Mat Umum smt 3-ilovepdf-edit

Kompetensi Dasar

3. 2 Menjelaskan program linear dua variabel dan metode penyelesaiannya dengan menggunakan masalah kontekstual
4.2 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan program linear dua variabel

Indikator Pencapaian Kompetensi

Menjelaskan penerapan program linear dua variabel dalam menyelesaikan masalah
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan program linear dua variabel
Menyajikan penyelesaian masalah yang berkaitan dengan program linear dua variabel

Tujuan Pembelajaran

Melalui kegiatan pembelajaran dengan pendekatan saintifik (C) peserta didik (A) dapat Menjelaskan dan menentukan
penyelesaian (B) masalah yang berkaitan dengan program linear (D) dengan rasa ingin tahu, tanggung jawab, displin dan
kreatif (Integritas) selama proses pembelajaran dan bersikap jujur, percaya diri serta pantang menyerah.

Diagram Alir

Definisi

Program linear adalah suatu metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal atau
minimum) diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaiaan persoalan linear. Di dalam persoalan linear terdapat fungsi
linear yang bisa disebut sebagai fungsi objektif. Persyaratan, batasan, dan kendala dalam persoalan linear merupakan sistem
pertidaksamaan linear.

Model Matematika Program Linear
Persoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam kalimat-kalimat pernyataan umum, kemudian diubah kedalam
model matematika. Model matematika merupakan pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi matematika.

sumber : https://www.studiobelajar.com/program-linear/

Langkah - langkah Penyelesaian Program Linear

Soal program linear biasanya berbentuk cerita. Untuk menyelesaikannya ada empat tahap, yaitu membuat model matematika
(sistem pertidaksamaan linear), menggambarkannya serta menentukan daerah himpunan penyelesaian (DHP), menentukan
titik pojok, dan menentukan nilai optimum sesuai permasalahan.

Perhatikan contoh soal program linear berikut.
Contoh soal 1
Luas sebuah daerah parkir adalah 1.760 m2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2. Daya tampung
daerah parkir maksimum 200 kendaraan. Jika biaya parkir mobil kecil Rp5.000 dan mobil besar Rp10.000, tentukan
penghasilan maksimum yang dapat diperoleh tempat parkir tersebut.

Alternatif penyelesaian

Merancang Model Matematika

Model matematika terdiri dari dua kelompok, yaitu kendala dan fungsi objektif. Kendala berupa sistem pertidaksamaan linear
yang sesuai dengan permasalahan pada soal, sedangkan fungsi objektif berupa fungsi yang menjelaskan tujuan
(meminimumkan atau memaksimumkan).

Tips menentukan model matematika SPtLDV dari soal cerita:

Buatlah tabel yang sesuai dengan soal cerita.
Jika terdapat kata kunci tidak kurang dari, minimal, memerlukan, dan sebagainya, gunakan tanda lebih besar atau
sama dengan (≥).
Jika terdapat kata kunci tidak lebih dari, maksimal, hanya dapat menampung, hanya memiliki, dan sebagainya,
gunakan tanda lebih kecil atau sama dengan (≤).
Jika tidak ada syarat minimal, tambahkan pertidaksamaan x≥0 dan y≥0.

Dari soal di atas, kita misalkan
x: banyak mobil kecil yang parkir
y: banyak mobil besar yang parkir

Jika digambarkan pada sebuah tabel, permasalahan di atas menjadi seperti berikut

Jenis Kendaraan Banyak Mobil Luas Biaya

Mobil kecil x 4 5.000

Mobil besar y 20 10.000

tersedia 200 1.760

Tabel ini sifatnya tidak wajib, tetapi dengan adanya tabel kita bisa lebih mudah menentukan model matematika dari soal
program linear. Berikut model matematikanya.

x+y≤200
x+5y≤440
x≥0
y≥0
f(x,y)=5.000x+10.000y

Pertidaksamaan x+5y≤440 merupakan bentuk sederhana dari 4x+20y≤1.760
Dari model matematika di atas, 4 pertidaksamaan pertama yang merupakan sistem pertidaksamaan linear disebut sebagai
KENDALA. Sedangkan fungsi yang berada pada baris terakhir disebut sebagai FUNGSI OBJEKTIF.

Menggambar Grafik Sesuai Model Matematika

Grafik yang digambarkan berupa daerah himpunan penyelesaian (DHP) dari sistem pertidaksamaan linear yang merupakan
kendala pada model matematika. Langkah pertama dalam menggambar DHP dari sistem pertidaksamaan linear adalah
menggambarkan grafik dari masing-masing persamaan linear.
x+y=200
x y (x,y)
0 200 (0,200)
200 0 (200,0)
x+5y=440
x y (x,y)
0 88 (0,88)
440 0 (440,0)

Grafik persamaan linear model matematika kendala program linear

Berikutnya adalah menentukan DHP sesuai sistem pertidaksamaan linear yang terdapat pada kendala.

Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) sistem pertidaksamaan linear kendala program linear

Menentukan Titik Pojok

Titik pojok adalah titik-titik pada daerah himpunan penyelesaian (DHP) dan merupakan titik potong garis dengan garis atau
garis dengan sumbu koordinat. Dari gambar di atas, terdapat 4 titik pojok yang digambarkan sebagai berikut.

Titik pojok pada dearah himpunan penyelesaian (DHP)

Titik O merupakan titik potong kedua sumbu koordinat, titik A dan C merupakan titik potong garis dengan sumbu koordinat,
sedangkan titik B merupakan titik potong kedua garis. Titik O, A, dan C mudah ditentukan hanya dengan memperhatikan
gambar. Sedangkan titik B dapat ditentukan melalui penyelesaian sistem persamaan linear (eliminasi-substitusi). Keempat titik
pojok dari gambar di atas adalah sebagai berikut.
Titik Pojok Koordinat
O (0,0)
A (0,88)
B (140,60)
C (200,0)

Menentukan Nilai Maksimum atau Minimum

Nilai maksimum/minimum sebuah permasalahan program linear adalah nilai fungsi objektif yang paling besar/kecil dari titik-titik
yang terdapat pada daerah himpunan penyelesaian. Secara umum, nilai ini diperoleh dari titik pojok.
Dalam menentukan titik pojok mana yang sesuai, dapat dilakukan dengan cara uji titik pojok ke fungsi objektif atau dengan
garis selidik.
Menentukan nilai maksimum atau minimum menggunakan metode uji titik pojok adalah dengan cara substitusi titik-titik pojok ke
fungsi objektif. Nilai hasil substitusi terbesar merupakan nilai maksimum, sedangkan nilai hasil substitusi terkecil merupakan
nilai minimum. Berikut adalah penentuan nilai maks/min menggunakan metode uji titik pojok untuk soal di atas.

NIlai Fungsi Objektif
Titik Pojok

f(x,y)=5.000x+10.000y
O(0,0) 0
A(0,88) 5.000(0)+10.000(88)=880.000
B(140,60) 5.000(140)+10.000(60)=1.300.000
C(200,0) 5.000(200)+10.000(0)=1.000.000
Sedangkan dengan metode garis selidik adalah dengan cara menggambar garis-garis sejajar dengan gradien sesuai fungsi
objektif dan berpotongan dengan setiap titik pojok. Untuk fungsi objektif dengan koefisien positif, nilai maksimum dicapai di
titik pojok yang dilalui garis selidik paling kanan, sedangkan nilai minimumnya dicapai di titik pojok yang dilalui garis selidik
paling kiri. (Silakan dicoba sebagai latihan)
Dari hasil uji titik pojok di atas dapat disimpulkan bahwa penghasilan maksimum yang diperoleh tempat parkir sebesar
Rp1.300.000,00 dan terjadi ketika mobil kecil yang parkir sebanyak 140 kendaraan, sedangkan mobil besar yang parkir
sebanyak 60 kendaraan.

Sumber : https://maths.id/4-langkah-penyelesaian-program-linear

Contoh soal 2
Sebuah perusahaan memproduksi sepeda dan skuter dengan menggunakan dua mesin. Untuk memproduksi sepeda
dibutuhkan waktu 5 jam dengan menggunakan mesin pertama dan 2 jam dengan menggunakan mesin kedua. Untuk
memproduksi skuter dibutuhkan waktu 3 jam dengan menggunakan mesin pertama dan 6 jam dengan menggunakan mesin
kedua. Kapasitas maksimum mesin pertama 150 jam, sedangkan kapasitas maksimum mesin kedua 180 jam. Keuntungan
bersih yang diperoleh dari tiap satu unit sepeda adalah Rp480.000,00 dan satu unit skuter adalah Rp560.000,00. Tentukan
jumlah sepeda dan skuter yang harus diproduksi agar diperoleh keuntungan maksimum!

Alternatif penyelesaian

*). Langkah pertama adalah merancang/membuat model matematika
Misalkan banyaknya sepeda dinyatakan dengan x dan banyaknya skuter dinyatakan dengan y.
Tabel model matematikanya :

Model matematikanya :
Kendala : 5x + 3y ≤ 150, 2x + 6y ≤ 180, x ≥ 0, y ≥ 0 .
Fungsi tujuan : z = f(x,y) = 480.000x + 560.000y .

*). Menentukan/menggambar Grafik DHP nya :
5x + 3y = 150 --> (0,50),(30,0)
2x + 6y = 180 --> (0,30),(90,0)
grafik dan DHP nya :

*). menentukan titik Titik Pojoknya adalah titik A, B, dan C.
Kita tentukan koordinat titik B dengan eliminasi kedua persamaan :
Sehingga titik B adalah B(15,25).

*). Menentukan Nilai Maksimum atau Minimum
Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya : z = f(x,y) = 480.000x + 560.000y dan hasilnya seperti tabel berikut ini,
Tabel nilai fungsi tujuannya

Jadi, nilai maksimum dari f(x,y) = 480.000x + 560.000y, adalah 21.200.000.
Sumber : https://www.konsep-matematika.com/2016/02/program-linear-nilai-optimum-dengan-uji-titik-pojok.html

Contoh soal 3
Penjahit "Rapi" akan membuat pakaian wanita dan pria. Untuk membuat pakaian wanita diperlukan bahan bergaris 2m dan
bahan polos 1m. Untuk membuat pakaian pria diperlukan bahan bergaris 1m dan bahan polos 2m. Penjahit hanya memiliki
persediaan bahan bergaris dan bahan polos berturut-turut 36 m dan 30 m. Tentukan jumlah maksimum pakaian yang dapat
dibuat penjahit "Rapi"!
Alternatif penyelesaian

Video tersebut beralamat di https://youtu.be/QiwYs6EuHjA

Simpulan

Untuk menyelesaikan Soal program linear ada empat tahap, yaitu:

1. membuat model matematika (sistem pertidaksamaan linear),
2. menggambarkannya serta menentukan daerah himpunan penyelesaian (DHP),
3. menentukan titik pojok, dan
4. menentukan nilai optimum sesuai permasalahan.

Post test

Post Test

Seorang petani akan menanam jagung dan singkong dengan lahan yang dibutuhkan tidak lebih dari
50 petak. Petani tersebut membutuhkan pupuk sebanyak 30 kg per petak untuk memupuk jagung
dan 60 kg perpetak untuk memupuk singkong. Jumlah pupuk yang tersedia adalah 2.400 kg. Jika
keuntungan dari lahan jagung Rp 4.000.000,00 per petak dan lahan singkong Rp 6.000.000,00 per
petak dalam sekali tanam, keuntungan maksimum petani tersebut adalah …

Rp 460 juta
Rp 360 juta
Rp 325 juta
Rp 260 juta
Rp 160 juta

Seorang penjahit mempunyai persediaan 4 m kain wol dan 5 m kain satin. Dari kain tersebut akan
dibuat 2 model baju. Baju pesta 1 memerlukan 2 m kain wol dan 1 kain satin, sedangkan baju pesta II
memerlukan 1 m kain wol dan 2 m kain satin. Baju pesta I dijual dengan harga Rp. 600.000,00 dan
baju pesta II dijual dengan harga Rp 500.000,00. Jika baju pesta tersebut terjual, hasil penjualan
maksimum penjahit tersebut adalah…

Rp 1.800.000,00
Rp 1.700.000,00
Rp 1.600.000,00
Rp 1.250.000,00
Rp 1.200.000,00

Seorang petani memiliki lahan pertanian seluas 8 hektar. Ia akan menanam lahan tersebut dengan
tanaman padi dan jagung. Dari satu hektar tanaman padi dapat dipanen 3 ton padi, sedangkan dari
satu hektar jagung dapat dipanen 4 ton jagung. Petani itu ingin memperoleh hasil panen tidak kurang
dari 30 ton. Jika biaya menanam 1 hektar tanaman padi adalah Rp 500.000,00 dan biaya menanam
satu hektar tanaman jagung Rp 600.000,00 maka biaya minimum yang harus dikeluarkan petani
adalah…

Rp 4.800.000,00
Rp 4.700.000,00
Rp 4.600.000,00
Rp 4.500.000,00
Rp 4.400.000,00

Untuk membuat satu bungkus kue kering A, Ani memerlukan 2 kg tepung terigu dan 1 kg mentega.
Sedangkan untuk membuat 1 bungkus kue kering B diperlukan 1 kg tepung terigu dan 2 kg mentega.
Ani hanya membeli 12 kg tepung terigu dan 18 kg mentega. Jika harga 1 bungkus kue kering A Rp
60.000,00 dan harga 1 bungkus kue kering B Rp 90.000,00, pendapatan maksimum yang diperoleh
Ani adalah…

Rp 360.000,00
Rp 480.000,00
Rp 540.000,00
Rp 620.000,00
Rp 840.000,00

Seorang pedagang kue mempunyai persediaan 9 kg tepung dan 6 kg mentega. Pedagang
memproduksi kue jenis isi pisang dan isi keju. Untuk membuat kue jenis isi pisang memerlukan 150
gram tepung dan 50 gram mentega, sedangkan jenis isi keju memerlukan 75 gram tepung dan 75
gram mentega. Apabila harga sebuah kue jenis pisang Rp 6.000,00 dan isi keju Rp 4.000,00,
keuntungan maksimum pedagang tersebut adalah…

Rp 120.000,00
Rp 240.000,00
Rp 420.000,00
Rp 480.000,00
Rp 500.000,00

Submit Answers Clear Answers

Tugas 2.5

1 Rani dan Ratu menjalankan suatu bisnis kecil, mereka bekerja sama untuk menghasilkan blus dan rok. Untuk menyelesaikan 1 blus,
Rani dan Ratu harus bekerja sama selama 1 jam. Untuk menyelesaikan 1 rok, Rani harus bekerja 1 jam dan Ratu harus bekerja 0,5
jam. Setiap hari, Ratu hanya mampu menyediakan 7 jam kerja, dan Ratu hanya 5 jam. Mereka hendak membuat blus dan rok yang
sama banyaknya. Mereka mendapat keuntungan Rp80.000,00 untuk setiap blus dan Rp60.000,00 untuk setiap rok (Anggap semua
blus dan rok habis terjual).
a. Rancang model matematikanya.
b. Berapa banyak blus dan rok yang selesaikan mereka? Berapa keuntungan maksimal yang mereka peroleh?

2 Suatu perusahaan transportasi harus mendistribusikan 1200 paket (yang besarnya sama) melalui dua truk pengangkut. Truk 1
memuat 200 paket untuk setiap pengangkutan dan truk 2 memuat 80 paket untuk setiap pengangkutan. Biaya pengangkutan untuk
truk 1 dan truk 2 masing-masing Rp400.000,00 dan Rp200.000,00. Padahal biaya yang tersedia untuk mengangkut 1200 paket
hanya Rp3.000.000,00. Hitunglah biaya minimal biaya pengangkutan paket tersebut.

3 Perusahaan “SABAR JAYA”, suatu perusahaan jasa, memiliki 2 tipe karyawan. Karyawan tipe A digaji sebesar Rp135.000,00 per
minggu dan karyawan tipe B digaji sebesar Rp270.000,00 per minggu. Pada suatu proyek memerlukan 110 karyawan, tetapi paling
sedikit sebanyak 40 karyawan tipe B yang bekerja. Selain itu, untuk setiap proyek, aturan perusahaan mengharuskan banyak
karyawan tipe B paling sedikit 0,5 dari banyak karyawan tipe A. Hitunglah banyak karyawan tipe A dan karyawan tipe B pada
perusahaan tersebut.

9 Pesawat penumpang mempunyai tempat duduk 48 kursi. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi maksimum 60
kilogram sedangkan kelas ekonomi maksimum 20 kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi maksimum 1440 kg. Harga tiket kelas
utama Rp 150.000,00 dan kelas ekonomi Rp100.000,00. Supaya pendapatan dari penjualan tiket pada saat pesawat penuh mencapai
maksimum, tentukan jumlah tempat duduk kelas utama.

MATRIKS

Kompetensi Dasar

Setelah mengikuti pembelajaran matriks, siswa mampu:
3.3 Menjelaskan matriks dan kesamaan matriks dengan menggunakan masalah kontekstual dan melakukan operasi pada
matriks yang meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan perkalian, serta transpose.
4.3 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan matriks dan operasinya.

Indikator Pencapaian Kompetensi

Menjelaskan (C2) dan menentukan pengertian, ordo, elemen dan transpos matriks.

Tujuan Pembelajaran

Melalui media ini (C) peserta didik (A) mampu menentukan (B) ordo, elemen, dan transpos matriks (D).

Diagram Alir

Pengantar

Kamu pasti pernah menghadapi masalah yang berkaitan dengan angka dan data. Contoh kecilnya aja, saat kamu dan teman-
temanmu lagi mau makan bersama. Biasanya kan, biar nggak ribet dan lupa, semua pesanan dicatat di kertas, ya. Tapi, kalo
pesanannya banyak dan ribet, lumayan ngebingungin juga nggak sih nyatetnya mau gimana. Kayak yang waktu itu sempat
ramai di sosial media, nih.
nasi goreng
Perkara pesan nasi goreng. (sumber: https://www.suara.com/lifestyle/2021/01/06/122000/pesanan-nasi-goreng-terlalu-ribet-
warganet-ini-bantu-buatkan-tabel-excel)
Ya pantes abangnya nolak. Kamu aja yang sekali baca belum tentu paham. Iya apa iya? Ckckck... (geleng-geleng kelapa).
Sebenarnya, masalah di atas tuh bisa lho dibikin simpel dan gampang buat dipahami. Salah satunya pakai tabel. Nih, kalo aku
buat ke dalam tabel, jadinya kayak gini.
tabel nasi goreng
Karena si sender nggak kasih keterangan tuh, pesanan nasi goreng yang telornya dicampur rasanya pedas atau nggak, jadi
aku asumsiin aja rasanya sedang. Gimana, kalo dibuat tabel kayak gini, jadi jauh lebih gampang kan buat dimengerti sama
abang nasi gorengnya? Hueheheheh
Nah, kamu tau nggak sih, ternyata, tabel di atas bisa dibuat ke bentuk yang lebih sederhana lagi lho, yaitu seperti ini:
matriks
Urutan angka-angkanya sama. Cuma keterangan baris dan kolomnya aja yang dihilangkan. Terus, angka-angka tersebut diberi
tanda kurung di sisi kanan dan kirinya. Kalo dalam Matematika, bentuk tersebut dinamakan matriks.

Pengertian Matriks

Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun berdasarkan baris dan kolom, serta ditempatkan di dalam tanda
kurung. Nah, tanda kurungnya ini bisa berupa kurung biasa “( )” atau kurung siku “[ ]”, ya. Suatu matriks diberi nama dengan
huruf kapital, seperti A, B, C, dan seterusnya.
Oh iya, kamu tau kan bedanya baris dan kolom? Baris itu susunannya horizontal atau ke samping, sedangkan kolom
susunannya vertikal atau dari atas ke bawah.
Misalnya nih, matriks di atas tadi, kita beri nama matriks A. Maka,
baris dan kolom matriks
Penamaan baris dan kolom dibuat urut, ya. Jadi, baris ke-1 dimulai dari atas, urut ke bawah. Sementara itu, kolom ke-1 dimulai
dari kiri ke kanan.

sumber : https://www.ruangguru.com/blog/mengenal-matriks-dalam-matematika-pengertian-jenis-dan-transpose

Ordo dan Elemen/Unsur Matriks

Ordo suatu Matriks

Matriks itu punya ukuran, guys. Ukuran matriks disebut ordo. Cara ngukurnya itu dari banyaknya baris dikali banyaknya kolom
pada matriks. Jadi, kalo suatu matriks A memiliki m baris dan n kolom, maka matriks A tersebut berukuran (berordo) m x n.
Supaya lebih sederhana, kita bisa menulisnya dengan Amxn.

Elemen Matriks

Nah, masing-masing bilangan yang terdapat di dalam matriks disebut elemen matriks. Elemen-elemen matriks juga ada
notasinya sendiri, lho. Kalo matriks dinotasikan dengan huruf kapital, maka elemen-elemen matriks dinotasikan dengan huruf
kecil dan diberi indeks yang menyatakan letak baris dan kolomnya.
Misalnya nih, pada matriks A di atas, ordonya adalah 5 x 5, atau bisa kita tulis A5x5. Soalnya, jumlah barisnya ada 5 dan jumlah
kolomnya juga ada 5. Untuk elemen-elemen matriks A, bisa dinotasikan dengan aij, menyatakan elemen matriks A pada baris
ke-i dan kolom ke-j.
Supaya kamu nggak bingung, langsung simak contoh di bawah ini aja, yuk!
ordo dan elemen matriks
Kita ambil contoh a11, a12, dan a54, deh.

a11 menyatakan elemen matriks A pada baris ke-1 kolom ke-1, nilainya adalah 0.
a12 menyatakan elemen matriks A pada baris ke-1 kolom ke-2, nilainya adalah 1.
a54 menyatakan elemen matriks A pada baris ke-5 kolom ke-4, nilainya adalah 2.
Gimana, paham kan cara bacanya?

sumber : https://www.ruangguru.com/blog/mengenal-matriks-dalam-matematika-pengertian-jenis-dan-transpose

Jenis-jenis Matriks

Selain punya ukuran, matriks juga terbagi menjadi beberapa bentuk yang mempunyai sifat khusus. Nah, beberapa jenis matriks
khusus yang perlu kamu ketahui di antaranya sebagai berikut:

a. Matriks Baris

Matriks baris adalah suatu matriks yang terdiri dari satu baris aja. Contohnya,
matriks baris
Kalo kita lihat, matriks A, matriks P, dan matriks Q, semuanya terdiri dari satu baris dan beberapa kolom. Untuk masing-
masing ordonya, berarti A1x3, P1x4, dan Q1x5.

b. Matriks Kolom

Kebalikannya dari matriks baris, matriks kolom adalah suatu matriks yang terdiri dari satu kolom aja. Contohnya,
matriks kolom
Matriks R, matriks S, dan matriks T sama-sama terdiri dari satu kolom dan beberapa baris. Oleh karena itu, ordo matriksnya
adalah R2x1, S3x1, dan T4x1.

c. Matriks Persegi

Matriks persegi adalah suatu matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom sama. Itu tandanya, n = m. Karena jumlah baris
dan kolomnya sama, maka ordo matriksnya bisa kita tulis menjadi n x n, atau matriks ordo n.
Pada matriks persegi, terdapat diagonal utama, yaitu elemen-elemen matriks yang letak barisnya sama dengan letak
kolomnya. Selain diagonal utama, ada juga diagonal samping atau diagonal kedua. Kalo kita tarik garis di sepanjang diagonal
utama matriks, maka diagonal samping ini berada di arah sebaliknya.
matriks persegi
Nah, berdasarkan contoh di atas, matriks A berordo 2 dengan diagonal utamanya adalah 8 dan 7. Coba deh, kalo matriks B,
ordo dan diagonal utamanya apa aja, nih?

d. Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks persegi yang elemen-elemen selain diagonal utamanya bernilai nol. Contohnya,
matriks diagonal
Kalo kita perhatikan gambar di atas, elemen-elemen pada diagonal utama matriks Q adalah 3, 8, dan 5. Nah, di luar diagonal
utamanya bernilai 0.

e. Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks persegi yang semua elemen pada diagonal utamanya bernilai satu, sedangkan
elemen lainnya bernilai nol. Umumnya, matriks identitas dinotasikan dengan I disertai dengan ordonya. Contohnya,
matriks identitas

f. Matriks Nol

Sesuai namanya, matriks nol adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol. Matriks nol biasanya dinotasikan dengan
huruf O disertai ordonya. Contohnya,
matriks nol

sumber : https://www.ruangguru.com/blog/mengenal-matriks-dalam-matematika-pengertian-jenis-dan-transpose

Transpose Matriks

Oke, setelah kamu tau pengertian dan jenis-jenis matriks, kita lanjut ke materi berikutnya ya, yaitu transpose matriks.
Perhatikan informasi Perkembangan pasien Covid-19 (sampai tanggal 4 Mei 2020) yang bersumber
dari https://infocorona.baliprov.go.id/2020/05/04/update-penanggulangan-covid-19-di-provinsi-bali-senin-4-mei-2020/

Tabel 1
Informasi dalam tabel 1 dapat dituliskan dalam tabel 2 sebagai berikut

Tabel 2
Untuk memperoleh Tabel 2, selain dapat ditulis manual, kita juga dapat copy, paste special, yaitu transpose. Tampilan dalam
micosoft excel 2013 adalah sebagai berikut

Dalam Matriks juga ada istilah transpose matriks. Apa itu transpose?
Transpose matriks adalah suatu matriks yang diperoleh dari hasil pertukaran antara elemen baris dan kolomnya. Jadi,
elemen-elemen pada baris akan kita tukar menjadi elemen-elemen pada kolom, atau sebaliknya. Pasti kamu bingung, kan?
HAHAHAHAHA…

Yauds, kita langsung simak contoh di bawah ini, deh. Misalnya, kita akan mentranspose matriks A dan B. Maka, matriks
transposenya bisa dinotasikan dengan At dan Bt. Notasi transpos matriks A, selain At adalah AT atau A'.
transpose matriks

Nah, kalo kamu perhatikan kotak warna-warni pada matriks di atas, kamu pasti paham nih dengan polanya. Aku kasih contoh,
ya. Coba kamu lihat matriks A dan At! Elemen-elemen baris ke-1 matriks At (yang di kotak merah), itu merupakan pertukaran
dari elemen-elemen kolom ke-1 matriks A. Begitu juga dengan elemen-elemen baris ke-2 matriks At (yang di kotak biru),
merupakan pertukaran dari elemen-elemen kolom ke-2 matriks A. Paham, ya?
Sekarang, coba kamu kerjakan contoh soal di bawah ini. Caranya sama kok kayak yang udah dijelasin sebelumnya.
contoh soal matriks

Gimana, guys, udah paham dengan konsep matriks? Sebetulnya, matriks itu materi yang mudah lho, seru lagi! Matriks ini bisa
digunakan untuk menyelesaikan masalah sistem persamaan yang memiliki lebih dari dua variabel dengan cepat. Dibandingkan
kamu harus menggunakan metode substitusi atau eliminasi. Jadi, penting banget untuk memahami materi satu ini.

Sumber : https://www.ruangguru.com/blog/mengenal-matriks-dalam-matematika-pengertian-jenis-dan-transpose

Materi -Video

Dalam video dibawah ini, dijelaskan Pengertian matriks, Notasi matriks, Ordo Matriks, Jenis-Jenis Matriks, dan Transpos
matriks.

Video tersebut beralamat di https://www.youtube.com/watch?v=3sOEfgB0tdk

Sumpulan dan Latihan

Pengertian Matriks

Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun berdasarkan baris dan kolom, serta ditempatkan di dalam tanda
kurung. Nah, tanda kurungnya ini bisa berupa kurung biasa “( )” atau kurung siku “[ ]”

Ordo dan Elemen/Unsur Matriks

Ordo adalah ukuran matriks. Cara ngukurnya itu dari banyaknya baris dikali banyaknya kolom pada matriks. Jadi, kalo suatu
matriks A memiliki m baris dan n kolom, maka matriks A tersebut berukuran (berordo) m x n. Supaya lebih sederhana, kita bisa
menulisnya dengan Amxn.
Nah, masing-masing bilangan yang terdapat di dalam matriks disebut elemen matriks.

Transpose Matriks

Transpose matriks adalah suatu matriks yang diperoleh dari hasil pertukaran antara elemen baris dan kolomnya.

Latihan 1

Diberikan 2 buah matriks A dan B

dan

Tentukan
1. Ordo matriks A
2. Ordo matriks B
3. Transpose matriks A (AT)
4. Transpose Matriks B (BT)
5. Elemen baris pertama kolom kedua matriks A
6. Elemen baris kedua kolom pertama matriks B
7. Elemen baris pertama kolom kedua matriks AT

KD, IPK, dan Tujuan Pembelajaran

Kompetensi Dasar

Setelah mengikuti pembelajaran matriks, siswa mampu:
3.3 Menjelaskan matriks dan kesamaan matriks dengan menggunakan masalah kontekstual dan melakukan operasi pada
matriks yang meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan perkalian, serta transpose.
4.3 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan matriks dan operasinya.

Indikator Pencapaian Kompetensi

Menjelaskan (C2) kesamaan matriks dan melakukan penjumlahan dan pengurangan matriks.

Tujuan Pembelajaran

Melalui media ini (C) peserta didik (A) mampu menjelaskan (B) kesamaan matriks dan melakukan penjumlahan dan
pengurangan matriks. (D).

Diagram Alir

Kesamaan Matriks

Dua matriks dikatakan sama (A=B) apabila mempunyai ordo yang sama dan elemen-elemen yang letaknya sama
(bersesuaian) besarnya sama.

Contoh :
Tentukan apakah pernyataan-pernyataan berikut benar, salah, atau kondisional. Jika salah, jelaskan. Jika kondisional, temukan
nilai yang membuat pernyataan tersebut benar.

1.

2.
3.

Alternatif penyelesaian
1. Pernyataan pada poin 1 adalah salah. Matriks tersebut memiliki ordo yang sama, yaitu 2 × 2, tetapi elemen-elemen

yang bersesuaian tidaklah sama. Pilih elemen pada baris pertama dan kolom pertama, yaitu 1 pada matriks di ruas kiri,
sedangkan pada matriks ruas kanan elemen tersebut adalah –3.
2. Pernyataan pada poin 2 adalah benar. Matriks tersebut memiliki ordo yang sama, yaitu 2 × 2, dan elemen-elemen yang
bersesuaian juga sama. 6 = √36, 10 = 10, -9 = -9 dan 3 = √9
3. Pernyataan pada poin 3 adalah kondisional. Agar pernyataan tersebut bernilai benar, maka a – 2 = 1 (a = 3), 2b = 4
(b = 2), c = –2, dan akan salah jika tidak memenuhi salah satu (atau lebih) dari syarat tersebut.

Sumber :
https://akupintar.id/info-pintar/-/blogs/matriks-pengertian-operasi-determinan-invers-dan-contoh-soal
https://yos3prens.wordpress.com/2014/12/02/kesamaan-penjumlahan-dan-pengurangan-matriks/

Kesamaan Dua Matriks - Video

Contoh 1 dan . Jika matriks R = S. tentukan nilai a dan b!
Diketahui matriks-matriks dan . Jika matriks A = B. tentukan nilai a+b+c+d !
Contoh 2
Diketahui matriks-matriks

Alternatif penyelesaian dapat dilihat pada video dibawah ini.

Video diatas beralamat di https://www.youtube.com/watch?v=nafQExCWfpA

Operasi Matriks

Operasi matriks dapat dilakukan hanya jika memenuhi syarat dan ketentuannya. Operasi matriks sendiri meliputi : penjumlahan
dan pengurangan dua matriks, perkalian matriks dengan bilangan skalar, dan perkalian dua matriks.

Dalam media ini hanya akan dibahas penjumlahan dan pengurangan dua matriks.

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Syarat penjumlahan dan pengurangan matriks yaitu : jika terdapat dua matriks, misal matriks A dan B, yang memiliki ordo
sama, maka elemen-elemen yang seletak dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Jumlah matriks A dan matriks B dapat
dinyatakan dengan A+B, sedangkan selisih matriks A dan matriks B dapat dinyatakan dengan A – B.

Contoh :

Contoh Soal

1. Tentukan nilai dari
2. Tentukan nilai dari
3. Tentukan nilai dari

4. Tentukan nilai dari

5. Diketahui A = , B = , dan C = . Hitunglah nilai dari A - (B+C)

6. Tentukan matriks A yang merupakan penyelesaian persamaan +A=

7. Tentukan nilai x, y, dan z yang merupakan penyelesaian persamaan +=

8. DIketahui 3 buah matriks , , dan , jika A - B = C maka nilai dari x + y + z adalah
....

9. Diketahui 3 buah matriks , , . Jika A + B = C maka nilai x + y = ....

Alternatif Penyeleaian

Alternatif penyelesaian no 1

Alternatif penyelesaian no 2
Alternatif penyelesaian no 3
Alternatif penyelesaian no 4

Alternatif penyelesaian no 5 = =
B+C=

=
A - (B + C) =

Alternatif penyelesaian no 6

Misalkan matris A =
maka diperoleh:

+A=

+=

=
Berdasarkan perhitungan diatas didapat:

Jadi matriks A =
Alternatif penyelesaian no 7

=

Diperoleh
Jadi x = 2, y = 3, dan z = -6
Alternatif penyelesaian no 8
Dari persamaan A - B = C kita peroleh

Berdasarkan hasil diatas maka diperoleh:

sehingga x + y + z = 13 + 5 + 3 = 21.
Alternatif penyelesaian no 9
Untuk menjawab soal tersebut, kita bisa menentukan A + B terlebih dahulu.

Berdasarkan hasil diatas kita peroleh
Dengan demikian nilai dari x + y = 2 + (-4) = -2.

Sumber :
https://akupintar.id/info-pintar/-/blogs/matriks-pengertian-operasi-determinan-invers-dan-contoh-soal
https://soalfismat.com/contoh-soal-penjumlahan-dan-pengurangan-matriks/

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks - Video

Contoh : Hitunglah

1. Diketahui matriks-matriks
a. A + B
b. A - B

2. DIketahui matriks-matriks , jika penjumlahan/pengungan berikut dapat
dioperasikan, hitunglah
A+B
B+C

Alternatif penyelesaian dapat dilihat dalam video dibawah ini

Video tersebut beralamat di https://www.youtube.com/watch?v=V1O16mUbNwo

Simpulan

Kesamaan Matriks

Dua matriks dikatakan sama (A=B) apabila mempunyai ordo yang sama dan elemen-elemen yang letaknya sama
(bersesuaian) besarnya sama.

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Syarat penjumlahan dan pengurangan matriks yaitu : jika terdapat dua matriks, misal matriks A dan B, yang memiliki ordo
sama, maka elemen-elemen yang seletak dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Jumlah matriks A dan matriks B dapat
dinyatakan dengan A+B, sedangkan selisih matriks A dan matriks B dapat dinyatakan dengan A – B.

Latihan 2

Diberikan matriks-matriks sebagai berikut

Jika transpose matriks A dinyatakan dengan AT,

1. Tentukan nilai a + b + c + d, jika AT = B
2. Tentukan nilai a dan b jika A - B = C
3. Tentukan nilai c dan d jika A - C = B

4. Tentukan nilai (A + C)T
5. Tentukan nilai AT + CT

Kompetensi Dasar

Setelah mengikuti pembelajaran matriks, siswa mampu:
3.3 Menjelaskan matriks dan kesamaan matriks dengan menggunakan masalah kontekstual dan melakukan operasi pada
matriks yang meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan perkalian, serta transpose.
4.3 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan matriks dan operasinya.

Indikator Pencapaian Kompetensi

menjelaskan dan melakukan operasi pada matriks yang meliputi perkalian skalar, dan perkalian.

Tujuan Pembelajaran

Melalui media ini (C) peserta didik (A) mampu menjelaskan dan melakukan (B) operasi pada matriks yang meliputi perkalian
skalar, dan perkalian (D).

Diagram Alir

Prasyarat

Siswa dapat menyelesaian Sistem Persamaan Linear.
Materi ini disediakan untuk kalian yang lupa bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear.

Sistem persamaan linear adalah persamaan-persamaan linear yang dikorelasikan untuk membentuk suatu sistem. Sistem
persamaannya bisa terdiri dari satu variabel, dua variabel atau lebih. Dalam bahasan ini, kita hanya membahas sistem
persamaan linear dengan dua dan tiga variabel.

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Sistem persamaan linear dua variabel adalah sistem persamaan linear yang terdiri dari dua persamaan dimana masing-
masing persamaan memiliki dua variabel. Contoh SPLDV dengan variabel dan :

dimana , dan adalah bilangan-bilangan real.

Penyelesaian SPLDV

Penyelesaian SP:DV bertujuan untuk menentukan nilai yang memenuhi kedua persamaan yang ada pada SPLDV.
Penyelesaian SPLDV terdapat beberapa cara, yaitu:

Metode grafik

Pada metode grafik ini, langkah-langkah yang dilakukan pertama adalah menentukan grafik garis dari masing-masing
persamaan kemudian menentukan titik potong dari kedua garis. Titik potong dari kedua garis tersebut adalah penyelesaian
dari SPLDV.

Contoh Soal:
Tentukah penyelesaian dari SPLDV berikut:

Jawab:
Langkah pertama tentukan garis dari masing-masing persamaan.

Setelah diperoleh grafik dari kedua persamaan, sekarang menentukan titik potong dari kedua garis dan menentukan koordinat
dari titik potong tesebut.

Dari grafik sistem persamaan linear diatas diperoleh titik potong dengan koordinat , sehingga penyelesaian dari SPLDV
adalah .

Untuk membuktikan penyelesaian dari SPLDV, penyelesaian tersebut kita subtitusikan ke persamaan dengan dan .

Pada metode grafik ini, terdapat beberapa jenis himpunan penyelesaian berdasarkan grafik persamaan, yaitu:

Jika kedua garis berpotongan, maka perpotonga kedua garis adalah penyelesaian dari SPLDV dan memiliki
satu penyelesaian.
Jika kedua garis sejajar, maka SPLDV tidak memiliki penyelesaian
Jika kedua garis saling berhimpit, maka SPLDV memiliki tak berhingga himpunan penyelesaian.

Metode eliminasi

Pada metode eliminasi ini, menentukan penyelesaian dari variabel dengan cara mengeliminasi variabel , dan untuk
menentukan penyelesaian variabel dengan cara mengeliminasi variabel .
Contoh Soal:
Tentukah penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel berikut:

Jawab:
Pertama menentukan penyelesaian dari variabel .

Mengeliminasi variabel dapat dilakukan dengan mengurangi persamaan I dengan persamaan II.

Diperoleh persamaan akhir , bagi kedua ruas dengan -2, diperoleh penyelesaian .

Kedua menentukan penyelesaian dari variabel

Mengeliminasi variabel dapat dilakukan dengan menjumlahkan persamaan I dengan persamaan II.

Diperoleh persamaan akhir , bagi kedua ruas dengan 2, diperoleh penyelesaian

Sehingga himpunan penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah .

Metode substitusi

Pada metode substitusi, langkah pertama yang dilakukan adalah mengubah salah satu persamaan menjadi persamaan fungsi,
yaitu sebagai fungsi dari atau sebagai fungsi dari . Kemudian subtitusikan atau pada persamaan yang lain.

Contoh Soal:
Tentukah penyelesaian dari SPLDV berikut:

Jawab: dengan memindahkan variabel ke ruas kanan menjadi .
Ubah persamaan (I) menjadi bentuk fungsi

Kemudian persamaan fungsi disubtitusikan pada persamaan (II), menjadi . Diperoleh persamaan

dan kurangi masing-masing ruas dengan 1, menjadi . Kemudian bagi kedua ruas dengan 2 menjadi . Hasil

variabel disubtitusikan pada salah satu persamaan awal, misal pada persamaan (I), menjadi , jadi

atau .

Sehingga himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel nya adalah .

Metode eliminasi-subtitusi

Metode ini adalah gabungan dari metode eliminasi dan subtitusi. Pertama eliminasi salah satu variabel, kemudian
penyelesaian dari variabel yang diperoleh disubtitusikan pada salah satu persamaan.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Sistem persamaan linear tiga variabel adalah sistem persamaan yang terdiri dari tiga persamaan dimana masing-masing
persamaan memiliki tiga variabel. Contoh SPLTV dengan variabel dan :

dimana dan adalah bilangan-bilangan real.
Pada SPLTV terdapat 2 cara penyelesaian, yaitu:

Metode Subtitusi

Langkah yang dilakukan pada metode ini yaitu:

1. Ubah salah satu persamaan yang ada pada sistem dan nyatakan sebagai fungsi dari dan , atau sebagai fungsi
dari dan , atau sebagai fungsi dari dan ..

2. Subtitusikan fungsi atau atau dari langkah pertama pada dua persamaan yang lain, sehingga diperoleh SPLDV.
3. Selesaikan SPLDV yang diperoleh dengan metode yang dibahas pada penyelesaian SPLDV di atas.

Contoh Soal:
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut:

.

Jawab:

Langkah pertama, nyatakan persamaan (I) menjadi fungsi dari , yaitu: . Kemudian
subtitusikan pada persamaan (II) dan (III), menjadi

Persamaan (II):

Selesaikan, didapat:

Persamaan (III):

Selesaikan, didapat: atau .

Persamaan (IV) dan (V) membentuk SPLDV

Dari persamaan (V), , kemudian disubtitusikan pada persamaan (IV), menjadi:

Kemudian subtitusikan pada persamaan diperoleh atau .
Subtitusikan dan pada persamaan
Sehingga himpunan penyelesaian adalah , menjadi , diperoleh .

Metode Eliminasi

Langkah penyelesaian pada metode eliminasi yaitu:

1. Eliminasi salah satu variabel sehingga diperoleh SPLDV
2. Selesaikan SPLDV yang diperoleh dengan langkah seperti pada penyelesaian SPLDV yang telah dibahas
3. Subtitusikan variabel yang telah diperoleh pada persamaan yang ada.

Sumber : https://www.studiobelajar.com/sistem-persamaan-linear/

Perkalian Skalar pada Matriks

Jika diketahui A merupakan suatu matriks dan k merupakan bilangan real, maka hasil perkalian k dengan matriks A adalah
matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan k.
Contoh :

Contoh , tentukan nilai dari

Diketahui matriks
1. 2A
2. -3A

Alternatif penyelesaian no 1

Alternatif penyelesaian no 2

Sumber : https://akupintar.id/info-pintar/-/blogs/matriks-pengertian-operasi-determinan-invers-dan-contoh-soal

Perkalian Matriks dengan Skalar - Video

Tentukan nilai dari
1.
2.
Alternatif penyelesaian

Video diatas beralamat di https://www.youtube.com/watch?v=8QHc1ZQ1TUk

Perkalian Dua Matriks

Berbeda dengan perkalian skalar yang hanya mengalikan setiap elemen matriks dengan bilangan skalar, perkalian dua matriks
memiliki aturan tersendiri. Syarat dua buah matriks, misal matriks A dan matriks B, dapat dikalikan adalah jika banyaknya
kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B.
Bentuk perkalian antar matriks secara umum, yaitu :

Untuk mencari hasil kali matriks A dengan matriks B ialah dengan mengalikan elemen pada baris-baris matriks A dengan
elemen pada kolom-kolom matriks B, kemudian jumlahkan hasil perkalian antara baris dan kolom tersebut.
Contoh matriks :

Contoh soal no 1

Diketahui A = ,B= , dan C = . tentukan hasil perkalian berikut:
a. A x B
b B xC

Contoh soal no 2
Tentukan nilai a dan b yang merupakan penyelesaian persamaan berikut:

a. =

b. =

Contoh soal no 3 (UN SMK 2015)

Diketahui matriks dan . Hasil dari A x B adalah ....

A.

B.

C.

D.

E.

Contoh soal no 4 (UN SMK 2015)

Diketahui matriks dan . hasil dari M X N adalah ....

A.
B.
C.
D.
E.

Contoh soal no 5 (UN 2016 IPA)
Diketahui persamaan matriks

Nilai dari 2y - 3x
A. -9
B. -7
C. -4
D. 8
E. 11

Contoh soal no 6 (UN 2019)

Diketahui matriks , , dan . Jika AB = C, nilai a + b = ....
A. 2
B. 5
C. 6
D. 7
E. 10

Contoh soal no 7 (UN IPA 2017)
Nilai dari 2x - y dari persamaan matriks:

adalah ...
A. -7
B. - 1
C. 1
D. 7
E. 8

Alternatif penyelesaian no 1
a.

b.

Alternatif penyelesaian no 2

berdasarkan kesamaan diatas, diperoleh:

b.
a = 4 - 3b
= 4 - 3.1 =1
Jadi a = b = 1.
Alternatif penyelesaian no 3
A xB

Jawaban : E.
Alternatif penyelesaian no 4
Hasil perkalian matriks nya adalah
MxN

Pilihan : A.
Alternatif penyelesaian no 5
Hasil operasi matriks ruas kiri

Hasil perkalian matriks ruas kanan

sehingga
Berdasarkan hasil diatas kita peroleh
dengan demikian nilai dari 2y - 2x = 2.1 - 2 (-3) = 2 + 6 = 8
Pilih D.
Alternatif penyelesaian no 6
Perkalian matriks A X B

Jadi hubungan AB = C adalah sebagai berikut ....

Berdasar hubungan diatas kita peroleh:

Jadi nilai a + b = 2 + 5 = 7.
Pilih D
Alternatif penyelesaian no 7
Hasil operasi ruas kiri matriks:

Hasil perkalian 2 matriks ruas kanan sebagai berikut

Dengan demikian kita peroleh hubungan sebagai berikut:
berdasar hubungan tersebut kita peroleh:
Karena yang dicari adalah 2x - y maka tanpa harus menemukan nilai x dan y, kita dapat menentukan nilainya dari persamaan 2
yang dikalikan dengan (-)

Sumber :
https://akupintar.id/info-pintar/-/blogs/matriks-pengertian-operasi-determinan-invers-dan-contoh-soal
https://soalfismat.com/contoh-soal-perkalian-matriks-dan-penyelesaiannya/