Matematik Tambahan Tingkatan 5 KSSM

MATEMATIK

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA


AM
TAMBAHAN
T B AHAN






5


TINGKATAN

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
RUKUN NEGARA



Bahawasanya Negara Kita Malaysia
mendukung cita-cita hendak;


Mencapai perpaduan yang lebih erat dalam kalangan
seluruh masyarakatnya;


Memelihara satu cara hidup demokrasi;


Mencipta satu masyarakat yang adil di mana kemakmuran negara
akan dapat dinikmati bersama secara adil dan saksama;


Menjamin satu cara yang liberal terhadap
tradisi-tradisi kebudayaannya yang kaya dan pelbagai corak;

Membina satu masyarakat progresif yang akan menggunakan
sains dan teknologi moden;


MAKA KAMI, rakyat Malaysia,
berikrar akan menumpukan
seluruh tenaga dan usaha kami untuk mencapai cita-cita tersebut
berdasarkan prinsip-prinsip yang berikut:


KEPERCAYAAN KEPADA TUHAN

KESETIAAN KEPADA RAJA DAN NEGARA
KELUHURAN PERLEMBAGAAN

KEDAULATAN UNDANG-UNDANG
KESOPANAN DAN KESUSILAAN





(Sumber: Jabatan Penerangan, Kementerian Komunikasi dan Multimedia Malaysia)

KURIKULUM STANDARD SEKOLAH MENENGAH




MATEMATIK



KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
TAMBAHAN





Tingkatan 5







PENULIS


Zaini bin Musa
Dr. Wong Mee Kiong
Azizah binti Kamar
Zakry bin Ismail
Nurbaiti binti Ahmad Zaki
Zefry Hanif bin Burham@Borhan
Saripah binti Ahmad


EDITOR


Siti Aida binti Muhamad
Izyani binti Ibrahim


PEREKA BENTUK

Paing Joon Nyong



ILUSTRATOR

Nagehteran A/L Mahendran





ABADI ILMU SDN. BHD.
2020

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

NO. SIRI BUKU: 0108 PENGHARGAAN
KPM2020 ISBN 978-983-2914-67-9
Cetakan Pertama 2020 Penerbitan buku teks ini melibatkan kerjasama
© Kementerian Pendidikan Malaysia banyak pihak. Sekalung penghargaan dan terima
kasih kepada semua pihak yang terlibat:
Hak cipta terpelihara. Mana-mana bahan dalam • Jawatankuasa Penambahbaikan Pruf
buku ini tidak dibenarkan diterbitkan semula, Muka Surat, Bahagian Sumber dan
disimpan dalam cara yang boleh dipergunakan Teknologi Pendidikan, Kementerian
lagi, ataupun dipindahkan dalam sebarang Pendidikan Malaysia.
bentuk atau cara, baik dengan cara elektronik,
• Jawatankuasa Penyemakan Naskhah
mekanik, penggambaran semula mahupun
Sedia Kamera, Bahagian Sumber dan
dengan cara perakaman tanpa kebenaran
Teknologi Pendidikan, Kementerian
terlebih dahulu daripada Ketua Pengarah
Pendidikan Malaysia.
Pelajaran Malaysia, Kementerian Pendidikan
Malaysia. Perundingan tertakluk kepada • Pegawai-pegawai Bahagian Sumber dan
perkiraan royalti atau honorarium. Teknologi Pendidikan serta Bahagian
Pembangunan Kurikulum, Kementerian
Diterbitkan untuk Kementerian Pendidikan
Pendidikan Malaysia.
Malaysia oleh:
Abadi Ilmu Sdn. Bhd. • Pengerusi serta ahli panel penilaian dan
(199701033455) (448954-X) peningkatan mutu.
7-13, Infinity Tower, • GeoGebra
No. 28, Jalan SS6/3, Kelana Jaya, • Desmos
47301 Petaling Jaya, • Semua individu yang terlibat secara langsung
Selangor Darul Ehsan. atau tidak langsung dalam penghasilan Buku
Tel: +603-7886 4517 Faks: +603-7886 4512 Teks Matematik Tambahan Tingkatan 5 ini.
E-mel: [email protected]
Reka Letak dan Atur Huruf:
Abadi Ilmu Sdn. Bhd.
(199701033455) (448954-X)
Muka Taip Teks: Times
Saiz Taip Teks: 11 poin

Dicetak oleh:
World Line Marketing Sdn. Bhd. (1115599-K)
Lot 12, Jalan CJ 1/16,
Kawasan Perindustrian Cheras Jaya,
43200 Cheras,
Selangor Darul Ehsan.

Kandungan







Pendahuluan v
Rumus vii
BAB KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA


BAB Sukatan Membulat 1
1

1.1 Radian
1.2 Panjang Lengkok Suatu Bulatan 2
5
1.3 Luas Sektor Suatu Bulatan 12
1.4 Aplikasi Sukatan Membulat 20
Sudut Refleksi 23
Latihan Sumatif 24
Eksplorasi Matematik 27
BAB Pembezaan 28
2

2.1 Had dan Hubungannya dengan Pembezaan
2.2 Pembezaan Peringkat Pertama 30
38
2.3 Pembezaan Peringkat Kedua 49
2.4 Aplikasi Pembezaan 51
Sudut Refleksi 76
Latihan Sumatif 77
Eksplorasi Matematik 79

BAB Pengamiran 80
3

3.1 Pengamiran sebagai Songsangan Pembezaan
85
3.2 Kamiran Tak Tentu 82
3.3 Kamiran Tentu 92
3.4 Aplikasi Pengamiran 111
Sudut Refleksi 114
Latihan Sumatif 115
Eksplorasi Matematik 117
4 Pilih Atur dan Gabungan 118


4.1 Pilih Atur
132
4.2 Gabungan 120
Sudut Refleksi 137
Latihan Sumatif 138
Eksplorasi Matematik 139
iii

BAB Taburan Kebarangkalian 140
5

5.1 Pemboleh Ubah Rawak
5.2 Taburan Binomial 142
152
5.3 Taburan Normal 166
Sudut Refleksi 184
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Latihan Sumatif 185
Eksplorasi Matematik 187

BAB Fungsi Trigonometri 188
6

6.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif
193
6.2 Nisbah Trigonometri bagi Sebarang Sudut 190
6.3 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen 201
6.4 Identiti Asas 211
6.5 Rumus Sudut Majmuk dan Rumus Sudut Berganda 215
6.6 Aplikasi Fungsi Trigonometri 222
Sudut Refleksi 228
Latihan Sumatif 229
Eksplorasi Matematik 231

BAB Pengaturcaraan Linear 232
7

7.1 Model Pengaturcaraan Linear
240
7.2 Aplikasi Pengaturcaraan Linear 234
Sudut Refleksi 246
Latihan Sumatif 247
Eksplorasi Matematik 249

BAB Kinematik Gerakan Linear 250
8

8.1 Sesaran, Halaju dan Pecutan sebagai Fungsi Masa
260
8.2 Pembezaan dalam Kinematik Gerakan Linear 252
8.3 Pengamiran dalam Kinematik Gerakan Linear 267
8.4 Aplikasi Kinematik Gerakan Linear 272
Sudut Refleksi 275
Latihan Sumatif 275
Eksplorasi Matematik 278
Jawapan 279
Glosari 294
Senarai Rujukan 295
Indeks 296





iv

Pendahuluan





Buku Teks Matematik Tambahan Tingkatan 5 KSSM ini ditulis berdasarkan Dokumen
Standard Kurikulum dan Pentaksiran (DSKP) Matematik Tambahan Tingkatan 5 yang
disediakan oleh Kementerian Pendidikan Malaysia.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Buku ini diterbitkan bagi melahirkan murid yang mempunyai Kemahiran Abad
Ke-21 dengan menerapkan Kemahiran Berfikir Aras Tinggi (KBAT), kemahiran maklumat
dan komunikasi, kemahiran berfikir dan menyelesaikan masalah serta kemahiran interpersonal
dan arah kendiri supaya murid dapat bersaing pada peringkat global. Murid yang menguasai
kemahiran berfikir aras tinggi berupaya untuk mengaplikasikan pengetahuan, kemahiran dan
nilai dalam membuat penaakulan dan refleksi bagi menyelesaikan masalah, membuat keputusan,
berinovasi dan berupaya mencipta sesuatu.
Elemen Merentas Kurikulum (EMK) seperti penggunaan bahasa pengantar yang betul,
kelestarian alam sekitar, nilai-nilai murni, penggunaan sains dan teknologi, semangat patriotik,
berinovasi dan kreatif, keusahawanan, teknologi maklumat dan komunikasi, kelestarian global
dan pendidikan kewangan diaplikasikan secara menyeluruh dalam penghasilan kandungan buku
teks ini. Selain itu, pendekatan STEM diberikan supaya murid berpeluang untuk mengintegrasikan
pengetahuan, kemahiran dan nilai dalam bidang sains, teknologi, kejuruteraan dan matematik.
Buku ini juga memberikan penekanan terhadap penerapan pemikiran komputasional (PK).



CIRI-CIRI ISTIMEWA DALAM BUKU INI DAN FUNGSINYA

Aktiviti Penerokaan 1 Individu
Aktiviti yang melibatkan murid secara individu, berpasangan atau
Aktiviti Penerokaan 1 Berpasangan berkumpulan yang menggalakkan murid terlibat secara aktif dalam

Aktiviti Penerokaan 1 Berkumpulan proses pembelajaran.

Mendedahkan murid dengan soalan-soalan untuk menguji kefahaman
Latihan Kendiri 1.1
murid mengenai konsep yang dipelajari.
1.1 Mengandungi soalan-soalan untuk menguji sejauh mana penguasaan
Latihan Formatif
murid terhadap topik yang dipelajari.
Menyediakan soalan penyelesaian masalah berserta langkah kerja yang
Aplikasi Matematik
merangkumi situasi kehidupan yang sebenar.
Imbas Kembali Membantu murid mengingat kembali perkara yang telah dipelajari.

Mengemukakan soalan yang memerlukan murid untuk berfikir secara
kreatif dan menguji penguasaan murid.
Sudut Informasi Memberikan informasi tambahan kepada murid untuk lebih menguasai
Sudut Informasi
topik yang dipelajari.
Merangkumi penerangan mengenai sejarah perkembangan matematik
GALERI SEJARAH
dan sumbangan tokoh-tokoh matematik.
Mengandungi aktiviti-aktiviti yang memerlukan perbincangan murid.

v

Memaparkan cara penggunaan kalkulator saintifik dalam
pengiraan matematik.
Memberikan pendedahan kepada murid mengenai aplikasi teknologi
dalam pembelajaran matematik.

Akses QR Memberikan pendedahan kepada murid menggunakan peranti mudah
alih dengan mengimbas kod QR.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Pintar
Tip Pintar Membantu dengan memberikan tip-tip yang berkaitan dengan topik
untuk kegunaan murid.
Kaedah Alternatif
Menyediakan penyelesaian alternatif untuk soalan-soalan tertentu.
Aktiviti penerokaan yang melibatkan pemikiran komputasional
PK merangkumi konsep penaakulan logik, algoritma, pengecaman corak,
peniskalaan dan penilaian.
Pembelajaran Berasaskan Projek membolehkan murid mengaplikasikan
PBP pengetahuan dan kemahiran matematik dalam menyelesaikan masalah
yang melibatkan situasi harian.
SUDUT REFLEKSI
Kesimpulan mengenai keseluruhan bab yang dipelajari.
Latihan Sumatif Soalan-soalan yang berbentuk KBAR dan KBAT untuk mengetahui
tahap penguasaan murid.

Mengandungi soalan KBAT untuk menguji murid berfikir aras tinggi.

Konsep pembelajaran abad ke-21 diaplikasikan untuk meningkatkan
PAK-21
tahap kefahaman murid.
1.3.1 Mewakili standard pembelajaran untuk setiap bab.
TP 1 TP 2 TP 3
Merangkumi tahap penguasaan bagi setiap soalan.
TP 4 TP 5 TP 6
Aktiviti penerokaan yang menerapkan unsur sains, teknologi,
STEM
kejuruteraan dan matematik.






Panduan Mengimbas AR (Augmented Reality)
untuk Animasi Tiga Dimensi yang Interaktif.


Imbas kod QR di sebelah untuk
memuat turun aplikasi.


Gunakan aplikasi tersebut untuk
mengimbas halaman yang mempunyai
ikon AR (halaman 105 dan 106).

vi

Rumus









Bab 1 Sukatan Membulat Bab 4 Pilih Atur dan Gabungan
aKEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Panjang lengkok, s = jq n n!
P =
r (n – r)!
Luas sektor, L = j q n!
1 2
2 n C =
r (n – r)!r!
Rumus Heron = ! s(s – a)(s – b)(s – c), n!
a + b + c Rumus secaman, P =
s = a!b!c!…
2
Bab 5 Taburan Kebarangkalian
Bab 2 Pembezaan
n
P(X = r) = C p q , p + q = 1
r n – r
r
dy dv du Min, m = np
y = uv, = u + v
dx dx dx
s = ! npq
du – u dv X – m
v
y = u , dy = dx dx Z = s
v dx v 2
dy = dy × du Bab 6 Fungsi Trigonometri
dx du dx
2
sin A + kos A = 1
2
Bab 3 Pengamiran sek A = 1 + tan A
2
2
kosek A = 1 + kot A
2
2
Luas di bawah lengkung sin 2A = 2 sin A kos A
kos 2A = kos A − sin A
2
2
b
∫
= y dx atau = 2 kos A – 1
2
a
= 1 – 2 sin A
2
b
= x dy
∫
a tan 2A = 2 tan A
1 – tan A
2
Isi padu kisaran sin (A  B) = sin A kos B  kos A sin B
b
∫
2
= π y dx atau kos (A  B) = kos A kos B  sin A sin B
a tan (A  B) = tan A  tan B
b
∫
= π x dy 1  tan A tan B
2
Muat turun aplikasi percuma imbasan kod QR daripada Google Play,
App Store atau aplikasi lain ke peranti mudah alih pintar anda. Imbas
kod QR dengan aplikasi itu atau layari laman sesawang yang tertera di
sebelah kiri untuk muat turun fail PDF, GeoGebra dan jawapan lengkap.
bit.ly/35acQRN Kemudian, simpan fail yang dimuat turun bagi kegunaan luar talian.
vii

BAB SUKATAN
1 MEMBULAT









KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA










































Radian
Panjang Lengkok Suatu Bulatan
Luas Sektor Suatu Bulatan
Aplikasi Sukatan Membulat


Senarai
Standard
Pembelajaran


bit.ly/2PMc8G3

Pada abad ke-21, teknologi dan inovasi
berkembang dengan begitu pesat.
Bangunan yang mempunyai reka
bentuk yang inovatif akan melonjakkan Euclid (325-265 SM) merupakan seorang
nama sesebuah negara ke tahap ahli matematik Yunani yang berasal dari
yang lebih tinggi. Seseorang arkitek Alexandria. Beliau dikenali dengan hasil
dapat mereka bentuk suatu bangunan kerjanya, iaitu The Elements yang membuat
yang unik dan indah dengan bantuan kajian mengenai geometri.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
peranti yang canggih melalui kreativiti Geometri ialah sebahagian daripada
dan keupayaan inovasi. Namun, matematik yang mengambil berat persoalan
bagaimanakah bangunan ini dapat mengenai saiz, bentuk dan kedudukan relatif
mencapai keharmonian dan dinamik dari rajah dan sifat ruang.
dalam rekaannya? Apakah maklumat
yang diperlukan oleh seorang arkitek Untuk maklumat lanjut:
untuk membina bangunan berbentuk
tembereng major bagi bulatan seperti ini?

bit.ly/2T0pKPR

Kepentingan Bab Ini


Kemahiran Pegawai Kawalan Trafik
Udara membaca dan mentafsir
radar di Pusat Kawalan Trafik Udara
membolehkan pesawat-pesawat
selamat semasa penerbangan tanpa
berlakunya perlanggaran di udara yang
boleh mengakibatkan kecederaan
dan kematian.
Fungsi odometer di dalam kenderaan
adalah untuk mengukur jarak yang
telah dilalui oleh kenderaan dari awal
sehingga akhir perjalanan dengan
menggunakan lilitan tayar dan
bilangan pusingannya.





Radian Radian
Darjah Degree
Pusat bulatan Centre of circle
Jejari Radius
Tembereng Segment
Sektor Sector
Video mengenai Perimeter Perimeter
seni bina berbentuk Panjang lengkok Arc length
bulatan. Luas sektor Area of sector

bit.ly/2OCLqOt
1

1.1 Radian




Rajah di sebelah menunjukkan dua sektor bulatan yang
ditandakan pada papan permainan baling damak dengan jejari 10 cm 18 20 cm
10 cm dan 20 cm, masing-masing mempunyai panjang lengkok 10 cm 10 cm
10 cm dan 20 cm. Perhatikan bahawa dua sektor itu mempunyai 1 rad
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
sudut yang sama. Sudut tersebut ditakrifkan sebagai 1 radian. 6
20 cm
Apakah yang dapat anda katakan tentang ukuran sudut
1 radian itu?
Membuat perkaitan antara ukuran sudut dalam
radian dengan darjah

Dalam sukatan membulat, sistem yang biasa digunakan Sudut Informasi
Sudut Informasi
untuk mengukur sudut adalah dalam sebutan darjah. Walau
bagaimanapun, dalam beberapa cabang matematik, ukuran • “Rad” ialah singkatan
untuk suatu sukatan membulat tidak sesuai dilakukan dalam bagi “Radian”.
darjah. Oleh itu, satu unit baharu yang dikenali sebagai • 1 rad boleh ditulis
r
radian diperkenalkan untuk menunjukkan saiz suatu sudut. sebagai 1 atau 1 . c
Lakukan aktiviti penerokaan berikut untuk mengetahui takrifan satu radian dan seterusnya
membuat perkaitan antara ukuran sudut dalam radian dengan darjah.

Aktiviti Penerokaan 1 Berkumpulan STEM PK

Tujuan: Menerangkan takrifan satu radian dan seterusnya membuat perkaitan
antara ukuran sudut dalam radian dengan darjah
Langkah:
bit.ly/2QoD7I1
1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah.
2. Setiap kumpulan akan melakukan setiap aktiviti berikut dan catatkan sudut yang
tercangkum di pusat bulatan.

Seret gelongsor a supaya panjang lengkok, s sama dengan jejari bulatan, j.

Seret gelongsor a sehingga panjang lengkok, s ialah dua kali jejari bulatan, j.

Seret gelongsor a sehingga panjang lengkok, s ialah tiga kali jejari bulatan, j.

Seret gelongsor a sehingga panjang lengkok, s membentuk semibulatan.

Seret gelongsor a sehingga panjang lengkok, s melalui satu putaran lengkap.

3. Berdasarkan hasil dapatan yang diperoleh, takrifkan sudut yang berukuran 1 radian.
Seterusnya, tuliskan perkaitan antara ukuran radian dengan darjah bagi sudut yang
tercangkum di pusat bulatan.
4. Daripada perkaitan tersebut, berapakah anggaran sudut 1 radian dalam darjah dan
anggaran sudut 1° dalam radian? Bincangkan.
2 1.1.1

Sukatan Membulat
Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 1, takrifan satu radian boleh GALERI SEJARAH
diberikan seperti yang berikut: BAB
1
B
Satu radian ialah ukuran sudut j j
yang tercangkum di pusat sebuah 1 rad
bulatan oleh lengkok yang sama O j A
panjang dengan jejari bulatan itu.
Gottfried Wilhelm
Leibniz merupakan
seorang cendekiawan
Secara amnya, bagi sebuah bulatan berpusat O dan berjejari j unit: matematik Jerman yang
memperkenalkan satu
Jika panjang lengkok AB = j, maka ˙AOB = 1 radian. kaedah untuk mengira
Jika panjang lengkok AB = 2j, maka ˙AOB = 2 radian. π = 3.142 tanpa merujuk
kepada bulatan. Beliau juga
Jika panjang lengkok AB = 3j, maka ˙AOB = 3 radian.
π
membuktikan bahawa
Jika panjang lengkok AB = πj, maka ˙AOB = π radian. 4
boleh ditentukan
Jika panjang lengkok AB = 2πj, maka ˙AOB = 2π radian. dengan menggunakan
rumus berikut.
Perhatikan bahawa AB = 2πj bermaksud OA telah π 1 1 1
3
7
5
membuat satu putaran lengkap, iaitu OA telah bergerak melalui 4 = 1 – + –
1
1
sudut 360°. Hubungan antara ukuran sudut dalam radian dengan + – 11 + …
9
darjah adalah seperti yang berikut.
2π rad = 360°
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
π rad = 180°
Saiz bagi sudut 1 radian
adalah lebih kecil daripada
Jadi, apabila π = 3.142, sudut 60°. Apakah
1 rad = 180° ≈ 57.29° kelebihan menggunakan
π sudut dalam radian
π berbanding dengan sudut
dan 1° = ≈ 0.01746 rad
180° dalam darjah? Bincangkan.
Contoh 1

Tukarkan setiap sudut yang berikut kepada darjah.
[Guna π = 3.142] Mencari penyelesaian
2 dalam Contoh 1(b) dengan
(a) π rad (b) 2.25 rad menggunakan kalkulator
5
saintifik.
Penyelesaian 1. Tekan
(a) π rad = 180° (b) π rad = 180°
2 2 180° 180° 2. Tekan
π rad = π × 2.25 rad = 2.25 ×
5 5 π π
2 3. Skrin akan memaparkan
= × 180° = 2.25 × 180°
5 3.142
= 72°
= 128° 54


1.1.1 3

Contoh 2 Tip Pintar
Pintar
(a) Tukarkan 40° dan 150° kepada radian, dalam sebutan π. Sudut-sudut khusus:
(b) Tukarkan 110° 30 dan 320° kepada radian.
[Guna π = 3.142] Sudut Sudut
dalam dalam
Penyelesaian darjah radian
0° 0
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
(a) 180° = π rad (b) 180° = π rad π
π π 30° 6
40° = 40° × 110° 30 = 110° 30 ×
180° 180° 36° π
2 3.142 5
= π rad = 110° 30 ×
9 180° 45° π
π = 1.929 rad 4
150° = 150° × π
180° 320° = 320° × π 60° 3
5 180°
= π rad π
6 3.142 90° 2
= 320° ×
180° 180° π
= 5.586 rad 3
270° 2 π
360° 2π
Latihan Kendiri 1.1

1. Tukarkan setiap sudut yang berikut kepada darjah. [Guna π = 3.142]
π 3
(a) rad (b) π rad (c) 0.5 rad (d) 1.04 rad
8 4
2. Tukarkan setiap sudut yang berikut kepada radian, dalam sebutan π.
(a) 18° (b) 120° (c) 225° (d) 300°


1.1
Latihan Formatif Kuiz bit.ly/2OvH6l0


1. Tukarkan setiap sudut yang berikut kepada darjah. [Guna π = 3.142]
7 1
(a) π rad (b) 1 π rad (c) 2 rad (d) 4.8 rad
12 3
2. Tukarkan setiap sudut yang berikut kepada radian. Berikan jawapan betul kepada tiga
tempat perpuluhan. [Guna π = 3.142]
(a) 76° (b) 139° (c) 202.5° (d) 320° 10

3. Dalam setiap rajah berikut, POQ ialah sektor bagi sebuah bulatan berpusat O. Tukarkan
setiap sudut POQ yang berikut kepada radian. [Guna π = 3.142]
(a) (b) (c) (d)
Q P P
Q
O
O
118° 150.5°
73° O P 220°
O Q
P Q

4 1.1.1

Sukatan Membulat
1.2 Panjang Lengkok Suatu Bulatan BAB

1

Rajah di sebelah menunjukkan seorang budak perempuan
sedang bermain buaian. Buaian dengan panjang 2.5 m itu 2.5 m
berayun dan membentuk lengkok suatu bulatan yang melalui
sudut 1.7 rad. Berapakah panjang lengkok yang telah dilalui
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
oleh budak perempuan itu dalam ayunan tersebut?
Apakah rumus yang perlu digunakan untuk
menyelesaikan masalah ini?
Menentukan panjang lengkok, jejari dan sudut
tercangkum di pusat bulatan

Aktiviti Penerokaan 2 Berkumpulan PAK-21 STEM PK

Tujuan: Menerbitkan rumus panjang lengkok bagi suatu bulatan berpusat O
Langkah:
1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah. ggbm.at/ecuneh4d
2. Gerakkan titik A atau titik B pada lilitan bulatan untuk mengubah
panjang lengkok AB.
3. Perhatikan panjang lengkok AB dan sudut AOB dalam darjah yang terbentuk di pusat
bulatan apabila titik A atau titik B itu berubah.
4. Apakah yang dapat anda perhatikan pada nilai bagi nisbah Panjang lengkok minor AB
Lilitan bulatan
dan juga Sudut AOB ? Adakah nilai kedua-dua nisbah itu sama?
360°
5. Seretkan gelongsor L untuk mengubah saiz bulatan. Adakah nilai kedua-dua nisbah itu
juga berubah atau masih sama?
6. Seterusnya, terbitkan rumus untuk mencari panjang lengkok minor bagi sebuah bulatan.
7. Catatkan semua pemerhatian ahli kumpulan anda pada sehelai kertas.
8. Setiap kumpulan akan melakukan pembentangan di hadapan kelas bagi setiap hasil dapatan
yang diperoleh dan seterusnya membuat kesimpulan terhadap aktiviti yang dilakukan.


Daripada Aktiviti Penerokaan 2, didapati bahawa panjang lengkok berkadaran dengan sudut
pada pusat bulatan.
Panjang lengkok minor AB Lilitan bulatan
= B
∠AOB 360°
j
Panjang lengkok minor AB 2πj
= θ
q 360° O j A

2πj
Panjang lengkok minor AB = × q
360°

dengan q ialah sudut dalam darjah yang tercangkum di pusat bulatan O dan berjejari j unit.

1.2.1 5

Walau bagaimanapun, jika ˙AOB diukur dalam radian,
Sudut Informasi
Sudut Informasi
Panjang lengkok minor AB Lilitan bulatan
= B
q 2π Simbol q yang dibaca
s 2πj j s sebagai “téta” ialah huruf
=
q 2π θ kelapan dalam abjad Yunani
2πj O j A dan sering kali digunakan
s = × q untuk mewakili suatu sudut.
2π
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
s = jq

Secara amnya,
s = jq
Daripada takrifan radian,
dengan s ialah panjang lengkok bagi sebuah bulatan berjejari bolehkah anda terbitkan
j unit dan q radian ialah sudut yang tercangkum oleh lengkok di rumus s = jq?  
pusat bulatan O.


Contoh 3

Cari panjang lengkok, s bagi setiap sektor POQ berpusat O yang berikut.
[Guna π = 3.142]
(a) (b) (c)
s
P P s
s
5 cm 6 cm 2 – π rad O 10 cm Q
Q 3
140°
0.9 rad O
O Q P

Penyelesaian
(a) Panjang lengkok, s = jq (b) Panjang lengkok, s = jq
2
s = 5 × 0.9 s = 6 × π
s = 4.5 cm 3
s = 4π
s = 4(3.142)
s = 12.57 cm

(c) Sudut refleks POQ dalam radian
= (360° – 140°) × π
180° Imbas Kembali
3.142
= 220° ×
180° Saiz sudut bagi sudut refleks
ialah 180° , q , 360°.
= 3.84 rad
Panjang lengkok, s = jq
s = 10 × 3.84 θ
s = 38.4 cm



6 1.2.1

Sukatan Membulat
Contoh 4 Imbas Kembali BAB

Rajah di sebelah menunjukkan 1.4 cm
B Sektor Lengkok 1
sebahagian daripada bulatan C major major
berpusat O dan berjejari j cm. 2.6 cm Sektor
Diberi ˙AOB = 1.3 rad dan minor
panjang lengkok AB dan BC 1.3 rad O Lengkok
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
masing-masing ialah 2.6 cm A O
j cm minor
dan 1.4 cm. Hitung
(a) nilai j, Perentas
Tembereng
(b) ˙BOC, dalam radian.
Penyelesaian
(a) Dalam sektor AOB, (b) Dalam sektor BOC, Akses QR
s = 2.6 cm dan s = 1.4 cm dan j = 2 cm.
q = 1.3 rad. Jadi, s = jq
Maka, s = jq s Mengenal suatu bulatan.
s q = j
j =
q 1.4
j = 2.6 q = 2
1.3 q = 0.7 rad
j = 2 cm bit.ly/2tPcmnj
Maka, ˙BOC = 0.7 rad.


Latihan Kendiri 1.2

1. Cari panjang lengkok MN, dalam cm, bagi setiap sektor MON berpusat O yang berikut.
[Guna π = 3.142]
(a) (b) M (c) (d)
M N

M
5 cm O M
12 cm 2 rad O 5 10 cm
– π rad
O 6 2.45 rad
1.1 rad 8 cm P
O
N N N

2. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah bulatan berpusat O.
E
Diberi panjang lengkok major EF ialah 25 cm dan
˙EOF = 1.284 rad, cari 25 cm 1.284 rad
(a) jejari, dalam cm, bulatan itu, O
(b) panjang lengkok minor EF, dalam cm. F
[Guna π = 3.142]
3. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah semibulatan OPQR Q
berjejari 5 cm. Diberi panjang lengkok QR ialah 5.7 cm, hitung
5.7 cm
(a) nilai q, dalam radian,
(b) panjang lengkok PQ, dalam cm. θ
[Guna π = 3.142] P 5 cm O R

1.2.1 7

Menentukan perimeter tembereng suatu bulatan

Kawasan berwarna pada rim tayar basikal yang berjejari
31 cm dalam rajah di sebelah merupakan tiga tembereng yang
sama saiz bagi sebuah bulatan. Perimeter bagi satu daripada
tembereng itu ialah hasil tambah semua sempadannya.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Dengan menggunakan rumus panjang lengkok,
s = jq dan petua lain yang sesuai, dapatkah anda
menentukan perimeter bagi satu daripada tembereng itu?

Contoh 5
Kaedah Alternatif
Rajah di sebelah menunjukkan sebuah
A Untuk mencari panjang
bulatan dengan pusat O dan berjejari
10 cm. Perentas AC mencangkum 114° perentas AC, lukis satu garis
OD yang berserenjang
sudut 114° pada pusat O. Hitung
O B dengan AC.
perimeter tembereng berlorek ABC. Dalam ∆ COD,
[Guna π = 3.142] 10 cm ˙COD = 114°
2
C
Penyelesaian = 57
sin ˙COD = CD
Oleh sebab 180° = π rad, maka kita peroleh OC
π Jadi, CD = OC sin ˙COD
114° = 114° ×
180° = 10 sin 57
= 1.990 rad = 8.3867 cm
Oleh itu, AC = 2CD
Panjang lengkok ABC = jq = 2(8.3867)
= 10 × 1.990 = 16.77 cm
= 19.90 cm

Dengan menggunakan petua kosinus, panjang perentas AC ialah
2
2
2
AC = 10 + 10 – 2(10)(10) kos 114°
AC = ! 200 – 200 kos 114° Adakah panjang AC
= 16.77 cm dapat dicari dengan
menggunakan petua sinus,
Maka, perimeter tembereng berlorek ABC = 19.90 + 16.77 a = b = c ?
= 36.67 cm sin A sin B sin C

Latihan Kendiri 1.3

1. Bagi setiap bulatan berpusat O yang berikut, hitung perimeter, dalam cm, tembereng
berlorek ABC. [Guna π = 3.142]
(a) (b) (c) B (d)
B
C A
– rad
2.5 rad π
A 3 O
120° C
O 8 cm 9 cm C
O B O
A 6 cm
10 cm 15 cm
C A
B
8 1.2.2

Sukatan Membulat
2. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada sebuah P
bulatan berpusat O dan berjejari 7 cm. Diberi bahawa panjang 14 cm BAB
lengkok PQ ialah 14 cm, cari 1
(a) sudut q, dalam darjah, 7 cm
(b) perimeter tembereng berlorek, dalam cm. θ
O
Q
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

Menyelesaikan masalah yang melibatkan panjang lengkok

Pengetahuan dan kemahiran menukarkan ukuran sudut dalam darjah kepada radian dan
sebaliknya serta menggunakan rumus panjang lengkok, s = jq atau rumus lain yang sesuai boleh
menyelesaikan banyak masalah dalam kehidupan harian yang melibatkan panjang lengkok bagi
suatu bulatan.

Contoh 6 Aplikasi Matematik
P Q
Rajah di sebelah menunjukkan kawasan lontaran bagi suatu acara
lontar peluru di sebuah padang sekolah. Kawasan lontaran itu terdiri
daripada dua buah sektor bulatan AOB dan POQ yang berpusat di O. 8 m
Diberi bahawa ˙AOB = ˙POQ = 50°, OA = 2 m dan AP = 8 m. Hitung
A B
perimeter, dalam m, kawasan berwarna ABQP. [Guna π = 3.142]
2 m
O
Penyelesaian


1 . Memahami masalah 2 . Merancang strategi

Kawasan lontaran terdiri daripada Tukarkan sudut 50° kepada radian dan
dua buah sektor bulatan AOB dan gunakan rumus s = jq untuk mencari
POQ berpusat O. panjang lengkok AB dan PQ.
Sektor bulatan AOB berjejari 2 m, Perimeter kawasan berwarna ABQP
AP = 8 m dan ˙AOB = ˙POQ = 50°. boleh ditentukan dengan menambah
semua sempadan kawasan itu.


3 . Melaksanakan strategi

180° = π rad
3.142
50° = 50° ×
180°
= 0.873 rad
Panjang lengkok AB, s = jq Maka, perimeter kawasan berwarna ABQP
s = 2(0.873) = panjang lengkok AB + BQ
s = 1.746 m + panjang lengkok PQ + AP
Panjang lengkok PQ, s = jq = 1.746 + 8 + 8.73 + 8
s = 10(0.873) = 26.48 m
s = 8.73 m


1.2.2 1.2.3 9

4 . Membuat refleksi

50° Maka, perimeter kawasan berwarna
Panjang lengkok AB = (2)(3.142)(2)
360° ABQP
= 1.746 m = panjang lengkok AB + BQ
50° + panjang lengkok PQ + AP
Panjang lengkok PQ = (2)(3.142)(10)
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
360° = 1.746 + 8 + 8.73 + 8
= 8.73 m = 26.48 m


Latihan Kendiri 1.4


1. Dalam setiap rajah berikut, hitung perimeter, dalam cm, kawasan berlorek.
(a) (b) (c)
C C
5 cm A O
3 cm
A 10 cm B
4 cm 110°
O D C
O B D 3 cm B 1 cm A 0.5 rad

2. Bandar Raya Washington di Amerika Syarikat dan Bandar Raya Lima di Peru terletak pada
longitud yang sama masing-masing dengan latitud 38.88° U dan 12.04° S. Diberi bumi
yang berbentuk sfera mempunyai jejari 6 371 km, anggarkan jarak, dalam km, di antara dua
bandar raya itu.
3. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada
O
trek larian yang berbentuk semibulatan. Fazura ingin 25 m
menghantar baton kepada Jamilah yang sedang 85°
menunggu 85° jauhnya dari Fazura. Berapakah jarak
yang Fazura perlu lari untuk menghantar baton Fazura Jamilah
Fazura
Jamilah
kepada Jamilah?
4. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah tingkap yang
terdiri daripada bentuk segi empat tepat dan semibulatan.
Lebar tingkap itu ialah 70 cm dan tinggi tingkap
berbentuk segi empat tepat ialah 100 cm. Cari
(a) panjang lengkok, dalam cm, tingkap yang berbentuk 100 cm
semibulatan itu,
(b) perimeter, dalam cm, keseluruhan tingkap itu.
70 cm
5. Rajah di sebelah menunjukkan rantai yang 25 cm
dipasang pada gegancu hadapan dan belakang
sebuah basikal. Diberi bahawa lilitan gegancu
hadapan dan belakang masing-masing ialah
50.8 cm dan 30.5 cm. Hitung panjang, dalam cm, 160°
rantai basikal itu. 25 cm
185°
10 1.2.3

Sukatan Membulat


1.2 BAB
Latihan Formatif Kuiz bit.ly/2L6AZBv 1


1. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah bulatan berpusat O.
Panjang lengkok minor RS ialah 15 cm dan sudut sektor R
major ROS ialah 275°. Cari 15 cm O 275°
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
(a) sudut sektor minor ROS, dalam radian,
(b) jejari, dalam cm, bulatan itu. S

2. Rajah di sebelah menunjukkan sektor UOV berpusat O. U
Diberi panjang lengkok UV ialah 5 cm dan perimeter sektor 5 cm
UOV ialah 18 cm. Cari nilai q, dalam radian.
θ
O V
3. Rajah di sebelah menunjukkan sektor EOF bagi sebuah
bulatan berpusat O. Diberi bahawa OG = 4 cm dan E
OE = 5 cm, cari 5 cm
(a) nilai q, dalam radian,
(b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek. θ
O F
4 cm G
4. Rajah di sebelah menunjukkan dua sektor OPQ dan ORS R
dengan pusat O dan masing-masing berjejari 2h cm dan P
3h cm. Diberi ˙POQ = 0.5 radian dan perimeter kawasan
2h
berlorek PQSR ialah 18 cm, cari
(a) nilai h, dalam cm, O 0.5 rad
(b) beza, dalam cm, antara panjang lengkok RS dan PQ. Q S
3h

5. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada
M
bulatan berpusat O dan berjejari 10 cm. Tangen di
10 cm
titik M dan titik N pada lilitan bulatan itu bertemu
di titik P dan ˙MON = 51°, hitung
O 51° P
(a) panjang lengkok MN, dalam cm,
(b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek.

N

6. Sebuah jam dinding mempunyai bandul dengan panjang 36 cm. Jika bandul itu berayun
melalui sudut 21°, cari jumlah jarak, dalam cm, yang dilalui bandul itu dalam satu
ayunan lengkap.
7. Rajah di sebelah menunjukkan ukuran bagi sebuah tayar 14 cm
kereta. Berapa jauhkah, dalam m, tayar itu telah bergerak
setelah membuat 38 cm
(a) 50 pusingan lengkap?
(b) 1 000 pusingan lengkap? 14 cm
[Guna π = 3.142]

11

1.3 Luas Sektor Suatu Bulatan




Sekeping piza berjejari 10 cm dipotong kepada 10 potongan
yang sama saiz. Bolehkah anda anggarkan luas permukaan
setiap potongan piza itu?
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Apakah rumus yang boleh digunakan untuk menyelesaikan
masalah ini?

Menentukan luas sektor, jejari dan sudut tercangkum di pusat bulatan


Luas sektor sebuah bulatan merupakan rantau yang dibatasi oleh satu lengkok dan dua jejari.
Aktiviti penerokaan yang berikut menunjukkan cara untuk menerbitkan rumus luas sektor suatu
bulatan dengan menggunakan perisian geometri dinamik GeoGebra.
Aktiviti Penerokaan 3 Berkumpulan PAK-21 STEM PK


Tujuan: Menerbitkan rumus luas sektor suatu bulatan berpusat O
Langkah:
1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah. ggbm.at/kvwsaz9f
2. Gerakkan titik A atau titik B pada lilitan bulatan untuk mengubah luas
sektor minor AOB.
3. Perhatikan luas sektor AOB dan sudut AOB dalam darjah yang terbentuk di pusat bulatan
apabila titik A atau titik B itu berubah.
4. Apakah yang dapat anda perhatikan pada nilai bagi nisbah Luas sektor minor AOB dan
Luas bulatan
juga Sudut AOB ? Adakah nilai kedua-dua nisbah itu sama?
360°
5. Seretkan gelongsor L untuk mengubah saiz bulatan. Adakah nilai kedua-dua nisbah itu
juga berubah atau masih sama?
6. Seterusnya, terbitkan rumus untuk mencari luas sektor minor bagi sebuah bulatan.
Catatkan semua pemerhatian ahli kumpulan anda pada sehelai kertas.
7. Setiap kumpulan akan melakukan pembentangan di hadapan kelas bagi setiap hasil dapatan
yang diperoleh dan seterusnya membuat kesimpulan terhadap aktiviti yang dilakukan.
8. Ahli daripada kumpulan yang lain akan memberikan respons terhadap pembentangan
yang dilakukan.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 3, didapati bahawa:
Luas sektor minor AOB = Luas bulatan B
∠AOB 2 360° j
Luas sektor minor AOB = πj O θ
q 360°
j
πj 2
Luas sektor minor AOB = × q A
360°
dengan q ialah sudut dalam darjah yang tercangkum di pusat bulatan O dan berjejari j unit.
12 1.3.1

Sukatan Membulat
Walau bagaimanapun, jika ˙AOB = q diukur dalam radian, BAB

Luas sektor minor AOB = Luas bulatan Akses QR
q 2π B 1
L πj 2 j Kaedah lain untuk
= menerbitkan rumus luas
q 2π
πj 2 O θ L sektor suatu bulatan,
L = × q L = j q.
1 2
2π j 2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
1 2
L = j q A
2
Secara amnya,
L = j q bit.ly/2XYrKZE
1 2
2
dengan L adalah luas sektor bagi sebuah bulatan berjejari j unit
dan q radian ialah sudut yang tercangkum oleh sektor di pusat
bulatan O.

Contoh 7

Cari luas sektor, L bagi setiap sektor MON berpusat O yang berikut. [Guna π = 3.142]
(a) (b) (c)
M
M O M
2.2 rad
12 cm 8 cm O 124°
N 1.7 rad 10 cm
O N N

Penyelesaian

1 2
(a) Luas sektor, L = j q (b) Luas sektor, L = j q
1 2
2 2
1 2 1 2
L = (12) (1.7) L = (8) (2.2)
2 2
1 1


L = (144)(1.7) L = (64)(2.2)
2 2
L = 122.4 cm L = 70.40 cm 2
2

(c) Sudut refleks MON dalam radian
Sudut Informasi
π Sudut Informasi
= (360° – 124°) ×
180°
3.142 Luas, L bagi suatu sektor
= 236° ×
180° bulatan ialah L = j q,
1 2
= 4.12 rad 2
dengan q ialah sudut dalam
Luas sektor, L = j q radian. Oleh sebab s = jq,
1 2
2 kita peroleh:
1
2
L = (10) (4.12) L = j( jq )
1
2 2
1 1
L = (100)(4.12) L = js
2 2
2
L = 206 cm
1.3.1 13

Contoh 8
P
Rajah di sebelah menunjukkan sektor POQ yang bersudut q radian j cm
dan berjejari j cm. Diberi luas sektor POQ ialah 35 cm , cari
2
(a) nilai j jika q = 0.7 rad, θ O
(b) nilai q jika jejari ialah 11 cm.
Q
Penyelesaian
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
2
(a) Luas sektor POQ = 35 cm (b) Luas sektor POQ = 35 cm 2
j q = 35
1 2 1 2
j q = 35
2 2
1
1 2 (11) q = 35
2
j (0.7) = 35
2 2
35 × 2
j = 1 (121)q = 35
2
0.7 2
2
j = 100 35 × 2
q =
j = ! 100 121
j = 10 cm q = 0.5785 rad
Latihan Kendiri 1.5
2
1. Bagi setiap sektor bulatan AOB berpusat O yang berikut, tentukan luasnya, dalam cm .
[Guna π = 3.142]
(a) (b) (c) (d) A
A 5
– π rad
3
O
1.1 rad 10 cm A O 135°
2.15 rad O
6 cm 5 cm
O 20 cm
A B B B B

2
2. Suatu sektor bulatan berjejari 5 cm mempunyai perimeter 16 cm. Cari luas, dalam cm ,
sektor itu.

3. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah sektor major EOF E
berpusat O dan berjejari j cm dengan luas 195 cm . Hitung
2
(a) nilai j, dalam cm,
O j cm
(b) panjang lengkok major EF, dalam cm,
(c) perimeter, dalam cm, sektor major EOF. 3.9 rad F


4. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah sektor VOW
berpusat O dan berjejari 10 cm. Diberi bahawa luas sektor O 10 cm
2
itu ialah 60 cm , hitung θ V
(a) nilai q, dalam radian,
(b) panjang lengkok VW, dalam cm,
(c) perimeter, dalam cm, sektor VOW. W

14 1.3.1

Sukatan Membulat

Menentukan luas tembereng suatu bulatan BAB
1
Rajah di sebelah menunjukkan sehelai alas meja yang berbentuk
sebuah bulatan berpusat O dengan corak berbentuk heksagon
terterap di dalamnya. Renda yang dijahit di sekeliling heksagon pula
merupakan tembereng bagi alas meja itu. Apakah maklumat yang
O O
diperlukan untuk mencari luas setiap renda itu?
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
1 2
Dengan menggunakan rumus luas sektor, L = j q dan rumus
2
lain yang bersesuaian, masalah seperti ini boleh diselesaikan dengan
mudah dan cepat.
Contoh 9

Bagi setiap sektor POQ berpusat O yang berikut, cari luas, dalam cm , tembereng PRQ.
2
[Guna π = 3.142]
(a) (b)
Q
Q R 3.5 cm

O 4 cm R
2.2 rad

O 6 cm
P P
Kaedah Alternatif
Penyelesaian

180° Q
(a) 2.2 rad = 2.2 ×
3.142
= 126° 2 S
Luas sektor POQ = j q 63°1'
1 2
2 O 6 cm P
1
2
= (6) (2.2)
2 Dalam ∆ POQ,
= 39.60 cm ∠POS = 126° 2
2
2
1
Luas ∆ POQ = (OP)(OQ) sin ˙POQ = 63° 1
2 PS
1 sin 63° 1 =
= (6)(6) sin 126° 2 6
2 PS = 6 × sin 63° 1
= 14.56 cm 2 = 5.3468 cm
PQ = 2PS
Luas tembereng PRQ = 39.60 – 14.56 = 2 × 5.3468
2
= 25.04 cm = 10.6936 cm
QS Q
(b) Dalam ∆ QOP, sin ˙QOS = OS = ! 6 – 5.3468 2
2
OQ 3.5 cm = 2.7224 cm
= 2 2 cm Jadi, luas ∆ POQ

3.5 O S 1
˙QOS = 34° 51 = × PQ × OS
2
1
= × 10.6936 × 2.7224
2
= 14.56 cm 2
P
1.3.2 15

π
Jadi, ˙POQ = (2 × 34° 51) ×
180° Imbas Kembali
3.142
= 69° 42 ×
180° C
= 1.217 rad
b a
Luas sektor POQ = j q
1 2
2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
= 1 (3.5) (1.217) A c B
2
2

= 7.454 cm (a) Luas ∆ABC
2
1
3.5 + 3.5 + 4 = ab sin C
Dalam ∆ POQ, semiperimeter, s = 2
2 1
s = 5.5 cm = ac sin B
2
1
Luas ∆ POQ = ! s(s – p)(s – q)(s – o) = bc sin A
2
= ! 5.5(5.5 – 3.5)(5.5 – 3.5)(5.5 – 4) (b) Rumus luas segi tiga
menggunakan Rumus
= ! 5.5(2)(2)(1.5)
Heron:

= ! 33 Luas ∆ABC
2
= 5.745 cm = ! s(s – a)(s – b)(s – c),
dengan s = a + b + c
Luas tembereng PRQ = 7.454 – 5.745 2
2
= 1.709 cm ialah semiperimeter.
Latihan Kendiri 1.6
1. Bagi setiap sektor AOB berpusat O yang berikut, cari luas tembereng ACB.
[Guna π = 3.142]
(a) (b) (c) (d) A
C C A
A 5 cm C
A B 9 cm
2 C 58° O 15 cm
1.5 rad – π rad
7 cm 3
O
B
O O 10 cm B B

2. Rajah di sebelah menunjukkan sektor MON bagi sebuah bulatan M
berpusat O dan berjejari 3 cm. Diberi panjang lengkok minor MN 3 cm
ialah 5 cm, cari O 5 cm
(a) ˙MON, dalam darjah,
2
(b) luas tembereng berlorek, dalam cm . N
H
3. Rajah di sebelah menunjukkan sektor HOK bagi sebuah bulatan
berpusat O dan berjejari 4 cm. Panjang perentas HK adalah sama
dengan jejari bulatan itu. Hitung K 4 cm O
(a) ˙HOK, dalam radian,
(b) luas tembereng berlorek, dalam cm .
2
16 1.3.2

Sukatan Membulat

Menyelesaikan masalah yang melibatkan luas sektor BAB
1
1 2
Pengetahuan dan kemahiran menggunakan rumus luas sektor, L = j q atau rumus lain yang
2
sesuai boleh menyelesaikan banyak masalah yang melibatkan luas sektor bagi suatu bulatan
dalam kehidupan harian.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Contoh 10 Aplikasi Matematik

Rajah di sebelah menunjukkan sebuah kipas kertas
yang dibuka sepenuhnya. Bahagian PQNM merupakan
bahagian yang diliputi dengan kertas. Diberi bahawa
OP = 15 cm, OM : MP = 2 : 3 dan ∠POQ = 120°, P 120°
2
hitung luas, dalam cm , kawasan yang diliputi oleh M N Q
kertas itu. O

Penyelesaian



1 . Memahami masalah 2 . Merancang strategi

PQNM ialah bahagian yang diliputi Cari panjang OM menggunakan nisbah
dengan kertas apabila sebuah kipas OM : MP = 2 : 3.
kertas dibuka sepenuhnya. Tukar 120° kepada radian dan gunakan
Diberi OP = 15 cm, OM : MP = 2 : 3 1 2
dan ∠POQ = 120°. rumus L = j q untuk mencari luas
2
Cari luas, dalam cm , kawasan yang sektor POQ dan luas sektor MON.
2
diliputi oleh kertas. Tolakkan luas sektor MON daripada
luas sektor POQ untuk mencari luas
kawasan yang diliputi oleh kertas.



3 . Melaksanakan strategi


2
1 2
OM = × OP Luas sektor POQ, L = j q
5 2
2 1
= × 15 L = (15) (2.0947)
2
5 2
= 6 cm L = 235.65 cm 2
π 1 2
q dalam radian = 120° × Luas sektor MON, L = j q
180° 2
1
3.142 L = (6) (2.0947)
2
= 120° ×
180° 2
= 2.0947 rad L = 37.70 cm 2
Maka, luas kawasan yang diliputi oleh kertas
= 235.65 – 37.70
= 197.95 cm 2

1.3.3 17

4 . Membuat refleksi
Tip Pintar
Pintar
120°
Luas sektor POQ, L = × 3.142 × 15 2
360°
2
L = 235.65 cm A
120° j
Luas sektor MON, L = × 3.142 × 6 2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
360° θ L
L = 37.70 cm O B
2
Maka, luas kawasan yang diliputi oleh kertas Jika q diukur dalam darjah,
= 235.65 – 37.70 maka luas sektor bulatan,
q
2
2
= 197.95 cm L = 360° × π j .


Latihan Kendiri 1.7

1. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah taman SRT yang
berbentuk semibulatan berpusat O dan berjejari 12 m. R
16 m
Kawasan berumput PQR berbentuk sektor bulatan 16 m
berpusat Q dan berjejari 16 m. Kawasan berwarna
coklat cair pula akan dipagar dan ditanam dengan pokok 14 m
bunga. Diberi panjang lengkok PR ialah 14 m, cari
(a) panjang pagar, dalam m, yang digunakan untuk S P O Q T
memagar kawasan tanaman pokok bunga, 12 m
2
(b) luas kawasan, dalam m , tanaman pokok bunga itu.
2. Rajah di sebelah menunjukkan keratan rentas paip air berjejari
12 cm. Air mengalir melalui paip itu dengan ketinggian h cm
dan kelebaran mengufuknya, EF ialah 18 cm. Hitung 12 cm O
(a) nilai h,
(b) luas kawasan, dalam cm , keratan rentas yang h cm E 18 cm
2
mengandungi air. F
3. Rajah di sebelah menunjukkan dua keping cakera
padat masing-masing dengan jejari 11 cm dan 7 cm
A
menyentuh antara satu sama lain di R. Kedua-dua
R
keping cakera itu terletak di atas garis lurus PDCQ. B
11 cm
(a) Hitung ˙BAD, dalam darjah. 7 cm
2
(b) Seterusnya, cari luas, dalam cm , kawasan berlorek. P D C Q
4. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah jam dinding yang
menunjukkan pukul 10:10 pagi. Diberi panjang jarum minit
bagi jam itu ialah 8 cm. Cari
(a) luas sektor, dalam cm , yang disurih oleh jarum minit
2
itu apabila waktu menunjukkan jam 10:30 pagi,
(b) sudut gerakan jarum minit itu, dalam radian, jika luas
2
sektor yang disurihnya ialah 80 cm .
18 1.3.3

Sukatan Membulat


1.3 BAB
Latihan Formatif Kuiz bit.ly/2rI5G9f 1


1. Rajah di sebelah menunjukkan sektor AOB berpusat O dan B
sektor PAQ berpusat A. Diberi OB = 6 cm, OP = AP,
˙PAQ = 0.5 rad dan panjang lengkok AB ialah 4.2 cm. 6 cm 4.2 cm
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Hitung Q
(a) nilai q, dalam radian, θ
(b) luas, dalam cm , kawasan berlorek. O P A
2
0.5 rad
2. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah sektor VOW dengan V
pusat O dan berjejari 5 cm. Diberi OW = OV = VW, cari
(a) nilai q, dalam radian,
2
(b) luas, dalam cm , tembereng berlorek VW.
θ
O
5 cm W
3. Sebuah kon berongga mempunyai jejari 3 cm dan
Q
tinggi 4 cm. Kon itu dibuka dan dibentangkan untuk
membentuk sektor POQ seperti yang ditunjukkan
4 cm
dalam rajah di sebelah. Diberi ˙POQ = q radian, cari O
(a) nilai q, P θ
(b) luas, dalam cm , sektor POQ. 3 cm
2
4. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat O K
4 cm
dan jejari 4 cm. Diberi panjang lengkok minor KL ialah 7 cm.
(a) Nyatakan nilai q, dalam radian. O θ 7 cm
2
(b) Cari luas sektor major KOL, dalam cm .
L
5. Dalam rajah di sebelah, O ialah pusat bulatan yang berjejari 9 cm.
Lengkok minor AB mencangkum sudut 140° pada pusat bulatan A 9 cm
O dengan tangen-tangen di A dan B bertemu di C. Hitung O
(a) AC, dalam cm, 140°
2
(b) luas, dalam cm , lelayang OACB, B
2
(c) luas, dalam cm , sektor minor OAB,
2
(d) luas, dalam cm , kawasan berlorek. C
6. Rajah di sebelah menunjukkan tingkap udara di sebuah dewan.
PQR ialah lengkok major bagi bulatan berpusat S. Garis OP Q
dan OR ialah tangen-tangen kepada bulatan itu. Saiz empat
S
panel yang lain adalah sama dengan panel OPQR. O ialah P R
pusat bagi tingkap udara yang menyentuh lengkok PQR di Q.
6 cm 60°
Diberi OS = 6 cm dan ˙OSR = 60°. O
(a) Tunjukkan bahawa RS = 3 cm.
2
(b) Hitung luas, dalam cm , panel OPQR.
(c) Tingkap itu mempunyai simetri putaran di O dengan
2
peringkat n, cari nilai n dan luas, dalam cm , kawasan T
berlabel T di antara dua panel.
19

1.4 Aplikasi Sukatan Membulat




Teliti dua situasi dalam kehidupan harian yang berikut.

Pelangi ialah suatu fenomena optik yang merupakan
spektrum berwarna berbentuk gerbang. Pelangi terbentuk
apabila matahari memancarkan cahaya semasa atau
sejurus selepas hujan. Gerbang pelangi seperti yang
ditunjukkan dalam gambar di sebelah merupakan
lengkok bagi sebuah bulatan. Menggunakan rumus yang
telah dipelajari dan bantuan teknologi terkini, bolehkah
anda tentukan panjang lengkoknya itu?





Keratan rentas bagi terowong kereta api
kebanyakannya berbentuk tembereng major sebuah
bulatan. Bagaimanakah kita boleh mencari panjang
lengkok dan luas keratan rentas bagi terowong kereta
api tersebut?




Kemahiran mengaplikasikan rumus dalam sukatan membulat, iaitu panjang lengkok,
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
s = jq dan luas sektor, L = j q, dengan q ialah sudut dalam radian serta rumus yang lain
1 2
2
boleh membantu menyelesaikan masalah seperti dalam dua situasi di atas.
Menyelesaikan masalah yang melibatkan sukatan membulat


Contoh berikut menunjukkan bagaimana rumus dalam sukatan membulat dan rumus lain yang
bersesuaian digunakan untuk menyelesaikan masalah berkaitan keratan rentas terowong kereta
api yang berbentuk tembereng major sebuah bulatan.

Contoh 11
B
Rajah di sebelah menunjukkan tembereng major ABC
yang mewakili keratan rentas bagi sebuah terowong
kereta api dengan pusat O dan jejari 4 m, dengan
keadaan ˙AOC = 1.8 rad.
[Guna π = 3.142]
O O
(a) Tunjukkan bahawa AC ialah 6.266 m.
4 m
(b) Cari panjang lengkok major ABC, dalam m. 4 m 1.8 rad
1.8 rad
(c) Cari luas keratan rentas terowong itu, dalam m .
2
A C

20 1.4.1

Sukatan Membulat

Penyelesaian O BAB
180°
(a) 1.8 rad = 1.8 × 1.8 rad 1
3.142 4 m 4 m
= 103° 7
Dengan menggunakan petua kosinus, A C
2
2
AC = OA + OC – 2(OA)(OC) kos ˙AOC
2
2
= 4 + 4 – 2(4)(4) kos 103° 7
2
AC = ! 4 + 4 – 2(4)(4) kos 103° 7
2
2
= ! 39.2619
= 6.266 m
B

(b) Sudut refleks AOC = 2π − 1.8
= 4.484 rad
Panjang lengkok major ABC = jq 4.484 rad
= 4 × 4.484 O
= 17.94 m 4 m
(c) Dengan menggunakan rumus luas segi tiga, A C
1
Luas ∆ AOC = × OA × OC × sin ˙AOC
2 B
1
= × 4 × 4 × sin 103° 7
2
2
= 7.791 m
4.484 rad
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
1 2
Luas sektor major ABC = j q
O
2 4 m
1 1.8 rad
= × 4 × 4.484
2
2 A C
2
= 35.87 m
2
Maka, luas keratan rentas terowong ialah 7.791 + 35.87 = 43.66 m
Latihan Kendiri 1.8
1. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah wau bulan yang O
mempunyai paksi simetri OS. AQB ialah lengkok bagi 20 cm
sebuah bulatan berpusat O dan berjejari 20 cm. APBR ialah A P B
sebuah semibulatan berpusat P dan berjejari 16 cm. TRU 16 cm
pula ialah lengkok sebuah bulatan berpusat S dan berjejari Q
12 cm. Diberi panjang lengkok TRU ialah 21 cm. Hitung
(a) ˙AOB dan ˙TSU, dalam radian, R
T U
(b) perimeter, dalam cm, wau bulan,
12 cm
(c) luas, dalam cm , wau bulan.
2
S
2. Dalam rajah di sebelah, setiap duit syiling 20 sen mempunyai
jejari yang sama dan tangen kepada dua duit syiling 20 sen yang
2
lain. Jika luas kawasan berwarna biru ialah 12.842 mm , cari
jejari, dalam mm, setiap duit syiling itu.



1.4.1 21

1.4
Latihan Formatif Kuiz bit.ly/2R3qkLO


1. Jejari dan tebal sebiji kek yang berbentuk silinder
masing-masing ialah 11 cm dan 8 cm. Rajah di sebelah Q
menunjukkan sepotong kek yang telah dipotong dengan P
keratan rentas seragamnya berbentuk sektor bulatan 8 cm 11 cm
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
POQ dan berjejari 11 cm. Diberi ˙POQ = 40°. O
(a) Hitung
(i) perimeter, dalam cm, sektor POQ,
(ii) luas, dalam cm , sektor POQ,
2
3
(iii) isi padu, dalam cm , sepotong kek itu.
(b) Jika jisim sepotong kek itu ialah 150 gram, hitung
jisim, dalam gram, sebiji kek.
2. Rajah di sebelah menunjukkan pelan bagi sebuah kolam
A 12 m B
renang dengan kedalaman seragam 1.5 m. ABCD adalah
berbentuk segi empat tepat dengan panjang 12 m dan
lebar 8 m. AED dan BEC pula ialah dua sektor bulatan
8 m
yang sama saiz dengan pusat E. Hitung E
(a) perimeter, dalam m, lantai kolam renang,
(b) luas, dalam m , lantai kolam renang,
2
D C
3
(c) isi padu, dalam m , air yang memenuhi kolam renang itu.
3. Rajah di sebelah menunjukkan keratan rentas membulat R
seragam bagi sebatang kayu yang terapung di atas air 10 cm P Q
dengan jejari 46 cm. Titik P dan Q pada kayu itu terletak
θ
pada permukaan air manakala titik tertinggi R pula ialah 46 cm
10 cm di atas permukaan air. Hitung O
(a) nilai q, dalam radian,
(b) panjang lengkok PRQ, dalam cm,
(c) luas keratan rentas kayu, dalam cm , di atas permukaan
2
air itu.
4. Rajah di sebelah menunjukkan bentuk bagi logo sebuah
syarikat aiskrim dari permukaan atas. Bentuk itu terdiri A B
daripada tiga sektor bulatan AOB, COD dan EOF yang 30 cm
sama saiz berpusat O dan berjejari 30 cm. Diberi
˙AOB = ˙COD = ˙EOF = 60°. F C
(a) Hitung O
(i) panjang lengkok AB, dalam cm,
2
(ii) luas sektor COD, dalam cm ,
(iii) perimeter tembereng EF, dalam cm, E D
2
(iv) luas tembereng EF, dalam cm .
(b) Logo itu akan dibina dengan konkrit. Jika ketebalan seragam logo itu ialah 5 cm, cari isi
padu konkrit, dalam cm , yang diperlukan untuk membuat logo itu.
3
(c) Jika kos konkrit ialah RM0.50 per cm , cari jumlah kos, dalam RM, untuk membina
3
logo itu.
22

Sukatan Membulat
SUDUT REFLEKSI BAB

1

SUKATAN MEMBULAT



KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

Penukaran radian kepada Panjang lengkok
darjah dan sebaliknya suatu bulatan Luas sektor suatu bulatan





A A
j j
180°
× O θ C s O θ L C
π
Radian Darjah B B
π
× Panjang lengkok, s = jq Luas sektor, L = j q
1 2
180° 2
Perimeter tembereng ABC Luas tembereng ABC
= s + AB = L – Luas ∆ AOB






Aplikasi












1. Adakah anda lebih cenderung untuk mengukur sesuatu sudut pada bulatan dalam darjah
daripada radian atau sebaliknya? Tuliskan justifikasi dan rasional untuk pilihan anda itu.

2. Layari Internet untuk mendapatkan jejari, dalam m, bagi enam buah roda Ferris
yang berikut:
(a) Eye on Malaysia (b) Wiener Riesenrad, Vienna (c) The London Eye
(d) Tianjin Eye, China (e) High Roller, Las Vegas (f) The Singapore Flyer
Katakan koordinat bagi pusat setiap roda Ferris itu ialah (0, 0), tentukan
(i) lilitan, dalam m, setiap roda Ferris itu,
(ii) luas kawasan, dalam m , yang dilitupi oleh setiap roda Ferris itu bagi satu
2
pusingan lengkap,
(iii) persamaan bagi setiap roda Ferris itu.

23

Latihan Sumatif



1. Rajah di sebelah menunjukkan sektor KOL bagi bulatan K
berpusat O dan berjejari 10 cm. Diberi luas sektor itu ialah 10 cm
2
60 cm , hitung TP 2
θ O
(a) nilai q, dalam radian,
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
(b) perimeter, dalam cm, sektor KOL.
L

2. Rajah di sebelah menunjukkan sektor AOB bagi bulatan A
berpusat O. Diberi AD = DO = OC = CB = 3 cm, cari TP 2
(a) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek, D
2
(b) luas, dalam cm , kawasan berlorek.
2 rad
B
O C
3. Rajah di sebelah menunjukkan sektor POQ dan sektor ROS R
dengan pusat O. Diberi OP = 4 cm, nisbah OP : OR = 2 : 3 P
2
dan luas kawasan berlorek ialah 10.8 cm , cari TP 3 4 cm
(a) nilai q, dalam radian,
O θ
(b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek.
Q
S
4. Rajah di sebelah menunjukkan sektor MON bagi bulatan M
dengan sudut q radian dan jejari j cm. Diberi perimeter
2
sektor itu ialah 18 cm dan luasnya ialah 8 cm . TP 3 N
j cm
(a) Bentukkan sepasang persamaan serentak yang melibatkan
θ
j dan q.
(b) Seterusnya, cari nilai j dan nilai q. O
5. Dalam rajah di sebelah, ABCD ialah segi empat sama dengan A P B
sisi 4 cm. PQ ialah lengkok bagi bulatan berpusat C dengan
Q
jejari 5 cm. Cari TP 3 5 cm
(a) ˙PCQ, dalam darjah,
(b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek APQ,
(c) luas, dalam cm , kawasan berlorek APQ.
2
D 4 cm C
6. Rajah di sebelah menunjukkan sukuan bagi bulatan R
berpusat O dan berjejari 10 cm. Q ialah titik pada lengkok
itu dengan keadaan panjang lengkok PQ dan QR adalah Q
dalam nisbah 2 : 3. Diberi ˙POQ = q radian, cari TP 3
(a) nilai q, θ
P O
2
(b) luas, dalam cm , kawasan berwarna. 10 cm

24

Sukatan Membulat

7. Dalam rajah di sebelah, PQRS ialah semibulatan dengan Q R BAB
pusat O dan berjejari j cm. Diberi panjang lengkok
PQ, QR dan RS adalah sama. Hitung luas, dalam cm , 1
2
kawasan berlorek. Berikan jawapan dalam sebutan j.
[Guna π = 3.142] TP 5 P S
O j cm
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
8. Rajah di sebelah menunjukkan sektor VOW bagi bulatan
berpusat O. Lengkok VW bagi bulatan itu mencangkum sudut V
2 radian di pusat O. Sektor VOW dilipat untuk membentuk
64 cm 2 rad
sebuah kon tegak supaya lengkok VW menjadi lilitan bagi W
tapak kon. Cari tinggi, dalam cm, kon itu. TP 5
O

9. Rajah di sebelah menunjukkan semibulatan AOBP dengan O P
ialah pusat bulatan dan ∆ APB ialah segi tiga bersudut tegak
π
di P. Diberi AB = 16 cm dan ˙ABP = radian. Cari TP 3
6 π
(a) panjang AP, dalam cm, – rad
6
A B
(b) luas, dalam cm , ∆ ABP, O
2
(c) luas, dalam cm , kawasan berlorek.
2
10. Dalam rajah di sebelah, AOB ialah semibulatan berpusat D y
dan AEB ialah lengkok bagi bulatan berpusat C(7, 7). A
x y C (7, 7)
Persamaan AB ialah + = 1. Hitung TP 4
6
8
(a) luas ∆ ABC, D x y
(b) ˙ACB, dalam darjah, – + – = 1
6 8
E
2
(c) luas, dalam unit , kawasan berlorek.
x
O B
11. Rajah di sebelah menunjukkan semibulatan ABCDE C
berpusat F dan rombus BGDF. Diberi koordinat bagi E,
G (5, 8)
F dan G masing-masing ialah (9, 6), (5, 6) dan (5, 8) dan
˙BFD = q radian. Hitung TP 5 B θ D
(a) nilai q, dalam radian, A F (5, 6) E (9, 6)
2
(b) luas, dalam unit , sektor BFD,
2
(c) luas, dalam unit , kawasan berlorek.
K
12. Rajah di sebelah menunjukkan sektor bulatan JKLM berpusat
M dan dua sektor bulatan JAM dan MBL masing-masing
berpusat A dan B. Diberi sudut major JML ialah 3.8 radian,
cari TP 4 M
(a) jejari, dalam cm, sektor bulatan JKLM,
J L
(b) perimeter, dalam cm, rantau berlorek, 1 rad 1 rad
(c) luas, dalam cm , sektor bulatan JAM, 7 cm 7 cm
2
2
(d) luas, dalam cm , rantau berlorek. A B
25

13. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat O
Q
dan berjejari 2 cm terterap dalam sektor PQR bagi
A
bulatan berpusat P. Garis lurus PQ dan PR ialah
2 cm
tangen kepada bulatan masing-masing di titik A dan
titik B. Hitung TP 4 P 60° O
(a) panjang, dalam cm, lengkok QR,
2
(b) luas, dalam cm , kawasan berlorek. B
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
R
14. Rajah di sebelah menunjukkan pelan bagi sebuah
A
taman. AOB ialah sektor bagi sebuah bulatan
berpusat O dan berjejari 18 m dan ACB ialah sebuah
18 m
semibulatan dengan diameter AB. Taman itu terdiri
daripada kawasan berumput AOB dan kawasan
pokok bunga berpagar ACB. Diberi bahawa luas bagi O θ C
2
kawasan berumput AOB ialah 243 m , hitung TP 4
(a) nilai q, dalam radian,
(b) panjang, dalam m, pagar yang diperlukan untuk
memagari kawasan pokok bunga, B
(c) luas, dalam m , kawasan pokok bunga.
2

15. Hilal mengikat empat buah tin minuman yang
berbentuk silinder tegak dengan seutas tali seperti
yang ditunjukkan dalam rajah di sebelah. Jejari
bagi setiap tin itu ialah 5.5 cm. Hitung panjang tali,
dalam cm, yang digunakan oleh Hilal. TP 5


16. Sekeping aluminium yang berbentuk segi empat tepat berukuran 200 cm dan 110 cm
dibengkokkan untuk membentuk separuh permukaan melengkung silinder. Dua
semibulatan dilekatkan di kedua-dua hujung bentuk itu untuk membuat sebuah bekas
air seperti yang ditunjukkan dalam rajah di bawah. TP 5


200 cm 200 cm
O
118°
110 cm 110 cm P Q


Bekas itu diletakkan secara mengufuk dan air dituangkan ke dalamnya. PQ mewakili paras
air di dalam bekas itu dengan O ialah pusat semibulatan dan ˙POQ = 118°.
(a) Tunjukkan bahawa jejari silinder itu ialah 35 cm, betul kepada cm terhampir.
(b) Hitung
2
(i) luas, dalam cm , sektor POQ,
2
(ii) luas, dalam cm , tembereng berlorek,
(iii) isi padu, dalam liter, air di dalam bekas itu.


26

Sukatan Membulat
Sukatan Membulat
17. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah prisma dengan
D
setiap keratan rentasnya ialah sektor bagi bulatan berjejari BAB
3 cm. AOB dan CED ialah keratan rentas prisma itu 1
40°
dengan A, B, C dan D terletak di atas permukaan lengkung E C
prisma. Diberi bahawa tinggi prisma itu ialah 4 cm dan
˙CED = 40°, cari TP 4 4 cm B
(a) panjang, dalam cm, lengkok AB,
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
2
(b) luas, dalam cm , sektor AOB,
3
(c) isi padu, dalam cm , prisma, O 3 cm A
2
(d) jumlah luas permukaan, dalam cm , prisma itu.
18. Persatuan Matematik SMK Taman Pagoh Indah
menganjurkan satu pertandingan mencipta logo untuk M
persatuan itu. Rajah di sebelah menunjukkan logo S K
berbentuk bulatan dan sektor bulatan yang direka oleh
Wong. Jejari bulatan setiap lengkok ialah 5 cm. Cari TP 4 T I
(a) perimeter, dalam cm, kawasan berwarna logo itu, P
2
(b) luas, dalam cm , kawasan berwarna logo itu.







Ahli matematik pada zaman dahulu mendapati bahawa pemalar π ialah nisbah lilitan
suatu bulatan kepada diameternya.
Maklumat di bawah menunjukkan anggaran niai π berdasarkan pendapat empat orang
tokoh matematik yang terkemuka di dunia.



Ahli matematik Greek, Ahli matematik
Archimedes telah Yunani-Romawi,
membuktikan bahawa Ptolemy menunjukkan
10 1 bahawa nilai anggaran
3 , π , 3 .
71 7 bagi π ialah 3.1416.





Ahli matematik
Ahli matematik
Switzerland, Euler
Jerman, Lambert
mendapati bahawa
membuktikan bahawa
π 2 = 1 + 1 + 1
6 1 2 2 2 π ialah suatu nombor
1 1 tak rasional.
+ + + …
3 2 4 2
Pada zaman moden hari ini, komputer boleh menilai π hingga sepuluh juta digit.
Teroka nilai π dengan menggunakan perisian geometri dinamik Desmos.




27
27

BAB
2 PEMBEZAAN









KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA










































Had dan Hubungannya dengan Pembezaan
Pembezaan Peringkat Pertama
Pembezaan Peringkat Kedua
Aplikasi Pembezaan


Senarai
Standard
Pembelajaran


bit.ly/2EOtFa4





28

Bakteria boleh menyebabkan
pelbagai jenis penyakit berbahaya
dan mengancam kehidupan kita.
Bakteria menghasilkan toksin yang Isaac Newton (1643-1727 TM) dan Gottfried
boleh merosakkan makanan. Makanan Von Leibniz (1646-1716 TM) merupakan
yang dicemari oleh bakteria akan ahli matematik yang mula mempelopori
mengakibatkan keracunan makanan prinsip asas kalkulus yang terdiri daripada
dan boleh membawa maut jika tidak pembezaan dan pengamiran.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
dirawat dengan segera. Antara Kalkulus berasal daripada perkataan
penyakit yang menyerang manusia Latin yang bermaksud batu kecil yang
akibat bakteria ialah tifoid, demam dan digunakan untuk menghitung dan
pneumonia. Tahukah anda, rumus bagi menyelesaikan suatu permasalahan
bilangan pertumbuhan bakteria, p matematik pada zaman dahulu.
dengan populasi awal ialah 1 500
menggunakan rumus Untuk maklumat lanjut:
( 1 + 5t
2 )
p = 1 500 t + 30 , dengan t ialah
masa, dalam jam? Bolehkah anda bit.ly/2KFSrgc
tentukan kadar pertumbuhan populasi
bakteria selepas 3 jam? Masalah ini
boleh diselesaikan dengan konsep Kepentingan Bab Ini
pembezaan yang merupakan
sebahagian daripada kalkulus. Sebuah LRT (Light Rapid Transit) yang
bergerak dengan kadar perubahan
sesaran terhadap masa menunjukkan
halaju seketika bagi LRT itu manakala
kadar perubahan halaju terhadap masa
menunjukkan pecutan seketika.
Konsep pembezaan digunakan untuk
menentukan peredaran darah dalam
arteri pada masa tertentu serta jangka
masa bagi penyakit tumor membesar
dan mengecil di dalam badan manusia.







Had Limit
Terbitan pertama First derivative
Kecerunan tangen Gradient of tangent
Terbitan kedua Second derivative
Persamaan tangen Equation of tangent
Persamaan normal Equation of normal
Titik pusingan Turning point
Kadar perubahan Rate of change
Video mengenai Penghampiran Approximation
pertumbuhan Titik pegun Stationary point
koloni bakteria. Titik lengkok balas Point of inflection

bit.ly/364Iwt8
29

2.1 Had dan Hubungannya dengan Pembezaan




Had merupakan konsep asas dalam operasi pembezaan seperti
halaju, v suatu objek pada masa t yang disebut sebagai halaju
seketika. Misalnya, semasa pemanduan, bacaan pada meter
–1
laju kenderaan anda menunjukkan halaju 80 kmj .
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Apakah yang dimaksudkan dengan bacaan halaju
–1
80 kmj pada meter laju itu? Bagaimanakah nilai 80 kmj
–1
ini diperoleh? Dengan kaedah had, kita boleh menentukan
nilai tersebut melalui nilai penghampiran.

Nilai had suatu fungsi apabila pemboleh ubah menghampiri sifar


1 1 1
Pertimbangkan jujukan 1, , , , … dengan sebutan amnya,
2 3 4 T
1
T = , dengan keadaan n = 1, 2, 3, ...
n n
Perhatikan graf bagi jujukan itu seperti dalam rajah 1
di sebelah. Apabila n semakin meningkat tanpa batas,
apakah yang akan terjadi kepada sebutan, T jujukan itu? 1
–
Adakah sebutannya semakin menghampiri sifar tetapi bukan 2
sifar? Bolehkah anda tentukan had bagi jujukan ini?
0 n
Ikuti penerokaan berikut untuk meneroka nilai had suatu 1 2 3 4 5
fungsi apabila pemboleh ubahnya menghampiri sifar pula.
Aktiviti Penerokaan 1 Berkumpulan
Berkumpulan
Tujuan: Meneroka had suatu fungsi apabila pemboleh ubahnya menghampiri sifar
Langkah:
2
1. Pertimbangkan fungsi f(x) = x + 3x , dengan domainnya ialah set semua nombor nyata,

x
kecuali sifar.
2. Tentukan nilai bagi f(0). Adakah anda boleh memperoleh nilai tersebut? Jelaskan.

2
3. Salin dan lengkapkan jadual di bawah bagi fungsi f(x) = x + 3x apabila x menghampiri

x
sifar dari arah kiri dan arah kanan. Seterusnya, lakarkan graf y = f(x) dan tentukan nilai

2
bagi had x + 3x .
x ˜ 0 x
x – 0.1 – 0.01 – 0.001 – 0.0001 ... 0.0001 0.001 0.01 0.1

f(x)

4. Apakah yang anda boleh katakan tentang keputusan nilai f(0) yang diperoleh dalam

2
langkah 2 dengan nilai had x + 3x yang diperoleh dalam langkah 3? Bincangkan.
x ˜ 0 x
30 2.1.1

Pembezaan
Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 1, didapati bahawa nilai bagi f(0) tidak dapat ditentukan

0
kerana menghasilkan suatu bentuk tak tentu, iaitu . Oleh sebab had tidak dapat ditentukan
0
2
x + 3x
secara penggantian langsung, maka nilai bagi had boleh ditentukan seperti yang
x ˜ 0 x
ditunjukkan dalam jadual dan rajah yang berikut.
BAB
x f(x) 2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
– 0.1 2.9
f(x) Dengan menggunakan
– 0.01 2.99 kalkulator grafik, lukis graf
2
– 0.001 2.999 6 bagi fungsi f(x) = x + 3x

x
– 0.0001 2.9999 2 dan anggarkan nilai bagi
x + 3x
4 f(x) = ––––––
0   3 3 x had f(x). Adakah fungsi f
x ˜ 0
0.0001 3.0001 2 tertakrif di x = 0?
Bincangkan kesannya
0.001 3.001 x pada kewujudan had
–4 –2 0 2 4 apabila x menghampiri sifar.
0.01 3.01
0.1 3.1
Berdasarkan jadual dan rajah di atas, apabila nilai x semakin menghampiri sifar sama ada

dari arah kiri atau kanan, nilai f(x) menghampiri 3. Jadi, apabila x menghampiri sifar dari salah
2
2

satu arah, fungsi f(x) = x + 3x menghampiri 3, iaitu apabila x ˜ 0, x + 3x ˜ 3. Nilai 3 disebut
x x
2
x + 3x
sebagai had bagi apabila x menghampiri sifar dan pernyataan ini boleh diringkaskan
x
dengan tatatanda:
2
had f(x) = had x + 3x = 3

x ˜ 0 x ˜ 0 x
Secara amnya,
Apabila x menghampiri a, dengan keadaan x ≠ a,
had bagi f(x) ialah L dan ditulis sebagai had f(x) = L.


x ˜ a

Cara-cara untuk menentukan had f(x), dengan a  adalah seperti yang berikut:
x ˜ a


Tentukan nilai had f(x) dengan menggantikan nilai x = a secara langsung ke dalam fungsi f(x). Jika,
0 0
f (a) ≠ f (a) =
0 0


Nilai had f(x) telah diperoleh, Tentukan had f(x) dengan cara:
x ˜ a x ˜ a
iaitu had f(x) = f(a). • Pemfaktoran


x ˜ a • Merasionalkan pengangka atau
penyebut fungsi itu.
2.1.1 31

Contoh 1

Tentukan nilai had bagi setiap fungsi yang berikut.
3 – !  x x – 1 !  x + 1 – 1
2
(a) had (b) had (c) had
x ˜ 4 x + 2 x ˜ 1 x – 1 x ˜ 0 x
Penyelesaian

(a) Gunakan penggantian secara langsung.
3 – !  x 3 – !  4 3 – 2 1
had = = =
x ˜ 4 x + 2 4 + 2 4 + 2 6
0
2
(b) Apabila x = 1, had x – 1 adalah dalam bentuk tak tentu, .
x ˜ 1 x – 1 0
Jadi, lakukan pemfaktoran dan hapuskan faktor sepunya
Lakarkan graf bagi setiap
sebelum melakukan penggantian secara langsung. fungsi yang berikut.
x – 1
2

2
had x – 1 (a) f(x) = x – 1 , x ≠ 1
x ˜ 1 x – 1 (b) f(x) = x + 1

(x + 1)(x – 1) Daripada graf, cari had bagi
= had Faktorkan pengangka dan setiap fungsi itu apabila x
x ˜ 1 x – 1 hapuskan faktor sepunya menghampiri 1.
= had (x + 1) Dengan menggunakan
x ˜ 1 perisian geometri dinamik,
= 1 + 1 Penggantian langsung lukis graf bagi setiap fungsi
itu. Adakah perisian tersebut
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
= 2
dapat membezakan
(c) Apabila melakukan penggantian langsung, bentuk tak tentu, kedua-dua graf itu? Jelaskan
0 akan diperoleh. Jadi, rasionalkan pengangka bagi pecahan jawapan anda.
0
dengan mendarabkannya dengan konjugat, iaitu !  x + 1 + 1.
!  x + 1 – 1
had
x ˜ 0 x
x )(
x ˜ 0[( !  x + 1 – 1 !  x + 1 + 1 )]
= had !  x + 1 + 1 Darabkan dengan konjugat bagi pengangka

(x + 1) – 1
= had (a – b)(a + b) = a – b 2
2
x ˜ 0 x(!  x + 1 + 1)
= had x
x ˜ 0 x(!  x + 1 + 1) Hapuskan faktor sepunya
1
= had f(x)

x ˜ 0
!  x + 1 + 1 f tidak tertakrif
1 1 apabila x = 0
= Penggantian langsung
!  0 + 1 + 1
�x + 1 – 1

f(x) = ––––––––
x
= 1 1 – 2
1 + 1 x
= 1 –1 0 1 2
2
32 2.1.1

Pembezaan
Contoh 2

Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada graf f(x) x – x 2
4
4
2
x
f(x) = x – x 2 , x ≠ 0. Berdasarkan graf, cari f(x) = –––––

x 2 3

(a) f(0) (b) had f(x) (c) had f(x) BAB


x ˜ 0 x ˜ 2 2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Penyelesaian 0 1 2 x
–1
(a) Didapati bahawa tiada titik di x = 0. Maka, f(0) tidak

tertakrif di x = 0.


(b) Apabila x ˜ 0 sama ada dari arah kiri atau kanan, f(x) ˜ –1. Maka, had f(x) = –1.
x ˜ 0
(c) Apabila x ˜ 2 sama ada dari arah kiri atau kanan, f(x) ˜ 3. Maka, had f(x) = 3.


x ˜ 2
Latihan Kendiri 2.1
1. Cari had bagi setiap fungsi yang berikut apabila x ˜ 0.
2
(a) x + x – 3 (b) ! x + 1 (c) x + 4 (d) a
x – 2 ax + a
2. Tentukan had bagi setiap fungsi yang berikut.
2
(a) had (3x – 1) (b) had ! 10 – 2x (c) had x + x – 6
x ˜ 0 x ˜ –3 x ˜ –3 x + 3
2
(d) had x – 6 (e) had x – 3x + 2 (f) had 1 – ! 2x + 1
2
2
2
x ˜ 6 x – 36 x ˜ 2 x – 4 x ˜ 0 2x – x
(g) had x – 4 (h) had 3 – ! 2x + 3 (i) had x + 2
x ˜ 4 ! x – 2 x ˜ 3 x – 3 x ˜ –2 ! 5x + 14 – 2
3. Cari nilai bagi setiap had yang berikut.
2
3
2
2
(a) had x – 2x (b) had x – 4x + 3 (c) had x – 5x + 6x
2
3
2
x ˜ 0 x – 4x x ˜ 3 2x – 5x – 3 x ˜ 3 x – 3x
(d) had 5x (e) had x – 4 (f) had ! x + 2 – 3
x ˜ 0 3 – ! x + 9 x ˜ 4 2 – ! 8 – x x ˜ 7 x – 7
4. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada
y
graf fungsi y = f(x).

y = f(x)
(a) Berdasarkan graf,
(i) cari f(0), 4


(ii) tentukan sama ada had f(x) wujud atau tidak. 3
x ˜ 0
Jelaskan. 2
(b) Seterusnya, cari 1
(i) had f(x) x

x ˜ –1 –1 0 5

(ii) had f(x)
x ˜ 5
2.1.1 33

Terbitan pertama suatu fungsi f(x) melalui pembezaan dengan
prinsip pertama y
Tangen kepada suatu lengkung di suatu titik ialah satu garis lurus
yang menyentuh lengkung pada titik itu. Dalam rajah di sebelah,
T(3, 8)
garis lurus AT dengan koordinat A dan T masing-masing ialah
2
(2, 4) dan (3, 8) ialah tangen kepada lengkung y = x di titik A.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
y − y 8 − 4 A(2, 4)
Kecerunan tangen AT = 2 1 = = 4 y = x 2
x – x 3 – 2
2 1
x
0
Bagaimanakah cara untuk mencari kecerunan tangen bagi
2
lengkung y = x di titik yang lain pula, misalnya B(3, 9)?
Sudut Informasi
Sudut Informasi
Kecerunan bagi suatu lengkung menggunakan graf adalah
sukar untuk ditentukan dan hasilnya tidak begitu tepat. Terdapat Kecerunan lengkung
kaedah lain yang boleh digunakan untuk mencari kecerunan bagi juga dikenali sebagai
suatu lengkung pada titik tertentu, iaitu dengan menggunakan kecerunan tangen.
idea had seperti dalam penerokaan berikut.

Aktiviti Penerokaan 2 Berkumpulan PAK-21 STEM PK

Tujuan: Meneroka fungsi kecerunan tangen dan kecerunan tangen kepada
lengkung y = x pada titik B(3, 9) dengan menggunakan idea had
2
Langkah:
1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah. ggbm.at/z7kumqkk
2. Perhatikan graf y = x dan garis lurus yang melalui titik B(3, 9) dan titik
2
C(4, 16) pada graf tersebut.
3. Nilai m = 7 mewakili kecerunan bagi garis lurus BC.
4. Gerakkan titik C menghampiri titik B dan perhatikan perubahan pada nilai m.
5. Catatkan perubahan nilai m apabila titik C menghampiri titik B.
6. Katakan koordinat B(3, 9) ialah (x, y) dan koordinat C(4, 16) ialah (x + dx, y + dy), dengan
dx mewakili perubahan dalam nilai x dan dy mewakili perubahan dalam nilai y. Salin dan
lengkapkan jadual berikut.
dy y = x 2
dx x + dx y + dy dy
dx
1 4 16 7 7 C(x + δx, y + δy)
0.5 3.5 12.25 3.25
δy
0.05 B(x, y)
0.005 δx D(x + δx, y)
dy
7. Apabila dx menghampiri 0, apakah yang berlaku pada nilai ? Bandingkan keputusannya
dengan keputusan yang diperoleh dalam langkah 5. dx


Daripada Aktiviti Penerokaan 2, perhatikan bahawa B(x, y) dan C(x + dx, y + dy) ialah dua titik
berhampiran pada lengkung y = x .
2
34 2.1.2

Pembezaan
Jadi, y
CD C(x + δx, y + δy)
Kecerunan garis lurus BC =
BD
(y + dy) – y
= C 1
(x + dx) – x C δy
2 T BAB
dy y = x 2 B(x, y)
= D 2
dx δx x
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
0
Apabila titik C menghampiri titik B di sepanjang lengkung,
garis lurus BC berubah dan menjadi BC , seterusnya menjadi
1 GALERI SEJARAH
BC , iaitu nilai bagi dx semakin kecil dan menghampiri sifar,
2
dx ˜ 0. Apabila titik C berada di atas titik B, garis lurus menjadi
tangen di titik B. Oleh itu,
Kecerunan lengkung di B = Kecerunan tangen BT
dy
= Nilai bagi had
dx ˜ 0 dx
Konsep had bagi suatu

Maka, bagi lengkung y = f(x), fungsi kecerunan tangennya fungsi mula diperkenalkan
dy secara eksplisit oleh Sir
pada sebarang titik boleh ditentukan dengan mencari had . Isaac Newton. Beliau
dx ˜ 0 dx
dy menyatakan bahawa had
had disebut sebagai terbitan pertama bagi fungsi terhadap x ialah konsep asas dalam
dx ˜ 0 dx
dy kalkulus dan menjelaskan
dan ditandakan dengan simbol . konsep utama had ialah
dx
“mendekati dengan lebih
dy dy f(x + dx) – f(x) dekat daripada sebarang


= had = had
dx dx ˜ 0 dx dx ˜ 0 dx perbezaan yang diberikan”.
dy
Fungsi kecerunan tangen ini boleh digunakan untuk
dx

Sudut Informasi
mencari kecerunan tangen kepada suatu lengkung y = f(x) pada Sudut Informasi
sebarang titik (x, f(x)).

• Simbol dx dibaca sebagai

2
Misalnya, pertimbangkan semula lengkung y = f(x) = x .
“delta x” yang mewakili


dy = f(x + dx) – f(x) tokokan kecil dalam x.
2
2
= (x + dx) – x • Simbol dy dibaca sebagai
2
= x + 2x(dx) + (dx) – x “delta y” yang mewakili
2
2
= 2x(dx) + (dx) tokokan kecil dalam y.
2
dy 2x(dx) + (dx) 2 Bahagikan kedua-dua
= belah persamaan
dx dx dengan dx
Pintar
= 2x + dx Tip Pintar
Maka,
dy
dy dy bukan bermaksud dy
= had dx
dx dx ˜ 0 dx bahagi dengan dx tetapi
= had (2x + dx) dy ialah simbol bagi had
dx ˜ 0 dx
= 2x + 0 dy apabila dx ˜ 0.
dy dx
= 2x Fungsi kecerunan tangen
dx
2.1.2 35

dy
Jadi, kecerunan tangen kepada lengkung y = x pada titik B(3, 9) ialah = 2x = 2(3) = 6.
2
dx
dy
Secara amnya, proses untuk menentukan fungsi kecerunan atau terbitan pertama bagi suatu
dx
dy

fungsi y = f(x) dengan menggunakan idea had seperti ini disebut sebagai pembezaan
dx ˜ 0 dx
dengan prinsip pertama.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Contoh 3
dy
Cari dengan menggunakan prinsip pertama bagi setiap fungsi y = f(x) yang berikut.

dx
3
(a) y = 3x (b) y = 3x 2 (c) y = 3x
Penyelesaian



(a) Diberi y = f(x) = 3x (b) Diberi y = f(x) = 3x 2




dy = f(x + dx) – f(x) dy = f(x + dx) – f(x)
2
2
= 3(x + dx) – 3x = 3(x + dx) – 3x
2
2
2
= 3x + 3dx – 3x = 3[x + 2x(dx) + (dx) ] – 3x
2
2
2
= 3dx = 3x + 6x(dx) + 3(dx) – 3x
dy 2
= 3 = 6x(dx) + 3(dx)
dx dy = 6x + 3dx
dy dy dx
Maka, = had
dx dx ˜ 0 dx dy dy
Maka, = had
= had 3 dx dx ˜ 0 dx
dx ˜ 0
dy = had (6x + 3dx)
= 3 dx ˜ 0
dx = 6x + 3(0)
dy
= 6x
dx
3

(c) Diberi y = f(x) = 3x
Pintar
dy = f(x + dx) – f(x) Tip Pintar


= 3(x + dx) – 3x
3
3
3
2
= 3(x + dx)(x + dx) – 3x Langkah-langkah untuk
dy
= 3(x + dx)[x + 2x(dx) + (dx) ] – 3x menentukan dx bagi
3
2
2

3
3
3
2
2
2
2
= 3[x + 2x (dx) + x(dx) + x (dx) + 2x(dx) + (dx) ] – 3x sebarang fungsi f(x) dengan
3
3
2
= 3[x + 3x (dx) + 3x(dx) + (dx) ] – 3x prinsip pertama.
2
3
= 3x + 9x (dx) + 9x(dx) + 3(dx) – 3x 1. Pertimbangkan dua titik
2
3
2
3
3
A(x, y) dan B(x + dx, y + dy)
2
3
2
= 9x (dx) + 9x(dx) + 3(dx) pada lengkung.
dy
2
= 9x + 9x(dx) + 3(dx) 2. Tentukan dy dengan
2
dx dy = f(x + dx) – f(x).


dy dy
Maka, = had dy
dx dx ˜ 0 dx 3. Dapatkan nisbah .
dx
2
2
= had [9x + 9x(dx) + 3(dx) ] dy
dx ˜ 0 4. Ambil had bagi
= 9x + 9x(0) + 3(0) 2 apabila dx ˜ 0. dx
2
dy
= 9x 2
dx
36 2.1.2

Pembezaan
Latihan Kendiri 2.2


dy

1. Cari dengan menggunakan prinsip pertama bagi setiap fungsi y = f(x) yang berikut.
dx
2
(a) y = x (b) y = 5x (c) y = – 4x (d) y = 6x
1
(e) y = –x 2 (f) y = 2x (g) y = x (h) y = 1 BAB
3
2
2 x
dy 2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
2
2. Diberi y = 2x – x + 7, cari dengan menggunakan prinsip pertama.
dx
3. Dengan menggunakan prinsip pertama, cari fungsi kecerunan bagi lengkung y = 3 + x – x .
2
2.1
Latihan Formatif Kuiz bit.ly/36ml2zn

1. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada graf
2

f(x) = x – 4x + 3. f(x)
(a) Daripada graf, cari setiap yang berikut.
2


(i) had f(x) (ii) had f(x) (iii) had f(x) f(x) = x – 4x + 3

x ˜ –1 x ˜ 0 x ˜ 1
(iv) had f(x) (v) had f(x) (vi) had f(x) 8



x ˜ 2 x ˜ 3 x ˜ 4

(b) Cari nilai-nilai yang mungkin bagi a jika had f(x) = 8.
x ˜ a
dy 3
(c) (i) Tentukan fungsi kecerunan tangen, bagi graf itu
dx 0 1 2 3
dengan menggunakan prinsip pertama. –1 x
(ii) Seterusnya, tentukan kecerunan tangen pada titik (4, 3). –1
2. Cari nilai bagi setiap had yang berikut.
9 – x
(a) had (x – 6x + 9) (b) had ! x – 2x 2 (c) had
4
2
3
2
x ˜ 0 x ˜ 2 x ˜ 9 x – 81
3
2
2
(d) had x – x – 2 (e) had x – x (f) had x – 7x + 10
2
x ˜ 2 x – 2 x ˜ 1 x – 1 x ˜ 5 x – 25
3. Tentukan nilai had bagi setiap fungsi yang berikut.
! 1 + 2x – ! 1 – 2x 3 – ! x + 5 x – 5x + 6
2
(a) had (b) had (c) had
x ˜ 0 x x ˜ 4 x – 4 x ˜ 3 2 – ! x + 1
x – k 4
2
4. (a) Diberi bahawa had = , cari nilai k.
x ˜ 2 3x – 6 3
2
(b) Jika had x – 2x – h = –2, cari nilai bagi h + k.
x ˜ –1 kx + 2
5. Bezakan fungsi berikut terhadap x dengan menggunakan prinsip pertama.
2
(a) y = 5x – 8 (b) y = x – x (c) y = (x + 1) 2 (d) y = 1
4x
6. Sesaran, s m, bagi seekor tupai yang berlari pada kabel lurus selepas t saat diberi oleh
2
s(t) = t – 3t, dengan keadaan t > 0. Menggunakan prinsip pertama, cari halaju tupai itu
apabila t = 5.
37
2.1.2 37

2.2 Pembezaan Peringkat Pertama



Rumus terbitan pertama bagi fungsi y = ax , dengan a ialah pemalar dan n
n
ialah integer
Perhatikan semula Contoh 3 pada halaman 36. Fungsi dy Pola
2
Terbitan pertama bagi fungsi y = 3x, y = 3x dan dx
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
y = 3x dengan prinsip pertama adalah mengikut y = 3x 3 3(1x 1 – 1 )
3
pola seperti dalam jadual di sebelah.
y = 3x 2 6x 3(2x 2 – 1 )
Daripada pola yang diperoleh, bagi fungsi y = 3x 3 9x 2 3(3x 3 – 1 )
n
y = ax , dengan a ialah pemalar dan n ialah integer,
kita boleh menerbitkan rumus terbitan pertama bagi Tip Pintar
Pintar
fungsi itu secara induktif seperti yang berikut.
Bagi y = ax ,
n
dy d
n
n
Jika y = ax , maka = anx n – 1 atau (ax ) = anx n – 1 • Jika n = 1, dy = a
dx dx dx
dy
Tiga tatatanda yang boleh digunakan untuk menerangkan • Jika n = 0, dx = 0
n
terbitan pertama suatu fungsi y = ax adalah seperti yang berikut.
1 Jika y = 3x , maka dy = 6x dy disebut sebagai pembezaan y terhadap x.
2
dx
dx
f (x) dikenali sebagai fungsi kecerunan bagi lengkung
2 Jika f(x) = 3x , maka f (x) = 6x y = f(x) kerana fungsi ini boleh digunakan untuk

2

mencari kecerunan lengkung pada sebarang titik.
d
3 dx (3x ) = 6x Jika bezakan 3x terhadap x, hasilnya ialah 6x.
2
2
Menentukan terbitan pertama bagi suatu fungsi algebra


Ikuti penerokaan berikut untuk melihat perbandingan antara graf fungsi f(x) dengan graf fungsi

kecerunannya, f (x) menggunakan perisian geometri dinamik Desmos.
Aktiviti Penerokaan 3 Berkumpulan STEM PK

Tujuan: Membandingkan graf fungsi f(x) dengan graf fungsi kecerunannya, f (x)

Langkah:
1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah. bit.ly/2Foq2bu
2. Perhatikan graf f(x) = x yang terpapar pada satah.

2


3. Klik butang (a, f(a)) untuk melihat koordinat titik sentuh antara graf f(x) dengan
garis tangennya.
4. Kemudian, klik butang f (x) = d [f(x)] untuk melihat graf f (x), iaitu graf fungsi kecerunan

dx
bagi f(x). Seterusnya, klik butang (a, f (a)) untuk melihat koordinat titik pada graf f (x).

38 2.2.1 2.2.2

Pembezaan
5. Seret gelongsor a untuk mengubah titik sentuh antara lengkung f(x) dengan garis tangennya.

6. Bandingkan graf fungsi f(x) dengan graf fungsi kecerunannya, f (x). Apakah yang anda

boleh katakan tentang kedua-dua graf ini apabila nilai a berubah?
7. Salin dan lengkapkan jadual di bawah untuk mencari kecerunan lengkung y = x pada
2
koordinat-x yang diberi. Kecerunan lengkung boleh diperoleh dengan melihat koordinat-y BAB
pada titik di graf f (x).
2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Koordinat-x –3 –2 –1 0 1 2 3

Kecerunan
lengkung

8. Dengan menggunakan rumus terbitan pertama yang telah dipelajari, tentukan fungsi f (x).
Seterusnya, gantikan nilai-nilai koordinat-x daripada jadual di atas ke dalam fungsi f (x)
untuk menyemak dan mengesahkan kecerunan lengkung yang diperoleh dalam langkah 7.
9. Teruskan penerokaan anda dengan fungsi yang lain seperti fungsi kubik, seterusnya
bandingkan jenis serta bentuk graf fungsi itu dengan graf fungsi kecerunannya.
10. Buat satu kesimpulan berdasarkan hasil dapatan anda.


Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 3, didapati bahawa:

Perbandingan antara graf f(x) dengan graf fungsi kecerunannya, f (x) bagi tiga fungsi
polinomial dalam bentuk y = f(x) = ax , dengan a = 1 dan kuasa tertinggi polinomial, n = 1, 2
n

dan 3 dapat dirumuskan seperti berikut.
3
2

Graf y = f(x) = x dan Graf y = f(x) = x dan Graf y = f(x) = x dan


y = f (x) = 1 y = f (x) = 2x y = f (x) = 3x 2
y y y y = f (x)


y = f(x) y = f(x) y = f (x)

(2, 4) y = f(x)
y = f (x)
Parabola
Garis (1, 1) x Parabola x x
lurus 0 Garis 0 0
Lengkung
lurus
kubik


Langkah-langkah untuk menentukan kecerunan bagi lengkung f(x) pada suatu titik pula adalah
seperti berikut.

Cari fungsi kecerunan f (x) bagi fungsi f(x) = ax

n
terlebih dahulu dengan menggunakan rumus berikut:
Gantikan nilai x ke dalam
Jika f(x) = ax , dengan a ialah pemalar fungsi kecerunan itu.

n
dan n ialah integer, maka f (x) = anx n – 1 .

2.2.2 39

Proses untuk menentukan fungsi kecerunan f (x) bagi suatu fungsi y = f(x) disebut sebagai
pembezaan. Fungsi kecerunan juga dikenali sebagai terbitan pertama bagi suatu fungsi atau
fungsi terbitan atau pekali pembezaan y terhadap x.

Contoh 4
Bezakan setiap yang berikut terhadap x.
2 6 1 3
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
(a) – x (b) y = ! x (c) f(x) =
3 5 8x 2
Penyelesaian

d ( 2 6 ) 2 6 – 1 1 3
(a) – x = – (6x ) (b) y = ! x (c) f(x) =
dx 3 3 5 8x 2
2 1 1 = 3 x –2
= – (6x ) = 5 x 2 8
5
3
)
(
d – x = – 4x 5 1 f (x) = (–2x –2 – 1 )
2
3
6
1 1
dx 3 dy = ( x 2 – 1 ) 8
dx 5 2 = – x –3
3
1 – 1 4
= x 2
10 f (x) = – 3
dy 1 4x 3
=
dx 10! x
Contoh 5
Sudut Informasi
Sudut Informasi
1
3

(a) Jika f(x) = x , cari f (–1) dan f  ( ) .
4
4 3 Fungsi kecerunan bagi suatu
dy lengkung ialah suatu fungsi
(b) Diberi bahawa y = 9 ! x , cari nilai apabila x = 8. manakala kecerunan bagi
3
dx suatu lengkung pada titik
Penyelesaian tertentu pula ialah suatu
nilai berangka.
3 3 Misalnya, bagi lengkung
4

(a) f(x) = x (b) y = 9 ! x 3
4 1 y = 2x , fungsi kecerunannya
2
3 4 – 1 = 9x 3 ialah dy = 2(3x 3 – 1 ) = 6x dan
f (x) = (4x ) dx
4 dy = 9( 1 3 1 – 1 ) kecerunannya pada titik (1, 2)
3
= 3x dx 3 x ialah dy = 6(1) = 6.
2
f (–1) = 3(–1) 3 = 3x – 2 3 dx
= –3 dy – 2 3
1
1 3
f  ( ) ( ) Apabila x = 8, dx = 3(8)
= 3
3 3 = 3
1 4
=
9
Terbitan bagi suatu fungsi yang melibatkan penambahan atau penolakan sebutan-sebutan algebra
pula boleh diperoleh dengan membezakan fungsi itu sebutan demi sebutan secara berasingan.

Jika f(x) dan g(x) ialah suatu fungsi, maka
d [ f(x) ± g(x)] = d [ f(x)] ± d [g(x)]


dx dx dx
40 2.2.2