แผนการจัดการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 เรื่อง แคลคูลัสเบื้องต้น

247

เฉลยแบบฝกึ หัด 2.9

2. จงหา

1)  x4  3x2  5xdx
วธิ ที า   x4  3x2  5x dx   x4dx   3x2dx   5xdx

 x5  3 x3   5 x2   c1
5 3 2

 x5  x3  5 x2 c
5 2

 2) 2x3  3x2  6  2x2 dx

 วธิ ีทา     2x3  3x2  6  2x2 dx  2x3dx  3x2dx  6dx  2x2dx

 2 x3dx  3 x2dx   6dx  2 x2

 2 x4   3 x3   6x  2 x 1   c1
4 3 1

 x4  x3  6x  2 c
2 x

3)  x10  1 dx
 x3 

วธิ ีทา    1 dx
 x3 
x10   x10dx  x 3 dx

 x11  x 2  c1
11 2

 x11  1 c
11 2x2

4)   1  2 dx
 x2 x4 

วิธที า    1 2 dx 
 x2 x4 
 x2dx  2 x4dx

 x 1  2 x 3   c1
1 3

  1  2 c
x 3x3

248

แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 26 ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6
รายวชิ าเสริมทักษะคณิตศาสตร์ รหสั วิชา ค33201 ภาคเรยี นที่ 1/2565
หนว่ ยการเรยี นร้ทู ่ี 2 แคลคูลสั เบื้องตน้ เวลาเรียน 2 ชวั่ โมง
เรื่อง ปริพนั ธ์จากดั เขต โรงเรียนอุดรพัฒนาการ
ผสู้ อน นายธีรเทพ ชศู รโี สม

ผลการเรียนรู้
1. ตรวจสอบความตอ่ เนื่องของฟังกช์ ันที่กาหนดให้
2. หาอนุพันธ์ของฟังกช์ นั พชี คณติ ที่กาหนดใหแ้ ละนาไปใช้แก้ปัญหา
3. หาปริพันธไ์ มจ่ ากัดเขตและจากัดเขตของฟังก์ชันพีชคณิตทกี่ าหนดใหแ้ ละนาไปใช้

แกป้ ัญหา

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้
1. นักเรียนสามารถอธิบายปรพิ ันธ์จากดั เขตได้ (K)
2. นกั เรียนสามารถแสดงวิธีการปรพิ นั ธจ์ ากัดเขตได้ (P)
3. นักเรยี นมคี วามตงั้ ใจและรับผดิ ชอบต่องานทีไ่ ด้รับมอบหมาย (A)

สาระสาคญั
ปริพันธ์จากัดเขต คือกระบวนการตรงข้ามกับการหาอนุพันธ์ เช่น ถ้าเราทราบความเร็วของ

วัตถุในช่วงเวลาใด ๆ ปริพันธ์จากัดเขตของความเร็วจะทาให้เราทราบระยะทางท้ังหมดที่วัตถุน้ัน
เคลื่อนท่ีได้ และสามารถใช้ปริพันธ์จากัดเขตหาระยะทางได้ ซึ่งมีบทนิยาม และทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้อง
ดังนี้

ทฤษฎบี ทหลกั มลู ของแคลคูลัส (Fundamental Theorem of Calculus)

กาหนด f เปน็ ฟังกช์ ันต่อเนอ่ื งบนชว่ งa, b ถา้ f เป็นปฏยิ านพุ ันธข์ องฟังก์ชัน f แล้ว

b

 f (x)dx  F (b)  F (a)

a

สมรรถนะสาคญั ของผู้เรยี น
1. ความสามารถในการคิด
2. ความสามารถในการสอ่ื สาร
3. ความสามารถในการแก้ปญั หา

249

กจิ กรรมการเรียนรู้

ชัว่ โมงที่ 1

ขั้นนา

1. ครูและนักเรียนร่วมกันทบทวนเกี่ยวกับการหาปริพันธ์ไม่จากัดเขตโดยการยกตัวอย่าง

ดังนี้

ตัวอย่าง จงหา  5x4  x2 dx
วิธีทา    5x4  x2 dx  5 x4  x2dx

 5 x5   x3  c1
5 3

 x5  x3  c
3

ขั้นสอน

2. ครูอธิบายเก่ยี วกบั การหาปริพนั ธ์จากัดเขตโดยการใช้ทฤษฎีบทหลกั มูลของแคลคลู ัส ดงั น้ี

ทฤษฎีบทหลกั มลู ของแคลคลู สั (Fundamental Theorem of Calculus)

กาหนด f เป็นฟงั ก์ชนั ต่อเนื่องบนช่วงa, b ถ้า f เปน็ ปฏิยานุพนั ธ์ของฟังก์ชนั f แล้ว

b

 f (x)dx  F (b)  F (a)

a

b

การหาปริพนั ธ์จากดั เขต  f (x)dx โดยใช้ทฤษฎีบทหลกั มูลของแคลคลู สั ทาไดด้ งั นี้
a

1) หาปฏยิ านพุ ันธ์ F ของฟังก์ชนั f นั่นคือ หา  f (x)dx

b

2) หา F(b)  F(a) ซึ่งจะเปน็ คา่ ของปรพิ นั ธ์จากดั เขต  f (x)dx
a

จะเขยี นแทน F(b)  F(a) ดว้ ยสญั ลักษณ์ F(x) b จะไดว้ ่า F ' (x)  f (x)
a

b b
แล้ว  a
f ( x)dx  F ( x)  F (b)  F (a)

a

250

3. ครยู กตัวอย่างการหาปริพนั ธ์จากัดเขต ดังนี้

1

ตัวอย่าง จงหา  x2dx
0

วิธีทา สังเกตวา่ f (x)  x2 เปน็ ฟงั ก์ชนั ตอ่ เน่อื งบนช่วง 0, 1

และเน่ืองจากปฏยิ านุพนั ธ์ของ f (x)  x2 คอื F ( x)  x3  c เมอ่ื c เปน็ คา่ คงตัว
3

จะได้1 x 2 dx   x3 1
0 3
 c 0

  1  c   0  c  1
 3  3

ในการหาปริพันธ์จากัดเขตของฟังก์ชัน f โดยใช้ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส จะต้องแทน

x ใน F(x) ดว้ ย a และb เพอ่ื หา F(b)  F(a) ซง่ึ จะทาใหค้ ่าคงตัว c ลบกนั หมดไป
4. ครูมอบหมายโจทยก์ ารหาปรพิ นั ธ์จากัดเขตให้นักเรยี นทาเพ่ือตรวจสอบความเขา้ ใจ

โจทย์ จงหา 2 6x2  4 dx
x3 
1

วธิ ที า   6x2 4 dx x 3 dx
 x3 
  6 x2dx  4

 6 x3   4 x 2   c เมอ่ื c เปน็ ค่าคงตวั
3 2

 2x3  2 c
x2

ดงั นั้น ปฏยิ านพุ ันธข์ อง f (x)  6x2  4 คือ F ( x)  2x3  2 c
x3 x2

จะได้2  6 x 2  4 dx   2x3  2  2
1  x3   x2  1

  2(2)3  2    2(1)3  2 
 22   12 

 25
2

ขั้นสรุป

5. ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปเกี่ยวกับการหาปริพันธ์จากัดเขตโดยใช้ทฤษฎีบทหลักมูลของ

แคลคลู ัส

251

ช่วั โมงที่ 2

ขั้นนา

6. ครูและนักเรียนร่วมกันทบทวนเก่ียวกับการหาปริพันธ์จากัดเขตโดยใช้ทฤษฎีบทหลักมูล

ของแคลคลู สั ดงั นี้

1) หาปฏยิ านุพนั ธ์ F ของฟงั กช์ นั f นน่ั คือ หา  f (x)dx

b

2) หา F(b)  F(a) ซึง่ จะเปน็ คา่ ของปรพิ ันธจ์ ากัดเขต  f (x)dx
a

จะเขยี นแทน F(b)  F(a) ดว้ ยสญั ลกั ษณ์ F ( x) b จะได้วา่ F ' (x)  f (x)
a

b b
แล้ว  a
f ( x)dx  F ( x)  F (b)  F (a)

a

ข้ันสอน
7. ครูอธิบายเกี่ยวกับสมบัติของปริพันธ์จากัดเขต นอกจากทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส

ยังมีสมบัติของปริพันธจ์ ากดั เขต ดงั น้ี
สมบัติของปริพันธ์จากดั เขต

กาหนดให้ f และ g เปน็ ฟังก์ชนั ท่ีมีปริพนั ธ์บนชว่ งa, b

a

1)  f (x)dx  0
a
bb

2)  k f (x)dx  k f (x)dx เม่อื k เป็นจานวนจริงใด ๆ
aa
b bb

3)   f (x)  g(x)dx   f (x)dx   g(x)dx
a aa
b bb

4)   f (x)  g(x)dx   f (x)dx   g(x)dx
a aa
aa

5)  f (x)dx   f (x)dx
bb
b cb

6) ถ้า a  c  b แล้ว  f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx
a ac

8. ครูให้นักเรียนทาแบบฝึกหัด 2.10 ข้อ 1,2,3,4 เพื่อเป็นการตรวจสอบความเข้าใจ
ของนักเรยี น

252

ขั้นสรปุ

9. ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปเก่ียวกับการหาปริพันธ์จากัดเขตและสมบัติของปริพันธ์

จากดั เขต ดังน้ี

b

การหาปริพนั ธจ์ ากดั เขต  f (x)dx โดยใชท้ ฤษฎบี ทหลกั มลู ของแคลคลู ัสทาไดด้ งั น้ี
a

1) หาปฏิยานุพนั ธ์ F ของฟงั กช์ นั f นั่นคือ หา  f (x)dx

b

2) หา F(b)  F(a) ซึง่ จะเปน็ คา่ ของปริพนั ธ์จากัดเขต  f (x)dx
a

จะเขยี นแทน F(b)  F(a) ด้วยสัญลักษณ์ F(x) b จะไดว้ ่า F ' (x)  f (x)
a

b b
แลว้  a
f ( x)dx  F ( x)  F (b)  F (a)

a

สมบัติของปรพิ นั ธจ์ ากดั เขต

กาหนดให้ f และ g เปน็ ฟงั กช์ นั ท่ีมปี รพิ ันธ์บนช่วงa, b

a

1)  f (x)dx  0
a
bb

2)  k f (x)dx  k f (x)dx เมอื่ k เป็นจานวนจริงใด ๆ
aa
b bb

3)   f (x)  g(x)dx   f (x)dx   g(x)dx
a aa
b bb

4)   f (x)  g(x)dx   f (x)dx   g(x)dx
a aa
aa

5)  f (x)dx   f (x)dx
bb
b cb

6) ถ้า a  c  b แลว้  f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx
a ac

253

การวดั และประเมนิ ผลการเรยี นรู้

จดุ ประสงค์การเรียนรู้ เครอื่ งมือ วธิ กี ารประเมิน เกณฑ์การประเมนิ

นักเรียนสามารถอธบิ ายปรพิ ันธ์ แบบฝกึ หดั 2.10 ข้อ ตรวจแบบฝึกหัด 2.10 ผา่ นเกณฑร์ ้อยละ 75
จากัดเขตได้ (K) 1,2,3,4 ข้อ 1,2,3,4

นักเรยี นสามารถแสดงวิธีการหา แบบฝกึ หดั 2.10 ข้อ ตรวจแบบฝกึ หดั 2.10 ผา่ นเกณฑ์ร้อยละ 75
ปริพนั ธจ์ ากดั เขตได้ (P) 1,2,3,4 ขอ้ 1,2,3,4

นักเรยี นมคี วามต้ังใจและ แบบสังเกตพฤติกรรม สงั เกตพฤตกิ รรม ผา่ นเกณฑ์
รับผิดชอบตอ่ งานทีไ่ ด้รับ การประเมิน
ทั้ง 2 รายการ
มอบหมาย (A)

สอ่ื /แหล่งการเรียนรู้
สือ่ การเรยี นรู้

1. หนังสือรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.6 เล่ม 1 หน่วยการเรียนรู้ท่ี 2 เรื่อง แคลคูลัส
เบื้องตน้

2. แบบฝึกหัด 2.10 ปริพนั ธ์จากัดเขต
3. วิดีโอการสอน เร่อื ง แคลคลู ัสเบ้ืองตน้ จาก https://proj14.ipst.ac.th
แหล่งการเรียนรู้
1. ห้องเรยี น
2. หอ้ งสมุด
3. อนิ เตอร์เน็ต

254

บนั ทึกหลังการสอน

ดา้ นความรู้ (K)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

. ดา้ นทกั ษะกระบวนการ (P)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

คณุ ลกั ษณะอันพึงประสงค์/เจตคติ (A)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

สมรรถนะสาคญั ผ้เู รียน (C)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ปัญหาอุปสรรค/ข้อเสนอแนะอืน่ ๆ
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอื่ ……………………………………(ผู้สอน)
(นายธรี เทพ ชศู รโี สม)

วนั ที่ ……………………………………

255

256

แบบประเมินพฤติกรรมการเรยี นรู้ ดา้ นความรู้ ทกั ษะกระบวนการ และคณุ ลักษณะอันพงึ ประสงค์
แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 26 เรอ่ื ง ปรพิ ันธ์จากัดเขต ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6

เลขท่ี ช่อื - สกลุ ความรู้ ทกั ษะกระบวนการ คุณลักษณะ หมายเหตุ
ของผรู้ ับการประเมนิ 2 ระดบั 3 ระดบั อนั พึงประสงค์
3 ระดับ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

257

เลขท่ี ชอื่ - สกลุ ความรู้ ทักษะกระบวนการ คณุ ลกั ษณะ หมายเหตุ
ของผ้รู ับการประเมนิ 2 ระดับ 3 ระดับ อนั พงึ ประสงค์
3 ระดับ

26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39

รวม
เฉลย่ี
จานวนนกั เรยี นทผี่ า่ น
ร้อยละนกั เรียนทีผ่ ่าน

ลงชื่อ.................................................................................ผ้ปู ระเมนิ
(นายธรี เทพ ชูศรโี สม)

วนั ที่.......................เดอื น......................................พ.ศ.....................

258

ตงั บ่งช้ี เกณฑก์ ารให้คะแนนด้านความรู้
การตอบคาถามใน ระดบั คณุ ภาพ/ระดบั คะแนน

หอ้ งเรยี น 2 : ดี 1 : พอใช้ 0 : ปรบั ปรงุ

นกั เรียนมีความรู้ความ นกั เรียนมีความพยายามตอบ นักเรียนไมต่ อบคาถามใน
หอ้ งเรียน
เขา้ ใจสามารถตอบคาถาม คาถามที่ครูถามได้ถูกต้อง

ท่คี รถู ามได้ถกู ต้อง บางส่วน

หมายเหตุ ผา่ น หมายถงึ นักเรยี นทาคะแนนไดเ้ ฉล่ียร้อยละ 70 ขึ้นไป
ไม่ผา่ น หมายถึง นกั เรยี นทาคะแนนได้ต่ากว่าเฉลี่ยร้อยละ 70 ขึน้ ไป

เกณฑ์การให้คะแนนดา้ นทกั ษะ/กระบวนการทางคณติ ศาสตร์

ทกั ษะ/กระบวนการความสามารถในการแกป้ ญั หาในการเรยี นคณติ ศาสตร์ได้

คะแนน:ระดับคุณภาพ ความสามารถในการแกป้ ัญหาในการเรียนคณติ ศาสตรไ์ ด้

3 : ดเี ย่ียม สามารถแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ได้ถูกต้องครบถว้ น

2 : ดี สามารถแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้ถูกตอ้ งบางสว่ น

1 : พอใช้ มีความพยายามในการแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์

0 : ปรับปรุง ไมม่ ีความพยายามในการแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์

เกณฑ์การประเมนิ อยู่ในระดับ ดี ถอื วา่ ผ่าน

259

ตังบง่ ช้ี เกณฑ์การให้คะแนนดา้ นคณุ ลักษณะอันพึงประสงค์
การตอบ ระดับคณุ ภาพ/ระดับคะแนน
คาถามใน
ห้องเรยี น 3 : ดมี าก 2 : ดี 1 : กาลงั พัฒนา 0 : ตอ้ งปรับปรงุ

มีความตั้งใจและ มีความตัง้ ใจและพยายาม มคี วามต้งั ใจและ ไมม่ ีความต้ังใจและ
พยายามในการ
พยายามในการ ในการแกป้ ัญหาทาง พยายามในการ แกป้ ัญหาทาง
คณิตศาสตร์ที่
แกป้ ัญหาทาง คณิตศาสตร์ทก่ี าหนดให้ แกป้ ญั หาทาง กาหนดให้ ไม่มคี วาม
อดทนและท้อแทต้ ่อ
คณิตศาสตร์ที่กาหนดให้ แต่ไม่มคี วามอดทนและ คณติ ศาสตร์ทก่ี าหนดให้ อปุ สรรคจนทาให้
แกป้ ญั หาทาง
มีความอดทนและไม่ ทอ้ แทต้ ่ออปุ สรรคจนทา แต่ไม่มคี วามอดทนและ คณติ ศาสตร์ที่
กาหนดใหไ้ ดไ้ ม่
ท้อแท้ต่ออุปสรรคจนทา ใหแ้ ก้ปัญหาทาง ท้อแทต้ ่ออปุ สรรคจนทา
สาเร็จ
ใหส้ ามารถแก้ปัญหาทาง คณิตศาสตร์ทก่ี าหนดให้ ให้แก้ปัญหาทาง

คณติ ศาสตร์ทก่ี าหนดให้ ได้ไมส่ าเร็จเลก็ นอ้ ย คณติ ศาสตร์ทก่ี าหนดให้

ได้สาเรจ็ ไดไ้ ม่สาเร็จเป็นส่วน

ใหญ่

เกณฑ์การประเมิน อยู่ในระดับ ดี ถอื วา่ ผา่ น

260

แบบฝกึ หัด 2.10

1. จงหาปรพิ ันธ์จากัดเขตต่อไปนี้ โดยใช้ทฤษฎบี ทหลกั มลู ของแคลคลู ัส

1) 4  3dx

 x2
3

2) 4  2x  3dx

 x2
1

3) 1 4 x 3  2xdx


1

4) 1 1 dx

3 x 2

261

เฉลยแบบฝึกหัด 2.10

1. จงหาปรพิ นั ธ์จากดั เขตต่อไปนี้ โดยใชท้ ฤษฎีบทหลักมลู ของแคลคูลสั

1) 4  3dx

 x3
3

วธิ ที า  4 4 4

 x3  3 dx   x3dx   3dx
3 33

  x4 4
4
 3x  3

  44  3(4)    34  3(3)
4 4

 187
4

2) 4  2x  3dx

 x2
1

วิธที า เนื่องจาก  x2  2x  3dx   x2dx  2 xdx   3dx

 x3  2 x2   3x  c
3 2

 x3  x2  3x  c เมือ่ c เป็นคา่ คงตัว
3

จะได้ว่า ปฏิยานพุ นั ธข์ อง f (x)  x2  2x  3 คอื F ( x)  x3  x2  3x c
3

 ดงั นั้น4x22x  3 dx   x3  x2 4
1 3
 3x 1

  43  42  3(4)    13  12  3(1)
3 3

 3

262

3) 1  2xdx

 4x3
1

วธิ ีทา เนอ่ื งจาก  4x3  2xdx  4 x3dx  2 xdx

 x4  x2  c เมื่อ c เป็นค่าคงตวั

จะไดว้ า่ ปฏยิ านุพันธข์ อง f (x)  4x2  2x คือ F(x)  x4  x2  c

ดงั นั้น   1  x2 1
1
 4x3  2x dx  x4
1

    14 12  (1)4  (1)2

0

4) 1 1 dx

3 x 2

วธิ ีทา เนื่องจาก  1 dx  x2dx
x2

 x 1  c
1

1 c เม่ือc เป็นค่าคงตวั
x

จะได้วา่ ปฏยิ านุพนั ธข์ อง f (x)  1 คอื F ( x)   1 c
x2 x

ดงั นั้น 1 1 dx    1  1
3 x 2  x  3

   1     1 
 1   3 

 2
3

263

แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 27 ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 6
รายวชิ าเสริมทกั ษะคณติ ศาสตร์ รหสั วิชา ค33201 ภาคเรียนที่ 1/2565
หนว่ ยการเรยี นรูท้ ่ี 2 แคลคูลสั เบ้ืองตน้ เวลาเรียน 2 ชว่ั โมง
เรือ่ ง พนื้ ที่ปดิ ลอ้ มดว้ ยเสน้ โค้ง โรงเรยี นอุดรพัฒนาการ
ผสู้ อน นายธรี เทพ ชูศรโี สม

ผลการเรยี นรู้
1. ตรวจสอบความตอ่ เนื่องของฟงั กช์ ันที่กาหนดให้
2. หาอนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั พชี คณิตท่ีกาหนดให้และนาไปใช้แกป้ ัญหา
3. หาปริพนั ธ์ไม่จากัดเขตและจากัดเขตของฟังก์ชันพชี คณติ ทีก่ าหนดใหแ้ ละนาไปใช้

แก้ปญั หา

จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้
1. นกั เรียนสามารถอธิบายการหาพืน้ ทป่ี ิดล้อมด้วยเสน้ โคง้ ได้ (K)
2. นักเรียนสามารถแสดงวธิ ีการหาพนื้ ท่ปี ิดล้อมด้วยเสน้ โคง้ ได้ (P)
3. นกั เรียนมคี วามตงั้ ใจและรับผิดชอบตอ่ งานท่ีไดร้ บั มอบหมาย (A)

สาระสาคญั

ทฤษฎีบท ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเน่ืองบนช่วง a, bและ A เป็นพื้นที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง

y  f (x)กบั แกน X จาก a ถงึ b

b

1) ถา้ f (x)  0 สาหรบั ทุก x a, b แลว้ A   f (x)dx
a
b

2) ถ้า f (x)  0 สาหรบั ทกุ x a, b แล้ว A   f (x)dx
a

สมรรถนะสาคญั ของผูเ้ รยี น
1. ความสามารถในการคิด
2. ความสามารถในการสือ่ สาร
3. ความสามารถในการแก้ปญั หา

264

กิจกรรมการเรยี นรู้
ช่ัวโมงท่ี 1
ข้ันนา

1. ครแู ละนกั เรียนรว่ มกันทบทวนเกีย่ วกับการหาปรพิ ันธจ์ ากดั เขตโดยการยกตัวอย่าง ดังนี้

2

ตัวอย่าง จงหา  x3dx
1

วธิ ที า  x3dx  x4  c เมือ่ c เปน็ ค่าคงตวั
4

ดงั นัน้2 x 3dx   x4 2
1 4
 1

  24    (1) 4 
4 4

 15
4

ขนั้ สอน
2. ครอู ธบิ ายเกย่ี วกบั ทฤษฎีบทของการหาพน้ื ท่ปี ดิ ล้อมดว้ ยเสน้ โคง้ ดังนี้

ทฤษฎีบท ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง a, bและ A เป็นพ้ืนที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง

y  f (x)กบั แกน X จาก a ถงึ b

b

1) ถ้า f (x)  0 สาหรับทกุ x a, b แล้ว A   f (x)dx
a
b

2) ถ้า f (x)  0 สาหรบั ทกุ x a, b แลว้ A   f (x)dx
a

3. ครยู กตัวอย่างเกย่ี วกบั พ้ืนท่ปี ิดล้อมด้วยเส้นโคง้ ดังนี้
ตัวอยา่ ง จงหาพนื้ ที่ปดิ ล้อมด้วยเส้นโคง้ y  3x2 กบั แกน X จาก 0 ถึง 1
วธิ ที า กราฟของ f (x)  3x2 เปน็ พาราโบลาที่เสน้ โคง้ หงายขึ้น

และ f (x)  0 สาหรับทุก x 0, 1

ให้พน้ื ท่ีทป่ี ดิ ล้อมด้วยเส้นโคง้ y  3x2 กบั แกน X จาก 0 ถงึ 1 เท่ากับ A ตารางหน่วย

เน่ืองจาก f (x)  0 สาหรบั ทุก x 0, 1

265

จะได้ 1 x3 1 10 1
0
3x2dx 
0

ดงั น้ัน พ้นื ทท่ี ปี่ ดิ ลอ้ มด้วยเส้นโค้ง y  3x2 กบั แกน X จาก 0 ถึง 1 เท่ากับ 1 ตารางหน่วย

ขั้นสรุป
4. ครูและนักเรยี นร่วมกันสรปุ เก่ียวกับการหาพ้นื ทท่ี ปี่ ิดล้อมดว้ ยเสน้ โค้งจากทฤษฎบี ท ดังน้ี

ทฤษฎีบท ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง a, bและ A เป็นพ้ืนท่ีปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง

y  f (x)กับแกน X จาก a ถึง b

b

1) ถา้ f (x)  0 สาหรับทุก x a, b แล้ว A   f (x)dx
a
b

2) ถ้า f (x)  0 สาหรับทุก x a, b แลว้ A   f (x)dx
a

ชัว่ โมงที่ 2

ข้ันนา

1. ครูและนักเรียนร่วมกันทบทวนการหาพ้ืนท่ีท่ีปิดล้อมด้วยเส้นโค้งจากทฤษฎีบทโดยการ

ยกตวั อยา่ ง ดังน้ี

ตัวอย่าง จงหาพื้นทีท่ ปี่ ิดล้อมดว้ ยเสน้ โค้ง f (x)  x2  9 กบั แกน X จาก -2 ถึง 1

วิธีทา กราฟของ f (x)  x2  9 เปน็ พาราโบลาทีเ่ สน้ โค้งหงายขน้ึ

และ f (x)  0 สาหรบั ทุก x  2, 1

ใหพ้ ื้นทที่ ปี่ ดิ ลอ้ มด้วยเส้นโค้ง f (x)  x2  9 กับแกน X จาก -2 ถึง 1เทา่ กับ A ตารางหนว่ ย

เนื่องจาก f (x)  0 สาหรับทกุ x  2, 1

จะได้ 1  9dx

A   x2
2

   1 x 2 dx  1 
2
9dx

2

   x3 1    13  9(1)  (2)3  9(2)  24
3 3 3
 9x  2

ดงั นน้ั พื้นทท่ี ปี่ ิดล้อมด้วยเสน้ โค้ง f (x)  x2  9 กับแกน X จาก -2 ถงึ 1เทา่ กับ 24 ตารางหนว่ ย

266

ข้นั สอน

2. ครูให้นักเรียนศึกษาตัวอย่างการหาพื้นท่ีที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งจากหนังสือเรียน

คณติ ศาสตรเ์ พิม่ เตมิ ม.6 เลม่ 1 เพ่ิมเตมิ

3. ครูมอบหมายโจทย์การหาพื้นท่ีท่ีปิดล้อมด้วยเส้นโค้งให้นักเรียนทาเพ่ิมเติมเพ่ือเป็นการ

ตรวจสอบความเขา้ ใจ

โจทย์ จงหาพน้ื ที่ท่ีปิดลอ้ มด้วยเสน้ โคง้ y  x2 กบั แกน X จาก -3 ถึง 0

วิธีทา กราฟของ y  x2 เป็นรปู พาราโบลาหงาย และ f (x)  0 สาหรับทกุ x  3, 0

ให้ A เป็นพ้นื ท่ีทป่ี ดิ ล้อมด้วยเส้นโคง้ y  x2 จาก x  3 ถึง x  0

เนื่องจาก f (x)  0 สาหรับทุก x  3, 0

จะได้ A  0   x3  0   0  (3)3   9
3 3 3 3
x 2 dx

3

ดังน้ัน พน้ื ทที่ ป่ี ิดลอ้ มด้วยเสน้ โค้ง y  x2 จาก x  3 ถงึ x  0เท่ากบั 9 ตารางหนว่ ย

ขั้นสรปุ
4. ครูให้นักเรียนทาแบบฝึกหัด 2.11 ข้อ 1 ใหญ่ ข้อ 2,3,4 เป็นการบ้านเพื่อเป็นการทบทวน

และตรวจสอบความเข้าใจรายบคุ คลบคุ คล
5. ครูและนกั เรยี นร่วมกนั สรุปเกีย่ วกับการหาพ้ืนที่ท่ปี ดิ ลอ้ มด้วยเสน้ โคง้ ดังน้ี

ทฤษฎีบท ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง a, bและ A เป็นพื้นที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง

y  f (x)กบั แกน X จาก a ถึง b

b

1) ถา้ f (x)  0 สาหรบั ทุก x a, b แล้ว A   f (x)dx
a
b

2) ถา้ f (x)  0 สาหรบั ทกุ x a, b แล้ว A   f (x)dx
a

267

การวัดและประเมินผลการเรยี นรู้

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ เคร่อื งมือ วิธกี ารประเมนิ เกณฑ์การประเมนิ

นกั เรยี นสามารถอธิบายการหา แบบฝกึ หัด 2.11 ข้อ 1 ตรวจแบบฝกึ หดั 2.11 ผ่านเกณฑร์ ้อยละ 75
พื้นทป่ี ดิ ล้อมดว้ ยเส้นโค้งได้ (K) ใหญ่ ข้อ 2,3,4 ข้อ 1 ใหญ่ ขอ้ 2,3,4

นกั เรียนสามารถแสดงการหาพ้ืนท่ี แบบฝกึ หัด 2.11 ข้อ 1 ตรวจแบบฝึกหัด 2.11 ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 75
ขอ้ 1 ใหญ่ ข้อ 2,3,4
ปดิ ลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้ (P) ใหญ่ ข้อ 2,3,4

นักเรยี นมคี วามต้ังใจและ แบบสังเกตพฤติกรรม สงั เกตพฤตกิ รรม ผา่ นเกณฑ์
รบั ผิดชอบตอ่ งานท่ีไดร้ บั การประเมิน
ทงั้ 2 รายการ
มอบหมาย (A)

สอ่ื /แหล่งการเรียนรู้
สื่อการเรยี นรู้

1. หนังสือรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ ม.6 เล่ม 1 หน่วยการเรียนรู้ท่ี 2 เรื่อง แคลคูลัส
เบ้ืองตน้

2. แบบฝึกหดั 2.11 พื้นที่ทป่ี ิดลอ้ มด้วยเส้นโค้ง
3. วดิ ีโอการสอน เร่อื ง แคลคูลัสเบ้อื งตน้ จาก https://proj14.ipst.ac.th
แหลง่ การเรยี นรู้
1. ห้องเรียน
2. หอ้ งสมดุ
3. อนิ เตอรเ์ น็ต

268

บนั ทึกหลังการสอน

ดา้ นความรู้ (K)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

. ดา้ นทกั ษะกระบวนการ (P)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

คณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค/์ เจตคติ (A)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

สมรรถนะสาคญั ผ้เู รียน (C)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ปัญหาอุปสรรค/ข้อเสนอแนะอืน่ ๆ
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงช่ือ ……………………………………(ผู้สอน)
(นายธรี เทพ ชศู รีโสม)

วนั ที่ ……………………………………

269

270

แบบประเมินพฤติกรรมการเรียนรู้ ด้านความรู้ ทกั ษะกระบวนการ และคณุ ลักษณะอนั พึงประสงค์
แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 27 เร่ือง พ้นื ที่ปิดลอ้ มด้วยเสน้ โค้ง ชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 6

เลขท่ี ช่อื - สกลุ ความรู้ ทกั ษะกระบวนการ คณุ ลักษณะ หมายเหตุ
ของผรู้ ับการประเมิน 2 ระดับ 3 ระดับ อันพงึ ประสงค์
3 ระดบั

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

271

เลขท่ี ชอื่ - สกลุ ความรู้ ทักษะกระบวนการ คณุ ลกั ษณะ หมายเหตุ
ของผ้รู ับการประเมนิ 2 ระดับ 3 ระดับ อนั พงึ ประสงค์
3 ระดับ

26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39

รวม
เฉลย่ี
จานวนนกั เรยี นทผี่ า่ น
ร้อยละนกั เรียนทีผ่ ่าน

ลงชื่อ.................................................................................ผ้ปู ระเมนิ
(นายธรี เทพ ชูศรโี สม)

วนั ที่.......................เดอื น......................................พ.ศ.....................

272

ตงั บ่งช้ี เกณฑก์ ารให้คะแนนด้านความรู้
การตอบคาถามใน ระดบั คณุ ภาพ/ระดบั คะแนน

หอ้ งเรยี น 2 : ดี 1 : พอใช้ 0 : ปรบั ปรงุ

นกั เรียนมีความรู้ความ นกั เรียนมีความพยายามตอบ นักเรียนไมต่ อบคาถามใน
หอ้ งเรียน
เขา้ ใจสามารถตอบคาถาม คาถามที่ครูถามได้ถูกต้อง

ท่คี รถู ามได้ถกู ต้อง บางส่วน

หมายเหตุ ผา่ น หมายถงึ นักเรยี นทาคะแนนไดเ้ ฉล่ียร้อยละ 70 ขึ้นไป
ไม่ผา่ น หมายถึง นกั เรยี นทาคะแนนได้ต่ากว่าเฉลี่ยร้อยละ 70 ขึน้ ไป

เกณฑ์การให้คะแนนดา้ นทกั ษะ/กระบวนการทางคณติ ศาสตร์

ทกั ษะ/กระบวนการความสามารถในการแกป้ ญั หาในการเรยี นคณติ ศาสตร์ได้

คะแนน:ระดับคุณภาพ ความสามารถในการแกป้ ัญหาในการเรียนคณติ ศาสตรไ์ ด้

3 : ดเี ย่ียม สามารถแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ได้ถูกต้องครบถว้ น

2 : ดี สามารถแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้ถูกต้องบางสว่ น

1 : พอใช้ มีความพยายามในการแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์

0 : ปรับปรุง ไมม่ ีความพยายามในการแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์

เกณฑ์การประเมนิ อยู่ในระดับ ดี ถอื วา่ ผ่าน

273

ตังบง่ ช้ี เกณฑ์การให้คะแนนดา้ นคณุ ลักษณะอันพึงประสงค์
การตอบ ระดับคณุ ภาพ/ระดับคะแนน
คาถามใน
ห้องเรยี น 3 : ดมี าก 2 : ดี 1 : กาลงั พัฒนา 0 : ตอ้ งปรับปรงุ

มีความตั้งใจและ มีความตัง้ ใจและพยายาม มคี วามต้งั ใจและ ไมม่ ีความต้ังใจและ
พยายามในการ
พยายามในการ ในการแกป้ ัญหาทาง พยายามในการ แกป้ ัญหาทาง
คณิตศาสตร์ที่
แกป้ ัญหาทาง คณิตศาสตร์ทก่ี าหนดให้ แกป้ ญั หาทาง กาหนดให้ ไม่มคี วาม
อดทนและท้อแทต้ ่อ
คณิตศาสตร์ที่กาหนดให้ แต่ไม่มคี วามอดทนและ คณติ ศาสตร์ทก่ี าหนดให้ อปุ สรรคจนทาให้
แกป้ ญั หาทาง
มีความอดทนและไม่ ทอ้ แทต้ ่ออปุ สรรคจนทา แต่ไม่มคี วามอดทนและ คณติ ศาสตร์ที่
กาหนดใหไ้ ดไ้ ม่
ท้อแท้ต่ออุปสรรคจนทา ใหแ้ ก้ปัญหาทาง ท้อแทต้ ่ออปุ สรรคจนทา
สาเร็จ
ใหส้ ามารถแก้ปัญหาทาง คณิตศาสตร์ทก่ี าหนดให้ ให้แก้ปัญหาทาง

คณติ ศาสตร์ทก่ี าหนดให้ ได้ไมส่ าเร็จเลก็ นอ้ ย คณติ ศาสตร์ทก่ี าหนดให้

ได้สาเรจ็ ไดไ้ ม่สาเร็จเป็นส่วน

ใหญ่

เกณฑ์การประเมิน อยู่ในระดับ ดี ถอื วา่ ผา่ น

274

แบบฝึกหัด 2.11

1. จงหาพ้นื ทท่ี ปี่ ิดล้อมด้วย
2) เส้นโคง้ y  x 1กับแกน X จาก -1 ถึง 1
3) เสน้ โคง้ y  6  x  x2 กับแกน X จาก -1 ถึง 1
4) เสน้ โคง้ y  9  x2 กบั แกน X จาก -3 ถึง 3

275

เฉลยแบบฝึกหดั 2.11

1. จงหาพน้ื ที่ท่ีปิดล้อมดว้ ย

2) เสน้ โคง้ y  x 1กับแกน X จาก -1 ถงึ 1

วธิ ที า กราฟของ y  x 1เป็นเส้นตรง

และ f (x)  0 สาหรับทุก x 1, 1

ให้ A เป็นพนื้ ท่ีทป่ี ิดลอ้ มด้วยเสน้ โคง้ y  x 1จาก x  1 ถงึ x 1

เน่อื งจาก f (x)  0 สาหรบั ทุก x 1, 1

Aจะได้  1  1dx   x2 1   3    1    2
2 2  2 
x  x  1

1

ดงั นั้น พื้นท่ที ่ปี ิดลอ้ มด้วยเส้นโค้ง y  x 1จาก x  1 ถึง x 1เทา่ กบั 2 ตารางหน่วย

3) เส้นโคง้ y  6  x  x2 กับแกน X จาก -1 ถงึ 1

วิธีทา กราฟของ y  6  x  x2 เปน็ รปู พาราโบลาคว่า

และ f (x)  0 สาหรบั ทุก x 1, 1

ให้ A เป็นพ้ืนที่ทปี่ ดิ ล้อมด้วยเสน้ โคง้ y  6  x  x2 จาก x  1 ถึง x 1

เน่อื งจาก f (x)  0 สาหรับทกุ x 1, 1

1  6 x x2 x3 1  37   31   34
2 3 6  6 3
A  6 x  x2  1

1
 จะได้ dx      

ดังนน้ั พนื้ ท่ที ีป่ ิดล้อมดว้ ยเสน้ โค้ง y  6  x  x2 จาก x  1 ถงึ x 1

เทา่ กับ 34 ตารางหน่วย
3

276

4) เสน้ โค้ง y  9  x2 กบั แกน X จาก -3 ถงึ 3

วธิ ีทา กราฟของ y  9  x2 เป็นรปู พาราโบลาคว่า

และ f (x)  0 สาหรับทุก x  3, 3

ให้ A เป็นพ้นื ทท่ี ่ีปดิ ล้อมดว้ ยเส้นโคง้ y  9  x2 จาก x  3 ถึง x  3

เนือ่ งจาก f (x)  0 สาหรบั ทุก x  3, 3

1  9 x x3  1
3 1
A  9 x2

1
 จะได้ dx    18  18  36

ดงั น้ัน พื้นทที่ ่ปี ดิ ล้อมดว้ ยเส้นโคง้ y  9  x2 จาก x  3 ถึง x  3

เทา่ กับ 36 ตารางหน่วย

277

278