Contoh
1. Selidiki apakah matriks-matrik berikut mempunyai invers
,
Alternatif penyelesaian:
Untuk menentukan sebuah matriks mempunyai invers atau tidak, hitung nilai determinannya
|A| = 2.4 - 3.5 = 8 - 15 = -7 ≠ 0
Oleh karena |A| = - 7 ≠ 0 maka matriks A mempunyai invers.
|B| = 2.6 - 4.3 = 12 - 12 = 0
Oleh karena |B| = 0 maka matriks B mempunyai tidak punya invers.
2. Tentukan Invers matriks (dalam soal no 1, matriks A telah diselidiki punya invers)
Alternatif Penyelesaian
Ingat!
Jadi, jika A = maka inversnya adalah : dengan
3. Tentukan invers matriks-matriks berikut.
a. A =
b. B =
Alternatif penyelesaian:
Sumber : http://contohdanpenyelesaianmatrix.blogspot.com/2014/06/invers-matriks_5.html
Materi - Video
Tentukan invers matriks-matriks berikut ini
Alternatif penyelesaian dapat dilihat dalam video dibawah ini
Video tersebut beralamat di https://www.youtube.com/watch?v=bSNPuAR1tYA
Tentukan incers matriks berikut ini
Alternatif penyelesaian dapat dilihat dalam video dibawah ini
Video tersebut beralamat https://www.youtube.com/watch?v=2T091oZAm_k&t=14s
Simpulan
Jadi, jika A = maka inversnya adalah : dengan
Latihan 4.3
1 Tentukan nilai a dan b agar matriks berikut tidak mempunyai invers
2 Tentukan invers matriks-matriks berikut
Kompetensi Dasar
3.4 Menganalisis sifat-sifat determinan dan invers matriks berordo 2×2 dan 3×3.
4.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan determinan dan invers matriks berordo 2 × 2 dan 3 × 3
Indikator Pencapaian Kompetensi
3.4.5 Menentukan matriks X yang merupakan penyelesaian persamaan AX = B dan XA = B
4.4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan invers matriks.
Tujuan Pembelajaran
Melalui media ini (C) peserta didik (A) mampu menyelesaiakn (B) persamaan matriks(D)
Diagram Alir
Pendahuluan
untuk mempelajari persamaan matriks perlu diingat/diketahui perkalian matriks dengan inversnya dan perkalian matriks
dengan matriks identitas. Contoh diketahui matriks
Tentukan
1. A-1
2. A.A-1
3. A-1.A
4. A.I
5. I. A
dengan I adalah matriks identitas yaitu:
Alternatif penyelesaian:
Silakan kalian kerjakan sendiri.
Persamaan Matriks
Operasi Matriks terdiri atas penjumlahan, pengurangan dan perkalian. Tidak ada pembagian matriks. Bagaimana cara untuk
menentukan matriks X jika AX = B atau jika XA = B
1 Persamaan Matriks berbentuk AX = B
untuk menyelesaikan persamaan matriks berbentuk AX = B dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:
AX = B
A-1. AX = A-1. B
(A-1. A) X = A-1. B (sifat asosiatif, A(BC) = (AB)C)
I . X = A-1. B (sifat perkalian dua buah matriks saling invers menghasilkan matriks Identitas),
X = A-1. B (Sifat perkalian matriks dengan identitas adalah matriks itu sendiri)
Jadi, Apabila AX = B, Maka X = A-1. B
2 Persamaan Matriks berbentuk XA = B
Langkah-langkah menyelesaikan persamaan matriks bentuk ini sama seperti di atas, hanyalah masing-masing Ruas dikalikan matrik A
invers dari kanan yaitu;
XA = B
XA . A-1 = B A-1
X (AA-1) = B. A-1
X. I = B A-1
X = B A-1
Jadi, Apabila XA = B, Maka X = B . A-1
Contoh soal no 1
Carilah matriks X berordo 2 x 2 yang memenuhi:
Alternatif penyelesaian
Contoh soal no 2
Carilah matriks X berordo 2 x 2 yang memenuhi
Alternatif penyelesaian
Sumber : https://mathematikaok.blogspot.com/2017/10/persamaan-matrik-dan-pembahasan-soal.html
Materi - Video
Dalam video ini dijelaskan rumus persamaan matriks dan 1 contoh soal, yaitu tentukan matriks A jika
Silakan simak video berikut untuk mengikuti pembahasannya.
Video tersebut bersumber di https://www.youtube.com/watch?v=AbvN6FYLQ00
Sistem Persamaan Linear
Menyelesaikan SPLDV dengan Matriks
Cara yang paling umum dilakukan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) adalah menggunakan
metode substitusi, eliminasi, atau campuran. Dalam media ini, dikenalkan cara menyelesaiakan sistem persamaan linear
(SPL) dengan cara yang baru, yaitu dengan menggunakan matriks. Meskipun cara ini akan sedikit rumit, namun cara ini akan
sangat berguna untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan banyak variabel. Selanjutnya, langsung ke langkah-
langlah penyelesaian SPLDV yang dapat dilihat di bawah.
Diketahui sistem persamaan linear dua peubah sebagai berikut.
Dua persamaan di atas merupakan sistem persamaan linear dengan dua variabel, yaitu x dan y. Bentuk sistem di atas dalam
matriks bisa dilihat pada persamaan di bawah.
disebut matriks koefisien
Berdasarkan sifat matriks invertibel, maka variabel x dan y dapat diketahui melalui cara berikut.
Atau juga bisa dengan aturan Cramer seperti berikut. Jika kalian tertarik dengan aturan cramer, silakan kunjungi alamat ini.
Contoh soal
Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan linear:
Alternatif penyelesaian
Bentuk matriks dari persamaan SPLDV pada soal adalah sebagai berikut.
Jadi, solusi dari dua persamaan linear dua variabel 2x + y = 5 dan x + y = 7 adalah dan .
Menyelesaikan SPLTV dengan Matriks
Diketahui tiga persamaan linear dengan tiga variabel (x, y, dan z) seperti terlihat pada persamaan di bawah.
Bentuk SPLTV di atas dalam bentuk matriks dapat dibuat seperi berikut.
Berdasarkan matriks di atas, dapat disusun determinan utama, determinan variabel x, determinan variabel y, dan determinan
variabel z. Untuk lebih jelasnya perhatikan masing-masing determinan pada daftar di bawah.
Selanjutnya, untuk mengetahui niali masing-masing variabel x, y, dan z dapat mengunakan aturan Cramer berikut.
1. Determinan utama
2. Determinan variabel x
3. Determinan variabel y
4. Determinan variabel z
Contoh soal
Tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan linier dibawah ini dengan menggunakan metoda determinan
2x – 3y + 2z = –3
x + 2y + z = 2
2x – y + 3z = 1
Alternatif penyelesaian
D = (2)(2)(3) + (–3)(1)(2) + (2)(1)(–1) – (2)(2)(2) – (2)(1)(–1) – (–3)(1)(3)
D = 12 – 6 – 2 – 8 + 2 + 9
D=7
Dx = (–3)(2)(3) + (–3)(1)(1) + (2)(2)(–1) – (2)(2)(1) – (–3)(1)(–1) – (–3)(2)(3)
Dx = –18 – 3 – 4 – 4 – 3 + 18
Dx = –14
Dy = (2)(2)(3) + (–3)(1)(2) + (2)(1)(1) – (2)(2)(2) – (2)(1)(1) – (–3)(1)(3)
Dy = 12 – 6 + 2 – 8 – 2 + 9
Dy = 7
Dz = (2)(2)(1) + (–3)(2)(2) + (–3)(1)(–1) – (–3)(2)(2) – (2)(2)(–1) – (–3)(1)(1)
Dz = 4 – 12 + 3 + 12 + 4 + 3
Dz = 14
Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {-2,1,2}
Sumber :
https://idschool.net/sma/cara-menyelesaikan-sistem-persamaan-linear-spl-dengan-matriks/
https://www.materimatematika.com/2017/10/menyelesaikan-sistem-persamaan-linier.html
Simpulan
Persamaan matriks
Apabila AX = B, maka X = A-1 . B
Apabila XA = B, maka X = B . A-1
Sistem Persamaan Linear
matriks koefisien
adalah
Untuk menyelesaikan sistem persamaan tersebut, selain menggunakan eliminasi, substitusi ataupun yang lain, juga dapat
menggunakan persamaan matriks dan juga dapat menggunakan aturan cramer.
Latihan 4.4
Untuk pertanyaan no 1 s.d 3
Diberikan matriks A dan B sebagai berikut
Tentukan Matriks X yang merupakan penyelesaian persamaan dibawah ini
1. AX = B
2. XA = B
3. BX = A
4. Diberikan sistem persamaan berikut
Selesaikan sistem persamaan tersebut dengan menggunakan persamaan matriks / aturan cramer
TRANSFORMASI GEOMETRI
Kompetensi Dasar
3.5 Menganalisis dan membandingkan transformasi dan komposisi transformasi dengan menggunakan matriks.
4.5 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks transformasi geometri (translasi, refleksi, dilatasi, dan rotasi).
Indikator Pencapaian Kompetensi
3.5.1 Menyebutkan contoh translasi dalam kehidupan sehari-hari.
3.5.2 Menemukan sifat-sifat translasi berdasarkan pengamatan pada masalah kontekstual dan pengamatan objek pada bidang
koordinat.
3.5.3 Menemukan konsep translasi dengan kaitan nya dengan konsep matriks.
4.5.1 Menemukan matriks translasi dengan pengamatan terhadap titik-titik dan bayangannya.
4.5.2 Menggunakan konsep translasi dengan kaitannya dengan konsep matriks dalam menemukan koordinat titik atau fungsi
setelah ditransformasi.
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari konsep transformasi melalui pengamatan, menalar, tanya jawab, mencoba menyelesaikan persoalan,
penugasan individu dan kelompok, diskusi kelompok, dan mengomunikasikan pendapatnya, siswa mampu:
1. Menumbuhkan sikap perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun,
responsif dan proaktif, berani bertanya, berpendapat, dan menghargai pendapat orang lain dalam aktivitas sehari-hari.
2. Menunjukkan rasa ingin tahu dalam memahami konsep dan menyelesaikan masalah.
3. Menyebutkan contoh translasi dalam kehidupan sehari-hari.
4. Menemukan sifat-sifat translasi berdasarkan pengamatan pada masalah kontekstual dan pengamatan objek pada
bidang koordinat.
5. Menemukan konsep translasi dengan kaitannya dengan konsep matriks.
6. Menemukan koordinat titik dan persamaan garis oleh translasi.
Diagram Alir
Transformasi Geometri
Transformasi geometri merupakan perubahan suatu bidang geometri yang meliputi posisi, besar dan bentuknya sendiri. Jika
hasil transformasi kongruen dengan bangunan yang ditranformasikan, maka disebut transformasi isometri. Transformasi
isometri sendiri memiliki dua jenisya itu transformasi isometri langsung dan transformasi isometri berhadapan. Transformasi
isometri langsung termasuk translasi dan rotasi, sedangkan transformasi isometri berhadapan termasuk refleksi.
Translasi (Pergeseran)
5.1 Menemukan Konsep Translasi (Pergeseran)
Coba kamu amati benda-benda yang bergerak di sekitar kamu. Benda-benda tersebut hanya berubah posisi tanpa mengubah
bentuk dan ukuran. Sebagai contoh, kendaraan yang bergerak di jalan raya, pesawat terbang yang melintas di udara, bahkan
diri kita sendiri yang bergerak kemana saja. Nah, sekarang kita akan membahas pergerakan objek tersebut dengan
pendekatan koordinat.
Kita asumsikan bahwa pergerakan ke arah sumbu x positif adalah ke kanan, pergerakan ke arah sumbu x negatif adalah ke
kiri, pergerakan ke arah sumbu y positif adalah ke atas, dan pergerakan ke arah sumbu y negatif adalah ke bawah.
Masalah 5.1
Titik A(4,–3) bergerak ke kiri 6 langkah dan ke bawah 1 langkah, kemudian dilanjutkan kembali bergerak ke kiri 3 langkah dan
ke atas 3 langkah. Coba kamu sketsa pergerakan titik tersebut pada bidang koordinat kartesius. Dapatkah kamu temukan
proses pergerakan titik tersebut?
Alternatif Penyelesaian 5.1
Bila Masalah 5.1 disajikan dalam koordinat kartesius maka diperoleh gambar berikut. Perhatikan gambar!
Gambar 5.1: Pergeseran Titik A(4, –3)
Keterangan gambar:
Pergeseran 1. Posisi awal titik adalah A(4,–3), kemudian bergerak ke kiri 6 langkah dan ke bawah 1 langkah, sehingga posisi
berubah di koordinat C(–2,–4). Hal ini berarti:
Pergeseran 2. Posisi sementara titik adalah C(‒2,‒4) dan mengalami pergeseran selanjutnya yaitu bergeser ke kiri 3 langkah
dan ke atas 3 langkah, sehingga pada gambar tampak di posisi koordinat E(‒5,‒1). Hal ini berarti:
Jadi, posisi akhir titik A(4,‒3) berada di titik E(‒5,‒1).
Gambar 5.2. Translasi (secara umum) titik A ke A'
5.2 Rumus Translasi (Pergeseran)
Secara umum, tentang translasi diperoleh konsep/rumus:
atau
atau dapat ditulis dalam notasi lain, sebagai
Contoh1
Tentukanlah bayangan (peta) titik A(4,3) oleh translasi
.
Alternatif Penyelesaian
Bentuk umum translasi titik A(x1,y1) oleh
adalah
Dengan demikian,
Jadi, bayangan hasil translasi dengan titik koordinat baru A'(7,5).
Contoh 2 dipetakan menjadi titik A'(4,3). Tentukanlah T.
Titik A(1,-2) ditranslasikan oleh
.
Alternatif Penyelesaian
Dengan demikian,
atau.
Jadi, . . (artinya garis tersebut digeser kekanan 1 satuan
Contoh 3
Tentukanlah bayangan persamaan garis y = x -3 oleh translasi
dan kebawah 2 satuan)
.
Alternatif Penyelesaian
substitusi x = x'-1 dan y = y'+2 ke persamaan y = x - 3 diperoleh:
y'+2 = x' - 1 - 3
y' + 2 = x' - 4
y' = x' -6.
Jadi persamaan bayangan garisnya adalah y = x - 6.
Agar lebih jelas, kalian bisa perhatikan gambar dibawah ini!
Garis biru jika digeser ke kanan 1 satuan lalu ke bawah 2 satuan akan menjadi garis merah.
Contoh 4
Tentukanlah bayangan persamaan lingkaran x2+y2=16 oleh translasi
.
.
Alternatif Penyelesaian
Diketahui persamaan lingkaran:
Karena translasi , maka
Persamaan (2) dan (3) disubstitusikan ke (1) sehingga
Jadi, bayangan persamaannya adalah
Persamaan tersebut adalah persamaan lingkaran yang berpusat di (-1,2).
Agar lebih jelas, kalian perhatikan lingkaran biru yaitu lingkaran yang berpusat di (0,0), jika digeser /translasi ke (-1,2) maka
lingkaran biru menjadi lingkaran merah.
Sifat 5.1
Bangun yang digeser (translasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.
Sumber : https://jagostat.com/matematika-dasar/transformasi-geometri-translasi
Video
Video tersebut beralamat di https://www.youtube.com/watch?v=k_RGlS9uLMQ
Simpulan
atau
Latihan 5.1
Untuk siswa MIPA, kerjakan 5 soal berikut sebagai bagian dari tugas ke-3.
Untuk siswa IPS dan BB, kerjakan 3 soal berikut (No 1 - 3) sebagai bagian dari tugas ke-3
Diketahui translasi
1. Tentukan bayangan titik A (2,4), oleh translasi T
2. Tentukan bayangan persamaan garis y = 2x - 3 oleh translasi T
3. Tentukan titik A, jika titik A ditranslasi oleh T menghasilkan bayangan titik (0,0).
4. Tentukan bayangan persamaan parabola y = x2 -1 oleh translasi T
5. Tentukan bayangan persamaan lingkaran x2 + y2 - 2x - 5 = 0 oleh translasi T.
Kompetensi Dasar
3.5 Menganalisis dan membandingkan transformasi dan komposisi transformasi dengan menggunakan matriks.
4.5 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks transformasi geometri (translasi, refleksi, dilatasi, dan rotasi).
Indikator Pencapaian Kompetensi
3.5.1 Menyebutkan contoh refleksi dalam kehidupan sehari-hari.
3.5.2 Menemukan sifat-sifat refleksi berdasarkan pengamatan pada masalah kontekstual dan pengamatan objek pada bidang
koordinat.
3.5.3 3.5.4 Menemukan konsep refleksi terhadap titik O(0, 0) dengan kaitannya dengan konsep matriks.
3.5.5 Menemukan konsep refleksi terhadap sumbu x dengan kaitannya dengan konsep matriks.
3.5.6 Menemukan konsep refleksi terhadap sumbu y dengan kaitannya dengan konsep matriks.
3.5.7 Menemukan konsep refleksi terhadap garis y = x dengan kaitannya dengan konsep matriks.
3.5.8 Menemukan konsep refleksi terhadap garis y = -x dengan kaitannya dengan konsep matriks.
4.5.1 Menemukan matriks refleksi dengan pengamatan terhadap titik-titik dan bayangannya.
4.5.2 Menggunakan konsep refleksi dengan kaitannya dengan konsep matriks dalam menemukan koordinat titik atau fungsi
setelah ditransformasi.
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari konsep transformasi melalui pengamatan, menalar, tanya jawab, mencoba menyelesaikan persoalan,
penugasan individu dan kelompok, diskusi kelompok, dan mengomunikasikan pendapatnya, siswa mampu:
1. Menumbuhkan sikap perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun,
responsif dan proaktif, berani bertanya, berpendapat, dan menghargai pendapat orang lain dalam aktivitas sehari-hari.
2. Menunjukkan rasa ingin tahu dalam memahami konsep dan menyelesaikan masalah.
3. Menyebutkan contoh transformasi (translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi) dalam kehidupan sehari-hari.
4. Menemukan sifat-sifat translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi berdasarkan pengamatan pada masalah kontekstual dan
pengamatan objek pada bidang koordinat.
5. Menemukan konsep refleksi (terhadap titik O(0, 0), sumbu x, sumbu y, garis y = x, dan garis y = -x) dengan kaitannya
pada konsep matriks.
Diagram Alir
Transformasi Geometri
Transformasi geometri merupakan perubahan suatu bidang geometri yang meliputi posisi, besar dan bentuknya sendiri. Jika
hasil transformasi kongruen dengan bangunan yang ditranformasikan, maka disebut transformasi isometri. Transformasi
isometri sendiri memiliki dua jenisya itu transformasi isometri langsung dan transformasi isometri berhadapan. Transformasi
isometri langsung termasuk translasi dan rotasi, sedangkan transformasi isometri berhadapan termasuk refleksi.
Refleksi (Pencerminan)
Suatu refleksi ditentukan oleh suatu garis tertentu sebagai sumbu pencerminan. Hal yang perlu diperhatikan pada pencerminan
adalah jarak bangun mula-mula ke sumbu pencerminan sama dengan jarak bangun bayangannya ke sumbu pencerminan.
Pernahkan Anda memerhatikan diri Anda saat Anda bercermin? Bagaimanakah bentuk dan ukuran tubuh Anda? Bayangan
Anda pada cermin sama bentuk dan ukurannya dengan diri Anda sebenarnya. Hal ini merupakan bentuk nyata peristiwa
pencerminan (refleksi) dalam kehidupan sehari-hari.
Suatu refleksi ditentukan oleh suatu garis tertentu sebagai sumbu pencerminan. Hal yang perlu diperhatikan pada pencerminan
adalah jarak bangun mula-mula ke sumbu pencerminan sama dengan jarak bangun bayangannya ke sumbu pencerminan.
Sekarang, amati Gambar 1 berikut ini.
Gambar 1. Refleksi ΔABC terhadap garis k
Dari Gambar 1 di atas, tampak bahwa ΔABC dicerminkan terhadap garis l menghasilkan ΔA′B′C′.
Perhatikan bahwa
Jadi, dengan mengamati Gambar 1 di atas, diketahui bahwa pada pencerminan berlaku sifat-sifat sebagai berikut.
1. Bangun bayangan sebelum dengan bangun mula-mula.
2. Keliling bangun bayangannya sama dengan keliling bangun mula-mula.
3. Luas bangun bayangannya sama dengan luas bangun mula-mula.
Ada berbagai jenis pencerminan suatu titik, seperti diilustrasikan pada Gambar 2 atau gambar 3 di bawah.
Gambar 2. Berbagai jenis pencerminan titik P(x,y) terhadap berbagai sumbu pencerminan.
Gambar 3. Berbagai jenis pencerminan titik P(a,b) terhadap berbagai sumbu pencerminan.
Pada Gambar 2, salah satu pencerminan titik P(x,y) adalah pencerminan terhadap sumbu x menghasilkan titik P'(x',y')
sehingga:
atau dapat juga dinyatakan dalam bentuk matriks:
Dengan demikian, titik P(x,y)→P′(x′,y′) ditentukan oleh persamaan matriks:
Jadi, matriks adalah matriks yang bersesuaian dengan transformasi pencerminan terhadap sumbu x.
Dengan cara yang sama seperti contoh di atas, dapat diperoleh persamaan matriks dari suatu pencerminan titik P(x,y)
terhadap berbagai sumbu pencerminan seperti tercantum pada Tabel 1 berikut.
Untuk lebih memahami transformasi geometri khususnya terkait refleksi atau pencerminan, perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh soal
Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik sudut A(1,1), B(4,2), dan C(2,3).
1. Tentukan peta ΔABC jika dicerminkan terhadap sumbu y!
2. Gambarlah ΔABC dan petanya pada koordinat Cartesius!
Alternatif Penyelesaian
1. Matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu y adalah
2. Titik sudut ΔABC disusun ke bentuk matriks, yaitu . Misalkan bayangan ΔABC setelah pencerminan terhadap sumbu y
adalah A′(x′1,y′1),B′(x′2,y′2),C′(x′3,y′3) atau dalam bentuk matriks dituliskan:
Jadi, bayangan ΔABC adalah ΔA'B'C', dengan A'(-1,1), B'(-4,2), dan C'(-2,3). Sehingga gambar ΔABC dan bayangannya pada
koordinat Cartesius dapat dilihat pada Gambar berikut.
Gambar 4. Refleksi ΔABC terhadap sumbu y
Sumber: https://jagostat.com/matematika-dasar/transformasi-geometri-refleksi
Refleksi - Video
Video tersebut beralamat di https://www.youtube.com/watch?v=AShoZP8ZYO4
Simpulan
Persamaan matriks dari suatu pencerminan titik P(x,y) terhadap berbagai pencerminan seperti tercantum pada Tabel 1 berikut.
Ralat, rumus no 1 seharusnya.
Post Test
Latihan - Mandiri 1
Koordinat titip P (-3, 6) dicerminkan terhadap garis x = 5 maka koordinat bayangannya adalah …
P’ (2, 11)
P’ (2, 6)
P’ (13, 6)
P’ (8, 11)
P’ (11, 2)
Bayangan titik (4, -5) setelah dicerminkan terhadap garis y = -1 adalah …
(-6, -5)
(-4, -5)
(4, 4)
(4, 3)
(4, -4)
Koordinat bayangan titik A (7, 8) yang dicerminkan terhadap sumbu Y, kemudian dicerminkan
terhadap sumbu X adalah …
(7, 8)
(-7, 8)
(7, -8)
(-7, -8)
(8, -7)
Titik B (-4, 8) dicerminkan terhadap pusat koordinat menghasilkan bayangan (x’, y’). Nilai x’ + y’ = …
-12
-8
-4
4
8
Titik P'(4 , 6) adalah bayangan dari P(6 , 4) yang dicerminkan terhadap …
titik O
garis y = -x
garis y = x
sumbu y
sumbu x
Titik A(a,b) dicerminkan terhadap garis x = 2 menghasilkan bayangan A'(0 , 2) maka (a , b) adalah…
(0,-6)
(4,2)
(2,4)
(0,-4)
(2,-4)
Sebuah segitiga ABC dengan A(2 , 1), B (5 , 3), C(3 , 4). Bayangan segitiga ABC jikalau dicerminkan
terhadap sumbu X yaitu ....
A'(2 , -1), B'(5 , -3), C'(3 , -4)
A'(2 , 1), B'(5 , 3), C'(3 , -4)
A'(2 , -1), B'(-5 , 3), C'(3 , 4)
A'(2 , -1), B'(-5 , -3), C'(-3 , -4)
A'(-2 , -1), B'(-5 , -3), C'(3 , -4)
Sebuah persegipanjang ABCD dengan A(3 , 0), B(6 , 4), P(3 , 4) dengan P yaitu perpotongan
diagonal AC dengan BD. Bayangan persegipanjang oleh pencerminan terhadap garis y = x adalah...
A'(0 , 3), B'(4 , 6), C'(8 , 3), D'(4 , 0)
A'(0 , - 3), B'(4 , -6), C'(8 , -3), D'(4 , 0)
A'(0 , 3), B'(-4 , 6), C'(-8 , 3), D'(4 , 0)
A'(0 , -3), B'(-4 , 6), C'(-8 , 3), D'(-4 , 0)
A'(0 , 3), B'(-4 , -6), C'(-8 , -3), D'(-4 , 0)
Persamaan garis bayangan y = 2x + 3 apabila garis tersebut di cerminkan (refleksi) terhadap sumbu
X adalah ....
2y = -x + 3
2y = x - 3
y = 2x + 3
y = -2x - 3
y = 2x - 3
Submit Answers Clear Answers
Latihan 5.2
Kerjakan 5 soal berikut, kemudian hasilnya cocokkan dengan kunci yang diberikan
1. Titik A(3,-5) dicerminkan terhadap sumbu X. Tentukan koordinat bayangan titik A.
2. Titik P(-3,7) dicerminkan terhadap garis y = -x. Tentukanlah koordinat bayangan titik P.
3. Tentukan koordinat titik B(9, -6) jika dicerminkan terhadap garis y = 10!
4. Tentukan koordinat bayangan titik A (7, 8) jika dicerminkan berturut-turut dengan garis x = -2 dan x = 4
5. Jika garis x - 2y - 3 = 0 dicerminkan terhadap sumbu Y, maka tentukanlah persamaan bayangannya.
Kunci
1. Bayangan titik A(3,-5) oleh pencerminan terhadap sumbu X adalah A'(3,5).
2. Bayangan titik P(-3,7) oleh pencerminan terhadap garis y = -x adalah P'(-7,3).
3. Koordinat titik B(9, -6) jika dicerminkan terhadap garis y = 10 adalah (9,26)
4. Koordinat bayangan titik A (7, 8) jika dicerminkan berturut-turut dengan garis x = -2 dan x = 4 adalah (19,8)
5. Bayangan garis x - 2y - 3 = 0 oleh pencerminan terhadap sumbu Y adalah -x- 2y -3 = 0 atau x + 2y + 3 =0
Kompetensi Dasar
3.5 Menganalisis dan membandingkan transformasi dan komposisi transformasi dengan menggunakan matriks.
4.5 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks transformasi geometri (translasi, refleksi, dilatasi, dan rotasi).
Indikator Pencapaian Kompetensi
3.5.1 Menyebutkan contoh rotasi dalam kehidupan sehari-hari.
3.5.2 Menemukan sifat-sifat rotasi berdasarkan pengamatan pada masalah kontekstual dan pengamatan objek pada bidang
koordinat.
3.5.3 Menemukan konsep rotasi pada suatu sudut dan pusat O(0,0) dengan kaitannya dengan konsep matriks.
3.5.10 Menemukan konsep rotasi pada suatu sudut dan pusat P(p,q) dengan kaitannya dengan konsep matriks.
4.5.1 Menemukan matriks rotasi dengan pengamatan terhadap titik-titik dan bayangannya.
4.5.2 Menggunakan konsep rotasi dengan kaitannya dengan konsep matriks dalam menemukan koordinat titik atau fungsi
setelah ditransformasi.
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari konsep transformasi melalui pengamatan, menalar, tanya jawab, mencoba menyelesaikan persoalan,
penugasan individu dan kelompok, diskusi kelompok, dan mengomunikasikan pendapatnya, siswa mampu:
1. Menumbuhkan sikap perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun,
responsif dan proaktif, berani bertanya, berpendapat, dan menghargai pendapat orang lain dalam aktivitas sehari-hari.
2. Menunjukkan rasa ingin tahu dalam memahami konsep dan menyelesaikan masalah.
3. Menyebutkan contoh rotasi, dalam kehidupan sehari-hari.
4. Menemukan sifat-sifat rotasi, berdasarkan pengamatan pada masalah kontekstual dan pengamatan objek pada
bidang koordinat.
5. Menemukan konsep rotasi pada suatu sudut dan pusat O(0, 0) atau pusat P(p, q) dengan kaitannya dengan konsep
matriks.
6. Menemukan koordinat titik dan persamaan garis oleh rotasi.
Diagram Alir
Perbandingan trigonometri dalam bidang kartesius
Transformasi geometri
Transformasi geometri merupakan perubahan suatu bidang geometri yang meliputi posisi, besar dan bentuknya sendiri. Jika
hasil transformasi kongruen dengan bangunan yang ditranformasikan, maka disebut transformasi isometri. Transformasi
isometri sendiri memiliki dua jenisya itu transformasi isometri langsung dan transformasi isometri berhadapan. Transformasi
isometri langsung termasuk translasi dan rotasi, sedangkan transformasi isometri berhadapan termasuk refleksi.
Rotasi (Perputaran)
Misalkan peta titik A(x, y) oleh rotasi dengan pusat O sejauh θ adalah A'(x', y'). Perhatikan gambar berikut
Dari segitiga siku-siku OBA diperoleh
x = r cos α
y = r sin α
Dari segitiga siku-siku OCA' diperoleh
x' = r cos (α + θ )
x' = r (cos α cos θ - sin α sin θ)
x' = r cos α cos θ - r sin α sin θ
x' = x cos θ - y sin θ
y' = r sin (α + θ )
y' = r (sin α cos θ + cos α sin θ)
y' = r sin α cos θ + r cos α sin θ
y' = y cos θ + x sin θ
y' = x sin θ + y cos θ
Diperoleh
x' = x cos θ - y sin θ
y' = x sin θ + y cos θ
Dalam persamaan matriks kita tulis
Jadi, matriks yang bersesuaian dengan rotasi terhadap pusat O sebesar θ adalah
Contoh soal no 1
Titik A(-4, 3) dipetakan oleh rotasi dengan pusat O sejauh 90° searah jarum jam. Peta titik A adalah ...
Alternatif penyelesaian
Searah jarum jam berarti θ = -90°
Ingat :
sin (-θ) = - sin θ
cos (-θ) = cos θ
Jadi, peta titik A adalah A'(3, 4)
Contoh soal no 2
Tentukanlah bayangan ΔABC dengan titik sudut A(0,2), B(4,1), dan C(3,6) jika diputar dengan pusat O sebesar −1/2π radian!
Alternatif penyelesaian
Titik-titik sudut ΔABC dapat dibentuk dalam matriks
Misalkan bayangan ΔABC yang terbentuk oleh rotasi sebesar −1/2π
dengan sudut pusat O, yaitu A′(x′1,y′1),B′(x′2,y′2),C′(x′3,y′3)
dinyatakan dalam bentuk matriks:
Dengan demikian,
Jadi, bayangan ΔABC adalah ΔA'B'C' dengan A'(2,0), B'(1,-4), dan C'(6,-3).
Contoh soal no 3
Bayangan garis y = 2x + 1 oleh rotasi dengan pusat O sebesar 180° adalah ...
Alternatif penyelesaian
Dari persamaan matriks diatas diperoleh
x' = -x → x = -x'
y' = -y → y = -y'
Substitusi x = -x' dan y = -y' ke garis y = 2x + 1
-y' = 2(-x') + 1
-y' = -2x' + 1
y' = 2x' - 1
Jadi, bayangannya adalah y = 2x - 1
Kaitan Rotasi dengan konsep matriks
Bayangan dan matriks yang bersesuaian dengan rotasi P(x,y) ➝ P'(x',y')
Ralat :
Baris kedua pada tabel tertulis R(O,90o) seharusnya R(O,-90o)
Contoh soal no 4
Tentukanlah persamaan bayangan garis 2x−y+8=0 setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut putaran (-90)0.
Alternatif penyelesaian
Matriks rotasi dengan pusat atau pangkal koordinat sebesar (-90)0, adalah
Dengan demikian,
sehingga diperoleh:
Substitusikan x dan y ke persamaan garis.
Jadi, bayangannya adalah x+2y+8=0
Sumber
1. https://smatika.blogspot.com/2017/11/matriks-transformasi-geometri.html
2. https://www.ruangsoal.id/2018/07/soal-dan-pembahasan-rotasi-perputaran.html