แผนการจัดการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 เรื่อง แคลคูลัสเบื้องต้น

97

ตงั บ่งช้ี เกณฑก์ ารใหค้ ะแนนด้านความรู้
การตอบคาถามใน ระดบั คณุ ภาพ/ระดบั คะแนน

ห้องเรียน 2 : ดี 1 : พอใช้ 0 : ปรับปรงุ

นกั เรยี นมีความรู้ความ นักเรียนมีความพยายามตอบ นักเรยี นไม่ตอบคาถามใน
ห้องเรียน
เข้าใจสามารถตอบคาถาม คาถามทคี่ รถู ามได้ถูกตอ้ ง

ท่ีครถู ามได้ถูกต้อง บางสว่ น

หมายเหตุ ผา่ น หมายถึง นกั เรยี นทาคะแนนไดเ้ ฉลย่ี ร้อยละ 70 ข้ึนไป
ไมผ่ ่าน หมายถึง นกั เรียนทาคะแนนได้ต่ากวา่ เฉลย่ี ร้อยละ 70 ขึ้นไป

เกณฑ์การให้คะแนนดา้ นทกั ษะ/กระบวนการทางคณิตศาสตร์

ทกั ษะ/กระบวนการความสามารถในการแกป้ ญั หาในการเรียนคณิตศาสตรไ์ ด้

คะแนน:ระดบั คุณภาพ ความสามารถในการแกป้ ญั หาในการเรยี นคณิตศาสตรไ์ ด้

3 : ดีเย่ียม สามารถแก้ปัญหาทางคณิตศาสตรไ์ ดถ้ กู ต้องครบถว้ น

2 : ดี สามารถแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ไดถ้ ูกต้องบางสว่ น

1 : พอใช้ มีความพยายามในการแก้ปญั หาทางคณติ ศาสตร์

0 : ปรับปรงุ ไม่มีความพยายามในการแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์

เกณฑ์การประเมิน อยู่ในระดับ ดี ถือว่า ผา่ น

98

ตงั บง่ ชี้ เกณฑ์การให้คะแนนด้านคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค์
การตอบ ระดบั คณุ ภาพ/ระดับคะแนน
คาถามใน
ห้องเรียน 3 : ดมี าก 2 : ดี 1 : กาลงั พฒั นา 0 : ต้องปรบั ปรงุ

มคี วามตง้ั ใจและ มีความตง้ั ใจและพยายาม มคี วามตั้งใจและ ไมม่ ีความตง้ั ใจและ
พยายามในการ
พยายามในการ ในการแก้ปญั หาทาง พยายามในการ แกป้ ญั หาทาง
คณิตศาสตร์ที่
แกป้ ญั หาทาง คณิตศาสตร์ที่กาหนดให้ แก้ปญั หาทาง กาหนดให้ ไมม่ ีความ
อดทนและท้อแทต้ ่อ
คณติ ศาสตร์ท่กี าหนดให้ แตไ่ ม่มคี วามอดทนและ คณิตศาสตร์ท่ีกาหนดให้ อปุ สรรคจนทาให้
แก้ปัญหาทาง
มีความอดทนและไม่ ทอ้ แทต้ อ่ อุปสรรคจนทา แตไ่ ม่มีความอดทนและ คณิตศาสตร์ท่ี
กาหนดใหไ้ ดไ้ ม่
ท้อแท้ตอ่ อุปสรรคจนทา ให้แก้ปัญหาทาง ทอ้ แทต้ อ่ อปุ สรรคจนทา
สาเรจ็
ใหส้ ามารถแกป้ ัญหาทาง คณิตศาสตร์ทกี่ าหนดให้ ให้แกป้ ญั หาทาง

คณิตศาสตร์ทก่ี าหนดให้ ไดไ้ มส่ าเร็จเล็กน้อย คณิตศาสตร์ที่กาหนดให้

ได้สาเร็จ ไดไ้ ม่สาเรจ็ เป็นสว่ น

ใหญ่

เกณฑ์การประเมิน อยู่ในระดับ ดี ถอื ว่า ผ่าน

99

ใบกจิ กรรมท่ี 3
เรอื่ ง อนพุ นั ธ์ของฟังกช์ นั ประกอบ

ใหห้ าอนพุ นั ธ์ของฟังกช์ นั ในแต่ละข้อต่อไปนี้

1.

2.

100

3.

4.

รายช่อื สมาชิกกลุ่ม
1.
2.
3.
4.
5.

101

เฉลยใบกิจกรรมที่ 3
เร่ือง อนพุ นั ธ์ของฟังกช์ ันประกอบ

ใหห้ าอนพุ ันธ์ของฟงั กช์ ันในแตล่ ะข้อต่อไปนี้
1.

ให้
จะได้
โดยกฎลูกโซ่ จะได้

2.
ให้
จะได้
โดยกฎลูกโซ่ จะได้

102

3.

ให้
จะได้
โดยกฎลูกโซ่ จะได้

103

4.

ให้
จะได้
โดยกฎลูกโซ่ จะได้

104

แบบทดสอบยอ่ ยท่ี 3
เรอื่ ง อนพุ นั ธ์ของฟังกช์ นั ประกอบ

จงหาอนพุ นั ธ์ของฟงั ก์ชันตอ่ ไปนี้
1.

2.

105
3.

ช่ือ-สกลุ ชัน้ เลขท่ี

106

เฉลยแบบทดสอบย่อยท่ี 3
เรื่อง อนุพันธ์ของฟังก์ชนั ประกอบ

จงหาอนพุ นั ธ์ของฟงั กช์ ันต่อไปนี้
1.

ให้
จะได้
โดยกฎลกู โซ่ จะได้

2.
ให้
จะได้
โดยกฎลกู โซ่ จะได้

107

3.

ให้
จะได้
โดยกฎลูกโซ่ จะได้

108

แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 18 ชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 6
รายวิชาเสริมทักษะคณติ ศาสตร์ รหัสวิชา ค33201 ภาคเรยี นท่ี 1/2565
หน่วยการเรียนรู้ท่ี 2 แคลคูลสั เบอ้ื งตน้ เวลาเรียน 2 ช่ัวโมง
เรอ่ื ง เส้นสัมผัสเสน้ โค้ง โรงเรียนอุดรพฒั นาการ
ผสู้ อน นายธีรเทพ ชูศรีโสม

ผลการเรียนรู้
1. ตรวจสอบความต่อเนื่องของฟังกช์ ันที่กาหนดให้
2. หาอนพุ นั ธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตท่ีกาหนดให้และนาไปใช้แกป้ ญั หา
3. หาปรพิ ันธไ์ มจ่ ากัดเขตและจากดั เขตของฟงั ก์ชันพชี คณิตท่ีกาหนดให้และนาไปใช้

แกป้ ัญหา

จุดประสงค์การเรยี นรู้
1. นกั เรียนสามารถอธิบายความชันของเสน้ โค้งได้ (K)
2. นักเรียนสามารถแสดงวิธีการหาความชันของเสน้ โคง้ ได้ (P)
3. นักเรียนมีความตง้ั ใจและรบั ผดิ ชอบตอ่ งานท่ไี ดร้ บั มอบหมาย (A)
4. นกั เรยี นมีความมุมานะในการแก้ปญั หาทางคณติ ศาสตร์ (A)

สาระสาคัญ
กาหนดเสน้ โคง้ ซึ่งเป็นกราฟของฟังกช์ ัน y  f (x) และจุด Pa, f (a) เป็นจุดบนเส้นโค้ง

เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด Pa, f (a) คือ เส้นตรงท่ีผ่านจุด P และมีความชันเท่ากับ f '(a) จะ
เรียกความชันของเสน้ สัมผัสเสน้ โคง้ ที่จุด P วา่ ความชันของเส้นโคง้ ท่ีจดุ P

สมรรถนะสาคัญของผเู้ รียน
1. ความสามารถในการคดิ
2. ความสามารถในการสอ่ื สาร

3. ความสามารถในการแก้ปญั หา

109

กิจกรรมการเรยี นร้โู ดยใชก้ ารเรยี นร้แู บบร่วมมือด้วยเทคนิค STAD
ชั่วโมงที่ 1
ขนั้ นาเขา้ ส่บู ทเรยี น

1. ครูประกาศคะแนนเก็บของแต่ละกลุ่มจากการทากิจกรรมกลุ่ม เรื่อง อนุพันธ์ของ
ฟงั ก์ชนั ประกอบ

2. ครูและนกั เรียนรว่ มกันทบทวนเกยี่ วกับการหาอนุพนั ธ์ของฟังก์ชนั ประกอบ

ขน้ั นาเสนอบทเรยี น
3. ครูอธิบายการหาความชันของเส้นโค้งและการหาสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งจากบทนิยาม

และแสดงตวั อย่างเก่ยี วกับการหาความชันของเสน้ สัมผสั เส้นโคง้ ดงั นี้
กาหนดให้ y  f (x) เปน็ สมการเสน้ โคง้ มีกราฟดงั ภาพ

จะเหน็ วา่ ความชันของเส้นตรงทลี่ ากผ่านจดุ Px, f (x) และ Qx  h, f (x  h)

เท่ากับ f (x  h)  f (x)
h

จากภาพถ้า Q เคลอ่ื นเข้าหาจดุ P ตามแนวเสน้ โค้ง y  f (x) (เมอื่ กาหนดให้จดุ P คงที่)

จะเห็นว่า h  0 และเส้นตรงท่ีลากผ่านจุด P และจุด Q จะเป็นเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y  f (x)

ณ จุด P(x, y) ดังนั้นความชนั ของเส้นสัมผัสเสน้ โคง้ y  f (x) ณ จดุ P(x, y) ใดๆ คอื

lim f (x  h)  f (x)  dy
h dx
h0

110

บทนยิ าม ถ้า y  f (x)เปน็ สมการของเสน้ โคง้ เส้นสมั ผสั เสน้ โค้งที่จุด P(x, y) ใดๆ จะเป็น

เสน้ ตรงทีผ่ า่ นจดุ P และมคี วามชันเท่ากบั lim f (x  h)  f (x) (ถ้าลมิ ติ หาคา่ ได้)

h0 h

ความชนั ของเสน้ โคง้ ณ จุด P(x, y) หมายถึง ความชนั ของเสน้ โค้ง ณ จุด P

ตวั อย่างท่ี 1 จงหาความชนั ของเสน้ โคง้ y  x3 ณ จดุ (2, 8)
วิธีทา ความชันของเส้นโคง้ ณ จุด P(x, y) ใดๆ เทา่ กับ

lim f (x  h)  f (x)  lim f (x  h)3  x3
h h0 h
h0

 lim (x  h)( x  h)( x  h)  x3
h
h0

 lim (x3  3x 2 h  3xh 2  h3)  x3
h
h0

 lim x3  3x 2 h  3xh 2  h3  x3
h
h0

 lim 3x 2 h  3xh 2  h3
h
h0

 lim h(3x 2  3xh  h2 )
h
h0

 lim 3x 2  3xh  h2
h0

 3x2

ดงั นั้น ความชันของเสน้ โค้ง ณ จุด (2, 8) เท่ากับ 3(2)2  12

นอกจากนี้ การหาความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดใดๆยังสามารถหาได้โดยการหา

อนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั โดยใชส้ ูตร

จาก y  x3 จะได้ y'  3x2

น่นั คือ ความชนั ของเสน้ สัมผัสเสน้ โคง้ ณ จดุ (x, y) ใดๆ เท่ากับ 3x2

ดงั น้ัน ความชันของเสน้ สมั ผัสเส้นโค้ง ณ จดุ (2, 8) เทา่ กบั 3(2)2  12

ตัวอย่างที่ 2 จงหาความชันของเส้นสมั ผสั เสน้ โค้ง y  x3  4x2  2x ที่ จุด (2, 20)

วิธีทา จาก y  x3  4x2  2x จะได้ y'  3x2  8x  2

นนั่ คอื ความชนั ของเสน้ สมั ผสั เสน้ โค้ง ณ จดุ (x, y) ใดๆ เท่ากับ 3x2  8x  2

ดงั นัน้ ความชันของเสน้ สัมผัสเส้นโคง้ ณ จุด (2, 8) เท่ากบั

3(2)2  8(2)  2  30

111

ตัวอย่างท่ี 3 จงหาสมการเสน้ สมั ผัสเส้นโค้ง y  4x2  2x  6 ทจ่ี ุด (6, 4)

วธิ ที า จาก y  4x2  2x  6

จะได้ y'  8x  2

นั่นคอื ความชันของเส้นสมั ผัสเส้นโคง้ ณ จดุ (x, y) ใดๆ เทา่ กบั 8x  2

จะได้ ความชนั ของเสน้ สมั ผสั เสน้ โค้ง ณ จุด (6, 4) เท่ากับ 8(6)  2  50

ดงั นั้น สมการเสน้ สัมผัสเส้นโค้ง y  4x2  2x  6 ทจ่ี ดุ (6, 4) คือ

y  4  50(x  6)
y  4  50x  300
50x  y  296  0

ตวั อย่างที่ 4 จงหาสมการเส้นตรงท่ลี ากมาตงั้ ฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโคง้ y  x2  2x  5

ณ จดุ (1, 8)

วิธีทา จาก y  x2  2x  5

จะได้ y'  2x  2

นั่นคอื ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุด (x, y) ใดๆ เท่ากบั 2x  2

จะได้ ความชนั ของเส้นสัมผัสเส้นโคง้ ณ จุด (1, 8) เทา่ กบั 2(1)  2  4

และเสน้ ตรงท่ลี ากมาตง้ั ฉากกับเส้นสมั ผัสเสน้ โคง้ ท่จี ุด (1, 8) มีความชันเทา่ กบั  1
4

เสน้ ตรง 2 เส้นตง้ั ฉากกนั จะมีผลคูณของความชันเทา่ กับ -1

ดงั น้ัน สมการเส้นตรงที่ลากมาต้ังฉากกบั เสน้ สัมผัสเส้นโค้งทจี่ ดุ (1, 8)

และมคี วามชนั เท่ากับ  1 คอื
4

y  8   1 (x  1)
4

4 y  32  x 1

x  4 y  33  0

112

ชวั่ โมงที่ 2

ขน้ั ปฏบิ ัติกจิ กรรมกลุ่มย่อย

4. ครูให้นักเรียนครูให้นักเรียนแต่ละกลุ่มทาใบกิจกรรม เรื่อง เส้นสัมผัสเส้นโค้ง โดยให้
เวลานักเรียนร่วมกันแสดงวิธีหาคาตอบ แลกเปลี่ยนความคิดเห็น และช่วยเหลือกัน ซึ่งครูจะเป็น
ผู้ช่วยเหลือและต้ังคาถามกระตุ่นให้แต่ละกลุ่มคิดหาคาตอบ และเมื่อทุกกลุ่มหาคาตอบได้แล้ว
ครสู ุ่มสมาชิกของแตล่ ะกลุ่มออกมาอธบิ ายขน้ั ตอนการแก้ปัญหาแตล่ ะข้อเพ่ือเก็บคะแนนกลุ่ม

5. ครูและนกั เรียนรว่ มกนั สรปุ เกยี่ วกับการหาความชันของเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ และการหา

สมการเสน้ สัมผสั เส้นโคง้

ขั้นทดสอบย่อย/ประเมินผลกิจกรรมกลุ่ม

6. ให้นักเรียนทาแบบทดสอบย่อยที่ 4 เป็นรายบุคคล โดยไม่เปิดโอกาสให้ปรึกษากัน
ใช้เวลาในการทาแบบทดสอบย่อยท่ี 4 เป็นเวลา 15 นาที

7. ครูเกบ็ กระดาษคาตอบเพื่อนาไปตรวจให้คะแนน จากนนั้ นาคะแนนของสมาชกิ ในกลุ่มมา

รวมกนั แลว้ หาค่าเฉลี่ย เพื่อประกาศคะแนนของกลุ่มในคาบถดั ไป

การวัดและประเมนิ ผลการเรียนรู้

จุดประสงค์การเรียนรู้ เครื่องมอื วิธกี ารประเมนิ เกณฑ์การประเมนิ

นกั เรยี นสามารถอธบิ ายความชัน ใบกจิ กรรม ตรวจใบกจิ กรรม ผา่ นเกณฑร์ ้อยละ 75
เรอ่ื ง เสน้ สัมผัสเสน้ โคง้
ของเส้นโคง้ ได้ (K) เรอื่ ง เส้นสัมผสั เสน้ โคง้

. นกั เรียนสามารถแสดงวธิ ีการหา ใบกิจกรรม ตรวจใบกิจกรรม ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 75
ความชันของเสน้ โค้งได้ (P) เร่ือง เส้นสมั ผสั เสน้ โคง้ เร่อื ง เสน้ สมั ผัสเสน้ โค้ง
นักเรียนมคี วามตัง้ ใจและ แบบสงั เกตพฤติกรรม ผา่ นเกณฑ์
รับผดิ ชอบตอ่ งานทไี่ ดร้ ับ สงั เกตพฤติกรรม การประเมนิ
มอบหมาย (A) แบบสังเกตพฤติกรรม ทั้ง 2 รายการ
สงั เกตพฤติกรรม ผา่ นเกณฑ์
นกั เรยี นมคี วามมุมานะในการ การประเมนิ
แกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์ (A) ทัง้ 2 รายการ

113

สอ่ื /แหลง่ การเรยี นรู้
สอื่ การเรียนรู้

1. หนังสือรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ ม.6 เล่ม 1 หน่วยการเรียนรู้ท่ี 2 เรื่อง แคลคูลัส
เบอื้ งตน้

2. ใบกิจกรรมที่ 4 เรอ่ื ง เส้นสัมผสั เส้นโค้ง
3. วดิ ีโอการสอน เรอื่ ง แคลคูลัสเบ้ืองตน้ จาก https://proj14.ipst.ac.th
4. เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลสั เบอ้ื งตน้
5. แบบทดสอบย่อยท่ี 4 เรอ่ื ง เสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้

แหลง่ การเรียนรู้
1. ห้องเรียน
2. หอ้ งสมุด
3. อินเตอรเ์ นต็

114

บนั ทึกหลังการสอน

ดา้ นความรู้ (K)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

. ดา้ นทกั ษะกระบวนการ (P)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

คณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค/์ เจตคติ (A)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

สมรรถนะสาคญั ผ้เู รยี น (C)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ปัญหาอุปสรรค/ข้อเสนอแนะอืน่ ๆ
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชื่อ ……………………………………(ผู้สอน)
(นายธรี เทพ ชศู รโี สม)

วนั ที่ ……………………………………

115

116

แบบประเมนิ พฤติกรรมการเรยี นรู้ ด้านความรู้ ทกั ษะกระบวนการ และคุณลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์
แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 18 เรอ่ื ง เสน้ สัมผัสเสน้ โค้ง ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 6

เลขที่ ช่อื - สกลุ ความรู้ ทักษะกระบวนการ คณุ ลกั ษณะ หมายเหตุ
ของผ้รู ับการประเมิน 2 ระดบั 3 ระดบั อนั พึงประสงค์
3 ระดับ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

117

เลขท่ี ชอื่ - สกลุ ความรู้ ทักษะกระบวนการ คณุ ลกั ษณะ หมายเหตุ
ของผ้รู ับการประเมนิ 2 ระดับ 3 ระดับ อนั พงึ ประสงค์
3 ระดับ

26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39

รวม
เฉลย่ี
จานวนนกั เรยี นทผี่ า่ น
ร้อยละนกั เรียนทีผ่ ่าน

ลงชื่อ.................................................................................ผ้ปู ระเมนิ
(นายธรี เทพ ชูศรโี สม)

วนั ที่.......................เดอื น......................................พ.ศ.....................

118

ตงั บ่งช้ี เกณฑก์ ารให้คะแนนด้านความรู้
การตอบคาถามใน ระดบั คณุ ภาพ/ระดบั คะแนน

หอ้ งเรยี น 2 : ดี 1 : พอใช้ 0 : ปรบั ปรงุ

นกั เรียนมีความรู้ความ นกั เรียนมีความพยายามตอบ นักเรียนไมต่ อบคาถามใน
หอ้ งเรียน
เขา้ ใจสามารถตอบคาถาม คาถามที่ครูถามได้ถูกต้อง

ท่คี รถู ามได้ถกู ต้อง บางส่วน

หมายเหตุ ผา่ น หมายถงึ นักเรยี นทาคะแนนไดเ้ ฉล่ียร้อยละ 70 ขึ้นไป
ไม่ผา่ น หมายถึง นกั เรยี นทาคะแนนได้ต่ากว่าเฉลี่ยร้อยละ 70 ขึน้ ไป

เกณฑ์การให้คะแนนดา้ นทกั ษะ/กระบวนการทางคณติ ศาสตร์

ทกั ษะ/กระบวนการความสามารถในการแกป้ ญั หาในการเรยี นคณติ ศาสตร์ได้

คะแนน:ระดับคุณภาพ ความสามารถในการแกป้ ัญหาในการเรียนคณติ ศาสตรไ์ ด้

3 : ดเี ย่ียม สามารถแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ได้ถูกต้องครบถว้ น

2 : ดี สามารถแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้ถูกตอ้ งบางสว่ น

1 : พอใช้ มีความพยายามในการแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์

0 : ปรับปรุง ไมม่ ีความพยายามในการแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์

เกณฑ์การประเมนิ อยู่ในระดับ ดี ถอื วา่ ผ่าน

119

ตังบง่ ช้ี เกณฑ์การให้คะแนนดา้ นคณุ ลักษณะอันพึงประสงค์
การตอบ ระดับคณุ ภาพ/ระดับคะแนน
คาถามใน
ห้องเรยี น 3 : ดมี าก 2 : ดี 1 : กาลงั พัฒนา 0 : ตอ้ งปรับปรงุ

มีความตั้งใจและ มีความตัง้ ใจและพยายาม มคี วามต้งั ใจและ ไมม่ ีความต้ังใจและ
พยายามในการ
พยายามในการ ในการแกป้ ัญหาทาง พยายามในการ แกป้ ัญหาทาง
คณิตศาสตร์ที่
แกป้ ัญหาทาง คณิตศาสตร์ทก่ี าหนดให้ แกป้ ญั หาทาง กาหนดให้ ไม่มคี วาม
อดทนและท้อแทต้ ่อ
คณิตศาสตร์ที่กาหนดให้ แต่ไม่มคี วามอดทนและ คณติ ศาสตร์ทก่ี าหนดให้ อปุ สรรคจนทาให้
แกป้ ญั หาทาง
มีความอดทนและไม่ ทอ้ แทต้ ่ออปุ สรรคจนทา แต่ไม่มคี วามอดทนและ คณติ ศาสตร์ที่
กาหนดใหไ้ ดไ้ ม่
ท้อแท้ต่ออุปสรรคจนทา ใหแ้ ก้ปัญหาทาง ท้อแทต้ ่ออปุ สรรคจนทา
สาเร็จ
ใหส้ ามารถแก้ปัญหาทาง คณิตศาสตร์ทก่ี าหนดให้ ให้แก้ปัญหาทาง

คณติ ศาสตร์ทก่ี าหนดให้ ได้ไมส่ าเร็จเลก็ นอ้ ย คณติ ศาสตร์ทก่ี าหนดให้

ได้สาเรจ็ ไดไ้ ม่สาเร็จเป็นส่วน

ใหญ่

เกณฑ์การประเมิน อยู่ในระดับ ดี ถอื วา่ ผา่ น

120

ใบกจิ กรรมท่ี 4
เรอ่ื ง เส้นสมั ผัสเส้นโค้ง

1. จงหาความชันของเสน้ สมั ผัสเส้นโค้ง ณ จุดทีก่ าหนดให้แต่ละข้อต่อไปน้ี

1) ท่ีจุด (โดยใชบ้ ทนยิ าม)

2) ทีจ่ ดุ (โดยใชบ้ ทนยิ าม)

121

3) ท่ีจดุ (โดยใช้สตู ร)

2. จงหาสมการเสน้ สมั ผัสเส้นโคง้ ที่จดุ

รายชื่อสมาชกิ กลุ่ม
1.
2.
3.
4.
5.

122

ใบกิจกรรมท่ี 4
เร่ือง เสน้ สัมผัสเส้นโค้ง

1. จงหาความชันของเสน้ สมั ผัสเส้นโคง้ ณ จุดที่กาหนดให้แต่ละข้อตอ่ ไปน้ี
1) ท่จี ุด (โดยใชบ้ ทนิยาม)

วิธที า ความชนั ของเส้นโค้ง ณ จุด ใดๆ เท่ากับ

ดังน้ัน ความชนั ของเสน้ สมั ผัสเสน้ โค้ง ณ จดุ คือ

2) ท่จี ดุ (โดยใช้บทนิยาม)
วธิ ที า
ความชันของเสน้ โค้ง ณ จดุ ใดๆ เทา่ กับ

ดังนน้ั ความชนั ของเส้นสมั ผัสเสน้ โคง้ ณ จุด คือ

123

3) ทจ่ี ุด (โดยใช้สูตร)

วธิ ีทา จาก
จะได้
นั่นคอื ความชนั ของเส้นสมั ผัสเสน้ โค้ง ณ จุด ใดๆ คอื
ดงั น้ัน ความชันของเสน้ สมั ผัสเสน้ โค้ง ณ จดุ เทา่ กับ

2. จงหาสมการเสน้ สมั ผัสเสน้ โค้ง ท่จี ุด

วธิ ีทา จาก

จะได้

นนั่ คือ ความชนั ของเส้นสมั ผัสเส้นโค้ง ณ จุด ใดๆ คือ

ความชันของเสน้ สมั ผัสเสน้ โค้ง ณ จุด เทา่ กับ

ดงั นัน้ สมการเส้นสัมผสั เสน้ โคง้ ณ จุด คอื

รายชอื่ สมาชกิ กลุ่ม
1.
2.
3.
4.
5.

124

แบบทดสอบยอ่ ยที่ 4
เรอ่ื ง เสน้ สมั ผสั เสน้ โค้ง

1. จงหาความชนั ของเส้นสมั ผัสเส้นโค้ง ทจ่ี ดุ

2. จงหาสมการเสน้ สมั ผัสเส้นโคง้ ท่ีจุด

ชือ่ -สกุล ชน้ั เลขท่ี

125

เฉลยแบบทดสอบย่อยที่ 4
เร่ือง เสน้ สมั ผสั เส้นโคง้

1. จงหาความชันของเส้นสมั ผัสเสน้ โค้ง ท่จี ดุ

วิธที า จาก
จะได้
นนั่ คอื ความชันของเสน้ สัมผัสเส้นโค้งท่จี ุด ใดๆ คือ
ดังน้นั ความชนั ของเสน้ สมั ผัสเส้นโค้งทีจ่ ดุ เทา่ กับ

2. จงหาสมการเส้นสมั ผสั เสน้ โคง้ ท่จี ุด

วธิ ีทา จาก

จะได้

นั่นคือ ความชันของเส้นสมั ผัสเส้นโคง้ ณ จุด ใดๆ คอื

ความชนั ของเสน้ สัมผสั เส้นโค้ง ณ จดุ เท่ากบั

ดงั นัน้ สมการเสน้ สัมผัสเสน้ โค้ง ณ จุด คอื

ช่อื -สกุล ช้ัน เลขท่ี

126

แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 19 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 6
รายวิชาเสรมิ ทกั ษะคณิตศาสตร์ รหสั วิชา ค33201 ภาคเรียนท่ี 1/2565
หน่วยการเรยี นรทู้ ่ี 2 แคลคูลสั เบื้องต้น เวลาเรียน 2 ช่วั โมง
เรอื่ ง อนพุ ันธอ์ นั ดบั สูง โรงเรียนอดุ รพัฒนาการ
ผู้สอน นายธรี เทพ ชูศรีโสม

ผลการเรียนรู้
1. ตรวจสอบความต่อเนื่องของฟังกช์ นั ที่กาหนดให้
2. หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณติ ท่ีกาหนดให้และนาไปใช้แกป้ ัญหา
3. หาปรพิ นั ธ์ไม่จากัดเขตและจากดั เขตของฟังก์ชันพีชคณิตทก่ี าหนดให้และนาไปใช้

แก้ปัญหา

จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้
1. นกั เรยี นสามารถอธิบายการหาอนพุ ันธ์อันดับสงู ได้ (K)
2. นักเรียนสามารถแสดงวิธีการหาอนุพนั ธ์อนั ดับสูงได้ (P)
3. นกั เรยี นมคี วามต้ังใจและรบั ผดิ ชอบต่องานท่ีได้รบั มอบหมาย (A)
4. นักเรยี นมีความมมุ านะในการแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ (A)

สาระสาคญั
ให้ f เป็นฟังก์ชันท่ีสามารถหาอนุพันธ์ได้ และอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ได้ x เป็นฟังก์ชัน

ท่ีสามารถหาอนุพันธ์ได้ จะเรียกอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ' ที่ x ว่า อนุพันธ์อันดับที่ 2 (second
derivative) ของฟงั กช์ ัน f ที่ x และเขยี นแทนด้วย f '' (x)

สมรรถนะสาคัญของผูเ้ รียน
1. ความสามารถในการคิด
2. ความสามารถในการสือ่ สาร
3. ความสามารถในการแก้ปัญหา

127

กิจกรรมการเรยี นรูโ้ ดยใช้การเรยี นรแู้ บบรว่ มมอื ดว้ ยเทคนคิ STAD

ช่วั โมงที่ 1

ขั้นนาเข้าสู่บทเรียน

1. ครูประกาศคะแนนเก็บของแตล่ ะกลุม่ จากการทากจิ กรรมกลุ่ม เรอื่ ง เสน้ สัมผสั เส้นโคง้

2. ครแู ละนักเรียนรว่ มกนั ทบทวนเกย่ี วกบั การหาอนุพันธข์ องฟังกช์ นั โดยใชส้ ตู ร

สตู รท่ี 1 ถา้ f (x)  c เมือ่ c เปน็ คา่ คงตวั แลว้  0

สตู รท่ี 2 ถ้า f (x)  x แล้ว 1

สตู รที่ 3 ถ้า f (x)  xa เมอ่ื a เปน็ จานวนจรงิ แลว้  axa1

สตู รท่ี 4 ถ้าฟังกช์ ัน f และ g หาอนุพนั ธไ์ ดท้ ่ี x แล้ว 

สูตรท่ี 5 ถ้าฟังก์ชนั f และ g หาอนพุ นั ธ์ไดท้ ี่ x แล้ว 

สูตรที่ 6 ถ้า c เปน็ ค่าคงตัว และฟังกช์ นั f หาอนพุ นั ธ์ไดท้ ี่ x แล้ว c

สตู รท่ี 7 ถ้าฟงั กช์ ัน f และ g หาอนุพนั ธ์ได้ท่ี x แลว้ 

สูตรท่ี 8 ถา้ ฟังกช์ นั f และ g หาอนุพนั ธ์ได้ที่ x และ g(x)  0 แลว้

() 

ขั้นนาเสนอบทเรียน

3. ครูอธิบายบทนยิ ามเกี่ยวกบั การหาอนุพันธ์อนั ดับสงู และแสดงตัวอย่าง ดงั น้ี

บทนิยาม ให้ f เป็นฟังก์ชันท่ีสามารถหาอนุพันธ์ได้ และอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ได้ x

เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ จะเรียกอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ' ท่ี x ว่า อนุพันธ์อันดับที่ 2

(second derivative) ของฟังกช์ นั f ท่ี x และเขียนแทนดว้ ย f '' (x)

นอกจากน้ียังมีสัญลักษณ์อ่ืนท่ีใช้แทนอนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ f ที่ x อีก เช่น d 2 x ,
d 2 y

d2 f (x) , y" เปน็ ตน้
dx2

ตัวอยา่ งที่ 1 กาหนดให้ f (x)  x3  x2  x  6 จงหา
1) อนพุ ันธข์ องฟังกช์ นั
2) อนพุ นั ธอ์ ันดบั ท่ี 2 ของฟงั กช์ นั

วธิ ีทา 1) จาก f (x)  x3  x2  x  6

128

จะได้ d f (x)  d (x3  x2  x  6)
dx dx

หรอื  3x2  2x 1
2) จาก f ' (x)  3x2  2x 1

f ' (x)  3x2  2x 1

จะได้ d2 f (x)  d2 (3x 2  2x  1)
dx2 dx2

 6x  2

หรอื f " (x)  6x  2

ตัวอย่างที่ 2 กาหนด y  2x3  4x 3 จงหา d3y
dx3

วิธีทา จาก y  2x3  4x3

จะได้ y'  6x2 12x4

y"  12x  48x5

y '''  12  240x6

ดังนัน้ d3y  12  240x6   12
dx3 240 x 6

4. ครูกล่าวกับนักเรียนเพ่ิมเติมเกยี่ วกบั สญั ลกั ษณข์ องอนุพันธอ์ นั ดบั สูงของฟงั ก์ชนั

f ' (x) แทนอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x และอนุพันธ์อันดับต่อๆไปเขียนแทนด้วย

สัญลักษณ์ ดงั นี้

f '' (x) หรอื d2y แทนอนุพันธ์อันดบั ท่ี 2 ของ f ท่ี x
dx2 แทนอนพุ ันธอ์ นั ดับที่ 3 ของ f ที่ x
แทนอนพุ นั ธ์อนั ดบั ที่ 4 ของ f ท่ี x
f ''' (x) หรอื d3y
dx3

f (4) (x) หรอื d4y
dx4

f (n) (x) หรือ dny แทนอนุพันธ์อนั ดับที่ n ของ f ท่ี x
dxn

129

ชั่วโมงที่ 2
ขั้นปฏบิ ัติกิจกรรมกลุ่มย่อย

5. ครูให้นักเรียนครูให้นักเรียนแต่ละกลุ่มทาใบกิจกรรม เร่ือง อนุพันธ์อันดับสูง โดยให้เวลา
นักเรียนร่วมกันแสดงวิธีหาคาตอบ แลกเปลี่ยนความคิดเห็น และช่วยเหลือกัน ซึ่งครูจะเป็น
ผู้ช่วยเหลือและต้ังคาถามกระตุ่นให้แต่ละกลุ่มคิดหาคาตอบ และเมื่อทุกกลุ่มหาคาตอบได้แล้ว
ครสู มุ่ สมาชิกของแต่ละกล่มุ ออกมาอธบิ ายข้ันตอนการแกป้ ัญหาแต่ละข้อเพ่ือเกบ็ คะแนนกลุ่ม

6. ครแู ละนักเรยี นร่วมกนั สรปุ เกี่ยวกบั การหาอนุพันธ์อนั ดับสงู

ขน้ั ทดสอบย่อย/ประเมินผลกิจกรรมกลุ่ม
7. ให้นักเรียนทาแบบทดสอบย่อยท่ี 5 เป็นรายบุคคล โดยไม่เปิดโอกาสให้ปรึกษากัน

ใชเ้ วลาในการทาแบบทดสอบยอ่ ยที่ 5 เปน็ เวลา 15 นาที
8. ครูเกบ็ กระดาษคาตอบเพื่อนาไปตรวจให้คะแนน จากนั้นนาคะแนนของสมาชิกในกลุ่มมา

รวมกนั แลว้ หาค่าเฉลย่ี เพ่อื ประกาศคะแนนของกลุ่มในคาบถัดไป

การวัดและประเมนิ ผลการเรยี นรู้

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ เคร่ืองมอื วธิ กี ารประเมิน เกณฑ์การประเมนิ

นกั เรยี นสามารถอธบิ ายการหา ใบกิจกรรม ตรวจใบกจิ กรรม ผ่านเกณฑร์ ้อยละ 75
อนพุ ันธ์อันดบั สูงได้ (K) เรอื่ ง อนุพนั ธ์อนั ดับสงู เรื่อง อนุพันธ์อันดบั สงู

นักเรียนสามารถแสดงวิธีการหา ใบกิจกรรม ตรวจใบกิจกรรม ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 75
อนพุ นั ธอ์ นั ดับสงู ได้ (P) เรื่อง อนุพนั ธ์อันดบั สงู เรือ่ ง อนุพนั ธ์อนั ดบั สงู
นักเรยี นมคี วามตง้ั ใจและ แบบสังเกตพฤติกรรม ผา่ นเกณฑ์
รบั ผดิ ชอบต่องานทไี่ ดร้ ับ สงั เกตพฤตกิ รรม การประเมิน
มอบหมาย (A) แบบสงั เกตพฤติกรรม ทั้ง 2 รายการ
สังเกตพฤติกรรม ผ่านเกณฑ์
นักเรียนมคี วามมุมานะในการ การประเมิน
แกป้ ัญหาทางคณติ ศาสตร์ (A) ท้งั 2 รายการ

130

สอ่ื /แหลง่ การเรยี นรู้
สอื่ การเรียนรู้

1. หนังสือรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ ม.6 เล่ม 1 หน่วยการเรียนรู้ท่ี 2 เรื่อง แคลคูลัส
เบอื้ งตน้

2. ใบกิจกรรมท่ี 5 เรอ่ื ง อนุพนั ธ์อนั ดบั สงู
3. วดิ ีโอการสอน เร่อื ง แคลคูลัสเบอื้ งต้น จาก https://proj14.ipst.ac.th
4. เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคลู ัสเบอ้ื งตน้
5. แบบทดสอบยอ่ ยที่ 5 เรือ่ ง อนุพนั ธ์อนั ดับสงู

แหลง่ การเรียนรู้
1. ห้องเรียน
2. หอ้ งสมุด
3. อินเตอรเ์ นต็

131

บนั ทกึ หลังการสอน

ดา้ นความรู้ (K)

อ น……………ก…เ…ย…น……ก…ค…น…สา…ม…า…รถ…อ…บ…า…ย…ก…าร…ห…า………………น……บ…ง…ไ……ก……อง…ม…า……า…น…เก…ณ……อ…ยล…ะ…7…5………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

. ด้านทักษะกระบวนการ (P)

…………ก…เ …ย…น…ก…ค…น…ส…า…มา…ร…ถ เ……ย…น…แส…ด…ง……ก…าร…ห…า อ………น……น……บ……งไ……ม…า…งง…แ…ละ……าน…เ…กณ………อย…ละ…7…5………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

คุณลกั ษณะอันพึงประสงค์/เจตคติ (A)

…………ก…เ …ย…น…ค…ว…าม……ม…าน……ใ…น…ก…าร……ค…ว…าม…เ …า…ใจ…น…ะ…แ…โ…จ…ท………ญ…ห…า…………ห…น…ดใ…………น…ะ …ค…วา…ม…บ……ดช…อบ

……อง…า…น ……ม…อ…บ…ห…ม…าย…อ…ใ…น…ร…ะ…บ………ง …ม…าก……………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

สมรรถนะสาคญั ผเู้ รียน (C)

ญหา……………กเ……ย…น……คว…า…ม…สา…ม…าร…ถใ…น…ก…าร…ด…จ…ะ…แ…โ…จ…ท………………ค……ห…น…ใ…………แล…ะส…า…มา…รถ…อ…บ…า…ย………………

……ต…น…เ…อง…แ…สด…ไง…………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ปัญหาอุปสรรค/ขอ้ เสนอแนะอน่ื ๆ

อ น อ น…………ก…เ …ย…นบ…า…งค……น……ง ………ต…ร…กา…รห…า………………ไ……ไ………ใ………ห…า……………ไ……ไ………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

¥ลงชอ่ื ……………………………………(ผู้สอน)

(นายธรี เทพ ชศู รีโสม)
วันที่ …1…6………น…ยา…ย…น……25…6…5……

ัก้ด่ม์ธัพุน้หำท้ด่ม์ธัพุนูสำจัยีรัน้ด่ีทำทีธิวิธ้หำคูร่ีทัป์ย้กิคีมีรันีดึถีดัดู่ยูศ่ีท่ติผัรีม้หำกุ่ญัป์ย้ขำทุมีมีรัน้ร์ฑ่ผ้ดูสัดัอ์ธัพุนีธิวีขุทีรัน้ร์ฑ่ผ้ตูถ้ดูสัดัอ์ธัพุนิธุทีรัน

132

133

แบบประเมนิ พฤติกรรมการเรียนรู้ ดา้ นความรู้ ทักษะกระบวนการ และคณุ ลกั ษณะอันพึงประสงค์
แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 19 เรือ่ ง อนุพันธ์อันดับสงู ชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี 6

เลขที่ ชอ่ื - สกลุ ความรู้ ทักษะกระบวนการ คุณลกั ษณะ หมายเหตุ
ของผรู้ ับการประเมนิ 2 ระดบั 3 ระดับ อนั พึงประสงค์
3 ระดบั

1 1ใ 2 2

ใ2 1 พอ 2 2

3 ใ1 พอ ะ r

4 ใ1 พอ 2 2

5 ใ1 พอ 2 2

6 เมอใ 2 2

7 1 3 เ ยม 3 เ ยม

8 2 3 เ ยม 3 เ ยม
9 2 3 เ ยม 3 เ ยม
10 1 3 เ ยม 3 เ ยม
11 ใ1 พอ
2 2

12 ใ1 พอ 2 2

13 2 3 ผํ่ย 3 น

14 2 3 เ ยม 3 เ ยม
15
1 ใพอ 2 2

16 2 3 น 3 เ อม
17
1 ใพอ 2 2

18 1 3 เ ยม 3 เ ยม

19 2 3 เ ยม 3 เ ยม
20 2 3 เ ยม 3 เ ยม
21 2 3 เ ยม 3 เ ยม

22 2 3 เ ยม 3 เ ยม
23 2 3 เ ยม 3 เ ยม
24 2 3 เ ยม 3 เ ยม

25 2 3 เ ยม 3 เ ยม

่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีดีดีด้ชือีด่ือีดีดีดีด้ช่ียีด่ียีดีดัฝีดีดีดีดีด้ชีดีด้ช่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีดีดีด้ชีดีด้ชีดีด้ชีดีด้ชีดีด้ชีดีด่ช

134

เลขท่ี ช่ือ - สกลุ ความรู้ ทักษะกระบวนการ คุณลักษณะ หมายเหตุ
ของผูร้ ับการประเมนิ อนั พึงประสงค์

26 2 ระดบั 3 ระดับ 3 ระดบั
27
28 2 3 เ ยม 3 เ ยม
29
30 2 3 เ ยม 3 เ ยม
31
32 2 3 ยม 3 ยม
33
34 2 3 เ ยม 3 เ ยม
35
36 2 3 เ ยม 3 เ ยม
37
38 ใ1 พอ 2 2 เ ยม
39
2 3 เ ยม 3
รวม
เฉลี่ย 2 3 เ ยม 3 เ ยม
จานวนนักเรียนท่ผี า่ น
ร้อยละนักเรียนท่ผี า่ น 2 3 เ ยม 3 เ ยม

ยา2 3 เ ยม 3
3 เ ยม 3 เ ยม

ข 3 เ ยม 3 เ อม

2 3 เ ยม 3 เ ยม

2 3 เ ยม 3 เ ยม

67 10 6 1 06

1. 72 2.71 2.72

39 39 39

10อ | 00 100

En
ลงชอื่ ..........................-.......................................................ผ้ปู ระเมนิ

(นายธีรเทพ ชศู รีโสม)

วันที่.......1..6..............เดือน........น....ย...า...ย....น................พ.ศ...2...5.....6...5.......

ัก่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีดือีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีดีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีดีดีด้ช่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด่ีหีด่ีหีดีด่ียีด่ียีดีด่ียีด่ียีดีด

135

ตงั บ่งช้ี เกณฑก์ ารให้คะแนนด้านความรู้
การตอบคาถามใน ระดบั คณุ ภาพ/ระดบั คะแนน

หอ้ งเรยี น 2 : ดี 1 : พอใช้ 0 : ปรบั ปรงุ

นกั เรียนมีความรู้ความ นกั เรียนมีความพยายามตอบ นักเรียนไมต่ อบคาถามใน
หอ้ งเรียน
เขา้ ใจสามารถตอบคาถาม คาถามที่ครูถามได้ถูกต้อง

ท่คี รถู ามได้ถกู ต้อง บางส่วน

หมายเหตุ ผา่ น หมายถงึ นักเรยี นทาคะแนนไดเ้ ฉล่ียร้อยละ 70 ขึ้นไป
ไม่ผา่ น หมายถึง นกั เรยี นทาคะแนนได้ต่ากว่าเฉลี่ยร้อยละ 70 ขึน้ ไป

เกณฑ์การให้คะแนนดา้ นทกั ษะ/กระบวนการทางคณติ ศาสตร์

ทกั ษะ/กระบวนการความสามารถในการแกป้ ญั หาในการเรยี นคณติ ศาสตร์ได้

คะแนน:ระดับคุณภาพ ความสามารถในการแกป้ ัญหาในการเรียนคณติ ศาสตรไ์ ด้

3 : ดเี ย่ียม สามารถแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ได้ถูกต้องครบถว้ น

2 : ดี สามารถแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้ถูกตอ้ งบางสว่ น

1 : พอใช้ มีความพยายามในการแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์

0 : ปรับปรุง ไมม่ ีความพยายามในการแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์

เกณฑ์การประเมนิ อยู่ในระดับ ดี ถอื วา่ ผ่าน

136

ตังบง่ ช้ี เกณฑ์การให้คะแนนดา้ นคณุ ลักษณะอันพึงประสงค์
การตอบ ระดับคณุ ภาพ/ระดับคะแนน
คาถามใน
ห้องเรยี น 3 : ดมี าก 2 : ดี 1 : กาลงั พัฒนา 0 : ตอ้ งปรับปรงุ

มีความตั้งใจและ มีความตัง้ ใจและพยายาม มคี วามต้งั ใจและ ไมม่ ีความต้ังใจและ
พยายามในการ
พยายามในการ ในการแกป้ ัญหาทาง พยายามในการ แกป้ ัญหาทาง
คณิตศาสตร์ที่
แกป้ ัญหาทาง คณิตศาสตร์ทก่ี าหนดให้ แกป้ ญั หาทาง กาหนดให้ ไม่มคี วาม
อดทนและท้อแทต้ ่อ
คณิตศาสตร์ที่กาหนดให้ แต่ไม่มคี วามอดทนและ คณติ ศาสตร์ทก่ี าหนดให้ อปุ สรรคจนทาให้
แกป้ ญั หาทาง
มีความอดทนและไม่ ทอ้ แทต้ ่ออปุ สรรคจนทา แต่ไม่มคี วามอดทนและ คณติ ศาสตร์ที่
กาหนดใหไ้ ดไ้ ม่
ท้อแท้ต่ออุปสรรคจนทา ใหแ้ ก้ปัญหาทาง ท้อแทต้ ่ออปุ สรรคจนทา
สาเร็จ
ใหส้ ามารถแก้ปัญหาทาง คณิตศาสตร์ทก่ี าหนดให้ ให้แก้ปัญหาทาง

คณติ ศาสตร์ทก่ี าหนดให้ ได้ไมส่ าเร็จเลก็ นอ้ ย คณติ ศาสตร์ทก่ี าหนดให้

ได้สาเรจ็ ไดไ้ ม่สาเร็จเป็นส่วน

ใหญ่

เกณฑ์การประเมิน อยู่ในระดับ ดี ถอื วา่ ผา่ น

ใบกจิ กรรมท่ี 5 137

เรอ่ื ง อนพุ ันธอ์ นั ดบั สูง

จงหาอนุพนั ธ์อันดับที่ n ของฟงั ก์ชนั ท่ีกาหนดให้

1) จงหา เมื่อ

2) จงหา เมอ่ื

3) กาหนดให้ จงหา

4) กาหนดให้ จงหา

รายชือ่ สมาชกิ กลุ่ม
1.
2.
3.
4.
5.

138

เฉลยใบกจิ กรรมท่ี 5
เรือ่ ง อนพุ นั ธ์อันดบั สงู

จงหาอนุพันธ์อนั ดับท่ี n ของฟังก์ชันทีก่ าหนดให้

1) จงหา เมอื่
วิธีทา จาก
จะได้

2) จงหา และ
วธิ ที า ดังนนั้
เมอ่ื

จาก
จะได้

3) กาหนดให้ ดงั น้ัน
วธิ ีทา จงหา

จาก
จะได้

4) กาหนดให้ ดงั นั้น
วธิ ีทา จงหา

จาก

จะได้

ดังน้ัน

แบบทดสอบยอ่ ยท่ี 5 139
เรอื่ ง อนุพันธอ์ ันดบั สงู

คาช้แี จง : จงแสดงวธิ ที า

1. จงหาอนุพนั ธอ์ นั ดับท่ี 2 ของ

2. จงหาอนพุ ันธอ์ นั ดบั ท่ี 2 ของ

3. จงหาอนพุ นั ธ์อันดบั ที่ 3 ของ
4. จงหา เมอ่ื

5. จงหาอนุพันธ์อนั ดับที่ 3 ของ

ช่ือ-สกุล ชน้ั เลขที่

เฉลยแบบทดสอบยอ่ ยท่ี 5 140
เรื่อง อนพุ นั ธอ์ นั ดบั สูง

คาช้ีแจง : จงแสดงวิธที า

1. จงหาอนพุ ันธอ์ ันดบั ที่ 2 ของ
วธิ ที า จาก

จะได้

2. จงหาอนพุ นั ธอ์ ันดับท่ี 2 ของ
วิธที า จาก

จะได้

3. จงหาอนพุ นั ธอ์ ันดับที่ 3 ของ
วิธที า จาก

จะได้

4. จงหา เม่อื
วิธที า จาก

จะได้

ดงั น้ัน
5. จงหาอนุพันธ์อันดบั ท่ี 3 ของ
วิธที า จาก

จะได้

ชื่อ-สกลุ ช้นั เลขท่ี

141

แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 20 ชัน้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 6
รายวิชาเสรมิ ทักษะคณิตศาสตร์ รหัสวิชา ค33201 ภาคเรียนท่ี 1/2565
หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 2 แคลคลู สั เบอื้ งตน้ เวลาเรียน 2 ช่ัวโมง
เร่อื ง การเคล่ือนทแี่ นวตรง โรงเรียนอุดรพัฒนาการ
ผสู้ อน นายธรี เทพ ชูศรีโสม

ผลการเรียนรู้
1. ตรวจสอบความต่อเน่ืองของฟังก์ชนั ท่ีกาหนดให้
2. หาอนพุ นั ธ์ของฟังกช์ นั พชี คณิตท่ีกาหนดให้และนาไปใช้แก้ปญั หา
3. หาปริพนั ธ์ไม่จากัดเขตและจากดั เขตของฟังกช์ นั พีชคณิตที่กาหนดให้และนาไปใช้

แก้ปัญหา

จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้
1. นกั เรียนสามารถอธบิ ายการหาการเคลือ่ นทแ่ี นวตรงได้ (K)
2. นักเรียนสามารถแสดงวธิ กี ารหาการเคลอื่ นทแ่ี นวตรงได้ (P)
3. นักเรยี นมคี วามตงั้ ใจและรับผิดชอบต่องานท่ีไดร้ ับมอบหมาย (A)
4. นกั เรียนมีความมมุ านะในการแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์ (A)

สาระสาคญั

ในการเคลื่อนที่ของวัตถุแนวตรง มีปริมาณ 3 ชนิดท่ีเกี่ยวข้องกับเวลา ได้แก่ ตาแหน่งของ

วัตถุ ความเร็วของวัตถุ และความเร่งของวัตถุ การเคล่ือนที่ของวัตถุสามารถอธิบายได้ด้วยฟังก์ชัน

y  s(t) โดยที่ s(t) คือตาแหนง่ ของวัตถุ ณ ขณะเวลา t ใด ๆ

ความเร็วของวัตถุขณะเวลา t ใด ๆ คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของ s เทียบกับ t ดังน้ัน v

เป็นฟังกช์ ันของเวลา t กาหนดโดย

v(t)  s' (t)  lim s(t  h)  s(t)
h
h0

จะเห็นวา่ ความเร็ว v เป็นฟงั กช์ นั ของเวลา t
ในทานองเดียวกัน ความเร่งของวัตถุขณะเวลา t ใด ๆ คืออัตราการเปล่ียนแปลงของ
ความเร็ว v เทยี บกบั t ณ ขณะเวลา t นน่ั คอื ความเรง่ a เปน็ อนพุ นั ธ์ของ v เทียบกับ t น่ันคอื

a(t)  v' (t)  s'' (t)

142

ดังน้ัน ความเร่งคืออนุพันธ์อันดับที่ 1 ของฟังก์ชันความเร็ว v และเป็นอนุพันธ์อันดับท่ี 2 ของ
ฟังกช์ นั ตาแหน่ง s
สมรรถนะสาคัญของผู้เรยี น

1. ความสามารถในการคิด

2. ความสามารถในการสื่อสาร

3. ความสามารถในการแก้ปญั หา

กจิ กรรมการเรียนรูโ้ ดยใช้การเรยี นรู้แบบร่วมมอื ด้วยเทคนิค STAD
ชั่วโมงที่ 1
ขั้นนาเขา้ สบู่ ทเรยี น

1. ครปู ระกาศคะแนนเก็บของแต่ละกล่มุ จากการทากิจกรรมกล่มุ เรือ่ ง อนุพันธ์อันดบั สงู
2. ครูและนักเรยี นรว่ มกันทบทวนเกีย่ วกับการหาอนุพันธอ์ ันดับสูง
ให้ f เปน็ ฟังก์ชันท่สี ามารถหาอนพุ ันธ์ได้ และอนพุ ันธข์ องฟังกช์ ัน f ได้ x เป็นฟงั ก์ชัน
ทส่ี ามารถหาอนพุ ันธ์ได้ จะเรียกอนุพันธข์ องฟังก์ชนั f ' ท่ี x ว่า อนพุ นั ธอ์ ันดบั ท่ี 2 (second
derivative) ของฟังกช์ ัน f ที่ x และเขยี นแทนด้วย f '' (x)

นอกจากน้ยี งั มีสัญลักษณ์อน่ื ที่ใช้แทนอนุพนั ธ์อันดับท่ี 2 ของ f ที่ x อีก เชน่ d 2 x ,
d 2 y

d2 f (x) , y" เปน็ ตน้
dx2

ขั้นนาเสนอบทเรยี น

3. ครูอธิบายเกี่ยวกับการประยุกต์อนุพันธ์ เร่ือง การเคลื่อนท่ีแนวตรง พร้อมแสดงตัวอย่าง

ความเร็วของวัตถุขณะเวลา t ใด ๆ คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของ s เทียบกับ t ดังนั้น v

เปน็ ฟังก์ชนั ของเวลา t กาหนดโดย

v(t)  s' (t)  lim s(t  h)  s(t)
h
h0

จะเหน็ วา่ ความเร็ว v เปน็ ฟังกช์ นั ของเวลา t
ในทานองเดียวกัน ความเร่งของวัตถุขณะเวลา t ใด ๆ คืออัตราการเปล่ียนแปลงของ
ความเร็ว v เทียบกบั t ณ ขณะเวลา t น่ันคือ ความเร่ง a เป็นอนุพนั ธ์ของ v เทียบกบั t น่ันคอื

a(t)  v' (t)  s'' (t)

143

ดังน้ัน ความเร่งคืออนุพันธ์อันดับที่ 1 ของฟังก์ชันความเร็ว v และเป็นอนุพันธ์อันดับท่ี 2 ของ
ฟงั กช์ ันตาแหนง่ s

ตัวอย่างท่ี 1 วัตถุหน่ึงเคลื่อนที่ได้ระยะทาง s(t)  4t3  2t 2  3t 1 เมตร เมื่อเวลาผ่าน

ไป t วินาที จงหา

1) ความเร็วของวัตถขุ ณะเวลา t ใด ๆ

2) ความเร่งของวตั ถขุ ณะเวลา t ใด ๆ

3) ความเรง่ ของวัตถขุ ณะเวลาผา่ นไป 2 วนิ าที

วธิ ีทา จาก s(t)  4t 3  2t 2  3t 1

1) ความเร็วของวตั ถุขณะเวลา t ใด ๆ

v(t)  s' (t)

 d (4t 3  2t 2  3t  1)
dt

 12t 2  4t  3

ดงั นน้ั ความเร็วของวัตถขุ ณะเวลา t ใด ๆ เทา่ กับ 12t2  4t  3

2) ความเร่งขณะเวลา t ใด ๆ

a(t)  v' (t)

 d (12t 2  4t  3)
dt

 24t  4

3) ความเรง่ ของวตั ถขุ ณะเวลาผา่ นไป 2 วินาที

a(t)  24t  4
 24(2)  4
 44

ตัวอย่างท่ี 2 โยนวัตถุขึ้นไปในแนวด่ิง ถ้าตาแหน่งของวัตถุ (มีหน่วยเป็นเมตร) หลังจากโยน

วัตถุไปแล้ว t วนิ าที หาได้จาก s(t)  30t  5t 2 จงหา

1) ระยะห่างของวัตถจุ ากตาแหนง่ เริม่ ตน้ หลงั จากโยนวัตถไุ ปแลว้ 5 วนิ าที

2) ความเรว็ ของวัตถุขณะเวลา 2 วินาที

3) ความเรง่ ของวตั ถขุ ณะเวลา 2 วนิ าที

วิธีทา จาก s(t)  30t  5t 2

จะได้วา่ v(t)  s' (t)  30 10t

144

และ a(t)  v' (t)  10

1) ระยะห่างของวตั ถจุ ากตาแหนง่ เริ่มต้น หลังจากโยนวัตถไุ ปแลว้ 5 วนิ าที คอื
s(5)  s(0)  30(5)  5(52 )  0  25  25 เมตร

2) ความเร็วของวตั ถรุ ะยะเวลา 2 วนิ าที คอื v2  30 10(2) 10 เมตรตอ่ วินาที
3) ความเรง่ ของวตั ถขุ ณะเวลา 2 วินาที คือ a(2)  10 เมตรตอ่ วนิ าที 2

ช่ัวโมงท่ี 2
ข้นั ปฏิบตั ิกจิ กรรมกล่มุ ย่อย

4. ครูให้นักเรียนแต่ละกลุ่มทาใบกิจกรรมที่ 6 เร่ือง การเคลื่อนที่แนวตรง โดยให้เวลา
นักเรียนร่วมกันแสดงวิธีหาคาตอบ แลกเปลี่ยนความคิดเห็น และช่วยเหลือกัน ซ่ึงครูจะเป็นผู้
ช่วยเหลือและต้ังคาถามกระตุ่นให้แต่ละกลุ่มคิดหาคาตอบ และเมื่อทุกกลุ่มหาคาตอบได้แล้ว ครูสุ่ม
สมาชิกของแต่ละกลมุ่ ออกมาอธิบายข้นั ตอนการแก้ปญั หาแต่ละข้อเพื่อเก็บคะแนนกลุม่

5. ครแู ละนักเรยี นรว่ มกันสรุปเกย่ี วกบั การประยุกต์อนพุ นั ธ์ เร่ือง การเคลอื่ นทแี่ นวตรง

ขน้ั ทดสอบย่อย/ประเมนิ ผลกจิ กรรมกลุ่ม
6. ให้นักเรียนทาแบบทดสอบย่อยที่ 6 เป็นรายบุคคล โดยไม่เปิดโอกาสให้ปรึกษากัน

ใช้เวลาในการทาแบบทดสอบยอ่ ยที่ 6 เป็นเวลา 15 นาที
7. ครเู ก็บกระดาษคาตอบเพ่ือนาไปตรวจให้คะแนน จากนั้นนาคะแนนของสมาชิกในกลุ่มมา

รวมกนั แล้วหาคา่ เฉลีย่ เพื่อประกาศคะแนนของกลุ่มในคาบถดั ไป

145

การวดั และประเมินผลการเรียนรู้

จุดประสงค์การเรยี นรู้ เครื่องมอื วธิ กี ารประเมนิ เกณฑ์การประเมนิ

นักเรียนสามารถอธบิ ายการหาการ ใบกิจกรรม ตรวจใบกิจกรรม ผ่านเกณฑร์ ้อยละ 75
เคลื่อนทแี่ นวตรงได้ (K) เรือ่ ง การเคลอ่ื นที่แนวตรง เรือ่ ง การเคลอ่ื นที่แนวตรง

นักเรยี นสามารถแสดงวิธีการหา ใบกิจกรรม ตรวจใบกจิ กรรม ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 75
การเคล่อื นที่แนวตรงได้ (P) เรื่อง การเคลอ่ื นท่ีแนวตรง เร่ือง การเคล่ือนที่แนวตรง
นกั เรยี นมคี วามต้ังใจและ
รบั ผิดชอบตอ่ งานทไ่ี ด้รบั แบบสงั เกตพฤติกรรม สังเกตพฤตกิ รรม ผ่านเกณฑ์
มอบหมาย (A)
การประเมนิ
นกั เรยี นมีความมมุ านะในการ
แก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ (A) ทั้ง 2 รายการ

แบบสงั เกตพฤติกรรม สงั เกตพฤติกรรม ผ่านเกณฑ์

การประเมิน

ท้ัง 2 รายการ

สอื่ /แหลง่ การเรียนรู้
สือ่ การเรยี นรู้

1. หนังสือรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ ม.6 เล่ม 1 หน่วยการเรียนรู้ท่ี 2 เร่ือง แคลคูลัส
เบื้องตน้

2. ใบกจิ กรรมท่ี 6 เรอื่ ง การเคลอื่ นที่แนวตรง
3. วิดโี อการสอน เรือ่ ง แคลคลู ัสเบื้องตน้ จาก https://proj14.ipst.ac.th
4. เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคลู สั เบอื้ งต้น
5. แบบทดสอบย่อยที่ 6 เรอื่ ง การเคลอื่ นท่แี นวตรง

แหลง่ การเรียนรู้
1. ห้องเรยี น
2. หอ้ งสมดุ
3. อนิ เตอรเ์ นต็

146

บันทกึ หลังการสอน

ด้านความรู้ (K)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

. ด้านทกั ษะกระบวนการ (P)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

คณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค/์ เจตคติ (A)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

สมรรถนะสาคญั ผ้เู รียน (C)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ปัญหาอุปสรรค/ข้อเสนอแนะอนื่ ๆ
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ่ื ……………………………………(ผู้สอน)
(นายธีรเทพ ชศู รีโสม)

วันท่ี ……………………………………