Matematik Tambahan Tingkatan 5 KSSM

Pengamiran
Latihan Kendiri 3.4

1. Cari nilai pemalar pengamiran, c bagi fungsi kecerunan yang berikut.
dy dy 6
(a) = 4x – 2, y = 7 apabila x = –1 (b) = – 6x – , y = 6 apabila x = –1
dx dx x 3
dy 1
3
2
2. Diberi = 20x – 6x – 6 dan y = 2 apabila x = 1. Cari nilai y apabila x = .
dx 2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
3. Cari persamaan lengkung bagi setiap fungsi kecerunan yang melalui titik berikut.
dy dy
(a) = 9x – 2, titik (1, 6) (b) = 10x – 2, titik (2, 13) BAB
2
dx dx
dy dy 3
2
2
(c) = 24x – 5, titik (1, 1) (d) = 18x + 10x, titik (–2, –10)
dx dx
3.2
Latihan Formatif Kuiz bit.ly/35pBrmA

1. Cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut.
5
1
2
(a) ∫  1 dx (b) ∫  3x 3 dx (c) ∫  ! x dx (d) ∫ ( 3 – x 3 4) dx
2
x
2. Kamirkan setiap yang berikut terhadap x.
3
2
(a) 5x – 3x 3 (b) 6x + 2x 2 (c) (5 – 6x) 3 (d) 1
x 2x 2 4 ! 5 – 2x
dy p dy 1
3. Diberi = 10x + , dengan keadaan p ialah pemalar. Jika = 20 dan y = 19 apabila
dx x 2 dx 2
x = 2, cari nilai p. Seterusnya, cari nilai y apabila x = –2.
dy
4. (a) Diberi = 4x – 15x + 6 dan y = –20 apabila x = 3, cari nilai y apabila x = –2.
3
2
dx
dy
(b) Diberi = 2x + 2 dan y = 2 apabila x = 2. Cari nilai-nilai x apabila y = – 6.
dx
y
5. Rajah di sebelah menunjukkan suatu lengkung yang melalui

titik A(1, –1). Diberi fungsi kecerunan bagi lengkung tersebut y = f(x)
dy
ialah = 3x – 8x, cari persamaan bagi lengkung itu.
2
dx x
O
6. Diberi kecerunan normal bagi suatu lengkung pada satu
1
titik ialah . Jika lengkung itu melalui titik (2, 2), cari
6x – 2
persamaan bagi lengkung tersebut. A(1, –1)
7. Diberi fungsi kecerunan bagi suatu lengkung ialah ax + b. Kecerunan lengkung pada titik
(–2, 8) ialah –7 dan kecerunan lengkung pada titik (0, 6) ialah 5. Cari nilai a dan nilai b.
Seterusnya, cari persamaan bagi lengkung tersebut.
8. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah kereta yang dipandu ds = 10t – 2
––
di sebuah jalan raya yang lurus. Diberi fungsi perubahan dt
ds
sesaran bagi kereta tersebut ialah = 10t – 2 dan s = 8 m
dt
apabila t = 1 s. Cari sesaran, dalam m, apabila t = 3 s.

3.2.4 91

3.3 Kamiran Tentu


Empangan Hidroelektrik Bakun di Sarawak
merupakan sebuah stesen jana kuasa hidroelektrik
terbesar di Malaysia. Bagaimanakah jurutera-jurutera
pembinaan dapat memastikan empangan yang dibina
3 3 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
mempunyai ciri-ciri keselamatan yang baik?
Dengan mengaplikasikan kamiran tentu,
jurutera-jurutera dapat menentukan luas permukaan
dan isi padu air dalam kawasan takungan empangan.
Hal ini membolehkan mereka menentukan ketebalan
dinding empangan yang perlu dibina bagi menampung
tekanan air dalam takungan tersebut.


Nilai kamiran tentu bagi suatu fungsi algebra
Sudut Informasi
Sudut Informasi
Anda telah mempelajari bahawa kamiran tak tentu bagi suatu
∫
fungsi f (x) terhadap x ialah f (x) dx = g(x) + c, dengan keadaan Luas di bawah suatu
g(x) ialah suatu fungsi x dan c ialah pemalar. lengkung boleh ditentukan
melalui pengamiran fungsi
Kamiran tentu bagi suatu fungsi f (x) terhadap x antara nilai lengkung itu. Bagi suatu
batasan x = a dengan x = b pula boleh ditulis sebagai: fungsi y = f (x):
(a) Kamiran tak tentu,
∫ f (x) dx
b b
[

∫ f (x) dx = g(x) + c ] y
a a
= [g(b) + c] – [g(a) + c]
= g(b) – g(a) y = f(x)

x
O
Contoh 10
b
∫
(b) Kamiran tentu, f (x) dx
Cari nilai bagi setiap yang berikut. y a
4
3
2
(a) ∫ x dx (b) ∫ (3x + 2x) dx
2
2 –1

y = f(x)
Penyelesaian
x
3
4
2
(a) ∫ x dx (b) ∫ (3x + 2x) dx O a b
2
2 –1
x
= [ ] = [ 3x 3 + 2x 2 ] 4
3 2 3 2 –1
3 3 2 3 4
= – = [ x + x ]
3
2
3 3 –1
3
2
3
2
= 19 = [4 + 4 ] – [(–1) + (–1) ] Cari nilai bagi
2
∫
3 (a) 1 dx
= 80 1 2
∫
(b) 0 dx
1
92 3.3.1

Pengamiran
Contoh 11

Cari nilai bagi setiap yang berikut.
3
∫ (
2 )
2

4
∫
(a) x – 2x 2 dx (b) (2x – 5) dx
4
1 x 2
Penyelesaian
∫ (
4
3
2

2 )
∫
(a) x – 2x 2 dx (b) (2x – 5) dx
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
4
1 x 2
2 x 3 2x 2 (2x – 5) 5 4
= – 2 ) dx = [ ] BAB
∫ ( 2 x 2(5) 2
1 x

2
∫
–
= (x – 2) dx = [ (2(4) – 5) 5 ] [ (2(2) – 5) 5 ] 3
1 10 10
[ x 2 ] 2 243 1
( )
= 2 – 2x 1 = 10 – – 10
[ 2 2 ] [ 1 2 ] 122
= 2 – 2(2) – 2 – 2(1) = 5
( )
= – 2 – – 3
2
= – 1
2
Apakah sifat-sifat bagi kamiran tentu? Untuk mengetahui dengan lebih lanjut, mari ikuti
penerokaan yang berikut.
Aktiviti Penerokaan 3 Berkumpulan PAK-21 STEM PK
Berkumpulan
Tujuan: Mengenal pasti sifat-sifat bagi kamiran tentu
Langkah:
1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah. ggbm.at/mqsxgymf
2. Klik pada semua petak untuk memaparkan rantau bagi setiap kamiran
tentu itu.
3. Perhatikan rantau yang terbentuk dan catatkan nilai bagi setiap kamiran tentu itu pada
sehelai kertas.
4. Kemudian, padankan setiap yang berikut dengan jawapan yang betul.
6
2
∫ 3x dx ∫ 3x dx
2
2
1
2
6
6
∫
∫ 3x dx 3 3x dx
2
2
2
2
6 6 6
∫
∫ 3(3x ) dx ∫ 3x dx + 6x dx
2
2
2
2
2
4
2
6
∫
∫
∫ 3x dx + 3x dx – 3x dx
2
2
2
4
1
6
6
∫ (3x + 6x) dx 0
2
2
3.3.1 93

5. Buat satu kesimpulan umum secara deduktif bagi setiap hasil yang diperoleh.
6. Setiap kumpulan melantik seorang wakil untuk membuat pembentangan mengenai hasil
dapatan masing-masing di hadapan kelas.
7. Ahli daripada kumpulan yang lain boleh bertanyakan soalan kepada wakil kumpulan.


Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 3, sifat-sifat bagi kamiran tentu adalah seperti berikut:
  KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Bagi suatu fungsi f (x) dan g(x),
a
(a) ∫ f (x) dx = 0
a
a
b
∫
(b) ∫ f (x) dx = – f (x) dx
a b
b b
∫
(c) ∫ kf (x) dx = k f (x) dx, dengan keadaan k ialah pemalar
a a
b c c
∫
∫
(d) ∫ f (x) dx + f (x) dx = f (x) dx, dengan keadaan a , b , c
a b a
b b b
∫
∫
(e) ∫ [f (x) ± g(x)] dx = f (x) dx ± g(x) dx
a a a
Contoh 12
3
∫
5
∫
3
∫
Diberi f (x) dx = 4, f (x) dx = 3 dan g(x) dx = 12. Cari
1 3 1
5
1
3
∫
∫
∫
(a) f (x) dx (b) [f (x) + g(x)] dx (c) f (x) dx
3 1 1
Penyelesaian
∫
5
∫
∫
1
3
(a) f (x) dx (b) [f (x) + g(x)] dx (c) f (x) dx
3 1 1
∫  
∫  
3
3
∫
3
5
∫
3
∫
= – f (x) dx = f (x) dx + g(x) dx = f (x) dx + f (x) dx
1 1 1 1 3
= – 4 = 4 + 12 = 4 + 3
= 16 = 7
Contoh 13
Sudut Informasi
Sudut Informasi
5
∫
5
∫
Diberi f (x) dx = 12, cari nilai h jika [hf (x) – 3] dx = 51.
2 2 y

y = f(x)
Penyelesaian
5
∫ [hf (x) – 3] dx = 51 K H
2
5
∫
5
∫
h f (x) dx – 3 dx = 51 O a b c x
2 2 5
[ ]  
12h – 3x = 51 Jumlah luas rantau = Luas
2 rantau K + Luas rantau H
12h – [3(5) – 3(2)] = 51 ∫ f(x) dx
a 
c

12h – 9 = 51 b c
b 
a 
h = 5 = ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx
94 3.3.1

Pengamiran
Latihan Kendiri 3.5

1. Cari nilai bagi setiap yang berikut.
∫
5
∫
4
4
∫
3
2
(a) x dx (b) 2 dx (c) (2x + 3x) dx
2 1 x 2 1
3(
6 1 3 5 1
∫ (
∫
)
(d) – 2x dx (e) 3x – ! x ) dx (f) x – ) dx
2 x 1
∫ ( 3
! x
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
2. Cari nilai bagi setiap kamiran tentu yang berikut.
∫ (
4 x + x
2 )
∫ (
∫  (
3
(a) 3 2 ) dx (b) 5 + x 2 dx (c) 5 (2x + 3)(x – 2) ) dx BAB
2 x 1 x 1 x 4 3
4
∫
–1
∫
∫
0
2
(d) (3x – 4) dx (e) 3 dx (f) 2 dx
3 –3 (5 – 3x) 3 – 2
! 3 – 2x
5
∫

3. Diberi f (x) dx = 3, cari nilai bagi setiap yang berikut.
2
1
∫
5
2
∫
∫
5


(a) f (x) dx (b) f (x) dx (c) [3f (x) – 2] dx
5 2 2 2
7
7
∫
∫


4. Diberi f (x) dx = 5 dan k(x) dx = 7. Cari nilai bagi setiap yang berikut.
3 3
5
∫
∫
7
7
∫
∫
5
(a) [f (x) + k(x)] dx (b) f (x) dx – f (x) dx (c) [ f (x) + 2x] dx
3 3 7 3
Perkaitan antara had bagi hasil tambah luas segi empat tepat dengan luas
di bawah suatu lengkung
Aktiviti Penerokaan 4 Berkumpulan PAK-21 STEM PK
Berkumpulan
Tujuan: Meneroka perkaitan antara had bagi hasil tambah luas segi empat
tepat dengan luas di bawah suatu lengkung
Langkah:
ggbm.at/ck4ejqwb
1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah.
2. Katakan n ialah bilangan segi empat tepat di bawah suatu lengkung y = –x + 6x.
2
3. Seret gelongsor n ke kiri dan ke kanan. Perhatikan luas rantau di bawah lengkung
y = –x + 6x pada setiap nilai n yang berbeza.
2
4. Kemudian, salin dan lengkapkan jadual di bawah.
Bilangan segi empat Hasil tambah luas segi empat Luas rantau di bawah
tepat, n tepat di bawah lengkung lengkung yang sebenar
1
2
 
20
5. Bersama-sama ahli kumpulan, bincangkan perkaitan antara hasil tambah luas segi empat
tepat dengan luas rantau di bawah suatu lengkung.
6. Bentangkan hasil dapatan yang diperoleh di hadapan kelas.
3.3.1 3.3.2 95

Daripada Aktiviti Penerokaan 4, didapati bahawa apabila bilangan segi empat tepat di bawah
suatu lengkung y = f (x) bertambah, maka hasil tambah luas semua segi empat tepat di bawah
lengkung itu menghampiri luas rantau di bawah lengkung yang sebenar.
Perhatikan lengkung y = f (x) dalam rajah di
sebelah. Luas di bawah lengkung y = f (x) antara y
x = a dengan x = b itu boleh dibahagikan kepada

y = f(x)
n jalur segi empat tepat yang tipis. Apabila
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
bilangan jalur ini bertambah, maka lebar setiap
y δL y
jalur ini semakin kecil. δL δL δL ... δL n i i
1 2 3 n
Lebar setiap jalur segi empat tepat ini x
O a b
ditulis sebagai dx, dengan keadaan dx = b – a . δx δx
n
Didapati bahawa:
Luas jalur segi empat tepat, dL ≈ Panjang jalur segi empat tepat × Lebar jalur segi empat tepat
i
≈ y × dx
i
≈ y dx
i
Luas n jalur segi empat tepat ≈ dL + dL + dL + … + dL
1 2 3 n Luas di bawah suatu
n lengkung dapat dikaitkan
≈ ∑ dL i dengan had bagi hasil
i = 1 tambah luas trapezium.
n
≈ ∑ y dx
i
i = 1 y y
y 4 5
Apabila bilangan jalur segi empat tepat adalah cukup besar, y y 1 y 2 3 y 6
iaitu n ˜ ∞, maka dx ˜ 0. 0 ∆ x∆ x∆ x∆ x∆ x∆ x
Secara amnya, Berdasarkan perkaitan
tersebut, bina rumus
∫  a 
n bagi f(x) dx.
b

Luas di bawah lengkung = had ∑ y dx
dx ˜ 0 i = 1 i
= ∫   b y dx
a


Luas suatu rantau


Luas rantau antara suatu lengkung dengan paksi-x
Rajah di sebelah menunjukkan rantau antara lengkung y = f (x) y

dengan paksi-x yang dibatasi oleh garis x = a dan x = b. Rumus y = f(x)
bagi luas rantau L itu diberi oleh:

∫  
b
L = y dx L x
a O a b

96 3.3.2 3.3.3

Pengamiran
Aktiviti Penerokaan 5 Berkumpulan STEM PK
Berkumpulan PAK-21

Tujuan: Menentukan luas suatu rantau yang berada di atas dan
di bawah paksi-x
Langkah: bit.ly/2FvKmYB
1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah.
1
2. Perhatikan rantau di bawah lengkung y = x yang terpapar pada satah.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
3
3
3. Gerakkan titik a pada x = 0 dan titik b pada x = 5. BAB
4. Perhatikan kedudukan rantau yang terbentuk dan nilai bagi luas rantau itu.
5. Ulang langkah 3 dan 4 dengan mengubah titik a kepada x = –5 dan titik b kepada x = 0. 3
6. Catatkan nilai bagi kamiran tentu yang berikut berserta kedudukan rantaunya.
∫
1
5
1
(a) x dx (b) ∫ 0 –5 3 3
x dx
3
0 3
7. Bincangkan hasil dapatan kumpulan anda di hadapan kelas.
Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 5, didapati bahawa: y
y = f(x)

Bagi suatu rantau yang dibatasi oleh suatu Nilai kamiran
lengkung dan paksi-x, adalah positif
• Jika rantau itu berada di bawah paksi-x, maka Nilai kamiran O x
nilai bagi hasil kamiran adalah negatif. adalah negatif
• Jika rantau itu berada di atas paksi-x, maka
nilai bagi hasil kamiran adalah positif.
• Luas bagi kedua-dua rantau adalah positif.

Contoh 14

Cari luas bagi setiap rantau berlorek yang berikut.
(a) y (b) y
y = 2x 2
2
y = x – 6x + 5


2 5
x x
O 3 6 O

Penyelesaian
∫
6
(a) Luas rantau = y dx
3 6 Gunakan aplikasi Photomath
∫
untuk mencari kamiran bagi
= 2x dx
2
3
suatu fungsi.
2x 3 6
=
3
[ ] 3
2(6) 3 2(3) 3
= –
3 3
= 126 bit.ly/2QNZ3LJ
Maka, luas rantau berlorek ialah 126 unit .
2
97
3.3.3 97

(b) Luas rantau
5
Sudut Informasi
= ∫ y dx Sudut Informasi
   2
5
2
= ∫ (x – 6x + 5) dx
   2 Tanda negatif pada hasil
5
= [ x 3 3 – 6x 2 + 5x suatu kamiran hanya
menunjukkan kedudukan
2
] 2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
[ 5 3 6(5) 2 ] [ 2 3 6(2) 2 ] luas rantau yang berada
di bawah paksi-x. Oleh itu,
= 3 – 2 + 5(5) – 3 – 2 + 5(2)
= –9 tanda negatif tersebut
boleh diabaikan.
Maka, luas rantau berlorek ialah 9 unit .
2
Contoh 15
Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada lengkung y
2
y = 2x – 6x. Cari luas bagi rantau yang berlorek itu. y = 2x – 6x
2






Penyelesaian O 3 6 x

Katakan A mewakili rantau berlorek di bawah paksi-x dan B
mewakili rantau berlorek di atas paksi-x.

Luas rantau A = ∫   3 y dx
0 y
2
2
= ∫   3 (2x – 6x) dx y = 2x – 6x
0
= [ 2x 3 – 6x 2 3
3
2
] 0
] [
= [ 2(3) 3 – 3(3) – 2(0) 3 – 3(0) 2 ]
2
3
3
= –9 A B
2
Jadi, luas rantau A ialah 9 unit . O 3 6 x
∫  
6
Luas rantau B = y dx
3
2
= ∫   6 (2x – 6x) dx Kaedah Alternatif
3 Luas rantau berlorek
[ 2x 3 6x 2 6
= 3 – 2 ] 3 = (2x – 6x) dx + (2x – 6x) dx
6
3
 ∫
∫
2
2
0
3
] [
= [ 2(6) 3 – 3(6) – 2(3) 3 – 3(3) 2 ] =  –9  + 45
2
3
3
= 45 = 9 + 45 2
= 54 unit
2
Jadi, luas rantau B ialah 45 unit .
Maka, luas rantau berlorek = 9 + 45
= 54 unit 2
98
98 3.3.3

Pengamiran
Luas rantau antara suatu lengkung dengan paksi-y

Rajah di sebelah menunjukkan rantau antara lengkung x = g(y) y
dengan paksi-y yang dibatasi oleh garis y = a dan y = b. Rumus x = g(y)
bagi luas rantau L itu diberi oleh: b
L
∫  
b
L = x dy a x
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
a O
BAB
Aktiviti Penerokaan 6 Berkumpulan STEM PK 3
Berkumpulan PAK-21

Tujuan: Menentukan luas suatu rantau yang berada di sebelah kiri dan di
sebelah kanan paksi-y
Langkah:
bit.ly/36rPW9W
1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah.
1
2. Perhatikan rantau di bawah lengkung x = y yang terpapar pada satah.
3
3. Gerakkan titik a pada y = 0 dan titik b pada y = 5.
4. Perhatikan kedudukan rantau yang terbentuk dan nyatakan sama ada nilai bagi luas rantau
itu adalah positif atau negatif.
5. Ulang langkah 3 dan 4 dengan mengubah titik a kepada y = –5 dan titik b kepada y = 0.
6. Kemudian, salin dan lengkapkan jadual di bawah.

Nilai kamiran Kedudukan rantau
1
∫   5 y dy
3
0
1
∫   0 y dy
3
–5
7. Bersama-sama ahli kumpulan, bincangkan perkaitan antara tanda bagi nilai kamiran
dengan kedudukan rantaunya.
8. Bentangkan hasil dapatan kumpulan anda di hadapan kelas.



Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 6, didapati bahawa: y
x = g(y)

Bagi suatu rantau yang dibatasi oleh suatu lengkung Nilai kamiran
adalah negatif
dan paksi-y,
• Jika rantau itu berada di sebelah kiri paksi-y, maka x
O
nilai bagi hasil kamiran adalah negatif. Nilai kamiran
• Jika rantau itu berada di sebelah kanan paksi-y, adalah positif
maka nilai bagi hasil kamiran adalah positif.
• Luas bagi kedua-dua rantau adalah positif.




3.3.3 99

Contoh 16

Cari luas bagi setiap rantau berlorek yang berikut.
(a) (b)
y y
2
y = –x
4 x = – (y + 1)(y – 3)
1
x
O
x
O


Penyelesaian
(a) Diberi y = –x.
2
Jadi, x = –y . Mencari penyelesaian
2
dalam Contoh 16(a) dengan
Luas rantau = ∫   4 x dy menggunakan kalkulator
1 saintifik.
2
= ∫   4 –y dy 1. Tekan
1
y 3 4
= –
3
[ ] 1
[ ] [ ]
= – 4 3 – – 1 3 2. Skrin akan memaparkan
3 3
= –21

Maka, luas rantau berlorek ialah 21 unit .
2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
(b) Diberi x = – (y + 1)(y – 3).
Apabila x = 0,
– (y + 1)(y – 3) = 0
y = –1 atau y = 3
Jadi, batas bagi rantau berlorek itu ialah y = –1 dan y = 3.

Oleh itu,
Luas rantau = ∫   3 x dy
–1
= ∫   3 – (y + 1)(y – 3) dy
–1
2
= ∫   3 (–y + 2y + 3) dy
–1 3 2
y
[
3
= – + 2y + 3y ] –1
3
2
] [
[
3
3
2
2
= – + 3 + 3(3) – – (–1) 3 + (–1) + 3(–1) ]
3
3
( )
5
= 9 – – 3
32
=
3
Maka, luas rantau berlorek ialah 32 unit .
2
3
100 3.3.3
100

Pengamiran
Contoh 17

Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada y
lengkung x = y(y – 2)(y – 5). Cari luas bagi rantau x = y(y – 2)(y – 5)
yang berlorek itu.



KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
x
O
BAB
Penyelesaian 3

Katakan A mewakili rantau berlorek di sebelah kanan
y
paksi-y dan B mewakili rantau berlorek di sebelah
kiri paksi-y. 5 x = y(y – 2)(y – 5)
Diberi x = y(y – 2)(y – 5). B
Apabila x = 0,
y(y – 2)(y – 5) = 0 2 A
y = 0, y = 2 atau y = 5 x
O
Jadi, batas bagi rantau A ialah y = 0 dan y = 2 dan batas
bagi rantau B ialah y = 2 dan y = 5.

Oleh itu,
Luas rantau A Luas rantau B
∫  
∫  


2
5
= y(y – 2)(y – 5) dy = y(y – 2)(y – 5) dy
0 2
∫  
∫  
5
2


3
2
= (y – 7y + 10y) dy = (y – 7y + 10y) dy
2
3
0 2
[ y 4 7y 3 10y 2 ] 2 [ y 4 7y 3 10y 2 ] 5
= – + = – +
4 3 2 0 4 3 2 2
[ 2 4 7(2) 3 2 ] [ 5 4 7(5) 3 2 ]
= 4 – 3 + 5(2) = 4 – 3 + 5(5)
[ 0 4 7(0) 3 2 ] [ 2 4 7(2) 3 2 ]
– 4 – 3 + 5(0) – 4 – 3 + 5(2)
16 125 16
= – 0 = – –
3 12 3
16 63
= = –
3 4
16 63
2
Jadi, luas rantau A ialah unit . Jadi, luas rantau B ialah unit .
2
3 4
Luas rantau berlorek = 16 + 63
3 4
= 253
12
2
Maka, luas rantau berlorek ialah 253 unit .
12
3.3.3 101

Luas rantau antara suatu lengkung dengan garis lurus

Rantau berlorek seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 3.1(a) ialah rantau antara lengkung
y = g(x) dengan garis lurus y = f (x) dari x = a hingga x = b.

Luas bagi rantau berlorek itu adalah seperti berikut:
y y y
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

y = f(x) y = f(x)


= –
y = g(x) y = g(x)
x x x
O a b O a b O a b

Luas rantau berlorek Luas di bawah lengkung Luas di bawah garis
y = g(x) y = f (x)
Rajah 3.1(a) Rajah 3.1(b) Rajah 3.1(c)
Maka,

∫  
∫  
b
b
Luas rantau berlorek = g(x) dx – f (x) dx
a a
= ∫   b [ g(x) – f (x)] dx
a
Rantau berlorek dalam Rajah 3.2(a) pula menunjukkan rantau antara garis lurus y = f (x)
dengan lengkung y = g(x) dari x = a hingga x = b.

Luas bagi rantau berlorek itu adalah seperti berikut:
y y y

y = g(x) y = g(x)

y = f(x) y = f(x)

= –
x x x
O a b O a b O a b

Luas rantau berlorek Luas di bawah garis Luas di bawah lengkung
y = f (x) y = g(x)
Rajah 3.2(a) Rajah 3.2(b) Rajah 3.2(c)

Maka,

∫  
∫  
b
b
Luas rantau berlorek = f (x) dx – g(x) dx
a a
= ∫   b [ f (x) – g(x)] dx
a
102 3.3.3

Pengamiran
Contoh 18

2
Dalam rajah di sebelah, lengkung y = –x + 2x + 8 y
bersilang dengan garis lurus y = x + 2 pada titik (–2, 0)
2
y = –x + 2x + 8
dan (3, 5). Cari luas bagi rantau yang berlorek.
y = x + 2
(3, 5)
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
(–2, 0)
x
O
BAB
Penyelesaian 3

Luas rantau = ∫   3 (–x + 2x + 8) dx – ∫   3 (x + 2) dx
2
–2 –2
2
= ∫   3 (–x + 2x + 8 – x – 2) dx Apakah kaedah lain yang
–2 boleh digunakan untuk
2
= ∫   3 (–x + x + 6) dx menyelesaikan Contoh 18?
–2 Bincangkan.
[
3
x
= – + x 2 + 6x ] 3
3 2 –2
] [
[
3
3
= – + 3 2 2 + 6(3) – – (–2) 3 + (–2) 2 + 6(–2) ]
2
3
3
125
= unit 2
6
Contoh 19
1
Rajah di sebelah menunjukkan garis lurus y = x + 6 yang y 1 2
–
2 y = x + 3
2
1
2
1
bersilang dengan lengkung y = x + 3. Hitung luas rantau y = x + 6
–
2 2
berlorek yang dibatasi oleh garis lurus dan lengkung itu.
x
O
Penyelesaian
1
y = x + 3 …1 Luas rantau
2
)
)
2 3 1 3 1
2

= ∫   ( x + 6 dx – ∫   ( x + 3 dx

1
y = x + 6 …2 –2 2 1 –2 2
)
) (
1
3
2
2 = ∫   ( x + 6 – x + 3 dx

Gantikan 1 ke dalam 2, –2 2 2
)
1
3

= ∫   ( 1 x – x + 3 dx
2
1 x + 3 = x + 6 –2 2 2
1
2
2 2 [ x 2 x 3 3
1 x – x – 3 = 0 = 4 – 6 + 3x ] –2
1
2
2 2 = [ 3 2 3 4 + 3(3)] – [ (–2) 2 (–2) 3 + 3(–2)]
2
x – x – 6 = 0 4 – 6 4 – 6
(x + 2)(x – 3) = 0 125 2
x = –2 atau x = 3 = 12 unit
103
3.3.3 103

Luas rantau di antara dua lengkung

Contoh 20

2
3
Lengkung y = x dan y = ! x bersilang pada titik (0, 0) dan (1, 1). Cari luas bagi rantau di
antara dua lengkung itu.
Penyelesaian
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
∫  
∫  
1
1
3
2
Luas rantau = ! x dx – x dx y 2
0 0 y = x
1 3
1
�
= ∫   ( 3 2 ) y = x
x – x dx
0 (1, 1)
4
]
= [ 3x 3 – x 3 1
4 3 0
4 3 4
= [ 3(1) – 1 3 ] – [ 3(0) 3 – 0 3 ] O x
4 3 4 3
5
= unit 2
12
Latihan Kendiri 3.6
1. Cari luas bagi setiap rantau berlorek yang berikut.
(a) (b) (c)
y y y
1
–
y = x 2 x = y + y – 6
2
2
y = 3x – x + 2
2
1
x
O
x x –2
O 3 –3 O 2

2. Cari luas bagi setiap rantau berlorek yang berikut.
(a) (b) (c) y
y y
2
y = x – 4x + 5 y = 5x
2
–2 O x
x O
x
y = –x(x + 3)(x – 4) O
y = –2x + 5 2y = –x


2
2
3
3. (a) Jika lengkung y = –x – x menyilang lengkung y = –x – x pada titik (–1, 0), (0, 0) dan
(1, –2), cari luas rantau di antara dua lengkung itu.
2
2
(b) Diberi bahawa lengkung y = x – 4x dan y = 2x – x bersilang pada dua titik. Cari luas
bagi rantau di antara dua lengkung itu.
104 3.3.3

Pengamiran
Perkaitan antara had bagi hasil tambah isi padu silinder dengan isi padu
janaan daripada kisaran suatu rantau

Aktiviti Penerokaan 7 Berkumpulan
Berkumpulan
Tujuan: Menentukan bentuk suatu bongkah apabila suatu rantau dikisarkan
sepenuhnya melalui 360° pada suatu paksi
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Langkah:
1. Sediakan tiga buah tanglung kertas seperti yang ditunjukkan dalam BAB
gambar di sebelah. 3
2. Ceraikan bahagian tanglung dan ambil bahagian yang paling besar.
3. Perhatikan setiap rantau berlorek dalam rajah di bawah. Kemudian, lukis setiap rantau itu
pada tiga tanglung kertas yang berbeza.
(a) (b) (c)
y y y






x x x
O O O

4. Guntingkan ketiga-tiga tanglung kertas itu mengikut bentuk rantau yang dilukis.
5. Buka tanglung tersebut dan tampalkan kedua-dua permukaan yang bertemu.
6. Kemudian, perhatikan ketiga-tiga bongkah yang terbentuk. Apakah perkaitan antara setiap
bongkah tersebut dengan kisaran 360°?

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 7, didapati bahawa suatu bongkah kisaran akan dijana
apabila luas di bawah suatu rantau dikisarkan sepenuhnya melalui 360° pada suatu paksi.
Isi padu bongkah janaan yang terbentuk apabila suatu rantau berlorek diputarkan melalui
360° pada paksi-x dapat ditentukan dengan membahagikan bongkah tersebut kepada n silinder
mencancang dengan lebar dx. Perhatikan rajah yang berikut.
y y


y = f(x) y = f(x)
y
y i
n
δI i
x
x
O a b O a b
δx
δx

Apabila nilai dx adalah kecil, maka isi padu bongkah yang dijana ialah jumlah isi padu bagi
semua silinder itu.
Isi padu silinder, d I = Luas keratan rentas × Lebar silinder
i
2
= π y × dx
i
= π y dx
2
i
3.3.4 105

Isi padu n silinder = dI + dI + dI + … + dI
Sudut Informasi
1 2 3 n Sudut Informasi
n
= ∑ dI i
i = 1 Nilai bagi isi padu janaan
n adalah sentiasa positif.
2
= ∑ π y dx
i
i = 1
Apabila bilangan silinder adalah cukup besar, iaitu n ˜ ∞,
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
maka dx ˜ 0.
Secara amnya,
n b
∫  
2
Isi padu bongkah janaan = had ∑ π y dx = π y dx
2
dx ˜ 0 i = 1 i a
Isi padu bongkah janaan yang terbentuk apabila suatu rantau berlorek diputarkan melalui
360° pada paksi-y pula dapat ditentukan dengan menggunakan kaedah yang sama seperti isi padu
bongkah janaan apabila rantau berlorek diputarkan melalui 360° pada paksi-x. Bongkah tersebut
dibahagikan kepada n silinder mengufuk dengan tinggi dy. Perhatikan rajah yang berikut.

y
y x
n
x = g(y)
x = g(y) b
b
x
δy i
δI
i δy


a x a x
O O

Apabila nilai dy adalah kecil, maka isi padu bongkah yang dijana ialah jumlah isi padu bagi
semua silinder itu.


Isi padu silinder, dI = Luas keratan rentas × Tinggi silinder
i
= π x × dy
2
i
= π x dy
2
i
Isi padu n silinder = dI + dI + dI + … + dI
1 2 3 n
n
= ∑ dI i
i = 1
n
2
= ∑ π x dy
i
i = 1
Apabila bilangan silinder adalah cukup besar, iaitu n ˜ ∞, maka dy ˜ 0.
Secara amnya,
n b
∫  
2
2
Isi padu bongkah janaan = had ∑ π x dy = π x dy
dy ˜ 0 i = 1 i a
106 3.3.4

Pengamiran
Isi padu janaan bagi suatu rantau yang dikisarkan pada paksi-x
atau paksi-y
y
Isi padu janaan I bagi suatu rantau di bawah suatu lengkung y = f(x)

y = f (x) yang dibatasi oleh x = a dan x = b apabila dikisarkan
melalui 360° pada paksi-x ialah:
x
O a b
∫  
b
I = π y dx
2
a
BAB
Contoh 21 3
Cari isi padu janaan, dalam sebutan π, bagi rantau yang dibatasi oleh lengkung y = 2x + 3,
2
x = 0 dan x = 2 yang dikisarkan sepenuhnya pada paksi-x.
Penyelesaian

2
2
Isi padu janaan = πy dx y 2
∫   0 y = 2x + 3
2
2
= π (2x + 3) dx
2
∫   0
2
= π (4x + 12x + 9) dx
2
4
∫   0
[ 4x 5 12x 3 2 x
= π
+
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
+ 9x
O
2
3
5
] 0
[( 4(2) 5 3 ) ( 4(0) 5 3 )]
= π 5 + 4(2) + 9(2) – 5 + 4(0) + 9(0)
3
= 75 π unit 3
5
y
Isi padu janaan I bagi suatu rantau di bawah suatu lengkung x = g(y)
x = g(y) yang dibatasi oleh y = a dan y = b apabila dikisarkan
melalui 360° pada paksi-y ialah: b
a
∫  
b
I = π x dy
2
a O x
Contoh 22
Cari isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau y
berlorek dalam rajah di sebelah diputarkan melalui 6
y = –
360° pada paksi-y. x
4
1
x
O

107
3.3.5 107

Penyelesaian
6
Diberi y = Apakah bentuk geometri
x yang akan terbentuk
Jadi, x = 6 apabila rantau berlorek
y dalam setiap rajah
Isi padu janaan = ∫   4 π x dy di bawah dikisarkan
2
1 sepenuhnya pada paksi-x?
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
4
6 2

= π ∫   ( ) dy (a) y y = x
1 y
36
4

= π ∫   ( ) dy
1 y 2
–2
= π ∫   4 (36y ) dy x
1 –1 O 3
= π [ 36y ] 4 (b) y
–1 1
= π – 36 4
y
[ ] 1 y = 3
[( ) ( )]
= π – 36 – – 36 x
2
4
= 27π unit 3 O 3
Contoh 23
1 2 y
Dalam rajah di sebelah, lengkung y = x bersilang 1
–
4 y = x 2
4
dengan garis lurus y = x pada titik O dan A. Cari y = x
(a) koordinat bagi titik A,
(b) isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau A
berlorek itu dikisarkan sepenuhnya pada paksi-x.

Penyelesaian O x

1
(a) y = x … 1
2
4
y = x … 2
Gantikan 1 ke dalam 2,
1 x = x
2
4
x = 4x
2
x – 4x = 0
2
x(x – 4) = 0
x = 0 atau x = 4
Gantikan x = 4 ke dalam 2, kita peroleh y = 4.

Maka, koordinat bagi titik A ialah (4, 4).




108 3.3.5
108

Pengamiran

(b) Katakan I ialah isi padu janaan bagi garis lurus y = x dan I ialah isi padu janaan bagi
1 2
1
lengkung y = x daripada x = 0 hingga x = 4.
2
4
1
1 ∫   4 2 I = π x 2 2 dx
2 ∫   ( )
4
I = 0 π(x) dx 0 4
1 ∫  
∫  
2
4 1

I = π 4 0 x dx I = π x dx
4
x 3 4 2 0 16
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
I = π x 5 4
2 [
3
1 [ ] 0 I = π 16(5) ] 0
1 [( )
3
0
I = π 4 3 3 – ( )] 4 5 – ( )] BAB
2 [( )
0
5
3
64 I = π 80 80 3

I = π unit 3
1 3 I = 64 π unit 3
2 5
Maka, isi padu janaan = I – I
1 2

64 64

= π – π
3 5
8
= 8 π unit 3
15
Latihan Kendiri 3.7
1. Cari isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau berlorek dalam setiap rajah yang
berikut dikisarkan melalui 360°.
(a) Pada paksi-x. (b) Pada paksi-y.
y y
2
y = –x + 3x 6
y = 6 – 2x 2
x
O 2
x
O

2. Hitung isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung
2
y = – 4x, y = 0 dan y = 2 dikisarkan melalui 360° pada paksi-y.
3. Cari isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau yang dibatasi oleh garis lurus
2
y = 5 – x, lengkung y = –x + 4, paksi-x dan paksi-y dikisarkan sepenuhnya melalui paksi-x.
4. Dalam rajah di sebelah, lengkung y = 4 – x dan garis y
2
lurus y = x – 2 bersilang pada dua titik A dan B. Cari y = 4 – x y = x – 2
2
(a) koordinat bagi titik A,
(b) koordinat bagi titik B, B
(c) isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau O x
berlorek yang dibatasi oleh lengkung y = 4 – x dan
2
garis lurus y = x – 2 itu diputarkan melalui 360° A
pada paksi-y.
3.3.5 109

3.3
Latihan Formatif Kuiz bit.ly/2Esl90x

1. Cari nilai bagi setiap yang berikut.
2
2
2
5
(a) ∫   3 (2 – x) dx (b) ∫   2 8x – 6x + 8 dx (c) ∫   3 2x (x – x)dx
–1 –3 2 – x –2
∫  
5
5
∫  
∫  
3
0
∫  
1
2. (a) Diberi f (x) dx = 2 dan g(x) dx = 7. Cari nilai bagi f (x) dx + 3g(x) dx.
0 2 3 2 2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
∫  
∫  
∫  
3
7
7
(b) Jika k(x) dx = 10, cari nilai bagi [k(x) – 3] dx + k(x) dx.
1 1 3
3. Diberi luas rantau di bawah lengkung y = x + hx – 5 yang dibatasi oleh garis x = 1 dan
2
1
2
x = 4 ialah 28 unit . Cari nilai bagi h.
2
2
4. Rajah di sebelah menunjukkan lengkung y = x dan y
garis lurus y = 4. Suatu garis lurus dilukis melalui y = x 2
titik H(0, 2) dengan kecerunan –1 dan bertemu
2
dengan lengkung y = x pada titik K. Cari y = 4
P
(a) koordinat titik K, H(0, 2)
(b) nisbah luas rantau P kepada luas rantau Q. Q
K
x
O
2
5. (a) Lakarkan graf bagi lengkung y = 6x + x .
(b) Cari persamaan tangen kepada lengkung y = 6x + x pada asalan dan pada titik dengan
2
keadaan x = 2.
(c) Diberi bahawa kedua-dua tangen kepada lengkung itu bertemu pada titik A, cari koordinat
titik A. Seterusnya, cari luas rantau yang dibatasi oleh garis-garis persamaan tangen dan
lengkung tersebut.
2
6. Cari isi padu janaan, dalam sebutan π, bagi rantau yang dibatasi oleh lengkung y = x + 2,
garis lurus x = 1 dan x = 2 yang diputarkan melalui 360° pada paksi-y.
2
7. Rajah di sebelah menunjukkan lengkung y = x + 4 y
dan tangen kepada lengkung itu pada titik P(1, 5). y = x + 4
2
(a) Cari koordinat bagi titik Q.
(b) Hitung luas rantau berlorek.
(c) Cari isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila
rantau yang dibatasi oleh lengkung P(1, 5)
2
y = x + 4, paksi-y dan garis lurus y = 8 Q
dikisarkan sepenuhnya pada paksi-y. O x
8. Rajah di sebelah menunjukkan lengkung y = 6 – x dan y
2
3y = 8 + 2x
garis lurus 3y = 8 + 2x yang bersilang pada titik A.
(a) Cari koordinat bagi titik A.
A Q
(b) Hitung luas rantau berlorek Q.
y = 6 – x
2
(c) Kira isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila P
luas rantau berlorek P diputarkan melalui 360° O x
pada paksi-x.
110

Pengamiran

3.4 Aplikasi Pengamiran



Pengamiran merupakan satu daripada cabang dalam bidang kalkulus dan mempunyai banyak
aplikasi yang berguna dalam kehidupan seharian. Melalui pengamiran, kita dapat mencari luas
suatu rantau yang berbentuk lengkung, menentukan jarak yang dilalui oleh suatu objek daripada
fungsi halaju serta menyelesaikan banyak masalah dalam bidang ekonomi, biologi dan statistik.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

Menyelesaikan masalah yang melibatkan pengamiran BAB
3

Contoh 24 Aplikasi Matematik

Rajah di sebelah menunjukkan keratan rentas bagi sebuah mangkuk 12 cm
2
berbentuk parabola yang fungsinya boleh diwakili oleh y = ax .
Diameter dan kedalaman mangkuk itu masing-masing ialah 12 cm 2 cm
dan 2 cm. Tunjukkan bahawa a = 1 . Seterusnya, cari isi padu,
18
dalam sebutan π, bahagian dalaman mangkuk tersebut.
Penyelesaian


1 . Memahami masalah 2 . Merancang strategi

Bentuk bahagian dalaman Gantikan koordinat (6, 2) ke dalam
mangkuk itu diwakili oleh y = ax . persamaan y = ax .
2
2
2
Diameter mangkuk = 12 cm. Gunakan rumus π x dy.
∫
2
Kedalaman mangkuk = 2 cm. 0
Cari nilai a bagi persamaan y = ax .
2
Cari isi padu janaan, dalam sebutan
π, bahagian dalaman mangkuk itu. 3 . Melaksanakan strategi
Diberi y = ax .
2
Apabila x = 6 dan y = 2,
4 . Membuat refleksi 2 = a(6) 2
2 = 36a
1
∫ ( )
2
π y dy = 36π a = 18
0 a
y 2 2 Jadi, y = 1 x 2
π = 36π 18
2a
[ ] 0
2
x = 18y
0
[ 2a – 2a 2 ] = 36π Isi padu dalaman mangkuk
2
2
π
∫
2
2 = π (18y) dy
= 36 0
a 18y 2 2
a = 1 = π [ ] 0
2
18
2
2
= π [9(2) – 9(0) ]
= 36π cm 3
3.4.1 111

Contoh 25 Aplikasi Matematik

Dalam satu kajian, didapati bahawa kadar pertambahan luas
bagi koloni bakteria pada agar-agar makmal boleh diwakili
oleh dA = 2t + 5, dengan keadaan A ialah luas koloni
dt
bakteria, dalam cm , dan t ialah masa, dalam saat, apabila
2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
bakteria dikulturkan pada agar-agar.
2
Diberi bahawa bilangan bakteria bagi setiap keluasan 1 cm
ialah 1 000 000 sel dan koloni bakteria mempunyai ketebalan
satu sel sahaja. Cari bilangan bakteria selepas 5 saat.
Penyelesaian


1 . Memahami masalah 2 . Merancang strategi

Kadar pertambahan luas bagi koloni 5
∫
bakteria pada agar-agar makmal, Gunakan rumus (2t + 5) dt.
0
dA = 2t + 5. Cari bilangan bakteria dengan
dt
Bilangan bakteria bagi keluasan mendarabkan luas koloni bakteria
2
1 cm = 1 000 000 sel. dengan bilangan sel per cm .
2
Cari luas bagi koloni bakteria.
Cari bilangan bakteria selepas
5 saat. 3 . Melaksanakan strategi

Luas koloni bakteria selepas 5 saat
5
∫
4 . Membuat refleksi = (2t + 5) dt
0
5
Katakan u ialah masa yang diperlukan = [ 2t 2 + 5t
untuk menghasilkan 5 × 10 sel bakteria. 2 5 ] 0
7
[
= t + 5t
2
]
[∫ (2t + 5) dt × 1 000 000 = 5 × 10 7 ] 0
u
0 2 = [(5 + 5(5)) – (0 + 5(0))]
2
2
5 × 10
7
u
[ 2t + 5t ] 0  = 1 000 000 = 50 cm 2
2
u
[ t + 5t ] 0  = 5 × 10 7 Bilangan bakteria = 50 × 1 000 000
2
1 000 000 = 50 000 000
2
[(u + 5u) – 0] = 50 = 5 × 10 7
2
u + 5u = 50
2
u + 5u – 50 = 0 Maka, bilangan bakteria selepas
7
5 saat ialah 5 × 10 sel.
Dengan menggunakan kaedah
pemfaktoran, kita peroleh
(u + 10)(u – 5) = 0
u = –10 atau u = 5
Oleh sebab nilai u mestilah positif,
maka u = 5 saat.
112 3.4.1

Pengamiran
Latihan Kendiri 3.8

1. Rajah di sebelah menunjukkan keratan rentas bagi sebuah
tudung saji rotan berbentuk parabola yang boleh diwakili
oleh persamaan y = – kx , dengan keadaan y adalah tinggi,
2
50 cm
dalam m, dan x ialah jejari, dalam m, tudung saji itu.
1 100 cm
(a) Tunjukkan bahawa k = .
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
50
(b) Cari isi padu, dalam sebutan π, bahagian dalaman tudung saji itu.
BAB
2. Kadar penyusutan nilai harga bagi sebuah kereta dalam masa setahun diberi oleh
S(t) = A (20 – t), dengan keadaan A ialah nilai harga asal, dalam RM, kereta tersebut 3
1 000
dan t ialah bilangan tahun kereta itu dibeli.
(a) Diberi harga asal bagi sebuah kereta ialah RM48 000. Cari nilai harga kereta itu
selepas 7 tahun.
(b) Jika harga asal sebuah kereta ialah RM88 500, cari peratus susutan nilai harga kereta
tersebut selepas 5 tahun.




3.4
Latihan Formatif Kuiz bit.ly/38MgTXK


1. Sebuah kilang menghasilkan minyak masak sawit. Didapati bahawa sebuah tangki minyak
yang berbentuk silinder di kilang tersebut mengalami kebocoran. Tinggi minyak dalam
–1
tangki itu berkurang dengan kadar 5 cmmin dan kadar perubahan isi padu minyak dalam
dV 3
tangki terhadap tinggi minyak diberi oleh = t – 6, dengan keadaan t ialah masa,
dh 5
3
dalam minit. Cari isi padu, dalam cm , minyak yang mengalir keluar daripada tangki itu
selepas 0.5 jam.
2. Rajah di sebelah menunjukkan keratan rentas sebuah penutup
mesin yang dihasilkan oleh mesin pencetak 3D. Penutup
itu diperbuat daripada sejenis bahan pencetak, iaitu filamen
plastik. Bahagian dalam dan bahagian luar penutup itu
1 2.8 cm 3 cm
masing-masing boleh diwakili oleh y = – x + 2.8 dan
2
16
1
2
y = – x + 3. Anggarkan kos, dalam RM, filamen plastik
20
yang digunakan untuk menghasilkan 20 penutup yang sama
jika harga 1 cm filamen plastik ialah 7 sen.
3
dK 300
[
3. Kadar penghasilan suatu mesin di sebuah kilang diberi oleh = 50 1 + 2] , dengan
dt (t + 25)
keadaan K ialah bilangan mesin yang dihasilkan dan t ialah bilangan minggu mesin tersebut
dalam tempoh pengeluaran. Cari
(a) bilangan mesin yang dihasilkan selepas 5 tahun,
(b) bilangan mesin yang dihasilkan pada tahun ke-6.

3.4.1 113

SUDUT REFLEKSI



PENGAMIRAN



KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Proses songsangan kepada pembezaan





Kamiran tak tentu Kamiran tentu
b
]
[
b
∫
n
• ax dx = ax n + 1 + c, n ≠ –1 • ∫ f (x) dx = g(x) + c = g(b) – g(a)
n + 1 a a a
∫ 
∫
∫
• [ f (x) ± g(x)] dx = f (x) dx ± g(x) dx • ∫ f (x) dx = 0
a
a
b
∫
∫
n
• (ax + b) dx = (ax + b) n + 1 + c, n ≠ –1 • ∫ f (x) dx = – f (x) dx
a
b
a(n + 1)
b b
∫
• ∫ kf (x) dx = k f (x) dx
a a
c b c
∫
∫
• ∫ f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx
Persamaan lengkung a a b
dy
Diberi suatu fungsi kecerunan = f (x),
dx
maka persamaan lengkung bagi fungsi itu
∫
ialah y = f (x) dx.
Isi padu janaan Luas di bawah lengkung
y y

y = f(x)
y = f(x)

Isi padu janaan Luas rantau L
1
x ∫ b 2 ∫ b
O a b = π y dx L = y dx
a 1 x a
O a b
y y
x = g(y)
x = g(y) Isi padu janaan b Luas rantau L
b b L b 2
∫
∫
2
= π x dy a 2 = x dy
a a x a
O x O
Aplikasi
114

Pengamiran




Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz merupakan dua orang ahli matematik yang
terkenal dengan sumbangan mereka dalam bidang kalkulus. Namun, kedua-dua tokoh ini
terlibat dalam satu perbalahan intelektual yang dikenali sebagai Kontroversi Kalkulus.
Buat satu kajian tentang sumbangan tokoh-tokoh ini dalam bidang kalkulus dan punca
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
berlakunya kontroversi tersebut. Berdasarkan hasil dapatan anda, siapakah tokoh pertama
yang mencipta kalkulus? Persembahkan hasil dapatan anda dalam satu folio grafik
yang menarik. BAB
3


Latihan Sumatif



1. Cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut. TP 1
2
∫
∫
(a) x(x – 2)(x + 3) dx (b) (2x – 3) 3 dx
2
∫
2. Diberi bahawa (3x – 2) n dx = a(3x – 2) + c. TP 2
–2
(a) Cari nilai bagi a dan n.
∫
3
(b) Dengan menggunakan nilai n yang diperoleh di (a), cari nilai bagi 8 n dx.
1 (3x – 2)
2
3(2x + 1) 2 dy 3(20x – 8x – 9)
3. Diberi y = , tunjukkan bahawa = . Seterusnya, cari nilai bagi
5x – 1 dx (5x – 1) 2
2
4 3(20x – 8x – 9)
∫ dx. TP 2
1 (5x – 1) 2
4. Suatu lengkung mempunyai fungsi kecerunan f (x) = 2x + 5x – r, dengan keadaan r ialah
2
suatu pemalar. Jika lengkung tersebut melalui titik (1, 14) dan (–2, –16), cari nilai r. TP 3
v
4
∫
∫
5. Diberi f (x) dx = 4 dan g(x) dx = 3, cari TP 3
0 1
2
2
∫
∫
(a) nilai bagi f (x) dx – f (x) dx,
0 4
4
v
∫
∫
(b) nilai v jika f (x) dx + [g(x) + x] dx = 19.
0 1
3
6. Diberi dV = 10t + 3, dengan V ialah isi padu, dalam cm , suatu objek dan t ialah masa,
dt
3
3
dalam s. Apabila t = 2, isi padu objek tersebut ialah 24 cm . Cari isi padu, dalam cm , objek
tersebut apabila t = 5. TP 4
y
7. Dalam rajah di sebelah, garis lurus 3y = 4x – 13
3y = 4x – 13
menyilang lengkung 2y = x – 2 pada titik K. Cari TP 2
2
2
2y = x – 2
(a) koordinat titik K, K
(b) luas rantau berlorek.
x
O
115
115

8. Rajah di sebelah menunjukkan lengkung Harga (RM)
2
permintaan pengguna, d(x) = (x – 4) dan lengkung s(x) = 3x + 2x + 4
2
2
penawaran pengeluar, s(x) = 3x + 2x + 4.
Rantau M mewakili lebihan pengguna dan rantau N
mewakili lebihan pengeluar. Titik P pula dikenali M P
sebagai titik keseimbangan antara permintaan N
pengguna dengan penawaran pengeluar. Cari TP 3
d(x) = (x – 4) 2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
(a) titik keseimbangan P,
(b) lebihan pengguna pada titik keseimbangan P, O Kuantiti (unit)
(c) lebihan pengeluar pada titik keseimbangan P.
9. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada
y
lengkung 4x = 4 – y yang menyilang garis lurus 3y = 18 + 2x
2
3y = 18 + 2x pada titik P. TP 4
(a) Cari koordinat bagi titik P. P A
(b) Hitung luas rantau berlorek A. 4x = 4 – y 2
(c) Cari isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila B
rantau berlorek B diputarkan melalui 360° O x
pada paksi-x.

10. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada
y
lengkung y + x = 4 dan garis tangen PR pada titik
2
Q(1, 3). Cari TP 4 P
y + x = 4
2
(a) koordinat bagi titik P, R dan S, S Q(1, 3)
(b) luas rantau berlorek,
(c) isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau
yang dibatasi oleh lengkung y + x = 4, paksi-y dan O R x
2
garis lurus yang selari dengan paksi-x dan melalui
titik Q diputarkan melalui 360° pada paksi-y.

2
11. Diberi suatu lengkung dengan fungsi kecerunan f (x) = px + 6x, dengan keadaan p ialah
pemalar. Jika y = 24x – 30 ialah persamaan tangen kepada lengkung tersebut pada
titik (2, q), cari nilai p dan q. TP 4
y
12. Rajah di sebelah menunjukkan lengkung y = x + 28
2
2
yang bersilang dengan lengkung y = x – 4 pada titik y = x – 4
2
10
2
K(–3, 5). TP 4 y = x + 28
K
(a) Hitung luas rantau P. Q
(b) Cari isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila P
rantau Q diputarkan melalui 360° pada paksi-y. O x
13. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada y
2
lengkung y = 2x – 3x + c dan garis lurus x = 5. TP 4 x = 5
2
(a) Cari nilai c dan koordinat bagi titik A. y = 2x – 3x + c
(b) Hitung luas rantau berlorek.
(c) Cari isi padu kisaran, dalam sebutan π, apabila B(5, 33)
2
rantau yang dibatasi oleh lengkung y = 2x – 3x + c
dan paksi-x diputarkan melalui 180° pada paksi-x. O A x

116

Pengamiran
14. Rajah di sebelah menunjukkan keratan rentas sebuah bekas
60 cm
yang mempunyai permukaan dalaman berbentuk parabola
dan penutup yang rata. Permukaan dalam bekas itu boleh
2
diwakili oleh y = ax . Cari jisim beras, dalam kg, yang 30 cm
boleh disimpan dalam bekas tersebut jika penutup bekas
itu dipasang dengan rapi.
3
[Ketumpatan beras = 1.182 g/cm ] TP 4
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
15. Encik Razak bercadang untuk membina sebuah kolam renang di kediamannya. Diberi
bahawa kedalaman kolam renang tersebut ialah 1.2 m dan sekata pada seluruh kolam. TP 5 BAB

(a) Diberi kadar pengisian air ke dalam kolam renang itu ialah dV = 3t + 14t, dengan 3
2
dt
keadaan V ialah isi padu air, dalam m , dan t ialah masa, dalam jam. Encik Razak
3
mengambil masa 5 jam untuk mengisi air ke dalam kolam renang itu. Cari isi padu,
dalam m , air di dalam kolam renang itu.
3
(b) Encik Razak ingin mengecat dasar kolam renang itu dengan cat berwarna biru. Kos
untuk mengecat ialah RM5 per m . Jika Encik Razak memperuntukkan RM1 000 untuk
2
kos mengecat, adakah beliau dapat mengecat keseluruhan dasar kolam renang itu?
Berikan sebab.



PBP


Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah untuk lampiran
Kerja Projek yang lengkap.
bit.ly/2Z6DDPa
Pengenalan
Emas merupakan sejenis logam berwarna
kuning yang digunakan sebagai mata wang
dan mempunyai pengaruh yang besar terhadap
kehidupan manusia. Sifat fizikal emas yang
berkilat dan tidak teroksida walaupun di dalam
air telah menyebabkan barang perhiasan yang
diperbuat daripada emas menjadi kegemaran
ramai. Emas juga digunakan dalam pelbagai
industri lain seperti industri pembuatan
komputer, alat komunikasi, kapal angkasa, enjin
pesawat jet, kapal terbang dan beberapa hasil
pengeluaran yang lain. Harga emas pula sentiasa
berubah mengikut masa.
Refleksi
Melalui projek yang telah dijalankan, apakah perkara yang telah anda pelajari?
Bagaimanakah anda dapat mengaplikasikan pengetahuan tentang pengamiran
dalam kehidupan seharian? Berikan ulasan anda dalam bentuk lembaran
pengurusan grafik yang menarik.


117

BAB PILIH ATUR DAN
4 GABUNGAN









Senarai KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA












Televisyen litar tertutup
IP:192.168.1.102

















Telefon bimbit
IP:192.168.1.103









Pilih Atur
Gabungan




Standard
Pembelajaran

bit.ly/2ZmlKdJ


Mesin Cetak
IP:192.168.1.1
118

Tahukah anda setiap komputer
atau peranti lain yang bersambung
dengan Internet masing-masing Al-Khalil Ibn Ahmad Al-Farahidi (718-791 M),
mempunyai satu alamat Protokol seorang ahli matematik Arab dan
Internet (Internet Protocol, IP) khas? ahli kriptografi yang menulis ‘Book of
Alamat Protokol Internet dicipta Cryptographic Messages’. Di dalam
dan diuruskan oleh IANA (Internet buku tersebut, penggunaan pilih atur dan
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Assigned Numbers Authority). Pada gabungan digunakan untuk pertama kali
pandangan anda, bagaimanakah ahli bagi menyenaraikan semua perkataan
pengatur cara membuat susunan Bahasa Arab yang mungkin dan tanpa vokal.
pilih atur alamat Protokol Internet Hasil kerja beliau dalam bidang kriptografi
bagi sesuatu peranti? turut mempengaruhi Al-Kindi (801-873 M),
yang telah menemui kaedah kriptoanalisis
menggunakan analisis kekerapan.
Kriptografi merupakan kajian
linguistik yang berkaitan dengan kod rahsia
yang dapat membantu seseorang memahami
bahasa yang telah pupus.

Untuk maklumat lanjut:




bit.ly/2HbHAvS

Kepentingan Bab Ini


Secara amnya, pilih atur dan gabungan
digunakan dalam penentuan nombor
Komputer pin ATM, kod keselamatan bagi telefon
IP:192.168.1.100 bimbit atau komputer, pemilihan
kombinasi baju serta seluar
dan lain-lain.
Penggunaannya meluas dalam
bidang kejuruteraan, sains komputer,
bioperubatan, sains sosial
dan perniagaan.





Petua pendaraban Product rule
Pilih atur Permutations
Faktorial Factorial
Susunan Arrangement
Video mengenai Tertib Order
Protokol Internet (IP) Gabungan Combinations
Objek secaman Identical object
bit.ly/34MyV94
119

4.1 Pilih Atur




Menyiasat dan membuat generalisasi tentang petua pendaraban

Aktiviti Penerokaan 1 Berkumpulan PAK-21
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Tujuan: Menyiasat dan membuat generalisasi tentang petua pendaraban dengan menggunakan
gambar rajah pokok
Langkah:
1. Kedai kegemaran anda menawarkan set sarapan Menu A Menu B
pagi. Berdasarkan menu di sebelah, pilih satu jenis • Roti canai • Kuah kari
roti dan satu jenis kuah. • Roti nan • Kuah dal
2. Dengan menggunakan gambar rajah pokok, • Roti jala
senaraikan set yang mungkin bagi pilihan anda.
3. Kemudian, tentukan bilangan cara set tersebut boleh dipilih.
4. Tentukan bilangan cara yang boleh dipilih jika kedai tersebut menambah pilihan set
dengan menawarkan empat jenis minuman.
5. Bincangkan hasil dapatan anda dengan rakan sekumpulan dan lantik seorang wakil untuk
membentangkan hasil dapatan kumpulan anda di hadapan kelas.


Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 1, didapati bahawa pilihan yang dibuat dapat digambarkan
dengan menggunakan gambar rajah pokok yang berikut.
Sudut Informasi
Sudut Informasi
Kuah kari {Roti canai, Kuah kari}
Roti canai
Kuah dal {Roti canai, Kuah dal} Hairi mempunyai 3 buah
motor dan 2 buah kereta.
Kuah kari {Roti nan, Kuah kari} Bilangan cara untuk Hairi
Roti nan menaiki kenderaan ke kedai
Kuah dal {Roti nan, Kuah dal} adalah seperti berikut:
Motor atau Kereta
Kuah kari {Roti jala, Kuah kari} 3 + 2 = 5 cara
Roti jala Kaedah untuk menentukan
Kuah dal {Roti jala, Kuah dal} bilangan cara bagi peristiwa
yang tidak berurutan dan
Terdapat enam cara yang mungkin bagi memilih set saling eksklusif ini dikenali
sarapan pagi itu. Selain daripada menyenaraikan kesudahan sebagai petua penambahan.
yang mungkin, kaedah lain yang boleh digunakan adalah dengan
mendarabkan bilangan kemungkinan bagi setiap peristiwa.

3 jenis roti × 2 jenis kuah = 6 cara memilih set

Sekiranya kedai tersebut menambah pilihan set dengan menawarkan empat jenis minuman,
bilangan cara memilih set sarapan pagi ialah:
3 jenis roti × 2 jenis kuah × 4 jenis minuman = 24 cara memilih set

Kaedah seperti di atas dikenali sebagai petua pendaraban.
120 4.1.1

Pilih Atur dan Gabungan
Secara amnya,

Petua pendaraban menyatakan bahawa jika suatu peristiwa boleh berlaku dalam m cara dan
suatu peristiwa kedua boleh berlaku dalam n cara, maka kedua-dua peristiwa boleh berlaku
dalam m × n cara.


Contoh 1 Sudut Informasi
Sudut Informasi
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
(a) Tentukan bilangan cara melambungkan sebiji dadu dan Penggunaan petua
sekeping duit syiling secara serentak. pendaraban juga boleh
(b) Cari bilangan cara seseorang boleh meneka kod 4 digit bagi diperluaskan kepada lebih
mengakses telefon bimbit jika pengulangan digit dibenarkan. daripada dua peristiwa.
Penyelesaian BAB

(a) Bilangan cara melambungkan sebiji dadu dan sekeping duit 4
syiling secara serentak ialah 6 × 2 = 12. Berdasarkan Contoh 1(b),
mengapakah penyelesaian
(b) Bilangan cara seseorang boleh meneka kod 4 digit bagi diberikan sebagai
mengakses telefon bimbit ialah 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000. 10 × 10 × 10 × 10? Jelaskan.

Latihan Kendiri 4.1

1. Terdapat 3 pilihan warna bagi sehelai kemeja dan 5 pilihan warna bagi sehelai seluar.
Tentukan bilangan cara padanan kemeja dan seluar itu.
2. Berapakah bilangan cara set jawapan diperoleh jika terdapat 15 soalan betul atau salah?
3. Terdapat 4 jalan yang menghubungkan Kota A ke Kota B dan 5 jalan dari Kota B ke Kota C.
Cari bilangan cara perjalanan pergi dan balik melalui Kota B yang boleh dilalui jika
(a) menggunakan jalan yang sama, (b) tidak menggunakan jalan yang sama.


Menentukan bilangan pilih atur

Menentukan bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza
Aktiviti Penerokaan 2 Berkumpulan PAK-21

Tujuan: Menentukan bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza secara linear
Langkah:
1. Bentukkan kumpulan yang terdiri daripada empat T U A H
atau enam orang ahli.
2. Setiap kumpulan akan menerima satu perkataan “TUAH” yang terdiri daripada huruf
T, U, A dan H.
3. Setiap murid perlu menulis cara huruf bagi perkataan TUAH yang boleh disusun
sekiranya ulangan huruf tidak dibenarkan pada sehelai kertas.
4. Kemudian, berikan kertas tersebut kepada rakan di sebelah dan setiap ahli kumpulan
menulis jawapan pada sehelai kertas yang sama.
5. Ulang proses ini sehingga tiada lagi kemungkinan yang ada.
6. Seorang daripada ahli kumpulan perlu menyatakan bilangan cara susunan yang mungkin.


4.1.1 4.1.2 121

Daripada Aktiviti Penerokaan 2, didapati bahawa terdapat dua kaedah untuk mencari
bilangan cara huruf-huruf dalam perkataan TUAH yang boleh disusun sekiranya ulangan
huruf tidak dibenarkan.
Kaedah 1 Kaedah 2

Senaraikan semua susunan yang mungkin. Isikan kotak kosong di bawah.
Daripada aktiviti tersebut, terdapat 24
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
cara yang boleh dibuat untuk menyusun
huruf-huruf tersebut tanpa ulangan.
4 pilihan 3 pilihan 2 pilihan 1 pilihan

Daripada kaedah kedua:
Bagi kotak pertama, terdapat empat cara huruf yang boleh diisi
sama ada T, U, A atau H. Diberi 1! = 1. Mengapakah
Bagi kotak kedua, terdapat tiga cara, kotak ketiga pula terdapat nilai 0! = 1? Bincangkan.
dua cara dan seterusnya kotak keempat terdapat satu cara.
Dengan menggunakan petua pendaraban, bilangan cara
susunan yang mungkin ialah 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
Bilangan cara menyusun huruf-huruf ini dikenali sebagai Menentukan pilih atur
pilih atur. 4 × 3 × 2 × 1 juga dikenali sebagai faktorial dan bagi 4 objek berbeza
boleh ditulis sebagai 4!. Secara amnya, menggunakan kalkulator.
1. Tekan

Bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza diberi sebagai 2. Skrin akan memaparkan
n!, dengan keadaan n! = P = n × (n – 1) × (n – 2) × …
n
n
× 3 × 2 × 1.

Contoh 2
Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai bagi setiap yang berikut.
11! 6! Ringkaskan yang berikut:
(a) (b) n! (n – 1)!
9! 4!2! (a) (n – 2)! (b) n!
Penyelesaian

11! 11 × 10 × 9! 6! 6 × 5 × 4!
(a) = (b) =
9! 9! 4!2! 4! × 2 × 1
= 11 × 10 = 6 × 5
= 110 2 × 1
= 15


Contoh 3
Cari bilangan cara menyusun semua huruf dalam perkataan BIJAK tanpa ulangan huruf.

Penyelesaian
Diberi bilangan huruf, n = 5.
Maka, bilangan cara menyusun semua huruf ialah 5! = 120.

122 4.1.2
122
122

Pilih Atur dan Gabungan
Aktiviti Penerokaan 3 Berkumpulan PAK-21


Tujuan: Menentukan bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza secara linear dan bulatan
Langkah:
1. Bentukkan kumpulan yang terdiri daripada enam orang ahli.
2. Setiap kumpulan akan diberikan satu perkataan yang mengandungi tiga huruf berikut.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
A P I

3. Setiap kumpulan perlu menyenaraikan perkataan yang boleh dibentuk jika perkataan itu
disusun secara
(a) linear (b) membulat
4. Perhatikan setiap susunan yang terhasil secara linear dan membulat. Adakah bilangan BAB
susunannya sama atau berbeza? Apakah perkaitan antara pilih atur suatu objek secara
linear dan bulatan? Jelaskan. 4
5. Bincangkan hasil dapatan kumpulan anda dan wakil kumpulan akan membentangkannya
di hadapan kelas.


Daripada Aktiviti Penerokaan 3, didapati bahawa sekiranya perkataan API disusun secara linear,
bilangan cara susunan yang mungkin ialah 3! = 6. Jika perkataan API disusun secara bulatan,
didapati bahawa 3 pilih atur secara linear bersamaan dengan 1 pilih atur dalam bulatan.
Jenis Bilangan
susunan Susunan susunan
Linear API IAP PIA AIP PAI IPA 6

A I P A P I
Membulat I P = P A = A I P I = I A = A P 2















































Jadi, bilangan cara susunan bagi perkataan API dalam bentuk bulatan ialah 3! = 2. Secara
3
amnya, pilih atur bagi n objek dalam bentuk bulatan diberi oleh:
P = n! = n(n – 1)! = (n – 1)!
n n
Akses QR
Contoh 4 Video cara menyusun
enam orang murid untuk
duduk di sebuah
Tentukan bilangan cara menyusun enam orang murid untuk meja bulat.
duduk di sebuah meja bulat.
Penyelesaian
Diberi bilangan murid, n = 6. Maka, bilangan cara menyusun
enam orang murid ialah (6 – 1)! = 120. bit.ly/2QiGcIg
4.1.2 123

Contoh 5 Sudut Informasi
Sudut Informasi
Cari bilangan cara menyusun 12 butir manik pelbagai warna
untuk membentuk seutas rantai mainan. Susunan objek bagi seutas
gelang atau kalungan yang
Penyelesaian berbentuk bulatan tidak
melibatkan arah jam dan
Diberi bilangan manik, n = 12 dan setiap manik perlu disusun lawan jam kerana kedua-
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
dalam bentuk bulatan. Didapati bahawa susunan manik mengikut duanya adalah sama.
arah jam atau lawan arah jam tidak memberi perbezaan. Susunan boleh dikira seperti
biasa dengan mencari pilih
Maka, bilangan cara menyusun 12 butir manik ialah atur n objek dalam bentuk
(12 – 1)! = 11! = 19 958 400. bulatan dan dibahagikan
2 2 dengan 2, iaitu (n – 1)! .
2
Latihan Kendiri 4.2

1. Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai bagi setiap yang berikut.
(a) 8! (b) 8! – 6! (c) 4! (d) 7!5!
5! 6! 2!2! 4!3!
2. Cari bilangan cara menyusun semua huruf dalam perkataan berikut tanpa ulangan huruf.
(a) SURD (b) LOKUS (c) VEKTOR (d) PERMUTASI
3. Berapakah bilangan cara menyusun tujuh orang pelanggan untuk duduk di sebuah meja bulat
di sebuah restoran?
4. Tentukan bilangan cara menyusun lapan butir permata berlainan warna untuk membentuk
seutas rantai.


Menentukan bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza diambil r objek pada
satu masa
Anda telah mempelajari kaedah untuk mengira bilangan cara menyusun empat huruf bagi
perkataan TUAH dengan mengisi kotak kosong sehingga memperoleh 4 × 3 × 2 × 1 = 24
bilangan cara susunan.
Pertimbangkan pula perkataan BERTUAH. Katakan
kita ingin memilih dan menyusun hanya empat huruf sahaja
daripada perkataan tersebut berdasarkan rajah di sebelah. 7 pilihan 6 pilihan 5 pilihan 4 pilihan

Dalam kotak pertama, terdapat 7 cara
huruf yang boleh diisi. Maka, kotak Dengan menggunakan petua
kedua mempunyai 6 cara, kotak ketiga pendaraban, bilangan cara
mempunyai 5 cara dan kotak keempat susunan yang mungkin ialah
mempunyai 4 cara. 7 × 6 × 5 × 4 = 840.



Perhatikan bahawa 7 × 6 × 5 × 4 juga
boleh ditulis sebagai: Bilangan pilih atur bagi 7 objek
7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 7! = 7! yang berbeza diambil 3 objek
3 × 2 × 1 3! (7 – 4)! pada satu masa boleh diwakilkan
7! dengan tatatanda P .
7
7
Jadi, P = = 840. 4
4 (7 – 4)!
124 4.1.2

Pilih Atur dan Gabungan
Secara amnya,

Bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza diambil r objek pada satu masa
n!
n
diberi oleh P = , dengan keadaan r < n.
r (n – r)!

Contoh 6

Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai bagi P . Tentukan nilai n yang
6
4
berikut. P = 10 PYSIA
Penyelesaian (a) P = 20
n
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALA
(b) n + 2 2 P = 30n
6! 6! 6 × 5 × 4 × 3 × 2! 3
6 P = = = = 360 n + 1
4 (6 – 4)! 2! 2! (c) 4 n 2
BAB
4
Contoh 7
Lapan orang ahli jawatankuasa sebuah persatuan dicalonkan
untuk memegang jawatan sebagai Presiden, Naib Presiden
dan Setiausaha. Cari bilangan cara pemilihan jawatan itu Penyelesaian Contoh 7
dengan menggunakan
dapat dibentuk. kalkulator saintifik.
1. Tekan
Penyelesaian
Tiga daripada lapan orang ahli jawatankuasa yang tercalon 2. Skrin akan memaparkan
perlu dipilih untuk memegang tiga jawatan.
8!
Maka, P = = 336.
8
3 (8 – 3)!
Pertimbangkan situasi yang berikut.


Katakan empat huruf daripada perkataan BERTUAH ingin disusun dalam
bentuk bulatan, berapakah bilangan susunan yang diperoleh?

Jika perkataan BERTUAH disusun secara linear, maka bilangan pilih atur yang diperoleh
7
ialah P = 840. Namun, jika perkataan tersebut disusun dalam bentuk bulatan, empat susunan
4
yang sama akan diperoleh. Maka, bilangan pilih atur bagi 4 daripada 7 huruf dalam bentuk
7 P
Pintar
bulatan ialah 4 = 840 = 210. Tip Pintar
4 4
Secara amnya, Pilih atur suatu objek yang
disusun dalam bentuk
Bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza diambil r bulatan tidak mengambil
objek pada satu masa yang disusun dalam bentuk bulatan kira sama ada mengikut arah
n P jam atau lawan arah jam,
diberi oleh r . maka bilangan pilih aturnya
r adalah seperti berikut.
n P
r
2r
125
4.2.2 125

Contoh 8

Nadia membeli 12 butir manik pelbagai warna di Pasar Kraf Tangan Kota Kinabalu dan
bercadang untuk membuat seutas gelang. Nadia mendapati bahawa gelang itu hanya
memerlukan 8 butir manik sahaja. Berapakah bilangan pilih atur untuk menghasilkan
gelang tersebut?
Penyelesaian
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Diberi jumlah manik ialah 12 butir dan 8 butir manik perlu disusun membentuk gelang.
Didapati bahawa susunan mengikut arah jam atau lawan arah jam tidak memberi perbezaan.
12 P 12 P
Maka, bilangan pilih atur ialah 8 = 8 = 1 247 400.
2(8) 16


Latihan Kendiri 4.3


1. Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai bagi setiap yang berikut.
9
(a) P (b) P (c) P (d) P
7
5
8
3 7 5 7
2. Dalam satu perlumbaan basikal, 9 orang peserta akan merebut tempat johan, naib johan dan
ketiga. Tentukan bilangan pilih atur bagi tiga tempat utama tersebut.
3. Sebuah stadium mempunyai 5 pintu. Cari bilangan cara 3 orang boleh memasuki stadium
itu dengan menggunakan pintu yang berlainan.
4. Cari bilangan cara nombor yang terdiri daripada 4 digit yang dapat dibentuk daripada digit
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dengan ulangan digit tidak dibenarkan.
5. Seorang pekerja di sebuah restoran perlu menyusun 10 biji pinggan di atas sebuah meja
bulat tetapi meja tersebut hanya boleh memuatkan 6 biji pinggan sahaja. Cari bilangan
pilih atur bagi menyusun pinggan-pinggan tersebut.

Menentukan bilangan pilih atur bagi n objek yang melibatkan objek secaman

Aktiviti Penerokaan 4 Berkumpulan PAK-21

Tujuan: Menentukan bilangan pilih atur bagi n objek yang melibatkan objek secaman
Langkah:
1. Setiap kumpulan diberikan satu perkataan yang terdiri daripada tiga huruf seperti berikut.

A P A

2. Labelkan dua huruf A masing-masing sebagai A dan A , kemudian bina gambar rajah pokok.
1 2
3. Berdasarkan gambar rajah pokok yang dibina, senaraikan semua susunan yang mungkin
bagi menyusun huruf-huruf itu. Berapakah bilangan susunannya?
4. Apabila A dan A adalah sama, berapakah bilangan susunannya? Apakah kaedah yang
1
2
boleh digunakan untuk mencari bilangan susunan bagi perkataan yang melibatkan huruf
secaman seperti huruf A dalam perkataan APA?
5. Lantik seorang wakil dan bentangkan hasil dapatan kumpulan anda di hadapan kelas.

126 4.1.2

Pilih Atur dan Gabungan
Daripada Aktiviti Penerokaan 4, hasil dapatan berikut diperoleh.
P A A PA
2 1 2
A Teroka GeoGebra berikut
1
A P A A P untuk melihat perwakilan
2 1 2
secara grafik bagi pilih atur
A A PA A melibatkan objek secaman.
1 2 1 2
P Bilangan susunan = 3 2 1
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
A A PA A
2 1 2 1 = 3 × 2 × 1
= 6
A P A A P
3
1 2 1 = P
A 3 ggbm.at/wkwwbm6b
2 = 3!
P A A PA
1 2 1
Apabila A = A = A, dengan dua susunan yang sama dianggap sebagai satu susunan, 3 bilangan BAB
1 2
susunan diperoleh, iaitu APA, AAP dan PAA. Cara untuk memperoleh 3 bilangan susunan ini 4
adalah dengan membahagikan jumlah susunan huruf-huruf dalam A PA dengan 2 huruf secaman
1 2
3!
A, iaitu = 3.
2!
Secara amnya,
Bilangan pilih atur bagi n objek yang melibatkan objek secaman diberi oleh
n!
P = , dengan a, b dan c, … ialah bilangan objek bagi setiap objek secaman.
a!b!c!…

Contoh 9

Hitung bilangan cara menyusun huruf-huruf daripada Katakan huruf-huruf
perkataan SIMBIOSIS. dalam perkataan
SIMBIOSIS ingin disusun
Penyelesaian bermula dengan huruf S.
Bagaimanakah anda dapat
Diberi n = 9. Bilangan objek secaman huruf S dan I adalah menentukan bilangan cara
sama, iaitu 3. Maka, bilangan cara menyusun huruf-huruf menyusun huruf-huruf itu
tanpa ulangan?
daripada perkataan SIMBIOSIS ialah 9! = 10 080.
3!3!

Latihan Kendiri 4.4

1. Tentukan bilangan cara menyusun semua huruf berbeza daripada setiap perkataan berikut.
(a) CORONA (b) MALARIA
(c) HEPATITIS (d) SKISTOSOMIASIS
2. Terdapat 5 batang pen biru dan 3 batang pen merah di dalam sebuah bekas. Cari bilangan
cara semua pen itu dapat disusun dalam satu baris.
3. Terdapat 4 helai bendera berwarna putih dan 6 helai bendera berwarna kuning di dalam
sebuah kotak. Cari bilangan cara bendera-bendera itu dapat dipasang pada suatu tiang yang
mencancang.
4. Cari bilangan nombor ganjil yang dapat dibentuk daripada semua angka 3, 4, 6 dan 8 dengan
semua angka selain 3 muncul tepat dua kali.
127
4.1.2 127

Menyelesaikan masalah yang melibatkan pilih atur dengan syarat tertentu


Pertimbangkan tujuh objek dalam rajah di bawah.




KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Katakan semua objek di atas ingin disusun mengikut syarat tertentu. Maka, setiap syarat yang
berikut perlu dipertimbangkan terlebih dahulu.


Jika setiap bulatan dan segi tiga perlu disusun secara berselang-seli,



1
• Terdapat 4! = 24 cara untuk menyusun empat bulatan.
• Terdapat 3! = 6 cara untuk menyusun tiga segi tiga.
• Dengan menggunakan petua pendaraban, bilangan susunan yang mungkin ialah
4! × 3! = 144.




Jika semua bulatan perlu disusun dalam kelompok yang sama,




2
• Terdapat 4! = 24 cara untuk menyusun satu kumpulan bulatan dan tiga segi tiga.
• Terdapat 4! = 24 cara untuk menyusun empat bulatan dalam kelompoknya.
• Dengan menggunakan petua pendaraban, bilangan susunan yang mungkin ialah
4! × 4! = 576.



Jika bulatan dan segi tiga perlu disusun dalam kelompok masing-masing,




• Terdapat 4! × 3! = 144 cara untuk menyusun dengan keadaan kelompok bulatan
berada di hadapan dan kelompok segi tiga berada di belakang.
3



• Setiap objek itu juga boleh disusun dengan keadaan kelompok segi tiga berada di
hadapan dan kelompok bulatan berada di belakang, iaitu 3! × 4! = 144.
• Maka, bilangan susunan yang mungkin ialah 144 + 144 = 288.

128 4.1.2 4.1.3

Pilih Atur dan Gabungan
Contoh 10
Kaedah Alternatif
Cari bilangan cara nombor 4 digit yang boleh dibentuk daripada Pertimbangkan bilangan
digit-digit 1, 3, 4, 5, 6, 8 dan 9 jika digit yang dibentuk mestilah pilihan bagi setiap kotak
nombor ganjil dengan keadaan tiada digit yang berulang. di bawah.

Penyelesaian
Bagi membentuk suatu nombor ganjil, nombor tersebut mesti
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
6
4
4
5
berakhir dengan digit ganjil. pilihan pilihan pilihan pilihan
Terdapat empat pilihan dengan digit terakhir adalah ganjil,
iaitu sama ada digit 1, 3, 5 atau 9. Cara mengisi setiap kotak
ialah 6 × 5 × 4 × 4 = 480.
* * * 4 pilihan Maka, terdapat 480 nombor
4 digit yang memenuhi
Apabila satu nombor ganjil telah dipilih, masih terdapat syarat tersebut. BAB
enam nombor lain yang boleh dipilih sebagai 3 digit di
6
hadapan, iaitu P × P = 480. 4
4
3 1
Maka, terdapat 480 nombor 4 digit yang memenuhi
syarat tersebut.
Contoh 11

Cari bilangan cara 5 orang pekerja, A, B, C, D dan E di sebuah syarikat yang boleh disusun
di sebuah meja bulat dengan syarat A dan B mesti duduk bersebelahan.

Penyelesaian
Apabila A dan B duduk bersebelahan, mereka
A A A A A A
dianggap sebagai satu unit. Maka, susunan bagi E B D B D B E B C B C B
A dan B sebagai satu unit dan tiga orang yang D C E C C E C D D E E D
lain ialah (4 – 1)! = 6 pilih atur. B B B B B B
Kedudukan A dan B boleh saling bertukar dan E A D A D A E A C A C A
D C E C C E C D D E E D
ini memberikan 2 pilih atur, iaitu
6 × 2 = 12 susunan.
Contoh 12


Cari bilangan cara susunan berbeza yang mungkin bagi semua huruf dalam perkataan
SUASANA jika huruf vokal sentiasa bersama.
Penyelesaian
Diberi bilangan huruf, n = 7 dan bilangan huruf secaman S dan A masing-masing ialah 2 dan 3.
Untuk syarat huruf vokal sentiasa bersama, kelompokkan huruf vokal bagi membentuk
satu susunan.
AAAU S S N
Jadi, bilangan susunan dengan 3 huruf yang lain ialah 4! cara.
2!
Dalam kelompok huruf vokal pula terdapat 4 huruf yang boleh disusun dengan 4! cara.
3!
4! 4!
Maka, bilangan susunan apabila huruf vokal sentiasa bersama ialah × = 48.
2! 3!

4.1.3 129

Contoh 13 Aplikasi Matematik

Cari bilangan cara nombor 4 digit yang dapat dibentuk daripada digit-digit 2, 3, 5 dan 7 jika
nombor tersebut adalah ganjil dan kurang daripada 5 000.
Penyelesaian


1 . Memahami masalah 2 . Merancang strategi
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Dua syarat bagi membentuk nombor 4 Bagi membentuk nombor 4 digit,
digit daripada digit-digit 2, 3, 5 dan 7 sediakan empat kotak kosong.
ialah nombor mestilah ganjil dan kurang Bagi nombor ganjil, kotak terakhir
daripada 5 000. perlu terdiri daripada nombor ganjil.
Bagi nombor kurang daripada 5 000,
kotak pertama terdiri daripada digit
yang kurang daripada 5.
, 5 000 ganjil
* *

2 atau 3 3, 5 atau 7




3 . Melaksanakan strategi
Kes 1: Digit 3 di kotak terakhir.
Kotak pertama mempunyai 1 pilihan dan kotak , 5 000 ganjil
terakhir mempunyai 3 pilihan. * *
Baki pilihan digit yang ada ialah 2 bagi kotak kedua
dan ketiga, iaitu 1 × 2 × 1 × 3 = 6 cara.
2 3, 5 atau 7
Kes 2: Digit 3 di kotak pertama.
Kotak pertama mempunyai 1 pilihan dan kotak , 5 000 ganjil
terakhir mempunyai 2 pilihan.
Baki pilihan digit yang ada ialah 2 bagi kotak kedua * *
dan ketiga, iaitu 1 × 2 × 1 × 2 = 4 cara.
Jadi, bilangan pilih atur = 6 + 4 = 10. 3 5 atau 7

Maka, bilangan nombor 4 digit yang dapat dibentuk daripada digit-digit 2, 3, 5 dan 7
jika nombor tersebut adalah ganjil dan kurang daripada 5 000 ialah 10.




4 . Membuat refleksi

Kes 1: 1 × P × 3 = 6
2
1
Kes 2: 1 × P × 2 = 4
2
1
Maka, bilangan pilih atur ialah 6 + 4 = 10.

130 4.1.3

Pilih Atur dan Gabungan
Pilih Atur dan Gabungan
Latihan Kendiri 4.5

1. Cari bilangan cara huruf-huruf daripada perkataan TULAR dapat disusun jika
(a) huruf vokal dan konsonan disusun secara berselang-seli,
(b) susunan bermula dan berakhir dengan huruf vokal,
(c) huruf konsonan dan vokal dalam kelompok masing-masing.
2. Cari bilangan cara nombor 4 digit yang lebih daripada 2 000 dapat dibentuk dengan
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
menggunakan digit 0, 2, 4, 5, 6 dan 7 tanpa ulangan.
3. Cari susunan yang mungkin menggunakan semua huruf dalam perkataan TRIGONOMETRI
jika G ialah huruf pertama dan E ialah huruf terakhir.
4. Sebuah keluarga yang terdiri daripada ayah, ibu dan 4 orang anak duduk bersama-sama
mengelilingi sebuah meja bulat. Cari bilangan cara berlainan mereka boleh duduk jika
(a) tanpa syarat, (b) ayah dan ibu duduk bersebelahan. BAB
4



4.1
Latihan Formatif Kuiz bit.ly/35SM6qi


1. Satu set soalan mengandungi 5 soalan betul atau salah dan 5 soalan aneka pilihan yang
terdiri daripada empat pilihan jawapan. Berapakah bilangan cara set jawapan yang
diperoleh daripada set soalan itu?

2. Cari bilangan cara untuk membentuk kata laluan 3 digit bagi sebuah kunci jika
(a) ulangan digit dibenarkan, (b) ulangan digit tidak dibenarkan.

3. Cari bilangan nombor yang berada di antara 5 000 dengan 6 000 yang dapat dibentuk
daripada digit-digit 2, 4, 5, 7 dan 8 dengan keadaan ulangan digit tidak dibenarkan.
Seterusnya, berapakah bilangan nombor genap yang diperoleh?
4. Sepasang suami isteri dan lapan orang anaknya menonton wayang di sebuah pawagam.
Mereka ditempatkan pada baris yang sama. Cari bilangan cara keluarga itu boleh
ditempatkan jika pasangan suami isteri itu
(a) duduk bersebelahan, (b) duduk di kedua-dua hujung baris,
(c) duduk berasingan.
5. Cari bilangan cara huruf-huruf daripada perkataan BAKU dan BAKA yang boleh disusun
jika tiada pengulangan huruf dibenarkan. Adakah bilangan huruf yang boleh dibentuk
adalah sama? Jelaskan.

6. Tentukan bilangan laluan yang boleh dilalui B
sekiranya suatu objek bergerak dari titik A ke titik
B dengan syarat objek bergerak ke atas atau
A
ke kanan.
7. Sekumpulan 7 orang kanak-kanak sedang berebut enam buah kerusi yang disusun
dalam bentuk bulatan bagi satu permainan kerusi berirama. Kanak-kanak itu perlu
mengelilingi bulatan mengikut lawan arah jam. Tentukan pilih atur kanak-kanak itu dalam
permainan tersebut.

4.1.3 131

4.2 Gabungan



Membanding beza pilih atur dan gabungan


Dalam pilih atur, anda telah mempelajari bahawa kedudukan bagi setiap objek dalam satu set
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
adalah penting. Misalnya, kedudukan AB dan BA adalah dua pilih atur yang berbeza. Teliti
masalah di bawah.

Katakan anda mempunyai rakan bernama Aakif, Wong dan Chelvi. Anda diminta untuk
memilih dua daripada tiga orang rakan anda untuk menyertai satu aktiviti berkayak.
Berapakah bilangan cara anda boleh membuat pilihan? Adakah kedudukan rakan anda
penting dalam pemilihan tersebut?

Dengan menggunakan gambar rajah pokok, kita dapat
Sudut Informasi
menyenaraikan kemungkinan pilihan yang ada. Sudut Informasi
Wong {Aakif, Wong} • Pilih atur ialah proses
Aakif
Chelvi {Aakif, Chelvi} pemilihan objek yang
mempertimbangkan
susunan dan urutannya.
Aakif {Wong, Aakif}
Wong Misalnya, memilih 2
Chelvi {Wong, Chelvi} daripada 5 orang murid
untuk jawatan ketua kelas
Aakif {Chelvi, Aakif} dan penolong ketua kelas.
Chelvi • Gabungan ialah proses
Wong {Chelvi, Wong}
pemilihan objek tanpa
mempertimbangkan
Namun, adakah keputusan untuk memilih ‘Aakif dan susunan dan urutannya.
Wong’ berbeza daripada memilih ‘Wong dan Aakif’? Dalam Misalnya, memilih 2
situasi di atas, adakah kedudukan suatu objek penting dalam daripada 5 orang murid
membuat pemilihan? untuk menyertai suatu
Berdasarkan rajah di sebelah, hanya terdapat 3 pertandingan.
cara pemilihan sahaja kerana kedudukan objek adalah
tidak penting. Maka, pemilihan yang mungkin ialah SAMA
{Aakif, Wong}, {Aakif, Chelvi} atau
Aakif Wong Wong Aakif
{Wong, Chelvi}.
Secara amnya, SAMA


Apabila pemilihan suatu objek daripada suatu Aakif Chelvi Chelvi Aakif
set dibuat tanpa mengambil kira susunan,
pemilihan ini dikenali sebagai gabungan. SAMA
Wong Chelvi Chelvi Wong
Latihan Kendiri 4.6

Nyatakan sama ada situasi yang berikut melibatkan pilih atur atau gabungan. Jelaskan.
Sebuah syarikat stesen televisyen menawarkan kepada pelanggan untuk
memilih 7 saluran daripada 18 saluran yang ada.
132
132 4.2.1 4.2.2

Pilih Atur dan Gabungan
Menentukan bilangan gabungan r objek dipilih daripada n objek yang
berbeza pada satu masa

Mari teroka cara untuk menentukan bilangan gabungan r objek dipilih daripada n objek yang
berbeza pada satu masa.

Aktiviti Penerokaan 5 Berpasangan PAK-21
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Tujuan: Menentukan bilangan gabungan r objek dipilih daripada n objek yang
berbeza pada satu masa
Langkah:

1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah. bit.ly/2Qi5o1J
2. Perhatikan empat buah objek berbentuk haiwan dalam lembaran kerja yang disediakan. BAB
Objek tersebut akan digantung sebagai perhiasan di dalam kelas anda. 4
3. Secara berpasangan, senaraikan bilangan cara untuk menggantungkan setiap objek tersebut
mengikut syarat yang berikut.
(a) Susunan mengambil kira kedudukan.
(b) Susunan tidak mengambil kira kedudukan.
4. Kenal pasti bilangan cara yang dapat disenaraikan jika anda dan pasangan memilih untuk
menggantung
(a) satu objek sahaja,
(b) dua objek sahaja,
(c) tiga objek sahaja.
5. Buat perbandingan bagi keputusan yang diperoleh dalam langkah 3(a) dan 3(b). Kemudian,
tentukan senarai yang mempunyai objek yang sama tetapi susunan yang berbeza.
6. Apakah perbezaan yang dapat anda lihat dari segi susunan dan bilangan cara bagi
kedua-dua kaedah menggantung objek-objek tersebut?


Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 5, didapati bahawa tiga
Sudut Informasi
daripada empat objek dipilih untuk digantungkan di dalam kelas. Sudut Informasi
4
Jika kedudukan diambil kira, maka P = 4! = 24. Gabungan boleh ditulis
3 (4 – 3)! n
n
Jika kedudukan tidak diambil kira, terdapat 3! = 6 kumpulan sebagai C atau ( ) .
r
r
n C juga dikenali sebagai
yang mempunyai bentuk yang sama. Oleh itu, bilangan cara pekali binomial.
r
bagi memilih objek untuk digantungkan tanpa mengambil kira
4 P
4! 3
kedudukan ialah 24 ÷ 6 = 4 atau = 4 atau = 4.
3!(4 – 3)! 3!
Secara amnya, bilangan gabungan r objek yang dipilih
daripada n objek berlainan diberi oleh:
Buktikan bahawa C = 1 dan
n
0
n C = n, dengan keadaan n
n P 1
n C = r = n! ialah integer positif.
r r! r!(n – r)!
4.2.2 133

Contoh 14

Pasukan silat SMK Sari Baru terdiri daripada 8 orang murid. 2 orang murid akan dipilih untuk
menjadi wakil pasukan dalam satu persembahan silat. Tentukan bilangan cara memilih 2 orang
murid tersebut.
Penyelesaian

2 orang wakil perlu dipilih daripada pasukan silat yang terdiri daripada 8 orang ahli.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
8! 8! 8 × 7 × 6!
8
Maka, bilangan cara = C = = = = 28.
2 2!(8 – 2)! 2!6! 2 × 1 × 6!

Contoh 15

Dalam sebuah kelab, 3 orang ahli jawatankuasa perlu dipilih
daripada 10 orang calon. Cari bilangan cara pemilihan ahli Bandingkan Contoh 15
jawatankuasa itu boleh dilakukan. dengan Contoh 7. Nyatakan
perbezaan kedua-dua
Penyelesaian soalan yang menyebabkan
Contoh 7 menggunakan
3 orang ahli jawatankuasa perlu dipilih daripada pilih atur manakala
10 orang calon. Contoh 15 menggunakan
10! 10! gabungan.
10
Maka, bilangan cara = C = = = 120
3 3!(10 – 3)! 3!7!


Contoh 16

Cari bilangan cara segi tiga yang dapat dibentuk daripada bucu-bucu sebuah heksagon.
Penyelesaian
Heksagon mempunyai enam bucu. Bagi membentuk sebuah segi tiga, tiga bucu diperlukan.
6! 6!
Maka, bilangan cara = C = = = 20.
6
3 3!(6 – 3)! 3!3!

Latihan Kendiri 4.7


1. Terdapat 12 orang pemain dalam pasukan bola baling sekolah. Tentukan bilangan cara
seorang pelatih boleh memilih 5 orang pemain
(a) sebagai penyerang 1, penyerang 2, penyerang 3, pertahanan 1 dan pertahanan 2,
(b) untuk bermain di suatu pertandingan peringkat daerah.
2. Kelas 5 Al-Biruni mempunyai 25 orang murid. Tiga orang wakil dari kelas itu dipilih bagi
menghadiri satu kem motivasi. Cari bilangan cara memilih wakil tersebut.

3. Berapakah bilangan cara bagi memilih empat huruf daripada set huruf P, Q, R, S, T dan U?
4. ABCDEFGH merupakan bucu-bucu bagi sebuah oktagon sekata. Cari bilangan pepenjuru
yang dapat dibentuk daripada oktagon itu.

134 4.2.2

Pilih Atur dan Gabungan

Menyelesaikan masalah yang melibatkan gabungan dengan syarat tertentu


Teliti situasi di bawah.

Seorang ketua kelas ingin membahagikan 10 rakan anda kepada tiga kumpulan dengan
setiap kumpulan terdiri daripada dua orang, tiga orang dan lima orang ahli. Cari bilangan
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
cara pembahagian kumpulan itu.




Menyelesaikan masalah yang melibatkan gabungan dengan
syarat tertentu (syarat perlu di ambil kira terlebih dahulu) Adakah anda akan
memperoleh jawapan yang BAB
Kumpulan 1 Kumpulan 2 Kumpulan 3 berbeza sekiranya anda
Memilih dua orang • Dua orang telah • Lima orang telah memilih lima orang atau 4
daripada 10 orang. dipilih dalam dipilih dalam tiga orang terlebih dahulu?
Kumpulan 1. Kumpulan 1 dan Bandingkan jawapan anda
dengan rakan yang lain.
• Baki pilihan Kumpulan 2.
ialah lapan • Baki pilihan
orang. ialah lima orang.
• Memilih tiga • Memilih lima
orang daripada orang daripada
lapan orang. lima orang.
Perwakilan secara grafik
10 C = 10! 8 C = 8! 5 C = 5! untuk mencari bilangan cara
2 2!(10 – 2)! 3 3!(8 – 3)! 5 5!(5 – 5)! gabungan.
= 45 = 56 = 1
Maka, bilangan Maka, bilangan Maka, bilangan
cara ialah 45. cara ialah 56. cara ialah 1.

Dengan menggunakan petua pendaraban, bilangan cara ialah ggbm.at/hmrufjsm
45 × 56 × 1 = 2 520.



Contoh 17


Satu pasukan bola sepak terdiri daripada 17 orang pemain tempatan dan tiga orang pemain
import. Seorang jurulatih perlu memilih 11 orang pemain utama untuk bertanding dalam satu
perlawanan dengan mengambil dua orang pemain import. Cari bilangan cara supaya
11 orang pemain utama boleh dipilih.

Penyelesaian

3
Cara memilih dua orang daripada tiga orang pemain import, C .
2
17
Cara memilih sembilan orang daripada 17 orang pemain tempatan, C .
9
3! 17!
Maka, bilangan cara = C × C = × = 72 930
17
3
2 9 2!(3 – 2)! 9!(17 – 9)!
4.2.3 135

Contoh 18

Encik Samad perlu memilih tiga jenis motif batik daripada empat motif organik dan lima
motif geometri. Cari bilangan cara memilih sekurang-kurangnya satu motif organik dan satu
motif geometri.
Penyelesaian

5
4
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Cara memilih dua motif organik dan satu motif geometri, C × C .
2 1
5
4
Cara memilih satu motif organik dan dua motif geometri, C × C .
1 2
5
5
4
4
Maka, bilangan cara = C × C + C × C = 70.
2 1 1 2
Latihan Kendiri 4.8
1. 5 buah buku yang berbeza akan dibahagikan kepada 3 orang murid. 2 orang murid akan
mendapat 2 buah buku manakala seorang murid akan mendapat sebuah buku. Berapakah
bilangan cara untuk membahagikan kesemua buku itu?
2. Dalam satu peperiksaan, Singham dikehendaki menjawab dua soalan daripada tiga soalan
di Bahagian A dan empat soalan daripada enam soalan di Bahagian B. Cari bilangan cara
Singham boleh menjawab soalan-soalan tersebut.
3. Terdapat lima orang graduan lelaki dan enam orang graduan wanita yang menghadiri sesi temu
duga kerja di sebuah syarikat. Cari bilangan cara bagi majikan memilih tujuh orang pekerja jika
(a) semua graduan lelaki dan dua orang graduan wanita mendapat pekerjaan,
(b) sekurang-kurangnya lima orang graduan wanita mendapat pekerjaan.



4.2
Latihan Formatif Kuiz bit.ly/2tKan3v



n
n
1. Dengan menggunakan rumus C = n! , tunjukkan C = C .
n
r (n – r)!r! r n – r
2. Sebuah jawatankuasa yang terdiri daripada lima orang ahli perlu dipilih daripada lima orang
lelaki dan tiga orang wanita. Cari bilangan jawatankuasa yang boleh dibentuk jika
(a) tiada syarat,
(b) mengandungi tiga orang lelaki dan dua orang wanita,
(c) mengandungi tidak lebih daripada seorang perempuan.
3. Satu pasukan yang mengandungi lima orang ahli akan dipilih untuk ekspedisi ke sebuah
pulau daripada empat orang perenang dan tiga orang bukan perenang. Cari bilangan cara
pasukan itu boleh dibentuk jika bilangan perenang mesti melebihi bilangan bukan perenang.
4. Satu ujian Matematik yang mengandungi 10 soalan terdiri daripada empat soalan trigonometri
dan enam soalan algebra. Calon dikehendaki menjawab hanya lapan soalan. Cari bilangan
cara seorang calon menjawab sekurang-kurangnya empat soalan algebra.
5. Satu rombongan ke Melaka terdiri daripada 12 orang pengunjung. Cari bilangan cara untuk
membawa 12 orang pengunjung itu jika
(a) tiga buah kereta digunakan dan setiap kereta membawa empat orang,
(b) dua buah van digunakan dan setiap van membawa enam orang.
136 4.2.3

Pilih Atur dan Gabungan

SUDUT REFLEKSI





PILIH ATUR DAN GABUNGAN

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA


Petua Pendaraban
Jika suatu peristiwa boleh berlaku dalam m cara dan suatu peristiwa kedua boleh
berlaku dalam n cara, maka kedua-dua peristiwa boleh berlaku dalam m × n cara
BAB
4

Pilih Atur Gabungan
Tertib susunan Tertib susunan
adalah penting adalah tidak penting




• Bilangan pilih atur bagi n objek yang Bilangan gabungan bagi n objek yang
berlainan diwakilkan sebagai berlainan apabila r objek dipilih pada
n
n! = P satu masa diwakilkan sebagai
n
• Bilangan pilih atur bagi n objek yang n P
n C = r = n!
berlainan apabila r objek dipilih pada r r! r!(n – r)!
satu masa diwakilkan sebagai
n!
n P =
r (n – r)!



Pilih Atur Membulat Objek Secaman
• Bilangan pilih atur membulat bagi n objek Bilangan pilih atur bagi n objek
yang berlainan diwakilkan sebagai yang melibatkan objek secaman
n! diwakilkan sebagai
P = = (n – 1)!
n n!
• Bilangan pilih atur membulat bagi P = a!b!c!…
n objek yang berlainan apabila r objek
dipilih pada satu masa diwakilkan sebagai
n P
P = r
r



Aplikasi




137

1. Bina satu infografik berkaitan perbezaan antara pilih atur dan gabungan.

2. Senaraikan dua masalah yang berlaku dalam kehidupan harian anda dan selesaikan masalah
tersebut dengan menggunakan konsep pilih atur dan gabungan yang telah dipelajari.

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

Latihan Sumatif



1. Cari bilangan cara kod empat huruf yang dapat dibentuk daripada huruf-huruf dalam
perkataan SEMBUNYI dengan ulangan huruf tidak dibenarkan. Berapakah bilangan kod
yang bermula dengan konsonan? TP 2
2. Hitung kemungkinan bagi seseorang untuk meneka kata laluan yang mengandungi enam
karakter bagi sebuah komputer riba yang terdiri daripada semua nombor dan abjad. TP 3

3. Cari bilangan cara huruf-huruf dalam perkataan PULAS boleh disusun jika susunan TP 3
(a) tidak bermula dengan huruf S,
(b) tidak berakhir dengan huruf S atau P.

4. Dalam pertandingan futsal, perlawanan boleh berakhir dengan menang, kalah atau seri.
Jika Pasukan Futsal Helang Merah menyertai lima perlawanan futsal, cari bilangan cara
perlawanan tersebut boleh berakhir. TP 4

5. Cari bilangan susunan yang mungkin dalam perkataan JANJANG jika huruf N dan huruf G
mesti bersebelahan.

6. Sebuah kedai pakaian menjual empat saiz kemeja, iaitu saiz S, M, L dan XL. Jika stok
kemeja yang terdapat di kedai tersebut ialah dua helai saiz S, tiga helai saiz M, enam
helai saiz L dan dua helai saiz XL, cari bilangan cara bagi menjual semua kemeja
di kedai tersebut. TP 3

7. Siew Lin membeli tujuh batang anak pokok yang berlainan jenis untuk menghias taman
mini di rumahnya. Disebabkan ruang yang terhad, Siew Lin hanya boleh menyusun lima
batang anak pokok sahaja dalam bentuk bulatan. Tentukan bilangan cara Siew Lin boleh
menyusun semua anak pokok tersebut. TP 3

8. Cari bilangan cara enam orang, iaitu Amin, Budi, Cheng, Deepak, Emma dan Fakhrul agar
mereka dapat duduk di sebuah meja bulat dengan syarat. TP 4
(a) Emma dan Fakhrul mesti duduk bersebelahan,
(b) Emma dan Fakhrul tidak boleh duduk bersebelahan.

9. 12 kuntum bunga yang terdiri daripada tiga kuntum bunga berwarna merah, empat kuntum
bunga berwarna biru dan lima kuntum bunga berwarna putih akan dilekatkan pada seutas
tali untuk membuat kalungan bunga. Hitung bilangan cara untuk menyusun bunga-bunga
itu dalam kalungan tersebut. TP 3

138

Pilih Atur dan Gabungan
Pilih Atur dan Gabungan
10. Satu ujian kemasukan ke sebuah sekolah swasta mengandungi enam soalan pada Bahagian
A dan tujuh soalan pada Bahagian B. Calon perlu menjawab 10 soalan, dengan syarat
sekurang-kurangnya empat soalan daripada Bahagian A dijawab. Cari bilangan cara seorang
calon dapat menjawab 10 soalan ujian tersebut. TP 5
11. Satu jawatankuasa komuniti tempatan yang terdiri daripada tiga orang ahli dipilih daripada
empat pasangan suami isteri. Cari bilangan cara jawatankuasa dapat dibentuk sekiranya TP 4
(a) tiada syarat dikenakan,
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
(b) semua ahli dalam jawatankuasa terdiri daripada para suami,
(c) tiada pasangan suami dan isteri dibenarkan memegang jawatan bersama.
12. Sebuah teksi mempunyai satu tempat duduk di bahagian hadapan dan tiga tempat duduk
di bahagian belakang. Zara dan tiga orang sahabatnya ingin menaiki sebuah teksi, cari
bilangan cara yang mungkin untuk mereka memilih tempat duduk jika TP 4
(a) tiada sebarang syarat, BAB
(b) Zara ingin duduk di bahagian hadapan, 4
(c) Zara ingin duduk di bahagian belakang.

13. Terdapat 15 orang murid yang gemar menyelesaikan teka-teki. Mereka berjumpa antara satu
sama lain untuk menyelesaikan teka-teki tersebut. Pada perjumpaan pertama, mereka saling
bersalaman antara satu sama lain. Cari bilangan cara bersalaman yang berlaku jika TP 5
(a) kesemua mereka bersalaman antara satu sama lain,
(b) tiga orang saling mengenali antara satu sama lain dan mereka tidak bersalaman
sesama mereka.
14. Menggunakan bucu-bucu sebuah nonagon, cari bilangan TP 5
(a) garis lurus yang dapat dibentuk,
(b) segi tiga yang dapat dibentuk,
(c) segi empat yang dapat dibentuk.






7
3 5 3 7 SUDOKU
6 1 9 5 6
1 9 5
9 8 3 6 Sudoku ialah permainan yang berasaskan logik dan
9 8
8 6 6 3 1 3 melibatkan peletakan nombor. Sudoku diperkenal pada
tahun 1979 tetapi mula popular sekitar tahun 2005.
44 8 8 2 3 61 Matlamat permainan Sudoku ialah memasukkan satu
77 2 2 8 6 digit antara satu hingga sembilan dalam satu sel grid
6 6 2 8 5 9 × 9 dengan subgrid 3 × 3. Setiap baris, lajur dan
4 1 9 subgrid hanya boleh diisi dengan digit satu hingga
4 1 9 7 9 5
8 sembilan tanpa pengulangan.
8 7 9
(a) Pada pendapat anda, adakah permainan Sudoku ini menggunakan konsep
pilih atur atau gabungan? Terangkan jawapan anda.
(b) Berapakah cara yang mungkin untuk anda mengisi digit-digit dalam baris
yang pertama dalam permainan Sudoku tersebut?
(c) Berapakah cara yang mungkin untuk anda menyelesaikan permainan
Sudoku tersebut?

139

BAB TABURAN
5 KEBARANGKALIAN









KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA




































Malaysia mencipta sejarah apabila
pemanah yang mewakili negara
kita berjaya melayakkan diri ke
peringkat akhir dalam Kejohanan
Memanah Piala Asia 2019. Dalam
Pemboleh Ubah Rawak pertandingan itu, seorang pemanah
Taburan Binomial mesti memanah sebanyak 72 anak
Taburan Normal panah dalam 12 fasa dari jarak
70 meter. Masa yang diberikan
Senarai untuk memanah tiga anak panah
Standard ialah dua minit manakala masa
Pembelajaran yang diberikan untuk menamatkan
enam anak panah ialah empat minit.
Pada pendapat anda, berapakah
bit.ly/374RxTk kebarangkalian yang mungkin bagi
panahan itu? Adakah panahan
itu bergantung kepada
panahan sebelumnya?
140