Matematik Tambahan Tingkatan 5 KSSM

Pengaturcaraan Linear

(a) Tulis model matematik yang melibatkan sistem y
ketaksamaan linear bagi mewakili kekangan I
dan kekangan II. 60
(b) Kekangan ketiga diwakili oleh rantau berwarna merah
jambu yang mewakili masa penyediaan kedua-dua 50
jambak bunga seperti yang ditunjukkan dalam rajah di
sebelah. Tuliskan kekangan tersebut dalam perkataan. 40
(c) Bina dan lorekkan rantau R yang memenuhi 30
ketiga-tiga kekangan. Menggunakan graf yang sama,
cari 20
(i) bilangan minimum jambak bunga anggerik jika
bilangan jambak bunga ros ialah 30, 10
(ii) jumlah keuntungan maksimum peniaga tersebut
jika keuntungan bagi setiap jambak bunga ros 0 10 20 30 40 x
dan jambak bunga anggerik masing-masing ialah
RM35 dan RM25.
Sudut Informasi
Sudut Informasi
Penyelesaian
(a) Kekangan I: y < 2x Titik maksimum atau
1 optimum ialah titik di bucu-
Kekangan II: y > x
bucu suatu rantau tersaur
4 yang akan menghasilkan
(b) Pertimbangkan titik (0, 60) dan (40, 0). nilai optimum bagi fungsi
60 – 0 3 objektif.
= –
Kecerunan garis lurus, m =
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
0 – 40 2
3
Persamaan garis lurus, y – 0 = – (x – 40) BAB
2
2y + 3x = 120 7
20y + 30x = 1 200
Maka, jumlah masa menghasilkan kedua-dua jambak bunga tersebut sekurang-kurangnya
adalah 2 jam.
1
(c) y (i) Gantikan x = 30 ke dalam y = x,
4
1
y = (30)
60 4
= 7.5
y = 2x
50 Maka, bilangan minimum bunga anggerik
ialah 8 jambak.
40 (ii) Titik maksimum bagi rantau berlorek
(18, 33) ialah (18, 33).
30 Gantikan titik maksimum itu ke dalam
k = 35x + 25y,
20 1
–
y = x k = 35(18) + 25(33)
R 4
10 = 630 + 825
= 1 455
0 x Maka, keuntungan maksimum peniaga
10 20 30 40
tersebut ialah RM1 455.



7.2.1 241

Contoh 6 Aplikasi Matematik

Pintar
Sebuah sekolah ingin membeli dua jenis meja, iaitu meja P Tip Pintar
dan meja Q untuk diletakkan di dalam makmal komputer.
Harga bagi sebuah meja P dan meja Q masing-masing ialah Masalah dalam sesuatu
2
RM200 dan RM100. Luas permukaan meja P ialah 1 m situasi boleh diringkaskan
2
manakala meja Q ialah 2 m . Sekolah tersebut membeli dalam bentuk jadual.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
x buah meja P dan y buah meja Q. Pembelian meja Berdasarkan Contoh 6,
masalah dalam situasi yang
berdasarkan kekangan berikut. diberi boleh diringkaskan
I Jumlah luas permukaan meja adalah tidak kurang seperti berikut:
daripada 30 m . Meja P Meja Q
2
II Jumlah wang yang diperuntukkan ialah RM6 000. Harga RM200 RM100
III Bilangan meja Q selebih-lebihnya adalah dua kali bilangan Luas 1 m 2 2 m 2
meja P.
(a) Selain x > 0 dan y > 0, tuliskan tiga ketaksamaan linear
yang memenuhi semua kekangan di atas.
(b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 10 buah meja pada paksi-x dan paksi-y, bina
dan lorekkan rantau R yang memuaskan semua kekangan di atas.
(c) Berdasarkan graf yang dibina di (b), cari
(i) julat bagi bilangan meja P jika bilangan meja Q yang dibeli ialah 10 buah,
(ii) bilangan maksimum murid yang boleh menggunakan meja tersebut pada masa
tertentu jika sebuah meja P dapat menampung 4 orang murid dan sebuah meja Q
dapat menampung 8 orang murid.
Penyelesaian

Pintar
Tip Pintar
1 . Memahami masalah
Kaedah menyelesaikan
Harga sebuah meja P ialah RM200. masalah persamaan linear.
Harga sebuah meja Q ialah RM100. 1. Tafsirkan masalah
Luas permukaan meja P ialah 1 m . dan tentukan
2
pemboleh ubah.
2
Luas permukaan meja Q ialah 2 m . 2. Tentukan model
Jumlah peruntukan wang ialah RM6 000. matematik dalam
Jumlah luas permukaan meja adalah tidak kurang bentuk sistem
2
daripada 30 m . ketaksamaan linear.
Bilangan meja Q selebih-lebihnya adalah dua kali 3. Lukis graf dan tentukan
daripada bilangan meja P. rantau penyelesaian, R.
4. Tulis fungsi objektif bagi
kuantiti yang hendak
dimaksimumkan atau
2 . Merancang strategi diminimumkan, iaitu
k = ax + by.
Katakan x ialah bilangan meja P dan y ialah bilangan 5. Pilih satu nilai yang
meja Q. sesuai bagi k dan lukis
garis lurus itu.
Jumlah harga meja P ialah RM200x.
Jumlah harga meja Q ialah RM100y.




242 7.2.1

Pengaturcaraan Linear



3 . Melaksanakan strategi
(a) Kekangan I: (b) y
x + 2y > 30
Kekangan II: 60
200x + 100y < 6 000 2x + y = 60
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
2x + y < 60 50
Kekangan III: y = 2x
y < 2x 40
Jadi, tiga ketaksamaan linear yang
memuaskan semua kekangan 30
tersebut ialah x + 2y > 30,
2x + y < 60 dan y < 2x. 20
R
10
x + 2y = 30
0 x
10 20 30


(c) (i) Diberi bilangan meja Q yang dibeli ialah y
10 buah. Maka, lukis garis lurus y = 10.
Daripada graf, titik persilangan bagi garis 60
lurus y = 10 dengan rantau minimum dan 2x + y = 60
maksimum terletak pada x = 10 dan x = 25. 50
Maka, julat bagi bilangan meja P y = 2x BAB
ialah 10 < x < 25. 40 7
(ii) Katakan bilangan maksimum murid
30
menggunakan meja P dan Q diberi
oleh k = 4x + 8y.
20
Andaikan k = 4 × 8 = 32.
R
Daripada graf, didapati bahawa garis 10
lurus melalui titik optimum (15, 30)
x + 2y = 30
dalam rantau berlorek. 0 x
Maka, bilangan maksimum murid ialah 10 20 30
= 4(15) +8(30)
= 300





4 . Membuat refleksi

Pertimbangkan sebarang titik dalam rantau berlorek, misalnya (20, 20).
Gantikan titik (20, 20) ini ke dalam fungsi k.
k = 4(20) + 8(20)
= 240 (, 300)



7.2.1 243

Latihan Kendiri 7.2

1. Sebuah institusi menawarkan dua kursus perniagaan, iaitu Kursus Pengurusan dan Kursus
Kewangan. Bilangan peserta bagi Kursus Pengurusan ialah x orang dan bilangan peserta bagi
Kursus Kewangan ialah y orang. Pengambilan peserta berdasarkan kekangan berikut.
I Jumlah peserta Kursus Pengurusan dan Kursus Kewangan tidak melebihi 80 orang.
II Bilangan peserta Kursus Kewangan tidak melebihi empat kali bilangan peserta
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Kursus Pengurusan.
III Bilangan peserta Kursus Kewangan mesti melebihi bilangan peserta Kursus Pengurusan
sekurang-kurangnya 10 orang.
(a) Selain x > 0 dan y > 0, tuliskan tiga ketaksamaan linear yang memenuhi semua
kekangan di atas.
(b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 10 orang peserta pada kedua-dua paksi, bina
dan lorekkan rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas.
(c) Dengan menggunakan graf di (b), cari
(i) julat bagi bilangan peserta Kursus Kewangan jika bilangan peserta bagi Kursus
Pengurusan ialah 20 orang,
(ii) jumlah yuran maksimum dalam masa seminggu yang boleh dikutip jika yuran
mingguan bagi Kursus Pengurusan dan Kursus Kewangan masing-masing ialah
RM60 dan RM70.
2. Sebuah kilang menghasilkan arca pasu A dan
pasu B dengan menggunakan mesin P dan
Q. Jadual di bawah menunjukkan masa yang
diambil untuk menghasilkan arca pasu A dan
pasu B.
Arca Masa yang diambil (minit)
pasu Mesin P Mesin Q
A 40 30
B 20 60 Pasu A Pasu B

Kilang tersebut menghasilkan x unit arca pasu A dan y unit arca pasu B dalam masa
seminggu. Mesin P beroperasi tidak melebihi 2 000 minit. Mesin Q pula beroperasi
sekurang-kurangnya 1 800 minit. Penghasilan arca pasu B tidak melebihi tiga kali ganda
penghasilan arca pasu A.
(a) Selain x > 0 dan y > 0, tuliskan tiga ketaksamaan yang memenuhi semua kekangan
di atas.
(b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 10 unit pada kedua-dua paksi, bina dan
lorekkan rantau R yang memuaskan semua kekangan itu.
(c) Dengan menggunakan graf yang dibina di (b), cari
(i) bilangan minimum arca pasu B yang boleh dihasilkan jika kilang tersebut
bercadang untuk menghasilkan 30 unit arca pasu A sahaja,
(ii) jumlah keuntungan maksimum seminggu jika keuntungan yang diperoleh daripada
satu unit arca pasu A dan satu unit arca pasu B masing-masing ialah RM300
dan RM250.



244 7.2.1

Pengaturcaraan Linear

7.2
Latihan Formatif Kuiz bit.ly/2ZhfBzA


1. Seorang tukang kebun ingin menanam pokok bunga raya dan pokok bunga ros di atas
2
sebidang tanah yang berkeluasan 300 m . Beliau mempunyai sekurang-kurangnya RM1 000
untuk membeli anak pokok tersebut. Harga bagi sepohon bunga raya ialah RM4 dan keluasan
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
tanah yang diperlukan ialah 0.4 m . Harga bagi sepohon bunga ros pula ialah RM5 dan
2
2
keluasan tanah yang diperlukan ialah 0.3 m . Bilangan pokok bunga ros yang ditanam mesti
melebihi bilangan pokok bunga raya selebih-lebihnya 200.
(a) Selain x > 0 dan y > 0, tuliskan tiga ketaksamaan yang memenuhi semua kekangan di atas
jika x mewakili bilangan pokok bunga raya dan y mewakili bilangan pokok bunga ros.
(b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 100 pokok pada paksi-x dan paksi-y, lukis dan
lorekkan rantau yang memuaskan semua ketaksamaan di (a).
(c) Daripada graf yang dibina di (b), jawab setiap soalan yang berikut.
(i) Cari bilangan maksimum pokok bunga ros jika bilangan pokok bunga raya ialah 300.
(ii) Dalam satu tempoh tertentu, pokok bunga raya dan pokok bunga ros menghasilkan
keuntungan masing-masing sebanyak RM3.50 dan RM2.40. Cari keuntungan
maksimum yang diperoleh tukang kebun tersebut.

2. Encik Malik memperuntukkan RM3 000 untuk membeli x naskhah buku rujukan Sains dan
y naskhah buku rujukan Matematik bagi perpustakaan sekolah. Kos purata bagi senaskhah
buku rujukan Sains dan senaskhah buku rujukan Matematik masing-masing ialah RM30 dan
RM25. Bilangan buku rujukan Sains yang dibeli adalah sekurang-kurangnya 20 naskhah dan
bilangan buku rujukan Matematik yang dibeli adalah sekurang-kurangnya 10 naskhah lebih
daripada buku rujukan Sains. BAB
(a) Tuliskan tiga ketaksamaan linear yang memenuhi semua syarat yang diberikan selain
x > 0 dan y > 0. 7
(b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 20 naskhah buku pada kedua-dua paksi, bina
dan lorekkan rantau R yang memenuhi semua syarat yang diberikan.
(c) Daripada graf yang diperoleh di (b), cari kos minimum bagi buku-buku tersebut.

3. Sebuah kilang minuman menghasilkan dua jenis minuman, P dan Q. Bagi memenuhi
kehendak pengguna, kilang tersebut mestilah menghasilkan x liter minuman P dan y liter
minuman Q. Pengeluaran minuman dari kilang tersebut tertakluk kepada tiga kekangan
yang berikut.
I Jumlah isi padu minuman yang dihasilkan adalah tidak lebih daripada 7 000 liter.
II Isi padu minuman Q yang dihasilkan adalah paling banyak, iaitu dua kali isi padu
minuman P yang dihasilkan.
III Isi padu minuman Q yang dihasilkan adalah sekurang-kurangnya 1 000 liter.
(a) Tuliskan tiga ketaksamaan linear, selain x > 0 dan y > 0, yang memenuhi semua
kekangan di atas.
(b) Dengan menggunakan skala 1 cm kepada 1 000 liter pada paksi-x dan paksi-y, bina dan
lorekkan rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas.
(c) Berdasarkan graf yang diperoleh di (b), jawab setiap soalan yang berikut.
(i) Pada hari tertentu, isi padu minuman Q yang dihasilkan ialah 2 000 liter. Cari
isi padu maksimum bagi minuman P.
(ii) Jika keuntungan per liter bagi minuman P dan minuman Q masing-masing ialah
RM50 dan RM30, cari keuntungan maksimum yang diperoleh kilang tersebut.
245

SUDUT REFLEKSI






PENGATURCARAAN LINEAR
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA



Diberi garis lurus ax + by = c,
dengan keadaan b . 0. Langkah-langkah untuk menyelesaikan
• Rantau di bahagian atas suatu masalah yang melibatkan
garis lurus itu memuaskan pengaturcaraan linear:
ketaksamaan ax + by > c 1. Wakilkan semua kekangan bagi suatu
dan ax + by . c. situasi dalam bentuk ketaksamaan linear.
• Rantau di bahagian bawah 2. Lukis graf bagi setiap ketaksamaan
garis lurus itu memuaskan linear dan lorekkan rantau yang tersaur.
ketaksamaan ax + by < c 3. Tentukan fungsi objektif ax + by = k dan
dan ax + by , c. lukis graf bagi fungsi objektif itu.
4. Tentukan nilai optimum (nilai
maksimum atau minimum) dengan
menggantikan titik maksimum atau
Aplikasi minimum ke dalam fungsi objektif.











Rajah di sebelah menunjukkan y
penyelesaian bagi menentukan
keuntungan maksimum suatu 350
perniagaan. R ialah rantau yang 300 60x + 45y = 10 800
memenuhi semua kekangan yang
terdapat dalam perniagaan tersebut. 250
Bina suatu jurnal yang berkaitan dengan 200 x + y = 350 2
–
perniagaan tersebut dan persembahkan R y = x
5
hasil dapatan anda di hadapan kelas. 150
100
50
0 x
50 100 150 200 250 300 350 400




246

Pengaturcaraan Linear
Latihan Sumatif



1. Sebuah keluarga di sebuah kampung menghasilkan dua jenis kerusi rotan, iaitu kerusi rotan
kecil dan kerusi rotan besar. Keluarga tersebut memperoleh bahan mentah rotan
sekurang-kurangnya 60 kg seminggu. Sebuah kerusi rotan kecil memerlukan 3 kg rotan
manakala sebuah kerusi rotan besar memerlukan 5 kg rotan. Jumlah pekerja yang ada
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
adalah seramai 60 orang. Dua orang pekerja diperlukan untuk menghasilkan kerusi rotan
kecil manakala tiga orang pekerja diperlukan untuk menghasilkan kerusi rotan besar. TP 4
(a) Jika x buah kerusi rotan kecil dan y buah kerusi rotan besar dihasilkan pada setiap
minggu, tuliskan empat ketaksamaan linear yang memuaskan syarat-syarat tersebut.
(b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 5 buah kerusi rotan pada kedua-dua paksi, bina
dan lorekkan kawasan R yang memuaskan semua ketaksamaan linear tersebut.
(c) Harga bagi sebuah kerusi rotan kecil ialah RM40 dan harga bagi sebuah kerusi rotan
besar ialah RM80. Daripada graf yang diperoleh di (b), cari
(i) nilai x dan nilai y yang akan memberi pendapatan maksimum kepada keluarga itu,
(ii) pendapatan maksimum itu.

2. Seorang tukang masak mengambil masa 2.5 jam untuk membakar sebiji kek oren dan
3 jam untuk membakar sebiji kek strawberi. Kos bagi membuat sebiji kek oren dan kek
strawberi masing-masing ialah RM15 dan RM20. Dalam seminggu, x biji kek oren dan y
biji kek strawberi boleh dihasilkan berdasarkan syarat yang berikut. TP 5
I Tukang masak itu bekerja sekurang-kurangnya 30 jam seminggu.
II Kos untuk membakar kedua-dua kek itu tidak lebih daripada RM300 seminggu.
III Bilangan kek oren tidak lebih daripada dua kali bilangan kek strawberi.
(a) Tuliskan tiga ketaksamaan linear, selain x > 0 dan y > 0, yang memuaskan semua BAB
kekangan di atas. 7
(b) Dengan menggunakan skala 2 cm bagi mewakili 2 biji kek pada kedua-dua paksi, bina
dan lorekkan rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas.
(c) Dengan menggunakan graf yang diperoleh di (b), cari keuntungan maksimum yang
diterima oleh tukang masak itu dalam seminggu jika sebiji kek oren dan kek strawberi
masing-masing memberi keuntungan RM17 dan RM20.
3. Sebuah pejabat pos ingin menghantar 600 bungkusan ke bandar M dengan menggunakan
x buah lori dan y buah van. Pengangkutan bagi setiap bungkusan itu berdasarkan kekangan
yang berikut. TP 5
I Sebuah lori boleh membawa 120 bungkusan manakala sebuah van boleh membawa
50 bungkusan.
II Bilangan van yang digunakan adalah tidak lebih daripada tiga kali bilangan lori.
III Bilangan van yang digunakan adalah sekurang-kurangnya 2 buah.
(a) Selain x > 0 dan y > 0, tuliskan tiga ketaksamaan linear yang memenuhi semua
kekangan di atas.
(b) Menggunakan skala 2 cm kepada sebuah lori pada paksi-x dan 2 cm kepada dua buah
van pada paksi-y, bina dan lorekkan rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas.
(c) Dengan menggunakan graf yang diperoleh di (b), cari
(i) julat bilangan lori jika 2 buah van digunakan,
(ii) jumlah kos pengangkutan maksimum jika kos pengangkutan untuk sebuah lori dan
sebuah van masing-masing ialah RM150 dan RM100.
247

4. Sekolah Menengah Kebangsaan Setia Indah menganjurkan satu kem motivasi. Peserta bagi
kem motivasi itu terdiri daripada x orang murid perempuan dan y orang murid lelaki. Yuran
bagi seorang murid perempuan ialah RM100 manakala yuran bagi seorang murid lelaki
ialah RM120. Bilangan murid yang menyertai kem tersebut adalah berdasarkan
kekangan berikut. TP 5
I Bilangan maksimum murid yang menyertai kem itu ialah 80 orang.
II Nisbah bilangan murid perempuan kepada murid lelaki adalah sekurang-kurangnya 1 : 3.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
III Jumlah yuran yang dikutip adalah tidak kurang daripada RM5 000.
(a) Tulis tiga ketaksamaan linear yang memenuhi semua kekangan di atas selain x > 0
dan y > 0.
(b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 10 orang murid pada paksi-x dan paksi-y, bina
dan lorekkan rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas.
(c) Dengan menggunakan graf yang diperoleh di (b), cari
(i) bilangan minimum murid lelaki jika nisbah bilangan murid perempuan kepada murid
lelaki adalah 1 : 3,
(ii) keuntungan maksimum yang diperoleh jika pihak sekolah memperoleh keuntungan
sebanyak 25% daripada jumlah yuran yang dikutip.
5. Sebuah kilang menghasilkan dua jenis almari, iaitu
almari A dan almari B. Setiap almari memerlukan dua
jenis bahan mentah P dan Q. Bilangan setiap bahan
mentah yang diperlukan untuk menghasilkan seunit
almari A dan seunit almari B masing-masing
ditunjukkan dalam jadual di bawah. TP 6
Bilangan bahan mentah Almari A
Almari
P Q
A 2 3
B 5 2 Almari B

Bilangan bahan mentah P dan Q yang terdapat di kilang tersebut masing-masing ialah
30 unit dan 24 unit. Diberi bahawa bilangan almari A yang dihasilkan adalah selebih-
lebihnya dua kali ganda daripada bilangan almari B. Katakan kilang tersebut menghasilkan
x unit almari A dan y unit almari B.
(a) Tuliskan tiga ketaksamaan linear, selain x > 0 dan y > 0, yang memenuhi semua
kekangan di atas.
(b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 2 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 1 unit
pada paksi-y, bina dan lorekkan rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas.
(c) Berdasarkan graf yang diperoleh di (b), cari
(i) bilangan maksimum almari B yang dihasilkan jika kilang tersebut menghasilkan
4 unit almari A.
(ii) keuntungan maksimum yang diperoleh kilang tersebut jika keuntungan daripada
jualan seunit almari A ialah RM200 dan seunit almari B ialah RM250.






248

Pengaturcaraan Linear




(a) Dalam kumpulan anda, bincangkan secara Hot Seat mengenai perkara yang berikut.
Diberi rantau di sebelah garis lurus ax + by = c. Jika b , 0, rantau yang manakah
memuaskan ax + by > 0?
(b) Sebuah sekolah diberi peruntukan untuk membeli
Sudut Informasi
komputer jenis A dan jenis B bagi makmal Sudut Informasi
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
komputernya berdasarkan kepada syarat-syarat
tertentu yang diwakili oleh rantau R dalam rajah Langkah-langkah
di bawah. Jumlah komputer yang dibeli adalah pembelajaran berasaskan
aktiviti Hot Seat.
sekurang-kurangnya 6 unit.
1. Seorang murid yang
y pakar akan duduk di
sebuah kerusi.
2. Murid dalam kumpulan
14
akan mengemukakan
y = x soalan berkaitan
12
masalah.
3. Murid yang pakar akan
10 x = 8
menjawab semua soalan.
4. Setiap kumpulan akan
8
membuat kesimpulan
untuk semua masalah
6 x + y = 6 yang dilontarkan.

4
R
2
BAB
0 x
2 4 6 8 10 12 14 7
(i) Nyatakan perkara yang diwakili oleh paksi-x dan paksi-y.
(ii) Selain bilangan komputer jenis A atau jenis B adalah lebih besar daripada sifar,
nyatakan dalam bentuk ayat tiga syarat yang lain.
(iii) Jika sekolah tersebut membeli 6 unit komputer jenis A, berapakah bilangan
maksimum komputer B yang boleh dibeli?
(iv) Jika kos sebuah komputer jenis A dan sebuah komputer jenis B masing-masing
ialah RM1 500 dan RM2 000, cari peruntukan maksimum yang diperlukan
oleh sekolah itu.



















249

BAB KINEMATIK
8 GERAKAN LINEAR









KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA









































Dron ialah pesawat udara tanpa
Sesaran, Halaju dan Pecutan sebagai pemandu (unmanned aerial vehicle)
Fungsi Masa yang dilengkapi dengan kamera
Pembezaan dalam Kinematik Gerakan Linear merupakan satu alat teknologi moden
Pengamiran dalam Kinematik Gerakan Linear untuk memudahkan kerja manusia.
Aplikasi Kinematik Gerakan Linear Contohnya, dron digunakan dalam
servis penghantaran barang, sektor
Senarai pertanian, pemetaan dan sebagainya.
Standard Dron mampu terbang pada altitud
Pembelajaran 500 m sambil merakam gambar yang
berkualiti. Pada pendapat anda,
bit.ly/2EIKQtF berapakah jarak maksimum suatu dron
boleh terbang? Berapakah halaju suatu
dron harus terbang untuk mendapatkan
gambar yang berkualiti tinggi?
250

Kinematik ialah kajian berkenaan dengan jenis pergerakan
sesuatu objek tanpa merujuk kepada daya-daya yang
menyebabkan gerakan objek itu.
Kuantiti skalar merujuk kepada kuantiti yang mempunyai
magnitud sahaja. Kuantiti vektor merujuk kepada kuantiti yang
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
mempunyai magnitud dan arah.

Untuk maklumat lanjut:




bit.ly/37eXwVs

Kepentingan Bab Ini


Pengetahuan tentang kinematik penting kerana dapat
menyelesaikan masalah dalam bidang kejuruteraan,
robotik, biomekanik, sains sukan dan
sains astronomi.
Pengetahuan tentang kinematik membolehkan masa,
halaju dan pecutan bagi sesuatu masalah
dapat diketahui.






Sesaran Displacement
Halaju Velocity
Pecutan Acceleration
Jarak Distance
Halaju awal Initial velocity
Halaju malar Uniform velocity
Halaju maksimum Maximum velocity
Halaju minimum Minimum velocity
Pecutan malar Uniform acceleration
Halaju positif Positive velocity
Halaju negatif Negative velocity
Halaju sifar Zero velocity
Sesaran positif Positive displacement
Sesaran negatif Negative displacement
Sesaran sifar Zero displacement


Video mengenai
pergerakan dron


bit.ly/2PPjk45
251

8.1 Sesaran, Halaju dan Pecutan sebagai Fungsi Masa



Memerihalkan dan menentukan sesaran seketika, halaju seketika dan
pecutan seketika suatu zarah

Rajah di sebelah menunjukkan kedudukan awal seorang
guru yang berdiri 1 meter di sebelah kiri satu titik tetap O.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Kemudian, guru tersebut bergerak ke kedudukan 3 meter di
sebelah kanan O. Apakah yang anda boleh katakan tentang
kedudukan guru tersebut merujuk kepada titik tetap O?
Jika O diambil sebagai titik rujukan dan guru tersebut
berdiri 3 meter di sebelah kanan O, sesarannya ialah positif s (m)
3 meter dari O, iaitu s = 3 m. Apabila guru tersebut berada –1 O 3
1 meter di sebelah kiri O, sesarannya ialah negatif 1 meter dari
O, iaitu s = –1 m. Apabila beliau berada di O, sesarannya ialah
sifar meter, iaitu s = 0.
Sesaran, s suatu zarah dari satu titik tetap ialah jarak di antara Selain sesaran, berikan
zarah itu dan titik tetap tersebut yang diukur dalam arah tertentu. tiga contoh kuantiti
fizik lain yang mewakili
kuantiti vektor.
Sesaran ialah kuantiti vektor yang mempunyai magnitud
dan arah. Oleh itu, nilai bagi sesaran boleh menjadi positif, sifar
atau negatif. Jarak pula ialah suatu kuantiti skalar yang merujuk
kepada jumlah panjang bagi laluan sebenar yang dilalui oleh suatu objek.
Ikuti penerokaan yang berikut untuk mengetahui dengan lebih lanjut mengenai sesaran
seketika dan kedudukan suatu zarah dalam gerakannya.
Aktiviti Penerokaan 1 Berkumpulan PAK-21

Tujuan: Memerihalkan dan menentukan sesaran seketika dan kedudukan suatu zarah
Langkah:
1. Baca dan fahami situasi yang berikut.

Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Sesaran bagi zarah
itu, s m, dari O pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh s = t – 3t.
2
2
2. Salin dan lengkapkan jadual di bawah bagi s = t – 3t untuk 0 < t < 4.
Masa, t (s) 0 1 2 3 4
Sesaran, s (m)
3. Apakah yang anda boleh katakan mengenai sesaran zarah itu ketika t = 0, t = 1, t = 2,
t = 3 dan t = 4?
4. Jika pergerakan zarah ke kanan dianggap sebagai positif, bina satu garis nombor bagi
mewakili kedudukan zarah itu dan lakarkan graf sesaran-masa.
5. Nyatakan kedudukan zarah itu secara relatif dari titik O apabila sesaran adalah
(a) negatif, (b) sifar, (c) positif.
6. Bincangkan hasil dapatan anda bersama ahli kumpulan dan bentangkan di hadapan kelas.
252 8.1.1

Kinematik Gerakan Linear
Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 1, nilai sesaran yang
t = 1 t = 0
diperoleh mewakili sesaran zarah pada ketika t = 0,
t = 1, t = 2, t = 3 dan t = 4. Sesaran suatu zarah pada s (m)
–2 O 4
masa tertentu dikenali sebagai sesaran seketika.
t = 2 t = 3 t = 4
Kedudukan zarah pula boleh diperhatikan daripada garis
nombor dan graf sesaran-masa seperti yang ditunjukkan s (m)
di sebelah. s = t – 3t
2
4
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Daripada garis nombor dan graf sesaran-masa:
Sesaran adalah negatif untuk 0 , t , 3 dan zarah dalam tempoh ini
berada di sebelah kiri titik tetap O atau di bahagian bawah paksi-t.
Sesaran adalah sifar di t = 0 dan t = 3. Pada ketika ini zarah
berada di titik tetap O atau pada paksi-t. 0 1 1 2 2 3 3 4 4 t (s)
Sesaran adalah positif untuk t . 3 dan dalam tempoh ini zarah
berada di sebelah kanan titik tetap O atau di bahagian atas paksi-t. –2
Secara amnya,

Jika O ialah satu titik tetap dan gerakan suatu zarah ke arah kanan ialah positif, maka
• Sesaran negatif, s , 0 menunjukkan zarah berada di sebelah kiri titik O.
• Sesaran sifar, s = 0 menunjukkan zarah berada di titik O.
• Sesaran positif, s . 0 menunjukkan zarah berada di sebelah kanan titik O.


Contoh 1

Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Sesaran, s m,
2
pada masa t saat selepas zarah mula bergerak diberi oleh s = 4 + 8t – t . Hitung sesaran
seketika, dalam m, dan tentukan kedudukan zarah itu dari titik tetap O apabila
(a) t = 0 (b) t = 10
Penyelesaian t = 0 BAB

Diberi s = 4 + 8t – t . s (m) 8
2
–16
20
–16 O 4 20
(a) Apabila t = 0, s = 4 + 8(0) – (0) 2
t = 10
s = 4
Maka, zarah itu berada pada kedudukan 4 m ke kanan dari titik tetap O apabila t = 0.
(b) Apabila t = 10, s = 4 + 8(10) – (10) 2
s = 4 + 80 – 100
s = –16
Maka, zarah itu berada pada kedudukan 16 m ke kiri dari titik tetap O apabila t = 10.



Contoh 2

Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Sesaran, s m, zarah
2
itu pada masa t saat selepas melalui titik O diberi oleh s = 4t – t untuk 0 < t < 5. Wakilkan
sesaran bagi zarah itu dengan menggunakan
(a) garis nombor, (b) graf sesaran-masa.


8.1.1 253

Penyelesaian
2
2
Diberi s = 4t – t . Bina jadual bagi sesaran zarah, s = 4t – t dalam tempoh masa 0 < t < 5.
Masa, t (s) 0 1 2 3 4 5
Sesaran, s (m) 0 3 4 3 0 –5
(a) (b) s (m)
t = 0 t = 1
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
4
t = 2 3
s (m) s = 4t – t 2
–
–5 5 O 3 4
t = 5 t = 4 t = 3
t (s)
0 1 1 2 3 4 4 5 5
3
2
–5

–1
Pertimbangkan sebuah kereta lumba yang boleh mencapai kelajuan lebih daripada 350 kmj .
Didapati bahawa pergerakan kereta lumba itu melibatkan laju dan halaju.
Halaju, v ialah kadar perubahan sesaran terhadap masa manakala laju ialah kadar
perubahan jarak terhadap masa. Halaju merupakan suatu kuantiti yang mempunyai magnitud
dan arah, maka halaju ialah kuantiti vektor. Laju pula ialah suatu kuantiti skalar.
Mari teroka cara untuk menentukan halaju seketika dan arah bagi larian seorang murid.
Aktiviti Penerokaan 2 Berkumpulan PAK-21

Tujuan: Memerihalkan dan menentukan halaju seketika dan arah larian seorang murid
Langkah:
1. Teliti situasi di bawah.

Seorang murid berlari di sepanjang trek yang lurus dari satu titik tetap O. Sesaran, s m, murid
itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh s = 8t − 2t . Sesaran murid itu dicatat pada
2
masa t = 0 hingga t = 6.

2. Dengan menganggap pergerakan ke arah kanan ialah positif, wakilkan sesaran bagi larian
murid itu dengan menggunakan
(a) garis nombor, (b) graf sesaran-masa.
3. Daripada graf sesaran-masa yang diperoleh, cari kecerunan tangen kepada graf itu pada
masa t = 0, 1, 2, 3, 4, 5 dan 6.
4. Menggunakan hubungan v = 8 – 4t, dengan keadaan v ialah halaju dan t ialah masa,
tentukan nilai-nilai v dengan menggantikan nilai-nilai t dalam Langkah 3 ke dalam
fungsi v dan seterusnya perhatikan nilai positif dan nilai negatifnya.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 2, garis nombor dan kecerunan tangen pada suatu titik kepada
graf sesaran-masa boleh digunakan untuk menentukan halaju dan arah larian murid. Didapati
bahawa nilai kecerunan tangen pada masa tertentu adalah sama dengan halaju larian murid pada

ketika itu. Misalnya, apabila t = 5, didapati kecerunan tangen ialah –12, jadi halaju larian murid
–1

itu ialah –12 ms . Halaju suatu objek pada masa tertentu dikenali sebagai halaju seketika.
254 8.1.1

Kinematik Gerakan Linear
Daripada garis nombor dan graf sesaran-masa:
Kecerunan tangen untuk tempoh 0 < t , 2
t = 0 t = 1
ialah positif, jadi halaju murid adalah positif v = 8 v = 4
t = 2
iaitu v . 0. Murid bergerak menuju ke kanan v = 0
titik O dalam tempoh ini. –24 –10 O 6 8 s (m)
8
Di t = 2, kecerunan tangen adalah sifar, jadi t = 6 t = 5 t = 4 t = 3
halaju murid adalah sifar iaitu v = 0. Murid v = –16 v = –12 v = –8 v = –4
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
berehat seketika sebelum bertukar arah
gerakannya pada ketika ini.
Kecerunan tangen untuk t . 2 ialah negatif, jadi halaju
s (m)
murid adalah negatif, iaitu v , 0. Murid bergerak menuju v = 0
v = 0
ke kiri dan melalui titik O dalam tempoh masa ini. 8
v > 0
v > 0
Secara amnya, t (s)
0 2 2 4 4 5 5 6 6
< 0
Jika O ialah satu titik tetap dan gerakan suatu zarah v v < 0
–10
ke arah kanan ialah positif, maka
• Halaju positif, v . 0 menunjukkan zarah bergerak
menuju ke kanan.
• Halaju sifar, v = 0 menunjukkan zarah berada dalam –24
s = 8t – 2t 2
keadaan rehat, iaitu zarah adalah pegun ketika ini.
• Halaju negatif, v , 0 menunjukkan zarah bergerak
menuju ke kiri.


Contoh 3

Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Halaju,
dalam ms , zarah itu pada masa t saat selepas melalui titik O diberi oleh v = 3t – 12.
–1
(a) Hitung
–1
(i) halaju awal, dalam ms , zarah itu, BAB
–1
(ii) halaju seketika, dalam ms , zarah itu apabila t = 5, 8
–1
(iii) masa, dalam saat, apabila halaju seketika zarah itu ialah 6 ms .
(b) Lakarkan graf halaju-masa bagi mewakili pergerakan zarah itu untuk 0 < t < 6.
Penyelesaian
(a) (i) Apabila t = 0, v = 3(0) – 12 (b)
–1
v (ms )
v = –12
Maka, halaju awal zarah itu ialah –12 ms . 6
–1
(ii) Apabila t = 5, v = 3(5) – 12
v = 15 – 12 0 t (s)
v = 3 4 4 6 6
–1
Maka, halaju seketika zarah itu apabila t = 5 ialah 3 ms .
v = 3t – 12
(iii) 3t – 12 = 6
3t = 18 –12
t = 6
Maka, masa ialah 6 saat apabila halaju seketika zarah itu
–1
ialah 6 ms .
255
8.1.1 255

Pecutan, a bagi suatu objek yang bergerak pada satu garis
Sudut Informasi
lurus ialah kadar perubahan halaju terhadap masa. Maka, fungsi Sudut Informasi
pecutan, a ialah suatu fungsi masa, iaitu a = f(t) dan merupakan
suatu kuantiti vektor yang mempunyai magnitud dan arah. Jika halaju suatu objek
berkurang, maka nilai
Jika kadar perubahan halaju terhadap masa bagi suatu objek pecutan menjadi negatif
yang bergerak adalah sama pada sebarang ketika, maka objek dan objek dikatakan
tersebut dikatakan bergerak dengan pecutan malar. Sebaliknya, mengalami nyahpecutan.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
jika kadar perubahan halaju terhadap masa adalah berbeza pada
sebarang ketika, maka objek tersebut dikatakan bergerak dengan
pecutan tak malar.

Pecutan, a pada masa tertentu, t pula dikenali sebagai pecutan seketika dan boleh diperoleh
dengan mencari kecerunan tangen kepada graf halaju-masa pada masa tertentu, t.

Ikuti penerokaan berikut untuk menentukan pecutan seketika seorang wanita yang berenang
pada lorong yang lurus.

Aktiviti Penerokaan 3 Berkumpulan PAK-21


Tujuan: Memerihalkan dan menentukan pecutan seketika seorang perenang
Langkah:
1. Bentukkan beberapa kumpulan. Kemudian, teliti situasi di bawah.
Seorang wanita berenang gaya bebas di sepanjang lorong kolam renang yang lurus.
–1
Halaju, v ms , wanita itu berenang pada masa t saat dari blok permulaan O diberi oleh
v = 4t – t . Catatan halaju perenang itu diambil pada masa t = 1, t = 2, t = 3, t = 4 dan t = 5.
2
2. Setiap kumpulan dikehendaki menjawab soalan berikut.
(a) Wakilkan pergerakan perenang itu dengan menggunakan graf halaju-masa.
(b) Cari kecerunan tangen kepada graf pada masa t = 1, t = 2, t = 3, t = 4 dan t = 5.
(c) Apakah yang boleh anda katakan mengenai pecutan perenang itu pada masa t = 1,
t = 2, t = 3, t = 4 dan t = 5?
(d) Buat satu kesimpulan apabila
(i) a . 0 (ii) a = 0 (iii) a , 0
3. Bincangkan hasil dapatan dalam kumpulan masing-masing.
4. Lantik seorang wakil dalam kumpulan anda untuk membentangkan hasil dapatan
kumpulan anda di hadapan kelas.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 3, kecerunan tangen pada v (ms )
–1
a = 0
satu titik kepada graf halaju-masa boleh digunakan untuk 4 a = 0
menentukan pecutan perenang itu. Misalnya, apabila t = 5, a > 0
a > 0

didapati kecerunan tangen ialah –6, jadi pecutan perenang 0 2 2 4 4 5 5 6 6 t (s)

–2
itu ketika t = 5 ialah –6 ms . Pecutan suatu objek pada masa
tertentu seperti ini dikenali sebagai pecutan seketika.
–5
Bagaimanakah anda mentafsirkan tentang gerakan suatu a < 0
< 0
a
objek apabila pecutan seketikanya ialah negatif? Apakah
perbezaan bagi gerakan suatu objek jika objek itu mempunyai
–2

–2
pecutan seketika –6 ms dan 6 ms ? Jelaskan. –12 v = 4t – t 2
256 8.1.1

Kinematik Gerakan Linear
Kinematik Gerakan Linear
Daripada graf halaju-masa di halaman 256:
Dalam tempoh masa 0 < t , 2, kecerunan tangennya ialah positif, iaitu a . 0 dan v bertambah.
Jadi, pecutan perenang adalah positif dalam tempoh masa ini dan perenang mengalami pecutan.
Untuk t = 2, kecerunan tangennya ialah sifar, iaitu a = 0 dan halaju, v adalah maksimum. Jadi,
pada ketika ini pecutan perenang adalah sifar. Pecutan sifar tidak semestinya halaju juga sifar
tetapi nilainya sama ada maksimum atau minimum.
Untuk t . 2, kecerunan tangennya ialah negatif, iaitu a , 0 dan v berkurang. Jadi, pecutan
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
perenang adalah negatif dalam tempoh masa ini dan perenang mengalami nyahpecutan.
Secara amnya,

Jika gerakan suatu zarah ke arah kanan ialah positif, maka
• Pecutan positif, a . 0 menunjukkan halaju zarah menokok terhadap masa.
• Pecutan sifar, a = 0 menunjukkan halaju zarah adalah maksimum atau minimum.
• Pecutan negatif, a , 0 menunjukkan halaju zarah menyusut terhadap masa.


Contoh 4
Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Pada masa
t saat selepas melalui O, pecutan, a ms , zarah itu diberi oleh a = 12 − 4t. Hitung pecutan
–2
–2
seketika, dalam ms , zarah itu pada masa 7 saat.
Sudut Informasi
Sudut Informasi
Penyelesaian
Diberi a = 12 – 4t. Tanda negatif pada nilai
Apabila t = 7, a = 12 – 4(7) pecutan menunjukkan
bahawa zarah mengalami
a = −16 nyahpecutan.
−2
Maka, pecutan seketika zarah itu pada masa 7 saat ialah −16 ms .
Latihan Kendiri 8.1 BAB


1. Suatu zarah bergerak di sepanjang suatu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Sesarannya, 8
s m, diberi oleh s = 2t – 5t – 3, dengan t ialah masa dalam saat selepas gerakan bermula.
2
(a) Cari sesaran seketika, dalam m, zarah itu apabila
(i) t = 0, (ii) t = 2.
(b) Bilakah zarah itu
(i) mula melalui titik O? (ii) berada 9 m di sebelah kanan titik O?
(c) Tentukan julat masa, dalam saat, apabila zarah itu berada di kanan titik O.
2. Suatu zarah bergerak di sepanjang suatu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Halajunya,
2
–1
v ms , diberi oleh v = t – 8t + 7, dengan keadaan t ialah masa dalam saat selepas melalui O.
–1
(a) Cari halaju seketika, dalam ms , zarah itu apabila t = 3.
(b) Hitung nilai-nilai t, dalam saat, apabila zarah itu berhenti seketika.
(c) Tentukan julat nilai t, dalam saat, apabila zarah bergerak ke kiri.
3. Suatu zarah bergerak di sepanjang suatu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Pecutannya,
a ms , diberi oleh a = 8 – 4t, dengan keadaan t ialah masa dalam saat selepas melalui O.
–2
(a) Cari pecutan seketika, dalam ms , zarah itu apabila t = 4.
–2
(b) Hitung masa, dalam saat, apabila halaju zarah ialah maksimum.
(c) Tentukan julat masa, dalam saat, apabila halaju zarah itu menokok.
257
8.1.1 257

Menentukan jumlah jarak yang dilalui oleh suatu zarah dalam suatu
tempoh masa tertentu
Pola gerakan suatu zarah boleh diperhatikan dengan cara melukis suatu garis nombor atau
melakar graf bagi suatu fungsi sesaran, s = f(t). Daripada garis nombor dan graf tersebut, jumlah
jarak yang dilalui oleh zarah itu dalam tempoh masa tertentu boleh ditentukan dengan mudah.

Contoh 5
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Sesaran, s m, zarah
itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh s = t – 6t. Cari jumlah jarak, dalam m, yang
2
dilalui oleh zarah itu dalam 7 saat yang pertama.
Penyelesaian

2
Diberi s = t – 6t.
Masa, t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7

Sesaran, s (m) 0 –5 –8 –9 –8 –5 0 7
Garis nombor: Graf sesaran-masa:
s (m)
7


t (s) Berdasarkan Contoh 5,
t = 2 t = 1 t = 0 0 3 3 7 7 adakah jarak yang dilalui
2
t = 3 s = t – 6t dalam tempoh 7 saat
s (m)
–9 –8 –5 O 7 pertama sama dengan
t = 4 t = 5 t = 6 t = 7 –9 sesaran pada saat ke-7?
Bagaimana pula dengan
jarak yang dilalui dalam saat
Jumlah jarak yang dilalui zarah itu dalam 7 saat yang pertama ke-7? Bincangkan.
= 9 + 9 + 7
= 25 m


Latihan Kendiri 8.2


1. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Sesaran, s m, zarah
2
itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh s = 4t + t. Hitung jumlah jarak, dalam m,
yang dilalui oleh zarah itu
(a) dalam tempoh masa 0 < t < 4,
(b) dari t = 3 hingga t = 6.

2. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Sesaran,
2
s m, zarah itu pada masa t saat selepas zarah mula bergerak diberi oleh s = 6t – t + 7. Zarah
itu bergerak ke kanan O sehingga t = 3 dan kemudian bergerak menuju ke O semula. Cari
(a) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam
(i) 2 saat yang pertama,
(ii) 9 saat yang pertama.
(b) jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam saat ketujuh.
258 8.1.2
258

Kinematik
Kinematik Gerakan Linear
Gerakan Linear
8.1 bit.ly/3mfMZkD
Latihan Formatif Kuiz


1. Pengenapan lumpur tebal di suatu kawasan menyebabkan muara sungai
di sebuah kampung menjadi cetek dan menyukarkan pergerakan keluar dan masuk bot ke
pangkalan. Sebuah bot bergerak melalui sebuah jeti di sepanjang laluan lurus muara sungai
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
itu dengan sesaran, s meter, pada masa t saat selepas melalui jeti diberi oleh s = t – 4t.
2
(a) Salin dan lengkapkan jadual di bawah.
Masa, t (saat) 1 2 3 4 5

Sesaran, s (meter)
(b) Lakarkan graf sesaran-masa bagi mewakili pergerakan bot itu.
(c) Cari masa, dalam saat, apabila bot itu berada semula di jeti.
2. Syaza menunggang basikal roda tiga dalam arah yang lurus di halaman rumah dan mempunyai
sesaran awal 2 meter dari sebuah pasu bunga. Sesaran, s meter, pada masa t saat selepas
3
meninggalkan pasu bunga itu diberi oleh s = t + 2t + c.
(a) Tentukan nilai c.
(b) Cari jarak, dalam m, Syaza dari pasu bunga apabila
(i) t = 2 (ii) t = 3

3. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Sesaran, s m, zarah
2
itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh s = 3t + 2t. Hitung sesaran seketika,
dalam m, zarah itu pada masa t = 0 dan t = 10.
4. Rajah di sebelah menunjukkan seorang murid lelaki yang sedang
menendang sebiji bola di sebuah padang. Bola tersebut bergerak
di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu pusat tetap yang
bertanda P. Pada masa t saat selepas melalui pusat P, halaju,
v ms , bola itu diberi oleh v = 7t – 5. Cari halaju seketika,
–1
–1
dalam ms , bagi tendangan bola itu apabila t = 2 dan t = 4. P BAB
8
5. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Pecutannya,
–2
a ms , pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh a = 4 – 2t.
–2
(a) Cari pecutan awal bagi zarah itu, dalam ms .
(b) Tentukan julat masa, dalam saat, apabila halaju zarah itu menyusut.
6. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Sesaran,
2
s m, pada masa t saat selepas melalui titik O diberi oleh s = 2t + t. Hitung
(a) sesaran, dalam m, zarah itu apabila t = 3,
(b) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam 5 saat yang pertama.
7. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus. Pada masa t saat selepas zarah mula
2
bergerak, sesaran, s m, zarah itu dari satu titik tetap O diberi oleh s = (t – 2) + 5.
(a) Salin dan lengkapkan jadual di bawah.
Masa, t (saat) 0 1 2 3 4 5 6

Sesaran, s (meter)
(b) Lakarkan graf sesaran-masa untuk 0 < t < 6.
(c) Hitung jumlah jarak, dalam m, yang dilalui zarah itu dalam 6 saat yang pertama.
259

8.2 Pembezaan dalam Kinematik Gerakan Linear




Hubung kait antara fungsi sesaran, fungsi halaju dan fungsi pecutan


dy

Dalam pembezaan, bagi suatu fungsi y = f(x), terbitannya GALERI SEJARAH
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
dx
boleh dianggap sebagai kadar perubahan y terhadap x. Konsep
ini boleh digunakan dalam gerakan suatu zarah pada satu garis
lurus. Misalnya, sesaran, s bagi suatu zarah yang bergerak ialah
fungsi bagi masa, t iaitu s = f(t). Jadi, terbitan ds ialah kadar

perubahan s terhadap t. dt
Maka, fungsi halaju zarah pada masa t, v = g(t) diberi oleh:
Isaac Newton merupakan
ds tokoh pertama yang
v =
dt memperkenalkan kalkulus
Pecutan, a pula ialah kadar perubahan halaju terhadap masa dan pembezaan.
fungsinya, a = h(t) diberi oleh: Buku beliau yang bertajuk
Philosophiae Naturalis
dv d s
2
a = = Principia Mathematica
dt dt 2 menjadi asas kepada idea
Hubung kait antara fungsi sesaran, s = f(t), fungsi halaju, v = g(t) had dalam pembezaan.
dan fungsi pecutan, a = h(t) boleh diringkaskan seperti dalam
rajah yang berikut:
Imbas Kembali
2
v = ds a = dv = d s Jika y = ax , maka
n
dt dt dt 2 dy
= anx n – 1 , dengan a ialah
dx
integer dan n ialah pemalar.
s = f(t) v = g(t) a = h(t)


Contoh 6

Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus. Sesarannya, s meter, dari satu titik tetap O
2
diberi oleh s = 3 + 2t – t , dengan keadaan t ialah masa, dalam saat, selepas zarah mula bergerak.
(a) Tentukan fungsi halaju, v dan fungsi pecutan, a bagi zarah itu.
(b) Pada rajah yang sama, lakarkan graf bagi fungsi s, v dan a untuk 0 < t < 3 dan seterusnya
jelaskan gerakan zarah itu dari titik tetap O untuk tempoh masa itu.
Penyelesaian

(a) Diberi fungsi sesaran, s = 3 + 2t – t 2
Pintar
Jadi, fungsi halaju pada masa t, v = ds Tip Pintar
dt

v = 2 – 2t
a = –2 bermaksud zarah
dv bergerak dengan pecutan
dan fungsi pecutan pada masa t, a =
dt malar –2 ms .
–2
a = –2

260 8.2.1

Kinematik Gerakan Linear

(b) Graf fungsi sesaran, halaju dan pecutan bagi zarah itu
yang bergerak dari titik tetap O boleh diringkaskan
s/v/a pada garis nombor seperti yang berikut:

t = 0
4
v = 2 t = 1
a = –2 v = 0
3 a = –2
s (m)
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
s = 3 + 2t – t 2 O 3 4
2
t = 3
v = –4
a = –2
t
0 1 1 3 3 Daripada graf dan garis nombor:
• Didapati bahawa zarah mula bergerak pada t = 0
dengan sesarannya dari titik tetap O ialah 3 m,
–2 a = –2 halaju awal 2 ms dan pecutan –2 ms .
–2
–1
• Pada t = 1, zarah bertukar arah gerakan dengan
sesarannya dari titik tetap O adalah maksimum
–2
–4 iaitu 4 m, halaju 0 ms dan pecutan –2 ms .
–1
v = 2 – 2t
• Pada t = 3, zarah tiba di titik tetap O dengan
–1
sesarannya ialah 0 m, halaju – 4 ms dan pecutannya
–1
masih sama, iaitu –2 ms .
• Jumlah jarak yang dilalui oleh zarah dari t = 0 ke
t = 3 ialah (4 – 3) + 4 = 5 m.

Latihan Kendiri 8.3


1. Tentukan fungsi halaju, v dalam sebutan t bagi suatu zarah yang bergerak di sepanjang suatu
garis lurus dalam setiap yang berikut melalui kaedah pembezaan. BAB
(a) s = t(2 – t) 2 (b) s = 16t – t 2 8
3
(c) s = 2t – 4t + 2t + 1 (d) s = t (3 + t) 2
2
3
2
2
(e) s = t(2t – 9t – 5) (f) s = t – 3t + 5t – 2
1 3
3
2. Tentukan fungsi pecutan, a dalam sebutan t bagi suatu zarah yang bergerak di sepanjang
suatu garis lurus untuk setiap yang berikut.
3
1 2
1 3
(a) s = t – t + 4t (b) s = t – 5t + 7
2
3 2
(c) s = 8t – 2t 3 (d) v = (5 – 3t) 2
4
1
2
(e) v = 3t – + 4 (f) v = 6t –
3
t t 2
3. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Sesarannya,
2
s m diberi oleh s = 8 + 2t – t , dengan keadaan t ialah masa dalam saat selepas melalui O.
(a) Tentukan ungkapan bagi fungsi halaju, v dan fungsi pecutan, a zarah itu dalam sebutan t.
(b) Pada rajah yang sama, lakarkan graf bagi fungsi sesaran, fungsi halaju dan fungsi pecutan
zarah itu untuk 0 < t < 4. Seterusnya, tafsirkan graf yang anda lakarkan itu.
8.2.1 261

Menentukan dan mentafsir halaju seketika suatu zarah daripada
fungsi sesaran

Kita telah mengetahui bahawa halaju ialah kadar perubahan sesaran terhadap masa. Jadi, jika
diberi fungsi sesaran, s = f(t), fungsi halaju v pada masa t boleh ditentukan dengan membezakan
ds
s terhadap masa t, iaitu v = . Daripada fungsi halaju yang diperoleh, bolehkah anda menentukan
dt
halaju seketika suatu zarah pada sebarang masa? Mari teroka aktiviti yang berikut.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Aktiviti Penerokaan 4 Berpasangan PAK-21 STEM PK


Tujuan: Menentukan dan mentafsir halaju seketika suatu zarah daripada fungsi sesaran
Langkah:
1. Teliti situasi di bawah.

Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus. Sesarannya, s meter dari ggbm.at/jc4dgn58
satu titik tetap O pada masa t saat diwakili oleh fungsi sesaran, s = 40t − 5t ,
2
dengan keadaan 0 < t < 10.

2. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah untuk melihat gerakan zarah pada graf
2
sesaran-masa bagi fungsi s = 40t – 5t untuk 0 < t < 10.
3. Seret titik A di sepanjang lengkung graf untuk melihat kecerunan tangen di titik A kepada
graf tersebut.
4. Apakah yang anda boleh katakan tentang kecerunan tangen kepada lengkung itu apabila
titik A berubah di sepanjang lengkung graf? Adakah kecerunannya juga turut berubah?
5. Salin dan lengkapkan jadual di bawah untuk mencari kecerunan tangen, ds kepada
lengkung graf pada masa t yang diberi. dt

Masa, t (s) 0 4 8 10
Kecerunan tangen, ds
dt

6. Apakah yang dapat anda katakan tentang kecerunan tangen, ds kepada lengkung pada
dt
masa t yang diperoleh dalam jadual di atas? Apakah kecerunan tangen, ds pada masa t
dt
yang diperoleh itu merupakan halaju seketika zarah pada ketika itu? Bincangkan.


Hasil daripada Penerokaan 4, didapati bahawa setiap kecerunan s (m)
ds
tangen, di t = 0, t = 4, t = 8 dan t = 10 yang diperoleh ds
dt 80 — = v = 0
merupakan halaju seketika zarah kepada graf sesaran-masa dt
2
yang berbentuk lengkung, s = 40t – 5t pada masa t itu. s = 40t – 5t 2
t (s)
Bagi graf sesaran-masa yang berbentuk lengkung, halaju 0 4 4 8 8 10 10
seketikanya adalah berbeza bagi setiap titik yang berlainan
kepada lengkung itu.
Misalnya, pada masa t = 0, halaju seketikanya ialah –100
–1
40 ms dan halaju ini disebut sebagai halaju awal bagi zarah.
262 8.2.2

Kinematik Gerakan Linear
Pada masa t = 4 pula, iaitu pada ketika sesaran zarah adalah maksimum, halaju seketikanya
–1
ialah 0 ms . Sesaran zarah pada ketika ini disebut sebagai sesaran maksimum. Sesaran
maksimum atau minimum berlaku apabila kecerunan tangen atau halaju seketika zarah ialah
ds
sifar, iaitu = v = 0.
dt
Bagi graf sesaran-masa yang berbentuk linear pula, kecerunan s (m)
tangennya pada sebarang titik adalah sama. Maka halaju seketika s = f(t)
zarah pada sebarang titik adalah seragam. Halaju seragam ini
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
ds
dikenali sebagai halaju malar. v = —
dt
Melalui pembezaan, halaju seketika suatu zarah pada masa tertentu
boleh ditentukan seperti berikut: 0 t (s)
Diberi funsgi sesaran s = 40t – 5t .
2
Jadi, fungsi halaju zarah, v = ds
dt Tip Pintar
v = 40 – 10t Pintar
Apabila t = 4, halaju, v = 40 – 10(4) Sesaran maksimum atau
v = 0 minimum berlaku apabila
–1
Maka, halaju seketika zarah pada masa 4 saat ialah 0 ms . ds = v = 0.
dt
Secara amnya,

Halaju seketika bagi suatu zarah yang bergerak di sepanjang satu garis lurus dari suatu
titik tetap daripada fungsi sesaran s = f(t) boleh ditentukan dengan menggantikan nilai

t ke dalam fungsi halaju, v = ds .
dt



Contoh 7
BAB
Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus supaya sesarannya, s meter dari titik tetap
O diberi oleh s = t – 9t + 24t + 5, dengan keadaan t ialah masa dalam saat selepas gerakan 8
3
2
bermula. Hitung
–1
(a) halaju awal, dalam ms , zarah itu,
(b) halaju seketika zarah, dalam ms , pada masa 3 saat,
–1
(c) nilai-nilai t, dalam saat, apabila zarah itu berehat untuk seketika,
(d) julat nilai t, dalam saat, apabila zarah itu bergerak ke kiri.
Penyelesaian

2
2
3
Diberi fungsi sesaran, s = t – 9t + 24t + 5, jadi fungsi halaju, v = ds = 3t – 18t + 24
dt
(a) Apabila t = 0, v = 3(0) – 18(0) + 24
2
v = 24
Maka, halaju awal zarah ialah 24 ms .
–1
2
(b) Apabila t = 3, v = 3(3) – 18(3) + 24
v = 27 – 54 + 24
v = –3
Maka, halaju seketika zarah itu pada masa 3 saat ialah –3 ms .
–1
263
8.2.2 263

(c) Apabila zarah berehat untuk seketika, v = 0
3t – 18t + 24 = 0
2
t – 6t + 8 = 0
2
(t – 2)(t – 4) = 0
t = 2 atau t = 4
Maka, zarah itu berehat seketika pada masa 2 saat dan 4 saat.
(d) Apabila zarah bergerak ke kiri, v , 0
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
2
3t – 18t + 24 , 0 t (s)
2
t – 6t + 8 , 0 2 4
(t – 2)(t – 4) , 0
Daripada lakaran graf, penyelesaian ketaksamaan untuk v , 0 ialah 2 , t , 4.
Maka, julat nilai t apabila zarah bergerak ke kiri ialah 2 , t , 4.


Latihan Kendiri 8.4


1. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Sesarannya,
2
s meter, dari O diberi oleh s = 2t – 3t + 6, dengan keadaan t ialah masa dalam saat selepas
gerakan bermula. Hitung
–1
(a) halaju seketika zarah, dalam ms , apabila
1
(i) t = (ii) t = 2 (iii) t = 6
4
(b) masa, dalam saat, apabila halaju seketika zarah itu ialah
–1
–1
(i) –1 ms (ii) 5 ms (iii) 9 ms –1
2. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus. Sesarannya, s meter, dari titik tetap O
3
pada masa t saat diberi oleh s = 2t – 5t + 4t. Cari
2
–1
(a) halaju seketika zarah, dalam ms , apabila t = 2,
(b) nilai-nilai t, dalam saat, apabila zarah itu berhenti seketika,
(c) julat nilai t, dalam saat, apabila zarah itu bergerak ke kanan.

Menentukan dan mentafsir pecutan seketika suatu zarah daripada fungsi
halaju dan fungsi sesaran

dv
Kecerunan tangen kepada graf fungsi halaju, v = f(t) bagi gerakan suatu zarah ialah nilai bagi
dt
pada masa t, yang merupakan pecutan seketika, a zarah itu. Pecutan seketika, a bagi suatu zarah
yang bergerak pada satu garis lurus juga merupakan kadar perubahan halaju terhadap masa.

2
( )
–1
a = dv = d ds = d s v (ms )
dt dt dt dt 2

v = f(t)
Pada graf halaju-masa dalam Rajah 8.1, kecerunan pada sebarang
dv
titik di atas graf adalah sama, iaitu kadar perubahan halaju a = —
dt
terhadap masa, dv pada sebarang ketika adalah sama. Jadi, zarah
dt
dikatakan mempunyai pecutan seragam di sepanjang gerakannya 0 t (s)
itu. Pecutan seragam ini dikenali sebagai pecutan malar. Rajah 8.1
264 8.2.3

Kinematik Gerakan Linear
Dalam Rajah 8.2, dalam tempoh 0 < t , a, halaju menokok terhadap masa, jadi pecutan seketika
zarah, a = dv pada sebarang titik di bahagian ini adalah positif, iaitu a . 0.
dt
Sebaliknya dalam tempoh a , t < b, halaju zarah
dv –1
menyusut terhadap masa, jadi pecutan seketika zarah, a = v (ms )
dt A dv = 0
—
—
pada sebarang titik pada bahagian ini adalah negatif, iaitu dv > 0 dt
dt
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
a , 0. Pecutan negatif ini dikenali sebagai nyahpecutan. dv < 0
—
dt
Pada titik A pula, zarah mengalami halaju maksimum
dv
dan pecutannya, a = pada titik ini adalah sifar, iaitu t (s)
dt 0 a b
a = 0. Pecutan sifar tidak semestinya halaju juga sifar
Rajah 8.2
tetapi nilainya sama ada maksimum atau minimum.
Secara amnya,
Pecutan seketika, a bagi suatu zarah yang bergerak di sepanjang satu garis lurus
dari satu titik tetap daripada fungsi halaju v = f(t) atau fungsi sesaran s = f(t) boleh
dv d s
2
ditentukan dengan menggantikan nilai t ke dalam fungsi pecutan a = = .
dt dt 2
Contoh 10


Suatu zarah bermula dari titik tetap O dan bergerak di sepanjang satu garis lurus. Selepas
2
t saat, sesarannya, s meter diberi oleh s = t – 3t – 4t. Hitung
3
(a) pecutan awal, dalam ms , zarah itu,
–2
–2
(b) pecutan seketika zarah itu, dalam ms , pada masa 5 saat,
–2
(c) pecutan zarah itu, dalam ms , apabila melalui titik O semula,
(d) julat nilai t, dalam saat, apabila pecutan zarah itu ialah positif.
Penyelesaian BAB
3
2
Diberi fungsi sesaran, s = t – 3t – 4t 8
Jadi, fungsi halaju, v = ds = 3t – 6t – 4 dan fungsi pecutan, a = dv = 6t – 6
2
dt dt
(a) Apabila t = 0, a = 6(0) – 6 (b) Apabila t = 5, a = 6(5) – 6
a = – 6 a = 24
–2
Maka, pecutan awal zarah ialah – 6 ms . Maka, pecutan seketika zarah itu pada
–2
masa 5 saat ialah 24 ms .
(c) Apabila zarah melalui titik O semula, (d) Pecutan zarah positif, a . 0
s = 0 6t – 6 . 0
2
3
t – 3t – 4t = 0 6t . 6
t(t – 3t – 4) = 0 t . 1
2
t(t + 1)(t – 4) = 0 Maka, pecutan zarah adalah positif untuk
t = 0, t = –1 atau t = 4 t . 1.
Apabila t = 4, a = 6(4) – 6
a = 18
Maka, apabila zarah itu melalui titik O
–2
semula, pecutannya ialah 18 ms .
265
8.2.3 265

Latihan Kendiri 8.5


–1
1. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus. Halajunya, v ms , t saat selepas melalui
titik tetap O diberi oleh v = 8t – t . Cari
2
(a) pecutan awal zarah itu, dalam ms ,
–2
(b) pecutan, dalam ms , apabila zarah itu berhenti seketika untuk kali kedua,
–2
(c) masa, dalam saat, apabila halaju zarah itu adalah seragam.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
2. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus supaya t saat selepas melalui O, halajunya,
v ms , diberi oleh v = t – 2t – 8. Cari
2
–1
(a) masa, dalam saat, apabila pecutan zarah itu ialah sifar,
(b) julat nilai t, dalam saat, apabila zarah itu mengalami nyahpecutan.

8.2 bit.ly/3kqzAoY
Latihan Formatif Kuiz

1. Rajah di sebelah menunjukkan graf bagi fungsi sesaran, s = f(t),
s/v/a
fungsi halaju, v = f(t) dan fungsi pecutan, a = f(t) bagi suatu

v = f(t)
zarah yang bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui 6
satu titik tetap O untuk 0 < t < 4. Berdasarkan graf, tentukan 5 s = f(t)
(a) halaju awal, dalam ms , zarah itu,
–1
(b) masa, dalam saat, apabila zarah itu melalui titik O,
a = f(t)
(c) sesaran minimum, dalam m, zarah itu,
(d) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah dalam t
0 1 1 2 2 3 4 4
3
tempoh masa itu,
(e) julat masa, dalam saat, apabila zarah itu bergerak menuju –2
ke kanan, –3
–4
2. Rajah di sebelah menunjukkan graf sesaran-masa bagi suatu
zarah yang bergerak di sepanjang satu garis lurus pada masa
2
t saat. Persamaan lengkung PQ ialah s = ht + k, dengan s (m)
keadaan h dan k ialah pemalar. Titik-titik P, Q, R dan S s = ht + k
2
3
masing-masing ialah (0, 1), (2, 3), (4, 3) dan (6, 0). Cari Q R
(a) nilai h dan nilai k,
1
(b) halaju seketika, dalam ms , zarah itu apabila P S t (s)
–1
(i) t = 1 0 2 2 4 4 6 6
(ii) t = 3
(iii) t = 5.
3. Suatu zarah bergerak di sepanjang garis lurus supaya sesarannya, s meter dari suatu titik
2
tetap O pada masa t saat diberi oleh s = t – 5t – 8t + 12, dengan keadaan t > 0.
3
(a) Ungkapkan fungsi halaju, v dan fungsi pecutan, a zarah itu dalam sebutan t.
(b) Tentukan halaju seketika, dalam ms , dan pecutan seketika, dalam ms , zarah itu
–1
–2
apabila t = 3.
(c) Cari nilai t, dalam saat, apabila zarah itu berehat seketika.
(d) Cari nilai-nilai t, dalam saat, apabila zarah berada di O.
(e) Cari jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam 6 saat yang pertama.
266 8.2.3
266

Kinematik Gerakan Linear

8.3 Pengamiran dalam Kinematik Gerakan Linear


Menentukan dan mentafsir halaju seketika suatu zarah daripada
fungsi pecutan

Anda telah mempelajari bahawa fungsi pecutan, a bagi Imbas Kembali
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
suatu zarah yang bergerak secara linear ditentukan melalui Kamiran tak tentu bagi
pembezaan fungsi halaju, v terhadap masa, t, iaitu: suatu fungsi y = t terhadap
n
∫
t ialah t dt = t n + 1 + c,
n
dv n + 1
a = dengan keadaan n ≠ −1.
dt
Jika diberi fungsi pecutan, a bagi gerakan linear suatu zarah,
apakah cara untuk menentukan fungsi halaju, v zarah tersebut?

dv
Apabila fungsi pecutan, a diberi, iaitu a = , fungsi halaju, v boleh ditentukan dengan
dt
∫
melakukan pengamiran fungsi pecutan, a terhadap masa t, iaitu v = a dt.
Secara amnya, hubungan antara fungsi pecutan a = h(t) dan fungsi halaju v = g(t) boleh
diringkaskan seperti berikut.
∫
a = h(t) v = a dt v = g(t)

Contoh 11


Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O dengan halaju
–2
–1
awal 4 ms . Pecutan, a ms , zarah itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh a = 4 – 2t.
(a) Hitung
–1
(i) halaju seketika, dalam ms , zarah itu apabila t = 7, BAB
–1
(ii) halaju maksimum, dalam ms , zarah itu, 8
(b) Cari nilai-nilai yang mungkin bagi t, dalam saat, apabila halaju seketika zarah itu
ialah 7 ms .
–1
Penyelesaian
(a) (i) Diberi fungsi pecutan, a = 4 – 2t.
∫
Jadi, fungsi halaju, v = (4 − 2t) dt
2
v = 4t – t + c
Apabila t = 0 dan v = 4,
2
Oleh itu, 4 = 4(0) – (0) + c
c = 4
2
Jadi, pada masa t, v = 4t – t + 4.
2
Apabila t = 7, v = 4(7) – (7) + 4
v = 28 – 49 + 4
v = –17
–1
Maka, halaju seketika zarah itu apabila t = 7 ialah –17 ms .

8.3.1 267

dv
(ii) Halaju maksimum, = 0
dt
Sudut Informasi
4 − 2t = 0 Sudut Informasi
2t = 4
t = 2 Halaju minimum atau
2
d v maksimum berlaku apabila
Oleh sebab = –2 (, 0), v adalah maksimum dv
dt 2 = a = 0, bergantung
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
apabila t = 2. dt 2
kepada nilai d v 2 .
2
Maka, halaju maksimum zarah = 4(2) – (2) + 4 d v dt
2
= 8 – 4 + 4 • Jika dt 2 . 0, maka halaju
= 8 ms –1 ialah minimum.
2
–1
(b) Apabila halaju seketika zarah ialah 7 ms , v = 7 • Jika d v 2 , 0, maka halaju
dt
2
4t – t + 4 = 7 ialah maksimum.
t – 4t + 3 = 0
2
(t – 1)(t – 3) = 0
t = 1 atau t = 3
Maka, nilai-nilai yang mungkin bagi t ialah 1 saat dan 3 saat.
Latihan Kendiri 8.6

1. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O dengan
–1
–2
halaju awal 10 ms . Pecutannya, a ms , pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh
a = 4t – 8, cari
–1
(a) halaju seketika, dalam ms , zarah itu pada masa 4 saat,
–1
(b) halaju minimum, dalam ms , zarah itu.
–1
2. Suatu zarah bergerak dari satu titik tetap O pada satu garis lurus dengan halaju awal 2 ms .
–2
Pecutannya, a ms , pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh a = 4 – 6t, cari
(a) halaju seketika, dalam ms , zarah itu apabila t = 3,
–1
(b) halaju seketika, dalam ms , zarah itu apabila a = –8.
–1
3. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dalam masa t saat selepas melalui
titik tetap O. Pecutannya, a ms , diberi oleh a = 6t – 24. Zarah itu melalui O dengan halaju
–2
36 ms . Cari
–1
(a) julat nilai t apabila halajunya negatif, (b) halaju minimum, dalam ms , zarah itu.
–1
4. Corak jahitan pada bahagian tepi sehelai alas meja dihasilkan dengan menggunakan sebuah
mesin jahit tepi. Halaju awal pergerakan mesin jahit tersebut di sepanjang satu garis lurus
–1
–2
ialah 20 cms . Pecutannya, dalam cms , diberi oleh a = 8 – 2t, dengan keadaan t ialah
masa, dalam saat, selepas kelepet dihasilkan. Hitung
–1
(a) halaju seketika, dalam cms , jahitan itu pada
masa 2 saat,
–1
(b) halaju seketika, dalam cms , jahitan itu
apabila pecutan ialah sifar,
(c) masa, dalam saat, jahitan itu apabila
–2
pecutan ialah 5 cms ,
(d) nilai t, dalam saat, apabila halaju jahitan itu
–1
ialah 11 cms .
268 8.3.1
268

Kinematik Gerakan Linear
Menentukan dan mentafsir sesaran seketika suatu zarah daripada fungsi
halaju dan fungsi pecutan

Jika diberi suatu fungsi halaju, v, bagaimanakah untuk menentukan fungsi sesaran, s, zarah itu?
Bagaimanakah pula untuk menentukan fungsi halaju, v dan seterusnya fungsi sesaran, s suatu
zarah daripada suatu fungsi pecutan, a?
Apabila fungsi halaju, v diberi sebagai satu fungsi masa t, fungsi sesaran, s boleh diperoleh
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
dengan melakukan pengamiran, iaitu
∫
s = v dt

dan apabila fungsi pecutan, a diberi sebagai satu fungsi masa t, fungsi sesaran, s boleh diperoleh
dengan melakukan pengamiran sebanyak dua kali secara berturut-turut, iaitu

∫
∫
v = a dt dan s = v dt

Contoh 12

Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O dengan halaju
–1
–2
12 ms . Pecutannya, a ms , pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh a = 4 – 2t.
(a) Tentukan sesaran seketika, dalam m, zarah itu dari O
(i) apabila t = 3,
(ii) ketika zarah berada dalam keadaan pegun.
(b) Seterusnya, cari jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam saat ke-7.
Penyelesaian
∫
Fungsi halaju, v diberi oleh v = a dt Tip Pintar
Pintar
∫
v = (4 – 2t) dt BAB
2
v = 4t – t + c Anda digalakkan untuk
melukis garis nombor untuk
Apabila t = 0 dan v = 12, oleh itu, 12 = 4(0) – 0 + c menggambarkan gerakan 8
2
c = 12. suatu zarah. Semasa
2
Jadi pada masa t, v = 12 + 4t – t . melukis garis nombor bagi
∫
Fungsi sesaran, s diberi oleh, s = v dt gerakan zarah, misalnya
dalam tempoh masa
∫
2
s = (12 + 4t – t ) dt 0 < t < n, perkara yang
berikut perlu dilabelkan
1 3
2
s = 12t + 2t – t + c pada garis nombor itu:
3 • sesaran zarah apabila t = 0
Apabila t = 0 dan s = 0. • masa dan sesaran zarah,
1
2
3
Oleh itu, 0 = 12(0) + 2(0) – (0) + c jika wujud apabila v = 0
c = 0 3 • sesaran zarah apabila t = n
Berdasarkan Contoh 12,
1 3
2
Jadi pada masa t, s = 12t + 2t – t lukis garis nombor bagi
3 gerakan zarah untuk
1
2
(a) (i) Apabila t = 3, s = 12(3) + 2(3) – (3) tempoh masa 0 < t < 9.
3
s = 36 + 18 – 9 3
s = 45
Maka, sesaran seketika zarah itu apabila t = 3 ialah 45 m.
8.3.2 269

(ii) Apabila zarah berada dalam keadaan pegun, v = 0. Sudut Informasi
Sudut Informasi
Jadi, 12 + 4t – t = 0
2
2
t – 4t – 12 = 0 Masa ialah satu daripada
(t + 2)(t – 6) = 0 kuantiti skalar yang hanya
Oleh sebab t > 0, t = 6, mempunyai magnitud
1

2
Apabila t = 6, s = 12(6) + 2(6) – (6) sahaja. Oleh itu, nilai
3
s = 72 + 72 – 72 3 bagi masa mestilah
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
sentiasa positif.
s = 72
Maka, sesaran seketika zarah itu apabila berada dalam
keadaan pegun ialah 72 m.
(b) Apabila t = 7,
Pintar
1
2
s = 12(7) + 2(7) – (7) 3 t = 6 Tip Pintar
3 O 2 2 72 s (m)
—
67
1 67— Jumlah jarak yang dilalui
3 3
s = 84 + 98 – 114
3 t = 7 dalam n saat yang pertama
2 ialah jarak yang dilalui oleh
s = 67
3 zarah dari masa t = 0 ke
Daripada garis nombor, jarak yang dilalui oleh zarah t = n. Manakala jarak yang
dalam saat ke-7 =  s – s  dilalui dalam saat ke-n
7 6 ialah jarak yang dilalui oleh

2
= 67 – 72  zarah dari masa t = (n – 1)
3 ke t = n, iaitu |s – s n – 1 |.

1
= – 4  n
3
1
= 4 m
3
Latihan Kendiri 8.7
1. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O dengan
halaju awal 3 ms . Pecutannya, a ms , t saat selepas melalui O diberi oleh a = 6 – 3t. Cari
–2
–1
sesaran seketika zarah itu, dalam m, apabila
(a) t = 5, (b) halajunya seragam.
–2
2. Pecutan, a ms , bagi suatu zarah yang bergerak di sepanjang satu garis lurus pada masa
t saat selepas melalui satu titik tetap O diberi oleh a = 12t – 8. Diberi halaju zarah, t = 1 saat
selepas melalui O ialah –10 ms . Cari sesaran seketika zarah itu, dalam m, apabila
–1
(a) pecutannya ialah 4 ms , (b) zarah berada dalam keadaan pegun.
–2
3. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O dengan halaju
–2
–1
awal 8 ms . Pecutannya, a ms , pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh a = 10 – 6t, cari
(a) sesaran maksimum zarah itu, (b) jarak yang dilalui zarah itu dalam saat ke-5.
4. Farhan menyertai acara berbasikal yang dianjurkan oleh sebuah kelab
berbasikal. Farhan bergerak di sepanjang jalan raya yang lurus pada
–2
masa t jam selepas berada di tempat permulaan. Pecutan, a kmj
–1
diberi oleh a = 8t – 6 dan halaju permulaan kayuhan ialah –18 kmj .
(a) Ungkapkan fungsi sesaran, s dan fungsi halaju, v,
dalam sebutan t.
(b) Buktikan bahawa Farhan berhenti seketika pada t = 3.
(c) Cari jumlah jarak, dalam km, yang dilalui oleh
Farhan dalam 3 jam yang pertama.
270
270 8.3.2

Kinematik Gerakan Linear

8.3
Latihan Formatif Kuiz bit.ly/3kcDmT6



1. Suatu zarah bergerak melalui satu titik tetap O dengan halaju awal 30 ms dan bergerak di
–1
sepanjang satu garis lurus dengan pecutan a = (12 – 6t) ms pada masa t saat selepas melalui
–2
titik tetap O.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
(a) Hitung halaju, dalam ms , apabila t = 2.
–1
(b) Di manakah zarah itu berada apabila t = 1?
2. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Pada masa t saat
2
–1
selepas melalui O, halaju v ms , zarah itu diberi oleh v = 24t – 6t . Hitung
(a) pecutan awal, dalam ms , zarah itu,
–2
(b) nilai t, dalam saat, apabila pecutan ialah sifar,
(c) nilai t, dalam saat, apabila zarah itu berada semula di O.
3. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O dengan
–1
halaju −12 ms dan pecutan −10 ms . Selepas t saat dari titik tetap O, pecutan zarah itu
–2
ialah a = m + nt, dengan m dan n ialah pemalar. Zarah itu berhenti seketika apabila
t = 6. Hitung
[Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.]
(a) nilai m dan nilai n,
–1
(b) halaju minimum, dalam ms , zarah itu,
(c) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam 9 saat yang pertama.

4. Suatu zarah bergerak di sepanjang garis lurus dari satu titik tetap O. Halaju, v ms , zarah
–1
2
itu pada masa t saat selepas meninggalkan O diberi oleh v = 2t – 5t − 3. Hitung
(a) sesaran, dalam m, apabila zarah itu berhenti seketika,
(b) julat masa, dalam saat, apabila zarah itu mengalami nyahpecutan, BAB
(c) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui zarah itu dalam 6 saat yang pertama.
8
5. Haiqal bermain kereta kawalan jauh di sepanjang landasan yang lurus. Pecutan, a ms ,
–2
diberi oleh a = 12 – 4t pada masa t saat selepas kereta kawalan jauh itu melalui titik
tetap O. Hitung
(a) halaju maksimum, dalam ms , kereta kawalan jauh itu,
–1
(b) nilai-nilai t, dalam saat, apabila halaju kereta kawalan jauh itu ialah sifar,
(c) jarak, dalam m, kereta kawalan jauh itu pada saat ke-5.

6. Rajah di sebelah menunjukkan Azlan yang sedang berlari M
melalui sebuah jambatan lurus dalam masa 25 saat. Halaju
Azlan, v ms , pada masa t saat selepas melalui M diberi
–1
3 3
oleh v = t − t . Hitung
2
4 100
[Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.]
(a) nilai t, dalam saat, apabila pecutan bagi Azlan ialah sifar,
–1
(b) halaju maksimum Azlan, dalam ms ,
(c) jarak, dalam m, yang dilalui oleh Azlan.
271

8.4 Aplikasi Kinematik Gerakan Linear



Menyelesaikan masalah kinematik gerakan linear yang melibatkan
pembezaan dan pengamiran


Kita telah mempelajari bahawa hubungan antara sesaran, s, halaju, v dan pecutan, a bagi suatu
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
objek yang bergerak secara linear adalah seperti yang berikut.
Menggunakan ds dv Menggunakan v = a dt, s = v dt
pembezaan v = dt , a = dt pengamiran ∫ ∫

Dengan pengetahuan dan kemahiran mengaplikasi hubungan ini, banyak masalah yang melibatkan
pegerakan linear suatu objek boleh diselesaikan.
Contoh 13 Aplikasi Matematik

Fariza mula berlari di sepanjang lorong yang lurus selama 30 saat dari garis permulaan.
Halajunya, v ms , selepas t saat diberi oleh v = 0.9t – 0.03t dengan keadaan 0 < t < 30. Cari
2
–1
(a) masa, dalam saat, apabila pecutannya ialah sifar,
(b) jarak, dalam meter, yang dilalui oleh Fariza.
Penyelesaian


1 . Memahami masalah 2 . Merancang strategi

Diberi fungsi halaju Fariza ialah Gunakan a = dv untuk menentukan
v = 0.9t – 0.03t dan apabila t = 0, dt
2
s = 0, cari fungsi pecutan dan cari nilai t apabila
masa yang diambil oleh Fariza apabila pecutan ialah sifar, iaitu a = 0.
∫
pecutannya sifar. Gunakan s = v dt untuk menentukan
jarak yang dilaluinya dalam masa fungsi sesaran dan gantikan t = 30 ke
30 saat. dalam fungsi sesaran untuk mencari
jarak yang dilalui oleh Fariza.


3 . Melaksanakan strategi

∫
2
(a) Diberi v = 0.9t – 0.03t . (b) s = v dt
dv
Jadi, a = 2
∫
dt s = (0.9t – 0.03t ) dt
a = 0.9 – 0.06t
3
2
s = 0.45t – 0.01t + c
Apabila pecutan sifar, a = 0. Apabila t = 0 dan s = 0, oleh itu c = 0.
0.9 – 0.06t = 0 Jadi, pada masa t, s = 0.45t – 0.01t 3
2
2
0.06t = 0.9 Apabila t = 30, s = 0.45(30) – 0.01(30) 3
t = 15 s = 135
Maka, pada masa 15 saat, pecutan Maka, jarak larian yang dilalui oleh
Fariza ialah sifar. Fariza dalam masa 30 saat ialah 135 m.
272 8.4.1

Kinematik Gerakan Linear
Kinematik
Gerakan Linear
4 . Membuat refleksi

(a) Gantikan t = 15 ke dalam fungsi pecutan, a = 0.9 – 0.06t untuk mengesahkan
bahawa pecutan Fariza adalah sifar pada masa 15 saat.
a = 0.9 – 0.06(15)
a = 0.9 – 0.9
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
a = 0
2
(b) Lakarkan graf halaju-masa, v = 0.9t – 0.03t untuk tempoh masa 0 < t < 30 dan
dengan menggunakan kamiran tentu, sahkan luas di bawah graf bagi tempoh masa
itu ialah 135 m.
30
2
Jarak = ∫ (0.9t – 0.03t ) dt –1
0 v (ms )
[
= 0.45t – 0.01t 3 ] 30
2
0 v = 0.9t – 0.03t 2
3
= [0.45(30) – 0.01(30) ] – [0.45(0) – 0.01(0) ]
2
3
2
= 135 – 0 0 30 t (s)
= 135 m
Latihan Kendiri 8.8

1. SMK Seri Aman melancarkan sebuah roket air di padang sekolah semasa perasmian Karnival
Matematik dan Sains. Roket itu dilancarkan secara menegak ke atas dari permukaan padang
sekolah dengan halajunya, v ms , diberi oleh v = 20 – 10t, selepas t saat dari permukaan
–1
padang. Roket itu berhenti seketika pada masa p saat.
(a) Cari nilai p.
(b) Ungkapkan dalam sebutan t untuk sesaran, s meter, roket itu pada masa t saat.
(c) Tentukan BAB
(i) ketinggian maksimum, dalam meter, yang dicapai oleh roket itu, 8
(ii) masa, dalam saat, apabila roket itu menyentuh permukaan padang.

2. Rajah di sebelah menunjukkan kedudukan dan arah
gerakan dua orang budak lelaki, Faiz dan Qian Hao
yang berlari pada satu jalan yang lurus dan masing-
masing melalui dua titik tetap, P dan Q. Pada ketika
P R Q
Faiz melalui titik tetap P, Qian Hao pula melalui titik
tetap Q. Faiz berhenti seketika di titik R. Halaju Faiz, 50 m
–1
v ms , pada masa t saat selepas melalui titik tetap P
–1
2
diberi oleh v = 6 + 4t – 2t manakala Qian Hao pula berlari dengan halaju malar –5 ms .
Diberi jarak PQ ialah 50 m.
[Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.]
(a) Hitung halaju maksimum Faiz, dalam ms .
–1
(b) (i) Lakarkan graf halaju-masa bagi Faiz dari titik P ke titik R.
(ii) Seterusnya, cari jarak Faiz, dalam m, dari titik P ke titik R.
(c) Tentukan jarak, dalam m, antara Faiz dengan Qian Hao ketika Faiz berada di titik R.


8.4.1 273

–1
3. Azim berlari di sepanjang garis lurus dari satu titik tetap O. Halaju bagi larian Azim, v kmj
2
pada masa t jam selepas melalui O diberi oleh v = mt + nt. Azim berhenti berehat setelah
berlari separuh daripada jarak larian pada t = 1 dengan pecutan 12.5 kmj . Cari
–2
[Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.]
–1
(a) nilai m dan nilai n, (b) halaju maksimum, dalam kmj , larian Azim,
(c) jarak, dalam km, yang dilalui oleh Azim pada jam kedua.
4. Rajah di sebelah menunjukkan gerakan sebuah kereta di
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
sepanjang jalan yang lurus bermula dari titik tetap O dan
menuju ke arah titik A dan titik B. Halaju, v ms , kereta
–1
itu pada masa t saat selepas melalui titik tetap O diberi B A O
oleh v = 3t – 16t – 12. Diberi kereta itu berada di titik A
2
apabila t = 5 dan berehat seketika di titik B. Hitung
–2
(a) pecutan kereta di titik B, dalam ms , (b) jarak AB, dalam m.


8.4
Latihan Formatif Kuiz bit.ly/3m2JWMh


1. Sebiji bola yang dipukul oleh seorang pemain kriket bergerak di sepanjang satu
–2
–1
laluan yang lurus melalui pusat P dengan halaju 44 ms . Pecutan, a ms pada masa
t saat selepas bola itu melalui P diberi oleh a = 12 – 6t. Hitung
–1
(a) halaju maksimum bola itu, dalam ms ,
(b) jarak, dalam m, bola itu dari pusat P apabila t = 2.
–2
2. Suatu objek bergerak di sepanjang garis lurus dari satu titik tetap X. Pecutan, a ms , objek
itu pada masa t saat selepas melalui titik X diberi oleh a = 16 – 4t bagi 0 < t < 3. Diberi
halaju objek itu pada masa t = 3 ialah 38 ms . Hitung
–1
–1
(a) halaju awal, dalam ms , objek itu,
–1
(b) halaju, dalam ms , objek itu pada saat keempat.
3. Objek A dan objek B diletakkan pada satu garis lurus mengufuk. Sebuah kereta mainan
–1
digerakkan di sepanjang garis lurus tersebut. Halaju, dalam ms , kereta mainan itu pada
masa t saat selepas kereta mainan melalui objek A diberi oleh v = 2t – 4. Pada awal
pergerakan, kereta mainan itu bergerak menuju ke arah objek B.
[Anggapkan gerakan kereta mainan ke arah kanan sebagai positif.]
(a) Hitung julat nilai t, dalam saat, apabila kereta mainan itu menuju ke objek B.
(b) Diberi jarak di antara objek A dengan objek B ialah 5 m. Tentukan sama ada pergerakan
kereta mainan tersebut akan tiba ke objek B atau tidak.
(c) Cari jumlah jarak, dalam m, yang dilalui kereta mainan itu dalam 6 saat yang pertama.
(d) Lakarkan graf bagi sesaran kereta mainan itu dari objek A untuk 0 < t < 6.
4. Satu eksperimen menguji pergerakan suatu zarah di sepanjang satu garis lurus dengan
halaju v ms pada masa t saat dari titik permulaan O. Pada masa t saat selepas melalui O,
–1
halaju, v ms , zarah itu diberi oleh v = 3t – 8t + 4. Pada awal eksperimen, zarah berada
–1
2
2 m di kanan O. Hitung
(a) jarak, dalam m, zarah itu dari titik O pada masa t = 5,
–1
(b) halaju minimum, dalam ms , yang dicapai oleh zarah itu,
(c) julat masa, dalam saat, apabila halaju zarah itu adalah negatif,
(d) sesaran maksimum, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dari titik O bagi 0 < t < 2.
274 8.4.1
274

Kinematik Gerakan Linear

SUDUT REFLEKSI



KINEMATIK GERAKAN LINEAR


2
ds dv d s
v = a = =
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
dt dt dt 2
Sesaran, s Halaju, v Pecutan, a
∫
∫
s = v dt v = a dt
Aplikasi



Nota

• Sesaran awal
• Halaju awal t = 0
• Pecutan awal
• Sesaran minimum
• Sesaran maksimum v = 0

• Halaju minimum a = 0
• Halaju maksimum





BAB

Aplikasi pembezaan dan pengamiran dapat digunakan untuk menentukan sesaran, halaju dan 8
pecutan bagi suatu objek. Buat carian di Internet dan rujuk buku-buku yang berkaitan dengan
aplikasi pembezaan dan pengamiran dalam gerakan suatu objek. Kemudian, hasilkan satu
folio grafik yang menarik.





Latihan Sumatif



1. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Sesaran, s meter,
zarah itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh s = 2t – 24t + 90t. Hitung TP 3
2
3
(a) sesaran, dalam meter, zarah itu dari titik tetap O apabila t = 8,
–1
(b) halaju, dalam ms , apabila t = 1,
–2
(c) pecutan, dalam ms , apabila t = 3,
(d) nilai-nilai t, dalam saat, apabila zarah itu berhenti seketika.
275

2. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap P pada masa t saat.
Sesaran, s meter, zarah itu pada masa t saat selepas meninggalkan P diberi oleh
2
s = 3t – 12t + 2. Hitung TP 3
(a) sesaran, dalam meter, yang dilalui oleh zarah pada t = 3,
–1
(b) halaju awal, dalam ms , zarah itu,
(c) pecutan malar, dalam ms .
–2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
3. Eleeza berbasikal dari rumahnya ke kedai di sepanjang jalan yang lurus. Sesaran, s meter
2
3
dari rumahnya pada masa t minit diberi oleh s = 2t – 9t + 12t + 6 bagi 0 < t < 4. TP 5
[Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.]
(a) Hitung
–1
(i) halaju awal, dalam mmin , Eleeza berbasikal,
–1
(ii) halaju, dalam mmin , Eleeza berbasikal apabila t = 3,
–2
(iii) pecutan, dalam mmin , Eleeza berbasikal apabila t = 2,
(iv) jarak, dalam m, yang dilalui oleh Eleeza dalam minit ketujuh.
(b) Lakarkan graf halaju-masa bagi mewakili perjalanan Eleeza untuk 0 < t < 4.

4. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus melalui titik tetap O dan menuju ke titik
bertanda X dengan sesaran 1.25 m. Pecutannya diberi oleh 10 ms .
–2
(a) Tentukan fungsi halaju, v dan fungsi sesaran, s zarah itu dalam sebutan t.
(b) Cari masa, dalam saat, dan halaju, dalam ms , ketika zarah itu berada di titik X. TP 4
–1
5. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O pada masa
–2
–1
t saat dengan halaju awal 8 ms . Pecutan, a ms , zarah itu pada masa t saat selepas
meninggalkan O diberi oleh a = 6 – 6t. Hitung TP 3
[Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.]
–1
(a) halaju, dalam ms , zarah itu apabila t = 2,
(b) sesaran, dalam m, zarah itu dari O apabila t = 5.

6. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Halaju,
2
–1
v ms , zarah itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh v = t – 4t + 3. Hitung TP 4
[Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.]
(a) nilai-nilai t, dalam saat, apabila zarah itu berhenti seketika,
(b) jarak, dalam meter, yang dilalui oleh zarah itu bagi 0 < t < 8.

7. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik P. Pecutan, a ms , zarah
–2
itu pada masa t saat selepas meninggalkan P diberi oleh a = mt + n, dengan keadaan m dan
n ialah pemalar. Zarah itu bergerak dengan halaju awal 30 ms , mengalami nyahpecutan
–1
20 ms dan berhenti seketika apabila t = 2. TP 5
–2
[Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.]
(a) Cari nilai m dan nilai n.
(b) Ungkapkan fungsi sesaran, s bagi pergerakan zarah itu dalam sebutan t.
(c) Cari nilai t, dalam saat, apabila zarah itu berhenti seketika buat kali kedua.
(d) Hitung jarak, dalam m, yang dilalui zarah itu dalam saat ke-2.


276
276

Kinematik Gerakan Linear
8. Sebiji guli bergerak dari keadaan rehat di sepanjang garis
lurus pada masa t saat selepas melalui titik tetap O dengan 2
–1
2
halaju, v ms , guli itu ialah v = 2t – 6t – 6. TP 3 v = 2t – 6t – 6
–1
(a) Hitung halaju guli itu, dalam ms , apabila t = 2.
–2
–1
(b) Cari pecutan guli itu, dalam ms , apabila v = 14 ms . O
9. Irma memandu di sepanjang jalan raya yang lurus meninggalkan tempat meletak kenderaan
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
–1
di sebuah pusat membeli-belah. Halaju, v ms , keretanya diberi oleh v = t – 2t dengan
1 2
2
keadaan t ialah masa dalam saat selepas melalui palang automatik. Sesaran awal kereta itu
ialah 50 meter. TP 2
(a) Hitung nilai t, dalam saat, apabila kereta yang dipandu Irma berhenti seketika.
(b) Cari jumlah jarak yang dilalui oleh kereta itu, dalam m, untuk 7 saat yang pertama.
(c) Huraikan gerakan kereta itu dalam 6 saat pertama.

10. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus yang melalui satu titik tetap O. Halaju,
v ms , zarah itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh v = t – 8t. TP 4
–1
2
–1
(a) Tunjukkan bahawa halaju maksimum, dalam ms , zarah tersebut adalah bukan sifar.
(b) Cari sesaran, dalam meter terhampir, yang dilalui zarah itu dari titik tetap O apabila t = 4.
11. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Sesaran, s meter,
zarah itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh s = t – 3t + 1.
3
[Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.] TP 4
–1
(a) Ungkapkan halaju, v ms , dan pecutan, a ms , dalam sebutan t.
–2
(b) Huraikan gerakan zarah apabila t = 0 dan t = 2.
(c) Cari julat masa, dalam saat, apabila zarah itu bertukar arah pergerakan.

–1
12. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari tempat permulaan. Halaju, v ms ,
2
zarah itu pada masa t saat selepas melalui tempat permulaan diberi oleh v = ht + kt dan
h dan k ialah pemalar. Zarah itu berhenti seketika selepas 3 saat dengan pecutan pada ketika BAB
–2
itu ialah 9 ms . Cari TP 5 8
[Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.]
(a) nilai h dan nilai k,
(b) masa, dalam saat, apabila zarah itu kembali semula ke tempat permulaan,
(c) pecutan, dalam ms , apabila zarah itu kembali semula ke tempat permulaan,
–2
(d) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam 5 saat yang pertama.

13. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O dengan

halaju –6 ms . Pecutannya, a ms , pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh
–1
–2
a = 8 – 4t. TP 5
[Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.]
(a) Cari halaju maksimum, dalam ms , bagi zarah itu.
–1
(b) Cari masa, dalam saat, zarah itu selepas melalui titik tetap O sekali lagi.
(c) Lakarkan graf halaju-masa bagi pergerakan zarah itu untuk 0 < t < 3.
(d) Seterusnya, cari jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam 3 saat
yang pertama.


277

14. Cikgu Azizah menjalankan satu eksperimen untuk menentukan kelajuan troli di sepanjang
landasan yang lurus. Halaju, v cms , troli itu pada masa t saat selepas melalui titik tetap O
–1
2
diberi oleh v = t – 7t + 6. TP 5
[Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.]
(a) Cari
–1
(i) halaju awal, dalam cms , troli itu,
(ii) julat masa, dalam saat, apabila troli itu bergerak ke arah kiri,
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
(iii) julat masa, dalam saat, apabila pecutan troli itu adalah positif.
(b) Lakarkan graf halaju-masa bagi pergerakan troli itu bagi 0 < t < 6.

15. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Halajunya,
–1
v ms , pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh v = t – 6t + 8. Zarah itu berhenti
2
seketika pada titik P dan R.
[Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.] TP 5
(a) Cari halaju minimum, dalam ms , bagi zarah itu.
–1
(b) Hitung jarak, dalam m, antara titik P dengan titik R.
(c) Lakarkan graf halaju-masa bagi 0 < t < 7. Seterusnya, tentukan julat nilai t apabila
halaju zarah itu meningkat.












Arahan:
1. Bahagikan murid kepada beberapa kumpulan dengan setiap kumpulan terdiri daripada
4 orang ahli.
2. Setiap kumpulan diberikan sebuah kereta mainan. Kereta mainan tersebut akan digerakkan
dari tempat permulaan bertanda X. Katakan catatan pergerakan kereta mainan tersebut
melibatkan laluan yang bergaris lurus seperti yang ditunjukkan di bawah.

A B X C D
3. Setiap kumpulan perlu membuat simulasi bagi setiap arahan di bawah.
(a) Nyatakan posisi kereta mainan itu dari tempat permulaan bertanda X apabila
(i) sesaran positif (ii) sesaran sifar (iii) sesaran negatif
(b) Nyatakan sama ada halaju kereta mainan itu positif atau negatif apabila kereta itu
bergerak dari
(i) X ke B (ii) B ke D (iii) D ke A
(iv) A ke C (v) C ke X
(c) Nyatakan halaju kereta mainan itu apabila
(i) berhenti di C, (ii) bertukar arah gerakan di D.
(d) Dengan menggerakkan kereta mainan tersebut, bincangkan bersama kumpulan
anda maksud pecutan, nyahpecutan dan pecutan sifar.





278

Jawapan





Buka fail Jawapan Lengkap pada kod QR di halaman (vii) untuk mendapatkan langkah-langkah penyelesaian.
BAB 1 SUKATAN MEMBULAT 4. (a) 1.75 rad (b) 36.27 cm 2
5. (a) 24.73 cm (b) 222.57 cm 2
Latihan Kendiri 1.1
2
(c) 98.98 cm (d) 123.59 cm 2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
1. (a) 22.5° (b) 135° (c) 28° 39 (d) 59° 35 6. (b) 34.44 cm 2 (c) n = 5, 16.46 cm 2
1 2 1 2
2. (a) π rad (b) π rad (c) 1 π rad (d) 1 π rad
10 3 4 3 Latihan Kendiri 1.8
Latihan Formatif 1.1 1. (a) 1.855 rad, 1.75 rad (b) 132.37 cm
1. (a) 105° (b) 240° (c) 114° 35 (d) 274° 59 (c) 349.18 cm 2
2. (a) 1.327 rad (b) 2.426 rad (c) 3.535 rad (d) 5.589 rad 2. 8.931 mm
3. (a) 1.274 rad (b) 2.060 rad (c) 2.627 rad (d) 3.840 rad Latihan Formatif 1.4
Latihan Kendiri 1.2 1. (a) (i) 29.68 cm (ii) 42.23 cm 2 (iii) 337.84 cm 3
1. (a) 13.2 cm (b) 16 cm (c) 13.09 cm (d) 6.92 cm (b) 1 350 gram
2. (a) 5 cm (b) 6.42 cm 2. (a) 40.96 m (b) 109.156 m 2 (c) 163.734 m 3
3. (a) 2.002 rad (b) 10.01 cm 3. (a) 1.344 rad (b) 61.824 cm (c) 391.068 cm 2
4. (a) (i) 31.41 cm (ii) 471.15 cm 2
Latihan Kendiri 1.3 (iii) 61.41 cm (iv) 81.44 cm 2
1. (a) 26.39 cm (b) 20.47 cm (b) 7 067.25 cm 3 (c) RM3 533.63
(c) 30.62 cm (d) 32.74 cm Latihan Sumatif
2. (a) 114° 35 (b) 25.78 cm
1. (a) 1.2 rad (b) 32 cm
Latihan Kendiri 1.4
2. (a) 23.049 cm (b) 31.908 cm 2
1. (a) 34.96 cm (b) 7.25 cm (c) 39.87 cm 3. (a) 1.08 rad (b) 14.8 cm
2. 5 663.819 km 3. 37.1 m 4. (a) 2j + jq = 18, j q = 8 (b) j = 8 cm, q = rad
1
1
2
4. (a) 109.97 cm (b) 379.97 cm 2 4
5. 89.66 cm 5. (a) 16° 16' (b) 3.42 cm (c) 0.45 cm 2
6. (a) 0.6284 rad (b) 71.87 cm 2
1.2
Latihan Formatif 7. 0.433j 8. 60.67 cm
2
1. (a) 1.484 rad (b) 10.11 cm 9. (a) 8 cm (b) 55.44 cm 2 (c) 5.791 cm 2
2
2. 0.7692 rad 10. (a) 25 unit 2 (b) 90° (c) 25 unit
3. (a) 0.6435 rad (b) 7.218 cm 11. (a) 2.636 rad (b) 21.09 unit (c) 13.34 unit 2
2
4. (a) 4 cm (b) 2 cm 12. (a) 6.711 cm (b) 39.50 cm
5. (a) 8.902 cm (b) 18.44 cm (c) 24.5 cm (d) 77.80 cm 2
2
6. 26.39 cm 13. (a) 6.282 cm (b) 3.54 cm 2
7. (a) 103.686 m (b) 2 073.72 m 14. (a) 1.5 rad (b) 65.55 m (c) 155.07 m
2
Latihan Kendiri 1.5 15. 78.564 cm
16. (b) (i) 1 261.75 cm 2 (ii) 720.945 cm 2
2
1. (a) 19.8 cm (b) 107.5 cm 2 (iii) 144.189 liter
2
(c) 13.09 cm (d) 471.4 cm 2 17. (a) 2.094 cm (b) 3.141 cm 2
2. 15 cm 2 (c) 12.564 cm (d) 38.658 cm 2
3
3. (a) 10 cm (b) 39 cm (c) 59 cm 18. (a) 62.82 cm (b) 27.12 cm 2
4. (a) 1.2 rad (b) 12 cm (c) 32 cm
BAB 2 PEMBEZAAN
Latihan Kendiri 1.6
2
1. (a) 12.31 cm (b) 61.43 cm 2 Latihan Kendiri 2.1
2
(c) 2.049 cm (d) 42.52 cm 2 1. (a) –3 (b) 1 (c) –2 (d) 1
2. (a) 95° 30 (b) 3.023 cm 2 2. (a) –1 (b) 4 (c) –5 (d) 1 (e) 1
3. (a) 1.047 rad (b) 1.448 cm 2 12 4
1 4
Latihan Kendiri 1.7 (f) 1 (g) 4 (h) – (i)
3 5
1. (a) 75.70 m (b) 114.22 m 2 3. (a) 1 (b) 2 (c) 1
2. (a) 4.063 cm (b) 50.67 cm 2 2 7 1
3. (a) 77° 10 (b) 32.48 cm 2 (d) –30 (e) 4 (f) 6
4. (a) 67.04 cm (b) 2.5 rad 4. (a) (i) 4 (ii) Tidak wujud
2
1.3 (b) (i) 2 (ii) 3
Latihan Formatif
1. (a) 0.7 rad (b) 10.35 cm 2 Latihan Kendiri 2.2
2. (a) 1.047 rad (b) 2.263 cm 2 1. (a) 1 (b) 5 (c) – 4 (d) 12x
1
3. (a) 3.77 rad (b) 47.13 cm 2 (e) –2x (f) 6x 2 (g) x (h) –
x 2
279
279

2. 4x – 1 3. 1 – 2x 2.2
Latihan Formatif
2.1
Latihan Formatif 6 1 18
1. (a) (i) 8 (ii) 3 (iii) 0 1. (a) 18x + x 3 (b) x 2 – x 4
(iv) –1 (v) 0 (vi) 3 2 5 1
(b) –1, 5 (c) 5 + ! x (d) – ! x 3 – 3 ! x 4
(c) (i) 2x – 4 (ii) 4
1 (e) 4x – 6 – 18 (f) 12! x + 1
3
2. (a) 9 (b) 2 (c) – x 3
18 2! x
3
(d) 3 (e) 2 (f) 4 1 3
10 (g) – 4 – π (h) – ! x
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
1
3. (a) 2 (b) – (c) – 4 3x ! x 2
6 7
4. (a) k = 4 (b) 5 2. 8 8 5
5. (a) 5 (b) 2x – 1 (c) 2x + 2 (d) – 1 2 3. (a) 6t (b) 16t 3 (c) 1
3
6. 7 ms –1 4x 4. 6t + 5, t , – 5 2
6
Latihan Kendiri 2.3
6 5. a = 5, b = – 4

9
1. (a) 8x (b) –8x (c) – x 9 6. (1, 6)
3
2 8 2
(d) – (e) – 7. (a) h(x) = 3kx – 8x – 5 (b) 7
3 ! x 4 3 ! x 1 x 3
)
8. (a) ( – 1 (b) 5(10x – 3) 5
2 1 2 6
2. (a) 8x + 6 (b) – (c) 32x – 72 40 1 1 2
(
5! x ! x 3 (c) (2 – 5x) 2 (d) 3 1 + x 2)( x – x )
3. (a) 40x – 10! x (b) 4x + 8 – 32 3 3 x + 3
3
3
x
(c) 5 – 6! x + 1 (e) 3 ! (3 – 9x) 4 (f) ! x + 6x + 6
2
2! x 2! x 3 9. –144 10. a = 9, b = 4
1
4. (a) –1 (b) – 4 (c) –1 11. (a) 4(12x – 1)(2x – 1) 4 (b) x (33x + 4)(3x + 1) 6
3
6
Latihan Kendiri 2.4 (c) 3(x + 2) (d) 4(2x – 1)(x + 7) (x – 5) 2
4
1. (a) 5(x + 4) 4 (b) 8(2x – 3) 3 2! x + 3
2
(c) – 6(6 – 3x) 5 (d) 56x(4x – 5) 6 (e) – 1 (f) 2x + 1
)
4 1 7 ! x (1 + ! x ) 2 ! (4x + 1) 3
(e) ( x + 2 (f) –12(5 – 2x) 8
3 6 2 2(x + 1) 6x – 4x – 1
2
3
(g) – 3(2x + 1)(1 – x – x ) (h) – 20(3x – 2) (g) – (x + 2x + 7) 2 (h) (x – 1) 2
2 2
2
3
(2x – 4x + 1) 11
3 6 4 + 6x – 4x 2 3
2. (a) – (b) – 13. , , x , 2
(3x + 2) 2 (2x – 7) 4 (x + 1) 2 4
2
100 30
(c) (d) – 14. x , –1
(3 – 4x) 6 (5x – 6) 9
1 3 Latihan Kendiri 2.6
(e) (f) –
2
3
! 2x – 7 2! 6 – 3x 1. (a) 12x – 10x + 2, 36x – 10
3x 2x – 1 2 4
(g) (h) (b) 8x + , 8 –
2
! 3x + 5 2! x – x + 1 x 2 x 3
2
7
1 (c) 24(3x + 2) , 504(3x + 2) 6
3. (a) 2 744 (b) – (c) –2
2 2. (a) 1 – 2 , – 1 + 6 (b) 2x – 4 , 2 + 12
Latihan Kendiri 2.5 2! x x 3 4x 3 2 x 4 x 3 x 4
3
2
2
1. (a) 60x + 24x (b) –8x – 6x (c) – 7 , 14
2
2x(1 – 3x ) (x – 1) 2 (x – 1) 3
(c) 2x(1 – 12x)(1 – 4x) 3 (d) 3. (–3, 29) dan (1, –3), –12, 12
! 1 – 2x 2
(e) 8(7x – 1)(2x + 7) 5 (f) (7x + 8)(x + 5) (x – 4) 3 Latihan Formatif 2.3
2
2. (a) –2(9x + x – 3) (b) 3x + 2 + 4 3 2. (a) –3, –12 (b) 9, 24 (c) 0, 2
2
2
2
3
4
(c) 5x – 8x + 24x – 10x + 10 x 3. 3 , – 4. – , 1 5. 2
5
1
13 41 2 8 3
3. 4.
4
1
4 5 6. (a) – , 2 (b) 6x – 2 (c) 1 (d) x ,
5. (a) – 6 (b) 18 3 3 3
(2x – 7) 2 (4x + 6) 2
8x(1 – 3x) 4x – 3x – 2 Latihan Kendiri 2.7
3
2
(c) (d) 1. (a) (i) –7, 8
(1 – 6x) 2 (2x – 1) 2
1
1 – x x – 2 (ii) Pada x = , garis tangen condong ke kiri.
(e) (f) 4
2! x (x + 1) 2 2! (x – 1) 3 Pada x = 1 pula, garis tangen condong ke kanan.
6x(x + 3) 6x + 3x + 14
2
2
1
(g) (h) – (b) ( ) ( 1 )
, 6 , – , –6
2
2
! (2x + 3) 3 (! 4x + 1 )! (3x – 7) 3 3 3
6. 13 2. (a) a = 2, b = 4
(b) (1, 6)
280

Latihan Kendiri 2.8 5. (a) 1.5 ms –1 (b) 5 ms –1
1. (a) y = 3x – 6, 3y + x + 8 = 0 Latihan Kendiri 2.14
(b) y = 7x – 10, 7y + x = 30 1. (a) 0.3 unit (b) – 0.5 unit
(c) 3y – x = 5, y = –3x + 15 2. (a) – 0.05 unit (b) 2p unit
(d) 2y = –x + 7, y = 2x – 4 3. – 4, 3.92 4. 3.2%
2. (a) y = 2x – 1, 2y + x = 3 Latihan Kendiri 2.15
(b) 16y – 5x = 4, 10y = –32x + 143
1 5 π ! 10
(c) y = x + , y = – 4x + 14 1. saat 2. 0.0025 cm
4 4 600
(d) 5y – 4x = 13, 4y + 5x + 6 = 0 3. – 0.12 cm 3 4. –2π cm 3
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
(e) y = –x, y = x + 2 2.4
Latihan Formatif
3 3 4 1
(f) y = x + , y = – x + 7 1. (a) 2y – x = 2, Q(–2, 0) (b) y = –2x + 1, R ( )
, 0
4 4 3 1 2
3. (a) 13 (b) 3y – 13x = 16 (c) 1 unit 2
4
3 2. (a) a = 3, b = –2 (b) y = 2x – 8, B(4, 0)
(c) 13y + 3x + 168 = 0 2
4. (a) 6 (b) A(14, 0) (c) 2y + x + 1 = 0, C(–1, 0) (d) 5 unit
3. (b) 5 cm, 62.5 cm 3
Latihan Kendiri 2.9 4. (a) – 4 ms (b) 1.5 ms –1
–1
1. (a) y + x = 3 (b) 3y + x = 15 (c) C(–3, 6) 5. – 8 ms
–1
AB (
2. (a) y = x – 6 (b) B(2, – 4) (c) M = 3 , – 9 )
1 2 2 Latihan Sumatif
3. (a) a = , b = 5 (b) 2y + x = 4
2 3 1
1
(c) R(4, 0) (d) 1 unit 2 1. (a) 4 (b) 2 (c) k = ±3
4
4. (a) a = 1, b = 4 (b) y + 3x = 8 2. – 4 2
1
4
PQ (
(
(c) Q 6, 6 2 3 ) (d) M = 3 , 5 5 6 ) 3. (a) – (2x + 1) 2 (b) 4(12x – 1)(2x – 1)
2
1 (c) 12 (d) 3(x + 2)
5. (a) 3! 10 unit (b) h = , k = –2 3
2 (2 – x) 2! x + 3
Latihan Kendiri 2.10 4. (a) 12 – 3x (b) 4
1
1. (a) (–2, 16) ialah titik maksimum, 5. a = 3, b = – 6. 5 cm
(2, –16) ialah titik minimum. 2
(b) (2, 32) ialah titik maksimum, 7. (a) – 0.0735 unit (b) 1.927
(6, 0) ialah titik minimum. 8. –1% 9. 1.6p%
(c) (3, 9) ialah titik maksimum, 10. (a) Titik maksimum ialah (–1, 6) dan titik minimum
(–3, –9) ialah titik minimum. ialah (1, 2)
(d) (4, 8) ialah titik maksimum. (b) y
(e) (–2, – 4) ialah titik maksimum, (–1, 6) y = f (x)
(2, 4) ialah titik minimum.
(f) (1, 2) ialah titik minimum
(g) (0, –1) ialah titik maksimum,
(2, 3) ialah titik minimum.
(h) (–3, –12) ialah titik maksimum, (1, 2) x
(3, 0) ialah titik minimum. 0
2. (a) 2(2x – 1)(x – 2) 2 (b) P ( 1 , – 27 ) dan Q(2, 0)
(c) Q ialah titik lengkok balas. 2 16 11. (a) y = 32x – 63 (b) (–2, –14)
12. (a) 6 cm (b) 144π cm 3
Latihan Kendiri 2.11 13. 40 m 14. 48 cm s
2 –1
1. (b) 400 cm 2 15. (b) (i) 12 unit s (ii) 15 unit s
2 –1
2 –1
2. (a) y = 120 – 25x 16. (b) (i) – 0.09π cm 3 (ii) Menyusut 3p%
2 1
(c) (i) x = 2 cm, y = 53 cm
3 3 BAB 3 PENGAMIRAN
(ii) 3 840 cm 2
3. (b) Jejari 2 cm dan tinggi 8 cm Latihan Kendiri 3.1
3
Latihan Kendiri 2.12 1. 5x + 4x 2 2. 8x 3
1. (a) 6 unit s –1 (b) 6 unit s –1 (c) –36 unit s –1 3. (a) 300t + 60t
(d) 40 unit s –1 (e) 2 unit s –1 (f) 24 unit s –1 (b) 4 600 liter
2. (a) – 6 unit s –1 (b) 2 unit s –1 (c) 4 unit s –1 Latihan Formatif 3.1
–1
(d) – 6 unit s –1 (e) 18 unit s –1 (f) 18 unit s 2 3 16 5x + 2
3x 1. 18(2x + 2) , 3(2x + 2) 2. 2 ,
–1
3. (a) (b) 15 unit s (2 – 3x) 2 – 3x
2! x + 4 1
3. 17, 32 4.
Latihan Kendiri 2.13 5. (a) RM4 750 3
1. 3 unit s 2. 2 cms 3. – 7 cmmin –1 (b) Syarikat K
–1
–1
200
3
4. (a) V = 9π h (b) –5.4 π cm min –1
281

4. (a) 12 (b) 5 (c) 45
Latihan Kendiri 3.2
5 π Latihan Kendiri 3.6
1. (a) 2x + c (b) x + c (c) –2x + c (d) x + c
6 3 1. (a) 21 unit 2 (b) 35 unit 2 (c) 33 unit
2
2
x
3
2. (a) x + c (b) x 4 + c (c) – + c 2 6 2
3 2 212 4 100
2
2 3 2. (a) unit 2 (b) unit (c) unit 2
3
(d) + c (e) – + c (f) 2! x + c 3 3 3
x 2x 2 5 2 2
3
2
3
(g) 3 ! x + c (h) 54 + c 3. (a) unit (b) 9 unit
! x Latihan Kendiri 3.7
5
3
2
2
3. (a) x + 3x + c (b) 4 x + x + c
3 2 1. (a) 32 π unit 3 (b) 9π unit
3
1 5 3 5
2
2
(c) x + x – 2x + c (d) – + 2x – 2x + c
4
8 2 x 2. 2 π unit 3 3. 123 π unit
3
x 3 3 5 5 5
2
4
4. (a) – x – 8x + c (b) x + x + c (c) YSIA
5
108
3 5 4 4. (a) A(0, –2) (b) B(3, 1) (c) π unit 3
5 25 5
3
(c) x – 2! x + c (d) x – 15x + 9x + c Latihan Formatif 3.3
2
3
3
3 3 5
1
5
4
2
(e) x – 3x + c (f) 1 x + x + x + c 1. (a) 364 (b) 5 155
3
2
2
2 3 5 2 3 2
Latihan Kendiri 3.3 2. (a) 20 (b) 4
(x – 3) 2 (3x – 5) 10 3. h = 3
1. (a) + c (b) + c
3 30 4. (a) K(1, 1) (b) 25 : 7
2 (7x – 3) 5 5. (a)
6
(c) (5x – 2) + c (d) + c y
15 105 y = 6x + x 2
3 2
(e) – + c (f) – + c
(2x – 6) 2 9(3x – 2) x
–6 O
(4x + 5) 5 (3x – 2) 4
2. (a) + c (b) + c
20 6
(5x – 11) 5 (3x – 5) 6
(c) + c (d) + c
25 90 (–3, –9)
1 4
(e) – + c (f) – + c
6(6x – 3) 5 7(3x – 5) 7 2
2
(b) y = 6x, y = 10x – 4 (c) A(1, 6), unit
Latihan Kendiri 3.4 15 3
6. π unit 3
1. (a) 3 (b) 6 2 1 2 3
33 7. (a) Q(0, 3) (b) unit (c) 8π unit
3
2. KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALA
(
1 5
16 8. (a) A – , ) (b) 0.027 unit 2 (c) 49 π unit 3
3
2
3. (a) y = 3x – 2x + 5 (b) y = 5x – 2x – 3 4 2 32
3
3
(c) y = 8x – 5x – 2 (d) y = 6x + 5x + 18 Latihan Kendiri 3.8
2
3.2
Latihan Formatif 1. (b) 62 500π cm 3
1
1. (a) x + c (b) – 5 + c 2. (a) RM42 456 (b) 8.75%
2 6x 2 Latihan Formatif 3.4
1
1
2
(c) 2x + c (d) – + 1 + c 1. 450 cm 3 2. RM119.98
x 2 x 3 3. (a) 350 (b) 66
5 3
2
2
3
2. (a) x – x + c (b) x + x + c
2 2 Latihan Sumatif
3
1
1
(5 – 6x) 4 2(5 – 2x) 4 1. (a) x + x – 3x + c (b) – 1 + c
3
2
4
(c) – + c (d) – + c 4 3 2(2x – 3) 2
24 3
1
3. p = 2, y = 21 2. (a) a = – , n = 3 (b) 64
4. (a) 60 (b) x = 0, –2 3 49
5. y = x – 4x + 2 6. y = 2x – 3x + 10 3. 459 4. – 21
2
2
3
2
7. a = 6, b = 5, y = 3x + 5x + 6 76 2
8. 44 m 5. (a) 4 (b) v = 5
6. 138 cm 3
Latihan Kendiri 3.5 7. (a) K(4, 1) (b) unit 2
8
3 356 3
1. (a) 60 (b) (c)
2 3 8. (a) P(1, 9) (b) 10 unit 2 (c) 3 unit
2
287 3
(d) – (e) 9.203 (f) 6.992
9 17
9. (a) P(–3, 4) (b) unit 2 (c) 30π unit 3
2. (a) 74 (b) 16 (c) – 108 3
3 3 125 10. (a) P(0, 5), R ( )
5
, 0 , S(0, 4)
33 2
(d) 43 (e) (f) 1.827
6 272 (b) unit 2 (c) 1 π unit 3
1
3
3. (a) –3 (b) (c) 3 3 2
2
282

11. p = 3, q = 18 11. (a) 56 (b) 4 (c) 32
257 12. (a) 4 (b) 1 (c) 3
12. (a) unit 2 (b) 98π unit 3
3 13. (a) 105 (b) 102
13. (a) c = –2, A(2, 0) (b) 271 unit 14. (a) 36 (b) 84 (c) 126
2
6
92
(c) π unit 3 BAB 5 TABURAN KEBARANGKALIAN
15
14. 50.13 kg Latihan Kendiri 5.1
15. (a) 300 m 3 (b) Tidak 1. (a) {menang, seri, kalah} (b) {0, 1, 2, 3, 4, 5}
BAB 4 PILIH ATUR DAN GABUNGAN (c) {0, 1, 2, 3}
3. 15 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
2. X = {0, 1, 2, 3, 4}
Latihan Kendiri 4.1
Latihan Kendiri 5.2
1. 15 2. 30
3. (a) 20 (b) 240 1. (a) X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Pemboleh ubah rawak diskret
Latihan Kendiri 4.2 (b) X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
1. (a) 336 (b) 55 (c) 6 (d) 4 200 Pemboleh ubah rawak diskret
2. (a) 24 (b) 120 (c) 720 (d) 362 880 (c) X = {x : 3 < x < 460}
3. 720 4. 2 520 Pemboleh ubah rawak selanjar
Latihan Kendiri 4.3 Latihan Kendiri 5.3
1. (a) 60 (b) 40 320 (c) 15 120 (d) 5 040 1. (a) X = {0, 1, 2, 3}
2. 504 3. 60 4. 1 680 5. 25 200 (b) Suis 1 Suis 2 Suis 3
1 1
Latihan Kendiri 4.4 3 H P(H, H, H) =
1 H 27
1. (a) 360 (b) 840 (c) 90 720 (d) 60 540 480 3 2 H P(H, H, H) = 2
2. 56 3. 210 4. 630 H 3 1 27
2
Latihan Kendiri 4.5 1 2 3 H P(H, H, H) = 27
3 3 H
4
1. (a) 12 (b) 12 (c) 24 2 H P(H, H, H) = 27
2. 300 3. 22 680 4. 42 1 3 H 2
4.1 1 3 P(H, H, H) = 27
Latihan Formatif 2 3 H 2 4
1. 200 3 H 3 1 H P(H, H, H) = 27
2. (a) 1 000 (b) 720 2 3 H P(H, H, H) = 4
3. 24, 18 3 H 27 8
4. (a) 725 760 (b) 80 640 (c) 2 903 040 2 3 H P(H, H, H) = 27
5. BAKU = 24, BAKA = 12
Tidak sama kerana perkataan BAKA mengandungi (c) 1
objek secaman, iaitu A. 2. (a) X = {0, 1, 2}
6. 56 7. 840 (b) I II
0.38 P P(P, P) = 0.1444
Latihan Kendiri 4.6 P
0.38 0.62 P P(P, P) = 0.2356
Gabungan kerana tiada syarat kedudukan untuk memilih
0.38 P P(P, P) = 0.2356
saluran televisyen. 0.62
P
Latihan Kendiri 4.7 0.62 P P(P, P) = 0.3844
1. (a) 95 040 (b) 792 3. (a) X = {0, 1, 2, 3}
2. 2 300 3. 15 4. 20 (b) 1 G 1
2 P(G, G, G) =
1 G 8
Latihan Kendiri 4.8 2 1 G 1
1. 30 2. 45 G 2 1 P(G, G, G) = 8
3. (a) 15 (b) 65 1 1 2 G P(G, G, G) = 1 8
4.2 2 2 G
Latihan Formatif 1 G P(G, G, G) = 1
2 8
2. (a) 56 (b) 30 (c) 16 1 G 1
4. 45 1 G 2 P(G, G, G) = 8
5. (a) 34 650 (b) 924 1 2 1 G 1
2 2 P(G, G, G) = 8
Latihan Sumatif G 1 2 1
1 G P(G, G, G) = 8
1. 1 680, 1 050 2. 1 402 410 240 2 G
1 G P(G, G, G) = 1
3. (a) 96 (b) 108 2 8
4. 243 5. 180 6. 360 360 7. 504
8
8. (a) 48 (b) 72 (c) ∑ P(X = r ) = 1
9. 1 155 10. 266 i = 1 i
283

Latihan Kendiri 5.4 (c)
P(X = r)
1. P(X = r)
0.4 0.5
0.3 0.4

0.2 0.3
0.1 0.2
0.2 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
0 r 0.1
0 1 2 3 4 5
0 r
2. (a) 0 1 2 3

2
X = r 0 1 2 3 4 5. p = , q = 1
P(X = r) 0.0282 0.1627 0.3511 0.3368 0.1212 6. (a) 9 9 Kesudahan
3
(b) M S 2.5
P(X = r) K 2
M M 2.5
0.4 M S S 2
K K 1.5
M 2
0.3 S 1.5

K 1
0.2 M 2.5
S 2
0.1 K 1.5
M M 2
0 r S S S 1.5
0 1 2 3 4 K K 1
3. P(X = r) M S 1.5
1
K 0.5
M 2
0.4 S 1.5
K 1
0.3 M M 1.5
K S S 1
0.2 K K 0.5
M 1
0.1 S 0.5
K 0
0 r (b) X = {0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3}
0 1 2 3 4 (c)
5.1 P(X = r)
Latihan Formatif
7 _
1. (a) X = {0, 1, 2} 27
(b) Pemboleh ubah rawak diskret 6 _
2. (a) X = {x : 1.2 cm < x < 10.2 cm} 27
(b) Pemboleh ubah rawak selanjar 5 _
3. (b) 27
P(X = r) 4 _
27
0.4 3 _
27
0.3 2 _
27
1 _
27
0.1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 r
0 r
0 1 2 3
4. (a) X = {0, 1, 2, 3} Latihan Kendiri 5.5
1. (a) X = (0, 1} (b) 0.7
2. Bukan eksperimen binomial.
3. Taburan binomial.
4. Ya 5. Bukan taburan binomial.
284

Latihan Kendiri 5.6 2. (a) 0.6, 60 (b) 0.2322
3. (a) 9 (c) 3.139 × 10 – 4
1. (a) 0.1776 (b) 0.0711
2. (a) Latihan Formatif 5.2
Kesudahan
2 K {K, K, K} 1.
2 K 5 X = r P(X = r)
5 3 K {K, K, K} 0 0.0625
K 5 2
5 K {K, K, K} 1 0.2500
2 3
5 5 K 2 0.3750
3 K {K, K, K}
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
2 5 K {K, K, K} 3 0.2500
2 5 4 0.0625
3 5 K 3
5 K {K, K, K}
K 5 2 2.
5 K {K, K, K}
3 K X = r 0 1 2 3
5 1 3 3 1
3 K {K, K, K} P(X = r)
5 8 8 8 8
54 27
(b) (i) (ii) P(X = r)
125 125
3. (a) 0.0515 (b) 0.6634
4. (a) n = 8 (b) 0.9747 3 _
8
Latihan Kendiri 5.7 2 _
1. (a) 0.0951 (b) 0.6809 8
2. (a) 0.1379 (b) 28 1 _
3. (a) 0.9792 (b) 0.0565 8
4. (a) 0 r
X = r P(X = r) 0 1 2 3
0 0.7738 3. (a) 0.2725 (b) 2.423 × 10 – 4
1 0.2036 4. 5, 2.121 1
2 0.0214 5. (a) n = 25, p = (b) 0.1358
5
2
3 0.0011 6. (a) , 4 (b) 0.2508
4 0.00003 5
7. 10, 5
5 3.1 × 10 −7
8. (a) n = 4 (b) 0.1808
P(X = r) 9. (a) 12
(b) (i) 0.01 (ii) 1.359 × 10
–3
0.7 Latihan Kendiri 5.10
1. (a) 15 (b) R: P(X , 12), Q: P(X . 18)
0.6 (c) 0.2365, 0.5270
2. (a) 12
0.5 (b) f (x)
0.4
0.3
0.2
0.1 0 10 12 15 x

0 0 1 2 3 4 5 r Latihan Kendiri 5.11

(b) (i) 0.0214 (ii) 0.0226 1. – 0.75 2. 517.55
2 3. (a) – 0.2 (b) 0.144 kg
5. (a) X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} (b) 4. 45, 10
(c) 83.33% 9
6. (a) 0.0141 (b) 0.5267 Latihan Kendiri 5.12
(
Latihan Kendiri 5.8 1. P – 14 , Z , 5 9 )
9
4
1. n = 56, p = 2. 48, 5.367 2. (a) 0.7046 (b) 0.8671 (c) 0.3359 (d) 0.4764
5 3. 0.0157, 0.8606, 0.5664, 0.2876, 0.2286, 0.3785, 0.821,
3. 4 000, 800, 20! 2 4. 600, 4! 15 –0.984, –0.107, 0.471, 0.729
Latihan Kendiri 5.9 4. (a) 0.274 (b) 0.116
1 5. 1.657 6. 1.333
1. (a) (b) 0.3073 (c) 0.5706 7. 16.98 8. 52.73, 11.96
2 187
285

Latihan Kendiri 5.13 (c) 10.82 rad (d) −13.79 rad
2. (a) 74.48° (b) 186.21°
1. (a) 0.5 (b) 188.4 (c) − 486° (d) 585°
2. 24.34
3. (a) 0.6915 (b) 311 3. (a) Sukuan I (b) Sukuan I
4. (a) 5 (b) 47 y y
5. 52.07, 17.89
6. (a) 0.8383 (b) 100 –340.5˚
5.3 75˚
Latihan Formatif x x
O O
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
1. –1.001
2. (a) 1.1 (b) 0.4649
3. 0.1244
4. (a) 0.4950 (b) 2.898 kg (c) Sukuan III (d) Sukuan IV
5. (a) 16.48 (b) 1 008 y y
6. (a) 74 (b) 63.06
Latihan Sumatif
1. X = {2, 4, 6, 8, 10, 12} O x O O x
1 1 550˚ –735˚
2. (a) 6 (b) 2
3. (a)

Kesudahan
+ 6 (e) Sukuan I (f) Sukuan II
+ y
– 3 y
+
+ 3
–
– 0
0.36 rad
+ 3 x O x
+ O –4 rad
– 0
–
+ 0
–
– –3
(b) X = {–3, 0, 3, 6} (g) Sukuan IV (h) Sukuan III
4. (b) y y
X = r 0 1 2 3
P(X = r) 0.1664 0.4084 0.3341 0.0911
O x O O x
5
P(X = r) — π
3 –1 200˚
0.4

0.3 6.1
Latihan Formatif
0.2 1. 0° = 0 rad, 30° = 0.5236 rad, 90° = 1.571 rad
150° = 2.618 rad, 210° = 3.665 rad,
0.1 270° = 4.712 rad, 330° = 5.760 rad,
360° = 6.283 rad
0 r y y
0 1 2 3
5. (a) 0.3110 (b) 0.0410 (c) 0.5443
6. (a) 0.1239 (b) 0.5941 90˚
7. (a) 0.1672 (b) 0.2318 30˚ x O x
8. 7, 2.366 O
3 9
9. (a) (b)
5 25
10. (a) 0.5332 (b) 0.2315 (c) 0.5497 (d) 0.0995
(e) 44.5 (f) 59.42 (g) 57.37 (h) –39.61 y y
11. (a) 15 (b) 112.47
12. (a) 352 (b) 77.34 kg 150˚ 210˚
13. (a) 0.1266 (b) 498 (c) 179 x x
BAB 6 FUNGSI TRIGONOMETRI O O
Latihan Kendiri 6.1

1. (a) 5.064 rad (b) −6.273 rad
286

y y 3. (a) A = 3, B = 4, C = 1
(b) y
4
O x O x 2
270˚
330˚ 0 180˚ 360˚˚ x
360
180˚
–2
Latihan Kendiri 6.2 3 3
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
4. y = sin 3x: , 3, 0
!  23 2 ! 46 – 2 2 2
1. (a) 2 (b) 25 (c) 25 y
3
2. (a) 2 (b) 9 (c) 2
! 13 13 2 1
! 13 23
(d) (e) x
2 3(6 – ! 13) 0 π
3 −1
3. (a) 36° (b) 84° 42 46 (c) π −2
10
4. (a) 0.839 (b) 1.539 (c) 1.835
y =  tan 2x  + 1: Tiada, 4, 1
Latihan Kendiri 6.3 y
1. (a) − 0.2549 (b) −3.7321 (c) 1.1511 5
(d) 1.3054 4
1
2. (a) – (b) – ! 3 (c) ! 3 3 2
2
1 1
(d) – (e) 1 (f) 2 x
2 0 � �
π
2
3. (a) 25° (b) π 3 (c) (d) 10° —
3
2 2
4. (a) – (b) – (c) –1
! 3 ! 3 Latihan Kendiri 6.5
(d) 0 (e) 6 (f) −1 1. (a) (i) y
6.2
Latihan Formatif
1 ! 1 + 9t 2 ! 1 + 9t 2 1
1. (a) (b) (c)
3t 3t 3t x
180
˚
90
˚
270
360
2. (a) 1 (b) 3 (c) 3 0 90˚ 180˚270˚˚360˚˚
3 ! 10
1 ! 2 2
3. (a) atau (b) (ii)
! 2 2 ! 3 y
5 3
(c) (d) 6
2 2
4. (a) 0.6820 (b) 1.095 (c) 0.9656 (d) 3.732 1 x
! 2 0 90˚ 180˚270˚360˚
5. (a) (b) – ! 2 (c) 1 (d) – ! 2
2
Latihan Kendiri 6.4 (iii) y
y
1. (a)
2
4
1
2 x
x 0 90˚ 180˚ 270˚ 360˚
–90˚ 0 90 ˚ 180˚ –1
90˚
–2
–4 (b) (i)
y
(b) y
3
1 x
0 π 2π
x –3
0 � �
–1 —
2

2. (a) y = tan x + 3 (b) y = 2 kos 3x − 1
287

(ii) y 2. y

4 4
2 2
x
0 � 2� 0 � � � 2� 5� � 7� 4� x
–2 — — — — — — —
6
3
3
6
3
2
6
(iii)
y
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
x = 3.30 radian
4 3. y
2 2
x 1
0 � � 2� �
2
0 � 2� � 4� 5� 2�2� x
y
2. –1 — — — —
3
3
3
3
–2
1

0 � 2� x Bilangan penyelesaian = 5
4. y
–1
1
3. x
y 0 � �
—
1.5 2
Bilangan penyelesaian = 4
x 5. y
0 �
—
2 2
Bilangan penyelesaian = 1
4. 1
y x
0 � � 3� � 5� 3� 7� 2�
1 –1 — — — — — —
2
4
2
4
4
4
)
Titik persilangan: (0.322, 1.6), (1.249,1.6), ( 3π , 0 ,
x 4
0 � 2� � ( 7π )
— — (3.463,1.6), (4.391,1.6), 4 , 0
3 3 6. y
Bilangan penyelesaian = 4 4
6.3 3
Latihan Formatif 2
1. y 1
0 � 2� � 4� 5� 2� x
1.5 — — — —
3
3
3
3
1
k , 3, k . 4
0.5 7. (a) y
x
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 2
–0.5 1
–1 0 � 2� � x
— —
–1.5 −1 — — 4� 5� 2�
3
3
3
3
–2 −2
x = 1.0, 3.0
288

(b) y 1 5 1 5 9 13
(c) z = π rad, π rad
6 6 (d) A = π, π, π, 8 π
8
8
8
2 1 5 13 17
(e) B = π, π, π, π
12
12
12
12
1 13 17 25 29
x (f) x = 12 π, 12 π, 12 π, 12 π
0 � 2� � 4� 5� 2�
−1 — — — — Latihan Kendiri 6.11
3
3
3
3
−2 1. 550 kmj –1 2. 0.7071, − 0.7071
3. (a) 1.5 (b) 0.8 (c) 0.3182
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Bilangan penyelesaian = 3
a = 38.66°, b = 17.65°, ˙BAC = 33.69°,
Latihan Kendiri 6.6 ˙ADB = 128.66°, ˙BDC = 51.34°, BD = 12.81 cm,
1 AB = 18.03 cm
1. (a) 1 (b) 1 (c) 2 (d) 1
1 m 2 Latihan Formatif 6.6
2. (a) 2 (b) 1 – m 2 (c)
m 1 – m 2 1. (a) x = 130°, 250°
3. sin q = 3 ; kos q = 1 (b) 64.27°, 140.13°, 219.87°, 295.73°
! 10 ! 10 (c) 126.87°, 306.87°
2
p 2 q – p 2 – p 2 1 1 5
4. (a) (b) (c) 2. (a) A = 0, π, π, π, π
q 2 p 2 q – p 2 6 2 6
2
(b) A = 0 rad, 0.2852π rad, π rad
6.4
Latihan Formatif 3. q = 60°, 120°, 240°, 300°
1 p – 1 5. (a) – 8 (b) – 240 (c) 240
1. (a) p – 1 (b) (c) 17 289 161
p p
2. (a) 1 (b) −1 (c) 4 (d) 2 6. (a) sin ∠CAD = 24! 3 – 7 , kos ∠CAD = 24 + 7! 3 ,
4. (b) 1.5626 50 50
24! 3 – 7
Latihan Kendiri 6.8 tan ∠CAD =
24 + 7! 3
! 6 – ! 2 4 ! 3 + 1
2. (a) (b) (c) (b) AC = 25 m, AD = 48 m
4 ! 6 + ! 2 ! 3 – 1 ! t – 1 ! t – 1
2
2
2
3. (a) – 33 (b) – 16 (c) – 56 8. (a) t (b) – t (c) – ! t – 1
65 65 33
9. (a) 1 < f (x) < 2
Latihan Kendiri 6.9 (b)
! 3 ! 3 y
1. (a) (b) (c) – ! 3
2 2 3
4. (a) 25 (b) 169 (c) 1 (d) 5 2
24 119 ! 5 1
6.5 x
Latihan Formatif 0 � � 3� 2�
4
4 — —
2
1.
3
416 425 297 Bilangan penyelesaian = 1
3. (a) (b) (c) –
425 297 304 Latihan Sumatif
289 3
(d) – (e) –
161 ! 34 1. (a) 0 < x < 2π (b) –π < x < π 2 (c) 3 2 π < x < 4π
5. (a) 2t (b) 1 – t 2 (c) 2t 2. (a) 0 , x , π (b) π , x , π (c) π , x , 2π
2
2
1 + t 2 1 + t 2 1 – t 2 3. (a) 41.30°, 138.70°, 221.30°, 318.70°
2
! 1 + t – 1 1 + ! 1 + t 2
(d) (e) (b) 63.90°, 116.10°, 243. 90°, 296.10°
2! 1 + t 2 2! 1 + t 2 (c) 41.36°, 138.64°, 221.36°, 318.64°
Latihan Kendiri 6.10 ! 3 2
4. (a) – (b) –! 3 (c)
1. (a) x = 102.8°, 167.2°, 282.8°, 347.2° 2 ! 3
1
(b) x = 10°, 130°, 190°, 310° (d) ∞ (e) –1 (f) –
(c) x = 198° 2
,
(d) x = 0°, 44.42°, 180°, 315.58°, 360° 5. (a) 56 63 (b) 56 , – 63 (c) 56 , – 63
65
(e) x = 90°, 199.47°, 340.53° 6. 65 16 16 65 16
(f) x = 150°, 330° Bilangan Selang
(g) x = 199.47°, 340.53° Graf Persamaan kitaran Kala kelas
(h) x = 0°, 80.41°, 180°, 279.59°, 360° π
(i) x = 16.10°, 196.10° I y = kos x 1 2π 2
7 3 19 7
2. (a) x = π, π, π, π π
12 4 12 4 II y = kos 2x 2 π 4
(b) y = 0 rad , 0.2677π rad, π rad, 1.732π rad dan 2π rad 1 1
III y = kos x 4π π
2 2
289

7. (a) π (b) 2, 3, –1 (c) y
(c) y (d) Bilangan penyelesaian = 3
40 y + 7x – 49 0
3
30
2
20
1
10
x
0 _ π π x
–1 2 0 2 4 6 8

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
2. (a) y < 3x (b) x + y < 80 (c) y > 10
2 4
11. (a) 0, π, π, π, 2π 3. (a) Luas tanah ialah 80 hektar, 360 orang tenaga pekerja
3 3 dan modal RM24 000.
(b) 2, π y (b) (i) x + y < 80 (ii) 3x + 6y < 360
(iii) 800x + 300y > 24 000
2 (c) (i) y
1
80
x
0 � � 3� 2� 60
–1 — — 40
2
2
–2
20 x + y 80

(c) Bilangan penyelesaian = 2 0 20 40 60 80 x
12. (b), (c) y
1 (ii) y
x
0 _ π π 3π 60
_
–1 2 2
40
Bilangan penyelesaian = 3 20 3x + 6y 360
13. (a) (i) x = 60°, 240° (ii) x = 7.063°, 187.063°
(iii) x = 48.43°, 228.43° 0 20 40 60 80 100 120 x
(b) (i) x = 0.3102 rad, 3.452 rad
(ii) x = 0.4637 rad, 1.892 rad, 3.605 rad, 5.034 rad (iii) y
π 2π 4π 5π
(iii) x = , , π, , , 2π
3 3 3 3 80
14. (a) 9.780 ms –2 (b) 9.8321 ms –2
2
2
16. (a) kos x sin x (b) sek x kosek x (c) kos x – sin x 60
BAB 7 PENGATURCARAAN LINEAR 40 8x + 3y 240
20
Latihan Kendiri 7.1
y x
1. (a) –40 –20 0 20 40
6
2y – 3x 12 4. (a), (b) y
5
4 40
3 30 Titik maksimum (0, 30)
3x + 2y = 60
2 20
Titik minimum (10, 5)
1 10 x + y = 15 y = –
x
x 2 x
–4 –3 –2 –1 0 0 5 10 15 20
(c) (i) 60 (ii) 20
(b) y
Latihan Formatif 7.1
2 1. (a) y . x – 1 (b) y , 5x + 1
2. I: x + y < 100, II: y < 4x, III: y – x > 5
1 3. y < 3x, y < x + 50, x + y < 1 000
x Latihan Kendiri 7.2
0 1 2 3 4 5 6
–1 1. (a) I: x + y < 80, II: y < 4x, III: y – x > 10
6x – y 12
–2

290