Mat Umum smt 3-ilovepdf-edit

Rotasi (Perputaran)

Misalkan peta titik A(x, y) oleh rotasi dengan pusat P(a, b) sejauh θ adalah A'(x', y'). Perhatikan gambar berikut :

Dari segitiga siku-siku PBA diperoleh
x - a = r cos α
y - b = r sin α
Dari segitiga siku-siku PCA' diperoleh
x' - a = r cos (α + θ)
x' - a = r (cos α cos θ - sin α sin θ)
x' - a = r cos α cos θ - r sin α sin θ
x' - a = (x - a) cos θ - (y - b) sin θ
y' - b = r sin (α + θ)
y' - b = r (sin α cos θ + cos α sin θ)
y' - b = r sin α cos θ + r cos α sin θ
y' - b = (y - b) cos θ + (x - a) sin θ
y' - b = (x - a) sin θ + (y - b) cos θ
Diperoleh
x' - a = (x - a) cos θ - (y - b) sin θ
y' - b = (x - a) sin θ + (y - b) cos θ
Dalam persamaan matriks kita tulis

atau

Contoh soal no 5
Persamaan bayangan parabola y = x2 + 2x + 1 jika dirotasi dengan pusat P(2, -3) sejauh 270° adalah ...

Alternatif penyelesaian

Dari persamaan matriks diatas kita peroleh
x' - 2 = y + 3 → y = x' - 5
y' + 3 = -x + 2 → x = -y' - 1
Substitusi x dan y ke parabola y = x2 + 2x + 1
x' - 5 = (-y' - 1)2 + 2(-y' - 1) + 1
x' - 5 = (y')2 + 2y' + 1 - 2y' - 2 + 1
x' - 5 = (y')2
(y')2 = x' - 5
Jadi, persamaan bayangannya adalah y2 = x - 5
Sumber : https://smatika.blogspot.com/2017/11/matriks-transformasi-geometri.html

Materi - Video

Video tersebut beralamat di https://www.youtube.com/watch?v=_yeNs4O3M3M

Simpulan

Jika titik P(x,y) diputar dengan pusat O sebesar α radian akan menjadi titik P′(x′,y′)
dengan:

Bentuk matriks

adalah matriks rotasi dengan pusat O sebesar θ radian.
Dengan cara yang sama, jika titik P(x,y) diputar dengan pusat A(a,b) sebesar α radian maka akan menjadi titik P′(x′,y′)
dengan:

atau

Latihan 5.3 / Post Test

Post Test

Titik A(1 , 2) diputar 30 derajat berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam terhadap titik asal
O(0 , 0). Bayangan titik A oleh rotasi tersebut adalah ....

A'(1/2√3 - 1 , 1/2 + √3)
A'(1/2√3 + 1 , 1/2 + √3)
A'(1/2√3 - 1 , 1/2 - √3)
A'(1/2√3 + 1 , 1/2 - √3)
A'(1/2√3 - 1 , √3)

Segitiga ABC dengan A(4 , 0), B(0 , -2), C(-2 , -4) diputar 60 derajat berlawanan arah putaran jarum
jam terhadap titik pusat O(0 , 0). Hasil transformasi tersebut adalah...

A'(2 , 2), B'(√3 , -1), C'(-1 + 2√3 , -√3 - 2)
A'(2 , 2√3), B'(√3 , 1), C'(-1 + 2√3 , -√3 - 2)
A'(2 , 2√3), B'(√3 , -1), C'(1 + 2√3 , -√3 - 2)
A'(2 , 2√3), B'(√3 , -1), C'(-1 + 2√3 , √3 - 2)
A'(2 , 2√3), B'(√3 , -1), C'(-1 + 2√3 , -√3 - 2)

Titik A(2 , 3) diputar terhadap titik B(-1 , -2) dengan arah berlawanan putaran jarum jam sebesar 45
derajat. Bayangan titik A adalah...

A'(√2 - 1 , 4√2 -2)
A'(-√2 + 1 , 4√2 -2)
A'(-√2 - 1 , 4√2 + 2)
A'(-√2 + 1 , 4√2 -2)
A'(-√2 - 1 , 4√2 -2)

Sebuah segitiga ABC dengan A(1 , 0), B(4 , 0), C(3 , 4) diputar berlawanan jarum jam sebesar 180
derajat dengan pusat P(a , b). Apabila diperoleh bayangan segitiga A'B'C' dengan A'(-1 , -2), B'(r , s),
C'(3 , 2), maka koordinat B' adalah.....

B'(-4 , -2)
B'(4 , -2)
B'(-4 , 2)
B'(4 , 2)
B'(-2 , -4)

Persamaan bayangan kurva 3x + 5y = 15 jika dirotasikan sebesar 9000 searah jarum jam dengan titik
pusat rotasi O(0, 0) adalah ....

-3y - 5x = 15
3y – 5x = -15
- 3y + 5x = 15
5y – 3x = -15
5y + 3x = 15

Submit Answers Clear Answers



Kompetensi Dasar

3.5 Menganalisis dan membandingkan transformasi dan komposisi transformasi dengan menggunakan matriks.
4.5 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks transformasi geometri (translasi, refleksi, dilatasi, dan rotasi).

Indikator Pencapaian Kompetensi

3.5.1 Menyebutkan contoh dilatasi dalam kehidupan sehari-hari.
3.5.2 Menemukan sifat-sifat translasi, dilatasi berdasarkan pengamatan pada masalah kontekstual dan pengamatan objek
pada bidang koordinat.
3.5.11 Menemukan konsep dilatasi pada faktor skala k dan pusat O(0,0) dengan kaitannya dengan konsep matriks.
3.5.12 Menemukan konsep dilatasi pada faktor skala k dan pusat P(p,q) dengan kaitannya dengan konsep matriks.

4.5.1 Menemukan matriks dilatasi dengan pengamatan terhadap titik-titik dan bayangannya.
4.5.2 Menggunakan konsep dilatasi dengan kaitannya dengan konsep matriks dalam menemukan koordinat titik atau fungsi
setelah ditransformasi.

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari konsep transformasi melalui pengamatan, menalar, tanya jawab, mencoba menyelesaikan persoalan,
penugasan individu dan kelompok, diskusi kelompok, dan mengomunikasikan pendapatnya, siswa mampu:
1. Menumbuhkan sikap perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun,

responsif dan proaktif, berani bertanya, berpendapat, dan menghargai pendapat orang lain dalam aktivitas sehari-hari.
2. Menunjukkan rasa ingin tahu dalam memahami konsep dan menyelesaikan masalah.
3. Menyebutkan contoh transformasi dilatasi dalam kehidupan sehari-hari.
4. Menemukan sifat-sifat dilatasi berdasarkan pengamatan pada masalah kontekstual dan pengamatan objek pada

bidang koordinat.
5. Menemukan konsep dilatasi pada suatu faktor skala dan pusat O(0, 0) atau pusat P(p, q) dengan kaitannya dengan

konsep matriks.
6. Menemukan koordinat titik dan persamaan garis oleh transformasi (translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi).

Diagram Alir

Transformasi Geometri: Dilatasi (Perkalian)

Suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun, tetapi tidak mengubah bentuk
bangun disebut dilatasi (perkalian). Suatu dilatasi ditentukan oleh titik pusat dilatasi dan faktor dilatasi (faktor skala).

Pernahkan Anda melihat maket atau miniatur sebuah rumah di televisi, koran, atau pameran? Maket atau miniatur sebuah
rumah atau gedung merupakan model dari rumah atau gedung sebenarnya, tetapi dibuat dalam ukuran lebih kecil. Jadi, dari
bentuk miniatur rumah atau gedung tersebut akan dilakukan dilatasi diperkecil dari ukuran sebenarnya atau sebaliknya.
Suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun, tetapi tidak mengubah bentuk
bangun disebut dilatasi (perkalian). Suatu dilatasi ditentukan oleh titik pusat dilatasi dan faktor dilatasi (faktor skala).

Gambar 1. Dilatasi dengan pusat O(0,0)

Dilatasi yang berpusat di titik koordinat O(0,0) dengan faktor dilatasi k dilambangkan D[O,k], sedangkan dilatasi yang berpusat
di sembarang titik P(x,y) dengan faktor dilatasi k dilambangkan D[P,k] atau [(a,b),k]. Sebagai contoh, pada Gambar 1
mengilustrasikan dilatasi ABC yang berpusat di titik O(0,0) dengan berbagai faktor skala k. Pada Gambar 1, D[O,k]
memetakan segitiga ABC ke segitiga lain sebagai berikut.

Untuk k=2,D[0,2]:ΔABC→A′1B′1C′1
Untuk k=1/2,D[0,1/2]:ΔABC→A′2B′2C′2
Untuk k=−12,D[0,−1/2]:ΔABC→A′3B′3C′3
Untuk k=−2,D[0,−2]:ΔABC→A′4B′4C′4

Berdasarkan nilai dari faktor dilatasi k, bangun hasil (bayangan) yang diperoleh dapat ditetapkan sebagai berikut:

1. Jika k>1
maka bangun hasil terletak sepihak dari pusat dilatasi dengan bangun mula-mula dan diperbesar (menjauhi pusat
dilatasi).

2. Jika 0<k<1
maka bangun hasil terletak sepihak dari pusat dilatasi dengan bangun mula-mula dan diperkecil (mendekat pusat
dilatasi).

3. Jika −1<k<0
maka bangun hasil terletak berlainan pihak dari pusat dilatasi dengan bangun mula-mula dan diperkecil (mendekat pusat
dilatasi).

4. Jika k<−1
maka bangun hasil terletak berlainan pihak dari pusat dilatasi dengan bangun mula-mula dan diperbesar (menjauhi pusat
dilatasi).

Jadi, dengan mengamati Gambar 1 di atas, pada dilatasi D[O,k] juga diperoleh sifat-sifa sebagai berikut:

1. Bangun bayangan sebangun dengan bangun mula-mula.
2. Keliling bangun bayangannya = k x keliling bangun mula-mula.
3. Luas bangun bayangannya = k2 x luas bangun mula-mula.

Dilatasi terhadap Titik Pusat O(0,0)

Perhatikan Gambar 2. Pada Gambar 2, titik P(x,y) didilatasikan terhadap titik pusat O dengan faktor dilatasi k, menghasilkan
titik P'(x',y'), sehingga

Gambar 2. Dilatasi dengan [O,k]
Jadi, dilatasi [O,k] memetakan titik P(x,y) ke P′(kx,ky)
atau
Bentuk matriks transformasi dari D[O,k] diperoleh dari
Sehingga,

Contoh soal no 1
Tentukanlah bayangan dari ΔABC yang dibentuk oleh titik-titik sudut A(-1,4), B(-3,-1), dan C(2,3), bila didilatasikan oleh pusat
dilatasi O(0,0) dengan faktor dilatasi 2.

Alternatif penyelesaian I:
Misalkan bayangan titik-titik A, B, dan C berturut-turut adalah A′(x′1,y′1),B′(x′2,y′2),C′(x′3,y′3) , maka

Alternatif penyelesaian II:
Titik A', B', dan C' juga dapat ditentukan dengan menggunakan matriks transformasi:
Jadi, bayangan ΔABC adalah ΔA'B'C' dengan A'(-2,8), B'(-6,-2), dan C'(4,6).

Contoh soal no 2
Titik A’(-16, 24) merupakan bayangan titik A(x, y) yang didilatasikan dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala -4. Tentukan
koordinat titik A!

Alternatif penyelesaian

Titik x:
kx = -16
-4x = -16
x = -16 : -4
x=4

Titik y:
ky = 24
-4y = 24
y = 24 : -4
y = -6
Maka titik A = (4, -6)

Contoh soal no 3
Tentukan persamaan bayangan kurva y = 4x – 3 jika didilatasikan oleh (O, 3)!

Alternatif penyelesaian
Misal titik x1 dan y1 ada pada kurva y = 4x – 3
x1’ = bayangan x1 dan y1’ = bayangan y1
x1’ = 3x1 ---> x1 = 1/3x1'
y1’ = 3y1 ---> y1 = 1/3y1'
Bayangan kurva : 1/3y’ = 4(1/3x’) – 3, masing-masing ruang kalikan 3

y' = 4x' – 9
y = 4x – 9
Jadi, bayangan kurvanya adalah y = 4x – 9

Dilatasi terhadap Pusat (a,b)

Amati Gambar 3. Pada Gambar 3, diperoleh hubungan sebagai berikut. Jika titik P(x,y) didilatasikan oleh D[(a,b),k]
akan diperoleh bayangan P′(x′,y′)
.

Gambar 3. Dilatasi terhadap pusat (a,b)

Jadi,

Bentuk matriks transformasi dari D[(a,b),k] diperoleh dengan cara sebagai berikut:

Jadi, matriks transformasi dilatasi dengan pusat (a,b) dan faktor dilatasi k adalah

Sehingga, didapatkan persamaan matriks:

Contoh soal no 4
Tentukanlah bayangan dari ΔABC jika titik-titik sudut A(-1,4), B(2,3), dan C(3,-2) didilatasikan oleh D[(1,2),−2]
.
Alternatif penyelesaian:
Misalkan bayangan titik A(-1,4), B(2,3), dan C(3,-2) oleh D[(1,2), -2] berturut-turut adalah A′(x′1,y′1),B′(x′2,y′2),C′(x′3,y′3). Titik-
titik A', B', C' ditentukan sebagai berikut.
1. Untuk A′(x′1,y′1)

yaitu bayangan dari titik A(-1,4):

Sehingga:
Jadi, diperoleh titik A'(5,-2).
2. Untuk B′(x′2,y′2)

yaitu bayangan dari titik B(2,3):

Sehingga:
Jadi, diperoleh titik B'(-1,0).
3. Untuk C′(x′3,y′3)
Sehingga:
Jadi, diperoleh titik C'(-3,10).

Sumber: https://jagostat.com/matematika-dasar/transformasi-geometri-dilatasi

Video - Materi Dilatasi

Video tersebut beralamat di https://www.youtube.com/watch?v=OtzluC8qPds&list=RDCMUC-
Zj5qKiAhvPrZQTWrMW7Cw&index=2

Simpulan

1. Dilatasi terhadap Titik Pusat O(0,0)
Bentuk matriks transformasi dari D[O,k] adalah

2. Dilatasi terhadap Titik Pusat O(0,0)
Bentuk matriks transformasi dilatasi dengan pusat (a,b) dan faktor dilatasi k adalah
, atau

Post Test

Post Test

BCD adalah sebuah persegi dengan koordinat titik-titik sudut A(1,1), B(2,1), C(2,2) dan D(1,2).
Tentukan peta atau bayangan dari titik-titik sudut persegi itu oleh dilatasi [O,2]!

A’(2,2), B’(4,3), C’(4,4) dan D’(2,4)
A’(2,2), B’(4,2), C’(4,4) dan D’(2,3)
A’(2,2), B’(4,3), C’(4,4) dan D’(2,3)
A’(2,2), B’(4,2), C’(4,4) dan D’(2,4)

Dilatasi yang berpusat di titik (3, 1) dengan faktor skala 3, memetakan titik (5, b) ke titik (a, 10). Maka
nilai a – b adalah ….

15
11
5
4
2

bayangan titik P(2,-1) oleh dilatasi terhadap titik pusat A(3,4) dengan faktor skala -3.

P'(-6,19)
P'(6,19)
P'(-6,-19)
P'(6,-19)

Persamaan bayangan garis 3x - 5y + 15 = 0 oleh dilatasi terhadap pusat O(,0) dengan faktor skala 5
adalah ....

-3x - 5y + 75 = 0
3x + 5y + 75 = 0
3x-5y - 75 = 0
3x - 5y + 75 = 0

Bayangan garis 3x + 4y – 5 = 0 oleh dilatasi dengan pusat (-2, 1) dan faktor skala 2 adalah ....

3x + 4y + 12 = 0
3x + 4y – 12 = 0
3x – 4y + 12 = 0
-3x + 4y + 12 = 0
3x – 4y – 12 = 0

Submit Answers Clear Answers

Latihan 5.4 (khusus siswa MIPA)

1. 1. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat-koordinat titik-titik sudutnya adalah A(–3, –3), B(–1, –3), dan C(–2, –
1).Tentukan:
a. bayangan dari titik-titik sudutnya jika dilatasi terhadap titik pusat O(0, 0) dengan faktor dilatasi –2.
b. luas dari bayangan bangun ABC.

2. Diketahui kurva y = x 2+5x-6. Jika kurva di dilatasi k = 2 terhadap titik pusat O(0,0), tentukanlah persamaan kurva yang
baru

3. Diketahui sebuah segitiga ABC dengan titik sudut A ( 2,3), B ( 7,1) dan C(-2,-5). Jika segitiga ABC tersebut di-dilatasi 3
dengan pusat M (1,3). Tentukanlah bayangan segitiga ABC atau A’B’C’.

Kompetensi Dasar

3.5 Menganalisis dan membandingkan transformasi dan komposisi transformasi dengan menggunakan matriks.
4.5 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks transformasi geometri (translasi, refleksi, dilatasi, dan rotasi).

Indikator Pencapaian Kompetensi

3.5.13 Membandingkan keempat jenis transformasi dengan menyebutkan perbedaannya.
3.5.14 Menemukan konsep komposisi transformasi (translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi).

4.5.3 Membandingkan proses transformasi (translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi).

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari konsep transformasi melalui pengamatan, menalar, tanya jawab, mencoba menyelesaikan persoalan,
penugasan individu dan kelompok, diskusi kelompok, dan mengomunikasikan pendapatnya, siswa mampu:
1. Menumbuhkan sikap perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun,

responsif dan proaktif, berani bertanya, berpendapat, dan menghargai pendapat orang lain dalam aktivitas sehari-hari.
2. Menunjukkan rasa ingin tahu dalam memahami konsep dan menyelesaikan masalah.
3. Menemukan konsep komposisi transformasi (translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi).

Diagram Alir

Rumus umum

Beberapa rumus yang telah dipelajari dapat dilihat pada tabel berikut ini:

sumber : https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-transformasi-geometri-tingkat-sma/

Komposisi transformasi

Komposisi transformasi adalah transformasi yang diperoleh dari gabungan dua transformasi atau lebih. Penyelesaian
masalah komposisi transformasi bisa dengan dua cara, yaitu dengan cara pemetaan dan dengan cara matriks. Penyelesaian
komposisi transformasi dengan cara pemetaan dilakukan langsung secara bertahap berturut-turut terhadap titik yang
ditransformasikan. Misal titik A ditransformasikan pertama oleh T1 dilanjutkan oleh T2, bayangannya diperoleh dengan cara
menentukan bayangan A terhadap T1 terlebih dahulu, misalkan bayangannya adalah A', kemudian menentukan bayangan A'
oleh transformasi T2 sehingga menghasilkan bayangan A". Titik A" ini merupakan bayangan dari titik A yang ditransformasikan
oleh T1 dilanjutkan dengan transformasi T2.
Dalam bentuk pemetaan ditulis seperti berikut ini.

Cara lainnya untuk menyelesaikan masalah komposisi transformasi adalah dengan matriks. Dengan cara ini, bayangan hasil
dua transformasi atau lebih dapat diperoleh dengan cara langsung tanpa harus menentukan bayangan hasil transformasi satu
per satu.
Bentuk pemetaan di atas jika dituliskan dalam bentuk matriks akan menjadi seperti berikut.

Notasi T1 dan T2 berturut-turut merupakan matriks transformasi T1 dan matriks transformasi T2. Perhatikan bahwa penulisan
secara matriks urutan penulisannya berbeda dengan cara pemetaan. Transformasi kedua, yaitu T2 dituliskan pertama dan
transformasi pertama, yaitu T1 dituliskan kedua. Penulisan ini tidak boleh terbalik karena dalam komposisi tidak ada sifat
komutatif, kecuali komposisi dua translasi. Karena translasi dalam bentuk matriks menggunakan operasi penjumlahan.

Komposisi Translasi

Jika titik A(x,y) ditranslasikan berurutan oleh T1=(a,b) dilanjutkan oleh T2=(c,d), kedua translasi tersebut dapat dinyatakan dalam
translasi tunggal sesuai dengan pembahasan di atas.
Dalam bentuk pemetaan dituliskan sebagai berikut.

Sedangkan dalam bentuk matriks dapat dinyatakan sebagai berikut.

Komposisi Transformasi Selain Translasi

Untuk komposisi transformasi selain translasi jika dituliskan dalam bentuk matriks, operasi yang digunakan adalah operasi
perkalian matriks. Dalam menggunakan cara ini, perkalian matriks tidak boleh terbalik karena pada operasi perkalian matriks
tidak berlaku sifat komutatif. Misalnya titik A(x,y) ditransformasikan oleh transformasi T1 yang diketahui matriks transformasinya
dilanjutkan dengan transformasi T2 yang juga diketahui matriks transformasinya, penulisan dalam bentuk pemetaannya adalah

sebagai berikut.

Komposisi transformasi di atas bila ditulis dalam bentuk matriks akan menjadi seperti berikut.

Komposisi Rotasi Sepusat

Misalkan RA adalah rotasi sejauh A dengan pusat rotasi di titik pusat O(0,0) dan RB adalah rotasi sejauh B di titik pusat O(0,0).
Jika titik P(x,y) dirotasikan oleh RA dilanjutkan dengan rotasi oleh RB maka secara pemetaan, bentuk transformasinya dapat
dituliskan sebagai berikut.

Dalam bentuk matriks, transformasi rotasi di atas dapat dituliskan sebagai berikut.

Jika kita lanjutkan dengan mengalikan kedua matriks di atas, akan diperoleh bentuk sebagai berikut.

Perhatikan bahwa masing-masing komponen matriks di atas merupakan rumus trigonometri dari penjumlahan dua sudut. Jika
disederhanakan akan menjadi bentuk sebagai berikut.

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa jika suatu titik ditranformasikan secara berturut-turut oleh tranformasi rotasi RA
dan dilanjutkan oleh tranformasi rotasi RB dengan pusat rotasi yang sama maka kita kita akan mendapatkan transformasi
rotasi RA+B dengan pusat yang sama dengan pusat rotasi sebelumnya.
sumber : https://maths.id/komposisi-transformasi

Contoh

Contoh soal no 1

Diketahui translasi
Tentukanlah bayangan titik P(5, –3) oleh ( T1 o T2 )

Alternatif penyelesaian
( T1 o T2 )(5, –3) = T1 [ T2 (5, –3)]
= T1 [ (5 + 1, – 3 + 3) ]
= T1 (6, 0)
= (6 + (–2), 0 + 4)
= (4, 4)

Contoh soal no 2
Diketahui translasi
dan M yaitu pencerminan terhadap garis y = x. Tentukanlah bayangan titik P(–4, 1) oleh T o M

Alternatif penyelesaian
(T o M )(-4, 1) = T [ M (–4, 1)]
= T (1, –4)
= (1 + 3, –4 + 5)
= (4, 1)

Contoh soal no 3
Jika M1 adalah pencerminan terhadap garis x = 2 dan M2 adalah pencerminan terhadap garis x = 4, maka tentukanlah
bayangan titik A(5, -2) oleh tranformasi M2 dilanjutkan dengan M1

Alternatif penyelesaian

Contoh soal no 4
Tentukanlah bayangan titik (4, 3) oleh pencerminan terhadap garis y = –x dilanjutkan oleh dilatasi dengan pusat O(0, 0) dan
skala –2
Alternatif penyelesaian

sumber : https://www.materimatematika.com/2017/10/komposisi-transformasi.html

Contoh

Untuk pemantapan, ikutilah contoh soal berikut ini

1. Persamaan bayangan garis y = 2x – 3 karena refleksi terhadap garis y = -x, dilanjutkan refleksi terhadap y = x adalah...
a. y + 2x – 3 = 0
b. y – 2x – 3 = 0
c. 2y + x – 3 = 0
d. 2y – x – 3 = 0
e. 2y + x + 3 = 0

PEMBAHASAN: dan dilanjutkan
Kalian catat rumusnya ya:

- Matriks refleksi terhadap garis y = x adalah:

- Matriks refleksi terhadap garis y = -x adalah:
Mari kita kerjakan soal di atas:

Pada soal di atas diketahui bahwa garis y = 2x – 3 di refleksikan terhadap garis y = -x, berarti T1 =

dengan refleksi terhadap y = x berarti T2 =
Maka, transformasinya adalah:

Jadi, bayangan dari y = 2x – 3 adalah –y = -2x – 3 atau y – 2x - 3 = 0
JAWABAN: B

2. Bayangan kurva y = x + 1 jika ditransformasikan oleh matriks , kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap
sumbu x adalah ...
a. x + y – 3 = 0
b. x – y – 3 = 0
c. x + y + 3 = 0
d. 3x + y + 1 = 0
e. x + 3y + 1 = 0
PEMBAHASAN:
Di stabillo nih rumusnya dik adik...

- matriks pencerminan terhadap sumbu x adalah:
- Transformasi T1 lalu dilanjutkan transformasi T2 maka matriks transformasinya adalah T2 o T1
Yuks... kita kerjain:

Pada soal diketahui T1 = dan T2 adalah pencerminan terhadap sumbu x, berarti T2 =

Sehingga matriks transformasinya:

Dari hasil transformasi di atas didapatkan:
x’ = x + 2y
x = x’ – 2y

dan
y’ = -y
y = -y’
Maka kurva y = x + 1 memiliki bayangan:
-y’ = (x’ - 2y) + 1
-y’ = x’ - 2y + 1
-y’ = x’ - 2(-y’) + 1
-y’ = x’ + 2y’ + 1
x’ + 3y’ + 1 = 0
atau
x + 3y + 1 = 0
JAWABAN: E

3. Jika transformasi T1, memetakan (x, y) ke (-y, x) dan transformasi T2 menyatakan (x, y) ke (-y, -x) dan jika transformasi T
merupakan transformasi T1 yang diikuti oleh transformasi T2, maka matriks T adalah ...

PEMBAHASAN:
Yuks dicatat rumusnya dik adik:
Rotasi +900 yang berpusat di titik O(0, 0) memiliki matriks:
- T1 merupakan rotasi +900 dengan pusat O(0,0) maka matriksnya adalah:

- T2 merupakan pencerminan y = -x, maka matriksnya:

JAWABAN: C

4. Bayangan kurva y = 3x – 9x2 jika di rotasi dengan pusat O (0, 0) sejauh 900dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat O (0,
0) dan faktor skala 3 adalah ...
a. x = 3y2 – 3y
b. x = y2 + 3y
c. x = y2 + 3y
d. y = 3x2 – 3x
e. y = x2 + 3y
PEMBAHASAN:
Rumusnya boleh lho dicatat dibuku kalian dek:
- Rotasi dengan pusat O(0, 0) sejauh 900 memiliki matriks:

- Dilatasi dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala 3 memiliki matriks:

T1 = dan T2 =
T2 o T1 =
Maka matriks transformasinya adalah:

Dari matriks transformasi di atas didapatkan:
x’ = -3y, maka y = -1/3 x’ dan
y’ = 3x, maka x = 1/3y’
Jadi, bayangan kurva y = 3x – 9x2 menjadi:
y = 3x – 9x2
-1/3x’ = 3(1/3y’) – 9(1/3y’)2
-1/3x’ = y’ - y’2(hasil perkalian 3)
-x’ = 3y’ – 3y’2x’ = 3y2 – 3y’ (hasil perkalian -)
Jadi, bayangannya adalah x = 3y2 – 3y
JAWABAN: A

5. Transformasi T berupa rotasi yang disusul dengan pencerminan terhadap garis y = x. Jika rotasi itu berupa rotasi sebesar
90^0 terhadap pusat koordinat dalam arah transformasi dapat ditulis sebagai...

PEMBAHASAN:
Yuk diingat lagi rumusnya... Pada soal di atas T1 adalah rotasi 900dengan pusat O (0, 0), makanya matriksnya:

Sedangkan T2 adalah pencerminan terhadap garis y = x, makanya memiliki matriks:

T2 o T1 =
JAWABAN: B

6. Persamaan bayangan garis 2y – 5x – 10 = 0 oleh rotasi (0, 900) dilanjutkan refleksi terhadap garis y = -x adalah ...
a. 5y + 2x + 10 = 0
b. 5y – 2x – 10 = 0
c. 2y + 5x +10 = 0
d. 2y + 5x – 10 = 0
e. 2y – 5x + 10 = 0
PEMBAHASAN:

T1 adalah rotasi dengan pusat O (0, 0), memiliki matriks:
T2 adalah refleksi terhadap garis y = -x, memiliki matriks:
T2 o T1 =

Maka:

Dari transformasi di atas, didapatkan:
x’ = -x, sehingga x = -x’
y’ = y, sehingga y = y’
Jadi, bayangan garis 2y – 5x – 10 = 0 adalah:
2y – 5x – 10 = 0
2y’ – 5(-x’) – 10 = 0
2y’ + 5x’ – 10 = 0 atau 2y + 5x – 10 = 0
JAWABAN: D

7. Diketahui translasi Titik-titik A’ dan B’ berturut-turut adalah bayangan titik-titik A dan B oleh

komposisi transformasi T1 o T2. Jika A(-1, 2), A’(1, 11), dan B’(12, 13) maka koordinat titik B adalah...

a. (9, 4)

b. (10, 4)

c. (14, 4)

d. (10, -4)

e. (14, -4)

PEMBAHASAN:

Titik A(-1, 2) memiliki bayangan A’(1, 11) maka:

2+a=1
a = -1 dan
4 + b = 11
b=7
Titik B(x, y) memiliki bayangan B’(12, 13), maka:

x = 10 dan kemudian diputar 900 dengan pusat (-1, 2). Persamaan bayangan
y + 9 = 13
y=4
Jadi, koordinat titik B adalah (10, 4)
JAWABAN: B

8. Elips dengan persamaan
elips tersebut adalah ...

PEMBAHASAN:
Matriks rotasi 900 adalah:

(x, y) digeser sejauh didapatkan:

Sehingga didapatkan:
x’ = x – 1
dan
y’ = y + 2
Bayangan x dan y diputar 90 derajat dengan pusat (-1, 2), maka:

Sehingga didapatkan:
x’’ + 1 = -y’ + 2
x’’ + 1 = -(y + 2) + 2
x’’ + 1 = -y
y = -x’’ – 1 = -(x’’ + 1)
dan
y’’ – 2 = x’ + 1
y’’ – 2 = x – 1 + 1
y’’ – 2 = x
x = y’’ – 2
Sehingga bayangan dari elips 4x2 + 9y2 = 36 adalah:

JAWABAN: D . Bayangannya ditransformasikan oleh matriks . Bayangan titik

9. Titik P(x, y) ditransformasikan oleh matriks
P adalah ...
a. (-x, -y)
b. (-x, y)
c. (x, -y)
d. (-y, x)
e. (-y, -x)
PEMBAHASAN:

Pada soal diketahui:
T1 =
T2 =
Maka transformasi matriksnya:

Jadi, bayangan titik P(x, y) adalah:

Sehingga didapatkan:
x’ = -y, maka y = -x’
y’ = -x, maka x = -y’
Jadi, bayangannya P’(-y’, -x’)
JAWABAN: E

10. T1 adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks dan T2 adalah transformasi yang bersesuaian

dengan matriks . Bayangan A(m, n) oleh transformasi T1 o T2 adalah A’(-9, 7). Nilai m + n adalah ...
a. 4
b. 5
c. 6
d. 7
e. 8
PEMBAHASAN:

Karena bayangan A’(-9, 7), maka:

Sehingga didapatkan persamaan:
-x – 3y = -9 .... (i), dan
-5x + 11y = 7 ... (ii)
Kita eliminasi (i) dan (ii) yuks:

Subtitusikan y = 2, dalam persamaan –x – 3y = -9
-x – 3y = -9
-x – 3(2) = -9
-x – 6 = -9

x=3
Karena titik A(m, n) = (3, 2), maka nilai m + n = 3 + 2 = 5
JAWABAN: B

11. Oleh matriks A = titik P(1,2 ) dan titik Q masing-masing ditransformasikan ke titik P’(2, 3) dan Q’(2,
0). Koordinat titik Q adalah ... titik P(1,2 ) memiliki bayangan P’(2, 3), maka:
a. (1, -1)
b. (-1, 1)
c. (1, 1)
d. (2, -1)
e. (1, 0)
PEMBAHASAN:

Oleh matriks A =

Sehingga diperoleh:
3a + 2 = 2
3a = 0
a=0

Karena a = 0, maka matriks A menjadi:
Titik Q ditransformasikan oleh matriks A, didapatkan bayangan Q’(2, 0), maka titik Q adalah:

Sehingga kita dapatkan:
2x = 2
x=1
dan
x+y=0
1+y=0
y = -1
Maka titik Q adalah (1, -1)
JAWABAN: A

12. Garis yang persamaannya x – 2y + 3 = 0 ditransformasikan dengan transformasi yang berkaitan dengan matriks
. Persamaan bayangan garis itu adalah ...
a. 3x + 2y – 3 = 0
b. 3x - 2y – 3 = 0
c. 3x + 2y + 3 = 0
d. -x + y + 3 = 0
e. x - y + 3 = 0
PEMBAHASAN:
Yuks kita cari dulu sembarang titik yang melalui garis x – 2y + 3 = 0

Misalkan x = 1, maka 1 – 2y + 3 = 0 ==> -2y = -4, ==> y = 2 (maka titiknya (1, 2))
Misalkan x = 3, maka 3 – 2y + 3 = 0, ==> -2y = -6 ==> y = 3 (maka titiknya (3, 3))
Selanjutnya kita cari bayangan titik A(1, 2):

Bayangan titik A(1, 2) adalah A’(-5, -8)
Selanjutnya bayangan titik B(3, 3):

Bayangan titik B(3, 3) adalah B’(-6, -9)
Selanjutnya kita cari persamaan garis bayangannya, yaitu garis yang melalui titik A’(-5, -8) dan B’(-6, -9).
Masih ingatkah kalian rumus mencari persamaan garis yang melalui 2 titik? Yuk untuk mengingatkannya kalian boleh lihat
disini:

-y – 8 = -x – 5
x – y = -5 + 8
x–y=3
atau
x–y–3=0
atau
-x + y + 3 = 0
JAWABAN: D

13. Bayangan titik A(x, y) karena refleksi terhadap garis x = -2 dilanjutkan refleksi terhadap garis y = 3, dan rotasi terhadap
pusat O dengan sudut phi/2 radian adalah (-4, 6). Koordinat titik A adalah ...
a. (2, -10)
b. (2, 10)
c. (10, 2)
d. (-10, 2)
e. (10, 2)
PEMBAHASAN:

Maka:
-(6 – y) = -4
y = -4 + 6
y=2
dan

-4 – x = 6 . Hasil transformasi titik (2, -1) terhadap T1 dilanjutkan T2
x = -10
Maka koordinat bayangan A adalah (-10, 2)
JAWABAN: D

14. Ditentukan matriks transformasi
adalah ...
a. (-4, 3)
b. (-3, 4)
c. (3, 4)
d. (4, 3)
e. (3, -4)
PEMBAHASAN:

Jadi, bayangan titik (2, -1) adalah:

Bayangan dari titik itu adalah titik (-4, 3)
JAWABAN: A

15. Sebuah lingkaran dengan pusat P(3, 2) dan jari-jari 5 dirotasikan R(0, 90^0) kemudian dicerminkan terhadap sumbu x.
Persamaan bayangannya adalah...
a. x2 + y2 + 4x + 6y – 12 = 0
b. x2 + y2 - 4x - 6y – 12 = 0
c. x2 + y2 - 4x + 6y – 12 = 0
d. x2 + y2 + 6x + 4y – 12 = 0
e. x2 + y2 + 6x - 4y – 12 = 0
PEMBAHASAN:
Dalam hal ini, lingkaran jika dirotasi atau dicerminkan tidak akan mengubah panjang jari-jarinya.

Sehingga, persamaan lingkaran berjari-jari 5 (tidak berubah) dan memiliki titik pusat (-2, -3) adalah:
Ingat rumusnya ya dik adik:

JAWABAN: A

16. Garis dengan persamaan 2x + y + 4 = 0 dicerminkan terhadap garis y = x dilanjutkan dengan transformasi yang

bersesuaian dengan matriks . Persamaan bayangannya adalah ...
a. x – 2y + 4 = 0

b. x + 2y + 4 = 0
c. x + 4y + 4 = 0
d. y + 4 = 0
e. x + 4 = 0
PEMBAHASAN:

Dari soal kita ketahu bahwa T1 adalah pencerminan terhadap garis y = x, memiliki matriks:

dan T2 adalah , maka matriks tansformasinya adalah:

Kita cari bayangan x dan y dulu ya:

Sehingga kita dapatkan:
x’ = 2x + y dan y’ = x
Bayangan garis 2x + y + 4 = 0 adalah:
(2x + y) + 4 = 0
x’ + 4 = 0 atau x + 4 = 0
JAWABAN: E

17. Titik A(x, 12) ditranslasikan secara berurutan oleh T1 = (-3, 7), T2 = (2, 3) dan T3 = (4, -1) sehingga menghasilkan
bayangan A’(8, y). Nilai-nilai x dan y adalah ...
a. -5 dan 21
b. 5 dan -21
c. 5 dan 21
d. -21 dan 5
e. -21 dan -5
PEMBAHASAN:

Kita peroleh:
x+3=8
x=5
Dan y = 21
JAWABAN: C

18. Garis dengan persamaan y = 2x + 3 dicerminkan terhadap sumbu x kemudian diputar dengan R (0, 900). Persamaan
bayangannya adalah...
a. x – 2y – 3 = 0
b. x + 2y – 3 = 0
c. 2x – y – 3 = 0
d. 2x + y – 3 = 0
e. 2x + y + 3 = 0
PEMBAHASAN:

T1 adalah pencerminan terhadap sumbu x, memiliki matriks: dan T2 adalah rotasi 90 derajat, memiliki matriks:
. Maka:

Sehingga bayangan x dan y nya adalah:

Kita peroleh:
x’ = y atau y = x’
dan
y’ = x atau x = y’
Sehingga bayangan dari persamaan y = 2x + 3 adalah:
y = 2x + 3
x’ = 2y’ + 3
2y’ - x’ + 3 = 0
atau
x – 2y – 3 = 0
JAWABAN: A

19. Persamaan peta garis x – 2y + 4 = 0 yang dirotasikan dengan pusat O(0, 0) sejauh +900, dilanjutkan dengan pencerminan
terhadap garis y = x adalah ...
a. x + 2y + 4 = 0
b. x + 2y - 4 = 0
c. 2x + y + 4 = 0
d. 2x - y - 4 = 0
e. 2x + y - 4 = 0
PEMBAHASAN:

T1 adalah rotasi dengan pusat O(0, 0) sejauh +900, sehingga memiliki matriks: dan T2 pencerminan terhadap garis y

= x, sehingga memiliki matriks:

Selanjutnya kita cari bayangan x dan y:

Kita dapatkan x’ = x dan y’ = -y
Jadi, bayangan x – 2y + 4 = 0 adalah:
x – 2y + 4 = 0
x’ – 2(-y’) + 4 = 0
x’ + 2y’ + 4 = 0
atau
x + 2y + 4 = 0

JAWABAN: A

20. Bayangan kurva y = sin x oleh refleksi terhadap sumbu x dilanjutkan dengan dilatasi berpusat di O(0, 0) dan faktor skala ½
adalah kurva ...
a. sin 2x
b. y = ½ sin x
c. y = sin x cos x
d. y = -sin x cos x
e. y = -sin 2x
PEMBAHASAN:

Jadi, bayangan x dan y adalah:
x’ = ½ x, sehingga x = 2x’
y’ = - ½ y sehingga y = -2y’
Maka bayangan dari y = sinx adalah:
-2y’ = sin 2x’
y’ = - ½ sin 2x
y’ = - ½ (2.sin x’ . cos x’)
y’ = - sinx’.cosx’
atau
y = -sinx . cosx
JAWABAN: D

21. Jika titik (a, b) dicerminkan terhadap sumbu y kemudian dilanjutkan dengan transformasi sesuai dengan matriks
menghasilkan titik (1, -8) maka nilai a + b = ...
a. -3
b. -2
c. -1
d. 1
e. 2
PEMBAHASAN:

T1 adalah pencerminan terhadap sumbu y, sehingga memiliki matriks: dan T2 =

Selanjutnya kita cari a dan b:

Sehingga kita peroleh:
2a + b = 1 dan,
-a + 2b = -8
Yuk kita eliminasikan kedua persamaan di atas untuk mencari nilai a dan b:

Subtitusikan a = 2, dalam persamaan 2a + b = 1
2a + b = 1
2(2) + b = 1
4+b=1
b=1–4
b = -3
Maka, nilai a + b = 2 + (-3) = -1
JAWABAN: C

22. Matriks transformasi yang mewakili pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dengan rotasi 900

berlawanan arah jarum jam dengan pusat O adalah ...

PEMBAHASAN: dan T2 adalah rotasi 90 derajat berlawanan
T1 adalah pencerminan terhadap sumbu x, sehingga memiliki matriks:
arah jarum jam, sehingga memiliki matriks:

JAWABAN: C
sumber : https://www.ajarhitung.com/2017/08/contoh-soal-dan-pembahasan-tentang.html

Materi - Video

Contoh 1:
Persamaan bayangan kurva y = x² – 2x – 3 oleh rotasi [0, 180°], kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis y = -x adalah ….

Contoh 2:

Persamaan bayangan dari lingkaran x² +y² +4x – 6y – 3 = 0 oleh transformasi yang berkaitan dengan matriks adalah….

Contoh 3: Ditentukan T = T1 o T2 , maka transformasi T
T1 dan T2 adalah transformasi yang masing-masing bersesuaian dengan

bersesuaian dengan matriks…

Contoh 4:

Ditentukan matriks transformasi . Hasil transformasi titik (2,-1) terhadap T1 dilanjutkan T2 adalah….

Contoh 5: dicerminkan terhadap sumbu x, kemudian digeser 1 ke kiri akan mempunyai persamaan...
Jika elips

Contoh 6:
Bayangan titik A(4,1) oleh pencerminan terhadap garis x = 2 dilanjutkan pencerminan terhadap garis x = 5 adalah titik....

Contoh 7:

Diketahui transformasi yang bersesuaian dengan matriks dan transformasi yang bersesuaian dengan matriks .

Bayangan A(m,n) oleh tranformasi adalah (-9,7). Nilai m+ n =.........

Contoh 8:

Diberikan adalah translasi oleh dan adalah translasi , maka ( ) (3,5) adalah...

Contoh 9:
Persamaan peta kurva y = x² – 3x + 2 karena pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dilatasi dengan pusat O dan factor skala 3 adalah…

Contoh 10: . Luas bangun hasil transformasi segitiga
Segitiga ABC dengan A(2,1), B(6,1), C(6,4) ditransformasikan dengan matriks transformasi

ABC adalah….

Untuk pembahasan 1-10, lihat di video ini !

Video tersebut beralamat di https://www.youtube.com/watch?v=ZjrfCPnDjMQ&t=13s
Sumber : https://www.ruangparabintang.com/2020/11/materi-contoh-soal-komposisi.html

Simpulan

Komposisi transformasi adalah transformasi yang diperoleh dari gabungan dua transformasi atau lebih. Penyelesaian
masalah komposisi transformasi bisa dengan dua cara, yaitu dengan cara pemetaan dan dengan cara matriks. Penyelesaian
komposisi transformasi dengan cara pemetaan dilakukan langsung secara bertahap berturut-turut terhadap titik yang
ditransformasikan. Misal titik A ditransformasikan pertama oleh T1 dilanjutkan oleh T2, bayangannya diperoleh dengan cara
menentukan bayangan A terhadap T1 terlebih dahulu, misalkan bayangannya adalah A', kemudian menentukan bayangan A'
oleh transformasi T2 sehingga menghasilkan bayangan A". Titik A" ini merupakan bayangan dari titik A yang ditransformasikan
oleh T1 dilanjutkan dengan transformasi T2.
Dalam bentuk pemetaan ditulis seperti berikut ini.

Bentuk pemetaan di atas jika dituliskan dalam bentuk matriks akan menjadi seperti berikut.

sumber : https://maths.id/komposisi-transformasi

Post Test

yang post test diganti dengan alamat ini
https://aseprespati.blogspot.com/2016/11/pembahasan-contoh-soal-komposisi.html