Perkalian Dua Matriks - Video
1. Diketahui matriks dan . Tentukan matriks AB
2. Diketahui matriks dan . Tentukan matriks 2PQ
Alternatif penyelesaian dapat dilihat dalam video dibawah ini.
Video diatas bersumber di https://www.youtube.com/watch?v=Dko31TjZ-F4
Perkalian Skalar pada Matriks
Jika diketahui A merupakan suatu matriks dan k merupakan bilangan real, maka hasil perkalian k dengan matriks A adalah
matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan k.
Contoh :
Perkalian Dua Matriks
Berbeda dengan perkalian skalar yang hanya mengalikan setiap elemen matriks dengan bilangan skalar, perkalian dua matriks
memiliki aturan tersendiri. Syarat dua buah matriks, misal matriks A dan matriks B, dapat dikalikan adalah jika banyaknya
kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B.
Bentuk perkalian antar matriks secara umum, yaitu :
Latihan 3
Diketahui matriks-matriks
Jika matriks-matriks berikut dapat dikalikan, Tentukan hasil perkaliannya
1. A x B
2. B X A
3. A x C
4. C x A
5. C2 (C2 = C x C)
Kompetensi Dasar
Setelah mengikuti pembelajaran matriks, siswa mampu:
3.3 Menjelaskan matriks dan kesamaan matriks dengan menggunakan masalah kontekstual dan melakukan operasi pada
matriks yang meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan perkalian, serta transpose.
4.3 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan matriks dan operasinya.
Indikator Pencapaian Kompetensi
menjelaskan dan melakukan operasi pada matriks yang meliputi perkalian skalar, dan perkalian.
Tujuan Pembelajaran
Melalui media ini (C) peserta didik (A) mampu menjelaskan dan melakukan (B) operasi pada matriks yang meliputi perkalian
skalar, dan perkalian (D).
Diagram Alir
Prasyarat
Siswa dapat menyelesaian Sistem Persamaan Linear.
Materi ini disediakan untuk kalian yang lupa bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear.
Sistem persamaan linear adalah persamaan-persamaan linear yang dikorelasikan untuk membentuk suatu sistem. Sistem
persamaannya bisa terdiri dari satu variabel, dua variabel atau lebih. Dalam bahasan ini, kita hanya membahas sistem
persamaan linear dengan dua dan tiga variabel.
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Sistem persamaan linear dua variabel adalah sistem persamaan linear yang terdiri dari dua persamaan dimana masing-
masing persamaan memiliki dua variabel. Contoh SPLDV dengan variabel dan :
dimana , dan adalah bilangan-bilangan real.
Penyelesaian SPLDV
Penyelesaian SP:DV bertujuan untuk menentukan nilai yang memenuhi kedua persamaan yang ada pada SPLDV.
Penyelesaian SPLDV terdapat beberapa cara, yaitu:
Metode grafik
Pada metode grafik ini, langkah-langkah yang dilakukan pertama adalah menentukan grafik garis dari masing-masing
persamaan kemudian menentukan titik potong dari kedua garis. Titik potong dari kedua garis tersebut adalah penyelesaian
dari SPLDV.
Contoh Soal:
Tentukah penyelesaian dari SPLDV berikut:
Jawab:
Langkah pertama tentukan garis dari masing-masing persamaan.
Setelah diperoleh grafik dari kedua persamaan, sekarang menentukan titik potong dari kedua garis dan menentukan koordinat
dari titik potong tesebut.
Dari grafik sistem persamaan linear diatas diperoleh titik potong dengan koordinat , sehingga penyelesaian dari SPLDV
adalah .
Untuk membuktikan penyelesaian dari SPLDV, penyelesaian tersebut kita subtitusikan ke persamaan dengan dan .
Pada metode grafik ini, terdapat beberapa jenis himpunan penyelesaian berdasarkan grafik persamaan, yaitu:
Jika kedua garis berpotongan, maka perpotonga kedua garis adalah penyelesaian dari SPLDV dan memiliki
satu penyelesaian.
Jika kedua garis sejajar, maka SPLDV tidak memiliki penyelesaian
Jika kedua garis saling berhimpit, maka SPLDV memiliki tak berhingga himpunan penyelesaian.
Metode eliminasi
Pada metode eliminasi ini, menentukan penyelesaian dari variabel dengan cara mengeliminasi variabel , dan untuk
menentukan penyelesaian variabel dengan cara mengeliminasi variabel .
Contoh Soal:
Tentukah penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel berikut:
Jawab:
Pertama menentukan penyelesaian dari variabel .
Mengeliminasi variabel dapat dilakukan dengan mengurangi persamaan I dengan persamaan II.
Diperoleh persamaan akhir , bagi kedua ruas dengan -2, diperoleh penyelesaian .
Kedua menentukan penyelesaian dari variabel
Mengeliminasi variabel dapat dilakukan dengan menjumlahkan persamaan I dengan persamaan II.
Diperoleh persamaan akhir , bagi kedua ruas dengan 2, diperoleh penyelesaian
Sehingga himpunan penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah .
Metode substitusi
Pada metode substitusi, langkah pertama yang dilakukan adalah mengubah salah satu persamaan menjadi persamaan fungsi,
yaitu sebagai fungsi dari atau sebagai fungsi dari . Kemudian subtitusikan atau pada persamaan yang lain.
Contoh Soal:
Tentukah penyelesaian dari SPLDV berikut:
Jawab: dengan memindahkan variabel ke ruas kanan menjadi .
Ubah persamaan (I) menjadi bentuk fungsi
Kemudian persamaan fungsi disubtitusikan pada persamaan (II), menjadi . Diperoleh persamaan
dan kurangi masing-masing ruas dengan 1, menjadi . Kemudian bagi kedua ruas dengan 2 menjadi . Hasil
variabel disubtitusikan pada salah satu persamaan awal, misal pada persamaan (I), menjadi , jadi
atau .
Sehingga himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel nya adalah .
Metode eliminasi-subtitusi
Metode ini adalah gabungan dari metode eliminasi dan subtitusi. Pertama eliminasi salah satu variabel, kemudian
penyelesaian dari variabel yang diperoleh disubtitusikan pada salah satu persamaan.
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
Sistem persamaan linear tiga variabel adalah sistem persamaan yang terdiri dari tiga persamaan dimana masing-masing
persamaan memiliki tiga variabel. Contoh SPLTV dengan variabel dan :
dimana dan adalah bilangan-bilangan real.
Pada SPLTV terdapat 2 cara penyelesaian, yaitu:
Metode Subtitusi
Langkah yang dilakukan pada metode ini yaitu:
1. Ubah salah satu persamaan yang ada pada sistem dan nyatakan sebagai fungsi dari dan , atau sebagai fungsi
dari dan , atau sebagai fungsi dari dan ..
2. Subtitusikan fungsi atau atau dari langkah pertama pada dua persamaan yang lain, sehingga diperoleh SPLDV.
3. Selesaikan SPLDV yang diperoleh dengan metode yang dibahas pada penyelesaian SPLDV di atas.
Contoh Soal:
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut:
.
Jawab:
Langkah pertama, nyatakan persamaan (I) menjadi fungsi dari , yaitu: . Kemudian
subtitusikan pada persamaan (II) dan (III), menjadi
Persamaan (II):
Selesaikan, didapat:
Persamaan (III):
Selesaikan, didapat: atau .
Persamaan (IV) dan (V) membentuk SPLDV
Dari persamaan (V), , kemudian disubtitusikan pada persamaan (IV), menjadi:
Kemudian subtitusikan pada persamaan diperoleh atau .
Subtitusikan dan pada persamaan
Sehingga himpunan penyelesaian adalah , menjadi , diperoleh .
Metode Eliminasi
Langkah penyelesaian pada metode eliminasi yaitu:
1. Eliminasi salah satu variabel sehingga diperoleh SPLDV
2. Selesaikan SPLDV yang diperoleh dengan langkah seperti pada penyelesaian SPLDV yang telah dibahas
3. Subtitusikan variabel yang telah diperoleh pada persamaan yang ada.
Sumber : https://www.studiobelajar.com/sistem-persamaan-linear/
Perkalian Dua Matriks
Berbeda dengan perkalian skalar yang hanya mengalikan setiap elemen matriks dengan bilangan skalar, perkalian dua matriks
memiliki aturan tersendiri. Syarat dua buah matriks, misal matriks A dan matriks B, dapat dikalikan adalah jika banyaknya
kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B.
Bentuk perkalian antar matriks secara umum, yaitu :
Untuk mencari hasil kali matriks A dengan matriks B ialah dengan mengalikan elemen pada baris-baris matriks A dengan
elemen pada kolom-kolom matriks B, kemudian jumlahkan hasil perkalian antara baris dan kolom tersebut.
Contoh soal no 1 (UN SMK 2015)
Diketahui matriks dan . Hasil dari A x B adalah ....
. hasil dari M X N adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
Contoh soal no 2 (UN SMK 2015)
Diketahui matriks dan
A.
B.
C.
D.
E.
Contoh soal no 3 (UN 2016 IPA)
Diketahui persamaan matriks
Nilai dari 2y - 3x
A. -9
B. -7
C. -4
D. 8
E. 11
Contoh soal no 4 (UN 2019)
Diketahui matriks , , dan . Jika AB = C, nilai a + b = ....
A. 2
B. 5
C. 6
D. 7
E. 10
Contoh soal no 5 (UN IPA 2017)
Nilai dari 2x - y dari persamaan matriks:
adalah ...
A. -7
B. - 1
C. 1
D. 7
E. 8
Alternatif penyelesaian no 1
A xB
Jawaban : E.
Alternatif penyelesaian no 2
Hasil perkalian matriks nya adalah
MxN
Pilihan : A.
Alternatif penyelesaian no 3
Hasil operasi matriks ruas kiri
Hasil perkalian matriks ruas kanan
sehingga
Berdasarkan hasil diatas kita peroleh
dengan demikian nilai dari 2y - 2x = 2.1 - 2 (-3) = 2 + 6 = 8
Pilih D.
Alternatif penyelesaian no 4
Perkalian matriks A X B
Jadi hubungan AB = C adalah sebagai berikut ....
Berdasar hubungan diatas kita peroleh:
Jadi nilai a + b = 2 + 5 = 7.
Pilih D
Alternatif penyelesaian no 5
Hasil operasi ruas kiri matriks:
Hasil perkalian 2 matriks ruas kanan sebagai berikut
Dengan demikian kita peroleh hubungan sebagai berikut:
berdasar hubungan tersebut kita peroleh:
Karena yang dicari adalah 2x - y maka tanpa harus menemukan nilai x dan y, kita dapat menentukan nilainya dari persamaan 2
yang dikalikan dengan (-)
Sumber :
https://akupintar.id/info-pintar/-/blogs/matriks-pengertian-operasi-determinan-invers-dan-contoh-soal
https://soalfismat.com/contoh-soal-perkalian-matriks-dan-penyelesaiannya/
Latihan 4 ,, dan .
Diberikan matriks-matriks
Tentukan hasil operasi matriks-matriks berikut!
1. A+B
2. B+A
3. AB
4. AC
5. CA
6. (AC)B
7. A(CB)
8. AI
9. IA
10. AO
11. OA
12. 2(AC)
13. A (2C)
14. (AC)T
15. CTAT
Perkalian Dua Matriks
Perkalian dua matriks memiliki aturan tersendiri. Syarat dua buah matriks, misal matriks A dan matriks B, dapat dikalikan
adalah jika banyaknya kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B.
Bentuk perkalian antar matriks secara umum, yaitu :
Sifat-sifat Operasi Matriks
Pada penjumlahan matrik berlaku sifat- sifat, apabila matrik A,B dan C berordo sama yaitu m x n.
1. A+B = B+A (sifat komulatif)
2. A+B+C = A+(B+C) (sifat asosiatif)
3. Unsur-unsur identitas penjumlahan, yaitu matriks O sehingga
4. A+O = O+A = A
5. Invers penjumlahan A adalah –A sehingga A+(-A) = (-A)+A=O
Apabila matriks A,B dan C dapat dikalikan dan jika k dan l bilangan real maka pada perkalian matriks juga berlaku sifat- sifat :
1. (Pada umumnya) Tidak komulatif, yaitu AB ≠ BA
2. Asosiasi: (AB )C = A (BC)
3. Distribusi kiri: A (B + C) = AB + AC
4. Distribusi kanan: (B + C) A = BA + CA
5. Perkalian skalar: k (AB) = (kA) B = A (kB)
6. Perkalian identitas: AI = IA = A
7. Perkalian nol: A0 = 0A = 0
8. Jika AB=0 belum tentu A=0 atau B=0
9. jika AB=AC belum tentu B=C
10. (kA)(lB) = (kl)(AB)
11. (AB)T = BTAT
Latihan 5
Diketahui matriks-matriks
Jika matriks-matriks berikut dapat dikalikan, Tentukan hasil perkaliannya
1. A x B
2. B x A
3. A x C
4. C x A
5. C2 (C2 = C x C)
DETERMINAN DAN INVERS
Kompetensi Dasar
3.4 Menganalisis sifat-sifat determinan dan invers matriks berordo 2×2 dan 3×3.
4.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan determinan dan invers matriks berordo 2 × 2 dan 3 × 3
Indikator Pencapaian Kompetensi
3.4.1 Menentukan nilai determinan ordo 2 x 2.
3.4.2 Menentukan nilai determinan ordo 3 x 3.
Tujuan Pembelajaran
Melalui media ini (C) peserta didik (A) mampu menentukan (B) determinan matriks berordo 2 X 2 dan 3 X 3 (D)
Diagram Alir
Definisi
Determinan adalah suatu bilangan real yang diperoleh dari suatu proses dengan aturan tertentu terhadap matriks persegi.
Determinan
dari sebuah matriks persegi A, dinotasikan dengan det(A) atau |A|.
Determinan Matriks Berordo 2 x 2
Contoh matriks dengan ordo 2 x 2 adalah seperti ini:
Matriks A merupakan matriks dengan ordo 2 × 2 memiliki elemen a dan d yang terletak pada diagonal utama, sedangkan b
dan c terletak pada diagonal kedua. Nilai determinan A, disimbolkan dengan |A|, merupakan suatu bilangan yang diperoleh
dengan cara mengurangkan hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal kedua.
Rumus yang dapat kamu gunakan adalah:
Det (A) = |A| = ad – bc
Contoh :
1. Tentukan determinan dari matriks berikut ini!
Solusi:
Bila kita perhatikan matriks di atas, kita dapat langsung menghitung nilai determinan dengan rumus yang telah kita ketahui.
Det (A) = |A| = ad – bc
|A| = (5 x 6) – (2 x 4)
|A| = 30 – 8
|A| = 22
2. Berapakah determinan dari matriks di bawah ini?
Solusi:
Sama dengan soal yang pertama, kita bisa menggunakan rumus untuk bisa menyelesaikannya.
Det (A) = |A| = ad – bc
|A| = (7 x 3) – (2 x 8)
|A| = 21 – 16
|A| = 5
Sumber : https://www.kelaspintar.id/blog/edutech/cara-mencari-determinan-matriks-yang-mudah-5484/
Determinan Matriks Berordo 3 x 3
Matriks berordo 3×3 adalah matriks berbentuk persegi dengan banyak kolom dan baris sama yaitu tiga. Bentuk umum matriks
berordo 3×3 sebagai berikut:
Untuk menghitung determinan matriks berordo 3×3, kamu bisa menggunakan aturan Sarrus. Gambar di bawah ini akan
menunjukkan caranya dengan lebih jelas.
Contoh :
1. Tentukan determinan dari matriks di bawah ini!
Solusi:
Untuk menyelesaikan soal di atas, maka kita akan menggunakan aturan Sarrus.
|A| = aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi
|A| = (1x5x6) + (4x2x1) + (1x2x3) – (1x5x1) – (1x2x3) – (4x2x6)
|A| = 30 + 8 + 6 – 5 – 6 – 48
|A| = -15
2. Berapakah determinan dari matriks di bawah ini?
Solusi:
Untuk menyelesaikan soal di atas, maka kita akan menggunakan aturan Sarrus.
|A| = aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi
|A| = (2x5x1) + (4x2x2) + (1x3x3) – (1x5x2) – (2x2x3) – (4x3x1)
|A| = 10 + 16 + 9 – 10 – 12 – 12
|A| = 1
Sumber : https://www.kelaspintar.id/blog/edutech/cara-mencari-determinan-matriks-yang-mudah-5484/
Materi - Video
Salah satu materi determinan dalam bentuk video dapat dilihat pada video dibawah ini
Video tersebut beralamat di https://www.youtube.com/watch?v=pirM_OL0nOg
Uji Coba
Determinan matriks berikut adalah
10
9
-3
-9
-10
Jika diketahui determinan matriks A adalah 18. Nilai x yang merupakan penyelesaian matriks dibawah
ini adalah ....
2
3
5
6
7
Nilai x yang merupakan penyelesaian persamaan dibawah ini adalah ....
1
2
3
6
8
Determinan matriks berikut adalah
24
12
0
-12
-24
Determinan matriks berikut adalah
144
124
96
40
0
Submit Answers Clear Answers
Simpulan
Determinan Matriks Berordo 2 x 2
Jika matriks maka determinan matriks A adalah Det (A) = |A| = ad – bc
Determinan Matriks Berordo 3 x 3
Jika matriks maka dengan menggunakan aturan Sarrus, determinannya adalah
Latihan 4.1
Latihan 4.1.a
Diberikan matriks dan
,
Tentukan
1. determinan matriks A
2. determinan matriks 2A (Petunjuk : tentukan dulu matriks 2A)
3. determinan matriks AT (Petunjuk : tentukan dulu matriks AT)
4. determinan matriks B
5. determinan matriks 3B (Petunjuk : tentukan dulu matriks 3B)
6. determinan matriks AB (Petunjuk : tentukan dulu matriks AB)
7. determinan matriks C
Latihan 4.1.b
1. Tentukan penyelesaian
2. Tentukan determinan matriks
3. Tentukan penyelesaian persamaan
Kompetensi Dasar
3.4 Menganalisis sifat-sifat determinan dan invers matriks berordo 2×2 dan 3×3.
4.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan determinan dan invers matriks berordo 2 × 2 dan 3 × 3
Indikator Pencapaian Kompetensi
3.4.1 Menentukan nilai determinan ordo 2 x 2.
3.4.2 Menentukan nilai determinan ordo 3 x 3.
Tujuan Pembelajaran
Melalui media ini (C) peserta didik (A) mampu menentukan (B) determinan matriks berordo 3 X 3 (D)
Diagram Alir
Sifat-sifat Determinan Matriks
Beberapa sifat determinan dapat dilihat pada video berikut
video tersebut dapat dilihat di https://www.youtube.com/watch?v=bVDE7jPaowI
Determinan Matriks 3×3 Metode Ekspansi Kofaktor
Untuk menghitung determinan matriks 3 X 3 dengan metode ekspansi kofaktor, dibutuhkan pengertian minor.
Minor
Definisi minor adalah determinan submatriks persegi setelah salah satu baris dan kolomnya dihilangkan.
Minor dilambangkan dengan “Mij” dimana “i” sebagai baris dan “j” sebagai kolom matriks yang dihilangkan.
Baris dan kolom dihilangkan bukan berarti dibuang, akan tetapi baris dan kolom tersebut hanya tidak diikutsertakan dalam
submatriks yang baru.
Submatriks artinya bagian kecil dari matriks, sedangkan matriks persegi adalah matriks yang mempunyai jumlah baris sama
dengan jumlah kolom atau sebut saja berordo nxn. Misalnya matriks persegi 3×3 maka submatriksnya berordo 2×2.
Jadi, menghitung minor matriks 3×3 adalah menghitung determinan submatriks 2×2.
Contoh: M12 = baris ke-1 dan kolom ke-2 dihilangkan
Matriks Submatriks Minor
Contoh: M23 = baris ke-2 dan kolom ke-3 dihilangkan
Matriks Submatriks Minor
Kofaktor
Dalam kofaktor, elemen minor matriks dapat bernilai positif dan negatif. Kofaktor dilambangkan dengan “Cij” dan dapat
dihitung dengan rumus:
Contoh: Kofaktor (C12) Kofaktor (C13)
Kofaktor (C11)
Cara mudah untuk mengetahui nilai kofaktor, yaitu:
Jika i + j = bilangan genap maka kofaktor bernilai positif
Dan jika i + j = bilangan ganjil maka kofaktor bernilai negatif
Sebenarnya tanpa menghitung satu persatu kita bisa dengan mudah mengetahui tanda kofaktor matriks. Caranya cukup
tuliskan tanda positif dan negatif secara bergantian di depan lambang minor.
Sumber : https://penma2b.wordpress.com/2017/04/12/determinan-matriks-3x3-ekspansi-kofaktor/
Ekspansi Kofaktor (Ekspansi Baris dan Kolom)
Ekspansi Kofaktor ini dapat digunakan untuk menghitung determinan suatu matriks.
Ekspansi Baris
Ekspansi baris dimulai dari setiap elemen kolom pertama atau elemen dengan nilai j = 1 (ai1) dan arahnya bergerak secara
mendatar sepanjang jumlah kolom matriks.
Jika ekspansi baris ganjil misalnya ekspansi baris pertama dan baris ketiga, maka tandanya dimulai dengan positif.
Dan jika ekspansi baris genap seperti ekspansi baris kedua dan baris keempat, maka rumusnya dimulai dengan tanda negatif.
Dan hal yang hampir sama juga berlaku pada rumus umum ekspansi kolom.
Jadi, berdasarkan pola rumus umum tersebut dapat ditentukan tiga rumus determinan ekspansi baris matriks 3×3, yaitu:
Ekspansi baris pertama
Ekspansi baris kedua
Ekspansi baris ketiga
Meskipun mudah namun tanda kofaktor justru yang paling sering menjadi penyebab kesalahan menghitung determinan. Jadi,
telitilah dalam menuliskan rumus ekspansi!
Contoh Soal: hitunglah determinan matriks berikut dengan cara ekspansi kofaktor!
Penyelesaian:
Ekspansi Baris Pertama
Rumus manapun (ekspansi baris ke-1, ke-2, atau ke-3) yang digunakan akan menghasilkan nilai determinan yang sama yaitu
17. Coba anda hitung sendiri jika hasilnya berbeda kemungkinan salah perhitungan.
Lalu untuk apa ada tiga rumus jika salah satunya saja sudah bisa menghitung determinan?
Jawabannya adalah “elemen nol”.
Maksudnya jika suatu matriks memiliki satu atau beberapa elemen nol, maka perhitungan determinannya bisa lebih cepat.
Kemudian karena posisi elemen nol bisa berada di baris pertama, kedua atau ketiga. Maka, disinilah fungsi dari ketiga rumus
ekspansi baris dalam menghitung determinan.
Satu Elemen Nol
Jika hanya ada satu elemen nol, perhitungan determinan bisa menggunakan rumus ekspansi baris atau kolom. Dengan syarat
gunakanlah baris atau kolom yang berisi elemen nol.
Contoh soal:
Penyelesaian:
Ekspansi baris kedua
Dua Elemen Nol
Pertama, dua elemen nol dalam baris atau kolom berbeda, cara perhitungan determinan sama dengan cara satu elemen nol.
Jadi, gunakan saja ekspansi baris seperti contoh diatas.
Kedua, dua elemen nol dalam baris yang sama.
Contoh soal:
Penyelesaian:
Ekspansi baris ketiga
Tiga elemen nol
Pertama, tiga elemen nol dalam baris atau kolom berbeda, cara perhitungan determinan sama dengan cara satu elemen nol.
Kedua, dua elemen nol dalam baris yang sama, gunakan cara dua elemen nol.
Ketiga, tiga elemen nol dalam baris yang sama, maka nilai determinan = 0.
Contoh Soal: hitunglah determinan matriks berikut dengan cara ekspansi kofaktor!
Penyelesaian:
Ekspansi baris kedua
Ekspansi Kolom
Ekspansi kolom diawali dari setiap elemen baris pertama atau elemen dengan nilai i = 1 (a1j) dan arahnya bergerak menurun
sepanjang jumlah baris matriks.
Ekspansi kolom pertama
Ekspansi kolom kedua
Ekspansi kolom ketiga
Berikut ini contoh perhitungan determinan matriks dengan salah satu rumus ekspansi kolom.
Contoh Soal: hitunglah determinan matriks berikut dengan cara ekspansi kofaktor!
Penyelesaian:
Ekspansi kolom pertama
Seperti halnya ekspansi baris, penggunaan rumus ekspansi kolom disesuaikan dengan posisi dan jumlah elemen nol dalam
matriks.
Satu Elemen Nol
Jika hanya ada satu elemen nol, bisa menggunakan rumus ekspansi baris atau kolom.
Contoh soal:
Penyelesaian:
Ekspansi kolom ketiga
Dua elemen nol
Pertama, dua elemen nol dalam dua baris atau kolom berbeda, cara perhitungan determinan sama dengan cara satu elemen
nol. Jadi, gunakan saja ekspansi baris atau kolom seperti contoh diatas.
Kedua, dua elemen nol dalam kolom yang sama.
Contoh soal:
Penyelesaian:
Ekspansi Kolom Kedua
Tiga elemen nol
Caranya hampir sama dengan tiga elemen nol yang dibahas sebelumnya.
Pertama, tiga elemen nol dalam tiga baris atau kolom berbeda, maka hitung dengan cara satu elemen nol.
Kedua, dari tiga elemen nol, dua diantaranya dalam kolom yang sama. Maka, caranya seperti dua elemen nol.
Ketiga, jika tiga elemen nol dalam satu kolom, maka nilai determinan = 0.
Contoh Soal: hitunglah determinan matriks berikut dengan cara ekspansi kofaktor!
Penyelesaian:
Ekspansi kolom pertama
Sumber : https://penma2b.wordpress.com/2017/04/12/determinan-matriks-3x3-ekspansi-kofaktor/
Materi - Video
Minor dan kofaktor Matriks
Salah satu materi minor dan kofaktor dalam bentuk video dapat dilihat pada video dibawah ini
Video tersebut beralamat di https://www.youtube.com/watch?v=_lxISHHwq7Q
Determinan dengan ekspansi kofaktor
Salah satu sumber belajar menentukan determinan dengan ekspansi kofaktor dapat dilihat pada video dibawah ini
Video tersebut dapat dilihat di https://www.youtube.com/watch?v=AUhn2rfjKIg
Simpulan
Minor
Definisi minor adalah determinan submatriks persegi setelah salah satu baris dan kolomnya dihilangkan.
Minor dilambangkan dengan “Mij” dimana “i” sebagai baris dan “j” sebagai kolom matriks yang dihilangkan.
Kofaktor
Dalam kofaktor, elemen minor matriks dapat bernilai positif dan negatif. Kofaktor dilambangkan dengan “Cij” dan dapat
dihitung dengan rumus:
Latihan 4.2
Misalkan diketahui matriks A sebagai berikut.
1. Hitunglah det(A) dengan metode ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama matriks A (Ekspansi baris pertama)
2. Hitunglah det(A) dengan metode ekspansi kofaktor sepanjang kolom ketiga matriks A (Ekspansi kolom ketiga)
Pengayaan
Menentukan Determinan Matrik Ordo 3x3 dengan OBE (Operasi Baris
Elementer)
Merubah matriks menjadi matriks segitiga atas atau segitiga bawah, kemudian determinan diperoleh dari perkalian elemen
diagonal utama”.
Jika kita punya matriks A2×2, = maka det(A) = a11a22 – a12a21.
Kemudian jika kita punya matriks B3×3 = maka
det(B) = a11a22a33 – a12a23a31 – a13a21a32 – a13a22a31 – a12a21a33 – a11a23a32.
Tapi jika kita memiliki matriks yang berordo 4×4, 5×5, dan seterusnya, bagaimana cara mencari determinannya? Pada tulisan
ini saya akan membahas untuk mencari determinan matriks menggunakan Operasi Baris Elementer dengan mereduksi matriks
tersebut pada bentuk eselon baris atau membuat Matriks Segitiga Atas atau Matriks Segitiga Bawah.
Contoh matriks segitiga atas pada matriks 4×4 :
Contoh matriks segitiga bawah pada matriks 4×4 :
Untuk menghitung determinan matriks dengan cara ini dijamin oleh sebuah teorema berikut.
Teorema 2.
Jika A adalah matriks segitiga n x n, maka det(A) adalah hasil kali entri-entri diagonal utama yakni det(A) = a11a22 …
ann.
Contoh 3.
Hitung determinan dari matriks A =
Penyelesaian.
Karena matriks A merupakan matriks segitiga atas, maka untuk menghitung determinan dapat langsung menggunakan
Teorema diatas.
Jadi, det(A) = (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296
Contoh 4.
Hitung determinan dari matriks B =
Penyelesaian.
Langkah awal untuk mengerjakan ini adalah dengan cara mereduksi matriks baris tersebut menjadi eselon baris dengan
menggunakan OBE.
1. baris kedua : 2B2 – B1
2. baris ketiga : B3 + 2B2
baris keempat : B4 + B2
3. baris keempat : B4 + B3
Karena pada langkah pertama di baris kedua kita menggunakan operasi , yaitu mengalikan 2 pada baris kedua,
sehingga hasil perkalian diaonal utamanya harus dibagi 2.
Jadi
Contoh 5.
Hitung determinan matriks dari .
Penyelesaian.
1. Baris Kedua :
2. Baris Ketiga :
Jadi,
Sumber : https://aimprof08.wordpress.com/2012/09/14/menghitung-determinan-menggunakan-eselon-baris/
Materi berupa video dapat dilihat pada video dibawah ini
Video tersebut beralamat di https://www.youtube.com/watch?v=CvUjUo98Pzw
Materi berupa video dapat dilihat pada video dibawah ini
Video tersebut beralamat di https://www.youtube.com/watch?v=CvUjUo98Pzw
Kompetensi Dasar
3.4 Menganalisis sifat-sifat determinan dan invers matriks berordo 2×2 dan 3×3.
4.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan determinan dan invers matriks berordo 2 × 2 dan 3 × 3
Indikator Pencapaian Kompetensi
3.4.3 Menentukan invers matriks ordo 2 x 2.
3.4.4 Menentukan invers matriks ordo 3 x 3.
4.4.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan determinan matriks.
4.4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan invers matriks.
Tujuan Pembelajaran
Diagram Alir
Pendahuluan
Matriks Identitas
Matriks Identitas adalah matriks persegi dengan elemen diagonal utama bernilai 1, sedengkan elemen lain bernilai nol.
Contoh matriks Identitas adalah sebagai berikut
Sifat matriks identitas ini adalah seperti bilangan 1. Artinya jika matriks apaun dikalikan dengan matriks identitas hasilnya
matriks itu sendiri.
A.I = A dan I.A = A
Lihat lathan 4 Daring ke-04 : Perkalian Matriks (2) dan simpulannya.
INVERS MATRIKS
Dua Matriks Saling Invers
Jika A dan B adalah matriks persegi, dan berlaku maka dikatakan matriks A dan B saling invers. B
disebut invers dari A, atau ditulis . Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau matriks non singular, sedangkan
matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.
Contoh: Diketahui A = dan B =
Selidiki, apakah A dan B saling invers?
Penyelesaian :
Matriks A dan B saling invers jika berlaku A × B = B × A = I.
A×B=
B×A=
Karena A × B = B × A maka A dan B saling invers, dengan A–1 = B dan B–1 = A.
Menentukan Invers Matriks Berordo 2 × 2
Misalkan matriks A = dan matriks B = sehingga berlaku A × B = B × A = I. Kita akan mencari elemen-elemen
matriks B, yaitu p, q, r, dan s.
Dari persamaan A × B = I, diperoleh :
Sehingga, diperoleh sistem persamaan :
ap + br = 1 dan aq + bs = 0
cp + dr = 0 cq + ds = 1
Dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut, kalian peroleh :
Dengan demikian,
Matriks B memenuhi A × B = I. . Jika ad - bc = 0 maka matriks A tidak punya invers.
Oleh karena ad - bc merupakan penyebut pecahan maka
Syarat sebuah matriks mempunyai invers (balikan)
Jika dengan , maka matriks A mempunyai invers. Sedangkan jika maka matriks tersebut
tidak mempunyai invers. Matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular (matriks tunggal)
Jadi, jika A = Rumus invers matriks ordo 2 X 2 dengan
maka inversnya adalah :
Sumber : http://contohdanpenyelesaianmatrix.blogspot.com/2014/06/invers-matriks_5.html