Mat Umum smt 3-ilovepdf-edit

Alternatif Penyelesaiannya
Langkah pertama adalah menentukan garis
Persamaan garis yang melalui (0,4) dan (6,0)adalah
4x + 6y = 24
2x + 3y = 12
Langkah kedua adalah uji titik, titik di daerah penyelesaian.
Misal titik tersebut adalah (6,1) adalah penyelesaian
2x + 3y
2.6 + 3.1
12 + 3
15 > 12
Sehingga pertidaksamaan yang sesuai adalah 2x + 3y > 12

Contoh 2.7
Tentukan pertidaksamaan linear gambar berikut, jika daerah yang bersih merupakan daerah penyelesaiannya

Alternatif Penyelesaian
Langkah pertama adalah menentukan garis
Persamaan garis melalui (0,-4) dan (10,0) adalah
-4x + 10y = -4.10
-2x + 5y = -20 atau 2x - 5y = 20

Langkah kedua adalah uji titik, titik di daerah penyelesaian.
Misalkan kita pilih (0,0)
2.0 - 5.0
0-0
0<20
Sehingga pertidaksamaannya adalah 2x - 5y < 20.

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel - Video

Salah satu sumber belajar pertidaksamaan linear dua variabel dapat dilihat dalam video berikut ini.

Sumber : https://www.youtube.com/watch?v=KoC4e7QPVso

Menentukan Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Salah satu sumber belajar cara menentukan pertidaksamaan linear dua variabel dapat dilihat dalam video berikut ini.

Sumber : https://www.youtube.com/watch?v=gR0ShNzVj9w

Simpulan

Cara untuk menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dengan dua peubah bisa kila lakukan dengan
beberapa langkah seperti di bawah ini:

1. Mengganti tanda pertidaksamaan dengan tanda sama dengan
2. Menggambar garis ax + by = c dalam bidang kartesius dengan cara menghubungkan titik potong garis pada sumbu X di

titik (c/a ,0) serta pada sumbu Y di titik (0,c/b ).
3. Menggunakan sebuah titik uji yang berada di luar garis dengan cara menyubstitusikannya pada pertidaksamaan.

Apabila pertidaksamaan mampu terpenuhi (benar), maka daerah yang memuat titik tersebut adalah daerah himpunan
penyelesaian.
Apabila pertidaksamaan tidak dipenuhi (salah), maka daerah yang tidak terdapat pada titik uji tersebut adalah daerah
himpunan penyelesaian.

Langkah menentukan pertidaksamaan linear dua variabel jika diketahui daerah penyelesaian dapat dilakukan
dengan cara sebagai berikut:

1. Tentukan persamaan garisnya:
- Jika garis melalui koordinat (0,a) dan (b,0), maka persamaan garisnya ax+by=mn.
- Jika garis melalui titik (x1, y1) dan (x2,y2), maka rumus persamaan garisnya:

2. Menentukan tanda pertidaksamaan dengan cara membuat titik uji pada sembaran titik (p,q) yang berada di daerah
penyelesaian.
Apabila pertidaksamaan yang diperoleh adalah <, maka pertidaksamaan linearnya adalah ap + bq < ab.
Apabila pertidaksamaan yang diperoleh adalah >, maka pertidaksamaan linearnya adalah ap + bq > ab.

Tugas

Kompetensi Dasar

3. 2 Menjelaskan program linear dua variabel dan metode penyelesaiannya dengan menggunakan masalah kontekstual
4.2 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan program linear dua variabel

Indikator Pencapaian Kompetensi

Menjelaskan sistem pertidaksamaan linier dua variabel

Tujuan Pembelajaran

Melalui kegiatan pembelajaran dengan pendekatan saintifik (C) peserta didik (A) dapat Menjelaskan dan menentukan
penyelesaian (B) sistem pertidaksamaan linier dua variabel (D) dengan rasa ingin tahu, tanggung jawab, displin dan kreatif
(Integritas) selama proses pembelajaran dan bersikap jujur, percaya diri serta pantang menyerah.

Diagram Alir

Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear

Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua peubah merupaan himpunan titik-titik (pasangan berurut (x,y))
dalam bidang kartesius yang dapat memenuhi seluruh pertidaksamaan linear dalam sistem tersebut. Sehingga daerah
himpunan penyelesaiannya adalah irisan dari beberapa himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan dalam sistem
pertidaksamaan linear dua peubah itu.
Supaya kalian lebih mudah untuk memahami daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua peubah, perhatikan
beberapa contoh yang akan kami sajikan di bawah ini.

Contoh soal 1
Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan di bawah ini:
3x + 5y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0

Alternatif penyelesaian:
Langkah pertama adalah menggambar garis 3x + 5y =15, x = 0, dan y =0

Untuk 3x + 5y ≤ 15
kita bisa pilih titik (0,0), lalu kita substitusikan ke pertidaksamaan sehingga akan kita dapatkan:
3 x 0 + 5 x 0 ≤ 15
0 ≤ 15 (benar), yang berarti dipenuhi
Sehingga, daerah penyelesaiannya yaitu daerah yang memuat titik (0,0)

Penyelesaian 3x + 5y ≤ 15 adalah daerah yang bersih.
Untuk x ≥ 0,

kita bisa pilih titik (1,1) lalu disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga akan kita dapatkan:
1 ≥ 0 (benar), yang berarti dipenuhi.
Sehingga, daerah penyelesaiannya ialah daerah yang memuat titik (1,1)

Penyelesaian 3x + 5y ≤ 15 dan x ≥ 0 adalah daerah yang bersih.
Untuk y ≥ 0,

kita bisa pilih pilih titik (1,1) lalu substitusikan ke dalam pertidaksamaan sehingga akan kita dapatkan:
1 ≥ 0 (benar), yang berarti dipenuhi.
Sehingga, himpunan penyelesaian dari soal tersebut adalah daerah yang memuat titik (1,1).

Penyelesaian 3x + 5y ≤ 15, x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah daerah yang bersih.
Daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan merupakan irisan dari ketiga daerah himpunan penyelesaian
pertidaksamaan di atas.
Yakni yang tertera seperti pada gambar diatas (daerah yang bersih).
Contoh soal 2
Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan di bawah ini:
x + y ≤ 6, 2x + 3y ≤ 12, x ≥ 1, y ≥ 2

Alternatif penyelesaian:
Langkah pertama adalah menggambar garis x + y = 6, 2x + 3y = 12, x = 1, dan y = 2.

Untuk x + y ≤ 6,
kita pilih titik (0,0), lalu kita substitusikan ke pertidaksamaan sehingga akan kita dapatkan:
1x0+1x0≤6
0 ≤ 6 (benar), yang berarti dipenuhi.
Sehingga, daerah penyelesaiannya yaiu daerah yang memuat titik (0,0).

Daerah penyelesaian x + y ≤ 6 adalah daearah yang diarsir
Untuk 2x + 3y ≤ 12,
bisa pilih titik (0,0), lalu kita substitusikan ke pertidaksamaan sehingga akan kita dapatkan:
2 x 0 + 3 x 0 ≤ 12
0 ≤ 12 (benar), yang berarti dipenuhi.
Sehingga dapat kita ketahui daerah penyelesaiannya yaitu daerah yang memuat titik (0,0).

Daerah penyelesaian x + y ≤ 6 dan 2x + 3y ≤ 12 adalah daearah yang diarsir dua kali
Untuk x ≥ 1,
kita bisa pilih titik (2,1) lalu kita substitusikan ke pertidaksamaan sehingga kita dapatkan 2 ≥ 1 (benar) yang berarti
dipenuhi.
Sehingga, daerah penyelesaiannya yaitu daerah yang memuat titik (2,1).

Daerah penyelesaian x + y ≤ 6, 2x + 3y ≤ 12 dan x ≥ 1 adalah daearah yang diarsir tiga kali
Untuk y ≥ 2,
kita bisa pilih titik (1,3) lalu disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga akan kita peroleh 3 ≥ 2 (benar) yang berarti
dipenuhi.
Sehingga, himpunan penyelesaiannya berada di daerah yang memuat titik (1,3).

Daerah penyelesaian x + y ≤ 6, 2x + 3y ≤ 12, x ≥ 1 dan y ≥ 2 adalah daearah yang diarsir empat kali
Daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut adalah irisan dari keempat daerah himpunan
penyelesaian pertidaksamaan di atas. Seperti yang terlihat pada gambar di atas (daerah yang diarsir empat kali).

Coba bandingkan (kemuhan yang terlihat) antara contoh soal 1 dan contoh soal 2!

Sumber : https://www.yuksinau.id/pertidaksamaan-linear-dua-variabel/

Menentukan Sistem pertidaksamaan

Contoh soal 3
Sistem pertidaksamaan yang memenuhi daerah yang diarsir pada gambar berikut adalah ...

Alternatif penyelesaian:
Perhatikan garis yang melalui (0,6) dan (7,0)

Persamaan garisnya adalah
6x + 7y = 6.7
6x + 7y = 42
Untuk menentukan pertidaksamaannya dapat digunakan uji titik atau (jika hafal/paham) Lihat daerah penyelesaian yaitu daerah
yang diarsir berada di sebelah kiri garis 6x + 7y = 42, berarti daerah yang diarsir pertidaksamaannya : 6x + 7y ≤ 42

Perhatikan garis yang melalui (0,4) dan (9,0)
Persamaan garisnya adalah 4x + 9 y = 36
Daerah yang diarsir berada di sebelah kanan, berarti daerah yang diarsir pertidaksamaannya : 4x + 7y ≥ 36

Perhatikan garis vertikal atau sumbu Y
persamaan garisnya adalah x = 0
Daerah yang diarsir/daerah penyelesaian berada di sebelah kanan, berarti daerah x ≥ 0
Jadi sistem pertidaksamaannya 6x + 7y ≤ 42, 4x + 7y ≥ 36, x ≥ 0.
Sumber : https://www.detik.com/edu/detikpedia/d-5735987/contoh-soal-pertidaksamaan-linear-dua-variabel-lengkap-dengan-
jawabannya

Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear

Contoh soal 4
Tentukan daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear berikut!
Alternatif penyelesaiannya dapat dilihat dalam video dibawah ini

Video tersebut beralamat di https://www.youtube.com/watch?v=3Ho6BvRJoVw

Menentukan Sistem Pertidaksamaan Kuadrat

Contoh soal 5
Tentukan sistem pertidaksamaan daerah yang diarsir seperti tampak pada gambar dibawah ini

Alternatif penyelesaiannya dapat dilihat pada video dibawah ini

Video tersebut beralamat di https://www.youtube.com/watch?v=VHSNVXB-438

Simpulan

Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua peubah merupaan himpunan titik-titik (pasangan berurut (x,y))
dalam bidang kartesius yang dapat memenuhi seluruh pertidaksamaan linear dalam sistem tersebut. Sehingga daerah
himpunan penyelesaiannya adalah irisan dari beberapa himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan dalam sistem
pertidaksamaan linear dua peubah itu.

Tugas 2.2

1. Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan di bawah ini:
3x + 8y ≥ 24, x + y ≥ 4, x ≥ 0, dan y ≥ 0

2. Tentukan sistem pertidaksamaan linear dua variabel untuk daerah yang tampak diarsir pada gambar dibawah ini.

Post Test

Post Test

Pada gambar berikut, yang merupakan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan 2 + ≤
24; + 2 ≥ 12; - ≥ -2; ≥ 0; ≥ 0 adalah daerah … .

I
II
III
IV
V

Sistem pertidaksamaan Linier dua variabel yang memenuhi grafik berikut adalah … .

3 + 8 ≥ 24; 4 + 10< 40; ≥ 0; ≥ 0
8 + 3 ≥ 24; 4 + 10> 40; ≥ 0; ≥ 0
3 + 8 ≤ 24; 4 + 10> 40; ≥ 0; ≥ 0
8 + 3 ≥ 24; 4 + 10< 40; ≥ 0; ≥ 0
8 + 3 ≥ 24; 4 + 10≤ 40; ≥ 0; ≥ 0

Bentuk sistem pertidaksamaan dari grafik tersebut adalah …

4 + 3 ≥ 12; + 3 ≤ 6; ≥ 0; ≥0
4 + 3 ≤ 12; + 3 ≥ 6; ≥ 0; ≥0
4 + 3 ≤ 12; + 3 ≤ 6; ≥ 0; ≥0
4 + 3 ≥ 12; + 3 ≥ 6; ≥ 0; ≥0
3 + 4 ≤ 12; 3 + ≤ 6; ≥ 0; ≥0

Tentukan sistem pertidaksamaan dari daerah penyelesaian ypada gambar dibawah ini adalah ….

3x-2y ≥ -12, 3x + 5y ≥ 15, 0 ≤ x ≤ 7, dan y ≥ 0.
3x-2y ≥ 12, 3x + 5y ≥ 15, 0 ≤ x ≤ 7, dan y ≥ 0
3x-2y ≥ -12, 3x + 5y ≤ 15, 0 ≤ x ≤ 7, dan y ≥ 0
3x-2y ≥ -12, 5x + 3y ≥ 15, 0 < x < 7, dan y ≥ 0
3x+2y ≥ -12, 3x + 5y ≥ 15, 0 ≤ x ≤ 7, dan y ≥ 0

Daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini merupakangrafik himpunan penyelesaian sistem
pertidaksamaan …..

≤ 0, 2 + ≥ 2, 2 + 3 ≤ 6
≥ 0, 2 + ≥ 2, 2 + 3 ≥ 6
≥ 0, 2 + ≥ 2, 2 + 3 ≤ 6
≥ 0, 2 + ≤ 2, 2 + 3 ≤ 6
≥ 0, 2 + ≤ 2, 2 + 3 ≥ 6

Submit Answers Clear Answers

Kompetensi Dasar

3. 2 Menjelaskan program linear dua variabel dan metode penyelesaiannya dengan menggunakan masalah kontekstual
4.2 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan program linear dua variabel

Indikator Pencapaian Kompetensi

Menjelaskan penerapan program linear dua variabel dalam menyelesaikan masalah
Menyajikan penyelesaian masalah yang berkaitan dengan program linear dua variabel

Tujuan Pembelajaran

Melalui kegiatan pembelajaran dengan pendekatan saintifik (C) peserta didik (A) dapat membuat model matematika (B)
masalah yang berkaitan dengan program linear (D) dengan rasa ingin tahu, tanggung jawab, displin dan kreatif (Integritas)
selama proses pembelajaran dan bersikap jujur, percaya diri serta pantang menyerah.

Diagram Alir

Program Linear

Setiap orang yang hendak mencapai tujuan, pasti memiliki kendala-kendala yang berkaitan dengan tujuan tersebut. Misalnya,
seorang petani ingin memanen padinya sebanyak-banyak, tetapi kendala cuaca dan hama terkadang tidak dengan mudah
dapat diatasi. Seorang pedagang ingin memperoleh keuntungan sebesar-besarnya tetapi terkendala dengan biaya produksi
atau biaya pengangkutan atau biaya perawatan yang besar. Masalah-masalah kontekstual ini, akan menjadi bahan kajian kita
selanjutnya yaitu persoalan dalam program linear.

Model Matematika Program Linear

Persoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam kalimat-kalimat pernyataan umum, kemudian diubah kedalam
model matematika. Model matematika merupakan pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi matematika.

Mari kita mulai dengan masalah transmigrasi berikut ini.

Masalah 2.4

Sekelompok tani transmigran mendapatkan 10 hektar tanah yang dapat ditanami padi, jagung, dan palawija lain. Karena
keterbatasan sumber daya petani harus menentukan berapa bagian yang harus ditanami padi dan berapa bagian yang harus
ditanami jagung, sedangkan palawija lainnya ternyata tidak menguntungkan. Untuk suatu masa tanam, tenaga yang tersedia
hanya 1.550 jam-orang, pupuk juga terbatas, tak lebih dari 460 kilogram, sedangkan air dan sumber daya lainnya cukup
tersedia. Diketahui pula bahwa untuk menghasilkan 1 kuintal padi diperlukan 10 jam-orang tenaga dan 5 kilogram pupuk, dan
untuk 1 kuintal jagung diperlukan 8 jam-orang tenaga dan 3 kilogram pupuk. Kondisi tanah memungkinkan menghasilkan 50
kuintal padi per hektar atau 20 kuintal jagung per hektar. Pendapatan petani dari 1 kuintal padi adalah Rp40.000,00 sedang
dari 1 kuintal jagung Rp30.000,00 dan dianggap bahwa semua hasil tanamnya selalu habis terjual.
Masalah bagi petani ialah bagaimanakah rencana produksi yang memaksimumkan pendapatan total? Artinya berapa hektar
tanah harus ditanami padi dan berapa hektar tanah harus ditanami jagung

Perumusan Masalah:
Mari kita mengkaji jika hasil padi dan jagung dinyatakan per kuintal.
Berdasarkan masalah di atas, diketahui bahwa setiap 1 hektar menghasilkan 50 kuintal padi. Artinya, untuk 1 kuintal padi
diperlukan 0,02 hektar. Demikian juga, untuk 1 kuintal jagung diperlukan 0,05 hektar.
Cermati angka-angka yang tersaji pada tabel berikut ini!

Tabel 2.4: Alokasi setiap sumber yang tersedia

Catatan:
1. Satuan jam-orang (man-hour) adalah banyak orang kali banyak jam bekerja.

Kita anggap (asumsi) bahwa setiap transmigran memiliki tenaga dan waktu yang relatif sama.

2. Air dianggap berlimpah sehingga tidak menjadi kendala/keterbatasan.
Jika ada kendala air maka satuannya adalah banyak jam membuka saluran tersier untuk mengalirkan air ke sawah.

3. Batas ketersediaan dalam soal ini kebetulan semuanya berupa batas atas. (maksimal yang tersedia)

Alternatif Penyelesaian:
Besarnya pendapatan kelompok petani dipengaruhi banyak (kuintal) padi dan jagung yang diproduksi. Tentunya, besar
pendapatan tersebut merupakan tujuan kelompok tani, tetapi harus mempertimbangkan keterbatasan sumber (luas tanah,
tenaga dan pupuk).
Misalkan x : banyak kuintal padi yang diproduksi oleh kelompok tani

y : banyak kuintal jagung yang diproduksi oleh kelompok tani.
Untuk memperoleh pendapatan terbesar, harus dipikirkan keterbatasan-keterbatasan berikut:
a. Banyak hektar tanah yang diperlukan untuk x kuintal padi dan untuk y kuintal jagung tidak boleh melebihi 10 hektar.
b. Untuk ketersediaan waktu (jam-orang) tiap-tiap padi dan jagung hanya tersedia waktu tidak lebih dari 1.550 jam-orang.
c. Jumlah pupuk yang tersedia untuk padi dan jagung tidak lebih dari 460 kilogram.
d. Dengan semua keterbatasan (kendala) (a), (b), dan (c), kelompok tani ingin mengharapkan pendapatan Rp40.000,00 dan
Rp30.000,00 untuk setiap kuintal padi dan jagung.
Dari uraian keterbatasan atau kendala pada bagian (a), (b), dan (c) dan tujuan pada bagian (d), bersama temanmu, coba
rumuskan model matematika yang mendeskripsikan kondisi yang dihadapi kelompok tani tersebut.
Melihat uraian di atas, masalah kelompok tani transmigran dapat diubah bentuk menjadi suatu sistem pertidaksamaan linear
dua variabel. Pemecahan sistem tersebut dapat dikerjakan dengan metode grafik (dibahas pada subbab berikutnya). Hal ini
merupakan pengembangan konsep pertidaksamaan linear satu variabel yang telah kamu pelajari pada Kelas X.
Adapun model matematika untuk masalah ini, adalah suatu sistem pertidak samaan linear dua variabel sebagai berikut:

Karena luas tanah/lahan, banyak waktu, dan banyak pupuk tidak mungkin negatif, kendala ini sebagai kendala nonnegatif, yaitu:

Secara geometris, kendala (1) dan (2) dapat digambarkan sebagai berikut.

Gambar 2.7: Daerah penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan (1) dan (2).

Adapun langkah-langkah untuk menggambarkan grafik di atas adalah sebagai berikut:

1. Gambarkan setiap pertidaksamaan sebagai suatu persamaan garis lurus.
Namun, jika tanda pertidaksamaan menggunakan tanda “<” atau “>”, maka garisnya putus-putus.

2. Setiap garis akan membagi dua bidang kartesius, untuk menentukan daerah penyelesaian, ambil sembarang titik di
salah satu bagian bidang tadi, misalnya titik A. Kemudian ujian kebenaran pertidaksamaan dengan menggunakan titik A.
Jika pertidaksamaan bernilai benar, maka bidang asal titik A merupakan daerah penyelesaian. Jika bernilai salah,
maka bidang yang bukan asal titik A merupakan daerah penyelesaian.

3. Ulangi langkah 1 dan 2 untuk semua pertidaksamaan yang telah dirumuskan. Kemudian, perhatikan irisan atau daerah
yang memenuhi untuk setiap pertidaksamaan yang diberikan.

4. Perhatikan syarat non – negatif untuk setiap variabel. Nilai variabel tidak selalu positif. (apakah ada syarat non -negatif
atau tidak)

5. Untuk pendapatan, tentu dimaksimumkan dan sebaliknya untuk biaya tentu diminimumkan. Untuk masalah ini, kelompok
tani tentu hendak memaksimumkan pendapatan, melalui memperbanyak kuintal padi dan jagung yang dijual berturut-turut
Rp40.000,00 dan Rp30.000,00. Rumusan ini disebut sebagai fungi tujuan; sebut Z(x, y). Secara matematik dituliskan:
Maksimumkan: Z(x, y) = 40x + 30y (dalam satuan ribuan rupiah) ............ (3)

Dengan daerah penyelesaian yang disajikan pada Gambar 2.7, kita harus dapat menentukan nilai maksimum fungsi Z(x, y).
Untuk menyelesaikan ini, kita akan bahas pada subbab berikutnya.

Selain masalah transmigrasi, berikut ini kita kaji bagaimana model matematika masalah produksi suatu perusahaan.

Masalah 2.5

Masalah 2.5

Perusahaan “Galang Jaya” memproduksi alat-alat barang elektronik, yaitu transistor, kapasitor, dan resistor. Perusahaan
harus mempunyai persediaan paling sedikit 200 resistor, 120 transistor, dan 150 kapasitor, yang diproduksi melalui 2 mesin,
yaitu: mesin A, untuk setiap satuan jam kerja hanya mampu memproduksi 20 resistor, 10 transistor, dan 10 kapasitor; mesin
B, untuk setiap satuan jam kerja hanya mampu memproduksi 10 resistor, 20 transistor, dan 30 kapasitor. Jika keuntungan
untuk setiap unit yang diproduksi mesin A dan mesin B berturut-turut adalah Rp50.000,00 dan Rp120.000,00.
Bentuklah model matematika masalah perusahaan Galang Jaya.

Alternatif Penyelesaian:
Semua data yang diketahui pada masalah ini, kita sajikan pada tabel berikut.

Tabel 2.5: Alokasi setiap sumber yang tersedia

Dengan memisalkan x: banyak unit barang yang diproduksi mesin A
y: banyak unit barang yang diproduksi mesin B.

Dengan demikian kita dapat menuliskan model matematika yang menggambarkan kondisi pada Tabel 2.5, yaitu:

Karena banyak barang yang diproduksi tidak mungkin negatif, maka kita dapat menuliskan:

Artinya, untuk memenuhi persediaan, mungkin saja mesin A tidak berproduksi atau mesin B yang tidak berproduksi.
Secara geometri, kondisi kendala persedian dan kendala non–negatif, disajikan pada gambar berikut.

Gambar 2.8: Daerah penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan (1*) dan (2*).

Untuk menggambarkan sistem pertidaksamaan (1*) dan (2*), ikuti langkah-langkah yang diberikan di atas. Berbeda dengan
Masalah 2.4, sistem pertidaksamaan (1*) dan (2*), mempunyai daerah penyelesaian berupa suatu daerah yang tidak terbatas
(unbounded area).
Selanjutnya, kita dapat menuliskan fungsi tujuan atau fungsi sasaran masalah ini, yaitu pemilik perusahaan tentunya ingin
memaksimalkan keuntungan. Dengan demikian, dapat kita tuliskan:
Fungsi Tujuan
Maksimumkan: f(x, y) = 50.000x + 120.000y atau

f(x, y) = 5x + 12y (dalam puluh ribu rupiah)
Jadi, untuk daerah penyelesaian yang diilustrasikan pada Gambar 2.8 di atas, kita akan menentukan nilai maksimum fungsi f(x,
y). Hal ini akan kita kaji pada subbab berikutnya.

Sumber : Buku Matematika KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN REPUBLIK INDONESIA 2017

Model Matematika - Video

Contoh 1
Untuk membuat kue jenia A diperlukan 50 gram mentega dan 60 gram tepung, sedangkan kue jenis B diperlukan 10 gram
mentega dan 20 gram tepung. Bahan yang tersedia 3,5 kg mentega dan 2,2 kg tepung. Tentukan model matematika dari
permasalahan tersebut!
Petunjuk
Misalkan banyak kue jenis A adalah x dan banyak kue jenis B adalah y

Contoh 2
Luas lahan parkir di sebuah tempat hiburan 360 m2. Luas rata-rata sebuah mobil 6 m2 dan untuk sebuah bus 24 m2. Lahan
parkirr tersebut tidak dapat memuat lebih dari 25 kendaraan. Buatlah model matematika masalah tersebut!
Petunjuk
Misalkan banyak mobil adalah x dan banyak bus adalah y

Contoh 3
Seorang petani ingin memberikan pupuk pada tanaman padinya. Pupuk yang diberikan harus mengandung sekurang-
kurangnya 600 gram fosfor dan 720 gram nitrogen. Pupuk I mengandung 30 gram fosfor dan 30 gram nitrogen perbungkus.
Pupuk II mengandung 20 gram fosfor dan 40 gram nitrogen perbungkus. tentukan model matematika permasalahan tersebut
petunjuk:
Misalkan banyak pupuk I = x

banyak pupuk II = y
Alternatif penyelesaian 3 contoh tersebut dapat dilihat pada video berikut

Video tersebut beralamat di https://www.youtube.com/watch?v=I4J6fvZMfDQ

Catatan/ralat
Dalam video tersebut disebutkan tidak dapat memuat lebih dari 25 kendaraan adalah minimum (minimum 25) padahal
seharusnya maksimum 25

Simpulan

Model Matematika Program Linear

Persoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam kalimat-kalimat pernyataan umum, kemudian diubah kedalam
model matematika. Model matematika merupakan pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi matematika.

Tugas 2.3

Sumber : Buku Matematika KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN REPUBLIK INDONESIA 2017 n0 4, 7, 8, 9,
10

4 PT Lasin adalah suatu pengembang perumahan di daerah pemukiman baru. PT tersebut memiliki tanah seluas 12.000 meter persegi
berencana akan membangun dua tipe rumah, yaitu tipe mawar dengan luas 130 meter persegi dan tipe melati dengan luas 90 m2.
Jumlah rumah yang akan dibangun tidak lebih 150 unit. Pengembang merancang laba tiap-tiap tipe rumah Rp2.000.000,00 dan
Rp1.500.000,00.
Modelkan permasalahan di atas! Kemudian gambarkan daerah penyelesaian untuk sistem pertidaksamaannya.

7 Seorang atlet diwajibkan makan dua jenis tablet setiap hari. Tablet pertama mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B,
sedangkan tablet kedua mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari, atlet itu memerlukan 20 unit vitamin A
dan 5 unit vitamin B. Harga tiap-tiap 1 tablet, Rp1.500,00 dan Rp2.000,00.
Modelkan masalah di atas. Kemudian gambarkan grafik model matematikanya untuk menemukan daerah penyelesaian.

8 Untuk setiap grafik di bawah ini, tentukan sistem pertidaksamaan yang memenuhi daerah penyelesaian yang diberikan.

9 Sebuah toko bunga menjual 2 macam rangkaian bunga. Rangkaian I memerlukan 10 tangkai bunga mawar dan 15 tangkai bunga
anyelir, Rangkaian II memerlukan 20 tangkai bunga mawar dan 5 tangkai bunga anyelir. Persediaan bunga mawar dan bunga anyelir
masing-masing 200 tangkai dan 100 tangkai. Rangkaian I dijual seharga Rp 200.000,00 dan Rangkaian II dijual seharga
Rp100.000,00 per rangkaian.
Modelkan masalah di atas dalam bentuk model matematika. Kemudian gambarkan grafik model matematikanya.

10 Perhatikan masalah yang dihadapi seorang penjaja buah-buahan berikuti ini.
Pak Benni, seorang penjaja buah-buahan yang menggunakan gerobak menjual apel dan pisang. Harga pembelian apel
Rp18.000,00 tiap kilogram dan pisang Rp8.000,00 tiap kilogram. Beliau hanya memiliki modal Rp2.000.000,00 sedangkan muatan
gerobak tidak lebih dari 450 kilogram. Padahal keuntungan tiap kilogram apel 2 kali keuntungan tiap kilogram pisang.
Tentukan tiga titik yang terdapat pada grafik daerah penyelesaian masalah ini.

Kompetensi Dasar

3. 2 Menjelaskan program linear dua variabel dan metode penyelesaiannya dengan menggunakan masalah kontekstual
4.2 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan program linear dua variabel

Indikator Pencapaian Kompetensi

Menjelaskan nilai optimum fungsi objektif

Tujuan Pembelajaran

Melalui kegiatan pembelajaran dengan pendekatan saintifik (C) peserta didik (A) dapat Menjelaskan dan menentukan
penyelesaian (B) nilai optimum sistem pertidaksamaan linear (D) dengan rasa ingin tahu, tanggung jawab, displin dan kreatif
(Integritas) selama proses pembelajaran dan bersikap jujur, percaya diri serta pantang menyerah.

Prasyarat

siswa dapat menentukan titik potong dua buah garis.
(metode substitusi, eliminasi, gabungan atau metode yang lain)
Contoh :
Tentukan titik potong 2 garis berikut ini
1. x = 2 dan x + y = 8
2. y-2x=0 dan x+y=8
Alternatif penyelesaian :
1. substitusi x = 2 ke persamaan x + y = 8

2+y=8
y=8-2
y=6
Jadi titik potong garis x =2 dan x + y = 8 adalah (2,6)
2.

Jadi titik potongnya adalah (8/3, 16/3)
Salah satu video tentang cara menentukan titik potong 2 buah garis dapat dilihat pada video dibawah ini

Video tersebut beralamat di https://www.youtube.com/watch?v=K6pgdd9rZjw

Menentukan Nilai Optimum

Menentukan Nilai Optimum (Maksimum atau Minimum) Fungsi Tujuan atau Fungsi Sasaran Pada Program Linear.
Jika daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian maka dapat dunakan trik dibawah ini

Setelah mengenal atau mengetahui daerah penyelesaian pada program linear, selanjutnya akan diperkenalkan dengan fungsi
tujuan atau fungsi sasaran.

Fungsi Tujuan atau Fungsi Sasaran

Suatu fungsi tujuan atau fungsi sasaran dalam program linier bentuknya tergantung dari masalah yang disajikan, secara umum
fungsi tujuan dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk f(x,y)=ax+by dimana a dan b anggota bilangan real.
Fungsi tujuan ini dimaksudkan untuk menentukan nilai optimum dalam suatu soal atau masalah. Sedangkan nilai optimum itu
sendiri terdiri dari nilai maksimum (misalnya menyangkut laba, pendapatan, dan lain-lain) dan nilai minimum (misalnya
menyangkut biaya, kerugian, dan lain-lain).
Secara umum nilai optimum suatu fungsi sasaran dapat ditentukan dengan menggunakan titik uji atau menggunakan garis
selidik. Pada diskusi kita kali ini kita fokuskan menentukan nilai optimum dengan cara menggunakan titik uji.
Untuk menentukan nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi tujuan bukanlah suatu hal yang sulit apabila sudah diketahui
daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan. Jika daerah penyelesaian sudah diketahui, selanjutnya hanya melakukan
titik uji dari daerah himpunan penyelesaian. Untuk lebih jelasnya mari kita lihat dari beberapa contoh berikut:

sumber : https://www.defantri.com/2020/09/mengenal-dan-menentukan-nilai-optimum.html

Contoh soal 1

Daerah yang di arsir pada grafik berikut adalah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear.
Nilai maksimum dari fungsi objektif f(x,y)=3x+5y adalah...

Alternatif Penyelesaian

Pada soal di atas yang dikatakan dengan fungsi tujuan atau fungsi sasaran seperti penjelasan sebelumnya adalah fungsi
objektif yaitu f(x,y)=3x+5y. Selanjutnya kita menentukan nilai optimum dari f(x,y) dan yang ditanyakan pada soal ini adalah nilai
maksimum dari f(x,y)=3x+5y.
Berikutnya kita tinggal menguji titik (x,y) yang kita pilih dari daerah penyelesaian ke fungsi tujuan f(x,y)=3x+5y. Tetapi pada
Daerah Penyelesaian ada tak hingga banyak titik (x,y) sehingga jika kita uji semua titik itu terhadap fungsi tujuan maka
pekerjaan kita tidak akan pernah selesai.
Karena ada tak hingga banyak titik pada daerah penyelesaian, maka titik yang di uji ke fungsi tujuan hanya beberapa titik
saja, yaitu titik-titik sudut pada daerah penyelesaian. Pengujian titik-titik sudut daerah penyelesaian sudah mewakili
interval nilai maksimum dan minimum, jika daerah penyelesaian tertutup.

Pada gambar di atas daerah penyelesaian adalah tertutup, dan titik sudutnya adalah (0,0), (4,0), (2,3) dan (0,4). Titik-titik inilah
yang kita uji ke fungsi tujuan f(x,y)=3x+5y.
Titik (x,y) Nilai Fungsi f(x,y)=3x+5y
(0,0) f=3(0)+5(0)=0
(4,0) f=3(4)+5(0)=12
(2,3) f=3(2)+5(3)=21
(0,4)(0,4) f=3(0)+5(4)=20
Dari tabel di atas kita peroleh nilai f(x,y)=3x+5y yang maksimum adalah 21 dan nilai minimum adalah 0 sehingga 0≤f(x,y)≤21.
Nilai maksimum f(x,y)=3x+5y adalah 21 dan terjadi saat (2,3).

Jika kita pilih sebarang titik dari daerah penyelesaian selain empat titik di atas untuk kita uji ke f(x,y)=3x+5y maka interval
nilainya berada pada 0≤f(x,y)≤21. Misal titik (3,1)
f(x,y)=3x+5y
f(3,1)=3(3)+5(1)
=9+5
=14
Nilai f(x,y)=14 terbukti berada pada interval 0≤f(x,y)≤21, dan hal ini juga akan berlaku untuk sebarang titik yang dipilih dari
daerah penyelesaian.

sumber : https://www.defantri.com/2020/09/mengenal-dan-menentukan-nilai-optimum.html

Contoh soal 2

Untuk menentukan nilai optimum sedikit lebih mudah jika gambar daerah penyelesaian sudah diberitahu seperti beberapa
contoh di atas. Permasalahan akan berbeda ketika soal yang diberikan hanya dalam bentuk sistem pertidaksamaan, seperti
contoh berikut ini:

Contoh soal 3
Nilai minimum dari 20−x−2y yang memenuhi y−2x≥0; x+y≤8; dan x≥2 adalah...

Alternatif Penyelesaian

Untuk menyelesaikan soal di atas kita terlebih dahulu harus menggambar daerah penyelesaian yang memenuhi sistem
pertidaksamaan, lalu menentukan titik sudut pada daerah penyelesaian.
Jika Daerah Himpunan Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan diatas kita gambarkan dengan metode terbalik, yaitu daerah
penyelesaian adalah daerah yang bersih (putih). Gambarnya kurang lebih seperti berikut ini;

(untuk mendapatkan titik A dan B, dapat dilihat juga pada Prasyarat)

Dari daerah penyelesaian di atas, untuk menentukan nilai minimum kita gunakan dengan titik uji;

Uji Titik

Titik F=20−x−2y Nilai

A (2,6) 20−(2)−2(6) 6

B (8/3,16/3) 20−(8/3)−2(16/3) 20/3

C (2,4) 20−(2)−2(4) 10

Dari tabel diatas nilai minimum 20−x−2y adalah 6 pada saat (2,6).

sumber : https://www.defantri.com/2020/09/mengenal-dan-menentukan-nilai-optimum.html

Contoh soal 4

Pada beberapa contoh soal di atas daerah penyelesaian yang disajikan adalah tertutup, berikut ini contoh soal yang dimana
daerah penyelesaian adalah terbuka.

Jika fungsi f(x,y)=500+x+y; dengan syarat x≥0; y≥0; 2x−y−2≥0 dan x+2y−6≥0; maka nilai minimum dan
nilai maksimum fungsi tersebut adalah...

Alternatif Penyelesaian
Daerah Himpunan Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan diatas kita gambarkan dengan metode terbalik, daerah HP
adalah daerah yang bersih. Gambarnya kurang lebih seperti berikut ini;

Dari daerah HP diatas, terlihat bahwa daerah Himpunan Penyelesaian tidak tertutup ke daerah atas sehingga nilai
maksimumnya tidak dapat ditentukan, dengan kata lain tidak mempunyai nilai masksimum.

Untuk nilai minimum kita coba uji titik sudut daerah penyelesaian yaitu (2,2) dan(6,0). Titik (2,2) merupakan titik
potong 2x−y−2=02 dan x+2y−6=0 dan titik (6,0) merupakan titik potong x+2y−6=0 dengan sumbu x.

Uji Titik
Titik f(x,y)=500+x+y Nilai

(2,2) 500+2+2 504

(6,0) 500+0+6 506

Nilai minimum f(x,y)=500+x+y adalah 504.

sumber : https://www.defantri.com/2020/09/mengenal-dan-menentukan-nilai-optimum.html

Nilai Optimum - Video

Contoh soal 5
Dengan metode uji titik pojok, tentukan nilai maksimum masalah program linear berikut ini

a
b

Alternatif penyelesaian
Alternatif penyelesaian soal tersebut dapat dilihat pada video dibawah ini

Video tersebut beralamat di https://www.youtube.com/watch?v=L_H_YTx3I4k

Post Test

Post Test

Perhatikan Daerah penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut.
Nilai maksimum fungsi objektif f(x,y) = 3x + 2y untuk daerah yang diarsir adalah…

18
9
8 2/3 (atau 8,67)
8
0

Nilai minimum fungsi f(x,y) = 8x + 6y pada daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear 2x + y
≥ 30, x + 2y ≥ 24, x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah…

192
180
142
132
72

Nilai maksimum fungsi objektif z = 4x + 5y dengan syarat x, y ≥ 0, x + 2y ≤ 10, x + y ≤ 7 adalah…

34
33
32
31
30

Nilai maksimum z = 3x + 6y yang memenuhi 4x + y ≥ 20, x + y ≤ 20, x + y ≥ 10, x ≥ 0 dan y ≥ 0
adalah…

180
150
120
60
50

Submit Answers Clear Answers

Tugas 2.4

1 Perhatikan grafik dan daerah penyelesaian dari SPLDV berikut.

Tentuan nilai maksimum Z = 2x + 5y dari daerah penyelesaian (daerah yang diarsir) pada gambar di atas.
2 Tentukan nilai maksimum dari fungsi objektif F = 3x + 4y dari daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan 4x + 3y ≤ 36 dan x + y ≤

10, x ≥ 0, y ≥ 0.

Kompetensi Dasar

3. 2 Menjelaskan program linear dua variabel dan metode penyelesaiannya dengan menggunakan masalah kontekstual
4.2 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan program linear dua variabel

Indikator Pencapaian Kompetensi

Menjelaskan nilai optimum fungsi objektif

Tujuan Pembelajaran

Melalui kegiatan pembelajaran dengan pendekatan saintifik (C) peserta didik (A) dapat Menjelaskan dan menentukan
penyelesaian (B) nilai optimum (D) dengan rasa ingin tahu, tanggung jawab, displin dan kreatif (Integritas) selama proses
pembelajaran dan bersikap jujur, percaya diri serta pantang menyerah.

Diagram Alir

Garis Selidik

Pengertian Garis Selidik

Garis selidik adalah suatu garis yang digunakan untuk menyelidiki nilai optimum (maksimum atau minimum) yang diperoleh
dari fungsi sasaran atau fungsi objektif.

Cara menentukan nilai optimum dengan garis selidik

Nilai optimum (maksimum dan minimum) bentuk objektif dari himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan selain dengan
menggunakan metode titik pojok dapat juga dicari dengan menggunakan Garis Selidik. Berikut ini langkah-langkah yang
diperlukan untuk menentukan nilai optimum dengan menggunakan metode garis selidik adalah sebagai berikut :

Langkah pertama :

Buatlah garis ax + by = k, dimana ax + by merupakan bentuk objektif yang dicari nilai optimumnya. Untuk mempermudah,
ambil k = ab.

Langkah ke-dua :

Buatlah garis-garis sejajar ax + by = k, yaitu dengan cara mengambil k yang berbeda atau menggeser garis ax + by = k ke kiri
atau ke kanan.

Jika ax + by = k1 adalah garis yang paling kiri pada daerah penyelesaian yang melalui titik (x1, y1), maka k1 = ax1 +
by1 merupakan nilai minimum
Jika ax + by = k2 adalah garis yang paling kanan pada daerah penyelesaian yang melalui titik (x2, y2), maka k2 = ax2 +
by2 merupakan nilai maksimum bentuk objektif tersebut.

Contoh soal 1

Gambar 1
Dengan menggunakan garis selidik, tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi objektif z = 2x + 3y pada daerah yang
ditunjukan pada gambar di atas !!
Alternatif penyelesaian
Untuk menentukan maksimum dan minimum yang pertama dilakukan adalah dengan membuat persamaan garis dari fungsi
objektif yang diketahui yaitu 2x + 3y = 6 = k, dan dinamai dengan garis g.

gambar 2
Perhatikan gambar di atas !
Geserlah garis g sehingga memotong daerah yang diarsir/penyelesaian di titik yang paling kiri, yaitu garis g1 yang merupakan
garis yang sejajar dengan garis g dan tepat melalui titik (1, 2).
Dengan demikian : nilai minimum Z adalah k1 = 2(1) + 3(2) = 8.
Sedangkan garis g2 merupakan garis yang paling kanan dan tepat melalui titik (5, 4).
Dengan demikian : nilai maksimum Z adalah k2 = 2(5) + 3(4) = 22.

Sumber : https://matematikaakuntansi.blogspot.com/2016/11/cara-menentukan-nilai-optimum-dengan-garis-selidik.html

Contoh soal 2 dengan kendala ;

Tentukan nilai Optimum maksimum adalah daerah yang diraster pada grafik
adalah

Alternatif penyelesaian

Himpuanan Penyelesaian dari
berikut.

Menentukan Garis Selidik maka persamaan Garis selidik adalah
Garis Selidik didapatkan dari fungsi tujuan yaitu
1. Titik potong terhadap sumbu maka

Jadi titik potong terhadap sumbu di titik
2. Menentukan titik potong terhadap sumbu maka

Jadi titik potong terhadap sumbu di titik

pada gambar diatas ketika garis selidik di geser ke kanan maka titik ekstrim yang terakhir bersinggungnan dengan garis
selidik merupakan titik maksimum.
Jadi nilai maksimumnya adalah

Jadi nilai maksimum dari program linear diatas adalah 8

Sumber : https://musangguru.com/2020/09/07/menentukan-nilai-optimum-menggunakan-garis-selidik/

Nilai Optimum Fungsi Objektif - Video

Contoh soal 3
Tentukan nilai maksimum dari daerah yang di arsir/raster dari gambar dan fungsi obyektif yang diberikan berikut ini.

Alternatif penyelesaian

Video tersebut beralamat di https://www.youtube.com/watch?v=hakgWWi092M

Simpulan

Langkah menentukan nilai optimum dengan garis selidik

Langkah pertama :

Membuatlah garis ax + by = k, dimana ax + by merupakan bentuk objektif yang dicari nilai optimumnya. Untuk mempermudah,
ambil k = ab.

Langkah ke-dua :

membuatlah garis-garis sejajar ax + by = k, yaitu dengan cara mengambil k yang berbeda atau menggeser garis ax + by = k ke
kiri atau ke kanan.

Jika ax + by = k1 adalah garis yang paling kiri pada daerah penyelesaian yang melalui titik (x1, y1), maka k1 = ax1 +
by1 merupakan nilai minimum
Jika ax + by = k2 adalah garis yang paling kanan pada daerah penyelesaian yang melalui titik (x2, y2), maka k2 = ax2 +
by2 merupakan nilai maksimum bentuk objektif tersebut.

Latih - Mandiri

1. Nilai maksimum dari f(x,y) = 2x + 5y yang memenuhi sistem pertidaksamaan 3x + y ≤ 15, x + 2y ≤ 10, x ≥ 0 dan y ≥ 0
adalah ....

2. Untuk (x,y) yang memenuhi y ≥ 0, 3x + y ≥ 6, x + y ≤ 4 dan 2x + y ≤ 6. Nilai objektif z = y - 3x terletak dalam interval ....
Alternatif penyelesaian no 1

Video terseut beralamat di: https://www.youtube.com/watch?v=j3Y5RBi_5oA
Alternatif penyelesaian no 2

Video tersebut beralamat di https://www.youtube.com/watch?v=_Q1aW2mXbCg