Fungsi Trigonometri
Aktiviti Penerokaan 1 Berkumpulan PAK-21 STEM PK
Tujuan: Meneroka sudut positif dan sudut negatif serta menentukan
kedudukan suatu sudut dalam sukuan
Langkah:
ggbm.at/uj4xjmxv
1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
2. Klik butang orientasi positif dan seret gelongsor sudut ke kiri dan ke kanan.
3. Klik butang orientasi negatif pula dan seret gelongsor sudut ke kiri dan ke kanan.
4. Kenal pasti perbezaan antara sudut dalam orientasi positif dengan sudut dalam
orientasi negatif.
5. Salin dan lengkapkan jadual di bawah dengan menentukan kedudukan setiap sudut berikut.
Sudut Sukuan Sudut Sukuan Sudut Sukuan
140° 1 000° −550°
7 π rad 13 π rad – π rad
16
6 2 3
500° –135° –850°
BAB
11 π rad – π rad – π rad 6
5
27
6 6 8
6. Bandingkan hasil dapatan kumpulan anda dengan kumpulan lain.
7. Kemudian, bentangkan perbandingan tersebut di hadapan kelas.
Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 1, didapati bahawa suatu Tip Pintar
Pintar
sudut sama ada sudut positif atau negatif boleh berada dalam
empat sukuan. Satu putaran lengkap berlaku apabila satu Kedudukan suatu sudut
garis diputarkan sebanyak 360° atau 2π rad pada asalan O. dapat ditentukan dengan
Apabila garis itu diputarkan melebihi satu pusingan, sudut yang menukarkan sudut dalam
terbentuk adalah lebih daripada 360° atau 2π rad. unit radian kepada
unit darjah.
Kedudukan suatu sudut boleh digambarkan dengan 60’ = 1°
(
π
menggunakan satah Cartes. q ° = q ° × 180° ) rad
(
Secara amnya, q rad = q rad × 180 ) °
π
Jika q ialah suatu sudut dalam sukuan dengan keadaan
q . 360°, maka kedudukan q boleh ditentukan dengan
menolak gandaan 360° atau 2π rad untuk memperoleh sudut
sepadan dalam 0° < q < 360° atau 0 < q < 2π rad.
6.1.1 191
Contoh 1
Tentukan kedudukan setiap sudut yang berikut pada sukuan masing-masing. Seterusnya,
tunjukkan sudut tersebut dalam satah Cartes.
19
(a) 800° (b) π rad
6
Penyelesaian
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
7
(a) 800° – 2(360°) = 80° (b) 19 π rad – 2π rad = π rad
800° = 2(360°) + 80° 6 6
7
Maka, 800° berada di Sukuan I. 19 π rad = 2π rad + π rad
6
6
y 19
P Maka, π rad berada di Sukuan III.
Sukuan I 6 y
x
O O
x
O O
P
Sukuan III
Latihan Kendiri 6.1
1. Tukarkan setiap sudut yang berikut kepada unit radian.
(a) 290° 10 (b) −359.4° (c) 620° (d) −790°
2. Tukarkan setiap sudut yang berikut kepada unit darjah.
13 13
(a) 1.3 rad (b) rad (c) −2.7π rad (d) π rad
4 4
3. Tentukan sukuan bagi setiap sudut berikut. Seterusnya, wakilkan setiap sudut tersebut dalam
satah Cartes secara berasingan.
(a) 75° (b) −340.5° (c) 550° (d) −735°
5 20
(e) 0.36 rad (f) − 4 rad (g) π rad (h) – π rad
3 3
6.1 bit.ly/2SuK9MF
Latihan Formatif Kuiz
1. Rajah di bawah menunjukkan graf y = sin θ bagi 0° < θ < 360°.
y
90° Sukuan
I II III IV
1
P
60°
30°
180° θ
O 30° 90° 150° 210° 270° 330° 360°
210°
–1
Tukarkan setiap sudut pada paksi-q kepada unit radian. Seterusnya, tunjukkan setiap sudut
tersebut dalam satah Cartes secara berasingan.
192
192 6.1.1
Fungsi Trigonometri
6.2 Nisbah Trigonometri bagi Sebarang Sudut
Perkaitan antara sekan, kosekan dan kotangen dengan sinus, kosinus dan
tangen bagi sebarang sudut dalam satah Cartes
Perhatikan segi tiga ABC dalam rajah di sebelah. B
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Nisbah trigonometri dapat ditakrifkan seperti yang berikut:
sisi bertentangan BC Hipotenus
sin q = = Sisi
hipotenus AB bertentangan
sisi bersebelahan AC
kos q = = θ
hipotenus AB A C
Sisi bersebelahan
sisi bertentangan BC
tan q = =
Pintar
sisi bersebelahan AC Tip Pintar
Selain tiga nisbah trigonometri di atas, terdapat tiga nisbah
trigonometri lain yang merupakan salingan kepada nisbah sin kos
trigonometri itu. Nisbah-nisbah trigonometri tersebut ialah
kosekan, sekan dan kotangen yang ditakrifkan seperti berikut: tan 1 kot
hipotenus AB
kosek q = =
sisi bertentangan BC sek kosek BAB
hipotenus AB Diberi A ialah suatu 6
sek q = = sudut, maka
sisi bersebelahan AC 1
sin A = kosek A
sisi bersebelahan AC 1
kot q = = kosek A =
sisi bertentangan BC sin A
1
kot A = tan A
Berdasarkan segi tiga ABC itu, didapati bahawa:
1 1 1
kosek q = sek q = kot q =
sin q kos q tan q
Contoh 2
Rajah di sebelah menunjukkan sebuah segi tiga ABC bersudut tegak C
di B. Diberi AB = 8 cm dan BC = 6 cm, tentukan nilai bagi
(a) kosek q (b) sek q (c) kot q
6 cm
Penyelesaian θ
A B
Dengan menggunakan teorem Pythagoras, AC = ! 6 + 8 2 8 cm
2
= 10 cm
10 10 8
(a) kosek q = (b) sek q = (c) kot q =
6 8 6
= 1.667 = 1.25 = 1.333
6.2.1 193
Contoh 3
Diberi a = 56°. Dengan menggunakan kalkulator, cari nilai bagi
(a) kosek a (b) sek a (c) kot a
Penyelesaian
1 1 1
(a) kosek 56° = (b) sek 56° = (c) kot 56° =
sin 56° kos 56° tan 56°
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
= 1.206 = 1.788 = 0.675
Sudut A dan sudut B dikatakan sudut pelengkap antara satu sama lain jika A + B = 90°.
Oleh itu,
A = 90° – B dan B = 90° – A
Aktiviti Penerokaan 2 Berkumpulan PAK-21
Tujuan: Menerbitkan rumus sudut pelengkap D C
Langkah:
1. Perhatikan segi empat tepat ABCD dalam rajah di sebelah. 90° – θ y
Kemudian, lengkapkan panjang sisi bagi segi empat tepat
ABCD itu. θ
A x B
2. Salin dan lengkapkan jadual di bawah dalam sebutan x dan y.
Lajur A Lajur B
sin q = sin (90° – q) =
kos q = kos (90° – q) =
tan q = tan (90° – q) =
kot q = kot (90° – q) =
sek q = sek (90° – q) =
kosek q = kosek (90° – q) =
3. Berdasarkan jadual di atas, padankan nisbah trigonometri dalam Lajur A dengan nisbah
trigonometri dalam Lajur B.
4. Seterusnya, bandingkan hasil dapatan kumpulan anda dengan kumpulan lain dan buat
kesimpulan menyeluruh tentang perbandingan yang dilakukan.
Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 2, rumus sudut pelengkap adalah seperti berikut:
• sin q = kos (90° – q) • kos q = sin (90° – q) • tan q = kot (90° – q)
• sek q = kosek (90° – q) • kosek q = sek (90° – q) • kot q = tan (90° – q)
194 6.2.1
Fungsi Trigonometri
Fungsi T
rigonometri
Contoh 4
Diberi bahawa sin 77° = 0.9744 dan kos 77° = 0.225. Cari nilai bagi setiap yang berikut.
(a) kos 13° (b) kosek 13° (c) kot 13°
Penyelesaian
(a) kos 13° = sin (90° – 13°) (b) kosek 13° = sek (90° – 13°)
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
= sin 77° = sek 77°
= 0.9744 = 1
kos 77°
1
=
0.225
= 4.444
(c) kot 13° = tan (90° – 13°)
= tan 77°
sin 77°
=
kos 77°
0.9744
=
0.225
= 4.331
Contoh 5
BAB
Diberi kos 63° = k, dengan keadaan k . 0. Cari nilai bagi setiap yang berikut dalam sebutan k.
(a) sin 63° (b) sin 27° (c) kosek 27° 6
Penyelesaian
(a) sin 63° B (b) sin 27° = kos (90° – 27°) (c) kosek 27° = sek (90° – 27°)
= ! 1 – k 2 = kos 63° = sek 63°
1 2 1
�1 – k = k =
63° kos 63°
A C 1
k =
k
Latihan Kendiri 6.2
1. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah segi tiga bersudut tegak
PQR. Cari nilai bagi setiap yang berikut. P
(a) kot R (b) sin R (c) kos R – sin R 5
2
2 kosek R �2
2. Diberi tan a = dan a ialah sudut tirus, cari
3
(a) sin a (b) kos a (c) kot a Q R
2
2
(d) kosek a (e) 4 – sek a
2 – sek a
3. Cari sudut pelengkap bagi setiap yang berikut.
(a) 54° (b) 5° 17 14 (c) π rad
5
4. Diberi kos 33° = 0.839 dan sin 33° = 0.545, cari nilai bagi setiap yang berikut.
(a) sin 57° (b) tan 57° (c) sek 57°
6.2.1 195
Menentukan nilai nisbah trigonometri bagi sebarang sudut
Nilai nisbah trigonometri bagi sebarang sudut boleh diperoleh dengan menggunakan kalkulator
atau perisian geometri dinamik yang lain. Walau bagaimanapun, terdapat beberapa kaedah lain
untuk menentukan nisbah trigonometri.
Kaedah 1: Menggunakan kalkulator
Sudut Informasi
Sudut Informasi
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Nilai sinus, kosinus dan tangen bagi sebarang sudut boleh
ditentukan menggunakan kalkulator. Walau bagaimanapun, nilai Penggunaan kekunci
bagi kosekan, sekan dan kotangen perlu dihitung menggunakan bergantung kepada model
salingan kepada nilai nisbah trigonometri sinus, kosinus dan kalkulator yang digunakan.
tangen sudut tersebut.
Contoh 6
Dengan menggunakan kalkulator, cari nilai bagi setiap nisbah trigonometri yang berikut, betul
kepada empat angka bererti.
(a) sin (–215° 12) (b) sek (– 4.14 rad)
Penyelesaian Bincangkan cara untuk
mencari nisbah trigonometri
(a) 0.5764 (b) sek (– 4.14 rad) bagi sudut dalam
= 1 unit radian.
kos (– 4.14)
= –1.846
Kaedah 2: Menggunakan bulatan unit
Contoh 7
y
Dengan menggunakan bulatan unit di sebelah, nyatakan
1
1
nilai bagi setiap yang berikut. ( –– ) (0, 1) ( –– , –– )
1
1
– –– ,
π
(
(a) kos 135° (b) kosek – rad ) �2 �2 �2 �2
4 45°
Penyelesaian (–1, 0) O (1, 0) x
1
1
(a) Koordinat yang sepadan dengan 135° ialah ( – –– ) ( –– , – –– )
1
1
– –– ,
�2 �2
( – 1 , 1 ) dan kos 135° = koordinat-x. �2 �2 (0, –1)
! 2 ! 2
Maka, kos 135° = – 1 .
! 2
π 1 1
(b) Koordinat yang sepadan dengan – rad ialah ( , – ) dan
4
( )
kosek – π = 1 . ! 2 ! 2
4 koordinat-y
( )
Maka, kosek – π = –! 2 .
4
196 6.2.2
Fungsi Trigonometri
Kaedah 3: Menggunakan nilai nisbah trigonometri sudut rujukan yang sepadan
Nilai nisbah trigonometri untuk sebarang sudut juga boleh
Sudut Informasi
ditentukan menggunakan nilai nisbah trigonometri bagi sudut Sudut Informasi
rujukan yang sepadan dengan sudut itu.
Sudut rujukan, a ialah
Rajah di bawah menunjukkan sudut rujukan, a bagi sudut sudut tirus yang dibuat
0° < q < 360° atau 0 < q < 2π. oleh OP dengan paksi-x
dalam satah Cartes.
Sukuan I Sukuan II Sukuan III Sukuan IV y
y y y y OP 2 OP 1
P P
θ θ α x
θ θ x x
α α α O O α
x x
O O OP OP
P P 3 4
a = q a = 180° – q a = q – 180° a = 360° – q
Tanda bagi nisbah trigonometri dalam sukuan I, II, III dan IV boleh ditentukan menggunakan
koordinat pada bulatan unit seperti yang ditunjukkan dalam jadual di bawah.
Tanda bagi
Sukuan y 1 1 x
x y sin q = y kos q = x tan q = x kosek q = y sek q = x kot q = y
I + + + + + + + + BAB
6
II − + + − − + − −
−
−
−
+
−
−
−
III α KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA +
IV + − − + − − + −
Kesimpulannya, tanda setiap nisbah trigonometri bagi sudut y
dalam sukuan berbeza adalah seperti dalam rajah di sebelah.
sin + Semua
Contoh 8 kosek + + x
tan + kos +
Diberi sin 30° = 0.5 dan kos 30° = 0.866, cari nilai bagi setiap kot + sek +
yang berikut.
(
Pintar
(a) sek 150° (b) sek – 13 π ) Tip Pintar
6
Penyelesaian
Langkah-langkah untuk
(a) y q = 150° terletak pada Sukuan II. menentukan nisbah
Tanda sek 150° adalah negatif. trigonometri tanpa
menggunakan kalkulator.
P 150° Sudut rujukan, a = 180° − 150° 1. Tentukan kedudukan
= 30° sudut pada sukuan.
x
O 2. Tentukan tanda bagi
sek 150° = –sek 30°
1 nisbah trigonometri.
= – 3. Tentukan sudut rujukan
kos 30° yang sepadan.
= – 1 4. Gunakan nilai nisbah
0.866
= –1.155 trigonometri sudut
rujukan tersebut.
197
6.2.2 197
13 180 –390° terletak pada sukuan IV. Tanda
(b) q = – π ×
6 π bagi sek (–390°) adalah positif.
= –390°
Sudut rujukan, Lengkapkan nilai nisbah
y
a = 390° − 360° trigonometri bagi sudut
–390° = 30° negatif yang berikut seperti
contoh yang diberi.
x 13
(
)
O α sek – π = sek (–390°) sin (–A) –sin A
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
6
= sek 30° kos (–A)
1
= tan (–A)
kos 30°
1 kot (–A)
=
0.866 sek (–A)
= 1.155 kosek (–A)
Contoh 9
2
Diberi kos A = dan 270° < A < 360°, cari nilai bagi setiap yang berikut.
(a) tan A 5 (b) sin A (c) sek A y
Penyelesaian A 2 C
O x
2
2
BC = ! 5 – 2 = ! 21 –�21
5
! 21 ! 21 5
(a) tan A = – (b) sin A = – (c) sek A =
2 5 2 B
Kaedah 4: Menggunakan segi tiga bersudut tegak
Nisbah trigonometri bagi sudut-sudut khas 30°, 45° dan 60° boleh ditentukan menggunakan segi
tiga bersudut tegak. Mari teroka dengan lebih lanjut lagi.
Aktiviti Penerokaan 3 Berkumpulan PAK-21
Tujuan: Menentukan nisbah trigonometri sudut-sudut khas menggunakan segi tiga
bersudut tegak
Langkah:
1. Rajah 6.3 menunjukkan sebuah segi empat sama manakala Rajah 6.4 menunjukkan sebuah
segi tiga sama sisi. Lukis semula Rajah 6.3 dan Rajah 6.4 pada sehelai kertas.
A D X
2 2
1
B 1 C Y M Z
Rajah 6.3 Rajah 6.4
2. Kemudian, tentukan nilai bagi setiap yang berikut.
(a) AC (b) YM (c) XM (d) ˙ACB (e) ˙XYZ (f) ˙MXY
198 6.2.2
Fungsi Trigonometri
3. Berdasarkan Rajah 6.3 atau Rajah 6.4, salin dan lengkapkan jadual di bawah.
Nisbah sin kos tan kosek sek kot
Sudut
π 1
30° 2
6 ! 3
π 1
45° 4 ! 2 ! 2
π
60° 3 ! 3
2
4. Bincangkan dan bentangkan hasil dapatan kumpulan anda di hadapan kelas.
Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 3, didapati bahawa nisbah trigonometri bagi sudut-sudut
khas, iaitu 30°, 45° dan 60° adalah seperti yang berikut:
Nisbah
Sudut sin kos tan kosek sek kot
Sudut Informasi
Sudut Informasi
π 1 ! 3 1 2
30° 6 2 2 ! 3 Selain sudut 30°, 45° dan BAB
! 3
! 3
2
60°, sudut 0°, 90°, 180°,
π 1 1 270° dan 360° juga dikenali 6
1
45° KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
1
! 2
! 2
sebagai sudut khas.
4
! 2
! 2
π ! 3 1 2 1
60° 3 2 ! 3 2
2 ! 3 ! 3
Contoh 10
Dengan menggunakan nisbah trigonometri bagi sudut-sudut Tip Pintar
Pintar
khas, cari nilai bagi setiap yang berikut.
( )
5
(a) kos 315° (b) kot 3 π (c) sek (– 480°) Anda boleh menggunakan
Penyelesaian jari anda untuk menghafal
nisbah trigonometri bagi
sudut khas.
5
(a) kos (315°) (b) kot ( ) y
π
= kos (360° – 315°) 3 90°
= kos 45° = kot 300° 4 3 60°
1 = – kot (360° – 300°) 0 1 2 45°
= 2 30°
! 2 = – kot 60° 3 1
= – 1 4 0 0° x
! 3
! N ! 0
(c) sek (– 480°) = sek (– 480° – (–360°)) sin 0° = 2 = 2 = 0
= sek (–120°) ! N ! 4
= – sek 60° kos 0° = 2 = 2 = 1
= – 2
6.2.2 199
Latihan Kendiri 6.3
1. Cari nilai bagi setiap yang berikut menggunakan kalkulator. Berikan jawapan anda betul
kepada empat tempat perpuluhan.
2
(a) tan 165.7° (b) kot (–555°) (c) kosek (–1.2 rad) (d) sek ( – 16 π)
9
2. Dengan menggunakan bulatan unit di sebelah, cari y
�3
nilai bagi setiap yang berikut. ( –– ) (0, 1) ( 1 2 –– )
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
–,
1
�3
– –,
2
(a) sin 330° (b) tan ( 2 π) 2 2 �3 1
�3
3 ( 1 – ) ( ––, – 2 )
– ––,
2
(c) kot ( 7 π) (d) kos 600° 2 2
6 x
(e) kosek ( – π) (f) sin ( ) – sek 3π (–1, 0) O (1, 0)
π
7
�3
– ––,
– –
2 2 ( 1 ) ( �3 1 )
2 2 ––, – –
2 2
( 1 �3 (0, –1)
)
– –, – ––
1 �3
–, – ––
3. Cari sudut tirus yang sepadan dengan sudut-sudut 2 2 ( )
2
2
yang berikut.
2
(a) 335° (b) π rad (c) 7 π rad (d) 710°
3 3
4. Dengan menggunakan nisbah trigonometri bagi sudut-sudut khas, cari nilai bagi setiap
yang berikut.
(a) sek 150° (b) kosek 240° (c) kot 315°
(d) sin 45° + kos 225° (e) sek 60° + 2 kosek 30° (f) sek π + kos π
2
6.2
Latihan Formatif Kuiz bit.ly/2Q2zya4
1. Diberi tan x = 3t bagi 0° , x , 90°, ungkapkan setiap yang berikut dalam sebutan t.
(a) kot x (b) sek (90° – x) (c) kosek (180° – x)
2. Sudut q terletak dalam sukuan III dan tan q = 3. Cari nilai bagi setiap yang berikut.
(a) kot q (b) tan (π + q) (c) sin (–q)
3. Dengan menggunakan nisbah trigonometri sudut-sudut khas, cari
(a) 2 sin 45° + kos 585° (b) tan 210° – kot (–240°)
5 1 3
(c) kosek π + sin π (d) tan 2π – 6 kosek π
6 6 2
4. Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai bagi setiap yang berikut.
(a) sin 137° jika sin 43° ≈ 0.6820 (b) sek 24° jika sek 336° ≈ 1.095
(c) tan 224° jika tan 44° ≈ 0.9656 (d) kot 15° jika kot 195° ≈ 3.732
5. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan unit yang mewakili y
�2
�2
– ––,
sudut 135°. Berdasarkan maklumat dalam bulatan unit B( –– )
2
2
tersebut, nyatakan nilai bagi setiap yang berikut.
135°
(a) sin 135° (b) sek 135° A(1, 0) x
(c) kot 45° (d) kosek (– 45°) O
200
200 6.2.2
Fungsi Trigonometri
6.3 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen
Rajah di sebelah menunjukkan ritma degupan jantung
seorang individu yang normal. Ritma ini dikenali
sebagai Normal Sinus Rhythm. Perhatikan bahawa
bentuk ritma yang terhasil merupakan satu contoh graf
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
fungsi trigonometri.
Graf bagi fungsi trigonometri y = a sin bx + c, y = a kos bx + c dan y = a tan bx + c,
dengan keadaan a, b dan c ialah pemalar dan b . 0 boleh dilukis menggunakan sebarang
perisian geometri dinamik atau dilukis secara manual menggunakan jadual dan kertas graf.
Graf bagi fungsi trigonometri
Aktiviti Penerokaan 4 Berkumpulan PAK-21 STEM PK
Tujuan: Melukis dan mengenal pasti ciri-ciri graf fungsi sinus, kosinus dan tangen
Langkah:
1. Bentukkan tiga buah kumpulan.
BAB
2. Seterusnya, salin dan lengkapkan jadual di bawah.
x° 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360° 6
π π π 2 5 7 4 3 5 11
x rad 0 π π π π π π π π 2π
6 3 2 3 6 6 3 2 3 6
y = sin x
y = kos x
y = tan x
3. Dengan menggunakan kertas graf atau sebarang perisian geometri dinamik, lukis graf
yang berikut.
Kumpulan I: y = sin x untuk 0° < x < 360° atau 0 < x < 2π.
Kumpulan II: y = kos x untuk 0° < x < 360° atau 0 < x < 2π.
Kumpulan III: y = tan x untuk 0° < x < 360° atau 0 < x < 2π.
4. Kemudian, salin dan lengkapkan jadual di bawah.
Nilai maksimum Nilai minimum
Pintasan-y Pintasan-x Amplitud Kala
bagi y bagi y
5. Setiap kumpulan melantik seorang wakil untuk membentangkan hasil dapatan daripada
kumpulan masing-masing di hadapan kelas.
6. Ahli kumpulan yang lain boleh bertanyakan soalan kepada wakil yang dilantik.
7. Ulang langkah 5 dan 6 sehingga semua kumpulan selesai melakukan pembentangan.
6.3.1 201
Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 4, didapati bahawa:
Sudut Informasi
Graf y = sin x dan y = kos x berbentuk sinusoidal dan Sudut Informasi
mempunyai ciri-ciri yang berikut:
Garis Titik maksimum
(a) Nilai maksimum ialah 1 manakala nilai minimum keseimbangan
ialah –1, maka amplitud graf ialah 1 unit.
(b) Bentuk graf berulang setiap selang 360° atau
2π rad, maka 360° atau 2π rad ialah kala bagi
kedua-dua graf itu.
Amplitud Titik minimum
Graf y = tan x pula tidak berbentuk sinusoidal. Ciri-ciri graf
y = tan x adalah seperti yang berikut:
Bincangkan maksud
(a) Graf ini tidak mempunyai nilai maksimum atau • amplitud
nilai minimum. • kala
(b) Bentuk graf berulang setiap selang 180° atau π rad, • kitaran
• asimptot
maka kala bagi graf tangen ialah 180° atau π rad.
(c) Fungsi y = tan x tidak tertakrif pada x = 90° dan
x = 270°. Lengkung graf menghampiri garis x = 90°
dan x = 270° tetapi tidak menyentuh garis tersebut.
Garis tersebut dinamakan sebagai asimptot.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Graf bagi ketiga-tiga fungsi tersebut akan berulang walaupun dilukis dengan domain x yang
lebih besar. Perhatikan graf yang berikut.
1 Graf y = sin x untuk –2π < x < 2π
(a) Amplitud = 1 y
(i) Nilai maksimum y = 1 1 y = sin x
(ii) Nilai minimum y = –1
(b) Kala = 360° atau 2π –2π 3π –π π 0 π π 3π 2π x
(c) Pintasan-x: –2π, –π, 0, π, 2π – –– – – – ––
2
2
2
2
(d) Pintasan-y: 0 –1
2 Graf y = kos x untuk –2π < x < 2π
(a) Amplitud = 1 y
(i) Nilai maksimum y = 1 1 y = kos x
(ii) Nilai minimum y = –1
(b) Kala = 360° atau 2π –2π 3π –π π 0 π π 3π x
3 1 1 3 – –– – – – –– 2π
2
2
2
2
(c) Pintasan-x: – π, – π, π, π
2 2 2 2 –1
(d) Pintasan-y: 1
202 6.3.1
Fungsi Trigonometri
3 Graf y = tan x untuk –2π < x < 2π
y
(a) Tiada amplitud y = tan x
(i) Tiada nilai maksimum y 8
6
(ii) Tiada nilai minimum y 4
2
(b) Kala = 180° atau π x
3
3
1
1
– ––
––
–
– –
(c) Asimptot-x: – π, – π, π, π –2π 3π –π π –2 0 π π 3π 2π
2 2 2 2 2 2 –4 2 2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
–6
(d) Pintasan-x: –2π, –π, 0, π, 2π –8
(e) Pintasan-y: 0
Dalam Aktiviti Penerokaan 5, anda akan mengkaji kesan transformasi yang berbeza ke atas graf
y = a sin bx + c, a ≠ 0 dan b . 0.
Aktiviti Penerokaan 5 Berkumpulan PAK-21 STEM PK
Tujuan: Membanding graf fungsi sinus yang mempunyai bentuk persamaan berbeza
Langkah:
1. Salin dan lengkapkan jadual berikut.
x° 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360° BAB
x rad 0 π π π 2 π 5 π π 7 π 4 π 3 π 5 π 11 π 2π 6
6 3 2 3 6 6 3 2 3 6
y = sin x
y = 3 sin x
y = 3 sin 2x
y = 3 sin 2x + 1
2. Dengan menggunakan kertas graf atau sebarang perisian geometri dinamik, lukis setiap
pasangan fungsi yang berikut pada paksi yang sama.
(a) y = sin x dan y = 3 sin x untuk 0° < x < 360° atau 0 < x < 2π.
(b) y = sin x dan y = 3 sin 2x untuk 0° < x < 360° atau 0 < x < 2π.
(c) y = sin x dan y = 3 sin 2x + 1 untuk 0° < x < 360° atau 0 < x < 2π.
3. Seterusnya, bandingkan setiap pasangan graf tersebut dari segi amplitud, kala dan
kedudukan graf.
4. Kemudian, buat kesimpulan mengenai perkaitan antara nilai a, b dan c bagi fungsi
y = a sin bx + c, dengan keadaan a ≠ 0 dan b . 0 dengan
(i) amplitud,
(ii) kala,
(iii) kedudukan
graf fungsi tersebut.
5. Setiap kumpulan melantik seorang wakil untuk membentangkan hasil dapatan kumpulan
masing-masing di hadapan kelas.
6. Ahli kumpulan yang lain boleh bertanyakan soalan kepada wakil yang dilantik.
6.3.1 203
Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 5, didapati bahawa perubahan nilai-nilai a, b dan c dalam
fungsi y = a sin bx + c memberi kesan kepada amplitud, kala dan kedudukan graf.
y = a sin bx + c
a sin b c
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
• Jika c = 0: Bentuk graf: • Bilangan kitaran Translasi
0
Amplitud = | a |, Nilai maksimum y dalam julat ( )
y = a, Nilai minimum y = – a 1 0° < x < 360° c
• Jika c ≠ 0: x atau 0 < x < 2π dari graf
0 π 2π
Amplitud = | a | atau –1 • Kala = 360° asas.
b
(nilai maksimum – nilai minimum) = π
2
2 b
Transformasi yang serupa boleh dilakukan ke atas graf
y = kos x dan y = tan x. Didapati bahawa bentuk asal graf tidak
berubah. Kesan perubahan nilai a, b dan c ke atas graf dapat Akses QR
disimpulkan seperti dalam jadual yang berikut:
• Mari teroka graf fungsi
Perubahan Kesan y = a kos (bx – c) + d.
a Nilai maksimum dan minimum graf (kecuali untuk graf
y = tan x yang tiada nilai maksimum atau minimum)
b Bilangan kitaran dalam julat 0° < x < 360° atau 0 < x < 2π:
(
π
• Graf y = sin x dan y = kos x kala = 360° atau ) ggbm.at/bexuvgge
2
b b • Mari teroka graf fungsi
(
π
1
• Graf y = tan x kala = 180° atau ) y = k + A tan (Bx + C).
b b
c Kedudukan graf merujuk kepada paksi-x berbanding
dengan kedudukan graf asas
Setelah mengetahui bentuk dan ciri-ciri graf fungsi trigonometri, ggbm.at/wc9jzcmv
dua kemahiran penting yang perlu dikuasai ialah melukis dan
melakar graf-graf tersebut.
Contoh 11
Pintar
3
Lukis graf y = 3 – 2 kos x untuk 0 < x < 2π. Tip Pintar
2
Penyelesaian Bagi melukis graf
fungsi trigonometri,
Bagi menentukan saiz selang kelas: kita memerlukan
3 3 4 sekurang-kurangnya lapan
b = , Kala = 2π ÷ = π
2 2 3 titik untuk satu kitaran.
4
Saiz selang kelas = ( )
π ÷ 8
3
π
=
6
204 6.3.1
Fungsi Trigonometri
π π π 2 5 7 4 3 5 11
x 0 π π π π π π π π 2π
6 3 2 3 6 6 3 2 3 6
3
y = 3 – 2 kos x 1 1.59 3 4.41 5 4.4 3 1.59 1 1.59 3 4.41 5
2
3
Graf y = 2 kos x dipantulkan pada paksi-x y
2 3
–
( ) 5 y = 3 – 2 kos x
0
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
2
dan diikuti dengan translasi .
3 4
3
2
1
x
0 1 –π –π –π 2 –π 5 –π π 7 –π –π –π –π ––π 2π
1
5
11
3
1
4
6 3 2 3 6 6 3 2 3 6
Contoh 12
Nyatakan fungsi kosinus yang diwakili oleh graf dalam rajah di bawah.
y
BAB
4 4
6
x
–π 0 π 2π
–
–4 4
Penyelesaian
Perhatikan bahawa amplitud ialah 4.
Jadi, a = 4.
Dua kitaran dalam julat 0 < x < 2π.
2π
Kala ialah π, iaitu = π, jadi b = 2.
b
Maka, graf mewakili y = 4 kos 2x
Selain mengenal pasti fungsi trigonometri daripada graf yang diberi, nilai-nilai pemalar a, b dan
c juga membantu dalam melakar graf apabila diberi suatu fungsi trigonometri.
Contoh 13
Diberi f(x) = 3 sin 2x untuk 0° < x < 360°.
(a) Nyatakan kala bagi graf fungsi y = f(x). Seterusnya, nyatakan bilangan kitaran graf dalam
julat tersebut.
(b) Nyatakan amplitud bagi graf tersebut.
(c) Tuliskan koordinat bagi titik maksimum dan titik minimum.
(d) Lakarkan graf fungsi y = f(x).
(e) Pada paksi yang sama, lakarkan graf fungsi y = –3 sin 2x.
6.3.1 205
Penyelesaian
Pintar
360° Tip Pintar
(a) Kala bagi graf fungsi y = f(x) ialah = 180°.
Bilangan kitaran ialah 2. 2 Bagi melakar graf
(b) Amplitud bagi graf ialah 3. y = a sin bx + c, 0 < x < nπ :
(c) Titik maksimum ialah (45°, 3) dan (225°, 3) manakala titik • Bilangan kelas diperlukan
ialah b × n × 2 = m
minimum ialah (–135°, –3) dan (–315°, –3). • Saiz selang kelas = nπ
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
(d) Bagi melakar graf fungsi y = 3 sin 2x, 0° < x < 360°: m
Bilangan kelas = 2 × 2 × 2
= 8
Saiz selang kelas = 360°
8
= 45° y
x 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 235° 360° 3 y = 3 sin 2x
2
1
y 0 3 0 –3 0 3 0 –3 0
0 x
–1 90° 180° 270° 360°
Plotkan titik: (0°, 0°), (45°, 3), (90°, 0°), (135°, −3), –2
–3
(180°, 0°), (225°, 3), (270°, 0°), (335°, −3), (360°, 0°)
(e) Lakaran graf fungsi y = –3 sin 2x merupakan pantulan graf y = 3 sin 2x pada paksi-x.
y y = 3 sin 2x y = –3 sin 2x
3
2
1
0 x
–1 90° 180° 270° 360°
–2
–3
Contoh 14
Nyatakan transformasi bagi graf fungsi y = tan x untuk mendapatkan graf bagi setiap
yang berikut.
(a) y = – tan x (b) y = – tan x
Seterusnya, lakarkan kedua-dua graf tersebut untuk 0 < x < 2π.
Penyelesaian
Kala = π rad
(a) Pantulan graf y = tan x pada paksi-x memberikan graf Imbas Kembali
y = – tan x diikuti dengan pantulan bahagian negatif graf
1 Kala bagi graf y = tan x ialah
y = – tan x pada paksi-x untuk mendapatkan graf
1 180° atau π rad.
y = –tan x .
2
y y = tan x y
y = –tan x y = –tan x |
2 |
1
x
0 x
π 2π 0 π 2π
206 6.3.1
Fungsi Trigonometri
(b) Pantulan bahagian negatif graf y = tan x pada paksi-x memberikan graf y = tan x diikuti
1
dengan pantulan graf y = tan x pada paksi-x untuk mendapatkan graf y = – tan x .
1 2
y y
|
y = tan x |
0 x
π 2π
x
|
0 π 2π y = – tan x |
2
Latihan Kendiri 6.4
1. Lakarkan graf bagi setiap fungsi yang berikut pada kertas graf. Seterusnya, semak graf anda
menggunakan perisian geometri dinamik.
(a) y = 1 – 3 sin 2x untuk –90° < x < 180° (b) f(x) = – tan 2x + 1 untuk 0 < x < π
2. Nyatakan fungsi yang diwakili oleh setiap graf yang berikut.
(a) y (b) y
2
3 1
x
0 90° 180° 270° 360° BAB
x –1
0 π π π 3π 2π –2 6
3π
––
––
– –
2 2
2 2
–3
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
3. Diberi f(x) = A sin Bx + C untuk 0° < x < 360°. Amplitud bagi graf itu ialah 3, kala ialah
90° dan nilai minimum bagi f(x) ialah −2.
(a) Nyatakan nilai A, B dan C. (b) Lakarkan graf bagi fungsi tersebut.
4. Salin dan lengkapkan jadual berikut.
Lakaran graf
Fungsi Amplitud Bilangan kitaran/Kala Translasi
0 < x < π
3
y = sin 3x
2
y = tan 2x + 1
Menyelesaikan persamaan trigonometri dengan kaedah graf
Penyelesaian bagi suatu persamaan trigonometri dapat ditentukan dengan melukis dua graf yang
diperoleh daripada persamaan trigonometri itu pada rajah yang sama. Penyelesaian tersebut ialah
nilai x bagi koordinat titik persilangan kedua-dua graf tersebut.
Contoh 15
Pada paksi yang sama, lukis graf y = sin 2x dan y = x dalam julat 0 < x < π. Seterusnya,
2π
nyatakan penyelesaian bagi persamaan trigonometri 2π sin 2x – x = 0.
6.3.1 6.3.2 207
Penyelesaian
Bagi fungsi y = sin 2x:
π π 3π π 5π 3π 7π π
x 0 Julat = π
8 4 8 2 8 4 8 π
Saiz selang kelas =
y 0 0.71 1 0.71 0 – 0.71 –1 – 0.71 0 8
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Bagi garis lurus y = x :
2π
x 0 π
y 0 0.5
Titik (0, 0) (π, 0.5)
x y
Graf y = sin 2x dan y = : y = sin 2x
2π 1.0 x
y = ––
Titik persilangan kedua-dua graf ialah 0.5 2π
penyelesaian kepada sin 2x = x atau x
7
3
1
1
2π sin 2x – x = 0 2π 0 1 –π –π –π –π 5 –π 3 –π –π π
–0.5 8 4 8 2 8 4 8
Daripada graf, didapati bahawa penyelesaian –1.0
bagi persamaan 2π sin 2x – x = 0 ialah 0
dan 0.46 π.
Bilangan penyelesaian bagi suatu persamaan trigonometri boleh ditentukan dengan hanya melakar
graf bagi fungsi yang terlibat pada paksi yang sama. Bilangan titik persilangan akan memberikan
bilangan penyelesaian bagi persamaan tersebut.
Contoh 16
Lakarkan graf y = 3 kos 2x + 2 bagi 0 < x < π. Seterusnya, tentukan bilangan penyelesaian
bagi persamaan trigonometri berikut.
(a) 3x kos 2x = π – 2x (b) 3π kos 2x = 8x – π
Penyelesaian
y
Diberi y = 3 kos 2x + 2
Bilangan kelas = (2 × 1) × 2 = 4 5 y = 3 kos 2x + 2
π π 3π
x 0 π 2
4 2 4
x
y 5 2 –1 2 5 0 1 1 1 3 π
–π –π
–π
–π
–1 4 2 2 4
208 6.3.2
Fungsi Trigonometri
Fungsi T
rigonometri
(a) Untuk menentukan bilangan penyelesaian bagi 3x kos 2x = π – 2x,
3x kos 2x + 2x = π
x(3 kos 2x + 2) = π
π
3 kos 2x + 2 =
x
π
Jadi, y = 3 kos 2x + 2 dan y = .
x
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
π
Bagi y = :
x y
π π y = 3 kos 2x + 2
x 0 π 5
4 2
y ∞ 4 2 1 2 π
y = –
x
x
Titik – ( π , 4 ) ( π , 2 ) (π, 1) 0 1 1 3 π
–π –π –π
4 2 –1 4 2 4
Maka, bilangan penyelesaian = 1.
(b) Untuk menentukan bilangan penyelesaian bagi 3π kos 2x = 8x – π.
3π kos 2x + π = 8x
Pintar
π(3 kos 2x + 1) = 8x Tip Pintar
8x
3 kos 2x + 1 =
π Hanya dua titik sahaja BAB
3 kos 2x + 1 + 1 = 8x + 1 diperlukan untuk melakar 6
π graf fungsi linear.
8x
Jadi, y = 3 kos 2x + 2 dan y = + 1
π
Bagi y = 8x + 1:
π y
8
y = – x + 1
1 π y = 3 kos 2x + 2
x 0 π 5
4
3
y 1 3 2
1
1
3
Titik (0, 1) ( 1 π, 3 ) 0 1 –π –π –π π x
4 –1 4 2 4
Maka, bilangan penyelesaian = 1.
Latihan Kendiri 6.5
1. Dengan menggunakan skala yang bersesuaian,
(a) lukiskan graf yang berikut bagi 0° < x < 360°.
1
(i) y = sin 2x (ii) y = 2 – kos x (iii) y = – tan 2x + 1
2
(b) lukiskan graf yang berikut bagi 0 < x < 2π.
(i) y = 3 kos 2x (ii) y = –3 sin x + 2 (iii) y = tan x – 1
2. Lakarkan graf fungsi y = –2 sin 2x + 1 bagi 0 < x < 2π.
6.3.2 209
x
π
3
3. Pada paksi yang sama, lakarkan graf fungsi y = kos 3x dan y = + 1 bagi 0 < x < .
2 π 2
2x π
Seterusnya, nyatakan bilangan penyelesaian untuk 3 kos 3x = + 2 bagi 0 < x < .
π 2
4. Tentukan bilangan penyelesaian bagi x – 2π kos 2x = 0 untuk 0 < x < π dengan melakarkan
dua graf yang bersesuaian.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
6.3
Latihan Formatif Kuiz bit.ly/37k9eON
1. Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 0.5 unit pada paksi-x dan paksi-y, lukis graf
π
y = 2 kos x bagi 0 < x < 4. Daripada graf yang diperoleh, anggarkan nilai-nilai x yang
2
π
1
memuaskan persamaan kos x + = 0 bagi julat 0 < x < 4.
2 4
π
2. Dengan menggunakan skala 2 cm kepada rad pada paksi-x dan 1 cm kepada 1 unit pada
6
3
paksi-y, lukis graf y = 5 tan x bagi 0 < x < π. Pada paksi yang sama, lukis garis lurus
2
yang bersesuaian untuk menyelesaikan persamaan 30 tan x – 6x + 5π = 0 bagi julat
3
0 < x < π. Seterusnya, cari nilai x dalam unit radian.
2
3. Lakarkan graf y = 3 sin 2x bagi 0 < x < 2π. Seterusnya, menggunakan paksi-paksi
yang sama, lukis garis lurus yang bersesuaian untuk mencari bilangan penyelesaian bagi
persamaan 3π sin 2x + 2x = 3π. Nyatakan bilangan penyelesaian tersebut.
4. Lakarkan graf y = kos 2x bagi 0 < x < π. Pada paksi yang sama, lakarkan garis lurus
yang bersesuaian untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan x – 2π kos 2x = 0.
Seterusnya, nyatakan bilangan penyelesaian tersebut.
π
5. Dengan menggunakan skala 2 cm kepada rad pada paksi-x dan 2 cm kepada 1 unit
4
pada paksi-y, lukis graf fungsi trigonometri y = 1 + sin 2x dan y = 2 kos 2x bagi
0 < x < 2π pada paksi yang sama. Seterusnya, nyatakan koordinat titik-titik persilangan
bagi kedua-dua graf itu.
6. Dengan melakarkan graf y = 3 + kos x bagi 0 < x < 2π, cari julat nilai k dengan keadaan
kos x = k – 3 tidak mempunyai punca nyata.
7. (a) Lakarkan graf y = –2 kos 3x bagi 0 < x < 2π.
2
(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakarkan satu graf yang bersesuaian
untuk menyelesaikan persamaan 2 kos 3x + π = 0 bagi 0 < x < 2π. Nyatakan
2 2x
bilangan penyelesaian tersebut.
210 6.3.2
Fungsi Trigonometri
6.4 Identiti Asas
Menerbitkan identiti asas
Perhatikan tiga identiti asas yang berikut:
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
2
2
sin q + kos q = 1 1 + tan q = sek q 1 + kot q = kosek q
2
2
2
2
Identiti trigonometri ialah persamaan yang melibatkan fungsi trigonometri dan sah untuk
sebarang nilai sudut. Identiti trigonometri yang telah dipelajari adalah seperti berikut:
sin q 1 1
tan q = , kot q = dan kosek q =
kos q tan q sin q
Dengan menggunakan bulatan unit dan segi tiga bersudut tegak, tiga identiti asas lain yang
juga dikenali sebagai identiti Pythagoras boleh dibuktikan.
Aktiviti Penerokaan 6 Berkumpulan PAK-21
Tujuan: Menerbitkan identiti asas
1. Bahagikan murid kepada dua kumpulan.
2. Kumpulan 1 akan mengkaji berkaitan Rajah 6.5 dan Kumpulan 2 akan mengkaji berkaitan BAB
Rajah 6.6. 6
N y
(kos θ, sin θ)
1
p sin θ
m θ x
O kos θ
q
M n P
Rajah 6.5 Rajah 6.6
Kumpulan 1 Kumpulan 2
(a) Senaraikan enam nisbah trigonometri (a) Tuliskan x dalam sebutan kos q dan y
dalam sebutan n, m dan p. dalam sebutan sin q.
(b) Menggunakan teorem Pythagoras (b) Menggunakan teorem Pythagoras
2
2
2
2
m + n = p , terbitkan tiga identiti asas. x + y = 1, terbitkan tiga identiti asas.
2
3. Bincangkan dalam kumpulan dan bentangkan hasil dapatan anda di hadapan kelas.
Daripada Aktiviti Penerokaan 6, didapati bahawa
ketiga-tiga identiti asas boleh diterbitkan menggunakan segi • sin A = a , kosek A = c
tiga bersudut tegak ABC dan semua nisbah trigonometri c a
yang telah dipelajari. B • kos A = b , sek A = c
c b
c a b
a • tan A = b , kot A = a
A C
b
6.4.1 211
2
Dengan menggunakan teorem Pythagoras, diketahui bahawa a + b = c . Bahagikan kedua-dua
2
2
2
2
2
belah persamaan dengan a , b dan c , kita peroleh:
÷ a 2 ÷ b 2 ÷ c 2
a 2 + b 2 = c 2 a 2 + b 2 = c 2 a 2 + b 2 = c 2
a 2 a 2 a 2 b 2 b 2 b 2 c 2 c 2 c 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b 2
c 2
b 2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
c 2
a 2
a 2
1 + a = a b + 1 = b c + c = 1
1 + kot A = kosek A 1 + tan A = sek A sin A + kos A = 1
2
2
2
2
2
2
Ketiga-tiga identiti asas tersebut boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah yang
melibatkan nisbah trigonometri.
Contoh 17 Tip Pintar
Pintar
Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai bagi setiap
sin A + kos A
2
2
yang berikut.
2
2
(a) sin (– 430°) + kos (– 430°) + +
2
2
2 π 2 π tan A 1 kot A
(b) tan ( ) – sek ( )
3 3
Penyelesaian sek A kosek A
2
2
2
2
2
(a) sin (– 430°) + kos (– 430°) = 1 sin A + kos A = 1
2
2
2 π
2 π
(b) tan ( ) – sek ( ) = –1 1 + tan A = sek A
3 3 1 + kot A = kosek A
2
2
Latihan Kendiri 6.6
1. Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai bagi setiap yang berikut.
2
2
2
(a) kos 80° + sin 80° (b) sek 173° – tan 173°
2
2 8 2 8
2
(c) 1 – kos 45° (d) kosek π – kot π
5 5
2. Diberi kos q = m, tentukan nilai yang berikut dalam sebutan m.
2
(a) sek q
2
(b) sin q
(c) kot q
2
π
3. Diberi bahawa 0 < q < dan tan q = 3. Tanpa menggunakan segi tiga bersudut tegak, cari
2
nilai sin q dan kos q.
4. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah segi tiga bersudut tegak ABC. B
Tulis ungkapan yang berikut dalam sebutan p dan/atau q.
q
(a) 1 – kos A p
2
(b) kosek A – 1
2
(c) 1 – sek A A C
2
212 6.4.1
Fungsi Trigonometri
Membuktikan identiti trigonometri menggunakan identiti asas
Contoh 18
Tip Pintar
Pintar
Buktikan setiap identiti trigonometri yang berikut.
(a) 1 – 2 sin A = 2 kos A – 1 Bagi membuktikan
2
2
identiti trigonometri:
(b) tan A + kot A = sek A kosek A
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
(a) Buktikan bahagian yang
Penyelesaian lebih kompleks.
(b) Tukarkan kepada
2
(a) 1 – 2 sin A bentuk nisbah
trigonometri asas.
= 1 – 2(1 – kos A) Gunakan identiti (c) Darabkan dengan
2
2
sin A + kos A = 1
2
2
= 1 – 2 + 2 kos A konjugat jika perlu.
= 2 kos A – 1
2
2
Maka, terbukti bahawa 1 – 2 sin A = 2 kos A – 1
2
Akses QR
(b) tan A + kot A Gunakan identiti
sin A kos A tan A = sin A dan kot A = kos A
= + kos A sin A Aktiviti menentusahkan
kos A sin A identiti asas dengan
2
sin A + kos A
2
= Gunakan identiti sin A + kos A = 1 menggunakan klinometer.
2
2
kos A sin A
= 1 Gunakan identiti BAB
kos A sin A 1 1
= sek A kosek A sin A = kosek A dan kos A = sek A 6
bit.ly/37tHBTt
Maka, terbukti bahawa tan A + kot A = sek A kosek A
Didapati bahawa pembuktian dapat dilakukan dengan meringkaskan ungkapan di sebelah kiri
supaya serupa dengan ungkapan di sebelah kanan atau sebaliknya. Pembuktian juga boleh
dilakukan dengan meringkaskan ungkapan di sebelah kiri dan ungkapan di sebelah kanan
menjadi satu ungkapan yang serupa. Kaedah ini ditunjukkan dalam contoh di bawah.
Contoh 19
2
2
2
Buktikan bahawa tan x – sek x + 2 = kosek x – kot x.
2
Penyelesaian
2
2
Sebelah kiri: tan x – sek x + 2 = (–1) + 2
= 1 Gunakan identiti 1 + tan x = sek x
2
2
2
1 kos x Gunakan identiti
2
Sebelah kanan: kosek x – kot x = –
2
2
2
sin x sin x 1 = kosek x dan 1 = kot x
sin x tan x
2
1 – kos x
=
2
sin x Gunakan identiti sin x + kos x = 1
2
2
sin x
2
=
2
sin x
= 1
2
Maka, tan x – sek x + 2 = kosek x – kot x = 1.
2
2
2
6.4.2 213
Latihan Kendiri 6.7
1. Buktikan setiap identiti trigonometri yang berikut. 4
(a) 3 sin A – 2 = 1 – 3 kos A (b) 1 + 2 tan A = 1 – sin A
2
2
2
4
kos A
2
2
(c) sek A kosek A – tan A = kot A (d) kos A – sin A = 1 – tan A
2
2
1 + tan A
2
(e) kot q – tan q = kosek q – sek q (f) sin q = 1 – kos q
2
2
2
2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
1 + kos q
1 – 2 sin q
2
(g) tan q (kosek q – 1) = 1 (h) = kos q + sin q
2
2
kos q – sin q
6.3 bit.ly/37k9eON
Latihan Formatif Kuiz
1. Diberi sek q = p, cari nilai bagi setiap yang berikut, dalam sebutan p.
2
2
2
(a) tan q (b) kos q (c) sin q
2
2. Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai bagi setiap yang berikut.
2
2
2
(a) sin 100° + kos 100° (b) tan 3 rad – sek 3 rad
2
(c) 1 + tan 120° (d) 1 + kot 225°
2
2
3. Buktikan setiap yang berikut.
2
tan x
2
2
(a) = sin x (b) 5 sek x + 4 = 9 sek x – 4 tan x
2
2
1 + tan x
2
sin q 1 + kos q
2
4
(c) + = 2 kosek q (d) sek q – sek q = tan q + tan q
2
4
1 + kos q sin q
4. Persamaan yang berikut adalah benar bagi semua nilai q.
1 + 1 = 2 kosek q
2
1 + kos q 1 – kos q
(a) Buktikan persamaan tersebut.
(b) Seterusnya, cari nilai kosek q jika kos q = 0.6.
2
5. Setiap identiti yang berikut menunjukkan hubungan yang melibatkan sek y. Buktikan
setiap identiti yang berikut.
(a) sek y = sin y tan y + kos y
tan y + kot y
(b) sek y =
kosek y
1 – sin y kos y
(c) sek y = +
2 kos y 2 – 2 sin y
214 6.4.2
Fungsi Trigonometri
6.5 Rumus Sudut Majmuk dan Rumus Sudut Berganda
Membuktikan identiti trigonometri dengan menggunakan rumus
sudut majmuk
Sudut Informasi
Sudut Informasi
Pertimbangkan contoh yang berikut:
sin (30° + 60°) = sin 90° = 1 • Sudut yang berbentuk
Walau bagaimanapun, sin 30° + sin 60° = 0.5 + 0.866 ≠ 1 (A + B) atau (A – B)
Maka, sin (30° + 60°) ≠ sin 30° + sin 60°. dikenali sebagai
Secara amnya, sin (A + B) ≠ sin A + sin B. sudut majmuk.
• Sudut yang berbentuk 2A,
3A ,… dikenali sebagai
Rumus yang boleh digunakan untuk mencari nisbah sudut berganda.
trigonometri bagi sudut majmuk adalah seperti yang berikut:
sin (A + B) = sin A kos B + kos A sin B
sin (A – B) = sin A kos B – kos A sin B Akses QR
kos (A + B) = kos A kos B – sin A sin B
kos (A – B) = kos A kos B + sin A sin B Menerbitkan rumus
tan (A + B) = tan A + tan B sudut majmuk.
1 – tan A tan B BAB
tan A – tan B
tan (A – B) =
1 + tan A tan B 6
bit.ly/37kwwUJ
Rumus di atas dikenali sebagai rumus sudut majmuk.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Kalkulator boleh digunakan untuk menentusahkan rumus tersebut.
Aktiviti Penerokaan 7 Berkumpulan PAK-21
Tujuan: Menentukan rumus sudut majmuk
Langkah:
1. Salin dan lengkapkan jadual di bawah dengan menggunakan kalkulator. Selain 10° dan 20°,
anda boleh memilih lima set sebarang nombor yang lain.
A B sin (A + B) sin A kos B kos A sin B sin A kos B + kos A sin B
10° 20°
2. Kemudian, bandingkan jawapan yang diperoleh dalam Lajur 3 dan Lajur 6 bagi jadual
di atas.
3. Bincangkan hasil perbandingan anda dengan kumpulan yang lain.
6.5.1 215
Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 7, didapati bahawa satu daripada rumus sudut majmuk
dapat ditentusahkan, iaitu sin (A ± B) = sin A kos B ± kos A sin B. Kaedah yang sama boleh
digunakan untuk menentusahkan rumus sudut majmuk yang lain. Kalkulator juga boleh
digunakan untuk menentusahkan contoh-contoh di bawah.
Contoh 20
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Cari nilai bagi setiap ungkapan yang berikut dengan menggunakan rumus sudut majmuk.
Seterusnya, semak jawapan yang diperoleh menggunakan kalkulator.
(a) sin 63° kos 27° + kos 63° sin 27°
(b) kos 50° kos 20° + sin 50° sin 20°
tan 70° – tan 10°
(c)
1 + tan 70° tan 10°
Penyelesaian
(a) sin (63° + 27°) (b) kos (50° – 20°) (c) tan (70° – 10°)
= sin 90° = kos 30° = tan 60°
= 1 ! 3 = ! 3
=
2
Membuktikan identiti lain menggunakan rumus sudut majmuk
Rumus sudut majmuk boleh digunakan untuk membuktikan identiti trigonometri yang lain.
Contoh 21
Buktikan setiap identiti yang berikut.
(
(
(a) sin (90° + A) = kos A (b) sin x + π ) – sin x – π ) = kos x
6 6
Penyelesaian
(a) sin (90° + A)
= sin 90° kos A + kos 90° sin A
= (1) kos A + (0) sin A
= kos A
(
(
(b) sin x + π ) – sin x – π )
6 6
π
π
π
π
= sin x kos ( ) + kos x sin ( ) ( ( ) – kos x sin ( ))
– sin x kos
6 6 6 6
π
= sin x kos ( ) + kos x sin ( ) – sin x kos ( ) + kos x sin ( )
π
π
π
6 6 6 6
π
= 2 kos x sin ( )
6
1
= 2 kos x ( )
2
= kos x
216 6.5.1
Fungsi Trigonometri
Penggunaan rumus sudut majmuk
Mari lihat contoh penggunaan rumus sudut majmuk untuk menyelesaikan beberapa masalah
yang melibatkan nisbah trigonometri.
Contoh 22
Imbas Kembali
Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai yang berikut.
(a) sin 105° (b) tan 15° sin kos tan
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
1
1
Penyelesaian 45° ! 2 ! 2 1
(a) sin 105° (b) tan 15° 60° ! 3 1 ! 3
= sin (45° + 60°) = tan (60° – 45°) 2 2
= sin 45° kos 60° + kos 45° sin 60° tan 60° – tan 45°
= 1 + tan 60° tan 45°
( ) 2 ( )( )
1
1
1
( )
! 3
= +
! 2 ! 2 2 = ! 3 – 1
( 1 + ! 3 ) ( ) 1 + (! 3)(1)
! 2
= ×
2! 2 ! 2 = ! 3 – 1
! 2 + ! 6 ! 3 + 1
=
4 = 2 – ! 3
Contoh 23 BAB
3 12 6
Diberi sin A = , 0° , A , 90° dan sin B = – , 90° , B , 270°. Cari
5 13
(a) sin (A + B) (b) tan (B – A)
Penyelesaian
Pintar
(a) sin (A + B) = sin A kos B + kos A sin B Tip Pintar
3 –5
4 –12
+
= ( )( ) ( )( )
5 13 5 13 y P Berdasarkan rajah
–15 – 48 dalam Contoh 23:
= 5
3
65 3 • sin A = , sin B = –12
63 A x 5 13
= – O 4 4 –5
65 • kos A = , kos B = 13
5
3
(b) tan (B – A) = tan B – tan A • tan A = , tan B = 12
1 + tan B tan A y 4 5
3
–12
( ) ( ) B
–
= –5 4 Q –5 x
–12 3
1 + ( )( ) O
–5 4 –12 13
( 48 – 15 ) P
= 20 Berdasarkan Contoh 23,
36
1 + ( ) tentukan nilai bagi setiap
20 yang berikut:
33
20
= ( ) ( ) 33 ÷ 56 = 33 × 20 (a) kosek (A + B)
×
20 56 20 20 20 56 (b) sek (A – B)
(c) kot (B – A)
= 33
56
6.5.1 217
Latihan Kendiri 6.8
1. Buktikan setiap identiti trigonometri yang berikut.
(
(a) sin (x – y) – sin (x + y) = –2 kos x sin y (b) tan A + π ) = 1 + tan A
1 – tan A
4
kos (x – y) – kos (x + y) kot A kot B + 1
(c) = tan y (d) kot (A – B) =
sin (x + y) + sin (x – y) kot B – kot A
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
2. Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai bagi setiap yang berikut.
(a) kos 75° (b) kosek 105° (c) kot 195°
5 3 π 3
3. Diberi kos x = – bagi 0 , x , π dan sin y = – bagi , y , π, cari nilai bagi setiap
yang berikut. 13 5 2 2
(a) sin (x + y) (b) kos (x – y) (c) kot (x + y)
Menerbitkan rumus sudut berganda
Rumus sudut majmuk boleh digunakan untuk menerbitkan rumus sudut berganda.
• Diberi sin (A + B) = sin A kos B + kos A sin B
sin 2A • Jika gantikan B dengan A,
sin (A + A) = sin A kos A + kos A sin A
Maka, sin 2A = 2 sin A kos A
• Diberi kos (A + B) = kos A kos B − sin A sin B
kos 2A • Jika gantikan B dengan A,
kos (A + A) = kos A kos A − sin A sin A.
Maka, kos 2A = kos A – sin A
2
2
2
2
• Jika gantikan sin A = 1 – kos A ke dalam kos 2A = kos A − sin A,
2
2
2
2
kos 2A = kos A – (1 – kos A)
2
= 2 kos A – 1
Maka, kos 2A = 2 kos A − 1
2
2
2
• Jika gantikan kos A = 1 – sin A ke dalam kos 2A = kos A − sin A,
2
2
2
2
kos 2A = (1 – sin A) – sin A
= 1 – 2 sin A
2
Maka, kos 2A = 1 – 2 sin A
2
tan A + tan B
• Diberi tan (A + B) =
tan 2A 1 – tan A tan B
• Jika gantikan B dengan A,
tan (A + A) = tan A + tan A
1 – tan A tan A
2 tan A
Maka, tan 2A =
2
1 – tan A
218 6.5.1 6.5.2
Fungsi Trigonometri
Contoh 24
Cari nilai bagi setiap ungkapan yang berikut menggunakan rumus sudut berganda. Seterusnya,
tentusahkan jawapan yang diperoleh menggunakan kalkulator.
2
2
(a) 2 sin 15° kos 15° (b) kos 22.5° – sin 22.5° (c) 2 tan 75°
2
1 – tan 75°
Penyelesaian
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
2
2
(a) 2 sin 15° kos 15° (b) kos 22.5° – sin 22.5° (c) 2 tan 75°
2
1 – tan 75°
= sin 2(15°) = kos 2(22.5°) = tan 2(75°)
= sin 30° = kos (45°)
1 ! 2 = tan 150°
=
2 = 2 = – 1
! 3
Membuktikan identiti trigonometri dengan menggunakan rumus
sudut berganda
Contoh 25 BAB
Buktikan setiap identiti yang berikut. 6
1
(a) kosek 2A = sek A kosek A
2
(b) kos q – sin q = kos 2q
kos q + sin q
Penyelesaian
1
(a) Diberi kosek 2A = sek A kosek A
2
Bukti: Sebelah kiri = kosek 2A
= 1 Gunakan identiti kosek 2A = 1
sin 2A sin 2A
1
=
2 sin A kos A
1 Gunakan identiti
= sek A kosek A 1 1
2 sin A = kosek A dan kos A = sek A
kos 2q
(b) Diberi kos q – sin q =
kos q + sin q
kos 2q
Bukti: Sebelah kanan =
kos q + sin q
2
(kos q – sin q) (kos q – sin q)
2
= ×
kos q + sin q (kos q – sin q)
Gunakan identiti
(kos q – sin q) (kos q – sin q)
2
2
= kos 2q = kos q – sin q dan
2
2
2
2
(kos q – sin q) darabkan dengan konjugat
= kos q – sin q
219
6.5.2 6.5.3 219
Rumus lain yang melibatkan sudut berganda boleh diterbitkan Sudut Informasi
Sudut Informasi
2
secara aruhan. Contohnya, jika kos 2A = 2 kos A – 1, maka
A
2
rumus kos 4A = 2 kos 2A – 1. Dengan menggunakan kaedah • sin A = 2 sin kos A
2 A
yang sama, didapati bahawa kos A = 2 kos – 1. Hubungan 2 2
2 A
2 A
2 • kos A = kos – sin
ini boleh digunakan untuk membuktikan rumus sudut separuh 2 2
2 A
A A A = 2 kos – 1
dengan keadaan sin , kos dan tan boleh diungkapkan 2
2 2 2 = 1 – 2 sin
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
2 A
dalam sebutan sin A dan kos A seperti berikut. 2
2 tan A
2
!
A
• sin = ± 1 – kos A • tan A = 2 A
2 2 1 – tan
2
!
A 1 + kos A
• kos = ±
2 2
!
A sin A
• tan = ±
2 1 + kos A
Contoh 26
x 1 – kos x Buktikan bahawa:
Buktikan bahawa tan = .
2 sin x 1 – kos q
2 q
• sin =
Penyelesaian 2 2
2 q
1 – kos x • kos = 1 + kos q
Sebelah kanan = 2 2
sin x sin q
2 q
(
2 x
1 – 1 – 2 sin ) • tan = 1 + kos q
2
= x x 2
2 sin kos
2 2
2 x Gunakan
2 sin
2
= x 2 x kos 2x = 1 – 2 sin x
2 x
2 sin kos maka, kos x = 1 – 2 sin
2 2 2
sin x
= 2
kos x
2
x
= tan
2
x 1 – kos x
Maka, terbukti bahawa tan = .
2 sin x
Latihan Kendiri 6.9
1. Tanpa menggunakan kalkulator, tentukan nilai bagi setiap yang berikut.
2
(a) 2 sin 30° kos 30° (b) kos 165° – sin 165° (c) 1 – tan 75°
2
2
2 tan 75°
1
2. Buktikan bahawa kosek 2A = sek A kosek A.
2
220 6.5.3
Fungsi Trigonometri
3. Buktikan setiap identiti yang berikut.
(a) sin 2q (tan q + kot q) = 2 (b) sin 4x + sin 2x = tan 2x
kos 4x + kos 2x + 1
(c) kosek 2A + kot 2A = kot A (d) sek 2x = kot x + tan x
kot x – tan x
4 5
4. Diberi sin x = dengan x ialah sudut tirus dan sin y = dengan y ialah sudut cakah, cari
5 13
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
x
(a) kosek 2x (b) sek 2y (c) sin (d) tan y
2 2
6.5
Latihan Formatif Kuiz bit.ly/2EYagUu
1
1. Diberi tan (A + B) = 3 dan tan B = , cari nilai bagi tan A.
3
2. Diberi bahawa 3A = 2A + A, buktikan setiap yang berikut menggunakan identiti
yang bersesuaian.
3
3
(a) sin 3A = 3 sin A – 4 sin A (b) kos 3A = 4 kos A – 3 kos A BAB
6
24 π 8
3. Diberi bahawa sin x = bagi 0 < x < dan kos y = bagi π < y < 2π, cari
25 2 17
(a) kos (x + y) (b) kosek (x – y) (c) tan (x – y)
y
(d) sek 2y (e) sin
2
4. Buktikan setiap identiti yang berikut.
kot x kot y – 1
(a) kot (x + y) =
kot x + kot y
kos (x – y) – kos (x + y)
(b) tan y =
sin (x – y) + sin (x + y)
5. Diberi tan q = t bagi 0 < q < π. Ungkapkan setiap yang berikut dalam sebutan t.
(a) sin 2q (b) kos 2q (c) tan 2q
2 q
2 q
(d) sin (e) kos
2 2
6. Buktikan setiap identiti yang berikut.
1 sin q 2 1 2 2 tan q
(a) tan q = (b) sek q = (c) sin 2q =
2 1 + kos q 2 1 + kos q 1 + tan q
2
7. Dengan menggunakan identiti sudut majmuk, tunjukkan bahawa
(
(
(
(a) tan q + π ) = – kot q (b) kos q + π ) = – sin q (c) sin q + π ) = kos q
2 2 2
6.5.3 221
6.6 Aplikasi Fungsi Trigonometri
Menyelesaikan persamaan trigonometri
Pertimbangkan soalan yang berikut:
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Diberi sin q = 0.5, apakah nilai bagi q ?
–1
Nilai bagi q dapat diperoleh dengan menggunakan fungsi sin 0.5 pada kalkulator,
iaitu sin 0.5 = 30°.
–1
Didapati bahawa nilai bagi sin 150°, sin 390°, sin 510°, … ialah 0.5. Maka, sudut 150°, 390°,
510°, … juga ialah penyelesaian bagi sin q = 0.5.
Jika julat bagi sudut tidak dinyatakan, maka bilangan penyelesaian bagi suatu persamaan
trigonometri adalah tidak terhingga.
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, pengetahuan tentang identiti trigonometri,
sudut rujukan dan tanda bagi nisbah trigonometri dalam suatu sukuan adalah penting.
Contoh 27 Tip Pintar
Pintar
Selesaikan persamaan yang berikut bagi 0° < q < 360°. Langkah untuk
(a) sin q = – 0.5446 (b) kos 2q = 0.3420 menyelesaikan persamaan
trigonometri:
Penyelesaian y 1. Permudahkan
persamaan
(a) sin q = – 0.5446 menggunakan identiti
Sudut rujukan, a = sin (0.5446) jika perlu.
–1
a = 33° α α x 2. Tentukan sudut rujukan
O menggunakan nilai
nisbah trigonometri
tanpa mengambil kira
sin q adalah negatif, jadi q dalam sukuan III dan IV tandanya.
bagi 0° < q < 360°. 3. Cari sudut dalam
q = 180° + 33° dan 360° – 33° sukuan yang merujuk
kepada tanda nisbah
= 213° dan 327° y trigonometri dan julat.
(b) kos 2q = 0.3420 4. Tuliskan penyelesaian
–1
Sudut rujukan, a = kos (0.3420) yang diperoleh.
a = 70° α x
O α
Imbas Kembali
Diberi a ialah sudut rujukan dan
kos 2q adalah positif, jadi 2q dalam sukuan I dan IV q ialah sudut dalam sukuan.
bagi 0° < 2q < 720° y
α = 180°−θ α = θ
2q = 70°, 360° – 70°, 360° + 70° dan 360 + (360° – 70°)
= 70°, 290°, 430° dan 650° α α x
q = 35°, 145°, 215° dan 325° α α
α = −180° α = 360°−θ
θ
222 6.6.1
Fungsi Trigonometri
Contoh 28
(
Selesaikan persamaan 3 sin A + π ) = 0.99 bagi 0 < A < π.
3 y
Penyelesaian
(
3 sin A + π ) = 0.99 α α x
3 O
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
(
sin A + π ) = 0.33
3
Sudut rujukan, a = sin (0.33) Tukar kalkulator
–1
dalam mod radian
= 0.3363 rad
(
(
sin A + π ) adalah positif, jadi A + π ) dalam Sukuan I dan II
3 3
Pintar
π
π
bagi < A + < 4.189. Tip Pintar
3 3
π Jika menggunakan
A + = 0.3363 dan π – 0.3363
3 kalkulator dalam mod
π
–1
A = 0.3363 – dan 2.805 – π darjah: sin (0.33) = 19.27°
3 3 Tukar ke mod radian:
π
= – 0.7109 dan 1.758 19.27° × 180°
= 0.3363 rad
Maka, A = 1.758 rad.
BAB
6
Contoh 29
Cari nilai x yang tercangkum di antara 0° dengan 360° yang
memuaskan persamaan yang berikut.
(a) sin 2x + kos x = 0
(b) 2 kos 2x – 13 sin x + 10 = 0 Diberi 0°< x < 360°.
Lengkapkan jadual
Penyelesaian di bawah.
(a) sin 2x + kos x = 0 Gunakan identiti Nisbah x
2 sin x kos x + kos x = 0 sin 2x = 2 sin x kos x sin x = 0
kos x (2 sin x + 1) = 0 kos x = 0
Jadi, kos x = 0 atau 2 sin x + 1 = 0 tan x = 0
Apabila kos x = 0, sin x = 1
x = 90° dan x = 270° kos x = 1
Apabila 2 sin x + 1 = 0
sin x = – 0.5 tan x = 1
Sudut rujukan, a = 30° sin x = –1
sin x adalah negatif, jadi x dalam sukuan III atau IV kos x = –1
x = 180° + 30° dan 360° – 30° tan x = –1
= 210° dan 330°
Maka, x = 90°, 210°, 270° dan 330°.
6.6.1 223
(b) 2 kos 2x – 13 sin x + 10 = 0
2
2(1 – 2 sin x) – 13 sin x + 10 = 0 kos 2x = 1 – 2 sin x
2
2 – 4 sin x – 13 sin x + 10 = 0
2
4 sin x + 13 sin x – 12 = 0
2
(4 sin x – 3)(sin x + 4) = 0
sin x = 0.75 atau sin x = – 4 (abaikan) 0 < sin x < 1
Apabila sin x = 0.75, sudut rujukan, a = 48.59°
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
sin x adalah positif, jadi x dalam sukuan I dan II.
Maka, x = 48.59° dan 131.41°.
Latihan Kendiri 6.10
1. Diberi bahawa 0° < x < 360°, cari semua nilai x yang memuaskan setiap
persamaan yang berikut.
(a) sin 2x = – 0.4321 (b) sek (2x + 40°) = 2
x
(c) kot ( ) = 0.4452 (d) 5 tan x = 7 sin x
3
2
(e) sin x – 2 sin x = kos 2x (f) sin (x + 30°) = kos (x + 120°)
(g) 7 sin x + 3 kos 2x = 0 (h) sin x = 3 sin 2x
(i) kos (x – 60°) = 3 kos (x + 60°)
2. Cari semua sudut yang tercangkum di antara 0 dengan 2π yang memenuhi
persamaan yang berikut.
(
(a) sin 2x + π ) = – ! 3 (b) 3 sin y = 2 tan y
6 2
(c) 3 kot z – 5 kosek z + 1 = 0 (d) sin 2A – kos 2A = 0
2
1
(e) kos B sin B = (f) 4 sin (x – π) kos (x – π) = 1
4
Menyelesaikan masalah yang melibatkan fungsi trigonometri
Pengetahuan tentang fungsi trigonometri sering digunakan untuk menyelesaikan masalah sama
ada dalam kehidupan harian atau masalah lain yang melibatkan trigonometri.
Contoh 30 Aplikasi Matematik
Dalam rajah di sebelah, AE mewakili tinggi sebuah A
bangunan. Sudut dongak puncak A dari titik B, C
dan D masing-masing ialah q, 2q dan 3q. Titik B,
C, D dan E terletak pada satu garis lurus mengufuk.
Diberi BC = 11 m dan CD = 5 m. Jika AE = h m h m
dan DE = x m, cari tinggi bangunan itu, dalam
sebutan x. θ 2θ 3θ
B E
11 m C 5 m D x m
224 6.6.1 6.6.2
Fungsi Trigonometri
Penyelesaian
1 . Memahami masalah 2 . Merancang strategi
Diberi BC = 11 m, CD = 5 m, Cari tan q, tan 2q dan tan 3q, dalam
DE = x m dengan sudut q, 2q, sebutan h dan x.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
dan 3q. Gunakan identiti tan 3q = tan (q + 2q).
Cari tinggi bangunan, AE = h m. Gantikan ungkapan bagi tan q,
tan 2q dan tan 3q.
Permudahkan persamaan untuk
mencari h.
3 . Melaksanakan strategi
h
Didapati bahawa: tan q =
16 + x
h
tan 2q =
5 + x
h
tan 3q = dengan tan 3q = tan (q + 2q).
x BAB
h = tan q + tan 2q Jadi, = 21 + 2x
1
x 1 – tan q tan 2q x 80 + 21x + x – h 2 6
2
2
2
( h ) ( h ) 80 + 21x + x – h = x(21 + 2x)
+
= 16 + x 5 + x 80 + 21x + x – h = 21x + 2x 2
2
2
1 – ( h )( h ) 2 2
16 + x 5 + x h = 80 – x
h = ±! 80 – x 2
h(5 + x) + h(16 + x)
(16 + x)(5 + x) Maka, tinggi bangunan itu ialah ! 80 – x m.
2
=
(16 + x)(5 + x) – h 2
(16 + x)(5 + x)
h(5 + x) + h(16 + x)
=
(16 + x)(5 + x) – h 2
6.6.2 225
4 . Membuat refleksi
Katakan x ialah 4 m. Jadi, h = ! 80 – 4 2
= 8 m
8 tan q + tan 2q
Didapati bahawa: tan q = tan 3q =
20 1 – tan q tan 2q
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
2
= 2 8
+
5 ( ) ( )
5
9
=
8 2 8
tan 2q = 1 – ( )( )
9 5 9
8
tan 3q = ( 18 + 40 )
4 45
=
= 2 45 – 16
( )
45
= 58
29
= 2
Latihan Kendiri 6.11
1. Dalam merancang penerbangan, juruterbang pesawat perlu
–1
menentukan kelajuan darat, v kmj , pesawat itu dengan
mengambil kira laju dan arah angin. Kelajuan darat, dalam
kmj , boleh diungkapkan sebagai
–1
770 sin 135°
v =
sin q
Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai v, jika tan q = 7
dan 0° , q , 180°.
2
2
2. Dengan menggunakan identiti sek A – tan A = 1, cari nilai tepat bagi tan A
2
2
jika sek A + tan A = 2.
3. Elly bercadang untuk menampal kertas hiasan dinding menggunakan
teknik kolaj. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah segi tiga ABC A
yang terdiri daripada dua jenis kertas warna. Titik D terletak di
atas AC, dengan keadaan AD = 7 cm, DC = 8 cm, BC = 10 cm 7 cm
dan ˙ACB = 90°. Untuk mengelakkan pembaziran, Elly perlu D
mendapatkan ukuran yang tepat bagi kepingan kertas warna
tersebut. Cari nilai bagi setiap yang berikut. 8 cm β
(a) tan (a + b) (b) tan a (c) tan b α
Seterusnya, nyatakan nilai a, b, ˙BAC, ˙ADB, ˙BDC, C 10 cm B
panjang BD dan panjang AB.
226 6.6.2
Fungsi Trigonometri
6.6
Latihan Formatif Kuiz bit.ly/2Q6BzlV
1. Selesaikan setiap persamaan trigonometri yang berikut bagi 0° < x < 360°.
(a) 2 kos (x – 10°) = –1 (b) tan x = sek x + 2 (c) 3 sin x + 4 kos x = 0
2
2. Diberi 0 < A < π, selesaikan setiap persamaan yang berikut.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
2
(a) sin 2A = sin 4A (b) 5 kot A – 4 kot A = 0
3. Tunjukkan bahawa tan q + kot q = sek q kosek q. Seterusnya, selesaikan persamaan
sek q kosek q = 4 kot q bagi 0° < x < 360°.
4. Jika A, B dan C ialah sudut dalam segi tiga ABC, buktikan bahawa
(a) sin (B + C) = sin A, (b) kos (B + C) = – kos A.
5. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah trapezium ABCD. 10 cm
D C
Sisi AB selari dengan DC dan ˙BCD = q. Cari nilai bagi
setiap yang berikut. θ
17 cm
(a) kos q 15 cm
(b) sin 2q
(c) tan 2q
A B
Seterusnya, tentukan nilai q. 18 cm
BAB
6. Sebatang tiang elektrik dikukuhkan oleh dua kabel seperti A 6
yang ditunjukkan dalam rajah di sebelah. Diberi tinggi
tiang, AB = 24 m, jarak BC = 7 m, ∠BAC = q dan
∠ADB = 30°. 24 m θ Kabel
(a) Tanpa mencari ∠CAD, hitung nilai sin ∠CAD, Kabel
kos ∠CAD dan tan ∠CAD. 30°
(b) Nyatakan panjang bagi kedua-dua kabel itu. B 7 m C D
7. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah segi tiga PQR
P
dengan sisi p, q dan r masing-masing dengan sudut
bertentangan q, b dan a. Tunjukkan bahawa luas segi tiga θ
r q
tersebut diberi oleh rumus yang berikut.
p sin b sin a
2
L = β α
2 sin (b + a) Q p R
π
8. Diberi sek q = t, dengan keadaan 0 , q , . Cari nilai bagi setiap yang berikut,
dalam sebutan t. 2
)
(a) sin q (b) kos ( π + q (c) tan (π – q)
2
9. Lakarkan graf fungsi f(x) = 1 + kos x bagi domain 0 < x < 2π.
(a) Nyatakan julat yang sepadan dengan domain tersebut.
(b) Seterusnya, dengan melakar graf yang sesuai pada paksi yang sama, nyatakan bilangan
penyelesaian bagi x kos x = 1 – x.
227
SUDUT REFLEKSI
FUNGSI TRIGONOMETRI
trigonometriYSIA
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALA
Mewakilkan sudut Menentukan nisbah • Melukis Identiti
positif dan sudut trigonometri bagi dan melakar
negatif dalam sebarang sudut: graf fungsi • Rumus sudut
satah Cartes. • Enam fungsi trigonometri. pelengkap
• Unit darjah trigonometri • Kesan perubahan • Identiti asas
dan radian. • Sudut rujukan a, b dan c pada • Rumus sudut
• Sudut pada • Tanda nisbah graf berikut: majmuk
bulatan penuh trigonometri y = a sin bx + c • Rumus sudut
ialah 360°. dalam 4 sukuan y = a kos bx + c berganda
y y = a tan bx + c • Rumus sudut
• Mencari separuh
penyelesaian
sin Semua
+ + dan menentukan
x
tan kos bilangan
+ + penyelesaian.
Aplikasi
Dengan menggunakan lembaran pengurusan grafik yang bersesuaian, hasilkan satu ringkasan
bagi semua konsep yang terkandung dalam bab ini. Kemudian, bandingkan ringkasan anda
dengan rakan yang lain dan buat penambahbaikan jika perlu. Bentangkan hasil kerja anda di
hadapan kelas. Guru dan rakan akan bertanyakan soalan kepada anda.
228
Fungsi Trigonometri
Latihan Sumatif
1. Tuliskan julat sudut bagi setiap yang berikut dalam unit radian. TP 1
(a) 0° < x < 360° (b) −180° < x < 90° (c) 270° < x < 720°
2. Tuliskan julat sudut bagi setiap jenis sudut yang berikut dalam unit radian. TP 1
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
(a) Sudut tirus (b) Sudut cakah (c) Sudut refleks
3. Nyatakan semua sudut q antara 0° dengan 360° yang mempunyai nisbah trigonometri
yang berikut. TP 2
(a) sin q ialah 0.66 dan – 0.66 (b) sek q ialah 2.2727 dan –2.2727
(c) kot q ialah 1.136 dan –1.136
4. Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai bagi setiap yang berikut. TP 2
(a) sin (–120°) (b) tan 480° (c) sek 750°
9
8
(
)
(
(d) kosek 3π (e) kot – π (f) kos – π )
4 3
5 4
5. Diberi sin A = dan sin B = , cari nilai bagi kos (A – B) dan tan (A + B) jika TP 3
13 5
(a) A dan B ialah sudut tirus,
(b) A dan B ialah sudut cakah, BAB
6
(c) kos A dan kos B adalah negatif.
6. Rajah di sebelah menunjukkan tiga graf bagi y = a kos bx y
untuk 0 < x < 2π. Salin dan lengkapkan jadual di bawah. TP 3
1
Bilangan Selang I
Graf Persamaan Kala II
kitaran kelas
x
I 0 π π 3 –π 2π
–
2 2
II –1 III
III
7. (a) Nyatakan kala bagi graf y = sin 2x.
(b) Tentukan amplitud bagi graf y = 1 + 2 kos 3x. Seterusnya, nyatakan nilai maksimum dan
nilai minimum bagi y.
(c) Pada paksi yang sama, lakarkan setiap fungsi yang berikut bagi 0 < x < π.
(i) y = sin 2x (ii) y = 1 + 2 kos 3x
(d) Nyatakan bilangan penyelesaian bagi sin 2x – 2 kos 3x – 1 = 0 bagi 0 < x < π. TP 3
2
2
8. Diberi sebuah segi tiga ABC, tunjukkan bahawa sin (A – B) sin C = sin A – sin B. TP 4
9. Buktikan pernyataan yang berikut. TP 4
229
3
1
–1
–1
10. Diberi A = kos ( ) dan B = sin ( ) . Jika A dan B ialah sudut tirus, tunjukkan
π ! 10 ! 5
bahawa A + B = . TP 4
4
11. Rajah di sebelah menunjukkan graf bagi y = sin 2x + sin x untuk y
0 < x < 2π. TP 4
2
(a) Cari pintasan-x bagi graf tersebut.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
1
(b) Dengan menggunakan paksi yang sama, lakarkan graf
x
y = kos 2x + 1. Nyatakan nilai maksimum dan kala bagi 0 π π 3π 3π 2π
2π
– –– ––
graf tersebut. –1 2 2 2
(c) Seterusnya, nyatakan bilangan penyelesaian bagi persamaan –2
2
sin 2x + sin x = 2 kos x bagi 0 < x < 2π.
2
12. (a) Buktikan bahawa 1 – tan x = kos 2x. TP 4
2
1 + tan x
3
(b) Lakarkan graf fungsi y = kos 2x bagi 0 < x < π.
2
(c) Dengan menggunakan paksi yang sama, lakarkan satu garis lurus yang sesuai untuk
2
2
mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 5π (1 – tan x) = x (1 + tan x)
3
bagi 0 < x < π.
2
13. (a) Selesaikan setiap persamaan trigonometri yang berikut bagi 0° < x < 360°. TP 5
(i) sin (x + 30°) = 2 kos x
(ii) 2 sek (x + 60°) = 5 sek (x – 20°)
(iii) tan x + tan 15° = 2
1 – tan x tan 15°
(b) Selesaikan setiap persamaan trigonometri yang berikut bagi 0 < x < 2π.
(
(i) 3 sin x = 2 kos x + π )
4
(
(ii) 2 tan x + 3 tan x – π ) = 0
4
(iii) tan 5x = tan 2x
14. Pecutan graviti ialah pecutan yang dihasilkan oleh tindakan daya tarikan graviti ke atas jasad
menuju ke pusat bumi. Pecutan, g ini bergantung pada latitud, q bagi suatu tempat. Nilai g
boleh dihitung menggunakan rumus yang berikut. TP 5
g = 9.78039(1 + 0.005288 sin q − 0.000006 sin 2q)
2
(a) Hitung nilai pecutan graviti di Kuala Lumpur.
(b) Tentukan latitud apabila pecutan graviti adalah maksimum dan nyatakan nilai tersebut.
y
15. Rajah di sebelah menunjukkan titik P(kos B, sin B) dan
P
titik Q(kos A, sin A) yang terletak pada lilitan satu bulatan
unit berpusat di O. Dengan menggunakan dua kaedah yang Q 1
A
berbeza, cari luas bagi segi tiga OPQ. Seterusnya, tunjukkan 1 B
bahawa sin (A – B) = sin A kos B – kos A sin B. TP 6 O r = 1 x
x 1 x 2 x 3 x 1
1
1
[Petunjuk: Gunakan dan ab sin C]
2 y y y y 2
1 2 3 1
230
Fungsi Trigonometri
16. Jadual di bawah menunjukkan tiga identiti trigonometri dengan pasangan yang tidak
sepadan. Dengan menggunakan sebarang perisian geometri dinamik, plotkan setiap graf
tersebut untuk mencari pasangan yang sepadan. TP 6
1
2
2
[Petunjuk: Plot y = , y = kos x – sin x dan sebagainya].
tan x + kot x
Sebelah Kiri Sebelah Kanan
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
1
(a) = kos x – sin x
2
2
tan x + kot x
(b) (sin x – kos x)(tan x + kot x) = sin x kos x
kot x – tan x
(c) = sek x – kosek x
kot x + tan x
Seterusnya, buktikan setiap pasangan identiti tersebut.
BAB
6
Rajah (a) menunjukan Magic Hexagon atau Super Hexagon yang boleh digunakan untuk
mengingati pelbagai rumus berkaitan identiti trigonometri. Rajah (b) pula ialah satu contoh
fungsi trigonometri salingan yang boleh dijana menggunakan Magic Hexagon.
sin A kos A
tan A 1 kot A
sek A kosek A
Rajah (a)
Fungsi Salingan
1
1
sin A kos A sin A = — kosek A = —
kosek A sin A
1
1
tan A 1 kot A kos A = — sek A = —
sek A kos A
1 1
sek A kosek A tan A = — kot A = —
kot A tan A
Rajah (b)
Layari Internet untuk mengetahui dengan lebih lanjut berkaitan rumus yang boleh dijana
dengan menggunakan Magic Hexagon. Terangkan kaedah yang boleh digunakan untuk
mendapatkan rumus-rumus tersebut dan senaraikan semua rumus yang berkaitan.
231
BAB PENGATURCARAAN
7 LINEAR
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Model Pengaturcaraan Linear
Aplikasi Pengaturcaraan Linear
Senarai
Standard
Pembelajaran
bit.ly/2sZgH6L
232
PENGATURCARAAN George Bernard Dantzig (1914 - 2005) ialah
LINEAR seorang saintis matematik Amerika yang
dikenali kerana sumbangan beliau dalam
bidang kejuruteraan industri, penyelidikan
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
statistik.
Perniagaan dengan menggunakan trak operasi, sains komputer, ekonomi dan
makanan semakin popular di Malaysia. Beliau dikenali kerana menggunakan
Adnan bercadang untuk memulakan perkembangan algoritma untuk
perniagaan menggunakan trak menyelesaikan masalah
makanan. Berdasarkan hasil kajiannya, pengaturcaraan linear.
Adnan mendapati bahawa perniagaan
trak makanan sangat sesuai dijalankan Untuk maklumat lanjut:
di kawasan perumahan dan lokasi
bandar yang rata-rata penduduknya
bekerja hingga lewat malam. Beliau
telah membuat pelan perniagaan bit.ly/3jcSRZG
dengan mengambil kira modal yang
ada, jumlah trak makanan yang
diperlukan dan masa beroperasi. Beliau Kepentingan Bab Ini
juga ingin menyediakan perkhidmatan
tempahan makanan secara dalam Pengaturcaraan linear digunakan
talian. Beliau telah membuat kajian secara meluas dalam bidang sains
berkaitan kecerdasan buatan dalam ekologi, pengangkutan dan organisasi
memajukan perniagaan. Bolehkah perniagaan untuk meminimumkan kos
beliau memastikan perniagaannya dan memaksimumkan keuntungan.
mendapat keuntungan yang maksimum Pakar-pakar perisian komputer
dengan modal yang minimum? Adakah menggunakan pengaturcaraan linear
perniagaannya akan memperoleh untuk menyelesaikan ribuan pemboleh
keuntungan yang berlipat ganda ubah dan kekangan berkaitan masalah
dengan menggunakan kecerdasan rutin harian.
buatan, AI? Pengetahuan yang
luas dalam bab ini akan membantu Pengurus-pengurus firma
seseorang usahawan memaksimumkan menggunakan pengaturcaraan linear
keuntungan dan meminimumkan dalam merancang dan membuat
kos pengeluaran. keputusan berdasarkan sumber-sumber
yang ada.
Model matematik Mathematical model
Kekangan Constraint
Fungsi objektif Objective function
Video mengenai Rantau tersaur Feasible region
kecerdasan Pengoptimuman Optimization
buatan (AI).
bit.ly/2YQ1Kjo
233
7.1 Model Pengaturcaraan Linear
Secara umumnya, masalah pengaturcaraan linear berkaitan
dengan pengagihan sumber-sumber yang terhad seperti Akses QR
wang, tenaga manusia, bahan mentah dan sebagainya dengan
cara yang terbaik supaya kos dapat diminimumkan atau Terdapat empat
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
keuntungan dapat dimaksimumkan. kaedah penyelesaian
pengaturcaraan linear,
Suatu model pengaturcaraan linear boleh dibentuk iaitu kaedah graf, kaedah
mengikut langkah-langkah yang berikut: simpleks, kaedah M dan
kaedah dua fasa. Kaedah
yang biasa digunakan
1. Kenal pasti pemboleh 2. Kenal pasti ialah kaedah graf. Imbas
ubah keputusan fungsi objektif kod QR untuk maklumat
Pemboleh ubah keputusan bagi kaedah lain.
Fungsi objektif ialah fungsi
menerangkan keputusan yang
yang hendak dimaksimumkan
perlu dibuat dan kebiasaannya
atau diminimumkan.
diwakili dengan huruf x dan y.
bit.ly/2BAMzUf
3. Kenal pasti kekangan
Wakilkan kekangan yang wujud dalam bentuk persamaan atau
ketaksamaan linear, iaitu =, ,, <, . dan/atau >. Kekangan mestilah
dalam sebutan semua pemboleh ubah keputusan.
Apakah kaedah yang paling sesuai digunakan untuk menyelesaikan suatu masalah secara
pengaturcaraan linear jika masalah tersebut hanya melibatkan dua pemboleh ubah keputusan sahaja?
Membentuk model matematik bagi suatu situasi berdasarkan kekangan
yang diberi dan mewakilkan model tersebut secara grafik
Anda telah mempelajari ketaksamaan linear dalam satu dan dua pemboleh ubah. Bagaimanakah
untuk mewakilkan ketaksamaan y , 4 atau x > 2 secara grafik? Rajah 7.1 dan Rajah 7.2
masing-masing menunjukkan graf bagi ketaksamaan y , 4 dan x > 2.
y
y
4
4 x > 2
y < 4 2
2
x 0 2 4 6 x
–4 –2 0 2 4
–2 –2
Rajah 7.1 Rajah 7.2
Suatu model matematik yang terdiri daripada kekangan atau fungsi objektif boleh
ditentukan daripada situasi atau masalah yang diberi. Adakah model matematik tersebut boleh
diwakilkan secara grafik terutamanya dalam bentuk graf? Mari teroka bersama-sama.
234 7.1.1
Pengaturcaraan Linear
Aktiviti Penerokaan 1 Berkumpulan PAK-21
Tujuan: Membentuk model matematik bagi suatu situasi berdasarkan kekangan
yang diberi dan mewakilkan model tersebut secara grafik
Langkah:
1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah. bit.ly/2PQIdfK
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
2. Secara berkumpulan, pilih satu situasi yang terdapat dalam lampiran yang
disediakan. Kemudian, bincangkan situasi tersebut dan tentukan kekangan yang wujud.
Apakah itu model matematik?
3. Seterusnya, bina satu model matematik yang berbentuk ketaksamaan linear dalam dua
pemboleh ubah dengan mengambil kira semua kekangan yang wujud.
4. Dengan menggunakan perisian GeoGebra, lukis graf bagi ketaksamaan linear itu.
5. Buat satu kesimpulan mengenai kedudukan rantau berlorek dan jenis garisan bagi graf itu.
Daripada Aktiviti Penerokaan 1, didapati bahawa suatu model
matematik boleh dibentuk dengan menggunakan pemboleh ubah
x dan y dengan kekangan bagi suatu situasi ialah <, >, , atau .. Rantau yang memuaskan
ketaksamaan
Rantau di bahagian atas garis lurus ax + by = c 10x – 15y < 100 berada
memuaskan ketaksamaan ax + by > c dan ax + by . c di bawah garis lurus
manakala rantau di bahagian bawah garis lurus ax + by = c 10x – 15y = 100. Adakah
memuaskan ketaksamaan ax + by < c dan ax + by , c, dengan pernyataan tersebut benar?
keadaan b . 0. Bincangkan.
Rantau yang terletak di sebelah kanan garis ax = c memuaskan ketaksamaan ax > c dan
ax . c manakala rantau yang terletak di sebelah kiri memuaskan ketaksamaan ax < c dan BAB
ax , c. Secara amnya, jika suatu model matematik melibatkan tanda: 7
• > atau <, maka garis padu ( ) akan digunakan.
• , atau ., maka garis sempang ( ) akan digunakan.
Contoh 1
Tuliskan satu model matematik bagi setiap situasi yang berikut.
(a) Perimeter sebuah bingkai gambar yang berbentuk segi empat tepat mestilah tidak lebih
daripada 180 cm.
(b) Seorang penjaja menjual sayur bayam dan sawi. Harga jualan bagi 1 kg bayam dan 1 kg
sawi masing-masing ialah RM3.50 dan RM4.50. Jumlah jualan yang diperoleh penjaja itu
adalah sekurang-kurangnya RM350 sehari.
Penyelesaian y
(a) Katakan x dan y masing-masing ialah lebar dan panjang x
sebuah bingkai gambar berbentuk segi empat tepat.
Maka, 2x + 2y , 180.
(b) Katakan x dan y masing-masing ialah bilangan kilogram bayam
dan sawi yang dijual sehari. Maka, 3.50x + 4.50y > 350.
7.1.1 235
Contoh 2
Wakilkan setiap ketaksamaan linear berikut secara grafik.
(a) x – 2y > −4 (b) 5y – 5x , 25
Penyelesaian
(a) Diberi x – 2y > −4 (b) Diberi 5y – 5x , 25
Didapati bahawa b = –2 (, 0). Didapati bahawa b = 5 (. 0).
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Maka, rantau berada di bawah garis lurus Maka, rantau berada di bawah garis lurus
x – 2y = −4. 5y – 5x = 25.
y y
4 10
5y – 5x < 25
2 2 x – 2y > –4 5
x x
–6
–6 –4 –2 0 2 4 –10 –5 0 5 10
–2 –5
Contoh 3
Encik Andy bercadang untuk membina dua jenis rumah, iaitu A dan B di atas sebidang tanah
yang berkeluasan 10 000 m . Setelah melakukan tinjauan, beliau mendapati bahawa rumah
2
2
jenis A memerlukan tanah seluas 100 m dan rumah jenis B memerlukan tanah seluas 75 m .
2
Encik Andy mempunyai peruntukan tanah yang terhad, maka rumah yang boleh dibina
adalah sekurang-kurangnya 200 buah.
(a) Kenal pasti kekangan yang wujud dalam masalah itu. Kaedah Alternatif
(b) Tuliskan model matematik yang berkaitan.
(c) Lukis gambaran grafik bagi setiap model matematik yang Daripada graf kekangan I:
• Pilih sebarang titik pada graf,
diperoleh di (b). misalnya (100, 200) yang
Penyelesaian berada di atas garis
100x + 75y = 10 000.
Katakan x dan y mewakili rumah jenis A dan B. Gantikan titik dalam
2
(a) Luas tanah yang dimiliki oleh Encik Andy ialah 10 000 m . ketaksamaan
100x + 75y < 10 000.
Rumah yang boleh dibina sekurang-kurangnya 200 buah. 100(100) + 75(200) < 10 000
(b) Kekangan I: 100x + 75y < 10 000 25 000 < 10 000 (Palsu)
Kekangan II: x + y > 200 Maka, lorekan graf berada di
(c) Kekangan I: Kekangan II: bawah garis.
100x + 75y < 10 000 x + y > 200 • Pilih sebarang titik pada graf,
misalnya (–200, 200) yang
y y
berada di bawah garis
100x + 75y = 10 000.
300 300
Gantikan titik dalam
200 200 ketaksamaan
x +y > 200
100x + 75y < 10 000.
100 100
100x + 75y < 10 000 100(–200) + 75(200) < 10 000
x x –5 000 < 10 000 (Benar)
100
–300 –200 –100 0 100 200 –200 –100 0 100 200 Maka, lorekan graf berada di
100
–100 –100
bawah garis.
236 7.1.1
Pengaturcaraan Linear
Pengoptimuman dalam pengaturcaraan linear
Sebuah kedai kek menghasilkan x biji kek coklat dan y biji kek keju dengan kos bagi sebiji kek
masing-masing ialah RM4.00 dan RM5.00. Diberi jumlah kos bagi x biji kek coklat dan y biji
kek keju ialah 4x + 5y. Perhatikan bahawa 4x + 5y ialah suatu ungkapan linear. Jika kita ingin
menentukan nilai minimum bagi kos 4x + 5y, maka ungkapan linear ini dikenali sebagai
fungsi objektif.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Secara amnya,
Fungsi objektif ditulis sebagai k = ax + by
Aktiviti Penerokaan 2 Berkumpulan PAK-21
Tujuan: Meneroka cara mengoptimumkan fungsi objektif
Langkah:
1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah.
2. Seret gelongsor P ke kiri dan ke kanan. Perhatikan perubahan yang berlaku ggbm.at/rcfzgwrq
pada garis d apabila P berubah.
3. Kemudian, tentukan nilai maksimum dalam rantau tersebut.
4. Diberi bahawa fungsi objektif ialah P = 60x + 90y. Dalam kumpulan masing-masing,
bincangkan cara untuk mencari nilai maksimum bagi P dalam rantau yang memenuhi
model matematik dengan kekangan-kekangan yang berikut.
I: x + y < 320 II: x + 2y < 600 III: 5x + 2y < 1 000
5. Bentangkan hasil dapatan kumpulan anda di hadapan kelas dan lakukan perbincangan BAB
bersama dengan kumpulan lain. 7
Daripada Aktiviti Penerokaan 2, didapati bahawa nilai bagi fungsi objektif dapat ditentukan
dengan menggerakkan graf garis fungsi objektif secara selari dalam rantau yang memuaskan
semua kekangan yang ada. Nilai optimum diperoleh dengan menggantikan koordinat titik
maksimum dalam rantau ke dalam fungsi objektif itu.
Contoh 4
Rajah di sebelah menunjukkan rantau berlorek yang y
memenuhi beberapa kekangan daripada suatu situasi.
(a) Menggunakan satu nilai k yang sesuai, lukis garis 80
k = x + 2y pada graf tersebut. Pada graf yang sama,
lukis garis lurus yang selari dengan garis 60 (15, 55)
k = x + 2y dan melalui setiap titik pada bucu
40
rantau tersebut.
(b) Seterusnya, cari (47, 23)
20
(i) nilai maksimum bagi x + 2y,
(15, 8)
(ii) nilai minimum bagi x + 2y. 0 x
20 40 60 80
237
7.1.1 237
Penyelesaian
Pintar
Diberi k = x + 2y. Tip Pintar
(a) Katakan k = 4, maka x + 2y = 4. Langkah-langkah untuk
y menentukan nilai k
yang bersesuaian
80
bagi k = ax + by:
1. Perhatikan nilai a dan b
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
60 (15, 55) dengan masing-masing
ialah pekali bagi x dan y.
40
2. Cari gandaan sepunya
bagi a dan b.
20 (47, 23) 3. Ambil k sebagai gandaan
x + 2y = 4 (15, 8) sepunya tersebut.
(15, 8)
0 x
20 40 60 80
(b) (i) Gantikan titik maksimum bagi rantau berlorek, iaitu
(15, 55) ke dalam k = x + 2y.
k = 15 + 2(55) = 125
Maka, nilai maksimum bagi k ialah 125.
(ii) Gantikan titik minimum bagi rantau berlorek, iaitu
(15, 8) ke dalam k = x + 2y.
k = 15 + 2(8) = 31
Maka, nilai minimum bagi k ialah 31.
Latihan Kendiri 7.1
1. Bina gambaran secara grafik bagi setiap ketaksamaan linear yang berikut.
(a) 2y – 3x > 12 (b) 6x – y > 12 (c) y + 7x – 49 < 0
2. Tuliskan model matematik berdasarkan situasi yang berikut.
Sebuah syarikat pengeluar kereta menghasilkan dua jenis kereta, iaitu kereta M dan kereta
N. Pada hari tertentu, syarikat tersebut menghasilkan x unit kereta M dan y unit kereta N.
(a) Bilangan unit kereta N yang dihasilkan adalah tidak lebih daripada tiga kali bilangan unit
kereta M.
(b) Jumlah kereta yang dihasilkan adalah selebih-lebihnya 80 unit.
(c) Bilangan unit kereta N yang dihasilkan adalah sekurang-kurangnya 10 unit.
3. Teliti situasi di bawah. Kemudian, jawab setiap soalan yang berikut.
Xin Tian ingin menanam pokok pisang dan pokok betik di atas sebidang tanah seluas
80 hektar. Beliau mempunyai 360 orang pekerja dengan modal sekurang-kurangnya
RM24 000. Beliau menggunakan x hektar tanah untuk menanam pokok pisang dan
y hektar tanah untuk menanam pokok betik. Setiap hektar ladang pokok pisang akan
diselia oleh 3 orang pekerja manakala 6 orang pekerja pula akan menyelia setiap hektar
ladang pokok betik. Kos perbelanjaan untuk sehektar ladang pokok pisang ialah RM800
dan sehektar ladang pokok betik ialah RM300.
(a) Kenal pasti kekangan yang terdapat dalam masalah di atas.
(b) Tuliskan model matematik yang berkaitan dengan masalah di atas.
(c) Wakilkan setiap model matematik yang diperoleh di (b) secara grafik.
238 7.1.1
Pengaturcaraan Linear QR
4. Rajah di sebelah menunjukkan rantau berlorek yang
y
memenuhi beberapa kekangan daripada suatu situasi.
(a) Menggunakan satu nilai k yang bersesuaian, lukis
40
garis k = x + 2y pada graf tersebut.
(b) Pada graf yang sama, lukis garis lurus yang selari 30
dengan garis k = x + 2y yang diperoleh di (a) dan 3x + 2y = 60
melalui setiap titik pada bucu rantau tersebut. 20 x
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
(c) Seterusnya, cari y = –
2
(i) nilai maksimum bagi x + 2y, 10
x + y = 15
(ii) nilai minimum bagi x + 2y.
0 x
5 10 15 20
7.1
Latihan Formatif Kuiz bit.ly/2tNi6xT
1. Tuliskan ketaksamaan linear bagi setiap rantau berlorek yang berikut.
(a) (b)
y y
4 4
2 2
x x
–6 –4 –2 0 2 4 6 –6 –4 –2 0 2 4 6 BAB
–2 –2
–2
–2
–4 –4 7
–4
2. Sebuah kolej menawarkan dua kursus pengajian, iaitu kursus P dan kursus Q.
Pengambilan pelajar di kolej itu berdasarkan kekangan yang berikut.
I Jumlah pelajar adalah tidak melebihi 100 orang.
II Bilangan pelajar kursus Q adalah tidak lebih daripada empat kali bilangan pelajar
kursus P.
III Bilangan pelajar kursus Q melebihi bilangan pelajar kursus P sekurang-kurangnya
lima orang.
Tuliskan model matematik berdasarkan situasi di atas jika x mewakili bilangan pelajar yang
mengambil kursus P dan y mewakili bilangan pelajar yang mengambil kursus Q.
3. Puan Laili memperoleh gaji bulanan sebanyak RM3 000. Beliau membelanjakan RMx
untuk pengangkutan dan RMy untuk makanan. Perbelanjaan bulanan untuk makanan
adalah selebih-lebihnya tiga kali perbelanjaan bulanan untuk pengangkutan. Perbelanjaan
bulanan untuk makanan juga adalah sekurang-kurangnya RM50 lebih daripada
perbelanjaan bulanan untuk pengangkutan. Perbelanjaan bulanan untuk pengangkutan dan
makanan tidak melebihi satu pertiga daripada gaji bulanannya. Tuliskan model matematik
berdasarkan situasi ini.
239
7.1.1 239
7.2 Aplikasi Pengaturcaraan Linear
Dalam bidang perniagaan, ahli perniagaan perlu membuat
keputusan berkaitan dengan meminimumkan kos dan
memaksimumkan keuntungan. Keputusan yang dilakukan itu
bergantung pada kekangan sedia ada. Bagaimanakah mereka
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
dapat menyelesaikan masalah tersebut dengan baik?
Pengetahuan mengenai pengaturcaraan linear penting bagi
menyelesaikan masalah tersebut. Melalui pengaturcaraan linear,
kita perlu mentafsir sesuatu masalah dalam sebutan pemboleh
ubah. Satu sistem ketaksamaan atau persamaan linear yang
melibatkan pemboleh ubah berkenaan pula dapat dibentuk
berdasarkan syarat atau kekangan yang wujud.
Menyelesaikan masalah yang melibatkan pengaturcaraan linear
secara graf
Masalah pengaturcaraan linear dapat diselesaikan dengan membina graf bagi semua persamaan
linear yang berkaitan mengikut langkah-langkah yang berikut.
Kenal pasti Tentukan nilai bagi semua
Tentukan fungsi
kekangan yang pemboleh ubah keputusan yang
objektif.
wujud. memuaskan setiap kekangan.
Jika masalah tersebut mempunyai Nilai yang memuaskan
penyelesaian, semua kekangan akan kekangan dikenali sebagai nilai
membentuk satu rantau sepunya yang tersaur manakala nilai yang
dinamakan sebagai rantau tersaur. tidak memuaskan kekangan
Penyelesaian dalam rantau tersebut pula tersebut dikenali sebagai nilai
dikenali sebagai penyelesaian tersaur. tidak tersaur.
Contoh 5
Seorang peniaga ingin menghasilkan x jambak bunga ros dan y jambak bunga anggerik.
Masa yang diambil olehnya untuk menghasilkan sejambak bunga ros dan bunga anggerik
masing-masing ialah 20 minit dan 30 minit. Proses menghasilkan kedua-dua jambak bunga
tersebut mestilah berdasarkan kekangan yang berikut.
I Bilangan jambak bunga anggerik mestilah tidak lebih daripada dua kali bilangan jambak
bunga ros.
1
II Bilangan jambak bunga anggerik mestilah sekurang-kurangnya daripada bilangan
jambak bunga ros. 4
240 7.2.1
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search