แผนการจัดการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 เรื่อง แคลคูลัสเบื้องต้น

197

- ค่านอ้ ยทสี่ ดุ จากขอ้ 2) และขอ้ 3) เป็นคา่ สงู สุดสมั บูรณ์ของฟงั ก์ชนั f

ข้ันทดสอบยอ่ ย/ประเมินผลกจิ กรรมกลุม่

7. ครูให้นักเรียนแต่ละกลุ่มทาใบกิจกรรมที่ 9 เรื่อง ค่าสูงสุดและค่าต่าสุดสัมบูรณ์ โดยให้
เวลานักเรียนร่วมกันแสดงวิธีหาคาตอบ แลกเปล่ียนความคิดเห็น และช่วยเหลือกัน ซ่ึงครูจะเป็นผู้
ช่วยเหลือและตั้งคาถามกระตุ่นให้แต่ละกลุ่มคิดหาคาตอบ และเมื่อทุกกลุ่มหาคาตอบได้แล้ว ครูสุ่ม
สมาชกิ ของแตล่ ะกลุม่ ออกมาอธิบายขน้ั ตอนการแก้ปัญหาแตล่ ะข้อเพอ่ื เก็บคะแนนกลมุ่

8. ครูเกบ็ กระดาษคาตอบเพื่อนาไปตรวจให้คะแนน จากน้ันนาคะแนนของสมาชิกในกลุ่มมา
รวมกันแล้วหาค่าเฉลยี่ เพือ่ ประกาศคะแนนของกลุ่มในคาบถดั ไป

การวัดและประเมินผลการเรียนรู้

จุดประสงค์การเรียนรู้ เครอื่ งมอื วิธกี ารประเมนิ เกณฑ์การประเมนิ
นักเรยี นสามารถอธบิ ายการหา ใบกิจกรรมที่ 9 ตรวจใบกิจกรรมที่ 9
คา่ สงู สุดและคา่ ตา่ สุดสัมบูรณ์ได้ เร่อื ง ค่าสงู สดุ และ เรือ่ ง ค่าสงู สุดและ ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 75
คา่ ต่าสุดสมั บูรณ์
(K) ใบกิจกรรมที่ 9 คา่ ตา่ สุดสัมบูรณ์ ผา่ นเกณฑ์ร้อยละ 75
นกั เรยี นสามารถแสดงวธิ ีการหา เร่อื ง คา่ สูงสดุ และ ตรวจใบกจิ กรรมที่ 9
ค่าสูงสุดและค่าตา่ สดุ สัมบูรณ์ได้ คา่ ตา่ สดุ สมั บูรณ์ เรอ่ื ง ค่าสงู สดุ และ ผา่ นเกณฑ์
แบบสงั เกตพฤติกรรม การประเมิน
(P) ค่าต่าสดุ สัมบรู ณ์ ท้งั 2 รายการ
นักเรยี นมคี วามตง้ั ใจและ แบบสังเกตพฤติกรรม สงั เกตพฤตกิ รรม ผ่านเกณฑ์
รับผดิ ชอบต่องานท่ไี ด้รับ การประเมนิ
สงั เกตพฤติกรรม ทงั้ 2 รายการ
มอบหมาย (A)
นักเรยี นมคี วามมุมานะในการ
แกป้ ัญหาทางคณติ ศาสตร์ (A)

198

สอ่ื /แหล่งการเรียนรู้
สอ่ื การเรียนรู้

1. หนังสือรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.6 เล่ม 1 หน่วยการเรียนรู้ท่ี 2 เร่ือง แคลคูลัส
เบอื้ งตน้

2. ใบกิจกรรมท่ี 9 เร่อื ง ค่าสูงสดุ และค่าต่าสุดสัมบูรณ์
3. วิดีโอการสอน เร่ือง แคลคลู ัสเบ้ืองตน้ จาก https://proj14.ipst.ac.th
4. เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคลู สั เบื้องต้น
5. แบบทดสอบย่อยที่ 9 เรอ่ื ง ค่าสูงสดุ และค่าตา่ สดุ สัมบรู ณ์

แหล่งการเรยี นรู้
1. หอ้ งเรียน
2. หอ้ งสมุด
3. อินเตอรเ์ น็ต

199

บนั ทึกหลังการสอน

ดา้ นความรู้ (K)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

. ดา้ นทกั ษะกระบวนการ (P)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

คณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค/์ เจตคติ (A)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

สมรรถนะสาคญั ผ้เู รียน (C)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ปัญหาอุปสรรค/ข้อเสนอแนะอืน่ ๆ
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ่ื ……………………………………(ผู้สอน)
(นายธีรเทพ ชศู รโี สม)

วันที่ ……………………………………

200

201

แบบประเมนิ พฤติกรรมการเรยี นรู้ ด้านความรู้ ทักษะกระบวนการ และคุณลักษณะอนั พงึ ประสงค์
แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 23 เรือ่ ง ค่าสงู สดุ และค่าต่าสดุ สมั บรู ณ์ ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6

เลขท่ี ชอื่ - สกลุ ความรู้ ทักษะกระบวนการ คุณลกั ษณะ หมายเหตุ
ของผู้รับการประเมิน 2 ระดับ 3 ระดบั อันพงึ ประสงค์
3 ระดบั

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

202

เลขท่ี ชอื่ - สกลุ ความรู้ ทักษะกระบวนการ คณุ ลักษณะ หมายเหตุ
ของผ้รู ับการประเมนิ 2 ระดับ 3 ระดบั อนั พงึ ประสงค์
3 ระดบั

26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39

รวม
เฉลย่ี
จานวนนกั เรยี นทผี่ า่ น
ร้อยละนกั เรียนทีผ่ ่าน

ลงชื่อ.................................................................................ผปู้ ระเมนิ
(นายธีรเทพ ชศู รโี สม)

วนั ที่.......................เดอื น......................................พ.ศ.....................

203

ตงั บ่งช้ี เกณฑก์ ารให้คะแนนด้านความรู้
การตอบคาถามใน ระดบั คณุ ภาพ/ระดบั คะแนน

หอ้ งเรยี น 2 : ดี 1 : พอใช้ 0 : ปรบั ปรงุ

นกั เรียนมีความรู้ความ นกั เรียนมีความพยายามตอบ นักเรียนไมต่ อบคาถามใน
หอ้ งเรียน
เขา้ ใจสามารถตอบคาถาม คาถามที่ครูถามไดถ้ ูกต้อง

ท่คี รถู ามได้ถกู ต้อง บางสว่ น

หมายเหตุ ผา่ น หมายถงึ นักเรยี นทาคะแนนไดเ้ ฉล่ียร้อยละ 70 ขึ้นไป
ไม่ผา่ น หมายถึง นกั เรยี นทาคะแนนได้ต่ากว่าเฉลีย่ ร้อยละ 70 ขึน้ ไป

เกณฑ์การให้คะแนนดา้ นทกั ษะ/กระบวนการทางคณติ ศาสตร์

ทกั ษะ/กระบวนการความสามารถในการแกป้ ญั หาในการเรยี นคณิตศาสตร์ได้

คะแนน:ระดับคุณภาพ ความสามารถในการแกป้ ัญหาในการเรียนคณติ ศาสตรไ์ ด้

3 : ดเี ย่ียม สามารถแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ได้ถกู ต้องครบถว้ น

2 : ดี สามารถแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้ถูกตอ้ งบางสว่ น

1 : พอใช้ มีความพยายามในการแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์

0 : ปรับปรุง ไมม่ ีความพยายามในการแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์

เกณฑ์การประเมนิ อยู่ในระดับ ดี ถอื วา่ ผ่าน

204

ตังบง่ ช้ี เกณฑ์การให้คะแนนดา้ นคุณลักษณะอันพึงประสงค์
การตอบ ระดับคณุ ภาพ/ระดับคะแนน
คาถามใน
ห้องเรยี น 3 : ดมี าก 2 : ดี 1 : กาลังพัฒนา 0 : ตอ้ งปรับปรงุ

มีความตั้งใจและ มีความตัง้ ใจและพยายาม มคี วามตั้งใจและ ไมม่ ีความต้ังใจและ
พยายามในการ
พยายามในการ ในการแกป้ ัญหาทาง พยายามในการ แกป้ ัญหาทาง
คณิตศาสตร์ที่
แกป้ ัญหาทาง คณิตศาสตร์ทก่ี าหนดให้ แกป้ ญั หาทาง กาหนดให้ ไม่มคี วาม
อดทนและท้อแทต้ ่อ
คณิตศาสตร์ที่กาหนดให้ แต่ไม่มคี วามอดทนและ คณติ ศาสตร์ทก่ี าหนดให้ อปุ สรรคจนทาให้
แกป้ ญั หาทาง
มีความอดทนและไม่ ทอ้ แทต้ ่ออปุ สรรคจนทา แต่ไม่มคี วามอดทนและ คณติ ศาสตร์ที่
กาหนดใหไ้ ดไ้ ม่
ท้อแท้ต่ออุปสรรคจนทา ใหแ้ ก้ปัญหาทาง ท้อแทต้ ่ออุปสรรคจนทา
สาเร็จ
ใหส้ ามารถแก้ปัญหาทาง คณิตศาสตร์ทก่ี าหนดให้ ให้แก้ปญั หาทาง

คณติ ศาสตร์ทก่ี าหนดให้ ได้ไมส่ าเร็จเลก็ นอ้ ย คณติ ศาสตร์ทกี่ าหนดให้

ได้สาเรจ็ ไดไ้ ม่สาเรจ็ เป็นส่วน

ใหญ่

เกณฑ์การประเมิน อยู่ในระดับ ดี ถอื วา่ ผา่ น

205

ใบกิจกรรมท่ี 9
เรือ่ ง ค่าสงู สดุ และค่าต่าสุดสมั บรู ณ์

คาช้ีแจง จงหาคา่ สงู สดุ และค่าตา่ สุดสัมบูรณข์ องฟังก์ชนั ต่อไปนี้

1. บนช่วง [-1, 3]

2. บนช่วง [-3, 1]

3. บนช่วง [-4, 3] 206

4. บนช่วง [-1, 3]

รายชอื่ สมาชิกกลุ่ม
1.
2.
3.
4.
5.

207

เฉลยใบกจิ กรรมที่ 9
เรือ่ ง ค่าสูงสดุ และคา่ ต่าสุดสัมบรู ณ์

คาช้ีแจง จงหาคา่ สงู สุดและค่าต่าสุดสัมบรู ณ์ของฟังก์ชันต่อไปน้ี

1. บนชว่ ง [-1, 3]

วิธีทา จาก

จะได้

ถา้ จะได้

เพราะฉะนน้ั

ดังนั้น ค่าวิกฤตในชว่ งปดิ [-1, 3] คือ

ตอ่ ไปคานวณหา และ จะได้

ดงั นน้ั มีค่าสูงสุดสัมบรู ณ์ท่ี มีคา่ เท่ากบั 20

มคี า่ ตา่ สุดสมั บรู ณท์ ี่ มีค่าเท่ากับ

2. บนชว่ ง [-3, 1]
วิธที า
จาก
จะได้

ถ้า จะได้

เพราะฉะน้ัน

ดงั นั้น ค่าวิกฤตบนช่วง [-3, 1] คอื -2 และ 0

ตอ่ ไปคานวณหา และ

ดังนัน้ มีค่าสูงสุดสัมบรู ณ์ท่ี และ มีค่าเทา่ กับ 5
มีคา่ ตา่ สดุ สมั บรู ณ์ท่ี และ มคี ่าเทา่ กบั -3

3. บนชว่ ง [-4, 3] 208
วิธีทา
จาก
จะได้

ถ้า จะได้

เพราะฉะน้นั

ดังนนั้ ค่าวกิ ฤตบนช่วง [-4, 3] คอื -1

ต่อไปคานวณหา และ

ดังนั้น มีคา่ สูงสดุ สมั บรู ณ์ที่ มคี า่ เทา่ กับ 11
มคี ่าเทา่ กับ -5
มคี า่ ต่าสุดสัมบรู ณ์ท่ี

4. บนชว่ ง [-1, 3]

วิธีทา จาก

จะได้

ถา้ จะได้

เพราะฉะนั้น

ดังน้นั ค่าวิกฤตบนชว่ ง [-1, 3] คอื 2

ตอ่ ไปคานวณหา และ

ดังน้นั มคี า่ สงู สุดสัมบูรณ์ที่ มีค่าเท่ากับ 0
มีค่าตา่ สุดสัมบรู ณท์ ่ี มคี า่ เท่ากับ -9

รายชื่อสมาชกิ กลุ่ม
1.
2.
3.
4.
5.

209

แบบทดสอบย่อยที่ 9
เรอื่ ง คา่ สงู สุดและคา่ ตา่ สุดสมั บรู ณ์

คาช้แี จง จงหาคา่ สงู สดุ และค่าตา่ สุดสมั บูรณ์ของฟงั ก์ชันต่อไปน้ี

1. บนชว่ ง [0, 5]

2. บนช่วง [-3, -1]

210

3. บนช่วง [-2, 3]

4. บนชว่ ง [-2, 4]

ช่ือ-สกุล ชัน้ เลขท่ี

211

เฉลยแบบทดสอบย่อยที่ 9
เร่อื ง คา่ สงู สุดและคา่ ตา่ สุดสมั บรู ณ์

คาช้ีแจง จงหาค่าสงู สดุ และค่าต่าสุดสัมบรู ณข์ องฟงั กช์ นั ต่อไปนี้

1. บนช่วง [0, 5]

วิธที า จาก

จะได้

ถา้ จะได้

เพราะฉะนั้น

ดงั นัน้ คา่ วิกฤตบนชว่ ง [0, 5] คอื 2

ตอ่ ไปคานวณหา และ

ดงั นั้น มีคา่ สูงสุดสมั บูรณ์ท่ี มคี า่ เทา่ กบั 8
มคี า่ เทา่ กบั -1
มีค่าต่าสุดสัมบูรณท์ ี่

2. บนช่วง [-3, -1]

วิธีทา จาก

จะได้

เพราะฉะน้นั

ดังนั้น ไม่มีคา่ วกิ ฤต

ตอ่ ไปคานวณหา และ

ดงั น้นั มีคา่ สูงสุดสมั บรู ณ์ท่ี มคี ่าเท่ากบั -10
มคี ่าต่าสุดสัมบรู ณ์ท่ี มีค่าเทา่ กบั -46

212

3. บนชว่ ง [-2, 3]
วิธที า
จาก
จะได้

ถ้า จะได้
เพราะฉะนนั้

ดงั นัน้ ค่าวิกฤตบนชว่ ง [-2, 3] คือ และ 2

ต่อไปคานวณหา และ

ดังนนั้ มคี า่ สูงสดุ สัมบรู ณ์ที่ มคี ่าเทา่ กบั 5
มีค่าตา่ สุดสมั บรู ณท์ ่ี และ มคี ่าเทา่ กบั 0

4. บนชว่ ง [-2, 4]
วิธีทา
จาก
จะได้

ถา้ จะได้ และ 3
เพราะฉะนั้น และ
ดังน้นั ค่าวิกฤตบนชว่ ง [-2, 4] คอื
ต่อไปคานวณหา

ดังน้นั มีคา่ สงู สดุ สมั บรู ณ์ท่ี มีคา่ เทา่ กบั 27
มีคา่ ต่าสุดสมั บรู ณ์ที่ มคี า่ เทา่ กบั -27

213

แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 24 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6
รายวชิ าเสรมิ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ รหสั วิชา ค33201 ภาคเรยี นที่ 1/2565
หนว่ ยการเรยี นรทู้ ี่ 2 แคลคูลสั เบอ้ื งต้น เวลาเรียน 2 ชั่วโมง
เรื่อง โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับคา่ สูงสดุ หรือคา่ ต่าสุด โรงเรียนอดุ รพฒั นาการ
ผู้สอน นายธีรเทพ ชูศรโี สม

ผลการเรยี นรู้
1. ตรวจสอบความตอ่ เน่ืองของฟังกช์ นั ที่กาหนดให้
2. หาอนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั พชี คณติ ที่กาหนดใหแ้ ละนาไปใช้แกป้ ญั หา
3. หาปรพิ ันธไ์ ม่จากัดเขตและจากดั เขตของฟงั ก์ชนั พีชคณิตท่กี าหนดใหแ้ ละนาไปใช้

แก้ปัญหา

จุดประสงค์การเรยี นรู้
1. นักเรียนสามารถอธบิ ายขั้นตอนการแก้โจทย์ปญั หาเก่ยี วกับค่าสงู สุดหรือค่าต่าสดุ ได้ (K)
2. นกั เรียนสามารถแสดงวิธีการแกโ้ จทยป์ ญั หาเก่ียวกบั คา่ สูงสุดหรอื ค่าตา่ สุดสัมบรู ณ์ได้ (P)
3. นักเรยี นมีความตง้ั ใจและรับผิดชอบต่องานทีไ่ ด้รับมอบหมาย (A)
4. นักเรียนมคี วามมุมานะในการแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ (A)

สาระสาคัญ
หลักการท่วั ไปในการแกโ้ จทยป์ ญั หาเก่ยี วกบั คา่ สูงสดุ หรือค่าต่าสดุ

1) ทาความเข้าใจปัญหาอย่างละเอียดให้ทราบแน่นอนว่าต้องการหาค่าสูงสุดหรือต่าสุดของ

อะไร ใหก้ าหนดสง่ น้ันเปน็ y หรือตวั แปรอืน่ ๆ ตามความเหมาะสมและควรวาดรูปประกอบ

2) สมมติให้ตัวแปร y เป็นตัวแปรที่มีการเปล่ียนแปลงในปัญหา โดยท่ีค่าของ y จะมีค่ามาก

หรือนอ้ ยขึ้นอยู่กับค่าของ x

3) เขียน y ในรูปตวั แปร x

4) หา dy ซึ่งอัตราการเปลี่ยนแปลงของคา่ y ทตี่ อ้ งการหาสงู สดุ หรอื ตา่ สดุ เทียบกับตวั แปร x

dx

5) ให้ dy 0 แลว้ แกส้ มการหาค่า x ซง่ึ เปน็ คา่ วกิ ฤตของฟงั กช์ นั ในข้อ 3)
dx

6) นาคา่ วกิ ฤตในขอ้ 5) มาทาการตรวจสอบวา่ ทาให้ y มีค่าสงู สดุ หรือต่าสดุ หรือไม่

214

สมรรถนะสาคัญของผู้เรียน
1. ความสามารถในการคิด
2. ความสามารถในการสือ่ สาร
3. ความสามารถในการแก้ปัญหา

กิจกรรมการเรยี นรูโ้ ดยใช้การเรียนร้แู บบรว่ มมือด้วยเทคนิค STAD
ชวั่ โมงท่ี 1
ขั้นนาเข้าสู่บทเรยี น

1. ครูประกาศคะแนนเก็บของแตล่ ะกลุ่มจากการทากิจกรรมกลมุ่ เรื่อง ค่าสูงสุดและค่าต่าสุด
สัมบูรณ์

2. ครยู กตัวอยา่ งโจทย์ปัญหาและให้นกั เรียนแตล่ ะกลุ่มหาคาตอบโดยการเดาสุ่ม ดงั น้ี
ตวั อย่าง จานวนสองจานวนบวกกันได้ 10 ถ้าผลคูณของสองจานวนนี้ม่ีค่าสูงสุด แล้วจานวน
ท้งั สองคือจานวนใด (5x5=25)
ตัวอย่าง ผลคูณของจานวนจริงสองจานวนเป็น -9 จานวนท้ังสองคือจานวนใด จึงจะให้
ผลบวกของกาลงั สองของแต่ละจานวนมีค่าน้อยทีส่ ดุ (3, -3)

ขั้นนาเสนอบทเรยี น

3. ครูอธิบายขั้นตอนการแก้ปัญหาโจทย์ปัญหาค่าสูงสุดหรือค่าต่าสุดว่าสามารถนาความรู้

เรื่อง อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ไปประยุกต์ใช้เพ่ือวิเคราะห์หาค่าสูงสุดและค่าต่าสุดในการแก้ปัญหาใน

ชวี ติ ประจาวัน โดยต้องพิจารณาเงื่อนไขการกาหนดช่วงโดเมนของฟังก์ชัน ซ่ึงมีขั้นตอนการแก้ปัญหา

ดังตอ่ ไปนี้

1) ทาความเข้าใจปัญหาอย่างละเอียดให้ทราบแน่นอนว่าต้องการหาค่าสูงสุดหรือ

ต่าสดุ ของอะไร ให้กาหนดสง่ นัน้ เปน็ y หรอื ตวั แปรอนื่ ๆ ตามความเหมาะสมและควรวาดรูปประกอบ

2) สมมติให้ตัวแปร y เป็นตัวแปรท่ีมีการเปลี่ยนแปลงในปัญหา โดยที่ค่าของ y จะมีค่ามาก

หรอื นอ้ ยขน้ึ อยกู่ ับคา่ ของ x

3) เขยี น y ในรูปตัวแปร x

4) หา dy ซึ่งอัตราการเปล่ียนแปลงของคา่ y ท่ตี อ้ งการหาสูงสุดหรือต่าสุดเทยี บกับตวั แปร x

dx

5) ให้ dy 0 แล้วแกส้ มการหาค่า x ซ่ึงเปน็ คา่ วิกฤตของฟงั กช์ ันในขอ้ 3)
dx

215

6) นาค่าวิกฤตในข้อ 5) มาทาการตรวจสอบว่าทาให้ y มีคา่ สูงสดุ หรอื ตา่ สุดหรอื ไม่
4. ครูยกตัวอยา่ งโจทยป์ ัญหาเกยี่ วกับค่าสงู สุดและคา่ ตา่ สุด ดงั น้ี
ตัวอย่างท่ี1 มีเงินอยู่ 900 บาท ต้องการล้อมร้ัวท่ีดินซึ่งติดกับแม่น้าให้ได้ท่ีดินรูปสี่เหล่ียมมุม
ฉาก โดยไมล่ อ้ มฝัง่ แมน่ ้า จะต้องล้อมให้แต่ละด้านยาวเท่าไรจึงจะได้เน้ือที่มากท่ีสุด ถ้าค่าล้อมรั้วด้าน
ขนานกับแม่น้าๆเท่ากบั 3 บาทตอ่ ฟุต ค่าล้อมรั้วอกี สองดา้ นที่เหลอื เทา่ กับ 2 บาทต่อฟุต
วธิ ที า

ใหล้ อ้ มรัว้ ด้านที่ยาวเทา่ กนั ยาวด้านละ x ฟตุ และด้านทเ่ี หลือยาว y ฟุต และให้มีพื้นท่ี
A ตารางฟตุ จะได้ A = xy

คา่ ล้อมรวั้ ด้านทขี่ นานกบั แมน่ ้า = 3y บาท
ค่าล้อมร้ัวอีกสองด้านที่เหลือ = 2(2x) = 4x บาท

 4x  3y  900

y  900  4x
3

y  300  4 x
3

 A  x  300  4 x 
 3 

A  300 x  4 x 2
3

dA  300  8 x
dx 3

A จะมากทสี่ ดุ เมอ่ื dA  0
dx

300  8 x  0
3

x  900  112.5
8

 y  300   4  900   150
 3 8 

ดังนั้น จะต้องล้อมรั้วด้านท่ขี นานกับแมน่ ้ายาว 150 ฟตุ และด้านท่ีเหลอื ด้านละ 112.5 ฟุต

216

ตัวอย่างที่2 กล่องสังกะสีรูปทรงสี่เหล่ียมมุมฉากฝาเปิด ก้นภาชนะเป็นรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัส
ปริมาตร 62.5 ลูกบาศก์นิ้ว จงหาความยาวของด้านท่ีเป็นก้นกล่องและความสูงของภาชนะที่
ทาให้ใช้วัสดุนอ้ ยท่สี ดุ ในการประกอบเปน็ กล่อง
วธิ ีทา

กาหนดให้ y แทนพ้นื ทีผ่ วิ ของกลอ่ ง

x แทนความยาวของสี่เหลยี่ มจตั รุ สั ทีก่ ้นกลอ่ ง

ปรมิ าตรกลอ่ ง = กว้าง x ยาว x สงู

62.5  x  x  h

h  62.5
x2

จาก y = พ้ืนทผ่ี ิวกลอ่ ง

y = พื้นทฐ่ี าน + พ้ืนทผ่ี วิ ขา้ ง

y  x2  4xh

y  x2  4x  62.5 
 x2 

y  x 2  250 x 1

คา่ วกิ ฤต y'  0

2x  250 x 2  0

2x  250  0
x2

2x  250
x2

x3  125

x5

ความสงู h  62.5  62.5  2.5
x2 52

ดังนั้นต้องประกอบกล่องให้ก้นเป็นส่ีเหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ 5 น้ิว สูง 2.5 น้ิว จึงจะใช้วัสดุ

นอ้ ยทสี่ ดุ

217

5. ครูให้นักเรียนแต่ละกลุ่มร่วมกันศึกษาตัวอย่าง เรื่อง โจทย์ปัญหาเก่ียวกับค่าสูงสุดและ
ค่าต่าสุด จากหนังสือเรียนคณิตศาสตร์เพ่ิมเติม ม.6 เล่ม 1 โดยครูคอยสังเกตและกระตุ้นให้นักเรียน
แต่ละกลุ่มมสี ่วนร่วมในการทากจิ กรรม

6. ครูและนักเรยี นร่วมกันสรปุ หลักการทาโจทยป์ ญั หาเก่ยี วกับค่าสูงสดุ และค่าต่าสดุ ดงั นี้
หลักการทวั่ ไปในการแกโ้ จทย์ปัญหาเกย่ี วกบั คา่ สูงสุดหรอื คา่ ตา่ สดุ
1) ทาความเข้าใจปัญหาอย่างละเอียด ว่ามีปริมาณใดบ้างท่ีเกี่ยวข้องกัน และเขียนสมการ
แสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรท่ีแทนปริมาณท่ีเก่ียวข้องให้อยู่ในรูปของฟังก์ชันบนช่วงท่ี
สอดคล้องกับเงอ่ื นไขของโจทย์ปัญหา
2) ใชว้ ิธกี ารทไี่ ดศ้ ึกษาเกย่ี วกับการหาอนพุ นั ธ์ของฟังก์ชันในการหาค่าสูงสุดหรือค่าต่าสุดของ
ฟังก์ชนั น้นั

ชวั่ โมงที่ 2
ขัน้ ปฏิบัติกจิ กรรมกล่มุ ยอ่ ย

7. ครแู ละนกั เรยี นรว่ มกนั ทบทวนหลักการทาโจทยป์ ญั หาเกยี่ วกบั คา่ สูงสดุ และคา่ ต่าสดุ ดงั น้ี

หลักการทัว่ ไปในการแกโ้ จทย์ปัญหาเกย่ี วกบั ค่าสูงสุดหรอื คา่ ตา่ สุด

1) ทาความเข้าใจปัญหาอย่างละเอียดให้ทราบแน่นอนว่าต้องการหาค่าสูงสุดหรือต่าสุดของ

อะไร ให้กาหนดส่งนัน้ เปน็ y หรอื ตวั แปรอน่ื ๆ ตามความเหมาะสมและควรวาดรปู ประกอบ

2) สมมติให้ตัวแปร y เป็นตัวแปรท่ีมีการเปลี่ยนแปลงในปัญหา โดยที่ค่าของ y จะมีค่ามาก

หรอื น้อยขึ้นอยู่กับคา่ ของ x

3) เขยี น y ในรูปตวั แปร x

4) หา dy ซ่ึงอัตราการเปล่ยี นแปลงของคา่ y ท่ีต้องการหาสูงสุดหรอื ต่าสดุ เทยี บกับตวั แปร x
dx

5) ให้ dy 0 แลว้ แก้สมการหาค่า x ซึ่งเป็นค่าวกิ ฤตของฟังก์ชันในขอ้ 3)
dx

6) นาคา่ วกิ ฤตในขอ้ 5) มาทาการตรวจสอบวา่ ทาให้ y มีค่าสงู สดุ หรือตา่ สดุ หรือไม่

218

ขนั้ ทดสอบยอ่ ย/ประเมินผลกิจกรรมกลุม่

8. ครูให้นักเรียนแต่ละกลุ่มทาใบกิจกรรมที่ 10 เร่ือง โจทย์ปัญหาเก่ียวกับค่าสูงสุดหรือ
ค่าต่าสุด โดยให้เวลานักเรียนร่วมกันแสดงวิธีหาคาตอบ แลกเปลี่ยนความคิดเห็น และช่วยเหลือกัน
ซึ่งครจู ะเปน็ ผ้ชู ่วยเหลือและตง้ั คาถามกระต่นุ ให้แต่ละกลุ่มคดิ หาคาตอบ และเมื่อทุกกลุ่มหาคาตอบได้
แลว้ ครูสุม่ สมาชิกของแตล่ ะกล่มุ ออกมาอธิบายขน้ั ตอนการแกป้ ญั หาแต่ละข้อเพอื่ เกบ็ คะแนนกลมุ่

9. ครเู กบ็ กระดาษคาตอบเพื่อนาไปตรวจให้คะแนน จากน้ันนาคะแนนของสมาชิกในกลุ่มมา
รวมกนั แล้วหาคา่ เฉล่ยี เพื่อประกาศคะแนนของกลุ่มในคาบถัดไป

การวัดและประเมนิ ผลการเรียนรู้

จุดประสงค์การเรยี นรู้ เครอื่ งมือ วิธีการประเมนิ เกณฑ์การประเมนิ
นักเรียนสามารถอธบิ ายข้ันตอน ใบกิจกรรมท่ี 10 เรือ่ ง
โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ ตรวจใบกจิ กรรมที่ 10
การแกโ้ จทยป์ ัญหาเก่ยี วกบั ค่าสงู สดุ หรอื คา่ ตา่ สดุ
ค่าสูงสดุ หรือค่าตา่ สุดได้ (K) ใบกจิ กรรมที่ 10 เรอ่ื ง เร่อื ง โจทย์ปัญหาเกย่ี วกบั ผา่ นเกณฑ์ร้อยละ 75
นักเรยี นสามารถแสดงวธิ ีการแก้ โจทย์ปญั หาเก่ียวกบั
โจทยป์ ัญหาเกี่ยวกับค่าสูงสุดหรือ ค่าสูงสุดหรือคา่ ตา่ สุด ค่าสูงสดุ หรือคา่ ต่าสุด
แบบสงั เกตพฤติกรรม
คา่ ตา่ สดุ สมั บรู ณ์ได้ (P) ตรวจใบกิจกรรมที่ 10
นกั เรยี นมีความตัง้ ใจและ แบบสงั เกตพฤติกรรม
รบั ผดิ ชอบต่องานทไ่ี ด้รบั เร่ือง โจทย์ปัญหาเกยี่ วกับ ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 75

มอบหมาย (A) ค่าสงู สดุ หรอื ค่าต่าสุด
นักเรียนมคี วามมุมานะในการ
แก้ปญั หาทางคณติ ศาสตร์ (A) สังเกตพฤตกิ รรม ผ่านเกณฑ์

การประเมิน

ท้งั 2 รายการ

สังเกตพฤติกรรม ผ่านเกณฑ์

การประเมนิ

ท้งั 2 รายการ

219

สอ่ื /แหล่งการเรียนรู้
สอ่ื การเรียนรู้

1. หนังสือรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ ม.6 เล่ม 1 หน่วยการเรียนรู้ท่ี 2 เรื่อง แคลคูลัส
เบือ้ งต้น

2. ใบกิจกรรมท่ี 10 เรื่อง โจทยป์ ญั หาเกีย่ วกบั ค่าสงู สดุ หรอื ค่าต่าสุด
3. วดิ ีโอการสอน เรอ่ื ง แคลคูลสั เบ้อื งต้น จาก https://proj14.ipst.ac.th
4. เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคลู ัสเบ้ืองตน้
5. แบบทดสอบย่อยท่ี 10 เร่ือง โจทย์ปญั หาเกยี่ วกับค่าสงู สุดหรือค่าต่าสดุ

แหล่งการเรียนรู้
1. ห้องเรยี น
2. หอ้ งสมดุ
3. อนิ เตอร์เน็ต

220

บนั ทึกหลังการสอน

ดา้ นความรู้ (K)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

. ดา้ นทกั ษะกระบวนการ (P)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

คณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค์/เจตคติ (A)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

สมรรถนะสาคญั ผ้เู รียน (C)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ปัญหาอุปสรรค/ข้อเสนอแนะอืน่ ๆ
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงช่อื ……………………………………(ผู้สอน)
(นายธรี เทพ ชศู รโี สม)

วันท่ี ……………………………………

221

222

แบบประเมินพฤติกรรมการเรียนรู้ ด้านความรู้ ทกั ษะกระบวนการ และคณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์
แผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี 24 เร่อื ง โจทย์ปญั หาเกย่ี วกับค่าสูงสุดและค่าต่าสุด ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6

เลขท่ี ชอ่ื - สกลุ ความรู้ ทกั ษะกระบวนการ คณุ ลกั ษณะ หมายเหตุ
ของผรู้ ับการประเมิน 2 ระดบั 3 ระดบั อนั พงึ ประสงค์
3 ระดับ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

223

เลขท่ี ชอื่ - สกลุ ความรู้ ทักษะกระบวนการ คณุ ลกั ษณะ หมายเหตุ
ของผ้รู ับการประเมนิ 2 ระดับ 3 ระดับ อนั พงึ ประสงค์
3 ระดับ

26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39

รวม
เฉลย่ี
จานวนนกั เรยี นทผี่ า่ น
ร้อยละนกั เรียนทีผ่ ่าน

ลงชื่อ.................................................................................ผ้ปู ระเมนิ
(นายธรี เทพ ชูศรโี สม)

วนั ที่.......................เดอื น......................................พ.ศ.....................

224

ตงั บ่งช้ี เกณฑก์ ารให้คะแนนด้านความรู้
การตอบคาถามใน ระดบั คณุ ภาพ/ระดบั คะแนน

หอ้ งเรยี น 2 : ดี 1 : พอใช้ 0 : ปรบั ปรงุ

นกั เรียนมีความรู้ความ นกั เรียนมีความพยายามตอบ นักเรียนไมต่ อบคาถามใน
หอ้ งเรียน
เขา้ ใจสามารถตอบคาถาม คาถามที่ครูถามได้ถูกต้อง

ท่คี รถู ามได้ถกู ต้อง บางส่วน

หมายเหตุ ผา่ น หมายถงึ นักเรยี นทาคะแนนไดเ้ ฉล่ียร้อยละ 70 ขึ้นไป
ไม่ผา่ น หมายถึง นกั เรยี นทาคะแนนได้ต่ากว่าเฉลี่ยร้อยละ 70 ขึน้ ไป

เกณฑ์การให้คะแนนดา้ นทกั ษะ/กระบวนการทางคณติ ศาสตร์

ทกั ษะ/กระบวนการความสามารถในการแกป้ ญั หาในการเรยี นคณติ ศาสตร์ได้

คะแนน:ระดับคุณภาพ ความสามารถในการแกป้ ัญหาในการเรียนคณติ ศาสตรไ์ ด้

3 : ดเี ย่ียม สามารถแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ได้ถูกต้องครบถว้ น

2 : ดี สามารถแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้ถูกตอ้ งบางสว่ น

1 : พอใช้ มีความพยายามในการแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์

0 : ปรับปรุง ไมม่ ีความพยายามในการแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์

เกณฑ์การประเมนิ อยู่ในระดับ ดี ถอื วา่ ผ่าน

225

ตังบง่ ช้ี เกณฑ์การให้คะแนนดา้ นคณุ ลักษณะอันพึงประสงค์
การตอบ ระดับคณุ ภาพ/ระดับคะแนน
คาถามใน
ห้องเรยี น 3 : ดมี าก 2 : ดี 1 : กาลงั พัฒนา 0 : ตอ้ งปรับปรุง

มีความตั้งใจและ มีความตัง้ ใจและพยายาม มคี วามต้งั ใจและ ไมม่ ีความต้ังใจและ
พยายามในการ
พยายามในการ ในการแกป้ ัญหาทาง พยายามในการ แกป้ ัญหาทาง
คณิตศาสตร์ท่ี
แกป้ ัญหาทาง คณิตศาสตร์ทก่ี าหนดให้ แกป้ ญั หาทาง กาหนดให้ ไม่มคี วาม
อดทนและท้อแทต้ ่อ
คณิตศาสตร์ที่กาหนดให้ แต่ไม่มคี วามอดทนและ คณติ ศาสตร์ทก่ี าหนดให้ อปุ สรรคจนทาให้
แกป้ ญั หาทาง
มีความอดทนและไม่ ทอ้ แทต้ ่ออปุ สรรคจนทา แต่ไม่มคี วามอดทนและ คณติ ศาสตร์ที่
กาหนดใหไ้ ดไ้ ม่
ท้อแท้ต่ออุปสรรคจนทา ใหแ้ ก้ปัญหาทาง ท้อแทต้ ่ออปุ สรรคจนทา
สาเร็จ
ใหส้ ามารถแก้ปัญหาทาง คณิตศาสตร์ทก่ี าหนดให้ ให้แก้ปัญหาทาง

คณติ ศาสตร์ทก่ี าหนดให้ ได้ไมส่ าเร็จเลก็ นอ้ ย คณติ ศาสตร์ทก่ี าหนดให้

ได้สาเรจ็ ไดไ้ ม่สาเร็จเป็นส่วน

ใหญ่

เกณฑ์การประเมิน อยู่ในระดับ ดี ถอื วา่ ผา่ น

226

ใบกิจกรรมที่ 10
เรอื่ ง โจทย์ปัญหาเกี่ยวกบั ค่าสูงสุดหรอื คา่ ตา่ สดุ

คาชแี้ จง จงแสดงวธิ ีทา
1. กล่องกระดาษมีฝาปิดใบหนึ่ง ด้านยาวยาวเป็นสองเท่าของด้านกว้าง และมีพื้นที่ผิวเท่ากับ 192 ตารางนิ้ว
ถ้ากล่องใบนม้ี ีปรมิ าตรมากท่สี ุด จงหาขนาดของกล่องใบนี้

227
2. ชายคนหนึง่ มีเชือกยาว 100 เมตร เขาต้องการนาเชือกเสน้ นีม้ ากนั้ บรเิ วณสาหรบั เป็นคอกวัว โดยกั้นเปน็ รปู ส่ีเหลยี่ ม
มุมฉาก และใช้รัว้ บ้านเปน็ ด้านๆ หนึง่ ของรปู สี่เหลย่ี มมุมฉากนจี้ งึ ไม่ตองขึงเชอื กทดี่ า้ นน้ี จงหาขนาดของรูปสี่เหลีย่ มซ่ึงทา
ใหไ้ ด้พน้ื ท่ีคอกมา้ มากท่สี ดุ

รายชอื่ สมาชกิ กลุ่ม
1.
2.
3.
4.
5.

228

เฉลยใบกิจกรรมที่ 10
เร่อื ง โจทยป์ ัญหาเกีย่ วกบั คา่ สงู สุดหรอื ค่าตา่ สดุ

คาชี้แจง จงแสดงวธิ ที า ตารางนิ้ว
1. กล่องกระดาษมีฝาปิดใบหน่ึง ด้านยาวยาวเป็นสองเท่าของด้านกว้าง และมีพ้ืนท่ีผิวเท่ากับ 192
ถ้ากล่องใบนมี้ ปี ริมาตรมากที่สุด จงหาขนาดของกล่องใบนี้
วิธีทา ให้ y แทนปรมิ าตรของกลอ่ ง

x แทนความกว้างของกลอ่ งกระดาษ
h แทนความสงู ของกลอ่ งกระดาษ
จากโจทย์ ความยาวของกล่องกระดาษ คือ 2x ดังรปู

จะได้

เนื่องจาก พืน้ ท่ผี ิวกล่อง = พื้นทผ่ี วิ ขา้ ง + 2เทา่ ของพืน้ ท่ีฐาน
(เส้นรอบฐาน x สงู ) +

จะได้

ให้ จะได้ นวิ้
จะได้ ดังนนั้

ดังนน้ั กลอ่ งใบน้มี ีปรมิ าตรมากทส่ี ุด เมื่อกวา้ ง 4 น้ิว ยาว 8 นิ้ว และสูง

229
2. ชายคนหนง่ึ มีเชือกยาว 100 เมตร เขาต้องการนาเชอื กเสน้ นี้มากนั้ บรเิ วณสาหรับเป็นคอกววั โดยกั้นเป็นรูปสีเ่ หลยี่ ม
มมุ ฉาก และใช้ร้วั บา้ นเป็นด้านๆ หน่ึงของรูปสเ่ี หลีย่ มมุมฉากนจ้ี งึ ไม่ตองขงึ เชือกทด่ี า้ นนี้ จงหาขนาดของรูปสีเ่ หลี่ยมซ่งึ ทา
ใหไ้ ด้พืน้ ท่ีคอกมา้ มากท่ีสดุ
วธิ ที า ให้ y แทนพืน้ ที่คอกมา้

x แทนความกว้างของคอกมา้
จากโจทยส์ ามารถเขียนแผนภาพได้ดงั นี้

จะได้วา่ เมือ่

ถา้ จะได้

ดังน้นั ค่าวกิ ฤตคือ 25

จาก

จะได้

เพราะฉะน้นั ถ้า แล้ว ซง่ึ

แสดงว่า ถา้ แล้ว y จะใหค้ า่ สูงสุดสมั พทั ธ์ ซึง่ เทา่ กบั ตารางเมตร

ตอ่ ไปจะพิจารณาทจี่ ดุ ปลายชว่ ง

เมอ่ื จะได้ และเมอ่ื จะได้

แสดงวา่ เปน็ คา่ สูงสดุ สัมบูรณ์

ดังนัน้ ถา้ ต้องการให้คอกม้ามีพ้นื ทีม่ ากทีส่ ดุ จะต้องใหด้ ้านกวา้ งมขี นาด 25 เมตร และยาว 50 เมตร

จงึ จะได้พ้นื ที่มากท่สี ุด

230

แบบทดสอบยอ่ ยที่ 10
เรอ่ื ง โจทย์ปัญหาเกย่ี วกบั ค่าสูงสุดหรือคา่ ต่าสดุ

คาชี้แจง จงแสดงวิธที า
1. มรี ้วั ยาว 200 เมตร ต้องการลอ้ มทีด่ นิ รปู สเ่ี หลยี่ มผนื ผา้ 3 แปลงที่มีขนาดเทา่ กันดังรูป จงหาว่าจะล้อมพ้ืนท่ีได้มากท่ีสุด
เทา่ ใด

2. นายอกั ษรมีเชือกยาว 200 เมตร เขาตอ้ งการนาเชือกมาลอ้ มเป็นรปู สี่เหล่ยี ม นายอักษรจะล้อมอยา่ งไรเพื่อให23้ได1พ้ นื้ ท่ี
สี่เหลีย่ มมากทีส่ ุด

232

เฉลยแบบทดสอบยอ่ ยที่ 10
เรอื่ ง โจทยป์ ัญหาเกยี่ วกบั คา่ สงู สุดหรือค่าต่าสุด

คาชแ้ี จง จงแสดงวิธที า
1. มีรั้วยาว 200 เมตร ตอ้ งการลอ้ มทด่ี ินรูปสี่เหล่ยี มผืนผา้ 3 แปลงท่มี ีขนาดเทา่ กนั ดังรูป จงหาว่าจะล้อมพื้นท่ีได้มากท่ีสุด
เทา่ ใด
วธิ ที า

กาหนดให้ = พนื้ ท่มี ากท่สี ุด ตารางเมตร
ฉะนน้ั
จากรว้ั ยาว 200 เมตร
ดงั นั้น

จะได้ว่า
จะได้

ค่าวกิ ฤต
จะได้

จะไดว้ า่
เพราะฉะนั้น จะได้พนื้ ท่ีมากท่ีสุดเท่ากับ

2. นายอักษรมีเชือกยาว 200 เมตร เขาต้องการนาเชือกมาลอ้ มเป็นรูปสี่เหลีย่ ม นายอักษรจะล้อมอยา่ งไรเพ่ือให23้ได3พ้ นื้ ท่ี
สเี่ หล่ียมมากท่สี ดุ
วธิ ีทา

กาหนดให้ y แทนพนื้ ทีส่ ีเ่ หลยี่ มผืนผ้า
x แทนความยาวของสี่เหลย่ี มผนื ผา้

จะได้ความกวา้ ง =
ดังนนั้ y = กว้าง x ยาว

จะได้
ถ้า จะได้

ดงั นน้ั ความกวา้ งเท่ากบั 50 เมตร

ความยาวเท่ากับ เมตร

เพราะฉะนน้ั นายอักษรจะล้อมรวั้ แบบความกวา้ ง 50 เมตร และความยาว 50 เมตร

เพื่อให้ได้พ้ืนท่ีสเี่ หล่ยี มมากท่ีสุด

234

แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 25 ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6
รายวชิ าเสริมทักษะคณติ ศาสตร์ รหัสวิชา ค33201 ภาคเรยี นท่ี 1/2565
หน่วยการเรยี นรูท้ ี่ 2 แคลคูลสั เบอื้ งต้น เวลาเรียน 2 ชวั่ โมง
เรื่อง ปฏิยานุพนั ธแ์ ละปริพนั ธไ์ มจ่ ากดั เขต โรงเรยี นอดุ รพัฒนาการ
ผสู้ อน นายธรี เทพ ชศู รีโสม

ผลการเรียนรู้
1. ตรวจสอบความตอ่ เนื่องของฟงั ก์ชนั ที่กาหนดให้
2. หาอนพุ ันธข์ องฟังกช์ นั พีชคณิตที่กาหนดใหแ้ ละนาไปใช้แก้ปัญหา
3. หาปรพิ ันธ์ไมจ่ ากัดเขตและจากดั เขตของฟังกช์ ันพชี คณิตที่กาหนดให้และนาไปใช้

แก้ปัญหา

จุดประสงค์การเรียนรู้
1. นกั เรยี นสามารถอธิบายการหาปฏิยานพุ ันธ์และปรพิ ันธ์ไม่จากัดเขตได้ (K)
2. นกั เรียนสามารถแสดงวธิ ีการหาปฏยิ านุพนั ธ์และปรพิ นั ธไ์ ม่จากดั เขตได้ (P)
3. นักเรยี นมีความตง้ั ใจและรับผดิ ชอบต่องานที่ได้รบั มอบหมาย (A)

สาระสาคัญ
ปฏิยานพุ นั ธ์ของฟงั ก์ชนั เปน็ โอเปอเรชันตรงข้ามกบั การหาอนพุ นั ธ์ เพื่อหาฟงั ก์ชันเดิม ซ่ึงมี

บทนยิ าม ดงั น้ี

บทนยิ าม ถ้า F '(x)  f (x) สาหรับทุกคา่ ของ x ท่ีอยใู่ นโดเมนของ f แลว้ ฟงั กช์ นั F

เป็นปฏิยานพุ นั ธ์หนง่ึ ของ f

ปฏิยานุพันธข์ อง x x n1  c
n
1

สมรรถนะสาคัญของผูเ้ รียน
1. ความสามารถในการคดิ
2. ความสามารถในการสอื่ สาร

3. ความสามารถในการแกป้ ัญหา

235

กิจกรรมการเรียนรู้

ชั่วโมงที่ 1

ข้ันนา

1. ครูและนกั เรียนร่วมกันทบทวนความรู้เกี่ยวกับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ดงั น้ี

- ถา้ y  f (x) เป็นฟงั ก์ชันท่ีมโี ดเมนและเรนจเ์ ป็นสับเซตของจานวนจริงและ

lim f (a  h)  f (a) หาค่าได้ เรียกค่าลมิ ิตทีไ่ ดน้ ีว้ า่ “อนุพนั ธข์ องฟังก์ชัน f ท่ี x ”

h0 h

เขียนแทนดว้ ย f ' (x)

- อนุพันธข์ องฟังกช์ นั y f (x) เขียนแทนดว้ ย y'  f ' (x) หรอื dy  d f (x)
dx dx

ข้นั สอน

2. ครูอธิบายเกี่ยวกับปฏิยานุพันธ์ ในกรณีท่ัวไปบทนิยามของปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันใด ๆ

เปน็ ดงั น้ี

บทนยิ าม ถา้ F '(x)  f (x) สาหรับทกุ ค่าของ x ทอี่ ยู่ในโดเมนของ f แลว้ ฟังกช์ นั F

เป็นปฏิยานพุ นั ธ์หนงึ่ ของ f

3. ครยู กตัวอย่างการหาปฏยิ านพุ นั ธ์ของฟังกช์ นั พรอ้ มอธิบาย ดังนี้

41

ตวั อยา่ ง จงแสดงวา่ F(x)  6x 3  5x  7 เป็นปฏยิ านุพนั ธห์ น่ึงของ f (x)  8x 3  5

4

วิธที า จาก F(x)  6x 3  5x  7

1

จะได้ F ' (x)  8x 3  5

นัน่ คอื F ' (x)  f (x)

41

ดังนั้น F(x)  6x 3  5x  7 เป็นปฏิยานุพันธห์ นง่ึ ของ f (x)  8x 3  5

236

ตัวอย่าง ให้ f (x)  x3 จงหาปฏิยานพุ นั ธข์ องฟงั ก์ชนั f

วิธที า ถา้ ให้ F(x)  x4 จะได้ F ' (x)  4x3 ซ่งึ ไม่เท่ากับฟงั ก์ชัน f

ถ้าให้ F ( x)  x4 จะได้ F ' (x)  x3 ซง่ึ คอื ฟงั ก์ชัน f
4

ดังนั้น ปฏิยานุพันธ์ของ f (x)  x3 คือฟังก์ชันท่ีอยู่ในรูป F ( x)  x4 c
4

เมอื่ c เป็นค่าคงตวั ใด ๆ

4. ครูมอบหมายโจทย์การหาปฏิยานุพันธข์ องฟงั ก์ชนั ใหน้ กั เรยี นทาเพ่ือตรวจสอบความเข้าใจ

ดังน้ี

โจทย์ จงแสดงวา่ F(x)  x2 1เป็นปฏิยานุพันธ์หนึง่ ของฟังกช์ นั f (x)  x

x2 1

วิธที า จาก F(x)  x2 1

จะได้ F ' (x)  1 (x2 1 (2x)
นัน่ คือ 2
 1)2

x


x2 1

F ' (x)  f (x)

ดังนน้ั F(x)  x2 1 เปน็ ปฏิยานุพนั ธห์ นึง่ ของฟงั กช์ ัน f (x)  x

x2 1

ข้ันสรปุ

5. ครูและนกั เรียนรว่ มกันสรปุ เก่ียวกบั การหาปฏยิ านุพนั ธ์จากบทนิยาม ดังน้ี

บทนิยาม ถ้า F '(x)  f (x) สาหรับทุกค่าของ x ที่อยู่ในโดเมนของ f แล้วฟังก์ชัน F

เปน็ ปฏิยานพุ ันธห์ นึ่งของ f

ชั่วโมงที่ 2
ขน้ั นา

1. ครูและนักเรยี นร่วมกนั ทบทวนเกยี่ วกับการหาปฏยิ านุพันธ์ของฟังกช์ ันโดยการใชบ้ ทนยิ าม
บทนิยาม ถ้า F '(x)  f (x) สาหรับทุกค่าของ x ที่อยู่ในโดเมนของ f แล้วฟังก์ชัน F
เป็นปฏิยานุพนั ธ์หนง่ึ ของ f

237

ขัน้ สอน

2. ครูอธิบายเก่ยี วกบั การเขียนรูปทั่วไปของปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชนั ดงั น้ี

เราสามารถเขยี นรปู ทวั่ ไปของปฏิยานพุ นั ธข์ องฟงั กช์ ัน f ด้วยสัญลักษณ์  f (x)dx เรียกวา่

“ปริพันธไ์ มจ่ ากดั เขต (indefinite integral)” ของฟังก์ชัน f เทียบกับตัวแปร x หรือเรียกสั้น ๆ ว่า

ปริพนั ธ์ของฟงั ก์ชนั f เทียบกบั ตวั แปร x กล่าวคือ

ถ้า F ' (x)  f (x)

แล้ว  f (x)dx  F(x)  c เม่อื c เปน็ ค่าคงตวั

ดังน้นั ปรพิ ันธ์ไมจ่ ากัดเขตของ f คอื รปู ทวั่ ไปของปฏิยานุพนั ธข์ อง f

เรียกการหา  f (x)dx ว่า “การหาปริพันธ์ (integration)” เรียกเคร่ืองหมาย  ว่า

เครื่องหมายปริพันธ์ (integral sign) และเรียก f (x) ว่า ปริพัทธ์ (integrand) โดยสัญลักษณ์ dx

คอื การบอกวา่ หาปรพิ ันธ์น้ีเทียบกับตัวแปร x

3. ครอู ธิบายสูตรการหาปริพนั ธ์ไมจ่ ากดั เขตของฟังก์ชันบางฟังก์ชันพร้อมยกตัวอย่าง ดงั น้ี

สูตรที่ 1 ถ้า k เป็นคา่ คงตวั แล้ว  k dx  kx  c เมื่อ c เป็นค่าคงตวั
ตวั อย่าง จงหา 10dx
วิธที า 10dx  10x  c เมื่อ c เป็นค่าคงตัว

สตู รที่ 2 ถ้า a เป็นจานวนจรงิ และ a  1แลว้  xadx  x a1  c เม่อื c เป็นคา่ คงตัว
a
1

ตัวอย่าง จงหา  x5dx

วิธที า  x5dx  x 51  c เมอ่ื c เป็นค่าคงตัว
5
1

 x6 c
6

สตู รที่ 3 ถ้า k เปน็ คา่ คงตัว แล้ว  k f (x)dx  k f (x)dx

ตวั อยา่ ง จงหา  3x2dx

วธิ ที า  3x2dx  3 x2dx

 3 x3  c1  เม่อื c1 เปน็ คา่ คงตวั
3

 x3  c เม่ือ c เป็นคา่ คงตัว

238

สตู รที่ 4   f (x)  g(x)dx   f (x)dx   g(x)dx

ตัวอย่าง จงหา  x2  2xdx
วิธีทา  x2  2xdx   x2dx   2xdx

  x2dx  2 xdx

 x3  c1  2 x2  c2  เม่อื c1 และ c2 เป็นค่าคงตวั
3 2

 x3  x2 c เม่ือ c เปน็ ค่าคงตวั
3

สตู รที่ 5   f (x)  g(x)dx   f (x)dx   g(x)dx

ตวั อยา่ ง จงหา   2 x  1 dx
 x2 

วธิ ีทา   2x  1 dx   2xdx   1 dx
 x2  x2

 2 x2    x 1   c เม่อื c เป็นค่าคงตวั
2 1

 x2  1  c
x

หมายเหตุ โดยทั่วไป ในการหาปริพันธ์ไม่จากัดเขตของผลบวกหรือผลต่างของฟังก์ชัน

แทนที่จะบวกค่าคงตัวเม่ือหาปริพันธ์ไม่จากัดเขตของแต่ละฟังก์ชัน เพ่ือความสะดวกจะบวกค่าคงตัว

เพยี งตัวเดียวเท่าน้ัน

4. ครใู ห้นกั เรียนทาแบบฝกึ หัด 2.9 ข้อ 2 เพอื่ เปน็ การตรวจสอบความเขา้ ใจรายบุคคล

ข้นั สรุป

5. ครูและนกั เรียนร่วมกันสรุปเกย่ี วกับการหาปรพิ ันธ์ไม่จากัดเขตจากสตู รต่าง ๆ ดังนี้

สตู รที่ 1 ถา้ k เปน็ คา่ คงตัว แล้ว  k dx  kx  c เมื่อ c เปน็ คา่ คงตวั

สูตรที่ 2 ถา้ a เป็นจานวนจรงิ และ a  1แลว้  xadx  x a1  c เม่ือ c เป็นค่าคงตัว
a
1

สตู รท่ี 3 ถา้ k เปน็ คา่ คงตวั แล้ว  k f (x)dx  k f (x)dx

สูตรท่ี 4   f (x)  g(x)dx   f (x)dx   g(x)dx

สตู รที่ 5   f (x)  g(x)dx   f (x)dx   g(x)dx

239

การวดั และประเมนิ ผลการเรียนรู้

จุดประสงค์การเรยี นรู้ เครือ่ งมือ วธิ กี ารประเมนิ เกณฑ์การประเมนิ
นกั เรยี นสามารถอธบิ ายการหา
ปฏยิ านุพันธแ์ ละปรพิ นั ธ์ไม่จากดั แบบฝกึ หัด 2.9 ข้อ 2 ใหญ่ ตรวจแบบฝึกหดั 2.9 ข้อ ผ่านเกณฑร์ ้อยละ 75

เขตได้ (K) ขอ้ 1,2,3,4 2 ใหญ่ ข้อ 1,2,3,4
นักเรยี นสามารถแสดงวธิ กี ารหา
ปฏยิ านุพันธ์และปรพิ ันธ์ไม่จากัด แบบฝกึ หัด 2.9 ข้อ 2 ใหญ่ ตรวจแบบฝกึ หดั 2.9 ข้อ ผา่ นเกณฑ์ร้อยละ 75

เขตได้ (P) ข้อ 1,2,3,4 2 ใหญ่ ขอ้ 1,2,3,4
นกั เรยี นมีความตง้ั ใจและ
รับผดิ ชอบต่องานทไี่ ดร้ ับ แบบสังเกตพฤติกรรม สงั เกตพฤตกิ รรม ผา่ นเกณฑ์
การประเมิน
มอบหมาย (A) ท้ัง 2 รายการ

สอ่ื /แหล่งการเรียนรู้
สื่อการเรยี นรู้

1. หนังสือรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.6 เล่ม 1 หน่วยการเรียนรู้ท่ี 2 เรื่อง แคลคูลัส
เบื้องต้น

2. แบบฝึกหัด 2.9 ปฏิยานุพนั ธ์และปรพิ นั ธไ์ ม่จากัดเขต
3. วดิ ีโอการสอน เร่ือง แคลคูลสั เบ้ืองต้น จาก https://proj14.ipst.ac.th
แหลง่ การเรยี นรู้
1. ห้องเรยี น
2. หอ้ งสมดุ
3. อินเตอรเ์ นต็

240

บนั ทึกหลังการสอน

ดา้ นความรู้ (K)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

. ดา้ นทกั ษะกระบวนการ (P)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

คณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค/์ เจตคติ (A)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

สมรรถนะสาคญั ผ้เู รียน (C)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ปัญหาอุปสรรค/ข้อเสนอแนะอืน่ ๆ
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ่ื ……………………………………(ผู้สอน)
(นายธรี เทพ ชศู รโี สม)

วันที่ ……………………………………

241

242

แบบประเมนิ พฤติกรรมการเรียนรู้ ด้านความรู้ ทกั ษะกระบวนการ และคณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงค์
แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 25 เรอื่ ง ปฏยิ านพุ ันธแ์ ละปริพนั ธ์ไมจ่ ากัดเขต ช้นั มัธยมศึกษาปีท่ี 6

เลขท่ี ชอื่ - สกลุ ความรู้ ทกั ษะกระบวนการ คณุ ลักษณะ หมายเหตุ
ของผู้รับการประเมนิ 2 ระดบั 3 ระดับ อันพงึ ประสงค์
3 ระดบั

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

243

เลขท่ี ชอื่ - สกลุ ความรู้ ทักษะกระบวนการ คณุ ลกั ษณะ หมายเหตุ
ของผ้รู ับการประเมนิ 2 ระดับ 3 ระดับ อนั พงึ ประสงค์
3 ระดับ

26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39

รวม
เฉลย่ี
จานวนนกั เรยี นทผี่ า่ น
ร้อยละนกั เรียนทีผ่ ่าน

ลงชื่อ.................................................................................ผ้ปู ระเมนิ
(นายธรี เทพ ชูศรโี สม)

วนั ที่.......................เดอื น......................................พ.ศ.....................

244

ตงั บ่งช้ี เกณฑก์ ารให้คะแนนด้านความรู้
การตอบคาถามใน ระดบั คณุ ภาพ/ระดบั คะแนน

หอ้ งเรยี น 2 : ดี 1 : พอใช้ 0 : ปรบั ปรงุ

นกั เรียนมีความรู้ความ นกั เรียนมีความพยายามตอบ นักเรียนไมต่ อบคาถามใน
หอ้ งเรียน
เขา้ ใจสามารถตอบคาถาม คาถามที่ครูถามได้ถูกต้อง

ท่คี รถู ามได้ถกู ต้อง บางส่วน

หมายเหตุ ผา่ น หมายถงึ นักเรยี นทาคะแนนไดเ้ ฉล่ียร้อยละ 70 ขึ้นไป
ไม่ผา่ น หมายถึง นกั เรยี นทาคะแนนได้ต่ากว่าเฉลี่ยร้อยละ 70 ขึน้ ไป

เกณฑ์การให้คะแนนดา้ นทกั ษะ/กระบวนการทางคณติ ศาสตร์

ทกั ษะ/กระบวนการความสามารถในการแกป้ ญั หาในการเรยี นคณติ ศาสตร์ได้

คะแนน:ระดับคุณภาพ ความสามารถในการแกป้ ัญหาในการเรียนคณติ ศาสตรไ์ ด้

3 : ดเี ย่ียม สามารถแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ได้ถูกต้องครบถว้ น

2 : ดี สามารถแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้ถูกตอ้ งบางสว่ น

1 : พอใช้ มีความพยายามในการแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์

0 : ปรับปรุง ไมม่ ีความพยายามในการแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์

เกณฑ์การประเมนิ อยู่ในระดับ ดี ถอื วา่ ผ่าน

245

ตังบง่ ช้ี เกณฑ์การให้คะแนนดา้ นคณุ ลักษณะอันพึงประสงค์
การตอบ ระดับคณุ ภาพ/ระดับคะแนน
คาถามใน
ห้องเรยี น 3 : ดมี าก 2 : ดี 1 : กาลงั พัฒนา 0 : ตอ้ งปรับปรงุ

มีความตั้งใจและ มีความตัง้ ใจและพยายาม มคี วามต้งั ใจและ ไมม่ ีความต้ังใจและ
พยายามในการ
พยายามในการ ในการแกป้ ัญหาทาง พยายามในการ แกป้ ัญหาทาง
คณิตศาสตร์ที่
แกป้ ัญหาทาง คณิตศาสตร์ทก่ี าหนดให้ แกป้ ญั หาทาง กาหนดให้ ไม่มคี วาม
อดทนและท้อแทต้ ่อ
คณิตศาสตร์ที่กาหนดให้ แต่ไม่มคี วามอดทนและ คณติ ศาสตร์ทก่ี าหนดให้ อปุ สรรคจนทาให้
แกป้ ญั หาทาง
มีความอดทนและไม่ ทอ้ แทต้ ่ออปุ สรรคจนทา แต่ไม่มคี วามอดทนและ คณติ ศาสตร์ที่
กาหนดใหไ้ ดไ้ ม่
ท้อแท้ต่ออุปสรรคจนทา ใหแ้ ก้ปัญหาทาง ท้อแทต้ ่ออปุ สรรคจนทา
สาเร็จ
ใหส้ ามารถแก้ปัญหาทาง คณิตศาสตร์ทก่ี าหนดให้ ให้แก้ปัญหาทาง

คณติ ศาสตร์ทก่ี าหนดให้ ได้ไมส่ าเร็จเลก็ นอ้ ย คณติ ศาสตร์ทก่ี าหนดให้

ได้สาเรจ็ ไดไ้ ม่สาเร็จเป็นส่วน

ใหญ่

เกณฑ์การประเมิน อยู่ในระดับ ดี ถอื วา่ ผา่ น

246

แบบฝกึ หดั 2.9

2. จงหา

1)  x4  3x2  5xdx

 2) 2x3  3x2  6  2x2 dx

3)  x10  1 dx
 x3 

4)   1  2 dx
 x2 x4 