แผนการจัดการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 เรื่อง แคลคูลัสเบื้องต้น

แผนการจดั การเรยี นรู้

วิชาเสรมิ ทักษะคณติ ศาสตร์ ค33201
กลุ่มสาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์

หนว่ ยการเรียนรู้ท่ี 2 เรอ่ื ง แคลคลู ัสเบอื้ งต้น
ระดับชนั้ มัธยมศึกษาปีที่ 6 โรงเรียนอุดรพฒั นาการ

นายธรี เทพ ชศู รโี สม
รหสั ประจาตัวนักศึกษา 61100140205

สาขาวิชาคณติ ศาสตร์

การฝึกปฏบิ ัติการสอนในสถานศึกษา 1
รหสั วชิ า ED18501 (INTERNSHIP IN SCHOOL 1)

คณะครศุ าสตร์ มหาวิทยาลัยราชภฏั อดุ รธานี
ภาคเรยี นท่ี 1 ปกี ารศึกษา 2565

ก

คานา
แผนการจดั การเรยี นรู้ รายวิชาเสริมทกั ษะคณิตศาสตร์ รหัสวิชา ค33201 ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6
เล่ม 2 น้ี จัดทาข้ึนเพื่อใช้เป็นแนวทางในการจัดการเรียนการสอนให้มีประสิทธิภาพ และให้นักเรียน
บรรลุตามผลการเรียนรู้ท่ีกาหนดไว้ในหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐานพุทธศักราช 2551
(ฉบับปรับปรุง 2560) ผู้จัดทาได้ศึกษาสาระการเรียนรู้ เทคนิค วิธีการสอน การวัดและประเมินผล
มาจัดทาแผนการเรยี นร้ใู นคร้ังนี้
แผนการจดั การเรียนร้ใู นเล่ม 2 น้ี ประกอบไปด้วย แผนการจัดการเรียนรู้ หน่วยการเรียนรู้ท่ี 2
เรอื่ ง แคลคูลัสเบื้องต้น สื่อและนวัตกรรมท่ีใช้ในการเรียนการสอน เพ่ือให้ผู้เรียนบรรลุตามมาตรฐาน
การเรียนร้ไู ดเ้ ต็มศักยภาพอย่างแท้จรงิ
จึงหวังเป็นอย่างยิ่งว่าแผนการเรียนรู้ฉบับน้ี จะสามารถนาไปใช้ประกอบการจัดการเรียน
การสอนรายวชิ าคณติ ศาสตร์ นาไปสูก่ ารพัฒนาอยา่ งถูกตอ้ งและเกิดผลแก่ผเู้ รียนเป็นอยา่ งดี

ธรี เทพ ชศู รีโสม
1 ตุลาคม 2565

ข

สารบญั หน้า
ก
เรอื่ ง ข
คานา
สารบัญ 1
หน่วยการเรยี นรู้ที่ 2 เร่อื ง แคลคลู สั เบื้องตน้ 19
38
แผนการจัดการเรยี นรทู้ ่ี 12 เรือ่ ง ความหมายของลมิ ิต 54
แผนการจดั การเรยี นรทู้ ่ี 13 เรอื่ ง ทฤษฎีบทเก่ยี วกับลิมิต 69
แผนการจดั การเรียนรทู้ ่ี 14 เรือ่ ง ความตอ่ เนือ่ งของฟังก์ชนั 88
แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 15 เรื่อง อนพุ นั ธ์ของฟงั กช์ ัน 108
แผนการจัดการเรยี นรทู้ ี่ 16 เรื่อง การหาอนพุ ันธข์ องฟังกช์ ันโดยใช้สูตร 126
แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 17 เรอ่ื ง อนุพันธข์ องฟังก์ชนั ประกอบ 141
แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 18 เรื่อง เสน้ สมั ผสั เสน้ โค้ง 156
แผนการจดั การเรยี นรทู้ ่ี 19 เรือ่ ง อนุพันธ์อันดบั สงู 175
แผนการจัดการเรียนรทู้ ่ี 20 เรอ่ื ง การเคลอื่ นทแ่ี นวตรง 194
แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 21 เรอ่ื ง ฟงั กช์ ันเพิ่มและฟังกช์ ันลด 213
แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 22 เรอ่ื ง ค่าสูงสดุ และค่าตา่ สดุ สมั พัทธ์ 234
แผนการจัดการเรยี นร้ทู ี่ 23 เรอ่ื ง คา่ สงู สุดและคา่ ตา่ สุดสมั บูรณ์ 248
แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 24 เรอ่ื ง โจทย์ปัญหาเกย่ี วกับคา่ สูงสุดและคา่ ตา่ สดุ 263
แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 25 เรื่อง ปฏยิ านพุ ันธ์และปรพิ นั ธไ์ ม่จากัดเขต
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 26 เรือ่ ง ปรพิ ันธจ์ ากดั เขต
แผนการจัดการเรียนรทู้ ่ี 27 เรอ่ื ง พนื้ ท่ปี ิดลอ้ มด้วยเสน้ โค้ง

1

แผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี 12 ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 6
รายวิชาเสรมิ ทักษะคณติ ศาสตร์ รหัสวิชา ค33201 ภาคเรียนท่ี 1/2565
หนว่ ยการเรยี นรู้ที่ 2 แคลคูลสั เบ้ืองต้น เวลาเรียน 2 ชัว่ โมง
เร่ือง ความหมายของลิมติ โรงเรียนอดุ รพฒั นาการ
ผู้สอน นายธรี เทพ ชศู รีโสม

ผลการเรยี นรู้
1. ตรวจสอบความตอ่ เน่ืองของฟังกช์ นั ที่กาหนดให้
2. หาอนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั พชี คณิตท่ีกาหนดให้และนาไปใช้แกป้ ญั หา
3. หาปรพิ ันธไ์ ม่จากัดเขตและจากัดเขตของฟงั กช์ ันพชี คณิตทีก่ าหนดให้และนาไปใช้

แกป้ ัญหา

จุดประสงคก์ ารเรียนรู้
1. นกั เรียนสามารถอธบิ ายความหมายของลิมติ ได้ (K)
2. นกั เรยี นสามารถแสดงวธิ ีการหาค่าลมิ ติ ได้ (P)
3. นักเรียนมีความตง้ั ใจและรับผิดชอบตอ่ งานทไี่ ด้รบั มอบหมาย (A)
4. มีความมมุ านะในการทาความเข้าใจปัญหาและแกป้ ญั หาทางคณิตศาสตร์ (A)

สาระสาคญั
สาหรับฟังก์ชัน ใดๆ ที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจานวนจริง ถ้าค่าของ

เข้าใกลจ้ านวนจริง เพยี งหนง่ึ จานวน เมือ่ มีคา่ เข้าใกล้ เรียก ว่า ลิมิตของ ท่ี และเขียน
แทนสัญลักษณด์ ว้ ย

แต่ถ้าไม่มจี านวนจริง ซง่ึ เข้าใกล้ เม่อื มคี า่ เข้าใกล้ แล้วจะกล่าวได้ว่า ไม่มี

ลิมิตท่ี และเขยี นแทนว่า หาค่าไม่ได้

สมรรถนะสาคัญของผูเ้ รียน
1. ความสามารถในการคิด
2. ความสามารถในการสือ่ สาร
3. ความสามารถในการแกป้ ญั หา

2

กิจกรรมการเรียนรู้

ชั่วโมงท่ี1

ขั้นนา
1. ครทู บทวนความรู้เกย่ี วกับการกาหนดค่าบนเส้นจานวน และการหาค่าที่ใกล้เคียงกับจานวน

ท่คี รูกาหนด โดยใหน้ กั เรียนมีส่วนรว่ มในการตอบคาถาม ดงั นี้
ตัวอย่าง จานวนใดมคี า่ ใกล้ 5 มากทส่ี ุด

2
“จานวนที่ใกล้ 2 มากทส่ี ุด มี 2 จานวน คอื 2.9999... และ 2.0000...1 ซ่งึ เป็นจานวนที่หา

คา่ ไม่ได้ แตส่ ามารถเขียนเป็นสญั ลักษณ์ได้ คือ และ เมื่อเปรียบเทียบจานวน

, และ บนเส้นจานวนได้ ดงั นี้”




2
“จานวนท่ีเข้าใกล้จานวนใด ๆ มี 2 ค่า และเราสามารถเขียนแทนได้เป็น

และ ”

ข้ันสอน

2. ครูอธิบายความหมายของฟังก์ชัน โดยใช้ตารางความสัมพันธ์ของโดเมน
และ ดงั นี้
และเรนจ์ โดยกาหนดให้ เม่ือ

3

1.0 5 3.0 13
1.5 6.25 2.5 10.25
1.8 7.24 2.2 8.84
1.9 7.61 2.1 8.41
1.92 7.6864 2.05 8.2025
1.99 7.9601 2.01 8.0401
1.995 7.980025 2.005 8.020025
1.999 7.996001 2.001 8.004001

“จากตารางจะเห็นว่า เมื่อ x มีค่าเพ่ิมขึ้นจาก 1 และเข้าใกล้ 2 ค่าของ จะเพ่ิมขึ้นจาก 5
และเข้าใกล้ 8 ขณะเดียวกัน เมื่อ x มีค่าลดลงจาก 3 และเข้าใกล้ 2 ค่าของ จะลดลงจาก 13
และเขา้ ใกล้ 8”

3. ครูอธบิ ายการเขยี นสญั ลกั ษณแ์ ละการหาคา่ ลมิ ิตของฟงั กช์ นั ดงั น้ี

จากตัวอย่าง เม่ือค่า เข้าใกล้ 2 (น่ันคือเมื่อ และเม่ือ )

ค่าของ จะเข้าใกล้ 8 ในกรณีน้ีจะกล่าวว่า “ลิมิตของฟังก์ชัน เม่ือ

เข้าใกล้ 2 มีค่าเทา่ กบั 8 ” เขยี นแทนด้วยสัญลกั ษณ์ หรอื

“ฟังก์ชัน ใดๆ ท่ีมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจานวนจริง ถ้าค่าของ

เข้าใกลจ้ านวนจรงิ เพียงหนง่ึ จานวน เม่อื มคี า่ เข้าใกล้ เรียก ว่า ลิมิตของ ท่ี และเขียน

แทนสัญลกั ษณ์ดว้ ย ”

“ถ้าไม่มีจานวนจริง ซึ่ง เข้าใกล้ เมื่อ มีค่าเข้าใกล้ แล้วจะกล่าวได้ว่า ไม่มี

ลมิ ิตท่ี และเขียนแทนว่า หาค่าไม่ได”้

จากตัวอย่าง เมื่อ เข้าใกล้ 2 ทางด้านซ้าย ( ) ค่าของ เข้าใกล้ 8 เรียก 8 ว่า

ลิมิตซ้ายของฟังก์ชัน (left-handed limit) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ สัญลักษณ์

“ ” แสดงถึงการพิจารณาคา่ ของ ที่นอ้ ยกวา่ 2 เทา่ นน้ั

จากตัวอย่าง เมื่อ เข้าใกล้ 2 ทางด้านขวา ( ) ค่าของ เข้าใกล้ 8 เรียก 8 ว่า

ลิมิตขวาของฟังก์ชัน (right-handed limit) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ สัญลักษณ์

“ ” แสดงถึงการพิจารณาคา่ ของ ทม่ี ากกวา่ 2 เทา่ น้ัน

4

“โดยทั่วไป สาหรับฟังก์ชัน ใด ๆ ท่ีมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจานวนจริง

ถ้าค่าของ เข้าใกล้จานวนจริง เมื่อ มีค่าเข้าใกล้ ทางด้านซ้าย เรียก ว่า ลิมิตซ้าย

ของ เมื่อ เข้าใกล้ ทางด้านซ้าย เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ และถ้าค่าของ

เข้าใกล้จานวนจรง เมื่อ มีค่าเข้าใกล้ ทางด้านขวา เรียก ว่า ลิมิตขวาของ เม่ือ

เขา้ ใกล้ ทางด้านขวา เขียนแทนดว้ ยสัญลักษณ์ ”

“ถา้ จะได้ว่าลมิ ติ มีลมิ ิตเปน็ เม่ือ เข้าใกล้ นัน่ คือ

ถ้า จะไดว้ า่ ฟังกช์ ัน ไม่มีลมิ ติ เม่อื เขา้ ใกล้ นั่นคอื หาค่าไมไ่ ด้”

ขนั้ สรปุ
4. ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปเน้ือหาเก่ียวกับความหมายของลิมิตโดยครูใช้คาถามกระตุ้น

ความคิด ดงั นี้
“ลมิ ติ คืออะไร”
“แนวคาตอบ ลิมติ คือ การเขา้ ใกลจ้ านวนจรงิ จานวนหน่ึงแตไ่ ม่ใชจ่ านวนนัน้ ”
“ หมายความว่าอยา่ งไร”
“แนวคาตอบ ค่าของ เข้าใกล้จานวนจริง เมื่อ มีค่าเข้าใกล้ ทางด้านซ้าย เรียก

วา่ ลมิ ติ ซา้ ยของ เม่ือ เข้าใกล้ ทางด้านซ้าย”
“ หมายความวา่ อยา่ งไร”

“แนวคาตอบ ค่าของ เข้าใกล้จานวนจรง เม่ือ มีค่าเข้าใกล้ ทางด้านขวา เรียก ว่า

ลมิ ติ ขวาของ เมือ่ เข้าใกล้ ทางดา้ นขวา”

“ หาค่าไมไ่ ดเ้ กิดจากสาเหตใุ ด”

“แนวคาตอบ หาคา่ ไม่ได้ เมอื่ กล่าวคอื เมื่อลิมิตซ้ายของฟังก์ชันมี

ค่าไม่เทา่ กบั ลิมิตขวาของฟังก์ชันและรวมถึงกรณีท่ีลิมิตซ้ายหรือลิมิตขวาของฟังก์ชันค่าใดค่าหน่ึงไม่มี

คาตอบทีเ่ ป็นจานวนจรงิ ”

5. ครใู หน้ ักเรียนทาแบบฝึกหัด 2.1ก ข้อ 1 ใหญ่ ข้อ 1,2,3 เพือ่ เปน็ การทาความเข้าใจเนื้อหา

เพมิ่ เติม

5

ชว่ั โมงท2่ี

ขนั้ นา

6. ครูและนักเรียนร่วมกันทบทวนความหมายของลิมิตและการเขียนสัญลักษณ์แทนลิมิต

ของฟงั ก์ชนั ดังน้ี

“ฟังก์ชัน ใดๆ ที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจานวนจริง ถ้าค่าของ

เข้าใกลจ้ านวนจริง เพียงหน่ึงจานวน เมอื่ มคี า่ เข้าใกล้ เรียก ว่า ลิมิตของ ที่ และเขียน

แทนสัญลกั ษณ์ดว้ ย ”

“ถ้าไม่มีจานวนจริง ซึ่ง เข้าใกล้ เมื่อ มีค่าเข้าใกล้ แล้วจะกล่าวได้ว่า ไม่มี

ลมิ ติ ท่ี และเขียนแทนว่า หาคา่ ไม่ได”้

“โดยทั่วไป สาหรับฟังก์ชัน ใด ๆ ท่ีมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจานวนจริง

ถ้าค่าของ เข้าใกล้จานวนจริง เม่ือ มีค่าเข้าใกล้ ทางด้านซ้าย เรียก ว่า ลิมิตซ้าย

ของ เม่ือ เข้าใกล้ ทางด้านซ้าย เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ และถ้าค่าของ

เข้าใกล้จานวนจรง เมื่อ มีค่าเข้าใกล้ ทางด้านขวา เรียก ว่า ลิมิตขวาของ เม่ือ

เข้าใกล้ ทางดา้ นขวา เขยี นแทนดว้ ยสัญลักษณ์ ”

“ถ้า จะได้วา่ ลมิ ิต มลี มิ ิตเป็น เมอ่ื เขา้ ใกล้ นนั่ คือ

ถ้า จะได้วา่ ฟังก์ชัน ไม่มลี มิ ิต เม่อื เข้าใกล้ น่ันคือ หาคา่ ไมไ่ ด้”

ข้ันสอน

7. ครูกล่าวกับนักเรียนว่า “นอกจากการหาค่าของลิมิตโดยการใช้ตารางแสดงค่าฟังก์ชันแล้ว

การหาค่าของลมิ ติ โดยการใชก้ ราฟก็สามารถทาได้เช่นกนั ” พรอ้ มยกตัวอย่างการหาค่าของลิมิตโดยใช้

กราฟ ดงั นี้

ตัวอยา่ งที่1 จงพจิ ารณาวา่ หาค่าไดห้ รือไม่ เมอื่ กาหนดให้ {

วธิ ีทา พิจารณาลมิ ิตโดยใชก้ ราฟของฟังก์ชัน ซึ่งเขียนกราฟได้ ดงั รปู

Y

y = f(x)

X

6

จากกราฟจะเห็นว่า เมื่อ เข้าใกล้ 0 โดย ค่าของฟังก์ชัน เข้าใกล้ 0 เม่ือ

เขา้ ใกล้ 0 โดย ค่าของฟงั ก์ชัน เข้าใกล้ 1 ในกรณีน้ีค่าของฟังก์ชัน เมื่อเข้าใกล้ 0 ซึ่งได้ค่า

ของฟังก์ชัน ไม่เท่ากัน หรือกล่าวได้ว่า เม่ือ เข้าใกล้ 0 ค่าของฟังก์ชัน ไม่เข้าใกล้จานวนจริง

ใดๆเลยแมแ้ ตจ่ านวนเดียว ดงั นนั้ หาค่าไมไ่ ด้

ตวั อยา่ งที่2 กาหนดให้ เปน็ ฟังกช์ นั ทีม่ ีกราฟ ดงั รูป

Y

y = f(x)

X

จงหา 1) 2) 3)
6)
4) 5)
) จะได้ว่า ค่าของฟังก์ชัน เข้าใกล้ 4
วิธีทา จากกราฟ จะได้วา่
) จะได้ว่า ค่าของฟังก์ชัน เข้าใกล้ 4
1) เมอื่ เข้าใกล้ -3 ทางด้านซ้าย (
ดงั นั้น
จะไดว้ า่ ) จะได้ว่า ค่าของฟังก์ชัน เข้าใกล้ 1

2) เมื่อ เขา้ ใกล้ -3 ทางด้านขวา (

จะได้วา่

3) เนอ่ื งจาก

4) เม่ือ เข้าใกล้ 2 ทางด้านซ้าย (

จะไดว้ ่า

7

5) เมื่อ เข้าใกล้ 2 ทางด้านขวา ( ) จะได้ว่า ค่าของฟังก์ชัน เข้าใกล้ 0

จะได้วา่

6) เน่อื งจาก ดังนน้ั หาค่าไม่ได้

8. ครใู ห้นักเรยี นทาแบบฝึกหดั 1.2ก ขอ้ 2 ใหญ่ลงในสมดุ เพ่ือเป็นการตรวจสอบความเขา้ ใจ

ขน้ั สรปุ

9. ครแู ละนักเรยี นร่วมกนั สรปุ เนื้อหาเพ่ือทบทวนความรู้เกี่ยวกับลิมิตของฟังก์ชันและการหา

คา่ ลิมิตของฟังก์ชัน โดยครูใช้คาถามกระตุ้นความคิด ดังน้ี

“ลิมติ ของฟงั กนั มีวธิ ีการหาคา่ อย่างไร”

“แนวคาตอบ สาหรับฟังก์ชัน ใดๆ ท่ีมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจานวนจริง

ถ้าค่าของ เข้าใกล้จานวนจริง เพียงหน่ึงจานวน เมื่อ มีค่าเข้าใกล้ เรียก ว่า ลิมิตของ

ที่ และเขยี นแทนสัญลกั ษณด์ ว้ ย ”

“ลมิ ติ ของฟังก์ชนั จะหาค่าไม่ไดเ้ ม่อื ใด”

“แนวคาตอบ ถ้าไม่มีจานวนจริง ซึ่ง เข้าใกล้ เม่ือ มีค่าเข้าใกล้ แล้วจะกล่าว

ได้ว่า ไมม่ ลี ิมติ ท่ี และเขยี นแทนวา่ หาค่าไมไ่ ด้”

การวดั และประเมินผลการเรียนรู้

จุดประสงค์การเรยี นรู้ เคร่อื งมือ วิธกี ารประเมิน เกณฑ์การประเมนิ
นักเรยี นสามารถอธิบาย แบบฝึกหดั 1.2ก ตรวจแบบฝึกหัด 1.2ก ผ่านเกณฑร์ ้อยละ 75
ความหมายของลมิ ิตได้ (K)
ขอ้ 1,2 ขอ้ 1,2

นักเรียนสามารถแสดงวธิ ีการหาค่า แบบฝึกหดั 1.2ก ตรวจแบบฝกึ หัด 1.2ก ผา่ นเกณฑ์ร้อยละ 75
ลิมติ ได้ (P) ขอ้ 1,2 ข้อ 1,2
ผ่านเกณฑ์
นักเรยี นมีความตัง้ ใจและ แบบสงั เกตพฤติกรรม สงั เกตพฤติกรรม การประเมิน
รบั ผิดชอบตอ่ งานที่ไดร้ บั ทัง้ 2 รายการ
แบบสงั เกตพฤติกรรม สังเกตพฤตกิ รรม ผา่ นเกณฑ์
มอบหมาย (A) การประเมนิ
มคี วามมุมานะในการทาความ ทงั้ 2 รายการ
เขา้ ใจปญั หาและแก้ปัญหาทาง

คณิตศาสตร์ (A)

8

สอ่ื /แหลง่ การเรยี นรู้
สื่อการเรียนรู้

1. หนังสือรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.6 เล่ม 1 หน่วยการเรียนรู้ท่ี 2 เร่ือง แคลคูลัส
เบือ้ งตน้

2. แบบฝึกหัด 1.2ก ลิมติ ของฟงั กช์ นั ขอ้ 1,2
3. วิดโี อการสอน เรอ่ื ง แคลคูลสั เบอ้ื งต้น จาก https://proj14.ipst.ac.th
4. เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลสั เบ้อื งตน้
แหล่งการเรยี นรู้
1. หอ้ งเรยี น
2. หอ้ งสมุด
3. อินเตอรเ์ น็ต

9

บันทกึ หลังการสอน

……………กด…เา้ …นย…คนว…า…มก…ร…ู้ค(…Kน)…ส…าม…า…ร…ถ…อ……บา…ย…ค…ว…า…ม…หม…า…ย…ข…อง………ไ…………ก……อ…ง……า…น…เก…ณ………อ…ยล…ะ…7…5…

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

. ด้านทักษะกระบวนการ (P)

……………ก…เ……ย…น……ก…ค…น…ส…า…ม…า…ร…ถ…แ…ส…ด…ง………ก…า…รห…า……า………ต…ไ…………ก……อ…ง……า…น…เก…ณ………อ…ยล…ะ…7…5

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

อ……………กค…เณุ …ลย…กั น…ษ…ณค…ะว…อา…นั มพ…ึง…ปม…รา…ะนส…ง.ใ…ค…/์นเ…จก…ตาค…รต…ิ …(คA…)ว…า…ม…เ……าใ…จ…แ…ล…ะ…แ……โ…จ…ท………ค………ห…น…ดใ…………ใ…น…

…ร…ะ…บ………ง……ม…า…ก……น…ะ……ค…ว…า…ม……งใ…จ…จ……ะ……บ……ด…ช…อ…บ……อ…ง…า…น………ม…อ…บ…ห…า…ย…ใ………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

สมรรถนะสาคัญผูเ้ รียน (C)

………………ก…เ …ย…น……ค…ว…า…ม…ส…าม…า…ร…ใ…น…ก…า…ร …ด…แ…ล…ะ …แ …โ…จท…………ค………ห…น…ด…ใ…………ก……ง……ง…สา…ม…าร…ถ……

…อ……บา…ย………………ต…น…น……อ…น…ค…งไ…………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ปญั หาอุปสรรค/ข้อเสนอแนะอน่ื ๆ

………………ก…เ …ย…น…บ…า…ง…ค…น……ง…ไ……เ…า…ใ…จ ค…ว…า…ม…ห…ม…า…ย…ข…อง…………ต……ง………ใ……อ……บ…า…ย…ค…วา…ม…ห…ม…า…ย…

…ขอ…ง………ต……งไ………ไ……………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

&ลงช่ือ ……………………………………(ผ้สู อน)

(นายธรี เทพ ชูศรโี สม)
วันที่ ……2………ง…หา…ฒ………2…5…6…5…

ิส้ด่มัยิมิลิธ้หำทึจิมิล้ข่มัยีรันีด้ด่ีทำทีธิวิธัย้ัทีอ้หำกูร่ีท์ย้กิคีมีรัน้หูช่ีท่ติผัร้ัตีมีดึถีดัดู่ย้หำกูร่ีท์ย้ก้ขำทุม้ีนีรัน้ร์ฑ่ผ้ตูถ้ดิมิล่คีธิวุทีรัน้ร์ฑ่ผ้ตูถ้ดิมิลิธุทีรัน

10

11

แบบประเมินพฤติกรรมการเรยี นรู้ ดา้ นความรู้ ทักษะกระบวนการ และคุณลักษณะอันพึงประสงค์
แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 12 เรอ่ื ง ความหมายของลาดับ ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6

เลขที่ ช่อื - สกลุ ความรู้ ทกั ษะกระบวนการ คุณลักษณะ หมายเหตุ
ของผู้รับการประเมิน 2 ระดับ 3 ระดับ อันพงึ ประสงค์
3 ระดับ

1 1ใ 2 2

ใ2 1 พอ 2 2

3 ใ1 พอ ะ r

4 ใ1 พอ 2 2

5 ใ1 พอ 2 2

6 เมอใ 2 2

7 1 3 เ ยม 3 เ ยม

8 2 3 เ ยม 3 เ ยม
9 2 3 เ ยม 3 เ ยม
10 1 3 เ ยม 3 เ ยม
11 ใ1 พอ
2 2

12 ใ1 พอ 2 2

13 2 3 ผํ่ย 3 น

14 2 3 เ ยม 3 เ ยม
15
1 ใพอ 2 2

16 2 3 น 3 เ อม
17
1 ใพอ 2 2

18 1 3 เ ยม 3 เ ยม
19 2 3 เ ยม 3 เ ยม
20 2 3 เ ยม 3 เ ยม

21 2 3 เ ยม 3 เ ยม

22 2 3 เ ยม 3 เ ยม
23 2 3 เ ยม 3 เ ยม
24 2 3 เ ยม 3 เ ยม

25 2 3 เ ยม 3 เ ยม

่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีดีดีด้ชือีด่ือีดีดีดีด้ช่ียีด่ียีดีดัฝีดีดีดีดีด้ชีดีด้ช่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีดีดีด้ชีดีด้ชีดีด้ชีดีด้ชีดีด้ชีดีด่ช

12

เลขที่ ชื่อ - สกลุ ความรู้ ทกั ษะกระบวนการ คณุ ลกั ษณะ หมายเหตุ
ของผู้รับการประเมนิ อนั พึงประสงค์
2 ระดับ
26 3 ระดบั 3 ระดับ
27 2
28 3 เ ยม 3 เ ยม
29 2
30 3 เ ยม 3 เ ยม
31 2 3ม
32 2 3 ยม
33 3 เ ยม
34 2 3 เ ยม
35 3 เ ยม
36 ใ1 พอ 3 เ ยม
37 2
38 2 2
39 3 เ ยม
2 3 เ ยม
รวม 2 3 เ ยม
เฉล่ีย 2 3 เ ยม
จานวนนักเรียนทีผ่ ่าน า 3 เ ยม
ร้อยละนกั เรยี นที่ผา่ น ข 3 เ ยม
3 เ ยม
2 3 เ ยม
3 เ ยม
67 3 เ อม 3 เ ยม
1.72 3 เ ยม 3 เ อม
39 3 เ ยม
10อ 3 เ ยม
3 เ ยม
106
แ

2.71 2.72

39 39

µg เออ

¥ลงชือ่ .................................................................................ผปู้ ระเมนิ
(นายธรี เทพ ชูศรโี สม)

งหาคมวนั ท่ี........2...............เดือน......................................พ.ศ....2....5....6....5.....

ิส่ียีด่ียีดีดูด่ียีด่ียีดีดือีดือีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีดีดีด้ช่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ีหีด่หีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด

13

ตงั บ่งช้ี เกณฑก์ ารใหค้ ะแนนด้านความรู้
การตอบคาถามใน ระดบั คณุ ภาพ/ระดบั คะแนน

ห้องเรียน 2 : ดี 1 : พอใช้ 0 : ปรับปรงุ

นกั เรยี นมีความรู้ความ นักเรียนมีความพยายามตอบ นักเรยี นไม่ตอบคาถามใน
ห้องเรียน
เข้าใจสามารถตอบคาถาม คาถามทคี่ รถู ามได้ถูกตอ้ ง

ท่ีครถู ามได้ถูกต้อง บางสว่ น

หมายเหตุ ผา่ น หมายถึง นกั เรยี นทาคะแนนไดเ้ ฉลย่ี ร้อยละ 70 ข้ึนไป
ไมผ่ ่าน หมายถึง นกั เรียนทาคะแนนได้ต่ากวา่ เฉลย่ี ร้อยละ 70 ขึ้นไป

เกณฑ์การให้คะแนนดา้ นทกั ษะ/กระบวนการทางคณิตศาสตร์

ทกั ษะ/กระบวนการความสามารถในการแกป้ ญั หาในการเรียนคณิตศาสตรไ์ ด้

คะแนน:ระดบั คุณภาพ ความสามารถในการแกป้ ญั หาในการเรยี นคณิตศาสตรไ์ ด้

3 : ดีเย่ียม สามารถแก้ปัญหาทางคณิตศาสตรไ์ ดถ้ กู ต้องครบถว้ น

2 : ดี สามารถแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ไดถ้ ูกต้องบางสว่ น

1 : พอใช้ มีความพยายามในการแก้ปญั หาทางคณติ ศาสตร์

0 : ปรับปรงุ ไม่มีความพยายามในการแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์

เกณฑ์การประเมิน อยู่ในระดับ ดี ถือว่า ผา่ น

14

ตังบง่ ช้ี เกณฑก์ ารให้คะแนนด้านคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค์
การตอบ ระดบั คุณภาพ/ระดับคะแนน
คาถามใน
หอ้ งเรียน 3 : ดมี าก 2 : ดี 1 : กาลงั พฒั นา 0 : ต้องปรบั ปรุง

มคี วามต้งั ใจและ มีความตง้ั ใจและพยายาม มคี วามตงั้ ใจและ ไม่มีความตง้ั ใจและ
พยายามในการ
พยายามในการ ในการแกป้ ญั หาทาง พยายามในการ แกป้ ัญหาทาง
คณติ ศาสตร์ท่ี
แก้ปญั หาทาง คณิตศาสตร์ที่กาหนดให้ แก้ปญั หาทาง กาหนดให้ ไม่มีความ
อดทนและท้อแท้ต่อ
คณิตศาสตร์ทีก่ าหนดให้ แตไ่ ม่มคี วามอดทนและ คณิตศาสตร์ที่กาหนดให้ อุปสรรคจนทาให้
แกป้ ัญหาทาง
มคี วามอดทนและไม่ ท้อแท้ตอ่ อุปสรรคจนทา แตไ่ ม่มีความอดทนและ คณิตศาสตร์ท่ี
กาหนดใหไ้ ดไ้ ม่
ท้อแทต้ อ่ อุปสรรคจนทา ให้แก้ปญั หาทาง ท้อแทต้ ่ออุปสรรคจนทา
สาเร็จ
ให้สามารถแก้ปญั หาทาง คณติ ศาสตร์ทกี่ าหนดให้ ให้แก้ปญั หาทาง

คณติ ศาสตร์ทีก่ าหนดให้ ได้ไม่สาเร็จเลก็ น้อย คณติ ศาสตร์ท่กี าหนดให้

ไดส้ าเรจ็ ได้ไมส่ าเร็จเป็นส่วน

ใหญ่

เกณฑ์การประเมนิ อยู่ในระดับ ดี ถือว่า ผา่ น
/

15

แบบฝึกหัด 1.2ก

1. จงเติมคา่ ของฟังก์ชันต่อไปน้ีในตารางให้สมบูรณ์ พร้อมทั้งพิจารณาว่าลิมิตของฟังก์ชันท่ีกาหนดให้
แตล่ ะข้อมคี า่ หรอื ไม่ ถา้ มีค่า จงหาลิมติ

1) √
3.9 3.99 3.999

4.1 4.01 4.001

2)
1.9 1.99 1.999

2.1 2.01 2.001

3)
0.9 0.99 0.999

1.1 1.01 1.001

16

2. กาหนดกราฟของฟังกช์ นั ดังรูป จงหา

1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)

17

เฉลยแบบฝึกหัด 1.2ก

1) √ 3.9 3.99 3.999
2) 0.251582 0.250156 0.250016
3)
4.1 4.01 4.001
0.248457 0.249844 0.249984

1.9 1.99 1.999
0.204082 0.200401 0.200401

2.1 2.01 2.001
0.196078 0.199601 0.199601

0.9 0.99 0.999
1.107011 1.010067 1.001001

1.1 1.01 1.001
0.906344 0.990066 0.999001

18

2. กาหนดกราฟของฟังก์ชนั ดังรปู จงหา

1) ) จะได้ว่า ค่าของ
2) เม่อื หมายถึง เขา้ ใกล้ 1 ทางดา้ นซา้ ย ( ) จะไดว้ ่า คา่ ของ

เขา้ ใกล้ 2 ดังนั้น ) จะไดว้ า่ คา่ ของ
3) เมื่อ หมายถงึ เขา้ ใกล้ 1 ทางดา้ นขวา ( ) จะไดว้ ่า ค่าของ

เขา้ ใกล้ 3 ดังน้นั
4) เนอ่ื งจาก

ดงั น้นั ไมม่ ีค่า
5) จาก ไม่นิยามท่ี ดงั น้ัน ไมม่ คี า่
6) เมอื่ หมายถงึ เขา้ ใกล้ 5 ทางดา้ นขวา (

เขา้ ใกล้ 4 ดงั น้นั
7) เมื่อ หมายถึง เขา้ ใกล้ 5 ทางด้านซา้ ย (

เข้าใกล้ 4 ดังนั้น
8) เนื่องจาก

ดงั นั้น

19

แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 13 ชนั้ มัธยมศึกษาปที ี่ 6
รายวชิ าเสริมทกั ษะคณติ ศาสตร์ รหัสวิชา ค33201 ภาคเรยี นท่ี 1/2565
หนว่ ยการเรียนรู้ที่ 2 แคลคลู สั เบอ้ื งตน้ เวลาเรียน 3 ชวั่ โมง
เร่อื ง ทฤษฎีบทเกี่ยวกบั ลิมติ โรงเรยี นอดุ รพัฒนาการ
ผสู้ อน นายธีรเทพ ชูศรโี สม

ผลการเรยี นรู้
1. ตรวจสอบความตอ่ เน่ืองของฟังกช์ ันที่กาหนดให้
2. หาอนุพันธข์ องฟังก์ชันพชี คณิตท่ีกาหนดให้และนาไปใช้แก้ปญั หา
3. หาปริพนั ธไ์ ม่จากัดเขตและจากัดเขตของฟงั ก์ชันพชี คณติ ท่กี าหนดให้และนาไปใช้

แกป้ ญั หา

จดุ ประสงค์การเรียนรู้
1. นักเรยี นสามารถอธบิ ายทฤษฎบี ทของลิมติ ได้ (K)
2. นกั เรยี นสามารถใช้ทฤษฎีบทเก่ียวกบั ลิมิตแสดงวธิ กี ารหาคา่ ลิมติ ได้ (P)
3. นกั เรียนมีความต้งั ใจและรับผดิ ชอบตอ่ งานท่ไี ดร้ ับมอบหมาย (A)
4. นกั เรยี นมีความมุมานะในการทาความเข้าใจปัญหาและแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์ (A)

สาระสาคญั ใด ๆ ที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจานวนจริง ถ้าค่าของ
สาหรับฟังก์ชัน เม่ือ มีค่าเข้าใกล้ เรียก ว่า ลิมิตของ ที่ และเขียนแทนด้วย

เข้าใกล้จานวนจริง สามารถหาคา่ ลมิ ติ ของฟงั ก์ชันโดยใชท้ ฤษฎบี ทเกยี่ วกบั ลมิ ติ ในการหาค่า
สญั ลกั ษณ์

สมรรถนะสาคัญของผู้เรียน
1. ความสามารถในการคดิ
2. ความสามารถในการส่ือสาร
3. ความสามารถในการแก้ปญั หา

20

กิจกรรมการเรียนรู้

ขั้นนา

1. ครูทบทวนความรู้เดิมเก่ียวกับการหาค่า โดยลิมิตจะหาค่าได้นั้นต้องมีลิมิต

เข้าใกล้ทางซ้ายเท่ากับลิมิตเข้าใกล้ทางขวา กล่าวคือ จึงจะสามารถ

สรุปไดว้ า่

2. ครูอธิบายเพิ่มเติมเกี่ยวกับการหาค่าของลิมิตว่า “นอกจากจะหาค่าของลิมิตโดยการ

ตรวจสอบคา่ เขา้ ใกล้ทางซ้ายให้เท่ากับค่าเข้าใกล้ทางขวา เพื่อหาค่าของลิมิตแล้วน้ันอาจจะไม่สะดวก

สาหรบั ฟงั ก์ชนั ทม่ี ีความซบั ซ้อนจึงสามารถเลือกใชก้ ฎของลมิ ิตในรูปทฤษฎีบทต่างๆเพื่อหาค่าของลิมิต

แทนได้”

ขั้นสอน
3. ครูแนะนาทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของฟังก์ชันเพ่ือใช้ในการหาค่าลิมิต ซ่ึงทฤษฎีบทเหล่านี้

จะช่วยในการหาค่าลมิ ิตของฟงั กันเมื่อฟังกช์ ันท่ีกาหนดให้อย่ใู นรปู ของสมการ
4. ครูอธิบายทฤษฎบี ท 1 พร้อมยกตัวอยา่ ง ดงั น้ี
ทฤษฎบี ท 1 ให้ เป็นจานวนจรงิ จะไดว้ า่
1. เมอื่ เป็นคา่ คงตวั ใดๆ
2. เม่อื

ตวั อยา่ งท่ี1 จงหาค่าของ 2)

1)
วิธที า 1)

2)

5. ครอู ธิบายทฤษฎบี ท 2 พร้อมยกตวั อยา่ ง ดงั น้ี

ทฤษฎีบท 2 กาหนดให้ และ เป็นาจนวนจริงใดๆ ถ้า และ เป็นฟังก์ชันที่มี

โดเมนและเรนจ์เป็นสบั เซตของจานวนจริง โดยที่ และ แลว้

1) เมอ่ื เป็นค่าคงตวั ใดๆ

2) ( )

21

3) ( )
4) ( )

5) ( ) เมอ่ื

6) เมอื่
√ เมือ่
7) √ √ {}√

สาหรบั ที่เขา้ ใกล้ และ √
ตัวอยา่ งท่ี2 ใหห้ าค่าของ
วธิ ที า

ดงั น้นั √
ตัวอยา่ งท่ี3 ใหห้ าคา่ ของ √

วิธีทา √

√

√

√

√

ดังนั้น √ √

ข้ันสรปุ

6. ครูและนักเรียนร่วมกันทบทวนทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตทั้งสองทฤษฎีบทโดยให้โจทย์กับ

นักเรยี นทาลงในสมุดและสมุ่ ตัวแทนออกมาแสดงวิธที าหนา้ ชัน้ เรียน

22

โจทย์ ให้หาคา่ ของ
วธิ ีทา

ดงั นัน้

ช่ัวโมงที่2
ขัน้ นา

7. ครูและนักเรียนร่วมกันทบทวนทฤษฎีบท 1 และทฤษฎีบท 2 ซ่ึงเป็นทฤษฎีบทเกี่ยวกับ
ลมิ ติ ดังน้ี

ทฤษฎีบท 1 ให้ เปน็ จานวนจริง จะได้วา่
1. เมอ่ื เปน็ คา่ คงตัวใดๆ
2. เม่ือ

ทฤษฎีบท 2 กาหนดให้ และ เป็นาจนวนจริงใดๆ ถ้า และ เป็นฟังก์ชันที่มี

โดเมนและเรนจเ์ ป็นสบั เซตของจานวนจรงิ โดยที่ และ แลว้

1) เมือ่ เปน็ ค่าคงตัวใดๆ

2) ( )

3) ( )

4) ( )

5) ( ) เมอื่

6) เมอื่

7) √ √ √ เมอื่ {}√

สาหรับ ที่เข้าใกล้ และ √

23

ขนั้ สอน
8. ครนู าเสนอทฤษฎีบทเกย่ี วกบั ลมิ ติ เพ่มิ เติม ซ่ึงเป็นทฤษฎีบทของฟงั กช์ ันพหนุ าม ดังน้ี
ทฤษฎบี ท 3 ให้ เป็นพหุนาม และ เปน็ จานวนจริงใดๆ จะไดว้ า่

ทฤษฎีบท 4 ให้ เป็นฟงั ก์ชนั ที่ เม่ือ และ เปน็ ฟังกช์ ันพหุนาม

จะไดว้ ่า

สาหรบั จานวนจรงิ ใดๆ ท่ี
9. ครูยกตัวอยา่ งเพ่มิ เติมเกีย่ วกับทฤษฎบี ทเก่ยี วกับลมิ ิตทเ่ี ป็นฟังก์ชันพหุนาม ดังน้ี

ตัวอย่างที่4 ใหห้ าคา่ ของ

วิธที า กาหนดให้ และ

เมือ่ แทน จะสามารถหาค่าของ และ ได้ดงั น้ี

และ

ดังนนั้ เป็นฟังก์ชนั ตรรกยะ ซงึ่ ไม่นิยามที่

แตเ่ ราจะสามารถหาค่าของ เมอื่ เขา้ ใกล้ 4 ไดโ้ ดยการจดั รปู ดังน้ี

เนือ่ งจาก เม่อื

ดังน้นั

ตวั อย่างที่5 ให้หาคา่ ของ √

วิธที า กาหนดให้ √ √ และ
และ
ได้ดงั น้ี เมื่อแทน จะสามารถหาค่าของ

√ และ
ดังนัน้ เป็นฟงั ก์ชนั ซ่ึงไมน่ ยิ ามที่
แต่เราจะสามารถหาคา่ ของ เม่ือ เขา้ ใกล้ 1 ได้โดยการจัดรปู

24

และเน่ืองจาก √ และมีรากเท่ากับ 2 เม่ือนามาจัดรูปจึง

ต้องนาสังยุคมาคูณทัง้ ตัวเศษและตัวสว่ น เพื่อใหต้ วั เศษเป็นฟังกช์ ันพหนุ าม ดงั น้ี

√ √√
√

√

√

√

√

√

ดังนนั้ √

ขน้ั สรุป
10. ครูและนักเรียนร่วมกันทบทวนทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของฟังก์ชันพหุนาม โดยให้โจทย์

กบั นักเรยี นทาลงสมุดและส่มุ ตวั แทนออกมาแสดงวิธีทาหนา้ ชนั้ เรียน

โจทย์ ให้หาค่าของ √

วิธีทา กาหนดให้ √ √ และ

เม่ือแทน จะสามารถหาค่าของ และ ไดด้ งั นี้

√ และ

ดังน้ัน เปน็ ฟังกช์ ัน ซงึ่ ไม่นยิ ามท่ี

แตเ่ ราจะสามารถหาค่าของ เม่อื เขา้ ใกล้ 4 ได้โดยการจัดรูป ดังน้ี

เนอ่ื งจาก √ √ เมือ่ √ √
√√

√

ดังนั้น √

25

ชั่วโมงที่3
ขนั้ นา

11. ครแู ละนกั เรยี นร่วมกนั ทบทวนทฤษฎบี ทเก่ยี วกับลมิ ติ ของฟังกช์ นั พหนุ าม ดงั นี้
ทฤษฎีบท 3 ให้ เป็นพหุนาม และ เป็นจานวนจรงิ ใดๆ จะได้วา่

ทฤษฎบี ท 4 ให้ เปน็ ฟงั กช์ ันท่ี เมอ่ื และ เปน็ ฟงั กช์ นั พหุนาม
จะได้วา่

สาหรับจานวนจริง ใดๆ ท่ี

ข้นั สอน

12. ครูกล่าวเพ่ิมเติมเกี่ยวกับทฤษฎีบทของลิมิตของฟังก์ชันว่า “การหาลิมิตของฟังก์ชันบาง

ฟงั ก์ชนั นน้ั อาจทาได้โดยการหาลมิ ติ ซ้ายและลมิ ติ ขวาของฟังก์ชัน และใชเ้ กณฑก์ ารตรวจสอบดงั น้ี”

ในกรณที ่ี และ มคี า่

จะได้วา่ กต็ อ่ เมอ่ื

13. ครูยกตัวอย่างเพ่ิมเติมเก่ียวกับการหาลิมิตของฟังก์ชันโดยการหาลิมิตซ้ายและลิมิตขวา

ดังน้ี

ตวั อย่างที่6 กาหนด { เมอื่ จงหาคา่ ของ
เมอ่ื

วธิ ีทา เนื่องจาก เมอื่

จะไดว้ า่

และเนื่องจาก เม่ือ
จะไดว้ า่

จะเห็นวา่ หาคา่ ไมไ่ ด้
ดงั น้ัน

26

ตวั อยา่ งท่ี7 ให้หาคา่ ของ ||
วิธที า เน่ืองจาก | |
เมอื่
จะได้ |
|

และเนื่องจาก | | เมอื่

จะได้ จะได้ ||

จะเห็นได้ว่า |
ดงั นั้น |

ขั้นสรปุ
14. ครูและนักเรียนร่วมกนั สรุปเกยี่ วกับทฤษฎีบททงั้ หมดท่ีเกีย่ วกับลิมติ ของฟังกช์ นั
ทฤษฎีบท 1 ให้ เปน็ จานวนจริง จะไดว้ า่
1. เม่อื เปน็ ค่าคงตัวใดๆ
2. เม่อื

ทฤษฎีบท 2 กาหนดให้ และ เป็นาจนวนจริงใดๆ ถ้า และ เป็นฟังก์ชันที่มี

โดเมนและเรนจ์เปน็ สบั เซตของจานวนจริง โดยที่ และ แลว้

1) เมือ่ เปน็ คา่ คงตวั ใดๆ

2) ( )

3) ( )

4) ( )

5) ( ) เมอื่

6) เมอ่ื

7) √ √ √ เมือ่ {}√

สาหรับ ทีเ่ ข้าใกล้ และ √

27

ทฤษฎีบท 3 ให้ เปน็ พหนุ าม และ เป็นจานวนจรงิ ใดๆ จะไดว้ า่

ทฤษฎบี ท 4 ให้ เปน็ ฟงั กช์ นั ที่ เม่ือ และ เป็นฟงั ก์ชันพหนุ าม
จะได้วา่

สาหรับจานวนจรงิ ใดๆ ที่

15. ครูให้นักเรียนทาแบบฝึกหัด 2.1ข ข้อ 1 ใหญ่ ข้อ 1, 3, 5, 7, 9 ข้อ 2 ใหญ่ ข้อ 2, 3
และขอ้ 3 ใหญ่ ลงในสมุดเพื่อตรวจสอบความเขา้ ใจรายบคุ คล

การวัดและประเมนิ ผลการเรยี นรู้

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ เครอื่ งมอื วธิ กี ารประเมิน เกณฑ์การประเมนิ
นักเรียนสามารถอธิบายทฤษฎบี ท แบบฝึกหัด 2.1ข ตรวจแบบฝกึ หัด 2.1ข ผา่ นเกณฑ์ร้อยละ 75
ข้อ 1 ใหญ่ ขอ้ 1, 3, 5, 7, 9 ขอ้ 1 ใหญ่ ข้อ 1, 3, 5,
ของลมิ ติ ได้ (K) ข้อ 2 ใหญ่ ข้อ 2, 3 7, 9 ข้อ 2 ใหญ่ ขอ้ 2, 3 ผ่านเกณฑร์ ้อยละ 75
และข้อ 3 ใหญ่
นกั เรยี นสามารถใช้ทฤษฎบี ท แบบฝึกหดั 2.1ข และข้อ 3 ใหญ่ ผ่านเกณฑ์
เกย่ี วกับลมิ ติ แสดงวิธีการหาค่า ขอ้ 1 ใหญ่ ขอ้ 1, 3, 5, 7, 9 ตรวจแบบฝกึ หัด 2.1ข การประเมิน
ข้อ 2 ใหญ่ ข้อ 2, 3 ขอ้ 1 ใหญ่ ข้อ 1, 3, 5, ทง้ั 2 รายการ
ลิมิตได้ (P) และข้อ 3 ใหญ่ 7, 9 ขอ้ 2 ใหญ่ ข้อ 2, 3 ผา่ นเกณฑ์
แบบสังเกตพฤติกรรม การประเมนิ
นกั เรียนมคี วามตง้ั ใจและ และข้อ 3 ใหญ่ ทั้ง 2 รายการ
รับผดิ ชอบตอ่ งานที่ไดร้ บั แบบสังเกตพฤติกรรม สงั เกตพฤตกิ รรม

มอบหมาย (A) สังเกตพฤตกิ รรม
นักเรียนมคี วามมุมานะในการทา
ความเข้าใจปัญหาและแก้ปญั หา

ทางคณิตศาสตร์ (A)

28

สอ่ื /แหล่งการเรยี นรู้
สอ่ื การเรยี นรู้

1. หนังสือรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ ม.6 เล่ม 1 หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 เร่ือง แคลคูลัส
เบอื้ งต้น

2. แบบฝึกหดั แบบฝกึ หัด 2.1ข ข้อ 1 ใหญ่ ข้อ 1, 3, 5, 7, 9 ข้อ 2 ใหญ่ ข้อ 2, 3 และข้อ 3
ใหญ่

3. วดิ ีโอการสอน เร่อื ง แคลคลู ัสเบื้องต้น จาก https://proj14.ipst.ac.th
4. เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคลู สั เบ้อื งต้น

แหลง่ การเรียนรู้
1. หอ้ งเรยี น
2. หอ้ งสมดุ
3. อินเตอร์เน็ต

29

บันทกึ หลังการสอน

เ ยวดา้ นความรู้ (K)

ษ……………ก…เ…ย…น……ก…ค…น…ส…า…มา…ร…ถอ……บ…าย……………บ……………บ…ท…ข…อง………ตไ…………ก …อ…ง……าน…เ…ก…ณ……อ…ย…ล…ะ …75…

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

. ดา้ นทักษะกระบวนการ (P)

ษ ไป…………ก…เ……ยน……ก…ค……น…สา…ม…า…รถ……เ …ย…น…แ…ส…ด…ง………ก…า…รห……า…ง…โ…ด……ย…ใ………………บ…ท………น……ง……า…นเ…ก…ณ

…อ…ย…ล…ะ……7…5……………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

คณุ ลักษณะอนั พึงประสงค/์ เจตคติ (A)

…………ก…เ……ย…น……ก…ค…น……ค…วา…ม……ม…า…น…ใ…น……กา…ร……ค…ว…า…ม…เ …า…ใจ…แ…ละ…แ…โ…จ…ท…………ญ…ห…า……………ห…น…ดใ……

…น……ะ …ค…ว…า…ม …บ……ด…ช…อ…บ………อ…งา…น…………ม…อ…บ…ห……า…ใ……………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

สมรรถนะสาคัญผ้เู รียน (C)

……………ก…เ…ย…น……ค…ว…า…ม…สา…ม…า…ใ…น……ก…าร……ด…ล…า…เ…ย…น…แ…ส…ด…ง………ก…าร…แ…โ…จ…ท…………………ห…น…ด…ห…ไ………

…น…ะ…ส…า…มา…ร…ถ…อ…บ…า…ย………………ต…น…เ…อง…น……คง…ไ………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ปัญหาอุปสรรค/ขอ้ เสนอแนะอื่นๆ

ทฤษ…………ก…เ…ย…น…บ…า…ง…ค…น……งไ………ส…าม…า…ร…ถ…า……………บ…ท……เ …ย…ว …บ…………ต…ใ………ใ…น…ก…า…รห…า……า…ขอ…ง……ไต……

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

TE.

ลงชอ่ื ……………………………………(ผสู้ อน)
(นายธีรเทพ ชูศรีโสม)

วันที่ …1…5………งห…า…ค…ม……2…5…6…5…

ิส้ดิมิล่ค้ชิมิลัก่ีกีฎํน่มัยีรัน้ด่ีทำทีธิวิธ้ดำกูศ่ีท์ยีธิวีขิคีมีรัน้หูศ่ีท่ติผัรีม้หำกูญ่ีทัป์ย้ก้ขำทุมีมุทีรัน้ร์ฑ่ยีฎุท้ชีธิวีขุทีรัน้ร์ฑ่ผ้ตูถ้ดิมิลีฎุทัก่ีกิธุทีรัน

30

31

แบบประเมินพฤติกรรมการเรียนรู้ ด้านความรู้ ทกั ษะกระบวนการ และคุณลกั ษณะอันพงึ ประสงค์
แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 13 เรือ่ ง ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต ช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี 6

เลขที่ ชอื่ - สกลุ ความรู้ ทักษะกระบวนการ คณุ ลักษณะ หมายเหตุ
ของผู้รับการประเมนิ 2 ระดบั 3 ระดับ อันพึงประสงค์
3 ระดบั

1 1ใ 2 2

ใ2 1 พอ 2 2

3 ใ1 พอ ะ r

4 ใ1 พอ 2 2

5 ใ1 พอ 2 2

6 เมอใ 2 2

7 1 3 เ ยม 3 เ ยม

8 2 3 เ ยม 3 เ ยม
9 2 3 เ ยม 3 เ ยม
10 1 3 เ ยม 3 เ ยม
11 ใ1 พอ
2 2

12 ใ1 พอ 2 2

13 2 3 ผํ่ย 3 น

14 2 3 เ ยม 3 เ ยม
15
1 ใพอ 2 2

16 2 3 น 3 เ อม
17
1 ใพอ 2 2

18 1 3 เ ยม 3 เ ยม

19 2 3 เ ยม 3 เ ยม

20 2 3 เ ยม 3 เ ยม
21 2 3 เ ยม 3 เ ยม
22 2 3 เ ยม 3 เ ยม
23 2 3 เ ยม 3 เ ยม
24 2 3 เ ยม 3 เ ยม
25 2 3 เ ยม 3 เ ยม

่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีดีดีด้ชือีด่ือีดีดีดีด้ช่ียีด่ียีดีดัฝีดีดีดีดีด้ชีดีด้ช่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีดีดีด้ชีดีด้ชีดีด้ชีดีด้ชีดีด้ชีดีด่ช

32

เลขท่ี ช่ือ - สกลุ ความรู้ ทกั ษะกระบวนการ คุณลกั ษณะ หมายเหตุ
ของผ้รู ับการประเมิน อนั พึงประสงค์

2 ระดับ 3 ระดับ 3 ระดับ

26 2 3 เ ยม 3 เ ยม
27
28 2 3 เ ยม 3 เ ยม
29
30 2 3 ยม 3 ยม
31
32 2 3 เ ยม 3 เ ยม
33
34 2 3 เ ยม 3 เ ยม
35
36 ใ1 พอ 2 2 เ ยม
37
38 2 3 เ ยม 3
39
2 3 เ ยม 3 เ ยม
รวม
เฉลีย่ 2 3 เ ยม 3 เ ยม
จานวนนกั เรียนทผี่ ่าน
รอ้ ยละนักเรียนทผ่ี า่ น ยา2 3 เ ยม 3
3 เ ยม 3 เ ยม

ข 3 เ ยม 3 เ อม

2 3 เ ยม 3 เ ยม

2 3 เ ยม 3 เ ยม

67 106 แ

1.72 2.71 2.72

39 39 39

10อ µg เออ

&ลงชือ่ .................................................................................ผปู้ ระเมิน

(นายธรี เทพ ชูศรโี สม)

วนั ที่......1..5...............เดือน.........ง...ห.....า...ค.....ม.............พ.ศ....2....5.....6...5.....

ิส่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีดือีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีดีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีดีดีด้ช่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ีหีด่ีหีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด

33

ตงั บ่งช้ี เกณฑก์ ารใหค้ ะแนนด้านความรู้
การตอบคาถามใน ระดบั คณุ ภาพ/ระดบั คะแนน

ห้องเรียน 2 : ดี 1 : พอใช้ 0 : ปรับปรงุ

นกั เรยี นมีความรู้ความ นักเรียนมีความพยายามตอบ นักเรยี นไม่ตอบคาถามใน
ห้องเรียน
เข้าใจสามารถตอบคาถาม คาถามทคี่ รถู ามได้ถูกตอ้ ง

ท่ีครถู ามได้ถูกต้อง บางสว่ น

หมายเหตุ ผา่ น หมายถึง นกั เรยี นทาคะแนนไดเ้ ฉลย่ี ร้อยละ 70 ข้ึนไป
ไมผ่ ่าน หมายถึง นกั เรียนทาคะแนนได้ต่ากวา่ เฉลย่ี ร้อยละ 70 ขึ้นไป

เกณฑ์การให้คะแนนดา้ นทกั ษะ/กระบวนการทางคณิตศาสตร์

ทกั ษะ/กระบวนการความสามารถในการแกป้ ญั หาในการเรียนคณิตศาสตรไ์ ด้

คะแนน:ระดบั คุณภาพ ความสามารถในการแกป้ ญั หาในการเรยี นคณิตศาสตรไ์ ด้

3 : ดีเย่ียม สามารถแก้ปัญหาทางคณิตศาสตรไ์ ดถ้ กู ต้องครบถว้ น

2 : ดี สามารถแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ไดถ้ ูกต้องบางสว่ น

1 : พอใช้ มีความพยายามในการแก้ปญั หาทางคณติ ศาสตร์

0 : ปรับปรงุ ไม่มีความพยายามในการแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์

เกณฑ์การประเมิน อยู่ในระดับ ดี ถือว่า ผา่ น

34

ตงั บง่ ชี้ เกณฑ์การให้คะแนนด้านคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค์
การตอบ ระดบั คณุ ภาพ/ระดับคะแนน
คาถามใน
ห้องเรียน 3 : ดมี าก 2 : ดี 1 : กาลงั พฒั นา 0 : ต้องปรบั ปรงุ

มคี วามตง้ั ใจและ มีความตง้ั ใจและพยายาม มคี วามตั้งใจและ ไมม่ ีความตง้ั ใจและ
พยายามในการ
พยายามในการ ในการแก้ปญั หาทาง พยายามในการ แกป้ ญั หาทาง
คณิตศาสตร์ที่
แกป้ ญั หาทาง คณิตศาสตร์ที่กาหนดให้ แก้ปญั หาทาง กาหนดให้ ไมม่ ีความ
อดทนและท้อแทต้ ่อ
คณติ ศาสตร์ท่กี าหนดให้ แตไ่ ม่มคี วามอดทนและ คณิตศาสตร์ท่ีกาหนดให้ อปุ สรรคจนทาให้
แก้ปัญหาทาง
มีความอดทนและไม่ ทอ้ แทต้ อ่ อุปสรรคจนทา แตไ่ ม่มีความอดทนและ คณิตศาสตร์ท่ี
กาหนดใหไ้ ดไ้ ม่
ท้อแท้ตอ่ อุปสรรคจนทา ให้แก้ปัญหาทาง ทอ้ แทต้ อ่ อปุ สรรคจนทา
สาเรจ็
ใหส้ ามารถแกป้ ัญหาทาง คณิตศาสตร์ทกี่ าหนดให้ ให้แกป้ ญั หาทาง

คณิตศาสตร์ทก่ี าหนดให้ ไดไ้ มส่ าเร็จเล็กน้อย คณิตศาสตร์ที่กาหนดให้

ได้สาเร็จ ไดไ้ ม่สาเรจ็ เป็นสว่ น

ใหญ่

เกณฑ์การประเมิน อยู่ในระดับ ดี ถอื ว่า ผ่าน

35

แบบฝกึ หัด 2.1ข

1. จงหาลมิ ติ ตอ่ ไปนี้ ถา้ ลิมิตมีค่า
1)
3)
5)
7)
9) √

2. จงหาลมิ ิตตอ่ ไปน้ี ถ้าลมิ ิตมีค่า
2) | |
3) | |

3. กาหนดให้

{ เมอ่ื
เมอื่
จงหาลมิ ิตตอ่ ไปน้ี ถา้ ลมิ ิตมีคา่

1)

2)

3)

4)

5)

36

เฉลยแบบฝกึ หดั 2.1ข

1. 1)

3)

5) เนื่องจาก
จะได้วา่

7) เนอ่ื งจาก
จะได้ว่า

9) เนอ่ื งจาก จึงไมส่ ามารถใช้ทฤษฎบี ท 2 ขอ้ 5 ได้โดยตรง

จัดรูปแบบฟงั กช์ นั ใหม่ ดังน้ี

√√

√√

เม่อื

√

ดังนน้ั √ √ √√

37

2. 2) เน่อื งจาก | | เมอ่ื
จะได้ | | เมอื่
และเนอื่ งจาก | |
จะได้ | | เมื่อ
จะเหน็ ไดว้ า่
ดงั นั้น | | ไม่มคี ่า

3) เนือ่ งจาก | |
จะได้ | |

3. 1) เม่อื จะได้ว่า
ดงั น้นั

2) เมื่อ จะไดว้ ่า
ดงั นัน้

3) จาก 1) และ 2) จะไดว้ า่
ดังนนั้ ไมม่ ีค่า

4) เมื่อ เขา้ ใกล้ 0 จะได้วา่
และ
ดังนั้น

5) เมอ่ื เขา้ ใกล้ 5 จะไดว้ า่
และ

ดังนนั้

38

แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 14 ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 6
รายวิชาเสริมทักษะคณิตศาสตร์ รหสั วิชา ค33201 ภาคเรียนท่ี 1/2565
หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี 2 แคลคลู สั เบอื้ งตน้ เวลาเรียน 2 ช่ัวโมง
เรอ่ื ง ความต่อเนอื่ งของฟงั ก์ชัน โรงเรียนอดุ รพฒั นาการ
ผู้สอน นายธีรเทพ ชูศรีโสม

ผลการเรยี นรู้
1. ตรวจสอบความต่อเนื่องของฟังกช์ นั ที่กาหนดให้
2. หาอนพุ ันธข์ องฟังก์ชนั พีชคณิตที่กาหนดใหแ้ ละนาไปใช้แก้ปัญหา
3. หาปริพนั ธไ์ มจ่ ากัดเขตและจากดั เขตของฟังก์ชันพีชคณติ ที่กาหนดให้และนาไปใช้

แกป้ ญั หา

จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้
1. นกั เรียนสามารถอธิบายความต่อเนื่องของฟังก์ชนั ได้ (K)
2. นักเรยี นสามารถแสดงวิธีการหาความต่อเนื่องของฟงั กช์ ันได้ (P)
3. นักเรยี นมคี วามต้ังใจและรับผิดชอบต่องานทีไ่ ด้รับมอบหมาย (A)
4. นกั เรียนมีความมุมานะในการทาความเข้าใจปัญหาและแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ (A)

สาระสาคญั

สาหรับฟังก์ชัน ใด ๆ ที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจานวนจริง ให้ฟังก์ชัน เป็น

ฟังก์ชันต่อเน่ืองท่ีจุด ก็ต่อเมื่อ หาค่าได้ หาค่าได้ และ

ถ้าขาดสมบัติเพียงข้อเดียว ถือวา่ ไมเ่ ปน็ ฟังกช์ ันตอ่ เนอ่ื งท่ี

สมรรถนะสาคัญของผูเ้ รียน
1. ความสามารถในการคิด
2. ความสามารถในการส่อื สาร
3. ความสามารถในการแก้ปญั หา

39

กิจกรรมการเรยี นรู้

ขนั้ นา

1. ครูทบทวนความรู้เก่ียวกบั การหาค่าลมิ ิตของฟังก์ชัน และการหาค่าของฟงั กช์ ันวา่ มคี วาม
แตกตา่ งกันโดยการยกตัวอยา่ ง ดงั นี้

ตวั อยา่ งท1่ี กาหนดให้ ใหน้ กั เรยี นหาค่า และ
วิธีทา หาได้โดยแทน ใน

จะได้วา่
ดังน้นั หาคา่ ไม่ได้ เพราะส่วนเทา่ กบั ศูนย์

ดงั นน้ั
2. ครอู ธบิ ายเพิ่มเติมว่า “การแยกตัวประกอบและการตดั ทอน กรณกี ารหาคา่ ลิมิตได้ เพราะ
มคี า่ เข้าใกล้ 2 เพราะฉะน้นั แล้วค่าของตวั สว่ นจึงไม่ใช่ศูนย์ ซ่ึงแตกต่างจากกรณี ค่าของตัวส่วน
มีค่าเท่ากับศูนย์ ทาให้หาค่าไม่ได้ การหาค่าลิมิตของฟังก์ชัน และการหาค่าของฟังก์ชัน แม้จะมีวิธี
คลา้ ยคลึงกัน แต่มีความแตกตา่ งกัน”

ข้นั สอน
3. ครอู ธบิ ายความหมายของความต่อเนื่องของฟังก์ชัน โดยพิจารณาจากกราฟ ดังนี้

จากกราฟของฟังกช์ ัน ทั้งสองกราฟจะเหน็ ว่า หาคา่ ได้ ( นิยามที่ ) แต่
ไมม่ ีค่า เนอื่ งจากไมม่ ีจานวนจรงิ ใดๆ ซงึ่ เม่ือ เขา้ ใกล้ แลว้ ทาให้ เข้าใกล้จานวนจริงน้ัน

40

จากกราฟของฟังกช์ นั จะเห็นวา่ หาคา่ ได้ ( นยิ ามท่ี ) และ มีค่า
แต่ แตถ่ า้

จะเรยี กกราฟของฟังกช์ นั ท้ัง 3 ฟังกช์ นั วา่ เปน็ ฟังกช์ นั ไม่ต่อเน่ืองที่
เมอ่ื จะได้กราฟดังน้ี

จากกราฟของฟังก์ชัน จะเห็นว่า หาค่าได้ ( นิยามที่ ) และ มีคา่

และ ในลักษณะเช่นนีจ้ ะเรยี กฟังกช์ ัน วา่ เปน็ ฟงั กช์ ันตอ่ เนื่องที่

4. ครูอธบิ ายบทนิยามเกยี่ วกับฟงั ก์ชันต่อเนอ่ื งพร้อมยกตัวอย่าง ดังนี้

บทนิยาม 1 ให้ เปน็ ฟงั ก์ชันซ่ึงนิยามบนช่วงปิด และ จะกล่าวว่า

เป็นฟงั ก์ชันต่อเนื่อง (continuous function) ท่ี กต็ ่อเมื่อ

จากบทนยิ าม 1 ถา้ เป็นฟังก์ชนั ต่อเนอ่ื งท่ี ตอ้ งมีสมบัตคิ รบทงั้ สามข้อต่อไปน้ี

1. หาค่าได้ (นั่นคือ อยูใ่ นโดเมนของ )

2. มีคา่

3.

41

ตวั อย่างท่ี2 กาหนดให้ { เมอ่ื

เมือ่
จงพจิ ารณาวา่ ฟังกช์ นั ต่อเนอ่ื งที่ หรือไม่

วิธีทา จากฟงั กช์ ัน ที่กาหนด จะได้

และ

เนอื่ งจาก

ดังน้นั ฟงั ก์ชนั เปน็ ฟังก์ชนั ต่อเนอื่ งท่ี

5. ครอู ธิบายทฤษฎีบทเกีย่ วกับความตอ่ เน่ืองของฟงั ก์ชนั พรอ้ มยกตัวอย่าง ดังน้ี

ทฤษฎีบท5 ถา้ และ เปน็ ฟังก์ชันต่อเน่ืองที่ แล้ว

1. เปน็ ฟังกช์ นั ต่อเนื่องท่ี

2. เป็นฟังก์ชนั ตอ่ เนื่องท่ี

3. เปน็ ฟงั ก์ชันต่อเนื่องที่

4. เปน็ ฟงั ก์ชนั ต่อเนื่องที่ เม่อื

ทฤษฎีบท6 สาหรับจานวนจรงิ ใดๆ ฟงั กันพหนุ าม เปน็ ฟังกช์ นั ตอ่ เนื่องที่

ทฤษฎีบท7 ถ้า เป็นฟงั กช์ ันที่ เมื่อ และ เปน็ ฟงั ก์ชันพหุนาม แลว้

เปน็ ฟังกช์ นั ต่อเนื่องที่ เมือ่ เป็นจานวนจรงิ ใดๆ ซงึ่

ตัวอย่างที่3 กาหนดให้

จงพิจารณาว่าฟงั ก์ชนั เป็นฟังกช์ นั ต่อเนอื่ งท่ี หรอื ไม่

วิธีทา ให้ และ

ดงั น้ัน ซ่งึ ไม่เทา่ กบั 0
เนอ่ื งจาก และ เปน็ ฟังกช์ ันพหุนาม และ
ดงั นัน้ เป็นฟังก์ชนั ต่อเนือ่ งท่ี

42

ข้ันสรุป

6. ครูและนกั เรยี นร่วมกนั สรุปเก่ียวกบั ความต่อเนื่องของฟังก์ชนั บนจดุ ดังน้ี

ถา้ เป็นฟังก์ชนั ต่อเน่ืองที่ ตอ้ งมสี มบัติครบทง้ั สามข้อตอ่ ไปนี้

1. หาค่าได้ (นนั่ คือ อยูใ่ นโดเมนของ )

2. มคี ่า

3.

ช่วั โมงที่2

ขน้ั นา

7. ครูและนักเรยี นร่วมกนั ทบทวนความตอ่ เน่ืองของฟังกช์ ันบนจดุ โดยครูใช้คาถามกระตุ้น

ความคดิ ดังน้ี

“ถา้ เปน็ ฟังกช์ ันต่อเน่ืองท่ี ตอ้ งมสี มบัติอะไรบ้าง”

แนวคาตอบ 1. หาคา่ ได้ (นน่ั คือ อยู่ในโดเมนของ )

2. มีคา่

3.

ข้ันสอน
8. ครูอธบิ ายความหมายของความตอ่ เน่ืองของฟงั ก์ชนั บนชว่ งพร้อมยกตวั อยา่ ง ดังนี้
1. ฟงั ก์ชัน เปน็ ฟงั กช์ ันตอ่ เนื่องบนชว่ ง ก็ต่อเมื่อ
1) เปน็ ฟงั กช์ นั ต่อเนื่องท่ีทกุ จุดในช่วง
2) และ
2. ฟังก์ชัน เป็นฟงั ก์ชันต่อเน่ืองบนช่วง กต็ ่อเมอ่ื
1) เป็นฟังกช์ ันตอ่ เนื่องที่ทกุ จุดในช่วง
2)
3. ฟังกช์ นั เปน็ ฟังก์ชันตอ่ เน่ืองบนชว่ ง ก็ต่อเมือ่
1) เป็นฟงั กช์ ันตอ่ เน่ืองท่ีทุกจุดในช่วง
2)

43

ตัวอยา่ งที่4 กาหนดให้ √

จงแสดงว่าฟงั ก์ชนั เปน็ ฟังก์ชันต่อเนื่องบนชว่ ง

วธิ ที า ให้ เปน็ จดุ ใดๆ ในชว่ ง

เนื่องจาก จะไดว้ ่า หรือ ดังนั้น √

จะไดว้ ่า นิยามท่ี และ √

และจะได้ √

√

√

ดงั นั้น

สรุปได้ว่า เปน็ ฟังก์ชนั ต่อเน่ืองบนช่วง

ตอ่ ไปจะแสดงว่า และ
เน่ืองจาก
√

√

และ
จะได้
และ √

√

และ
จะได้
ดังนัน้ ฟงั ก์ชนั เปน็ ฟงั กช์ ันต่อเนอ่ื งบนช่วง

ข้นั สรปุ

9. ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปเก่ียวกับความต่อเนื่องของฟังก์ชันบนจุดและความต่อเน่ือง

ของฟังก์ชนั บนชว่ ง ดังนี้

ถ้า เป็นฟงั ก์ชนั ตอ่ เน่ืองที่ ต้องมสี มบัติครบท้งั สามข้อตอ่ ไปน้ี

1. หาค่าได้ (น่นั คือ อยใู่ นโดเมนของ )

44

2. มคี ่า
3.

ความหมายของความตอ่ เนื่องของฟงั ก์ชัน
1. ฟังก์ชัน เปน็ ฟังก์ชนั ตอ่ เนื่องบนชว่ ง ก็ตอ่ เมอื่
1) เป็นฟงั กช์ นั ตอ่ เนื่องท่ีทุกจุดในชว่ ง
2) และ
2. ฟังก์ชัน เปน็ ฟงั กช์ ันตอ่ เนื่องบนชว่ ง กต็ ่อเมอื่
1) เป็นฟงั ก์ชนั ตอ่ เน่ืองท่ีทกุ จุดในชว่ ง
2)
3. ฟังก์ชนั เป็นฟังกช์ นั ต่อเนื่องบนชว่ ง กต็ ่อเมื่อ
1) เปน็ ฟงั กช์ นั ตอ่ เนื่องท่ีทกุ จุดในช่วง
2)

10. ครูให้นักเรียนทาแบบฝึกหัด 2.2 ข้อ 1 ใหญ่ ข้อ 1, 2 และข้อ 3 ใหญ่ เป็นการบ้าน
เพ่อื ตรวจสอบความเขา้ ใจรายบคุ คล

45

การวัดและประเมินผลการเรียนรู้

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ เคร่ืองมอื วิธีการประเมิน เกณฑ์การประเมนิ
นกั เรยี นสามารถอธิบายทฤษฎีบท แบบฝกึ หดั 2.2 ตรวจแบบฝึกหัด 2.2 ผา่ นเกณฑ์ร้อยละ 75
ขอ้ 1 ใหญ่ ข้อ 1, 2 ข้อ 1 ใหญ่ ขอ้ 1, 2
ของลิมิตได้ (K) และข้อ 3 ใหญ่ ผา่ นเกณฑร์ ้อยละ 75
แบบฝึกหัด 2.2 และข้อ 3 ใหญ่
นักเรยี นสามารถใช้ทฤษฎบี ท ขอ้ 1 ใหญ่ ขอ้ 1, 2 ตรวจแบบฝกึ หดั 2.2 ผ่านเกณฑ์
เกย่ี วกบั ลมิ ติ แสดงวิธกี ารหาค่า และข้อ 3 ใหญ่ ขอ้ 1 ใหญ่ ข้อ 1, 2 การประเมิน
แบบสังเกตพฤติกรรม ทง้ั 2 รายการ
ลมิ ิตได้ (P) และข้อ 3 ใหญ่ ผ่านเกณฑ์
นักเรียนมคี วามตั้งใจและ แบบสังเกตพฤติกรรม สงั เกตพฤติกรรม การประเมนิ
รับผดิ ชอบต่องานที่ได้รับ ทงั้ 2 รายการ
สงั เกตพฤติกรรม
มอบหมาย (A)
นกั เรยี นมคี วามมมุ านะในการทา
ความเข้าใจปัญหาและแกป้ ัญหา

ทางคณิตศาสตร์ (A)

สอ่ื /แหลง่ การเรียนรู้
ส่อื การเรยี นรู้

1. หนังสือรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.6 เล่ม 1 หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 เร่ือง แคลคูลัส
เบือ้ งต้น

2. แบบฝึกหดั แบบฝกึ หดั แบบฝกึ หดั 2.2 ข้อ 1 ใหญ่ ขอ้ 1, 2 และข้อ 3 ใหญ่
3. วิดโี อการสอน เรื่อง แคคลู สั เบ้อื งต้น จาก https://proj14.ipst.ac.th
4. เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลสั เบื้องตน้

แหล่งการเรยี นรู้
1. หอ้ งเรยี น
2. หอ้ งสมดุ
3. อนิ เตอรเ์ น็ต

46

บันทึกหลังการสอน

ดา้ นความรู้ (K)

……อ……ย……ล……ะ……ก7……5……เ ……ย……น…………ก…………ค……น……ส……า……ม……า……รถ…………อ……บ……า……ย……ค……ว……า……ม…………อ……เ…………อ……ง……ขอ……ง…………ง……………………นไ………………ม…………ม…………า……น……า……น…………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

. ด้านทักษะกระบวนการ (P)

……………ก…เ…ย…น……ก……ค…น…ส…า…ม…าร…ถ…เ……ย…น…แ…ส……ด…ง………ก…าร…ห…า…ค…ว…า…ม……อ…เ…อ…ง…ข…ง…ง …ง………น…ไ……ก……อง

……า…น…เก…ณ………อ…ย…ล…ะ……7…5…………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

โจท…………ก…ค…เุณ…ยล…นกั …ษ…ณค…ะว…อา…ันมพ…ึง…มป…าร…นะส…ะใง…คน…/์ เ…กจา…ตรค…ต…ิ …(คA…ว)า…ม…เ…า…ใ…จ…แ…ล…ะ …แ………………ญ…ห…า…ท…d………ห…น…ดใ………ไ…

……น…ะ……ค…วา…ม…บ……ด…ช…อ…บ……อ…งา…น…………ม…อ…บห…ม…า…ใ………อ …ใ…น…ร…ะ…บ………ง…ม…า…ก……………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

สมรรถนะสาคญั ผู้เรยี น (C)

…………ก…เ……ยน……ค…ว…า…ม…สา…ม…าร…ถใ…น……กา…ร…ด…แ…ล…ะ…แ…กโ…จ…ท………ญ…ห…า ………ห…น…ใ……ไ………น…ะ…ส…าม…า…รถ…อ…บ…า…ย……

……………ต…น…เอ…ง…ง……ไ…………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ปญั หาอุปสรรค/ขอ้ เสนอแนะอนื่ ๆ

…………ก…เ …ย…นบ…า…งค…น……ง…ไ……ส…าม…า…รถ…แ…ส…ดง………กา…รห…า…ค…ว…าม……อ…เ…อ…ง…ขอ…ง……ง……น…ไ…………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Eiลงชอ่ื ……………………………………(ผูส้ อน)

(นายธีรเทพ ชูศรีโสม)
วนั ที่ …1…8………งห…า…ฒ………2…56…5……

ิส้ดัช์กัฟ่ืน่ตีธิว่มัยีรัน้ด่ีทำทีธิวิธ้ด้หำกูศ่ีทัป์ยิคีมีรันีดึถีดัดู่ย้หูศ่ีท่ติผัรีม้ด้หำกูศัป์ย้ขำทุมีมีรัน้ร์ฑ่ผ้ตูถ้ดักัฟ่ืน่ตีธิวีขุทีรัน้ร์ฑำน้ดัช์กัฟ่ืน่ติธุทีรัน