exagerados, no a escala), los cuales
experimentos. Un estudio cuidadoso de las líneas espectrales del hidrógeno indicó corresponden a los cinco valores de ml
que cada una en realidad consistía en dos (o más) líneas muy cercanas entre sí, in- (2, 1, 0, 21, 22). Un nivel n 5 2, l 5 1
cluso en ausencia de un campo magnético externo. Primero se pensó que esta pe- se divide en tres niveles (ml 5 1, 0, 21).
queña división de niveles de energía, llamada estructura fina, se debía a la cantidad Pueden ocurrir transiciones entre
de movimiento angular asociada con un giro del electrón. Esto es, el electrón puede niveles (no se muestran todas las
girar en torno a su eje, así como girar alrededor del núcleo, tal como la Tierra gira transiciones), con la emisión de
sobre su eje mientras se encuentra en órbita alrededor del Sol. La interacción en- electrones con muchas frecuencias
tre la pequeña corriente del electrón que gira podría entonces interactuar con el ligeramente diferentes (efecto
campo magnético debido a la carga en órbita y causar la pequeña división observa- Zeeman).
da de los niveles de energía. (Por consiguiente, la energía depende ligeramente de
ml y ms. Se dice que la estructura fina se debe a una interacción espín-órbita). En
la actualidad, la imagen de un electrón que gira no se considera legítima. Si no es
posible visualizar un electrón como un objeto localizado, mucho menos como uno
que se encuentra girando. Lo importante es que el electrón puede tener dos esta-
dos diferentes debido a alguna propiedad intrínseca que se comporta como una
cantidad de movimiento angular, y a esta propiedad se le llama “espín”. Se dice
que el electrón tiene un número cuántico de espín s 1 , que produce una canti-
= 2
dad de movimiento angular de espín
S = 2s As + 1B U = 23 U.
2
La componente z es
Sz = ms U
donde los dos posibles valores de ms A ± 1 y – 1 B con frecuencia se dice que son FIGURA 39–5 La cantidad de
2 2
“espín hacia arriba” y “espín hacia abajo”, en referencia a las dos posibles direc-
ciones de la cantidad de movimiento angular de espín. Véase la figura 39-5. Un es- movimiento angular de espín S puede
1
tado con espín hacia abajo Ams = – 1 B tiene energía ligeramente menor que uno tomar sólo dos direcciones, ms = ± 2
2 1 , que se llaman “espín hacia
con espín hacia arriba. (Note que en la lista de números cuánticos se incluye ms, o – 2
pero no s, ya que s es igual para todos los electrones). arriba” y “espín hacia abajo”.
En la tabla 39-1 se resumen los posibles valores de los cuatro números cuánticos Sz
para un electrón en el átomo de hidrógeno.
1 ms ϭ ϩ 1 (“hacia
2 2
TABLA 39–1 Números cuánticos para un electrón 0 SB arriba”)
Nombre Símbolo Posibles valores SB
Principal n 1, 2, 3, … , q. Ϫ 1 ms ϭ Ϫ 1 (“hacia
Orbital l Para un n dado: l puede ser 0, 1, 2, … , n 2 1. 2 2
Magnético
Espín ml abajo”)
ms
Para n y l dados: ml puede ser l, l 2 1, … , 0, … , 2l.
Para cada conjunto de n, l y ml: ms puede ser + 1 o - 1 .
2 2
SECCIÓN 39–2 El átomo de hidrógeno: La ecuación de Schrödinger y los números cuánticos 1047
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EJEMPLO CONCEPTUAL 39–1 Posibles estados para n = 3 ¿Cuántos estados di-
ferentes son posibles para un electrón cuyo número cuántico principal es n 5 3?
RESPUESTA Para n 5 3, l puede tener los valores l 5 2, 1, 0. Para l 5 2, ml puede ser
2, 1, 0, 21, 22, lo que implica cinco diferentes posibilidades. Para cada uno de éstos,
1 – 21);
ms puede ser hacia arriba o hacia abajo ( ± 2 o de manera que para l 5 2 existen
2 3 5 5 10 estados. Para l 5 1, ml puede ser 1, 0, 21, y puesto que ms puede ser ± 1
2
o 1 para cada uno de éstos, se tienen 6 posibles estados más. Finalmente, para 0,
– 2 l 5
ml sólo puede ser 0, y sólo hay 2 estados que corresponden a ms = ± 1 y – 1 . El nú-
2 2
mero total de estados es 10 1 6 1 2 5 18, como se detalla en la siguiente tabla:
n L mL ms n L mL ms
3 2 2 1 3 1 1 1
2 2
1 1
3 2 2 – 2 3 1 1 – 2
3 2 1 1 3 1 0 1
2 2
1 1
3 2 1 – 2 3 1 0 – 2
3 2 0 1 3 1 –1 1
2 2
1 1
3 2 0 – 2 3 1 –1 – 2
3 2 –1 1 3 0 0 1
2 2
1 1
3 2 –1 – 2 3 0 0 – 2
3 2 –2 1
2
1
3 2 –2 – 2
EJERCICIO A Un electrón tiene n 5 4, l 5 2. ¿Cuáles de los siguientes valores de ml son
posibles: 4, 3, 2, 1, 0 21, 22, 23, 24?
EJEMPLO 39–2 E y L para n = 3. Determine a) la energía y b) la cantidad de
movimiento angular orbital para un electrón en cada uno de los estados del átomo
de hidrógeno del ejemplo 39-1.
PLANTEAMIENTO La energía de un estado sólo depende de n, excepto para las muy
pequeñas correcciones mencionadas líneas arriba, que se ignorarán. La energía se
calcula como en la teoría de Bohr, En 5 213.6 eV/n2. Para cantidad de movimiento
angular se utiliza la ecuación 39-3.
SOLUCIÓN a) Como n 5 3 para todos estos estados, todos tienen la misma energía.
E3 = 13.6 eV = –1.51 eV.
– (3)2
b) Para l 5 0, la ecuación 39-3 da
L = 2l(l + 1) U = 0.
Para l 5 1,
L = 21(1 + 1) U = 22 U = 1.49 * 10–34 J и s.
Para l 5 2, L = 22(2 + 1) U = 26 U .
NOTA Las cantidades de movimiento angulares atómicas por lo general se expresan
como múltiplos de U (22 U o 26 U en este caso), y no en unidades del SI.
EJERCICIO B ¿Cuál es la magnitud de la cantidad de movimiento angular orbital para el
número cuántico orbital l 5 3? a) 3U ; b) 3.5U; c) 4U; d) 12U.
Reglas de selección: Transiciones permitidas y prohibidas
Otra predicción de la mecánica cuántica es que, cuando un fotón se emite o se absorbe,
las transiciones sólo pueden ocurrir entre estados con valores de l que difieren por
exactamente una unidad:
¢l = & 1.
De acuerdo con esta regla de selección, un electrón en un estado l 5 2 sólo puede sal-
tar a un estado con l 5 1 o l 5 3. No podrá saltar a un estado con l 5 2 o l 5 0. Una
1048 CAPÍTULO 39 Mecánica cuántica de los átomos
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transición como la de l 5 2 a l 5 0 se llama transición prohibida. En realidad, tal tran-
sición no está absolutamente prohibida y es factible que ocurra, pero sólo con probabi-
lidad muy baja en comparación con las transiciones permitidas, aquellas que satisfacen
la regla de selección Dl 5 6 1. Puesto que la cantidad de movimiento angular orbital
de un átomo H debe cambiar por una unidad cuando emite un fotón, la conservación de
la cantidad de movimiento angular dice que el fotón debe llevarse cantidad de movi-
miento angular. De hecho, evidencia experimental de muchos tipos indica que al fotón
se le puede asignar una cantidad de movimiento angular de espín de 1 U .
39–3 Funciones de onda del átomo
de hidrógeno
La solución de la ecuación de Schrödiner para el estado fundamental del hidrógeno (el
estado con energía más baja) tiene una energía E1 5 213.6 eV, como se vio. La función
de onda para el estado fundamental sólo depende de r y, por consiguiente, tiene sime-
tría esférica. Como ya se mencionó en la sección 39-1, su forma es
c1 0 0 = 1 e– r (39–5a)
r0
3pr03
donde r0 = h2⑀ 0͞pme2 = 0.0529 nm es el radio de Bohr (sección 37-11). El subíndi-
ce 100 en c representa los números cuánticos n, l y ml:
cnlml .
Para el estado fundamental, n5 1, l 5 0, ml 50y sólo hay una función de onda que
sirve 1 1 (el valor de ms no afecta la dependencia espacial de
para ms = ± 2 y ms = – 2
la función de onda para estado alguno, pues el espín es una propiedad interna o intrín- z
seca del electrón). La densidad de probabilidad para el estado fundamental es rr
0
∑c1 0 0∑2 = 1 e – 2r (39–5b) dr dr
pr30 r0 x y
que disminuye exponencialmente con r. Advierta que c100, como todas las demás fun-
ciones de onda que se estudian, se normalizó:
Ύ ∑c1 0 0∑2 dV = 1.
todo el espacio
La cantidad |c|2dV indica la probabilidad de encontrar al electrón en un volumen FIGURA 39–6 Un cascarón esférico
dV alrededor de un punto dado. Con frecuencia es más útil especificar la distribución de grosor dr, radio interior r y radio
de probabilidad radial, Pr, que se define de manera que Prdr es la probabilidad de en- exterior r 1 dr. Su volumen es
contrar al electrón a una distancia radial entre r y r 1 dr del núcleo. Esto es, Prdr espe- dV = 4pr2 dr.
cifica la probabilidad de encontrar al electrón dentro de un delgado cascarón de grosor
dr con radio interior r y radio exterior r 1 dr, sin importar la dirección (véase la figura FIGURA 39–7 Distribución de
39-6). El volumen de este cascarón es el producto de su área superficial, 4pr2, y su probabilidad radial Pr para el estado
grosor, dr: fundamental del hidrógeno, n 5 1,
l 5 0. El pico se presenta en r 5 r0,
dV = 4pr2 dr. el radio de Bohr.
En consecuencia,
10
∑c∑2 dV = ∑c∑24pr2 dr n ϭ 1, l ϭ 0
y la distribución de probabilidad radial es 5
Pr = 4pr2∑c∑2. (39–6) 0r
0 1r0 2r0 3r0 4r0
Para el estado fundamental del hidrógeno, Pr se convierte en Pr (nmϪ1)
Pr = 4 r2 e – 2r (39–7)
r30 r0
y se grafica en la figura 39-7. El pico de la curva es el valor “más probable” de r y se
presenta para r 5 r0, el radio de Bohr, lo que se demuestra en el siguiente ejemplo.
SECCIÓN 39–3 Funciones de onda del átomo de hidrógeno 1049
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Pr (nmϪ1) 10 EJEMPLO 39–3 Radio electrónico más probable en el hidrógeno. Determine
n ϭ 1, l ϭ 0 la distancia más probable r desde el núcleo a la que se puede encontrar el electrón en
el estado fundamental del hidrógeno.
5
PLANTEAMIENTO El pico de la curva en la figura 39-7 corresponde al valor más pro-
0r bable de r. En este punto la curva tiene pendiente cero, de manera que se obtiene la
0 1r0 2r0 3r0 4r0 derivada de la ecuación 39-7, se iguala a cero y se despeja r.
SOLUCIÓN Se encuentra
FIGURA 39–7 (Repetida).
Distribución de probabilidad radial Pr d ¢4 r2 e– 2r ≤ =0
para el estado fundamental del dr r03 r0
hidrógeno, n 5 1, l 5 0. El pico se
presenta en r 5 r0, el radio de Bohr. ¢ 8 r - 8r2 ≤ e– 2r = 0.
r03 r04 r0
Puesto que e– 2r tiende a cero sólo en r 5 q, el término entre paréntesis es el que de-
r0
be ser cero:
8 r - 8 r2 = 0.
r30 r04
Por lo tanto,
r r2
r03 = r40
o
r = r0 .
La distancia radial más probable del electrón desde el núcleo, de acuerdo con la me-
cánica cuántica, está en el radio de Bohr, una interesante coincidencia.
EJERCICIO C Regrese a la primera pregunta de inicio de capítulo, página 1044, y respón-
dala de nuevo ahora. Trate de explicar por qué quizás usted la respondió de manera dife-
rente la primera vez.
EJEMPLO 39–4 Cálculo de probabilidad. Determine la probabilidad de encon-
trar el electrón en el estado fundamental del hidrógeno dentro de dos radios de Bohr
desde el núcleo.
PLANTEAMIENTO Necesita integrar Pr desde r 5 0 hasta r 5 2r0.
SOLUCIÓN Se quiere encontrar
2r0 ∑c∑2 dV = 2r0 r2 2r
r03 r0
r=0 4
Ύ ΎP = e – dr.
0
Primero realice la sustitución
x = 2r
r0
y luego integre por partes (͐u dv = uv - ͐v du) y deje que u 5 x2 y dv 5 e_xdx
(advierta que dx 5 2 dr/r0, y que el límite superior es x = 2A2r0B͞r0 = 4B:
1 Ύ Ύ4 4 1
P = 2 x2e–x dx = 2 B–x2e–x + 2xe–x dx R 2 .
x=0 0
El segundo término también se integra por partes con u 5 2x y dv 5 e2xdx:
1 B–x2e–x Ύ4
P = 2 - 2xe–x + 2 e–x dx R 2
0
1 x2 4
2
= A – - x - 1Be–x 2 .
0
Esto se evalúa a x 5 0 y en x 5 4:
P = ( –8 - 4 - 1)e–4 + e0 = 0.76
o 76%. Por lo tanto, el electrón se encontraría el 76% del tiempo dentro de 2 radios
de Bohr del núcleo y el 24% del tiempo más lejos.
NOTA Este resultado depende de la función de onda adecuadamente normalizada, que
es, como se demuestra fácilmente al dejar que r S q y al integrar sobre todo el espa-
límite superior en la ecuación anterior sea q.
cio: ͐0q∑c∑2 dV = 1; esto es, permita que el
1050 CAPÍTULO 39 Mecánica cuántica de los átomos
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4
|c200|2 Pr (nmϪ1) 3 FIGURA 39–8 a) Nube de electrones
n ϭ 2, l ϭ 0 o distribución de probabilidad para el
estado n 5 2, l 5 0 en el hidrógeno.
2
b) Distribución de probabilidad radial
1 Pr para el estado n 5 2, l 5 0 en el
hidrógeno.
Núcleo 0
0 5r0 10r0 r
a) n = 2, l = 0, ml = 0 b)
El primer estado excitado en el hidrógeno tiene n 5 2. Para l 5 0, la solución de la
ecuación de Schrödinger (ecuación 39-1) es una función de onda que de nuevo tiene si-
metría esférica:
c2 0 0 = 1 ¢2 - r ≤ e– r . (39–8) FIGURA 39–9 a) Distribución de
332pr03 r0 2r0 probabilidad para los tres estados con
n 5 2, l 5 1. b) Distribución de
La figura 39-8a ilustra la distribución de probabilidad uc200u2 y la figura 39-8b muestra† probabilidad radial para la suma
una gráfica de la distribución de probabilidad radial de los tres estados con n 5 2, l 5 1
y ml 5 11, 0 o 21.
Pr = 4pr2∑c∑2 = 1 r2 ¢2 - r ≤ 2 r .
8 r30 r0 r0 z
e– |c210|2
En esta curva existen dos picos; el segundo, en r L 5r0, es mayor y corresponde al valor y
más probable para r en el estado n 5 2, l 5 0. Se observa que el electrón tiende a estar
un poco más alejado del núcleo en el estado n 5 2, l 5 0 que en el estado n 5 1, l 5 0. x Núcleo
(Compare con el modelo de Bohr que dio r2 5 4r0).
z
Para el estado con n 5 2, l 5 1, existen tres posibles funciones de onda, que corres-
ponden a ml 5 11, 0 o 21: y
c2 1 0 = z e– r x Núcleo
2r0
332pr50 a)
c2 1 1 = x + iy e– r (39–9) 3
2r0 2
364pr50 1
c2 1 -1 = x - iy e– r
2r0
364pr05
donde i es el número imaginario i = 2 –1 . Estas funciones de onda no tienen sime-
tría esférica. Las distribuciones de probabilidad, ucu2, se muestran en la figura 39-9a,
donde se aprecia su orientación direccional.
Tal vez usted se pregunte cómo surgen tales funciones de onda sin simetría esféri-
ca cuando la energía potencial en la ecuación de Schrödinger tiene simetría esférica.
De hecho, ¿cómo un electrón podría seleccionar uno de estos estados? En ausencia de
alguna influencia externa, como un campo magnético en una dirección particular, estos
tres estados tienen igual probabilidad, y todos tienen la misma energía. Por lo tanto, se
puede considerar que un electrón pasa un tercio de su tiempo en cada uno de estos es-
tados. Entonces, el efecto neto es la suma de estas tres funciones de onda al cuadrado:
∑c2 1 0∑2 + ∑c2 1 1∑2 + ∑c2 1 -1∑2,
que tiene simetría esférica, pues x2 + y2 + z2 = r2. La distribución de probabilidad
radial para esta suma se ilustra en la figura 39-9b.
Aunque las distribuciones espaciales del electrón se pueden calcular para los di-
versos estados, es difícil medirlos de manera experimental. De hecho, la mayor parte de
la información experimental acerca de los átomos proviene de un cuidadoso examen
de los espectros de emisión en varias condiciones.
†Al igual que en el caso de una partícula en un pozo cuadrado de potencial profundo (véanse las figuras 0 5r0 10r0 r
38-9 y 38-10), cuanto más alta sea la energía, más nodos hay en c y ucu2 también para el átomo H. 0 b)
SECCIÓN 39–3 Funciones de onda del átomo de hidrógeno 1051
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39–4 Átomos complejos;
el principio de exclusión
TABLA 39–2 Números cuánticos El átomo de hidrógeno se estudió con detalle porque es el más simple con el que se
en estado fundamental puede tratar. Ahora se estudiarán brevemente átomos más complejos, aquellos que con-
tienen más de un electrón. Es posible determinar experimentalmente sus niveles de
energía a partir de un análisis de sus espectros de emisión. Los niveles de energía no
son los mismos como en el átomo H, pues los electrones interactúan unos con otros, así
como con el núcleo. Cada electrón en un átomo complejo todavía ocupa un estado par-
ticular caracterizado por los mismos números cuánticos n, l, ml y ms. Para átomos con
más de un electrón, los niveles de energía dependen tanto de n como de l.
El número de electrones en un átomo neutro se llama número atómico, Z; y Z
también es el número de cargas positivas (protones) en el núcleo y determina qué tipo
de átomo es. Esto es, Z determina las propiedades fundamentales que distinguen un ti-
po de átomo de otro.
La mecánica cuántica en los años posteriores a 1925 probó tener éxito también pa-
ra tratar con átomos complejos. Sin embargo, las matemáticas se volvieron más com-
plejas, pues en los átomos de muchos electrones, cada electrón no sólo se ve atraído
hacia el núcleo, sino que también lo repelen otros electrones.
Para entender los posibles arreglos de los electrones en un átomo, se necesitaba un
nuevo principio. Fue Wolfgang Pauli (1900- 1958; figura 38-2) quien lo introdujo, por lo
que se le llamó principio de exclusión de Pauli. En él se afirma:
Helio, Z ؍2 No hay dos electrones en un átomo que ocupen el mismo estado cuántico.
Por consiguiente, no hay dos electrones en un átomo que tengan exactamente el mismo
conjunto de números cuánticos n, l, ml y ms. El principio de exclusión de Pauli forma la
n L mL ms base no sólo para comprender átomos complejos, sino también para entender las mo-
10 0 1 léculas y los enlaces, así como otros fenómenos.
10 2
0 – 1 Ahora se observará la estructura de algunos átomos más simples cuando están en
2
Litio, Z ؍3 el estado fundamental. Después del hidrógeno, el siguiente átomo más sencillo es el he-
lio, con dos electrones. Ambos electrones pueden tener n 5 1, pues uno puede tener es-
pín hacia arriba 1 y el otro espín hacia abajo 1 B, de manera que se
n L mL ms Ams = ± 2 B Ams = – 2
10 0 1 satisface el principio de exclusión. Puesto que n 5 1, entonces l y ml deben ser cero
10 2 (tabla 39-1, página 1047). Así, los dos electrones tienen los números cuánticos que se
20
0 – 1 indican en la tabla 39-2.
2
0 1 El litio tiene tres electrones, dos de los cuales pueden tener n 5 1. Pero el tercero
2
Sodio, Z ؍11 no puede tener n 5 1 sin violar el principio de exclusión. Así que el tercer electrón de-
be tener n 5 2. Sucede que el nivel n 5 2, l 5 0 tiene una energía menor que n 5 2,
l 5 1. De manera que los electrones en el estado fundamental tienen los números
n L mL ms cuánticos indicados en la tabla 39-2. Los números cuánticos del tercer electrón podrían
10 0 1 ser también, digamos, An, l, ml , msB = A3, 1, –1, 1 B. Pero el átomo en este caso estaría
2 2
10 0 – 1 en un estado excitado, pues tendría mayor energía. No pasaría mucho tiempo antes de
2
20 0 1 que saltara hacia el estado fundamental con la emisión de un fotón. A temperatura am-
2
biente, a menos que se suministre energía adicional (como en un tubo de descarga), la
20 0 – 1 inmensa mayoría de los átomos se encuentran en el estado fundamental.
2
21 1 1 Se continuará de esta forma para describir los números cuánticos de cada electrón
2
21 1 – 1 en el estado fundamental de átomos cada vez más grandes. Los números cuánticos pa-
2
21 0 1 ra el sodio, con sus 11 electrones, se indican en la tabla 39-2.
2
21 0 – 1 La figura 39-10 muestra un diagrama de nivel energético sencillo donde los estados
2 1 – 12),
2
2 1 –1 1 ocupados se representan como flechas hacia arriba o hacia abajo (ms = ± o y
2
los posibles estados vacíos se representan como un pequeño círculo.
2 1 –1 – 1
2
30 0 1
2
FIGURA 39–10 Diagrama de nivel energético n = 2, l = 1 n = 3, l = 0
n = 2, l = 0 n = 2, l = 1
(no a escala) que muestra estados ocupados n = 1, l = 0 n = 2, l = 0
n = 1, l = 0
(flechas) y estados no ocupados ( ) para los Litio (Li, Z = 3)
Sodio (Na, Z = 11)
estados fundamentales de He, Li y Na.
Note que se ilustra el nivel n 5 2, l 5 1 n = 1, l = 0
de Li aun cuando esté vacío.
Helio (He, Z = 2)
1052 CAPÍTULO 39
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En la tabla periódica se incluye la configuración de estado fundamental para todos
los átomos; la tabla se presenta la tercera de forros de este libro y se estudia en la si-
guiente sección.
EJERCICIO D Construya una tabla de los números cuánticos del estado fundamental para TABLA 39–3 Valor de L
el berilio, Z 5 4 (como los de la tabla 39-2).
Máximo
El principio de exclusión se aplica a partículas idénticas cuyo número cuántico de Valor Símbolo número de
espín es la mitad de un entero (21 3 etcétera), incluyendo electrones, protones y neu- de l electrones en
, 2 , s el subnivel
trones; tales partículas se llaman fermiones, en honor de Enrico Fermi, quien elaboró 0 p
una teoría estadística que los describe. Una suposición básica es que todos los electro- 1 d 2
nes son idénticos, indistinguibles uno de otro. De igual modo, todos los protones son 2 f 6
idénticos, todos los neutrones son idénticos, y así sucesivamente. El principio de exclu- 3 g 10
sión no se aplica a partículas con espín entero (0, 1, 2, etcétera), como el fotón y el me- 4 h 14
són p, todos ellos conocidos como bosones (en honor de Satyendranath Bose, quien 5 ... 18
elaboró una teoría estadística para ellos). ... 22
...
EJERCICIO E Regrese a la segunda pregunta de inicio de capítulo, página 1044, y respóndala de TABLA 39–4
nuevo ahora. Trate de explicar por qué quizás usted la respondió de manera diferente la prime- Configuración electrónica
ra vez. de algunos elementos
Configuración
de estado
Z fundamental
(Número de (electrones
electrones) Elemento† exteriores)
39–5 Tabla periódica de los elementos
1 H 1s1
Hace más de un siglo, Dmitri Mendeleev (1834-1907) ordenó los elementos conocidos 2 He 1s2
3 Li 2s1
(hasta entonces) en lo que ahora se llama tabla periódica de los elementos. Los áto- 4 Be 2s2
5 B 2s22p1
mos se ordenaron de acuerdo con masa creciente, pero también de manera que los ele- 6 C 2s22p2
7 N 2s22p3
mentos con propiedades químicas similares quedaran incluidos en la misma columna. 8 O 2s22p4
9 F 2s22p5
La versión actual aparece en la tercera de forros de este libro. Cada cuadro contiene el 10 Ne 2s22p6
11 Na 3s1
número atómico Z, el símbolo para el elemento y la masa atómica (en unidades de ma- 12 Mg 3s2
13 Al 3s23p1
sa atómica). Finalmente, la esquina inferior izquierda indica la configuración del estado 14 Si 3s23p2
15 P 3s23p3
fundamental del átomo. Esto requiere cierta explicación. Se dice que los electrones con 16 S 3s23p4
17 Cl 3s23p5
el mismo valor de n están en el mismo nivel. Los electrones con n 5 1 están en un ni- 18 Ar 3s23p6
19 K 4s1
vel (el nivel K), los que tienen n 5 2 están en un segundo nivel (el nivel L), los que tie- 20 Ca 4s2
21 Sc 3d14s2
nen n 5 3 están en el tercer nivel (M), etcétera. Se dice que los electrones con los 22 Ti 3d24s2
23 V 3d34s2
mismos valores de n y l están en el mismo subnivel. Con frecuencia se usan letras para 24 Cr 3d54s1
25 Mn 3d54s2
especificar el valor de l, como se observa en la tabla 39-3. Esto es, l 5 0 es el subnivel s; 26 Fe 3d64s2
l 5 1 es el subnivel p; l 5 2 es el subnivel d; a partir de l 5 3 las letras siguen el abeceda-
rio, f, g, h, i, etcétera. [Las primeras letras, s, p, d, f originalmente fueron abreviaturas
de “nítido” (sharp), “principal”, “difuso” y “fundamental”, términos experimentales
que se refieren a los espectros].
El principio de exclusión de Pauli limita el número de electrones posible en cada
nivel y subnivel. Para cualquier valor de l, existen 2l 1 1 posibles valores ml (ml puede
ser cualquier entero de 1 a l, de 21 a 2l, o cero) y dos posibles valores ms. Por lo tan-
to, puede haber cuando mucho 2(2l 1 1) electrones en cualquier subnivel l. Por ejem-
plo, para l 5 2, son posibles cinco valores ml (2, 1, 0, 21, 22), y para cada uno de éstos,
1 1
ms puede ser ± 2 o – 2 para dar un total de 2(5) 5 10 estados. La tabla 39-3 indica el
número máximo de electrones que pueden ocupar cada subnivel.
Como los niveles energéticos dependen casi por completo de los valores de n y l,
es habitual especificar la configuración electrónica al dar simplemente el valor n y la
letra apropiada para l, con el número de electrones en cada subnivel como un superín-
dice. La configuración de estado fundamental del sodio, por ejemplo, se escribe
1s22s22p63s1. Esto se simplifica en la tabla periódica al especificar sólo la configura-
ción de los electrones exteriores y cualquier otro subnivel no lleno (véase la tabla 39-4
† Los nombres de los elementos se
aquí y la tabla periódica en la tercera de forros). encuentran en el Apéndice F.
SECCIÓN 39–5 Tabla periódica de los elementos 1053
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CUIDADO EJEMPLO CONCEPTUAL 39–5 Configuraciones electrónicas. ¿Cuáles de las si-
Los subniveles no guientes configuraciones electrónicas son posibles y cuáles no lo son? a) 1s22s22p63s3;
siempre se llenan b) 1s22s22p63s23p54s2; c) 1s22s22p62d1
en “orden” RESPUESTA a) Ésta no se permite, pues en el subnivel s hay demasiados electrones
(tres) del nivel M (n 5 3). El subnivel s tiene ml 5 0, con dos espacios solamente, pa-
1054 CAPÍTULO 39 ra electrones “espín hacia arriba” y “espín hacia abajo”. b) Ésta se permite, pero se
encuentra en un estado excitado. Uno de los electrones del subnivel 3p saltó hacia el
subnivel 4s. Como hay 19 electrones, el elemento es potasio. c) Ésta no se permite,
pues no hay subnivel d (l 5 2) en el nivel n 5 2 (tabla 39-1). El electrón exterior ten-
drá que estar en (al menos) el nivel n 5 3.
EJERCICIO F Escriba la configuración de estado fundamental completa para el galio, con
sus 31 electrones.
El agrupamiento de átomos en la tabla periódica se hace de acuerdo con el número
atómico Z creciente. También hay una fuerte regularidad de acuerdo con las propieda-
des químicas. Aunque esto se explica en libros de química, se estudia aquí brevemente
porque se trata de un resultado de la mecánica cuántica. Véase la tabla periódica en la
tercera de forros de este libro.
Todos los gases nobles (en la columna VIII de la tabla periódica) tienen niveles o
subniveles completamente llenos. Esto es, su subnivel externo está completamente lle-
no, y la distribución de electrones tiene simetría esférica. Con tal simetría esférica llena,
otros electrones ni son atraídos ni se pierden fácilmente (la energía de ionización es al-
ta). Por eso, los gases nobles son químicamente inertes (se verá más acerca de esto
cuando se estudien las moléculas y los enlaces en el capítulo 40). La columna VII inclu-
ye los halógenos, a los cuales les falta un electrón para llenar por completo un nivel
energético. Debido a las formas de las órbitas (véase la sección 40-1), pueden aceptar
un electrón adicional de otro átomo y, por eso, estos elementos son bastante reactivos.
Tienen una valencia de 21, lo que significa que, cuando adquieren un electrón adicio-
nal, el ion resultante tiene una carga neta de 21e. La columna I de la tabla periódica
contiene los metales alcalinos, todos los cuales tienen un solo electrón externo s. Este
electrón pasa la mayor parte de su tiempo afuera de los niveles y subniveles internos
cerrados que lo apantallan de la mayor parte de la carga nuclear. De hecho, está relati-
vamente lejos del núcleo y se ve atraído hacia éste mediante una carga neta de sólo
aproximadamente 11e, debido al efecto de apantallamiento de los otros electrones. En
consecuencia, este electrón exterior se remueve fácilmente y puede pasar mucho de su
tiempo alrededor de otro átomo, lo que forma una molécula. Por esa razón, los metales
alcalinos son químicamente activos y tienen una valencia de 11. Las otras columnas de
la tabla periódica se pueden tratar de manera similar.
La presencia de los elementos de transición en el centro de la tabla, así como los lan-
tánidos (tierras raras) y los actínidos abajo, es resultado de niveles internos incompletos.
Para los elementos de Z más bajo, los subniveles están llenos en un orden simple: pri-
mero 1s, luego 2s, seguido por 2p, 3s y 3p. Tal vez usted piense que 3d (n 5 3, l 5 2) se
llenaría a continuación, pero no es así. En vez de ello, en realidad el nivel 4s tiene una
energía ligeramente menor que 3d (ya que los electrones interactúan unos con otros), así
que se llena primero (K y Ca). Sólo entonces el nivel 3d empieza a llenarse, comenzando
con Sc, como se observa en la tabla 39-4. (Los niveles 4s y 3d están cerca, así que algunos
elementos tienen sólo un electrón 4s, como el Cr). La mayoría de las propiedades quími-
cas de estos elementos de transición están gobernadas por los electrones 4s que se man-
tienen relativamente holgados, y por ello, en general, tienen valencias de 11 o 12. Un
efecto similar es responsable de los lantánidos y actínidos, que por comodidad se presen-
tan en la parte inferior de la tabla periódica. Todos tienen propiedades químicas muy si-
milares, determinadas por sus dos electrones 6s o 7s exteriores, mientras que los
diferentes números de electrones en los niveles internos sin llenar tienen poco efecto.
39–6 Espectros de rayos X y el
número atómico
Los espectros de líneas de los átomos en las regiones IR, visible y UV del espectro EM
se deben principalmente a transiciones entre estados de los electrones externos. Buena
parte de la carga del núcleo está apantallada ante estos electrones mediante la carga
negativa en los electrones internos. Pero los electrones más internos en el nivel n 5 1
“ven” la carga completa del núcleo. Puesto que la energía de un nivel es proporcional
a Z2 (véase la ecuación 37-14), para un átomo con Z 5 50, se esperarían longitudes de
onda aproximadamente 502 5 2500 veces más corta que las que se encuentran en la se-
rie de Lyman del hidrógeno (alrededor de 100 nm), o de 1022 a 1021 nm. Tales longitu-
des de onda cortas se encuentran en la región de rayos X del espectro.
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Los rayos X se producen cuando los electrones acelerados por un alto voltaje inci- Intensidad de rayos XKa
den sobre el blanco metálico dentro del tubo de rayos X (sección 35-10). Si se observa Kb
el espectro de longitudes de onda emitido por un tubo de rayos X, se observa que el es-
pectro consta de dos partes: un espectro continuo con un corte en alguna l0 que sólo l0 0.1 0.2
depende del voltaje a través del tubo, y una serie superpuesta de picos. Un ejemplo co- Longitud de onda, l (nm)
mún se presenta en la figura 39-11. La curva suave y la longitud de onda de corte l0 se
mueven hacia la izquierda conforme aumenta el voltaje a través del tubo. Sin embargo, FIGURA 39–11 Espectro de rayos X
las líneas o los picos agudos (denotados como Ka y Kb en la figura 39-11) permanecen emitidos a partir de un blanco de
a la misma longitud de onda cuando cambia el voltaje, aunque se ubican en longitudes molibdeno en un tubo de rayos X que
de onda diferentes cuando se emplean distintos materiales como blanco. Esta observa- opera a 50 kV.
ción sugiere que los picos son característicos del material utilizado como blanco. De
hecho, los picos se explican imaginando que los electrones acelerados por el alto volta- FIGURA 39–12 Gráfica de 21͞l
je del tubo pueden alcanzar energías suficientes y que, cuando chocan con los átomos contra Z para líneas de rayos X Ka.
del blanco, logran extraer uno de los electrones internos sujetos muy firmemente. En-
tonces, estos rayos X característicos (los picos en la figura 39-11) se explican como fo- 1
tones emitidos cuando un electrón en un estado superior decae para llenar el estado l
inferior vacante. Las líneas K resultan de transiciones hacia el nivel K (n 5 1). La línea
Ka consiste en fotones emitidos en una transición que se origina en el nivel n 5 2 (L) Z
hacia el nivel n 5 1 (K), mientras que la línea Kb refleja una transición del nivel n 5 3
(M) hacia el nivel K. Una línea L, por otra parte, se debe a una transición hacia el ni-
vel L, etcétera.
La medición de los espectros de rayos X característicos permitió determinar los ni-
veles energéticos internos de los átomos. También permitió determinar los valores Z
para muchos átomos, pues (como se vio) la longitud de onda de los rayos X caracterís-
ticos más cortos emitidos será inversamente proporcional a Z2. En realidad, para un
electrón que salta, por ejemplo, del nivel n 5 2 al n 5 1 (línea Ka), la longitud de onda
es inversamente proporcional a (Z 2 1)2, porque el núcleo está apantallado por el elec-
trón que todavía permanece en el nivel 1s. En 1914, H. G. J. Moseley (1887-1915) en-
contró que una gráfica de 21͞l contra Z producía una línea recta (figura 39-12),
donde l es la longitud de onda de la línea Ka. Los valores Z de algunos elementos se
determinaron al ajustarlos a tal gráfica Moseley. La obra de Moseley colocó el concep-
to de número atómico sobre una firme base experimental.
EJEMPLO 39–6 Longitud de rayos X. Estime la longitud de onda para una tran-
sición de n 5 2 a n 5 1 en molibdeno (Z 5 42). ¿Cuál es la energía de tal fotón?
PLANTEAMIENTO Se emplea la fórmula de Bohr, ecuación 37-15, para 1/l, con (Z 2 1)2
5 (41)2 en sustitución de Z2.
SOLUCIÓN La ecuación 37-15 da
1 = ¢ e4m ≤ (Z - 1)2 ¢ 1 - 1
l n¿2 n2 ≤
8⑀ 2 h3c
0
donde n 5 2 y n9 5 1. Al sustituir valores:
1 = A1.097 * 107 m–1B (41)2 ¢ 1 - 1 = 1.38 * 1010 m–1.
l 1 4≤
De manera que
l = 1 = 0.072 nm.
1.38 * 1010 m -1
Esto está cerca del valor medido (figura 39-11) de 0.071 nm. Cada uno de estos foto-
nes tendría energía (en eV) de
E = hf = hc = A6.63 * 10–34 J и sB A3.00 * 108 m͞sB = 17 keV.
l A7.2 * 10–11 mB A1.60 * 10–19 J͞eVB
El denominador incluye el factor de conversión de joules a eV.
SECCIÓN 39–6 Espectros de rayos X y el número atómico 1055
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KaIntensidad de rayos X EJEMPLO 39–7 Determinación del número atómico. Para bombardear un ma-
terial desconocido se utilizan electrones de alta energía. El pico más pronunciado se
Kb presenta para los rayos X emitidos con una energía de 66.3 keV. Determine de qué
material se trata.
l0 0.1 0.2
Longitud de onda, l (nm) PLANTEAMIENTO La más alta intensidad de rayos X por lo general es para la línea
Ka (véase la figura 39-11), que se presenta cuando electrones externos de alta energía
FIGURA 39–11 (Repetida) extraen electrones del nivel K (la órbita más interna, n 5 1) y su lugar lo ocupan elec-
Espectro de rayos X emitidos a partir trones del nivel L (n 5 2). Emplee el modelo de Bohr y suponga que los electrones
de un blanco de molibdeno en un tubo “ven” una carga nuclear de Z 2 1 (apantallada por un electrón).
de rayos X que opera a 50 kV. SOLUCIÓN La transición del hidrógeno de n 5 2 a n 5 1 produciría aproximadamen-
te 10.2 eV (véase la figura 37-26 o el ejemplo 37-13). La energía E es proporcional a Z2
Fotón (ecuación 37-14) o más bien (Z 2 1)2, porque el núcleo está apantallado por un elec-
hf = K KЈ trón en el estado 1s (véase líneas arriba), así que podemos utilizar las proporciones:
– (Z - 1)2 = 66.3 * 103 eV = 6.50 * 103,
K 12 10.2 eV
+ de manera que Z - 1 = 26500 = 81 y Z 5 82, que corresponde al plomo.
– Ahora se analizará brevemente la parte continua de un espectro de rayos X (figura
KЈ 39-11) con base en la teoría fotónica de la luz. Cuando los electrones inciden sobre el
FIGURA 39–13 Fotón blanco, chocan con átomos del material y ceden la mayor parte de su energía como calor
bremsstrahlung emitido por un (aproximadamente el 99%, por lo que los tubos de rayos X se deben enfriar). Los electro-
electrón desacelerado por interacción nes también pueden ceder energía al emitir un fotón: un electrón desacelerado por inte-
con un átomo blanco. racción con átomos del blanco (figura 39-13) emite radiación debido a su desaceleración
(capítulo 31) y en este caso se llama bremsstrahlung (término del alemán que significa
“radiación de frenado”). Como la energía se conserva, la energía del fotón emitido, hf, de-
be ser igual a la pérdida de energía cinética del electrón, DK 5 K 2 K9, de manera que
hf = ¢K.
Un electrón puede perder toda su energía o parte de ella en tal colisión. El espectro
continuo de rayos X (figura 39-11) se explica como debida a tales colisiones bremss-
trahlung, en las que los electrones pierden cantidades variables de energía. El rayo X
con longitud de onda más corta (la frecuencia más alta) se debe a un electrón que ce-
de toda su energía cinética para producir un fotón en una sola colisión. Como la ener-
gía cinética inicial de un electrón es igual a la energía otorgada por el voltaje de
aceleración, V, entonces K 5 eV. En una sola colisión en la que el electrón se lleve al
reposo (K9 5 0), entonces DK 5 eV y
hf0 = eV.
Se establece que f0 5 cyl0, donde l0 es la longitud de onda de corte (figura 39-11) y se
encuentra que
l0 = hc . (39–10)
eV
Esta predicción para l0 corresponde precisamente a la que se observa de forma expe-
rimental. Este resultado es una mayor evidencia de que los rayos X son una forma de
radiación electromagnética (luz)† y de que la teoría fotónica de la luz es válida.
EJEMPLO 39–8 Longitud de onda de corte. ¿Cuál es la longitud de onda más
corta del fotón de rayos X emitido en un tubo de rayos X sometido a 50 kV?
PLANTEAMIENTO Los electrones que inciden sobre el blanco tendrán una energía
cinética de 50 keV. Los fotones con longitud de onda más corta se deben a colisiones
en las cuales toda la energía cinética del electrón se cede al fotón, de manera que
K 5 eV 5 hf0.
SOLUCIÓN De acuerdo con la ecuación 39-10,
l0 = hc = A6.63 * 10–34 J и sB A3.0 * 108 m͞sB = 2.5 * 10–11 m,
eV A1.6 * 10–19 CB A5.0 * 104 VB
o 0.025 nm.
NOTA Este resultado concuerda bien con los experimentos, figura 39-11.
1056 CAPÍTULO 39 †Si los rayos X no fueran fotones, sino más bien partículas neutras con masa m, la ecuación 39-10 no se
sostendría.
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*39–7 Momento dipolar magnético;
cantidad de movimiento angular total
*Momento dipolar magnético y el magnetón de Bohr
Un electrón que gira en órbita alrededor del núcleo de un átomo se puede considerar
como una espira de corriente, desde el punto de vista clásico, y por ende se espera que
tenga un momento dipolar magnético, como se estudió en el capítulo 27. De hecho,
en el ejemplo 27-12 se hizo un cálculo clásico del momento dipolar magnético del electrón en
el estado fundamental del hidrógeno, con base, en esencia, en el modelo de Bohr, y se
encontró que da
= IA = 1 evr.
2
Aquí, v es la velocidad orbital del electrón y, para una partícula que se desplaza en un
círculo de radio r, su cantidad de movimiento angular es
L = mvr.
Así que se puede escribir
= 1 e L.
2 m
La dirección de la cantidad de movimiento angular LB es perpendicular al plano de la
espira de corriente. Así es la dirección del vector de momento dipolar magnético B ,
aunque en el sentido opuesto, pues la carga del electrón es negativa. En consecuencia,
se puede escribir la ecuación vectorial
B = – 1 e LB . (39–11)
2 m
Esta derivación semiclásica aproximada se basó en la teoría de Bohr. El mismo resulta-
do (ecuación 39-11) se obtiene con la mecánica cuántica. Puesto que LB está cuantizada
en la mecánica cuántica, el momento dipolar magnético también debe estar cuantizado.
La magnitud del momento dipolar está dada por (véase la ecuación 39-3)
= eU 2l(l + 1) .
2m
Cuando un momento dipolar magnético está en un campo magnético BB , experi-
menta una torca, como se vio en la sección 27-5, y la energía potencial U de tal sistema
depende de BB y la orientación de B relativa a BB (ecuación 27-12):
U = –B ؒ BB .
Si el campo magnético BB está en la dirección z, entonces
U = –z Bz
y de acuerdo con la ecuación 39-4 ALz = ml U B y la ecuación 39-11, se obtiene
z = – eU ml.
2m
(Tenga cuidado aquí de no confundir la masa del electrón m con el número cuántico
magnético, ml.) Es útil definir la cantidad
B = eU (39–12)
2m
que se llama magnetón de Bohr y tiene el valor 〉 = 9.27 * 10–24 J͞T (jouleytesla).
De esta forma, se escribe
z = –B ml, (39–13)
donde ml tiene valores enteros desde 0 hasta 6l (véase la tabla 39-1). Un átomo colo-
cado en un campo magnético tendría su energía dividida en niveles que difieren por
DU 5 mBB; éste es el efecto Zeeman, que se mostró en la figura 39-4.
*SECCIÓN 39–7 Momento dipolar magnético; cantidad de movimiento angular total 1057
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*Experimento de Stern y Gerlach y el factor g para el espín del electrón
La primera evidencia de esta cuantización espacial (sección 39-2) provino en 1922 de
un famoso experimento conocido como el experimento de Stern y Gerlach. Átomos
de plata (y más tarde algunos otros) se calentaron en un horno del cual escaparon, co-
mo se ilustra en la figura 39-14. Los átomos se hicieron pasar a través de un colimador,
que eliminó todo salvo un estrecho haz. Luego, el haz pasó hacia un campo magnético
z
S
FIGURA 39–14 El experimento de
Stern y Gerlach, que se realizó dentro
de una cámara de vacío.
Horno N Pantalla de
Imán visualización
Colimador
no homogéneo. El campo se hizo deliberadamente no homogéneo, de manera que ejer-
cería una fuerza sobre momentos magnéticos atómicos: recuerde que la energía poten-
cial (en este caso –B ؒ BB ) debe cambiar en el espacio si debe haber una fuerza (Fx 5
2dUydx, etcétera, sección 8-2). Si BB tiene un gradiente a lo largo del eje z, como en la
figura 39-14, entonces la fuerza es a lo largo de z:
Fz = – dU = z dBz .
dz dz
En consecuencia, los átomos de plata se desviarían hacia arriba o hacia abajo depen-
diendo del valor de m para cada átomo. Desde el punto de vista clásico, se esperaría ver
una distribución continua en la pantalla de visualización, pues se esperaría que los áto-
mos tuvieran momentos magnéticos con orientación aleatoria. Pero, en vez de ello,
Stern y Gerlach vieron dos líneas distintas para plata (y para otros átomos, a veces más
de dos líneas). Estas observaciones fueron la primera evidencia de la cuantización es-
pacial, aunque no se explicaría por completo sino años más tarde. Si las líneas se debieran
a la cantidad de movimiento angular orbital, se habría presentado un número impar de
ellas, que corresponden a los posibles valores de ml (pues z = –B ml). Para l 5 0,
sólo hay una posibilidad, ml 5 0. Para l 5 1, ml puede ser 1, 0 o 21, y se esperarían tres
líneas, etcétera. El hecho de que sólo hubiera dos líneas se explicó tiempo después me-
1 ,
diante el concepto de espín del electrón. Con un espín de 2 el espín del electrón pue-
de tener sólo dos orientaciones en el espacio, como se vio en la figura 39-5. Por lo
tanto, un momento dipolar magnético asociado con el espín tendría sólo dos posicio-
nes. Por ende, los dos estados en el caso de la plata vistos en el experimento de Stern y
Gerlach deben ser producto del espín de su único electrón de valencia. Los átomos de
plata, entonces, deben tener cero cantidad de movimiento angular orbital, pero un es-
1
pín total de 2 debido a este único electrón de valencia. (De los 47 electrones de la plata,
los espines de los primeros 46 se cancelan). Para el átomo H en su estado fundamental,
de nuevo sólo se observaron dos líneas en la pantalla de la figura 39-14: debido al espín
1
2 de su electrón, ya que la cantidad de movimiento angular orbital es cero.
La desviación Stern-Gerlach es proporcional al momento dipolar magnético, mz, y
para una partícula 1 ms = –A21 B(e U ͞2m) como para el
con espín 2 se espera z = –B
caso de la cantidad de movimiento angular orbital, ecuación 39-13. En vez de ello, se
encontró que mz para el espín es aproximadamente el doble:
z = –gB ms , [espín del electrón] (39–14)
donde g, el llamado factor g o razón giromagnética, se midió y resultó ser ligeramente
mayor que 2: g 5 2.0023… para un electrón libre. Este inesperado factor de (aproxima-
damente) 2 indica sin duda que el espín no se puede ver como una cantidad de movi-
miento angular clásica. Es un efecto puramente mecánico-cuántico. La ecuación 39-14
es la misma que la ecuación 39-13 para cantidad de movimiento angular orbital con ms
en sustitución de ml. Pero, para el caso orbital, g 5 1.
1058 CAPÍTULO 39 Mecánica cuántica de los átomos
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*Cantidad de movimiento angular total BJ
Un átomo puede tener cantidades de movimiento angulares tanto orbital como de es-
1
pín. Por ejemplo, en el estado 2p del hidrógeno, l 51y s = 2 . En el estado 4d, l 5 2
La cantidad de movimiento angular total es la vectorial de la cantidad
ys = 1 . suma
2
de movimiento angular orbital LB y el espín SB:
BJ = LB + SB.
De acuerdo con la mecánica cuántica, la magnitud de la cantidad de movimiento angu-
lar total BJ está cuantizada:
J = 2j(j + 1) U . (39–15)
Para el único electrón en el átomo H, la mecánica cuántica da el resultado de que j
puede ser
j = l +s = l + 1
2
o
j = l -s = l - 1
2
pero nunca menor que cero, tal como para l y s. Para el estado 1s, l 5 0 yj = 1 es la
única posibilidad. Para estados p, por ejemplo, el estado 2p, l 5 1y j puede 2
ser 3 o 1
La componente z para j está cuantizada en la forma habitual: 2 2 .
mj = j, j - 1, p , –j.
Para un estado 2p cdoencjua=tro21 ,emstjapduoes.dAe sdevrie12rota–q12u;epealraesjta=do23 , mj puede ser 3 , 1 , – 1 , – 3 ,
para dar un total de un solo 2 2 2 2
electrón se espe-
cifica al dar n, l, ml, ms, o al dar n, j, l, mj (sólo una de estas descripciones a la vez).
EJERCICIO G ¿Cuáles son las posibilidades para j en el estado 3d del hidrógeno? a) 3 , 1 ;
5 3 1 7 5 3 1 5 3 7 5 2 2
b) 2 , 2 , 2 ; c) 2 , 2 , 2 , 2 ; d) 2 , 2 ; e) 2 , 2 .
La interacción de los campos magnéticos con los átomos, como en el efecto Zee-
man y el experimento de Stern y Gerlach, implica la cantidad de movimiento angular
total. Por ende, el experimento de Stern y Gerlach con átomos H en el estado fun-
1 y – 12), pero para el primer estado exci-
damental muestra dos líneas (para mj = ± 2
tado muestra cuatro líneas que corresponden a los cuatro posibles valores de mj
3 1 1 3
A 2 , 2 , – 2 , – 2 B .
*Notación espectroscópica
Es posible especificar el estado de un átomo, incluido el número cuántico de la canti-
dad de movimiento angular total j, mediante la siguiente notación espectroscópica. Pa-
ra un estado de un solo electrón se puede escribir
nLj ,
donde el valor de L (el número cuántico orbital) se especifica usando las mismas letras
que en la tabla 39-3, pero en mayúsculas:
L=0 1 2 3 4 p
letra = S P D F G p .
De manera que el estado 2P3/2 tiene n = 2, l = 1, j = 3 , mientras que 1S1/2 especifi-
2
ca el estado fundamental del hidrógeno.
*SECCIÓN 39–7 Momento dipolar magnético; cantidad de movimiento angular total 1059
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*Estructura fina; interacción espín-órbita
Un efecto magnético también produce la división de la estructura fina que se mencionó
en la sección 39-2, pero ocurre en ausencia de cualquier campo externo. En este caso,
se debe a un campo magnético producido por el mismo átomo. Se puede ver cómo ocu-
rre al colocarse uno mismo en el marco de referencia del electrón, en cuyo caso se ve
que el núcleo gira en torno a uno como una carga en movimiento o una corriente eléc-
trica que produce un campo magnético, Bn. El electrón tiene un momento dipolar mag-
nético intrínseco s (ecuación 39-14) y, por lo tanto, su energía se alterará mediante
una cantidad (ecuación 27-12)
¢U = –B s ؒ BB n .
Puesto que s toma valores cuantizados de acuerdo con los valores de ms, la energía
del estado de un solo electrón se dividirá en dos niveles energéticos cercanos entre sí
(para ms = ±21 y – 12). Esta pequeña división de los niveles de energía produce una
pequeña división en las líneas espectrales. Por ejemplo, en el átomo H, la transición
2P S 1S se divide en dos líneas que corresponden a 2P1͞2 S 1S1͞2 y 2P3͞2 S 1S1͞2 .
La diferencia en energía entre estos dos sólo es de aproximadamente 5 3 1025 eV, la
cual es muy pequeña comparada con la energía de la transición 2P S 1S, que es de 13.6 eV
2 3.4 eV 5 10.2 eV.
El campo magnético BB n producido por el movimiento orbital es proporcional a la
cantidad de movimiento angular orbital LB , y puesto que B s es proporcional al espín SB,
entonces¢U = –B s ؒ BB n se puede escribir
¢U r LB ؒ SB.
Esta interacción, que produce la estructura fina, se llama en consecuencia la interac-
ción espín-órbita. Su magnitud se relaciona con una constante adimensional conocida
como la constante de estructura fina,
a = e2 L 1,
2⑀ 0 hc 137
que también aparece con frecuencia dentro de la física atómica.
Un Dos 39–8 Fluorescencia y fosforescencia
fotón fotones
absorbido emitidos Cuando un átomo se excita de un estado energético a uno superior mediante la absor-
ción de un fotón, puede regresar al nivel inferior en una serie de dos (o más) saltos si
FIGURA 39–15 Fluorescencia. hay un nivel de energía entre ambos (figura 39-15). En consecuencia, los fotones emiti-
dos tendrán menor energía y frecuencia que el fotón absorbido. Cuando el fotón absor-
FIGURA 39–16 Cuando luz UV bido está en la región UV y los fotones emitidos están en la región visible del espectro,
(un intervalo de longitudes de onda) este fenómeno se llama fluorescencia (figura 39-16).
ilumina estas rocas “fluorescentes”,
que emiten luz en la región visible La longitud de onda para la que ocurrirá fluorescencia depende de los niveles
del espectro. energéticos de los átomos particulares. Como las frecuencias son diferentes para distin-
tas sustancias, y puesto que muchas sustancias son fluorescentes con facilidad, la fluo-
rescencia es una poderosa herramienta para la identificación de compuestos. También
se usa para analizar (determinar qué cantidad de una sustancia está presente) y para
rastrear sustancias a lo largo de una ruta natural, como en plantas y animales. Para de-
tectar un compuesto dado, la luz estimulante debe ser monocromática y los solventes u
otros materiales presentes no deben emitir fluorescencia en la misma región del espec-
tro. En ocasiones la observación de la luz fluorescente emitida es suficiente para detectar
un compuesto. En otros casos, se utilizan espectrómetros para medir las longitudes de
onda e intensidades de la luz emitida.
Las lámparas fluorescentes funcionan en un proceso de dos pasos. El voltaje apli-
cado acelera electrones que golpean átomos del gas en el tubo y los excitan. Cuando
los átomos excitados saltan hacia sus niveles normales, emiten fotones UV que inciden
sobre un recubrimiento fluorescente en el interior del tubo. La luz que se ve es resulta-
do de la fluorescencia de este material en respuesta a la luz UV que incide sobre él.
1060 CAPÍTULO 39 Mecánica cuántica de los átomos
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Se dice que los materiales que se usan en las carátulas luminosas de los relojes son
fosforescentes. Cuando un átomo es llevado hacia un estado excitado normal, cae de
nuevo dentro de aproximadamente 1028 s. En las sustancias fosforescentes, los átomos
se pueden excitar mediante la absorción de fotones a niveles energéticos, llamados me-
taestables, que son estados que duran mucho más tiempo, porque saltar hacia abajo es
una transición “prohibida”, como se estudió en la sección 39-2. Los estados metaestables
pueden durar incluso algunos segundos o más. En una colección de tales átomos, mu-
chos de los átomos descenderán al estado inferior muy rápido, pero muchos permane-
cerán en el estado excitado durante más de una hora. Así, se emitirá luz incluso
durante largos periodos. Cuando un reloj con carátula luminosa se coloca cerca de una
lámpara brillante, muchos átomos se excitan a estados metaestables, y se puede ver el
brillo durante mucho tiempo después.
39–9 Láseres
Un láser es un dispositivo que produce un intenso haz muy estrecho de luz coherente Eu
monocromática. (Coherente significa que, a través de cualquier sección transversal del hf
haz, todas las partes tienen la misma fase). El haz emitido es una onda plana casi per-
fecta. Por otra parte, una fuente de luz ordinaria emite luz en todas direcciones (así que a) hf = Eu El El
la intensidad disminuye rápidamente con la distancia), y la luz emitida es incoherente
(las diferentes partes del haz no están en fase unas con otras). Los átomos excitados Eu
que emite la luz en una bombilla ordinaria actúan independientemente, de manera que hf
cada fotón emitido se puede considerar como un tren de onda corto que dura aproxi-
madamente 1028 s. Diferentes trenes de onda no tienen relación de fase entre sí. Justo b) hf = Eu El El
lo opuesto es cierto para los láseres. FIGURA 39–17 a) Absorción de un
fotón. b) Emisión estimulada. Eu y El
La acción de un láser se basa en la teoría cuántica. Se vio que un átomo puede ab- se conocen como estados “superior”
sorber un fotón si (y sólo si) la energía fotónica hf corresponde a la diferencia de ener- e “inferior” de energía.
gía entre un nivel energético ocupado del átomo y un estado excitado disponible, figura
39-17a. Si el átomo ya está en el estado excitado, desde luego puede saltar de manera es-
pontánea (es decir, sin estímulo aparente) al estado inferior con la emisión de un fotón.
Sin embargo, si un fotón con esta misma energía choca con el átomo excitado, puede es-
timular al átomo para realizar la transición más rápido hacia el estado inferior, figura
39-17b. Este fenómeno se llama emisión estimulada: no sólo se tiene todavía el fotón
original, sino también un segundo de la misma frecuencia como resultado de la transi-
ción del átomo. Estos dos fotones están exactamente en fase, y se desplazan en la misma
dirección. Es así como se produce luz coherente en un láser. De ahí el nombre “láser”,
que es un acrónimo de las palabras Light Amplification by Stimulated Emission of Ra-
diation (amplificación de luz mediante emisión estimulada de radiación).
La población natural en los estados energéticos de los átomos en equilibrio térmi-
co a cualquier temperatura T (en K) está dada por la distribución de Boltzmann (o fac-
tor Boltzmann):
Nn = Ce – En (39–16a)
kT,
donde Nn es el número de átomos en el estado con energía En. Para dos estados n y n9,
la razón del número de átomos en los dos estados es
Nn En -En¿ b
Nn¿ kT
= e .–a (39–16b)
Por consiguiente, la mayoría de los átomos están en el estado fundamental a menos que la FIGURA 39–18 Dos niveles
temperatura sea muy alta. En el sistema de dos niveles de la figura 39-17, la mayoría de energéticos para una colección de
los átomos por lo general están en el estado inferior, de manera que la mayoría de los fo- átomos. Cada punto representa el
tones incidentes se absorberán. Para obtener la luz coherente de la emisión estimulada, se estado energético de un átomo.
deben satisfacer dos condiciones. Primero, los átomos se deben excitar al estado superior, a) Situación normal; b) inversión
de manera que se produzca una inversión de población, en la que hay más átomos en el de población.
estado superior que en el inferior (figura 39-18). De esta forma, la emisión de fotones do-
minará sobre la absorción. Por lo tanto, el sistema no estará en equilibrio térmico. La se-
gunda condición es que el estado superior debe ser un estado metaestable, un estado
donde los electrones permanezcan más tiempo de lo habitual,† de manera que la transi-
ción hacia el estado inferior ocurra mediante emisión estimulada y no espontáneamente. Población Población
(Dentro de poco se estudiará cómo se produce una inversión de población). normal invertida
a) b)
†Un átomo excitado en tal estado puede saltar a un estado inferior sólo mediante una llamada transición
prohibida (que se describió en la sección 39-2), por lo que su tiempo de vida es más largo que lo normal. SECCIÓN 39–9 Láseres 1061
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FIGURA 39–19 Diagrama de láser, Espejo Espejo
que muestra átomos excitados parcialmente
transparente
estimulados para emitir luz.
Salida
del haz
láser
0.4 eV E2 La figura 39-19 es un diagrama de un láser: el material que formará el “láser” se
E1(metaestable) coloca en un largo tubo estrecho en cuyos extremos hay dos espejos, uno de los cuales
es parcialmente transparente (que quizá transmite el 1 o 2%). Algunos de los átomos
excitados caen bastante rápido después de excitarse. Uno de éstos es el átomo azul que
se representa en el extremo izquierdo de la figura 39-19. Si el fotón emitido incide so-
bre otro átomo en el estado excitado, lo estimula a emitir un fotón de la misma fre-
cuencia, que se mueve en la misma dirección y se encuentra en fase con él. Luego, estos
dos fotones se desplazan para chocar con otros átomos, lo que causa más emisión es-
timulada. Conforme el proceso continúa, el número de fotones se multiplica. Cuando
los fotones inciden sobre los espejos en los extremos, la mayoría se refleja de regreso y,
conforme se desplazan en sentido opuesto, continúan estimulando más átomos para
emitir fotones. Conforme los fotones se mueven de ida y vuelta entre los espejos, un
pequeño porcentaje pasa a través del espejo parcialmente transparente en un extremo.
Estos fotones constituyen el estrecho haz láser coherente externo.
Dentro del tubo, algunos fotones emitidos espontáneamente se emitirán en un ángu-
lo con el eje, y éstos simplemente saldrán por el lado del tubo y no afectarán la estrechez
del haz principal. En un láser bien diseñado, la dispersión del haz se limita sólo mediante
difracción, de manera que la dispersión angular es L lyD (véase la ecuación 35-1 o 35-10),
donde D es el diámetro del espejo final. La dispersión por difracción puede ser increíble-
mente pequeña. La energía luminosa, en vez de dispersarse hacia el espacio como sucede
con una fuente de luz ordinaria, se convierte en un haz del grosor de un lápiz.
2.2 eV 1.8 eV Creación de una población invertida
E0 La excitación de los átomos en un láser se puede realizar de varias formas para produ-
cir la inversión de población necesaria. En un láser de rubí, el material que formará el
FIGURA 39–20 Niveles de energía láser es una varilla de rubí que consiste en Al2O3 con un pequeño porcentaje de áto-
de cromo en un cristal de rubí. Fotones mos de aluminio (Al) sustituidos por átomos de cromo (Cr). Los átomos de Cr son
de energía de 2.2 eV “bombean” los que intervienen en la creación del láser. En un proceso llamado bombeo óptico, los
átomos desde E0 hasta E2, que luego átomos se excitan mediante fuertes destellos de luz con longitud de onda de 550 nm,
decaen hacia el estado metaestable E1. que corresponde a una energía fotónica de 2.2 eV. Como se muestra en la figura 39-20,
La acción de formación de láser ocurre los átomos se excitan desde el estado E0 hasta el estado E2. Los átomos rápidamente
mediante emisión estimulada de decaen de regreso a E0 o al estado intermedio E1, que es metaestabale con una vida de
fotones en transición de E1 a E0. aproximadamente 3 3 1023 s (en comparación con 1028 s para niveles ordinarios). Con
una fuerte acción de bombeo, se encontrarán más átomos en el estado E1 que en el es-
FIGURA 39–21 Niveles de energía tado E0. Así, se tiene la inversión de población necesaria para la formación del láser.
para He y Ne. El He se excita en la Tan pronto como algunos átomos en el estado E1 saltan hacia E0, emiten fotones que
descarga eléctrica hacia el estado E1. producen emisión estimulada de los otros átomos, y comienza la acción de formación
Esta energía se transfiere al nivel E93 del láser. En consecuencia, un láser de rubí emite un haz cuyos fotones tienen energía de
del Ne mediante la colisión. E39 es 1.8 eV y una longitud de onda de 694.3 nm (o luz “rojo rubí”)
metaestable y decae a E29 mediante
emisión estimulada. En un láser de helio-neón (He-Ne), el material que formará el láser es un gas, una
mezcla de aproximadamente un 85% de He y un 15% de Ne. Los átomos se excitan al
Colisión Neón E 3Ј aplicar un alto voltaje al tubo, de manera que dentro del gas tiene lugar una descarga
Helio E1 1.96 eV E 2Ј eléctrica. En el proceso, parte de los átomos de He se elevan al estado metaestable E1
que se ilustra en la figura 39-21, lo cual corresponde a un salto de 20.61 eV, casi exacta-
20.61 eV 20.66 eV 18.70 eV mente igual para un estado excitado en neón, 20.66 eV. Los átomos de He no regresan
rápidamente al estado fundamental mediante emisión espontánea, sino que, en vez de
E0 E 0Ј ello, a menudo ceden su energía excedente a un átomo de Ne cuando chocan (véase la
figura 39-21). En tal colisión, el He desciende al estado fundamental y el átomo de Ne
se excita al estado E39 (la prima se refiere a estados de neón). La ligera diferencia en
energía (0.05 eV) la suministra la energía cinética de los átomos en movimiento. De es-
ta forma, el estado E93 en Ne, que es metaestable, se vuelve más poblado que el nivel
E29. Esta inversión de población entre E93 y E29 es lo que se necesita para crear el láser.
1062 CAPÍTULO 39 Mecánica cuántica de los átomos
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Ahora son muy comunes los láseres de diodo semiconductor, también llamados lá- CUIDADO
seres de unión pn, que utilizan una inversión de población de electrones entre la banda El láser no es una fuente
de conducción del lado n del diodo y la banda de valencia de energía inferior del lado de energía
p (secciones 40-7 a 40-9). Cuando un electrón salta hacia abajo, se puede emitir un fo-
tón, que a la vez puede estimular a otro electrón a realizar la transición y emitir otro FÍSICA APLICADA
fotón en fase. Los espejos necesarios (como en la figura 39-19) se fabrican mediante los Reproductores de DVD y CD,
extremos pulidos del cristal pn. Los láseres semiconductores se utilizan en reproducto- códigos de barras
res de CD y DVD (véase abajo) y en muchas otras aplicaciones.
Otros tipos de láser incluyen: láseres químicos, en los que la entrada de energía
proviene de la reacción química de gases sumamente reactivos; láser de colorante, cuya
frecuencia es ajustable; láseres de gas CO2, capaces de entregar una salida de alta po-
tencia en el infrarrojo; y láseres de estado sólido de tierra rara, como el láser de alta
potencia Nd:YAG.
La excitación de los átomos en un láser se puede realizar de manera continua o en
pulsos. En un láser de pulsos los átomos se excitan mediante entradas periódicas de ener-
gía. En un láser continuo, la entrada de energía, como su nombre lo indica, es continua:
conforme los átomos se ven estimulados a saltar hacia el nivel inferior, pronto se excitan
de regreso hacia el nivel superior, de manera que la salida es un haz láser continuo.
Ningún láser es fuente de energía. Se debe poner energía, y el láser convierte una
parte de ella en una intensa salida de haz estrecho.
* Aplicaciones
La única característica de la luz proveniente de un láser, que es un haz estrecho cohe-
rente, tiene muchas aplicaciones. En la vida cotidiana, los láseres se usan como lectores
de códigos de barras (en las cajas registradoras de los supermercados) y en reproduc-
tores de discos compactos (CD) y discos de video digital (DVD). El haz láser se refle-
ja en las tiras y los espacios de un código de barras, y en las pequeñas depresiones
(pits) de un CD o DVD, como se ilustra en la figura 39-22a. La información grabada en
un CD o DVD es una serie de pits y espacios que representan ceros y unos (o “apaga-
do” y “encendido”) de un código binario que se decodifica electrónicamente antes de
enviarse al sistema de audio o video. El láser de un reproductor de CD comienza a leer
en el interior del disco que al principio gira aproximadamente a 500 rpm. Conforme el
disco gira, el láser sigue la pista espiral (figura 39-22b) y, conforme se mueve hacia fue-
ra, el disco debe frenar porque cada circunferencia sucesiva (C 5 2pr) es ligeramente
mayor conforme r aumenta; en el borde exterior, el disco gira aproximadamente a 200
rpm. Un CD de 1 hora tiene una pista de aproximadamente 5 km de largo; el ancho de
la pista es de alrededor de 1600 nm (5 1.6 mm) y la distancia entre pits es de alrededor
de 80 nm. Los DVD contienen mucha más información. Los DVD estándar utilizan
una pista más delgada (0.7 mm) y una menor longitud de pit (400 nm). Los nuevos
DVD de alta definición emplean un láser “azul” con una longitud de onda corta (405
nm) y un haz más estrecho, lo que permite que una pista más estrecha (0.3 mm) pueda
almacenar muchos más datos para alta definición. Los DVD también pueden tener dos
capas, una bajo la otra. Cuando el láser se enfoca sobre la segunda capa, la luz pasa a
través de la capa superficial semitransparente. La segunda capa comienza a leer en el
borde exterior y no en el interior. Los DVD también pueden tener una o dos capas en
ambas superficies del disco.
Lado inferior Pit (depresión) FIGURA 39–22 a) Lectura de un CD
de CD (o DVD). El fino haz de un láser, enfocado
Espejo Láser incluso de manera más fina con la ayuda de
Lente semiplateado lentes, se dirige hacia la superficie inferior de
MS un disco compacto giratorio. El haz se refleja
Espejo de regreso en las áreas entre pits, pero se
Lente b) refleja mucho menos en éstos. La luz que se
a) Detector refleja se detecta como se muestra, reflejada
mediante un espejo semirreflector MS. Las
reflexiones intensas y débiles corresponden a
los 0 y 1 del código binario que representa
la señal de audio y video. b) Un láser sigue la
pista de CD que comienza cerca del centro y
gira en espiral hacia fuera.
SECCIÓN 39–9 Láseres 1063
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FÍSICA APLICADA Los láseres son útiles herramientas quirúrgicas. El intenso haz estrecho sirve para
Usos médicos y algunos otros destruir tejido en una zona localizada, o para desintegrar cálculos en la vesícula y los
de los láseres riñones. En virtud del calor producido, un haz láser es capaz de “soldar” tejido roto, co-
mo en el caso de un desprendimiento de retina, figura 39-23, o de moldear la córnea
FIGURA 39–23 Láser que se utiliza del ojo (al vaporizar pequeños trozos de material) y corregir miopía y otros defectos
en cirugía ocular. oculares (cirugía LASIK). El haz láser se puede conducir mediante fibra óptica (sec-
ción 32-7) hasta el punto de cirugía, en ocasiones como una trayectoria adicional de fi-
bra óptica en un endoscopio (de nuevo, sección 32-7). Un ejemplo es la remoción de la
placa que obstruye las arterias humanas. Algunos investigadores destruyen pequeños
organelos dentro de una célula viva para estudiar cómo la ausencia de tal organelo
afecta el comportamiento de la célula. Los rayos láser se utilizan para destruir células
cancerosas y precancerosas; el calor sella capilares y vasos linfáticos, lo que “cauteriza”
la herida para evitar dispersión de la enfermedad.
El intenso calor producido en una pequeña área mediante un haz láser se utiliza
para soldar y troquelar metales, y para taladrar pequeños orificios en materiales duros.
Puesto que un haz láser es coherente, monocromático, estrecho y en esencia paralelo,
se emplean lentes para enfocar la luz en áreas todavía más pequeñas. La notable recti-
tud de un haz láser también es útil para que los topógrafos alineen con precisión su
equipo, especialmente en lugares inaccesibles.
*39–10 Holografía
FÍSICA APLICADA Una de las aplicaciones más interesantes de la luz láser es la producción de imágenes
Holografía tridimensionales llamadas hologramas (véase la figura 39-24). En una fotografía ordi-
naria, la película simplemente registra la intensidad de la luz que llega a ella en cada
punto. Cuando se ve la fotografía o transparencia, la luz que se refleja en ella o pasa a
través de ella permite observar una imagen bidimensional. En la holografía, las imáge-
nes se forman mediante interferencia, sin lentes. Cuando un holograma láser se forma
sobre una película, un haz láser ensanchado se divide en dos partes mediante un espe-
jo semiplateado, figura 39-24a. Una parte pasa directamente hacia la película; el resto
pasa hacia el objeto a fotografiar, desde donde se refleja hacia la película. La luz pro-
veniente de cada punto del objeto alcanza cada punto de la película, y la interferencia
de los dos haces permite a la película registrar tanto la intensidad como la fase relativa de
la luz en cada punto. Es crucial que la luz incidente sea coherente (esto es, que esté en fase
en todos los puntos), por lo que se usa un láser. Después de revelar la película, se coloca
de nuevo en un haz láser y se crea una imagen tridimensional del objeto. Uno puede cami-
nar alrededor de tal imagen y verla desde diferentes lados como si fuera el objeto ori-
ginal (figura 39-24b). Sin embargo, si uno intenta tocarla, no habrá nada material ahí.
FIGURA 39–24 a) Elaboración de un holograma. La luz que se refleja desde varios puntos del objeto interfiere (en la
película) con la luz que proviene del haz directo. b) Un chico observa un holograma de dos mujeres que hablan por
teléfono. Los hologramas no se fotografían bien, se deben ver directamente.
Espejo Haz Película
semiplateado directo
Luz FPO
láser
Rayos 184 pts
reflejados
192 pts
Objeto b)
a)
1064 CAPÍTULO 39 Mecánica cuántica de los átomos
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Los detalles de cómo se forma la imagen son bastante complicados, pero es posible Rayo Película
obtener la idea básica al considerar un solo punto del objeto. En la figura 39-25a los directo A
rayos OA y OB se reflejan en un punto del objeto. Los rayos CA y DB llegan direc-
tamente desde la fuente e interfieren con OA y OB en los puntos A y B sobre la C
película. Como se muestra en la figura 39-25b, se produce un conjunto de franjas de in-
terferencia. La separación entre las franjas cambia de la parte superior a la inferior, como se B
muestra. La razón de esto se presenta en la figura 39-26. El holograma de un solo objeto D
puntual tendría el patrón de franjas que se ilustra en la figura 39-25b. La película en este
caso parece una rejilla de difracción con espaciamiento variable. De esta forma, cuando O Rayos
luz láser coherente pasa de nuevo a través de la película revelada para reconstruir la ima- (objeto) reflejados
gen, los rayos difractados en los máximos de primer orden se presentan a ángulos lige-
ramente diferentes porque el espaciamiento cambia. (Recuerde la ecuación 35-13, sen u a) b)
5 lyd: donde la separación d es mayor, el ángulo u es menor). En consecuencia, los rayos
difractados hacia arriba (en el primer orden) parecen divergir de un solo punto, figura FIGURA 39–25 a) Luz proveniente
39-27. Ésta es una imagen virtual del objeto original, que se puede ver. Los rayos difrac- del punto O en el objeto interfiere con
tados en primer orden hacia abajo convergen para formar una imagen real, que se puede la luz de haz directo (rayos CA y DB).
ver y también fotografiar. (Advierta que no son de interés los rayos no difractados que b) Franjas de interferencia producidas.
pasan rectos). Desde luego, los objetos reales consisten en muchos puntos, de manera
que un holograma será un patrón de interferencia complejo que, cuando incida luz sobre
él, reproducirá una imagen del objeto. Cada punto de la imagen estará en la posición co-
rrecta (tridimensional) con respecto a otros puntos, de manera que la imagen represen-
ta con precisión el objeto original, y se puede ver desde diferentes ángulos, como si se
observara el objeto original. Es posible hacer hologramas en los que el observador pueda
caminar por completo alrededor de la imagen (360º) y ver todos sus lados.
Máx Película
Mín revelada
Máx A uA
Mín Luz uA
láser
Máx
Mín B uB
uB
Máx
Mín
Máx
O
FIGURA 39–26 Cada uno de los rayos Imagen Imagen
que salen del punto O es una longitud de virtual real
onda más corto que el que está arriba
de él. Si el rayo superior está en fase con FIGURA 39–27 Reconstrucción de la imagen de un punto del objeto.
el haz directo (no se muestra), que tiene El haz láser incide sobre la película revelada, que es como una rejilla
la misma fase en todos los puntos de la de difracción de espaciamiento variable. Se muestra la salida de los
pantalla, cada uno de los rayos mostrados rayos que corresponden a los primeros máximos de difracción. El
produce una franja de interferencia ángulo uA . uB porque el espaciamiento en B es mayor que en A
constructiva. A partir de este diagrama se (sen u 5 lyd). Por lo tanto, las imágenes real y virtual del punto se
observa que la separación entre las franjas reproducen como se indica.
aumenta en la parte inferior.
Los hologramas de volumen o luz blanca no requieren de un láser para que se
pueda ver la imagen, ya que se ven con luz blanca ordinaria (de preferencia una fuen-
te casi puntual, como el Sol o una bombilla clara con un pequeño filamento brillante).
Sin embargo, tales hologramas deben hacerse con un láser. No se elaboran sobre una
delgada película, sino sobre una gruesa emulsión. El patrón de interferencia en la
emulsión de la película se puede considerar como un arreglo de bandas o listones don-
de ocurre la interferencia constructiva. Este arreglo y la reconstrucción de la imagen
son comparables con la dispersión de Bragg de rayos X provenientes de los átomos de
un cristal (véase la sección 35-10). La luz blanca logra reconstruir la imagen porque la
condición de Bragg (ml 5 2d sen u) selecciona la longitud de onda individual adecua-
da. Si el holograma se produce originalmente mediante láseres que emiten los tres co-
lores primarios aditivos (rojo, verde y azul), la imagen tridimensional se verá a todo
color cuando se observe con luz blanca.
*SECCIÓN 39–10 Holografía 1065
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Resumen
Desde la perspectiva mecánico-cuántica del átomo, los electrones no El ordenamiento de los electrones en átomos con múltiples
tienen órbitas bien definidas, sino más bien existen como una “nu- electrones está gobernado por el principio de exclusión de Pauli, el cual
be”. Las nubes de electrones se pueden interpretar como una onda afirma que no hay dos electrones que ocupen el mismo estado cuán-
de electrones que se dispersa en el espacio, o como una distribución tico; esto es, no pueden tener el mismo conjunto de números cuánti-
de probabilidad para electrones considerados como partículas. cos n, l, ml y ms.
Como resultado, los electrones en átomos de muchos electro-
Para el átomo más sencillo, el de hidrógeno, la ecuación de
Schrödinger incluye la energía potencial nes se agrupan en niveles (de acuerdo con el valor de n) y subnive-
U = 1 e2 . les (de acuerdo con l).
– 4p⑀ 0 r
Las configuraciones de electrones se especifican mediante va-
Las soluciones dan los mismos valores de energía que la antigua lores numéricos de n, y se usan letras para l: s, p, d, f, etcétera, para
teoría de Bohr. l 5 0, 1, 2, 3, etcétera, más un superíndice para el número de elec-
De acuerdo con la mecánica cuántica, el estado de un electrón trones en ese subnivel. Así, el estado fundamental del hidrógeno es
en un átomo se especifica mediante cuatro números cuánticos: n, l, 1s1, mientras que para el oxígeno es 1s22s22p4.
ml y ms:
En la tabla periódica, los elementos se ordenan en hileras horizon-
1. n, el número cuántico principal, puede tomar cualquier valor
tales de acuerdo con número atómico creciente (número de electrones
entero (1, 2, 3,...) y corresponde al número cuántico de la anti- en el átomo neutro). La estructura en niveles da lugar a una periodici-
gua teoría de Bohr; dad en las propiedades de los elementos, de manera que cada columna
2. l, el número cuántico orbital, puede tomar valores enteros des- vertical contiene elementos con similares propiedades químicas.
de 0 hasta n 2 1; Los rayos X, que son una forma de radiación electromagnética
3. ml, el número cuántico magnético, puede tomar valores enteros con longitud de onda muy corta, se producen cuando electrones de al-
desde 2l hasta 1l; ta rapidez inciden sobre un blanco. El espectro de rayos X que se pro-
4. ms, el número cuántico de espín, puede ser ± 1 o – 1 . duce consiste en dos partes: un espectro continuo que se produce
2 2
cuando los electrones se desaceleran mediante los átomos del blanco,
Los niveles de energía en el átomo de hidrógeno dependen de
y picos que representan fotones emitidos por los átomos del blanco al
n, mientras que en otros átomos dependen de n y l.
excitarse después de chocar con los electrones de alta rapidez. La me-
La cantidad de movimiento (o momento) angular orbital de un
dición de estos picos permite la determinación de los niveles de ener-
átomo tiene magnitud L = 2l Al + 1B U y componentez Lz = ml U .
gía internos de los átomos y la determinación del número atómico Z.
La cantidad de movimiento angular de espín tiene magnitud
1 [*Un átomo tiene un momento dipolar magnético B que se re-
S = 2s As + 1B U y componente z Sz = ms U donde s = 2 y laciona con su cantidad de movimiento angular orbital LB, que pro-
ms = & 1 . duce una energía potencial cuando está en un campo magnético,
2
Cuando se aplica un campo magnético externo, las líneas es- U = – и BB. El espín del electrón también produce un momento
pectrales se dividen (el efecto Zeeman), lo que indica que en este magnético, pero la energía en un campo magnético es un factor g 5
caso la energía también depende de ml. 2.0023... veces mayor que lo esperado, según se determinó en los ex-
Incluso en ausencia de un campo magnético, mediciones preci-
perimentos de Stern y Gerlach].
sas de líneas espectrales muestran una pequeña división de las lí-
[*Los átomos tienen una cantidad de movimiento angular total
neas que constituyen la estructura fina, cuya explicación es que la
BJ = LB + SB que está cuantizada para L y S, a saber J = 2j A j + 1B U
energía depende muy ligeramente de ml y ms.
Las transiciones entre estados que obedecen la regla de selec- donde j es un semientero igual a l & 1 en el caso del hidrógeno].
2
La fluorescencia ocurre cuando la absorción de fotones UV va
ción Dl 5 61 son mucho más probables que las llamadas transicio-
seguida por la emisión de luz visible, debido al ordenamiento espe-
nes prohibidas.
La función de onda del estado fundamental en el hidrógeno cial de los niveles de energía de los átomos del material. Los ma-
tiene simetría esférica, como los otros estados l 5 0. Los estados teriales fosforescentes tienen estados metaestables (de larga vida)
con l . 0 tienen cierta direccionalidad en el espacio. que emiten luz segundos o minutos después de la absorción de luz.
La densidad de probabilidad (o distribución de probabilidad), Los láseres producen un estrecho haz de luz coherente monocro-
ucu2, y la densidad de probabilidad radial, Pr = 4pr2∑c∑2, son útiles
para ilustrar la extensión espacial de la nube de electrones. mática (ondas de luz en fase). [*Los hologramas son imágenes con una
calidad tridimensional, formadas mediante interferencia de luz láser].
Preguntas 5. Átomos de hidrógeno y helio excitados irradian luz mientras des-
cienden al estado n 5 1, l 5 0, ml 5 0. Sin embargo, los dos ele-
1. Discuta las diferencias entre la visión de Bohr del átomo y la vi- mentos tienen espectros de emisión muy diferentes. ¿Por qué?
sión mecánico-cuántica.
6. En la figura 39-4, ¿por qué los niveles superior e inferior tienen
2. La densidad de probabilidad ucu2 es un máximo en el centro del diferentes divisiones de energía en un campo magnético?
átomo de H (r 5 0) para el estado fundamental, mientras que la
densidad de probabilidad radial Pr = 4pr2∑c∑2 es cero en este 7. ¿Por qué resultan tres números cuánticos de la teoría de Schrö-
punto. Explique por qué. dinger (y no, por ejemplo, dos o cuatro)?
3. ¿Cuál modelo del átomo de hidrógeno, el modelo de Bohr o el 8. La línea amarilla de 589 nm en el sodio en realidad está consti-
modelo mecánico-cuántico, predice que el electrón pasa más tuida por dos líneas muy cercanas entre sí. Esta división se debe
tiempo cerca del núcleo? a un efecto Zeeman “interno”. ¿Puede explicar esto? [Sugeren-
cia: Póngase en el marco de referencia del electrón].
4. El tamaño de los átomos varía sólo por un factor aproximado
de tres, de mayor a menor, aunque el número de electrones va-
ría desde uno a más de 100. ¿Por qué?
1066 CAPÍTULO 39 Mecánica cuántica de los átomos
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9. ¿Cuáles de las siguientes configuraciones electrónicas no se 19. ¿Por qué la teoría de Bohr, que no funciona muy bien para
permiten? a) 1s22s22p43s24p2; b) 1s22s22p83s1; c) 1s22s22p63s23 transiciones normales que implican los electrones externos del
p54s24d54f1. Si no se permiten, explique por qué. He y átomos más complejos, predice razonablemente bien los
espectros de rayos X atómicos para transiciones en el interior
10. Dé la configuración electrónica completa para un átomo de del átomo?
uranio (la revisión cuidadosa de la tabla periódica en la tercera
de forros le dará sugerencias útiles). 20. ¿Por qué la longitud de onda de corte en la figura 39-11 implica
una naturaleza fotónica de la luz?
11. ¿En qué columna de la tabla periódica esperaría encontrar el
átomo con cada una de las siguientes configuraciones? 21. ¿Cómo sabría cuáles líneas en un espectro de rayos X corres-
a) 1s22s22p63s2; b) 1s22s22p63s23p6; c) 1s22s22p63s23p64s1; ponden a transiciones Ka, Kb, L, etcétera?
d) 1s22s22p5.
22. ¿Por qué los espectros característicos de rayos X varían en una
12. ¿De qué factores depende la periodicidad de la tabla periódica? forma sistemática con Z, mientras que los espectros visibles (fi-
Considere el principio de exclusión, la cuantización de la canti- gura 35-22) no lo hacen así?
dad de movimiento angular, el espín y cualquier otro.
23. ¿Por qué espera que las transiciones electrónicas en el interior
13. ¿Cómo se vería la tabla periódica si no hubiera espín de elec- del átomo produzcan longitudes de onda más cortas que las
trón pero al mismo tiempo fuera válida, de algún modo, la me- transiciones mediante electrones exteriores?
cánica cuántica? Considere los primeros 20 elementos.
* 24. ¿Por qué la dirección del momento dipolar magnético de un
14. La energía de ionización para el neón (Z 5 10) es de 21.6 eV y electrón es opuesta a la de su cantidad de movimiento angular
la del sodio (Z 5 11) es 5.1 eV. Explique la gran diferencia. orbital?
15. ¿Por qué el cloro y el yodo manifiestan propiedades similares? * 25. ¿Por qué en el experimento de Stern y Gerlach se usa un cam-
po no homogéneo?
16. Explique por qué el potasio y el sodio manifiestan propiedades
similares. 26. Compare la emisión espontánea con la emisión estimulada.
17. ¿Por qué las propiedades químicas de las tierras raras son tan 27. ¿La intensidad de la luz proveniente de un láser disminuye co-
similares? mo el cuadrado inverso de la distancia?
18. ¿Por qué no se espera concordancia perfecta entre los valores 28. ¿Cómo difiere la luz láser de la luz ordinaria? ¿En qué se parecen?
medidos de las longitudes de onda características de las líneas
de los rayos X y los calculados mediante la teoría de Bohr, co- 29. Explique cómo un haz láser de 0.0005 W, fotografiado a cierta
mo en el ejemplo 39-6? distancia, puede parecer mucho más intenso que una luminaria
de 1000 W a la misma distancia.
Problemas 11. (II) La magnitud de la cantidad de movimiento angular orbital
en un estado excitado del hidrógeno es 6.84 3 10234 J?s y la
39–2 Números cuánticos del átomo de hidrógeno componente z es 2.11 3 10234 J?s. ¿Cuáles son todos los posi-
bles valores de n, l y ml para ese estado?
1. (I) Para n 5 7, ¿qué valores puede tener l?
39–3 Funciones de onda del átomo de hidrógeno
2. (I) Para n 5 6, l 5 3, ¿cuáles son los posibles valores de ml y ms?
12. (I) Demuestre que la función de onda del estado fundamental, ecua-
3. (I) ¿Cuántos estados diferentes son posibles para un electrón ción 39-5, está normalizada. [Sugerencia: Véase el ejemplo 39-4].
cuyo número cuántico principal es n 5 5? Escriba los números
cuánticos para cada estado. 13. (II) Para el estado fundamental del hidrógeno, ¿cuál es el valor
de a) c, b) ucu2 y c) Pr, en r 5 1.5r0?
4. (I) Si un átomo de hidrógeno tiene ml 5 24, ¿cuáles son los po-
sibles valores de n, l y ms? 14. (II) Para el estado n 5 2, l 5 0 del hidrógeno, ¿cuál es el valor
de a) c, b) ucu2 y c) Pr en r 5 4r0?
5. (I) Un átomo de hidrógeno tiene l 5 5. ¿Cuáles son los posibles
valores para n, ml y ms? 15. (II) ¿En qué factor es más probable encontrar al electrón en el
estado fundamental del hidrógeno en el radio de Bohr (r0) que
6. (I) Calcule la magnitud de la cantidad de movimiento angular en el doble del radio de Bohr (2r0)?
de un electrón en el estado n 5 5, l 5 3 del hidrógeno.
16. (II) a) Demuestre que la probabilidad de encontrar al electrón
7. (II) Un átomo de hidrógeno está en el estado 7g. Determine: en el estado fundamental del hidrógeno a menos de un radio
a) el número cuántico principal, b) la energía del estado, c) la de Bohr desde el núcleo es 32%. b) ¿Cuál es la probabilidad de
cantidad de movimiento angular orbital y su número cuántico l, encontrar un electrón 1s entre r 5 r0 y r 5 2r0?
y d) los posibles valores para el número cuántico magnético.
17. (II) Determine el radio r de una esfera con centro en el núcleo,
8. (II) a) Demuestre que el número de diferentes estados elec- dentro del cual la probabilidad de encontrar al electrón para el
trónicos posibles para un valor dado de l es igual a 2(2l 1 1). estado fundamental del hidrógeno es a) 50%, b) 90%, c) 99%.
b) ¿Cuál es este número para l 5 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6?
18. (II) a) Estime la probabilidad de encontrar un electrón, en el
9. (II) Demuestre que el número de diferentes estados electrónicos estado fundamental del hidrógeno, dentro del núcleo, suponien-
posibles para un valor dado de n es 2n2. (Véase el problema 8). do que es una esfera de radio r 5 1.1 fm. b) Repita la estima-
ción pero suponga que el electrón se sustituye con un muón,
10. (II) Un átomo H excitado está en un estado 5d. a) Mencione que es muy similar a un electrón (capítulo 43), excepto que su
todos los estados a los que al átomo se le “permite” saltar con masa es 207 veces mayor.
la emisión de un fotón. b) ¿Cuántas longitudes de onda diferen-
tes existen? (Ignore la estructura fina).
Problemas 1067
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19. (II) Demuestre que el valor medio de r para un electrón en el 36. (II) Aplique el principio de exclusión a un pozo cuadrado infini-
3 , tamente alto (sección 38-8). Sean cinco electrones confinados a
estado fundamental del hidrógeno es r = 2 r0 al calcular esta caja rígida cuyo ancho es l. Encuentre el estado de menor
energía de este sistema, al colocar los electrones en los niveles
Ύr = todo el espacio r∑c1 0 0∑2 dV = Ύq 0 r∑c1 0 0∑24pr2 dr. disponibles más bajos, en congruencia con el principio de exclu-
sión de Pauli.
20. (II) Demuestre que c200, dada por la ecuación 39-8, está norma-
lizada. 37. (II) Demuestre que la cantidad de movimiento angular total es
cero para un subnivel lleno.
21. (II) Determine la distribución de probabilidad radial promedio
Pr para el estado n 5 2, l 5 1 en hidrógeno, al calcular 39–Rayos X
Pr = 4pr2 C 1 ∑c2 1 0∑2 + 1 ∑c2 1 1∑2 + 1 ∑c21 -1∑2 D . 38. (I) Si los rayos X bremsstrahlung con longitud de onda más cor-
3 3 3 ta emitidos desde un tubo de rayos X tienen l 5 0.027 nm,
¿cuál es el voltaje a través del tubo?
22. (II) Con base en el resultado del problema 21, demuestre que la
distancia más probable r desde el núcleo para un electrón en el 39. (I) ¿Cuáles son los rayos X con longitud de onda más corta
estado 2p del hidrógeno es r 5 4r0, que es justo el segundo ra- emitidos por los electrones que inciden sobre la cara de un ci-
dio de Bohr (ecuación 37-11, figura 37-25). nescopio de televisión de 32.5 kV? ¿Cuáles son las longitudes
de onda más largas?
23. (II) Para el estado fundamental del hidrógeno, ¿cuál es la pro-
babilidad de encontrar al electrón dentro de un cascarón esféri- 40. (I) Demuestre que la longitud de onda de corte l0 en un espec-
co con radio interior 0.99r0 y radio exterior 1.01r0? tro de rayos X está dada por
24. (III) Para el estado n 5 2, l 5 0 del hidrógeno, ¿cuál es la pro- l0 = 1240 nm,
babilidad de encontrar al electrón dentro de un cascarón esféri- V
co con radio interior 4.00r0 y radio exterior 5.00r0? [Sugerencia:
Integre por partes]. donde V es el voltaje, en volts, en el tubo de rayos X.
25. (III) Demuestre que c100 (ecuación 39-5a) satisface la ecuación 41. (II) Estime la longitud de onda para una transición en hierro
de Schrödinger (ecuación 39-1) con el potencial de Coulomb, (Z 5 26) desde n 5 2 hasta n 5 1.
–me4͞8⑀ 2 h2.
para energía E = 0 42. (II) Con base en el resultado del ejemplo 39-6, estime la lon-
gitud de onda del rayo X emitido cuando un átomo de cobalto
26. (III) Demuestre que la probabilidad de encontrar al electrón (Z 5 27) realiza una transición de n 5 2 a n 5 1.
dentro de 1 radio de Bohr del núcleo en el átomo de hidrógeno 43. (II) Una mezcla de hierro y un material desconocido se bom-
bardea con electrones. La longitud de onda de las líneas Ka son
es a) 3.4% para el estado n 5 2, l 5 0, y b) 0.37% para el esta- 194 pm para hierro y 229 pm para el material desconocido.
¿Cuál es el material desconocido?
do n 5 2, l 5 1. (Véase el problema 21).
44. (II) Con base en la teoría de Bohr, estime la longitud de onda
27. (III) La función de onda para el estado n 5 3, l 5 0 en el hidró- para una transición en molibdeno (Z 5 42) desde n 5 3 hasta
n 5 1. El valor medido es 0.063 nm. ¿Por qué no se espera con-
geno es cordancia perfecta?
c300 = 1 ¢1 - 2r + 2r2 ≤ e– r 45. (II) Con base en la conservación de la energía y de la cantidad
327pr30 3r0 27r02 de movimiento lineal, demuestre que un electrón en movimien-
3r0. to no puede ceder un fotón de rayos X a menos que haya un
tercer objeto presente, como un átomo o núcleo.
a) Determine la distribución de probabilidad radial Pr para ese
estado y b) dibuje su curva en una gráfica. c) Determine la distan-
cia más probable desde el núcleo para un electrón en ese estado.
39–4 y 39–5 Átomos complejos * 39–7 Momento dipolar magnético; BJ
28. (I) Mencione los números cuánticos para cada electrón en el es-
* 46. (I) Verifique que el magnetón de Bohr tiene el valor mB 5 9.27
tado fundamental del oxígeno (Z 5 8). 3 10224 JyT (véase la ecuación 39-12).
29. (I) Mencione los números cuánticos para cada electrón en el es- * 47. (I) Si el estado cuántico de un electrón se especifica mediante
tado fundamental de a) carbono (Z 5 6), b) aluminio (Z 5 13). (n, l, ml, ms), estime la diferencia de energía entre los estados
A1, 0, 0, 1 y A1, 0, 0, 1 de un electrón en el estado 1s del
30. (I) ¿Cuántos electrones puede haber en el subnivel n 5 6, l 5 4? – 2 B ± 2 B
31. (II) Un electrón tiene ml 5 2 y se encuentra en su estado ener- helio en un campo magnético externo de 2.5 T.
gético más bajo posible. ¿Cuáles son los valores de n y l para
ese electrón? * 48. (II) Átomos de plata (espín 5 1 ) se colocan en un campo mag-
2
32. (II) Si el número cuántico principal n estuviera limitado al in- nético 1.0 T que divide el estado fundamental en dos niveles
tervalo de 1 a 6, ¿cuántos elementos se encontrarían en la natu-
raleza? cercanos. a) ¿Cuál es la diferencia en energía entre estos dos ni-
33. (II) ¿Cuál es la configuración electrónica completa para a) ní- veles y b) qué longitud de onda de fotón podría causar una
quel (Ni), b) plata (Ag), c) uranio (U)? [Sugerencia: Consulte la
tabla periódica en la tercera de forros de este libro]. transición desde el nivel inferior hasta el superior? c) ¿Cómo
34. (II) Con base en la teoría de Bohr, estime la energía de enlace diferiría su respuesta si los átomos fueran de hidrógeno?
del tercer electrón en litio. [Sugerencia: Considere que este
electrón tiene n 5 2 y “ve” una carga neta de aproximadamen- * 49. (II) En un experimento de Stern y Gerlach, átomos de Ag salen
te 11e]. El valor medido es 5.36 eV. del horno con una rapidez promedio de 780 mys y pasan a tra-
vés de un gradiente de campo magnético dBydz 5 1.8 3 103
35. (II) Con la fórmula de Bohr para el radio de la órbita de un Tym en una distancia de 5.0 cm. a) ¿Cuál es la separación de los
electrón, estime la distancia promedio desde el núcleo para dos haces conforme salen del imán? b) ¿Cuál sería la separa-
un electrón en la órbita más interna (n 5 1) en uranio (Z 5 92).
¿Aproximadamente cuánta energía se requeriría para remover ción si el factor g fuera 1 para el espín del electrón?
este electrón más interno?
* 50. (II) Para un electrón en un estado 5g, ¿cuáles son todos los po-
sibles valores de j, mj, J y JZ?
1068 CAPÍTULO 39 Mecánica cuántica de los átomos
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* 51. (II) ¿Cuáles son los posibles valores de j para un electrón en el 55. (II) Estime la dispersión angular de un haz láser debido a di-
estado a) 4p, b) 4f y c) 3d del hidrógeno? d) ¿Cuál es J en cada fracción, si el haz sale a través de un espejo de 3.6 mm de diá-
caso? metro. Suponga que l 5 694 nm. ¿Cuál sería el diámetro de
este haz si incide sobre a) un satélite a 380 km sobre la Tierra,
* 52. (II) a) Escriba los números cuánticos para cada electrón en el b) la Luna? [Sugerencia: Consulte el capítulo 35].
átomo de galio. b) ¿Cuáles subniveles se llenan? c) El último
electrón está en el estado 4p; ¿cuáles son los posibles valores 56. (II) Un láser de baja potencia que se usa en un laboratorio de
del número cuántico de cantidad de movimiento angular total, física tiene una potencia de 0.50 mW y un diámetro de haz
j, para este electrón? d) Explique por qué la cantidad de movi- de 3.0 mm. Calcule a) la intensidad de luz promedio del rayo
miento el angular de este último electrón también representa la láser y b) compárela con la intensidad de una bombilla que
cantidad de movimiento angular total para todo el átomo (ignore emite 15 W de luz vista a una distancia de 2.0 m.
cualquier cantidad de movimiento angular del núcleo). e) ¿Cómo
podría usar un experimento de Stern y Gerlach para determi- 57. (II) Calcule la longitud de onda de un láser He-Ne.
nar cuál valor de j tiene el átomo?
58. (II) Suponga que el sistema de niveles energéticos de la figura
* 53. (III) La diferencia entre los niveles de energía 2P3/2 y 2P1/2 en 39-20 no se bombea y que está en equilibrio térmico. Determi-
hidrógeno es aproximadamente 5 3 1025 eV, debido a la inte- ne la fracción de átomos en los niveles E2 y E1 en relación con
E0 a T 5 300 K.
racción espín-órbita. a) Considerando el momento magnético
59. (II) ¿A qué temperatura tendría que elevarse el sistema de la
(orbital) del electrón como 1 magnetón de Bohr, estime el cam- figura 39-20 (véase el problema 58) de manera que, en equili-
brio térmico, el nivel E2 tuviera la mitad de átomos que E0?
po magnético interno debido al movimiento orbital del elec- (Note que los mecanismos de bombeo no mantienen equilibrio
térmico).
trón. b) Estime el campo magnético interno con un modelo
60. (II) Demuestre que una inversión de población para dos niveles
simple del núcleo que da vueltas en círculo en torno al electrón. (como en el láser bombeado) corresponde a una temperatura
Kelvin negativa en la distribución de Boltzmann. Explique por
39–9 Láseres qué tal situación no contradice la idea de que la temperatura
54. (II) Un láser que se utiliza para soldar retinas desprendidas emi- Kelvin negativa no se puede alcanzar en el sentido normal de
temperatura.
te pulsos de 23 ms de duración de luz de 640 nm que promedian
0.63 W de salida durante un pulso. ¿Cuánta energía se puede de- 69. En el llamado modelo vectorial del átomo, la cuantización espa-
positar por pulso y cuántos fotones contiene cada pulso?
cial de la cantidad de movimiento angular (figura 39-3) se ilustra
Problemas generales
como en la figura 39-28. El vector de cantidad de movimiento
61. La energía de ionización (enlace) del electrón exterior del boro
es 8.26 eV. a) Con base en el modelo de Bohr, estime la “carga angular, con magnitud L = 2l(l + 1) U se considera como una
efectiva”, Zef, “vista” por este electrón. b) Estime el radio orbi-
tal promedio. precesión en torno al eje z (como una peonza o un trompo que
62. ¿Cuántos electrones puede haber en un subnivel “h”? gira o un giroscopio) en tal forma que la componente z de la
63. ¿Cuál es la configuración electrónica completa en el estado funda- cantidad de movimiento angular, Lz = ml U , también perma-
mental para elementos con Z igual a a) 25, b) 34, c) 39? [Sugeren- nece constante. Calcule los posibles valores para el ángulo u,
cia: Consulte la tabla periódica en la tercera de forros del libro]. entre LB y el eje z, para a) l 5 1, b) l 5 2 y c) l 5 3. d) Determi-
64. ¿Cuáles son los valores más grande y más pequeño posibles pa- ne el valor mínimo de u para z
ra la cantidad de movimiento angular L de un electrón en el ni- l 5 100 y l 5 106. ¿Es esto
vel n 5 6?
congruente con el principio
65. Estime a) el número cuántico l para la cantidad de movimiento
angular orbital de la Tierra en torno al Sol, y b) el número de de correspondencia?
posibles orientaciones para el plano de la órbita de la Tierra.
FIGURA 39–28 Modelo vectorial LB y
66. Con base en la teoría de Bohr (en especial la ecuación 37-15), para la cantidad de movimiento Lz u
demuestre que la gráfica de Moseley (figura 39-12) se puede angular orbital. El vector de cantidad
expresar como de movimiento angular orbital LB se f
imagina en precesión en torno al eje
1 = a(Z - b), z; L y Lz permanecen constantes,
Bl pero Lx y Ly cambian continuamente.
Problemas 69 y 70.
x
donde b L 1, y evalúe a. 70. El modelo vectorial (problema 69) brinda cierta comprensión
del principio de incertidumbre para la cantidad de movimiento
67. Determine la distancia más probable desde el núcleo, de un angular, que es
electrón en el estado n 5 2, l 5 0 del hidrógeno.
¢Lz ¢f Ն U
68. Demuestre que la dispersión difractiva de un haz láser, L lyD,
como se describe en la sección 39-9, es precisamente la que se para la componente z. Aquí f es la posición angular medida en el
esperaría a partir del principio de incertidumbre. [Sugerencia:
Considere que como el ancho del haz se restringe por las dimen- plano perpendicular al eje z. Una vez conocido ml para un átomo,
siones de la apertura D, la componente de la cantidad de movi-
miento lineal de la luz perpendicular al eje del láser es incierta]. Lz se conoce con precisión, de manera que DLz 5 0. a) ¿Qué di-
ce esto acerca de f? b) ¿Qué podría usted decir acerca de Lx y
Ly, qlq(uulee,+naou1e)nsqt-áunemcLul2xaD 1n͞y2tiLzUaysdínoloso(eessósttlááo.nLcyuaLnztilzoaedsotsá,n)A?Lcx2) Demues-
tre + Ly2 B 1͞2
=C
Problemas generales 1069
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71. a) Demuestre que el valor medio para 1yr de un electrón en el 75. Suponga que el espectro de un elemento desconocido presenta
estado fundamental del hidrógeno es igual a 1yr0 y, a partir de una serie de líneas donde una de cada cuatro coincide con una
esto, concluya que el valor medio de la energía potencial es línea de la serie de Lyman del hidrógeno. Suponiendo que el
elemento desconocido es un ion con Z protones y un electrón,
U = – 1 e2 . determine Z y el elemento en cuestión.
4p⑀ 0 r0
* 76. Suponga que la división de los niveles de energía que se ilustra
b) A partir de E = U + K, encuentre una relación entre la en la figura 39-4 fue producto de un campo magnético de 1.6 T.
energía cinética promedio y la energía potencial promedio en el a) ¿Cuál es la separación en energía entre niveles ml adyacen-
estado fundamental. [Sugerencia: Para a), consulte el problema tes para el mismo l? B) ¿Cuántas longitudes de onda diferentes
19 o el ejemplo 38-9]. habrá para transiciones 3d a 2p, si ml puede cambiar sólo por
61 o 0? C) ¿Cuál es la longitud de onda para cada una de estas
72. La cantidad de movimiento angular en el átomo de hidrógeno transiciones?
está dada tanto por el modelo de Bohr como por la mecánica
cuántica. Compare los resultados para n 5 2. 77. Poblaciones en el átomo H. Use el factor de Boltzmann (ecua-
73. Para cada una de las siguientes transiciones atómicas, establezca ción 39-16) para estimar la fracción de átomos H en los niveles
si la transición se permite o se prohíbe y por qué a) 4p S 3p;
b) 3p S 1s; c) 4d S 3d; d) 4d S 3s; e) 4s S 2p. n 5 2 y n 5 3 (relativos al estado fundamental) para equilibrio
térmico a a) T 5 300 K y b) T 5 6000 K. [Nota: Puesto que hay
ocho estados con n 5 2 y sólo dos con n 5 1, multiplique su
8
74. Es posible que los átomos se exciten hacia estados con valores resultado para n 5 2 por 2 = 4; haga lo mismo para n 5 3].
muy altos del número cuántico principal. Los electrones en es-
tos llamados estados de Rydberg tienen energías de ionización c) Dado 1.0 g de hidrógeno, estime el número de átomos en ca-
muy pequeñas y enormes radios orbitales. Esto los hace par-
ticularmente sensibles a las perturbaciones externas, como sería da estado a T 5 6000 K. d) Estime el número de fotones n 5 3
el caso si el átomo estuviera en un campo eléctrico. Considere el
estado n 5 45 del átomo de hidrógeno. Determine la energía de a n 5 1 y n 5 2 a n 5 1 que se emitirán por segundo a T 5 6000 K.
enlace, el radio de la órbita y el área transversal efectiva de es-
te estado de Rydberg. Suponga que la vida de cada estado excitado es 1028 s. [Suge-
rencia: Para evaluar un gran exponente, puede usar logaritmos
base 10, Apéndice A].
Respuestas a los ejercicios
A: 2, 1, 0, –1, –2. E: b), c).
F: 1s22s22p63s23p63d104s24p1.
B: b).
G: d).
C: d).
D: Sume una línea a Li en la tabla 39-2: 2, 0, 0, – 1 .
2
1070 CAPÍTULO 39 Mecánica cuántica de los átomos
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Este chip de un procesador de compu-
tadora contiene más de 800 millones
de transistores, además de diodos y
otros elementos electrónicos semicon-
ductores, todos en un espacio más pe-
queño que una moneda.
Antes de estudiar los semiconduc-
tores y sus aplicaciones, se estudiará la
descripción que la teoría cuántica hace de
los enlaces entre átomos para formar
moléculas, y cómo explica el compor-
tamiento molecular. Luego se exami-
nará cómo los átomos y las moléculas
forman sólidos, con especial atención
en la formación de metales; también se
examinarán los semiconductores y su
uso en electrónica.
ÍTULO
P
CA
40Moléculas y sólidos
PREGUNTA DE INICIO DE CAPÍTULO: ¡Adivine ahora! CONTENIDO
Conforme un metal se calienta, ¿cómo cambia la rapidez rms (vrms) de los electrones?
Suponga un cambio de temperatura de aproximadamente 30C° cerca de la temperatu- 40–1 Enlaces de moléculas
ra ambiente. 40–2 Diagramas de energía
a) la vrms aumenta linealmente con la temperatura. potencial para moléculas
b) la vrms disminuye linealmente con la temperatura. 40–3 Enlaces débiles (de van
c) la vrms aumenta exponencialmente con la temperatura.
d) la vrms disminuye exponencialmente con la temperatura. der Waals)
e) la vrms cambia muy poco conforme la temperatura aumenta. 40–4 Espectros moleculares
40–5 Enlaces en sólidos
D esde su desarrollo en la década de 1920, la mecánica cuántica ha tenido una 40–6 Teoría de los electrones
profunda influencia en la vida diaria, tanto intelectual como tecnológica-
mente. Incluso nuestra forma de ver el mundo cambió, como se constató en libres en los metales;
los últimos capítulos. Ahora veremos cómo la mecánica cuántica ha ayuda- energía de Fermi
do a comprender la estructura de las moléculas y la materia; también examinaremos al- 40–7 Teoría de bandas en
gunas aplicaciones importantes, incluidos los dispositivos semiconductores. sólidos
40–8 Semiconductores y dopado
40–1 Enlaces de moléculas 40–9 Diodos semiconductores
40–10 Transistores y circuitos
Uno de los grandes éxitos de la mecánica cuántica fue brindar a los científicos, al fin, integrados (chips)
una comprensión de la naturaleza de los enlaces químicos. Puesto que esta compren-
sión es tan importante en muchos campos y se basa en la física, se le discute aquí.
1071
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Por una molécula se entiende un grupo de dos o más átomos que se mantienen
fuertemente unidos para funcionar como una sola unidad. Cuando los átomos realizan
tal unión, se dice que se formó un enlace químico. Existen dos tipos principales de en-
lace químico fuerte: covalente y iónico. En realidad, muchos enlaces son intermedios
entre estos dos tipos.
Enlaces covalentes
Para entender cómo se forman los enlaces covalentes, tomaremos el caso más sencillo,
el enlace que mantiene unidos a dos átomos de hidrógeno para formar la molécula de
Núcleo Núcleo hidrógeno, H2. El mecanismo básicamente es el mismo para otros enlaces covalentes.
(ϩ1e) (ϩ1e) Conforme dos átomos de H se aproximan uno hacia el otro, la nube de electrones co-
mienza a traslaparse y los electrones de cada átomo pueden “orbitar” ambos núcleos.
(A veces a esto se le llama “compartir” electrones). Si ambos electrones están en el esta-
do fundamental (n 5 1) de sus respectivos átomos, existen dos posibilidades: sus espi-
nes pueden ser paralelos (ambos hacia arriba o ambos hacia abajo), en cuyo caso el
espín t–ot12apl aersaSel=ot12ro+), 1 1; o sus espines pueden ser opuestos (ms 1 para uno,
a) ms = 2 = = ± 2
|c|2
de manera que el espín total es S 5 0. Ahora se verá que un en-
lace sólo se forma para el estado S 5 0, cuando los espines son opuestos.
Consideremos primero el estado S 5 1, para el cual los espines son iguales. No es
posible que los dos electrones estén en el estado energético más bajo y estén unidos al
mismo átomo, porque entonces tendrían números cuánticos idénticos, lo que viola el
principio de exclusión. El principio de exclusión dice que, puesto que no hay dos elec-
trones que ocupen el mismo estado cuántico, si dos electrones tienen los mismos núme-
ros cuánticos, deben ser diferentes en alguna otra forma, por ejemplo, al estar en
núcleo núcleo diferentes lugares en el espacio (unidos a diferentes átomos). Por ende, para S 5 1,
cuando los dos átomos se aproximan entre sí, los electrones permanecerán alejados
b) uno del otro como se muestra mediante la distribución de probabilidad de la figura
40-1. Los electrones pasan muy poco tiempo entre los dos núcleos, de manera que los
FIGURA 40–1 Distribución de núcleos con carga positiva se repelen entre sí y no se forma enlace.
probabilidad electrónica (nube de Por otra parte, para el estado S 5 0, los espines son opuestos y los dos electrones
electrones) para dos átomos de H c–on21 speacruaenelteomtreon)t.eDeesteásntaefnodrmifear,elonstedsoesstealedcotsrocnueásntsiecoasce(mrcsaensydliafedreisntrteib, u±ci21ópnadrae uno,
cuando los espines son iguales (S 5 1): pro-
a) nube de electrones; b) proyección de babilidad se parece a la figura 40-2: los electrones pasan buena parte de su tiempo en-
ucu2 a lo largo de la línea a través de los
centros de los dos átomos.
tre los dos núcleos. Los dos núcleos con carga positiva son atraídos hacia la nube de
electrones con carga negativa entre ellos, y ésta es la atracción que mantiene a los áto-
FIGURA 40–2 Distribución de mos de hidrógeno juntos para formar una molécula de hidrógeno. Se trata de un enla-
probabilidad electrónica para dos ce covalente.
átomos de H cuando los espines son Las distribuciones de probabilidad de las figuras 40-1 y 40-2 tal vez se comprendan
opuestos (S 5 0): a) nube de mejor sobre la base de ondas. Lo que requiere el principio de exclusión es que, cuando
electrones; b) proyección de ucu2 a lo los espines son iguales, existe interferencia destructiva de las funciones de onda de los
largo de la línea a través de los centros electrones en la región entre los dos átomos. Pero cuando los espines son opuestos,
de los átomos. En este caso se forma ocurre interferencia constructiva en la región entre los dos átomos, lo que da por resul-
un enlace porque los núcleos positivos tado una gran cantidad de carga negativa ahí. De esta forma, se puede decir que un en-
son atraídos hacia la concentración de lace covalente es el resultado de la interferencia constructiva de las funciones de onda
carga negativa entre ellos. Ésta es una de los electrones en el espacio entre los dos átomos, y de la atracción electrostática de
molécula de hidrógeno, H2. los dos núcleos positivos debido a la concentración de carga negativa entre ellos.
Núcleo Núcleo Las razones por las que se forma un enlace también se comprenden desde el pun-
(ϩ1e) (ϩ1e) to de vista energético. Cuando los dos átomos de H se aproximan uno hacia el otro, y
los espines de sus electrones son opuestos, los electrones pueden ocupar el mismo es-
pacio, como se estudió anteriormente. Esto significa que cada electrón ahora puede
moverse en el espacio de dos átomos y no en el volumen de uno solo. Puesto que cada
electrón ahora ocupa más espacio, está menos localizado. A partir del principio de in-
certidumbre con Dx más grande, se ve que Dp y la cantidad de movimiento mínima
a) puede ser menor. Con menos cantidad de movimiento, cada electrón tiene menos ener-
|c|2 gía cuando los dos átomos se combinan que cuando están separados. Esto es, la mo-
lécula tiene menos energía que los dos átomos separados, y por lo tanto es más estable.
Para romper la molécula H2 en dos átomos H separados se requiere adicionar energía,
de manera que la molécula H2 es una entidad estable. Esto es lo que se entiende por
núcleo núcleo
b)
1072 CAPÍTULO 40 Moléculas y sólidos
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enlace. La energía requerida para romper un enlace se llama energía de enlace o ener-
gía de disociación. Para la molécula de hidrógeno, H2, la energía de enlace es 4.5 eV.
Enlaces iónicos +–
Un enlace iónico es, en cierto sentido, un caso especial del enlace covalente. En lugar Na Cl
de que los electrones se compartan equitativamente, se comparten de manera desigual. FIGURA 40–3 Distribución de
Por ejemplo, en el cloruro de sodio (NaCl), el electrón externo del sodio pasa casi todo probabilidad ucu2 para el electrón
su tiempo alrededor del cloro (figura 40-3). El átomo de cloro adquiere una carga ne- externo de Na en NaCl.
gativa neta como resultado del electrón adicional, mientras que el átomo de sodio que-
da con una carga positiva neta. La atracción electrostática entre estos dos átomos FIGURA 40–4 En un átomo de
cargados los mantiene juntos. El enlace resultante se llama enlace iónico porque se sodio neutro, los 10 electrones
crea mediante la atracción entre los dos iones (Na1 y Cl2). Pero, para entender el enla- interiores apantallan el núcleo, de
ce iónico, es necesario comprender por qué el electrón adicional del sodio pasa la ma- manera que el único electrón externo
yor parte de su tiempo alrededor del cloro. Después de todo, el átomo de cloro es es atraído por una carga neta de 11e.
neutro; ¿por qué debería atraer a otro electrón?
10e Último electrón (3s
La respuesta se encuentra en las distribuciones de probabilidad de los dos átomos e
neutros. El sodio contiene 11 electrones, 10 de los cuales están en niveles cerrados con
simetría esférica (figura 40-4). El último electrón pasa la mayor parte de su tiempo más +11e
allá de estos niveles cerrados. Puesto que los niveles cerrados tienen una carga total de
210e y el núcleo tiene carga 111e, el electrón exterior en el sodio “siente” una atrac-
ción neta hacia el de 11e. No se sostiene con mucha firmeza. Por otra parte, 12 de los
17 electrones del cloro forman niveles o subniveles cerrados (que corresponden a
1s22s22p63s2). Estos 12 electrones forman un escudo con simetría esférica en torno al
núcleo. Los otros cinco electrones están en estados 3p cuyas distribuciones de probabi-
lidad no tienen simetría esférica y adquieren una forma similar a la de los estados 2p
en el hidrógeno que se muestra en la figura 39-9. Cuatro de estos electrones 3p pueden
tener distribuciones simétricas con “forma de rosquilla” en torno al eje z, como se ilus-
tra en la figura 40-5. El quinto puede tener una distribución con forma de “mancuerna”
(como para ml 5 0 en la figura 39-9), que en la figura 40-5 se muestra sólo en con-
torno con línea punteada porque está medio vacío. Esto es, el principio de exclusión
permite que un electrón más esté en ese estado (tendrá espín opuesto al del electrón que
ya se encuentra ahí). Si sucede que un electrón adicional —por ejemplo, de un átomo
Na— se encuentra en la cercanía, puede estar en ese estado, quizás en el punto x en la
figura 40-5. Podría experimentar una atracción que se debe a los 15e, porque los 117e
del núcleo está parcialmente apantallados en este punto por los 12 electrones internos.
Por ende, el electrón externo de un átomo de sodio se sentirá más fuertemente atraído por
los 15e del átomo de cloro que por el 11e de su propio átomo. Esto, combinado con
la fuerte atracción entre los dos iones cuando el electrón adicional permanece con el
Cl2, produce la distribución de carga de la figura 40-3, y en consecuencia el enlace
iónico.
Ϫ12 e x FIGURA 40–5 Átomo de cloro neutro. Los
Ϫ4 e ϩ17e 117e del núcleo están apantallados por los 12
electrones en los niveles y subniveles internos.
Ϫ1e Cuatro de los cinco electrones 3p se muestran en
las nubes con forma de rosquilla (vistas en
sección transversal a izquierda y derecha), y el
quinto está en la nube con líneas punteadas que
se concentra en torno al eje z (vertical). Un
electrón adicional en x será atraído por una carga
neta que puede ser hasta de 15e.
SECCIÓN 40–1 Enlaces de moléculas 1073
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H (ϩ) Carácter iónico parcial de los enlaces covalentes
ϩ1e
ϩ8e Un enlace covalente puro en el que los electrones se comparten de forma equitativa
ocurre sobre todo en moléculas simétricas como H2, O2 y Cl2. Cuando los átomos im-
O (Ϫ) plicados son diferentes entre sí, es común encontrar que es más probable que los elec-
trones compartidos estén en la cercanía de un átomo que del otro. El caso extremo es
ϩ1e un enlace iónico; en casos intermedios, se dice que el enlace covalente tiene un carácter
iónico parcial. Las moléculas en sí son polares, esto es, una parte (o partes) de la mo-
H (ϩ) lécula tiene una carga positiva neta y las otras partes una carga negativa neta. Un
FIGURA 40–6 La molécula del agua ejemplo es la molécula de agua, H2O (figura 40-6). Los electrones compartidos tienen
H2O es polar. más probabilidad de encontrarse alrededor del átomo de oxígeno que en torno a los
dos hidrógenos. La razón es similar a la que se discutió anteriormente en relación con
FIGURA 40–7 Energía potencial U los enlaces iónicos. El oxígeno tiene ocho electrones (1s22s22p4), de los cuales cuatro
como función de la separación r para forman un núcleo con simetría esférica y los otros cuatro podrían tener, por ejemplo,
dos cargas puntuales de a) signo igual una distribución con forma de rosquilla. La distribución con forma de mancuerna en el
y b) signo opuesto. eje z (como la que se ilustra con líneas punteadas en la figura 40-5) podría estar vacía,
de manera que los electrones de los átomos de hidrógeno se pueden atraer mediante
U una carga neta de 14e. También son atraídos por los núcleos H, así que parcialmente
orbitan los átomos H, así como el átomo O. El efecto neto es que hay una carga positi-
va neta sobre cada átomo H (menos que 11e), porque los electrones sólo pasan ahí
parte de su tiempo. Y existe una carga negativa neta en el átomo O.
40–2 Diagramas de energía potencial
para moléculas
Es útil analizar la interacción entre dos objetos (por ejemplo, entre dos átomos o mo-
léculas) utilizando un diagrama de energía potencial, que es una gráfica de la energía
potencial contra la distancia de separación.
Para el caso sencillo de dos cargas puntuales, q1 y q2, la energía potencial U está
dada por (véase el capítulo 23)
Fuerza de repulsión U = 1 q1 q2 ,
(dos cargas iguales) 4p⑀ 0 r
0 donde r es la distancia entre las cargas y la constante (1y4pP0) es aproximadamente
a) 9.0 3 109 N?m2yC2. Si las dos cargas tienen el mismo signo, la energía potencial U es
positiva para todos los valores de r, y en la figura 40-7a se presenta una gráfica de U
U r contra r en este caso. La fuerza es de repulsión (las cargas tienen el mismo signo) y la
curva se eleva conforme r disminuye; esto tiene sentido pues se realiza trabajo para
0 r juntar las cargas, lo que aumenta su energía potencial. Si, por otra parte, las dos cargas
Fuerza de atracción son de signo opuesto, la energía potencial es negativa porque el producto q1q2 es nega-
(cargas distintas) tivo. La fuerza es de atracción en este caso, y la gráfica de U (r 21yr) contra r se pare-
ce a la figura 40-7b. La energía potencial se vuelve más negativa conforme r disminuye.
Ahora observe el diagrama de energía potencial para la formación de un enlace
covalente, como para la molécula de hidrógeno, H2. La energía potencial U de un áto-
mo H en presencia del otro se grafica en la figura 40-8. A partir de r grande, U dismi-
nuye conforme los átomos se aproximan, porque los electrones se concentran entre los
dos núcleos (figura 40-2), así que ocurre atracción. Sin embargo, a distancias muy cor-
tas, los electrones se “sacarían a la fuerza”: no hay espacio para ellos entre los dos nú-
cleos. Sin los electrones entre ellos, cada núcleo sentiría una fuerza de repulsión debida
b)
U
FIGURA 40–8 (derecha) Diagrama de energía 0 r0 r
potencial para la molécula H2; r es la separación de los Energía
dos átomos H. La energía de enlace (la diferencia de de enlace Esta parte
energía entre U 5 0 y el estado energético más bajo corresponde a una
cerca del fondo del pozo) es 4.5 eV y r0 5 0.074 nm. Esta parte fuerza de atracción
corresponde Estado energético más bajo
a una fuerza
de repulsión
1074 CAPÍTULO 40 Moléculas y sólidos
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al otro, de manera que la curva se eleva conforme r disminuye todavía más. Existe una
separación óptima de los átomos, r0 en la figura 40-8, a la cual la energía es más baja.
Éste es el punto de mayor estabilidad para la molécula de hidrógeno, y r0 es la separa-
ción promedio de los átomos en la molécula H2. La profundidad de este “pozo” es la
energía de enlace,† como se muestra. Esto indica cuánta energía se debe poner en el sis-
tema para separar los dos átomos hasta el infinito, donde U 5 0. Para la molécula H2,
la energía de enlace es aproximadamente 4.5 eV y r0 5 0.074 nm.
En moléculas formadas por átomos más grandes, por ejemplo, oxígeno o nitróge-
no, la repulsión también ocurre a distancias cortas, porque los cerrados niveles electró-
nicos internos comienzan a traslaparse y el principio de exclusión prohíbe que se
acerquen demasiado. La parte de repulsión de la curva se eleva de manera todavía más
pronunciada que 1yr. Una aproximación razonable a la energía potencial, al menos en
la cercanía de r0, es
U = A + B, (40–1)
– rm rn
donde A y B son constantes asociadas con las partes atractiva y repulsiva de la energía
potencial, y los exponentes m y n son enteros pequeños. Para enlaces iónicos y algunos
covalentes, el término atractivo con frecuencia se puede escribir con m 5 1 (potencial
de Coulomb).
Para muchos enlaces, la curva de energía potencial tiene la forma que se ilustra en
la figura 40-9. Todavía existe una distancia óptima r0 a la que la molécula es estable. Pe-
ro cuando los átomos se aproximan desde una gran distancia, la fuerza inicialmente es
de repulsión y no de atracción. Por consiguiente, los átomos no interactúan espontá-
neamente. En vez de ello, en el sistema se inyecta cierta energía adicional para superar
la “joroba” (o barrera) en el diagrama de energía potencial. Esta energía requerida se
llama energía de activación.
La curva de la figura 40-9 es mucho más común que la de la figura 40-8. Con fre-
cuencia, la energía de activación refleja una necesidad de romper otros enlaces, antes
de poder formar el que está bajo discusión. Por ejemplo, para formar agua a partir de
O2 y H2, las moléculas de H2 y O2 primero deben romperse en átomos H y O median-
te adición de energía; esto es lo que representa la energía de activación. Luego se pue-
den combinar los átomos H y O para formar H2O con la liberación de mucha más
energía de la que se aportó inicialmente. La energía de activación inicial se puede im-
partir al aplicar una chispa eléctrica a una mezcla de H2 y O2, lo que rompe algunas de
estas moléculas en átomos H y O. La resultante liberación explosiva de energía cuando
estos átomos se combinan para formar H2O rápidamente suministra la energía de ac-
tivación necesaria para posteriores reacciones, de manera que las moléculas H2 y O2
adicionales se rompen y se vuelven a combinar para formar H2O.
Los diagramas de energía potencial para enlaces iónicos pueden tener formas simila-
res. En el NaCl, por ejemplo, los iones Na1 y Cl2 se atraen mutuamente a distancias un
poco mayores que cierto r0, pero a distancias más cortas el traslape de los niveles electró-
nicos internos origina repulsión. En consecuencia, los dos átomos son más estables a cier-
ta separación intermedia, r0, y para muchos enlaces hay una energía de activación.
†La energía de enlace no corresponde muy bien a la parte inferior de la curva de energía potencial, si-
no al estado energético cuántico más bajo, ligeramente arriba de la parte inferior, como se muestra en
la figura 40-8.
U
Energía
de activación
0 r0 r FIGURA 40–9 Diagrama de energía
Energía potencial para un enlace que requiere
de enlace
una energía de activación.
Repulsión Atracción Repulsión
SECCIÓN 40–2 Diagramas de energía potencial para moléculas 1075
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EJEMPLO 40–1 ESTIMACIÓN Enlace de cloruro de sodio. En la figura 40-10
se presenta un diagrama de energía potencial para el enlace iónico NaCl, donde se esta-
bleció que U 5 0 para átomos neutros libres Na y Cl (que se representan a la derecha en
la figura 40-10). Las mediciones indican que se requieren 5.14 eV para remover un elec-
trón de un átomo neutro Na para producir el ion Na1, y se liberan 3.61 eV de energía
cuando un átomo de Cl “atrapa” un electrón para formar el ion Cl2. Por lo tanto, formar
iones Na1 y Cl2 a partir de átomos neutros Na y Cl requiere 5.14 eV 2 3.61 eV 5 1.53
eV de energía, una forma de energía de activación. Esto se muestra como la “joroba” en
la figura 40-10. Pero note que el diagrama de energía potencial desde ahí hacia la dere-
cha en realidad no es una función de la distancia; se dibuja con línea punteada para re-
cordar que sólo representa la diferencia de energía entre los iones y los átomos neutros
(para los cuales se eligió U 5 0). a) Calcule la distancia de separación, r1, a la que el po-
tencial de los iones Na1 y Cl2 cae a cero (el valor medido es r1 5 0.94 nm). b) Estime la
energía de enlace para el NaCl, que ocurre a una separación r0 5 0.24 nm. Ignore la re-
pulsión del traslape de los niveles de electrones que ocurre a esta distancia (y provoca la
elevación de la curva de energía potencial para r , r0, figura 40-10).
FIGURA 40–10 Ejemplo 40-1. Diagrama de U(eV) r0 = 0.24 nm r1 = 0.94 nm
energía potencial para el enlace NaCl. Más allá de
aproximadamente r 5 1.2 nm, el diagrama sólo es 2.0 1.53eV
esquemático, y representa la diferencia de energía 1.0
entre iones y átomos neutros. U 5 0 se elige para 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 r(nm)
los dos átomos separados Na y Cl (no para los 0
iones). [Para los dos iones, Na1 y Cl2, el cero Ϫ1.0 Ϫ4.2 eV Naϩ y ClϪ Nay Cl
de energía potencial en r 5 q corresponde a Ϫ2.0 (iones) (átomos)
U L 1.53 eV en este diagrama]. Ϫ3.0
Ϫ4.0
Ϫ5.0 NaCl
SOLUCIÓN a) La energía potencial de dos cargas puntuales está dada por la ley de
Coulomb:
U¿ = 1 q1 q2 ,
4p⑀ 0 r
donde se distingue U9 de la U en la figura 40-10. Esta fórmula funciona para los dos iones
si se establece que U9 5 0 en r 5 q, lo cual en la gráfica de la figura 40-10 corresponde a
U 5 11.53 eV (la figura 40-10 se dibuja para U 5 0 en el caso de los átomos libres). El
punto r1 en la figura 40-10 corresponde a U9 5 2 1.53 eV con respecto a los dos iones li-
bres. Despejamos r en la ecuación U9 anterior estableciendo q1 5 1e y q2 5 2e:
r1 = 1 q1 q2 = A9.0 * 109 N и m2͞C2B A –1.60 * 10–19 CB A ±1.60 * 10–19 CB
4p⑀ 0 U¿ ( –1.53 eV)A1.60 * 10–19 J͞eVB
= 0.94 nm,
que es justo el valor medido.
b) En r0 5 0.24 nm, la energía potencial de los dos iones (en relación con r 5 q para
los dos iones) es
U¿ = 1 q1 q2
4p⑀ 0 r
A9.0 * 109 N и m2͞C2B A –1.60 * 10–19 CB A ±1.60 * 10–19 CB
= A0.24 * 10–9 mB A1.60 * 10–19 J͞eVB = –6.0 eV.
Por lo tanto, se estima que se entregan 6.0 eV de energía cuando los iones Na1 y Cl2
forman un enlace NaCl. Dicho de otra forma, se requieren 6.0 eV para romper el en-
lace NaCl y formar los iones Na1 y Cl2. Para obtener la energía de enlace, la energía
para separar el NaCl en átomos Na y Cl, se necesita restar los 1.53 eV (la “joroba” en
la figura 40-10) necesarios para ionizarlos:
energía de enlace 5 6.0 eV 1 1.53 eV 5 4.5 eV.
El valor medido (que se muestra en la figura 40-10) es 4.2 eV. La diferencia se atribu-
ye a la energía asociada con la repulsión de los niveles electrónicos a esta distancia.
FÍSICA APLICADA En ocasiones, la energía potencial de un enlace se parece a la de la figura 40-11. En
ATP y energía en la célula este caso, la energía de enlace de la molécula, a una separación r0, es mayor que cuan-
do no hay enlace (r 5 q). Esto es, se requiere adicionar energía para formar el enlace
1076 CAPÍTULO 40 (por lo tanto, la energía de enlace es negativa) y hay liberación de energía cuando se
rompe el enlace. Tal enlace es estable sólo porque existe la barrera de la energía de ac-
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tivación. Este tipo de enlace es importante en las células vivas, porque en tales enlaces U
la energía se puede almacenar de manera eficiente en ciertas moléculas, en particular
ATP (adenosín trifosfato). El enlace que conecta el último grupo fosfato (que se desig- r0 r
na ¬ en la figura 40-11) con el resto de la molécula (ADP, que significa adenosín ATP ADP + P
difosfato, pues sólo contiene dos fosfatos) tiene energía potencial de la forma que
se muestra en la figura 40-11. En este enlace se almacena energía. Cuando el enlace se FIGURA 40–11 Diagrama de
rompe (ATP S ADP + ¬), la energía se libera y esta energía queda disponible para energía potencial para la formación de
hacer que otras reacciones químicas “marchen”. ATP a partir de ADP y fosfato (¬).
En las células vivas, las reacciones químicas tienen energías de activación que con FIGURA 40–12 Los dipolos
frecuencia son del orden de varios eV. Tales barreras de energía no son fáciles de supe- C± — O– y H± — N– se atraen
rar en la célula. Aquí es donde intervienen las enzimas. Las enzimas actúan como cata- mutuamente. (Estos dipolos pueden
lizadores, lo cual significa que actúan para reducir la energía de activación de manera ser parte de, por ejemplo, las bases
que puedan ocurrir las reacciones que, de otro modo, no se efectuarían. Las enzimas nucleótidas citosina y guanina en las
actúan por medio de la fuerza electrostática para distorsionar las nubes de electrones moléculas de ADN. Véase la figura
de enlace, de manera que los enlaces iniciales se rompan con facilidad. 40-13.) Las cargas 1 y 2 generalmente
tienen magnitudes de una fracción
EJEMPLO 40–2 Longitud de enlace. Suponga que una molécula diatómica tiene una de e.
energía potencial dada por U = –A1͞4p⑀ 0B Ae2͞rB + B͞r6 donde B = 1.0 * 10–78 J и m6
y r es la distancia entre los centros de los dos átomos. Determine la separación de +– 0.29 nm
equilibrio esperada de los dos átomos (longitud de enlace de la molécula). CO
+–
PLANTEAMIENTO La fuerza entre los dos átomos está dada por F 5 2dUydr (aná- 0.12 HN
loga a la ecuación 8-7). La separación de equilibrio clásica se encuentra al establecer nm
que F 5 0. 0.10
nm
SOLUCIÓN
F = –dU͞dr = A1͞4p⑀ 0B A –e2͞r2B - BA –6͞r7B = -A1͞4p⑀ 0B Ae2͞r2B + 6B͞r7 = 0. SECCIÓN 40–3 1077
Luego,
r5 = 6BA4p⑀ 0B͞e2 = 2.6 * 10–50 m5.
De manera que r = 1.2 * 10–10 m = 0.12 nm.
NOTA Es posible demostrar que éste es un punto de equilibrio estable al comprobar
el signo de d2Uydr2, o al evaluar F en posiciones ligeramente mayores y menores que
la posición de equilibrio.
40–3 Enlaces débiles (de van der Waals)
Una vez formado un enlace entre dos átomos o iones, por lo general se debe suministrar
energía para romper el enlace y separar los átomos. Como se mencionó en la sección 40-1,
esta energía se llama energía de enlace. La energía de enlace para los enlaces covalentes
y iónicos generalmente es de 2 a 5 eV. Estos enlaces, que mantienen unidos a los átomos
para formar moléculas, con frecuencia se llaman enlaces fuertes para distinguirlos de
los llamados “enlaces débiles”. El término enlace débil, como se le utiliza aquí, se refie-
re a uniones entre moléculas por simple atracción electrostática, como entre moléculas
polares (y no dentro de una molécula polar, que es un enlace fuerte). La fortaleza de la
unión es mucho menor que para los enlaces fuertes. Las energías de enlace por lo gene-
ral están en el rango de 0.04 a 0.3 eV, de ahí el nombre de “enlaces débiles”.
Los enlaces débiles por lo general son resultado de la atracción entre dipolos (seccio-
nes 21-11, 23-6). Por ejemplo, la figura 40-12 muestra dos moléculas, que tienen momentos
dipolares permanentes y se atraen mutuamente. Además de tales enlaces dipolo-dipolo,
también existen los enlaces dipolo-dipolo inducido, en los que una molécula polar con un
momento dipolar permanente puede inducir un momento dipolar en una molécula que,
de otro modo, estaría en equilibrio eléctrico (no polar), al igual que una sola carga es ca-
paz de inducir una separación de carga en un objeto cercano (véase la figura 21-7). Inclu-
so es posible que haya atracción entre dos moléculas no polares, porque sus electrones
están en movimiento: en cualquier instante puede haber una separación transitoria de car-
ga, lo que crea un breve momento dipolar y una atracción débil. Todos estos enlaces débi-
les se conocen como enlaces de van der Waals, y las fuerzas implicadas como fuerzas de
van der Waals. La energía potencial tiene la forma general que se ilustra en la figura 40-8,
con la energía potencial de atracción de van der Waals que varía como 1yr6.
Cuando uno de los átomos en un enlace dipolo-dipolo es hidrógeno, como en la fi-
gura 40-12, se forma un puente de hidrógeno. Un puente de hidrógeno por lo general
es el más fuerte de los enlaces débiles, porque el átomo de hidrógeno es el átomo más
pequeño y es posible acercarse más hacia él. Los puentes de hidrógeno también tienen un
carácter “covalente” parcial: esto es, los electrones entre los dos dipolos se pueden com-
partir en cierta medida, lo que forma un enlace más fuerte y más duradero.
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H 0.290 nm
FIGURA 40–13 a) Sección de una A T H N H –O + Guanina (G)
doble hélice de ADN. Los puntos rojos C Citosina (C) C – + C
representan puentes de hidrógeno entre G C 0.300 nm N H
las dos hebras. b) Un acercamiento: las G C HC N CC
moléculas de citosina (C) y guanina (G) –
en hebras separadas de una doble hélice T A N HN CN
de ADN se mantienen unidas mediante A +C +–
los puentes de hidrógeno (puntos rojos) T Hacia la cadena O 0.290 nm C N Hacia cadena
que implican un H1 en una molécula G C –
atraído hacia un N2 o C± — O– de una C G HN
molécula en la cadena adyacente. Véase A T +–
también la sección 21-12 y las figuras G
21-47 y 21-48. C H
G C 1.08 nm
T A 52 54
A
T
A T
a) b)
FÍSICA APLICADA Los enlaces débiles son importantes en líquidos y sólidos cuando no hay enlaces
ADN fuertes (véase la sección 40-5). También son muy importantes para comprender las ac-
tividades de las células, como la forma de doble hélice del ADN (figura 40-13) y la du-
1078 CAPÍTULO 40 plicación del ADN. La energía cinética promedio de las moléculas en una célula
viviente a temperaturas normales (T 300 K) es de alrededor de 3 0.04 eV,
L 2 kT L
aproximadamente la magnitud de los enlaces débiles. Esto significa que un enlace débil
puede romperse con facilidad sólo por una colisión molecular. En consecuencia, los en-
laces débiles no son permanentes; de hecho, son uniones breves. Esto los ayuda a de-
sempeñar papeles particulares en la célula. Por otra parte, los enlaces fuertes, los que
mantienen unidas a las moléculas, casi nunca se rompen simplemente por una colisión
molecular. Por ende, son relativamente permanentes. Se rompen mediante acción quí-
mica (la formación de enlaces todavía más fuertes) y esto generalmente sucede en la
célula con la ayuda de una enzima, que es una molécula de proteína.
EJEMPLO 40–3 Energía de nucleótido. Calcule la energía potencial entre un di-
polo C “ O de la base nucleótico citosina y el dipolo cercano H ¬ N de la guanina,
suponiendo que los dos dipolos se alinean como se muestra en la figura 40-12. Medi-
ciones del momento dipolar (5 ql) (véase la tabla 23-2 y la figura 40-12) dan
qH = –qN = 3.0 * 10 -30 C и m = 3.0 * 10–20 C = 0.19e,
0.10 * 10 -9 m
y 8.0 * 10 -30 C и m * 10–20 C
0.12 * 10 -9 m
qC = –qO = = 6.7 = 0.42e.
PLANTEAMIENTO Se quiere encontrar la energía potencial de las dos cargas en un
dipolo con respecto a las dos cargas en la otra, pues esto será igual al trabajo necesario
para separar los dos dipolos infinitamente. La energía potencial U de una carga q1 en pre-
sencia de una carga q2 es U = A1͞4p⑀ 0B Aq1 q2͞r12B donde 1͞4p⑀ 0 = 9.0 * 109 N и m2͞C2
y r12 es la distancia entre las dos cargas.
SOLUCIÓN La energía potencial U consiste en cuatro términos:
U = UCH + UCN + UOH + UON ,
donde UCH significa la energía potencial de C en presencia de H, y de igual modo pa-
ra los otros términos. No se tienen términos correspondientes a C y O, o N y H,
porque se supone que los dos dipolos son entidades estables. Luego, con las distancias
que se indican en la figura 40-12, se obtiene:
U = 1 B qC qH + qC qN + qO qH + qO qN R
4p⑀ 0 rCH rCN rOH rON
= A9.0 * 109 N и m2͞C2B A6.7B A3.0B 1 - 1 - 1 + 1 A10 -20 CB2
£ 0.31 0.41 0.19 0.29 ≤ A10 -9 mB
= –1.86 * 10–20 J = –0.12 eV.
La energía potencial es negativa, lo que significa que se requieren 0.12 eV de trabajo
(o adicionar energía) para separar los dipolos. Esto es, la energía de enlace de este
enlace “débil” o puente de hidrógeno es 0.12 eV. Desde luego, esto sólo es una esti-
mación, pues otras cargas en los alrededores también tendrían una influencia.
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ADN Nueva cadena de proteínas
de 4 aminoácidos
(se agregará un 5º)
1
A Extremo creciente 2
C de ARNm
C ARNt 3 5 Ribosoma
T A 4
G C
C Anticodones
A G
A GUAACG
T U
G U CAUUGC ARNm
T A
G C
A
C
Codón Codón
4 5
*Síntesis de proteínas FIGURA 40–14 Síntesis de
proteínas. Véase el texto para detalles.
Los enlaces débiles, en especial los puentes de hidrógeno, son cruciales para los proce-
sos de síntesis de proteína. Las proteínas sirven como partes estructurales de la célula FÍSICA APLICADA
y, como enzimas, catalizan reacciones químicas necesarias para el crecimiento y la Síntesis de proteínas
supervivencia del organismo. Una molécula proteica consiste en una o más cadenas de
pequeñas moléculas conocidas como aminoácidos. Existen 20 aminoácidos diferentes, y SECCIÓN 40–3 1079
una sola cadena de proteína puede contener cientos de ellos en un orden específico. En
la figura 40-14 se muestra esquemáticamente el modelo de cómo se conectan los ami-
noácidos en el orden correcto para formar una molécula de proteína.
Comienza en la doble hélice del ADN: cada gen en un cromosoma contiene la in-
formación para producir una proteína. El orden de las cuatro bases, A, C, G y T, pro-
porciona el “código”, el código genético, para el orden de los aminoácidos en la
proteína. Primero, la doble hélice del ADN se desenrolla y una nueva molécula, llama-
da ARN mensajero (ARNm), se sintetiza empleando como “plantilla” una hebra del
ADN. El ARNm es una cadena de moléculas que contiene cuatro bases diferentes, co-
mo las del ADN (sección 21-12), excepto que la timina (T) se sustituye con la molécu-
la similar uracilo (U). Cerca de la parte superior izquierda de la figura 40-14, una C
se acaba de agregar a la creciente cadena de ARNm de manera muy similar a como se
duplica el ADN; y una A, atraída y mantenida cerca de la T en la cadena de ADN por
la fuerza electrostática, pronto se unirá a la C mediante una enzima. El orden de las
bases, y por lo tanto la información genética, se conserva en el ARNm porque las for-
mas de las moléculas sólo permiten que la “adecuada” se acerque lo suficiente para
que la fuerza electrostática pueda actuar y formar enlaces débiles.
A continuación, el ARNm se sacude alrededor de la célula (teoría cinética) hasta
que queda cerca de un pequeño organelo llamado ribosoma, al que se puede unir me-
diante atracción electrostática (a la derecha en la figura 40-14). También por la fuerza
electrostática se unen al ribosoma una o dos moléculas de ARN de transferencia
(ARNt). Estas moléculas de ARNt “traducen” de la siguiente forma el código genético
de las bases de nucleótidos en aminoácidos. Existe una molécula de ARNt diferente
para cada aminoácido y cada combinación de tres bases. En un extremo de una mo-
lécula de ARNt hay un aminoácido. En el otro extremo de la molécula de ARNt está
el “anticodón” apropiado, un conjunto de tres bases de nucleótidos que “codifican” ese
aminoácido. Si las tres bases en un anticodón coinciden con las tres bases del “codón”
en el ARNm (en el sentido de G a C y A a U), el codón ARNm atrae electrostática-
mente al anticodón y esa molécula de ARNt se mantiene ahí brevemente. El ribosoma
tiene dos sitios de unión particulares que mantienen dos moléculas de ARNt mientras
las enzimas unen sus aminoácidos para alargar la cadena de aminoácidos (cuadros nu-
merados en la figura 40-14). Conforme cada aminoácido se une mediante una enzima
(en la figura 40-14 ya se unieron cuatro, arriba a la derecha, y un quinto está a punto de
unirse), la antigua molécula de ARNt se remueve, quizás mediante una colisión aleato-
ria con alguna molécula en el fluido celular. Pronto, una nueva se verá atraída confor-
me el ribosoma se mueve a lo largo del ARNm.
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Este proceso de síntesis de proteínas a menudo se presenta como si ocurriera en
forma de mecanismo de relojería, como si cada molécula supiera su papel y se dirigie-
ra a su lugar asignado. Pero éste no es el caso. Las fuerzas de atracción entre las cargas
eléctricas de las moléculas son más bien débiles y se vuelven significativas sólo cuando
las moléculas se acercan y se forman muchos enlaces débiles. De hecho, si las formas
no son las correctas, casi no hay atracción electrostática, de manera que existen pocos
errores. El hecho de que los enlaces sean débiles es muy importante. Si fueran fuertes,
las colisiones con otras moléculas no permitirían que una molécula de ARNt se libera-
ra del ribosoma, o que el ARNm se liberara del ADN. Si no hubiera encuentros tempo-
rales, el metabolismo llegaría a detenerse.
Conforme cada aminoácido se agrega al siguiente, la molécula de proteína crece
en longitud hasta que se completa. Incluso conforme se elabora, esta cadena vaga por
el mar celular: se puede considerar como un gusano que se contonea. Pero una molécu-
la de proteína tiene grupos polares con carga eléctrica a todo lo largo. Y conforme to-
ma varias formas, las fuerzas eléctricas de atracción entre diferentes partes de la
molécula finalmente conducirán a una configuración particular que es bastante estable.
Cada tipo de proteína tiene su propia forma especial, dependiendo de la ubicación de
los átomos con carga. En el último análisis, la forma final depende del orden de los
aminoácidos.
40–4 Espectros moleculares
3p Cuando los átomos se combinan para formar moléculas, las distribuciones de probabi-
lidad de los electrones externos se traslapan y esta interacción altera los niveles de
2s energía. No obstante, las moléculas pueden experimentar transiciones entre niveles
Átomo aislado Átomo en una molécula de energía electrónicos al igual que sucede con los átomos. Por ejemplo, la molécula H2
puede absorber un fotón justo de la frecuencia correcta para excitar uno de sus elec-
a) b) trones del estado fundamental. El electrón excitado regresará a su estado fundamental
FIGURA 40–15 a) Los niveles de y emitirá un fotón. La energía de los fotones emitidos por las moléculas puede ser del
energía individuales de un átomo mismo orden de magnitud que para los átomos, por lo general de 1 a 10 eV, o menos.
aislado se convierten en b) bandas de
niveles cercanamente espaciados en Los niveles de energía adicionales se vuelven posibles para moléculas (mas no pa-
las moléculas, así como en sólidos y ra átomos) porque la molécula como un todo es capaz de girar, y los átomos de la mo-
líquidos. lécula pueden vibrar unos en relación con los otros. Los niveles de energía para niveles
rotacionales y vibracionales están cuantizados, y por lo general están mucho más cerca
FIGURA 40–16 Molécula diatómica entre sí (1023 a 1021 eV) que los niveles electrónicos. Por lo tanto, cada nivel atómico
que gira en torno a un eje vertical. de energía se convierte en un conjunto de niveles muy cercanos entre sí que corres-
ponden a los movimientos vibracional y rotacional, figura 40-15. Las transiciones de un
nivel a otro aparecen como muchas líneas muy cercanas. De hecho, las líneas no siem-
pre son distinguibles, y estos espectros se llaman espectros de bandas. Cada tipo de
molécula tiene su propio espectro característico, que permite identificar y determinar
su estructura. Ahora se examinarán con más detalle los estados rotacional y vibracional
en las moléculas.
Niveles de energía rotacional en moléculas
A continuación se considerarán sólo moléculas diatómicas, aunque el análisis se puede
extender a moléculas poliatómicas. Cuando una molécula diatómica gira en torno a su
centro de masa, como se ilustra en la figura 40-16, su energía cinética de rotación (véa-
se la sección 10-8) es
Erot = 1 Iv2 = (Iv)2 ,
2 2I
donde Iv es la cantidad de movimiento angular (sección 11-1). La mecánica cuántica
predice cuantización de cantidad de movimiento angular tal como en los átomos (véa-
se la ecuación 39-3):
m1
r1 cm Iv = 2l(l + 1) U , l = 0, 1, 2, p ,
r r2 donde l es un entero llamado número cuántico de cantidad de movimiento angular ro-
tacional. Por lo tanto, la energía rotacional está cuantizada:
m2 Erot = (Iv)2 = l(l + 1) U2 . l = 0, 1, 2, p . (40–2)
2I 2I
Eje de
rotación Las transiciones entre niveles de energía rotacional están sujetas a la regla de se-
lección (como en la sección 39-2):
¢l = &1.
1080 CAPÍTULO 40
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La energía de un fotón emitido o absorbido para una transición entre estados rotacio- l=5 15 h2
nales con número cuántico de cantidad de movimiento angular l y l 2 1 será I
U2 U2 DE ϭ 5h2 I
¢Erot = El - El -1 = 2I l(l + 1) - 2I (l - 1)(l)
l=4 10 h2
I
U2 es para el estado superior
= l. c l de energía d (40–3) DE ϭ 4h2 I
I
h2
Como se ve, la energía de transición aumenta directamente con l. La figura 40-17 l=3 6 I
muestra algunos de los niveles energéticos rotacionales y transiciones permitidos. Las DE ϭ 3h2 I
líneas de absorción medidas caen en la región de microondas o en la región lejana de
infrarrojo del espectro, y sus frecuencias por lo general son 2, 3, 4,… veces mayores que l=2 3 h2
I DE ϭ 2h2 I
l=1 DE ϭ h2 I
la más baja, como predice la ecuación 40-3. l=0 1 h2
I
EJERCICIO A Determine los tres estados más bajos de energía rotacional (en eV) para 0
una molécula de nitrógeno que tiene un momento de inercia I 5 1.39 3 10246 kg?m2.
FIGURA 40–17 Niveles de energía
El momento de inercia de la molécula en la figura 40-16, que gira en torno a su rotacional y transiciones permitidas
centro de masa (sección 10-5), es (emisión y absorción) para una
molécula diatómica. Las flechas que
I = m1 r12 + m2 r22 , apuntan hacia arriba representan
absorción de un fotón, y las flechas
donde r1 y r2 son las distancias de cada átomo desde su centro de masa común. Es po- hacia abajo representan emisión
sible demostrar (en el ejemplo 40-4 a continuación) que I se expresa como de un fotón.
I = m1 m2 r2 = mr2, (40–4)
m1 + m2
donde r 5 r1 1 r2 es la distancia entre los dos átomos de la molécula y m 5 m1m2y(m1 1 m2)
se llama la masa reducida. Si m1 5 m2, entonces m = 1 1 .
2 m1 = 2 m2
EJEMPLO 40–4 Masa reducida. Demuestre que el momento de inercia de una
molécula diatómica que gira en torno a su centro de masa se expresa como
I = mr2,
donde m1 m2
m1 + m2
m =
es la masa reducida, ecuación 40-4, y r es la distancia entre los átomos.
SOLUCIÓN El momento de inercia de una sola partícula de masa m a una distancia r
del eje de rotación es I 5 mr2 (ecuaciones 10-11 o 10-13). Para la molécula diatómica
(figura 40-16),
I = m1 r12 + m2 r22 .
Ahora, r 5 r1 1 r2 y m1r1 5 m2r2 porque el eje de rotación pasa a través del centro de
masa. Por lo tanto,
r1 = r - r2 = r - m1 r1.
m2
Al despejar r1 se obtiene
r1 = r = m2 r .
1 + m1 m1 + m2
m2
De igual modo,
r2 = m1 r .
m1 + m2
Entonces (véase la primera ecuación de esta solución),
m2 r 2 m1 r 2 m1 m2(m1 + m2)r2
m1 + m2 m1 + m2 (m1 + m2)2
I = m1 ¢ ≤ + m2 ¢ ≤ =
= m1 m2 r2 = mr2,
m1 + m2
donde m1 m2 ,
m1 + m2
m =
que es lo que se quería demostrar. SECCIÓN 40–4 Espectros moleculares 1081
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EJEMPLO 40–5 Transición rotacional. Una transición rotacional l 5 1 a l 5 0
para la molécula CO tiene una longitud de onda de absorción medida l1 5 2.60 mm
(en la región de microondas). Con base en esto, calcule a) el momento de inercia de
la molécula CO y b) la longitud del enlace CO, r. c) Calcule las longitudes de onda
de las siguientes tres transiciones rotacionales y las energías del fotón emitido para
cada una de estas cuatro transiciones.
PLANTEAMIENTO La longitud de onda de absorción permite encontrar la energía
del fotón absorbido. El momento de inercia I se encuentra a partir de la ecuación 40-3,
y la longitud de enlace r a partir de la ecuación 40-4.
SOLUCIÓN a) La energía del fotón, E 5 hf 5 hcyl, es igual a la diferencia de nivel
de energía rotacional, DErot. De acuerdo con la ecuación 40-3, se escribe
U2 = ¢E = hf = hc .
l l1
I
Con l 5 1 (el estado superior) en este caso, se despeja I:
I = U 2l = hl1 = A6.63 * 10–34 J и sB A2.60 * 10–3 mB
hc l1 4p2c 4p2A3.00 * 108 m͞sB
= 1.46 * 10–46 kg и m2.
b) Las masas de C y O son 12.0 u y 16.0 u, respectivamente, donde 1 u 5 1.66 3 10227
kg. Por lo tanto, la masa reducida es
m = m1 m2 = (12.0)(16.0) A1.66 * 10–27 kgB = 1.14 * 10–26 kg
m1 + m2 28.0
o 6.86 u. Entonces, a partir de la ecuación 40-4, la longitud del enlace es
r = I = 1.46 * 10–46 kg и m2 = 1.13 * 10–10 m = 0.113 nm.
Bm B 1.14 * 10–26 kg
c) De acuerdo con la ecuación 40-3, DE r l. En consecuencia, l 5 cyf 5 hcyDE es
proporcional a 1yl. Por lo tanto, para transiciones de l 5 2 a l 5 1,
1 1.30 mm. Para l 5 3 a l = 2, 1 0.87 mm. Y para l 4a 3,
l2 = 2 l1 = l3 = 3 l1 = 5 l 5
l4 5 0.65 mm. Todas están cerca de los valores medidos. Las energías de los fotones,
hf 5 hcyl, son, respectivamente, 4.8 * 10–4 eV, 9.5 * 10–4 eV, 1.4 * 10–3 eV, y
1.9 * 10–3 eV.
Niveles de energía vibracional en moléculas
La energía potencial de los dos átomos en una molécula diatómica común tiene la for-
ma que se ilustra en la figura 40-8 o 40-9, y la figura 40-18 de nuevo muestra la energía
potencial para la molécula H2. Advierta que la energía potencial, al menos cerca de la
mseópnaricaocisóinmdpele,eqUui=lib21rikoxr2,0, recuerda mucho a la energía potencial de un oscilador ar-
que se ilustra como una línea punteada superpuesta. Por lo
tanto, para pequeños desplazamientos de r0, cada átomo experimenta una fuerza res-
FIGURA 40–18 Energía potencial U UOAS 1 kx2)
0 2
para la molécula H2 y para un 0.1 nm
oscilador armónico simple
1 kx2, r
( U OAS = 2 con uxu 5 ur 2 r0u). La
altura de la energía 0.50 eV marcada
se utiliza en el ejemplo 40-6 para
estimar k. [Advierta que UOAS 5 0 no molécula H2
es igual que U 5 0 para la molécula]. 0.5 eV (para el Ejemplo 40–6)
tauradora aproximadamente proporcional al desplazamiento, y la molécula vibra como
un oscilador armónico simple (OAS). La frecuencia clásica de vibración es
f = 1 k, (40–5)
2p B m
1082 CAPÍTULO 40 donde k es la “constante de rigidez” (como para un resorte, capítulo 14) y, en lugar de
la masa m, de nuevo se debe usar la masa reducida m = m1 m2͞Am1 + m2B. Esto se
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Física para ciencias e ingeniería Volumen II, 4ta Edición – Douglas C. Giancoli
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Física para ciencias e ingeniería Volumen II, 4ta Edición – Douglas C. Giancoli
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