แผน2

4. โครงสร้างสามเหลี่ยมประกอบด้วยวัตถุมวล m1 = 1 กิโลกรัม, m2 = 2 กิโลกรัม และ m3 = 3 กิโลกรัม
ต่อเชื่อมกัน ดังรูป โดยมวลทั้งสามอยู่ในระบบพิกัด (1.25 m, 3 m), (2 m, 2 m) และ (0.75 m, 0.5 m) จง
คำนวณหาพิกัดของตำแหนง่ ศนู ยก์ ลางมวลนี้

y (m)

m1= (1.25, 3)

m2= (2, 2)

m3= (0.75, 0.5) x (m)

5. ไม้คานเบาอันหนึ่งยาว 4 เมตร มีกล่องอยู่ 4 ใบ แต่ละใบมีมวลเท่ากัน ใบที่ 1 วางไว้ที่ปลายคานด้านซ้าย
ใบที่ 2 วางไว้ที่จุดกึ่งกลางคาน และอีก 2 ใบ ที่เหลือวางซ้อนไว้ที่ปลายคานด้านขวา จงหาตำแหน่งของ cg
ของระบบนี้จะอยหู่ ่างจากตำแหน่งกลางก่ีเมตร

จุดศูนยก์ ลางมวลท่ีควรทราบ

คานสม่ำเสมอ จดุ cm อยู่ก่ึงกลางคาน รูปทรงกระบอก จุด cm อยู่กึ่งกลางเส้นแกนกลาง
ของทรงกระบอก

วัตถุทรงกลมวงแหวน จุดศูนย์กลางมวลอยู่ที่จุด รูปสามเหลี่ยมจุดศูนย์กลางมวลอยู่ที่จุดตัดเส้น

ศนู ยก์ ลาง มัธยฐาน

สี่เหลีย่ มจัตุรัส สี่เหลี่ยมด้านขนาน สี่เหล่ียมผืนผ้า จุดศูนย์กลางมวลจะอยูท่ ี่จุดตัดของเส้นทแยงมุมหรอื
เสน้ แบ่งคร่งึ ทตี่ ดั กนั



กิจกรรม ศนู ย์กลางมวลกบั สภาพการเคลอ่ื นที่ของวัตถุ

วสั ดุ - อุปกรณ์ 2 แท่ง
1 เลม่
1) ดินสอ 1 แผ่น
2) หนงั สือ 1 อนั
3) กระดาษขาว 1 มว้ น
4) ไม้บรรทดั
5) เทปใส

วิธกี ารดำเนินกจิ กรรม

1. ใชเ้ ทปใสตดิ แผ่นกระดาษสขี าวบนหนา้ ปกของหนงั สอื
2. วางหนังสือบนโต๊ะราบลื่นแล้วใช้มือจับดินสอดันขอบหนังสือที่ตำแหน่งต่าง ๆ ดังรูป สังเกตสภาพ
การเคลือ่ นทข่ี องเคลอื่ นท่ีของหนงั สือ

3. หาตำแหน่งท่ีเมอ่ื ใช้ดินสอดนั ขอบหนังสอื แล้วทำให้หนงั สือมีการเลอื่ นที่โดยไม่หมุน เมื่อพบตำแหนง่ ดังกล่าว
ใหใ้ ช้ดนิ สออกี แท่งและไมบ้ รรทดั ขีดเสน้ บนกระดาษขาวจากตำแหนง่ นั้น ไปยังขอบอีกดา้ นหนง่ึ ของหนงั สอื
4. ทำซำ้ ขอ้ 3 แตเ่ ปลย่ี นเปน็ ใช้ดนิ สอดันขอบหนงั สืออีกสามด้านทีเ่ หลอื

สรุปกจิ กรรม

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

คำถามท้ายกจิ กรรม

1. เมือ่ ใชด้ ินสอดนั ขอบหนังสือท่ตี ำแหน่งต่าง ๆ สภาพการเคลอ่ื นทีข่ องหนังสอื แตกตา่ งกันอยา่ งไร
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
2. แนวของเส้นทข่ี ดี บนกระดาษขาวแต่ละเสน้ ตดั กนั หรือไม่ อยา่ งไร
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

กจิ กรรม การหาศูนยก์ ลางมวลและศนู ย์ถว่ งของวตั ถุ

วสั ดุ - อุปกรณ์ 1 แผ่น
1 แทง่
1) แผน่ ทำจากวัสดแุ ขง็ รูปร่างไม่สมมาตรและไดม้ ีการเจาะรไู วแ้ ล้ว 1 อนั
2) ดินสอ 1 ตวั
3) ไมบ้ รรทดั 1 อัน
4) นอต 1 เสน้
5) ขาตัง้ พร้อมทย่ี ึดหลอดทดลอง
6) เชือกยาวประมาณ 50 เซนติเมตร

วธิ กี ารดำเนินกิจกรรม

1. นำแผ่นวัสดุแขง็ มาแขวนกับท่ียดื หลอดทดลองซ่ึงติดตั้งไว้บนขาตง้ั โดยให้รูใดรหู นง่ึ บนแผ่นวัสดุแข็งสวมเข้า
กับปลายของที่ยืดหลอดทดลอง ปล่อยให้แผน่ วัสดแุ ข็งห้อยอยา่ งอิสระ
2. ผกู ปลายเชอื กดา้ นหน่งึ กับทีย่ ึดหลอดทดลอง โดยตำแหนง่ ทผ่ี ูก
ใกลก้ ับรขู องแผ่นวสั ดแุ ขง็ ท่แี ขวน
3. ผกู ปลายอกี ดา้ นหน่งึ ของเชอื กกับนอต จากนน้ั ปล่อยใหเ้ ชือกห้อย
ลงมาอย่างอสิ ระ โดยไม่ใหน้ อตแตะพ้นื ดงั รูป
4. ใช้ไม้บรรทัดทาบบนแผ่นวัสดุแข็งตามแนวเส้นเชือก จากนั้นใช้ดินสอลากเส้นลงบนแผ่นวัสดุแข็งตามแนว
เชอื กตามแนวของเชือก โดยให้ลากจากรทู ใ่ี ชแ้ ขวนจนถงึ ขอบอกี ด้านหนงึ่ ของแผ่นวสั ดุแขง็
5. ทำซ้ำข้อ 1-3 แตเ่ ปลยี่ นรูทใี่ ชแ้ ขวนเป็นรูท่ีเหลอื อกี 2 รู

สรปุ กจิ กรรม

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

คำถามท้ายกิจกรรม

1. เส้นลากด้วยดินสอทั้งสามเส้นเสน้ มีการตัดกนั กจี่ ดุ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
2. จดุ ทเ่ี ส้นดินสอตดั กนั คือจุดอะไร จงอธบิ าย
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 3

กลมุ่ สาระการเรียนรู้วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4
รายวชิ า ฟิสิกส์เพ่มิ เตมิ รหัสวิชา ว 31201
หนว่ ยการเรียนร้ทู ี่ 4 สมดลุ กล
เรือ่ ง สมดลุ ต่อการเล่ือนที่ เวลา 12 ช่ัวโมง
ภาคเรยี นที่ 2/2564 เวลา 2 ช่วั โมง
วนั ทส่ี อน................................................... ครูผู้สอน นางสาวอารยิ า แกว้ คำฝา

1. สาระการเรยี นรู้ / ผลการเรียนรู้
สาระฟิสกิ ส์
1. เข้าใจธรรมชาติทางฟิสิกส์ ปริมาณและกระบวนการวัด การเคลื่อนที่แนวตรง แรงและกฎ

การเคลื่อนที่ของนิวตัน กฎความโน้มถ่วงสากล แรงเสียดทานสมดุลกล ของวัตถุ งานและกฎการอนุรักษ์
พลังงานกล โมเมนตมั และกฎการอนุรกั ษ์ โมเมนตัม การเคล่อื นทีแ่ นวโคง้ รวมทง้ั นำความรไู้ ปใช้ประโยชน์

ผลการเรยี นรู้
8. อธบิ ายสมดุลกลของวัตถุโมเมนต์และผลรวมของโมเมนต์ทม่ี ีต่อการหมุน แรงคคู่ วบและผลของ

แรงคู่ควบที่มีต่อสมดุลของวัตถุ เขียนแผนภาพของแรงที่กระทำต่อวัตถุอิสระเมื่อวัตถุอยู่ในสมดุลกล และ
คำนวณปรมิ าณต่าง ๆ ที่เกีย่ วข้อง รวมทง้ั ทดลองและอธิบายสมดลุ ของแรงสามแรง

2. สาระสำคัญ
วัตถุจะสมดุลต่อการเลื่อนที่คือหยุดนิ่งหรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัวเมื่อแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุ

เป็นศูนยเ์ ขยี นแทนไดด้ ว้ ยสมการ ∑ = 0

3. จุดประสงค์การเรยี นรู้
3.1 ด้านความรู้ (K)
1) อธิบายว่า เมื่อวัตถุอยู่ในสมดุลต่อการเลื่อนที่โดยมีแรงหลายแรงมากระทำ ถ้าแยกแรง

ออกเปน็ องคป์ ระกอบในแนวแกนตง้ั ฉากกันสองแกน แรงลพั ธ์ในแตล่ ะแกนจะมีคา่ เปน็ ศูนยไ์ ด้

3.2 ดา้ นดา้ นทกั ษะกระบวนการ (P)
1) เขียนแผนภาพวตั ถุอสิ ระ และเขยี นเวกเตอร์แทนแรงแสดงการหาแรงลัพธ์ได้
2) วิเคราะห์และคำนวณปรมิ าณต่าง ๆ ทเี่ กี่ยวขอ้ ง เมอื่ มแี รงกระทำตอ่ วัตถแุ ล้วทำให้วตั ถุอยู่

ในสมดุลต่อการเลือ่ นที่และอยู่นิ่ง โดยใชว้ ธิ ีการแยกแรง
3.3 ด้านคุณลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ (A)
1) มคี วามสนใจใฝ่รู้ทางดา้ นวิทยาศาสตร์
3.4 ทกั ษะกระบวนการวทิ ยาศาสตร์ (Science Process Skill)
- การสังเกต การวดั การคำนวณ และการลงความเหน็ จากข้อมลู
- การใช้จำนวน (การคำนวณปริมาณตา่ งๆ ท่ีเกี่ยวข้อง)

4. สาระการเรียนรู้
- เมือ่ วตั ถอุ ยูใ่ นสมดุลตอ่ การเล่ือนทแ่ี ละอยู่นิ่ง แรงลพั ธ์ท่ีกระทำต่อวัตถมุ คี ่าเป็นศูนย์เขียนแทนได้ด้วย

สมการ ∑F = 0
- ในการคำนวณปริมาณที่เกี่ยวข้องกับการที่วัตถุอยู่ในสมดุลต่อการเลื่อนที่และอยู่นิ่ง สามาร ถแยก

พจิ ารณาได้ดังนีค้ อื
1) กรณีมีแรงสองแรงกระทำ แรงทั้งสองจะต้องมีขนาดเท่ากันแต่มีทิศตรงข้ามกัน และแนว

แรงผ่านศูนย์กลางมวล
2) กรณีมแี รงสามแรงกระทำ สามารถแบ่งไดเ้ ป็นกรณยี อ่ ยอีกสองกรณคี ือ
- กรณที แี่ รงอยู่ในแนวเดยี วกัน ผลรวมของแรงที่มีทิศตรงขา้ มกันตอ้ งมีขนาดเท่ากัน
- กรณีที่แรงไม่อยู่ในแนวเดียวกันแต่อยู่ในระนาบเดียวกัน แนวแรงทั้งสามต้องพบกันท่ี

จุด ๆ หนง่ึ และถ้านำเวกเตอร์แทนแรงท้งั สามมารวมกนั ดว้ ยวธิ หี างตอ่ หวั เวกเตอรจ์ ะได้เป็นรปู สามเหล่ียมปดิ
3) กรณีที่มีแรงมากกว่าสามแรงกระทำ โดยที่แรงแต่ละแรงไม่อยู่ในแนวเดียวกัน ถ้านำ

เวกเตอร์แทนแรงทัง้ หมดมารวมกันด้วยวิธีหางตอ่ หัวเวกเตอร์จะไดเ้ ปน็ รูปหลายเหลยี่ มปดิ
- การเขยี นแผนภาพวัตถุอิสระและการแยกแรงเป็นแรงองคป์ ระกอบ สามารถนำมาใชใ้ นการพิจารณา

แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเมื่อวตั ถุอยู่ในสมดุลต่อการเลื่อนที่และอยู่นิ่ง ผลรวมของแรงในแนวแกน x และแกน
y มคี า่ ดังสมการ ∑Fx = 0 และ ∑Fy = 0

5. การจัดกจิ กรรมการเรยี นรู้
5.1 ข้นั สร้างความสนใจ (Engagement)
5.1.1 ครูทบทวนเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของนิวตัน โดยถามนักเรียนว่า กฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 1

ของนิวตัน กลา่ วไวว้ ่าอยา่ งไร
5.1.2 ครูแจ้งจุดประสงค์การเรียนรใู้ หน้ ักเรยี นทราบ
5.1.3 ครูถามคำถามนักเรียน ให้นักเรียนได้แสดงความคิดเห็น โดยถามคำถามว่า “ถ้าวัตถุเกิด

สมดุลต่อการเลื่อนที่ แรงลัพธ์ที่กระทำกับวัตถุเป็นอย่างไร” (แนวคำตอบ วัตถุจะสมดุลต่อการเลื่อนที่เมื่อ
แรงลพั ธ์หรอื ผลรวมของแรงท้งั หมดท่ีกระทำต่อวตั ถุมีคา่ เป็นศูนย์)

5.2 ขนั้ สำรวจและค้นหา (Exploration)
5.2.1 ครใู หน้ ักเรียนใชเ้ คร่ืองชั่งสปรงิ เก่ียวถุงทราย 1 ถงุ ถอื ไว้นิง่ ๆ จากนัน้ ตั้งคำถามให้นักเรียน

อภปิ รายเกี่ยวกบั แรงทกี่ ระทำต่อถงุ ทราย
- มแี รงใดกระทำตอ่ ถงุ ทรายบ้าง
(แนวคำตอบ เครอ่ื งช่ังสปริงดงึ ถุงทรายขึ้น T⃑ และนำ้ หนักถุงทรายดงึ ลง ⃑W⃑ )
- นำ้ หนักถงุ ทรายมีค่าเท่าใด
(แนวคำตอบ น้ำหนกั ถงุ ทรายเทา่ กบั 0.5 kg x 9.8 m/s2 = 4.9 N)
- เครือ่ งชงั่ สปรงิ บอกแรงใด มคี ่าเทา่ ใด
(แนวคำตอบ บอกแรงทเี่ ครือ่ งชัง่ สปรงิ ดงึ วตั ถุขึน้ เทา่ กับ 4.9 นิวตนั )
- สภาพการเคล่อื นท่ขี องถุงทรายขณะน้ีเปน็ อย่างไร
(แนวคำตอบ อยู่น่งิ )

- เขียนแผนภาพวตั ถอุ ิสระท่ถี งุ ทราย

T⃑

W⃑⃑⃑

- แรงทกี่ ระทำ ตอ่ ถงุ ทรายท้ังสองแรงสัมพนั ธ์กันอย่างไร
(แนวคำตอบ ขนาดของแรงทั้งสองเทา่ กันแต่ทิศทางตรงข้าม)
- แรงลพั ธท์ กี่ ระทำ ตอ่ ถุงทรายมีค่าเทา่ ใด
(แนวคำตอบ แรงลัพธ์เป็นศูนย)์
5.2.2 ครูและนักเรียนร่วมกันอภิปรายเกี่ยวกับกรณีมีแรงสองแรงกระทำต่อวัตถุว่า เมื่อมีแรง 2
แรงกระทำตอ่ วัตถแุ ลว้ ทำใหว้ ัตถสุ มดุลต่อการเล่ือนท่ี แรงท้งั สองจะมขี นาดเท่ากนั แต่ทิศทางตรงขา้ มกัน ดงั น้ัน
แรงลัพธ์ของแรงทั้งสองเปน็ ศูนย์
5.2.3 ครูให้นักเรียนพิจารณากรณีมีแรงสองแรงกระทำต่อวัตถุเพิ่มเติม แล้วสรุปว่ามีแรง 2 แรง
กระทำต่อวัตถุแล้วทำ ให้วัตถุสมดุลต่อการเลื่อนที่ แรงทั้งสองจะมีขนาดเท่ากันแต่ทิศทางตรงข้ามกัน และ
กระทำผา่ นศูนยก์ ลางมวล ดังนั้นแรงลพั ธข์ องแรงทงั้ สองเปน็ ศูนย์

5.2.4 ครใู ห้นักเรียนพจิ ารณาในกรณีมีแรงสามแรงกระทำต่อวัตถุ ดงั น้ี
กรณีทีแ่ รงอยู่ในแนวเดยี วกนั

กรณที แ่ี รงอย่ใู นแนวเดียวกนั ผลรวมของแรงทม่ี ีทศิ ตรงข้ามกนั ตอ้ งมีขนาดเทา่ กนั

⃑⃑⃑ ⃑1 ⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑ ⃑2 จากสมการ ∑F = 0
⃑W⃑⃑ +N⃑⃑⃑⃑2+⃑N⃑⃑⃑2 = 0

N⃑⃑⃑⃑2+N⃑⃑⃑⃑2 = - W⃑⃑⃑
(เคร่ืองหมาย – คือทิศตรงข้าม)

เง่อื นไข

1. แรงลพั ธข์ องแรงทั้งสามจะต้องเปน็ ศนู ย์ ∑F=0

2. แนวแรงของแรงทั้งสามตอ้ งอย่ใู นระนาบเดยี วกนั เสมอ
3. แนวแรงของแรงทง้ั สามไม่จำเป็นตอ้ งพบกันทจี่ ุดใดจุดหนึง่

กรณที แ่ี รงไมอ่ ยู่ในแนวเดียวกนั แตอ่ ยใู่ นระนาบเดยี วกนั
- เมื่อมีแรงหลายแรงที่ไม่ได้อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกันกระทำต่อวัตถุแล้ววัตถุสมดุลต่อการเลื่อนที่

แรงลพั ธ์จะเท่ากับศูนย์

⃑⃑ ⃑1 การรวมเวกเตอรโ์ ดยวิธหี างต่อหวั
⃑ ⃑ ⃑2 ⃑ ⃑ ⃑3
⃑ ⃑ ⃑2

⃑ ⃑ ⃑3 ⃑⃑ ⃑1 ⃑ ⃑⃑ ⃑2 ⃑ ⃑ ⃑1 + ⃑⃑ ⃑2 + ⃑⃑ ⃑3 = 0

เง่ือนไข ⃑ ⃑ ⃑2

1. แรงลพั ธข์ องแรงท้ังสามจะตอ้ งเปน็ ศนู ย์ ∑F = 0

2. แนวแรงของแรงทงั้ สามตอ้ งอยูใ่ นระนาบเดยี วกนั เสมอ
3. แนวแรงของแรงทัง้ สามตอ้ งพบกนั ทจี่ ดุ ใดจดุ หนึง่

5.2.5 ครูให้ความรู้เพิ่มเติมกรณีที่มีแรงมากกว่าสามแรงกระทำ โดยที่แรงแต่ละแรงไม่อยู่ในแนว
เดยี วกัน ถ้านำเวกเตอรแ์ ทนแรงท้ังหมดมารวมกันดว้ ยวิธีหางตอ่ หัวเวกเตอร์จะได้เป็นรูปหลายเหล่ียมปิด

⃑⃑ ⃑3 ⃑ ⃑ ⃑2 การรวมเวกเตอร์โดยวิธีหางต่อหัว
⃑ ⃑ ⃑4 ⃑⃑ ⃑1
⃑⃑ ⃑4 ⃑ ⃑ ⃑3

⃑⃑ ⃑1 ⃑⃑⃑ ⃑2 ⃑ ⃑ ⃑2

⃑ ⃑ ⃑1 + ⃑⃑ ⃑2 + ⃑ ⃑ ⃑3 + ⃑ ⃑ ⃑4 = 0

5.2.6 ครูเพิม่ เติมวธิ ีการพิจารณาแรงลัพธ์ของแรงทง้ั สามหรือมากกว่าท่ีกระทำต่อวัตถุการการหา
แรงลัพธ์ยังสามรถหาได้จากการแยกแรงเป็นแรงองค์ประกอบ ตามแนวแกน ⃑⃑ ⃑2x และแกน y แล้วรวมแรง
องค์ประกอบเหล่านั้นในแต่ละแกน ซึ่งกรณีวัตถุอยู่ในสมดุลต่อการเลื่อนที่และอยู่นิ่ง ผลรวมของแรงใน
แนวแกน x และแกน y จะตอ้ งเป็นศูนย์ ดังสมการ ∑Fx = 0 และ ∑Fy = 0

5.3 ข้ันอธิบายและลงขอ้ สรปุ (Explanation)
5.3.1 ครแู ละนักนกั เรยี นรว่ มกนั อภปิ รายและสรุปเนอื้ หา ดงั ต่อไปนี้
- เมื่อวัตถอุ ยใู่ นสมดุลต่อการเล่ือนที่และอยูน่ ่ิง แรงลพั ธท์ ก่ี ระทำต่อวตั ถมุ ีค่าเป็นศูนย์เขียน

แทนไดด้ ้วยสมการ ∑F = 0
- กรณีมีแรงสองแรงกระทำ แรงทั้งสองจะต้องมีขนาดเท่ากันแต่มีทศิ ตรงข้ามกัน และแนว

แรงผ่านศูนยก์ ลางมวล

- กรณมี ีแรงสามแรงกระทำ สามารถแบง่ ไดเ้ ป็นกรณีย่อยอีกสองกรณี คอื
1) กรณีทีแ่ รงอยู่ในแนวเดยี วกัน ผลรวมของแรงท่มี ีทิศตรงขา้ มกนั ตอ้ งมขี นาดเทา่ กัน
2) กรณีทีแ่ รงไม่อย่ใู นแนวเดียวกันแต่อย่ใู นระนาบเดยี วกนั แนวแรงทัง้ สามต้องพบกัน

ท่ีจดุ ๆ หนึง่ และถา้ นำเวกเตอรแ์ ทนแรงทัง้ สามมารวมกันด้วยวธิ ีหางตอ่ หวั เวกเตอร์จะได้เป็นรปู สามเหลี่ยมปิด
- กรณีที่มีแรงมากกว่าสามแรงกระทำ โดยที่แรงแต่ละแรงไม่อยู่ในแนวเดียวกัน ถ้านำ

เวกเตอร์แทนแรงทั้งหมดมารวมกนั ดว้ ยวิธหี างตอ่ หวั เวกเตอรจ์ ะไดเ้ ปน็ รูปหลายเหล่ียมปดิ

5.4 ข้ันขยายความรู้ (Elaboration)
5.4.1 ครูยกตัวอย่างการคำนวณเกี่ยวกับสมดลุ ต่อการเล่ือนที่ ดงั ต่อไปน้ี
- วัตถุมวล 2 กิโลกรัม ผูกเชือกกับเพดาน จงหาแรงที่ดึงมวลนี้ในแนวระดับ ที่จะทำให้

เชอื กทำมมุ 30 องศากับแนวดิ่ง (กำหนดให้ g = 10 m/s2)

จากสมการ ∑ = 0

แกน x ; T sin Ɵ = F ____(1)

300 T cos Ɵ แกน y ; T cos Ɵ = mg ____(2)
T
;(1) tan Ɵ =
T sin Ɵ
(2)
mg
F F = mg tan 300

F = (2)(10) ( 1 )

√3

F = 20 = 11.5 N

√3

- แขวนมวล m ด้วยเชือกเบา ถ้าแรงดึงเชือกตามแนวระดับมีขนาด 60 นิวตัน จงหา
น้ำหนักของวตั ถนุ น้ั

T1 sin 600 600 จากสมการ ∑F⃑ = 0

T1 ∑Fซา้ ย = ∑Fขวา

T2 = 60 N T1 cos 600 T2 = T1 cos 600

60 = T1 (1)

2

T1 = 120 N

m ∑Fข้ึน = ∑Fลง
mg
T1 sin 600 = mg

(120) (1) = mg
2
mg = 60√3 N

- ชายคนหนึ่งนำมวล 10 กิโลกรัม วางบนพื้นเอียงทำมุม 300 กับแนวราบ ถ้าสัมประสิทธิ์
ของแรงเสียดทานระหวา่ งฝัง่ ของวัตถกุ ับพน้ื เอยี งเทา่ กับ 0.2 แรงที่ดึงวตั ถุให้เคลอ่ื นท่ขี ึน้ ดว้ ยความเรว็ คงท่ี

NF จากสมการ ∑F⃑ = 0
∑Fซา้ ย = ∑Fขวา
f F = mg sin 300 + f ____ (1)
mg sin 300 ∑Fขน้ึ = ∑Fลง
N = mg cos 300 ____ (2)
300 mg mg cos 300
แทน (2) ใน (1) ; F = mg sin 300 + µmg cos 300

F = (10)(10) (1) + (0.2)(10)(10)(√3)
22

F = 50 + 17.32
F = 67.32 N

5.4.2 ครเู พิ่มเติมทฤษฎที ี่ช่วยในการคำนวณสมดุลของแรงสามแรง (ทฤษฎีลารม์ )ี

ถ้ารู้มมุ แรง F1, F2 และ F3 กระทำร่วมกันดังรูป โดยมีมุมที่
ถ้ารแู้ รงตัง้ ฉากกบั ดา้ นของสามเหล่ยี ม
อยู่ตรงข้ามกับแรงทั้งสามเป็น Ɵ1, Ɵ2 และ Ɵ3

ตามลำดับ จะไดว้ า่

1 = 2 = 3
sin 1 sin 2 sin 3

แรง F1, F2 และ F3 กระทำรว่ มกนั ดงั รูป โดยมีแรง F1,

F2 และ F3 ตง้ั ฉากกับดา้ น AB, BC และ AC ตามลำดับ

จะไดว้ ่า

1 = 2 = 3


ถา้ รู้แรงขนานกับด้านของสามเหลย่ี ม แรง F1, F2 และ F3 กระทำร่วมกันดังรปู มีแรง F1, F2

และ F3 ขนานกับด้าน AB, BC, และ AC ตามลำดับ

จะไดว้ ่า

1 = 2 = 3


5.5 ข้ันประเมนิ (Evaluation)
5.5.1 ครูถามคำถามนักเรยี นเพือ่ ตรวจสอบความรู้ โดยใช้คำถามตอ่ ไปนี้
- วัตถุท่อี ยใู่ นสมดลุ ต่อการเลือ่ นทีแ่ ละอยูน่ ง่ิ มเี งื่อนไขอะไรบา้ ง
(แนวคำตอบ แรงลพั ธเ์ ปน็ ศูนย์และความเร็วเป็นศนู ย์)

- ปล่อยให้วัตถุตกอย่างอิสระ ถ้าไม่คิดแรงต้านอากาศที่กระทำต่อวัตถุวัตถุนี้สมดุลต่อ
การเลื่อนที่หรือไม่ อธิบาย (แนวคำตอบ ไม่สมดุลต่อการเลื่อนที่ เพราะวัตถุที่ตกแบบเสรีเคลื่อนที่ด้วย
ความเรง่ g)

- วางไม้คานสม่ำเสมอพิงกำแพงลืน่ ปลายอีกข้างหนึ่งวางบนพืน้ ล่ืนเช่นกัน ในกรณีนี้คาน
จะสมดุลต่อการเลื่อนที่หรือไม่ เพราะเหตุใด (แนวคำตอบ ไม่สมดุลต่อการเลื่อนที่ เพราะในแนวราบมีแรง
ปฏิกิริยาตั้งฉากของกำแพงดันคานโดยไม่มีแรงอื่นทิศทางตรงข้ามมาหักล้าง จึงทำให้แรงลัพธ์ในแนวราบ
ไม่เป็นศนู ย์)

- จงให้เหตุผลว่าเมื่อมีมวลแขวนที่จุดกึ่งกลางของเส้นเชือกที่ขึงไว้ในแนวระดับ ทำไมเรา
จึงไม่สามารถทำใหเ้ ชือกเป็นเส้นตรงโดยไมห่ ย่อนเลย (แนวคำตอบ เพราะจุดแขวนบนเชอื กจะมีแรงน้ำหนัก
วตั ถดุ ึงลงในแนวดิ่ง หากจุดแขวนอยู่น่ิงแสดงว่าสมดุลต่อการเลื่อนท่ี ซึง่ จะตอ้ งมีแรงทิศทางข้ึนในแนวดิ่ง
มาหักล้างให้แรงลัพธ์เป็นศูนย์เชือกจงึ หย่อนลงเสมอเพื่อทำให้เกดิ แรงองค์ประกอบของแรงดึงเชือกขึ้นใน
แนวด่งิ )

5.5.2 ครูตรวจสอบผลจากการตรวจใบงาน เรือ่ ง สมดุลตอ่ การเลอื่ นท่ี
5.5.3 ครูประเมินผล โดยการสงั เกตพฤติกรรมการตอบคำถาม พฤติกรรมการทำงานรายบุคคล

6. สอ่ื /แหล่งการเรยี นรู้
6.1 หนังสือเรยี นรายวิชาฟิสกิ ส์เพ่มิ เตมิ ม. 4 เล่ม 2 สสวท.
6.2 ใบงาน เร่ือง สมดลุ ตอ่ การเล่ือนที่
6.3 ถุงทรายและเครอื่ งชง่ั สปรงิ

7. กระบวนการวดั และประเมินผล

จดุ ประสงค์ เครื่องมอื วิธกี ารวดั เกณฑ์การตดั สนิ

ดา้ นความรู้ (K) - คำถาม - ตอบคำถาม ผ่านเกณฑ์อย่าง
1) อธิบายว่า เม่ือวตั ถอุ ยู่ในสมดลุ ต่อการเลือ่ นท่ี - ใบงาน - ตรวจคำตอบ นอ้ ยร้อยละ 70
โดยมีแรงหลายแรงมากระทำ ถา้ แยกแรง
ออกเป็นองค์ประกอบในแนวแกนต้งั ฉากกนั สอง จากใบงาน
แกน แรงลัพธ์ในแตล่ ะแกนจะมีค่าเปน็ ศูนย์ได้
ตรวจคำตอบจาก ผ่านเกณฑ์อยา่ ง
ดา้ นดา้ นทักษะกระบวนการ(P) ใบงาน ใบงาน นอ้ ยรอ้ ยละ 70
1) เขียนแผนภาพวตั ถอุ ิสระ และเขยี นเวกเตอร์
แทนแรงแสดงการหาแรงลัพธ์ได้ แบบประเมนิ สังเกตพฤติกรรม ผ่านเกณฑ์อยา่ ง
2) วิเคราะห์และคำนวณปรมิ าณตา่ ง ๆ ท่ี
เกย่ี วข้อง เมือ่ มีแรงกระทำตอ่ วตั ถแุ ล้วทำให้วตั ถุ พฤติกรรม นอ้ ยร้อยละ 70
อยู่ในสมดลุ ต่อการเล่ือนทีแ่ ละอยนู่ ง่ิ โดยใช้
วิธกี ารแยกแรง

ด้านคุณลักษณะอันพงึ ประสงค์ (A)
1) มคี วามสนใจใฝ่รูท้ างดา้ นวิทยาศาสตร์

















ใบความรู้ เรอื่ ง สมดลุ ต่อการเลื่อนท่ี

ชื่อ________________________________________ ช้นั ________________ เลขท_่ี _______
สมดลุ ต่อการเลอ่ื นที่

กรณีมแี รงสองแรงกระทำต่อวัตถุ
ถ้ามแี รงสองแรงมากระทำตอ่ วัตถุ แล้ววตั ถอุ ยู่ในสภาพสมดลุ โดยมีเง่ือนไข คอื

กรณมี ีแรงสามแรงกระทำตอ่ วัตถุ
1. กรณีที่แรงอยู่ในแนวเดยี วกนั

กรณที แ่ี รงอย่ใู นแนวเดยี วกัน ผลรวมของแรงทีม่ ีทิศตรงข้ามกันต้องมีขนาดเทา่ กัน
เงอื่ นไข :

2. กรณีท่ีแรงไมอ่ ยใู่ นแนวเดียวกนั แต่อยู่ในระนาบเดยี วกนั
เมื่อมีแรงหลายแรงที่ไม่ได้อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกันกระทำต่อวัตถุแล้ววัตถุสมดุลต่อการเลื่อนที่

แรงลพั ธ์จะเท่ากบั ศนู ย์

การรวมเวกเตอรโ์ ดยวธิ ีหางต่อหวั

⃑⃑ ⃑1 ⃑ ⃑⃑ ⃑2
⃑⃑ ⃑2 ⃑⃑ ⃑3

เงอ่ื นไข :

กรณีท่ีมแี รงมากกวา่ สามแรงกระทำ

แรงแต่ละแรงไม่อยู่ในแนวเดียวกัน ถ้านำเวกเตอร์แทนแรงทั้งหมดมารวมกันด้วยวิธีหางต่อหัว
เวกเตอรจ์ ะได้เปน็ รูปหลายเหลย่ี มปดิ

⃑ ⃑ ⃑3 ⃑⃑ ⃑2 การรวมเวกเตอร์โดยวธิ หี างต่อหวั
⃑⃑ ⃑1 ⃑⃑⃑ ⃑2

⃑⃑ ⃑4

การคำนวณโจทย์ของสมดุลของแรงมากกว่าแรงสามแรง

1. วาดรปู และเขยี นแรงท่ีกระทำต่อวตั ถใุ หค้ รบ

2. ถ้ามีแรงทไ่ี มอ่ ยู่ในแนวฉาก ใหแ้ ตกแรงให้อยใู่ นแนวฉาก (แกน x และแกน y) เพิ่มเตมิ

3. คำนวณแรงแตล่ ะแกน

- แนวแกน x (แนวราบ) ∑Fx = 0

- แนวแกน y (แนวดง่ิ ) ∑Fy = 0

4. แก้สมการหาส่ิงที่ตอ้ งการ

EX1 วตั ถมุ วล 2 กิโลกรัม ผกู เชอื กกับเพดาน จงหาแรงทด่ี งึ มวลนใ้ี นแนวระดับ ที่จะทำให้เชือกทำมุม 30 องศา
กับแนวดิ่ง (กำหนดให้ g = 10 m/s2)

300 T

F

EX2 แขวนมวล m ด้วยเชือกเบา ถา้ แรงดงึ เชือกตามแนวระดับมีขนาด 60 นวิ ตนั จงหานำ้ หนักของวตั ถุนนั้
600

m

EX3 ชายคนหน่ึงนำมวล 10 กโิ ลกรัม วางบนพน้ื เอียงทำมมุ 300 กับแนวราบ ถ้าสมั ประสิทธข์ิ องแรงเสียดทาน
ระหว่างฝงั่ ของวตั ถกุ บั พื้นเอยี งเทา่ กบั 0.2 แรงทีด่ งึ วตั ถุใหเ้ คล่อื นที่ขึน้ ด้วยความเรว็ คงที่

F

300

ทฤษฎีที่ชว่ ยในการคำนวณสมดลุ ของแรงสามแรง (ทฤษฎีลาร์ม)ี

ถา้ ร้มู ุม แรง F1, F2 และ F3 กระทำร่วมกันดังรูป โดยมีมุมท่ี
ถ้ารู้แรงตง้ั ฉากกับดา้ นของสามเหลย่ี ม
อยู่ตรงข้ามกับแรงทั้งสามเป็น Ɵ1, Ɵ2 และ Ɵ3
ตามลำดบั จะได้ว่า

1 = 2 = 3
sin 1 sin 2 sin 3

แรง F1, F2 และ F3 กระทำร่วมกันดังรูป โดยมีแรง
F1, F2 และ F3 ตั้งฉากกับด้าน AB, BC และ AC
ตามลำดับ จะไดว้ า่

1 = 2 = 3


ถ้ารู้แรงขนานกบั ดา้ นของสามเหลยี่ ม แรง F1, F2 และ F3 กระทำร่วมกันดังรูป มีแรง F1,
F2 แ ล ะ F3 ข น า น ก ั บ ด ้ า น AB, BC, แ ล ะ AC
ตามลำดบั จะได้ว่า

1 = 2 = 3


EX4 มวล 1 กโิ ลกรัม ถูกตรงึ ใหอ้ ยใู่ นสภาพสมดุล EX5 มวล 4 กิโลกรัม ถกู ตรึงให้อยใู่ นสภาพสมดุล

ดังภาพ จงหาแรงดงึ ในเสน้ เชอื ก T1 และ T2 ดงั ภาพ จงหาแรงดึงในเส้นเชอื ก T1 และ T2

10m

8m 6m
4kg

EX6 คาน AB ยาว 1 เมตร เสียบกบั ซอกกำแพง โดยมีเชือกผูกติดกบั กำแพงท่จี ดุ C นำวัตถุหนัก 5 กิโลกรมั
ผกู ติดทปี่ ลาย B ดังรปู จงหาแรงดึงเชือก BC

ใบงาน เร่อื ง สมดลุ ตอ่ การเลือ่ นที่

ช่อื ________________________________________ ชัน้ ________________ เลขท_่ี _______
1. เด็กคนหนง่ึ ออกแรง 100 นิวตัน ลากกล่องให้เคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอไปตามแนวระดับ โดยแนวของแรงดึง
ทำมมุ 30 องศา กบั แนวระดับ จงหาแรงเสยี ดทานทพี่ ื้นกระทำตอ่ กลอ่ ง

2. วตั ถหุ นัก 50 นิวตนั วางอยู่น่งิ บนพนื้ เอียงซง่ึ เอยี งทำมมุ 30 องศา กับแนวระดบั จงหาแรงทพี่ น้ื เอยี งดันวัตถุ
ในแนวตง้ั ฉาก และแรงเสยี ดทานที่เกดิ ข้ึนระหว่างพน้ื เอียงกับวตั ถุ

3. แรง 20 นิวตัน แรง 40 นิวตัน และ แรง F กระทำต่อวัตถุหนึ่ง ดังรูป ขนาดของแรง F ที่ทำให้วัตถุอยู่ใน
สมดุลเปน็ เทา่ ใด

4. น้ำหนัก W แขวนไว้ด้วยเชือกสองเส้น ซึ่งเอียงทำ มุม 60 องศา และ 30 องศา กับแนวดิ่ง จงหาขนาดแรง
ดงึ ในเส้นเชอื กทั้งสอง

5. วัตถุหนัก 40 นวิ ตนั ผูกดว้ ยเชือกเบายาว 100 เซนติเมตร แล้วนำ ไปแขวนห้อยอยูใ่ นแนวดง่ิ ถ้าใชแ้ รงดงึ F
ในแนวระดับดึงใหว้ ัตถสุ ูงจากตำแหน่งเดิมเป็นระยะ 20 เซนตเิ มตร ดงั รปู จงหาแรง F

6. วัตถุหนัก 40 นิวตนั และวตั ถุหนัก W ผูกไว้ดว้ ยเชือกและอยใู่ นสมดุลในลกั ษณะดังรูป ถา้ สมั ประสิทธ์ิความ
เสยี ดทานสถิตระหว่างวตั ถกุ ับพื้นโต๊ะเทา่ กับ 0.4 จงหานำ้ หนัก W ที่มากที่สดุ ที่จะทำให้วตั ถุทง้ั สองยังคงอยูน่ ่งิ
เช่นเดิม

7. วัตถุหนกั 20 นวิ ตัน แขวนไว้ดว้ ยเชือกคล้องผา่ นรอกที่ไมค่ ดิ ความฝืด (ความฝืดน้อยมาก) ปลายอีกขา้ งหนง่ึ
ของเชือกผกู วตั ถุหนัก 25 นวิ ตัน ซ่ึงวางอยูบ่ นพนื้ เอียง ดงั รูป เม่อื ปล่อยไว้อย่างอสิ ระ ปรากฏว่า วตั ถุทว่ี างบน
พื้นเอียงเคลอ่ื นทขี่ น้ึ พน้ื เอยี งไดพ้ อดี จงหาสัมประสทิ ธคิ์ วามเสียดทานสถติ ระหว่างพื้นกับวตั ถุ

แผนการจดั การเรียนรูท้ ่ี 4

กลุม่ สาระการเรียนร้วู ทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4
รายวิชา ฟิสิกส์เพิม่ เติม รหัสวิชา ว 31201
หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี 4 สมดุลกล
เรอื่ ง สมดลุ ตอ่ การหมนุ และโมเมนต์ของแรง เวลา 12 ชวั่ โมง
ภาคเรียนท่ี 2/2564 เวลา 3 ชั่วโมง
วนั ทสี่ อน................................................... ครผู สู้ อน นางสาวอารยิ า แกว้ คำฝา

1. สาระการเรยี นรู้ / ผลการเรียนรู้
สาระฟสิ ิกส์
1. เข้าใจธรรมชาติทางฟิสิกส์ ปริมาณและกระบวนการวัด การเคลื่อนที่แนวตรง แรงและกฎ

การเคลื่อนที่ของนิวตัน กฎความโน้มถ่วงสากล แรงเสียดทานสมดุลกล ของวัตถุ งานและกฎการอนุรักษ์
พลังงานกล โมเมนตัมและกฎการอนรุ กั ษ์ โมเมนตัม การเคลื่อนที่แนวโค้ง รวมทง้ั นำความร้ไู ปใชป้ ระโยชน์

ผลการเรียนรู้
8. อธิบายสมดลุ กลของวัตถุโมเมนต์และผลรวมของโมเมนต์ทมี่ ีตอ่ การหมุน แรงคู่ควบและผลของ

แรงคู่ควบที่มีต่อสมดุลของวัตถุ เขียนแผนภาพของแรงที่กระทำต่อวัตถุอิสระเมื่อวัตถุอยู่ในสมดุลกล และ
คำนวณปรมิ าณตา่ ง ๆ ที่เก่ยี วขอ้ ง รวมท้งั ทดลองและอธิบายสมดลุ ของแรงสามแรง

2. สาระสำคญั
วัตถุจะสมดุลต่อการหมุนคือไม่หมุนหรือหมุนด้วยความเร็วเชิงมุมคงตัวเมื่อผลรวมของโมเมนต์ท่ี

กระทำตอ่ วตั ถเุ ปน็ ศูนย์เขยี นแทนได้ด้วยสมการ ∑ = 0 โดยโมเมนตค์ ำนวณไดจ้ ากสมการ =

3. จดุ ประสงค์การเรยี นรู้
3.1 ด้านความรู้ (K)
1) บอกความหมายโมเมนตข์ องแรงได้

2) อธบิ ายเกี่ยวกับเงอื่ นไขทที่ ำให้วตั ถุอย่ใู นสมดลุ ต่อการหมุน

3.2 ดา้ นด้านทกั ษะกระบวนการ (P)
1) คำนวณเกีย่ วกับโมเมนต์ของแรงได้
2) เขียนแผนภาพวัตถุอิสระ วิเคราะห์และคำนวณปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องเมื่อวัตถุอยู่ใน

สมดุลต่อการหมุน
3.3 ด้านคุณลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ (A)
1) มีความสนใจใฝ่รู้ทางด้านวิทยาศาสตร์
3.4 ทักษะกระบวนการวิทยาศาสตร์ (Science Process Skill)
- การสังเกต การวัด การคำนวณ และการลงความเห็นจากข้อมูล
- การใชจ้ ำนวน (การคำนวณปรมิ าณต่างๆ ทเ่ี ก่ียวข้อง)

4. สาระการเรียนรู้
- โมเมนต์ของแรง (moment of a force) เป็นปริมาณที่บอกถึงแนวโน้มที่ทำ ให้วัตถุหมุนรอบจุด

หรอื รอบแกนหนึ่ง ๆ โดยหาคา่ ของโมเมนต์ไดจ้ ากสมการ = sin =
- โมเมนต์ของแรงอาจทำใหว้ ตั ถหุ มนุ ตามเขม็ นาฬิกา (Mตาม) หรือหมนุ ทวนเขม็ นาฬกิ า (Mทวน)
- เมื่อวัตถุอยู่ในสมดลุ ต่อการหมุน ผลรวมของโมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกามีค่าเท่ากบั ผลรวมของโมเมนต์

ตามเขม็ นาฬกิ าเขยี นแทนดว้ ยสมการ ∑ ตาม = ∑ ทวน
- ถ้าให้โมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกามีค่าบวก โมเมนต์ตามเข็มนาฬิกามีค่าลบ สามารถเขียนสมการใหม่

ไดเ้ ป็น ∑ = 0

5. การจัดกิจกรรมการเรียนรู้
5.1 ข้นั สร้างความสนใจ (Engagement)
5.1.1 ครูให้นักเรียนยกตัวอย่างเกี่ยวกับการหมุนของวัตถุที่พบเห็นในชีวิตประจำวัน (แนว

คำตอบ เชน่ การผลักบานประตหู รอื หนา้ ตา่ ง การบิดลูกบดิ ประตู การถบี จักรยาน การออกแรงผลักปากกา
ท่วี างบนโต๊ะ)

5.1.2 ครูถามนักเรียนว่า เวลานักเรียนจะเปิดขวดน้ำดื่ม นักเรียนจะต้องออกแรงอย่างไรเพื่อให้
ฝาขวดน้ำเกิดการเคล่อื นทแี่ บบหมุน โดยนักเรยี นสาธิตประกอบ จากนั้นถามวา่ แรงรูปแบบนท้ี างฟสิ กิ สเ์ รียนว่า
อะไร สงผลต่อสภาพของวัตถุอย่างไร ถ้าวัตถุถูกแรงรูปแบบนี้กระทำจะส่งผลให้วัตถุนั้นสมดุลต่อการหมุน
หรือไม่ เพราะอะไร (นักเรียนตอบคำถามได้อย่างอิสระ)

5.1.3 ครแู จง้ จุดประสงคก์ ารเรียนร้ใู ห้นักเรียนทราบ
5.1.4 ครถู ามคำถามนกั เรียน ให้นกั เรยี นไดแ้ สดงความคดิ เหน็ โดยถามคำถามดงั ต่อไปนี้

- วัตถุที่อยู่นิ่งเกิดสมดุลต่อการหมุนได้หรือไม่ (แนวคำตอบ วัตถุที่อยู่นิ่งสามารถเกิด
สมดุลต่อการหมุนได้ เนื่องจากแรงลัพธ์หรือผลรวมของโมเมนต์รอบจุดหมุนมีค่าเป็นศูนย์ วัตถุจึงไม่เกิด
การเคลอ่ื นท่ีสภาวะน้ีเรียกว่าวัตถสุ มดุลตอ่ การหมนุ )

- นักเรียนคิดว่าสมดุลต่อการหมุนมีเงื่อนไขเป็นอย่างไรบ้าง เกี่ยวข้องกับปริมาณใดบ้าง
(นักเรยี นตอบคำถามไดอ้ ย่างอิสระ)

5.2 ขนั้ สำรวจและคน้ หา (Exploration)
5.2.1 ครูให้นักเรียนลองใช้ปากกาดันหนังสือ (หนังสือเกิดการหมุน) จากนั้นร่วมกันอภิปรายจน

ได้ข้อสรุปว่า เมื่อออกแรงกระทำกับวัตถุ โดยแนวแรงไม่ผ่านศูนย์กลางมวลของวัตถุ จะทำให้วัตถุหมุนรอบ
ศนู ยก์ ลางมวล แตถ่ า้ มกี ารยึดวตั ถใุ ห้อยู่ที่แกนหมนุ อืน่ ซ่งึ ไม่ใช่ศนู ย์กลางมวล วตั ถุจะหมุนรอบแกนน้ัน ๆ ได้ผล
การหมุนท่เี กดิ จากแรงเรยี กว่า โมเมนต์ของแรง

5.2.2 ครูให้ให้นักเรียนศึกษาค้นคว้าหาความรู้เกี่ยวกับโมเมนต์ของแรง จากหนังสือเรียนและ
แหล่งเรียนรู้อืน่ ๆ

5.2.3 ครูนำอภิปรายรายละเอียดตามหนังสือเรียน จนได้ข้อสรุปว่า โมเมนต์ของแรง( ⃑⃑ )หรือ
ขนาดของทอร์ก ( ) เป็นปริมาณเวกเตอร์ ขนาดของโมเมนตข์ องแรงมีค่าเทา่ กบั ผลคณู ระหว่างขนาดของแรง
กับระยะทางจากจุดหมุนไปตั้งฉากกับแนวแรง

=

= sin

โดย M คอื ขนาดของโมเมนต์ของแรง (N·m)
F คอื แรงท่กี ระทำต่อวตั ถุ (N)
l คอื ระยะทางจากจุดหมุนไปต้ังฉากกบั แนวแรง (m)
r คือ เวกเตอร์ตำแหนง่ จากจุดหมุนไปถงึ จุดที่แรง F กระทำ (m)

5.2.4 ครูชี้ให้เห็นว่า มีการกำหนดให้โมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกาและโมเมนต์ตามเข็มนาฬิกามี
เคร่อื งหมายต่างกัน ตามรายละเอียดในหนังสอื เรยี น จากนั้นต้งั คำถามให้นักเรยี นอภิปรายร่วมกนั ว่า การทีว่ ัตถุ
อย่นู ง่ิ โดยไม่หมนุ โมเมนตข์ องแรงที่เกดิ ข้ึนกับวตั ถุเป็นอย่างไร

5.2.5 ครูให้นักเรียนทดลองการแขวนถุงทรายกบั คาน โดยแขวนคานให้อยู่นิ่งในแนวระดบั ให้จุด
ที่แขวนคานเป็นจุดหมุนนำถุงทราย 2 ถุง ที่มีมวเท่ากันมาแขวนแต่ละด้านของคาน แล้วขยับถุงทรายไปยัง
ตำแหนง่ ต่าง ๆ ของคานจนกระทัง้ คานอยูน่ งิ่ แนวระดบั

5.2.7 ครูนำนักเรียนอภิปรายเกี่ยวกับสถานการณ์การแขวนถุงทรายกับคาน จนได้ข้อสรุปว่า
คานหรือวัตถุจะอยู่ในสมดุลต่อการหมุนและอยู่นิ่งเมื่อผลรวมของโมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกาเท่ากับผลรวมของ
โมเมนตต์ ามเขม็ นาฬกิ า

∑ ตาม = ∑ ทวน

หรือ ผลรวมทางคณิตศาสตรข์ องโมเมนต์มีคา่ เปน็ ศนู ย์

∑ = 0

5.3 ขน้ั อธิบายและลงขอ้ สรปุ (Explanation)
5.3.1 ครูและนักนักเรยี นรว่ มกนั อภปิ รายและสรุปเนอ้ื หาดงั ต่อไปนี้
- โมเมนต์ของแรง (moment of a force) เป็นปริมาณที่บอกถึงแนวโน้มที่ทำให้วัตถุ

หมุนรอบจุดหรอื รอบแกนหนงึ่ ๆ โดยหาค่าของโมเมนต์ไดจ้ ากสมการ = sin =
- โมเมนต์ของแรงอาจทำให้วัตถุหมุนตามเข็มนาฬิกา (Mตาม) หรือหมุนทวนเข็มนาฬิกา

(Mทวน)
- เมื่อวัตถุอยู่ในสมดุลต่อการหมุน ผลรวมของโมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกามีค่าเทา่ กับผลรวม

ของโมเมนตต์ ามเขม็ นาฬกิ าเขยี นแทนดว้ ยสมการ ∑ ตาม = ∑ ทวน
- ถ้าให้โมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกามีค่าบวก โมเมนต์ตามเข็มนาฬิกามีค่าลบ สามารถเขียน

สมการใหม่ได้เป็น ∑ = 0

5.4 ขนั้ ขยายความรู้ (Elaboration)
5.4.1 ครยู กตวั อย่างใหน้ ักเรยี นไดฝ้ ึกคิดวิเคราะหแ์ ละคำนวณ ดังต่อไปนี้
- แผ่นไม้แผน่ หน่ึงวางอยู่บนพ้ืนราบ มีตะปูตรึงไว้ท่ีจุด O และมีแรง F⃑ กระทำกับแผน่ ไมท้ ี่

ตำแหนง่ และทิศทาง ดงั รูป จงหาโมเมนต์ของแรง ⃑F รอบจดุ O

⃑F = 10 N 300 หา จากการใชท้ ฤษฎพี ที ากอรสั

30 cm r = √(0.3m)2 + (0.4m)2 = √0.25 = 0.5
O 40 cm
หาโมเมนตข์ อง รอบจุด O

= sin

= (10N)(0.5m)(sin300) = 2.5 N·m
ดงั นั้น โมเมนต์ของแรง F⃑ รอบจุด O เทา่ กบั 2.5 นวิ ตนั ·เมตร
โดยหมนุ รอบจุด O ในทศิ ทวนเข็มนาฬิกา

- กำหนดให้คานเบายาว 0.6 เมตร มีเชือกแขวนอยู่ที่กึ่งกลางคาน ปลาย A มีมวล 10
กโิ ลกรมั แขวนอยู่ จะต้องแขวนมวล 15 กิโลกรัม บนคานทป่ี ลายอีกดา้ นหนง่ึ ห่างจากจดุ หมนุ เทา่ ใด คานจึงจะ
อยใู่ นสมดลุ ในแนวระดับ (ให้คดิ จุดหมุนที่ C, A และ B ตามลำดับ)

A CT B คิดโมเมนต์ของแรงรอบจดุ C
จาก ∑ = 0
T1 T1 x T2
10 kg (98N)(0.3m)-(147N)(x) = 0
T2 (29.4N·m)-(147xN) = 0
98 N 15 kg (29.4N·m) = 147xN
x = 0.2 m
147 N
หา T1 คิดท่ีมวล 10 kg คิดโมเมนตข์ องแรงรอบจุด A
จาก ∑ = 0
จาก ∑F = 0
(245N)(0.3m)-(147N)(0.3m-x) = 0
จะได้ T1 - (10kg)(9.8m/s2) = 0 (73.5N·m)–(44.1N·m)-(147xN) = 0

T1 = 98N (73.5N·m)–(44.1N·m) = 147xN
29.4 N·m = 147xN
หา T2 คดิ ท่ีมวล 15 kg x = 0.2 m

จาก ∑F = 0 คิดโมเมนต์ของแรงรอบจดุ B
จาก ∑ = 0
จะได้ T2 - (15kg)(9.8m/s2) = 0
(98N)(0.6m)+(147N)(0.3m-x)-(245N)(0.3m) = 0
T2 =147N (58.8N·m)+(44.1N·m)-(147xN)-(73.5N·m) = 0

หา T คดิ ที่คาน (58.8N·m)+(44.1N·m)-(73.5N·m) = (147xN)
29.4 N·m = 147xN
จาก ∑F = 0 x = 0.2 m

จะได้ T- T1-T2 = 0
T -98N-147N = 0

T = 245 N

- ไมเ้ มตรสม่ำเสมอหนกั 8 นวิ ตัน นำ มาวางบนพ้ืนโตะ๊ ทีอ่ ยใู่ นแนวระดบั โดยให้ปลายด้าน

หนึ่งยื่นออกไปจากขอบโต๊ะ 80 เซนติเมตร จะต้องใช้แรงกดที่ปลายอีกด้านหนึ่งอย่างน้อยเท่าใด ไม้เมตร

จงึ ไม่กระดก เมอื่ คานสมดลุ ∑M = 0

∑Mทวน = ∑Mตาม

คิดโมเมนตร์ อบจดุ O

จะได้ (8 N)(30 cm) = (F)(20 cm)

F = 12 N

- คานสม่ำเสมอ มวล 3 กิโลกรัม ยาว 100 เซนติเมตร มีไม้หมอนหนุนอยู่ที่จุด P และมี

ก้อนมวล 9 กิโลกรัม แขวนไว้ที่ปลายแต่ละข้าง ดังรูป ถ้าต้องการให้คานวางตัวตามแนวระดับ เราต้องแขวน

มวล 2 กโิ ลกรมั เพิม่ ทางขวาของจดุ P ทีร่ ะยะ x ตามข้อใด ∑Mทวน = ∑Mซา้ ย
กำหนดให้ P เป็นจดุ หมนุ
40 cm P 60 cm

เน่ืองจากคานมนี ำ้ หนัก จึงคดิ นำ้ หนกั ท่จี ุด
x กึง่ กลางคาน
9 kg 2 kg 5 kg จะได้ 90(40) = 30(10)+20(x)+50(60)

20x = 300

x = 15 cm

- ไม้คานเบามากอันหนึ่งยาว 1 เมตร มีน้ำหนัก 40 นิวตัน แขวนที่จุดห่างจากปลายหน่ึง
0.25 เมตร จงหาว่าชายสองคนที่แบกแต่คนละปลายจะออกแรงคนละเทา่ ไร

ให้ผูกทีแ่ บกทปี่ ลาย A และ B ออกแรง FA และ FB ตามลำดับ

AC = 0.25 เมตร

CB = 1-0.25 = 0.75 เมตร

FA FB ให้ O เป็นจุดก่งึ กลางระหวา่ ง A และ B

A C O B วัตถสุ มดุลตอ่ การเลอื่ นตำแหน่งในแนว y

0.25 m 0.75 m ดงั นั้น Fy = 0
40 N
FA+FB = 40 _____ (1)

จาก ∑Mทวน = ∑Mซ้าย

FB x AB = 40 x AC

FB = 40 x AC
AB
= 40 x 0.25 = 10 N
FB 1

ดังนนั้ FA = 40 - 10 = 30 N

- เส้นลวดดงึ คาน AB ซึ่งมีนำ้ หนัก 50 นิวตัน แขวนไวท้ ป่ี ลายคาน ถา้ คานสมำ่ เสมอมีนำ้ หนัก
20 นวิ ตัน ยาว 5 เมตร มปี ลาย A ตรึงติดกับกำ แพง คานสมดลุ อยู่ไดด้ ังรูป จงหาแรงดงึ ของเสน้ ลวด

T Tsin 600 หาแรงดึงในเสน้ ลวด เมื่อวตั ถุอยูใ่ นสมดลุ สถิตและสมดลุ ต่อการหมุน
คิดโมเมนต์รอบจดุ A
Tcos 600
∑Mทวน = ∑Mตาม
W จะได้ W(2.5m)+(50N)(5m) = (Tsin 600)(4m)
50 N
(20N)(2.5m)+(50N)(5m) = (Tsin 600)(4m)

50N + 250N = T(√3)

2

T = 86.60 N

- AB เป็นคานสม่ำเสมอตรึงไว้ที่ A ลวด BC ดึงคานที่ห้อยวัตถุไว้ถ้าคานหนัก 200 นิวตัน
และวตั ถุ W หนัก 1,000 นิวตัน แขวน ดังรูป จงหาแรงดงึ ในเส้นลวด BC

150 วัตถสุ มดลุ สถิตและสมดลุ ต่อการหมนุ หาแรงดงึ ในเสน้ ลวด
T คดิ โมเมนตร์ อบจดุ A

∑Mทวน = ∑Mซา้ ย

x (200N)( cos 450)+(1,000N)( cos 450)=(T)(ABsin 150)
2

200 N 1,000 N (200N)(√2) + (1,000N)(√2) = (T)(0.259)

22
T = 3,003.16 N

- บันไดยาว 2.5 เมตร มีน้ำหนัก 40 นวิ ตัน วางพิงกำแพงเกลี้ยง (ไม่คิดแรงเสยี ดทาน) ดงั รูป
ศนู ยถ์ ว่ งของบันไดอยหู่ า่ งปลายล่าง 1.0 เมตร จงหา

ก. แรงเสียดทานระหว่างพน้ื ล่างกับบันได เพอื่ ทำให้บนั ไดวางน่ิงอย่ไู ด้
ข. จงหาแรงทีบ่ นั ไดกระทำต่อกำแพงทจ่ี ุด A

N1 บันไดอยู่ในสมดุลสถติ และสมดลุ ต่อการหมุน แรงลัพธท์ ่ีกระทำต่อ
W=40N
บันไดเท่ากบั ศนู ยห์ าโมเมนต์ของแรงรอบ B และโมเมนต์ของแรงรอบ

2.5 m จุดใด ๆ เทา่ กับศูนย์
1.0 m
N2 ∑Mทวน = ∑Mซ้าย
(N1)(2.5m)(sin 600) = (40N)(1m) (cos 600)
fs
(N1)(2.5m)(√23) = (40N)(1m)(1)

2

N1 = 9.24 N

fs = 9.24 N

- คานสม่ำเสมอมวล 10 กโิ ลกรมั แขวนไวก้ ับเพดานที่จดุ หมนุ จงหาขนาดของแรง F ในแนว
ระดบั ทีด่ ันปลายคานดา้ นล่าง ใหค้ านเบนไปจากแนวเดิม 30 องศา ดังรปู

กำหนดให้จุดหมนุ อย่ทู ีเ่ พดาน

∑Mทวน = ∑Mซ้าย

cos 300 mg ( sin 300) = ( cos 300)
mg 2

10(10) ( × ) = F(√3)
22 2
F
= 50 N
√3

sin 300

5.4.2 ครใู หน้ กั เรยี นทำใบงาน เร่อื ง สมดุลต่อการหมุน

5.5 ขัน้ ประเมิน (Evaluation)
5.5.1 ครถู ามคำถามนักเรียนเพอ่ื ตรวจสอบความรู้ โดยใชค้ ำถามต่อไปน้ี
- วัตถุจะอยู่ในสมดุลต่อการหมุน ต้องมีเงื่อนไขอะไรบ้าง (แนวคำตอบ โมเมนต์รวมของ

ทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุรอบจุดหมุนใด ๆ เท่ากับศูนย์ หรือ ผลรวมของโมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกาเท่ากับ
ผลรวมของโมเมนตต์ ามเข็มนาฬกิ า)

- “แรงสองแรงกระทำต่อวัตถุก้อนหนึ่ง โดยแรงทั้งสองมีขนาดเท่ากันอยู่ในแนวขนานกัน
และ มีทิศทางตรงข้าม วัตถุจะอยู่ในสมดุลไม่ไถลและไม่หมุน” คำกล่าวนี้ถูกต้องหรือไม่ เพราะเหตุใด (แนว
คำตอบ ไม่ถูกต้อง เพราะแรงสองแรงขนาดเท่ากันทิศทางตรงข้ามกันจะมีแรงลัพธ์เป็นศูนย์แต่มีโมเมนต์
รวมไม่เปน็ ศนู ย์ ดังนนั้ วตั ถุจะสมดุลต่อการเล่อื นท่ี แตไ่ มส่ มดุลตอ่ การหมนุ )

5.5.2 ครูตรวจสอบผลจากการตรวจใบงาน เรอ่ื ง สมดุลตอ่ การหมนุ
5.5.3 ครูประเมนิ ผล โดยการสงั เกตพฤติกรรมการตอบคำถาม พฤติกรรมการทำงานรายบุคคล

6. ส่อื /แหล่งการเรียนรู้
6.1 หนังสือเรียนรายวชิ าฟสิ กิ ส์เพิ่มเติม ม. 4 เล่ม 2 สสวท.
6.2 ใบงาน เรอื่ ง สมดลุ ต่อการหมุนและโมเมนตข์ องแรง
6.3 ถุงทราย คาน ขาตง้ั

7. กระบวนการวัดและประเมินผล

จุดประสงค์ เครื่องมอื วิธีการวัด เกณฑ์การตดั สิน

ดา้ นความรู้ (K) - คำถาม - ตอบคำถาม ผ่านเกณฑ์อย่าง
1) บอกความหมายโมเมนต์ของแรงได้ - ใบงาน - ตรวจคำตอบ น้อยรอ้ ยละ 70
2) อธิบายเกี่ยวกับเงอ่ื นไขท่ีทำใหว้ ัตถุอยู่ในสมดุล
ต่อการหมุน จากใบงาน

ดา้ นด้านทักษะกระบวนการ(P)

1) คำนวณเก่ียวกบั โมเมนต์ของแรงได้

2) เขียนแผนภาพวตั ถอุ ิสระ วิเคราะห์และ ใบงาน ตรวจคำตอบ ผ่านเกณฑ์อยา่ ง

คำนวณปรมิ าณต่าง ๆ ทเ่ี กย่ี วขอ้ งเมอ่ื วตั ถุอยใู่ น จากใบงาน นอ้ ยรอ้ ยละ 70

สมดลุ ต่อการหมนุ

ด้านคุณลักษณะอันพงึ ประสงค์ (A) แบบประเมิน สังเกตพฤติกรรม ผา่ นเกณฑ์อยา่ ง
1) มีความสนใจใฝร่ ้ทู างด้านวิทยาศาสตร์
พฤติกรรม น้อยร้อยละ 70

















สมดลุ ตอ่ การหมุนและโมเมนต์ของแรง

ชื่อ________________________________________ ชัน้ ________________ เลขท_่ี _______

เมื่อออกแรงกระทำกับวัตถุ โดยแนวแรงไม่ผ่านศูนย์กลางมวลของวัตถุ จะทำให้วัตถุหมุนรอบ
ศนู ย์กลางมวล แตถ่ า้ มกี ารยดึ วัตถใุ ห้อยทู่ ี่แกนหมุนอ่ืนซงึ่ ไมใ่ ช่ศนู ย์กลางมวล วตั ถุจะหมนุ รอบแกนนน้ั ๆ ได้ผล
การหมุนที่เกิดจากแรงเรียกว่า โมเมนต์ของแรง ซึ่งเป็นปริมาณบอกถึงแนวโน้มที่ทำให้วัตถุหมุนรอบจุดหรือ
แกนหน่งึ ๆ

โมเมนต์ของแรง ( ⃑⃑ ) หรือขนาดของทอร์ก ( ) เป็นปริมาณเวกเตอร์ ขนาดของโมเมนตข์ องแรงมคี ่า
เทา่ กับผลคณู ระหวา่ งขนาดของแรงกบั ระยะทางจากจุดหมุนไปตง้ั ฉากกับแนวแรง

=

= sin

โดย M คอื ขนาดของโมเมนตข์ องแรง (N·m)
F คือ แรงทก่ี ระทำต่อวตั ถุ (N)
l คอื ระยะทางจากจุดหมนุ ไปตั้งฉากกับแนวแรง (m)
r คอื เวกเตอรต์ ำแหนง่ จากจดุ หมุนไปตง้ั ฉากกับแนวของแรง (m)

คานหรือวัตถุจะอยู่ในสมดุลต่อการหมุนและอยู่นิ่งเมื่อผลรวมของโมเมนต์ทวนเข็มน าฬิกาเท่ากับ
ผลรวมของโมเมนต์ตามเขม็ นาฬิกา หรือ ผลรวมทางคณิตศาสตร์ของโมเมนตม์ ีคา่ เป็นศนู ย์

เงอื่ นไขของสมดุลต่อการหมุน :

ถ้าวตั ถอุ ยใู่ นสมดุลตอ่ การเล่อื นท่ีและสมดลุ ตอ่ การหมุนพร้อมกนั จะเรียกว่า
วัตถอุ ยใู่ นสมดลุ สัมบูรณ์
เงอื่ นไข :

หลักการ 1. วาดรูป เขยี นแรงกระทำต่อวตั ถุที่พิจารณาใหค้ รบทุกแรง แตกแรงเขา้ แนวราบและแนวดิ่ง
แก้ปญั หาสมดุล 2. ลองแก้ปัญหาด้วยเรื่อง สมดุลแรง ∑ = 0
แบบสมบูรณ์
- แนวแกน x (แนวราบ) ∑ ⃑⃑ ⃑ = 0 หรอื แรงซา้ ย = แรงขวา
- แนวแกน y (แนวดิ่ง) ∑ ⃑ ⃑ ⃑ = 0 หรอื แรงข้ึน = แรงลง
3. ใช้เรอ่ื งโมเมนต์แก้ปญั หา แตใ่ หพ้ จิ ารณาการเลือกจดุ หมุนให้ดี ๆ ถ้าเลอื กถูกการแกป้ ัญหา
จะงา่ ย โดยใช้ ∑ = 0 หรอื ∑Mทวน = ∑Mตาม

หลักการและข้นั ตอนการคำนวณเร่ืองคานและโมเมนต์
1. วาดรปู คาน พร้อมกบั แสดงตำแหน่งของแรงทก่ี ระทำบนคานทงั้ หมด
2. หาตำแหนง่ ของจดุ หมนุ หรือจุดฟัลครัม ถ้าไมม่ ีให้สมมติข้ึน

- แนวแกน x (แนวราบ) ∑ ⃑⃑ ⃑ = 0 หรอื แรงซ้าย = แรงขวา
- แนวแกน y (แนวด่งิ ) ∑ ⃑⃑ ⃑ = 0 หรอื แรงข้นึ = แรงลง
3. เม่ือคานอยใู่ นภาวะสมดลุ โมเมนตท์ วนเข็มนาฬกิ า เทา่ กับโมเมนต์ตามเข็ม
นาฬิกา หรือ ∑Mทวน = ∑Mตาม และ ∑ = 0
4. โมเมนตท์ วนเข็มนาฬิกา เท่ากับโมเมนต์ตามเขม็ นาฬิกา มีคา่ เทา่ กบั ผลบวก
โมเมนต์ย่อยแตล่ ะชนิด

ฝกึ แก้โจทยป์ ญั หา

EX 1 แผ่นไม้แผ่นหนึ่งวางอยู่บนพื้นราบ มีตะปูตรึงไว้ที่จุด O และมีแรง ⃑F กระทำกับแผ่นไม้ที่ตำแหน่งและ
ทศิ ทาง ดงั รูป จงหาโมเมนต์ของแรง F⃑ รอบจดุ O

F⃑ = 10 N 300

30 cm

O

40 cm

EX 2 กำหนดให้คานเบายาว 0.6 เมตร มีเชือกแขวนอยู่ที่กึ่งกลางคาน ปลาย A มีมวล 10 กิโลกรัม แขวนอยู่
จะต้องแขวนมวล 15 กโิ ลกรัม บนคานท่ีปลายอกี ด้านหน่ึงห่างจากจุดหมนุ เท่าใด คานจึงจะอยใู่ นสมดุลในแนว
ระดบั (ใหค้ ิดจุดหมนุ ที่ C, A และ B ตามลำดับ)

AC B

10 kg
15 kg

ถ้าโจทย์ไม่กำหนดน้ำหนักคานมาให้ เราไม่ต้องคิดน้ำหนักของคาน
และถอื ว่า คานมีขนาดสมำ่ เสมอกนั ตลอด
ถ้าโจทย์บอกน้ำหนักคานมาให้ตอ้ งคดิ น้ำหนักคานด้วย
โดยถอื ว่าน้ำหนักของคานจะอยู่จุดกึ่งกลางคานเสมอ

EX 2 ไม้เมตรสม่ำเสมอหนัก 8 นวิ ตัน นำ มาวางบนพืน้ โต๊ะท่ีอยใู่ นแนวระดับ โดยใหป้ ลายด้านหนึ่งยนื่ ออกไป
จากขอบโตะ๊ 80 เซนติเมตร จะต้องใช้แรงกดที่ปลายอีกด้านหน่ึงอยา่ งน้อยเทา่ ใด ไมเ้ มตร
จงึ ไมก่ ระดก

EX 3 คานสม่ำเสมอ มวล 3 กิโลกรัม ยาว 100 เซนติเมตร มีไม้หมอนหนุนอยู่ที่จุด P และมีก้อนมวล 9
กิโลกรัม แขวนไว้ที่ปลายแต่ละข้าง ดังรูป ถ้าต้องการให้คานวางตัวตามแนวระดับ เราต้องแขวนมวล 2
กิโลกรมั เพมิ่ ทางขวาของจดุ P ที่ระยะ x ตามขอ้ ใด

40 m P 60 m

x
9 kg 2 kg 5 kg

EX 4 ไม้คานเบามากอันหน่งึ ยาว 1 เมตร มนี ้ำหนัก 40 นิวตัน แขวนท่ีจุดห่างจากปลายหนงึ่ 0.25 เมตร จงหา
ว่าชายสองคนทแ่ี บกแต่คนละปลายจะออกแรงคนละเทา่ ไร

0.25 m
40 N

EX 5 เส้นลวดดึงคาน AB ซึ่งมีน้ำหนัก 50 นิวตัน แขวนไว้ที่ปลายคาน ถ้าคานสม่ำเสมอมีน้ำหนัก 20 นิวตัน
ยาว 5 เมตร มีปลาย A ตรงึ ติดกบั กำ แพง คานสมดุลอยู่ไดด้ งั รูป จงหาแรงดงึ ของเสน้ ลวด

EX 6 AB เป็นคานสมำ่ เสมอตรึงไวท้ ่ี A ลวด BC ดึงคานทหี่ อ้ ยวตั ถุไวถ้ า้ คานหนัก 200 นวิ ตันและวตั ถุ W หนัก
1,000 นวิ ตนั แขวน ดังรปู จงหาแรงดึงในเสน้ ลวด BC

EX 7 บนั ไดยาว 2.5 เมตร มนี ำ้ หนกั 40 นิวตนั วางพงิ กำแพงเกล้ยี ง (ไมค่ ิดแรงเสยี ดทาน) ดังรปู ศูนย์ถ่วงของ
บันไดอยูห่ ่างปลายลา่ ง 1.0 เมตร จงหา

ก. แรงเสยี ดทานระหวา่ งพ้ืนล่างกับบันได เพ่อื ทำใหบ้ นั ไดวางน่ิงอยู่ได้
ข. จงหาแรงทบ่ี ันไดกระทำตอ่ กำแพงท่ีจดุ A

EX 8 คานสม่ำเสมอมว 10 กิโลกรัมแขวนไว้กับเพดานที่จุดหมุน จงหาขนาดของแรง F ในแนวระดับที่ดัน
ปลายคานดา้ นล่าง ใหค้ านเบนไปจากแนวเดิม 30 องศา ดังรูป

ใบงาน เรือ่ ง สมดลุ ต่อการหมนุ และโมเมนต์ของแรง
ชื่อ________________________________________ ช้ัน________________ เลขท_่ี _______
1. คานเบายาว 3L มเี ชอื กผูกหา่ งจากปลายดา้ นซา้ ยเป็นระยะ L และมวี ตั ถุ 4 กอ้ นทมี่ นี ้ำ หนกั ตา่ งกนั แขวนท่ี
ตำแหน่งต่าง ๆ ทำให้ไมค้ านวางตวั ในแนวระดบั ดังรูป วัตถุ x มนี ้ำหนกั เท่าใด

2. แท่งไมเ้ บายาว 2.0 เมตร มีเชอื ก 2 เส้นผูกไวแ้ ละมีน้ำ หนกั แขวนไว้ท่ตี ำแหน่งต่าง ๆ ทำใหแ้ ท่งไมว้ างตวั ใน
แนวระดับ ดังรปู แรงดึงเชือก T1 เป็นกีเ่ ท่าของ T2

3. คานสมำ่ เสมอหนัก 50 √3 นวิ ตนั แขวนไวก้ ับเพดานทจี่ ดุ หมนุ ลืน่ ออกแรง F ในแนวระดับกระทำต่อปลาย
คานแล้วทำ ใหค้ านเบนไปจากแนวดิง่ 30 องศา ดงั รปู จงหาขนาดของแรง F

4. คานสมำ่ เสมอยาว 50 เซนตเิ มตร มีไม้หมอนหนุนไวท้ ีจ่ ุดกงึ่ กลางคาน P และมนี ้ำ หนักแขวนไวท้ ต่ี ่าง ๆ ดงั
รปู ถ้าตอ้ งการใหค้ านวางตวั ตามแนวระดับ จะต้องแขวนมวลหนัก 50 นิวตนั ท่ีตำแหนง่ ใด

5. คานยาว 2.0 เมตร หนกั 40 นิวตนั ศนู ยก์ ลางมวลอยูห่ ่างจากปลายท่ดี า้ นลา่ ง 0.8 เมตร ปลายอกี ดา้ นหนง่ึ
วางพิงกำแพงผวิ เกลี้ยง ดังรปู ถ้าคานที่พงิ เรมิ่ ไถล จงหาสัมประสิทธิ์ความเสยี ดทานสถติ ระหว่างพื้นกบั คาน

แผนการจดั การเรียนรทู้ ่ี 5

กลมุ่ สาระการเรียนรูว้ ิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 4
รายวิชา ฟสิ ิกส์เพิ่มเติม รหสั วชิ า ว 31201
หน่วยการเรยี นรทู้ ่ี 4 สมดลุ กล
เร่ือง โมเมนตข์ องแรงคคู่ วบ เวลา 12 ชั่วโมง
ภาคเรียนท่ี 2/2564 เวลา 1 ชั่วโมง
วนั ทส่ี อน................................................... ครผู ูส้ อน นางสาวอาริยา แก้วคำฝา

1. สาระการเรยี นรู้ / ผลการเรียนรู้
สาระฟิสกิ ส์
1. เข้าใจธรรมชาติทางฟิสิกส์ ปริมาณและกระบวนการวัด การเคลื่อนที่แนวตรง แรงและกฎ

การเคลื่อนที่ของนิวตัน กฎความโน้มถ่วงสากล แรงเสียดทานสมดุลกล ของวัตถุ งานและกฎการอนุรักษ์
พลงั งานกล โมเมนตัมและกฎการอนุรกั ษ์ โมเมนตัม การเคลื่อนที่แนวโค้ง รวมทง้ั นำความรไู้ ปใช้ประโยชน์

ผลการเรยี นรู้
8. อธบิ ายสมดลุ กลของวตั ถุโมเมนต์และผลรวมของโมเมนต์ท่มี ีต่อการหมุน แรงค่คู วบและผลของ

แรงคู่ควบที่มีต่อสมดุลของวัตถุ เขียนแผนภาพของแรงที่กระทำต่อวัตถุอิสระเมื่อวัตถุอยู่ในสมดุลกล และ
คำนวณปรมิ าณต่าง ๆ ที่เก่ยี วขอ้ ง รวมทง้ั ทดลองและอธบิ ายสมดุลของแรงสามแรง

2. สาระสำคัญ
เมื่อมีแรงคู่ควบกระทำต่อวัตถุ แรงลัพธ์จะเท่ากับศูนย์ ทำให้วัตถุสมดุลต่อการเลื่อนที่แต่ไม่สมดุลต่อ

การหมุน การเขียนแผนภาพของแรงท่ีกระทำต่อวตั ถอุ ิสระสามารถนำมาใช้ในการพจิ ารณาแรงลัพธ์และผลรวม

ของโมเมนตท์ ก่ี ระทำตอ่ วัตถเุ มื่อวัตถุอยู่ในสมดุลกล

3. จดุ ประสงค์การเรยี นรู้
3.1 ด้านความรู้ (K)
1) บอกความหมายของแรงคู่ควบและลักษณะการเคลื่อนที่ของวัตถุเมื่อมีแรงคู่ควบหนึ่งคู่

กระทำต่อวตั ถุ

3.2 ด้านดา้ นทกั ษะกระบวนการ (P)
1) คำนวณเก่ยี วกบั โมเมนตแ์ รงค่คู วบได้

3.3 ด้านคุณลักษณะอันพงึ ประสงค์ (A)
1) มคี วามสนใจใฝร่ ทู้ างด้านวิทยาศาสตร์

3.4 ทกั ษะกระบวนการวิทยาศาสตร์ (Science Process Skill)
- การสังเกต การวดั การคำนวณ และการลงความเหน็ จากขอ้ มูล
- การใชจ้ ำนวน (การคำนวณปริมาณตา่ งๆ ที่เก่ยี วข้อง)

4. สาระการเรียนรู้
แรงคู่ควบ เปน็ แรงสองแรงท่มี ีขนาดเท่ากนั แนวแรงขนานกนั แต่มีทิศทางตรงขา้ ม โดยถา้ มีแรงคู่ควบ

หนึ่งคู่กระทำต่อวัตถุจะทำให้เกิดโมเมนต์ของแรงคู่ควบท่ีมีคา่ ไม่เป็นศนู ยว์ ัตถุจงึ ไม่อย่ใู นสมดุลต่อการหมุน แต่
วตั ถจุ ะอยู่ในสมดุลตอ่ การเล่ือนที่ เนอื่ งจากแรงลัพธม์ ีค่าเปน็ ศนู ย์

การเขยี นแผนภาพของแรงทกี่ ระทำต่อวัตถแุ ละการแยกแรงเป็นแรงองคป์ ระกอบ สามารถนำมาใช้ใน
การพิจารณาแรงลัพธ์และผลรวมโมเมนต์ของแรงที่กระทำต่อวัตถุเมื่อวัตถุอยู่ในสมดุลต่อการหมุนและอยู่น่ิง
เขียนแทนด้วยสมการ ∑ ⃑ ⃑ ⃑ = 0 ∑ ⃑ ⃑ ⃑ = 0 และ ∑ = 0

5. การจัดกจิ กรรมการเรยี นรู้
5.1 ขั้นสร้างความสนใจ (Engagement)
5.1.1 ครแู จง้ จุดประสงคก์ ารเรยี นรใู้ ห้นกั เรยี นทราบ
5.1.2 ครูและนักเรียนร่วมกันยกตัวอย่างการออกแรงสองแรงที่กระทำต่อวัตถุแล้วทำให้วัตถุมี

การหมุน เช่น การใช้มือออกแรงหมุนพวงมาลัยรถขณะเลี้ยว หรือ การใช้มือออกแรงหมุนลูกบิดประตู พร้อม
ใหน้ กั เรียนสาธิตประกอบ

5.1.4 ครูนักเรียนร่วมกันอภิปรายให้ได้ข้อสรุปว่า ขณะหมุนพวงมาลัยรถ หรือ ขณะบิดลูกบิด
ประตู แรงที่กระทำต่อพวงมาลัยหรือลูกบิดประตูมีสองแรงในทิศทางตรงข้ามกัน โดยในกรณีลูกบิดประตู
สามารถแสดงแรงทกี่ ระทำตอ่ ลกู บดิ ได้

แรงบดิ

5.2 ขนั้ สำรวจและค้นหา (Exploration)
5.2.1 ครูให้นักเรียนศึกษา ค้นคว้าหาความรู้เกี่ยวกับโมเมนต์ของแรงคู่ควบในหนังสือ และจาก

แหล่งเรยี นรอู้ น่ื
5.2.2 ครูและนกั เรียนร่วมกันอภปิ รายเก่ียวกับแรงคคู่ วบคูห่ น่ึงกระทำตอ่ วัตถุ ดังนี้
- แรงสองแรงที่มีขนาดเท่ากันกระทำต่อวัตถุ แนวแรงขนานกัน แต่มีทิศทางตรงข้ามกัน

เรียกว่า แรงคคู่ วบ (couples)

- โมเมนต์ของแรงคู่ควบใด ๆ มีขนาดเท่ากับผลคูณของขนาดของแรงใดแรงหนึ่งกับ
ระยะทางตั้งฉากระหว่างแนวแรงทั้งสอง ซึ่งวัตถุจะหมุนทวนหรือตามเข็มนาฬิกานั้น ขึ้นกับทิศทางของแรง
คูค่ วบน้นั