Matematik Tambahan Tingkatan 5 KSSM

Pembezaan
Contoh 6

Bezakan setiap yang berikut terhadap x.
3 (2x + 1)(x – 1)
(a) 5x + x 4 (b) x(! x – 9) (c)
3

4 x
Penyelesaian BAB
d 3 d d 3 2
)
(
x
(a) 5x + x = (5x ) + ( ) Bezakan setiap sebutan secara berasingan
3
4
3
4
dx 4 dx dx 4
(
3
= 5(3x 3 – 1 ) + 4x 4 – 1 )
(
d 3 4
)
3
4
2
5x + x = 15x + 3x
3
dx 4


(b) Katakan f(x) = x(! x – 9)
3
2
= x – 9x
3 3 – 1
f (x) = x 2 – 9(1x 1 – 1 ) Bezakan setiap sebutan secara berasingan
2
3 1
= x – 9
2
2
3
f (x) = ! x – 9
2
(2x + 1)(x – 1)
(c) Katakan y =
x
2x – x – 1
2
=
x

–1
= 2x – 1 – x
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
dy d d d

–1
= (2x) – (1) – (x ) Bezakan setiap sebutan secara berasingan
dx dx dx dx
= 2x 1 – 1 – 0x 0 – 1 – (–1x –1 – 1 )
–2
= 2 + x
dy

= 2 + 1
dx x 2

Latihan Kendiri 2.3
1. Cari terbitan pertama bagi setiap fungsi yang berikut terhadap x.
4
2
10
(a) x (b) –2x 4 (c) 3 (d) 6 (e) –12 ! x
3
5 4x 8 3 ! x
2. Bezakan setiap fungsi yang berikut terhadap x.
4
2
(a) 4x + 6x – 1 (b) ! x + 2 (c) (9 – 4x) 2
5 ! x
3. Bezakan setiap fungsi yang berikut terhadap x.
(
)
(a) y = 4x (5 – ! x ) (b) y = x + 4 2 (c) y = (4x – 1)(1 – x)
2
2
x
dy ! x
4. Cari nilai pada setiap nilai x yang diberi.
dx
2
1 x + 4
(a) y = x – 2x, x = (b) y = ! x (2 – x), x = 9 (c) y = , x = 2
2
2 x 2
2.2.2 41

Terbitan pertama fungsi gubahan

2
2
Untuk membezakan fungsi y = (2x + 3) , kita kembangkan fungsi itu kepada y = 4x + 12x + 9
dy
terlebih dahulu sebelum membezakannya sebutan demi sebutan untuk memperoleh = 8x + 12.
dx
Bagaimanakah pula jika kita ingin membezakan fungsi y = (2x + 3) ? Ungkapan
4
4
(2x + 3) adalah sangat rumit untuk dikembangkan melainkan jika kita pertimbangkan suatu
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
fungsi sebagai gubahan bagi dua fungsi yang mudah. Mari teroka kaedah tersebut.
Aktiviti Penerokaan 4 Individu


Tujuan: Meneroka kaedah yang berlainan untuk membezakan suatu fungsi dalam bentuk
y = (ax + b) , dengan keadaan a ≠ 0
n
Langkah:
1. Pertimbangkan fungsi y = (2x + 3) .
2
2. Kembangkan ungkapan (2x + 3) dan tentukan dy dengan membezakannya sebutan demi
2
sebutan secara berasingan. dx
3. Jika u = 2x + 3,
(a) ungkapkan y sebagai fungsi bagi u,

(b) cari du dan dy ,
dx du
dy du
(c) tentukan × dalam sebutan x dan ringkaskan jawapan anda.
du dx
4. Bandingkan kaedah yang digunakan dalam langkah 2 dan 3. Adakah jawapannya sama?
Kaedah manakah yang menjadi pilihan anda? Berikan sebab.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 4, didapati bahawa terdapat
2
pelbagai cara untuk membezakan suatu fungsi seperti y = (2x + 3) .
Namun, kaedah seperti yang ditunjukkan dalam langkah 3 adalah Akses QR
lebih mudah digunakan untuk memperoleh terbitan bagi suatu
ungkapan dalam bentuk (ax + b) , dengan keadaan a ≠ 0, yang Pembuktian petua rantai
n
sukar untuk dikembangkan. dengan menggunakan
idea had.
Bagi fungsi y = f(x) = (2x + 3) :

2
Katakan, u = h(x) = 2x + 3
Jadi, y = g(u) = u 2
Dalam hal ini, y sebagai fungsi bagi u dan u sebagai fungsi bit.ly/2t6tiW2

bagi x. Jadi, kita katakan bahawa y = f(x) ialah fungsi gubahan
bagi y = g(u) dan u = h(x).
Sudut Informasi
Sudut Informasi
Untuk membezakan fungsi seperti ini, kita perkenalkan
satu kaedah mudah yang dikenali sebagai petua rantai, iaitu: Ungkapan (2x + 3)
4
boleh dikembangkan
dy dy du dengan menggunakan
= × teorem Binomial.
dx du dx
42 2.2.3

Pembezaan
Pembezaan
Secara amnya, terbitan pertama bagi suatu fungsi gubahan adalah seperti berikut:

Jika y = g(u) dan u = h(x), maka pembezaan y terhadap x diberi oleh
f (x) = g(u) × h(x)
dy dy du
iaitu, = × BAB
dx du dx
2


Contoh 7

Bezakan setiap fungsi berikut terhadap x.
2
7
2
(a) y = (3x – 4x) (b) y = 1 (c) y = ! 6x + 8
(2x + 3) 3
Penyelesaian
2
(a) Katakan u = 3x – 4x dan y = u 7 (b) Katakan u = 2x + 3 dan y = 1 = u
–3
du dy 6 u 3
Jadi, = 6x – 4 dan = 7u du dy 3
dx du Jadi, = 2 dan = –3u –3 – 1 = – 4
Dengan petua rantai, dx du u
dy dy du Dengan petua rantai,
= × dy dy
dx du dx = × du
= 7u (6x – 4) dx du dx
6
3
6
2
= 7(3x – 4x) (6x – 4) = – (2)
4
u
2

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
= (42x – 28)(3x – 4x)
6
dy dy = – 6
2
= 14(3x – 2)(3x – 4x) 6 dx (2x + 3) 4
dx
1
Sudut Informasi
2
2
(c) Katakan u = 6x + 8 dan y = ! u = u Sudut Informasi
du dy 1 1 – 1 1 – 1 1
2
Jadi, = 12x dan = u 2 = u = Secara amnya, bagi fungsi
dx du 2 2 2! u n
Dengan petua rantai, dalam bentuk y = u , dengan
dy dy du u ialah fungsi bagi x, maka
= × dy n – 1 du atau

dx du dx du = nu dx
= 1 (12x) d (u ) = nu n – 1 du .
n
dx
dx
2! u Rumus ini boleh digunakan
= 12x untuk mendapatkan
2
2! 6x + 8 pembezaan fungsi dalam
dy 6x Contoh 7 secara langsung.
=
dx ! 6x + 8
2
Latihan Kendiri 2.4
1. Bezakan setiap ungkapan berikut terhadap x.
1
5
2
4
(a) (x + 4) (b) (2x – 3) (c) (6 – 3x) (d) (4x – 5)
7
6
3
)
8
9
–10
2 3
3
(e) ( 1 x + 2 (f) 2 (5 – 2x) (g) (1 – x – x ) (h) (2x – 4x + 1)
6
3
2.2.3 43

2. Bezakan setiap ungkapan berikut terhadap x.
1 1 5 3
(a) (b) (c) (d)
3x + 2 (2x – 7) 3 (3 – 4x) 5 4(5x – 6) 8
(e) ! 2x – 7 (f) ! 6 – 3x (g) ! 3x + 5 (h) ! x – x + 1
2
2
dy
3. Cari nilai bagi pada setiap nilai x atau nilai y yang diberi berikut.
dx
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
1 1
(a) y = (2x + 5) , x = 1 (b) y = ! 5 – 2x , x = (c) y = , y = 1
4
2 2x – 3
Terbitan pertama bagi suatu fungsi yang melibatkan hasil darab dan hasil
bahagi ungkapan algebra

Aktiviti Penerokaan 5 Individu


Tujuan: Meneroka dua kaedah berlainan untuk membezakan suatu fungsi yang melibatkan
hasil darab dua ungkapan algebra
Langkah:
1. Pertimbangkan fungsi y = (x + 1)(x – 4) .
2
2
dy
2. Kembangkan ungkapan (x + 1)(x – 4) dan tentukan dengan membezakan setiap
2
2
sebutan secara berasingan. dx
2
2
3. Jika u = x + 1 dan v = (x – 4) , cari
(a) du dan dv ,
dx dx
(b) u dv + v du dalam sebutan x.
dx dx
4. Bandingkan dua kaedah yang digunakan dalam langkah 2 dan 3. Adakah jawapannya
sama? Kaedah manakah yang menjadi pilihan anda? Jelaskan.
Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 5, didapati bahawa terdapat
lebih daripada satu cara untuk membezakan suatu fungsi yang Akses QR
melibatkan hasil darab dua ungkapan algebra seperti fungsi
y = (x + 1)(x – 4) . Namun, bagi dua ungkapan algebra yang Pembuktian petua
2
2
hasil darab dengan
2
tidak boleh dikembangkan seperti (x + 1)! x – 4, petua hasil
menggunakan idea had.
darab seperti dalam langkah 3 ialah kaedah yang sesuai dan
sering digunakan untuk melakukan pembezaan.
Secara amnya, rumus terbitan pertama bagi suatu fungsi
yang melibatkan hasil darab dua ungkapan algebra, juga dikenali bit.ly/2rCVm2G
sebagai petua hasil darab adalah seperti berikut:

Jika u dan v ialah suatu fungsi bagi x, maka Tip Pintar
Pintar
d (uv) = u dv + v du
dx dx dx d (uv) ≠ du × dv
dx dx dx

44 2.2.3 2.2.4

Pembezaan
Aktiviti Penerokaan 6 Individu


Tujuan: Meneroka dua kaedah berlainan untuk membezakan suatu fungsi yang melibatkan
hasil bahagi dua ungkapan algebra
Langkah: BAB
1. Pertimbangkan fungsi y = x .
(x – 1) 2 2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
x
2. Tulis semula fungsi y = (x – 1) 2 sebagai y = x(x – 1) dan tentukan dy dengan menggunakan
–2
dx
petua hasil darab.
2
3. Jika u = x dan v = (x – 1) , cari
(a) du dan dv ,
dx dx
v du – u dv
(b) dx dx dalam sebutan x.
v 2
4. Bandingkan kaedah yang digunakan dalam langkah 2 dan 3. Adakah anda memperoleh
jawapan yang sama?
5. Kemudian, nyatakan kaedah yang menjadi pilihan anda. Berikan sebab.


Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 6, didapati bahawa selain
daripada menggunakan petua hasil darab untuk membezakan suatu
fungsi yang melibatkan hasil bahagi dua ungkapan algebra seperti Dengan menggunakan
x idea had, buktikan petua
y = , kita boleh membezakannya secara langsung dengan
(x – 1) 2 hasil bahagi.
menggunakan petua hasil bahagi seperti dalam langkah 3.

Pintar
Secara amnya, petua hasil bahagi adalah seperti berikut: Tip Pintar
Jika u dan v ialah fungsi bagi x dan v(x) ≠ 0, maka du
( )
d u

v du – u dv dx v ≠ dx
d ( ) = dx dx dv
u
dx v v 2 dx
Contoh 8 Sudut Informasi
Sudut Informasi
Bezakan setiap yang berikut terhadap x.
Petua hasil darab dan petua
(a) (x + 1)(x – 3) (b) (3x + 2)! 4x – 1 hasil bahagi masing-masing
2
4
Penyelesaian boleh ditulis seperti
yang berikut.
4
2
(a) Diberi y = (x + 1)(x – 3) . • d (uv) = uv + vu
2
Jadi, u = x + 1 dx
( )

4
dan v = (x – 3) • d u = vu – uv
dx v v 2
du
Kita peroleh, = 2x dengan u dan v
dx masing-masing ialah
dv 4 – 1 d
dan = 4(x – 3) (x – 3) fungsi bagi x.
dx dx
3
= 4(x – 3)
2.2.4 45

dy dv du
Maka, = u + v
dx dx dx 2 2
4
3
= (x + 1) × 4(x – 3) + (x – 3) × 2x 1. Bezakan x(1 – x )
2
terhadap x dengan
= 4(x + 1)(x – 3) + 2x(x – 3) menggunakan
3
2
4
2
3
= 2(x – 3) [2(x + 1) + x(x – 3)] dua kaedah yang
dy
2
3
= 2(x – 3) (3x – 3x + 2) berbeza. Adakah anda
dx memperoleh jawapan
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
(b) Diberi y = (3x + 2)! 4x – 1 . yang sama?
Jadi, u = 3x + 2 2. Diberi y = 3(2x – 1) ,
4
1
dan v = ! 4x – 1 = (4x – 1) 2 cari dy dengan
dx
du menggunakan
Kita peroleh, = 3
dx (a) petua rantai,
1 – 1
1
dan dv = (4x – 1) 2 d (4x – 1) (b) petua hasil darab.
dx 2 dx Petua manakah yang
1 – 1 menjadi pilihan anda?
2
= (4x – 1) (4)
2
2
=
! 4x – 1
dy dv du
Maka, = u + v Akses QR
dx dx dx
= (3x + 2) × 2 + ! 4x – 1 × 3 Semak jawapan dalam
! 4x – 1 Contoh 8 dengan
2(3x + 2) menggunakan kalkulator
= + 3! 4x – 1 petua hasil darab.
! 4x – 1
2(3x + 2) + 3(4x – 1)
=
! 4x – 1
dy 18x + 1
=
dx ! 4x – 1 ggbm.at/CHfcruJC
Contoh 9
Diberi y = x! x + 3, cari
dy
(a) ungkapan bagi (b) kecerunan tangen pada x = 6
dx
Penyelesaian
(a) Katakan u = x dan v = ! x + 3 . (b) Apabila x = 6,
dy d d dy 3(6 + 2)
Jadi, = x (! x + 3) + ! x + 3 (x) =
dx dx dx dx 2! 6 + 3
( 1 )
= x + ! x + 3 24
2! x + 3 = 6
x + 2(x + 3) = 4
=
2! x + 3 Maka, kecerunan tangen pada x = 6
dy 3(x + 2)
= ialah 4.
dx
2! x + 3
46 2.2.4

Pembezaan
Contoh 10


(a) Diberi y = 2x + 1 , cari dy .
2
x – 3 dx
(b) Diberi y = x , tunjukkan bahawa dy = 2x – 1 .
3
! 4x – 1 dx ! (4x – 1) BAB
2
Penyelesaian
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
! 4x – 1 d (x) – x d (! 4x – 1)
dy
2
(a) Katakan u = 2x + 1 dan v = x – 3. (b) dx = dx dx
2
Jadi, du = 2 dan dv = 2x (! 4x – 1)
dx dx ! 4x – 1 – 2x
v du – u dv ! 4x – 1
dy dx dx =
Maka, = 4x – 1
dx v 2
2
(x – 3)(2) – (2x + 1)(2x) (! 4x – 1)(! 4x – 1) – 2x
= =
2
(x – 3) 2 (4x – 1)! 4x – 1
2x – 6 – (4x + 2x) 4x – 1 – 2x
2
2
= =
(x – 3) 2 (4x – 1)(! 4x – 1)
2
–2x – 2x – 6 2x – 1
2
= =
(x – 3) 2 (4x – 1)(! 4x – 1)
2
dy –2(x + x + 3) dy
2
= = 2x – 1
dx (x – 3) 2 dx
2
! (4x – 1) 3
Latihan Kendiri 2.5
dy
1. Cari bagi setiap fungsi berikut.
dx
(a) y = 4x (5x + 3) (b) y = –2x (x + 1) (c) y = x (1 – 4x)
2
3
2
4
2
(d) y = x ! 1 – 2x 2 (e) y = (4x – 3)(2x + 7) 6 (f) y = (x + 5) (x – 4) 4
3
2. Bezakan setiap yang berikut terhadap x dengan menggunakan petua hasil darab.
(
2
2
2
3
(a) (1 – x )(6x + 1) (b) x + 2 )( x – 1 ) (c) (x – 5)(x – 2x + 8)
x x
3. Diberi f(x) = x! x – 1, cari nilai bagi f (5).

4. Cari kecerunan tangen bagi lengkung y = x! x + 9 di x = 4.
2
5. Bezakan setiap yang berikut terhadap x.
3
(a) 3 (b) 3x (c) 4x 2 (d) x + 1
2x – 7 4x + 6 1 – 6x 2x – 1
! x x 3x 2 4x + 1
(e) (f) (g) (h) ! 
2
x + 1 ! x – 1 ! 2x + 3 3x – 7
2
d 2x – 3 r
6. Cari nilai pemalar r dengan keadaan ( ) =
dx x + 5 (x + 5) 2
2.2.4 47

2.2
Latihan Formatif Kuiz bit.ly/2RHHFu2
1. Bezakan setiap yang berikut terhadap x.

(a) 9x – 3 (b) 6 – 1 + 8 (c) 5x + 4! x – 7 (d) 10 + 3
2
x 2 x 3 x ! x 3 ! x
2
(
4
2
(e) x – 3 ) 2 (f) 8x + x (g) 9x 3 – π x + 6 (h) ! x (2 – x)
x
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
! x
2 – 1

3
3
2. Jika f(x) = 3x + 6x , cari nilai bagi f (8).
6t 3

3. Diberi f(t) = ,
3 ! t
1

(a) permudahkan f(t), (b) cari f (t), (c) cari nilai bagi f  ( ) .
8
ds ds
4. Diberi s = 3t + 5t – 7, cari dan julat nilai t dengan keadaan adalah negatif.
2
dt dt
dy
2
5. Diberi bagi fungsi y = ax + bx + 3 pada titik (1, 4) ialah 7, cari nilai a dan nilai b.
3
dx
dy
3
2
6. Cari koordinat titik pada fungsi y = x – 3x + 6x + 2 dengan keadaan ialah 3.
dx
2
7. Diberi fungsi h(x) = kx – 4x – 5x, cari
3
(a) h(x), dalam sebutan k, (b) nilai k jika h(1) = 8.
dy
8. Cari bagi setiap fungsi berikut.
dx
3 x
(a) y = ( – 1 ) 4 (b) y = 1 (10x – 3) 6 (c) y = 8
4 6 12 2 – 5x
)
(
1
2
(d) y = x – 1 3 (e) y = 3 ! 3 – 9x (f) y = ! x + 6x + 6
x
24 dy
9. Jika y = , cari nilai bagi apabila x = 2.
(3x – 5) 2 dx
d 1 a
10. Cari nilai bagi pemalar a dan pemalar b dengan keadaan ( 3) = –
dx (3x – 2) (3x – 2) b
11. Bezakan setiap yang berikut terhadap x.
5
5
(a) 4x(2x – 1) (b) x (3x + 1) 7 (c) x! x + 3 (d) (x + 7) (x – 5)
3
4
1 – ! x x 1 1 – 2x 3
(e) (f) (g) 2 (h)
1 + ! x ! 4x + 1 x + 2x + 7 x – 1
2x + 3
2
12. Tunjukkan bahawa jika f(x) = x! x + 3 , maka f (x) =


2
2
! x + 3
dy dy
13. Diberi y = 4x – 3 , cari dan tentukan julat nilai x dengan keadaan semua nilai y dan
2
x + 1 dx dx
adalah positif.
dy
14. Diberi y = x – 2 , cari julat nilai x dengan keadaan y dan adalah negatif.
x + 5 dx
2
48

Pembezaan
2.3 Pembezaan Peringkat Kedua




Terbitan kedua bagi fungsi algebra
BAB
Pertimbangkan fungsi kubik y = f(x) = x – 2x + 3x – 5.
3
2
2

dx KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Fungsi kubik bagi x Fungsi kuadratik bagi x
dy
Pembezaan peringkat pertama dy = f (x) = 3x – 4x + 3
2
2

3
2
y = f(x) = x – 2x + 3x – 5 = f (x) = 3x – 4x + 3
dx
dx

Perhatikan bahawa pembezaan suatu fungsi y = f(x) terhadap x di atas menghasilkan suatu
dy
fungsi x yang lain. Fungsi atau f (x) ini dikenali sebagai terbitan pertama bagi fungsi
dx
dy
y = f(x) terhadap x. Bagaimana pula jika kita ingin membezakan atau f (x) terhadap x?

dx
dy d dy d
Apabila fungsi atau f (x) dibezakan terhadap x, kita peroleh ( ) atau [f (x)].
dx dx dx dx
2
d y
Fungsi ini ditulis sebagai atau f (x) dan disebut sebagai terbitan kedua bagi fungsi
dx 2

y = f(x) terhadap x. Secara amnya,
2
dy
d y = d ( ) atau f (x) = d [f (x)]
dx 2 dx dx dx
Contoh 11
2
dy d y
3
(a) Cari dan bagi fungsi y = x + 4 .
dx dx 2 x 2
1
(b) Jika g(x) = 2x + 3x – 7x – 9, cari g ( ) dan g(–1).
3
2
4
Penyelesaian
3
2
4 (b) g(x) = 2x + 3x – 7x – 9
(a) y = x +
3
x 2 g(x) = 6x + 6x – 7
2
= x + 4x g(x) = 12x + 6
3
–2

dy 1 1
= 3x – 8x –3 Maka, g ( ) ( ) + 6
= 12
2
4
4
dy 8 = 3 + 6
2
= 3x –
dx x 3 = 9
d y g(–1) = 12(–1) + 6
2
= 6x + 24x – 4
dx 2 = –12 + 6
2
d y 24 = – 6
= 6x +
dx 2 x 4
2.3.1 49

Contoh 12

3
2

Diberi fungsi f(x) = x + 2x + 3x + 4, cari nilai-nilai x dengan
keadaan f (x) = f (x). Jika y = 5x – 3, cari
dy 2
Penyelesaian (a) ( )
dx
2
d y

3
2
Diberi f(x) = x + 2x + 3x + 4. (b) dx 2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
2
Jadi, f (x) = 3x + 4x + 3 dan f (x) = 6x + 4. ( ) d y
2
dy 2
f (x) = f (x) Adakah dx = dx 2 ?
2
3x + 4x + 3 = 6x + 4 Jelaskan.
2
3x – 2x – 1 = 0
(3x + 1)(x – 1) = 0
1
x = – atau x = 1
3
1
Maka, nilai-nilai x ialah – dan 1.
3
Latihan Kendiri 2.6
dy d y
2
1. Cari dan bagi setiap fungsi berikut.
dx dx 2
2
2
4
(a) y = 3x – 5x + 2x – 1 (b) y = 4x – 2 (c) y = (3x + 2) 8
x
2. Cari f (x) dan f (x) bagi setiap fungsi berikut.
1 x + 2 2x + 5
4
(a) f(x) = ! x + (b) f(x) = (c) f(x) =



x 2 x 2 x – 1
dy
2
3
3. Diberi y = x + 3x – 9x + 2, cari koordinat titik A yang mungkin dengan keadaan = 0.
dx
d y
2
Seterusnya, cari nilai bagi di titik A itu.
dx 2
2.3
Latihan Formatif Kuiz bit.ly/2P9X98B
2
d y dy
2
2
1. Jika xy – 2x = 3, tunjukkan bahawa x + x = y.
dx 2 dx
2. Cari nilai f (1) dan f (1) bagi setiap fungsi berikut. 3
(a) f(x) = 3x – 2x 3 (b) f(x) = x (5x – 3) (c) f(x) = x + x
2



x 2
2

3. Jika f(x) = ! x – 5 , cari f (3) dan f (–3).

2
3
2
4. Jika a = t + 2t + 3t + 4, cari nilai-nilai t dengan keadaan da = d a .
dt dt 2
5. Diberi fungsi g(x) = hx – 4x + 5x. Cari nilai h jika g(1) = 4.
2
3

3
2
6. Diberi f(x) = x – x – 8x + 9, cari
(a) nilai-nilai x dengan keadaan f (x) = 0, (b) f (x),
(c) nilai x dengan keadaan f (x) = 0, (d) julat nilai x untuk f (x) , 0.
50 2.3.1

Pembezaan
2.4 Aplikasi Pembezaan




Selain aspek keselamatan, roller coaster juga
dibina dengan mempertimbangkan kepuasan BAB
maksimum pengguna. Setiap titik pada trek
roller coaster perlu diberi perhatian untuk 2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
mencapai matlamat itu.
Apakah teknik yang boleh digunakan untuk
menentukan kecerunan bagi setiap titik pada trek
roller coaster itu?

Kecerunan tangen kepada satu lengkung pada titik-titik yang berlainan

Anda telah mempelajari bahawa kecerunan lengkung pada suatu titik ialah kecerunan tangen pada
titik tersebut. Kecerunan tangen berbeza bagi setiap titik yang berlainan pada suatu lengkung.
dy
2

Pertimbangkan fungsi y = f(x) = x dengan fungsi kecerunannya, = f (x) = 2x. Fungsi
dx
kecerunan f (x) digunakan untuk menentukan kecerunan tangen mana-mana garis tangen

kepada graf fungsi f(x) di titik tertentu.
f(x)
2

Misalnya, bagi fungsi f(x) = x : f(x) = x 2
Apabila x = –2, kecerunan tangen, f (–2) = 2(–2) = – 4
Apabila x = –1, kecerunan tangen, f (–1) = 2(–1) = –2
Apabila x = 0, kecerunan tangen, f (0) = 2(0) = 0 f (–2) = –4 4 f (2) = 4
Apabila x = 1, kecerunan tangen, f (1) = 2(1) = 2
Apabila x = 2, kecerunan tangen, f (2) = 2(2) = 4 2
f (–1) = –2 f (1) = 2
x
Rajah di sebelah menunjukkan kecerunan tangen kepada –2 –1 0 1 2
2

lengkung f(x) = x pada lima titik yang berlainan. f (0) = 0

Secara amnya, jenis kecerunan tangen, f (a) dan sifatnya kepada suatu lengkung y = f(x)
pada titik P(a, f(a)) dapat diringkaskan seperti yang berikut.

Kecerunan tangen pada titik di x = a, f (a)




Kecerunan negatif Kecerunan sifar Kecerunan positif
apabila f (a) , 0 apabila f (a) = 0 apabila f (a) . 0
Garis tangen condong ke kiri. Garis tangen mengufuk. Garis tangen condong ke
y = f(x) kanan. y = f(x)
y = f(x)

f (a) 0 f (a) = 0 f (a) 0
P(a, f(a))
P(a, f(a)) P(a, f(a))


2.4.1 51

Contoh 13

Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada lengkung y
1 1 1 1
y = 2x + dan titik-titik A ( ) ( ) y = 2x + ––
, 5 , B(1, 3) dan C 2, 4
x 2 2 4 x 2
yang terletak pada lengkung itu.
( )
1
–
(a) Cari A , 5 ( 1 )
dy 2 C 2, 4 –
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
(i) ungkapan bagi , 4
dx B(1, 3)
(ii) kecerunan tangen bagi lengkung pada titik A, B dan C.
x
(b) Untuk setiap titik A, B dan C, nyatakan keadaan kecerunan 0
tangennya pada lengkung itu.
Penyelesaian
1 1 2
, 5 = 2 –
(a) (i) y = 2x + (ii) Kecerunan tangen di A ( )
x 2 2 ( ) 3
1
–2
= 2x + x 2
dy = –14
= 2 + (–2x –2 –1 )
dx 2
= 2 – 2x –3 Kecerunan tangen di B(1, 3) = 2 – 1 3
dy 2 = 0
= 2 –
)
(
1
dx x 3 Kecerunan tangen di C 2, 4 = 2 – 2 2 3
4
= 1 3
4
(b) Pada titik A, kecerunan tangennya ialah –14 (, 0). Jadi, kecerunannya adalah negatif
dengan garis tangen condong ke kiri.
Pada titik B, kecerunan tangennya ialah 0. Jadi, kecerunannya adalah sifar dengan garis
tangen adalah mengufuk.
3
Pada titik C, kecerunan tangennya ialah 1 (. 0). Jadi, kecerunannya adalah positif
4
dengan garis tangen condong ke kanan.


Latihan Kendiri 2.7


1
1. Persamaan bagi suatu lengkung ialah y = 9x + untuk x > 0.
x
1
(a) (i) Cari kecerunan tangen kepada lengkung itu di x = dan x = 1.
4
(ii) Untuk setiap koordinat-x itu, nyatakan keadaan kecerunan tangennya kepada
lengkung itu.
(b) Seterusnya, cari koordinat titik pada lengkung dengan keadaan garis tangennya
adalah mengufuk.
b
1
2
2. Lengkung y = ax + mempunyai kecerunan –14 dan 7 masing-masing di x = dan x = 2.
x 2
(a) Tentukan nilai a dan nilai b.
(b) Cari koordinat titik pada lengkung dengan keadaan kecerunan tangennya ialah sifar.
52 2.4.1

Pembezaan
Persamaan tangen dan normal kepada satu lengkung pada suatu titik


Pertimbangkan titik P(x , y ) dan titik R(x, y) yang terletak pada
1 1
garis lurus l dengan kecerunan m seperti yang ditunjukkan dalam Kecerunan m l
y – y
rajah di sebelah. Didapati bahawa kecerunan PR = 1 = m. R(x, y) BAB
x – x
1 2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Jadi, rumus bagi persamaan garis lurus l dengan kecerunan m P(x , y )
1
1
dan melalui titik P(x , y ) boleh ditulis sebagai:
1 1
y − y = m(x − x )
1 1
y
Rumus ini boleh digunakan untuk mencari persamaan tangen dan y = f(x)
persamaan normal kepada satu lengkung pada suatu titik tertentu. l 2
l
Dalam rajah di sebelah, garis l merupakan tangen kepada 1
1

lengkung y = f(x) pada titik P(a, f(a)). Kecerunan tangen bagi l

1
dy P(a, f(a))
ialah nilai bagi di x = a, iaitu f (a).
dx
Maka, persamaan bagi tangen ialah:
x
0
y – f (a) = f (a)(x – a)
Garis l pula berserenjang dengan tangen l dan disebut sebagai normal kepada lengkung
2 1

y = f(x) pada titik P(a, f(a)). Jika kecerunan tangen, f (a) wujud dan bukan sifar, kecerunan

1
bagi normal berdasarkan hubungan m m = –1 ialah – .
1 2 f (a)
Maka, persamaan bagi normal ialah:
1
y – f(a) = – (x – a)

f (a)
Contoh 14

3
2
Cari persamaan tangen dan normal kepada lengkung f(x) = x – 2x + 5 pada titik P(2, 5).
Penyelesaian
2
3
2
Diberi f(x) = x – 2x + 5, jadi f(x) = 3x – 4x.

y
Apabila x = 2, f(2) = 3(2) – 4(2) = 12 – 8 = 4 f(x) = x – 2x + 5
2
2
3

Kecerunan tangen pada titik P(2, 5) ialah 4.
10 tangen
Persamaan tangen ialah y – 5 = 4(x – 2)
8
y – 5 = 4x – 8
y = 4x – 3 6 P(2, 5)
1 4
Kecerunan normal pada titik P(2, 5) ialah – . normal
4
1 2
Persamaan normal ialah y – 5 = – (x – 2)
4 x
4y – 20 = –x + 2 0 2 4 6
4y + x = 22
2.4.2 53

Latihan Kendiri 2.8


1. Cari persamaan tangen dan normal kepada lengkung pada titik yang diberi berikut.
2
3


(a) f(x) = 5x – 7x – 1 pada titik (1, –3) (b) f(x) = x – 5x + 6 pada titik (2, 4)

(c) f(x) = ! 2x + 1 pada titik (4, 3) (d) f(x) = x + 1 pada titik (3, 2)

x – 1
2. Cari persamaan tangen dan normal kepada lengkung pada nilai x yang diberi berikut.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
1
(a) y = 2x – 4x + 3, x = 1 (b) y = ! x – , x = 4 (c) y = ! x + 1, x = 3
3
! x
5 1 x + 3
2
(d) y = , x = –2 (e) y = 2 + , x = –1 (f) y = , x = 3
x + 1 x x + 1
2
3. Satu tangen dan normal dilukis pada lengkung y = x! 1 – 2x di x = – 4. Cari
dy
(a) nilai di x = – 4, (b) persamaan tangen, (c) persamaan normal.
dx
2
4. (a) Tangen kepada lengkung y = (x – 2) pada titik (3, 1) melalui titik (k, 7). Cari nilai k.
6
(b) Normal kepada lengkung y = 7x – di x = 1 menyilang paksi-x di titik A. Cari koordinat A.
x
Menyelesaikan masalah yang melibatkan tangen dan normal
Rajah 2.1(a) menunjukkan sebuah loyang berbentuk bulatan dengan satu daripada sukuannya,
iaitu AOB telah dipotong. Sebiji bola diputarkan di dalam loyang itu dan bola berpusing
mengikut lilitan loyang yang berbentuk bulatan.




O O O
A A A


B B B

Rajah 2.1(a) Rajah 2.1(b) Rajah 2.1(c)

Apakah yang akan berlaku kepada gerakan bola itu apabila sukuan loyang AOB yang
dipotong dikeluarkan daripada loyang seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 2.1(b)? Adakah
gerakan bola itu akan mengikut garis tangen kepada lilitan loyang di titik A?
Contoh 15 Aplikasi Matematik


Rajah di sebelah menunjukkan sebatang jalan raya yang y
1
2
boleh diwakili oleh lengkung y = x – 2x + 2. Kumar 1 B
2
2 y = – 2x + 2
– x
memandu keretanya di jalan raya itu. Oleh kerana hujan, 2 y = 2x – c
jalan tersebut menjadi licin dan menyebabkan Kumar 2 A
tersasar di titik A lalu mengikut laluan AB yang merupakan
garis tangen y = 2x – c kepada jalan raya itu. Cari 0 2 x
(a) koordinat A, (b) nilai pemalar c.
54 2.4.2 2.4.3

Pembezaan

Penyelesaian


1 . Memahami masalah
1
Sebatang jalan raya diwakili oleh lengkung y = x – 2x + 2. BAB
2
2
Kumar memandu keretanya di jalan raya itu dan tersasar di titik A lalu mengikut 2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
laluan y = 2x – c, iaitu laluan tangen kepada jalan raya.
Cari koordinat A dan nilai pemalar c.


2 . Merancang strategi
dy 1
Cari fungsi kecerunan, bagi lengkung y = x – 2x + 2.
2
dx 2
Kecerunan bagi y = 2x – c ialah 2.
dy
Selesaikan = 2 untuk memperoleh koordinat A.
dx
Gantikan koordinat A yang diperoleh ke dalam fungsi y = 2x – c untuk mencari
nilai pemalar c.




3 . Melaksanakan strategi 4 . Membuat refleksi

1 (a) Gantikan x = 4 bagi A(4, 2) ke
2
(a) y = x – 2x + 2
2 dalam y = 2x – 6, kita peroleh
dy
= x – 2 y = 2(4) – 6
dx y = 8 – 6
Oleh sebab y = 2x – c ialah
tangen kepada jalan raya y = 2
1 (b) Laluan AB, iaitu y = 2x – c dengan
y = x – 2x + 2 di titik A, jadi
2
2 kecerunan 2 melalui titik A(4, 2)
dy
= 2 dan (0, – c), maka
dx
x – 2 = 2 kecerunan AB = 2
x = 4 y – y 1 = 2
2
Oleh sebab titik A terletak di atas x – x 1
2
lengkung, jadi 2 – (– c) = 2
1 4 – 0
2
y = (4) – 2(4) + 2
2 2 + c = 2
y = 2 4
Maka, koordinat A ialah (4, 2). c + 2 = 8
(b) Titik A(4, 2) terletak di atas laluan c = 8 – 2
AB, iaitu y = 2x – c, jadi c = 6
2 = 2(4) – c
c = 6
Maka, nilai bagi pemalar c ialah 6.




2.4.3 55

Latihan Kendiri 2.9


1. Rajah di sebelah menunjukkan seutas gelang y
tangan yang boleh diwakili oleh lengkung y = x – 3x + 4
2
y = x – 3x + 4 dengan keadaan titik A(1, 2) dan
2
titik B(3, 4) terletak di atas gelang itu. Garis AC C 8
ialah tangen kepada gelang pada titik A dan
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
garis BC pula ialah normal kepada gelang pada B(3, 4)
4
titik B. Dua ekor semut berjalan masing-masing
di sepanjang garis tangen AC dan garis A(1, 2)
normal BC, dan bertemu pada titik C. Cari x
–4 0 4
(a) persamaan tangen pada titik A,
(b) persamaan normal pada titik B,
(c) koordinat C, iaitu titik pertemuan kedua-dua
ekor semut itu.

2
2. Persamaan bagi suatu lengkung ialah y = 2x – 5x – 2.
(a) Cari persamaan normal kepada lengkung itu pada titik A(1, –5).
(b) Normal itu bertemu lengkung sekali lagi pada titik B. Cari koordinat B.
(c) Seterusnya, cari koordinat titik tengah AB.

3. Dalam rajah di sebelah, tangen kepada lengkung y
y = ax – 4x + b di P(2, 1) menyilang paksi-x di Q( 1 , 0) . y = ax – 4x + b
1
3
3
2
Normal di P pula menyilang paksi-x di R. Cari
(a) nilai a dan nilai b,
(b) persamaan normal di titik P,
(c) koordinat R,
P(2, 1)
(d) luas segi tiga PQR.
x
1
(
0 Q 1 , 0 ) R
–
2
4. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada y
b
b y = ax + –
lengkung y = ax + . Garis 3y – x = 14 adalah normal x
x
kepada lengkung di titik P(1, 5) dan normal ini bertemu 3y – x = 14
Q
lengkung sekali lagi di titik Q. Cari P(1, 5)
(a) nilai a dan nilai b,
(b) persamaan tangen di titik P,
(c) koordinat Q, x
0
(d) koordinat titik tengah PQ.

5. (a) Tangen kepada lengkung y = ! 2x + 1 di titik A(4, 3) memotong paksi-x di titik B. Cari
jarak AB.
(b) Tangen kepada lengkung y = hx + kx + 2 di ( ) adalah selari dengan normal kepada
1
1,
3
2

2
lengkung y = x + 6x + 4 di (–2, –4). Cari nilai pemalar h dan nilai pemalar k.
56 2.4.3

Pembezaan

Titik pusingan dan sifat titik pusingan tersebut

Terdapat tiga jenis titik pegun, iaitu titik maksimum, titik minimum dan titik lengkok balas.
Antara titik pegun itu, yang manakah ialah titik pusingan dan bukan titik pusingan? Mari teroka
cara untuk menentukan titik pegun dan sifat-sifatnya. BAB

Aktiviti Penerokaan 7 Berkumpulan PAK-21 STEM PK 2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

Tujuan: Menentukan titik pegun pada graf suatu fungsi dan
menghuraikan sifat titik pegun itu dengan memerhatikan
kecerunan titik-titik kejiranannya
Langkah: ggbm.at/tggjh78b
1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah.
2. Perhatikan graf y = –x + 2x + 3 dan tangen kepada lengkung itu pada titik P yang terpapar
2
pada satah.
3. Seret titik P di sepanjang lengkung itu dan perhatikan kecerunan lengkung pada titik P.

4. Kemudian, salin dan lengkapkan jadual di bawah.
Koordinat-x bagi titik P –1 0 1 2 3
dy
Kecerunan lengkung pada titik P, 4
dx
dy
Tanda bagi +
dx

Lakaran tangen
Lakaran graf

5. Gantikan nilai a, b dan c pada petak fungsi f(x) = ax + bx + c untuk memperoleh
2

2
graf bagi lengkung y = x + 2x – 3 pula. Ulang langkah 3 dan 4 dengan menggantikan
koordinat-x bagi titik P dalam jadual tersebut dengan x = –3, –2, –1, 0 dan 1.
6. Klik pada petak f(x) = ax + bx + c sekali lagi dan tukarkan x kepada x .

2
3
2
Kemudian, gantikan nilai a, b dan c bagi fungsi itu untuk memperoleh graf bagi
lengkung y = x + 4. Ulang langkah 3 dan 4 dengan menggantikan koordinat-x bagi
3
titik P dalam jadual tersebut dengan x = –2, –1, 0, 1 dan 2.
7. Untuk setiap fungsi yang telah diteroka berikut:
(a) y = –x + 2x + 3 (b) y = x + 2x – 3 (c) y = x + 4
2
3
2
(i) Nyatakan koordinat bagi titik pegun. dy
(ii) Apabila x menokok melalui titik pegun itu, bagaimanakah nilai berubah?
dx
(iii) Apakah yang dapat anda perhatikan pada tanda bagi kecerunan lengkung itu?
(iv) Tentukan jenis dan sifat titik pegun itu.
8. Bentangkan hasil dapatan kumpulan anda di hadapan kelas dan lakukan sesi soal jawab
bersama dengan rakan yang lain.

2.4.4 57

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 7, didapati bahawa suatu titik pegun boleh ditentukan apabila
dy
= 0 dan sifat titik pegun itu dapat diringkaskan seperti berikut:
dx

0

Bagi suatu lengkung y = f(x) dengan titik pegun S di x = a,
dy + S –
• Jika berubah tanda daripada positif kepada negatif apabila x
dx
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
menokok melalui a, titik S ialah titik maksimum. y = f(x)
dy
• Jika berubah tanda daripada negatif kepada positif apabila x y = f(x)
dx
menokok melalui a, titik S ialah titik minimum. – S +
dy 0
• Jika tidak berubah tanda apabila x menokok melalui a, titik S
dx
ialah titik lengkok balas. y = f(x)

Titik pegun disebut sebagai titik pusingan jika titik itu ialah titik 0 +
maksimum atau minimum. + S




Pertimbangkan graf bagi fungsi y = f(x) seperti yang y
ditunjukkan dalam rajah di sebelah. Berdasarkan rajah, graf
fungsi menaik yang berwarna merah mempunyai kecerunan A dy
–– = 0
dy dx
positif, iaitu . 0 manakala graf fungsi menurun yang dy dy y = f(x)
–– > 0
–– < 0
dx dy dx dx
–– > 0
berwarna biru mempunyai kecerunan negatif, iaitu , 0. C dy
dx dy dx
–– = 0
dy dx dy
–– = 0
Titik dengan keadaan f (x) = = 0 disebut sebagai B dx
dx x
titik pegun dengan tangen kepada graf pada titik pegun 0 a c b
adalah mengufuk. Oleh itu, titik A, B dan C ialah titik
pegun bagi y = f(x).

Daripada graf y = f(x) di sebelah, didapati bahawa:

Titik pegun A ialah titik maksimum Titik pegun B ialah titik minimum
Apabila x menokok melalui x = a, nilai Apabila x menokok melalui x = b, nilai
dy dy
berubah tanda daripada positif berubah tanda daripada negatif
dx dx
kepada negatif. kepada positif.



Titik maksimum A dan titik minimum B ini disebut sebagai titik pusingan. Di titik
dy
pegun C pula, nilai tidak berubah tanda apabila x menokok melalui x = c. Titik pegun C
dx
bukan titik pusingan. Titik pegun yang bukan titik maksimum atau titik minimum ini disebut
sebagai titik lengkok balas, iaitu titik pada saat berlakunya perubahan kecekungan suatu graf.


58 2.4.4

Pembezaan
Contoh 16

3
2
Diberi lengkung y = x – 3x – 9x + 11.
(a) Cari koordinat titik pusingan bagi lengkung itu.
(b) Tentukan sama ada setiap titik pusingan itu ialah titik maksimum atau minimum.
BAB
Penyelesaian
Sudut Informasi 2
Sudut Informasi
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
3
(a) y = x – 3x – 9x + 11
2
dy
2
= 3x – 6x – 9

dx y = f(x)
2
= 3(x – 2x – 3)
dy A
= 3(x + 1)(x – 3)
dx
dy
Untuk titik pusingan, = 0 B
dx
3(x + 1)(x – 3) = 0 Apabila lengkung y = f(x)

x = –1 atau x = 3 berpusing dan bertukar
3
2
Apabila x = –1, y = (–1) – 3(–1) – 9(–1) + 11 arah pada titik A dan titik B,
y = 16 titik maksimum A dan titik
2
3
Apabila x = 3, y = 3 – 3(3) – 9(3) + 11 minimum B disebut sebagai
y = –16 titik pusingan.
Maka, titik pusingan ialah (–1, 16) dan (3, –16).
(b) x –1.5 –1 – 0.5 2.5 3 3.5
dy
dx 6.75 0 –5.25 –5.25 0 6.75
dy
Tanda bagi + 0 – – 0 +
dx
Lakaran tangen
Lakaran graf


dy
Daripada jadual, tanda bagi berubah daripada positif y
dx
(–1, 16)
kepada negatif apabila x menokok melalui x = –1 dan
11
dy y = x – 3x – 9x + 11
3
2
tanda bagi berubah daripada negatif kepada positif
dx
apabila x menokok melalui x = 3. Maka, titik pusingan x
0 1
(–1, 16) ialah titik maksimum dan titik pusingan (3, –16)
ialah titik minimum.
3
2
Lakaran graf bagi lengkung y = x – 3x – 9x + 11 dengan (3, –16)
titik pusingan maksimum (–1, 16) dan titik pusingan
minimum (3, –16) dapat ditunjukkan seperti dalam rajah
di sebelah.

2.4.4 59

Selain kaedah lakaran tangen bagi suatu fungsi y = f(x), y
2
d y
pembezaan peringkat kedua, jika wujud, boleh P(1, 2)
dx 2
digunakan untuk menentukan sama ada suatu titik pusingan y = 3x – x 3
ialah titik maksimum atau minimum.
x
Rajah 2.2 menunjukkan graf bagi lengkung 0 1
3
y = 3x – x dengan titik pusingan P(1, 2) dan graf bagi
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
dy
2
fungsi kecerunannya, = 3 – 3x . dy
––
dx dx
dy
Daripada graf melawan x, perhatikan bahawa:
dx
dy
menurun apabila x menokok melalui x = 1 x
dx 0 1 dy
dy –– = 3 – 3x 2
Í Kadar perubahan ialah negatif di x = 1 dx
dx
d dy Rajah 2.2
Í ( ) , 0 di x = 1
dx dx
Sudut Informasi
Sudut Informasi
dy • Kaedah lakaran tangen
Jadi, titik pusingan P(1, 2) dengan = 0 dan digunakan untuk
dx
d dy menentukan sifat suatu
( ) , 0 ialah titik maksimum. titik pegun.
dx dx
• Kaedah terbitan kedua
Secara amnya, pula digunakan untuk
menentukan sifat suatu
titik pusingan.
Suatu titik pusingan pada lengkung y = f(x) ialah

2
dy d y
titik maksimum apabila = 0 dan , 0. y
dx dx 2 4
–
y = x + – 2
x
Rajah 2.3 pula menunjukkan graf bagi lengkung
4
y = x + – 2 dengan titik pusingan P(2, 2) dan graf bagi
x dy
fungsi kecerunannya, = 1 – 4 . P(2, 2)
dx x 2 x
0 2
dy
Daripada graf melawan x, perhatikan bahawa:
dx dy
––
dx
dy 4
dy –– = 1 – ––
meningkat apabila x menokok melalui x = 2 dx x 2
dx
dy
Í Kadar perubahan ialah positif di x = 2 x
dx 0 2
d dy
Í ( ) . 0 di x = 2
dx dx
Rajah 2.3
60 2.4.4

Pembezaan
dy d dy
Jadi, titik pusingan P(2, 2) dengan = 0 dan ( ) . 0 ialah titik minimum.
dx dx dx
Secara amnya,

Suatu titik pusingan pada lengkung y = f(x) ialah titik minimum apabila

dy = 0 dan d y . 0. BAB
2
dx dx 2 2
dy KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Contoh 17

Cari titik-titik pegun bagi setiap lengkung berikut dan tentukan sifat setiap titik pegun itu.
4
2
3
(a) y = 2x + 3x – 12x + 5 (b) y = x – 4x + 1
3
Penyelesaian
3
(a) y = 2x + 3x – 12x + 5
2
dy
= 6x + 6x – 12
2
dx
= 6(x + x – 2)
2
dy
= 6(x + 2)(x – 1)
dx
dy
Untuk titik pegun, = 0
dx
6(x + 2)(x – 1) = 0
x = –2 atau x = 1
2
Apabila x = –2, y = 2(–2) + 3(–2) – 12(–2) + 5
3
y = 25
y
3
Apabila x = 1, y = 2(1) + 3(1) – 12(1) + 5 (–2, 25)
2
y = –2
Maka, titik pegun ialah (–2, 25) dan (1, –2).
2
d y y = 2x 3 + 3x 2 – 12x + 5
= 12x + 6
dx 2
2
d y 5
Apabila x = –2, = 12(–2) + 6 = –18 , 0
dx 2
x
2
d y 0
Apabila x = 1, = 12(1) + 6 = 18 . 0 (1, –2)
dx 2
Maka, (–2, 25) ialah titik maksimum dan (1, –2) ialah titik minimum.
3
(b) y = x – 4x + 1
4
= 4x – 12x 2
3
dx
dy
2
= 4x (x – 3)
dx dy
Untuk titik pegun, = 0
dx
4x (x – 3) = 0
2
x = 0 atau x = 3
2.4.4 61

3
4
Apabila x = 0, y = 0 – 4(0) + 1 = 1
4
Apabila x = 3, y = 3 – 4(3) + 1 = –26
3
Pintar
Maka, titik pegun ialah (0, 1) dan (3, –26). Tip Pintar
d y
2
2
= 12x – 24x 2
dx 2 Apabila d y 2 = 0, kaedah
2
d y dx
2
Apabila x = 0, = 12(0) – 24(0) = 0 lakaran tangen digunakan
dx 2 untuk menentukan sifat
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
suatu titik pegun.
x – 0.1 0 0.1
dy
– 0.124 0 – 0.116
dx
dy
Tanda bagi – 0 –
dx
y y = x 3 + 3
Lakaran tangen dy
–– > 0
dx
A(0, 3) dy
–– = 0
Lakaran graf dy dx
–– > 0
dx
x
0
dy Dalam rajah di atas, titik A
Daripada jadual, didapati bahawa berubah daripada
dx bukan titik maksimum atau
negatif kepada sifar dan kemudian kepada negatif sekali titik minimum bagi fungsi
3
lagi, iaitu tiada perubahan tanda apabila x menokok y = x + 3, tetapi disebut
melalui 0. sebagai titik lengkok balas.
Bolehkah anda berikan
Maka, (0, 1) ialah titik lengkok balas. tiga contoh fungsi lain
2
d y yang mempunyai titik
2
Apabila x = 3, = 12(3) – 24(3) = 36 . 0 lengkok balas?
dx 2
Maka, (3, –26) ialah titik minimum.
Latihan Kendiri 2.10
1. Cari koordinat titik pusingan bagi setiap lengkung berikut. Dalam setiap kes, tentukan sama
ada titik pusingan itu ialah titik maksimum atau titik minimum.
3
(a) y = x – 12x (b) y = x(x – 6) 2 (c) y = x! 18 – x 2 (d) y = (x – 6)(4 – 2x)
4 2 1 1 (x – 3) 2
(e) y = x + (f) y = x + (g) y = x + (h) y =
x x 2 x – 1 x
2. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada y
3
lengkung y = x(x – 2) .
dy y = x(x – 2) 3
(a) Cari ungkapan bagi .
dx
(b) Cari koordinat titik bagi dua titik pegun P dan Q. x
(c) Seterusnya, tentukan sifat bagi titik pegun Q 0 Q
menggunakan kaedah lakaran tangen.
P

62 2.4.4

Pembezaan
Menyelesaikan masalah yang melibatkan nilai maksimum dan nilai
minimum serta mentafsir penyelesaian tersebut

Kebanyakan tin makanan dan minuman yang terdapat di pasar
raya berbentuk silinder. Bagaimanakah pengeluar tin makanan
dan minuman boleh menentukan ukuran tin tersebut supaya kos BAB
2
pengeluarannya dapat diminimumkan?
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Adakah teknik pembezaan peringkat pertama dan kedua
boleh membantu pengeluar tin menyelesaikan masalah itu?

Contoh 18 Aplikasi Matematik

Sebuah kilang ingin menghasilkan tin makanan berbentuk
silinder yang diperbuat daripada beberapa kepingan
aluminium dengan isi padu 512 cm . Permukaan
3
melengkung tin dibentuk dengan menggulung sekeping
aluminium berbentuk segi empat tepat manakala bahagian
atas dan bawah tin dibentuk dengan memotong keluar dua
buah bulatan daripada dua keping aluminium berbentuk
segi empat sama. Cari jejari tapak tin itu, dalam cm,
supaya jumlah luas permukaan semua kepingan
aluminium yang digunakan adalah minimum.

Penyelesaian


1 . Memahami masalah
2πj
Katakan j cm ialah jejari tapak dan t cm
adalah tinggi tin.
t
2
Isi padu tin, I = πj t = 512 cm 3
t
Jumlah luas permukaan kepingan aluminium
yang digunakan, j
2j
L = 2(2j) + 2πjt j
2
2
L = 2(4j ) + 2πjt 2j
L = 8j + 2πjt
2
Cari nilai j dengan keadaan L adalah minimum.
2 . Merancang strategi

Ungkapkan L dalam sebutan satu pemboleh ubah tunggal, iaitu dengan
mengungkapkan t dalam sebutan j.
Cari nilai j apabila dL = 0.
dj
Menggunakan nilai j yang diperoleh, tentukan sama ada L adalah maksimum
atau minimum.



2.4.5 63

3 . Melaksanakan strategi 4 . Membuat refleksi dan tafsiran

Isi padu tin, I = 512 Lakaran graf bagi L = 8j + 1 024
2
2
π j t = 512 j
512 menunjukkan bahawa nilai L adalah
t = … 1
πj 2 minimum di j = 4.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
2
Jumlah luas permukaan, L cm , L
1 024
kepingan-kepingan aluminium yang L = 8j + ––––
2
digunakan diberi oleh j
L = 8j + 2πjt … 2
2
Gantikan 1 ke dalam 2, 384
512
2
L = 8j + 2πj ( ) 0 j
πj
2
2
L = 8j + 1 024 4
j Jadi, kilang itu perlu menghasilkan
dL = 16j – 1 024 tin makanan dengan jejari tapak ialah
dj j 2
4 cm dan tinggi, t = 512 = 512 2
2

Untuk nilai minimum, dL = 0 πj π(4)
dj = 10.186 cm supaya jumlah luas
16j – 1 024 = 0 permukaan kepingan-kepingan
j 2 aluminium yang digunakan
3
16j – 1 024 = 0 adalah minimum.
3
j = 1 024
16
3
j = 64
3
j = ! 64 Daripada dua persamaan
yang terbentuk dalam
j = 4 Contoh 18,
2
dL = 16j – 1 024j –2 π j t = 512 ... 1
2
dj L = 8j + 2πjt ... 2
2
d L = 16 + 2 048 Bagi persamaan 1,
bolehkah kita
dj 2 j 3
mengungkapkan j
2
Apabila j = 4, d L = 16 + 2 048 dalam sebutan t dan
dj 2 4 3 menggantikannya ke
= 48 . 0 dalam persamaan 2 untuk
menyelesaikan masalah
Maka, L mempunyai nilai minimum dalam Contoh 18 ini?
apabila jejari tapak ialah 4 cm. Bincangkan.
Latihan Kendiri 2.11

1. Seutas wayar dengan panjang 80 cm dibengkokkan untuk membentuk sebuah sektor POQ
bagi sebuah bulatan berpusat O. Diberi bahawa OQ = j cm dan ∠POQ = q radian.
2
1
(a) Tunjukkan bahawa luas, A cm , bagi sektor POQ itu diberi oleh A = j(80 – 2j).
(b) Seterusnya, cari luas maksimum bagi sektor POQ itu. 2
64 2.4.5

Pembezaan
2. Seutas dawai dengan panjang 240 cm dibengkokkan kepada S
suatu bentuk seperti yang ditunjukkan dalam rajah di sebelah. 13x cm 13x cm
(a) Ungkapkan y dalam sebutan x. T R
2
(b) Tunjukkan bahawa luas, L cm , yang dilitupi oleh dawai itu
diberi oleh L = 2 880x – 540x . y cm y cm
2
(c) Cari BAB
(i) nilai x dan nilai y supaya L adalah maksimum, P 24x cm Q 2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
(ii) luas maksimum, dalam cm , rantau itu.
2
3. Sebuah kilang menghasilkan tin minuman berbentuk silinder tegak tertutup dengan isi
padu 32π cm . Kos bahan yang digunakan untuk bulatan atas dan bawah tin itu ialah
3
2 sen per cm manakala sisi melengkung tin ialah 1 sen per cm .
2
2
(a) Tunjukkan bahawa fungsi kos, C membuat tin minuman itu diberi oleh C = 4πj + 64π ,
2
dengan j ialah jejari tapak kon. j
(b) Cari ukuran tin supaya kos yang digunakan oleh kilang itu adalah minimum.
Mentafsir dan menentukan kadar perubahan bagi kuantiti yang terhubung



Aktiviti Penerokaan 8 Berkumpulan PAK-21

Tujuan: Meneroka kadar perubahan kedalaman air daripada graf kedalaman-masa
Langkah:
1. Pertimbangkan dua buah bekas berbentuk silinder dan kon yang diisi dengan air pada
kadar malar 3π cm s daripada sebuah pili air. Setiap bekas itu mempunyai tinggi 9 cm dan
3 –1
isi padu 48π cm .
3
2. Tentukan masa, t, dalam saat, yang diperlukan untuk memenuhkan air di dalam setiap
bekas itu.
3. Berdasarkan luas permukaan air di dalam setiap bekas, lakarkan graf kedalaman-masa
untuk menunjukkan hubungan antara kedalaman aras air, h cm, dengan masa yang diambil,
t saat, untuk memenuhkan air di dalam kedua-dua bekas itu.
4. Perhatikan bentuk graf yang diperoleh. Kemudian, jawab soalan yang berikut.
(a) Berdasarkan kecerunan setiap graf, tentukan kadar perubahan kedalaman air pada
masa tertentu di dalam setiap bekas itu.
(b) Adakah kedalaman air di dalam bekas berbentuk silinder meningkat pada kadar
malar apabila bekas diisi dengan air? Bagaimanakah pula dengan kedalaman air di
dalam bekas berbentuk kon? Adakah kadar perubahan kedalaman air di dalam bekas
berbentuk kon berubah apabila air diisikan?
5. Bentangkan hasil dapatan kumpulan anda di hadapan kelas.

dh
Daripada Aktiviti Penerokaan 8, didapati bahawa kadar perubahan kedalaman air, pada masa
dt
tertentu, t ialah kecerunan lengkung pada t dengan andaian air mengalir ke dalam bekas pada kadar
yang malar. Kadar perubahan ini boleh diperoleh dengan melukis suatu tangen kepada lengkung
itu pada t atau menggunakan pembezaan untuk mencari kecerunan tangen pada t. Konsep petua
rantai juga boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah seperti ini dengan mudah.

2.4.5 2.4.6 65

Misalnya, jika dua pemboleh ubah y dan x berubah dengan masa, t dan dihubungkan oleh
dy dx

persamaan y = f(x), maka kadar perubahan dan boleh dihubungkan oleh:
dt dt
dy dy dx
= × (Petua rantai)
dt dx dt
2
Pertimbangkan lengkung y = x + 1. Jika x menokok dengan kadar tetap 2 unit per saat, iaitu
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
dx = 2, maka kadar perubahan y diberi oleh:
dt dy dy
= × dx Petua rantai
dt dx dt
= 2x × 2
= 4x

dy dy
Apabila x = 2, = 4(2) = 8 Apabila x = –2, = 4(–2) = –8
dt dt
Jadi, kadar perubahan dalam y ialah Jadi, kadar perubahan dalam y ialah
8 unit per saat dan y dikatakan menokok –8 unit per saat dan y dikatakan menyusut
pada kadar 8 unit per saat pada pada kadar 8 unit per saat pada
ketika x = 2. ketika x = –2.


Contoh 19


Suatu lengkung mempunyai persamaan y = x + . Cari
2
4
x
dy
(a) ungkapan bagi ,
dx
(b) kadar perubahan y apabila x = 1 dan x = 2, diberi bahawa x menokok dengan kadar tetap
3 unit per saat.
Penyelesaian
4
(a) y = x +
2
x Tip Pintar
Pintar
2
= x + 4x –1
dy
= 2x – 4x –2 dy
dx • dx ialah kadar perubahan
dy 4
= 2x – y terhadap x.
dx x 2 dy
dy 4 • dt ialah kadar perubahan
(b) Apabila x = 1, = 2(1) –
dx 1 2 y terhadap t.
= –2 • dx pula ialah kadar
dt
Kadar perubahan y diberi oleh: perubahan x terhadap t.
dy dy dx
= ×
dt dx dt
= –2 × 3
= – 6
Jadi, kadar perubahan dalam y ialah – 6 unit per saat.
Maka, y dikatakan menyusut pada kadar 6 unit per saat.
66 2.4.6

Pembezaan

dy 4
Apabila x = 2, = 2(2) –
Pintar
dx 2 2 Tip Pintar
= 3
Jika kadar perubahan y
Kadar perubahan y diberi oleh: terhadap masa adalah
dy dy dx negatif, misalnya dy = –6, BAB

dt
dt = dx × dt maka y dikatakan menyusut 2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
= 3 × 3 pada kadar 6 unit s , iaitu
–1
= 9 kadar susutannya
ialah 6 unit s .
–1
Jadi, kadar perubahan dalam y ialah 9 unit per saat.
Maka, y dikatakan menokok pada kadar 9 unit per saat.

Latihan Kendiri 2.12

1. Bagi setiap persamaan yang menghubungkan x dan y berikut, jika kadar perubahan x ialah
–1
2 unit s , cari kadar perubahan y pada ketika yang diberi.
1
2
2
(a) y = 3x – 4, x = 1 (b) y = 2x + , x = 1 (c) y = 2 , x = 2
2 x (3x – 5) 3
1 x
5
3
(d) y = (4x – 3) , x = (e) y = , y = 2 (f) y = x + 2, y = 10
2 x + 1
2. Bagi setiap persamaan yang menghubungkan x dan y berikut, jika kadar perubahan y ialah
6 unit s , cari kadar perubahan x pada ketika yang diberi.
–1
4
2
3
2
(a) y = x – 2x , x = 1 (b) y = x + , x = 2 (c) y = 2x 2 , x = 3
x x – 1
2x – 1
(d) y = (x – 6)! x – 1, x = 2 (e) y = , y = 3 (f) y = ! 2x + 7, y = 3
x + 1
3. Suatu lengkung mempunyai persamaan y = (x – 8)! x + 4 . Cari
dy
(a) ungkapan bagi ,
dx
(b) kadar perubahan y pada ketika x = 5, jika x menokok dengan kadar 6 unit per saat.
Menyelesaikan masalah yang melibatkan kadar perubahan bagi kuantiti
yang terhubung dan mentafsir penyelesaian tersebut
Hubungan antara jisim, M, dalam kg, dengan jejari, j,
dalam cm, sebiji tembikai yang berbentuk sfera
2
3
diwakili oleh persamaan M = j . Andaikan jejari
625
tembikai bertambah pada kadar tetap 0.1 cm per hari
dan jejarinya ialah 10 cm pada hari tertentu.
Dengan menggunakan petua rantai yang
dM
menghubungkan kadar perubahan kuantiti jisim,
dt
dj
dan jejari tembikai, , bolehkah anda tentukan kadar
dt
perubahan jisim tembikai pada hari tersebut?

2.4.6 2.4.7 67

Contoh 20

Rajah di sebelah menunjukkan sebuah bekas berisi air
yang berbentuk kon dengan jejari 5 cm dan tinggi 12 cm. 5 cm
Didapati bahawa air tersebut mengalir keluar melalui lubang
3 –1
kecil di hujung bekas dengan kadar tetap 4 cm s . Cari
kadar perubahan kedalaman air di dalam bekas itu apabila 12 cm
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
kedalaman air ialah 3 cm, betul kepada empat angka bererti. Air
Penyelesaian

3
Katakan r cm, h cm dan V cm masing-masing ialah jejari, tinggi dan isi padu air di dalam
bekas itu pada masa t saat.
1
2
Jadi, V = π r h … 1
3
Didapati bahawa ∆ DFE dan ∆ BGE adalah serupa.
r h 5 cm
Jadi, =
5 12 A G B
5h r cm
r = … 2
12 C F D
Gantikan 2 ke dalam 1: 12 cm
1 5h 2 h cm
V = π ( ) h
3 12
2
1
= π ( 25h ) h E
3 144
1 25h 3
= π ( )
3 144
25π
3
V = h
432
Kadar perubahan V diberi oleh petua rantai berikut.
dV dV dh Bincangkan masalah yang
= ×
dt dh dt berikut bersama-sama
)
d 25π 3 dh rakan anda.
= ( h ×
dh 432 dt Air dimasukkan ke dalam
dV 25π dh sebuah tangki yang
2
= h × berbentuk kon membulat
dt 144 dt dengan jejari 8 cm dan
Apabila h = 3 dan dV = – 4, kita peroleh tinggi 16 cm dengan kadar
dt malar 64π cm s .
3 –1
2
– 4 = 25π (3) × dh V menyusut, maka Katakan h cm ialah

144 dt dV kedalaman air di dalam
25π dh dt adalah negatif
3
– 4 = × tangki dan V cm ialah isi
16 dt padu air di dalam tangki.
dh 64
= – Cari kadar perubahan bagi
dt 25π (a) kedalaman air,
= – 0.8148 (b) luas permukaan
mengufuk aras air,
Maka, kadar perubahan kedalaman air di dalam bekas itu apabila kedalaman air
ialah – 0.8148 cms dan kedalaman air dikatakan menyusut ialah 8 cm.
–1
–1
pada kadar 0.8148 cms .
68 2.4.7

Pembezaan
Contoh 21 Aplikasi Matematik

Jejari sebiji belon berbentuk sfera yang diisikan dengan
udara bertambah pada kadar tetap 0.5 cm per saat.
Cari kadar perubahan isi padu belon itu apabila jejarinya
ialah 4 cm, betul kepada empat angka bererti. BAB
2
Penyelesaian
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

1 . Memahami masalah 2 . Merancang strategi

3
Jejari sebiji belon yang diisikan Katakan j cm dan I cm masing-masing
dengan udara bertambah pada kadar ialah jejari dan isi padu belon pada
tetap 0.5 cm per saat. masa t saat.
Cari kadar perubahan isi padu belon Bentukkan satu persamaan yang
apabila jejarinya ialah 4 cm. menghubungkan isi padu, I dan
jejari, j belon itu.
Gunakan petua rantai untuk
menghubungkan kadar perubahan
isi padu dan jejari belon itu.



4 . Membuat refleksi dan tafsiran 3 . Melaksanakan strategi


dI dj Andaikan I = f(j).
Apabila = 100.5 dan = 0.5, maka
dt dt Kadar perubahan I diberi oleh:
dI dI dj dI dI dj
= × = ×
dt dj dt dt dj dt
2
100.5 = 4πj × 0.5 4 3
2
100.5 = 2πj Diketahui bahawa I = 3 πj .
)
100.5 dI d 4 3 dj
j = Jadi, = ( πj ×
2
2π dt dj 3 dt
2
j = 100.5 dI = 4πj × dj
2
2(3.142) dt dt
2
j = 15.993 dj
Apabila j = 4 dan = 0.5, maka
j = !15.993 dI dt
2

j = ± 4 dt = 4π(4) × 0.5
Maka, j = 4 cm.

= 4π(16) × 0.5
Jadi, apabila j = 4 dan dI = 100.5 = 64π × 0.5

dt
bermaksud pada ketika jejari belon = 32π
ialah 4 cm, isi padunya menokok = 32(3.142)
dengan kadar 100.5 cm per saat. = 100.5
3
Maka, kadar perubahan isi padu belon
apabila j = 4 cm ialah 100.5 cm per saat.
3
2.4.7 69

Latihan Kendiri 2.13

1. Rajah di sebelah menunjukkan sebutir manik yang y 1
–
1 y = x 2
bergerak di sepanjang lengkung y = x . Pada 8
2
8
–1
titik A(4, 2), kadar perubahan x ialah 3 unit s .
A(4, 2)
Cari kadar perubahan y yang sepadan. x
0
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
2. Luas sebuah segi empat sama dengan sisi x cm bertambah dengan kadar 8 cm s . Cari
2 –1
kadar perubahan panjang sisinya apabila luasnya ialah 4 cm .
2
3
3. Seketul ais berbentuk kubus dengan sisi x cm mencair pada kadar 10.5 cm per minit. Cari
kadar perubahan x pada ketika x = 10 cm.
4. Rajah di sebelah menunjukkan sebatang lilin yang berbentuk
silinder tegak dan berjejari 3 cm. Tinggi lilin itu ialah h cm
h cm
3
dan isi padunya ialah V cm . Lilin itu terbakar dengan keadaan
tingginya menyusut pada kadar 0.6 cm per minit.
(a) Ungkapkan V dalam sebutan h.
3 cm
(b) Cari kadar perubahan isi padu lilin itu apabila tingginya
ialah 8 cm.
–1
5. Chandran berjalan pada kadar 3.5 ms daripada sebatang
tiang lampu pada waktu malam seperti yang ditunjukkan
dalam rajah di sebelah. Tinggi Chandran dan tiang lampu itu
6 m
masing-masing ialah 1.8 m dan 6 m. Cari kadar perubahan
(a) panjang bayang-bayang Chandran, 1.8 m
(b) hujung bayang-bayangnya yang bergerak.
Bayang-bayang

Mentafsir dan menentukan perubahan kecil dan penghampiran suatu
kuantiti


Pertimbangkan lengkung y = f(x) dalam rajah di sebelah. Dua

y = f(x)
titik berhampiran, iaitu titik A(x, y) dan titik B(x + dx, y + dy)
terletak di atas lengkung itu dan AT ialah tangen pada titik A.
Perhatikan bahawa AC = dx dan BC = dy. B(x + δx, y + δy) T
Diketahui bahawa kecerunan tangen AT ialah: δy
A(x, y)
dy dy δx C
Nilai bagi pada titik A = Nilai bagi had
dx dx ˜ 0 dx Tangen
dengan dy dan dx masing-masing ialah perubahan kecil dalam y dan x.
dy
Jika dx ialah suatu nilai yang kecil, iaitu dx ˜ 0, maka adalah penghampiran terbaik
dx
dy
bagi .
dx
dy dy
Jadi, ≈ .
dx dx
70 2.4.7 2.4.8

Pembezaan
Secara amnya, jika dx ialah nilai yang kecil, maka

dy  
dy ≈ × dx Jika nilai dx adalah terlalu
dx besar, adakah anda boleh

menggunakan rumus
Rumus ini sangat berguna untuk mencari perubahan d y ≈ dy × dx? Jelaskan. BAB
 
hampir dalam satu kuantiti akibat perubahan kecil dalam dx 2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
kuantiti yang satu lagi. Semakin kecil nilai dx, semakin tepat
penghampirannya. Oleh itu, kita boleh tafsirkan bahawa:



Bagi suatu fungsi y = f(x), dengan dy ialah perubahan kecil dalam y dan dx ialah
perubahan kecil dalam x,
• Apabila dy . 0, maka berlaku tokokan kecil dalam y akibat perubahan kecil
dalam x, iaitu dx.
• Apabila dy , 0, maka berlaku susutan kecil dalam y akibat perubahan kecil
dalam x, iaitu dx.
dy

Seterusnya, oleh sebab f(x + dx) = y + dy dan dy ≈ × dx, kita peroleh:
dx
dy dy


f(x + dx) ≈ y + dx atau f(x + dx) ≈ f (x) + dx
dx dx
Rumus ini boleh digunakan untuk mencari nilai hampir bagi y.

Contoh 22

Diberi bahawa y = x , cari
3
(a) perubahan hampir dalam y jika x menokok daripada 4 kepada 4.05,
(b) perubahan hampir dalam x jika y menyusut daripada 8 kepada 7.97.

Penyelesaian

(a) y = x 3 (b) Apabila y = 8, x = 8
3
dy x = 2
= 3x 2
dx δy = 7.97 – 8 = – 0.03
Apabila x = 4, dx = 4.05 – 4 dan dy = 3(2) = 12
2
= 0.05 dx
dy dy
dan = 3(4) = 48 Jadi, dy ≈ × dx
2
dx dx
dy – 0.03 = 12 × dx
Jadi, dy ≈ × dx
dx – 0.03
= 48 × 0.05 dx = 12
dy = 2.4 dx = – 0.0025
Maka, perubahan hampir dalam y, iaitu Maka, perubahan hampir dalam x, iaitu
dy ialah 2.4. dx ialah – 0.0025.
dy . 0 bermaksud berlakunya tokokan dx , 0 bermaksud berlakunya susutan
kecil dalam y sebanyak 2.4. kecil dalam x sebanyak 0.0025.


2.4.8 71

Contoh 23

Diberi bahawa y = ! x , cari

dy
(a) nilai apabila x = 4 (b) nilai hampir bagi ! 4.02
dx
Penyelesaian
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
(a) y = ! x (b) Apabila x = 4, y = ! 4

1 = 2
2
= x
dx = 4.02 – 4
dy 1 1 – 1
= x 2 = 0.02
dx 2 dy 1
1 dan dx =
–
= 1 x 4
2
2 dy
= 1 Menggunakan f(x + dx) ≈ y + dx dx
2! x dy
! x + dx ≈ y + dx
dy 1 dx
Apabila x = 4, =
1
dx 2! 4 ! 4 + 0.02 = 2 + (0.02)
4
= 1 ! 4.02 = 2.005
2(2)
= 1 Maka, nilai hampir bagi ! 4.02
4 ialah 2.005.
Daripada Contoh 23, perhatikan jadual di bawah.

Peratus perubahan dalam x Peratus perubahan dalam y

dx 4.02 – 4 dy 2.005 – 2
× 100 = × 100 × 100 = × 100
x 4 y 2
= 0.02 × 100 = 0.005 × 100
4 2
= 0.5% = 0.25%



Secara amnya, Kaedah Alternatif
Dalam Contoh 23, dy juga
 
Jika x berubah daripada x kepada x + dx, maka
boleh ditentukan melalui
dx kaedah penggantian.
• Peratus perubahan dalam x = × 100%
x Diberi y = ! x .
dy Apabila x = 4, y = ! 4
• Peratus perubahan dalam y = × 100% = 2
y
Apabila x = 4.02, y = ! 4.02
= 2.005
 
2
Jadi, jika diberi suatu fungsi, misalnya y = 3x – 2x – 3 dan Jadi, dy = 2.005 – 2
x bertambah sebanyak 2% apabila x = 2, bolehkah anda tentukan = 0.005
 
Maka, ! 4.02 = y + dy
peratus perubahan dalam y? Ikuti Contoh 24 untuk menyelesaikan = 2 + 0.005
masalah seperti ini. = 2.005
72 2.4.8

Pembezaan
Contoh 24

2
Diberi y = 2x – 3x + 4. Apabila x = 2, terdapat perubahan kecil dalam x sebanyak 3%. Dengan
menggunakan konsep kalkulus, cari peratus perubahan dalam y yang sepadan.
Penyelesaian
BAB
dy
2
Diberi y = 2x – 3x + 4 Jadi, dy ≈ × dx 2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Apabila x = 2, y = 2(2) – 3(2) + 4 dx
2
= 6 = 5 × 0.06
dy = 0.3
= 4x – 3 dy
dx = 4(2) – 3 y × 100 = 0.3 × 100
6
= 5 = 5
dan  dx = 3 × 2 Maka, peratus perubahan dalam y yang
100
= 0.06 sepadan ialah 5%.

Latihan Kendiri 2.14


1. Bagi setiap fungsi berikut, cari perubahan kecil dalam y yang sepadan dengan perubahan
kecil dalam x yang diberi.
3
2
(a) y = 4x – 3x , apabila x menokok daripada 1 kepada 1.05.
2
(b) y = 4! x + 3x , apabila x menyusut daripada 4 kepada 3.98.
2. Bagi setiap fungsi berikut, cari perubahan kecil dalam x yang sepadan dengan perubahan
kecil dalam y yang diberi.
3
2
(a) y = 2x , apabila y menyusut daripada 16 kepada 15.7.
x + 2
(b) y = , apabila y menokok daripada 2 kepada 2 + p.
2
16 dy 16
3. Diberi y = 2 cari nilai apabila x = 2 dan seterusnya tentukan nilai hampir bagi 2
x dx 2.02
5
4. Jika y = x , cari peratus perubahan hampir dalam x apabila terdapat 4% perubahan dalam y.
4

Menyelesaikan masalah yang melibatkan perubahan kecil dan
penghampiran suatu kuantiti

Sebiji bola yang berbentuk sfera dengan jejari 3 cm dipamkan udara ke
dalamnya. Jejari bola itu berubah sedikit daripada 3 cm kepada 3.01 cm.
Bolehkah anda tentukan perubahan kecil dalam jejari bola itu?
Bagaimanakah pula dengan perubahan kecil dalam isi padu bola itu?
Masalah yang melibatkan perubahan kecil
3.01 cm
seperti ini boleh diselesaikan dengan menggunakan
rumus penghampiran yang telah dipelajari sebelum 3 cm
dy
ini, iaitu d y ≈ × dx.
dx


2.4.8 2.4.9 73

Contoh 25 Aplikasi Matematik

Cari perubahan kecil dalam isi padu, I cm , sebiji bola kaca
3
yang berbentuk sfera apabila jejarinya, j cm, bertambah
daripada 3 cm kepada 3.02 cm.

Penyelesaian
× dj. YSIA
1 . Memahami masalah 2 . Merancang strategi


Jejari, j sebiji bola kaca berubah Cari nilai bagi dI apabila j = 3 cm.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALA
daripada 3 cm kepada 3.02 cm. dj
Cari perubahan kecil dalam Gunakan rumus d I ≈ dI
isi padu, I bola kaca itu. dj



4 . Membuat refleksi 3 . Melaksanakan strategi

3
Apabila j = 3 cm, Katakan I cm dan j cm masing-masing
4 ialah isi padu dan jejari bola kaca itu.
I = π(3) 3

3 4
I = 113.0973 cm 3 Jadi, I = πj 3
3
dI 2
Apabila j = 3.02 cm, dj = 4πj
4 3
I = π(3.02) Apabila j = 3, dj = 3.02 – 3
3
I = 115.3744 cm 3 dI = 0.02

dan = 4π(3) 2
Perubahan isi padu bola kaca dj = 36π
= 115.3744 – 113.0973 dI
= 2.277 Oleh itu, dI ≈ dj × dj
Maka, perubahan isi padu bola kaca itu = 36π × 0.02
3
ialah 2.277 cm . dI = 2.262
Maka, perubahan kecil dalam isi padu
3
bola kaca itu ialah 2.262 cm .


Latihan Kendiri 2.15

l
1. Tempoh ayunan, T saat, bagi suatu bandul dengan panjang l cm diberi oleh T = 2π . Cari
! 10
perubahan hampir dalam T apabila l menokok daripada 9 cm kepada 9.05 cm.
2
2
2. Luas tompokan minyak yang berbentuk bulatan bertambah dari 4π cm kepada 4.01π cm .
Cari perubahan kecil yang sepadan dalam jejari tompokan minyak itu.
3. Panjang sisi sebuah kubus ialah x cm. Cari perubahan kecil dalam isi padu kubus itu apabila
setiap sisinya menyusut daripada 2 cm kepada 1.99 cm.

4. Cari perubahan kecil dalam isi padu sebuah sfera apabila jejarinya menyusut daripada 5 cm
kepada 4.98 cm.
74 2.4.9

Pembezaan

2.4
Latihan Formatif Kuiz bit.ly/2PbDTre

1. Rajah di sebelah menunjukkan lengkung y = ! x + 1. y

Tangen dan normal kepada lengkung itu pada titik P(0, 1) BAB
masing-masing menyilang paksi-x di Q dan R. Cari y = �x + 1
(a) persamaan tangen dan koordinat Q, 2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
P(0, 1)
(b) persamaan normal dan koordinat R, x
Q 0 R
2
(c) luas, dalam unit , segi tiga PQR.
2. Rajah di sebelah menunjukkan lengkung y = x – 4x + 1 y
2
dengan garis tangen dan normal pada titik P(a, b). Garis y = x 2 – 4x +1
tangen itu berserenjang dengan garis 2y = 4 – x dan bertemu
paksi-x di B. Garis normal pula bertemu paksi-x di C. Cari B
(a) nilai a dan nilai b, C 0 x
(b) persamaan tangen pada titik P dan koordinat B, P(a, b)
(c) persamaan normal pada titik P dan koordinat C,
2
(d) luas, dalam unit , segi tiga BPC.
3. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah kotak terbuka
dengan tapak berbentuk segi empat sama bersisi x cm dan
tinggi h cm. Kotak itu diperbuat daripada kepingan kadbod
2
dengan luas 75 cm .
3
(a) Tunjukkan bahawa isi padu kotak, V cm , diberi oleh h cm
1 3 x cm
V = (75x – x ). x cm
4
(b) Cari nilai x dengan keadaan V adalah maksimum dan
juga isi padu maksimum kotak itu.

4. Rajah di sebelah menunjukkan sebatang kayu AB dengan
panjang 10 m disandarkan pada dinding sebuah bangunan. A
Hujung kayu A ialah y m dari atas lantai dan hujung kayu
B pula ialah x m dari kaki dinding C. Cari
(a) kadar perubahan hujung kayu A jika hujung kayu B y m 10 m
–1
menggelongsor menjauhi dinding pada kadar 3 ms
apabila x = 8 m,
(b) kadar perubahan hujung kayu B jika hujung kayu A
–1
menggelongsor ke bawah pada kadar 2 ms apabila C x m B
y = 6 m.
5. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah helikopter yang 17 ms –1
berada pada ketinggian 135 m dari permukaan tanah.
Helikopter itu bergerak secara mengufuk ke arah budak
lelaki dengan kadar 17 ms . Cari kadar perubahan jarak
–1
135 m
antara helikopter dengan budak lelaki itu apabila jarak
mengufuk antara helikopter dengan budak lelaki itu
ialah 72 m.
75

SUDUT REFLEKSI



PEMBEZAAN



KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Idea had: had f(x) = L

x ˜ a


Pembezaan dengan Rumus pembezaan
n
prinsip pertama • Jika y = ax , dengan a ialah pemalar dan
dy dy d
n

Jika y = f(x), maka = had , n ialah integer, maka (ax ) = anx n – 1 .
dx dx ˜ 0 dx dx
dengan dy ialah perubahan kecil • Jika y ialah fungsi bagi u dan u ialah
dalam y dan dx ialah perubahan fungsi bagi x, maka dy = dy × du
kecil dalam x. dx du dx
(Petua rantai)
• Jika u dan v ialah fungsi bagi x, maka
d dv du
Aplikasi dx (uv) = u dx + v dx (Petua hasil darab)
du dv
v – u
( )
Tangen dan normal d u = dx dx (Petua hasil bahagi)

dx v v 2
y
normal
tangen
Kadar perubahan yang terhubung
y = f(x) Jika dua pemboleh ubah yang terhubung
P(a, f(a))
x dan y berubah dengan masa, t, maka
x dy dy
0 = × dx
dt dx dt
• Tangen: y – f (a) = f (a)(x – a)
• Normal: y – f (a) = – 1 (x – a)
f (a) Perubahan kecil dan penghampiran

Jika y = f(x) dan perubahan kecil dalam
Titik pegun bagi lengkung y = f(x) x, iaitu dx menyebabkan perubahan

Titik lengkok balas kecil dalam y, iaitu dy, maka
y
dy d y = 0 C(c, f(c)) dy dy
2
dx dx Titik pusingan dx ≈ dx
–– = 0, –– 2
y = f(x) maksimum dy
2
dy d y dy ≈ × dx
B(b, f(b)) –– = 0, –– 2 < 0 dx
dx
dx

dan f(x + dx) ≈ y + dy
Titik pusingan minimum dy
dy d y > 0 ≈ y + (dx)
2
–– = 0, –– 2
A(a, f(a)) dx dx dx
x
0
76

Pembezaan




1. Bandingkan kaedah pembezaan peringkat pertama bagi suatu fungsi y = f(x) dengan

menggunakan petua rantai, petua hasil darab dan petua hasil bahagi.
2. Ujian lakaran tangen dan ujian pembezaan peringkat kedua digunakan untuk menentukan BAB
sifat bagi titik-titik pusingan. Dengan menggunakan contoh yang bersesuaian, bincangkan 2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
kebaikan dan kelemahan kedua-dua ujian itu.
3. Persembahkan empat aplikasi pembezaan dalam satu folio digital dan paparkan hasilnya
di hadapan kelas.


Latihan Sumatif



1. Selesaikan setiap had yang berikut. TP 2
2
(a) had 8 + 2x – x 2 (b) had ! 1 + x + x – 1 (c) had 9 – x 2 = 8
2
x ˜ –2 8 – 2x 2 x ˜ 0 x x ˜ k 4 – ! x + 7
2. Diberi bahawa had a – 5 = –3, cari nilai bagi pemalar a. TP 2
x ˜ –1 x + 4
3. Bezakan setiap yang berikut terhadap x. TP 2
1 6
(a) (b) 4x(2x – 1) 5 (c) (d) x! x + 3
2x + 1 (2 – x) 2
4. Diberi y = x(3 – x). TP 2
2
d y dy
(a) Ungkapkan y + x + 12 dalam sebutan x yang paling ringkas.
dx 2 dx
d y dy
2
(b) Seterusnya, cari nilai x yang memuaskan y + x + 12 = 0.
dx 2 dx
(
5. Kecerunan lengkung y = ax + b pada titik –1, – 7 ) ialah 2. Cari nilai a dan nilai b. TP 3
x 2 2

3 –1
6. Isi padu sebuah sfera bertambah dengan kadar tetap 20π cm s . Cari jejari sfera itu pada
–1
ketika jejari bertambah dengan kadar 0.2 cms . TP 2
14
7. Diberi y = , cari TP 3
! 6x + 1
3
(a) perubahan hampir dalam y apabila x menokok daripada 2 kepada 2.05,
(b) nilai hampir bagi y apabila x = 2.05.

8. Diberi y = 1 , cari peratus perubahan hampir dalam y apabila x berubah daripada 4
! x
sebanyak 2%. TP 3

9. Diberi y = 3x – 4x + 6 dan terdapat tokokan kecil dalam x sebanyak p% apabila x = 2. Cari
2
peratus perubahan dalam y yang sepadan. TP 3

77

2
dy d y
2
10. Rajah di sebelah menunjukkan graf dan bagi fungsi dy d y
dx dx 2 –– / –– 2
dx
dx

y = f(x). Diberi bahawa fungsi y = f(x) melalui titik

(–1, 6) dan (1, 2). Tanpa perlu mencari persamaan bagi 6

fungsi y = f(x), TP 4
(a) tentukan koordinat titik maksimum dan titik minimum x
bagi graf fungsi y = f(x), –1 0 1

–3
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
(b) lakarkan graf bagi fungsi y = f(x).

–6
11. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada y y = 3x 3 – 4x+ 2

3
lengkung y = 3x – 4x + 2. Cari TP 3
(a) persamaan tangen kepada lengkung pada titik A(2, 1),
(b) koordinat titik lain pada lengkung itu dengan keadaan 2
tangennya adalah selari dengan tangen pada titik A. A(2, 1)
x
0
12. Dalam rajah di sebelah, ∆ ADB ialah sebuah segi tiga A
tegak dengan panjang hipotenusnya ialah 6! 3 cm. Segi
tiga itu diputarkan pada AD untuk membentuk sebuah 6�3 cm
kon tegak ABC. Cari TP 4
(a) tinggi, (b) isi padu kon itu,
dengan keadaan isi padu yang dijanakan adalah maksimum. B D C


13. Dalam rajah di sebelah, Mukhriz mendayung sebuah
A
kayak dari titik A yang berada 30 m jauhnya dari titik
terdekat B di tepi pantai lurus BD ke titik C yang berada
x m dari titik B. Kemudian, dia berbasikal dari titik C 30 m
ke titik D yang jauhnya 400 m dari titik B dalam masa
terpantas yang mungkin. Cari jarak dari B ke C, jika dia B C D
mendayung pada halaju 40 mmin dan berbasikal pada x m
–1
halaju 50 mmin . TP 5
–1
400 m
14. Sebuah kubus mengembang dengan keadaan sisi-sisinya berubah pada kadar 2 cms . Cari
–1
3
kadar perubahan jumlah luas permukaan kubus itu apabila isi padunya ialah 8 cm . TP 3
15. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada y
2
lengkung y = 6x – x yang melalui asalan dan titik
P(x, y). TP 3 P(x, y)
(a) Jika Q ialah titik (x, 0), tunjukkan bahawa luas, A
1
3
2
bagi segi tiga POQ diberi oleh A = (6x – x ). y = 6x – x 2
2
(b) Diberi bahawa x menokok dengan kadar
x
2 unit per saat, cari 0 Q(x, 0) 6
(i) kadar tokokan bagi A apabila x = 2,
(ii) kadar susutan bagi A apabila x = 5.
78

Pembezaan
16. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah bekas berbentuk kon 12 cm
terbalik dengan jejari 12 cm dan tinggi 20 cm. TP 6
(a) Jika tinggi air di dalam bekas itu ialah h cm, tunjukkan
3
bahawa isi padu air, V cm , di dalam bekas itu diberi oleh r cm
3
V = 3 πh . 20 cm
25 h cm BAB
(b) Air mengalir keluar melalui lubang di hujung bekas, 2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
(i) cari perubahan kecil dalam isi padu air apabila h
menyusut daripada 5 cm kepada 4.99 cm,
(ii) tunjukkan bahawa susutan kecil sebanyak p% dalam
tinggi air itu akan menyebabkan susutan sebanyak
3p% dalam isi padu.









Sebuah syarikat minuman multinasional mengadakan satu pertandingan mereka
bentuk tin minuman bagi produk terbaharu syarikat, iaitu minuman berperisa kelapa.

PERTANDINGAN MEREKA BENTUK
TIN MINUMAN



Kriteria-kriteria bagi rekaan tin minuman adalah
seperti yang berikut:
3
• Kapasiti tin minuman ialah 550 cm .
• Bentuk tin minuman yang perlu dipertimbangkan
adalah seperti silinder, kon, piramid, prisma, kubus
atau kuboid sahaja. Bentuk sfera adalah dilarang.
• Bahan yang digunakan untuk menghasilkan tin
minuman mestilah minimum. Hadiah menarik
• Tin minuman mestilah unik dan menarik. menanti anda!




Sertai pertandingan tersebut bersama-sama rakan sekelas anda dengan berpandukan
kriteria yang diberikan dan ikuti langkah-langkah yang berikut:
1. Reka tiga bentuk bekas tin minuman yang mungkin.
3
2. Bagi setiap bentuk yang berkapasiti 550 cm , tunjukkan ukuran bekas itu dengan
luas permukaannya adalah minimum. Seterusnya, nyatakan luas permukaan
minimum itu.
3. Pilih dan cadangkan satu rekaan terbaik untuk pertandingan itu dengan
menyenaraikan kelebihan rekaan tersebut.





79

BAB
3 PENGAMIRAN









KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA



































Pernahkah anda melihat bangunan
yang bercirikan teknologi binaan
mesra alam? Penggunaan kaca
pada dinding sesebuah bangunan
dapat memaksimumkan tenaga
Pengamiran sebagai Songsangan Pembezaan cahaya bagi mengurangkan
Kamiran Tak Tentu penggunaan tenaga elektrik.
Kamiran Tentu Tahukah anda bahawa pengetahuan
Aplikasi Pengamiran mengenai pengamiran adalah
penting dalam menganalisis struktur
Senarai bangunan? Seorang jurutera perlu
Standard mengaplikasikan pengetahuan
Pembelajaran tersebut semasa mereka bentuk
struktur suatu bangunan. Hal ini
adalah untuk memastikan bangunan
bit.ly/38Z18g9
itu teguh dan mempunyai daya tahan
terhadap tiupan angin kencang dan
juga getaran gempa bumi pada
tahap tertentu.
80

Bonaventura Cavalieri merupakan seorang ahli matematik Itali
yang terawal dalam memperkenalkan konsep pengamiran. Teori
beliau dalam konsep tidak terbahagikan (indivisibles) diguna
pakai untuk mencari luas di bawah suatu lengkung.
Pada tahun 1656, John Wallis dari England pula
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
telah memantapkan asas pengamiran sedia ada dengan
memperkenalkan konsep had secara rasmi.

Untuk maklumat lanjut:




bit.ly/35O7k8x


Kepentingan Bab Ini


Dalam kejuruteraan hidrologi, jurutera menggunakan
pengamiran untuk menentukan isi padu dalam suatu
sistem hidrologi berdasarkan luas di bawah suatu lengkung
dengan masa.
Dalam kejuruteraan awam, jurutera menggunakan
pengamiran untuk mengira pusat jisim bagi suatu bentuk
yang tidak sekata.
Kriteria Kecederaan Kepala (HIC) yang mengaplikasikan
pengamiran digunakan bagi menentukan nilai risiko
kecederaan kepala dalam suatu perlanggaran.






Pembezaan Differentiation
Pengamiran Integration
Fungsi kecerunan Gradient function
Persamaan lengkung Equation of curve
Kamiran tak tentu Indefinite integral
Kamiran tentu Definite integral
Pengamiran melalui penggantian Integration by substitution
Rantau Region
Isi padu kisaran Volume of revolution



Video mengenai
bangunan
mesra alam.

bit.ly/2MllaaG
81

3.1 Pengamiran sebagai Songsangan Pembezaan




Gambar di sebelah menunjukkan sebuah tangki air yang dipasang
di sebuah kilang. Kadar air yang mengalir keluar dari tangki
tersebut boleh diwakili oleh dV = 5t + 2, dengan keadaan V ialah
dt
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
isi padu air, dalam m , dan t ialah masa, dalam jam. Air di dalam
3
tangki tersebut akan habis digunakan dalam masa 5 jam.
Dengan berpandukan kadar air yang mengalir keluar dari
tangki tersebut, bagaimanakah anda boleh menentukan isi padu
air dalam tangki itu pada suatu masa tertentu?

Perkaitan antara pembezaan dengan pengamiran


Anda telah mempelajari kaedah untuk mencari pembezaan bagi Imbas Kembali
2
suatu fungsi y = f (x). Pertimbangkan fungsi y = 3x + 4x + 5, • Jika y = ax , maka
n
dy dy
maka kita peroleh = 6x + 4. = anx n – 1 .
dx dx
Pengamiran ialah suatu proses yang hampir sama dengan • Jika y = a, maka dy = 0.
∫
pembezaan tetapi proses ini diwakilkan dengan tatatanda … dx. dx dy
Apakah hubungan antara pembezaan dengan pengamiran? Mari • Jika y = ax, maka dx = a.
teroka dengan lebih lanjut lagi.


Aktiviti Penerokaan 1 Berkumpulan PAK-21 STEM PK
Berpasangan

Tujuan: Mengenal pasti hubungan antara pembezaan dengan pengamiran
Langkah:
1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah.
ggbm.at/mggtmhhb
2. Klik butang fungsi dan perhatikan graf yang terbentuk.
3. Bersama-sama pasangan anda, bincangkan:
(a) hubungan antara graf fungsi f(x), f (x) dan g(x),


(b) hubungan antara graf fungsi h(x), h(x) dan k(x),
(c) hubungan antara graf fungsi m(x), m(x) dan n(x).
4. Kemudian, bentangkan hasil dapatan anda di hadapan kelas.
5. Ahli daripada pasangan yang lain akan bertanyakan soalan kepada anda.



Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 1, didapati bahawa:
∫

• Graf fungsi g(x) = f (x) dx adalah sama dengan graf fungsi f(x).
∫
• Graf fungsi k(x) = h(x) dx adalah sama dengan graf fungsi h(x).

∫
• Graf fungsi n(x) = m(x) dx adalah sama dengan graf fungsi m(x).
82 3.1.1

Pengamiran
Oleh itu, dapat disimpulkan bahawa pengamiran ialah suatu GALERI SEJARAH

proses songsangan bagi pembezaan. Fungsi f(x), h(x) dan m(x)
masing-masing dikenali sebagai anti terbitan bagi fungsi g(x),
k(x) dan n(x).

Pembezaan
d [ f(x)] = f (x)

dx
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
f(x) f (x)

Pada tahun 1675, BAB
Gottfried Wilhelm Leibniz
Pengamiran merupakan seorang ahli 3
∫ f (x) dx = f (x) matematik Jerman yang
memperkenalkan simbol
∫
kamiran, iaitu . Beliau
Secara amnya, mengadaptasikan simbol
kamiran daripada huruf ∫
atau s panjang.
d
Jika [ f (x)] = f (x), maka kamiran bagi f (x) terhadap x
dx
ialah ∫ f (x) dx = f (x).


Contoh 1

d
∫
Diberi (4x ) = 8x, cari 8x dx.
2
dx
Berikan tiga contoh dalam
Penyelesaian kehidupan harian yang
boleh menunjukkan
Pembezaan bagi 4x ialah 8x. bahawa pengamiran
2
Secara songsangan, pengamiran bagi 8x ialah 4x . adalah songsangan
2
∫
Oleh itu, 8x dx = 4x . bagi pembezaan.
2

Contoh 2
Penghasilan arang batu di sebuah kawasan perlombongan
diberi oleh K = 48 000t – 100t , dengan keadaan K ialah
3
jisim arang batu yang dihasilkan, dalam tan, dan t ialah
masa, dalam tahun.
dK
(a) Cari kadar penghasilan arang batu, , dalam
dt
sebutan t.
(b) Jika kadar penghasilan arang batu berubah kepada
dK = 96 000 – 600t , hitung jisim arang batu yang
2
dt
dihasilkan, dalam tan, pada tahun ke-4.




3.1.1 83

Penyelesaian

(a) Diberi K = 48 000t – 100t .
3
dK
Maka, = 48 000 – 300t .
2
dt
(b) Diberi dK = 96 000 – 600t 2
dt
= 2(48 000 – 300t )
2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Secara songsangan, pengamiran bagi 48 000 – 300t ialah 48 000t – 100t .
2
3
∫ 
3
2
Oleh itu, 2(48 000 – 300t ) dt = 2(48 000t – 100t )
= 96 000t – 200t 3
Maka, jisim arang batu yang dihasilkan pada tahun ke-4 = 96 000(4) – 200(4) 3
= 371 200 tan
Latihan Kendiri 3.1
∫ 
d
2
2
1. Diberi (5x + 4x) = 15x + 4, cari (15x + 4) dx.
3
dx
∫  
2
3
2
2. Diberi d (8x ) = 24x , cari 24x dx.
dx
3. Penggunaan air di sebuah pusat beli-belah A boleh diwakili oleh fungsi J = 100t + 30t ,
2
3

dengan keadaan J ialah isi padu air yang digunakan, dalam liter, dan t ialah masa,
dalam hari.
(a) Cari kadar penggunaan air bagi pusat beli-belah A, dalam sebutan t.
dJ
2
(b) Jika kadar penggunaan air bagi pusat beli-belah A berubah kepada = 1 500t + 300t,
dt
cari isi padu air, dalam liter, yang digunakan pada hari kedua.
3.1
Latihan Formatif Kuiz bit.ly/2rGLiWM
dy
∫ 
2
3
1. Diberi y = 3(2x + 2) , cari . Seterusnya, cari [18(2x + 2) ] dx.
dx
∫ 
5x + 2
2. Diberi f (x) = , cari f (x) dan f (x) dx.
2 – 3x
dy
3
3. Diberi y = 5(x + 2) dan dx = h(x + 2) , cari nilai h + k. Seterusnya, cari nilai bagi
k
∫( )
1 dy dx dengan keadaan x = 2.
10 dx
∫
4. Diberi f (x) = 3x(2x + 1) dan (12x + 8x + 1) dx = af (x), cari nilai a.
2
2
5. Fungsi keuntungan harian daripada jualan tiket bas bagi sebuah syarikat K diberi oleh
3
2
A = 100t + 50t , dengan keadaan A ialah keuntungan yang diperoleh, dalam RM, dan
t ialah masa, dalam hari.
(a) Kira kadar keuntungan jualan tiket bas yang diperoleh syarikat itu selepas 5 hari.
dA 2
(b) Diberi kadar keuntungan jualan tiket bas bagi sebuah syarikat H ialah = 30t + 40t,
dt
syarikat manakah yang memperoleh keuntungan paling tinggi pada hari ke-10?
84 3.1.1

Pengamiran

3.2 Kamiran Tak Tentu



Gambar di sebelah menunjukkan ahli Kelab Doktor Muda
sebuah sekolah yang sedang mengukur tekanan darah rakannya.
Bagaimanakah cara untuk menentukan tekanan darah dalam aorta,
t saat selepas satu denyutan bagi seorang dewasa normal?
n KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Dengan menggunakan kamiran tak tentu terhadap fungsi kadar
tekanan darah, kita boleh menentukan tekanan darah seseorang. BAB
3
Rumus kamiran tak tentu


Aktiviti Penerokaan 2 Berkumpulan PAK-21
Berpasangan
Tujuan: Menerbitkan rumus kamiran tak tentu secara induktif
Langkah:
1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah. bit.ly/35s352i
2. Lengkapkan jadual bagi Kes 1 secara bergilir-gilir dengan rakan sepasangan anda.
3. Berdasarkan jadual tersebut, terbitkan rumus kamiran tak tentu secara induktif.
4. Ulang langkah 2 dan 3 bagi Kes 2.
5. Pamerkan hasil kerja anda dan rakan sepasangan anda di dalam kelas.
6. Anda dan rakan sepasangan akan bergerak untuk melihat hasil kerja pasangan lain.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 2, didapati bahawa:
Pintar
Bagi suatu pemalar a, Tip Pintar

∫ a dx = ax + c, dengan keadaan a dan c ialah pemalar. Langkah-langkah untuk
mencari kamiran ax
n
terhadap x, dengan
n
Bagi suatu fungsi ax , keadaan a ialah pemalar, n
ialah integer dan n ≠ –1:
1. Tambahkan indeks bagi
∫ ax dx = ax n + 1 + c, dengan keadaan a dan c ialah x dengan 1.
n
n + 1 2. Bahagikan sebutan
pemalar, n ialah integer dan n ≠ –1. dengan indeks baharu.
3. Tambahkan pemalar c
ax n + 1 dengan hasil kamiran.
Secara amnya, fungsi ax + c dan + c dikenali sebagai
n + 1
kamiran tak tentu masing-masing bagi pemalar a terhadap x dan
fungsi ax terhadap x.

Perhatikan setiap kes yang berikut.
Kes 1 Kes 2 Kes 3
dy dy dy
y = 5x, = 5 dan y = 5x + 2, = 5 dan y = 5x – 3, = 5 dan
dx dx dx
∫ 5 dx = 5x ∫ 5 dx = 5x + 2 ∫ 5 dx = 5x – 3

85
3.2.1 85

dy
Daripada ketiga-tiga kes tersebut, didapati bahawa nilai bagi setiap kes adalah sama, tetapi
dx
sebutan pemalar dalam hasil kamiran tak tentu adalah berbeza. Pemalar ini dikenali sebagai
pemalar pengamiran dan biasanya diwakili dengan simbol c. Pemalar c akan ditambah sebagai
∫
sebahagian daripada kamiran tak tentu bagi suatu fungsi. Misalnya, 5 dx = 5x + c.

Kamiran tak tentu bagi suatu fungsi algebra
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

Rumus kamiran tak tentu akan digunakan untuk mencari kamiran tak tentu bagi suatu pemalar
atau fungsi algebra.

Contoh 3

Kamirkan setiap yang berikut terhadap x.
1
(a) 12 (b) (c) – 0.5
2
Penyelesaian
1
1
∫
∫
∫
(a) 12 dx = 12x + c (b) dx = x + c (c) – 0.5 dx = – 0.5x + c
2 2
Pintar
Contoh 4 Tip Pintar
∫
Cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut. ∫ ax dx = a x dx
n
n
∫
(a) x dx (b) 2 dx
3
∫  2
x
Penyelesaian
∫ 
∫
(a) x dx = x 3 + 1 + c (b) 2 dx = 2 x dx Cari kamiran bagi setiap
3
–2
x
3 + 1 ∫  2
x 4 x –2 + 1 yang berikut.
= + c = 2 ( ) + c
∫ 
4 –2 + 1 (a) dx
= –2x + c (b) 0 dx
–1
∫ 
2
= – + c ∫ 
x (c) |x| dx
Dalam bab pembezaan, anda telah mempelajari kaedah untuk
Sudut Informasi
mencari pembezaan bagi suatu fungsi yang berbentuk seperti Sudut Informasi
h(x) = 3x + 5x, dengan keadaan f(x) = 3x dan g(x) = 5x.
2
2

∫ [ f (x) ± g(x)] dx
∫
∫
Kaedah yang serupa boleh digunakan untuk mencari = f (x) dx ± g(x) dx
kamiran bagi suatu fungsi yang melibatkan penambahan atau juga dikenali sebagai
penolakan sebutan-sebutan algebra. petua penambahan
atau penolakan.
Jika f (x) dan g(x) ialah suatu fungsi, maka
∫
∫ [f (x) ± g(x)] dx = f (x) dx ± g(x) dx
∫
86 3.2.1 3.2.2

Pengamiran
Contoh 5

Cari kamiran bagi setiap yang berikut.
∫  (
∫
∫
(a) (3x + 2) dx (b) (x – 2)(x + 6) dx (c) x 3 + 1 5) dx
2
2
x
Penyelesaian
∫
∫
2
(a) (3x + 2) dx (b) (x – 2)(x + 6) dx
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
∫
∫
∫
2
= 3x dx + 2 dx = (x + 4x – 12) dx BAB
2
3x 3
∫ 
∫ 
∫
= + 2x + c = x dx + 4x dx – 12 dx
2
3 3
3
= x + 2x + c x 3 4x 2
= + – 12x + c
3 2
x 3 2
= + 2x – 12x + c
3
∫ (
∫  (
2
2
(c) x 3 + 1 5) dx = 3x + 1 3) dx
x x
)
∫ (
–3
= 3x + x dx Kamiran bagi suatu
2
∫ 
 
∫
–3
2
= 3x dx + x dx fungsi yang melibatkan
penambahan dan penolakan
3x 3 x –2 sebutan-sebutan algebra
= + + c
3 –2 boleh diwakilkan dengan
3
= x – 1 + c satu pemalar pengamiran
2x 2 sahaja. Jelaskan.
Latihan Kendiri 3.2
1. Cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut.
∫ 
∫ 
(a) 2 dx (b) ∫  5 dx (c) –2 dx (d) ∫  π dx
6
3
2. Kamirkan setiap yang berikut terhadap x.
(a) 3x 2 (b) 4 x (c) –x (d) – 2
3
3 x 2
( )
3 2 3 3
(e) (f) 3! x (g) (h) –
x 3 3 ! x ! x
3. Kamirkan setiap yang berikut terhadap x.
1
3
2
(a) 2x + 3 (b) 4x + 5x (c) x + 5x – 2 (d) 3 + 4x – 2
2 x 2
4. Cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut.
∫ 
∫ 
∫
2
2
2
(a) (x + 2)(x – 4) dx (b) x (3x + 5x) dx (c)  (5x – 3! x ) dx
∫ 
2
∫
2
2
(d) (5x – 3) dx (e) ∫ ( 5x – 3x ) dx (f)  (x + ! x ) dx
x
3.2.2 87

Kamiran tak tentu bagi fungsi berbentuk (ax + b) , dengan keadaan a dan
n
b ialah pemalar, n ialah integer dan n ≠ –1

Anda telah mempelajari cara untuk mencari kamiran tak tentu bagi fungsi y = 2x + 1.
Bagaimanakah pula cara untuk mencari kamiran bagi fungsi y = (2x + 1) ?
8
8
Ungkapan (2x + 1) adalah sangat rumit untuk dikembangkan. Jadi, fungsi seperti ini
boleh diselesaikan dengan menggunakan kaedah penggantian.
Maka, KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
∫
n
Pertimbangkan fungsi y = (ax + b) dx, dengan keadaan a dan b ialah pemalar, n ialah
dy
n
integer dan n ≠ –1, maka = (ax + b) .
dx
Katakan, u = ax + b
du
Jadi, = a
dx
dy
n
dan = u
dx
Dengan menggunakan petua rantai, Imbas Kembali
dy dy dx
= × Bagi suatu fungsi
du dx du
y = g(u) dan u = h(x),
dy 1 dy dy
= × = × du
dx du dx du dx
( )
dx
dy du
n
Gantikan = u dan = a, kita peroleh
dx dx
Sudut Informasi
dy 1 Sudut Informasi
= u ×
n
du a
n
∫
y = u a n du Ungkapan (ax + b) dapat
dikembangkan dengan
menggunakan teorem
n
∫
n
∫ (ax + b) dx = u a du Binomial. Rumus am teorem
Binomial bagi ungkapan
1 n (ax + b) ialah
∫
n
= u du
a n
∑ [ C (ax) n – k (b) ], dengan
n
k
1 u n + 1 k = 0 k
= [ ] + c keadaan k dan n ialah
a n + 1
integer serta a dan b
Gantikan u = ax + b, kita peroleh ialah pemalar.
∫ (ax + b) dx = (ax + b) n + 1 + c
n
a(n + 1)
Menggunakan rumus
di sebelah, bolehkah anda
(ax + b)
n + 1
∫ (ax + b) dx = + c, dengan keadaan mencari kamiran bagi
n
a(n + 1) (3x + 3) dx?
3
2
a dan b ialah pemalar, n ialah integer dan n ≠ –1. ∫
88 3.2.3

Pengamiran
Contoh 6

Dengan menggunakan kaedah penggantian, cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut.
∫
∫
5
(a) (3x + 5) dx (b) ! 5x + 2 dx
Penyelesaian
(a) Katakan u = 3x + 5 (b) Katakan u = 5x + 2
(d) KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
du du
Jadi, = 3 Jadi, = 5
dx dx BAB
dx = du dx = du
3 5 3
∫
∫
∫ (3x + 5) dx = u 3 5 du ∫ ! 5x + 2 dx = ! u du
5
5
1 u 6 1
= ( ) + c 2
∫
3 6 = u du
(3x + 5) 6 5
= + c 2 3
18 = u + c
2
15
3
= 2 (5x + 2) + c
2
15
Contoh 7
Kamirkan setiap yang berikut terhadap x.
(a) (2 – 3x) 4 (b) 3
(5x – 3) 6
Penyelesaian

∫
∫
∫
– 6
(a) (2 – 3x) dx = (2 – 3x) 5 + c (b) 3 6 dx = 3(5x – 3) dx
4
–3(5) (5x – 3) –5
(2 – 3x) 5 = 3(5x – 3) + c
= – + c 5(–5)
15
3
= – + c
25(5x – 3) 5
Latihan Kendiri 3.3
1. Cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut dengan menggunakan kaedah penggantian.
∫
∫
∫
5
9
2
(a) (x – 3) dx (b) (3x – 5) dx (c) 4(5x – 2) dx
∫
∫
∫ (7x – 3) 4 dx (e) 12 dx (f) 2 dx
3 (2x – 6) 3 3(3x – 2) 2
2. Kamirkan setiap yang berikut terhadap x.
(a) (4x + 5) (b) 2(3x – 2) (c) (5x – 11) 4
4
3
(3x – 2) 5 5 12
(d) (e) (f)
5 (6x – 3) 6 (3x – 5) 8
3.2.3 89

Persamaan lengkung daripada fungsi kecerunan

Nilai pemalar pengamiran, c boleh ditentukan dengan menggantikan nilai x dan y yang sepadan
ke dalam hasil pengamiran suatu fungsi kecerunan.


Contoh 8
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
dy
2
3
Tentukan nilai pemalar pengamiran, c bagi = 4x + 6x – 3 dengan y = 25 apabila x = 2.
dx
Penyelesaian
dy Apabila x = 2 dan y = 25,
2
3
Diberi = 4x + 6x – 3.
3
4
dx 25 = 2 + 2(2) – 3(2) + c
∫
2
Jadi, y = (4x + 6x – 3) dx c = –1
3

4x 4 6x 3 Maka, nilai pemalar pengamiran, c
y = + – 3x + c
4 3 dy 3 2
3
4
y = x + 2x – 3x + c bagi dx = 4x + 6x – 3 ialah –1.
dy
Fungsi kecerunan, atau f (x) bagi suatu lengkung boleh ditentukan dengan melakukan
dx
pembezaan terhadap persamaan lengkung y = f (x). Sebaliknya, persamaan bagi suatu lengkung
boleh diperoleh daripada pengamiran fungsi kecerunannya. Secara amnya,
dy
Diberi suatu fungsi kecerunan = f (x), maka persamaan lengkung
dx
bagi fungsi itu ialah y = ∫ f (x) dx.
Contoh 9

dy
Kecerunan bagi suatu lengkung pada titik (x, y) ialah = 15x + 4x – 3.
2
dx
(a) Jika lengkung itu melalui titik (–1, 2), cari persamaan lengkung itu.
(b) Seterusnya, cari nilai y apabila x = 1.

Penyelesaian
dy (b) Apabila x = 1,
(a) Diberi = 15x + 4x – 3.
2
2
3
dx y = 5(1) + 2(1) – 3(1) + 2
∫
Jadi, y = (15x + 4x – 3) dx y = 6
2
Maka, y = 6 apabila x = 1.
3
y = 5x + 2x – 3x + c
2
Apabila x = –1 dan y = 2,
2 = 5(–1) + 2(–1) – 3(–1) + c
2
3
c = 2
Maka, persamaan lengkung itu ialah
y = 5x + 2x – 3x + 2.
3
2
90 3.2.4