Mat Umum smt 3-ilovepdf-edit

INDUKSI MATEMATIKA

Kompetensi Dasar (KD)

Setelah mengikuti pembelajaran induksi matematika, siswa mampu:
3.1 Menjelaskan metode pembuktian Pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian dengan induksi
matematika
4.1 Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan,
ketidaksamaan, keterbagian

Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK)

1. Menjelaskan metode pembuktian pernyataan matematis secara langsung maupun tidak langsung

Tujuan Pembelajaran:

Melalui media ini (C) peserta didik (A) dapat menjelaskan metode (B) pembuktian pernyataan matematis secara langsung
maupun tidak langsung (D) dengan rasa ingin tahu, tanggung jawab, displin dan kreatif (Integritas) selama proses pembelajaran
dan bersikap jujur, percaya diri serta pantang menyerah.

Diagram Alir

Sumber : Buku Matematika Kelas XI SMAIMA/SMK/MAK

Metode Pembuktian Matematika

Ada beberapa cara untuk membuktikan dalam matematika yaitu pembuktian langsung, kontraposisi, kontradiksi, dan induksi.

Pembuktian langsung

Pembuktian langsung adalah metode pembuktian yang menggunakan alur maju. Mulai dari pendefinisian sampai menghasilkan
kesimpulan. Gampangnya sih, “kalau A maka B dan kalau B maka C” hehe. Nah, untuk menggunakan alur maju, maka
pernyataan-pernyataan sebelumnya harus benar. Coba deh kamu buktikan pernyataan ini.
“Jumlah dari dua bilangan genap adalah bilangan genap”
Ya... kalau kita pikir-pikir, ya pasti sih, 2 + 2 = 4 dan 4 + 10 = 14. Tapi gimana ya buat bisa membuktikan kalau pernyataan itu
berlaku buat semua bilangan genap? Coba perhatikan deh gambar di bawah.

Jadi pertama kamu definisikan dulu tuh bilangan genap itu seperti apa. Bila definisinya sudah benar, lanjut ke pernyataan
selanjutnya, maka penjumlahan kedua bilangan itu akan seperti apa. Kamu juga butuh sedikit memanipulasi penjumlahan itu
agar bisa mendapat bentuk yang diinginkan. Setelah itu, lanjut deh ke kesimpulan. Ingat lho, kesimpulannya harus berdasarkan
pernyataan sebelumnya. Apakah pembuktian ini berlaku untuk seluruh bilangan genap? Iya, karena di awal sudah disebutkan
kalau m dan n adalah bilangan genap sembarang.

Kontraposisi

Kontraposisi adalah salah satu metode pembuktian tidak langsung. Kontraposisi memanfaatkan salah satu prinsip dalam
logika matematika yaitu kontraposisi matematika Artinya, kalau mau membuktikan pernyataan p akan menghasilkan
pernyataan q itu benar, maka buktikan saja bila bukan q maka akan menghasilkan bukan p. Untuk memahami lebih lanjut coba
deh buktikan
“Bila n bilangan bulat dan 7n + 9 bilangan genap, maka n bilangan ganjil”
Gimana nih membuktikannya pakai kontraposisi? Misalnya pernyataan p adalah 7n + 9 bilangan genap dan pernyataan q
adalah n bilangan ganjil. Maka yang kita buktikan adalah bila n bukan bilangan ganjil (bilangan genap), maka 7n + 9
bukan bilangan genap (bilangan ganjil). Coba deh lihat gambar di bawah.

Terbukti kan bila n bukan bilangan ganjil maka 7n + 9 juga bukan bilangan genap? Secara nggak langsung dapat disimpulkan
deh bila n bilangan bulat dan 7n + 9 bilangan genap maka n bilangan ganjil hehe.

Kontradiksi

Kontradiksi ini juga termasuk pembuktian tidak langsung, Squad. Kita memanfaatkan logika matematika
Jika p → q bernilai benar padahal q salah, maka p salah
Hmm gimana tuh maksudnya? Coba deh kita buktikan pernyataan ini dengan kontradiksi.
“Bila n bilangan bulat dan n bilangan genap maka 7n + 9 bilangan ganjil”
Nah kita misalkan dulu pernyataan p adalah n bilangan genap dan pernyataan q adalah 7n + 9 adalah bilangan ganjil. Maka
dengan kontradiksi, kita buktikan nih misalnya pernyataan n bukan bilangan genap (bilangan ganjil) maka 7n + 9
adalah bilangan ganjil benar, akan muncul suatu kontradiksi. Coba deh perhatikan gambar di bawah.

Lihat kan ternyata ada kontradiksi bila n adalah bilangan ganjil? Maka secara tidak langsung, pernyataan bila n bilangan genap
maka 7n + 9 bilangan ganjil benar.

Induksi Matematika

Induksi itu digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan berlaku untuk setiap bilangan asli. Bagaimana langkah-
langkah melakukan induksi matematika?
Jawabannya: akan dilanjutkan pada materi berikutnya.

sumber : https://www.ruangguru.com/blog/matematika-kelas-11-pembuktian-matematika

Kompetensi Dasar (KD)

Setelah mengikuti pembelajaran induksi matematika, siswa mampu:
3.1 Menjelaskan metode pembuktian Pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian dengan induksi
matematika
4.1 Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan,
ketidaksamaan, keterbagian

Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK)

1. Menjelaskan metode pembuktian Pernyataan matematis berupa barisan
2. Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan

Tujuan Pembelajaran

Melalui media ini (C) peserta didik (A) dapat menjelaskan dan menggunakan (B) metode pembuktian induksi matematika untuk
menguji pernyataan matematis berupa barisan (D) dengan rasa ingin tahu, tanggung jawab, displin dan kreatif (Integritas)
selama proses pembelajaran dan percaya diri serta pantang menyerah.

Prinsip Induksi Matematika

Untuk setiap bilangan bulat positif n, misalkan P(n) adalah pernyataan yang bergantung pada n. Jika
1. P(1) benar, dan
2. untuk setiap bilangan bulat positif k, jika P(k) benar maka P(k + 1) benar
maka pernyataan P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif n.

Untuk menerapkan prinsip ini, kita harus melakukan dua langkah:
Langkah 1 Buktikan bahwa P(1) benar. (langkah dasar)
Langkah 2 Anggap bahwa P(k) benar, dan gunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar. (langkah
induksi)

Untuk memberikan gambaran ide tentang induksi matematika, bayangkan sebarisan kartu-kartu domino seperti pada gambar.

Gambar 1. Efek Domino

Kita gunakan dua asumsi:
1. Kartu domino pertama dijatuhkan.
2. Jika suatu kartu domino dijatuhkan, maka kartu domino berikutnya juga akan jatuh.
Jika dua asumsi tersebut benar, maka seluruh kartu domino juga akan jatuh. Untuk melihat hubungan hal tersebut dengan
prinsip induksi matematika, kita misalkan ( ) adalah kalimat “domino ke- akan jatuh”. Ini dapat dinyatakan bahwa jika

(1) benar (domino pertama jatuh), maka untuk sebarang ≥ 1, jika ( ) bernilai benar (domino ke- jatuh), maka (
+ 1) juga bernilai benar (domino ke-( + 1) juga jatuh). Menurut prinsip induksi matematika, maka ( ), yaitu domino ke-
jatuh, juga bernilai benar untuk sebarang bilangan asli ≥ 1.

Gambar 2. Prinsip induksi matematika pada efek domino
Pembuktian dengan induksi matematika terdiri dari dua langkah. Langkah pertama disebut sebagai langkah dasar (basis
step/langkah dasar), dan langkah kedua disebut sebagai langkah induktif (inductive step/langkah induksi).

Perlu diingat bahwa dalam Langkah 2 kita tidak membuktikan bahwa P(k) benar. Kita hanya menunjukkan bahwa jika P(k)
benar, maka P(k + 1) juga bernilai benar. Anggapan bahwa pernyataan P(k) benar disebut sebagai hipotesis induksi.

Untuk menerapkan Prinsip Induksi Matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P(k + 1) ke dalam pernyataan P(k)
yang diberikan. Untuk menyatakan P(k + 1), substitusi kuantitas k + 1 ke k dalam pernyataan P(k).

sumber : https://yos3prens.wordpress.com/2015/10/24/25-soal-dan-pembahasan-induksi-matematika/
dan modul pembelajaran SMA, Asmar Achmad, S.Pd, SMA Negeri 17 Makassar

Catatan:
Dalam beberapa sumber langkah ke-2 dipecah menjadi 2 langkah sehingga totalnya ada 3 langkah, yaitu:
Langkah 1 Buktikan bahwa P(1) benar. (langkah dasar)
Langkah 2 Anggap bahwa P(k) benar,
Langkah 3 Gunakan langkah 2 untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar. (langkah induksi)

Contoh Soal Pendahuluan

Tentukan pernyataan P(k + 1) untuk masing-masing pernyataan P(k) berikut.
1. P(k): Sk = [k²(k + 1)²]/4
2. P(k): Sk = 1 + 5 + 9 + … + [4(k – 1) – 3] + (4k – 3)
3. P(k): k + 3 < 5k²
4. P(k): 3k ≥ 2k + 1
Alternatif Penyelesaian:
1. Kita substitusi k + 1 ke k dalam pernyataan P(k).

2. Untuk mendapatkan pernyataan P(k + 1), kita ganti k pada pernyataan P(k) dengan k + 1.

3. Kita substitusi k dengan k + 1, dan kita peroleh

4. Serupa dengan soal-soal sebelumnya, kita substitusi k pada pernyataan P(k) dengan k + 1 untuk mendapatkan pernyataan
P(k + 1).

sumber : https://yos3prens.wordpress.com/2015/10/24/25-soal-dan-pembahasan-induksi-matematika/

Contoh soal

Soal 1: Menggunakan Induksi Matematika
Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n,

Alternatif Penyelesaian:
Misalkan P(n) adalah pernyataan 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2. Kita akan menunjukkan bahwa P(n) bernilai benar untuk
semua bilangan bulat positif n.
1. Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar. Dari rumus di atas, pernyataan P(1) menyatakan

dan pernyataan ini dengan jelas bernilai benar.
2. Anggap bahwa P(k) benar. Sehingga hipotesis induksi kita adalah

Kita akan gunakan hipotesis tersebut untuk menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu
Sehingga, kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan hipotesis induksi untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.

Sehingga kebenaran P(k + 1) mengikuti kebenaran P(k), dan kita telah melakukan langkah induksi.
Setelah membuktikan Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan Prinsip Induksi Matematika bahwa P(n) benar untuk
semua bilangan bulat positif n.

Soal 2: Menggunakan Induksi Matematika
Buktikan bahwa

untuk semua bilangan bulat positif n.

Alternatif Penyelesaian:
Misalkan P(n) adalah pernyataan 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + … + n(n + 1) = [n(n + 1)(n + 2)]/3.
1. Kita akan tunjukkan bahwa P(1) bernilai benar. Berdasarkan rumus di atas, P(1) menyatakan

yang bernilai benar.
2. Anggap bahwa P(k) benar dan kita memperoleh hipotesis induksi sebagai berikut.

Hipotesis ini akan kita gunakan untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar. Pernyataan P(k + 1) menyatakan

Kita mulai dari bentuk yang berada di ruas kiri, kemudian kita gunakan hipotesis induksi untuk mendapatkan bentuk pada
ruas kanan.

Sehingga kita telah menunjukkan bahwa P(k + 1) mengikuti P(k). Sehingga kita telah membuktikan langkah induksi.
Berdasarkan Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan menggunakan induksi matematika bahwa P(n) benar untuk
semua bilangan bulat positif n.
Soal 3: Menggunakan Induksi Matematika
Buktikan bahwa
untuk semua bilangan bulat positif n.
Alternatif Penyelesaian:
Misalkan P(n) adalah pernyataan 1 ∙ 2 + 2 ∙ 2² + 3 ∙ 23 + … + n ∙ 2n = 2[1 + (n – 1)2n]
1. Pertama kita buktikan bahwa P(1) benar. Pernyataan ini menyatakan

yang dengan jelas bernilai benar.
2. Selanjutnya, kita anggap bahwa P(k) bernilai benar dan menghasilkan hipotesis induksi sebagai berikut.

Hipotesis induksi tersebut akan kita gunakan untuk membuktikan kebenaran P(k + 1). Pernyataan P(k + 1) mengatakan

Kita mulai dari ruas kiri, kemudian kita gunakan hipotesis induksi untuk mendapatkan bentuk yang berada di ruas kanan.

Sehingga pada Langkah 2 ini kita telah membuktikan bahwa jika P(k) benar maka P(k + 1) juga benar.
Jadi, berdasarkan Langkah 1 dan 2, dengan menggunakan induksi matematika kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) bernilai
benar untuk semua bilangan bulat positif n.
Soal 4: Menggunakan Induksi Matematika
Gunakan induksi matematika untuk membuktikan rumus

untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.
Alternatif Penyelesaian:
1. Pertama, kita harus menunjukkan bahwa rumus tersebut benar ketika n = 1. Ketika n = 1, rumus tersebut benar, karena

2. Bagian kedua induksi matematika memiliki dua langkah. Langkah pertama adalah menganggap bahwa rumus tersebut
benar untuk sebarang bilangan bulat k. Langkah kedua adalah menggunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa
rumus tersebut benar untuk bilangan bulat selanjutnya, k + 1. Anggap bahwa rumus

bernilai benar, kita harus menunjukkan bahwa rumus Sk + 1 = (k + 1)² benar.

Dengan menggabungkan hasil pada langkah (1) dan (2), kita dapat menyimpulkan dengan induksi matematika bahwa rumus
tersebut benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.

sumber : https://yos3prens.wordpress.com/2015/10/24/25-soal-dan-pembahasan-induksi-matematika/

Materi Video

Buktikan 3 + 7 + 11 + ... + 4n - 1 = 2n2 + n, untuk semua n bilangan asli!
Alternatif penyelesaian I, dapat dilihat pada Video ke-1 dibawah ini

Video tersebut beralamat di https://www.youtube.com/watch?v=vbF09nWKciw
Alternatif penyelesaian II, dapat dilihat pada Video ke-2 dibawah ini

Video tersebut dapat dilihat di https://www.youtube.com/watch?v=ptivxK4duyk

Simpulan

Untuk menerapkan prinsip Induksi Matematika, kita harus melakukan dua langkah:
Langkah 1 Buktikan bahwa P(1) benar. (langkah dasar)
Langkah 2 Anggap bahwa P(k) benar, dan gunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar. (langkah
induksi)

Latihan

Gunakan Induksi Matematika untuk membuktikan :
1. 1 + 2 + 22 + 32 + 42 + ... + 2n-1 = 2n -1, untuk semua n bilangan bulat positif!
2. , untuk semua n bilangan bulat positif!

Alternatif Penyelesaian

Gunakan Induksi Matematika untuk membuktikan :
1. 1 + 2 + 22 + 32 + 42 + ... + 2n-1 = 2n -1, untuk semua n bilangan bulat positif!
2. , untuk semua n bilangan bulat positif!
Alternatif penyelesaian no 1 dapat dilihat pada video dibawah ini

Video tersebut beralamat di https://www.youtube.com/watch?v=SAPK4K6XAPc
Untuk latihan soal no 2, kerjakan mandiri.

Kompetensi Dasar (KD)

Setelah mengikuti pembelajaran induksi matematika, siswa mampu:
3.1 Menjelaskan metode pembuktian Pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian dengan induksi
matematika
4.1 Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan,
ketidaksamaan, keterbagian

Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK)

Setelah mengikuti pembelajaran induksi matematika, siswa mampu:
1. Menjelaskan metode pembuktian Pernyataan matematis berupa keterbagian dengan induksi matematika
2. Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa keterbagian

Tujuan Pembelajaran:

Melalui media ini (C) peserta didik (A) dapat menjelaskan dan menggunakan (B) metode pembuktian induksi matematika untuk
menguji pernyataan matematis berupa keterbagian (D) dengan rasa ingin tahu, tanggung jawab, displin dan kreatif (Integritas)
selama proses pembelajaran dan bersikap jujur, percaya diri serta pantang menyerah.

Induksi Matematika

Untuk menerapkan prinsip induksi atematika, kita harus melakukan dua langkah:
Langkah 1 Buktikan bahwa P(1) benar. (langkah dasar)
Langkah 2 Anggap bahwa P(k) benar (hipotesis induksi), dan gunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa P(k + 1)
benar. (langkah induksi)

sumber : https://yos3prens.wordpress.com/2015/10/24/25-soal-dan-pembahasan-induksi-matematika/

Keterbagian

Contoh soal
1. Buktikan bahwa 3 adalah faktor 4n – 1 untuk semua bilangan bulat positif n.
2. Buktikan bahwa x – y adalah faktor dari xn – yn untuk semua bilangan bulat positif n. [Petunjuk: xk + 1 – yk + 1 = xk(x – y)

+ (xk – yk)y.]
3. Buktikan bahwa salah satu faktor dari (n3 + 3n² +2n) adalah 3 untuk semua bilangan bulat positif n.
4. Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat positif n, salah satu faktor dari 22n + 1 + 1 adalah 3.

Contoh Soal no 1
Buktikan bahwa 3 adalah faktor 4n – 1 untuk semua bilangan bulat positif n.
Alternatif Penyelesaian I:
1. Untuk n = 1, pernyataan tersebut benar karena

Sehingga, 3 adalah faktor bentuk di atas.
2. Anggap bahwa 3 adalah faktor dari 4k – 1, kita harus menunjukkan bahwa 3 adalah faktor dari 4k + 1 – 1. Untuk

melakukan hal ini, kita tulis seperti berikut.

Karena 3 adalah faktor dari 4k ∙ 3 dan 3 juga merupakan faktor 4k – 1, maka 3 adalah faktor dari 4k + 1 – 1. Dengan
menggabungkan hasil pada Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan induksi matematika bahwa 3 adalah
faktor 4n – 1 untuk semua bilangan bulat positif n.

Alternatif penyelesaian II
Untuk alternatif penyelesaian soal tersebut dengan cara sedikit berbeda dapat dilihat pad video yang beralamat
di https://www.youtube.com/watch?v=mgqrdW_OEUM

Contoh Soal no 2
Buktikan bahwa x – y adalah faktor dari xn – yn untuk semua bilangan bulat positif n. [Petunjuk: xk + 1 – yk + 1 = xk(x – y) + (xk
– yk)y.]
Alternatif penyelesaian
1. Untuk n = 1, pernyataan tersebut benar karena

Sehingga x – y adalah faktor dari bentuk di atas.
2. Anggap bahwa x – y merupakan faktor dari xk – yk untuk sebarang bilangan bulat positif k. Kita harus menunjukkan

bahwa x – y merupakan faktor dari xk + 1 – yk + 1. Perhatikan bahwa

Karena x – y faktor dari x – y dan xk – yk (berdasarkan hipotesis induksi), maka kita dapat menyimpulkan bahwa x – y
merupakan faktor dari xk + 1 – yk + 1. Jadi, kita dapat menyimpulkan dengan menggunakan induksi matematika bahwa x
– y adalah faktor dari xn – yn untuk semua bilangan bulat positif n.

Contoh Soal no 3
Buktikan bahwa salah satu faktor dari (n3 + 3n² +2n) adalah 3 untuk semua bilangan bulat positif n.
Alternatif penyelesaian
1. Untuk n = 1, bentuk di atas menjadi

Sehingga benar bahwa 3 merupakan salah satu faktor dari bentuk tersebut.
2. Anggap bahwa, untuk sebarang bilangan bulat positif k, 3 merupakan salah satu faktor dari (k3 + 3k² +2k). Kita harus

menunjukkan bahwa 3 juga merupakan faktor dari (k + 1)3 + 3(k + 1)² + 2(k + 1). Pertama kita tulis (k + 1)3 + 3(k + 1)² +
2(k + 1) seperti berikut.

Karena 3 merupakan faktor dari k3 + 3k² + 2k dan 3(k² + 3k + 2), maka 3 merupakan faktor dari (k + 1)3 + 3(k + 1)² + 2(k +
1). Jadi, dengan menggunakan induksi matematika kita dapat menyimpulkan bahwa 3 merupakan salah satu faktor dari
(n + 1)3 + 3(n + 1)² + 2(n + 1) untuk semua bilangan bulat positif n.

Contoh Soal no 4
Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat positif n, salah satu faktor dari 22n + 1 + 1 adalah 3.
Alternatif penyelesaian
1. Untuk n = 1 bentuk di atas menjadi

Sehingga, benar bahwa 3 merupakan salah satu faktor dari 9.
2. Kita anggap bahwa untuk sebarang bilangan bulat positif k, Salah satu faktor 22k + 1 + 1 adalah 3. Sekarang kita akan

menunjukkan bahwa 3 merupakan salah satu faktor 22(k + 1) + 1 + 1.

Karena 3 merupakan salah satu faktor dari bentuk-bentuk 3 ∙ 22k + 1 dan 22k + 1 + 1 maka 3 adalah faktor dari 22(k + 1) +

1 + 1. Jadi kita dapat menyimpulkan dengan menggunakan induksi matematika bahwa salah satu faktor dari 22n + 1 + 1
adalah 3.

Materi Keterbagian - Video

Contoh :
1. Buktikan bahwa 5n - 1 habis dibagi 4!
2. Buktikan bahwa 32n - 1 habis dibagi 8!
Alternatif Penyelesaian:
Alternatif penyelesaian no 1 dapat dilihat pada video dibawah ini

Video tersebut beralamat di https://www.youtube.com/watch?v=fFFuwdc3Pyo
Alternatif penyelesaian no 2 dapat dilihat pada video dibawah ini

Video diatas berseumber di https://www.youtube.com/watch?v=fWpVZQctlLA

Simpulan

Untuk menerapkan prinsip induksi atematika, kita harus melakukan dua langkah:
Langkah 1 Buktikan bahwa P(1) benar. (langkah dasar)
Langkah 2 Anggap bahwa P(k) benar (hipotesis induksi), dan gunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa P(k + 1)
benar. (langkah induksi)

Latihan

Untuk n bilangan asli, buktikan bahwa:
1. n(n+1) habis dibagi 2
2. n3 + 2n habis dibagi 3
3. 52n + 3n - 1 habis dibagi 9
4. 32n + 22n+2 habis dibagi 5

Kompetensi Dasar (KD)

Setelah mengikuti pembelajaran induksi matematika, siswa mampu:
3.1 Menjelaskan metode pembuktian Pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian dengan induksi
matematika
4.1 Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan,
ketidaksamaan, keterbagian

Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK)

1. Menjelaskan metode pembuktian Pernyataan matematis berupa ketidaksamaan
2. Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa ketidaksamaan

Tujuan Pembelajaran

Melalui media ini (C) peserta didik (A) dapat menjelaskan dan menggunakan (B) metode pembuktian induksi matematika
untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan (D) dengan rasa ingin tahu, tanggung jawab, displin dan
kreatif (Integritas) selama proses pembelajaran dan bersikap jujur, percaya diri serta pantang menyerah.

Induksi Matematika

Untuk menerapkan Prinsip Induksi Matematika, kita harus melakukan dua langkah:
Langkah 1 Buktikan bahwa P(1) benar. (langkah dasar)
Langkah 2 Anggap bahwa P(k) benar (hipotesis Induksi), dan gunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa P(k + 1)
benar. (langkah induksi

sumber : https://yos3prens.wordpress.com/2015/10/24/25-soal-dan-pembahasan-induksi-matematika/

Membuktikan Pertidaksamaan dengan Induksi Matematika

Contoh Soal

1. Buktikan bahwa 4n < 2n untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 5.
2. Buktikan bahwa n! > 2n untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 4.

3. Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 2.

Soal 1
Buktikan bahwa 4n < 2n untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 5.

Alternatif penyelesaian:
Misalkan P(n) menyatakan pernyataan 4n < 2n.
1. P(5) adalah pernyataan 4 ∙ 5 < 25, atau 20 < 32, yang bernilai benar.
2. Anggap P(k) benar. Sehingga hipotesis induksi kita adalah

Kita akan menggunakan hipotesis ini untuk menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu

Sehingga kita mulai dengan bentuk di ruas kiri pertidaksamaan tersebut dan menggunakan hipotesis induksi untuk
menunjukkan bahwa bentuk tersebut kurang dari bentuk yang berada di ruas kanan. Untuk k ≥ 5 kita mendapatkan

Sehingga P(k + 1) mengikuti P(k), sehingga kita telah melakukan langkah induksi.
Setelah kita membuktikan Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan menggunakan Prinsip Induksi Matematika
bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 5.

Soal 2
Buktikan bahwa n! > 2n untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 4.

Alternatif penyelesaian:
Misalkan P(n) merupakan notasi untuk pernyataan n! > 2n.

1. Pertama kita harus menunjukkan bahwa P(4) benar. Padahal P(4) menyatakan bahwa
Karena 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 dan 24 = 16, maka P(4) benar.

2. Kita anggap bahwa P(k): k! > 2k benar. Kita akan tunjukkan P(k + 1): (k + 1)! > 2k + 1 juga bernilai benar.

Sehingga pada langkah induksi ini kita dapat melihat bahwa kebenaran P(k) mengakibatkan P(k + 1). Jadi, dari Langkah
1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan induksi matematika bahwa P(n) bernilai benar untuk n ≥ 4.

Soal 3
Buktikan bahwa

untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 2.
Alternatif penyelesaian:
Misalkan P(n) merupakan notasi dari pernyataan 1/√1 + 1/√2 + 1/√3 + … + 1/√n > √n.
1. Kita tunjukkan bahwa P(2) benar, yaitu

Karena 1/√1 + 1/√2 ≈ 1,707 dan √2 ≈ 1,414 maka P(2) bernilai benar.
2. Anggap bahwa P(k) benar maka kita memperoleh hipotesis induksi seperti berikut.

Selanjutnya, kita tunjukkan bahwa P(k + 1) juga bernilai benar dengan menggunakan hipotesis tersebut. P(k + 1)
menyatakan bahwa

Dengan menggunakan hipotesis induksi, kita ubah bentuk ruas kiri di atas menjadi bentuk yang ada di ruas kanan. Untuk
k ≥ 2,

Sehingga kita telah menunjukkan bahwa jika P(k) benar maka P(k + 1) benar. Jadi dengan menggunakan Prinsip Induksi
Matematika kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 2.

sumber : https://yos3prens.wordpress.com/2015/10/24/25-soal-dan-pembahasan-induksi-matematika/

Pertidaksamaan

1. Buktikan bahwa n2 ≥ 2n + 7 untuk setiap bilangan asli n ≥ 4
2. Buktikan bahwa 2n > n + 20, untuk n ≥ 5
Alternatif Penyelesaian:
Alternatif penyelesaian no 1 dapat dilihat pada video dibawah ini

Video tersebut beralamat di https://www.youtube.com/watch?v=15uY57754tQ
Alternatif penyelesaian no 2 dapat dilihat pada video dibawah ini

Video tersebut beralamat di https://www.youtube.com/watch?v=TzgGBpKVaCI

Simpulan dan Latihan

Simpulan

Untuk menerapkan Prinsip Induksi Matematika, kita harus melakukan dua langkah:
Langkah 1 Buktikan bahwa P(1) benar. (langkah dasar)
Langkah 2 Anggap bahwa P(k) benar (hipotesis Induksi), dan gunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa P(k + 1)
benar. (langkah induksi

Latihan 3

Buktikan bahwa
1. 6n ≤ 3n, untuk n ≥ 3
2. 5n + 5 ≤ n2, untuk n ≥ 6
3. n3 + 20 ≥ n2 + 15n, untuk n > 3
4. 4n < 2n untuk n ≥ 5.

Alternatif penyelesaian

Alternatif penyelesaian soal no 1 - 3, yaitu
Buktikan bahwa
1. 6n ≤ 3n, untuk n ≥ 3
2. 5n + 5 ≤ n2, untuk n ≥ 6
3. n3 + 20 ≥ n2 + 15n, untuk n > 3
dapat dilihat pada video dibawah ini

Video tersebut beralamat di https://www.youtube.com/watch?v=j1oyo0c-xBw
Untuk soal no 4, yaitu Buktikan 4n < 2n untuk n ≥ 5, kalian coba sendiri.

Kompetensi Dasar (KD)

Setelah mengikuti pembelajaran induksi matematika, siswa mampu:
3.1 Menjelaskan metode pembuktian Pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian dengan induksi
matematika
4.1 Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan,
ketidaksamaan, keterbagian

Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK)

Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan yang dinyataan
dengan notasi sigma

Tujuan Pembelajaran:

Melalui media ini (C) peserta didik (A) dapat Menjelaskan dan menggunakan (B) metode pembuktian induksi matematika untuk
menguji pernyataan matematis berupa barisan yang dinyataan dengan notasi sigma (D) dengan rasa ingin tahu, tanggung
jawab, displin dan kreatif (Integritas) selama proses pembelajaran dan bersikap jujur, percaya diri serta pantang menyerah.

Induksi Matematika

Prinsip Induksi Matematika
Untuk setiap bilangan bulat positif n, misalkan P(n) adalah pernyataan yang bergantung pada n. Jika
1. P(1) benar, dan
2. untuk setiap bilangan bulat positif k, jika P(k) benar maka P(k + 1) benar
maka pernyataan P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif n.

Untuk menerapkan prinsip induksi matematika, kita harus melakukan dua langkah:
Langkah 1 Buktikan bahwa P(1) benar. (langkah dasar)
Langkah 2 Anggap bahwa P(k) benar, dan gunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar. (langkah
induksi)

sumber : https://yos3prens.wordpress.com/2015/10/24/25-soal-dan-pembahasan-induksi-matematika/

Notasi Sigma

Notasi sigma disimbolkan dalam bentuk ∑ berguna untuk menjelaskan penjumlahan berurutan dengan pola di sebuah bilangan.
Dalam abjad Yunani terdapat ∑ yang merupakan huruf kapital “S”. Huruf ini berasal dari huruf pertama di kata SUM yang
maknanya jumlah. Notasi sigma pada umumnya memiliki bentuk umum seperti di bawah ini:

Dalam beberapa kasus pernyataan induksi matematika dinyataakan dengan notasi sigma. Contoh:
Dengan induksi matematika, untuk n bilangan asli, buktikan:
1.
2.

Alternatif penyelesaian no 1
Buktikan
Dengan definisi/bentuk umum notasi sigma

Sehingga soal tersebut sama saja dengan membuktikan

Pernyataan sudah dibuktikan pada materi sebelumnya. Sehingga terbukti
untuk semua n bilangan asli.

Untuk soal no 2 juga sudah dibuktikan pada materi sebelumnya.

Menemukan Rumus Suku ke-n Suatu Barisan (Pengayaan)

Walaupun menentukan satu rumus yang berdasarkan beberapa pengamatan saja tidak menjamin kebenaran rumus tersebut,
tetapi mengenali pola adalah hal yang penting. Ketika kita mendapatkan pola atau rumus yang kita pikir benar, kita dapat
membuktikan kebenaran pola atau rumus tersebut dengan menggunakan induksi matematika.

Menemukan Rumus Suku ke-n Suatu Barisan
Untuk menemukan rumus suku ke-n dari suatu barisan, perhatikan petunjuk berikut.
1. Hitung beberapa suku pertama dari barisan yang diberikan. Biasanya sangat membantu jika kita menulis suku-suku

tersebut ke dalam bentuk sederhana dan bentuk faktor.
2. Cobalah untuk menemukan pola dari suku-suku yang telah kita hitung dan tulis rumus suku ke-n barisan tersebut. Rumus

ini merupakan hipotesis atau konjektur kita. Mungkin kita perlu mencoba untuk menghitung satu atau dua suku selanjutnya
dalam barisan tersebut untuk menguji hipotesis kita.
Gunakan induksi matematika untuk membuktikan hipotesis yang kita dapatkan.

Contoh Soal 1
Temukan rumus untuk penjumlahan berhingga berikut kemudian buktikan rumus tersebut dengan induksi matematika.

Pembahasan Kita mulai dengan menuliskan beberapa penjumlahan pertama.

Dari barisan ini, tampak bahwa rumus penjumlahan k suku pertama adalah

Untuk membuktikan kebenaran hipotesis ini, kita gunakan induksi matematika. Perhatikan bahwa kita telah menguji rumus ini
untuk n = 1, sehingga kita mulai dengan menganggap bahwa rumus tersebut benar untuk n = k dan mencoba untuk
menunjukkan bahwa rumus tersebut juga benar untuk n = k + 1.

Jadi, berdasarkan induksi matematika hipotesis tersebut benar.
Contoh Soal 2
Temukan rumus untuk penjumlahan berhingga berikut kemudian buktikan rumus tersebut dengan induksi matematika.
Pembahasan Kita tulis beberapa penjumlahan pertama sebagai berikut.

Berdasarkan pola di atas, kita dapat melihat bahwa rumus jumlah k suku pertama adalah
Kita gunakan induksi matematika untuk membuktikan konjektur/dugaan tersebut. Karena kita sudah menunjukkan kebenaran
rumus tersebut untuk n = 1, kita mulai pembuktian ini dengan menganggap bahwa rumus ini benar untuk n = k, dan mencoba
untuk menunjukkan bahwa rumus tersebut juga benar untuk n = k + 1.

Jadi, berdasarkan induksi matematika konjektur/dugaan kita tersebut benar.

Simpulan

Notasi sigma pada umumnya memiliki bentuk umum seperti di bawah ini:

Latihan 4 , untuk semua n bilangan asli.

Dengan induksi matematika, buktikan bahwa

PROGRAM LINEAR

Kompetensi Dasar

3. 2 Menjelaskan program linear dua variabel dan metode penyelesaiannya dengan menggunakan masalah kontekstual
4.2 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan program linear dua variabel

Indikator Pencapaian Kompetensi

Menjelaskan pengertian program linear dua variabel
Mengingat kembali Pertidaksamaan Linear

Tujuan Pembelajaran

Melalui kegiatan pembelajaran dengan pendekatan saintifik (C) peserta didik (A) dapat mengingat kembali penyelesaian (B)
pertidaksamaan kuadrat (D) dengan rasa ingin tahu, tanggung jawab, displin dan kreatif (Integritas) selama proses
pembelajaran dan bersikap jujur, percaya diri serta pantang menyerah.

Definisi

Program linear adalah suatu metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimum atau
minimum) diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaiaan persoalan linear. Di dalam persoalan linear terdapat fungsi
linear yang bisa disebut sebagai fungsi objektif. Persyaratan, batasan, dan kendala dalam persoalan linear merupakan sistem
pertidaksamaan linear.
Sebelum belajar sistem pertidaksamaan linear, kita ingat kembali pertidaksamaan linear.
sumber : https://www.studiobelajar.com/program-linear/

Definisi

Pertidaksamaan linear dua variabel adalah pertidaksamaan yang berbentuk
ax + by + c < 0
ax + by + c ≤ 0
ax + by + c > 0
ax + by + c ≥ 0
dengan:
a, b : koefisien (a ≠ 0, b ≠ 0, a,b ∈ R)
c : konstanta (c ∈ R)
x, y : variabel (x, y ∈ R)

Perlu kamu ingat bahwa untuk setiap pertidaksamaan linear dua variabel, pada umumnya, memiliki himpunan penyelesaian
yang tak hingga banyaknya.

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (PtLDV)

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)- merupakan suatu kalimat terbuka matematika yang di dalamnya memuat
dua variabel.
Dengan masing-masing variabel berderajat satu serta dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan. Tanda ketidaksamaan yang
dimaksud disini antara lain: >, <, ≤, atau ≥.
Maka, bentuk dari pertidaksamaan linear bisa kita tuliskan seperti berikut ini:

ax + by > c
ax + by < c
ax + by ≥ c
ax + by ≤ c
Berikut ini adalah contoh dari kalimat matematikanya:
2x + 3y > 6
4x – y < 9
Contoh yang bukan pertidaksamaan linear 2 variabel
2x ≥ 4; pertidaksamaan linear satu peubah
x + y – 2z > 0; pertidaksamaan linear tiga peubah

Beberapa kalimat terbuka di atas menggunakan tanda hubung seperti <, >, > atau < yang menandakan kalimat tersebut
merupakan pertidaksamaan.

Berbeda halnya dengan penyelesaian dari persamaan linear dua variabel yang berwujud himpunan pasangan titik-titik, atau
apabila kita gambar grafiknya akan berupa garis lurus.
Penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel berupa daerah penyelesaian.
Dalam praktiknya penyelesaian pertidaksamaan linear bisa berwujud daerah diarsir atau sebaliknya daerah penyelesaian
pertidaksamaan linear dua variabel yang berupa daerah bersih.

Untuk menentukan daerah penyelesaiannya, kita bisa melakukan langkah-langkah seperti di bawah ini:
1. Ubahlah tanda ketidaksamaan dari pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), sehingga kita akan memperoleh

persamaan linear dua variabel
2. Gambar grafik atau garis dari persamaan linear dua variabel tadi.

Hal ini bisa kita lakukan dengan cara menentukan titik potong sumbu x dan sumbu y dari persamaan.
Ataupun dapat memakai dua titik sembarang yang dilewati oleh garis. Garis akan membagi dua bidang kartesius
3. Lakukan uji titik yang tidak dilewati oleh garis (substitusi nilai x dan y titik ke pertidaksamaan). Apabila menghasilkan
pernyataan yang benar, artinya daerah tersebut adalah penyelesaiannya.
Tetapi, jika menghasilkan pernyataan salah maka bagian lainnya lah yang merupakan penyelesaiaanya.

Untuk lebih jelasnya perhatikan ulasan berikut ini.

https://www.yuksinau.id/pertidaksamaan-linear-dua-variabel/

Daerah Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear
Dua Peubah

Penyelesaian suatu pertidaksamaan linear dua peubah merupakan pasangan berurut (x,y) yang dapat memenuhi
pertidaksamaan linear tersebut. Himpunan dari penyelesaian tersebut dapat dinyatakan dengan sebuah daerah pada bidang
kartesius (bidang XOY) yang diarsir.
Untuk lebih memahami daerah himpunan dari penyelesaian pertidaksamaan linear dua peubah. Berikut akan kami berikan
contohnya:

Contoh 2.1

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear 2x + 3y ≥ 12

Alternatif Penyelesaian

Langkah pertama adalah mengganti tanda ketidaksamaan dari pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), sehingga
2x + 3y = 12
Langkah kedua adalah menggambar/melukis grafik atau garis garis 2x + 3y = 12
alternatif caranya dengan menghubungkan titik potong garis 2x + 3y = 12 dengan sumbu X (artinya y=0) dan sumbu Y (artinya
x=0).
x60
y04

Titik potong garis dengan sumbu X memilki arti sebagai y = 0, dan didapatkan x = 6 (titik (6,0)).
Titik potong garis dengan sumbu Y artinya x = 0, didapat y = 4 (titik (0,4)).

Garis 2x + 3y = 12 tersebut membagi bidang kartesius menjadi dua bagian.
Langkah ketiga adalah uji titik untuk menentukan daerah yang mana adalah himpunan penyelesaian, maka dilakukan dengan
mengambil salah satu titik uji dari salah satu sisi daerah.
Sebagai contoh disini kita ambil titik (0,0). Lalu disubstitusikan ke pertidaksamaan, apakah 2x + 3y ≥ 12?
2 x 0 + 3 x 0 ≥ 12
0 ≥ 12 (salah), artinya (0,0) bukan penyelesaian sehingga daerah yang memuat titik (0,0) bukan daerah penyelesaian.
Oleh karena itu daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak memuat titik (0,0), yaitu daerah yang diarsir pada gambar di
bawah ini:

Contoh 2.2
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear 2x – 5y > 20

Alternatif Penyelesaian
Langkah pertama adalah mengganti tanda ketidaksamaan dari pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), sehingga
2x - 5y = 20
Langkah kedua adalah menggambar garis 2x – 5y = 20 dengan cara menghubungkan titik potong garis di sumbu X dan
sumbu Y.

Titik potong garis dengan sumbu X, y = 0, didapat x = 10 (titik (10,0))
Titik potong garis dengan sumbu Y, x = 0, didapat y = –4 (titik (0,–4))
Garis 2x – 5y = 20 tersebut akan membagi bidang kartesius menjadi dua bagian.

Untuk menentukan daerah yang mana adalah himpunan penyelesaian. Maka kita akan melakukannya dengan cara mengambil
titik uji pada salah satu sisi daerah.
Sebagai contoh kita ambil titik (0,0). Lalu kita substitusikan ke pertidaksamaan apakah 2x – 5y > 20 :
2 x 0 – 5 x 0 > 20
0 > 20 (salah), artinya ttitik (0,0) bukan penyelesaian. Sehingga, daerah yang memuat (0,0) bukan daerah penyelesaiannya.
Dengan demikian daerah penyelesaiannya adalah daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini:

Contoh 2.3

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear 4x – 3y < 12

Alternatif Penyelesaian

Langkah pertama adalah mengganti tanda ketidaksamaan dari pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=),
sehingga 4x – 3y = 12
Langkah kedua adalah menggambar garis 4x – 3y = 12 dengan cara menghubungkan titik potong garis pada sumbu X dan
sumbu Y.

Titik potong garis dengan sumbu X maka y = 0 didapat x = 3 (titik (3,0))
Titik potong garis dengan sumbu Y maka x = 0 didapat y = –4 (titik (0,–4))
Garis 4x – 3y = 12 tersebut akan membagi bidang kartesius menjadi dua bagian.
Langkah ketiga adalah menentukan daerah yang mana adalah himpunan penyelesaian. Maka kita akan melakukannya
dengan cara mengambil salah satu titik uji dari salah satu sisi daerah.
Sebagai contoh kita ambil titik (0,0). Lalu kita substitusikan ke pertidaksamaan sehingga akan kita peroleh:
4 x 0 – 3 x 0 < 12
0 < 12 (benar), yang berarti (0,0) adalah penyelesaian, daerah yang memuat titik (0,0) adalah daerah penyelesaian.
Sehingga, daerah penyelesaiannya yaitu daerah yang terdapat atau memuat titik (0,0). Yakni daerah yang diarsir pada gambar
di bawah ini:

Contoh 2.4

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear 5x + 3y ≤ 15

Alternatif Penyelesaian

Langkah pertama adalah mengganti tanda ketidaksamaan dari pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=),
sehingga 5x + 3y = 15
Langkah kedua adalah menggambar garis 5x + 3y = 15 dengan cara menghubungkan titik potong garis pada sumbu X dan
sumbu Y.

Titik potong garis dengan sumbu X maka y = 0, didapat x = 3 (titik (3,0))
Titik potong garis dengan sumbu Y maka x = 0, didapat y = 5 (titik (0,5))
Garis 5x + 3y = 15 tersebut membagi bidang kartesius menjadi dua bagian.
Langkah ketiga adalah uji titik untuk menentukan daerah yang mana adalah himpunan penyelesaian.
Kita akan melakukannya dengan cara mengambil salah satu titik uji dari salah satu sisi daerah. Sebagai contoh kita ambil titik
(0,0). Lalu kita substitusikan ke pertidaksamaan sehingga akan kita peroleh:
5 x 0 + 3 x 0 ≤15
0 ≤ 15 (benar),
Sehingga, daerah penyelesaiannya yaitu daerah yang terdapat atau memuat titik (0,0). Yakni daerah yang diarsir pada gambar
di bawah ini:

Berdasarkan dari contoh di atas, cara untuk menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dengan dua peubah
bisa kila lakukan dengan beberapa langkah seperti di bawah ini:

1. Mengganti tanda pertidaksamaan dengan tanda sama dengan
2. Menggambar garis ax + by = c dalam bidang kartesius dengan cara menghubungkan titik potong garis pada sumbu X di

titik (c/a ,0) serta pada sumbu Y di titik (0,c/b ).
3. Menggunakan sebuah titik uji yang berada di luar garis dengan cara menyubstitusikannya pada pertidaksamaan.

Apabila pertidaksamaan mampu terpenuhi (benar), maka daerah yang memuat titik tersebut adalah daerah himpunan
penyelesaian.
Apabila pertidaksamaan tidak dipenuhi (salah), maka daerah yang tidak terdapat pada titik uji tersebut adalah daerah
himpunan penyelesaian.

Sumber : https://www.yuksinau.id/pertidaksamaan-linear-dua-variabel/

Menentukan Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Jika untuk mencari himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan linear dapat digunakan metode grafik, maka sebaliknya kita
dapat menentukan atau menyusun pertidaksamaan yang memiliki daerah himpunan penyelesaian dari grafik.
Caranya sangat sederhana. Pada prinsipnya, yang harus kita lakukan adalah melihat titik potong garis-garis pada grafik
terhadap sumbu x dan sumbu y kemudian menyusun persamaan garisnya. Untuk tujuan praktis, kita dapat menggunakan rumus
berikut :
ax + by = ab

Setelah persamaan garisnya kita peroleh, maka selanjutnya adalah melihat himpunan penyelesaian (HP) yang tertera di grafik.

Pada umumnya langkah menentukan pertidaksamaan linear dua variabel jika diketahui daerah penyelesaian adalah
sebagai berikut:
1. Tentukan persamaan garisnya:

- Jika garis melalui koordinat (0,a) dan (b,0), maka persamaan garisnya ax+by=mn.
- Jika garis melalui titik (x1, y1) dan (x2,y2), maka rumus persamaan garisnya:

2. Menentukan tanda pertidaksamaan dengan cara membuat titik uji pada sembaran titik (p,q) yang berada di daerah
penyelesaian.
Apabila pertidaksamaan yang diperoleh adalah <, maka pertidaksamaan linearnya adalah ap + bq < ab.
Apabila pertidaksamaan yang diperoleh adalah >, maka pertidaksamaan linearnya adalah ap + bq > ab.

Contoh 2.5

Tentukan pertidakamaan linear dua variabel untuk daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini

Alternatif Penyelesaian

Langkah pertama adalah menentukan persamaan garis.
Terlihat dalam gambar, garis tersebut melalui titik ((0,-4) dan (3,0). Persamaan garisnya adalah
-4x + 3y = (-4).3
-4x + 3y = -12, atau
4x-3y = 12
Langkah kedua adalah melakukan uji titik
kita bisa pilih titik (0,0) karena Terlihat dalam gambar (0,0) adalah salah satu titik yang merupakan penyelesaian sehingga
tanda pertidaksamaan yang diperoleh dari substitusi (0,0) berlaku untuk keseluruhan pertidaksamaan
4 . 0 - 3 .0
= 0 < 12
Sehingga pertidaksamaan untuk gampar tersebut adalah 4x - 3y < 12.

Contoh 2.6

Tentukan pertidaksamaan linear yang sesuai dengan gambar berikut jika yang diarsir adalah daerah penyelesaiannya